1

1. COMPENSAREA MĂSURĂTORILOR CONDIŢIONATE

Măsurătorile condiţionate reprezintă un caz particular al măsurătorilor directe, de

aceeaşi precizie sau ponderate, când mărimile acestora nu sunt independente, ci trebuie sa

satisfacă o serie de relaţii de condiţie sau analitice .

În reţeaua de triangulaţie geodezică sau topografică există lanţuri sau reţele de

triunghiuri şi poligoane care trebuie compensate. Apare evident faptul că, între unghiurile

orizontale măsurate precum şi între unghiurile şi laturile măsurate, există anumite relaţii

geometrice impuse prin construcţie. Pentru această compensare, este foarte important să se

stabilească anticipat numărul acestor relaţii şi caracterul lor, fiind necesar a se păstra numai

relaţiile independente. De asemenea, trebuie să se facă distincţia dintre numărul măsurătorilor

suplimentare. Comparativ cu compensarea măsurătorilor indirecte, compensarea prin metoda

măsurătorilor directe condiţionate a cunoscut o aplicabilitate mai redusă, în ultimii ani. Cauza

se datoreşte faptului că metoda măsurătorilor indirecte se pretează mai bine la programarea pe

calculatoarele electronice. În anumite situaţii, metoda măsurătorilor directe condiţionate

oferă soluţii cu mai multă rapiditate, în comparaţie cu metoda măsurătorilor indirecte, în

special pentru reţelele geodezice de anumite tipuri. Metoda măsurătorilor condiţionate se

aplică în general în geodezie, la compensarea reţelelor de sprijin (triangulaţie, trilateraţie,

poligonometrie, nivelment). 0 reţea de sprijin, de exemplu de triangulaţie, este

constituită dintr-o succesiune de figuri geometrice (triunghiuri, patrulatere, poligoane).

Pentru realizarea acestei reţele se măsoară unghiuri şi laturi. În general însă, pentru

eliminarea greşelilor şi îmbunătăţirea preciziei, nu ne limităm la a măsura un număr de

elemente (unghiuri, laturi) strict necesare pentru construirea reţelei respective, ci se măsoara

un număr de elemente în plus. Este evident căci între unghiurile măsurate, precum şi între

unghiuri şi laturi, există anumite relaţii geometrice impuse de geometria reţelei. Pentru

rezolvarea problemei de compensare este util să se evalueze numărul acestor relaţii cât ş i

caracterul lor, păstrând însă doar relaţiile independente. Numărul ecuaţiilor de condiţie

independente este egal cu numărul măsurătorilor efectuate în plus (nr. gradelor de

libertate).

Exemplu:

Pentru construirea unui triunghi sunt necesare 3 elemente dintre care cel putin

unul liniar. Presupunând că este cunoscută o latură, atunci este necesar şi suficient,

pentru construirea triunghiului să se măsoare două unghiuri. Dacă se măsoară şi cel de-al

treilea unghi, atunci ele trebuie să satisfacă conditia:

2

A+ B + C = 200g

Având deci o măsurătoare în plus, este necesar să întocmim o ecuaţie de condiţie.

Deoarece valorile obţinute din măsuratori sunt afectate în mod inerent de erori, condiţia

nu va fi riguros satisfăcută, de aceea:

A+B+C-200g= w

unde, discordanţa w reprezintă neînchiderea în triunghi ca urmare a erorilor de măsurare.

Pentru a satisface condiţia 200g este necesar ca valorile măsurate, afectate de

erori să fie modificate cu anumite cantitaţi, numite corecţii (vi)

Vom avea astfel:

(A+ vA)+ (B + vB)+ (C + v C ) – 200g =0

Ţinând seama de A+B+C-200g= w ,se obţine ecuaţia de condiţie a corectiilor:

VA + VB + VC+ w =0

Se presupune că, pentru aflarea unui număr n de mărimi, notate cu X1, X2 ,......... Xn s-

au efectuat măsurătorile directe M10, M2

0 ,........., Mn0. În acelaşi timp, necunoscutele

X1, X2 ,......... Xn trebuie să satisfacă un număr r de relaţii sau ecuaţii de condiţie,

independente între ele, de forma :

f1(X1, X2 ,......... Xn ) = 0

f2(X1, X2 ,......... Xn ) = 0

..................................... 1

fr(X1, X2 ,......... Xn ) = 0

unde numărul măsurătorilor directe trebuie să fie mai mare decât numărul ecuaţiilor de

condiţie n > r , pentru ca problema să poată fi rezolvată; în caz contrar, ea este nedeterminată

.

Dacă în ecuaţiile de mai sus în locul valorilor probabile Xi ( i=1,2,.........,n) se introduc

rezultatele obţinute din măsurătorile directe Mi0 , atunci, datorită erorilor inerente de măsurare

, rezultatele măsurătorilor directe Mi0 nu vor satisface exact ecuaţiile de condiţie, obţinându-se

rezultate diferite de zero:

f1(M10, M2

0 ,........., Mn0) = w1

f2(M10, M2

0 ,........., Mn0) = w2

............................................... 2

fr(M10, M2

0 ,........., Mn0) = wr

Mărimile w1,w2, ............wr astfel obţinute, arată nepotrivirea dintre valorile probabile

şi cele determinate prin măsurători directe, fiind denumite neînchideri sau discordanţe ,

3

reprezentând termenii liberi. Mărimile neînchiderilor sunt funcţie de mărimile măsurate direct

Mi0 . Pentru aflarea celor mai probabile valori ale mărimilor măsurate direct, care să satisfacă

ecuaţiile de condiţie, trebuie ca mărimile măsurate direct pe teren Mi0 , sa fie corectate cu

mărimile vi.

Xi = Mi0 + vi 3

În acest fel, oricare ar fi valorile neînchiderilor, totdeauna trebuie să se obţină

verificarea ecuaţiilor de condiţie :

f1(M10 + v1, M2

0 + v2,........., Mn0 + vn) = 0

f2(M10 + v1, M2

0 + v2,........., Mn0 + vn) = 0

.......................................................... 4

fr(M10 + v1, M2

0 + v2,........., Mn0 + vn) = 0

Pentru aceasta, valorile corecţiilor vi , care elimină neînchiderile wi în ecuaţiile de

condiţie, se pot determina prin mai multe metode.

a1X1 + a2X2 ,......... anXn + a0 = 0

b1X1 + b2X2 ,......... bnXn + b0 = 0

.................................................... 5

h1X1 + h2X2 ,......... hnXn + h0 = 0

făcându-se înlocuirile în relaţia (3), se obţine următorul sistem de ecuaţii liniare de condiţie,

pentru corecţii:

a1v1 + a2v2 ,......... anvn + w1 = 0

b1v1 + b2v2 ,......... bnvn + w2 = 0

.................................................. 6

h1v1 + h2v2 ,......... hnvn + wr = 0

unde s-au notat prin w1,w2, ............wr , erorile de închidere a ecuaţiilor de condiţie

w1 = a1M10 + a2M2

0 +,........., an Mn0 + a0) = 0

w2 = b1M10 + b2M2

0 +,........., bn Mn0 + b0) = 0

.................................................................. 7

w1 = h1M10 + h2M2

0 +,........., hn Mn0 + h0) = 0

Semnul acestor mărimi se determina ţinând cont de faptul că

±w = valoarea măsurată – valoarea teoretică 8

În practica compensărilor, ecuaţiile de condiţie (1) pot avea o formă neliniară, în acest

caz neputându-se aplica principiul celor mai mici pătrate. Ecuaţiile (4) constituie modelul

funcţional sub formă neliniară la compensarea măsurătorilor directe condiţionate. De aceea,

mai întâi se va face liniarizarea sistemului ecuaţiilor de condiţie, prin dezvoltare în serie

4

Taylor a ecuaţiilor (4), neglijându-se termenii de ordinul II şi mai mari ,In final obţinându-se

sistemul liniar al ecuaţiilor de condiţie ale corecţiilor vi , unde numărul ecuaţiilor este mai mic

decât numărul măsurătorilor directe, r < n, la fel cu sistemul (6).

