modelarea si simularea sistemelor electromecanice curs

11

1. INTRODUCERE ÎN MODELAREA ŞISIMULAREA SISTEMELOR

ELECTROMECANICE

1.1. Introducere Majoritatea sistemelor, din diferite ramuri ale ştiinţei (fizică, chimie,

inginerie, economie, sociologie, mediu etc.), prezintă un grad mare de complexitate, fiind descrise de un număr mare de variabile şi fiind caracterizate de interacţiuni complexe. În numeroase situaţii, încercările sau măsurătorile directe asupra fenomenelor specifice sistemelor complexe, sunt anevoioase sau chiar imposibile. Cauzele sunt din cele mai diverse, cum ar fi: este prea periculos, prea scump, prea lent, prea rapid, prea complicat, nu se pot realiza condiţiile reale pentru studiu, influenţa mediului este prea puternică, nu există mijloacele tehnice necesare, există restricţii legate de etica profesională, experimentul trebuie repetat de foarte multe ori, obiectul studiat există doar într-un singur exemplar, ...

1.2. Modelul matematic Modelul matematic al unui sistem, reprezintă descrierea unor

fenomene, sociale, naturale, fizice, sau obiecte naturale în care elementele fizice sunt înlocuite cu elemente logice, de matematică formală, în vederea studierii fenomenului respectiv.

Modelarea şi simularea sistemelor electromecanice

12

În general, modelul trebuie să reflecte proprietăţile principale ale fenomenului sau obiectului, comportarea acestuia, într-o formă simplificată.Un model „perfect”, care să oglindească absolut toate caracteristicile obiectului studiat, poate fi foarte complicat, sau chiar imposibil de elaborat. Din acest motiv, se folosesc modele simplificate, care reproduc doar anumite aspecte ale realităţii. Acestea se obţin prin considerarea anumitor ipoteze simplificatoare, care însă nu trebuie să afecteze veridicitatea modelului şi a concluziilor studiului. În acest fel, în locul sistemelor, fenomenelor şi obiectelor reale, se analizează un model, mai mult sau mai puţin asemănător cu cel real, comportarea acestuia furnizând informaţii şiconcluzii asupra funcţionării întregului sistem real.

Modelul matematic descrie în mod riguros, sub forma unor reprezentări matematice, relaţiile existente în sistemul respectiv, formalizând practic, legile de comportare ale sistemului. Pentru un anumit sistem, pot fi stabilite mai multe modele. Specialiştii sunt de părere că nu există un model unic sau „perfect” pentru un anumit sistem, ci doar existămodele bune şi mai puţin bune [5]. Dezideratul pentru un model este dat de două cerinţe contradictorii: pe de o parte, modelul trebuie să fie cât mai complet, fidel, iar pe de altă parte, să fie suficient de simplu pentru a putea fi utilizat cu eforturi tehnice rezonabile pentru studiul sistemului în cauză.Alegerea corectă este posibilă doar prin luarea în consideraţie a unor ipoteze simplificatoare, care să nu afecteze comportamentul global al fenomenelor studiate, sau prin aplicarea unor metode de cuantificare, observaţii statistice, teste, teste de măsurare etc. În ceea ce priveşte a doua cerinţă „impusă” unuimodel, simplitatea, trebuiesc avute în vedere limitele tehnice ale sistemelor de calcul pe care se va rula modelul (ne referim în lucrarea de faţă doar la modelele numerice), în ceea ce priveşte viteză de calcul şi memorie disponibilă.

Principalele caracteristici pe care trebuie să le reunească un model matematic sunt:

acceptabil aplicabil utilizabil fidel (complet)

1.2.1. Clasificarea modelelor Modelele pot fi clasificate după mai multe criterii: după scopul utilizării modelului

• de descriere; • de prezentare;

1. Introducere în modelarea şi simularea sistemelor electromecanice

13

• de analiză;• de prognoză;

după caracterul fenomenului modelat • social; • chimic; • biologic; • electric; • de producţie etc.

după caracterul modelului • material; • electric; • mecanic; • de gândire; • numeric pe calculator;

după tipul modelului • de construcţie; • de funcţionare; • formal, în funcţie de valorile pe care le iau mărimile

(variabilele) de stare: cu stări variabile discrete, cu stări variabile continuu, cu stări variabile mixte;

în funcţie de dependenţa în timp a variabilelor • dinamice, dependente de timp, în care cel puţin o variabilă

depinde de timp; • statice, independente de timp, în care nici o variabilă nu

evoluează în funcţie de timp; în funcţie de caracterul dependenţelor variabilelor

• deterministic, în care variabilele de intrare şi starea iniţialădetermină în mod univoc variabilele de ieşire;

• stochastic, în care variabilele de intrare şi starea iniţialădetermină doar distribuţia valorilor rezultatului final;

în funcţie de previzionarea evoluţiei • previzibil; • imprevizibil;

Indiferent de sistemul studiat şi implicit modelat, în conformitate cu

teoria sistemelor, pot fi identificate următoarele elemente principale: • parametri (variabile) de intrare • mărimi (variabile) de stare


14

• parametri (variabile) de ieşire Realizarea modelului matematic al unui sistem, nu este un scop în

sine. El trebuie să servească analizei fenomenului studiat, fiind un instrument în acest scop.

1.2.2. Realizarea unui model Crearea unui model se bazează pe aplicarea abstractizării, respectiv

adoptarea unor ipoteze simplificatoare în ceea ce priveşte sistemul studiat, astfel încât să nu fie modificat caracterul de bază al proceselor principale. Pentru aceasta, se neglijează anumite caracteristici strict particulare ale sistemului studiat, sau procese secundare, ce nu influenţează, sau influenţează nesemnificativ, fenomenele avute în vedere.

Pentru realizarea unui model al unui sistem, conceptual, se parcurg următorii paşi:

• observarea; • crearea şi stabilirea ipotezelor simplificatoare; • modelarea propriu-zisă;• experimentarea modelului alcătuit; • finalizarea modelului. Este important de menţionat faptul că similitudinea dintre modelul

construit şi obiectul (sistemul) modelat, este doar parţială. Esenţial însă este ca această similitudine să existe în ceea ce priveşte fenomenele propuse a fi analizate, doar astfel putându-se asigura determinarea stărilor reale ale sistemului.

După realizarea modelului unui sistem, există două căi importante de rezolvare a ecuaţiilor ce descriu sistemul, respectiv ce compun modelul acestuia: prin dispozitive analogice sau prin calcule analitice sau numerice. Această etapă din studiul sistemelor este cea de simulare.

1.3. Simularea sistemelor Pentru studiul unor sisteme complexe, de tipul celor enunţate în

§1.2.1, specialiştii au la dispoziţie o tehnică relativ nouă de realizare „virtuală” a experienţelor: simularea.

Etimologic, termenul „simulare” provine din latinescul simulatio, care desemnează capacitatea de a reproduce, a reprezenta sau a imita ceva.

Simularea este un mijloc eficient de investigare, cu valenţemultidisciplinare, ce face apel la cunoştinţe de matematică, teoria sistemelor, informatică etc. Simularea se constituie într-un instrument de


15

studiu cu caracter profund şi exact, oferind totodată posibilitatea analizei stărilor reale ale sistemelor, fără a fi necesară existenţa fizică a acestora.

Tehnica simulării îşi găseşte aplicabilitate şi în domeniul sistemelor electromecanice. Utilizarea acestei tehnici de investigare s-a impus datoritănecesităţii reducerii costurilor de proiectare şi de realizare a prototipurilor, precum şi pentru scurtarea intervalului de timp dintre faza de concepţie şicea de realizare a produsului finit. Proiectantul are astfel la dispoziţie o tehnică cu care poate opera şi manipula sistemul conceput, în toate fazele activităţii de proiectare.

Utilizarea simulării în analiza şi proiectarea sistemelor electromecanice conferă o serie de avantaje, cum ar fi:

• este potrivită pentru scopuri educative, deoarece permite învăţarea modului de funcţionare a componentelor, prin urmărirea formei de variaţie în timp a mărimilor specifice (tensiuni, cureţi, deplasări, viteze, forţe etc.);

• poate oferi o viziune accesibilă şi documentată asupra comportării şi performanţelor sistemului;

• oferă posibilitatea scurtării timpului de elaborare a prototipului, datorită posibilităţii studierii sistemului şi a problemelor specifice, înainte ca sistemul să existe fizic;

• permite studiul teoretic al testelor distructive, al răspunsului la defecţiuni şi al funcţionării în condiţii anormale;

• asigură posibilitatea studierii efectelor parazite, cum ar fi capacităţişi inductivităţi de scăpări, zgomote de măsurare, diferite perturbaţii;

• formele de undă rezultate prin simulare, pot fi monitorizate şianalizate mai uşor, deoarece nu sunt influenţate de erori şiperturbaţii, precum măsurătorile clasice;

• pot fi uşor testate noi concepte de circuit şi se pot studia influenţele variaţiilor parametrilor de circuit (de exemplu toleranţele componentelor);

• se pot optimiza obiectivele de performanţă propuse prin simulări, considerând un număr mare de variabile;

• se poate realiza, chiar fără indicarea valorilor nominale ale componentelor;

• pot fi studiate fenomene, care altfel sunt dificil de abordat, cum ar fi interacţiunea între două convertoare alimentate de la aceeaşireţea;

• pot fi simplificate anumite părţi ale modelului, pentru a se putea detalia alte porţiuni care prezintă un interes sporit.


16

În principiu, există două căi distincte de rezolvare a ecuaţiilor unui model matematic: prin dispozitive analogice sau prin calcule analitice-numerice. Corespunzător, există două procedee diferite de simulare:

• simularea analogică (simularea pe sistem), care asigurăreproducerea relaţiilor din sistemul studiat, cu ajutorul unor dispozitive analogice, numite simulatoare;

• simularea numerică, pe baza modelului matematic, prin efectuarea calculelor ce permit rezolvarea analitică sau numerică a ecuaţiilor modelului matematic al sistemului.

În prezent, cel mai des şi eficient, este utilizată simularea numerică,

realizată cu ajutorul calculatoarelor, dat fiind viteza de calcul şi capacitatea de memorare mare a acestor instrumente electronice de calcul.

În cadrul lucrării de faţă, se va trata în exclusivitate acest procedeu de simulare.

1.3.1. Algoritmul de simulare Conceptual, procedeul de simulare a unui sistem, cuprinde mai multe

etape: 1. Identificarea problemei.Formularea corectă şi completă a problemei de rezolvat trebuie să fie

făcută în termenii disciplinei aferente. În această etapă se face analiza sistemului de studiat: sistemul se

descompune în părţi componente, pentru a putea fi analizat în vederea înţelegerii naturii lui şi a trăsăturilor sale esenţiale. În această etapă trebuie, pe de o parte, precizate ipotezele acceptate asupra fenomenului, iar pe de altă parte, estimate mărimile şi variabilele dominante ale sistemului, precum şi parametrii de intrare. Este o etapă foarte importantă, deoarece aici se determină scopul activităţii şi precizările făcute aici influenţează în mod hotărâtor rezultatele obţinute prin simulare.

2. Formularea matematică a problemei (modelarea propriu-zisă). În cadrul acestei etape se stabilesc relaţiile de dependenţă între

diferitele mărimi determinate la punctul precedent, în marea majoritate a cazurilor rezultând un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale, asupra cărora se impun condiţii suplimentare (iniţiale, la limităetc.).

3. Rezolvarea problemei matematice.Este cea mai importantă etapă a procesului de simulare. Numai prin

alegerea corectă a metodei de rezolvare şi prin aplicarea corectă a acesteia se pot obţine rezultatele cerute şi utile. În această etapă se alege limbajul de


17

programare utilizat şi se elaborează programul de simulare propriu-zis. Tot în această etapă se testează şi se verifică programul de simulare conceput. Ultima fază a acestei etape o constituie efectuarea practică a simulării (rularea programului de simulare).

4. Validarea programului de simulare.În această etapă se confruntă rezultatele obţinute cu ajutorul

programului de simulare cu cele obţinute experimental, luând în considerare atât erorile de măsurare, cât şi precizia metodelor matematice de rezolvare, utilizate. Cea mai simplă şi sigură cale de validare este testarea programului pe un caz particular, la care soluţia este cunoscută. Testarea este eficientădacă se parcurg toate ramurile posibile şi se apelează toate subrutinele programului.

5. Analiza şi interpretarea rezultatelor.Această etapă constă în colectarea rezultatelor simulării şi prelucrarea

lor. Rezultatele simulării pot fi obţinute sub formă de tabele, histograme, reprezentări grafice, etc. Datele obţinute pot fi prelucrate şi statistic (de exemplu se pot efectua teste de semnificaţie etc).

1.3.2. Realizarea programelor de simulare Elaborarea programelor de simulare a sistemelor electromecanice este,

de fapt, faza de implementare informatică a modelului matematic. În general, programele de simulare trebuie să respecte anumite cerinţe,

cum sunt: • să aibă o interfaţă prietenoasă cu utilizatorul (user-friendly

interface); • să aibă posibilităţi de modelare multi-nivel (de exemplu maşina

electrică şi sarcina sa sunt caracterizate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale formulate în termenii variabilelor de stare, iar sistemele lor de control sunt descrise prin funcţii de transfer sau funcţii logice). Un bun program de simulare, trebuie să permitădescrierea fiecărui bloc în modul cel mai avantajos;

• să poată acoperi un domeniu larg de timpi de simulare, având în vedere că, în general, în sistemele modelate coexistă atât variabile cu variaţii rapide (curent electric, cuplu), cât şi variabile cu modificare lentă (viteză), datorate unor constante mari de timp;

• să permită utilizatorului stabilirea facilă a condiţiilor iniţiale; • parametrii sistemului să fie cât mai uşor de modificat, eventual

chiar în timpul simulărilor, conferind astfel programului un mai mare caracter de generalitate.


18

1.3.3. Produse-program de simulare După cum s-a precizat anterior, simularea numerică a unui sistem se

realizează plecând de la modelul matematic, ce constă dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale şi algebrice care descriu funcţionarea acestuia.

Produsele-program de simulare se deosebesc, în primul rând, prin modul în care rezolvă acest sistem de ecuaţii care descrie sistemul studiat. Astfel, produsele-program moderne utilizate pentru simulare, se împart în două mari categorii, în funcţie de tipul interfeţei cu utilizatorul: produse-program (limbaje) de rezolvare de ecuaţii şi produse-program orientate spre circuite.

1.3.3.1. Produse-program de rezolvare de ecuaţii Produsele-program de rezolvare de ecuaţii sunt foarte utile în multe

probleme de simulare aferente sistemelor electromecanice, putând fi utilizate atât pentru simularea echipamentelor specifice electronicii de putere, cât şi a convertoarelor electromecanice (maşini electrice).

Sistemul simplificat de ecuaţii diferenţiale ce descriu matematic obiectul studiat, poate fi adus la forma unui model de stare (descris cu ajutorul variabilelor de stare). Ecuaţiile modelului de stare pot fi rezolvate, fie folosind un limbaj de nivel înalt (Fortran, C, Pascal), fie cu ajutorul unor medii avansate de calcul (MATLAB, LabView, SIMNON, ACSL, MATRIXx).

În cazul în care s-a optat pentru utilizarea unui limbaj general de programe de nivel înalt, trebuie alcătuită o schemă logică detaliată, explicatăşi comentată, care să conţină toate ecuaţiile matematice într-o formă extinsă[7]. Pentru aceste limbajele de programare, sunt deja elaborate o serie de biblioteci, destinate atât rezolvării ecuaţiilor diferenţiale, cât şi operaţiilor cu matrice sau reprezentării grafice a rezultatelor.

Mediile de calcul sunt concepute pentru a putea fi utilizate pentru rezolvarea mai multor clase generale de probleme. Pentru utilizarea eficientăa acestora, utilizatorul trebuie să descrie sistemul prin modelul matematic, sub forma ecuaţiilor de stare, iar partea de reglare cu ajutorul funcţiilor de transfer (de exemplu sub forma transformatei Laplace). De obicei, aceste medii de calcul, permit modularizarea problematicii, respectiv tratarea unui subansamblu al sistemului ca un modul independent, interconectarea modulelor putându-se face simplu, cu linii de conexiune. Acest tip de abordare a simulării unui sistem complex, este deosebit de avantajoasă din punctul de vedere al timpului de obţinere a rezultatelor simulării, deoarece permite realizarea şi testarea separată a modulelor componente, precum şire-utilizarea acestora pentru necesităţi ulterioare.


19

Există chiar, produse-program special destinate simulării. În prezent, cel mai răspândit dintre acestea, atât în mediile academice, cât şi în cele industriale, este SIMULINK. Acest produs-program reprezintă în fapt, o interfaţă grafică a mediului MATLAB, fiind destinat, în special, simulării sistemelor dinamice.

Lucrarea de faţă va aborda simularea sistemelor electromecanice prin utilizarea MATLAB-SIMULINK, realizându-se şi o scurtă prezentare a acestui produs-program.

1.3.3.2. Produsele-program orientate spre circuit Produsele-program orientate spre circuit, dezvoltă chiar ele ecuaţiile

ce descriu sistemul, pe baza informaţiilor primite de la utilizator. Utilizatorul în acest caz, trebuie să furnizeze programului doar interconexiunile dintre modelele elementelor de circuit. Condiţiile iniţiale se stabilesc, de asemenea, cu uşurinţă. Există posibilitatea modificării simple topologiei circuitului. Produsele-program orientate spre circuit performante, sunt multi-nivel, ceea ce înseamnă că, pe lângă descrierea orientată spre circuit a eventualelor regulatoare, permit încorporarea modelelor sistemelor, definite de utilizator cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale. Există o largăvarietate de produse-program orientate spre circuit. O parte dintre acestea sunt dedicate simulării circuitelor electronice (cel mai răspândit fiind SPICE), sau a reţelelor electrice (EMTP). Pe lângă acestea au apărut produse-program orientate spre circuit, destinate special simulărilor din domeniul electronicii de putere şi al acţionărilor electrice (SIMPLORER, CASPOC).

Aceste programe se deosebesc între ele prin calitatea interfeţei cu utilizatorul, metodele de integrare numerică puse la dispoziţie pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale, modul de tratare a neliniarităţilor, alegerea pasului de integrare, uşurinţa cu care se pot încorpora regulatoare şimodelele externe pentru simulările avansate de tip multi-nivel, sau modul de tratare al comutatoarelor electronice.

1.3.4. Simularea sistemelor electromecanice Sistemele electromecanice prezintă o serie de particularităţi care

trebuie luate în considerare pe timpul simulării. În sistemele electromecanice, formate din sisteme electrice de

acţionare şi sistemul acţionat propriu-zis, energia care este preluată de la sursă şi transferată procesului tehnologic poate suferi trei tipuri de conversie:


20

a parametrilor energiei electrice, prin intermediul convertoarelor statice, realizate cu elemente semiconductoare, plasate între reţeaua industrială (sursă) şi maşina electrică.Convertoarele statice nu schimbă natura energiei, ci doar parametrii ei (formă, frecvenţă, valoare medie, valoare efectivă etc.);

a tipului de energie, respectiv electromecanică, efectuată de maşina electrică de acţionare. Maşinile electrice din sistemele electromecanice funcţionează cu preponderenţă în regim de motor, absorbind energie electrică şi furnizând maşinii de lucru, energie mecanică;

a parametrilor energiei mecanice, în transmisia situată între motorul electric şi maşina de lucru acţionată. Acolo unde procesul tehnologic reclamă parametri ai energiei mecanice, diferiţide cei pe care maşina electrică poate să-i asigure în mod economic, conversia parametrilor mecanici este efectuată de transmisia plasată între motor şi maşina de lucru. Aceastătransmisie poate lipsi în cazul cuplării directe, dar poate fi şifoarte complexă, când se modifică felul mişcării (conversie rotaţie - translaţie etc.).

În ciuda marii diversităţi a proceselor tehnologice care consumă

energie mecanică furnizată de motorul de acţionare, caracterizarea maşinilor de lucru la nivelul arborelui motorului (sau a părţii mobile în mişcare de translaţie la maşinile liniare) se poate face suficient de precis, prin utilizarea unui set restrâns de parametri: cuplu, viteză unghiulară, poziţie unghiulară,moment de inerţie echivalent, diagrame de sarcină etc.

Studiul sistemelor electromecanice are o vechime de aproape un secol, ceea ce a permis maturizarea metodelor de analiză şi a influenţat procedeele de lucru şi în domeniile adiacente. Din această perspectivă istorică,modelarea sistemelor electromecanice prezintă un interes deosebit pentru toţi specialiştii care lucrează în acest domeniu [18].

21

2. SISTEME DINAMICE ŞI MODELE DE STARE

2.1. Modele matematice şi modele de stare Majoritatea sistemelor dinamice pot fi descrise de un sistem de ecuaţii

diferenţiale de ordinul I de forma

( )( )

( )

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ), ( )( ) ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ), ( )

( ) ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ), ( )

n m

n m

n n n m

x t f x t x t x t u t u t u tx t f x t x t x t u t u t u t

x t f x t x t x t u t u t u t

==

=

, (2.1)

unde ( )ix t reprezintă derivata în raport cu timpul a variabilei xi(t),

ii

dxxdt

= .

În continuare, pentru simplitatea scrierii, se va renunţa la notarea explicită a dependenţei de timp a variabilelor, aceasta fiind implicită.Variabilele x1, x2, …, xn sunt numite variabile de stare şi conţin toatăinformaţia asupra stării sistemului la un moment dat, necesară calculării evoluţiei acestuia în viitor pe baza ecuaţiilor (2.1), date fiind evoluţiile variabilelor u1, u2, …, um. Acestea, numite intrări ale sistemului, reprezintăfie comenzi, fie influenţa mediului exterior asupra sistemului studiat. Condensat, sistemul de ecuaţii (2.1) se poate scrie


22

[ ] [ ] [ ]( ),x f x u = , (2.2)

unde [x] şi [u] sunt funcţii vectoriale de timp. Un astfel de sistem de ecuaţii se numeşte model sub forma ecuaţiilor de stare sau pe scurt, model de stare.

Prin modelarea unui sistem se înţelege stabilirea unui astfel de model de stare pentru diferite sisteme şi aplicaţii. Simularea sistemului reprezintăutilizarea modelului obţinut pentru evidenţierea evoluţiei sale, utilizând tehnica de calcul.

În continuare vor fi analizate două sisteme simple care să exemplifice modalitatea de obţinere a modelului de stare, plecându-se de la ecuaţiile ce descriu funcţionarea acestora.

2.1.1. Motorul de curent continuu Considerând un motor de curent continuu cu excitaţie separată, Fig.

2.1, acesta poate fi comandat atât prin intermediul curentului statoric (de excitaţie) ie, cât şi prin intermediul curentului rotoric (din indus) Ia [2].

Ecuaţia ce descrie comportarea dinamică a circuitului de excitaţie, caracterizat de rezistenţa Re şi inductivitatea Le este

ee e e e

diu R i Ldt

= ⋅ + , (2.3)

ue fiind tensiunea de comandă.Cuplul dezvoltat de motor este determinat de produsul dintre fluxul de

excitaţie

eK iΦ = ⋅ (2.4)

şi curentul din indus Ia:

Fig. 2.1 Motorul de curent continuu

Ia

ue

ieθ M

Re LeMs

2. Sisteme dinamice şi modele de stare

23

e aM K i I= ⋅ ⋅ . (2.5)

S-a avut în vedere, ca ipoteză simplificatoare, că circuitul magnetic de excitaţie lucrează în porţiunea liniară a curbei de magnetizare, respectiv nesaturat, ceea ce face ca între curentul de excitaţie ie şi fluxul determinat de acesta Φ, să existe relaţia liniară (2.4).

Considerând ca variabilă mecanică poziţia rotorului θ, ecuaţia generală a mişcării este

2

2 sd dJ B M Mdt dtθ θ+ + = , (2.6)

în care: - J - momentul de inerţie total la arborele motorului [kgm2]; - B - coeficientul frecărilor vâscoase [Ns]; - Ms - cuplul static total la arborele motorului [N].

Considerând ca variabile de stare

1

2

3

,

,,e

x

xx i

= θ

= θ=

i

iar ca mărimi de intrare

1

2

3

,,,

e

a

s

u uu Iu M

===

ecuaţiile (2.3) şi (2.6), ţinând cont de (2.5), devin:

1 3 3e eu R x L x= ⋅ + ⋅ , (2.7)

2 2 3 3 2J x B x u K x u⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ . (2.8)

Explicitând acum derivatele în raport cu timpul a variabilelor de stare, rezultă modelul de stare al motorului de curent continuu comandat prin înfăşurarea de excitaţie:


24

1 2

2 2 3 2 3

e3 3 1

1

e e

x xB Kx x x u uJ JRx x uL L

=

= − + −

= − +

. (2.9)

2.1.2. Cuptor din industria sticlei Se consideră un cuptor, construit din cărămidă refractară, în care se

topeşte un amestec de nisip şi alţi aditivi pentru obţinerea sticlei, Fig. 2.2. Această fuziune se obţine printr-un aport energetic, provenit de la

arzătoarele cu gaz dispuse la interiorul cuptorului. Sticla topită este evacuatăconstant din cuptor, pentru a alimenta instalaţiile din aval de cuptor.

Se vor face următoarele ipoteze simplificatoare: temperatura sticlei topite din cuptor este omogenă; cuptorul este izolat termic perfect.

În aceste condiţii, se pot scrie două ecuaţii, una corespunzătoare conservării masei, cealaltă de bilanţ energetic. Se poate scrie că variaţia masei sau a energiei, în unitatea de timp, este egală cu suma intrărilor (de masă sau de energie) în sistem minus suma ieşirilor din sistem, în aceeaşiunitate de timp:

in outdm q qdt

= − , (2.10)

Fig. 2.2 Cuptor pentru sticlă

Arzătoare Materie primă

Ieşire


25

( )inT in T in in T out

d c T m W c T q c T qdt

⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ , (2.11)

unde: - m - masa de sticlă din cuptor [kg]; - T - temperatura sticlei din cuptor [K]; - Tin - temperatura materiei prime [K]; - cT - căldura specifică a sticlei [J/kgK]; - cTin - căldura specifică a materiei prime [J/kgK]; - Win - energia cedată de arzătoare în unitate de timp [J/s]; - qin - debitul masic de materie primă introdusă în unitate de timp

[kg/s]; - qout - debitul masic de sticlă extrasă în unitate de timp [kg/s].

Coerenţa unităţilor de măsură a ecuaţiilor este prima şi cea mai simplă

verificare ce trebuie făcută la elaborarea modelului matematic al unui sistem.

Pentru a pune modelul matematic descris de ecuaţiile (2.10) şi (2.11) sub forma ecuaţiilor de stare, se vor considera ca variabile de stare masa de sticlă din cuptor şi energia termică înmagazinată de unitatea de masă asticlei din cuptor,

1

2

,,T

x mx c T== ⋅

iar ca variabile de intrare

1

2

3

,,.

in

out

in

u qu qu W

===

Cu notaţiile de mai sus, ecuaţiile (2.10) şi (2.11) devin:

1 1 2x u u= − , (2.12)

( )1 2 3 1 2 2inT ind x x u c T u x udt

⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ . (2.13)

Notând energia termică conţinută de unitatea de masă a materiei prime introduse în cuptor

inT inc Tα = ⋅


26

şi ţinând cont că

( )1 2 1 2 1 2d x x x x x xdt

⋅ = ⋅ + ⋅ ,

ecuaţia de bilanţ energetic (2.13) devine

( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2x x x x u u x x x u u x u⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = +α⋅ − ⋅ .

Explicitând acum din ecuaţia de mai sus derivata în raport cu timpul a variabilei de stare x2, ţinând cont de (2.12), se obţine modelul dinamic al cuptorului de sticlă, sub forma ecuaţiilor de stare:

( )1 1 2

1 2 32

1

x u uu x u

xx

= −

α − +=

. (2.14)

În final se face observaţia că alegerea variabilelor de stare, pentru un anumit sistem, nu este unică, respectiv modelul unui sistem, sub forma ecuaţiilor de stare, nu este unic, iar complexitatea modelelor depinde de scopul propus, aşa cum se va arăta în continuare.

2.2. Terminologie şi notaţii În modelul sub forma ecuaţiilor de stare descris de ecuaţia (2.2),

[ ] [ ] [ ]( ),x f x u = ,

[x] şi [u] sunt funcţii vectoriale de timp, respectiv [x(t)] ∈ ℜn, iar [u(t)] ∈ℜm. Pentru un sistem dat, intrarea [u(t)] este o funcţie oarecare de timp. Aşacum s-a precizat, pentru simplificarea notaţiei, argumentul t a fost considerat implicit în scriere.

În continuare, vor fi reluate pe scurt câteva noţiuni din domeniul teoretic al studiului sistemelor.

Pentru o valoare dată a stării iniţiale [x(t0)] = [x0] şi pentru un vector cunoscut al mărimilor de intrare [u(t)], soluţia [x(t, x0, u)] a sistemului de ecuaţii diferenţiale (2.2), va descrie la orice moment ulterior celui iniţial (t≥ t0), evoluţia sistemului. Această soluţie se numeşte traiectoria sistemului, în notaţie fiind evidenţiată dependenţa acesteia de starea iniţială şi de vectorul mărimilor de intrare. Pentru sistemele studiate, se va considera doar cazul că această traiectorie există pentru orice moment de timp t ≥ t0, că este


27

unică şi că este o funcţie continuă de timp. Grafic, traiectoria unui sistem poate fi reprezentată printr-o curbă (suprafaţă) continuă în spaţiul ℜn+1.

Proiecţia traiectoriei în spaţiul stărilor ℜn (întâlnit şi sub numele de spaţiul fazelor) se numeşte orbita sistemului.

Deoarece vectorul de intrare [u(t)] poate avea orice evoluţie în spaţiul ℜm, se spune despre sistemul descris de ecuaţia de stare [ ] [ ] [ ]( ),x f x u =

că poate fi un sistem forţat sau comandat.Un sistem este forţat, atunci când, plecând din starea iniţială [x0],

traiectoria sa este în oarecare măsură forţată prin aplicarea unui vector de intrare [u(t)], aprioric cunoscut.

Similar, un sistem este comandat dacă evoluţia lui urmează otraiectorie impusă, prin alegerea corespunzătoare a vectorului de intrare [u(t)].

Uneori în practică, se pune problema obţinerii soluţiei sistemului de ecuaţii [ ] [ ] [ ]( ),x f x u = , în cazul când vectorul de intrarea este fix,

având valoarea ( )u t u = , pentru orice moment t ≥ t0. În acest caz,

pentru a exprima mai clar faptul că f este o funcţie doar de [x], şi de

parametrul u , modelul sub forma ecuaţiilor de stare se scrie ca fiind

[ ] [ ]( ),x f x u = sau [ ] [ ]( )u

x f x

= .

În acest caz, sistemul va evolua din starea iniţială [x0], pe o traiectorie ce este unică. Fixând aprioric intrarea la o valoare constantă, dispare posibilitatea pilotării traiectoriei sistemului, motiv pentru care sistemul se numeşte liber, autonom sau staţionar. Traiectoria se numeşte răspuns liber al sistemului.

Modelele exemplificate (şi în general sistemele ce vor fi considerate) sunt modele deterministe cu parametri concentraţi, formate dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare.

Sunt însă posibile şi alte abordări ale sistemelor dinamice. Pentru exemplele de sisteme considerate ar putea fi elaborate şi modele de stare deterministe cu parametri distribuiţi, constituite din ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

În cazul cuptorului de sticlă de exemplu, s-a făcut ipoteza cătemperatura este omogenă (uniformă) în toată masa de sticlă. Este o ipotezăsimplificatoare dar foarte utilă pentru construirea unui model simplu şieficace din punct de vedere al reglării sau optimizării comportamentului


28

dinamic al cuptorului. Această ipoteză nu este valabilă dacă am dori săstudiem variaţia spaţială a temperaturii, pentru care ar trebui dezvoltat un model de stare format din ecuaţii cu derivate parţiale, ce să descrie evoluţia sistemului în timp, în funcţie de câmpurile termice şi de viteza fluidului în masa de sticlă în fuziune. Nu se poate spune că unul sau altul din cele douămodele este mai bun, ci doar obiectivele studiului sunt diferite, fiind corespunzătoare unor scări spaţiale şi temporale diferite.

Interacţiunile dintre sistem şi „lumea exterioară” sunt reprezentate de vectorul de intrare [u(t)], ce este, aşa cum s-a arătat mai sus, o funcţie vectorială de timp, reală şi deterministă. În realitate sistemele sunt deseori supuse unor influenţe aleatoare, ce ar putea fi reprezentate utilizând intrări stocastice, respectiv funcţii ui(t) aleatoare. Se va obţine astfel un model de stare stocastic, în care variabilele de stare sunt ele însele funcţii aleatoare. Pentru studiul unui astfel de sistem sunt necesare tehnici matematice speciale, ce nu vor fi abordate în cadrul prezentei lucrări.

Modelul de stare al unui sistem dinamic constituie deci reprezentarea matematică simplificată a comportamentului unui sistem.

Modelarea unui sistem dinamic reprezintă procesul de obţinere a unei descrieri calitative şi cantitative a unui sistem, ţinându-se cont de anumite ipoteze simplificatoare. Pe baza formulării matematice a proceselor ce guvernează şi se desfăşoară în sistemul studiat, se obţine apoi descrierea cantitativă matematică a sistemului, sub forma ecuaţiilor de stare. Fără a fi complicat inutil, modelul astfel obţinut trebuie să se constituie într-un instrument util pentru rezolvarea unor probleme inginereşti puse de sistemul considerat.

Ipotezele adoptate trebuie să fie clar formulate şi puse în evidenţă. Ele trebuie să fie adaptate nivelului de aprofundare al studiului propus, astfel încât să nu afecteze calitatea şi veridicitatea rezultatelor. Un exemplu în acest sens îl constituie cazul motorului de curent continuu considerat mai sus, pentru care s-a considerat ipoteza conform căreia, circuitul magnetic funcţionează în porţiunea liniară a curbei de magnetizare. Această ipotezănu afectează grav rezultatele studiului, pentru cea mai mare parte a situaţiilor. Aceasta cu atât mai mult cu cât, curentul de excitaţie ie ar putea fi controlat pentru a nu lua valori ce să determine funcţionarea în zona neliniară a curbei de magnetizare şi deci saturarea circuitului magnetic.

În capitolele următoare se vor aborda diferite clase semnificative de sisteme (mecanice, electrice şi electromecanice, cu compartimente), pentru care se vor evidenţia etapele ce trebuiesc parcurse pentru obţinerea modelelor. Indiferent de domeniul practic al sistemelor, se va evidenţia abordarea unitară, sub forma modelului de stare.

