modele mate mat ice si software pentru analiza curgerii prin medii poroase

Controlul infiltraiilor prin lucrrile de barare

Modele matematice i software pentru analiza curgerii prin medii poroaseRaport de cercetare numrul 2

Doctorand : ing. GAFTOI Daniel Andrei Profesor ndrumtor : Prof. univ. dr. ing. STEMATIU Dan

Bucureti 2011

Cuprins

1. Baze teoretice privind curgerea apei prin medii poroase ....................................................... 31.1 Legea lui Darcy. Forma Generala. Limite de valabilitate ale acesteia .......................................... 3 Legea Darcy .................................................................................................................................... 3 Forma general a legii Darcy .......................................................................................................... 4 Limite de valabilitate ale legii Darcy .............................................................................................. 4 1.2 Spectrul hidrodinamic ................................................................................................................... 6 Calculul parametrilor hidraulici cu ajutorul spectrului hidrodinamic ............................................. 8 Spectrul hidrodinamic in medii neomogene si anizotrope .............................................................. 9 Micri plan verticale ...................................................................................................................... 9 Micri plan orizontale.................................................................................................................. 11 1.3 caracteristicile mediilor permeabile ............................................................................................ 13 1.4 Regim nesaturat .......................................................................................................................... 17 1.5 Infiltraii nepermanente ............................................................................................................... 19

2. Modelarea matematic n analiza infiltraiilor ..................................................................... 222.1 Model matematic ........................................................................................................................ 22 Schematizarea mediilor permeabile i a condiiilor de margine ................................................... 23 2.2 Metoda diferenelor finite ........................................................................................................... 26 2.3 Medoda elementelor finite .......................................................................................................... 30 2.4 Metoda ecuaiilor integrale pe frontier ...................................................................................... 36

3. Software specializat pentru calculul infiltraiilor ................................................................. 373.1 Prezentare software ..................................................................................................................... 37 3.2 Exemple ...................................................................................................................................... 37

1. BAZE TEORETICE PRIVIND CURGEREA APEI PRIN MEDII POROASE1.1 LEGEAACESTEIA LUI

DARCY. FORMA GENERALA. LIMITE

DE VALABILITATE ALE

LEGEA DARCYLa baza tuturor calculelor de infiltraie st legea lui Darcy, stabilit experimental n 1852-1855. Henry Darcy a descoperit, pe probe de nisip, proporionalitatea debitului infiltrat Q cu seciunea de curgere , cu gradientul hidraulic I i cu un coeficient constant conductivitatea hidraulic k : (1.1.1) unde : seciunea de curgere cuprinde att porii ct i particulele materialului granular; gradientul hidraulic I reprezint raportul dintre diferena de sarcin hidraulic i lungimea liniei de curent si este adimensional; (1.1.2) Hi reprezint sarcina hidraulic n puctul i i are expresia general : n cazul micrii apei subterane aceasta devine : cinetic se neglijeaz. Raportul are dimensiuni de vitez i se numete vitez de infiltraie v. Astfel, legea lui Darcy se scrie sub forma sa cunoscut : (1.1.3) Viteza de infiltraie nu este viteza real de micare a apei n porii mediului permeabil, nici ca mrime i nici ca sens. Aceasta este de fapt un debit specific, ce are dimensiunile unei viteze. Viteza de infiltraie servete la descrierea global a cinematicii micrii i nu a celei de detaliu. n tabelul 1 este prezentat o paralel ntre viteza de infiltraie i viteza real (Pietraru 1977).Tabel 1 Comparaie ntre viteza de infiltraie i viteza real.

.

deoarece termenul

Element de comparaie forma liniilor de curent lungimea liniilor de curent seciunea de curgere mrimea medie a vitezei

Micarea teoretic uor ondulat (dreapt la scar mic) minim constant (pori i particule) viteza din legea lui Darcy

Miscarea real foarte sinuoas mai mare dect n micarea teoretic foarte variabil (doar pori) V>v

Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor

3

Viteza real este mult mai mare dect viteza de infiltraie, att din cauza seciunii mai reduse ct i a drumului mai lung.

FORMA GENERAL A LEGII DARCYCnd mediul permeabil este izotrop, legea lui Darcy se poate scrie sub forma general : unde : vectorul vitez de infiltraie definit ca derivata debtului n raport cu seciunea normal pe liniile de curent . ) k coeficientul de permeabilitate grad operatorul ( H sarcina hidraulic Componentele vitezei , notate cu vx,vy,vz sunt: , , (1.1.4)

n cazul mai general al mediului anizotrop legea Darcy se scrie astfel : | | (1.1.5)

LIMITE DE VALABILITATE ALE LEGII DARCYLegea lui Darcy are dou limite de valabilitate: O limit inferioar pentru argile O limit superioar pentru pietriuri i anrocamente

Limita inferioar de valabilitate a legii Darcy (figura 1.1 a)n urma experimentelor de laborator s-a determinat c, n cazul argilelor, micarea apei are loc numai dup ce gradientul hidraulic depete un prag denumit gradient iniial. Astfel, se disting 3 zone : I. II. Zona OA : Zona AB : cuprins ntre gradientul nul i gradientul iniial I0 caracterizat de neexistena curgerii vitez nul zona de tranziie limitat de gradientul iniial I0 i de gradientul limit Il caracterizat printr-o relaie neliniar ntre gradientul hidraulic i viteza de infiltraie gradienii hidraulic sunt mai mari dect gradientul limit Legea lui Darcy este valabil

III.

Zona BC :


4

Fig. 1.1 Relaia vitez de infiltraie gradient hidraulic a. limita inferioar de valabilitate a legii lui Darcy, argile b. limita superioar de valabilitate a legii Darcy, pietriuri i anrocamente

Gradientul iniial i gradientul limit se explic prin proprietile reologice ale apei legate (apa legat are proprieti speciale datorit forelor de atracie exercitate de particulele argiloase). Astfel, existena gradientului iniial se explic prin pragul de efort tangenial, iar existena celei de-a doua zone se explic prin aceea c diferitele straturi de ap legat sunt atrase de particulele argiloase cu fore diferite i pe msura creterii gradientului hidraulic grosimea straturilor de ap antrenat n micare crete, cretere care atinge treptat un maxim i care corespunde gradientului limit. (Pietraru 1977) Legile micrii apei n medii permeabile cu gradient iniial: Zona I Zona II Zona III v=0 v=k(I-I0) v=kI pentru I I0 pentru I0 I Il * pentru I Il

* ecuaia general s-a aproximat printr-o relaie liniar ntre vitez i gradientul hidraulic

Limita superioar de valabilitate a legii lui Darcy (figura 1.1 b)Limita superioar de valabilitate a legii lui Darcy este caracteristic pietriurilor deoarece la viteze mari legea lui Darcy nu mai este valabil, legea de micare devenind neliniar. Dup experimentele lui Schneebeli, limita superioar corespunde unui numr Reynolds cuprins ntre 1 i 10. De la acest numr Reynolds legea lui Darcy i nceteaz valabilitatea iar acest lucru se explic prin creterea forelor de inerie. Imediat dup aceast limit regimul de curegere rmne nc laminar, regimul turbulent aprnd pentru numere Reynolds aproximativ egale cu 60, iar legea de micare nu este nc ptratic. Pierderea de sarcin hidraulic devine proporional cu ptratul vitezei abia la numere Reynolds ce depesc 2000 3000. (1.1.6) unde : v viteza de infiltraie d diametrul particulei caracteristice vscozitatea cinematic a apei


5

1.2 SPECTRUL HIDRODINAMICSpectrul hidrodinamic este definit ca reprezentarea grafic a 2 familii de curbe : linii echpotentiale ( = ct sau H = ct) i linii de curent ( = ct sau Q = ct). In miscarile plane ( pentru medii omogene si izotrope ) infiltratia apei este o miscare potentiala. Problemele de acest fel se rezolva prin integrarea ecuatiei potentialului : (1.2.1) Legatura dintre parametrii miscarii si functia potentiala se exprima prin relatiile :

Ecuatia lui Laplace :

se obtine plecand de la legea lui Darcy: i de la legea continuitatii in regim permanent pentru

fluide incompresibile:

.