a1v1 + a2v2 ,......... anvn + w1 = 0

b1v1 + b2v2 ,......... bnvn + w2 = 0

.................................................. 9

h1v1 + h2v2 ,......... hnvn + wr = 0

Dacă r = n, problema compensării îşi pierde semnificaţia. În ecuaţiile (6) şi (9) ,

coeficienţii ai, bi, ..........,hi sunt numere constante care nu depind de măsurători;

vi - corecţii

w – erori de închidere (neînchideri)

De asemenea fiecare neînchidere w, este în funcţie de erorile de măsurare sau de

abaterile vi . Conform ecuaţiilor (6) şi (9) , suma algebrică a corecţiilor vi a mărimilor

măsurate Mi0, împreuna cu neînchiderea w, este egala cu zero:

( [ av ] + w1 = 0, [ bv ] + w2 = 0,........[ hv ] + wr = 0)

1.1 Aplicarea principiului teoriei celor mai mici pătrate

Sistemul liniar al ecuaţiilor de condiţie ale corecţiilor (9) , în care numărul

necunoscutelor este mai mare decât numărul ecuaţiilor n > r , contrar celor arătate la

compensarea măsurătorilor indirecte, pare din punct de vedere algebric, că nu ar putea fi

rezolvat, şi ca ar trebui ca numărul ecuaţiilor să fie măcar egal cu numărul ecuaţiilor de

condiţie (9), corecţiile de determinat v1,v2,......,vn sunt nişte valori foarte mici, asemănătoare

erorilor din care cauză lor li se va putea aplica principiul teoriei celor mai mici pătrate, după

care suma pătratelor corecţiilor trebuie sa tinda către minim.

[vv]→min , 10

în cazul măsurătorilor directe condiţionate de aceeaşi precizie

[pvv]→min, 11

în cazul măsurătorilor condiţionate ponderate

Întrucât corecţiile de determinat v1,v2,......,vn trebuie sa satisfacă simultan atât ecuaţiile

de condiţie ( 9 ), cât şi condiţia de minim (10) şi (11), ele se vor determina prin două metode

şi anume :

Metoda corelatelor, proprie măsurătorilor condiţionate;

Metoda reducerii la cazul măsurătorilor indirecte.

1.2 Stabilirea numărului de ecuaţii de condiţie independente,într-o problema de

triangulaţie

5

De exemplu, la compensarea unei reţele de triunghiuri şi poligoane, acestea putând fi

reduse la cazul triunghiurilor, trebuie să se stabilească numărul ecuaţiilor de condiţie

independente, care se pot stabili între unghiuri, respectiv între unghiuri şi laturi.

La stabilirea numărului ecuaţiilor de condiţie se va folosi relaţia :

Numărul ecuaţiilor

de condiţie =

Numărul

măsurătorilor

efectuate

-

Numărul

măsurătorilor strict

necesare

La aceasta operaţie , se vor avea în vedere condiţiile interioare şi exterioare ale reţelei

considerate.

1. condiţii interioare, sunt condiţiile geometrice pe care trebuie să le îndeplinească

măsurătorile geodezice, efectuate într-o reţea de triangulaţie . Se disting următoarele

tipuri de ecuaţii posibile:

ecuaţie de tur de orizont, suma unghiurilor în jurul unui punct trebuie să fie

egala cu 400g

ecuaţia sumă de unghiuri într-o figură geometrică , ecuaţia de figură : suma

unghiurilor într-un triunghi plan trebuie sa fie egala cu 200 g

ecuaţia de pol : pornindu-se de la o latură din reţea pot exista cel puţin două

posibilităţi de calculare a unei laturi din reţea .

ecuaţii de condiţie pentru coordonatele unui punct, ce pot fi determinate pe cel

puţin două căi diferite.

2. condiţii exterioare intervin în cazul în care reţelele de triangulaţie noi, sunt constrânse

pe reţele de triangulaţie vechi, de ordin superior . În cazul reţelelor constrânse, se

disting următoarele tipuri de ecuaţii :

ecuaţii de acord pe laturi ,care intervin când în reţeaua considerată există

mai mult decât o singură latură cunoscută , numărul lor este dat de nr. total

de laturi cunoscute, mai puţin una;

ecuaţii de acord pe baze geodezice, care intervin când în reţea s-au măsurat

mai multe baze geodezice , nr. lor este egal cu numărul bazelor măsurate,

mai puţin una.

ecuaţii de acord pe azimute (elipsoid) sau pe orientări (planul de

proiecţie),nr. lor este egal cu nr. azimutelor măsurate sau a orientărilor

laturii cunoscute, mai puţin una;

6

ecuaţii de acord pe coordonate, care intervin când în reţeaua de

triangulaţie se cunosc puncte separate sau grupe de puncte, prin

coordonatele lor plane; nr. lor este egal cu 2(R-1), , unde R=fixă nr. de

puncte separate, care nu au legătură , dintr-un grup se elimină punctele care

au între ele o legătură fixă .

Un impediment important în aplicarea metodei observaţiilor condiţionate constă în

scrierea corectă a ecuaţiilor de condiţie pe care trebuie să le satisfacă măsurătorile efectuate în

reţeaua geodezică. Numărul total al acestor ecuaţii se va stabili cu o formulă simplă, care se

va deduce şi cu relaţia: r = n - u . Scrierea efectivă a ecuaţiilor de condiţie, necesare şi

suficiente, reprezintă însă o problemă dificilă, în special în cazul reţelelor planimetrice

extinse, în care pot interveni măsurători unghiulare şi de distanţe, efectuate după reguli care

diferă de la o reţea geodezică la alta.

Din acest punct de vedere pot interveni următoarele neajunsuri:

în cazul în care se omit unele ecuaţii de condiţie, rezultatele finale ale compensării

vor fi inexacte, deoarece acestea nu vor verifica condiţiile omise, rezultând astfel o

reţea geodezică incomplet geometrizată;

atunci când se scrie, din neatenţie, o ecuaţie de condiţie care reprezintă consecinţa

altor ecuaţii deja scrise (cum ar fi, de exemplu, suma sau diferenţa acestora

ş.a.m.d), va rezulta o nedeterminare la rezolvarea sistemului de ecuaţii normale

corespondent Determinantul acestuia devine nul, astfel încât sistemul de ecuaţii

respectiv nu poate fi rezolvat.

Asemenea dificultăţi nu intervin la metoda observaţiilor indirecte, unde fiecărei

măsurători îi corespunde o ecuaţie de corecţie de forma xXf vm 0 . Programatorul

nu trebuie să cunoască geometria reţelei geodezice ci să ştie numărul şi genul de măsurători

geodezice efectuate, coordonatele punctelor vechi (considerate ca fixe) precum şi

coordonatele provizorii ale punctelor noi. Multe programe de calcul performante realizează şi

determinarea coordonatelor provizorii, calculul unor corecţii preliminarii care se aduc

măsurătorilor înainte de începerea prelucrării etc.

1.3 Tratarea matriceală a măsurătorilor condiţionate ponderate

Fie sistemul liniar ecuaţiilor de condiţie ale corecţiilor:

a1v1 + a2v2 ,......... anvn + w1 = 0

b1v1 + b2v2 ,......... bnvn + w2 = 0

.................................................. (1)

7

h1v1 + h2v2 ,......... hnvn + wr = 0

3

2

1

)n,n(

p00

0p0

00p

P matricea ponderilor (2)

Ne propunem să determinăm valorile cele mai probabile ale corecţiilor vi

(1) , poate fi scris matricial : Av+w=0 (3)

n21

n21

n21

)n,r(

rrr

bbb

aaa

A

n

2

1

)1,n(

v

v

v

v

r

2

1

)1,r(

w

w

w

w

r < n → sistem nedeterminat

Pentru a elimina nedeterminarea , sistemul (3) vom folosi metoda celor mai mici

pătrate

[pvv] = min (4)

Avem o problema de minim condiţionat :

vT(1,n)p(n,n) v (n,1)= min (5)

v=p-1ATk (6)

(Ap-1AT)k + w = 0 (7)