29

3. MODELAREA SISTEMELOR MECANICE ARTICULATE

3.1. Introducere În cadrul acestui capitol, se va prezenta şi exemplifica, algoritmul ce

trebuie urmat pentru obţinerea modelului de stare atât al corpurilor rigide singulare, cât şi al sistemelor mecanice formate din ansambluri de corpuri rigide, legate între ele prin articulaţii. Iniţial, articulaţiile for fi considerate perfecte (fără jocuri şi frecări), pentru a se indica apoi metode prin care se pot modela jocurile şi frecările în articulaţii.

Metoda sistematică de modelare ce se va dezvolta, se poate aplica mai multor tipuri de sisteme mecanice, de tipul vehicule (automobile, trenuri, avioane) sau roboţi (manipulatoare, roboţi mobili). Această metodă varezulta prin aplicarea sistematică a legii lui Newton.

Pentru simplificarea notaţiilor şi a calculelor, ne vom limita la stabilirea ecuaţiilor de mişcare în spaţiul bidimensional (în plan). Extensia la cazul unei mişcări tridimensionale este, principial, simplă.

3.2. Dinamica corpurilor rigide într-un plan Se va considera un corp rigid, Fig. 3.1, ce se deplasează într-un plan,

în care se fixează un sistem de coordonate inerţial (XbOYb).


30

Corpului, respectiv centrului său de greutate G, i se ataşează sistemul de coordonate (XmGYm). Poziţia corpului este determinată în mod univoc în sistemul de coordonate (XbOYb), de cele trei coordonate xG, yG şi θ:

- xG, yG - coordonatele carteziene ale centrului de greutate G, în raport cu sistemul de coordonate fix (XbOYb);

- θ - orientarea sistemului de coordonate (XmGYm), faţă de sistemul de referinţă fix (XbOYb).

Se face observaţia că aici, notaţia „xG” nu desemnează o variabilă destare, ci coordonata centrului de greutate G, pe axa OXb a sistemului inerţial (XbOYb).

Poziţia corpului este deci, caracterizată de vectorul cu trei componente:

[ ]G

G

xq y

= θ

. (3.1)

Aplicarea legii lui Newton pentru fiecare din cele trei coordonate conduce la următoarele ecuaţii generale de mişcare:

ecuaţiile de translaţie a centrului de greutate:

G xm x F⋅ = , (3.2)

Fig. 3.1 Coordonatele unui corp rigid într-un plan

Xb

Yb

O

XmYm

Gθ

xG

yG

3. Modelarea sistemelor mecanice articulate

31

G ym y F⋅ = ; (3.3)

ecuaţia de rotaţie a corpului în jurul centrului său de greutate:

I M⋅θ = , (3.4)

în care: - m - masa corpului; - I - momentul de inerţie faţă de centrul său de greutate; - Fx, Fy - proiecţiile după axele OXb, respectiv OYb, ale rezultantei

forţelor aplicate corpului; - M - suma cuplurilor forţelor aplicate corpului, raportate la centrul

de greutate. Aceste ecuaţii generale de mişcare reprezintă descrierea fenomenelor

aferente evoluţiei corpului şi constituie baza pentru stabilirea modelului de stare al acestuia. În continuare, se va considera un exemplu simplu, pentru care se vor particulariza concret ecuaţiile (3.2)-(3.4), urmând apoi, dupăalegerea variabilelor de stare, să se obţină modelul de stare.

3.2.1. Modelarea dinamicii unei rachete Se consideră o rachetă de masă m, Fig. 3.2, ce se deplasează într-un

plan perpendicular pământului. Racheta este propulsată de două motoare cu reacţie, dispuse simetric faţă de corpul rachetei, ce dezvoltă forţele de propulsie F1 şi F2.

Fig. 3.2 Modelarea dinamicii unei rachete

Xb

Yb

F1

F2

XmYm

G

d α

θ


32

Ca ipoteze simplificatoare, se consideră că racheta constituie un corp rigid, de masă constantă, iar spaţiul în care se deplasează este suficient de restrâns încât să se poată considera că acceleraţia gravitaţională g este constantă.

Particularizarea ecuaţiilor (3.2) şi (3.3), ce descriu translaţia centrului de greutate al rachetei, conduce la:

( )1 2 cosG xm x F F F⋅ = = + ⋅ θ , (3.5)

( )1 2 sinG ym y F F F m g⋅ = = + ⋅ θ − ⋅ , (3.6)

Ecuaţia de rotaţie a corpului în jurul centrului său de greutate (3.4), devine: ( )2 1 sinI M F F d⋅θ = = − ⋅ ⋅ α . (3.7)

Pentru caracterizarea completă a comportării sistemului considerat trebuiesc considerate ca variabile de stare, pe de o parte, cele trei coordonate ale centrului de greutate, în sistemul inerţial. Pe de altă parte, ţinând cont căîn ecuaţiile (3.5)-(3.7) apar derivatele de ordinul al doilea ale coordonatelor în raport cu timpul, pentru construirea modelului de stare sub forma (2.1), trebuiesc considerate ca variabile de stare şi derivatele de ordinul întâi ale acestora. Astfel, vectorul variabilelor de stare va fi:

[ ]

1

2

3

4

5

6

G

G

G

G

x xx yx

xx xx yx

θ

= =

θ

. (3.8)

Evoluţia sistemului studiat, fiind determinată univoc de valorile forţelor de propulsie ale celor două motoare, vectorul variabilelor de intrare va fi considerat:

[ ] 1 1

2 2

u Fu

u F

= =

. (3.9)

Cu notaţiile (3.8) şi (3.9), ecuaţiile (3.5)-(3.7) devin:

( )4 1 2 3cosxm x F u u x⋅ = = + ⋅ , (3.10)


33

( )5 1 2 3sinym x F u u x m g⋅ = = + ⋅ − ⋅ , (3.11)

( )6 2 1 sinI x M u u d⋅ = = − ⋅ ⋅ α . (3.12)

Modelul sub forma ecuaţiilor de stare se obţine prin explicitarea

derivatele variabilelor de stare din (3.10)-(3.12) şi ţinând cont de definirea vectorului mărimilor de stare (3.8). Rezultă astfel: 1 4x x=

2 5x x=

3 6x x=

( )34 1 2

cos xx u um

= +

( )35 1 2

sin xx g u um

= − + +

( )6 2 1sindx u uI

⋅ α= − .

Modelul obţinut pentru exemplul considerat este neliniar în raport cu variabilele de stare, dar liniar în raport cu variabilele de intrare. Este situaţia cea mai frecvent întâlnită în majoritatea aplicaţiilor. În aceste situaţii, ecuaţiile de translaţie şi de rotaţie ce descriu dinamica sistemului, se pot scrie sub forma matriceală generală:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]J q g q b q u ⋅ + = ⋅ , (3.13)

în care: - [J] - matricea (diagonală şi constantă) de inerţie; - [g([q])] - matrice ale cărei elemente depind de efectele gravitaţiei; - [b([q])] - matrice (numită cinematică) ce depinde neliniar de

componentele vectorului coordonatelor [q]. Modelul de stare rezultat poate fi scris sub forma generală:

[ ] [ ]q v= , (3.14)

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] 1v J g q b q u− = ⋅ − + ⋅ , (3.15)

în care [v] este vectorul de viteze generalizate, iar vectorul [q] are drept componente, doar coordonatele corpului.

Starea sistemului va fi descrisă însă de ecuaţia de stare rezultată din concatenarea ecuaţiilor (3.14) şi (3.15)


34

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] 1

vqx

v J g q b q u−

= = ⋅ − + ⋅

, (3.16)

ce reprezintă forma particulară a modelului general (2.1). Pentru sistemul considerat, forma particulară a ecuaţiei (3.13) rezultă

direct din ecuaţiile de mişcare (3.5)-(3.7):

1

2

0 0 0 cos cos0 0 sin sin0 0 0 sin sin

G

G

m xF

m y m gF

I d d

θ θ ⋅ + ⋅ = θ θ ⋅ θ − ⋅ α ⋅ α

,

matricele [J], [g([q])] şi [b([q])] putând fi identificate imediat. Rezultă simplu:

[ ]1

2

1 0 00 cos cos

10 0 sin sin0 sin sin10 0

x

yG

G

x

y

vvx

y

x mvF

v m gFm

d d

I

ω θ = =

θ θ ⋅ − ⋅ + θ θ ⋅ ω − ⋅ α ⋅ α

,

ce reprezintă forma concretă a modelului general descris de (3.16). O situaţie particulară este cea în care suma (rezultanta) forţelor

aplicate unui corp este nulă, dar forţele nu sunt aplicate în acelaşi punct. În acest caz ecuaţiile de mişcare se scriu:

0Gm x⋅ = ,

0Gm y⋅ = ,

I M⋅θ = .

În această situaţie, de obicei, nu se mai evidenţiază forţele ce produc cuplul M, ci doar cuplul ca şi cauză a mişcării. Este cazul, spre exemplu, al unui braţ de robot manipulator, în cazul căruia mişcarea va fi produsă de cuplul furnizat de un motor.


35

3.3. Dinamica sistemelor mecanice articulate În acest capitol se va prezenta mai întâi algoritmul general de obţinere

a modelului dinamic al unui sistem de corpuri articulate, pentru care existărestricţii de mişcare impuse de articulaţii [2]. Mişcarea sistemului articulat se va presupune a fi într-un plan (fiecare dintre corpurile componente are, cel mult, trei grade de libertate). Algoritmul obţinut va fi apoi aplicat unui exemplu simplu.

3.3.1. Algoritmul general de obţinere a modelului dinamic al unui sistem mecanic articulat

Se va considera un sistem mecanic articulat, compus din N corpuri. Procedura generală de obţinere a modelului, sub forma ecuaţiilor de stare, constă în parcurgerea următoarelor patru etape:

1. Definirea coordonatelor, prin stabilirea unui sistem de referinţă inerţial în spaţiul celor N referenţiale mobile. Acestea la rândul lor sunt fixate centrelor de greutate ale celor N corpuri ale sistemului;

2. Scrierea ecuaţiilor ce descriu restricţiile de mişcare şi de legături, la care este supus sistemul. Va rezulta numărul de grade de libertate ale sistemului;

3. Scrierea ecuaţiilor de mişcare (translaţie şi rotaţie) de tipul (3.13), pentru fiecare dintre coordonate, în membrul drept incluzându-se însă şi forţele de legătură corespunzătoare restricţiilor (metoda coeficienţilor lui Lagrange);

4. Eliminarea coeficienţilor lui Lagrange şi a coordonatelor redundante.

În continuare se va detalia procedura enunţată, identificându-se conceptele noi (grade de libertate, coeficienţii lui Lagrange, coordonate redundante). Algoritmul obţinut va fi apoi aplicat unui exemplu tipic, respectiv pentru obţinerea modelului dinamic al unui braţ manipulator cu două grade de libertate.

1. Definirea coordonatelorÎn spaţiul Ω al sistemului format din N corpuri, se fixează un sistem de

referinţă inerţial. Fiecărui corp (centrului său de greutate) îi este ataşat câte un sistem de referinţă mobil. La orice moment de timp, sistemul de Ncorpuri este caracterizat de vectorul de coordonate:


36

[ ] [ ]T1 1 1 2 2 2 N N Nq x y x y x y= θ θ θ… ,

de dimensiune 3N.Datorită restricţiilor de mişcare şi a celor impuse de articulaţii, nu

toate aceste coordonate se vor regăsi în final în modelul dinamic. 2. Exprimarea restricţiilor de mişcareMişcarea unui sistem mecanic articulat poate fi supusă la două tipuri

de restricţii, denumite restricţii geometrice şi anume: restricţii de parcurs, determinate de existenţa unor ghidaje; restricţii datorate articulaţiilor dintre corpuri. Aceste restricţii pot fi exprimate sub forma unui ansamblu de relaţii

algebrice între coordonate:

[ ]( ) 0qΨ = , (3.17)

Ψ fiind o aplicaţie definită în spaţiul Ω, de dimensiune 3N, având numărul de componente (p), egal cu cel al restricţiilor sistemului. Simbolic se notează Ψ:Ω→ ℜp.

Conform teoremei funcţiilor implicite, în vecinătatea oricărui punct qal spaţiului Ω, există o partiţie a vectorului de coordonate

[ ] [ ][ ]x

qx

=

,

în care [x] este vectorul coordonatelor independente, iar [ ]x cel al coordonatelor redundante. Această partiţie îndeplineşte condiţiile:

dimensiunea vectorului coordonatelor redundante [ ]x , notată cu ρ,este egală cu rangul matricei Jacobiene a aplicaţiei Ψ,

[ ]( )dim rangD

xq

∂Ψρ= = ∂

; (3.18)

coordonatele redundante [ ]x , pot fi exprimate în funcţie de coordonatele independente [x],

[ ] [ ]( )x x = Φ . (3.19)

Pentru eliminarea din descrierea sistemului a coordonatelor redundante [ ]x , se poate utiliza relaţia (3.19).


37

Dimensiunea vectorului [x], al coordonatelor ce vor fi conservate, reprezintă numărul de grade de libertate ale sistemului, notate cu δ:

3Nδ = −ρ .

Numărul ecuaţiilor independente ce vor descrie comportarea dinamicăa sistemului mecanic cu articulaţii, va fi egal cu numărul gradelor de libertate δ.

3. Ecuaţiile de mişcarePentru fiecare corp, se vor scrie ecuaţiile de mişcare de tipul (3.13),

incluzându-se însă în membrul drept, alături de termenul determinat de vectorul mărimilor de intrare, forţele de legătură corespunzătoare restricţiilor.

Deoarece nu toate coordonatele sunt independente, partiţia de coordonate [ ] [ ],x x , va determina o partiţie similară în ansamblul ecuaţiilor de mişcare:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ], ,J x g x x b x x u r ⋅ + = ⋅ + , (3.20)

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ], ,J x g x x b x x u r ⋅ + = ⋅ + . (3.21)

În ecuaţiile (3.20) şi (3.21), vectorii [ ]r şi [ ]r reprezintă restricţiile, respectiv forţele de legătură ce garantează respectarea în orice moment a acestora.

În mecanica teoretică se demonstrează [20] că forţele de legătură se exprimă:

[ ] [ ]( ) [ ]r A x = − ⋅ λ , (3.22)

[ ] [ ]r = λ , (3.23)

în care [λ] este vectorul coeficienţilor lui Lagrange (de dimensiune ρ), iar [A([x])] este matricea, de dimensiune xδ ρ definită ca:

[ ]( ) [ ] T

A xx

∂ Φ = ∂

. (3.24)

4. Eliminarea coordonatelor redundanteŢinând cont de (3.23), din (3.21), se exprimă [λ]:


38

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ], ,J x g x x b x x u λ = ⋅ + − ⋅ .

Înlocuind expresia obţinută în (3.22), rezultă vectorul forţelor de legătură [r]:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] , ,r A x J x g x x b x x u = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ,

care înlocuit în (3.20) conduce la:

[ ][ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) [ ]

, ,

, ,

J x A x J x g x x A x g x x

b x x A x b x x u

+ + Φ + Φ =

= Φ + Φ

.(3.25)

În (3.25), pentru simplitatea scrierii, s-a renunţat la scrierea între paranteze drepte a vectorilor şi matricelor şi s-a ţinut cont de exprimarea vectorului coordonatelor redundante [ ]x în funcţie de cele independente, descrisă de (3.19).

Ecuaţia (3.25) va reprezenta modelul dinamic al sistemului cu articulaţii, doar după ce va fi eliminat vectorul derivatelor de ordinul doi în raport cu timpul, al coordonatelor redundante x .

Pentru aceasta, se va deriva de două ori în raport cu timpul expresia (3.19), ţinându-se cont de (3.24):

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]T

x x A x xx

∂ Φ = ⋅ = ⋅ ∂

,

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]T T

x A x x A x x = ⋅ + ⋅ . (3.26)

Înlocuind acum (3.26) în (3.25) rezultă

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ]

TT

, ,

, ,

J A x J A x x A x J A x x

g x x A x g x x

b x x A x b x x u

+ ⋅ + ⋅ +

+ Φ + Φ =

= Φ + Φ

Se notează:

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) TM x J A x J A x = + ⋅ ⋅ ,


39

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]T

,f x x A x J A x x = ⋅ ⋅ ⋅ ,

[ ]( ) [ ] [ ]( )( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )( ), ,G x g x x A x g x x = Φ + ⋅ Φ ,

[ ]( ) [ ] [ ]( )( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )( ), ,B x b x x A x b x x = Φ + ⋅ Φ ,

rezultând astfel în final modelul dinamic general al unui sistem mecanic articulat:

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ],M x x f x x G x B x u ⋅ + + = ⋅ . (3.27)

În această ecuaţie, semnificaţia mărimilor este următoarea: [x] - vectorul, de dimensiune δ, al coordonatelor

independente, necesare descrierii sistemului; [ ]( )M x - matricea de inerţie, de dimensiune δxδ, simetrică şi

pozitiv definită; [ ] [ ]( ),f x x - vectorul, de dimensiune δ, ce reprezintă forţele şi

cuplurile rezultate din legăturile corespunzătoare restricţiilor. Acest vector se mai poate scrie:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ], ,f x x H x x x = ⋅ ,

unde matricea [ ] [ ]( ),H x x , de dimensiune δxδ este

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) T,H x x A x J A x = ⋅ ⋅

, fiind

matricea de impuls; [ ]( )G x - vectorul, de dimensiune δ, ce reprezintă forţele şi

cuplurile rezultate datorită gravitaţiei; [u] - vectorul, de dimensiune m, al stimulilor externi,

respectiv al forţelor şi cuplurilor aplicate sistemului; [ ]( )B x - matrice cinematică, de dimensiune δxm.

Pe baza modelului dinamic descris de (3.27), se obţine în final modelul dinamic sub forma ecuaţiilor de stare (modelul de stare) al sistemelor articulate, în exprimarea generală de tipul (3.16):

[ ] [ ]x v= , (3.28)


40

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] 1,x v M x f x v G x B x u

− = = ⋅ − − + ⋅ . (3.29)

3.3.2. Proprietăţile matricei de inerţie În continuare vor fi enumerate câteva dintre proprietăţile matricei de

inerţie: 1. Matricea de inerţie [ ]( )M x este simetrică şi pozitiv definită. De

fapt ea este suma dintre o matrice diagonală [J] ale cărei elemente sunt pozitive şi o matrice simetrică, pozitiv semi-definită

[ ]( ) [ ]( ) TA x J A x , aşa cum indică notaţia definită mai sus;

2. Derivata în raport cu timpul a matricei de inerţie [ ]( )M x , fiind:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )T T

M x A x J A x A x J A x = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

,

rezultă, conform definirii matricei de inerţie

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) T

, ,M x H x x H x x = +

;

Această relaţie face ca matricea

[ ]( ) [ ] [ ]( )2 ,M x H x x − ⋅

să fie antisimetrică.3. Matricea de inerţie verifică următoarea relaţie:

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )T T ,x M x x x H x xx∂ ⋅ ⋅ = ⋅ ∂ .

3.3.3. Exemplu: modelul dinamic al unui braţmanipulator

Braţul manipulator pentru care se doreşte obţinerea modelului de stare este prezentat schematic în Fig. 3.3.

În continuare vor fi parcurse etapele algoritmului general, enunţate în §3.3.1, particularizate pentru sistemul considerat.


41

Robotul manipulator este format din două segmente articulate între ele. Acest segment poate realiza, sub acţiunea forţei F, doar o mişcare de translaţie pe direcţia axei OXb a sistemului inerţial general (XbOYb) asociat sistemului. Cel de al doilea poate executa doar o mişcare de rotaţie după axa OZb (perpendiculară pe planul XbOYb), sub acţiunea cuplului motor M. În figură au fost notate:

- a - distanţa dintre centrul de greutate al primului segment şiarticulaţia circulară a celor două segmente;

- b - distanţa dintre centrul de greutate al celui de-al doilea segment şi articulaţia circulară a celor două segmente;

- x1 - coordonata centrului de greutate al primului segment (datorită restricţiilor introduse de ghidajului pe care culisează acest segment, y1, θ1 ≡ 0);

- x2, y2 - coordonatele centrului de greutate al celui de-al doilea segment;

- θ2 - poziţia unghiulară a celui de-al doilea segment faţă deverticală.

Sistemul este supus următoarelor restricţii: Restricţii de parcurs datorate ghidajului pe care se deplasează

primul segment:

1 0y ≡ ; (3.30)

1 0θ ≡ ; (3.31)

Fig. 3.3 Braţ manipulator

Yb

XbF

x1

ax2

y2b

M

θ2

O


42

Restricţii de legături (de articulaţii):

2 2 1sin 0x b x a− ⋅ θ − − ≡ ; (3.32)

2 2cos 0y b+ ⋅ θ ≡ . (3.33)

Ansamblul relaţiilor (3.30)-(3.33) formează aplicaţia [ ]( ) 0qΨ =

specificată de (3.17)

[ ]( )1

1

1 2 2

2 2

0sin

cos

y

qx x b

y b

θ Ψ = = − − ⋅ θ ⋅ θ

.

Restricţiile de parcurs exprimă faptul că primul braţ nu se poate deplasa decât orizontal, iar cele de legături exprimă relaţia existentă între coordonatele carteziene ale centrelor de greutate ale celor două braţe, ţinându-se cont de articulaţia dintre ele.

Din ansamblul coordonatelor

[ ] [ ]T1 1 1 2 2 2 q x y x y= θ θ

ce caracterizează sistemul, trebuiesc selectate partiţiile [x], a coordonatelor independente şi [ ]x , a coordonatelor redundante.

Dimensiunea ρ a vectorului coordonatelor redundante [ ]x va rezulta, conform (3.18), ca rang al matricei Jacobiene a aplicaţiei Ψ. Aceasta este:

2

2

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 01 0 0 1 0 cos

0 0 0 0 1 sinbqb

∂Ψ = − − ⋅ θ∂ − ⋅ θ

.

Se observă că matricea are rangul ρ = 4 şi deci sistemul are

3 2 4 2δ = ⋅ − =

grade de libertate, ceea ce era de aşteptat. În vectorul [q] al coordonatelor sistemului, se definesc partiţiile de

coordonate:


43

independente

[ ] 1

2

xx

= θ

şi (3.34)

redundante

[ ]1

1

2

2

y

xxy

θ =

. (3.35)

De asemenea, este posibil ca în întreg spaţiul (XbOYb), coordonatele redundante [ ]x să fie exprimate, conform (3.19), ca funcţii explicite

[ ] [ ]( )x x = Φ , de coordonatele independente [x], rezultând din (3.30)-

(3.33):

1 0y = , (3.36)

1 0θ = , (3.37)

2 1 2sinx x b a= + ⋅ θ + , (3.38)

2 2cosy b= − ⋅ θ , (3.39)

ceea ce face ca exprimarea (3.19) să fie în acest caz

[ ]1

1

2 1 2

2 2

0 0 00 0 0

sin0 cos

y

xx x b ay b o

θ = = + ⋅ θ − ⋅ θ

,

respectiv

[ ]( )1 2

2

0 00 0

sin0 cos

xx b

b

Φ = ⋅ θ − ⋅ θ

.


44

Din descrierea sistemului vor fi eliminate coordonatele redundante [ ] [ ]T

1 1 2 2x y x y= θ , păstrându-se doar coordonatele independente

[ ] [ ]T1 2 x x= θ . Pentru aceasta, se identifică matricea [ ]( )A x conform

(3.24):

[ ]( ) [ ] T

2 2

0 0 1 00 0 cos sin

A xb bx

∂ Φ = = ⋅ θ ⋅ θ∂ . (3.40)

Corespunzător partiţiei (3.34), (3.35) a vectorului de coordonate [q],

va exista şi o partiţie a ecuaţiilor de mişcare aferente fiecărei coordonate, ce vor trebui să fie scrise ţinându-se cont de restricţii, în forma descrisă de (3.20) şi (3.21).

Conform (3.23), vectorul [λ] al coeficienţilor lui Lagrange, reprezintăchiar vectorul restricţiilor din ecuaţiile de mişcare ale coordonatelor redundante

[ ] [ ]T1 2 3 4r = λ λ λ λ .

Vectorul restricţiilor coordonatelor independente [r], conform (3.22), în care se ţine seama de forma particulară (3.40) a matricei [ ]( )A x va fi

[ ]1

32

3 2 4 22 2 3

4

0 0 1 0cos sin0 0 cos sin

rb bb b

λ −λλ = − ⋅ = −λ ⋅ ⋅ θ −λ ⋅ ⋅ θ⋅ θ ⋅ θ λ λ

.

Ecuaţiile de mişcare, corespunzătoare aplicării legii lui Newton pe fiecare din cele trei coordonate, cu considerarea restricţiilor, rezultă:

pentru coordonatele independente (3.34)

1 1 3m x F⋅ = −λ , (3.41)

2 2 3 2 4 2cos sinI M b b⋅θ = −λ ⋅ ⋅ θ − λ ⋅ ⋅ θ ; (3.42)

pentru coordonatele redundante (3.35)

1 1 1 1m y m g⋅ + ⋅ = λ , (3.43)


45

1 1 2I ⋅θ = λ , (3.44)

2 2 3m x⋅ = λ , (3.45)

2 2 2 4m y m g⋅ + ⋅ = λ . (3.46)

Valorile coeficienţilor lui Lagrange se obţin prin identificarea ecuaţiilor de mişcare (3.41)-(3.46) cu restricţiile definite de (3.36)-(3.39).

Rezultă astfel imediat: λ1: se identifică (3.43) cu (3.36), respectiv

1 1m gλ = ⋅ ;

λ2: se identifică (3.44) cu (3.37), respectiv

2 0λ = ,

fiind eliminate astfel coordonatele redundante y1 şi θ1.Valorile obţinute exprimă forţele de legătură ce sunt aplicate primului

segment pentru a satisface restricţiile de parcurs impuse de ghidajul pe care se deplasează acesta.

Pentru eliminarea coordonatelor redundante x2 şi y2, se înlocuiesc expresiile coeficienţilor λ3 şi λ4 date de (3.45), respectiv (3.46), în ecuaţiile de mişcare (3.41) şi (3.42), rezultând:

1 1 22

2 2 2 2 2 2 2

1 0sin cos sin

m x F xm

I M m g b b b y⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅θ − ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ

. (3.47)

Derivatele de ordinul doi ale coordonatelor redundante x2 şi y2 din (3.47) se obţin, aplicând (3.26), ţinând cont doar de partiţia corespunzătoare a matricei [ ]( )A x descrisă de (3.40):

2 2 1 2 1

2 2 2 2 2

1 cos 0 sin0 sin 0 cos

x b x b xy b b

⋅ θ − ⋅ θ = + ⋅ ⋅ θ θ ⋅ θ θ

. (3.48)

Înlocuind acum (3.48) în (3.47) se obţine

1 2 12 2 2

2 2 2 2

222

2 2 2

0 1 cos0 cos sin

00 sinsin0 0

m b xm

I b b

xb Fm

y m g b M

⋅ θ + ⋅ ⋅ + ⋅ θ ⋅ θ θ − ⋅ θ

+ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ θ

. (3.49)


46

Identificând în (3.49) termenii ecuaţiei (3.27), rezultă matricea de inerţie

[ ]( ) 1 2 2 22 2

2 2 2 2 2

coscos sin

m m m bM x

m b I m b+ ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ θ + ⋅ ⋅ θ

;

forţele şi cuplurile rezultate din legăturile corespunzătoare restricţiilor

[ ] [ ]( ) 2 2 20 sin,

0 0m b

f x x − ⋅ ⋅θ ⋅ θ =

,

respectiv matricea de impuls

[ ] [ ]( ) 2 20 sin,

0 0m b

H x x− ⋅ ⋅ θ =

;

vectorul forţelor şi cuplurilor rezultate datorită gravitaţiei

[ ]( )2 2

0sin

G xm g b = ⋅ ⋅ ⋅ θ

;

matricea cinematică

[ ]( ) 1 00 1

B x = .

Cu notaţiile de mai sus, rezultă modelul sistemului în forma (3.27):

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ],M x x H x x x G x B x u ⋅ + ⋅ + = ⋅ .

Modelul dinamic sub forma ecuaţiilor de stare de tipul (3.28), (3.29)rezultă

[ ] [ ] 1

2

xx v

= = θ

,

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] 11

2

,x

x v M x H x x x G x B x u− = = = ⋅ − ⋅ − + ⋅ θ

,

sau condensat [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ), ,H G Bx T x x T x T x u = − − + ,

în care s-au notat:


47

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]1

, ,HT x x M x H x x x−

= ⋅ ⋅ ,

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1

GT x M x G x−

= ⋅ ,

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]1

,BT x u M x B x u−

= ⋅ ⋅ ,

Efectuând calculele rezultă

[ ]( )2 21 2 2 2 2 2

2 2 1 2

sin cos1cosM

I m b m bM x

m b m m− + ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ = ∆ − ⋅ ⋅ θ +

,

cu

( ) ( ) ( )22 2

1 2 2 2 2 2 2

1 1sin cosM m m I m b m b

=∆ + ⋅ + ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ

, (3.50)

respectiv

[ ] [ ]( )( )

( )

2 2 22 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

sin sin1,sin cos

HM

I m b m bT x x

m b

− + ⋅ ⋅ θ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅θ = ∆ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅θ

, (3.51)

[ ]( ) ( )( )

22 2 2

1 2 2 2

sin cos1sinG

M

g m bT xg m m m b

− ⋅ ⋅ θ ⋅ θ = ∆ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ θ , (3.52)

[ ] [ ]( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 2 2

2 2 1 2

sin cos1,cos

BM

I m b F m b MT x u

m b F m m M

+ ⋅ ⋅ θ ⋅ − ⋅ ⋅ θ ⋅ = ∆ − ⋅ ⋅ θ ⋅ + + ⋅

.(3.53)

Expresiile necesare pentru implementarea modelului dinamic şisimulare a sistemului sunt deci:

( )( )

( ) ( )

2 2 21 2 2 2 2 2 2

22 2 2

2 22 2 2 2 2

1 sin sin

sin cos

sin cos

M

x I m b m b

g m b

I m b F m b M

= + ⋅ ⋅ θ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅θ + ∆

+ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ +

+ + ⋅ ⋅ θ ⋅ − ⋅ ⋅ θ ⋅

, (3.54)

respectiv


48

( )

( )( ) ( )

2 22 2 2 2 2

1 2 2 2

2 2 1 2

1 sin cos

sin

cos

M

m b

g m m m b

m b F m m M

θ = − ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅θ −∆

− ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ θ −

− ⋅ ⋅ θ ⋅ + + ⋅

, (3.55)

ce vor fi integrate de două ori, pentru a obţine evoluţia variabilelor de stare x1 şi θ2.

3.3.4. Simularea braţului manipulator Expresiile finale ale derivatelor de ordinul al doilea al variabilelor

independente x1 (3.54) şi θ2 (3.55) ce descriu dinamica braţului manipulator, pot fi utilizate pentru simularea acestuia. Se observă că expresiile depind, în afară de parametrii mecanici ai sistemului, şi de variabila de stare θ2 şiderivata de ordinul I a acesteia 2θ , ceea ce presupune considerarea lor ca reacţii în schema Simulink de integrare a celor două variabile. În Fig. 3.4 este prezentată o posibilă realizare.

Blocurile, de tip Fcn, (B_x1), (B_teta2), (H_x1), (H_teta2), (G_x1) şi(G_teta2) realizează calculul termenilor corespunzători coordonatelor independente x1, respectiv θ2 din vectorii [ ] [ ]( ),BT x u , [ ] [ ]( ),HT x x ,

respectiv [ ]( )GT x , definiţi în (3.51)-(3.53). După însumarea lor, blocurile

(1/D) şi (1/D1) realizează divizarea cu determinantul ∆M (3.50), obţinându-se la ieşirile acestora derivatele de ordinul al doilea ale celor două variabile independente exprimate de (3.54), respectiv (3.55). Prin integrarea de douăori a acestora, se obţin variabilele de stare x1 şi θ2.

Se exemplifică rezultatele simulării numerice a sistemului pentru următoarele condiţii iniţiale:

x1 = 0; θ2 = 45°; F = 0 N; M = 1,4 Nm = constant. La 1,2 s de la începerea simulării, se aplică sistemului o forţă de

accelerare F = 2 N (Fig. 3.5). Mişcarea sistemului este uniform accelerată pe toată durata aplicării

forţei F. Datorită inerţiei, pe acest interval, segmentul al doilea evolueazăoscilant (frecările nu sunt luate în considerare), în jurul unei valori inferioare celei iniţiale (45°).


49

La anularea forţei de accelerare (momentul 3,1 s de la începerea simulării), sistemul se deplasează cu viteză constantă (x1 creşte liniar), al doilea braţ revenind în jurul poziţiei iniţiale.

Aplicându-se o forţă negativă (de frânare), în momentul 5,5 s de la începerea simulării, sistemul se deplasează uniform decelerat până la oprire

(momentul 7,3 s, când 1 0xdx vdt

= = ), după care, datorită menţinerii forţei

negative, sistemul începe să se deplaseze uniform accelerat, însă cu acceleraţie şi viteză negative (spaţiul x1 se diminuează).

Pe tot acest interval, de asemenea datorită inerţiei, braţul al doilea evoluează oscilant în jurul unei valori superioare celei iniţiale (45°). Amplitudinile oscilaţiilor celui de-al doilea braţ depind esenţial de viteza unghiulară a celui de-al doilea braţ în momentul schimbării valorii forţei.

Rezultatele simulării sunt în concordanţă cu experienţa fizică.

Fig. 3.4 Schema Simulink pentru simularea braţului manipulator


50 Fig. 3.5 Rezultatele simulării braţului manipulator


51

3.4. Modelarea articulaţiilor elastice În §3.3 a fost descris algoritmul general de obţinere a modelului de

stare al sistemelor mecanice articulate, formate din corpuri rigide, fărăflexibilitate sau supleţe în legături şi articulaţii. În multe situaţii (aplicaţii), o astfel de ipoteză nu este realistă.

O manieră simplă de introducere a elasticităţii (supleţei) în articulaţiile unui sistem mecanic articulat constă în plasarea unui resort (fictiv) de masănulă, în legăturile dintre corpuri, ca în Fig. 3.6. Acest resort exercită o forţă de tracţiune asupra fiecăruia din cele două corpuri de care este fixat. Aceastăforţă se aplică în punctul de fixare a resortului, fiind monoton crescătoare în funcţie de elongaţia resortului. Această forţă elastică se adaugă celorlalte forţe aplicate sistemului.

Deoarece elasticitatea este introdusă în articulaţia dintre două corpuri ale sistemului, este evident că, pentru articulaţia respectivă, restricţiile de legătură (de articulaţie) dispar, iar în consecinţă, numărul gradelor de libertate creşte.

În continuare, se va exemplifica modalitatea de ameliorare a modelului dinamic general al unui sistem mecanic articulat (3.27), luându-se în considerare elasticitatea cuplajelor, prin considerarea unui sistem simplu, format din două corpuri.

