metode cuantice pentru studiul sistemelor cu multe particule

UNIVERSITATEA “BABES–BOLYAI” CLUJ–NAPOCAFACULTATEA DE FIZICA

CATEDRA DE FIZICA TEORETICA

Ionel TIFREA Ioan GROSU Mircea CRISAN

METODE CUANTICE PENTRU STUDIULSISTEMELOR CU MULTE PARTICULE.

APLICATII LA SISTEME FERMIONICE SIBOSONICE

2005

Prefata

Descrierea microscopica a sistemelor cu multe particule ın interactiune aaparut la ınceput sub forma unor capitole ın monografiile de mecanica cuanticasau fizica statistica. Acest stadiu a fost depasit dupa elaborarea unui formalismbazat pe metodele teoriei cuantice a campurilor. Se poate constata ca acestformalism, generalizat la temperatura finita, permite tratarea unitara a starilorcuantice macroscopice descoperite la temperaturi scazute ın sisteme cu multeparticule ın interactie.

Primele capitole ale lucrarii contin o descriere amanuntita a principalelormetode de investigare a sistemelor cu multe particule, si anume metoda cuan-tificarii a doua, metoda ecuatiei de miscare, metoda raspunsului liniar simetoda functiilor Green. Metodele generale de studiu a sistemelor cu multeparticule si-au demonstrat eficacitatea ıntr-o serie de domenii ale fizicii mod-erne, dar mai ales ın teoria materiei condensate si teoria nucleului. Partea adoua a lucrarii prezinta aplicatii ale metodelor generale prezentate ın primelecapitole la teoria sistemelor magnetice, teoria supraconductibilitatii si teoriasistemelor bosonice. Exemplele din teoria materiei condensate ın care acestemetode sunt intens folosite pot continua, dar din considerente de spatiu nu aufost incluse ın aceasta lucrare.

Problemele concrete tratate ın lucrare, cum sunt supraconductibilitatea,teoria magnetismului, sau teoria sistemelor bosonice ın interactie, au consti-tuit preocuparea autorilor de-a lungul timpului, si au fost concretizate ıntr-unnumar mare de lucrari stiintifice publicate ın reviste de mare prestigiu. Ac-tivitatea lor ın cadrul Institutului de Fizica Teoretica de la Trieste (Italia),Universitatea din Geneva (Elvetia), Universitatea din Camerino (Italia) siUniversitatea din Iowa (USA), a constituit o experienta excelenta pentru elab-orarea unei lucrari care sa contina probleme de baza dar si rezultate de mareactualitate.

Scopul acestei lucrari este de a prezenta studentilor din anii terminali,masterat si doctorat, principalele metode de investigare a sistemelor cu multe

particule. In general, pentru a putea parcurge capitolele acestei lucrari, studentiitrebuie sa aiba cunostinte de Mecanica Cuantica si Fizica Statistica. Parcurg-erea acestei carti se poate face si selectiv, ın functie de domeniul abordat ıncercetarile care necesita aceste metode.

Autorii multumesc colegilor de la Facultatea de Fizica a Universitatii dinBucuresti si Institutul de Fizica si Tehnologia Materialelor din Bucuresti pen-tru sprijinul continuu acordat ın formarea si dezvoltarea grupului de TeoriaMateriei Condensate din cadrul Catedrei de Fizica Teoretica de la Universi-tatea “Babes–Bolyai” din Cluj-Napoca, si tuturor celor care de-a lungul tim-pului au facut parte din acest grup.

Autorii

Cuprins

1 Cuantificarea a doua 5

1.1 Fermioni si bosoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operatori ın cuantificarea a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Interactiunea biparticula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Vibratiile retelei cristaline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Sisteme fermionice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Ecuatia de miscare 23

2.1 Reprezentari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Metoda ecuatiei de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Aproximatia Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Miscarea unei excitatii particula-gol. RPA . . . . . . . . . . . . 402.5 Relatia de dispersie ın RPA. Plasmoni ın 3D si 2D . . . . . . . 422.6 Functia Lindhard statica. Efecte de dimensionalitate . . . . . . 502.7 Ecuatia Landau. Sunetul nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Teoria raspunsului liniar 65

3.1 Raspunsul liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Susceptibilitatea dinamica. Instabilitatea Stoner . . . . . . . . 69

4 Functii Green. Aplicatii 77

4.1 Functia Green fermionica la T = 0 K . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Determinarea numarului de ocupare . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Bucla de polarizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1

2 CUPRINS

4.4 Functia Green ın prezenta interactiilor. Ecuatia Dyson . . . . . 904.5 Masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.6 Imprastierea electronului pe un potential. Matricea ”t” . . . . 964.7 Conductia electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.8 Timpul de ciocnire. Aproximatia Born . . . . . . . . . . . . . . 1054.9 Functia Green fononica la T = 0 K . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.10 Functia Green fermionica la temperaturi finite . . . . . . . . . . 1114.11 Functia Green fononica la temperaturi finite . . . . . . . . . . . 1174.12 Reprezentari spectrale pentru functiile Green . . . . . . . . . . 1224.13 Renormarea masei electronice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.14 Sumari Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.15 Conductia electrica la temperaturi finite . . . . . . . . . . . . . 1364.16 Conductia prin hopping. Formula Mott . . . . . . . . . . . . . 141

5 Sisteme Magnetice 145

5.1 Particula cu spin 1/2 ın camp magnetic . . . . . . . . . . . . . 1455.2 Energia de schimb. Hamiltonianul de spin . . . . . . . . . . . . 1485.3 Campul molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4 Unde de spin ın materiale feromagnetice . . . . . . . . . . . . . 1515.5 Unde de spin ın materiale antiferomagnetice . . . . . . . . . . . 1585.6 Teoria aliajelor diluate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6 Supraconductibilitatea 167

6.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2 Interactiunea electron–fonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.3 Perechi Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.4 Limita cuplajului slab. Ecuatiile Gorkov . . . . . . . . . . . . 177

6.4.1 Temperatura critica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.4.2 Parametrul de ordine supraconductor . . . . . . . . . . 1846.4.3 Proprietati termodinamice ale starii supraconductoare . 1876.4.4 Ecuatia Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.5 Instabilitatea Cooper. Criteriul Thouless . . . . . . . . . . . . . 1946.6 Limita cuplajului puternic. Ecuatiile Eliashberg . . . . . . . . . 199

CUPRINS 3

6.7 Supraconductori cu temperatura critica ridicata . . . . . . . . 2176.8 Teoria BCS ın cazul simetriei d-wave . . . . . . . . . . . . . . . 2196.9 Influenta pseudogapului asupra starii supraconductoare . . . . 221

6.9.1 Parametrul de ordine supraconductor la T = 0 K sitemperatura critica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.9.2 Coeficientii Ginzburg–Landau ın prezenta pseudogapului 2266.9.3 Proprietati termodinamice ale starii supraconductoare

ın prezenta pseudogapului . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7 Sisteme Bose ın interactiune 2337.1 Condensarea Bose-Einstein ın gazul liber . . . . . . . . . . . . . 2337.2 Condensarea Bose-Einstein ın sisteme Bose ın interactiune . . . 2377.3 Suprafluiditatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.3.1 Fenomenologia starii suprafluide . . . . . . . . . . . . . 2417.3.2 Modelul cuasiparticulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.3.3 Suprafluiditatea o tranzitie de faza ? . . . . . . . . . . . 245

Bibliografie 249

4 CUPRINS

Capitolul 1

Cuantificarea a doua

1.1 Fermioni si bosoni

Prima cuantificare ne permite sa facem trecerea de la fizica clasica, la sis-temele cuantice simple. Variabilele clasice, pozitie si impuls, sunt ınlocuiteprin operatori, ın asa fel ıncat:

x → x

p → p = −ih∂

∂x(1.1)

E → ih∂

∂t

ın timp ce paranteza Poisson, care leaga variabilele conjugate canonic, esteacum ınlocuita cu comutatorul:

[x, p] = ih (1.2)

Acest comutator este cheia primei cuantificari, deoarece necomutativitateaoperatorilor duce la fluctuatii cuantice, legate de principiul de incertitudine allui Heisenberg.

Cuantificarea a doua permite extinderea descrierii prin mecanica cuanticala:

• sisteme cu multe particule.• descrierea excitatiilor (cuasiparticulelor) ın sistemele cu energie joasa.

5

6 CUANTIFICAREA A DOUA

Figura 1.1: Reprezentarea campurilor clasice.

• descrierea raspunsului dinamic si a corelatiilor ın sistemele cu multeparticule.

• descrierea comportamentului colectiv si a tranzitiilor de faza cu ruperede simetrie.

Cuantificarea a doua trece campurile clasice la statutul de operatori decamp. Cel mai simplu exemplu este cuantificarea unei corzi clasice. Clasic,coarda este descrisa de campul Φ(x), care masoara deplasarea fata de pozitiade echilibru, si de campul conjugat Π(x), care masoara impulsul transversalpe unitatea de lungime. Hamiltonianul clasic este:

H =∫

dx

[T

2(∇xΦ(x))2 +

12ρ

(Π(x))2]

(1.3)

unde T este tensiunea din coarda, iar ρ masa pe unitatea de lungime.In acest caz, cuantificarea a doua este asociata cu impunerea relatiei de

comutare canonica:[Φ(x), Π(y)] = ihδ(x− y) (1.4)

deci din acest punct de vedere, cuantificarea a doua nu difera de o cuantificareconventionala, cu exceptia faptului ca gradele de libertate sunt definite ca fi-ind continue ın spatiu. Aceasta metoda de cuantificare functioneaza pentrudescrierea campurilor colective, cum ar fi vibratiile sonore, campurile electro-magnetice, dar mai dorim sa vedem cum putem dezvolta o teorie de camp

1.1 Fermioni si bosoni 7

pentru sisteme de particule identice, cum ar fi gazul de electroni dintr-unmetal, sau un fluid format din atomi identici de He. Primul pas ın descriereasistemelor de multe particule se face ın 1925 (Pauli) prin introducerea ”prin-cipiului de excluziune”. (Pentru a ıntelege spectrele atomice trebuie ca sa nufie mai mult de un electron ıntr-o stare cuantica). In 1926 Dirac realizeazaca cele doua tipuri de particule, fermionii si bosonii, sunt legate de paritateafunctiei de unda multiparticula la interschimbarea particulelor:

ψ(particula in A, particula in B) = eiθψ(particula in B, particula in A)(1.5)

Daca interschimbarea are loc de doua ori, faza totala este e2iθ. Daca functiade unda este univoca, atunci trebuie sa avem:

e2iθ = 1 → eiθ =

+1 → pentru bosoni−1 → pentru fermioni

(1.6)

Alegerea eiθ = −1 conduce la o functie de unda antisimetrica la interschim-barea particulelor, care este legata de principiul de excluziune. In 1927 Jordansi Wigner, pentru a trata sistemele de multe particule ın mod mai compact,propun introducerea unui operator de camp:

ψ(x)

care poate fi considerat drept ”cuantificarea” functiei de unda Schrodinger.ψ(x) si complex conjugatul sau sunt considerate drept variabile conjugate.Cuantificarea a doua, pentru bosoni, se realizeaza prin introducerea comu-tatorului ıntre operatorii de camp:

[ψ(x), ψ+(y)] = δ(x− y) (1.7)

Operatorii de camp joaca rolul de a crea sau de a distruge particule.ψ+(x) → operator de creare pentru bosoni.ψ(x) → operator de distrugere pentru bosoni.Pentru fermioni, existenta unei functii de unda antisimetrice conduce la

concluzia ca operatorii de camp trebuie sa anticomute:

ψ(x)ψ(y) = −ψ(y)ψ(x) (1.8)


Atunci, cuantificarea a doua pentru fermioni cere ca relatia de comutare dintreoperatorii de camp conjugati sa fie ınlocuita cu un anticomutator:

ψ(x), ψ+(y) = δ(x− y) (1.9)

unde a, b = ab + ba. Sa analizam semnificatia fizica pentru operatorii decamp. Pentru aceasta pornim cu formula densitatii de probabilitate, ın cuan-tificarea ıntaia, ρ(x) = ψ∗(x)ψ(x). Trecand de la functii de unda la statutulde operatori de camp, avem:

ρ(x) = |ψ(x)|2 → ρ(x) = ψ+(x)ψ(x) (1.10)

ρ(x) fiind operatorul densitatii de particule dintr-un sistem cu multe particule.Consideram acum un sistem cu N particule, ınchise ıntr-o cutie de volum V .In cuantificarea ıntaia starea acestui sistem este descrisa de functia de unda:

ψ(~r1, ..., ~rN )

depinzand de cele 3N coordonate ale particulelor din spatiul configuratiilor.O asemenea reprezentare permite o generalizare a metodelor aplicate uneisingure particule. Sa consideram un set complet de stari uniparticula, cumar fi unda plana de impuls ~p (starea de spin nu este luata deocamdata ınconsiderare). Starea sistemului poate fi specificata indicand numarul n~p departicule din starea de impuls ~p. Atunci vom alege drept baza pentru spatiulstarilor sistemului, vectorii: ∣∣n1, ..., n~p, ...

⟩

unde fiecare n~p poate lua orice valoare ıntreaga pozitiva. O astfel de stareeste un produs (simetrizat sau antisimetrizat) de unde plane, cate una pentrufiecare particula. Definim operatorul de creare a+

~p prin relatia:

a+~p

∣∣..., n~p, ...⟩

=√

n~p + 1∣∣..., n~p + 1, ...

⟩(1.11)

(aceasta este reprezentarea ”numerelor de ocupare”). Complex conjugatul luia+

~p este(a+

~p

)+ ≡ a~p - operatorul de distrugere, definit prin:

a~p

∣∣..., n~p, ...⟩

= √n~p

∣∣..., n~p − 1, ...⟩

(1.12)

1.1 Fermioni si bosoni 9

Obiectivul nostru este de a exprima toate marimile sistemului prin operatoriide creare si de distrugere.

Analizam pentru ınceput gazul bosonic. Aici consideram actiunea pro-dusului:

a+~p a+

~p′|...〉

Prin aceasta am creat o particula cu impulsul ~p′, iar apoi ınca una cu impulsul~p. Acelasi rezultat se obtine daca schimbam ordinea actiunii operatorilor, ıncazul cand functia de unda este invarianta ın raport cu permutarea a douaparticule. Atunci avem relatia:

[a+~p , a+

~p′] = 0 (1.13)

In mod asemanator se stabileste si ca:

[a~p, a~p′ ] = 0 (1.14)

[a~p, a+~p′] = δ

~p,~p′ (1.15)

Operatorul:N~p = a+

~p a~p (1.16)

masoara numarul de particule ın starea de impuls ~p:

N~p

∣∣..., n~p, ...⟩

= n~p

∣∣..., n~p, ...⟩

(1.17)

Functia de unda normata, pentru o particula cu impulsul ~p, este:

1√V

ei~p~r (1.18)

Amplitudinea de probabilitate pentru distrugerea unui boson de impuls ~p lapozitia ~r, este atunci reprezentata prin operatorul:

1√V

ei~p~ra~p (1.19)

Atunci, operatorul de camp de distrugere a unui boson, ın punctul ~r, este:

ψ(~r) =1√V

∑

~p

a~pei~p~r (1.20)


si:

a~p =1√V

∫d3r · ψ(~r) · e−i~p~r (1.21)

In mod similar, operatorul de camp de creare ψ+(~r) este definit prin:

ψ+(~r) =1√V

∑

~p

a+~p e−i~p~r (1.22)

Relatiile de comutare satisfacute de ψ si ψ+ se obtin imediat, folosind ecuatiile(1.13)-(1.15):

[ψ(~r), ψ+(~r′)] =

1√

V

∑

~p

a~pei~p~r,

1√V

∑

~p′a+

~p′e−i~p′~r′

=

=1V

∑

~p,~p′ei(~p~r−~p′~r′)[a~p, a

+~p′] =

1V

∑

~p,~p′ei(~p~r−~p′~r′)δ

~p,~p′ =

=1V

∑

~p

ei~p(~r−~r′) = δ(~r − ~r′) (1.23)

Analog:[ψ(~r), ψ(~r′)] = 0 [ψ+(~r), ψ+(~r′)] = 0 (1.24)

Pentru gazul fermionic, desemnam operatorul de creare pentru o par-ticula de impuls ~p, prin c+

~p , iar operatorul de distrugere prin c~p. Diferenta fatade sistemul bosonic se manifesta ın proprietatile de simetrie pentru functia deunda a sistemului de particule. Pentru fermioni ea este antisimetrica la inter-schimbarea a doua particule. Atunci operatorii c~p trebuie sa satisfaca relatiide anticomutare:

c~p, c~p′ = c+~p , c+

~p′ = 0

c+~p , c~p′ = δ

~p,~p′ (1.25)

Din: c~p, c~p = 0 → 2c2~p = 0 → c2

~p = 0, ceea ce ınseamna ca o stare de impuls~p poate avea cel mult o particula. Mai mult, operatorul numar de ocuparepentru fermioni:

N~p = c+~p c~p

1.2 Operatori ın cuantificarea a doua 11

se bucura de proprietatea:

N2~p = c+

~p c~pc+~p c~p = c+

~p (1− c+~p c~p)c~p = c+

~p c~p − (c+~p )2(c~p)2 = c+

~p c~p = N~p (1.26)

Operatorul N~p este un proiector, deci are valorile proprii 0 si 1.Observatie: In mod riguros, deoarece fermionii au spin nenul, rolul acestuia

trebuie luat deasemenea ın considerare. Deci, fiecare stare va fi caracterizataprin impulsul ~p si indicele de spin σ. Atunci, operatorii fermionici satisfacurmatoarele relatii de anticomutare:

c~p,σ, c~p′,σ′ = c+~p,σ, c+

~p′,σ′ = 0

c+~p,σ, c~p′,σ′ = δ

~p,~p′δσ,σ′ (1.27)

iar operatorii de camp fermionici:

ψσ(~r), ψσ′(~r′) = ψ+σ (~r), ψ+

σ′(~r′) = 0

ψσ(~r), ψ+σ′(~r′) = δ(~r − ~r′)δσ,σ′ (1.28)

1.2 Operatori ın cuantificarea a doua

Referindu-ne ın continuare doar la fermioni, vom calcula cateva marimi fiziceın a doua cuantificare. Cum stim ca N~p = c+

~p c~p reprezinta numarul de particuledin starea ~p, atunci operatorul:

ρ(~r, σ) = ψ+σ (~r)ψσ(~r) (1.29)

reprezinta densitatea de particule la pozitia ~r. Atunci, numarul total de par-ticule din sistem este:

N =∑σ

∫d3r · ρ(~r, σ) =

∑σ

∫d3r · ψ+

σ (~r)ψσ(~r) (1.30)

sau:

N =∑σ

∫d3r · 1√

V

∑

~p

c+~p,σe−i~p~r · 1√

V

∑

~p′c~p′,σei~p′~r =


=∑σ

∫d3r · 1

V

∑

~p,~p′c+~p,σc~p′,σe−i(~p−~p′)~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ ·

1V

∫d3r · ei(~p′−~p)~r =

∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ · δ~p′,~p =

=∑

~p,σ

c+~p,σc~p,σ ≡

∑

~p,σ

N~p,σ ; N~p,σ = c+~p,σc~p,σ (1.31)

Energia cinetica:

T =∑

i

p2i

2m(1.32)

se exprima ın felul urmator:

T =∑

~p,σ

p2

2m·N~p,σ =

∑

~p,σ

p2

2m· c+

~p,σc~p,σ =∑

~p,σ

ε~p · c+~p,σc~p,σ (1.33)

Componenta Fourier a densitatii ρ~q ≡ ρ~q, se defineste prin relatia:

ρ~q =∫

d3r · ρ(~r) · e−i~q~r (1.34)

unde:ρ(~r) =

∑σ

ρ(~r, σ) (1.35)

Atunci avem:

ρ~q =∫

d3r ·∑σ

ρ(~r, σ) · e−i~q~r =∫

d3r ·∑σ

ψ+σ (~r)ψσ(~r) · e−i~q~r =

=∫

d3r ·∑σ

1√V

∑

~p

c+~p,σe−i~p~r · 1√

V

∑

~p′c~p′,σei~p′~r · e−i~q~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ ·

1V

∫d3r · ei(~p′−(~p+~q))~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ · δ~p′,~p+~q

=∑

~p,σ

c+~p,σc~p+~q,σ ≡

∑

~p,σ

ρ~p,~q,σ (1.36)

Analizam operatorul densitatii de curent, exprimat ın a doua cuantificare,considerand h = 1:

j(~r, σ) =1

2mi

[ψ+

σ (~r) · ∇ψσ(~r)−∇ψ+σ (~r) · ψσ(~r)

](1.37)

1.3 Interactiunea biparticula 13

cu:

ψ+σ (~r) =

1√V

∑

~p

c+~p,σ · e−i~p~r

ψσ(~r) =1√V

∑

~p′c~p′,σ · ei~p′~r

Atunci:

∇ψ+σ (~r) =

−i√V

∑

~p

c+~p,σ · ~p · e−i~p~r

∇ψσ(~r) =i√V

∑

~p′c~p′,σ · ~p′ · ei~p′~r

si:

j(~r, σ) =1

2mV

∑

~p,~p′(~p + ~p′) · c+

~p,σc~p′,σ · ei(~p′−~p)~r (1.38)

Transformata Fourier j~q, a densitatii de curent, este:

j~q =∫

d3r · j(~r) · e−i~q~r ; j(~r) =∑σ

j(~r, σ) (1.39)

deci:

j~q =1

2m

∑

~p,~p′,σ

(~p + ~p′) · c+~p,σc~p′,σ ·

1V

∫d3r ei(~p′−~p−~q)~r

Cum integrala de mai sus este V δ~p′,~p+~q, avem:

j~q =1m

∑

~p,σ

(~p +

~q

2

)· c+

~p,σc~p+~q,σ (1.40)

1.3 Interactiunea biparticula

Analizam energia potentiala Vb, pe care o consideram ca rezulta din interactiide tip biparticula, depinzand numai de pozitie:

Vb =12

∑

i6=j

V (~ri − ~rj) (1.41)


Pentru un gaz format din particule punctiforme, densitatea poate fi scrisa subforma:

ρ(~r) =∑

i

δ(~r − ~ri) (1.42)

iar atunci, energia potentiala de interactie biparticula capata forma:

Vb =12

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)[ρ(~r)ρ(~r′)− ρ(~r)δ(~r − ~r′)] (1.43)

Termenul al doilea din ecuatia (1.43) este introdus pentru a elimina interactiasarcinii ce ea ınsasi. In plus:

ρ(~r) =∑σ

ρ(~r, σ) ; ρ(~r′) =∑

σ′ρ(~r′, σ′) (1.44)

Atunci:

Vb =12

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

∑

σ,σ′ρ(~r, σ)ρ(~r′, σ′)−

∑σ

ρ(~r, σ) δ(~r − ~r′)

=

=12

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

∑

σ,σ′ψ+

σ (~r)ψσ(~r) · ψ+σ′(~r′)ψσ′(~r′)−

−∑σ

ψ+σ (~r)ψσ(~r) · δ(~r − ~r′)

]

Ultima suma din expresia de mai sus se scrie echivalent, sub forma:

∑

σ,σ′ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r) · δσ,σ′

si:

Vb =12

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

∑

σ,σ′

[ψ+

σ (~r)ψσ(~r)ψ+σ′(~r′)ψσ′(~r′)−

−ψ+σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′

](1.45)

Exprimam aici produsul ψσ(~r)ψ+σ′(~r′) folosind relatia de anticomutare:

ψσ(~r)ψ+σ′(~r′) + ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r) = δ(~r − ~r′) δσ,σ′


de unde:ψσ(~r)ψ+

σ′(~r′) = δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+σ′(~r′)ψσ(~r) (1.46)

Folosind (1.46), paranteza din (1.45) devine:

ψ+σ (~r)

(δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r))

ψσ′(~r′)− ψ+σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′ =

= ψ+σ (~r)ψσ′(~r′)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+

σ (~r)ψ+σ′(~r′)ψσ(~r)ψσ′(~r′)−

−ψ+σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′

Primul termen din expresia de mai sus, din cauza functiilor δ, poate fi scrisechivalent astfel:

ψ+σ (~r)ψσ′(~r′)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ = ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ (1.47)

Atunci ınsa, el se reduce cu ultimul termen si paranteza ramane:

−ψ+σ (~r)ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r)ψσ′(~r′) = ψ+σ (~r)ψ+

σ′(~r′)ψσ′(~r′)ψσ(~r) (1.48)

unde s-a folosit relatia de anticomutare pentru ultimii doi operatori. Atunci,Vb devine:

Vb =12

∑

σ,σ′

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′) ψ+

σ (~r)ψ+σ′(~r′)ψσ′(~r′)ψσ(~r) (1.49)

In general, este de preferat ca Vb sa se exprime prin operatorii c~p mai de grabadecat prin operatorii ψσ(~r). Atunci avem:

Vb =12

∑

σ,σ′

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′) · 1√

V

∑

~p

c+~p,σe−i~p~r · 1√

V

∑

~p1

c+~p1,σ′e

−i~p1~r′ ·

· 1√V

∑

~p2

c~p2,σ′ei~p2

~r′ · 1√V

∑

~p3

c~p3,σei~p3~r =

=1

2V 2

∑

σ,σ′

∑

~p,~p1,~p2,~p3

∫ ∫d3r d3r′ V (~r−~r′) c+

~p,σc+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ ei(~p3−~p)~rei(~p2−~p1)~r′

(1.50)Folosind transformata Fourier a potentialului:

V~q =∫

d3r · V (~r) · e−i~q~r (1.51)


avem:V (~r − ~r′) =

1V

∑

~q

V~q · ei~q(~r−~r′) (1.52)

cu care (1.50) devine:

Vb =1

2V 3

∑

σ,σ′

∑

~p,~p1,~p2,~p3,~q

∫ ∫d3r d3r′ V~q c+

~p,σc+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ ei(~p3−~p+~q)~rei(~p2−~p1−~q)~r′ =

=1

2V

∑

σ,σ′

∑

~p,~p1,~p2,~p3,~q

V~q c+~p,σc+

~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ·

· 1V

∫d3r ei(~p3−~p+~q)~r · 1

V

∫d3r′ ei(~p2−~p1−~q)~r′ =

=1

2V

∑

σ,σ′

∑

~p,~p1,~p2,~p3,~q

V~q c+~p,σc+

~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ · δ~p,~p3+~q · δ~p1,~p2−~q =

=1

2V

∑

σ,σ′

∑

~p2,~p3,~q

V~q c+~p3+~q,σc+

~p2−~q,σ′c~p2,σ′c~p3,σ

Renotand impulsurile prin ~p3 → ~p si ~p2 → ~k avem:

Vb =1

2V

∑

σ,σ′,~p,~k,~q

V~q c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′c~p,σ (1.53)

Relatiei (1.53) ıi corespunde reprezentarea diagramatica din Figura 1.2.

p+q,

k-q, ’

p,

k, ’

q

Figura 1.2: Reprezentarea diagramatica corespunzatoare ecuatiei (1.53).


Exemplu: Pentru interactiunea coulombiana ecranata:

V (~r) =e2

r· e−qsr (1.54)

(unde qs este vectorul de unda de ecranare) calculam transformata Fourier V~q,pentru ınceput ın cazul sistemelor tridimensionale, cand:

V~q =∫

d3r · V (~r) · e−i~q~r =

=∫ ∞

0

∫ π

0

∫ 2π

0r2 sin θ dr dθ dϕ · e2

r· e−qsr · e−iqr cos θ =

= 2πe2∫ ∞

0dr · r · e−qsr

∫ π

0dθ · sin θ · e−iqr cos θ

Facand schimbarea de variabila cos θ = y se ajunge la:

V~q =2πe2

iq

∫ ∞

0dr · e−qsr

(eiqr − e−iqr

)

iar de aici se obtine raspunsul:

V~q =4πe2

q2 + q2s

(1.55)

In absenta ecranarii, qs → 0, si transformata Fourier a potentialului coulom-bian devine:

V~q =4πe2

q2(1.56)

Consideram cazul ın care sistemul este bidimensional. In aceasta situatie:

V~q =∫ ∞

0

∫ 2π

0r dr dθ · e2

r· e−qsr · e−iqr cos θ =

= e2∫ ∞

0dr · e−qsr

∫ 2π

0dθ · e−iqr cos θ (1.57)

Aici folosim reprezentarea integrala pentru functia Bessel de argument imag-inar:

Ip(z) =(

z2

)p

Γ(p + 1

2

)Γ

(12

)∫ π

0e±z cos θ · sin2p θ · dθ (1.58)


care, cu p = 0 si Γ(1/2) =√

π, se reduce la:∫ π

0e−z cos θ · dθ = π I0(z) (1.59)

In cazul nostru, z = iqr, si (1.57) devine:

V~q = 2πe2∫ ∞

0dr · e−qsr · I0(iqr) (1.60)

Folosim acum legatura functiei Bessel de argument imaginar I0(z) cu functiaBessel J0(z):

I0(z) = J0(iz)

Atunci:

V~q = 2πe2∫ ∞

0dr · e−qsr · J0(−qr) (1.61)

Aici folosim integrala:

∫ ∞

0dx · e−ax · Jν(bx) · xν =

1√π(a2 + b2)

(2b

a2 + b2

)ν

Γ(

ν +12

)(1.62)

care pentru ν = 0 se reduce la integrala din (1.61). Obtinem imediat:

V~q =2πe2

√q2 + q2

s

(1.63)

In absenta ecranarii, transformata Fourier a potentialului coulombian, ın douadimensiuni, este:

V~q =2πe2

|q| (1.64)

1.4 Vibratiile retelei cristaline

Consideram ın continuare regulile de cuantificare pentru vibratiile unei retelecristaline (fononi). Hamiltonianul pentru vibratiile retelei este [1]:

H =12

∑

~q

(P+

~q P~q + ω2~q Q+

~q Q~q

)(1.65)

1.4 Vibratiile retelei cristaline 19

unde P~q si Q~q sunt impulsurile si coordonatele normale pentru modurile devibratie. Ele satisfac regulile de comutare de tip oscilator:

[P~q , P~q′

]=

[Q~q , Q~q′

]= 0 ;

[P~q , Q~q′

]= −i · δ

~q,~q′ (1.66)

Trecerea la reprezentarea fononica, ın care apar operatorii care creaza (a+~q ) si

cei care distrug (a~q) fononi, se face prin introducerea operatorilor:

P~q = i

√ω~q

2

(a+

~q − a−~q

)

Q~q =1√2ω~q

(a~q + a+

−~q

)(1.67)

Operatorii a~q si a+~q satisfac relatiile de comutare bosonice. Folosind (1.67):

P+~q = −i

√ω~q

2

(a~q − a+

−~q

)

Q+~q =

1√2ω~q

(a+

~q + a−~q

)

si (1.65) devine:

H =∑

~q

ω~q

4

[a~qa

+~q − a~qa−~q − a+

−~qa+~q + a+

−~qa−~q+

+a+~q a~q + a+

~q a+−~q + a−~qa~q + a−~qa

+−~q

](1.68)

Folosind relatia de comutare: [a~p , a+

~p′

]= δ

~p,~p′

exprimam produsele de operatori:

a~qa+~q = 1 + a+

~q a~q

a−~qa+−~q = 1 + a+

−~qa−~q

cu care hamiltonianul vibratiilor retelei devine:

H =∑

~q

ω~q

4

[2a+

~q a~q + 2a+−~qa−~q + 2

]

Schimband −~q → ~q ın cel de-al doilea termen din expresia de mai sus, obtinemrezultatul final:

H =∑

~q

ω~q

[a+

~q a~q +12

](1.69)


1.5 Sisteme fermionice

Pentru hamiltonianul fermionic:

H = ε c+c (1.70)

ne propunem sa calculam numarul mediu de ocupare 〈N〉, la temperatura T ,ın ansamblul macrocanonic.

Pentru aceasta scriem operatorii fermionici sub forma de matrici Jordan-Wigner 2× 2 :

c =

(0 01 0

)c+ =

(0 10 0

)(1.71)

Ele opereaza asupra vectorilor de stare, care sunt matrici cu doua componente:

|1〉 =

(10

)|0〉 =

(01

)(1.72)

corespunzand numerelor de ocupare 1 si 0. Operatorul numar de particuleeste:

N = c+c (1.73)

care are valorile proprii 1 si 0, corspunzatoare starilor proprii |1〉 si |0〉. Atunci:

〈N〉 = Tr ρ N (1.74)

unde:

ρ =1Z· e−β(H−µN) (1.75)

si:

Z = Tre−β(H−µN)

= Tr

e−β(ε−µ)c+c

= Tr

1− β(ε− µ)c+c + ...

Aici:

1 =

(1 00 1

)c+c =

(1 00 0

)(1.76)

1.5 Sisteme fermionice 21

Atunci, imediat:

Z = Tr

(1 00 1

)− β(ε− µ)

(1 00 0

)+ ...

=

= Tr

(1 00 1

)+

(−β(ε− µ) 0

0 0

)+ ...

=

= Tr

(1− β(ε− µ) + ... 0

0 1 + 0 + ...

)= Tr

(e−β(ε−µ) 0

0 1

)= 1+e−β(ε−µ)

(1.77)Consideram ın continuare:

〈N〉 =1Z

Tre−β(H−µN) N

=

1Z

Tre−β(ε−µ)c+c c+c

=

=1Z

Tr

(e−β(ε−µ) 0

0 1

) (1 00 0

)=

1Z

Tr

(e−β(ε−µ) 0

0 0

)=

=1Z

e−β(ε−µ) (1.78)

Inlocuind expresia lui Z:

〈N〉 =e−β(ε−µ)

1 + e−β(ε−µ)=

1eβ(ε−µ) + 1

(1.79)

adica se obtine, asa cum era de asteptat, functia de distributie Fermi-Dirac.

Capitolul 2

Ecuatia de miscare

2.1 Reprezentari

Se cunosc trei reprezentari pentru teoria cuantica.• In reprezentarea Schrodinger, functia de unda:

∣∣∣ψS(t)⟩

se modifica ın timp ın acord cu ecuatia:

i∂

∂t

∣∣∣ψS(t)⟩

= H∣∣∣ψS(t)

⟩(2.1)

care are solutia formala:∣∣∣ψS(t)

⟩= e−iH(t−t0)

∣∣∣ψS(t0)⟩

(2.2)

unde H este un operator hermitic (H = H+), iar operatorul de evolutie U ≡e−iH(t−t0) este un operator unitar. In reprezentarea Schrodinger operatorii OS

sunt independenti de timp:

OS 6= OS(t) (2.3)

• In reprezentarea Heisenberg starile sunt stationare:∣∣∣ψH

⟩

23

24 ECUATIA DE MISCARE

ın timp ce operatorii evolueaza ın timp, ın acord cu ecuatia de miscare:

−i∂

∂tOH =

[H, OH

](2.4)

In plus:

OH(t) = eiHt · OS · e−iHt (2.5)

Cum, ın general, suntem interesati sa analizam marimile observabile, mai de-graba decat functii de unda, vom face apel la reprezentarea Heisenberg. Inpractica, ın general vrem sa consideram anumite marimi atunci cand hamilto-nianul se modifica putin.

• Daca facem modificarea:

H0 → H = H0 + V

dar mentinem reprezentarea Heisenberg pentru H0, ajungem la reprezenta-rea de interactie. Starile si operatorii, ın acesta reprezentare, sunt definiteprin: ∣∣∣ψI(t)

⟩= eiH0t

∣∣∣ψS(t)⟩

OI(t) = eiH0t · OS · e−iH0t (2.6)

Ecuatia de evolutie a unui operator, ın descrierea de interactie, este:

−i∂

∂tOI(t) =

[H0, OI(t)

](2.7)

ın timp ce starile∣∣∣ψI(t)

⟩evolueaza lent, dupa o ecuatie care se stabileste ın

felul urmator:∣∣∣ψI(t)

⟩= eiH0t e−iH(t−t0)

∣∣∣ψS(t0)⟩

t0=0= eiH0t e−iHt∣∣∣ψS(0)

⟩=

= eiH0t e−iHt∣∣∣ψI(0)

⟩(2.8)

Sa analizam ın continuare, ∂∂t

∣∣∣ψI(t)⟩, tinand seama ca [H, H0] 6= 0. Avem:

∂

∂t

∣∣∣ψI(t)⟩

=∂

∂t

(eiH0t e−iHt

) ∣∣∣ψI(0)⟩

=

2.1 Reprezentari 25

=(eiH0t iH0 e−iHt + eiH0t e−iHt (−iH)

) ∣∣∣ψI(0)⟩

=

= ieiH0t (H0 −H) e−iHt∣∣∣ψI(0)

⟩= −ieiH0t V e−iHt

∣∣∣ψI(0)⟩

=

= −ieiH0t V e−iH0teiH0t e−iHt∣∣∣ψI(0)

⟩=

= −i(eiH0t V e−iH0t

) (eiH0te−iHt

∣∣∣ψI(0)⟩)

= −i VI(t)∣∣∣ψI(t)

⟩

sau:

i∂

∂t

∣∣∣ψI(t)⟩

= VI(t)∣∣∣ψI(t)

⟩(2.9)

Sumarizand avem:

Reprezentarea Starile Operatorii

Schrodinger Se modifica rapid (cf.(2.1)) Constanti

Heisenberg Constante Evolueaza (cf.(2.4))

Interactie Se modifica lent (cf.(2.9)) Evolueaza (cf.(2.7))

Sa consideram ecuatia de miscare (din reprezentarea Heisenberg), ın spatiulFourier. Facem acest lucru direct, cu ajutorul ınlocuirilor:

∂

∂t→ −iω~q ; OH(t) → O~q

avand:

−i (−iω~q) O~q =[H, O~q

]

sau: [H, O~q

]= −ω~q O~q (2.10)

Pentru conjugata complexa avem:

(−i

∂

∂tOH(t)

)+

=(HOH(t)− OH(t)H

)+

sau:

i∂+

∂tO+

H(t) =(HOH(t)

)+ −(OH(t)H

)+= O+

H(t)H+ −H+O+H(t)


Cum ınsa: H+ = H, avem:

i∂+

∂tO+

H(t) =[O+

H(t),H]

= −[H, O+

H(t)]

(2.11)

Trecand ın spatiul Fourier:

i (−iω~q)+ O+~q = −

[H, O+

~q

]

sau: [H, O+

~q

]= ω~q O+

~q (2.12)

Daca consideram ca starea fundamentala a unui sistem este∣∣∣ψ0

⟩, si este cunos-

cuta, atunci O+~q aplicat pe

∣∣∣ψ0

⟩creaza o excitatie elementara cu energia ω~q.

In plus, mai avem:O~q

∣∣∣ψ0

⟩= 0 (2.13)

Odata ce ω~q si∣∣∣ψ0

⟩sunt cunoscute, alte marimi caracteristice sistemului pot

fi determinate, ıntr-un mod mai mult sau mai putin complicat.

