Conf. dr. ing. Sorina Costina, Facultatea de Energetica, Universitatea POLITEHNICA din Bucureti

MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI

1. Rata de defectare si evaluarile din domeniul mentenanei

2. Modelarea mentenanei corective

3. Modelarea mentenanei preventive

4. Modelarea mentenanei predictive

MIEE

Curs 3

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Modelarea matematic a mentenanei

evalueaz parametrii care au influen asupra performanelor staiei electrice sub aspectul fiabilitii i disponibilitii sale, dar i sub aspect economic.

NOTAII: Pentru corelarea cu literatura tehnic de specialitate, pentru mrimile care vor interveni n calcul, s-au pstrat notaiile provenite de la prescurtrile din limba englez:

R (de la Reliability) pentru probabilitatea de bun funcionare; F (de la Failure) pentru probabilitatea de defectare.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Probabilitatea de bun funcionare R(t) reprezint probabilitatea ca un echipament sau o parte

component a acestuia s-i ndeplineasc funcia specificat, n condiii determinate i de-a lungul unei durate date.

R(t) = Prob (t > T), (1) t este variabila (aleatoare) timp,

T reprezint limita specificat a duratei de bun funcionare. Probabilitatea de defectare F(t) reprezint probabilitatea cumulativ de defectare, adic

probabilitatea de apariie a cel puin unui defect: F(t) = Prob (t < T). (2)

ntre probabilitatea de bun funcionare R(t) i probabilitatea de defectare F(t) exist relaia:

R(t) + F(t) = 1. (3)

PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU

FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Densitatea de probabilitate a defectrii este derivata lui F(t)

dt

tdFtF

)()(

Durata medie de funcionare

Cea mai bun cale de a identifica momentul de timp n care funcionarea echipamentelor devine critic o reprezint cunoaterea

legilor de repartiie a timpului dintre defectele consecutive.

Media timpului :

MTTF (Mean Time To Failure) - pn la defectare

MTBF (Mean Time Between Failure) - dintre dou defectri succesive

MTTR (Mean Time To Repair) - de reparare

MUT (Mean Up Time) - de funcionare

MDT (Mean Down Time) - de avarie

PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU

FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC

(4)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Rata de defectare instantanee (t) reprezint rata de defectare a unui dispozitiv ntre momentele t i t + dt, redus la unitatea de timp, pentru un dispozitiv n funciune (sau n stare de funcionare) n momentul t.

(5)

Fiabilitatea se poate exprima n funcie de rata de defectare:

(6)

Metodele clasice de planificare a mentenanei trebuie combinate cu metode avansate, ce folosesc criterii de fiabilitate; n particular, aceste metode trebuie bazate pe cunoaterea variaiei n timp a ratei de defectare a componentelor.

dttRtdR

tRdt

tdFt

11

t

dtttR0

exp

PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU

FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

RATA DE DEFECTARE I EVALURILE

DIN DOMENIUL MENTENANEI

0 t1 t2 t3 Timp (t)

rodaj maturitate uzur

Rata de defectare()

(a) (b)

Dintre parametrii menionai, rata de defectare este cel mai adecvat parametru

pentru evalurile din domeniul mentenanei. Evoluia n timp a ratei de defectare

permite determinarea cauzelor de defectare sistematic i a momentelor n care

este necesar s se intervin pentru ndeprtarea acestora, n vederea mririi

perioadei de via, caracterizat de o rat de defectare mic i constant.

Echipamentele i componentele lor pot fi

cu rata de defectare:

descresctoare (0 < t t1 ), corespunde

"mortalitii infantile", cauzate de erori

din fazele de proiectare i de construcie;

constant (t1 < t t2), corespunde

perioadei de via utile;

cresctoare (t2 < t t3 ), corespunde

perioadei finale, de uzur sau btrnee.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Dac se ine seama de variaia clasic a ratei de defectare (a):

(0, t1] - Nu este cazul s se desfoare activiti de mentenan deoarece i dup ncheierea operaiunilor de mentenan, componenta va avea aceeai probabilitate de defectare.

mbuntiri se pot obine numai prin asigurarea controlului calitii n timpul proiectrii.