Potentialul vitezelor se defineste : (1.2.2) unde : C constanta pentru intreg domeniul (x,z) H sarcina hidraulica functie de (x,z) In miscarile plane, potentialul vitezelor, analitice ( f ) de variabila complexa: , poate constitui partea reala a unei functii

unde : Z = x + iz functia de curent ( familia de curbe = ct reprezinta linii de curent ) Intre si exista relatiile Couchy Riemann :

Spectrul Hidrodinamic : reprezentarea grafica in planul Z = x + iz ( planul x,z ) a celor 2 familii de curbe :

Reprezentarea se face astfel nct intre dou curbe vecine, pe ntreg domeniul de micare, diferena dintre 2 poteniale s fie constant: , la fel i diferena dintre dou valori ale Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 6

functiilor de curent:

. Astfel se obtine o retea de dreptunghiuri curbilinii, cu .

raportul celor doua laturi constant (figura 1.2) :

Fig. 1.2 Spectrul hidrodinamic. Exemple de retele dreptunghiulare curbilinii

Daca se realizeaza o alegere convenabila a lui in raport cu ( = ) se poate obtine o retea de patrate curbilinii, in fiecare patrat curbiliniu putandu-se inscrie un cerc.(figura 1.3).

Fig. 1.3 Spectrul hidrodinamic. Exemple de retele de patrate curbilinii

Marginile domeniului pot fi : Linii de curent (contururile impermeabile) Linii echipotentiale (zone de alimentare).

Ca exemplu in figura alturat este prezentat spectrul hidrodinamic al infiltratiei sub un radier plan: Proprietatile spectrului hidrodinamic : Liniile echipotentiale si liniile de curent se intersecteaza sub unghi drept; Liniile echipotentiale ca si liniile de curent nu se intersecteaza intre ele; Daca se alege o diferenta constanta intre valoarea liniilor echipotentiale si a celor de curent ( = ), spectrul este patratic , in fiecare patrat curbiliniu putandu-se inscrie un cerc; Spectrul hidrodinamic nu depinde de valoare absoluta a coeficientului de permeabilitate k ci numai de raportul acestor coeficienti din diferite zone ale domeniului.


7

CALCULUL PARAMETRILOR HIDRAULICI CU AJUTORUL SPECTRULUI HIDRODINAMICGradientul hidraulic si viteza de infiltratie medieSe calculeaza cu legea lui Darcy scrisa in diferente finite : (1.2.3) (1.2.4) Relatia permite stabilirea diagramei repartitiei gradientilor hidraulici de-a lungul conturului

de iesire a curentilor de apa din mediul permeabil, necesara la verificarea stabilitatii locale.

Debitul infiltratSe calculeaza ca suma debitelor infiltrate de-a lungul tuburilor de curent. Prin tub de curent se intelege spatiul format intre doua linii de curent vecine i si i+1. ( ( ) ) (1.2.5)

Fig.1.5 Calculul debitului

Daca spectrul s-a construit adoptandu-se = ct si ( ) acelasi indiferent de tubul de curent. La spectrul patratic ( ) este:

atunci debitul elementar (Qi) este

rezulta ca debitul elementar este :

iar debitul infiltrat

unde : M numarul de tuburi de curent ( poate fi numar intreg si numar fractional); H fractiune din diferenta totala de nivele : N numarul de tuburi formate intre liniile echipotentiale (1.2.6)

Distributia presiunilorPresiunea intr-un punct oarecare se stabileste cunoscand sarcina hidraulica H si cota punctului z: . Formula permite calculul diagramelor de subpresiune la baraje, a diagramelor de presiune pe unele strate.


8

SPECTRUL HIDRODINAMIC IN MEDII NEOMOGENE SI ANIZOTROPEn cazul unor medii permeabile oarecare, cele 2 familii de curbe nu mai sunt nici ortogonale i nici nu formeaz o reea regulat de patrulatere curbilinii. Se menine proprietatea c n lungul unui tub de curent debitul rmne constant, proprietate ce deriv din ecuaia de continuitate. Astfel, la limita a doua zone (figura 1.6), fiecare din zone fiind omogena si izotropa, va exista o refractie a liniilor de curent similara cu refractia luminii , dupa legea :

Fig. 1.6 Refractia liniilor de curent

Cazuri particulare ( figura 1.7 ) : - figura 3.7 c - figura 3.7 a - figura 3.7 b

Primul si al treilea caz din cazurile particulare prezentate se intalnesc la conditiile de margine.

Fig. 1.7 Cazuri particulare de refractie

In mediile anizotrope, liniile echipoteniale se intersecteaz cu liniile de curent sub un unghi variabil :

MICRI PLAN VERTICALEEcuaia infiltraiei plan verticale, pentru cazul cel mai general medii neomogene i anizotrope, este:

(

)

(

)

(1.2.7)

Dac x i z sunt totodat i direciile principale ae tensorului | |, atunci kxz = kzx = 0, ecuaia devenind:

(

)

(

)

(1.2.8)

iar, dac mediul este omogen i izotrop (kx = kz), aceasta devine ecuaia lui Laplace: Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 9

(1.2.9) n cazul mediului ortotrop, micarea poate fi studiat cu ajutorul unei micri ntr-un mediu izotrop printr-o distorsionare corespunztoare a domeniului.(fig 1.8)

Fig. 1.8 Reducerea mediului ortotrop la un mediu izotrop

}

}

Se pun conditiile ca in cele 2 medii debitele si sarcinile hidraulice sa fie aceleai :

Se pune conditia ca mediul distorsionat sa fie izotrop kXX = kZZ = k i obinem

Micri plan verticale cu suprafa liberLa micrile sub presiune n orice punct al domeniului infiltraiei, presiunea este mai mare decat presiunea atmosferica. In momentul in care intr-o parte a domeniului presiunea devine nula rezulta ca avem o miscare cu nivel liber. Pe suprafata libera se obtine conditia :


10

Aceasta conditie este general pentru orice miscare. In cazul regimului permanent se mai adauga conditia ca suprafata libera este o linie de curent. In regim permanent pozitia suprafetei libere este constanta in timp si

rezulta ca viteza normala pe suprafata libera este nula si adica aceasta este o linie de curent. In figura 1.9 este prezentat un caz particular al miscarii plane cu suprafata libera zona de izvorare.

Fig.1.9 Spectrul hidrodinamic si conditiile de margine la infiltratia cu nivel liber

Zona de izvorre apare ntotdeauna la extremitatea de ieire din mediul permeabil a suprafeei libere.

MICRI PLAN ORIZONTALEMicrile tridimensionale ce au loc pe domenii ntinse n planul orizontal i cu dimensiuni reduse pe vertical pot fi reduse la o micare plan denumit micare plan-orizontal (n planul x,y). | | Debitul unitar poate fi scris: , unde: | | este tensorul transmisivitii. n cazul general al unui mediu neomogen i anizotrop transmisivitatea are urmtoarea expresie: | | iar debitul devine : ( ) ( ) (1.2.10) | |

n figura 1.10 este prezentat schematic cazul n care suprafaa liber este alimentat cu un debit unitar q = q(x,y) care are semnul + n cazul alimentrii prin infiltrare din precipitaii i reele hidrotehnice i semnul n cazul evapotranspiraiei. Ecuaia care guverneaz fenomenul devine : ( ) ( ) (1.2.11)

Fig. 1.10 Micri plan orizontale a) sub presiune; b) cu nivel liber pe pat impermeabil oarecare; c) cu nivel liber pe pat impermeabil orizontal SP suprafa piezometric; SL suprafa liber


11

Particularizri ale ecuaiei infiltraiei plan orizontale Mediu izotrop (Tx = Ty = T i Txy = 0) : ( ) ( ) (1.2.12)

Micare sub presiune cu transmisivitate constant (T = ak = ct) : (1.2.13)

Micare cu nivel liber n mediu omogen i izotrop (T = kh, h grosimea stratului, k = ct) : ( ) ( ) (1.2.14)


12

1.3 CARACTERISTICILE MEDIILOR PERMEABILECoeficientul de permeabilitate, ce caracterizeaz proprietile fizice ale pmnturilor din punct de vedere al infiltraiei, este determinat de urmtorii factori : Compozitia granulometrica a pamantului;n figura 1.11 sunt prezentate curbele granulometrice ale unor pmnturi i coeficienii de permeabilitate corespunztori. Se constat o scdere a coeficienilor de permeabilitate din zona pietriurilor spre zona pmnturilor argiloase. Domeniile prezentate n figura 1.11 au caracter orientativ iar compoziia granulometric singur, fr luarea n considerare a strii fizice a pmntului (a porozitii), nu poate oferi informaii cantitative sigure asupra coeficientului de permeabilitate, ci cel mult ordinul de mrime.

