obtinerea de selectii simulate cu excel in cazul variabilelor probabiliste discrete si continue -...

1

Master Management 2011-2012Master Management 2011-2012Simularea proceselor economiceSimularea proceselor economice

- Curs 3 – - Curs 3 – Metoda Monte CarloMetoda Monte Carlo

Obţinerea de selecţii simulate Obţinerea de selecţii simulate cu EXCEL cu EXCEL în cazul în cazul

variabilelor probabiliste variabilelor probabiliste discretediscrete si si continuecontinue

master Management SPE 2011 - 2012

2

CUPRINSCUPRINSI. I. Procedura pentru aplicarea metodei Monte Carlo în Procedura pentru aplicarea metodei Monte Carlo în cazul variabilelor probabilistecazul variabilelor probabiliste discrete

Distribuţii discrete de probabilitate• empirică discretă • uniformă discretă • binomială • Poisson ….….

II. II. Procedura pentru aplicarea metodei Monte CarloProcedura pentru aplicarea metodei Monte Carlo în în cazul variabilelor probabilistecazul variabilelor probabiliste continue continue

Distribuţii continue de probabilitate• empirică continuă • uniformă continuă • triunghiulară• normală• exponentială …


master Management SPE 2011 - 2012 3

v. a. discrete vs. continue

O v.a. este o cantitate masurata in legatura cu un experiment aleator;

O „variabilă aleatoare” sau o „distribuţie” nu este altceva decât un alt mod de a descrie rezultatul unui experiment aleator.

V.a – sunt importante deoarece asigura obiectivitate in reproducerea /replicarea unor rezultate ale unor evenimente (prin verificabilitate, reproductibilitate). Analistul/decidentul/cercetatorul alege procentajul din masa de evenimente replicate care ar trebui in principiu sa conduca la rezultate similare (sa fie acceptate in baza formularii ipotezei verificate ca fiind CORECTA, si sa respinga ipoteza FALSA), permitand variabilitatea rezultatelor.

Nivel de incredere: 1 − α = 0.90, 0.95, 0.99Nivel de semnificatie: α = 0.10, 0.05, 0.01(erori acceptate)

4

Clasificare v.a.

► Numerice Discrete vs. continue

► Categoriale Nominale/ordinale Ex1: succes/esec Ex2: categorii: note/scoruri:1, 2, 3 … , ani 2010, 2011, etc. sau

clase: I, II, III etc. sau atribute calitative



Descrierea v.a.

f(x) functie de masa/densitate de probabilitate F(x) functie de repartitie

Indicatori statistici: medie, dispersie, abatere standard etc.

Terminology - Probability mass function a probability mass function (pmf) is a function that gives the probability that a discrete random variable

is exactly equal to some value. A pmf differs from a probability density function (pdf) in that the values of a pdf, defined only for continuous random variables, are not probabilities as such. Instead, the integral of a pdf over a range of possible values (a, b] gives the probability of the random variable falling within that range.

Suppose that X: S → R is a discrete random variable defined on a sample space S. Then the probability mass function fX: R → [0, 1] for X is defined as

Note that fX is defined for all real numbers, including those not in the image of X; indeed, fX(x) = 0 for all x X(S).

Since the image of X is countable, the probability mass function fX(x) is zero for all but a countable number of values of x.

The discontinuity of probability mass functions reflects the fact that the cumulative distribution function of a discrete random variable is also discontinuous. Where it is differentiable, the derivative is zero, just as the probability mass function is zero at all such points.


Probability density function

a probability density function (abbreviated as pdf, or just density) of an absolutely continuous random variable is a function that describes the relative chance for this random variable to occur at a given point in the observation space. The probability for a random variable to fall within a given set is given by the integral of its density over the set.

The terms “probability distribution function” and “probability function” have also been used to denote the probability density function.


Cumulative distribution function

The cumulative distribution function (CDF), or just distribution function, describes the probability that a real-valued random variable X with a given probability distribution will be found at a value less than or equal to x.

Intuitively, it is the "area so far" function of the probability distribution.

For every real number x, the CDF of a real-valued random variable X is given by

where the right-hand side represents the probability that the random variable X takes on a value less than or equal to x.The probability that X lies in the interval (a, b] is therefore FX(b) − FX(a) if a < b.

The CDF of X can be defined in terms of the probability density function ƒ as follows:



Exemple de v.a.

