O funciese numeteinversabildac i numai dac exist funciaastfel nct. Atuncise numeteinversafuncieii se noteaz. Funciaeste inversabil dac i numai dac estebijectiv. Inversa unei funcii este unic i simetric fa de funcie. Graficele funciilorisunt simetrice fa deprima bisectoare,dreapta cu ecuaia.

DEFINIIE: Fieo funcie bijectiv. Pentru oriceexist un(unic!) astfel caCorespondena"acelxpentru care" definete o funcie pe mulimeaYcu valori pe mulimeaX, care se numeteinversa funcieii se noteaz cu

OBSERVAII:1. Regula de coresponden din definiie implic urmtoarea proprietate a funciei inverse:pentru oricepentru orice2. Funciileisunt mutual inverse, adic:

3. Pentru a gsi inversa unei funcii numerice(dacfeste bijectiv) trebuie s exprimmxn funcie dey. Astfel de exemplu: dacfuncia invers estedacfuncia invers este:

Ecuatii exponentialeEcuatia ce contine variabila necunoscuta la exponetul puterii se numesteecuatie exponentiala.Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de formaax= b,(1)

undea> 0,a1.Afirmatia 1. Pentrub0 ecuatia (1) nu are solutii, iar pentrub> 0 ecuatia data are o solutie unica:x= logab.Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiilea) 2x= -4, b) 2x= 4, c) 2x= 5.Rezolvare.a) Cum membrul din stanga ecuatiei este pozitiv pentru oricexR(a se vedea proprietatile functiei exponentiale), iar membrul din dreapta este negativ, ecuatia nu are solutii.b) Utilizandafirmatia 1se obtinex= log24 , adicax= 2.c) Similar exemplului precedent se obtinex= log25.Nota.Dinafirmatia 1rezulta ca ecuatia exponentiala de tipulaf(x)=b,(2)

undea> 0,a1 sib> 0, este echivalenta cu ecuatiaf(x) = logab.Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiilea) b) c).Rezolvare.a) Se tine seama denota la afirmatia 1si se obtine ecuatia trigonometrica

Cum, rezulta, de undeb) Cum log39 = 2, se obtine ecuatia|x2-x| = 2.Utilizand proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu, [1]) se obtine|x2-x| = 2

x2-x= 2,x2-x-2 = 0,x= -1,

x2-x= -2,x2-x+2 = 0,x= 2.

c) Logaritmand in baza 5 (ambii membri sunt pozitivi) se obtine(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x= 45.Utilizind formula pentru suma primilorntermeni ai progresiei aritmetice se obtine

de unde rezulta ecuatia patratax2+x-90 = 0cu solutiilex1= -10 six2= 9. CumxN, ramanex= 9.La rezolvarea ecuatiilor exponentiale se utilizeaza urmatoarea afirmatie de baza referitoare la echivalenta ecuatiilor (a se vedea, de exemplu, [2]).Afirmatia 2.Dacaa> 0 sia1, atunci ecuatiileaf(x)=ag(x)(3)

sif(x) =g(x)sunt echivalente.Nota. Ecuatiile de tipulaf(x)=bg(x) (a> 0,a1,b> 0)se pot scrie astfel

si se rezolva utilizindafirmatia 2.Unele ecuatii exponentiale se reduc la ecuatiile de tipul (1)-(3) cu ajutorul egalitatilor:E1)axay=ax+y, E2) E3) (ax)y=axy, E4) E5)axbx= (ab)x.Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiilea) b) c) d) 32x-1= 7x+1.Rezolvare.a) Se utilizeaza egalitatileE1-E3,afirmatia 2si se obtine