(t1 < t t2) - Nu se intervine deoarece probabilitatea de defectare nu se va schimba dup efectuarea mentenanei.

mbuntiri n aceast etap se pot obine numai prin depistarea cauzelor de defectare aleatoare externe i eliminarea lor. Astfel, se va obine o rata de defectare tot constant, dar la un nivel inferior.

(t2 < t t3) - Activitile de mentenan preventiv ar trebui s se desfoare n ultima perioad de via a componentei, cnd rata de defectare este cresctoare.

RATA DE DEFECTARE I EVALURILE

DIN DOMENIUL MENTENANEI

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

n condiiile n care cauzele defectrilor din perioada (0, t1] au fost eliminate, cauze-le principale de producere a unor defecte n perioada (t1< t t2) sunt legate de:

apariia unor solicitri care depesc condiiile luate n considerare la dimensionare;

nerespectarea tuturor condiiilor care determin corecta funcionare a echipa-mentului respectiv (creterea vegetaiei prea aproape de conductoarele unei linii electrice aeriene, existena unor izolatoare sparte, mrirea valorii rezistenelor de trecere a prizelor de pmnt de la stlpi, etc.).

existena unor fenomene de uzur sau de mbtrnire a unor componente.

Apariia defectelor este puternic influenat de variaia condiiilor de mediu. Se poate considera c un echipament se degradeaz chiar i cnd nu este utilizat. n ultima perioad, rata de defectare crete din cauza apariiei unor factori de defectare sistematic: acumularea rezidurilor, oboseala materialului, uzura.

Dac activitatea de mentenan duce la eliminarea total a cauzelor enumerate, efectul va fi extinderea perioadei de via la o rat de defectare constant, curba (b).

RATA DE DEFECTARE I EVALURILE

DIN DOMENIUL MENTENANEI

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Variaia ratei de defectare la

eliminarea parial a cauzelor de defectare

Rata de

defectare

()

0 t1 t2 t3 Timp (t)

(a) (c) Rata de

defectare

()

Timp (t)

Dac vor fi eliminate numai o parte

din aceste cauze, mentenana va

determina o cretere mai mic a

ratei de defectare, reprezentat de

curba (c).

Cnd cauzele de defectare nu pot fi eliminate,

singura soluie posibil de mentenan preventiv

este nlocuirea componentei defecte sau

efectuarea de inspecii periodice, la intervale de

timp predeterminate, pentru depistarea

eventualelor componente cu defecte incipiente i

nlocuirea acestora, dac se gsesc n astfel de

condiii. Efectul nlocuirii componentei defecte

asupra ratei de defectare- curba (d).

(d)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Observaii

Se recomand analizarea informaiilor referitoare la ratele de defectare i tehnici de analiz combinatoric pentru preestimarea ratei de defectare a componentelor sau a datelor din crile tehnice ale diferitelor elemente utilizate n echipament.

Dac este posibil, este util s se efectueaz teste de anduran pentru stabilirea experimental a ratei de defectare a subansamblelor echipamentelor electrice.

Metodele clasice de planificare a mentenanei trebuie combinate cu metode avansate, bazate pe cunoaterea variaiei n timp a ratei de defectare a componentelor i pe o analiz dinamic a sistemului.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

MENTENABILITATEA

Mentenabilitatea reprezint aptitudinea unui echipament ca, n condiii de utilizare precizate, s fie meninut/ repus (restabilit) n funciune prin aciuni de mentenana specifice din punctul de vedere al procedurilor i timpului alocat acestora.

Mentenabilitatea se poate caracteriza prin:

timpi (de reparaie, de revizie, de staionare);

suportul mentenanei: personal (numrul necesar i nivelul de calificare al celor care efectueaz

aciunile de mentenana);

baza material (piese de schimb aflate n stocul de rezerv i SDV-uri);

proceduri detaliate pentru depistarea defeciunilor i pentru efectuarea aciunilor de mentenan.

instruciuni de protecia muncii pe parcursul efecturii aciunilor de mentenan;

organizarea general a activitilor de mentenan (activiti de service).