Fig. 3.6 Modelarea unei articulaţii elastice

Xb

Yb

O

θ1

x1

y2

X1

X2

d1y1

x2

θ2

d2

Y1

Y2

O1

O2


52

Centrului de greutate al fiecărui corp i se asociază câte un sistem de referinţă (XiOiYi), ambele corpuri fiind situate în sistemul de referinţă inerţial (XbOYb), ca în Fig. 3.6.

Fiind cunoscute distanţele d1 şi d2 dintre centrele de greutate ale corpurilor şi punctele corespunzătoare de fixare ale resortului, ecuaţiile de mişcare (3.2)-(3.4) ale celor două corpuri sunt:

1 1 xm x F⋅ = , (3.56)

1 1 ym y F⋅ = , (3.57)

1 1 1 1 1 1cos siny xI F d F d⋅θ = ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ , (3.58)

2 2 xm x F⋅ = − , (3.59)

2 2 ym y F⋅ = − , (3.60)

2 2 2 2 2 2sin cosx yI F d F d⋅θ = ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ , (3.61)

în care Fx şi Fy sunt componentele, după axele sistemului inerţial (XbOYb), ale forţei de tracţiune datorate resortului, aplicate corpului de masă m1.

Această forţă depinde de elongaţia resortului, care, la rândul său poate fi exprimată în funcţie de coordonatele carteziene, în sistemul de referinţă inerţial (XbOYb), ale punctelor de fixare a resortului pe cele două corpuri, ce pot fi exprimate în raport cu coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor:

1 1 1 1cosx x d= + ⋅ θ , (3.62)

1 1 1 1siny y d= + ⋅ θ , (3.63)

2 2 2 2cosx x d= − ⋅ θ , (3.64)

2 2 2 2siny y d= − ⋅ θ . (3.65)

În funcţie de acestea, poate fi definită elongaţia resortului, dupăfiecare din cele două axe ale sistemului inerţial (XbOYb), rezultând componentele:

2 1xl x x∆ = − ,


53

2 1yl y y∆ = − .

Componentele forţei de tracţiune datorate resortului, Fx şi Fy, pot fi estimate ca funcţii monoton crescătoare, în funcţie de elongaţie (Fig. 3.7):

( )x xF r l= ∆ ,

( )y yF r l= ∆ .

Frecvent, pentru simplificarea modelului, se consideră doar porţiunea liniară a funcţiei r(∆l), respectiv

( )0 2 1xF k x x= ⋅ − ,

( )0 2 1yF k y y= ⋅ − ,

în care k0 este constanta de elasticitate a resortului. Ţinând cont de exprimările (3.62)-(3.65) ale coordonatelor punctelor

de fixare a resortului pe cele două corpuri, componentele forţei de tracţiune devin

( ) ( )( )0 2 1 1 1 2 2cos cosxF k x x d d= ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (3.66)

( ) ( )( )0 2 1 1 1 2 2sin sinyF k y y d d= ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ . (3.67)

Fig. 3.7 Forţa de tracţiune a unui resort în funcţie de elongaţie

F

∆l


54

Înlocuind expresiile componentelor forţei elastice (3.66) şi (3.67) în ecuaţiile de mişcare (3.56)-(3.61), acestea devin:

( ) ( )( )1 1 0 2 1 1 1 2 2cos cosm x k x x d d⋅ = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (3.68)

( ) ( )( )1 1 0 2 1 1 1 2 2sin sinm y k y y d d⋅ = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (3.69)

( )(

( ) )1 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1

2 1 1 1 2 2 1

cos cos sin

sin sin cos

I k d x x d d

y y d d

⋅θ = ⋅ ⋅ − + ⋅ θ + ⋅ θ ⋅ θ +

+ − − ⋅ θ − ⋅ θ ⋅ θ

, (3.70)

( ) ( )( )2 2 0 2 1 1 1 2 2cos cosm x k x x d d⋅ = − ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (3.71)

( ) ( )( )2 2 0 2 1 1 1 2 2sin sinm y k y y d d⋅ = − ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (3.72)

( )(

( ) )2 2 0 2 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2 2

cos cos sin

sin sin cos

I k d x x d d

y y d d

⋅θ = ⋅ ⋅ − − ⋅ θ − ⋅ θ ⋅ θ +

+ − + ⋅ θ + ⋅ θ ⋅ θ

. (3.73)

Rezultă deci că, în cazul sistemelor mecanice articulate cu legături elastice, modelul dinamic general exprimat de (3.27) va fi completat cu termenii (3.68)-(3.73). Condensat, se poate scrie:

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ],M x x f x x G x k x B x u ⋅ + + + = ⋅ , (3.74)

în care apare, suplimentar, termenul [ ]( )k x , ce reflectă efectele forţelor

elastice datorate articulaţiilor nerigide din sistem.

3.5. Modelarea frecărilor Frecările reprezintă un alt fenomen fizic ce a fost neglijat iniţial,

pentru obţinerea modelului dinamic general al sistemelor mecanice articulate. Acestea au deseori efecte importante asupra evoluţiei sistemelor mecanice. Efectele nu sunt neapărat negative. Un exemplu îl constituie chiar modelul braţului manipulator, în cazul căruia orice modificare a stimulilor externi faţă de poziţia de echilibru, determină mişcări oscilatorii neamortizate ale mecanismului. În realitate, frecările ar face ca oscilaţiile săse amortizeze.


55

Mai mult, pentru articulaţiile elastice descrise mai sus, prezenţa unei amortizări prin frecări este indispensabilă pentru a obţine un model stabil. Neconsiderarea lor ar determina oscilaţii permanente, neconforme unei situaţii reale.

Există mai multe posibilităţi de a lua în considerare frecările, în descrierea unui sistem mecanic articulat. Cea mai simplă dintre ele, constăîn a presupune că modificarea fiecărei coordonate xi a vectorului de coordonate generalizate independente [x] = [x1 x2 … xδ]T, este afectată de oforţă de frecare separată, ce nu depinde decât de viteza ix a acestei coordonate, notată ( )i ih x .

Vectorul acestor forţe de frecări se notează

[ ]( )( )( )

( )

1 1

2 2

h xh x

h x

h xδ δ

=

, (3.75)

astfel că modelul dinamic general descris de (3.74) devine

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ],M x x f x x G x k x h x B x u⋅ + + + + = ⋅ . (3.76)

Cel mai frecvent, pentru funcţiile ( )i ih x este utilizat modelul:

( ) ( ) ( )i i i i i ih x sign x x= α ⋅ +β . (3.77)

În această expresie, primul termen corespunde frecărilor uscate, iar al doilea termen reprezintă frecările vâscoase. Coeficientul αi este constant iar funcţia ( )i ixβ este monoton crescătoare cu βi(0) = 0. În Fig. 3.8 sunt exemplificate două posibile dependenţe, una liniară şi una parabolică.

Se face în final observaţia că funcţiile ( )i ih x sunt discontinui în jurul originii (la viteză nulă), ceea ce ar putea determina dificultăţi în simularea sistemelor.


56

Fig. 3.8 Dependenţa tipică a funcţiilor ( )i ih x

( )i ih x

( )ixαi

-αi

57

4. MODELAREA SISTEMELOR ELECTRICE

Modelarea sistemelor electrice reprezintă în fapt, rezolvarea circuitelor electrice. Fără a se dori să se prezinte marea diversitate de metode specifice, prezentate pe larg în literatură [15], [16], [19], în acest capitol se va face prezentarea metodei generale de modelare a circuitelor electrice.

4.1. Metoda generală de modelare a sistemelor electrice

Indiferent de structură, orice circuit electric poate fi adus sub forma unei reţele de surse şi de elemente pasive elementare – rezistoare, condensatoare, bobine. Metodologia generală de obţinere a modelului de stare al unei reţele electrice compuse din M laturi de circuit şi N noduri constă în parcurgerea următoarelor etape [2]:

se scrie Teorema I a lui Kirchhoff în N-1 noduri; se scrie Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru M-N+1 ramuri; se scriu relaţiile tensiune-curent pentru elementele din circuit; se elimină tensiunile şi curenţii redundanţi. Pentru simulare, modelul obţinut trebuie pus sub forma ecuaţiilor de

stare (2.1). Dacă circuitul nu conţine ochiuri formate doar din condensatoare, atunci toate tensiunile la bornele condensatoarelor vor fi considerate variabile de stare. Dacă circuitul nu conţine laturi de circuit


58

formate doar din bobine, atunci toţi curenţii din bobine vor fi considerate variabile de stare.

Relaţiile tensiune-curent ale elementelor din circuit sunt caracteristice fiecărui tip de element. În continuare se reamintesc aceste relaţii, pentru dipolii elementari (rezistor, condensator, bobină).

4.1.1. Dipoli elementari

4.1.1.1. Rezistor Considerând sensurile convenţional pozitive ale tensiunii la bornele

rezistorului şi curentului prin acesta ca în Fig. 4.1, relaţia tensiune-curent este:

( ) ( )R Ru t R i t= ⋅ . (4.1)

Relaţia (4.1) este valabilă pentru orice variaţie în timp a tensiunii la bornele rezistorului.

4.1.1.2. Condensator Se consideră sensurile convenţional pozitive ale tensiunii la bornele

condensatorului şi curentului prin acesta ca în Fig. 4.2.

Condensatoarele pot înmagazina energie electrică. Relaţia între curentul prin condensator iC şi sarcina electrică de pe armăturile condensatorului Q este:

Fig. 4.1 Simbolul şi convenţia de semne pentru rezistor

Fig. 4.2 Simbolul şi convenţia de semne pentru condensator

RiR

uR

CiC

uC

4.Modelarea sistemelor electrice

59

( ) ( )C

dQ ti t

dt= . (4.2)

Sarcina Q depinde de tensiunea la bornele condensatorului uC,curentul putându-se scrie

( ) ( )( ) ( )CC C

du ti t c u t

dt= ⋅ , (4.3)

unde ( )CC

Qc uu∂

=∂

este capacitatea condensatorului.

Pentru un condensator liniar c(uC) = ct. = C, rezultă

( ) ( )CC

du ti t C

dt= . (4.4)

4.1.1.3. BobinăSe consideră sensurile convenţional pozitive ale tensiunii la bornele

bobinei şi curentului prin aceasta ca în Fig. 4.3. Bobinele sunt elemente ce înmagazinează energie electromagnetică.

Tensiunea la bornele ei este dată de variaţia fluxului magnetic

( )Ldu tdtΦ

= . (4.5)

În cazul când variaţia fluxului este determinată de variaţia curentului ce străbate bobina, tensiunea se poate scrie

( ) ( )( ) ( )LL L

di tu t l i t

dt= ⋅ . (4.6)

unde ( )LL

l ii∂Φ

=∂

este inductivitatea bobinei.

Pentru o bobină liniară l(iL) = ct. = L, rezultând

Fig. 4.3 Simbolul şi convenţia de semne pentru bobină

iL L

uL


60

( ) ( )LL

di tu t L

dt= . (4.7)

4.2. Exemplu: circuit redresor şi filtru LC

4.2.1. Obţinerea modelului dinamic Se consideră circuitul redresor monoalternanţă şi filtru LC din Fig.

4.4.

Acesta este constituit din N = 2 noduri şi M = 3 laturi de circuit. Se consideră că sursa de tensiune u0 este caracterizată de rezistenţa

internă Rg. În afara dipolilor elementari, în circuit există dioda D, care poate fi modelată ca o rezistenţă neliniară, având dependenţa curent-tensiune de forma

0 1Du

i i e α

= −

, (4.8)

în care i0 este curentul rezidual, iar α este o constantă direct proporţionalăcu temperatura şi invers proporţională cu sarcina electronului [2]. Aceastămodalitate de modelare a unei diode ţine cont şi de temperatura joncţiunii, variabilă în timpul funcţionării. În multe situaţii însă, se poate considera căderea de tensiune pe dioda în conducţie uD ca fiind constantă.

În continuare, se va aplica metoda generală enunţată în §4.1 pentru circuitul considerat.

Fig. 4.4 Circuit redresor monoalternanţă

Rg i1

ug

L

uLu0

R

C

uR

uC

iC Rs

i2

uD

us

D

~


61

se scrie Teorema I a lui Kirchhoff în N-1 noduri;Fiind N = 2 noduri, Teorema I a lui Kirchhoff se va aplica de N-1 ori,

respectiv:

1 2 0Ci i i− − = . (4.9)

se scrie Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru M-N+1 ramuri; Circuitul, conţinând N = 2 noduri şi M = 3 laturi, teorema a II-a a lui

Kirchhoff se va aplica de M-N+1 = 2 ori:

0C su u− = , (4.10)

0 0g D L R Cu u u u u u+ + + + − = . (4.11)

se scriu relaţiile tensiune-curent pentru elementele din circuit; - rezistenţa sursei, Rg

1g gu R i= , (4.12)

- dioda redresoare, D - din (4.8) rezultă:

0 1

0

lnDi iu

i+

= α , (4.13)

- bobina de filtrare, L

1L

diu Ldt

= , (4.14)

- rezistenţa bobinei de filtrare, R

1Ru Ri= , (4.15)

- condensatorul de filtrare, C

CC

dui Cdt

= , (4.16)

- rezistenţa de sarcină, Rs

2s su R i= . (4.17)


62

Circuitul, neconţinând ochiuri de condensatoare sau laturi de bobine, va fi descris de două variabile de stare: curentul prin bobina L (i1) şitensiunea pe condensatorul C (uC).

se elimină tensiunile şi curenţii redundanţi. Analizând expresiile (4.9)-(4.17) şi ţinând cont de variabilele de stare

considerate, rezultă că tensiunile şi curenţii redundanţi sunt i2, iC, us, ug, uD,uL, uR.

Înlocuind (4.16) şi (4.17) în (4.9), ţinând cont de (4.10), se obţine

1 0C C

s

du ui Cdt R

− − = . (4.18)

Înlocuind (4.12), (4.13), (4.14) şi (4.15) în (4.10), rezultă

0 1 11 1 0

0

ln 0g Ci i diR i L Ri u u

i dt+

+α + + + − = . (4.19)

Ecuaţiile (4.18) şi (4.19) nu conţin ca variabile, decât variabilele de stare considerate x1 = i1 şi x2 = uC. Ca variabilă de intrare se consideră u =u0. Ecuaţiile (4.18) şi (4.19) se scriu:

2 21 0

s

dx xx Cdt R

− − = ,

0 1 11 1 2

0

ln 0gi x dxR x L Rx x u

i dt+

+α + + + − =

Rezultă în final modelul circuitului, sub forma ecuaţiilor de stare (2.1):

0 11 1 2

0

1 1lngR R i xx x x uL L i L L+ +α

= − − − + , (4.20)

2 1 21 1

s

x x xC R C

= − . (4.21)

4.2.2. Simularea circuitului Expresiile finale ale derivatelor variabilelor de stare x1 şi x2, (4.20),

respectiv (4.21), pot fi utilizate pentru simularea circuitului. Se observă căexpresiile depind, în afară de parametrii circuitului, şi de variabilele de stare,


63

ceea ce presupune considerarea lor ca reacţii în schema Simulink de integrare a celor două variabile. În Fig. 4.5 este prezentată o posibilărealizare.

Pentru calculul derivatei în raport cu timpul a variabilei de stare x1(curentul prin bobina L), expresia (4.20) a fost implementată fiind adusă sub forma

( ) 0 11 1 2

0

1 lngi xx R R x x u

L i +

= − + ⋅ −α ⋅ − +

,

blocul de tip Fcn realizând calculul celui de-al doilea termen din paranteza pătrată, respectiv căderea de tensiune pe dioda D.

La ieşirile blocurilor (1/L) şi (Sum2) se obţin derivatele în raport cu timpul ale celor două variabile de stare. După integrarea acestora, rezultăvariabilele de stare x1 şi x2.

Se exemplifică rezultatele simulării numerice a sistemului pentru următoarele valori ale parametrilor elementelor din circuit:

R = 10 [Ω]; Rg = 0,1 [Ω]; Rs = 100 [Ω]; L = 10 [mH]; C = 100 [µF]; α = 0,1; i0 = 0,1 [A].

Fig. 4.5 Schema Simulink pentru simularea circuitului redresor monoalternanţă


64

Sursa de tensiune u0 are frecvenţa de 50 Hz şi valoarea de vârf de 100 V.

Rezultatele simulării pentru condiţii iniţiale nule ( 1 0 0

0Lt tx i

= == = , 2 0 0

0Ct tx u

= == = ) sunt prezentate în Fig. 4.6.

Fig. 4.6 Rezultatele simulării circuitului redresor monoalternanţă pentru condiţii iniţiale nule

65

5. MODELAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE

Sistemele electromecanice reprezintă o categorie importantă amediului ingineresc, constituind o împletire a sistemelor electrice şi a celor mecanice. Modelarea unor astfel de sisteme înseamnă contopirea modelului mecanic al sistemului cu cel electric. În principiu, sistemele electromecanice realizează conversia reciprocă a energiei electrice în energie mecanică. În unele cazuri această conversie nu este reversibilă, ca în cazul unui electromagnet, în altele însă, acelaşi echipament poate realiza ambele tipuri de conversii, în funcţie de tipul energiei la intrare. Este vorba de maşinile electrice rotative, ce sunt, în general, capabile să realizeze ambele conversii. De asemenea, maşinile electrice rotative sunt caracterizate de un singur grad de libertate mecanic, rotaţia rotorului, din acest motiv, modelul mecanic fiind particular.

În acest capitol se va trata metodologia generală de obţinere a modelului unui sistem electromecanic, pornind de la modelul mecanic general obţinut în §3, ce va fi completat, ţinând cont de componenta electrică a sistemului. În continuare se vor prezenta modelele dinamice ale câtorva tipuri reprezentative de maşini electrice (de curent continuu, asincronă, sincronă), prezentându-se şi modalitate de comandă a acestora în cazul sistemelor moderne de acţionare, ce au în componenţă convertoare statice.


66

5.1. Metoda generală de obţinere a modelului unui sistem electromecanic

Se consideră ca fiind un sistem electromecanic, un sistem mecanic articulat (cu δ grade de libertate) ce poate să aibă componente realizate din materiale magnetice, iar unele componente pot conţine unul sau mai multe circuite electrice inductive (bobine, înfăşurări). Ecuaţiile ce descriu aşadar un sistem electromecanic vor fi atât mecanice cât şi electrice.

Ecuaţiile mecanice au forma generală obţinută pentru sistemele mecanice articulate (3.27), completată cu termenul corespunzător forţelor electromagnetice

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ], em emM x x f x x G x B x u B x u+ + = + , (5.1)

în care [uem] este vectorul forţelor generalizate electromagnetice. În ceea ce priveşte parte electrică a sistemului, fiecare dintre circuite

poate fi reprezentat printr-un circuit elementar, Fig. 5.1, caracterizat de rezistenţa Ri şi tensiunea electromotoare Ei. Aceasta din urmă este rezultatul variaţiilor fluxurilor magnetice produse de diferitele circuite, inclusiv autoinducţia şi mişcarea sistemului.

Presupunând că sistemul conţine m circuite, se poate scrie Teorema a II-a a lui Kirchhoff pe fiecare dintre ele:

, 1, ,i i i iR I E u i m⋅ + = = … ,

sau matriceal

[ ][ ] [ ] [ ]R I E U+ = . (5.2)

Matricea [R] este o matrice diagonală

Fig. 5.1 Circuit elementar

RiIi

Eiui

5. Modelarea sistemelor electromecanice

67

[ ] 1 0

, 1,0

i

m

RR diag R i m

R

= = =

…

,

iar vectorii [I], [E] şi [U] sunt definiţi ca fiind

[ ] [ ]1 2, , ,TmI I I I= ,

[ ] [ ]1 2, , ,TmE E E E= ,

[ ] [ ]1 2, , ,TmU U U U= .

Elaborarea modelului unui anumit sistem electromecanic, sub forma ecuaţiilor de stare, necesită explicitarea cuplajelor dintre partea mecanică(5.1) şi electrică (5.2). Aceasta înseamnă, pe de o parte exprimarea forţelor electromagnetice generalizate [uem] care intervin în (5.1), iar pe de altă parte a tensiunilor electromotoare induse [E] care apar în (5.2), ca funcţii de coordonatele mecanice [ ] [ ],x x şi de curenţii [I]:

( ), ,emu x x I , (5.3)

( ), ,E x x I . (5.4)

5.1.1. Vectorul tensiunilor electromotoare Fiecare dintre tensiunile electromotoare poate fi exprimată ca o sumă

a componentelor determinate de fiecare circuit, inclusiv de autoinducţie:

1

m

i jij

E e=

=∑ , (5.5)

unde eji reprezintă tensiunea indusă de circuitul j în circuitul i. În particular, tensiunile electromotoare de forma eii reprezintă autoinducţia din circuitul i.

La rândul lor, fiecare dintre aceste tensiuni electromotoare pot fi exprimate:

jiji

de

dtΦ

= , (5.6)


68

în care Φji este fluxul indus de circuitul j în circuitul i. În continuare, acesta poate fi exprimat în funcţie de curentul Ij din circuitul inductor şi de vectorul de poziţie a sistemului [x]:

[ ]( ),ji ji jx IΦ = ϕ . (5.7)

Ţinând cont de (5.7), tensiunea electromotoare eji (5.6), se poate scrie:

ji jiji j

j

e x Ix I

∂ϕ ∂ϕ= +

∂ ∂ . (5.8)

5.1.2. Vectorul forţelor electromagnetice generalizate În ceea ce priveşte vectorul forţelor generalizate, componentele

acestuia pot fi exprimate:

1 1

12k

m mji

em ii j k

u Ix= =

∂ϕ=

∂∑∑ . (5.9)

Modelul dinamic general al unui sistem electromecanic se obţine prin

combinarea ecuaţiilor (5.1), (5.2), (5.5), (5.8) şi (5.9), rezultând modelul sub forma ecuaţiilor de stare. Prin contopirea celor două modele, numărul variabilelor de stare va fi 2δ+m, respectiv [ ] [ ],x x şi [I].

În continuare se va considera un exemplu simplu, pentru care se va aplica metoda generală de obţinere a modelului unui sistem electromecanic.

5.2. Modelarea unui electromagnet Se consideră un electromagnet clapetă, a cărui schemă de principiu

este indicată în Fig. 5.2. Electromagnetul A este prevăzut cu o bobină parcursă de curentul I.

Piesa metalică B este mobilă. Resortul C exercită asupra părţii mobile B oforţă de revenire, ce depinde liniar cu deplasarea z. La alimentarea bobinei electromagnetului, se va dezvolta o forţă electromagnetică Fem. Sub acţiunea acesteia, armătura mobilă B se va deplasa în sensul reducerii întrefierului z.


69

Ţinând cont de ghidajele armăturii mobile B, sistemul mecanic nu are decât un grad de libertate şi anume deplasarea liniară a armăturii mobile pe direcţia z. Ţinând cont că asupra acestei piese acţionează două forţe, cea electromagnetică Fem şi cea de elasticitate a resortului de revenire, se poate scrie direct ecuaţia mecanică de mişcare

( )0emmz F k z z= + − , (5.10)

în care - m - masa armăturii mobile B;- k - constanta de elasticitate a resortului C;- z0 - poziţia de echilibru a armăturii mobile B.

Ecuaţia (5.10) reprezintă expresia particulară a ecuaţiei generale de mişcare (5.1), putându-se identifica cu uşurinţă termenii ce intervin, vectorul forţelor electromagnetice generalizate (5.3) având doar o componentă:

( ), ,em emu x x I F= .

În ceea ce priveşte parte electrică a sistemului propus, este vorba de un singur circuit, ecuaţia generală (5.2) luând forma particulară:

U RI e= + , (5.11)

vectorul tensiunilor electromotoare (5.4) având, de asemenea, o singurăcomponentă:

( ), ,E x x I e= .

Fig. 5.2 Schema de principiu a unui electromagnet

A

U

I

z

B

C


70

În continuare, trebuie obţinute expresiile particulare ale forţei electromagnetice Fem şi ale tensiuni electromotoare e, ca funcţii de coordonatele mecanice [ ] [ ],x z x z= = şi de curentul [I] = I.

În ceea ce priveşte tensiunea electromotoare e, conform (5.6), va fi dată de:

dedtΦ

= ,

în care fluxul magnetic Φ produs de curentul I, variază direct proporţional cu acesta şi invers proporţional cu întrefierul z:

( ),1

II zz

αΦ =

+β.

Rezultă tensiunea electromotoare indusă în circuit:

( )2 .1 1

d dI dzedt I dt z dt

dI I dzz dt dtz

Φ ∂Φ ∂Φ= = + =

∂ ∂α αβ

= −+β +β

(5.12)

Expresia (5.12) reprezintă forma particulară a expresiei (5.8) obţinutăîn §5.1.1.

În ceea ce priveşte forţa electromagnetică Fem, conform (5.9), se obţine

2

12 2 1em

IF Iz z

∂Φ αβ= = − ∂ +β

. (5.13)

Aşa cum era de aşteptat, semnul negativ al acestei forţe, indicătendinţa acesteia de a apropia armătura mobilă B de electromagnetul A,indiferent de sensul curentului I.

Înlocuind (5.13) în ecuaţia mecanică de mişcare (5.10), rezultă

( )

( )

02

0 .2 1

emmz F k z z

I k z zz

= + − =

αβ= − + − +β

Înlocuind acum expresia tensiunii electromotoare e, (5.12) în ecuaţia electrică (5.11), rezultă


71

( )2 .1 1

U RI eIRI I z

z z

= + =α αβ

= + −+β +β

Trebuiesc considerate 2 2 2 1 3mδ + = ⋅ + = variabile de stare. Ca variabile de stare se consideră poziţia armăturii mobile şi derivata acesteia, precum şi curentul prin bobina electromagnetului:

1

2

3

,,,

x zx zx I

===

iar ca variabilă de intrare, tensiunea de alimentare a electromagnetului

u U= .

Cu aceste notaţii, modelul matematic al sistemului electromecanic, sub forma ecuaţiilor de stare, devine:

( )

( )

1 22

32 0 1

1

2 3 13 1 3

1

2 111

1

x x

xkx z xm m x

x x xRx x x ux

=

αβ= − − +β

β +β= − +β +

+β α α

.

5.3. Modelarea maşinilor electrice rotative Maşinile electrice constituie o categorie aparte de sisteme

electromecanice, formate principial din două corpuri: unul în mişcare de rotaţie (rotorul) faţă de o axă fixă faţă de celălalt corp (statorul). Fiecare dintre părţi este prevăzută cu diferite tipuri de bobine, astfel încât să se realizeze conversia electromecanică.

Cum statorul este fix faţă de un sistem de referinţă inerţial, o maşinăelectrică nu are decât un grad de libertate mecanică şi anume rotaţia rotorului θ. Ecuaţia matriceală mecanică (5.1) se va reduce la o singurăecuaţie de forma

( ) em sJ h M Mθ+ θ = + , (5.14)


72

în care - J - momentul total de inerţie la arborele maşinii; - ( )h θ - cuplul de frecări; - Mem - cuplul de origine electromagnetică;- Ms - rezultanta tuturor celorlalte cupluri exterioare aplicate

rotorului (inclusiv cuplul static ce va trebui considerat cu semnul „–“ dacă se opune mişcării).

Partea electrică are forma generală (5.2)

[ ][ ] [ ] [ ]R I E U+ = .

De cele mai multe ori, dacă efectele saturaţiei circuitelor magnetice sunt neglijabile (sau neglijate), fluxurile Φji pot fi reprezentate prin relaţii de forma

( )ji ji iL IΦ = θ .

Aceste expresii sunt liniare în raport cu curentul inductor Ii, dar depind de poziţia unghiulară a rotorului θ după o lege Lji(θ), în general periodică.

Se defineşte matricea (simetrică) de inductivităţi:

( ) [ ]jiL L θ = θ ,

respectiv derivata acesteia în raport cu θ

( ) ( )LK

∂ θ θ = ∂θ.

Aplicând metoda generală prezentată în §5.1, se obţin ecuaţiile generale de forma (5.8)

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]d I dE L K Idt dt

θ= θ + θ , (5.15)

respectiv de forma (5.9)

[ ] ( ) [ ]12

TemM I K I= θ . (5.16)

Combinând ecuaţiile (5.2), (5.14), (5.15) şi (5.16), se obţine modelul general al maşinilor electrice:


73

( ) ( ) [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] ( )12

Ts

L I K I R I U

J I K I h M

θ = −ω θ − + θ = ω

ω = θ − ω +

.

De cele mai multe ori, se consideră ca variabile de intrare vectorul tensiunilor [U] şi rezultanta cuplurilor exterioare Ms, ambele reprezentând, de fapt, influenţele exterioare asupra comportamentului maşinii.

5.3.1. Modelul maşinii de curent continuu Maşina de curent continuu are două înfăşurări (Fig. 5.3): o înfăşurare

inductoare statorică, parcursă de curentul ie şi o înfăşurare rotorică indusă,parcursă de curentul ia.

Sistemul are două circuite electrice.

Neglijând efectele saturaţiei magnetice şi ale comutaţiilor circuitului indusului aferente colectorului, ecuaţiile electromecanice generale (5.15), (5.16) sunt:

,

,

.

ee e

aa a e e

em m a e

die Ldtdi de L K idt dt

M K i i

=

θ= +

=

Fig. 5.3 Motorul de curent continuu

ia

ue

ieθ M

Re LeMs

Ra La

eua


74

Se observă similitudinea cu modelul general al maşinilor electrice descris de (5.15) şi (5.16).

Considerând variabilele de stare

1

2

3

4

,,,,

e

a

xxx ix i

= θ= θ==

şi ca variabile de intrare tensiunile de alimentare ale celor două circuite şicuplul exterior

1

2

3

,,,

e

a

s

u uu uu M

===

se obţine modelul de stare:

( )1 2

2 2 3 4 3

3 e 3 1

4 4 2 3 2

1 1 1

1 1R

1 1 1

m

e e

a ea a a

x x

x h x K x x uJ J J

x x uL L

x R x K x x uL L L

=

= − + +

= − +

= − − +

.

5.3.2. Modele ale maşinii asincrone trifazate În cazul maşinii asincrone trifazate, aplicarea directă a metodologiei

prezentate nu conduce la obţinerea unui model avantajos din punctul de vedere al utilizării pentru simulare.

În continuare se va descrie acest model, numit „modelul trifazat”, observându-se dificultatea utilizării în aplicaţii. Vor fi descrise apoi douămodele mai simple, atât din punctul de vedere al numărului de ecuaţii, dar şial variabilelor. Este vorba de modelele „cu inele”, în cazul căruia înfăşurările trifazate ale motorului (statorică şi rotorică) sunt raportate la sisteme bifazate ortogonale solidare cu statorul, respectiv cu rotorul şi cel „cu comutator cu faze ortogonale”, în cazul căruia ambele înfăşurări


75

trifazate ale motorului (statorică şi rotorică) sunt raportate la acelaşi sistem bifazat ortogonal, solidar cu statorul.

5.3.2.1. Modelul trifazat al maşinii asincrone trifazate Se presupune o maşină trifazată simetrică, cu o pereche de poli, cu

înfăşurări distribuite sinusoidal, ale căror axe sunt defazate spaţial cu 3

2π

radiani, Fig. 5.4. Se neglijează efectele armonicilor spaţiale ale solenaţiei. Tensiunile şi curenţii statorici şi rotorici pot avea orice variaţie în timp.

Cu θr s-a notat unghiul între axa înfăşurării statorice a fazei „A” şi axa înfăşurării rotorice „a”.

Într-un sistem staţionar, solidar cu statorul, ecuaţiile tensiunilor statorice sunt:

( )( ) ( ) ,

( )( ) ( ) ,

( )( ) ( ) ,

sAsA s sA

sBsB s sB

sCsC s sC

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

Ψ= +

Ψ= +

Ψ= +

(5.17)

în care: - usA(t), usB(t), usC(t), isA(t), isB(t), isC(t) - valorile instantanee ale

tensiunilor şi curenţilor în fazele statorice; - Rs - rezistenţa unei faze a înfăşurării statorice;

Fig. 5.4 Explicativă pentru modelul trifazat al motorului asincron

ia

ib

ic

a

b c

iA usA

A

iB

usB

B

iC

usC

C

θr


76

- ΨsA(t), ΨsB(t), ΨsC(t) - fluxurile totale, instantanee, ale fazelor statorice.

Expresiile dezvoltate ale fluxurilor statorice totale sunt:

( )

2 4+ cos cos cos ,3 3

s s ssA sA sB sC

sr sr srra r rb r rc r

t L i M i M i

M i M i M i

Ψ = + + +

π π θ + θ + + θ +

( )4 2+ cos cos cos ,3 3

s s ssB sA sB sC


t M i L i M i

M i M i M i

Ψ = + + +

π π θ + + θ + θ +

( )2 4+ cos cos cos ,3 3

s s ssC sA sB sC


t M i M i L i

M i M i M i

Ψ = + + +

π π θ + + θ + + θ

(5.18)

în care: - sL - inductivitatea proprie a înfăşurării unei faze statorice; - sM - inductivitatea mutuală între două faze statorice; - sM - inductivitatea mutuală între o fază statorică şi o fază rotorică.

Similar, într-un sistem rotitor, solidar cu rotorul, ecuaţiile tensiunilor rotorice sunt:

( )( ) ( ) ,

( )( ) ( ) ,

( )( ) ( ) ,

rara r ra

rbrb r rb

rcrc r rc

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

Ψ= +

Ψ= +

Ψ= +

(5.19)

în care: - ura(t), urb(t), urc(t), ira(t), irb(t), irc(t) - valorile instantanee ale

tensiunilor şi curenţilor în fazele rotorice; - Rr - rezistenţa unei faze a înfăşurării rotorice; - Ψra(t), Ψrb(t), Ψrc(t) - fluxurile totale, instantanee, ale fazelor rotorice.


77

Expresiile dezvoltate ale fluxurilor rotorice totale sunt:

4 2( ) cos cos cos3 3

+ ,

sr sr srra sA r sB r sC r

r r rra rb rc

t M i M i M i

L i M i M i

π π Ψ = θ + θ + + θ + +

+ +


+ ,

sr sr srrb sA r sB r sC r

r r rra rb rc

t M i M i M i

M i L i M i

π π Ψ = θ + + θ + θ + +

+ +


+ ,

sr sr srrc sA r sB r sC r

r r rra rb rc

t M i M i M i

M i M i L i

π π Ψ = θ + + θ + + θ +

+ +

(5.20)

în care: - rL - inductivitatea proprie a înfăşurării unei faze rotorice; - rM - inductivitatea mutuală între două faze rotorice; - sM - inductivitatea mutuală între o fază statorică şi o fază rotorică.

Ecuaţiile (5.17) ÷ (5.20) pot fi combinate într-o singură ecuaţie, scrisămatriceal. Pentru simplificarea scrierii, se fac notaţiile:

d pdt

= ;

rθ = θ ;

123rπ

θ + = θ ;

243rπ

θ + = θ .

