mod sim curs

129
Modelare şi simulare 5 MIRCEA DULĂU STELIAN OLTEAN MODELARE şi SIMULARE Curs 2008

Upload: belean-cosmin

Post on 05-Jul-2015

550 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 5

MIRCEA DULĂU STELIAN OLTEAN

MODELARE şi SIMULARE

Curs

2008

Page 2: Mod Sim Curs

6 Modelare şi simulare

UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MUREŞ FACULTATEA DE INGINERIE

dr. ing. MIRCEA DULĂU dr. ing. STELIAN OLTEAN

MODELARE şi SIMULARE

Curs

2008

Page 3: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 7

Referenţi ştiinţifici: Prof. dr. ing. Mihail ABRUDEAN Prof. dr. ing. Alexandru MORAR

Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această lucrare este posibilă numai cu acordul scris al autorilor.

Tehnoredactare computerizată: autorii Grafica: autorii Corectura: autorii Multiplicare: Petru Pop Legătorie: Lenuţa Pop Bun de tipar: 12.06.2008 CZU 621-52; 004.94

Tiparul executat la Universitatea “Petru Maior” din Târgu Mureş

Page 4: Mod Sim Curs

8 Modelare şi simulare

I. PROBLEMATICA MODELĂRII ŞI SIMULĂRII. ASPECTE

GENERALE I.1. Definiţii. Terminologie

În domeniul ştiinţelor tehnice, experimentul şi observaţia constituie

aspecte esenţiale pentru un sistem ce se elaborează iterativ.

Modelarea şi simularea prezintă principalele metode şi tehnici prin care

obiecte din lumea reală, procese, fenomene etc., sunt reprezentate matematic

şi apoi analizate indirect, utilizând tehnica de calcul.

Modelul este reprezentarea matematică a dependenţei dintre mai multe

mărimi. Dacă dependenţa corespunde unui proces fizic realizabil, modelul se

numeşte sistem, aceasta însemnând că între mărimile ce apar există o relaţie

de cauzalitate care le separă în două clase (mărimi de intrare - cauză, mărimi

de ieşire - efect).

Implementarea unui model pe un dispozitiv de calcul (analogic,

numeric), pentru a-i studia proprietăţile esenţiale (răspuns la diverse intrări,

performanţe, etc.), reprezintă modelarea (analogică, numerică).

Construirea modelului matematic se poate aborda astfel:

- modelare analitică, consecinţă a legilor fizico-chimice care descriu

desfăşurarea fenomenelor;

- modelare experimentală, bazată pe prelucrarea datelor obţinute prin

măsurători experimentale.

Construcţia unui model matematic, optim în raport cu un criteriu impus,

pentru obiectele automatizate, pe baza datelor experimentale obţinute prin

test sau funcţionare normală, reprezintă identificarea.

Observaţii:

- modelul matematic reprezintă o aproximare simplificată a realităţii;

modelul matematic nu poate (şi în general nici nu trebuie) să

reprezinte exact sistemul real în toată complexitatea sa;

- complexitatea unui model matematic este dictată, în general, de

acurateţea (precizia) dorită în descrierea comportării sistemului, în

Page 5: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 9

sensul că un model simplu neglijează sau idealizează anumite

aspecte ale comportării;

- modelul matematic are un caracter generalizator pentru o clasă de

sisteme echivalente, indiferent de natura fizică a fenomenului

caracterizat; în general, parametrii determinaţi au semnificaţii fizice

directe;

- modelul trebuie să aibă o formă utilizabilă.

În acest context, o definiţie a modelului poate fi formulată astfel:

„Modelul reprezintă o interpretare explicită a înţelegerii unei situaţii sau cel

puţin o idee despre această situaţie. El poate fi exprimat matematic, prin

simboluri sau cuvinte, esenţială fiind descrierea entităţilor şi a relaţiilor dintre

acestea. Modelul poate fi descriptiv sau ilustrativ, dar mai presus de toate

trebuie să fie util” [10,12,13,21].

Simularea este procedeul de reprezentare a unui proces real printr-un

model idealizat, fizic realizabil sau numai conceptual, prin intermediul căruia

se urmăreşte obţinerea de informaţii privind comportarea.

Simularea este utilă, în special în cazurile în care analiza directă este

imposibilă, respectiv: sistemul nu poate fi pus la dispoziţia analistului, pentru

experimentări directe; există pericolul producerii unor pagube prin

experimentare directă; sistemul are evoluţie lentă în timp; nu pot fi generate

direct condiţiile de experimentare, etc.

Observaţii:

- prin simulare nu se pot obţine soluţii foarte exacte pentru că,

principial, modelele sunt imperfecte;

- există erori în precizarea datelor, a parametrilor, a condiţiilor de

simulare, care nu pot fi compensate;

- în cazul proceselor foarte complexe, modelul de simulare poate

deveni mai complex decât procesul însuşi.

Comportarea unui sistem în diferite condiţii poate fi descrisă cu ajutorul

unui model verbal (de ex., formularea unor principii de funcţionare). Un alt tip

de model îl constituie modelul fizic (macheta), care îşi propune să reducă la o

Page 6: Mod Sim Curs

10 Modelare şi simulare

anumită scară caracteristicile unui sistem dat (de ex., macheta unei clădiri).

Modelele fenomenologice (conceptuale) permit descrierea sistemelor

respective prin anumite legi. Modelele funcţionale (formale) permit

reprezentarea sistemelor prin relaţii şi scheme funcţionale.

În cadrul preocupărilor tehnico-inginereşti, modelul matematic (analitic)

se concentrează pe descrierea comportării diverselor entităţi fizice. Înlocuind

entitatea fizică concretă, „modelul” permite formularea de constatări privind

detaliile de funcţionare sau soluţiile de proiectare. Prin conţinutul lor

informaţional, calitativ şi cantitativ, modelele de natură matematică se

dovedesc a fi descrieri foarte performante pentru studiile din domeniul

ingineriei.

În condiţiile când pentru parametrii constructivi nu sunt disponibile valori

numerice concrete, modelul obţinut realizează doar o descriere calitativă a

comportării sistemului.

Modelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor

prelucrări analitice care conduc la formulări sau expresii noi (de ex., rezolvarea

unor ecuaţii algebrice sau a unor ecuaţii diferenţiale). Dar prelucrările analitice

nu sunt întotdeauna posibile şi, în atare situaţii, se apelează la metode

specifice calculului numeric. Aceste metode sunt, în general, uşor de utilizat

apelând la un limbaj sau mediu de programare.

Astfel, investigarea unor proprietăţi ale sistemului studiat, presupune

rezolvarea numerică a unor probleme, procedeele de investigare constituind

aşa-numita analiză asistată de calculator.

În aceste condiţii, prin intermediul simulării numerice, se pot desfăşura

experienţe sau experimente de simulare care nu necesită nici un fel de

manipulare fizică a sistemului concret studiat. Astfel, experimentele de

simulare înlătură limitările experienţelor practice, cu acţiune nemijlocită

asupra sistemului fizic.

În modelare şi simulare, noţiunea de semnal este echivalentă

termenilor mărime sau variabilă, care sunt utilizaţi în descrierea funcţionării

unui sistem (indiferent de natura fizică concretă a acestuia). Din punct de

Page 7: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 11

vedere matematic, orice semnal trebuie privit ca o funcţie f(t) : R→R, în care

argumentul (variabila independentă) t are semnificaţie temporală, permiţând,

astfel, exprimarea modului în care o anumită cantitate (cu înţeles fizic) se

modifică în timp.

Utilizând termenul de semnal, se face referire la evoluţia în timp a

oricărei mărimi fizice, (de ex.: temperatura dintr-o incintă, viteza unui mobil,

volumul de fluid dintr-un rezervor, tensiunea la bornele unui rezistor

electric, etc.).

În funcţie de complexitatea sistemului studiat, nu toate semnalele sunt

accesibile măsurătorilor sau înregistrărilor, dar imposibilitatea accesului

practic la aceste semnale nu înseamnă inexistenţa lor.

În studierea dinamicii unui sistem, există două categorii de semnale

care sunt nemijlocit accesibile măsurării sau înregistrării, datorită rolului pe

care îl deţin în comportarea sistemului:

- semnale de intrare (semnale cauză sau intrări), care provin din universul

exterior sistemului şi acţionează asupra acestuia;

- semnale de ieşire (semnale efect sau ieşiri), care sunt furnizate de sistem

către universul exterior acestuia.

Modelarea bazată pe principiile fizicii realizează legături între intrări şi

ieşiri prin intermediul unor relaţii analitice care includ şi semnalele interne din

structura sistemului. Aceste relaţii analitice care exprimă legăturile dintre

semnale sunt, de fapt, relaţii din diverse domenii ale fizicii aplicate adecvat în

contextul problemei de modelare.

I.2. Etapele modelării

Procesul de modelare a unui sistem include următoarele etape:

a. modelarea fizică;

b. modelarea matematică;

c. investigarea modelului matematic;

d. validarea modelului.

Page 8: Mod Sim Curs

12 Modelare şi simulare

La nivelul modelării fizice se concepe un model al sistemului de analizat,

a cărui comportare se apropie suficient de mult de comportarea sistemului

real. Un asemenea model „ideal” este considerat model fizic al sistemului, care

se completează cu condiţiile la limită pentru reprezentarea interacţiunii dintre

sistem şi mediu [13,21,22].

Construirea modelului fizic necesită o serie de aproximări, respectiv:

- se neglijează efectele minore; aceasta simplifică calculele matematice prin

reducerea numărului variabilelor şi a numărului şi complexităţii ecuaţiilor de

mişcare;

- se presupune că mediul înconjurător sistemului nu este afectat de sistem;

- se înlocuiesc caracteristicile „distribuite” cu caracteristici „concentrate”

similare; elementele cu parametri distribuiţi se reprezintă prin ecuaţii

diferenţiale cu derivate parţiale care sunt dificil de integrat, în timp ce

elementele cu parametri concentraţi se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale

ordinare relativ simplu de integrat;

- se presupune că relaţiile cauză-efect dintre variabilele fizice sunt liniare;

sistemele neliniare pot fi aproximate prin sisteme liniare pentru variaţii mici în

jurul punctelor lor de lucru, rezultând o soluţie în formă închisă (relaţie liniară

între cauză şi efect);

- se presupune că parametrii fizici nu se modifică în timp, ecuaţiile de mişcare

fiind mai uşor de rezolvat;

- se neglijează incertitudinea privind valorile parametrilor, măsurătorile şi

factorii perturbatori ce afectează intrările şi ieşirile sistemului; în analiza

dinamicii se neglijează deseori zgomotele, iar procesul de analiză se

desfăşoară ca şi cum toate mărimile au valori precis cunoscute.

Modelarea matematică presupune dezvoltarea unui model potrivit

pentru reprezentarea modelului fizic, aceasta conducând la obţinerea

ecuaţiilor diferenţiale de mişcare.

Această etapă presupune:

- alegerea variabilelor de intrare, ieşire şi stare (tensiuni şi curenţi în

domeniul electric, poziţii şi viteze în domeniul mecanic, debite şi

Page 9: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 13

niveluri în domeniul hidraulic, temperaturi, presiuni, densităţi în

domeniul termic);

- specificarea ecuaţiilor de echilibru pentru forţe, momente, mase,

energie sau scrierea unor relaţii de compatibilitate ale sistemului

(curent - tensiune în domeniul electric, forţă - mişcare în domeniul

mecanic, forţă - câmp electromagnetic în domeniul electromecanic,

temperatură – presiune - energie în domeniul termodinamic);

- combinarea algebrică a relaţiilor într-un set compact de ecuaţii de

mişcare.

Modelele matematice astfel deduse se numesc modele teoretice.

Investigarea modelului matematic presupune studiul comportării

dinamice a modelului matematic prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de

mişcare, cunoscându-se condiţiile iniţiale, condiţiile la limită, valorile unor

parametri sau domeniul de variaţie a parametrilor, pentru care modelul este

valid. Se decide asupra metodei potrivite de rezolvare, prin:

- metode analitice;

- metode de aproximare analitică;

- metode de aproximare numerică.

Validarea modelului reprezintă un proces de dezvoltare a încrederii în

precizia modelului pentru un anumit domeniu. Validarea presupune

compararea soluţiilor modelului matematic cu procesul real. De regulă, testele

şi evaluările se fac până la atingerea unei anumite încrederi în validitatea

modelului pentru domeniul aplicaţiei.

I.3. Tipuri de modele

Modelele matematice pot fi grupate în clase, pe baza unor caracteristici

care se referă la descrierea realizată de model pentru comportarea corectă a

sistemului [3,12,13,15,16,20,22].

Page 10: Mod Sim Curs

14 Modelare şi simulare

a. Modele deterministe – modele stohastice

Un model este determinist dacă pentru fiecare semnal de intrare u(t)

există o singură valoare a semnalului de ieşire y(t), ceea ce înseamnă că

parametrii modelului sunt cunoscuţi cu exactitate.

Un model este stohastic în cazul în care conţine variabile aleatorii, care

posedă doar valori posibile şi probabilităţi asociate. Într-un model stohastic

pot fi mai multe valori posibile ale ieşirilor, fiecare având o anumită

probabilitate de apariţie, pentru acelaşi semnal de intrare.

În general, un model determinist se bazează pe ipoteza totalei

certitudini în cunoaşterea mărimilor, în timp ce un model stohastic permite

existenţa incertitudinilor în cunoaşterea mărimilor. Incertitudinile nu se referă

la încrederea în corectitudinea sau validitatea modelului, ci la maniera în care

pot fi cunoscute anumite mărimi.

b. Modele statice – modele dinamice

Un model este static dacă valorile semnalelor de ieşire la un moment

dat depind doar de valorile semnalelor de intrare la acel moment (model fără

memorie).

Într-un model dinamic, valorile semnalelor de ieşire depind şi de valorile

semnalelor de intrare din momente anterioare (model cu memorie).

În general, un model static furnizează o relaţie (relaţii) între valorile

instantanee al mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. Un model

dinamic furnizează o relaţie (relaţii) între valori instantanee şi valori anterioare

ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică.

Modelele statice sunt exprimate, în general, prin ecuaţii algebrice, de

forma:

uxgy , , (1.1)

iar modelele dinamice sunt exprimate prin ecuaţii diferenţiale, integrale sau

integro-diferenţiale, de forma:

tttgttttft

,,,,

uxyuxx , cu f, g – funcţii continue şi Rt (1.2)

respectiv, în timp discret:

Page 11: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 15

kkukxgkykkukxfkx

,,,,1 , cu Zk (1.3)

c. Modele liniare – modele neliniare

Un model liniar furnizează o relaţie (relaţii) de tip liniar între mărimile

utilizate pentru descrierea matematică. Un model neliniar furnizează o relaţie

(relaţii) de tip neliniar între mărimile utilizate pentru descrierea matematică.

Pentru un model liniar se poate aplica principiul superpoziţiei: răspunsul la

mai multe semnale aplicate la intrare poate fi obţinut prin însumarea

răspunsurilor pentru fiecare semnal aplicat separat.

Un sistem este liniar dacă răspunsul la semnalul de forma:

tuctuctu 2211 (1.4)

are forma:

tyctycty 2211 (1.5)

în care: 21 ,cc sunt constante.

Un model care nu satisface principiul superpoziţiei este neliniar.

d. Modele invariante în timp – modele variante în timp

Un model este cu parametri invariabili dacă relaţia dintre intrări şi ieşiri

nu depinde de timp. Într-un astfel de model, valoarea şi forma semnalului de

ieşire nu depind de momentul la care se aplică semnalul de intrare.

În general, un model invariant în timp furnizează o relaţie (relaţii) între

mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toţi coeficienţii au

valori constante în timp. Un model variant în timp (cu parametri variabili)

furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea

matematică, în care unul sau mai mulţi coeficienţi îşi modifică valoarea

dependent de timp.

În funcţie de dependenţa de timp a funcţiilor f şi g din modelul (1.2),

pentru modelul invariant este valabilă forma:

uxgguxff

,, (1.6)

iar pentru modelul variant este valabilă forma:

Page 12: Mod Sim Curs

16 Modelare şi simulare

uxtgguxtff

,,,, (1.7)

Un caz particular al modelului (1.2) este dat de forma liniarizată, care

descrie un model variant în timp:

tttttttttt

uDxCyuBxAx (1.8)

în care: x(t) este vectorul mărimilor de stare (în nR );

u(t) – vectorul mărimilor de intrare (în mR );

y(t) – vectorul mărimilor de ieşire (în pR );

A(t) – matricea coeficienţilor (n x n);

B(t) – matricea de comandă (n x m);

C(t) – matricea de ieşire (p x n);

D(t) – matricea de transfer (p x m).

Dacă matricele sunt invariante în timp, modelul devine (liniar) invariant

în timp, adică:

tttttt

DuCxyBuAxx (1.9)

Modelele cu parametri invariabili se caracterizează prin translatarea în

timp a semnalului de intrare, astfel: semnalul de intrare u(t) conduce la

semnalul de ieşire y(t); răspunsul la semnalul de intrare tu conduce la

semnalul de ieşire ty , pentru orice t şi .

e. Modele cu parametrii concentraţi – modele cu parametrii distribuiţi

Un sistem fizic este o colecţie de elemente interconectate. Când se

aplică o excitaţie la intrare, stimulul va ajunge la toate elementele simultan

sau va influenţa cu întârzieri elementele din sistem. Dacă excitaţia de la

intrare se propagă instantaneu în sistem, acesta se consideră cu parametrii

concentraţi. Un asemenea sistem poate fi descris printr-un număr finit de

variabile scalare, adică în fiecare punct al sistemului se materializează

proprietăţile regiunilor imediat înconjurătoare.

Page 13: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 17

În sistemele cu parametrii distribuiţi, excitaţia aplicată la intrare

afectează elementele sistemului după un timp diferit de zero, care depinde de

viteza de propagare a stimulului în sistem.

În general, un model cu parametrii concentraţi furnizează o relaţie

(relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toate

funcţiile utilizate depind de o singură variabilă independentă, care are

semnificaţie temporală. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul

ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale

ordinare. Un model cu parametrii distribuiţi furnizează o relaţie (relaţii) între

mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care cel puţin o parte din

funcţiile utilizate depind (pe lângă variabila independentă cu semnificaţie

temporală) de una sau mai multe variabile independente, de regulă cu

semnificaţie spaţială. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul

ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale sau a sistemelor de ecuaţii

diferenţiale cu derivate parţiale.

f. Modele continue – modele cu eşantionare

În general, se consideră că timpul este o cantitate continuă şi poate lua

orice valoare din mulţimea numerelor reale.

Modelele continue consideră timpul ca o variabilă independentă

continuă. Acestea sunt descrise de ecuaţii diferenţiale. Modelele cu

eşantionare sunt descrise de ecuaţii cu diferenţe finite şi semnalele asociate

se modifică doar la momente discrete de timp.

În specificarea tipului unui model matematic se pot folosi unul sau mai

mulţi termeni din perechile prezentate, respectiv se poate vorbi despre

modele statice liniare şi modele statice neliniare, modele dinamice liniare şi

modele dinamice neliniare, modele dinamice liniare invariante în timp şi

modele dinamice liniare variante în timp, etc.

***

Page 14: Mod Sim Curs

18 Modelare şi simulare

În ştiinţele tehnico-inginereşti, activitatea de modelare se bazează pe

modele cauzale, care descriu comportarea sistemului printr-o legătură între

cele două categorii de semnale prezentate:

- semnalele de intrare, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp

poate fi precizată analitic, întrucât sunt furnizate din exterior către

sistem;

- semnalele de ieşire, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp nu

este cunoscută analitic, deoarece sunt produse de sistem, ca rezultat al

stimulilor prezentaţi la intrare.

Un astfel de model permite determinarea dependenţei de timp a

semnalelor de ieşire fie prin calcul analitic, fie prin procedee numerice

(făcându-se apel la simularea într-un mediu software adecvat).

Conectarea mai multor modele cauzale asigură posibilitatea conceperii

unor structuri modulare complexe, cărora li se pot asocia reprezentări grafice

(scheme sau diagrame bloc).

În construcţia modelelor cauzale, compuse din blocuri cauzale, pot

interveni erori în atribuirea rolurilor de intrare, respectiv ieşire pentru anumite

semnale ce servesc conectărilor de blocuri. Asemenea erori provin, uzual, din

faptul că legile fizicii sunt, în general, descrieri sau modele acauzale, care

leagă relaţional două sau mai multe mărimi (semnale), fără nici o precizare

privind cauzalitatea.

O descriere acauzală se poate transforma într-un model cauzal, prin

asignarea semnificaţiilor de cauză şi efect pentru semnalele implicate în

respectiva descriere, trebuind să se ţină cont de bilanţul energetic care

asigură funcţionarea obiectului real.

În asemenea situaţii, universul exterior furnizează sistemului, în fiecare

moment, o anumită putere (energie/unitatea de timp), care poate fi exprimată

în toate domeniile fizicii, ca produs a două semnale pereche, astfel: în

electricitate – tensiune şi curent, în mecanica mişcării liniare – forţă şi viteză,

în mecanica mişcării de rotaţie – moment al cuplului şi viteză unghiulară, în

fluidică – presiune şi debit, în căldură – temperatură şi flux al entropiei.

Page 15: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 19

II. MODELE CAUZALE

Având drept bază transferul de energie, construcţia de modele poate fi

abordată riguros, în manieră cauzală [13,15,16,20,21,22].

Metoda porneşte de la descrierea transferului de putere dintre o sursă

ideală şi un sistem, iar apoi propagă cauzalitatea impusă de tipul sursei, din

aproape în aproape, pentru fiecare element component, ţinând seama de

principiul conservării energiei şi de specificul comportării elementelor

constitutive. Această specificitate comportamentală are tot fundament

energetic, respectiv modul în care se utilizează puterea (disipare, acumulare

sau transformare).

Ştiinţele inginereşti operează cu câteva tipuri de descrieri matematice

ale tranziţiei intrare-ieşire, acceptate drept standarde pentru activităţile de

analiză şi proiectare, respectiv: proporţional, integrativ, derivativ, modele

liniare de tip ecuaţie diferenţială, modele intrare-stare-ieşire, etc.

II.1. Modele de tip proporţional

Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru sistemele cu comportare

proporţională poate fi descrisă printr-un model matematic de tip ecuaţie

algebrică liniară de ordinul I, de forma:

0, ctcuty , (2.1)

unde: u(t) este mărimea cauză (intrare);

y(t) - mărimea efect (ieşire).

