mod sim curs
TRANSCRIPT
Modelare şi simulare 5
MIRCEA DULĂU STELIAN OLTEAN
MODELARE şi SIMULARE
Curs
2008
6 Modelare şi simulare
UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MUREŞ FACULTATEA DE INGINERIE
dr. ing. MIRCEA DULĂU dr. ing. STELIAN OLTEAN
MODELARE şi SIMULARE
Curs
2008
Modelare şi simulare 7
Referenţi ştiinţifici: Prof. dr. ing. Mihail ABRUDEAN Prof. dr. ing. Alexandru MORAR
Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această lucrare este posibilă numai cu acordul scris al autorilor.
Tehnoredactare computerizată: autorii Grafica: autorii Corectura: autorii Multiplicare: Petru Pop Legătorie: Lenuţa Pop Bun de tipar: 12.06.2008 CZU 621-52; 004.94
Tiparul executat la Universitatea “Petru Maior” din Târgu Mureş
8 Modelare şi simulare
I. PROBLEMATICA MODELĂRII ŞI SIMULĂRII. ASPECTE
GENERALE I.1. Definiţii. Terminologie
În domeniul ştiinţelor tehnice, experimentul şi observaţia constituie
aspecte esenţiale pentru un sistem ce se elaborează iterativ.
Modelarea şi simularea prezintă principalele metode şi tehnici prin care
obiecte din lumea reală, procese, fenomene etc., sunt reprezentate matematic
şi apoi analizate indirect, utilizând tehnica de calcul.
Modelul este reprezentarea matematică a dependenţei dintre mai multe
mărimi. Dacă dependenţa corespunde unui proces fizic realizabil, modelul se
numeşte sistem, aceasta însemnând că între mărimile ce apar există o relaţie
de cauzalitate care le separă în două clase (mărimi de intrare - cauză, mărimi
de ieşire - efect).
Implementarea unui model pe un dispozitiv de calcul (analogic,
numeric), pentru a-i studia proprietăţile esenţiale (răspuns la diverse intrări,
performanţe, etc.), reprezintă modelarea (analogică, numerică).
Construirea modelului matematic se poate aborda astfel:
- modelare analitică, consecinţă a legilor fizico-chimice care descriu
desfăşurarea fenomenelor;
- modelare experimentală, bazată pe prelucrarea datelor obţinute prin
măsurători experimentale.
Construcţia unui model matematic, optim în raport cu un criteriu impus,
pentru obiectele automatizate, pe baza datelor experimentale obţinute prin
test sau funcţionare normală, reprezintă identificarea.
Observaţii:
- modelul matematic reprezintă o aproximare simplificată a realităţii;
modelul matematic nu poate (şi în general nici nu trebuie) să
reprezinte exact sistemul real în toată complexitatea sa;
- complexitatea unui model matematic este dictată, în general, de
acurateţea (precizia) dorită în descrierea comportării sistemului, în
Modelare şi simulare 9
sensul că un model simplu neglijează sau idealizează anumite
aspecte ale comportării;
- modelul matematic are un caracter generalizator pentru o clasă de
sisteme echivalente, indiferent de natura fizică a fenomenului
caracterizat; în general, parametrii determinaţi au semnificaţii fizice
directe;
- modelul trebuie să aibă o formă utilizabilă.
În acest context, o definiţie a modelului poate fi formulată astfel:
„Modelul reprezintă o interpretare explicită a înţelegerii unei situaţii sau cel
puţin o idee despre această situaţie. El poate fi exprimat matematic, prin
simboluri sau cuvinte, esenţială fiind descrierea entităţilor şi a relaţiilor dintre
acestea. Modelul poate fi descriptiv sau ilustrativ, dar mai presus de toate
trebuie să fie util” [10,12,13,21].
Simularea este procedeul de reprezentare a unui proces real printr-un
model idealizat, fizic realizabil sau numai conceptual, prin intermediul căruia
se urmăreşte obţinerea de informaţii privind comportarea.
Simularea este utilă, în special în cazurile în care analiza directă este
imposibilă, respectiv: sistemul nu poate fi pus la dispoziţia analistului, pentru
experimentări directe; există pericolul producerii unor pagube prin
experimentare directă; sistemul are evoluţie lentă în timp; nu pot fi generate
direct condiţiile de experimentare, etc.
Observaţii:
- prin simulare nu se pot obţine soluţii foarte exacte pentru că,
principial, modelele sunt imperfecte;
- există erori în precizarea datelor, a parametrilor, a condiţiilor de
simulare, care nu pot fi compensate;
- în cazul proceselor foarte complexe, modelul de simulare poate
deveni mai complex decât procesul însuşi.
Comportarea unui sistem în diferite condiţii poate fi descrisă cu ajutorul
unui model verbal (de ex., formularea unor principii de funcţionare). Un alt tip
de model îl constituie modelul fizic (macheta), care îşi propune să reducă la o
10 Modelare şi simulare
anumită scară caracteristicile unui sistem dat (de ex., macheta unei clădiri).
Modelele fenomenologice (conceptuale) permit descrierea sistemelor
respective prin anumite legi. Modelele funcţionale (formale) permit
reprezentarea sistemelor prin relaţii şi scheme funcţionale.
În cadrul preocupărilor tehnico-inginereşti, modelul matematic (analitic)
se concentrează pe descrierea comportării diverselor entităţi fizice. Înlocuind
entitatea fizică concretă, „modelul” permite formularea de constatări privind
detaliile de funcţionare sau soluţiile de proiectare. Prin conţinutul lor
informaţional, calitativ şi cantitativ, modelele de natură matematică se
dovedesc a fi descrieri foarte performante pentru studiile din domeniul
ingineriei.
În condiţiile când pentru parametrii constructivi nu sunt disponibile valori
numerice concrete, modelul obţinut realizează doar o descriere calitativă a
comportării sistemului.
Modelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor
prelucrări analitice care conduc la formulări sau expresii noi (de ex., rezolvarea
unor ecuaţii algebrice sau a unor ecuaţii diferenţiale). Dar prelucrările analitice
nu sunt întotdeauna posibile şi, în atare situaţii, se apelează la metode
specifice calculului numeric. Aceste metode sunt, în general, uşor de utilizat
apelând la un limbaj sau mediu de programare.
Astfel, investigarea unor proprietăţi ale sistemului studiat, presupune
rezolvarea numerică a unor probleme, procedeele de investigare constituind
aşa-numita analiză asistată de calculator.
În aceste condiţii, prin intermediul simulării numerice, se pot desfăşura
experienţe sau experimente de simulare care nu necesită nici un fel de
manipulare fizică a sistemului concret studiat. Astfel, experimentele de
simulare înlătură limitările experienţelor practice, cu acţiune nemijlocită
asupra sistemului fizic.
În modelare şi simulare, noţiunea de semnal este echivalentă
termenilor mărime sau variabilă, care sunt utilizaţi în descrierea funcţionării
unui sistem (indiferent de natura fizică concretă a acestuia). Din punct de
Modelare şi simulare 11
vedere matematic, orice semnal trebuie privit ca o funcţie f(t) : R→R, în care
argumentul (variabila independentă) t are semnificaţie temporală, permiţând,
astfel, exprimarea modului în care o anumită cantitate (cu înţeles fizic) se
modifică în timp.
Utilizând termenul de semnal, se face referire la evoluţia în timp a
oricărei mărimi fizice, (de ex.: temperatura dintr-o incintă, viteza unui mobil,
volumul de fluid dintr-un rezervor, tensiunea la bornele unui rezistor
electric, etc.).
În funcţie de complexitatea sistemului studiat, nu toate semnalele sunt
accesibile măsurătorilor sau înregistrărilor, dar imposibilitatea accesului
practic la aceste semnale nu înseamnă inexistenţa lor.
În studierea dinamicii unui sistem, există două categorii de semnale
care sunt nemijlocit accesibile măsurării sau înregistrării, datorită rolului pe
care îl deţin în comportarea sistemului:
- semnale de intrare (semnale cauză sau intrări), care provin din universul
exterior sistemului şi acţionează asupra acestuia;
- semnale de ieşire (semnale efect sau ieşiri), care sunt furnizate de sistem
către universul exterior acestuia.
Modelarea bazată pe principiile fizicii realizează legături între intrări şi
ieşiri prin intermediul unor relaţii analitice care includ şi semnalele interne din
structura sistemului. Aceste relaţii analitice care exprimă legăturile dintre
semnale sunt, de fapt, relaţii din diverse domenii ale fizicii aplicate adecvat în
contextul problemei de modelare.
I.2. Etapele modelării
Procesul de modelare a unui sistem include următoarele etape:
a. modelarea fizică;
b. modelarea matematică;
c. investigarea modelului matematic;
d. validarea modelului.
12 Modelare şi simulare
La nivelul modelării fizice se concepe un model al sistemului de analizat,
a cărui comportare se apropie suficient de mult de comportarea sistemului
real. Un asemenea model „ideal” este considerat model fizic al sistemului, care
se completează cu condiţiile la limită pentru reprezentarea interacţiunii dintre
sistem şi mediu [13,21,22].
Construirea modelului fizic necesită o serie de aproximări, respectiv:
- se neglijează efectele minore; aceasta simplifică calculele matematice prin
reducerea numărului variabilelor şi a numărului şi complexităţii ecuaţiilor de
mişcare;
- se presupune că mediul înconjurător sistemului nu este afectat de sistem;
- se înlocuiesc caracteristicile „distribuite” cu caracteristici „concentrate”
similare; elementele cu parametri distribuiţi se reprezintă prin ecuaţii
diferenţiale cu derivate parţiale care sunt dificil de integrat, în timp ce
elementele cu parametri concentraţi se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale
ordinare relativ simplu de integrat;
- se presupune că relaţiile cauză-efect dintre variabilele fizice sunt liniare;
sistemele neliniare pot fi aproximate prin sisteme liniare pentru variaţii mici în
jurul punctelor lor de lucru, rezultând o soluţie în formă închisă (relaţie liniară
între cauză şi efect);
- se presupune că parametrii fizici nu se modifică în timp, ecuaţiile de mişcare
fiind mai uşor de rezolvat;
- se neglijează incertitudinea privind valorile parametrilor, măsurătorile şi
factorii perturbatori ce afectează intrările şi ieşirile sistemului; în analiza
dinamicii se neglijează deseori zgomotele, iar procesul de analiză se
desfăşoară ca şi cum toate mărimile au valori precis cunoscute.
Modelarea matematică presupune dezvoltarea unui model potrivit
pentru reprezentarea modelului fizic, aceasta conducând la obţinerea
ecuaţiilor diferenţiale de mişcare.
Această etapă presupune:
- alegerea variabilelor de intrare, ieşire şi stare (tensiuni şi curenţi în
domeniul electric, poziţii şi viteze în domeniul mecanic, debite şi
Modelare şi simulare 13
niveluri în domeniul hidraulic, temperaturi, presiuni, densităţi în
domeniul termic);
- specificarea ecuaţiilor de echilibru pentru forţe, momente, mase,
energie sau scrierea unor relaţii de compatibilitate ale sistemului
(curent - tensiune în domeniul electric, forţă - mişcare în domeniul
mecanic, forţă - câmp electromagnetic în domeniul electromecanic,
temperatură – presiune - energie în domeniul termodinamic);
- combinarea algebrică a relaţiilor într-un set compact de ecuaţii de
mişcare.
Modelele matematice astfel deduse se numesc modele teoretice.
Investigarea modelului matematic presupune studiul comportării
dinamice a modelului matematic prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de
mişcare, cunoscându-se condiţiile iniţiale, condiţiile la limită, valorile unor
parametri sau domeniul de variaţie a parametrilor, pentru care modelul este
valid. Se decide asupra metodei potrivite de rezolvare, prin:
- metode analitice;
- metode de aproximare analitică;
- metode de aproximare numerică.
Validarea modelului reprezintă un proces de dezvoltare a încrederii în
precizia modelului pentru un anumit domeniu. Validarea presupune
compararea soluţiilor modelului matematic cu procesul real. De regulă, testele
şi evaluările se fac până la atingerea unei anumite încrederi în validitatea
modelului pentru domeniul aplicaţiei.
I.3. Tipuri de modele
Modelele matematice pot fi grupate în clase, pe baza unor caracteristici
care se referă la descrierea realizată de model pentru comportarea corectă a
sistemului [3,12,13,15,16,20,22].
14 Modelare şi simulare
a. Modele deterministe – modele stohastice
Un model este determinist dacă pentru fiecare semnal de intrare u(t)
există o singură valoare a semnalului de ieşire y(t), ceea ce înseamnă că
parametrii modelului sunt cunoscuţi cu exactitate.
Un model este stohastic în cazul în care conţine variabile aleatorii, care
posedă doar valori posibile şi probabilităţi asociate. Într-un model stohastic
pot fi mai multe valori posibile ale ieşirilor, fiecare având o anumită
probabilitate de apariţie, pentru acelaşi semnal de intrare.
În general, un model determinist se bazează pe ipoteza totalei
certitudini în cunoaşterea mărimilor, în timp ce un model stohastic permite
existenţa incertitudinilor în cunoaşterea mărimilor. Incertitudinile nu se referă
la încrederea în corectitudinea sau validitatea modelului, ci la maniera în care
pot fi cunoscute anumite mărimi.
b. Modele statice – modele dinamice
Un model este static dacă valorile semnalelor de ieşire la un moment
dat depind doar de valorile semnalelor de intrare la acel moment (model fără
memorie).
Într-un model dinamic, valorile semnalelor de ieşire depind şi de valorile
semnalelor de intrare din momente anterioare (model cu memorie).
În general, un model static furnizează o relaţie (relaţii) între valorile
instantanee al mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. Un model
dinamic furnizează o relaţie (relaţii) între valori instantanee şi valori anterioare
ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică.
Modelele statice sunt exprimate, în general, prin ecuaţii algebrice, de
forma:
uxgy , , (1.1)
iar modelele dinamice sunt exprimate prin ecuaţii diferenţiale, integrale sau
integro-diferenţiale, de forma:
tttgttttft
,,,,
uxyuxx , cu f, g – funcţii continue şi Rt (1.2)
respectiv, în timp discret:
Modelare şi simulare 15
kkukxgkykkukxfkx
,,,,1 , cu Zk (1.3)
c. Modele liniare – modele neliniare
Un model liniar furnizează o relaţie (relaţii) de tip liniar între mărimile
utilizate pentru descrierea matematică. Un model neliniar furnizează o relaţie
(relaţii) de tip neliniar între mărimile utilizate pentru descrierea matematică.
Pentru un model liniar se poate aplica principiul superpoziţiei: răspunsul la
mai multe semnale aplicate la intrare poate fi obţinut prin însumarea
răspunsurilor pentru fiecare semnal aplicat separat.
Un sistem este liniar dacă răspunsul la semnalul de forma:
tuctuctu 2211 (1.4)
are forma:
tyctycty 2211 (1.5)
în care: 21 ,cc sunt constante.
Un model care nu satisface principiul superpoziţiei este neliniar.
d. Modele invariante în timp – modele variante în timp
Un model este cu parametri invariabili dacă relaţia dintre intrări şi ieşiri
nu depinde de timp. Într-un astfel de model, valoarea şi forma semnalului de
ieşire nu depind de momentul la care se aplică semnalul de intrare.
În general, un model invariant în timp furnizează o relaţie (relaţii) între
mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toţi coeficienţii au
valori constante în timp. Un model variant în timp (cu parametri variabili)
furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea
matematică, în care unul sau mai mulţi coeficienţi îşi modifică valoarea
dependent de timp.
În funcţie de dependenţa de timp a funcţiilor f şi g din modelul (1.2),
pentru modelul invariant este valabilă forma:
uxgguxff
,, (1.6)
iar pentru modelul variant este valabilă forma:
16 Modelare şi simulare
uxtgguxtff
,,,, (1.7)
Un caz particular al modelului (1.2) este dat de forma liniarizată, care
descrie un model variant în timp:
tttttttttt
uDxCyuBxAx (1.8)
în care: x(t) este vectorul mărimilor de stare (în nR );
u(t) – vectorul mărimilor de intrare (în mR );
y(t) – vectorul mărimilor de ieşire (în pR );
A(t) – matricea coeficienţilor (n x n);
B(t) – matricea de comandă (n x m);
C(t) – matricea de ieşire (p x n);
D(t) – matricea de transfer (p x m).
Dacă matricele sunt invariante în timp, modelul devine (liniar) invariant
în timp, adică:
tttttt
DuCxyBuAxx (1.9)
Modelele cu parametri invariabili se caracterizează prin translatarea în
timp a semnalului de intrare, astfel: semnalul de intrare u(t) conduce la
semnalul de ieşire y(t); răspunsul la semnalul de intrare tu conduce la
semnalul de ieşire ty , pentru orice t şi .
e. Modele cu parametrii concentraţi – modele cu parametrii distribuiţi
Un sistem fizic este o colecţie de elemente interconectate. Când se
aplică o excitaţie la intrare, stimulul va ajunge la toate elementele simultan
sau va influenţa cu întârzieri elementele din sistem. Dacă excitaţia de la
intrare se propagă instantaneu în sistem, acesta se consideră cu parametrii
concentraţi. Un asemenea sistem poate fi descris printr-un număr finit de
variabile scalare, adică în fiecare punct al sistemului se materializează
proprietăţile regiunilor imediat înconjurătoare.
Modelare şi simulare 17
În sistemele cu parametrii distribuiţi, excitaţia aplicată la intrare
afectează elementele sistemului după un timp diferit de zero, care depinde de
viteza de propagare a stimulului în sistem.
În general, un model cu parametrii concentraţi furnizează o relaţie
(relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toate
funcţiile utilizate depind de o singură variabilă independentă, care are
semnificaţie temporală. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul
ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale
ordinare. Un model cu parametrii distribuiţi furnizează o relaţie (relaţii) între
mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care cel puţin o parte din
funcţiile utilizate depind (pe lângă variabila independentă cu semnificaţie
temporală) de una sau mai multe variabile independente, de regulă cu
semnificaţie spaţială. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul
ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale sau a sistemelor de ecuaţii
diferenţiale cu derivate parţiale.
f. Modele continue – modele cu eşantionare
În general, se consideră că timpul este o cantitate continuă şi poate lua
orice valoare din mulţimea numerelor reale.
Modelele continue consideră timpul ca o variabilă independentă
continuă. Acestea sunt descrise de ecuaţii diferenţiale. Modelele cu
eşantionare sunt descrise de ecuaţii cu diferenţe finite şi semnalele asociate
se modifică doar la momente discrete de timp.
În specificarea tipului unui model matematic se pot folosi unul sau mai
mulţi termeni din perechile prezentate, respectiv se poate vorbi despre
modele statice liniare şi modele statice neliniare, modele dinamice liniare şi
modele dinamice neliniare, modele dinamice liniare invariante în timp şi
modele dinamice liniare variante în timp, etc.
***
18 Modelare şi simulare
În ştiinţele tehnico-inginereşti, activitatea de modelare se bazează pe
modele cauzale, care descriu comportarea sistemului printr-o legătură între
cele două categorii de semnale prezentate:
- semnalele de intrare, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp
poate fi precizată analitic, întrucât sunt furnizate din exterior către
sistem;
- semnalele de ieşire, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp nu
este cunoscută analitic, deoarece sunt produse de sistem, ca rezultat al
stimulilor prezentaţi la intrare.
Un astfel de model permite determinarea dependenţei de timp a
semnalelor de ieşire fie prin calcul analitic, fie prin procedee numerice
(făcându-se apel la simularea într-un mediu software adecvat).
Conectarea mai multor modele cauzale asigură posibilitatea conceperii
unor structuri modulare complexe, cărora li se pot asocia reprezentări grafice
(scheme sau diagrame bloc).
În construcţia modelelor cauzale, compuse din blocuri cauzale, pot
interveni erori în atribuirea rolurilor de intrare, respectiv ieşire pentru anumite
semnale ce servesc conectărilor de blocuri. Asemenea erori provin, uzual, din
faptul că legile fizicii sunt, în general, descrieri sau modele acauzale, care
leagă relaţional două sau mai multe mărimi (semnale), fără nici o precizare
privind cauzalitatea.
O descriere acauzală se poate transforma într-un model cauzal, prin
asignarea semnificaţiilor de cauză şi efect pentru semnalele implicate în
respectiva descriere, trebuind să se ţină cont de bilanţul energetic care
asigură funcţionarea obiectului real.
În asemenea situaţii, universul exterior furnizează sistemului, în fiecare
moment, o anumită putere (energie/unitatea de timp), care poate fi exprimată
în toate domeniile fizicii, ca produs a două semnale pereche, astfel: în
electricitate – tensiune şi curent, în mecanica mişcării liniare – forţă şi viteză,
în mecanica mişcării de rotaţie – moment al cuplului şi viteză unghiulară, în
fluidică – presiune şi debit, în căldură – temperatură şi flux al entropiei.
Modelare şi simulare 19
II. MODELE CAUZALE
Având drept bază transferul de energie, construcţia de modele poate fi
abordată riguros, în manieră cauzală [13,15,16,20,21,22].
Metoda porneşte de la descrierea transferului de putere dintre o sursă
ideală şi un sistem, iar apoi propagă cauzalitatea impusă de tipul sursei, din
aproape în aproape, pentru fiecare element component, ţinând seama de
principiul conservării energiei şi de specificul comportării elementelor
constitutive. Această specificitate comportamentală are tot fundament
energetic, respectiv modul în care se utilizează puterea (disipare, acumulare
sau transformare).
Ştiinţele inginereşti operează cu câteva tipuri de descrieri matematice
ale tranziţiei intrare-ieşire, acceptate drept standarde pentru activităţile de
analiză şi proiectare, respectiv: proporţional, integrativ, derivativ, modele
liniare de tip ecuaţie diferenţială, modele intrare-stare-ieşire, etc.
II.1. Modele de tip proporţional
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru sistemele cu comportare
proporţională poate fi descrisă printr-un model matematic de tip ecuaţie
algebrică liniară de ordinul I, de forma:
0, ctcuty , (2.1)
unde: u(t) este mărimea cauză (intrare);
y(t) - mărimea efect (ieşire).
La orice moment de timp t valoarea instantanee a mărimii efect y(t)
poate fi determinată din valoarea instantanee a mărimii cauză u(t) prin
multiplicare cu factorul (coeficientul) de proporţionalitate 0c . Factorul de
proporţionalitate trebuie privit drept o constantă ce caracterizează funcţionarea
sistemului fizic modelat prin intermediul ecuaţiei (2.1). Unitatea de măsură prin
care se exprimă valoarea lui c este corelată cu unităţile de măsură ale
semnalelor u(t) şi y(t).
