Mecanisme – curs, 2013-2014 Prof. univ. dr. ing. Simona-Mariana Creţu Facultatea de Mecanică, Universitatea din Craiova

TRANSMISII CU ROŢI DINŢATE

NOŢIUNI GENERALE (STAS 915/2-81, 915/3-81)

Transmisia mecanică este un sistem de elemente cinematice construite în scopul transmiterii mişcării cu sau fără transformarea acesteia şi însoţită de transmiterea energiei mecanice. Pentru transmiterea mişcării de la arborele conducător la arborele condus se pot folosi: - transmisii mecanice directe sau - transmisii mecanice indirecte. Când distanţa dintre axele celor doi arbori nu este prea mare se pot folosi transmisii directe cu: - roţi de fricţiune, - roţi dinţate, - cu şurub-piuliţă. Pentru distanţe mari între axe se folosesc transmisii indirecte cu: - lanţuri, - curele, - cabluri, - pârghii. Roata dinţată este un organ dinţat, destinat a pune în mişcare un alt organ dinţat, sau a fi pus în mişcare de către acesta, prin acţiunea dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact (Fig. 1).

Fig. 1

Suprafeţele laterale ale dinţilor, cuprinse între suprafaţa de cap şi suprafaţa de picior, se

numesc flancuri.

Fiecare dinte al unei roţi dinţate este prevăzut cu un flanc de dreapta şi un flanc de stânga, pentru ca angrenarea să fie posibilă în ambele sensuri.

Două sau mai multe flancuri de dreapta, respectiv de stânga, se numesc flancuri omoloage.

Unul sau mai multe flancuri de dreapta, considerate în raport cu unul sau mai multe flancuri de stânga, sunt flancuri opuse.

La angrenaje, flancurile în contact se numesc flancuri conjugate, sau flancuri de înfăşurare reciprocă.

Profilul reprezintă intersecţia dintre un flanc şi o suprafaţă dată. Dacă suprafaţa care se intersectează cu un flanc este coaxială cu axa roţii, profilul se

numeşte linia flancului (exemple: linia de cap a flancului, linia de picior a flancului). Forma liniei flancului defineşte şi forma dintelui: dacă este o dreptă, dintele este drept; dacă este o elice cilindrică sau conică, sau o dreaptă înclinată obţinută prin desfăşurarea în plan a acestor elice (ca la cremalieră sau la roata dinţată plană), dintele este înclinat. Dacă este o altă curbă, dintele este curb.

Prin intersectarea dintelui cu un plan perpendicular pe axa roţii se obţin profiluri frontale de dreapta şi de stânga.

Intersecţia unui flanc cu o suprafaţă ortogonală la liniile flancurilor se numeşte profil normal.

Intersecţia unui flanc cu un plan care conţine axa roţii dinţate se numeşte profil axial. Profilul dintelui reprezintă intersecţia dintre un dinte cu o suprafaţă dată. Linia dintelui reprezintă linia mediană a liniilor flancurilor unui dinte. Angrenajul este un mecanism elementar, format din două roţi (sectoare) dinţate mobile

în jurul a două axe având poziţie relativă invariabilă, una dintre aceste roţi antrenând-o pe cealaltă prin acţiunea dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact. Cele două roţi ale unui angrenaj se numesc roţi conjugate.

Trenul de angrenaje este orice mecanism compus din mai multe angrenaje. Angrenarea este procesul prin care se transmite continuu mişcarea de la un dinte al

unei roţi la dintele altei roţi prin intermediul unei forţe. Raportul de transmitere în sens cinematic dintre două elemente cinematice între care

se transmite mişcarea prin intermediul unui lanţ cinematic este definit prin relaţia (1).

y

x

y

xdef

xy nni

, (1)

unde: nx, ny reprezintă turaţia roţii x, respectiv turaţia roţii y [rot/min], x , y reprezintă viteza unghiulară a roţii x, respectiv viteza unghiulară a roţii y [rad/s].

Semnul plus sau minus arată faptul că elementele se rotesc în acelaşi sens, respectiv în sensuri diferite.

Raportul de transmitere al unui angrenaj este raportul dintre viteza unghiulară a roţii dinţate conducătoare şi viteza unghiulară a roţii dinţate conduse.

Cilindri de rostogolire Mişcarea relativă a două corpuri se poate reproduce prin rostogolirea axoidelor

relative între ele de-a lungul axei instantanee a mişcării relative. Pentru angrenaje, axoidele se numesc cilindri de rostogolire. Ei sunt acei cilindri fictivi descrişi de axa instantanee a mişcării relative a roţii conjugate în raport cu roata considerată, care realizează acelaşi raport de transmitere ca şi angrenajul real.

Cercurile de rostogolire se obţin prin secţionarea cilindrilor de rostogolire cu plane transversale pe axele roţilor. Razele cercurilor de rostogolire sunt determinate de cinematica

angrenajului, deci se calculează în funcţie de vitezele unghiulare ale roţilor şi de poziţia relativă a axelor roţilor.

Cercul de divizare al unei roţi este cercul pe care se rostogoleşte fără alunecare dreapta primitivă (de rostogolire) a cremalierei generatoare, paralelă cu linia de referinţă (medie) a cremalierei.

Distanţa între axele de referinţă - a - reprezintă, la angrenajele exterioare, semisuma diametrelor de divizare ale celor două roţi dinţate, iar la angrenajele interioare este semidiferenţa între diametrul de divizare a roţii cu dantură interioară şi diametrul de divizare a roţii cu dantură exterioară.

Distanţa între axele de referinţă a angrenajului tehnologic (pinion/cuţit-roată sau roată /cuţit-roată) 0a

Distanţa între axe a angrenajului wa . La reductoarele de turaţie distanţa dintre axe se alege conform STAS 6055-82.

Distanţa între axe a angrenajului tehnologic (pinion/cuţit-roată sau roată /cuţit-roată) 0wa

Pasul pe cercul de rostogolire este arcul de cerc de pe cercul de rostogolire între două profiluri omoloage succesive ( wp ).