La orice moment de timp t valoarea instantanee a mărimii efect y(t)

poate fi determinată din valoarea instantanee a mărimii cauză u(t) prin

multiplicare cu factorul (coeficientul) de proporţionalitate 0c . Factorul de

proporţionalitate trebuie privit drept o constantă ce caracterizează funcţionarea

sistemului fizic modelat prin intermediul ecuaţiei (2.1). Unitatea de măsură prin

care se exprimă valoarea lui c este corelată cu unităţile de măsură ale

semnalelor u(t) şi y(t).

Page 16: Mod Sim Curs

20 Modelare şi simulare

Ecuaţia (2.1) poate fi privită sub forma implicită:

0,0 ctcuty , (2.2)

unde: u(t), y(t) sunt mărimi fizice ale căror valori instantanee sunt proporţionale

prin intermediul factorului c.

Una dintre aceste două mărimi este furnizată din exterior către sistem şi

reprezintă mărimea cauză, iar cealaltă este furnizată de sistem către exterior şi

reprezintă mărimea efect. În exprimarea implicită (2.2) nu se precizează mărimea

cauză, astfel că această ecuaţie constituie o formă acauzală a modelului de tip

proporţional.

Prin convenţie, modul de reprezentare folosit pentru ecuaţia (2.1.) este o

formă cauzală a modelului de tip proporţional şi semnifică faptul că semnalul din

membrul drept, u(t), este intrare, iar semnalul din membrul stâng, y(t), este ieşire.

Tot prin convenţie, notaţia u(t) desemnează, uzual, un semnal cauză, iar notaţia

y(t) desemnează, uzual, un semnal efect.

În cazul multor sisteme fizice forma acauzală dată de ecuaţia (2.2)

poate fi utilizată atât cu cauzalitate u y, cât şi cu cauzalitate y u.

Asemenea situaţii sunt specifice sistemelor care disipă energie, semnalele u(t)

şi y(t) fiind caracterizate prin faptul că produsul de forma tytu are

semnificaţie de putere.

II.2. Modele de tip integrator

Un număr mare de sisteme fizice, de naturi diferite sunt descrise prin

legi care evidenţiază legătura dintre o mărime fizică derivată şi o altă mărime

fizică nederivată. Interpretarea tranziţiei cauzale intrare-ieşire pentru o astfel

de lege se poate face apelând la modele de tip integrator (sau derivator).

Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip integrator este

descrisă de o ecuaţie diferenţială de forma:

0,0; 0

ayytutya , (2.3)

unde: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea (variabila, semnalul)

cauză (intrare);

Page 17: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 21

y(t) - mărimea efect (ieşire).

Denumirea "integrator" se datorează faptului că y(t) poate fi exprimat

drept:

010

yduatyt

(2.4)

Forma integrală (2.4) evidenţiază funcţionarea de tip acumulativ în

raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că integrarea utilizează toate

valorile semnalului u de pe întreg intervalul [0, t].

Aceasta poate fi utilizată şi în cazul mai general când u(t) este continuă

pe porţiuni (cu discontinuităţi de speţa întâi). Dacă u(t) este definită cu o

discontinuitate de speţa întâi în t1 prin:

tttutttu

tu12

11

,0,

, (2.5)

cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue, conform relaţiei (2.4), se poate scrie:

ttydudua

ttyduaty t t

t

t

10 21

0 11

,01

0,011

1

(2.6)

Acest exemplu poate fi formulat şi pentru ecuaţia (2.3), definind modelul

astfel:

- pentru 10 tt , modelul este: 01 0; yytutya

;

- pentru tt 1 , modelul este tytytutyatttt

1

1lim; 12

Condiţia finală de pe intervalul [0, t1), exprimată prin tytytttt

1

1lim1

devine condiţie iniţială pentru intervalul [t1, ).

Răspunsul y(t) al modelului de tip integrator la semnalul de intrare u(t)

exprimat prin relaţia (2.4) evidenţiază două componente şi anume:

- un termen depinzând numai de mărimea de intrare u(t) şi nedepinzând de

condiţia iniţială y(0), de forma:

t

f dua

ty0

1 , (2.7)

Page 18: Mod Sim Curs

22 Modelare şi simulare

care poartă denumirea de răspuns forţat (componenta de regim forţat) la

semnalul de intrare u(t);

- un termen depinzând numai de condiţia iniţială y(0) (fiind chiar identică cu

aceasta) şi nedepinzând de mărimea de intrare u(t), de forma:

0ytyl , (2.8)

care poartă denumirea de răspuns liber (componenta de regim liber).

Expresia (2.4) defineşte răspunsul complet al modelului de tip integrator,

care reprezintă o suprapunere a răspunsului forţat şi răspunsului liber:

tytyty lf . (2.9)

Observaţii:

- când se aplică un semnal de intrare neidentic nul ( 0tu ), pe anumite

intervale de timp, iar condiţia iniţială este nulă (y(0) = 0), se obţine un

răspuns forţat;

- când se aplică un semnal de intrare identic nul, pe întreg intervalul de

observaţie (u(t)= 0), iar condiţia iniţială este nenulă ( 00 y ), se obţine

un răspuns liber;

- experimental, dacă atât semnalul de intrare cât şi condiţia iniţială sunt

nenule, nu se poate identifica separat componenta de regim forţat şi

componenta de regim liber (se pot efectua, separat, experimente de

regim forţat, de regim liber şi de regim complet);

- în cazul integratorului, în regim liber (în absenţa semnalului de intrare),

semnalul de ieşire y(t) nu tinde să se anuleze, ci păstrează constantă

valoarea sa iniţială y(0).

II.3. Modele de tip derivator

Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip derivator este

descrisă de o ecuaţie liniară de forma:

0,

btucty , (2.10)

unde: u(t) este o funcţie netedă (cu derivata de ordinul I continuă),

reprezentând variabila cauză;

Page 19: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 23

y(t) - variabila efect.

Forma derivativă (2.10) pune în evidenţă funcţionarea de tip anticipativ

în raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că definiţia derivatei ca limită a

raportului incremental 000 /lim0

tttutututt

presupune cunoaşterea

valorilor lui u(t) şi la momente de timp caracterizate prin t > t0. Astfel, calculul

lui 0tu

face apel la valori ale semnalului u(t) care nu pot fi cunoscute la

momentul curent t0, decât dacă se acceptă ipoteza anticipării acestor valori.

Observaţii asupra modelelor de tip integrator şi derivator:

- un număr mare de legi din diverse domenii ale fizicii se exprimă în forma

implicită:

,0,0

ktgtvk (2.11)

unde: v(t), g(t) sunt mărimi dependente, ca evoluţie în timp, una de cealaltă;

una din cele două mărimi trebuie privită drept cauză, iar

cealaltă drept efect.

- în unele situaţii, modul de funcţionare al procesului fizic modelat, impune

mărimea cauză, respectiv mărimea efect; există situaţii când rămâne la

latitudinea modelatorului asignarea cauzalităţii, adică desemnarea variabilei

cu rol de cauză şi a celei cu rol de efect, respectiv:

- g(t) cauză şi v(t) efect, caz în care modelul este de tip integrator, cu

exprimarea de forma (2.3) sau (2.4) - cauzalitate de tip integral;

aceasta evidenţiază o funcţionare de tip acumulativ, care este în

concordanţă cu sensul fizic intuitiv;

- v(t) cauză şi g(t) efect, caz în care modelul este de tip derivator, cu

exprimarea de forma (2.10) - cauzalitate de tip derivativ; aceasta

evidenţiază un caracter anticipativ;

- ori de câte ori este posibil se preferă exprimarea în cauzalitate integrală,

pentru că impune mai puţine restricţii de factură matematică asupra mărimii

de intrare (funcţie continuă pe porţiuni), spre deosebire de exprimarea de tip

derivativ, care necesită ca mărimea de intrare să fie o funcţie netedă; de

asemenea, la simulare, calcularea mărimii de ieşire (prin metode

Page 20: Mod Sim Curs

24 Modelare şi simulare

aproximative, specifice analizei numerice) se realizează cu precizie mult mai

bună.

Exemplul 2.1.

Se consideră o rezistenţă electrică R [W], parcursă de un curent i(t) [A],

între ale cărei extremităţi există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V],

conform fig.2.1 [3,7,13].

Modelul de tip proporţional în forma acauzală este dat de legea lui Ohm

0 tRitu , din care se poate obţine forma cauzală rezistivă (rolul constantei

este jucat de o rezistenţă) tiRtu şi forma cauzală conductivă (rolul

constantei este jucat de o conductanţă) tuRti 1 .

Aceste exprimări cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de

furnizare a energiei electrice utilizate de rezistor. Forma cauzală rezistivă

presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de curent care

impune i(t) prin rezistor, iar u(t) rezultă la bornele rezistorului. Forma cauzală

conductivă presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de

tensiune care impune u(t) la bornele rezistorului, rezultând i(t) care parcurge

rezistorul.

Exemplul 2.2.

Se consideră un amortizor cu frecare vâscoasă, conform fig.2.2. Asupra

acestuia se exercită forţa F(t) [N], iar extremitatea sa liberă se deplasează cu

viteza v(t) [m/s]. Mişcarea extremităţii libere poate fi descrisă cu un model de

tip proporţional în forma acauzală 0 tvtF , unde [Ns/m] este

coeficientul de amortizare vâscoasă [12,13].

u(t) [V]

i(t) [A] R []

Fig.2.1. Rezistenţă electrică - model

proporţional

Page 21: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 25

Din exprimarea acauzală se poate obţine forma cauzală rezistivă

(constanta de proporţionalitate este coeficientul de amortizare vâscoasă)

tvtF şi forma cauzală conductivă (constanta de proporţionalitate este

inversul coeficientului de amortizare vâscoasă) tFtv 1 .

Aceste forme cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare

a energiei mecanice utilizate pentru deplasarea extremităţii libere a

amortizorului. Forma cauzală rezistivă presupune că energia este furnizată de

o sursă ideală de viteză care impune v(t) drept cauză, iar F(t) rezultă drept

efect. Forma cauzală conductivă presupune că energia este furnizată de o

sursă ideală de forţă care impune F(t) drept cauză, iar v(t) rezultă drept efect.

Exemplul 2.3.

Se consideră un condensator electric având capacitatea Ce [F], parcurs

de curentul i(t) [A], între ale cărui terminale există diferenţa de potenţial

(tensiunea) u(t) [V], conform fig.2.3 [3,13,21].

Modelul în exprimarea acauzală (2.11) este de forma 0

tituCe , din

care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), tituCe

, cu i(t) intrare,

i(t) [A] Ce [F]

u(t) [V] Fig.2.3. Condensator electric – model

integrativ / derivativ

F (t) [N]

v (t) [m/s]

[Ns/m]

A

Fig.2.2. Amortizor mecanic - model

proporţional

Page 22: Mod Sim Curs

26 Modelare şi simulare

u(t) ieşire şi modelul de tip derivator (2.10), tuCti e

, în care u(t) este

intrare, iar i(t) ieşire.

Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de la o

sursă ideală de curent, care impune i(t) prin condensator, iar u(t) rezultă între

terminalele condensatorului, de forma t

e

udiC

tu0

01 , care defineşte

răspunsul complet tututu lf . Acesta se obţine prin suprapunerea

răspunsului forţat t

ef di

Ctu

0

1 , (obţinut experimental cu acelaşi curent i(t)

şi condensatorul neîncărcat iniţial 00 u ), cu răspunsul liber 0utul ,

(obţinut experimental cu condensatorul încărcat cu aceeaşi tensiune iniţială

00 u şi curentul nul 0ti , pe întreg intervalul de observaţie).

Modelul de tip derivator presupune că energia este primită de la o sursă

ideală de tensiune care impune u(t), între terminalele condensatorului

rezultând i(t), de forma tuCti e

. Pe orice interval de timp se efectuează

observarea, tensiunea pe condensator va fi identică cu cea a sursei, u(t).

Exemplul 2.4.

Se consideră un punct material de masă m [kg], care se deplasează

liniar, fără frecare, conform fig.2.4. Deplasarea se caracterizează prin viteza

v(t) şi forţa F(t) [3,12,13].

Modelul în exprimare acauzală (2.11) este de forma 0

tFtvm ,

v(t) [m/s]F(t) [N]

m [kg]

Fig.2.4. Punct material în mişcare – model integrativ / derivativ

Page 23: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 27

din care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), tFtvm

, în care

F(t) este intrare, iar v(t) ieşire, respectiv modelul de tip derivator (2.10),

tvmtF

, în care v(t) este intrare, iar F(t) ieşire.

Exprimările cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a

energiei mecanice utilizate în deplasare. Modelul de tip integrator presupune

că energia este primită de la o sursă ideală de forţă, care impune forţa F(t), iar

v(t) rezultă ca viteză de deplasare. Modelul de tip derivator presupune că

energia este primită de la o sursă ideală de viteză, care impune viteza v(t),

rezultând forţa F(t).

II.4. Modele liniare de tip ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu

coeficienţi constanţi

Astfel de modele permit analiza detaliată a dinamicii unui sistem fizic,

atât sub raport calitativ (specificitatea comportării nedepinzând de valori

numerice concrete), cât si din punct de vedere cantitativ (descrierea evoluţiei

prin informaţii numerice cât mai precise, făcând apel şi la studii de simulare).

Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru un model de acest tip este definită

printr-o ecuaţie diferenţială de forma [3,13,15,20,21,22]:

000101 ,0,0, ytyaatutyatya

(2.12)

în care: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea cauză (intrare);

y(t) - mărimea efect (ieşire).

În cazuri practice, semnalul de intrare u(t) poate prezenta salturi de

amplitudine finită, acestea fiind, din punct de vedere matematic,

discontinuităţi de speţa întâi. Asemenea salturi nu sunt resimţite în semnalul

de ieşire y(t), datorită inerţiei manifestate de sistemul fizic, semnalul de ieşire

păstrând valoarea din momentul premergător saltului.

Conform acestei constatări experimentale, dacă u(t) este definită cu o

discontinuitate de speţa întâi în t1, printr-o relaţie de forma

Page 24: Mod Sim Curs

28 Modelare şi simulare

tttu

ttttutu

12

101

,,

, cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue pe intervalele considerate,

atunci y(t) este continuă la stânga în t1, adică tytytttt

1

1lim1

.

Cu discontinuitate de speţa întâi pentru u(t), pentru ),[ 0 tt , modelul

(2.12) are formele:

00101 , ytytutyatya

, pentru 10 ttt ; (2.12a)

tytytutyatyatttt

1

1lim, 1201

, pentru tt 1 . (2.12b)

În baza ipotezei de continuitate a semnalului y(t) în t1, condiţia finală de

pe intervalul [0, t1), exprimată prin tytytttt

1

1lim1

, devine condiţie iniţială pentru

intervalul [t1, ).

Pentru un semnal de intrare u(t) precizat şi o condiţie iniţială y(t0) = y0,

semnalul de ieşire este dat de soluţia problemei Cauchy, asociate ecuaţiei

diferenţiale (2.12):

)[,1,0

10

0

1

00

1

0

ttdua

etyetyt

t

taatt

aa

(2.13)

Din punct de vedere energetic, un model de forma (2.12) descrie, în

general, comportarea unui sistem fizic alcătuit dintr-un element care

acumulează energie (cu o comportare de tip integrator) şi un element care

disipă energie (cu o comportare de tip proporţional).

Elementul integrator nu îşi poate modifica energia acumulată prin salt şi

astfel se asigură condiţia de continuitate, presupusă pentru y(t).

Soluţia (2.13) a ecuaţiei diferenţiale (2.12), evidenţiază comportarea de

regim liber tyl a sistemului, determinată numai de condiţia iniţială y(t0) = y0,

considerând semnalul de intrare nul, respectiv comportarea de regim forţat

ty f , determinată numai de semnalul de intrare u(t), considerând condiţia

iniţială nulă, adică:

Page 25: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 29

),[, 00

01

0

tttyetytt

aa

l , (2.14)

)[,1,0

10

1

0

ttdua

etyt

t

taa

f

. (2.15)

Componenta yl(t) din (2.14) este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12), în

forma omogenă ( 0tu ), cu condiţia iniţială y0, ceea ce conduce la modelul de

regim liber:

000101 ,0,0,0 ytyaatyatya ll

(2.16)

Componenta yf (t) din din (2.15), este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12),

în forma neomogenă, cu condiţia iniţială nulă (y(t0) = 0), ceea ce conduce la

modelul de regim forţat:

0,0,0, 00101

tyaatutyatya ff (2.17)

Astfel, modelul iniţial (2.12) constituie un model complet al comportării

sistemului fizic, iar y(t) din (2.13) reprezintă răspunsul complet, care cuprinde

informaţiile referitoare la evoluţia liberă şi la evoluţia forţată.

Din punct de vedere practic, prezintă interes studiul dinamicii de regim

forţat pentru semnale de intrare de tip treaptă şi sinusoidal.

II.4.1. Dinamica de regim forţat

Răspunsul forţat la semnal treaptă

Se consideră semnalul de intrare:

),0[, tconstutu (2.18)

care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce la semnalul de ieşire:

),0[,11

00

1

0

tua

eua

tyt

aa

f (2.19)

Cu notaţia 0a

uys , se obţine comportarea asimptotică 0lim sft

yty ,

conform căreia ieşirea evoluează spre valoarea ys, care poartă denumirea de

valoarea de regim staţionar a răspunsului forţat şi care depinde de structura

sistemului prin intermediul a0, şi de amplitudinea semnalului de intrare u.

Page 26: Mod Sim Curs

30 Modelare şi simulare

Eroarea relativă ts , a „distanţei” curente sf yty faţă de „distanţa”

iniţială ssf yyy 0 , depinde de structura sistemului (caracterizată prin a1>0,

a0 > 0) şi de timpul curent t, conform expresiei [13]:

taa

s

sf

sf

sfs e

yyty

yy

ytyt 1

0

0

. (2.20)

Pentru un sistem dat prin a1 > 0, a0 > 0, se evaluează procentual

valoarea s(t), având în vedere că aceasta este strict descrescătoare în raport

cu t.

De exemplu, pentru t cu valorile: 01 /3 aats şi 014 aats se obţine

%510053 etss , respectiv %210024 etss . Impunând, deci, un

prag de precizie de 5% (respectiv 2%) din ecartul iniţial, sistemul ajunge în

regim staţionar după un timp finit )/(3 01 aats , respectiv )/(4 01 aats .

În intervalul de timp [0, ts) sistemul se află în regim tranzitoriu, semnalul

de ieşire yf (t) fiind suficient de îndepărtat de valoarea ys, către care tinde.

Se constată că dinamica sistemului este caracterizată de raportul

01 aaT [sec.], denumită constantă de timp a sistemului, cu ajutorul căruia

modelul (2.12) devine:

00,0,0, yyKTtKutytyT

, (2.21)

unde: 01 aK este factorul de amplificare, ce poate lua orice valoare pozitivă

(inclusiv subunitară).

Cu aceste notaţii, răspunsul forţat yf (t), din (2.19) are forma:

ueKty Ttf 1 (2.22)

Răspunsul forţat la semnal sinusoidal

Se consideră semnalul de intrare:

),0[,0,0,sin tAtAtu (2.23)

care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce semnalul de ieşire, dependent de structura

sistemului (a1 > 0, a0 > 0 sau echivalent T > 0, K > 0) şi de pulsaţia a

semnalului de intrare:

Page 27: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 31

t

aa

f eARtAMty 1

0

sin

(2.24)

în care: 1

12222

120

T

Kaa

M ;

Tarctgaaarctg

0

1 ; (2.24a)

12222

120

1

TKT

aaaR .

Cu notaţia tAMty p sin , se obţine comportarea

asimptotică: 0limlim 1

0

aa

tpfteARtyty , conform căreia ieşirea

evoluează către un regim permanent numit răspuns în regim permanent

sinusoidal yp(t), care:

- este un semnal sinusoidal de aceeaşi pulsaţie ca şi semnalul de

intrare;

- are amplitudinea dependentă de , prin intermediul coeficientului M();

- este defazat în urma semnalului de intrare cu un unghi dependent de ,

precizat de .

Structura sistemului, prin intermediul constantei de timp T, din (2.21),

furnizează informaţii privind durata regimului tranzitoriu necesar a fi traversat,

înaintea instalării regimului permanent.

Eroarea relativă a „distanţei” curente tyty pf , faţă de „distanţa” iniţială

ARyy pf 00 este dată de evoluţia în timp a raportului [13]:

Ttt

aaa

a

pf

pfp ee

AReAR

yy

tytyt

1

01

0

00 (2.25)

Eroarea p(t) este o funcţie strict descrescătoare în raport cu t, astfel că

se pot face estimări pentru durata regimului tranzitoriu, similar răspunsului la

semnal treaptă.

Page 28: Mod Sim Curs

32 Modelare şi simulare

Astfel, pentru t având valorile: Taat p 33

0

1 şi Taat p 44

0

1 , se obţin

valorile p(tp) = e–3 5%, respectiv p(tp) = e–4 2%.

Observaţii:

- după traversarea regimului tranzitoriu, în răspunsul de regim forţat se

regăsesc caracteristice esenţiale ale semnalului de intrare, şi anume:

- semnal constant ys, în cazul intrării treaptă (2.18);

- semnal sinusoidal yp(t), în cazul intrării sinusoidale (2.23);

- durata regimului tranzitoriu este dependentă de structura sistemului şi

constituie o măsură a inerţiei pe care o manifestă sistemul la părăsirea

condiţiei iniţiale nule y(0) = 0.

- atât yf (t), din (2.19) (pentru intrare treaptă), cât şi yf

(t), din (2.24) (pentru

intrare sinusoidală) pot fi scrise sub forma:

tytyty tpf (2.26)

în care: yp(t) este componenta permanentă a răspunsului forţat yf (t), având

expresia concretă yp(t) = ys = constant;

yt(t) - componenta tranzitorie a răspunsului forţat, cu proprietatea

0lim

tytt, care asigură comportarea asimptotică a regimului

forţat, indiferent de tipul semnalului de intrare (treaptă sau

sinusoidal).

II.4.2. Dinamica de regim liber

Dinamica de regim liber corespunde modelului (2.16), care se obţine din

modelul complet (2.12), pentru cazul particular al mărimii de intrare identic

nule, u(t) 0.

Evoluţia mărimii de ieşire y(t) este dată de relaţia (2.14), cu t0 = 0,

conducând la forma:

001

0

yeyety Ttt

aa

l

(2.27)

Relaţia (2.27) pune în evidenţă comportarea asimptotică, 0lim

tylt,

pentru orice y(0).

Page 29: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 33

Pentru sistemul considerat, y = 0 reprezintă un punct de echilibru

asimptotic stabil, în sensul că evoluţia liberă a sistemului, din orice condiţie

iniţială, se apropie asimptotic de punctul de echilibru (comportare valabilă

numai pentru restricţia a1 > 0, a0 > 0, impusă coeficienţilor ecuaţiei

diferenţiale (2.12)).