20 Modelare şi simulare
Ecuaţia (2.1) poate fi privită sub forma implicită:
0,0 ctcuty , (2.2)
unde: u(t), y(t) sunt mărimi fizice ale căror valori instantanee sunt proporţionale
prin intermediul factorului c.
Una dintre aceste două mărimi este furnizată din exterior către sistem şi
reprezintă mărimea cauză, iar cealaltă este furnizată de sistem către exterior şi
reprezintă mărimea efect. În exprimarea implicită (2.2) nu se precizează mărimea
cauză, astfel că această ecuaţie constituie o formă acauzală a modelului de tip
proporţional.
Prin convenţie, modul de reprezentare folosit pentru ecuaţia (2.1.) este o
formă cauzală a modelului de tip proporţional şi semnifică faptul că semnalul din
membrul drept, u(t), este intrare, iar semnalul din membrul stâng, y(t), este ieşire.
Tot prin convenţie, notaţia u(t) desemnează, uzual, un semnal cauză, iar notaţia
y(t) desemnează, uzual, un semnal efect.
În cazul multor sisteme fizice forma acauzală dată de ecuaţia (2.2)
poate fi utilizată atât cu cauzalitate u y, cât şi cu cauzalitate y u.
Asemenea situaţii sunt specifice sistemelor care disipă energie, semnalele u(t)
şi y(t) fiind caracterizate prin faptul că produsul de forma tytu are
semnificaţie de putere.
II.2. Modele de tip integrator
Un număr mare de sisteme fizice, de naturi diferite sunt descrise prin
legi care evidenţiază legătura dintre o mărime fizică derivată şi o altă mărime
fizică nederivată. Interpretarea tranziţiei cauzale intrare-ieşire pentru o astfel
de lege se poate face apelând la modele de tip integrator (sau derivator).
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip integrator este
descrisă de o ecuaţie diferenţială de forma:
0,0; 0
ayytutya , (2.3)
unde: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea (variabila, semnalul)
cauză (intrare);
Modelare şi simulare 21
y(t) - mărimea efect (ieşire).
Denumirea "integrator" se datorează faptului că y(t) poate fi exprimat
drept:
010
yduatyt
(2.4)
Forma integrală (2.4) evidenţiază funcţionarea de tip acumulativ în
raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că integrarea utilizează toate
valorile semnalului u de pe întreg intervalul [0, t].
Aceasta poate fi utilizată şi în cazul mai general când u(t) este continuă
pe porţiuni (cu discontinuităţi de speţa întâi). Dacă u(t) este definită cu o
discontinuitate de speţa întâi în t1 prin:
tttutttu
tu12
11
,0,
, (2.5)
cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue, conform relaţiei (2.4), se poate scrie:
ttydudua
ttyduaty t t
t
t
10 21
0 11
,01
0,011
1
(2.6)
Acest exemplu poate fi formulat şi pentru ecuaţia (2.3), definind modelul
astfel:
- pentru 10 tt , modelul este: 01 0; yytutya
;
- pentru tt 1 , modelul este tytytutyatttt
1
1lim; 12
Condiţia finală de pe intervalul [0, t1), exprimată prin tytytttt
1
1lim1
devine condiţie iniţială pentru intervalul [t1, ).
Răspunsul y(t) al modelului de tip integrator la semnalul de intrare u(t)
exprimat prin relaţia (2.4) evidenţiază două componente şi anume:
- un termen depinzând numai de mărimea de intrare u(t) şi nedepinzând de
condiţia iniţială y(0), de forma:
t
f dua
ty0
1 , (2.7)
22 Modelare şi simulare
care poartă denumirea de răspuns forţat (componenta de regim forţat) la
semnalul de intrare u(t);
- un termen depinzând numai de condiţia iniţială y(0) (fiind chiar identică cu
aceasta) şi nedepinzând de mărimea de intrare u(t), de forma:
0ytyl , (2.8)
care poartă denumirea de răspuns liber (componenta de regim liber).
Expresia (2.4) defineşte răspunsul complet al modelului de tip integrator,
care reprezintă o suprapunere a răspunsului forţat şi răspunsului liber:
tytyty lf . (2.9)
Observaţii:
- când se aplică un semnal de intrare neidentic nul ( 0tu ), pe anumite
intervale de timp, iar condiţia iniţială este nulă (y(0) = 0), se obţine un
răspuns forţat;
- când se aplică un semnal de intrare identic nul, pe întreg intervalul de
observaţie (u(t)= 0), iar condiţia iniţială este nenulă ( 00 y ), se obţine
un răspuns liber;
- experimental, dacă atât semnalul de intrare cât şi condiţia iniţială sunt
nenule, nu se poate identifica separat componenta de regim forţat şi
componenta de regim liber (se pot efectua, separat, experimente de
regim forţat, de regim liber şi de regim complet);
- în cazul integratorului, în regim liber (în absenţa semnalului de intrare),
semnalul de ieşire y(t) nu tinde să se anuleze, ci păstrează constantă
valoarea sa iniţială y(0).
II.3. Modele de tip derivator
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip derivator este
descrisă de o ecuaţie liniară de forma:
0,
btucty , (2.10)
unde: u(t) este o funcţie netedă (cu derivata de ordinul I continuă),
reprezentând variabila cauză;
Modelare şi simulare 23
y(t) - variabila efect.
Forma derivativă (2.10) pune în evidenţă funcţionarea de tip anticipativ
în raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că definiţia derivatei ca limită a
raportului incremental 000 /lim0
tttutututt
presupune cunoaşterea
valorilor lui u(t) şi la momente de timp caracterizate prin t > t0. Astfel, calculul
lui 0tu
face apel la valori ale semnalului u(t) care nu pot fi cunoscute la
momentul curent t0, decât dacă se acceptă ipoteza anticipării acestor valori.
Observaţii asupra modelelor de tip integrator şi derivator:
- un număr mare de legi din diverse domenii ale fizicii se exprimă în forma
implicită:
,0,0
ktgtvk (2.11)
unde: v(t), g(t) sunt mărimi dependente, ca evoluţie în timp, una de cealaltă;
una din cele două mărimi trebuie privită drept cauză, iar
cealaltă drept efect.
- în unele situaţii, modul de funcţionare al procesului fizic modelat, impune
mărimea cauză, respectiv mărimea efect; există situaţii când rămâne la
latitudinea modelatorului asignarea cauzalităţii, adică desemnarea variabilei
cu rol de cauză şi a celei cu rol de efect, respectiv:
- g(t) cauză şi v(t) efect, caz în care modelul este de tip integrator, cu
exprimarea de forma (2.3) sau (2.4) - cauzalitate de tip integral;
aceasta evidenţiază o funcţionare de tip acumulativ, care este în
concordanţă cu sensul fizic intuitiv;
- v(t) cauză şi g(t) efect, caz în care modelul este de tip derivator, cu
exprimarea de forma (2.10) - cauzalitate de tip derivativ; aceasta
evidenţiază un caracter anticipativ;
- ori de câte ori este posibil se preferă exprimarea în cauzalitate integrală,
pentru că impune mai puţine restricţii de factură matematică asupra mărimii
de intrare (funcţie continuă pe porţiuni), spre deosebire de exprimarea de tip
derivativ, care necesită ca mărimea de intrare să fie o funcţie netedă; de
asemenea, la simulare, calcularea mărimii de ieşire (prin metode
24 Modelare şi simulare
aproximative, specifice analizei numerice) se realizează cu precizie mult mai
bună.
Exemplul 2.1.
Se consideră o rezistenţă electrică R [W], parcursă de un curent i(t) [A],
între ale cărei extremităţi există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V],
conform fig.2.1 [3,7,13].
Modelul de tip proporţional în forma acauzală este dat de legea lui Ohm
0 tRitu , din care se poate obţine forma cauzală rezistivă (rolul constantei
este jucat de o rezistenţă) tiRtu şi forma cauzală conductivă (rolul
constantei este jucat de o conductanţă) tuRti 1 .
Aceste exprimări cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de
furnizare a energiei electrice utilizate de rezistor. Forma cauzală rezistivă
presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de curent care
impune i(t) prin rezistor, iar u(t) rezultă la bornele rezistorului. Forma cauzală
conductivă presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de
tensiune care impune u(t) la bornele rezistorului, rezultând i(t) care parcurge
rezistorul.
Exemplul 2.2.
Se consideră un amortizor cu frecare vâscoasă, conform fig.2.2. Asupra
acestuia se exercită forţa F(t) [N], iar extremitatea sa liberă se deplasează cu
viteza v(t) [m/s]. Mişcarea extremităţii libere poate fi descrisă cu un model de
tip proporţional în forma acauzală 0 tvtF , unde [Ns/m] este
coeficientul de amortizare vâscoasă [12,13].
u(t) [V]
i(t) [A] R []
Fig.2.1. Rezistenţă electrică - model
proporţional
Modelare şi simulare 25
Din exprimarea acauzală se poate obţine forma cauzală rezistivă
(constanta de proporţionalitate este coeficientul de amortizare vâscoasă)
tvtF şi forma cauzală conductivă (constanta de proporţionalitate este
inversul coeficientului de amortizare vâscoasă) tFtv 1 .
Aceste forme cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare
a energiei mecanice utilizate pentru deplasarea extremităţii libere a
amortizorului. Forma cauzală rezistivă presupune că energia este furnizată de
o sursă ideală de viteză care impune v(t) drept cauză, iar F(t) rezultă drept
efect. Forma cauzală conductivă presupune că energia este furnizată de o
sursă ideală de forţă care impune F(t) drept cauză, iar v(t) rezultă drept efect.
Exemplul 2.3.
Se consideră un condensator electric având capacitatea Ce [F], parcurs
de curentul i(t) [A], între ale cărui terminale există diferenţa de potenţial
(tensiunea) u(t) [V], conform fig.2.3 [3,13,21].
Modelul în exprimarea acauzală (2.11) este de forma 0
tituCe , din
care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), tituCe
, cu i(t) intrare,
i(t) [A] Ce [F]
u(t) [V] Fig.2.3. Condensator electric – model
integrativ / derivativ
F (t) [N]
v (t) [m/s]
[Ns/m]
A
Fig.2.2. Amortizor mecanic - model
proporţional
26 Modelare şi simulare
u(t) ieşire şi modelul de tip derivator (2.10), tuCti e
, în care u(t) este
intrare, iar i(t) ieşire.
Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de la o
sursă ideală de curent, care impune i(t) prin condensator, iar u(t) rezultă între
terminalele condensatorului, de forma t
e
udiC
tu0
01 , care defineşte
răspunsul complet tututu lf . Acesta se obţine prin suprapunerea
răspunsului forţat t
ef di
Ctu
0
1 , (obţinut experimental cu acelaşi curent i(t)
şi condensatorul neîncărcat iniţial 00 u ), cu răspunsul liber 0utul ,
(obţinut experimental cu condensatorul încărcat cu aceeaşi tensiune iniţială
00 u şi curentul nul 0ti , pe întreg intervalul de observaţie).
Modelul de tip derivator presupune că energia este primită de la o sursă
ideală de tensiune care impune u(t), între terminalele condensatorului
rezultând i(t), de forma tuCti e
. Pe orice interval de timp se efectuează
observarea, tensiunea pe condensator va fi identică cu cea a sursei, u(t).
Exemplul 2.4.
Se consideră un punct material de masă m [kg], care se deplasează
liniar, fără frecare, conform fig.2.4. Deplasarea se caracterizează prin viteza
v(t) şi forţa F(t) [3,12,13].
Modelul în exprimare acauzală (2.11) este de forma 0
tFtvm ,
v(t) [m/s]F(t) [N]
m [kg]
Fig.2.4. Punct material în mişcare – model integrativ / derivativ
Modelare şi simulare 27
din care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), tFtvm
, în care
F(t) este intrare, iar v(t) ieşire, respectiv modelul de tip derivator (2.10),
tvmtF
, în care v(t) este intrare, iar F(t) ieşire.
Exprimările cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a
energiei mecanice utilizate în deplasare. Modelul de tip integrator presupune
că energia este primită de la o sursă ideală de forţă, care impune forţa F(t), iar
v(t) rezultă ca viteză de deplasare. Modelul de tip derivator presupune că
energia este primită de la o sursă ideală de viteză, care impune viteza v(t),
rezultând forţa F(t).
II.4. Modele liniare de tip ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu
coeficienţi constanţi
Astfel de modele permit analiza detaliată a dinamicii unui sistem fizic,
atât sub raport calitativ (specificitatea comportării nedepinzând de valori
numerice concrete), cât si din punct de vedere cantitativ (descrierea evoluţiei
prin informaţii numerice cât mai precise, făcând apel şi la studii de simulare).
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru un model de acest tip este definită
printr-o ecuaţie diferenţială de forma [3,13,15,20,21,22]:
000101 ,0,0, ytyaatutyatya
(2.12)
în care: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea cauză (intrare);
y(t) - mărimea efect (ieşire).
În cazuri practice, semnalul de intrare u(t) poate prezenta salturi de
amplitudine finită, acestea fiind, din punct de vedere matematic,
discontinuităţi de speţa întâi. Asemenea salturi nu sunt resimţite în semnalul
de ieşire y(t), datorită inerţiei manifestate de sistemul fizic, semnalul de ieşire
păstrând valoarea din momentul premergător saltului.
Conform acestei constatări experimentale, dacă u(t) este definită cu o
discontinuitate de speţa întâi în t1, printr-o relaţie de forma
28 Modelare şi simulare
tttu
ttttutu
12
101
,,
, cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue pe intervalele considerate,
atunci y(t) este continuă la stânga în t1, adică tytytttt
1
1lim1
.
Cu discontinuitate de speţa întâi pentru u(t), pentru ),[ 0 tt , modelul
(2.12) are formele:
00101 , ytytutyatya
, pentru 10 ttt ; (2.12a)
tytytutyatyatttt
1
1lim, 1201
, pentru tt 1 . (2.12b)
În baza ipotezei de continuitate a semnalului y(t) în t1, condiţia finală de
pe intervalul [0, t1), exprimată prin tytytttt
1
1lim1
, devine condiţie iniţială pentru
intervalul [t1, ).
Pentru un semnal de intrare u(t) precizat şi o condiţie iniţială y(t0) = y0,
semnalul de ieşire este dat de soluţia problemei Cauchy, asociate ecuaţiei
diferenţiale (2.12):
)[,1,0
10
0
1
00
1
0
ttdua
etyetyt
t
taatt
aa
(2.13)
Din punct de vedere energetic, un model de forma (2.12) descrie, în
general, comportarea unui sistem fizic alcătuit dintr-un element care
acumulează energie (cu o comportare de tip integrator) şi un element care
disipă energie (cu o comportare de tip proporţional).
Elementul integrator nu îşi poate modifica energia acumulată prin salt şi
astfel se asigură condiţia de continuitate, presupusă pentru y(t).
Soluţia (2.13) a ecuaţiei diferenţiale (2.12), evidenţiază comportarea de
regim liber tyl a sistemului, determinată numai de condiţia iniţială y(t0) = y0,
considerând semnalul de intrare nul, respectiv comportarea de regim forţat
ty f , determinată numai de semnalul de intrare u(t), considerând condiţia
iniţială nulă, adică:
Modelare şi simulare 29
),[, 00
01
0
tttyetytt
aa
l , (2.14)
)[,1,0
10
1
0
ttdua
etyt
t
taa
f
. (2.15)
Componenta yl(t) din (2.14) este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12), în
forma omogenă ( 0tu ), cu condiţia iniţială y0, ceea ce conduce la modelul de
regim liber:
000101 ,0,0,0 ytyaatyatya ll
(2.16)
Componenta yf (t) din din (2.15), este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12),
în forma neomogenă, cu condiţia iniţială nulă (y(t0) = 0), ceea ce conduce la
modelul de regim forţat:
0,0,0, 00101
tyaatutyatya ff (2.17)
Astfel, modelul iniţial (2.12) constituie un model complet al comportării
sistemului fizic, iar y(t) din (2.13) reprezintă răspunsul complet, care cuprinde
informaţiile referitoare la evoluţia liberă şi la evoluţia forţată.
Din punct de vedere practic, prezintă interes studiul dinamicii de regim
forţat pentru semnale de intrare de tip treaptă şi sinusoidal.
II.4.1. Dinamica de regim forţat
Răspunsul forţat la semnal treaptă
Se consideră semnalul de intrare:
),0[, tconstutu (2.18)
care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce la semnalul de ieşire:
),0[,11
00
1
0
tua
eua
tyt
aa
f (2.19)
Cu notaţia 0a
uys , se obţine comportarea asimptotică 0lim sft
yty ,
conform căreia ieşirea evoluează spre valoarea ys, care poartă denumirea de
valoarea de regim staţionar a răspunsului forţat şi care depinde de structura
sistemului prin intermediul a0, şi de amplitudinea semnalului de intrare u.
30 Modelare şi simulare
Eroarea relativă ts , a „distanţei” curente sf yty faţă de „distanţa”
iniţială ssf yyy 0 , depinde de structura sistemului (caracterizată prin a1>0,
a0 > 0) şi de timpul curent t, conform expresiei [13]:
taa
s
sf
sf
sfs e
yyty
yy
ytyt 1
0
0
. (2.20)
Pentru un sistem dat prin a1 > 0, a0 > 0, se evaluează procentual
valoarea s(t), având în vedere că aceasta este strict descrescătoare în raport
cu t.
De exemplu, pentru t cu valorile: 01 /3 aats şi 014 aats se obţine
%510053 etss , respectiv %210024 etss . Impunând, deci, un
prag de precizie de 5% (respectiv 2%) din ecartul iniţial, sistemul ajunge în
regim staţionar după un timp finit )/(3 01 aats , respectiv )/(4 01 aats .
În intervalul de timp [0, ts) sistemul se află în regim tranzitoriu, semnalul
de ieşire yf (t) fiind suficient de îndepărtat de valoarea ys, către care tinde.
Se constată că dinamica sistemului este caracterizată de raportul
01 aaT [sec.], denumită constantă de timp a sistemului, cu ajutorul căruia
modelul (2.12) devine:
00,0,0, yyKTtKutytyT
, (2.21)
unde: 01 aK este factorul de amplificare, ce poate lua orice valoare pozitivă
(inclusiv subunitară).
Cu aceste notaţii, răspunsul forţat yf (t), din (2.19) are forma:
ueKty Ttf 1 (2.22)
Răspunsul forţat la semnal sinusoidal
Se consideră semnalul de intrare:
),0[,0,0,sin tAtAtu (2.23)
care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce semnalul de ieşire, dependent de structura
sistemului (a1 > 0, a0 > 0 sau echivalent T > 0, K > 0) şi de pulsaţia a
semnalului de intrare:
Modelare şi simulare 31
t
aa
f eARtAMty 1
0
sin
(2.24)
în care: 1
12222
120
T
Kaa
M ;
Tarctgaaarctg
0
1 ; (2.24a)
12222
120
1
TKT
aaaR .
Cu notaţia tAMty p sin , se obţine comportarea
asimptotică: 0limlim 1
0
aa
tpfteARtyty , conform căreia ieşirea
evoluează către un regim permanent numit răspuns în regim permanent
sinusoidal yp(t), care:
- este un semnal sinusoidal de aceeaşi pulsaţie ca şi semnalul de
intrare;
- are amplitudinea dependentă de , prin intermediul coeficientului M();
- este defazat în urma semnalului de intrare cu un unghi dependent de ,
precizat de .
Structura sistemului, prin intermediul constantei de timp T, din (2.21),
furnizează informaţii privind durata regimului tranzitoriu necesar a fi traversat,
înaintea instalării regimului permanent.
Eroarea relativă a „distanţei” curente tyty pf , faţă de „distanţa” iniţială
ARyy pf 00 este dată de evoluţia în timp a raportului [13]:
Ttt
aaa
a
pf
pfp ee
AReAR
yy
tytyt
1
01
0
00 (2.25)
Eroarea p(t) este o funcţie strict descrescătoare în raport cu t, astfel că
se pot face estimări pentru durata regimului tranzitoriu, similar răspunsului la
semnal treaptă.
32 Modelare şi simulare
Astfel, pentru t având valorile: Taat p 33
0
1 şi Taat p 44
0
1 , se obţin
valorile p(tp) = e–3 5%, respectiv p(tp) = e–4 2%.
Observaţii:
- după traversarea regimului tranzitoriu, în răspunsul de regim forţat se
regăsesc caracteristice esenţiale ale semnalului de intrare, şi anume:
- semnal constant ys, în cazul intrării treaptă (2.18);
- semnal sinusoidal yp(t), în cazul intrării sinusoidale (2.23);
- durata regimului tranzitoriu este dependentă de structura sistemului şi
constituie o măsură a inerţiei pe care o manifestă sistemul la părăsirea
condiţiei iniţiale nule y(0) = 0.
- atât yf (t), din (2.19) (pentru intrare treaptă), cât şi yf
(t), din (2.24) (pentru
intrare sinusoidală) pot fi scrise sub forma:
tytyty tpf (2.26)
în care: yp(t) este componenta permanentă a răspunsului forţat yf (t), având
expresia concretă yp(t) = ys = constant;
yt(t) - componenta tranzitorie a răspunsului forţat, cu proprietatea
0lim
tytt, care asigură comportarea asimptotică a regimului
forţat, indiferent de tipul semnalului de intrare (treaptă sau
sinusoidal).
II.4.2. Dinamica de regim liber
Dinamica de regim liber corespunde modelului (2.16), care se obţine din
modelul complet (2.12), pentru cazul particular al mărimii de intrare identic
nule, u(t) 0.
Evoluţia mărimii de ieşire y(t) este dată de relaţia (2.14), cu t0 = 0,
conducând la forma:
001
0
yeyety Ttt
aa
l
(2.27)
Relaţia (2.27) pune în evidenţă comportarea asimptotică, 0lim
tylt,
pentru orice y(0).
Modelare şi simulare 33
Pentru sistemul considerat, y = 0 reprezintă un punct de echilibru
asimptotic stabil, în sensul că evoluţia liberă a sistemului, din orice condiţie
iniţială, se apropie asimptotic de punctul de echilibru (comportare valabilă
numai pentru restricţia a1 > 0, a0 > 0, impusă coeficienţilor ecuaţiei
diferenţiale (2.12)).