Unghiul de presiune este unghiul dintre tangenta la profilul curbei în punctul respectiv şi raza vectoare ( y ) (Fig. 2).

Fig. 2

Linia angrenării reprezintă locul geometric al punctelor de contact ale profilurilor frontale conjugate în procesul de angrenare ( Fig. 3).

Unghiul de angrenare este unghiul dintre linia angrenării şi o perpendiculară pe linia centrelor ( ).

Fig 3

Fig. 4

Segmentul de angrenare (AB) reprezintă un segment din linia angrenării descris efectiv de punctele succesive de contact a două profiluri frontale active conjugate. El se obţine prin intersectarea cercurilor de cap ale celor două roţi cu linia angrenării (Fig. 4).

Polul angrenării (punct de rostogolire) (C) este punctul de tangenţă dintre cercurile de rostogolire; în acest punct de pe profilurile celor două roţi în angrenare nu există alunecare, decât rotaţie pură. Acest punct este fix pentru un angrenaj cilindric şi anume se află la intersecţia dintre axa centrelor celor două roţi în angrenare şi linia angrenării, deci poziţia polului angrenării pe linia centrelor este invariabilă.

Arcul de angrenare corespunde arcului de pe cercul de rostogolire din momentul intrării în angrenare şi până în momentul ieşirii din angrenare (Fig. 5). Arcele de angrenare ale

roţilor unui angrenaj sunt egale

2211 baba . Angrenarea a două roţi dinţate se realizează atâta timp cât există doi dinţi conjugaţi în

angrenare. Pentru a se asigura continuitatea angrenării în plan frontal trebuie ca până să iasă din angrenare doi dinţi conjugaţi, următorii doi dinţi conjugaţi să intre în angrenare. Deci arcul de angrenare trebuie să fie mai mare decât pasul de pe cercul de rostogolire.

Gradul de acoperire reprezintă raportul între arcul de angrenare şi pasul pe cercul de rostogolire.

2w

22

1w

11

pba

pba

(2)

unde: 21 www ppp = pasul pe cercul de rostogolire,

2211 baba = arcul de angrenare. Gradul de acoperire dă indicaţii despre numărul de perechi de dinţi care se află în

angrenare la un moment dat. În timpul angrenării, între flancurile dinţilor conjugaţi există o mişcare relativă de

alunecare, proporţională cu distanţa de la punct la polul angrenării şi cu diferenţa algebrică a vitezelor unghiulare ale roţilor. În polul angrenării s-a demonstrat că aceasta este nulă.

Jocul între flancuri nj reprezintă cea mai mică distanţă între flancurile nelucrătoare ale celor două roţi, când flancurile lucrătoare sunt în contact.

Jocul de rostogolire tj este lungimea arcului de cerc pe cercul de rostogolire, cu care se poate roti una din roţi până când flancurile sale nelucrătoare ajung în contact cu cele ale roţii conjugate, aceasta rămânând într-o poziţie nemişcată.

Pasul pe un cerc de rază rx reprezintă arcul de cerc de pe cercul respectiv între două profiluri omoloage succesive.

Pasul unghiular este unghiul la centru între axele a doi dinţi consecutivi. Dinţii roţilor dinţate sunt dispuşi echidistant şi se calculează cu relaţia (3).

z

2 (3)

Pasul la o roată dinţată variază în funcţie de raza cercului pe care se va măsura. Deoarece cercurile de rostogolire ale celor două roţi se rostogolesc fără alunecare,

pasul pe cercurile de rostogolire ale celor două roţi ale unui angrenaj este acelaşi.

CLASIFICĂRI ALE ROŢUILOR DINŢATE ŞI ALE ANGRENAJELOR Clasificarea roţilor dinţate

a) după forma suprafeţei de danturare: - cilindrică; - conică; - melcată; - alte forme de revoluţie; - necirculare b) după direcţia dinţilor: - cu dinţi drepţi; - cu dinţi înclinaţi; - cu dinţi în V sau W; - cu dinţi curbi. c) după poziţia danturii în raport cu cilindrul pe care se află dantura: - cu dantură interioară; - cu dantură exterioară. e) în funcţie de profilul dinţilor: - cu profil evolventic; - cu profil în arc de cerc.

Clasificarea angrenajelor a) după direcţia axelor: - cu axe paralele; - cu axe concurente;

- cu axe neparalele (încrucişate în spaţiu); Prin intersectarea angrenajului paralel cu un plan perpendicular pe axe se obţine angrenajul plan, la care cilindrii de cap şi cei de picior devin cercuri, iar flancurile devin profiluri.

b) în funcţie de transmiterea mişcării; - angrenaje ce transformă o mişcare circulară tot într-o mişcare circulară; - angrenaje ce transformă o mişcare circulară într-o mişcare de translaţie. c) în funcţie de sensul de mişcare al dinţilor: - în acelaşi sens; - în în sens diferit. d) în funcţie de numărul de roţi care se află în angrenare: - simple (două roţi); - trenuri de angrenaje (mai mult de două roţi). e) în funcţie de mobilitatea axelor: - ordinare (cu axe fixe);

- planetare (în care cel puţin un element are axa de rotaţie mobilă); pot fi planetare simple (M=1) sau diferenţiale (M>1).

f) în funcţie de constanţa raportului de transmitere: - cu raport de transmitere constant; - cu raport de transmitere variabil. g) după tipul contactului dintre flancurile dinţilor: - cu contact liniar;

- cu contact punctiform.