2.2 Metoda ecuatiei de miscare

Consideram cazul simplu de miscare a unei singure particule, caracterizataprin operatorul de creare c+

~p,σ. Particula se misca liber, deci sistemul estedescris de hamiltonianul:

H =∑

~p,σ

ε0~p c+~p,σc~p,σ (2.14)

Trebuie sa analizam ecuatia:[H , c+

~p,σ

]= ε~p c+

~p,σ

(unde ω~q a fost rebotezat cu ε~p), cu scopul de a-l determina pe ε~p. Avem:[H , c+

~p,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′

[c+

~p′,σ′c~p′,σ′ , c+

~p,σ

]

Ultimul comutator se calculeaza folosind identitatea:

[A,BC] = [A,B] C + B [A,C] =

2.2 Metoda ecuatiei de miscare 27

= A,B C −B A,C (2.15)

ın felul urmator:[c+

~p′,σ′c~p′,σ′ , c+

~p,σ

]= −

[c+~p,σ , c+

~p′,σ′c~p′,σ′

]=

= −(

c+~p,σ , c+

~p′,σ′

c~p′,σ′ − c+

~p′,σ′

c+~p,σ , c~p′,σ′

)= c+

~p′,σ′δ~p,~p′ δσ,σ′ (2.16)

Atunci: [H , c+

~p,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′ c+

~p′,σ′δ~p,~p′ δσ,σ′ = ε0~p c+

~p,σ (2.17)

Comparand (2.17) cu ecuatia de miscare, observam ca energia unei excitatiielementare, asociate operatorului c+

~p,σ, ıntr-un mediu fara interactii, este:

ε~p = ε0~p =p2

2m(2.18)

Analizam ın continuare, energia unui gol, caracterizat prin operatorul c~p,σ,daca hamiltonianul sistemului este dat tot de ecuatia (2.14). Atunci:

[H , c~p,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′

[c+

~p′,σ′c~p′,σ′ , c~p,σ

]= −

∑

~p′,σ′ε0~p′

[c~p,σ , c+

~p′,σ′c~p′,σ′

]=

= −∑

~p′,σ′ε0~p′

(c~p,σ , c+

~p′,σ′

c~p′,σ′ − c+

~p′,σ′

c~p,σ , c~p′,σ′

)=

= −∑

~p′,σ′ε0~p′ c~p′,σ′ δ

~p,~p′ δσ,σ′ = −ε0~p c~p,σ (2.19)

Energia golului este:

ε~p = −ε0~p = − p2

2m(2.20)

La pasul urmator ne propunem sa studiem miscarea unei perechi particula-gol,descrisa de operatorul:

ρ+~p,~q,σ = c+

~p+~q,σc~p,σ (2.21)

printr-un mediu descris de (2.14). Aici avem de calculat comutatorul:[H , ρ+

~p,~q,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′

[c+

~p′,σ′c~p′,σ′ , c+

~p+~q,σc~p,σ

]


Folosind primul rand al identitatii (2.15), precum si faptul ca:

[A,B] = −[B,A]

expresia de mai sus devine:

−∑

~p′,σ′ε0~p′

([c+~p+~q,σ , c+

~p′,σ′c~p′,σ′

]c~p,σ + c+

~p+~q,σ

[c~p,σ , c+

~p′,σ′c~p′,σ′

])

Cei doi comutatori din aceasta expresie se calculeaza folosind cel de-al doilearand din identitatea (2.15). Primul dintre ei este:

c+~p+~q,σ , c+

~p′,σ′

c~p′,σ′ − c+

~p′,σ′

c+~p+~q,σ , c~p′,σ′

iar cel de-al doilea:

c~p,σ , c+~p′,σ′

c~p′,σ′ − c+

~p′,σ′

c~p,σ , c~p′,σ′

Tinand seama de regulile de anticomutare, avem:[H , ρ+

~p,~q,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′ c+

~p′,σ′c~p,σ δ~p′,~p+~q

δσ′,σ −∑

~p′,σ′ε0~p′ c+

~p+~q,σc~p′,σ′ δ~p′,~p δσ′,σ =

=(ε0~p+~q − ε0~p

)c+~p+~q,σc~p,σ (2.22)

Acest rezultat este de forma:[H , ρ+

~p,~q,σ

]= ω0

pq · ρ+~p,~q,σ (2.23)

unde:

ω0pq = ε0~p+~q − ε0~p =

(~p + ~q)2 − p2

2m=

~p · ~qm

+q2

2m(2.24)

este energia unei excitatii particula-gol.In final, vom considera miscarea unei particule, c+

~p,σ, ıntr-un mediu cuinteractii, descris de hamiltonianul (V = 1 m3):

H =∑

~p,σ

ε0~p c+~p,σc~p,σ +

∑

σ,σ′,~p,~k,~q

V~q

2c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′c~p,σ (2.25)

2.2 Metoda ecuatiei de miscare 29

Atunci: [H , c+

~p,σ

]=

∑

~p′,σ′ε0~p′

[c+

~p′,σ′c~p′,σ′ , c+

~p,σ

]+

+∑

σ′′,σ′,~p′,~k,~q

V~q

2

[c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

c~k,σ′c~p′,σ′′ , c+~p,σ

](2.26)

Primul termen din (2.26) este de fapt rezultatul (2.17). In cel de-al doileatermen vom calcula ıntai comutatorul:

[c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

c~k,σ′c~p′,σ′′ , c+~p,σ

]= −

[c+~p,σ , c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

c~k,σ′c~p′,σ′′

]

Considerand pentru ınceput:

A = c+~p,σ B = c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

C = c~k,σ′c~p′,σ′′

folosim prima identitate din (2.15) si obtinem rezultatul:

−c+~p′+~q,σ′′

c+~k−~q,σ′

[c+~p,σ , c~k,σ′c~p′,σ′′

]

Aici folosim cea de-a doua identitate din formula (2.15), obtinand:[c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

c~k,σ′c~p′,σ′′ , c+~p,σ

]=

= c+~p′+~q,σ′′

c+~k−~q,σ′

c~k,σ′ δ~p,~p′ δσ,σ′′ − c+

~p′+~q,σ′′c+~k−~q,σ′

c~p′,σ′′ δ~p,~k

δσ,σ′

Folosind acest rezultat si tinand seama de simbolurile lui Kronecker, cel de-aldoilea termen din (2.26) devine:

∑

σ′,~k,~q

V~q

2c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′ −

∑

σ′′,~p′,~q

V~q

2c+

~p′+~q,σ′′c+~p−~q,σc~p′,σ′′

In ultimul termen, rebotezand indicii de sumare prin σ′′ → σ′, ~p′ → ~k sischimband ~q → −~q , (V−~q = V~q), avem:

∑

σ′,~k,~q

V~q

2c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′ −

∑

σ′,~k,~q

V~q

2c+~k−~q,σ′

c+~p+~q,σc~k,σ′


Folosind relatia de anticomutare pentru operatorii de creare din ultimul ter-men, obtinem rezultatul:

∑

σ′,~k,~q

V~q c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′ (2.27)

Atunci, ecuatia de miscare devine:[H , c+

~p,σ

]= ε0~p c+

~p,σ +∑

σ′,~k,~q

V~q c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′ (2.28)

Se observa ca miscarea unei particule ıntr-un mediu cu interactii este cuplatacu cea a doua particule si a unui gol. Altfel spus, particula este ”ımbracata”ıntr-un ”nor” de particule ınsotitoare. Entitatea compozita formata din par-ticula si nor, se numeste ”cuasiparticula”. Se mai observa ca ecuatia (2.28)nu reproduce o relatie de tipul (2.12). Atunci, pasul urmator ar fi sa scriemo ecuatie de miscare pentru produsul de tip c+c+c care apare ın termenul aldoilea din (2.28), s.a.m.d. Vom obtine o serie de ecuatii de miscare cuplate,care ın general sunt foarte complicate pentru a fi rezolvate exact. Atunci serecurge la aproximatii. Pentru a liniariza termenul triliniar din (2.28) facemurmatoarea aproximatie:

• Pasul ıntai: Pastram ın suma numai termenul cu ~q = 0, avand:[H , c+

~p,σ

]= ε0~p c+

~p,σ +∑

σ′,~k

V0 c+~p,σc+

~k,σ′c~k,σ′ (2.29)

• Pasul al doilea: Inlocuim produsul c+~k,σ′

c~k,σ′ cu valoarea lui asteptata, ınstarea fundamentala:

c+~k,σ′

c~k,σ′ →⟨c+~k,σ′

c~k,σ′

⟩≡ n0

~k,σ′ (2.30)

Atunci, ecuatia de miscare devine:[H , c+

~p,σ

]= ε0~p c+

~p,σ + V0

∑

σ′,~k

n0~k,σ′ c+

~p,σ =

=

ε0~p + V0

∑

σ′,~k

n0~k,σ′

c+

~p,σ ≡ ε~p c+~p,σ (2.31)

2.3 Aproximatia Hartree-Fock 31

cu:ε~p = ε0~p + V0

∑

σ′,~k

n0~k,σ′ (2.32)

Se observa ca operatorul c+~p,σ creaza o excitatie elementara cu energia ε~p (care

este de fapt energia unei particule ”ımbracate ın interactie”). Termenul supli-mentar din (2.32) se datoreaza efectului mediu al celorlalte particule din sistemasupra particulei a carei miscare am studiat-o. In aproximatia folosita aici,efectul suplimentar este doar o modificare (translatare) a valorii energiei, dela valoarea corespunzatoare unei particule libere. Acest termen, de tip ”campmediu”, este rezultatul aproximatiei Hartree. De regula corectia Hartree seabsoarbe ın expresia potentialului chimic, ducand la o mica modificare a valoriiacestuia.

2.3 Aproximatia Hartree-Fock

Ecuatia de miscare a unei particule, ıntr-un mediu cu interactii era:[H , c+

~p,σ

]= ε0~p c+

~p,σ +∑

σ′,~k,~q

V~q c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′

Acum vom liniariza produsul de trei operatori astfel:

c+1 c+

2 c3 → c+1

⟨c+2 c3

⟩− c+

2

⟨c+1 c3

⟩(2.33)

obtinand:

c+~p+~q,σc+

~k−~q,σ′c~k,σ′ → c+

~p+~q,σ n0~k−~q,σ′ δ~k−~q,~k

− c+~k−~q,σ′

n0~p+~q,σ δ

~p+~q,~kδσ,σ′ (2.34)

Aici s-a folosit relatia:⟨c+~p,αc~p′,β

⟩=

⟨c+~p,αc~p,α

⟩δ~p,~p′ δα,β ≡ n0

~p,α δ~p,~p′ δα,β (2.35)

Atunci, termenul triliniar din ecuatia de miscare devine:

∑

σ′,~k,~q

V~q c+~p+~q,σ n0

~k−~q,σ′ δ~k−~q,~k−

∑

σ′,~k,~q

V~q c+~k−~q,σ′

n0~p+~q,σ δ

~p+~q,~kδσ,σ′ =


=∑

~k,σ′V0 c+

~p,σ n0~k,σ′ −

∑

~k,σ′V~k−~p

c+~p,σ n0

~k,σ′ δσ,σ′ =

=∑

~k,σ′n0

~k,σ′

(V0 − V

~p−~kδσ,σ′

)c+~p,σ (2.36)

iar ecuatia de miscare capata forma urmatoare:

[H , c+

~p,σ

]=

ε0~p +∑

~k,σ′n0

~k,σ′

(V0 − V

~p−~kδσ,σ′

)

c+~p,σ ≡ ε~p c+

~p,σ (2.37)

unde:ε~p = ε0~p +

∑

~k,σ′n0

~k,σ′

(V0 − V

~p−~kδσ,σ′

)≡ εHF

~p,σ (2.38)

sau:εHF~p,σ = ε0~p + V0

∑

~k,σ′n0

~k,σ′ −∑

~k,σ′V

~p−~kn0

~k,σ′ δσ,σ′ (2.39)

Termenul Hartree (al doilea din expresia de mai sus) reprezinta energia medie,de interactie, a electronului cu toti ceilalti electroni din sistem. El este oconstanta care poate fi absorbita ın potentialul chimic. Termenul Fock (altreilea) este cel care corespunde energiei de schimb. Acest termen exista atattimp cat δσ,σ′ = 1, adica atunci cand spinii sunt paraleli (orientarea este detip feromagnetic).

In continuare, analizam εHF~p,σ , considerand termenul Hartree absorbit ın

potentialul chimic, si:

n0~k,σ′ =

1 , k < pF

0 , k > pF

(2.40)

Atunci:εHF~p,σ = ε0~p −

∑

~k,(k<pF )

V~p−~k

≡ ε~p

sau:

ε~p =p2

2m−

∫

(k<pF )

d~k

(2π)34πe2

∣∣∣~p− ~k∣∣∣2 =

=p2

2m− 4πe2

(2π)3

∫ pF

0

∫ π

0

∫ 2π

0

dk k2 sin θ dθ dϕ

p2 + k2 − 2pk cos θ=


=p2

2m− 4πe2

(2π)3· 2π

∫ pF

0dk k2

∫ π

0

dθ sin θ

p2 + k2 − 2pk cos θ

Introducand noua variabila µ = cos θ, avem:

ε~p =p2

2m− e2

π

∫ pF

0dk k2

∫ 1

−1

dµ

p2 + k2 − 2pkµ

Ultima integrala este:1pk

ln∣∣∣∣p + k

p− k

∣∣∣∣astfel ıncat:

ε~p =p2

2m− e2

πp

∫ pF

0dk k ln

∣∣∣∣p + k

p− k

∣∣∣∣ (2.41)

Notam integrala ramasa prin I, avand:

I =∫ pF

0dk k ln |p + k| −

∫ pF

0dk k ln |p− k| ≡ I1 − I2 (2.42)

Facand ın I1 schimbarea de variabila p + k = x, iar ın I2, p − k = y, gasimrezultatele:

I1 =(p + pF )2

2ln |p + pF | − (p + pF )2

4− p(p + pF ) ln |p + pF |+ p(p + pF )−

−p2

2ln |p|+ p2

4+ p2 ln |p| − p2 (2.43)

I2 =(p− pF )2

2ln |p− pF | − (p− pF )2

4− p(p− pF ) ln |p− pF |+ p(p− pF )−

−p2

2ln |p|+ p2

4+ p2 ln |p| − p2 (2.44)

cu care:

I = p

[p2

F − p2

2pln

∣∣∣∣pF + p

pF − p

∣∣∣∣ + pF

](2.45)

Atunci, ε~p este:

ε~p =p2

2m− e2

π

[p2

F − p2

2pln

∣∣∣∣pF + p

pF − p

∣∣∣∣ + pF

]

Introducand notatia x = p/pF , expresia de mai sus se aduce la forma:

ε~p =p2

2m− 2e2

π· pF · F (x) (2.46)


Figura 2.1: Dependenta calitativa a functiei F (x).

unde:

F (x) =12

+1− x2

4xln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣

Dependenta calitativa a lui F (x) este redata ın Figura 2.1.

In apropierea suprafetei Fermi x ≈ 1, iar F (x) se aproximeaza astfel:

F (x) ≈ 12

+2(1− x)

4[ln 2− ln |1− x|] ≈ 1

2+

x− 12

ln |1− x| (2.47)

Deoarece:

|1− x| =

1− x , x < 1x− 1 , x > 1

avem:

F (x) ≈

12 + x−1

2 ln(x− 1) , x > 1, x → 112 + x−1

2 ln(1− x) , x < 1, x → 1(2.48)

si:

ε~p ≈

p2

2m − e2pFπ

[1 +

(p

pF− 1

)ln

(p

pF− 1

)], p > pF , p → pF

p2

2m − e2pFπ

[1 +

(p

pF− 1

)ln

(1− p

pF

)], p < pF , p → pF

(2.49)


Viteza electronului, ın apropierea suprafetei Fermi, v~p = ∂ε~p/∂p, este:

v~p ≈

pm − e2

π ln(

ppF− 1

)≈ − e2

π ln(

ppF− 1

), p > pF , p → pF

pm − e2

π ln(1− p

pF

)≈ − e2

π ln(1− p

pF

), p < pF , p → pF

(2.50)

La suprafata Fermi, p = pF , viteza electronului este infinita. Acest fapt ınsanu este real. Aparenta problema se rezolva daca consideram interactiuneacoulombiana ecranata, cand sistemul de electroni se rearanjeaza ın asa felıncat sa se anuleze partea de raza lunga de actiune din interactia coulom-biana. Neconsiderarea ecranarii aduce probleme si ın expresia densitatii destari energetice la nivelul Fermi. Densitatea de stari (ın trei dimensiuni), pen-tru ambele orientari ale spinului este:

N(ε) =2

(2π)3

∫dS∣∣∇ε~p

∣∣ (2.51)

unde:dS = p2 · dΩ

∣∣∇ε~p

∣∣ =∣∣v~p

∣∣ (2.52)

Atunci:

N(ε) =1

4π3

∫p2 · dΩ∣∣v~p

∣∣ =p2

π2∣∣v~p

∣∣ ∼1∣∣v~p

∣∣ (2.53)

In apropierea suprafetei Fermi, tinand seama ca:

F (x) ≈ 12

avem:

ε~p 'p2

2m− e2pF

π

Absorbind termenul −e2pF /π ın potentialul chimic, vom gasi ca:

ε~p ≡ ε ≈ p2

2m→ p '

√2mε (2.54)

In plus:pF =

√2mεF

astfel ıncat raportul p/pF devine:

p

pF=

√ε

εF


Figura 2.2: Densitatea de stari energetice ın diferite aproximatii.

Atunci, denstitatea de stari este:

N(ε) ∼

1∣∣ln(√ε/εF−1)∣∣ , ε > εF , ε → εF

1∣∣ln(1−√

ε/εF

)∣∣ , ε < εF , ε → εF

(2.55)

Observam ca ın aproximatia Hartree-Fock N(εF ) = 0. Acest rezultat semodifica ınsa, daca se iau ın considerare efectele de ecranare. Oricum ınsa,exista o micsorare a valorii densitatii de stari fata de cazul electronilor liberi.Figura 2.2 prezinta comportarea calitativa a densitatii de stari energetice cafunctie de energie ın diferite aproximatii.

In continuare, analizam energia totala a sistemului electronic, folosindaproximatia Hartree-Fock. Pentru aceasta folosim ecuatia (2.46), scrisa subforma:

ε~p = ε0~p + ε~p,sch (2.56)

cu care, energia totala este:

EHF =∑

~p,σ

ε0~pn0~p,σ +

12

∑

~p,σ

ε~p,schn0~p,σ =

= 2∫

d3p

(2π)3· p2

2m+

12· 2

∫d3p

(2π)3·(−2e2pF

π

)· F (x) p ≤ pF (2.57)


Factorul 1/2 din termenul al doilea al ecuatiei (2.57) provine dintr-o interactiunede tip pereche. Primul termen din (2.57) este energia unui sistem de N

fermioni liberi, si este egala cu:

35· p2

F

2m·N (2.58)

Cel de-al doilea termen este contributia de schimb, si este:

∫d3p

(2π)3·(−2e2pF

π

)· F (x) =

4π

(2π)3

(−e2pF

π

) ∫ pF

0dp p2 2F (x) (2.59)

Cu x = p/pF , expresia de mai sus devine:

−e2p4F

2π3

∫ 1

0dx x2

(1 +

1− x2

2xln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣)

= −e2p4F

4π3(2.60)

deoarece integrala dupa x este egala cu 1/2. Stiind ca numarul N de fermionieste:

N =∑

~p,σ

n0~p,σ = 2

∫

(p<pF )

d3p

(2π)3=

2(2π)3

· 4π

∫ pF

0dp p2 =

p3F

3π2(2.61)

termenul (2.60) se rescrie sub forma:

−e2pF

4π3· p3

F =34π

· e2pF ·N (2.62)

Atunci, energia Hartree-Fock per electron este:

EHF

N=

35· p2

F

2m− 3

4· e2pF

π(2.63)

Observatii: In legatura cu formula de mai sus, definim raza medie a particuleiprin:

V = N4πr3

0

3

si daca V = 1 m3, avem:

N =3

4πr30


Pe de alta parte (h = 1):

N =∑

~p,σ

n0~p,σ =

p3F

3π2

Atunci, din egalarea celor doua expresii de mai sus, obtinem:

pF =1

r0α

unde:

α =(

49π

)1/3

= 0, 521

Exprimam r0 ın functie de raza Bohr rB = 1/me2, introducand parametruladimensional:

rs =r0

rB

cu ajutorul caruia:

r0 =rs

me2

Atunci:

pF =1α

me2

rs

Primul termen din ecuatia (2.63) devine:

35

p2F

2m=

35

me4

21

α2r2s

Exprimand energia ın Rydberg:

1 Ry =me4

2= 13, 6 eV

avem:35

p2F

2m=

35

1α2r2

s

' 2, 21r2s

(Ry)

Cel de-al doilea termen din (2.63) este:

−34

e2pF

π= − 3

2π

me4

21

αrs


Exprimand acest rezultat ın Rydberg, avem:

− 32πα

1rs' −0, 916

rs(Ry)

ın asa fel ıncat energia Hartree-Fock per particula, ın Rydberg, este:

EHF

N=

2, 21r2s

− 0, 916rs

(Ry)

Acest rezultat este mai bun decat aproximatia Hartree, dar are neajunsul(printre altele) ca nu ia ın considerare corelatiile dintre perechile de electroni cuspini antiparaleli. Rezultatul de mai sus apare ca o serie de puteri crescatoarea lui rs (r−2

s , r−1s , ...). Daca se iau ın considerare si alte efecte, seria ar putea

fi completata cu termenii r0s , ln rs, r

1s , ..., ın asa fel ıncat energia per particula

devine (Gell-Mann, Brueckner [2]):

E

N=

2, 21r2s

− 0, 916rs

− 0, 094 + 0, 0622 ln rs + ...

Aici vom defini energia de corelatie, ca fiind suma tuturor termenilor energeticiın afara energiei Hartree-Fock:

E

N=

EHF

N+

Ec

N

deci:

Ec

N= −0, 094 + 0, 0622 ln rs +O(rs)

In limita rs → 0, ceea ce ınseamna un sistem fermionic cu densitate mare, seobserva ca termenul corespunzator energiei de corelatie este mai putin singulardecat termenul Hartree-Fock, ın asa fel ıncat acesta domina. Concluzionamatunci ca, aproximatia Hartree-Fock, pentru fermioni, este buna ın limita den-sitatilor mari.


2.4 Miscarea unei excitatii particula-gol. RPA

In aceasta sectiune vom studia miscarea unei excitatii particula-gol, descrisade operatorul ρ+

~p,~q,σ = c+~p+~q,σc~p,σ, ıntr-un mediu descris de hamiltonianul:

H =∑

~p′,σ′′ε0~p′c

+~p′,σ′′

c~p′,σ′′ +∑

σ′′,σ′,~p′,~k,~q′

V~q′

2c+

~p′+~q′,σ′′c+~k−~q′,σ′

c~k,σ′c~p′,σ′′ = Hc + Hp

(2.64)Pentru studiul miscarii trebuie calculat comutatorul:

[H , ρ+

~p,~q,σ

]=

[Hc , ρ+

~p,~q,σ

]+

[Hp , ρ+

~p,~q,σ

](2.65)

Primul comutator a fost deja calculat, el reprezentınd miscarea excitatiei ıntr-un mediu fara interactii:

[Hc , ρ+

~p,~q,σ

]=

(ε0~p+~q − ε0~p

)· ρ+

~p,~q,σ ≡ ω0pq · ρ+

~p,~q,σ (2.66)

Calculul celui de-al doilea comutator este mai lung, iar rezultatul care se obtine(aplicand aceeasi procedura ca si ın paragrafele precedente), este:

[Hp , ρ+

~p,~q,σ

]= −

∑

~q′

V~q′

2

[(c+~p+~q,σc

~p+~q′,σ − c+

~p+~q−~q′,σc~p,σ

)ρ+

~q′+

+ρ+~q′

(c+~p+~q,σc

~p+~q′,σ − c+


)](2.67)

Ecuatia de miscare pentru excitatia particula-gol, ıntr-un mediu cu interactiieste:

[H , ρ+

~p,~q,σ

]= ω0

pq · ρ+~p,~q,σ −

∑

~q′

V~q′

2

[(c+~p+~q,σc

~p+~q′,σ − c+


)ρ+

~q′+

+ρ+~q′

(c+~p+~q,σc

~p+~q′,σ − c+


)](2.68)

Se observa ca miscarea excitatiei este ınsotita de doua perechi de excitatii.Pentru a gasi o solutie aproximativa pentru ecuatia (2.68), recurgem la RPA(Random Phase Approximation). In aceasta aproximatie, pastram ın suma

2.4 Miscarea unei excitatii particula-gol. RPA 41

din (2.68) doar termenul cu ~q′ = ~q, iar apoi ınlocuim produsele de operatoride tipul c+c cu mediile lor pe starea fundamentala 〈c+c〉 = n0, avand:

[H , ρ+

~p,~q,σ

]RPA

= ω0pq · ρ+

~p,~q,σ −V~q

2

[(⟨c+~p+~q,σc~p+~q,σ

⟩−

⟨c+~p,σc~p,σ

⟩)ρ+

~q +

+ρ+~q

(⟨c+~p+~q,σc~p+~q,σ

⟩−

⟨c+~p,σc~p,σ

⟩)]=

= ω0pq · ρ+

~p,~q,σ − V~q

(n0

~p+~q,σ − n0~p,σ

)· ρ+

~q (2.69)

Termenul al doilea din (2.69) reprezinta un termen de forta, pentru miscareaperechilor particula-gol. El poate fi interpretat ca un camp de forte mediuprodus de perechile particula-gol din sistem. Pastrarea doar a termenului cu~q′ = ~q este echivalenta cu neglijarea fluctuatiilor acestui camp de forte, caredeci, ın RPA, sunt considerate ca fiind foarte mici.

Ecuatia de miscare pentru excitatia particula-gol are forma:[H , ρ+

~p,~q,σ

]= ω · ρ+

~p,~q,σ (2.70)

Atunci, ın RPA:

ω · ρ+~p,~q,σ = ω0

pq · ρ+~p,~q,σ − V~q

(n0

~p+~q,σ − n0~p,σ

)· ρ+

~q (2.71)

si de aici:

ρ+~p,~q,σ =

V~q

(n0

~p,σ − n0~p+~q,σ

)

ω − ω0pq

· ρ+~q (2.72)

Sumand aceasta relatie dupa ~p si σ, avem:∑

~p,σ

ρ+~p,~q,σ = ρ+

~q

si:

ρ+~q =

∑

~p,σ

V~q

(n0

~p,σ − n0~p+~q,σ

)

ω − ω0pq

· ρ+~q

iar de aici:

1 = V~q

∑

~p,σ

n0~p,σ − n0

~p+~q,σ

ω − ω0pq

(2.73)

Aceasta este relatia de dispersie, ın RPA, pentru modurile colective ale unuisistem de fermioni ın interactie [3].


2.5 Relatia de dispersie ın RPA. Plasmoni ın 3D si

2D

In cazul relatiei de dispersie (2.73), pentru o interactie repulsiva (V~q > 0),modurile colective sunt definite atat timp cat este ındeplinita conditia:

ω > ω0pq (2.74)

Energia acestor moduri este diferita de cea a perechilor particula-gol. Laω = ω0

pq, (2.73) este singulara. Daca introducem, ın ecuatia de miscare, untermen de forta exterioara (mic) si cerem ca raspunsul sistemului sa fie cauzal,aceasta va implica ın (2.73) schimbarea:

ω → ω + iη η > 0 , η → 0 (2.75)

astfel ıncat:

1 = V~q

∑

~p,σ

n0~p,σ − n0

~p+~q,σ

ω − ω0pq + iη

≡ V~q · χ0(~q, ω) (2.76)

Atunci, solutiile ecuatiei (2.76) corespund unui ω complex, ceea ce este echiva-lent cu oscilatii colective amortizate.

Analizam, ın continuare, functia χ0(~q, ω) (functia Lindhard [4]):

χ0(~q, ω) =∑

~p,σ

n0~p,σ − n0

~p+~q,σ

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη=

=∑

~p,σ

n0~p,σ(1− n0

~p+~q,σ)− n0~p+~q,σ(1− n0

~p,σ)ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη

=

=∑

~p,σ

[n0

~p,σ(1− n0~p+~q,σ)

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− n0

~p+~q,σ(1− n0~p,σ)

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη

]

In ultimul termen din expresia de mai sus facem schimbarea ~p + ~q → ~p, siobtinem:

χ0(~q, ω) =∑

~p,σ

[n0

~p,σ(1− n0~p+~q,σ)

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− n0

~p,σ(1− n0~p−~q,σ)

ω − (ε0~p − ε0~p−~q) + iη

]

2.5 Relatia de dispersie ın RPA. Plasmoni ın 3D si 2D 43

In ultima fractie facem schimbarea ~p → −~p, si:

χ0(~q, ω) =∑

~p,σ

[n0

~p,σ(1− n0~p+~q,σ)

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− n0

−~p,σ(1− n0−~p−~q,σ)

ω − (ε0−~p − ε0−~p−~q) + iη

]=

=∑

~p,σ

[n0

~p,σ(1− n0~p+~q,σ)

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− n0

~p,σ(1− n0~p+~q,σ)

ω − (ε0~p − ε0~p+~q) + iη

]=

=∑

~p,σ

n0~p,σ(1− n0

~p+~q,σ)

[1

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− 1

ω − (ε0~p − ε0~p+~q) + iη

](2.77)

Pentru p < pF si |~p + ~q| > pF , avem:

n0~p,σ = 1 , n0

~p+~q,σ = 0 (2.78)

iar functia Lindhard va fi:

χ0(~q, ω) =∑

σ,p<pF ,|~p+~q|>pF

[1

ω − (ε0~p+~q − ε0~p) + iη− 1

ω − (ε0~p − ε0~p+~q) + iη

]

(2.79)Observam ca polii, ın planul complex ω, sunt energiile excitatiilor particula-gol: ±(ω0

pq ≡ ε~p+~q − ε~p), unde |~p + ~q| > pF si p < pF ıntotdeauna. Solutiileecuatiei

1 = V~q · χ0(~q, ω)

determinate grafic (vezi Figura 2.3), sunt:a) Solutii de tip excitatii particula-gol (amortizate, datorita factorului

iη). Aici exista o frecventa maxima ωmax, peste care nu mai exista excitatiiparticula-gol, pentru un q dat (si fixat). Cea mai mare energie a excitatieirezulta pentru p = pF si cand vectorii ~p si ~q sunt paraleli. Atunci:

ω0pq = ε0~p+~q − ε0~p =

~p · ~qm

+q2

2m→ ωmax =

pF q

m+

q2

2m(2.80)

b) Alta solutie posibila se afla ın zona ω > ωmax. Aceasta este solutia detip plasmonic (legata de oscilatiile plasmei electronice). Ea implica miscareatuturor particulelor, de aceea acest mod se numeste mod colectiv. El se


Figura 2.3: Rezolvarea grafica a ecuatiei 1 = V~q · χ0(~q, ω).

datoreaza potentialului coulombian de raza lunga de actiune. Frecventa mod-urilor plasmonice se determina folosind ecuatia (2.73) (ın absenta amortizarii),cand la T = 0 K avem:

1 = V~q

∑σ,p<pF

[1

ω − ω0pq

− 1ω + ω0

pq

]≡ V~q · χ0(~q, ω) (2.81)

cu (ın 3D):

V~q =4πe2

q2, ω0

pq =pq cos θ

m+

q2

2m

Consideram, pentru ınceput, expresia lui χ0(~q, ω):

χ0(~q, ω) =∑

σ,p<pF

[1

ω − pq cos θm − q2

2m

− 1

ω + pq cos θm + q2

2m

]

In ultima fractie facem schimbarea p → −p, apoi sumam dupa starile de spinsi trecem de la suma dupa impulsuri, la integrala dupa impulsuri, obtinandimediat:

χ0(~q, ω) = 2q2

m

∫d3p

(2π)3· 1(

ω − pq cos θm

)2 − q4

4m2

(2.82)


Cu (2.81) avem:

1 =4πe2

m· 2

∫d3p

(2π)3· 1(

ω − pq cos θm

)2 − q4

4m2

In domeniul lungimilor de unda mari (q → 0) avem aproximativ:

1 =4πe2

m· 2

∫d3p

(2π)3· 1(

ω − pq cos θm

)2

sau:

1 =4πe2

m· 2 · 1

ω2

∫d3p

(2π)3· 1(

1− pqmω cos θ

)2

Deoarece q este mic, iar ω este mare (ω > ωmax), vom scrie integrandul demai sus folosind dezvoltarea:

1(1− x)2

= 1 + 2x + 3x2 + ...

avand:

1 =4πe2

mω2· 2

∫

p<pF

d3p

(2π)3

[1 + 2

pq

mωcos θ + 3

(pq

mω

)2

cos2 θ + ...

]

sau:

1 =4πe2

mω2

[2

∫

p<pF

d3p

(2π)3+ 4

∫

p<pF

d3p

(2π)3pq

mωcos θ+

+3 · 2∫

p<pF

d3p

(2π)3

(pq

mω

)2

cos2 θ

](2.83)

Integralele care apar ın (2.83) sunt:

I1 = 2∫

p<pF

d3p

(2π)3= N (2.84)

unde N este numarul de fermioni din volumul unitar.

I2 = 4∫

p<pF

d3p

(2π)3pq

mωcos θ = 0 (2.85)


deoarece la integrarea (ın coordonate sferice, ın spatiul impulsului), apare,dupa variabila θ, integrala:

∫ π

0dθ · sin θ · cos θ = 0

Ultima integrala este:

I3 = 3 · 2∫

p<pF

d3p

(2π)3

(pq

mω

)2

cos2 θ =

= 3 · 2(2π)2

· q2

m2ω2

∫ pF

0dp p4

∫ π

0dθ · sin θ · cos2 θ =

315π2

· q2

m2ω2· p5

F (2.86)

deoarece integrala unghiulara este 2/3. Cu aceste rezultate, (2.83) devine:

1 =4πe2N

m· 1ω2

[1 +

1N· 3q2p5

F

15π2m2ω2

](2.87)

Folosind, ın paranteza, pentru N , expresia:

N =2

(2π)3

∫ pF

04πp2 dp =

p3F

3π2

precum si faptul ca pF = mvF , obtinem:

1 =4πe2N

m· 1ω2

[1 +

3q2v2F

5ω2

](2.88)

Rezolvam (2.88) iterativ, deoarece ω este suficient de mare. La primul pasavem:

1 ' 4πe2N

m· 1ω2

→ ω ≡ ωPL =

√4πe2N

m(2.89)

La pasul al doilea avem:

1 ' ω2PL ·

1ω2

[1 +

35

(qvF

ωPL

)2]

de unde:

ω2 ' ω2PL

[1 +

35

(qvF

ωPL

)2]


Figura 2.4: Dependenta de vectorul de unda a frecventei plasmonice pentrucazul unui gaz electronic 3D.

si, ın final:

ω ' ωPL

[1 +

310

(qvF

ωPL

)2]

(2.90)

La q = 0, ω = ωPL, deci aici exista un ”gap” ın spectrul energetic plasmonic.Acest rezultat este valabil ın 3D. In legatura cu Figura 2.4 facem urmatoareaobservatie importanta. Energia maxima pentru excitatia particula-gol ωmax =vF q + q2/(2m) este deasemenea reprezentata pe figura. Ea creste de la zero,dar mai rapid decat (2.90). La o valoare critica a vectorului de unda, qc,unde cele doua curbe se ıntalnesc, plasmonul se dezintegreaza ıntr-o excitatieparticula-gol. Plasmonii sunt cuantele corespunzatoare oscilatiilor colectiveale plasmei electronice. Valoarea qc se determina din conditia:

ω(qc) = ωmax(qc) (2.91)

sau:

ωPL

[1 +

310

(qcvF

ωPL

)2]

= vF qc +q2c

2m

care, ın domeniul lungimilor de unda mari, capata forma:

ωPL ' vF qc → qc ∼ ωPL

vF(2.92)


Observam ca, ın prima aproximatie, qc este proportional cu ωPL. In 3D,pentru concentratii metalice obisnuite, N ∼ 1029 (m−3), astfel ıncat energiaplasmonilor este de cateva ori mai mare decat energia Fermi.

In cele ce urmeaza, analizam problema modurilor plasmonice ın sistemebidimensionale (2D). Pentru aceasta vom defini ın prealabil, functia dielectricaa unui sistem, prin:

ε(~q, ω) = 1− V~qχ0(~q, ω) (2.93)

Privind cazul 3D, observam ca frecventa modurilor plasmonice s-a determinatrezolvand ecuatia ε(~q, ω) = 0, adica considerand zerourile functiei dielectrice.Acesta este un rezultat cu caracter general, care ne da reteta de calcul afrecventei modurilor plasmonice dintr-un sistem.

In cazul bidimensional, vom folosi ın (2.93) relatiile:

V~q =2πe2

|q| , χ0(~q, ω) =2q2

m

∫

p<pF

d2p

(2π)21

(ω − pq

m cos θ)2 − q4

4m2

(2.94)

Lucrand ın domeniul lungimilor de unda mari (q → 0), avem:

1 =2πe2q

mω2· 2

∫

p<pF

d2p

(2π)21(

1− pqmω cos θ

)2

Dezvoltand integrandul, ın mod asemanator cu cazul tridimensional, obtinem:

1 =2πe2q

mω2·

·[2

∫

p<pF

d2p

(2π)2+ 4

∫

p<pF

d2p

(2π)2pq

mωcos θ + 3 · 2

∫

p<pF

d2p

(2π)2

(pq

mω

)2

cos2 θ

]

(2.95)Aici:

d2p = p dp dθ

iar cele trei integrale care apar ın expresia de mai sus sunt:

2∫

p<pF

d2p

(2π)2=

p2F

2π≡ N (2.96)


N este numarul de fermioni din aria unitara. Celelalte integrale sunt:

4∫

p<pF

d2p

(2π)2pq

mωcos θ = 0 (2.97)

si:

3 · 2∫

p<pF

d2p

(2π)2

(pq

mω

)2

cos2 θ =38π

q2

m2ω2p4

F (2.98)

Inlocuind aceste rezultate ın (2.95) vom avea:

1 =2πe2qN

mω2

[1 +

34

q2v2F

ω2

](2.99)

Aceasta ecuatie se rezolva iterativ. La primul pas avem:

1 ' 2πe2qN

mω2

de unde:

ω ≡ ωPL(q) =

√2πe2Nq

m(2.100)

La pasul al doilea avem:

1 =ω2

PL(q)ω2

[1 +

3q2v2F m

8πe2N

]

Inlocuind expresia lui N = p2F /2π, pF = mvF , gasim urmatorul rezultat:

ω2 = ω2PL(q)

[1 +

34me2

q

]

sau:

ω ' ωPL(q)[1 +

38me2

q

](2.101)

cu ωPL(q) din (2.100). Dependenta frecventei plasmonice de valoarea vec-torului de unda este redata ın Figura 2.5. Se observa, spre deosebire de cazultridimensional, ca ın doua dimensiuni spectrul plasmonic este fara ”gap” laq = 0.


Figura 2.5: Dependenta de vectorul de unda a frecventei plasmonice pentrucazul unui gaz electronic 2D.