Eroarea relativă a „distanţei” curente tyl , faţă de „distanţa” iniţială
00 lyy , se defineşte în forma:
Ttt
aa
l
ll ee
yty
t
1
0
0 (2.28)
Astfel, pentru t de valoare, Taatl 33 01 , se obţine el (tl) 5%, iar
pentru t de valoare, Taatl 44 01 , se obţine el (tl) 2%.
Observaţie:
- din punct de vedere al observaţiei fizice, răspunsul liber "se stinge" după
un timp finit tl.
II.4.3. Răspunsul complet la semnale de intrare treaptă şi
sinusoidal
Indiferent de tipul semnalului de intrare, în baza relaţiilor (2.14), (2.15) şi
(2.26), răspunsul complet are expresia [13,15,16,19]:
tytytyty ptl , (2.29)
în care, 0lim
tyty tlt, asigură comportarea de tip asimptotic a răspunsului
complet 0lim
tyty pt.
Anularea sumei yl (t) + yt
(t) are loc exponenţial, cu eroarea relativă:
Ttt
aa
tl
tl
p
p eeyy
tytyyy
tytyt
1
0
0000 (2.30)
Observaţii:
- din punct de vedere practic, regimul permanent se instalează după un
interval finit de timp, dependent de structura sistemului, prin intermediul
constantei de timp T, din (2.21), astfel:
34 Modelare şi simulare
- după 3T, dacă se consideră o eroare de 5% din „distanţa” iniţială
00 tl yy ;
- după 4T, dacă se consideră o eroare de 2% din „distanţa” iniţială
00 tl yy ;
- pentru semnal treaptă sata
ltl yetytyty 10 ;
- pentru semnal sinusoidal ARetytyty ataltl
10 .
Răspunsul complet în tratare operaţională se bazează pe transformata
Laplace.
Astfel, considerând momentul iniţial t0 = 0 şi aplicând transformarea
Laplace ecuaţiei (2.12), cu notaţiile tyLtyLaplacesY ,
tuLtuLaplacesU , se obţine forma algebrică:
sUsYayssYa 01 0 . (2.31)
Expresia algebrică pentru Y(s) în funcţie de y(0) şi U(s) este:
sUasa
yasa
asY0101
1 10
(2.32)
sau, echivalent, în baza notaţiilor din (2.21):
sUTs
KyTs
TsY1
01
(2.33)
Prima componentă din relaţiile (2.32), (2.33) reprezintă răspunsul liber
(2.14) cu t0 = 0, adică:
00 10
01
1 yeLyasa
asY ata
l (2.34)
sau
001
yeLyTs
TsY Tt
l
(2.35)
A doua componentă din relaţiile (2.32), (2.33), reprezintă răspunsul
forţat (2.15) cu t0 = 0, adică:
t a
ta
f dua
eLsUasa
asY0
101
1 11
0
(2.36)
sau
Modelare şi simulare 35
tT
t
f dKueLsUTs
KsY01
. (2.37)
Observaţii:
- abordarea operaţională este echivalentă cu tratarea în domeniul timp şi se
utilizează frecvent pentru că:
- pune în evidenţă dependenţa răspunsului complet de condiţia iniţială
y(0), de semnalul de intrare U(s) şi de structura sistemului, descrisă prin
funcţiile raţionale, ,101
1
TsT
asaa respectiv
11
01
TsK
asa;
- în cazul unei mărimi de intrare a cărei dependenţă de timp este descrisă
analitic printr-o funcţie u(t) mai complicată, calculul lui y(t) este uşor de
realizat folosind tabelele de transformate Laplace, conform algoritmului:
tysYsUtuLaplaceLaplace 1
.
Exemplul 2.5.
Se consideră un sistem mecanic alcătuit dintr-un resort cu constanta de
elasticitate ke, conectat în paralel cu un amortizor cu frecare vâscoasă, având
coeficientul , conform fig.2.5 [5,12,13].
În punctul A se aplică o forţă F(t), care se modifică în timp după o lege
precizată. Sub acţiunea lui F(t), punctul A îşi modifică poziţia x(t), măsurată
în raport cu punctul fix O (care corespunde situaţiei când arcul nu este
tensionat 0tF şi resortul este nedeformat). Sensul pozitiv al axei Ox este
dat de alungirea resortului, corespunzând săgeţii asociate lui F(t).
ke
x(t)O x
A F (t)
Fig.2.5. Sistemul mecanic – model de
tip ecuaţie diferenţială
36 Modelare şi simulare
Construirea unui model cauzal având intrarea forţa F(t) şi ieşirea
deplasarea x(t), se bazează pe egalitatea de forţe:
),[, 0 tttFtFtF ar ,
în care: txktF er este forţa elastică corespunzătoare deformării resortului;
txtvtFa
- forţa elastică corespunzătoare amortizorului.
Ecuaţia diferenţială:
00, xtxtFtxktx e
,
este de forma (2.12), condiţia iniţială x0 având semnificaţia poziţiei punctului A
în momentul t0.
Conform expresiei analitice (2.13), soluţia ecuaţiei diferenţiale, respectiv
deplasarea punctului A în raport cu timpul, are forma:
),[,100
0
0
ttdFetxetxt
t
tkttk ee
,
care evidenţiază rolul parametrilor fizici ai sistemului mecanic (constantele de
material ke şi ), deplasarea iniţiala a punctului A, (x(t0)) şi forţa ce acţionează
asupra punctului A, (F(t)).
Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul este deformat şi 00 tx
(ca urmare a unui experiment premergător momentului t0) şi că, începând cu
momentul t0, asupra punctului A nu se mai aplică nici o forţă (adică 0tF
pentru ),[ 0 tt ), comportarea de regim liber a sistemului mecanic, poate fi
modelată printr-o ecuaţie diferenţială omogenă de forma (2.16):
0,0 00
xtxtxktx llel
cu soluţia de forma (2.14):
),[, 00
0
ttxetxttk
l
e
,
care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A din x0 către 0.
Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul nu este deformat
( 00 tx ) şi că începând cu momentul t0 asupra punctului A se aplică o forţă
F(t) care nu este identic nulă pe intervalul ),[ 0 tt , comportarea de regim
Modelare şi simulare 37
forţat a sistemului mecanic, poate fi modelată printr-o ecuaţie diferenţială
neomogenă de forma (2.17):
0,
txtFtxktx ffef
cu soluţia de forma (2.15):
),[,10
/
0
ttdFetxt
t
tkf
e
,
care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A, pornind din 0, sub
influenţa forţei F(t).
Răspunsul forţat la semnal treaptă
Se presupune că, pentru deplasarea iniţială nulă x(0) = 0, asupra
punctului A se aplică o forţă constantă NFtF 10 . Considerând valorile
parametrilor: ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, constanta de timp T, respectiv
factorul de amplificare K, din (2.21) au valorile: sk
Te
10 şi Nmm
kK
e
/11 .
Evoluţia deplasării punctului A, în funcţie de timp, este dată de expresia
(2.22), mmetx tf
10110 , cu reprezentarea din fig.2.6.
Fig.2.6. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat
Pentru o eroare de 5%, durata regimului tranzitoriu este ts5% = 3T = 30
sec., iar pentru o eroare de 2%, durata regimului tranzitoriu este ts2% = 4T = 40
sec. Valoarea de regim staţionar a deplasării punctului A este mmKFys 10 .
38 Modelare şi simulare
Determinarea expresiei analitice a deplasării xf (t), permite exprimarea
vitezei punctului A în funcţie de timp, smmetvt
/10 (fig.2.7).
Expresia analitică a forţei elastice corespunzătoare deformării resortului,
NetvtF tr
1010 , respectiv expresia analitică a forţei de frecare
corespunzătoare amortizorului, NetxktFt
ea
10110 , conduc la
reprezentările din fig.2.8., pe acelaşi interval de timp.
Fig.2.7. Evoluţia în timp a vitezei pentru regimul forţat
Fig.2.8. Evoluţia în timp a forţei elastice (linie continuă) şi a forţei de frecare (linie
întreruptă) pentru regimul forţat Observaţii:
- iniţial, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a învinge frecarea din
amortizor, resortul fiind nedeformat şi forţa elastică fiind nulă;
- în regim staţionar, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a menţine
constantă alungirea resortului, punctul A fiind în repaus şi forţa de
frecare fiind nulă;
- pe întreaga durată a regimului tranzitoriu forţa elastică este crescătoare
în timp (resortul se alungeşte de la 0 la 10 mm), iar forţa de frecare
scade (viteza scade de la 1 mm/s la 0).
Considerând aceleaşi valori numerice, ke = 1 N/mm şi NFtF 10 , iar
pentru coeficientul de amortizare o nouă valoare, 51 Ns/mm, (jumătate din
Modelare şi simulare 39
valoarea anterioară), constanta de timp a sistemului se înjumătăţeşte, adică:
sk
Te
5151
1 .
Drept consecinţă, durata regimului tranzitoriu (evaluată pentru o eroare
de 5% sau 2%) se reduce la jumătate din durata determinată în situaţia
anterioară (fig.2.9).
Fig.2.9. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat Valoarea de regim staţionar pentru deplasarea punctului A rămâne
nemodificată.
Considerând valorile numerice ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/m, respectiv forţa
constantă ce acţionează din exterior, NF 101 (egală şi de sens contrar celei
din situaţia anterioară), resortul se va comprima, deplasarea punctului A în
regim staţionar fiind de 10mm (egală dar în sens contrar celei din situaţia
anterioară, fig.2.10).
Dacă pentru forţa ce acţionează din exterior se consideră valoarea
F2 = 20N (de doua ori mai mare), în regim staţionar, deplasarea punctului A va
fi de 20mm (de trei ori mai mare). În ambele cazuri, durata regimului
tranzitoriu rămâne aceeaşi, deoarece constanta de timp a rămas aceeaşi.
40 Modelare şi simulare
a)
b)
Fig.2.10. Evoluţia în timp a deplasării pentru două regimuri forţate diferite: (a) NF 101 ; (b) NF 202
Răspunsul forţat la semnal sinusoidal
Se consideră sistemul mecanic cu aceleaşi valori numerice pentru
parametri, adică ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm. Pentru deplasarea iniţială nulă
x(0) = 0, asupra punctului A se aplică o forţă care variază în timp într-o formă
sinusoidală, ttF10
sin10 [N] (fig.2.11a).
a)
b)
Fig.2.11. Comportarea în regim forţat sinusoidal: a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi
componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)
Modelare şi simulare 41
Evoluţia deplasării punctului A în funcţie de timp este dată de expresia
(2.24), 1022 1
1010
sin1
10 t
f earctgttx
, (fig.2.11b, linia continuă), iar
componenta de regim permanent sinusoidal are forma:
arctgttx p 10
sin1
102
, către care evoluează răspunsul forţat.
Instalarea regimului permanent, cu o eroare de 5%, se realizează în
sec3033%5 e
p kTt ., iar cu 2%, în sec4044%2
ep k
Tt .
Considerând aceeaşi valoare numerică ke = 1 N/mm şi aceeaşi expresie
ttF10
sin10 , iar pentru coeficientul de frecare vâscoasă a amortizorului
jumătate din valoarea sa anterioară, adică mmNS /51 , durata regimului
tranzitoriu scade la jumătate, (fig.2.12, linia continuă-mărimea de ieşire xf (t),
linia întreruptă-componenta de regim permanent sinusoidal xp(t) către care
tinde ieşirea după expirarea regimului tranzitoriu).
Fig.2.12. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat sinusoidal Constanta de timp afectează regimul permanent sinusoidal astfel:
- raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea
regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din
(2.24), 1101 2 mm/N;
42 Modelare şi simulare
- defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent
şi semnalul de intrare F(t) este, conform (2.24), 05712 radarctg .
Considerând aceleaşi valori numerice ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, iar
pentru forţa ce acţionează din exterior ttF20
sin101
N, înjumătăţirea valorii
pulsaţiei, faţă de situaţia anterioară, are următoarele efecte asupra
elementelor caracteristice regimului permanent sinusoidal (fig.2.13):
- raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea
regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din
(2.24),
1101 2 mm/N;
- defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului
permanent şi semnalul de intrare F(t) este, din (2.24),
05712 radarctg .
a)
b)
Fig.2.13. Comportarea în regim forţat sinusoidal: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi
componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)
Regimul tranzitoriu (evaluat pentru o eroare de 5% sau 2%) are aceeaşi
durată ca în situaţia anterioară.
Modelare şi simulare 43
Dinamica de regim liber
Pentru aceleaşi valori numerice ale parametrilor, ke = 1 N/mm şi = 10
Ns/mm, dacă punctul A posedă o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, revenirea lui
la valoarea 0, în absenţa oricărei forţe externe, este descrisă, conform (2.27),
de relaţia Ttl etx 3 mm.
Pentru o eroare relativă de 5%, regimul liber poate fi considerat încheiat,
conform (2.28), după sec303%5 Ttl ., iar pentru o eroare relativă de 2%,
regimul liber poate fi considerat încheiat după sec404%2 Ttl .
Dacă se consideră o valoare dublă pentru constanta elastică a resortului
(ke = 2 N/mm), constanta de timp T se va înjumătăţi, iar durata regimului liber,
evaluată pentru o eroare relativă de 5% sau 2%, se va reduce la jumătate
(fig.2.14).
Fig. 2.14. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul liber al sistemului, cu două valori diferite pentru constanta de elasticitate
Răspunsul complet
Se consideră valorile parametrilor ke = 1 N/mm, = 10 Ns/mm şi poziţia
iniţială a punctului A este x(0) = 3 mm, respectiv semnalul de intrare F(t):
44 Modelare şi simulare
,]200,160[;0,)160,140[;15,)140,100[;12,)100,80[;7
,)80,40[;4,)40,0[;10
ststNstNstN
stNstN
tF
În fig.2.15a se prezintă evoluţia în timp a forţei F(t), pentru intervalul de
timp [0, 200] sec., iar în fig.2.15b se prezintă modul în care se modifică poziţia
punctului A (răspunsul complet al sistemului).
a)
b)
Fig.2.15. Răspunsul complet al sistemului: (a) evoluţia în timp a forţei aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă)
Pentru o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, considerând că asupra
punctului A se aplică o forţă ce variază în timp într-o formă sinusoidală
ttF 10sin10 N, cu ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, se obţine expresia:
20,10
xtFtxtx .
Transformarea 22 1010sin10
s
tL conduce la:
22 10
01010
ssXxssX ,
respectiv, 22 10110
1110
103
ssssX .
Modelare şi simulare 45
Prin utilizarea transformării Laplace inverse, se obţine:
arctgtarctgteetx tt sin
10coscos
10sin
110
1103
2
102
10
în care primul termen este componenta de regim liber, al doilea termen este
componenta de regim tranzitoriu şi al treilea termen este componenta de
regim permanent (fig.2.16).
a)
b)
Fig.2.16. Răspunsul complet: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultate ca ieşire (linie continuă) şi componenta de regim
permanent sinusoidal (linie întreruptă). Pentru deplasarea iniţială 00 fx , aplicând transformarea Laplace
ecuaţiei diferenţiale ,00,10
fff xtFtxtx rezultă funcţia de transfer
asociată sistemului mecanic, de forma: 110
1
stFL
txLsH f .
II.5. Modele liniare de tip intrare-stare-ieşire
O descriere matematică de acest gen operează cu trei tipuri de
variabile: de intrare, de stare şi de ieşire, reprezentarea oferind un cadru
teoretic general pentru construirea modelelor prin aplicarea legilor fizice care
descriu funcţionarea proceselor [3,5,13,15,16,18,20,21,22].
Modelele astfel obţinute permit analiza detaliată a dinamicii proceselor,
ca rezultat (efect) atât al condiţiilor iniţiale, cât şi al semnalelor de intrare. Sub
46 Modelare şi simulare
acţiunea unor clase de semnale, procesele fizice evidenţiază instalarea
regimurilor permanente, când variabilele de stare şi de ieşire reproduc
trăsăturile fundamentale ale variabilei de intrare.
Starea 0tx a unui sistem dinamic, la momentul 0t al observaţiei,
reprezintă „memoria” sistemului, adică rezultatul stocat al evoluţiei sale în
intervalul 0, tt .
Observaţie:
- se admite că starea iniţială 0tx şi mărimea de comandă u(t), 0tt ,
determină mărimea de ieşire y(t) şi toate stările x(t), 0tt .
II.5.1. Tranziţia cauzală intrare-stare-ieşire Modele intrare-stare-ieşire de ordinul doi
Definirea unui astfel de model se bazează pe un sistem de două ecuaţii
diferenţiale liniare, de ordinul I, de forma:
202101
22221212
12121111
0,0 xxxxtubtxatxatx
tubtxatxatx
(2.38)
sau în forma echivalentă:
20
10
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
00
,xx
xx
tubb
txtx
aaaa
tx
tx, (2.39)
unde: u(t) reprezintă semnalul de intrare;
x1(t), x2(t) - semnalele de stare ale sistemului, cu valorile x1(0) = x10 şi
x2(0) = x20, condiţii iniţiale impuse.
Variabila de ieşire se defineşte ca o combinaţie liniară a variabilelor de
stare şi intrare:
,2211 tdutxctxcty (2.40)
sau în forma echivalentă:
tdutxtx
ccty
2
121 . (2.41)
Modelare şi simulare 47
Observaţii:
- în general, un model de forma (2.38), (2.40) descrie comportarea unui sistem
fizic alcătuit din :
- două elemente care acumulează energie, cărora li se asociază
variabilele de stare x1(t), x2(t), alese astfel încât să asigure
funcţionarea în cauzalitate integrală;
- unul sau mai multe elemente care disipă energie.
- variabilele de stare x1(t) şi x2(t) au semnificaţia de mărimi efect în raport cu
mărimea cauză u(t);
- din punct de vedere al observării fizice directe (măsurare, înregistrare) pot
exista situaţii în care nu prezintă interes, ca efect, variabilele de stare x1(t)
sau x2(t), ci mărimi exprimabile din variabilele de stare, cu ajutorul unor relaţii
statice (sau instantanee);
- în particular, dacă c1 = 1, c2 = 0, d = 0 sau c1 = 0, c2 = 1, d = 0, variabila de
ieşire coincide cu una din variabilele de stare.
Modele intrare–stare–ieşire de ordinul n
În cazul sistemelor fizice care conţin n elemente acumulatoare de
energie, conectate în cauzalitate integrală, modelul (2.38), (2.40) sau (2.39),
(2.41) se generalizează sub forma vectorial – matriceală (1.8), care
evidenţiază ecuaţia de stare şi ecuaţia de ieşire:
;0; 0xxbAxx
tutt (2.42)
tdutt T xcy . (2.43)
în care: u(t), y(t):R+R reprezintă semnalele de intrare şi ieşire.
nt RRx : - vectorul variabilelor de stare (vector de stare) şi colectează cele n variabile de stare;
n
nx
xRx
0
10
...0 - vector coloană (vector al condiţiilor iniţiale);
48 Modelare şi simulare
nnn
n
aa
aa
............
...
1
111
A - matrice pătrată, de ordin n;
11
...
n
nb
bRb - vector coloană de dimensiune n;
nn
T cc 11 ... Rc - vector linie de dimensiune n;
Rd - constantă;
Pentru variabila de intrare u(t) se impune condiţia (firească pentru
practică) de a fi continuă pe porţiuni, cu discontinuităţi de speţa întâi.
II.5.2. Răspunsul liber, răspunsul forţat şi răspunsul complet
Exprimarea analitică a mărimii de stare x(t) se obţine ca soluţie a ecuaţiei
omogene cumulată cu soluţia ecuaţiei neomogene.
Astfel, cu starea iniţială 0tx şi intrarea 0tu , pentru ecuaţia omogenă
este valabilă expresia:
ttt xAx
(2.44)
cu soluţia:
00, txtttx (2.45)
în care: 00, ttAett reprezintă matricea fundamentală.
Considerând ecuaţia neomogenă în forma (2.42), cu x(t) de forma (2.45),
se presupune că soluţia generală se poate pune în forma:
tttt Gx 0, (2.46)
cu G(t), o funcţie care se determină, după algoritmul Lagrange, astfel:
- din derivarea relaţiei (2.46) se obţine: tGtttGtttx
00 ,, , în care
tx
are forma (2.42);
Modelare şi simulare 49
- se consideră proprietăţile: A
şi tttt ,, 001 , ale matricei
fundamentale, cu care, după înlocuire, se obţine: tGtttutb
0, ,
respectiv: tutbtttutbtttG
,, 001 [5];
- se calculează: t
tdubttGtG
0,00 , în care
000000 , tGtGItGtttx şi t
tdubttxtG
0,00 ;
- după înlocuire în (2.46) şi considerarea proprietăţii ,,, 00 tttt , a
matricei fundamentale, se obţine:
t
t
t
tdubttxttdubttttxtttx
00,,,,, 000000 ;
Pentru sistemele invariante se consideră: 00 t , respectiv
tttt 0,, 0 , rezultând:
0xx Atet . (2.47)
Expresia analitică a mărimii de stare x(t) se realizează pornind de la
soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale (2.42), considerând algoritmul Lagrange
şi relaţia (2.47), rezultând:
dueett tt bxx AA
00 (2.48)
Pentru determinarea analitică a vectorului de stare tx , conform (2.48),
matricea fundamentală teA se poate calcula cu formula Lagrange-Sylvester, cu
transformata Laplace inversă sau prin dezvoltare în serie de puteri [3,5,13,21].
În baza relaţiei (2.48), vectorul de stare x(t) evidenţiază componenta
liberă a stării, respectiv componenta forţată a stării:
ttt fl xxx , (2.49)
0xx Atl et (2.50)
duett t
f bx A 0
. (2.51)
Observaţii:
- relaţia (2.42) constituie un model complet al comportării sistemului;
- x(t) din (2.48) reprezintă răspunsul complet pe stare.