Fig. 1.11 Variaia coeficientului de permeabilitate cu compoziia granulometric

Forma granulelor si marimea lor.Acest factor are o influen mai redus asupra permeabilitii. Astfel, s-a constatat c pmnturile necoezive cu granule rotunjite au o permeabilitate mai ridicat dect cele cu granule colturoase. De asemenea, cu ct pmnturile au granule mai mari i o compoziie granulometric uniform, cu att coeficientul de permeabilitate este mai mare i invers, odat cu micorarea dimensiunilor granulelor i respectiv a coeficientului de neuniformitate (Un), coeficienii de permeabilitate scad rapid.

Compozitia mineralogic;Acest factor influeneaz permeabilitatea materialelor argiloase. Spre exemplu, argilele montmorinolite au granulometrie mai fin i tendina de a absorbi apa (prin urmare o permeabilitate mai redus) fa de argila caolinitic.

Structura si textura pamanturilor; Starea fizica a pamanturilor; Gradul de saturatie al pamantului; Vascozitatea apei ( variabila cu temperatura ). este o relaie citat destul de des n literatur ce include n form

Relaia :

explicit sau implicit factorii determinani asupra permeabilitii. Astfel, compoziia granulometric, forma particulelor i structura pmntului se regsete n coeficientul C; natura fluidului i influena temperaturii n termenul ; mrimea particulelor prin . ; aranjarea relativ a particulelor,

respectiv porozitatea prin termenul


13

Aceast relaie are mai mult rol demonstrativ al diferiilor factori ce influeneaz coeficientul de permeabilitate i o mai puin utilitate practic deoarece rezultatele nu concord cu realitatea.

Formule practice pentru determinarea permeabilitiiDiferii autori, n urma ncercrilor efectuate pe anumite categorii de pmnturi (n principal nisipuri), au stabilit diferite relaii empirice pentru determinarea coeficientului de permeabilitate. Relaiile nu dau ns o valoare exact a coeficientului de permeabilitate ci o valoare aproximativ. Conform Pietraru (1977), formula lui Hasen pentru nisipuri omogene cu este:

unde: k se obine n cm/s d10 diametrul efectiv, se msoar n cm C coeficient adimensional ce ine cont de coninutul de argil (pentru nisip curat C=100...120, iar pentru nisip cu argil C=80...100) coeficient adimensional de corecie funcie de temperatura apei Formula lui Kozeny pentru nisipuri este prezentat tot n lucrarea lui Pietraru (1977):

unde: k se obine n cm/s d10 diametrul efectiv, se msoar n cm n - porozitatea coeficient adimensional de corecie funcie de temperatura apei, se prezinta n tabel: toC 0 0,59 5 0,70 10 0,81 15 0,93 20 1,05 25 1,18

A. Stanciu i I. Lungu (2006) prezint n lucrarea lor mai multe formule pentru determinarea coeficientului de permeabilitate, dintre care enumerm: Jaky 1944

dm diametrul cu cea mai mare frecven din curba frecvenelor Terzaghi 1955

Relaia simpl : Relaia complex : unde: C = 10,48 pentru particule rotunde, netede C = 6,02 pentru particule rugoase, coluroase t temperatura apei n porozitatea e indicele porilor Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 14 (

)

vscozitatea dinamic a apei London 1953

unde: f = 1,00 pentru particule sferice f = 1,10 pentru particule bine rotunjite f = 1,25 pentru particule destul de coluroase f = 1,40 pentru particule foarte coluroase n porozitatea vscozitatea cinematic a apei - aria specific n urmtoarele tabele se prezint valori orientative ale coeficientului de permeabilitate (A. Stanciu i I. Lungu (2006): a. roci moi sau pmnturi Tipul pmntului Pietri curat Nisip mare curat Nisip mediu Nisip fin Nisip prfos Nisip fin ( U = 2..5) Nisip de dune Loess Praf Argil b. roci tari sau stncoase Tip roc Calcite Gresii Granite intacte Granite degradate Granite (in situ) isturi fisurate aceste valori sunt determinate n laborator k (m/s) (0,01 1) x 10-7 (0,1 1) x 10-9 (0,1 1) x 10-9 (0,1 1) x 10-5 (0,1 1) x 10-4 (1 3) x 10-4 k (cm/s) 1 1 10-2 10-2 5 x 10-3 5 x 10-2 10-3 2 x 10-2 10-4 6 x 10-3 10-4 0,1 0,3 10-3 10-4 5 x 10-4 10-5 < 10-6 Descriere calitativ mare medie medie medie la mic mic slab mare medie mic mic

c. valori orientative dup STAS 1913/6 76 Tipul pmntului Pietri, bolovni Nisip, nisip cu pietri Nisip fin, prfos, praf argilos, loess Argil nisipoas, prfoas, praf argilos Argil, argil gras k (cm/s) 10 10-1 10-1 10-3 10-3 10-7 10-5 10-8 10-7 10-13


15

Determinarea experimental a coeficientului de permeabilitateDeterminarea experimental a coeficientului de permeabilitate se poate face prin ncercri pe probe n laborator sau prin ncercri in situ. Determinarea permeabilitii n laborator se poate face prin urmtoarele metode: Metoda permeametrului cu gradient constant, cu sau fr suciune Metoda permeametrului cu gradient variabil ncercarea de compresiune tasare, n edometru.

Determinarea permeabilitii prin ncercri in situ se face prin : Msurarea vitezei de curgere cu ajutorul trasorilor Turnri experimentale de ap Metoda sferelor de infiltraie Metoda Lafrane Metoda permeametrului (cu vacuum sau Brillant) Turnri i pompri n foraje.


16

1.4 REGIM NESATURATCurgerea apei n regim nesaturat este guvernat de aceleai principii ca i n cazul regimului saturat, legea lui Darcy fiind valabil. Cea mai important diferen este aceea c permeabilitatea nu mai este constant, ci variaz cu umiditatea. Un alt factor ce variaz cu umiditatea este presiunea apei din pori, astfel c este necesar o funcie care s descrie aceast variaie. n figura 1.12 este prezentat graficul unei astfel de funcii (curba caracteristic), grafic caracterizat de 3 elemente:

Fig 1.12 Exemplu curb caracteristic

AEV (air-entry value) corespunde valorii suciunii la care cele mai mari goluri sau pori ncep s se dreneze liber. Valoare depinde de dimensiunea maxim a porilor i de gradul de neuniformitate. Panta funciei (mw) att pentru presiuni negative ct i pozitive. Pentru presiuni negative panta funciei reprezit ritmul de variaie al umiditii pmntului cu schimbarea presiunii. Pentru presiuni pozitive, mw este echivalent cu coeficientul de compresibilitate pentru consolidarea unidimensional. Umiditatea remanent reprezint valoarea umiditii la care o scdere a presiunii nu mai produce schimbari semnificative n coninutul de ap din prob.

n figura 1.13 (Krahn 2004) sunt prezentate curbele caracteristice pentru trei tipuri de soluri (nisip, nisip prafos i argil marin).

Fig 1.13 Curbe caracteristice pentru 3 tipuri de pmnt


17

Se observ c nisipul se dreneaz foarte repede, pentru valori reduse ale presiunii negative, rezultnd o pant a funciei foarte abrupt. Nisipul prfos, caracterizat de dimensiuni ale porilor mai reduse, are o pant a funciei mai lent i drenajul liber al porilor ncepe la valori mai mari ale suciunii, iar argila este caracterizat de cea mai lent pant a funciei i de cea mai mare umiditate remanent. Comparnd cele trei curbe caracteristice se poate concluziona c materialele cu dimensiunile golurilor mai mici au valori mai mari ale presiunii negative pentru o valoare a umiditii dat. Relaia dintre umiditate i suciune are o comportare histeretic presiunea depinde de istoria umiditii ct i de valoarea curent. Dac se analizeaz variaia suciunii cu umiditatea se obin nite curbe caracteristice de umezire uscare i curba pentru umezire este diferit fa de cea pentru uscare figura 1.14 :

Fig. 1.14 Exemplu curb suciune - umiditate

Curbele intermediare din grafic reprezint calea urmat n timpul unui ciclu parial de uscare umezire.