(7) – sistemul normal al corelatelor

Nk+w=0 (8)

k=-N-1w (9)

cu ajutorul corelatelor din (9) determinam corecţiile cu relaţia (6) pe care le aplicăm

mărimilor măsurate l şi obţinem valorile compensate x

x=l+v (10)

Calculul preciziilor

1.-eroarea medie pătratica a unităţi de pondere;

2.-eroarea medie pătratică a unei funcţii de mărimi compensate

3.-erorile medii pătratice ale necunoscutelor x

4.-matricea de varianţă-covarianţă

1.-r

pvvT

0 vTpv=-kv ff0f Q

8

1.4 Estimarea preciziei la metoda observaţiilor condiţionate

1.4.1 Abaterea standard a unităţii de pondere

Deoarece sistemul de ecuaţii de condiţie (9) este constituit dintr-un număr r de ecuaţii,

care este întotdeauna mai mic decât numărul n de corecţii v (condiţia r < n), se apelează la un

artificiu de calcul, cunoscut sub denumirea de transformarea măsurătorilor condiţionate în

măsurători indirecte (Botez, 1961, pg. 264). În acest scop se exprimă primele r corecţii v din

sistemul (7), în raport de celelalte corecţii vr+1 , vr+2, …, vn:

,L vNvBvAv

; LvNvBvAv

; L vN vB vAv

rnr2rr1rrr

2n22r21r22

1n12r11r11

11 la care se vor adauga, desigur, identităţiile:

. vv

;v v

;vv

nn

2r2r

1r1r

12

Reamintim, pentru o recapitulare pe care o considerăm didactic necesară:

r reprezintă numărul de ecuaţii de condiţie la metoda observaţiilor

condiţionate;

n reprezintă numărul de măsurători mo efectuate în reţeaua geodezică, care se

păstrează acelaşi atât la metoda observaţiilor indirecte cât şi la metoda

observaţiilor condiţionate ;

u reprezintă numărul de necunoscute (parametri) X care se determină în

reţeaua geodezică, atunci când la prelucrare se utilizează metoda observaţiilor

indirecte.

Aşa cum se anticipa la începutul capitolului, numărul total de ecuaţii de condiţie r se

poate stabili cu uşurinţă, pin utilizarea formulei r=n-u

Componenta de la numărătorul relaţiei (13) se poate deduce în două modalităţi, pentru

control: calculul direct şi, respectiv, cu utilizarea relaţiei 0

[ ]pvvs

r

1.4.2. Abaterea standard (eroarea medie) a unei măsurători oarecare 0

im

Deoarece toate rezultatele la metoda observaţiilor condiţionate trebuie să coincidă cu

cele de la metoda observaţiilor indirecte, ambele metode fiind riguroase, abaterea standard

9

(eroarea medie) a unei măsurători oarecari se determină, după compensare, cu aceeaşi

formulă:

. i

0

mp

ss 0

i

1.4.3. Abaterea standard (eroarea medie) a unei funcţiuni de mărimi compensate

Determinarea abaterii standard (erorii medii) a unei mărimi oarecare rezultate din

prelucrarea măsurătorilor prin metoda observaţiilor condiţionate (de exemplu cota unui reper

de nivelment) se realizează cu o oarecare dificultate, comparativ cu metoda observaţiilor

indirecte. O astfel de mărime trebuie exprimată, în prealabil, ca o funcţie de mărimile

compensate m, care la rândul său sunt reprezentate de măsurătorile m0 şi corecţiile acestora v

:

)vm ,... ,vm ,vF(m F n0n2

021

01 . (14)

Atunci când funcţia considerată nu este de formă liniară, se poate proceda astfel:

F = f0 + f1v1 + f2v2 +…+ fnvn , (15)

unde :

)m ,... ,m ,F(m f 0n

02

010 (16)

, FF0F Qss (17)

unde QFF este coeficientul de pondere al funcţiei considerate

Metoda observaţiilor condiţionate utilizatǎ la rezolvarea reţelelor de nivelment este cunoscutǎ

sub denumirea de metoda poligoanelor, întrucât numǎrul condiţiilor geometrice este dat de

numǎrul poligoanelor reale şi fictive existente în reţea.

Numǎrul total de condiţii geometrice „r”, într-o reţea de nivelment se stabileşte cu relaţia:

1pr pf pr vr n n n N (18)

unde:

npr- numǎrul poligoanelor reale;

npf- numǎrul poligoanelor fictive;

NV- numǎrul punctelor vechi.

Metoda observaţiilor condiţionate este mai avantajoasǎ decât metoda observaţiilor indirecte,

în cazul când, numǎrul punctelor noi este mai mare decât numǎrul condiţiilor geometrice.

10

Exemple de reţele :

Se dă reţeaua de nivelment geometric din figură, se cunosc cota punctului vechi HA ,

lungimile tronsoanelor Lij şi diferenţele de nivel hij .

Se cer :

Cotele cele mai probabile ale punctelor noi B, C, şi D;

Erorile medii pătratice ale punctelor noi;

Se va trata matriceal;

Av+w=0

Nk+w=0

K=-(AP-1AT)-1W

v=P-1ATk

Compensarea pe unghi a unui poligon cu centru

Fie poligonul din figură în care sunt măsurate toate unghiurile şi o latură, numărul ecuaţiilor

de condiţie r = 5

Scrierea ecuaţiilor de condiţie:

1. 1° + 2° + 3° - 200 =0

2. 4° + 5° + 6° - 200 =0

3. 7° + 8° + 9° - 200 =0

4. 3° + 6° + 9° - 400 =0

5. 1sin2sin

BDAD ADBD

2sin

1sin

Schita retelei de

nivelment

A(70,

00))

B C

D

1

4 6

2 3

5

I

I

I

II

I

11

5sin4sin

BDCD BDCD

5sin

4sinAD

5sin

4sin

2sin

1sin

7sin8sin

ADCD ADCDAD

8sin5sin2sin

7sin4sin1sin

8sin

7sin

018sin5sin2sin

7sin4sin1sin)5

Primele 4 ecuaţii sunt liniare, iar ecuatia 5 va trebui liniarizată, fiind o funcţie

F(1°,4°,7°,2°,5°,8°):

1. 2003210 11321 wwvvv

2. 02654 wvvv

3. 03987 wvvv

4. 04963 wvvv

5. 0852741

,2°,5°,8°)F(1°,4°,7° 852141

w5

v

Fv

Fv

Fv

Fv

Fv

F

118sin5sin2sin

7sin4sin1sin

2

15

P

Pw

Ex: derivatele unor funcţii uzuale (sinx)’=cosx, x € R 2

1

u

u

u

1

F=

2

11sin

1sin

18sin5sin2sin

7sin4sin1sin

1sin

1cos

8sin5sin2sin

7sin4sin1cos

P

Pctg

A

B

C

D 1

2 4

3 6

5

7

8 9

12

7

F

2

17P

Pctg

4

F

2

14P

Pctg

2

F=

2

1

2

2

)2(8sin5sin

7sin4sin1sin

sin

2cos

P

Pctg

5

F=

2

1)5(P

Pctg

8

F=

2

1)8(P

Pctg

Ecuaţia 5 liniarizată are forma

018754212

18

2

17

2

15

2

14

2

12

2

11

2

11

2

P

Pvctg

P

Pvctg

P

Pvctg

P

Pvctg

P

Pvctg

P

Pvctg

P

PP

P

018754211

2875421

P

Pvctgvctgvctgvctgvctgvctg

13

2. REALIZAREA REŢELELOR GEODEZICE DE SPRIJIN

2.1. GENERALITĂŢI

Poziţia în spaţiu a unui punct din reţeaua de triangulaţie este definită, în mod curent, în

raport de două suprafeţe diferite: pe de o parte elipsoidul pentru coordonatele , sau planul

de proiecţie pentru coordonatele x, y şi pe de altă parte, geoidul şi cvasigeoidul (cogeoidul)

pentru altitudinea H în funcţie de sistemul de altitudini acceptat oficial.