Distributie Parametri

Empirica Se folosesc numere aleatoare

Normala Media m si abaterea standard s

Uniforma a si b

Exponentiala b

Triangulara a, m, si b

Weibull a si b


Distributii simetrice Corespund unor valori situate simetric fata de o valoare centrata

Daca exista valori deviante (outliers), distributie devine asimetrica

(skewed), formand eventual coada (tail).


Distributii cu “varfuri”


Pentru variabile discrete

O functie de probabilitate discreta - este un tabel, grafic sau regula care arata toate valorile unei

v.a. discrete X si probabilitatile lor corespunzatoare. Orice functie de probabilitate discreta satisface urmatoarele reguli:

- nici o probabilitate nu poate fi negativa: P(X=x) ≥0

- suma tuturor probabilitatilor este 1: P(X=x1)+P(X=x2)+…=1

Functia cumulativa de probabilitate arata probabilitatea ca X sa ia o valoare ≤ cu o valoare particulara data: F(X=x)=P(X≤x)

Proprietati:0≤F(b) ≤1 pentru oricare b

daca a<b atunci F(a) ≤F(b)

F(-∞)=0 si F(∞)=1


o variabilă aleatoare discretă X


Recapitulare – elemente de statistica matematica – variabile aleatoare


Recapitulare (2)


Mecanismul de obtinere a v.a.


Reprezentarea tabelara a datelor obtinute


Construirea graficelor de frecventa/frecventa cumulate

The resulting cumulative distribution, which always increases monotonically from 0 to 1, can be represented by the discontinuous “step function” in the first graph below. By connecting the midpoints of the steps, we obtain a continuous polygonal graph called the ogive (pronounced “o-jive”), shown in the second graph.


- Se foloseste o metoda specifica de constructie si interpretare bazata pe histograma frecventei relative si pe faptul ca probabilitatea unui eveniment este frecventa relativa de aparitie a acelui eveniment intr-un numar mare de evenimente- se poate defini numai probabilitatea ca valoarea variabilei să fie cuprinsă într-un interval specificat. Această probabilitate se calculează cu o funcţie f(x) de densitate de probabilitate a cărui valoare reprezintă aria de sub curba f(x) corespunzătoare intervalului specificat pe axa orizontala.

Pentru o variabilă probabilistă continuă


• Probabilitatea Probabilitatea P(X P(X x) x) ca valoarea variabilei ca valoarea variabilei probabiliste X să fie mai mică decât o anumită probabiliste X să fie mai mică decât o anumită valoare particulară x se calculează cu valoare particulară x se calculează cu funcţia de funcţia de distribuţie cumulativădistribuţie cumulativă

F(x) = P(XF(x) = P(Xx) =x) =

xdv)v(f


Densitate de probabilitate – functie reala continua f astfel incat:


Distribuţia discreta empirica

Exemplu 1: Tabelul 1. Vânzări de calculatoare tip laptop ale centrului comercial ALFA în 30 de săptămâni

Calculatoare vândute pe săptămână xi

Număr de săptămâni fi

0 1 2 3 4

6 12 6 3 3


Pentru a simula cererea săptămânală de calculatoare

Pasul 1. se va determina distribuţia de probabilitate a cererii săptămânale utilizând frecvenţa relativă a cererii în cele 30 săptămâni,

P(xi) = fi/30.

Calculatoare vândute pe săptămână xi Probabilitatea cererii P(xi)

0 1 2 3 4

6/30 = 0,20 12/30 = 0,40 6/30 = 0,20 3/30 = 0,10 3/30 = 0,10

Media = =

m

1i)ii x(Px = 1,5 calculatoare.

Dispersia 2 = 2

m

1ii

2i

m

1i)i

2i )x(Pxx(P)x(

= 1,45,

Abaterea standard = 2 = 1,204 calculatoare.


Pasul 2. Se asociază intervale de numere aleatoare fiecărei valori a variabilei discrete. Acest lucru se poate realiza tabelar sau grafic .