50 Modelare şi simulare
Ecuaţia ieşirii (2.43) permite o descompunere care evidenţiază
componenta liberă a ieşirii y(t) şi componenta forţată a ieşirii y(t), în forma:
tytyty fl , (2.52)
0xetty tTl
Tl
Acxc (2.53)
tduduetduttyttT
fT
f
bcxcA
0. (2.54)
Dinamica de regim liber
Relaţia (2.50), împreună cu condiţia: nii ,...,1,0Re (cele n valori
proprii ale matricei A să aibă partea reală negativă) evidenţiază o comportare
de tip asimptotic, pentru nR 0x :
00limlim
xx At
tltet (2.55)
respectiv, din (2.43):
00limlim
xc AtT
tltety (2.56)
La nivel calitativ, valorile proprii ale matricei A pot da unele indicaţii cu
privire la natura răspunsului liber pe stare şi ieşire, respectiv:
- dacă toate valorile proprii sunt reale (negative) răspunsul liber pe stare
şi ieşire va fi aperiodic;
- dacă există valorile proprii complex conjugate, atunci unele componente
(nu neapărat toate) ale vectorului de stare xl(t) şi eventual (nu neapărat)
ieşirea yl(t), vor prezenta o comportare oscilant amortizată; frecvenţa
acestor oscilaţii este dictată de părţile imaginare, kIm ale valorilor
proprii k complex conjugate.
Presupunând că matricea A posedă nr valori proprii distincte, notate
rijj ,...,, de multiplicitate rijn j ,...,, , cu nnn r ...1 , exponenţiala
matriceală eAt poate fi scrisă sub forma:
r
j
tj
t jete1
MA , (2.57)
unde Mj(t) sunt matrice de polinoame în variabila t, de forma:
Modelare şi simulare 51
)!1()!2(
...12
11
j
njn
j
njn
jj n
tntt
j
j
j
jMMMM , rjj
n j,...,1,0 M (2.58)
Observaţii:
- originea spaţiului Rn, x = 0, reprezintă un punct de echilibru asimptotic
stabil pentru sistemul considerat, în sensul că evoluţia liberă a
sistemului din orice stare iniţială x(0) se apropie asimptotic de punctul
de echilibru;
- în termeni calitativi (din 2.57), “apropierea” lui xl(t) de x = 0 (“stingerea”
regimului liber) are loc cu atât mai repede, cu cât valorile proprii ale
matricei A sunt situate mai la stânga în semiplanul complex negativ;
- din punct de vedere practic, există un moment finit de timp, tl, după care
componentele vectorului de stare în regim liber xl(t) sunt neglijabile ca
amplitudine; ca urmare, pentru valori ale timpului mai mari ca tl, se
consideră: 0,:0 lllll ytytttt , adică ieşirea în regim liber yl(t)
se anulează, în raport cu precizia observaţiei ( tl se exprimă, uzual, în
procente).
În general, prezenţa oscilaţiilor amortizate se datorează existenţei, în
sistemul fizic, a cel puţin două elemente care acumulează energia în forme
complementare (cinetică – potenţială, electrică – magnetică). O asemenea
structură fizică permite transferul de energie între elementele respective, în
condiţiile când elementele rezistive din sistem manifestă o disipare redusă. În
condiţiile în care elementele rezistive manifestă o disipare puternică, evoluţia
liberă se realizează aperiodic, indiferent de modul de acumulare a energiei de
către elementele sistemului.
Dinamica de regim forţat pentru semnale de intrare standard
Dinamica de regim forţat corespunde modelului (2.51), obţinut din
(2.42), pentru cazul particular al condiţiilor iniţiale nule.
Din punct de vedere practic, prezintă interes studierea comportării
datorate unor semnale de intrare “standard” şi anume:
- semnale polinomiale de forma:
52 Modelare şi simulare
1,!1
1
mtmttu
m
, (2.59)
care includ: - semnalul treaptă, pentru m = 1;
- semnalul rampă, pentru m = 2;
- semnale sinusoidale de forma:
0,00,1
,sintt
ttttu (2.60)
Pentru răspunsul forţat al stării, în exprimare vectorială, se pune în
evidenţă comportarea de tip asimptotic:
,0lim
tt pftxx (2.61)
în care:
TpnppT
fnff txtxttxtxt ...;... 11 xx . (2.62)
cu notaţia: xpi(t) reprezentând componenta permanentă a răspunsului forţat al
stării i, i = 1, …, n.
Pentru răspunsul forţat al ieşirii sistemului, yf (t), variabila de ieşire are
forma:
tytyty tpf , (2.63)
unde: yp(t) reprezintă componenta permanentă;
yt(t) - componenta tranzitorie.
Componenta tranzitorie are proprietatea:
,0lim
tytt (2.64)
respectiv:
,0lim
tyty pft (2.65)
Observaţii:
- în cazul unui semnal de intrare treaptă, u(t), (m = 1 în relaţia (2.59)),
componentele permanente ale stării xpi(t), i = 1,…,n şi componenta
permanentă a ieşirii yp(t) sunt funcţii constante; din acest motiv se
utilizează şi denumirea de valori staţionare (valori de regim staţionar);
Modelare şi simulare 53
- regimul staţionar trebuie privit drept un caz particular de regim permanent,
corespunzând situaţiei (frecvent întâlnite în practică) când semnalul de
intrare este constant în timp.
Pentru tratarea operaţională a transferului intrare-stare-ieşire se aplică
transformarea Laplace ecuaţiei intrare–stare (2.42), particularizată pentru
cazul răspunsului forţat, şi se obţine:
sUssUssf QbAIX 1 (2.66)
unde: tuLsUtLs ff ,xX ,
bAIQ 1
1
...
s
sQ
sQs
n
- funcţie vectorială ale cărei componente Qi(s),
i = 1,…, n sunt funcţii raţionale strict proprii (gradul numărătorului
este strict mai mic decât gradul numitorului), având drept numitor
polinomul caracteristic al matricei A, adică:
AI ss det . (2.67)
Prin aplicarea transformării Laplace ecuaţiei ieşirii (2.43) şi pe baza
relaţiei (2.66), se obţine:
sUsHsdUsUssdUssY Tf
Tf bAIcXc 1 (2.68)
unde: tyLsY ff .
Funcţia H(s) definită prin:
dssH T bAIc 1 (2.69)
se numeşte funcţie de transfer, şi descrie, prin metoda operaţională,
transferul în regim forţat de la imaginea semnalului de intrare U(s), la
imaginea semnalului de ieşire Yf (s).
Exemplul 2.6.
Se consideră un circuit electric RLC serie, alcătuit dintr-un rezistor (cu
rezistenţă Re), o bobină (cu inductanţa L) şi un condensator (cu capacitatea
Ce), conectate în serie, conform fig.2.17. Tensiunea e(t) furnizată de sursă
constituie mărimea de intrare şi se modifică în timp, după o lege precizată.
54 Modelare şi simulare
Elementele circuitului sunt conectate în serie, astfel că: tititi CLR .
Conform legii lui Kirchoff, relaţia pentru tensiuni are forma:
tututute CLR , din care se scrie tensiunea pe bobină (considerând şi
legea lui Ohm): tutiRtetututetu CLeCRL [13,21,22].
Ca variabile de stare se consideră (după legile Henry şi Faraday):
- curentul prin bobină iL(t): LoLLL iitu
Ldtdi
0,1 ;
- tensiunea pe condensator uc(t): tiCdt
duC
e
c 1 ,
00 CC uu .
După înlocuire, sistemul de două ecuaţii diferenţiale liniare, neomogene
are forma:
tiCdt
du
tuL
tiLRte
Ldtdi
Le
C
CLeL
1
11
Ecuaţia vectorial-matriceală de stare (2.42), particularizată pentru
circuitul RLC serie, are forma:
teLtuti
C
LLR
tu
tiC
L
e
e
C
L
0
1
01
1
,
Co
Lo
C
L
ui
ui
00
Observaţie:
- dacă, de ex., inductanţa bobinei nu este constantă, ci variază în timp, după o
expresie de forma taL , cu a > 0 (constantă), legea care descrie
funcţionarea bobinei ca acumulator de energie, este de forma tudt
dL
L ,
unde titatLit LL reprezintă fluxul magnetic; astfel, explicitând
uC(t)
iL(t)
e(t) uR(t) uL(t)
Re L
Ce
Fig.2.17. Circuitul electric RLC serie
Modelare şi simulare 55
uL(t) în funcţie de variabilele de stare uC(t), iL(t), şi mărimea de intrare e(t), se
obţine:
tutiRtedtditati cLe
LL , sau te
tati
taRtu
tadtdi
Le
cL
111 ,
adică o reprezentare intrare-stare-ieşire variantă în timp.
Rolul mărimii de ieşire poate fi îndeplinit de oricare din semnalele
(variabilele) ce apar în descrierea funcţionării circuitului, mai puţin e(t) (care se
presupune a fi cunoscută). Astfel, ecuaţia ieşirii, având forma generală (2.41),
se poate particulariza conform următoarelor cazuri:
a) dacă se consideră drept mărime de ieşire curentul prin bobină
(echivalent curentului furnizat de sursa circuitului serie), atunci ecuaţia (2.43)
devine:
tuti
titC
LL 01y , rezultând deci: 0,01 dC (semnalul de
ieşire coincide cu prima variabilă de stare);
b) dacă se consideră drept mărimi de ieşire atât curentul tiL cât şi
tensiunea tuC , se obţine:
tetuti
tuti
tC
L
C
L
00
1001
y ;
c) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe condensator,
atunci ecuaţia (2.43) devine:
tuti
tutC
LC 10y , situaţie în care semnalul
de ieşire coincide cu a doua variabilă de stare;
d) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe rezistenţă,
atunci ecuaţia (2.43) devine:
tuti
RtutC
LeR 0y , în care tiRtu LeR ;
e) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe bobină, atunci
ecuaţia (2.43) devine: tetuti
RtutC
LeL
1y , relaţie care respectă
exprimarea: tututetu CRL ;
f) dacă se consideră drept mărimi de ieşire tensiunea pe rezistenţă tuR
şi tensiunea pe bobină tuL , rezultă:
56 Modelare şi simulare
tetuti
RR
tutu
tC
L
e
e
L
R
10
10
y .
Matricea fundamentală teA se poate calcula cu una din formulele
[3,5,13,22]:
- Lagrange-Sylvester:
2
2
1
1 )adj(1)adj(1
1221
s
t
s
tt sesee AIAIA
- Laplace inversă: 11 AIA sLe t ;
- dezvoltarea în serie: ...!
...!2!1
22
k
tttIekk
t AAAA .
Astfel, considerând valorile: Re = 1250Ω, L = 0,025H, Ce = 10-7F,
matricea A, din (2.42), are forma:
01040105
01
1
7
4
e
e
C
LLR
A , cu valorile proprii: 42
41 104,10 .
Considerând valorile: Re = 800Ω, L = 0.02H, Ce = 10-7F, matricea A este:
01050104
01
1
7
4
e
e
C
LLR
A , valorile proprii: 41 102 j , 4
1 102 j .
Răspunsul liber
Dacă valorile sunt: Re = 2000 Ω, L = 0.025H, Ce = 10-7H, atunci
matricea A are forma:
01040108
01
1
7
4
e
e
C
LLR
A , cu valorile proprii: 5359,74641 21 .
Pentru acest caz se consideră că mărimea pe ieşire este tensiunea pe
bobină, conform cazului (e), mărimea de intrare este nulă, e(t) = 0 (sursa este
înlocuită printr-un scurtcircuit), iar condiţiile iniţiale sunt: uC(0) = 2V, mAiL 10 .
Conform graficelor din fig.2.18, în care sunt reprezentate atât
semnalele de stare, cât şi semnalul de ieşire, răspunsul liber este aperiodic.
Modelare şi simulare 57
a)
b)
Fig.2.18. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire
Observaţii:
- regimul liber "se stinge" într-un interval de timp mai mic de 310 sec.;
- în acest caz 12 , adică 1 este dominantă în raport cu 2 , motiv
pentru care se poate considera că numai 2 impune durata de
"stingere" a regimului liber.
Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică
Re = 200Ω, matricea A are valorile proprii complex conjugate:
1959640002,1 j , iar răspunsul liber este oscilant amortizat, conform
reprezentărilor grafice din fig.2.19.
Se observă că perioada oscilaţiilor este de aproximativ 4103 sec., în
deplină concordanţă cu valoarea 2/(Im 1,2), iar regimul liber „se stinge”
într-un interval de timp de aproximativ 10-3 sec., care este de 3-4 ori mai mare
decât inversul părţii reale a valorilor proprii, 1/|(Re1,2)|.
58 Modelare şi simulare
a)
b)
Fig.2.19. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire
Răspunsul forţat
Se consideră valorile parametrilor: Re=2000Ω, L=0.025H, Ce=10-7F.
Amplitudinea treptei de intrare este 1, adică sursa de tensiune furnizează
e(t) = 1V, ),0[ t , iar condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină.
Conform graficelor din fig.2.20, răspunsul forţat este aperiodic,
reprezentările evidenţiind atât variabilele de stare cât şi semnalul de ieşire.
Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică
Re = 200 Ω, matricea A are valorile proprii complex conjugate, iar răspunsul
forţat este oscilant amortizat, conform reprezentărilor grafice din fig.2.21.
Se consideră aceleaşi valori ale parametrilor: Re = 2000Ω, L = 0.025H,
Ce = 10-7F. Sursa de tensiune furnizează semnalul ttu 4000sin , iar
condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină. Comportarea sistemului,
respectiv evoluţia semnalului de intrare, a semnalului de ieşire şi a variabilelor
de stare este prezentată în fig.2.22.
Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică
Re = 200 Ω, se obţine comportarea prezentată în fig.2.23.
Modelare şi simulare 59
a)
b)
Fig.2.20. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire
a)
b)
Fig.2.21. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 2V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire
60 Modelare şi simulare
a)
b)
Fig.2.22. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia semnalului de intrare şi a
semnalului de ieşire
a)
b)
Fig.2.23. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia semnalului de intrare şi a semnalului de ieşire; (b) evoluţia
variabilelor de stare
Modelare şi simulare 61
Observaţii:
- regimul tranzitoriu durează mai puţin de 10-3s, observaţie valabilă şi în
cazul răspunsului la semnal de intrare treaptă, pentru aceleaşi valori ale
parametrilor Re, L, Ce;
- în raport cu tensiunea furnizată de sursă, tensiunea pe condensator
este defazată în urmă; curentul pe bobină este defazat înainte;
tensiunea pe bobină este defazată înainte.
Pentru tratarea operaţională a transferului intrare – stare - ieşire se
calculează funcţia de transfer cu relaţia (2.69), considerând că mărimea de
ieşire este tensiunea pe bobină, şi se obţine:
.1
11
1
10
11
1
110
1
01
1
00
1
2
2
2
11
eeee
ee
e
e
e
e
e
e
LCsLRss
LCsLRsLCsLR
Ls
C
LLRs
RLC
LLR
ss
RsH
Între transformatele Laplace ale semnalului de intrare teLsE şi,
respectiv, a semnalului de ieşire tuLsU LL există legătura, exprimată în
scriere operaţională:
sELCsLRs
ssEsHsUee
L 12
2
II.6. Extinderi ale modelelor liniare intrare-stare-ieşire. Sisteme
multivariabile
În multe situaţii practice, sistemele fizice pot avea mai multe mărimi
cauză şi/sau mai multe mărimi efect [13,15,21,22].
Modelele de stare permit descrierea funcţionării unor asemenea
sisteme, prin generalizarea ecuaţiilor vectorial-matriceale (2.42), (2.43), astfel
încât u(t) şi/sau y(t) să fie funcţii vectoriale cu m, respectiv p componente:
pm tt RRyRRu :,: . (2.70)
Astfel ecuaţia stării (2.42) şi ecuaţia ieşirii (2.43), se vor generaliza sub
forma:
62 Modelare şi simulare
00; xxBuxAx ttt (2.71)
ttt DuCxy , (2.72)
în care: mpnpmnnn RDRCRBRA ,,, sunt matricele coeficienţilor.
Similar, răspunsul complet pe stare (2.48), se generalizează în forma:
t tt eet
00 Buxx AA , (2.73)
în care se evidenţiază componenta de regim liber şi componenta de regim
forţat; valoarea x(t) dată de (2.73), înlocuită în ecuaţia ieşirii (2.72) conduce la
răspunsul complet pe ieşire.
Dinamica de regim liber şi de regim forţat pentru sistemele
multivariabile, păstrează elementele de analiză valabile pentru sistemele cu o
singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire.
În tratare operaţională, aplicând transformata Laplace (pentru condiţii
iniţiale nule – specifice regimului forţat) ecuaţiei stării (2.71), se obţine:
ssf BUAsIX 1 (2.74)
respectiv:
ssssf UHUDBAsICY 1 , (2.75)
Matricea cu p linii şi m coloane:
DBAsICH 1s , (2.76)
se numeşte matrice de transfer asociată reprezentării multivariabile.
Fiecare componentă Hij(s) se interpretează ca o funcţie de transfer care
descrie legătura dintre variabila de ieşire yi(t), i = 1, …, p, şi variabila de intrare
uj(t), j = 1, …, m, în maniera operaţională tusHty jiji LL ,
atunci când toate celelalte variabile de intrare sunt nule, adică:
),0[,0...... 111 ttutututu mjj .
II.7. Modele de tip diagramă bloc
În aplicaţiile tehnico-inginereşti, diagramele bloc sunt, adesea, preferate
modelelor care furnizează o descriere analitică a funcţionării sistemelor (ex.
ecuaţii diferenţiale, reprezentări operaţionale, etc.) [3,5,13].
Modelare şi simulare 63
Acest tip de modele descrie tranziţia cauzală intrare-ieşire printr-o
combinaţie de elemente grafice cu formulări analitice, oferind un suport intuitiv
pentru înţelegerea modului de procesare a semnalelor şi a interacţiunilor între
subsistemele componente ale unui sistem fizic.
Modelele diagramă bloc sunt echivalente cu modelele pur analitice,
existând procedee standard de conversie a unui tip de model în celălalt.
II.7.1. Diagrame bloc descrise în domeniul timp
Un bloc descris în domeniul timp se reprezintă grafic conform fig.2.24.
Blocul exprimă tranziţia cauzală de la semnalele de intrare u1(t),..., um(t),
la semnalul de ieşire y(t):
tutuSty m,...,1 , (2.77)
în care: S este operatorul care, aplicat funcţiilor dependente de timp u1(t), ...,
um(t), defineşte funcţia dependentă de timp y(t); dacă S este un
operator liniar, conturul blocului se trasează printr-o singură linie; dacă
S este un operator neliniar, conturul blocului se trasează printr-o linie
dublă.
Blocurile cele mai frecvent utilizate în activitatea de modelare, sunt
următoarele: proporţional, integrator, derivator, sumator, înmulţitor, împărţitor.
Operatorii S, care corespund acestor blocuri, implementează relaţii
cauzale simple, care nu pot fi descrise mai detaliat prin utilizarea altor
operatori (mai simpli). Construirea unor diagrame bloc care folosesc numai
aceste blocuri, asigură maximum de detaliere în modelarea procesării
semnalelor şi a interacţiunii subsistemelor componente ale unui sistem dat.
Blocul proporţional, liniar (fig.2.25), are un singur semnal de intrare şi
exprimă relaţia cauzală (2.1) în forma:
Su1(t)
y(t)um(t)S
u1(t)y(t)um(t)
(a) (b) Fig.2.24. Reprezentarea grafică a unui bloc descris în
domeniul timp: (a) operatorul S este liniar; (b) operatorul S este neliniar
64 Modelare şi simulare
0, CtCuty (2.78)
Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalului de intrare
cu o constantă nenulă.
Blocul integrator, liniar (fig.2.26), are o singură intrare şi exprimă
relaţia cauzală (2.4) în forma:
0,01 CyduC
ty (2.79)
Operatorul S din (2.77) are semnificaţia de soluţie a ecuaţiei diferenţiale
(2.3) ce defineşte modelul de tip integrator (calculează o primitivă a lui u(t)).
Observaţii:
- condiţia iniţială y(0) nu trebuie privită drept mărime de intrare,
deoarece ea este o constantă asociată momentului convenţional de
timp t = 0, şi nu are semnificaţia de semnal (cu evoluţie în timp)
procesat de blocul integrator;
- în unele situaţii, constanta y(0) poate lipsi din exprimarea grafică,
situaţie în care există două modalităţi de interpretare, şi anume: dacă
se studiază răspunsului forţat, atunci se consideră y(0) = 0; dacă se
studiază răspunsul complet, se presupune y(0)0.
Blocul derivator, liniar (fig.2.27), are o intrare şi exprimă relaţia cauzală
(2.10) în forma:
Cu(t) y(t)
Fig.2.25. Reprezentarea grafică
a blocului de tip proporţional
Fig.2.26. Reprezentarea grafică a
blocului de tip integrator
Fig.2.27. Reprezentarea grafică
a blocului de tip derivator
Modelare şi simulare 65
0, Cdt
tduCty (2.80)
Operatorul S din (2.77) calculează derivata lui u(t) (are semnificaţia de
model derivator).
Blocul sumator, liniar (fig.2.28), are cel puţin două intrări şi exprimă
relaţia cauzală:
tututy m ...1 , (2.81)
în care: ui(t), i = 1, ..., m sunt semnale precedate de semnele plus (+) sau
minus (-).
Fig.2.28. Reprezentări grafice echivalente pentru blocul de tip sumator
Operatorul S din (2.77) se defineşte prin suma algebrică a semnalelor
de intrare, în conformitate cu semnul ataşat fiecăruia dintre ele.
Blocul înmulţitor, neliniar (fig.2.29), are cel puţin două intrări şi exprimă
relaţia cauzală:
tututy m ...1 , (2.82)
Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalelor de intrare.
Blocul împărţitor, neliniar (fig.2.30), are două intrări şi exprimă relaţia
cauzală:
0, 221 tutututy (2.83)
/
u1(t)y(t)u2(t)
Fig.2.29. Reprezentările grafice echivalente pentru
blocul de tip înmulţitor Fig.2.30. Reprezentarea grafică a
blocul de tip împărţitor
u1 (t ) y ( t )
um ( t )
u1 ( t ) y (t )um (t )
u1(t ) y (t )
um (t )
u1( t ) y (t ) um (t )X
u1 ( t )y(t ) um (t )
66 Modelare şi simulare
Operatorul S din (2.77) se defineşte ca raportul dintre semnalele de
intrare tu1 şi tu2 .
II.7.2. Diagrame bloc descrise în domeniul complex
În cazul blocurilor liniare prezentate în paragraful (II.7.1), tranziţia
cauzală realizată de orice bloc poate fi formulată şi în domeniul complex, ca o
legătură între transformata Laplace a semnalului de ieşire şi transformata
Laplace a semnalului de intrare [13,21].
Această modalitate de reprezentare se datorează proprietăţii de
liniaritate a transformării Laplace, permiţând descrierea de tip operaţional a
blocurilor (Tabelul 2.1.).