Alături de alte metode geodezice: poligonometria, triangulaţia, nivelmentul, însoţite

uneori de determinări astronomice şi gravimetrice, trilateraţia participă la crearea reţelei

geodezice de sprijin, prin care se înţelege totalitatea punctelor, situate pe suprafaţa

Pământului, pentru care se cunosc coordonatele într-un anumit sistem tridimensional, acceptat

ca (de) referinţă. Este cunoscut că pe această reţea de sprijin se dezvoltă în continuare

lucrările topografice şi fotogrametrice, existănd de fapt o legătură intrinsecă între toate aceste

metode, deoarece în totalitatea lor, acestea sunt subordonate scopului final al geodeziei.

Această afirmaţie o putem justifica dacă ne amintim de definiţia clasică a geodeziei care

aparţine lui F. R. Helmert 1880 „Geodezia este ştiinţa măsurării şi reprezentării suprafeţei

Pământului”.

Reţeaua geodezică de stat este creată separat pentru triangulaţie şi nivelment,

constituie principala reţea de sprijin pentru lucrările topo-geodezice. Are ca scop dezvoltarea

şi întreţinerea reţelei geodezice de stat de ordinul I-IV şi a reţelei de ridicare de ordinul V.

2.2. CLASIFICAREA REŢELELOR GEODEZICE

O reţea geodezică este compusă dintr-o mulţime de puncte, situate pe suprafaţa

Pământului, ale căror coordonate sunt determinate într-un sistem de referinţă unitar.

Reţelele geodezice pot fi clasificate în mai multe categorii, funcţie de :

- destinaţie;

- formă;

- tipul de mǎsurǎtori efectuate în reţea;

- numǎrul de elemente fixe;

- numǎrul de dimensiuni al spaţiului de amplasare;

14

2.2.1. Clasificarea reţelelor după destinaţie

1. Reţea geodezicǎ de stat. Este principala reţea geodezică de sprijin pentru toate

lucrările topografice, cadastrale, inginereşti şi fotogrametrice.

2. Reţea geodezicǎ localǎ. Este folosită în general pentru lucrări inginereşti

(construcţii hidroenergetice, centrale nucleare, etc.) sau ori de câte ori precizia reţelei

geodezice de stat nu este suficientă pentru anumite cerinţe.

2.2.2. Clasificarea reţelelor dupǎ formǎ

1. Reţele formate din lanţuri de triunghiuri. Sunt reţelele formate în principal din

triunghiuri, patrulatere cu ambele diagonale vizate şi uneori poligoane cu puncte centrale,

dispuse în general în lungul meridianelor şi paralelelor, la intersecţia lor existând puncte

Laplace.

2. Reţele compacte de triangulaţie. Sunt reţele care acoperă integral suprafaţa

terenului, fără golurile caracteristice reţelelor formate din lanţuri de triunghiuri.

2.2.3. Clasificarea reţelelor dupǎ tipul de mǎsurǎtori efectuate în reţea

1. Reţele de triangulaţie. Sunt reţelele în care măsurătorile majoritare sunt direcţiile

şi eventual câteva baze pentru punerea în scară a reţelei.

2. Reţele de trilateraţie. Sunt reţelele în care se măsoară numai distanţe.

3. Reţele realizate cu ajutorul tehnologiei GNSS. Sunt reţele în care se măsoară

timpul de propagare a semnalului de la satelit la receptor. Aceste măsurători folosesc la

determinarea vectorilor de poziţie dintre două puncte.

4. Reţele mixte. Sunt reţelele în care s-au făcut măsurători atât de unghiuri cât şi de

distanţe, sau chiar şi determinǎri cu ajutorul tehnologiilor GNSS..

2.2.4. Clasificarea reţelelor dupǎ numǎrul de elemente fixe din reţea

1. Reţele geodezice libere. Sunt reţelele care au caracteristic faptul cǎ nu sunt legate

de un sistem de coordonate anume. În reţelele libere intervin numai mǎsurǎtorile necesare

determinǎrii reţelei din punct de vedere geometric (fǎrǎ coordonate şi orientǎri ale unor puncte

anterior determinate într-un sistem de coordonate anume).

15

2. Reţele geodezice fǎrǎ constrângeri. Sunt reţelele care spre deosebire de reţelele

libere cuprind şi un numǎr strict necesar şi suficient de elemente necesare încadrǎrii acestora

într-un sistem de coordonate. Pentru realizarea încadrǎrii într-un sistem de coordonate este

nevoie de coordonatele a douǎ puncte sau de coordonatele unui punct şi de o orientare.

3. Reţele geodezice constrânse. Sunt reţelele pentru încadrarea într-un sistem de

coordonate avem un numǎr suplimentar de elemente, aşadar avem mai mult decât

coordonatele a douǎ puncte sau coordonatele unui punct şi o orientare.

2.2.5. Clasificarea reţelelor dupǎ numǎrul de dimensiuni al spaţiului de amplasare

1. Reţele geodezice unidimensionale. În această categorie sunt incluse reţelele

altimetrice sau de nivelment deoarece punctele acestor reţele sunt caracterizate printr-o

singurǎ dimensiune - altitudinea - determinatǎ intr-un sistem de coordonate unitar. Celelalte

douǎ dimensiuni (X şi Y) sunt determinate cu o precizie mai scǎzutǎ sau în unele cazuri pot

chiar lipsi.

2. Reţele geodezice bidimensionale. În aceastǎ categorie sunt incluse reţelele numite

convenţional planimetrice ale cǎror puncte sunt caracterizate prin douǎ coordonate (X şi Y -

în planul de proiecţie sau şi - pe elipsoidul de referinţǎ).

3. Reţele geodezice tridimensionale. În aceastǎ categorie sunt incluse reţelele ale

cǎror puncte au determinate toate cele trei coordonate într-un sistem de coordonate unitar.

16

3. COMPENSAREA REŢELELOR DE TRILATERAŢIE

NOŢIUNI DE TRILATERAŢIE

Reţelele planimetrice de sprijin sunt formate din puncte, care unite între ele cu linii

imaginare formează o serie de triunghiuri alăturate. Pentru determinarea coordonatelor

punctelor reţelei se poate opta fie pentru măsurarea tuturor unghiurilor din triunghiuri şi a

unor laturi pentru verificare (măsurători de triangulaţie ), fie măsurarea tuturor laturilor reţelei

şi a unor unghiuri pentru verificare (măsurători de trilateraţie), fie pentru ambele tipuri de

măsurători simultan.

Astfel, putem spune că trilateraţia reprezintă procesul de măsurare a distanţelor (laturi)

în reţelele planimetrice de sprijin cu scopul determinării coordonatelor punctelor din aceste

reţele.

Întrucât aparatura electronică de măsurare a distanţelor oferă precizii de măsurare a

distanţelor foarte bune şi, realizarea măsurătorilor liniare este mult mai uşoară decât cea a

măsurătorilor unghiulare, trilateraţia se poate considera ca una din metodele foarte economice

de creare a reţelelor planimetrice de sprijin.

3.1 Caracteristici ale reţelelor de trilateraţie

Execuţia trilateraţiei presupune ca toate punctele reţelei să fie accesibile dearece la

fiecare latură măsurată, într-un capăt se instalează instrumentul iar în celălalt capăt se

instalează reflectorul.

Prin măsurători de trilateraţie se pot realiza reţele de puncte de sprijin noi sau se poate

reabilita şi îndesi o reţea de triangulaţie mai veche, cu condiţia de a se folosi doar punctele

accesibile ale respectivei reţele. Datorită performanţelor aparaturii electronice se poate lucra

în reţelele de ordinele III-V cu rezultate foarte bun, în condiţiile ăn care se respectă criteriile

de vizibilitate reciprocă a punctelor, la fel ca triangulaţie.

