Universitatea “POLITEHNICA” Bucuresti Facultatea de Energetica

Modelarea numerica a incintelor

Raport 1 al tezei: Contributii la modelarea numerica acladirilor

Conducator de Doctorat Prof. Dr. Ing. Adrian Badea DOCTORAND Ing. Tudor Baracu

Aprilie, 2013

Cuprins Cuprins 2 Introducere 3 1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri 4 2. Parametrii fizici ai climatului unei clădiri 19 3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii 29 4. Teoria circuitelor termice 38 5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii 45 6. Punti termice 47 Bibliografie 48

1

Introducere

Modelarea numerica cat si simularea energetica a cladirilor este un domeniu in deplina maturitate dar in acelasi timp in plina dezvoltare beneficiind de noile tehnici computerizate si de automatizare care se extind tot mai mult in chiar cele mai banale sectoare de activitate. Problema este ca prin aportul tehnicii computerizate exista riscul pentru majoritatea beneficiarilor sa uite sensul fenomenelor care stau la baza asigurarii pentru ei a unui climat placut in cladiri; in schimb pentru proiectantul sistemelor este un domeniu ce aduce noi provocari si noi cai de rezolvare optimizata a problemelor. Un al doilea risc care il poate da dezvoltarea tehnicii pentru oameni il poate reprezenta enclavizarea stiintei doar pentru anumite centre private de cercetare si de promovare produse specifice, care sub protectie de patent sau copyrights (care in ziua de azi mai mult blocheaza dezvoltarea stiintei decat sa o promoveze) pastreaza doar in interiorul lor in mod ezoteric anumite rezultate de cercetare in scopul fructificarii comerciale al lor. In acest sens, lucrarea de fata isi propune sa trateze bazele fundamentale modelarii numerice a fenomenelor de transfer energetic la nivelul cladirilor, in mod explicit, expunand atat modele matematice cat si modele descriptive. Optimizarea energiei in cladiri este facuta pentru oameni, deci se pleaca de la necesitatile lor legate de microclimat acceptabil, iar rezultatele cercetarii trebuie sa convearga catre aceste necesitati

2

1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri

Se stie ca in utilizarea metodei diferentelor finite majoritatea expunerilor tind sa prezinte aceasta metoda considerand gridul uniform, fiind situatia cea mai simpla din punct de vedere matematic. Trebuie insa subliniat faptul ca modelele geometrice complexe deja cer si un aparat matematic mai complex, in consecinta un tip de grid mai elaborat, mai flexibil pe geometria corpului modelat.

Conditii ce trebuie sa le indeplineasca o analiza numerica pentru a fi considerate valida:

• Consistenta – discretizarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale trebuie sa fie facuta in sensul tinderii la zero a meshului (deci eroarea de truncare trebuie sa fie redusa cat mai mult)

• Stabilitate – erorile generate in rezolvarea ecuatiilor discretizate nu trebuie sa se amplifice • Convergenta – Solutia numerica trebuie sa fie in preajma solutiei exacte a ecuatiei diferentiale

sis a convearga spree a pe masura ce meshul tinde la zero • Conservare - Legile de conservare aflate la baza trebuie sa fie respectate si la nivel de domeniu

discret (surse artificiale de valori sau gropi trebuie sa fie evitate – de exemplu la analiza solidului rigid trebuie evitati concentratorii artificiali de tensiuni)

• Marginire – cantitati cum ar fi masa, densitatea, temperature trebuie sa apara strict positive in orice fel de rezultate

• Repetabilitate – modelul construit si analizat intr-un loc sa dea aceleasi rezultate cu un model construit cu aceleasi conditii initiale in alt loc

Sunt mai multe modalitati de calcul numeric al transferului de caldura, dar cele mai importante sunt: • metoda diferentelor finite – se porneste de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul ajungandu-se in

urma discretizarii si stabilirii conditiilor de margine la un sistem de ecuatii banal • metoda elementului finit – se porneste tot de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul la scara

intregului, ulterior in urma discretizarii forma ecuatiei inca se recunoaste la nivelul elementelor finite rezultate, fiecare element finit este reprezentat de o matrice, iar matricea globala a intregului studiat este insumarea tuturor matricelor elementelor finite.

• Metoda volumelor finite • Metoda spectrala

Metoda diferentelor finite in schimbul de caldura

In figura de mai sus este prezentat un element de volum tridimensional centrat in nodul (i,j,k). Laturile acestuia sunt ∆𝑥𝑥, ∆𝑦𝑦, ∆𝑧𝑧. Variatia numarului de nod I, j, k in cazul nostru se face dupa directiile x, y, respectiv z.

i,j,k i+1,j,k

i,j,k

i,j,k+1 i,j+1,k

i-1,j,k

i,j-1,k

3

In elaborarea metodei diferentelor finite se pleaca de la desfasurarea functiei in serie Taylor, anume:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) +11!𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) +12!𝜕𝜕2𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥2

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 +13!𝜕𝜕3𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥3

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)3 +14!𝜕𝜕4𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥4

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)4 + ⋯ Sunt trei concepte care se aplica in diferentiere, in functie de conjunctura studiului care se urmeaza sa se faca, anume:

• diferentierea “inainte”

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

=𝑓𝑓𝑖𝑖+1 − 𝑓𝑓𝑖𝑖∆𝑥𝑥

+ 𝑂𝑂(∆𝑥𝑥)

• diferentierea “centrala” (din punct de vedere pur matematic cea mai riguroasa)

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

=𝑓𝑓𝑖𝑖+1 − 𝑓𝑓𝑖𝑖−1

2 ∆𝑥𝑥+ 𝑂𝑂(∆𝑥𝑥2)

• diferentierea “inapoi”

𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖

=𝑓𝑓𝑖𝑖 − 𝑓𝑓𝑖𝑖−1∆𝑥𝑥

+ 𝑂𝑂(∆𝑥𝑥)

Dupa cum se vede, apare termenul 𝑂𝑂(∆𝑥𝑥) care se cheama “eroare de truncare” si apare datorita

faptului ca in exprimarea cu diferente finite a unei functii sau diferentialei acesteia se face in limitele unei erori acceptate ca urmare a faptului ca termenii de grad superior ai seriei Taylor sunt neglijati. Se observa ca prin diferentierea centrala eroarea de truncare este cea mai mica dintre cele trei variante, anume porneste abia de la ∆𝑥𝑥2 , fiind 𝑂𝑂(∆𝑥𝑥2). Oricare din cele trei metode folosite da rezultate asemanatoare, problema alegerii uneia dintre ele este doar de convenienta sau functie de anumite rigori ce le impune modelul studiat. Trebuie sa prezentam mai pe larg cum se pleaca de la seria Taylor pentru a se ajunge la formulele de diferentiere:

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) +𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

1!ℎ +

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)2!

ℎ2

𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) −𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

1!ℎ +

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)2!

ℎ2 →

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ)

2ℎ

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − ℎ)

ℎ2

Se obtin astfel diferentele finite: • Derivata partiala de ordin 1 centrala in nodul (i,j,k)

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝜕𝜕𝑥𝑥=𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

2 ∙ ∆𝑥𝑥 ;

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝜕𝜕𝑦𝑦=𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1,𝑘𝑘

2 ∙ ∆𝑦𝑦 ;

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝜕𝜕𝑧𝑧=𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘−1

2 ∙ ∆𝑧𝑧

• Derivarea de ordin 2 in mod central in nodul (i,j,k) 𝜕𝜕2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝜕𝜕𝑥𝑥2=𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘 − 2 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

∆𝑥𝑥2

∂2Ti,j,k∂y2

=𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘 − 2 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 + Ti,j−1,k

∆𝑦𝑦2

∂2Ti,j,k∂z2

=𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1 − 2 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘 + Ti,j,k−1

∆𝑧𝑧2

Ecuatia de transfer de caldura stationar de-a lungul sistemului discretizat va fi:

Ti+1,j,k + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘 + Ti,j−1,k + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1 + Ti,j,k−1 − 2 ∙ 𝑙𝑙 ∙ Ti,j,k = 0 In forma unidimensionala:

Ti+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 − 2 Ti Practic in forma matriceala aceasta ecuatie are forma (intr-un studiu unidimensional, ):

[𝐴𝐴] ∙ [𝑇𝑇] = [𝐶𝐶] care dezvoltata inseamna:

4

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 0 … 0 0 0 0

0 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 0 0 … 0 0

0 0 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 0 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ … ⋮ ⋮

0 0 … 0 𝑎𝑎𝑚𝑚−2,𝑛𝑛−4 𝑎𝑎𝑚𝑚2,𝑛𝑛−3 𝑎𝑎𝑚𝑚−2,𝑛𝑛−2 0 0

0 0 0 0 0 𝑎𝑎𝑚𝑚−1,𝑛𝑛−3 𝑎𝑎𝑚𝑚−1,𝑛𝑛−2 𝑎𝑎𝑚𝑚−1,𝑛𝑛−1 0

0 0 0 0 … 0 𝑎𝑎𝑚𝑚,𝑛𝑛−2 𝑎𝑎𝑚𝑚,𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑚𝑚,𝑛𝑛⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

∙

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑇𝑇1𝑇𝑇2𝑇𝑇3⋮

𝑇𝑇𝑛𝑛−2𝑇𝑇𝑛𝑛−1𝑇𝑇𝑛𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑏𝑏10𝑏𝑏20𝑏𝑏30⋮

𝑏𝑏𝑛𝑛−2,0

𝑏𝑏𝑛𝑛−1,0

𝑏𝑏𝑛𝑛0 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

Ca sa fie rezolvabila aceasta ecuatie matriceala atunci numarul de linii trebuie sa fie egal cu numarul de coloane. Se observa ca pe fiecare linie sunt maxim 3 termeni, acest lucru rezultand din faptul ca in cadrul ecuatiei apar pentru fiecare directie termenii a 3 noduri succesive. In general aceasta relatie matriceala implica foarte multe grade de libertate si atunci rezolvarea acesteia pe cale analitica implica un consum mare de resurse de calcul cat si de timp de rezolvare, ca atare sunt preferate tehnicile de rezolvare prin iteratii, intre care este si metoda Gauss – Seidel. Exactitatea solutiilor este cu atat mai mare cu cat numarul de noduri rezultate din discretizarea modelului este mai mare. O mare atentie in rezolvarea acestui sistem de ecuatii trebuie acordata conditiilor de margine. La regim nestationar derivata partiala (diferenta “inainte”) a temperaturii in raport cu timpul in nodul u este:

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕=𝑇𝑇(𝑢𝑢+1) − 𝑇𝑇(𝑢𝑢)

∆𝜕𝜕

Relationari pentru regim nestationar si tridimensional 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑥𝑥=𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢

2 ∙ ∆𝑥𝑥 ;

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑦𝑦=𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗−1,𝑘𝑘𝑢𝑢

2 ∙ ∆𝑦𝑦 ; 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢

𝜕𝜕𝑧𝑧=𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1

𝑢𝑢 − 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘−1𝑢𝑢

2 ∙ ∆𝑧𝑧

𝜕𝜕T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝜕𝜕=

T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u+1 − T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

2 ∙ ∆𝜕𝜕

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑥𝑥2=

T𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘u − 2 ∙ T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u + T𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

∆𝑥𝑥2

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

𝜕𝜕𝑦𝑦2=

T𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘u − 2 ∙ T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u + T𝑖𝑖,𝑗𝑗−1,𝑘𝑘u

∆𝑦𝑦2

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

𝜕𝜕𝑧𝑧2=

T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1u − 2 ∙ T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u + T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘−1u

∆𝑧𝑧2

In acest moment avand stabilite toate diferentialele functiei T, poate fi scrisa complet ecuatia Fourier de transmitere a caldurii. Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑎𝑎 ∙ 𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑦𝑦2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑧𝑧2

= 0

Este aplicata in nodul quadridimensional (u, i, j, k) 𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝑎𝑎 ∙

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

𝜕𝜕𝑥𝑥2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑦𝑦2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑧𝑧2 = 0

Si are ca exprimare in diferente finite expresia: 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − ∆𝐹𝐹𝐹𝐹𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j−1,k

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢 − 6 ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢 = 0

in care ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑎𝑎∙∆𝜏𝜏(∆𝑥𝑥)2

este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

5

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

𝑎𝑎 ∙ ∆𝜕𝜕 ∙ 1

(∆𝑥𝑥)2 +1

(∆𝑦𝑦)2 +1

(∆𝑧𝑧)2 ≤12

Relatia (prin metoda diferentelor “inainte”) de regim tranzitoriu este: 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j−1,k

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢 + (1 − 2 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ∆𝐹𝐹𝐹𝐹) ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢 =0

In forma combinata in care intra in considerare o pondere, care este o derivatie intre metodele diferentelor “inainte” si “inapoi” se poate utiliza relatia dupa schema lui Crank-Nicolson:

𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 + 𝑇𝑇i,j−1,k

𝑢𝑢+1 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1𝑢𝑢+1 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢+1 − 6 ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢+1

− ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ∙ (1 − 𝜂𝜂) ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j−1,k𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢 − 6 ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢 = 0 unde 𝜂𝜂 este un coeficient de pondere, 0 ≤ 𝜂𝜂 ≤ 1. In regim nestationar vom avea o relatie matriceala de genul:

[𝐴𝐴] ∙ [𝜃𝜃𝑢𝑢+1] = [𝐵𝐵] ∙ [𝜃𝜃𝑢𝑢] + [𝐶𝐶] Conditii de margine

Schimbul de caldura pe zona de frontiera este caracterizat de relatia:

𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) + 𝜆𝜆𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥2

In diferente finite, relatia de mai sus capata forma:

𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇𝑖𝑖𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑢𝑢

∆𝜕𝜕= 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) + 𝜆𝜆

T𝑖𝑖+1u − 2 ∙ T𝑖𝑖u + T𝑖𝑖−1u

∆𝑥𝑥2

−𝜆𝜆𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥

= 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) Nodul s1

− 𝜆𝜆𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇𝑠𝑠1∆𝑥𝑥

+ 𝛼𝛼𝑇𝑇𝑠𝑠1 − 𝑇𝑇𝑒𝑒1 = 0 Nodul 1

− 𝜆𝜆𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1∆𝑥𝑥

+ 𝛼𝛼𝑇𝑇𝑠𝑠1 − 𝑇𝑇𝑒𝑒1 = 0 Nodul n

− 𝜆𝜆𝑇𝑇𝑛𝑛 − 𝑇𝑇𝑛𝑛−1

∆𝑥𝑥+ 𝛼𝛼𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛 − 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑛𝑛 = 0

Nodul sn

−𝜆𝜆𝑇𝑇𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝑇𝑇𝑛𝑛∆𝑥𝑥

+ 𝛼𝛼𝑠𝑠𝑛𝑛𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛 − 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑛𝑛 = 0

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝜕𝑥𝑥+𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) − 𝜕𝜕𝑥𝑥+𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) − 𝜕𝜕𝑥𝑥 +𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥 =

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑛𝑛 𝑇𝑇1 𝑇𝑇𝑠𝑠1 𝑇𝑇𝑒𝑒1 𝑇𝑇2 𝑇𝑇𝑛𝑛−1

6

= 𝛼𝛼(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑠𝑠) + 𝜆𝜆𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝜆𝜆𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥 Metoda volumelor finite in transferul de caldura in cladiri

Din punct de vedere istoric metoda volumelor finite a fost introdusa in analiza numerica a dinamicii fluidelor in mod independent de catre Mc Donald (1971) si de catre MacCormac si Paully (1972) pentru solutia bidimensionala si dependenta de timp a ecuatiilor Euler si care a fost extinsa la nivel tri-dimensional de csatre Rizzi si Inouye (1973).