CENTROIDELE MIŞCĂRII

Deoarece angrenajul paralel poate fi format din roţi exterioare care se rotesc în sensuri opuse, sau dintr-o roată exterioară şi o roată interioară, ambele rotindu-se în acelaşi sens, sau poate fi format dintr-o roată în mişcare de rotaţie şi o cremalieră (roată dinţată cu rază infinită) în mişcare de translaţie, se vor considera trei cazuri generale distincte:

- două corpuri aflate la distanţă constantă, care se rotesc în plan în sensuri opuse, cu vitezele unghiulare 1 şi 2 ,

- două corpuri aflate la distanţă constantă, care se rotesc în plan în acelaşi sens, cu vitezele unghiulare 1 şi 2 ,

- un corp se roteşte cu viteza unghiulară 1 şi altul translatează în acelaşi plan cu viteza liniară 2v ,

şi se va determina centrul instantaneu de rotaţie şi centroidele mişcării. Centrul instantaneu de rotaţie (I) reprezintă punctul în care vitezele liniare absolute ale

celor două corpuri sunt egale, adică viteza relativă este zero. Centroida i este locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în raport cu un

sistem de referinţă ataşat corpului i.

Două corpuri în mişcare de rotaţie în jurul a două axe paralele, în sensuri opuse

Corpurile 1 şi 2 sunt în mişcare de rotaţie în sensuri opuse, cu vitezele unghiulare 1 , respectiv 2 (Fig. 6), deci viteza unui punct oarecare x al corpului i (i=1,2), aflat la distanţa rx de centrul de rotaţie, se calculează cu relaţia (4).

xix rv (4)

xx rv . Distribuţia de viteze pentru punctele de pe axa centrelor O1O2, pentru oricare din

corpuri, este liniară - O1A1, respectiv O2B1 (Fig. 5). Pe axa centrelor există un singur punct în care vitezele celor două puncte sunt egale, şi anume punctul C, unde se intersectează O1A1 cu O2B1. Punctul C este centrul instantaneu de rotaţie, deoarece vitezele liniare absolute sunt egale (

21 CC vv ), deci se poate scrie relaţia (5).

21 w2w1 rr (5) unde:

21 ww r,r – reprezintă distanţele O1C, respectiv, O2C . Relaţia (5) este echivalentă cu relaţia (6).

1

2

w

w

2

1

rr

(6)

1wr şi 2wr se determină din sistemul (7).

1

2

21

w

w

2

1

www

rr

arr

(7)

unde s-a notat aw – distanţa dintre axele angrenajului, O1O2.

B

AV

V

2

1

B

A

2O

O1

2

1

C VC

B

A

1

1

Fig. 5

Pentru cazul angrenajului exterior, cunoscând că 2

1

reprezintă raportul de

transmitere în sens cinematic dintre roţile 1 şi 2, i12, se rezolvă sistemul (7) şi se determină 1wr

şi 2wr (8).

12

ww i1

ar1

w12

12w a

i1ir

2

(8)

Raportul de transmitere poate să fie constant, ca pentru angrenajul exterior, caz în care

centrul instantaneu de rotaţie, C, este un punct fix pe axa centrelor, iar centroidele mişcării sunt cercuri de rază

1wr , respectiv 2wr (Fig. 6), dar raportul de transmitere poate fi şi variabil,

cum este cazul angrenajului cu roţi eliptice, caz în care centrul instantaneu de rotaţie se mişcă pe axa centrelor.

B

A V

V

2

1

B

A

2O

O1

2

1

C VC

r w1

w2r

Fig. 6

Două corpuri în mişcare de rotaţie în jurul a două axe paralele, în acelaşi sens

Se consideră corpurile 1 şi 2 în mişcare de rotaţie în acelaşi sens, cu vitezele unghiulare

1 , respectiv 2 (Fig. 7). Distribuţia de viteze pentru punctele de pe segmentul de dreaptă O2B, pentru oricare din corpuri, este liniară (O1A1, respectiv O2B1 ). Pe acest segment există un singur punct în care vitezele celor două puncte sunt egale, şi anume punctul C, unde se intersectează O1A1 cu O2B1. Punctul C este centrul instantaneu de rotaţie, deoarece vitezele liniare absolute sunt egale (

21 CC vv ). În cazul angrenajului interior cu axe paralele centroidele mişcării sunt două cercuri de

raze 1wr , respectiv

2wr (Fig. 8). Ca şi în cazul angrenajului exterior cu axe paralele,

21 w2w1 rr , ceea ce este echivalent cu 1

2

w

w

2

1

rr

.

Din sistemul (9) se determină 1wr şi

2wr (10).

1

2

12

w

w

2

112

www

rr

i

arr

(9)

1iar

12

ww1

w12

12w a

1iir

2

(10)

A V

2

1

A

2O

O1

2

1

C VC

B

A

1

1

Fig. 7

B

A V

V

2

1

B

A

2O

O1

2

1

C VC

rw1

rw2

B

A

1

1

Fig. 8

Un corp în mişcare de rotaţie şi altul în mişcare de translaţie

Se consideră corpul 1 în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 1 , şi corpul 2 în

mişcare de translaţie cu viteza liniară 2v (Fig. 9). Distribuţia de viteze pentru punctele de pe segmentul de dreaptă O1B al corpului 1 este liniară, O1B1, iar toate punctele elementului 2, în mişcare de translaţie, au aceeaşi viteză liniară 2v . Pe acest segment există un singur punct în care vitezele celor două puncte sunt egale, şi anume punctul C, unde se intersectează O1B1 cu A2D2. Punctul C este centrul instantaneu de rotaţie, deoarece vitezele liniare absolute sunt egale (

21 CC vv ).

B

V

2

1

2

O1

C VC

1

V2

V2

A

D

A

B

D2

VB

2

2

Fig. 9

B

V

V

2

1

B

2

O1

C VC

w1r1

V2

L w2

V2

Fig. 10

În cazul angrenajului roată dinţată cremalieră, centroidele mişcării sunt cercul de rază

1wr , respectiv dreapta 2wL (Fig. 10).

În punctul C se poate scrie relaţia (11). 2w1 vr

1 (11)

Din sistemul (11) se determină 1wr (12).

