ELEMENTE STRATIFICATE DE TIP SANDVIS

1. Introducere. Definiţii

Ideea de bază în alcătuirea unei structuri sandviş este cea aplicată la grinzile dublu T unde cea mai mare parte a materialului se îndepărtează de axa neutră păstrând în inimă (miez) doar materialul necesar pentru a asigura conlucrarea tălpilor, preluarea lunecărilor şi menţinerea stabilităţii locale sau de ansamblu.

Structura sandviş este o structură alcătuită din trei straturi, în care straturile exterioare relativ subţiri, rezistente şi rigide, sunt legate între ele şi conlucrează prin intermediul unui strat median, uşor, de regulă cu rezistenţă şi rigiditate redusă. Miezul poate fi continuu, discontinuu sau mixt în raport cu performanţele care se cer asigurate de către structură.

Normele ASIM definesc elementul de tip sandviş drept o structură

1

Fig.1 Analogia structurilor sandvis cu grinzile dublu T

C

T

C

T

MM

Fig.2 Tipuri de structuri sandviş

stratificată constând dintr-o succesiune de straturi diferite, din materiale simple sau compozite care conlucrează astfel încât să fie utilizate în cele mai bune condiţii proprietăţile fiecărui material în parte şi ale structurii în ansamblu. Criteriile de alcătuire a structurilor sandviş diferă principial de cele aplicate la elementele omogene. Funcţiunile individuale ale straturilor componente se diferenţiază astfel încât să asigure o comportare funcţională şi structurală foarte avantajoasă.

2. Funcţiunile părţilor componente ale elementelor sandviş

Straturile componente ale produselor sandviş conlucrează prin adeziune directă sau prin intermediul unui strat adeziv care asigură continuitatea structurală pe secţiunea transversală a elementelor.

2.1 Funcţiunile straturilor exterioare

1. Funcţiunea principală a straturilor exterioare este aceea de a asigura portanţa de ansamblu preluând eforturile unitare normale provenite din încărcările uzuale.

2. Feţele asigură contribuţia majoră la rigiditatea, stabilitatea şi configuraţia geometrică a elementelor în exploatare.

3. Prin intermediul straturilor exterioare se transmit sarcinile locale şi reacţiunile concentrate la miezurile mai puţin rigide.

4. Straturile exterioare îndeplinesc alte cerinţe fizico-mecanice legate de robusteţea la manipulare şi montaj precum şi durabilitatea în condiţii diverse de exploatare.

5. Pe lângă funcţiunile structurale feţele îndeplinesc şi alte roluri:- rezistenţă la abraziune, eroziune şi derapare;- rezistenţă la degradarea chimică şi la atacul microorganismelor;- rezistenţă la propagarea focului.

2.2 Funcţiunile miezului (stratului intermediar)

1. Miezul elementelor sandviş separă cele două feţe, le menţine în poziţie stabilă, realizează conlucrarea acestora şi capacitatea portantă necesară.

2. Stratul intermediar mai îndeplineşte rolurile:- preia eforturile de lunecare;- asigură rigiditatea la forfecare;- previne unele forme de instabilitate locală;

2

- împiedică separarea straturilor exterioare faţă de miez prin asigurarea unei rezistenţe corespunzătoare la tracţiune normală pe straturi;

3. Miezul rezistă la acţiunea forţelor concentrate locale provenite din sarcini accidentale sau datorate modificării funcţiunilor iniţiale ale produsului stratificat.

4. Asigură cerinţele de izolare termică şi acustică precum şi o comportare corespunzătoare la acţiunea focului.

2.3 Interfaţa dintre straturi

Principalele funcţiuni structurale ale regiunii de interfaţă constau din:- transferul tensiunilor tangenţiale dintre feţe şi miez;- stabilizarea straturilor exterioare subţiri împotriva flambajului local

prin îndepărtarea faţă de miez;- preluarea sarcinilor normale pe planul elementului.Aderenţa dintre straturile produsului trebuie să fie:- durabilă şi stabilă;- puţin sensibilă la flambaj;- să nu-si reducă rezistenţele în intervalul temperaturilor de

exploatare;- să reziste la acţiunea unor factori agresivi;- să permită asocierea unor materiale cu caracteristici diferite.

3. Grinzi sandviş

Rigiditatea grinzilor sandviş

Grinda sandviş constă din două straturi rigide cu grosime identică “t” separate printr-un strat central cu grosime “c”. Inălţimea secţiunii transversale este “h” iar lăţimea “b”. Dacă b < h grinda sandviş se consideră îngustă. Se presupune că straturile conlucrează perfect între ele şi sunt izotrope în planul lor.