2.6 Functia Lindhard statica. Efecte de dimension-

alitate

In cele ce urmeaza, vom vedea functia Lindhard χ0(~q, ω), ın limita statica siın domeniul lungimilor de unda mari. Limita statica ınseamna ω = 0, cand:

χ0(~q, 0) =∑

~p,σ

n0~p+~q,σ − n0

~p,σ

ω0pq

=∑

~p,σ

n0~p+~q,σ − n0

~p,σ

ε0~p+~q − ε0~p(2.102)

Domeniul lungimilor de unda mari ınseamna ~q → 0, cand:

n0~p+~q,σ = n~p,σ + ~q · ∂n0

~p,σ

∂~p= n~p,σ + ~q · ∂n0

~p,σ

∂ε0~p· ∂ε0~p

∂~p(2.103)

si:

ε0~p+~q = ε0~p + ~q · ∂ε0~p

∂~p(2.104)

Cu aceste rezultate, functia Lindhard statica devine:

χ0(~q → 0, 0) = 2∑

~p

∂n0~p,σ

∂ε0~p= −2

∑

~p

δ(ε0~p

)≡ −N(0) (2.105)

2.6 Functia Lindhard statica. Efecte de dimensionalitate 51

unde N(0) este densitatea de stari pentru ambele orientari ale spinului, lanivelul Fermi (ales ca origine).

In RPA, functia dielectrica a unui sistem este:

ε(~q, ω) = 1− V~qχ0(~q, ω) (2.106)

care, ın limita statica si ın domeniul lungimilor de unda mari, devine:

ε(~q → 0, 0) ≡ ε(~q) = 1 +4πe2N(0)

q2≡ 1 +

q2TF

q2(2.107)

Aici s-a introdus notatia:q2TF = 4πe2N(0) (2.108)

qTF este un vector de unda, a carui semnificatie fizica se da ın felul urmator.Consideram ca avem sarcina electrica e ın vid. Ea da nastere potentialului:

ϕ(~r) =e

r(2.109)

cu transformata Fourier:ϕ(~q) =

4πe

q2(2.110)

Intr-un mediu, tinand seama de efectele de ecranare, potentialul este dat de:

ϕs(~q) =ϕ(~q)ε(~q)

(2.111)

sau:ϕs(~q) =

4πe

q2· 1

1 + q2TFq2

=4πe

q2 + q2TF

(2.112)

Se observa imediat ca, q2TF din numitorul ecuatiei (2.112) elimina divergenta

din q = 0 a potentialului coulombian neecranat. In spatiul ~r, prin transformataFourier inversa, avem:

ϕs(~r) =e

r· exp (−qTF r) (2.113)

ın asa fel ıncat, interactia de lunga raza de actiune este acum ınlocuita cuuna de raza scurta (ecranata). Raza de actiune a interactiei este de ordinullungimii de ecranare q−1

TF , iar qTF se numeste vector de unda de ecranareThomas-Fermi.


Sa analizam ın continuare expresia functiei Lindhard statice (la T = 0 K,si ın absenta amortizarii), pentru orice valoare a vectorului de unda si pentrudiferite dimensionalitati. Pentru aceasta pornim de la relatia generala:

χ0(~q, ω = 0) ≡ χ0(~q) = −4∑

p<pF

1ω0

pq

(2.114)

unde s-a facut sumarea dupa starile de spin.• In cazul tridimensional ecuatia (2.114) devine:

χ0(~q) = −4∫

d3p

(2π)31

ω0pq

= − 4(2π)3

∫ pF

0

∫ π

0

∫ 2π

0

p2 sin θ dp dθ dϕpqm cos θ + q2

2m

care se aduce imediat la forma:

χ0(~q) = − 4(2π)2

· 2m

q

∫ pF

0dp p2

∫ π

0

dθ sin θ

q + 2p cos θ

In ultima integrala se face schimbarea de variabila q + 2p cos θ = u, obtinand:

χ0(~q) = − 4m

(2π)2q

[∫ pF

0dp p ln |q + 2p| −

∫ pF

0dp p ln |q − 2p|

](2.115)

Cele doua integrale din ecuatia (2.115) sunt:

I1 =∫ pF

0dp p ln |q + 2p| =

=12

[p2

F −(

q

2

)2]

ln |q + 2pF | − 12

[p2

F

2− qpF

2

]+

12

(q

2

)2

ln |q| (2.116)

si:

I2 =∫ pF

0dp p ln |q − 2p| =

=12

[p2

F −(

q

2

)2]

ln |q − 2pF | − 12

[p2

F

2+

qpF

2

]+

12

(q

2

)2

ln |q| (2.117)

Diferenta celor doua integrale, care apare ın ecuatia (2.115), devine:

I1 − I2 = qpF

[12

+1− x2

4xln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣]

(2.118)


Aici s-a notat x = q/(2pF ). Functia Lindhard devine:

χ0(~q) = −mpF

π2

[12

+1− x2

4xln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣]

= −mpF

π2· F (x) (2.119)

Aici:mpF

π2= N(0) (2.120)

este densitatea de stari la nivelul Fermi, pentru ambele orientari ale spinuluisi pentru h = 1.

Rezultatul obtinut este:

χ0(~q) = −N(0) · F (x) (2.121)

Functia dielectrica statica, ın trei dimensiuni, este:

ε(~q) = 1− V~qχ0(~q) = 1 +4πe2

q2·N(0) · F (x)

sau:

ε(~q) = 1 +q2TF

q2· F (x) (2.122)

In limita q → 0, ecuatia (2.122) se reduce la aproximatia Thomas-Fermi,deoarece F (x → 0) = 1. Ecuatia (2.122) este expresia pentru functia dielec-trica statica ın RPA. In acest caz, potentialul unei sarcini electrice este:

ϕs(~q) =ϕ(~q)ε(~q)

=4πe

q2

1

1 + q2TFq2 F (q/2pF )

(2.123)

sau:ϕs(~q) =

4πe

q2 + q2TF F (q/2pF )

(2.124)

Prin transformata Fourier inversa se determina ϕs(~r):

ϕs(~r) =∫

d3q

(2π)3ei~q~r ϕs(~q) (2.125)

sau:

ϕs(~r) =4πe

8π3

∫ ∞

0

∫ π

0

∫ 2π

0dq q2 sin θ dθ dϕ

eiqr cos θ


=


Figura 2.6: Potentialul electric ca functie de pozitie - oscilatii Friedel.

=e

π

∫ ∞

0dq

q2


∫ π

0dθ sin θ eiqr cos θ

Integrala unghiulara se determina imediat, daca facem schimbarea de variabilacos θ = y, fiind 2 sin(qr)/(qr), si cu acest rezultat:

ϕs(~r) =2e

πr

∫ ∞

0dq

q sin(qr)q2 + q2

TF F (q/2pF )(2.126)

Integrala care apare ın ecuatia (2.126) este complicata. Rezultatul care seobtine, pentru distante mari, are urmatorul comportament [5]:

ϕs(~r) ∼ cos(2pF r)r3

(2.127)

Se observa ca aceasta dependenta nu mai este una de tip Thomas-Fermi, ci unade tip oscilatoriu. Originea acestor oscilatii este legata de comportamentulsensibil al functiei Lindhard la q = 2pF . Comportamentul descris de ecuatia(2.127) atrage dupa sine un comportament oscilatoriu si pentru densitatea desarcina (oscilatii Friedel [6]). Chiar daca acesta nu este pronuntat, el poatefi pus ın evidenta prin masuratori de rezonanta magnetica nucleara. Oscilatiisimilare, dar ale densitatii de spin, apar la introducerea unei impuritati para-magnetice ıntr-un metal (oscilatii RKKY).


• Consideram ın continuare cazul bidimensional, folosind:

χ0(~q) = −4∑

p<pF

1ω0

pq

= −4∫

d2p

(2π)21

ω0pq

(2.128)

Aici: 0 ≤ p ≤ pF , 0 ≤ θ ≤ 2π si d2p = p dp dθ, astfel ıncat:

χ0(~q) = − 1π2

∫ pF

0dp p

∫ 2π

0dθ

1pqm cos θ + q2

2m

sau:χ0(~q) = − 2m

π2q2

∫ pF

0dp p

∫ 2π

0dθ

11 + 2p

q cos θ(2.129)

Pentru determinarea integralei unghiulare din ecuatia (2.129) folosim:

∫ 2π

0

dθ

1 + a cos θ=

2π√1−a2

; a < 1

0 ; a > 1(2.130)

obtinand:∫ 2π

0

dθ

1 + 2pq cos θ

=

2π√1−(2p/q)2

; p < q2

0 ; p > q2

(2.131)

Aici avem posibilitatile:a. 0 < q

2 < pF → q < 2pF , cand:

χ0(~q) = − 2m

π2q2

∫ q/2

0dp p

∫ 2π

0

dθ

1 + 2pq cos θ

+∫ pF

q/2dp p

∫ 2π

0

dθ

1 + 2pq cos θ

Ultima integrala este zero, si:

χ0(~q) = − 4m

πq2

∫ q/2

0

dp p√1− (2p/q)2

Facand schimbarea de variabila 2p/q = y, obtinem:

χ0(~q) = −m

π

∫ 1

0dy

y√1− y2

Cum integrala din expresia de mai sus este 1, gasim rezultatul:

χ0(~q) = −m

π, q < 2pF (2.132)


Figura 2.7: Dependenta calitativa de vectorul de unda a functiei Lindhardstatice ın cazul 2D.

b. pF < q2 → q > 2pF . In acest caz:

χ0(~q) = − 2m

π2q2

∫ pF

0dp p

2π√1− (2p/q)2

Cu aceeasi schimbare de variabila, 2p/q = y, avem:

χ0(~q) = −m

π

∫ 2pF /q

0dy

y√1− y2

Folosind: ∫ a

0dy

y√1− y2

= 1−√

1− a2 (2.133)

functia Lindhard devine:

χ0(~q) = −m

π

1−

√1−

(2pF

q

)2 , q > 2pF (2.134)

Reunind rezultatele (2.132) si (2.134), obtinem expresia functiei Lindhard stat-ice ın doua dimensiuni (pentru o reprezentare grafica vezi Figura 2.7):

χ0(~q) =

−mπ ; q < 2pF

−mπ

[1−

√1−

(2pFq

)2]

; q > 2pF(2.135)


Figura 2.8: Dependenta calitativa de vectorul de unda a functiei Lindhardstatice ın cazul 1D.

Aici, marimea m/π = N(0) este densitatea de stari energetice, ın doua dimen-siuni, pentru un sistem fara interactii si pentru ambele orientari ale spinului.• Pentru cazul unidimensional avem:

χ0(~q) = −4∫ pF

−pF

dp

2π

1ω0

pq

(2.136)

cu:

ω0pq =

pq

m+

q2

2m=

q

2m[2p + q] (2.137)

Atunci:

χ0(~q) = −4m

πq

∫ pF

−pF

dp

2p + q

Ultima integrala este elementara, iar rezultatul care se gaseste este:

χ0(~q) = −2m

πqln

∣∣∣∣2pF + q

2pF − q

∣∣∣∣ . (2.138)

Dependenta calitativa a acestei functii de vectorul de unda este redata ınFigura 2.8.


2.7 Ecuatia Landau. Sunetul nul

Consideram un lichid Fermi neutru, ıntre componentele caruia se exercitainteractiuni de foarte scurta raza de actiune. Aratam ca ıntr-un astfel de sistempoate sa apara un mod colectiv, a carui lege de dispersie va fi determinata [7].Pornim de la relatia de dispersie:

1 = V~q

∑

~p,σ

n0~p,σ − n0

~p+~q,σ

ω − ω0pq + iη

(2.139)

ın care:V~q =

V

2= const. (2.140)

Acestei forme ıi corespunde:V (~r) ∼ δ(~r) (2.141)

numita si interactiune de contact. In plus, mai consideram ca:

ω > vF q +q2

2m

pentru ca modurile sa fie bine definite (neamortizate). Atunci (2.139) devine:

1 = V~q

∑σ,p<pF

[1

ω − ω0pq

− 1ω + ω0

pq

](2.142)

sau:

1 = 2V~q

∫

p<pF

d3p

(2π)3

[1

ω − pqm cos θ − q2

2m

− 1

ω + pqm cos θ + q2

2m

](2.143)

Sa analizam cele doua integrale din (2.143):

I1 =∫ pF

0

∫ π

0

∫ 2π

0

1(2π)3

p2 sin θ dp dθ dϕ


2m

=

=1

(2π)2

∫ pF

0dp p2

∫ π

0

dθ sin θ


2m

Integrala unghiulara se rezolva cu ajutorul schimbarii de variabila

ω − pq

mcos θ − q2

2m= x

2.7 Ecuatia Landau. Sunetul nul 59

obtinand:

I1 =m

(2π)2q

[∫ pF

0dp p ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m+

qp

m

∣∣∣∣∣−∫ pF

0dp p ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m− qp

m

∣∣∣∣∣

]

(2.144)Folosind formula:

∫dx x ln(a + bx) =

12

[x2 − a2

b2

]ln(a + bx)− 1

2

[x2

2− ax

b

](2.145)

cele doua integrale din paranteza de mai sus, devin:

I ′1 =∫ pF

0dp p ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m+

qp

m

∣∣∣∣∣ =

=12

[p2

F −(

mω

q− q

2

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m+ qvF

∣∣∣∣∣−p2

F

4+

+pF

2

(mω

q− q

2

)+

12

(mω

q− q

2

)2

ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m

∣∣∣∣∣ (2.146)

si:

I ′′1 =∫ pF

0dp p ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m− qp

m

∣∣∣∣∣ =

=12

[p2

F −(

mω

q− q

2

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m− qvF

∣∣∣∣∣−p2

F

4−

−pF

2

(mω

q− q

2

)+

12

(mω

q− q

2

)2

ln

∣∣∣∣∣ω −q2

2m

∣∣∣∣∣ (2.147)

Cu aceste doua rezultate, expresia integralei I1 devine:

I1 =mpF

(2π)2

mω

q2− 1

2+

12qpF

[p2

F −(

mω

q− q

2

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω + qvF − q2/2m

ω − qvF − q2/2m

∣∣∣∣∣

(2.148)In mod asemanator se calculeaza si:

I2 =∫ pF

0

∫ π

0

∫ 2π

0

1(2π)3

p2 sin θ dp dθ dϕ

ω + pqm cos θ + q2

2m

=


=mpF

(2π)2

mω

q2+

12− 1

2qpF

[p2

F −(

mω

q+

q

2

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω − qvF + q2/2m

ω + qvF + q2/2m

∣∣∣∣∣

(2.149)Atunci, ecuatia (2.143) devine:

1 = 2V~qmpF

(2π)2

−1 +

pF

2q

[1−

(mω

pF q− q

2pF

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω + qvF − q2/2m

ω − qvF − q2/2m

∣∣∣∣∣ +

+pF

2q

[1−

(mω

pF q+

q

2pF

)2]

ln

∣∣∣∣∣ω − qvF + q2/2m

ω + qvF + q2/2m

∣∣∣∣∣

(2.150)

In aceasta expresie scriem:

1−(

mω

pF q− q

2pF

)2

= 1− (ω − q2/2m)2

(vF q)2(2.151)

si:

1−(

mω

pF q+

q

2pF

)2

= 1− (ω + q2/2m)2

(vF q)2(2.152)

In plus:

2V~qmpF

(2π)2=

V

2mpF

2π2=

V N(0)2

(2.153)

In ecuatia (2.153), prin N(0) se ıntelege densitatea de stari la nivelul Fermi,pentru o singura orientare a spinului.

Cu aceste observatii, relatia (2.150) se rescrie astfel:

1 =N(0)V

2

−1 +

pF

2q

[(ω − q2/2m)2

(qvF )2− 1

]ln

∣∣∣∣∣ω − qvF − q2/2m

ω + qvF − q2/2m

∣∣∣∣∣ +

+pF

2q

[(ω + q2/2m)2

(qvF )2− 1

]ln

∣∣∣∣∣ω + qvF + q2/2m

ω − qvF + q2/2m

∣∣∣∣∣

(2.154)

In domeniul lungimilor de unda mari (q → 0), (2.154) se aproximeaza astfel:

1 =N(0)V

2

−1 +

pF

2q

(ω − q2/2m)2

(qvF )2ln

∣∣∣∣ω − qvF

ω + qvF

∣∣∣∣ +

+pF

2q

(ω + q2/2m)2

(qvF )2ln

∣∣∣∣ω + qvF

ω − qvF

∣∣∣∣

=


=N(0)V

2

−1 +

pF

2q3v2F

(ω +

q2

2m

)2

−(

ω − q2

2m

)2 ln

∣∣∣∣ω + qvF

ω − qvF

∣∣∣∣

=

=N(0)V

2

−1 +

ω

qvFln

∣∣∣∣ω + qvF

ω − qvF

∣∣∣∣

(2.155)

sau:2

N(0)V= −1 +

ω

qvFln

∣∣∣∣ω + qvF

ω − qvF

∣∣∣∣

Introducand notatia ω/qvF = λ, ecuatia de mai sus devine:

λ

2ln

∣∣∣∣λ + 1λ− 1

∣∣∣∣ =12

+1

N(0)V(2.156)

Membrul drept al acestei expresii se scrie echivalent:

12

+1

N(0)V= 1 +

[1

N(0)V− 1

2

](2.157)

In limita cuplajului slab:

N(0)V ¿ 1 (2.158)

si:1

N(0)V− 1

2' 1

N(0)V

Atunci (2.157) devine:

1 +1

N(0)V

iar ecuatia (2.156) va capata forma aproximativa:

λ

2ln

∣∣∣∣λ + 1λ− 1

∣∣∣∣ ' 1 +1

N(0)V(2.159)

Aceasta este ecuatia Landau pentru sunetul nul. La T = 0 K acest modcolectiv poate fi interpretat ca o oscilatie a suprafetei Fermi. Notand N(0)V =F0, calculam solutiile ecuatiei (2.159) ın limita cuplajului slab, scriind:

f(λ) ≡ −1 +λ

2ln

∣∣∣∣λ + 1λ− 1

∣∣∣∣−1F0

= 0 (2.160)


Figura 2.9: Solutia grafica a ecuatiei (2.160) ın cazul 0 < F0 ¿ 1.

Pentru: F0 > 0, dar F0 ¿ 1 (ceea ce corespunde unei repulsii slabe) ecuatia(2.160) are solutii reale, care se determina grafic. Se observa ca (vezi Figura2.9):

λ > 1 , λ ∼ 1

ın asa fel ıncat ecuatia (2.159) poate fi scrisa aproximativ, astfel:

ln(

λ + 1λ− 1

)' 2 +

2N(0)V

iar de aici, putem scrie:λ + 1λ− 1

= ea

unde:

a = 2 +2

N(0)VÀ 1

Imediat gasim ca:

λ =ea + 1ea − 1

' 1 + 2e−a

Atunci:ω

qvF' 1 + 2e−2 exp

− 2

N(0)V


Figura 2.10: Solutia grafica a ecuatiei (2.160) ın cazul −1 < F0 < 0.

de unde, frecventa modurilor de oscilatie devine:

ω ' qvF

[1 +

2e2

exp− 2

N(0)V

]≡ qvF b (2.161)

Aici, b ∼ 1, b > 1. Aceste moduri de oscilatie ıncep sa se amortizeze atuncicand q = qc, unde qc se determina din conditia:

ω = ωmax ≡ qcvF +q2c

2m(2.162)

sau, cu (2.161):

qcvF b = qcvF +q2c

2m

Cum qc 6= 0, si folosind expresia lui b, gasim valoarea critica a vectorului deunda ca fiind:

qc =4e2

pF exp− 2

N(0)V

< pF (2.163)

Am vazut deja ca pentru un sistem de particule ıncarcate electric, existaoscilatii colective cu lungime de unda mare si ω ' ωPL (moduri plasmon-ice). In acest caz, fortele de revenire care actioneaza asupra particulelor suntcauzate de campuri electrice interne, produse de sarcinile electrice. In cazulsunetului nul, avem un mod colectiv care apare ıntr-un sistem Fermi neutru din


punct de vedere electric (He3 de ex.) si la T = 0 K. O interactiune de contact(de foarte scurta raza de actiune V (~r) ∼ δ(~r)) este suficienta pentru a duce laaparitia acestui mod colectiv. Aici, oscilatiile densitatii au o lege de dispersieliniara ω = vF bq = v0q. Desi aceasta lege de dispersie seamana cu una a sune-tului obisnuit, sunetul nul se deosebeste esential de acesta. Sunetul nul esteun mod colectiv datorat interactiei interne ıntre particulele ınvecinate, ıntr-unregim fara ciocniri (cand ωτ À 1, τ -timpul de ciocnire). Sunetul obisnuit ınsa,implica echilibru termodinamic local, cand τ ¿ T = 2π/ω, sau ωτ ¿ 1.

Daca: −1 < F0 < 0 (atractie slaba), ecuatia (2.160) nu are solutie reala(vezi Figura 2.10). In acest caz, ea admite o solutie complexa, care corespundeunui mod colectiv amortizat.

Capitolul 3

Teoria raspunsului liniar

3.1 Raspunsul liniar

Consideram un sistem de particule descris de hamiltonianul independent detimp H. Vectorul de stare |ψS(t)〉 verifica ecuatia Schrodinger (h = 1):

i∂

∂t|ψS(t)〉 = H |ψS(t)〉 (3.1)

Considerand ca la t = 0, vectorul de stare este |ψS(0)〉, solutia ecuatiei (3.1)este:

|ψS(t)〉 = e−iHt |ψS(0)〉 (3.2)

Perturbam sistemul, ıncepand de la momentul t = 0, prin cuplarea uneiinteractiuni dependente de timp, descrisa de hamiltonianul Hext(t). In acestcaz, noul vector de stare

∣∣∣ψS(t)⟩

verifica ecuatia (t > 0):

i∂

∂t

∣∣∣ψS(t)⟩

= [H + Hext(t)]∣∣∣ψS(t)

⟩(3.3)

Cand perturbatia este slaba, solutia ecuatiei (3.3) are forma:∣∣∣ψS(t)

⟩= e−iHtA(t) |ψS(0)〉 (3.4)

Aici este evident ca:A(t) = 1 , t ≤ 0 (3.5)

65

66 TEORIA RASPUNSULUI LINIAR

Pentru a-l determina pe A(t) vom ınlocui (3.4) ın (3.3), obtinand:

e−iHt i∂A(t)

∂t|ψS(0)〉 = Hext(t)e−iHtA(t) |ψS(0)〉 (3.6)

Inmultind (3.6), la stanga, cu eiHt, avem:

i∂A(t)

∂t|ψS(0)〉 = eiHtHext(t)e−iHtA(t) |ψS(0)〉

iar de aici:

i∂A(t)

∂t= Hext(t)A(t) (3.7)

unde:

Hext(t) = eiHtHext(t)e−iHt

Ecuatia (3.7), pentru A(t), se revolva iterativ scriind:

A(t) = A1(t) + A2(t) + ... (3.8)

cu:

A1(t) = 1 (3.9)

Atunci:

i∂A2(t)

∂t= Hext(t)A1(t) ≡ Hext(t)

De aici:

dA2(t) = −iHext(t)dt

si:

A2(t) = −i

∫ t

0Hext(t′)dt′ (3.10)

Atunci, (3.8) devine:

A(t) = 1− i

∫ t

0Hext(t′)dt′ + ... (3.11)

Inlocuind (3.11) ın (3.4), gasim vectorul de stare perturbat:

∣∣∣ψS(t)⟩

= e−iHt(

1− i

∫ t

0Hext(t′)dt′ + ...

)|ψS(0)〉

3.1 Raspunsul liniar 67

care, ın primul ordin de perturbare, devine:

∣∣∣ψS(t)⟩

= e−iHt |ψS(0)〉 − ie−iHt∫ t

0Hext(t′)dt′ |ψS(0)〉 (3.12)

Informatiile de natura fizica, din sistem, se obtin calculand elementul de ma-trice al unei observabile O(t) (care poate depinde explicit de timp):

〈O(t)〉ext ≡⟨ψS(t)

∣∣∣O(t)∣∣∣ψS(t)

⟩(3.13)

Aici: ⟨ψS(t)

∣∣∣ = 〈ψS(0)|(

1 + i

∫ t

0Hext(t′)dt′

)eiHt (3.14)

Avem atunci:

〈O(t)〉ext = 〈ψS(0)| (1 + B)O(t)(1−B) |ψS(0)〉 (3.15)

In aceasta relatie:

B = i

∫ t

0Hext(t′)dt′

O(t) = eiHtOe−iHt

Analizam expresia:

(1 + B)O(t)(1−B) = O(t)− O(t)B + BO(t)−BO(t)B '

' O(t) +[B , O(t)

](3.16)

Termenul BO(t)B a fost neglijat deoarece este patratic ın Hext(t), iar aicisuntem interesati ın studiul raspunsului liniar. Elementul de matrice devine:

〈O(t)〉ext = 〈ψS(0)| O(t) +[B , O(t)

]|ψS(0)〉

Aici: |ψS(0)〉 ≡ |ψ0〉 corezpunzand starii fundamentale a sistemului. In acesteconditii:

〈O(t)〉ext = 〈ψ0| O(t) |ψ0〉+ 〈ψ0|[B , O(t)

]|ψ0〉 =

= 〈ψ0| O(t) |ψ0〉+ i

∫ t

0dt′ 〈ψ0|

[Hext(t′) , O(t)

]|ψ0〉 (3.17)


Variatia elementului de matrice al observabilei O(t), ıntre situatia cu, si fara,perturbatia externa, este:

δ 〈O(t)〉 = 〈O(t)〉ext − 〈O(t)〉 (3.18)

sau:δ 〈O(t)〉 = i

∫ t

0dt′ 〈ψ0|

[Hext(t′) , O(t)

]|ψ0〉 (3.19)

Definim densitatea operatoriala O(~x, t), prin:

O(t) =∫

d3x O(~x, t) (3.20)

astfel ıncat:∫d3x δ 〈O(~x, t)〉 =

∫d3x i

∫ t

0dt′ 〈ψ0|

[Hext(t′) , O(~x, t)

]|ψ0〉

Raspunsul liniar al densitatii operatoriale devine:

δ 〈O(~x, t)〉 = i

∫ t

0dt′ 〈ψ0|

[Hext(t′) , O(~x, t)

]|ψ0〉 (3.21)

Forma generala a operatorului Hext(t) este:

Hext(t) = −∫

d3x O(~x, t) ϕext(~x, t) (3.22)

Aici, ϕext(t) este o forta exterioara, cuplata cu densitatea operatoriala. Cuajutorul ec.(3.22), Hext(t′) se scrie:

Hext(t′) = −∫

d3x O(~x′, t′) ϕext(~x′, t′) (3.23)

si mai apoi:

δ 〈O(~x, t)〉 = −i

∫ t

0dt′

∫d3x′ 〈ψ0|

[O(~x′, t′) , O(~x, t)

]|ψ0〉 ϕext(~x′, t′) =

= i

∫ t

0dt′

∫d3x′ 〈ψ0|

[O(~x, t) , O(~x′, t′)

]|ψ0〉 ϕext(~x′, t′) =

=∫ t

0dt′

∫d3x′ χ(~x, ~x′, t, t′) ϕext(~x′, t′) (3.24)

Aici s-a introdus functia de corelatie (retardata):

χ(~x, ~x′, t, t′) = i θ(t− t′) 〈ψ0|[O(~x, t) , O(~x′, t′)

]|ψ0〉 (3.25)

θ(t − t′) este functia treapta, introdusa pentru a avea un raspuns cauzal asistemului, la perturbatia externa [8].

3.2 Susceptibilitatea dinamica. Instabilitatea Stoner 69

3.2 Susceptibilitatea dinamica. Instabilitatea Stoner

Analizam folosind ecuatia (3.25) functia de corelatie numita susceptibili-tatea transversala χ−+, definita prin [9]:

χ−+(~x, ~x′, t, t′) = i θ(t− t′)⟨[

σ−(~x, t) , σ+(~x′, t′)]⟩

(3.26)

In (3.26) s-a facut prescurtarea 〈...〉 ≡ 〈ψ0 |...|ψ0〉, iar σ+(~x) si σ−(~x) suntoperatorii de crestere si coborare pentru densitatea de spin. Ei sunt introdusiprin relatiile urmatoare:

σ+(~x) =∑

~q

ei~q~x∑

~p

c+~p+~q,↑c~p,↓ (3.27)

σ−(~x) =∑

~q

ei~q~x∑

~p

c+~p+~q,↓c~p,↑ (3.28)

Considerand ~x′ = 0, t′ = 0 si folosind (3.28), (3.26) devine:

χ−+(~x, t) =∑

~p,~q

ei~q~x iθ(t)⟨[

c+~p+~q,↓(t)c~p,↑(t) , σ+(0, 0)

]⟩=

=∑

~p,~q

ei~q~x χ−+(~p, ~q, t) (3.29)

unde:χ−+(~p, ~q, t) = iθ(t)

⟨[c+~p+~q,↓(t)c~p,↑(t) , σ+(0, 0)

]⟩(3.30)

Evaluam susceptibilitatea dinamica, folosind metoda ecuatiei de miscare pen-tru χ−+(~p, ~q, t). Scriind condensat (3.30):

χ−+ = iθ(t) 〈[A(t) , B(0)]〉

avem:i∂

∂tχ−+ = i

∂

∂tiθ(t) 〈[A(t) , B(0)]〉 =

= −δ(t) 〈[A(t) , B(0)]〉 − θ(t)⟨[

dA(t)dt

, B(0)]⟩

(3.31)

Aici am folosit: ∂θ(t)/∂t = δ(t). Folosind ecuatia Heisenberg:

idA(t)

dt= [A(t) , H] (3.32)


relatia (3.31) se va scrie:

i∂

∂tχ−+ = −δ(t) 〈[A(t) , B(0)]〉 − θ(t)

⟨[1i

[A(t) , H] , B(0)]⟩

=

= −δ(t) 〈[A(0) , B(0)]〉+ iθ(t) 〈[ [A(t) , H] , B(0)]〉 (3.33)

Scriind desfasurat:

i∂

∂tχ−+(~p, ~q, t) = −δ(t)

⟨[c+~p+~q,↓c~p,↑ , σ+(0, 0)

]⟩+

+iθ(t)⟨[ [

c+~p+~q,↓(t)c~p,↑(t) , H

], σ+(0, 0)

]⟩(3.34)

Aici:σ+(0, 0) =

∑

~p,~q

c+~p+~q,↑c~p,↓ (3.35)

Primul comutator din (3.34) este:

[c+~p+~q,↓c~p,↑ , σ+(0, 0)

]=

∑

~p′,~q′

[c+~p+~q,↓c~p,↑ , c+

~p′+~q′,↑c~p′,↓

](3.36)

Folosind, din nou, identitatea:

[A , B] = [A , B] C + B [A , C] = A , B C −B A , C

comutatorul de sub suma din (3.36) devine:

c+~p+~q,↓c~p′,↓ δ~p′+~q′,~p − c+

~p′+~q′,↑c~p,↑ δ~p′,~p+~q(3.37)

iar suma este: ∑

~q′c+~p+~q,↓c~p−~q′,↓ −

∑

~q′c+

~p+~q+~q′,↑c~p,↑ (3.38)

Atunci, prima medie din ec.(3.34) este:

∑

~q′

⟨c+~p+~q,↓c~p−~q′,↓

⟩−

∑

~q′

⟨c+

~p+~q+~q′,↑c~p,↑⟩

Aici folosim relatia: ⟨c+~p,αc~p′,β

⟩= n0

~p,αδ~p,~p′δα,β (3.39)


ın asa fel ıncat, prima medie devine:

n0~p+~q,↓ − n0

~p,↑ (3.40)

termenul al doilea din ec.(3.34) necesita calcularea unui comutator de tipul[c+~p+~q,↓c~p,↑ , H

], cu:

H =∑

~p,σ

ε0~p c+~p,σc~p,σ +

U

N

∑

~p,~p′,~q

c+~p+~q,↑c~p,↑c+

~p′−~q,↓c~p′,↓ (3.41)

Aici, U este repulsia Hubbard, iar N numarul de constituenti. Comutatorulcare trebuie calculat are doi termeni. Primul (T1) este cel cu partea cinetica,iar cel de-al doilea (T2) este cel cu partea de interactie:

T1 = −(ε0~p+~q − ε0~p

)c+~p+~q,↓c~p,↑ (3.42)

T2 =U

N

∑

~p′

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

)c+

~p+~p′+~q,↓c~p+~p′,↑ +(n0

~p′,↓ − n0~p′,↑

)c+~p+~q,↓c~p,↑

(3.43)Ecuatia de miscare (3.34) va capata forma:

i∂

∂tχ−+(~p, ~q, t) = −δ(t)

(n0

~p+~q,↓ − n0~p,↑

)+

+iθ(t)⟨[−

(ε0~p+~q − ε0~p

)c+~p+~q,↓(t)c~p,↑(t) , σ+(0, 0)

]⟩+

+iθ(t)

⟨ U

N

∑

~p′

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

)c+

~p+~p′+~q,↓(t)c~p+~p′,↑(t) , σ+(0, 0)

⟩+

+iθ(t)

⟨ U

N

∑

~p′

(n0

~p′,↓ − n0~p′,↑

)c+~p+~q,↓(t)c~p,↑(t) , σ+(0, 0)

⟩(3.44)

Al doilea termen din dreapta ecuatiei (3.44) este:

−(ε0~p+~q − ε0~p

)χ−+(~p, ~q, t) (3.45)

iar ultimul se aduce imediat la forma:

−U

N

∑

~p′

(n0

~p′,↑ − n0~p′,↓

)χ−+(~p, ~q, t) (3.46)


Adunand rezultatele (3.45) si (3.46), putem scrie expresia:

−

ε0~p+~q −

U

N

∑

~p′n0

~p′,↓

−

ε0~p −

U

N

∑

~p′n0

~p′,↑

χ−+(~p, ~q, t)

Aici introducem notatia:

ε~p,σ = ε0~p −U

N

∑

~p′n0

~p′,−σ(3.47)

cu care, expresia de mai sus devine:

− (ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

)χ−+(~p, ~q, t) (3.48)

Termenul al treilea din (3.44), poate fi rescris (dupa ınlocuirea ~p + ~p′ → ~p′)sub forma urmatoare:

−(n0

~p+~q,↓ − n0~p,↑

) U

N

∑

~p′χ−+(~p′, ~q, t) (3.49)

Reunind aceste rezultate, ecuatia de miscare (3.44) devine:

i∂

∂t+

(ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

)χ−+(~p, ~q, t) =

= −δ(t)(n0

~p+~q,↓ − n0~p,↑

)−

(n0

~p+~q,↓ − n0~p,↑

) U

N

∑

~p′χ−+(~p′, ~q, t) (3.50)

Ecuatia (3.50) trebuie rezolvata, pentru a determina χ−+(~q, t). Totusi, deoa-rece suntem mai degraba interesati de χ−+(~q, ω) decat de χ−+(~q, t), vom re-zolva ecuatia (3.50) ın spatiul Fourier, scriind transformata Fourier:

χ(ω) =∫ ∞

−∞dt χ(t) eiωt (3.51)

respectiv:

χ(t) =∫ ∞

−∞dω

2πχ(ω) e−iωt (3.52)

In plus mai cunoastem ca:

δ(t) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iωt (3.53)


Atunci, (3.50) devine:∫ ∞

−∞dω

2πω χ−+(~p, ~q, ω) e−iωt +

∫ ∞

−∞dω

2π

(ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

)χ−+(~p, ~q, ω) e−iωt =

=∫ ∞

−∞dω

2π

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

)e−iωt+

+∫ ∞

−∞dω

2π

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

) U

N

∑

~p′χ−+(~p′, ~q, ω) e−iωt

De aici imediat, ecuatia ın spatiul Fourier este:

ω χ−+(~p, ~q, ω) +(ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

)χ−+(~p, ~q, ω) =

=(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

)+

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

) U

N

∑

~p′χ−+(~p′, ~q, ω) (3.54)

In ec.(3.54) notam: ∑

~p′χ−+(~p′, ~q, ω) = χ−+(~q, ω) (3.55)

avand:

χ−+(~p, ~q, ω)[ω + ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

]=

(n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

) [1 +

U

Nχ−+(~q, ω)

](3.56)

si de aici:

χ−+(~p, ~q, ω) =n0

~p,↑ − n0~p+~q,↓

ω + ε~p+~q,↑ − ε~p,↓

[1 +

U

Nχ−+(~q, ω)

](3.57)

Sumand (3.57) dupa ~p si cerand ca raspunsul sistemului sa fie cauzal, avem:

∑

~p

χ−+(~p, ~q, ω) ≡ χ−+(~q, ω) =∑

~p

n0~p,↑ − n0

~p+~q,↓ω − (

ε~p,↓ − ε~p+~q,↑)+ iη

[1 +

U

Nχ−+(~q, ω)

]

(3.58)Aici vom nota:

N χ−+0 (~q, ω) =

∑

~p

n0~p,↑ − n0

~p+~q,↓ω − (

ε~p,↓ − ε~p+~q,↑)+ iη

(3.59)


obtinand:

χ−+(~q, ω) = N χ−+0 (~q, ω)

[1 +

U

Nχ−+(~q, ω)

]

Din aceasta relatie se extrage expresia susceptibilitatii dinamice transversale,ca fiind:

χ−+(~q, ω) =N χ−+

0 (~q, ω)1− U χ−+

0 (~q, ω)(3.60)

Susceptibilitatea dinamica transversala, per atom, este:

χ−+(~q, ω)N

=χ−+

0 (~q, ω)1− U χ−+

0 (~q, ω)(3.61)

In plus, mai stim ca ın starea paramagnetica si ın absenta unui camp magneticexterior:

n0~p,↑ = n0

~p,↓ = n0~p (3.62)

(populatiile starilor cu spin sus si spin jos sunt egale). In aceste conditii:

ε~p,↑ = ε0~p −U

N

∑

~p′n0

~p′,↓ = ε0~p −U

N

∑

~p′n0

~p′,↑ ≡ ε~p,↓ (3.63)

iar diferenta:

ε~p,↓ − ε~p+~q,↑ = ε0~p − ε0~p+~q (3.64)

In acest caz:

χ−+0 (~q, ω) → χ0(~q, ω) =

1N

∑

~p

n0~p − n0

~p+~q

ω −(ε0~p − ε0~p+~q

)+ iη

(3.65)

Consideram, ın cele ce urmeaza, instabilitatile care apar ın sistem, ın cazulstatic (ω = 0), cand Im χ0(~q, ω = 0) = 0, si cand:

χ0(~q, ω = 0) =1N

∑

~p

n0~p − n0

~p+~q

ε0~p+~q − ε0~p(3.66)

Din ecuatia (3.61), criteriul de instabilitate cere ca:

U χ0(~q, ω = 0) = 1 (3.67)


Pentru un vector de unda ~q arbitrar, instabilitatea poate aparea pentru ovaloare critica a tariei interactiei U , data de:

U =1

χ0(~q, ω = 0)(3.68)

In particular, pentru ~q - mic, putem evalua (3.66) scriind:

n0~p+~q = n0

~p + ~q · ∂n0~p

∂ε0~p· ∂ε0~p

∂~p(3.69)

si:

ε0~p+~q = ε0~p + ~q · ∂ε0~p

∂~p(3.70)

Atunci, dupa simplificari, obtinem:

χ0(~q → 0, ω = 0) =1N

∑

~p

(−∂n0

~p

∂ε0~p

)(3.71)

La T = 0 K:

−∂n0~p

∂ε0~p= δ

(ε0~p

)(3.72)

si:

χ0(~q → 0, ω = 0) =1N

∑

~p

δ(ε0~p

)≡ N(0) (3.73)

Aici, N(0) este densitatea de stari energetice la nivelul Fermi , per atom.Atunci, pentru ~q → 0, criteriul de instabilitate (3.67) devine:

U N(0) = 1 (3.74)

care se mai numeste si criteriul Stoner. Instabilitatea la ~q → 0 corespundetendintei sistemului de a capata spontan o ordonare de spin feromagnetica,care apare atunci cand potentialul repulsiv U este suficient de puternic.

