modelare matematica scurta-2007

5/15/2018 Modelare matematica scurta-2007 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/modelare-matematica-scurta-2007 1/336

Aplicaţii economice

alematematicii

MATEMATICI ACTUARIALE

1. AsigurăriNoţiuni teoretice

Noţiunea de asigurare reprezintă un contract care

se încheie între două părţi: instituţia de asigurare şiasigurat şi are ca scop acţiunea de despăgubire aasiguratului la ivirea unor situaţii defavorabile acestuia.

Un contract de asigurare prevede pe de o partenatura asigurării care poate fi de persoane sau de bunuri, clauzele asigurării adică situaţiile care potgenera acţiunea de despăgubire din partea asiguratoruluişi primele de asigurare care reprezintă taxele plătite de

asigurat instituţiei.Primele de asigurare sunt de două feluri: unice -

dacă se plătesc o singură dată, de regulă la începutulasigurării şi periodice - dacă se plătesc cu o anumită periodicitate.

Primele de asigurare se calculează ţinând seamade faptul că fondurile depuse de asigurat intră de regulă în



circuitul economic producând beneficii, acest fenomenconducând fie la micşorarea primelor de asigurare fie la

mărirea sumei de despăgubire.Primele matematice se constituie ca valori mediiale sumelor plătite de asigurat la începutul asigurării.1. Teoremă (a compunerii contractelor ) Fie o asigurarecompusă din primele parţiale P1,...,Pn. Valoarea totală a primei de asigurare este egală cu P1+...+Pn. Demonstraţie. Fie S1,...,Sn valorile actuale ale sumelor plătite de asigurat instituţiei. S=S1+...+Sn reprezintă sumatotală plătită. Este evident că aceste valori sunt generatede variabile aleatoare deoarece ele vor fi plătite numaidacă asiguratul va mai fi în viaţă. Avem acumM(S)=M(S1+...+Sn)=M(S1)+...+M(Sn)=P1+...+Pn decivaloarea totală a primei de asigurare este egală cu P1+...+Pn.

În cadrul teoriei asigurărilor o importanţă foarte

mare o are cea a asigurărilor de viaţă. Acestea se referănu numai la persoane ci şi la bunuri ştiind că orice obiectare o durată limită de existenţă. Vom studia în cele ceurmează asigurările de persoane, acestea fiind şi cele maiîntâlnite.

În calculele ce stabilesc sumele de asigurareintervin în mod esenţial aşa numitele funcţii biometrice.Acestea măsoară intensitatea mortalităţii unei populaţii.

Pentru a fi reale acestea trebuie să ţină seama de vârstă,sex, profesie, regiunea geografică etc. În general,influenţele vârstei sunt predominante faţă de ceilalţifactori de aceea vom găsi în tabelele statistice funcţii biometrice calculate numai în funcţie de aceasta.Aplicaţii

2



1. Fie o asigurare compusă din primele parţialePk =100.000k lei unde k=1,...,10. Să se determine valoarea

totală a primei de asigurare.Soluţie Din teorema compunerii contractelor, rezultă:

P1+...+P10=100.000⋅ 2

1110⋅=5.500.000 lei.

2. Fie o asigurare compusă din primele parţialePk =10.000k 2 lei unde k=1,...,12. Să se determine valoareatotală a primei de asigurare.Soluţie Din teorema compunerii contractelor, rezultă:

P1+...+P10=10.000⋅ 6

251312 ⋅⋅ =6.500.000 lei.

2. Funcţii biometriceNoţiuni teoretice

Fie o populaţie P(x) formată din persoane devârsta x ani. O persoană din P(x) va fi notată cu p∈P(x) şiva fi aleasă arbitrar deoarece nu avem motive sădiscernem între o persoană sau alta. Să considerămevenimentul A(x,y)=”p∈P(x) va fi în viaţă la împlinireavârstei de y ani” unde y>x. Evenimentul contrar este A

(x,y)=”p∈P(x) nu va fi în viaţă la împlinirea vârstei de yani”. Fie P(A(x,y))=p(x,y) şi P(A (x,y))=q(x,y) probabilităţile lui A(x,y) respectiv A (x,y). Cum A(x,y)şi A (x,y) sunt evenimente contrarii, avem:

p(x,y)+q(x,y)=1Fie acum z∈(x,y). Avem A(x,y)=A(x,z)∩A(z,y)de unde ţinând seama de formula probabilităţiicondiţionate:

P(A(x,y))=P(A(x,z)∩A(z,y))=P(A(x,z))PA(x,z)(A(z,y))deoarece pentru ca o persoană să fie în viaţă la împlinireavârstei de y ani trebuie în prealabil să fie în viaţă laîmplinirea vârstei de z ani. Avem deci:

3



p(x,y)=p(x,z)p(z,y)Dacă notăm p(x,x+1)=p(x) şi q(x,x+1)=q(x)

avem: p(x,y)=p(x)p(x+1,y)= p(x)p(x+1)...p(y-1) de unde: p(x,y)=p(x)p(x+1)...p(y-1)q(x,y)=1-(1-q(x))...(1-q(y-1))

Vom mai nota π (x)=p(0,x) adică probabilitateaca o persoană să trăiască x ani şi ω (x)=q(0,x)=1-π (x) - probabilitatea ca o persoană să decedeze înainte deîmplinirea vârstei de x ani.

Fie acum populaţia unei regiuni P= ∞

=0x)x(P şi

n=card P. Fie de asemenea, variabila aleatoare Vx a persoanelor din P care au vârsta de x ani. Avem deci:

Vx=

nk10 p...p...pp

n...k...10

unde pk reprezintă probabilitatea (aici frecvenţa) ca un

număr de k persoane să aibă vârsta x. Este evident căsistemul de evenimente fiind complet, avem ∑

=

n

0kkp =1.

Variabila Vx urmând o lege binomială, avem: pk =

knkk

n)x()x(C −ωπ

Prin urmare, avem:Vx=

πωπωπω −− nknkk

n

1n1

n

n )x(...)x()x(C...)x()x(C)x(n...k...10

Valoarea medie a acestei variabile aleatoare senotează cu l(x) şi se numeşte funcţia de supravieţuire.Avem deci:

4



)x(n))x()x()(x(n

)x()x(C)x(n

)x()x()!1k1n()!1k(

)!1n()x(n

)x()x()!kn(!nk

!kn)x(n

)x()x(kC)V(M)x(l

1n

n

1k

kn1k1k

1n

n

1k

kn1k

n

0k

kn1k

n

0k

knkk

nx

π=ω+ππ

=ωππ

=ωπ+−−−

−π

=ωπ−

π

=ωπ==

−

=

−−−−

=

−−

=

−−

=

−

∑

∑

∑

∑

Prin urmare:l(x)=nπ (x)

sau:

π (x)=n

)x(l

Din relaţia p(0,y)=p(0,z)p(z,y) adică π (y)=π (z)p(z,y)

obţinem: p(z,y)=

)z(l

)y(l

)z(l

n

n

)y(l

)z(

)y(==

ππ

de unde:

−

=

=

)z(l

)y(l)z(l)y,z(q

)z(l

)y(l)y,z(p

În particular, din relaţia de mai sus, obţinem:

5



=+−=+=

+=+=

)x(l)x(d

)x(l)1x(l)x(l)1x,x(q)x(q

)x(l

)1x(l)1x,x(p)x(p

unde d(x) reprezintă numărul persoanelor care au decedatdupă împlinirea vârstei de x ani dar înainte de a împlinivârsta de x+1 ani. Cum 0≤ q(x)≤ 1 rezultă că d(x)≥ 0 deunde l(x)≥ l(x+1)≥ 0. Prin urmare, funcţia desupravieţuire este descrescătoare. Cum l(x)=nπ (x), iar probabilitatea ca o persoană să trăiască x ani tinde la 0atunci când x→∞ rezultă că şi l(x)→0 atunci când x→∞.De aceea, în tabelele actuariale se consideră ca vârstălimită ω =100 ani.

Numim viaţă medie valoarea medie a număruluide ani pe care poate să-i mai trăiască o persoană în vârstăde x ani. Vom nota aceasta cu e(x).

Să presupunem acum că o persoană va deceda înintervalul de timp [x+t,x+t+1). Din cauza distribuţieiregulate a deceselor în timpul unui an, vom considera cădata respectivă este plasată la mijlocul anului. Să notămcu m,nq(x) probabilitatea ca o persoană în vârstă de x anisă decedeze în intervalul de ani: [x+m,x+n). Evenimentulcorespunzător se poate scrie ca intersecţia evenimentelor A=”persoana trăieşte până la vârsta de x+m ani” şiB=”persoana decedează până la vârsta de x+n ani”. Avemdeci: m,nq(x)=P(A)PA(B)=p(x,x+m)q(x+m,x+n)= =

)x(l

)nx(l)mx(l +−+.

Fie variabila aleatoare Dx care reprezintă numărulde ani pe care îi mai poate trăi o persoană de x ani. Avem:

6



Dx=

++

+ ...)x(q...)x(q)x(q

...2

1n...

2

11

2

1

1n,n2,1

de unde:

e(x)=M(Dx)=∑∞

=+

+

0n1n,n )x(q

2

1n =

∑∞

=

++−+

+

0n )x(l

)1nx(l)nx(l

2

1n =

∑∑ ∞

=

∞

=++

+−+

+

0n0n )x(l)1nx(l

21n

)x(l)nx(l

21n =

∑∞

=

+

+

0n )x(l

)nx(l

2

1n - ∑

∞

=

+

−

1n )x(l

)nx(l

2

1n =

=

∑∞

=++

1n

)nx(l)x(l

1

2

1.

Notând R(ω )= ∑∞

+−ω=+

1xn

)nx(l)x(l

1

reprezentând funcţia de supravieţuire a tuturor persoanelor în vârstă de peste ω ani, obţinem:

e(x)= ∑−ω

=++

x

1n

)nx(l)x(l

1

2

1+R(ω )

Prin neglijarea factorului 2

1

se obţine viaţa medieredusă.

Indicatorii calculaţi mai sus se regăsesc întabelele de mortalitate (calculate, de regulă la 100.000

de nou-născuţi) care au următoarea structură:Tabelul de mortalitate a populaţiei României pe

perioada 1990-1992

Vârsta (x) l(x) p(x) q(x) d(x) e(x)7



0 100.000 0,97672 0,02328 2328 69,781 97.672 0,99727 0,00273 267 70,43

2 97.405 0,99828 0,00172 168 69,633 97.237 0,99877 0,00123 120 68,754 97.117 0,99915 0,00085 83 67,835 97.034 0,99934 0,00066 64 66,896 96.970 0,99942 0,00058 56 65,937 96.914 0,99940 0,00060 58 64,978 96.856 0,99947 0,00053 51 64,01

9 96.805 0,99958 0,00042 41 63,0410 96.764 0,99958 0,00042 41 62,0711 96.723 0,99957 0,00043 42 61,0912 96.681 0,99957 0,00043 42 60,1213 96.639 0,99954 0,00046 44 59,1514 96.595 0,99951 0,00049 47 58,1715 96.548 0,99944 0,00056 54 57,2016 96.494 0,99936 0,00064 62 56,2317 96.432 0,99939 0,00061 59 55,2718 96.373 0,99924 0,00076 73 54,3019 96.300 0,99913 0,00087 84 53,3420 96.216 0,99913 0,00087 84 52,3921 96.132 0,99909 0,00091 87 51,4322 96.045 0,99905 0,00095 91 50,4823 95.954 0,99905 0,00095 91 49,53

24 95.863 0,99900 0,00100 96 48,5725 95.767 0,99893 0,00107 102 47,6226 95.665 0,99882 0,00118 113 46,6727 95.552 0,99882 0,00118 113 45,7328 95.439 0,99870 0,00130 124 44,7829 95.315 0,99860 0,00140 133 43,8430 95.182 0,99839 0,00161 153 42,90

31 95.029 0,99830 0,00170 162 41,978



32 94.867 0,99822 0,00178 169 41,0433 94.698 0,99811 0,00189 179 40,11

34 94.519 0,99794 0,00206 195 39,1935 94.324 0,99767 0,00233 220 38,2736 94.104 0,99762 0,00238 224 37,3537 93.880 0,99736 0,00264 248 36,4438 93.632 0,99714 0,00286 268 35,5439 93.364 0,99692 0,00308 288 34,6440 93.076 0,99674 0,00326 303 33,74

41 92.773 0,99636 0,00364 338 32,8542 92.435 0,99596 0,00404 373 31,9743 92.062 0,99546 0,00454 418 31,1044 91.644 0,99531 0,00469 430 30,2445 91.214 0,99510 0,00490 447 29,3846 90.767 0,99462 0,00538 488 28,5247 90.279 0,99404 0,00596 538 27,6748 89.741 0,99355 0,00645 579 26,8349 89.162 0,99284 0,00716 638 26,0050 88.524 0,99241 0,00759 672 25,1951 87.852 0,99176 0,00824 724 24,3852 87.128 0,99114 0,00886 772 23,5853 86.356 0,99035 0,00965 833 22,7854 85.523 0,98941 0,01059 906 22,0055 84.617 0,98876 0,01124 951 21,23

56 83.666 0,98790 0,01210 1012 20,4657 82.654 0,98724 0,01276 1055 19,7158 81.599 0,98610 0,01390 1134 18,9659 80.465 0,98521 0,01479 1190 18,2260 79.275 0,98358 0,01642 1302 17,4861 77.973 0,98256 0,01744 1360 16,7762 76.613 0,98073 0,01927 1476 16,06

63 75.137 0,97916 0,02084 1566 15,369



64 73.571 0,97771 0,02229 1640 14,6865 71.931 0,97530 0,02470 1777 14,00

66 70.154 0,97387 0,02613 1833 13,3467 68.321 0,97108 0,02892 1976 12,6968 66.345 0,96894 0,03106 2061 12,0569 64.284 0,96576 0,03424 2201 11,4270 62.083 0,96189 0,03811 2366 10,8171 59.717 0,95782 0,04218 2519 10,2272 57.198 0,95252 0,04748 2716 9,64

73 54.482 0,95044 0,04956 2700 9,1074 51.782 0,94616 0,05384 2788 8,5575 48.994 0,93956 0,06044 2961 8,0176 46.033 0,93233 0,06767 3115 7,4977 42.918 0,92572 0,07428 3188 7,0078 39.730 0,91742 0,08258 3281 6,5279 36.449 0,90735 0,09265 3377 6,0680 33.072 0,89813 0,10187 3369 5,6381 29.703 0,88611 0,11389 3383 5,2182 26.320 0,86922 0,13078 3442 4,8283 22.878 0,85549 0,14451 3306 4,4684 19.572 0,84120 0,15880 3108 4,1385 16.464 0,82307 0,17693 2913 3,8286 13.551 0,80503 0,19497 2642 3,5387 10.909 0,78586 0,21414 2336 3,27

88 8.573 0,76554 0,23446 2010 3,0289 6.563 0,74402 0,25598 1680 2,8090 4.883 0,72148 0,27852 1360 2,5991 3.523 0,69770 0,30230 1065 2,3992 2.458 0,67290 0,32710 804 2,2193 1.654 0,64692 0,35308 584 2,0494 1.070 0,61963 0,38037 407 1,88

95 663 0,59125 0,40875 271 1,7310



96 392 0,56122 0,43878 172 1,5897 220 0,53182 0,46818 103 1,42

98 117 0,49573 0,50427 59 1,2399 58 0,46552 0,53448 31 0,97100 27 0,44444 0,55556 15 -

Aplicaţii1. Să se determine probabilitatea ca o persoană în vârstăde 50 de ani să fie în viaţă peste 5 ani.Soluţie Avem p(50,55)=p(50)p(51)p(52)p(53)p(54)=0,955865.2. Să se determine probabilitatea ca o persoană săîmplinească vârsta de 3 ani.Soluţie Avemπ (5)=p(0,5)=p(0)p(1)p(2)p(3)p(4)=0,97034 sau altfel:

π (5)=10000

)5(l

=0,97034.3. Calculul primei unice de asigurareNoţiuni teoretice

Să considerăm în cele ce urmează situaţia în careo persoană în vârstă de x ani încheie o asigurare învaloare de S unităţi monetare cu specificaţia că dacă esteîn viaţă suma i se va plăti peste n ani. Fie i dobânda

unitară şi v=i1

1+ . Pentru ca după n ani suma depusă să

fie în valoare de S u.m. ea trebuie să aibă valoarea actualăS’=Svn. Fie variabila aleatoare:

Vx,n,S=

++ )nx,x(q)nx,x(p

0Svn

11



Aceasta reprezintă distribuţia valorii actuale asumei pe care o are de încasat asiguratul peste n ani. Dacă

va fi în viaţă el va primi S’=Svn

u.m. iar dacă nu va mai fiîn viaţă va primi 0 u.m. Prima unică pe care trebuie să o plătească asiguratul va fi P=M(Vx,n,S)=Svn p(x,x+n)=Svn

)x(l

)nx(l +. Vom nota:

E(x,x+n)=vn

)x(l

)nx(l +- factorul de actualizare viager

de unde: P=SE(x,x+n)Observăm că E(x,x+n) reprezintă analogul

factorului de actualizare vn din cazul anuităţilor. Notând de asemenea:

D(x)=vxl(x) - numărul de comutaţieobţinem: E(x,x+n)=

)x(D

)nx(D

)x(lv

)nx(lv

)x(l

)nx(lv

x

xnn +

=

+

=

+ +

deci:

E(x,x+n)=)x(D

)nx(D +

Cu notaţiile introduse, avem:

P=S)x(D

)nx(D +

Aplicaţii

1. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană de 30 ani astfel ca peste 10 ani să primească suma de 10.000.000 lei (dobânda este înaceastă perioadă de 50%).

Soluţie Avem P=S)x(D

)nx(D +unde S=10.000.000, x=30,

n=10. Obţinem deci:

12



P=10.000.000⋅ )30(D

)40(D. Avem însă numărul de

comutaţie D(x)=vxl(x) unde v=i1

1+

=5,11

5,011 =

+=0,6667. Prin urmare, D(40)=v40l(40), D(30)=v30l(30)

deci P=10.000.000⋅ v10⋅ )30(l

)40(l=10.000.000⋅ 0,01735⋅

95182

93076=169.661 lei.

2. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană de 40 ani astfel ca peste 5 ani să primească suma de 1.000.000 lei dacă dobânda este de40%

Soluţie Avem P=S)x(D

)nx(D +unde S=1.000.000, x=40,

n=5 iar v=i1

1

+=

4,1

1

4,01

1=

+ =0,7143. Obţinem deci

P=10.000.000⋅ )40(D)45(D

=1.000.000⋅ v5⋅ )40(l)45(l

=

1.000.000⋅ 0,18595⋅93076

91214=182.230 lei.

4. Calculul primelor de asigurare periodice, viagereNoţiuni teoretice

Primele de asigurare periodice, viagere, sunt plăţi

care se fac fie anticipat, fie posticipat, încasarea acestoraavând loc după o anumită perioadă de timp doar dacă persoana respectivă mai este în viaţă. Un exemplu poatefi considerat sistemul de pensii în care o persoanăcotizează un număr de ani pentru ca la împlinirea vârsteide pensionare să încaseze (dacă este în viaţă) o pensielunară constantă. Procesul de calcul este asemănător cu

cel de la calculul anuităţilor cu deosebirea că anuităţile se13



vor constitui după un număr de ani într-un depozit dupăcare ele vor fi returnate într-un număr de plăţi constante.

Fie deci A - valoarea constantă a primei periodice pe care o va plăti asiguratul timp de n ani, R - valoareaconstantă a anuităţii (mensualităţii) la retragere, n -numărul de ani (luni) de depunere, m numărul de ani deretragere (de la momentul încetării plăţilor), i - dobândaunitară, p - numărul de ani după care se începe plata, r -numărul de ani după care se începe retragerea la sfârşitul plăţilor, α - fracţiunea din an la care se plăteşte prima periodică A şi β - fracţiunea din an la care se plăteşteanuitatea R. Avem evident α ,β∈[ 0,1]. Fie de asemeneau=1+i.

După n ani, suma acumulată este:S=Aun-p-1+1-α +...Au1+1-α +Au1-α =Au1-α (un-p-1+...+u+1) de

unde:

S= i

1u

Au1u

1u

Au

pn1

pn1 −

=−

− −α−

−α−

Această sumă S reprezintă baza de plecare în calcululanuităţii R pentru următorii m ani. Avem:

S=RE(x,x+r+β )+...+RE(x,x+m-1+β )=R

β+−+++

β++)x(D

)1mx(D...

)x(D

)rx(D

de unde:

S=R

β+−+++β++

)x(D)1mx(D...)rx(D

Să notăm acum:

N(x)= ∑∑−ω

=

∞

=+=+

x

0n0n

)nx(D)nx(D +N(ω ) - numărul de

comutaţie

14



unde N(ω )= ∑∑∞

+−ω=

+∞

+−ω=+=+

1xn

nx

1xn

)nx(lv)nx(D .

Avem deci:

S=R )x(D

)mx(N)rx(N β++−β++

Obţinem din aceste calcule:

i

1uAu

pn1 −−

α− =R )x(D

)mx(N)rx(N β++−β++

de unde:

A=R ( )1uui

)x(D)mx(N)rx(N

pn1 −β++−β++

−α−

A. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăÎn acest caz, avem: β =0, r=0 de unde:

A=R ( )1uu

i

)x(D

)mx(N)x(Npn1 −

+−−α−

B. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată

În acest caz, avem: β =1, r=0 de unde:

A=R ( )1uu

i

)x(D

)1mx(N)1x(Npn1 −

++−+−α−

C. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat

În acest caz, avem: α =0 de unde:

A=R ( )1uu

i

)x(D

)mx(N)x(Npn −

+−−

D. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat


15



A=R ( )1u

i

)x(D

)mx(N)x(Npn −

+−−

E. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat


A=R ( )1uu

i

)x(D

)1mx(N)1x(Npn −

++−+−

F. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat


A=R ( )1u

i

)x(D

)1mx(N)1x(Npn −

++−+−

G. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată

În acest caz, avem: p=0 de unde:

A=R

( )1uu

i

)x(D

)mx(N)x(Nn

−

+−

H. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată


A=R ( )1u

i

)x(D

)mx(N)x(Nn −

+−

I. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată

cu plata anticipat şi cu depunere imediatăÎn acest caz, avem: p=0 de unde:

A=R ( )1uu

i

)x(D

)1mx(N)1x(Nn −

++−+

J. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată


16



A=R ( )1u

i

)x(D

)1mx(N)1x(Nn −

++−+

K. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă

În acest caz, avem: n=1 de unde:

A=R u

1

)x(D

)mx(N)x(N +−

L. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă


A=R )x(D

)mx(N)x(N +−

M. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă


A=R u

1

)x(D

)1mx(N)1x(N ++−+

N. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-o

singură tranşăÎn acest caz, avem: n=1 de unde:

A=R )x(D

)1mx(N)1x(N ++−+

O. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă

În acest caz, avem: m→∞ de unde:

17



A=R )x(uD

)x(N

P. Anuităţi viagere anticipate, cu retragere imediatăcu plata posticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă

În acest caz, avem: m→∞de unde:

A=R )x(D

)x(N

Q. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediată

cu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuăÎn acest caz, avem: m→∞de unde:

A=R )x(uD

)1x(N +

R. Anuităţi viagere posticipate, cu retragere imediatăcu plata anticipat şi cu depunere imediată într-osingură tranşă cu plată perpetuă

În acest caz, avem: m→∞de unde:

A=R )x(D

)1x(N +

Aplicaţii1. Să se calculeze tabelul numerelor de comutaţie D(x) şi N(x) corespunzătoare dobânzii de 15% în funcţie dedatele tabelului de mortalitate a populaţiei României în perioada 1990-1992.

18



Soluţie Avem: D(x)=vxl(x) şi N(x)=∑−ω

=

+x

0n

)nx(D

+N(ω ) unde N(ω )=0. Obţinem deci tabelul:Vârsta (x) l(x) 15%

D(x) N(x)0 100.000 100.000,00000 746.271,562911 97.672 84.932,17391 646.271,562912 97.405 73.652,17391 561.339,389003 97.237 63.934,90589 487.687,21509

4 97.117 55.526,95995 423.752,309195 97.034 48.243,04733 368.225,349246 96.970 41.922,80698 319.982,301917 96.914 36.433,56229 278.059,494938 96.856 31.662,39821 241.625,932659 96.805 27.518,02280 209.963,5344410 96.764 23.918,58090 182.445,51164

11 96.723 20.789,95333 158.526,9307412 96.681 18.070,37019 137.736,9774113 96.639 15.706,53921 119.666,6072214 96.595 13.651,64172 103.960,0680115 96.548 11.865,21676 90.308,4263016 96.494 10.311,80909 78.443,2095417 96.432 8.961,02911 68.131,4004518 96.373 7.787,43172 59.170,3713419 96.300 6.766,55039 51.382,9396120 96.216 5.878,82444 44.616,3892221 96.132 5.107,55827 38.737,5647822 96.045 4.437,33557 33.630,0065123 95.954 3.854,89680 29.192,6709424 95.863 3.348,90515 25.337,7741425 95.767 2.909,17518 21.988,86899

19



26 95.665 2.527,02319 19.079,6938127 95.552 2.194,81587 16.552,67062

28 95.439 1.906,27850 14.357,8547529 95.315 1.655,47978 12.451,5762530 95.182 1.437,53893 10.796,0964731 95.029 1.248,02449 9.358,5575332 94.867 1.083,38864 8.110,5330433 94.698 940,39882 7.027,1444034 94.519 816,19240 6.086,74559

35 94.324 708,26829 5.270,5531936 94.104 614,44899 4.562,2849037 93.880 533,03164 3.947,8359138 93.632 462,28134 3.414,8042739 93.364 400,83319 2.952,5229340 93.076 347,47543 2.551,6897441 92.773 301,16892 2.204,2143142 92.435 260,93188 1.903,0454043 92.062 225,98170 1.642,1135144 91.644 195,61361 1.416,1318145 91.214 169,30067 1.220,5182146 90.767 146,49653 1.051,2175347 90.279 126,70339 904,7210148 89.741 109,52029 778,0176149 89.162 94,62058 668,49733

50 88.524 81,69002 573,8767451 87.852 70,49556 492,1867252 87.128 60,79531 421,6911653 86.356 52,39707 360,8958554 85.523 45,12316 308,4987955 84.617 38,82187 263,3756256 83.666 33,37874 224,55376

57 82.654 28,67391 191,1750120



58 81.599 24,61558 162,5011059 80.465 21,10739 137,88552

60 79.275 18,08281 116,7781361 77.973 15,46593 98,6953362 76.613 13,21406 83,2294063 75.137 11,26912 70,0153464 73.571 9,59500 58,7462265 71.931 8,15749 49,1512266 70.154 6,91823 40,99373

67 68.321 5,85867 34,0755068 66.345 4,94715 28,2168469 64.284 4,16823 23,2696970 62.083 3,50045 19,1014571 59.717 2,92787 15,6010072 57.198 2,43858 12,6731473 54.482 2,01981 10,2345674 51.782 1,66932 8,2147575 48.994 1,37342 6,5454376 46.033 1,12210 5,1720177 42.918 0,90972 4,0499078 39.730 0,73230 3,1401979 36.449 0,58419 2,4078980 33.072 0,46093 1,8237081 29.703 0,35998 1,36277

82 26.320 0,27737 1,0027983 22.878 0,20965 0,7254284 19.572 0,15596 0,5157785 16.464 0,11408 0,3598186 13.551 0,08165 0,2457387 10.909 0,05716 0,1640888 8.573 0,03906 0,10692

89 6.563 0,02600 0,0678621



90 4.883 0,01682 0,0418691 3.523 0,01055 0,02504

92 2.458 0,00640 0,0144893 1.654 0,00375 0,0080894 1.070 0,00211 0,0043395 663 0,00114 0,0022296 392 0,00058 0,0010997 220 0,00028 0,0005198 117 0,00013 0,00022

99 58 0,00006 0,00009100 27 0,00002 0,00003

2. Să se calculeze valoarea constantă a primei periodice pe care o plăteşte, la începutul perioadei, un asigurat învârstă de 40 de ani, timp de 10 ani astfel încât la sfârşitulacestei perioade să înceapă să primească, anticipat, timp

de 20 de ani suma de 10.000.000 lei anual. Dobânda înaceastă perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=10.000.000 lei, n=10, m=20, i=0,15, p=0, r=0, α =0, β =0. Obţinem deci: A=R

( )1uu

i

)x(D

)mx(N)x(Nn −

+−unde u=1+i=1,15. Avem în

final:

A=10.000.000 ( )115,115,115,0

)40(D)60(N)40(N

10 −− =

10.000.000⋅

( )104555,415,1

15,0

47543,347

77813,11668974,2551

−−

=

10.000.000⋅ 7,0074354⋅ 0,042828=3.001.144 lei.

22



3. Să se calculeze valoarea constantă a primei pe care o plăteşte, la începutul perioadei, un asigurat în vârstă de 30

de ani astfel încât să înceapă să primească, posticipat,timp de 50 de ani suma de 20.000.000 lei anual. Dobândaîn această perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=20.000.000 lei, n=1, m=50, i=0,15, p=0,

r=0, α =1, β =0. Obţinem deci: A=R )x(D

)mx(N)x(N +−

=20.000.000⋅)30(D

)80(N)30(N −=

20.000.000⋅53893,1437

82370,109647,10796 −=20.000.000⋅ 7,50

886=150.177.200 lei.4. Să se calculeze valoarea constantă a primei pe care o plăteşte, la începutul perioadei, o persoană în vârstă de 40de ani astfel încât să înceapă să primească, posticipat, pedurată nedeterminată suma de 20.000.000 lei anual.

Dobânda în această perioadă va fi de 15% anual.Soluţie Avem R=20.000.000 lei, n=1, m→∞, i=0,15, p=0,

r=0, α =1, β =0. Obţinem deci: A=R )x(D

)x(N

=20.000.000⋅ )40(D

)40(N=20.000.000⋅

47543,347

68974,2551=

20.000.000⋅ 7,34351=146.870.227 lei.

TEORIA JOCURILOR

23



1. GeneralităţiNoţiuni teoretice

Teoria jocurilor este una din teoriile de mareactualitate practică. Apariţia acesteia se datorează lui J.Von Neumann şi O. Morgenstern care în lucrarea Theory

of Games and Economic Behaviour , Princeton, PrincetonUniversity Press din 1947 au pus bazele teoriei jocurilor.

Ea apare ori de câte ori între două sau mai multe persoane există conflicte de interese. Astfel, dacă maimulţi agenţi economici urmăresc un acelaşi scop esteevident că fiecare doreşte maximizarea profitului dinacţiunile întreprinse de el.1. Definiţie Se numeşte joc un ansamblu (J,R,A,U) undeJ reprezintă o mulţime de jucători, R o mulţime de reguli,A o mulţime de acţiuni şi U o mulţime de utilităţi saucâştiguri astfel încât fiecare jucător din J acţionând înlimitele impuse de regulile R alege într-un număr de

etape succesive, în mod independent de ceilalţi o acţiunedin A urmărind maximizarea sau minimizarea unuielement din U.

Este evident că alegerea unei acţiuni trebuie să fiefăcută în mod raţional deoarece în caz contrar jocul ar avea un caracter haotic (imaginaţi-vă jocul de fotbal, cu

reguli de altfel precise, în care fiecare jucător ar pasa

efectiv la întâmplare).

Fie g:J→A, g(j)=A j⊂A funcţia care asociază jucătorului j mulţimea de acţiuni A j. Vom mai numi oastfel de acţiune şi strategie pură a jucătorului j. Însituaţia repetării unui joc, dacă jucătorul alege cu oanumită frecvenţă una sau alta dintre strategii vom numio astfel de situaţie strategie mixtă. Strategia aleasă de un jucător în scopul maximizării unui câştig sau minimizării

unei pierderi se numeşte strategie optimă.24



De asemenea o strategie pură poate fi liberă dacăutilizarea ei poate fi făcută în orice moment al

desfăşurării jocului (de exemplu jocurile de şah, fotbal,tenis etc.) sau aleatoare dacă ea este aleasă la întâmplare(de exemplu jocurile de table, zaruri etc.).

După cantitatea de informaţie aflată la dispoziţia jucătorilor, jocurile se pot clasifica în jocuri cuinformaţie completă atunci când fiecare jucător cunoaştetotalitatea strategiilor pure ale celorlalţi jucători şi jocuricu informaţie incompletă atunci când există un jucător care nu cunoaşte în totalitate mulţimea strategiilor pureale cel puţin unuia dintre ceilalţi jucători.

Dacă mulţimea A este finită vom spune că joculeste finit în caz contrar numindu-se infinit. Este evidentcă în cazul jocurilor finite şi numărul jucătorilor este finitdeoarece, în caz contrar, dacă fiecare jucător ar avea cel puţin o strategie ar rezulta că şi A este infinită.

Vom considera în cele ce urmează numai jocurifinite. Avem deci card(A j)<∞ ∀ j=1,...,n şi card(J)<∞. Fiedeci J={1,...,n} mulţimea jucătorilor şi:

f j:A1× ...× An→R , (a1,...,an)→f j(a1,...,an), j=1,...,ncâştigul jucătorului j atunci când sunt alese strategiile ai

de către jucătorii i=1,...,n.2. Definiţie Un joc se numeşte cu sumă nulă dacă:

∑=n

1 jn1 j )a,...,a(f =0 ∀ j=1,...,n ∀a1∈A1,...,an∈An

Vom considera în cele ce urmează jocuri cusumă nulă, de două persoane.

Fie deci doi jucători ( grupuri de jucători) α şiβ . Vom nota cu A={a1,a2,...,am} şi B={ b1,...,bn} mulţimeastrategiilor pure ale acestora.

25



Dacă jucătorul α va adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B ei vor obţine un câştig f(a,b)

respectiv g(a,b). Dacă jocul este cu sumă nulă atunci:f(a,b)+g(a,b)=0

Avem deci g(a,b)=-f(a,b). În desfăşurarea joculuieste evident că, de exemplu, jucătorul α va dorimaximizarea lui f(a,b) iar jucătorul β maximizarea luig(a,b) adică minimizarea lui f(a,b).

Matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n se

numeşte matricea plăţilor. Este evident că indiferent demodul de acţiune al lui β jucătorul α va obţine un câştig

mai mare sau egal decât n,...,1 jmin= cij. Strategia cea mai

bună a lui α va fi ak , cea pentru care:

m,...,1imax= n,...,1 j

min=

cij=n,...,1 j

min=

ckj

altfel spus acea strategie pentru care se obţine cel mai buncâştig în condiţiile cele mai defavorabile. O astfel destrategie se numeşte strategie maximin. Analog, cea mai bună strategie a lui β este b p astfel încât:

n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij=m,...,1i

max=

cip

sau altfel spus cea care oferă lui α cel mai mic câştig încondiţiile cele mai bune de acţiune. Strategia lui β senumeşte strategie minimax.

3. Observaţie Pentru a limita dimensiunile matricei plăţilor se investighează aceasta de două ori. Mai întâi secercetează liniile matricei. Dacă ∃ i,k=1,...,m, i≠ k astfelîncât:

cij≤ ckj ∀ j=1,...,natunci cum jucătorul α urmăreşte să-şi maximizezecâştigul rezultă că strategia i va fi dezavantajoasă faţă de

26



strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată dinmatricea plăţilor. Dacă ∃ j,k=1,...,n, j≠ k astfel încât:

cij≥ cik ∀i=1,...,matunci cum jucătorul β urmăreşte să-şi minimizeze pierderea rezultă că strategia j va fi dezavantajoasă faţăde strategia k. Prin urmare, aceasta va putea fi eliminatădin matricea plăţilor.

Avem acum: cij≤ m,...,1imax=

cij ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n

de unde:

n,...,1 jmin= cij≤ n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij ∀i=1,...,m.

Dar acum este evident că:

m,...,1imax= n,...,1 j

min=

cij≤n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij

Ca urmare a acestei inegalităţi rezultă că avemdouă situaţii:

1) ∃ckp= m,...,1imax= n,...,1 j

min= cij= n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij. În acest

caz cip≤ ckp≤ ckj ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n. Perechea destrategii (ak ,b p) se numeşte punct de echilibru al jocului iar valoarea ckp-valoarea jocului. În acest cazstrategia ak este strategie maximin iar b p-strategieminimax. Dacă cei doi jucători vor utiliza acestestrategii atunci nici unul dintre ei nu îşi poatemaximiza câştigul prin aflarea strategiei oponentului.

Situaţia devine stabilă şi cele două strategii vor ficonsiderate bune. Metoda aceasta de rezolvare senumeşte metoda maximin (metoda minimax ).

2) Dacă m,...,1imax= n,...,1 j

min= cij< n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij atunci

jocul nu are punct de echilibru.În această situaţie, fiecare jucător poate să-şi măreascăcâştigul prin însuşirea diferenţei:

27



n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij-m,...,1i

max= n,...,1 j

min=

cij

Vom numi strategie mixtă a jucătorului α unvector x=(x1,...,xm)∈R m astfel încât xi este probabilitateacu care este utilizată strategia ai ∀i=1,...,m şi analog pentru β vectorul y=(y1,...,yn)∈R n astfel încât y j este probabilitatea cu care este utilizată strategia b j ∀ j=1,...,n.

Cum xi şi y j sunt probabilităţi iar strategiileformează un sistem complet de evenimente vom avearelaţiile:

=∀≥=

=∀≥=

∑

∑

=

=

n1,..., j0y,1y

m1,...,i0x,1x

j

n

1 j j

i

m

1ii

Vom nota cu X mulţimea strategiilor mixte ale luiα şi cu Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .

Fie X j=

m21

mj j2 j1

x...xx

c...ccvariabila aleatoare

care reprezintă câştigul jucătorului α în situaţia în care jucătorul β alege strategia j=1,…,n şi fie Yi=

n21

in2i1i

y...yy

c...ccvariabila aleatoare care reprezintă

câştigul jucătorului β în situaţia în care jucătorul αalege strategia i=1,…,m.

Avem: M(X j)=∑=

m

1iiijxc ∀ j=1,...,n şi M(Yi)=

∑=

n

1 j jijyc ∀i=1,..,m.

28



Dacă cele două strategii mixte sunt independentenumim câştigul mediu Cm realizat de jucătorul α atunci

când foloseşte strategia x, iar β foloseşte strategia yexpresia:

Cm(x,y)= ∑∑= =

m

1i

n

1 j jiij yxc

O strategie mixtă x0∈X se numeşte strategiemixtă maximin dacă:

Xx

ma∈ Yy

min∈

Cm(x,y)= Yy

min∈

Cm(x0,y)

O strategie mixtă y0∈Y se numeşte strategiemixtă minimax dacă:

Yymin

∈ Xxma

∈Cm(x,y)=

Xxma

∈Cm(x,y0)

Ca în primul caz analizat, avem:

Xxmax

∈ Yymin

∈Cm(x,y)≤

Yymin

∈ Xxmax

∈Cm(x,y)

Dacă Xx

max∈ Yy

min∈ Cm(x,y)= Yy

min∈ Xx

max∈ Cm(x,y) atunci joculse numeşte strict determinat. Există o teoremă a lui

John Von Neumann care afirmă că dacă A şi B suntfinite atunci jocul este strict determinat.Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4,a5, a6} respectiv B={ b1,b2,b3,b4,b5}. Matricea plăţilor este:

C=

89231

61513

86153

103228

51302

65021

29



1) Să se reducă dimensiunile matricei plăţilor;2) Să se studieze dacă jocul are punct de echilibru.

Soluţie 1)Cum linia 1 este mai mică sau egală decât linia4 iar linia 2 este mai mică sau egală decât linia 5 rezultăcă liniile 1 şi 2 pot fi eliminate. Obţinem deci C=

89231

61513

86153

103228

. În noua matrice, coloana 5 este mai

mare sau egală decât coloana 1 iar coloana 4 decâtcoloana 2. Prin urmare, coloanele 4 şi 5 pot fi eliminate.