1

2w

vr1 (12)

LEGEA FUNDAMENTALĂ A ANGRENĂRII

a) În cazul general, pentru ca flancurile conjugate să fie de înfăşurare reciprocă (adică să nu se îndepărteze şi să nu se întrepătrundă) trebuie ca viteza relativă dintre cele două puncte suprapuse în punctul de contact al profilurilor conjugate să fie situată pe direcţia tangentei în punctul de contact, deci pe direcţie perpendiculară pe normala comună. b) La angrenajele paralele şi concurente legea angrenării enunţată mai sus devine: în orice punct de contact al flancurilor conjugate, normala geometrică comună intersectează axa instantanee a mişcării de rotaţie relativă. Considerând un angrenaj cu axe paralele, prin secţionarea lui cu un plan perpendicular pe axe se obţine angrenajul plan. c) La angrenajul paralel plan pentru ca profilurile conjugate să fie de înfăşurare reciprocă, trebuie ca profilurile dinţilor să fie astfel realizate încât axa normală în orice punct de contact să treacă prin polul angrenării (centrul instantaneu de rotaţie). Dacă se doreşte ca angrenajul paralel plan să asigure un raport de transmitere constant, trebuie ca centrul instantaneu de rotaţie să fie un punct fix pe axa centrelor. a) Se consideră un plan frontal al unui angrenaj cilindric exterior (1-2) şi doi dinţi conjugaţi, cu vitezele unghiulare 1 şi 2 (Fig. 11). Vitezele punctelor P1 şi P2, care se suprapun în punctul curent de contact P al profilurilor conjugate, sunt perpendiculare pe razele O1P1 (rx1), respectiv O2P2 (rx2), deoarece roţile 1 şi 2 sunt în mişcare absolută de rotaţie.

1

t

t

C P

n

n1

2

P2P1

1O

O2

2

VP1

VP2 V

Fig. 11

Se pot scrie relaţiile: 1x1P rv

1 , 11P POv

1

2x2P rv2

, 22P POv2

Viteza relativă dintre cele două puncte suprapuse, P1 respectiv P2, 12PPv , se determină cu relaţia:

1212 PPPP vvv Pentru ca profilurile să fie de înfăşurare reciprocă, adică să nu se întrepătrundă şi nici

să nu se îndepărteze, legea fundamentală a angrenării impune ca viteza relativă dintre cele

două puncte suprapuse în punctul curent de contact să fie situată pe direcţia tangentei comune la profilurile conjugate în punctul respectiv.

Se construieşte normala comună în punctul de contact, perpendiculară pe tangenta la profiluri. Considerăm viteza relativă

12PPv pe direcţia tangentei comune la pofiluri în punctul

de contact; se observă că în această situaţie proiecţiile celor două viteze 21

, PP vv , pe normala

comună la profiluri sunt egale nP

nP vv

21 ; componentele vitezelor pe direcţia normalei fiind

egale, înseamnă că cele două puncte suprapuse în punctul de contact efectuează în lungul acestei direcţii şi în acelaşi sens, spaţii egale, adică profilurile conjugate nu se întrepătrund şi nici nu sunt depărtate unul de altul. În general, componentele vitezelor de pe direcţia tangentei, ale celor două puncte suprapuse, nu sunt egale (excepţie în polul angrenării), ceea ce nu prezintă nici un inconvenient din punct de vedere al înfăşurării reciproce a profilurilor conjugate, deoarece sunt pe direcţia tangentei comune la profiluri, deci nu provoacă depărtarea sau apropierea profilurilor pe direcţia normală.

Se pot scrie relaţiile:

1cos11

PnP vv

2cos22

PnP vv

unde 1 şi 2 reprezintă unghiurile de presiune în punctul curent de contact pentru cele 2 profiluri.

nP

nP vv

21 21 coscos

21 PP vv

Aceeaşi lege se mai poate exprima matematic şi prin ecuaţia următoare: 0=•21 nv

b) Pentru angrenajele paralele şi concurente, se scrie relaţia: )CPr(-)CPr(PO-POv-vv 1w12w211221221

Deoarece în polul angrenării, C, vitezele liniare ale punctelor suprapuse de pe profilurile conjugate sunt egale, deci în relaţia anterioară 0r-r ww =×× 1122 şi se obţine:

CPCP-CPv ×=+××= 211221 Deci normala intersectează axa instantanee a mişcării relative. c) Analizăm în continuare angrenajul paralel plan, unde legea angrenării impune ca în orice punct de contact al profilurilor conjugate, normala geometrică comună să treacă prin centrul instantaneu de rotaţie relativă.

Se consideră un punct curent de contact P al profilurilor conjugate (Fig. 12). Se construieşte mecanismul echivalent al mecanismului real, prin înlocuirea cuplei superioare din P printr-un lanţ cinematic format dintr-un element, 3, orientat pe direţia normalei comune în punctul de contact şi două cuple de rotaţie plasate în centrele de curbură ale profilurilor, A respectiv B. Lungimea elementului 3 este egală cu suma razelor de curbură ale profilurilor în punctul de contact.

Centrele absolute de rotaţie I10 şi I20 se află în O1, respectiv O2. Centrele instantanee relative de rotaţie, I13, I23, se află în cuplele de rotaţie A şi B, care

se află pe desfăşuratele celor două profiluri.

O2

O1

CP

n

n

I20

I

I10

I13

23

I12=

rw2

rw1

2

1

=

2

1

=P1=P2

=

3

Fig. 12

Conform teoremei colinearităţii a trei centre de rotaţie (Aronhold+Kennedy), centrul instantaneu de rotaţie I12 este coliniar cu I10 şi I20, respectiv cu I13 şi I23. În concluzie, I12 se va afla la intersecţia liniei centrelor cu normala comună. În centrul instantaneu relativ de rotaţie I12 viteza relativă dintre cele două puncte suprapuse în punctul de contact este zero. In acest punct, numit polul angrenării, C, vitezele liniare ale punctelor de pe cele două profiluri care se află în contact sunt egale (

21 CC vv ). Aceasta se poate verifica şi cu relaţia anterioară 21 coscos

21 PP vv . In punctul curent

de contact între 2 profiluri conjugate, unghiurile de presiune ale celor două roţi sunt diferite, 1 şi 2 . Acestea devin egale când razele sunt în prelungire, în polul angrenării, iar unghiul de presiune devine unghiul de angrenare ( 21 ). Deoarece acesta corespunde unghiului de presiune de pe cercul de rostogolire, se poate nota w .