32x+1+2(x+2)-3x= 35 2x+1+2x+4-3x= 5 x= 0.b) Cum (ab0), rezulta si utilizand proprietatileE4,E3siE1se obtine

de unde, in bazaafirmatiei 2, rezulta ecuatia patrata2x2-x-15 = 0cu solutiilex= 3 six= -5/2.c) Cum 43x+1= 4143x= 4(43)x= 464x, ecuatia devine464x25x= 6400sau64x25x= 1600.Utilizand proprietateaE5siafirmatia 2se obtine 1600x= 1600, de undex= 1.d) Se tine seama denota la afirmatia 2si se obtine

de unde rezulta ecuatia liniara2x-1 =xlog37+ log37saux(2-log37) = log37+1cu solutiaDaca ecuatia exponentiala este de tipulF(af(x)) = 0,(4)

atunci prin intermediul substitutieit=af(x), se obtine ecuatiaF(t) = 0,care de regula se rezolva mai simplu. In cele mai frecvente cazuri se intalnesc ecuatiile de tipulAa2f(x)+Baf(x)+C= 0,(5)

Aaf(x)+Ca-f(x)+B= 0

(A, BsiCR), care cu ajutorul substitutieit=af(x)se reduc la ecuatia patrataAt2+Bt+C= 0.Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile:a) 2x+32x-4= 76, b) 3-x+9 3x+9x+1+9-x-1=8, c)d) 21+x-23-x= 15, e)Rezolvare.a) 2x+32x-4= 76 . Se noteazat= 2x, si se obtine ecuatia liniara16t+3t= 7616,de undet= 64. Asadar 2x= 64 six= 6.b) Ecuatia se scrie

Se noteazat= 3x(atunci 9x=t2), si se obtine ecuatia algebrica

care se reduce (a se vedea [1]) prin substitutia

(atunci) la ecuatia patrata

sauz2+9z-90 = 0,de undez1= -15,z2= 6. Cumt> 0,z1= -15 nu verifica ecuatia si ramane

de unde9t2-6t+1 = 0cu solutiat= 1/3. Asadar 3x= 1/3, de undex= -1.c) Se noteaza, atuncisi se obtine ecuatia patratat2-t-2 = 0cu solutiilet1= -1 sit2= 2. Cumt> 0 (mai exact, deoarecex20,), ramanet= 2, adica

de undex2= 1 si decix=1.d) Cum 21+x= 22x,, se noteazat= 2xsi ecuatia devine

Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cut(t> 0) si se obtine ecuatia patrata2t2-15t-8 = 0cu solutiilesit2= 8. Cumt1< 0, ramane2x= 8,de undex= 3.e) Se noteaza(cuminx(-,0][2,+), rezultat1) si se obtine ecuatia4t2-9t+2 = 0cu solutiilet1= 1/4 sit2= 2. Cumt1< 1 ramane de rezolvat ecuatia

echivalenta cu

Deoarece ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, ridicand la patrat se obtine ecuatia echivalenta (a se vedea, de exemplu, [1])x2-2x= 1cu solutiile.Ecuatiile de tipulAa2f(x)+Baf(x)bf(x)+Cb2f(x)= 0,(A,B,CR,ABC0) se numesc ecuatii exponentiale omogene. Prin multiplicarea, de exemplu, cuele se reduc la ecuatia patrataAt2+Bt+C= 0,unde.

Definiie[modificare|modificare surs]Fie numrul real. Logaritmul luin baza,, notat, este numrul, astfel nct.Proprietatea fundamental a logaritmilor este:, unde,,.Exemple:;,,.Proprieti de baz[modificare|modificare surs]

Graficul funciei logaritmice cu baza 2.Pentru,,:1.

2.

3.

4.

5.

6.

Logaritmii n bazab= 10sunt numiilogaritmi zecimalii au numeroase aplicaii n tiinele exacte i n tehnic (inginerie).Logaritmii naturalisunt logaritmii n bazae( 2.718); ei sunt utilizai n special nmatematic.Logaritmii binarisunt logaritmii n bazab= 2i sunt folosii ninformatic.Trecerea de la un sistem de logaritmi la altul se face cu ajutorul formulei:n mod uzual, logaritmii zecimali (n baza 10) se noteaz culg, iar logaritmii naturali (n bazae) se noteaz culn. n particular, pentru trecerea de la logaritmii zecimali la logaritmii naturali i invers, se utilizeaz formulele:lg b=M ln biln b=lg b / Munde constantaM=lg e 0,43429