Eroarea relativă a „distanţei” curente tyl , faţă de „distanţa” iniţială

00 lyy , se defineşte în forma:

Ttt

aa

l

ll ee

yty

t

1

0

0 (2.28)

Astfel, pentru t de valoare, Taatl 33 01 , se obţine el (tl) 5%, iar

pentru t de valoare, Taatl 44 01 , se obţine el (tl) 2%.

Observaţie:

- din punct de vedere al observaţiei fizice, răspunsul liber "se stinge" după

un timp finit tl.

II.4.3. Răspunsul complet la semnale de intrare treaptă şi

sinusoidal

Indiferent de tipul semnalului de intrare, în baza relaţiilor (2.14), (2.15) şi

(2.26), răspunsul complet are expresia [13,15,16,19]:

tytytyty ptl , (2.29)

în care, 0lim

tyty tlt, asigură comportarea de tip asimptotic a răspunsului

complet 0lim

tyty pt.

Anularea sumei yl (t) + yt

(t) are loc exponenţial, cu eroarea relativă:

Ttt

aa

tl

tl

p

p eeyy

tytyyy

tytyt

1

0

0000 (2.30)

Observaţii:

- din punct de vedere practic, regimul permanent se instalează după un

interval finit de timp, dependent de structura sistemului, prin intermediul

constantei de timp T, din (2.21), astfel:

Page 30: Mod Sim Curs

34 Modelare şi simulare

- după 3T, dacă se consideră o eroare de 5% din „distanţa” iniţială

00 tl yy ;

- după 4T, dacă se consideră o eroare de 2% din „distanţa” iniţială

00 tl yy ;

- pentru semnal treaptă sata

ltl yetytyty 10 ;

- pentru semnal sinusoidal ARetytyty ataltl

10 .

Răspunsul complet în tratare operaţională se bazează pe transformata

Laplace.

Astfel, considerând momentul iniţial t0 = 0 şi aplicând transformarea

Laplace ecuaţiei (2.12), cu notaţiile tyLtyLaplacesY ,

tuLtuLaplacesU , se obţine forma algebrică:

sUsYayssYa 01 0 . (2.31)

Expresia algebrică pentru Y(s) în funcţie de y(0) şi U(s) este:

sUasa

yasa

asY0101

1 10

(2.32)

sau, echivalent, în baza notaţiilor din (2.21):

sUTs

KyTs

TsY1

01

(2.33)

Prima componentă din relaţiile (2.32), (2.33) reprezintă răspunsul liber

(2.14) cu t0 = 0, adică:

00 10

01

1 yeLyasa

asY ata

l (2.34)

sau

001

yeLyTs

TsY Tt

l

(2.35)

A doua componentă din relaţiile (2.32), (2.33), reprezintă răspunsul

forţat (2.15) cu t0 = 0, adică:

t a

ta

f dua

eLsUasa

asY0

101

1 11

0

(2.36)

sau

Page 31: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 35

tT

t

f dKueLsUTs

KsY01

. (2.37)

Observaţii:

- abordarea operaţională este echivalentă cu tratarea în domeniul timp şi se

utilizează frecvent pentru că:

- pune în evidenţă dependenţa răspunsului complet de condiţia iniţială

y(0), de semnalul de intrare U(s) şi de structura sistemului, descrisă prin

funcţiile raţionale, ,101

1

TsT

asaa respectiv

11

01

TsK

asa;

- în cazul unei mărimi de intrare a cărei dependenţă de timp este descrisă

analitic printr-o funcţie u(t) mai complicată, calculul lui y(t) este uşor de

realizat folosind tabelele de transformate Laplace, conform algoritmului:

tysYsUtuLaplaceLaplace 1

.

Exemplul 2.5.

Se consideră un sistem mecanic alcătuit dintr-un resort cu constanta de

elasticitate ke, conectat în paralel cu un amortizor cu frecare vâscoasă, având

coeficientul , conform fig.2.5 [5,12,13].

În punctul A se aplică o forţă F(t), care se modifică în timp după o lege

precizată. Sub acţiunea lui F(t), punctul A îşi modifică poziţia x(t), măsurată

în raport cu punctul fix O (care corespunde situaţiei când arcul nu este

tensionat 0tF şi resortul este nedeformat). Sensul pozitiv al axei Ox este

dat de alungirea resortului, corespunzând săgeţii asociate lui F(t).

ke

x(t)O x

A F (t)

Fig.2.5. Sistemul mecanic – model de

tip ecuaţie diferenţială

Page 32: Mod Sim Curs

36 Modelare şi simulare

Construirea unui model cauzal având intrarea forţa F(t) şi ieşirea

deplasarea x(t), se bazează pe egalitatea de forţe:

),[, 0 tttFtFtF ar ,

în care: txktF er este forţa elastică corespunzătoare deformării resortului;

txtvtFa

- forţa elastică corespunzătoare amortizorului.

Ecuaţia diferenţială:

00, xtxtFtxktx e

,

este de forma (2.12), condiţia iniţială x0 având semnificaţia poziţiei punctului A

în momentul t0.

Conform expresiei analitice (2.13), soluţia ecuaţiei diferenţiale, respectiv

deplasarea punctului A în raport cu timpul, are forma:

),[,100

0

0

ttdFetxetxt

t

tkttk ee

,

care evidenţiază rolul parametrilor fizici ai sistemului mecanic (constantele de

material ke şi ), deplasarea iniţiala a punctului A, (x(t0)) şi forţa ce acţionează

asupra punctului A, (F(t)).

Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul este deformat şi 00 tx

(ca urmare a unui experiment premergător momentului t0) şi că, începând cu

momentul t0, asupra punctului A nu se mai aplică nici o forţă (adică 0tF

pentru ),[ 0 tt ), comportarea de regim liber a sistemului mecanic, poate fi

modelată printr-o ecuaţie diferenţială omogenă de forma (2.16):

0,0 00

xtxtxktx llel

cu soluţia de forma (2.14):

),[, 00

0

ttxetxttk

l

e

,

care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A din x0 către 0.

Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul nu este deformat

( 00 tx ) şi că începând cu momentul t0 asupra punctului A se aplică o forţă

F(t) care nu este identic nulă pe intervalul ),[ 0 tt , comportarea de regim

Page 33: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 37

forţat a sistemului mecanic, poate fi modelată printr-o ecuaţie diferenţială

neomogenă de forma (2.17):

0,

txtFtxktx ffef

cu soluţia de forma (2.15):

),[,10

/

0

ttdFetxt

t

tkf

e

,

care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A, pornind din 0, sub

influenţa forţei F(t).

Răspunsul forţat la semnal treaptă

Se presupune că, pentru deplasarea iniţială nulă x(0) = 0, asupra

punctului A se aplică o forţă constantă NFtF 10 . Considerând valorile

parametrilor: ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, constanta de timp T, respectiv

factorul de amplificare K, din (2.21) au valorile: sk

Te

10 şi Nmm

kK

e

/11 .

Evoluţia deplasării punctului A, în funcţie de timp, este dată de expresia

(2.22), mmetx tf

10110 , cu reprezentarea din fig.2.6.

Fig.2.6. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat

Pentru o eroare de 5%, durata regimului tranzitoriu este ts5% = 3T = 30

sec., iar pentru o eroare de 2%, durata regimului tranzitoriu este ts2% = 4T = 40

sec. Valoarea de regim staţionar a deplasării punctului A este mmKFys 10 .

Page 34: Mod Sim Curs

38 Modelare şi simulare

Determinarea expresiei analitice a deplasării xf (t), permite exprimarea

vitezei punctului A în funcţie de timp, smmetvt

/10 (fig.2.7).

Expresia analitică a forţei elastice corespunzătoare deformării resortului,

NetvtF tr

1010 , respectiv expresia analitică a forţei de frecare

corespunzătoare amortizorului, NetxktFt

ea

10110 , conduc la

reprezentările din fig.2.8., pe acelaşi interval de timp.

Fig.2.7. Evoluţia în timp a vitezei pentru regimul forţat

Fig.2.8. Evoluţia în timp a forţei elastice (linie continuă) şi a forţei de frecare (linie

întreruptă) pentru regimul forţat Observaţii:

- iniţial, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a învinge frecarea din

amortizor, resortul fiind nedeformat şi forţa elastică fiind nulă;

- în regim staţionar, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a menţine

constantă alungirea resortului, punctul A fiind în repaus şi forţa de

frecare fiind nulă;

- pe întreaga durată a regimului tranzitoriu forţa elastică este crescătoare

în timp (resortul se alungeşte de la 0 la 10 mm), iar forţa de frecare

scade (viteza scade de la 1 mm/s la 0).

Considerând aceleaşi valori numerice, ke = 1 N/mm şi NFtF 10 , iar

pentru coeficientul de amortizare o nouă valoare, 51 Ns/mm, (jumătate din

Page 35: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 39

valoarea anterioară), constanta de timp a sistemului se înjumătăţeşte, adică:

sk

Te

5151

1 .

Drept consecinţă, durata regimului tranzitoriu (evaluată pentru o eroare

de 5% sau 2%) se reduce la jumătate din durata determinată în situaţia

anterioară (fig.2.9).

Fig.2.9. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat Valoarea de regim staţionar pentru deplasarea punctului A rămâne

nemodificată.

Considerând valorile numerice ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/m, respectiv forţa

constantă ce acţionează din exterior, NF 101 (egală şi de sens contrar celei

din situaţia anterioară), resortul se va comprima, deplasarea punctului A în

regim staţionar fiind de 10mm (egală dar în sens contrar celei din situaţia

anterioară, fig.2.10).

Dacă pentru forţa ce acţionează din exterior se consideră valoarea

F2 = 20N (de doua ori mai mare), în regim staţionar, deplasarea punctului A va

fi de 20mm (de trei ori mai mare). În ambele cazuri, durata regimului

tranzitoriu rămâne aceeaşi, deoarece constanta de timp a rămas aceeaşi.

Page 36: Mod Sim Curs

40 Modelare şi simulare

a)

b)

Fig.2.10. Evoluţia în timp a deplasării pentru două regimuri forţate diferite: (a) NF 101 ; (b) NF 202

Răspunsul forţat la semnal sinusoidal

Se consideră sistemul mecanic cu aceleaşi valori numerice pentru

parametri, adică ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm. Pentru deplasarea iniţială nulă

x(0) = 0, asupra punctului A se aplică o forţă care variază în timp într-o formă

sinusoidală, ttF10

sin10 [N] (fig.2.11a).

a)

b)

Fig.2.11. Comportarea în regim forţat sinusoidal: a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi

componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)

Page 37: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 41

Evoluţia deplasării punctului A în funcţie de timp este dată de expresia

(2.24), 1022 1

1010

sin1

10 t

f earctgttx

, (fig.2.11b, linia continuă), iar

componenta de regim permanent sinusoidal are forma:

arctgttx p 10

sin1

102

, către care evoluează răspunsul forţat.

Instalarea regimului permanent, cu o eroare de 5%, se realizează în

sec3033%5 e

p kTt ., iar cu 2%, în sec4044%2

ep k

Tt .

Considerând aceeaşi valoare numerică ke = 1 N/mm şi aceeaşi expresie

ttF10

sin10 , iar pentru coeficientul de frecare vâscoasă a amortizorului

jumătate din valoarea sa anterioară, adică mmNS /51 , durata regimului

tranzitoriu scade la jumătate, (fig.2.12, linia continuă-mărimea de ieşire xf (t),

linia întreruptă-componenta de regim permanent sinusoidal xp(t) către care

tinde ieşirea după expirarea regimului tranzitoriu).

Fig.2.12. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat sinusoidal Constanta de timp afectează regimul permanent sinusoidal astfel:

- raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea

regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din

(2.24), 1101 2 mm/N;

Page 38: Mod Sim Curs

42 Modelare şi simulare

- defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent

şi semnalul de intrare F(t) este, conform (2.24), 05712 radarctg .

Considerând aceleaşi valori numerice ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, iar

pentru forţa ce acţionează din exterior ttF20

sin101

N, înjumătăţirea valorii

pulsaţiei, faţă de situaţia anterioară, are următoarele efecte asupra

elementelor caracteristice regimului permanent sinusoidal (fig.2.13):

- raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea

regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din

(2.24),

1101 2 mm/N;

- defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului

permanent şi semnalul de intrare F(t) este, din (2.24),

05712 radarctg .

a)

b)

Fig.2.13. Comportarea în regim forţat sinusoidal: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi

componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)

Regimul tranzitoriu (evaluat pentru o eroare de 5% sau 2%) are aceeaşi

durată ca în situaţia anterioară.

Page 39: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 43

Dinamica de regim liber

Pentru aceleaşi valori numerice ale parametrilor, ke = 1 N/mm şi = 10

Ns/mm, dacă punctul A posedă o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, revenirea lui

la valoarea 0, în absenţa oricărei forţe externe, este descrisă, conform (2.27),

de relaţia Ttl etx 3 mm.

Pentru o eroare relativă de 5%, regimul liber poate fi considerat încheiat,

conform (2.28), după sec303%5 Ttl ., iar pentru o eroare relativă de 2%,

regimul liber poate fi considerat încheiat după sec404%2 Ttl .

Dacă se consideră o valoare dublă pentru constanta elastică a resortului

(ke = 2 N/mm), constanta de timp T se va înjumătăţi, iar durata regimului liber,

evaluată pentru o eroare relativă de 5% sau 2%, se va reduce la jumătate

(fig.2.14).

Fig. 2.14. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul liber al sistemului, cu două valori diferite pentru constanta de elasticitate

Răspunsul complet

Se consideră valorile parametrilor ke = 1 N/mm, = 10 Ns/mm şi poziţia

iniţială a punctului A este x(0) = 3 mm, respectiv semnalul de intrare F(t):

Page 40: Mod Sim Curs

44 Modelare şi simulare

,]200,160[;0,)160,140[;15,)140,100[;12,)100,80[;7

,)80,40[;4,)40,0[;10

ststNstNstN

stNstN

tF

În fig.2.15a se prezintă evoluţia în timp a forţei F(t), pentru intervalul de

timp [0, 200] sec., iar în fig.2.15b se prezintă modul în care se modifică poziţia

punctului A (răspunsul complet al sistemului).

a)

b)

Fig.2.15. Răspunsul complet al sistemului: (a) evoluţia în timp a forţei aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă)

Pentru o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, considerând că asupra

punctului A se aplică o forţă ce variază în timp într-o formă sinusoidală

ttF 10sin10 N, cu ke = 1 N/mm şi = 10 Ns/mm, se obţine expresia:

20,10

xtFtxtx .

Transformarea 22 1010sin10

s

tL conduce la:

22 10

01010

ssXxssX ,

respectiv, 22 10110

1110

103

ssssX .

Page 41: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 45

Prin utilizarea transformării Laplace inverse, se obţine:

arctgtarctgteetx tt sin

10coscos

10sin

110

1103

2

102

10

în care primul termen este componenta de regim liber, al doilea termen este

componenta de regim tranzitoriu şi al treilea termen este componenta de

regim permanent (fig.2.16).

a)

b)

Fig.2.16. Răspunsul complet: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultate ca ieşire (linie continuă) şi componenta de regim

permanent sinusoidal (linie întreruptă). Pentru deplasarea iniţială 00 fx , aplicând transformarea Laplace

ecuaţiei diferenţiale ,00,10

fff xtFtxtx rezultă funcţia de transfer

asociată sistemului mecanic, de forma: 110

1

stFL

txLsH f .

II.5. Modele liniare de tip intrare-stare-ieşire

O descriere matematică de acest gen operează cu trei tipuri de

variabile: de intrare, de stare şi de ieşire, reprezentarea oferind un cadru

teoretic general pentru construirea modelelor prin aplicarea legilor fizice care

descriu funcţionarea proceselor [3,5,13,15,16,18,20,21,22].

Modelele astfel obţinute permit analiza detaliată a dinamicii proceselor,

ca rezultat (efect) atât al condiţiilor iniţiale, cât şi al semnalelor de intrare. Sub

Page 42: Mod Sim Curs

46 Modelare şi simulare

acţiunea unor clase de semnale, procesele fizice evidenţiază instalarea

regimurilor permanente, când variabilele de stare şi de ieşire reproduc

trăsăturile fundamentale ale variabilei de intrare.

Starea 0tx a unui sistem dinamic, la momentul 0t al observaţiei,

reprezintă „memoria” sistemului, adică rezultatul stocat al evoluţiei sale în

intervalul 0, tt .

Observaţie:

- se admite că starea iniţială 0tx şi mărimea de comandă u(t), 0tt ,

determină mărimea de ieşire y(t) şi toate stările x(t), 0tt .

II.5.1. Tranziţia cauzală intrare-stare-ieşire Modele intrare-stare-ieşire de ordinul doi

Definirea unui astfel de model se bazează pe un sistem de două ecuaţii

diferenţiale liniare, de ordinul I, de forma:

202101

22221212

12121111

0,0 xxxxtubtxatxatx

tubtxatxatx

(2.38)

sau în forma echivalentă:

20

10

2

1

2

1

2

1

2221

1211

2

1

00

,xx

xx

tubb

txtx

aaaa

tx

tx, (2.39)

unde: u(t) reprezintă semnalul de intrare;

x1(t), x2(t) - semnalele de stare ale sistemului, cu valorile x1(0) = x10 şi

x2(0) = x20, condiţii iniţiale impuse.

Variabila de ieşire se defineşte ca o combinaţie liniară a variabilelor de

stare şi intrare:

,2211 tdutxctxcty (2.40)

sau în forma echivalentă:

tdutxtx

ccty

2

121 . (2.41)

Page 43: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 47

Observaţii:

- în general, un model de forma (2.38), (2.40) descrie comportarea unui sistem

fizic alcătuit din :

- două elemente care acumulează energie, cărora li se asociază

variabilele de stare x1(t), x2(t), alese astfel încât să asigure

funcţionarea în cauzalitate integrală;

- unul sau mai multe elemente care disipă energie.

- variabilele de stare x1(t) şi x2(t) au semnificaţia de mărimi efect în raport cu

mărimea cauză u(t);

- din punct de vedere al observării fizice directe (măsurare, înregistrare) pot

exista situaţii în care nu prezintă interes, ca efect, variabilele de stare x1(t)

sau x2(t), ci mărimi exprimabile din variabilele de stare, cu ajutorul unor relaţii

statice (sau instantanee);

- în particular, dacă c1 = 1, c2 = 0, d = 0 sau c1 = 0, c2 = 1, d = 0, variabila de

ieşire coincide cu una din variabilele de stare.

Modele intrare–stare–ieşire de ordinul n

În cazul sistemelor fizice care conţin n elemente acumulatoare de

energie, conectate în cauzalitate integrală, modelul (2.38), (2.40) sau (2.39),

(2.41) se generalizează sub forma vectorial – matriceală (1.8), care

evidenţiază ecuaţia de stare şi ecuaţia de ieşire:

;0; 0xxbAxx

tutt (2.42)

tdutt T xcy . (2.43)

în care: u(t), y(t):R+R reprezintă semnalele de intrare şi ieşire.

nt RRx : - vectorul variabilelor de stare (vector de stare) şi colectează cele n variabile de stare;

n

nx

xRx

0

10

...0 - vector coloană (vector al condiţiilor iniţiale);

Page 44: Mod Sim Curs

48 Modelare şi simulare

nnn

n

aa

aa

............

...

1

111

A - matrice pătrată, de ordin n;

11

...

n

nb

bRb - vector coloană de dimensiune n;

nn

T cc 11 ... Rc - vector linie de dimensiune n;

Rd - constantă;

Pentru variabila de intrare u(t) se impune condiţia (firească pentru

practică) de a fi continuă pe porţiuni, cu discontinuităţi de speţa întâi.

II.5.2. Răspunsul liber, răspunsul forţat şi răspunsul complet

Exprimarea analitică a mărimii de stare x(t) se obţine ca soluţie a ecuaţiei

omogene cumulată cu soluţia ecuaţiei neomogene.

Astfel, cu starea iniţială 0tx şi intrarea 0tu , pentru ecuaţia omogenă

este valabilă expresia:

ttt xAx

(2.44)

cu soluţia:

00, txtttx (2.45)

în care: 00, ttAett reprezintă matricea fundamentală.

Considerând ecuaţia neomogenă în forma (2.42), cu x(t) de forma (2.45),

se presupune că soluţia generală se poate pune în forma:

tttt Gx 0, (2.46)

cu G(t), o funcţie care se determină, după algoritmul Lagrange, astfel:

- din derivarea relaţiei (2.46) se obţine: tGtttGtttx

00 ,, , în care

tx

are forma (2.42);

Page 45: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 49

- se consideră proprietăţile: A

şi tttt ,, 001 , ale matricei

fundamentale, cu care, după înlocuire, se obţine: tGtttutb

0, ,

respectiv: tutbtttutbtttG

,, 001 [5];

- se calculează: t

tdubttGtG

0,00 , în care

000000 , tGtGItGtttx şi t

tdubttxtG

0,00 ;

- după înlocuire în (2.46) şi considerarea proprietăţii ,,, 00 tttt , a

matricei fundamentale, se obţine:

t

t

t

tdubttxttdubttttxtttx

00,,,,, 000000 ;

Pentru sistemele invariante se consideră: 00 t , respectiv

tttt 0,, 0 , rezultând:

0xx Atet . (2.47)

Expresia analitică a mărimii de stare x(t) se realizează pornind de la

soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale (2.42), considerând algoritmul Lagrange

şi relaţia (2.47), rezultând:

dueett tt bxx AA

00 (2.48)

Pentru determinarea analitică a vectorului de stare tx , conform (2.48),

matricea fundamentală teA se poate calcula cu formula Lagrange-Sylvester, cu

transformata Laplace inversă sau prin dezvoltare în serie de puteri [3,5,13,21].

În baza relaţiei (2.48), vectorul de stare x(t) evidenţiază componenta

liberă a stării, respectiv componenta forţată a stării:

ttt fl xxx , (2.49)

0xx Atl et (2.50)

duett t

f bx A 0

. (2.51)

Observaţii:

- relaţia (2.42) constituie un model complet al comportării sistemului;

- x(t) din (2.48) reprezintă răspunsul complet pe stare.