Deoarece punctul ales P a fost un punct curent, s-a ajuns la concluzia că pentru orice

punct de contact dintre două profiluri conjugate trebuie ca normala comună să treacă prin centrul instantaneu de rotaţie relativă. În continuare ne interesează ce condiţii trebuie să îndeplinească profilurile pentru ca raportul de transmitere instantaneu să fie constant.

Din relaţia 21 CC vv , se obţine:

2211 ww rr . Raportul de transmitere dintre două roţi într-un angrenaj devine:

1

2

2

112

w

w

rri

.

11

2112

11

w

w

w

ww

ra

rrri

.

21 www rra

Pentru ca 12i să fie constant trebuie ca cti

ar ww

1121 , adică axa normală la profiluri în orice

punct de contact să treacă prin polul angrenării, care este în acest caz un punct fix pe axa centrelor. Profilurile evolventice analizate în continuare vor asigura această condiţie. Geometria angrenării Un număr mare de curbe plane reciproc înfăşurate pot să satisfacă legea fundamentală a angrenării. Pentru a se utiliza în construcţia roţilor dinţate, acestea trebuie să satisfacă şi condiţiile: - să poată fi executate cu scule ce au profiluri simple (drepte); - mişcările sculei să fie simple (translaţii şi rotaţii); - alunecări cât mai reduse (uzură mică); - raportul de transmitere să rămână constant la erori tehnologice (de exemplu la variaţia distanţei dintre axe). Cea mai utilizată curbă pentru profilul roţilor dinţate este evolventa. a) Ecuaţiile evolventei Evolventa este locul geometric descris de un punct fix 0A de pe o dreaptă )( care se rostogoleşte fără alunecare peste un cerc numit cerc de bază (Fig. 13). Deoarece dreapta )( se rostogoleşte fără alunecare pe cercul de bază, pentru o poziţie curentă a dreptei )( se poate scrie relaţia: MAMA 0 .

Se defineşte unghiul 0A O A ca ev , sau inv . Mărimea segmentului MA se determină din triunghiul dreptunghic OAM .

tgrMA b , unde unghiul este unghiul de presiune.

Mărimea arcului MA0 este: )(0 invrMA b . Prin egalarea celor două relaţii se obţine: tginv

Fig. 13

Ecuaţiile evolventei în coordonate polare sunt date de unghiul ( inv sau ev ) şi raza polară

)(OA pentru un punct curent de pe evolventă:

cosbrOA

tginv,

unde este unghil de presiune al punctului curent de pe evolventă. evNMAMMO ˆˆ

0 Ecuaţiile parametrice ale evolventei:

)]sin()()[cos()]cos()()[sin(

evevevryevevevrx

bA

bA

Evolventa se generează în timpul prelucrării roţilor dinţate cilindrice ca înfăşurătoarea unei familii de drepte, care reprezintă poziţiile relative ale muchiilor aşchietoare ale sculei de danturat în raport cu semifabricatul. Dreapta generatoare este normală la evolventă, deci muchia aşchietoare a sculei trebuie să fie perpendiculară pe dreapta generatoare. Mişcarea relativă de rostogolire fără alunecare a dreptei generatoare peste cercul de bază se obţine prin rotaţia semifabricatului şi deplasarea dreptei generatoare de-a lungul propriei direcţii. Cercul de bază reprezintă desfăşurata evolventei. Centrele de curbură ale punctelor de pe profilul evolventic se află pe cercul de bază. Razele de curbură ale profilului evolventic cresc odată cu departarea de centrul de rotaţie al roţii. Pasul pe un cerc de rază rx reprezintă arcul de cerc de pe cercul respectiv între 2 profiluri evolvente omoloage succesive. Pasul unghiular este unghiul la centru între axele a doi dinţi consecutivi. Dinţii roţilor dinţate fiind dispuşi echidistant rezultă:

z

2

Pasul la o roată dinţată variază în funcţie de raza cercului pe care se va măsura (Fig. 14a).

x

x

b

brp

rp

.

Deoarece x

bx r

rcos (Fig. 14b), se determină relaţia:

xxb pp cos

O1rb

px

xb

rx

pb

O1 rb

xrx

a b Fig. 14

In concluzie, produsul dintre pasul la o rază oarecare rx şi cosinusul unghiului de presiune corespunzător este constant şi este egal cu pasul pe cercul de bază.

xxb pp cos Enunţul anterior este valabil şi pentru o rază oarecare curentă: produsul dintre o rază polară a unui punct curent de pe evolventă, rx, şi cosinusul unghiului de presiune corespunzător este constant şi este egal cu raza cercului de bază, rb.

xxb cosrr = Se observă din relaţia anterioară ca la creşterea razei curente rx, deoarece rb este constant, scade xcos , deci creşte unghiul de presiune. b) Raportul de transmitere Raportul de transmitere în sens cinematic dintre două elemente cinematice între care se transmite mişcarea prin intermediul unui lanţ cinematic este definit astfel:

y

x

y

xdef

xy nni

.

Pentru un angrenaj format din roţile 1 şi 2, raportul de transmitere se calculează conform definiţiei astfel:

2

112

i

Deoarece în polul angrenării vitezele liniare ale punctelor de pe cele două profiluri conjugate sunt egale (

21 CC vv ), există relaţia: 2211 ww rr . Raportul de transmitere devine:

1

2

2

112

w

w

rr

i .