Valoarea variabilei

probabiliste xi

Probabilitatea P(X =xi) =

P(xi)

Funcţia distribuţiei cumulative

F(xi)

Intervale [F(xi-1), F(xi))

x1 = 0

x2 = 1

x3 = 2

x4 = 3

x5 = 4

0,2

0,4

0,2

0,1

0,1

0,2

0,6

0,8

0,9

1,0

[0,0, 0,2)

[0,2, 0,6)

[0,6 0,8)

[0,8 0,9)

[0,9 1,0]


• Pentru generarea unui numar aleator se poate folosi nr. aleatoare uniform distribuite (functia =RAND()) sau un generator specific

• Pentru utilizarea acestui nr. aleator pentru a extrage o valoare xi a variabilei probabiliste, in EXCEL se poate folosi functia:

= VLOOKUP (nr. aleator, zona tabelului cu distributia cumulata asociata valorilor variabilei probabiliste, coloana din tabel in care se afla valorile variabilei probabiliste)


Foaia de calcul EXCEL va avea doua parti:Foaia de calcul EXCEL va avea doua parti:

I. Tabelul cu distributia cumulata I. Tabelul cu distributia cumulata asociata valorilor variabilei probabilisteasociata valorilor variabilei probabiliste

II. Rezultatele simulariiII. Rezultatele simularii


Distribuţia uniformă discretăDistribuţia uniformă discretă

- descrie variabilele cu un număr mic de valori posibile, fiecare cu aceeaşi probabilitate de realizare. Dacă se consideră intervalul [a,b], cu a şi b numere întregi, atunci numărul valorilor posibile este n=b–a+1.Funcţia de masă de probabilitate este:

b sau x a pentru x 0

b x apentru 1

)P(x )xP(X

ii

iii n


Distribuţia uniforma empirica (discreta)

n = 5 unde n = b−a+1


Distribuţia uniformă discretăDistribuţia uniformă discretă

Funcţia distribuţiei cumulative este:

F(xi) = P(X xi) =

Media μ = (a+b)/2

Dispersia σ2 = (n2 – 1)/12

b pentru x 1

b x apentru n

1 a - xa pentru x 0

i

ii

i


Distribuţia uniforma empirica (discreta)


Exemplul 2. Numărul de costume de haine bărbăteşti vândute zilnic în cadrul unui mare magazin de confecţii este o variabilă probabilistă discretă uniform repartizată în intervalul [6, 10].

Se cere simularea vânzărilor pentru 10 zile.

Tabelul 2. Intervalele de numere aleatoare asociate fiecărei valori din intervalul [6, 10]

Numărul de costume de haine bărbăteşti vândute

zilnic xi

Probabilitatea P(X = xi)=1/5

Funcţia distribuţiei cumulative

F(xi) =

P(X xi) = i/5


6 0,2 0,2 [0, 0,2) 7 0,2 0,4 [0,2, 0,4) 8 0,2 0,6 [0,4, 0,6) 9 0,2 0,8 [0,6, 0,8) 10 0,2 1,0 [0,8, 1,0]


Selectiile de numere uniform distribuite in Selectiile de numere uniform distribuite in intervalul [a, b] se pot genera cu formula:intervalul [a, b] se pot genera cu formula:

xxii = partea intreaga [a + (b-a+1)*u] = partea intreaga [a + (b-a+1)*u]


Distribuţia binomialăDistribuţia binomială

se aplică atunci când se aplică atunci când intr-un experiment repetat de n ori intr-un experiment repetat de n ori există numai două rezultate posibile: există numai două rezultate posibile: successucces sau sau eşeceşec, , admis sau respins, promovat sau nepromovat etcadmis sau respins, promovat sau nepromovat etc. .

(experimentele sunt independente si probabilitatea unui (experimentele sunt independente si probabilitatea unui successucces este constanta la fiecare experiment)este constanta la fiecare experiment)

EExempluxemplu: : - - variabila probabilistă este numărul experimentelor cu „succes”. variabila probabilistă este numărul experimentelor cu „succes”. Dacă probabilitatea Dacă probabilitatea pp a „succesului” este aceeaşi pentru fiecare a „succesului” este aceeaşi pentru fiecare

din cele din cele nn experimente, iar experimentele sunt independente, experimente, iar experimentele sunt independente, atunci atunci funcţia de masă de probabilitatefuncţia de masă de probabilitate este definită prin este definită prin

probabilitatea ca numărul experimentelor de succes să fie probabilitatea ca numărul experimentelor de succes să fie egal cu o anumită valoare egal cu o anumită valoare xxii..


