notite curs 3 12 martie

PROCESAREA DIGITALĂ A SEMNALELOR ŞI A IMAGINII

Curs 3

Descrierea icircn timp a sistemelor discrete

Conf dr ing Carmen GERIGANUNIVERSITATEA TRANSILVANIA din BRAŞOV

20122013

Conţinut

bull Sisteme discrete icircn timp simple ndash exemplificarebull Clasificarea sistemelor discrete icircn timpbull Răspunsul unui sistem la impuls unitate şi la

treaptă unitatebull Caracterizarea icircn domeniul timp a sistemelor

liniare invariante icircn timp (LTI)


Funcţia unui sistem discret este de a procesa o secvenţă discretă furnizată la intrare pentru a genera o secvenţă discretă la ieşire

x[n] y[n]SISTEM DISCRET

Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire

Sisteme discrete icircn timp simple

bull acumulatorulbull interpolatorul liniar

Dispozitivele prezentate ca operatori fundamentali

bullmultiplicatorbullsumatorbullcircuit de icircntacircrzierebullcircuit ridicătorcoboracirctor de frecvenţă

pot fi considerate sisteme discrete elementare

Alte sisteme discrete

Acumulatorul

n

l

n

l

x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1

1

Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)

Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1

Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n

Interpolator liniar

Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute

Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)

Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0

Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)

Interpolator liniar

Circuit de interpolare de ordin 2

sampler-updin iesirea ][

1121

nx

][nx][nx[n]xy[n]

n

nnn



123221

31

nx

][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]

n

nnnnn

Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare

Clasificarea sistemelor discrete icircn timp

bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi

Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire

Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema

suprapunerii efectelor)

Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a

secvenţei

x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi

y[n]= αy1[n] +βy2[n]

Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]

Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)

Sisteme liniare- Exemplu 1 -

Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel

[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11

Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este

[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n

l

n

l

n

l212121

Sistemul discret considerat este un sistem liniar


]x[n]x[n[n]xy[n] 112

Se consideră sistemul discret definit de relaţia

Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt

][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211

Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -

][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα

][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα

][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]

111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21

Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei

αx1[n] +βx2[n] este

dar

y[n]][nx][nx[n]x β

][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα

11

11

2222

112121

Sistemul din exemplul 2 nu este liniar

Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea

]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va

Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ

Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale

Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei

secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare

Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI

LTI ndash Linear Time Invariant

Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor

Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -

]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200

Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp

Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este

icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest

Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp

Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp

bull cauzalitatea

bull stabilitatea

Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0

Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare

Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire

Sisteme cauzale- Exemple -

n

l

x[n]x[l]y[n]

][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121

Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile

Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită

nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci

Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output

(intrarea este o secvenţă mărginită)

(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)

Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi

Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării

22

nn

nxny

Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi

Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate

Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls

Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă

Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate

Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]


h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire

k

knxkhny

Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate

knhkxnyk

Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -

321 4321 nδαnδαnδαnδαnh

Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează

4321 nh


Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator

nlnhn

l


1121

nnnnh

Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este

sau

50 1 50nh

Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls

xBnx

SBkhBknxkhknxkhny xk

xkk

Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil

x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită

marginită secventă o este nyBnyS y


- Exemplu 1 -

nnh n

Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls

Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0

Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO


- Exemplu 2 -

Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls

rest 0 21 NnN

nhn

h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)

Sistemul este stabil BIBO

Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls

Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0

Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare

x1[n] = x2[n] pentru nlen0

Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0

002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny

Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]

Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)

0

020

01kk

knxkhknxkh

Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0

Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal

1

02

1

01kk

knxkhknxkh

Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0

Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0

Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI

Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului

bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare

Relaţia intrare-ieşire

O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară


675042151250 nhnhnhnhnhny

Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]

Deoarece sistemul este LTI răspunsul la

δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]

Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi

675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk

O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma

Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]

Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi

sau

Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă

Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie

Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny

Suma de convoluţie- proprietăţi -

nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea

nxnxnxnxnxnxnx 3121321

Suma de convoluţie- interpretare -

knhkxnyk

Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel

bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]

bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]

bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]

bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]

Produs de convoluţie- reprezentare schematică -

Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk

Produs de convoluţie- Exemplu -

Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită

k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Scheme simple de interconectare

bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel

Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă

equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x

Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final

h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]

Conectarea icircn paralel

+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]