În cazul profilurilor evolventice, pentru situaţia când punctul de contact de pe profilurile conjugate este chiar polul angrenării, se pot scrie relaţiile: wwb cosrr •=

11

wwb cosrr •=22

unde este unghiul de angrenare. Prin împărţirea relaţiilor anterioare se obţine:

rb2rb1

rw2rw1

Pe cercurile de rostogolire se pot scrie relaţiile: 111

2 zpr ww 222

2 zpr ww

unde 21 ,zz reprezintă numerele de dinţi ale roţilor conjugate, iar 21

, ww pp sunt paşii pe cercurile de rostogolire ale roţilor conjugate. Deoarece cercurile de rostogolire se rostogolesc fără alunecare unul pe celalalt,

21 ww pp . Prin împărţirea relaţiilor anterioare se obţine:

rw2rw1

z2z1

În concluzie, pentru un angrenaj (ex. Fig. 15) cu profilurile dinţilor evolvente, raportul de transmitere este constant şi se poate calcula cu formula:

1

2

1

2

2

112 )(

1

2

zz

rr

rri

b

b

w

w

1

2

Fig. 15

Semnul plus sau minus arată faptul că elementele se rotesc în acelaşi sens, respectiv în sens diferit. Astfel, la angrenajul exterior se pune semnul -, deoarece roţile se rotesc în sensuri opuse, iar la angrenajul interior se pune semnul +, deoarece roţile se rotesc în acelaşi sens. Pentru un angrenaj conic nu se poate vorbi de semn, deoarece roţile nu se rotesc în acelaşi plan sau în plane paralele. La o transmisie cu roţi conice (ex. Fig. 16) la care roata conducătoare şi roata condusă ajung în plane paralele se poate stabili semnul raportului de transmitere cu regula punctului cel mai apropiat de ochiul observatorului. Se desenează o săgeată pe roata conducătoare care reprezintă sensul vitezei liniare a punctului cel mai apropiat de ochiul observatorului de pe roata respectivă. La roata care angrenează cu aceasta se stabileşte sensul săgeţii astfel: dacă săgeată de pe prima roată intră în polul angrenării şi săgeata de pe a doua roată din angrenaj va intra în acest pol, şi invers. Regula se aplică şi pentru celelalte roţi din transmisie.

2

31

Fig. 16

Transmisia în serie se caracterizează prin faptul că pe fiecare arbore din transmisie este o singură roată dinţată (ex. Fig. 17).

Raportul de transmitere pentru o transmisie în serie:

1

3

2

3

1

22312

3

2

2

1

3

113 ))((

zz

zz

zzii

nn

nn

nni

Roata 2 este o roată parazită; numărul ei de dinţi nu influenţează valoarea raportului de transmitere, dar introducerea unei roţi parazite schimbă sensul de rotaţie.

1

2

3

Fig. 17

Transmisia în cascadă se caracterizează prin faptul că există cel puţin un arbore în

transmisie pe care există mai mult de o roată dinţată (ex. Fig. 18). Raportul de transmitere pentru o transmisie în cascadă:

3

4

1

23412

4

3

2

1

4

114 );)((

zz

zzii

nn

nn

nni

unde n2=n3

1

2 3

4

Fig. 18

Gradul de acoperire mai poate fi descris şi ca raportul dintre arcul descris pe cercul de bază din momentul intrării în angrenare şi până în momentul ieşirii din angrenare şi pasul pe cercul de bază (Fig. 19). Arcele de pe cercurile de bază ale roţilor unui angrenaj descrise în timpul

procesului de angrenare sunt egale

2211 dcdc , deoarece aceeaşi dreaptă AB se poate înfăşura şi pe cercul de bază rb1 şi pe cercul de bază rb2, iar punctele A şi B, de început, repectiv de sfârşit al angrenării, descriu în cele două plane mobile ale roţilor câte două evolvente de înfăşurare reciprocă (vezi experimentul din laborator).

Deci ABdcdc

2211 .

Pentru ca două roţi dinţate să angreneze trebuie să aibă acelaşi pas pe cercul de bază ( 21 bbb ppp = pasul pe cercul de bază).

bbbbb p

CKBKCKAK

p

CBAC

p

AB

pdc

pdc 1122

2

22

1

11

b

w21b

21a

22b

22a

b

2w21b

21a2w

22b

22a

psinarrrr

psinrrrsinrrr

unde aw este distanţa dintre axele roţilor ( 2w1ww rra ), iar w = este unghiul de angrenare. Segmentele de dreaptă anterioare se pot exprima din aceleaşi triunghiuri, dar în funcţie de alte mărimi şi se obţine relaţia de mai jos pentru gradul de acoperire.

2

)tgtg(z2

)tgtg(zp

tgrtgrtgrtgr12111222 a1a2

b

babbab

unde z1, z2 reprezintă numerele de dinţi ale roţilor 1, respectiv 2.

S-a folosit relaţia:

z2ppr bb

b .

Pentru ca angrenajul să funcţioneze trebuie ca 1 , adică să existe cel puţin o pereche de dinţi în angrenare în orice moment. De obicei 2,1 .

De exemplu, pentru un grad de acoperire 9,2 , un interval de timp sunt două perechi de dinţi în angrenare şi un interval de timp mai mare ca primul sunt trei perechi de dinţi în angrenare (zecimala indică procentajul de timp). La un grad de acoperire mai mare se va asigura o repartiţie mai bună a sarcinilor, reducând astfel solicitările dinţilor.

a

O

O

r

r

r

rar 1

2ar

w

b

2

2 2

b1

w1

1

A

B

C

K

K

1

2

a1

a2

a1b1

a2b2

c1d1

c2d2

w

Fig. 19

CREMALIERA DE REFERINŢĂ ŞI CREMALIERA GENERATOARE

Organ de referinţă (cremaliera de referinţă, roată plană de referinţă, melc de referinţă) este un organ fictiv, în mod frecvent de formă particulară (cremalieră, roată plană, melc) şi având dantura cu dimensiuni determinate, care serveşte la definirea geometrică a danturilor unei mulţimi sau sistem de roţi dinţate prin metoda înfăşurării de către organul generator (definit şi el prin organul de referinţă) (definiţie conform - STAS 915/2 - 81). Cremaliera de referinţă este cremaliera fictivă, cu dantura având forma şi dimensiunile determinate, folosită ca organ de referinţă pentru definirea unor danturi sau sisteme de danturi cilindrice (definiţie conform STAS 915/3 - 81). Ea este roata dinţată plană care se obţine dintr-o roată dinţată dată, prin creşterea la infinit a numărului de dinţi. Dacă numărul de dinţi este infinit, evolventa se transformă într-o dreaptă, ajungându-se la profilul dinţilor cremalierei. Profilul de referinţă stabilit de STAS 821-82 este profilul în secţiunea normală a cremalierei de referinţă folosit la definirea danturii roţilor cilindrice cu dantură dreaptă sau înclinată,