Datorita generalitatii ei, metoda volumelor finite poate aborda orice tip de mesh, structurat sau nestructurat.

In timp ce metoda diferentelor finite se bazeaza pe discretizarea ecuatiilor de conservare in forma diferentiala ce stau la baza unui fenomen, metoda volumelor finite se bazeaza pe discretizarea formei integrale a ecuatiilor de conservare.

Sa luam in considerare ecuatia de conservare de mai jos:

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑈𝑈

Ω

𝑑𝑑Ω + 𝐹 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝜕𝜕𝑉𝑉𝑑𝑑

Ω

Ω

𝑆𝑆

+ 𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

Pentru a discretiza aceasta ecuatie integrala, la fel ca si in metoda diferentelor finite va trebui sa discretizam spatiul fizic in retele discrete de celule.

Doua tipuri de meshuri vor corespunde tipurilor structurat si nestructurat de mesh.

In figura de mai sus avem reprezentate:

a) celula centrala in mesh structurat cu volum finit b) celula muchie in mesh structurat cu volum finit c) celula centrala in mesh nestructurat cu volum finit d) celula muchie in mesh nestructurat cu volum finit

Meshurile nestructurate sunt acelea formate din elemente triunghiulare (2D) sau quadrilatere (2D) cat si piramidale (3D) sau hexaedrice (3D). Ele nu pot fi identificate prin axe de coordonate (i,j), ci vor fi

7

numerotate individual intr-o anumita ordine fiecare element de volum. Ca urmare a acestui fapt, desi vor fi mai utile in studiul ecuatiilor, totusi folosirea de mesh nestructurat va cere mai multa memorie de computer si mai mai mult timp de procesare.

In timp ce meshurile nestructurate sunt recomandate pentru geometrii complexe, meshurile structurate in schimb sunt recomandate pentru geometrii simple. Studiul transmiterii caldurii prin metoda elementului finit La baza studiului cu element finit se afla la scara cea mai larga de folosire aparatul matematic elaborat de Boris Grigoryevich Galerkin (1871 – 1945) metoda Galerkin.

Se stie ca o diferenta semnificativa intre metoda elementelor finite si metoda diferentelor finite este faptul ca in cazul MEF forma ecuatiei matematice specifica fenomenului studiat ramane recognoscibila atat la nivelul elementului finit in urma discretizarii cat si la nivelul ansamblului.

Daca metoda diferentelor finite porneste de la o ecuatie diferentiala, in urma diferentierii pe noduri se obtine o relatie de recurenta generala in care se pierde semnificatia relatiei diferentiale, totul se reduce doar la rezolvarea unui sistem de ecuatii banal dupa ce au fost stabilite bineinteles si conditiile de frontiera.

Un domeniu de studiu D este discretizat in n elemente finite (subdomenii). Ecuatia generala ce sta la baza intregului domeniu studiat va fi folosita ca aplicare si la nivelul fiecarui element finit parte a intregului. Fiecare element finit va avea o ecuatie matriceala aferenta rezultata din ecuatia diferentiala ce sta la baza fenomenului studiat. Ulterior intregul domeniu D va avea o matrice globala rezultata din asamblarea matricelor fiecarui element finit. Astfel, de la ecuatia adaptata generalizat la nivelul fiecarui element finit obtinandu-se o ecuatie matriceala pentru fiecare, se ajunge la o ecuatie matriceala globala a intregului domeniu D. De exemplu, pentru un domeniu D unidimensional, in urma discretizarii, fiecare element finit va avea o ecuatie in care va interveni o functie N de interpolare intre nodurile elementului finit.

𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝑁𝑁𝑖𝑖(𝑥𝑥) ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗(𝑥𝑥) ∙ 𝑇𝑇𝑗𝑗 In care 𝑁𝑁𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 este functie liniara de x. De asemenea intervine o functie de pondere 𝑊𝑊𝑖𝑖. Ecuatia unidimensionala a caldurii fara surse de caldura va avea forma:

𝑁𝑁 ∙ 𝜆𝜆 ∙𝑑𝑑2𝑇𝑇𝑑𝑑𝑥𝑥2

+ 𝑞𝑞𝑣𝑣 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0

𝐷𝐷

Echivalent in relatie matriceala se obtine:

⎝

⎜⎜⎛𝜆𝜆

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐿𝐿

𝜆𝜆𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐿𝐿

𝜆𝜆𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐿𝐿

𝜆𝜆𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝐿𝐿 ⎠

⎟⎟⎞

⎝

⎜⎛

𝑇𝑇𝑖𝑖

𝑇𝑇𝑗𝑗⎠

⎟⎞

=

⎝

⎜⎛

𝜕𝜕𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑗𝑗⎠

⎟⎞

8

Matriceala elementara are forma:

𝐾𝐾11𝑒𝑒1 𝐾𝐾12𝑒𝑒1

𝐾𝐾21𝑒𝑒1 𝐾𝐾22𝑒𝑒1 ∙ 𝑇𝑇1𝑇𝑇2

= 𝜕𝜕1𝑒𝑒1

𝜕𝜕2𝑒𝑒1

𝐾𝐾11𝑒𝑒 𝐾𝐾12𝑒𝑒𝐾𝐾21𝑒𝑒 𝐾𝐾22𝑒𝑒

=𝐾𝐾 ∙ 𝐴𝐴𝐿𝐿

1 −1−1 1

Ecuatia matriceala globala va capata forma:

Evident, fiecare matrice a elementului finit corespunzator va fi pozitionata in matricea globala corespunzator locatiei legaturilor acestuia de ansamblu (de exemplu elementul 2 are nodurile cu temperaturile 𝑇𝑇2 si 𝑇𝑇3 prin care se leaga de ansamblu, iar zona ramasa goala din jurul matricei elementului finit in cadrul matricei globale este zona fara legaturi, deci termenii sunt nuli. Matricea emulata a matricei elementului 2 la dimensiunea matricei globale este:

𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑥𝑥

𝑁𝑁𝑖𝑖

𝑁𝑁𝑗𝑗

𝑇𝑇

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝐾𝐾11𝑒𝑒1 𝐾𝐾12𝑒𝑒1 0 0 … 0 0

𝐾𝐾21𝑒𝑒1 𝐾𝐾22𝑒𝑒1 + 𝐾𝐾11𝑒𝑒2 𝐾𝐾12𝑒𝑒2 0 … 0 0

0 𝐾𝐾21𝑒𝑒2 𝐾𝐾22𝑒𝑒2 0 … ⋮ ⋮

0 0 0 ⋱ 0 0 0

⋮ ⋮ … 0 𝐾𝐾11𝑒𝑒𝑛𝑛−1 𝐾𝐾12𝑒𝑒𝑛𝑛−1 0

0 0 … 0 𝐾𝐾21𝑒𝑒𝑛𝑛−1 𝐾𝐾22𝑒𝑒𝑛𝑛−1 + 𝐾𝐾11𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐾𝐾12𝑒𝑒𝑛𝑛

0 0 … 0 0 𝐾𝐾21𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐾𝐾22𝑒𝑒𝑛𝑛⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

∙

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑇𝑇1𝑇𝑇2𝑇𝑇3⋮

𝑇𝑇𝑛𝑛−2𝑇𝑇𝑛𝑛−1𝑇𝑇𝑛𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝜕𝜕1𝜕𝜕2𝜕𝜕3⋮

𝜕𝜕𝑛𝑛−2𝜕𝜕𝑛𝑛−1𝜕𝜕𝑛𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

9

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

0 0 0 0 … 0 0

0 𝐾𝐾11𝑒𝑒2 𝐾𝐾12𝑒𝑒2 0 … 0 0

0 𝐾𝐾21𝑒𝑒2 𝐾𝐾22𝑒𝑒2 0 … ⋮ ⋮

0 0 0 ⋱ 0 0 0

⋮ ⋮ … 0 0 0 0

0 0 … 0 0 ⋱ 0

0 0 … 0 0 0 0⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

Ecuatia matriceala elementara in forma prezentata mai sus este rezultatul prelucrarii ecuatiei caldurii prin utilizarea unor functii de interpolare. 𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 ∙ 𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑖𝑖 = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑇𝑇𝑗𝑗 = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2 ∙ 𝑥𝑥𝑗𝑗

→

⎩⎪⎨

⎪⎧𝛼𝛼1 =

𝑇𝑇𝑖𝑖 ∙ 𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑇𝑇𝑗𝑗 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝛼𝛼1 =𝑇𝑇𝑗𝑗 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑇𝑇 =𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑇𝑇𝑖𝑖 +𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑇𝑇𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑖𝑖(𝑥𝑥) ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗(𝑥𝑥) ∙ 𝑇𝑇𝑗𝑗

𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗 ∙ 𝑇𝑇𝑗𝑗 = (𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑗𝑗) ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑗𝑗

unde 𝑁𝑁 = (𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑗𝑗) este functie a formei in elementul finit in care 𝑁𝑁𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗 = 1 𝑑𝑑𝑇𝑇𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑁𝑁𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑖𝑖 +𝑑𝑑𝑁𝑁𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑗𝑗 = −1𝑙𝑙

1𝑙𝑙 ∙

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑗𝑗

Relatia matriceala este: [𝐾𝐾] ∙ [𝑇𝑇] = [𝜕𝜕]

In elemente bidimensionale

𝑇𝑇 = 𝑁𝑁𝑖𝑖 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗 ∙ 𝑇𝑇𝑗𝑗 + 𝑁𝑁𝑘𝑘 ∙ 𝑇𝑇𝑘𝑘 = (𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑗𝑗 𝑁𝑁𝑘𝑘) ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑗𝑗𝑇𝑇𝑘𝑘

𝑁𝑁𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗 + 𝑁𝑁𝑘𝑘 = 1

𝑁𝑁𝑖𝑖𝑁𝑁𝑗𝑗𝑁𝑁𝑘𝑘 =

12𝐴𝐴

𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑗𝑗𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑘𝑘

1𝑥𝑥𝑦𝑦

unde 𝑎𝑎( ) = 𝑥𝑥( )+1𝑦𝑦( )+2 − 𝑥𝑥( )+2𝑦𝑦( )+1 𝑏𝑏( ) = 𝑦𝑦( )+1 − 𝑦𝑦( ) 𝑐𝑐( ) = 𝑥𝑥( )+1 − 𝑥𝑥( ) 𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥

=𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑖𝑖 +𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑗𝑗 +𝜕𝜕𝑁𝑁𝑘𝑘𝜕𝜕𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑘𝑘 =𝑏𝑏𝑖𝑖2𝐴𝐴

𝑇𝑇𝑖𝑖 +𝑏𝑏𝑗𝑗2𝐴𝐴

𝑇𝑇𝑗𝑗 +𝑏𝑏𝑘𝑘2𝐴𝐴

𝑇𝑇𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑦𝑦

=𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖𝜕𝜕𝑦𝑦

𝑇𝑇𝑖𝑖 +𝜕𝜕𝑁𝑁𝑗𝑗𝜕𝜕𝑦𝑦

𝑇𝑇𝑗𝑗 +𝜕𝜕𝑁𝑁𝑘𝑘𝜕𝜕𝑦𝑦

𝑇𝑇𝑘𝑘 =𝑐𝑐𝑖𝑖

2𝐴𝐴𝑇𝑇𝑖𝑖 +

𝑐𝑐𝑗𝑗2𝐴𝐴

𝑇𝑇𝑗𝑗 +𝑐𝑐𝑘𝑘2𝐴𝐴

𝑇𝑇𝑘𝑘

j

k

i

y

x

10

⎝

⎛

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑦𝑦⎠

⎞ =1

2𝐴𝐴 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑘𝑘

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑗𝑗𝑇𝑇𝑘𝑘

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu

de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care ∆𝑥𝑥 ≫ ∆𝑦𝑦 sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative. Pornim de la forma Cranck-Nickolson:

𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢+1 = ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑇𝑇𝑗𝑗+1𝑢𝑢 + (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑇𝑇𝑗𝑗−1𝑢𝑢 in care ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑎𝑎∙∆𝜏𝜏

(∆𝑥𝑥)2 este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si

rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier 𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢 = 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 in relatia de mai sus, obtinem:

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 = 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 (𝑗𝑗+1) ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 + (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 (𝑗𝑗−1) ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙

Se obtine: 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢= (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹) + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖

𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒−𝑖𝑖

𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙

= 1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 + 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑐𝑐 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙 = 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2

𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥2𝑙𝑙

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier. Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 ≤ 1

Deci in consecinta

1

3 2

11

1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥

2𝑙𝑙 ≤ 1

adica |1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹| ≤ 1 sau 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 > 0 −1 + 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 0

deci ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≥ 0 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1

2 sau 0 ≤ ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1

2 rezultand astfel 𝑎𝑎∆𝜏𝜏

(∆𝑥𝑥)2≤ 1

2

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

∆𝜕𝜕 ≤(∆𝑥𝑥)2

2 𝑎𝑎

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura, 𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑎𝑎 ∙ 𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑦𝑦2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑧𝑧2

= 0

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝑎𝑎 ∙

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

𝜕𝜕𝑥𝑥2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑦𝑦2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑧𝑧2 = 0

are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − ∆𝐹𝐹𝐹𝐹𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j−1,k

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢 − 6 ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢 = 0

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

𝑎𝑎 ∙ ∆𝜕𝜕 ∙ 1

(∆𝑥𝑥)2 +1

(∆𝑦𝑦)2 +1

(∆𝑧𝑧)2 ≤12

Metoda spectrala

In metoda spectrala se face aproximarea functiei pe baza unei serii truncate (finite) a unor functii ortogonale.