18

1.5 INFILTRAII NEPERMANENTELa stabilirea ecuaiilor generale ale infiltraiei nepermanente legea Darcy trebuie corectat sub forma: unde : g acceleraia gravitaional n porozitatea efectiv t timpul Ipoteze simplificatoare : 1. Legea lui Darcy stabilit pentru regimul permanent poate fi folosit i la studiul regimului nepermanent. Aceast ipotez se poate aplica deoarece termenul care conine

poate fi

neglijat n majoritatea problemelor practice. Acest termen reprezint influena ineriei. 2. La micrile cu nivel liber se poate admite c apa este incompresibil, iar la micrile sub presiune se va lua n considerare i compresibilitatea apei la cere se mai adaog i deformaia stratului acvifer. Cu aceste precizri i plecnd de la ecuaia continuitii : rezult c ecuaia general a micrii nepermanente n cazul mediilor permeabile omogene i izotrope este ecuaia lui Laplace: . Chiar dac ecuaiile generale sunt aceleai ca n cazul regimului permanent, n regimul nepermanent ele se integreaz punnd condiii de margine variabile n timp i condiii speciale pe suprafaa liber. Dac se analizeaz parametrii micrii la un moment dat, problema se studiaz ca i cum micarea ar fi n regim permanent, numai c micarea difer de la moment la moment. Astfel, se poate concluziona c micarea nepermanent poate fi studiat ca o succesiune de stri permanente. n cazul problemei 2D plan vertical, pentru infiltraia nepermanent cu nivel liber, se pun urmtoarele condiii iniiale i de margine (cazul unui batardou dreptunghiular fig 1.15) : a. b. c. d. AB linie echipotenial BCD suprafa liber DE zon de izvorre EF linie echipotenial H = H1 p = patm = 0 p = patm = 0 H = H2

e. FA linie de curent (pat impermeabil) Se observ c aceste condiii sunt identice cu cele din infiltraia permanent, excepie fcnd condiia b (condiia pentru suprafaa liber) care n infiltraia nepermanent nu mai este linie de curent i pe care se pune condiia de sarcin hidraulic impus : H = z.


19

Fig. 1.15 Condiiile de margine n cazul infiltraiei nepermanente plan-verticale cu nivel liber

Ecuaia suprafeei libere n infiltraia nepermanent plan este : (1.7.3) unde : potenialul hidraulic H = H(x,z,t) este o funcie armonic n fiecare moment, iar h = h(x,t) este ordonata suprafeei libere. Ordinea operaiilor pentru rezolvarea problemelor de infiltraii nepermanente este urmtoarea : 1. Se precizeaz condiiile de margine i poziia suprafeei libere la momentul iniial. 2. Se determin funcia armonic H n tot domeniul de infiltraie, corespunztoare momentului iniial t0. 3. Se calculeaz grafo-analitic derivatele :

pe suprafaa liber, n mai multe puncte. 4. Din ecuaia suprafeei libere (ecuaia 1.7.3) se calculeaz .

5. Se alege un interval de timp t i se calculeaz n fiecare punct variaia suprafeei libere pe vertical :

6. Se deseneaz poziia suprafeei libere la momentul (t0 + t). Punctele 1..6 corespund unui ciclu de calcul, dup care momentul t0 + t se consider drept moment iniial i se reia calculul de la punctul 1. Ecuaia 1.7.3 corespunde problemei 2D plan vertical. n cazul mai general, al micrii tridimensionale, se gsete urmtoarea ecuaie a suprafeei libere n regim nepermanent : (1.7.5) unde : H = H(x,y,z,t) sarcina hidraulic h = h(x,y,t) ordonata suprafeei libere k = k(x,y,z) coeficientul de permeabilitate.


20

n cazul infiltraiei nepermanente sub presiune, ecuaia care guverneaz fenomenul este o ecuaie de bilan a masei de ap dintr-un volum elementar :

(

)

(

)

(

)

(1.7.6) (1.7.7)

unde : E coeficient de nmagazinare - coeficientul de compresibilitate al apei mv modulul de deformaie al terenului Condiiile iniiale se refer la valorile sarcinilor hidraulice la momentul t = 0 i provin, de obicei dintr-un regim staionar al infiltraiilor. Condiiile de margine se refer la valori impuse ale sarcinii hidraulice i la debite specifice cunoscute pe anumite granie.


21

2. MODELAREA MATEMATIC N ANALIZA INFILTRAIILOR2.1 MODEL MATEMATICSimularea numeric implic 3 noiuni: Natura reprezint nsi realitatea n toat complexitatea ei. Aceasta se cunoate prin intermediul schemei sale. Schema reflect numai unele proprieti ale naturii, cele legate de fenomenul analizat. Aceasta se refer att la caracteristicile i geometria mediului permeabil ct i la cauzele care provoac micarea apei. Model matematic reprezint descrierea matematic a schemei.

Conform Krahn (2004) exist 4 motive principale pentru modelarea matematic: A. Realizarea de predicii cantitative. Ca exemple se pot enumera: valoarea debitului exfiltrat, timpul necesar de la prima umplere pn la atingerea condiiilor permanente, etc. Totui, realizarea prediciilor cantitative este cea mai grea parte din procesul de modelare deoarece valorile cutate sunt n direct legtur cu proprietile materialelor. Astfel, pe ct de greu este s stabileti foarte clar proprietile materialelor, pe att de greu este s faci predicii cantitative precise. B. Compararea alternativelor - simulare Simularea este operaia de exploatare a modelului prin schimbarea unor parametrii cu scopul studierii efectului fizic i economic. Astfel se poate evalua un singur parametru prin schimbarea acestuia, ceilali rmnnd constani. n acest caz nu este important valoarea obinut ci variaia acesteia ca efect al schimbrii parametrului. C. Identificarea parametrilor guvernani Modelarea matematic poate fi folosit pentru identificarea parametrilor guvernani, iar dup identificarea acestora modelarea poate fi refcut concentrndu-se asupra factorilor importani, neglijndu-se cei care nu influeneaz fenomenul. D. Descoperirea i nelegerea proceselor fizice Un model matematic poate ajuta la nelegerea fenomenului fizic analizat. Modelul poate confirma analiza iniial sau, dac este necesar, poate schimba modul n care s-a analizat o anumit situaie. Modelarea matematic are cteva avantaje fa de modelarea fizic, iar printre acestea se pot meniona: 1. rapiditatea realizrii modelului (un model matematic se realizeaz mult mai repede dect cel fizic), 2. folosirea modelului matematic n analiza unui umr mare de scenarii (modelele fizice sunt limitate la un numr redus de condiii), 3. posibilitatea de a afla rezultate i informaii n orice punct din domeniu (modelele fizice ofer informaii doar punctual), 4. acceptarea unei varieti de condiii de margine. Totui modelarea matematic are i anumite limitri fa de modelarea fizic: nu se pot implementa schimbri de temperatur, schimbri de volum, schimbri de natur chimic etc. deoarece aparatul matematic ar deveni mult prea complicat. Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 22

Realizarea unui modelPentru realizarea unui model corect este necesar o planificare atent. n primul rnd trebuie stabilit scopul modelului deoarece acesta poate fi adaptat funcie de parametrii analizai. Ca regul general, un model trebuie realizat pentru a rspunde unei ntrebri specifice. nainte de folosirea diferitelor produse software pentru realizarea i calculul unui model trebuie s l analizam i s avem o imagine mental a rezultatelor. Este nepotrivit s achiziionm un produs software, s introducem nite date de intrare, s obinem nite rezultate i apoi s decidem ce nseamn acestea. O analiz trebuie nceput cu cea mai simpl schem iar dup determinarea parametrilor guvernani aceasta se poate complica prin adugarea diferitelor detalii. n cazul unei analize n regim nepermanent, aceasta trebuie analizat n regim permanent ntr-o prim faz apoi n regim nepermanent. Un alt aspect foarte important l reprezint modelarea numai prilor eseniale. Astfel, n cazul unui baraj de anrocamente cu nucleu se poate modela doar nucleul deoarece acesta are cea mai mare importan n reducerea infiltraiilor prin baraj. Altfel spus, nucleu influeneaz pierderea de sarcin hidraulic nu i anrocamentele (figura 2.1).

Fig. 2.1 modelarea unui baraj de anrocamente cu nucleu

n cazul unui baraj de pmnt cu prism drenant, prismul drenant poate fi omis din model precum n figura 2.2.