Capitolul 4

Functii Green. Aplicatii

4.1 Functia Green fermionica la T = 0 K

Functia Green uniparticula, la T = 0 K, se defineste prin [9, 10, 11, 12]:

G0(x, x′) = −i⟨ψ0

∣∣∣Tψ(x)ψ+(x′)

∣∣∣ ψ0

⟩(4.1)

unde x = (~x, t), x′ = (~x′, t′) si T este un operator de ordonare ın timp, a caruiactiune conduce la rezultatul:

G0(x, x′) =

−i

⟨ψ0

∣∣∣ψ(~x, t)ψ+(~x′, t′)∣∣∣ ψ0

⟩, t > t′

i⟨ψ0

∣∣∣ψ+(~x′, t′)ψ(~x, t)∣∣∣ ψ0

⟩, t′ > t

(4.2)

Pentru un sistem omogen, G0(x, x′) ≡ G0(~x, ~x′, t, t′) depinde numai de ~x− ~x′

si t− t′. Alegand t′ = 0, expresia (4.2) devine:

G0(~x− ~x′, t) =

−i

⟨ψ0

∣∣∣ψ(~x, t)ψ+(~x′, 0)∣∣∣ ψ0

⟩, t > 0

i⟨ψ0

∣∣∣ψ+(~x′, 0)ψ(~x, t)∣∣∣ ψ0

⟩, t < 0

(4.3)

Aici scriem:ψ(~x, t) =

1√V

∑

~p

c~p ei(~p~x−ε0~pt)

ψ+(~x′, 0) =1√V

∑

~p′c+

~p′e−i~p′ ~x′ (4.4)

77

78 FUNCTII GREEN. APLICATII

si:

G0(~x− ~x′, t) =

− iV

∑~p,~p′

⟨ψ0

∣∣∣∣c~p ei(~p~x−ε0~pt) c+

~p′e−i~p′ ~x′

∣∣∣∣ ψ0

⟩, t > 0

iV

∑~p,~p′

⟨ψ0

∣∣∣∣c+~p′

e−i~p′ ~x′ c~p ei(~p~x−ε0~pt)

∣∣∣∣ ψ0

⟩, t < 0

Alegand ~x′ = 0 avem:

G0(~x, t) =

− iV

∑~p,~p′

⟨ψ0

∣∣∣∣c~p c+~p′

∣∣∣∣ ψ0

⟩ei(~p~x−ε0

~pt) , t > 0

iV

∑~p,~p′

⟨ψ0

∣∣∣∣c+~p′

c~p

∣∣∣∣ ψ0

⟩ei(~p~x−ε0

~pt) , t < 0

(4.5)

Prima linie din ecuatia (4.5) se rescrie folosind relatia de anticomutare pentruoperatori fermionici, de unde exprimam:

c~p c+~p′

= δ~p,~p′ − c+

~p′c~p

Avem atunci:

G0(~x, t) =

− iV

∑~p,~p′

(δ~p,~p′ −

⟨ψ0

∣∣∣∣c+~p′

c~p

∣∣∣∣ ψ0

⟩)ei(~p~x−ε0

~pt) , t > 0

iV

∑~p,~p′

⟨ψ0

∣∣∣∣c+~p′

c~p

∣∣∣∣ ψ0

⟩ei(~p~x−ε0

~pt) , t < 0

(4.6)

Mai stim ınsa ca:⟨

ψ0

∣∣∣∣c+~p′

c~p

∣∣∣∣ ψ0

⟩≡

⟨c+

~p′c~p

⟩= n0

~p′ δ~p,~p′ = n0

~p δ~p,~p′ (4.7)

Atunci, ecuatia (4.6) se rescrie sub forma:

G0(~x, t) =

− i

V

∑~p,~p′ δ~p,~p′

(1− n0

~p

)ei(~p~x−ε0

~pt) , t > 0

iV

∑~p,~p′ δ~p,~p′ n0

~p ei(~p~x−ε0~pt) , t < 0

sau:

G0(~x, t) = − i

V

∑

~p

ei(~p~x−ε0~pt) ×

1− n0

~p , t > 0−n0

~p , t < 0(4.8)

Aici:

n0~p =

1 , |~p| < pF

0 , |~p| > pF

(4.9)

4.1 Functia Green fermionica la T = 0 K 79

G0(~x, t), data de ecuatia (4.8), este functia Green libera, pentru fermioni.Totusi, mai degraba decat sa lucram cu G0(~x, t), vom lucra cu G0(~p, ω), careva fi calculata folosind relatia:

G0(~p, ω) =∫

d3x dt e−i(~p~x−ωt) G0(~x, t) (4.10)

Atunci, avem:

G0(~p, ω) = − i

V

∑

~p′

∫ ∞

−∞dt

∫d3x e−i(~p−~p′)~x e

i(ω−ε0~p′

)t ×

1− n0~p′

, t > 0

−n0~p′

, t < 0

(4.11)Aici folosim:

1V

∫d3x e−i(~p−~p′)~x = δ

~p,~p′

si (4.11) devine:

G0(~p, ω) = −i

∫ ∞

−∞dt ei(ω−ε0

~p)t ×

1− n0

~p , t > 0−n0

~p , t < 0=

= −i

∫ 0

−∞dt ei(ω−ε0

~p)t

(−n0

~p

)+

∫ ∞

0dt ei(ω−ε0

~p)t

(1− n0

~p

)

Facand ın prima integrala din expresia de mai sus schimbarea t → −t, obtinem:

G0(~p, ω) = −i

∫ ∞

0dt

[−n0

~p e−i(ω−ε0~p)t +

(1− n0

~p

)ei(ω−ε0

~p)t

](4.12)

Aici avem urmatoarele situatii posibile:

|~p| < pF → n0~p = 1 → 1− n0

~p = 0

|~p| > pF → n0~p = 0 → 1− n0

~p = 1 (4.13)

cu care:

G0(~p, ω) =

i∫∞0 dt e−i(ω−ε0

~p)t , |~p| < pF

−i∫∞0 dt ei(ω−ε0

~p)t , |~p| > pF

(4.14)

Vom scrie condensat ecuatia (4.14), folosind:

θ(|~p| − pF ) =

1 , |~p| > pF

0 , |~p| < pF


θ(pF − |~p|) =

1 , |~p| < pF

0 , |~p| > pF

(4.15)

Vom avea:

G0(~p, ω) = −i

[θ(|~p| − pF )

∫ ∞

0dt ei(ω−ε0

~p)t − θ(pF − |~p|)

∫ ∞

0dt e−i(ω−ε0

~p)t

]

(4.16)In ecuatia (4.16) apar integrale de forma:

∫ ∞

0dt eiat a > 0, a < 0 (4.17)

Pentru a avea o comportare buna la infinit, vom ınlocui a → a + iδ, undeδ → 0, δ > 0, avand:

∫ ∞

0dt eiat →

∫ ∞

0dt ei(a+iδ)t =

∫ ∞

0dt e(ia−δ)t =

i

a + iδ(4.18)

Cu aceasta observatie, (4.16) devine:

G0(~p, ω) = −i θ(|~p| − pF )i

ω − ε0~p + iδ+ i θ(pF − |~p|) i

−ω + ε0~p + iδ

sau:G0(~p, ω) =

θ(|~p| − pF )ω − ε0~p + iδ

+θ(pF − |~p|)ω − ε0~p − iδ

(4.19)

Scriind (4.19) pe intervale, avem:

G0(~p, ω) =

1ω−ε0

~p+iδ

, |~p| > pF

1ω−ε0

~p−iδ

, |~p| < pF

(4.20)

Se observa ca singura deosebire ıntre cele doua determinari este schimbareasemnului factorului iδ. Folosind:

sign(|~p| − pF ) =

1 , |~p| > pF

−1 , |~p| < pF

(4.21)

ecuatia (4.19) (sau (4.20)) se scrie echivalent, si condensat:

G0(~p, ω) =1

ω − ε0~p + iδ sign(|~p| − pF )(4.22)

4.2 Determinarea numarului de ocupare 81

care este functia Green uniparticula, libera, si la T = 0 K.Pentru a vedea semnificatia fizica a functiei Green, introdusa prin (4.1),

observam ca ψ+(~x′, t′) ne spune ca se introduce ın sistem o particula, la pozitia~x′ si la momentul t′. Operatorul ψ(~x, t) aplicat pe starea ψ+(~x′, t′) |ψ0〉 vascoate din sistem particula introdusa mai ınainte. Operatorul ψ(~x, t) (ıntr-unalt punct ~x (6= ~x′) si ıntr-un moment ulterior t (> t′)), masoara amplitudineade probabilitate ca particula introdusa ın sistem sa se fi deplasat din pozitia~x′ la momentul t′, ın pozitia ~x la momentul t. Dinamica particulei introduseın sistem este descrisa, pentru t > t′, de:

ψ(~x, t)ψ+(~x′, t′) |ψ0〉

dar, este mai convenabil sa se lucreze cu valoarea asteptata:⟨ψ0

∣∣∣ψ(~x, t)ψ+(~x′, t′)∣∣∣ ψ0

⟩

In esenta, expresia de mai sus este o functie de corelatie.

4.2 Determinarea numarului de ocupare

Folosind functia Green uniparticula, libera, la T = 0 K, data de (4.22), cal-culam: ∫

Cdω G0(~p, ω) (4.23)

ın planul complex ′′ω′′, considerand conturul de integrare C ca fiind formatdin axa reala si semicercul de raza infinita, care se ınchide prin semiplanulcomplex superior.

• Pentru: |~p| > pF :∫

Cdω G0(~p, ω) =

∫

Cdω

1ω − ε0~p + iδ

eiωδ

Polul este determinat din:ω − ε0~p + iδ = 0

deci:ω = ε0~p − iδ (4.24)


Figura 4.1: Conturul de integrare ın cazul |~p| > pF .

Acest pol se gaseste ınsa ın afara conturului de integrare (vezi Figura 4.1).Atunci: ∫

Cdω G0(~p, ω) = 0 , |~p| > pF (4.25)

• Pentru: |~p| < pF :∫

Cdω G0(~p, ω) =

∫

Cdω

1ω − ε0~p − iδ

eiωδ

Polul este:ω = ε0~p + iδ (4.26)

si este ın interiorul conturului de integrare (vezi Figura 4.2).Atunci:

∫

Cdω G0(~p, ω) = 2πi Rez

(G0(~p, ω) ; ε0~p + iδ

)=

= 2πi limω→ε0

~p+iδ

(ω − ε0~p − iδ

) 1ω − ε0~p − iδ

eiωδ = 2πi (δ → 0) (4.27)

Folosind (4.25) si (4.27), concluziona ca:

12πi

∫

Cdω G0(~p, ω) =

0 , |~p| > pF

1 , |~p| < pF

(4.28)

4.3 Bucla de polarizare 83

Figura 4.2: Conturul de integrare ın cazul |~p| < pF .

Cum ınsa:

n0~p =

1 , |~p| < pF

0 , |~p| > pF

(4.29)

avem:

n0~p =

12πi

∫

Cdω G0(~p, ω) (4.30)

care este tocmai rezultatul cautat. (Factorul de convergenta eiωδ este introduspentru ca, contributia semicercului de raza infinita sa fie nula).

4.3 Bucla de polarizare

Bucla de polarizare (corespunzatoare propagarii unei perechi electron-gol) secalculeaza folosind expresia:

Π0(~q, ω) = −i

∫d3p

(2π)3

∫dω′

2πG0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) (4.31)

(se integreaza dupa impulsurile si frecventele interne. Factorul de spin 2, nua fost inclus). In aceasta expresie:

G0(~p, ω′) =θ(|~p| − pF )ω′ − ε0~p + iδ

+θ(pF − |~p|)ω′ − ε0~p − iδ

,


p,

(a)

q,

p, ’

q,

p+q, +

’

(b)

Figura 4.3: Reprezentarea diagramatica corespunzatoare a) functiei Greenelectronice si respectiv b) buclei de polarizare.

G0(~p + ~q, ω + ω′) =θ(|~p + ~q| − pF )

ω′ + ω − ε0~p+~q + iδ+

θ(pF − |~p + ~q|)ω′ + ω − ε0~p+~q − iδ

.

Din punct de vedere diagramatic functia Green electronica si respectiv buclade polarizare sunt prezentate ın Figura 4.3.

Pentru produsul G0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) avem patru cazuri distincte:

• |~p| > pF , |~p + ~q| > pF , cand:

G0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) =1

(ω′ − ε0~p + iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q + iδ)(4.32)

Integrala peste ω′, din (4.31), este:

I1 =∫ ∞

−∞dω′

2π

1(ω′ − ε0~p + iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q + iδ)

= 2πi∑

k

Rez(f(ω′) ; ω′k

)

Polii sunt dati de expresiile:ω′1 = ε0~p − iδ


ω′2 = −ω + ε0~p+~q − iδ

Inchizand conturul de integrare, ın planul complex ω′, prin semiplanul supe-rior, observam ca ambii poli nu se afla ın interiorul conturului de integrare,deci:

I1 = 0 (4.33)

• |~p| < pF , |~p + ~q| < pF , cand:

G0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) =1

(ω′ − ε0~p − iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q − iδ)(4.34)

Integrala peste ω′ este:

I2 =∫ ∞

−∞dω′

2π

1(ω′ − ε0~p − iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q − iδ)

= 2πi∑

k


)

Polii sunt dati de expresiile:

ω′3 = ε0~p + iδ

ω′4 = −ω + ε0~p+~q + iδ

De aceasta data, conturul fiind ınchis tot prin semiplanul complex superior,avem cei doi poli (simplii) ın interiorul conturului de integrare, pentru care:

Rez(f(ω′) ; ω′3

)=

1

2π(ε0~p + ω − ε0~p+~q

) (4.35)


)= − 1

2π(ε0~p + ω − ε0~p+~q

) (4.36)

Adunand ultimele doua rezultate avem:

I2 = 0 (4.37)


• |~p| > pF , |~p + ~q| < pF , cand:

G0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) =1

(ω′ − ε0~p + iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q − iδ)(4.38)


I3 =∫ ∞

−∞dω′

2π

1(ω′ − ε0~p + iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q − iδ)

= 2πi∑

k


)

Polii sunt dati de expresiile:ω′5 = ε0~p − iδ

ω′6 = −ω + ε0~p+~q + iδ

In acest caz, polul simplu care se gaseste ın interiorul conturului de integrareeste ω′6, iar reziduul corespunzator lui este:


)=

1

2π(ε0~p+~q − ε0~p − ω + iδ

) (4.39)

(Aici s-a scris: iδ + iδ = 2iδ ≡ iδ′, cu δ′ tinzand spre zero deasemenea.Rebotezand apoi δ′ → δ, gasim rezultatul (4.39)). Integrala I3 devine:

I3 =i

ε0~p+~q − ε0~p − ω + iδ(4.40)

• |~p| < pF , |~p + ~q| > pF , cand:

G0(~p, ω′)G0(~p + ~q, ω + ω′) =1

(ω′ − ε0~p − iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q + iδ)(4.41)


I4 =∫ ∞

−∞dω′

2π

1(ω′ − ε0~p − iδ)(ω′ + ω − ε0~p+~q + iδ)

= 2πi∑

k


)

Aici, cei doi poli simplii sunt:

ω′7 = ε0~p + iδ


ω′8 = −ω + ε0~p+~q − iδ

In acest caz, polul simplu care se gaseste ın interiorul conturului de integrareeste ω′7, iar reziduul corespunzator lui este:


)= − 1

2π(ε0~p+~q − ε0~p − ω − iδ

) (4.42)

si:

I4 =−i

ε0~p+~q − ε0~p − ω − iδ(4.43)

Rezultatele pentru I3 si I4, tinand seama de exprimarea functiilor Green cufunctia treapta θ(x), pot fi rescrise astfel:

I3 = iθ(|~p| − pF ) θ(pF − |~p + ~q|)

ε0~p+~q − ε0~p − ω + iδ(4.44)

si:

I4 = −iθ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )

ε0~p+~q − ε0~p − ω − iδ(4.45)

Revenind cu (4.44) si (4.45) ın (4.31), avem:

Π0(~q, ω) =

=∫

d3p

(2π)3

[θ(|~p| − pF ) θ(pF − |~p + ~q|)

ε0~p+~q − ε0~p − ω + iδ− θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )

ε0~p+~q − ε0~p − ω − iδ

]

(4.46)In primul termen din (4.46) facem schimbarea:

~p → −~p− ~q = −(~p + ~q) (4.47)

care va implica:

θ(|~p| − pF ) θ(pF − |~p + ~q|) → θ(|~p + ~q| − pF ) θ(pF − |~p|) (4.48)

si:

ε0~p+~q − ε0~p → ε0−~p − ε0−(~p+~q) = ε0~p − ε0~p+~q (4.49)


Atunci:

Π0(~q, ω) =∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )·

·[

1ε0~p − ε0~p+~q − ω + iδ

− 1ε0~p+~q − ε0~p − ω − iδ

]

Cum ınsa:ε0~p+~q − ε0~p = ω0

pq

avem:

Π0(~q, ω) =∫

d3p

(2π)3θ(pF −|~p|) θ(|~p+~q|−pF )

[1

−ω0pq − ω + iδ

− 1ω0

pq − ω − iδ

]

(4.50)Calculam ın continuare partile reala (ReΠ0(~q, ω)) si imaginara (ImΠ0(~q, ω))pentru bucla de polarizare, folosind formula:

1x± iδ

=1x∓ iπδ(x) (4.51)

(unde 1/x este luat ın sensul partii principale). Atunci vom avea pentru:

1−ω0

pq − ω + iδ= − 1

ω0pq + ω

− iπδ(ω0

pq + ω)

(4.52)

si:1

ω0pq − ω − iδ

=1

ω0pq − ω

+ iπδ(ω0

pq − ω)

(4.53)

Imediat:1

−ω0pq − ω + iδ

− 1ω0

pq − ω − iδ=

= −[

1ω0

pq + ω+

1ω0

pq − ω

]− iπ

[δ

(ω0

pq + ω)

+ δ(ω0

pq − ω)]

(4.54)

Expresia buclei de polarizare, (4.50), devine:

Π0(~q, ω) = −∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )·

·[

1ω0

pq + ω+

1ω0

pq − ω

]+ iπ

[δ

(ω0

pq + ω)

+ δ(ω0

pq − ω)]

(4.55)


Partile reala si imaginara a buclei de polarizare sunt:

ReΠ0(~q, ω) = −∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )

[1

ω0pq + ω

+1

ω0pq − ω

]

(4.56)

ImΠ0(~q, ω) = −∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )·

·π[δ

(ω0

pq + ω)

+ δ(ω0

pq − ω)]

(4.57)

Analizam ReΠ0(~q, ω), folosind proprietatea functiei treapta:

θ(x) = 1− θ(−x) (4.58)

cu care:θ(|~p + ~q| − pF ) = 1− θ(pF − |~p + ~q|)

In plus:1

ω0pq + ω

+1

ω0pq − ω

= − 2ω0pq

ω2 − (ω0pq)2

(4.59)

Atunci:

ReΠ0(~q, ω) =∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|) [1− θ(pF − |~p + ~q|)] 2ω0

pq

ω2 − (ω0pq)2

(4.60)

Se observa ca la transformarea:

~p → ~p + ~q , ~p + ~q → ~p

produsul θ(pF − |~p|)θ(pF − |~p + ~q|) este par, iar ω0pq = ε0~p+~q − ε0~p este impar,

astfel ıncat, ecuatia (4.60) se reduce la:

ReΠ0(~q, ω) =∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|)

2ω0pq

ω2 − (ω0pq)2

(4.61)

Daca tinem seama si de rolul spinului, partile reala si imaginara a buclei depolarizare devin:

ReΠ0(~q, ω) = 2∫

d3p

(2π)3θ(pF − |~p|)

2ω0pq

ω2 − (ω0pq)2

(4.62)

ImΠ0(~q, ω) = −∫

d3p

(2π)2θ(pF − |~p|) θ(|~p + ~q| − pF )·

·[δ

(ω + ω0

pq

)+ δ

(ω − ω0

pq

)](4.63)


4.4 Functia Green ın prezenta interactiilor. Ecuatia

Dyson

Pentru determinarea functiei Green pentru un fermion care se misca ıntr-unmediu cu interactii, consideram functii Green libere, separate ıntre ele prin”insertii”. Aceste insertii contin diverse procese (ciocniri, interactii, etc.) pecare le includem ıntr-o marime numita self-energie. In prezenta interactiilor,functia Green (propagatorul) are urmatoarea expresie analitica:

G(~p, ω) = G0(~p, ω) + G0(~p, ω) Σ(~p, ω) G0(~p, ω)+

+G0(~p, ω) Σ(~p, ω) G0(~p, ω) Σ(~p, ω) G0(~p, ω) + ... (4.64)

Diagramatic, aceasta functie Green este prezentata ın Figura 4.4. Relatia(4.64) poate fi rescrisa:

G(~p, ω) = G0(~p, ω)[1 + Σ(~p, ω) G0(~p, ω) + (Σ(~p, ω) G0(~p, ω))2 + ...

]=

=G0(~p, ω)

1− Σ(~p, ω) G0(~p, ω)=

G0(~p, ω)

G0(~p, ω)[G−1

0 (~p, ω)− Σ(~p, ω)] =

=1

G−10 (~p, ω)− Σ(~p, ω)

, (4.65)

relatie ın care s-a presupus ca progresia din paranteza dreapta este conver-genta. Relatia (4.65) poate fi scrisa si astfel:

G(~p, ω) [1− Σ(~p, ω) G0(~p, ω)] = G0(~p, ω)

de unde:G(~p, ω) = G0(~p, ω) + G0(~p, ω) Σ(~p, ω) G(~p, ω) (4.66)

+ …= ++

Figura 4.4: Reprezentarea diagramatica a functiei Green ın prezentainteractiilor.

4.4 Functia Green ın prezenta interactiilor. Ecuatia Dyson 91

= +

Figura 4.5: Reprezentarea diagramatica a ecuatiei Dyson.

Ecuatia (4.66) poarta denumirea de ecuatia Dyson, iar diagramatic esteilustrata ın Figura 4.5. Folosind (4.65) si stiind ca:

G0(~p, ω) =1

ω − ε0~p + iδ sign(|~p| − pF )(4.67)

avem:

G(~p, ω) =1

ω − ε0~p + iδ sign(|~p| − pF )− Σ(~p, ω)(4.68)

Fizic, self-energia Σ(~p, ω) descrie norul de excitatii (particule, goluri) careacompaniaza electronul ın miscare, dar poate deasemenea sa descrie si alteefecte, cum ar fi cele care apar ın procesele de ciocnire.

Pentru: |~p| > pF → sign(|~p| − pF ) = 1, si:

G(~p, ω) =1

ω − ε0~p + iδ − Σ(~p, ω)(4.69)

Atunci:

G(~p, ω − iδ) =1

ω − ε0~p − Σ(~p, ω − iδ)(4.70)

In general, self-energia are o parte reala si una imaginara, astfel ıncat putemscrie:

Σ(~p, ω − iδ) = ReΣ(~p, ω) + i ImΣ(~p, ω) (4.71)

si:

G(~p, ω − iδ) =1

ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)− i ImΣ(~p, ω)=

=

[ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)

]+ i ImΣ(~p, ω)

[ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)

]2+ [ImΣ(~p, ω)]2

(4.72)


Definim functia spectrala uniparticula, prin:

A(~p, ω) =1π

Im G(~p, ω − iδ) (4.73)

avand:A(~p, ω) =

1π

ImΣ(~p, ω)[ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)

]2+ [ImΣ(~p, ω)]2

(4.74)

In limita cand ImΣ(~p, ω) → 0, folosind:

π δ(x) = limε→0

ε

x2 + ε2(4.75)

avem:A(~p, ω) = δ

(ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)

)(4.76)

Fie aici:g(ω) = ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω) (4.77)

Ecuatia:g(ω) = 0

are solutia ε~p (ε~p = ε0~p + ReΣ(~p, ε~p) ). Aici vom folosi proprietatea ca daca x0

este solutia ecuatiei g(x) = 0, atunci:

δ[g(x)] =δ(x− x0)|g′(x0)| (4.78)

Transpusa ın cazul nostru, aceasta formula va da:

δ(ω − ε0~p −ReΣ(~p, ω)

)=

δ(ω − ε~p

)∣∣∣1− ∂

∂ωReΣ(~p, ω)∣∣∣ω=ε~p

(4.79)

Aici vom introduce factorul de renormare:

z(~p) =1∣∣∣1− ∂

∂ωReΣ(~p, ω)∣∣∣ω=ε~p

(4.80)

astfel ıncat, functia spectrala devine:

A(~p, ω) = z(~p) δ(ω − ε~p

)(4.81)

4.4 Functia Green ın prezenta interactiilor. Ecuatia Dyson 93

Din prima linie a ecuatiei (4.72), cand ImΣ(~p, ω) → 0, mai putem scrie:

limImΣ→0

1ω − ε0~p −ReΣ− i ImΣ

=1

ω − ε0~p −ReΣ+iπ δ

(ω − ε0~p −ReΣ

)(4.82)

Dar, de mai sus:δ


)= z(~p) δ

(ω − ε~p

)

Folosind formula:δ(ax) =

1|a| δ(x) (4.83)

vedem imediat ca:

z(~p) δ(ω − ε~p

)= δ

(1

z(~p)(ω − ε~p

))(4.84)

deci:δ


)= δ

(1

z(~p)(ω − ε~p

))(4.85)

Atunci, ecuatia (4.82) se rescrie astfel:

11

z(~p)

(ω − ε~p

) + iπ z(~p) δ(ω − ε~p

)=

z(~p)ω − ε~p

+ z(~p) iπ δ(ω − ε~p

)=

= z(~p)

[1

ω − ε~p+ iπ δ

(ω − ε~p

)]≡

≡ z(~p) limImΣ→0

1ω − ε~p − i ImΣ

(4.86)

iar functia Green ın prezenta interactiilor devine [13]:

G(~p, ω − iδ) =z(~p)

ω − ε~p − i ImΣ(~p, ε~p

) (4.87)

Partea reala a polului functiei Green ne va da energia (renormata) a cuasipar-ticulei:

ε~p = ε0~p + Re Σ(~p, ε~p

)(4.88)

iar partea imaginara a polului ne da inversul timpului de viata al cuasipartic-ulei.


4.5 Masa efectiva

Masa efectiva a cuasiparticulelor m∗, modificata fata de masa ”libera” m,datorita interactiunilor, ın apropierea suprafetei Fermi, este data de relatia:

1m∗ =

1pF

∂ε~p

∂p

∣∣∣∣p=pF

(4.89)

sau, cu (4.88):

1m∗ =

1pF

∂ε0~p∂p

∣∣∣∣∣p=pF

+1pF

∂

∂pRe Σ(~p, ω)

∣∣∣∣p=pF , ω=ε~p

(4.90)

Aici avem:

ε0~p =p2

2m→ ∂ε0~p

∂p

∣∣∣∣∣p=pF

=p

m

∣∣∣∣∣∣p=pF

=pF

m(4.91)

si:∂

∂pRe Σ(~p, ω) =

∂

∂pRe Σ +

∂

∂ωRe Σ · ∂ω

∂p

∣∣∣∣ω=ε~p

=

=∂

∂pRe Σ +

∂

∂ωRe Σ · ∂ε~p

∂p=

∂

∂pRe Σ +

pF

m∗∂

∂ωRe Σ (4.92)

Cu ajutorul relatiilor (4.91) si (4.92), expresia (4.90) devine:

m∗

m=

1− ∂∂ωRe Σ

1 + mpF

∂∂pRe Σ

(4.93)

In general, numitorul ecuatiei (4.93) este foarte apropiat de unitate (ceea ceınseamna ca variatia lui ReΣ cu impulsul este foarte mica), astfel ıncat, ınaceasta situatie putem aproxima:

m∗

m' 1− ∂

∂ωRe Σ(~p, ω)

∣∣∣∣ω=ε~p

(4.94)

Comparand (4.80) cu (4.94), avem:

1z(~p)

=m∗

m(4.95)

4.5 Masa efectiva 95

Figura 4.6: Numarul de ocupare ca functie de impuls; a) ın absentainteractiunilor; b) ın prezenta interactiunilor.

Deoarece self-energia electronului determina masa efectiva a cuasiparticulei,uneori ea se mai numeste si operator de masa.

Observatii:

• La T = 0 K si ın absenta interactiilor, integrala pe contur, din G0(~p, ω),ne permitea sa gasim numarul de ocupare n0

~p . Tot la T = 0 K, dar ın prezentainteractiilor, cu functii Green de forma (4.87), valoarea numarului de ocuparese schimba corespunzator. Dependenta acestui numar de ocupare de impulseste reprezentata ın Figura 4.6, ın absenta interactiunii (Fig. 4.6a) cat si ınprezenta acesteia (Fig. 4.6b).

• In aproximatia Hartree-Fock, energia cuasiparticulei este:

ε~p = ε0~p + ΣHF (~p) (4.96)

In (4.96), spre deosebire de forma generala (4.88), nu s-a mai scris ReΣ(~p, ε~p),deoarece ΣHF are doar parte reala si este o marime complet statica. Dacapartea imaginara lipseste, ınseamna ca timpul de viata al cuasiparticulelor, ınaceasta aproximatie, este infinit. In schimb, masa cuasiparticulei este renor-mata, astfel ıncat:

ε~p =~p 2

2m∗ (4.97)


si:

∇~pε~p ≡~p

m∗ = ∇~p

(ε0~p + ΣHF (~p)

)= ∇~pε

0~p +∇~pΣHF (~p)

Aici stim ca:

ε0~p =~p2

2m→ ∇~pε

0~p =

~p

m(4.98)

iar ∇~pΣHF (~p) ıl notam:

∇~pΣHF (~p) = − ~p

m∗F s

1

3(4.99)

Aici, F s1 este un parametru de interactie adimensional. Atunci:

~p

m∗ =~p

m− ~p

m∗F s

1

3

de unde:m∗

m= 1 +

F s1

3(4.100)

Semnul minus din (4.99) este ın acord cu semnul partii de schimb din energiaHartree-Fock, iar interactia coulombiana se considera ecranata.

4.6 Imprastierea electronului pe un potential. Ma-

tricea ”t”

Consideram ımprastierea unui electron pe un potential atractiv, produs decatre un centru ımprastietor. Hamiltonianul problemei este:

H =∑

~p

ε0~p c+~p c~p + Hsc (4.101)

unde, termenul corespunzator ımprastierii este dat de expresia:

Hsc =∫

d3r ψ+(~r)ψ(~r) U(~r) (4.102)

Folosind:

ψ+(~r) =1√V

∑

~p

c+~p e−i~p~r

4.6 Imprastierea electronului pe un potential. Matricea ”t” 97

ψ(~r) =1√V

∑

~p′c~p′ ei~p′~r

U(~r) =∫

d~q U(~q) ei~q~r

avem:Hsc =

∫d3r

∫d~q

1V

∑

~p,~p′c+~p c~p′ ei(~p′−~p+~q)~r U(~q) =

=∫

d~q∑

~p,~p′c+~p c~p′

1V

∫d3r ei(~p′−~p+~q)~r U(~q) =

=∑

~p,~p′c+~p c~p′

∫d~q U(~q) δ

~q,~p−~p′ =∑

~p,~p′U(~p− ~p′) c+

~p c~p′ (4.103)

U(~p− ~p′) da amplitudinea de transfer a impulsului ~p− ~p′. Functia Green uni-particula, ın prezenta potentialului ımprastietor, ın reprezentare diagramatica,este urmatoarea:

= + …++p,p ’x

p p’ p’p pp”p’ p

(4.104)

unde G0(~p, ω) reprezinta functia Green electronica corespunzatoare diagramei

p

iar U(~p− ~p′) amplitudinea de transfer a impulsului corespunzator diagramei

p’ p


Primul termen din (4.104) reprezinta amplitudinea de transmitere, faraımprastiere, iar restul contributiilor transmitere care implica ımprastieri mul-tiple (una, doua, trei, s.a.m.d., evenimente de ımprastiere). Vom aduna toateevenimentele de ımpratiere ıntr-o singura amplitudine, numita matricea ”t”,reprezentata prin:

= + + +…

p”’p” p”

(4.105)

Cu aceasta notatie prescurtata, functia Green (4.104) devine:

= +p,p ’x

p p’ pp’ p

tp,p’ ( )

(4.106)

sau:

G(~p, ~p′, ω) = δ~p,~p′ G0(~p, ω) + G0(~p, ω) t

~p,~p′(ω) G0(~p′, ω) (4.107)

Matricea ”t” data de ecuatia (4.105), poate fi scrisa si astfel:= + + +…

p”’p” p”

=

p” p”

+…

p”’

+

= + + +…

p”

x

p”

4.6 Imprastierea electronului pe un potential. Matricea ”t” 99

Explicit aceasta ecuatie diagramatica poate fi scrisa:

t~p,~p′(ω) = U(~p− ~p′) +

∑

~p′′U(~p− ~p′′) G0( ~p′′, ω) t ~p′′,~p′(ω) (4.108)

sau ıntr-o reprezentare diagramatica restransa

= +

p”

tp”,p’ ( )

(4.109)

Un exemplu simplu de analizat, pentru ecuatia (4.108), este cazul ımprastieriiundelor de tip ”s” pe centrii ımprastietori punctiformi, cand:

U(~r) = U δ(~r) (4.110)

In acest caz, U(~q) = U (independent de transferul de impuls), ceea ce vaimplica si:

t~p,~p′(ω) → t(ω)

Ecuatia (4.108) pentru matricea ”t” devine:

t(ω) = U +∑

~p′′U G0( ~p′′, ω) t(ω) = U + U t(ω)

∑

~p′′G0( ~p′′, ω) (4.111)

Notam:F (ω) =

∑

~p

G0(~p, ω) (4.112)

si imediat obtinem:

t(ω) =U

1− U F (ω)(4.113)

La energii scazute, F (ω) < 0, astfel ıncat, daca U < 0, produsul F (ω)U > 0,existand posibilitatea aparitiei polilor ın matricea ”t”. Acesti poli corespund


starilor legate ale sistemului. Exemplificam aceasta pentru cazul bidimen-sional, cand:

F (ω) =∑

~p

G0(~p, ω) →∫

d2p

(2π)21

ω − ε0~p + iδp(4.114)

(Aici s-a notat prescurtat δp = δ sign(|~p|−pF )). Trecand de la integrala dupaimpulsuri la cea dupa energii, si tinand seama ca pentru d = 2 densitateade stari este constanta (N(0) pentru sistemul fara interactii), ecuatia (4.114)devine:

F (ω) =∫ Λ

0dε N(0)

1ω − ε + iδ sign(ε)

(4.115)

Limita superioara de integrare a fost introdusa pentru a garanta convergentaintegralei. Fizic, o asemenea taiere superioara corespunde energiei maximepentru care centrul ımprastietor se comporta ca un centru punctiform.

Deoarece ne intereseaza doar valoarea energiei starii legate, partea imagi-nara din (4.115) poate fi lasata la o parte. Atunci avem:

F (ω) = N(0)∫ Λ

0

dε

ω − ε= −N(0) ln

∣∣∣∣Λ− ω

ω

∣∣∣∣

care, ın limita energiilor scazute (ω - mic), se aproximeaza prin:

F (ω) ' −N(0) ln∣∣∣∣Λω

∣∣∣∣ (4.116)

Tinand seama ca potentialul este atractiv:

U = −|U | (4.117)

si matricea ”t” devine:

t(ω) =−|U |

1 + |U | F (ω)= − |U |

1− |U | N(0) ln∣∣∣Λω

∣∣∣(4.118)

Polul matricii ”t” se gaseste rezolvand ecuatia:

1− |U | N(0) ln∣∣∣∣Λω

∣∣∣∣ = 0 (4.119)

4.7 Conductia electrica 101

De aici imediat, valoarea (modulul) energiei ω este:

ω = Λ e− 1|U|N(0) (4.120)

iar energia starii legate (negativa) va fi:

ω0 = −Λ e− 1|U|N(0) (4.121)

Din (4.121) se vede ca un potential atractiv, oricat de mic, duce la aparitiaunei stari legate. Acest rezultat este valabil pentru d ≤ 2. Mai mult, relatia(4.121) nu poate fi scrisa ca o dezvoltare dupa puterile lui U , astfel ıncat acestrezultat este unul neperturbativ.

4.7 Conductia electrica

Urmarim sa determinam σ(ω) pentru un metal cu impuritati, folosind formal-ismul functiilor Green. Prezenta dezordinii ın sistem distruge invarianta latranslatii, astfel ıncat apar probleme cand trecem ın spatiul impulsului. Inplus, pentru a nu avea complicatii legate de proprietatile analitice ale functieiGreen, se definesc functiile Green retardata:

GR0 (~p, ω) =

1ω − ε0~p + iδ

(4.122)

Figura 4.7: Reprezentarea schematica a producerii unei perechi electron–gol.


mediere peimpurit

i

mediere peimpurit

i

G0R

G0A

<GR> <GA>

Figura 4.8: Reprezentarea diagramatica a medierii pe impuritati.