De exemplu seriile Fourier sunt folosite pentru probleme ce implica periodicitate. Pentru problem ce implica valori de granite polinoamele Cebyshev sau Legendre sunt folosite ca functii de baza.

Aproximarea poate fi scrisa in forma de mai jos:

𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝜑𝜑𝑘𝑘(𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

In care 𝑢𝑢𝑘𝑘 sunt valori ce vor fi determinate.

Consideram conditiile de granita:

𝐿𝐿𝑢𝑢 = 𝑓𝑓 pentru 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏𝑢𝑢(𝑎𝑎) = 0 𝑢𝑢(𝑏𝑏) = 0

Metoda Galerkin in cazul de fata consta in anularea reziduului 𝑅𝑅𝑛𝑛 = 𝐿𝐿𝑢𝑢𝑛𝑛 − 𝑓𝑓 in sens de “formulare slaba”:

(𝑅𝑅𝑛𝑛,𝜑𝜑𝑖𝑖)𝑤𝑤 = ∫ 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑏𝑏𝑎𝑎 𝜑𝜑𝑖𝑖𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 pentru 𝑠𝑠 = 0 …𝑠𝑠

Unde w este functia de pondere asociata cu ortogonalitatea functiilor de baza, iar valorile 𝜑𝜑𝑖𝑖 satisfac conditiile de granite. Aceste asocieri sunt valide doar prin serii Fourier unde conditiile de granite sunt inlocuite de periodicitate, iar pe de alta parte pentru rezolvarea problemelor de granite nu se pot

12

folosi polinoame Cebyshev sau Legendre decat daca metoda Galerkin este modificata de la forma ei in metoda “tau”.

Metoda “tau” consta in considerarea doar a primelor n-1 ecuatii ale sistemului (𝑅𝑅𝑛𝑛,𝜑𝜑𝑖𝑖)𝑤𝑤 care este deci pentru i=0…n-2 si adaugarea conditiilor de granita:

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑢𝑢𝑘𝑘 𝜑𝜑𝑘𝑘(𝑎𝑎) = 0

𝑘𝑘

𝑢𝑢𝑘𝑘 𝜑𝜑𝑘𝑘(𝑏𝑏) = 0𝑘𝑘

Metoda colocatiei este de asemenea o metoda spectral ace consta in anularea reziduului 𝑅𝑅𝑛𝑛 pentru un set de puncte 𝑥𝑥𝑗𝑗 ∈ ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[. Atunci conditiile de granite sunt adaugate:

𝐿𝐿𝑢𝑢𝑛𝑛𝑥𝑥𝑗𝑗 − 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑗𝑗 = 0, 𝑗𝑗 = 0 …𝑠𝑠 − 1𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑎𝑎) = 0 𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑏𝑏) = 0

Punctele de colocare xj sunt in general extremele polinoamelor Cebyshev si Legendre de grad n. Aceasta alegere este dictate in principal de convergenta aproximarii. De fapt metoda colocatiei se bazeaza pe cautarea solutiei problemei ca polinom de gradul n care satisfice exact ecuatia diferentiala in punctele date xj unde aceste polinoame iau valorile 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑥𝑥𝑗𝑗. Astfel expandarea seriei truncate poate fi reinterpretata ca un polinom de interpolare Lagrange:

𝑈𝑈𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑥𝑥𝑘𝑘)𝜓𝜓𝑘𝑘(𝑥𝑥)𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

unde 𝜓𝜓𝑘𝑘𝑥𝑥𝑗𝑗 = 𝛿𝛿𝑗𝑗𝑘𝑘 vor fi usor determinate. Prin diferentierea lui 𝑈𝑈𝑛𝑛(𝑥𝑥) vom scrie derivatele in orice punct al termenilor 𝑢𝑢𝑛𝑛 la toate punctele de colocare. Obtinand un system de ecuatii pentru determinarea valorilor 𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑥𝑥𝑗𝑗) mai degraba decat a 𝑢𝑢𝑘𝑘 .

Aceasta strategie pentru metoda colocatiei este larg folosita in aplicatii.

Principalul interes in metoda spectrala este gradul ei inalt de acuratete. Se poate arata ca eroarea dintre functia data u(x) si aproximanta ei 𝑢𝑢𝑛𝑛(𝑥𝑥) este:

‖𝑢𝑢 − 𝑢𝑢𝑛𝑛‖ ≤𝑐𝑐𝑠𝑠𝛼𝛼

Unde 𝛼𝛼 este numarul de derivate continui ale u(x).

Este interesant de observat ca pentru un numar de puncte sufficient de mare gradul de precizie este reglementat de regularitatea solutiei in sine in special, deci pentru o funcţie infinit derivabil eroare este mai mic orice putere de 1/n (deci precizie exponentiala). Acest lucru este complet diferit fata de metoda diferentelor finite sau metoda elementului finit in care daca p este numarul de noduri al schemei de mesh eroarea este de ordinul 1/np si care este un numar finit.

13

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care ∆𝑥𝑥 ≫ ∆𝑦𝑦 sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative.

Pornim de la forma Cranck-Nickolson:

𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢+1 = ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑇𝑇𝑗𝑗+1𝑢𝑢 + (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑇𝑇𝑗𝑗−1𝑢𝑢

in care ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑎𝑎∙∆𝜏𝜏(∆𝑥𝑥)2

este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier 𝑇𝑇𝑗𝑗𝑢𝑢 = 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 in relatia de mai sus, obtinem:

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 = 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 (𝑗𝑗+1) ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 + (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹)𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜋𝜋 𝑘𝑘 (𝑗𝑗−1) ∆𝑥𝑥

𝑙𝑙

Se obtine:

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢= (1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹) + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒𝑖𝑖

𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙 + ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒−𝑖𝑖

𝜋𝜋 𝑘𝑘 𝑗𝑗 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙

= 1 − 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 + 2 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑐𝑐 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥𝑙𝑙 = 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2

𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥2𝑙𝑙

1

3 2

14

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier.

Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢+1

𝐴𝐴𝑘𝑘𝑢𝑢 ≤ 1

Deci in consecinta

1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜋𝜋 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥

2𝑙𝑙 ≤ 1

adica |1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹| ≤ 1 sau 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 > 0 −1 + 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 0

deci ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≥ 0 ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1

2 sau 0 ≤ ∆𝐹𝐹𝐹𝐹 ≤ 1

2 rezultand astfel 𝑎𝑎∆𝜏𝜏

(∆𝑥𝑥)2≤ 1

2

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

∆𝜕𝜕 ≤(∆𝑥𝑥)2

2 𝑎𝑎

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

− 𝑎𝑎 ∙ 𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑥𝑥2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑦𝑦2

+𝜕𝜕2𝑇𝑇𝜕𝜕𝑧𝑧2

= 0

𝜕𝜕𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢

𝜕𝜕𝜕𝜕− 𝑎𝑎 ∙

𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘u

𝜕𝜕𝑥𝑥2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑦𝑦2+𝜕𝜕2T𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

u

𝜕𝜕𝑧𝑧2 = 0

are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia

𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢+1 − 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 − ∆𝐹𝐹𝐹𝐹𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑗𝑗,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑗𝑗,𝑘𝑘

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗+1,𝑘𝑘𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j−1,k

𝑢𝑢 + 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑘𝑘+1𝑢𝑢 + 𝑇𝑇i,j,k−1𝑢𝑢 − 6 ∙ 𝑇𝑇i,j,k𝑢𝑢 = 0

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

𝑎𝑎 ∙ ∆𝜕𝜕 ∙ 1

(∆𝑥𝑥)2 +1

(∆𝑦𝑦)2 +1

(∆𝑧𝑧)2 ≤12

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Evident, in urma discretizarii domeniului analizat, vor rezulta cu atat mai multemecuatii de rezolvat cu cat numarul de noduri este mai mare, deci cu cat discretizarea este mai fina.

Problema se pune de a rezolva foarte repede aceste sisteme de ecuatii care necesita resurse computationale destul de ridicate. In acest sens sunt de evidentiat cateva metode.

15

Aceste metode sunt clasificate astfel:

• metode exacte o metoda Cramer – din puct de vedere strict mathematic este ideala intrucat rezultatele sunt

exacte, nu exista erori de metoda, doar erori de computare numerica primara. Dezavantaj: necesita resurse de calcul uriase, mai ales ca este vorba de mii de ecuatii de rezolvat intr-un system.

o Metoda de eliminare Gauss – este de asemenea o metoda exacta care de asemenea nu da erori de metoda ci doar de computatie, se bazeaza pe o serie de pasi succesivi de rezolvare a sistemului de ecuatii. Dezavantaj: din punct de vedere computational este mai rapida decat metoda Cramer pentru sisteme de multe ecuatii intrucat prin faptul ca are niste pasi succesivi se apropie de ideologia computatiei, anume iteratia. Totusi nu e satisfacatoare pe deplin in privinta resurselor computationale cerute si a timpului efectiv de rezolvare a sistemelor de ecuatii. Aceasta metoda are si o derivata a ei cum ar fi metoda Gauss cu strategie de pivotare, dar surplusul de rapiditate care il ofera nu este mare

o Metoda Choleski – este bazata pe descompunerea matricei coeficientilor sistemului de ecuatii in doua matrici triunghiulare respective triunghiular superioara si triunghiular inferioara

• Metode iterative o Metoda Jacobi – se numeste si “metoda deplasarilor simultane” pentru ca initial se

porneste de la un set de valori initiale date arbitrar necunoscutelor si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedenta. Ciclul de iteratii inceteaza cand este atinsa o relatie de convergenta. Metoda este satisfacator de rapida, dar are in acelasi timp dezavantajul ca nu se poate aprecia timpul de rezolvare al sistemului, anume cand va fi atinsa relatia de convergenta.

Metoda Gauss-Seidel se bazeaza la fel ca si metoda Jaciobi pe pornirea de la un set de valori initiale arbitrare ale necunoscutelor, si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedent la care se adauga un termen de “relaxare” cuprins intre 1 si 2 care va relaxa la zero reziduul ecuatiei din iteratia curenta, si are rolul de a accelera gasirea solutiei. Este o metoda iterative mai rapida decat Jacobi. Are si aceasta metoda un dezavantaj in sensul ca nu se poate stabili initial o valoare optima pentru termenul de relaxare incat numarul de iteratii sa fie minim. Aceasta metoda este cea mai larg folosita in rezolvarea prin iteratii a sistemelor de ecuatii. Tehnici de grid (mesh)

Trebuie evidentiat de asemenea ideea folosirii unui grid neuniform, in care doua ochiuri vecine sau din puncte diferite ale gridului sa nu aiba acelasi pas de tranzitie intre noduri.

Oricum, indiferent de situatie, este recomandat ca fiecare element din grid sa fie cat mai ortogonal posibil si de asemenea raporturile relative intre dimensiunile laturilor sa fie cat mai apropiate de 1.

Constrangerile care pot impune ca gridul sa fie neuniform pot fi de doua feluri, anume:

• constrangeri geometrice in care datorita unor forme geometrice foarte complicate (colturi, suprafete neliniare, discontinuitati)

• constrangeri ale distributiei fenomenului – in sensul ca este recomandat ca gridul prin forma lui sa cloneze aproximativ forma campurilor de distributie a marimilor studiate. Acest lucru este recomandat pentru a obtine rezultate de mare acuratete pentru fenomenul studiat.

16

In exemplul prezentat mai sus de grid neuniform, profilul de viteze se suprapune cu gridul in sensul ca in zona stratului limita in care viteza are scadere accentuata pe masura apropierii de perete, in consecinta si gridul este mai dens.

Avem formula lui Prandtl pentru grosimea stratului limita laminar:

𝛿𝛿~𝜈𝜈 𝑥𝑥𝑢𝑢∞

=𝑥𝑥

𝑅𝑅𝑒𝑒𝑥𝑥

Este de asemenea stiut ca raportul intre gradientii vitezelor pe cele doua directii este de asemenea functie de Re:

𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑦𝑦

/𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑥𝑥

= ~ 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑥𝑥

Astfel pentru a echilibra variatiile intre noduri pe ambele directii, avand consecinta unei acurateti mai bune a rezultatelor, gridul se va construi deci in zona stratului limita la nivelul fiecarei celule cu un raport ∆𝑦𝑦/∆𝑥𝑥 luat dupa relatia:

∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥

~1

𝑅𝑅𝑒𝑒𝑥𝑥

In figura de mai sus este prezentat un exemplu unidimensional de variatie a dimensiunii de baza a gridului.

Atunci cand trebuie sa fie modelata o granita de geometrie neliniara, aceasta va fi aproximata cu un model de scara, treapta cu treapta meshatura suprapunandu-se prin nodurile ei pe curba ce trebuie urmata.

17

Cand tot modelul este imersat intr-o meshatura carteziana, atunci la nivel de granita este elaborata o metoda numerica de partitionare a marimii pe granita pe partea interioara si pe partea exterioara a acesteia.

In cazul meshaturilor carteziene (uniforme) are loc intersectie intre laturile celulelor de mesh cu granita domeniului studiat, rezultand forme arbitrare de celule de mesh. Aceste celule se vor numi celule de taietura (cut-cells). Acest lucru va cere aplicarea metodei volumului finit de discretizare pe celulele de taietura.