Fig. 2.2 modelarea unui baraj de pmnt cu prism drenant

SCHEMATIZAREA MEDIILOR PERMEABILE I A CONDIIILOR DE MARGINESchematizarea mediilor permeabileTerenul natural prin care are loc procesul de infiltraie este ntotdeauna neomogen i anizotrop, totui, pentru calcule, acesta este considerat ca fiind : Omogen coeficientul de permeabilitate k este constant;


23

Zonat pe anumite zone determinate coeficientul de permeabilitate k este constant dar diferit de la o zona la alta ; Izotrop coeficientul de permeabilitate k este acelasi pe ambele directii Ortotrop pe intreg domeniul exista doua directii principale dupa care coeficientul de permeabilitate k este maxim si minim. Raportul lor (mediul anizotrop cu anizotropie regulata in care este constant in intreg domeniul. este constant in tot domeniul).

Aceast presupunere, la care se adaug cele privind forma geometric a domeniului i cele referitoare la cauzele care provoac micarea apei (materializate n calcule prin codiii iniiale i de margine) reprezint operaia de schematizare. Operaia de schematizare este foarte important n calculele de infiltraii deoarece orict de bun ar fi calculul, dac schema este necorespunztoare, rezultatele obinute vor fi eronate. Exist situaii cnd acelai teren permeabil poate fi i uneori trebuie schematizat n moduri diferite funcie de natura problemei.

Schematizarea condiiilor de marginen general, problemele de infiltraii asociate barajelor implic 4 tipuri de condiii de margine, iar n figura 2.3 (a i b) acestea sunt exemplificate. a. limit impermeabil (k=0) linie de curent liniile AB i 1-8 reprezint linii de curent Limita impermeabil este reprezentat de interfaa dintre un material granular cu o permeabilitate k i materialele cu o permeabilitate foarte redus (roc de baz, beton). b. intrri i ieiri (zone cu potenial dat) Intrrile i ieirile reprezint liniile ce definesc zonele unde apa intr sau iese din materialul impermeabil. Aceste linii (0-1 i 8-G fig 2.3(a); AD i BE fig 2.3 (b)) sunt zone cu potenial dat. (k = ). De-alungul acestor linii sarcina hidraulic este aceeai indiferent de form sau orientare.

Fig. 2.3 Condiii de margine asociate problemelor de infiltraii


24

c. zona de izvorre Zona de izvorre este reprezentat de zona de grani unde presiunea este egal cu presiunea atmosferic (linia GE din fig 2.3 (b)). d. curb de depresie Aceast grani este localizat n interiorul stratului permeabil i este caracterizat de o presiune egal cu presiunea atmosferic. (linia DG din fig 2.3 (b)).


25

2.2 METODA DIFERENELOR FINITEMetoda diferenelor finite este bazat pe discretizarea domeniului micrii ntr-o reea de elemente dreptunghiulare sau ptrate. Contururile curbe se aproximeaz prin linii frnte, astfel ca pe limite s rmn ptrate sau dreptunghiuri ntregi (figura 2.4).

Fig. 2.4 Discretizarea unui domeniu(acvifer) n metoda diferenelor finite

La scrierea ecuaiilor, valorile sarcinii hidraulice se pot atribui fie n noduri, fie n ochiuri (n interiorul elementelor). Se prefer cea de-a doua posibilitate cea a ochiurilor deoarece programul de calcul MODFLOW se bazeaz pe aceasta. n cazul micrii plan-verticale, fiecrui ochi i se ataeaz doi parametrii: sarcina hidraulic (necunoscuta problemei) n centrul ochiului i conductivitatea hidraulic C, considerat constant n intregul domeniu al fiecrui ochi, dar diferit de la ochi la ochi. n diferene finite, ecuaia infiltraiei permanente n medii neomogene este :

(unde:

)

(

)

[

]

(2.2.1)

C conductivitatea hidraulic k (problema plan vertical) sau transmisivitatea T (problema plan orizontal); C0-i conductivitatea hidraulic ntre ochiurile 0 i i i este o funcie de conductivitile C0 i Ci :

(2.2.2)Ecuaia (2.2.1) se mai poate scrie i astfel:

(2.2.3)

iar dac mediul este omogen i izotrop (C0-i = const) ecuaia (2.2.2) devine: sau

unde: este media ponderat a sarcinilor hidraulice din cele 4 ochiuri vecine. Relaii de tipul (2.2.3) se pot scrie pentru toate cele N ochiuri ale domeniului de infiltraie, obinnduse un sistem algebric liniar de N ecuaii cu N necunoscute.


26

n problema plan-orizontal monostrat se adaug termenul drenanei i termenul care reprezint debitul distribuit pe suprafaa orizontal (termen provenit din precipitaii, irigaii sau evapotranspiraii) i se obine ecuaia:

[

]

(2.2.4)

unde: Qd=2 debitul distribuit pe suprafaa unui ochi Cd = D2 conductivitatea pe vertical prin drenan Hd sarcina hidraulic n stratul foarte transmisiv sau cu coeficient mare de nmagazinare, legat prin drenan de stratul n care se studiaz micarea, Hd este constant.

Condiii de marginen figura 2.5 se prezint modul n care sunt tratate cele trei tipuri de condiii de margine : Limit cu sarcin hidraulic impus n ochiul cu sarcin hidraulic impus se va atribui conductivitii hidraulice o valoare foarte mare (teoretic Ci = ) , astfel c din ecuaia (2.2.2) se obine C0-i = 2C0, ceea ce este echivalent cu impunerea sarcinii Hi la limita dintre ochiurile 0 i i. (fig 2.5 a) Limit cu debit impus n cazul limitei cu debit de alimentare impus se consider o limit impermeabil i se adaug n ochiul 0 debitul distribuit Qd. (fig 2.5 b) Limit impermeabil Pe limitele impermeabile se atribuie ochiurilor respective, situate n exteriorul domeniului micrii, conductiviti nule (Ci = 0), iar din ecuaia (2.2.2) rezult C0-i = 0. (fig 2.5 c)

Fig 2.5 Schematizarea condiiilor de margine metoda diferenelor finite L.M. limit model, L.H. limit cu sarcin hidraulic impus, L.Q. limit cu debit impus, L.I. limit impermeabil

Algoritmul de calculAlgoritmul de calcul cuprinde trei etape: generarea sistemului de ecuaii (2.2.4), rezolvarea sistemului i interpretarea rezultatelor. Referitor la rezolvarea sistemului se observ c matricea coeficienilor are majoritatea termenilor nuli i diagonala dominant. Pe fiecare linie, nenuli sunt coeficientul diagonal al necunoscutei principale, Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 27

patru coeficieni ai necunoscutelor situate n jurul necunoscutei principale (dreapta, stnga, sus, jos) i termenul ce reprezint cea de-a cincea rezisten hidraulic - n total 6 termeni. Ca algoritmi de rezolvarea a sistemului de ecuaii se prezint metoda relaxrii i metoda suprarelaxrii. Ambele metode constau n rezolvarea sistemului de ecuaii prin iteraii: n prima aproximaie se stabilesc aleator cte o valoare a lui H pentru fiecare ochi. Apoi valorile H din fiecare ochi se corecteaz cu relaia (2.2.3) sau (2.2.4), parcurgnd domeniul ochi cu ochi. Calculul efectiv pentru un ochi const n stabilirea diferenei finite dintre 2 valori succesive ale sarcinii hidraulice, H la iteraia n i H la iteraia n 1: DIF = H H Valoarea nou a sorcinii hidraulice care va fi nscris n locul vechii valori H, va fi : H H + DIF metoda relaxrii H H + DIF metoda suprarelaxrii Coreciile se repet pn cnd valorile obinute n dou aproximaii succesive difer ntre ele cu o valoare sub o eroare de control E : DIF E Metoda relaxrii are o convergen slab, iar o convergen mai rapid se poate obine printr-o mrire artificial a diferenei dintre dou iteraii, prin multiplicarea lui DIF cu un coeficient denumit coeficient de suprarelaxare. Coeficientul de suprarelaxare este cuprins ntre 1 i 2. Cu ct este mai mare cu att convergena este mai rapid, dar de ndat ce depete o valoare critic cr procesul iterativ devine brusc divergent; cr este apropriat dar mai mic dect 2.

Infiltraii n regim nepermanentn cazul modelrii regimului nepermanent cu ajutorul diferenelor finite, pe lng mprirea domeniului n elmente se mparte i timpul n intervale . Problema se poate rezolva n trei moduri: Forma explicit n forma explicit sarcina hidraulic ntr-un ochi oarecare este funcie numai de sarcinile hidraulice din momentul anterior :

(

)

.