Rezultă deci matricea C=

231

513

153

228

. Mulţimile

strategiilor care rămân de luat în considerare sunt deci:

A={a3,a4,a5,a6} respectiv B={ b1,b2,b3}. 2)Avem acum: b1 b2 b3 mina3 8 2 2 2a4 3 5 1 1a5 3 1 5 1a6 1 3 2 1

max 8 5 5 5/2

Cum 2= m,...,1imax= n,...,1 jmin= cij< n,...,1 jmin= m,...,1imax= cij=5 rezultăcă jocul nu are punct de echilibru.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

30



C=

29123834

2275

2321

Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în cazafirmativ să se determine strategia de maximin a primului jucător şi valoarea jocului.Soluţie Avem:

b1 b2 b3 b4 min

a1 1 2 3 2 1a2 5 7 2 2 2a3 4 3 8 3 3a4 2 1 9 2 1

max 5 7 9 3 3/3

Cum 3= m,...,1imax= n,...,1 j

min= cij= n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij=3 rezultă

că jocul este echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului

este (a3,b4) valoarea jocului fiind egală cu 5. Prin urmare,strategia de maximin a primului jucător este a3.3. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

5922

59a53416

9521

, a∈R

Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în cazafirmativ să se determine strategia de maximin a primului jucător şi valoarea jocului.Soluţie Avem:

b1 b2 b3 b4 min31



a1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1

a3 5 a 9 5 b=min{5,a}a4 2 2 9 5 2

max 6 c=max{2,a} 9 9 min{6,c}/max{2,b}Pentru ca jocul să fie echilibrat trebuie ca max{2,b}=

m,...,1imax= n,...,1 j

min=

cij=n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij= min{6,c}. Avem

deci mai multe variante:1) a∈(-∞,2)⇒ b=a şi c=2. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2

max 6 2 9 9 2/2Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al

jocului este: (a4,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a4 iar valoarea jocului fiind egală cu 2.2) a∈[2,5)⇒ b=a şi c=a. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 a

a4 2 2 9 5 2max 6 a 9 9 a/aJocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu a.3) a∈[5,6)⇒ b=5 şi c=a. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1

32



a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5

a4 2 2 9 5 2max 6 a 9 9 a/5

Jocul este echilibrat dacă şi numai dacă a=5, iar punctulde echilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu5.4) a∈[6,∞)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2

max 6 a 9 9 6/5În acest caz jocul nu este echilibrat.2. Metoda de rezolvare, prin programare liniară,

a jocurilor cu sumă nulă, de două persoaneNoţiuni teoretice

Vom studia acum o metodă practică de rezolvare aacestor probleme cu ajutorul programării liniare.

Fie deci doi jucători α şi β şi A={a1,a2,...,am},B={ b1,...,bn} mulţimea strategiilor pure ale acestora. Fief(a,b) câştigul realizat de jucătorul α atunci când va

adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B. Fie,de asemenea, C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,nmatricea plăţilor. Să considerăm de asemenea X mulţimeastrategiilor mixte ale lui α şi Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .

Vom nota în cele ce urmează cu v valoarea jocului. Fie o strategie mixtă arbitrară a jucătorului α :

x=(x1,...,xm)∈R m

şi analog pentru β : y=(y1,...,yn)∈R n

.33



Jucătorul α , prin alegerea strategiei mixte x areşanse de câştig de cel puţin v deoarece M(X j)≥ v

∀ j=1,...,n iar jucătorul β poate pierde cel mult vdeoarece M(Yi)≤ v ∀i=1,...,m. Din teorema Neumann,care afirmă că jocul este strict determinat, rezultă căvaloarea jocului va fi dată de max v pentru jucătorul α şide min v pentru jucătorul β .

Sistemele de condiţii de mai sus pot fitransformate cu ajutorul următoarelor reguli:

i) Dacă se adaugă o constantă c la matricea plăţilor C=(cij) atunci valoarea jocului devine c+v, strategiileoptime rămânând neschimbate;

ii) Dacă înmulţim cu c matricea plăţilor atunci valoarea jocului devine cv, strategiile optime rămânândneschimbate.

În virtutea lui ii) vom presupune în continuare căv>0 în caz contrar înmulţind cu (-1) şi adăugând eventual

1 dacă v=0.Pentru rezolvarea concretă a problemei va fi util

să facem câteva transformări. Fie deci: x’i=v

xi şi y’ j=

v

y j ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n. Din condiţiile:

=∀≥=

=∀≥=

∑∑

=

=

n1,..., j0y,1y

m1,...,i0x,1x

j

n

1 j j

i

m

1ii

obţinem:

34



=∀≥=

=∀≥=

∑

∑

=

=

n1,..., j0y',v

1'y

m1,...,i0x',

v

1'x

j

n

1 j j

i

m

1i

i

Cum funcţia obiectiv pentru jucătorul α este max v

rezultă că ea poate fi înlocuită de min

∑

=

m

1ii'x şi analog

pentru β de max

∑=

n

1 j j'y . Avem deci o pereche de

probleme duale:

≥≥++

≥++≥++

++

0'x,...,'x

1'xc...'xc...

1'xc...'xc

1'xc...'xc

)'x...'xmin(

m1

mmn1n1

m2m112

m1m111

m1

şi

≥≤++

≤++≤++

++

0'y,...,'y

1'yc...'yc...

1'yc...'yc

1'yc...'yc

)'y...'ymax(

n1

nmn11m

nn2121

nn1111

n1

Soluţiile acestor probleme furnizează atât valoareaoptimă a jocului cât şi strategiile mixte ale celor doi jucători. Avem:

v= )'x...'xmin(

1

m1 ++ = )'y...'ymax(

1

n1 ++ , xi=vx’i,y j=vy’ j

∀i=1,...,m ∀ j=1,...,nAplicaţii1. Să se rezolve cu ajutorul programării liniare jocul cusumă nulă, de două persoane, a cărui matrice a plăţilor este:

35



C=

231213

123

321

mulţimea strategiilor primului jucător fiindA={a1,a2,a3,a4}, iar a celui de-al doilea jucător:B={ b1,b2,b3}.

Soluţie Avem b1 b2 b3 min

a1 1 2 3 1a2 3 2 1 1a3 3 1 2 1

a4 1 3 2 1max 3 3 3 3/1

Cum 1= m,...,1imax= n,...,1 j

min= cij< n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij=3 rezultă

că jocul nu are punct de echilibru. Vom determina decimulţimea strategiilor mixte ale primului jucător X={x1,x2,x3,x4} şi strategiile mixte Y={y1,y2,y3} ale celuide-al doilea jucător. Avem deci problema de programare

liniară:

≥≥+++≥+++

≥++++++

0'x,'x,'x,'x

1'x2'x2'x'x3

1'x3'x'x2'x2

1'x'x3'x3'x

)'x'x'x'xmin(

4321

4321

4321

4321

4321

36



Forma standard a problemei este:

≥=−+++=−+++

=−+++

+++

0y,y,y,'x,'x,'x,'x

1y'x2'x2'x'x3

1y'x3'x'x2'x2

1y'x'x3'x3'x

)'x'x'x'xmin(

3214321

34321

24321

14321

4321

Introducând variabilele auxiliare x1a,x2

a,x3a rezultă:

≥=+−+++=+−+++=+−+++

++

0x,x,x,y,y,y,'x,'x,'x,'x

1xy'x2'x2'x'x3

1xy'x3'x'x2'x2

1xy'x'x3'x3'x

)xxxmin(

a

3

a

2

a

13214321

a

334321

a

224321

a

114321

a

3

a

2

a

1

Tabelele simplex pentru prima fază sunt:

VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2a x

1 x1a 1 1 3 3 1 -1 0 0 1 0

1 x2a 1 2 2 1 3 0 -1 0 0 1

1 x3a 1 3 1 2 2 0 0 -1 0 0

z 3 6 6 6 6 -1 -1 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1

VB VVB

x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a

x1a 2/3 0 8/3 7/3 1/3 -1 0 1/3 1 0 -

x2a 1/3 0 4/3 -1/3 5/3 0 -1 2/3 0 1 -

x1’ 1/3 1 1/3 2/3 2/3 0 0 -1/3 0 0 1z 1 0 4 2 2 -1 -1 1 0 0 -

37



VB VV

B

x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a x3a

x1a 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 1 -2 1

x2’ 1/4 0 1 -1/4 5/4 0 -3/4 1/2 0 3/4 -1/2x1’ 1/4 1 0 3/4 1/4 0 1/4 -1/2 0 -1/4 1/2z 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 0 -3 0

V

B

VV

B

x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a x3a

x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -

1/12-

7/125/12

1/12

7/12

-5/12

x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1

Faza a doua este:V

B

VV

B

x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a x3a

x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -

1/12-

7/125/12

1/12

7/12

-5/12

x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 1/2 0 0 0 -1/2 -1/6 -1/6 -1/4 - - -

Soluţia optimă este deci x1’=4

1, x2’=

4

1, x3’=0, x4’=0 iar

min(x1’+x2’+ x3’+x4’)=2

1. Valoarea optimă a jocului

este:2

1

1

=2 iar x1=2⋅4

1=2

1, x2=2⋅

4

1=2

1, x3=0, x4=0.

38



Soluţia duală este dată de: cBB-1=(1,1,1)⋅

−

−−

4

1

4

1

4

112

5

12

7

12

13

1

3

2

3

1

=

6

1

6

1

6

1.

Valoarea optimă a jocului fiind aceeaşi v=2, avem: y1=2⋅

6

1

= 31

, y2=2⋅ 61

= 31

, y3=2⋅ 61

= 31

. Din cele obţinute,rezultă că primul jucător va alege strategia a1 cu

probabilitatea2

1, a doua strategie cu aceeaşi

probabilitate, nealegând niciodată una din strategiile a3

sau a4. Al doilea jucător va alege oricare din strategiile b1,

b2 sau b3 probabilităţile fiind aceleaşi şi anume3

1.

3. Jocuri statisticeNoţiuni teoretice

Jocurile statistice constau în situaţiile conflictualeîn care jucătorul nu mai are informaţii despre strategiaadversarului. Fie deci cei doi jucători α şi β . Vom notacu A={a1,a2,...,am} şi B={ b1,...,bn} mulţimea strategiilor

pure ale acestora şi f(a,b) pierderea realizată de α dacă elva adopta acţiunea a∈A iar jucătorul β acţiunea b∈B.Cum jucătorul α nu are informaţii despre acţiunile luiβ , singurul lucru pe care-l poate face este ca dinexperienţă el să deducă informaţii despre frecvenţele cucare β poate lua o decizie sau alta. Este evident că dacăastfel de informaţii lipsesc el va considera ca egal probabile toate deciziile lui β .

39



Fie acum x=(x1,...,xm)∈R m astfel încât xi este probabilitatea cu care este utilizată de către α strategia ai,

i=1,...,m şi analog y=(y1,...,yn)∈R n unde y j este probabilitatea cu care este utilizată strategia b j, j=1,...,n decătre β .

Considerând, de asemenea matricea: C=(cij),cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n a plăţilor se poate determina pierderea medie (Pm) pe care o realizează α atunci cândia decizia ai, i=1,...,m cu probabilitatea xi iar β ia decizia

b j, j=1,...,n cu probabilitatea y j. Avem deci:Pm= ∑∑

= =

m

1i

n

1 j jiij yxc

Strategia optimă va fi aceea pentru care avemmin(Pm) numită strategie Bayes.

Să considerăm acum situaţia în care jucătorul αdoreşte informaţii suplimentare despre β făcând o

experienţă. Fie E={e1,...,e p} rezultatele experienţei.Considerând probabilitatea de a obţine rezultatul ei atuncicând jucătorul β a ales strategia b j ca fiind:

pij=p(ei b j)unde p(ei b j) este probabilitatea condiţionată avem deci:

1pp

1iij =∑

= ∀ j=1,...,n

Vom numi (E,B,(pij)i=1,,,.p, j=1,...,m) spaţiul deeşantionaj. Acesta se pune de regulă în evidenţă subforma unui tabel:

pij EB e1 e2 ... ep

b1 p11 p21 ... p p1

b2 p12 p22 ... p p2

... ... ... ... ...40



bn p1n p2n ... p pn

După ce jucătorul α a obţinut ca rezultat al

experienţei pe ei el este pus în situaţia de a lua o decizie.Pentru a stabili un model matematic, vom considera cămodul de a lua o decizie este apriori stabilit. Fie deci:

d:E→{1,...,m}, ei→d(ei)=k ∀i=1,...,pfuncţia de decizie care asociază rezultatului experienţeiei numărul de ordine al strategiei ak a lui A.

Fie acum strategia b j aleasă de β şi funcţia de

decizie d. Avem variabila aleatoare:X j=

pj j2 j1

j)e(d j)e(d j)e(d

p...pp

c...ccp21

Numim funcţie de risc pierderea medie calculată pentru o strategie b j aleasă de β şi o funcţie de decizie dadică valoarea medie a variabilei aleatoare X j.

Avem:

P(b j,d)=∑=

p

1iij j)e(d pc

i

În practică, jucătorul α poate alege diversefuncţii de decizie dintr-o mulţime D={d1,...,ds} cu probabilităţile Z={z1,...,zs}. Numim atunci riscul mediumedia tuturor funcţiilor de risc atunci când d parcurgemulţimea D cu probabilităţile Z. Avem deci:

P(b j,D)= ∑ ∑∑= = =

=s

1k

s

1k

p

1isij j)e(dss j zpcz)d,b(P

is

Principiul minimax pentru alegerea strategieioptime va consta în determinarea funcţiei de decizie dinD pentru care avem:

)d,b(Pmaxmin jn,...,1 jDd =∈

41



Se numeşte risc separat riscul mediu atunci când b j parcurge mulţimea B. Avem deci:

P(B,d)= ∑=

n

1 j j j y)d,b(P

Riscul minimal (riscul Bayes) este dat de: P(B)=)d,B(Pmin

Dd∈ .

Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2} respectiv B={ b1,b2}. Matricea plăţilor este:

C=

46

51

Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primului respectiv celui de-al doilea jucător să sedetermine strategia Bayes pentru obţinerea pierderii mediiminime a primului jucător.

Soluţie Avem Pm=x1y1+5x1y2+6x2y1+4x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:

Pm=-6x1y1+x1+2y1+4Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvămsistemul caracteristic:

=∂∂

=∂

∂

0y

P

0x

P

1

m

1

m

Obţinem:

=+−=+−

02x6

01y6

1

1

42



de unde x1=3

1, x2=

3

2, y1=

6

1, y2=

6

5. Pierderea medie

minimă va fi deci Pm(31 ,61 )=

313 .

2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2} respectiv B={ b1,b2}. Matricea plăţilor este:

C=

61

12

Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primului respectiv celui de-al doilea jucător să sedetermine strategia Bayes pentru obţinerea pierderii mediiminime a primului jucător.Soluţie Avem Pm=2x1y1+x1y2+x2y1+6x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:

Pm=6x1y1-5x1-5y1+6

Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvămsistemul caracteristic:

=∂∂

=∂∂

0y

P

0x

P

1

m

1

m

Obţinem:

=−=−

05x6

05y6

1

1

de unde x1=6

5, x2=

6

1, y1=

6

5, y2=

6

1. Pierderea medie

minimă va fi deci Pm(6

5,6

5)=6

11.

43



4. Criterii pentru alegerea deciziilor optime însituaţii de incertitudine

Noţiuni teoreticeÎn situaţia în care nu există informaţii asuprastrategiilor lui β se pot aplica diferite criterii pentrualegerea deciziei optime. Problema principală este căaceste criterii nu conduc la aceeaşi soluţie. Din acestmotiv, în practică se aplică mai multe astfel de criterii,soluţiile obţinute conducând la o alegere subiectivă din partea lui α .A. Criteriul lui Hurwicz (optimismului )

Definim optimismul jucătorului α ca fiind un

număr ω∈[ 0,1]. Notăm, de asemenea, ci= ijn,...,1 jcmin

=şi

Ci= ijn,...,1 jcmax

= . Strategia optimă va fi aceea pentru care

avem:[ ]ii

m,...,1i

c)1(Cmax ω−+ω=

B. Criteriul lui Savage (regretelor )Definim regretul jucătorului α ca fiind:

bij= kjm,...,1kcmax

= -cij

acesta exprimând diferenţa între câştigul pe care-lrealizează α în condiţiile în care ia o decizie fără a aveainformaţii despre β şi câştigul pe care l-ar fi realizat α

dacă ar fi avut informaţii complete despre β .Jocul astfel obţinut se rezolvă prin metoda

maximin dacă este echilibrat, în caz contrar, alegându-seo strategie mixtă pentru x în scopul determinării decizieioptime.C. Criteriul Bayes-Laplace

44



În această situaţie, se aleg probabilităţile

acţiunilor lui β ca fiind egale cun

1. Jucătorul α va

alege strategia ai pentru care are loc:

∑==

n

1 jij

m,...,1ic

n

1max

D. Criteriul lui Wald (

pesimismului )În acest caz, dacă jocul este echilibrat, acesta se

rezolvă cu metoda minimax, în caz contrar determinându-

se strategia optimă mixtă x pentru care se obţine:

∑

==

m

1iiij

n,...,1 jxcmax .

Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale căruimulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

4951

4062

84135121

Să se determine strategia optimă folosind:1) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6;2) criteriul lui Savage;

3) criteriul Bayes-Laplace.45



Soluţie 1) Construim următorul tabel: b1 b2 b3 b4 ci=

ijn,...,1 j cmin=

Ci=

ijn,...,1 j cmax=

0,6Ci+0,4ci

a1 1 2 1 5 1 5 3,4a2 3 1 4 8 1 8 5,2a3 2 6 0 4 0 6 3,6a4 1 5 9 4 1 9 5,8

Maximul cantităţilor din ultima coloană este 5,8 decistrategia a4 va fi cea optimă.

2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pefiecare coloană a matricei câştigurilor. Avem:

b1 b2 b3 b4

a1 1 2 1 5a2 3 1 4 8a3 2 6 0 4a4 1 5 9 4

max 3 6 9 8Construim matricea regretelor cu elementele bij=

kjm,...,1kcmax

= -cij:

b1 b2 b3 b4 maxa1 2 4 8 3 8a2 0 5 5 0 5a3 1 0 9 4 9

a4 2 1 0 4 4min 0 0 0 0 0/4Jocul fiind neechilibrat, strategia optimă a primului jucător va fi a4.3) Construim următorul tabel:

46



b1 b2 b3 b4 ∑=

n

1 jijc

4

1

a1 1 2 1 5 9/4a2 3 1 4 8 4a3 2 6 0 4 3a4 1 5 9 4 19/4

Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a4 rezultă că ea va fi cea optimă.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui

mulţimi de strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4} respectiv B={ b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

73510

12514

101123

9352

Să se determine strategia optimă folosind:4) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,8;5) criteriul lui Savage;6) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:

b1 b2 b3 b4 ci=

ijn,...,1 jcmin

=

Ci=

ijn,...,1 jcmax

=

0,8Ci+0,2ci

a1 2 5 3 9 2 9 7,6a2 3 2 11 10 2 11 9,2a3 4 1 5 12 1 12 9,8a4 10 5 3 7 3 10 8,6

Maximul cantităţilor din ultima coloană este 9,8 decistrategia a3 va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe

fiecare coloană a matricei câştigurilor. Avem:47



b1 b2 b3 b4

a1 2 5 3 9

a2 3 2 11 10a3 4 1 5 12a4 10 5 3 7

max 10 5 11 12Construim matricea regretelor cu elementele bij=

kjm,...,1kcmax

= -cij:

b1 b2 b3 b4 mina1 8 0 8 3 0a2 7 3 0 2 0a3 6 4 6 0 0

a4 0 0 8 5 0max 8 4 8 5 4/0Jocul nefiind echilibrat vom aplica criteriul Bayes-Laplace pentru determinarea deciziei optime. Avem deci:

b1 b2 b3 b4 ∑=

n

1 jijc

4

1

a1 8 0 8 3 19/4

a2 7 3 0 2 3a3 6 4 6 0 4a4 0 0 8 5 13/4

Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a1 rezultă că ea va fi cea optimă.3)Construim următorul tabel:

48



b1 b2 b3 b4 ∑=

n

1 jijc

4

1

a1 2 5 3 9 19/4a2 3 2 11 10 13/2a3 4 1 5 12 11/2a4 10 5 3 7 25/4

Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a2 rezultă că ea va fi cea optimă.5. Alegerea deciziilor optime în situaţii de

certitudineNoţiuni teoreticeÎn unele situaţii practice există o multitudine de

informaţii referitoare la acţiunile care trebuie desfăşurateînsă pentru fiecare variantă de acţune există o multitudinede posibilităţi. Problema care se pune este de a găsi o cale prin care să putem discerne între diversele variante posibile.

În acest sens, o metodă clasică este metoda Electre.

Fie deci un număr n de variante de acţiuneV1,V2,...,Vn pentru un decident. Să considerăm, deasemenea, un număr de m criterii C1,C2,...,Cm care au câteun coeficient de importanţă (de regulă stabilit în mod

subiectiv) k 1,k 2,...,k m. Pentru fiecare pereche (Vi,C j)

stabilim o valoare numerică vij (dacă este o aprecierecalitativă de genul: slab, bun, foarte bun etc. o convertimîn numere de ierarhie). Problema constă în determinareavariantei optime de acţiune.

Pentru exemplificarea metodei, fie următoarea:

Problemă

49



Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs. Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de

proces tehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii seconsideră profitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului defabricaţie (C3). Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0,medie cu 1 şi bună cu 2. Tabelul obţinut este:

CriteriuVariantă

C1 C2 C3

V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58

Vom acorda celor trei criterii câte un coeficient deimportanţă astfel: k 1=0,4 , k 2=0,4 şi k 3=0,2.Pasul 1 Se stabileşte, mai întâi natura metodei (de

maximizare sau de minimizare). Se adaugă două linii sub

tabel pe care se calculează minimul şi maximulelementelor de pe fiecare coloană C j.Pasul 2 Se determină utilităţile Uij corespunzătoare perechilor (Vi,C j) astfel:♦ pentru problema de maximizare: Uij=

kjn,...,1k

kjn,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−

−;

♦ pentru problema de minimizare: Uij=

kjn,...,1k

kjn,...,1k

ijkjn,...,1k

vminvmax

vvmax

==

=

−

−.

şi se construieşte tabelul respectiv.Pentru problema noastră avem (maximizare):

Criteriu C1 C2 C3

50



VariantăV1 1000 0 50

V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58

min 500 0 50max 1000 2 60

Tabelul utilităţilor este:Criteriu

Variantă

C1

(k 1=0,4)

C2

(k 2=0,4)

C3

(k 3=0,2)V1 1 0 0V2 0,6 0,5 0,6V3 0,2 1 1V4 0,4 0,5 0,4V5 0 1 0,8

Pasul 3 Se calculează indicatorii de concordanţă astfel:

c(Vi,V j)=

∑

∑

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k jpip

Pasul 4 Se calculează indicatorii de discordanţă astfel:

d(Vi,V j)= )0,UU(maxip jp

m,...,1p−

=

51



Vom trece indicatorii de concordanţă în stânga, iar cei de discordanţă în dreapta fiecărei celule a unui tabel

care va avea pe linii şi coloane variantele Vi.Avem, în cazul problemei noastre:Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţă

V1 V2 V3 V4 V5

V1 1 0 0,4 0,6 0,4 1 0,4 0,5 0,4 1V2 0,6 0,4 1 0 0,4 0,5 1 0 0,4 0,5V3 0,6 0,8 0,6 0,4 1 0 0,6 0,2 1 0V4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,4 0,6 1 0 0,4 0,5V5 0,6 1 0,6 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 1 0

Pasul 5 Se stabilesc două valori p şi q (cu semnificaţie de

probabilităţi complementare) astfel încât p,q∈(0,1) şi p+q=1 care să măsoare limitele admise de concordanţă şicele de discordanţă. Vom spune astfel că o variantă V i

surclasează o variantă V j dacă:

≤

≥q)V,V(d

p)V,V(c

ji

ji

Construim matricea G=(gij)∈M n(R ) astfel: gij=1dacă Vi surclasează pe V j şi 0 în caz contrar. Deasemenea, vom considera gii=1 ∀i=1,...,n deoarecec(Vi,Vi)=1 şi d(Vi,Vi)=0 satisfac întotdeauna condiţiile demai sus.

Dacă există o linie a matricei cu toate elementeleegale cu 1 rezultă că varianta respectivă surclasează toatecelelalte variante deci va fi cea aleasă. Dacă nu există oastfel de linie micşorăm valoarea lui p ( şi evident creştem

valoarea lui q) până când obţinem condiţia cerută.În cazul analizat, avem pentru p=0,4 şi q=0,6:

52



G=

11110

11111

11110

11111

01011

deci oricare din variantele V2 şi V4 este foarte bună.Aplicaţii1. Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de proces

tehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii seconsideră profitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului defabricaţie (C3). Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0,medie cu 1, bună cu 2 şi foarte bună cu 3. Tabelul obţinuteste:

CriteriuVariantă

C1 C2 C3

V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70

Coeficienţii de importanţă ai celor trei criteriisunt: k 1=0,4, k 2=0,4 şi k 3=0,2. Să se decidă variantaoptimă de acţiune.

Soluţie

Calculăm mai întâi: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−

−

( problema fiind evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariantă

C1 C2 C3

53



V1 700 1 80V2 200 3 100

V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70

min 100 1 20max 700 3 100

Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariantă

C1

(k 1=0,4)C2

(k 2=0,4)C3

(k 3=0,2)V1 1 0 0,8

V2 0,17 1 1V3 0,33 0,5 0,1V4 0,5 0 0V5 0 1 0,6

Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=

∑

∑

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k

jpip

şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=

)0,UU(max ip jpm,...,1p

−= .

Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5

V1 1 0 0,4 1 0,6 0,5 1 0 0,6 1

54



V2 0,6 0,83 1 0 0,6 0,2 0,6 0,3 1 0V3 0,4 0,67 0,4 0,9 1 0 0,6 0,2 0,4 0,5

V4 0,4 0,75 0,4 1 0,4 0,5 1 0 0,4 1V5 0,4 1 0,4 0,4 0,6 0,3 0,6 0,5 1 0

Fie acum p=0,16 şi q=0,84. Avem:

G=

11110

01101

11101

11111

01101

deci varianta V2 este cea optimă.2. Într-o întreprindere se organizează un concurs pentruocuparea postului de manager. La acest concurs se prezintă cinci candidaţi P1, P2, P3, P4, P5. Pentru selecţiaacestora se consideră drept criterii: competenţa profesională (C1), capacitatea de conducere (C2) şi

referinţele anterioare (C3). Vom aprecia numeric calităţileslabă cu 0, medie cu 1, bună cu 2 şi foarte bună cu 3.Tabelul obţinut este:

CriteriuVariantă

C1 C2 C3

P1 2 2 3P2 3 1 2P3 1 3 2

P4 3 2 1P5 3 1 2

Coeficienţii de importanţă ai celor trei criteriisunt: k 1=0,4, k 2=0,4 şi k 3=0,2. Să se decidă variantaoptimă de acţiune.

55



Soluţie

Calculăm mai întâi: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−

−

( problema fiind evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariantă

C1 C2 C3

P1 2 2 3P2 3 1 2

P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2

min 1 1 1max 3 3 3

Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariantă

C1

(k 1=0,4)C2

(k 2=0,5)C3

(k 3=0,1)P1 0,5 0,5 1P2 1 0 0,5P3 0 1 0,5P4 1 0,5 0P5 1 0 0,5

Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=

∑

∑

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k

jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=

)0,UU(max ip jpm,...,1p

−= .

Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţă

V1 V2 V3 V4 V5

56



V1 1 0 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5V2 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0

V3 0,4 0,5 0,6 1 1 0 0,6 1 0,6 1V4 0,8 1 0,8 0,5 0,4 0,5 1 0 0,8 0,5V5 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0

Fie acum p=0,5 şi q=0,5. Avem:

G=

1101011010

00100

11010

11111

deci varianta P1 este cea optimă.6. Teste recapitulative1. Compartimentul de vânzări de la firma X, în urma unuistudiu de piaţă, elaborează cinci strategii de vânzare,notate V1, V2, V3, V4 şi V5 , ce se află în strânsă

dependenţă de patru stări ale condiţiilor obiective, notateS1, S2, S3 şi S4. Veniturile(în miliarde lei) ce se estimează a se realiza în cadrulfiecărei strategii sunt:

StrategiaStările

V1 V2 V3 V4 V5

S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16

S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11

Aplicând criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6, săse determine ierarhizarea (de la cea mai bună la cea mai

proastă ) strategiilor de vânzare.Soluţie

Strategia V1 V2 V3 V4 V5

57



StărileS1 10 15 12 11 16

S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11

max 12 15 14 13 16min 9 8 10 9 11

max⋅ ω +min⋅ (1-ω )

10,8 12,2 12,4 11,4 14,0

Ierarhia strategiilor de vânzare este: V5, V3, V2,V4, V1.2. O firmă producătoare de autoturisme studiază posibilitatea de reorientare a capacităţii sale de producţie prin introducerea unor modele noi. Pentru acest lucru,sunt analizate patru proiecte ale unor noi modele deautoturisme: A, B, C şi D. Primirea pe piaţă a acestora poate fi: favorabilă, obişnuită sau de respingere parţială.

În acest caz, nivelul previzionat al producţiei anuale(bucăţi), va fi:

ModelulStarea

A B C D

favorabilă 10000 12000 15000 12000obişnuită 8000 9000 12000 10000respingere parţială

3000 6000 2000 4000

58



Aplicând regula minimizării regretelor, să sedetermine ierarhia modelelor de autoturisme (de la cel

mai bun la cel mai slab).SoluţieModelul

StareaA B C D

favorabilă 10000 12000 15000 12000obişnuită 8000 9000 12000 10000respingere parţ

ială3000 6000 2000 4000

max 10000 12000 15000 12000Matricea regretelor este:

ModelulStarea

A B C D

favorabilă 0 0 0 0obişnuită 2000 3000 3000 2000respingere

parţială

7000 6000 13000 8000

max 7000 6000 13000 8000Pentru a obţine ierarhizarea cerută, vom determinamaximele fiecărei coloane şi ordinea va fi dată de nivelulcrescător al regretului. Altfel spus, varianta preferată va ficea cu regretul cel mai mic, iar ultima cea cu regretul celmai mare. Avem deci: B, A, D, C.

3. Compartimentul de marketing al unei firme analizează posibilitatea asimilării în fabricaţie a unui număr de cincitipuri de calculatoare C1, C2, C3, C4 şi C5. În funcţie denumărul de calculatoare vândute, profitul (milioane lei)este următorul:

Planul vânzărilor Tipul decalculator

300 buc. 500 buc. 700 buc.

59



C1 1500 3000 7000C2 3000 6000 8000

C3 2000 4000 6000C4 1000 2000 4000C5 500 1000 2000

Aplicând criteriul Bayes-Laplace, să se determinevarianta optimă de calculator aleasă de către conducereafirmei.

SoluţiePlanulTipul

300 buc. 500 buc. 700 buc. mediaaritmetică

C1 1500 3000 7000 3833C2 3000 6000 8000 5666C3 2000 4000 6000 4000

C4 1000 2000 4000 2333C5 500 1000 2000 1166

Cea mai mare valoare este cea corespunzătoarecalculatorului C2.4. În cadrul unei firme, un grup decizional alcătuit din trei persoane P, P2 şi P3 este chemat să analizeze mai multe proiecte ce sunt caracterizate prin trei criterii de

apreciere: C1 - volumul vânzărilor, C2 – costurile totale şiC3 – rata profitului. Decidenţii au stabilit următoareleniveluri de importanţă acestor criterii de apreciere:

DecidentulCriteriul

P1 P2 P3

C1 1 1 2C2 3 2 1C3 2 3 3

60



Care este ierarhizarea criteriilor de apreciere lanivelul grupului de decizie?

Observaţie Nivelurile de importanţă acordate criteriilor deapreciere reprezintă, în acest caz, nişte “note” acordateacestora, în sensul că acel criteriu cu “nota” cea mai mareeste cel mai important pentru decident ş.a.m.d.

Pe baza acestor niveluri de importanţă, secalculează coeficienţii de importanţă, astfel: k i=

∑∑∑

= =

=3

1 j

3

1k jk

3

1 jij

N

Nunde Nij reprezintă nivelul de importanţă al

criteriului Ci pentru decidentul P j. Ordinea descrescătoarea acestora furnizează ierarhizarea cerută.Soluţie

Avem: k 1= 184

332123211211 =++++++++ ++ =0,22;

k 2=18

6

332123211

123=

++++++++++

=0,33;

k 3=18

8

332123211

332=

++++++++++

=0,44.

Ierarhizarea este: C3, C2, C1.5. În acţiunea de dezvoltare a capacităţii de producţie aunei firme de materiale de construcţii sunt luaţi în calcultrei indicatori: I1: costul investiţiei (miliarde lei), I2:volumul producţiei anuale (tone) şi I3: termenul derecuperare a investiţiei (luni). În cadrul acestei acţiunisunt luate în calcul mai multe direcţii de dezvoltare: D1,D2, D3 şi D4. Acestea sunt caracterizate prin următoareleconsecinţe economice şi niveluri de importanţă ale

indicatorilor menţionaţi:61



IndicatorulDirecţia

I1 I2 I3

D1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15

Nivelul de importanţă alindicatorului de apreciere

1 3 2

Aplicând metoda utilităţii globale, care este

ordinea de preferinţă a celor patru direcţii de dezvoltare?ObservaţieÎn situaţia în care în analiza unei probleme apar

mai multe criterii de apreciere (aici indicatori) asupraunor viitoare acţiuni sau decizii se pune problemaarmonizării acestora. Pentru a înlătura semnificaţiile lor diferite s-a introdus noţiunea de utilitate (Von Neumann

& Morgenstern). Astfel, pentru un set de valori (a1,

a2,...,an) se determină utilitatea cantităţii ai ca fiind Ui=

n,...,1 j

j

n,...,1 j

j

n,...,1 j

ji

aminamax

amina

==

=

−

−

. În acest caz, cantităţii celei mai mici

din setul de valori considerat îi va corespunde o utilitatenulă, iar cantităţii maxime una unitară. În cazul problemeide mai sus, se vor determina utilităţile pentru fiecare

coloană în parte. Nivelurile de importanţă acordate indicatorilor

generează coeficienţii de importanţă a acestora,

calculându-se astfel: k j= ∑=

3

1kk

j

N

N

unde N j reprezintă

nivelul de importanţă al indicatorului I j. În final, se

62



calculează utilitatea globală UG a fiecărei direcţii D i prin

formula: UGi=∑=3

1 j ij j

Ukunde Uij reprezintă utilitatea

indicatorului j corespunzător direcţiei i. După aceea, seordonează descrescător utilităţile UGi obţinândierarhizarea cerută.Soluţie Calculăm mai întâi maximele şi minimele fiecăreicoloane:

Indicatoru

lDirecţ

ia

I1 I2 I3

D1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15

max 20 2200 20min 10 1000 12

max-min 10 1200 8Tabelul utilităţilor şi al coeficienţilor de

importanţă este următorul:Indicatorul

DirecţiaI1 I2 I3

D1 0 0 0D2 0,5 0,17 0,17

D3 1 1 1D4 0,2 0,33 0,25

Coeficientul deimportanţă

0,17 0,5 0,33

• UG1=0,17⋅ 0+0,5⋅ 0+0,33⋅ 0=0;• UG2=0,17⋅ 0,5+0,5⋅ 0,17+0,33⋅ 0,17=0,226;• UG3=0,17⋅ 1+0,5⋅ 1+0,33⋅ 1=1,000;

63



• UG4=0,17⋅ 0,2+0,5⋅ 0,33+0,33⋅ 0,25=0,282.Ierarhia este deci: D3, D4, D2, D1.

6. În cadrul procesului de retehnologizare a unei firme se pune problema achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2,I3 şi I4. În analiza oportunităţii de achiziţie a unuia saualtuia intră doi factori: fiabilitatea ce are o pondere de60% în decizie şi mentenabilitatea cu o pondere de 40%.Fiabilitatea este la rândul ei caracterizată prin douăcriterii: C1: media timpului de bună funcţionare (ore) şiC2: rata căderilor (%), iar mentenabilitatea prin C3:accesibilitatea (%), C4: asigurarea pieselor de schimb (%)şi C5: activitatea de service (%).

FactoriiUtilajele

p1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7

I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10

Folosind metoda speranţei matematice să sestabilească ordinea de preferinţă a achiziţionării utilajelor.a) I4, I2, I1, I3; b) I2, I4, I1, I3;c) I1, I2, I4, I3;d) I1, I2, I3, I4;e) I4, I1, I2, I3.Observaţie Metoda speranţei matematice constă încalcularea utilităţilor fiecărui criteriu şi apoi calculareanivelului de importanţă al fiecărui utilaj pe baza formulei

NIi=∑=

5

1 jij j

Up unde jp reprezintă ponderea

64



(probabilitatea) criteriului C j. În final, se ordoneazădescrescător după valorile lui NIi.

Soluţie Calculăm, mai întâi, utilităţile:Factorii

Utilajele p1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10

max 3200 14 92 98 10min 2500 8 84 90 7

max-min 700 6 8 8 3Tabelul utilităţilor:

FactoriiUtilajele

p1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 0,71 0,33 0,75 0,75 0,33I2 0 0,67 0,38 1 0I3 0,29 0 0 0,25 0,67I4 1 1 1 0 1

• NI1=0,6⋅ 0,71+0,6⋅ 0,33+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,33=0,368;• NI2=0,6⋅ 0+0,6⋅ 0,67+0,4⋅ 0,38+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0=0,705;• NI3=0,6⋅ 0,29+0,6⋅ 0+0,4⋅ 0+0,4⋅ 0,25+0,4⋅ 0,67=0,3

64;• NI4=0,6⋅ 1+0,6⋅ 1+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0+0,4⋅ 1=2,000.Ierarhia este: I4, I2, I1, I3.

65



7. În cadrul acţiunii de retehnologizare a unuicompartiment al unei întreprinderi se pune problema

achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2 şi I3. Analizaoportunităţii de achiziţie a unuia sau altuia ţine seama de patru factori: C1: media timpului de bună funcţionare(ore), C2: accesibilitatea (%), C3: asigurarea pieselor deschimb (%) şi C4: activitatea de service (%):

CriteriulUtilajul

C1 C2 C3 C4

I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10

În cadrul întreprinderii, hotărârea de achiziţionareeste luată de un grup decizional format din două persoaneD1 şi D2. Acestea atribuie fiecărui criteriu următoareleniveluri de importanţă:

Criteriul

Decidentul

C1 C2 C3 C4

D1 1 2 3 4D2 2 1 4 3

Folosind metoda calculului majorităţii ca şicompunere de utilităţi individuale, rezultă că ierarhizareaachiziţionării utilajelor este:a) I1, I3, I2; b) I2, I1, I3;c) I2, I3, I1;d) I3, I1, I2;e) I1, I2, I3.Observaţie

Metoda calculului majorităţii ca şi compunere deutilităţi individuale constă în determinarea utilităţii

66



globale pe baza formulei: UGij= ∑=

4

1s jsiskU unde Uis

reprezintă utilitatea corespunzătoare utilajului i şicriteriului s, iar k js reprezintă coeficientul de importanţăcorespunzător decidentului j şi criteriului s. Dacă vomnota cu A matricea corespunzătoare elementelor utilităţilor primului tabel, cu B cea a elementelor coeficienţilor de importanţă ai celui de-al doilea tabel şicu UG matricea corespunzătoare utilităţilor globale,

avem: UG=A⋅ Bt

(Bt

=transpusa matricei B). În final,suma elementelor liniilor matricei UG reprezintă sumautilităţilor globale după fiecare decident. Ordonânddescrescător aceste valori se obţine ierarhizarea cerută.Soluţie

Calculul utilităţilor este:Criteriul

UtilajulC1 C2 C3 C4

I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10

max 2100 98 92 12min 1800 94 86 8

max-min 300 4 6 4

CriteriulUtilajul C1 C2 C3 C4

I1 0,33 1 0 0I2 0 0 0,33 1I3 1 0,5 0 0,5

Calculul coeficienţilor de importanţă:Criteriul

Decidentul

C1 C2 C3 C4

67



D1 0,1 0,2 0,3 0,4D2 0,2 0,1 0,4 0,3

Avem:

UG=

⋅

3,04,0

4,03,0

1,02,0

2,01,0

5,005,01

133,000

00133,0

=

17,025,0

43,050,0

76,053,0

Avem acum:• I1: 0,53+0,76=1,29;• I2: 0,50+0,43=0,93;• I3: 0,25+0,17=0,42.Ierarhia cerută este: I1, I2, I3.

