Numarul de Aur

Proiect realizat de :

Amariei Irina si Perju simona

Clasa a Xi-a

Colegiul National “Nicu Gane” falticeni

Cuprins

1.Definitie matematica

2.Istoric

3.Exprimarea raportului in matematica

4.Valoare numerica

5.Numarul de aur prezent la plante

6.Numarul de aur prezent la animale

7.Numarul de aur prezent la om

8.Bibliografie

Definitie matematica

Sectiunea de Aur (numita uneori si Raportul de Aur ,

Proportia de Aur, Numarul de Aur, Numar al Iubirii Divine),

notata cu litera greceasca φ (phi minuscul) , sau cu ϕ (phi

majuscul), care se citesc “fi”, este primul numar irational

descoperit si definit in istorie ,fiind considerat cel mai

tainic numar dupa care au fost alcatuite toate speciile ce

au viata, inclusiv omul. El este egal cu aproximativ

1,618033..si poate fi intalnit in cele mai surprinzatoare

imprejurari.

Istoric

Unii istorici sustin ca cea mai veche dovada a faptului ca acest numar era cunoscut de foarte mult timp tine de Templul din Andros, ale carui ruine au fost descoperite sub apele Marii Bahamas, altii iau ca reper Piramida lui Kheops.

Primul text stiintific – « Elemente de matematica » -  in care numarul de aur este definit ii apartine lui Euclif « parintele geometriei » (anul 300 i.Hr.), dupa care Platon i-a dedicat un timp de studiu important.

In Evul Mediu, matematicienii arabi aduc o noua perspectiva asupra numarului de aur, insistand nu asupra proprietatilor geometrice, ci asupra faptului ca Phi este rezultatul unei ecuatii de gradul al doilea. Leonardo Pisano, mai cunoscut sub numele de Fibonacci, preia si el sugestii ale matematicienilor arabi, pentru a pune la punct ceea ce, in matematica, se cunoaste astazi ca « Sirul lui Fibonacci 

Trei secole mai tarziu, in perioada Renasterii, Luca Pacioli, matematician italian, scrie o carte intitulata « Proportia divina », in care numarul de aur este abordat nu din perspectiva stiintifica, ci, mai degraba, mistica, o carte ilustrata de Leonardo Da Vinci (cu arhicunoscutul desen « Omul vitruvian », numit asa deoarece pictorul renascentist, pentru a-l realiza, s-a bazat pe notitele arhitectului roman Marcus Vitruvius).

Astronomul german Johannes Kepler, in secolul al XVI-lea, cel care a dus mai departe teoria heliocentrismului, a lui Nicolas Copernic, a fost fascinat, la randul sau, de numarul de aur, pe care il considera « a doua comoara » a matematicii, dupa Teorema lui Pitagora.Numarul apare intr-o carte din

secolul al XIX-lea, a lui Martin Ohm, matematician german, si intr-una de filozofie, apartinand lui Adolf Zeising, unde este apreciat ca « o adevarata cheie » pentru interpretarea a nenumarate domenii artistice sau stiintifice. Ideile lui Zeising si-au gasit ecou, in secolul al XX-lea, in opera unui ofiter de marina, scriitor, matematician, Matila Costiescu Ghyka,profesor de estetica in SUA, dupa cel de-al Doilea Razboi Mondial,autor al unui studiu exhaustiv despre « Phi ».

Arhitectul Corbusier, fondator al directiei moderne in arhitectura, se foloseste si el de numarul de aur, stabilind proportiile diverselor constructii in functie de acesta si, implicit, in functie de morfologia corpului uman, unde, de asemenea, « Phi » este prezent. Pictorul Salvador Dali s-a dovedit interesat de proportia de aur, intr-un celebru tablou – «Ultima Cina» – replica la pictura lui Leonardo da Vinci, « Cina cea de taina ».

In matematica, acest raport poate fi eXprimat ca:

Euclid l-a denumit pe Φ ca fiind simpla împărțire a unui segment de dreaptă în ceea ce el a numit "medie" și "extremă rație". Iată cuvintele lui: "Spunem că un segment de dreaptă a fost împărțit în medie și extremă rație atunci când segmentul întreg se raportează la segmentul mai mare precum se raportează segmentul cel mare la cel mai mic".

Raportul de aur este un număr irațional, și poate fi calculat din ecuația: a+b

a=a

b=φ

Care conduce la:φ2−φ−1=0

Având ca rezultat:φ=1+√52

≈ 1,6180339887 …

Mulți artiști și arhitecți și-au proporționat lucrările conform raportului de aur, considerând că acesta conferă lucrării o estetică plăcută.

În matematică acest raport are proprietăți interesante, și mai poate fi exprimat ca:

Valoare numerica

Valoarea exactă a lui Φ până la cea de-a două mia zecimală apare în cartea “Secțiunea de Aur:Povestea lui Phi, cel mai uimitor număr” de Mario Livio:

1,

61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 - cea de-a cincizecea zecimală

28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 - cea de-a o suta zecimală

84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766 72635 44333 89086 59593 95829 05638 32266 13199 28290 26788

06752 08766 89250 17116 96207 03222 10432 16269 54862 62963 - cea de-a două sute cincizecea zecimală

13614 43814 97587 01220 34080 58879 54454 74924 61856 95364 86444 92410 44320 77134 49470 49565 84678 85098 74339 44221

25448 77066 47809 15884 60749 98871 24007 65217 05751 79788 34166 25624 94075 89069 70400 02812 10427 62177 11177 78053

15317 14101 17046 66599 14669 79873 17613 56006 70874 80710 - cea de-a cinci suta zecimală

13179 52368 94275 21948 43530 56783 00228 78569 97829 77834 78458 78228 91109 76250 03026 96156 17002 50464 33824 37764

86102 83831 26833 03724 29267 52631 16533 92473 16711 12115 88186 38513 31620 38400 52221 65791 28667 52946 54906 81131

71599 34323 59734 94985 09040 94762 13222 98101 72610 70596 11645 62990 98162 90555 20852 47903 52406 02017 27997 47175

34277 75927 78625 61943 20827 50513 12181 56285 51222 48093 94712 34145 17022 37358 05772 78616 00868 83829 52304 59264

78780 17889 92199 02707 76903 89532 19681 98615 14378 03149 97411 06926 08867 42962 26757 56052 31727 77520 35361 39362 - cea de-a o mia zecimală

Numarul de aur prezent la plante

Aranjarea simetrica a petalelor de trandafiri se bazeaza pe Sectiunea de Aur .

Numarul de aur prezent la animale

Cochilia melcului Nautilus este cea mai cunoscuta cochilie de melc care descrie o spirala logaritmica.

Furnica are corpul împartit în trei segmente, dupa diviziunea de aur.

Ochii, gatul, aripioara si alte puncte marcante ale fizionomiei pinguinului sunt amplasate proportional, dupa rigla divizata in raporturi constante Phi!

Amplasarea ochiului, aripii si cozii delfinului respecta proportia Phi!

Numarul de aur prezent la om

Bibliografie

• http://arhimania.ro/stiati-ca/1259/1-618-este-numarul- de-aur-sau-proportia-divina/

• http://ro.wikipedia.org/wiki/Sec %C8%9Biunea_de_aur#Istoric

• http://ro.scribd.com/doc/96169655/Numarul-de-Aur

• http://www.cultura.mai.gov.ro/editura-mai/varia.pdf

• http://www.destepti.ro/numarul-de-aur-proportia-divina

• “Sectiunea de aur”- Mario Livio ( Editura Humanitas)