(2.2.5)

iar pasul de timp trebuie s ndeplineasc condiia: Forma implicit

n forma implicit sarcina hidraulic ntr-un ochi rezult funcie att de sarcina hidraulic din momentul anterior t ct i de sarcinile hidraulice din momentul t + din ochiurile vecine. Se obine astfel un sistem de ecuaii liniare. ntr-un ochi se poate scrie :

*

+

(2.2.6)


28

unde intervalul de timp trebuie s ndeplineasc o condiie similar cu condiia de la forma explicit, dar mai puin sever. Forma mixt n forma mixt, pentru un ochi oarecare, se poate scrie expresia sarcinii hidraulice :

*

(

)

(

)

+ (2.2.7)

Pentru = 0 forma mixt se reduce la forma explicit, iar pentru = 1 la forma implicit. n forma explicit algoritmul de calcul este simplu iar n forma implicit acesta este mai complicat, deoarece, la fiecare pas de timp intervine rezolvarea unui sistem de ecuaii liniare.


29

2.3 MEDODA ELEMENTELOR FINITEMetoda elementelor finite are la baz dou formulri matematice echivalente: o formulare diferenial i una variaional. n cazul formulrii difereniale, soluia problemei se obine prin integrarea sistemului de ecuaii cu derivate pariale care descriu fenomenul, innd seama de condiiile de margine. n cazul formulrii variaionale, soluia problemei se obine prin cutarea unei funcii care minimizeaz sau face staionar o funcional care cuprinde aceleai condiii de margine. n cazul problemelor de infiltraii, funcionala asocia are o semnificaie fizic bine definit energia disipat n procesul de curgere. Formularea diferenial Ecuaia care guverneaz fenomenul de infiltraie provine din ecuaia de continuitate n regim permanent : (2.3.1) n care , i sunt componentele debitului pe unitatea de suprafa n sistemul cartezian la

care se adauga legea generalizat a lui Darcy :

( ( (n care : , i

) ) ); coeficienii (2.3.2)

sunt componentele vitezei de infiltraie n sistemul

conductivitile hidraulice ale mediului. Viteza de infiltraie este egala cu debitul pe unitatea de suprafa. In form matriceal relaia legii generalizate a lui Darcy devine :

{ }

{

}

[ ]{

}

(2.3.3)

n care : [ ] este matricea de 3 X 3 a conductivitilor hidraulice, simetric. ( termenii kxy = kyx )

[ ]

[

]

(2.3.4)

{

} este vectorul {

} , iar operatorul gradient are expresia : { }

Ecuaia fenomenului va avea forma general :

[ ]{

}

(2.3.5)


30

Acestei ecuaii i se asociaz condiiile de margine : sarcin hidraulic impus pe anumite suprafee de contur :

debit specific impus in zone date :

(2.3.6)

(2.3.7)

n aceast formulare diferenial funcia necunoscut este sarcina hidraulic H(x,y,z). Formularea variaional Funcionala asociat, utilizat pentru determinarea ecuaiilor in elemente finite, are expresia: { } { } (2.3.8)

unde : primul termen reprezinta energia hidraulica disipata in unitatea de timp in procesul de infiltratie iar al doilea termen corespunde conditiei de margine debit specific impus in zone date. La trecerea in elemente finite domeniul de infiltratie se discretizeaza iar sarcina hidraulica H(x,y,z) se exprima pe domeniul unui element in functie de valorile nodale H prin intermediul functiilor de aproximare Ni(x,y,z), avand forma matriceala : [ unde : [N] matricea functiilor de aproximare {H}e vectorul sarcinilor hidraulice nodale pentru un element. Aplicnd operatorul grad relaiei (2.3.9) se obine gradientul hidraulic asociat elementului exprimat funcie de sarcinile hidraulice nodale : { } [ ]{ } [ ]{ } (2.3.10) ]{ } (2.3.9)

unde matricea [Bq] este compus din derivatele de ordinul I ale funciilor de aproximare. Debitul specific se exprim tot n funcie de sarcinile hidraulice nodale : { } [ ][ ]{ } (2.3.11)

Dac nlocuim relaiile sarcinii hidraulice (2.3.9), gradientului hidraulic (2.3.10) i debitului specific (2.3.11) n expresia funcionalei aferent domeniului unui element Ve , rezult : { } ( [ ] [ ][ ] ){ } { } [ ] (2.3.12)

unde prima integral reprezint matricea de infiltraie a unui element, iar cea de-a doua integral reprezint vectorul condiiilor de margine: [ ] [ ] [ ][ ] (2.3.13)


31

{ }

[ ]

(2.3.14)

unde reprezint debitul specific impus pe feele q,e ale elementului. Cu aceste notaii, expresia funcionalei unui element devine : | { } [ ]{ } { } { } (2.3.15)

iar funcionala corespunztoare domeniului de infiltraie se determin prin sumarea contribuiilor tuturor elementelor din discretizare : unde : [ ] [ ] { } { } (2.3.17) | { } [ ]{ } { } { } (2.3.16)

Operaia de sumare a vectorilor i matricelor caracteristice se realizeaz prin adunarea termenilor omologi din vectorii {r} i matricele [ki], dup extinderea acestora la dimensiunile date de numrul nodurilor din discretizare. Domeniul de studiu a fost nlocuit cu un model discret, cu funcionala exprimat n funcie de valorile sarcinilor hidraulice nodale. Condiia de staionare | conduce la sistemul de ecuaii algebrice liniare : [ ]{ } { } (2.3.18)

iar condiiile de margine de tip sarcin hidraulic impus se introduc cu ajutorul unor ecuaii aditionale. Dac n nodul j de pe conturul domeniului sarcina hidraulic are valoarea , n sistemul de ecuaii (19) se introduce o ecuaie aditional : unde este un numar arbitrar. Aceast ecuaie se adun cu ecuaia din sistemul (2.3.18) aferent necunoscutei Hj, majornd termenul diagonal i respectiv termenul liber. Prin rezolvarea sistemului de ecuaii argebrice (2.3.18) n care s-au introdus i condiiile de margine tip sarcin hidraulic impus se obin sarcinile hidraulice n toate nodurile discretizrii. Pe baza acestora se poate trasa spectrul hidrodinamic. Gradienii hidraulici i debitele infiltrate se calculeaz revenind la nivelul elementului. (2.3.19)

Infiltraii n regim nepermanentAa cu s-a precizat n capitolul 1, la stabilirea ecuaiilor pentru cazul infiltraiilor nepermanente sub presiune trebuie s se in cont de compresibilitatea mediului permeabil i a apei. Ecuaia care guverneaz fenomenul este o ecuaie de bilan al masei de ap dintr-un volum elementar: ( unde: densitatea apei (constant n raport cu poziia (x,y,z)) Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 32 ) ( ) ( ) (2.3.20)

M masa de ap din porii terenului permeabil; M = n, unde n - porozitatea Variaia lui M este dat de variaia densitii apei cu presiunea i de modificarea porozitii mediului permeabil la schimbarea presiunii. Ecuaia infiltraiei nepermanente se mai poate scrie sub forma unei ecuaii Fourier: ( ) ( ) ( ) (2.3.21)

unde: E = (n+mv) coeficient de nmagazinare, coeficientul de compresibilitate al apei i mv modulul de deformaie al terenului. Condiiile iniiale se refer la valorile sarcinilor hidraulice la momentul t0 i provin, de obicei, dintr-un regim staionar al infiltraiilor. Ca i n cazul regimului saturat, condiiile de margine se refer la valori impuse ale sarcinii hidraulice sau debite specifice cunoscute (flux) pe anumite granie. Diferena const n faptul ca n regim nepermanent acestea sunt funcii de timp. Funcionala asociat ecuaiei este: { } [ ]{ } (2.3.22)

i reprezint o extensie a funcionalei din regimul permanent. Aceasta conine i termenul aferent nmagazinrii mediului. Pentru discretizarea temporal se accept metoda reziduurilor ponderate a lui Galerkin ce are schema de integrare n timp necondiionat stabil. Ecuaia de recuren final are forma: ( [ ] [ ]) { } ( [ ] [ ]) { } { } { } (2.3.23)

unde: [ ] [ ] { } reprezint sumarea pe domeniul D i grania elementelor finite.

a matricelor individuale ale

Realizarea modeluluiDiscretizarea este unul dintre cele 3 aspecte fundamentale ale modelrii n elemente finite. Celelalte dou sunt determinarea proprietilor materialelor i a condiiilor de margine. Astfel, chiar dac pentru discretizarea domeniului studiat exist algoritmi de calcul i aceasta este realizat de computer, un minim de atenie i ndrumare trebuie i din partea utilizatorului. Utilizatorul trebuie s stabileasc dimensiunea elementelor, zonele importante n analiz, tipul elementelor, etc. i s verifice interconectarea tuturor elementelor. Pe scurt acesta trebuie s asigure compatibilitatea elementelor. Elementele finite folosite pentru rezolvarea problemelor de infiltraii sunt elemente de clas C0. Clasa de continuitate C0 se caracterizeaz prin: variabila de cmp este continu pe frontiera dinte dou elemente finite i derivata de ordinul I este continu pe element dar discontinu pe frontier. n cazul elementelor de clas C0 ,atunci cnd variabila de cmp este un scalar (cazul problemelor de infiltraii), fiecrui nod i se ataeaz cte o necunoscut - valoarea nodal a funciei.