Page 46: Mod Sim Curs

50 Modelare şi simulare

Ecuaţia ieşirii (2.43) permite o descompunere care evidenţiază

componenta liberă a ieşirii y(t) şi componenta forţată a ieşirii y(t), în forma:

tytyty fl , (2.52)

0xetty tTl

Tl

Acxc (2.53)

tduduetduttyttT

fT

f

bcxcA

0. (2.54)

Dinamica de regim liber

Relaţia (2.50), împreună cu condiţia: nii ,...,1,0Re (cele n valori

proprii ale matricei A să aibă partea reală negativă) evidenţiază o comportare

de tip asimptotic, pentru nR 0x :

00limlim

xx At

tltet (2.55)

respectiv, din (2.43):

00limlim

xc AtT

tltety (2.56)

La nivel calitativ, valorile proprii ale matricei A pot da unele indicaţii cu

privire la natura răspunsului liber pe stare şi ieşire, respectiv:

- dacă toate valorile proprii sunt reale (negative) răspunsul liber pe stare

şi ieşire va fi aperiodic;

- dacă există valorile proprii complex conjugate, atunci unele componente

(nu neapărat toate) ale vectorului de stare xl(t) şi eventual (nu neapărat)

ieşirea yl(t), vor prezenta o comportare oscilant amortizată; frecvenţa

acestor oscilaţii este dictată de părţile imaginare, kIm ale valorilor

proprii k complex conjugate.

Presupunând că matricea A posedă nr valori proprii distincte, notate

rijj ,...,, de multiplicitate rijn j ,...,, , cu nnn r ...1 , exponenţiala

matriceală eAt poate fi scrisă sub forma:

r

j

tj

t jete1

MA , (2.57)

unde Mj(t) sunt matrice de polinoame în variabila t, de forma:

Page 47: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 51

)!1()!2(

...12

11

j

njn

j

njn

jj n

tntt

j

j

j

jMMMM , rjj

n j,...,1,0 M (2.58)

Observaţii:

- originea spaţiului Rn, x = 0, reprezintă un punct de echilibru asimptotic

stabil pentru sistemul considerat, în sensul că evoluţia liberă a

sistemului din orice stare iniţială x(0) se apropie asimptotic de punctul

de echilibru;

- în termeni calitativi (din 2.57), “apropierea” lui xl(t) de x = 0 (“stingerea”

regimului liber) are loc cu atât mai repede, cu cât valorile proprii ale

matricei A sunt situate mai la stânga în semiplanul complex negativ;

- din punct de vedere practic, există un moment finit de timp, tl, după care

componentele vectorului de stare în regim liber xl(t) sunt neglijabile ca

amplitudine; ca urmare, pentru valori ale timpului mai mari ca tl, se

consideră: 0,:0 lllll ytytttt , adică ieşirea în regim liber yl(t)

se anulează, în raport cu precizia observaţiei ( tl se exprimă, uzual, în

procente).

În general, prezenţa oscilaţiilor amortizate se datorează existenţei, în

sistemul fizic, a cel puţin două elemente care acumulează energia în forme

complementare (cinetică – potenţială, electrică – magnetică). O asemenea

structură fizică permite transferul de energie între elementele respective, în

condiţiile când elementele rezistive din sistem manifestă o disipare redusă. În

condiţiile în care elementele rezistive manifestă o disipare puternică, evoluţia

liberă se realizează aperiodic, indiferent de modul de acumulare a energiei de

către elementele sistemului.

Dinamica de regim forţat pentru semnale de intrare standard

Dinamica de regim forţat corespunde modelului (2.51), obţinut din

(2.42), pentru cazul particular al condiţiilor iniţiale nule.

Din punct de vedere practic, prezintă interes studierea comportării

datorate unor semnale de intrare “standard” şi anume:

- semnale polinomiale de forma:

Page 48: Mod Sim Curs

52 Modelare şi simulare

1,!1

1

mtmttu

m

, (2.59)

care includ: - semnalul treaptă, pentru m = 1;

- semnalul rampă, pentru m = 2;

- semnale sinusoidale de forma:

0,00,1

,sintt

ttttu (2.60)

Pentru răspunsul forţat al stării, în exprimare vectorială, se pune în

evidenţă comportarea de tip asimptotic:

,0lim

tt pftxx (2.61)

în care:

TpnppT

fnff txtxttxtxt ...;... 11 xx . (2.62)

cu notaţia: xpi(t) reprezentând componenta permanentă a răspunsului forţat al

stării i, i = 1, …, n.

Pentru răspunsul forţat al ieşirii sistemului, yf (t), variabila de ieşire are

forma:

tytyty tpf , (2.63)

unde: yp(t) reprezintă componenta permanentă;

yt(t) - componenta tranzitorie.

Componenta tranzitorie are proprietatea:

,0lim

tytt (2.64)

respectiv:

,0lim

tyty pft (2.65)

Observaţii:

- în cazul unui semnal de intrare treaptă, u(t), (m = 1 în relaţia (2.59)),

componentele permanente ale stării xpi(t), i = 1,…,n şi componenta

permanentă a ieşirii yp(t) sunt funcţii constante; din acest motiv se

utilizează şi denumirea de valori staţionare (valori de regim staţionar);

Page 49: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 53

- regimul staţionar trebuie privit drept un caz particular de regim permanent,

corespunzând situaţiei (frecvent întâlnite în practică) când semnalul de

intrare este constant în timp.

Pentru tratarea operaţională a transferului intrare-stare-ieşire se aplică

transformarea Laplace ecuaţiei intrare–stare (2.42), particularizată pentru

cazul răspunsului forţat, şi se obţine:

sUssUssf QbAIX 1 (2.66)

unde: tuLsUtLs ff ,xX ,

bAIQ 1

1

...

s

sQ

sQs

n

- funcţie vectorială ale cărei componente Qi(s),

i = 1,…, n sunt funcţii raţionale strict proprii (gradul numărătorului

este strict mai mic decât gradul numitorului), având drept numitor

polinomul caracteristic al matricei A, adică:

AI ss det . (2.67)

Prin aplicarea transformării Laplace ecuaţiei ieşirii (2.43) şi pe baza

relaţiei (2.66), se obţine:

sUsHsdUsUssdUssY Tf

Tf bAIcXc 1 (2.68)

unde: tyLsY ff .

Funcţia H(s) definită prin:

dssH T bAIc 1 (2.69)

se numeşte funcţie de transfer, şi descrie, prin metoda operaţională,

transferul în regim forţat de la imaginea semnalului de intrare U(s), la

imaginea semnalului de ieşire Yf (s).

Exemplul 2.6.

Se consideră un circuit electric RLC serie, alcătuit dintr-un rezistor (cu

rezistenţă Re), o bobină (cu inductanţa L) şi un condensator (cu capacitatea

Ce), conectate în serie, conform fig.2.17. Tensiunea e(t) furnizată de sursă

constituie mărimea de intrare şi se modifică în timp, după o lege precizată.

Page 50: Mod Sim Curs

54 Modelare şi simulare

Elementele circuitului sunt conectate în serie, astfel că: tititi CLR .

Conform legii lui Kirchoff, relaţia pentru tensiuni are forma:

tututute CLR , din care se scrie tensiunea pe bobină (considerând şi

legea lui Ohm): tutiRtetututetu CLeCRL [13,21,22].

Ca variabile de stare se consideră (după legile Henry şi Faraday):

- curentul prin bobină iL(t): LoLLL iitu

Ldtdi

0,1 ;

- tensiunea pe condensator uc(t): tiCdt

duC

e

c 1 ,

00 CC uu .

După înlocuire, sistemul de două ecuaţii diferenţiale liniare, neomogene

are forma:

tiCdt

du

tuL

tiLRte

Ldtdi

Le

C

CLeL

1

11

Ecuaţia vectorial-matriceală de stare (2.42), particularizată pentru

circuitul RLC serie, are forma:

teLtuti

C

LLR

tu

tiC

L

e

e

C

L

0

1

01

1

,

Co

Lo

C

L

ui

ui

00

Observaţie:

- dacă, de ex., inductanţa bobinei nu este constantă, ci variază în timp, după o

expresie de forma taL , cu a > 0 (constantă), legea care descrie

funcţionarea bobinei ca acumulator de energie, este de forma tudt

dL

L ,

unde titatLit LL reprezintă fluxul magnetic; astfel, explicitând

uC(t)

iL(t)

e(t) uR(t) uL(t)

Re L

Ce

Fig.2.17. Circuitul electric RLC serie

Page 51: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 55

uL(t) în funcţie de variabilele de stare uC(t), iL(t), şi mărimea de intrare e(t), se

obţine:

tutiRtedtditati cLe

LL , sau te

tati

taRtu

tadtdi

Le

cL

111 ,

adică o reprezentare intrare-stare-ieşire variantă în timp.

Rolul mărimii de ieşire poate fi îndeplinit de oricare din semnalele

(variabilele) ce apar în descrierea funcţionării circuitului, mai puţin e(t) (care se

presupune a fi cunoscută). Astfel, ecuaţia ieşirii, având forma generală (2.41),

se poate particulariza conform următoarelor cazuri:

a) dacă se consideră drept mărime de ieşire curentul prin bobină

(echivalent curentului furnizat de sursa circuitului serie), atunci ecuaţia (2.43)

devine:

tuti

titC

LL 01y , rezultând deci: 0,01 dC (semnalul de

ieşire coincide cu prima variabilă de stare);

b) dacă se consideră drept mărimi de ieşire atât curentul tiL cât şi

tensiunea tuC , se obţine:

tetuti

tuti

tC

L

C

L

00

1001

y ;

c) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe condensator,

atunci ecuaţia (2.43) devine:

tuti

tutC

LC 10y , situaţie în care semnalul

de ieşire coincide cu a doua variabilă de stare;

d) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe rezistenţă,

atunci ecuaţia (2.43) devine:

tuti

RtutC

LeR 0y , în care tiRtu LeR ;

e) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe bobină, atunci

ecuaţia (2.43) devine: tetuti

RtutC

LeL

1y , relaţie care respectă

exprimarea: tututetu CRL ;

f) dacă se consideră drept mărimi de ieşire tensiunea pe rezistenţă tuR

şi tensiunea pe bobină tuL , rezultă:

Page 52: Mod Sim Curs

56 Modelare şi simulare

tetuti

RR

tutu

tC

L

e

e

L

R

10

10

y .

Matricea fundamentală teA se poate calcula cu una din formulele

[3,5,13,22]:

- Lagrange-Sylvester:

2

2

1

1 )adj(1)adj(1

1221

s

t

s

tt sesee AIAIA

- Laplace inversă: 11 AIA sLe t ;

- dezvoltarea în serie: ...!

...!2!1

22

k

tttIekk

t AAAA .

Astfel, considerând valorile: Re = 1250Ω, L = 0,025H, Ce = 10-7F,

matricea A, din (2.42), are forma:

01040105

01

1

7

4

e

e

C

LLR

A , cu valorile proprii: 42

41 104,10 .

Considerând valorile: Re = 800Ω, L = 0.02H, Ce = 10-7F, matricea A este:

01050104

01

1

7

4

e

e

C

LLR

A , valorile proprii: 41 102 j , 4

1 102 j .

Răspunsul liber

Dacă valorile sunt: Re = 2000 Ω, L = 0.025H, Ce = 10-7H, atunci

matricea A are forma:

01040108

01

1

7

4

e

e

C

LLR

A , cu valorile proprii: 5359,74641 21 .

Pentru acest caz se consideră că mărimea pe ieşire este tensiunea pe

bobină, conform cazului (e), mărimea de intrare este nulă, e(t) = 0 (sursa este

înlocuită printr-un scurtcircuit), iar condiţiile iniţiale sunt: uC(0) = 2V, mAiL 10 .

Conform graficelor din fig.2.18, în care sunt reprezentate atât

semnalele de stare, cât şi semnalul de ieşire, răspunsul liber este aperiodic.

Page 53: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 57

a)

b)

Fig.2.18. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Observaţii:

- regimul liber "se stinge" într-un interval de timp mai mic de 310 sec.;

- în acest caz 12 , adică 1 este dominantă în raport cu 2 , motiv

pentru care se poate considera că numai 2 impune durata de

"stingere" a regimului liber.

Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică

Re = 200Ω, matricea A are valorile proprii complex conjugate:

1959640002,1 j , iar răspunsul liber este oscilant amortizat, conform

reprezentărilor grafice din fig.2.19.

Se observă că perioada oscilaţiilor este de aproximativ 4103 sec., în

deplină concordanţă cu valoarea 2/(Im 1,2), iar regimul liber „se stinge”

într-un interval de timp de aproximativ 10-3 sec., care este de 3-4 ori mai mare

decât inversul părţii reale a valorilor proprii, 1/|(Re1,2)|.

Page 54: Mod Sim Curs

58 Modelare şi simulare

a)

b)

Fig.2.19. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Răspunsul forţat

Se consideră valorile parametrilor: Re=2000Ω, L=0.025H, Ce=10-7F.

Amplitudinea treptei de intrare este 1, adică sursa de tensiune furnizează

e(t) = 1V, ),0[ t , iar condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină.

Conform graficelor din fig.2.20, răspunsul forţat este aperiodic,

reprezentările evidenţiind atât variabilele de stare cât şi semnalul de ieşire.

Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică

Re = 200 Ω, matricea A are valorile proprii complex conjugate, iar răspunsul

forţat este oscilant amortizat, conform reprezentărilor grafice din fig.2.21.

Se consideră aceleaşi valori ale parametrilor: Re = 2000Ω, L = 0.025H,

Ce = 10-7F. Sursa de tensiune furnizează semnalul ttu 4000sin , iar

condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină. Comportarea sistemului,

respectiv evoluţia semnalului de intrare, a semnalului de ieşire şi a variabilelor

de stare este prezentată în fig.2.22.

Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică

Re = 200 Ω, se obţine comportarea prezentată în fig.2.23.

Page 55: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 59

a)

b)

Fig.2.20. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

a)

b)

Fig.2.21. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 2V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Page 56: Mod Sim Curs

60 Modelare şi simulare

a)

b)

Fig.2.22. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia semnalului de intrare şi a

semnalului de ieşire

a)

b)

Fig.2.23. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia semnalului de intrare şi a semnalului de ieşire; (b) evoluţia

variabilelor de stare

Page 57: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 61

Observaţii:

- regimul tranzitoriu durează mai puţin de 10-3s, observaţie valabilă şi în

cazul răspunsului la semnal de intrare treaptă, pentru aceleaşi valori ale

parametrilor Re, L, Ce;

- în raport cu tensiunea furnizată de sursă, tensiunea pe condensator

este defazată în urmă; curentul pe bobină este defazat înainte;

tensiunea pe bobină este defazată înainte.

Pentru tratarea operaţională a transferului intrare – stare - ieşire se

calculează funcţia de transfer cu relaţia (2.69), considerând că mărimea de

ieşire este tensiunea pe bobină, şi se obţine:

.1

11

1

10

11

1

110

1

01

1

00

1

2

2

2

11

eeee

ee

e

e

e

e

e

e

LCsLRss

LCsLRsLCsLR

Ls

C

LLRs

RLC

LLR

ss

RsH

Între transformatele Laplace ale semnalului de intrare teLsE şi,

respectiv, a semnalului de ieşire tuLsU LL există legătura, exprimată în

scriere operaţională:

sELCsLRs

ssEsHsUee

L 12

2

II.6. Extinderi ale modelelor liniare intrare-stare-ieşire. Sisteme

multivariabile

În multe situaţii practice, sistemele fizice pot avea mai multe mărimi

cauză şi/sau mai multe mărimi efect [13,15,21,22].

Modelele de stare permit descrierea funcţionării unor asemenea

sisteme, prin generalizarea ecuaţiilor vectorial-matriceale (2.42), (2.43), astfel

încât u(t) şi/sau y(t) să fie funcţii vectoriale cu m, respectiv p componente:

pm tt RRyRRu :,: . (2.70)

Astfel ecuaţia stării (2.42) şi ecuaţia ieşirii (2.43), se vor generaliza sub

forma:

Page 58: Mod Sim Curs

62 Modelare şi simulare

00; xxBuxAx ttt (2.71)

ttt DuCxy , (2.72)

în care: mpnpmnnn RDRCRBRA ,,, sunt matricele coeficienţilor.

Similar, răspunsul complet pe stare (2.48), se generalizează în forma:

t tt eet

00 Buxx AA , (2.73)

în care se evidenţiază componenta de regim liber şi componenta de regim

forţat; valoarea x(t) dată de (2.73), înlocuită în ecuaţia ieşirii (2.72) conduce la

răspunsul complet pe ieşire.

Dinamica de regim liber şi de regim forţat pentru sistemele

multivariabile, păstrează elementele de analiză valabile pentru sistemele cu o

singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire.

În tratare operaţională, aplicând transformata Laplace (pentru condiţii

iniţiale nule – specifice regimului forţat) ecuaţiei stării (2.71), se obţine:

ssf BUAsIX 1 (2.74)

respectiv:

ssssf UHUDBAsICY 1 , (2.75)

Matricea cu p linii şi m coloane:

DBAsICH 1s , (2.76)

se numeşte matrice de transfer asociată reprezentării multivariabile.

Fiecare componentă Hij(s) se interpretează ca o funcţie de transfer care

descrie legătura dintre variabila de ieşire yi(t), i = 1, …, p, şi variabila de intrare

uj(t), j = 1, …, m, în maniera operaţională tusHty jiji LL ,

atunci când toate celelalte variabile de intrare sunt nule, adică:

),0[,0...... 111 ttutututu mjj .

II.7. Modele de tip diagramă bloc

În aplicaţiile tehnico-inginereşti, diagramele bloc sunt, adesea, preferate

modelelor care furnizează o descriere analitică a funcţionării sistemelor (ex.

ecuaţii diferenţiale, reprezentări operaţionale, etc.) [3,5,13].

Page 59: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 63

Acest tip de modele descrie tranziţia cauzală intrare-ieşire printr-o

combinaţie de elemente grafice cu formulări analitice, oferind un suport intuitiv

pentru înţelegerea modului de procesare a semnalelor şi a interacţiunilor între

subsistemele componente ale unui sistem fizic.

Modelele diagramă bloc sunt echivalente cu modelele pur analitice,

existând procedee standard de conversie a unui tip de model în celălalt.

II.7.1. Diagrame bloc descrise în domeniul timp

Un bloc descris în domeniul timp se reprezintă grafic conform fig.2.24.

Blocul exprimă tranziţia cauzală de la semnalele de intrare u1(t),..., um(t),

la semnalul de ieşire y(t):

tutuSty m,...,1 , (2.77)

în care: S este operatorul care, aplicat funcţiilor dependente de timp u1(t), ...,

um(t), defineşte funcţia dependentă de timp y(t); dacă S este un

operator liniar, conturul blocului se trasează printr-o singură linie; dacă

S este un operator neliniar, conturul blocului se trasează printr-o linie

dublă.

Blocurile cele mai frecvent utilizate în activitatea de modelare, sunt

următoarele: proporţional, integrator, derivator, sumator, înmulţitor, împărţitor.

Operatorii S, care corespund acestor blocuri, implementează relaţii

cauzale simple, care nu pot fi descrise mai detaliat prin utilizarea altor

operatori (mai simpli). Construirea unor diagrame bloc care folosesc numai

aceste blocuri, asigură maximum de detaliere în modelarea procesării

semnalelor şi a interacţiunii subsistemelor componente ale unui sistem dat.

Blocul proporţional, liniar (fig.2.25), are un singur semnal de intrare şi

exprimă relaţia cauzală (2.1) în forma:

Su1(t)

y(t)um(t)S

u1(t)y(t)um(t)

(a) (b) Fig.2.24. Reprezentarea grafică a unui bloc descris în

domeniul timp: (a) operatorul S este liniar; (b) operatorul S este neliniar

Page 60: Mod Sim Curs

64 Modelare şi simulare

0, CtCuty (2.78)

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalului de intrare

cu o constantă nenulă.

Blocul integrator, liniar (fig.2.26), are o singură intrare şi exprimă

relaţia cauzală (2.4) în forma:

0,01 CyduC

ty (2.79)

Operatorul S din (2.77) are semnificaţia de soluţie a ecuaţiei diferenţiale

(2.3) ce defineşte modelul de tip integrator (calculează o primitivă a lui u(t)).

Observaţii:

- condiţia iniţială y(0) nu trebuie privită drept mărime de intrare,

deoarece ea este o constantă asociată momentului convenţional de

timp t = 0, şi nu are semnificaţia de semnal (cu evoluţie în timp)

procesat de blocul integrator;

- în unele situaţii, constanta y(0) poate lipsi din exprimarea grafică,

situaţie în care există două modalităţi de interpretare, şi anume: dacă

se studiază răspunsului forţat, atunci se consideră y(0) = 0; dacă se

studiază răspunsul complet, se presupune y(0)0.

Blocul derivator, liniar (fig.2.27), are o intrare şi exprimă relaţia cauzală

(2.10) în forma:

Cu(t) y(t)

Fig.2.25. Reprezentarea grafică

a blocului de tip proporţional

Fig.2.26. Reprezentarea grafică a

blocului de tip integrator

Fig.2.27. Reprezentarea grafică

a blocului de tip derivator

Page 61: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 65

0, Cdt

tduCty (2.80)

Operatorul S din (2.77) calculează derivata lui u(t) (are semnificaţia de

model derivator).

Blocul sumator, liniar (fig.2.28), are cel puţin două intrări şi exprimă

relaţia cauzală:

tututy m ...1 , (2.81)

în care: ui(t), i = 1, ..., m sunt semnale precedate de semnele plus (+) sau

minus (-).

Fig.2.28. Reprezentări grafice echivalente pentru blocul de tip sumator

Operatorul S din (2.77) se defineşte prin suma algebrică a semnalelor

de intrare, în conformitate cu semnul ataşat fiecăruia dintre ele.

Blocul înmulţitor, neliniar (fig.2.29), are cel puţin două intrări şi exprimă

relaţia cauzală:

tututy m ...1 , (2.82)

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalelor de intrare.

Blocul împărţitor, neliniar (fig.2.30), are două intrări şi exprimă relaţia

cauzală:

0, 221 tutututy (2.83)

/

u1(t)y(t)u2(t)

Fig.2.29. Reprezentările grafice echivalente pentru

blocul de tip înmulţitor Fig.2.30. Reprezentarea grafică a

blocul de tip împărţitor

u1 (t ) y ( t )

um ( t )

u1 ( t ) y (t )um (t )

u1(t ) y (t )

um (t )

u1( t ) y (t ) um (t )X

u1 ( t )y(t ) um (t )

Page 62: Mod Sim Curs

66 Modelare şi simulare

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca raportul dintre semnalele de

intrare tu1 şi tu2 .

II.7.2. Diagrame bloc descrise în domeniul complex

În cazul blocurilor liniare prezentate în paragraful (II.7.1), tranziţia

cauzală realizată de orice bloc poate fi formulată şi în domeniul complex, ca o

legătură între transformata Laplace a semnalului de ieşire şi transformata

Laplace a semnalului de intrare [13,21].