Distribuţia binomialăDistribuţia binomială

Funcţia de masă de probabilitate:

P(X=xi) = P(xi) = ix

nC pxi(1-p)n-xi pentru xi = 0, 1, 2, ..., n, unde n este numărul total de experimente. Funcţia distribuţiei cumulative:

F(xi) = P(X xi) =

ix

0v)v(P

pentru xi = 0, 1, 2, ..., n

Media = np

Dispersia 2 = np(1-p)


Obs: pentru p=0,5, graficul f(x) incepe sa semene cu un “clopot” pentru n suficient de mare (aproximeaza o distributie normala daca n∙p ≥ 5 si n∙ (1-p) ≥ 5


Functia de distributie cumulativa


Pentru generarea unui numar aleator si utilizarea acestuia pentru a extrage o valoare xi a variabilei probabiliste binomiale, in EXCEL se poate folosi functia:

= CRITBINOM (număr de incercari,

probabilitatea de succes, nr. aleator)


Exemplul 3Exemplul 3

O firmă de software doreşte să organizeze trimestrial concursuri pentru ocuparea unor posturi de programatori. Procesul de selectare a angajaţilor presupune participarea candidaţilor la un test de programare. Se estimează că se pot înscrie maxim 10 candidaţi.

Pe baza experienţei de la testele anterioare s-a stabilit că probabilitatea ca un candidat să treacă testul este de 0,30.

Managerul firmei doreşte să determine prin simulare câţi candidaţi vor promova testul la următoarele trei concursuri.


Exemplul Exemplul 3 (cont.)3 (cont.)


Distribuţia PoissonDistribuţia Poisson

• se aplică în cazul unor evenimente întâmplătoare independente. Variabila probabilistă este numărul de evenimente care pot avea loc într-o perioadă de timp.

- Se foloseste in probleme privind numarul de aparitii ale unui eveniment in unele intervale continue de timp si spatiu, in probleme de asteptare etc.

Obs: pentru p foarte mic, distributia se foloseste in situatii care descriu evenimente rare

Exemple: numarul de greseli de tipar pe o pagina de ziar, numar de accidente intr-o zi, numar de clienti intr-un centru comercial,

numărul persoanelor care sosesc într-o staţie de servire într-un interval de o oră pentru a solicita un serviciu (clienţi la un ghişeu de bancă, autoturisme la o staţie de benzină etc.)


Funcţia de masă de probabilitate f(x) este probabilitatea ca numărul evenimentelor care au loc într-un interval de timp specificat să fie egal cu o anumită valoare xi.


Funcţia de masă de probabilitate

P(X = xi) = P(xi) = !i

x

x

ei

unde este numărul mediu al evenimentelor dintr-un interval de timp specificat, e = 2,7182.... Funcţia distribuţiei cumulative

F(xi) = P(X xi) =

ix

0v)v(P ptr xi = 0, 1, 2,..., N

Media = . Dispersia 2 = .

Distribuţia PoissonDistribuţia Poisson


In EXCEL In EXCEL ((=poisinv(p, mean)=poisinv(p, mean))), se vor parcurge , se vor parcurge doua etape:doua etape:

1.1. Se Se va construi tabelul cu distributia cumulata va construi tabelul cu distributia cumulata asociata valorilor variabilei probabiliste cu functia:asociata valorilor variabilei probabiliste cu functia:

= POISSON (= POISSON (nr. evenimentenr. evenimente, , mediamedia, , variabila logica cu valoarea 1 daca se variabila logica cu valoarea 1 daca se calculeaza distributia cumulata si calculeaza distributia cumulata si valoarea 0 daca se calculeaza P(X=xvaloarea 0 daca se calculeaza P(X=xii))))

2. Se realizeaza simularea utilizand functia 2. Se realizeaza simularea utilizand functia = VLOOKUP(parametri)= VLOOKUP(parametri)


Exemplul Exemplul 4.4.

Numărul automobilelor care sosesc la Numărul automobilelor care sosesc la întâmplareîntâmplare într-un Service Auto poate fi într-un Service Auto poate fi descris de o descris de o distribuţiedistribuţie Poisson cu media Poisson cu media de 3 maşini pe orăde 3 maşini pe oră. .

Se cere Se cere simularea numărului de maşini simularea numărului de maşini care vor sosicare vor sosi la Service în următoarele la Service în următoarele

4 ore.4 ore.


II. II. Procedura pentru aplicarea Procedura pentru aplicarea metodei Monte Carlo metodei Monte Carlo

în cazul variabilelor probabiliste continueîn cazul variabilelor probabiliste continue


Aplicarea metodei Monte Carlo pentru obţinerea de selecţii simulate în cazul variabilelor probabiliste continue se poate face pe baza următoarei proceduri:

Pasul 1. Se construiesc funcţiile f(x) de densitate de probabilitate şi F(x) de distribuţie cumulativă.

În cazul distribuţiilor empirice, după organizarea şi gruparea pe intervale, valorile variabilei probabiliste

continue se pot prezenta tabelar - conform Tabelului 6.