3.2 Executarea măsurătorilor în reţelele de trilateraţie

Alegerea aparaturii se face în funcţie de ordinul reţelei, deci în concordanţă cu

lungimile maxime ale laturilor; dintre aparatele cu rază medie de acţiune pentru măsurarea

distanţelor putem aminti:

17

Program de măsurare EDM Precizie Timp pe măsurătoare

IR Fine 2mm+2ppm <1s

IR Fast 5mm+2ppm <0.5s

Tracking 5mm+2ppm <0.3s

IR Tape 5mm+2ppm <0.5s

Marca Raza de acţiune cu o prismă

(km) Eroarea medie

Leica TC 605-905 3,5-9,0 ±(2mm+2ppm)

Leica TC 1010-1610 3,5-9,0 ±(2mm+2ppm)

Măsurări de distanţe (RL: vizibil):

Tip: laser vizibil

Lungimea de undă a purtătoarei: 0.670μm

Tip EDM: coaxial

Afişaj (ultima cifră): 1mm

Dimensiunile spotului laser: aprox. 7x14/20m

aprox. 10x20mm/50m

Măsurări de distanţe (fara reflector):

Gama de măsurare: 1.5m la 80m

Afişaj fără ambiguitate: până la 760m

Constanta prismei (aditivă) +34.4mm

3.2.1 Realizarea măsurătorilor în reţelele de trilateraţie

În reţelele de trilateraţie se staţionează în general în toate punctele. Pentru operativitate

este bine să se lucreze cu mai multe prisme de acelaşi tip, astfel încât să fie acoperite simultan

toate laturile măsurate din acelaşi punct. Staţiile totale aplică automat atât corecţiile fizice de

temperatură şi presiune, valori care sunt măsurate prin intermediul senzorilor proprii ai

aparatelor sau măsurate separat de către operator şi introduse în memoria staţiei totale înainte

de măsurători, cât şi corecţiile matematice de curbură, de refracţie atmosferică şi de reducere

la planul de proiecţie. Măsurarea laturilor se execută în ambele poziţii ale lunetei, astfel că în

reţea există măsurători în surplus, ceea ce permite o compensare riguroasă a reţelei prin

metoda celor mai mici pătrate.

18

4. CALCULUL ŞI COMPENSAREA REŢELELORDE TRILATERAŢIE PRIN

METODA MĂSURĂTORILOR INDIRECTE PONDERATE

4.1 Calcule preliminare – după cum am amintit la staţiile totale corecţia fizică, corecţiile

de curbură a fascicolului, de verticalitate a axului principal şi de reducere la orizont se aplică

automat. Pentru aplicarea corecţiei fizice, operatorul va trebui să măsoare şi să introducă

valorile reale ale temperaturii şi presiunii, la staţiile totale care nu sunt prevăzute cu senzori

proprii pentru măsurarea valorilor respective.

4.1.1 Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi

Fig. 1 Calculul coordonatelor provizorii ale punctului

nou prin intersecţia a două distanţe

Deoarece în reţeaua de trilateraţie elementele cunoscute iniţial sunt coordonatele

punctelor vechi şi laturile măsurate, coordonatele provizorii ale punctelor noi, iYiX , vor fi

calculate în funcţie de aceste elemente. În general, poziţia unui punct nou, ),( pypxP se

poate determina în funcţie de un set de 3 distanţe măsurate între acest punct şi 3 puncte de

coordonate cunoscute; )2 puncte sunt necesare, iar al treilea punct cunoscut permite

verificarea determinării). Presupunem 3 puncte cunoscute )1,1(1 yx )2,2(2 yx )3,3(3 yx ,

punctul nou ),( pypxP şi distanţele D1-P , D2-P, D3-P, rezultate din măsurători (reduse la

planul de proiecţie ), fig.1.

În triunghiul 1-2-P, latura D1-2, poate fi determinată din coordonate, iar laturile D1-P ,

D2-P, sunt cunoscute din măsurători. Cu aceste elemente se calculează semiperimetrul cu:

Formula lui Heron: ))()(( cpbpappS , unde2

cbap

,(semiperimetrul)

19

bc

cpbpA ))((

2sin

bc

appA )(

2cos

rezultând unghiurile şi în continuare se vor calcula coordonatele punctului nou, P prin

metoda intersecţiei înainte, metoda radierii sau prin intersecţie de distanţe.

APtgAXPXAYPY )('

BPtgBXPXBYPY )("

Relaţii utilizate:

- calculul orientării între punctele vechi A şi B:

AXBX

AYBYarctgAB

- calculul orientărilor între punctele vechi şi punctul

nou:

ABAP

GABBPBABP 200

APtgBPtg

BPtgBXAPtgAXBYAYPX

- Calculul punctului nou prin metoda radierii:

- PPP

DXX

111'cos

PPPDXX

222'cos

- PPP

DYY

111'sin

PPPDYY

222'sin

-

4.1.2 Calculul distanţelor şi orientărilor provizorii în reţea

După determinarea coordonatelor provizorii ale punctelor noi, pe baza acestora se

calculează distanţele şi orientările provizorii, cu relaţiile cunoscute.

4.2.Compensarea reţelelor de trilateraţie prin metoda măsurătorilor indirecte ponderate

4.2.1. Aspecte ale ecuaţiilor de corecţii şi calculul ponderilor

- ponderile pot fi calculate cu relaţia iD

Dipsau

Dsip min

2)'(

1 unde '

Ds este

eroarea medie a seriei de observaţii efectuate asupra laturii respective,iar în lipsa unor

prelucrări prealabile ale observaţiilor se poate estima o pondere a fiecărei distanţe

măsurate cu cea de a doua formulă unde minD este lungimea celei mai mici laturi

măsurate din reţea, care va primi ponderea 1.

20

De asemenea valorile provizorii vor primii corecţii care adăugate la acestea vor da valorile

cele mai probabile ale parametrilor.

idXXiX jdXjXjX

(1)

Valorile cu care se modifică coordonatele se numesc creşteri de coordonate şi se

notează cu dX, respectiv dY.

Astfel vom obţine:

)( *0

0

0

0

0

0

0

0

0

ijiji

ij

ij

i

ij

ij

ij

ij

j

ij

ijD

ij DDdYD

YdX

D

XdY

D

YdX

D

Xv

(2)

Sau efectuând calcule:

)(sincossincos *00000

ijijiijiijijjij

D

ij DDdYdXdYdXv (3)

Unde ijij

Dşi se calculează din coordonatele provizorii ale punctelor.

Astfel cu notaţiile de mai sus obţinem:

- DijliBijdYiAijdXBijdYjdXijAD

ijv (4)

Relaţia (4) reprezintă ecuaţia de corecţie pentru o distanţă măsirată între două puncte

noi ,,i ,, şi ,,j,, , iar ij ij ijl D D , (5)

ijD -distanţa provizorie, calculată din coordonate provizorii

ijD -distanţa măsurată

Forma ecuaţiei de corecţie pentru o distanţă măsurată între un punct vechi ,,i,, şi un

punct nou ,,j,,

DijljBijdYjdXijAD

ijv (6)

Forma ecuaţiei de corecţie pentru o distanţă măsurată între un punct nou ,,i,, şi un

punct vechi ,,j,,

DijliBijdYiAijdXD

ijv (7)

Între două puncte vechi nu se fac măsurători de distanţe.

Distanţe reduse la planul de proiecţie:

21

Se consideră două puncte din reţeaua geodezică "i" şi "j", între care s-au efectuat măsurători

pentru determinarea distanţei. Cu valoarea măsurată (Dij*) şi valoarea provizorie (Dij

0),

determinată din coordonate provizorii, se poate scrie o relaţie de următoarea formă:

D

ij ilj ij ijD v D dD (8)

unde vijD reprezintă corecţia, ce se va determina prin prelucrare, care adăugată valorii măsurate

va rezulta valoarea compensată (cea mai probabilă), iar dDij reprezintă variaţia distanţei funcţie

de variaţia coordonatelor plane ale punctelor între care s-a efectuat măsurătoarea. Dacă se are

în vedere relaţia (9), care exprimă variaţia distanţei funcţie de variaţia coordonatelor plane, şi

că termenul liber al ecuaţiei(8), se determină cu relaţia (12), atunci se pot exprima formele

ecuaţiilor de corecţie pentru o distanţă măsurată între două puncte cu relaţiile (13),(14) şi (15).

ij ij j ij j ij i ij idD A dx B dy A dx B dy

(9)

Cu Aij, Bij s-au notat coeficienţii de distanţă, şi se exprimă cu ajutorul relaţiilor (10) şi (11).