Etape ale analizei numerice

• Fixarea problemei – adunare cat mai multe informatii despre curgere • Modelul matematic – stabilire ecuatii cu derivate partiale, conditii initiale, de granita si de limita • Generare model – noduri, cellule, instanturi de timp • Discretizare spatiala • Discretizare a timpului – relevarea modelului algebraic linear At=b • Rezolvantul iterativ – valori ale functiilor discrete • Utilizare soft de mecanica fluidelor computationala – implementarea tuturor conditiilor

modelului de cercetat • Rularea simularii – relevare parametrii, criteria de convergenta • Postprocesare – vizualizare si analiza date • Verificarea – validare model si ajustari

18

2. Parametrii fizici ai climatului unei clădiri In aceasta sectiune se vor trata modalitatile de cercetare numerica privind influenta factorilor fizici de mediu. Factorii care determina confortul termic sunt urmatorii:

• Temperatura aerului • Umiditatea aerului • Nivelul de caldura radianta propagata prin incinta • Viteza de miscare a curentilor de aer

Mai departe vor fi dezbatute in special problemele legate de circulatia aerului incluzand temperatura si viteza de miscare Temperatura aerului In cadrul comfortului ambiental participa temperatura aerului aflat in jurul corpului si ea influenteaza fluxul de cadura transmis prin convectie si conductie intre corp si mediu, fluxul radiativ fiind exclus considerandu-se ca persoana sta departe de sursele de radiatie termica. Variatiile de temperatura destul de fine sunt usor sesizate de corpul uman care se va manifesta prin reactii fiziologice involuntare in primele momente (tremuraturi, senzatia de rece, incretire piele). În perioada de iarnă, când pentru obţinerea unei anumite valori a temperaturii aerului interior se folosesc instalaţiile de încălzire, apar o serie de fenomene asociate transferului de căldură (apare o convecţie naturală) care fac ca repartiţia temperaturii aerului interior pe verticala incintei să nu mai fie uniformă. Distribuţia temperaturii aerului interior pe verticala incintei depinde esenţial de tipul instalaţiilor de încălzire utilizate – vezi figura. Variaţia temperaturii pe verticala incintei: a. variatia ideala; b. încălzirea cu aer cald; c. încălzirea cu sobe de teracotă; d. încălzirea centrală; e. încălzirea prin plafon; f. încălzirea prin pardoseală. La realizarea confortului termic o importanţa deosebită o are şi distribuţia temperaturii în planul orizontal incintei –vezi figura. Dacă incinta are zone diferă cu mai mult de 2 – 3 grd., trecerea de la zonele calde, la cele mai puţin calde, devine supărătoare pentru om, datorită necesităţii unui timp de aclimatizare.

a b16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

c. d e f.

23°

22°

21°

20°19° 20°

21°

22°23°

25°

a. b. 19

Distribuţia temperaturii aerului interior într-o incintă: a. cazul încălzirii centrale; b. cazul încălzirii prin plafon.

Se observă că, în centrul încăperilor, repartiţiile temperaturilor aerului sunt foarte apropiate, indiferent

de tipul de încălzire, iar lângă pereţi (interiori sau exteriori) repartiţiile diferă foarte mult. Plaja de confort a temperaturilor de confort este între 20 si 24°C, în funcţie de activitatea depusă în acea camera. Cu cât efortul depus de ocupanţi este mai mare, cu atât va scădea valoarea temperaturii de confort (pentru starea de repaus temperatura de confort este în jurul valorii de 22-23°C, pentru starea de activitate uşoară, munca de birou, valoarea acesteia este de aproximativ 21°C, pentru munca fizică grea temperatura de confort este de cca 17-18°C, iar în cazurile de muncă fizică grea valoarea poate fi chiar de 10°C). Temperatura exterioara

O variatie importanta a temperaturii exterioare este variatia diurnal de-a lungul celor 24 de ore.In cursul zilei temperature variaza sinusoidal de o parte si de alta a unei temperature medii.

Variatia zilnica a temperaturii exterioare: 1 – zi de iarnă; 2 – zi de primavera/toamna; 3 – zi de vara Daca temperatura exterioara variaza sinusoidal, aceasta variatie va ajunge in interior cu un anumit decalaj in timp si cu amplitudinea redusa datorita inertiei termice si a acumularilor de caldura din pereti.

Pentru a mentine temperatura din interior constanta intrucat trebuie indeplinita conditia de confort termic, sistemul de incalzire va fi determinat sa reactioneze de asemenea sinusoidal fata de variatia sesizata, cu un decalaj de timp si o amplitudine specifice.

Variaţiile zilnice corelate ale temperaturii exterioare, ale necesarului de căldură

+12 +16 +20 +24

+32

te

0 4 8 12 16 20 τ [h]

-12 -8 -4 0

+4 +8

+28

-16

2

3

1

te

[°C]

ti

qi

0

0

0 6 12 18 24

τ [h]

τ [h]

τ [h]

1

2

3

4

ε ε

2 Ate

2 Ati

20

pentru încălzire şi ale temperaturii interioare: 1 – variaţia zilnică a temperaturii exterioare in jurul unei valori medii; 2 – variaţia zilnică a fluxului termic din sistemul de încălzire in jurul valorii medii fara efectul inerţiei termice a clădirii; 3 – variaţia zilnică a fluxului termic din sistemul de încălzire in jurul aceleiasi valori medii pentru încălzire plus efectul inerţiei termice a clădirii; 4 – variaţia zilnică a temperaturii interioare in jurul unei valori medii si intr-o

banda admisibila de confort. Daca se neglijeaza efectul inerţiei termice a clădirii, variaţia zilnică a necesarului de căldură pentru încălzire este practic inversă variaţiei zilnice a temperaturii exterioare. Trebuie remarcat ca daca variatia temperaturii exterioare este permanenta, sistemul de incalzire se va adapta acestei variatii permanent incercand sa o anuleze in virtutea mentinerii in cladire a unei temperaturi constante. Dar intotdeauna va fi un decalaj in timp intre cele doua (sistemul de incalzire reactioneaza cu o anumita intarziere data atat de pragul de sensibilitate al senzorilor, cat si unul dat de reglarea regimurilor sale interne de functionare) cat si o diferenta de amplitudine. Cel mult cele doua temperaturi (exterioara si interioara) pot varia cu aceeasi pulsatie. Prin urmare echilibrul nu v-a fi atins in aceste conditii niciodata, in schimb putem vorbi de o banda de echilibru. Astfel, la o variatie sinusoidala a temperaturii din exterior, in urma raspunsului sistemului de incalzire va apare efectul ca temperatura interioara va varia numai intr-o banda limitata de valori care este de dorit sa fie in interiorul zonei de confort termic. Se poate face comparatia intre o incinta neincalzita si una incalzita, ca in figurile de mai jos.

Variaţiile temperaturii interioare într-o încăpere: a. încăpere neîncălzită; b. încăpere încălzită (flux de căldură constant).

Se observa ca incinta neincalzita are un comportament termic „docil” variatiilor din exterior, temperatura medie de echilibrul fiind apropiata celei din exterior. In cazul in care in incinta se asigura o incalzire in flux termic constant, temperatura medie de echilibru din aceasta incepe sa difere semnificativ de cea din exterior. Ca urmare:

• diferenţele dintre temperaturile interioare şi cele exterioare devin maxime în cazul încăperilor încălzite. Dacă în cazul încăperilor neîncălzite cele două temperaturi oscilează zilnic practic în jurul aceleaşi valori medii, în cazul încăperilor încălzite cele două temperaturi oscilează zilnic în jurul unor valori medii foarte diferite;

• între variaţiile temperaturilor interioare şi celor exterioare apar diferenţe atât ca amplitudine, cât şi ca alură – existând decalaje între momentele atingerii extreme

In figura de mai jos se prezinta raspunsul unei constructii experimentale neincalzite la schimbarile de temperatura ale mediului exterior de-a lungul unui an.

Comportmentul termic al unei constructii experimentale neincalzite - Universitatea Tohoku (Japonia)

0 12 24

Ti, Te

[°C]

τ

2Ati 2Ate

ε

ε Te

Ti

a.

Ti, Te

[°C]

0 12 24 τ

2Ati

2Ate

ε

ε ti

Te

b.

21

Din figura de mai sus se observa ca oscilatiile externe de temperatura sunt urmate de oscilatii de temperatura la o amplitudine mai redusa a cladirii. De asemenea se observa si un anumit defazaj dat de inertia termica a cladirii. Anvelopa oscilatiilor externe se intersecteaza cu cea a oscilatiilor de temperatura interne in perioadele de tranzitie din an (primavara si toamna), practic in acele puncte temperatura exterioara si cea din cladire sunt in unda. Se mai constata de asemenea ca la inceputul sezonului cald, dupa o acumulare a caldurii in peretii cladirii, la un moment dat temperatura medie de oscilatie a cladirii urca brusc. Aceasta panta de crestere a temperaturii medii de oscilatie la inceputul sezonului cald este mai abrupta decat panta de descrestere de la inceputul sezonului rece. Se pare ca o influenta o are aici si temperatura solului. Cand in cladire este prezent un sistem de incalzire activ, comportamentul termic al acesteia se modifica semnificativ. Practic temperatura medie din aceasta oscileaza de-a lungul intregului an in jurul unei temperaturi medii de 20 0C.

Un alt exemplu este prezentat in figura de mai jos, in care cele sunt prezentate in paralel cele 2 situatii de incalzire a cladirii:

• Cladirea cu sistem de incalzire fara termoreglare activa (la flux de caldura constant) • Cladirea cu sistem de incalzire cu termoreglare activa

Se observa ca in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa varfurile de oscilatie ale temperaturii din exterior tind sa fie urmate de temperatura interna din cladire. In cazul sistemului de incalzire cu termoreglare activa varfurile de oscilatie tind sa fie „taiate”. Datorita acelor variatii mari ale temperaturii din interiorul cladirii in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa consecinta este un consum de combustibil mai mare, respectiv un confort termic mai scazut. Inertia termica a cladirii

Pentru caracterizarea unui element de construcţie sau a unei clădiri din punctul de vedere al inerţiei termice se foloseşte o mărime adimensională denumită indice de inerţie termică D.

Pentru un element de construcţie omogen indicele de inerţie termică D este:

22

24sRD ⋅= unde R este rezistenţa termică a elementului de construcţie, în m2K/W; iar s24 – coeficientul de asimilare termică a elementului de construcţie respectiv pentru oscilaţii ale fluxului termic cu perioade de 24 ore, în W/m2K. Coeficientul de asimilare termică a unui element de construcţie omogen se determină cu relaţia:

pcs ⋅⋅⋅⋅

= ρλτπ

24

2

în care τ24 este perioada oscilatiei diurne de temperatura, în s; cp – căldura specifică a materialului de construcţie, în J/kg.K; λ – coeficientul de conductivitate termică, în W/mK; iar ρ densitatea materialului, în kg/m3. Pentru un element de construcţie neomogen format din mai multe straturi, indicele de inerţie termică D este:

∑=

=n

1iiDD

unde Di este indicele de inerţie termică a stratului omogen “i”. In cazul un element de construcţie neomogen format din mai multe zone distincte , indicele de inerţie termică D se determină cu relaţia:

∑

∑

=

=

⋅=

n

1ii

n

1iii

S

DSD

în care Di este indicele de inerţie termică a zonei distincte “i” omogene sau neomogene; iar Si – suprafaţa zonei distincte “i”. Se recomandă următoarele valori limită ale necesare pentru realizarea confortului termic:

• pentru încălzirea cu sobe (încălzire intermitentă): D ≥ 2,5 • pentru încălzirea centrală (centrale termice, cogenerare): 1.5 ≤ D ≤ 2.0

Stabilitatea termica a elementelor de construcţie este influentata de proprietăţile termofizice ale materialelor de constructic şi de alcatuirea lor. Stabilitatea termica a anvelopei cladirii este descrisa de parametrii:

• Coeficientul ν de amortizare a amplitudinii oscilatiei temperaturii aerului exterior ca raport intre amplitudinea de oscilatie a temperaturii de calcul a aerului exterior si amplitudinea de oscilatie a temperaturii suprafetei interioare a anvelopei cladirii

• Defazarea oscilatiilor temperaturilor mediului inconjurator reprezinta timpul pe care maximul unui front de unda de temperatura il parcurge de la o fata a peretelui la cealalta.

Amortizarea undei de temperatura din exterior Amortizarea undei de temperatura arata in ce raport scade amplitudinea de variatie temperatura exterioara cand tranziteaza peretele si ajunge atenuata la suprafata interioara a acestuia. Coeficientul de amortizare al undei de temperatura este

ν =𝐴𝐴𝑒𝑒𝐴𝐴𝑖𝑖

unde Ae şi Ai sunt amplitudinile de oscilaţie ale temperaturii exterioare, respectiv interioare Clădirile de locuit sunt caracterizate de coefiecienţi de amorizare ν cu valori de circa 15 – 30. Având în vedere că amplitudinea oscilaţiilor temperaturii exterioare este în cursul iernii in medie de 6 – 8 grd., oscilaţiile temperaturii interioare vor fi de aproximativ:

Cti0)53,0...20,0(

)30...15()8...6(

==∆

respectând condiţia impusă de realizarea confortului termic care prevede că valoarea acestei amplitudini nu trebuie sa depăşească 1 grad.