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

MENTENABILITATEA

Mentenabilitatea este egal cu probabilitatea ca echipamentul s fie repus n funciune prin aciuni de mentenan

M(t) = Prob (t Tr ), unde: (7)

Tr = limita maxim admisibil pentru durata de restabilire;

t = timpul de restabilire (reparare, repunere n funciune).

Ca i fiabilitatea, mentenabilitatea se creeaz n procesul de concepie a echipamentelor i este necesar s se prevad:

accesul uor la diferite locuri care pot necesita intervenie;

posibilitatea i uurina de montare i demontare a diferitelor elemente constitutive;

posibilitatea de msurare i accesul uor la punctele de msurare;

elaborarea unor instruciuni precise pentru defeciunile previzibile.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

DISPONIBILITATEA

Disponibilitatea unui element sau sistem oarecare reprezint aptitudinea elementului sau sistemului considerat de a-i ndeplini funcia specific, la un moment dat sau ntr-un anumit interval de timp, considernd aspectele combinate de fiabilitate, mentenabilitate i de organizare a aciunilor de mentenan, la un moment dat sau ntr-un interval de timp specificat.

Disponibilitatea se poate scrie innd seama att de fiabilitate ct i de mentenabilitate.

D(t)=Prob(t > Tr) (8)

Tr este o limit dat, pentru care produsul s se afle n stare de restabilire (in stare apt de funcionare, la cerere).

Exist numeroase programe software, care ofer utilizatorilor oportunitatea de a identifica i dezvolta parametrii caracteristici pentru fiabilitatea echipamentului electric.

Parametrii ajut companiile s-i compare performanele cu cele ale altor companii din acelai domeniu de activitate, sau s fac comparaii ntre departamente.

Analizele pot scoate n eviden problemele specifice de fiabilitate, n anumite domenii de activitate, sau pot da o imagine de ansamblu asupra ntregii companii.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI CORECTIVE

nlocuirea se face ca urmare a apariiei unui defect.

Aciunile de mentenan corectiv au un caracter determinist.

Media timpului de mentenan corectiv reprezint media timpului necesar efecturii unei nlocuiri.

Aici, media timpului dintre nlocuiri este chiar media timpului pn la defectare, notat cu MTTF (Mean Time To Failure).

0

.dttRMTTFTc

Fiabilitatea sistemului R(t)

Tc

t

unde R(t)-fiabilitatea sistemului la momentul de timp t.

(9)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Succesiunea evenimentelor n cazul unei politici de mentenan corectiv

F A F A

Tc Tmc Tc

to t1 t2 t3 t

unde: F = stare de funcionare; A = stare de avarie; Tc = media timpului pn la defectare; Tmc = timpul mediu de mentenan corectiv; t0 = momentul punerii n funciune; t1, t3 = momentele de defectare; t2 = momentul n care se termin nlocuirea.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Disponibilitatea de timp a staiei electrice :

(10) Tc = timpul dintre nlocuiri;

Tmc = timpul mediu de mentenan corectiv

Costul mediu al mentenanei corective pe unitatea de timp :

(11) Cp = costul unei nlocuiri,

Cd = daune

La calculul costului unei nlocuiri (Cp) trebuie s se in seama att de costul unui echipament nou ct i de costul necesar efecturii nlocuirii.

Penalizrile pentru ntreruperea neprogramat a funcionrii staiei (Cd) reprezint despgubirile compensatorii pentru ntreruperile n alimentarea cu energie electric a consumatorilor i pentru nelivrarea n sistem a cantitii

planificate de energie electric

MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI CORECTIVE

1

11

c

mc

mcc

mc

mcc

cc

T

T

TT

T

TT

TD

c

dp

cT

CC

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

MODELAREA MATEMATIC A

MENTENANEI PREVENTIVE

Echipamentul sau un subansamblu al acestuia este nlocuit preventiv dup o perioad de timp T, cu un cost Cp. Dac acesta se defecteaz n intervalul (0, T), atunci este nlocuit cu unul nou,

identic, la un cost Cd.