TEORIA GRAFURILOR

1. GeneralităţiNoţiuni teoretice1. Definiţii Se numeşte graf o mulţime X de elemente

numite noduri ( puncte) împreună cu o aplicaţiea:X→ P (X). O pereche (x,y) unde x∈X iar y∈a(x) senumeşte arc. Dacă vom considera perechi de elemente(x,y) vom numi graful ca fiind orientat în caz contrar prin considerarea mulţimilor de forma {x,y} (numite

muchii ) obţinând noţiunea de graf neorientat. Vom notaun graf G=(X,a). Două noduri se numesc adiacente dacăexistă un arc ( sau o muchie la grafuri neorientate) care le

68



uneşte. Două arce ( sau muchii ) distincte se numescadiacente dacă au o extremitate comună.

2. Observaţie Un graf neorientat poate fi gândit ca ungraf orientat în care muchiile {x,y} sunt înlocuite de perechi de arce (x,y) şi (y,x).

Vom reprezenta grafurile ca mulţimi de puncte în plan iar arcele prin arce neorientate (orientate) în cazul

grafurilor neorientate (orientate). În figura 1 avem unexemplu de graf neorientat, iar în figura 2 unul orientat.

Fig.1

69

1

2

x

3x

4x

5x

6x

8x

7x



Fig.2Vom nota cu U mulţimea arcelor unui graf

G=(X,a). Vom nota uneori şi G=(X,U). Dacă numărularcelor unui graf este finit (card U<∞) graful se numeştefinit şi infinit în caz contrar. Ne vom ocupa numai de

grafuri orientate finite acestea fiind cele mai întâlnite înaplicaţii economice şi vom presupune implicit căX={x1,...,xn}.

Oricărui graf finit i se poate asocia o matricenumită matricea asociată grafului definită astfel:A=(aij)unde:

aij=

∉

∈

)x(axdaca0

);x(axdaca1

i j

i j

3. ExempluPentru graful din figura 2, avem următoarea

matrice:

70

1

2x

3x

4x

5x

6x

8x

7x



A=

10000000

00100000

10000100

00000100

0000001000101000

00010001

00000000

4. Definiţie Fie un graf G=(X,a) şi X'⊂X. Definindaplicaţia a':X'→ P (X'), a'(x)=a(x)∩X' ∀x∈X' perecheaG'=(X',a') se numeşte subgraf al lui G.5. Observaţie Un subgraf se obţine deci dintr-un graf prin considerarea numai a nodurilor din X’ şi a arcelor care se sprijină pe puncte din X’.6. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi mulţimeaX’={x1,x2,x3,x4,x5,x8} obţinem subgraful din figura 3.

Fig.37. Definiţie Fie un graf G=(X,a). Definind o aplicaţiea':X→ P (X) astfel încât a'(x)⊂ a(x) ∀x∈X perechea

71

1

2x

3x

4x

5x

8x



G'=(X,a') se numeşte graf parţial al lui G. Un graf parţialal unui subgraf se numeşte subgraf parţial.

8. Observaţie Un graf parţial se obţine dintr-un graf prineliminarea unui număr oarecare de arce.9. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi eliminândarcele (x6,x3), (x8,x8), (x4,x2) obţinem graful parţial dinfigura 4.

Fig.410. Definiţie Fie un graf G=(X,U) şi o partiţieX=X1∪...∪Xn (Xi∩X j=∅, i,j=1,...,n) a lui X. NotândX={X1,...,Xn} şi U ={(Xi,X j)∃xi∈ Xi, x j∈X j astfel încât(xi,x j)∈U } perechea (X,U ) se numeşte graf redus al lui

G.11. Observaţie Graful redus reprezintă o grupare anodurilor în submulţimi ale mulţimii iniţiale de noduri,arcele fiind submulţimea arcelor iniţiale care fac legăturaîntre noile noduri.

72

1

2x

3x

4x

5x

6x

8x

7x



12. Exemplu Considerând graful din figura 2 şi partiţiaX=X1∪ X2∪X3 unde X1={x1,x3,x4}, X2={x2,x5},

X3={x6,x7,x8} avem în figura 5 modul de obţinere agrafului redus iar în figura 6 graful propriu-zis.

Fig.5

Fig.6

73

1x

2x

3x

4x

3

X

2X

1X

5x

6x

8x

7x

3

2X

1X



Considerând un graf G=(X,U) şi o submulţimeY⊂X vom nota ω +(Y)={(x,y)∈Ux∈Y, y∉Y} şi ω -

(Y)={(x,y)∈Ux∉Y, y∈Y}. Altfel spus, ω +(Y) estemulţimea arcelor ce ies din Y iar ω -(Y) este mulţimeaarcelor ce intră în Y. Dacă Y={x}, x∈X vom nota simpluω +(x)=ω +({x}) şi analog ω -(x)=ω -({x}). Un punct x∈X pentru care ω -(x)=∅ (deci în x nu intră nici-un arc) senumeşte punct iniţial al grafului. Un punct x∈X pentrucare ω +(x)=∅ (deci din x nu iese nici-un arc) se numeşte

punct terminal al grafului. Numărul d+(x)=card ω +(x)se numeşte semigrad exterior al lui x (deci numărul

arcelor ce pleacă din punctul x) iar număruld-(x)=card ω -(x) se numeşte semigrad interior al lui x(numărul arcelor ce intră în x). Considerând matricea

asociată grafului avem evident d+(xi)= ∑=

n

1 jija şi d-(x j)=

∑=

n

1iija . Prin urmare, suma elementelor unei linii

reprezintă semigradul exterior al elementului respectiv iar suma elementelor unei coloane reprezintă semigradulinterior al elementului considerat.

Vom numi de asemenea densitatea grafului ca

fiind ρ = ∑=

+n

1i i)x(d

= ∑=

−n

1i i)x(d

(numărul total al arcelor unui graf sau altfel suma tuturor elementelor

matricei asociate grafului).13. Definiţie Considerând un graf orientat cu arcele u j, j=1,...,m definim matricea de incidenţă a grafului astfel:B=(bij) unde:

74



bij=

ω∪ω∉ω∩ω∈ ω−ω∈−

ωω∈

−+

−+

+−

−+

)x()x(udaca0

);x()x(udaca0

);x()x(udaca1

);x(-)x(udaca1

ii j

ii j

ii j

ii j

14. Exemplu Pentru exemplul considerat în figura 2, fieu1=(x2,x1), u2=(x4,x2), u3=(x2,x5), u4=(x5,x3), u5=(x3,x4),u6=(x3,x6), u7=(x6,x3), u8=(x7,x6), u9=(x6,x8), u10=(x8,x8).Avem deci:

B=

−

−−−

−−−

−−

0100000000

0010000000

0111100000

0000001100

0000010010

0001111000

0000000111

0000000001

15. Definiţii Fiind dat un graf orientat (neorientat)G=(X,U) se numeşte drum (lanţ) un şir de arce (muchii)(u1,...,uk ) cu proprietatea că extremitatea unuia coincidecu originea următorului. Dacă în particular extremitatealui uk coincide cu originea lui u1 vom numi drumul(lanţul) circuit (ciclu). Un drum ce trece prin fiecare nod

cel mult o dată se numeşte drum elementar. Un drum cefoloseşte o singură dată un arc se numeşte drum simpluîn caz contrar numindu-se drum compus. Se numeştelungime a unui drum numărul arcelor ce îl compun. Uncircuit de lungime 1 se numeşte buclă. Vom numidistanţă între două noduri minimul lungimii drumurilor ce le unesc dacă acestea există, în caz contrar considerând

75



distanţa infinită. Distanţa de la un nod la el însuşi (chiar

dacă există o buclă în acest nod ) este prin definiţie nulă.

Considerând un graf (G,U) se poate definimatricea distanţelor ca având elementele dij=d(xi,x j). Fiesuma distanţelor de la un nod xi la celelalte noduri: Di=

∑=

n

1 jijd şi D= i

n,...,1iDmin

= . Un nod xk pentru care Dk =D se

numeşte centru al grafului.16. Exemplu Pentru graful din figura 2, arcele (x2,x5),

(x5,x3), (x3,x6) constituie un drum de la x2 la x6. Arcele(x2,x5), (x5,x3), (x3,x4), (x4,x2) constituie un circuit careeste şi drum elementar. Circuitul (x2,x5), (x5,x3), (x3,x6),(x6,x3), (x3,x4), (x4,x2) nu este elementar deoarece trece prin x3 de mai multe ori, dar este drum simplu deoarecefoloseşte fiecare arc o singură dată. Arcul (x8,x8) este o buclă.17. Exemplu Pentru graful din figura 2, avem matricea

distanţelor:

D=

00000000

20153245

10042134

30202134

50420212

20131023

40313201

00000000

Sumele distanţelor de la nodurile xi la celelalte nodurisunt:

76



=

=======

0D

22D

15D

15D

16D

12D

14D

0D

8

7

6

5

4

3

2

1

Avem D= i8,...,1iDmin

= =0. Nodurile x1 şi x8 sunt centre ale

grafului.18. Definiţii Un graf se numeşte complet dacă oricedouă noduri distincte au cel puţin un arc între ele. Ungraf se numeşte simetric dacă (x,y)∈U⇒(y,x)∈U. Ungraf se numeşte conex dacă orice două noduri pot fi unite

printr-un lanţ şi se numeşte tare conex dacă ele pot fiunite printr-un drum. Pentru un nod x∈X vom numicomponenta conexă a lui x mulţimea tuturor nodurilor ce pot fi unite printr-un lanţ cu x.19. Observaţii1) Un graf este complet dacă matricea asociată grafului

are toate elementele egale cu 1 eventual mai puţin celede pe diagonala principală.2) Un graf este simetric dacă matricea asociată grafului

este simetrică.3) Un graf este conex dacă matricea distanţelor pentru

muchii are toate elementele nenule, mai puţin cele de pe diagonala principală.

77



4) Un graf este tare conex dacă matricea distanţelor pentru arce are toate elementele nenule, mai puţin cele

de pe diagonala principală.20. Exemplu Fie graful din figura 2. Acesta nu estecomplet deoarece între nodurile x1 şi x4 nu există nici-unarc. Graful nu este simetric deoarece (x2,x1)∈U dar (x1,x2)∉U. Din matricea distanţelor, rezultă că graful nueste tare conex deoarece x1 nu poate fi unit cu un drum dex2. Considerând matricea distanţelor pentru muchii, seobservă imediat că graful este conex. Dacă în grafulconsiderat eliminăm arcele (x3,x6) şi (x6,x3) rezultă căgraful nu mai este conex iar componentele conexe sunt{x1,x2,x3,x4,x5} şi {x6,x7,x8}.21. Definiţie Numim arbore un graf finit, neorientat

G=(X,U) cu cel puţin două noduri care este conex şi nuare cicluri ( fig.7 ).

Fig.7

78

1

2x

3x

4x

8x

9x 1 0

x 1 1x1

x

1 3x

1 4x

5x

6x

7x



22. Propoziţie Fie un graf G=(X,U) cu card X≥ 2.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

i) G este arbore;ii) card X=n, card U=n-1 iar graful nu are cicluri;iii) Graful G nu are cicluri dar prin adăugarea unei

muchii între orice două puncte neadiacente se creazăun ciclu unic;

iv)Graful G este conex dar prin eliminarea unei muchiioarecare ale sale el devine neconex;

v) Între oricare două puncte ale lui G există un lanţ unic.Dacă A este matricea asociată grafului se arată că

în matricea A p=(a(p)ij), p≥ 1, elementul a(p)

ij semnificănumărul drumurilor de lungime p ce unesc pe xi cu x j.

Aplicaţii1. Fie graful din figura 8.

Fig.81) Să se determine matricea asociată grafului;

79

1

2x

3

x

4x

5x

6x

8x

7x



2) Să se determine subgraful corespunzător mulţimii denoduri X’={x1,x2,x3,x4};

3) Să se determine graful redus corespunzător partiţiei:X1={x1,x2, x3,x4,x5}, X2={x6,x7,x8};

4) Să se determine punctele iniţiale şi punctele terminaleale grafului;

5) Să se determine semigradul exterior al lui x2 şisemigradul interior al lui x3;

6) Să se determine densitatea grafului;7) Să se determine matricea de incidenţă a grafului.Soluţie 1) Avem:

A=

00000000

00100000

10000000

00000100

00100110

00000000

00010101

00001000

.

2) Graful din figura 9 este subgraful căutat. 3) Grafulredus este prezentat înfigura 10. 4) Din matricea asociată grafului, coloanelecare au numai zerouri furnizează punctele iniţiale alegrafului iar liniile care au numai zerouri furnizează punctele terminale ale grafului. Avem deci: x7 – punctiniţial al grafului iar x3 şi x8 sunt puncte terminale aleacestuia. 5) Avem d+(x2)=card ω +(x2)=3 (reprezentând

suma elementelor liniei lui x2 din matricea asociată

grafului) ş i d-(x3)=card ω -(x3)=3 (reprezentând sumaelementelor coloanei lui x3 din matricea asociată

80



grafului). 6) Avem ρ = ∑=

+8

1ii )x(d =10. 7) Matricea de

incidenţă a grafului pentru arcele u1=(x2,x1), u2=(x1,x4),u3=(x4,x2), u4=(x4,x3), u5=(x2,x3), u6=(x5,x3), u7=(x2,x5),u8=(x4,x6), u9=(x7,x6), u10=(x6,x8) este:

B=

−

−−−

−

−−−−

−

1000000000

0100000000

1110000000

00011000000010001110

0000111000

0001010101

0000000011

Fig.9

Fig.10

2. Fie graful din figura 11.81

1

2X

1

2x

3x

4x



1) Să se determine matricea distanţelor;2) Să se determine centrele grafului dacă acestea există.

Fig.11

Soluţie 1) Avem: D=

00100

1011200000

12101

21220

.

2) Suma distanţelor de la un nod x i la celelalte noduri

este: Di=∑=

5

1 jijd , i=1,...,5. Avem deci:

82

1

2x

3x

4x

5x



=====

1D

5D

0D

5D

7D

5

4

3

2

1

de unde D= i5,...,1iDmin

= =0. Prin urmare nodul x3 este un

centru al grafului.

3. Fie graful din figura 12. x5

x2

x1 x8

x3 x6

x4 x7

Fig.12Să se scrie matricea asociată grafului şi să se

determine densitatea acestuia.Soluţie Matricea asociată este:

83



A=

00100000

10001000

01011000

10000000

0000000100110000

00010100

00000110

Densitatea grafului este reprezentată de suma elementelor matricei A deci ρ =14.

2. Drumuri de lungime minimă într-un graf Noţiuni teoretice

Fiind dat un graf cu nodurile X={x1,...,xn} şi arceleU={u1,...,um} se pune problema determinării drumurilor delungime minimă, în sensul distanţei efective şi nu al celeide mai sus, între două noduri fixate.

Problema aceasta poate fi soluţionată cu ajutorulalgoritmului Bellman-Kalaba. Pentru aceasta vomrenumerota eventual nodurile astfel încât drumul delungime minimă să fie căutat pentru x1 şi xn. Etapele deaplicare a algoritmului sunt următoarele:• Se construieşte matricea distanţelor efective D1=(dij),

dij=d(xi,x j), i,j=1,...,n unde d(xi,x j) este lungimea

arcului ce uneşte pe xi cu x j dacă acesta există,d(xi,x j)=∞ dacă între xi şi x j nu există arc şi d(xi,xi)=0.• Notăm apoi cu λ i

(1) minimul lungimilor drumurilor dela xi la xn formate cu un singur arc. Evident acestea segăsesc pe ultima coloană a matricei.

• Notăm recurent la pasul p cu λ i(p) minimul lungimilor

drumurilor de la xi la xn formate cu cel mult p arce.

Avem λ i

(p)

=min (dik +λ k

(p-1)

) (minimul fiind luat 84



pentru k=1,...,n). Dacă nu va exista un drum între xi şixn cu cel mult p arce vom obţine λ i

(p)=∞. Pentru

aceasta, construim matricea D p obţinută din adunareala fiecare linie a matricei D1 a vectorului λ i

(p-1).Vectorul λ i

(p) se obţine din matricea D p considerândminimul elementelor de pe linia i a acesteia.

• Se continuă procesul până se obţine λ i(p)=λ i

(p-

1),i=1,...,n.Algoritmul determină în final lungimile minime

ale drumurilor de la toate nodurile xi la xn. Lungimeaminimă va fi λ i(p). Dezavantajul acestei metode este că

indică destul de dificil drumul efectiv de lungimeminimă.1. Observaţie Semnificaţia matricelor Di esteurmătoarea: elementul a jk reprezintă minimul lungimiidrumurilor de la xk la x9 trecând prin xk şi având vel mult“i” arce.

2. Observaţie Pentru determinarea drumului efectiv secaută în ultima matrice Dm pe linia nodului de plecarevaloarea distanţei minime. Aceasta se va găsi atât pediagonala principală, cât şi în dreptul coloanei unui altnod xk . În matricea Dm-1 se caută pe linia lui xk elementulegal cu cel aflat la intersecţia diagonalei principale culinia lui xk . Determinarea unui alt element x p conduce laurmătoru pas înapoi ş.a.m.d. Determinarea se încheieatunci când ajungem la nodul final.3. Observaţie Dacă se doreşte determinarea drumurilor de lungime minimă către alt nod terminal, atunci la pasul pentru determinarea lui λ i

(1) se consideră coloanarespectivului nod.Aplicaţii

85



1. Să se determine drumurile de lungime minimă dintre punctele x1 şi x9 pentru graful din figura 13.

Fig.13Fie matricea distanţelor directe:

D1=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

09

010

20

02

01

10

20

8640

5430

Vom construi acum din aproape în aproape untabel cu valorile succesive λ i

(p).Avem astfel:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

λ i (1

)∞ 8 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ 0

λ i (2 11 8 3 1 ∞ ∞ ∞ ∞ 0

86

1x 2x

4x

3x

6x

9x

5x

7x

8x

3 4

2

1

81

2 6

9

45

2

1 0



)

λ i (3

)

11 7 3 1 12 ∞ ∞ ∞ 0

λ i (4

)

10 7 3 1 12 14 ∞ ∞ 0

λ i (5

)

10 7 3 1 11 14 ∞ 24 0

λ i (6

)

10 7 3 1 11 13 26 24 0

λ i (7

) 10 7 3 1 11 13 26 23 0

λ i (8

)

10 7 3 1 11 13 25 23 0

λ i (9

)

10 7 3 1 11 13 25 23 0

unde matricele consecutive sunt:

87



D2=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

0

11

3

88

11

, D3=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

0

12

11

33

878

1111

,

88



D4=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

0

14

1212

11

33

877

1011

, D5=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

023

24

1414

1211

11

33

82077

181010

, D6=

89



∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

023

2424

26

1413

1111

11

33

82077

181010

, D7=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

022

24232626

1313

1111

11

33

81977

31171010

,

90



D8=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

022

2323

2526

1313

1111

11

33

81977

31171010

, D9=

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

022

23232525

1313

1111

11

33

81977

30171010

Se observă din tabel că ultimele două linii aletabelului sunt identice deci minimul lungimii drumurilor de la x1 la x9 va fi 10. Mai general, avem:

d(x1,x9)=10, d(x2,x9)=7, d(x3,x9)=3, d(x4,x9)=1,

d(x5,x9)=11, d(x6,x9)=13, d(x7,x9)=25, d(x8,x9)=23.Determinarea drumului de la x8 la x9 (de exemplu)se face astfel:

• în matricea D9 pe linia lui x8 avem valoaread(x8,x9)=23. Pentru a putea găsi legăturaanterioară căutăm pe această linie valoarea 23, dar nu pe diagonala principală. Avem astfel elementulde pe coloana lui x6;

91



• în matricea D8 pe linia lui x6 avem pe diagonala principală valoarea 13 care se mai află şi pe

coloana lui x5;• în matricea D7 pe linia lui x5 avem pe diagonala principală valoarea 11 care se mai află şi pecoloana lui x1;

• în matricea D6 pe linia lui x1 avem pe diagonala principală valoarea 10 care se mai află şi pecoloana lui x2;



• în matricea D3 pe linia lui x4 avem pe diagonala principală valoarea 1 care se mai află şi pe

coloana lui x9.În acest moment drumul este determinat: x8, x6, x5,x1, x2, x3, x4, x9.

2. Să se determine drumurile de lungime minimă dintre punctele x1 şi x8 pentru graful din figura 14.

4 x5

2 x2 6

x1

1 5 2 x8

5 2 3

3 x3 x6 4

1 3

x4 1 x7

92



Fig.14Soluţie Fie matricea distanţelor:

D=

∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

03

401

3021

60

03

250

410520

Vom construi acum din aproape în aproape un tabel cuvalorile succesive λ i

(p).Avem astfel:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8λ i

(1

)∞ ∞ ∞ ∞ 6 ∞ 4 0

λ i (2 ) ∞ 10 11 ∞ 6 7 4 0

λ i (3

)

12 10 9 ∞ 6 7 4 0

λ i (4

)

12 10 9 15 6 7 4 0

λ i (5

)

12 10 9 15 6 7 4 0

Minimul lungimii drumurilor de la x1 la x8 va fi 12.

3. Drumuri de lungime maximă într-un graf Noţiuni teoretice

Problema determinării drumurilor de lungimemaximă într-un graf apare în mod uzual la coordonarea proiectelor de mare complexitate. În acestea apar de

93



regulă legături între faze de execuţie, fiecare dintreacestea necesitând un timp de realizare.

Fie deci un graf (X,U) în care X={x0,x1,...,xn} şiU={u1,...,um} în care un arc uk =(xi,x j) între xi şi x j

reprezintă faptul că xi îl precede în realizare pe x j (x0

reprezintă momentul de start al proiectului). Vom asociafiecărui arc o durată tij=t(xi,x j) reprezintând timpulnecesar trecerii de la faza xi la faza x j. Problema concretăcare se pune este de a determina drumurile de lungimemaximă în acest graf deci implicit durata maximă determinare a proiectului.

Problema aceasta poate fi soluţionată cu ajutorulalgoritmului Bellman-Kalaba adaptat pentru drumurilede lungime maximă. Pentru aceasta vom renumerotaeventual nodurile astfel încât drumul de lungime maximăsă fie căutat pentru x0 şi xn.

O altă metodă este cea a drumului critic

(metoda Pert ). Vom prezenta această metodă atât pentrudrumurile de lungime minimă cât şi pentru cele delungime maximă.

Metoda Pert constă în determinarea succesivă adrumurilor de lungime maximă. Astfel, fie T0=0 şi t0=0.Definim prin recurenţă:

T j= )t T(max ijiU)x,x( ji

+∈ , j=1,...,n

unde maximul este luat după arcele care intră în nodul x j.Cantităţile de maximizat reprezintă suma dintre Ti dejacalculaţi şi timpul tij corespunzător arcului (xi,x j).

Fie de asemenea:

t j= )tt(min ijiU)x,x( ji

+∈ , j=1,...,n

unde minimul este luat, de asemenea, după arcele careintră în nodul x j. Cantităţile de minimizat reprezintă suma

94



dintre ti deja calculaţi şi timpul tij corespunzător arcului(xi,x j).

Procedând prin recurenţă, se obţine atât drumulmaxim (minim) cât şi lungimea acestuia.Durata maximă de realizare a proiectului se

numeşte durată critică iar activităţile situate pe drumulcritic (care furnizează durata critică) se numesc activităţicritice.

În legătură cu această metodă trebuie relefatecâteva aspecte. Astfel se pune problema determinăriimomentului maxim la care se poate produce evenimentuli astfel încât acesta să nu modifice durata totală a proiectului. Pentru aceasta fie Mn=Tn. Definim, prin

recurenţă: Mi= )tM(min ij jU)x,x( ji

−∈ . Cantităţile Mi, i=1,...,n

astfel calculate furnizează momentele maxime deamânare.

Intervalele de flotare sunt intervalele [Ti,Mi]adică intervalele de timp în care se poate produceactivitatea xi fără ca să fie perturbată durata totală aacestuia. Intervalele care se reduc la un punct sunt celecorespunzătoare drumului critic. Prin urmare,evenimentele critice trebuie să aibă dată fixă de realizare.

Numim rezerva totală timpul maxim de amânarea unei activităţi (xi,x j) raportat la începutul procesului

astfel încât durata totală a proiectului să nu se modifice.Avem:R t(xi,x j)=M j-Mi-tij

Numim rezerva liberă timpul suplimentar faţă decel preconizat de realizare a unei activităţi (xi,x j) astfelîncât durata totală a proiectului să nu se modifice. Avem:

R l(xi,x j)=T j-Ti-tij

95



Numim rezerva sigură timpul maxim de amânarea unei activităţi a activităţii xi astfel încât chiar dacă x j va

fi întârziat în limitele rezervei libere durata totală a proiectului să nu se modifice. Avem:R s(xi,x j)=T j-Mi-tij

Aplicaţii1. Fie următorul proiect:

Activitatea Activitatea directprecedentă

Durata (zile)

x1 - 2x2 x1 2x3 x1 3x4 x1 2x5 x1 4x6 x2,x3 5x7 x3 1x8 x3,x5 6

x9 x4 2x10 x6,x9 3x11 x7,x8,x10 4

Fie punctul de începere a activităţii x0 şi punctulfinal x11. Se cere:1. Să se traseze reţeaua de activităţi pe arce;2. Să se calculeze termenele minime şi maxime de

producere a evenimentelor reţelei;3. Să se stabilească drumul critic între x0 şi x11 şiactivităţile critice;

4. Să se determine momentele maxime de producere aevenimentelor astfel încât acesta să nu modifice duratatotală a proiectului;

5. Să se determine intervalele de flotare;6. Să se determine rezervele totale, libere şi cele sigure.

96



Soluţie 1) Graful ce reprezintă activităţile prezentate întabel este prezentat în figura 15.

Fig.152) Pentru drumurile de lungime maximă avem:• T0=0;• T1=max(T0+t01)=max(0+2)=2;• T2=max(T1+t12)=max(2+2)=4;• T3=max(T1+t13)=max(2+3)=5;• T4=max(T1+t14)=max(2+2)=4;

• T5=max(T1+t15)=max(2+4)=6;• T6=max(T2+t26,T3+t36)=max(4+5,5+5)=max(9,10)=10;• T7=max(T3+t37)=max(5+1)=6;• T8=max(T3+t38,T5+t58)=max(5+6,6+6)=max(11,12)=1

2;• T9=max(T4+t49)=max(4+2)=6;• T10=max(T9+t9,10,T6+t6,10)=max(6+3,10+3)=max(9,13)

=13

97

0

1x

5x

6x

9x

1 0x

7x

1 1x

8x

3x

4x

2x

2

2

2 3

4

2

3 3

55

1

66

44

4



• T11=max(T7+t7,11,T8+t8,11,T10+t10,11)=max(6+4,12+4,13+4)=max(10, 16,17)=17.

Analog vom proceda pentru drumurile de lungimeminimă:• t0=0;• t1=min(t0+t01)=min(0+2)=2;• t2=min(t1+t12)=min(2+2)=4;• t3=min(t1+t13)=min(2+3)=5;• t4=min(t1+t14)=min(2+2)=4;• t5=min(t1+t15)=min(2+4)=6;• t6=min(t2+t26,t3+t36)=min(4+5,5+5)=min(9,10)=9;• t7=min(t3+t37)=min(5+1)=6;• t8=min(t3+t38,t5+t58)=min(5+6,6+6)=min(11,12)=11;• t9=min(t4+t49)=min(4+2)=6;• t10=min(t9+t9,10,t6+t6,10)=min(6+3,9+3)=min(9,12)=12;• t11=min(t7+t7,11,t8+t8,11,t10+t10,11)=min(6+4,11+4,12+4)=

min(10,15, 16)=10.

3) Drumul critic între x0 şi x11 se obţine astfel:• Durata critică T11 este 17 şi este obţinută din T10+t10,11

deci ultimul arc este (x10,x11);• T10 este obţinută din T6+t6,10 deci arcul anterior este

(x6,x10);• T6 este obţinută din T3+t36 deci arcul anterior este



(x0,x1).Prin urmare drumul critic este: (x0,x1), (x1,x3),

(x3,x6), (x6,x10), (x10,x11).Activităţile critice sunt deci: x1, x3, x6, x10 şi x11.

4) Avem:

• M11=17;98



• M10=min(M11-t10,11)=17-4=13;• M9=min(M10-t9,10)=13-3=10;

• M8=min(M11-t8,11)=17-4=13;• M7=min(M11-t7,11)=17-4=13;• M6=min(M10-t6,10)=13-3=10;• M5=min(M8-t58)=13-6=7;• M4=min(M9-t49)=10-2=8;• M3=min(M6-t36,M7-t37,M8-t38)=min(10-5,13-1,13-

6)=min(5,12,7)=5;• M2=min(M6-t26)=10-5=5;• M1=min(M2-t12,M3-t13,M4-t14,M5-t15)=min(5-2,5-3,8-

2,7-4)=min(3,2, 6,3)=2;• M0=min(M1-t01)=2-2=0.5) Din 2) şi 4) obţinem intervalele de flotare date înurmătorul tabel:

Activitatea Intervalul deflotare

x1 [2,2]x2 [4,5]x3 [5,5]x4 [4,8]x5 [6,7]x6 [10,10]x7 [6,13]

x8 [12,13]x9 [6,10]x10 [13,13]x11 [17,17]

Se observă că intervalele care se reduc la un punctsunt cele corespunzătoare drumului critic. Prin urmareevenimentele critice trebuie să aibă dată fixă de realizare.

99



6) Pentru rezerva totală avem:• R t(x0,x1)=M1-M0-t01=2-0-2=0;

• R t(x1,x2)=M2-M1-t12=5-2-2=1;• R t(x1,x3)=M3-M1-t13=5-2-3=0;• R t(x1,x4)=M4-M1-t14=8-2-2=4;• R t(x1,x5)=M5-M1-t15=7-2-4=1;• R t(x2,x6)=M6-M2-t26=10-5-5=0;• R t(x3,x6)=M6-M3-t36=10-5-5=0;• R t(x3,x7)=M7-M3-t37=13-5-1=7;• R t(x3,x8)=M8-M3-t38=13-5-6=2;• R t(x4,x9)=M9-M4-t49=10-8-2=0;• R t(x5,x8)=M8-M5-t58=13-7-6=0;• R t(x6,x10)=M10-M6-t6,10=13-10-3=0;• R t(x7,x11)=M11-M7-t7,11=17-13-4=0;• R t(x8,x11)=M11-M8-t8,11=17-13-4=0;• R t(x9,x10)=M10-M9-t9,10=13-10-3=0;• R t(x10,x11)=M11-M10-t10,11=17-13-4=0.

Pentru rezerva liberă avem:• R l(x0,x1)=T1-T0-t01=2-0-2=0;• R l(x1,x2)=T2-T1-t12=4-2-2=0;• R l(x1,x3)=T3-T1-t13=5-2-3=0;• R l(x1,x4)=T4-T1-t14=4-2-2=0;• R l(x1,x5)=T5-T1-t15=6-2-4=0;• R l(x2,x6)=T6-T2-t26=10-4-5=1;• R l(x3,x6)=T6-T3-t36=10-5-5=0;• R l(x3,x7)=T7-T3-t37=6-5-1=0;• R l(x3,x8)=T8-T3-t38=12-5-6=1;• R l(x4,x9)=T9-T4-t49=6-4-2=0;• R l(x5,x8)=T8-T5-t58=12-6-6=0;• R l(x6,x10)=T10-T6-t6,10=13-10-3=0;• R l(x7,x11)=T11-T7-t7,11=17-6-4=7;• R l(x8,x11)=T11-T8-t8,11=17-12-4=1;

100



• R l(x9,x10)=T10-T9-t9,10=13-6-3=4;• R l(x10,x11)=T11-T10-t10,11=17-13-4=0.

Pentru rezerva sigură avem:• R s(x0,x1)=T1-M0-t01=2-0-2=0;• R s(x1,x2)=T2-M1-t12=4-2-2=0;• R s(x1,x3)=T3-M1-t13=5-2-3=0;• R s(x1,x4)=T4-M1-t14=4-2-2=0;• R s(x1,x5)=T5-M1-t15=6-2-4=0;• R s(x2,x6)=T6-M2-t26=10-5-5=0;• R s(x3,x6)=T6-M3-t36=10-5-5=0;• R s(x3,x7)=T7-M3-t37=6-5-1=0;• R s(x3,x8)=T8-M3-t38=12-5-6=1;• R s(x4,x9)=T9-M4-t49=6-8-2=-4;• R s(x5,x8)=T8-M5-t58=12-7-6=-1;

• R s(x6,x10)=T10-M6-t6,10=13-10-3=0;• R s(x7,x11)=T11-M7-t7,11=17-13-4=0;• R s(x8,x11)=T11-M8-t8,11=17-13-4=0;• R s(x9,x10)=T10-M9-t9,10=13-10-3=0;• R s(x10,x11)=T11-M10-t10,11=17-13-4=0.

TEORIA STOCURILOR.

TEORIA AŞTEPTĂRII

1. Teoria stocurilor

101



I. IntroducereTeoria stocurilor este de o importanţă aparte în

cadrul proceselor economice. Un stoc reprezintă orezervă de produse economice ce este destinată vânzăriicătre terţi sau utilizării acesteia în cadrul proceselor de prelucrare industrială. Stocurile pot fi de mărfuri, dematerii prime, de piese de schimb etc. Este evident căstocurile apar întotdeauna atunci când producţia(achiziţionarea) mărfurilor, materiilor prime etc.depăşeşte livrarea (vânzarea) acestora. În generalconstituirea de stocuri poate avea mai multe cauze.Stocurile pot fi constituite pentru asigurarea continuităţii producţiei sau, de exemplu, a desfacerii continue demărfuri într-un magazin ceea ce reprezintă un aspect pozitiv al acestora (dacă sunt evident în limite rezonabile)sau se pot constitui din cauza unei proaste politicimanageriale a firmei. Oricum, trebuie remarcat că

stocurile, în general, atât timp cât nu intră în circuit rămânneproductive. Este evident că pentru elaborarea unui planoptim de creare a stocurilor trebuie analizaţi mai mulţifactori esenţiali. Primul ar fi cererea de produs într-oanumită perioadă de timp. Al doilea factor este posibilitatea de aprovizionare cu produsul în cauză într-un anumit interval de timp. Este evident că o producţie prea mare va genera stocuri mari. Al treilea factor este

capacitatea de stocare a firmei respective şi costurile destocare. Dacă, în general, ultimul factor este cunoscut cu precizie el depinzând de spaţiile proprii sau închiriate alefirmei, ceilalţi doi factori sunt de regulă aleatori.Producţia produsului poate fi influenţată de o serie defactori externi cum ar fi blocaje în circuitele economice,dificultăţi financiare ale furnizorilor etc. De asemenea,cererea de produs poate fi aleatoare dar poate fi

102



determinată prin metode statistice. Stocurile prezintă oserie de avantaje şi dezavantaje. Din punct de vedere al

avantajelor acestea au rolul de a regulariza cererile de produse de pe piaţă prin intermediul unor depozitetampon între cerere şi ofertă. Dezavantajele majore alestocurilor rezidă în faptul că ele presupun cheltuieli destocare adică de depozitare, întreţinere etc. De asemenea,în unele cazuri apar pierderi datorită deprecierii bunurilor stocate.

Problema stocurilor este strâns legată de cea a producţiei în cadrul unei întreprinderi. Astfel, din punctde vedere al producţiei propriu-zise, întreprinderiletrebuie să producă un număr cât mai mare de bunuri, dar pe de altă parte din punctul de vedere al desfaceriiacestora pe piaţă trebuie să se ţină seama de cerereaacesteia.

Este evident că stocurile unei întreprinderii sunt

variabile în timp depinzând în mod esenţial de intrările şide ieşirile acestora.Fie în cele ce urmează c(x) costul de producţie

pentru o cantitate x care intră în stoc. Fie de asemeneacostul de stocaj constituit din totalitatea costurilor apărute în urma întreţinerii, depozitării, deprecierii etc.asupra bunurilor stocate.

De asemenea, într-o analiză economică exhaustivă

trebuie să se ţină seama de costurile de penurie carereprezintă cheltuieli suplimentare datorită onorării unor cereri în regim de urgenţă datorate stocurilor insuficiente. II. Model general de stoc

Să presupunem acum că perioada de analiză astocurilor va fi împărţită în n perioade egale de timp.Vom nota în cele ce urmează:

103



• Ik – mărimea stocului la începutul perioadei k ,1≤ k ≤ n;

• Lk – mărimea stocului în perioada k după intrările demărfuri în stoc din această perioadă;

• Sk – stocul intrat în perioada k;• Ck – cantitatea de bunuri ieşite din stoc în perioada k.

Cum Lk este compus din stocul de la începutul perioadei plus stocul intrat în timpul acesteia rezultă că:

Lk =Ik +Sk ∀1≤ k ≤ nDe asemenea, după ieşirea Ck de bunuri în timpul

perioadei k vom avea la începutul perioadei următoarecantitatea Lk -Ck . Avem deci:

Ik+1=Lk -Ck ∀1≤ k ≤ nSă considerăm acum cererea de bunuri în perioada

k pe care o vom nota cu Bk . Dacă Bk ≤ Lk atunci vom presupune că Bk =Ck .

Condiţia ca Bk ≤ Lk ∀1≤ k ≤ n poate fi luată în

consideraţie în cazul unei cereri de produse determinateanterior dar este practic imposibil de determinat dacăaceasta este aleatoare. În cazul în care Bk ≥ Lk vomintroduce costul de penurie P(Bk -Lk ). Avem de asemeneaîn această situaţie:

Ik+1=max(0,Lk -Bk ) ∀1≤ k ≤ nDacă presupunem acum că perioada de analiză a

stocurilor nu poate fi împărţită în perioade egale de timpvom nota în cele ce urmează:• I(t) – mărimea stocului la momentul de timp t;• S(t) – densitatea bunurilor intrate la momentul t;• C(t) – densitatea bunurilor ieşite din stoc la momentul

t.Avem deci:

104



dt

)t(dI=S(t)-C(t)

sau altfel:

I(t)=I(0)+ ∫ −t

0

dx))x(C)x(S(

unde I(0) reprezintă stocul la momentul de timp iniţialt=0. III. Model de stoc pentru o perioadă unică

Vom consideră în cele ce urmează situaţia în care

bunurile stocate pot fi păstrate pe o durată maximă detimp mai mică decât cea luată în considerare (cazul bunurilor perisabile).

Să considerăm deci H(Lk ) costul stocării uneicantităţi de bunuri Lk , cu E(Lk -Bk ) costul de lichidare astocului la sfârşitul perioadei k şi cu P(Bk -Lk ) costul de penurie care poate apărea în cazul unei cereri excedentareşi deci implica o creştere a costurilor pentru satisfacereaacesteia în regim de urgenţă. Considerând preţul unitar devânzare u a bunului stocat vom obţine deci un beneficiuîn perioada k:

Zk =u(Bk -max(0,Bk -Lk ))-c(Sk )-P(Bk -Lk )-H(Lk )-E(Lk -Bk ) Ne propunem determinarea lui Sk astfel încât să se

obţină maximul beneficiului Zk dacă cererea Bk luată înconsideraţie este în cazul unei cereri de produse

determinată anterior. În situaţia unei cereri aleatoare vomconsidera beneficiul mediu corespunzător lui Zk . Notândacum P (Bk -Lk )=P(Bk -Lk )+ u⋅ max(0,Bk -Lk ) obţinem:

Zk =uBk -c(Sk )-P (Bk -Lk )-H(Lk )-E(Lk -Bk )Cum primul termen nu-l conţine pe Sk problema

se reduce la determinarea minimului funcţiei:Pk (Sk ,Ik )=c(Sk )+P (Bk -Lk )+H(Lk )+E(Lk -Bk )

care reprezintă pierderea totală.