Tabelul 6 Intervale de valori ptr variabila probabilista [xi-1, xi)

Frecvenţa fi

Frecvenţa relativă

fi/

m

1kkf

Frecvenţa cumulativă

F(xi)


[x0, x1) f1 f1/

m

1kkf F(x1)=f1/

m

1kkf [F(x0), F(x1))

[x1, x2) f2 f2/

m

1kkf F(x2)=(f1+f2)/

m

1kkf [F(x1), F(x2))

... ... ... ... ...

[xm-1, xm] fm fm/

m

1kkf F(xm) = 1 [F(xm-1), F(xm)]

Graficul funcţiei F(x) al distribuţiei empirice cumulative va fi o curbă liniară pe porţiuni, obţinută prin unirea punctelor ale căror coordonate sunt limitele superioare ale intervalelor [xi-1, xi] şi respectiv [F(xi-1), F(xi)].


Exemplul 5.

Datele rezultate în urma observării timpului de servire a 100 clienţi care au solicitat efectuarea unor operaţiuni la un ghişeu de bancă sunt prezentate astfel:

Tabelul 7

Timpul individual

de servire (min) [xi-1, xi)

Numărul clienţilor fi

Frecvenţa relativă

fi/

m

1kkf

Frecvenţa cumulativă

F(xi)


[5, 10) 15 0,15 0,15 [0,00, 0,15) [10, 15) 26 0,26 0,41 [0,15, 0,41) [15, 20) 23 0,23 0,64 [0,41, 0,64) [20, 25) 18 0,18 0,82 [0,64, 0,82) [25, 30) 10 0,10 0,92 [0,82, 0,92) [30, 35] 8 0,08 1,00 [0,92, 1,00]


Pasul 2. Se generează un număr aleator u uniform repartizat în intervalul [0, 1] utilizând un generator de numere aleatoare (de exemplu, cu funcţia =RAND() din Excel).

Pasul 3. Se generează o valoare x a variabilei probabiliste continue prin rezolvarea ecuaţiei F(x) = u.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

5 10 15 20 25 30 35

Timpul de servire

Prob

abili

tati

u=0,38

x=14,423

F(x)


PProcedurroceduraa grafică poate fi înlocuită cu o procedură grafică poate fi înlocuită cu o procedură algebrică echivalentă de rezolvare a ecuaţieialgebrică echivalentă de rezolvare a ecuaţiei::

F(x) = u.F(x) = u.

● ● ddacă soluţia poate fi obţinută cu relaţiaacă soluţia poate fi obţinută cu relaţia x= Fx= F-1-1(u), (u),

atunci metoda de extragere a unei valori a variabilei atunci metoda de extragere a unei valori a variabilei probabiliste se numeşte probabiliste se numeşte metoda inverseimetoda inversei..

● ● ddacă nu se poate construi inversa explicită a acă nu se poate construi inversa explicită a funcţiei funcţiei F(x),F(x), ecuaţia ecuaţia F(x)=uF(x)=u se poate rezolva cu se poate rezolva cu metoda interpolăriimetoda interpolării..


DDee exemplu: exemplu: u = 0,38u = 0,38 aparţine intervalului de numere aleatoare aparţine intervalului de numere aleatoare[0,15[0,15,, 0,41 0,41)) corespunzător intervalului [10 corespunzător intervalului [10,,15) al timpului de 15) al timpului de servire, rezultă căservire, rezultă că:: x = 10 + (0,38 – 0,15)(15 - 10)/(0,41 – 0,15) = 14,423 minx = 10 + (0,38 – 0,15)(15 - 10)/(0,41 – 0,15) = 14,423 min

În general, În general, dacă numărul aleator dacă numărul aleator uu aparţine intervalului de aparţine intervalului de numere aleatoare numere aleatoare [F(x[F(xi-1i-1), F(x), F(xii)))) asociat valorilor asociat valorilor

[x[xi-1i-1, x, xii),),

atunci se va genera valoarea atunci se va genera valoarea xx cu relaţia de cu relaţia de interpolare:interpolare:

x = xx = xi-1i-1 + (u - F(x + (u - F(xi-1i-1))(x))(xii - x - xi-1i-1)/(F(x)/(F(xii) - F(x) - F(xi-1i-1))))


Cu EXCEL, Cu EXCEL, simularea servirii primilor 10 simularea servirii primilor 10 clienticlienti se poate realiza astfel: se poate realiza astfel:


DDistribuţia istribuţia uniformă uniformă continuăcontinuă

variabila probabilista uniform repartizate în intervalul [a, b]:

funcţia f(x) de densitate de probabilitate: f(x) = 0 pentru x < a

= 1/(b-a) pentru a x b = 0 pentru x > b,

funcţia distribuţiei cumulative: F(x) = 0 pentru x < a = (x-a)/(b-a) pentru a x b = 1 pentru x > b

media = (a+b)/2,

dispersia 2 = (b-a)2/12.