Timpul mediu de funcionare nentrerupt:

dttRTT

p 0

TRTTRT mcmpp 1

Timpul mediu de nefuncionare pe durata (0,T):

0 T t

R(t)

Tp

Tmp - timpul mediu de mentenan preventiv;

Tmc - timpul mediu de mentenan corectiv

( durata medie de reparare).

(12)

(13)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Succesiunea evenimentelor n cazul unei strategii de mentenan preventiv

F MP F MP A F

Tp Tmp Tp Tc Tmc t to t1 t2 t3 t4 t5 unde:

F = stare de funcionare;

A = stare de avarie;

MP = mentenan preventiv;

Tp = media timpului de funcionare nentrerupt;

Tmp = timpul mediu de mentenan preventiv;

Tc = media timpului pn la defectare;

Tmc = durata medie de reparare;

t1 i t3 = momentele de oprire programat

(pentru efectuarea mentenanei preventive);

t0, t2 i t5 = momentele de punere n funciune;

t4 = momentul de defectare.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Disponibilitatea sistemului:

MODELAREA MATEMATIC A

MENTENANEI PREVENTIVE

1

11

p

p

pp

p

pp

p

pTTT

TD

T

Strategia de mentenan preventiv devine, pentru un T suficient de mare (mult mai mare

dect MTBF), mentenana corectiv.

Deci dac T , din relaia (13) se observ c Tmc, iar din relaia (12), Tp Tc, deci

disponibilitatea va fi aceeai.

p

,11

11

c

c

mc

p

p

p DT

T

TD

(14)

(15)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Costul mentenanei preventive

pentru o perioad de timp T

Costul mentenanei pentru o perioad de timp T se compune din:

Cp costul nlocuirii programate la expirarea perioadei T;

nCd costul nlocuirilor neprogramate, unde n reprezint numrul de defecte produse n perioada (0,T).

Defectarea sistemului fiind aleatoare, nCd este o variabil aleatoare, iar valoarea medie (sperana matematic) a costului nlocuirilor neprogramate este:

dCn

n

i

d ifiC

1

unde f(i) reprezint probabilitatea de producere a i defecte n intervalul (0,T). = = (16)

1 ifif Pentru un T suficient de mic, i=2,3,n se poate aproxima

Pifin

i

1

TRT 1,0{producere a cel puin unei avarii n

.

p

dp

pT

CTRC

)](1[ (17)

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

MODELAREA MATEMATIC A

MENTENANEI PREDICTIVE

Sistemul este testat la anumite intervale de timp. Fiabilitatea staiei electrice n cazul mentenanei predictive:

0 T1 T2 Tn t Ti reprezint timpul dintre testri,i=1,2,, este timpul necesar testrii.

Tp1 Tp2 Tpn

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Timpul mediu de nefuncionare pn la prima inspecie este:

Timpul de nefuncionare pn la a doua inspecie va fi :

Generaliznd, se poate obine timpul de nefuncionare pn la a n-a inspecie:

n

i

imcmc

n

i

imc

n

i

iT TRTTnTRnTTRn

111

.1

11 11 TRTTR mcT

2121 TTT

MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI PREDICTIVE

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Timpul mediu de funcionare nentrerupt pe perioada celor n inspecii:

Disponibilitatea sistemului pe durata desfurrii a n inspecii este:

Costul mediu al mentenanei predictive pe unitatea de timp este:

unde Ce este costul necesar efecturii inspeciei la momentul Ti, i=1,2,n.

n

n

T

p dtTRT0

.1

1

1

1

11

1

11

n

n

nn

n

n

p

T

Tp

p

TTT

TD

np

n

i

eddp

nT

tRCCCnC

1

1

.

MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI PREDICTIVE

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Modelele matematice s-au dezvoltat pentru a ajuta la selectarea strategiei de mentenan optime dintre diferitele strategii de mentenan posibile. Pentru aceasta, este necesar accesul la date privind caracteristicile operaionale ale echipamentului i descrierea evenimentelor care au provocat eecul.

2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA

Intrebri ?