105



IV. Modelul Wilson-WhitinNoţiuni teoretice

Vom presupune că livrările de produs au locconstant şi uniform la momente de timp echidistante.Vom mai presupune de asemenea că toate comenzile suntfăcute la momente de timp echidistante şi având acelaşivolum al cererii.

Să notăm cu c costul constant de comandă (cost

specific comenzii şi nu cantităţii comandate), cu h costulde stocare pe unitate de produs (constând din cheltuieli

de depozitare, întreţinere, perisabilităţi etc.) considerat proporţional cu nivelul maxim al stocului şi cu u costulunitar de achiziţie. Fie C comanda totală într-o perioadăde timp T şi x volumul unei comenzi. Avem deci că

numărul comenzilor în timpul T este n=x

C. Timpul scurs

între două comenzi succesive va fi t=n

T=C

Tx. Costul de

stocare va fi deci2

hxT. Costul total al comenzilor

efectuate în timpul T va fi suma dintre costul total de

achiziţie şi costurile de comandă deci: uC+cn=uC+x

cC.

Costul total va fi în final suma dintre costul comenzilor şicel al cheltuielilor de stocare. Avem deci:

C(x)=2

hTx

x

cCuC ++

Problema se reduce la determinarea punctului deminim al funcţiei x→C(x). Calculând derivata C’(x) şianulând-o, obţinem:

hT

cC2x0

2

hT

x

cC)x('C o2

=⇒=+−=

106



numită formula lui Wilson. Obţinem, de asemenea:

c2

hTC

x

Cn

0o

==şi hC

cT2

C

Tx

t

0

o ==Aplicaţii1. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 10.000 de bucăţi. Costul unitar destocaj este 10 lei pe zi. Costul constant de comandă estede 10.000 lei. Să se stabilească timpul optim între douăcomenzi succesive şi volumul unei comenzi.

Soluţie Din formula lui Wilson avem:5,873

1000010

365100002to ==

⋅⋅⋅

= şi

23436510

10000100002xo =

⋅⋅⋅

= .

2. Într-o unitate economică cererea lunară pentru unanumit produs este de 1.000 de bucăţi. Costul unitar de

stocaj este 20 lei pe zi. Costul constant de comandă estede 10.000 lei. Să se stabilească timpul optim între douăcomenzi succesive şi volumul unei comenzi.Soluţie Din formula lui Wilson avem:

5,5100020

30100002to =

⋅⋅⋅

= şi 183020

1000100002xo =

⋅⋅⋅= .

3. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 4.500 de bucăţi. Costul unitar de

stocaj este 1.000 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 10.000 lei. Să se determine volumul unei comenzi.Soluţie Din formula lui Wilson avem:

87121000

4500100002xo =

⋅⋅⋅

= .

V. Model cu cost de penurieNoţiuni teoretice

107



În ipotezele din secţiunea anterioară, vom presupune că în cazul neonorării cererilor de produse din

cauza stocurilor insuficiente apare un cost de penurie p peunitatea de timp.Să considerăm că în perioada de timp [0,T] apare

o întrerupere în stoc până la un moment de timp t.Vom împărţi acum intervalul de timp [0,t] (în care

apare situaţia de penurie) în două părţi: [0,t’] în carenivelul stocului este pozitiv şi [t’,t”] în care acesta devine

negativ. Fie de asemenea x’ maximul stocului înintervalul [0,t’] şi x” maximul cererii în [t’,t]. Pentru ca lamomentul de timp t să obţinem din nou nivelul stoculuix’ va trebui să fie produse x=x’+x” unităţi de produs.

Avem deci: t’=x

'tx, t-t’=

x

t)'xx( −. Costul de stocare în

perioada [0,T] va fi deci de:

x2

'hTx

t2

' Tt

'hx

2

=Costul de penurie în intervalul [0,T] va fi de:

x2

)'xx(pT

t2

)'tt( T)'xx(p

2−=

−−

unde p este costul de penurie pe unitatea de produs.Costul total al comenzilor efectuate în intervalul

de timp [0,T] va fi de:

xcCuC+

Prin urmare, costul total în intervalul de timp [0,T] va fide:

x2

)'xx(pT

x2

'hTx

x

cC)'x,x(C

22 −++=

108



unde neglijăm costul constant al comenzilor uC. Pentruobţinerea punctului de minim rezolvăm sistemul

caracteristic:

=−

−=∂

∂

=−

+−−=∂

∂

0x

)'xx(pT

x

'hTx

'x

)'x,x(C

0x2

)'xx(pT

x2

'hTx

x

cC

x

)'x,x(C2

22

2

2

2

de unde:

=+−=+−0' Tx)ph(pTx

cC2' Tx)ph(pTx 22

în final, obţinând:

+=

+

=

+=+

=

p

h1

hx

cT2t

ph1

1

hT

cC2'x

p

h1

hT

cC2

phT

)ph(cC2x

Aplicaţii1. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 5.000 de bucăţi. Costul unitar de

stocaj este 1.000 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 10.000 lei iar costul de penurie este de 1.000 lei pe bucată. Să se determine maximul stocului în această perioadă, cantitatea comandată şi timpul optim între douăcomenzi consecutive.Soluţie Avem c=10.000 lei, h=1.000 lei/buc., C=5.000 buc., p=1000 lei/buc., T=365zile.Deoarece: x1=

109



p

h1

1

hT

cC2

+

rezultă x1=1000

1000

1

1

3651000

5000100002

+

⋅⋅⋅

=

12 bucăţi. Avem, de asemenea, x=p

h1

hT

cC2+ =

1000

10001

3651000

5000100002+

⋅⋅⋅

=

23 bucăţi. Timpul optim între două comenzi consecutive

este: t= p

h

1hx

cT2

+ = 1000

1000

1231000

365100002

+⋅⋅⋅

=25zile.2. Într-o unitate economică cererea anuală pentru unanumit produs este de 10.000 de bucăţi. Costul unitar destocaj este 500 lei pe lună. Costul constant de comandăeste de 20.000 lei iar costul de penurie este de 500 lei pe bucată. Să se determine maximul stocului în această

perioadă, cantitatea comandată şi timpul optim între douăcomenzi consecutive.Soluţie Avem c=20.000 lei, h=500 lei/buc., C=10.000 buc., p=500 lei/buc., T=365zile.Deoarece: x1=

p

h1

1

hT

cC2

+ rezultă x1=500

5001

1

365500

10000200002

+⋅

⋅⋅=

33 bucăţi. Cantitatea comandată este :x= ph1

hTcC2 + =

500

5001

365500

10000200002+

⋅⋅⋅

=66 bucăţi. Avem, de

asemenea, t=p

h1

hx

cT2 + =

110



500

5001

66500

365200002+

⋅⋅⋅

=30 zile.

2. Teoria aşteptării

I. IntroducereTeoria aşteptării este una dintre cele mai

interesante în cadrul fenomenelor de optimizare şi derentabilizare ale unei firme.O situaţie de aşteptare presupune mai mulţi

factori. Pe de o parte, avem un flux de clienţi (solicitanţiai unui serviciu). Putem cita astfel clienţii care stau în faţaunei case de marcat într-un magazin alimentar, avioanelecare aşteaptă aterizarea pe o pistă dintr-un aeroport şimulte altele. De asemenea, trebuie luat în consideraretimpul de serviciu (constant sau aleator) care reprezintădurata de servire a unui client. Capacitatea sistemului deaşteptare reprezintă maximul numărului de clienţi care pot fi serviţi simultan. De asemenea, trebuie luată înconsiderare situaţia în care clientul părăseşte sistemuldupă servire sau trece la un alt punct de serviciu până laepuizarea acestora (servire în serie). Un ultim aspect

general care trebuie tratat este cel al ordinii de servire.Astfel, servirea se poate face după regula “primul sosit, primul servit” sau uneori “ultimul venit, primul servit”.Uneori însă, servirea se poate face aleator.

Fie pentru cele ce urmează următoarele notaţii:• λ - numărul mediu de sosiri în unitatea de timp;• µ - durata medie de servire pentru o staţie de servire;• s - numărul staţiilor de servire;

111



• l - numărul staţiilor de servire libere;• n - numărul clienţilor din sistemul de aşteptare;

• ρ =sµλ - intensitatea de trafic (numărul mediu de

clienţi care sosesc în timpul mediu de servire);• Pn(t) - probabilitatea ca la momentul t să existe n

clienţi în sistemul de aşteptare;

• pn= )t(Plim nt ∞→ - probabilitatea ca să existe n clienţi în

sistemul de aşteptare;

• Ms=∑∞

=0nnnp - numărul mediu de clienţi în curs de

servire sau în aşteptare;

• Ma= ∑∞

=−

snnp)sn( =Ms-s+l - numărul mediu de clienţi

în aşteptare;• Tm - timpul mediu de aşteptare în sistem;• Ts - timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de

servire;• V(t) - funcţia de repartiţie a duratelor de timp între

două sosiri consecutive;• S(t) - funcţia de repartiţie a duratelor de timp de

servire;• v(t), s(t) - densităţile de repartiţie ale lui V respectiv S.

II. Model general pentru o singură staţie de serviciuNoţiuni teoretice

Vom considera în cele ce urmează o singură staţiede serviciu (s=1) şi vom presupune că provenienţaclienţilor este dintr-o populaţie infinită. Vom presupune

112



de asemenea că distribuţiile V şi S sunt de tip exponenţialde parametri λ ,µ >0. Avem deci:

v(t)=λ e-λ

t, s(t)=µ e-µ

t ∀t≥ 0Vom presupune acum că în sistemul de aşteptare

sunt n clienţi la momentul t+h, h>0. Fie următoareleevenimente: A=”soseşte un client nou”, B=”un client esteservit”. Avem P(A)=V(h), P(A )=1-V(h), P(B)=S(h),P(B )=1-S(h). În intervalul de timp (t,t+h) avemurmătoarele situaţii:• la momentul t avem în sistem n-1 clienţi şi soseşte un

client nou. Probabilitatea acestui eveniment A∩ B este P(A∩ B )=P(A)P(B )= V(h)(1-S(h));

• la momentul t avem n clienţi în sistem şi nu soseştenici-un client nou. Avem P(A ∩ B )=P(A )P(B)=(1-V(h))(1-S(h));

• la momentul t avem n+1 clienţi în sistem, unul esteservit şi nu soseşte nici-unul. Avem: P(A ∩B)=P(A

)P(B)=(1-V(h))S(h).Prin urmare, probabilitatea ca la momentul t+h să

avem n clienţi în sistemul de aşteptare este:Pn(t+h)=Pn-1(t)V(h)(1-S(h))+Pn(t)(1-V(h))(1-S(h))+Pn+1(t)

(1-V(h))S(h)Avem însă:

λ=

−λ

−=

−=λ==

→

→

λ−

→

λ−

→→→ ∫ ∫

u

1elim

lim

h

elimdte

h

1limdt)t(v

h

1lim

h

)h(Vlim

u

0u

0h

h

0

t

0h

h

0

t

0h

h

00h0h

113



µ=

−µ

−=

−=µ==

→

µ−

→

µ−

→

µ−

→→→ ∫ ∫

u

1elim

h

elim

h

elimdte

h

1limdt)t(s

h

1lim

h

)h(Slim

u

0u

h

0h

h

0

t

0h

h

0

t

0h

h

00h0h

00hlimh

)h(Slim

h

)h(Vlimh

h

)h(S

h

)h(Vlim

h

)h(S)h(Vlim

0h0h0h0h0h=λ µ===

→→→→→

Avem însă:

)t(P)t(P)()t(P

h

)h(S)h(V)h(Slim)t(P

h

)h(S)h(V)h(V)h(Slim)t(P

h

)h(S)h(V)h(Vlim)t(P

h

)t(P)ht(Plim

dt

)t(dP

1nn1n

0h1n

0hn

0h1n

nn

0h

n

+−

→+→

→−→

µ+µ+λ−λ

=−

++−−

+−

=−+

=

Cum 0dt

)t(dPlim n

t=

∞→rezultă că:

λ pn-1-(λ +µ )pn+µ pn+1=0 ∀n≥ 1

Pentru n=0, avem asemănător:-λ p0+µ p1=0

Deoarece 1)t(P0n

n =∑∞

=rezultă că:

1p0n

n =∑∞

=

Avem acum: p1=µλ

p0=ρ p0. De asemenea: λ p0-(λ +µ )p1+µ p2=0 de unde:

p2= 0

2

0010 pp)1(ppp ρ=ρρ++ρ−=µ

µ+λ+

µλ

−

Obţinem prin inducţie că: pn=ρ n p0 ∀n≥ 0. Din condiţia

ca: 1p0n

n=∑

∞

=rezultă:

114



ρ−=ρ= ∑

∞

= 1

1pp1 0

0n0

nde unde: p0=1-ρ . Prin urmare:

pn=ρ n(1-ρ ) ∀n≥ 0

Avem acum Ms=∑∞

=0nnnp =

ρ−ρ

=ρρ−=ρ−ρ ∑∑∞

=

∞

= 1n)1()1(n

0n

n

0n

n,

iar Ma=

∑

∞

=

−sn n

p)sn( =ρ−

ρ

1

2

. Din relaţia Ma=Ms-s+l

rezultă că numărul mediu al staţiilor de serviciuneocupate este l=1-ρ .

De asemenea: Tm=)1(

1

ρ−µ iar Ts =)1( ρ−µ

ρ.

Să considerăm în continuare condiţia suplimentarăca şirul de aşteptare să nu conţină mai mult de m clienţi.

Aceasta se poate rezolva impunând condiţia ca în cazul încare există m clienţi în şirul de aşteptare şi mai soseşteunul, acesta să părăsească şirul fără să mai fie servit.

În acest caz, avem:λ pn-1-(λ +µ )pn+µ pn+1=0 ∀n≥ 1

Pentru n=0, avem asemănător:-λ p0+µ p1=0

Deoarece 1)t(P

m

0nn =∑= rezultă că:

1pm

0nn =∑

=

Avem acum: p1=µλ

p0=ρ p0. De asemenea: λ p0-

(λ +µ )p1+µ p2=0 de unde:

115



p2= 0

2

0010 pp)1(ppp ρ=ρρ++ρ−=µ

µ+λ+

µλ

−

Obţinem prin inducţie că: pn=ρ n p0 ∀n≥ 0. Din condiţia

ca: 1pm

0nn=∑

=rezultă:

ρ−ρ−

=ρ=+

=∑

1

1pp1

1m

0

m

0n0

n de

unde: p0= 1m1

1+ρ−

ρ−. Prin urmare:

pn=ρ n1m1

1+ρ−

ρ− ∀n≥ 0

Avem acum Ms=∑=

m

0nnnp =

∑∑=

+=

+ρ

ρ−ρ−

=ρ−

ρ−ρ

m

0n

n

1m

m

0n1m

n n1

1

1

1n .

Dar ∑=

ρm

0n

nn =ρ +2ρ 2+...+mρ m=(ρ +ρ 2+...+ρ m)+

(ρ 2+...+ρ m)+...+(ρ m-1+ρ m)+ρ m==

ρ−ρ−

ρ+ρ−

ρ−ρ++

ρ−ρ−

ρ+ρ−

ρ−ρ −

−

1

1

1

1...

1

1

1

1 m2

1m1m

2m

( )

2

m

2

2m1m

2

2m1m1m

1mm

1mm2

)1(

)1m(1

)1(

m)1m(

)1(

mm

m1

1

1

1m...

1

1

ρ−+ρ+−

ρ=ρ−

ρ+ρ+−ρ=

ρ−ρ+ρ−ρ−ρ

=

ρ−

ρ−ρ−

ρρ−

=ρ−ρ++ρ+ρρ−

+++++

++

de unde Ms=)1)(1(

m)1m(11m

1mm

+

+

ρ−ρ−ρ+ρ+−

ρ , iar Ma=

∑=

−m

snnp)sn( =

)1)(1(

)1m()m1(m

m1m2

ρ−ρ−ρ−+ρ−

ρ−

.

116



Aplicaţii1. Într-un magazin cu două case de marcat, numărul de

clienţi poate fi arbitrar de mare. Într-o oră, numărulmediu de clienţi care sosesc este de 120, durata medie deservire fiind de 2 minute.1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs de

servire sau în aşteptare;2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare;3) Timpul mediu de aşteptare;4) Timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de servire.

Soluţie Avem λ =60

120=2, µ =2 minute, s=2. Avem că

intensitatea de trafic este

ρ =sµλ

=22

2

⋅ =2

1iar l=1-ρ =

2

1=0,5 staţii de servire

libere.

1) Ms= ρ−ρ1 =

2

112

1

−=1. 2) Avem Ma=Ms-s+l=1-2+

21

=-2

1. 3) Tm=

)1(

1

ρ−µ =

−

2

112

1

=1 minut. 4) Ts=

)1( ρ−µ ρ =

−

2

1122

1

=30 secunde.

2. Într-un magazin cu patru case de marcat, numărul declienţi poate fi arbitrar de mare. Într-o oră, numărulmediu de clienţi care sosesc este de 240, durata medie deservire fiind de 2 minute.

117



1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs deservire sau în aşteptare;

2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare;3) Timpul mediu de aşteptare;4) Timpul mediu de aşteptare pentru o staţie de servire.

Soluţie Avem λ =60

240=4, µ =2 minute, s=4. Avem că

intensitatea de trafic este ρ =sµλ

=42

4

⋅=0,5 iar l=1-

0,5=0,5 staţii de servire libere. 1) Ms= ρ−

ρ1 = 5,01

5,0

− =1.

2) Avem Ma=Ms-s+l=1-4+0,5=-2,5. 3) Tm=)1(

1

ρ−µ =

)5,01(2

1

− =1 minut.

4) Ts= )1( ρ−µρ

=)5,01(2

5,0

− =30 secunde.

3. Într-un magazin cu două case de marcat, numărul declienţi care stau la coadă nu poate fi mai mare de 2. Într-ooră, numărul mediu de clienţi care sosesc este de 240,durata medie de servire fiind de 2 minute.1) Să se determine numărul mediu de clienţi în curs de

servire sau în aşteptare;2) Să se determine numărul mediu de clienţi în aşteptare.

Soluţie Avem λ = 60

240

=4, µ =2 minute, s=2, m=2.

Avem că intensitatea de trafic este ρ =sµλ

=42

4

⋅=0,5 iar

l=1-0,5=0,5 staţii de servire libere.

1) Ms=)1)(1(

m)1m(11m

1mm

+

+

ρ−ρ−ρ+ρ+−

ρ =)5,01(5,0

5,025,0315,0

3

32

−⋅⋅+⋅−

=0,57.

118



2) Avem: Ma=)1)(1(

)1m()m1(m

m1m2

ρ−ρ−ρ−+ρ−

ρ−

=

)5,01(5,0

5,05,05,0

2

22

−⋅+−

=-0,17.

ALOCAREA RESURSELOR UMANE

Problemele de alocare apar de obicei în procesul

repartizării sarcinilor de îndeplinit angajaţilor dintr-o întreprindere.

1. Alocarea optimă a angajaţilor pe lucrări deexecutat

Noţiuni teoreticeFie A1,...,An persoanele care sunt desemnate să

execute lucrările L1,...,Lm. Din cauza calificării diferite afiecărui angajat, acesta poate executa numai anumitelucrări.

Problema constă în repartizarea angajaţilor peactivităţi astfel încât să se poată realiza în total cât maimulte lucrări.

Fie deci f:{A1,...,An}→P {L1,...,Lm}, f(Ai)=

k1 ii L,...,L ∀i=1,...,n funcţia care repartizează

angajatului Ai lucrărilek1ii

L,...,L

pe care acesta estecapabil să le execute. Vom presupune ipoteza

suplimentară că n1i

i )A(f =

={L1,...,Lm} sau altfel spus

totalitatea angajaţilor este capabilă să execute totalitatealucrărilor. În caz contrar, vom considera numai lucrările

Li ce fac parte dinn

1ii )A(f

=.

119



Apar acum trei situaţii:1. Dacă n=m atunci fiecărui angajat îi va fi repartizată în

mod unic o lucrare şi deci problema este rezolvată.2. Dacă n>m atunci vor exista angajaţi care nu vor firepartizaţi la nici-o lucrare.

3. Dacă n<m atunci vor rămâne lucrări descoperite şideci se pune problema alocării fiecărui angajat a uneilucrări astfel încât numărul acestora să fie maxim. Nevom ocupa în continuare de această problemă.

Pentru soluţionarea acestei probleme, săconsiderăm graful orientat a cărui mulţime de noduri esteansamblul angajaţilor şi a lucrărilor adică{A1,...,An,L1,...,Lm} şi ale cărui arce sunt date de funcţia f.Vom avea deci un arc de la Ai la L j dacă angajatul i poateexecuta lucrarea j.

Vom exemplifica acest fenomen pe următorul:Exemplu

Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A6 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L6,L7 a căror posibilitate de execuţie estedată în tabelul nr.1.

Tabelul nr.1Angajat Lucrare posibil de

executat

A1 L1,L3,L7

A2 L1,L2,L4

A3 L2,L4,L6

A4 L1,L4,L7

A5 L4,L5

A6 L5,L6

Graful obţinut este dat în figura 16.

120



Un graf analog celui din figura 16 se numeşte graf simplu sau graf bipartit. Mai general, un graf simplu este

un graf G=(X,U) a cărui mulţime de noduri se partiţionează sub forma X=A∪B astfel încât∀(x,y)∈U⇒x∈A, y∈B.

Fig.16Considerând matricea asociată grafului G=(X,U)

unde X={x1,...,xn} definită astfel: M=(aij) unde: aij=

∉∈U)x,(xdaca0

;U)x,(xdaca1

ji

ji

rezultă că graful este simplu dacă

şi numai dacă după o eventuală renumerotare a nodurilor (echivalentă cu permutarea liniilor şi coloanelor

corespondente) matricea M are structura:

121



M=

n

1i

i

1

in1ii

n11i1

n1ii1

x

...

x

x

...

x

0...00...0

..................

0...00...0

a...a0...0

..................

a...a0...0

x...xx...x

+

+

+

+

Astfel graful din fig.16, are următoarea matrice

asociată: M=

7

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

7L6L5L4L3L2L1L 6A5A4A3A2A1A

L

L

L

L

L

L

L

A

A

A

A

A

A

0000000000000

0000000000000

0000000000000

0000000000000

0000000000000

0000000000000

0000000000000

0110000000000

0011000000000

1001001000000

0101010000000

0001011000000

1000101000000

deci este într-adevăr un graf simplu.Pentru simplificarea lucrurilor se poate considera

submatricea:

122



M'=

i

1

in1ii

n11i1

n1i

x

...

x

a...a

.........

a...a

x...x

+

+

+

.

Pentru graful din fig.16 aceasta devine:

M'=

6

5

4

3

2

1

7L6L5L4L3L2L1L

A

A

A

A

A

A

0110000

0011000

1001001

0101010

0001011

1000101

Fiind dat un graf simplu G=(A∪B,U) vom numi,de asemenea, cuplaj al lui X⊂A pe Y⊂B dacă există o

aplicaţie bijectivă f:X→Y astfel încât (x,f(x))∈U ∀x∈X.Din cauza injectivităţii, rezultă că dacă x≠ y⇒f(x)≠ f(y)deci arcele cuplajului nu sunt adiacente. Arcele unuicuplaj se numesc arce dure, celelalte arce ale grafuluinumindu-se arce fine. Cuplajul cu un număr maxim dearce se numeşte maximal .1. Teoremă ( König-Hall ) Fiind dat un graf simplu

G=(A∪B,U) există un cuplaj de la A la Bdacă şi numai dacă ∀X⊂A rezultăcard{y∈B

(x,y)∈U,x∈X}≥ card X.

Notând δ = AXmax

⊂ (card X-

card{y∈B(x,y)∈U,x∈X})-deficienţa grafului simpluG=(A∪B,U) rezultă, conform teoremei König-Hall căexistă un cuplaj de la A la B dacă şi numai dacă δ ≤ 0.

123



De asemenea, trebuie observat că dacă din fiecarenod al lui A pleacă cel puţin un arc, condiţiile teoremei

König-Hall sunt îndeplinite. Din punct de vederematriceal, teorema König-Hall are soluţie dacă şi numaidacă matricea asociată simplificată M' are cel puţin un 1 pe fiecare linie.

Problema enunţată are soluţie dacă şi numai dacăare loc teoremaKönig-Hall.

Determinarea unui cuplaj se poate face pematricea M' prin metoda colţului de nord-vest (o vomnumi astfel prin analogie cu metoda corespunzătoare problemei de transport din teoria optimizărilor liniare)astfel:Pe prima linie a matricei M' se caută un element egal cu

1. Dacă un astfel de element nu există atunci teoremaKönig-Hall nu este valabilă şi deci problema nu are

soluţie.Dacă am găsit un astfel de element pe linia 1 şi coloana jse taie această linie şi această coloană şi se reia procedeul de la început.

Dacă în final, am obţinut elemente pe toate liniilematricei M' atunci cuplajul este maximal.

În cazul nostru avem elementul de la intersecţialiniei A1 cu coloana L1 egal cu 1 deci arcul (A1,L1) este

dur. După tăierea primei linii şi a primei coloane matriceadevine:

124



M'1=

6

5

4

3

2

7L6L 5L4L 3L2L

A

A

A

A

A

011000

001100

100100

010101

000101

Considerăm acum elementul (A2,L2) care este egalcu 1 şi deci arcul (A2,L2) este dur. Matricea obţinută este:

M'2=

6

5

4

3

7L6L5L 4L3L

A

A

A

A

01100

00110

10010

01010

Următorul element egal cu 1 este (A3,L4) deciacest arc este dur. Avem:

M'3=

6

5

4

7L6L 5L3L

A

A

A

0110

0010

1000

Următorul arc dur este (A4,L7) de unde:

M'4=6

5

6L5L3L

A

A

110

010

Avem acum arcul dur (A5,L5) şi M'5= ( ) 6

6L3L

A10,

iar în final arcul dur (A6,L6) încheie algoritmul.

125



Alocarea angajaţilor pe lucrări este sugerată înfig.17 (cu linii îngroşate).

Considerând acum exemplul din fig.18 şi procedând ca mai sus, obţinem matricea:

126



M'=

6

5

4

3

2

1

7L6L5L4L3L2L1L

A

A

A

A

A

A

0110000

0001000

1001001

0100010

0001011

1000101

.

Fig.17Fig.18

127



şi deci arcele dure: (A1,L1), (A2,L2), (A3,L6), (A4,L4),(A6,L5). Cum lui A5 nu îi este repartizată nici-o lucrare

rezultă că este posibil ca acest cuplaj să nu fie maximal.O altă metodă de determinare a unui cuplaj iniţialconstă în desemnarea arcelor dure pe liniile care au celemai puţine elemente egale cu 1. Este evident că metodaurmăreşte alocarea mai întâi a angajaţilor cel mai puţindiversificaţi, lăsând la urmă pe cei cu pregătire mai vastă.Astfel, în cel de-al doilea exemplu, primul arc dur va fi(A5,L4), apoi (A2,L1), (A4,L7), (A1,L3), (A3,L2) şi (A6,L5).

Cuplajul este deci maximal.Dacă însă nici această metodă nu duce la un

cuplaj maximal, vom proceda la o schimbare arepartizării lucrărilor până când cuplajul va îndeplinicondiţia de maximalitate1.Pasul 1 Fie deci C1 cuplajul obţinut prin metoda colţuluide nord-vest: (A1,L1), (A2,L2), (A3,L6), (A4,L4), (A6,L5).

Pasul 2 Determinăm graful arcelor cuplajului C1 obţinutastfel: nodurile acestuia sunt arcele cuplajului C1, iar întredouă noduri (Ai,L j) şi (Ak ,L p) există un arc dacă există îngraful iniţial arcul (Ai,L p) deci care leagă extremitatea

1 Stancu-Minasian I.M., Studiul problemei de afectarefolosind teoria grafelor , Studii şi cercetări de calculeconomic şi cibernetică economică, 5, 1970

128



iniţială a lui (Ai,L j) de extremitatea terminală a lui(Ak ,L p). Obţinem deci graful din figura 19.

Fig.19Pasul 3 Se determină apoi relativ la mulţimea nodurilor saturate (acele noduri care sunt extremităţi ale arcelor

dure) mulţimile C1+ şi C1- a nodurilor grafului arcelor caresunt extremităţi terminale respectiv iniţiale ale arcelor acestuia ( fig.19).Pasul 4 Există două posibilităţi: dacă între C1+ şi C1- nuexistă nici-un drum atunci cuplajul C1 este maximal şialgoritmul se încheie. Dacă între C1+ şi C1- există un drumatunci se construieşte un lanţ alternat ( succesiune de arce

fine şi dure) cu originea într-unul din nodurile Ai rămasnealocat în cuplajul C1 urmărindu-se determinarea unuicuplaj C2 care să aibă un număr mai mare de arce înraport cu cuplajul anterior. Este evident că dacă C1+∩C1-

≠∅ atunci un astfel de drum există întotdeauna.

În cazul problemei noastre, fie (A2,L2)-(A4,L4)drumul căutat (care aparţine intersecţiei mulţimilor C 1+

şi C 1-). Avem următorul lanţ alternat: (A5,L4), (L4,A4),(A4,L1), (L1,A1), (A1,L7).

Vom considera drept nou cuplaj mulţimeaC2={(A5,L4), (A4,L1), (A1,L7), (A2,L2), (A3,L6), (A6,L5)}obţinută prin considerarea arcelor fine din lanţul alternatşi a arcelor dure rămase din C1.Pasul 5 Procedeul se continuă de la pasul 2 până laobţinerea fie a condiţiei din pasul 4, fie la determinareaunui număr maximal de arce.

În situaţia problemei prezentate, cum numărul dearce este maximal (6), aceasta este complet rezolvată.

Ca o observaţie, trebuie remarcat faptul căalocarea nu este, în general, unică. De asemenea,

algoritmul prezentat mai sus rămâne valabil şi dacă129



numărul angajaţilor este mai mare decât numărullucrărilor de executat.

Aplicaţii1. Fie într-o instituţie un număr de 7 salariaţi care suntdesemnaţi să execute 8 lucrări. Disponibilitateaacestora de a le executa este dată în tabelul nr.2


executatA1 L1,L3,L5,L7

A2 L1,L3,L4,L8

A3 L2,L4,L6

A4 L2,L4,L7,L8

A5 L4,L5,L7

A6 L5,L6,L8

A7 L1,L3,L7,L8

Să se efectueze o distribuire a angajaţilor pe

lucrări astfel încât aceştia să execute un număr cât maimare de sarcini.Soluţie

Graful obţinut este dat în figura 20.Matricea M' asociată grafului este:

130



M'=

7

6

5

4

3

2

1

8L

7L

6L

5L

4L

3L

2L

1L

A

A

A

A

A

A

A

11000101

10110000

01011000

11001010

00101010

10001101

01010101

Fig.20

Pentru determinarea unui cuplaj iniţial vom aplicametoda liniilor cu cele mai puţine elemente de 1.Avem astfel pe linia a treia elementul (A3,L2).

Tăind linia şi coloana corespunzătoare, rezultă:

131



M'1=

7

6

5

4

2

1

8L7L6L5L4L3L1L

A

A

A

A

A

A

1100011

1011000

0101100

1100100

1000111

0101011

Următoarea alocare este (A4,L4) de unde:

M'2=

7

6

5

2

1

8L7L6L5L3L 1L

A

A

A

A

A

110011

101100

010100

100011

010111

Pe a treia linie avem numai două elemente egalecu 1 deci alocarea (A5,L5), matricea redusă devenind:

M'3=

7

6

2

1

8L

7L

6L

3L

1L

A

A

A

A

11011

10100

10011

01011

După alocarea (A6,L6) rezultă:

M'4=

7

2

1

8L7L3L1L

A

A

A

1111

1011

0111

Urmează (A1,L1) şi matricea:

132



M'5=

7

2

8L7L3L

A

A

111

101

De pe prima linie rezultă alocarea (A2,L3) şimatricea:

M'6= ( )7

8L7L

A11

iar în final, avem alocarea (A7,L7).

Alocarea angajaţilor pe lucrări este sugerată înfigura 21(cu linii îngroşate).

133



Fig.21Cuplajul obţinut fiind maximal problema este

încheiată.

2. Fie într-o instituţie un număr de 7 salariaţi care suntdesemnaţi să execute 8 lucrări. Disponibilitateaacestora de a le executa este dată în tabelul nr.3


executatA1 L1,L3,L6

A2 L2,L3,L4,L5

A3 L5,L7

A4 L5,L6,L8

A5 L2,L3

A6 L2,L3

A7 L1,L3,L5

Să se efectueze o distribuire a angajaţilor pelucrări astfel încât aceştia să execute un număr cât mai

mare de sarcini.134



SoluţieGraful obţinut este dat în figura 22. Matricea M'

asociată grafului este:

M'=

7

6

5

4

3

2

1

8L

7L

6L

5L

4L

3L

2L

1L

A

A

A

A

A

A

A

00010101

00000110

00000110

10110000

01010000

00011110

00100101

Fig.22Pentru determinarea unui cuplaj iniţial vom aplica

metoda liniilor cu cele mai puţine elemente de 1.Avem astfel pe cea de-a treia linie elementul

(A3,L5). Tăind linia şi coloana corespunzătoare, rezultă:

135



M'1=

7

6

5

4

2

1

8L7L6L4L3L2L1L

A

A

A

A

A

A

0000101

0000110

0000110

1010000

0001110

0010101

Următoarea alocare este (A4,L6) de unde:

M'2=

7

6

5

2

1

8L7L4L3L2L 1L

A

A

A

A

A

000101

000110

000110

001110

000101

Pe prima linie avem numai două elemente egalecu 1 deci alocarea (A1,L1), matricea redusă devenind:

M'3=

7

6

5

2

8L7L4L3L 2L

A

A

A

A

00010

00011

00011

00111

După alocarea (A7,L3) rezultă:

136



M'4=

6

5

2

8L7L4L2L

A

A

A

0000

0001

0011

Urmează (A5,L2) şi matricea:

M'5=

6

2

8L7L4L

A

A

000

001

De pe prima linie rezultă alocarea (A2,L4) şi

matricea: M'6= ( ) 6

8L7L

A00.Alocarea angajaţilor pe lucrări

este sugerată în figura 23.Cum lui A6 nu îi este alocată nici-o activitate

rezultă că este posibil ca să nu avem maximalitatea

cuplajului obţinut.Fig.23

137



Vom determina deci graful arcelor cuplajuluiC1={(A3,L5), (A4,L6), (A1,L1), (A7,L3), (A5,L2), (A2,L4)}

( figura 24).Cum C1+∩C1-≠∅ rezultă că există un drum între

ele. Vom căuta deci un lanţ alternat care să măreascănumărul de arce dure din graf.

Fie deci lanţul: (A6,L1), (L1,A1), (A1,L3), (L3,A7),(A7,L5), (L5,A3), (A3,L7).Vom considera drept nou cuplaj mulţimea C2={(A6,L1),

(A1,L3), (A7,L5), (A3,L7), (A2,L4), (A4,L6), (A5,L2)}obţinută prin considerarea arcelor fine din lanţul alternatşi a arcelor dure rămase din C1.

Cum numărul de arce este maximal (7), problema

este complet rezolvată.Fig.24

2. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul devedere al minimizării timpului maxim deexecuţie

Noţiuni teoretice

138



Fie A1,...,An persoanele care sunt desemnate săexecute de la un acelaşi moment de timp lucrările

L1,...,Lm. În execuţia lucrării L j angajatul Ai poate cheltuiun fond maxim de timp de tij unităţi (ore, zile etc.).Presupunând că există angajaţi care pot executa maimulte lucrări se pune în mod natural problema repartizăriisarcinilor astfel încât timpul maxim petrecut în execuţiaacestora să fie minim.

Fie deci f:{A1,...,An}→P {L1,...,Lm}, f(Ai)=

k1 ii

L,...,L ∀i=1,...,n funcţia care repartizează

angajatului Ai lucrărilek1 ii

L,...,L pe care acesta estecapabil să le execute şi tij timpul maxim necesar lui Ai

pentru executarea lucrării L j. Dacă Ai nu este capabil de aexecuta lucrarea L j atunci vom considera tij=∞. Vom presupune, de asemenea, ipoteza suplimentară căn

1i

i )A(f

=

={L1,...,Lm} sau altfel spus totalitatea

angajaţilor este capabilă să execute totalitatea lucrărilor.În caz contrar, vom considera numai lucrările Li ce fac

parte dinn

1ii )A(f

=.

În cele ce urmează, vom prezenta un algoritm derezolvare a acestei probleme datorat lui A. Ducamp2.

Fie deci graful simplu G=(A∪B,U) a căruimulţime de noduri este ansamblul angajaţilor A şi alucrărilor B adică {A1,...,An, L1,...,Ln} şi ale cărui arce suntdate de lucrările pe care le pot executa angajaţii (date de

funcţia f ).

2 Ducamp A., Un probleme d'affectation, Cahiers duCentre d'Etudes de Recherche Operationnelle, 1(8),

1966139



Vom exemplifica acest algoritm pe următorul:Exemplu

Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A6 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L6 a căror posibilitate de execuţie este datăîn tabelul nr.4.Tabelul nr.4

Angajat Lucrare posibil deexecutat

A1 L1,L3,L6

A2 L1,L2,L4,L5

A3 L2,L4,L6

A4 L1,L4,L6

A5 L4,L5

A6 L2,L5,L6

Graful obţinut este dat în figura 25.

Fig.25Timpii maximi de execuţie sunt daţi de matricea:

140



T=

6

5

4

3

2

1

6L 5L 4L 3L 2L 1L

A

A

A

A

A

A

4310

65

1127

1272

9861

1025

∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞

∞∞

∞∞∞

Pasul 1 Se determină mai întâi un cuplaj arbitrar C1 al lui

A pe B.În cazul problemei noastre fie acesta C1={(A1,L3),

(A2,L1), (A3,L2), (A4,L4), (A5,L5), (A6,L6)}.Pasul 2 Se determină apoi M1=max {tij(Ai,L j)∈C1} şiarcul (arcele) (Ai,L j) pentru care se obţine această valoaremaximă, numit arc critic.

În exemplul dat, avem

M1=max{t13,t21,t32,t44,t55,t66}=max{2,1,2,12,6,4}=12. Acestmaxim este corespunzător arcului critic (A4,L4).Pasul 3 Se construieşte apoi un nou graf C'1 obţinut dincel iniţial astfel: se consideră arcele dure ale vechiuluigraf în care inversăm sensul acestora, iar din arcele finese consideră (cu orientarea normală ) numai acelea ce autimpii asociaţi strict mai mici decât M1.

În exemplul prezentat, avem figura 26.

141



Fig.26Se observă că am eliminat arcul (A3,L6) al cărui

timp era mai mare sau egal decât 12.Pasul 4 În graful C'1 se încearcă determinarea unui circuitcare să conţină arcul critic (dacă sunt mai multe atunci se

alege unul dintre acestea). Dacă un astfel de circuit nuexistă atunci cuplajul C1 este optim şi algoritmul este

încheiat. Dacă s-a reuşit determinarea circuitului atunci seconsideră noul cuplaj C2 obţinut din C1 la care se adaugăarcele circuitului eliminându-se acelea care sunt parcurseîn ambele sensuri. Se revine apoi la pasul 2 cu circuitulC2.

În situaţia prezentată avem circuitul (L4,A4),(A4,L6), (L6,A6), (A6,L5), (L5,A5), (A5,L4). Considerămdeci cuplajul C2=C1∪{(L4,A4), (A4,L6), (L6,A6), (A6,L5),(L5,A5), (A5,L4)}={(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2), (A4,L4),(A5,L5), (A6,L6)}∪{(L4,A4), (A4,L6), (L6,A6), (A6,L5),(L5,A5), (A5,L4)}= {(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2), (A4,L6),(A6,L5), (A5,L4)}.