(analitica ın semiplanul complex superior ”ω”), si avansata:

GA0 (~p, ω) =

1ω − ε0~p − iδ

(4.123)

(analitica ın semiplanul inferior). Conductivitatea dinamica σ(ω) se deter-mina analizand dinamica unei perechi electron-gol, produsa prin excitare decatre un camp electric alternativ de frecventa ω (vezi Figura 4.7). Dinamicaelectronului este descrisa de functia Green retardata, iar dinamica golului defunctia Green avansata. Raspunsul sistemului se determina pentru ~q → 0,cand vom avea doar σ(ω). Inainte de a reprezenta diagrama care permitedeterminarea conductivitatii, trebuie vazute noile functii Green (retardata siavansata), obtinute dupa procedura de mediere pe impuritati. Prin aceastaprocedura, se reface (formal) invarianta la translatii a sistemului. Totodata,pentru a se evita confuziile legate de ω (frecventa campului alternativ), si ω

din expresia functiilor Green, aceasta din urma va fi ınlocuita cu ε, facandu-se

4.7 Conductia electrica 103

si schimbarea ε0~p → ξ0~p . Atunci vom scrie:

GR0 (~p, ε) =

1ε− ξ0

~p + iδ

GA0 (~p, ε) =

1ε− ξ0

~p − iδ

In miscarea lor prin metal, electronul si golul sufera ciocniri pe impuritati.Acestea se considera a fi nemagnetice, distribuite haotic si avand o concentratiemica. Diagramele corespunzatoare acestor procese sunt prezentate ın Figura4.8. Cele doua functii Green, dupa medierea pe impuritati, au expresiile:

⟨GR

⟩≡

⟨GR(~p, ε)

⟩=

1ε− ξ0

~p + i2τ

(4.124)

si: ⟨GA

⟩≡

⟨GA(~p, ε)

⟩=

1ε− ξ0

~p − i2τ

(4.125)

unde τ este timpul de ciocnire. Functiile (4.124) si (4.125) vor fi folosite pentrudeterminarea conductivitatii dinamice, descrisa de diagrama:

<GR>

<GA>- ,p

,p

care la T = 0 K are urmatoarea expresie analitica (ın d dimensiuni si cuh = 1):

σij(ω) =e2

2π2

∫ddp

(2π)dvivj

⟨GR(~p, ε)

⟩ ⟨GA(~p, ε− ω)

⟩(4.126)

Factorul 2 din fata integralei provine de la sumarea dupa starile de spin. Faptulca fiecarei functii Green i s-a asociat o viteza, reflecta ideea ca transportul


curentului depinde ın mod esential de viteza particulelor. Fiind un curentelectric, s-a asociat deasemenea si sarcina electrica.

Integrala din (4.126) se calculeaza cu ajutorul retetei:∫

ddp

(2π)dB(~p)

⟨GR

⟩ ⟨GA

⟩→ N(0)

∫dΩp

SdB(pF )

∫dξ

⟨GR

⟩ ⟨GA

⟩(4.127)

Sd este suprafata sferei unitare ın d dimensiuni, dΩp este elementul de unghisolid, iar N(0) este densitatea de stari energetice la nivelul Fermi, pentru osingura orientare a spinului. Ultima integrala din (4.127) este:

I =∫ ∞

−∞dξ

1ε− ξ + i

2τ

1ε− ω − ξ − i

2τ

(4.128)

Polii sunt:ξ1 = ε +

i

2τ

ξ2 = ε− ω − i

2τ

Inchizand conturul de integrare prin semiplanul complex superior, vom avea:

I = 2πi Rez (f(ξ); ξ1) =2πτ

1− iωτ(4.129)

In plus: ∫dΩp

Sdvivj = δij

1d

v2F (4.130)

Atunci, expresia (4.126) a conductivitatii devine:

σij(ω) = σ(ω) δij (4.131)

unde:

σ(ω) =2e2N(0)v2

F τ

(1− iωτ)d(4.132)

In cazul unui sistem bidimensional (d = 2), cu h = 1, cunoastem ca:

N(0) =m

2πεF =

nπ

m(4.133)

Inlocuind aceste rezultate ın formula (4.132), ajungem la:

σ(ω) =σ

1− iωτσ =

ne2τ

m(4.134)

4.8 Timpul de ciocnire. Aproximatia Born 105

In cazul sistemului tridimensional (d = 3):

N(0) =(2m)3/2ε

1/2F

4π2εF =

12m

(3π2n

)2/3(4.135)

cu ajutorul carora regasim ca:

σ(ω) =σ

1− iωτσ =

ne2τ

m(4.136)

Acest rezultat este tocmai formula Drude pentru conductivitatea electrica di-namica a unui metal.

4.8 Timpul de ciocnire. Aproximatia Born

In acest paragraf, vom justifica formele pentru functiile Green retardata siavansata, ın prezenta impuritatilor. In aproximatia Born, self-energia datorataımprastierii pe impuritati (concentratia de impuritati este ni si este mica;potentialul de ımprastiere U este de scurta raza de actiune) este data deurmatoarea diagrama (dupa medierea pe impuritati):

u u

ni

=

G0(p, )

careia ıi corespunde urmatoarea expresie analitica:

Σ = niU2∑

~p

G0(~p, ω) (4.137)

Trecand de la suma peste impulsuri, la integrala peste energii, (4.137) se rescrieastfel:

Σ = niU2N(0)

∫dε

1ω − ε + iδ sign(ε)

(4.138)


• Pentru ε > 0 avem:

Σ = niU2N(0)

∫dε

1ω − ε + iδ

=

= niU2N(0)

∫dε

[1

ω − ε− iπδ(ω − ε)

]=

= niU2N(0)

∫dε

ω − ε− i πniU

2N(0) (4.139)

Pe de alta parte:Σ = Re Σ + i Im Σ (4.140)

Vom introduce timpul de ciocnire τ ın legatura cu partea imaginara a self-energiei, prin relatia:

Im Σ = − 12τ

sign(ε) (1.141)

In acest caz (ε > 0) avem:

Im Σ ≡ −πniU2N(0) = − 1

2τ

deci:1τ

= 2πniU2N(0) (4.142)

care este rezultatul aproximatiei Born pentru inversul timpului de ciocnire.Functia Green retardata se determina acum cu ajutorul ecuatiei Dyson:

⟨GR(~p, ω)

⟩=

1G−1

0 (~p, ω)− Σ(4.143)

sau: ⟨GR(~p, ω)

⟩=

1ω − ε0~p −Re Σ− i Im Σ

(4.144)

Partea reala a self-energiei poate fi absorbita ın potentialul chimic, astfel ıncat,ın final, functia Green retardata este:

⟨GR(~p, ω)

⟩=

1ω − ε0~p + i

2τ

(4.145)

• Pentru ε < 0 avem:

Σ = niU2N(0)

∫dε

1ω − ε− iδ

=

4.9 Functia Green fononica la T = 0 K 107

= niU2N(0)

∫dε

ω − ε+ i πniU

2N(0) (4.146)

Cum:

Σ = Re Σ + i Im Σ

avem:

Im Σ = πniU2N(0) (4.147)

Pe de alta parte:

Im Σ = − 12τ

sign(ε) =12τ

(4.148)

Se regaseste expresia lui 1/τ , iar functia Green avansata este:

⟨GA(~p, ω)

⟩=

1G−1

0 (~p, ω)− Σ=

1ω − ε0~p −Re Σ− i Im Σ

sau: ⟨GA(~p, ω)

⟩=

1ω − ε0~p − i

2τ

(4.149)

4.9 Functia Green fononica la T = 0 K

Fononii sunt cuantele corespunzatoare vibratiilor unei retele cristaline, descrisede hamiltonianul:

H =12

∑

~q

(P+

~q P~q + ω2~q Q+

~q Q~q

)(4.150)

P~q si Q~q sunt impulsurile si coordonatele normale, pentru modurile de vibratie,si sunt legate de operatorii de creare si de distrugere pentru fononi prinrelatiile:

P~q = i

√ω~q

2

(a+

~q − a−~q

)(4.151)

Q~q =1√2ω~q

(a~q + a+

−~q

)(4.152)

Cu ajutorul acestor relatii, hamiltonianul (4.150) devine:

H =∑

~q

ω~q

[a+

~q a~q +12

](4.153)


Expresia (4.153) descrie un sistem de fononi care nu interationeaza. Pentruei, definim functia Green fononica:

D0(~q, t− t′) = −i⟨0

∣∣∣TA~q(t)A−~q(t′)

∣∣∣ 0⟩

(4.154)

Aici:A~q = a~q + a+

−~q (4.155)

deci:A~q(t) = a~q(t) + a+

−~q(t) (4.156)

In ecuatia (4.156):a~q(t) = a~q e−iω~qt

a+−~q(t) = a+

−~q eiω~qt (4.157)

Actiunea operatorului cronologic T , pe operatori bosonici, este:

TA~q(t)A−~q(t′)

=

A~q(t)A−~q(t′) ; t > t′

A−~q(t′)A~q(t) ; t′ > t(4.158)

Media din (4.154) este luata pe starea fundamentala fononica, pentru care:⟨0

∣∣∣a+~p a~p

∣∣∣ 0⟩

= 0 (4.159)

⟨0

∣∣∣a~pa+~p

∣∣∣ 0⟩

= 1 (4.160)

(4.159) ne spune ca ın starea fundamentala nu sunt excitati fononi. (4.160) seobtine folosind ecuatia (4.159) si relatia de comutare

[a~p , a+

~p

]= 1.

• Pentru: t > t′, functia Green fononica este:

D0(~q, t− t′) = −i⟨0

∣∣∣(a~q e−iω~qt + a+

−~q eiω~qt) (

a−~q e−iω~qt′ + a+~q eiω~qt′

)∣∣∣ 0⟩

=

= −i[⟨

0∣∣a~qa−~q

∣∣ 0⟩e−iω~q(t+t′) +

⟨0

∣∣∣a~qa+~q

∣∣∣ 0⟩

e−iω~q(t−t′)+

+⟨0

∣∣∣a+−~qa−~q

∣∣∣ 0⟩

eiω~q(t−t′) +⟨0

∣∣∣a+−~qa

+~q

∣∣∣ 0⟩

eiω~q(t+t′)]

=

= −i e−iω~q(t−t′) , t > t′

sau:D0(~q, t− t′) = −i θ(t− t′) e−iω~q(t−t′)

4.9 Functia Green fononica la T = 0 K 109

Alegand t′ = 0, avem:

D0(~q, t) = −i θ(t) e−iω~qt , t > 0 (4.161)

• Pentru: t′ > t procedam asemanator, folosind (4.158):

D0(~q, t− t′) = −i⟨0

∣∣∣(a−~q e−iω~qt′ + a+

~q eiω~qt′) (

a~q e−iω~qt + a+−~q eiω~qt

)∣∣∣ 0⟩

=

= −i eiω~q(t−t′) , t′ > t

sau:D0(~q, t− t′) = −i θ(t′ − t) eiω~q(t−t′)

care, cu t′ = 0 devine:

D0(~q, t) = −i θ(−t) eiω~qt , t < 0 (4.162)

Reunind (4.161) si (4.162) ıntr-o singura formula, valabila pentru orice momentde timp t, functia Green fononica este:

D0(~q, t) = −i[θ(t) e−iω~qt + θ(−t) eiω~qt

](4.163)

Deoarece suntem interesati mai degraba ın expresia lui D0(~q, ω) decat ın ceaa lui D0(~q, t), vom calcula D0(~q, ω) cu formula:

D0(~q, ω) =∫ ∞

−∞dt D0(~q, t) eiωt (4.164)

Folosind:

θ(t) =

1 , t > 00 , t < 0

θ(−t) =

1 , t < 00 , t > 0

(4.163) se rescrie:

D0(~q, t) =

−i e−iω~qt , t > 0−i eiω~qt , t < 0

(4.165)

iar ecuatia (4.164) devine:

D0(~q, ω) =∫ 0

−∞dt D0(~q, t) eiωt +

∫ ∞

0dt D0(~q, t) eiωt =


=∫ 0

−∞dt (−i) eiω~qt eiωt +

∫ ∞

0dt (−i) e−iω~qt eiωt =

= −i

[∫ 0

−∞dt ei(ω+ω~q)t +

∫ ∞

0dt ei(ω−ω~q)t

](4.166)

Pentru a nu avea probleme cu convergenta integralelor din (4.166), facemınlocuirile:

ω + ω~q → ω + ω~q − iδ , δ → 0 , δ > 0

ω − ω~q → ω − ω~q + iδ , δ → 0 , δ > 0

avand:

D0(~q, ω) = −i

[∫ 0

−∞dt ei(ω+ω~q−iδ)t +

∫ ∞

0dt ei(ω−ω~q+iδ)t

]

De aici imediat gasim ca:

D0(~q, ω) =1

ω − ω~q + iδ− 1

ω + ω~q − iδ(4.167)

Relatia (4.167) se rescrie mai condensat astfel:

D0(~q, ω) =1

ω − ω~q− iπδ(ω − ω~q)−

1ω + ω~q

− iπδ(ω + ω~q) =

=2ω~q

ω2 − ω2~q

− iπ[δ(ω − ω~q) + δ(ω + ω~q)

](4.168)

Aici folosim formula:

δ(x− a) + δ(x + a) = 2 |a| δ(x2 − a2) (4.169)

avand:D0(~q, ω) =

2ω~q

ω2 − ω2~q

− iπ 2ω~q δ(ω2 − ω2~q ) =

= 2ω~q

[1

ω2 − ω2~q

− iπδ(ω2 − ω2~q )

]

sau:D0(~q, ω) =

2ω~q

ω2 − ω2~q + iδ

(4.170)

4.10 Functia Green fermionica la temperaturi finite 111

care este forma cautata pentru functia Green fononica.Observatie: Ecuatia (4.167) se poate rescrie astfel:

D0(~q, ω) =1

ω − (ω~q − iδ)+

1−ω − (ω~q − iδ)

cu polii: ω = ±(ω~q − iδ). Propagatorul fononic este o suma de doi termeni,primul implicand emisia unui fonon, iar cel de-al doilea implicand absorbtiafononului.

4.10 Functia Green fermionica la temperaturi finite

Pentru electroni, la T = 0 K, functia Green implica media pe starea fun-damentala a unui produs de operatori, de tipul cc+. La temperaturi finite(T 6= 0), o functie Green posibila, pentru electroni, este:

G0 ∼ 1Z

Tre−βH c~p(t)c+

~p (t′)

(4.171)

cu:Z = Tr

e−βH

si:c~p(t) = eitH c~p e−itH (4.172)

Este de asteptat ca la temperaturi finite, functia Green electronica sa implicesi numarul de ocupare pentru fermioni:

f(ε0~p) =1

eβε0

~p + 1(4.173)

(potentialul chimic este absorbit ın ε0~p). Pe de alta parte:

f(ε0~p) =12

[1− tanh

(βε0~p2

)](4.174)

Folosind teoria functiilor complexe, f(ε0~p) se poate exprima prin urmatoarearelatie:

f(ε0~p) =12

+1β

∞∑

n=−∞

1(2n+1)π

β i− ε0~p(4.175)


Observam ca, ıntr-adevar, f(ε0~p) are poli la energiile:

ε0~p ≡ iωn = i(2n + 1)π

β→ ωn =

(2n + 1)πβ

(4.176)

Prezenta acestor poli poate fi dedusa imediat, din (4.173), scriind:

eiβωn = −1 → cos(βωn) + i sin(βωn) = −1

de unde:

cos(βωn) = −1 → βωn = (2n + 1)π → ωn =(2n + 1)π

β

Atunci, suma din ecuatia (4.175) are forma:

∑n

1iωn − ε0~p

(4.177)

Marimea de sub aceasta suma are natura unei functii Green. Vom vedea caea este tocmai functia Green fermionica la T 6= 0. Pentru a gasi forma ei,folosim metoda Matsubara. Pentru aceasta observam ca ın expresia (4.171)apare atat e−βH cat si e±itH . Deci, β = 1/T poate fi considerat un timpcomplex (imaginar), prin comparatia:

β → it

In metoda Matsubara se face ınsa comparatia inversa, tratand timpul drept otemperatura complexa, si notand:

τ = it (4.178)

Atunci, functiile Green sunt functii de τ , ın domeniul:

−β ≤ τ ≤ β

si le notam prin G0(~p, τ). Odata ce G0(~p, τ) este cunoscuta, putem determinaG0(~p, iωn) folosind:

G0(~p, iωn) =12

∫ β

−βdτ eiωnτ G0(~p, τ) (4.179)


In cele ce urmeaza, vom determina G0(~p, τ), definind functia Green electronicaprin:

G0(~p, τ − τ ′) = −⟨Tτ

c~p(τ)c+

~p (τ ′)⟩

(4.180)

Tτ este operatorul de ordonare, care actioneaza astfel:

Tτ

c~p(τ)c+

~p (τ ′)

=

c~p(τ)c+

~p (τ ′) , τ > τ ′

−c+~p (τ ′)c~p(τ) , τ ′ > τ

(4.181)

Vom considera, pentru simplitate, τ ′ = 0. Atunci functia Green este:

G0(~p, τ) =

−

⟨c~p(τ)c+

~p (0)⟩

, τ > 0⟨c+~p (0)c~p(τ)

⟩, τ < 0

(4.182)

Relatia (4.182) poate fi scrisa mai compact, folosind:

θ(τ) =

1 , τ > 00 , τ < 0

θ(−τ) =

1 , τ < 00 , τ > 0

(4.183)

Se obtine:

G0(~p, τ) = −⟨c~p(τ)c+

~p (0)⟩

θ(τ) +⟨c+~p (0)c~p(τ)

⟩θ(−τ) (4.184)

cu:c~p(τ) = eHτ c~p(0) e−Hτ (4.185)

Mai facem notatiile:

c~p(0) = c~p c+~p (0) = c+

~p

Vom calcula cele doua medii din (4.184), pentru un sistem fara interactii, candH → H0. Avem astfel:

⟨c~p(τ)c+

~p (0)⟩

=1Z

Tre−βH0 c~p(τ)c+

~p (0)

=

=1Z

Tre−βH0 eH0τ c~p e−H0τ c+

~p

(4.186)

In aceasta expresia vom exprima c~p(τ) = eH0τ c~p e−H0τ folosind identitatea:

eL A e−L = A +11!

[L , A] +12!

[L , [L , A]] + ... (4.187)


In cazul nostru:L = H0τ A = c~p (4.188)

Vom avea:

c~p(τ) = c~p + [H0τ , c~p] +12

[H0τ , [H0τ , c~p]] + ... (4.189)

Aici, H0 este dat de:H0 =

∑

~p′ε0~p′ c+

~p′c~p′ (4.190)

Atunci:

c~p(τ) = c~p + τ∑

~p′ε0~p′ [c+

~p′c~p′ , c~p] + ... = c~p − τ

∑

~p′ε0~p′ [c~p , c+

~p′c~p′ ] + ... =

= c~p − τ∑

~p′ε0~p′

[c~p , c+

~p′ c~p′ − c+

~p′c~p , c~p′

]+ ... =

= c~p − τ∑

~p′ε0~p′ c~p′ δ

~p,~p′ + ... = c~p − τ ε0~p c~p + ... =

= c~p

(1− ε0~pτ + ...

)= c~p e−ε0

~pτ (4.191)

Media din (4.186) devine:

⟨c~p(τ)c+

~p (0)⟩

=1Z

Tre−βH0 c~p e−ε0

~pτ c+

~p

=

= e−ε0~pτ 1

ZTr

e−βH0 c~pc

+~p

= e−ε0

~pτ 1

ZTr

e−βH0 (1− c+

~p c~p)

=

= e−ε0~pτ

[1Z

Tre−βH0

− 1

ZTr

e−βH0 c+

~p c~p

]=

= e−ε0~pτ

(1−

⟨c+~p c~p

⟩)(4.192)

La temperaturi finite: ⟨c+~p c~p

⟩= f(ε0~p) (4.193)

unde f(ε0~p) este functia Fermi, astfel ıncat:

⟨c~p(τ)c+

~p (0)⟩

= e−ε0~pτ

(1− f(ε0~p)

)(4.194)


A doua medie din (4.184) este:

⟨c+~p (0)c~p(τ)

⟩=

1Z

Tre−βH0 c+

~p (0)c~p(τ)

(4.195)

Aici, din nou:c~p(τ) = eH0τ c~p e−H0τ = c~p e−ε~pτ

si (4.195) devine:

⟨c+~p (0)c~p(τ)

⟩=

1Z

Tre−βH0 c+

~p c~p e−ε0~pτ

=

= e−ε0~pτ 1

ZTr

e−βH0 c+

~p c~p

= e−ε0

~pτ

⟨c+~p c~p

⟩= e−ε0

~pτ f(ε0~p) (4.196)

Folosind (4.194) si (4.196) ın (4.184), gasim:

G0(~p, τ) = e−ε0~pτ

[f(ε0~p) θ(−τ)−

(1− f(ε0~p)

)θ(τ)

](4.197)

care este tocmai functia Green cautata. Cum ınsa, mai degraba decat salucram cu G0(~p, τ), vom lucra cu G0(~p, iωn), calculam G0(~p, iωn) folosind(4.179):

G0(~p, iωn) =12

∫ β

−βdτ eiωnτ G0(~p, τ) =

=12

∫ 0

−βdτ eiωnτ G0(~p, τ) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ) (4.198)

Pentru prima integrala din (4.198), cand −β < τ < 0, folosim proprietatea deantiperiodicitate a lui G0(~p, τ). Aceasta se justifica ın felul urmator (τ < 0):

G0(~p, τ) =⟨c+~p c~p(τ)

⟩=

1Z

Tre−βH0 c+

~p c~p(τ)

=

=1Z

Tre−βH0 c+

~p eH0τ c~p e−H0τ

=1Z

Trc+~p eH0τ c~p e−H0τ e−βH0

=

=1Z

Trc+~p eH0τ c~p e−(τ+β)H0

=

1Z

TreH0τ c~p e−(τ+β)H0 c+

~p

=

=1Z

Tre−βH0 eβH0 eH0τ c~p e−(τ+β)H0 c+

~p

=

=1Z

Tre−βH0 e(τ+β)H0 c~p e−(τ+β)H0 c+

~p

=


=1Z

Tre−βH0 c~p(τ + β)c+

~p

=

⟨c~p(τ + β)c+

~p

⟩= −G0(~p, τ + β) (4.199)


G0(~p, iωn) = −12

∫ 0

−βdτ eiωnτ G0(~p, τ + β) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ) (4.200)

In prima integrala facem schimbarea de variabila:

τ + β = τ ′ → dτ ′ = dτ

si:

G0(~p, iωn) = −12

∫ β

0dτ ′ eiωn(τ ′−β) G0(~p, τ ′) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ) =

= −12

e−iωnβ∫ β

0dτ ′ eiωnτ ′ G0(~p, τ ′) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ)

Rebotezand aici τ ′ → τ , avem:

G0(~p, iωn) =12

(1− e−iωnβ

) ∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ) (4.201)

In (4.201) mai observam ca:

12

(1− e−iωnβ

)=

12

[1− e−i(2n+1)π

](4.202)

cu n = 0,±1,±2, .... Atunci:

e−i(2n+1)π = −1

si:12

(1− e−iωnβ

)= 1 (4.203)

Obtinem pentru functia Green:

G0(~p, iωn) =∫ β

0dτ eiωnτ G0(~p, τ) (4.204)

In aceasta expresie vom ınlocui ecuatia (4.197) avand:

G0(~p, iωn) =∫ β

0dτ eiωnτ e−ε0

~pτ

[f(ε0~p) θ(−τ)−

(1− f(ε0~p)

)θ(τ)

](4.205)

4.11 Functia Green fononica la temperaturi finite 117

Tinand seama aici de (4.183), gasim ca:

G0(~p, iωn) = −(1− f(ε0~p)

) ∫ β

0dτ e(iωn−ε0

~p)τ

Efectuam integrala din expresia de mai sus, tinem seama ca eiωnβ = −1, siınlocuim expresia functiei Fermi. Vom obtine imediat:

G0(~p, iωn) =1

iωn − ε0~p

(1− 1

eβε0

~p + 1

) (1 + e−βε0

~p

)

iar de aici:G0(~p, iωn) =

1iωn − ε0~p

(4.206)

Identitatea din ecuatia (4.206) reprezinta functia Green fermionica, la temper-aturi finite si ın absenta interactiilor. Cu ajutorul ei se determina proprietatiletermodinamice ale sistemelor cu multe particule. In particular, polii z0 aifunctiei G(~p, z) dau energia cuasiparticulelor, cand atenuarea lor este mica.Pentru G0, polul z0 = ε0~p apare pe axa reala, ceea ce indica lipsa amortizarii(sau un timp de viata infinit).

4.11 Functia Green fononica la temperaturi finite

Pentru fononi (bosoni) la T 6= 0 K, numarul mediu de ocupare este:

nB(ω~q) =1

eβω~q − 1(4.207)

Polii functiei Bose se determina scriind ω~q ≡ iωn si folosind conditia:

eβiωn − 1 = 0 → cos(βωn) + i sin(βωn) = 1

de unde:cos(βωn) = 1 → βωn = 2nπ → ωn =

2nπ

β(4.208)

Polii se afla pe axa imaginara, la valori pare ale frecventelor Matsubara (spredeosebire de fermioni, unde frecventele erau impare). Atunci, nB(ω~q) se poateexprima prin seria:

nB(ω~q) = −12

+1β

∞∑

n=−∞

1i 2nπ

β − ω~q

(4.209)


Definim functia Green fononica la temperaturi finite, prin:

D0(~q, τ − τ ′) = − ⟨Tτ

A(~q, τ)A(−~q, τ ′)

⟩, −β ≤ τ ≤ β (4.210)

unde:A(~q, τ) = eτH

(a~q + a+

−~q

)e−τH (4.211)

Media din ecuatia (4.210) este o medie statistica, ın ansamblul macrocanonic(fononii au ınsa potentialul chimic nul), si:

TτA(~q, τ)A(−~q, τ ′)

=

A(~q, τ)A(−~q, τ ′) , τ > τ ′

A(−~q, τ ′)A(~q, τ) , τ ′ > τ(4.212)

Alegem τ ′ = 0, si:

D0(~q, τ) =

−〈A(~q, τ)A(−~q, 0)〉 , τ > 0−〈A(−~q, 0)A(~q, τ)〉 , τ < 0

(4.213)

Pentru fononii liberi, hamiltonianul este:

H ≡ H0 =∑

~q

ω~q a+~q a~q (4.214)

(contributia de zero a fost lasata la o parte).Pentru: τ > 0 avem:

D0(~q, τ) = −⟨eH0τ

(a~q + a+

−~q

)e−H0τ

(a−~q + a+

~q

)⟩(4.215)

Cu ajutorul lui H0 din (4.214), obtinem ca:

eH0τa~q e−H0τ = e−ω~qτa~q

eH0τa+−~q e−H0τ = eω~qτa+

−~q (4.216)

iar (4.215) devine:

D0(~q, τ) = −⟨(

a~q e−ω~qτ + a+−~q eω~qτ

) (a−~q + a+

~q

)⟩=

= −⟨a~qa−~q e−ω~qτ + a~qa

+~q e−ω~qτ + a+

−~qa−~q eω~qτ + a+−~qa

+~q eω~qτ

⟩


In aceasta expresie, mediile nenule sunt:⟨a+−~qa−~q

⟩= nB(ω−~q) ≡ nB(ω~q) (4.217)

⟨a~qa

+~q

⟩=

⟨1 + a+

~q a~q

⟩= 1 + nB(ω~q) (4.218)

Atunci:D0(~q, τ) = −

⟨a~qa

+~q

⟩e−ω~qτ +

⟨a+−~qa−~q

⟩eω~qτ

=

= − [1 + nB(ω~q)

]e−ω~qτ + nB(ω~q) eω~qτ

τ > 0 (4.219)

Pentru: τ < 0 avem:

D0(~q, τ) = −⟨(

a−~q + a+~q

)eH0τ

(a~q + a+

−~q

)e−H0τ

⟩=

= −⟨(

a−~q + a+~q

) (a~q e−ω~qτ + a+

−~q eω~qτ)⟩

=

= −⟨a−~qa~q e−ω~qτ + a−~qa

+−~q eω~qτ + a+

~q a~q e−ω~qτ + a+~q a+

−~q eω~qτ⟩

si:D0(~q, τ) = −

⟨a−~qa

+−~q

⟩eω~qτ +

⟨a+

~q a~q

⟩e−ω~qτ

=

= − [1 + nB(ω~q)

]eω~qτ + nB(ω~q) e−ω~qτ

τ < 0 (4.220)

Folosind:

θ(τ) =

1 , τ > 00 , τ < 0

θ(−τ) =

1 , τ < 00 , τ > 0

(4.221)

scriem o singura expresie, pentru orice valoare a lui τ :

D0(~q, τ) = −θ(τ)[

1 + nB(ω~q)]

e−ω~qτ + nB(ω~q) eω~qτ−

−θ(−τ)nB(ω~q) e−ω~qτ +

[1 + nB(ω~q)

]eω~qτ

(4.222)

Folosind ecuatia (4.222) determinam D0(~q, iωn), cu ajutorul relatiei:

D0(~q, iωn) =12

∫ β

−βdτ eiωnτ D0(~q, τ) (4.223)

sau:

D0(~q, iωn) =12

∫ 0

−βdτ eiωnτ D0(~q, τ) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ D0(~q, τ) (4.224)


Consideram D0(~q, τ) din prima integrala din expresia de mai sus (−β ≤ τ ≤ 0):

D0(~q, τ) = −〈A(−~q, 0)A(~q, τ)〉 = −⟨A(−~q, 0) eH0τA(~q, 0)e−H0τ

⟩=

= − 1Z

Tre−βH0A(−~q, 0) eH0τA(~q, 0)e−H0τ

=

= − 1Z

TrA(−~q, 0) eH0τA(~q, 0)e−H0τ e−βH0

=

= − 1Z

TreH0τA(~q, 0)e−H0τ e−βH0A(−~q, 0)

=

= − 1Z

Tre−βH0eβH0 eH0τA(~q, 0)e−H0τ e−βH0A(−~q, 0)

=

= − 1Z

Tre−βH0 eH0(β+τ)A(~q, 0)e−H0(β+τ) A(−~q, 0)

=

= − 1Z

Tre−βH0 A(~q, τ + β)A(−~q, 0)

=

= −〈A(~q, τ + β)A(−~q, 0)〉 ≡ D0(~q, τ + β)

Deci, D0(~q, τ) se bucura de proprietatea de periodicitate:

D0(~q, τ) = D0(~q, τ + β) (4.225)

Atunci, ecuatia (4.224) se rescrie astfel:

D0(~q, iωn) =12

∫ 0

−βdτ eiωnτ D0(~q, τ + β) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ D0(~q, τ)

In prima intergala din aceasta expresie, facem schimbarea de variabila:

τ + β = τ ′ → dτ ′ = dτ

si:

D0(~q, iωn) =12

∫ β

0dτ ′ eiωn(τ ′−β) D0(~q, τ ′) +

12

∫ β

0dτ eiωnτ D0(~q, τ) =

= e−iωnβ 12

∫ β

0dτ ′ eiωnτ ′ D0(~q, τ ′) +

12

∫ β



Rebotezand τ ′ → τ , avem:

D0(~q, iωn) =12

(e−iβωn + 1

) ∫ β


Aici ınsa:eiβωn = 1

si:

D0(~q, iωn) =∫ β

0dτ eiωnτ D0(~q, τ) (4.226)

Folosind aici ecuatia (4.219), avem:

D0(~q, iωn) = −∫ β

0dτ eiωnτ [

1 + nB(ω~q)]

e−ω~qτ + nB(ω~q) eω~qτ=

= − [1 + nB(ω~q)

] ∫ β

0dτ e(iωn−ω~q)τ − nB(ω~q)

∫ β

0dτ e(iωn+ω~q)τ

Efectuand cele doua integrale elementare, si folosind, din nou eiβωn = 1, vomgasi rezultatul urmator:

D0(~q, iωn) = −

(1 + nB(ω~q)

) (e−βω~q − 1

)

iωn − ω~q+

nB(ω~q)(eβω~q − 1

)

iωn + ω~q

(4.227)

Cei doi numaratori din expresia (4.227) sunt:

(1 + nB(ω~q)

) (e−βω~q − 1

)=

(1 +

1eβω~q − 1

) (e−βω~q − 1

)= −1 (4.228)

si:

nB(ω~q)(eβω~q − 1

)=

1eβω~q − 1

(eβω~q − 1

)= 1 (4.229)


D0(~q, iωn) =1

iωn − ω~q− 1

iωn + ω~q(4.230)

Exprimata ın forme alternative, (4.230) este:

D0(~q, iωn) =2ω~q

(iωn)2 − ω2~q

(4.231)


sau:D0(~q, iωn) = − 2ω~q

ω2n + ω2

~q

(4.232)

Oricare dintre formele (4.230 − 4.232) reprezinta functia Green fononica, laT 6= 0 K, pentru un sistem de fononi liberi.

4.12 Reprezentari spectrale pentru functiile Green

Consideram ca pentru functiile Green libere, electronica si fononica, pot fiscrise urmatoarele reprezentari integrale:

G0(~p, iωn) =∫ ∞

−∞dE

2π

S(~p,E)iωn −E

(4.233)

D0(~q, iωn) =∫ ∞

−∞dE′

2π

r(~q, E′)iωn − E′ (4.234)

Aceste reprezentari integrale se numesc reprezetari spectrale pentru functiileGreen. Pentru:

S(~p,E) = 2πδ(E − ε0~p) (4.235)

r(~q, E′) = 2π[δ(E′ − ω~q)− δ(E′ + ω~q)

](4.236)

se obtin formulele cunoscute, pentru cele doua functii Green libere. Prinprelungirea analitica:

iωn → ω + iδ

se obtin functiile Green retardate. Pentru fermioni (nu neaparat liberi) putemscrie atunci:

GR(~p, ω) =∫ ∞

−∞dE

2π

S(~p,E)ω − E + iδ

(4.237)

sau:GR(~p, ω) =

∫ ∞

−∞dE

2πS(~p,E)

[1

ω − E− iπδ(E − ω)

]=

=∫ ∞

−∞dE

2π

S(~p,E)ω − E

− i12

S(~p, ω) (4.238)

Pe de alta parte:

GR(~p, ω) = Re GR(~p, ω) + i Im GR(~p, ω) (4.239)

4.13 Renormarea masei electronice 123

Comparand (4.239) cu (4.238), avem:

Im GR(~p, ω) = −12

S(~p, ω)

sau:S(~p, ω) = −2 Im GR(~p, ω) (4.240)

Marimea S(~p, ω) se numeste functie spectrala sau densitate spectrala.Observatii: Uneori, reprezentarile spectrale (4.233) si (4.234) nu contin

factorii 2π. Atunci:S(~p, ω) = − 1

πIm GR(~p, ω)

Functia spectrala se mai noteaza si cu A(~p, ω), ın loc de S(~p, ω). Daca am filucrat cu functia Green avansata, semnul densitatii spectrale s-ar fi schimbat.