Rezultă:


78

1 2

2 1

1 2

2 1

1

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

cos

s s s sr sr srssA

s s s sr sr srssB

s s s sr sr srsC s

sr sr sr r r rra r

rb sr

rc

R pL pM pM pM pM pMupM R pL pM pM pM pMu

u pM pM R pL pM pM pMu pM pM pM R pL pM pMu pMu

+ θ θ θ + θ θ θ + θ θ θ

= θ θ θ +

θ

2

2 1

cos cos

cos cos cos

sA

sB

sC

ra

rbsr sr r r rr

rcsr sr sr r r rr

iiiiipM pM pM R pL pMipM pM pM pM pM R pL

⋅ θ θ + θ θ θ + (5.21)

Ecuaţia (5.21) se poate scrie simbolic

[ ] [ ] [ ]sr sr sru Z i= ⋅ . (5.22)

Se observă că sistemul obţinut este neliniar, cu coeficienţi variabili, deoarece unghiul de poziţie a rotorului θr este variabil, iar unii parametri pot fi variabili, cum ar fi inductivităţile, care, în condiţii de saturaţie, depind de curenţi. Chiar dacă toţi parametrii maşinii sunt consideraţi constanţi(neglijarea saturaţiei circuitelor magnetice), ecuaţiile diferenţiale ale tensiunilor vor conţine coeficienţi variabili, deoarece unghiul rotorului se modifică în timp. Mai mult, matricea impedanţelor [Zsr] conţine 36 de termeni, iar toate înfăşurările sunt cuplate între ele.

Este evident că un astfel de sistem de ecuaţii este dificil de utilizat pentru simulare. Simplificări importante se pot face dacă se scriu ecuaţiile de tensiuni în sisteme bifazate ortogonale, mărimile statorice şi rotorice fiind raportate la sisteme de coordonate solidare cu fiecare dintre circuite, sau la acelaşi sistem de coordonate solidar cu statorul.

5.3.2.2. Modelul bifazat „cu inele” al maşinii asincrone trifazate Se consideră un sistem de axe ortogonale, solidar cu statorul (sD, sQ),

axa sD (considerată reală) fiind în lungul axei înfăşurării fazei statorice „A”(Fig. 5.5). Pentru rotor se consideră un sistem ortogonal de axe (rα, rβ), solidar cu rotorul, axa rα (considerată reală) fiind în lungul fazei rotorice „a”.

Valorile instantanee ale tensiunilor şi curenţilor statorici şi rotorici, usA, usB, usC, isA, isB, isC, vor fi proiectate în sistemul de referinţă (sD, sQ), rezultând:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22Re3

2 1 1 ,3 2 2

sD sA sB sC

sA sB sC

u u t a u t a u t

u t u t u t

= + ⋅ + ⋅ = = − −


79

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22Im3

1 ,3

sQ sA sB sC

sB sC

u u t a u t a u t

u t u t

= + ⋅ + ⋅ =

= −

în care

23 2 2cos sin

3 3j

a e jπ π π

= = + ⋅ .

În mod similar rezultă proiecţiile curenţilor statorici:

( ) ( ) ( )2 1 13 2 2sD sA sB sCi i t i t i t = − −

,

( ) ( )13sQ sB sCi i t i t= − .

Pentru mărimile rotorice, proiecţiile tensiunilor şi curenţilor pe cele două axe (rα, rβ) sunt:

Fig. 5.5 Sistemele de coordonate pentru modelul bifazat „cu inele"

sQ

sD

ωr

rq

rdθr

rα

rβ


80

( ) ( ) ( )2 1 13 2 2r ra rb rcu u t u t u tα = − −

,

( ) ( )13r rb rcu u t u tβ = − ,

( ) ( ) ( )2 1 13 2 2r ra rb rci i t i t i tα = − −

,

( ) ( )13r rb rci i t i tβ = − .

Matriceal, transformarea tensiunilor statorice şi rotorice, din sistemul trifazat, în sistemele bifazate solidare cu statorul (sD, sQ), respectiv cu rotorul (rα, rβ), pot fi scrise:

2 1 1 0 0 03 3 3

1 10 0 0 03 3

2 1 10 0 03 3 3

1 10 0 0 03 3

sA

sD sB

sQ sC

r ra

r rb

rc

uu uu uu uu u

u

α

β

− − − = ⋅ − −

−

. (5.23)

Similar, transformarea curenţilor este:

2 1 1 0 0 03 3 3

1 10 0 0 03 3

2 1 10 0 03 3 3

1 10 0 0 03 3

sA

sD sB

sQ sC

r ra

r rb

rc

ii ii ii ii i

i

α

β

− − − = ⋅ − −

−

.

Simbolic, cele două transformări pot fi scrise:


81

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

3 2

3 2

D sr

D sr

u T ui T i

α −

α −

= ⋅= ⋅

, (5.24)

Ecuaţia de tensiuni trebuie exprimată într-o formă similară ecuaţiei (5.22):

[ ] [ ] [ ]D D Du Z iα α α= ⋅ , (5.25)

în care matricele tensiunilor şi curenţilor sunt date de (5.24), trebuind identificată matricea impedanţelor [ZDα].

Pentru aceasta, se înmulţeşte la stânga ecuaţia (5.22) cu [T] obţinându-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 2 3 2sr sr srT u T Z i− −⋅ = ⋅ ⋅ .

Membrul stâng reprezintă, conform (5.24), chiar matricea tensiunilor [uDα], iar prin identificare cu (5.25), membrul drept este:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ](5.24) (5.23)

3 2 3 2sr sr D D D srT Z i Z i Z T i− α α α −⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ .

Deci:

[ ] [ ] [ ] [ ]3 2 3 2sr DT Z Z T− α −⋅ = ⋅ . (5.26)

Trebuind identificată matricea [ZDα], expresia (5.26) se înmulţeşte la dreapta cu

[ ] [ ] [ ]1

3 2 3 2 3 2T TT T T

−

− − − ⋅ ⋅ ,

([T]T pentru a obţine o matrice pătratică inversabilă, apoi cu inversul ei pentru eliminare) obţinându-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

3 2 3 2 3 2 3 2T T

sr DT Z T T T Z−

− − − − α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Efectuând calculele se obţine


82

[ ]

3 30 cos sin2 23 30 sin cos2 2

3 3cos sin 02 23 3sin cos 02 2

s s sr srs

s s sr srs

D

sr sr r rr

sr sr r rr

R pL pM pM pM

R pL pM pM pMZ

pM pM R pL pM

pM pM R pL pM

α

+ − θ − θ + − θ θ

= θ θ + − − θ θ + −

.

Se fac următoarele notaţii: s ssL L M= − - inductivitatea statorică totală,

rrL L M= − - inductivitatea rotorică totală,32

srmL M= - inductivitatea de magnetizare,

rezultând în final

[ ]

0 cos sin0 sin coscos sin 0sin cos 0

s s m m

s s m mD

m m r r

m m r r

R pL pL pLR pL pL pL

ZpL pL R pLpL pL R pL

α

+ θ − θ + θ θ = θ θ + − θ θ +

. (5.27)

Explicitând termenii în ecuaţia (5.25) ţinând cont de (5.27), rezultă

următoarea ecuaţie de tensiuni, care reprezintă modelul bifazat “cu inele cu faze ortogonale” (mărimile rotorice sunt raportate la un sistem de referinţă rotitor, solidar cu rotorul) al motorului asincron trifazat:

0 cos sin0 sin coscos sin 0sin cos 0

sD sDs s m m

sQ sQs s m m

r rm m r r

r rm m r r

u iR pL pL pLu iR pL pL pLu ipL pL R pLu ipL pL R pL

α α

β β

+ θ − θ + θ θ = ⋅ θ θ + − θ θ +

.

În matricea impedanţelor au rezultat patru elemente nule, ceea ce reprezintă o decuplare între axele sD şi sQ, respectiv rα şi rβ.

Se observă de asemenea o simplificare importantă faţă de ecuaţia modelului trifazat (5.21), în care matricea impedanţelor [Zsr] conţinea 36 de


83

termeni, toţi nenuli. În cazul acestui model, matricea impedanţelor [ZDα]conţine doar 12 termeni nenuli.

Totuşi modelul este greu de utilizat deoarece termenii matricei impedanţelor sunt variabili în timp prin unghiul rotoric θr şi, eventual, prin variaţiile inductivităţilor. Chiar dacă inductivităţile sunt considerate constante (maşina nesaturată magnetic), operatorul de derivare p putându-se aplica după inductivităţi, matricea impedanţelor conţine totuşi termeni variabili în timp, prin unghiul de poziţie al rotorului.

Pot fi aduse în continuare simplificări, prin considerarea altui sistem de referinţă pentru mărimile rotorice. Va rezulta astfel un alt model bifazat al motorului asincron trifazat şi anume modelul bifazat “cu comutator cu faze ortogonale”.

5.3.2.3. Modelul bifazat „cu comutator” al maşinii asincrone trifazate

Se păstrează mărimile statorice scrise pentru modelul anterior, dar mărimile rotorice urα, urβ, irα, irβ sunt transformate din sistemul ortogonal rotitor, solidar cu rotorul, într-un sistem staţionar, solidar cu statorul, (rd, rq), Fig. 5.6.

Fig. 5.6 Sistemele de coordonate pentru modelul bifazat "cu comutator"

sQ

sD

ωr

rq

rd


84

Modelul matematic va fi obţinut pornind de la modelul bifazat “cu inele cu faze ortogonale”. Tensiunilor şi curenţilor rotorici li se aplicătransformările:

cos sin ,sin cos ,

cos sin ,sin cos ,

r rd r rq r

r rd r rq r

r rd r rq r

r rd r rq r

u u uu u ui i ii i i

α

β

α

β

= θ + θ= − θ + θ= θ + θ= − θ + θ

(5.28)

în care urd, urq, ird, irq sunt componentele tensiunilor rotorice, respectiv ale curenţilor rotorici, în sistemul ortogonal solidar cu statorul.

Matriceal, transformările (5.28) se pot scrie

cos sinsin cos

rdr r r

rqr r r

uuuu

α

β

θ θ = ⋅ − θ θ

,

cos sinsin cos

rdr r r

rqr r r

iiii

α

β

θ θ = ⋅ − θ θ

, (5.29)

Matriceal, transformarea tensiunilor statorice şi rotorice, din sistemele bifazate solidare cu statorul (sD, sQ), (rd, rq), în sistemele bifazate solidare cu statorul (sD, sQ), respectiv cu rotorul (rα, rβ), pot fi scrise:

1 0 0 00 1 0 00 0 cos sin0 0 sin cos

sDsD

sQsQ

rdr r r

rqr r r

uuuuuuuu

α

β

= ⋅ θ θ − θ θ

. (5.30)

Similar, transformarea curenţilor este:

1 0 0 00 1 0 00 0 cos sin0 0 sin cos

sDsD

sQsQ

rdr r r

rqr r r

iiiiiiii

α

β

= ⋅ θ θ − θ θ

. (5.31)

Simbolic, cele două transformări pot fi scrise:

[ ] [ ] [ ]D Ddu C uα = ⋅ ,


85

[ ] [ ] [ ]D Ddi C iα = ⋅ . (5.32)

Înlocuind (5.32) în (5.25) se obţine

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Dd D DdC u Z C iα⋅ = ⋅ ⋅ ,

care înmulţită la stânga cu [C]-1 conduce la

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1Dd D DdC C u C Z C i− −

α⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ,

rezultând prin identificare

[ ] [ ] [ ] [ ]1Dd DZ C Z C−

α= ⋅ . (5.33)

Efectuând calculele în (5.33), se obţine următoarea structură a matricei impedanţelor în cazul modelului bifazat “cu comutator” al motorului asincron trifazat:

[ ]

0 00 0

s s m

s s mDd

m r m r r r r

r m m r r r r

R pL pLR pL pL

ZpL L R pL L

L pL L R pL

+ + = ω + ω −ω −ω +

, (5.34)

în care ωr este viteza mecanică a rotorului. Modelul “cu comutator cu faze ortogonale” (mărimile rotorice sunt

raportate la un sistem de referinţă fix, solidar cu statorul) al motorului asincron trifazat devine:

0 00 0

sD sDs s m

sQ sQs s m

rd rdm r m r r r r

rq rqr m m r r r r

u iR pL pLu iR pL pLu ipL L R pL Lu iL pL L R pL

+ + = ⋅ ω + ω −ω −ω +

, (5.35)

sau în formă simbolică:

[ ] [ ] [ ]Dd Dd Ddu Z i= ⋅ . (5.36)

În acest model nu mai apar funcţiile sin şi cos ale unghiului de poziţie a rotorului, dar apare viteza rotorului ωr. Acest model are înfăşurări rotorice pseudo-staţionare.

De remarcat că trecerile de la un model la altul se obţin prin transformări matriceale, care deşi nu pun probleme de fond, sunt în formă


86

dificile şi laborioase. Obţinerea altor modele particulare (solidare cu fluxul statoric, fluxul rotoric etc.) este greoaie tocmai datorită acestor transformări matriceale.

Cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul asincron are expresia

( )32em m sQ rd sD rqM PL i i i i= ⋅ ⋅ − ⋅ . (5.37)

În continuare, modelul matematic descris de (5.36) trebuie pus sub forma ecuaţiilor de stare

[ ][ ] [ ][ ]X A X B U = + .

Neglijând saturaţia circuitului magnetic (inductivităţile constante) şiconsiderând ca variabile de stare curenţii (statorici şi rotorici) şi viteza unghiulară a rotorului

1

2

3

4

5

,,,,,

sD

sQ

rd

rq

r

x ix ix ix ix

===== ω

iar ca mărimi de intrare componentele tensiunii statorice şi cuplul static

1

2

3

,,,

sD

sQ

s

u uu uu M

===

pentru un motor cu rotorul în scurtcircuit (urd = urq = 0), se expliciteazătermenii ce conţin derivatele mărimilor de stare, obţinându-se în final

( ) [ ] [ ]1 1

2 2 11 2

3 3 21 2 1 2

4 4

1u u

m

x xx x u

M Mx x uL L L L Lx x

= ⋅ + ⋅ + +

σ σ σ σ

, (5.38)

în care:


87

[ ]

25 5

25 5

15 5

5 5

s r m r m m r

m s r m r r mu

s m m s r s s r

m s s m s r r s

R L PL x R L PL L xPL x R L PL L x R L

MR L PL L x R L PL L x

PL L x R L PL L x R L

− − − − = − − −

−

, (5.39)

[ ]2

00

00

r

ru

m

m

LL

ML

L

= − −

. (5.40)

Termenii ce apar în matricele [Miu] au semnificaţiile: - Lσ1, Lσ2 - inductivităţi de dispersie statorice şi rotorice;

1

2

s m

r m

L L LL L L

= −

= −σ

σ

; (5.41)

- P - numărul de perechi de poli ai maşinii. Modelul matematic descris de (5.38) trebuie completat cu ecuaţia

generală a mişcării rezultată din (5.14) ţinând cont de (5.37):

( ) ( )5 2 3 1 4 5 31 3

2 mx PL x x x x h x uJ = − − −

, (5.42)

în care primul termen din paranteza dreaptă reprezintă cuplul electromagnetic dezvoltat de motor, iar:

- J - momentul de inerţie total la arborele motorului; - h(x5) - cuplul de frecări vâscoase.

Modelul matematic al motorului asincron descris de (5.38) şi (5.42)

este valabil în cazul în care mărimea de comandă este tensiunea statorică,respectiv componentele (usd, usq) ale acesteia, aceasta fiind semnificaţia indicelui „u” al matricilor [M1u] şi [M2u].

5.3.3. Simularea acţionării cu motor asincron cu rotor în scurtcircuit

Utilizând eficient facilităţi ale mediului de programare Matlab-Simulink (§7), modelul matematic al motorului asincron descris de (5.38) şi(5.42) poate fi utilizat direct pentru simularea acţionării cu motor asincron.


88

În Fig. 5.7 este prezentată schema Simulink a acţionării cu motor asincron, rezultată după mascarea modelelor elementelor componente. Este cazul cel mai simplu al unei acţionări cu motor asincron, când acesta este alimentat de la o sursă sinusoidală de tensiune. Blocurile („GTS” –Generator Trifazat Sinusoidal) şi („MA” – Maşină asincronă) sunt modele realizate cu blocuri elementare din sub-bibliotecile de bază Simulink,mascarea fiind realizată astfel încât modelele să fie cât mai asemănătoare sistemelor fizice modelate.

În ceea ce priveşte modelul generatorului trifazat, el este realizat prin gruparea a trei surse sinusoidale „Sine Wave”, Fig. 5.8, fazate corespunzător pentru a forma un sistem echilibrat şi simetric.

Printr-o mascare corespunzătoare, se poate crea o casetă de dialog (Fig. 5.9) care să permită modificarea simultană a valorilor eficace şifrecvenţei tuturor celor trei surse.

Fig. 5.7 Schema Simulink a acţionării cu motor asincron

Fig. 5.8 Structura modelului Simulink al unei surse trifazate sinusoidale

Fig. 5.9 Caseta de dialog a blocului GTS


89

Modelul Simulink al motorului asincron descris de (5.38) şi (5.42)poate fi realizat astfel încât să aibă aspectul similar sistemului fizic: trei porturi de intrare corespunzătoare bornelor de alimentare şi unulcorespunzător cuplului static aplicat la arbore.

Porturile de ieşire corespund mărimilor măsurabile: curenţii pe cele trei faze statorice şi viteza unghiulară. În plus, pentru verificarea funcţionalităţii modelului, se poate ca şi cuplul electromagnetic dezvoltat de motor să fie alocat unui port de ieşire, deşi nu este o mărime măsurabilădirect.

În este prezentată structura blocului „MA”.

Modelul descris de (5.38) fiind obţinut în sistemul de referinţă ortogonal (sD, sQ) solidar cu statorul, valorile instantanee ale tensiunilor după cele două axe se obţin pe baza valorilor instantanee ale tensiunilor de fază, prin aplicarea transformării (5.23), respectiv

2 1 13 3 3

1 103 3

sAsD

sBsQ

sC

uu

uu

u

− − = ⋅ −

.

Această transformare este realizată de blocul „T3_2”. Similar, blocul „T2_3” realizează transformarea inversă, a sistemului ortogonal (isD, isQ)aplicat la intrare, într-un sistem trifazat de mărimi (isA, isB, isC), prin aplicarea transformării inverse descrise de (5.23), respectiv

1 0

1 32 21 32 2

sAsD

sBsQ

sC

ii

ii

i

= − − −

.

Fig. 5.10 Modelul Simulink al motorului asincron


90

Modelul popriu-zis descris de (5.38) şi (5.42) este realizat de blocul „Mass”, a cărui structură (Fig. 5.11) se bazează pe utilizarea unui bloc de tip S-function din sub-biblioteca User-Defined Functions.

Acesta are o structură predefinită şi apelează în timpul rulării modelului, un fişier de tip m-file, în care este specificat modelul descris de (5.38) şi (5.42), Fig. 5.12.

Fig. 5.11 Structura blocului „Mass”

Fig. 5.12 Structura fişierului m-file apelat de blocul S-function


91

Se observă că în liniile 15-18 este specificată matricea [M1u] definităde (5.39), iar în liniile 21-24 este specificată matricea [M2u] definită de(5.40), în care s-a ţinut cont de expresiile (5.41). Liniile 19, 25 şi 28 realizează operaţiile solicitate de (5.38), iar în linia 33 se calculează cuplul electromagnetic definit de (5.37).

Integrarea ecuaţiei generale a mişcării se realizează exterior blocului „Mass”, cu ajutorul blocurilor „Sum”, „Gain” şi „Int” (Fig. 5.10).

Rezultatele rulării modelului pentru simularea pornirii acţionării prin cuplare directă la reţea (alimentare cu tensiunea nominală) sunt prezentate în

Rezultatele obţinute corespund experienţei fizice, valorile absolute ale variabilelor fiind însă uşor afectate de ipotezele idealizatoare considerate (neglijarea saturaţiei, puterea infinită a sursei de alimentare).

Fig. 5.13 Rezultatele simulării pornirii motorului asincron cu rotor în scurt circuit, prin cuplare directă la reţea


92

5.3.4. Modele ale maşinii sincrone Motoarele sincrone îşi găsesc aplicaţii în domenii relativ speciale, mai

ales la extremele gamei puterilor. Mai precis, pentru puteri mici şi pentru aplicaţii care impun un raport foarte bun putere/greutate sau putere/volum, ca şi o precizie deosebită a reglării (maşini unelte, sisteme de poziţionare, robotică, aplicaţii aeropurtate), se utilizează motoarele sincrone cu magneţipermanenţi. Acestea prezintă avantaje ca urmare a anulării pierderilor în înfăşurările de excitaţie (care nu mai există), eliminării periilor, a colectorului, toate acestea conducând la gabarite mai mici şi randamente mai bune (este practic, motorul cu cel mai bun raport putere/greutate şiputere/volum). Pierderi vor apare doar în înfăşurarea statorică, dar acestea pot fi evacuate spre mediul ambiant mai uşor, fapt care reprezintă încă un considerent pentru care gabaritul maşinii poate fi redus. Dezavantajul principal însă îl constituie preţul ridicat, datorat în primul rând tocmai magneţilor permanenţi.

La cealaltă extremă a gamei puterilor (până la 1 MW), se utilizeazămotoarele sincrone în construcţie clasică (cu rotor excitat electric). Acestea se utilizează pentru aplicaţii speciale, de tipul tracţiunii electrice, propulsiei navelor, ascensoare miniere, laminoare, mori de ciment). Utilizarea pentru astfel de aplicaţii a motoarelor de c.c. ar conduce la acţionări multimotoare, datorită limitărilor maşinii de c.c. În comparaţie cu aceasta, motorul sincron elimină problemele de comutaţie specifice motorului de c.c., are capacitate de suprasarcină mai mare, reduce necesităţile de ventilaţie şi costurile de întreţinere. Pentru o aceeaşi putere, rotorul unei maşini sincrone este mai mic, deci caracterizat de un moment de inerţie mai redus şi în final un gabarit mai mic.

Pe de alta parte, datorită puterilor foarte mari, nu se preferă utilizarea motoarelor asincrone, deoarece cele sincrone au un factor de putere mai bun, cuplu mai mare la turaţii mici, consum mai redus de energie reactivădin reţea.

Din punct de vedere al sursei de alimentare, trebuie evidenţiat faptul că în majoritatea aplicaţiilor enumerate, turaţiile necesare sunt mici, ceea ce determină necesitatea alimentării motoarelor sincrone cu frecvenţe reduse. Pentru aceasta, având în vedere puterile mari ale aplicaţiilor, se pot utiliza cu foarte bune rezultate, cicloconvertoarele [4]. Acestea, fiind convertoare cu comutaţie naturală, pot fi realizate fără mari dificultăţi pentru puterile menţionate.

Ţinând cont de aspectele evidenţiate mai sus, în acest paragraf se vor prezenta modelele celor două tipuri de motoare sincrone: motorul sincron cu


93

magneţi permanenţi şi motorul sincron cu excitaţie electrică, subliniindu-se însă că varietatea tipurilor de motoare sincrone este mult mai mare [21].

5.3.4.1. Maşina sincronă cu magneţi permanenţiAcest tip de motor, fiind utilizat la puteri relativ mici, poate fi

alimentat de la un invertor de tensiune cu modulaţie în durată, realizat cu elemente semiconductoare complet comandate, de tipul tranzistoare MOS de putere, IGBT, ce realizează modularea în durată cu o frecvenţă suficient de mare astfel încât invertorul se poate considera ca amplificator ideal (nu introduce întârzieri).

În general, motoarele sincrone cu magneţi permanenţi, fiind în general asociate cu sisteme de comandă vectorială, nu dispun de înfăşurare de amortizare, aceasta nefiind necesară nici pentru pornire, nici pentru stabilizarea funcţionării [17].

Modelul matematic Park al motorului sincron cu magneţi permanenţi, fără înfăşurare de amortizare, cu P perechi de poli, este descris de ecuaţia matriceală

0sd s sd sq r sd

sq sd r s sq sq M r

u R pL L P iu L P R pL i K

+ − ω = ⋅ + ω + ω

, (5.43)

cuplul electromagnetic dezvoltat de motor fiind

( )em M sq sd sq sd sqM K i P L L i i= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ , (5.44)

în care: - Rs - rezistenţa statorică de fază;- Lsd - inductivitatea după axa d;- Lsq - inductivitatea după axa q;- ωr - viteza mecanică a rotorului, iar θr poziţia acestuia; - KM - constanta tensiunii electromotoare; - Mem - cuplul electromagnetic dezvoltat de motor; - p - operatorul d/dt.

Pentru completarea modelului sistemului de acţionare, la aceste

ecuaţii trebuie adăugată ecuaţia generală a mişcării:

( )rem s r

dM M J hdtω

= + + ω . (5.45)

Semnificaţia notaţiilor este aceeaşi ca în (5.14).


94

Observaţie În cazul modelului Park al motorului sincron, referenţialul (d, q)este rotitor, solidar cu rotorul şi fluxul învârtitor, având faţă de sistemul fix poziţia Pθr, deci viteza Pωr.

Cu observaţia de mai sus, legătura între mărimile trifazate instantanee şi cele din referenţialul Park este dată de o relaţie ce reprezintă, în fapt, produsul dintre matricea de transformare din sistemul bifazat ortogonal fix în sistemul trifazat

1 0

1 32 21 32 2

as

bs

c

XX

XX

X

α

β

= −

− −

şi matricea de transformare din sistemul ortogonal rotitor în sistemul bifazat ortogonal fix ejPθr

cos sinsin cos

sds r r

sqs r r

XX P PXX P P

α

β

θ − θ = ⋅ θ θ

,

rezultând:

1 0cos sin1 3sin cos2 2

1 32 2

cos sin2 2 cos sin3 3

4 4cos sin3 3

asdr r

bsqr r

c

r r

r r

r r

XXP P

XXP P

X

P P

P P

P P

θ − θ = − ⋅ ⋅ = θ θ

− − θ − θ π π = θ − − θ −

π π θ − − θ −

.sd

sq

XX ⋅

(5.46)

Similar, transformarea mărimilor din sistemul trifazat fix în sistemul Park, se realizează cu o relaţie ce reprezintă, în fapt, produsul dintre


95

matricea de transformare din sistemul ortogonal fix în sistemul bifazat ortogonal rotitor e-jPθr, de forma (5.29) şi matricea de transformare din sistemul trifazat în sistemul bifazat ortogonal fix, de forma (5.24):

2 1 1cos sin 3 3 3

1 1sin cos 03 3

2 4cos cos cos3 32

3 2 4sin sin sin3 3

asd r r

bsq r r

c

ar r r

b

r r r c

XX P P

XX P P

X

XP P PX

P P P X

− − θ θ = ⋅ ⋅ = − θ θ − π π θ θ − θ − = ⋅ π π − θ − θ − − θ −

.

(5.47)

În relaţia de mai sus, mărimile X pot fi atât tensiuni cât şi curenţi. S-a considerat componenta omopolară ca fiind nulă.

Modelul matematic descris de ecuaţiile (5.43) şi (5.44) este valabil atât pentru motoarele sincrone cu magneţi permanenţi cu poli înecaţi, cât şipentru cele cu poli aparenţi, cu observaţia că în primul caz, Lsd ≈ Lsq, având valori sensibil mai mici decât în cazul maşinii sincrone convenţionale (cu excitaţie electrică), datorită permeabilităţi magnetice foarte mici a magneţilor din pământuri rare ce se utilizează pentru aceste tipuri de motoare, în timp ce pentru al doilea caz, Lsq / Lsd > 1, raportul putând atinge chiar valori importante (≈ 5).

Pe baza ecuaţiilor (5.43) - (5.45), se poate obţine schema bloc a motorului sincron (Fig. 5.14), în care J este momentul de inerţie total la arborele motorului, iar Ms este cuplul maşinii de lucru, raportat la arborele motorului. Pentru cuplul de frecări, s-a considerat o funcţie simplă,

( )rh Kω = ω , respectiv de proporţionalitate a acestuia cu viteza mecanică aarborelui maşinii.

În continuare, pentru utilizarea modelului matematic descris de (5.43) - (5.45) pentru simulare, acesta trebuie pus sub forma ecuaţiilor de stare

[ ][ ] [ ][ ]X A X B U = + .

Ca şi în cazul maşinii asincrone, neglijând saturaţia circuitului magnetic (inductivităţile constante) şi considerând ca variabile de stare componentele curentului statoric (isd, isq) şi viteza unghiulară a rotorului ωr,


96

1

2

3

,,,

sd

sq

r

x ix ix

=== ω

iar ca mărimi de intrare componentele tensiunii statorice şi cuplul static

1

2

3

,,,

sd

sq

s

u uu uu M

===

se explicitează termenii ce conţin derivatele mărimilor de stare, obţinându-se în final

31 1 1

3 32 2 2

1 00

10

sd s sq

sd s M

sq

L R PL xx x uPL x R K xx x u

L

− = ⋅ − ⋅ − +

,(5.48)

( ) ( )3 2 1 2 3 31

M sd sqx K x P L L x x h x uJ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − . (5.49)

Fig. 5.14 Schema bloc a motorului sincron cu magneţi permanenţi

Rs+pLsd

1

KM

usd

usq

isd

isq 1/p θr

Rs+pLsq

1

PLsq

PLsd

x

x

+

+

x

P(Lsd-Lsq)

Ms

− + ωr1K+pJ

KM

− −


97

Modelul matematic al motorului sincron cu magneţi permanenţidescris de (5.48) şi (5.49) este valabil în cazul în care mărimea de comandăeste tensiunea statorică, respectiv componentele (usd, usq) ale acesteia.

5.3.4.2. Maşina sincronă cu excitaţie electricăMaşina sincronă cu excitaţie electrică se realizează în două variante

constructive: cu poli aparenţi şi cu poli înecaţi (cu rotor cilindric). Din punctul de vedere al modelului matematic, maşina sincronă cu rotor cilindric, reprezintă un caz particular simplificat al maşinii cu poli aparenţi. Din acest motiv se va descrie în continuare modelul matematic al maşinii sincrone cu poli aparenţi, evidenţiindu-se apoi particularităţile pentru maşina cu poli înecaţi.

Ca şi în §5.3.2, se va trata în primă fază modelul trifazat al maşinii sincrone, pentru ca ulterior să se stabilească modelul fazorial şi în final modelul sub forma ecuaţiilor de stare. Modelele se vor dezvolta considerând maşina sincronă ca element de acţionare.

În Fig. 5.15 este reprezentată o secţiune transversală a maşinii sincrone cu poli aparenţi şi cu colivie de amortizare.

Înfăşurarea de excitaţie e este decalată cu unghiul electric θ faţă de axa înfăşurării fazei statorice a. Datorită rotaţiei, poziţia unghiulară θ aînfăşurării de excitaţie faţă de axa înfăşurării statorice A este permanent variabilă. Colivia de amortizare, situată în polii aparenţi, poate fi reprezentată prin două înfăşurări ortogonale D şi Q, prima situată pe axa polilor rotorici (axa longitudinală a maşinii, d), iar cea de-a doua în cvadratură (pe axa transversală, q). Modelul maşinii se va obţine ţinând cont de cuplajele variabile dintre înfăşurările statorice şi rotorice, precum şi depermeabilitatea variabilă a rotorului, datorită existenţei polilor aparenţi.

Modelul matematic se va obţine considerând următoarele ipoteze: înfăşurările statorice sunt distribuite spaţial sinusoidal, astfel încât

pot fi neglijate armonicile spaţiale; secţiunea transversală a conductoarelor este neglijabilă, respectiv se

poate neglija efectul pelicular (densitatea de curent este uniformă; se neglijează saturaţia circuitului magnetic, respectiv între curenţi

şi fluxuri există relaţii lineare; circuitul magnetic este ideal, respectiv permeabilitatea fierului este

infinită şi se neglijează pierderile în fier; se consideră doar armonica fundamentală a tensiunii magneto-

motoare creată de fiecare fază a statorului, de înfăşurarea de excitaţie şi de colivia de amortizare, rezultând că inductivităţile


98

proprii sunt constante, iar inductivităţile mutuale sunt funcţii sinusoidale de unghiul făcut de axele magnetice corespunzătoare.

În aceste condiţii, fluxurile corespunzătoare tuturor înfăşurărilor sunt determinate de curenţii din fiecare înfăşurare conform expresiei matriceale:

A A AB AC Ae AD AQ A

B BA B BC Be BD BQ B

C CA CB C Ce CD CQ C

e eA eB eC e eD eQ e

D DA DB DC De D DQ D

Q QA QB QC Qe QD Q Q

l m m m m m im l m m m m im m l m m m im m m L M M im m m M L M im m m M M L i

Ψ Ψ Ψ

= ⋅ Ψ Ψ Ψ

, (5.50)

cu observaţia toate elementele matricei inductivităţilor sunt funcţii periodice de unghiul de poziţie θ al rotorului faţă de axa înfăşurării A a statorului (din acest motiv unele componente au fost notate cu litere mici) şi că elementele simetrice faţă de prima diagonală, sunt egale (mAB = mBA, mAC = mCA, mBC =

Fig. 5.15 Maşina sincronă cu poli aparenţi

iC

iA

iB

Colivie de amortizare A

B

C

θr=θ/P

e

DQ

d

q

uA

uB

uC

ue

iD

iQ

ie


99

mCB ş.a.m.d.). Modelul care se va obţine va conţine termeni ce depind de poziţia relativă a statorului şi rotorului. Pentru aceasta, trebuie exprimate toate inductivităţile, în funcţie de unghiul de poziţie θ.