142



Avem acum M2=max {t13, t21, t32, t46, t65, t54}=max

{2, 1, 2, 1, 3, 5}=5, arcul critic fiind (A5,L4). Graful C'2obţinut este prezentat în figura 27.

Fig.27Arcul critic fiind (A5,L4) se observă că nu poate

genera nici-un circuit deci cuplajul C2 este optim.

Ca o observaţie finală, trebuie să menţionăm că şiacest algoritm nu ţine seama de raportul dintre numărulmuncitorilor şi cel al lucrărilor de executat.Aplicaţii1. Muncitorii unei firme de construcţii sunt detaşaţi la altobiectiv care necesită o finalizare urgentă. Specializareaacestora pe lucrări este redată în tabelul nr.5Tabelul nr.5

Angajat Lucrare posibil deexecutat

A1 L1,L3

A2 L1,L4,L5

A3 L2,L4

143



A4 L1,L6

A5 L4,L5

A6 L2,L5,L6

Timpii maximi de execuţie sunt daţi de matricea:

T=

6

5

4

3

2

1

6L 5L 4L 3L 2L 1L

A

A

A

A

A

A

4313

35

23

84

1152

43

∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Să se determine o alocare a muncitorilor pe lucrăriastfel încât timpul maxim de execuţie să fie cât mai mic.Soluţie

Graful obţinut pe baza tabelului nr.5 este dat în

figura 28.Fig.28

Vom determina mai întâi un cuplaj arbitrar C1 almulţimii de noduri {A1, A2, A3, A4, A5, A6} pe mulţimea{L1, L2, L3, L4, L5, L6}.

144



Fie deci cuplajul C1={(A1,L3), (A2,L1), (A3,L2),(A4,L6), (A5,L4), (A6,L5)}.

Fie M1=max {t13, t21, t32, t46, t54, t65}=max {4, 2, 4,2, 5, 3}=5 obţinut pentru alocarea (A5,L4) - arc critic.

Fie graful C'1 din figura 29.Pentru determinarea unui circuit care să conţină

arcul critic (L4,A5) ar trebui ca să existe arce cuextremitatea finală în L4. Cum acestea nu există rezultă căC1 este cuplaj optim şi deci durata maximă de execuţie

este 5.

Fig.292. O echipă de traducători este chemată să traducă înlimba română o serie de studii scrise în engleză, franceză,

145



germană, italiană, spaniolă şi rusă. Fiecare traducător cunoaşte mai multe limbi conform tabelului nr.6

Tabelul nr.6 Traducător Limbă cunoscutăT1 engleză, franceză,

germanăT2 engleză, germană,

italiană

146



T3 franceză, italiană,spaniolă

T4 germană, spaniolă, rusăT5 italiană, spaniolă, rusăT6 engleză, franceză, rusă

Timpii maximi de traducere sunt daţi de matricea:

T=

6

5

4

3

2

1

R S I G F E

T

T

T T

T

T

473

135

262528

562

443

∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞

unde am notat cu E - engleza, F - franceza, G - germana, I- italiana, S - spaniola şi R - rusa. Să se determine oalocare a traducătorilor pe lucrări astfel încât timpulmaxim de traducere să fie cât mai mic.Soluţie

Graful obţinut pe baza tabelului nr.6 este dat înfigura 30.

Vom determina mai întâi un cuplaj arbitrar C1 almulţimii de noduri {T1, T2, T3, T4, T5, T6} pe mulţimea {E,F, G, I, S, R }. Matricea simplificată asociată grafului este:

M'=

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

100011

111000

110100

011010

001101

000111RSIGFE

147



Fig.30Vom aplica metoda colţului de nord-vest. Avem

deci alocarea (T1,E) de unde:

M'1=

6

5

4

3

2

T

T T

T

T

10001

1110011010

01101

00110

RSIGF

Urmează alocarea (T2,G) şi matricea:

M'2=

6

5

4

3

T

T

T

T

1001

1110

1100

0111

RSIF

Avem apoi (T3,F) şi matricea rămasă:

148



M'3=6

5

4

T

T

T

100

111

110

RSI

După alocarea (T4,S) obţinem:

M'4=6

5

T

T

10

11

RI

şi în final alocările (T5,I) şi (T6,R).Cuplajul obţinut este deci: C1={(T1,E), (T2,G),(T3,F), (T4,S), (T5,I), (T6,R)}.

Fie M1=max {t1E, t2G, t3F, t4S, t5I, t6R }=max {3, 6, 8,6, 5, 4}=8 obţinut pentru alocarea (T3,F) - arc critic.

Fie graful C'1 din figura 31.

Fig.31Avem următorul circuit: (F,T3), (T3,S), (S,T4),

(T4,G), (G,T2), (T2,E), (E,T1), (T1,F).Cuplajul C2={(T3,S), (T4,G), (T2,E), (T1,F), (T5,I),

(T6,R)} este obţinut din vechiul cuplaj la care s-auadăugat arcele noi obţinute.

149



Avem acum M2=max {t3S, t4G, t2E, t1F, t5I, t6R }=max{5, 2, 2, 4, 5, 4}=5 obţinut pentru alocarea (T3,S) - arc

critic.Graful C'2 este prezentat în figura 32.Circuitul este: (S,T3), (T3,I), (I,T5), (T5,S).Avem deci cuplajul C3={(T3,I), (T5,S), (T4,G),

(T2,E), (T1,F), (T6,R)}.

Fig.32

Avem M3=max {t3I, t5S, t4G, t2E, t1F, t6R }=max {2, 3,2, 2, 4, 4}=4 obţinut pentru alocarea (T1,F) - arc critic.Graful C'3 este prezentat în figura 33.O încercare de determinare de circuit ar fi: (F,T1),

(T1,E), (E,T2) la care drumul se opreşte. Prin urmare,alocarea este optimă şi deci durata minimă de traducereeste de 4 unităţi de timp.

150



Fig.333. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de

vedere al minimizării timpului total de execuţieNoţiuni teoretice

Fie A1,...,An persoanele care sunt desemnate săexecute lucrările L1,...,Lm. În execuţia lucrării L j angajatulAi cheltuieşte un fond de timp de tij unităţi (ore, zile etc.).

Presupunând că există angajaţi care pot executa maimulte lucrări se pune în mod natural problema repartizăriisarcinilor astfel încât timpul total petrecut în execuţiaacestora să fie minim.

Vom conveni că dacă Ai nu este capabil de aexecuta lucrarea L j să considerăm tij=∞ (în practică vom

atribui lui t ij o valoare foarte mare care va elimina

automat posibilitatea de atribuire).De asemenea, vom conveni că numărul angajaţilor este egal cu cel al lucrărilor, în caz contrar introducândangajaţi sau lucrări fictive cu timpi foarte mari pentru aevita alocarea acestora.

151



În cele ce urmează, vom prezenta un algoritm derezolvare a acestei probleme datorat lui Little3.

Fie deci matricea T=(tij) a timpilor de execuţie. Înalocarea acestor activităţi este evident că modificareaunei linii sau coloane printr-o cantitate aditivă nu vainfluenţa optimul problemei deoarece oricum fiecarelucrare şi fiecare angajat vor avea un timp alocat care seva mări sau micşora cu acea cantitate.

Vom exemplifica acest algoritm pe următorul:Exemplu

Fie angajaţii A1,A2,A3,A4,A5,A5 şi lucrărileL1,L2,L3,L4,L5,L5 a căror timpi de execuţie sunt daţi întabelul nr.7 şi ale cărui valori se constituie în elementelematricei T.Tabelul nr.7

A1 A2 A3 A4 A5

L1 1 2 9 4 5

L2 3 7 ∞ 2 4L3 ∞ 4 1 3 6L4 ∞ ∞ 2 1 9L5 4 1 7 8 ∞

Pasul 1Pasul 1.1 Se calculează minimul cantităţilor de pe fiecarelinie a tabelului;

Pasul 1.2 Se scad aceste valori din linia respectivă;Pasul 1.3 Se calculează minimele valorilor de pecoloanele tabelului astfel obţinut;Pasul 1.4 Se scad minimele obţinute la pasul 1.3 dincoloanele respective.

3 Teodorescu N. ş.a., Metode ale cercetării operaţionaleîn gestiunea întreprinderilor , Ed. tehnică, Bucureşti,

1972152



În cazul problemei prezentate avem succesiv:Pasul 1.1

A1 A2 A3 A4 A5 minL1 1 2 9 4 5 1L2 3 7 ∞ 2 4 2L3 ∞ 4 1 3 6 1L4 ∞ ∞ 2 1 9 1L5 4 1 7 8 ∞ 1

Pasul 1.2

A1 A2 A3 A4 A5

L1 0 1 8 3 4L2 1 5 ∞ 0 2L3 ∞ 3 0 2 5L4 ∞ ∞ 1 0 8L5 3 0 6 7 ∞

Pasul 1.3

A1 A2 A3 A4 A5

L1 0 1 8 3 4

L2 1 5 ∞ 0 2L3 ∞ 3 0 2 5L4 ∞ ∞ 1 0 8L5 3 0 6 7 ∞

min 0 0 0 0 2 Pasul 1.4

A1 A2 A3 A4 A5

153



L1 0 1 8 3 2L2 1 5 ∞ 0 0

L3 ∞ 3 0 2 3L4 ∞ ∞ 1 0 6L5 3 0 6 7 ∞

După pasul 1 observăm că pe fiecare linie saucoloană există câte un element egal cu 0.Pasul 2 Se calculează suma tuturor elementelor scăzutedin linii şi coloane.

Fie aceasta S1=1+2+1+1+1+0+0+0+0+ 2=8.Pasul 3 Pentru fiecare element egal cu 0 din matricea T'(corespunzătoare tabelului redus) se calculeazăcantităţile µ ij=min {tik k ≠ j}+min{t pj p≠ i} sau altfel spussuma minimelor elementelor de pe linia, respectivcoloana cantităţii nule (exceptând-o pe aceasta). Dupăaceasta, se determină maximul acestor valori şi alocareacorespunzătoare acesteia (s,r). Se construieşte un grafic,

de tip arbore, în care nodul iniţial primeşte valoarea S1.Se construieşte apoi o ramificaţie în care se trecactivităţile (s,r) şi non(s,r). Acestea vor primi valorileα sr , respectiv β sr =S1+µ sr .

Avem deci: µ 11=1+1=2, µ 24=0+0=0,µ 25=0+2=2, µ 33=2+1=3, µ 44= 1+0=1, µ 52=3+1=4.Avem deci µ max=max {µ 11, µ 24, µ 25, µ 33, µ 44, µ 52}=

max {2, 0, 2, 3, 1, 4}=4 corespunzătoare alocării (5,2).Avem β 52=8+4=12.

Obţinem deci:

154



Fig.34Pasul 4 Se elimină din tabel linia s şi coloana r şi se procedează ca la pasul 1.

Avem deci:Pasul 4.1

A1 A3 A4 A5 min

L1 0 8 3 2 0L2 1 ∞ 0 0 0L3 ∞ 0 2 3 0L4 ∞ 1 0 6 0

Pasul 4.2

A1 A3 A4 A5

L1 0 8 3 2

L2 1 ∞ 0 0L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6

Pasul 4.3

A1 A3 A4 A5

L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0

L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6

min 0 0 0 0 Pasul 4.4

A1 A3 A4 A5

L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0

155



L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6

Pasul 5Se calculează S2 ca sumă a elementelor de minim

de pe linii şi coloane. Se modifică indicatorul α sr =S1+S2.În cazul problemei prezentate S2=0 deci

α 52=S1=8.Pasul 6 Dacă matricea T redusă are ordinul 1 algoritmuleste încheiat. În caz contrar, se alege cea mai mică

valoare dintre α sr şi β sr . Dacă valorile sunt egale, sealege α sr corespunzătoare unei alocări şi nu uneirespingeri de alocare.Pasul 7 Dacă valoarea aleasă a fost α sr se revine la pasul3.Pasul 8 Dacă valoarea aleasă este de tip β sr atunci seconsideră în tabelul anterior celui de la pasul 1, tsr =∞, sedetermină elementele minime de pe linia s şi coloana r şise scad acestea din linia respectiv coloanacorespunzătoare. Se revine apoi la pasul 3.

În orice situaţii, la indicatori egali se continuăalgoritmul pe toate ramurile în cauză.

În cazul problemei noastre avem pentru tabelulrămas:

A1 A3 A4 A5

L1 0 8 3 2L2 1 ∞ 0 0L3 ∞ 0 2 3L4 ∞ 1 0 6

µ 11=2+1=3, µ 24=0+0=0, µ 25=0+2=2, µ 33=2+1=3,µ 44=1+0=1, µ max=max {3, 0, 2, 3, 1}=3 corespunzător

156



alocării (1,1) sau (3,3). Avem deci β 11=8+3=11 şiβ 33=8+3=11.

Pentru alocarea (1,1) succesiunea de tabeledevine:

A3 A4 A5 minL2 ∞ 0 0 0L3 0 2 3 0L4 1 0 6 0

A3 A4 A5L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6

A3 A4 A5

L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6

min 0 0 0

A3 A4 A5

L2 ∞ 0 0L3 0 2 3L4 1 0 6

şi deci α 11=8+0=8.Pentru alocarea (3,3) se obţine analog

α 33=8+0=8.Graficul arborescenţei este următorul:

157



Fig.35Fie acum ultimul tabel:

A3 A4 A5

L2

∞0 0

L3 0 2 3L4 1 0 6

Avem: µ 24=0+0=0, µ 25=0+3=3, µ 33=2+1=3,µ 44=1+0=1 şi deci µ max=3 corespunzător alocării (3,3).Avem deci β 33=8+3=11.

Pentru alocarea (3,3) succesiunea de tabele esteurmătoarea:

A4 A5 minL2 0 0 0L4 0 6 0

A4 A5

L2 0 0L4 0 6

A4 A5

L2 0 0L4 0 6

min 0 0

A4 A5

L2 0 0

158



L4 0 6şi deci α 33=8+0=8.

Noul grafic al arborescenţei este:

Fig.36Considerând, în final, tabelul redus:

A4 A5

L2 0 0

L4 0 6avem: µ 24=0+0=0, µ 25=0+6=6, µ 44=6+0=6 de undeµ max=6 cu alocarea (4,4).

Avem β 44=8+6=14.Tabelul rămas este:

A5

L2 0

şi deci α 25=8+0=8, iar ultima alocare este (2,5).159



Arborescenţa finală este redată în figura 37.Soluţia optimă este deci (A2,L5), (A1,L1), (A3,L3),

(A4,L4), (A5,L2) cu un timp total egal cu 1+1+1+1+4=8.

Fig.37

Aplicaţii1. Într-un atelier auto lucrează mai mulţi muncitori M1,M2, M3, M4, M5 divers specializaţi (mecanică,tinichigerie, vopsitorie, electronică, aprovizionare).Fiecare dintre aceştia are o durată medie (în ore) deexecuţie a unei lucrări conform tabelului nr.8. Se cere săse efectueze o repartizare a muncitorilor pe tipuri delucrări astfel încât timpul total de execuţie să fie minim.

Tabelul nr.8M1 M2 M3 M4 M5

Mecanică - M(1) 1 2 5 4 7Tinichigerie - T(2) 3 7 3 2 4Vopsitorie - V(3) 5 4 1 3 6Electronică - E(4) 2 1 2 1 9Aprovizionare -

A(5)

4 1 7 9 7

160



SoluţiePentru început reducem tabelul astfel încât pe

fiecare linie sau coloană să obţinem câte un element egalcu 0.Vom calcula mai întâi minimul elementelor de pe

fiecare linie:M1 M2 M3 M4 M5 min

M(1) 1 2 5 4 7 1T(2) 3 7 3 2 4 2V(3) 5 4 1 3 6 1E(4) 2 1 2 1 9 1A(5) 4 1 7 9 7 1

Scădem minimele aflate din elementele linieirespective:

M1 M2 M3 M4 M5

M(1) 0 1 4 3 6T(2) 1 5 1 0 2

V(3) 4 3 0 2 5E(4) 1 0 1 0 8A(5) 3 0 6 8 6

Se calculează minimele valorilor de pe coloaneletabelului astfel obţinut:

M1 M2 M3 M4 M5

M(1) 0 1 4 3 6

T(2) 1 5 1 0 2V(3) 4 3 0 2 5E(4) 1 0 1 0 8A(5) 3 0 6 8 6min 0 0 0 0 2

Se scad minimele obţinute din coloanelerespective:

M1 M2 M3 M4 M5

161



M(1) 0 1 4 3 4T(2) 1 5 1 0 0

V(3) 4 3 0 2 3E(4) 1 0 1 0 6A(5) 3 0 6 8 4

Se calculează suma tuturor elementelor scăzutedin linii şi coloane. Fie aceastaS1=1+2+1+1+1+0+0+0+0+ 2=8.

Pentru fiecare element egal cu 0 din tabelul redus

se calculează cantităţile µ ij=min {tik k ≠ j}+min{t pj p≠ i}sau altfel spus suma minimelor elementelor de pe linia,respectiv coloana cantităţii nule (exceptând-o pe aceasta).

Avem deci: µ 11=1+1=2, µ 24=0+0=0,µ 25=0+3=3, µ 33=2+1=3, µ 42=0+0=0, µ 44=0+0=0,µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 0, 3, 3, 0, 0, 3}=3obţinut pentru alocarea (2,5). Avemβ 25=S1+µ 25=8+3=11.

Eliminăm linia 2 şi coloana 5 din tabel şi obţinem:M1 M2 M3 M4

M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8

Pentru determinarea lui α 25 avem succesiunea de

tabele:M1 M2 M3 M4 min

M(1) 0 1 4 3 0V(3) 4 3 0 2 0E(4) 1 0 1 0 0A(5) 3 0 6 8 0

M1 M2 M3 M4

162



M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2

E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8

M1 M2 M3 M4

M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0

A(5) 3 0 6 8min 0 0 0 0

M1 M2 M3 M4

M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8

de unde α 25=8+0=8.Arborele obţinut este deci:

Fig.38Pentru tabelul:M1 M2 M3 M4

M(1) 0 1 4 3V(3) 4 3 0 2E(4) 1 0 1 0A(5) 3 0 6 8

163



avem: µ 11=1+1=2, µ 33=2+1=3, µ 42=0+0=0,µ 44=0+2=2, µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 3, 0, 2,

3}=3 obţinut pentru alocarea (3,3). Avemβ 33=S2+µ 33=8+3= 11.

Eliminăm linia V(3) şi coloana 3 din tabel şiobţinem succesiunea de tabele:

M1 M2 M4 minM(1) 0 1 3 0E(4) 1 0 0 0

A(5) 3 0 8 0M1 M2 M4

M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8min 0 0 0

M1 M2 M4

M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8

de unde α 33=8+0=8. Arborele obţinut este deci:

Fig.39

164



Pentru tabelul:M1 M2 M4

M(1) 0 1 3E(4) 1 0 0A(5) 3 0 8

avem: µ 11=1+1=2, µ 42=0+0=0, µ 44=0+3=3,µ 52=3+0=3. Avem µ max=max {2, 0, 3, 3}=3 obţinut pentru alocarea (4,4). Avem β 44=S3+µ 44=8+3= 11.Eliminăm linia E(4) şi coloana M4 din tabel şi obţinem

succesiunea: M1 M2 minM(1) 0 1 0A(5) 3 0 0

M1 M2

M(1) 0 1A(5) 3 0

min 0 0

M1 M2

M(1) 0 1A(5) 3 0

de unde α 44=8+0=8.Arborele devine:

165



Fig.40Fie acum tabelul:

M1 M2

M(1) 0 1A(5) 3 0

Avem µ 11=1+3=4 şi µ 52=3+1=4 de undeµ max=max {4,4}=4 obţinut pentru alocarea (1,1). Avemβ 11=S4+µ 11=8+4=12.

Eliminând linia M(1) şi coloana lui M1 din tabel

rezultă α 11=8+0=8 şi în final alocarea (5,2) cuα 52=8+0=8.Arborescenţa finală este reprezentată în figura 41.Soluţia optimă este deci (M5,T), (M3,V), (M4,E),

(M1,M), (M2,A) cu un timp total egal cu 4+1+1+1+1=8.

Fig.41

GRUPAREA ŞI AMPLASAREAUTILAJELOR

166



Problemele de grupare şi amplasare a maşinilor şi

utilajelor în secţii de producţie sunt de o mareimportanţă practică deoarece ele pot scuticonsumuri mari de timp cu deplasarea produselor de prelucrat între diverse faze de producţie.

1. Gruparea utilajelor pe linii tehnologiceNoţiuni teoretice

Să considerăm o mulţime de utilaje U1,...,Un caretrebuie să prelucreze reperele R 1,...,R m. Se pune problemagrupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încâtnumărul de treceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.

Asociem produsului cartezian {U1,...,Un}×{R 1,...,R m} o matrice A=(aij)∈M nm(R ) unde:

aij=

i j

i j

UutilajulpeaprelucreazsenuRuldaca reper0

;UutilajulpeaprelucreazseRuldaca reper1

Vom exemplifica algoritmul pentru următorul:Exemplu

Să considerăm o secţie de producţie în care existăutilajele U1,...,U10 pe care se prelucrează reperele R 1,...,R 6.Posibilitatea de prelucrare este dată în tabelul nr.9(elementele matricei A).Tabelul nr.9

R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1 1 0 1 0 0 1U2 0 1 1 0 1 0U3 1 0 0 1 1 0U4 1 1 0 0 0 0U5 0 0 1 0 1 0U6 1 0 0 1 0 0

U7 0 1 0 1 0 1167



U8 1 1 0 0 0 1U9 0 1 1 0 1 1

U10 1 0 1 0 1 0Să notăm cu ai=(ai1,...,aim) liniile matricei A. Este

evident că ai reprezintă ansamblul reperelor ce pot fi prelucrate pe utilajul i.

Considerând două utilaje Ui şi U j se pune mai întâi problema "distanţei" între ele adică, în raport cu pieselece pot fi prelucrate pe ele, cât este diferenţa despecializare a acestora. Pentru acest lucru, vom adunavectorii linie corespunzători ai şi a j şi vom depunerezultatele într-o nouă matrice D=(dij) unde dij=

[ ]∑=

+m

1k jkik 2mod)aa( unde x mod 2 (modulo 2)

reprezintă restul împărţirii lui x la 2. Cum:

aik +a jk =

== ==

==

0asi0adaca0);1(0asi)0(1adaca1

;1asi1adaca2

jkik

jkik

jkik

rezultă că:

(aik +a jk ) mod 2=

======

0asi0adaca0

);1(0asi)0(1adaca1

;1asi1adaca0

jkik

jkik

jkik

Pasul 1 Vom considera deci în dij numărul perechilor deelemente din ai şi a j care nu au simultan aceeaşi valoare.Vom prefera, de asemenea, scrierea matricei într-

un tabel care fiind simetric faţă de diagonala principală(ai+a j=a j+ai) nu se va scrie decât în partea superioară a sa.

Avem deci:a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

a1 0 4 4 3 2 1 3 2 3 2

168



a2 0 4 3 1 5 2 4 1 2a3 0 3 3 1 4 4 5 2

a4 0 4 2 3 1 4 3a5 0 4 5 5 2 1a6 0 3 3 6 3a7 0 2 3 6a8 0 3 4a9 0 3a10 0

Într-adevăr, de exemplu, a4+a7=(1,1,0,0,0,0)+(0,1,0,1,0,1)=(1,2,0,1,0,1) de unde (a4+a7) mod 2=(1,0,0,1,0,1) deci d47=1+1+1=3.

Observăm că într-adevăr 3 reprezintă "distanţa"dintre utilajele U4 şi U7 deoarece singurul reper care poatefi prelucrat pe ambele este R 1 pe când reperele R 1, R 4 şiR 6 se prelucrează ori pe unul ori pe celălalt utilaj.Pasul 2 Construim, mai departe, un tabel în care vom

sintetiza perechile de utilaje ( scrise prescurtat (i,j)) aflatela distanţa d din matricea D.

Avem deci:

Distanţa Perechi de utilaje

0 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)1 (1,6), (2,5), (2,9), (3,6), (4,8), (5,10)2 (1,5), (1,8), (2,7), (2,10), (3,10), (4,6), (5,9),

(7,8)3 (1,4), (1,7), (1,9), (2,4), (3,4), (3,5), (4,7), (4,10),

(6,7), (6,8), (6,10), (7,9), (8,9), (9,10)4 (1,2), (1,3), (2,3), (2,8), (3,7), (3,8), (4,5), (4,9),

(5,6), (8,10)

169



5 (2,6), (3,9), (5,7), (5,8)6 (6,9), (7,10)

Pasul 3 Construim un graf astfel:Pasul 3.1 Reprezentăm cele 7 niveluri de distanţe (din

tabelul de mai sus) prin linii orizontale de nivel.Pasul 3.2 Pe linia 0 reprezentăm utilajele.Pasul 3.3 Din fiecare nod al grafului va pleca o singurăramură. Pentru ca să marcăm un nod de forma (i1,...,ik ) peun nivel p trebuie ca pe nivelele 1,...,p să se afle toate perechile de forma (ir ,is), r ≠ s, r,s=1,...,k. De asemenea,orice nod de forma (i1,...,ik ) trebuie să includă nodurileanterioare lui şi aflate în ascendenţă directă.

În cazul nostru, avem:Pe nivelul 0 am înscris toate utilajele. Pe nivelul 1

nu avem nimic. Pe nivelul 2 avem toate tripletul (2,5,10)deoarece (2,5), (2,10), (5,10) se găsesc la distanţele 1 şi 2.

Fig.46Pe nivelul 3 avem mulţimea de utilaje (1,4,6,7,8)

deoarece pe nivelele 1,2 şi 3 se găsesc toate perechile de

utilaje: (1,4), (1,6), (1,7), (1,8), (4,6), (4,7), (4,8), (6,7),170



(6,8) şi (7,8). Analog pentru mulţimea (2,5,9,10).Procedând asemănător, se observă că pe nivelul 4 putem

îmbunătăţi mulţimea (1,4,6,7,8) cu utilajul 3 deoareceavem în plus perechile (1,3), (4,3), (6,3), (7,3) şi (8,3). Penivelul 5 nu avem nimic, iar pe nivelul 6 obţinemmulţimea tuturor utilajelor.

În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 6 în

jos) furnizează liniile tehnologice.Acestea sunt: L1=(U1,U3,U4,U6,U7,U8) şi

L2=(U2,U5,U9,U10).Considerând din nou tabelul nr.9:

R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1-L1 1 0 1 0 0 1U2-L2 0 1 1 0 1 0U3-L1 1 0 0 1 1 0U4-L1 1 1 0 0 0 0U5-L2 0 0 1 0 1 0

U6-L1 1 0 0 1 0 0U7-L1 0 1 0 1 0 1U8-L1 1 1 0 0 0 1U9-L2 0 1 1 0 1 1U10-L2 1 0 1 0 1 0

în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de

pe o linie tehnologică pe alta.Astfel, pentru reperul R 1 avem (mergând în jos pe

coloană ) distribuţia de utilaje pe următoarele liniitehnologice:R 1:(L1,L1,L1,L1,L2) deci 1 trecere.

Analog:R 2:(L2,L1,L1,L1,L2) deci 2 treceri;R 3:(L1,L2,L2,L2,L2) deci 1 trecere;

171



R 4:(L1,L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L2,L1,L2,L2,L2) de unde 2 treceri;

R 6:(L1,L1,L1,L2) deci 1 trecere.În total avem 7 treceri de pe o linie tehnologică pealta.Aplicaţii1. Să considerăm o secţie de producţie în care există

utilajele U1,...,U6 pe care se prelucrează repereleR 1,...,R 6. Posibilitatea de prelucrare este dată întabelul nr.10. Se pune problema grupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încât numărul detreceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.

Tabelul nr.10R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6

U1 1 0 0 1 0 0U2 0 1 0 0 1 0

U3 1 1 1 0 1 0U4 0 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 0 0 1 0 0

SoluţieTabelul distanţelor este:

a1 a2 a3 a4 a5 a6

a1 0 4 4 3 3 1a2 0 2 3 3 3a3 0 5 1 5a4 0 4 2a5 0 4

172



a6 0Clasificarea perechilor de utilaje în raport cu

distanţele este:Distanţa Perechi de utilaje0 (1), (2), (3), (4), (5), (6)1 (1,6), (3,5)2 (2,3), (4,6)3 (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (2,6)4 (1,2), (1,3), (4,5), (5,6)

5 (3,4), (3,6)Graful obţinut este:

Fig.43În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 5 în

jos) furnizează liniile tehnologice.Acestea sunt: L1=(U1,U4,U6) şi L2=(U2,U3,U5).Considerând din nou tabelul nr.10:

R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6U1 1 0 0 1 0 0U2 0 1 0 0 1 0U3 1 1 1 0 1 0

U4 0 0 0 0 0 1173



U5 1 0 1 0 1 0U6 0 0 0 1 0 0

în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de pe o linie tehnologică pe alta.

Astfel, avem (mergând în jos pe coloană )distribuţia de utilaje pe următoarele linii tehnologice:R 1:(L1,L2,L2) deci 1 trecere;R 2:(L2,L2) deci 0 treceri;R 3:(L2,L2) deci 0 treceri;R 4:(L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L2,L2,L2) de unde 0 treceri;R 6:(L1) deci 0 treceri.

În total avem o trecere de pe o linie tehnologică pealta ceea ce este efectiv optim pentru procesul tehnologicrespectiv.2. Să considerăm o secţie de producţie în care există

utilajele U1,...,U6 pe care se prelucrează repereleR 1,...,R 6. Posibilitatea de prelucrare este dată întabelul nr.11. Se pune problema grupării acestor utilaje în linii tehnologice astfel încât numărul detreceri de la o linie tehnologică la alta să fieminim.

Tabelul nr.11R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6

U1 0 0 0 1 0 0U2 0 0 1 1 1 0U3 1 1 0 0 1 0U4 1 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 1 0 1 0 0

Soluţie

174



Tabelul distanţelor este:a1 a2 a3 a4 a5 a6

a1 0 2 4 3 4 1a2 0 4 5 2 3a3 0 3 2 3a4 0 3 4a5 0 5a6 0

Clasificarea perechilor de utilaje în raport cu

distanţele este:Distanţa Perechi de utilaje0 (1), (2), (3), (4), (5), (6)1 (1,6)2 (1,2), (2,5), (3,5)3 (1,4), (2,6), (3,4), (3,6), (4,5)4 (1,3), (1,5), (2,3), (4,6)5 (2,4), (5,6)

Graful obţinut este:

Fig.44

175



În final, cele două ramuri (luate de la nivelul 5 în

jos) furnizează liniile tehnologice.

Acestea sunt: L1=(U1,U2,U6) şi L2=(U3,U4,U5).Considerând din nou tabelul iniţial:R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6

U1 0 0 0 1 0 0U2 0 0 1 1 1 0U3 1 1 0 0 1 0U4 1 0 0 0 0 1U5 1 0 1 0 1 0U6 0 1 0 1 0 0

în care am scris îngroşat operaţiile de pe prima linietehnologică încercăm să determinăm număr de treceri de pe o linie tehnologică pe alta.

Astfel, avem (mergând în jos pe coloană )distribuţia de utilaje pe următoarele linii tehnologice:R 1:(L2,L2,L2) deci 0 treceri;

R 2:(L2,L1) deci 1 trecere;R 3:(L1,L2) deci 1 trecere;R 4:(L1,L1,L1) deci 0 treceri;R 5:(L1,L2,L2) deci 1 trecere;R 6:(L2) deci 0 treceri.

În total avem 3 treceri de pe o linie tehnologică pealta.

176



2. Amplasarea locurilor de muncă-metoda gamelorfictive

Noţiuni teoreticeFie într-o secţie (atelier, laborator etc.) un număr de locuri de muncă L1,...,Ln. La aceste locuri de muncă sefabrică produsele diferite P1,...,Pm ce necesită operaţiile de prelucrare O1,...,O p.

În cadrul etapelor de producere a acestora este posibil uneori ca ele să se reîntoarcă la un loc de muncăanterior pentru diverse operaţii suplimentare (ce ţin de

locul respectiv).Fiecare loc de muncă are un timp lunar afectat

fiecărei operaţii pe care este capabil să o execute deciimplicit solicită un număr de muncitori (relativ la

numărul de ore lunare de muncă stabilit de conducerea

unităţii).Problema care se pune este de a reordona

amplasarea locurilor de muncă astfel încât să se eviteîntoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi pe de altă parte de a diminua numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie. Numărul întoarcerilor afectează,în practică, cheltuielile de transport. Este evident, că înurma aplicării metodei, uneori numărul muncitorilor creşte sau cel al întoarcerilor. Dacă totalul cheltuielilor privind salarizările suplimentare (la creşteri de muncitori)

sunt mai mici decât economia realizată prin diminuareatransportului şi reciproc atunci algoritmul îşi dovedeşteeficienţa.

Vom exemplifica acest proces pe următorul:Exemplu

Într-un atelier urmează să se fabrice produsediferite notate P1, P2, P3, P4, P5 a căror fabricaţie necesităfolosirea a 7 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3,

177



L4, L5, L6, L7. Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2,O3, O4, O5, O6, O7, O8) pe fiecare produs, sunt date în

tabelul nr.12 (cifrele reprezentând numărul operaţiei ce se execută la locul de muncă respectiv).Tabelul nr.12

Locuri demuncă Produse fabricate

P1 P2 P3 P4 P5

L1 1 1-6 1 1 1

L2 2-5 2 3 2

L3 3-8 3 2 4 6L4 4 5-7 3 2 3-8L5 6 4 5 6 4L6 7 6 5 5L7 8 4 7 7

Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii, precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelul

nr.13 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.Tabelul nr.13

Număr de operaţii din gama de operaţii Totalluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8L1

200

100

300 2

L2

150

200

150

500 3

L3

200

60 100

50 200

610 4

L 50 30 90 15 10 40 460 3

178



4 0 0L

5

40 10

0

20

0

340 2

L6

80 100

90 270 2

L7

100

200

40 340 2

Pasul 1 Se determină totalul lunar al timpului afectatoperaţiunilor în fiecare loc de muncă însumând valorileliniei respective.

Avem deci:• Nr ore(L1)=200+100=300• Nr ore(L2)=150+200+150=500• Nr ore(L3)=200+60+100+50+200=610• Nr ore(L4)=50+30+90+150+100+40=460• Nr ore(L5)=40+100+200=340• Nr ore(L6)=80+100+90=270

• Nr ore(L7)=100+200+40=340Pasul 2 Se determină necesarul de locuri de muncă prin

formula Nr locuri(Li)= T

)L(Nr iore ∀i=1,...,n rotunjindu-se la

întregul superior dacă este cazul.Avem deci:

• Nr locuri(L1)=300/200=2

• Nr locuri(L2)=500/200=3• Nr locuri(L3)=610/200=4• Nr locuri(L4)=460/200=3• Nr locuri(L5)=340/200=2• Nr locuri(L6)=270/200=2• Nr locuri(L7)=340/200=2• Nr locuri total=2+3+4+3+2+2+2=18.

179



Pasul 3 Vom reprezenta apoi succesiunea operaţiilor pentru fiecare produs într-un tabel astfel:

Pasul 3.1 Pe linii se trec locurile de muncă (amplasatedupă succesiunea generală a operaţiilor din ramurarespectivă de activitate)Pasul 3.2 Pe coloane se trec produsele fabricate;Pasul 3.3 Pe fiecare coloană se reprezintă operaţiile, subforma unor puncte, începând de la prima până la ultimaadmisă de produs. Două operaţii care se află însuccesiune directă (în raport cu ordinea iniţială a

locurilor de muncă ) se află pe aceeaşi verticală. Douăoperaţii care determină o întoarcere la un loc de muncăanterior implică reprezentarea celei de-a doua pe overticală alăturată. Operaţiile vor fi legate prin săgeţi pentru a putea observa şi fluxul tehnologic ( fig.45).

Observăm din figura 45 că există întoarceri înfluxul tehnologic al fiecărui produs. Astfel, la produsul P1

avem o întoarcere de la locul de muncă L4 la locul L2atunci când se trece de la operaţia O4 la O5. De asemenea,avem o întoarcere de la locul L6 la L3 pentru succesiuneade operaţii O7, O8. Analog avem şi pentru celelalte produse.

Să calculăm, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând

lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)

şi lungimea totală L.Avem deci:

♦ L(P1)=1+1+1+2+3+1+3=12;♦ L(P2)=1+1+2+1+3+3+3=14;♦ L(P3)=2+1+3+2+1=9;♦ L(P4)=3+2+1+3+1+2=12;♦ L(P5)=1+2+1+1+3+4+3=15;

♦ L=12+14+9+12+15=62.180



Fig.45Pasul 4 Pentru a diminua numărul de întoarceri, va trebui prin scindări de linii şi translatarea scindării între alte

două linii să transformăm tabelul iniţial (tabelul nr.13) până la o formă cvasidiagonală (cu elemente grupate pe

cât posibil în jurul "diagonalei principale" ).Vom încerca, la noi, să luăm operaţia 6 de la locul

de muncă L1 şi să o mutăm între L6 şi L7 recalculândtotalul lunar şi numărul locurilor de muncă.

Obţinem deci tabelul nr.14.

Luăm apoi operaţiile 6 şi 8 de la L3 şi le mutămîntre liniile L6 şi L1 (cel de-al doilea). Obţinem tabelulnr.15.Tabelul nr.14

Număr de operaţii din gama de operaţii Tota

lluna

r

Nr.loc.

181



O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 20

0

200 1

L2 150

200

150

500 3

L3 200

60 100

50 200

610 4

L4 50 30 90 150

100

40 460 3

L5 40 100

200

340 2

L6 80 100

90 270 2

L1 100

100 1

L7 100

200

40 340 2

Tabelul nr.15


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 20

0

200 2

L2 150

200

150

500 3

L3 200

60 100

360 2

L4 50 30 90 150

100

40 460 3

182



L5 40 100

200

340 2

L6 80 100 90 270 2

L3 50 200

250 2

L1 100

100 1

L7 100

200

40 340 2

Mutăm apoi toate operaţiile de la L7 între liniile L5

şi L6 şi obţinem tabelul nr.16.Operaţiile 7 şi 8 de la L4 vor fi mutate între liniile

L6 şi L3 (cel de-al doilea) rezultând tabelul nr.17Mutăm apoi operaţia 6 de la L1 între L4 şi L3 şi

obţinem tabelul nr.18.Tabelul nr.16

Număr de operaţii din gama de operaţii Totalluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 200

200 2

L2 150

200

150

500 3

L3 200

60 100

360 2

L4 50 30 90 150

100

40 460 3

L5 40 100

200

340 2

183



L7 100

200

40 340 2

L6 80 100 90 270 2

L3 50 200

250 2

L1 100

100 1

Tabelul nr.17


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 200

200 2

L2 150

200

150

500 3

L3 200

60 100

360 2

L4 50 30 90 150

320 2

L5 40 100

200

340 2

L7 100

200

40 340 2

L6 80 100

90 270 2

184



L4 100

40 140 1

L3 50 200250 2

L1 100

100 1

Tabelul nr.18


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 200

200 2

L2 150

200

150

500 3

L3 20

0

60 10

0

360 2

L4 50 30 90 150

320 2

L5 40 100

200

340 2

L7 100

200

40 340 2

L6 80 100 90 270 2

L4 100

40 140 1

L1 100

100 1

L3 50 200

250 2

185



Se observă că numărul de locuri de muncă acrescut cu o unitate fiind egal cu 19. Noua situaţie a

repartizării operaţiilor este redată în tabelul nr.19. Săcercetăm însă diagrama fluxurilor de producţie ( fig.46 ).Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+2+3+1+3=12;♦ L(P2)=1+1+2+3+1+1+2=11;♦ L(P3)=2+1+2+1+2=8;♦ L(P4)=3+2+1+4+2+1=13;♦ L(P5)=1+2+1+2+3+4+2=15;

♦ L=12+11+8+13+15=59 mai mic decât 62.