Examinând structura blocurilor de tip proporţional, integrator şi derivator
în scrierea operaţională, se constată că blocurile conţin tocmai funcţiile de
transfer asociate comportărilor respective (în cazul integratorului se presupune
condiţia iniţială nulă, y(0) = 0.) Tabelul 2.1. Descrierea în limbaj operaţional, cu ajutorul transformatei Laplace, a tranziţiei
cauzale intrare-stare-ieşire, pentru blocurile liniare
Tipul blocului Expresia analitică în domeniul
complex
Reprezentarea grafică în domeniul
complex
Proporţional 0),()( CsCUsY CU(s) Y(s)
Integrator )0(1)(1)( ys
sUCs
sY
Cs1U(s) Y(s)
y(0)
Derivator )()( sUCssY CsU(s) Y(s)
Sumator )(...)()( 1 sUsUsY m
Y(s)
Um(s)
Y(s)U1(s)U1(s)
Um(s)
Exemplul 2.7.
Se consideră un sistem mecanic cu modelul matematic descris de o
ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu coeficienţi constanţi, pentru care se
Modelare şi simulare 67
evidenţiază toate relaţiile cauzale care permit construirea diagramei bloc
folosind numai blocurile liniare elementare (fig.2.31) [5,13].
Conform Exemplului 2.5, modelul matematic are expresia:
00, xtxtFtxktx e
.
şi poate fi retranscris sub forma:
00,1 xtxtFtxktx e
,
Cu notaţia: tFtxktw e , x(t) se poate exprima ca:
t
ttxdwtx
00
1
,
care este de forma (2.79), caracterizând un bloc integrator cu ieşirea x(t) şi
intrarea w(t).
Fig.2.31. Sistem mecanic: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc
Semnalul w(t) poate fi privit ca ieşire a unui bloc sumator de tip (2.81),
cu intrările +F(t) şi -kex(t).
Semnalul x(t) este disponibil, ca ieşire a blocului integrator, şi se
utilizează ca intrare pentru un bloc proporţional de forma (2.78), cu factorul de
proporţionalitate ke.
În fig.2.31b, forţa elastică joacă rolul unei reacţii inverse, negative pentru
sistem. Cu cât forţa exterioară prezintă variaţii mai mari, cu atât şi forţa
elastică se modifică mai mult, apropierea valorică a celor două forţe
conducând întotdeauna la reducerea vitezei tx
.
)()( txtw
ke
F(t) x(t)
x(t0)
forţaexterioară
kex(t)
deplasare
forţa elastică
forţa defrecare
+
–
tt0
1
b)
ke
x(t)O x
A F (t)
a)
68 Modelare şi simulare
În fig.2.32 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul
diagramă bloc din fig.2.31b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă,
respectiv intrare sinusoidală.
a)
b)
Fig.2.32. Sistemul mecanic din fig.2.31: a) schema Simulink şi răspunsurile la intrare treaptă; b) deplasarea şi viteza la intrare sinusoidală
Modelare şi simulare 69
Pentru simularea schemei s-au folosit valorile din Exemplul 2.5. Pentru
detalii referitoare la modul de realizare a schemelor în Simulink, se recomandă
consultarea [5,24].
Observaţie:
- procedeul de construire a diagramei bloc se poate extinde pentru
reprezentări intrare-stare-ieşire de ordinul n; generalizarea
presupune utilizarea a câte unui bloc de tip integrator pentru fiecare
variabilă de stare, aceasta constituind ieşirea blocului integrator;
conectarea blocurilor integratoare între ele se realizează prin blocuri
de tip sumator şi/sau blocuri de tip proporţional.
Exemplul 2.8.
Se consideră sistemul electric (circuit RLC serie, fig.2.33a) cu modelul
matematic dezvoltat în Exemplul 2.6:
tiCdt
du
tuL
tiLRte
Ldtdi
Le
C
CLeL
1
11
.
Ecuaţia de stare:
00,1ccL
ec
C uutiC
tudt
du
,
arată că tuc este ieşirea unui bloc integrator de forma:
t
cLe
c udiC
tu0
01 ,
cu semnalul de intrare iL(t) (prima variabilă de stare).
Ecuaţia de stare:
00,11LLCL
eL
L iituL
tiLRte
Lti
dtdi
,
arată că tiL este ieşirea unui alt bloc integrator de forma:
t
LCLeL iduiReL
ti0
01 ,
care va avea ca semnal de intrare, ieşirea unui bloc sumator al valorilor:
tuiRe CLe ,, , cu semnele corespunzătoare.
70 Modelare şi simulare
Intrarea LeiR a sumatorului se obţine din semnalul tiL , printr-un bloc
proporţional Re.
Ca mărime de ieşire se poate considera oricare din semnalele existente
în schema bloc, respectiv: tensiunea pe condensator tuc , curentul prin bobină
tiL , tensiunea pe rezistor tuR , tensiunea pe bobină tuL (fig.2.33b) [13].
Fig.2.33. Circuit RLC serie: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc
În descriere operaţională, modelul diagramă bloc (fig.2.34), cu mărimea
de ieşire tensiunea pe bobină, consideră că funcţiile de transfer ale blocurilor
au semnificaţia fizică de impedanţe complexe (Re, 1/(Ces)) şi de admitanţe
complexe (1/(Ls)).
În fig.2.35 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul
diagramă bloc din fig.2.33b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă,
respectiv intrare sinusoidală (cu valorile din Exemplul 2.6) [5,24].
dtdiLtu L
L )(Re
uc(t))()( tuCti ceL
+
– iL(t)
e(t)
uR(t)–
t
L 01
uc(0)
t
eC 01
iL(0)
b)
uC(t)
iL(t)
e(t) uR(t) uL(t)
Re L
Ce
a)
Re
Uc(s)
+
–IL(s)
E(s)
Ur(s)– Ls
1
uc(0)
Cs1
iL(0)UL(s)
UL(s) Fig.2.34. Circuit RLC serie - modelul diagramă
bloc în descriere operaţională
Modelare şi simulare 71
Fig.2.35. Schema Simulink pentru sistemul electric (fig. 2.33) şi evoluţia stărilor la intrare treaptă şi sinusoidală
72 Modelare şi simulare
Exemplul 2.9.
Se consideră sistemul hidraulic din fig.2.36, format dintr-o conductă,
prevăzută cu un robinet prin care se alimentează rezervorul cu un debit Q(t).
Rezervorul, cilindric, cu aria bazei S, poate fi golit pe la bază printr-un alt
robinet, cu debitul Q0(t). Înălţimea fluidului în vas este H(t). Pentru modelarea
funcţionării sistemului se consideră: mărimea de intrare, debitul de umplere
Q(t) şi mărimea de ieşire, înălţimea fluidului în vas H(t). Sistemul conţine un
singur element care poate acumula energie (rezervorul), astfel că este
suficientă o singură variabilă de stare (aleasă să coincidă cu mărimea de
ieşire), H(t).
În cazul general, curgerea prin robinetul de golire trebuie considerată
turbulentă, respectiv:
- relaţia între valorile instantanee ale presiunii la baza rezervorului P(t) şi debitul
Q0(t), neliniară, de forma: ,20 tkQtP unde k este un parametru de valoare
necunoscută;
- relaţia de legătură dintre valorile instantanee P(t) şi H(t), considerând
densitatea , este tHgtP ;
- rezultă: tHk
gkPtQ
0 .
Bilanţul volumetric pentru lichidul din rezervor, pe intervalul de timp [0, t]
conduce la egalitatea:
t
dQQSHtSHtV0 00 ,
care, prin derivare, furnizează ecuaţia diferenţială:
Robinet deumplere
Q(t)
H(t) Q 0(t)
Robinet de golire Fig.2.36. Sistem hidraulic
Modelare şi simulare 73
tQtQtHS 0
.
După înlocuirea valorii pentru tQ0 se obţine modelul matematic care
descrie funcţionarea sistemului hidraulic, exprimat sub forma unei ecuaţii
diferenţiale neliniare de ordinul I, cu coeficienţi constanţi:
tQtHkgtHS
,
care evidenţiază starea de forma:
00,11 HtHtQS
tHkg
StH
,
Pentru reprezentarea printr-o diagramă bloc, se utilizează notaţia:
tQtHkgtw ,
în care, corespunzător formei (2.79), H(t) se consideră ieşirea integratorului, iar
w(t), intrarea în integrator:
t
tHdwS
tH0 0
1 .
Mărimea w(t) este ieşirea unui bloc sumator de tipul (2.81) cu intrările
+Q(t) şi tHkg . Semnalul H(t) de la ieşirea integratorului se utilizează ca
intrare într-un bloc neliniar care extrage radicalul, iar semnalul tH se aplică la
intrarea unui bloc proporţional de forma (2.78) cu factorul de proporţionalitate
kg (fig.2.37a) [13].
Q0(t) )(tH
)()( tHStW Q(t) H(t)
H(t0)
debit deumplere
înălţimeafluidului
debit degolire
+
–
ttS 0
1
kg
)(tP
)(tHS Q(t) H(t)
H(t0)
Q0(t)
+ –
ttS 0
1
k1P(t)
g
Relaţia neliniară specificăcurgerii turbulente
a) b)
Fig.2.37. Sistem hidraulic: a) modelul diagramă bloc;
b) modelul diagramă bloc în funcţie de variabila P(t)
74 Modelare şi simulare
Prin înlocuirea blocului proporţional kg şi blocului neliniar de extragere
a radicalului, se poate pune în evidenţă presiunea la baza rezervorului P(t)
precum şi relaţia neliniară tPktQ 10 , care descrie curgerea turbulentă
(fig.2.37b).
Schemele de simulare pentru sistemul hidraulic, realizate în mediul
Simulink, sunt prezentate în fig.2.38 [5,24].
Fig.2.38. Schemele Simulink pentru sistemul hidraulic din fig.2.37
Observaţii:
- blocurile utilizate în construirea diagramelor bloc prezentate şi
operatorii asociaţi corespund unor operaţii elementare;
- se pot concepe blocuri pentru care operatorii asociaţi să descrie
succesiuni de operaţii (expresii);
- diagramele bloc conţin informaţiile necesare pentru abordarea
problematicii inverse, adică scrierea sub formă analitică a unei
reprezentări intrare-stare-ieşire.
Modelare şi simulare 75
III. SISTEME FIZICE CU ANALOGII COMPORTAMENTALE
III.1. Studiul comparativ al variabilelor specifice diverselor domenii
ale fizicii
Între diversele domenii ale fizicii există analogii la nivelul elementelor
fundamentale cu ajutorul cărora se construiesc sistemele precum şi la nivelul
modalităţilor de conectare a acestor elemente. Astfel, sisteme aparţinând unor
domenii energetice diferite, sunt analoge din punct de vedere structural şi
comportamental [12,13,21,22].
Fenomenele fizice din fiecare domeniu pot fi descrise prin mărimi
(variabile) fundamentale (generice), care se referă la: putere (efort e, flux f )
şi/sau energie (impuls generalizat p, deplasare generalizată q).
Puterea este furnizată sistemelor fizice de aşa-numitele surse de putere,
reprezentate de motoare, pompe, surse de căldură etc., alese astfel încât
sistemul să-şi poată îndeplini rolul pentru care a fost conceput. În Tabelul 3.1
se prezintă corespondenţa dintre variabila generică putere şi variabila
concretă specifică domeniului fizico-tehnic. Tabelul 3.1. Mărimi (variabile) utilizate în modelare
Efort (e) Flux (f ) Domeniul
Variabilă Notaţie U.M. [S.I.]
Variabilă Notaţie U.M. [S.I.]
Electric tensiune u [V] curent i [A] Mecanic cu mişcare de translaţie
forţă F [N] viteză liniară v [m/s]
Mecanic cu mişcare de
rotaţie cuplu M [Nm] viteză
unghiulară [rad/s]
Fluidic presiune (diferenţă de presiune)
P
( P ) [N/m2] debit
volumetric Q [m3/s]
Termic temperatură (variaţie de
temperatură)
T
( T ) [K] flux termic
Q [J/s] [W]
76 Modelare şi simulare
În Tabelul 3.2 se prezintă un sumar al ecuaţiilor sistemelor frecvent
utilizate în activitatea de modelare.
Tabelul 3.2 Sumar al ecuaţiilor sistemelor
Tip sistem Natura fizică
Parametrul fizic Simbol Ecuaţia
Electric Rezistenţa electrică eR uR
ie
1
vF Mecanic
Coeficientul de frecare
wM
Fluidic Rezistenţa fluidică fR PR
Qf
1
Disipativ
Termic Rezistenţa termică tR TR
Qt
1
Electric Inductanţa electrică L dtdiLu
dtdF
kv
e
1
Mecanic Coeficientul de elasticitate
ek
dtdM
ke
1
Acumulativ inductiv
Fluidic Inductanţa fluidică fL dtdQLP f
Electric Capacitatea electrică
C dtduCi
Masa inertă m dtdvmF
Mecanic Momentul de inerţie J
dtdJM
Fluidic Capacitatea fluidică fC dtdPCQ f
Acumulativ capacitiv
Termic Capacitatea termică tC dtdTCQ t
Din punct de vedere energetic se disting:
- sisteme disipative (cu elemente de tip R), în care disiparea energiei este
modelată de un element denumit rezistor sau element disipativ, pentru că
modelează disiparea energiei în mod similar cu rezistenţa electrică;
- sisteme cu acumulare inductivă (cu elemente de tip L sau I), care modelează
elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar cu
Modelare şi simulare 77
acumularea energiei într-un câmp magnetic al unei bobine (acumulare de tip
inductiv) sau acumularea energiei cinetice de către mase (acumulare de tip
inerţial);
- sisteme cu acumulare capacitivă (cu elemente de tip C), care modelează
elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar
acumulării de energie în câmpul electric al unui condensator (acumulare de
tip capacitiv).
Pentru sistemele tehnice prezentate, respectiv: electric, mecanic, fluidic,
termic, relaţiile fundamentale permit abordări simplificate ale studiului
fenomenelor fizice, bazate pe similitudinile existente între tipurile de mărimi şi
legăturile dintre ele.
III.2. Sisteme RC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I
Se consideră cinci tipuri de sisteme (fig.3.1), fiecare fiind alcătuit din:
- subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),
respectiv [13]:
- o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric;
- un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în
mişcare de translaţie;
- un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic
în mişcare de rotaţie;
- o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul
hidraulic;
- o sursă de temperatură care furnizează temperatura ΔT, pentru
sistemul termic.
- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv:
- o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric;
- un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă ,
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;
- un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t,
pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;
78 Modelare şi simulare
- un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic;
- un perete având rezistenţa termică Rt, pentru sistemul termic.
(C )e qe
Rea b
g g a)
F
x
a b)
( )kt( )tM
a c)
( )Rf( )Cf
p0
(A)
V
p p P 0
a b
g
d)
( )Rt
( )Ct
T0
T T T 0
( )m
Q
a b
g
e)
Fig.3.1. Sisteme RC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic; e) sistem termic.
- subsistem acumulator de energie (un element C de tip condensator),
respectiv:
- un condensator electric de capacitate Ce, pentru sistemul electric;
- un arc liniar având constanta elastică ke, pentru sistemul mecanic în
mişcare de translaţie;
- un arc de torsiune având constanta de torsiune kt, pentru sistemul
mecanic în mişcare de rotaţie;
Modelare şi simulare 79
- un rezervor de arie constantă A având capacitatea fluidică Cf, pentru
sistemul hidraulic;
- o masă de substanţă m dintr-o incintă încălzită, având capacitatea
termică Ct, pentru sistemul termic.
Cele cinci sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv:
- intensitatea i a curentului, pentru circuitul electric;
- viteza v a punctului a, pentru sistemul mecanic cu mişcare de
translaţie;
- viteza unghiulară din punctul a, pentru sistemul mecanic cu mişcare
de rotaţie;
- debitul Q, pentru sistemul hidraulic;
- fluxul de căldură
Q , pentru sistemul termic.
Mărimile de intrare u (sursele), sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M,
presiunea ΔP, respectiv temperatura ΔT.
Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q care trece prin
circuit şi se acumulează în condensator, pentru sistemul electric; deplasarea
liniară x, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; deplasarea
unghiulară θ, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; volumul de lichid
V, transportat prin conducte şi acumulat în rezervor, pentru sistemul hidraulic;
cantitatea de căldură Q, care străbate peretele şi se acumulează în masa de
substanţă din incintă, pentru sistemul termic.
Cele cinci tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie diferenţială
generică de forma:
uyk
ykC
R 1 , (3.1)
în care: kR, kC – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei
energetice procesate de sistem.
Pentru sistemul electric (fig.3.1a), se scrie relaţia de echilibru de
tensiuni, de forma:
CR uue (3.2)
în care: e este tensiunea furnizată de sursă;
80 Modelare şi simulare
qRiRu eR – căderea de tensiune pe rezistenţă;
qC
ue
C1
- căderea de tensiune pe condensator.
Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma:
eqC
qRe
e 1 , (3.3)
cu parametrii: eR Rk şi eC Ck .
Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.1b) se scrie
ecuaţia de echilibru dinamic, de forma:
0 ae FFF , (3.4)
în care: xkF ee este forţa elastică dezvoltată de arc;
xvFa - forţa din amortizor.
Dacă, pentru x = 0, forţa elastică este nulă, se poate scrie ecuaţia
diferenţială care modelează sistemul mecanic:
Fxkx e
, (3.5)
pentru care coeficienţii au forma: Rk şi e
C kk 1
.
Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.1c), ecuaţia de
echilibru dinamic este:
0 ae MMM , (3.6)
în care: te kM este momentul elastic al arcului de torsiune;
ttaM - momentul de amortizare.
Dacă, pentru θ = 0, momentul elastic este nul, se poate scrie ecuaţia
diferenţială care modelează sistemul mecanic:
Mktt
, (3.7)
în care coeficienţii au semnificaţia: tRk şi t
C kk 1
.
Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.1d), se
scrie relaţia de echilibru de presiuni, de forma:
Modelare şi simulare 81
vr PPP . (3.8)
în care: ΔP este diferenţa de presiune creată de pompă;
VRQRP ffr - pierderea de presiune din robinet;
VC
Pf
v1
- presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de
lichid.
Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul hidraulic devine:
PVC
VRf
f 1 , (3.9)
cu coeficienţii de forma: fR Rk şi fC Ck .
Pentru sistemul termic (fig.3.1e), se scrie relaţia de echilibru de forma:
mR TTT . (3.10)
în care: ΔT este diferenţa de temperatură aplicată de sursa de temperatură;
QRT tR - pierderea de temperatură datorată rezistenţei termice a
peretelui;
QC
Tt
m1
- diferenţa de temperatură corespunzătoare încălzirii masei
de substanţă.
Ecuaţia diferenţială corespunzătoare sistemului termic devine:
TQC
QRt
t 1 (3.11)
în care coeficienţii au forma: tR Rk şi tC Ck .
Prin aplicarea transformatei Laplace, ecuaţiei diferenţiale generice (3.1),
care modelează cele cinci sisteme fizice, se obţine forma
sUsYk
ssYkC
R 1 , (3.12)
şi se determină funcţia de transfer generică:
111
1
Ts
Kskk
k
ksksU
sYsHCR
C
CR
(3.13)
82 Modelare şi simulare
în care: CkK este factorul de amplificare;
CRkkT - constanta de timp.
Pentru cele cinci sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este:
- sistemul electric: ][],[ sCRTFCK eee ;
- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: ][,1 2 sk
Tkgsk
Kee
;
- sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: ][,1 22 sk
Tmkgradsk
Kt
t
t
;
- sistemul hidraulic: ][,24 sCRTkgsmCK fff ;
- sistemul termic: ][,22 sCRTsKmkgCK ttt .
III.3. Sisteme RL modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.2), fiecare fiind
alcătuit din [13]:
- subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),
respectiv:
- o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric;
- un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în
mişcare de translaţie;
- un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic
în mişcare de rotaţie;
- o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul
hidraulic;
- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv:
- o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric;
- un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă ,
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;
- un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t,
pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;
- un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic.
Modelare şi simulare 83
- subsistem acumulator de energie (un element L de tip inductor), respectiv:
- o bobină de inductanţă L, pentru sistemul electric;
- o masă de mărime m, pentru sistemul mecanic cu mişcare de
translaţie;
- un volant de moment de inerţie principal central J, pentru sistemul cu
mişcare de rotaţie;
- fluidul dintr-o conductă lungă caracterizată prin curgere laminară, de
inductanţă fluidică Lf.
( )Re
(L) i
e
a b
g a)
( )mF( )v
b)
( )J ( )t
M
c)
( )Rf( )Lf
p0(A)
( )l
p p P 0
Q
gb
d)
Fig.3.2. Sisteme RL: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic.
Cele patru sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv:
- intensitatea i a curentului pentru circuitul electric;
- viteza v pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;
- viteza unghiulară pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;
- debitul Q pentru sistemul hidraulic;
Mărimile de intrare u, sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M, presiunea ΔP.
Mărimile de ieşire y, sunt: intensitatea i a curentului din circuit, pentru
sistemul electric; viteza v a masei, pentru sistemul mecanic cu mişcare de
translaţie; viteza unghiulară a volantului, pentru sistemul mecanic în
mişcare de rotaţie; debitul Q al fluidului, pentru sistemul hidraulic.
84 Modelare şi simulare
Aceste patru tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie
diferenţială generică de forma:
uykyk RI
, (3.14)
în care: kR, kI – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei
energetice procesate de sistem.
Observaţie:
- nu s-a considerat şi un sistem termic deoarece la astfel de sisteme nu
este definit un element inerţial.
Pentru sistemul electric (fig.3.2a), se scrie relaţia de echilibru de
tensiuni, de forma:
LR uue (3.15)
în care: e este tensiunea furnizată de sursă;
iRu eR - căderea de tensiune pe rezistenţă;
dtdiLuL - căderea de tensiune pe bobină.
Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma:
eiRdtdiL e , (3.16)
iar semnificaţia coeficienţilor este: Lk I şi eR Rk .
Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.2b), se scrie
ecuaţia de echilibru dinamic, de forma:
0 ia FFF , (3.17)
în care: vFa este forţa datorată amortizorului;
dtdvmmaFi - forţa de inerţie.
Ecuaţia de echilibru dinamic devine:
Fvdtdvm , (3.18)
cu următoarele semnificaţii ale coeficienţilor: mk I şi Rk .
Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.2c), relaţia de
echilibru dinamic este:
Modelare şi simulare 85
0 ai MMM , (3.19)
în care: dtdJM i
este momentul forţelor de inerţie;
taM - momentul datorat amortizorului rotativ.
Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine:
MdtdJ t , (3.20)
iar semnificaţia coeficienţilor este: Jk I şi tRk .
Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.2e), se
scrie ecuaţia de echilibru de forma:
Cr PPP (3.21)
în care: ΔP este presiunea pompei;
QRP fr - căderea de presiune pe robinet;
dtdQLP fC - căderea de presiune pe conducta de lungime l şi secţiune
de arie A.
Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine:
PQRdtdQL ff , (3.22)
în care coeficienţii au semnificaţiile: fI Lk şi fR Rk .
Prin aplicarea transformatei Laplace, din ecuaţia diferenţială generică
(3.14), se obţine forma:
sUsYkssYk RI , (3.23)
şi se poate determina funcţia de transfer generică:
11
1
TsK
skk
ksUsYsH
R
I
R (3.24)
în care: Rk
K 1 este factorul de amplificare;
R
I
kkT - constanta de timp.
86 Modelare şi simulare
Pentru cele patru sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este
următoarea:
- sistemul electric: sRLT
RkgmsA
RK
eee
,11 1232 ;
- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: smTkgsK
,1 ;
- sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: sJTmkgradsKtt
,1 2 ;
- sistemul hidraulic: sRL
TkgmsR
Kf
f
f
,1 4 .
III.4. Sisteme RLC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul II Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.3), fiecare fiind
alcătuit din [5,12,13,21]:
(Re) b
g
ca
e (Ce)
(L)
i
a)
x
F( )ke
( )
( )m
b)
( )kt ( )J( )t
M
c)
( L f ) ( p 0 + Δ P ) ( R f )
( C f ) l
b c a
g
V
p 0
d)
Fig.3.3. Sisteme RLC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c)
sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic. - subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),
similar celor prezentate în paragrafele III.2, III.3;
- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), similar celor
prezentate în paragrafele III.2, III.3;
Modelare şi simulare 87
- subsistem acumulator de energie de tip capacitiv (un element C de tip
condensator), similar celui prezentat în paragraful III.2;
- subsistem acumulator de energie de tip inductiv (un element L de tip inerţial),
similar celui prezentat în paragraful III.3.
Mărimile de intrare u, ale fiecărui sistem din grup sunt similare celor
prezentate în paragrafele III.1, III.2.
Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q, pentru sistemul
electric; deplasarea x, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie;
unghiul de rotaţie ¸ pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie; volumul
de fluid V, pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară.
Cele patru tipuri de sisteme sunt analoge atât din punct de vedere
structural cât şi din punct de vedere al comportamentului dinamic, putând fi
modelate de un set de ecuaţii intrare – stare - ieşire cu forma generică:
2
1
2
1
2
1
01
10
110
xx
y
ukx
x
kk
kkx
x
II
R
IC , (3.25)
unde: x1, x2 reprezintă variabilele de stare;
kI, kR, kC - parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei
energetice procesate de sistem.
Pentru sistemul electric (fig.3.3a), se scrie ecuaţia de echilibru de forma:
CLR uuue , (3.26)
în care: e reprezintă tensiunea sursei;
iRu eR - căderea de tensiune pe rezistenţă;
iLdtdiLuL - căderea de tensiune pe bobină;
qC
ue
C1
- căderea de tensiune pe condensator.
88 Modelare şi simulare
Considerând ecuaţiile diferenţiale:
eL
iLRq
LCi
iq
e
e
11
(3.27)
rezultă modelul matematic exprimat sub forma matriceală:
iq
q
eLi
q
LR
LCi
qe
e
01
10
110
(3.28)
în care q este variabila de ieşire (cantitatea de electricitate).
În setul de ecuaţii intrare – stare - ieşire, care modelează sistemul
electric, s-au considerat variabilele de stare qx 1 , ix 2 , şi rezultă următoarea
semnificaţie a coeficienţilor: eRIeC RkLkCk ,, .
În cazul sistemului mecanic cu elemente în mişcare de translaţie
(fig.3.3b), ecuaţia de echilibru dinamic, pentru corpul de masă m este:
0 iae FFFF , (3.29)
în care: xkF ee este forţa elastică din arc ;
vFa - forţa din amortizor;
vmFi - este forţa de inerţie.
Considerând ecuaţiile diferenţiale:
Fm
vm
xmk
v
vx
e 1
(3.30)
se obţine forma matriceală:
vx
x
Fmv
x
mmk
vx
e
01
1010
(3.31)
Modelare şi simulare 89
în care variabilele de stare sunt: xx 1 şi vx 2 , iar variabila de ieşire este
deplasarea x a masei.
Coeficienţii din ecuaţia generică (3.25), particularizaţi pentru sistemul
mecanic cu mişcare de translaţie, au semnificaţia: RIe
C kmkk
k ,,1 .
Pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie (fig.3.3c) se
scrie ecuaţia de echilibru dinamic pentru volantul sistemului:
0 iae MMMM , (3.32)
în care: te kM este momentul elastic;
taM - momentul din amortizor;
JM i - momentul de inerţie.
Considerând ecuaţiile diferenţiale:
MJJJ
k tt 1
(3.33)
se obţine forma matriceală:
01
1010
MJJJ
k tt
(3.34)
în care variabila de ieşire este unghiul de rotaţie .
Variabilele de stare sunt 1x şi 2x , iar semnificaţia coeficienţilor din
ecuaţia (3.25) este: tRIt
C kJkk
k ,,1 .
Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.3d),
ecuaţia de echilibru de presiuni are forma:
vcr PPPP (3.35)
în care: P este presiunea creată de pompă;
QRP fr - căderea de presiune pe robinet;
90 Modelare şi simulare
QLP fc - căderea de presiune pe conductă;
VC
Pf
v1
- presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de
lichid din rezervor.
Considerând ecuaţiile diferenţiale:
PL
QLR
VLC
Q
QV
ff
f
ff
11 (3.36)
se obţine reprezentarea matriceală:
QV
V
PLQ
V
LR
LCQV
ff
f
ff
01
10
110
(3.37)
în care: variabila de ieşire este volumul V din rezervor, variabilele de stare
sunt QxVx 21 , , iar coeficienţii din ecuaţia (3.25) au semnificaţia:
fRfIfC RkLkCk ,, .
Pe baza sistemului generic de ecuaţii intrare-stare-ieşire (3.25), fiecare
sistem poate fi modelat printr-o funcţie de transfer de ordinul doi, astfel:
uk
xkkx
kkx
xx
II
R
IC
11212
21
(3.38)
Cu notaţia yx 1 , din relaţiile (3.38) se obţine:
uk
ykk
ykky
IICI
R 11
. (3.39)
Prin aplicarea transformatei Laplace, din relaţia (3.39) se obţine forma:
sUk
sYkk
ssYkksYs
IICI
R 112
respectiv funcţia de transfer:
121 222
TssT
Kskkskk
ksHRCIC
C
,
Modelare şi simulare 91
în care: CkK este factorul de amplificare;
ICkkT - constanta de timp;
I
CR k
kk21
- factor de amortizare.
Factorul de amplificare K şi cei doi parametri ,T au semnificaţii
specifice fiecărui tip de sistem, astfel:
- sistemul electric: L
CRsLCTFCK eeee 2
1,, [adimensional];
- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: skmTkgs
kK
ee
,1 2 ,
emk
21
[adimensional];
- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: skJTmkgs
kK
tt
,1 22 ,
t
t
Jk
21
[adimensional];
- sistemul hidraulic: kgsmCK f24 , sLCT ff ,
f
ff L
CR
21
[adimensional].
Din exemplele prezentate se evidenţiază faptul că, plasându-se în
domenii energetice diferite şi operând cu sisteme fizice prezentând analogii
din punct de vedere al structurii, se constată şi analogii la nivel
comportamental.
Analogia la nivel de structură constă în alegerea unor elemente din
domenii fizice diferite care procesează energia într-o manieră similară, iar
conectarea lor este realizată în acelaşi mod. Aşadar, fundamentul energetic
face ca modelarea comportamentală să poată fi tratată unificat, pentru toate
domeniile de interes.
92 Modelare şi simulare
Fiecare sistem trebuie privit ca fiind conectat la o sursă de putere,
considerându-se surse ideale de forţă, surse ideale de cuplu, surse ideale de
presiune, surse ideale de temperatură, etc.
În concordanţă cu exploatarea normală a unei surse reale de putere, se
consideră că aceasta furnizează sistemului puterea necesară funcţionării,
impunând sistemului unul din cele două semnale pereche (intrare pentru
sistem), celălalt semnal pereche rezultând din consumul concret de putere al
sistemului (ieşire pentru sistem).
Această abordare permite obţinerea unor descrieri matematice eficiente,
în sensul urmăririi tranziţiei cauzale intrare-ieşire (pentru funcţia de transfer şi
diagrama bloc), respectiv intrare - stare - ieşire (pentru modelul de stare).
Modelare şi simulare 93
IV. SIMULAREA NUMERICĂ IV.1. Aspecte generale
În cazurile simple, pe baza modelului matematic, dinamica unui sistem
poate fi studiată cu ajutorul soluţiilor analitice. În cazul unor modele mai
complicate este necesară utilizarea unei maşini de calcul, iar modelul
matematic trebuie să aibă o formă de reprezentare adecvată programului de
simulare utilizat, numită „model de simulare” [1,2,4,6,9,10,11,14,17,18,19].
Implementarea aplicaţiilor de calcul numeric şi, în particular, a aplicaţiilor
destinate simulării dinamicii unor sisteme fizice, este dependentă de modul de
reprezentare a numerelor şi de modul de efectuare a calculelor, în condiţiile în
care orice echipament de calcul pune la dispoziţie doar un număr finit de cifre.
Datorită acestui fapt se face apel, ca formă de reprezentare numerică, la
aritmetica în virgulă flotantă (mobilă), se concep şi se utilizează algoritmi
adecvaţi prelucrărilor tipice aritmeticii în virgulă flotantă.
Considerând F, mulţimea numerelor care pot fi reprezentate în virgulă
mobilă pe un anumit calculator, este valabilă forma [2]:
ebfxx |RF , (4.1)
unde: f este mantisa, de valoare pozitivă;
b – baza sistemului de numeraţie;
e – exponent, număr întreg.
Expresia (4.1) conduce la constatarea că mulţimea numerelor care pot fi
reprezentate în virgulă mobilă, pe orice maşină, conţine un număr finit de
elemente.
Operaţiile aritmetice definite pe mulţimea discontinuă F se numesc
operaţii în virgulă flotantă, iar rezultatele unor astfel de operaţii reprezintă
aproximaţii pentru rezultatele operaţiilor definite în manieră standard, pe
mulţimea numerelor reale.
În rezolvarea numerică a problemelor, precizia rezultatelor este afectată
de trei tipuri de erori, şi anume:
94 Modelare şi simulare
- erori de rotunjire, datorate modului de reprezentare a datelor şi/sau modului
de efectuare a calculelor cu precizie finită, conducând la operarea cu valori
numerice aproximative;
- erori inerente, cauzate de utilizarea unor informaţii cu caracter aproximativ:
- cunoaşterea imprecisă a coeficienţilor unui model matematic;
- realizarea unor măsurători cu precizie scăzută;
- calcule anterioare aproximative, etc.
- erori de trunchiere (discretizare), datorate unor metode sau algoritmi care
înlocuiesc soluţiile analitice exacte cu soluţii aproximative, respectiv:
- discretizarea unor probleme continue;
- terminarea forţată, într-un număr finit de paşi, a proceselor iterative;
- trunchierea unor serii infinite.
În alegerea unui algoritm care să permită rezolvarea numerică a unei
probleme, se ţine seama de următoarele proprietăţi ale algoritmilor:
- eficienţa, determinată de timpul de calcul necesar pentru rezolvarea
problemei;
- precizia, care se referă la erorile introduse prin trunchierea unor serii
infinite sau prin terminarea unor procese iterative;
- stabilitatea numerică, care se referă la sensibilitatea rezultatelor în
raport cu perturbaţiile datelor de intrare;
- siguranţa în funcţionare, care presupune avertizarea utilizatorului ori de
câte ori erorile introduse sunt mari;
- generalitatea, cu referire la aplicabilitatea la o clasă de probleme;
- memoria necesară.
Etapele analizei prin simulare se referă la:
- stabilirea cadrului simulării (definirea sistemului analizat, a obiectivelor,
a criteriilor de evaluare, etc. );
- modelarea analitică;
- realizarea modelului de simulare;
- realizarea experimentului de simulare;
- analiza şi interpretarea datelor.
Modelare şi simulare 95
Practic, pentru experimentul de simulare, fie se elaborează un program
pentru obţinerea modelului de simulare, fie se apelează la programe
specializate (Matlab, Simulink, Mathcad, Simnon, Labview, Mathematica, etc.).
Acestea, prin interfeţe grafice-utilizator, permit selectarea componentelor de
simulare, realizarea structurii, definirea parametrilor şi execuţia simulării.
Rezultatele simulării se prezintă sub forma unor tabele de valori, reprezentări
2D sau 3D ale evoluţiei unor mărimi în timp, animaţie, etc.
IV.2. Simularea bazată pe integrarea numerică a ecuaţiilor
diferenţiale ordinare
O ecuaţie diferenţială de ordinul I, de forma [2,6,13]:
tyfdtdyty ,
, 00,: ytyf RRR , (4.2)
cu funcţia f asigurând existenţa şi unicitatea soluţiei pe intervalul fttt 0 ,
poate reprezenta modelul matematic pentru o mare varietate de procese
fizice: electrice, mecanice, termice, hidraulice, etc.
Găsirea soluţiei exacte a problemei (4.2) nu este posibilă decât în
anumite cazuri, justificându-se necesitatea recurgerii la metode aproximative.
Simularea comportării sistemelor modelate prin descrieri liniare (sau
neliniare) de forma (4.2), se bazează pe rezolvarea numerică a problemei
Cauchy (problemă cu condiţii iniţiale), prin care se va determina o aproximare
a lui y(t), furnizată sub forma unei secvenţe de vectori numerici, calculaţi
pentru un număr finit de valori ale variabilei independente t, definind o
diviziune a intervalului ftt ,0 : fNk tttttt ......210 .
În cazul reprezentării prin modele de stare, în urma rezolvării problemei
Cauchy (4.2), se determină evoluţia în timp a mărimilor de stare, apoi
dependenţa de timp pentru vectorul semnalelor de ieşire.
În cazul reprezentării prin modele diagramă bloc, pentru a construi
relaţia (4.2), este necesară elaborarea unei reprezentări intrare-stare-ieşire.
96 Modelare şi simulare
Observaţii:
- nici o metodă de integrare numerică a problemei Cauchy (4.2) nu este
capabilă să furnizeze valorile exacte nkt Ry ale soluţiei ty
corespunzătoare punctelor tk, k = 1,2,...,N, ci doar aproximaţii ale
acestora;
- programele specializate destinate simulării (de ex. Simulink), sunt
capabile să construiască automat, descrieri intrare-stare-ieşire,
pornind de la descrieri de tip diagramă bloc.
Indiferent de metoda numerică de integrare, progresul integrării se
raportează la o diviziune a intervalului Ntt ,0 , fiecare dintre punctele diviziunii
fiind generate succesiv, pe măsură ce integrarea numerică avansează.
Valoarea kt a variabilei independente, pentru care se calculează
vectorul numeric al soluţiilor, se obţine, pornind de la 0t , incremental:
Nkhhtt kkkk ,...,2,1,0,1 (4.3)
în care: kh reprezintă pasul de integrare (poate avea o valoare constantă,
sau poate fi modificat pe parcursul generării punctelor tk ).
În rezolvarea numerică a problemei Cauchy (4.2), calitatea aproximării
poate fi analizată cu ajutorul erorii totale k ce afectează soluţia calculată la
ktt , determinată drept rezultat al acţiunii simultane a erorii de trunchiere şi
erorii de rotunjire, care tind să se acumuleze odată cu creşterea volumului de
calcule efectuate, dând naştere unui fenomen de propagare a erorilor.
Erorile de trunchiere sunt proprii fiecărei metode şi pot fi evaluate local,
pe parcursul unui singur pas de integrare sau global, pe întregul interval de
integrare.
Ordinul unei metode de integrare se precizează cu ajutorul erorii locale
de trunchiere, ltk , definită pentru un subinterval generic kk tt ,1 , cu vectorului
soluţie 1kty , în punctul 1kt al diviziunii, presupus de valoare exactă
cunoscută.
Modelare şi simulare 97
Astfel, o anumită metodă de integrare numerică este de ordinul p dacă
pe subintervalul generic kk tt ,1 este îndeplinită condiţia:
11 pk
pk
ltk hOCh , (4.4)
unde: 1 kkk tth este valoarea pasului de integrare;
C > 0 - constantă ce depinde de valorile derivatelor funcţiei vectoriale f
din (4.2);
O - funcţie de acelaşi ordin de mărime ca şi argumentul său, când
argumentul tinde la zero (înlocuieşte inegalitatea prin scriere de tip
egalitate).
În funcţie de modul de utilizare a informaţiei pentru efectuarea unui pas
de integrare, în rezolvarea numerică a problemei (4.2), se deosebesc [1,2,13]: - metode directe (mono-pas), care la avansarea unui pas, pentru
variabila independentă, necesită numai rezultatul de la pasul anterior
(valoarea ky este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, numai în
funcţie de valoarea calculată anterior, 1ky ); aceste metode necesită
un singur punct pentru iniţializare, fiind metode autostartabile; în
această categorie se regăsesc metodele Taylor, Euler, Runge-Kutta;
- metode indirecte (multi-pas), care la avansarea unui pas, pentru
variabila independentă, necesită rezultatele de la un număr de paşi
anteriori (valoarea ky este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, în
funcţie de valorile precedente, 12 ,...,, kkmk yyy ); aceste metode nu
sunt autostartabile şi pornesc cu ajutorul unei metode directe; în
această categorie se regăsesc metodele Adams-Bashforth, Adams-
Moulton, Gear, predictor-corector;
- metode de extrapolare, care divizează fiecare pas de integrare într-
un număr adecvat de subpaşi, utilizaţi pentru a extrapola rezultatul
integrării numerice cu ajutorul fracţiilor raţionale (metoda
Richardson).
98 Modelare şi simulare
În funcţie de modul de definire a noii valori rezultate din efectuarea unui
pas de integrare, se deosebesc:
- metode explicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea
unui pas de integrare defineşte într-o manieră explicită noua valoare
a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul
stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp 1kt ,
iar expresia din membrul drept conţine referiri numai la valorile
anterioare ale soluţiei, corespunzând momentelor de timp .,..., 1 etctt kk ,
anterioare momentului 1kt ;
- metode implicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea
unui pas de integrare defineşte într-o manieră implicită noua valoare
a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul
stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp 1kt ,
iar expresia din membrul drept conţine şi ea referiri la noua valoare a
soluţiei, împreună cu referiri la valorile anterioare ale soluţiei,
corespunzând momentelor de timp ,..., 1kk tt , anterioare momentului
1kt .
Observaţii:
- după cum valoarea pasului este constantă sau se modifică pe
parcursul integrării, metodele directe/indirecte sunt cu pas constant
sau cu pas adaptiv;
- metodele directe/indirecte se pot utiliza în algoritmi de tip explicit sau
implicit (de ex. metodele Runge-Kutta sunt directe şi explicite,
metodele Adams sunt indirecte şi explicite sau implicite, etc.) .
IV.2.1. Metode directe
Ca principiu general, metodele directe se bazează pe dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei y(t), ce reprezintă soluţia problemei (4.2). Astfel, se
presupune că soluţia ty se poate dezvolta în serie Taylor, în vecinătatea
fiecărui punct ktt , rezultând [1,2,9,10,13,18]:
Modelare şi simulare 99
...!
...!2!1
22
1
kp
pk
kk
kk
k typtttytttytttyty (4.5)
În vecinătatea punctului 0t , dezvoltarea (4.5) conduce la forma:
...!
...!2!1 0
00
22
00
100
ty
ptttytttytttyty p
p
(4.6)
Pentru cazul particular 1tt , dezvoltarea (4.6) are forma:
...!
...!2!1 0
010
22
010
10101
ty
ptttytttytttyty p
p
(4.7)
Cu notaţia kk tth 1 , desemnând pasul constant, particularizată în
forma: 01 tth , relaţia (4.7) devine:
...!
...!2!1 00
22
01
01 typ
htyhtyhtyty pp
(4.8)
respectiv:
...!
...!2 0
20
21
001 pp
yp
hyhhyyy , (4.9)
în care: ...;;; 200
20011 ytyytyyty .
Pentru determinarea soluţiei pe reţeaua de puncte ktttt ,...,,, 210 , relaţiile
(4.8), (4.9) se aplică din aproape în aproape, rezultând:
...!
...!2!1
22
11 k
pp
kkkk typ
htyhtyhtyty , (4.10)
respectiv:
...!
...!2
22
11
pk
p
kkkk yp
hyhhyyy . (4.11)
Pentru calculul valorii 1ky este necesară determinarea derivatelor ...,, 21
kk yy , în punctul kt .
Din ecuaţia (4.2), se obţine succesiv:
....,
,,,,,
3
12
etcty
ttyyfttyftty
tftytty
yftty
tfty
(4.12)
respectiv, pentru 0tt :
100 Modelare şi simulare
....,
,,,,,
03
0000
000
2
000001
etctyt
tyftyft
tyfty
tyfttyfty
(4.13)
Algoritmul de integrare este de ordinul p, ordinul metodei fiind dat de cel
mai mare ordin de derivare al funcţiei necunoscute y(t), în urma trunchierii seriei
Taylor (4.11). Astfel, pentru 2p , se obţine:
322
1 !2, hyhtyhfyy kkkkk , (4.14)
în care 3h indică faptul că toţi termenii care conţin 3h , sau de putere mai mare,
sunt neglijaţi.
Dezavantajul metodei Taylor constă în faptul că, la fiecare pas, necesită
calculul derivatelor ...,, 32 yy .
Observaţii:
- algoritmii de tip Taylor rezultă direct din modalitatea generală de calcul
a valorii aproximative a soluţiei, particularizaţi prin alegerea ordinului
p = 1, 2,...etc.;
- teoretic, metoda permite găsirea oricărei soluţii, pentru orice ecuaţie
diferenţială; practic, metoda se foloseşte pentru a evalua, prin
comparaţie, precizia altor metode.