PROCESAREA DIGITALĂ A SEMNALELOR ŞI A IMAGINII Curs 3 Descrierea icircn timp a sistemelor discrete

Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare

Sisteme liniare - Exemplu 1 -


Sisteme liniare - Exemplu 2 (continuare) -

Sisteme invariabile icircn timp

Slide 15

Sisteme invariabile icircn timp - Exemplu -

Sisteme cauzale

Sisteme cauzale - Exemple -

Sisteme stabile



Slide 22

Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate - Exemplu 1 -




Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls - Exemplu 1 -






Slide 33

Slide 34

Suma de convoluţie - proprietăţi -

Suma de convoluţie - interpretare -

Produs de convoluţie - reprezentare schematică -

Produs de convoluţie - Exemplu -


Conectarea icircn cascadă


Slide 42

Conţinut

bull Sisteme discrete icircn timp simple ndash exemplificarebull Clasificarea sistemelor discrete icircn timpbull Răspunsul unui sistem la impuls unitate şi la

treaptă unitatebull Caracterizarea icircn domeniul timp a sistemelor

liniare invariante icircn timp (LTI)











Acumulatorul

n

l

n

l


1




Interpolator liniar





Interpolator liniar



1121

nx

][nx][nx[n]xy[n]

n

nnn



123221

31

nx


n

nnnnn


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42











Acumulatorul

n

l

n

l


1




Interpolator liniar





Interpolator liniar



1121

nx

][nx][nx[n]xy[n]

n

nnn



123221

31

nx


n

nnnnn


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42

Interpolator liniar





Interpolator liniar



1121

nx

][nx][nx[n]xy[n]

n

nnn



123221

31

nx


n

nnnnn


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42

Interpolator liniar



1121

nx

][nx][nx[n]xy[n]

n

nnn



123221

31

nx


n

nnnnn


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4

n

n

n

Iniţial

După up-sampler

După interpolare







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42







secvenţei







[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42



[l]x[n]y

[l]x[n]y

n

l

n

l

22

11



l

n

l

n

l212121






][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42





][nx][nx[n]x[n]y

][nx][nx[n]x[n]y

11

11

22222

11211





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42





111121111

1111

222121

22222

11122

21212

21



dar

y[n]][nx][nx[n]x β


11

11

2222

112121



]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


]n[nyy[n]

]n[nxx[n]

01

01

fi va









]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42







]nx[n[n]xLLn

Lnx

[n]y 011

1 200



icircn rest

Se poate scrie

[n]y]ny[n

L Ln

Lnnx

]ny[n

10

0

0 200

icircn rest



bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


bull cauzalitatea

bull stabilitatea





n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


n

l

x[n]x[l]y[n]


Sistem cauzal

Sistem non-cauzal

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42

Sisteme stabile


nBny

Bnx

y

x

Dacă

atunci






22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42



22

nn

nxny









k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42








k

knxkhny


knhkxnyk




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42




4321 nh



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42



nlnhn

l


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


1121

nnnnh


sau

50 1 50nh


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


xBnx


xkk





- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


- Exemplu 1 -

nnh n


Pentru acest sistem

S

nSn

n

n

n

1 Dacă

11

0



- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


- Exemplu 2 -


rest 0 21 NnN

nhn








002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42






002

1

020202

001

1

010101

kkk

kkk

knxkhknxkhknxkhny

knxkhknxkhknxkhny



0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


0

020

01kk

knxkhknxkh



1

02

1

01kk

knxkhknxkh












δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42










δ [n-1] va fi h [n-1]

δ [n-4] va fi h [n-4]


675042151250 nnnnnnx


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


knδkxnxk

knhkxnyk

khknxnyk




sau





nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


nxnxnxnx 1221

nxnxnxnxnxnx 321321

1 Comutativitatea

2 Asociativitatea

3 Distributivitatea



knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


knhkxnyk







Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


Xh[-k] y[n]

x[k]

zn Σk



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42



k

k

-2

1

-1

3

1

2

-1

x[k]

h[k]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42




equiv

equiv

h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]

h1[n] h2[n]x




+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


+

h1[n]

h2[n]

equiv h1[n] + h2[n]


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42


Conţinut



Acumulatorul

Interpolator liniar

Slide 7



Sisteme liniare





Slide 15


Sisteme cauzale


Sisteme stabile



Slide 22











Slide 33

Slide 34








Slide 42

notite curs 3 12 martie

Documents