Tabelul nr.19Locuri de

muncă Produse fabricateP1 P2 P3 P4 P5

L1 1 1 1 1 1L2 2-5 2 3 2L3 3 3 2 4L4 4 3 2 3-8L5 6 4 5 6 4L7 7 8 4 7 7L6 6 5 5L4 5-7L1 6

186



L3 8 6

Fig.46Aplicaţii1. Într-un atelier urmează să se fabrice produse diferite

notate P1, P2, P3, P4, P5 a căror fabricaţie necesită folosireaa 7 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3, L4, L5, L6,L7. Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2, O3, O4, O5,O6, O7, O8) pe fiecare produs, sunt date în tabelul nr.20(cifrele reprezentând numărul operaţiei ce se execută lalocul de muncă respectiv).

187



Tabelul nr.20Locuri de


L1 1-6 1-7 1-7 1-5 1-5L2 2-5 4 2-4 4 2L3 3 2 2 3L4 4 3-5 3-5 3 4L5 6 6 6 6

L6 7 7L7 8 8 8Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii,

precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelulnr.21 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.Tabelul nr.21


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 200

100

100

200

600 3

L2 150 200 50 100 200 700 4

L3 200

100

100

400 2

L4 50 80 100

150

380 2

L5 100

90 190 1

188



L6 100

80 180 1

L7 200200 1

Se cere să se reordoneze amplasarea locurilor demuncă astfel încât să se dimnueze întoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie.Soluţie

Totalul lunar al timpului afectat operaţiunilor înfiecare loc de muncă este:• Nr ore(L1)=200+100+100+200=600• Nr ore(L2)=150+200+50+100+200=700• Nr ore(L3)=200+100+100=400• Nr ore(L4)=50+80+100+150=380• Nr ore(L5)=100+90=190• Nr ore(L6)=100+80=180

• Nr ore(L7)=200 Numărul de locuri de muncă este dat de:• Nr locuri(L1)=600/200=3• Nr locuri(L2)=700/200=4• Nr locuri(L3)=400/200=2• Nr locuri(L4)=380/200=2• Nr locuri(L5)=190/200=1• Nr locuri(L6)=180/200=1• Nr locuri(L7)=200/200=1• Nr locuri total=3+4+2+2+1+1+1=14.

Tabelul cu fluxurile tehnologice pe fiecare produseste redat în figura 47.

Calculând, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând

lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)

şi lungimea totală L obţinem:189



♦ L(P1)=1+1+1+2+1+5+1=12;♦ L(P2)=2+1+2+2+1+4+6=18;

♦ L(P3)=1+2+2+2+1+4=12;♦ L(P4)=2+1+2+1+4+1+1=12;♦ L(P5)=1+1+1+3+4=10;♦ L=12+18+12+12+10=64.

Fig.47Vom lua acum operaţiile 4,5 şi 6 de la locul de muncă L2

şi le vom muta între L4 şi L5 recalculând totalul lunar şinumărul locurilor de muncă. Obţinem tabelul nr.22.

Mutăm apoi operaţiile 5,6 şi 7 de la L1 între liniile L2 şi L5

şi obţinem tabelul nr.23. Se observă că numărul de locuride muncă a rămas constant fiind egal cu 14. Noua situaţie a repartizării operaţiilor este redată întabelul nr.24.

190



Tabelul nr.22


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L1 200

100

100

200

600 3

L2 150

200

350 2

L3 200

100

100

400 2

L4 50 80 100

150

380 2

L2 50 100 200350 2

L5 100

90 190 1

L6 100

80 180 1

L7 200

200 1

Tabelul nr.23


lluna

r

Nr.loc.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8

L 20 200 1

191



1 0L

2

15

0

20

0

350 2

L3

200

100

100

400 2

L4

50 80 100

150

380 2

L2

50 100

200

350 2

L1

100

100

200

400 2

L5

100

90 190 1

L6

100

80 180 1

L7

200

200 1

Tabelul nr.24 Locuri de


L1 1 1 1 1 1L2 2 2 2L3 3 2 2 3

L4 4 3-5 3-5 3 4L2 5 4 4 4L1 6 7 7 5 5L5 6 6 6 6L6 7 7L7 8 8 8

Să cercetăm diagrama fluxurilor de producţie( fig.48).

192



Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+1+1+2+1=8;

♦ L(P2)=2+1+1+1+3+1+3=12;♦ L(P3)=1+2+1+1+3+1=9;♦ L(P4)=2+1+1+1+1+1+1=8;♦ L(P5)=1+1+1+2+1=6;♦ L=8+12+9+8+6=43 mai mic decât numărul

întoarcerilor iniţiale de 64.Fig.48

2. Într-un atelier urmează să se fabrice produse diferitenotate P1, P2, P3, P4 a căror fabricaţie necesită folosirea a5 tipuri de locuri de muncă notate L1, L2, L3, L4, L5.Gamele de operaţii de fabricaţie (O1, O2, O3, O4, O5, O6) pe fiecare produs, sunt date în tabelul nr.25 (cifrele

193



reprezentând numărul operaţiei ce se execută la locul de

muncă respectiv).

Tabelul nr.25Locuri demuncă Produse fabricate

P1 P2 P3 P4

L1 1-3 1-3 1-3 1-3L2 2-5 2-4 2 2L3 4 5 4 4

L4 5 5L5 6 6 6Având în vedere timpul necesar fiecărei operaţii,

precum şi producţia lunară ce se va realiza, în tabelulnr.26 se prezintă încărcarea lunară a locurilor de muncă(în ore) unde se consideră timpul de lucru lunar al unuimuncitor de T=200 ore.

Tabelul nr.26 Locurimuncă Număr de operaţii din gama de

operaţii

Total

lunar

Nr. loc.muncă

O1 O2 O3 O4 O5 O6

L1 200 200 100 100 600 3

L2 300

50 50 150

550 3

L3 200

100

100

400 2

L4 300

300 2

194



L5 150

150 1

Se cere să se reordoneze amplasarea locurilor demuncă astfel încât să se dimnueze întoarcerile în cadrul procesului tehnologic şi numărul muncitorilor afectaţi procesului de producţie.Soluţie

Totalul lunar al timpului afectat operaţiunilor înfiecare loc de muncă este:• Nr ore(L1)=200+200+100+100=600• Nr ore(L2)=300+50+50+150=550• Nr ore(L3)=200+100+100=400• Nr ore(L4)=300• Nr ore(L5)=150

Numărul de locuri de muncă este dat de:• Nr locuri(L1)=600/200=3• Nr locuri(L2)=550/200=3

• Nr locuri(L3)=400/200=2• Nr locuri(L4)=300/200=2• Nr locuri(L5)=150/200=1• Nr locuri total=3+3+2+2+1=11.

195



Tabelul cu fluxurile tehnologice pe fiecare produs

este:Fig.49

Calculând, de asemenea, lungimea fluxurilor tehnologice pentru fiecare produs L(Pi) (adunând lungimile segmentelor calculate ca diferenţă între nivele)

şi lungimea totală L obţinem:♦ L(P1)=1+1+2+1+3=8;♦ L(P2)=1+1+1+1+2=6;♦ L(P3)=1+1+2+1=5;♦ L(P4)=1+1+2+1+1=6;♦ L=8+6+5+6=25.

Vom lua acum operaţiile 5 şi 6 de la locul demuncă L3 şi le vom muta între L4 şi L5 recalculând totalullunar şi numărul locurilor de muncă. Obţinem tabelulnr.27. Mutăm apoi operaţiile 4 şi 5 de la L2 între liniile L3

şi L4. Obţinem tabelul nr.28. Mutăm apoi operaţiile 3 şi 4de la L1 între liniile L2 şi L3. Obţinem tabelul nr.29.

196



Tabelul nr.27 Locuri

muncă Număr de operaţii din gama deoperaţii

Tota

llunar

Nr. loc.

muncă

O1 O2 O3 O4 O5 O6

L1 200

200

100

100

600 3

L2 300

50 50 150

550 3

L3 200

200 1

L4 300

300 2

L3 100

100

200 1

L5 15

0

150 1

Tabelul nr.28Locurimuncă Număr de operaţii din gama de

operaţii

Total

lunar

Nr. loc.muncă

O1 O2 O3 O4 O5 O6

L1

200 200 100 100600 3

L2 300

50 350 2

L3 200

200 1

L2 50 150

200 1

197



L4 300

300 2

L3 100 100200 1

L5 150

150 1

Tabelul nr.29Locurimuncă Număr de operaţii din gama de

operaţii

Total

lunar

Nr. loc.muncă

O1 O2 O3 O4 O5 O6

L1 200

200

400 2

L2 300

50 350 2

L1 10

0

10

0

200 1

L3 200

200 1

L2 50 150

200 1

L4 300

300 2

L3 100 100 200 1

L5 150

150 1

Permutăm ultimele două linii L3 şi L5 şi obţinemtabelul nr.30.

198



Tabelul nr.30Locuri

muncă Număr de operaţii din gama deoperaţii

Tota

llunar

Nr. loc.

muncă

O1 O2 O3 O4 O5 O6

L1 200

200

400 2

L2 300

50 350 2

L1 100

100

200 1

L3 200

200 1

L2 50 150

200 1

L4 30

0

300 2

L5 150

150 1

L3 100

100

200 1

Se observă că numărul de locuri de muncă arămas constant fiind egal cu 11. Noua situaţie arepartizării operaţiilor este redată în tabelul nr.31Tabelul nr.31

Locuri demuncă Produse fabricate

P1 P2 P3 P4

L1 1 1 1 1L2 2 2 2 2L1 3 3 3 3

199



L3 4 4 4L2 5 4

L4 5 5L5 6 6 6L3 5

Să cercetăm diagrama fluxurilor de producţie( fig.50).

Avem deci:♦ L(P1)=1+1+1+1+2=6;♦ L(P2)=1+1+2+3+1=8;♦ L(P3)=1+1+1+2=5;♦ L(P4)=1+1+1+2+1=6;♦ L=6+8+5+6=25 egal cu numărul întoarcerilor iniţiale

de 25.Comparând figurile 49 şi 50, observăm că al

doilea proces este mult mai ordonat chiar dacă numărulde muncitori şi cel al cheltuielilor de deplasare între

locurile de muncă a rămas constant.

200



Fig.50

3. Amplasarea locurilor de muncă - metoda verigilorNoţiuni teoretice

O problemă care se pune foarte des este cea aamplasării locurilor de muncă într-un atelier ( secţie etc.).Astfel, din raţiuni de viteză de lucru, de ergonomicitate,de cheltuieli de transport etc. este ideal să determinăm oamplasare a locurilor de muncă astfel încât distanţeledintre locuri cu o accesare foarte densă să fie cât mai mici posibile.

O metodă care tratează aceste aspecte este metodaverigilor . Ea propune amplasarea locurilor de muncă într-o reţea de triunghiuri echilaterale în care poziţiile centralesunt ocupate de acele locuri de muncă ce au o accesarecât mai deasă. De asemenea, vom ţine seama ca reţeaua

201



de triunghiuri să se încadreze în zona atelierului respectiv(de regulă de formă dreptunghiulară ).

Vom trata întâi această metodă din punctul devedere al ignorării cheltuielilor de transport şi acantităţilor produse.

Exemplificăm algoritmul pe următorul:Exemplu

Într-o întreprindere se pune problema executării atrei tipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care estenecesară organizezarea unui atelier de producţie. Sănotăm tipurile de operaţii de fabricaţie ale acestor piesecu O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7 corespunzătoare locurilor demuncă ce trebuie amplasate.

Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.32.

Tabelul nr.32

P1 P2 P3

O1 O1 O2

O2 O5 O4

O3 O3 O1

O5 O4 O6

O7 O2 O3

O4 O7

O6

Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze durata dedeplasare între respectivele locuri.

202



Pasul 1 Construim, mai întâi, un tabel în care reprezentămoperaţiile fiecărei piese şi verigile de legătură dintre

aceste piese. Tabelul nr.33

P1 P2 P3

Loc demuncă

Verigă Loc demuncă


Verigă

O1 O1 O2

O1O2 O1O5 O2O4

O2 O5 O4

O2O3 O5O3 O4O1

O3 O3 O1

O3O5 O3O4 O1O6

O5 O4 O6

O5O7 O4O2 O6O3

O7 O2 O3

O7O4 O2O7

O4 O7

O4O6

O6

Pasul 2 Se întocmeşte apoi tabelul verigilor astfel:Pasul 2.1 Se scriu pe linie şi coloană toate operaţiile într-o aceeaşi ordine.Pasul 2.2 La intersecţia unei linii L cu o coloană C se

caută veriga respectivă în tabelul de mai sus. Dacă estegăsită o astfel de verigă se trasează în celula respectivă olinie verticală. Din cauza simetriei perechilor (L,C) şi(C,L) vom completa numai o jumătate de tabel şi anume partea de deasupra diagonalei principale.Pasul 2.3 Pe diagonala principală se adună linioarelecoloanei şi liniei respective şi se trece rezultatul.

203



Padul 2.4 În aceeaşi celulă a diagonalei principale setrece, într-o paranteză, rezultatul numărului de celule care

au avut marcaje la punctul anterior, reprezentând numărulde verigi din care face parte operaţia respectivă.Pasul 3 Efectuăm apoi o ierarhizare a locurilor de muncăacordând un indice de importanţă fiecăruia Ii=α il

n +β

ivn unde:• nl – numărul de legături (trecut pe diagonală);• nv – numărul de verigi (trecut pe diagonală în

paranteză);• i – numărul locului de muncă;• α∈ (0,1) - coeficient de importanţă pentru legături;• β∈ (0,1) - coeficient de importanţă pentru verigiunde α +β =1.

Tabelul nr.34

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

4(4) I I I I O15(4) I II I O2

5(4) I II I O3

6(5) I I O4

4(3) I O5

3(3) O6

3(3) O7

Considerând, în cazul problemei noastreα

=0,7 şiβ =0,3 avem:Tabelul nr.35

Nr.crt.

nl nv 0,7nl 0,3nv I=0,7nl+0,3nv

O1 4 4 2,8 1,2 4,0O2 5 4 3,5 1,2 4,7O3 5 4 3,5 1,2 4,7

204



O4 6 5 4,2 1,5 5,7O5 4 3 2,8 0,9 3,7

O6 3 3 2,1 0,9 3,0O7 3 3 2,1 0,9 3,0

Pasul 4 Se determină valoarea maximă a lui I care vafurniza locul de muncă ce va fi plasat în poziţie centrală.Se determină apoi acel loc de muncă ce are un număr maxim de legături cu locul central ales şi se plaseazăimediat lângă el.

În cazul nostru locul de muncă O4 are valoareamaximă 5,7. Vom amplasa deci pe O4 în poziţie centrală. Numărul maxim de legături ale lui O4 este cu O2

(2 legături) care se va amplasa lângă el.Am obţinut deci amplasamentul iniţial:

Fig.51Pasul 5 Se determină apoi suma dintre numărul

legăturilor aflate între locurile de muncă rămase şi celedeja amplasate. Maximele acestor sume vor furnizaurmătoarele locuri de muncă ce se amplasează învecinătatea primelor.Pasul 6 Se revine la pasul 5 până la epuizarea tutror locurilor de muncă.

Avem:• nl(O1,O2)+nl(O1,O4)=1+1=2;• nl(O3,O2)+nl(O3,O4)=1+1=2;• nl(O5,O2)+nl(O5,O4)=0+0=0;• nl(O6,O2)+nl(O6,O4)=0+1=1;• nl(O7,O2)+nl(O7,O4)=1+1=2

Numărul maxim de legături este realizat de O1, O3

şi O7 care se vor amplasa în vecinătatea lui O2 şi O4.

205



Următorul amplasament va fi:

Fig.52

Pentru amplasarea celorlalte locuri de muncă O5 şiO6 vom calcula distanţele de la acestea la cele amplasatedeja.

Avem pentru perechea (O3,O7):• nl(O5,O3)+nl(O5,O7)=2+1=3;• nl(O6,O3)+nl(O6,O7)=1+0=1

Rezultă de aici că O5 se va afla lângă O3 şi O7.

Cum O6 are câte o legătură cu O1, O3 şi O4 rezultăcă îl vom amplasa pe O6 lângă O1 şi O4. Amplasamentul

final este:Fig.53

A doua problemă care va fi discutată ţine seamade cheltuielile de transport dintre diversele locuri demuncă.

206



Să considerăm deci problema anterioară în carevom considera, suplimentar, numărul de piese de fiecare

tip, numărul piese ce se transportă într-o unitate deambalare (cutii, saci, containere etc.) şi implicit numărulde unităţi de ambalare. Este evident că o amplasareapropiată a locurilor de muncă ce produc cele mai multeunităţi de ambalare va reduce cheltuielile de transport.Tabelul nr.36

Nr.crt.

Semnificaţie P1 P2 P3

1 Cantitatea fabricată lunar 500 300 2002 Capacitate de ambalare 10 20 103 Nr. unităţi de

ambalare=(1)/(2)50 15 20

Pasul 1' este identic cu pasul 1.Pasul 2' Se întocmeşte un nou tabel al verigilor astfel:Pasul 2.1' Se generează un tabel într-un mod identic cu

cel al verigilor în care în loc de linioare verticale se trec piesele ce au verigile corespunzătoare.Pasul 2.2' Se întocmeşte un nou tabel al verigilor în caredin tabelul de ambalare se înlocuieşte piesa cu numărulde unităţi de ambalare respectiv şi se totalizează numereletrecute în aceeaşi celulă. Acest total este trecut în tabelulverigilor.Pasul 3 Pe diagonala principală se adună numărul de

unităţi de ambalare situate pe linia şi coloana elementuluirespectiv.Pasul 4 Se procedează în continuare ca la metodaanterioară prin ierrahizări succesive. Avem deci tabelulverigilor:

Tabelul nr.37

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

207



P1 P3 P2 P3 O1

P1 P2, P3 P2 O2

P2 P1, P2 P3 O3

P1 P1 O4

P1 O5

O6

O7

Avem acum tabelul verigilor (în care ţinem

seama de transport ):

Tabelul nr.38O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

105 50 20 15 20 O1

150 50 35 15 O2

150 15 65 20 O3

170 50 50 O4

130 50 O5

90 O6

115 O7

Cea mai mare valoare de pe diagonala principalăeste 170 corespunzătoare lui O4. O4 va fi deci amplasat în poziţie centrală.

Cele mai multe unităţi de ambalare sunt în perechile (O4,O6) sau (O4,O7). Vom considera deci (laalegere) perechea (O4,O6).

Amplasamentul iniţial este deci:

Fig.54Să calculăm acum suma unităţilor de ambalare de

la celelalte locuri de muncă la O4 şi O6. Avem deci:• n(O1,O4)+n(O1,O6)=20+20=40• n(O2,O4)+n(O2,O6)=35+0=35• n(O3,O4)+n(O3,O6)=15+20=35

208



• n(O5,O4)+n(O5,O6)=0+0=0• n(O7,O4)+n(O7,O6)=50+0=50

Cea mai mare valoare este pentru O7 care va fi

amplasat lângă O4 şi O6.Fig.55

Considerând perechea (O4,O7) avem:• n(O1,O4)+n(O1,O7)=20+0=20• n(O2,O4)+n(O2,O7)=35+15=50• n(O3,O4)+n(O3,O7)=15+0=15• n(O5,O4)+n(O5,O7)=0+50=50

Cea mai mare valoare este 50 obţinută pentru O2 şiO5.

Fig.56

Vom amplasa deci locurile de muncă O2 şi O5

lângă O4 şi O7. Cum însă n(O2,O4)>n(O2,O7) vom amplasaO2 lângă O4 şi analog pe O5 lângă O7.

Pentru locurile rămase O1 şi O3 vom remarcafaptul că n(O1,O2)=50 şi n(O1,O5)=15 deci vom amplasa pe O1 între O2 şi O5. Pentru O3 avem n(O3,O5)=65,n(O3,O6)=20 deci vom amplasa pe O3 lângă O5 şi înapropierea lui O6.

209



Amplasarea finală este:

Fig.57Aplicaţii1. Într-o întreprindere se pune problema executării a treitipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care este necesarăorganizezarea unui atelier de producţie. Să notăm tipurilede operaţii de fabricaţie ale acestor piese cu O1, O2, O3,O4, O5, O6, O7 corespunzătoare locurilor de muncă cetrebuie amplasate.

Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.39.

Tabelul nr.39

P1 P2 P3

O1 O1 O2

O3 O5 O1

O2 O2 O3

O4 O4 O6

O7 O3 O5

O5 O7 O4

O6 O6 O7

Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze durata de

210



deplasare între respectivele locuri. Se va consideraα =0,6 şi β =0,4.

SoluţieConstruim mai întâi tabelul de legătură întrelocurile de muncă şi verigile corespunzătoare.

Tabelul nr.40

P1 P2 P3

Locmuncă Verigă Loc demuncă Verigă Loc demuncă Verigă

O1 O1 O2

O1O3 O1O5 O2O1

O3 O5 O1

O3O2 O5O2 O1O3

O2 O2 O3

O2O4 O2O4 O3O6

O4 O4 O6

O4O7 O4O3 O6O5

O7 O3 O5

O7O5 O3O7 O5O4

O5 O7 O4

O5O6 O7O6 O4O7

O6 O6 O7

211



Se întocmeşte apoi tabelul verigilor:Tabelul nr.41

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

4(3) I II I O1

5(4) I II I O2

6(5) I I I O3

6(4) I II O4

6(5) II I O5

4(3) I O6

5(4) O7Considerând, în cazul problemei noastre α =0,6 şi

β =0,4 avem:Tabelul nr.42

Nr.crt.

nl nv 0,6nl 0,4nv I=0,6nl+0,4nv

O1 4 3 2,4 1,2 3,6O2 5 4 3,0 1,6 4,6O3 6 5 3,6 2,0 5,6O4 6 4 3,6 1,6 5,2O5 6 5 3,6 2,0 5,6O6 4 3 2,4 1,2 3,6O7 5 4 3,0 1,6 4,6Valoarea maximă este 5,6 care se obţine pentru O3

ce va fi plasat în poziţie centrală. Se determină acum

locul de muncă ce are un număr maxim de legături cu O3

şi se plasează imediat lângă el. Numărul maxim delegături ale lui O3 este cu O1 (2 legături) care se vaamplasa lângă el.

Am obţinut deci amplasamentul iniţial:

Fig.58

212



Pentru locurile neamplasate O2, O4, O5, O6 şi O7

avem:

• nl(O2,O1)+nl(O2,O3)=1+1=2;• nl(O4,O1)+nl(O4,O3)=0+1=1;• nl(O5,O1)+nl(O5,O3)=1+0=1;• nl(O6,O1)+nl(O6,O3)=0+1=1;• nl(O7,O1)+nl(O7,O3)=0+1=1.

Numărul maxim de legături este realizat de O2

care se va amplasa în vecinătatea lui O3 şi O1.Următorul amplasament va fi:

Fig.59Avem pentru perechea (O2,O3):

• nl(O4,O2)+nl(O4,O3)=2+1=3;• nl(O5,O2)+nl(O5,O3)=1+0=1;• nl(O6,O2)+nl(O6,O3)=0+1=1;• nl(O7,O2)+nl(O7,O3)=0+1=1.

Rezultă de aici că O4 se va afla lângă O2 şi O3.

Fig.60Pentru perechea (O3,O4) avem:

• nl(O5,O3)+nl(O5,O4)=0+1=1;• nl(O6,O3)+nl(O6,O4)=1+0=1;

• nl(O7,O3)+nl(O7,O4)=1+2=3.213



Rezultă de aici că O7 se va amplasa lângă O3 şi O4.Amplasamentul devine cel din figura 61.

Locurile O5 şi O6 vor fi amplasate astfel:• nl(O6,O3)=1 şi nl(O6,O7)=1 implică faptul că O6 se vaamplasa lângă O3 şi O7.

• nl(O5,O6)=2 şi nl(O5,O1)=1 implică faptul că O5 se vaamplasa lângă O6 şi O1.

Fig.61

Obţinem deci amplasamentul final:Fig.62

2. Într-o întreprindere se pune problema executării a treitipuri de piese P1, P2, P3, fapt pentru care este necesarăorganizezarea unui atelier de producţie. Fie tipurile deoperaţii de fabricaţie ale acestor piese: O1, O2, O3, O4, O5,

214



O6, O7 corespunzătoare locurilor de muncă ce trebuieamplasate.

Fluxul tehnologic de fabricaţie al celor 3 pieseeste dat în tabelul nr.43.Tabelul nr.43

P1 P2 P3

O1 O1 O2

O3 O5 O1

O2 O2 O3

O4 O4 O6

O7 O3 O5

O5 O7 O4

O6 O6 O7

iar capacitatea de ambalare în tabelul nr.44.Tabelul nr.44

Nr. crt. Semnificaţie P1 P2 P3

1 Cantitatea fabricată lunar 400 200 600

2 Capacitate de ambalare 20 25 153 Nr. unităţi de ambalare=(1)/

(2)20 8 40

Să se determine o amplasare a locurilor de muncăîn atelierul respectiv care să micşoreze cheltuielile detransport între acestea.Soluţie

Construim mai întâi tabelul de legătură întrelocurile de muncă şi verigile corespunzătoare.Tabelul nr.45

P1 P2 P3

Locmuncă



Verigă

O1 O1 O2

O1O3 O1O5 O2O1

215



O3 O5 O1

O3O2 O5O2 O1O3

O2 O2 O3

O2O4 O2O4 O3O6

O4 O4 O6

O4O7 O4O3 O6O5

O7 O3 O5

O7O5 O3O7 O5O4

O5 O7 O4

O5O6 O7O6 O4O7O6 O6 O7

Primul tabel al verigilor este:Tabelul nr.46

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

P3 P1, P3 P2 O1

P1 P1, P2 P2 O2

P2 P3 P2 O3

P3 P1, P3 O4

P1, P3 P1 O5

P2 O6

O7

Tabelul verigilor ce ţine seama de depozitare este:Tabelul nr.47

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7

108 40 60 8 O1

96 20 28 8 O2

136 8 40 8 O3

136 40 60 O4

136 60 20 O5

108 8 O6

96 O7

216



Cea mai mare valoare de pe diagonala principalăeste 136 corespunzătoare lui O3, O4 şi O5. Vom lua de

exemplu O3 care va fi amplasat în poziţie centrală.Cele mai multe unităţi de ambalare sunt în perechea (O3,O1). Vom considera deci perechea (O3,O1)drept bază de amplasare.

Amplasamentul iniţial este:

Fig.63

Să calculăm acum suma unităţilor de ambalare dela celelalte locuri de muncă la O3 şi O1. Avem deci:• n(O2,O3)+n(O2,O1)=20+40=60;• n(O4,O3)+n(O4,O1)=8+0=8;• n(O5,O3)+n(O5,O1)=0+8=8;• n(O6,O3)+n(O6,O1)=40+0=40;• n(O7,O3)+n(O7,O1)=8+0=8.

Cea mai mare valoare este pentru O2 care va fi

amplasat lângă O3 şi O1.Considerând perechea (O2,O3) avem:

• n(O4,O2)+n(O4,O3)=28+8=36;• n(O5,O2)+n(O5,O3)=8+0=8;• n(O6,O2)+n(O6,O3)=0+40=40;• n(O7,O2)+n(O7,O3)=0+8=8.

Fig.64Cea mai mare valoare se înregistrează pentru O6

deci vom amplasa pe O6 între O2 şi O3.

217



Fig.65Pentru perechea (O2,O6) avem:

• n(O4,O2)+n(O4,O6)=28+0=28;• n(O5,O2)+n(O5,O6)=8+60=68;• n(O7,O2)+n(O7,O6)=0+8=8.

Cea mai mare valoare este înregistrată pentru O5

care va fi amplasat între O2 şi O6.Avem deci amplasamentul:

Fig.66În final, pentru locurile de muncă O4 şi O7 avem:

• n(O4,O5)=40 şi n(O4,O2)=28 deci O4 va fi între O2 şiO5.

• n(O7,O4)=60 deci O7 va fi amplasat lângă O4. Aici secuvine o precizare: dacă am amplasa pe O7 între O4 şi

218



O5 cu care are cele mai mari valori s-ar obţine oarhitectură mai complicată a structurii atelierului. Din

acest motiv, vom amplasa pe O7 lângă O4, O2 şi O1.Amplasamentul final este:Fig.67

SUCCESIUNEA OPERAŢIILOR ÎN FLUXURILEDE PRODUCŢIE

Problemele de succesiune a operaţiilor în cadrulfluxurilor de producţie se pun în practică pentrudiminuarea timpului de aşteptare a utilajelor atunci când mai multe repere folosesc aceeaşilinie tehnologică în aceeaşi direcţie de parcurs.

1. Succesiunea a două utilaje fără termene deeliberare iniţială

Noţiuni teoreticeFie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează n pieseP1,...,Pn (n≥ 2) în aceeaşi ordine (mai întâi U 1 şi apoi U 2).Vom considera că utilajele U1 şi U2 sunt disponibile pentru execuţie chiar de la începutul procesului analizat şică perioada de aşteptare a intrării utilajului U2 în execuţiaunei anumite piese nu implică costuri suplimentare. În plus, vom presupune că piesele nu au un termen limită de

terminare.Să notăm cu tij durata de prelucrare a unei piese j

pe utilajul i.Problema revine la stabilirea unei ordini de

lansare a execuţiei pieselor astfel încât durata de aşteptarea utilajului U2 să fie minimă.

Fie deci matricea T=(tij)∈M 2n(R ) a timpilor de

prelucrare. Algoritmul constă în următorii paşi:219



Pasul 1 Se alege cel mai mic element de pe prima linie.Acesta va furniză piesa ce se lansează prima în execuţie.

Pasul 2 Se taie coloana anterioară şi se alege cel mai micelement de pe cea de-a doua linie. Piesa respectivă va fiultima în execuţie.Pasul 3 Se taie coloana anterioară şi se revine la pasul 1.Piesa aleasă va fi a doua, iar la pasul 2, piesa aleasă va fi penultima etc. Procedeul continuă până la terminareatuturor pieselor.

Exemplificăm algoritmul de mai sus pe următorul

ExempluFie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează pieseleP1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 şi P10. Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.48.

Tabelul nr.48PiesaUtil.

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

U1 2 5 7 3 4 6 1 6 3 4U2 1 3 6 4 7 2 3 5 4 2

Cel mai mic element de pe prima linie este 1 şideci prima piesă lansată în execuţie este P7. Tăindcoloana P7 obţinem:

PiesaUtil.

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P8 P9 P10

220



U1 2 5 7 3 4 6 6 3 4

U2 1 3 6 4 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci ultima piesă lansată în execuţie va fi P1. Avem decisecvenţa P7, P1. Tăind coloana P1 obţinem:

PiesaUtilajul

P2 P3 P4 P5 P6 P8 P9 P10

U1 5 7 3 4 6 6 3 4

U2 3 6 4 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şi

deci a doua piesă lansată în execuţie este P4. Avem decisecvenţa P7, P4, P1. Tăind coloana P4 obţinem:

PiesaUtilajul

P2 P3 P5 P6 P8 P9 P10

U1 5 7 4 6 6 3 4

U2 3 6 7 2 5 4 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi

deci penultima piesă lansată în execuţie va fi P6. Avemdeci secvenţa P7, P4, P6, P1. Tăind coloana P6 obţinem:

PiesaUtilajul

P2 P3 P5 P8 P9 P10

U1 5 7 4 6 3 4U2 3 6 7 5 4 2

Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şideci a treia piesă lansată în execuţie este P9. Avem decisecvenţa P7, P4, P9, P6, P1. Tăind coloana P9 obţinem:

221



PiesaUtilajul

P2 P3 P5 P8 P10

U1 5 7 4 6 4

U2 3 6 7 5 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi

deci antepenultima piesă lansată în execuţie va fi P10.Avem deci secvenţa P7, P4, P9,P10, P6, P1. Tăind coloanaP10 obţinem:

PiesaUtilajul

P2 P3 P5 P8

U1 5 7 4 6

U2 3 6 7 5Cel mai mic element de pe prima linie este 4 şideci a patra piesă lansată în execuţie este P5. Avemsecvenţa P7, P4, P9, P5, P10, P6, P1. Tăind coloana P5

obţinem:Piesa

UtilajulP2 P3 P8

U1 5 7 6U2 3 6 5

Cel mai mic element de pe a doua linie este 3 şideci a patra piesă de la sfârşit lansată în execuţie va fi P 2.Avem secvenţa P7, P4, P9, P5, P2, P10, P6, P1. Tăind coloanaP2 obţinem:

Piesa

Utilajul

P3 P8

222



U1 7 6

U2 6 5Cel mai mic element de pe prima linie este 6 şideci a cincea piesă lansată în execuţie este P8. Piesarămasă este P3 care se va lansa în execuţie după P8.Obţinem deci succesiunea finală:

P7, P4, P9, P5, P8, P3, P2, P10, P6, P1

Ilustrarea grafică a intrărilor în execuţie a pieselor pe cele două utilaje se poate face prin intermediul

diagramelor Gantt :Fig.68

Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t16-

t2,10=6-2=4.Aplicaţii1. Fie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează piesele P1, P2,

P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 şi P10 în ordinea U1 şi U2.Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.49.

Tabelul nr.49Piesa

Util. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

223



U1 4 2 1 5 3 7 2 3 1 6

U2 2 1 5 4 3 2 1 7 3 2Să se stabilească o succesiune a intrării pieselor la prelucrare astfel încât timpul total de aşteptare săfie minim. Să se alcătuiască de asemeneadiagrama Gantt.

SoluţieCel mai mic element de pe prima linie este 1 şi

deci prima piesă lansată în execuţie este P3. Tăindcoloana P3 obţinem:PiesaUtil.

P1 P2 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

U1 4 2 5 3 7 2 3 1 6

U2 2 1 4 3 2 1 7 3 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şi

deci ultima piesă lansată în execuţie va fi P2. Avem decisecvenţa P3, P2. Tăind coloana P2 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

U1 4 5 3 7 2 3 1 6

U2 2 4 3 2 1 7 3 2

Cel mai mic element de pe prima linie este 1 şideci a doua piesă lansată în execuţie este P9. Avem decisecvenţa P3, P9, P2. Tăind coloana P9 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P4 P5 P6 P7 P8 P10

224



U1 4 5 3 7 2 3 6

U2 2 4 3 2 1 7 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci penultima piesă lansată în execuţie va fi P7. Avemdeci secvenţa P3, P9, P7, P2. Tăind coloana P7 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P4 P5 P6 P8 P10

U1 4 5 3 7 3 6

U2 2 4 3 2 7 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şi deci atreia piesă lansată în execuţie este P5. Avem deci secvenţaP3, P9, P5, P7, P2. Tăind coloana P5 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P4 P6 P8 P10

U1 4 5 7 3 6

U2 2 4 2 7 2Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şi

deci antepenultima piesă lansată în execuţie va fi P1.Avem deci secvenţa P3, P9, P5, P1, P7, P2. Tăind coloana P1

obţinem:Piesa

UtilajulP4 P6 P8 P10

225



U1 5 7 3 6

U2 4 2 7 2Cel mai mic element de pe prima linie este 3 şideci a patra piesă lansată în execuţie este P8. Avemsecvenţa P3, P9, P5, P8, P1, P7, P2. Tăind coloana P8

obţinem:Piesa

UtilajulP4 P6 P10

U1 5 7 6U2 4 2 2

Cel mai mic element de pe a doua linie este 2 şideci a patra piesă de la sfârşit lansată în execuţie va fi P 6.Avem secvenţa P3, P9, P5, P8, P6, P1, P7, P2. Tăind coloanaP6 obţinem:

Piesa

Utilajul

P4 P10

U1 5 6

U2 4 2Cel mai mic element de pe prima linie este 5 şi

deci a cincea piesă lansată în execuţie este P4. Piesarămasă este P10 care se va lansa în execuţie după P4.Obţinem deci succesiunea finală:

P3, P9, P5, P8, P4, P10, P6, P1, P7, P2

Diagrama Gantt este:

226



Fig.69Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t16-

t2,10+t14-t27=7-2+5-1=9.

2. Fie două utilaje U1 şi U2 care prelucrează piesele P1, P2,P3, P4, P5 în ordinea U1 şi U2. Duratele de prelucrare sunt date în tabelul nr.50.

Tabelul nr.50Piesa

UtilajulP1 P2 P3 P4 P5

U1 5 1 3 2 4

U2 4 2 1 3 5

Să se stabilească o succesiune a intrării pieselor la prelucrare astfel încât timpul total de aşteptare săfie minim. Să se alcătuiască de asemeneadiagrama Gantt.

SoluţieCel mai mic element de pe prima linie este 1 şi

deci prima piesă lansată în execuţie este P2. Tăind

coloana P2 obţinem:PiesaUtilajul

P1 P3 P4 P5

227



U1 5 3 2 4

U2 4 1 3 5Cel mai mic element de pe a doua linie este 1 şideci ultima piesă lansată în execuţie este P3. Ordineatemporară este: P2, P3. Tăind coloana P3 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P4 P5

U1 5 2 4

U2 4 3 5Cel mai mic element de pe prima linie este 2 şi

deci a doua piesă lansată în execuţie este P4. Ordineadevine: P2, P4, P3. Tăind coloana P4 obţinem:

PiesaUtilajul

P1 P5

U1 5 4

U2 4 5Cel mai mic element de pe a doua linie este 4 şi

deci penultima piesă lansată în execuţie este P1. Piesarămasă fiind P5 ea va fi a treia piesă lansată în execuţie.

Succesiunea finală este deci:P2, P4, P5, P1, P3

Durata de aşteptare a utilajului U2 este de t15-t24=4-

3=1.

Diagrama Gantt este:Fig.70

228



2. Succesiunea unor utilaje cu termene de eliberareiniţială

Noţiuni teoreticeFie n utilaje U1,...,Un care prelucrează m pieseP1,...,Pm (n,m≥ 2) în aceeaşi ordine (U 1 , U 2 ,...,U n). Fiecareutilaj Ui are un termen de eliberare iniţială notat ei ceconstă în durata de la începutul procesului considerat până când acesta devine disponibil pentru prelucrări (el

fiind angajat în alte procese anterioare de producţie). Deasemenea, să considerăm timpii tij de prelucrare de cătreutilajul i a piesei j (dacă piesa j nu se poate prelucra pe

utilajul U i vom considera t ij=0) şi costurile c j de prelucrare a pieselor P j.

Vom considera, de asemenea, că nu existătermene limită de prelucrare a pieselor.

Problema constă în stabilirea unei ordini delansare a execuţiei pieselor astfel încât durata de aşteptare

totală a utilajelor să fie minimă.Vom exemplifica algoritmul care urmează peurmătorul:Exemplu

Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilajeU1, U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4, P5.Timpii de eliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şicosturile pieselor sunt date în tabelul nr.51.

Tabelul nr.51Piesa

UtilajulP1 P2 P3 P4 P5 ei

U1 3 1 5 4 2 6U2 2 6 1 3 4 5

229



U3 8 2 3 1 7 13U4 1 8 6 2 1 16

Cost 100 200 150 300 200 -Vom prezenta în cele ce urmează algoritmul

numit al programării secvenţiale6 pe care, însă, îl vomsistematiza pentru simplificarea calculelor.

Fie matricea T=

12681

71328

43162

24513

a timpilor de

prelucrare şi matricea E=

16

13

5

6

a timpilor de eliberare a

utilajelor. Construim plecând de la E matricea completată

E'=

1616161616

1313131313

55555

66666

.

Să notăm de asemenea pentru o matrice X cu X(i)linia corespunzătoare utilajului Ui a matricei şi cu X[ j]coloana corespunzătoare piesei P j a acesteia.Pasul 1 Construim matricea A1 ale cărei componente sunt

termenele de începere a prelucrării pieselor. AvemA1(1)=E'(1) deoarece primul intră utilajul U1 care aretermenul de eliberare (acelaşi pentru fiecare piesă ) dat de prima linie a matricei E'. Următoarele linii se construiescrecursiv, astfel: A1(i)=max {A1(i-1)+T(i-1),E'(i)}

6 Teodorescu N. ş.a., Metode ale cercetării operaţionaleîn gestiunea întreprinderilor , Ed. tehnică, Bucureşti,

1972230



∀i=2,...,n. Justificarea acestei construcţii este că termenulde începere a prelucrării pentru utilajul i este egal cu

suma dintre termenul de începere a prelucrării pentruutilajul anterior şi timpul de prelucrare anterior dacăaceastă sumă nu este inferioară termenului de eliberare autilajului i (este evident că dacă acesta este încă ocupat

se va produce o aşteptare pentru lansarea în execuţie).Avem, în cazul problemei noastre:

A1=

2016161621

1313131313

8101179

66666

Pasul 2 Construim matricea B1 ale cărei componente suntduratele de aşteptare a utilajului Ui pentru intrarea înexecuţia piesei P j. Este evident că avem B1=A1-E'.