Pentru Pentru distribuţia uniformă continuădistribuţia uniformă continuă în în intervalul [a, b], intervalul [a, b], ecuaţiaecuaţia F(x)=uF(x)=u este de formaeste de forma: : (x-a)/(b-a) = u(x-a)/(b-a) = ude unde: x = a + u(b-a).x = a + u(b-a).

Exemplul 8Exemplul 8. . Timpul necesar pentru servirea unui client esteTimpul necesar pentru servirea unui client este o o variabilă aleatoare uniform distribuită cu valori variabilă aleatoare uniform distribuită cu valori între 5 minute şi 15 minute. între 5 minute şi 15 minute. Dacă la Dacă la Pasul 2Pasul 2 s-a generat numărul aleator s-a generat numărul aleator u=0,72, u=0,72, atunciatunci timpul de servire extras din distribuţia de timpul de servire extras din distribuţia de probabilitate uniformă continuă probabilitate uniformă continuă esteeste x = 5 + 0,72 x = 5 + 0,72 (15 – 5) = 12,2 minute(15 – 5) = 12,2 minute


DDistribuţiistribuţiaa triunghiulară triunghiulară

- este - este descrisă prindescrisă prin trei valori trei valori (a(a<<b<c)b<c), ,

-- se utilizează atunci se utilizează atunci când nu există date când nu există date istoriceistorice referitoare la valorile variabilei referitoare la valorile variabilei analizateanalizate.. Funcţia f(x) de densitate de probabilitateFuncţia f(x) de densitate de probabilitate::

f(x) = 2(x-a)/((b-a)(c-a)) f(x) = 2(x-a)/((b-a)(c-a)) pentrupentru a a x x b b = 2(c-x)/((c-a)(c-b)) = 2(c-x)/((c-a)(c-b)) pentrupentru b < x b < x c c


Distribuţia triunghiulară

Funcţia F(x) a distribuţiei cumulative este: F(x) = P(X x) =

= 0 pentru x<a

= ((x-a)2)/((b-a)(c-a)) pentru a x b

= 1 – ((c-x)2)/((c-a)(c-b)) pentru b<x c

= 1 pentru x>c

Media: = (a+b+c)/3Dispersia: 2 = (a2+b2+c2–ab –ac–bc)/18


În cazul În cazul distribuţiei triunghiularedistribuţiei triunghiulare descrisă prin trei valori descrisă prin trei valori (a(a<<b<c)b<c)::

Fie Fie h = (b-a)/(c-a)h = (b-a)/(c-a) • ddacăacă uu h,h, atunci din ecuaţiaatunci din ecuaţia F(x)=uF(x)=u rezultă

x = a + (c-a)*(uh)½

• dacă u > h, atunci

x = a + (c-a)*(1-((1-h)*(1-u))½)


P(x)


F(x)=


Exemplul 9.

Se estimează că venitul lunar care va fi realizat din vânzarea unui produs nou poate fi descris de o distribuţie de probabilitate triunghiulară cu valoarea minimă a = 20 unităţi monetare, valoarea cea probabilă b = 40 unităţi monetare şi valoarea maximă c = 80 unităţi monetare. Se cere venitul mediu obţinut prin 10 experimente de simulare.

Obs: In EXCEL: =if(p <= 2/(max - min), min + sqrt( p*(mode - min)*(max - min) ),max - sqrt((1 - p)*(max - mode)*(max - min) ) )


- are un rol fundamental în teoria probabilităţilor şi în statistică; descrie:

• caracteristici ale populaţiei (înălţimea, greutatea) • distribuţiile unor mărimi care sunt sume de alte

mărimi (conform teoremei limita centrale). Astfel, durata totală de realizare a unui proiect, ca sumă a duratelor probabiliste ale activităţilor de pe drumul

critic, este o variabilă cu distribuţie normală.

DDistribuţia normalăistribuţia normală



- este este simetrică simetrică sub formă de clopotsub formă de clopot (in lb. eng. bell – shaped).