exterioară sau interioară, în evolventă, utilizate în industria constructoare de maşini (angrenaje de uz general şi angrenaje pentru maşini grele), cu modulul cuprins între 1 mm şi 50 mm. Profilul de referinţă are flancurile rectilinii. Dreapta medie a cremalierei, numită linie de referinţă, împarte dintele în cap şi picior, cu următoarea caracteristică: grosimea dintelui este jumătate din pas, valabilă numai pe această linie. Distanţa între două profiluri omoloage consecutive măsurată pe linia de referinţă, sau pe orice paralelă la aceasta, se numeşte pas al cremalierei de referiţă, p. Modulul reprezintă raportul dintre pasul cremalierei de referinţă şi numărul :

/pm . Gama modulilor pentru angrenaje cilindrice în evolventă şi angrenaje conice cu dinţi drepţi se adoptă conform STAS 822-82. Valorile modulului m indicate în continuare (în mm) reprezintă modulul normal pentru angrenaje cilindrice şi modulul pe conul frontal exterior pentru angrenajele conice cu dinţi drepţi: I-0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 60; 80; 100; II- 0,005; 0,07; 0,09; 0,11; 0,14; 0,18; 0,22; 0,28; 0,35; 0,45; 0,55; 0,7; 0,9; 1,125; 1,375; 1,75; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11; 14; 18; 22; 28; 36; 45; 55; 70; 90. Dimensiunile caracteristice ale profilului de referinţă sunt definite în raport cu linia de referinţă. Profilul de referinţă se defineşte prin următorii parametri: unghiul de presiune de referinţă, înălţimea capului de referinţă, înălţimea dintelui de referinţă, raza de racordare de referinţă la piciorul dintelui. Unghiul de profil 0 al cremalierei, denumit unghi de presiune de referinţă, este de 020 . Înălţimea capului de referinţă este: mmhh aa 1*

00 . Înălţimea piciorului de referinţă este: 000 chh af , unde mmcc 25,0*

00 reprezintă jocul de referinţă la picior cu profilul conjugat, asigurat de valorile parametrilor care definesc profilul de referinţă. Înălţimea dintelui de referinţă este: mmhh 25,2*

00 . Raza de racordare de referinţă la piciorul dintelui este: mmff 38,0*

00 . Coeficientul de înălţime al capului dintelui ( *

0ah ) poate fi egal cu 0,8 sau 0,75, când se obţin dinţi scurtaţi, mai robuşti, deci mai rezistenţi la şocuri, ca în construcţia cutiilor de viteze.

Fig. 20

Organ generator (cremalieră generatoare, roată plană generatoare, melc generator, …) - este organul dinţat fictiv sau real (cu dantură definită independent sau printr-un organ de referinţă), care serveşte la generarea prin înfăşurare a unei danturi sau a unei mulţimi de danturi (definite direct prin organul generator sau prin mijlocirea organului de referinţă) (definiţie conform STAS 915/2 - 81). Organul generator poate fi real - scula - dacă prelucrarea se face prin metoda copierii (scula are în acest caz profilul golului) şi fictiv, dacă prelucrarea se face prin aşchiere, servind la generarea danturii roţii dinţate cu dantură exterioară, prin metoda rostogolirii (numită şi metoda rulării). Într-un proces de angrenare, în condiţii cinematice şi geometrice determinate, flancurile dinţilor roţii generate rezultă ca suprafeţe înfăşurătoare ale poziţiilor succesive ale flancurilor dinţilor organului generator în mişcarea relativă faţă de roata generată. Cremaliera generatoare este negativul cremalierei de referinţă, care se potriveşte în cremaliera de referinţă astfel încât dinţii uneia să umple exact golul dinţilor celeilalte. Portiunea rectilinie a cremalierei generatoare determină profilul evolventic al dintelui roţii, şi se numeşte profil de bază (zona activă a profilului), iar porţiunea de racord a cremalierei generatoare determină profilul de racord al dintelui roţii dinţate. Roţile dinţate ale unui angrenaj paralel sau concurent cu raport de transmitere constant se pot prelucra prin rostogolire cu o pereche de cremaliere generatoare congruent-complimentare, care se consideră fără mişcare relativă între ele în timpul procesului de angrenare. Perechea de cremaliere generatoare ale flancurilor conjugate ale dinţilor roţilor, congruent-complimentare, se intersectează pe porţiunile corespunzătoare jocului radial dintre dinţii conjugaţi.

20°

p/2p cremaliera de referinta 1

cremaliera generatoare 1

linie de referintahoa

hoa

co=0,25m

hofho

r=0,38m

Fig. 21

r=0,38m

p/2p

cremaliera de referinta 2

cremaliera generatoare 2

linie de referintahoa

hoa

co=0,25m

20°hof

ho

Fig. 22

perechea de cremaliere generatoare

linie de referinta

Fig. 23

linie de referinta

profilul de baza comun perechii de generatoare

Fig. 24

CERCUL DE DIVIZARE (cerc primitiv de prelucrare)