4.13 Renormarea masei electronice

In cazul interactiei electronilor cu excitatiile de joasa energie dintr-un sistem,masa electronilor devine m∗, si este data de expresia [14]:

m∗

m= 1− ∂

∂ωRe Σ(ω)

∣∣∣∣ω→0

(4.241)

Astfel, pentru determinarea lui m∗ trebuie cunoscuta expresia self-energieiΣ(ω). Pentru ea vom considera contributia de tip Hartree-Fock, a careireprezentare diagramatica este urmatoarea:

p-p’,

n-

m

p’,

mp,

n p,

n

(4.242)


Linia continua corespunde functiei Green electronice G(~p′, iωm), linia ondulatareprezinta propagatorul bosonic R(~p − ~p′, iωn − iωm) (el poate fi: fononic,excitatii magnetice, etc.), iar punctele, din varfuri, reprezinta constanta decuplaj electron-boson g. Atunci, expresia analitica corespunzatoare diagramei(4.242), la temperaturi finite, este:

Σ(~p, iωn) = −g2

β

∑m

∫d~p′

(2π)3G(~p′, iωm) R(~p− ~p′, iωn − iωm) (4.243)

Pentru cei doi propagatori din ecuatia (4.243) folosim reprezentarile spectrale(definite fara factorul 2π):

G(~p′, iωm) =∫ ∞

−∞dE

S(~p′, E)iωm −E

R(~p− ~p′, iωn − iωm) =∫ ∞

−∞dE′ r(~p− ~p′, E′)

iωn − iωm − E′ (4.244)

Atunci self-energia devine:

Σ(~p, iωn) = −g2∫

d~p′

(2π)3

∫ ∞

−∞dE

∫ ∞

−∞dE′ S(~p′, E) r(~p− ~p′, E′)·

· 1β

∑m

1iωm −E

· 1i(ωn − ωm)− E′ (4.245)

Suma din (4.245) se calculeaza cu ajutorul integralelor pe contur, ın planulcomplex, si are urmatorul rezultat:

1β

∑m

1iωm −E

· 1i(ωn − ωm)− E′ = −1

2·tanh

(βE2

)+ coth

(βE′2

)

iωn − E′ − E(4.246)

Atunci:

Σ(~p, iωn) = −g2

2

∫d~p′

(2π)3

∫ ∞

−∞dE

∫ ∞

−∞dE′ S(~p′, E) r(~p− ~p′, E′)

1E + E′ − iωn

·[tanh

(βE

2

)+ coth

(βE′

2

)](4.247)


In ecuatia (4.247) neglijam termenul coth(βE′/2) ın comparatie cu tanh(βE/2)(ceea ce este echivalent cu neglijarea fluctuatiilor termice), efectuam prelun-girea analitica iωn → ω + iδ, si notam ~p− ~p′ = ~q. In plus:

f(E) =1

eβE + 1=

12

[1− tanh

(βE

2

)]

de unde:tanh

(βE

2

)= (−2)

[f(E)− 1

2

](4.248)

si:

Σ(iωn) = g2∫

d~p′

(2π)3

∫ ∞

−∞dE

∫ ∞

−∞dE′ S(~p′, E) r(~q,E′)

f(E)− 12

E + E′ − ω − iδ(4.249)

Vom trece de la integrala dupa impulsurile ~p′ la o integrala peste energii sitotodata vom media ecuatia (4.249) la suprafata Fermi. Pentru aceasta folosimgeometria din figura:

SF

pF

qp

p’

Aici:~p′ + ~q = ~p

de unde:q2 = p2 + p′2 − 2 p p′ cos θ = 2p2

F − 2p2F cos θ


Diferentiind aceasta expresie, vom obtine:

sin θ dθ =q dq

p2F

Pe de alta parte:d~p′ = p′2 sin θ dp′ dθ dϕ

Aici scriem:p′2 ' p′ pF

si folosim:p′2 = 2mε~p′ → p′ dp′ = m dε~p′

Vom avea:∫

d~p′

(2π)3=

1(2π)3

∫p′ pF sin θ dθ dp′ dϕ =

pF

(2π)2

∫p′ dp′ sin θ dθ =

=pF

(2π)2

∫m dε~p′

q dq

p2F

=mpF

(2π)2

∫ 2pF

0

dq q

p2F

∫dε~p′ =

=mpF

2π2

12p2

F

∫ 2pF

0dq q

∫dε~p′ = N(0)

12p2

F

∫ 2pF

0dq q

∫dε~p′ (4.250)

In plus, densitatea spectrala S(~p′, E) este aproximata prin:

S(~p′, E) ' δ(E − ε~p′) (4.251)

Folosind si relatia:

1E + E′ − ω − iδ

=1

E + E′ − ω+ iπδ(E + E′ − ω) (4.252)

partea reala a self-energiei electronice devine:

Re Σ(ω) = g2N(0)1

2p2F

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

−∞dE

∫ ∞

−∞dE′

∫dε~p′ S(~p′, E) r(~q, E′)·

· f(E)− 12

E + E′ − ω(4.253)

Scriem densitatea spectrala bosonica sub forma:

r(~q,E′) = − 1π

Im R(~q, E′) → − 1π

Im R(q, E′) (4.254)


(dependenta doar de q apare dupa medierea la suprafata Fermi). Atunci,ecuatia (4.253) devine:

Re Σ(ω) = −g2N(0)2p2

F π

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

−∞dE

∫ ∞

−∞dE′ Im R(q, E′)

f(E)− 12

E + E′ − ω(4.255)

Ultima integrala din (4.255) se scrie astfel:

∫ ∞


f(E)− 12

E + E′ − ω=

=∫ 0


f(E)− 12

E + E′ − ω+

∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′)

f(E)− 12

E + E′ − ω

In prima integrala din expresia de mai sus facem schimbarea de variabila:

E′ → −E′ dE′ → −dE′

Apoi tinem seama de proprietatea:

Im R(q,−E′) = −Im R(q, E′)

Cu aceste observatii, ultima integrala din (4.255) se scrie astfel:∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′)

[f(E)− 1

2

] (1

E + E′ − ω− 1

E − E′ − ω

)(4.256)

Relatia (4.255) va fi:

Re Σ(ω) = −g2N(0)2p2

F π

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′)·

·Re

∫ ∞

−∞dE

[f(E)− 1

2

] (1

E + E′ − ω− 1

E −E′ − ω

)(4.257)

In ultima integrala din ecuatia (4.257) se considera partea reala, deoarecedorim sa determinam partea reala a self-energiei electronice. Evaluarea acesteiintegrale se face ın felul urmator:

I = Re

∫ ∞

−∞dE

[f(E)− 1

2

] (1

E + E′ − ω− 1

E − E′ − ω

)=


= Re

∫ ∞

−∞dE f(E)

(1

E + E′ − ω− 1

E − E′ − ω

)−

−12

∫ ∞

−∞dE

(1

E + E′ − ω− 1

E −E′ − ω

)

Cea de-a doua integrala din expresia de mai sus este zero, ın asa fel ıncat maiavem doar contributia:

Re

∫ ∞

−∞dE

f(E)E + E′ − ω

−∫ ∞

−∞dE

f(E)E −E′ − ω

Aici, vom ınlocui limitele de integrare infinite, cu valori finite (−∞ → −D si∞→ D), evaluam integralele, iar apoi revenim la limitele infinite. Avem deci:

Re

∫ D

−DdE

f(E)E − (ω −E′)

−∫ D

−DdE

f(E)E − (ω + E′)

(4.258)

In acest punct, folosim integrala (Ω = Ω1 + Ω2):

∫ D

−DdE

f(E)E − Ω

=

ψ(

12 − iβΩ

2π

)+ ln

(2πβD

)+ iπ

2 , Ω2 > 0

ψ(

12 + iβΩ

2π

)+ ln

(2πβD

)− iπ

2 , Ω2 < 0(4.259)

unde ψ(x) este functia digama. Deoarece E′ > 0, ın prima integrala din(4.258) folosim cea de-a doua linie din (4.259), iar ın cea de-a doua integralafolosim prima linie, avand:

I = Re

ψ

(12− iβE′

2π+

iβω

2π

)− ψ

(12− iβE′

2π− iβω

2π

)(4.260)

Deoarece termenii logaritmici, care contineau limita de integrare D, s-au redus,rezultatul final nu mai contine valoarea limitelor de integrare, integrala initialafiind una convergenta. Pentru excitatii de joasa energie (ω → 0), vom folosiaproximatia (x - mic):

ψ(a + x) = ψ(a) + x ψ′(a) (4.261)

cu ajutorul careia putem scrie:

ψ

(12− iβE′

2π+

iβω

2π

)= ψ

(12− iβE′

2π

)+

iβω

2πψ′

(12− iβE′

2π

)


ψ

(12− iβE′

2π− iβω

2π

)= ψ

(12− iβE′

2π

)− iβω

2πψ′

(12− iβE′

2π

)(4.262)

Integrala I va deveni:

I = Re

βω

πiψ′

(12− iβE′

2π

)=

βω

πRe

iψ′

(12− iβE′

2π

)=

= −βω

πRe

iψ′

(12

+iβE′

2π

)(4.263)

Inlocuind acest rezultat ın ecuatia (4.257) determinam partea reala a self-energiei electronice datorata interactiei cu excitatiile de joasa energie:

Re Σ(ω) =g2N(0)βω

2π2p2F

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′) Re

iψ′

(12

+iβE′

2π

)

(4.264)Cu acest rezultat, masa electronica renormata devine:

m∗

m= 1− g2N(0)β

2π2p2F

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′) Re

iψ′

(12

+iβE′

2π

)

(4.265)Putem da o formula alternativa celei de mai sus, daca folosim proprietatea:

Re

iψ′

(12

+iβE′

2π

)= −Im ψ′

(12

+iβE′

2π

)(4.266)

cu care:

m∗

m= 1 +

g2N(0)β2π2p2

F

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

0dE′ Im R(q, E′) Im ψ′

(12

+iβE′

2π

)

(4.267)La temperaturi foarte scazute, ecuatia (4.267) poate fi simplificata ın modsuplimentar, folosind:

Im ψ′(

12

+iz

2πT

)' −2πT

zz À πT (4.268)

Atunci:

m∗

m' 1− g2N(0)

πp2F

∫ 2pF

0dq q

∫ ∞

0

dE′

E′ Im R(q, E′) (4.269)


Ca dependenta de E′, R(q, E′) are ın general urmatoarea forma:

R(q, E′) =a

b− icE′ (4.270)

de unde:

Im R(q, E′) =acE′

b2 + c2E′2 (4.271)

Atunci, ultima integrala din ecuatia (4.269) este:

∫ ∞

0

dE′

E′ Im R(q, E′) = ac

∫ ∞

0

dE′

b2 + c2E′2 =a

b· π

2(4.272)

Mai observam ınsa ca:

R(q, E′ = 0) ≡ R(q, 0) =a

b(4.273)

ın asa fel ıncat:

∫ ∞

0

dE′

E′ Im R(q, E′) =a

b· π

2≡ π

2R(q, 0) (4.274)

Atunci, ın limita T → 0, avem:

m∗

m' 1− g2N(0)

2p2F

∫ 2pF

0dq q R(q, 0) (4.275)

Concluzionam ca, cunoasterea partii statice a propagatorului bosonic (saupartea statica a unei functii de raspuns), ne permite sa determinam (ın anumiteconditii sau aproximatii) modificarea masei electronice, datorita interactiilorcu excitatiile de joasa energie existente ın sistem.

Analizam, ın cele ce urmeaza, un exemplu de calcul a masei electronicerenormate, la T = 0 K, ın cazul interactiei electronilor cu excitatii (fluctuatii)magnetice, pentru care propagatorul bosonic are forma [15]:

R(q, ω) =χQ

η + Aq2 − iCqω(4.276)

Daca fluctuatiile sunt de tip antiferomagnetic atunci Cq = C (independent deq), iar pentru cele de tip feromagnetic Cq = C/q. In limita statica (ω = 0),


propagatorul bosonic are aceeasi structura a expresiei, pentru ambele tipuride fluctuatii:

R(q, 0) =χQ

η + Aq2(4.277)

In acest caz:m∗

m= 1− g2N(0)χQ

2p2F

∫ 2pF

0dq

q

η + Aq2(4.278)

Facand schimbarea de variabila η + Aq2 = x, gasim imediat:

m∗

m= 1− g2N(0)χQ

4p2F A

ln

∣∣∣∣∣1 +4Ap2

F

η

∣∣∣∣∣ (4.279)

Considerand aici:χQ = −2N(0)(a,f) (4.280)

(indicii inferiori a si f se refera la cazurile antiferomagnetic si feromagnetic.Factorul A, din (4.277), poate avea deasemenea forme diferite pentru cele douatipuri de fluctuatii magnetice), avem:

m∗

m= 1 +

12A

(g

pF

)2

N(0) N(0)(a,f) ln

∣∣∣∣∣1 +4Ap2

F

η

∣∣∣∣∣ (4.281)

In relatia (4.276), η masoara distanta fata de un punct de tranzitie de fazacuantic (tranzitia de faza cuantica are loc la T = 0 K si este indusa de altifactori decat temperatura, cum ar fi: interactia, dopingul, presiunea, campulmagnetic). Din (4.281) se observa ca ın punctul de tranzitie de faza cuantic(η → 0), masa efectiva diverge logaritmic:

m∗

m∼ − ln(η) (4.282)

Din punct de vedere experimental, modificarea masei electronice se poatepune ın evidenta prin masuratori de rezonanta ciclotronica sau de capacitaticalorice. La temperaturi scazute, capacitatea calorica electronica, pentru unsistem fara interactii, este:

C = γ0T (4.283)

unde:γ0 =

23π2k2

BN(0) (4.284)


este constanta Sommerfeld, iar N(0) = mpF /2π2. In prezenta interactiilor:

C =23π2k2

B

m∗pF

2π2T =

m∗

mγ0T ≡ γT (4.285)

astfel ıncat, ın aceasta situatie, coeficientul Sommerfeld se modifica la:

γ0 → γ =m∗

mγ0

4.14 Sumari Matsubara

La temperaturi finite, cand se studiaza interactia electron-boson, apar sumedupa frecventele discrete Matsubara, de forma:

S = T∑

n′

1iωn′ − z′

· 1i(ωn − ωn′)− z

≡ T∑

n′F (iωn′) (4.286)

Aici, functia F (z) este o functie analitica ın planul complex, cu exceptia unorpoli simplii. Pentru evaluarea sumei consideram functia:

g(z) = F (z) f(z) (4.287)

unde:

f(z) =1

eβz + 1(4.288)

este functia Fermi. g(z) este o functie analitica ın planul complex, cu exceptiapunctelor unde functiile F (z) si f(z) au poli. Functia Fermi are poli dati derelatia:

eβz + 1 = 0 (4.289)

In (4.289) scriem:

z = iωn′

avand:

eiβωn′ = −1 → cos(βωn′) + i sin(βωn′) = −1

De aici:

cos(βωn′) = −1 → βωn′ = (2n′ + 1)π

4.14 Sumari Matsubara 133

si:

ωn′ =2π

β

(n′ +

12

)n′ = 0,±1,±2, ... (4.290)

Polii functiei Fermi se afla ın punctele iωn′ , pe axa imaginara din planul com-plex. Daca F (z) nu are poli care sa coincida cu cei dati de iωn′ , atunci g(z)va avea poli simplii ın aceste puncte (iωn′). Reziduurile ın acesti poli (iωn′)sunt date de:

Rez (g(z); iωn′) = limz→iωn′

(z − iωn′)g(z) = limz→iωn′

(z − iωn′)F (z)

eβz + 1=

= limz→iωn′


eiβωn′ eβ(z−iωn′ ) + 1=

= limz→iωn′


(−1)[1 + β(z − iωn′) + β2

2 (z − iωn′)2 + ...]+ 1

=

= limz→iωn′


−β(z − iωn′)− β2

2 (z − iωn′)2 − ...=

= limz→iωn′


−β(z − iωn′)[1 + β

2 (z − iωn′) + ...] = − 1

βF (iωn′)

(4.291)Polii lui g(z) sunt reprezentati ın figura.

-

C’C

CC”

z’i n-z

Re ž

Im ž


Daca C este un contur care ınconjoara polii lui g(z) care nu sunt poli ai luiF (z) (ci doar ai functiei Fermi), avem:

∫

Cdz F (z) f(z) = 2πi

∑

n′Rez (g(z); iωn′) (4.292)

sau, folosind (4.291):∫

Cdz F (z) f(z) = 2πi

(− 1

β

) ∑

n′F (iωn′)

de unde:S ≡ T

∑

n′F (iωn′) = − 1

2πi

∫

Cdz F (z) f(z) (4.293)

Conturul C consta ın doua linii la Re z = δ si la Re z = −δ. Totusi, in-tegrala (4.293) poate fi deasemenea evaluata formand contururi de integrareınchise prin semiplanurile Re z > 0 si Re z < 0. Aceste contururi contin sisemicercurile C ′ si C ′′. Daca este ındeplinita conditia:

lim|z|→∞

|z g(z)| = 0 (4.294)

integralele de-a lungul acestor semicercuri tind la zero, atunci cand raza lortinde la infinit si, deoarece contururile sunt parcurse ın sensul acelor de cea-sornic, avem:

S = − 12πi

(−2πi)∑a

f(a) Rez (F (z); a) (4.295)

unde a sunt polii lui F (z). In cazul nostru:

F (z) =1

z − z′· 1iωn − z − z

(4.296)

care are polii simplii:a1 = z′

a2 = iωn − z (4.297)

Atunci:

Rez (F (z); a1) = limz→z′

(z − z′)1

(z − z′)(iωn − z − z)=

1iωn − z′ − z

(4.298)

4.14 Sumari Matsubara 135

Rez (F (z); a2) = limz→iωn−z

(z − iωn + z)1

(z − z′)(iωn − z − z)= − 1

iωn − z′ − z(4.299)

si imediat:

S = f(a1) Rez (F (z); a1) + f(a2) Rez (F (z); a2)

sau:S =

f(z′)− f(iωn − z)iωn − z′ − z

(4.300)

Consideram f(iωn ± z):

f(iωn ± z) =1

eβ(iωn±z) + 1=

1eiβωn e±βz + 1

=

=1

−e±βz + 1= − 1

e±βz − 1= −nB(±z) (4.301)

Aici, nB(z) este functia Bose. Atunci:

f(iωn − z) = −nB(−z) (4.302)

Cum ınsa:nB(−z) = −1− nB(z) (4.303)

avem:f(iωn − z) = 1 + nB(z) (4.304)

Atunci suma devine:S =

f(z′)− 1− nB(z)iωn − z′ − z

(4.305)

Exprimam functiile Fermi–Dirac si Bose–Einstein prin intermediul functiilorhiperbolice, apeland la identitatile:

1ex + 1

=12

[1− tanh

(x

2

)](4.306)

1ex − 1

=12

[coth

(x

2

)− 1

](4.307)

cu ajutorul carora gasim (β = 1/T ):

f(z′) =12

[1− tanh

(z′

2T

)]nB(z) =

12

[coth

(z

2T

)− 1

](4.308)


Atunci, numaratorul din ecuatia (4.305) devine:

f(z′)− 1− nB(z) = −12

[tanh

(z′

2T

)+ coth

(z

2T

)](4.309)

iar suma dupa frecventele discrete Matsubara capata forma finala:

S = −12·tanh

(z′2T

)+ coth

(z

2T

)

iωn − z′ − z(4.310)

4.15 Conductia electrica la temperaturi finite

Conductivitatea dinamica σ(ω), la temperaturi finite, se determina ın modasemanator cu cazul de la T = 0 K, analizand dinamica unei perechi electron-gol produsa prin excitare, de catre un camp exterior de frecventa ωm si devector de unda ~q. In domeniul lungimilor de unda mari (~q → 0), conductivi-tatea dinamica este data de relatia (fara contributia diamagnetica):

σ(ω) = lim~q→0

e2

ωmΠ (4.311)

unde:iωm → ω + iδ

iar de aici:ωm =

ω

i(4.312)

Atunci, ın domeniul lungimilor de unda mari:

σ(ω) =ie2

ωΠ (4.313)

iar Π reprezinta bucla de polarizare, cu urmatoarea diagrama:

m,q

n,p

n+

m,p+q

m,q

4.15 Conductia electrica la temperaturi finite 137

La temperaturi finite, functia Green, ın prezenta impuritatilor, are expresiaurmatoare:

G(~p, ωn) =1

iωn − ξ~p + i2τn

(4.314)

cu:

τn = τ sign(ωn) (4.315)

τ fiind timpul de ciocnire. In trei dimensiuni, dupa medierea la suprafataFermi, expresia analitica pentru bucla de polarizare este (~q → 0):

Π =2N(0)v2

F

3

∫dξ

1β

∑n

1iωn + iωm − ξ + i

2τn+m

1iωn − ξ + i

2τn

(4.316)

Aici N(0) este densitatea de stari pentru o singura orientare a spinului, vF

este viteza Fermi (fiecare functie Green este ınmultita cu viteza Fermi, aceastareflectand faptul ca transportul depinde ın mod esential de viteza particulelor),iar factorul 2 provine de la sumarea dupa starile de spin. Suma Matubara secalculeaza dupa reteta cunoscuta, facand o integrala pe contur:

1β

∑n

(...) = − 12πi

∫

Cdz f(z) (...) (4.317)

unde f(z) este functia Fermi. Atunci:

Π = −2N(0)v2F

3

∫dξ

∫

C

dz

2πif(z)

1z + iωm − ξ + i

2τz+m

1z − ξ + i

2τz

(4.318)

Conturul de integrare din planul complex consta dintr-un cerc de raza infinita,cu doua taieturi la z → real (= ε) si z + iωm → real (= ε) (vezi Figura 4.9),astfel ıncat: ∫

C=

∫

γ1

+∫

γ2

+∫

γ3

Partea de contur care da contributie cu sens fizic ın problema conductiei estecea corespunzatoare lui γ2. Atunci:

∫

C→

∫

γ2

dz

2πif(z) G(z + iωm)G(z) =


Im z

Re zz=

z= -i m

1

3

2

Figura 4.9: Conturul de integrare corespunzator integralei din ecuatia (4.318).

=∫ −∞−iδ

∞−iδ

dz

2πif(z) G(z + iωm)G(z) +

∫ ∞−iωm+iδ

−∞−iωm+iδ

dz

2πif(z) G(z + iωm)G(z)

(4.319)In prima integrala din (4.319) facem schimbarea de variabila z = ε − iδ,

(dz = dε), si tinem seama ca factorul iδ trebuie sa apara doar ın G(z), careeste functia direct legata de taietura de la z = ε. In G(z + iωm) vom consideraz = ε (iδ = 0, δ = 0). In cea de-a doua integrala din (4.319) facem schimbareade variabila z = ε− iωm + iδ, (dz = dε), iar aceasta ınlocuire o vom face acumın G(z + iωm). In G(z) este suficient sa consideram z = ε − iωm. Vom aveaatunci (functiile Fermi nu sunt afectate de factorul iδ):

∫

C→

∫ −∞

∞dε

2πif(ε)G(ε+iωm)G(ε−iδ)+

∫ ∞

−∞dε

2πif(ε−iωm)G(ε+iδ)G(ε−iωm)

Cum ınsa:

f(ε− iωm) = f(ε) (4.320)

4.15 Conductia electrica la temperaturi finite 139

expresia de mai sus devine:

−∫ ∞

−∞dε

2πif(ε)G(ε + iωm)G(ε− iδ) +

∫ ∞

−∞dε

2πif(ε)G(ε− iωm)G(ε + iδ) =

=∫ ∞

−∞dε

2πif(ε) [G(ε− iωm)G(ε + iδ)−G(ε + iωm)G(ε− iδ)]

Aici facem prelungirea analitica:

iωm → ω + iδ

avand:∫ ∞

−∞dε

2πif(ε) [G(ε− ω − iδ)G(ε + iδ)−G(ε + ω + iδ)G(ε− iδ)] =

= −∫ ∞

−∞dε

2πif(ε) G(ε− iδ)G(ε + ω + iδ)−

−∫ ∞

−∞dε

2πif(ε) G(ε− ω − iδ)G(ε + iδ)

In ultima integrala facem schimbarea:

ε = ε′ + ω → dε = dε′

cu ajutorul careia obtinem:

−∫ ∞

−∞dε

2πif(ε) G(ε− iδ)G(ε + ω + iδ)−

−∫ ∞

−∞dε′

2πif(ε′ + ω) G(ε′ − iδ)G(ε′ + ω + iδ)

Rebotezand ın ultima integrala ε′ → ε, avem:

−∫ ∞

−∞dε

2πi[f(ε)− f(ε + ω)] G(ε− iδ)G(ε + ω + iδ) (4.321)

Cele doua functii Green, care apar ın ecuatia (4.321), sunt de fapt functiileGreen avansata si retardata:

G(ε− iδ) ≡⟨GA(ε)

⟩=

1ε− ξ − i

2τ

(4.322)


G(ε + ω + iδ) ≡⟨GR(ε + ω)

⟩=

1ε + ω − ξ + i

2τ

(4.323)

Bucla de polarizare (4.318) devine:

Π =2N(0)v2

F

3

∫dξ

∫ ∞

−∞dε

2πi[f(ε)− f(ε + ω)]

⟨GA(ε)

⟩ ⟨GR(ε + ω)

⟩

(4.324)iar conductivitatea dinamica va capata forma urmatoare:

σ(ω) =2N(0)v2

F e2

3

∫ ∞

−∞dξ

∫ ∞

−∞dε

2π

f(ε)− f(ε + ω)ω

⟨GA(ε)

⟩ ⟨GR(ε + ω)

⟩

(4.325)sau:

σ(ω) =2N(0)v2

F e2

3

∫ ∞

−∞dε

2π

f(ε)− f(ε + ω)ω

∫ ∞

−∞dξ

⟨GA(ε)

⟩ ⟨GR(ε + ω)

⟩

Pentru a aduce acest rezultat la o forma asemanatoare cu cea data ın 4.7,vom mai face o schimbare, si anume:

ε + ω = ε′ → dε′ = dε

Atunci:

σ(ω) =2N(0)v2

F e2

3

∫ ∞

−∞dε′

2π

f(ε′ − ω)− f(ε′)ω

∫ ∞

−∞dξ

⟨GA(ε′ − ω)

⟩ ⟨GR(ε′)

⟩

si rebotezand ε′ → ε:

σ(ω) =2N(0)v2

F e2

3

∫ ∞

−∞dε

2π

f(ε− ω)− f(ε)ω

∫ ∞

−∞dξ

⟨GA(ε− ω)

⟩ ⟨GR(ε)

⟩

(4.326)Ultima integrala a fost evaluata ın 4.7, rezultatul fiind (4.129):

2πτ

1− iωτ

cu care:

σ(ω) =2N(0)v2

F e2

3

∫ ∞

−∞dε

f(ε− ω)− f(ε)ω

τ

1− iωτ(4.327)

4.16 Conductia prin hopping. Formula Mott 141

La frecvente scazute:

f(ε− ω) = f(ε)− ω∂f(ε)

∂ε(4.328)

astfel ıncat:

σ(ω) =2e2N(0)v2

F τ

3(1− iωτ)

∫ ∞

−∞dε

(−∂f(ε)

∂ε

)(4.329)

La temperaturi scazute:∫ ∞

−∞dε

(−∂f(ε)

∂ε

)= 1 (4.330)

si regasim formula Drude pentru conductivitatea electrica:

σ(ω) =2e2N(0)v2

F τ

3(1− iωτ)≡ σ

1− iωτ(4.331)

Observatii: La integrala pe conturul C s-a considerat ca doar portiunea γ2

aduce contributie fizica, γ1 si γ3 neavand o astfel de contributie. Motivul esteurmatorul: Integralele pe cele doua portiuni de contur sunt luate peste pro-dusul a doua functii Green retardate, respectiv a doua functii Green avansate.Scopul urmarit de noi este calculul conductivitatii, care pana la urma estelegat de probabilitati de tranzitie (probabilitatea de propagare a electronilorsub actiunea unui camp electric). In mecanica cuantica, probabilitatile aparca produse ale amplitudinilor de probabilitate, direct legate de functia Green(σ ∼ GG∗). Functia Green retardata, reprezinta amplitudinea de probabili-tate de tranzitie pentru particulele cuantice. Complex conjugata ei este functiaGreen avansata, astfel ıncat dinamica procesului de conductie va fi descrisaprin termeni de tip produs ıntre functia Green retardata si cea avansata.

4.16 Conductia prin hopping. Formula Mott

Formula Mott pentru conductia electrica, ın cazul izolatorilor dezordonati, esteunul dintre cele mai cunoscute rezultate din fizica starii izolatoare [16]. Vomdefini un izolator drept un material ın care conductivitatea (DC) devine zero,la T = 0 K, si ın limita termodinamica. Cand un material devine izolator, prin


introducerea de impuritati, el nu va mai avea o retea cristalina perfecta. Inacest caz, simetria la translatii va fi absenta, iar proprietatile fizice vor fi celeın care efectul excitatiilor localizate este dominant. Oricum, prin argumentesimple, putem deduce o serie de proprietati ale acestor materiale. Astfel,vom vedea formula Mott pentru conductivitate. Pentru aceasta consideramun izolator aflat la temperatura scazuta, cand toti electronii se afla ın stariuniparticula localizate. La temperaturi finite, un electron poate fi excitat (cuajutorul unui fonon de ex.), astfel ıncat el ”sare” pe o alta stare localizata.

Conductia electrica se va realiza printr-o succesiune de astfel de salturi.Este foarte probabil ca electronul sa faca saltul pe starile localizate ınvecinate,deoarece elementul de matrice pentru salt este cu atat mai redus (exponential)cu cat starile sunt mai ındepartate. Pe de alta parte, este mai probabil ca ıntrestarile ındepartate sa se gaseasca unele de energie mai apropiata cu cea a stariide pe care electronul pleaca, ın asa fel ıncat, din acest punct de vedere, suntmai usor de atins. Competitia dintre aceste efecte va duce la salturi pe distantevariabile (variable range hopping). Presupunem ca un electron aflat ıntr-ostare localizata ψ1 face un salt ıntr-o alta stare localizata ψ2, aflata la distantar. Numarul de stari disponibile, pe unitatea de energie, ın aceasta distanta,este (ın trei dimensiuni):

N =4π

3r3N(0) (4.332)

unde N(0) este densitatea de stari la nivelul Fermi. Atunci, diferenta deenergie ıntre starile ψ1 si ψ2 este:

w(r) =1N =

34πN(0)r3

(4.333)

4.16 Conductia prin hopping. Formula Mott 143

Conductivitatea, asociata cu procesul de salt, depinde de elementul de matricede tranzitie dintre cele doua stari:

σr ∼ e−2αr (4.334)

cu r = 3r/4 - distanta medie de salt, si de probabilitatea ca electronul saprimeasca energia de activare necesara pentru salt, care este data de distributiaBoltzmann:

σr ∼ e−βw(r) (4.335)

Reunind rezultatele (4.334) si (4.335), conductivitatea de hopping are urma-toarea dependenta:

σr ∼ e−2αr−βw(r) (4.336)

Calea optima urmata de electron este cea data de distanta care minimizeazarelatia (4.336):

∂σr

∂r= 0 (4.337)

Folosind ecuatia (4.336), gasim ca:

ropt =[

32παN(0)T

]1/4

(4.338)

Revenind cu acest rezultat ın (4.336) avem:

σ(T ) ∼ e−2α 3

4ropt− 3

4πN(0)Tr3opt = e−

(T0T

)1/4

(4.339)

cu:

T0 =24α3

πN(0)(4.340)

Expresia finala a conductivitatii Mott este:

σ(T ) = σ0 e−(

T0T

)1/4

(4.341)

Observatii: σ0 ın realitate are o dependenta slaba de temperatura (de tipfunctie putere), care se datoreaza unor factori de importanta secundara, cum


Figura 4.10: Densitatea de stari energetice ın cazul conductiei prin hopping(cu gap coulombian).

ar fi lungimea unui salt, care daca este mai mare, da o contributie mai marela valoarea curentului. In d-dimensiuni, ecuatia (4.341) se generalizeaza la:

σ(T ) = σ0 e−(

T0T

)1/d+1

(4.342)

In plus, formulele (4.341) si (4.342) sufera modificari daca se tine seamade efectele coulombiene. Intr-un izolator, interactiile coulombiene nu suntecranate, la lungimi de unda mari si frecvente scazute, deoarece nu existasarcini mobile. Atunci, efectul coulombian este unul puternic si se manifestaprin scaderea valorii densitatii de stari la nivelul Fermi, unde ea devine zero(vezi Figura 4.10). Acest efect se numeste gap coulombian (Coulomb gap),iar efectul sau asupra conductiei prin salturi duce la dependenta:

σ(T ) ∼ e−(

T0T

)1/2

(4.343)

ın orice dimensiune.

Capitolul 5

Sisteme Magnetice

5.1 Particula cu spin 1/2 ın camp magnetic

Consideram o particula cu spinul 1/2 ıntr-un camp magnetic ~B paralel cu axaOz. Particula are momentul magnetic de spin ~ms. Hamiltonianul de interactiespin-camp este dat de:

H = −~ms · ~B (5.1)

unde:

~ms = −2h

µB~S = −2

hµB

h

2~σ = −µB ~σ (5.2)

Atunci:

H = µB ~σ · ~B

sau:

H = µB σzB (5.3)

Analizam valoarea medie a componentei z a spinului, la temperatura T :

〈Sz〉 =1Z

Tr ρ Sz ρ = e−βH Z = Trρ (5.4)

si:

Sz =h

2σz β =

1kBT

145

146 SISTEME MAGNETICE

deci:

〈Sz〉 =h

2

Tre−βH σz

Tr e−βH (5.5)

Cele doua urme, care apar ın ecuatia (5.5), sunt:

Tre−βH

= Tr

e−βµBσzB

= Tr 1− βµBσzB + ... =

= Tr

(1 00 1

)− βµBB

(1 00 −1

)+ ...

=

= Tr

(1 00 1

)+

(−βµBB 0

0 βµBB

)+ ...

=

= Tr

(1− βµBB + ... 0

0 1 + βµBB + ...

)=

= Tr

(e−βµBB 0

0 eβµBB

)=

= e−βµBB + eβµBB (5.6)

si:

Tre−βH σz

= Tr (1− βH + ...)σz = Tr (1− βµBσzB + ...)σz =

= Tr

[(1 00 1

)− βµBB

(1 00 −1

)+ ...

]σz

=

= Tr

[(1 00 1

)+

(−βµBB 0

0 βµBB

)+ ...

]σz

=

= Tr

(1− βµBB + ... 0

0 1 + βµBB + ...

)σz

=

= Tr

(e−βµBB 0

0 eβµBB

) (1 00 −1

)=

= Tr

(e−βµBB 0

0 −eβµBB

)=

5.1 Particula cu spin 1/2 ın camp magnetic 147

= e−βµBB − eβµBB (5.7)

Atunci, ecuatia (5.5) devine:

〈Sz〉 =h

2e−βµBB − eβµBB

e−βµBB + eβµBB= − h

2tanh (βµBB) (5.8)

Folosind ecuatia (5.2), definim valoarea medie a componentei z a momentuluimagnetic ca fiind:

〈mz〉 = −2h

µB 〈Sz〉 (5.9)

sau, cu (5.8):

〈mz〉 = µB tanh (βµBB) (5.10)

Daca ın unitatea de volum avem N momente magnetice, magnetizarea (mo-mentul magnetic mediu a unitatii de volum) este:

〈M〉 = N 〈mz〉 = NµB tanh(

µBB

kBT

)(5.11)

• In limita temperaturilor ridicate, cand µBB/kBT ¿ 1, avem:

tanh(

µBB

kBT

)' µBB

kBT

si (B = µ0H):

〈M〉 =Nµ2

Bµ0

kBTH ≡ χ H (5.12)

unde, susceptibilitatea magnetica χ este data de legea Curie:

χ =Nµ2

Bµ0

kBT≡ C

T(5.13)

• In limita temperaturilor scazute, µBB/kBT À 1, si:

tanh(

µBB

kBT

)→ 1

Atunci, magnetizarea capata valoarea constanta:

〈M〉 = NµB = const. (5.14)


5.2 Energia de schimb. Hamiltonianul de spin

Consideram molecula de hidrogen, care este un sistem cu doi electroni. Pentruacest sistem avem doua stari fundamentale posibile (h = 1):

• Singlet: S = 0 si cu energia Es.• Triplet: S = 1 si cu energia Et.Definim energia de schimb J (sau integrala de schimb) prin:

J = Es −Et (5.15)

Energia sistemului de electroni poate fi scrisa sub forma:

E =Es + Et

2− ν

Es −Et

2ν = ±1 (5.16)

Intr-adevar:Pentru ν = 1:

E =Es + Et − Es + Et

2= Et

Pentru ν = −1:E =

Es + Et + Es −Et

2= Es

Spinul total al sistemului este:

~S = ~S1 + ~S2 (5.17)

iar de aici:2 ~S1

~S2 = ~S2 − ~S21 − ~S2

2 (5.18)

Construim operatorul:

12

+ 2 ~S1~S2 =

12

+ ~S2 − ~S21 − ~S2

2 (5.19)

Valorile proprii corespunzatoare lui sunt:

12

+ S(S + 1)− 34− 3

4= S(S + 1)− 1 (5.20)

dupa cum se observa din partea dreapta a ecuatiei (5.19). Aceste valori propriidevin:

5.3 Campul molecular 149

Pentru: S = 0 → −1Pentru: S = 1 → 1

adica, coincid cu ν. Atunci, pentru a gasi operatorul energiei (H), ınlocuim ınecuatia (5.16) pe ν cu operatorul 1

2 + 2 ~S1~S2, obtinand hamiltonianul de spin

(sau de schimb, sau Heisenberg):

Hs =Es + Et

2−

(12

+ 2 ~S1~S2

)Es − Et

2=

Es + 3 Et

4− (Es − Et) ~S1

~S2

sau:Hs = E0 − J ~S1

~S2 (5.21)

Redefinind nivelul de zero a energiei, putem omite constanta E0, avand:

Hs = −J ~S1~S2 (5.22)

Daca: J > 0 → Et < Es, deci starea de triplet este mai mai favorabila dinpunct de vedere energetic, astfel ıncat spinii sunt orientati paralel (feromag-netism).

Daca: J < 0 → Es < Et, starea de singlet este mai mai favorabila dinpunct de vedere energetic, iar spinii sunt antiparaleli (antiferomagnetism).

5.3 Campul molecular

Pentru un sistem de N spini, hamiltonianul Heisenberg este [17]:

Hs = −∑

i,j,i6=j

Jij~Si

~Sj ≡ Hint (5.23)

In aproximatia campului molecular, se considera ca spinul Si simte campulmagnetic mediu Hm datorat orientarii medii 〈Sj〉 a celor z vecini de ordinulunu (efectul vecinilor de ordin superior se considera a fi suficient de mic pentrua putea fi neglijat). Pentru a determina Hm consideram hamiltonianul unuisistem de spini introdusi ıntr-un camp magnetic exterior ~Bext (ın plus alegemunitatile ın asa fel ıncat µ0 = 1, deci: ~Bext = ~Hext):

H = −m∑

i

Si Hext = −M Hext M = m∑

i

Si (5.24)


m - este momentul magnetic al spinului, iar Si = ±1 (descriind proiectiaspinului pe axa Oz). In aproximatia campului molecular, ecuatia (5.23) serescrie astfel:

Hint = −∑

i

∑

j

Jij 〈Sj〉 Si ≡ −m

∑

i

Si Hm (5.25)

Atunci:mHm =

∑

j

Jij 〈Sj〉 ≡ zJ 〈Sj〉

iar de aici:Hm =

zJ 〈Sj〉m

(5.26)

Aici am considerat ca integrala de schimb J are aceeasi valoare pentru totivecinii de ordinul unu. In acest caz, spinul i se va alinia ın campul magneticefectiv Hext +Hm, iar magnetizarea este:

〈M〉 = χ0(Hext +Hm) = χ Hext (5.27)

Urmarim sa determinam susceptibilitatea magnetica χ. Vom folosi ecuatia(5.27) si ecuatia (5.26), avand:

χ0Hext + χ0zJ 〈Sj〉

m= χ Hext (5.28)

Daca ın unitatea de volum sunt N momente magnetice, magnetizarea va aveaurmatoarea expresie:

〈M〉 = Nm 〈Sj〉de unde:

〈Sj〉 =〈M〉Nm

=χ Hext

Nm(5.29)

Inlocuind acest rezultat ın expresia (5.28) obtinem:

χ0Hext + χ0zJ

m

χ Hext

Nm= χ Hext

Exprimand din relatia de mai sus pe χ0, putem scrie:

χ0 = χ

(1− χ0

zJ

Nm2

)(5.30)

5.4 Unde de spin ın materiale feromagnetice 151

In paranteza relatiei (5.30) vom ınlocui χ0, dat de legea Curie (5.13), scrisaacum sub forma:

χ0 =Nm2

kBT

cu ajutorul careia vom obtine:

χ ≡ χ(T ) =χ0

1− TcT

Tc =zJ

kB(5.31)

sau, echivalent:

χ(T ) =Nm2

kB

1T − Tc

≡ C

T − Tc(5.32)

(5.31) sau (5.32) reprezinta legea Curie-Weiss, iar Tc = zJ/kB este temper-atura Curie (sau temperatura critica). Pentru un feromagnet, J > 0, astfelıncat Tc > 0, si este proportionala cu integrala de schimb. La T = Tc observamca χ(Tc) →∞, ceea ce indica o tranzitie de faza de ordinul doi ın sistem.