Considerând doar primii termeni ai dezvoltărilor în serie Fourier ale inductivităţilor, se obţin următoarele expresii:

inductivităţile lA, lB, lC sunt funcţii periodice de θ, având perioada π:

0 2

0 2

0 2

cos 2 ,2cos 2 ,3

4cos 2 ;3

A s s

B s s

C s s

l L L

l L L

l L L

= + θ

π = + θ−

π = + θ−

inductivităţile mutuale mAB, mBC, mCA şi reciprocele, sunt funcţii periodice de θ, având perioada π:

0 2

0 2

0 2

cos 2 ,3

2cos 2 ,3 3

4cos 2 ;3 3

AB BA s s

BC CB s s

CA AC s s

m m M L

m m M L

m m M L

π = = + θ−

π π = = + θ− −

π π = = + θ− −

inductivităţile mutuale mAe, mBe, mCe şi reciprocele, sunt funcţii periodice de θ, având perioada 2π:

cos ,2cos ,34cos ;3

Ae eA se

Be eB se

Ce eC se

m m M

m m M

m m M

= = θ

π = = θ−

π = = θ−

inductivităţile mutuale mAD, mBD, mCD, mAQ, mBQ, mCQ, şi reciprocele, sunt funcţii periodice de θ, având perioada 2π:


100

cos ,2cos ,34cos ,3

sin ,

2sin ,34sin ;3

AD DA sD

BD DB sD

CD DC sD

AQ QA sQ

BQ QB sQ

CQ QC sQ

m m M

m m M

m m M

m m M

m m M

m m M

= = θ

π = = θ−

π = = θ−

= = θ

π = = θ−

π = = θ−

inductivităţile proprii ale înfăşurărilor de pe rotor (de excitaţie Le, deamortizare după axa longitudinală LD şi de amortizare după axa transversală LQ) şi inductivitatea mutuală dintre înfăşurare de excitaţie şi cea de amortizare după axa longitudinală MeD = MDe,sunt constante;

datorită ortogonalităţii dintre axele d şi q, inductivităţile mutuale dintre înfăşurările situate în axe diferite sunt nule:

0,

0.eQ Qe

DQ QD

M MM M

= =

= =

Cu aceste valori particulare ale inductivităţilor, expresii fluxurilor (5.50) devin:


101

0 2 0 2 0 2

0 2 0 2 0 2

0 2 0 2 0 2

2 4cos2 cos 2 cos 23 3

2 4cos 2 cos 2 cos23 3

4 2cos 2 cos2 cos 23 3

s s s s s s

s s s s s sA

Bs s s s s s

C

e

D

Q

L L M L M L

M L L L M L

M L M L L L

π π + θ + θ − + θ −

π π + θ − + θ − + θ Ψ Ψ π π + θ − + θ + θ − Ψ = Ψ Ψ Ψ

2 4cos cos cos3 32 4cos cos cos3 3

2 4sin sin sin3 3

cos

A

B

Cse se se

sD sD sD

sQ sQ sQ

se

iiiM M M

M M M

M M M

M

⋅ + π π θ θ − θ −

π π θ θ − θ − π π θ θ − θ −

θ

+

cos sin2 2 2cos cos sin3 3 3

4 4 4cos cos sin ,3 3 3

00

0 0

sD sQ

se sD sQ

e

se sD sQ D

Qe eD

eD D

Q

M M

M M Mi

M M M ii

L MM L

L

θ θ

π π π θ − θ − θ − π π π θ − θ − θ − ⋅

sau simbolic

[ ] [ ] [ ]3 3L IΨ = ⋅ . (5.51)

Indicele „3” indică faptul că mărimile statorice sunt exprimate ca mărimi trifazate. Similar ecuaţiilor de tensiuni (5.17), (5.19) de la maşina asincronă, ţinând cont şi de (5.51), se poate scrie direct ecuaţia de tensiuni:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

33 3

33 3 ,

dU R I

dtd I d L dR I L I

dt d dt

Ψ= ⋅ + =

θ= ⋅ + +

θ

(5.52)

în care:


102

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 3 3

0

; ; ; .

000

s AA

s BB

Ts CC

e ee

D D

Q Q

R iuR iu

R iuU R I L L

R iuR i

R i

= = = =

Cuplul electromagnetic dezvoltat de maşina sincronă, poate fi exprimat prin particularizarea expresiei generale (5.16) pentru o maşină cu P perechi de poli, respectiv

[ ] [ ] [ ]3 312

Tem

LM P I I

∂= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂θ. (5.53)

Ca şi în cazul maşinii asincrone, modelul matematic al maşinii sincrone descris de (5.52) şi (5.53) este dificil de utilizat pentru simularea unor regimuri generale de funcţionare ale maşinii, fiind un sistem de ecuaţii nelineare, cu coeficienţi variabili în timp prin unghiul de poziţie θ. Acest model însă poate fi utilizat pentru simularea funcţionării în regimuri speciale (regim nesimetric), sau a unor maşini de construcţie specială (cu asimetrii constructive). Pentru simularea regimurilor generale, se preferă utilizarea unui model simplificat, care se obţine folosind modelul ortogonal al maşinii sincrone.

Pentru aceasta, similar motorului asincron §5.3.2.2, înfăşurarea trifazată statorică poate fi reprezentată (Fig. 5.16) printr-un sistem bifazat ortogonal fix (α, β), mărimile din acest sistem putând fi exprimate în funcţie de cele din sistemul trifazat, printr-o transformare de tipul (5.24).


103

În continuare, se consideră sistemul de referinţă Park (Fig. 5.17), ce este solidar cu rotorul, deci se roteşte cu viteza Pωr.

Fig. 5.16 Modelul bifazat al maşinii sincrone

Fig. 5.17 Modelul Park al maşinii sincrone

iα

iβ

α

β

θr=θ/P

e

DQ

d

q

uα

uβ ue

iD

iQ

ie

iq

α

β

θr=θ/P

e

DQ

d

q

ud

uq

ue

iD

iQ

ie

id


104

Exprimarea mărimilor trifazate în sistemul Park se realizează prin transformarea de tipul (5.47), care, pentru generalitate, poate fi completatăcu componenta omopolară şi mărimile aferente circuitelor din rotor (excitaţie şi amortizare), rezultând:

0

2 4cos cos cos 0 0 03 32 4sin sin sin 0 0 03 3

1 1 1 0 0 02 2 2 23 30 0 0 0 0

230 0 0 0 02

30 0 0 0 02

r r r

r r rsd a

sq b

s c

e e

D D

Q

P P P

P P PX XX XX XX XX XX

π π θ θ − θ − π π − θ − θ − − θ −

= ⋅

QX

,

în care X poate fi oricare dintre mărimi (tensiuni, curenţi, fluxuri). Simbolic, transformarea de mai sus se exprimă:

[ ]3 3dq dqX T X− = ⋅ . (5.54)

Cu această transformare şi ţinând cont de (5.51), vectorul fluxurilor în sistemul Park se exprimă:

[ ] [ ] [ ][ ]

3 3 3 3

3 3 =

dq dq dq

dq dq dq

T T L I

T L T I

− −

− −

Ψ = ⋅ Ψ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

. (5.55)

În expresia de mai sus s-a ţinut cont de transformarea (5.54) inversă,respectiv

[ ] [ ]3 3 3 3 dq dq dq dqX T X X T X− − = ⋅ ⇒ = ⋅ ,

cu

1

3 3dq dqT T−

− − = ,

rezultând transformarea descrisă de (5.46), completată cu componenta omopolară şi mărimile aferente circuitelor din rotor:


105

1

3 3 332

cos sin 1 0 0 02 2cos sin 1 0 0 03 3

4 4cos sin 1 0 0 03 3

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

T

dq dq dq

r r

r r

r r

T T T

P P

P P

P P

−

− − − = = =

θ − θ π π θ − − θ − π π θ − − θ −=

.

După efectuarea calculelor în (5.55) ţinând cont de forma particulară amatricei [L] din (5.51), se obţine:

0 0 0

0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0 0

sd sd de dD sd

sq sq qQ sq

s s s

e ed e eD e

D Dd eD D D

Q Qq Q Q

L L L iL L i

L iL L L iL L L i

L L i

Ψ Ψ Ψ

= ⋅ Ψ Ψ Ψ

, (5.56)

în care:

0 0 232sd s s sL L M L= − + - inductivitatea sincronă longitudinală;

0 0 232sq s s sL L M L= − − - inductivitatea sincronă transversală;

32ed deL L= - inductivitatea mutuală dintre înfăşurarea de excitaţie şi

înfăşurarea echivalentă statorică din axa d;32Dd dDL L= - inductivitatea mutuală dintre înfăşurarea de amortizare

din axa d şi înfăşurarea echivalentă statorică din axa d;32Qq qQL L= - inductivitatea mutuală dintre înfăşurarea de amortizare

din axa q şi înfăşurarea echivalentă statorică din axa q;, ,e D QL L L - inductivităţile proprii ale înfăşurărilor de excitaţie, de

amortizare din axa d, respectiv de amortizare din axa q.


106

Inductivităţile mutuale stator-rotor, respectiv rotor-stator sunt în raportul 3/2, deoarece fizic, circuitul rotoric interacţionează simultan cu toate cele trei faze statorice, prin intermediul undei trifazate învârtitoare a solenaţiei. În sens invers, când este vorba de efectul magnetic al rotorului asupra statorului, coeficientul 3/2 nu mai apare, deoarece fiecare înfăşurare rotorică interacţionează separat cu fiecare fază statorică.

Se poate exprima fazorul fluxului statoric în sistemul Park, în funcţie de fazorul aceluiaşi flux exprimat în sistemul statoric fix, aplicându-i o transformare fazorială cu e-jPθr, respectiv

( )23

2 .3

r rjP jPsdq sd sq s a b cj e a a e− θ − θΨ = Ψ + Ψ = Ψ ⋅ = Ψ + Ψ + Ψ ⋅ (5.57)

Identificând termenii din (5.56) rezultă:

( ) ( )* * ,

2 2 2 2

sdq sd sq sd sd de e dD D sq sq qQ Q

sd sq sd sq dD qQ dD qQsdq sdq de e DQ DQ

j L i L i L i j L i L i

L L L L L L L LI I L i I I

Ψ = Ψ + Ψ = + + + + =

+ − + −= + + + +

în care 3

rjPsdq sd sq sI i j i I e− θ= + ⋅ = ⋅ este fazorul curentului statoric în sistemul

de referinţă rotoric (d, q); DQ D QI i j i= + ⋅ este fazorul curentului de amortizare în acelaşi sistem

de referinţă.Modelul complet al maşinii sincrone cu poli aparenţi se obţine

completând expresia fluxurilor (5.56) cu ecuaţiile de tensiuni corespunzătoare înfăşurărilor statorice echivalente d şi q (Fig. 5.17) şi cu ecuaţiile de tensiuni rotorice. Ţinând cont de ecuaţia matriceală (5.52) şi de transformarea (5.54) din sistemul trifazat în sistemul Park, rezultăurmătoarele ecuaţii de tensiune:


107

,

,

,

0 ,

0 .

sdsd s sd r sq

sqsq s sq r sd

ee e e

DD D

QQ Q

du R i Pdt

du R i P

dtdu R idt

dR idt

dR i

dt

Ψ= + − ω Ψ

Ψ= + + ω Ψ

Ψ= +

Ψ= +

Ψ= +

(5.58)

Similar (5.57) şi fazorul tensiunii statorice în sistemul Park se poate exprima, în funcţie de fazorul aceleiaşi tensiuni exprimat în sistemul statoric fix

( )23

2 ,3

r rjP jPsdq sd sq s a b cU u ju U e u au a u e− θ − θ= + = ⋅ = + + ⋅

rezultând în final ecuaţia fazorială de tensiuni statorice

sdq s sdq sdq r sdqdU R I jPdt

= ⋅ + Ψ + ω Ψ .

Modelul trebuie completat cu expresia cuplului electromagnetic dezvoltat de motorul sincron, care se obţine aplicând teoremele forţelor generalizate şi fazorii spaţiali în sistemul Park:

( ) ( )*3 3Im2 2em sdq sdq sd sq sq sdM P I P i i= Ψ ⋅ = Ψ ⋅ −Ψ ⋅ .

Ţinând cont de (5.56) rezultă:

( ) ( )32em sd sq sd sq de e dD D sq qQ Q sdM P L L i i L i L i i L i i = − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ .(5.59)

Termenul ( )sd sq sd sqL L i i− se datorează inegalităţii celor douăinductivităţi, numindu-se cuplu de reluctanţă. În cazul maşinii sincrone cu poli înecaţi (Lsd = Lsq), această componentă este nulă.

Dacă maşina nu are nici colivie de amortizare (iD = iQ = 0), cuplul dezvoltat de motor este:


108

32em de e sqM P L i i= ⋅ ⋅ ⋅ .

Se observă similitudinea expresiei obţinute cu cea a cuplului dezvoltat de maşina sincronă cu magneţi permanenţi şi poli înecaţi (5.44), cu observaţia că, în cazul maşinii cu magneţi permanenţi, fluxul de excitaţie nu poate fi modificat, întreaga cantitate

32 de e MP L i K⋅ ⋅ =

fiind constantă.În continuare, pentru utilizarea modelului matematic descris de (5.58)

şi (5.59) pentru simulare, acesta trebuie pus sub forma ecuaţiilor de stare

[ ][ ] [ ][ ]X A X B U = + .

Ca şi în cazul maşinii asincrone, neglijând saturaţia circuitului magnetic (inductivităţile constante) şi considerând ca variabile de stare componentele curentului statoric (isd, isq), curentul din circuitul de excitaţie (ie), componentele curentului din colivia de amortizare (iD, iQ) şi viteza unghiulară a rotorului ωr,

1

2

3

4

5

6

,,

,,,,

sd

sq

e

D

Q

r

x ix ix ix ix ix

====== ω

iar ca mărimi de intrare componentele tensiunii statorice, tensiunea de alimentare a circuitului de excitaţie şi cuplul static

1

2

3

4

,,

,,

sd

sq

e

s

u uu uu uu M

====

,

se explicitează termenii ce conţin derivatele mărimilor de stare, obţinându-se în final


109

[ ]

6 61

6 6 621

e3

4

5

0 00

1 0 0 R 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

s sq qQ sd sd

sd s de dD sq sq

e eL

D D

Q Q

R PL x PL x ix uPL x R PL x PL x ix u

ix L uR ix

R ix

−

− − = − ⋅ + ∆

,

( ) ( ) ( )6 1 2 3 4 2 1 5 6 41 3

2 sd sq de dD qQx P L L x x L x L x x L x x h x uJ = − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − −

,

(5.60)

în care

2L sd e D e Dd dD sd eD eD ed dD ed de D Dd de eDL L L L L L L L L L L L L L L L L∆ = − − + − + ,

2

1

0 0

0 0 0

0 00 0

0 0 0

eD D e dD eD de D de eD dD e

Q L qQ L

Qq qQ sq Q Qq qQ sq Q

eD Dd D ed sd D Dd dD dD ed sd eD

e Dd eD ed Dd de sd eD sd e ed de

Qq L sq L

Qq qQ sq Q Qq qQ sq

L L L L L L L L L L LL L

L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L

L L L L L L L L L L L LL L

L L L L L L L

−

− + − −⋅∆ ⋅ ∆

−− −

= − − − − + − −

⋅ ∆ ⋅ ∆−

− − QL

,

Se observă că modelul obţinut este neliniar, chiar dacă s-au considerat inductivităţile ca fiind constante, respectiv s-a neglijat saturaţia magnetică amaşinii.

Pentru simularea maşinii asincrone cu poli aparenţi, ecuaţiile (5.60) trebuiesc integrate, obţinându-se evoluţiile valorilor instantanee ale mărimilor de stare (isd, isq, ie, iD, iQ), atunci când mărimile de comandă sunt tensiunile de alimentare ale circuitului statoric echivalent usd, usq şitensiunea de alimentare a înfăşurării de excitaţie, ue.

Tensiunile statorice din sistemul Park sunt efectul celor trei tensiuni aplicate fiecăreia din cele trei faze statorice, relaţia de transformare fiind cea descrisă de (5.47).

111

6. MODELAREA SISTEMELOR CU COMPARTIMENTE

6.1. Definiţii şi notaţii Noţiunea de sisteme cu compartimente este utilizată pentru a desemna

o clasă vastă de sisteme a căror dinamică poate fi descrisă de ecuaţii de bilanţ. Ele îşi găsesc aplicaţii în numeroase domenii ale ingineriei (hidraulică, inginerie chimică, inginerie bio-medicală, ecologie, dar şi în ştiinţe economice şi sociale) [2].

Un compartiment este, în principiu, un rezervor al cărui conţinut (materie, energie, bani, populaţie) poate fi cuantificat. Se va utiliza reprezentare simbolică din Fig. 6.1, în care qin şi qout reprezintă fluxurile de alimentare, respectiv de ieşire din compartiment, exprimate în unitatea de măsură a conţinutului compartimentului per unitate de timp. Aceste fluxuri sunt prin convenţie, întotdeauna pozitive.

Un sistem cu compartimente este constituit dintr-o reţea de compartimente interconectate, numerotate de la 1 la n.

Fig. 6.1 Reprezentarea simbolică a unui compartiment

qoutqin


112

Pentru claritate, în Fig. 6.2 este reprezentat un sistem cu trei compartimente. Săgeţile indică fluxurile aferente fiecărui compartiment. Aceste fluxuri reprezintă schimburile pe care compartimentele le efectueazăîntre ele sau cu mediul exterior.

La modul general, un sistem cu compartimente se poate reprezenta printr-un graf orientat, în care nodurile corespund compartimentelor, iar arcele corespund fluxurilor.

În continuare se definesc următoarele notaţii: - xi - cantitatea conţinută de compartimentul i, cu i = 1,..,n. Această

cantitate este întotdeauna pozitivă. Simplificat, se poate spune că xi desemnează nivelul din compartimentul i;

- qij - fluxul care circulă de la compartimentul i la compartimentul j, cu i, j = 1,..,n. Cum s-a arătat mai sus, şi acestea sunt, prin convenţie, întotdeauna pozitive.

Un sistem este deschis dacă există posibilitatea schimburilor cu

mediul exterior sistemului. În acest caz se definesc: - qi0 - fluxul de ieşire din compartimentul i, spre exterior; - q0i - fluxul de intrare, din exterior, în compartimentul i.

Dacă nu există schimburi cu mediul exterior, sistemul este închis,respectiv qi0 = q0i = 0, pentru orice i = 1,..,n.

Fig. 6.2 Exemplu de sistem cu compartimente

q01

1 2

3

q12

q21

q02

q23 q13

q30

6. Modelarea sistemelor cu compartimente

113

6.2. Modele de stare Ecuaţia de bilanţ a fiecărui compartiment, numită şi ecuaţie de

continuitate,

( ) ( )0 0

, 1, ,n n

i ji ijj j

x q t q t j n= =

= − =∑ ∑ … , (6.1)

este elementul de bază pentru stabilirea modelului de stare al unui sistem cu compartimente.

Această ecuaţie exprimă faptul că variaţia în unitate de timp a cantităţii conţinute de un compartiment, este diferenţa dintre suma fluxurilor (debitelor) de intrare şi suma fluxurilor (debitelor) de ieşire din compartiment. Bineînţeles, în practică, ecuaţia (6.1) nu va conţine decât fluxurile ne-nule, din punct de vedere al structurii sistemului. Pentru exemplul din Fig. 6.2, fluxuri nule din punct de vedere structural sunt q31 şiq32.

Obţinerea modelului de stare al unui sistem cu compartimente presupune două aspecte.

În primul rând, structura grafului asociat sistemului va determina numărul şi structura ecuaţiilor de bilanţ de tipul (6.1). Numărul de compartimente n, determină ordinul modelului, variabilele xi fiind variabile de stare.

În al doilea rând, pentru completarea modelului de stare, trebuie exprimate fluxurile, în funcţie de variabilele de stare şi de cele de intrare,

[ ] [ ]( ),ijq x u ,

unde [x] reprezintă vectorul variabilelor de stare, iar [u] vectorul variabilelor de intrare. Modelarea fluxurilor va fi descrisă în paragraful următor.

Forma generală a ecuaţiilor de stare al unui sistem cu compartimente este deci:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )0 0

1, ,, , ,

1, ,

n n

i ji ijj j

j nx q x u q x u

i n= =

= = − = ∑ ∑

…

…. (6.2)

Se observă că sensul fizic al variabilelor de stare xi este, evident, cantitatea conţinută de fiecare compartiment.

În ceea ce priveşte variabilele de intrare, acestea pot fi, cum se va arăta în continuare, de natură diferită, în funcţie de aplicaţie.


114

Definind în continuare vectorul fluxurilor [ ] [ ]( ),q x u , ca fiind

vectorul ce are ca elemente, într-o ordine oarecare, fluxurile structural nenule, modelul de stare (6.2) poate fi exprimat într-o formă mai compactă

[ ] [ ] [ ] [ ]( ),ix L q x u = , (6.3)

în care [L] este o matrice, ale cărei elemente au una din valorile (–1, 0 , 1). În continuare, se vor concretiza noţiunile de mai sus, pe baza unui

exemplu. Exemplul 1Pentru sistemul din Fig. 6.2, modelul de stare este:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

1 01 12 13 21

2 02 12 21 23

3 13 23 30

, , , ,

, , , ,

, , ,

x q x u q x u q x u q x u

x q x u q x u q x u q x u

x q x u q x u q x u

= − − +

= + − −

= + −

.

Vectorul fluxurilor poate fi definit:

[ ] [ ]( )

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )

01

02

12

13

21

23

30

,

,

,

, ,

,

,

,

q x u

q x u

q x u

q x u q x u

q x u

q x u

q x u

=

,

modelul de stare putând fi scris sub forma matriceală (6.3), în care matricea [L] este:

[ ]1 0 1 1 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1

L− −

= − − −

.


115

6.3. Modelarea fluxurilor

În funcţie de aplicaţie, funcţiile [ ] [ ]( ),ijq x u , ce exprimă fluxurile, pot avea forme foarte variate. În continuare se va considera doar o formăparticulară, frecvent întâlnită însă în aplicaţii,

( ), ,ij i j lq x x u ,

ce semnifică dependenţa fluxurilor dintre compartimentele i şi j, doar de nivelele din compartimentele sursă (xi) şi destinaţie (xj), precum şi de ovariabilă de intrare (ul), convenabil aleasă.

În aceste condiţii, funcţiile qij satisfac următoarele condiţii: C1. Funcţia qij este definită în semispaţiul pozitiv al

argumentelor, fiind o funcţie pozitivă:

( ), , 0 pentru orice 0, 0, 0ij i j l i j lq x x u x x u≥ ≥ ≥ ≥;

C2. ( )0, , 0ij j lq x u = , deoarece nu poate exista un flux de ieşire dintr-un compartiment gol;

C3. ( ), ,ij i j lq x x u este crescătoare în funcţie de nivelul din compartimentul sursă xi;

C4. ( ), ,ij i j lq x x u este descrescătoare în funcţie de nivelul din compartimentul destinaţie xj.

În cazul sistemelor deschise, fluxurile de intrare q0i şi de ieşire qi0satisfac condiţiile:

C5. Fluxurile de intrare q0i, ponderate cu o constantă, sunt considerate variabile de intrare;

C6. Fluxurile de ieşire qi0 au forma particulară ( )0 ,i i lq x u ; ele sunt funcţii pozitive, definite în semiplanul pozitiv, crescătoare în raport cu xi şi verifică egalitatea ( )0 0, 0i lq u = .

Un exemplu de funcţie ( ), ,ij i j lq x x u ce satisface condiţiile C1÷C4 este:

( ), , ij i lij i j l

ij j

k x uq x x u

K x=

+.


116

Constantele kij şi Kij sunt strict pozitive. Se observă că acest model de flux este o funcţie pozitivă, liniar crescătoare în raport cu xi şi ul, hiperbolic descrescătoare în raport cu xj, satisfăcând condiţia C2, ( )0, , 0ij j lq x u = .

Condiţiile C1 şi C2 sunt importante, deoarece respectarea lor asigurăcoerenţa fizică a unui sistem cu compartimente şi anume, faptul că este un sistem pozitiv, respectiv un sistem ale cărui variabile de stare rămân pozitive, pe tot parcursul traiectoriilor sistemului. Această condiţie este importantă în cazul sistemelor cu compartimente, asigurând veridicitatea modelului, variabilele de stare ale unui astfel de sistem neavând sens fizic dacă sunt negative.

În continuare se vor defini alte câteva noţiuni frecvent utilizate în tratarea sistemelor cu compartimente, respectiv noţiunile de vector pozitiv,semispaţiu pozitiv şi sistem pozitiv.

Un vector

[ ]1

n

ω ω = ω

este pozitiv (notat [ω] ≥ 0), dacă toate componentele sale sunt reale şipozitive: ωi ≥ 0, pentru orice i.

Semispaţiul pozitiv de dimensiune n (notat n+ℜ ), reprezintă ansamblul

tuturor vectorilor pozitivi de dimensiune n.Un sistem dinamic [ ] [ ] [ ]( ),x f x u = este un sistem pozitiv, dacă

starea lui se menţine în semispaţiul pozitiv, atât timp cât intrarea este pozitivă:

( )0nx t +∈ℜ şi ( ) ( )0 0, ,m nu t t t x t t t+ +∈ℜ ∀ ≥ ⇒ ∈ℜ ∀ ≥ .

Ţinând cont de definiţiile de mai sus, un sistem cu compartimente

[ ] [ ] [ ] [ ]( ),ix L q x u =

care îndeplineşte condiţiile C1, C2, C5 şi C6, este un sistem pozitiv.


117

Exemplul 2 - Sisteme hidraulice Se va considera un sistem hidraulic, format dintr-un ansamblu de

rezervoare situate la înălţimi diferite, al căror conţinut lichid, se scurge „în cascadă” din rezervoarele situate la înălţime mai mare către rezervoarele inferioare (Fig. 6.3).

Graful asociat sistemului cu compartimente din Fig. 6.3 este reprezentat în Fig. 6.4.

Ecuaţiile de continuitate sunt:

1 01 12 13

2 12 23

3 13 23 30

x q q qx q qx q q q

= − −= −= + −

. (6.4)

În aceste ecuaţii, variabilele de stare x1, x2, x3, reprezintă volumele de lichid din rezervoare, iar fluxurile qij, reprezintă debitele de scurgere din rezervoarele superioare către cele inferioare.

Fig. 6.3 Cascadă de rezervoare

u

1

2

3


118

Descrierea dinamică a sistemului trebuie completată cu modelele fluxurilor, exprimate în funcţie de variabilele de stare şi de intrare. Ca variabilă de intrare se va considera debitul pompei de alimentare a rezervorului superior.

Debitul de ieşire qij al fiecărui rezervor, este o funcţie pozitivă denivelul hi din rezervor. Această dependenţă se poate exprima sub forma:

ijij ij iq hβ= α , cu 0ijα > şi 0,5ijβ .

Dacă secţiunea orizontală a rezervoarelor este constantă, se poate exprima

( )ij

ijiij i ij ij i

i

xq x k xS

ββ

= α =

, (6.5)

unde Si reprezintă secţiunea rezervorului, iar

ij

ijij

i

kSβα

= .

Particularizând în (6.4) expresiile fiecărui flux, folosind relaţii de tipul (6.5), se obţine în final modelul de stare al sistemului hidraulic considerat (Fig. 6.3):

Fig. 6.4 Graful asociat cascadei de rezervoare

q01

q12 q13

q23

q30

1

2 3


119

1312

2312

13 23 30

1 12 1 13 1

2 12 1 23 2

3 13 1 23 2 30 3

x k x k x ux k x k xx k x k x k x

ββ

ββ

β β β

= − − += −= + −

. (6.6)

6.4. Modele liniare comandate prin alimentările exterioare

Acest tip de sisteme cu compartimente este cel mai frecvent întâlnit în literatură. În cazul acestora, fluxurilor dintre compartimente le sunt asociate următoarele caracteristici:

1. Fluxurile între compartimente şi fluxul de ieşire, sunt funcţii

liniare de nivelul compartimentului sursă:

, 0, i=1, n; j=1, nij ij i ijq k x k= > … … ;

2. Intrările sistemului, ul, sunt proporţionale cu fluxurile de intrare:

0 0l l lq k u= .

Cu aceste consideraţii, graful sistemului conţine întreaga informaţie necesară scrierii modelului sistemului sub forma ecuaţiilor de stare. Acesta rezultă sub forma clasică a unui sistem liniar:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]x A x B u= + ,

dar având următoarele elemente caracteristice:

1. matricea [ ]A este o matrice Metzler, respectiv aij ≥ 0 pentru i j≠ ;

2. Matricea [ ]A este diagonal-dominantă, respectiv

ij iji j

a a≠

≥ ∑ ;

3. Matricea [ ]B este o matrice elementară, respectiv conţine cel mult un element nenul, pe fiecare linie şi coloană.


120

Exemplul 3Modelul de stare al sistemului cu compartimente al cărui graf este

reprezentat în Fig. 6.2 se poate scrie:

( )

( )1 12 13 21 1 01

12 12 21 23 2 02

23 13 23 30 3

0 00 0

0 0

x k k k x ku

x k k k x ku

x k k k x

− + = − + + −

.

Se observă că matricea [ ]A este o matrice Metzler diagonal-

dominantă şi că matricea [ ]B este o matrice elementară de rang 2.

6.5. Modele neliniare comandate prin fluxuri În continuare se vor considera sistemele neliniare cu compartimente în

cazul cărora fluxurile qij sunt funcţii neliniare oarecare care satisfac condiţiile C1÷C6. Un astfel de model a fost deja prezentat, fiind cel al cascadei de rezervoare. Totuşi, în acel exemplu, fluxurile dintre compartimente nu depindeau de variabilele de intrare ul. În continuare se va considera că unele dintre fluxurile dintre compartimente, sunt funcţii explicite de variabilele de intrare ul, permiţând astfel să se controleze debitele care circulă între compartimente. Pentru a indica în graful sistemului existenţa unei astfel de variabile de control, se utilizeazăreprezentarea simbolică din Fig. 6.5.

Exemplul 4Se va trata acest tip de sisteme, considerând reţeaua hidraulică din Fig.

6.6. Acest sistem este similar cascadei de rezervoare (Exemplul 2, Fig. 6.3) cu deosebirea că fluxul dintre rezervoarele 2 şi 3 nu mai este determinat de curgerea liberă, ci este forţat cu ajutorul unei pompe F. În măsura în care

Fig. 6.5 Reprezentarea simbolică a unui flux controlat

ul


121

această pompă poate fi comandată, este normal să considerăm debitul acesteia ca variabilă de intrare.

Ca urmare a existenţei pompei cu debit controlabil F, modelul de stare al sistemului devine:

1312

12

13 30

1 12 1 13 1 1

2 12 1 2

3 13 1 30 3 2

x k x k x ux k x ux k x k x u

ββ

β

β β

= − − += −= − +

, (6.7)

în care - variabilele de stare xi sunt volumele de lichid din rezervoare; - variabila de intrare u1 este debitul de alimentare al primului rezervor; - variabila de intrare u2 = F este debitul pompei dintre rezervoarele al

doilea şi al treilea. Se observă că acest model de stare nu poate fi acelaşi cu al unui sistem

ce îndeplineşte condiţiile C1÷C6. În fapt fluxul q23 = u2 nu îndeplineşte

Fig. 6.6 Cascadă de rezervoare comandată prin fluxuri

u

1

2

3

F


122

condiţia C2 şi, în consecinţă, sistemul nu poate fi pozitiv. O simulare a acestui sistem ar putea conduce la nivele negative în rezervoare (chiar dacădebitele pompelor rămân pozitive), ceea ce este, evident, fals din punct de vedere fizic. Această imperfecţiune se datorează faptului că modelul, aşacum este scris, permite să se pompeze apă din rezervorul al doilea, chiar dacă acesta este gol.

Evităm acest neajuns modelând fluxul q23 (ce este debitul pompei F), astfel încât să respecte realitatea fizică şi să se verifice condiţia C2 astfel:

( ) ( )23 2 2 2 2,q x u x u=Φ ,

unde ( )2xΦ este o funcţie pozitivă ce satisface condiţia ( )0 0Φ = , iar u2

este comanda pompei. Se obţine astfel modelul de stare al sistemului cu compartimente, de

forma:

( )( )

1312

12

13 30

1 12 1 13 1 1

2 12 1 2 2

3 13 1 30 3 2 2

x k x k x ux k x x ux k x k x x u

ββ

β

β β

= − − += −Φ= − +Φ

.

Graful acestui sistem este reprezentat în Fig. 6.7.

Fig. 6.7 Graful asociat cascadei de rezervoare cu comandă prin fluxuri

u1

q12 q13

u2

q30

1

2 3

123

7. MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULIK

7.1. Introducere În ultimii ani, Simulink® a devenit cel mai utilizat mediu de

programare, atât în universităţi, dar şi în industrie, pentru modelarea şisimularea sistemelor dinamice. Numărul inginerilor ce utilizează acest mediu de programare pentru studiul unor probleme reale este impresionant, putând fi modelate, simulate şi analizate atât sisteme liniare, cât şi neliniare, continue, discrete sau mixte, cu paşi diferiţi de eşantionare sau actualizare.

Simulink este în fapt o componentă a limbajului de programare MATLAB® produs de The MathWorks, Inc. Dealtfel, din Simulink, utilizatorul are acces imediat la toate facilităţile de analiză oferite de MATLAB, astfel încât rezultatele simulărilor pot fi preluate, prelucrate, analizate şi vizualizate utilizând funcţii MATLAB.

Dezvoltarea şi popularitatea Simulink® se datorează în primul rând facilităţilor grafice de programare. Dacă în limbajele „clasice” de programare, simularea unui sistem presupune transcrierea în limbajul respectiv a ecuaţiilor ce descriu modelul acelui sistem, Simulink oferăutilizatorului o interfaţă grafică (Graphical User Interface - GUI), ce permite realizarea modelelor sub forma unor diagrame bloc, frecvent întâlnite în exprimarea tehnică a unui inginer. Construirea acestor diagrame bloc, respectiv a modelelor Simulink, se realizează simplu, prin copierea cu ajutorul mouse-ului a unor blocuri din bibliotecile de componente Simulink (surse, componente liniare şi neliniare, conectori, elemente de vizualizare a


124

rezultatelor etc.). Fiind organizat ierarhic, Simulink permite realizarea unor blocuri noi, pornind de la blocuri existente, care apoi sunt grupate şimascate. Modelul sistemului poate fi vizualizat la un nivel general (black-box), dar foarte simplu, prin dublu-click al mouse-ului, se pot detalia blocurile componente pentru a vedea cum este organizat modelul şi aobserva cum interacţionează diferitele componente.

O altă facilitate importantă a Simulink o reprezintă posibilitatea interacţiunii cu modelul, chiar în timpul simulării. Aceasta înseamnă cădiferiţi parametri ai unor componente pot fi modificaţi „din mers”, putându-se observa imediat influenţele acestora.

Numărul mare de utilizatori ai acestui limbaj de programare este justificat atât de avantajele enumerate mai sus, dar şi de diversitatea domeniilor pentru care au fost dezvoltate biblioteci (Library) decomponente specifice denumite Toolbox sau Blockset: mecanică,electrotehnică, automatică, economie, …

Simulink utilizează „infrastructura” de calcul a MATLAB, respectiv organizarea matriceală a variabilelor, utilizatorul putând beneficia oricând de funcţiile MATLAB. Se va considera că cititorul este familiarizat deja cu MATLAB [3], [8].

Prezentul capitol nu se doreşte a fi un „manual de utilizare” al Simulink, ci îşi propune doar prezentarea elementelor de bază privind lansarea şi utilizarea Simulink, precum şi o prezentare generală abibliotecilor de bază. Aceasta şi datorită faptului că, Simulink fiind un limbaj de programare grafic şi interactiv, încurajăm experimentarea utilizării lui. În plus, programul este bine documentat, existând, pe lângă obişnuitul meniu de Ajutor (Help), câteva modele demonstrative reprezentative. De asemenea, în pachetul de instalare se află toate manualele, în format PDF, ale produsului MATLAB (inclusiv a Simulink şi a celorlalte biblioteci - Toolbox-uri - specializate).

