Noţiuni introductive de teoria giroscopului

Termenul de giroscop vine din limba greacă, giros = rotaţie iar scopein =a observa, este vorba deci despre un aparat care permite observarea mişcării de

rotaţie. Aparatele giroscopice utilizate la bordul aeronavelor au devenit, în ultimii ani, tot

mai complexe din punct de vedere constructiv. Alături de componentele de mare

precizie, în giroscoapele moderne şi-au găsit aplicaţii multiple cele mai noi componente

electrotehnice şi electronice. Aceste perfecţionări constructive sunt o consecinţă directă

a faptului că s-a lărgit considerabil domeniul de utilizare al giroscopului la bordul

aeronavelor atât ca aparate care furnizează diverse informaţii echipajului, cât şi ca

elemente de automatizare a aparatelor de zbor.

Giroscoapele se utilizează pentru măsurarea înclinărilor, direcţiilor, vitezelor

unghiulare, acceleraţiilor liniare şi unghiulare, cuplurilor, vibraţiilor, etc. O altă utilizare a

giroscoapelor este aceea din sistemele automate, ca elemente integratoare şi

derivatoare. Sistemele giroscopice au o largă utilizare în pilotarea automată a

aeronavelor, în navigaţia aeriană şi maritimă, în dirijarea rachetelor şi a vehiculelor

spaţiale, în stabilizarea mişcării aparatelor aerospaţiale, în navigaţia inerţială, etc.

Giroscopul este un corp rigid, greu, cu punct fix, având simetrie de revoluţie în repartiţia

masei, care execută o mişcare de precesie regulată cu viteză unghiulară de rotaţie

proprie orientată în lungul axei de simetrie şi de revoluţie.

Giroscopul integrat cu motorul electric de acţionare formează asa numitul

giromotor. Exista giromotoare de curent continuu şi giromotoare de curent alternativ,

acestea din urmă fiind mai răspândite datorită fiabilităţii superioare. Pentru a obţine un

moment de inerţie cât mai mare la acelaşi gabarit al aparatului, giromotorul este un

motor electric de construcţie inversată: rotorul este exteriorul statorului.

Mişcarea de rotaţie a giroscopului poate fi imprimată şi de un motor pneumatic.

Suspensia giroscopului într-un punct fix se obţine cu ajutorul a doua inele articulate,

acestea formând aşa-numita suspensie cardanică exterioară, asigurând giroscopului

doua grade de libertate de rotaţie. La unele giroscoape mai speciale se pretează

folosirea suspensiei cardanice interioare care se mai numeşte şi samieră cardanică sau

articulaţie Hooke, dacă centrul de masă al giroscopului coincide cu punctul de

suspensie, giroscopul se numeşte giroscop perfect centrat sau astatic.

Un giroscop perfect centrat asupra căruia nu acţionează momente exterioare se

numeşte giroscop liber. Un giroscop al cărui centru de masă nu coincide cu punctul de

suspensie se numeşte giroscop greu. Dacă unul din cele doua inele de suspensie este

blocat se obţine aşa-numitul giroscop cu un grad de libertate, acesta având multiple

aplicaţii în aparatele de bord. Prezenţa inelelor de suspensie are o serie de implicaţii

asupra funcţionării aparatelor giroscopice, datorită lor se produc erorile cardanice care

se analizează concret pentru fiecare tip de aparat giroscopic. În afară de giroscop,

giromotor şi inele de suspensie, aparatele giroscopice conţin multe alte componente

1

cum ar fi:

- lagărele de suspensie;

- motoare de corecţie;

- elemente sensibile;

- traductoare de diferite categorii;

- selsine;

- sisteme de urmărire;

- blocuri de calcul.

O atenţie deosebită se acordă influenţei frecării în lagăre asupra preciziei

aparatelor giroscopice, de regulă se utilizează lagăre de rulare speciale. Lagărele

principale, adică acelea care asigură rotaţia în jurul axei 3, trebuie să reziste la turaţii

foarte mari ale miscării proprii de rotaţie (12.000 – 30.000 rot./min). Spre deosebire

de acestea lagărele inelelor de suspensie care lucrează la viteze foarte mici de rotaţie, lor

li se impune condiţia de a avea momente de frecare foarte mici şi jocuri axiale şi radiale

extrem de reduse.

Figura 1.

Suspensia giroscopului într-un punct fix cu articulaţie cardanică exterioară

LP - lagăr principal

LS - lagărele inelelor de suspensie

2

I – interior

E - exterior

Figura 2. Giroscop cu suspensie Hooke (interioară)

a - construcţia giroscopului;

b - schema cinematică;

1 – disc;

2 - inel interior;

3 – volant;

4 - bare de torsiune;

5 - armatură magnetică;

6 - traductoare inductive;

7 - motoare de cuplu (de precesie);

8 - arborele de antrenare;

9 – stator;

10 – rotor;

11 - motor sincron;

Modelul mecanic al giroscopului

3

Definiţia dată anterior giroscopului justifică încadrarea acestuia în condiţiile

cazului Lagrange - Poisson ţinând cont că viteza unghiulară de rotaţie are modulul

cu mult mai mare decât modulul vitezei de precesiei . Legătura ce imobilizează

punctul în jurul căruia se execută precesia regulată se asimilează cu un grad de tip

articulaţie sferică cu frecare neglijabilă (fig. 3) şi având condiţiile cinematice

suplimentare:

În condiţiile de mai sus momentul cinetic raportat la polul fix are expresia:

aceasta reprezentând ipoteza fundamentală a teoriei elementare a giroscopului.