23

Defazarea undei de temperatura din exterior Unda de temperatura din exterior cand strabate peretele pana la suprafata interioara a acestuia suporta si o defazare. Defazajul ε este de asemenea o consecinta a inerţiei termice si are o valoare de 4 ÷ 12 ore. O formula care aproximeaza acest defazaj al undei de temperatura la trecere printr-un perete este:

𝜀𝜀 =1

1540.5 𝐷𝐷 − atan

𝛼𝛼𝑖𝑖𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛿𝛿√2

− atan𝛿𝛿

𝛿𝛿 + 𝛼𝛼𝑒𝑒√2

unde 𝛿𝛿 este grosimea peretelui, D este inersia termica, iar 𝛼𝛼𝑖𝑖 ,𝛼𝛼𝑒𝑒coeficientii de convectie pe suprafata interioara si exterioara. Rezumand, la trecerea prin perete undele termice sufera un proces de atenuare ca amplitudine si un proces de defazare cu intarziere a oscilatiei, lungimea de unda pastrandu-se. In cazul incintelor, coeficientul de amortizate ν a undei de temperatură şi defazajul ε se pot determina prin calculul transferului termic în regim nestaţionar folosind metode numerice (diferenţe sau elemente finite). Practic orice variatie externa de temperatura ce cauta sa influenteze temperatura din interior suporta urmatoarele transformari:

1. Este atenuata in amplitudine (deci aplatizata) si decalata in timp de inertia termica a peretilor externi ai cladirii

2. Este sesizata de senzorii sistemului de incalzire care va ridica temperatura aerului din interior suplimentar fata de momentul initial pentru a preintampina aceasta variatie

3. Sistemul de incalzire dupa ce ridica temperatura la un anumit prag se opreste, surplusul de temperatura transmis in interior va urma sa fie cedat catre exterior datorita variatiei sesizate de acolo

4. Va fi cedata caldura catre exterior pana cand sistemul sesizeaza ca temperatura din interior scade sub cea stabilita atingand pragul de toleranta

5. Sistemul de incalzire se va declansa din nou Astfel fluxul de caldura pentru încălzire trebuie livrat la o valoare medie zilnică, corespunzătoare temperaturii exterioare medii zilnice, fără ca abaterile temperaturii interioare de la condiţiile de confort termic să depăşească limitele admisibile. Daca sistemul de incalzire nu functioneaza in virtutea acestor principii in acest caz nu este garantat nici confortul termic, si in plus sistemul poate duce la consumuri de energie nejustificate pentru incalzire. Viteza aer din interior Oamenii sunt sensibili in general la curentii de aer din ambient. Astfel, este de dorit sa existe o circulatie dar slaba a aerului in incinte. Daca aerul este prea stagnant in conditiile in care temperatura este destul de ridicata, apare senzatia de inabusire. Daca aerul circula cu viteza mare apare mai usor senzatia de frig deoarece fluxul convectiv corp-ambient creste. Activitatile fizice din cladiri au influenta in viteza generala a aerului din incinte. Daca viteza aerului in incinta distribuita si foarte eterogen, existand curenti de aer predominanti si care sunt sesizabili acest lucru poate genera nu doar disconfort termic, ba chiar si inbolnavire (raceli, dureri de cap, etc). Oamenii au sensibilitati destul de diferite la curentii de aer si de multe ori intr-un spatiu comun apar multe opinii divergente si la acest lucru (situatii de usi deschise, ferestre deschise, porniri ale aparatelor de ventilatie si aer conditionat, etc)

24

Gradientul de deplasare al aerului in incinta la diverse ore intr-o zi obisnuita de iarna

Sectiunea de masura din incinta

Se considera ca o viteza de 0.15 – 0.25 m/s a aerului este optima pentru confortul termic. Viteza vantului de calcul Viteza vantului de calcul vas ta la baza stabilirii coeficientului de convective a suprafetei exterioare. Este stabilită prin prelucrarea statistică a vitezelor vântului, înregistrate pe perioade lungi de timp (20 – 30 de ani), simultane cu temperaturile exterioare cele mai coborâte. De regula temperaturile exterioare cele mai scăzute nu corespund cu vitezele cele mai ridicate ale vântului. Este adevarat de asemenea ca la o temperatura exterioara scazuta vantul detemina o amplificare a perceptiei de frig datorita intensificarii convectiei. Pe baze statistice, referitoare la concomitenţa vânt - temperatură, s-au adoptat valori de calcul ale vitezei vântului, care determină 4 zone eoliene pe teritoriul ţării ( SR 1907-1). Zonarea climatică făcută după temperatura exterioară de calcul nu este identică cu zonarea eoliană. Valorile vitezelor de calcul ale vântului, în m/s, valabile în România

Zona eoliană Amplasamentul clădirii în localităţi în afara localităţii

I 8,0 10,0 II 5,0 7,0 III 4,5 6,0 IV 4,0 4,0

25

Radiatia solara Energia radiaţiilor provine din energia internă a corpurilor şi diferă de la o radiaţie la alta. Toate

corpurile emit şi absorb radiaţii în proporţii diferite şi pe lungimi de undă caracteristice, sau pe toată gama lungimilor de undă. Radiaţia diferă de conducţie şi convective in principal prin următoarele:

• nu necesită prezenţa substanţei ca mediu de propagare • puterea termică transferată prin radiaţie este proporţională cu puterea a patra a temperaturilor

corpurilor implicate în schimbul termic. Radiaţia termică reprezintă acea parte a radiaţiei electromagnetice care transferă căldură. Aceasta este definită de intervalul lungimilor de undă cuprins între 10-7 m şi 10-4 m, adică domeniul infraroşu şi parţial cel ultraviolet, inclusiv spectrul îngust al radiaţiei vizibile, respectiv: (3,9.10-7......7,8. 10-7)

Spectrul radiatiei solare este divers, dar cea mai mare parte a energiei acesteia este concentrate in

jurul lungimii de unda de 0.5 μm. De exemplu intregul spectru cuprinde de la raze X (<0.01 μm) pana la unde radio (>100 m) dar 99.9% din energia totala este continuta inauntru intervalului 0.22 – 10.94 μm.

Spectrul radiatiei solare

Duratele medii de strălucire a soarelui, determinate prin prelucrarea statistică a datelor meteorologice, diferă în funcţie de localitate şi de luna anului. În tabelul următor se dau sumele medii ale duratelor de strălucire a soarelui, în ore pe lună, pentru unele localităţi din România. Durate medii de strălucire a soarelui, în ore/lună

Localitatea Ianuarie

Mai

Iulie

Septembrie

Galaţi 76

250

307

230

Constanţa

78

254

330

243

Craiova 64

252

310

208

Cluj 83

219

236

201

Radiaţia solară globală [W/m2] se compune din:

26

• Radiaţie directa – depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia directa in unde scurte este cea mai importanta componenta a radiatiei globale si are aportul cel mai mare in bilantul energetic

• Radiaţie difuză (datorată aerului atmosferic şi norilor) – nu depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia difuza este imprastiata din razele solare de catre aer si aerosoli (particule de praf, resturi de vegetatie, etc)

• Radiatia reflectata este in principal datorita neregularitatilor din teren si are un aport mai mare in special in zonele muntoase

Pe cer senin radiaţia directă este maximă şi cea difuză minimă, iar pe cer înnorat, invers.

Radiaţia solară globală este diferită în funcţie de ora zilei. La calculul radiatiei solare asupra unei clădiri trebuie avute în vedere particularităţile amplasamentului referitoare la vecinătăţi şi la efectele umbririi cauzate de vegetaţie şi alte clădiri.

Tipurile de radiatie solara: a) directa; b) difuza; c) reflectata

In general graficul de radiatie solara de-a lungul unui an este dupa caracteristica prezentata mai jos:

Radiatia solara (I) este rata de la care energia radiant este incidenta pe unitatea de suprafata. Daca cerul este senin se poate calcula de asemenea o component difuza a radiatiei care este si izotropica. In conditii de cer noros sau partial noros de asemenea exista o radiatie difuza dar care de data aceasta nu mai este izotropica. Daca intensitatea de radiatie soseste pe suprafata de pamant dintro directive data, atunci cantitatea de radiatie incident pe unitatea de suprafata de-a lungul directiei “zenith” este:

𝐼𝐼𝑧𝑧 = 𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑐𝑐 𝜃𝜃𝑧𝑧 27

unde 𝜃𝜃𝑧𝑧 este unghiul azimuthal intre normal la suprafata si directia razei.

O formula de calcul a intensitatii radiatiei solare pentru o anumita data din an, este prezentata mai jos:

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 1 + 0.033 𝑐𝑐𝐹𝐹𝑐𝑐 360 𝑁𝑁𝑑𝑑

365

unde 𝑁𝑁𝑑𝑑 este numarul de ordine al zilei din an.

Orbita Pamantului in jurul Soarelui

Unghiurile specifice radiatiei solare

28

3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii Calculul termotehnic al componentelor cladirii are in principal urmatoarele ratiuni:

• Asigurarea confortului interior al cladirii • Reducerea consumului de energie • Evitarea aparitiei condensului fie pe suprafetele elementelor de constructive fie in interiorul

acestora Transferul de caldura in interiorul unui perete din doua panouri radiante

Q𝑟𝑟 =𝐶𝐶𝑟𝑟 𝑆𝑆100

(𝜃𝜃𝑖𝑖4 − 𝜃𝜃𝑒𝑒4) = 𝐶𝐶𝑟𝑟 𝑆𝑆1004

(𝜃𝜃𝑖𝑖 + 𝜃𝜃𝑒𝑒)(𝜃𝜃𝑖𝑖2 + 𝜃𝜃𝑒𝑒2) (𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒) =(𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒)

Rr

Prin urmare rezistenta termica in cazul radiatiei este:

Rr =0.1 ∙ 10−3

𝐶𝐶𝑟𝑟 𝑆𝑆 (𝜃𝜃𝑖𝑖 + 𝜃𝜃𝑒𝑒)(𝜃𝜃𝑖𝑖2 + 𝜃𝜃𝑒𝑒2)

In cazul convectiei rezistenta termica este:

Rconv =1

𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑆𝑆

Aplicand regulile circuitelor termice se obtine:

Rconv = Rconv1 + Rconv2 1R

=1

Rconv+

1Rr

R =Rr + Rconv

Rr Rconv

𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣1 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣2

𝑅𝑅𝑟𝑟

𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜃𝜃𝑒𝑒

δ

𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜃𝜃𝑒𝑒

𝛼𝛼𝑖𝑖

𝛼𝛼𝑒𝑒

29

Calculul termotehnic al ferestrelor

Din punct de vedere al energiei, ferestrele sunt elementele prin care se poate pierde multa energie daca nu este adoptata o solutie constructiva satisfacatoare a acestora. Cu geamuri conventionale practic o mare cantitate de energie este pierduta in exterior. In case tipice cu astfel de ferestre conventionale pierderile de caldura pot ajunge pana la 1/3 din energia termica pentru incalzirea cladirii. Ferestrele prin constructia lor furnizeaza izolare termica dar si captare de energie din radiatia solara. In general geamurile transmit 75-80% din radiatia solara catre incapere, absorb 10-20% si reflecta inapoi in exterior 10-20%. Pentru intreaga fereastra se calculeaza un coeficient global de schimb de caldura echivalent incluzand pe cel al geamului, cadrului si tocului.

𝐾𝐾 =𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑐𝑐𝑆𝑆𝑒𝑒𝑐𝑐 + 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑆𝑆𝑓𝑓

𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑐𝑐 + 𝑆𝑆𝑓𝑓

In care suprafata totala de calcul va fi 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑐𝑐 + 𝑆𝑆𝑓𝑓 Pentru o intensitate de radiatie solara I incidenta pe geam, o parte ρI este reflectata, o alta parte αI este absorbita in geam, si o alta parte τI este transmisa catre interior.

𝜌𝜌 + 𝛼𝛼 + 𝜕𝜕 = 1 Radiatia transmisa spre interior se considera absorbita total prin efectul de cavitate, intrucat marea majoritate din razele radiante ce trec de geamuri parcurg mai departe drumul pana sunt absorbite de pereti, cantitatea rezultata din reflectia din suprafata interioara a geamului respectiv din peretii incaperii inapoi la geam fiind nesemnificativa.

𝐼𝐼0 = (1 − 𝑟𝑟)𝐼𝐼 Daca 𝜉𝜉 este versorul radiatiei I0 care va parcurge peretele, atunci:

𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑𝜉𝜉

= −𝑘𝑘𝜉𝜉

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑠𝑠

𝜃𝜃𝑖𝑖

𝐼𝐼

𝑟𝑟𝐼𝐼

𝜃𝜃𝑒𝑒

𝐼𝐼0 𝑠𝑠′

𝑡𝑡

𝐼𝐼𝑡𝑡

𝑟𝑟𝐼𝐼𝑡𝑡

(1 − 𝑟𝑟)𝐼𝐼𝑡𝑡

30

Atunci cand 𝜉𝜉 = 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑖𝑖′

se obtine ca:

𝐼𝐼𝑡𝑡 = 𝐼𝐼0𝑒𝑒− 𝑘𝑘𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑖𝑖′

Deci cantitatea de caldura absorbita de geam este:

𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑡𝑡 = 𝐼𝐼0 1 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑡𝑡

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼′ Si fractiunea de absorbtie este deci:

𝑎𝑎 =𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼0

= 1 − 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑡𝑡

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼′

𝐼𝐼𝑡𝑡 = (1 − 𝑎𝑎)𝐼𝐼0

Fluxul de radiatie transmisa prin geam va fi (1 − 𝑟𝑟)𝐼𝐼𝑡𝑡 In prezenta radiatiei solare, fluxul termic total prin geam este:

𝜕 = 𝐾𝐾(𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝜃𝜃𝑖𝑖) + 𝜕𝜕𝐼𝐼𝑆𝑆 + 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑆𝑆 ∆𝑇𝑇 Unde ∆𝑇𝑇 este diferenta cu care a crescut temperatura geamului. In situatie fara radiatie caldura transferata este:

𝜕 = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑖𝑖 =𝜆𝜆𝛿𝛿𝜃𝜃𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝛼𝛼𝑒𝑒𝜃𝜃𝑝𝑝𝑒𝑒 − 𝜃𝜃𝑒𝑒 = 𝐾𝐾(𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒)

𝐾𝐾 =1

1𝛼𝛼𝑖𝑖

+ 𝛿𝛿𝜆𝜆 + 1

𝛼𝛼𝑒𝑒

La existenta radiatiei mai apare un flux de caldura provenit radiatie convertita in caldura 𝜕𝑟𝑟𝑐𝑐 si un flux de radiatie ramasa 𝜕𝑟𝑟𝑛𝑛𝑐𝑐 astfel incat caldura schimbata este:

𝜕𝜕𝑡 = 𝜕 − 𝜕𝑟𝑟 = 𝜕 − 𝜕𝑟𝑟𝑐𝑐 − 𝜕𝑟𝑟𝑛𝑛𝑐𝑐

𝜕𝜕𝑡 = 𝐾𝐾𝑆𝑆(𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒) − 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑆𝑆∆𝑇𝑇 − 𝜕𝜕𝐼𝐼𝑆𝑆 Deci:

𝜕𝜕𝑡 = 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑆𝑆𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑖𝑖 − ∆𝑇𝑇 − 𝜕𝜕𝐼𝐼 =𝜆𝜆𝛿𝛿𝑆𝑆𝜃𝜃𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝∆𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑒𝑒𝑆𝑆𝜃𝜃𝑝𝑝𝑒𝑒 + ∆𝑇𝑇 − 𝜃𝜃𝑒𝑒 − (𝛼𝛼 + 𝜕𝜕)𝑆𝑆𝐼𝐼

Rezulta ca

𝛼𝛼𝐼𝐼 = 𝛼𝛼𝑖𝑖∆𝑇𝑇 + 𝛼𝛼𝑒𝑒∆𝑇𝑇 = ∆𝑇𝑇(𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑒𝑒) Practic

(𝛼𝛼 + 𝜕𝜕)𝐼𝐼 = 𝛼𝛼𝑒𝑒∆𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝∆𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑖𝑖∆𝑇𝑇 + 𝜕𝜕𝐼𝐼 Deci

∆𝑇𝑇 =𝛼𝛼

(𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑒𝑒) 𝐼𝐼

Se obtine o noua expresie a schimbului total de caldura:

𝜕𝜕𝑡 = 𝐾𝐾𝑆𝑆(𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒) −𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖

(𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑒𝑒) 𝑆𝑆 − 𝜕𝜕𝐼𝐼𝑆𝑆

Deci castigul de caldura din radiatie este:

31

𝜕𝑟𝑟 =𝛼𝛼𝛼𝛼𝑖𝑖

(𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑒𝑒) 𝑆𝑆 + 𝜕𝜕𝐼𝐼𝑆𝑆

Mai departe vom explicita legatura dintre termenii ρ, α si τ.