Considerăm prelucrarea unei roţi prin rostogolire, în angrenarea plană roată dinţată -cremalieră generatoare, în care roata dinţată se roteşte cu viteza unghiulară iar cremaliera generatoare translatează cu viteza liniară rv . Cercul de rostogolire în timpul prelucrării (de rază r) - cel care se rostogoleşte fără alunecare peste o dreaptă a cremalierei generatoare paralelă cu linia de referinţă (poate fi chiar linia de referinţă, sau o paralelă la aceasta, în funcţie de poziţionarea sculei faţă de centrul roţii dinţate) - se numeşte cerc de divizare al roţii. Cercul de divizare şi dreapta tangentă la acesta reprezintă centroidele mişcării. Cercul de divizare şi cercul de bază sunt două cercuri bine determinate şi constante ale unei roţi. Cercurile de rostogolire se definesc pentru angrenajul format prin asamblarea celor două roţi dinţate. Deoarece angrenarea cu cremaliera stă la baza prelucrării prin rostogolire a roţilor dinţate, cercul de divizare se mai numeşte şi cerc primitiv de prelucrare. Deoarece cercul de divizare şi dreapta tangentă la acesta reprezintă centroidele mişcării (nu există alunecare între cele două curbe, numai rostogolire pură), pasul pe cercul de divizare este egal cu pasul cremalierei generatoare (grosimea dintelui - ds - şi lărgimea golului - de - măsurate pe cercul de divizare pot fi egale sau diferite), respectiv pasul cremalierei de referinţă. Pentru ca două roţi dinţate să angreneze, deoarece se pot prelucra prin rostogolire cu o pereche de cremaliere generatoare congruent-complimentare, cu acelaşi pas, trebuie ca cele două roţi dinţate să aibă acelaşi pas al cremalierei de referinţă, adică acelaşi modul.

Pentru calculul diametrului cercului de divizare se exprimă lungimea cercului de divizare în două moduri: în funcţie de diametrul de divizare ( dL ), respectiv în funcţie de numărul de dinţi ai roţii ( pzL ).

pzd Din relaţia anterioară se determină diametrul de divizare:

mzpzd

Deci, diametrul de divizare se calculează cu formula: mzd ,

unde m reprezintă modulul pe cercul de divizare (adică modulul cremalierei de referinţă), iar z reprezintă numărul de dinţi.

Modulul este standardizat pe cercul de divizare (m). Unghiul de presiune în punctul de pe profil la intersecţia cu cercul de divizare este egal cu unghiul de presiune de referinţă 0 al cremalierei generatoare.

PROFIL NORMAL. PROFIL DEPLASAT

Deplasarea de profil este distanţa măsurată pe perpendiculara comună între cilindrul de divizare al unei roţi şi planul de referinţă al cremalierei ei de referinţă, când cremaliera şi roata sunt suprapuse astfel încât flancurile dinţilor roţii şi flancurile dinţilor cremalierei sunt tangente. Prin convenţie, deplasarea este pozitivă dacă planul de referinţă este exterior cilindrului de divizare şi este negativă dacă îl intersectează. În cazul danturilor interioare, definiţia este valabilă dacă profilul considerat este cel al golului dintre dinţi. Deplasarea absolută a cremalierei generatoare se calculează cu formula: e=xm, unde x se numeşte deplasarea specifică (relativă), sau coeficient de deplasare. Coeficientul deplasării de profil (deplasarea specifică) - x- (coeficientul normal sau frontal al deplasării de profil) este raportul dintre deplasarea de profil şi modul (normal sau frontal). Dantură normală, elementară, zero, sau nedeplasată

Fig. 25

mx

sd

so 2mxtg

mxlinie de referinta (0)

(+)

0

0

Fihg. 26

Dantura, respectiv roata dinţată cilindrică în evolventă definită cu deplasare de profil nulă se numeşte dantură zero. Dreapta primitivă a cremalierei generatoare în acest caz este chiar linia ei de referinţă, deoarece aceasta din urma este tangentă la cercul de divizare. Dantură deplasată Dacă linia de referinţă a cremalierei nu mai este tangentă la cercul de divizare, dantura se numeşte deplasată. - dantură cu deplasare negativă Dacă linia de referinţă se deplasează către axa roţii, fiind secantă cercului de divizare, dantura se numeşte cu deplasare negativă (roată negativă). Dintele este mai subţire la bază şi mai gros la vârf. - dantură cu deplasare pozitivă Dacă linia de referinţă a cremalierei se îndepărtează de axa roţii, şi nu mai intersectează cercul de divizare, dantura se numeşte cu deplasare pozitivă (roată pozitivă). Dintele este mai gros la bază şi mai subţire la vârf. Indiferent dacă deplasarea este zero, pozitivă sau negativă, pasul pe cercul de divizare este acelaşi cu al cremalierei de referinţă:

ppd Pentru deplasarea pozitivă sau negativă, grosimea dintelui şi lărgimea golului, măsurate pe cercul de divizare, sunt diferite: dd es Pentru dantura elementară: dd es Pentru deplasarea pozitivă, respectiv negativă, se observă că prin deplasarea cremalierei cu xm se formează la vârful cremalierei un triunghi isoscel cu înălţimea egală cu deplasarea xm; din acest triunghi se determină latura care reprezintă mărirea sau micşorarea grosimii dintelui pe cercul de divizare, mărimea 02 xmtg (Fig. 26).

022

xmtgmsd .

Prin deplasarea de profil la o roată nu se modifică cercul de divizare, dar se modifică cercul de cap, cel de picior şi înălţimea capului şi piciorului dintelui.

Diametrul de picior al roţii cu deplasare de profil pozitivă, respectiv negativă, este: xm2m)ch(2dd *

0*0f

Diametrul de cap al roţii cu deplasare de profil este: xm2mh2dd *

0a Deplasarea cremalierei este însă limitată, conform unor criterii prezentate în continuare.

ARCUL DINTELUI PE UN CERC DE RAZĂ OARECARE

Se notează 2 unghiul la centru, corespunzător unui dinte al roţii dinţate.

O r

ssy

0

yinvinv

y

0

r

yr

b

Fig. 27

Valoarea lui se exprimă cu următoarele relaţii:

y

yy0 r2

sinv

r2sinv

Arcul dintelui pe un cerc de rază ry se determină din relaţiile anterioare.

]s)invinv(r2[r2

r2)

r2sinvinv(r2s y0

yy0yy

Substituind relaţiile:

2mzr ,

0

b

cosrr

, y

by cos

rr

,

în expresia anterioară, se obţine:

]mxtg22m)invinv(mz[

coscoss 0y0

y

0y

)]invinv(zxtg22

[coscosms 0y0

y

0y