33

Un element finit al discretizrii are un anumit numr de noduri prin intermediul crora este conectat cu elementele vecine. Definirea funciei necunoscute pe domeniul elementului se realizeaz prin intermediul funciilor de aproximare i n general se folosesc funcii polinominale. Numrul coeficienilor polinominali trebuie s fie egal cu numrul nodurilor elementului, rezultnd c ntre configuraia elementului i funciile de aproximare exist o interdependen bine definit. n problemele de infiltraii 2D, discretizarea domeniului se poate realiza cu elemente triunghiulare sau patrulatere. Acestea pot avea aproape orice form totui, performanele elementelor scad dac forma acestora este foarte diferit de forma ideal. Pentru elementele patrulatere forma ideal o reprezint ptratul, iar pentru elementele triunghiulare forma ideal este triunghiul echilateral. n figura 2.6 se prezint modul n care forma elementelor influeneaz performanele acestora.

Fig. 2.6 Forma elementelor i performanele acestora

Recomandri privind realizarea reelei: Numrul elementelor la nceputul analizei trebuie s fie ct mai redus. Rareori este necesar folosirea a mai mult de 1000 de elemente pentru a verifica concepte sau a afla o prim soluie aproximativ. Toate elementele ar trebui s fie vizibile atunci cnd se vizualizeaz ntregul model. Reteaua trebuie realizat astfel nct s rspund unei probleme specifice i nu trebuie s includ elemente ce nu influeneaz comportarea sistemului.

Etape de calcul n Metoda Elementelor FinitePrima etap n Metoda Elementelor Finite o reprezint Discretizarea. n aceast etap domeniul studiat se mparte n elemente finite. Alegerea funciilor de aproximare reprezint a doua etapa. n aceast etap se definesc funciile de aproximare Ni(x,y,z), continue pe domeniul unui element. Cu ajutorul acestora se exprim variaia funciei necunoscute sarcin hidraulic. Pentru ca precizia rezultatelor s fie acceptabil, trebuie ca ntre dou noduri variaia real s fie ct mai bine reprodus de legea de variaie dat de funciile de aproximare. A treia etap este reprezentat de Evaluarea matricelor i vectorilor caracteristici pe baza funciilor de aproximare alese i n funcie de caracteristicile materialului care compune elementul. Calculul matricelor i vectorilor caracteristici se face, de obicei, prin integrare numeric. Stadiul actual privind msurile de control al infiltraiilor 34

n etapa a IV a se obtine matricea caracteristic a domeniului i vectorul termenului liber prin sumarea matricelor si vectorilor caracteristici ai elementelor din discretizare. Tot n aceast etap se introduc i condiiile de margine de tip valoare impus a necunoscutei. Rezolvarea sistemului de ecuaii algebrice liniare Ku = R, obinut prin operaia de asamblare reprezint a V a etapa. Din rezolvare rezult valorile funciei necunoscute n nodurile discretizrii. Prin intermediul funciilor de aproximare se pot calcula valorile acesteia n oricare alt punct al domeniului. Ultima etap o reprezint Calculul marimilor derivate. Pe baza valorilor nodale calculate se determin, la nivelul elementului, gradienii hidraulici i debitele.


35

2.4 METODA ECUAIILOR INTEGRALE PE FRONTIERMetoda const n formularea problemelor de grani printr-o ecuaie integral. n aplicaiile numerice, ecuaia integral este rezolvat prin aproximaii: grania este aproximat printr-o serie de drepte sau curbe elementare i, privind comportarea soluiei pe aceste segmente, se presupun ipoteze simplificatoare. Astfel, soluia obinut satisface exact ecuaiile difereniale guvernante, dar ndeplinete condiiile de margine doar aproximativ. n figura alturat este prezentat schia necesar definirii metodei iar cu rou este prezentat modul de discretizare al graniei. Formularea metodei poate fi obinut prin aplicarea direct a teoremei lui Green Fie H i dou funcii oarecare de coordonate x, y, difereniabile continue n regiunea R.Forma bidimensional a teoremei lui Gree este:

[

]

* ( )

( )+

(2.4.1)

Dac ambele funcii satisfac ecuaia lui Laplace, atunci partea stng a ecuaiei (2.4.1) este egal cu zero i rezult:

* ( )

( )+

(2.4.2)

n cazul studierii curgerii apei prin medii poroase, funcia este aleas ca o soluie singular a ecuaiei lui Laplace: , unde r este distana de la un punct P, oarecare, la punctul Q situat pe grani. Astfel, ecuaia (2.4.2) devine:

*

( )

(

)+

(2.4.3)

Dac H i sunt cunoscute n orice punct de pe grani, atunci ecuaia (2.4.3) poate fi evaluat s furnizeze HP valoarea sarcinii hidraulice H n punctul P. Punctul P este exclus din regiunea R printrun cerc a crui raz tinde la zero, iar valoarea sarcinii hidraulice n punctul P este:

*

( )+

(

)

(2.4.4)

Ecuaia (2.4.4) este valabil pentru orice punct P din regiunea R dar, n vederea unei formulri pe grani, punctul P este dus pe grani iar ecuaia (2.4.4) devine:

*

( )+

(

)

(2.4.5)

unde este unghiul dintre segmentele graniei ce se ntlnesc n punctul P. ntr-o problem de infiltraii, pentru fiecare grani sunt cunoscute H sau astfel, aplicarea ecuaiei

(2.4.5) pentru fiecare punct de pe grani conduce la un sistem de ecuaii ce poate fi rezolvat i determinat necunoscuta H sau n fiecare punct.


36

3. SOFTWARE SPECIALIZAT PENTRU CALCULUL INFILTRAIILOR3.1 PREZENTARE SOFTWARES-au ales 2 pachete software pentru prezentare: Metoda diferenelor finite MODFLOW Modflow reprezint unul dintre cele mai populare i mai cuprinztoare pachete software pentru modelarea apelor subterane. Acest model reprezint o familie de coduri compatibile ce permit rezolvarea problemelor curgerii 3D a apelor subterane cu ajtorul diferenelor finite. Codul se bazeaz pe atribuirea caracteristicilor materialelor, a condiiilor de margine i a necunoscutelor n ochiuri, acest lucru permind o spaiere variabil a reelei n cele trei dimensiuni. Se poate analiza att micarea permanent ct i regimul nepermanent. Programul este specializat pe calculul modelelor tridimensionale sau bidimensionale plan orizontal. Metoda elementelor finite Seep/W Seep/W face parte din pachetul de programe specializate pentru inginerie geotehnic Geostudio, un produs al Geoslope International Calgary Alberta, Canada. Modulul Seep/w este specializat pe calculul infiltraiilor prin mediile poroase. Acesta realizeaz analize 2D n regim permanent ct i tranzitoriu. Seep/W poate modela probleme simple n regimul saturat ct i probleme complexe n regim nesaturat. Programul este specializat pe analiza problemelor 2D plan vertical.

3.2 EXEMPLEn cadrul acestui capitol se prezint cteva exemple de calcul al infiltraiilor cu ajutorul celor dou pachete software prezentate (Seep/W i MODFLOW). Exemplele s-au ales din manualele celor dou programe i au drept scop familiarizarea cu pachetele software i analiza diferiilor factori ce intervin n calculele de infiltraii. 1. Infiltraii permanente prin fundaia unui baraj de greutate (teren omogen i izotrop) Exemplul prezentat este preluat din manualul programului Seep/W i reprezint calculul infiltraiilor prin terenul de fundare al unui baraj de greutate. Permeabilitatea materialului din fundaie este egal cu 1x10-3 feet/min iar dimensiunile modelului sunt prezentate n figura 1. S-a ales acest exemplu deoarece n manual este prezentat i soluia analitic, soluie cu care se pot compara rezultatele oferite de programe.