Metoda Euler clasică (algoritmul Taylor de ordin I), în forma explicită,
reprezintă cel mai simplu caz al dezvoltării Taylor (4.11), particularizarea 1p
conducând la algoritmul:
kkkk tyhfyy ,1 (4.15)
Pe baza relaţiei (4.15), plecând de la valoarea iniţială 00 tyy , se
obţine şirul aproximaţiilor ...,, 21 yy , ale valorilor adevărate ...,, 21 tyty ale
soluţiei. Modul de avansare al soluţiei, pe un interval oarecare 1, kk tt , de
lungime h, foloseşte drept informaţie despre derivată numai pe aceea
corespunzătoare extremităţii din stânga a intervalului de interes, adică kk tyf , .
Modelare şi simulare 101
Din punct de vedere geometric, metoda Euler, numită şi metoda liniilor
poligonale, constă în a înlocui curba tyy , prin linia poligonală construită
din segmentele de dreaptă ...43210 MMMMM (fig.4.1).
Fig.4.1. Metoda Euler (metoda liniilor poligonale) – interpretare geometrică
În punctul 00 ,ty , tangenta la curba tyy , defineşte punctul 0M , iar
punctul 1M se obţine la intersecţia tangentei cu ordonata ridicată din 1t .
Segmentul 10MM are coeficientul unghiular 001
0 ,tyfy . Similar, se trasează
dreapta prin 1M , cu coeficientul 111
1 , tyfy , iar la intersecţia cu ordonata
ridicată din 2t rezultă 2M , ş.a.m.d.
Observaţii:
- eroarea locală de trunchiere fiind destul de mare, pentru obţinerea unei
precizii rezonabile, pasul de integrare h trebuie să fie ales suficient de
mic;
- dacă termenul kk tyhf , din (4.15), se înlocuieşte cu
21
21 ,
kktyhf ,
informaţia despre derivată corespunde mijlocului intervalului de
interes, obţinându-se algoritmul Euler, versiunea modificată:
2
,,21
httyfhyhfyy kkkkkk ; (4.16)
102 Modelare şi simulare
- dacă termenul kk tyhf , din (4.15), se înlocuieşte cu 11, kk tyhf ,
informaţia despre derivată corespunde extremităţii din dreapta a
intervalului de interes, obţinându-se algoritmul Euler implicit.
Metoda Euler îmbunătăţită (algoritmul Taylor de ordin II), se obţine
pentru cazul 2p , rezultând:
22
1 !2, kkkkk yhtyhfyy (4.17)
După aplicarea regulilor de derivare a funcţiilor compuse se obţin
relaţiile:
htyfhttyhfyftyfy
tyfy
kkkkkkkkk
kkk
,,,,
,
12
1
(4.18)
iar algoritmul de calcul devine:
httyhfyftyfhyy kkkkkkkk ,,,21 (4.19)
În relaţia (4.19), diferenţa fată de varianta clasică constă în faptul că
derivata corespunde unei medii calculate din valoarea de la începutul
intervalului şi o aproximare a valorii de la sfârşitul intervalului de interes.
Metodele Runge-Kutta (Carl Runge-1895, Wilhelm Kutta-1901) evită
calculul derivatelor funcţiei tyf , , care intervin în algoritmul Taylor, înlocuindu-
le cu evaluări ale funcţiei în diverse puncte intermediare ale intervalului de
interes. Numărul efectiv de puncte intermediare este corelat cu ordinul
metodei. Ca principiu general, metoda urmăreşte formarea unor algoritmi de
forma [1,2,4,6,9,10,11,17,18,19]:
p
jjjkk rwyy
11 (4.20)
în care: jj rw , sunt coeficienţi care se determină cu ajutorul funcţiei tyf , ,
calculată în puncte intermediare din intervalul kk tt ,1 , astfel
încât dezvoltarea din partea dreaptă a relaţiei (4.20) să coincidă
cu dezvoltarea Taylor a lui 1ky până la termenii de rang p.
Modelare şi simulare 103
Pentru diverse valori întregi ale lui p, se obţin metode Runge-Kutta de
diverse ordine.
Metoda Runge-Kutta de ordinul I, se obţine pentru 1p , respectiv:
111 rwyy kk (4.21)
Cu valorile coeficienţilor: 11 w ; kk tyhfr ,1 se obţine relaţia:
kkkk tyhfyy ,1 (4.22)
care este similară metodei Taylor de ordinul I (metoda Euler clasică).
Metoda Runge-Kutta de ordinul II, se obţine pentru 2p , respectiv:
22111 rwrwyy kk (4.23)
Cu valorile coeficienţilor: 2121 ww şi
htryhfr
tyhfr
kk
kk
,,
12
1
se obţine relaţia:
httyhfyftyfhyrryy kkkkkkkkk ,,,22
1211 (4.24)
care este similară metodei Euler îmbunătăţită (4.19).
Metoda Runge-Kutta de ordinul IV se obţine pentru cazul 4p ,
respectiv:
43211 2261 rrrryy kk (4.25)
cu:
htryhfr
htryhfr
htryhfr
tyhfr
kk
kk
kk
kk
,21,
21
21,
21
,
34
23
12
1
(4.25a)
Algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV în forma standard (4.25), este
cotat drept cea mai populară şi eficientă metodă de integrare numerică cu pas
104 Modelare şi simulare
constant, reprezentând un optim simplitate-precizie. Eroarea de trunchiere a
acestei metode este de ordinul 5hq .
Metodele Runge-Kutta se pot aplica şi pentru sisteme de ecuaţii
diferenţiale.
Astfel, se consideră ecuaţia diferenţială de ordinul n: 0,...,,,, 21 tyyyyf n (4.26)
cu condiţiile iniţiale: ...,,, 1
01
00 yyyytt . (4.26a)
Pe lângă soluţia căutată y(t), se mai introduc n-1 necunoscute auxiliare:
121 ...,,, nyyy , de forma:
12
21
1 ...,,, n
n ydt
dyydtdyy
dtdy . (4.27)
Ecuaţia (4.27), împreună cu ecuaţia (4.25) pusă în forma:
tyyyyfdt
dyn
n ,...,,,, 121 (4.28)
formează un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul I, cu n funcţii
necunoscute.
Cazul general de tratare a problemei este laborios, dar pentru o ecuaţie
diferenţială de ordin redus (de ex. 2 sau 3), calculele se simplifică.
Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale:
tyyfdt
dyty
tyyfdtdyty
,,
,,
2122
2
2111
1 (4.29)
cu condiţia iniţială:
2002
1001
ytyyty
(4.30)
În acest caz, relaţia (4.25) are forma:
42
41
32
31
22
21
12
11
,2
,1
1,2
1,1 2261
rr
rr
rr
rr
yy
yy
k
k
k
k (4.31)
în care:
Modelare şi simulare 105
htryryhfr
htryryhfr
htryryhfr
htryryhfr
htryryhfr
htryryhfr
tyyhfrtyyhfr
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
,,,,
21,
21,
21
21,
21,
21
21,
21,
21
21,
21,
21
,,,,
32,231,1242
32,231,1141
22,221,1232
22,221,1131
12,211,1222
12,211,1121
,2,1212
,2,1111
(4.32)
respectiv:
020,2
010,1
tyytyy
(4.33)
Observaţii:
- metodele Runge-Kutta cu pas constant, sunt uşor de implementat şi,
în condiţiile unui pas de integrare suficient de mic în raport cu
dinamica sistemului studiat prin simulare, precizia soluţiei
aproximative obţinute este bună;
- avantajele algoritmilor Runge-Kutta decurg din faptul că erorile de
rotunjire datorate operaţiilor în virgulă mobilă sunt diminuate în raport
cu metodele Taylor, pentru că se evită evaluarea derivatelor funcţiei
f(y,t);
- pe de altă parte, prelucrările în virgulă mobilă, cu un pas de integrare
prea mic, pot conduce la aproximări grosiere datorită propagării
erorilor de rotunjire.
Alte metode aproximative iterative, respectiv:
- metoda trapezelor;
- metoda funcţiilor impuls-blocate (block-pulse functions);
- metoda funcţiilor Walsh;
sunt prezentate în [5,20].
106 Modelare şi simulare
Exemplul 4.1.
Se consideră modelul matematic dat sub forma unei ecuaţii diferenţiale
de ordinul I, în forma:
00
2,tyy
tytyfy
Pentru 00 t şi 00 y , se soluţionează numeric pentru 1,0t . Cu pasul
constant 1,0h , rezultă 10n intervale.
Folosind metoda Euler clasică (4.15), rezultă ...,,, 321 yyy , astfel:
0001 ,tyhfyy
Cu 22000,0, 00 ftyf se obţine: 2,021,001 y ;
1112 ,tyhfyy
Cu 1,01,0001 htt şi 1,221,02,02,0;1,0, 11 ftyf se obţine:
41,01,21,02,02 y , ş.a.m.d.
Folosind metoda Euler îmbunătăţită (4.19), cu 00 t şi 00 y , rezultă:
httyhfyftyfhyy 00000001 ,,,2
Cu 1,221,02,01,0;2,01,00;21,00,, 0000 ffhttyhfyf şi
2, 00 tyf , se obţine:
205,01,2221,001 y
Cu 105,21,0;205,0, 11 ftyf şi 2155,22,0;4155,0,, 1111 fhttyhfyf
rezultă:
4210,02155,2105,221,0205,0,,,
2 11111112 httyhfyftyfhyy .
Folosind metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), cu 00 t şi 00 y ,
rezultă:
432101 2261 rrrryy
205,021,0;
22,01,0
21,0,
211,0
2,0,1,0
0102
001
ftryfr
tyfr
Modelare şi simulare 107
210525,01,0;20525,01,01,0,1,0
20525,021,0;
2205,01,0
21,0,
211,0
0304
0203
ftryfr
ftryfr
respectiv soluţia:
2051708,0210525,020525,02205,022,06101 y , ş.a.m.d.
Exemplul 4.2.
Se consideră modelul matematic dat sub forma ecuaţiei diferenţiale de
ordinul I, în forma:
5,0141, 2
2
ytt
yytyfy ,
pentru care se propune soluţionarea numerică în doi paşi, în punctul 2t .
În acest caz, rezultă: 10 t , 5,00 y , 2n , 2ft , 5,02
120
n
tth f ,
5,15,0101 htt , 22 t .
Cu metoda Euler clasică rezultă:
25,014
115,05,05,05,0, 2
20001
tyhfyy
14236,05,14
15,125,025,05,025,0, 2
21112
tyhfyy .
Cu metoda Euler îmbunătăţită se obţine:
32118,0,,,2 00000001 httyhfyftyfhyy
23481,0,,,2 11111112 httyhfyftyfhyy
Cu metoda Runge-Kutta de ordin IV se obţine:
33332,02261
432101 rrrryy
24999,02261
432112 rrrryy .
108 Modelare şi simulare
Exemplul 4.3.
Se consideră circuitul electric RLC serie din Exemplul 2.6, prezentat în
fig.2.17 pentru care a fost dedus un model matematic ce conţine două ecuaţii
diferenţiale de ordin I:
tiCdt
du
tuL
tiLRte
Ldtdi
Le
C
CLeL
1
11
Considerând pentru componentele sistemului valorile Re = 2000 Ω,
L = 0.025H, Ce = 10-7H, trasarea evoluţiei stărilor pe intervalul de timp
mst 1,0 se poate realiza prin folosirea metodelor numerice. Două metode
numerice, directe şi explicite, de tip Runge-Kutta de ordin 3 şi 4 sunt
implementate în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode23 şi ode45.
Sintaxa folosită de aceste două funcţii este de forma [5,8,23,24]:
[t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0);
sau [t,xn]=ode45('rlcserie',t0,tf,x0);
unde: t este un vector ce conţine timpul de simulare;
xn - matrice ce conţine soluţiile ecuaţiilor diferenţiale la momentele de
timp t;
rlcserie - reprezintă o funcţie în care este descris sistemul de ecuaţii
diferenţiale de ordin I;
t0 - momentul de timp iniţial;
tf - momentul de timp final;
x0 - condiţiile iniţiale.
Pentru exemplul dat, funcţia Matlab ce conţine descrierea sistemului de
ecuaţii diferenţiale de ordin I (modelul matematic al circuitului RLC serie cu
intrare treaptă, 1V), denumită “rlcserie.m” este de forma:
function dx=rlcserie(t,x)
e=1;Re=2000;L=0.025;Ce=10^-7;
dx=zeros(2,1);
dx(1)=-Re/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*e;
Modelare şi simulare 109
dx(2)=1/Ce*x(1);
dx=[dx(1); dx(2)];
Secvenţa de program care determină traiectoriile de stare prin apelarea
funcţiei rlcserie cu ajutorul metodei ode23, şi le afişează grafic, este
următoarea: clf;clc;clear;
%initializarea variabilelor
t0=0;tf=10^-3;x0=[0 0];
% Determinarea starilor prin rezolvare numerica
[t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0);
x1=xn(:,1);x2=xn(:,2);
% Afisarea starilor
figure(1)
subplot(211),plot(t,x1);grid;ylabel('I_L [A]');xlabel('Timp [s]');
subplot(212),plot(t,x2);grid;ylabel('U_C [V]');xlabel('Timp [s]');
Evoluţia stărilor la o intrare treaptă e(t)=1V, prin rezolvarea numerică cu
ajutorul a două metode Runge-Kutta este indicată în fig.4.2 [23].
a) b)
Fig.4.2. Evoluţia variabilelor de stare a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: a) rezolvare cu ode23; b) rezolvare cu ode45
110 Modelare şi simulare
IV.2.2. Metode indirecte
Metodele indirecte (multi-pas) se bazează, ca principiu general, pe
faptul că funcţia y(t), ce reprezintă soluţia problemei Cauchy (4.2) poate fi
aproximată oricât de bine, în orice interval închis, printr-un polinom de grad
suficient de înalt (metodele de integrare indirecte se numesc şi metode de
integrare bazate pe aproximări polinomiale) [2,4,6,9,10,13,17,18,19].
Astfel, dacă în cadrul diviziunii ftt ,0 , se consideră punctele consecutive
N ptttt kkkpk ,... 111 , se presupune că soluţia exactă y(t) poate fi
aproximată printr-un polinom de gradul p:
1110 ,,... kpkp
p ttttctccty , (4.34)
unde coeficienţii pici ,...,1,0, , asigură egalitatea dintre soluţia aproximativă şi
soluţia exactă în punctele diviziunii ftt ,0 .
Dacă punctele diviziunii uniforme ftt ,0 satisfac condiţia
1,...,1,0,1 Nkhtt kk , forma generală a unui algoritm de integrare indirect
cu pas constant este dată de relaţia:
11
,,...,,...
111110
11211
Nkmtyfbtyfbtyfbh
yayayay
mkmkmkkkk
mkmkkk
(4.35)
în care: mm bbbaa ,...,,,,..., 101 sunt coeficienţi aleşi astfel încât valoarea 1kty
calculată cu (4.35) să coincidă cu valoarea 1kty calculată cu
(4.34);
mityf ikik ,...,1,0,, 11 - funcţii pentru care se consideră satisfăcută
egalitatea:
ik
iktt
pp
ttikik tpctcc
dtdytyf
11
12111 ...2, . (4.35a)
Observaţii:
- relaţia (4.34) se poate considera un polinom de interpolare care
aproximează soluţia exactă a problemei Cauchy (4.2);
Modelare şi simulare 111
- pentru 00 b , în (4.35), se obţine metoda explicită, deoarece termenul
1ky apare numai în membrul stâng, iar relaţia poate defini valoarea
acestuia într-o manieră explicită;
- pentru 00 b , în (4.35), se obţine metoda implicită, deoarece termenul
1ky apare atât în membrul stâng cât şi în membrul drept, iar relaţia
poate defini valoarea acestuia într-o manieră implicită;
- o metodă multi-pas (explicită sau implicită) de ordinul p + 1 necesită
cunoaşterea valorilor 1,,...,0, ppityy ii , corespunzătoare primelor
p + 1 puncte ale diviziunii ftt ,0 , (metodele indirecte nu sunt
autostartabile); pentru obţinerea acestor valori, trebuie aplicat în
prealabil, de p ori, un algoritm uni-pas (o metodă directă), cel mai
recomandat fiind algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV, datorită preciziei
sale şi a modului relativ simplu de programare.
Algoritmi Adams
Expresia generală (4.35), particularizată pentru 1 pm şi
0,0...,1 021 baaa m , conduce la clasa de algoritmi expliciţi
Adams-Bashforth, de forma:
1,,..., 111 Nkptyfbtyfbhyy pkpkpkkkk . (4.36)
În (4.36), calculul valorii 1ky are semnificaţia de predicţie a unei valori
necunoscute, ce se evaluează pe baza a p+1 valori cunoscute
kkpkpk tyytyy ,..., , astfel că algoritmii Adams-Bashforth se numesc şi
algoritmi Adams predictor.
Expresia generală (4.35), particularizată pentru pm şi
0...,1 21 maaa , conduce la clasa de algoritmi impliciţi Adams-Moulton, de
forma:
,,...,, 1111101 pkpkpkkkkkk tyfbtyfbtyfbhyy 1 Nkp . (4.37)
În (4.37), calculul valorii 1ky are semnificaţia de corecţie a valorii deja
cunoscute 11 kk tyy , care apare şi în membrul drept, alături de alte p valori
112 Modelare şi simulare
cunoscute kkpkpk tyytyy ,...,11 , utilizate pentru realizarea corecţiei
(algoritmii Adams-Moulton se numesc şi algoritmi Adams corector).
Dacă valoarea 11 kk tyy este, mai întâi, predictată cu ajutorul
algoritmului Adams predictor (4.36) şi, apoi corectată cu ajutorul algoritmului
Adams corector (4.37), se obţine algoritmul Adams predictor-corector.
În construcţia concretă a unei formule de integrare multi-pas de tipul
(4.35), pentru care se determină valorile numerice ale coeficienţilor, aplicarea
efectivă a aproximării prin interpolare polinomială se referă la funcţia f(y,t) din
membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4.2).
Astfel, din (4.2), considerând relaţia:
1 ,1
k
k
t
tkk dttyftyty , (4.38)
pentru funcţia f(y,t), se calculează aproximativ integrala, prin utilizarea
polinomului Lagrange de interpolare, tg p , de grad p:
1 1,k
k
k
k
t
t
t
t p dttgdttyf , (4.39)
care conduce la forma:
1
1k
k
t
t pkk dttgyy . (4.40)
Observaţii: - în cazul algoritmilor Adams-Bashforth, polinomul de interpolare, tg p ,
se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante kpk tt ... ;
- în cazul algoritmilor Adams-Moulton, polinomul de interpolare, tg p , se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante 11 ... kpk tt ;
- eroarea locală de trunchiere pentru un algoritm de integrare multi-pas
de tip Adams, bazat pe un polinom de interpolare tg p , este
21
pl
k hO .
Algoritmii Adams-Bashforth de ordin 1,1 pp , sunt descrişi de
egalitatea (4.36). Coeficienţii 11,..., pbb se determină în urma explicitării
integralei 1k
k
t
t p dttg din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.1.
Modelare şi simulare 113
Tabelul 4.1. Valorile coeficienţilor 11,..., pbb , pentru algoritmii Adams-Bashforth
Algoritm Adams-Bashforth
1b 2b 3b 4b
Ordinul II 23
21
-
-
Ordinul III 1223
1216
125
-
Ordinul IV 2455
2459
2437
249
Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul II, obţinut pentru p = 1, necesită
valorile 1100 , tyytyy , pentru pornire şi are forma:
11,,21,
23
111
Nktyftyfhyy kkkkkk . (4.41)
Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită
valorile 221100 ,, tyytyytyy , pentru pornire şi are forma:
12,,125,
1216,
1223
22111
Nktyftyftyfhyy kkkkkkkk (4.42)
Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV, obţinut pentru p = 3, necesită
valorile 33221100 ,,, tyytyytyytyy pentru pornire şi are forma:
13
,,249,
2437,
2459,
2455
3322111
Nk
tyftyftyftyfhyy kkkkkkkkkk (4.43)
Algoritmii Adams-Moulton de ordin 1,1 pp , sunt descrişi de
egalitatea (4.37). Coeficienţii pbb ,...,0 se determină în urma explicitării integralei
1k
k
t
t p dttg din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.2.
Observaţie:
- practic, algoritmii Adams-Moulton sunt utilizaţi ca metode corectoare;
astfel, dacă există o valoare 11 kpredpred
k tyy calculată printr-o metodă
114 Modelare şi simulare
oarecare, în punctul 1kt , atunci formula de integrare (4.37) va furniza o
valoare nouă corky 1 , corespunzând aceluiaşi punct 1kt .
Tabelul 4.2. Valorile coeficienţilor pbb ,...,0 , pentru algoritmii Adams-Moulton
Algoritm Adams-Moulton
0b 1b 2b 3b
Ordinul II 21
21
-
-
Ordinul III 125
128
121
-
Ordinul IV 249
2419
245
241
Algoritmul Adams-Moulton de ordinul II, obţinut pentru p=1, necesită
valorile 1100 , tyytyy , pentru pornire şi are forma:
10,,21,
21
111
Nktyftyfhyy kkkkkk . (4.44)
Algoritmul Adams-Moulton de ordinul III, obţinut pentru p=2, necesită
valorile 221100 ,, tyytyytyy , pentru pornire şi are forma.
11,,121,
128,
125
11111
Nktyftyftyfhyy kkkkkkkk (4.45)
Algoritmul Adams-Moulton de ordinul IV, obţinut pentru p=3, necesită
valorile 33221100 ,,, tyytyytyytyy , pentru pornire şi are forma:
13
,,241,
245,
2419,
249
2211111
Nk
tyftyftyftyfhyy kkkkkkkkkk (4.46)
Algoritmi Adams predictor-corector se construiesc folosind predictorul
şi corectorul de acelaşi ordin, obţinându-se: algoritmul Adams predictor-
corector de ordinul II (predictorul de ordin II (4.41) şi corectorul de ordin II
(4.44)), algoritmul Adams predictor-corector de ordinul III (predictorul de
ordin III (4.42) şi corectorul de ordin III (4.45)), algoritmul Adams predictor-
corector de ordinul IV (predictorul de ordin IV (4.43) şi corectorul de ordin IV
(4.46)).