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝜌𝜌 + 𝐼𝐼𝛼𝛼 + 𝐼𝐼𝜏𝜏 = 𝜌𝜌𝐼𝐼 + 𝛼𝛼𝐼𝐼 + 𝜕𝜕𝐼𝐼 𝛼𝛼𝐼𝐼 = (1 − 𝜌𝜌)𝑎𝑎𝐼𝐼 + (1 − 𝜌𝜌)𝑎𝑎𝜌𝜌(1 − 𝑎𝑎) + (1 − 𝜌𝜌)𝑎𝑎𝜌𝜌(1 − 𝑎𝑎)𝜌𝜌(1 − 𝑎𝑎) … = 𝑎𝑎(1 − 𝜌𝜌)𝐼𝐼 + 𝑎𝑎𝜌𝜌(1 − 𝜌𝜌)(1 − 𝑎𝑎)𝐼𝐼 + 𝑎𝑎𝜌𝜌(1 − 𝜌𝜌)(1 − 𝑎𝑎)2𝐼𝐼+. ..

= 𝑎𝑎(1 − 𝜌𝜌)𝐼𝐼[1 + 𝜌𝜌(1 − 𝑎𝑎) + 𝜌𝜌2(1 − 𝑎𝑎)2+. . . ] = 𝑎𝑎(1 − 𝜌𝜌)𝐼𝐼lim𝑛𝑛→∞

1−𝜌𝜌𝑛𝑛+1(1−𝑎𝑎)𝑛𝑛+1

1−𝜌𝜌(1−𝑎𝑎)

= 𝑎𝑎(1−𝜌𝜌)1−𝜌𝜌(1−𝑎𝑎)

𝐼𝐼 𝜌𝜌𝐼𝐼 = 𝑟𝑟𝐼𝐼 + 𝑟𝑟(1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)2 + 𝑟𝑟3(1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)4 + ⋯ = 𝑟𝑟1 + (1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)2[1 + 𝑟𝑟2(1 − 𝑎𝑎)2 + ⋯ ]

= 𝑟𝑟𝐼𝐼 1 + (1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)2 lim𝑛𝑛→∞

1−𝑟𝑟2𝑛𝑛+2(1−𝑎𝑎)2𝑛𝑛+2

1−𝑟𝑟2(1−𝑎𝑎)2

= 𝑟𝑟𝐼𝐼 1 + (1−𝑟𝑟)2(1−𝑎𝑎)2

1−𝑟𝑟2(1−𝑎𝑎)2

𝜕𝜕𝐼𝐼 = (1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)𝐼𝐼 + 𝑟𝑟2(1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)3𝐼𝐼 + 𝑟𝑟4(1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)5𝐼𝐼+. .. = (1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)𝐼𝐼[1 + 𝑟𝑟2(1 − 𝑎𝑎)2 + 𝑟𝑟4(1 − 𝑎𝑎)4+. . . ]

= (1 − 𝑟𝑟)2(1 − 𝑎𝑎)𝐼𝐼lim𝑛𝑛→∞

1−𝑟𝑟2𝑛𝑛+2(1−𝑎𝑎)2𝑛𝑛+2

1−𝑟𝑟2(1−𝑎𝑎)2

= (1−𝑟𝑟)2(1−𝑎𝑎)1−𝑟𝑟2(1−𝑎𝑎)2

𝐼𝐼 Elemente de calculul termotehnic al fundatiei cladirii La nivelul fundatiei cladirii are loc transfer de caldura ce are rolul practic de a diminua variatiile de temperatura din incinta. Se remarca urmatoarele situatii:

• Iarna daca cladirea este neincalzita toate variatiile de temperatura din cladire sunt amortizate de schimbul de caldura cu pamantul de sub fundatie. Daca cladirea este neincalzita iarna, apar perioade de transfer de caldura de la cladire spre fundatie (incalzire brusca a vremii), dar pot fi si perioade cand fundatia cedeaza caldura catre cladire (racire brusca a vremii).

• Iarna daca cladirea este incalzita se cedeaza permanent caldura catre pamantul de sub fundatie.

32

• Vara datorita faptului ca cladirea are inertie termica mult mai mica decat pamantul,ea se incalzeste mai mult si apare un flux de caldura de la cladire spre pamantul de sub ea. Practic pamantul de sub cladire vara are un efect de racorire a acesteia.

La nivelul pamantului de sub fundatie transferul de caldura se produce dupa directii perpendiculare pe izotermele ce se stabilesc la nivelul solului.

Daca ne uitam la formaa izotermelor din pamantul fundatiei, vom vedea o diferentiere alurii curburii in perioada rece fata de cea calda de-a lungul anului, deci apare o diferenta a fluxurilor atat ca marime cat si ca directie.

33

O privire mai de ansamblu asupra profilului termic al solului functie de sezon este data in figura de mai jos:

Datorita inertiei termice mari, solul de sub fundatie si implicit fundatia vor avea un raspuns intarziat si cu atenuare la variatiile exterioare de temperatura.

34

In figura de mai jos se prezinta caracteristicile de temperatura ale solului la diferite adancimi. Cu cat adancimea este mai mare schimbarile de temperatura ale aerului de afara sunt resimtite mai putin. Practic la 5 m adancime variatiile de temperatura de la suprafata nu mai sunt resimtite.\

Pentru o fundatie pbisnuita se vor folosi materialele ca in tabelul de mai jos.

Material Grosime, δ [mm]

Densitatea, ρ [Kg/m3]

Conductivitatea termica, 𝝀𝝀 [W/mK]

Caldura specifica, Cp [J/Kg K]

Pardoseala beton 10 2400 1.500 1000 Radier beton 200 2400 1.500 1000 Pietris 100 2000 2.000 812 Izolatie termica 50 40 0.029 1.21 Pamant - 1.000

In figura de mai jos este prezentata o schita a modelului de studiat

35

Intreaga fundatie se considera o placa asezata pe sol. Caldura pierduta prin suprafata planseului:

𝜕𝜕(𝜕𝜕) = −𝜆𝜆𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑠𝑠

𝑑𝑑𝑆𝑆

𝑆𝑆

Conditia de frontiera la interior: 𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝛿𝛿/𝜆𝜆

= −𝜆𝜆𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝑠𝑠

Conditia de frontiera la exterior:

𝜃𝜃𝑒𝑒(𝜕𝜕) = 𝜃𝜃0 + 𝜃𝜃1𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑝𝑝− 𝜑𝜑1

Unde Θe este temperatura externa, Θ0 temperatura medie anuala, Θ1 amplitudinea de temperatura, 𝜕𝜕𝑝𝑝 perioada de variatie de un an de zile, iar 𝜑𝜑1 este faza de timp in care se pozitioneaza datele initiale incat graficul de variatie sa se suprapuna pe variatia din realitate. Pentru rezolvarea distributiei temperaturilor si fluxurilor in sol, descrierea fenomenului de transfer de caldura este dupa ecuatia Laplace:

• in flux stationar de caldura: 𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥2

+𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑦𝑦2

+𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑧𝑧2

= 0

• in flux tranzitoriu de caldura: 1𝑎𝑎𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝜕𝜕

=𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥2

+𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑦𝑦2

+𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑧𝑧2

Aceasta ecuatie diferentiala cu derivate partiale se va putea rezolva prin metoda diferentelor finite sau prin metoda elementului finit. Un exemplu relevant pentru cazul unidimensional de schimb de caldura il vom prezenta mai jos:

1𝑎𝑎𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝜕𝜕

=𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑦𝑦2

Bazat pe aceasta ecuatie, se poate alege o functie care satisface atat aceasta ecuatie, dar care acopera in buna masura datele experimentale de variatie a temperaturii exterioare de-a lungul anului. O astfel de solutie este de exemplu pentru un caz particular:

𝜃𝜃(𝑦𝑦, 𝜕𝜕) = 𝜃𝜃0 − 𝐴𝐴0𝑒𝑒−𝑦𝑦 𝜋𝜋

365 𝜀𝜀0.5

𝑐𝑐𝐹𝐹𝑐𝑐 2𝜋𝜋

365𝜕𝜕 − 𝜕𝜕0 −

𝑦𝑦2

𝜋𝜋365 𝜀𝜀

0.5

In ecuatie apare marimea 𝜀𝜀 care este difuzivitatea termica a solului, iar 𝜕𝜕0 este constanta de faza care ajusteaza fprmula la variatia reala a temperaturii. Daca modelul de fundatie se discretizeaza cu elemente finite, atunci in urma rularii modelului rezultatele vor arata ca in figura de mai jos.

36

Un model de simulare al pierderii de caldura prin radierul de fundatie in luna ianuarie este prezentat de asemenea mai jos.

37

4. Teoria circuitelor termice

Atat in transformari in regim stationar cat si nestationar procesele de transfer de caldura pot fi

asimilate cu procesele si relationarile din circuite electrice, in sensul ca se pot face unele analogii ce vor facilita studierea lor. Astfel, Marimea Termica Marmea Electrica Temperatura, T [K] Potentialul electric, U [V] Flux termic, Q [W/s] Intensitatea curentului, I [A] Rezistenta termica, 𝑅𝑅 = 1

𝐾𝐾∙𝑆𝑆 [ K/W] Rezistenta Electrica, R [Ω]

Capacitatea termica a fluidui, C [𝐽𝐽/𝐾𝐾𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾] Capacitatea electrica, C [F] Se pot face unele analogii in privinta aparatelor specifice domeniilor termic si electric Aparat termic Aparat Electric Perete Configuratie Rezistor+Condensator Suprafete radiante paralele Condensator electric Volum de gaz Condensator electric Schimbator de caldura Transformator electric

In forma Laplace generalizata in coordonata “s” fiecare componenta are urmatoarele marimi omoloage corespunzatoare imaginii transformatei Laplace: Element Marime specifica Impedanta specifica Rezistor 𝑅𝑅 𝑅𝑅 Condensator 𝐶𝐶 1

𝑐𝑐 ∙ 𝐶𝐶

Inductanta 𝐿𝐿 1𝑐𝑐 ∙ 𝐿𝐿

.Ca o observatie, inca nu s-a gasit un omolog pentru inductanta electrica in circuitele termice.

Impedanta este marimea ce poate ingloba si caracteristica de rezistor si e cea de condensator, deci este exact marimea ce poate exprima de una singura comportamentul unui perete sau al masei de aer dintr-un compartiment.

𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗 ∙ 𝑋𝑋 Unde R este rezistenta componentei respectiv X este reactanta acesteia.

‖𝑍𝑍‖ = 𝑅𝑅2 + 𝑋𝑋2 Unde 𝑅𝑅 = ‖𝑍𝑍‖ ∙ cos(𝜑𝜑) , 𝑋𝑋 = ‖𝑍𝑍‖ ∙ sin(𝜑𝜑) , 𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑋𝑋

𝑅𝑅

Aplicand toate aceste analogii, vom studia mai departe cateva exemple tipice de transfer de caldura in analogie cu circuitele electrice. Circuitul termic al unui perete simplu

𝜃𝜃1 𝜃𝜃2

𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑,1 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑,2

𝑅𝑅𝑟𝑟,𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣,𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣,𝑒𝑒

𝑅𝑅𝑟𝑟,𝑒𝑒

𝐶𝐶

𝜃𝜃𝑖𝑖

𝜃𝜃𝑟𝑟,𝑖𝑖

𝜃𝜃𝑒𝑒

𝜃𝜃𝑟𝑟,𝑒𝑒

38

Fiecare componenta din circuitul termic se calculeaza dupa formulele: Capacitatea: 𝐶𝐶 = 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑝𝑝𝑆𝑆 ∆𝑥𝑥

Rezistenta convectiva: Rconv = 1𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑆𝑆

Rezistenta radiativa:

Rr = 0.1∙10−3

𝐶𝐶𝑟𝑟 𝑆𝑆 (𝜃𝜃𝑖𝑖+𝜃𝜃𝑒𝑒)𝜃𝜃𝑖𝑖2+𝜃𝜃𝑒𝑒2

Rezistenta conductiva: Rcond = 1𝜆𝜆𝛿𝛿 𝑆𝑆

Circuit RC cu constanta de timp al unei incinte

In aceasta situatie se considera incinta avand caldura stocata sub forma de energie interna in “condensatorul” sau de capacitate C. Lasand sistemul sa functioneze si interactioneze liber, din condensator incepe sa fie emis un flux de caldura Q prin peretele de “rezistenta” termica globala R. Deci oricum pentru a modela inertia termica a unui element trebuie folosit modelul de condensator cu capacitatea sa de stocare.