De la Tratatul Brest-Litovsk, semnat nainte de sfritul rzboiului ntre bolevici i puterile centrale, pn la Tratatul de la Lausanne (iulie 1923), ncheiat cu Turcia, rile beligerante au semnat ntre ele nu mai puin de 16 tratate de pace. France Presse trece n revist tratatele cele mai importante ale Primului Rzboi Mondial.Tratatul de la Brest-Litovsk (3 martie 1918)Tnra republic bolevic, rezultat n Rusia de pe urma Revoluiei din Octombrie, a semnat cu puterile centrale Tratatul de la Brest-Litovsk. Acest tratat a pus capt luptelor de pe frontul de est, ns Rusia a pierdut o mare parte din teritoriile sale occidentale, n avantajul Germaniei (Polonia, rile baltice i n special Finlanda), i peste 30% din populaia sa.Tratatul de la Versailles (28 iunie 1919)Tratatul semnat n Galeria Oglinzilor a Palatului de la Versailles a pus capt rzboiului dintre Germania i Aliai. Germania, a crei voce nu a fost deloc auzit n acel moment, a fost desemnat singura responsabil a conflictului. Tiat n dou de coridorul din Danzig care a izolat Prusia Oriental, ea a pierdut 15% din teritoriul su (ntre care Alsacia-Lorena, care a fost restituit Franei) i 10% din populaia sa. De asemenea, Germania i-a pierdut toate coloniile i i-au fost impuse 'reparaii financiare' mpovrtoare, n special ctre Frana. La Sarre a fost plasat sub controlul Societii Naiunilor (SDN), creat printr-un tratat la iniiativa preedintelui american Woodrow Wilson, pentru ca puterile s-i poat reglementa viitoarele diferende pe cale amiabil. Umilit, Germania a primit cu ostilitate violent 'diktatul' de la Versailles, care, pe termen lung, va alimenta ranchiuna i propaganda nazist.Tratatul de la Saint-Germani-en-Laye (10 septembrie 1919)Tratatul de la Saint-Germain-en-Laye dintre aliai i Austria a dezmembrat Imperiul Habsburgic, vechi de apte secole, ntr-o jumtate de duzin de state noi sau parial noi, potrivit principiului impus de preedintele Wilson, cel privind 'dreptul popoarelor de a dispune de ele-nsele'. Aceast destrmare va constitui sursa unor numeroase tensiuni ulterioare. Cehoslovacia a reunit cehi i slovaci, precum i o important minoritate german n Boemia sau maghiar n Slovacia. Romnia i-a mrit teritoriul prin Transilvania i Basarabia. Iugoslavia a reunit popoarele slave din sud. Polonia a primit fosta Galiie austriac, dar i teritoriile care i-au fost luate Germaniei, precum Poznan sau Silezia Superioar. Din vechiul imperiu nu a rmas dect o mic Austrie (83.000 de kilometri ptrai i 6,5 milioane de locuitori) exclusiv german i o mic Ungarie (92.000 de kilometri ptrai i 8 milioane de locuitori).Tratatul de la Neuilly (27 noiembrie 1919)Tratatul de la Neuilly, semnat ntre Aliai i Bulgaria, intrat n rzboi n 1915 alturi de Germania, a dat peste cap frontierele acestei ri: regiuni ntregi din vest i vor reveni noului stat iugoslav, din nord-est - Romniei, iar din sud - Greciei, care a primit cea mai mare parte din Tracia occidental.Tratatul de la Trianon (4 iunie 1920)Tratatul de la Trianon a amputat Ungaria, separat de Austria din 31 octombrie 1918, cu dou treimi din teritoriul su, n timp ce 3 milioane dintre unguri s-au pomenit n exterior, majoritar n Romnia - noteaz France Presse.Tratatul de la Sevres (10 august 1920) i Lausanne (24 iulie 1923)Tratatul de la Sevres, care a destrmat Imperiul Otoman, a fost respins de naionalitii turci reunii n jurul generalului Mustafa Kemal, care a continuat luptele mpotriva armenilor, grecilor i francezilor. Prin victoriile sale militare, noul om puternic al Turciei a impus un nou tratat pentru Aliai, care a fost semnat la Lausanne, la 24 iulie 1923. Devenit republic, Turcia i-a pstrat Anatolia i regiunea strmtorilor, ns a pierdut toate posesiunile arabe. Palestina i Mesopotamia au trecut sub mandatul Marii Britanii, iar Siria i Libanul - la Frana. Sfritul Imperiului Otoman s-a tradus printr-un enorm schimb de populaii: aproape 1,3 milioane de greci au fost nevoii s plece din Asia Minor (Anatolia) i aproape 500.000 de turci - din Grecia.