Funcţia f(x) de densitate de probabilitate este o Funcţia f(x) de densitate de probabilitate este o funcţie cu doi parametri,funcţie cu doi parametri, media media şi şi dispersia dispersia 22, , de forma:de forma:

f(x) =f(x) =

22

2)x(exp

22

1


F(x) arata probabilitatea ca valoarea standard normala sa se situeze intr-un interval specificat (unde erf este functie de erori):

22

1

2

1

0

22 z

erfdxez

x



Deoarece distribuţia normală este descrisă de o Deoarece distribuţia normală este descrisă de o funcţie de densitate de probabilitate care nu poate fi funcţie de densitate de probabilitate care nu poate fi integrată exact, niciintegrată exact, nici inversa F inversa F -1-1 a funcţiei a funcţiei distribuţiei cumulative nu poate fi obţinută. distribuţiei cumulative nu poate fi obţinută.

Pentru generarea valorilor unei variabile cu Pentru generarea valorilor unei variabile cu distribuţie normală se pot folosidistribuţie normală se pot folosi metode metode aproximative aproximative cum sunt: cum sunt: metoda Box-Muller, metoda Box-Muller, metoda teoremei limitei centrale, metoda teoremei limitei centrale, metoda respingeriimetoda respingerii..

a Z-score measures the number of SD units a value deviates from the mean; probabilities refer to areas [or percentages] under the normal curve

Z-scores relates to their relationship to the normal distribution. In a normally distributed data set, the percentage area of scores under the curve between the mean and any Z-score value is known and constant.


Area Under the Normal Curve Z-scores between -2.00 and +2.00 are considered relatively

ordinary, while values greater than -2.00 and +2.00 are unusual. The basis of this decision rests on the “68-95-98 rule” that states

that 68% of all scores in a normally-distributed set of data will fall within ±1 SD of the mean; 95% of all scores will fall within ±2 SD,

and 99.7% of all scores within ±3 SD.

-3 -2 +3+20 +1-1

Z-Scores

Unusual ValuesOrdinary ValuesUnusual Values


DIFFERENT VALUES FOR Z (MEDIA = 10, ABATEREA STANDARD =2)



• programul EXCEL (=norminv(p, mu, sigma)) prin funcţia

=NORMINV (nr.aleator, media , abaterea standard )

- determină o valoare x a unei variabile normal distribuite cu media şi abaterea standard , prin aproximări succesive ale lui x, astfel încât diferenţa (u-F(x)), dintre numărul aleator u generat de RAND() şi valoarea funcţiei F(x) de distribuţie cumulativă, să fie mai mică decât 310-7.


Functia NORMINV How to Calculate a Random Number from a Normal Distribution?

- the NORMINV function returns a value given a probability:

=NORMINV(probability, mean, standard_dev)

Remember that RAND() function returns a random number between 0 and 1. That is, RAND() generates random probabilities. Therefore, it seems logical that you could use the NORMINV function to calculate a random number from a normal distribution, using this formula:

=NORMINV(RAND(), mean, standard_dev)


Functia NORMINV - The inverse of the NORMDIST function. It calculates the x variable given a probability.



Functia NORMDIST

= NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

NORMDIST gives the probability that a number falls at or below a given value of a normal distribution.

x - The value you want to test. mean - The average value of the

distributionstandard_dev - The standard

deviation of the distribution.cumulative - If FALSE or zero, returns

the probability that x will occur; if TRUE or non-zero, returns the probability that the value will be less than or equal to x.


Exemplul 10.Exemplul 10. Se cunoaşte că, greutatea unui cozonac realizat de firma „Extra” este o variabilă probabilistă normal distribuită cu media de 500 grame şi abaterea standard de 50 grame.Se cere simularea greutatii pentru 10 cozonaci.Nr.aleator = RAND()x = NORMINV(nr.aleator,500,50)


este utilizată pentru a descrie timpul dintre diferite evenimente cum sunt, de exemplu, intervalele de timp dintre sosirile clienţilor într-un sistem de aşteptare.

• Se poate arăta că dacă numărul sosirilor poate fi descris de o distribuţie Poisson, atunci intervalul dintre sosiri urmează o distribuţie exponenţială.