7.2. Lansarea Simulink Descrierea modului de lansare MATLAB-Simulink şi a componenţei

bibliotecilor se va realiza considerându-se varianta MATLAB Release 13 (MATLAB 6.5) şi Simulink 5. De menţionat că, deşi la data pregătirii prezentei lucrări, era lansată varianta MATLAB Release 14 (MATLAB 7.0) şiSimulink 6, s-a optat pentru versiunea Release 13, deoarece prezintă, în ceea ce priveşte Simulink, relativ puţine diferenţe faţă de mult mai răspânditele versiuni anterioare Release 12 (Matlab 6) şi mai ales, Release 11 (Matlab

7. Mediul de simulare MATLAB-Simulink

125

5.3 şi Simulink 3). Utilizarea MATLAB-Simulink şi multe din blocurile din componenţa bibliotecilor sunt comune cu aceste versiuni anterioare. De precizat, de asemenea că, pe măsura dezvoltării versiunilor produselor-program, performanţele şi resursele solicitate platformei pe care rulează,sunt din ce în ce mai mari, acesta fiind încă un motiv pentru care s-a optat pentru versiunea Release 13. Pentru exemplificare, în Fig. 7.1 este prezentată evaluarea de către Matlab 6.5 (comanda bench) a sistemului curent (Pentium4 2,6GHz Laptop), iar în Fig. 7.2, performanţele aceluiaşisistem, evaluate de Matlab 7.0.

Se observă că raportul între performanţele unui aceluiaşi sistem, considerat de referinţă (Intel Pentium4 2.0 GHz) şi sistemul curent este 3,5 în cazul evaluării în Matlab 7 (Fig. 7.2), faţă de 2,6 în cazul evaluării de către Matlab 6.5 (Fig. 7.1). Aceasta confirm faptul că performanţele solicitate platformei pe care rulează sunt mai mari în cazul Matlab 7 faţă de Matlab 6.5.

Ca şi comparaţie, în cazul evaluării de către Matlab 5.3, comparaţia cu alte sisteme este prezentată în Fig. 7.3. Chiar dacă sistemul curent este comparat cu sisteme mult anterioare şi inferioare, comparaţia indică osuperioritate netă, care se transpune în viteza de lucru.

Fig. 7.1 Performanţele sistemului pentru Matlab Release 13

referinţă


126



referinţă


127

Utilizând infrastructura de calcul MATLAB, accesarea bibliotecilor Simulink se poate face doar lansându-l din fereastra MATLAB. Pentru aceasta se poate urma una din variantele: tastând comanda simulink în fereastra de comenzi Matlab (Command

Window); făcând click pe butonul Simulink din bara de butoane a ferestrei

Matlab (Fig. 7.4); meniul File-New-Model al ferestrei Matlab, apoi butonul Library

Browser al noii ferestre model deschise; butonul Start din colţul stânga-jos al ferestrei Matlab (Fig. 7.4),

similar desktop-ului Windows, urmând meniul Simulink-Library Browser.

Va fi deschisă o nouă fereastră, Simulink Library Browser, Fig. 7.5, în care apar toate bibliotecile instalate. Bibliotecile Simulink de bază sunt Simulink şi Simulink Extras. Fereastra Simulink Library Browser este organizată, în principal, în două ferestre: o fereastră text în partea stângă şi ofereastră grafică în partea dreaptă. Opţional, în partea superioară, poate fi

Fig. 7.4 Fereastra Matlab şi lansarea Simulink


128

păstrată fereastra Description, în care este afişată o scurtă descriere a elementului selectat (bibliotecă, sub-biblioteci, bloc).

Bibliotecile sunt organizate ierarhic, în sub-biblioteci, ce realizeazăfuncţii din aceeaşi familie.

Detalierea conţinutului fiecărei biblioteci se poate face: click pe „+” în dreptul bibliotecii (Fig. 7.5). Se obţine în fereastra text,

lista sub-bibliotecilor conţinute de acea bibliotecă;click pe numele bibliotecii. Se obţine în fereastra din grafică din

partea dreaptă a Simulink Library Browser, lista sub-bibliotecilor, sau a blocurilor, în cazul în care biblioteca nu este organizată în sub-biblioteci. Detalierea în continuare a sub-bibliotecilor se poate face în mai multe moduri echivalente: click pe numele sub-bibliotecii în

Fig. 7.5 Fereastra Simulink Library Browser

Biblioteci

Sub-biblioteci


129

fereastra text din stânga, click pe „+” de lângă imaginea sub-bibliotecii din fereastra grafică din dreapta, dublu-click pe imaginea sub-bibliotecii (Fig. 7.6);

click-dreapta pe bibliotecă şi deschiderea acesteia. Se deschide o nouăfereastră pentru fiecare bibliotecă. În Fig. 7.7 este reprezentată nouafereastră astfel obţinută la deschiderea bibliotecii Simulink.Deschiderea fiecărei sub-biblioteci se realizează cu dublu-click pe imaginea sa.

Fig. 7.6 Blocurile din componenţa sub-bibliotecii Continuous

Fig. 7.7 Biblioteca Simulink

New


130

7.3. Noţiuni de creare a unui model Crearea unui model nou se realizează într-o fereastră nouă.

Deschiderea unei noi ferestre de modelare se poate face în mai multe moduri echivalente:

click pe butonul New al ferestrei Simulink Library Browser (Fig. 7.6) sau al oricărui model (ferestre noi de modelare, Fig. 7.8);

meniul File-New…-Model al oricărei ferestre de bibliotecă; shortcut Ctrl+N în orice fereastră de bibliotecă sau fereastră de model

Simulink; meniul File-New-Model al ferestrei Matlab.

Este important de subliniat faptul că doar ferestrele de modelare, Fig. 7.8, create printr-una din modalităţile descrise mai sus, sunt ferestre grafice, în care se pot crea modele noi Simulink, spre deosebire de ferestrele noi Matlab (de tipul M-file), care sunt ferestre text.

Plasarea blocurilor în noua schemă se realizează prin drag-area =

„tragerea” acestora (apăsarea butonului din stânga al mouse-ului pe blocul necesar şi poziţionarea blocului în noua schemă). Unele blocuri au posibilitatea actualizării parametrilor, aceştia având valori implicite pentru blocurile luate din biblioteci. Făcând dublu-click pe fiecare bloc, se va deschide o casetă de dialog în care se modifică valorile parametrilor blocului respectiv (chiar şi în timpul rulării simulării).

Fig. 7.8 Fereastră nouă Simulink

New


131

Blocurilor plasate în modelul nou creat, li se poate modifica atât dimensiunea, cât şi aspectul. Pentru modificarea dimensiunii blocului, acesta trebuie selectat individual (click simplu pe bloc, colţurile blocului devenind marcate cu puncte pline) şi apoi drag-area cu mouse-ul de unul din colţuri (Fig. 7.8).

În ceea ce priveşte aspectul blocului, posibilităţile sunt multiple, ele fiind accesibile prin intermediul meniului Format al ferestrei, dupăselectarea blocului (individuală sau multiplă). Pot fi modificate orientarea (Rotate block, Flip block), culoarea de reprezentare a blocului (Foreground color), culoarea fondului blocului (Background color), poziţia numelui blocului (Flip name), afişarea sau nu a numelui blocului (Show/Hide name).

Pentru realizarea unui model, blocurile trebuiesc interconectate, astfel încât să se obţină funcţiile necesare. Interconectarea se realizează prin unirea unui port de ieşire a unui bloc cu un port de intrare a altui bloc, cu butonul din stânga apăsat, deci drag-ând cu butonul stânga.

Nu se pot realiza decât conexiuni între porturi de ieşire şi intrare. Nu pot fi conectate între ele două porturi de intrare sau două porturi de ieşire.

Tipul de cursor este o cruce simplă în timpul realizării unei conexiuni, până când se ajunge în preajma punctului de destinaţie, când devine cruce dublă, ceea ce semnifică faptul că butonul mouse-ului poate fi eliberat. Trasarea conexiunilor se poate face direct între punctele extreme, fără a se impune un anumit traseu. Acesta poate fi însă modificat ulterior, prin selectarea conexiunii şi drag-area diferitelor segmente în poziţiile dorite.

Fig. 7.9 Realizarea unei conexiuni

Start simulation


132

Un punct de conexiune (conectarea unei ieşiri la intrările mai multor blocuri) se poate realiza în mai multe moduri:

ţinând apăsată tasta Ctrl şi drag-ând cu butonul stânga din punctul de plecare de pe o conexiune existentă până la portul de intrare;

drag-ând cu butonul dreapta al mouse-ului între o conexiune existentăşi portul de intrare;

drag-ând cu butonul stânga al mouse-ului pornind de la portul de intrare până la o conexiune deja existentă.Simulink oferă posibilitatea creării unor noi blocuri, definite de

utilizator, aceasta putându-se realiza în două moduri echivalente: se selectează blocurile ce vor fi grupate (încadrarea într-o fereastră

definită cu butonul din stânga apăsat) şi apelarea comenzii corespunzătoare (meniul Edit-Create Subsystem);

se preia din sub-biblioteca Ports&Subsystems un bloc Subsystem în cadrul căruia (dublu-click pe blocul Subsystem) se poate realiza modelul noului bloc. Avantajul acestei metode îl constituie prezenţa deja a conectorilor de intrare şi ieşire, ale căror nume pot modificate, ele fiind numele porturilor de intrare şi ieşire ale sub-sistemului.

Noului bloc îi pot fi modificate numele, masca - meniul Edit-Mask Subsystem (nume bloc, imaginea blocului, numele parametrilor din caseta de dialog, asocierea parametrilor formali cu valorile de intrare, textul corespunzător butonului Help).

Sub-biblioteca Ports&Subsystems conţine foarte multe şi variate exemple de creare a sub-sistemelor, accesibile prin deschiderea ferestrei Subsystem Examples (Fig. 7.25).

După realizarea modelului se selectează parametrii simulării (meniul Simulation–Simulation Parameters…, Fig. 7.10):

momentul începerii simulării (Start time); durata simulării (Stop time); metoda de integrare (Solver options); pas maxim (Max step size); pas minim (Min step size); pas iniţial (Initial step size); precizia relativă şi absolută (Relative tolerance, Absolute tolerance).


133

În ceea ce priveşte metoda de integrare, Simulink prezintă iniţial în fereastra de modificare a parametrilor simulării metoda implicit aleasă în funcţie de structura modelului. Aceasta poate fi schimbată, alegându-se între o metodă cu pas variabil de integrare şi una cu pas fix. Metoda de integrare cu pas variabil implicit aleasă este ode45, ceea ce constituie metoda de integrare Runge-Kutta de ordinul 5, ce oferă rezultate bune pentru majoritatea modelelor continui. Metodele de integrare cu pas fix sunt variante ale celor cu pas variabil. Pentru mai multe detalii privind metodele de integrare a se vedea [13], pag. 10-8 The Simulation Parameters Dialog Box.

După lansarea simulării (butonul Start Simulation, Fig. 7.9), în bara de stare a modelului (Fig. 7.11) se indică atât timpul curent al simulării, cât şistadiul acesteia, în raport cu durata selectată a simulării. Butonul Start simulation este înlocuit cu butonul Pause simulation, devenind activ şibutonul Stop simulation.

În timpul rulării simulării pot fi modificaţi unii parametrii ai simulării (Stop time, Max step size) şi parametrii blocurilor Simulink, cu condiţia ca structural modelul să nu fie alterat. De asemenea, selectând o conexiune, semnalul corespunzător poate fi vizualizat de un bloc Scope sau Display,prevăzute în model, dar neconectate (floating).

Fig. 7.10 Caseta de dialog Simulation-Simulation Parameters


134

7.4. Sub-bibliotecile Simulink Bibliotecile sau sub-bibliotecile reprezintă o colecţie de blocuri ce

realizează funcţii diferite, având însă trăsături comune din punctul de vedere al funcţionalităţii.

Organizarea blocurilor în biblioteci (Libraries) oferă utilizatorului posibilitatea copierii blocurilor din biblioteci în modelele proprii, blocuri ce vor fi în mod automat actualizate când sursa blocului (biblioteca) a fost modificată. Astfel, utilizatorul îşi poate dezvolta propriile blocuri sau biblioteci, sau poate utiliza blocuri sau biblioteci create suplimentar de către alţi utilizatori, având certitudinea că utilizează permanent cea mai recentăversiune a acestora.

Bibliotecile şi sub-bibliotecile, în mod normal, sunt deschise doar pentru citire (Read-only), putându-se deci, doar copia din ele blocuri în propriile modele. Este însă posibil să se creeze biblioteci noi, folosind comanda New…-Library a meniului File al oricărei ferestre Simulink. Mai multe detalii privind organizarea şi principiile bibliotecilor Simulink pot fi găsite în [13], pag. 5-28 Working with Block Libraries.

În continuare va fi detaliată componenţa fiecărei sub-biblioteci Simulink. Sub-bibliotecile vor fi descrise în ordinea în care ele sunt poziţionate în fereastra bibliotecii Simulink (Fig. 7.7), care este în mare măsură, ordinea frecvenţei de utilizare a blocurilor componente.

Fig. 7.11 Fereastra modelului în timpul rulării

Stadiul simulării

Butoanele PauseStop


135

7.4.1. Sub-biblioteca Sources Grupează blocuri (Fig. 7.12) care, fie se conectează la intrările

diferitelor blocuri Simulink (Model & Subsystem Inputs), fie genereazădiferite tipuri de semnale necesare în cursul simulărilor (Signal Generators).

Grupul Model & Subsystem Inputs grupează patru blocuri, dintre care două (From File şi From Workspace) pot fi considerate şi surse de semnal.

Grupul Model & Subsystem Inputs reuneşte blocurile: In1 - Inport Creează un port de intrare a unui

subsistem sau o intrare externă.Numerotarea blocurilor Inport se face automat, de sus în jos şi de la stânga la dreapta. Ştergerea unui port de intrare determină renumerotarea celor rămase, astfel încât să fie numerotate secvenţial. Ordinea numerotării determină ordinea porturilor de intrare ale subsistemului creat (Fig. 7.13). Schimbarea, prin caseta de dialog a blocului, a numărului portului determină modificarea poziţiei portului de intrare a subsistemului.

Fig. 7.12 Sub-biblioteca Sources


136

Ground Se conectează la intrările neutilizate ale oricărui bloc, pentru a fi evitate mesajele de avertizare (Warning) generate automat de Simulink.

From File Citeşte date dintr-un fişier de date de tip .mat. Prima linie trebuie să conţinăvalorile momentelor de timp cărora le corespund valorile variabilelor aflate pe liniile 2, 3 ş.a.m.d. Pentru momente ale simulării aflate între cele specificate în linia 1, valorile variabilelor se obţin prin interpolare liniară între valorile situate pe coloanele adiacente.

From Workspace Citeşte date dintr-o matrice definită în spaţiul de lucru Matlab, ce conţine pe fiecare linie o pereche [timp valoare]. Cu alte cuvinte, valorile momentelor de timp cărora le corespund valorile variabilelor, se află pe prima coloană.Prin masca blocului se poate selecta interpolarea valorilor adiacente pentru momente ale simulării aflate între cele specificate în coloana 1, iar la epuizarea valorilor (timpul simulării mai mare decât valoarea finală din coloana 1), se poate selecta una din opţiunile Extrapolare / Setare la zero / Menţinerea ultimei valori / Repetarea valorilor.

Grupul Signal Generators reuneşte blocuri ce constituie surse de semnale utilizate în modelele Simulink:

Fig. 7.13 Utilizarea blocurilor Inport şi Outport: a) înainte de crearea unui subsistem; b) după crearea subsistemului


137

Constant Generează o valoare constantă ce poate fi modificată în timpul simulării.

Signal Generator Generează diferite forme de undă:sinusoidală, dreptunghiulară, triunghiu-lară, aleatoare. Prin caseta de dialog a blocului se specifică tipul formei de undă, precum şi amplitudinea şifrecvenţa acesteia, inclusiv unitatea de măsură a acesteia ([Hz] sau [rad/sec]).

Pulse Generator Generează o succesiune de pulsuri dreptunghiulare. Prin caseta de dialog a blocului pot fi modificate perioada, factorul de umplere, amplitudinea şi faza iniţială. În funcţie de metoda de integrare utilizată (cu pas variabil sau constant), se poate selecta generarea pe baza momentelor de timp, Time based,respectiv Sample based.

Ramp Generează un semnal uniform variabil (crescător sau descrescător). Prin caseta de dialog a blocului se pot modifica panta, momentul simulării la care începe generarea semnalului, valoarea iniţială aacestuia.

Sine Wave Generează o formă de undă sinusoidală.Prin caseta de dialog a blocului se pot modifica amplitudinea, decalajul faţă de zero, frecvenţa [rad/sec] şi faza [rad]. Forma de undă poate fi generată în funcţie de timpul simulării (Time based)sau ca o succesiune de eşantioane (Sample based), a căror număr într-o perioadă poate fi selectat prin masca blocului. A doua variantă este recomandată în cazul modelelor ce rulează pe intervale mari de timp.

Step Generează un semnal treaptă. Prin caseta de dialog a blocului se pot modifica


138

momentul generării treptei, valorile sale iniţială şi finală.

Repeating Sequence Generează un semnal repetitiv oarecare. Prin caseta de dialog a blocului se specifică vectorul momentelor de timp şial valorilor corespunzătoare ale semnalului. Pentru valori ale timpului situate între cele specificate, se realizează interpolarea liniară a valorilor limitrofe.

Chirp Signal Generează o formă de undă sinusoidalăcu frecvenţa uniform variabilă. Limitele de variaţie şi intervalul de timp în care frecvenţa să se modifice sunt prestabilite prin caseta de dialog a blocului.

Random Number Generează numere aleatoare cu distribuţie Gaussiană.

Uniform Random Number Generează numere aleatoare cu distribuţie uniformă.

Band-Limited White Noise Generează numere aleatoare uniform distribuite temporal, la intervale fixate prin caseta de dialog a blocului.

Clock Furnizează şi afişează timpul curent al simulării la fiecare pas al acesteia. Se utilizează în cazul simulării sistemelor continue.

Digital Clock Furnizează şi afişează timpul curent al simulării la intervale prestabilite. În rest, ieşirea este menţinută la valoarea anterioară. Se utilizează în cazul simulării sistemelor discrete.

7.4.2. Sub-biblioteca Sinks Conţine (Fig. 7.14) blocuri reunite în trei grupuri funcţionale: Model

& Subsystem Outputs, Data Viewers, Simulation Control.Primul grup este echivalentul pentru blocuri de ieşire, al grupului

Model & Subsystem Inputs din sub-biblioteca Sources. Out1 - Outport Creează un port de ieşire a unui

subsistem sau o ieşire. Tratarea de către


139

Simulink a acestui bloc este similarăblocului Inport.

Terminator Se conectează la ieşirile neconectate ale oricărui bloc, pentru a fi evitate mesajele de avertizare (Warning) generate automat de Simulink.

To File Scrie variabila de la intrarea blocului, sub formă matriceală, într-un fişier de date de tip .mat. Blocul scrie câte o coloană la fiecare perioadă de eşantionare. Prima linie va conţine momentele de timp ale simulării, iar celelalte linii conţin, fiecare, câte un punct al semnalului vectorial de la intrarea blocului. Matricea este deci de forma:

1 21 1 11 2

1 2

final

final

n n nfinal

t t tu u u

u u u

…

.

Dacă datele sunt recuperate prin utilizarea unui bloc From File, forma matricei este compatibilă. Blocul From Workspace necesită însă forma

Fig. 7.14 Sub-biblioteca Sinks


140

transpusă a matricei generate de blocul To File.

To Workspace Scrie variabila de la intrarea blocului, sub formă matriceală, într-o variabilă în spaţiul MATLAB. Numele variabilei în care se face scrierea şi formatul se selectează prin caseta de dialog a blocului. Se scrie câte o linie pentru fiecare perioadă de eşantionare, formatul fiind:

1 21 1 11 22 2 2

1 2

n

n

nfinal final final

u u uu u u

u u u

…

.

Recuperarea datelor scrise se poate face utilizând blocuri From File sau From Workspace, în ambele cazuri trebuind adăugat vectorul timpului de simulare. Modalităţile sunt diferite, în funcţie de formatul de salvare şi de blocul utilizat pentru recuperare, cel mai simplu fiind selectarea opţiunii de salvare Structure With Time, ceea ce va determina salvarea în variabila MATLAB şi a valorilor timpului.

Al doilea grup, Data Viewers, reuneşte blocurile ce pot fi utilizate

pentru vizualizarea rezultatelor simulărilor. Scope Afişează grafic semnale generate în

timpul simulării. Acest bloc este cel mai frecvent utilizat pentru vizualizarea

rezultatelor simulărilor, fiind foarte bine dezvoltat din punctul de vedere al posibilităţilor de parametrare (configurare). Din acest motiv, el va fi detaliat în continuare.

Blocul Scope afişează semnalul de la intrare în funcţie de timpul simulării. El poate avea unul sau mai multe sisteme de axe (câte unul pentru fiecare port de intrare). Similar osciloscoapelor, toate sistemele de axe au abscisa (baza de timp) comună, domeniile de variaţie ale ordonatelor (axelor y) putând fi modificate independent. În timpul simulării pot fi modificate


141

scalele abscisei şi ordonatelor, parametrii blocului, poziţia şi dimensiunea ferestrei de afişare.

După preluarea sa într-un model nou şi pornirea simulării, Simulink nu deschide în mod automat fereastra de afişare, dar transmite date blocurilor Scope conectate. În consecinţă, la deschiderea ferestrelor Scope,chiar după încheierea simulării, semnalul sau semnalele aplicate vor fi afişate.

Blocul Scope acceptă ca semnale de intrare atât mărimi scalare, cât şivectoriale. În primul caz, fiecare semnal scalar conectat la un port de intrare al unui bloc Scope este afişat în câte un sistem de axe. În cazul semnalelor vectoriale (obţinute prin multiplexarea mai multor semnale, scalare sau la rândul lor vectoriale), întregul semnal vectorial rezultat va fi vizualizat în acelaşi sistem de coordonate, folosindu-se culori diferite pentru fiecare semnal scalar component, în ordinea: galben, violet, bleu, roşu, verde, albastru închis. Dacă semnalul vectorial este compus din mai mult de şase semnale scalare, ele vor fi afişate folosindu-se ciclic culorile în ordinea enumerată.

Deschiderea ferestrei blocului Scope se realizează cu dublu click pe blocul Scope preluat într-un model nou. Noua fereastră (Fig. 7.15) conţine ecranul osciloscopului (sistemul de axe) şi o bară de butoane (Toolbar buttons), cu ajutorul cărora se poate modifica aspectul afişării:

Fig. 7.15 Fereastra principală a blocului Scope

Ecranul osciloscopului

Bară debutoane

Zoom Zoom X-axes

Zoom Y-axes Autoscale

Save current /Restore saved axes settings

Parameters Print

Time offset

Floating scope

Signal selector


142

Print imprimă conţinutul ecranului osciloscopului; Parameters se va deschide o nouă fereastră (Fig. 7.16), care conţine

două pagini: „General” şi „Data history”. Din pagina „General” pot fi schimbate numărul sistemelor de coordonate (Number of axes) şi în consecinţă numărul porturilor de intrare ale blocului Scope, toate însă având aceeaşi bază de timp, domeniul axei absciselor (Time range), modul de etichetare a semnalelor (Tick labels). Tot din această pagină se poate bifa opţiunea „floating scope” (accesibilă şi direct din bara de butoane a ecranului osciloscopului, Fig. 7.15). Descrierea facilităţilor în modul de funcţionare Floating scope se va detalia mai jos. Din pagina „Data history” se poate limita numărul de puncte memorate pentru vizualizare, cu scopul conservării memoriei sistemului (Limit rows to last) şi opta pentru salvarea vectorilor de date de la intrare în spaţiul MATLAB, într-o variabilă al cărei nume şi tip pot fi selectate din aceeaşi pagină. Se recomandă salvarea sub forma Structure with time,deoarece sunt memorate şi momentele de timp cărora le corespund valorile variabilelor vizualizate (şi salvate);

Zoom detaliază după ambele axe, fie o zonă a ecranului osciloscopului selectată cu ajutorul mouse-ului, fie în jurul unui punct selectat prin simplu click. Dacă blocul Scope are mai multe sisteme de axe, detalierea unuia dintre ele va determina modificarea axei absciselor tuturor sistemelor de coordonate. Aceasta deoarece toate sistemele de coordonate ale aceluiaşi bloc Scope

Fig. 7.16 Fereastra ‘Scope’ parameters


143

utilizează, aşa cum s-a precizat mai sus, aceeaşi bază detimp;

Zoom X-axes detaliază semnalele vizualizate, după axa X. Se poate detalia fie un domeniu selectat cu ajutorul mouse-ului, fie în jurul unui punct selectat prin simplu click;

Zoom Y-axes detaliază semnalele vizualizate, după axa Y. Se poate detalia fie un domeniu selectat cu ajutorul mouse-ului, fie în jurul unui punct selectat prin simplu click;

Autoscale scalează automat ambele axe ale tuturor sistemelor de coordonate ale aceluiaşi bloc Scope, pentru a fi afişate toate datele memorate ale unei simulări. Dacă se apasăbutonul Autoscale în timpul rulării unei simulări, axele ordonatelor sunt auto-scalate în funcţie de datele disponibile la acel moment, iar domeniile acestora sunt salvate ca valori implicite. Aceasta va determina utilizarea aceloraşi domenii pentru simulările ulterioare ale aceluiaşi model;

Save current se salvează domeniile abscisei şi ordonatei, astfel încât axes settings acestea vor fi utilizate pentru simulările ulterioare ale

aceluiaşi model; Restore saved se refac domeniile salvate ale axelor, după utilizarea

axes settings butoanelor de Zoom; Time offset în acest câmp se afişează timpul corespunzător

momentului „0” (zero) al axei absciselor (pentru simulări a căror durată depăşeşte baza de timp a osciloscopului). Timpul real se obţine adăugând valoarea offset-ului la valorile afişate pe axa absciselor.

Pentru modificarea domeniului axei ordonatelor se face click-dreapta în ecranul osciloscopului, în sistemul de axe ce se doreşte a fi modificat. Se va deschide o casetă de dialog în care se selectează Axes properties…Se va deschide o nouă fereastră (Fig. 7.17) prin intermediul căreia pot fi modificate domeniul axei ordonatelor şi numele variabilei, ce va fi afişat în fereastra principală a osciloscopului.

Fig. 7.17 Fereastra ‘Scope’ properties (click dreapta)


144

Floating Scope Plasează în fereastra modelului un osciloscop fără porturi de intrare. Acesta se poate obţine şi dintr-un bloc Scope configurat pentru a deveni un Floating Scope (butonul Floating scope Fig. 7.15 sau opţiunea floating scope Fig. 7.16). Semnalele vizualizate de un astfel de bloc pot fi selectate din fereastra Signal selector (Fig. 7.18). Această fereastră se deschide la activarea butonului corespunzător din bara de butoane (Fig. 7.15).

XY Graph Afişează într-o fereastră MATLAB de tip figură. La începerea simulării, Simulink deschide în mod automat câte o astfel de fereastră pentru fiecare bloc XY Graph din model.

Display Afişează valoarea numerică ce îi este aplicată la intrare. Aceasta poate fi un scalar, sau un vector obţinut prin multiplexarea mai multor semnale, caz în care fiecare variabilă este afişată în câte un câmp. Prin caseta de dialog a blocului se poate modifica formatul de afişare.

Fig. 7.18 Fereastra Signal selector a unui osciloscop flotant


145

Ultimul grup, Simulation control, conţine doar blocul Stop Simulation Opreşte simularea când intrarea este

diferită de zero. Dacă semnalul de la intrarea blocului este un vector, orice element diferit de zero al acestuia va determina oprirea simulării.

7.4.3. Sub-biblioteca Continuous Grupează (Fig. 7.19) blocuri ce realizează funcţii liniare.

Ele sunt reunite în două grupuri funcţionale: Continuous-Time Linear Systems şi Continuous-Time Delays.

Grupul Continuous-Time Linear Systems conţine două blocuri, din care unul (Integrator) este esenţial pentru simularea sistemelor dinamice: Integrator Realizează integrarea semnalului aplicat

la intrarea sa. El reprezintă nucleul oricărui model al unui sistem descris de ecuaţiile de stare, fiind bine dezvoltat din punctul de vedere al posibilităţilor de parametrare (configurare).

Prin caseta de dialog a blocului, (Fig. 7.20) se poate selecta una sau mai multe dintre facilităţile acestui bloc:

Fig. 7.19 Sub-biblioteca Continuous.


146

resetarea stării integratorului de către un semnal extern (External reset). Această acţiune poate fi realizată în cazul detectării unui front crescător (rising) sau descrescător (falling) al semnalului de resetare, la detectarea oricărei variaţii a acestuia (either), sau la detectarea unei anumite valori (level) a semnalului de reset extern;

definirea condiţiei iniţiale (Initial condition source) prin masca blocului (internal) sau prin intermediul unui semnal de la intrarea blocului (external);

posibilitatea de a furniza o a doua ieşire care reprezintă starea blocului (Show state port). Acest port de ieşire furnizează practic aceleaşivalori ca şi ieşirea obişnuită a blocului, dar la momente de timp uşordiferite. Această facilitate este utilă pentru evitarea buclelor algebrice ce se formează atunci când ieşirea blocului este readusă la intrare, ca şi condiţie iniţială externă sau ca şi condiţie de resetare a integratorului;

limitarea valorii de la ieşire (Limit output) şi definirea limitelor superioară (Upper saturation limit) şi inferioară (Lower saturation limit), precum şi posibilitatea semnalizării printr-un semnal de ieşire a atingerii limitelor (Show saturation port). Acesta va avea valorile:

+1 în cazul atingerii limitei superioare 0 dacă semnalul de ieşire este între cele două limite -1 în cazul atingerii limitei inferioare.

Fig. 7.20 Caseta de dialog a blocului Integrator.


147

La selectarea diferitelor opţiuni, masca blocului se modifică, în cazul selectării tuturor opţiunilor aceasta fiind cea din Fig. 7.21.

Derivative Aproximează derivata semnalului aplicat

la intrarea sa, calculând ut

∆∆

, în care ∆u

este modificarea valorii de la intrarea blocului, iar ∆t este intervalul de timp de la pasul anterior de simulare. Blocul acceptă un singur semnal la intrare, furnizând o ieşire. Valoarea semnalului înainte de începerea simulării se consideră ca fiind nulă, ca şi valoarea iniţială a ieşirii. Corectitudinea rezultatelor depinde de mărimea pasului de simulare, valori mai mici ale acestuia determinând rezultate mai netede şi mai corecte, deoarece spre deosebire de celelalte blocuri caracterizate de stări continue, în cazul blocului Derivative,pasul de simulare nu este divizat în cazul unor schimbări rapide ale intrării.

State-Space Realizează modelul sistemelor continue caracterizate de ecuaţiile de stare: [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]x A x B uy C x D u

= += +

,

în care [x] este vectorul celor n variabile de stare, [u] este vectorul celor mvariabile de intrare, iar [y] este vectorul celor r variabile de ieşire. Dimensiunile

Fig. 7.21 Simbolul complet al blocului Integrator.

IntrareReset

Condiţie iniţială

Ieşire

Saturaţi

Stare


148

matricelor coeficienţilor introduse prin caseta de dialog a blocului trebuie să fie ca în Fig. 7.22.

Transfer Fcn Implementează o funcţie de transfer definită de:

( ) ( )( )

1 21 2

1 21 2

n nn

m mm

y s Ps P s PG su s Q s Q s Q

− −

− −

+ + += =

+ + +

,în care coeficienţii Pi, în ordine descrescătoare a puterilor lui s, pot fi vectori sau matrice, iar coeficienţii Qitrebuie să fie vectori. Ordinul m al numitorului trebuie să fie mai mare decât cel al numărătorului, n.

Zero-Pole Realizează modelul unui sistem descris de o funcţie de transfer exprimată sub forma factorizată de poli şi zero-uri. Pentru un sistem monovariabil la intrare şi ieşire, aceasta se exprimă:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 21 2

s Z s Z s Z mZ sG s K K

P s s P s P s P n− − −

= =− − −

,

unde Z(s) este vectorul zero-urilor (vector sau matrice), P(s) este vectorul polilor (vector), iar K amplificarea sistemului. Z(s) poate fi vector sau matrice, P(s) poate fi vector, iar K poate fi scalar sau vector cu lungime egală cu

Fig. 7.22 Dimensiunile matricelor blocului State-Space.

[D]r x m

[C]r x n

mn

n

r

[A]n x n

[B]n x m


149

numărul liniilor din Z(s). După cum se cunoaşte, trebuie ca m ≥ n, iar dacă sunt poli şi zero-uri complexe, trebuie săexiste perechi complex-conjugate.

Grupul Continuous-Time Delays conţine două blocuri:

Transport Delay Întârzie (defazează) semnalul vectorial de la intrarea sa un timp specificat prin caseta de dialog a blocului (Time delay). La începerea simulării, ieşirea blocului are valoarea iniţială (Initial input)specificată prin caseta de dialog a blocului, până când timpul simulării atinge valoarea timpului de întârziere (Time delay). De la acest moment, blocul începe să genereze semnalul de la intrare defazat faţă de cel de la intrare. Parametrul Time delay specificat prin caseta de dialog a blocului trebuie să fie o valoare pozitivă.Blocul memorează punctele semnalului de intrare şi momentele de timp corespunzătoare într-o variabilă tampon a cărei dimensiune este specificată prin parametrul Initial buffer size. În cazul în care numărul de puncte depăşeşte dimensiunea variabilei tampon, blocul va aloca spaţiu suplimentar de memorie, iar Simulink va genera la finalul simulării un mesaj prin care se specifică dimensiunea necesară a variabilei tampon. Trebuie ştiut că alocarea suplimentară dememorie încetineşte simularea. Din acest motiv, în cazul în care durata realăsimulării este importantă, acest parametru trebuie ales cu grijă, mai ales pentru întârzieri mari şi variabile de intrare vectoriale.

Variable Transport Delay Întârzie (defazează) semnalul vectorial de la intrarea sa un timp determinat de a


150

doua intrare a sa, funcţionarea fiind similară blocului Transport Delay.

7.4.4. Sub-biblioteca Discrete Această bibliotecă, Fig. 7.23, reuneşte două grupuri de blocuri ce

descriu componente şi sisteme discrete.

Unele blocuri din această bibliotecă sunt echivalentul unor elemente din biblioteca Continuous, dar pentru sisteme discrete, altele fiind specifice sistemelor discrete.

Grupul Discrete Time Linear Systems reuneşte blocurile: Se vor descrie mai întâi blocurile similare celor din biblioteca

Continuous. Unit Delay Întârzie semnalul vectorial aplicat la

intrare cu o perioadă de eşantionare, ce poate fi stabilită prin caseta de dialog a blocului, diferită de pasul de simulare.