Ideologia nazistaIIntroducereSocialismul national, deseori numit si nazism, este o miscare politica germana initiata in 1920 cu Organizatia Nationala Socialista Germana a Lucratorilor (NSPAD) sau Partidul Nazist. Miscarea a fost folosita in stabilirea celui de-al treilea Reich, statul German totalitar condus de dictatorul Adolf Hitler din 1933 pana in 1945.IIOriginea si ridicarea nazismuluiNazismul era similar cu fascismul Italian. Radacinile socialismului national erau germane ing 919d36j ropate, de exemplu, in traditia prusa a autoritatii si expansiunii militare; in traditia romantica germana a ostilitatii la rationalism, liberalism si democratie; in variate doctrine rasiste dupa care oamenii Nordici, asa numitii puri arieni, nu erau numai fizic superiori altor rase, dar carau si o moralitate si cultura superioara.Ideologia nazista se baza pe nationalismul exacerbat, pe rasism, pe antisemitism, prin controlul statului asupra mijloacelor de informare in masa, dar si prin multe alte caracteristici si concepte care au instalat teroarea in randul raselor considerate inferioare. Lucrarea in care este expusa ideologia nazista este Mein Kampf (Lupta mea) a lui Adolf Hitler. Acesta considera ca germanii fac parte dintr-o rasa superioara( cea ariana), adoptand ideea conform careia,cel mai puternic supravietuieste, considerand astfel ca este dreptul rasei superioare sa se impuna in fata celor considerate inferioare, din care faceau parte negrii, slavii,evreii etc.IIIEfectele Primului Razboi MondialOriginile imediate ale nazismului vor fi gasite in consecintele infrangerii Germane din Primul Razboi Mondial. Sub termenii tratatului de la Versaille, Germania a fost obligata sa plateasca reparatii grele. Viata politica si economica a Germaniei a fost serios perturbata ca rezultat al tratatului. Doar dupa cativa ani s-au luat masuri pentru restabilirea economica. Criza economica din toata lumea care a inceput in 1929 a impins Germania intr-odepresie majora. Evreii sunt considerati drept vinovati pentru scaderea nivelului de trai al populatiei din Germania dupa terminarea primului Razboi Mondial si in urma crizelor economice din anii 1929-1933.In 1933 majoritatea germanilor au votat unul dintre cele doua partide majore: Comunistii si Socialistii.IVPartidul National SocialistPartidul National Socialist este originar din Partidul German Muncitoresc, format in Munich in 1919. Atunci cand Hitler s-a alaturat in 1919, Partidul German Muncitoresc avea cam 25 de membrii din care activi erau doar 6 indiscutii si lectura. Imediat dupa ce s-a alaturat, Hitler devine liderul partidului. La prima intalnire in masa a partidului tinuta in Munich pe 24 februarie 1920, Hitler a citit programul partidului pe care l-a avut partial scris; acesta continea 25 de puncte de cereri nationaliste exagerate, idei socialiste corupte si doctrine anti-semite. Pentru ca aceste conditii esentiale sa fie realizate partidul a declarat in cel de-al 25-lea punct al programului: "Pentru o societate moderna ,,vom crea o centralizare care va uni toate puterile in mainile guvernului."VHitler isi asuma intreaga responsabilitateDupa intalnirea din februarie 1920, partidul lui Hitler si-a schimbat numele in Partidul National German Muncitoresc. Noul partid a crescut incet, si in pricipal in Bavaria. Convins de necesitate, intr-adevar, pentru ca valoarea violentei sa se sfarseasca partidula organizat Sturmabteilungen (Trupele Furtuna), sau SA, pentru a le pazi intalnirile; pentru a perturba intalnirile democratilor liberali, socialistilor si comunistilor, si pentru a persecuta evreii in special pe vanzatorii evrei. Erau ajutati in aceste activitati de niste ofiteri ai armatei precum Ernest Rhm.In 1921 Hitler a adoptat emblema