0cosij ijA (10)

0sinij ijB (11)

Forma termenului liber:

0D

ij ij ijl D D (12)

Forma ecuaţiei de corecţie pentru o distanţă măsurată între două puncte noi "i" şi "j":

D D

ij ij j ij j ij i ij i ijv A dx B dy A dx B dy l

(13)

Forma ecuaţiei de corecţie pentru o distanţă măsurată între un punct vechi "i" şi un punct nou

"j":

D D

ij ij j ij j ijv A dx B dy l (14)

Forma ecuaţiei de corecţie pentru o distanţă măsurată între un punct nou "i" şi un punct vechi

"j":

D D

ij ij i ij i ijv A dx B dy l (15)

Între două puncte vechi nu se fac măsurători de distanţe.

Stabilirea ponderilor măsurătorilor geodezice.

În relaţia (16), pentru o prelucrare cât mai corectă, matricea ponderilor ar trebui să fie o

matrice plină, însă determinarea elementelor dreptunghiulare (pij şi, respectiv, qij cu i≠j) nu este

întotdeauna posibilă.

22

minTv pv (16)

În cazul măsurătorilor independente prelucrarea se efectuează sub condiţia (17), adică

matricea ponderilor devine o matrice diagonală (pij=0, pentru i≠j), ceea ce uşurează foarte mult

calculele.

minpvv (17)

Pentru măsurătorile unghiulare orizontale ponderile pot fi determinate prin aplicarea

relaţiei (18), iar pentru distanţele măsurate relaţia (19).

2( ' )ij

ij

constp

s

(18)

2( ' )

D

ij D

ij

constp

s (19)

Cu sij'α s-a notat abaterea standard a unei direcţii unghiulare orizontale măsurate şi se

determină cu relaţia (20), iar cu sij'D s-a notat abaterea standard a unei distanţe măsurate şi se

determină cu relaţia(21).

2

2

/

( ' )

'

dorit mcc

ij cc ccij m

D

ij mm mm mm km ij km

Ss s

D

s a b D

(20)

(21)

unde:

sα - precizia aparatului pentru măsurarea direcţiilor unghiulare orizontale, exprimată în secunde

(ex: sα = 5cc);

ρcc = 636620cc;

sdorit - precizia finală urmărită, exprimată în metri (ex: sdorit = 0.001m);

a, b- constantele aparatului pentru măsurarea distanţelor exprimate în mm, respectiv mm/km

(ex: sij'D = 2mm + 2ppm).

4.2.2. Ecuaţii de distanţe cu coeficient de scară

Scara unei reţele geodezice este dată de punctele vechi care alcătuiesc reţeaua. Astfel,

pentru determinarea unei nnoi reţele geodezice planimetrice, care se sprijină pe cea veche şi în

23

care au fost efectuate determinări de distanţe, scara instrumentului de măsurat distanţe diferă

de scara reţelei. În acest caz este necesar ca valorile măsurate să se aducă în scara reţelei

gepdezice prin introducerea unei noi necunoscute pentru acest coeficient de scară. (atunci

când precizia o impune este posibil să se aducă scara reţelei în scara instrumentului de

măsurat distanţe, acesta măsurând măsurând cu o precizie superioară celei asigurate de vechea

reţea).

Forma ecuaţiei de corecţie este:

6( )(1 10 )D

ij ij ij ijD v m D dD (22)

m-coeficientul de scară, produsul 610D

ijv m , se elimină fiind considerat a avea o valoare

prea mică, aproximativ egală cu zero, obţinem:

610D

ij ij ij ij ijv dD D m D D (23)

Rezolvarea sistemului normal de ecuaţii:

Pe baza coeficienţilor calculaţi pentru necunoscutele sistemului liniar de corecţii se va

întocmi matricea coeficienţiilor, matricea A. Plecând de la forma generală, matricială a

ecuaţiilor de corecţii

lAxV (24)

unde avem de-a face cu un sistem compatibil,nedeterminat, luând în considerare notaţiile:

v – vectorul corecţiilor măsurătorilor

A – matricea coeficienţiilor ecuaţiilor de corecţii

x – vectorul creşterilor de coordonate(necunoscutelor)

l – vectorul termenilor liberi,

Aplicând metoda celor mai mici pătrate VtpV→ min, se obţin relaţiile de calcul pentru

vectorul creşterilor de coordonate şi pentru vectorul corecţiilor.

Cu ajutorul matricei N, matricea sistemului normal , se poate determina vectorul

mărimilor necunoscute.

PAAN T T TA PAx A Pl 0

1 Tx N A PL

V Ax l (25)

Sistemul normal este un sistem compatibil, determinat, deci valorile necunoscutelor pot fi

determinate unic.

24

Valorile compensate se determină adaugând la valorile provizorii soluţiile sistemului:

Calculul indicatorilor de precizii:

Orice prelucrare a observaţiilor efectuate într-o reţea geodezică se încheie cu calculele de

evaluare a indicatorilor de precizie.

abaterea standard a unitatii de pondere:

0

TV P Vs

m n

(26)

unde:

m - numărul de măsurători

n - numărul de necunoscute

abaterea standard a unei măsurători compensate:

0

mij

i

ss

p (27)

abaterea standard a necunoscutelor:

0i i ix x xs s q

0i i iy y ys s q (28)

abaterea standard de determinare a poziţiei punctului:

2 2

i i ip x ys s s (29)

abaterea standard pe reţea:

ip

t

ss

n

(30)

unde n – numărul de puncte noi

Elipsa absolută

Poziţia planimetrică a punctului (determinat în urma compensarii prin metoda celor

mai mici pătrate), depinde de doi parametri: x si y. Deoarece erorile medii pătratice x si y ,

îşi modifică valorile la o schimbare de reper (o rotaţie a axelor) ceea ce produce o

uniformitate în estimarea preciziei, este necesar a se găsi un invariant care să depindă numai

de precizia de măsurare a elementelor reţelei şi de configuraţia acesteia. Acest invariant este

elipsa erorilor.

25

Această nouă noţiune generalizează noţiunea de interval de încredere din spaţiul cu o

dimensiune la cea de domeniu de încredere, valabilă pentru spaţiul cu două dimensiuni.

Elipsa absolută

Fie un punct Pj de coordonate (Xj,Yj), ale cărui coordonate au fost obţinute în urma

compensării. Totodată s-a obţinut şi blocul bidimensional:

j j j j

j j j j

x x x y

jj

y x y y

q qQ =

q q

(31)

bloc extras din matricea generală a cofactorilor : 1 NQxx . (32)

Elementele elipsei erorilor vor fi :

- semiaxele elipsei:

0 1a =S λ - semiaxa mare

(33)

0 2b =S λ - semiaxa mică

-unghiul de orientare: orientarea axei mari a elipsei erorilor, în raport de axa x (îndreptată

spre direcţia nord) si se determină cu relaţia:

yyxx

xy

qq

q2arctg

2

1

(34)

unde:

22

2,1 42

1

2xyyyxx

yyxxqqq

qq

(35)

Valoarea unghiului de orientare se va stabili astfel:

xyq > 0 xyq < 0

xx yy(q -q ) > 0 o < j < 50g g 150 200 gg

xx yy(q -q ) < 0 g g50 < j <100 100 150 g g

26

Elipsa erorilor poate fi utilizată pentru:

determinarea domeniului de încredere al poziţiei planimetrice a coordonatelor

punctului;

determinarea direcţiilor după care eroarea are valori extreme (maxim şi minim);

determinarea erorii pe orice direcţie (determinată analitic sau grafic);

optimizarea reţelei geodezice – măsurători sau a configuraţiei pentru obţinerea

unor elipse omogene sau izotrope.

schiţa unei reţele de tilateraţie

reţele omogene, acele reţele la care elipsele tuturor punctelor sunt egale;

reţele izotrope, elipsele devin cercuri;

27

5. Verificarea caracterului aleator

Compensarea măsurătorilor geodezice şi analiza statiscă a rezultatelor se bazează pe un

concept esenţial şi anume caracterul aleator (ìntămplător) al erorilor de măsurare. Acest

concept este destul de larg şi din această cauză este destul de dificil să se stabilească criterii

pentru verificarea caracterului aleator.