Având în vedere că momentul forţelor pasive este nul, ca urmare a neglijări

frecării în articulaţia sferică şi ţinând seama de ultimele două expresii, expresia

momentului forţelor active raportat la polul fix devine:

Această ecuaţie reprezintă ecuaţia fundamentală a teoriei elementare a

giroscopului.

4

Figura 3.

Fenomene giroscopice

În cazul giroscoapelor apar următoarele fenomene caracteristice:

- stabilitatea axei giroscopului;

- efectul giroscopic;

- cuplul giroscopic;

- mişcarea de precesie.

Stabilitatea axei giroscopului constă în menţinerea axei de rotaţie proprii atuncicând asupra giroscopului nu acţionează forţe perturbatoare exterioare, fenomen careeste des utilizat în aplicaţiile practice.

În cazul giroscopului liber momentele active sunt nule:

Ţinând seama că s-au neglijat frecările, rezultă că momentele pasive sunt nule:

Deoarece giroscopul prezintă simetrie de revoluţie în repartiţia masei, sunt

îndeplinite următoarele condiţii:

obţinându-se sistemul:

integrând ,

unde: este viteza unghiulară iniţială.

Înlocuind în sistem ţi eliminând , între acestea se obţine:

în care:

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este:

Semnul (+) corespunde cazului iar semnul (-) cazului .

Dacă la momentul iniţial viteza unghiulară este orientată în jurul axei OZ', atunci

şi deci . De aici rezultă că în timpul mişcării avem:

5

În cazul perturbaţiilor iniţiale mici , constantele şi au şi

acestea la rândul lor valori mici. Astfel, şi au valori mici în timpul mişcării şi deci

vectorul de rotaţie unghiulară proprie are abateri mici faţă de axa

giroscopului.

Perioada perturbaţiilor coincide cu perioada funcţiilor şi şi cu cât aceasta

este mai mică cu atât giroscopul este mai stabil:

Giroscopul liber este cu atât mai stabil cu cât forma lui este mai alungită pe şi

cu cât viteza unghiulară iniţială este mai mare.

Efectul giroscopicEfectul giroscopic constă în rotirea axei giroscopului atunci când asupra acestuia

acţionează un cuplu de forţe perturbatoare exterioare, fenomenul apărând la toate

giroscoapele centrate sau necentrate. Considerând un giroscop antrenat în mişcarea de

rotaţie cu viteza unghiulară iniţială orientată în lungul axei de rotaţie proprie ,

vectorul moment cinetic raportat la centrul de masă este, de asemenea, orientat

după aceeaşi axă (fig. 4).

In acest caz expresia momentului cinetic este următoarea:

Când este suficient de mare şi imprimă giroscopului o mişcare de rotaţie cu

viteza unghiulară , viteza unghiulară rezultată devine:

6

Figura 4.

Proiecţiile vectorului pe axele , , sunt:

Proiecţiile vectorului momentului cinetic rezultant sunt:

Componentele , sunt mult mai mici decât componenta deoarece

.

Vectorul moment cinetic v-a devia foarte puţin faţă de axa a giroscopului.

La imprimarea unei viteze unghiulare suplimentare , în condiţiile în care

este suficient de mare, efectul giroscopic este mic. Aplicând axei giroscopului un cuplu

de forţe situat în planul apare un moment orientat după axa . În

7

această situaţie forţele aplicate pot perturba sau nu mişcarea giroscopului.

În cazul în care forţele aplicate nu perturbă mişcarea axei giroscopului, momentul

produce într-un interval de timp o variaţie a momentului cinetic care

conform teoremei momentului cinetic are expresia:

Vectorul momentului cinetic rezultant este situat în planul ,

astfel axa de rotaţie proprie a giroscopului va avea o noua orientare, după direcţia

momentului cinetic rezultant.

Astfel, axa giroscopului se va roti într-un plan perpendicular pe planul forţelor

perturbatoare aplicate (efectul giroscopic).

Mişcarea de precesie

Sub acţiunea greutăţii proprii (giroscopul liber) şi eventual sub acţiunea altor forţe

exterioare apare o deviaţie a axei giroscopului. Aceasta deviaţie determină o mişcare de

revoluţie a axei giroscopului în jurul axei care se suprapune peste mişcarea de

rotaţie proprie, rezultanta celor două mişcări reprezentând mişcarea de precesie. Pentru

descrierea mişcării de precesie se consideră un punct semnificativ al giroscopului şi

anume extremitatea liberă a sa, curba descrisă de acest punct este situată pe o sferă de

rază între paralelele şi , şi fiind valorile, minimă şi

respectiv maximă a unghiului de nutaţie (fig. 5).