Această modalitate de reprezentare se datorează proprietăţii de

liniaritate a transformării Laplace, permiţând descrierea de tip operaţional a

blocurilor (Tabelul 2.1.).

Examinând structura blocurilor de tip proporţional, integrator şi derivator

în scrierea operaţională, se constată că blocurile conţin tocmai funcţiile de

transfer asociate comportărilor respective (în cazul integratorului se presupune

condiţia iniţială nulă, y(0) = 0.) Tabelul 2.1. Descrierea în limbaj operaţional, cu ajutorul transformatei Laplace, a tranziţiei

cauzale intrare-stare-ieşire, pentru blocurile liniare

Tipul blocului Expresia analitică în domeniul

complex

Reprezentarea grafică în domeniul

complex

Proporţional 0),()( CsCUsY CU(s) Y(s)

Integrator )0(1)(1)( ys

sUCs

sY

Cs1U(s) Y(s)

y(0)

Derivator )()( sUCssY CsU(s) Y(s)

Sumator )(...)()( 1 sUsUsY m

Y(s)

Um(s)

Y(s)U1(s)U1(s)

Um(s)

Exemplul 2.7.

Se consideră un sistem mecanic cu modelul matematic descris de o

ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu coeficienţi constanţi, pentru care se

Page 63: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 67

evidenţiază toate relaţiile cauzale care permit construirea diagramei bloc

folosind numai blocurile liniare elementare (fig.2.31) [5,13].

Conform Exemplului 2.5, modelul matematic are expresia:

00, xtxtFtxktx e

.

şi poate fi retranscris sub forma:

00,1 xtxtFtxktx e

,

Cu notaţia: tFtxktw e , x(t) se poate exprima ca:

t

ttxdwtx

00

1

,

care este de forma (2.79), caracterizând un bloc integrator cu ieşirea x(t) şi

intrarea w(t).

Fig.2.31. Sistem mecanic: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc

Semnalul w(t) poate fi privit ca ieşire a unui bloc sumator de tip (2.81),

cu intrările +F(t) şi -kex(t).

Semnalul x(t) este disponibil, ca ieşire a blocului integrator, şi se

utilizează ca intrare pentru un bloc proporţional de forma (2.78), cu factorul de

proporţionalitate ke.

În fig.2.31b, forţa elastică joacă rolul unei reacţii inverse, negative pentru

sistem. Cu cât forţa exterioară prezintă variaţii mai mari, cu atât şi forţa

elastică se modifică mai mult, apropierea valorică a celor două forţe

conducând întotdeauna la reducerea vitezei tx

.

)()( txtw

ke

F(t) x(t)

x(t0)

forţaexterioară

kex(t)

deplasare

forţa elastică

forţa defrecare

+

tt0

1

b)

ke

x(t)O x

A F (t)

a)

Page 64: Mod Sim Curs

68 Modelare şi simulare

În fig.2.32 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul

diagramă bloc din fig.2.31b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă,

respectiv intrare sinusoidală.

a)

b)

Fig.2.32. Sistemul mecanic din fig.2.31: a) schema Simulink şi răspunsurile la intrare treaptă; b) deplasarea şi viteza la intrare sinusoidală

Page 65: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 69

Pentru simularea schemei s-au folosit valorile din Exemplul 2.5. Pentru

detalii referitoare la modul de realizare a schemelor în Simulink, se recomandă

consultarea [5,24].

Observaţie:

- procedeul de construire a diagramei bloc se poate extinde pentru

reprezentări intrare-stare-ieşire de ordinul n; generalizarea

presupune utilizarea a câte unui bloc de tip integrator pentru fiecare

variabilă de stare, aceasta constituind ieşirea blocului integrator;

conectarea blocurilor integratoare între ele se realizează prin blocuri

de tip sumator şi/sau blocuri de tip proporţional.

Exemplul 2.8.

Se consideră sistemul electric (circuit RLC serie, fig.2.33a) cu modelul

matematic dezvoltat în Exemplul 2.6:

tiCdt

du

tuL

tiLRte

Ldtdi

Le

C

CLeL

1

11

.

Ecuaţia de stare:

00,1ccL

ec

C uutiC

tudt

du

,

arată că tuc este ieşirea unui bloc integrator de forma:

t

cLe

c udiC

tu0

01 ,

cu semnalul de intrare iL(t) (prima variabilă de stare).

Ecuaţia de stare:

00,11LLCL

eL

L iituL

tiLRte

Lti

dtdi

,

arată că tiL este ieşirea unui alt bloc integrator de forma:

t

LCLeL iduiReL

ti0

01 ,

care va avea ca semnal de intrare, ieşirea unui bloc sumator al valorilor:

tuiRe CLe ,, , cu semnele corespunzătoare.

Page 66: Mod Sim Curs

70 Modelare şi simulare

Intrarea LeiR a sumatorului se obţine din semnalul tiL , printr-un bloc

proporţional Re.

Ca mărime de ieşire se poate considera oricare din semnalele existente

în schema bloc, respectiv: tensiunea pe condensator tuc , curentul prin bobină

tiL , tensiunea pe rezistor tuR , tensiunea pe bobină tuL (fig.2.33b) [13].

Fig.2.33. Circuit RLC serie: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc

În descriere operaţională, modelul diagramă bloc (fig.2.34), cu mărimea

de ieşire tensiunea pe bobină, consideră că funcţiile de transfer ale blocurilor

au semnificaţia fizică de impedanţe complexe (Re, 1/(Ces)) şi de admitanţe

complexe (1/(Ls)).

În fig.2.35 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul

diagramă bloc din fig.2.33b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă,

respectiv intrare sinusoidală (cu valorile din Exemplul 2.6) [5,24].

dtdiLtu L

L )(Re

uc(t))()( tuCti ceL

+

– iL(t)

e(t)

uR(t)–

t

L 01

uc(0)

t

eC 01

iL(0)

b)

uC(t)

iL(t)

e(t) uR(t) uL(t)

Re L

Ce

a)

Re

Uc(s)

+

–IL(s)

E(s)

Ur(s)– Ls

1

uc(0)

Cs1

iL(0)UL(s)

UL(s) Fig.2.34. Circuit RLC serie - modelul diagramă

bloc în descriere operaţională

Page 67: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 71

Fig.2.35. Schema Simulink pentru sistemul electric (fig. 2.33) şi evoluţia stărilor la intrare treaptă şi sinusoidală

Page 68: Mod Sim Curs

72 Modelare şi simulare

Exemplul 2.9.

Se consideră sistemul hidraulic din fig.2.36, format dintr-o conductă,

prevăzută cu un robinet prin care se alimentează rezervorul cu un debit Q(t).

Rezervorul, cilindric, cu aria bazei S, poate fi golit pe la bază printr-un alt

robinet, cu debitul Q0(t). Înălţimea fluidului în vas este H(t). Pentru modelarea

funcţionării sistemului se consideră: mărimea de intrare, debitul de umplere

Q(t) şi mărimea de ieşire, înălţimea fluidului în vas H(t). Sistemul conţine un

singur element care poate acumula energie (rezervorul), astfel că este

suficientă o singură variabilă de stare (aleasă să coincidă cu mărimea de

ieşire), H(t).

În cazul general, curgerea prin robinetul de golire trebuie considerată

turbulentă, respectiv:

- relaţia între valorile instantanee ale presiunii la baza rezervorului P(t) şi debitul

Q0(t), neliniară, de forma: ,20 tkQtP unde k este un parametru de valoare

necunoscută;

- relaţia de legătură dintre valorile instantanee P(t) şi H(t), considerând

densitatea , este tHgtP ;

- rezultă: tHk

gkPtQ

0 .

Bilanţul volumetric pentru lichidul din rezervor, pe intervalul de timp [0, t]

conduce la egalitatea:

t

dQQSHtSHtV0 00 ,

care, prin derivare, furnizează ecuaţia diferenţială:

Robinet deumplere

Q(t)

H(t) Q 0(t)

Robinet de golire Fig.2.36. Sistem hidraulic

Page 69: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 73

tQtQtHS 0

.

După înlocuirea valorii pentru tQ0 se obţine modelul matematic care

descrie funcţionarea sistemului hidraulic, exprimat sub forma unei ecuaţii

diferenţiale neliniare de ordinul I, cu coeficienţi constanţi:

tQtHkgtHS

,

care evidenţiază starea de forma:

00,11 HtHtQS

tHkg

StH

,

Pentru reprezentarea printr-o diagramă bloc, se utilizează notaţia:

tQtHkgtw ,

în care, corespunzător formei (2.79), H(t) se consideră ieşirea integratorului, iar

w(t), intrarea în integrator:

t

tHdwS

tH0 0

1 .

Mărimea w(t) este ieşirea unui bloc sumator de tipul (2.81) cu intrările

+Q(t) şi tHkg . Semnalul H(t) de la ieşirea integratorului se utilizează ca

intrare într-un bloc neliniar care extrage radicalul, iar semnalul tH se aplică la

intrarea unui bloc proporţional de forma (2.78) cu factorul de proporţionalitate

kg (fig.2.37a) [13].

Q0(t) )(tH

)()( tHStW Q(t) H(t)

H(t0)

debit deumplere

înălţimeafluidului

debit degolire

+

ttS 0

1

kg

)(tP

)(tHS Q(t) H(t)

H(t0)

Q0(t)

+ –

ttS 0

1

k1P(t)

g

Relaţia neliniară specificăcurgerii turbulente

a) b)

Fig.2.37. Sistem hidraulic: a) modelul diagramă bloc;

b) modelul diagramă bloc în funcţie de variabila P(t)

Page 70: Mod Sim Curs

74 Modelare şi simulare

Prin înlocuirea blocului proporţional kg şi blocului neliniar de extragere

a radicalului, se poate pune în evidenţă presiunea la baza rezervorului P(t)

precum şi relaţia neliniară tPktQ 10 , care descrie curgerea turbulentă

(fig.2.37b).

Schemele de simulare pentru sistemul hidraulic, realizate în mediul

Simulink, sunt prezentate în fig.2.38 [5,24].

Fig.2.38. Schemele Simulink pentru sistemul hidraulic din fig.2.37

Observaţii:

- blocurile utilizate în construirea diagramelor bloc prezentate şi

operatorii asociaţi corespund unor operaţii elementare;

- se pot concepe blocuri pentru care operatorii asociaţi să descrie

succesiuni de operaţii (expresii);

- diagramele bloc conţin informaţiile necesare pentru abordarea

problematicii inverse, adică scrierea sub formă analitică a unei

reprezentări intrare-stare-ieşire.

Page 71: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 75

III. SISTEME FIZICE CU ANALOGII COMPORTAMENTALE

III.1. Studiul comparativ al variabilelor specifice diverselor domenii

ale fizicii

Între diversele domenii ale fizicii există analogii la nivelul elementelor

fundamentale cu ajutorul cărora se construiesc sistemele precum şi la nivelul

modalităţilor de conectare a acestor elemente. Astfel, sisteme aparţinând unor

domenii energetice diferite, sunt analoge din punct de vedere structural şi

comportamental [12,13,21,22].

Fenomenele fizice din fiecare domeniu pot fi descrise prin mărimi

(variabile) fundamentale (generice), care se referă la: putere (efort e, flux f )

şi/sau energie (impuls generalizat p, deplasare generalizată q).

Puterea este furnizată sistemelor fizice de aşa-numitele surse de putere,

reprezentate de motoare, pompe, surse de căldură etc., alese astfel încât

sistemul să-şi poată îndeplini rolul pentru care a fost conceput. În Tabelul 3.1

se prezintă corespondenţa dintre variabila generică putere şi variabila

concretă specifică domeniului fizico-tehnic. Tabelul 3.1. Mărimi (variabile) utilizate în modelare

Efort (e) Flux (f ) Domeniul

Variabilă Notaţie U.M. [S.I.]

Variabilă Notaţie U.M. [S.I.]

Electric tensiune u [V] curent i [A] Mecanic cu mişcare de translaţie

forţă F [N] viteză liniară v [m/s]

Mecanic cu mişcare de

rotaţie cuplu M [Nm] viteză

unghiulară [rad/s]

Fluidic presiune (diferenţă de presiune)

P

( P ) [N/m2] debit

volumetric Q [m3/s]

Termic temperatură (variaţie de

temperatură)

T

( T ) [K] flux termic

Q [J/s] [W]

Page 72: Mod Sim Curs

76 Modelare şi simulare

În Tabelul 3.2 se prezintă un sumar al ecuaţiilor sistemelor frecvent

utilizate în activitatea de modelare.

Tabelul 3.2 Sumar al ecuaţiilor sistemelor

Tip sistem Natura fizică

Parametrul fizic Simbol Ecuaţia

Electric Rezistenţa electrică eR uR

ie

1

vF Mecanic

Coeficientul de frecare

wM

Fluidic Rezistenţa fluidică fR PR

Qf

1

Disipativ

Termic Rezistenţa termică tR TR

Qt

1

Electric Inductanţa electrică L dtdiLu

dtdF

kv

e

1

Mecanic Coeficientul de elasticitate

ek

dtdM

ke

1

Acumulativ inductiv

Fluidic Inductanţa fluidică fL dtdQLP f

Electric Capacitatea electrică

C dtduCi

Masa inertă m dtdvmF

Mecanic Momentul de inerţie J

dtdJM

Fluidic Capacitatea fluidică fC dtdPCQ f

Acumulativ capacitiv

Termic Capacitatea termică tC dtdTCQ t

Din punct de vedere energetic se disting:

- sisteme disipative (cu elemente de tip R), în care disiparea energiei este

modelată de un element denumit rezistor sau element disipativ, pentru că

modelează disiparea energiei în mod similar cu rezistenţa electrică;

- sisteme cu acumulare inductivă (cu elemente de tip L sau I), care modelează

elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar cu

Page 73: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 77

acumularea energiei într-un câmp magnetic al unei bobine (acumulare de tip

inductiv) sau acumularea energiei cinetice de către mase (acumulare de tip

inerţial);

- sisteme cu acumulare capacitivă (cu elemente de tip C), care modelează

elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar

acumulării de energie în câmpul electric al unui condensator (acumulare de

tip capacitiv).

Pentru sistemele tehnice prezentate, respectiv: electric, mecanic, fluidic,

termic, relaţiile fundamentale permit abordări simplificate ale studiului

fenomenelor fizice, bazate pe similitudinile existente între tipurile de mărimi şi

legăturile dintre ele.

III.2. Sisteme RC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I

Se consideră cinci tipuri de sisteme (fig.3.1), fiecare fiind alcătuit din:

- subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),

respectiv [13]:

- o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric;

- un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în

mişcare de translaţie;

- un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic

în mişcare de rotaţie;

- o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul

hidraulic;

- o sursă de temperatură care furnizează temperatura ΔT, pentru

sistemul termic.

- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv:

- o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric;

- un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă ,

pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;

- un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t,

pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;

Page 74: Mod Sim Curs

78 Modelare şi simulare

- un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic;

- un perete având rezistenţa termică Rt, pentru sistemul termic.

(C )e qe

Rea b

g g a)

F

x

a b)

( )kt( )tM

a c)

( )Rf( )Cf

p0

(A)

V

p p P 0

a b

g

d)

( )Rt

( )Ct

T0

T T T 0

( )m

Q

a b

g

e)

Fig.3.1. Sisteme RC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic; e) sistem termic.

- subsistem acumulator de energie (un element C de tip condensator),

respectiv:

- un condensator electric de capacitate Ce, pentru sistemul electric;

- un arc liniar având constanta elastică ke, pentru sistemul mecanic în

mişcare de translaţie;

- un arc de torsiune având constanta de torsiune kt, pentru sistemul

mecanic în mişcare de rotaţie;

Page 75: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 79

- un rezervor de arie constantă A având capacitatea fluidică Cf, pentru

sistemul hidraulic;

- o masă de substanţă m dintr-o incintă încălzită, având capacitatea

termică Ct, pentru sistemul termic.

Cele cinci sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv:

- intensitatea i a curentului, pentru circuitul electric;

- viteza v a punctului a, pentru sistemul mecanic cu mişcare de

translaţie;

- viteza unghiulară din punctul a, pentru sistemul mecanic cu mişcare

de rotaţie;

- debitul Q, pentru sistemul hidraulic;

- fluxul de căldură

Q , pentru sistemul termic.

Mărimile de intrare u (sursele), sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M,

presiunea ΔP, respectiv temperatura ΔT.

Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q care trece prin

circuit şi se acumulează în condensator, pentru sistemul electric; deplasarea

liniară x, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; deplasarea

unghiulară θ, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; volumul de lichid

V, transportat prin conducte şi acumulat în rezervor, pentru sistemul hidraulic;

cantitatea de căldură Q, care străbate peretele şi se acumulează în masa de

substanţă din incintă, pentru sistemul termic.

Cele cinci tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie diferenţială

generică de forma:

uyk

ykC

R 1 , (3.1)

în care: kR, kC – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei

energetice procesate de sistem.

Pentru sistemul electric (fig.3.1a), se scrie relaţia de echilibru de

tensiuni, de forma:

CR uue (3.2)

în care: e este tensiunea furnizată de sursă;

Page 76: Mod Sim Curs

80 Modelare şi simulare

qRiRu eR – căderea de tensiune pe rezistenţă;

qC

ue

C1

- căderea de tensiune pe condensator.

Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma:

eqC

qRe

e 1 , (3.3)

cu parametrii: eR Rk şi eC Ck .

Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.1b) se scrie

ecuaţia de echilibru dinamic, de forma:

0 ae FFF , (3.4)

în care: xkF ee este forţa elastică dezvoltată de arc;

xvFa - forţa din amortizor.

Dacă, pentru x = 0, forţa elastică este nulă, se poate scrie ecuaţia

diferenţială care modelează sistemul mecanic:

Fxkx e

, (3.5)

pentru care coeficienţii au forma: Rk şi e

C kk 1

.

Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.1c), ecuaţia de

echilibru dinamic este:

0 ae MMM , (3.6)

în care: te kM este momentul elastic al arcului de torsiune;

ttaM - momentul de amortizare.

Dacă, pentru θ = 0, momentul elastic este nul, se poate scrie ecuaţia

diferenţială care modelează sistemul mecanic:

Mktt

, (3.7)

în care coeficienţii au semnificaţia: tRk şi t

C kk 1

.

Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.1d), se

scrie relaţia de echilibru de presiuni, de forma:

Page 77: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 81

vr PPP . (3.8)

în care: ΔP este diferenţa de presiune creată de pompă;

VRQRP ffr - pierderea de presiune din robinet;

VC

Pf

v1

- presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de

lichid.

Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul hidraulic devine:

PVC

VRf

f 1 , (3.9)

cu coeficienţii de forma: fR Rk şi fC Ck .

Pentru sistemul termic (fig.3.1e), se scrie relaţia de echilibru de forma:

mR TTT . (3.10)

în care: ΔT este diferenţa de temperatură aplicată de sursa de temperatură;

QRT tR - pierderea de temperatură datorată rezistenţei termice a

peretelui;

QC

Tt

m1

- diferenţa de temperatură corespunzătoare încălzirii masei

de substanţă.

Ecuaţia diferenţială corespunzătoare sistemului termic devine:

TQC

QRt

t 1 (3.11)

în care coeficienţii au forma: tR Rk şi tC Ck .

Prin aplicarea transformatei Laplace, ecuaţiei diferenţiale generice (3.1),

care modelează cele cinci sisteme fizice, se obţine forma

sUsYk

ssYkC

R 1 , (3.12)

şi se determină funcţia de transfer generică:

111

1

Ts

Kskk

k

ksksU

sYsHCR

C

CR

(3.13)

Page 78: Mod Sim Curs

82 Modelare şi simulare

în care: CkK este factorul de amplificare;

CRkkT - constanta de timp.

Pentru cele cinci sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este:

- sistemul electric: ][],[ sCRTFCK eee ;

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: ][,1 2 sk

Tkgsk

Kee

;

- sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: ][,1 22 sk

Tmkgradsk

Kt

t

t

;

- sistemul hidraulic: ][,24 sCRTkgsmCK fff ;

- sistemul termic: ][,22 sCRTsKmkgCK ttt .

III.3. Sisteme RL modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.2), fiecare fiind

alcătuit din [13]:

- subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),

respectiv:

- o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric;

- un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în

mişcare de translaţie;

- un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic

în mişcare de rotaţie;

- o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul

hidraulic;

- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv:

- o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric;

- un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă ,

pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;

- un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t,

pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;

- un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic.

Page 79: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 83

- subsistem acumulator de energie (un element L de tip inductor), respectiv:

- o bobină de inductanţă L, pentru sistemul electric;

- o masă de mărime m, pentru sistemul mecanic cu mişcare de

translaţie;

- un volant de moment de inerţie principal central J, pentru sistemul cu

mişcare de rotaţie;

- fluidul dintr-o conductă lungă caracterizată prin curgere laminară, de

inductanţă fluidică Lf.

( )Re

(L) i

e

a b

g a)

( )mF( )v

b)

( )J ( )t

M

c)

( )Rf( )Lf

p0(A)

( )l

p p P 0

Q

gb

d)

Fig.3.2. Sisteme RL: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic.

Cele patru sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv:

- intensitatea i a curentului pentru circuitul electric;

- viteza v pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie;

- viteza unghiulară pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;

- debitul Q pentru sistemul hidraulic;

Mărimile de intrare u, sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M, presiunea ΔP.

Mărimile de ieşire y, sunt: intensitatea i a curentului din circuit, pentru

sistemul electric; viteza v a masei, pentru sistemul mecanic cu mişcare de

translaţie; viteza unghiulară a volantului, pentru sistemul mecanic în

mişcare de rotaţie; debitul Q al fluidului, pentru sistemul hidraulic.

Page 80: Mod Sim Curs

84 Modelare şi simulare

Aceste patru tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie

diferenţială generică de forma:

uykyk RI

, (3.14)

în care: kR, kI – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei

energetice procesate de sistem.

Observaţie:

- nu s-a considerat şi un sistem termic deoarece la astfel de sisteme nu

este definit un element inerţial.

Pentru sistemul electric (fig.3.2a), se scrie relaţia de echilibru de

tensiuni, de forma:

LR uue (3.15)

în care: e este tensiunea furnizată de sursă;

iRu eR - căderea de tensiune pe rezistenţă;

dtdiLuL - căderea de tensiune pe bobină.

Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma:

eiRdtdiL e , (3.16)

iar semnificaţia coeficienţilor este: Lk I şi eR Rk .

Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.2b), se scrie

ecuaţia de echilibru dinamic, de forma:

0 ia FFF , (3.17)

în care: vFa este forţa datorată amortizorului;

dtdvmmaFi - forţa de inerţie.