5.1. - Testul Young

R. L. Young (1941) a sugerat că în detectarea caracterului nealeator statistica 1

2 2

1

1

1( )

1

n

i i

i

x xn

(36)

este suficient de puternică pentru a putea fi folosită.

Ţinând cont de estimarea dispersiei unei populaţii normale vom obţine:

22

2E

şi

22

nlim D = 0

2

(37)

Statistica 2δ este numita şi media patratică a diferenţelor succesive, fiind introdusă de

către Bellinson, von Neumann, Kent şi Hart („Prelucrarea satatistică a datelor balistice”).

Pentru testarea caracterului nealeator este folosită statistica:

2

2S

(Von Neuman 1941) (38)

Statistica compară doi estimatori ai dispersiei teoretice în cazul repartiţiei 2N μ, σ .

Valorile critice ale statisticii (criticθ ) au fost tabelate de Hart (1942).

În tabelul respectiv pentru coeficientul de risc = 0.05 şi =0.01 sunt calculate

valorile critice inferioare (c.i. n,αθ = θ ) si valorile critice superioare (

c.s. n,αθ = θ ).

Decizia de acceptare a ipotezei nule (H0), că selecţia are un caracter nealeator se ia dacă:

calc. c.i.θ θ sau calc. c.s.θ θ (39)

dacă:

c.i. calc. c.s.θ θ θ (40)

Se respinge ipoteza nulă şi se acceptă ipoteza alternativă şi anume că valorile selecţiei

respective au un caracter întamplător.

Pentru cazul în care volumul de selecţie n > 25, statistica ' θθ = 1-

2, este repartizată

normal 2

n - 2N 0,

n -1

. În acest caz statistica se calculează cu relaţia:

2'

calc. 2

δθ = θ =

2S (41)

28

Se compară cu valoarea critică

critic n,α α 2

n - 2θ =θ =1- k

n -1

(42)

Dacă calc. criticθ θ se respinge ipoteza caracterului aleator. În caz contrar se acceptă ipoteza

alternativă cu riscul şi anume valorile au un caracter intâmplator.

Prin verificarea caracterului aleator a datelor experimentale pot fi depistate erorile

sistematice ale acestora. Cunoscând faptul că doar erorile întâmplătoare poartă caracteristicile

variabilelor aleatoare, prezenţa erorilor sistematice are o influenţă nedorită asupra distribuţiei

de studiat.

Testul Young

Verificarea caracterului aleator

Nr crt/Σ X XM-X (XM-X)2 Xi+1-Xi (Xi+1-Xi)2

1 -93,55 93,55 8750,71 5,60 31,34

Σ= 3E-09 0,000 120923,89 6718,62

XM= 8E-11 3023,10 167,97

S2=

δ2=

θ=

θ'=

r=

Dacă θ' < r avem un caracter aleator al erorilor.

29

6. COMPENSAREA REŢELELOR LIBERE

Pentru încadrarea unei reţele geodezice într-un anumit sistem de coordonate sunt necesare un

nr. de elemente fixe, (DATUM).

Dacă aceste elemente lipsesc în totalitate sau parţial, atunci reţeaua respectivă se numeşte

reţea liberă. În funcţie de numărul elementelor iniţiale (fixe), reţelele geodezice pot fi

clasificate astfel:

a) reţele libere

b) reţele legate

c) reţele constânse

a)

b)

c)

1

2

4 3

1 2

3 4

Reţele 1D

Reţele 2D-triangulaţie

Reţele 2D-trilateraţie

A 1 2

3

4

avem un nr. strict de

elemente fixe pt. a încadra

reţeaua într-un sistem de

coordonate dat

A 1 2

3

4

avem un nr. excedentar de

elemente fixe pt. a încadra reţeaua într-un sistem de

coordonate dat

B B

C

30

A (X,Y,H)

B (X,Y,H)

A' (X,Y)

B' (X,Y)

( )

( )

( )

v Ax l

r A h

r A h

r A p

În cazul reţelelor libere rangul matricei A<h, fie r=p ,atunci h-p=d ceea ce reprezintă defectul

matricei.

Astfel în cazul reţelelor de nivelment, 1

1D

d

la trilateraţie 2

3D

d

la triangulaţie 2

4D

d

iar cele spaţiale 3

7D

d

Compensarea reţelelor libere prin metoda Mittermayer (1971)

Fie un sistem liniar ( )Ax l p r A p h (6.1)

iar sistemul normal corespunzător

( , ) ( , ) ( , )

0

( )

( ) min ; ;

n

p p

T T

T

T

h n n n n h

A PA x A Pl

N A PA

D N A P A h h

Trang N r pr A r AP

(6.2)

unde p<h, matricea N este singulară, deci determinant N=0

n

F

i

g

u

r

ă

1

h

A

A

P

h

d

31

Pentru rezolvarea problemei reţelelor libere se utilizează în această metodă condiţia

suplimentară

minTx x (6.3)

aşadar avem o problemă de minim condiţionat

0

min

T

T

Nx A Pl

x x

Folosim funcţia auxiliară Lagrange

2 min (6.4)

0

0

2 2 02 0 (6.5)

2 0

0 (6.6)

0

(6.7)(6.6) int (6.5)

(6.8)

T T T

T

T

T TT T

T

T

T

T

T

T

T

x x k Nx A Pl

x

k

x Nkx x k N

x Nkx

Nx A Plk

Nx A Pl

NN k A Pl

k NN A Pldacă în roducem

x N NN A Pl

Şi produsul (NN) are determinantul egal cu zero,adică din(NN)=hxh, iar r(NN)=p

NN pseudoinversă inversă generalizată

Matricea NN se calculează astfel: din matricea NN se extrage matricea T, se inversează

1T , apoi aceasta se bordează cu "d"linii şi "d"coloane

egale cu zero.

iar x se determină cu relaţia (6.8) , v=Ax+l, se calculează corecţiile.

d p

d

T

h

T p

p

d

0 0 0 0 0 0 0

0

0 T-1 =(NN)+

0

0

32

Calculul preciziilor:

Din relaţia (6.8), parametri x se determină printr-o transformare liniară a termenilor liberi l.

Y=Ax, iar Dispersia:

2 10

2

0 ( )

( )

0 ( )

0

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (6.9)

( ) ( )

(6.10)

i ii

T

T

P

x

x

x x

D Y AD x A

D x N NN A P D l PA NN N

D x Q

Q N NN N NN N

Q

pvv

n h r

Metoda Peltzer

La sistemul normal 0 1TNx A Pl se adaugă încă d ecuaţii de condiţie între parametri

( , ) ( ,1)

( , ) ( , )

0

0 0

d h h

T T

n h h d

G x

A G NG

Acest caz poate fi tratat prin metoda ecuaţiilor indirecte

Matricea G în cazul reţelelor planimetrice de triangulaţie are forma:

( , )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 01 0 1 0

0 10 1 0 0d h

k k

k k

Gx yx y x y

y xy x y x

Ecuaţii de condiţie

1

1

1

1

1 2

0

0

( 0

( 0

:

0

0

h

i

i

h

i

i

h

i i i i

i

h

i i i i

i

k

dx translaţia pe x

dy translaţia pe y

x dx y dy scara

y dx x dy rotaţia

verificare

dx dx dx

Gx

1

1

2

2

k

k

dx

dy

dx

dyx

dx

dy

La trilateraţie scara diferă

33

7. PRELUCRAREA MĂSURĂTORILOR GEODEZICE

7.1 Modelul Gauss Markov

In general în reţelele geodezice de urmărire , pentru determinarea clară a reţelei sunt preluate

mai multe măsurători decât numărul strict necesar. Acest lucru are la bază următoarele motive :

- creşterea acurateţei ;

- protejarea observaţiile de erorile grosolane .

Estimarea parametrilor este realizată în general în conformitate cu metoda pătratelor minime .

Conexiunea funcţională între observaţii şi parametrii necunoscuţi şi caracteristicile statistice

ale observaţiilor sunt descrise în modele . Pentru a transforma relaţiile complexe ,rezultate din

măsurători în lumea reală , în unele uşor şi clar accesibile sunt folosite modele liniarizate.