𝐶𝐶𝑑𝑑𝜃𝜃𝑖𝑖𝑑𝑑𝜕𝜕

=𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑅𝑅

+ 𝜕𝜕 Daca 𝜃𝜃𝑖𝑖 = 𝜃𝜃 + 𝜃𝜃𝑒𝑒 + 𝑅𝑅𝜕𝜕 si 𝜕𝜕𝑐𝑐 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 atunci:

𝜕𝜕𝑐𝑐𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜕𝜕

+ 𝜃𝜃 = 0 Aceasta ecuatie are solutia generala:

𝜃𝜃(𝜕𝜕) = 𝜃𝜃(𝜕𝜕0) 𝑒𝑒−𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐

Se ia constanta de timp 𝜕𝜕𝑐𝑐 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 care este o constanta ce caracterizeaza modul in care sistemul filtreaza unda termica ce trece prin el. Astfel, sistemul are specifica si o frecventa de “taiere:

𝑓𝑓𝑐𝑐 =1

2 𝜋𝜋 𝜕𝜕𝑐𝑐

Aceasta frecventa de taiere inseamna ca pana la o anumita frecventa sistemul atenueaza unda termica, si de la o frecventa in sus sistemul tinde sa amplifice semnalul.

Cu cat constanta de timp a unei cladiri este mai mare, cu atat aceasta are inertia termica mai mare, adicdureaza mai mult sa fie incalzita sau racita. Daca insa fluxul de caldura Q este unul variabil in timp, atunci solutia generala a ecuatiei este:

𝑇𝑇𝑖𝑖(𝜕𝜕) = 𝑇𝑇𝑖𝑖(𝜕𝜕0)𝑒𝑒𝜏𝜏0−𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐 + 𝑢𝑢(𝜕𝜕′) 𝑒𝑒

𝜏𝜏′−𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐

𝜏𝜏

𝜏𝜏0

𝑑𝑑𝜕𝜕′

In care 𝑢𝑢(𝜕𝜕) = 𝑇𝑇0(𝜏𝜏)+𝑅𝑅 𝑄𝑄(𝜏𝜏)𝜏𝜏𝑐𝑐

Din pacate circuitul RC nu este suficient pentru tot ceea ce este propus. El trateaza cladirea ca si cand

toate masele termice sunt in interior, intotdeauna la aceeasi temperatura ca aerul interior. In cladiri de fapt implicarea termica a maselor este mult mai complicata.

Pentru aplicatiile cu termostat modelul RC poate da rezultate acceptabile daca se alege o capacitate C corespunzatoare.

𝑅𝑅

𝐶𝐶

𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜃𝜃𝑒𝑒

39

Circuitul termic RC extins al unei incinte

In acest tip de circuit termic practic mai este introdus un parametru, anume pe langa capacitatea termica cu care participa anvelopa cladirii, mai este introdusa o capacitate termica a interiorului cladirii (in care sunt inclusi pereti, plansee, aer interior). Avand aceasta adaugire modelul de calcul este mult mai fidel realitatii fenomenelor. Ecuatiile sistemului termic sunt:

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝜃𝜃𝑖𝑖𝑑𝑑𝜕𝜕

=𝜃𝜃𝑝𝑝 − 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖

+ 𝜕

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑑𝑑𝜃𝜃𝑝𝑝𝑑𝑑𝜕𝜕

=𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖

+𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝜃𝜃𝑝𝑝𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒

Vom cauta sa scapam de variabila intermediara 𝜃𝜃𝑝𝑝 urmand sa obtinem modelul matematic doar in temperaturile 𝜃𝜃𝑖𝑖 si 𝜃𝜃𝑒𝑒 . In urma unor transformari se obtine ecuatia diferentiala de ordinul 2:

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑖𝑖𝑑𝑑𝜕𝜕2

+ 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝑑𝑑𝜃𝜃𝑖𝑖𝑑𝑑𝜕𝜕

+ 𝜃𝜃𝑖𝑖 − 𝜃𝜃𝑒𝑒 + 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝜕 − 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝜕= 0

Consideram cazul special in care 𝜃𝜃𝑒𝑒 si 𝜃𝜃𝑒𝑒 sunt constante. Atunci facand substitutia: 𝜃𝜃(𝜕𝜕) = 𝜃𝜃𝑖𝑖(𝜕𝜕) − 𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝜕

Se obtine modelul simplificat al ecuatiei:

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝜕𝜕2

+ 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜕𝜕

+ 𝜃𝜃 = 0 Plecand de la solutia particulara a ecuatiei diferentiale:

𝜃𝜃(𝜕𝜕) = 𝜃𝜃(𝜕𝜕0) 𝑒𝑒−𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐

Vom obtine ecuatia de grad 2 pe care trebuie sa o satisfaca constanta de timp 𝜕𝜕𝑐𝑐: 𝜕𝜕𝑐𝑐2 − 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝜕𝜕𝑐𝑐 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 = 0

Solutiile sunt:

𝜕𝜕𝑐𝑐,1 =12𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 1 + 1 −

4 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒

2

𝜕𝜕𝑐𝑐,2 =12𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 1 −1 −

4 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒 + 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑒𝑒𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒

2

Succint, avand 2 constante de timp ale sistemului, solutia generala este:

𝜃𝜃𝑖𝑖(𝜕𝜕) = 𝐴𝐴1𝑒𝑒− 𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐,1 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒

− 𝜏𝜏𝜏𝜏𝑐𝑐,2

Unde coeficientii 𝐴𝐴1 si 𝐴𝐴2 sunt determinati din conditiile initiale pentru 𝜃𝜃𝑖𝑖(𝜕𝜕0) si 𝜃𝑖𝑖(𝜕𝜕0). Dupa cum se vede la inertia termica a sistemului participa doua constante de timp fapt care in regimurile dorite de functionare duce la aplatizarea variatiilor. Un model cu 2 noduri are doua constante de timp, iar un model cu n noduri va avea in consecinta n constante de timp. Pentruintreaga cladire este o constanta de timp care este rezultanta tuturor constantelor de timp date de fiecare nod. Aceasta constanta de timp globala a cladirii este mult mai mare decat toate celelalte. Aceasta constanta de timp globala determina raspunsul cladirii la variatii lente de temperatura.

𝐶𝐶𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑝𝑝𝑖𝑖 𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜃𝜃𝑝𝑝

𝐶𝐶𝑝𝑝

𝜃𝜃𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑒𝑒

40

Elemente de teoria sistemelor aplicate transferului de caldura in cladiri Consideram ecuatia Fourier de transfer a caldurii unidimensionala si tranzitorie:

𝜕𝜕𝜃𝜃𝜕𝜕𝜕𝜕

= 𝑎𝑎 ∙𝜕𝜕2𝜃𝜃𝜕𝜕𝑥𝑥2

Transformata Laplace a functiei 𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) este:

𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) = 𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) = 𝑒𝑒−𝑝𝑝∙𝜏𝜏 ∙ 𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) ∙ 𝑑𝑑𝜕𝜕∞

0

Aplicand proprietatile transformatei Laplace ecuatiei caldurii, se obtine ecuatia in p: 𝜕𝜕2𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝)𝜕𝜕𝑥𝑥2

−𝑝𝑝𝛼𝛼𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝) +

1𝛼𝛼𝜃𝜃(𝑥𝑥, 0) = 0

Se foloseste apoi teorema de inversare a transformatei Laplace:

𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) = ℒ−1[𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝)] = 𝑒𝑒𝑝𝑝∙𝑡𝑡 ∙ 𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝) ∙ 𝑑𝑑𝑝𝑝𝜀𝜀+𝑖𝑖∙∞

𝜀𝜀−𝑖𝑖∙∞

Solutia obtinuta va fi:

𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝) = cosh 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝜃𝜃(0,𝑝𝑝) −

sinh 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑥𝑥

𝜆𝜆 ∙ 𝑝𝑝𝛼𝛼12

∙ 𝑞𝑞(0,𝑝𝑝)

In acelasi timp ecuatia fluxului de caldura este:

𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝜕𝜕) = −𝜆𝜆𝜕𝜕𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝜕𝜕)𝜕𝜕𝑥𝑥

Aplicand si aici teorema de inversare a transformatei Laplace:

𝜕𝜕𝑞𝑞(𝑥𝑥,𝑝𝑝)𝜕𝜕𝑥𝑥

+ 𝑝𝑝𝜌𝜌𝐶𝐶𝜃𝜃(𝑥𝑥,𝑝𝑝) − 𝜌𝜌𝐶𝐶𝜃𝜃(0,𝑝𝑝) = 0 Se obtine:

𝑞𝑞(𝑥𝑥,𝑝𝑝) = −𝜆𝜆 ∙𝜕𝜕𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝑝𝑝)𝜕𝜕𝑥𝑥

= −𝜆𝜆 ∙ 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ sinh

𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝜃𝜃(0,𝑝𝑝) + cosh

𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑞𝑞(0,𝑝𝑝)

Se observa ca exista relatia matriceala pentru 0<x<l:

⎣⎢⎢⎢⎡𝜃𝜃(𝑙𝑙, 𝑝𝑝)

𝑞𝑞(𝑙𝑙,𝑝𝑝)⎦⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

cosh 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑙𝑙 −

sinh 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑙𝑙

𝜆𝜆 ∙ 𝑝𝑝𝛼𝛼12

−𝜆𝜆 ∙ 𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ sinh

𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑙𝑙 cosh

𝑝𝑝𝛼𝛼12 ∙ 𝑙𝑙

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙

⎣⎢⎢⎢⎡𝜃𝜃(0,𝑝𝑝)

𝑞𝑞(0,𝑝𝑝)⎦⎥⎥⎥⎤

Adica in forma generala:

𝜃𝜃(𝑙𝑙, 𝑝𝑝)𝑞𝑞(𝑙𝑙,𝑝𝑝) =

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 ∙

𝜃𝜃(0,𝑝𝑝)𝑞𝑞(0,𝑝𝑝)

In general, in reprezentarea matriceala a proceselor termice nestationare se ia grupat ca marimi de referinta temperatura 𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) si fluxul termic q(x,t). Practic acest tip de relatie descrie in mod linear transformarea termica in timp a unui corp considerand 𝜃𝜃(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) si q(x,t) doua marimi conjugate in care transformarea data de variatia in spatiu se face printr-o matrice [A] de ordin 2x2. Relatia matriceala obtinuta deschide calea abordarii circuitelor termice cu metode dezvoltate in teoria sistemelor.

41

Legarea in cascada a aparatelor termice Imprumutand modelul matematic al circuitelor electrice in configuratie de cuadripoli conectati in cascada, avem urmatoarea schema:

in care:

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖 = [𝐴𝐴𝑖𝑖] ∙

𝑇𝑇𝑖𝑖+1𝑞𝑞𝑖𝑖+1

, ⋯ , 𝑇𝑇𝑖𝑖+𝑛𝑛−1𝑞𝑞𝑖𝑖+𝑛𝑛−1 = [𝐴𝐴𝑖𝑖+𝑛𝑛−1] ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖+𝑛𝑛𝑞𝑞𝑖𝑖+𝑛𝑛

Prin substitutii succesive obtinem:

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖 = [𝐴𝐴𝑖𝑖] ∙ [𝐴𝐴𝑖𝑖+1] ∙ … ∙ [𝐴𝐴𝑖𝑖+𝑛𝑛−1] ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖+𝑛𝑛𝑞𝑞𝑖𝑖+𝑛𝑛

sau

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑖𝑖,𝑖𝑖+𝑛𝑛 ∙

𝑇𝑇𝑖𝑖+𝑛𝑛𝑞𝑞𝑖𝑖+𝑛𝑛

unde 𝐴𝐴𝑖𝑖,𝑖𝑖+𝑛𝑛 = [𝐴𝐴𝑖𝑖] ∙ [𝐴𝐴𝑖𝑖+1] ∙ … ∙ [𝐴𝐴𝑖𝑖+𝑛𝑛−1] este matricea de transformare globala in tre nodurile i si i+n. De remarcat ca fiecare bloc Ai, Ai+1, ...., Ai+n-1 se comporta pe principiul “cutiei negre”, anume nu conteaza ce este in interiorul lor, ci doar marimile de input si de output. Element pur rezistiv 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 = 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑅𝑅 ∙ 𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 𝑞𝑞𝑖𝑖

𝑇𝑇𝑖𝑖−1𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 1 𝑅𝑅

0 1 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖

Element pur capacitiv

𝑇𝑇𝑖𝑖−1 = 𝑇𝑇𝑖𝑖

𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 𝐶𝐶 ∙𝑑𝑑𝑇𝑇𝑑𝑑𝜕𝜕

+ 𝑞𝑞𝑖𝑖 → 𝑇𝑇𝑖𝑖−1𝑞𝑞𝑖𝑖−1

= 1 0

𝐶𝐶 ∙𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕

( ) 1 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖

Se face o conventie matematica pentru exprimarea temperaturii, anume:

𝑇𝑇 = 𝑇𝑇0 ∙ 𝑒𝑒𝑗𝑗∙𝜔𝜔∙𝜏𝜏 Deci:

....

𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑖𝑖+1 𝑇𝑇𝑖𝑖+2 𝑇𝑇𝑖𝑖+n-1 𝑇𝑇𝑖𝑖+𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖+1 𝑞𝑞𝑖𝑖+2 𝑞𝑞𝑖𝑖+n-1 𝑞𝑞𝑖𝑖+n

𝐴𝐴𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑖𝑖+1 𝐴𝐴𝑖𝑖+𝑛𝑛−1

𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖−1 𝑞𝑞𝑖𝑖

𝐶𝐶

Element pur capacitiv

𝐶𝐶𝑑𝑑𝑇𝑇𝑑𝑑𝜕𝜕

𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖−1 𝑞𝑞𝑖𝑖

Element pur rezistiv

𝑅𝑅

42

𝑑𝑑𝑇𝑇𝑑𝑑𝜏𝜏

= 𝑗𝑗 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑇𝑇0 ∙ 𝑒𝑒𝑗𝑗∙𝜔𝜔∙𝜏𝜏 = 𝑗𝑗 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝑇𝑇 In acest caz

𝑇𝑇𝑖𝑖−1 = 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 𝑗𝑗 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝐶𝐶 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖 + 𝑞𝑞𝑖𝑖

→ 𝑇𝑇𝑖𝑖−1𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 1 0

𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶 1 ∙ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖

Circuit termic cu proprietati rezistive si capacitive (circuit RC)

Avand o legatura in cascada a 3 aparate termice, atunci va fi valabila relatia:

𝑇𝑇𝑖𝑖−1𝑞𝑞𝑖𝑖−1 = 1 𝑅𝑅1

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶 1 ∙

1 𝑅𝑅20 1 ∙

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖

Un astfel de circuit poate fi aplicat de exemplu pentru situatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu printr-un perete, ca in figura de mai jos. Reducerea unui model la unul echivalent

O configuratie de aparate termice poate fi reprezentata printr-un circuit termic. Prin intermediul acestui circuit termic se pot determina nu doar diversi parametri termici ai aparatelor, dar si proprietati ale

intregului ansamblu de aparate.