oficiala, un steagcontinand un camp rosu in centrul caruia se afla un cerc alb continand o swastika neagra. In 1923 Hitler a editat zarul Vlkischer Beobachter (Observatorul Rasist) ca fiind zarul oficial al partidului. Pentru ca partidul Comunist German, fondat in 1919 crestea in putere, Socialistii concentrau cea mai mare parte a propagandei pentru a denunta Bolsevismul, pe care ei il caracterizau ca o conspiratie a Evreilor financiari.VIPartidul in ReichstagMiscarea a crescut rapid, recrutand mii de servitori civili, fermieri bogati si tineri din toate clasele sociale. In Reichstag alegerile din 1930 ale partidului National Socialist au numarat aproape 6.5 milioane de voturi (mai mult de 18% din totalul voturilor). In 1933, datorita capabilitatilor de foarte bun politician ale lui Hitler, el si partidul sau au luat cu asalt guvernul si au format 'Reich'-ul. Al treilea Reich. Probabil ultimul.Natiunea germana a avut un program vechi de sute de ani de exterminare a evreilor, iar holocaustul nu a facut decat sa implineasca acest programIn timpul celui de-al doilea Razboi Mondial natiunea germana a colaborat cu masina de exterminare nazista prin activitatea celor pe care-i numeste 'executori voluntari' Goldhagen sustine ca la inceputul sec. XX antisemitismul ne era mai puternic in Germania decat in alte tari. In intervalul 1848-1918 nu s-a inregistrat nici o agresare fizica a evreilor, din contra mare parte dintre ei au fost asimilati in societatea germana.Propaganda nazista continea adesea promisiuni ademinitoare receptate mai cu seama de mica burghezie, de unii studenti, sau de elemente lumpenproletare. Hitler declara ca va suprima orice venit obtinut fara munca, va pedepsi pe imbogatitii de razboi, va nationaliza trusturile, va lupta contra capitalismului(in realitate contra capitalului evreiesc), va construe "adevaratul socialism" si va face tot ce-i sta in putinta sa readuca Reichul la rangul de mare putere.Hitler a trezit in sufletul poporului german toate instinctele bestialitatii primitive a omului. In primul rand s-a folosit de ura impotriva evreilor, hitlerismul creand omul de tip nou: sadic, fara mila, un fel de automat care trebuie sa execute, fara cracnire, ordinele venite de sus. In locul calitatilor intelectuale, fascismul a dezvoltat laturile animalice ale omului.VII Etapele politicii antisemiteAprilie 1933 primul val de boicoturi al magazinelor evreiesti, fara a le inchide totusi, pentru ca erau constienti ca evreii detin o putere economica ce trebuie preluata treptat. In localitatile mici, chiar si nazistii incalcau bicotul.Tot acum a inceput indepartarea evreilor din serviciul administrativ si sistemul educational, chiar daca aici s-a asteptat sfarsitul anului scolar pentru aplicare definitiva.Vara 1933-s-au manifestat primele initiative individuale de vandalizare a evreilor si chiar asasinate locale.Septembrie 1935 a marcat un punct crucial dupa Legile de la Nurnberg. Incepand de acum si pana in 1939, evreii au fost sistematic 'extirpati' din societatea germana, nu fizic ci legal, inchisi in 'ghetouri spirituale'. Totusi au ramas 350.000 care vor fi supusi violentelor.'Kristallnacht'-dupa ce un tanar evreu a omorat un diplomat german de la ambasada Germaniei din Paris, la 11 noiembrie 1938 au fost devastate sinagogile, magazinele, casele evreilor, dirijarea antievreiasca a violentei fiind facuta de catre esaloanele superioare naziste.Marele paradox este ca evrei emigrati din Germania au intemeiat asezari in zona Haifa si a Muntelui Carmel, pastrand limba si modul de viata german, dovedind astfel atasamentul fata de cultura germana in ciuda HolocaustuluiPrintr-o lege pusa in aplicatie pe 1 decembrie 1933, partidul Nazist a fost "alaturat indisolubil statului."