Ecuaţia de echilibru dinamic devine:

Fvdtdvm , (3.18)

cu următoarele semnificaţii ale coeficienţilor: mk I şi Rk .

Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.2c), relaţia de

echilibru dinamic este:

Page 81: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 85

0 ai MMM , (3.19)

în care: dtdJM i

este momentul forţelor de inerţie;

taM - momentul datorat amortizorului rotativ.

Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine:

MdtdJ t , (3.20)

iar semnificaţia coeficienţilor este: Jk I şi tRk .

Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.2e), se

scrie ecuaţia de echilibru de forma:

Cr PPP (3.21)

în care: ΔP este presiunea pompei;

QRP fr - căderea de presiune pe robinet;

dtdQLP fC - căderea de presiune pe conducta de lungime l şi secţiune

de arie A.

Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine:

PQRdtdQL ff , (3.22)

în care coeficienţii au semnificaţiile: fI Lk şi fR Rk .

Prin aplicarea transformatei Laplace, din ecuaţia diferenţială generică

(3.14), se obţine forma:

sUsYkssYk RI , (3.23)

şi se poate determina funcţia de transfer generică:

11

1

TsK

skk

ksUsYsH

R

I

R (3.24)

în care: Rk

K 1 este factorul de amplificare;

R

I

kkT - constanta de timp.

Page 82: Mod Sim Curs

86 Modelare şi simulare

Pentru cele patru sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este

următoarea:

- sistemul electric: sRLT

RkgmsA

RK

eee

,11 1232 ;

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: smTkgsK

,1 ;

- sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: sJTmkgradsKtt

,1 2 ;

- sistemul hidraulic: sRL

TkgmsR

Kf

f

f

,1 4 .

III.4. Sisteme RLC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul II Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.3), fiecare fiind

alcătuit din [5,12,13,21]:

(Re) b

g

ca

e (Ce)

(L)

i

a)

x

F( )ke

( )

( )m

b)

( )kt ( )J( )t

M

c)

( L f ) ( p 0 + Δ P ) ( R f )

( C f ) l

b c a

g

V

p 0

d)

Fig.3.3. Sisteme RLC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c)

sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic. - subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort),

similar celor prezentate în paragrafele III.2, III.3;

- subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), similar celor

prezentate în paragrafele III.2, III.3;

Page 83: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 87

- subsistem acumulator de energie de tip capacitiv (un element C de tip

condensator), similar celui prezentat în paragraful III.2;

- subsistem acumulator de energie de tip inductiv (un element L de tip inerţial),

similar celui prezentat în paragraful III.3.

Mărimile de intrare u, ale fiecărui sistem din grup sunt similare celor

prezentate în paragrafele III.1, III.2.

Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q, pentru sistemul

electric; deplasarea x, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie;

unghiul de rotaţie ¸ pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie; volumul

de fluid V, pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară.

Cele patru tipuri de sisteme sunt analoge atât din punct de vedere

structural cât şi din punct de vedere al comportamentului dinamic, putând fi

modelate de un set de ecuaţii intrare – stare - ieşire cu forma generică:

2

1

2

1

2

1

01

10

110

xx

y

ukx

x

kk

kkx

x

II

R

IC , (3.25)

unde: x1, x2 reprezintă variabilele de stare;

kI, kR, kC - parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei

energetice procesate de sistem.

Pentru sistemul electric (fig.3.3a), se scrie ecuaţia de echilibru de forma:

CLR uuue , (3.26)

în care: e reprezintă tensiunea sursei;

iRu eR - căderea de tensiune pe rezistenţă;

iLdtdiLuL - căderea de tensiune pe bobină;

qC

ue

C1

- căderea de tensiune pe condensator.

Page 84: Mod Sim Curs

88 Modelare şi simulare

Considerând ecuaţiile diferenţiale:

eL

iLRq

LCi

iq

e

e

11

(3.27)

rezultă modelul matematic exprimat sub forma matriceală:

iq

q

eLi

q

LR

LCi

qe

e

01

10

110

(3.28)

în care q este variabila de ieşire (cantitatea de electricitate).

În setul de ecuaţii intrare – stare - ieşire, care modelează sistemul

electric, s-au considerat variabilele de stare qx 1 , ix 2 , şi rezultă următoarea

semnificaţie a coeficienţilor: eRIeC RkLkCk ,, .

În cazul sistemului mecanic cu elemente în mişcare de translaţie

(fig.3.3b), ecuaţia de echilibru dinamic, pentru corpul de masă m este:

0 iae FFFF , (3.29)

în care: xkF ee este forţa elastică din arc ;

vFa - forţa din amortizor;

vmFi - este forţa de inerţie.

Considerând ecuaţiile diferenţiale:

Fm

vm

xmk

v

vx

e 1

(3.30)

se obţine forma matriceală:

vx

x

Fmv

x

mmk

vx

e

01

1010

(3.31)

Page 85: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 89

în care variabilele de stare sunt: xx 1 şi vx 2 , iar variabila de ieşire este

deplasarea x a masei.

Coeficienţii din ecuaţia generică (3.25), particularizaţi pentru sistemul

mecanic cu mişcare de translaţie, au semnificaţia: RIe

C kmkk

k ,,1 .

Pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie (fig.3.3c) se

scrie ecuaţia de echilibru dinamic pentru volantul sistemului:

0 iae MMMM , (3.32)

în care: te kM este momentul elastic;

taM - momentul din amortizor;

JM i - momentul de inerţie.

Considerând ecuaţiile diferenţiale:

MJJJ

k tt 1

(3.33)

se obţine forma matriceală:

01

1010

MJJJ

k tt

(3.34)

în care variabila de ieşire este unghiul de rotaţie .

Variabilele de stare sunt 1x şi 2x , iar semnificaţia coeficienţilor din

ecuaţia (3.25) este: tRIt

C kJkk

k ,,1 .

Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.3d),

ecuaţia de echilibru de presiuni are forma:

vcr PPPP (3.35)

în care: P este presiunea creată de pompă;

QRP fr - căderea de presiune pe robinet;

Page 86: Mod Sim Curs

90 Modelare şi simulare

QLP fc - căderea de presiune pe conductă;

VC

Pf

v1

- presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de

lichid din rezervor.

Considerând ecuaţiile diferenţiale:

PL

QLR

VLC

Q

QV

ff

f

ff

11 (3.36)

se obţine reprezentarea matriceală:

QV

V

PLQ

V

LR

LCQV

ff

f

ff

01

10

110

(3.37)

în care: variabila de ieşire este volumul V din rezervor, variabilele de stare

sunt QxVx 21 , , iar coeficienţii din ecuaţia (3.25) au semnificaţia:

fRfIfC RkLkCk ,, .

Pe baza sistemului generic de ecuaţii intrare-stare-ieşire (3.25), fiecare

sistem poate fi modelat printr-o funcţie de transfer de ordinul doi, astfel:

uk

xkkx

kkx

xx

II

R

IC

11212

21

(3.38)

Cu notaţia yx 1 , din relaţiile (3.38) se obţine:

uk

ykk

ykky

IICI

R 11

. (3.39)

Prin aplicarea transformatei Laplace, din relaţia (3.39) se obţine forma:

sUk

sYkk

ssYkksYs

IICI

R 112

respectiv funcţia de transfer:

121 222

TssT

Kskkskk

ksHRCIC

C

,

Page 87: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 91

în care: CkK este factorul de amplificare;

ICkkT - constanta de timp;

I

CR k

kk21

- factor de amortizare.

Factorul de amplificare K şi cei doi parametri ,T au semnificaţii

specifice fiecărui tip de sistem, astfel:

- sistemul electric: L

CRsLCTFCK eeee 2

1,, [adimensional];

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: skmTkgs

kK

ee

,1 2 ,

emk

21

[adimensional];

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: skJTmkgs

kK

tt

,1 22 ,

t

t

Jk

21

[adimensional];

- sistemul hidraulic: kgsmCK f24 , sLCT ff ,

f

ff L

CR

21

[adimensional].

Din exemplele prezentate se evidenţiază faptul că, plasându-se în

domenii energetice diferite şi operând cu sisteme fizice prezentând analogii

din punct de vedere al structurii, se constată şi analogii la nivel

comportamental.

Analogia la nivel de structură constă în alegerea unor elemente din

domenii fizice diferite care procesează energia într-o manieră similară, iar

conectarea lor este realizată în acelaşi mod. Aşadar, fundamentul energetic

face ca modelarea comportamentală să poată fi tratată unificat, pentru toate

domeniile de interes.

Page 88: Mod Sim Curs

92 Modelare şi simulare

Fiecare sistem trebuie privit ca fiind conectat la o sursă de putere,

considerându-se surse ideale de forţă, surse ideale de cuplu, surse ideale de

presiune, surse ideale de temperatură, etc.

În concordanţă cu exploatarea normală a unei surse reale de putere, se

consideră că aceasta furnizează sistemului puterea necesară funcţionării,

impunând sistemului unul din cele două semnale pereche (intrare pentru

sistem), celălalt semnal pereche rezultând din consumul concret de putere al

sistemului (ieşire pentru sistem).

Această abordare permite obţinerea unor descrieri matematice eficiente,

în sensul urmăririi tranziţiei cauzale intrare-ieşire (pentru funcţia de transfer şi

diagrama bloc), respectiv intrare - stare - ieşire (pentru modelul de stare).

Page 89: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 93

IV. SIMULAREA NUMERICĂ IV.1. Aspecte generale

În cazurile simple, pe baza modelului matematic, dinamica unui sistem

poate fi studiată cu ajutorul soluţiilor analitice. În cazul unor modele mai

complicate este necesară utilizarea unei maşini de calcul, iar modelul

matematic trebuie să aibă o formă de reprezentare adecvată programului de

simulare utilizat, numită „model de simulare” [1,2,4,6,9,10,11,14,17,18,19].

Implementarea aplicaţiilor de calcul numeric şi, în particular, a aplicaţiilor

destinate simulării dinamicii unor sisteme fizice, este dependentă de modul de

reprezentare a numerelor şi de modul de efectuare a calculelor, în condiţiile în

care orice echipament de calcul pune la dispoziţie doar un număr finit de cifre.

Datorită acestui fapt se face apel, ca formă de reprezentare numerică, la

aritmetica în virgulă flotantă (mobilă), se concep şi se utilizează algoritmi

adecvaţi prelucrărilor tipice aritmeticii în virgulă flotantă.

Considerând F, mulţimea numerelor care pot fi reprezentate în virgulă

mobilă pe un anumit calculator, este valabilă forma [2]:

ebfxx |RF , (4.1)

unde: f este mantisa, de valoare pozitivă;

b – baza sistemului de numeraţie;

e – exponent, număr întreg.

Expresia (4.1) conduce la constatarea că mulţimea numerelor care pot fi

reprezentate în virgulă mobilă, pe orice maşină, conţine un număr finit de

elemente.

Operaţiile aritmetice definite pe mulţimea discontinuă F se numesc

operaţii în virgulă flotantă, iar rezultatele unor astfel de operaţii reprezintă

aproximaţii pentru rezultatele operaţiilor definite în manieră standard, pe

mulţimea numerelor reale.

În rezolvarea numerică a problemelor, precizia rezultatelor este afectată

de trei tipuri de erori, şi anume:

Page 90: Mod Sim Curs

94 Modelare şi simulare

- erori de rotunjire, datorate modului de reprezentare a datelor şi/sau modului

de efectuare a calculelor cu precizie finită, conducând la operarea cu valori

numerice aproximative;

- erori inerente, cauzate de utilizarea unor informaţii cu caracter aproximativ:

- cunoaşterea imprecisă a coeficienţilor unui model matematic;

- realizarea unor măsurători cu precizie scăzută;

- calcule anterioare aproximative, etc.

- erori de trunchiere (discretizare), datorate unor metode sau algoritmi care

înlocuiesc soluţiile analitice exacte cu soluţii aproximative, respectiv:

- discretizarea unor probleme continue;

- terminarea forţată, într-un număr finit de paşi, a proceselor iterative;

- trunchierea unor serii infinite.

În alegerea unui algoritm care să permită rezolvarea numerică a unei

probleme, se ţine seama de următoarele proprietăţi ale algoritmilor:

- eficienţa, determinată de timpul de calcul necesar pentru rezolvarea

problemei;

- precizia, care se referă la erorile introduse prin trunchierea unor serii

infinite sau prin terminarea unor procese iterative;

- stabilitatea numerică, care se referă la sensibilitatea rezultatelor în

raport cu perturbaţiile datelor de intrare;

- siguranţa în funcţionare, care presupune avertizarea utilizatorului ori de

câte ori erorile introduse sunt mari;

- generalitatea, cu referire la aplicabilitatea la o clasă de probleme;

- memoria necesară.

Etapele analizei prin simulare se referă la:

- stabilirea cadrului simulării (definirea sistemului analizat, a obiectivelor,

a criteriilor de evaluare, etc. );

- modelarea analitică;

- realizarea modelului de simulare;

- realizarea experimentului de simulare;

- analiza şi interpretarea datelor.

Page 91: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 95

Practic, pentru experimentul de simulare, fie se elaborează un program

pentru obţinerea modelului de simulare, fie se apelează la programe

specializate (Matlab, Simulink, Mathcad, Simnon, Labview, Mathematica, etc.).

Acestea, prin interfeţe grafice-utilizator, permit selectarea componentelor de

simulare, realizarea structurii, definirea parametrilor şi execuţia simulării.

Rezultatele simulării se prezintă sub forma unor tabele de valori, reprezentări

2D sau 3D ale evoluţiei unor mărimi în timp, animaţie, etc.

IV.2. Simularea bazată pe integrarea numerică a ecuaţiilor

diferenţiale ordinare

O ecuaţie diferenţială de ordinul I, de forma [2,6,13]:

tyfdtdyty ,

, 00,: ytyf RRR , (4.2)

cu funcţia f asigurând existenţa şi unicitatea soluţiei pe intervalul fttt 0 ,

poate reprezenta modelul matematic pentru o mare varietate de procese

fizice: electrice, mecanice, termice, hidraulice, etc.

Găsirea soluţiei exacte a problemei (4.2) nu este posibilă decât în

anumite cazuri, justificându-se necesitatea recurgerii la metode aproximative.

Simularea comportării sistemelor modelate prin descrieri liniare (sau

neliniare) de forma (4.2), se bazează pe rezolvarea numerică a problemei

Cauchy (problemă cu condiţii iniţiale), prin care se va determina o aproximare

a lui y(t), furnizată sub forma unei secvenţe de vectori numerici, calculaţi

pentru un număr finit de valori ale variabilei independente t, definind o

diviziune a intervalului ftt ,0 : fNk tttttt ......210 .

În cazul reprezentării prin modele de stare, în urma rezolvării problemei

Cauchy (4.2), se determină evoluţia în timp a mărimilor de stare, apoi

dependenţa de timp pentru vectorul semnalelor de ieşire.

În cazul reprezentării prin modele diagramă bloc, pentru a construi

relaţia (4.2), este necesară elaborarea unei reprezentări intrare-stare-ieşire.

Page 92: Mod Sim Curs

96 Modelare şi simulare

Observaţii:

- nici o metodă de integrare numerică a problemei Cauchy (4.2) nu este

capabilă să furnizeze valorile exacte nkt Ry ale soluţiei ty

corespunzătoare punctelor tk, k = 1,2,...,N, ci doar aproximaţii ale

acestora;

- programele specializate destinate simulării (de ex. Simulink), sunt

capabile să construiască automat, descrieri intrare-stare-ieşire,

pornind de la descrieri de tip diagramă bloc.

Indiferent de metoda numerică de integrare, progresul integrării se

raportează la o diviziune a intervalului Ntt ,0 , fiecare dintre punctele diviziunii

fiind generate succesiv, pe măsură ce integrarea numerică avansează.

Valoarea kt a variabilei independente, pentru care se calculează

vectorul numeric al soluţiilor, se obţine, pornind de la 0t , incremental:

Nkhhtt kkkk ,...,2,1,0,1 (4.3)

în care: kh reprezintă pasul de integrare (poate avea o valoare constantă,

sau poate fi modificat pe parcursul generării punctelor tk ).

În rezolvarea numerică a problemei Cauchy (4.2), calitatea aproximării

poate fi analizată cu ajutorul erorii totale k ce afectează soluţia calculată la

ktt , determinată drept rezultat al acţiunii simultane a erorii de trunchiere şi

erorii de rotunjire, care tind să se acumuleze odată cu creşterea volumului de

calcule efectuate, dând naştere unui fenomen de propagare a erorilor.

Erorile de trunchiere sunt proprii fiecărei metode şi pot fi evaluate local,

pe parcursul unui singur pas de integrare sau global, pe întregul interval de

integrare.

Ordinul unei metode de integrare se precizează cu ajutorul erorii locale

de trunchiere, ltk , definită pentru un subinterval generic kk tt ,1 , cu vectorului

soluţie 1kty , în punctul 1kt al diviziunii, presupus de valoare exactă

cunoscută.

Page 93: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 97

Astfel, o anumită metodă de integrare numerică este de ordinul p dacă

pe subintervalul generic kk tt ,1 este îndeplinită condiţia:

11 pk

pk

ltk hOCh , (4.4)

unde: 1 kkk tth este valoarea pasului de integrare;

C > 0 - constantă ce depinde de valorile derivatelor funcţiei vectoriale f

din (4.2);

O - funcţie de acelaşi ordin de mărime ca şi argumentul său, când

argumentul tinde la zero (înlocuieşte inegalitatea prin scriere de tip

egalitate).

În funcţie de modul de utilizare a informaţiei pentru efectuarea unui pas

de integrare, în rezolvarea numerică a problemei (4.2), se deosebesc [1,2,13]: - metode directe (mono-pas), care la avansarea unui pas, pentru

variabila independentă, necesită numai rezultatul de la pasul anterior

(valoarea ky este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, numai în

funcţie de valoarea calculată anterior, 1ky ); aceste metode necesită

un singur punct pentru iniţializare, fiind metode autostartabile; în

această categorie se regăsesc metodele Taylor, Euler, Runge-Kutta;

- metode indirecte (multi-pas), care la avansarea unui pas, pentru

variabila independentă, necesită rezultatele de la un număr de paşi

anteriori (valoarea ky este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, în

funcţie de valorile precedente, 12 ,...,, kkmk yyy ); aceste metode nu

sunt autostartabile şi pornesc cu ajutorul unei metode directe; în

această categorie se regăsesc metodele Adams-Bashforth, Adams-

Moulton, Gear, predictor-corector;

- metode de extrapolare, care divizează fiecare pas de integrare într-

un număr adecvat de subpaşi, utilizaţi pentru a extrapola rezultatul

integrării numerice cu ajutorul fracţiilor raţionale (metoda

Richardson).

Page 94: Mod Sim Curs

98 Modelare şi simulare

În funcţie de modul de definire a noii valori rezultate din efectuarea unui

pas de integrare, se deosebesc:

- metode explicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea

unui pas de integrare defineşte într-o manieră explicită noua valoare

a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul

stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp 1kt ,

iar expresia din membrul drept conţine referiri numai la valorile

anterioare ale soluţiei, corespunzând momentelor de timp .,..., 1 etctt kk ,

anterioare momentului 1kt ;

- metode implicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea

unui pas de integrare defineşte într-o manieră implicită noua valoare

a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul

stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp 1kt ,

iar expresia din membrul drept conţine şi ea referiri la noua valoare a

soluţiei, împreună cu referiri la valorile anterioare ale soluţiei,

corespunzând momentelor de timp ,..., 1kk tt , anterioare momentului

1kt .

Observaţii:

- după cum valoarea pasului este constantă sau se modifică pe

parcursul integrării, metodele directe/indirecte sunt cu pas constant

sau cu pas adaptiv;

- metodele directe/indirecte se pot utiliza în algoritmi de tip explicit sau

implicit (de ex. metodele Runge-Kutta sunt directe şi explicite,

metodele Adams sunt indirecte şi explicite sau implicite, etc.) .

IV.2.1. Metode directe

Ca principiu general, metodele directe se bazează pe dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei y(t), ce reprezintă soluţia problemei (4.2). Astfel, se

presupune că soluţia ty se poate dezvolta în serie Taylor, în vecinătatea

fiecărui punct ktt , rezultând [1,2,9,10,13,18]:

Page 95: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 99

...!

...!2!1

22

1

kp

pk

kk

kk

k typtttytttytttyty (4.5)

În vecinătatea punctului 0t , dezvoltarea (4.5) conduce la forma:

...!

...!2!1 0

00

22

00

100

ty

ptttytttytttyty p

p

(4.6)

Pentru cazul particular 1tt , dezvoltarea (4.6) are forma:

...!

...!2!1 0

010

22

010

10101

ty

ptttytttytttyty p

p

(4.7)

Cu notaţia kk tth 1 , desemnând pasul constant, particularizată în

forma: 01 tth , relaţia (4.7) devine:

...!

...!2!1 00

22

01

01 typ

htyhtyhtyty pp

(4.8)

respectiv:

...!

...!2 0

20

21

001 pp

yp

hyhhyyy , (4.9)

în care: ...;;; 200

20011 ytyytyyty .

Pentru determinarea soluţiei pe reţeaua de puncte ktttt ,...,,, 210 , relaţiile

(4.8), (4.9) se aplică din aproape în aproape, rezultând:

...!

...!2!1

22

11 k

pp

kkkk typ

htyhtyhtyty , (4.10)

respectiv:

...!

...!2

22

11

pk

p

kkkk yp

hyhhyyy . (4.11)

Pentru calculul valorii 1ky este necesară determinarea derivatelor ...,, 21

kk yy , în punctul kt .

Din ecuaţia (4.2), se obţine succesiv:

....,

,,,,,

3

12

etcty

ttyyfttyftty

tftytty

yftty

tfty

(4.12)

respectiv, pentru 0tt :

Page 96: Mod Sim Curs

100 Modelare şi simulare

....,

,,,,,

03

0000

000

2

000001

etctyt

tyftyft

tyfty

tyfttyfty

(4.13)

Algoritmul de integrare este de ordinul p, ordinul metodei fiind dat de cel

mai mare ordin de derivare al funcţiei necunoscute y(t), în urma trunchierii seriei

Taylor (4.11). Astfel, pentru 2p , se obţine:

322

1 !2, hyhtyhfyy kkkkk , (4.14)

în care 3h indică faptul că toţi termenii care conţin 3h , sau de putere mai mare,

sunt neglijaţi.

Dezavantajul metodei Taylor constă în faptul că, la fiecare pas, necesită

calculul derivatelor ...,, 32 yy .