Rigiditatea la încovoiere a grinzii sandviş, care se notează cu “D” se obţine prin însumarea rigidităţilor parţiale ale feţelor şi miezului:

(1)

3

în care: - este modulul de elasticitate al straturilor exterioare (feţelor); - este modulul de elasticitate al miezului;

- notaţii conform fig.3

Pentru a evalua contribuţia fiecărui strat la rigiditatea de ansamblu a grinzii se rescrie expresia rigidităţii grinzii:

(2’)

(2’’)

Grinda fiind îngustă (b ≤ h) se poate presupune că tensiunile normalesunt nule în direcţia y.

Dacă grinda este lată (b > h) modulul de elasticitate ( ) al feţelor se ia cu valoarea corespunzătoare stării plane de tensiuni:

(3)

unde

4

x

z

Lz

b

h d c

tc

y

t

Fig. 3

- este coeficientul lui Poisson în planul straturilor exterioare considerate izotrope.

Termenul reprezintă rigiditatea locală la încovoiere a

feţelor în raport cu axele proprii.

Termenul al treilea reprezintă rigiditatea la încovoiere a

miezului.În practică termenul al doilea este dominant, astfel că rigiditatea la

încovoiere a grinzii se poate evalua cu relaţia:

(4)

Relaţia (4) este acceptabil de exactă dacă fiecare din termenii discutaţi (adică primul şi al treilea) reprezintă cel mult 1% din termenul al doilea, adică:

de unde:

5

b

t

d/2

t

c

b

Fig. 4

În aceste condiţii tensiunile normale din straturile exterioare se pot evalua prin teoria obişnuită a încovoierii.

Întrucât secţiunile transversale ale grinzii rămân plane şi normale pe axa longitudinală, deformaţiile specifice liniare variază liniar cu distanţa z faţă de axa neutră:

(5)

iar expresiile tensiunilor normale sunt:

3.2. Distribuţia şi expresiile tensiunilor normaleExpresiile tensiunilor normale pe grosimile straturilor sunt:

a). tensiunile normale in miez:

(6)

6

btd

Mconv

ff Eh

D

M

2max

conv

AN

N

cc Ec

D

M

2max

)( )(

Fig. 5

b). tensiunile normale in feţe:

(7)

Raportul dintre valorile maxime ale tensiunilor normale se obţin imediat:

(8)

3.3 Tensiunile tangenţiale în miez

Distribuţia tensiunilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii transversale a unei grinzi omogene cu lăţimea b este :

(9)

în care :

T - este forţa tăietoare în secţiunea considerată;b - lăţimea secţiunii la nivelul unde se calculează tensiunea tangenţială;S - momentul static al părţii din secţiune pentru care ;I - momentul de inerţie al întregii secţiuni în raport cu axa neutră.

În cazul grinzilor sandviş tensiunile tangenţiale din miez au expresia :

7

τ(z1)

y

z

z 1

τmaxh

Fig. 6

(10)

în care :D - este rigiditatea la încovoiere a grinzii stabilită conform relaţiilor

(1) sau (4).

- este suma produselor dintre modulii de elasticitate şi momentele statice ale tuturor părţilor secţiunii pentru care .

Folosind notaţiile din figura de mai jos, putem scrie pentru expresia:

iar expresia generală a lui τ este :

(11)

8

τ(z1)

y

z

z 1c/

2d/

2

a.Distribuţia reală

b.Distribuţia încazul neglijării rigidităţii miezului

se neglijează rigiditatea miezului şi rigiditatealocală a fetelor

h/2

Fig. 7

Tensiunea tangenţială maximă din miez se produce la iar tensiunea tangenţială minimă din stratul intermediar se produce la .