5.4 Unde de spin ın materiale feromagnetice

Consideram un sistem de spini la temperaturi scazute. Spinii sunt puterniccorelati, fiind practic toti dirijati dupa aceeasi directie. Presupunem ca unspin se abate (datorita fluctuatiilor), la un moment dat, fata de orientareacomuna. El va influenta si alti spini din sistem, astfel ıncat abaterea se poatepropaga sub forma unei unde de spin [18]. Pentru a trata aceasta problema,consideram hamiltonianul Heisenberg:

Hs = −∑

α,β,α 6=β

Jαβ~Sα

~Sβ (5.33)

unde α si β desemneaza ionii cu spin din retea. Starile de spin ale ionului α

pot fi clasificate prin starile proprii ale operatorului componetei z a spinului,Sz

α, (h = 1):Sz

α

∣∣S′⟩α = S′∣∣S′⟩α (5.34)

In starea fundamentala, ın care toti spinii au o ordonare dupa Oz, functiaproprie este:

|0〉 = |S〉1 |S〉2 ... |S〉α ... |S〉N (5.35)


unde s-a considerat ca ın fiecare din nodurile retelei Sz ia valoarea maxima S.Rescriem (5.33) astfel:

Hs = −∑

α,β

′Jαβ

(Sx

αSxβ + Sy

αSyβ + Sz

αSzβ

)(5.36)

(semnul prim ınseamna ca ın suma α 6= β), si introducem operatorii:

S+α = Sx

α + iSyα

S−α = Sxα − iSy

α (5.37)

Daca S+α actioneaza asupra uneia dintre functiile proprii ale operatorului Sz

α,avem:

Szα

S+

α

∣∣S′⟩ = Szα (Sx

α + iSyα)

∣∣S′⟩ = (SzαSx

α + iSzαSy

α)∣∣S′⟩ (5.38)

Componentele operatorului de spin verifica relatiile de comutare:

[Sxα , Sy

α] = iSzα

[Syα , Sz

α] = iSxα

[Szα , Sx

α] = iSyα

cu ajutorul carora avem:

SzαSx

α = SxαSz

α + iSyα (5.39)

si:Sz

αSyα = Sy

αSzα − iSx

α (5.40)

Cu (5.39) si (5.40), ecuatia (5.38) devine:

Szα

S+

α

∣∣S′⟩ = (SxαSz

α + iSyα) + i (Sy

αSzα − iSx

α) ∣∣S′⟩ =

= (SxαSz

α + iSyα + iSy

αSzα + Sx

α)∣∣S′⟩ =

= (Sxα + iSy

α)Szα + (Sx

α + iSyα) ∣∣S′⟩ =

S+

α Szα + S+

α

∣∣S′⟩ =

= S+α Sz

α

∣∣S′⟩ + S+α

∣∣S′⟩ = S+α

(S′

∣∣S′⟩) + S+α

∣∣S′⟩ =


= S+α

(S′ + 1

) ∣∣S′⟩ =(S′ + 1

) S+

α

∣∣S′⟩

deci:Sz

α

S+

α

∣∣S′⟩ =(S′ + 1

) S+

α

∣∣S′⟩ (5.41)

Observam ca S+α |S′〉 coincide cu functia proprie a operatorului Sz

α corespunza-toare valorii proprii (S′ + 1), adica:

Szα

∣∣S′ + 1⟩

=(S′ + 1

) ∣∣S′ + 1⟩

(5.42)

iar atunci:S+

α

∣∣S′⟩ =∣∣S′ + 1

⟩(5.43)

S+α mareste cu o unitate valoarea proiectiei spinului pe axa Oz. In mod core-

spunzator, S−α va micsora cu o unitate aceasta proiectie.Rescriem (5.36) astfel:

Hs = −∑

α,β

′Jαβ

[Sz

αSzβ +

12

(S+

α S−β + S−α S+β

)](5.44)

Vom aduce acest hamiltonian la forma unuia care descrie o colectie de oscilatoriarmonici si le vom determina energia. Pentru aceasta folosim:

S2α = (Sx

α)2 + (Syα)2 + (Sz

α)2 → (Szα)2 = S2

α − (Sxα)2 − (Sy

α)2

Pe de alta parte:S2

α = S(S + 1)

astfel ıncat:(Sz

α)2 = S(S + 1)−[(Sx

α)2 + (Syα)2

](5.45)

Mai avem:

S−α S+α = (Sx

α−iSyα)(Sx

α+iSyα) = (Sx

α)2+(Syα)2+i[Sx

α , Syα] = (Sx

α)2+(Syα)2−Sz

α

de unde:(Sx

α)2 + (Syα)2 = S−α S+

α + Szα (5.46)

Inlocuim (5.46) ın (5.45):

(Szα)2 = S(S + 1)− S−α S+

α − Szα (5.47)


In partea dreapta a acestei expresii aproximam Szα ≈ S. Aceasta aproximatie

este valabila daca consideram doar starile cele mai apropiate de ordonareatotala. Atunci:

(Szα)2 ' S2 − S−α S+

α = S2

(1− S−α S+

α

S2

)

iar de aici:

Szα ' S

(1− S−α S+

α

2S2

)= S − S−α S+

α

2S(5.48)

Introducem operatorii:

aα =S+

α√2S

→ S+α =

√2S aα

a+α =

S−α√2S

→ S−α =√

2S a+α (5.49)

si calculam comutatorul lor:

[aα , a+α ] = aαa+

α − a+α aα =

12S

(S+α S−α − S−α S+

α ) =

=1

2S[S+

α , S−α ] =1

2S[Sx

α + iSyα , Sx

α − iSyα] =

=1

2S[Sx

α , Sxα]− i [Sx

α , Syα] + i [Sy

α , Sxα] + [Sy

α , Syα] =

=1

2S(−2i) [Sx

α , Syα] =

Szα

S' S

S= 1 (5.50)

Observam ca operatorii aα satisfac (ın mod aproximativ) relatii de comutare(de tip bosonic). Totusi, acestia sunt exprimati prin operatori de spin, careactioneaza ın spatii 2S + 1 dimensionale, deosebindu-se deci de operatoriibosonici obisnuiti, care actioneaza ın spatiul functiilor cu numere de ocuparearbitrare. Folosind (5.49) ın (5.48) avem:

Szα ' S − a+

α aα (5.51)

si ecuatia (5.44) se rescrie:

Hs ' −∑

α,β

′Jα,β

[(S − a+

α aα)(S − a+β aβ) +

12

2S (aαa+β + a+

α aβ)]

=


= −∑

α,β

′Jα,β

[S2 − S a+

β aβ − S a+α aα + a+

α aαa+β aβ + S aαa+

β + S a+α aβ

]'

' −∑

α,β

′Jα,β

[S2 + S

(aαa+

β + a+α aβ − a+

α aα − a+β aβ

)](5.52)

Primul termen din (5.52) descrie energia starii fundamentale, iar ceilalti ter-meni reprezinta operatori care descriu explicit transmiterea abaterilor spinilorde la un ion la altul (operatorii aα si a+

α anihileaza si genereaza deviatii de spinlocalizate ıntr-o anumita pozitie din retea). Termenul cu patru operatori, carea fost neglijat, descrie interactia dintre undele (deviatiile) de spin. Rescriem(5.52) astfel:

Hs ' −∑

α,β

′Jα,βS2 −

∑

α,β

′Jα,βS

(aαa+

β + a+α aβ − a+

α aα − a+β aβ

)

Primul termen din expresia de mai sus ıl notam cu H0, si mai observam caaαa+

β = a+β aα, deoarece α 6= β, astfel ıncat:

Hs = H0 −∑

α,β

′Jα,βS

(a+

β aα + a+α aβ − a+

α aα − a+β aβ

)

sau:Hs = H0 −

∑

α,β

′Jα,βS

(2a+

α aβ − a+α aα − a+

β aβ

)(5.53)

(deoarece integrala de schimb depinde doar de valoarea distantei dintre nodu-rile de retea, iar ın primul termen de sub suma am facut schimbarile α → β,β → α). Considerand ca sistemul este invariant la translatii, introducemoperatorii de anihilare si de generare, a~q si a+

~q , prin:

aα =1√N

∑

~q

a~q ei~q ~Rα

a+α =

1√N

∑

~q

a+~q e−i~q ~Rα (5.54)

cu ajutorul carora, ecuatia (5.53) devine:

Hs = H0 +∑

l,~q

2J(~Rl)S(1− e−i~q ~Rl

)a+

~q a~q (5.55)


Aici: ~Rl = ~Rα − ~Rβ, si am mai folosit faptul ca:

1N

∑α

ei(~q′−~q)~Rα = δ~q,~q′ (5.56)

iar N desemneaza punctele de retea. Pe de alta parte, stim ca hamiltonianulunui sistem de oscilatori armonici este:

H −H0 =∑

~q

ω~q a+~q a~q (5.57)

Comparand (5.55) cu (5.57) obtinem legea de dispersie pentru undele despin:

ω~q =∑

l

2J(~Rl)S(1− e−i~q ~Rl

)(5.58)

Mai observam ca a+~q si a~q sunt operatori de generare si anihilare pentru undele

de spin, care reprezinta excitatiile elementare ale sistemului. Unei excitatii ise asociaza o cuasiparticula, numita ın acest caz magnon, si a carei energieeste data de ecuatia (5.58). In domeniul lungimilor de unda mari:

ω~q =∑

l

2J(~Rl)S[1− cos(~q · ~Rl) + i sin(~q · ~Rl)

]'

'∑

l

2J(~Rl)S

[1−

(1− (~q · ~Rl)2

2

)]=

∑

l

J(~Rl)S (~q · ~Rl)2

sau:ω~q ∼ q2 → ω~q = C2q2 (5.59)

In obtinerea relatiei (5.59), s-a mai folosit faptul ca:

∑

l

2J(~Rl)S i sin(~q · ~Rl) = 0

deoarece intergrala de schimb se bucura de proprietatea J(−~Rl) = J(~Rl), iarfunctia sinus este impara. Mai observam ca energia magnonului este de formalegii de dispersie pentru o particula libera, de masa efectiva m∗:

ω~q =q2

2m∗ (5.60)


Atunci:

m∗ =1

2C2(5.61)

Facand simplificarea: J(~Rl) = J , observam ca C2 ∼ JSa2, unde s-a maiconsiderat ca ~Rl este proportional cu constanta de retea a. Putem scrie:

C2 = bJSa2 (5.62)

si:

m∗ =1

2bJSa2(5.63)

Pentru feromagneti conventionali, cu temperatura Curie peste temperaturacamerei, m∗ este de ordinul a zece mase electronice. Magnonii contribuiela proprietatile fizice ale unui feromagnet. De exemplu, capacitatea caloricamagnonica este:

Cm =dUm

dT(5.64)

unde Um este energia interna magnonica:

Um =∑

~q

ω~q nB(ω~q) =∑

~q

ω~q1

eβω~q − 1(5.65)

sau:

Um =V

(2π)3

∫d~q C2q2 1

eβC2q2 − 1

cu: d~q = 4πq2dq. Imediat gasim ca:

Um =C2V

2π2

∫ ∞

0dq

q4

eβC2q2 − 1

Facand schimbarea de variabila: x = βC2q2, se obtine urmatorul rezultat:

Um =V

4π2C3β5/2

∫ ∞

0dx

x3/2

ex − 1=

V

4π2C3Γ

(52

)ζ

(52

)T 5/2 (5.66)

Capacitatea calorica magnonica devine:

Cm =5V

8π2C3Γ

(52

)ζ

(52

)T 3/2 ∼ T 3/2 (5.67)


5.5 Unde de spin ın materiale antiferomagnetice

Consideram un antiferomagnet anizotrop, la temperaturi mult mai scazutedecat TN . El este format din doua subretele avand spinii ın sus (i), respectivın jos (j), ın asa fel ıncat cei z vecini de ordinul ıntai a unui spin din subreteaua(i) sunt cu totii spini din subreteaua (j), si invers. Deasemenea, se iau ınconsiderare numai interactiile de schimb cu vecinii de ordinul ıntai. In absentaunui camp exterior, hamiltonianul sistemului este [19]:

H = −2J∑

i>j

~Si~Sj − 1

2K

∑

i,j

[(Sz

i )2 + (Szj )2

](5.68)

unde i si j sunt puncte de retea apartinand celor doua subretele, K - constantade anizotropie, iar J integrala de schimb. Pentru a aduce (5.68) la o forma detip unde de spin sunt necesari a fi parcursi o serie de pasi. Fiind la temperaturiscazute, spinii din cele doua subretele se afla ın majoritatea timpului ın starileSz

i = S, respectiv Szj = −S. Atunci, valorile asteptate pentru operatorii care

descriu deviatiile de spin, S − Szi si Sz

j − S, pentru cele doua subretele, vor fimici. Definim operatorii de crestere si de coborare, pentru spinii din cele douasubretele, prin:

S+i,j = Sx

i,j + iSyi,j , S−i,j = Sx

i,j − iSyi,j (5.69)

Reprezentarea operatorilor de spin prin operatori bosonici de creare si de dis-trugere este urmatoarea:

S+i =

(2S − a+

i ai

)1/2ai S+

j = b+j

(2S − b+

j bj

)1/2

S−i = a+i

(2S − a+

i ai

)1/2S−j =

(2S − b+

j bj

)1/2bj

Szi = S − a+

i ai Szj = −S + b+

j bj (5.70)

Operatorii a+i si ai creaza si distrug deviatii de spin pentru spinul i din

subreteaua cu spinii ın sus. Operatorii a+i , ai, b+

j si bj satisfac relatii decomutare de tip bosonic:

[ai , a+i′ ] = δi,i′ [a+

i , a+i′ ] = 0 [ai , ai′ ] = 0 (5.71)

5.5 Unde de spin ın materiale antiferomagnetice 159

si similar pentru operatorii b+j si bj . In plus, toti operatorii ai si toti bj co-

muta. Marimile⟨a+

i ai

⟩si

⟨b+j bj

⟩, din (5.70), reprezinta valorile asteptate

ale deviatiilor de spin la pozitiile i, respectiv j, din cele doua subretele. Fac-

torii(2S − a+

i ai

)1/2si

(2S − b+

j bj

)1/2, care apar ın ecuatia (5.70), reflecta

diferenta ıntre un spin si un oscilator armonic. Acesti doi factori dispar, deexemplu, ın starea pentru care

⟨a+

i ai

⟩= 2S, sau Sz

i = −S, prevenind astfeliesirea din spatiul 2S + 1 al starilor spinului, prin aplicarea operatorilor decrestere si de coborare. Totusi, cand

⟨a+

i ai

⟩este mic, este rezonabil sa facem

aproximatia: (2S − a+

i ai

)1/2 → (2S)1/2 (5.72)

In aceasta aproximatie, de tip oscilator armonic, operatorii de crestere si decoborare sunt proportionali cu operatorii Bose de distrugere si de creare adeviatiilor de spin, astfel ıncat (5.70) se reduce la:

S+i = (2S)1/2ai S+

j = (2S)1/2b+j

S−i = (2S)1/2a+i S−j = (2S)1/2bj

Szi = S − a+

i ai Szj = −S + b+

j bj (5.73)

Pentru liniarizarea problemei, substituim (5.73) ın (5.68) si neglijam termeniicare contin produse de patru operatori Bose. Apoi, pentru a obtine undele despin, introducem transformatele Fourier:

a~q =1√N

∑

i

ai e−i~q~ri b~q =1√N

∑

j

bj ei~q~rj

a+~q =

1√N

∑

i

a+i ei~q~ri b+

~q =1√N

∑

j

b+j e−i~q~rj (5.74)

~ri si ~rj sunt vectori de retea pentru cele doua subretele, iar valorile lui ~q

sunt valorile permise ale vectorilor de unda ın prima zona Brillouin a reteleireciproce, obtinuta cu cerinta ca celula primitiva sa contina doi ioni magnetici.Atunci, hamiltonianul devine:

H = −2JzS∑

~q

[(1 +

K

2Jz

)(a+

~q a~q + b+~q b~q) + γ~q (a+

~q b+~q + a~qb~q)

](5.75)


unde:

γ~q =1z

z∑

n=1

ei~q~rn (5.76)

iar ~rn este vectorul care leaga un spin dat cu vecinul sau de ordinul unu.Evident, H nu este diagonal ın reprezentarea a~qb~q. Pentru a-l diagonalizafolosim transformarea canonica:

a~q = u~qα~q + v~qβ+~q b~q = v~qα

+~q + u~qβ~q

a+~q = u~qα

+~q + v~qβ~q b+

~q = v~qα~q + u~qβ+~q (5.77)

cu:u~q = cosh

(θ~q

2

)v~q = − sinh

(θ~q

2

)(5.78)

unde θ~q este definit prin:

tanh θ~q = − γ~q

1 + K2Jz

(5.79)

si:u2

~q − v2~q = 1 (5.80)

In functie de noii operatori, pana la o constanta, hamiltonianul sistemuluidevine:

H =∑

~q

ω~q

2

(α+

~q α~q + α~qα+~q + β+

~q β~q + β~qβ+~q

)(5.81)

Cum [α~q , α+~q ] = 1, si analog pentru operatorii β~q, gasim, daca notam n′~q ≡

β+~q β~q, ca:

H =∑

~q

ω~q

[(n′~q +

12

)+

(n′′~q +

12

)](5.82)

Pentru anizotropie mica, cand K ¿ 2Jz, relatia de dispersie pentru undele despin este:

ω~q = 2JzS

(1− γ2

~q +K

Jz

)1/2

(5.83)

Deoarece, pentru q = 0, γ~q = 1, spectrul undelor de spin va avea un gap initial,egal cu:

ω0 = 2S(JzK)1/2 (5.84)

5.6 Teoria aliajelor diluate 161

In absenta anizotropiei si ın domeniul lungimilor de unda mari, relatia dedispersie (5.83) se reduce la:

ω~q ∼ q → ω~q = Aq (5.85)

In acest caz, energia interna corespunzatoare magnonilor antiferomagneticieste:

Um =∑

~q

ω~q nB(ω~q) =V

(2π)3

∫d~q

Aq

eβAq − 1(5.86)

Folosind d~q = 4πq2dq, obtinem imediat:

Um =π2V

30A3T 4 (5.87)

iar capacitatea calorica magnonica devine:

Cm =dUm

dT=

2π2V

15A3T 3 (5.88)

5.6 Teoria aliajelor diluate

Masuratorile magnetice au aratat ca prin introducerea unor impuritati cu mo-ment magnetic ın metale nemagnetice, momentele magnetice pot sa se mentinala valoarea corespunzatoare atomului de impuritate liber, sau sa dispara. Unexemplu tipic este MnCu, unde interactiunea dintre spini (asociati cu atomulde Mn) si electronii liberi (din Cu nemagnetic) mentine momentele magnet-ice. In mod surprinzator, impuritatile de Mn introduse ın Al duc la disparitiamomentului magnetic a impuritatii. Avem deci un sistem electronic formatdin electroni de tip d, care interactioneaza cu electronii s, si care are douastari: magnetica si nemagnetica.

Explicatia acestui fenomen, din punct de vedere microscopic, se bazeaza pemodelul Anderson, ın care interactia unui orbital d cu electronii s este descrisade hamiltonianul [20, 21]:

H =∑

~k,σ

ε~k c+~k,σ

c~k,σ+

∑σ

Ed c+d,σcd,σ +

∑

~k,σ

(Vkd c+

~k,σcd,σ + Vdk c+

d,σc~k,σ

)+


+U c+d,↑cd,↑c+

d,↓cd,↓ (5.89)

unde c+~k,σ

si c~k,σsunt operatorii fermionici pentru electronii de conductie cu

energia cinetica ε~k si spinul σ, Ed este energia orbitalului d (mica ın raportcu energia Fermi), descris de operatorii c+

d,σ si cd,σ, Vdk este interactiunea caredescrie transferul de electroni ıntre banda de conductie s si orbitalul d, iar ul-timul termen descrie repulsia coulombiana dintre electronii cu spini opusi. Inacest model, cunoscut sub denumirea de modelul Anderson, ultimul termeneste cel mai important. Intr-adevar, daca U = 0 hamiltonianul (5.89) descrieo problema uniparticula; electronii de conductie si electronii d interactioneaza,dar noua stare este decrisa tot de o stare uniparticula. In acest caz, numarulde electroni cu orientari diferite ale spinului este identic, nσ = n−σ, iar sis-temul nu prezinta moment magnetic, chiar daca orbitalul d este prezent. Dacaconsideram acum cazul unei interactiuni s− d mici si aproximam Vkd = 0, unelectron cu o orientare determinata a spinului ocupa orbitalul Ed, deoareceEd < εF . Daca un alt electron, cu spin opus, este considerat ın acest orbital,el va avea energia Ed + U , care este mai mare ca εF astfel ıncat, electronul defapt nu poate ramane ın aceasta stare. In cazul Vkd 6= 0, hamiltonianul (5.89)descrie o problema de fizica sistemelor cu multe particule si este necesar safolosim aproximatii si metode specifice pentru determinarea marimilor fizice.Metoda cea mai folosita, deoarece este controlabila si cunoscuta matematiceste aproximatia Hartree-Fock, echivalenta ın aceasta problema cu aproximatiacampului mediu (mean field). Astfel, interactia ıntre electronii d, care areforma:

Hd = U nd,↑nd,↓ (5.90)

va fi transformata tinand seama de relatia:

nd,↑,↓ = 〈nd,↑,↓〉+ (nd,↑,↓ − 〈nd,↑,↓〉) (5.91)

astfel ca, neglijand termenii patratici ai variatiei numarului de electroni, Hd

se aproximeaza ın felul urmator:

Hd = U [〈nd,↑〉nd,↓ + 〈nd,↓〉nd,↑] (5.92)


Cu aceasta aproximatie, hamiltonianul (5.89) este redus la un hamiltonianuniparticula de forma:

HMF =∑

~k,σ

ε~k c+~k,σ

c~k,σ+

∑σ

(Ed + U 〈nd,−σ〉) c+d,σcd,σ+

+∑

~k,σ

(Vkd c+

~k,σcd,σ + Vdk c+

d,σc~k,σ

)(5.93)

Consideram acum ca ψn este o functie proprie a hamiltonianului (5.93), cuenergia proprie εn. Operatorii c+

n,σ si cn,σ, care diagonalizeaza hamiltonianulHMF , sunt combinatii liniare de c+

~k,σsi c+

d,σ, de forma:

c+n,σ =

∑

~k

〈n|k〉 c+~k,σ

+ 〈n|d〉 c+d,σ (5.94)

Orbitalul d este inclus ın functia proprie ψn,σ cu ponderea | 〈n|d〉σ |2, astfel caenergia unui nivel izolat Ed +U 〈nd,−σ〉 este modificata cu o largime de ordinulinteractiei. Aceasta stare d a fost numita de Friedel, stare virtual legata.

Pentru a calcula parametrii starii magnetice, la T = 0 K, este necesaracunoasterea densitatii de stari Nd,σ(ω), definita prin:

Nd,σ(ω) =∑n

δ(ω − εn)| 〈n|d〉σ |2 (5.95)

si care se poate calcula cu ajutorul functiei Green Gσd,d(ω), folosind relatia:

Nd,σ(ω) = − 1π

Im Gσd,d(ω) (5.96)

Pentru a calcula functia Green Gσd,d(ω), se foloseste metoda ecuatiei de misca-

re, pentru functia Gm,n(ω), scrisa sub forma:∑

l

(ω −H)l,m Gm,n = δl,n (5.97)

care va duce la:(ω − Eσ) Gσ

d,d −∑

~k

Vdk Gσ~k,d

= 1 (5.98 a)

(ω − ε~k) Gσ~k,d− Vkd Gσ

d,d = 0 (5.98 b)


(ω − Eσ) Gσd,~k−

∑

~k′Vdk′ Gσ

~k′,~k = 0 (5.98 c)

(ω − ε~k′) Gσ~k′,~k − Vk′d Gσ

d,~k= δ~k,~k′ (5.98 d)

unde s-a introdus notatia:

Eσ = Ed + U 〈nd,−σ〉 (5.99)

Din ecuatiile (5.98) obtinem:

Gσd,d(ω) =

ω − Eσ −

∑

~k

|Vkd|2ω − ε~k

−1

(5.100)

Ultimul termen se aproximeaza prin:

∑

~k

|Vkd|2ω − ε~k

= ∆Ed − i∆ (5.101)

unde ∆Ed este partea principala a sumei (dupa transformarea ω → ω + iδ) sireprezinta o modificare a energiei orbitalului, cu o valoare constanta. ∆ estelargimea nivelului si se exprima prin:

∆ = π⟨|Vkd|2

⟩N(ω) (5.102)

unde N(ω) =∑

~kδ(ω − ε~k) va fi aproximata prin valoarea ei la nivelul Fermi,

iar medierea se refera la starile electronice de vector de unda ~k. Forma utilaa functiei Green (5.100) este:

Gσd,d(ω) =

1ω − Eσ + i∆

(5.103)

iar densitatea de stari Nd,σ(ω) este:

Nd,σ(ω) =1π

∆(ω − Eσ)2 + ∆2

(5.104)

Numarul de spini cu cele doua orientari posibile se calculeaza folosind rezul-tatul de mai sus, avand imediat:

〈nd,σ〉 =1π

∫ εF

−∞dω

∆(ω −Eσ)2 + ∆2

=1π

arccotEσ − εF

∆(5.105)


Din aceasta ecuatie se obtine:

cotπ 〈nd,↑〉 =1∆

(Ed − εF + U 〈nd,↓〉) (5.106 a)

cotπ 〈nd,↓〉 =1∆

(Ed − εF + U 〈nd,↑〉) (5.106 b)

Aceste ecuatii au solutia triviala:

〈nd,↑〉 = 〈nd,↓〉 = nd (5.107)

ın care nu exista moment magnetic. Prin cresterea raportului U/∆ aceastasolutie devine instabila si vom avea o solutie 〈nd,↑〉 6= 〈nd,↓〉, daca:

U

∆≥ π

sin2(πnd)(5.108)

relatie care este echivalenta cu:

Nd(εF )U ≥ 1 (5.109)

similara cu instabilitatea Stoner. Relatia (5.109) se obtine prin aproximareadensitatii de stari (5.104) cu o functie delta, ceea ce este valabil la ∆ → 0,adica Vkd → 0.

Aparitia momentelor magnetice localizate, conditionata de relatia (5.108),este puternic afectata de corelatiile electron-gol. Acest efect a fost studiat deSchrieffer si Mattis [22], ın aproximatia matricii t. In acest caz, functia Green(5.103) are forma:

Gσd,d(ω) =

1ω −Eσ + i∆− Σσ(ω)

(5.110)

unde self-energia Σσ(ω) este exprimata prin (folosind o notatie simplificatapentru functia Green):

Σσ(ω) =∫

dz

2πit(ω + z) G−σ(z) (5.111)

Marimea t(z) este cunoscuta ın teoria ciocnirilor ca ”matricea t”, ın acest cazdescriind ciocnirea electron-gol pentru electronii d. In aproximatia ”ladder”,aceasta marime satisface ecuatia integrala:

t(ω) = U + iU

∫dz

2πG↑(z + ω) G↓(−z) t(ω) (5.112)


care are solutia:

t(ω) =U

1 + U Φ(ω)(5.113)

unde Φ(ω) se obtine din:

Φ(ω) =∫

dz

2πiG↑(z + ω) G↓(−z) (5.114)

In limita ω → 0, din ecuatia (5.114) se obtine:

Im Φ(ω → 0) = 0

si:

Re Φ(ω → 0) =1

πωarctan

ω

∆(5.115)

Folosind acest rezultat putem defini o interactie efectiva Uef , prin Uef = t(0),care este:

Uef =U

1 + Uπω arctan ω

∆

(5.116)

iar conditia (5.109) devine acum:

Nd(εF )Uef ≥ 1

Valoarea maxima a interactiei efective (5.116) este:

Umaxef =

πω

arctan ω∆

(5.117)

Comparand ecuatiile (5.116) si (5.117), avem:

Uef < Umaxef (5.118)

relatie care este echivalenta cu:

Nd(εF )Uef <x

1 + x2

1arctanx

< 1 (5.119)

cu x = ω/∆. Relatia (5.119) arata ca momentele magnetice localizate, nuapar, nici la o interactie U foarte mare, daca se considera efectul corelatiilorelectron-gol ın limita densitatilor electronice mici. Acest efect, care ın cazulunor aliaje poate fi important, explica motivul comportarii magnetice diferitea acestor tipuri de aliaje diluate.

Capitolul 6

Supraconductibilitatea

6.1 Introducere

Fenomenul de supraconductibilitate a fost descoperit ın anul 1911 de catre K.Onnes la Universitatea Leiden din Olanda [23]. La o temperatura de aprox-imativ 4 K mercurul, a carui stare normala este de tip metalic, prezinta otransformare de faza ın urma careia proprietatile sale fizice se schimba rad-ical. Identificata initial prin lipsa rezistentei electrice, aceasta stare fizicaa sistemelor metalice a fost denumita sugestiv, stare supraconductoare.Tranzitia de faza de la starea metalica la starea supraconductoare este carac-terizata de o temperatura critica Tc si este o tranzitie de faza de ordinul aldoilea, adica caldura specifica a materialului sufera o discontinuitate la tre-cerea din faza metalica ın cea supraconductoare.

O noua perspectiva asupra starii supraconductoare, observate ın diferitesisteme metalice, a fost introdusa ın anul 1933 cand prin intermediul experi-mentelor magnetice, Meissner si Ochsenfeld [24], au demonstrat ca fluxul mag-netic este expulzat total din sistemele fizice supraconductoare, cu exceptiaunei regiuni de la suprafata materialului, ceea ce implica faptul ca stareasupraconductoare este o stare diamagnetica perfecta. Astfel, o definitie maicorecta a starii supraconductoare implica atat lipsa rezistentei electrice catsi existenta unei stari diamagnetice perfecte. Odata cu dezvoltarea tehni-

167

168 SUPRACONDUCTIBILITATEA

cilor experimentale, alte proprietati fizice anomale au fost puse ın evidentaın sistemele supraconductoare. Un experiment foarte important din punct devedere al dezvoltarii unei teorii unitare a starii supraconductoare ın materialemetalice, a fost realizat ın anul 1950, si a avut ca rezultat principal punerea ınevidenta a efectului izotopic. Masurand temperatura critica de tranzitie pen-tru diferiti izotopi ai aceluiasi metal, s-a demonstrat ca valoarea temperaturiicritice caracteristice tranzitiei metal–supraconductor depinde de masa izotop-ului considerat, ın forma TcM

−1/2 = const., M fiind masa atomica a izotopului[25]. Faptul ca tranzitia metal–supraconductor este de ordinul al doilea a fostdemonstrat direct prin masuratori de caldura specifica. Acelasi experimenta demonstrat ca la temperaturi joase dependenta de temperatura a calduriispecifice ın faza supraconductoare este de tip exponential [10], rezultat careeste consistent cu ideea de existenta a unei benzi energetice interzise (gap) ınspectrul energetic caracteristic excitatiilor din starea supraconductoare.

Pe langa eforturile destinate ıntelegerii starii supraconductoare, un efortsustinut a fost ındreptat spre descoperirea si dezvoltarea de noi materialesupraconductoare cu o temperatura critica de tranzitie cat mai ridicata. Mer-curul devine supraconductor la Tc = 4, 15 K. Pana ın anul 1953 temperaturacritica a atins valoarea Tc = 17, 1 K ın compusi de tipul vanadiu–siliciu (V3S).Prima aplicatie practica a fost un fir supraconductor realizat dintr-un aliajniobiu–titan cu o temperatura critica Tc = 9, 8 K. Toate aceste materiale,a caror temperatura critica este mai mica decat 30 K, constituie clasa ma-terialelor supraconductoare standard, a caror stare normala este de tip met-alic. Temperatura de 30 K se considera a fi limita superioara posibila pentruexistenta starii supraconductoare. Aceasta bariera a fost depasita ın anul2001, cand starea supraconductoare a fost demonstrata ın compusul MgB2 cuo temperatura critica de Tc = 39 K. Acest compus prezinta deasemenea o starenormala de tip metalic.

In anul 1979 starea supraconductoare a fost pusa ın evidenta ıntr-o clasadiferita de materiale, cunoscuta sub numele de heavy fermions, ın care stareanormala nu este de tip metalic. Compusul cu cea mai mare temperatura criticaın clasa heavy fermions este CeRu2, cu o valoare Tc = 6 K. Clasa materi-

6.1 Introducere 169

alelor supraconductoare atipice sau anomale fusese pusa ın evidenta. Inanii ce au urmat, clasa supraconductorilor anomali s-a ımbogatit treptat cunoi reprezentanti. In 1980 a fost sintetizat primul supraconductor organic,(TMTSF)2PF6, a carui temperatura critica este de Tc = 1, 2 K ın prezentaunei presiuni ridicate. Materialele fulerene au fost incluse ın clasa supracon-ductorilor anomali ın anul 1985, temperatura critica maxima pentru aceastacategorie fiind Tc = 117 K ın cazul doparii compusului C60 cu CHBR3. Dinclasa supraconductorilor anomali mai fac parte si borocarbonatii (descoperitiın anul 1993) cu o temperatura critica maxima Tc = 23 K ın cazul compusuluiYPd2B2C.

In categoria materialelor supraconductoare anomale o clasa aparte estecea a perovskitilor, materiale ceramice ce prezinta plane CuO ın structura lor.Primul material supraconductor din aceasta categorie a fost descoperit ın 1986cand Bednorz si Muller [26] au aratat ca sistemul La1.85Ba0.15CuO4 devinesupraconductor la Tc = 35 K. Ceea ce a facut aceasta descoperire extrem deimportanta este faptul ca astfel de materiale sunt ın mod normal izolatori. Inprezent, clasa perovskitilor detine recordul absolut pentru temperatura critica,Tc = 138 K ın cazul compusului Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33.

Din punct de vedere teoretic, caracterizarea materialelor supraconduc-toare, mai ıntai cele standard si mai pe urma cele anomale, a reprezentato importanta directie de studiu pentru fizica materiei condensate. Ceea ce afost clar de la ınceput, a fost natura cuantica a starii supraconductoare. Primulpas important ın elucidarea si elaborarea unei teorii a starii supraconductoarea fost facut de catre Frohlich [27], care a indicat interactiunea electron–fononca stand la baza mecanismului supraconductibilitatii, o ipoteza ın perfectaconcordanta cu existenta efectului izotopic. Elaborarea unui model teoreticcomplet pentru descrierea starii supraconductoare ın materiale metalice a fostfinalizata de catre Bardeen, Cooper si Schrieffer (BCS) [28]. Cunoscuta si subnumele de teoria BCS, descrierea starii supraconductoare ın sisteme metalicese bazeaza pe existenta perechilor electronice. Aceasta teorie a fost finalizatala 45 de ani de la descoperirea starii supraconductoare ın mercur. Pe langa suc-cesul teoriei la descrierea proprietatilor fizice corespunzatoare starii supracon-


ductoare, aceasta a demonstrat, ınca odata daca mai era nevoie, importantamecanicii cuantice ın ıntelegerea corecta a fenomenelor din fizica materiei con-densate.

Dupa cum mentionam anterior, o categorie aparte de materiale supracon-ductoare o reprezinta materialele supraconductoare anomale. Datorita com-plexitatii fenomenelor fizice ce caracterizeaza aceste materiale, teoria BCS nudescrie corect starea supraconductoare a acestora. Mai mult, pentru acestemateriale, descrierea starii normale este complicata, teoria lichidului Fermi,folosita ın descrierea starii metalice, fiind insuficienta. Datorita temperaturiilor critice foarte ridicate, perovskitii reprezinta clasa de materiale cea mai stu-diata ın fizica materiei condensate. La sfarsitul acestui capitol, ıntr-o sectiunespeciala vom ıncerca sa punctam cele mai importante anomalii ıntalnite ıncazul acestor compusi.

6.2 Interactiunea electron–fonon

Dupa cum am mentionat ın intoducerea acestui capitol, putem clasifica ma-terialele supraconductoare ın doua grupuri distincte. Teoria dezvoltata decatre Bardeen, Cooper si Schrieffer descrie corect starea supraconductoare amaterialelor ce fac parte din prima categorie. Din primul grup, cel al supracon-ductorilor a caror stare normala este una de tip metalic, fac parte materialeprecum mercurul, aluminiul, titanul, dar si aliaje ale niobiului, vanadiului,etc. In cazul acestor compusi starea normala de tip metalic este descrisade teoria Landau a lichidului Fermi, iar starea ordonata, supraconductoare,este descrisa de teoria BCS. Varianta originala a teoriei BCS se bazeaza peo metoda variationala pornind de la functia de unda a perechii electronice cecaracterizeaza starea supraconductoare a acestor materiale. In cele ce urmeazavom prezenta o teorie echivalenta teoriei BCS bazata pe formalismul functiilorGreen.

Datele experimentale obtinute ın cazul supraconductorilor standard indicafaptul ca principala schimbare ın proprietatile fizice ale sistemului este legatade gazul electronic. Astfel, formularea BCS a teoriei supraconductibilitatii se

6.2 Interactiunea electron–fonon 171

bazeaza pe o stare fundamentala construita prin corelarea perechilor electron-ice de tip singlet, (~k ↑,−~k ↓), caracterizate de un impuls total nul. Primaıntrebare caruia trebuie sa-i raspundem este legata de natura interactiuniicare duce la formarea perechilor electronice (perechi Cooper). Intr-un gazelectronic simplu, ın care avem doar o interactiune de tip coulombian ıntreelectronii constituienti, astfel de perechi nu se pot forma. Pentru a obtine ointeractiune electron–electron atractiva, electronii constituienti trebuie sa fiecuplati la un alt sistem de particule prezent ın materialele solide. In general ınsistemele solide exista o multitudine de interactiuni ın care gazul electronic esteimplicat, de exemplu interactiunea cu fononii, cu undele de spin, cu electroniidin alte benzi de conductie, cu modurile colective, dar ın cazul supraconducto-rilor standard, datele experimentale conduc spre o singura interactiune impor-tanta, si anume interactiunea electron–fonon. Relevanta acestei interactiunieste direct indicata de efectul izotopic, care se rezuma la dependenta temper-aturii critice supraconductoare de masa fononilor din sistemul fizic.

In cele ce urmeaza vom prezenta un calcul simplu, care ın final va demon-stra cum o interactiune electron–fonon poate duce la o interactiune atractivaelectron–electron, si deci la formarea perechilor electronice. Sa pornim de laa considera urmatorul hamiltonian:

H = H0 + Hint , (6.1)

unde H0 descrie sistemul electronic liber, iar Hint descrie interactiunea dintreelectroni si fononi. Forma termenului de interactiune este:

Hint =∑

~k, ~q

A~q c†~k+~qc~k

(a~q + a†−~q

). (6.2)

In aceasta expresie, a~q si a†~q reprezinta operatorii de anihilare, respectiv crearea excitatiilor fononice, c~k

si c†~k reprezinta operatorii de anihilare, respectivcreare a excitatiilor electronice, iar A~q reprezinta transformata Fourier a con-stantei de cuplaj electron–fonon, caracterizata de relatia A~q = A∗−~q . In celece urmeaza vom trata interactiunea electron–fonon perturbativ.