Observaţii:

- algoritmii de tip Taylor rezultă direct din modalitatea generală de calcul

a valorii aproximative a soluţiei, particularizaţi prin alegerea ordinului

p = 1, 2,...etc.;

- teoretic, metoda permite găsirea oricărei soluţii, pentru orice ecuaţie

diferenţială; practic, metoda se foloseşte pentru a evalua, prin

comparaţie, precizia altor metode.

Metoda Euler clasică (algoritmul Taylor de ordin I), în forma explicită,

reprezintă cel mai simplu caz al dezvoltării Taylor (4.11), particularizarea 1p

conducând la algoritmul:

kkkk tyhfyy ,1 (4.15)

Pe baza relaţiei (4.15), plecând de la valoarea iniţială 00 tyy , se

obţine şirul aproximaţiilor ...,, 21 yy , ale valorilor adevărate ...,, 21 tyty ale

soluţiei. Modul de avansare al soluţiei, pe un interval oarecare 1, kk tt , de

lungime h, foloseşte drept informaţie despre derivată numai pe aceea

corespunzătoare extremităţii din stânga a intervalului de interes, adică kk tyf , .

Page 97: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 101

Din punct de vedere geometric, metoda Euler, numită şi metoda liniilor

poligonale, constă în a înlocui curba tyy , prin linia poligonală construită

din segmentele de dreaptă ...43210 MMMMM (fig.4.1).

Fig.4.1. Metoda Euler (metoda liniilor poligonale) – interpretare geometrică

În punctul 00 ,ty , tangenta la curba tyy , defineşte punctul 0M , iar

punctul 1M se obţine la intersecţia tangentei cu ordonata ridicată din 1t .

Segmentul 10MM are coeficientul unghiular 001

0 ,tyfy . Similar, se trasează

dreapta prin 1M , cu coeficientul 111

1 , tyfy , iar la intersecţia cu ordonata

ridicată din 2t rezultă 2M , ş.a.m.d.

Observaţii:

- eroarea locală de trunchiere fiind destul de mare, pentru obţinerea unei

precizii rezonabile, pasul de integrare h trebuie să fie ales suficient de

mic;

- dacă termenul kk tyhf , din (4.15), se înlocuieşte cu

21

21 ,

kktyhf ,

informaţia despre derivată corespunde mijlocului intervalului de

interes, obţinându-se algoritmul Euler, versiunea modificată:

2

,,21

httyfhyhfyy kkkkkk ; (4.16)

Page 98: Mod Sim Curs

102 Modelare şi simulare

- dacă termenul kk tyhf , din (4.15), se înlocuieşte cu 11, kk tyhf ,

informaţia despre derivată corespunde extremităţii din dreapta a

intervalului de interes, obţinându-se algoritmul Euler implicit.

Metoda Euler îmbunătăţită (algoritmul Taylor de ordin II), se obţine

pentru cazul 2p , rezultând:

22

1 !2, kkkkk yhtyhfyy (4.17)

După aplicarea regulilor de derivare a funcţiilor compuse se obţin

relaţiile:

htyfhttyhfyftyfy

tyfy

kkkkkkkkk

kkk

,,,,

,

12

1

(4.18)

iar algoritmul de calcul devine:

httyhfyftyfhyy kkkkkkkk ,,,21 (4.19)

În relaţia (4.19), diferenţa fată de varianta clasică constă în faptul că

derivata corespunde unei medii calculate din valoarea de la începutul

intervalului şi o aproximare a valorii de la sfârşitul intervalului de interes.

Metodele Runge-Kutta (Carl Runge-1895, Wilhelm Kutta-1901) evită

calculul derivatelor funcţiei tyf , , care intervin în algoritmul Taylor, înlocuindu-

le cu evaluări ale funcţiei în diverse puncte intermediare ale intervalului de

interes. Numărul efectiv de puncte intermediare este corelat cu ordinul

metodei. Ca principiu general, metoda urmăreşte formarea unor algoritmi de

forma [1,2,4,6,9,10,11,17,18,19]:

p

jjjkk rwyy

11 (4.20)

în care: jj rw , sunt coeficienţi care se determină cu ajutorul funcţiei tyf , ,

calculată în puncte intermediare din intervalul kk tt ,1 , astfel

încât dezvoltarea din partea dreaptă a relaţiei (4.20) să coincidă

cu dezvoltarea Taylor a lui 1ky până la termenii de rang p.

Page 99: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 103

Pentru diverse valori întregi ale lui p, se obţin metode Runge-Kutta de

diverse ordine.

Metoda Runge-Kutta de ordinul I, se obţine pentru 1p , respectiv:

111 rwyy kk (4.21)

Cu valorile coeficienţilor: 11 w ; kk tyhfr ,1 se obţine relaţia:

kkkk tyhfyy ,1 (4.22)

care este similară metodei Taylor de ordinul I (metoda Euler clasică).

Metoda Runge-Kutta de ordinul II, se obţine pentru 2p , respectiv:

22111 rwrwyy kk (4.23)

Cu valorile coeficienţilor: 2121 ww şi

htryhfr

tyhfr

kk

kk

,,

12

1

se obţine relaţia:

httyhfyftyfhyrryy kkkkkkkkk ,,,22

1211 (4.24)

care este similară metodei Euler îmbunătăţită (4.19).

Metoda Runge-Kutta de ordinul IV se obţine pentru cazul 4p ,

respectiv:

43211 2261 rrrryy kk (4.25)

cu:

htryhfr

htryhfr

htryhfr

tyhfr

kk

kk

kk

kk

,21,

21

21,

21

,

34

23

12

1

(4.25a)

Algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV în forma standard (4.25), este

cotat drept cea mai populară şi eficientă metodă de integrare numerică cu pas

Page 100: Mod Sim Curs

104 Modelare şi simulare

constant, reprezentând un optim simplitate-precizie. Eroarea de trunchiere a

acestei metode este de ordinul 5hq .

Metodele Runge-Kutta se pot aplica şi pentru sisteme de ecuaţii

diferenţiale.

Astfel, se consideră ecuaţia diferenţială de ordinul n: 0,...,,,, 21 tyyyyf n (4.26)

cu condiţiile iniţiale: ...,,, 1

01

00 yyyytt . (4.26a)

Pe lângă soluţia căutată y(t), se mai introduc n-1 necunoscute auxiliare:

121 ...,,, nyyy , de forma:

12

21

1 ...,,, n

n ydt

dyydtdyy

dtdy . (4.27)

Ecuaţia (4.27), împreună cu ecuaţia (4.25) pusă în forma:

tyyyyfdt

dyn

n ,...,,,, 121 (4.28)

formează un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul I, cu n funcţii

necunoscute.

Cazul general de tratare a problemei este laborios, dar pentru o ecuaţie

diferenţială de ordin redus (de ex. 2 sau 3), calculele se simplifică.

Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale:

tyyfdt

dyty

tyyfdtdyty

,,

,,

2122

2

2111

1 (4.29)

cu condiţia iniţială:

2002

1001

ytyyty

(4.30)

În acest caz, relaţia (4.25) are forma:

42

41

32

31

22

21

12

11

,2

,1

1,2

1,1 2261

rr

rr

rr

rr

yy

yy

k

k

k

k (4.31)

în care:

Page 101: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 105

htryryhfr

htryryhfr

htryryhfr

htryryhfr

htryryhfr

htryryhfr

tyyhfrtyyhfr

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

,,,,

21,

21,

21

21,

21,

21

21,

21,

21

21,

21,

21

,,,,

32,231,1242

32,231,1141

22,221,1232

22,221,1131

12,211,1222

12,211,1121

,2,1212

,2,1111

(4.32)

respectiv:

020,2

010,1

tyytyy

(4.33)

Observaţii:

- metodele Runge-Kutta cu pas constant, sunt uşor de implementat şi,

în condiţiile unui pas de integrare suficient de mic în raport cu

dinamica sistemului studiat prin simulare, precizia soluţiei

aproximative obţinute este bună;

- avantajele algoritmilor Runge-Kutta decurg din faptul că erorile de

rotunjire datorate operaţiilor în virgulă mobilă sunt diminuate în raport

cu metodele Taylor, pentru că se evită evaluarea derivatelor funcţiei

f(y,t);

- pe de altă parte, prelucrările în virgulă mobilă, cu un pas de integrare

prea mic, pot conduce la aproximări grosiere datorită propagării

erorilor de rotunjire.

Alte metode aproximative iterative, respectiv:

- metoda trapezelor;

- metoda funcţiilor impuls-blocate (block-pulse functions);

- metoda funcţiilor Walsh;

sunt prezentate în [5,20].

Page 102: Mod Sim Curs

106 Modelare şi simulare

Exemplul 4.1.

Se consideră modelul matematic dat sub forma unei ecuaţii diferenţiale

de ordinul I, în forma:

00

2,tyy

tytyfy

Pentru 00 t şi 00 y , se soluţionează numeric pentru 1,0t . Cu pasul

constant 1,0h , rezultă 10n intervale.

Folosind metoda Euler clasică (4.15), rezultă ...,,, 321 yyy , astfel:

0001 ,tyhfyy

Cu 22000,0, 00 ftyf se obţine: 2,021,001 y ;

1112 ,tyhfyy

Cu 1,01,0001 htt şi 1,221,02,02,0;1,0, 11 ftyf se obţine:

41,01,21,02,02 y , ş.a.m.d.

Folosind metoda Euler îmbunătăţită (4.19), cu 00 t şi 00 y , rezultă:

httyhfyftyfhyy 00000001 ,,,2

Cu 1,221,02,01,0;2,01,00;21,00,, 0000 ffhttyhfyf şi

2, 00 tyf , se obţine:

205,01,2221,001 y

Cu 105,21,0;205,0, 11 ftyf şi 2155,22,0;4155,0,, 1111 fhttyhfyf

rezultă:

4210,02155,2105,221,0205,0,,,

2 11111112 httyhfyftyfhyy .

Folosind metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), cu 00 t şi 00 y ,

rezultă:

432101 2261 rrrryy

205,021,0;

22,01,0

21,0,

211,0

2,0,1,0

0102

001

ftryfr

tyfr

Page 103: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 107

210525,01,0;20525,01,01,0,1,0

20525,021,0;

2205,01,0

21,0,

211,0

0304

0203

ftryfr

ftryfr

respectiv soluţia:

2051708,0210525,020525,02205,022,06101 y , ş.a.m.d.

Exemplul 4.2.

Se consideră modelul matematic dat sub forma ecuaţiei diferenţiale de

ordinul I, în forma:

5,0141, 2

2

ytt

yytyfy ,

pentru care se propune soluţionarea numerică în doi paşi, în punctul 2t .

În acest caz, rezultă: 10 t , 5,00 y , 2n , 2ft , 5,02

120

n

tth f ,

5,15,0101 htt , 22 t .

Cu metoda Euler clasică rezultă:

25,014

115,05,05,05,0, 2

20001

tyhfyy

14236,05,14

15,125,025,05,025,0, 2

21112

tyhfyy .

Cu metoda Euler îmbunătăţită se obţine:

32118,0,,,2 00000001 httyhfyftyfhyy

23481,0,,,2 11111112 httyhfyftyfhyy

Cu metoda Runge-Kutta de ordin IV se obţine:

33332,02261

432101 rrrryy

24999,02261

432112 rrrryy .

Page 104: Mod Sim Curs

108 Modelare şi simulare

Exemplul 4.3.

Se consideră circuitul electric RLC serie din Exemplul 2.6, prezentat în

fig.2.17 pentru care a fost dedus un model matematic ce conţine două ecuaţii

diferenţiale de ordin I:

tiCdt

du

tuL

tiLRte

Ldtdi

Le

C

CLeL

1

11

Considerând pentru componentele sistemului valorile Re = 2000 Ω,

L = 0.025H, Ce = 10-7H, trasarea evoluţiei stărilor pe intervalul de timp

mst 1,0 se poate realiza prin folosirea metodelor numerice. Două metode

numerice, directe şi explicite, de tip Runge-Kutta de ordin 3 şi 4 sunt

implementate în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode23 şi ode45.

Sintaxa folosită de aceste două funcţii este de forma [5,8,23,24]:

[t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0);

sau [t,xn]=ode45('rlcserie',t0,tf,x0);

unde: t este un vector ce conţine timpul de simulare;

xn - matrice ce conţine soluţiile ecuaţiilor diferenţiale la momentele de

timp t;

rlcserie - reprezintă o funcţie în care este descris sistemul de ecuaţii

diferenţiale de ordin I;

t0 - momentul de timp iniţial;

tf - momentul de timp final;

x0 - condiţiile iniţiale.

Pentru exemplul dat, funcţia Matlab ce conţine descrierea sistemului de

ecuaţii diferenţiale de ordin I (modelul matematic al circuitului RLC serie cu

intrare treaptă, 1V), denumită “rlcserie.m” este de forma:

function dx=rlcserie(t,x)

e=1;Re=2000;L=0.025;Ce=10^-7;

dx=zeros(2,1);

dx(1)=-Re/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*e;

Page 105: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 109

dx(2)=1/Ce*x(1);

dx=[dx(1); dx(2)];

Secvenţa de program care determină traiectoriile de stare prin apelarea

funcţiei rlcserie cu ajutorul metodei ode23, şi le afişează grafic, este

următoarea: clf;clc;clear;

%initializarea variabilelor

t0=0;tf=10^-3;x0=[0 0];

% Determinarea starilor prin rezolvare numerica

[t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0);

x1=xn(:,1);x2=xn(:,2);

% Afisarea starilor

figure(1)

subplot(211),plot(t,x1);grid;ylabel('I_L [A]');xlabel('Timp [s]');

subplot(212),plot(t,x2);grid;ylabel('U_C [V]');xlabel('Timp [s]');

Evoluţia stărilor la o intrare treaptă e(t)=1V, prin rezolvarea numerică cu

ajutorul a două metode Runge-Kutta este indicată în fig.4.2 [23].

a) b)

Fig.4.2. Evoluţia variabilelor de stare a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: a) rezolvare cu ode23; b) rezolvare cu ode45

Page 106: Mod Sim Curs

110 Modelare şi simulare

IV.2.2. Metode indirecte

Metodele indirecte (multi-pas) se bazează, ca principiu general, pe

faptul că funcţia y(t), ce reprezintă soluţia problemei Cauchy (4.2) poate fi

aproximată oricât de bine, în orice interval închis, printr-un polinom de grad

suficient de înalt (metodele de integrare indirecte se numesc şi metode de

integrare bazate pe aproximări polinomiale) [2,4,6,9,10,13,17,18,19].

Astfel, dacă în cadrul diviziunii ftt ,0 , se consideră punctele consecutive

N ptttt kkkpk ,... 111 , se presupune că soluţia exactă y(t) poate fi

aproximată printr-un polinom de gradul p:

1110 ,,... kpkp

p ttttctccty , (4.34)

unde coeficienţii pici ,...,1,0, , asigură egalitatea dintre soluţia aproximativă şi

soluţia exactă în punctele diviziunii ftt ,0 .

Dacă punctele diviziunii uniforme ftt ,0 satisfac condiţia

1,...,1,0,1 Nkhtt kk , forma generală a unui algoritm de integrare indirect

cu pas constant este dată de relaţia:

11

,,...,,...

111110

11211

Nkmtyfbtyfbtyfbh

yayayay

mkmkmkkkk

mkmkkk

(4.35)

în care: mm bbbaa ,...,,,,..., 101 sunt coeficienţi aleşi astfel încât valoarea 1kty

calculată cu (4.35) să coincidă cu valoarea 1kty calculată cu

(4.34);

mityf ikik ,...,1,0,, 11 - funcţii pentru care se consideră satisfăcută

egalitatea:

ik

iktt

pp

ttikik tpctcc

dtdytyf

11

12111 ...2, . (4.35a)

Observaţii:

- relaţia (4.34) se poate considera un polinom de interpolare care

aproximează soluţia exactă a problemei Cauchy (4.2);

Page 107: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 111

- pentru 00 b , în (4.35), se obţine metoda explicită, deoarece termenul

1ky apare numai în membrul stâng, iar relaţia poate defini valoarea

acestuia într-o manieră explicită;

- pentru 00 b , în (4.35), se obţine metoda implicită, deoarece termenul

1ky apare atât în membrul stâng cât şi în membrul drept, iar relaţia

poate defini valoarea acestuia într-o manieră implicită;

- o metodă multi-pas (explicită sau implicită) de ordinul p + 1 necesită

cunoaşterea valorilor 1,,...,0, ppityy ii , corespunzătoare primelor

p + 1 puncte ale diviziunii ftt ,0 , (metodele indirecte nu sunt

autostartabile); pentru obţinerea acestor valori, trebuie aplicat în

prealabil, de p ori, un algoritm uni-pas (o metodă directă), cel mai

recomandat fiind algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV, datorită preciziei

sale şi a modului relativ simplu de programare.

Algoritmi Adams

Expresia generală (4.35), particularizată pentru 1 pm şi

0,0...,1 021 baaa m , conduce la clasa de algoritmi expliciţi

Adams-Bashforth, de forma:

1,,..., 111 Nkptyfbtyfbhyy pkpkpkkkk . (4.36)

În (4.36), calculul valorii 1ky are semnificaţia de predicţie a unei valori

necunoscute, ce se evaluează pe baza a p+1 valori cunoscute

kkpkpk tyytyy ,..., , astfel că algoritmii Adams-Bashforth se numesc şi

algoritmi Adams predictor.

Expresia generală (4.35), particularizată pentru pm şi

0...,1 21 maaa , conduce la clasa de algoritmi impliciţi Adams-Moulton, de

forma:

,,...,, 1111101 pkpkpkkkkkk tyfbtyfbtyfbhyy 1 Nkp . (4.37)

În (4.37), calculul valorii 1ky are semnificaţia de corecţie a valorii deja

cunoscute 11 kk tyy , care apare şi în membrul drept, alături de alte p valori

Page 108: Mod Sim Curs

112 Modelare şi simulare

cunoscute kkpkpk tyytyy ,...,11 , utilizate pentru realizarea corecţiei

(algoritmii Adams-Moulton se numesc şi algoritmi Adams corector).

Dacă valoarea 11 kk tyy este, mai întâi, predictată cu ajutorul

algoritmului Adams predictor (4.36) şi, apoi corectată cu ajutorul algoritmului

Adams corector (4.37), se obţine algoritmul Adams predictor-corector.

În construcţia concretă a unei formule de integrare multi-pas de tipul

(4.35), pentru care se determină valorile numerice ale coeficienţilor, aplicarea

efectivă a aproximării prin interpolare polinomială se referă la funcţia f(y,t) din

membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4.2).

Astfel, din (4.2), considerând relaţia:

1 ,1

k

k

t

tkk dttyftyty , (4.38)

pentru funcţia f(y,t), se calculează aproximativ integrala, prin utilizarea

polinomului Lagrange de interpolare, tg p , de grad p:

1 1,k

k

k

k

t

t

t

t p dttgdttyf , (4.39)

care conduce la forma:

1

1k

k

t

t pkk dttgyy . (4.40)

Observaţii: - în cazul algoritmilor Adams-Bashforth, polinomul de interpolare, tg p ,

se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante kpk tt ... ;

- în cazul algoritmilor Adams-Moulton, polinomul de interpolare, tg p , se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante 11 ... kpk tt ;

- eroarea locală de trunchiere pentru un algoritm de integrare multi-pas

de tip Adams, bazat pe un polinom de interpolare tg p , este

21

pl

k hO .

Algoritmii Adams-Bashforth de ordin 1,1 pp , sunt descrişi de

egalitatea (4.36). Coeficienţii 11,..., pbb se determină în urma explicitării

integralei 1k

k

t

t p dttg din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.1.

Page 109: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 113

Tabelul 4.1. Valorile coeficienţilor 11,..., pbb , pentru algoritmii Adams-Bashforth

Algoritm Adams-Bashforth

1b 2b 3b 4b

Ordinul II 23

21

-

-

Ordinul III 1223

1216

125

-

Ordinul IV 2455

2459

2437

249

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul II, obţinut pentru p = 1, necesită

valorile 1100 , tyytyy , pentru pornire şi are forma:

11,,21,

23

111

Nktyftyfhyy kkkkkk . (4.41)

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită

valorile 221100 ,, tyytyytyy , pentru pornire şi are forma:

12,,125,

1216,

1223

22111

Nktyftyftyfhyy kkkkkkkk (4.42)

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV, obţinut pentru p = 3, necesită

valorile 33221100 ,,, tyytyytyytyy pentru pornire şi are forma:

13

,,249,

2437,

2459,

2455

3322111

Nk

tyftyftyftyfhyy kkkkkkkkkk (4.43)

Algoritmii Adams-Moulton de ordin 1,1 pp , sunt descrişi de

egalitatea (4.37). Coeficienţii pbb ,...,0 se determină în urma explicitării integralei

1k

k

t

t p dttg din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.2.

Observaţie:

- practic, algoritmii Adams-Moulton sunt utilizaţi ca metode corectoare;

astfel, dacă există o valoare 11 kpredpred

k tyy calculată printr-o metodă

Page 110: Mod Sim Curs

114 Modelare şi simulare

oarecare, în punctul 1kt , atunci formula de integrare (4.37) va furniza o

valoare nouă corky 1 , corespunzând aceluiaşi punct 1kt .

Tabelul 4.2. Valorile coeficienţilor pbb ,...,0 , pentru algoritmii Adams-Moulton

Algoritm Adams-Moulton

0b 1b 2b 3b

Ordinul II 21

21

-

-

Ordinul III 125

128

121

-

Ordinul IV 249

2419

245

241

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul II, obţinut pentru p=1, necesită

valorile 1100 , tyytyy , pentru pornire şi are forma:

10,,21,

21

111

Nktyftyfhyy kkkkkk . (4.44)

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul III, obţinut pentru p=2, necesită

valorile 221100 ,, tyytyytyy , pentru pornire şi are forma.

11,,121,

128,

125

11111

Nktyftyftyfhyy kkkkkkkk (4.45)

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul IV, obţinut pentru p=3, necesită

valorile 33221100 ,,, tyytyytyytyy , pentru pornire şi are forma:

13

,,241,

245,

2419,

249

2211111

Nk

tyftyftyftyfhyy kkkkkkkkkk (4.46)

Algoritmi Adams predictor-corector se construiesc folosind predictorul

şi corectorul de acelaşi ordin, obţinându-se: algoritmul Adams predictor-

corector de ordinul II (predictorul de ordin II (4.41) şi corectorul de ordin II

(4.44)), algoritmul Adams predictor-corector de ordinul III (predictorul de

ordin III (4.42) şi corectorul de ordin III (4.45)), algoritmul Adams predictor-

corector de ordinul IV (predictorul de ordin IV (4.43) şi corectorul de ordin IV

(4.46)).