Discrete-Time Integrator Realizează integrarea discretă asemnalului de la intrare. Acest tip de integrator are facilităţi similare celui din biblioteca Continuous, în plus, prin caseta de dialog a blocului, putându-se

Fig. 7.23 Sub-biblioteca Discrete.


151

selecta metoda discretă de integrare ([4], pag. 2-116) şi poate fi utilizat în locul acestuia la construcţia modelelor pur discrete.

Discrete Filter Realizează modelele răspunsurilor la impuls infinit şi impuls finit ale unui filtru. Coeficienţii celor două polinoame se specifică în ordinea crescătoare a puterilor operatorului z-1. Ordinul numitorului trebuie să fie mai mare sau egal decât cel al numărătorului. În cazul în care cele două polinoame au acelaşiordin, descrierea unui sistem prin aceastămetodă este identică cu cea obţinută cu ajutorul funcţiei de transfer.

Discrete Transfer Fcn Reprezintă modelul unui sistem descris de funcţia de transfer în z

( ) ( )( )

10 1

10 1

n n n mm

n nn

P z p z p z p zG zQ z q z q z q

− −

−

+ + += =

+ + +

,

în care m+1 şi n+1 sunt numerele de coeficienţi ai numărătorului, respectiv numitorului, iar coeficienţii pi, şi qitrebuie să respecte aceleaşi condiţii enumerate la descrierea blocului Transfer Fcn din biblioteca Continuous.

Discrete Zero-Pole Reprezintă modelul unui sistem discret a cărui funcţie de transfer este

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2

m

n

Z z z Z z Z z ZG z K K

P z z P z P z P− − −

= =− − −

,

polii, zerou-rile şi amplificarea fiind exprimate în funcţie de operatorul z.Condiţiile impuse dimensiunilor şitipului parametrilor sunt aceleaşi ca şicelor ale blocului Zero-Pole din biblioteca Continuous.

Discrete State-Space Realizează modelul sistemelor discrete caracterizate de ecuaţiile de stare:


152

( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )

1x n A x n B u n

y n C x n D u n

+ = + = +

,

în care semnificaţiile mărimilor sunt similare celor descrise anterior în cazul blocului State-Space din biblioteca Continuous. Dimensiunile matricelor coeficienţilor trebuie să respecte aceleaşirestricţii descrise de Fig. 7.22.

Grupul Sample & Hold Delays conţine blocurile

Memory Furnizează la ieşirea sa intrarea ce i-a fost aplicată la pasul anterior de simulare, fiind practic un bloc de eşantionare-memorare. Nu se recomandăutilizarea lui în cazul alegerii metodelor de integrare ode15s şi ode113 ([14], pag. 2-232). Acest bloc se utilizează pentru întreruperea buclelor algebrice ce se pot crea atunci când într-un model, semnalele de la ieşire sunt aduse la intrările blocurilor care le-au generat, fără să existe pe întreg circuitul cel puţin un bloc integrator.

First-Order Hold Realizează un circuit de eşantionare-memorare de ordinul I, respectiv furnizează la ieşire un semnal liniar variabil, cu pantă constantă pe durata fiecărei perioade de eşantionare, egală cu cea pe care a avut-o semnalul de la intrare la începutul perioadei de eşantionare. În practică este rar utilizat, având mai mult o valoare teoretică.

Zero-Order Hold Bloc de eşantionare-memorare cu perioada de eşantionare, ce poate fi diferită de pasul de simulare, stabilităprin caseta de dialog a blocului. Păstrează la ieşire valoarea de la intrare pe durata întregii perioade de eşantionare.


153

7.4.5. Sub-biblioteca Math Operations Este o bibliotecă bogată (Fig. 7.24) şi conţine blocuri, reunite în patru

grupuri care, datorită generalităţii şi versatilităţii, sunt foarte frecvent utilizate pentru realizarea modelelor Simulink ale diferitelor sisteme.

Funcţiile pe care le realizează sunt de cele mai multe ori evidente, din acest motiv nu se va insista asupra lor.

Grupul Math Operations, reuneşte blocurile: Sum Realizează însumarea algebrică a

semnalelor de la intrări, ce pot fi scalare şi/sau vectoriale. Prin caseta de dialog a blocului se poate modifica forma blocului (cerc sau dreptunghi) şi semnele intrărilor. Pentru obţinerea unor ecarturi mai mari între porturile de intrare poate fi folosit în lista semnelor (List of signs)caracterul „|”. Prin extensia casetei de dialog (Show additional parameters) se

Fig. 7.24 Sub-biblioteca Math Operations


154

poate schimba opţional tipul variabilei de ieşire.

Product Poate realiza deferite operaţii, în funcţie de selecţiile realizate prin caseta de dialog. În primul rând, multiplicarea se poate aplica elementelor (scalare sau vectoriale) aplicate la intrări sau matricelor. În câmpul Number of inputs se pot specifica (numeric) fie numărul de intrări ce vor fi multiplicate, fie, printr-un şir de semne „*” şi „/”, numărul de intrări şi operaţiile ce se vor efectua asupra lor. Dacă se specifică o singurăintrare, ieşirea blocului va fi produsul elementelor vectorului aplicat la intrare. Dacă se specifică doar „/”, operaţia realizată este inversul produsului elementelor vectorului aplicat la intrare dacă operaţia se aplică elementelor (Element wise) sau inversarea matricei aplicate la intrare, dacă operaţia se aplicămatricei. Ca şi în cazul blocului Sum,prin extensia casetei de dialog (Showadditional parameters) se poate schimba opţional tipul variabilei de ieşire.

Dot Product Realizează multiplicarea a doi vectori de aceeaşi dimensiune aplicaţi celor douăintrări, '

1 2*y u u=∑ . Abs Furnizează la ieşire valoarea absolută a

semnalului de la intrare, y = |u|. Sign Realizează funcţia Matlab y = sign(u).

Ieşirea este +1 dacă intrarea este pozitivă, -1 dacă intrarea este negativă şi0 dacă intrarea este nulă.

MinMax Dacă este un singur port de intrare, furnizează la ieşire un scalar ce reprezintă minimul sau maximul (selectabil prin caseta de dialog a blocului) elementelor vectorului de la intrare. Dacă blocul are mai multe


155

porturi de intrare, blocul realizeazăcomparaţia element cu element ale vectorilor de la intrare, furnizând un vector de valori minime sau maxime.

Gain Este unul din cele mai utilizate blocuri Simulink, realizând multiplicarea semnalului scalar, vectorial sau matriceal de la intrare cu o constantă, variabilă sau expresie, stabilite prin caseta de dialog a blocului (câmpul Gain). După stabilirea acestuia, dacă imaginea blocului este suficient de mare, aceasta se va modifica, afişându-se valoarea înscrisă.În caz contrar, se va afişa „-K-”. Valoarea poate fi modificată în timpul simulării.

Slider Gain Realizează aceeaşi funcţie ca şi blocul Gain, asupra variabilei scalare sau vectoriale aplicate la intrare, doar cădispune de o interfaţă grafică care permite modificarea valorii amplificării, între două limite prestabilite, cu ajutorul unui cursor.

Matrix Gain Este o dublare a blocului Gain. În versiunile Simulink anterioare, blocul Gain nu realiza şi operaţii cu matrice. Odată cu îmbogăţirea posibilităţilor de parametrare a acestuia, blocul Matrix Gain a fost păstrat ca bloc separat doar din motive „istorice”, el putând fi configurat să devină bloc Gain. Dacăvectorul de intrare are n componente, matricea de amplificare trebuie să aibă mlinii şi n coloane pentru ca vectorul de ieşire să aibă m componente.

Math Function Realizează una din funcţiile matematice Matlab [8], selectată din lista disponibilăprin caseta de dialog a blocului: exp, log,10^u, log10, magnitude^2, square, sqrt,pow, conj, reciprocal, hypot, rem, mod,


156

transpose, hermitian. După închiderea casetei de dialog, masca blocului se va modifica, afişându-se numele funcţiei selectate.

Rounding Function Aplică semnalului de la intrare una din funcţiile de aproximare disponibile în Matlab: floor (rotunjire către -∞), ceil (rotunjire către ∞), round (rotunjire la cel mai apropiat întreg), fix (rotunjire la partea întreagă).

Trigonometric function Realizează una din funcţiile trigonometrice disponibile în Matlab [8], selectată din lista disponibilă prin caseta de dialog a blocului: sin, cos, tan, asin,acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh,asinh, acosh, atanh. După închiderea casetei de dialog, masca blocului se va modifica, afişându-se numele funcţiei selectate.

Algebraic Constraint Forţează atingerea de către semnalul de intrare a valorii nule, furnizând la ieşire valoarea pentru care această condiţie este îndeplinită. Evident că ieşirea trebuie săcontroleze intrarea printr-o legătură dereacţie. Blocul poate fi folosit pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice şi diferenţiale de ordinul I ([14], pag. 2-8).

Polynomial Este un bloc nou faţă de versiunile anterioare. Calculează evaluarea polinomială a unei funcţii ai cărei coeficienţi sunt specificaţi prin masca blocului, pentru valoarea aplicată la intrare, de forma

10 1

n nny P x P x P−= + + +… .

Grupul Vector Operations reuneşte blocuri noi faţă de versiunile anterioare, care realizează operaţii asupra mărimilor vectoriale: Assignment Este un bloc nou faţă de versiunile

anterioare. Calculează evaluarea


157

polinomială a unei funcţii ai cărei coeficienţi sunt specificaţi prin masca blocului, pentru valoarea aplicată la intrare, de forma

10 1

n nny P x P x P−= + + +… .

Matrix Concatenation Concatenează liniile sau coloanele (selectabil prin caseta de dialog) semnalelor vectoriale sau matriceale aplicate la intrarea sa. Semnalele vectoriale sunt tratate ca vectori coloană.

Reshape Modifică dimensiunea vectorului sau matricei aplicate la intrare. Tipul şidimensiunea variabilei de ieşire pot fi selectate prin caseta de dialog (vector simplu, vector coloană, vector linie, matrice de dimensiune selectabilă).

Grupul Logic Operations reuneşte blocuri care realizează operaţii logice asupra mărimilor de intrare: Bitwise Logic Operator Realizează operaţii logice bit cu bit şi de

deplasare, asupra mărimilor întregi pe 8, 16 sau 32 de biţi aplicate la intrare, utilizând al doilea operand specificat în caseta de dialog a blocului. Este un bloc nou faţă de versiunile anterioare.

Combinational Logic Realizează un tabel de adevăr standard ce poate modela arii logice programabile (PLAs - Programmable Logic Arrays), circuite logice, tabele de decizie şi alte expresii booleene. Prin caseta de dialog a blocului se specifică (Truth Table) omatrice ce defineşte toate valorile posibile ale ieşirii. Fiecare linie a matricei corespunde unei combinaţii a semnalelor aplicate la intrări. Rezultă cănumărul de linii trebuie să fie 2(numărul de

intrări). Cu acest bloc pot fi realizate şicircuite secvenţiale ([14], pag. 2-69).

Logical Operator Aplică semnalelor de la intrări una din funcţiile logice, selectată prin caseta de


158

dialog: AND (ŞI), OR (SAU), NAND (ŞI-NU), NOR (SAU-NU), XOR (SAU EXCLUSIV), NOT (NU). Dacă blocul are un singur port de intrare, funcţia logică se aplică elementelor vectorului de la intrare.

Relational Operator Realizează comparaţia semnalelor (scalare sau vectoriale) aplicate celor două intrări. Ieşirea blocului are valoarea logică TRUE (ADEVĂRAT), respectiv „1”, dacă primul operand respectăcondiţia stabilită prin masca blocului faţă de cel de-al doilea operand: = = (egal), ~= (diferit), < (mai mic), <= (mai mic sau egal), >= (mai mare sau egal), > (mai mare). În caz contrar, ieşirea va lua valoarea logică FALSE (FALS), respectiv „0”.

Al patrulea grup al sub-bibliotecii Math Operations, Complex Vector

Conversions, reuneşte blocuri ce realizează transformări de reprezentare a mărimilor vectoriale aplicate la intrare: Complex to Realizează conversia unui semnal

Magnitude-Angle reprezentat printr-un număr complex în forma de reprezentare Amplitudine - Fază. Prin caseta de dialog a blocului se pot selecta ieşirile: doar Magnitude (Amplitudine), doar Angle (Faza) sau Magnitude and Angle (ambele), masca blocului modificându-se corespunzător selecţiei.

Magnitude-Angle to Realizează conversia unui semnal Complex reprezentat prin amplitudine şi fază

într-un număr complex. Prin caseta de dialog a blocului se pot selecta intrările: doar Magnitude (Amplitudine), doar Angle (Faza) sau Magnitude and Angle (ambele), masca blocului modificându-se corespunzător selecţiei. În primele două situaţii, variabila neaplicată ca


159

semnal de intrare poate fi specificată ca parametru prin caseta de dialog a blocului.

Complex to Real-Imag Furnizează la ieşiri, părţile reală şiimaginară ale semnalului aplicat la intrare, reprezentat prin forma complexă.Prin caseta de dialog a blocului se pot selecta ieşirile: doar Real, doar Imag sau Real and imag (ambele), masca blocului modificându-se corespunzător selecţiei.

Real-Imag to Complex Furnizează la ieşire, reprezentarea în formă complexă a semnalelor aplicate la intrare, ce au semnificaţia părţii reale şiimaginare ale unui vector. Prin caseta de dialog a blocului se pot selecta intrările: doar Real, doar Imag sau Real and Imag (ambele), masca blocului modificându-se corespunzător selecţiei. În primele două situaţii, variabila neaplicată ca semnal de intrare poate fi specificată ca parametru prin caseta de dialog a blocului.

7.4.6. Sub-biblioteca Signal Routing Conţine (Fig. 7.25) blocuri ce permit multiplexarea şi demultiplexarea

semnalelor, realizarea conexiunilor de intrare/ieşire din model, transmiterea datelor în cadrul aceluiaşi model şi altele.

Blocurile sunt grupate în două grupuri funcţionale: Signal Routing şiSignal Storage & Access.

Primul grup reuneşte blocuri cu ajutorul cărora sunt manipulate semnalele: Bus Creator Grupează semnalele aplicate la intrare

într-o magistrală de date, pentru simplificarea traseelor semnalelor dintr-un model. Semnalele pot fi separate ulterior, prin utilizarea unui bloc Bus Selector.

Bus Selector Selectează dintr-un semnal vectorial de intrare, componentele ce se doresc a se extrage şi ordinea lor. Prin caseta de


160

dialog a blocului se poate selecta ca ieşirea să fie individuală, numărul porturilor de ieşire fiind egal cu al semnalelor selectate, sau multiplexată (o singură ieşire vectorială). De asemenea, se poate modifica ordinea semnalelor de ieşire sau în semnalul vectorial de ieşire.

Mux Combină (concatenează) intrările, scalare sau vectoriale într-un singur semnal vectorial de ieşire. Ordinea variabilelor în semnalul vectorial de ieşire este dată de ordinea variabilelor în semnalele de intrare şi de ordinea porturilor de intrare. Prin caseta de dialog a blocului se poate modifica numărul porturilor de intrare, masca blocului modificându-se corespunzător.

Fig. 7.25 Sub-biblioteca Signal Routing


161

Demux Separă semnalul vectorial de intrare în mai multe semnale scalare sau vectoriale de ieşire. Prin caseta de dialog a blocului se poate selecta numărul de ieşiri. Dacăacesta este egal cu numărul componentelor vectorului de intrare, fiecare ieşire va fi scalară. În caz contrar ieşirile, sau unele dintre ele, vor fi semnale vectoriale ([14], pag. 2-97).

Merge Fuzionează temporal semnalele scalare sau vectoriale de intrare într-un singur semnal scalar a cărui valoare, la orice moment al simulării este determinată decea mai recentă dată din semnalele de la intrare.

Selector Selectează şi ordonează semnalele de intrare, în funcţie de vectorul de ordonare stabilit prin caseta de dialog a blocului. Funcţionalitatea este similarăblocului Bus Selector.

Manual Switch Propagă la ieşire una din cele douăintrări. Comutarea se face (chiar şi în timpul simulării) prin dublu-click pe bloc.

Multiport Switch Propagă la ieşire una dintre intrări (porturile 2, 3, …) în funcţie de valoarea intrării de comandă (portul 1), rotunjităla cel mai apropiat întreg.

Switch Propagă la ieşire una din cele douăintrări (porturile 1 şi 3), în funcţie de intrarea de comandă (portul 2). Dacăvaloarea semnalului de comandă este mai mare sau egală cu valoarea parametrului Threshold stabilit prin caseta de dialog, la ieşire este propagatăprima intrare. În caz contrar este propagată intrarea a doua.

From, Goto Conectori pentru transferarea semnalelor în cadrul aceluiaşi subsistem sau între subsisteme diferite, fără a fi necesară


162

realizarea conexiunilor directe. Semnalele sunt transferate între conectorii cu aceeaşi etichetă (Tag). Blocului Goto i se poate selecta prin caseta de dialog nivelul de comunicare (Tag visibility): local – doar în cadrul aceluiaşi

subsistem; scoped – în cadrul aceluiaşi subsistem

sau spre subsisteme inferioare ierarhic; global – oriunde în model.

Goto Tag Visibility Defineşte accesibilitatea blocurilor Goto ce au setat nivelul de comunicare scoped. Conectorul a cărui etichetă este specificată prin parametrul Goto tag poate fi accesat de către blocuri From din acelaşi subsistem cu blocul Goto Tag Visibility sau din subsisteme inferioare ierarhic.

Grupul Signal Storage & Access reuneşte blocurile: Data Store Memory Defineşte şi iniţializează o zonă partajată

de memorare a datelor utilizată deblocuri de scriere (Data Store Write) şide citire (Data Store Read). Acestea trebuie să fie în acelaşi subsistem sau în subsisteme inferioare ierarhic).

Data Store Write Scrie variabila de la intrarea sa în zona de memorare aleasă prin caseta de dialog a blocului. Fiecare operaţie de scriere realizează în fapt o suprascriere a valorii actuale, înlocuind valoarea anterioară.

Data Store Read Citeşte zona de memorare aleasă prin caseta de dialog a blocului, oferind-o la ieşirea blocului. Zona de memorare trebuie să fi fost definită cu un bloc Data Store Memory şi (eventual) actualizatăde către un bloc Data Store Write, cu aceleaşi etichete.


163

7.4.7. Sub-biblioteca Signal Attributes Conţine (Fig. 7.26) blocuri ce permit identificare sau modificarea

tipurilor variabilelor implicate.

Blocurile sunt grupate în două grupuri funcţionale: Signal Attribute Manipulation şi Signal Attribute Detection.

Primul grup reuneşte blocurile: Data Type Conversion Schimbă tipul variabilei de intrare în cel

selectat prin caseta de dialog a blocului. Imaginea blocului este actualizată în funcţie de selecţia realizată.

IC Stabileşte pentru semnalul aplicat la intrare valoarea iniţială impusă prin caseta de dialog (altfel, toate variabilele dintr-un model sunt iniţializate la „0”).

Rate Transition Specifică mecanismul de transfer a datelor între două sisteme care sunt simulate cu paşi diferiţi.

Al doilea grup, Signal Attribute Detection, reuneşte blocurile: Probe Furnizează la ieşire informaţiile selectate

prin caseta de dialog, despre semnalul aplicat la intrare: dimensiune, perioada de eşantionare a semnalului, indicator dacă semnalul este complex.

Signal Specification Specifică caracteristicile semnalului transmis pe linia pe care este conectat

Fig. 7.26 Sub-biblioteca Signal Attributes


164

(dimensiunea, rata de transfer, tipul variabilei, tipul semnalului).

Width Furnizează la ieşire dimensiunea vectorului aplicat la intrare.

7.4.8. Sub-biblioteca Discontinuities Grupează blocuri (Fig. 7.27) ce realizează funcţii discontinue asupra

semnalelor aplicate la intrare:

Saturation Limitează excursia semnalului de ieşire între limitele (Upper limit – superioară şiLower limit – inferioară) stabilite prin caseta de dialog.

Dead Zone Menţine ieşirea la zero dacă semnalul de intrare este cuprins între limitele stabilite prin caseta de dialog. Dacă nu, semnalul de ieşire are aceeaşi evoluţie cu a celui de la intrare, dar diminuat (în modul) cu valorile limitelor.

Rate Limiter Limitează derivata de ordinul I a semnalului aplicat la intrare, la valorile stabilite prin caseta de dialog a blocului, respectiv panta de creştere (Rising slew rate) şi de scădere (Falling slew rate) ale semnalului.

Backlash Implementează un sistem în care ieşirea urmăreşte intrarea, cu excepţia situaţiilor

Fig. 7.27 Sub-biblioteca Discontinuities


165

când semnalul de intrare îşi schimbăsensul de variaţie (sistem cu „jocuri”). Lărgimea „jocului” – Deadband width poate fi stabilit prin caseta de dialog. Acesta este centrat pe valoarea de ieşire.

Relay Simulează un sistem cu histerezis. Când ieşirea este în starea On, ea este menţinută până când intrarea scade sub valoarea de deconectare (Switch off point). Când ieşirea este în starea Off, ea este menţinută până când intrarea creşte peste valoarea de conectare (Switch on point). Valorile de comutare şi cele de ieşire corespunzătoare celor două stări pot fi modificate prin caseta de dialog.

Quantizer Cuantifică semnalul aplicat la intrare în trepte de cuantificare stabilite prin caseta de dialog.

Hit Crossing Detectează momentul când semnalul de intrare atinge valoarea impusă prin parametrul Hit crossing offset, în sensul specificat prin parametrul Hit crossing direction. În acest moment furnizează la ieşire valoarea „1”, în rest fiind „0”.

Coulomb & Viscous Friction Modelează forţele de frecare de înţepenire (Coulomb) şi vâscoasă printr-o funcţie cu discontinuitate în zero şiamplificare liniară în rest.

7.4.9. Sub-biblioteca Look-up Tables Această sub-bibliotecă reuneşte blocuri ce realizează interpolarea sau

extrapolarea unor panouri de date: Look-Up Table Realizează alocarea fiecărei valori

aplicate la intrare a unei valori la ieşire, pe baza interpolării liniare a valorilor definite prin caseta de dialog a blocului: Vector of input values (vectorul variabilei de intrare) şi Vector of output values (vectorul variabilei de ieşire). Vectorii se pot introduce ca vectori linii


166

sau coloane. În cazul în care variabila de intrare este în afara domeniului definit prin vectorul variabilei de intrare, se realizează extrapolarea folosind primele două sau ultimele două puncte.

Look-Up Table (2-D) Realizează o funcţie similară blocului Look-Up Table, doar că interpolarea valorii de le ieşire se face în funcţie de cele două variabile aplicate la intrare. Prin caseta de dialog a blocului se specifică vectorii liniilor (Row) şi al coloanelor (Column) ai matricei de intrare şi matricea valorilor de interpolare (Table), ce trebuie să aibăaceeaşi dimensiune cu matricea valorilor de intrare. În cazul în care variabilele de intrare sunt în afara domeniului definit prin matricea variabilelor de intrare, se realizează extrapolarea.

Look-Up Table (n-D) Similar blocului Look-Up Table (2-D),realizează interpolarea valorii de le ieşire în funcţie de 2, 3, 4 sau mai multe variabile aplicate la intrare. Prin caseta de dialog a blocului se specifică vectorii liniilor (Row) şi al coloanelor (Column)ai matricei de intrare şi matricea valorilor de interpolare (Table), ce

Fig. 7.28 Sub-biblioteca Look-Up Tables


167

trebuie să aibă aceeaşi dimensiune cu matricea valorilor de intrare. În cazul în care variabilele de intrare sunt în afara domeniului definit prin matricea variabilelor de intrare, se realizeazăextrapolarea (valoare constantă,interpolare liniară, interpolare Spline).

PreLook-Up Index Search Localizează poziţia relativă a variabilei de intrare în cadrul unui domeniu de numere definite prin caseta de dialog (breakpoint data). Blocul furnizează ovaloare vectorială ce constă în indicele intervalului în care se află variabila de intrare şi o valoare fracţionară ce reprezintă poziţia relativă în cadrul intervalului.

Interpolation (n-D) Realizează interpolare n-dimensionalăusing PreLook-Up folosind valorile furnizate de un bloc

PreLook-Up Index Search. Tabelul n-dimensional este în fapt reprezentare eşantionată a unei funcţii de n variabile.

Direct Look-Up Table (n-D) Furnizează la ieşire elementul din tabelul n-dimensional definit prin caseta de dialog, a cărui poziţie este specificată desemnalele de intrare. Prima valoare a indicilor este zero. Prin caseta de dialog, se poate selecta să se furnizeze la ieşire o coloană sau o matrice 2-D.

7.4.10. Sub-biblioteca User-Defined Functions Această bibliotecă (Fig. 7.29) grupează câteva blocuri deosebit de

versatile şi eficiente: Fcn Este un bloc cu funcţionalitate deosebită,

putând realiza funcţii complexe într-o manieră foarte compactă. Prin caseta de dialog a blocului se poate introduce expresia funcţiei ce se va aplica variabilei de intrare. Aceasta poate conţine:


168

u – variabila de intrare. Dacă variabila de intrare este un vector, u[i]desemnează componenta i a acestuia. u[1] sau simplu u desemnează prima componentă;

constante numerice; operatori aritmetici (+ - * /); operatori relaţionali; operatori logici; paranteze; funcţii matematice; variabile din spaţiul de lucru Matlab. Ieşirea este totdeauna un scalar.

MATLAB Fcn Aplică semnalului de la intrare funcţia definită prin caseta de dialog a blocului. Este similar blocului Fcn descris mai sus, cu două deosebiri importante:

1. poate opera şi cu matrice; 2. este mai lent deoarece

apelează interpretorul MATLAB la fiecare pas de integrare.

S-Function Oferă accesul la o funcţie S (S-function = system function) al cărei nume este specificat prin caseta de dialog a blocului (parametrul S-function name). O funcţie S este un fişier cu extensia .msau .mex (M-file sau MEX-file) scris ca

Fig. 7.29 Sub-biblioteca User-Defined Functions


169

un fişier S-function (respectă standardul fişierelor S-function) în care se definesc şi ecuaţiile ce descriu comportarea sistemului simulat. Este unul din cele mai puternice instrumente al Simulink, oferind posibilitatea incorporării în modele a rutinelor scrise în limbajele C sau Fortran. Modul de utilizare şifacilităţile sunt descrise într-un manual distinct Writing S-Functions [14] al pachetului Simulink. Trebuie însăsubliniat că, deşi modelele realizate prin utilizarea blocurilor S-function sunt mult mai compacte, timpul de simulare este uşor mai mare faţă de modelul aceluiaşisistem realizat cu blocuri „clasice” Simulink.

S-Function Builder Este un bloc nou faţă de versiunile anterioare, care este un utilitar cu ajutorul căruia pot fi construite într-o manieră interactivă modele bazate pe S-function.

7.4.11. Sub-biblioteca Model Verification Sub-biblioteca Model Verification (Fig. 7.30) conţine blocuri care

permit realizarea unor modele care să se autotesteze.

Fig. 7.30 Sub-biblioteca Model Verification


170

Acestea au fost dezvoltate în colaborare cu Daimler Chrysler AG. În principal, valorile variabilei de intrare sunt monitorizate pentru a respecta anumite condiţii. Casetele de dialog ale blocurilor permit să se selecteze ca semnalul de validare să fie disponibil la ieşirea blocului. Acesta va avea valoarea „1” atât timp cât condiţia este îndeplinită, devenind „0” la depăşirea limitei. În cazul în care condiţia nu este respectată, prin caseta de dialog a blocului se poate selecta oprirea simulării sau executarea unui callback (o anumită secvenţă de instrucţiuni). Check Static Lower Bound Monitorizează ca semnalul aplicat la

intrare să fie superior (sau cel mult egal) limitei inferioare, specificată în caseta de dialog.

Check Static Upper Bound Monitorizează ca semnalul aplicat la intrare să fie inferior (sau cel mult egal) limitei superioare, specificată în caseta de dialog.

Check Static Range Monitorizează ca semnalul aplicat la intrare să se situeze între cele două limite specificate prin caseta de dialog a blocului.

Check Static Gap Monitorizează ca semnalul aplicat la intrare să se situeze în afara celor douălimite specificate prin caseta de dialog a blocului.

Check Dynamic Monitorizează ca semnalul aplicat pe a Lower Bound doua intrare a blocului să fie superior

(sau cel mult egal) limitei inferioare dinamice aplicate pe prima intrare a blocului.

Check Dynamic Monitorizează ca semnalul aplicat pe a Upper Bound doua intrare a blocului să fie inferior

(sau cel mult egal) limitei superioare dinamice aplicate pe prima intrare a blocului.

Check Dynamic Range Monitorizează ca semnalul aplicat pe a treia intrare să se situeze între cele douălimite dinamice aplicate pe primele douăintrări ale blocului.

Check Dynamic Gap Monitorizează ca semnalul aplicat pe a treia intrare să se situeze în afara celor


171

două limite dinamice aplicate pe primele două intrări ale blocului.

Assertion Monitorizează ca semnalul aplicat la intrare să fie diferit de zero.

Check Discrete Gradient Monitorizează ca valoarea absolută adiferenţei între două eşantioane succesive ale unui semnal să fie inferioară celei specificate prin caseta de dialog.

Check Input Resolution Monitorizează ca semnalul aplicat la intrare să fie caracterizat de o anumitărezoluţie, specificată prin caseta de dialog a blocului. Dacă se specifică unscalar, semnalul de la intrare trebuie săfie un multiplu întreg al acestuia, cu toleranţa de 10-3. Dacă prin caseta de dialog a blocului se specifică un vector, atunci semnalul de la intrare trebuie să ia una din valorile vectorului de rezoluţie.

7.4.12. Sub-biblioteca Ports & Subsystems Grupează blocuri (Fig. 7.31)ce permit realizarea conexiunilor de

intrare/ieşire din model, realizarea mai multor variante de subsisteme şialtele. In1 - Inport Creează un port de intrare a unui

subsistem sau o intrare externă.Numerotarea blocurilor Inport se face automat, de sus în jos şi de la stânga la dreapta. Ştergerea unui port de intrare determină renumerotarea celor rămase, astfel încât să fie numerotate secvenţial. Ordinea numerotării determină ordinea porturilor de intrare ale subsistemului creat (Fig. 7.32). Schimbarea, prin caseta de dialog a blocului, a numărului portului determină modificarea poziţiei portului de intrare a subsistemului.


172

Out1 – Outport Creează un port de ieşire a unui subsistem sau o ieşire. Tratarea de către Simulink a acestui bloc este similarăblocului Inport.

Trigger Prin plasarea acestui bloc într-un subsistem, acesta devine un subsistem triggerat (este executat o dată la fiecare pas de integrare atunci când valoarea

Fig. 7.31 Sub-biblioteca Ports & Subsystems

Fig. 7.32 Utilizarea blocurilor Inport şi Outport: a) înainte de crearea unui subsistem; b) după crearea subsistemului


173

semnalului aplicat intrării de trigger are evoluţia specificată prin caseta de dialog: front pozitiv, front negativ, front pozitiv/negativ, apelarea unei funcţii).

Enable Prin plasarea acestui bloc într-un subsistem, acesta devine un subsistem activ (este executat atât timp cât semnalul aplicat intrării Enable este mai mare ca zero).

Function-Call Generator Lansează în execuţie un subsistem ce poate fi apelat (function-call subsystem)la intervale de timp stabilite prin caseta de dialog a blocului (Sample time). Pentru executarea mai multor subsisteme apelabile într-o anumită ordine, la ieşirea blocului Function-Call Generator se conectează un bloc Demux cu numărul de porturi de ieşire egal cel al subsistemelor ce trebuie controlate. Acestea vor fi executate în ordinea în care sunt conectate la ieşirile blocului Demux.

SubSystem Creează un subsistem în modelul în care este plasat. După plasare, prin dublu-click pe bloc, va fi deschisă o nouăfereastră în care se poate realiza modelul noului subsistem. Pentru crearea de porturi de intrare şi/sau ieşire, semnalele pe care subsistemul le schimbă cu exteriorul trebuie să fie conectate la blocuri In1-Inport, respectiv Out1-Outport. O altă posibilitate de creare a subsistemelor, este selectarea blocurilor şi a conexiunilor din model ce săformeze subsistemul şi selectarea comenzii Create Subsystem din meniu Edit.

Configurable System Permite reprezentarea blocurilor unei biblioteci, specificată iniţial prin caseta de dialog a acestui bloc, ca un singur


174

bloc. Caseta de dialog a blocului Configurable System permite apoi alegerea dintr-o listă ce conţine toate blocurile din bibliotecă, a blocului ce săfie reprezentat şi a parametrilor acestuia.

Triggered Subsystem Creează un subsistem triggerat în modelul în care este plasat.

Enabled Subsystem Creează un subsistem activ în modelul în care este plasat.

Function Call Subsystem Creează un subsistem triggerat de apelarea unei funcţii.

For Iterator Subsystem Creează un subsistem ce este executat la fiecare pas de integrare de un anumit număr de ori, specificat prin caseta de dialog a blocului For Iterator.

While Iterator Subsystem Creează un subsistem ce este executat la fiecare pas de integrare atât timp condiţia specificată este adevărată.

If Action Subsystem Împreună cu blocul If, se creează unarbore de subsisteme executate condiţional la îndeplinirea condiţiilor specificate prin caseta de dialog a blocului If.

Switch Case Action Subsystem Împreună cu blocul Switch Case, se creează un arbore de subsisteme executate condiţional în funcţie de valoarea semnalului aplicat intrării blocului Switch Case.

7.4.13. Sub-biblioteca Model-Wide Utilities Conţine blocuri generale pentru linearizarea modelelor sau

documentarea acestora. Blocurile sunt grupate în două grupuri funcţionale: Linearization of

Running Models şi Documentation.

Primul grup reuneşte blocuri cu ajutorul cărora sunt linearizate modelele, fie când sunt triggerate (Trigger-Based Linearization), fie la anumite momente de timp (Timed-Based Linearization).


175

Al doilea grup, reuneşte blocurile: Model Info Plasarea acestui bloc într-un model,

permite vizualizarea într-o casetă, ainformaţiilor referitoare la modelul respectiv (versiune, autor, date ale modificărilor etc.).

Doc Plasarea acestui bloc într-un model, permite realizarea unui fişier text care conţine documentaţia modelului.

7.5. Biblioteca Simulink Extras Configurată ca bibliotecă distinctă în cadrul Simulink Library

Browser, biblioteca Simulink Extras (Fig. 7.34) reuneşte blocuri cu funcţii speciale, grupate în şase sub-biblioteci.

Fig. 7.33 Sub-biblioteca Model-Wide Utilities

Fig. 7.34 Biblioteca Simulink Extras.