In cazul analizei deformaţiilor , parametrii necunoscuţi sunt de obicei coordonate ale

punctelor , ale căror mişcări caracterizează deformaţiile obiectului urmărit sau dimensiunile

geometrice şi fizice care descriu procesul de deformaţie.

Mereu , relaţiile neliniare dintre observaţii şi parametrii necunoscuţi sunt liniarizate cu

ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor, în care termenii de ordin doi sau mai mare pot fi neglijaţi dacă

se lucrează cu valori aproximative bune.

Gauss Markov este un model matematic liniar compus dintr-o parte funcţională şi una

stohastică.

Modelul funcţional descrie relaţia matematică-fizică dintre observaţii şi necunoscute , iar

modelul stochastic defineşte caracteristicile statistice ale observaţiilor .

llll Q

xAvl

2

0 (7.1)

l(n, )1 = vectorul termenilor liberi (observaţiilor) ;

v(n, )1 = vectorul corecţiilor ;

A(n, u) = matrice design a modelului funcţional;

x(u, )1 = vectorul parametrilor necunoscuţi ;

ll (n,n) = matricea de varianţă-covarianţă a observaţiilor ;

llQ (n,n) = matricea cofactorilor observaţiilor ;

2

0 = varianţa unităţii de pondere ;

n = numărul de observaţii ;

u = numărul de parametrii (necunoscute) .

Metoda pătratelor minime afirmă că :

i iˆE{x } x (7.2)

ixs min , i ....u 2 1 (7.3)

Pentru estimarea funcţională şi stohastică a parametrilor este format următorul model :

ll

ˆ ˆl v l A x

P Q

1 (7.4)

l̂(n, )1 =vectorul observaţiilor compensate ;

34

x̂(u, )1 = vectorul valorilor estimate ale parametrilor;

P(n, n) = matricea ponderilor observaţiilor .

Suma pătratelor corecţiilor ponderate , conform metodei pătratelor minime , trebuie să fie

minimă:

Tv Pv min (7.5)

Această condiţie conduce la următoarea formă a ecuaţiilor normale :

T T

T

ˆA PA x A Pl

ˆA PA N N x n

(7.6)

Din moment ce matricea design A are de obicei un defect de rang , datorat insuficienţei

datumului geodezic definit de observaţii, inversarea matricei normale nu poate fi făcută direct, ci

doar cu ajutorul unei inverse generalizate.

x̂ N n (7.7)

După determinarea parametrilor necunoscuţi şi a corecţiilor, sunt calculate valorile cele mai

probabile ale observaţiilor şi ale necunoscutelor :

l̂ l v

ˆ ˆX X x

0

(7.8)

Varianţa unităţi de pondere este dată de relaţia :

Tv Pv

sn u

E{s }

2

0

2 2

0 0

(7.9)

Varianţele parametrilor şi ale corecţiilor sunt exprimate de :

xx xxs s N s Q 2 2 2

0 0 (7.10)

v vv

T

vv ll

s s *Q

Q Q A N A

2 2

0 (7.11)

35

7.2 Defectul de datum

Pentru problemele practice , sarcina măsurătorilor geodezice constă în determinarea

coordonatelor punctelor selectate . Observaţiile nu conţin , în general, direct informaţii asupra

coordoatelor, ci furnizează mai degrabă informaţii cu privire la situaţia relativă, reciprocă a

punctelor, aşa numita geometria internă a reţelei .

Transformarea din informaţiile cu privire la situaţia relativă în coordonate într-un sistem se

poate realiza în diferite moduri, problemă denumită problema datumului .

Compensarea unei reţele poate fi realizată, ca:

- reţea neconstrânsă;

- reţea liberă cu : minimizarea totală sau parţială a urmei matricei sistemului normal;

- reţea constrânsă .

Legătura apriorică lipsă între observaţii şi coordonate se concretizează ca singularitate a

matricei design A . Această singularitate este reprezentată de către defectul de datum , d . Pentru

diferite tipuri de reţele, valoarea defectului este indicată în tabelul 7.1 .

Tabel 7.1 : Defectul de datum

Dimensiunea

reţelei Tipul reţelei Observaţiile

Defectul de

datum Grade de libertate

1 Reţea de

nivelment diferenţe de nivel 1 - 1 translaţie

2 Reţea

planimetrică

distanţe şi azimute 2 - 2 translaţii

distanţe sau distanţe şi direcţii 3 - 2 translaţii

- 1 rotaţie

direcţii, relaţii între distanţe sau ca

la d=3 cu factor de scară

necunoscut

4

- 2 translaţii

- 1 rotaţie

- 1 factor de scară

3 Reţele

spaţiale

distanţe şi distanţe zenitale sau

distanţe şi direcţii orizontale sau

distanţe, direcţii orizontale şi

distanţe zenitale sau distanţe şi

diferenţe de nivel măsurate

geometric

4 - 3 translaţii

- 1 rotaţie

direcţii orizontale şăi distanţe

zenitale sau ca la d=4 inclusiv

coeficient de scară

5

- 3 translaţii

- 1 rotaţie

- 1 factor de scară

distanţe 6 - 3 translaţii

- 3 rotaţii

ca la d=6, cu factor de scară

necunoscut 7

- 3 translaţii

- 3 rotaţii

- 1 factor de scară

7.3 Compensarea reţelelor libere – minimizarea totală a urmei matricei normale

Este realizată o stocare a geometriei interne a reţelei pe coordonatele tuturor punctelor. Dacă

se folosesc toate punctele reţelei pentru stocare , este făcută o minimizare totală a urmei; dacă

doar unele puncte sunt folosite , atunci realizată o minimizarea parţială .

In timpul compensării reţelelor libere, singularitatea matricei normale N poate fi eliminată

folosind o matrice auxiliară G , care bordează matricea sistemului normal astfel :

36

T

XX

T T T

Q G G GN G

G G G G

11

0 0

(7.12)

Matricea G trebuie să îndeplinească condiţiile :

0ˆ

0

xG

GN

T (7.13)

Pentru o reţea de triangulaţie (d= 4) , matricea G are următoarea formă:

u,d

p p

p p

y x

x y

y x

x yG

... ... ... ...

y x

x y

1 1

1 1

2 2

2 2

1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

(7.14)

Notaţiile ix şi iy din matricea G sunt valorile aproximative ale coordonatelor. Coloanele

matricei G corespund condiţiilor unei transformări Helmert :

- prima coloană : ix 0 ;

- a doua coloană : iy 0 ;

- a treia coloană : i i i ix y y x 0 ;

- a patra coloană : i i i ix x y y 0 .

Pentru cazul specificat (d=4), coloanele au următoarea semnificaţie :

- prima şi a doua coloană : translaţii în direcţiile x şi y ;

- a treia coloană : rotaţie ;

- a patra coloană : factor de scară .

Pentru o reţea de nivelment matricea G are forma :

u,dG

...

...

1

1

1

1

1

(7.15)

37

După extragerea matricei xxQ N din relaţia (7.12) , se calculează vectorul parametrilor :

Tx̂ N A P l (7.16)

O compensarea ca reţea liberă conduce la cea mai favorabilă acurateţe pentru reţea, ca şi cum

ar fi independentă de definirea datumului, deci putem vorbi despre o acurateţe internă .

O a doua posibilitate pentru determinarea matricei G este executarea unei analize spectrale a

matricei normale.

G constă , în acest caz , din vectorii proprii din N cu valorare proprie egală cu 0 .

T

T

T

xx u

u u

s

ss s ... s

......

s

11

22

1 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

(7.17)

7.4 Compensarea reţelelor libere - – minimizarea parţială a urmei matricei normale

In problemele de compensare , spre exemplu în cazul analizei deformaţiilor, este semnificativ

ca geometria internă a reţelei să fie stocată numai pe o parte a punctelor ei .

Stocarea începe cu coordonatele primului i punct . In locul matricei auxiliare G se foloseşte

matricea B . Aceasta este formată cu ajutorul matricei de selecţie E şi matricei G descrisă anterior

.

i iB E *G (7.18)

i

i

IE

0

0 0 (7.19), unde iI (i, i) este matricea unitate .

D

T

T

D

N GN B

BG

00

0 0

(7.20)