Dacă :

(12)

tensiunea tangenţială maximă din miez nu variază cu mai mult de 1% faţă de cea minimă, se apreciază că miezul este prea puţin rigid iar tensiunea tangenţială din miez este constantă având valoarea:

(13)

Dacă se poate neglija şi rigiditatea proprie la încovoiere a feţelor, iar tensiunea tangenţială din miez este :

(14)

7.2.5 Săgețile grinzilor sandvis

Deplasarea totală w a unei grinzi sandviș este egală cu suma deplasării, din încovoiere, w1, şi a deplasării, din forfecare, w2, Figura 7.7

9

Prima deplasare poate fi calculată prin simpla teorie a încovoierii. A doua deformaţie se bazează pe aceeaşi teorie dar consideră de asemenea încovoierea locală a fetelor atâta timp cât ele se înconvoaie separat in raport cu axele proprii

Deformaţia centrală a grinzii sandwich datorită încărcării în punctul central este descrisă în Fig. 7.7. Prima deplasare apare când planul secţiunii rămâne plan şi perpendicular pe axa longitudinală a grinzii, Figura 7.8. După cum este arătat în Figura 7.8, linia 1-2-3-4-5-6-7 care era dreaptă în grinda nedeformată rămâne dreaptă şi perpendiculară pe axa grinzii după încovoiere. Rotaţia acestei linii dw1/dx dă sageata grinzii iar tensiuniile se află in legatură cu deplasarea prin simpla teorie a momentului înconvoietor.

10

Figure 7.7 Deplasarea transversala a unei grinzi sandvis, supusă unei încărcări concentrate la mijlocul deschiderii

Figure 7.8 Prima deplasare a unei portiuni de grinda

Similar, Figura 7.9 ilustrează o portiune de grinda ce a suferit o deplasare secundară, care a apărut când fetele s-au încovoiat după axele proprii, dar care nu au suferit o alungire axială sau contracţie.

11

Figure 7.9 Deplasarea secundară a unei grinzi scurte

Liniile 1-2-3 si 5-6-7 sunt perpendiculare pe axa longitudinală a grinzii. Rotaţia acestei linii este egală cu săgeata grinzii dw2/dx.

Astfel:

(7.28)

definind A=bd2/c

Panta grinzii poate fi scrisă:

(7.29)

12

unde Gc este modulul de forfecare al miezului.

Deplasarea w2 datorită forfecării în centrul grinzii având doar un singur punct de încărcare în aceasta pozitie este obţinută prin integrarea ecuaţiei (7.29) şi este dată ca:

(7.30)

Astfel încât deplasarea maximă datorită încovoierii şi forfecării pentru aceasta grindă este:

(7.31)

In general, pentru o grindă cu faţa subtire, aflată într-o condiţie de încărcare static determinată şi simetrică, deplasarea totală poate fi determinată prin sumarea deplasărilor primare şi secundare calculate separat, utilizând pentru fiecare caz încărcarea totală a grinzii.

Pentru alte condiţii de încărcare pe grinzi cu feţe subţiri simplu rezemate, deplasarea totală poate fi scrisă ca:

(7.32)

unde:

P = încărcarea totală pe grindă;

K1 = coeficientul deplasării la incovoiere , Tabel 7.1

K2 = coeficientul deplasării la forfecare, Tabel 7.1

Table 7.1 Coeficienţii pentru deplasarea din încovoiere şi din forfecare a grinzilor sandwich

13

Tipul grinzii Condiţiile de încărcare Locaţia deplasării

Coeficienţii

încovoiere K1

forfecare K2

Simplu rezemat * uniform distribuită

*

concentrată in mijlocul deschiderii

* concentrată la sfertul deschiderii

- mij. deschiderii -

- mij. deschiderii -

- mij. deschiderii -

- la sferturi

5/384

1/48

11/768

1/96

1/8

1/4

1/8

1/8

consola * uniform distribuită

* concentrată în capatul liber

- capatul liber –

- capatul liber -

1/8

1/3

1/2

1

Pentru grinzi cu fete groase, primul termen din partea dreapta al ecuaţiei (7.1) nu poate fi neglijat iar rigiditatea la încovoiere a grinzii este:

(7.33)

In analiza grinzilor sandwich putem defini două tipuri de elemente sandwich :

1- grinzi înguste, în care lăţimea grinzii b este mai mică decât adâncimea miezului c; condiţia tensiunii este astfel într-o condiţie de tensiune unidirecţională iar raportul tensiune efort este egal cu E

2- grinzi late, în care b este mult mai mare decât c; când tensiunile de încovoiere locale sunt stabilite în feţele elementului, ele se comportă ca plăci subţiri supuse la încovoiere cilindrică iar raportul tensiue-efort este egal cu E/(1- ).

Oricum, după cum aceste eforturi au o importanţă secundară, raportul poate fi considerat E fără o prea mare inexactitate. Pentru grinzile late,

14

eforturile în direcţiile laterale sunt împiedicate de miez şi astfel ele sunt presupuse a fi zero. In acest caz, raportul tensiune londitudinală - efort este E`=E/(1- ).

15