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖1 = 1 𝑅𝑅𝑖𝑖1

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶1 1 ∙

1 𝑅𝑅𝑒𝑒10 1 ∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒1

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖2 = 1 𝑅𝑅𝑖𝑖2

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶2 1 ∙

1 𝑅𝑅𝑒𝑒20 1 ∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒2

Sau

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖1 =

1 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑖𝑖1𝐶𝐶1 𝑅𝑅𝑖𝑖1 + 𝑅𝑅𝑒𝑒1 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑖𝑖1𝑅𝑅𝑒𝑒1𝐶𝐶1𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶1 1 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑒𝑒1𝐶𝐶1

∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒1

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖2 =

1 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑖𝑖2𝐶𝐶2 𝑅𝑅𝑖𝑖2 + 𝑅𝑅𝑒𝑒2 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑖𝑖2𝑅𝑅𝑒𝑒2𝐶𝐶2𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶2 1 + 𝑗𝑗𝑤𝑤𝑅𝑅𝑒𝑒2𝐶𝐶2

∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒2

Astfel, daca pe fiecare ramura de circuit:

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖1 =

𝑚𝑚11 𝑚𝑚12𝑚𝑚21 𝑚𝑚22

∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒1

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖2 =

𝑠𝑠11 𝑠𝑠12𝑠𝑠21 𝑠𝑠22 ∙

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒2

Atunci ecuatia de transformare pentru intregul ansamblu este:

𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 𝑇𝑇𝑖𝑖−1 𝑇𝑇𝑖𝑖

𝐶𝐶

𝑅𝑅𝑖𝑖1 𝑅𝑅𝑒𝑒1

𝑅𝑅𝑖𝑖2 𝑅𝑅𝑒𝑒2

𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑇𝑇𝑒𝑒

𝐶𝐶1

𝐶𝐶2

Circuit termic de baza

𝑅𝑅𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑒𝑒

𝐶𝐶

𝑇𝑇𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑖𝑖

Circuit termic echivalent

43

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖1 + 𝑞𝑞𝑖𝑖2

= 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 ∙

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒1 + 𝑞𝑞𝑒𝑒2

Unde:

𝑎𝑎11 =𝑚𝑚11𝑠𝑠12 + 𝑠𝑠11𝑚𝑚12

𝑚𝑚12 + 𝑠𝑠12

𝑎𝑎12 =𝑚𝑚12𝑠𝑠12𝑚𝑚12 + 𝑠𝑠12

𝑎𝑎21 = (𝑚𝑚21 + 𝑠𝑠21) −(𝑚𝑚11 − 𝑠𝑠11)(𝑚𝑚22 − 𝑠𝑠22)

𝑚𝑚12 + 𝑠𝑠12

𝑎𝑎21 =𝑚𝑚12𝑠𝑠22 + 𝑠𝑠12𝑚𝑚22

𝑚𝑚12 + 𝑠𝑠12

Din matricea ansamblului se evidentiaza ca 𝑎𝑎12 reprezinta capacitatea termica a ansamblului, 𝑎𝑎21 rezistivitatea ansamblui, iar 𝑎𝑎11 si 𝑎𝑎22 sunt termeni ce reprezinta proprietati combinate capacitive si rezistive ale ansamblului cat si aspecte legate de configuratia circuitului termic. Perete supus unei variatii de temperatura pe una din fete

Procesul tranzitoriu din figura are descrierea:

• La cresterea temperaturii pe fata “i” in intervalul de timp ∆𝜕𝜕0 • Stratul limita de pe fata “i” tinde sa expandeze • In primele momente liniile de temperatura sunt concave deoarece peretele nu are timp sa

absoarba variatia de temperatura in prima faz. • Ulterior pe masura ce unda de variatie strabate peretele incepand de la un anumit punct din

grosimea peretelui (punct de inflexiune) incepe sa isi piarda din intensitate, peretele incepe sa absoarba din aceasta variatie, iar liniile de temperatura devin convexe.

• Dupa ce incepe sa se simta variatia de temperatura pe cealalta fata, si aici stratul limita tinde sa expandeze

• La incetarea fenomenului tranzitoriu de crestere a temperaturii pe fata “i”, curbele de temperatura din zona superioara vor tinde sa se stabilizeze luind forma unei drepte corespunzatoare regimului stationar de transfer de caldura.

Ecuatia dmatriceala de transfer de caldura specifica acestui perete va fi:

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑞𝑞𝑖𝑖 = 1 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣,𝑖𝑖

0 1 ∙ 1 𝑅𝑅/2

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑗𝑤𝑤𝐶𝐶1 1 ∙

1 𝑅𝑅/20 1 ∙ 1 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣,𝑒𝑒

0 1 ∙ 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑞𝑞𝑒𝑒

𝑞𝑞𝑐𝑐

𝑇𝑇0

𝑇𝑇1

𝜕𝜕0

𝜕𝜕1

∆𝜕𝜕0

𝑇𝑇2

𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑒𝑒

``

44

5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii La baza unui system de control al incalzirii sunt urmatoarele component:

• Senzori de temperature • Controller – integreaza toate informatiile din sistemul termic si il controleaza • Actuator – este dispozitivul controlat (motor electric sau bobina) ce asigura inchiderea-

deschiderea totala sau partiala a unei valve reglandu-se astfel fie debitul de circulatie al fluidului de incalzire, fie debitul combustibilului

Sistemul sensor – controller – actuator este un system de reglare cu bucla inchisa sau feedback. Daca nu ar exista senzorul atunci sistemul controller – actuator ar fi doar in bucla deschisa acest caz nefiind bineinteles de interes. Actiunile de reglare care le ia controller-ul sunt:

• Pozitie dubla on-off • Proportional • Integral • Derivative

Variabila s este variabila functiei imagine din transformata Laplace:

𝑐𝑐 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 O functie de transfer specifica unui aparat este functia ce defineste raportul dintre marimea globala de intrare si marimea globala de iesire din aparat.

𝑇𝑇𝐹𝐹 =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒 (𝑐𝑐)𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒 (𝑐𝑐)

O functie de transfer globala a unor aparate in cascada (in serie) este produsul functiilor de transfer al fiecarui aparat in parte. O astfel de functie de transfer mai este numita si functie de transfer de bucla deschisa.

𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑇𝑇𝐹𝐹1 ∙ 𝑇𝑇𝐹𝐹2 ∙ … ∙ 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑛𝑛 Eroarea de reglare ε este rezultatul compararii intre temperatura setata si temperatura citita si transmisa de senzor pentru un anumit ciclu de timp:

𝜖𝜖 = 𝑇𝑇𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 Functia de transfer pentru camera

𝑇𝑇𝐹𝐹𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎 =𝐾𝐾 𝜖𝜖−𝑠𝑠 𝐿𝐿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑟𝑟𝑐𝑐

1 + 𝜕𝜕𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑐𝑐

Functia de transfer pentru controller

𝑇𝑇𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟 =𝑑𝑑(𝑐𝑐)𝐸𝐸(𝑐𝑐)

= 𝐾𝐾𝑝𝑝 +𝐾𝐾𝑖𝑖𝑐𝑐

+ 𝐾𝐾𝑑𝑑 𝑐𝑐

Functia de transfer pentru termostat incluzand latenta sa specifica, este:

TFtermostat

TFcamera TFcontroller Tsetare Tcamera +

_

ε

45

𝑇𝑇𝐹𝐹𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 =𝑒𝑒−𝑠𝑠 𝐿𝐿𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡

1 + 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑐𝑐

In care de exemplu latenta de timp 𝐿𝐿𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 este de ordinul a 30 – 40 secunde, iar constanta de timp 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 este de ordinul a cateva minute. Ca urmare in schema noastra functia globala de transfer este:

𝑇𝑇𝐹𝐹 = 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑐𝑐𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟 ∙ 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎 Functia de transfer pentru bucla controllerului

𝑇𝑇𝐹𝐹𝑏𝑏𝑢𝑢𝑐𝑐𝑙𝑙𝑎𝑎 =𝑇𝑇𝐹𝐹(𝑐𝑐)

1 + 𝑇𝑇𝐹𝐹(𝑐𝑐) 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡(𝑐𝑐)

Ecuatia caracteristica a intregului sistem de control este: 1 + 𝑇𝑇𝐹𝐹(𝑐𝑐) 𝑇𝑇𝐹𝐹𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡(𝑐𝑐) = 0

Avand toate aceste functii determinate, practic autoreglarea sistemului este rezolvata. Stabilitatea sistemelor de control La stabilitatea sistemelor de control ale incalzirii cladirilor se pune problema daca acestea sunt stabile pentru impune si mentine temperatura setata. In acest sens, se folosesc diverse criterii de verificare ale stabilitatii, cum ar fi criteriul Routh. Astfel, un sistem este stabil cand toate radacinile ecuatiei caracteristice au partea reala negativa a variabilei complexe s. Doua conditii necesare pentru stabilitate:

• Toate puterile lui s trebuie sa fie prezente in ecuatia caracteristica de la 0 la cel mai inalt ordin • Toti coeficientii ecuatiei caracteristice trebuie sa aiba acelasi semn

Acestea doua conditii sunt necesare dar nu suficiente. Criteriul lui Routh este o metoda algebrica pentru a investiga stabilitatea mai departe. Un algoritm simplu este utilizat pentru constructia matricei din coeficientii ecuatiei caracteristice. Apoi prima coloama este examinata pentru schimbarile de semn. Numarul de schimbari de semn din aceasta prima coloana este egala cu numarul de radacini pozitive. O singura parte reala pozitiva a vreunei radacini va insemna instabilitate.

46

6. Punti termice Punțile termice reprezintă zone ale unui perete cu rezistenta termica relativ redusa fata de imprejur. Puntile termice sunt practic zone de scurtcircuit pe care fluxul termic tinde sa le urmeze, deci au un efect de deviere convergenta spre ele. Practic liniile de flux termic devin mai dense in zonele de punte termica si se raresc in afara acestora. Sunt doua principale tipuri de punti termice:

• punti termice rezultate din neomogenitati interioare ale peretilor, insertii de alte materiale, anizotropii

• punti termice rezultate din configuratia geometrica a peretilor: zone de colt, zone de grosime diferita

Colţurile încăperilor sunt punţi termice (ale configuratiei geometrice) deoarece: • forma geometrică a colţului face ca suprafata exterioara sa fie mai mare decat cea interioara ceea

ce face ca in masa peretelui sa prevaleze temperatura exterioara (temperatura peretelui la suprafaţa interioară este mai redusă în dreptul colţului decât pe restul suprafeţei);

• datorită faptului ca in dreptul coltului sunt blocate doua grade de libertate in miscarea aerului, acesta va deveni mai static, ca urmare coeficientul de convectie scade, deci in consecinta temperatura din interior influenteaza mai putin temperatura peretelui.

Exemple de punti termice detectate prin termografie sunt prezentate in figurile de mai jos.

Doua dificultati care le creeaza puntile termice:

• Pierderi de caldura crescute • Favorizare condens datorita diferentelor de temperatura aparute intre diverse zone

Punţi termice in situatii practice:

• la pereţi: armatura, tencuiala, stâlpi, grinzi, centuri, colţuri • la planşeele: streşini, coşuri, ventilaţii; • la radierul fundatiei: zona de racordare cu soclul

a) b) Exemple de punti termice: a) punte termica din neomogenitati interioare; b),c) punte termica din configuratie geometrica

c)

47

Bibliografie 1. Blumenfeld, Maty - Introducere in metoda elementelor finite (ET 1995) 2. Bratianu Constantin - Metode numerice (ET 1996) 3. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 4. Blumenfeld Maty - Metoda elementelor finite (IPB 1992) 5. Berbente C., etc - Metode numerice (ET 1998) 6. Calbureanu M - Metode numerice in transferul de caldura (2004) 7. Cook R D - Finite Element Modeling For Stress Analysis - Wiley 1995 8. Hoffman, K. - Computational fluid dynamics (4th edition) 9. Hatton D V - Mcgraw Hill-Fundamental Of Finite Element Analysis (2004) 10. Lelea Dorin - Metode numerice avansate in transferul de caldura (2007) 11. Pascu, Adrian - Metoda elementului finit (MEF) 12. Reddy - An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis 13. Abdullatif E. Nakhi - Adaptive construction modelling within whole building dynamic simulation (1995) 14. Ali M. Malkawi - Advanced Building Simulation (2004) 15. Bliuc I., Baran I. – Calitatea mediului interior şi eficienţa energetică a clădirilor 16. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 17. Bruggen, van der, Reinerus J.A. - Energy consumption for heating and cooling in relation to building design (1978) 18. C.P. Underwood - Modelling Methods for Energy in Buildings (2004) 19. Clarke, J. A. - Energy Simulation in Building Design (2001, 2nd Ed) 20. Davies M G - Building Heat Transfer (2004) 21. Dimitriu Valcea E - Termotehnica in constructii (1970) 22. Energy Conscious Design - A Primer for Architects [Book on green building design] 23. Ery Djunaedy - External coupling between CFD and building energy simulation (2005) 24. Essam O Aasem - Practical simulation of buildings and air-conditioning... (1993) 25. Godfried Augenbroe - Energy modelling and simulation (2010) 26. Grigore Roxana - Energetica Cladirilor (curs) 27. International Energy Agency - Real Time Simulation HVAC Systems For Building Optimisation (1999) 28. Ion Sotir Dumitrescu - Energetica Cladirilor (curs) 29. Iordache F - Termotehnica constructiilor (2008 Ed. 2) 30. Kreider J F, Rabl Ari – Heating and cooling of buildings (1994) 31 Leonachescu N - Transferul caldurii intre constructii si sol (ET 1989, vol. 2) 32. Mirza Carmen - Termotehnica Constructiilor 33. Moga I, Manea D - Termotehnica cladirilor_Indrumator (1998) 34. Part 2 Responsive Building Elements - Annex_44_Expert_Guide_RBE 35. Peter Weitzmann - Modelling building integrated heating and cooling systems (2004) 36. R. Judkoff - Methodology for Validating Building Energy Analysis Simulations (2008) 37. Standard ASHRAE 38. Standard EN-ISO 39. Standard STAS

48