Page 111: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 115

Algoritmul predictor-corector de ordinul I (algoritmul Euler predictor-

corector), se obţine prin asocierea algoritmului Euler clasic (4.15), utilizat drept

predictor, cu algoritmul Euler îmbunătăţit (4.19), utilizat drept corector.

Formula de predicţie conduce la o primă estimare pentru valoarea Pkk yy 11 , iar formula de corecţie creşte precizia soluţiei la C

ky 1 , respectiv:

111

1

,,2

,

kPkkkk

Ck

kkkPk

tyftyfhyy

tyhfyy (4.47)

Considerând un punct kk ty , al soluţiei, algoritmul (4.47) se aplică iterativ,

în următorii paşi:

1. se calculează Pky 1 cu formula predictor;

2. se calculează Cky 1 cu formula corector, luând pentru prima iteraţie

valoarea Pky 1 calculată la pasul 1; pentru iteraţiile următoare, în locul

valorii Pky 1 se ia valoarea C

ky 1 , determinată la iteraţia precedentă;

formula corector se repetă la acelaşi pas (pentru aceeaşi ordonată)

până se ajunge la precizia impusă:

impusPk

Ck yy 11 sau impus

kk

kk yy

111 (4.48)

3. având condiţia (4.48) îndeplinită, se trece la calculul punctului

următor, începând cu pasul 1.

Metode Gear pentru ecuaţii stiff

Sistemele de ecuaţii diferenţiale stiff (lb. română, „înţepenit” sau „rigid”)

se caracterizează prin aceea că dinamica soluţiilor (traiectoriilor) pune în

evidenţă componente cu variaţie foarte rapidă, precum şi componente cu

variaţie foarte lentă în raport cu variabila independentă, cu semnificaţie

temporală. Geometric, aceasta se traduce prin schimbări bruşte ale

cosinusurilor directoare pentru dreptele tangente la curbele soluţii [8,13,23,24].

În cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de forma (4.2), comportarea

de tip stiff apare pentru domeniile de valori ale vectorului soluţie y, care

Page 112: Mod Sim Curs

116 Modelare şi simulare

conduc la disproporţii mari (de ordinul sutelor sau miilor) între valorile proprii

ale matricei jacobian yf .

În cazul particular al sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare, cu

coeficienţi constanţi, prezenţa valorilor proprii disproporţionate ca amplitudine,

se traduce prin disproporţia constantelor de timp (comportare stiff).

Majoritatea metodelor standard de integrare nu sunt potrivite pentru

rezolvarea ecuaţiilor stiff, astfel că trebuie ales un algoritm care să permită

variaţia pasului de integrare într-o plajă largă de valori, în condiţii de stabilitate

numerică (algoritm stiff stabil).

Algoritmii Gear (1971), cu structură implicită şi cu ajustarea automată a

pasului, se bazează pe formula generală multi-pas (4.35), pentru 1 pm şi

0...1 mbb , respectiv:

11011211 ,... kkpkpkkk tyfhbyayayay , 1 Nkp . (4.49)

Algoritmul Gear de ordinul II, obţinut din (4.49) pentru p = 1, necesită

pentru pornire valorile 1100 , tyytyy şi are forma:

1111 ,32

31

34

kkkkk tyfhyyy . (4.50)

Algoritmul Gear de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită pentru pornire

valorile 221100 ,, tyytyytyy şi are forma:

11211 ,116

112

119

1118

kkkkkk tyfhyyyy (4.51)

Observaţii:

- viteza şi precizia cu care se rezolvă problema (4.2), depind de metoda de

integrare folosită, de mărimea pasului de integrare şi de toleranţa

acceptată de utilizator;

- metoda Euler implicită este extrem de simplă, dar necesită paşi de

integrare mult mai mici decât cei utilizaţi de alte metode pentru a atinge

aceeaşi precizie (uzual se foloseşte în cazul unor sisteme de complexitate

redusă);

Page 113: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 117

- metodele Runge-Kutta sunt adecvate unor clase largi de sisteme,

caracterizate printr-o dinamică liniară sau neliniară, echilibrată (fără

tendinţe de comportare stiff);

- în rezolvarea numerică a unei probleme de forma (4.2), algoritmul

Adams implicit de ordinul II este stabil pentru orice valoare a pasului de

integrare, alegerea pasului fiind restricţionată doar de precizia impusă

pentru soluţia numerică a problemei; orice algoritm Adams implicit, de

ordin p + 1, p > 1, poate utiliza paşi de integrare mai mari decât

algoritmul Adams explicit de acelaşi ordin.

- metodele Adams predictor-corector sunt recomandate pentru simularea

sistemelor care prezintă o comportare stiff, uşoară sau moderată;

- metodele Gear sunt singurele care pot furniza rezultate corecte în

simularea sistemelor cu o pronunţată comportare stiff;

- stabilitatea numerică a unui algoritm de integrare garantează faptul că

erorile de rotunjire şi cele de trunchiere nu sunt amplificate, ci rămân

mărginite pentru valori suficient de mici ale pasului de integrare;

- dacă pasul de integrare este prea mic, este necesar un număr foarte

mare de paşi pentru a acoperi întreg intervalul de integrare, ceea ce

implică un volum mare de calcule;

- în practică se recomandă alegerea unui pas de integrare cât mai mare

posibil, care să asigure, însă, stabilitatea numerică a algoritmului.

Exemplul 4.5.

Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.1:

00

2,tyy

tytyfy

Pentru 00 t şi 00 y , se soluţionează numeric pentru 1,0t . Se alege

pasul constant 1,0h , 10n şi se impune 001,0impus .

Pentru calculul valorilor ...,,, 321 yyy , algoritmul Euler predictor-corector

(4.47), se aplică astfel:

Page 114: Mod Sim Curs

118 Modelare şi simulare

Determinarea valorii 1y :

- iniţializarea: 00001 , tyhfyy ;

Cu 22000,0, 00 ftyf se obţine: 2,021,0001 y ;

- corectarea: 101000

11 ,,

2tyftyfhyy ;

Cu 1,01,0001 htt şi 1,221,02,01,0;2,0, 101 ftyf se obţine valoarea

corectată: 205,01,221,05,0011 y ;

- verificarea condiţiei (4.48): 001,001

11 yy conduce la:

001,0005,0200,0205,001

11 yy ;

- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea:

111000

21 ,,

2tyftyfhyy ;

Cu 105,221,0205,01,0;205,0, 111 ftyf se obţine valoarea corectată:

20525,0105,221,05,0021 y ;

- verificarea condiţiei (4.48): 001,011

21 yy conduce la:

001,000025,0205,020525,011

21 yy ;

- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: 20525,01 y .

Determinarea valorii 2y :

- iniţializarea: 11102 ,tyhfyy ;

Cu 10525,221,020525,01,0;20525,0, 11 ftyf se obţine:

4158,010525,21,020525,002 y ;

- corectarea: 202111

12 ,,

2tyftyfhyy ;

Cu 2,01,01,012 htt şi 2158,222,04158,02,0;4158,0, 202 ftyf se

obţine valoarea corectată: 4213,02158,210525,21,05,020525,012 y ;

- verificarea condiţiei (4.48): 001,002

12 yy conduce la:

001,00055,04158,04213,002

12 yy ;

- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea:

Page 115: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 119

212111

22 ,,

2tyftyfhyy ;

Cu 2213,222,04213,02,0;4213,0, 212 ftyf se obţine valoarea corectată:

42157,02213,210525,21,05,020525,022 y ;

- verificarea condiţiei (4.48): 001,012

22 yy conduce la:

001,000027,04213,042157,012

22 yy ;

- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: 42157,02 y ;

- similar, se determină ...,, 43 yy , ş.a.m.d.

Exemplul 4.6.

Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.2:

5,0141, 2

2

ytt

yytyfy ,

pentru care se propune soluţionarea numerică cu metoda Adams-Bashforth de

ordinul IV, în punctul 25,2t . Soluţia de start se determină în punctul 2t ,

prin metoda Runge-Kutta de ordin IV, în 4 paşi.

Pentru a aplica metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), se consideră:

10 t , 5,00 y , 2 tt f , 4n , 25,04

120

n

tth f , 25,125,0101 htt ,

5,12 t , 75,13 t , 24 t .

Utilizarea relaţiilor (4.25), (4.25a), conduce la: 4,01 y ; 33333,02 y ;

28571,03 y ; 25,04 y .

Pentru determinarea valorii aproximative a soluţiei în punctul 25,2t ,

algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV (4.43), are forma:

1122334445 ,

249,

2437,

2459,

2455 tyftyftyftyfhyy .

Cu: 125,00625,0125,00625,024

1225,025,02;25,0, 2

244

ftyf ;

16327,075,1;28571,0, 33 ftyf ; 22222,05,1;33333,0, 22 ftyf ;

32,025,1;4,0, 11 ftyf se obţine soluţia: 22307,025,2 5 yy .

Page 116: Mod Sim Curs

120 Modelare şi simulare

Exemplul 4.7.

Se consideră ecuaţia diferenţială de ordin I din Exemplul 4.2:

22

41,tt

yytyfy

pentru care se doreşte realizarea unui program de rezolvare numerică, în mediul

Matlab, cu ajutorul metodelor indirecte de tip Adams implementate în funcţia

ode113 [5,8,23,24].

Ecuaţia diferenţială de ordin I este descrisă cu ajutorul funcţiei “func.m”.

function dy=func(t,y)

%ecuatia dif. de ordin I

dy=y^2-y/t+1/(4*t^2);

Secvenţa de program care determină şi afişează evoluţia soluţiei

numerice a ecuaţiei diferenţiale este:

%Exemplul 4.7 Rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordin I

clf;clc;clear;

%initializarea variabilelor

t0=1;tf=2;y0=[0.5];

% Determinarea solutiei prin rezolvare numerica

[t,yn]=ode113('func',t0,tf,y0);

% Afisarea solutiei

figure(1)

plot(t,yn);grid;ylabel('Solutia');xlabel('timp [s]')

Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale de ordin I, prin rezolvarea numerică

cu ajutorul metodei de tip Adams (funcţia ode113), pentru condiţia iniţială

y(1)=0,5, este prezentată în fig.4.3.

Dacă se modifică condiţia iniţială, y(1)=0 şi se extinde domeniul variabilei

4,1t , atunci evoluţia soluţiei y se modifică conform fig.4.4.

Page 117: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 121

Fig.4.3. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0,5

Fig.4.4. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0

Page 118: Mod Sim Curs

122 Modelare şi simulare

Exemplul 4.8.

Se consideră următoarea ecuaţie diferenţială de ordin II:

yyyktyfy

21,

cunoscută în literatura de specialitate ca ecuaţia Van der Pol (ecuaţie

diferenţială stiff). Cu cât valoarea coeficientului k este mai mare cu atât este

mai evident caracterul stiff al problemei (existenţa componentelor cu variaţie

foarte rapidă şi a componentelor cu variaţie foarte lentă în raport cu variabila

independentă).

Algoritmii Gear, recomandaţi pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor

stiff, sunt implementaţi în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode15s, ode23s,

ode23t.

Deoarece ecuaţia Van der Pol este diferenţială de ordin superior,

aceasta trebuie adusă la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin I şi

transpusă sub forma unei funcţii, apoi în program Matlab [5,8,23,24]:

12212

21

1 yyyky

yy

function dy=func(t,y)

%ecuatia van der Pol

k=1;

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=k*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

dy=[dy(1); dy(2)];

Pentru 20,0t şi condiţiile iniţiale y1(0)=2, y2(0)=0, respectiv pentru un

factor k=1 evoluţia celor două variabile determinate cu ajutorul funcţiei ode23s

este prezentată în fig.4.5.

Creşterea factorului k determină evidenţierea caracterului stiff al

sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordin I (fig.4.6, cu k=2 şi k=5).

Page 119: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 123

Fig.4.5. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, pentru k=1, rezolvare numerică cu ode23s

a) b)

Fig.4.6. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, rezolvare numerică cu ode23s: a) pentru k=2; b) pentru k=5.

Page 120: Mod Sim Curs

124 Modelare şi simulare

ANEXE. PROGRAME MATLAB

Anexa 1. Programul Matlab pentru Exemplul 2.5 [23,24]. %Exemplul 2.5 Un sistem mecanic conectat cu resort si amortizor (in paralel)

clf;clc;clear;

%Parametrii sistemului

ke=1; %N/mm (1, alte valori 4N/mm)

gamma=10; %Ns/mm (10, alte valori 5Ns/mm)

%Timpul de simulare

t=0:0.1:50;

%Ecuatia diferentiala: gamma*x'(t)+ke*x(t)=F(t)

%Constanta de timp:

T=gamma/ke %sec

%Factorul de amplificare:

K=1/ke %mm/N

%1.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM TREAPTA

%____________________________________

%Semnalul de intrare

F=10; %N (10, alte valori -10N,20N)

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat

xft(1,1:length(t))=K*(1-exp(-t/T))*F; %mm

figure(1)

subplot(131);plot(t,xft);grid;

ylabel('Deplasarea in regim fortat [mm]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat

vft(1,1:length(t))=K*exp(-t/T); %mm/s

subplot(132);plot(t,vft);grid;

title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)');

Page 121: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 125

ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului

Fr=ke*xft;

%Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului

Fa=gamma*vft;

subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid;

legend('Fr','Fa');

ylabel('Actiunea fortelor [N]');

xlabel('Timp [s]');

%Performante:

ts5=3*T

ts2=4*T

ys=K*F

%2.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM SINUSOIDAL

%______________________________________

%Semnalul de intrare

A=10;

w=pi/10; %(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)

F=10*sin(w*t); %N

figure(2)

subplot(131);plot(t,F);grid;

ylabel('Intrarea sinusoidala [N]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat

M=K/sqrt(T^2*w^2+1);

Fi=atan(T*w)

R=K*T*w/(T^2*w^2+1);

xfs(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi)+A*R*exp(-t/T); %mm

Page 122: Mod Sim Curs

126 Modelare şi simulare

%Expresia componentei de regim permanent sinusoidal

xps(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi); %mm

subplot(132);plot(t,xfs,t,xps,'--');grid;

legend('x_f','x_p');

title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)');

ylabel('Deplasarea si comp. permanenta [mm]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat

vfs(1,1:length(t))=1/gamma*(F-ke*xfs); %mm/s

subplot(133);plot(t,vfs);grid;

ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]');

xlabel('Timp [s]');

%3.RASPUNSUL LIBER

%__________________

%Pozitia initiala

x0=3 %mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber

xl(1,1:length(t))=x0*exp(-t/T); %mm

figure(3)

subplot(131);plot(t,xl);grid;

ylabel('Deplasarea in regim liber [mm]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim liber

vl(1,1:length(t))=-1/T*xl; %mm/s

subplot(132);plot(t,vl);grid;

title('Raspunsuri in regim liber (x_0=2 mm)');

ylabel('Viteza in regim liber [mm/s]');

xlabel('Timp [s]');

Page 123: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 127

%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului

Fr=ke*xl;

%Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului

Fa=gamma*vl;

subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid;

legend('Fr','Fa');

ylabel('Actiunea fortelor [N]');

xlabel('Timp [s]');

%4.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE SINUSOIDALA

%__________________________________________

%Semnalul de intrare

figure(4)

subplot(131);plot(t,F);grid;

ylabel('Intrarea sinusoidala [N]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat si

%liber

subplot(132);plot(t,xfs,t,xl,'--');grid;

legend('x_f','x_l');

title('Determinarea raspunsului complet la intrare sinusoidala');

ylabel('Deplasarea in regim fortat si liber [mm]');

xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet

x=xl+xfs; %mm

subplot(133);plot(t,x,t,xps,'--');grid;

ylabel('Raspunsul complet la sinus [mm]');

xlabel('Timp [s]');

%5.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE CU IMPULSURI

%___________________________________________

%Timpul de simulare

t=0:0.1:200;

%Semnalul de intrare

Page 124: Mod Sim Curs

128 Modelare şi simulare

F(1,1:400)=10; %N

F(1,401:800)=-4; %N

F(1,801:1000)=-7; %N

F(1,1001:1400)=12; %N

F(1,1401:1600)=-15; %N

F(1,1601:2001)=0; %N

figure(5)

subplot(121);plot(t,F);grid;

ylabel('Intrarea sub forma de impulsuri [N]');

xlabel('Timp [s]');

%pozitia initiala

x0=3; %mm

xi=[x0]; %mm

ts=0;

xs=K*F(1);

for i=1:length(t)

if ((t(i)==40)|(t(i)==80)|(t(i)==100)|(t(i)==140)|(t(i)==160))

%Pozitia initiala

ts=t(i); %timpul unde a aparut ultima discontinuitate

x0=x(1,i-1); %ultima pozitie inainte de discontinuitate

xi=[xi x0]; %toate pozitiile in punctele de discontinuitate

xs=[xs K*F(i)]; %toate valorile pentru componentele stationare

end

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber

xl(1,i)=x0*exp((-t(i)+ts)/T); %mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat

xf(1,i)=K*(1-exp((-t(i)+ts)/T))*F(i); %mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet

x(1,i)=xl(1,i)+xf(1,i); %mm

end

subplot(122);plot(t,x);grid;

ylabel('Raspunsul complet la impulsuri [mm]');

xlabel('Timp [s]');

Page 125: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 129

Anexa 2. Programul Matlab pentru Exemplul 2.6 [23,24]. %Exemplul 2.6 Un sistem electric RLC serie

clf;clc;clear;

%1.Determinarea valorilor proprii pentru doua sisteme

%____________________________________________________

%Parametrii sistemului 1

R1=1250; %Ohm

L1=0.025; %H

C1=10^-7; %F

A1=[-R1/L1 -1/L1; 1/C1 0];

lam1=eig(A1);

%Parametrii sistemului 2

R2=800; %Ohm

L2=0.02; %H

C2=10^-7; %F

A2=[-R2/L2 -1/L2; 1/C2 0];

lam2=eig(A2);

%2.Dinamica de regim liber

%_________________________

%Parametrii sistemului 3

R3=2000; %Ohm (2000, alte valori 200)

L3=0.025; %H

C3=10^-7; %F

A3=[-R3/L3 -1/L3; 1/C3 0];

B3=[1/L3;0];

C3=[-R3 -1];

D3=1;

sys3=ss(A3,B3,C3,D3);

lam3=eig(A3);

%Starile initiale

il0=0.001; %a

Page 126: Mod Sim Curs

130 Modelare şi simulare

uc0=2; %V

x0=[il0;uc0];

%Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie

figure(1);

[yl,tl,xl]=initial(sys3,x0,10^-3);

subplot(221)

plot(tl,xl(:,1));grid;

ylabel('I_L [A]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(223)

plot(tl,xl(:,2));grid;

ylabel('U_C [V]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(122)

plot(tl,yl);grid;

ylabel('U_L [V]');

xlabel('Timp [s]');

%3.Dinamica de regim fortat

%__________________________

%Raspunsul la intrare treapta

figure(2);

[yf,tf,xf]=step(sys3,10^-3);

subplot(221)

plot(tf,xf(:,1));grid;

ylabel('I_L [A]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(223)

plot(tf,xf(:,2));grid;

ylabel('U_C [V]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(122)

plot(tf,yf);grid;

ylabel('U_L [V]');

Page 127: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 131

xlabel('Timp [s]');

%Raspunsul la intrare sinus

%timpul de simulare

ts=0:0.00001:0.001;

%Semnalul de intrare

A=1;

w=4000*pi; %(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)

e=A*sin(w*ts); %V

figure(3)

subplot(222);plot(ts,e);grid;

ylabel('E [V]');

xlabel('Timp [s]');

[ys,ts,xs]=lsim(sys3,e,ts);

subplot(224);plot(ts,ys);grid;

ylabel('U_L [V]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(221)

plot(tf,xs(:,1));grid;

ylabel('I_L [A]');

xlabel('Timp [s]');

subplot(223)

plot(tf,xs(:,2));grid;

ylabel('U_C [V]');

xlabel('Timp [s]');

Page 128: Mod Sim Curs

132 Modelare şi simulare

BIBLIOGRAFIE

[1] Beu T.A., Analiza numerică în Turbo Pascal, Editura Microinformatica SRL,

Cluj Napoca, 1992.

[2] Berbente C., Mitran S., Zancu S., Metode numerice, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1998.

[3] Chi Tsong C., Analog and digital control system design. Transfer function,

state space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 2000.

[4] Dodescu Gh., Toma M., Metode de calcul numeric, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1979.

[5] Dulău M., Oltean S., Modelare şi simulare, Lucrări de laborator,

Universitatea “Petru Maior” Tg.Mureş, 2003.

[6] Forsythe G., Malcolm M., Moler C., Computer methods for mathematical

computations, Prentice-Hall, New Jersey, 1977.

[7] Franklin G., ş.a., Feedback control of dynamic systems, Fourth edition,

Prentice Hall, 2002.

[8] Ghinea M., Fireţeanu V., Matlab, calcul numeric. Grafică-aplicaţii, Editura

Teora, 1997.

[9] Jora B., Popeea C., Barbulea S., Metode de calcul numeric în automatică.

Sisteme liniare, Editura Enciclopedică, Bucureşti,1996.

[10] Kahaner D., Moler C., Nash S., Numerical methods and software,

Prentice-Hall, New Jersey, 1989.

[11] Larionescu D., Metode numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989.

[12] Mătieş V., Mecatronică, Editura Dacia, Cluj Napoca, 1998.

[13] Păstrăvanu O., Limbajul bond-graph în modelarea şi simularea sistemelor

fizico-tehnice, Editura Gh. Asachi, Iaşi, 2002.

[14] Postolache M., Metode numerice, Editura Sirius, Bucureşti, 1994.

[15] Preitl Ş., Precup R.E., Introducere în ingineria reglării automate, Editura

Politehnica Timişoara, 2001.

[16] Rus I., ş.a., Modelare şi simulare. Îndrumar de lucrări practice,

Universitatea Politehnică Bucureşti, 1994.

Page 129: Mod Sim Curs

Modelare şi simulare 133

[17] Rusu I., Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1997.

[18] Shampine, L. F., Gordon M. K., Computer solution of ordinary differential

equations: the initial value problem, San Francisco, 1975.

[19] Ştefan K., ş.a., Calcul numeric în energetică. Algoritmi, programe,

aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1996.

[20] Teodorescu D., Sisteme automate deterministe, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1984.

[21] Voicu M., Introducere în automatică, Editura Polirom, Iaşi, 2002.

[22] Zărnescu H., Ingineria reglării automate, Universitatea „Petru Maior”

Tg.Mureş, 1997.

[23] ***, Matlab. The language of technical computing, The MathWorks Inc.,

1997.

[24] ***, Simulink. Dynamic system simulation for Matlab, The MathWorks Inc.,

1997.