Figura 5.

Unghiul de nutaţie variază în timp ca şi când sistemul ar avea un singur grad de

8

libertate, caz în care energia sa totală şi energia sa potenţială sunt:

unde:

Exprimând în funcţie de şi avem:

Energia totală a sistemului este:

Notând , legea de conservare a energiei se poate scrie:

unde:

iar legea de variaţie a unghiului de rotaţie proprie :

Unghiul are o variaţie periodică între doua valori limită şi , variaţie ce poartă

numele de nutaţie (fig. 6)

9

Figura 6.

Cuplul giroscopic

Consideram un giroscop care se roteşte cu viteza unghiulară iniţială şi că

asupra lui acţionează o forţă exterioară care creează un cuplu perturbator .

În lagărele axei giroscopului apare o forţă de reacţie numită reacţiune giroscopică

(fig. 7). Această forţă creează un cuplu de reacţiune:

cuplul giroscopic.

Figura 7.

Tipuri de giroscoape

10

În funcţie de unele parţicularităţi constructive şi de unele aproximări în ceea ce

priveşte mişcarea, giroscoapele pot fi clasificate în următoarele categorii:

a) giroscoape centrate sau necentrate:

- giroscopul centrat este un giroscop al cărui punct fix coincide cu centrul său de

masă;

- giroscopul necentrat este un giroscop la care centrul de masă se află situat pe

axa acestuia.

b) giroscoape libere:

- giroscoape centrate asupra cărora acţionează numai greutatea proprie.

c) giroscoape lente sau rapide:

- giroscopul lent este giroscopul a cărui axă de rotaţie proprie este foarte

apropiată de axa şi a cărui viteză unghiulară este constantă ;

- giroscopul rapid este giroscopul a cărui energie cinetică este mult mai mare

decât energia sa potenţială .

d) giroscoape uşoare sau grele:

- giroscopul uşor este un giroscop ce are o greutate proprie mică;

- giroscopul greu este un giroscop necentrat având greutate mare şi centrul de

masă situat pe axa sa de rotaţie. Acţiunea greutăţii conduce la creşterea unghiului de

nutaţie . Axa giroscopului descrie o suprafaţă conică având unghiul la vârf (fig. 8).

e) giroscoape simetrice sau asimetrice:

- giroscopul simetric este un giroscop cu simetrie de revoluţie în repartiţia masei

. Toate giroscoapele de mai sus sunt giroscoape simetrice.

- giroscopul asimetric este un giroscop a cărui masă este uniform distribuită atât

în lungul axei sale cât şi radial.

Ca urmare, cele trei momente de inerţie axiale sunt diferite între ele:

.

11

Figura 8.

Clasificarea aparatelor giroscopice

Clasificarea aparatelor giroscopice din punct de vedere funcţional, în funcţie de

parametrii măsuraţi de aparatele giroscopice:

a) Aparate giroscopice poziţionale sau de memorare a unei direcţii date, utilizează

proprietatea giroscopului liber de a-şi menţine neschimbată orientarea în spaţiu a

momentului cinetic. De regulă poziţiile memorate sunt verticala locului şi direcţia

meridianului geografic, care, nefiind fixe se rotesc datorita rotaţiei Pământului şi

deplasării aeronavei, rezultând un giroscop nesatisfăcător. Acesta trebuie prevăzut cu un

sistem de corecţie fie de tip pendular (pentru giroscopul de verticala), fie un traductor de

câmp de câmp magnetic (pentru giroscoapele de direcţie).

b) Compasurile giroscopice, reprezinta clasa de aparate giroscopice la care axa de

rotaţie proprie, are capacitatea de a se orienta în azimut, ca urmare a deplasării

centrului de masă faţă de punctul de suspensie (aparatele nu au sistem de corecţie).

c) Stabilizatoarele giroscopice, se împart în două grupe:

- stabilizatoare giroscopice directe, stabilizatorul serveşte ca element de forţă ce

asigură stabilizarea impusă unui dispozitiv de bord;

- stabilizatoare giroscopice indirecte, giroscopul este folosit ca element de

măsurare.

d) Giroscoapele de viteză care mai sunt numite şi girometre sunt folosite la

măsurarea vitezei unghiulare de rotaţie a unei aeronave în jurul axelor sale. Aceste

giroscoape sunt foarte des întâlnite în sistemele de comandă automată a aeronavelor,

12

existând mai multe tipuri de giroscoape de viteză:

- girotahometre;

- giroscoape de derivare;

- giroscoape de integrare simplă sau dublă.

e) Alte tipuri de aparate giroscopice:

- giroscoape integratoare de acceleraţie liniară;

- giroaccelerometre;

- giroscoape de comandă;

- relee giroscopice;

- giroscoape cu vibraţii.

13