176

7.5.1. Sub-biblioteca Additional Sinks Grupează (Fig. 7.35) blocuri speciale de vizualizare, dintre cele mai

importante evidenţiindu-se:

Power Spectral Density Realizează şi afişează analiza armonică avalorilor instantanee ale semnalului aplicat la intrarea sa.

Averaging Realizează şi afişează analiza armonică aPower Spectral Density valorilor mediate, pe un interval de timp,

ale semnalului aplicat la intrarea sa. Spectrum Analyzer Analizor spectral al unui sistem. Celor

două porturi de intrare se aplicăsemnalele de intrare, respectiv de ieşire ale unui sistem, vizualizându-se răspunsul temporal al sistemului, precum şi diagramele atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă, pe baza valorilor instantanee ale semnalelor.

Averaging Analizor spectral al unui sistem, pe baza Spectrum Analyzer valorilor mediate, pe un interval de timp,

ale semnalului aplicat la intrarea sa.

7.5.2. Sub-biblioteca Additional Discrete Grupează (Fig. 7.36) blocuri suplimentare ce modelează sisteme

discrete:

Fig. 7.35 Sub-Biblioteca Additional Sinks.


177

Discrete Transfer Fcn Reprezintă modelul unui sistem descris (with initial states) de funcţia de transfer în z, căruia i se

poate prestabili starea iniţială. Discrete Transfer Fcn Reprezintă modelul unui sistem descris

(with initial outputs) de funcţia de transfer în z, căruia i se poate prestabili valoarea iniţială a ieşirii.

Discrete Zero-Pole Reprezintă modelul unui sistem discret (with initial states) descris prin zerouri şi poli, căruia i se

poate prestabili starea iniţială. Discrete Zero-Pole Reprezintă modelul unui sistem discret

(with initial outputs) descris prin zerouri şi poli, căruia i se poate prestabili valoarea iniţială a ieşirii.

7.5.3. Sub-biblioteca Additional Linear Grupează (Fig. 7.37) blocuri suplimentare ce modelează componente

şi sisteme continue:

Fig. 7.36 Sub-Biblioteca Additional Discrete.

Fig. 7.37 Sub-Biblioteca Additional Linear.


178

Transfer Fcn Reprezintă modelul unui sistem descris (with initial states) de funcţia de transfer în s, căruia i se

poate prestabili starea iniţială. Transfer Fcn Reprezintă modelul unui sistem descris

(with initial outputs) de funcţia de transfer în s, căruia i se poate prestabili valoarea iniţială a ieşirii.

Zero-Pole Reprezintă modelul unui sistem descris (with initial states) prin zerouri şi poli, căruia i se poate

prestabili starea iniţială. Zero-Pole Reprezintă modelul unui sistem descris

(with initial outputs) prin zerouri şi poli, căruia i se poate valoarea iniţială a ieşirii.

State-Space Realizează modelul sistemelor continue (with initial outputs) caracterizate de ecuaţiile de stare, căruia

i se poate prestabili valoarea iniţială aieşirii.

PID Controller Regulator PID. Prin caseta de dialog pot fi configuraţi parametrii P, I şi D ai regulatorului.

PID Controller Variantă de regulator PID. (with Approximate Derivative)

7.5.4. Sub-biblioteca Transformations Grupează (Fig. 7.38) blocuri ce realizează diferite tipuri de

transformări. Numele fiecărui bloc sugerează suficient de clar funcţia pe care acesta o realizează, nefiind necesare comentarii suplimentare.

Fig. 7.38 Sub-Biblioteca Transformations.


179

7.5.5. Sub-biblioteca Flip-Flops Grupează (Fig. 7.39) blocuri ce modelează circuite basculante

bistabile.

Clock Generator de tact pentru sisteme digitale. D Latch Celulă de memorare de tip D. S-R Flip-Flop Bistabil de tip RS. D Flip-Flop Bistabil de tip D. J-K Flip-Flop Bistabil de tip JK.

7.5.6. Sub-Biblioteca Linearization Grupează (Fig. 7.40) două blocuri ce pot fi utilizate pentru liniarizarea

unor modele ce conţin neliniarităţi:

Fig. 7.39 Sub- Biblioteca Flip-Flops.

Fig. 7.40 Sub-Biblioteca Linearization.


180

Switched derivative Realizează aproximarea derivatei unui semnal printr-o funcţie de transfer adecvată.

Switched transport delay Realizează aproximarea unui bloc de întârziere cu o funcţie Pade a cărui ordin poate fi specificat prin caseta de dialog a blocului.

7.6. Alte biblioteci

7.6.1. Biblioteci de tipul Toolboxes Simulink, bazându-se pe infrastructura de calcul a MATLAB, poate

utiliza o mare varietate de funcţii a acestuia pentru crearea, analiza şioptimizarea modelelor nou create. Această facilitate este asigurată prin intermediul unor colecţii de blocuri numite Application Toolboxes, grupate în funcţie de specificul funcţional. Acestea sunt uneori funcţii MATLAB transpuse sub formă de blocuri, pentru a putea fi uşor integrate în modele Simulink, alteori funcţii noi, rezultate ale cercetărilor specialiştilor în domenii de vârf.

În continuare vor fi enumerate sub-bibliotecile de tipul Toolboxes.

Communication Toolbox conţine un set de blocuri destinate facilitării proiectării, analizei şi simulării sistemelor moderne de comunicaţii.

Control System Toolbox conţine blocuri ce realizează funcţii specifice modelării, analizei şi proiectării sistemelor automate de comandă.

Financial Toolbox oferă un set de blocuri ce realizeazăfuncţii specifice analizei financiare.

Frequency-Domain System grupează un set de blocuri destinate Identification Toolbox modelării sistemelor liniare, bazate

pe analiza răspunsului acestora în frecvenţă.

Fuzzy Logic Toolbox oferă un set complet de blocuri destinate proiectării, simulării şi analizei sistemelor cu inferenţe Fuzzy.

Higher-Order Spectral grupează blocuri destinate prelucrării Analysis Toolbox semnalelor utilizând analiza spectrală.

Image Processing Toolbox conţine blocuri utile prelucrării imaginilor (filtre, restaurarea imaginilor,


181

transformări 2-D). LMI Control Toolbox oferă un set de blocuri utile pentru

rezolvarea inegalităţilor matriceale liniare (Linear Matrix Inequalities), utilizate în automatică (analiza stabilităţii, a robusteţii, plasarea polilor etc).

Model Predictive Control grupează blocuri utile elaborării Toolbox comenzii sistemelor caracterizate de un

număr mare de variabile de intrare şi deieşire, unele având restricţii (ingineria chimică).

MU-Analysis and Synthesis conţine blocuri specializate pentru Toolbox proiectarea comenzilor optimale H∞.

NAG Foundation Toolbox conţine peste 200 de blocuri ce realizează funcţii de calcul numeric provenite din bibliotecile de rutine NAG Fortran.

Neural Network Toolbox constituie o colecţie de funcţii MATLAB destinate proiectării şi analizei sistemelor utilizând reţele neuronale.

Optimization Toolbox conţine comenzi pentru optimizarea funcţiilor liniare şi neliniare, inclusiv ale celor cu restricţii.

Partial Differential Equation extinde facilităţile de calcul ale Toolbox MATLAB pentru studiul soluţiilor ecua-

ţiilor diferenţiale cu derivate parţiale, cu aplicaţii în analiza transferului termic, mecanica structurală, electrostatică,magnetostatică şi alte domenii.

QFT Control Design Toolbox oferă un set de blocuri destinate proiectării comenzii sistemelor cu incertitudini, pe baza teoriei reacţiei cantitative (Quantitative Feedback Theory).

Robust Control Toolbox oferă un set specializat de blocuri destinate sistemelor robuste în raport cu incertitudinile externe.

Signal Processing Toolbox conţine blocuri utile prelucrării semnalelor (aplicaţii audio, video,


182

telecomunicaţii, medicină). Spline Toolbox conţine blocuri specializate pentru

aproximarea polinomială a funcţiilor. Statistics Toolbox oferă un set de blocuri dedicate analizei

statistice. Symbolic Math Toolbox oferă un set de facilităţi pentru calculul

simbolic (literal). System Identification Toolbox este o colecţie de blocuri destinate

estimării şi identificării sistemelor. Wavelet Toolbox oferă o colecţie de rutine pentru

explorarea fenomenelor dinamice, multidimensionale (prelucrarea imaginilor şi a semnalelor, geofizică,medicină, finanţe).

7.6.2. Componente Real-Time Workshop Componenta Real-Time Workshop şi Real-Time Workshop ADA

Extension oferă posibilitatea compilării schemelor Simulink, generându-se cod C, respectiv ADA, asigurându-se portabilitatea modelelor diferitelor sisteme (continue, discrete, hibride).

7.6.3. Biblioteci de tipul Blocksets Bibliotecile de tipul Blockset reprezintă colecţii de blocuri Simulink

dezvoltate de către MathWorks sau alte colective de cercetători, specializate:

DSP Blockset oferă un set de blocuri utile simulării şievaluării algoritmilor de prelucrare a semnalelor.

Fixed-Point Blockset conţine o colecţie de blocuri utile creării sistemelor dinamice discrete ce utilizează calculul în virgulă fixă.

Nonlinear Control Design oferă blocuri utile proiectării comenzii Blockset neliniare a sistemelor.

SimPowerSystems grupează blocuri deosebit de utile simulării sistemelor din domeniul electrotehnic. Ţinând cont de facilităţile deosebite pe care această bibliotecă le oferă, structura ei va fi detaliată în cadrul unui subcapitol distinct.


183

7.7. Biblioteca SimPowerSystems Biblioteca SimPowerSystems (Fig. 7.41) a fost dezvoltată în cadrul

Hydro-Quebec, Canada şi conţine blocuri, grupate în şase sub-biblioteci, utile pentru modelarea şi simularea sistemelor electrice de putere, inclusiv a celor insulare, ca cele din domeniul naval, aerian sau aerospaţial.

Utilizarea blocurilor din sub-biblioteci este similară blocurilor Simulink în ceea ce priveşte interconectarea lor. Există însă specificităţi ce se referă în principal la sursele utilizate, realizarea conexiunilor şivizualizarea rezultatelor.

Ca surse de alimentare trebuie utilizate sursele din sub-biblioteca Electrical Sources. Nu mai este posibilă utilizarea surselor din biblioteca Simulink-Sources, decât pentru semnale de comandă sau control.

Realizarea conexiunilor multiple (conectarea ieşirii unui bloc la mai multe ieşiri) se poate face doar utilizând una din variantele de Bus bar din sub-biblioteca Connectors.

Pentru vizualizarea rezultatelor, pot fi în continuare utilizate osciloscoapele din biblioteca Simulink-Sinks, dar acestea nu pot fi conectate direct pe liniile de conexiune din model, ci doar prin intermediul unor blocuri de măsură de tensiune, de curent sau de impedanţă, preluate din sub-biblioteca Measurements. O posibilitate suplimentară importantă devizualizare a semnalelor o reprezintă blocul Multimeter. Fizic, acest bloc nu are nici o intrare, dar preluarea sa într-un model face posibilă ca prin caseta lui de dialog, accesată prin dublu-click pe bloc, să poată fi selectate semnalele ce vor fi vizualizate pe osciloscopul conectat la ieşirea sa, din lista tuturor semnalelor disponibile. Această listă este constituită automat, prin concatenarea tuturor măsurătorilor selectate prin casetele de dialog ale blocurilor utilizate. Este vorba de o opţiune specifică doar blocurilor din

Fig. 7.41 Biblioteca SimPowerSystems


184

biblioteca SimPowerSystems, ea fiind prezentă la majoritatea blocurilor, cu opţiunea implicită None – nici un semnal selectat.

De exemplu, pentru puntea universală (Universal Bridge) aflată în sub-biblioteca Power Electronics, din lista auto-defilantă a opţiunii Measurements, pot fi selectate ca şi semnale (Fig. 7.42):

• tensiunile ce solicită elementele semiconductoare; • curenţii prin elementele semiconductoare; • tensiunile de linie (de intrare sau ieşire, în funcţie de configuraţia

selectată) şi tensiune din circuitul de c.c. • toate tensiunile şi curenţii.

Selectarea primei opţiuni (Device voltages) va face ca la deschiderea interfeţei de configurare a blocului Multimeter aflat în acelaşi model cu puntea universală, să se poată selecta care anume semnale (Fig. 7.43) să fie vizualizate de către osciloscopul conectat la ieşirea blocului Multimeter.

Se vor prezenta în continuare pe scurt cele mai importante blocuri din cele şase sub-biblioteci ale bibliotecii SimPowerSystems.

Fig. 7.42 Caseta de dialog a blocului Universal Bridge şi lista auto-defilantă a opţiunii Measurements


185

7.7.1. Sub-biblioteca Electrical Sources Grupează (Fig. 7.44) blocuri ce modelează sursele de energie din

sistemele electrice:

DC Voltage Source sursă de tensiune continuă. Prin caseta de dialog se poate modifica valoarea (amplitudinea).

Fig. 7.43 Interfaţa de configurare a blocului Multimeter

Fig. 7.44 Sub-Biblioteca Electrical Sources


186

AC Voltage Source sursă de tensiune alternativă. Pin caseta de dialog se pot modifica valoarea de vârf (Peak amplitude), faza şi frecvenţa.

AC Current Source sursă de curent alternativ. Prin caseta de dialog se pot modifica aceiaşi parametrii ca şi în cazul sursei de tensiune alternativă.

3-Phase Source sursă trifazată de tensiune, simetrică şiechilibrată. Prin caseta de dialog se pot modifica valoarea eficace (rms) atensiunii de linie, faza iniţială a fazei A,frecvenţa, precum şi tipul conexiunii şiparametrii interni ai sursei.

Controlled Voltage Source sursă comandată de tensiune. Practic, transformă semnalul Simulink aplicat la intrare într-o tensiune de c.c. sau c.a., specifică modelelor realizate cu blocuri SimPowerSystems.

Controlled Current Source sursă comandată de curent. Realizeazăaceeaşi transformare ca şi Controlled Voltage Source, doar că ieşirea ae caracter de sursă de curent.

3-Phase Programmable sursă trifazată de tensiune, simetrică şiVoltage Source echilibrată, cu impedanţă internă nulă.

Nulul sistemului trifazat este accesibil ca intrare, iar unul din parametrii (valoarea eficace a tensiunii de linie, faza sau frecvenţa) se pot programa pentru a avea o anumită evoluţie temporală. De asemenea, se pot insera cel mult douăarmonici, al căror rang, pondere, fază şisuccesiune pot fi specificate prin caseta de dialog.

În cazul tuturor surselor, prin caseta de dialog, pot fi selectate measurements (semnale disponibile pentru blocurile Multimeter.

7.7.2. Sub-biblioteca Elements Este o bibliotecă bine dezvoltată (Fig. 7.45), care conţine blocuri

reunite în patru grupuri funcţionale: Elements (elemente, monofazate sau


187

trifazate de circuit), Lines (linii de transport), Circuit Breakers (întreruptoare) şi Transformers (transformatoare).

Grupul Elements reuneşte blocurile: Series RLC Branch latură monofazată de circuit cu

elementele conectate în serie. Parametrii se pot modifica prin intermediul casetei de dialog.

Series RLC Load sarcină monofazată cu elementele conectate în serie. Prin caseta de dialog se pot modifica tensiunea nominală,frecvenţa nominală, puterile activă,reactivă inductivă şi reactivă capacitivă.Nu se pot modifica parametrii R, L şi C.

Fig. 7.45 Sub-biblioteca Elements


188

Parallel RLC Branch latură monofazată de circuit cu elementele conectate în paralel. Parametrii se pot modifica prin intermediul casetei de dialog.

Parallel RLC Load sarcină monofazată cu elementele conectate în paralel. Prin caseta de dialog se pot modifica tensiunea nominală, frecvenţa nominală, puterile activă, reactivă inductivă şi reactivăcapacitivă. Nu se pot modifica parametrii R, L şi C.

3-Phase Series RLC Branch latură trifazată de circuit cu elementele conectate în serie. Parametrii se pot modifica prin intermediul casetei de dialog.

3-Phase Series RLC Load sarcină trifazată cu elementele conectate în serie. Prin caseta de dialog se pot modifica tensiunea nominală, frecvenţanominală, puterile activă, reactivăinductivă şi reactivă capacitivă. Nu se pot modifica parametrii R, L şi C.

3-Phase Parallel RLC Branch latură trifazată de circuit cu elementele conectate în paralel. Parametrii se pot modifica prin intermediul casetei de dialog.

3-Phase Parallel RLC Load sarcină trifazată cu elementele conectate în paralel. Prin caseta de dialog se pot modifica tensiunea nominală, frecvenţanominală, puterile activă, reactivăinductivă şi reactivă capacitivă. Nu se pot modifica parametrii R, L şi C.

Mutual Inductance bobină trifazată, ce poate avea valri diferite pe faze şi cuplaj mutual între faze.

3-Phase Mutual Inductance bobină trifazată echilibrată.Inductivităţile proprie pe fază şi mutulăse pot modifica prin intermediul parametrilor corespunzători succesiunii directă şi homopolară.


189

3-Phase Dynamic Load sarcină trifazată variabilă în funcţie de tensiunea de alimentare, conform expresiilor:

10

0 2

10

0 2

1,

1

1,

1

p

q

np

p

nq

q

T sVP PV T s

T sVQ QV T s

+ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

pentru V>Vmin. Pentru V<Vmin,np=nq=2=ct. Toţi parametrii se pot specifica prin intermediul casetei de dialog. Tot prin intermediul casetei de dialog se poate selecta ca modificarea sarcinii să se realizeze prin intermediul unui semnal vectorial aplicat la intrare, caz în care parametrii np, nq., Tp1, Tp2,Tq1, Tq2, Vmin nu mai sunt accesibili prin caseta de dialog a blocului.

Surge Arrester descărcător metal-oxid.

Grupul Lines reuneşte blocurile: PI Section Line segment de linie de transport cu

parametrii distribuiţi şi număr variabil de celule π de circuit echivalent.

Distributed Parameters Line linie cu parametri distribuiţi. 3-Phase PI Section celulă unică π pentru modelarea unei

linii trifazate.

Grupul Circuit Breakers reuneşte blocurile: Breaker Întreruptor monofazat. 3-Phase Breaker Întreruptor trifazat. Prin caseta de dialog

se pot selecta atât fazele care comută, cât şi parametrii întreruptorului.

3-Phase Fault bloc pentru simularea unui defect de punere la pământ mono sau polifazată.

Grupul Transformers reuneşte blocuri ce reprezintă diferite modele ale transformatoarelor:


190

Linear Transformer transformator monofazat cu unul sau două secundare.

Saturable Transformer transformator monofazat cu unul sau două secundare, care ţine cont de curba de magnetizare a miezului magnetic.

Three-phase Transformer transformator trifazat cu un secundar. (Two Windings) Prin caseta de dialog se poate selecta

tipul modelului (linear sau cu considerarea curbei de magnetizare).

Three-phase Transformer transformator trifazat cu două secundare. (Three Windings) Prin caseta de dialog se poate selecta

tipul modelului (linear sau cu considerarea curbei de magnetizare).

Zigzag Phase-Shifting modelul unui transformator cu primarul Transformer în conexiune zig-zag.

3-Phase Transformer modelul unui transformator trifazat cu 12-terminals un secundar şi toate înfăşurările libere

(neconectate între ele).

7.7.3. Sub-biblioteca Power Electronics Sub-biblioteca Power Electronics (Fig. 7.46) reuneşte blocuri deosebit

de utile pentru simularea sistemelor electromecanice care conţin convertoare statice. Este vorba atât de modele ale elementelor semiconductoare utilizate pentru realizarea convertoarelor statice, cât şi modelele a două convertoare universale.

Toate modelele elementelor semiconductoare de putere conţin şicircuitul RC de protecţie la supratensiuni de comutaţie (snubber), parametrii componentelor putând fi modificaţi prin caseta de dialog a fiecărui bloc. Sub-biblioteca Power Electronics conţine modelele următoarelor elemente semiconductoare:

Diode diodă. Thyristor tiristor. Detailed Thyristor model detaliat al unui tiristor. Prin caseta

de dialog se pot specifica, în plus faţă de modelul de mai sus, curentul de acroşaj şi timpul de blocare.

Gto tiristor cu blocare pe poartă. IGBT tranzistor bipolar cu poartă izolată. Mosfet tranzistor cu efect de câmp. Ideal Switch element complet comandat ideal.


191

Cele două convertoare universale sunt: Universal Bridge punte universală. Three-Level Bridge punte cu trei nivele.

Prin casetele de dialog ale celor două punţi se pot selecta numărul de braţe (faze), configuraţia, respectiv terminalele ABC ca intrări (redresor) sau ca ieşiri (invertor) şi tipul elementelor semiconductoare din componenţapunţii. În plus, tot prin caseta de dialog, se pot specifica valorile parametrilor grupului RC de protecţie la supratensiuni.

Sub-biblioteca Power Electronics mai conţine legături către două sub-biblioteci din grupul Extras al bibliotecii SimPowerSystems (Fig. 7.41): Control blocks şi Discrete Control blocks. Acestea conţin şi blocuri care generează semnalele de comandă ale elementelor semiconductoare din componenţa convertoarelor statice, din acest motiv structura acestora va fi prezentată în continuare.

7.7.4. Sub-biblioteca Control blocks Sub-biblioteca Control blocks (Fig. 7.47) conţine următoarele blocuri:

Synchronized 6-Pulse modelul circuitului de comandă în fază aGenerator unui redresor trifazat în punte complet

comandată.

Fig. 7.46 Sub-biblioteca Power Electronics


192

Synchronized 12-Pulse modelul circuitului de comandă în fază aGenerator unui redresor duodecafazat.

PWM Generator modelul circuitului de comandă al unui invertor de tensiune cu modulaţie sinusoidală în durată. Prin caseta de dialog a blocului se poate selecta tipul de invertor (un singur braţ de invertor, monofazat, trifazat sau cu trei nivele). Tensiunea sau tensiunile sinusoidale de comandă pot fi generate intern, specificându-se prin caseta de dialog frecvenţa şi factorul de modulare în amplitudine, sau extern, fiind necesarăaplicarea lor, ca semnal vectorial, la intrarea blocului.

1-Phase PLL modelul unui circuit de calare pe fază(Phase Lock Loop) monofazat. Ieşirile corespund unui semnal sincronizat cu semnalul de frecvenţă variabilă aplicat la intrare.

1st-Order Filter filtru de ordinul I. 2nd-Order Filter filtru de ordinul II.

Fig. 7.47 Sub-biblioteca Control blocks


193

3-phase PLL circuit de calare pe fază pentru un sistem trifazat de semnale aplicate ca semnal vectorial la intrare.

3-phase Programmable sursă trifazată de tensiune sau curenţi, Source simetrică şi echilibrată, cu impedanţă

internă nulă. Unul din parametrii (amplitudinea, faza sau frecvenţa) se pot programa pentru a avea o anumităevoluţie temporală. De asemenea, se pot insera cel mult două armonici, al căror rang, pondere, fază şi succesiune pot fi specificate prin caseta de dialog. Aceastăsursă este o variantă ameliorată ablocului 3-Phase Programmable Voltage Source din sub-biblioteca Electrical Sources §7.7.1.

Timer generator de semnal variabil în trepte. Valorile treptelor şi momentele schimbării valorilor se pot programa prin caseta de dialog.

7.7.5. Sub-biblioteca Discrete Control blocks Sub-biblioteca Discrete Control blocks (Fig. 7.48) conţine atât

variante discrete ale majorităţi blocurilor din sub-biblioteca Control blocks,cât şi alte blocuri destinate controlului modelelor ce conţin convertoare statice.

Dintre blocurile noi, interesant a fi menţionate sunt: Discrete 3-phase PWM bloc ce furnizează semnalele de coman-

Generator dă pentru un invertor trifazat cu două sau trei nivele, tensiunile de comandă fiind aplicate ca semnal vectorial primei intrări a blocului. Comenzile pot fi asincrone, sau sincronizate cu un semnal aplicat celei de a doua intrări.

Discrete Gamma bloc ce determină unghiurile de comuta- Measurement ţie ale tiristoarelor din componenţa unui

convertor static. Discrete PID Controller regulator PID discret. Discrete PI Controller regulator PI discret.


194

7.7.6. Sub-biblioteca Machines Sub-biblioteca Machines (Fig. 7.49) conţine mai multe modele ale

tipurilor clasice de maşini: sincronă cu excitaţie electrică, sincronă cu magneţi permanenţi, asincronă, de c.c., precum şi modele ale generatoarelor primare de tipul hidro şi cu abur utilizate în centralele electrice, ca şimodelul sistemului de excitaţie al unui generator sincron.

În continuare se vor trece în revistă blocurile, casetele de dialog prezentând semnificaţiile intrărilor şi ieşirilor.

Pentru maşina sincronă sunt disponibile două modele de bază pentru

varianta cu excitaţie electrică şi unul pentru varianta cu magneţi permanenţi:

Fig. 7.48 Sub-biblioteca Discrete Control blocks


195

Simplified Synchronous model simplificat al maşinii sincrone. Machine pu Units Modelul se bazează pe schema

echivalentă simplificată, iar parametrii maşinii trebuie specificaţi în caseta de dialog în unităţi relative.

Simplified Synchronous model simplificat al maşinii sincrone. Machine SI Units Modelul se bazează pe schema

echivalentă simplificată, iar parametrii maşinii trebuie specificaţi în caseta de dialog în unităţi absolute.

Synchronous Machine model Park al maşinii sincrone. Prin ca- pu Fundamental seta de dialog se poate alege tipul

motorului (cu poli aparenţi sau înecaţi), iar parametrii maşinii trebuie specificaţiîn caseta de dialog în unităţi relative.

Synchronous Machine model Park al maşinii sincrone. Prin ca- SI Fundamental seta de dialog se poate alege tipul

motorului (cu poli aparenţi sau înecaţi),

Fig. 7.49 Sub-biblioteca Machines


196

iar parametrii maşinii trebuie specificaţiîn caseta de dialog în unităţi absolute.

Synchronous Machine variantă de model Park al maşinii sincro- pu Standard ne. În cazul ultimelor trei modele, prin caseta de dialog se poate selecta

opţiunea de modelare ţinându-se cont de curba de magnetizare, caz în care aceasta poate fi programată.

Permanent Magnet modelul Park al maşinii sincrone cu Synchronous Machine magneţi permanenţi şi distribuţie

sinusoidală a fluxului. Pentru maşina asincronă sunt disponibile două modele:

Asynchronous Machine modelul dinamic al maşinii asincrone cu pu Units rotor în scurtcircuit sau cu inele, într-

unul din sistemele de referinţă solidar cu rotorul, statorul sau câmpul învârtitor (ambele opţiuni putând fi selectate prin caseta de dialog). Parametrii maşinii trebuie specificaţi în caseta de dialog în unităţi relative.

Asynchronous Machine modelul dinamic al maşinii asincrone cu SI Units aceleaşi opţiuni de parametrare ca şi

modelul în unităţi relative, doar căparametrii maşinii trebuie specificaţi în caseta de dialog în unităţi absolute.

Pentru maşina de c.c. sunt disponibile, de asemenea, două modele,

unul continuu (DC Machine) şi altul discret (Discrete DC Machine).

Sub-biblioteca Machines mai conţine blocurile: Excitation System modelul sistemului de excitaţie al unui

generator sincron. HTG modelul unei turbine hidro. STG modelul unei turbine cu abur. Generic Power regulator stabilizator pentru generatoare-

System Stabilizer le sincrone. Multi-Band Power regulator stabilizator multi-bandă pentru

System Stabilizer generatoarele sincrone.


197

Pentru vizualizarea diferitelor semnale specifice maşinilor electrice de curent alternativ, este disponibil blocul universal Machines Measurement Demux, a cărui intrare trebuie conectată la ieşirea „m” a modelelor maşinilor electrice. Prin caseta de dialog a acestuia trebuie selectat tipul de maşină la care este conectat şi semnalele ce se doresc a fi vizualizate.

7.7.7. Sub-biblioteca Connectors Sub-biblioteca Connectors (Fig. 7.50) reuneşte două tipuri de

conectori (Ground şi Neutral), în câte două variante, strict necesari pentru realizarea modelelor SimPowerSystem şi mai multe variante blocuri necesare realizării conexiunilor multiple (conectarea ieşirii unui bloc la mai multe ieşiri).

În Fig. 7.51 sunt prezentate exemple de utilizare a conectorilor Ground şi Neutral.

Fig. 7.50 Sub-biblioteca Connectors

Fig. 7.51 Exemple de utilizare a blocurilor Ground şi Neutral


198

7.7.8. Sub-biblioteca Measurements Sub-biblioteca Measurements (Fig. 7.52) reuneşte blocuri necesare

vizualizării semnalelor specifice modelelor realizate cu modele din biblioteca SimPowerSystem. Principial, ele convertesc semnalele specifice modelelor SimPowerSystem în semnale compatibile cu blocurile Simulink în general şi cele din sub-biblioteca Sinks în particular:

Voltage Measurement măsură de tensiune. Cele două intrări se conectează la punctele de circuit între care se va măsura tensiunea, similar unui voltmetru fizic. Valorile tensiunii sunt disponibile la ieşirea „v”.

Current Measurement măsură de curent. Blocul se conecteazăîn serie, între bornele „+” şi „-”, în ramura de circuit în care se măsoarăcurentul, valorile acestuia fiind disponibile la ieşirea „i”.

Impedance Measurement măsură de impedanţă. Măsoarăimpedanţa între cele două noduri la care sunt conectate cele două intrări, în funcţie de frecvenţă.

Multimeter bloc universal de măsură. Utilizarea acestuia a fost descrisă la începutul §7.7.

Fig. 7.52 Sub-biblioteca Measurements


199

Three-Phase măsură trifazată de tensiune şi curent. V-I Measurement Blocul se conectează în serie cu o linie

trifazată, prin caseta de dialog putându-se selecta măsurarea tensiunilor de fazăsau de linie şi a curenţilor, în valori absolute sau relative la valori specificate, de asemenea, prin caseta de dialog.

Ca şi în cazul sub-bibliotecii Power Electronics, sub-biblioteca Measurements conţine legături către două sub-biblioteci din grupul Extras al bibliotecii SimPowerSystems (Fig. 7.41): Measurement blocks şi Discrete Measurement blocks. Acestea conţin blocuri care realizează diferite operaţii asupra semnalelor specifice modelelor sistemelor electrice.

7.7.9. Sub-biblioteca Extras-Measurement blocks Sub-biblioteca Measurement blocks din grupul Extras (Fig. 7.53)

conţine blocuri de măsură grupate în trei secţiuni: Măsurări monofazate (Single-phase measurement), Măsurări trifazate (Three-phase measurement) şi Măsurări ale puterii (Power measurement):

Fig. 7.53 Sub-biblioteca Measurement blocks


200

Total Harmonic Distorsion factorul total de distorsiune al semnalului nesinusoidal aplicat la intrare (tensiune sau curent):

2 2 22 3 4

1

A A ATHD

A+ + +

=…

,

în care A1 este valoare eficace a fundamentalei, iar Ai este valoarea eficace a armonicii de ordin i.

RMS calculul valorii eficace a semnalului aplicat la intrare (tensiune sau curent).

Fourier transformata Fourier a semnalului aplicat la intrare. Prin caseta de dialog a blocului se poate selecta rangul armonicii pentru care se furnizează la ieşirea blocului amplitudinea şi faza.

Three-Phase măsură trifazată de tensiune şi curent. V-I Measurement Este acelaşi bloc cu el din sub-biblioteca

Measurements, descris în §7.7.8. abc_to_dq0 Transformation bloc ce realizează transformarea

sistemului trifazat de semnale aplicat la intrare în două componente ortogonale (d, q) şi cea homopolară:

( )0

2 2 2sin sin sin ;3 3 3

2 2 2cos cos cos ;3 3 31 .3

d a b c

q a b c

a b c

v v t v t v t

v v t v t v t

v v v v

π π = ω + ω − + ω + π π = ω + ω − + ω +

= + +

dq0_to_abc Transformation bloc ce realizează transformarea sistemului ortogonal (d, q) de semnale aplicat la intrare în sistem trifazat:

0

0

0 0

sin cos ;

2 2sin cos ;3 3

2 2sin cos .3 3

a d q

b d q

d q

v v t v t v

v v t v t v

v v t v t v

= ω + ω + π π = ω − + ω − + π π = ω + + ω + +


201

3-Phase Sequence Analyzer calculează componentele de succesiune directă, inversă şi homopolară ale unui sistem trifazat (echilibrat sau nu) aplicat la intrare:

[ ]

21

22

0

1 ;31 ;31 ,3

a b c

a b c

a b c

v v a v a v

v v a v a v

v v v v

= + ⋅ + ⋅

= + ⋅ + ⋅

= + +

în care a este operatorul complex 23

ja e

π

= . Active & Reactive Power bloc ce calculează puterile activă şi

reactivă corespunzătoare semnalelor monofazate de tensiune şi curent (sinusoidale sau distorsionate) aplicate la intrare.

3-Phase Instantaneous măsură a valorilor instantanee ale puteri- Active & Reactive Power lor activă şi reactivă corespunzătoare

sistemelor trifazate de tensiuni şi curenţiaplicate la intrările blocului.

dq0-based măsură a valorilor instantanee ale puteri- Active & Reactive Power lor activă şi reactivă corespunzătoare

sistemelor ortogonale de tensiuni şicurenţi aplicate la intrările blocului.

7.7.10. Sub-biblioteca Extras-Discrete Measurement blocks

Sub-biblioteca Discrete Measurement blocks din grupul Extras (Fig. 7.54) conţine, în cea mai mare parte, variante ale blocurilor descrise în sub-biblioteca Measurement blocks.


202

7.7.11. Sub-biblioteca Extras Cea mai mare parte a blocurilor grupate în sub-biblioteca Extras a

bibliotecii SimPowerSystems (Fig. 7.55) au fost descrise în capitolele precedente: Measurements şi Discrete Measurements în §7.7.9 şi respectiv §7.7.10, Control Blocks şi Discrete Control Blocks în §7.7.4 şi respectiv §7.7.5, Additional Machines, care nu conţine decât cele două modele ale maşinii de c.c. în §7.7.6, iar sub-biblioteca Phasor Library (Fig. 7.56) reuneşte, în cea mai mare parte, variante fazoriale a trei blocuri prezente în sub-biblioteca Extras-Measurements.

Fig. 7.54 Sub-biblioteca Discrete Measurement blocks


203

Singurul bloc ce are caracter de noutate este blocul Static Var Compensator, ce reprezintă modelul unui sistem static de compensare a factorului de putere.

Fig. 7.55 Sub-bilioteca Extras a bibliotecii SimPowerSystems

Fig. 7.56 Sub-biblioteca Phasor Library

modelarea si simularea sistemelor electromecanice curs

Documents