VIIIVocabularAntisemitism.Atitudine ostila, ura fata de evrei.La inceput, antisemitismul avea un sens larg, sugerand o atitudine potrivnica fata de toti semiti, termenul restranganduse doar la evrei.Antisemitismul a aparut in Babilon si Persia, a imbracat forme religioase si politice.Antisemitismul s-a manifestat sub diverse forme, de la cele de izolare, aversiune fata de evrei pana la masuri administrative si legislative dure promovate de unele guverne, atingand forma aberanta de organizare de pogromuri in timpul fascismului.Arianism.Denumire data popoarelor care vorbesc limbi indo-europene. In istorie, arienii, sau arii, cuvant care are sensul de ,,nobili", ,,stapani" sunt atestati ca luptatori remarcabili, care au cucerit Valea Indusului din India in jurul anului 1500i.H.Rasisti germani si-au insusit denumirea de ,,arieni" pentru populatiile de origine germanica nordica, considerate ca rase superioare si au adoptat ca symbol svastica sau crucea gamata.National-socialism.Doctrina heteroclite expusa inca din 1920 de muncitorul germanAnton Dexler, apoi adoptata oficial de Adolf Hitler in ,,Mein Kampf", care presupunea :un stat autoritar, o natiune superioara (cea germana) prin pastrarea puritatii rasei si respingerea in deosebi a evreilor, prin recurgerea la razboi si violenta, cultivarea fortei.Hitler omitea aspectul social al doctrinei, propaganda deseori lupta pt. spatial vital in Europa, era ostil marxismului, evreilor, parlamentarismului, propunand o planificare autarhica(germanii traind independenti).Nazisti.Partizanii doctrinei national-socialiste, teoretizata de Adolf Hitler.Pangermanism.Termen folosit inca din sec. al-XIX-lea de Gores si Schlegel si care insemna idea promovarii unei Europe in care germanii ar trebui sa conduca pe toate planurile.Ideea, utopica in sine, a fost un paravan pt. nazisti de a instaura ,,noua ordine europeana", echivaland cu dominatia rasei germanice.Rasism.Doctrina care sustine inegalitatea biologica si intelectuala a raselor umane, promovand lupta dintre rase. Ideea de rasism a aparut in sec. al-XVI-lea , in perioada expansiuni unor tari europene sis a constituit ca doctrina la jumatatea sec. al-XIX-lea.Paroxismul idei de rasism l-a atins ideologia national-socialista(fascista), justificandusi politica agresiva siactiunile de genocide. Azi, rasismul este utilizat de miscarile neofasciste, si se manifesta si prin alte forme: segregationism, apartheid si anti-semitism.Sovinism.Concept care presupune superioritatea unor natiuni si popoare fata de alte natiuni si popoare;de aici dispretul si ura fata de ,,nearieni", sau fata de minoritatile nationale ale unui stat.Totalitarism.Regim politic in care cetateni constituie un bloc unic in serviciul statului, prin intermediul unui partid unic. Totalitare au fost regimurile fasciste sau national-socialiste.Xenofobie.(xenos=strain, phobos=spaima). Atitudine ostila fata de straini considerati indezirabili, practicata de regimurile fasciste si neofasciste.Xenofobia este utilizata ca diversiune, pt. un grup, pt. ai declara pe straini vinovati de regresul in diferite domenii de activitate si, ca atare pt., ai face sa suporte consecintele.Holocaust.Sacrificiu adus divinitatii la vechii evrei si asirieni care consta in arderea in intregime a animalului sacrificat. In secolul al XX -lea, termenul a fost utilizat pentru a desemna tragedia traita de populatia evreiasca supusa exterminarii (inclusive prin ardere) in lagarele speciale construite de catre nazisti.Genocid.Crima comisa cu intentia de a suprima un grup uman, national, etnic.Nazisti au recurs la genocide impotriva evreilor. Azi, genocidul este socotit ca si o crima impotriva umanitatii.