37

Fig. 1 Dimensiunile modelului analizat

Soluia analitic, bazndu-ne pe spectrul prezentat n figura 2 este : Debitul infiltrat este 5,76 x 10-3 ft3/sec,ft Presiunea interstiial la piciorul aval al barajului este 7,1 ft Gradienii de ieire 0,34

Fig. 2 Spectrul hidrodinamic rezultat din soluia analitic

Acest exemplu a fost realizat att cu Seep/W ct i cu MODFLOW. n figura 3 este prezentat discretizarea n elemente finite iar n figura 4 este prezenta spectrul rezultat n urma analizei. Discretizarea pentru diferene finite este prezentat n figura 5 iar spectrul rezultat n urma analizei este prezentat n fig 6. n cazul programului MODFLOW barajul s-a schematizat doar prin fundaia sa celulele au fost setate ca inactive. Condiiile de margine aplicate la ambele modele au fost aceleai presiune amonte 60 ft, presiune aval 40 ft.75 70 65 60 55 50

Nivel amonte

Elevation

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155

Distance

Fig. 3 Discretizarea n elemente finite


38

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15

Nivel amonte

Elevation

60

0.0054222 ft/sec

40

42

58

44

46

50

52

54

10 5 0 0 5 10 15 20 25 30

56

48

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

Distance

Fig. 4 Spectrul hidrodinamic rezultat n urma analizei n elemente finite

Fig. 5 Discretizarea n diferene finite

Fig. 6 Spectrul hidrodinamic rezultat n urma analizei n diferene finite

n tabelul 1 sunt prezentate rezultatele pentru cele trei tipuri de analiz. Rezultat Debit infiltrat (ft3/sec,ft) Presiune interstiial picior aval (ft) Gradieni ieire Soluie analitic 5,76 x 10-3 Seep/W 5,42 x 10-3 41,81 35 = 6,81 0,34 ModFlow 41,55 35 = 6,55 -

7,1 0,34


39

2. Infiltraii permanente printr-un baraj de umplutur cu nucleu n acest exemplu s-a analizat modul n care prezena nucleului n corpul barajului i permeabilitatea acestuia influeneaz forma curbei de depresie, spectrul hidrodinamic i valoarea debitului infiltrat. Sau analizat 4 cazuri: 50 45 40 35 30

Baraj de pmnt omogen

Nivel retentie

0.00014645 m/sec

Cote (m)

25 20 15 10 5 0

30

35

25

20

15

10

Saltea drenaj-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Distante orizontale (m)

50 45 40 35 30

Baraj de pmnt omogen cu nucleu ( kumplutur = 2 x knucleu)

Nivel retentie

Cote (m)

25 20 15 10 5 0

35

25

15

20

105

30

Saltea drenaj-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


50 45 40 35 30


Nivel retentie

25

Cote (m)

25 20 15 10 5 0

15

35

20

10

30

5

-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150



5

0.00011824 m/sec

4.6424e-005 m/sec

Saltea drenaj

40

50 45 40 35


Nivel retentie25

6.4749e-006 m/sec

30

Cote (m)

25 20 15 10

35

20

0

30

5

10

15

5

Saltea drenaj-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Coeficientul de permeabilitate al umpluturii este egal cu 1 x 10-5 m/s iar condiiile de margine aplicate sunt: presiunea amonte 40 m, presiune aval (saltea drenaj) egal cu presiunea atmosferic. Modelul analizat a fost mprit n 3 regiuni (prism amonte, nucleu, prism aval) iar pentru discretizare s-au folosit 444 elemente. Pentru fiecare variant analizat s-a modificat permeabilitatea regiunii aferente nucleului. Dup cum se poate observa din figurile prezentate cu ct permeabilitatea nucleului scade se realizeaz o scdere a cotei de ieire a curbei de depresie din nucleu i o concentrare a echipotenialelor n zona nucleului. Pentru ultimul caz analizat (kumplutur = 100 x knucleu) se poate observa c prismele amonte i aval au o influen redus asupra spectrului hidrodinamic. Valoarea debitului infiltrat pentru cele 4 cazuri analizate este : Q1 = 14,6 x 10-5 mc/s,m Q3 = 4,64 x 10-5 mc/s,m Q2 = 11,8 x 10-5 mc/s,m Q4 = 0,65 x 10-5 mc/s,m

S e observ c o reducere important a debitului infiltrat se realizeaz prin scderea permeabilitii nucleului cu cel puin un ordin de mrime.


41

3. Efectul anizotropiei la un baraj de pmnt n acest exemplu s-a analizat efectul umpluturilor n straturi asupra permeabilitii digurilor. Astfel s-a realizat modelul unui dig de pmnt cu dimensiunile si condiiile de margine din imagini i s-au analizat mai multe cazuri: Permeabilitatea pe orizontal egal cu permeabilitatea pe verticalKx = Ky22 20 18 16 14

Nivel amonte = 18 m

Cote - m

12 10

16

12

4 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60

10

6

14

8

8

6

Saltea drenanta70 80 90

Distante orizontale - m

Permeabilitatea pe orizontal de 2 ori mai mare dect cea pe verticalKx = 2 Ky

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 5

Nivel amonte = 18 m

Cote (m)

16

14

12

10

4

2Saltea drenanta

8

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

6

70

75

80

85

90


Permeabilitatea pe orizontal de 5 ori mai mare dect cea pe verticalKx = 5 Ky

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 5

Nivel amonte = 18 m

Cote (m)

14

16

10

12

6

8

4

2Saltea drenanta

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90


Permeabilitatea pe orizontal de 10 ori mai mare dect cea pe vertical


42

Kx = 10 Ky22 20 18 16 14

Nivel amonte = 18 m

Cote - m

12 10 8 6 4 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70

16

14

12

10

8

642

Saltea drenanta80 90


Permeabilitatea pe orizontal egal cu cea pe vertical dar existena n corpul digului a unor straturi de 0,2 m grosime cu kx = 10 ky.Kx = Ky Straturi cu kx = 10 ky22 20 18 16 14

Nivel amonte = 18 m

Cote - m

12

14

8 6 4 2 0 -2 0 10 20 30 40

16

10

12

10

8

6

4

Saltea drenanta50 60 70 80 90


Pentru primul caz analizat (kx = ky) se observ c echipotenialele sunt aproape verticale iar curba de depresie se afl n corpul digului i se nchide n salteaua drenant, departe de piciorul aval al digului. n cazurile urmtoare, cnd permeabilitatea pe orizontal s-a considerat de 2, 5 i respectiv 10 ori mai mare, se observ cum curgerea apei tinde s fie mai orizontal iar echipotenialele se nclin spre aval. Situaia prezentat n cazul 4 (kx = 10 ky) este o situaie inacceptabil n parctic. Ultimul caz analizat reprezint modul de gandire privind anizotropia umpluturilor propus n manualul programului Seep/W (2007). n locul considerrii a unui raport ntre kx i ky s-a optat pentru introducerea n corpul barajului (considerat izotrop) a unor straturi discontinue de 0,2 m grosime kx = 10 ky. Chiar dac echipotenialele i liniile de curent au o form discontinu, pe ansamblu curba de depresie i distribuia presiunilor seamn cu primul caz analizat. Distribuia presiunilor nu se schimb semnificativ deoarece aceste straturi nu sunt continue. Conform manualului, considerarea anzotropiei barajelor de pmnt prin prezena n umpluturi a unor astfel de straturi este mult mai aproape de realitate dect considerarea unui roport ntre kx i ky constant pentru toat seciunea.


2

43

Bibliografie Charles R. Fitts, 2002 Groundwater Science Academic Press Krahn J., 2004 Seepage Modeling with Seep/W 2004 GeoSlope International Otto D. L. Strack, 1989 Groundwater Mechanics PRENTICE HALL Englewood Cliffs, New Jersey 07632 Pietraru V. Calculul infiltraiilor Editura Ceres, Bucureti Stanciu A.; Lungu I, 2006 Fundaii ed 1 Editura Tehnic, Bucureti Stematiu, D., 1988 Calculul structurilor hidrotehnice prin Metoda Elementelor Finite Editura Tehnic, Bucureti


44

modele mate mat ice si software pentru analiza curgerii prin medii poroase

Documents