Modelare şi simulare 115
Algoritmul predictor-corector de ordinul I (algoritmul Euler predictor-
corector), se obţine prin asocierea algoritmului Euler clasic (4.15), utilizat drept
predictor, cu algoritmul Euler îmbunătăţit (4.19), utilizat drept corector.
Formula de predicţie conduce la o primă estimare pentru valoarea Pkk yy 11 , iar formula de corecţie creşte precizia soluţiei la C
ky 1 , respectiv:
111
1
,,2
,
kPkkkk
Ck
kkkPk
tyftyfhyy
tyhfyy (4.47)
Considerând un punct kk ty , al soluţiei, algoritmul (4.47) se aplică iterativ,
în următorii paşi:
1. se calculează Pky 1 cu formula predictor;
2. se calculează Cky 1 cu formula corector, luând pentru prima iteraţie
valoarea Pky 1 calculată la pasul 1; pentru iteraţiile următoare, în locul
valorii Pky 1 se ia valoarea C
ky 1 , determinată la iteraţia precedentă;
formula corector se repetă la acelaşi pas (pentru aceeaşi ordonată)
până se ajunge la precizia impusă:
impusPk
Ck yy 11 sau impus
kk
kk yy
111 (4.48)
3. având condiţia (4.48) îndeplinită, se trece la calculul punctului
următor, începând cu pasul 1.
Metode Gear pentru ecuaţii stiff
Sistemele de ecuaţii diferenţiale stiff (lb. română, „înţepenit” sau „rigid”)
se caracterizează prin aceea că dinamica soluţiilor (traiectoriilor) pune în
evidenţă componente cu variaţie foarte rapidă, precum şi componente cu
variaţie foarte lentă în raport cu variabila independentă, cu semnificaţie
temporală. Geometric, aceasta se traduce prin schimbări bruşte ale
cosinusurilor directoare pentru dreptele tangente la curbele soluţii [8,13,23,24].
În cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de forma (4.2), comportarea
de tip stiff apare pentru domeniile de valori ale vectorului soluţie y, care
116 Modelare şi simulare
conduc la disproporţii mari (de ordinul sutelor sau miilor) între valorile proprii
ale matricei jacobian yf .
În cazul particular al sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare, cu
coeficienţi constanţi, prezenţa valorilor proprii disproporţionate ca amplitudine,
se traduce prin disproporţia constantelor de timp (comportare stiff).
Majoritatea metodelor standard de integrare nu sunt potrivite pentru
rezolvarea ecuaţiilor stiff, astfel că trebuie ales un algoritm care să permită
variaţia pasului de integrare într-o plajă largă de valori, în condiţii de stabilitate
numerică (algoritm stiff stabil).
Algoritmii Gear (1971), cu structură implicită şi cu ajustarea automată a
pasului, se bazează pe formula generală multi-pas (4.35), pentru 1 pm şi
0...1 mbb , respectiv:
11011211 ,... kkpkpkkk tyfhbyayayay , 1 Nkp . (4.49)
Algoritmul Gear de ordinul II, obţinut din (4.49) pentru p = 1, necesită
pentru pornire valorile 1100 , tyytyy şi are forma:
1111 ,32
31
34
kkkkk tyfhyyy . (4.50)
Algoritmul Gear de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită pentru pornire
valorile 221100 ,, tyytyytyy şi are forma:
11211 ,116
112
119
1118
kkkkkk tyfhyyyy (4.51)
Observaţii:
- viteza şi precizia cu care se rezolvă problema (4.2), depind de metoda de
integrare folosită, de mărimea pasului de integrare şi de toleranţa
acceptată de utilizator;
- metoda Euler implicită este extrem de simplă, dar necesită paşi de
integrare mult mai mici decât cei utilizaţi de alte metode pentru a atinge
aceeaşi precizie (uzual se foloseşte în cazul unor sisteme de complexitate
redusă);
Modelare şi simulare 117
- metodele Runge-Kutta sunt adecvate unor clase largi de sisteme,
caracterizate printr-o dinamică liniară sau neliniară, echilibrată (fără
tendinţe de comportare stiff);
- în rezolvarea numerică a unei probleme de forma (4.2), algoritmul
Adams implicit de ordinul II este stabil pentru orice valoare a pasului de
integrare, alegerea pasului fiind restricţionată doar de precizia impusă
pentru soluţia numerică a problemei; orice algoritm Adams implicit, de
ordin p + 1, p > 1, poate utiliza paşi de integrare mai mari decât
algoritmul Adams explicit de acelaşi ordin.
- metodele Adams predictor-corector sunt recomandate pentru simularea
sistemelor care prezintă o comportare stiff, uşoară sau moderată;
- metodele Gear sunt singurele care pot furniza rezultate corecte în
simularea sistemelor cu o pronunţată comportare stiff;
- stabilitatea numerică a unui algoritm de integrare garantează faptul că
erorile de rotunjire şi cele de trunchiere nu sunt amplificate, ci rămân
mărginite pentru valori suficient de mici ale pasului de integrare;
- dacă pasul de integrare este prea mic, este necesar un număr foarte
mare de paşi pentru a acoperi întreg intervalul de integrare, ceea ce
implică un volum mare de calcule;
- în practică se recomandă alegerea unui pas de integrare cât mai mare
posibil, care să asigure, însă, stabilitatea numerică a algoritmului.
Exemplul 4.5.
Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.1:
00
2,tyy
tytyfy
Pentru 00 t şi 00 y , se soluţionează numeric pentru 1,0t . Se alege
pasul constant 1,0h , 10n şi se impune 001,0impus .
Pentru calculul valorilor ...,,, 321 yyy , algoritmul Euler predictor-corector
(4.47), se aplică astfel:
118 Modelare şi simulare
Determinarea valorii 1y :
- iniţializarea: 00001 , tyhfyy ;
Cu 22000,0, 00 ftyf se obţine: 2,021,0001 y ;
- corectarea: 101000
11 ,,
2tyftyfhyy ;
Cu 1,01,0001 htt şi 1,221,02,01,0;2,0, 101 ftyf se obţine valoarea
corectată: 205,01,221,05,0011 y ;
- verificarea condiţiei (4.48): 001,001
11 yy conduce la:
001,0005,0200,0205,001
11 yy ;
- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea:
111000
21 ,,
2tyftyfhyy ;
Cu 105,221,0205,01,0;205,0, 111 ftyf se obţine valoarea corectată:
20525,0105,221,05,0021 y ;
- verificarea condiţiei (4.48): 001,011
21 yy conduce la:
001,000025,0205,020525,011
21 yy ;
- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: 20525,01 y .
Determinarea valorii 2y :
- iniţializarea: 11102 ,tyhfyy ;
Cu 10525,221,020525,01,0;20525,0, 11 ftyf se obţine:
4158,010525,21,020525,002 y ;
- corectarea: 202111
12 ,,
2tyftyfhyy ;
Cu 2,01,01,012 htt şi 2158,222,04158,02,0;4158,0, 202 ftyf se
obţine valoarea corectată: 4213,02158,210525,21,05,020525,012 y ;
- verificarea condiţiei (4.48): 001,002
12 yy conduce la:
001,00055,04158,04213,002
12 yy ;
- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea:
Modelare şi simulare 119
212111
22 ,,
2tyftyfhyy ;
Cu 2213,222,04213,02,0;4213,0, 212 ftyf se obţine valoarea corectată:
42157,02213,210525,21,05,020525,022 y ;
- verificarea condiţiei (4.48): 001,012
22 yy conduce la:
001,000027,04213,042157,012
22 yy ;
- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: 42157,02 y ;
- similar, se determină ...,, 43 yy , ş.a.m.d.
Exemplul 4.6.
Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.2:
5,0141, 2
2
ytt
yytyfy ,
pentru care se propune soluţionarea numerică cu metoda Adams-Bashforth de
ordinul IV, în punctul 25,2t . Soluţia de start se determină în punctul 2t ,
prin metoda Runge-Kutta de ordin IV, în 4 paşi.
Pentru a aplica metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), se consideră:
10 t , 5,00 y , 2 tt f , 4n , 25,04
120
n
tth f , 25,125,0101 htt ,
5,12 t , 75,13 t , 24 t .
Utilizarea relaţiilor (4.25), (4.25a), conduce la: 4,01 y ; 33333,02 y ;
28571,03 y ; 25,04 y .
Pentru determinarea valorii aproximative a soluţiei în punctul 25,2t ,
algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV (4.43), are forma:
1122334445 ,
249,
2437,
2459,
2455 tyftyftyftyfhyy .
Cu: 125,00625,0125,00625,024
1225,025,02;25,0, 2
244
ftyf ;
16327,075,1;28571,0, 33 ftyf ; 22222,05,1;33333,0, 22 ftyf ;
32,025,1;4,0, 11 ftyf se obţine soluţia: 22307,025,2 5 yy .
120 Modelare şi simulare
Exemplul 4.7.
Se consideră ecuaţia diferenţială de ordin I din Exemplul 4.2:
22
41,tt
yytyfy
pentru care se doreşte realizarea unui program de rezolvare numerică, în mediul
Matlab, cu ajutorul metodelor indirecte de tip Adams implementate în funcţia
ode113 [5,8,23,24].
Ecuaţia diferenţială de ordin I este descrisă cu ajutorul funcţiei “func.m”.
function dy=func(t,y)
%ecuatia dif. de ordin I
dy=y^2-y/t+1/(4*t^2);
Secvenţa de program care determină şi afişează evoluţia soluţiei
numerice a ecuaţiei diferenţiale este:
%Exemplul 4.7 Rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordin I
clf;clc;clear;
%initializarea variabilelor
t0=1;tf=2;y0=[0.5];
% Determinarea solutiei prin rezolvare numerica
[t,yn]=ode113('func',t0,tf,y0);
% Afisarea solutiei
figure(1)
plot(t,yn);grid;ylabel('Solutia');xlabel('timp [s]')
Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale de ordin I, prin rezolvarea numerică
cu ajutorul metodei de tip Adams (funcţia ode113), pentru condiţia iniţială
y(1)=0,5, este prezentată în fig.4.3.
Dacă se modifică condiţia iniţială, y(1)=0 şi se extinde domeniul variabilei
4,1t , atunci evoluţia soluţiei y se modifică conform fig.4.4.
Modelare şi simulare 121
Fig.4.3. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0,5
Fig.4.4. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0
122 Modelare şi simulare
Exemplul 4.8.
Se consideră următoarea ecuaţie diferenţială de ordin II:
yyyktyfy
21,
cunoscută în literatura de specialitate ca ecuaţia Van der Pol (ecuaţie
diferenţială stiff). Cu cât valoarea coeficientului k este mai mare cu atât este
mai evident caracterul stiff al problemei (existenţa componentelor cu variaţie
foarte rapidă şi a componentelor cu variaţie foarte lentă în raport cu variabila
independentă).
Algoritmii Gear, recomandaţi pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor
stiff, sunt implementaţi în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode15s, ode23s,
ode23t.
Deoarece ecuaţia Van der Pol este diferenţială de ordin superior,
aceasta trebuie adusă la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin I şi
transpusă sub forma unei funcţii, apoi în program Matlab [5,8,23,24]:
12212
21
1 yyyky
yy
function dy=func(t,y)
%ecuatia van der Pol
k=1;
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=k*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
dy=[dy(1); dy(2)];
Pentru 20,0t şi condiţiile iniţiale y1(0)=2, y2(0)=0, respectiv pentru un
factor k=1 evoluţia celor două variabile determinate cu ajutorul funcţiei ode23s
este prezentată în fig.4.5.
Creşterea factorului k determină evidenţierea caracterului stiff al
sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordin I (fig.4.6, cu k=2 şi k=5).
Modelare şi simulare 123
Fig.4.5. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, pentru k=1, rezolvare numerică cu ode23s
a) b)
Fig.4.6. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, rezolvare numerică cu ode23s: a) pentru k=2; b) pentru k=5.
124 Modelare şi simulare
ANEXE. PROGRAME MATLAB
Anexa 1. Programul Matlab pentru Exemplul 2.5 [23,24]. %Exemplul 2.5 Un sistem mecanic conectat cu resort si amortizor (in paralel)
clf;clc;clear;
%Parametrii sistemului
ke=1; %N/mm (1, alte valori 4N/mm)
gamma=10; %Ns/mm (10, alte valori 5Ns/mm)
%Timpul de simulare
t=0:0.1:50;
%Ecuatia diferentiala: gamma*x'(t)+ke*x(t)=F(t)
%Constanta de timp:
T=gamma/ke %sec
%Factorul de amplificare:
K=1/ke %mm/N
%1.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM TREAPTA
%____________________________________
%Semnalul de intrare
F=10; %N (10, alte valori -10N,20N)
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat
xft(1,1:length(t))=K*(1-exp(-t/T))*F; %mm
figure(1)
subplot(131);plot(t,xft);grid;
ylabel('Deplasarea in regim fortat [mm]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat
vft(1,1:length(t))=K*exp(-t/T); %mm/s
subplot(132);plot(t,vft);grid;
title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)');
Modelare şi simulare 125
ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului
Fr=ke*xft;
%Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului
Fa=gamma*vft;
subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid;
legend('Fr','Fa');
ylabel('Actiunea fortelor [N]');
xlabel('Timp [s]');
%Performante:
ts5=3*T
ts2=4*T
ys=K*F
%2.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM SINUSOIDAL
%______________________________________
%Semnalul de intrare
A=10;
w=pi/10; %(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)
F=10*sin(w*t); %N
figure(2)
subplot(131);plot(t,F);grid;
ylabel('Intrarea sinusoidala [N]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat
M=K/sqrt(T^2*w^2+1);
Fi=atan(T*w)
R=K*T*w/(T^2*w^2+1);
xfs(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi)+A*R*exp(-t/T); %mm
126 Modelare şi simulare
%Expresia componentei de regim permanent sinusoidal
xps(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi); %mm
subplot(132);plot(t,xfs,t,xps,'--');grid;
legend('x_f','x_p');
title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)');
ylabel('Deplasarea si comp. permanenta [mm]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat
vfs(1,1:length(t))=1/gamma*(F-ke*xfs); %mm/s
subplot(133);plot(t,vfs);grid;
ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]');
xlabel('Timp [s]');
%3.RASPUNSUL LIBER
%__________________
%Pozitia initiala
x0=3 %mm
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber
xl(1,1:length(t))=x0*exp(-t/T); %mm
figure(3)
subplot(131);plot(t,xl);grid;
ylabel('Deplasarea in regim liber [mm]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim liber
vl(1,1:length(t))=-1/T*xl; %mm/s
subplot(132);plot(t,vl);grid;
title('Raspunsuri in regim liber (x_0=2 mm)');
ylabel('Viteza in regim liber [mm/s]');
xlabel('Timp [s]');
Modelare şi simulare 127
%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului
Fr=ke*xl;
%Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului
Fa=gamma*vl;
subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid;
legend('Fr','Fa');
ylabel('Actiunea fortelor [N]');
xlabel('Timp [s]');
%4.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE SINUSOIDALA
%__________________________________________
%Semnalul de intrare
figure(4)
subplot(131);plot(t,F);grid;
ylabel('Intrarea sinusoidala [N]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat si
%liber
subplot(132);plot(t,xfs,t,xl,'--');grid;
legend('x_f','x_l');
title('Determinarea raspunsului complet la intrare sinusoidala');
ylabel('Deplasarea in regim fortat si liber [mm]');
xlabel('Timp [s]');
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet
x=xl+xfs; %mm
subplot(133);plot(t,x,t,xps,'--');grid;
ylabel('Raspunsul complet la sinus [mm]');
xlabel('Timp [s]');
%5.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE CU IMPULSURI
%___________________________________________
%Timpul de simulare
t=0:0.1:200;
%Semnalul de intrare
128 Modelare şi simulare
F(1,1:400)=10; %N
F(1,401:800)=-4; %N
F(1,801:1000)=-7; %N
F(1,1001:1400)=12; %N
F(1,1401:1600)=-15; %N
F(1,1601:2001)=0; %N
figure(5)
subplot(121);plot(t,F);grid;
ylabel('Intrarea sub forma de impulsuri [N]');
xlabel('Timp [s]');
%pozitia initiala
x0=3; %mm
xi=[x0]; %mm
ts=0;
xs=K*F(1);
for i=1:length(t)
if ((t(i)==40)|(t(i)==80)|(t(i)==100)|(t(i)==140)|(t(i)==160))
%Pozitia initiala
ts=t(i); %timpul unde a aparut ultima discontinuitate
x0=x(1,i-1); %ultima pozitie inainte de discontinuitate
xi=[xi x0]; %toate pozitiile in punctele de discontinuitate
xs=[xs K*F(i)]; %toate valorile pentru componentele stationare
end
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber
xl(1,i)=x0*exp((-t(i)+ts)/T); %mm
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat
xf(1,i)=K*(1-exp((-t(i)+ts)/T))*F(i); %mm
%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet
x(1,i)=xl(1,i)+xf(1,i); %mm
end
subplot(122);plot(t,x);grid;
ylabel('Raspunsul complet la impulsuri [mm]');
xlabel('Timp [s]');
Modelare şi simulare 129
Anexa 2. Programul Matlab pentru Exemplul 2.6 [23,24]. %Exemplul 2.6 Un sistem electric RLC serie
clf;clc;clear;
%1.Determinarea valorilor proprii pentru doua sisteme
%____________________________________________________
%Parametrii sistemului 1
R1=1250; %Ohm
L1=0.025; %H
C1=10^-7; %F
A1=[-R1/L1 -1/L1; 1/C1 0];
lam1=eig(A1);
%Parametrii sistemului 2
R2=800; %Ohm
L2=0.02; %H
C2=10^-7; %F
A2=[-R2/L2 -1/L2; 1/C2 0];
lam2=eig(A2);
%2.Dinamica de regim liber
%_________________________
%Parametrii sistemului 3
R3=2000; %Ohm (2000, alte valori 200)
L3=0.025; %H
C3=10^-7; %F
A3=[-R3/L3 -1/L3; 1/C3 0];
B3=[1/L3;0];
C3=[-R3 -1];
D3=1;
sys3=ss(A3,B3,C3,D3);
lam3=eig(A3);
%Starile initiale
il0=0.001; %a
130 Modelare şi simulare
uc0=2; %V
x0=[il0;uc0];
%Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie
figure(1);
[yl,tl,xl]=initial(sys3,x0,10^-3);
subplot(221)
plot(tl,xl(:,1));grid;
ylabel('I_L [A]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(223)
plot(tl,xl(:,2));grid;
ylabel('U_C [V]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(122)
plot(tl,yl);grid;
ylabel('U_L [V]');
xlabel('Timp [s]');
%3.Dinamica de regim fortat
%__________________________
%Raspunsul la intrare treapta
figure(2);
[yf,tf,xf]=step(sys3,10^-3);
subplot(221)
plot(tf,xf(:,1));grid;
ylabel('I_L [A]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(223)
plot(tf,xf(:,2));grid;
ylabel('U_C [V]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(122)
plot(tf,yf);grid;
ylabel('U_L [V]');
Modelare şi simulare 131
xlabel('Timp [s]');
%Raspunsul la intrare sinus
%timpul de simulare
ts=0:0.00001:0.001;
%Semnalul de intrare
A=1;
w=4000*pi; %(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)
e=A*sin(w*ts); %V
figure(3)
subplot(222);plot(ts,e);grid;
ylabel('E [V]');
xlabel('Timp [s]');
[ys,ts,xs]=lsim(sys3,e,ts);
subplot(224);plot(ts,ys);grid;
ylabel('U_L [V]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(221)
plot(tf,xs(:,1));grid;
ylabel('I_L [A]');
xlabel('Timp [s]');
subplot(223)
plot(tf,xs(:,2));grid;
ylabel('U_C [V]');
xlabel('Timp [s]');
132 Modelare şi simulare
BIBLIOGRAFIE
[1] Beu T.A., Analiza numerică în Turbo Pascal, Editura Microinformatica SRL,
Cluj Napoca, 1992.
[2] Berbente C., Mitran S., Zancu S., Metode numerice, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1998.
[3] Chi Tsong C., Analog and digital control system design. Transfer function,
state space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 2000.
[4] Dodescu Gh., Toma M., Metode de calcul numeric, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1979.
[5] Dulău M., Oltean S., Modelare şi simulare, Lucrări de laborator,
Universitatea “Petru Maior” Tg.Mureş, 2003.
[6] Forsythe G., Malcolm M., Moler C., Computer methods for mathematical
computations, Prentice-Hall, New Jersey, 1977.
[7] Franklin G., ş.a., Feedback control of dynamic systems, Fourth edition,
Prentice Hall, 2002.
[8] Ghinea M., Fireţeanu V., Matlab, calcul numeric. Grafică-aplicaţii, Editura
Teora, 1997.
[9] Jora B., Popeea C., Barbulea S., Metode de calcul numeric în automatică.
Sisteme liniare, Editura Enciclopedică, Bucureşti,1996.
[10] Kahaner D., Moler C., Nash S., Numerical methods and software,
Prentice-Hall, New Jersey, 1989.
[11] Larionescu D., Metode numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989.
[12] Mătieş V., Mecatronică, Editura Dacia, Cluj Napoca, 1998.
[13] Păstrăvanu O., Limbajul bond-graph în modelarea şi simularea sistemelor
fizico-tehnice, Editura Gh. Asachi, Iaşi, 2002.
[14] Postolache M., Metode numerice, Editura Sirius, Bucureşti, 1994.
[15] Preitl Ş., Precup R.E., Introducere în ingineria reglării automate, Editura
Politehnica Timişoara, 2001.
[16] Rus I., ş.a., Modelare şi simulare. Îndrumar de lucrări practice,
Universitatea Politehnică Bucureşti, 1994.
Modelare şi simulare 133
[17] Rusu I., Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1997.
[18] Shampine, L. F., Gordon M. K., Computer solution of ordinary differential
equations: the initial value problem, San Francisco, 1975.
[19] Ştefan K., ş.a., Calcul numeric în energetică. Algoritmi, programe,
aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1996.
[20] Teodorescu D., Sisteme automate deterministe, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1984.
[21] Voicu M., Introducere în automatică, Editura Polirom, Iaşi, 2002.
[22] Zărnescu H., Ingineria reglării automate, Universitatea „Petru Maior”
Tg.Mureş, 1997.
[23] ***, Matlab. The language of technical computing, The MathWorks Inc.,
1997.
[24] ***, Simulink. Dynamic system simulation for Matlab, The MathWorks Inc.,
1997.