La problema noastră avem:

B1=

2016161621

1313131313

8101179

66666

-

1616161616

1313131313

55555

66666

=

40005

00000

35624

00000

Pasul 3 Se calculează vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă.

Avem deci:S1= ( )75629

231



Pasul 4 Cea mai mică dintre aceste componente vafurniza prima piesă ce va intra în execuţie. Fie aceasta

piesa P j.În cazul prezentat piesa P2 va intra prima înexecuţie.Pasul 5 Se recalculează matricea E a termenelor deeliberare astfel: E=A1[ j]+T[ j] deoarece noile termene deeliberare sunt date de suma dintre timpul de aşteptare afiecărui utilaj cu timpul de prelucrare efectivă a piesei cea intrat deja în execuţie. Se elimină din matricea Tcoloana piesei ce a intrat deja în execuţie (determinată la

pasul 4) şi se revine la pasul 1.

Avem deci E=

24

15

13

7

. Eliminând coloana 2 a

matricei T obţinem:

T=

1261

7138

4312

2453

şi E'=

24242424

15151515

13131313

7777

corespunzătoare pieselor P1, P3, P4 şi P5.

Avem acum: A2=

24242424

17161515

13131313

7777

şi B2=A2-

E' de unde:

232



B2=

2424242417161515

13131313

7777

-

2424242415151515

13131313

7777

=

0000

2100

0000

0000

.

Suma elementelor coloanelor lui B2 este S2=( )2100 de unde rezultă că minimul este atins

pentru piesele P1 şi P3.Pasul 6 Dacă la pasul 4 sunt mai multe piese cefurnizează acelaşi minim pentru Si atunci se calculeazătimpii de aşteptare ale pieselor respective astfel:

Se calculează mai întâi matricea A'3 după modelulmatricelor Ai. Se construieşte o nouă matrice C astfel:

prima linie a matricei C este E'(1); următoarele linii seconstruiesc prin recurenţă astfel: C(i)=max {C(i-1),A'3(i-1)}+T(i-1) ∀i≥ 2.

După această construcţie se determină matriceaB'3=A'3-C.

Se construieşte vectorul linie S'3 al sumelor de pecoloane, se înmulţesc componentele acestuia cu costurileaferente pieselor obţinându-se un vector S"3 şi sedetermină minimul componentelor lui S"3

corespunzătoare pieselor ce furnizau acelaşi minimanterior.

Dacă există o singură piesă care furnizează acestminim ea va fi următoarea piesă ce va intra la prelucrare.

233



A'3=

2015162013141312

9111210

7777

, C=

2015162013141312

9111210

7777

, B'3=

0000

0000

0000

0000

, S'3= ( )0000 ,

S"3= ( )2000300015001000 ×××× de undeminimul căutat este obţinut din nou pentru ambele pieseP1 şi P3.Pasul 7 Dacă în situaţia de la pasul 5 există în continuaremai multe piese ce furnizează minimul atunci se alege piesa care are costul maxim. Dacă sunt mai multe înaceeaşi situaţie se alege, în final, una arbitrară.

În cazul nostru avem că piesa P3 are cost mai mare

de prelucrare şi anume 150 deci ea va intra la prelucraredupă piesa P2.Revenim la pasul 1.

Avem E=A2[3]+T[3]=

30

18

14

12

, iar matricea T devine

T=

121

718

432243

.

234



Matricea E'=

303030181818

141414

121212

este corespunzătoare

pieselor P1, P4 şi P5.

Avem acum: A3=

303030

181918

141615

121212

, B3=A3-E'=

303030

181918

141615

121212

-

303030

181818

141414

121212

=

000

010

021

000

, S3= ( )031 de unde

rezultă că minimul este atins pentru piesa P5 care va intraurmătoarea în execuţie.

Revenim iar la pasul 1.

Avem E=A3[5]+T[5]=

31

25

18

14


T=

21

18

32

43

.

235



Matricea E'=

31312525

1818

1414

este corespunzătoare

pieselor P1 şi P4.

Avem acum: A4=

3133

2525

1818

1414

, B4=A4-E'=

3133

2525

1818

1414

-

3131

2525

1818

1414

=

02

00

00

00

, S4= ( )02 de unde


Avem E=A4[4]+T[4]=

33

26

21

18


T=

1

8

2

3

. Matricea A5=

34

26

21

18

. B5=A5-E=

34

26

21

18

-

33

26

21

18

=

1

0

0

0

deci timpul de aşteptare al ultimei piese ce va intra

în execuţie: P1 este egal cu 1.

236



Avem în final E=A5[1]+T[1]=

3534

23

21

timpii finali

de eliberare a utilajelor.Ordinea de prelucrare finală este: P2, P3, P5, P4, P1.Timpul total de aşteptare este suma minimelor

obţinute pentru Si şi anume: S=2+0+0+0+1=3.

Diagrama de tip Gantt a succesiunii obţinute este:

Fig.71Aplicaţii1. Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilaje U1,U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4, P5. Timpiide eliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şi costurile pieselor sunt date în tabelul nr.52.Tabelul nr.52

PiesaUtilajul

P1 P2 P3 P4 P5 ei

U1 5 2 4 9 4 7U2 3 1 5 6 8 9

237



U3 10 1 5 8 7 15U4 2 6 9 1 7 25

Cost 100 400 200 500 300 -Să se stabilească o ordine de lansare a execuţiei

pieselor astfel încât durata de aşteptare totală a utilajelor să fie minimă.Soluţie

Fie matricea T=

71962785110

86513

49425

a timpilor

de prelucrare şi matricea E=

25

15

9

7

a timpilor de eliberare

a utilajelor. Fie de asemenea matricea completată:

E'=

2525252525

1515151515

9999977777

Avem acum A1=

2630252525

1922161515

111611912

77777

,

238



B1=

26302525251922161515

111611912

77777

-

25252525251515151515

99999

77777

=

15000

47100

27203

00000

Calculăm apoi vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă. Avem deci:

S1= ( )719303

Cea mai mică dintre aceste componentefurnizează prima piesă ce va intra în execuţie adică piesaP2.

Recalculăm acum matricea E a termenelor de

eliberare astfel:

E=A1[2]+T[2]=

25

15

9

7

+

6

1

1

2

=

31

16

10

9

Eliminăm acum coloana a doua din matricea T şiaceasta devine:

T=

7192

78510

86534945

239



De asemenea, matricea completată E'=

31313131

1616161610101010

9999

are coloanele corespunzătoare

pieselor P1, P3, P4 şi P5.

Avem acum: A2=

31323131

21241817

13181314

9999

şi B2=A2-E'

de unde:

B2=

31323131

21241817

13181314

9999

-

31313131

16161616

10101010

9999

=

0100

5821

3834

0000

.


pentru piesele P1 şi P3.Pentru a discerne între cele două piese calculăm

mai întâi matricea A'3 după modelul matricelor Ai. Avemdeci:

A'3=

31323131

21241817

13181314

9999

Construim apoi matricea C:

240



C=

2832232721241817

13181314

9999

În final, se construieşte matricea B'3=A'3-C adică:

B'3=

31323131

21241817

13181314

9999

-

28322327

21241817

13181314

9999

=

3084

0000

0000

0000

Se construieşte vectorul linie S'3 al sumelor de pecoloane:

S'3= ( )3084

se înmulţesc componentele acestuia cu costurile aferente pieselor obţinându-se un vector S"3:

S"3= ( )90001600400

şi se determină minimul componentelor lui S"3

corespunzătoare pieselor P1 şi P3. Cum piesa P1 este ceacare furnizează minimul ea este cea de-a doua piesă ce vaintra în fabricaţie.

Avem acum E=A2[1]+T[1]=

31

17

149

+

2

10

35

=

33

27

1714

,

iar matricea T devine:

241



T=

719785

865

494

. Matricea completată E'=

333333272727

171717

141414

şi este corespunzătoare pieselor P3, P4 şi P5. Avem acum:

A3=

343733

272927

182318

141414

,

B3=A3-E'=

343733

272927

182318

141414

-

333333

272727

171717

141414

=

140

020

161

000

iar S3= ( )2121 de unde rezultă că minimul este atins pentru piesa P3 care va intra următoarea în execuţie.


33

27

18

14

+

9

5

5

4

=

42

32

23

18

,

iar matricea T devine T=

71

78

86

49

. Matricea E'=

4242

3232

2323

1818

este corespunzătoare pieselor P4 şi P5.

242



Rezulă: A4=

42423233

2327

1818

, B4=A4-E'=

42423233

2327

1818

-

4242

3232

2323

1818

=

00

01

04

00

,

S4= ( )05 de unde obţinem că minimul este atins pentru piesa P5 care va intra următoarea în execuţie.

În final, avem E=A4[5]+T[5]=

42

32

23

18

+

7

7

8

4

=

49

39

31

22

,


T=

1

8

6

9

. Matricea A5=

49

39

31

22

, B5=A5-E=

49

39

31

22

-

49

39

31

22

=

0

0

0

0




49

39

31

22

+

1

8

6

9

=

50

47

37

31

timpii finali de eliberare a utilajelor.

243



Ordinea de prelucrare finală este: P2, P1, P3, P5, P4.Timpul total de aşteptare este suma minimelor

obţinute pentru Si şi anume: S=0+5+1+0+0=6.2. Într-un atelier se prelucrează cu ajutorul a 4 utilaje U1,U2, U3, U4 un număr de 5 piese: P1, P2, P3, P4. Timpii deeliberare a utilajelor, timpii de prelucrare şi costurile pieselor sunt date în tabelul nr.53. Să se stabilească oordine de lansare a execuţiei pieselor astfel încât duratade aşteptare totală a utilajelor să fie minimă.Tabelul nr.53

PiesaUtilajul

P1 P2 P3 P4 ei

U1 6 2 7 3 12U2 5 1 4 9 15U3 11 4 0 3 8U4 3 4 2 8 23

Cost 200 100 300 400 -

Soluţie

Fie matricea T=

8243

30411

9415

3726

a timpilor de

prelucrare şi matricea E=

238

15

12

a timpilor de eliberare a

utilajelor.Fie de asemenea matricea completată:

244



E'=

232323238888

15151515

12121212

Avem acum A1=

27232334

24231623

15191518

12121212

,

B1=A1-E'=

27232334

24231623

15191518

12121212

-

23232323

8888

15151515

12121212

=

40011

1615815

0403

0000

.

Calculăm apoi vectorul linie S1 a sumeielementelor coloanelor lui B1 adică suma tuturor timpilor de aşteptare pentru fiecare piesă. Avem deci:

S1= ( )2019829

Cea mai mică dintre aceste componentefurnizează prima piesă ce va intra în execuţie adică piesaP2.

Recalculăm acum matricea E a termenelor deeliberare astfel:

E=A1[2]+T[2]=

23

16

15

12

+

4

4

1

2

=

27

20

16

14

245



Eliminăm acum coloana a doua din matricea T şiaceasta devine:

T=

823

3011

945376

De asemenea, matricea completată E'=

272727202020

161616

141414

are coloanele corespunzătoare pieselor

P1, P3 şi P4.

Avem acum: A2=

292736

262525

172120

141414

şi B2=A2-E' de

unde:

B2=

292736

262525

172120

141414

-

272727

202020

161616

141414

=

209

655

154

000

.


pentru piesa P4.

246




29

26

17

14

+

8

3

9

3

=

37

29

26

17

,

iar matricea T devine T=

23

011

45

76

. Matricea completată

E'=

3737

2929

2626

1717

şi este corespunzătoare pieselor P1 şi P3.

Avem acum: A3=

3742

3031

2626

1717

, B3=A3-E'=

3742

3031

2626

1717

-

3737

2929

2626

1717

=

05

12

00

00

, iar S3= ( )17 de unde



37

30

2617

+

2

0

47

=

39

30

3024

,


247



T=

3

11

5

6

. Matricea A4=

4635

30

24

, B4=A4-E=

4635

30

24

-

3930

30

24

=

7

5

0

0




46

35

30

24

+

3

11

5

6

=

49

46

35

30

timpii finali de eliberare a utilajelor.Ordinea de prelucrare finală este: P2, P4, P3, P1.Timpul total de aşteptare este suma minimelor

obţinute pentru Si şi anume: S=8+9+1+12=30.

CAPITOLUL II

PROBLEME DE ÎNCĂRCARE

Problemele de încărcare sunt specifice

fenomenelor de optimizare a funcţionării unor utilaje, aunor linii tehnologice astfel încât acestea să furnizeze fie

cele mai mari producţii, fie cele mai mici preţuri de cost

pentru o producţie dată.

Fie un graf orientat G=(X,U) (din care eliminăm

eventualele bucle) şi X={x1,...,xn}.248



1. DETERMINAREA FLUXULUI MAXIMAL DE

TRANSPORT ÎNTR-O REŢEA

Vom ataşa grafului G o funcţie de capacitate

c:U→N, (x,y)→c(x,y) ∀(x,y)∈U.

Vom spune că tripletul (X,U,c) reprezintă o reţea

de transport dacă:

♦ x1 este nod iniţial al reţelei şi este unic cu această

proprietate;

♦ xn este nod terminal al reţelei şi este unic cu această

proprietate;

♦ există cel puţin un drum de la x1 la xn.

Fiind dată o reţea de transport, numim flux al

acestei reţele o aplicaţie F:U→N cu proprietăţile:

♦ F(x,y)≤ c(x,y) ∀(x,y)∈U;

♦ ∑∑+− ω∈ω∈

=)y()z,y()y()y,x(

)z,y(F)y,x(F ∀y∈X-

{x1,xn}.

Observaţie

Un flux are proprietatea că este cel mult egal cu

capacitatea arcului, iar suma fluxurilor arcelor care intră

într-un nod (neiniţial şi neterminal) este egală cu suma

fluxurilor arcelor care ies din acel nod. Se obţine imediat

249



că fluxul care intră în nodul iniţial este egal cu cel care

iese prin nodul terminal.

Vom nota, de asemenea, cu:

φ (y)= ∑∑+− ω∈ω∈

=)y()z,y()y()y,x(

)z,y(F)y,x(F

suma tuturor fluxurilor prin nodul y.

Vom exemplifica aceste noţiuni pentru

următoarea:

Problema 1

Să considerăm o agenţie de turism care

organizează circuite către diverse obiective. Agenţia

asigură un punct de plecare şi unul de sosire, în interiorul

mulţimii de trasee. Turiştii pot opta însă pentru diverse

variante. Capacitatea de transport, cazare etc. a agenţiei

este limitată. Este evident că numărul de turişti care intră

într-un obiectiv turistic este egal cu cel al celor care

părăsesc în final acest obiectiv. Se pune problema

determinării maximului fluxului de turişti pe toată aceastăreţea.

Fie deci graful din figura T.12.

250



Pentru determinarea unui flux maximal se

foloseşte algoritmul lui Fulkerson-Ford care constă în

următoarele etape:

Pasul 1 Se alocă mai întâi reţelei un flux arbitrar. În

această etapă se urmăreşte ca intrările total într-un nod să

fie egale cu ieşirile, iar alocările să nu depăşească

capacitatea arcului.

Fig.T.12

Fie deci: F(x1,x2)=2 şi F(x1,x3)=8. Cum

φ (x1)=2+8=10 rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este

egal cu 10. Fie F(x2,x4)=1. Deoarece φ (x2)=2 (suma

fluxurilor care intră în x2) rezultă că suma fluxurilor care

251



ies din x2 trebuie să fie egală, de asemenea, cu x2. Avem

deci F(x2,x4)+F(x2,x3)=2 de unde F(x2,x3)=2-1=1. Pentru

nodul x3 avem φ (x3)=8+1=F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde

F(x3,x5)+F(x3,x6)=9. Vom atribui, de exemplu: F(x3,x5)=4

şi F(x3,x6)=5. În nodul x4 avem φ (x4)=1+

F(x5,x4)=F(x4,x7) deci fie F(x5,x4)=3 şi F(x4,x7)=4. Pentru

nodul x5 avem φ (x5)=4=F(x5,x4)+F(x5,x7)= 3+F(x5,x7) deunde F(x5,x7)=1. În nodul x6 avem:

φ (x6)=5=F(x6,x7)+F(x6,x8) de unde fie F(x6,x7)=1 şi

F(x6,x8)=4. Pentru x7 avem

φ (x7)=4+1+1=F(x7,x9)+F(x7,x8) deci fie F(x7,x9)=3 şi

F(x7,x8)=3. Pentru nodul x8 avem φ (x8)=4+3=F(x8,x9) deunde F(x8,x9)=7. În final φ (x9)=3+7=10=φ (x1). Alocarea

fluxurilor pe arce este redată în figura T.13 (în interiorul

cercurilor ).

Fig.T.13

Pasul 2 Se procedează la o marcare a nodurilor reţeleiastfel:

♦ Nodul iniţial x1 se marchează cu 0;

♦ Dacă am marcat nodul xi vom marca cu i+ toate

nodurile ce sunt extremităţi finale ale arcelor

252



nesaturate ( pentru care fluxul este strict mai mic

decât capacitatea arcului) cu originea în xi;

♦ Dacă am marcat nodul xi vom marca cu i- toate

nodurile ce sunt extremităţi iniţiale ale arcelor

nesaturate cu vârful în xi.

Avem deci ( fig.T.14) următoarea marcare (în

interiorul pătratelor ):

Nodul x1 este marcat cu 0. Din existenţa arcelor

nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) vom marca nodurile x2 şi x3 cu

1+. Arcul (x2,x4) este nesaturat (F(x2,x4)=1<2=c(x2,x4))

deci marcăm pe x4 cu 2+. Marcăm apoi, în acelaşi mod,

nodurile x5 şi x6 cu 3+, x7 cu 4+, x8 cu 6+ şi x9 cu 7+.

Pasul 3 Dacă s-a reuşit marcarea nodului terminal rezultă

că există un drum de la x1 la x9 format numai din arce

nesaturate.

În cazul exemplului nostru, avem drumul: (x1,x2),

(x2,x4), (x4,x7), (x7,x9).

Pasul 4 Pe drumul δ astfel determinat se calculează m=

( ))y,x(F)y,x(cmin)y,x(

−δ∈ >0.

Pasul 5 Se determină un nou flux F' în reţea astfel:

♦ F'(x,y)=F(x,y) dacă (x,y)∉ δ ;

253



♦ F'(x,y)=F(x,y)+m dacă (x,y)∈δ şi y este marcat cu +;

♦ F'(x,y)=F(x,y)-m≤c(x,y) dacă (x,y)∈ δ şi y estemarcat cu -. Dacă F(x,y)-m>c(x,y) atunci se

consideră F'(x,y)=F(x,y)-1.

Fig.T.14

Pasul 6 Se revine la pasul 2 până când nodul terminal nu

mai poate fi marcat şi deci fluxul obţinut este maximal.

În cazul problemei noastre, avem: m=min

{c(x1,x2)-F(x1,x2), c(x2,x4)-F(x2,x4), c(x4,x7)-F(x4,x7),

c(x7,x9)-F(x7,x9)}= min {2, 1, 2, 6}=1.

254



Avem deci noile fluxuri:

♦ F'(x1,x2)=3

♦ F'(x1,x3)=8

♦ F'(x2,x4)=2

♦ F'(x2,x3)=1

♦ F'(x3,x5)=4

♦ F'(x3,x6)=5

♦ F'(x5,x4)=3

♦ F'(x4,x7)=5

♦ F'(x5,x7)=1

♦ F'(x6,x7)=1

♦ F'(x6,x8)=4

♦ F'(x7,x9)=4

♦ F'(x7,x8)=3

♦ F'(x8,x9)=7

Graful obţinut este dat în figura T.15.

Marcăm acum nodurile. Nodul x1 este marcat cu

0. Din existenţa arcelor nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) vom

marca nodurile x2 şi x3 cu 1+. Arcul (x2,x4) este saturat

(F(x2,x4)=2=c(x2,x4)) deci nu-l mai putem marca precum

în cazul precedent. Arcul (x3,x6) este nesaturat şi deci

marcăm x6 cu 3+, arcul (x3,x5) este nesaturat şi marcăm x5

255



cu 3+. Arcul (x5,x4) este şi el saturat deci nu putem încă

marca nodul x4. Arcul (x5,x7) este nesaturat şi marcăm x7

cu 5+. Arcul (x4,x7) este nesaturat, dar intrând într-un nod

marcat, vom marca pe x4 cu 7-. În final, marcăm nodul x8

cu 6+ şi x9 cu 7+.

Fig.T.15

Situaţia marcării este redată în figura T.16.Drumul obţinut este (x1,x2), (x2,x3), (x3,x5), (x5,x7),

(x7,x9).

Avem acum:

256



m=min {c(x1,x2)-F'(x1,x2), c(x2,x3)-F'(x2,x3), c(x3,x5)-

F'(x3,x5), c(x5,x7)-F'(x5,x7), c(x7,x9)-F'(x7,x9)}=min {1, 4, 3,3, 5}=1.

Fig.T.16


♦ F"(x1,x2)=4

♦ F"(x1,x3)=8

257



♦ F"(x2,x4)=2

♦ F"(x2,x3)=2

♦ F"(x3,x5)=5

♦ F"(x3,x6)=5

♦ F"(x5,x4)=3

♦ F"(x4,x7)=5

♦ F"(x5,x7)=2

♦ F"(x6,x7)=1

♦ F"(x6,x8)=4

♦ F"(x7,x9)=5

♦ F"(x7,x8)=3

♦ F"(x8,x9)=7

Graful obţinut, după marcare este:

258



Fig.T.17

Drumul obţinut este (x1,x3), (x3,x6), (x6,x8), (x8,x9).

Avem acum: m=min {c(x1,x3)-F"(x1,x3), c(x3,x6)-

F"(x3,x6), c(x6,x8)-F"(x6,x8), c(x8,x9)-F"(x8,x9)}=min {2, 1,

4, 4}=1.


♦ F'''(x1,x2)=4

♦ F'''(x1,x3)=9

♦ F'''(x2,x4)=2

♦ F'''(x2,x3)=2

259



♦ F'''(x3,x5)=5

♦ F'''(x3,x6)=6

♦ F'''(x5,x4)=3

♦ F'''(x4,x7)=5

♦ F'''(x5,x7)=2

♦ F'''(x6,x7)=1

♦ F'''(x6,x8)=5

♦ F'''(x7,x9)=5

♦ F'''(x7,x8)=3

♦ F'''(x8,x9)=8

Graful obţinut, după marcare este dat în figura

T.18.

Drumul obţinut acum este (x1,x3), (x3,x5), (x5,x7),

(x7,x9).

Avem: m=min {c(x1,x3)-F'''(x1,x3), c(x3,x5)-

F'''(x3,x5), c(x5,x7)-F'''(x5,x7), c(x7,x9)-F'''(x7,x9)}=min {1, 2,

2, 4}=1.Avem deci noile fluxuri:

♦ Fiv(x1,x2)=4

♦ Fiv(x1,x3)=10

♦ Fiv(x2,x4)=2

♦ F

iv

(x2,x3)=2260



♦ Fiv(x3,x5)=6

♦ Fiv(x3,x6)=6

Fig.T.18

♦ Fiv(x5,x4)=3

♦ Fiv(x4,x7)=5

♦ Fiv(x5,x7)=3

♦ Fiv(x6,x7)=1

♦ Fiv(x6,x8)=5

♦ Fiv(x7,x9)=6

♦ Fiv(x7,x8)=3

261



♦ Fiv(x8,x9)=8

Graful obţinut, după marcare este dat în figura

T.19.

Fig.T.19

Se observă că marcarea nu mai este posibilă

deoarece ambele arce din x1 sunt saturate. Fluxul din

figură este maximal şi egal cu 14.

262



1.1. Să considerăm o agenţie de turism care

organizează circuite către diverse

obiective. Agenţia asigură un punct de

plecare şi unul de sosire, în interiorul

mulţimii de trasee. Turiştii pot opta însă

pentru diverse variante. Capacitatea de

transport, cazare etc. a agenţiei este

dată în figura A.16. Se pune problema

determinării maximului fluxului de

turişti pe toată această reţea.

Soluţie

Determinăm un flux iniţial pe reţeaua dată. Fie

deci: F(x1,x2)=6 şi F(x1,x3)=10. Cum φ (x1)=6+10=16

rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este egal cu 16. Fie

F(x2,x4)=3. Deoarece φ (x2)=6 (suma fluxurilor care intră

în x2) rezultă că suma fluxurilor care ies din x2 trebuie să

fie egală, de asemenea, cu x2. Avem deci

F(x2,x4)+F(x2,x3)=6 de unde F(x2,x3)=6-3=3. Pentru nodul

x3 avem φ (x3)=10+3= F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde

F(x3,x5)+F(x3,x6)=13. Vom atribui: F(x3,x5)=10 şi

F(x3,x6)=3. În nodul x4 avem φ (x4)=3+ F(x5,x4)=F(x4,x7)

deci fie F(x5,x4)=6 şi F(x4,x7)=9. Pentru nodul x5 avem

263



φ (x5)=10=F(x5,x4)+F(x5,x7)=6+F(x5,x7) de unde

F(x5,x7)=4. În nodul x6 avem: φ (x6)=3=F(x6,x7)+F(x6,x8)de unde considerăm F(x6,x7)=2 şi F(x6,x8)=1. Pentru

nodul x7 avem φ (x7)=9+4+2=F(x7,x9)+F(x7,x8) deci fie

F(x7,x9)=7 şi F(x7,x8)=8. Pentru nodul x8 avem

φ (x8)=1+8=F(x8,x9) de unde F(x8,x9)=9. În final

φ (x9)=7+9=16=φ (x1). Alocarea fluxurilor pe arce esteredată în figura A.17 (în interiorul cercurilor ).

Fig.A.16

Stabilim acum o numerotare a nodurilor.

264



Marcăm pentru început pe x1 cu 0. Având arcele

nesaturate (x1,x2) şi (x1,x3) marcăm nodurile x2 şi x3 cu

1+. Arcul (x2,x4) fiind nesaturat rezultă că x4 va fi marcat

cu 2+. Nodul x5 va fi marcat cu 3+ deoarece avem arcul

nesaturat (x3,x5). Nodul x6 nu poate fi marcat acum

deoarece arcul (x3,x6) este saturat. Pentru nodul x7 avem

marcarea 4+ deoarece arcul (x4,x7) este nesaturat. Arcul

(x6,x7) este nesaturat şi intrând în x7, deja marcat, rezultă

că nodul x6 va primi marcajul 7-. Arcul (x6,x8) fiind

nesaturat rezultă că nodul x8 va fi marcat cu 6+ şi, în

final, x9 va fi marcat cu 7+ ( fig.A.18).

265



Fig.A.17

Drumul dintre x1 şi x9 va fi: (x1,x2), (x2,x4), (x4,x7),

(x7,x9).

Avem m=min {c(x1,x2)-F(x1,x2), c(x2,x4)-F(x2,x4),

c(x4,x7)-F(x4,x7), c(x7,x9)-F(x7,x9)}=min {1, 2, 1, 7}=1.

266



Fig.A.18


♦ F'(x1,x2)=4

♦ F'(x1,x3)=8

♦ F'(x2,x4)=3

♦ F'(x2,x3)=1

♦ F'(x3,x5)=4

♦ F'(x3,x6)=5

♦ F'(x5,x4)=3

♦ F'(x4,x7)=6

267



♦ F'(x5,x7)=1

♦ F'(x6,x7)=1

♦ F'(x6,x8)=4

♦ F'(x7,x9)=5

♦ F'(x7,x8)=3

♦ F'(x8,x9)=7

Graful obţinut este dat în figura A.19.

Fig.A.19

Încercăm acum o nouă marcare a nodurilor.

Nodul x1 este marcat cu 0. Deoarece arcul (x1,x3)

este nesaturat marcăm nodul x3 cu 1+. Arcul (x2,x3)

268



nefiind saturat şi intrând în nodul marcat x3 implică

marcarea nodului x2 cu 3-. Arcul (x2,x4) nefiind saturat

rezultă că nodul x4 este marcat cu 2+. Arcul (x3,x5) fiind

nesaturat rezultă că x5 va fi marcat cu 3+. Se observă mai

departe ( fig.A.20) că toate arcele ce pleacă din nodurile

deja marcate sunt saturate: (x4,x7), (x5,x7), (x3,x6) deci nu

se mai poate continua marcarea nodurilor rămase: x6, x7,

x8, x9.

Fig.A.20

Fluxul obţinut în figura A.20 este cel maximal şi

egal cu 17.

269



1.2. Într-o unitate de învăţământ cursanţii pot alege un

număr oarecare de discipline care sunt însă condiţionate

unele de altele. Fiecare disciplină are un număr limitat de

locuri ca în tabelul A.6. Să se determine fluxul maximal

al cursanţilor din reţeaua construită.

Tabelul A.6

Disciplină Număr de

locuri

Condiţionare de

Înscriere (x1) 55 -Matematică (x2) 25 înscriereInformatică (x3) 25 înscriere

Statistică economică

(x4)

15 matematică, economie

generală

Economie politică(x5)

20 matematică, informatică

Cibernetică (x6) 15 informaticăMacroeconomie (x7) 20 statistică, economie

generalăMicroeconomie (x8) 20 cibernetică,

macroeconomieAbsolvire (x9) 55 macroeconomie,

microeconomie

270



Soluţie

Graful obţinut pe baza tabelului A.6 este redat în

figura A.21.

Fig.A.21

Determinăm un flux iniţial pe reţeaua dată. Fie

deci: F(x1,x2)=20 şi F(x1,x3)=20. Cum φ (x1)=20+20=40rezultă că fluxul intrat în nodul x1 este egal cu 40. Fie

F(x2,x4)=10. Deoarece φ (x2)=20 rezultă că suma

fluxurilor care ies din x2 trebuie să fie egală, de

asemenea, cu x2. Avem deci F(x2,x4)+F(x2,x5)=20 de unde

F(x2,x5)=20-10=10. Pentru nodul x3 avem271



φ (x3)=20=F(x3,x5)+F(x3,x6) de unde rezultă că vom

atribui, de exemplu: F(x3,x5)=10 şi F(x3,x6)=10. În nodul

x4 avem φ (x4)=10+F(x5,x4)=F(x4,x7) deci fie F(x5,x4)=5 şi

F(x4,x7)=15. Pentru nodul x5 avem

φ (x5)=20=F(x5,x4)+F(x5,x7)=5+ F(x5,x7) de unde

F(x5,x7)=15. În nodul x6 avem: φ (x6)=10=F(x6,x8) de

unde: F(x6,x8)=10. Pentru nodul x7 avemφ (x7)=30=F(x7,x8)+F(x7,x9) deci: fie F(x7,x8)=10 şi

F(x7,x9)=20. Pentru nodul x8 avem φ (x8)=20=F(x8,x9) de

unde F(x8,x9)=20. În final φ (x9)=40=φ (x1). Alocarea

fluxurilor pe arce este redată în figura A.22.

Fig.A.22

272



Stabilim acum o numerotare a nodurilor şi

obţinem imediat figura A.23.

Fig.A.23


(x7,x9).




273



♦ F'(x1,x2)=25

♦ F'(x1,x3)=20

♦ F'(x2,x4)=15

♦ F'(x3,x5)=10

♦ F'(x3,x6)=10

♦ F'(x5,x4)=5

♦ F'(x4,x7)=20

♦ F'(x5,x7)=15

♦ F'(x6,x8)=10

♦ F'(x7,x9)=25

♦ F'(x7,x8)=10

♦ F'(x8,x9)=20

274



Fig.A.24 Noua numerotare a nodurilor este redată în figura

A.24.


(x8,x9).




♦ F"(x1,x2)=25

♦ F"(x1,x3)=25

275



♦ F"(x2,x4)=15

♦ F"(x3,x5)=10

♦ F"(x3,x6)=15

♦ F"(x5,x4)=5

♦ F"(x4,x7)=20

♦ F"(x5,x7)=15

♦ F"(x6,x8)=15

♦ F"(x7,x9)=25

♦ F"(x7,x8)=10

♦ F"(x8,x9)=25

Din figura A.25 se observă că arcele care pleacă

din x1 sunt saturate deci nu mai este posibil să facem o

nouă renumerotare a nodurilor. Fluxul obţinut este deci

maximal.

276



Fig.A.25

2. PROBLEME GENERALE DE ÎNCĂRCARE

Într-o întreprindere există n utilaje U1,...,Un care

trebuie să execute produsele finite F1,...,Fm în cantităţile

C1,...,Cm. Durata de funcţionare a acestor utilaje este

variabilă în funcţie de fiecare şi anume d1,...,dn. Să

considerăm productivitatea4 pij a utilajului U j pentru

produsul Fi, i=1,...,m, j=1,...,n adică numărul de produse

Fi fabricate de către utilajul U j în unitatea de timp. Fie, de

asemenea, costul cij al prelucrării unei unităţi de produs Fi

4 Teodorescu N. ].a., Metode ale cercet`rii opera\ionale[n gestiunea [ntreprinderilor , Ed. tehnic`, Bucure]ti,

1972277



pe utilajul U j (dacă F i nu se poate prelucra pe U j se

consideră costul ∞ ).

Notând cu xij cantitatea de produs Fi ce va fi

prelucrată pe utilajul U j problema cere să se minimizeze

funcţia de cost total: ∑∑= =

m

1i

n

1 jijijxc în condiţiile

restrictive: ∑=

m

1i ij

ij

p

x≤ d j ∀ j=1,...,n (limitarea după durata

funcţionării utilajelor ) şi ∑=

n

1 jijx =Ni ∀i=1,...,m (condiţia

de realizare a planului propus).Vom exemplifica această problemă teoretică pe:

Problema 2

Într-o întreprindere există 3 utilaje U1, U2, U3 care

trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3, F4, F5 în

cantităţile 1000, 4000, 1500, 3000, 11500. Durata defuncţionare a acestor utilaje este de 500, 600 respectiv

900 ore. Productivităţile şi costurile pentru fiecare

pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul T.4.

278



Tabelul T.4

Utilaj U1 U2 U3 Cant.

cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3

F1 1 10 3 15 7 20 1000F2 5 30 4 20 2 10 4000F3 9 40 4 10 1 5 1500F4 2 10 6 20 8 30 3000

F5 3 5 8 20 4 50 11500durata

de funcţ. 500 600 900Problema cere stabilirea unui plan de producţie

pentru minimizarea costurilor totale.

Algoritmul pe care îl vom prezenta nu determină

în mod necesar soluţia optimă. El se bazează pe ideeametodei de transport care însă conţine condiţii de aceeaşi

natură. În situaţia noastră, pentru optimizare trebuie să

ţinem seama atât de durata totală de prelucrare cât şi de

cantităţile cerute. În orice caz, însă, metoda prezentată va

conduce la o soluţie îmbunătăţită ( pe care o vom numi

prin forţare de limbaj - soluţie optimă ).

Pasul 1 Se determină o soluţie iniţială astfel:

Pasul 1.1 Se alege un cost arbitrar cij.

279



Pasul 1.2 Se atribuie lui xij valoarea min{Ci, pijd j} (care

are semnificaţia producerii fie a cantităţii totale

solicitate, fie a cantităţii disponibile la prelucrare pe

utilajul U j în funcţie de productivitatea acestuia)

Pasul 1.3 Se scade valoarea lui xij din ultimul element de

pe linia corespunzătoare şiij

ij

p

xdin cea a ultimului

element de pe coloana corespunzătoare.

Pasul 1.4 Se elimină din tabel linia sau coloana ce are 0

pe ultima poziţie.

Pasul 1.5 Se continuă algoritmul de la pasul 1.1 pe tabelul

rămas până la terminarea tuturor liniilor.Alegerea costului cij se poate face ( prin analogie

cu algoritmul de transport ) fie prin metoda colţului de

nord-vest (alegând de fiecare dată costul din celula

aflată în stânga-sus), fie prin metoda costului minim

(alegând de fiecare dată costul minim din tabelul rămas).În situaţia problemei noastre, avem (cu metoda

costului minim) succesiunea de tabele:

Alegem costul minim c11=1. Obţinem x11=min

{1000, 10× 500)=1000. Scădem valoarea 1000 din totalul

280



primei linii şi durata10

1000=100 din totalul primei

coloane. Tăind prima linie obţinem:

Utilaj U1 U2 U3 Cant. cerutăProdus ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3

F2 5 30 4 20 2 10 4000F3 9 40 4 10 1 5 1500F4 2 10 6 20 8 30 3000

F5 3 5 8 20 4 50 11500durata

de funcţ. 400 600 900Alegem acum costul minim c33=1. Avem x33=min


liniei F3 şi durata 5

1500

=300 din totalul coloanei U3.

Tăind linia F3 obţinem:


F2 5 30 4 20 2 10 4000F4 2 10 6 20 8 30 3000

F5 3 5 8 20 4 50 11500durata



281



liniei F4 şi durata10

3000=300 din totalul coloanei U1.




F2 5 30 4 20 2 10 4000F5 3 5 8 20 4 50 11500

duratade funcţ. 100 600 600

Alegem acum costul minim c23=2. Avem x23=min {4000,

10× 600)=4000. Scădem valoarea 4000 din totalul liniei

F2 şi durata10

4000=400 din totalul coloanei U3. Tăind

linia F2 obţinem:



F5 3 5 8 20 4 50 11500


Alegem acum costul minim c51=3. Avem x51=min


282





Tăind coloana U1 obţinem:

Utilaj U2 U3 Cant. cerutăProdus ci2 pi2 ci3 pi3

F5 8 20 4 50 11000durata de funcţ.

600 200

Alegem costul minim c53=4. Avemx53=min {11000, 50× 200)=10000. Scădem valoarea

10000 din totalul liniei F5 şi durata50

10000=200 din

totalul coloanei U3. Tăind coloana U3 rezultă:

Utilaj U2 Cant. cerutăProdus ci2 pi2

F5 8 20 1000durata de funcţ. 600Pentru costul c52=8 avem x52=min

{1000,20× 600}= 1000.

Am obţinut deci soluţia iniţială de bază.Se observă că pentru a avea o soluţie iniţială

productivităţile şi duratele de funcţionare trebuie să fie

corespunzătoare deoarece, în caz contrar, este posibil să

rămână producţie nerealizată.

283



Pasul 2 Se întocmeşte un tabel de tipul celui de mai sus în

care, la intersecţia fiecărei linii şi coloane se trec într-un

subtabel (cu două linii îi două coloane) următoarele

cantităţi:

♦ în stânga-sus - durata de prelucrare corespunzătoare

cantităţii xij egală cu tij=ij

ij

p

x;

♦ în dreapta-sus - cantităţile xij;

♦ în stânga-jos - costurile cij;

♦ în dreapta-jos - productivităţile pij;

Celulele corespunzătoare soluţiei iniţiale se

numesc celule de bază. Avem deci:Utilaj U1 U2 U3

Produs ti1/

ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1 100 1000 - - - -1 10 3 15 7 20

F2 - - - - 400 40005 30 4 20 2 10

F3 - - - - 300 15009 40 4 10 1 5

284



F4 300 3000 - - - -2 10 6 20 8 30

F5 100 500 50 1000 200 100003 5 8 20 4 50

Să reţinem faptul că totalul costului este:

1× 1000+2× 4000+1× 1500+2× 3000+3× 500+8× 1000+

4× 10000=66000.

Pasul 3 Se ataşează fiecărei linii o variabilă u i şi fiecărei

coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul5: ui+ij

j

p

v

=cij pentru celulele de bază dând valori arbitrare unei

variabile (de regulă 0).