DDistribuţiistribuţia a exponenţialexponenţialaa


DDistribuţiistribuţia a exponenţialexponenţialaa Dacă X este o variabilă probabilistă cu

media şi abaterea standard atunci:

funcţia f(x) de densitate de probabilitate :f(x) = (1/)e-x/

funcţia F(x) de distribuţie cumulativă este:F(x) = P(X x) = 1 – e-x/

Rezultă că P(X > x) = e-x/


Daca 1/ = , atunci


În cazul distribuţiei exponenţiale cu media , soluţia ecuaţiei F(x)=u este de forma

x = - ln(1-u)unde ln este logaritmul natural.(in EXCEL: =-ln(1-p)/lambda)

Exemplul 11. Mărimea intervalului de timp dintre sosirile clienţilor într-un magazin alimentar este o variabilă aleatoare cu distribuţie exponenţială cu media de 5 minute. Sa se simuleze intervalele dintre sosirile urmatorilor 10 clienti.


Alte distributii continue (in EXCEL)Distributiile Gamma/Erlang sunt unimodale, asimetrice si definite

pentru x 0. Unul dintre parametrii care specifica forma este , si determina pozitia modulului. Pentru = 1 se defineste distributia exponentiala (caz particular) pentru pozitionarea modulului la x = 0.

=gammainv(p, alpha, beta)


Altele:

Distributia beta =betainv(p, alpha, beta, min, max)

Bibliografie:“Probability Distributions in Simulations”, autor: M. Peter Jurkat Aplicatia Insight.xlahttp://mathworld.wolfram.com/ sectiunea Probability and Statisticshttp://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm ptr aplicatia

Excel 2007: SIMTOOLS2007.XLA


SIMTOOLS.XLA adds to Excel the following 32 statistical functions, listed in six categories (1)

Inverse cumulative-probability functions

BETINV(probability, mean, stdevn, lowerbound, upperbound) returns inverse cumulative values for a beta random variable, parameterized by its mean and standard deviation. When the first parameter is a RAND, BETINV yields a bounded random variable. (Default lower and upper bounds are 0 and 1.)

BINOMINV(probability, n, p) returns inverse cumulative values for a binomial random variable. When the first parameter is a RAND, BINOMINV yields a bounded integer random variable between 0 and n, with mean n*p.

DISCRINV(randprob, values, probabilities) returns inverse cumulative values for a discrete random variable. When the first parameter is a RAND, DISCRINV returns a discrete random variable with possible values and corresponding probabilities in the given ranges.

EXPOINV(probability, mean) returns inverse cumulative values for an exponential random variable. When the first parameter is a RAND, EXPOINV yields a nonnegative random variable (often used for random waiting times).

GAMINV(probability, mean, stdevn) returns inverse cumulative values for a gamma random variable, parameterized by its mean and standard deviation. When the first parameter is a RAND, GAMINV yields a nonnegative random variable.


SIMTOOLS.XLA adds to Excel the following 32 statistical functions, listed in six categories (2)

Inverse cumulative-probability functions

GENLINV(probability, quart1, quart2, quart3, lowest, highest) returns inverse cumulative values for a generalized-lognormal random variable that has 25% probability below the quart1 value (the top of the first quartile), 50% probability below quart2, and 75% probability below quart3. A generalized-lognormal random variable is a constant plus or minus a lognormal random variable. When the first parameter is a RAND(), GENLINV yields a random variable which could be positive or negative, but is bounded on the side of the narrower quartile range. If optional lowest and highest values are specified (satisfying lowest < quart1 < quart2 < quart3 < highest), then values of the generalized-lognormal random variable are adjusted as necessary to keep GENLINV within these bounds (increasing to the lowest value from below it, decreasing to the highest value from above it).

LNORMINV(probability, mean, stdevn) returns inverse cumulative values for a lognormal random variable, parameterized by its mean and standard deviation. When the first parameter is a RAND, LNORMINV yields a nonnegative random variable.

POISINV(probability, mean) returns inverse cumulative values for a Poisson random variable. When the first parameter is a RAND, POISINV yields a nonnegative integer random variable.

TRIANINV(probability, lowerbound, mostlikely, upperbound) returns inverse cumulative values for a random variable with a triangular probability density. When the first parameter is a RAND, TRIANINV yields a bounded random variable.

XTREMINV(probability, mean, stdevn) returns inverse cumulative values for an extreme-value (or Gumbel) random variable, parameterized by its mean and standard deviation. When the first parameter is a RAND, XTREMINV yields a random variable that may be positive or negative. (If W is a Weibull random variable then -LN(W) has this extreme-value distribution.)


Simulation software survey

http://www.lionhrtpub.com/orms/orms-10-09/frsurvey.html

http://www.lionhrtpub.com/orms/surveys/Simulation/Simulation2.html

obtinerea de selectii simulate cu excel in cazul variabilelor probabiliste discrete si continue -...

Documents