Avem deci pentru problema noastră:

5 Teodorescu N. ].a., Metode ale cercet`rii opera\ionale[n gestiunea [ntreprinderilor , Ed. tehnic`, Bucure]ti,1972

285



=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

45 0

vu

82 0

vu

35

vu

21 0

vu

15

vu

21 0

vu

11 0

vu

3

5

2

5

1

5

1

4

3

3

3

2

1

1

Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1, u4=2, u5=3,

v2=100, v3=50, u2=-3, u3=-9.

Pasul 4 Se calculează cantităţile δ ij=ui+ij

j

p

v-cij pentru

celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel în

celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între

paranteze).

Avem deci:

286



Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/

ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1

(u1=1)

100 1000 - - - -1 10 3(4,

6

15 7(-3,5) 20

F2

(u2=-3)

- - - - 400 40005(-8) 30 4(-2) 20 2 10

F3

(u3=-9)- - - - 300 1500

9(-18) 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-

4,33)

30

F5

(u5=3)

100 500 50 1000 200 10000

3 5 8 20 4 50Pasul 5 Dacă toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale

cu 0 atunci soluţia este optimă. Dacă cel puţin una din

aceste cantităţi este strict pozitivă atunci se calculează

ij0ij

maxδ>δ . Fie celula (a,b) care furnizează acest maxim.

În cazul nostru: max {δ 12}=max {4,6}=4,6 pentru (1,2).

Pasul 6 Construim un ciclu (adică o secvenţă ordonată

de celule de forma: (i1 ,j1 ), (i1 ,j2 ), (i2 ,j2 ), (i2 ,j3 ),...,(ik ,jk ),

(ik ,j1 )) care să aibă ca punct de plecare celula (a,b) şi care

să se sprijine numai pe celule de bază (corespunzând

287



soluţiei de bază alese). Stabilim apoi o orientare de

parcurs a ciclului format.

Pasul 7 Se marchează celulele ce ocupă un rang par

(celula (a,b) având numărul 1) cu un semn distinctiv (la

noi cu un asterisc). Se determină apoi, în celulele

marcate, cea mai mică valoare de forma:ij

ij

p

x pab=tij pab

unde (i,j) este una din aceste celule. Fie "m" minimul

obţinut şi celula (c,d) ce furnizează această

valoare.Avem:

U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)

Prod. ti1/

ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1

(u1=1)

100 1000* - - - -1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20

288



F2

(u2=-3)

- - - - 400 40005(-8) 30 4(-2) 20 2 10

F3

(u3=-9)

- - - - 300 15009(-18 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-4,3 30

F5

(u5=3)

100 500 50 1000* 200 100003 5 8 20 4 50

urmând: m=min {t52 p12, t11 p12}=min {50× 15,100× 15}=

750 obţinut pentru celula (5,2).

Pasul 8 Variabila (a,b) va intra în bază, iar variabila (c,d)

va ieşi din bază. Noile valori ale variabilelor se obţin

astfel:

♦ În celulele marcate noile valori ale variabilelor xij sunt

xij- ij

ab

pp

m;

♦ În celulele nemarcate noile valori ale variabilelor xij

sunt xij+ ij

ab

pp

m.

289



Noua soluţie de bază este formată din variabila

aflată în celula (a,b) şi vechile variabile bazice din care se

va exclude cea din celula (c,d).

Pasul 9 Se revine la pasul 3 până la obţinerea soluţiei

optime.

În cazul problemei noastre avem:

x'12=x12+ 12p

m

p12=0+ 15

750

× 15=750;

x'52=x52-12p

m p52=1000-

15

750× 20=0;

x'51=x51+12p

m p51=500+

15

750× 5=750;

x'11=x11-12p

m p11=1000-

15

750× 10=500.

Verificăm dacă totalul duratelor de funcţionare

este mai mic decât maximul admis pentru fiecare utilaj şi

dacă totalul cantităţilor modificate este egal cu cel alcantităţilor cerute. Dacă aceste condiţii nu sunt îndeplinite

atunci se modifică valori ale variabilelor de bază până

când toate relaţiile sunt satisfăcute. Metoda aceasta are ca

idee faptul că dacă se obţine o soluţie de bază al cărei cost

total este mai mic decât cel iniţial ea se constituie într-un290



punct de plecare pentru pasul 3. În cazul depăşirilor de

cantităţi fabricate se va genera o micşorare a valorii unei

celule de bază care va determina şi scăderea timpului de

lucru al utilajului respectiv ( şi deci şi al costului total ). În

cazul insuficienţei de produse problema devine mai

dificilă. Dacă se introduce în tabel o celulă de bază

suplimentară atunci sistemul de indicatori devine

compatibil determinat şi soluţia sa este foarte laborioasă.

În acest caz se poate continua algoritmul, iar în final se

repartizează producţia neefectuată unui utilaj cu durată

rămasă suficient. Se calculează costul total şi dacă acesta

este mai mic decât cel iniţial se adoptă soluţia găsită.


ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1

(u1=1)

50 500 50 750 - -1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20

F2

(u2=-3)

- - - - 400 4000

5(-8) 30 4(-2) 20 2 10

F3

(u3=-9)

- - - - 300 15009(-18) 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

300 3000 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-

4,33)

30

291



F5

(u5=3)

150 750 - - 200 100003 5 8 20 4 50

În cazul nostru observăm că duratele de

funcţionare satisfac condiţiile problemei, dar că totalul

pentru produsul F1 este de 1250 (>1000 - cantitatea

cerută), iar totalul pentru F5 este 10750 (<11500 -

cantitatea cerută).

Vom micşora deci cantitatea x12 (a cărei rezervă

de timp este suficientă) astfel încât x'12=500 (pentru a

restabili totalul)

Noua soluţie de bază este:

Utilaj U1 U2 U3

Prod. ti1/ci1

xi1/pi1

ti2/ci2

xi2/pi2

ti3/ci3

xi3/pi3

F1 50 500 33,3 500 - -1 10 3 15 7 20

F2 - - - - 400 40005 30 4 20 2 10

F3 - - - - 300 15009 40 4 10 1 5

F4 300 3000 - - - -2 10 6 20 8 30

F5 150 750 - - 200 100003 5 8 20 4 50

292



Sistemul de indicatori devine:

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

45 0

v

u

35

vu

21 0

vu

15

vu

21 0

vu

31 5

vu

11 0vu

3

5

1

5

1

4

33

3

2

2

1

11


ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1

(u1=1)

50 500 33,3 500 - -

1 10 3 15 7(-3,5) 20F2

(u2=-3)

- - - - 400 40005(-8) 30 4(-5,5) 20 2 10

F3

(u3=-9)

- - - - 300 15009(-18) 40 4(-10) 10 1 5

F4 300 3000 - - - -

293



(u4=2) 2 10 6(-2,5) 20 8(-

4,33)

30

F5

(u5=3)

150 750 - - 200 100003 5 8(-3,5) 20 4 50


v2=30, v3=50, u2=-3, u3=-9.

Cum toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale

cu 0 rezultă că soluţia este optimă.Costul parţial este: 1× 500+3× 500+2× 4000+

1× 1500+2× 3000+3× 750+4× 10000=59750, dar pe

seama nerealizării planului lui F5. Diferenţa de 750 de

unităţi de produs se poate realiza cu utilajul U2 al cărui

disponibil de timp a rămas egal cu 566,7 ore. Realizareaacestei producţii duce la un cost suplimentar de

750× 8=6000 deci la un cost total de 59750+6000=65750

mai mic decât cel iniţial de 66000.

2.1. Într-o întreprindere există 3 utilaje U1, U2, U3 care

trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3, F4, F5 încantităţile 100, 400, 150, 300, 1150. Durata de

funcţionare a acestor utilaje este de 50, 60 respectiv 90

ore. Productivităţile şi costurile pentru fiecare pereche

(produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul A.7.

294



Tabelul A.7


F1 1 10 3 15 7 20 100F2 5 30 4 20 2 10 400F3 9 40 4 10 1 5 150F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150

durata

de funcţ. 50 60 90

Problema cere stabilirea unui plan de producţie pentru minimizarea costurilor totale.

Soluţie

Vom determina, mai întâi, o soluţie iniţială de

bază. Alegem costul minim c11=1. Obţinem x11=min {100,

10× 50)=100. Scădem valoarea 100 din totalul primei

linii şi durata10

100=10 din totalul primei coloane. Tăind

prima linie obţinem:

295




F2 5 30 4 20 2 10 400F3 9 40 4 10 1 5 150F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150

durata


{150, 5× 90)=150. Scădem valoarea 150 din totalul liniei

F3 şi durata5

150=30 din totalul coloanei U3. Tăind linia

F3 obţinem:


F2 5 30 4 20 2 10 400F4 2 10 6 20 8 30 300F5 3 5 8 20 4 50 1150

durata



F4 şi durata10

300=30 din totalul coloanei U1. Tăind linia

F4 obţinem:

296





F2 5 30 4 20 2 10 400F5 3 5 8 20 4 50 1150

durata

de funcţ. 10 60 60Alegem acum costul minim c23=2. Avem x23=min {400,

10× 60)=400. Scădem valoarea 400 din totalul liniei F2 şi

durata10

400=40 din totalul coloanei U3. Tăind linia F2

obţinem:



F5 3 5 8 20 4 50 1150


Alegem acum costul minim c51=3. Avem x51=min


297



F5 şi durata5

50=10 din totalul coloanei U1. Tăind

coloana U1 obţinem:

Utilaj U2 U3 Cant. cerutăProdus ci2 pi2 ci3 pi3

F5 8 20 4 50 1100durata de

funcţ. 60 20

Alegem costul minim c53=4. Avemx53=min {1100, 50× 20)=1000. Scădem valoarea 1000 din

totalul liniei F5 şi durata50

1000=20 din totalul coloanei

U3. Tăind coloana U3 rezultă:

Utilaj U2 Cantitate cerutăProdus ci2 pi2

F5 8 20 100durata de

funcţionare 60Pentru costul c52=8 avem x52=min {100,20× 60}=

100.Am obţinut deci soluţia iniţială de bază.

Avem deci:

Utilaj U1 U2 U3

Produs ti1/

ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

298



F1 10 100 - - - -1 10 3 15 7 20

F2 - - - - 40 4005 30 4 20 2 10

F3 - - - - 30 1509 40 4 10 1 5

F4 30 300 - - - -2 10 6 20 8 30

F5 10 50 5 100 20 1000

3 5 8 20 4 50Să reţinem faptul că totalul costului este:

1× 100+2× 400+1× 150+2× 300+3× 50+8× 100+4× 1000

=6600.

Se ataşează fiecărei linii o variabilă ui şi fiecărei

coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul: ui+ij

j

pv

=cij pentru celulele de

bază dând valori arbitrare unei variabile (de regulă 0).

Avem deci:

299



=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

45 0

vu

82 0

vu

35

vu

21 0

vu

15

vu

21 0

vu

11 0

vu

3

5

2

5

1

5

1

4

3

3

3

2

1

1


v2=100, v3=50, u2=-3, u3=-9.

Se calculează acum cantităţile δ ij=ui+ij

j

p

v-cij

pentru celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel

în celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între

paranteze).

Avem deci:

Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)Prod. ti1/ xi1/ ti2/ xi2/ ti3/ xi3/

300



ci1 pi1 ci2 pi2 ci3 pi3

F1

(u1=1)

10 100 - - - -

1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2

(u2=-3)

- - - - 40 4005(-8) 30 4(-2) 20 2 10

F3

(u3=-9)

- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

30 300 - - - -

2 10 6(-1) 20 8(-4,33)

30

F5

(u5=3)

10 50 5 100 20 10003 5 8 20 4 50

Avem acum max {δ 12}=max {4,6}=4,6 pentru

celula (1,2).

Construind ciclul cu baza în celula (1,2) rezultă:

Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=100) U3 (v3=50)

Prod. ti1/ci1

xi1/pi1

ti2/ci2

xi2/pi2

ti3/ci3

xi3/pi3

F1

10 100 * - - - -

301



(u1=1) 1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2

(u2=-3)

- - - - 40 400

5(-8) 30 4(-2) 20 2 10F3

(u3=-9)

- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

30 300 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-

4,33)

30

F5

(u5=3)

10 50 5 100 * 20 10003 5 8 20 4 50

Acum m=min {t52 p12, t11 p12}=min

{0× 15,10× 15}=75 obţinut pentru celula (5,2).

x'12=x12+12pm p12=0+

1575 × 15=75;

x'52=x52-12p

m p52=100-

15

75× 20=0;

x'51=x51+12p

m p51=50+

15

75× 5=75;

x'11=x11-12p

m p11=100-

15

75× 10=50.


ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1 5 50 5 75 - -

302



(u1=1) 1 10 3(4,6) 15 7(-3,5) 20F2

(u2=-3)

- - - - 40 400

5(-8) 30 4(-2) 20 2 10F3

(u3=-9)

- - - - 30 1509(-18) 40 4(-3) 10 1 5

F4

(u4=2)

30 300 - - - -2 10 6(-1) 20 8(-

4,33)

30

F5

(u5=3)15 75 - - 20 10003 5 8 20 4 50

În cazul nostru observăm că duratele de

funcţionare satisfac condiţiile problemei, dar că totalul

pentru produsul F1 este de 125 (>100 - cantitatea cerută),

iar totalul pentru F5 este 1075 (<1150 - cantitatea cerută).

Vom micşora deci cantitatea x12 (a cărei rezervă

de timp este suficientă) astfel încât x'12=50 (pentru a

restabili totalul)

Noua soluţie de bază este:

Utilaj U1 U2 U3

Prod. ti1/

ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1 5 50 3,3 50 - -1 10 3 15 7 20

F2 - - - - 40 400

303



5 30 4 20 2 10F3 - - - - 30 150

9 40 4 10 1 5F4 30 300 - - - -

2 10 6 20 8 30

F5 15 75 - - 20 10003 5 8 20 4 50

Sistemul de indicatori devine:

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

45 0

vu

35

vu

21 0

vu

15

vu

21 0

vu

31 5

vu

11 0

vu

3

5

1

5

1

4

3

3

3

2

2

1

1

1


v2=30, v3=50, u2=-3, u3=-9.

304




ci1

xi1/

pi1

ti2/

ci2

xi2/

pi2

ti3/

ci3

xi3/

pi3

F1

(u1=1)

5 50 3,3 50 - -1 10 3 15 7(-3,5) 20

F2

(u2=-3)

- - - - 40 4005(-8) 30 4(-5,5) 20 2 10

F3

(u3=-9)

- - - - 30 150

9(-18) 40 4(-10) 10 1 5F4

(u4=2)

30 300 - - - -2 10 6(-2,5) 20 8(-4,33) 30

F5

(u5=3)

15 75 - - 20 10003 5 8(-3,5) 20 4 50

Cum toate cantităţile δ ij sunt mai mici sau egale

cu 0 rezultă că soluţia este optimă.

Costul parţial este: 1× 50+3× 50+2× 400+1× 150+

2× 300+3× 75+4× 1000=5975, dar pe seama nerealizării

planului lui F5. Diferenţa de 75 de unităţi de produs se

poate realiza cu utilajul U2 al cărui disponibil de timp a

rămas egal cu 56,7 ore. Realizarea acestei producţii duce

la un cost suplimentar de 75× 8=600 deci la un cost total

de 5975+600=6575 mai mic decât cel iniţial de 6600.

2.2. Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care trebuie

să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile 100,

305



300, 200. Durata de funcţionare a acestor utilaje este de 7

respectiv 40 ore. Productivităţile şi duratele de execuţie

(care sunt inversele productivităţilor ) pentru fiecare

pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în tabelul A.8.

Tabelul A.8

Utilaj U1 U2 Cant. cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2

F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300F3 1/50 50 1/40 40 200

duratade funcţ.

7 40Problema cere stabilirea unui plan de producţie

pentru minimizarea duratei totale de prelucrare.

Soluţie

Vom determina, mai întâi, o soluţie iniţială de

bază.

Alegem durata minimă d31=1/50. Obţinem

x31=min {200, 7× 50)=200. Scădem valoarea 200 din

306




200=4 din totalul primei

coloane. Tăind linia F3 obţinem:

Utilaj U1 U2 Cant.

cerutăProdus di1 pi1 di2 pi2

F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300

durata de

funcţ. 3 40Alegem acum durata minimă d22=1/30. Obţinem

x22=min {300, 40× 30)=300. Scădem valoarea 300 din




Utilaj U1 U2 Cant.cerută

Produs di1 pi1 di2 pi2

F1 1/20 20 1/10 10 100durata de

funcţ. 3 30

307



Alegem acum durata minimă d11=1/20. Obţinem

x11=min {100, 3× 20)=60. Scădem valoarea 60 din totalul


60=3 din totalul primei coloane.

Tăind coloana U1 obţinem:

Utilaj U2 Cantitate cerutăProdus di2 pi2

F1 1/10 10 40durata de

funcţionare 30Pentru durata d12=1/10 avem x12=min {40,

30× 10)=40. Scădem valoarea 40 din totalul liniei F1 şi

durata 1040 =4 din totalul coloanei U2 obţinând în final o

soluţie iniţială de bază. Tabelul este:

Utilaj U1 U2

Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2

F1 3 60 4 401/20 20 1/10 10

F2 - - 10 3001/30 30 1/30 30

F3 4 200 - -1/50 50 1/40 40

Să reţinem faptul că durata totală este:

60× 1/20+40× 1/10+ 300× 1/30+200× 1/50=21.

308



Se ataşează fiecărei linii o variabilă ui şi fiecărei

coloane o variabilă v j. Se rezolvă apoi sistemul: ui+ij

j

pv

=cij pentru celulele de bază dând valori arbitrare unei

variabile (de regulă 0).

Avem deci:

=+

=+

=+

=+

5 01

5 0vu

3 0

1

3 0

vu

1 0

1

1 0

vu

2 0

1

2 0

vu

1

3

2

2

2

1

1

1

Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1/20, u3=1/50,

v2=1/2, u2=1/60.

Se calculează acum cantităţile δ ij=ui+ij

j

p

v-dij

pentru celulele care nu sunt de bază şi se înscriu în tabel

în celula din stânga-jos lângă costuri (le vom scrie între

paranteze).

Avem deci tabelul de mai jos.

309



Construind ciclul cu baza în celula (3,2) avem

m=min {t12 p32, t31 p32}=min {4× 40,4× 40}=160 obţinut

pentru celula (1,2).

x'32=x32+32p

m p32=0+

40

160× 40=160;

x'12=x12-32p

m p12=40-

40

160× 10=0;

x'11=x11+32p

m p11=60+

40

160× 20=140;

x'31=x31-32p

m p31=200-

40

160× 50=0.

Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=1/2)

Produs ti1

/ci1

xi1

/pi1

ti2

/ci2

xi2

/pi2

F1

(u1=1/20)

3 60 4 * 401/20 20 1/10 10

F2

(u2=1/60)

- - 10 3001/30

(-1/60)

30 1/30 30

4 * 200 - -

310



(u3=1/50) 1/50 50 1/40

(20-1/200)

40

Noul tabel devine:

Utilaj U1 U2


F1 7 140 - -1/20 20 1/10 10

F2 - - 10 300

1/30 30 1/30 30F3 0 0 4 1601/50 50 1/40 40

Deoarece cantitatea de produs F1 depăşeşte

necesarul de 100 scădem 40 de unităţi relativ la utilajul 1

acest lucru neafectând timpul maxim. Deoarece cantitatea

de produs F3 este inferioară necesarului de 200 adunăm40 de unităţi relativ la utilajul 3 acest lucru neafectând

timpul maxim. Obţinem tabelul:

Utilaj U1 U2


F1 5 100 - -

1/20 20 1/10 10F2 - - 10 3001/30 30 1/30 30

F3 0 0 5 2001/50 50 1/40 40

Durata totală este: 100× 1/20+300× 1/30+200×

1/40=20 (mai mică decât 21 durata anterioară ).

311



Sistemul de indicatori este:

=+

=+

=+

=+

5 0

1

5 0

v

u

3 0

1

3 0

vu

4 0

1

4 0

vu

2 0

1

2 0

vu

1

3

2

2

2

3

11

Fie deci v1=0. Rezultă soluţiile: u1=1/20, u3=1/50,

v2=1/5, u2=2/75.

Tabelul obţinut este:

Utilaj U1 (v1=0) U2 (v2=1/5)Produs ti1/ci1 xi1/pi1 ti2/ci2 xi2/pi2

F1

(u1=1/20)

5 100 - -1/20 20 1/10

(-3/100)

10

F2

(u2=2/75)

- - 10 3001/30

(-1/150)

30 1/30 30

F3

(u3=1/50)

0 0 5 2001/50 50 1/40 40

Cum toţi δ ij sunt negativi rezultă că soluţia

obţinută este optimă.

312



3. PROBLEME DE ÎNCĂRCARE REZOLVATE PRIN

FLUXURI MAXIMALE

Într-o întreprindere există n utilaje U1,...,Un care

trebuie să execute produsele finite F1,...,Fm în cantităţile

C1,...,Cm. Durata de funcţionare a acestor utilaje este

variabilă în funcţie de fiecare şi anume d1,...,dn. Fie pij -

productivitatea utilajului U j pentru produsul Fi, i=1,...,m,

j=1,...,n. Fie, de asemenea, dij=ij

p

1durata de execuţie a

unei unităţi de produs Fi pe utilajul U j (dacă F i nu se

poate prelucra pe U j se consideră durata∞

). Notând cu xij cantitatea de produs Fi ce va fi

prelucrată pe utilajul U j problema cere, în condiţiile

funcţionării simultane a utilajelor, să se minimizeze

funcţia de durată maximă.

Vom exemplifica această problemă teoretică pe: Problema 3

Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care

trebuie să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile

1200, 3200, 2000. Durata de funcţionare a acestor utilaje

este de 250 respectiv 400 ore. Productivităţile şi duratele

313



de execuţie pentru fiecare pereche (produs finit, utilaj)

sunt redate în tabelul T.5.

Tabelul T.5

Utilaj U1 U2 Cant.


F1 1/30 30 1/20 20 1200F2 1/40 40 1/50 50 3200F3 1/20 20 1/10 10 2000

durata de

prelucrare 250 400Problema cere stabilirea unui plan de producţie

pentru minimizarea duratei maxime de prelucrare în

condiţiile în care utilajele funcţionează simultan.

Vom alcătui graful din figura T.20 în care vom

trece pe fiecare arc IFi numărul de produse Fi ce trebuie

fabricate şi durata totală de prelucrare a produselor Fi, pe

arcele FiU j numărul de produse Fi ce trebuie fabricate şi

numărul de ore necesare fabricării produsului Fi pe

utilajul U j, iar pe arcele U jF vom trece numărul total de

produse ce trebuie fabricate şi durata maximă de

funcţionare a utilajului.

314



Fig.T.20

Vom determina în cele ce urmează fluxul maximîn această reţea cu specificarea că un arc va fi saturat dacă

cel puţin una din cele două valori pe care le vom atribui

fluxului va fi egală cu valoarea de "cost" corespunzătoare

de pe arcul respectiv.

Stabilim un flux iniţial prin această reţea astfelîncât suma cantităţilor intrate în fiecare nod să fie egală

cu cea a celor ieşite şi, de asemenea, aceeaşi condiţie

pentru timpii de prelucrare ( fig. T.21).

Stabilirea acestui flux se poate face alegând valori

arbitrare a timpilor de prelucrare şi înmulţindu-i cu315



productivitatea arcului respectiv rezultatul să fie inferior

capacităţii de prelucrare a arcului considerat.

Fig.T.21

Numerotăm în continuare nodurile reţelei ca în

figura T.22.

Nodul final F fiind marcat rezultă că există un

drum de la I la F. Într-adevăr acesta este: (I,F1), (F1,U1),

(U1,F).

Avem acum min {650-30, 40-20, 250-90}=20

durată suplimentară de prelucrare ce ar trebui adăugată

arcelor drumului.

316



Prin adăugarea duratei 20 la arcul (F1,U1) se

obţine cantitatea de 40× 30=1200 produse ceea ce, din

condiţia de egalitate a produselor în nodul F1 implică

1400 de unităţi fabricate ceea ce nu este permis.

Vom satura deci arcul (F1,U1) considerând 1200-

600-200= 400 de unităţi suplimentare ceea ce revine la o

durată suplimentară de30400 =13,3 unităţi de timp. Vom

adăuga deci această cantitate tuturor arcelor drumului.

Fig.T.22

317



Noul graf (cu numărătoarea aferentă a nodurilor )

este reprezentat în figura T.23.

Un drum de la I la F este date de: (I,F 2), (F2,U1),

(U1,F).

Avem min {650-50, 80-20, 250-103,3}=60.

Mărind cu 60 durata pe arcul (F2,U1) rezultă o

durată totală de 80 ceea ce implică o producţie de

80× 40=3200 unităţi de produs. Cum pe arcul (F2,U2)

avem 1500 de unităţi rezultă o producţie pentru F2 de

4700 unităţi de produs ceea ce nu este de acceptat.

Fig. T.23

318



Vom alege deci o suplimentare de 3200-1500-

800=900 de unităţi de produs pe arcul (F2,U1) ceea ce

constituie o suplimentare de timp de40

900=22,5.

Adăugăm această cantitate tuturor arcelor drumului şi

recalculăm graful ( fig.T.24).

Fig.T.24

Cum toate arcele iniţiale sunt saturate rezultă că

am obţinut soluţia optimă de 140 ore de funcţionare a

utilajelor (datorită lui U2) şi de 265,8 ore de funcţionare

totală.

319



3.1. Într-o întreprindere există 2 utilaje U1, U2 care trebuie

să execute produsele finite F1, F2, F3 în cantităţile 100,

300, 200. Durata de funcţionare a acestor utilaje este de 7

respectiv 40 ore. Productivităţile şi duratele de execuţie

pentru fiecare pereche (produs finit, utilaj) sunt redate în

tabelul A.9.

Tabelul A.9

Utilaj U1 U2 Cant.


F1 1/20 20 1/10 10 100F2 1/30 30 1/30 30 300F3 1/50 50 1/40 40 200

durata defuncţionare 7 40

Problema cere stabilirea unui plan de producţie

pentru minimizarea duratei maxime de prelucrare în

condiţiile în care utilajele funcţionează simultan.

Soluţie

Vom alcătui graful din figura A.26 în care vom

trece pe fiecare arc IFi numărul de produse Fi ce trebuie

fabricate şi durata totală de prelucrare a produselor Fi, pe

arcele FiU j numărul de produse Fi ce trebuie fabricate şi

numărul de ore necesare fabricării produsului Fi pe

320



utilajul U j, iar pe arcele U jF vom trece numărul total de

produse ce trebuie fabricate şi durata maximă de

funcţionare a utilajului.

Fig.A.26

Vom determina în cele ce urmează fluxul maxim

în această reţea cu specificarea că un arc va fi saturat dacă

cel puţin una din cele două valori pe care le vom atribui

fluxului va fi egală cu valoarea de "cost" corespunzătoare

de pe arcul respectiv.

Stabilim un flux iniţial prin această reţea astfel

încât suma cantităţilor intrate în fiecare nod să fie egală

321



cu cea a celor ieşite şi, de asemenea, aceeaşi condiţie

pentru timpii de prelucrare.

Fig.A.27

Numerotăm în continuare nodurile reţelei ca în

figura A.28.

Nodul final F fiind marcat rezultă că există un

drum de la I la F. Într-adevăr acesta este: (I,F1), (F1,U2),(U2,F).

Avem acum min {47-7, 10-5, 40-11}=5 durată

suplimentară de prelucrare ce ar trebui adăugată arcelor

drumului.

322



Prin adăugarea duratei 5 la arcul (F1,U2) se obţine

cantitatea de 10× 10=100 produse ceea ce, din condiţia de

egalitate a produselor în nodul F1 implică 140 de unităţi

fabricate ceea ce nu este permis.

Fig.A.28

Vom satura deci arcul (F1,U2) considerând 100-40-50=10 unităţi suplimentare ceea ce revine la o durată

suplimentară de10

10=1 unităţi de timp. Vom adăuga deci

această cantitate tuturor arcelor drumului.

323



Noul graf (cu numărătoarea aferentă a nodurilor )

este redat în figura A.29.

Fig.A.29


(U2,F).Avem min {47-7, 5-2, 40-11}=3.



5× 40=200 unităţi de produs. Cum pe arcul (F3,U1) avem

324



100 de unităţi rezultă o producţie pentru F3 de 300 unităţi

de produs ceea ce nu este de acceptat. Vom alege deci o

suplimentare de 200-100-80=20 de unităţi de produs pe

arcul (F3,U2) ceea ce constituie o suplimentare de timp de

40

20=0,5.

Adăugăm această cantitate tuturor arcelor

drumului şi recalculăm graful ( fig.A.30).

Fig.A.30

325




(U2,F).

Avem min {47-7, 10-4, 40-12,5}=6.



10× 30=300 unităţi de produs. Cum pe arcul (F2,U1) avem

90 de unităţi rezultă o producţie pentru F2 de 390 unităţide produs ceea ce nu este de acceptat. Vom alege deci o

suplimentare de 300-120-90=90 de unităţi de produs pe

arcul (F2,U2) ceea ce constituie o suplimentare de timp de

30

90=3.

Adăugăm această cantitate tuturor arcelor

drumului şi recalculăm graful ( fig.A.31).

326



Fig.A.31

Observăm că în ultimul graf arcele iniţiale (I,F1),

(I,F2) şi (I,F3) sunt saturate deci soluţia obţinută este

optimă. Timpul de prelucrare este deci egal cu 15,5

datorat funcţionării lui U2. Timpul total de prelucrare este

22,5.

BIBLIOGRAFIE

1. Achmanov S., Programmation lineaire, Ed. Mir Moscou, 1984

2. Andraşiu M. & colect., Metode de decizii

multicriteriale, Ed. Tehnică,19863. Bărbatu Gh.I., Ionescu V., Cercetarea operaţională

în întreprinderile industriale, Ed. Tehnică, 19814. Baciu A., Puşcaş E., Pascu A., Aplicaţii ale cercetării

operaţionale, Ed. Militară, Bucureşti, 19885. Bebea N., Metode pentru rezolvarea problemelor de

optimizare. Aplicaţii, E.D.P., Bucureşti, 19786. Boroş E., Opriş D., Introducere în optimizarea

liniară şi aplicaţii, Ed. Facla, Timişoara, 19797. Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilităţilor şi

aplicaţii, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 19838. Colojoară I., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,

19839. Craiu M., Tănase V.T., Analiză matematică , E.D.P.,

Bucureşti, 1980

327



10.Ernest D., Metode numerice în teoria jocurilor , Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 1983

11.Ghermeier I.B., Introducere în teoria cercetăriioperaţionale, Ed. Tehnică, 1973

12.Grigore Gh., Lecţii de analiză numerică ,Universitatea Bucureşti, 1984

13.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie, Brăila,1996

14.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie. Aplicaţii,Brăila, 1996

15.Ioan C.A., Matematică economică , Galaţi, 199916.Ioan C.A., Matematică economică. Culegere de

probleme, Galaţi, 199917.Ioan C.A., Matematică financiară , Galaţi, 199918.Ioan C.A., Matematică financiară. Culegere de

probleme, Galaţi, 199919.Ioan C.A., Matematică economică-Algebră

superioară , Ed.Fundaţiei Academice Danubius, 200120.Ioan C.A., Matematică economică-Analiză

matematică.Ecuaţii diferenţiale.Teoria

probabilităţilor , Ed.Fundaţiei Academice Danubius,2001

21.Iosifescu M. & colect., Mică enciclopedie de

statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198522.Klimov G., Probability Theory and Mathematical

Statistics, Ed. Mir Publishers Moscow, 198623.Kopchenova N.V., Maron I.A., Computational

Mathematics, Mir Publishers, Moscow, 198424.Larionescu D., Metode numerice, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 198925.Lasdon L.S., Teoria optimizării sistemelor mari, Ed.

Tehnică, 1975

328



26.Lee A.M., Teoria aşteptării cu aplicaţii, Ed. Tehnică,1976

27.Maliţa M., Zidăroiu C., Matematica organizării, Ed.Tehnică, 197528.Marinescu Gh., Analiză matematică , Ed. Academiei

R.S.R., vol.I, 1983, vol.II, 198429.Mihoc Gh., Micu N., Elemente de teoria

probabilităţilor şi statistică matematică , E.D.P.,Bucureşti, 1986

30.Mihoc Gh., Micu N., Teoria probabilităţilor şi

statistică matematică , E.D.P., Bucureşti, 198031.Mihoc Gh., Urseanu V., Sondaje şi estimaţii

statistice. Teorie şi aplicaţii, Ed. Tehnică, 197732.Mihoc Gh., Urseanu V., Ursianu E., Modele de

analiză statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,1982

33.Piskunov N., Differential and Integral Calculus, Ed.

Mir Moscow, vol.I,II, 198134.Popescu O., coord., Matematici aplicate în economie,E.D.P., Bucureşti, 1997

35.Purcaru I., Elemente de algebră şi programare

liniară , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198236.Purcaru I., Matematică şi asigurări, Ed. Economică,

Bucureşti, 199437.Purcaru I., Matematici generale & elemente de

optimizare, Ed. Economică, Bucureşti, 199738.Roşculeţ M., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,

197939.Sburlan S., Lecţii de analiză matematică , Ed.

Academiei Române, 199140.Sireţchi Gh., Calcul diferenţial şi integral-noţiuni

fundamentale, vol.1, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,1985

329



41.Stănăşilă O., Analiză matematică , E.D.P., Bucureşti,1981

42.Stavre P., Matematici speciale cu aplicaţii îneconomie, Ed. Scrisul Românesc, Craiova, 1982

43.Şabac I.Gh., Matematici speciale, E.D.P., Bucureşti,vol.I, 1981, vol.II, 1983

44.Şilov G.E., Analiză matematică , Ed. Ştiinţifică şiEnciclopedică, 1985

45.Şilov G.E., Analiză matematică-spaţii finit-

dimensionale, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198346.Teodorescu N. & colect., Metode ale cercetării

operaţionale în gestiunea întreprinderilor , Ed.Tehnică, 1972

47.Tovissi L., Vodă V., Metode statistice-aplicaţii în

producţie, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198248.Vodă Gh.V., Gândirea statistică-un mod de gândire

al viitorului, Ed. Albatros, 1977

49.Zidăroiu C., Programare liniară , Ed. Tehnică, 198350.Achmanov S., Programmation lineaire, Ed. Mir Moscou, 1984

51.Andraşiu M. & colect., Metode de decizii

multicriteriale, Ed. Tehnică,198652.Bărbatu Gh.I., Ionescu V., Cercetarea operaţională

în întreprinderile industriale, Ed. Tehnică, 198153.Baciu A., Puşcaş E., Pascu A., Aplicaţii ale cercetării

operaţionale, Ed. Militară, Bucureşti, 198854.Bebea N., Metode pentru rezolvarea problemelor de

optimizare. Aplicaţii, E.D.P., Bucureşti, 197855.Boroş E., Opriş D., Introducere în optimizarea

liniară şi aplicaţii, Ed. Facla, Timişoara, 197956.Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilităţilor şi

aplicaţii, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1983

330



57.Constantinescu D. (coord.), Cunoştinţe economice

fundamentale, Ed. Universitaria, Craiova, 2002

58.Ernest D., Metode numerice în teoria jocurilor , Ed.Dacia, Cluj-Napoca, 198359.Ghermeier I.B., Introducere în teoria cercetării

operaţionale, Ed. Tehnică, 197360.Ioan C.A., Matematică economică , Galaţi, 199961.Ioan C.A., Matematică economică. Culegere de

probleme, Galaţi, 199962.Ioan C.A., Matematică financiară , Galaţi, 199963.Ioan C.A., Matematică financiară. Culegere de

probleme, Galaţi, 199964.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie, Brăila,

199665.Ioan C.A., Matematici aplicate în economie. Aplicaţii,

Brăila, 199666.Ion D.I., Radu N., Algebră , E.D.P., Bucureşti, 1991

67.Iosifescu M. & colect., Mică enciclopedie de statistică , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198568.Klimov G., Probability Theory and Mathematical

Statistics, Ed. Mir Publishers Moscow, 198669.Lang S., Algebra, Addison-Wesley, 197170.Lasdon L.S., Teoria optimizării sistemelor mari, Ed.

Tehnică, 197571.Maliţa M., Zidăroiu C., Matematica organizării, Ed.

Tehnică, 197572.Mihoc Gh., Micu N., Elemente de teoria

probabilităţilor şi statistică matematică , E.D.P.,Bucureşti, 1986

73.Mihoc Gh., Micu N., Teoria probabilităţilor şi

statistică matematică , E.D.P., Bucureşti, 198074.Popescu O., coord., Matematici aplicate în economie,

E.D.P., Bucureşti, 1997

331



75.Purcaru I., Elemente de algebră şi programare

liniară , Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1982

76.Stavre P., Matematici speciale cu aplicaţii îneconomie, Ed. Scrisul Românesc, Craiova, 1982

77.Şabac I.Gh., Matematici speciale, E.D.P., Bucureşti,vol.I, 1981, vol.II, 1983

78.Teodorescu N. & colect., Metode ale cercetării

operaţionale în gestiunea întreprinderilor , Ed.Tehnică, 1972

79.Tovissi L., Vodă V., Metode statistice-aplicaţii în

producţie, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 198280.Zidăroiu C., Programare liniară , Ed. Tehnică, 1983

CUPRINS

MATEMATICI FINANCIARE 51.Dobânzi............................................................................................................

5

I. Dobânda

simplă................................................................................

5

II. Dobândacompusă..........................................................................

7

2. Operaţiuni descont........................................................................................

12

3. Plăţi eşalonate(rente).....................................................................................

16

332



I. Mensualităţi.Anuităţi.......................................................................

1

II.Împrumuturi....................................................................................

2

MATEMATICI ACTUARIALE 21.Asigurări...........................................................................................................

2

2. Funcţii biometrice...........................................................................................

2

3. Calculul primei unice deasigurare................................................................

3

4. Calculul primelor de asigurare periodice,viagere.......................................

3

TEORIA JOCURILOR 41.Generalităţi.......................................................................................................

4

2. Metoda de rezolvare, prin programare liniară, a jocurilor cusumă

nulă, de douã

persoane...................................................................................

4

3. Jocuristatistice.................................................................................................

5

4. Criterii pentru alegerea deciziilor optime în situaţii deincertitudine......

5

5. Alegerea deciziilor optime în situaţii decertitudine...................................

5

333



6. Testerecapitulative.................................................................................

........

63

TEORIA GRAFURILOR 711.Generalităţi.......................................................................................................

71

2. Drumuri de lungime minimă într-ungraf...................................................

81

3. Drumuri de lungime maximă într-ungraf...................................................

86

TEORIA STOCURILOR. TEORIA AŞTEPTĂRII 931. Teoria

stocurilor..............................................................................................

93

I.Introducere........................................................................................

93

II. Model general destoc.....................................................................

94

III. Model de stoc pentru o perioadă

unică......................................

95

IV. Modelul Wilson-Whitin................................................................

95

V. Model cu cost de penurie...............................................................

96

2. Teoriaaşteptării...............................................................................................

99

334



I.Introducere........................................................................

................

9

II. Model general pentru o singură staţie deserviciu......................

1

ALOCAREA RESURSELOR UMANE 1

1. Alocarea optimă a angajaţilor pe lucrări deexecutat.................................

1

2. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de vedere alminimizării

timpului maxim deexecuţie..........................................................................

1

3. Alocarea optimă a angajaţilor din punctul de vedere alminimizării

timpului total deexecuţie...............................................................................

1

GRUPAREA ŞI AMPLASAREA UTILAJELOR 11. Gruparea utilajelor pe liniitehnologice........................................................

1

2. Amplasarea locurilor de muncă-metoda gamelor fictive..........................

1

3. Amplasarea locurilor de muncă-metodaverigilor......................................

1

SUCCESIUNEA OPERAŢIILOR ÎNFLUXURILE DE PRODUCŢIE 1

1. Succesiunea a două utilaje fără termene de eliberareiniţială....................

1

2. Succesiunea unor utilaje cu termene de eliberareiniţială..........................

1

BIBLIOGRAFIE 1

335



9

modelare matematica scurta-2007

Documents