Pornim de la solutia exacta a sistemului de electroni liberi:

H0 |ψ0〉 = E0 |ψ0〉 , (6.3)


|ψ0〉 fiind functia de unda corespunzatoare starii fundamentale a hamiltonian-ului liber H0. Ecuatia Schrodinger corespunzatoare hamiltonianului total alsistemului electron–fonon poate fi scrisa ın mod similar:

H |ψ〉 = E |ψ〉 , (6.4)

unde |ψ〉 reprezinta functia de unda corespunzatoare starii fundamentale ahamiltonianului total. Relatia dintre cele doua stari fundamentale poate figasita daca introducem operatorul unitar U , definit de relatia:

U |ψ0〉 = |ψ〉 , (6.5)

care ımpreuna cu ecuatia (6.4) conduce la relatia:

H |ψ0〉 = E |ψ0〉 , (6.6)

unde H = U−1HU . Daca rescriem U folosind un operator hermitic S caU = eS , folosind relatia:

eLAe−L = A + [L,A] +12[L, [L,A]] + . . . ,

H devine:

H = H0 + Hint + [H0, S] + [Hint, S] +12[[H0, S], S] + . . . . (6.7)

Sa consideram ca S este proportional cu (A~q)1 ıntr-un mod similar cu Hint.Toti termenii proportionali cu (A~q)1 continuti ın H descriu ımprastierea elec-tronilor de catre impuritati, avand ca rezultat final fenomenul de rezistivitateelectrica ın metale. Daca ınsa ne intereseaza termenii superiori ai interactiuniiın cazul cand termenul de ordinul ıntai este absent, putem discuta efectulacestora impunand conditia:

Hint + [H0, S] = 0 . (6.8)

Considerand doar termenii proportionali cu (A~q)2, obtinem:

H = H0 +12[Hint, S] . (6.9)

6.2 Interactiunea electron–fonon 173

In mod natural, cel de-al doilea termen ın acest hamiltonian renormatva descrie deasemenea o interactiune de tip electron–electron ca rezultat alinteractiunii initiale electron–fonon. Cum exact acest lucru ne intereseaza,ın cele ce urmeaza vom considera ın detaliu acest termen. O interactiune detip electron–electron va contine doar operatori corespunzatori excitatiilor detip electronic, ceea ce face un avantaj din a media termenul de interactiuneal hamiltonianului renormat pe starea fundamentala fononica,

∣∣0~q

⟩. Core-

spunzator vom obtine:

H ′2 =

12

⟨0~q|[Hint, S]|0~q

⟩

=12

⟨0~q|HintS|0~q

⟩− 12

⟨0~q|SHint|0~q

⟩, (6.10)

relatie care, folosind operatorul unitar∑

~q

∣∣1~q

⟩ ⟨1~q

∣∣, poate fi rescrisa astfel:

H ′2 =

12

∑

~q

⟨0~q|Hint|1~q

⟩ ⟨1~q|S|0~q

⟩− 12

∑

~q

⟨0~q|S|1~q

⟩ ⟨1~q|Hint|0~q

⟩. (6.11)

In aceasta ecuatie elementele de matrice⟨0~q|Hint|1~q

⟩si

⟨1~q|Hint|0~q

⟩pot

fi calculate exact, deoarece forma hamiltonianului de interactiune Hint estecunoscuta. Celelalte elemente de matrice vor fi evoluate folosind conditia(6.8), mediata pe doua stari aleatorii 〈n| si |m〉. Folosind aceasta proceduraobtinem:

〈n|Hint|m〉+∑p

〈n|H0|p〉〈p|S|m〉 −∑p

〈n|S|p〉〈p|H0|m〉 = 0 . (6.12)

Cum H0 |m〉 = Em |m〉, se poate arata usor ca:

〈n|S|m〉 =〈n|Hint|m〉Em − En

. (6.13)

Corespunzator obtinem:

⟨1~q|S|0~q

⟩=

∑

~k,~q′A~q′c

†~k+~q′

c~k

δ~q,−~q′

ε~k − ε~k+~q′ − ω~q′

=∑

~k

A−~q c†~k−~qc~k

1ε~k − ε~k−~q

− ω~q, (6.14)


unde ε~k = k2/2m−εF reprezinta energia electronului liber raportata la nivelulFermi, iar ω~q reprezinta frecventa de oscilatie caracteristica a fononului. Aldoilea element de matrice poate fi scris sub forma:

⟨0~q|Hint|1~q

⟩=

∑

~k′,~q′A~q′ c†~k′+~q′

c~k′

[⟨0~q|a~q′ |1~q

⟩+

⟨0~q|a†−~q′

|1~q

⟩]

=∑

~k′,~q′A~q′ c†~k′+~q′

c~k′ δ~q′,~q =∑

~k′A~q c†~k′+~q

c~k′ . (6.15)

Intr-un mod similar:⟨0~q|S|1~q

⟩=

∑

~k

A~q c†~k+~qc~k

1ε~k − ε~k+~q

+ ω~q(6.16)

si ⟨1~q|Hint|0~q

⟩=

∑

~k′A−~q c†~k′−~q

c~k′ . (6.17)

Folosind aceste elemente de matrice, dupa cateva operatii simple ecuatia (6.11)devine:

H ′2 =

12

∑

~k,~k′,~q

2ω~q|A~q|2(ε~k − ε~k−~q

)2 − ω2~q

c†~k′+~qc†~k−~q

c~kc~k′ . (6.18)

Acest hamiltonian reprezinta interactiunea efectiva electron–electron, bazatape schimbul unui fonon virtual cu impuls ~q. O analiza simpla a acestui termenarata ca interactiunea electron–electron devine atractiva ın cazul ın care

∣∣∣ε~k − ε~k−~q

∣∣∣ < ωD , (6.19)

relatie ın care am considerat frecventa caracteristica corespunzatoare fononuluide ordinul frecventei Debye.

6.3 Perechi Cooper

Pentru rezolvarea problemei perechii Cooper vom folosi ecuatia lui Schrodingerın reprezentarea impulsului. Forma acestei ecuatii se obtine pornind de laecuatia Schrodinger temporala (h = 1):

i∂

∂tψ(~r, t) =

[~p 2

2m+ V (~r, t)

]ψ(~r, t) , (6.20)

6.3 Perechi Cooper 175

unde ψ(~r, t) este functia de unda ın reprezentarea coordonatei. Ecuatia (6.20)poate fi rescrisa ın reprezentarea impulsurilor folosind procedura standard: seınmultesc mai ıntai ambii membrii ai ecuatiei cu e−i~p~r/(2π)3/2, iar apoi acestiase integreaza dupa coordonate. Rezultatul,

i∂

∂tΦ(~p, t) =

~p 2

2mΦ(~p, t) +

∫d~p′ Φ(~p′, t) V (~p− ~p′, t) (6.21)

reprezinta ecuatia lui Schrodinger ın reprezentarea impulsului. In ecuatia(6.21) sau folosit notatiile

Φ(~p, t) = (2π)−3/2∫

d~r e−i~p~rψ(~r, t) (6.22)

si

V (~p− ~p′, t) = (2π)−3∫

d~r e−i(~p−~p′)~r V (~r, t) , (6.23)

reprezentand transformatele Fourier ale functiei de unda si potentialului deinteractiune. In cazul starilor stationare, potentialul de interactiune nu de-pinde de coordonata temporala, V (~r, t) ≡ V (~r), iar ecuatia (6.21) admitesolutii de forma separabila:

Φ(~p, t) = Φ(~p) e−iEt . (6.24)

Folosind aceasta functie de unda ın ecuatia Schrodinger, obtinem

E Φ(~p) =~p 2

2mΦ(~p) +

∫d~p′ Φ(~p′) V (~p− ~p′) (6.25)

unde

V (~p− ~p′) =1

(2π)3

∫d~r e−i(~p−~p′)~r V (~r) . (6.26)

Ecuatia (6.25) reprezinta o ecuatie integrala a carei solutie este greu de gasitın cazul ın care forma potentialului de interactiune este complicata.

Sa consideram ın continuare cazul special al perechilor electron-electron.Pentru aceasta vom considera un sistem Fermi la T = 0 K, caruia ıi adaugamdoi electroni suplimentari, caracterizati de impulsuri opuse si spini antiparaleli.Electronii vor fi considerati ın apropierea suprafetei Fermi, interactionand


printr-un potential slab de tip atractiv. In consecinta, functia de unda atasataperechii, Φ(~p), va fi solutia ecuatiei

E Φ(~p) = 2p2

2mΦ(~p) +

∫d~p′ Φ(~p′) V (~p− ~p′) , (6.27)

ın cazul p > pF . Evident, pentru p < pF , avem Φ(~p) = 0. In continuare vomintoduce notatia ε~p = p2/m, iar pentru potentialul atractiv V (~p − ~p′) vomconsidera urmatorul model

V (~p− ~p′) =

−V ; ε~p − εF , ε~p′ − εF < ωD

0 ; ın rest, (6.28)

unde ωD reprezinta energia Debye, iar εF energia Fermi asociata sistemuluifermionic. Pe baza acestor simplificari, ecuatia (6.27) devine

E Φ(~p) = ε~p Φ(~p)− V

∫d~p′ Φ(~p′) . (6.29)

In cel de-al doilea termen din partea dreapta a egalitatii este convenabila tre-cerea de la integrala dupa variabile de impuls, la o integrala dupa variabileenergetice, trecere care se poate face prin introducerea densitatii de stari en-ergetice. Astfel,

∫d~p′ Φ(~p′) '

∫ 2εF +2ωD

2εF

dε~p′N(ε) Φ(ε~p′) . (6.30)

Cum intervalul energetic considerat [2εF , 2εF +2ωD] este suficient de ıngust,dependenta energetica a densitatii de stari poate fi neglijata, N(ε) ≈ N(0),N(0) reprezentand densitatea de stari energetice la nivelul Fermi. Daca intro-ducem notatia ∫ 2εF +2ωD

2εF

dε~p′ Φ(ε~p′) = Λ , (6.31)

ecuatia (6.29) admite solutia

Φ(ε~p) =N(0)V Λε~p −E

. (6.32)

Astfel obtinem ∫ 2εF +2ωD

2εF

dε~p′N(0)V Λε~p′ −E

= Λ , (6.33)

6.4 Limita cuplajului slab. Ecuatiile Gorkov 177

ecuatie ce permite calculul valorii energiei perechii Cooper ca fiind

E = 2εF − 2ωD

e1/λ − 1, (6.34)

unde λ = N(0)V reprezinta constanta de cuplaj. In cazul unei interactiunislabe, λ → 0+, e1/λ − 1 ' e1/λ, si deci energia perechii Cooper poate fi scrisasub forma

E ' 2εF − 2ωD e−1/λ . (6.35)

Daca interactiunea dintre cei doi electroni aflati la suprafata Fermi se negli-jeaza (λ = 0), energia ”perechii” devine

E′ = E(λ = 0+) ' 2εF . (6.36)

Imediat observam ca ın prezenta interactiunii atractive, energia perechii elec-tronice este mai mica decat ın absenta interactiunii, E < E′, starea descrisade ecuatia (6.35) fiind mai stabila din punct de vedere energetic decat stareacorespunzatoare electronilor liberi. Concluzionand, ın prezenta unei interactiiatractive slabe, gazul Fermi se destabilizeaza, trecand ıntr-o stare fundamen-tala noua si diferita, starea cu perechi Cooper, mai favorabila din punct devedere energetic. Energia de legatura a perechii are valoarea:

∆0 = |E − E′| ' 2ωD e−1/λ . (6.37)

6.4 Limita cuplajului slab. Ecuatiile Gorkov

In aceasta sectiune vom prezenta varianta teoriei BCS prezentata de catreGorkov [29], ıntr-un formalism bazat pe folosirea functiilor Green.

Forma generala ın cazul ansamblului macrocanonic a hamiltonianului cedescrie starea supraconductoare este:

K =∫

d3~rψ†σ(~r)

[− h2∇

2m− µ

]ψσ(~r)− 1

2V

∫d3~rψ†↓(~r)ψ

†↑(~r)ψ↑(~r)ψ↓(~r) ,

(6.38)


ψσ(~r) reprezintand operatorii de camp fermionici, ce se supun urmatoarelorreguli de anticomutare

ψσ(~r), ψ†σ′(~r′)

= δσσ′δ(~r − ~r′)

ψσ(~r), ψσ′(~r′)

=

ψ†σ(~r), ψ†σ′(~r′)

= 0 . (6.39)

Primul termen din partea dreapta a ecuatiei (6.38) descrie gazul electronicliber, ın timp ce cel de-al doilea termen descrie interactia atractiva electron–electron. Hamiltonianul prezentat ın ecuatia (6.38) neglijeaza efectele legate deımprastierea particulelor, termenul de interactiune considerat fiind responsabildoar de formarea perechilor electronice. Cea mai simpla aproximatie pe careo putem folosi, este aproximatia de camp mediu, aproximatie ın care termenulde interactiune poate fi scris sub forma:

12V

∫d3~rψ†↓(~r)ψ

†↑(~r)ψ↑(~r)ψ↓(~r) ∼=

V

∫d3~r

[⟨ψ†↓(~r)ψ

†↑(~r)

⟩ψ↑(~r)ψ↓(~r) + ψ†↓(~r)ψ

†↑(~r)

⟨ψ↑(~r)ψ↓(~r)

⟩].(6.40)

Caracteristica principala a starii fumdamentale supraconductoare este for-marea perechilor electronice, astfel ıncat valori medii de tipul < ψ↑(~r)ψ↓(~r) >

sau < ψ†↓(~r)ψ†↑(~r) > nu se vor anula, ca ın cazul gazului electronic liber.

In continuare introducem operatorii Heisenberg:

ψ~k↑(~rτ) = eKτ/hψ↑(~r)e−Kτ/h

ψ†~k↓(~rτ) = eKτ/hψ†↓(~r)e−Kτ/h , (6.41)

care, ın baza teoriei generale a operatorilor Heisenberg pentru cazul T 6= 0,satisfac urmatoarele ecuatii de miscare:

h∂ψ~k↑(~rτ)

∂τ=

[K, ψ~k↑(~rτ)

]

=∫

d3~r′eKτ/h

[ψ†σ(~r′)

(− h2∇′

2m− µ

)ψσ(~r′), ψ↑(~r)

]e−Kτ/h

−V

∫d3~r′

⟨ψ†↓(~r′)ψ

†↑(~r′)

⟩eKτ/h

[ψ↑(~r′)ψ↓(~r′), ψ↑(~r)

]e−Kτ/h


−V

∫d3~r′

⟨ψ↑(~r′)ψ↓(~r′)

⟩eKτ/h

[ψ†↓(~r′)ψ

†↑(~r′), ψ↑(~r)

]e−Kτ/h

= −∫

d3~r′δσ↑δ(~r − ~r′)

(− h2∇′

2m− µ

)eKτ/hψσ(~r′)e−Kτ/h

−V

∫d3~r′

⟨ψ↑(~r′)ψ↓(~r′)

⟩δ(~r − ~r′)ψ†↓(~r′)

= −(− h2∇

2m− µ

)ψ~k↑(~rτ)− V

⟨ψ↑(~r)ψ↓(~r)

⟩ψ~k↓(~rτ) (6.42)

si

h∂ψ†~k↓(~rτ)

∂τ=

(− h2∇

2m− µ

)ψ†~k↓(~rτ)− V

⟨ψ†↓(~r)ψ

†↑(~r)

⟩ψ~k↑(~rτ) . (6.43)

La obtinerea ecuatiilor (6.42) and (6.43) am folosit urmatoarele reguli de co-mutare, valabile ın cazul operatorilor de tip fermionic:

[AB, C] = A B,C − A,CB

ımpreuna cu relatiile de anticomutare (6.39).Cu aceste ingrediente putem defini functiile Green corespunzatoare starii

supraconductoare. Prin definitie, functia Green normala este data de expresia:

G(~rτ, ~r′τ ′) = −⟨Tτ

[ψ~k↑(~rτ)ψ†~k↑(

~r′τ ′)]⟩

, (6.44)

unde operatorul temporal Tτ asigura ordinea temporala a operatorilor, astfelıncat valoarea cea mai mica τ se va afla ın partea dreapta a expresiei; Tτ intro-duce deasemenea un factor (−1)P , P reprezentand numarul de permutatii aleoperatorilor fermionic necesare pentru a restabili ordinea originala a acestora.In cazul nostru putem scrie:

Tτ

[ψ~k↑(~rτ)ψ†~k↑(

~r′τ ′)]

=

ψ~k↑(~rτ)ψ†~k↑(~r′τ ′)θ(τ − τ ′)− ψ†~k↑(

~r′τ ′)ψ~k↑(~rτ)θ(τ ′ − τ) , (6.45)

functia θ(x) fiind definita ca:

θ(x) =

1, x > 00, x < 0

.


Folosind relatiile (6.42) si (6.43) obtinem ecuatia de miscare corespunzatoarefunctiei Green normale sub forma:

∂

∂τG(~rτ, ~r′τ ′) = − ∂

∂τ

[ψ~k↑(~rτ)ψ†~kτ

(~r′τ ′)θ(τ − τ ′)]

+∂

∂τ

[ψ†~k↑(

~r′τ ′)ψ~k↑(~rτ)θ(τ ′ − τ)]

= −∂ψ~k↑(~rτ)

∂τψ†~k↑(

~r′τ ′)θ(τ − τ ′)− ψ~k↑(~rτ)ψ†~kτ(~r′τ ′)

∂θ(τ − τ ′)∂τ

+ψ†~k↑(~r′τ ′)

∂ψ~k↑(~rτ)

∂τθ(τ ′ − τ) + ψ†~k↑(

~r′τ ′)ψ~k↑(~rτ)∂θ(τ ′ − τ)

∂τ

= −∂ψ~k↑(~rτ)

∂τψ†~k↑(

~r′τ ′)θ(τ − τ ′) + ψ†~k↑(~r′τ ′)

∂ψ~k↑(~rτ)

∂τθ(τ ′ − τ)

−ψ~k↑(~rτ), ψ†~k↑(

~r′τ ′)

δ(τ − τ ′) , (6.46)

sau

h∂

∂τG(~rτ, ~r′τ ′) = −hδ(~r−~r′)δ(τ−τ ′)−

⟨Tτ

h

∂ψ~k↑(~rτ)

∂τψ†~k↑(

~r′τ ′)

⟩. (6.47)

Introducand relatia (6.42) ın (6.47) obtinem:

h∂

∂τG(~rτ, ~r′τ ′) = − hδ(~r − ~r′)δ(τ − τ ′)−

(− h2∇

2m− µ

)G(~rτ, ~r′τ ′)

+ V⟨ψ↑(~r)ψ↓(~r)

⟩ ⟨Tτ

[ψ†~k↓(~rτ)ψ†~k↑(

~r′τ ′)]⟩

. (6.48)

In mod natural, prezenta perechilor electronice ın starea supraconductoarepermite introducerea a doua functii Green noi. Cunoscute sub numele defunctii Green anomale, acestea sunt definite prin relatiile:

F(~rτ, ~r′τ ′) = −⟨Tτ

[ψ~k↑(~rτ)ψ~k↓(

~r′τ ′)]⟩

, (6.49)

siF†(~rτ, ~r′τ ′) = −

⟨Tτ

[ψ†~k↓(~rτ)ψ†~k↑(

~r′τ ′)]⟩

. (6.50)

Pe baza acestor definitii, ecuatia de miscare corespunzatoare functiei Greennormale poate fi rescrisa:

[−h

∂

∂τ−

(− h2∇

2m− µ

)]G(~rτ, ~r′τ ′) − V

⟨ψ↑(~r)ψ↓(~r)

⟩F†(~rτ, ~r′τ ′)


= hδ(~r − ~r′)δ(τ − τ ′) . (6.51)

In cazul unui hamiltonian care nu depinde explicit de timp, functiile Greennormala si respective anomala vor depinde explicit doar de diferenta τ − τ ′,fapt care permite introducerea urmatoarei notatii:

∆(~r) ≡ V F(~rτ+, ~rτ) = −V⟨ψ↑(~r)ψ↓(~r)

⟩. (6.52)

Relatia (6.52) defineste parametrul de ordine supraconductor ∆(~r) (τ+ =limη→0(τ + η)). Folosind ecuatiile (6.51) si (6.52) obtinem:

[−h

∂

∂τ−

(− h2∇

2m− µ

)]G(~rτ, ~r′τ ′) + ∆(~r)F†(~rτ, ~r′τ ′)

= hδ(~r − ~r′)δ(τ − τ ′) . (6.53)

Folosind aceeasi procedura ca si ın cazul functiei Green normale, se potobtine dupa un calcul matematic nu foarte complicat, ecuatiile de miscarecorespunzatoare functiilor Green anomale, sub forma:

[−h

∂

∂τ−

(− h2∇

2m− µ

)]F(~rτ, ~r′τ ′) = ∆(~r)G(~rτ, ~r′τ ′) , (6.54)

[h

∂

∂τ−

(− h2∇

2m− µ

)]F†(~rτ, ~r′τ ′) = ∆∗(~r)G(~rτ, ~r′τ ′) . (6.55)

In general, determinarea functiilor Green normala si respectiv anomale sepoate face considerand doar ecuatiile (6.53) si (6.55). In principiu, hamil-tonianul ce caracterizeaza sistemul fizic este independent de timp, iar pentruo simplificare putem considera cazul unei invariante translationale. Folosindaceste presupuneri, putem introduce transformatele Fourier corespunzatoarefunctiilor Green:

G(~rτ, ~r′τ ′) =1

βh

∑n

e−iωn(τ−τ ′)∫

d3~k

(2π)3ei~k(~r−~r′)G(~k, iωn) , (6.56)

F†(~rτ, ~r′τ ′) =1

βh

∑n

e−iωn(τ−τ ′)∫

d3~k

(2π)3ei~k(~r−~r′)F†(~k, iωn) , (6.57)


unde ωn = (2n + 1)π/βh (β = 1/kBT ). Parametrul de ordine supraconductorpoate fi rescris deasemenea pe baza reprezentarii Fourier:

∆∗ =V

βh

∑n

e−iωnη∫

d3~k

(2π)3F†(~k, iωn) . (6.58)

Ecuatiile corespunzatoare functiilor Green normale si respectiv anomale, potfi scrise sub forma:

(ihωn − ξ(~k))G(~k, iωn) + ∆F†(~k, iωn) = h

(−ihωn − ξ(~k))F†(~k, iωn)−∆∗G(~k, iωn) = 0 , (6.59)

Cele doua ecuatii (6.59), cunoscute sub numele de ecuatiile Gorkov, admiturmatoarea solutie:

G(~k, iωn) =−h(ihωn + ξ(~k))

h2ω2n + ξ2(~k) + |∆|2

F†(~k, iωn) =h∆∗

h2ω2n + ξ2(~k) + |∆|2

. (6.60)

In ecuatiile (6.59) si (6.60), a fost folosita notatia ξ(~k) = h2~k2/2m − µ,reprezentand energia electronului a carui impuls este ~k relativ la valoareapotentialului chimic. Pe baza ecuatiilor (6.58) si (6.60) obtinem ecuatia gen-erala pentru definirea parametrului de ordine supraconductor:

∆∗ =V

βh

∑n

e−iωnη∫

d3~k

(2π)3h∆∗

h2ω2n + ξ2(~k) + |∆|2

. (6.61)

Sumarea dupa frecventele Matsubara se poate face exact si astfel avem:

∆∗ = V

∫d3~k

(2π)3∆∗

2√

ξ2(~k) + |∆|2tanh

√ξ2(~k) + |∆|2

2kBT. (6.62)

Aceasta ecuatie admite ın general doua solutii. Prima, ∆ = 0, corespundestarii normale, metalice, iar cea de-a doua, ∆ 6= 0, corespunde starii supra-conductoare.


6.4.1 Temperatura critica

Valoarea temperaturii critice, Tc, corespunzatoare tranzitiei din stare supra-conductoare ın starea normala, poate fi calculata foarte usor pe baza ecuatieifunctiei de gap corespunzatoare starii supraconductoare. Pentru aceasta, vomconsidera ca tranzitia de faza apare la o temperatura caracterizata de anu-larea parametrului de ordine supraconductor, ∆(Tc) = 0. Astfel, ın punctulde tranzitie putem scrie:

1V

=∫

d3~k

(2π)31

2ξ(~k)tanh

ξ(~k)2kBTc

. (6.63)

Din nou, pentru a simplifica calculele, putem introduce ın locul integrarii pevariabile de impuls, o integrare dupa variabile energetice. Pentru aceastafolosim densitatea de stari energetice, N(ξ), si regula generala:

∫d3~k

(2π)3F (ξ(~k)) =

∫dξN(ξ)F (ξ) ,

Amintindu-ne ca interactiunea electron–electron era de tip atractiv doar ınintervalul energetic definit de relatia ξ < |hωD| si folosind relatia de transfor-mare anterioara obtinem:

1N(0)V

=∫ hωD

0

dξ

ξtanh

ξ

2kBTc, (6.64)

relatie ın care N(0) reprezinta densitatea de stari energetice corespunzatoarenivelului Fermi. Valoarea integralei din partea dreapta a egalitatii poate fiobtinuta ın limita hωD À 2kBTc, folosind relatia:

∫ ∞

0

ln x

cosh2 x= ln

π

4γ,

γ fiind constanta lui Euler. Pe baza acestei identitati, dupa calcule matematicesimple, temperatura critica corespunzatoare tranzitiei din stare supraconduc-toare ın stare normala va fi data de relatia:

kBTc =2γ

πhωD exp

[− 1

N(0)V

]. (6.65)


Observam imediat dependenta valorii acestei temperaturi critice de valoareafrecventei Debye, caracteristica fononilor implicati ın existenta unei interactiide tip atractiv ıntre electronii sistemului. Mentionam aceasta dependenta laınceputul capitolului, cand pe baza masuratorilor de efect izotopic am trasconcluzia ca mecanismul starii supraconductoare este strans legat de existentamodurilor fononice. Prin definitie, valoarea efectului izotopic este caracteri-zata folosind urmatorul parametru:

α = −∂ ln Tc

∂M, (6.66)

M fiind masa atomica a ionului retelei cristaline. Utilizand ecuatia (6.65) sifaptul ca frecventa Debye depinde de masa ionica printr-o relatie de formaωD ∼ M−1/2, coeficientul izotopic ia valoarea α = 0, 5. Acest rezultat esteverificat experimental aproape pentru toti supraconductorii din clasa materi-alelor supraconductoare standard.

6.4.2 Parametrul de ordine supraconductor

In continuare ne vom ındrepta atentia spre caracterizarea starii supracon-ductoare. Dupa cum am vazut anterior, aceasta stare este caracterizata deexistenta unui parametru de ordine supraconductor, care poate fi calculat pebaza ecuatiei generale (6.62). Sa consideram mai ıntai cazul ın care temper-atura sistemului este fixata la valoarea T = 0 K. In aceasta limita argumentulfunctiei hiperbolice ın ecuatia (6.62) devine infinit, ecuatia simplificandu-se laforma:

1N(0)V

=∫ hωD

0

dξ√ξ2 + ∆2(0)

. (6.67)

Solutia ecuatiei (6.67) este imediata, putand fi scrisa sub forma:

∆(0) =hωD

sinh[

1N(0)V

] . (6.68)

In cazul cuplajului slab, N(0)V ¿ 1, obtinem:

∆(0) = 2hωD exp[− 1

N(0)V

]. (6.69)


Un alt parametru important al starii supraconductoare este R = 2∆(0)/kBTc,raportul dintre valoarea parametrului de ordine supraconductor la T = 0 Ksi valoarea temperaturii critice Tc. Pe baza ecuatiilor (6.65) si (6.69) acestraport se poate calcula ca fiind:

R =2∆(0)kBTc

= 3, 53 , (6.70)

un rezultat care este ın buna concordanta cu valorile obtinute experimental.Pentru valori finite ale temperaturii, 0 < T < Tc, forma parametrului

de ordine supraconductor poate fi obtinuta folosind ecuatiile (6.62), (6.69) sidefinitia functiei hiperbolice. Folosind aceeasi metoda ca si ın cazul calcululuivalorii temperaturii critice, vom transforma integrala dupa variabile de impulsıntr-o integrala dupa variabile energetie, obtinand:

1N(0)V

= lnhωD +

√(hωD)2 + ∆2(T )∆(T )

− 2∫ hωD

0

dξ√ξ2 + ∆2(T )

1

1 + exp[√

ξ2+∆2(T )

kBT

] . (6.71)

Partea stanga a egalitatii poate fi ınlocuita folosind rezultatul din ecuatia(6.69), si astfel:

ln∆(T )∆(0)

= −2∫ hωD

0

dξ√ξ2 + ∆2(T )

(1 + exp

[√ξ2 + ∆2(T )

kBT

])−1

. (6.72)

Integrala dupa variabile energetice din partea dreapta a ecuatiei anterioarepoate fi transformata prin introducerea unei noi variabile ξ = ∆(T ) sinh φ siurmatoarea dezvoltare ın serie:

11 + exp [x]

=∞∑

k=1

(−1)k−1 exp [−kx] .

Astfel obtinem:

ln∆(T )∆(0)

= −2∞∑

k=1

(−1)k−1∫ ∞

0dφ exp

[−k

∆(T )kBT

coshφ

]. (6.73)


Folosind definitia functiei Bassel cu argument imaginar, Kν(x):

Kν(zx) =∫ ∞

0dx exp [−z coshx] cosh νx ,

valoarea parametrului de ordine supraconductor la temperaturi finite va fisolutia urmatoarei ecuatii:

ln∆(0)∆(T )

= 2∞∑

k=1

(−1)k−1K0

(k∆(T )kBT

). (6.74)

In general, pentru o solutie exacta, ecuatia (6.74) necesita o rezolvare nu-merica. Analitic, aceasta ecuatie permite calculul parametrului de ordinesupraconductor ın limita temperaturilor joase. In aceasta limita, ∆(T ) À T ,contributia dominanta la sumarea dupa indicele k fiind datorata termenuluik = 1. Folosind aproximatiile:

ln∆(0)∆(T )

∼= ∆(0)−∆(T )∆(0)

si

K0(x) ∼=√

π

2xexp [−x] ,

dependenta de temperatura a parametrului de ordine supraconductor este datade relatia:

∆(T ) ∼= ∆(0)−√

2πkBT∆(0) exp[−∆(0)

kBT

]. (6.75)

Dupa cum ne asteptam valoarea parametrului de ordine supraconductor scadeodata cu cresterea temperaturii.

Un alt domeniu ın care dependenta de temperatura a parametrului deordine supraconductor poate fi evaluata analitic este regiunea critica din jurulpunctului critic, la valori ale temperaturii definite de relatia (Tc− T )/Tc ¿ 1.Bineınteles, prin calcul numeric, dependenta de temperatura a parametruluide ordine supraconductor ın aceast domeniu de temperaturi poate fi calculatape baza ecuatiei (6.74). In cazul unui calcul analitic, vom folosi identitatea:

tanhπx

2=

4x

π

∞∑

k=0

1(2k + 1)2 + x2

.


Folosind acest rezultat, ecuatia generala pentru calculul parametrului de or-dine supraconductor (6.61) poate fi rescrisa sub forma:

1N(0)V

= 4kBT∑ωn

∫ hωD

0

dξ

ω2n + ξ2 + ∆2(T )

, (6.76)

relatie ın care am introdus conventia h = 1. In regiunea critica valoareaparametrului de ordine supraconductor este mica, ∆(T ) → 0 cand T → Tc, siın consecinta putem folosi ın partea dreapta a ecuatiei (6.76) o dezvoltare ınserie. Astfel,

4kBT∑ωn

1ω2

k + ξ2 + ∆2(T )∼= 1

ξtanh

ξ

2kBT− 4kBT

∑ωn

∆2(T )[ω2

k + ξ2]2. (6.77)

La fel ca ın regiunea caracterizata de conditia T = 0 K, termenul de interactieva fi ınlocuit, doar ca ın regiunea critica vom folosi relatia de calcul a tempera-turii critice. Ca urmare, ecuatia pentru parametrul de ordine supraconductor,devine:

lnTc

T= 4∆2(T )kBT

∑ωn

∫ ∞

0

dξ

[ω2n + ξ2]2

. (6.78)

Inversand ordinea sumarii dupa frecventele Matsubara cu integrala dupa vari-abile energetice, dependenta de temperatura a parametrului de ordine supra-conductor ın regiunea critica va fi data de relatia:

lnTc

T=

7ζ(3)8π2

∆2(T )(kBTc)2

, (6.79)

ecuatie ın care ζ(z) reprezinta functia zeta a lui Riemann. In consecinta pentruregiunea critica, T → Tc, obtinem:

∆(T ) ∼=√

8π2

7ζ(3)kBTc

√∣∣∣∣1−T

Tc

∣∣∣∣ . (6.80)

6.4.3 Proprietati termodinamice ale starii supraconductoare

In introducerea acestui capitol mentionam comportamentul diferit al calduriispecifice electronice ın starea normala, respectiv ın starea supraconductoare.In starea normala, de tip metalic, dependenta de temperatura a caldurii


specifice este liniara, pe cand la temperaturi joase, caldura specifica depindeexponential de temperatura, indicand prezenta unei benzi de energie interziseın spectrul excitatiilor particulelor corespunzatoare starii supraconductoare.

Evaluarea caldurii specifice a unui sistem fizic oarecare se face ca derivatade ordinul doi ın raport cu temperatura a potentialului termodinamic. Astfel,pentru a evalua caldura specifica corespunzatoare starii supraconductoare, vatrebui mai ıntai sa evaluam potentialul termodinamic corespunzator acesteifaze. Pornim de la a scrie hamiltonianul total al sistemului ca o suma de doitermeni:

H = H0 + λH1 , (6.81)

limita λ → 0 corespunzand cazului unui sistem liber. Pentru evaluarea functieide partitie introducem operatorul K(λ) = K0 + λK1, cu K0 = H0 − µN siK1 = H1. In consecinta:

Zλ = exp [−βΩλ] = Tr exp[−βK(λ)

], (6.82)

unde β = 1/(kBT ), iar prin Tr(A) ıntelegem urma operatorului A. Derivandambii termeni ai egalitatii ın raport cu parametru λ, obtinem identitatea:

dΩλ

dλ= −kBT

1Zλ

dZλ

dλ. (6.83)

Pe de alta parte:

Zλ = Tr(exp

[−βK(λ)

])= Tr

(exp

[−β(K0 + λK1)

])

=∞∑

n=0

1n!

(−β)nTr(K0 + λK1

)n, (6.84)

expresie care ımpreuna cu definitia valorii medii a unui operator conduce laurmatorul rezultat:

dZλ

dλ= −β

λ< λK1 > exp [−βΩλ] . (6.85)

Folosind ecuatiile (6.83) si (6.85) obtinem:

dΩλ

dλ=

1λ

< λK1 > , (6.86)


relatie care integrata relativ la parametrul λ duce la urmatorul rezultat pentrupotentialul termodinamic:

Ω(λ)− Ω(0) =∫ λ

0

dλ′

λ′< λ′K1 > . (6.87)

Acest rezultat este cunoscut si sub denumirea de teorema Pauli.Sa consideram ın continuare cazul starii supraconductoare, si sa aplicam

teorema Pauli. Hamiltonianul starii supraconductoare ın reprezentarea celeide-a doua cuantificari poate fi scris ca:

H =∑

~kσ

ξ(~k)a†~kσa~kσ

− V∑

~k,~k′a†~k↑a

†−~k↓a−~k′↓a~k′↑ , (6.88)

unde prin definitie parametrul de ordine supraconductor poate fi calculat pebaza relatiei:

∆~k= −V

∑

~k′< a−~k′↓a~k′↑ > . (6.89)

Urmand procedura standard aplicata ın cazul teoremei Pauli, obtinem:

Ωs − Ωn =∫ ∆

0d∆′d

(1V

)

d∆′ ∆′2 . (6.90)

Acest rezultat permite calculul diferentei dintre potentialele termodinamicecorespunzatoare starii supraconductoare si starii normale, la diferite valori aletemperaturii.

Vom considera ın cele ce urmeaza doua domenii de temperatura diferite.Mai ıntai vom lucra ın limita temperaturilor joase. In apropierea valorii T = 0K ecuatia generala pentru parametrul de ordine supraconductor (6.74) poatefi modificata folosind valoarea acestuia la T = 0 K astfel:

1N(0)V

= ln2hωD

∆(T )− 2

∞∑

k=1

(−1)k−1K0

(k∆(T )kBT

). (6.91)

Folosind relatia:K ′

0(x) = −K1(x) ,

ımpreuna cu teorema Pauli, obtinem:

Ωs−Ωn ' π2N(0)3

T 2−N(0)

∆2(0)

2+

√2π∆3(0)T exp

[−∆(0)

T

]. (6.92)


Cum primul termen din partea dreapta a egalitatii (6.92) conduce la valoareacaldurii specifice ın starea normala, putem identifica caldura specifica ın stareasupraconductoare ca fiind:

Cs(T ) = 2N(0)

√2π∆5(0)

T 3exp

[−∆(0)

T

], (6.93)

rezultat ın buna concordanta cu datele experimentale obtinute ın cazul supra-conductorilor standard.

In cazul regiunii critice, folosind ecuatia generala (6.76) ımpreuna cu faptulca parametrul de ordine supraconductor ın aceasta regiune este foarte mic,obtinem:

d(

1V

)

d∆= −2N(0)∆(T )

7ζ(3)8π2(kBTc)2

, (6.94)

si deci:

Ωs − Ωn = −12

7ζ(3)8π2(kBTc)2

∆4(T ) . (6.95)

Folosind ecuatiile (6.80) si (6.95) saltul caldurii specifice ın punctul critic poatefi obtinut folosind relatia de definitie Cv = −T (∂2Ω/∂T 2):

Cs − Cn|T=Tc=

87ζ(3)

N(0)π2k2BTc . (6.96)

Datorita faptului ca acest salt are o valoare finita, tranzitia de faza normal–supraconductor este o tranzitie de faza de ordinul al doilea. In cazul stariinormale caldura specifica poate fi calculata ın cadrul teoriei lichidului Fermi cafiind Cn(T ) = (2π2/3)k2

BN(0)T . Astfel, combinand acest rezultat cu ecuatia(6.96), obtinem:

Cs(Tc)− Cn(Tc)Cn(Tc)

= 1, 43 . (6.97)

6.4.4 Ecuatia Ginzburg-Landau

Existenta teoremei Pauli permite evaluarea potentialul termodinamic core-spunzator starii supraconductoare si proprietatile caldurii specifice. Din punctde vedere termodinamic, pe langa caldura specifica, starea supraconductoareeste caracteizata si de alti parametrii. In continuare vom introduce acesti


parametrii si vom discuta o metoda diagramatica de evaluare a acestora,pornind de la evaluarea coeficientilor Ginzburg-Landau.

In introducerea acestui capitol am mentionat faptul ca o importanta de-osebita ın definitia starii supraconductoare o are componenta magnetica. Con-form efectului Meissner, sistemele supraconductoare sunt diamagneti perfecti,adica fluxul magnetic este expulzat ın totalitate din materialul supraconduc-tor. Implicit, daca campul magnetic aplicat este suficient de puternic, ın interi-orul probei campul magnetic devine uniform, iar starea supraconductoare estedistrusa. Valoarea campului exterior la care apare acest fenomen se numestevaloare critica si se noteaza de obicei prin Hc. Pe de alta parte, un campmagnetic slab, H < Hc, nu poate varia discontinuu la suprafata materialu-lui supraconductor, ci ıl va penetra pana la o adancime finita, cunoscuta subnumele de lungime de penetrare, λ. Un alt parametru important, caracteris-tic starii supraconductoare este lungimea de coerenta, ξ, asociata cu distantamedie dintre doi electroni ce formeaza o pereche Cooper. In cele ce urmeazavom prezenta metoda de calcul a acestor parametrii, punand accent pe cal-culul dependentei de temperatura a acestora. Calculul acestor parametrii afost facut initial pe baza unei teorii fenomenologice de catre Ginzburg si Lan-dau [30], teorie care considera tranzitia metal–supraconductor o tranzitie defaza de speta doua. Aceeasi coeficienti au fost calculati de catre Gorkov [31]folosind o teorie microscopica pentru a descrie un material supraconductoraflat ın camp magnetic, la temperaturi ın regiunea critica. Cele doua evaluariale parametrilor starii supraconductoare au generat rezultate identice.

Vom considera cazul unui supraconductor descris de ecuatiile Gorkov. Inteoria tranzitiilor de faza de speta a doua, diferenta dintre energia libera core-spunzatoare starii supraconductoare si respectiv starii normale poate fi scrisaastfel:

Fs − Fn = A|∆~q|2 + q2C|∆~q|2 +B

2|∆~q|4 , (6.98)

indicele s fiind asimilat starii supraconductoare, indicele n celei normale, ∆~q

este transformata Fourier a parametrului de ordine supraconductor, iar A,B, C coeficientii Ginzburg-Landau. Folosind metoda diagramelor Feynmann,


acesti coeficienti pot fi calculati pe baza urmatoarelor relatii:

A ≡ 1V− T

∑n

∫d3~k

(2π)3[G(~k, iωn)G(−~k,−iωn)

+ F(~k, iωn)F(−~k,−iωn)]

, (6.99)

B ≡ Tc

∑n

∫d3~k

(2π)3[G(~k, iωn)G(−~k,−iωn)

+ F(~k, iωn)F(−~k,−iωn)]2

, (6.100)

iar C este coeficientul termenului q2|∆~q|2 ın dezvoltarea Taylor a urmatoareiexpresii:

−Tc

∑n

∫d3~k

(2π)3

[G(~k +

~q

2, iωn)G(−~k +

~q

2,−iωn)

+ F(~k +~q

2, iωn)F(−~k +

~q

2,−iωn)

]. (6.101)

In ecuatiile anterioare, G(~k, iωn) si F(~k, iωn) reprezinta functiile Green nor-mala si anomala corespunzatoare starii supraconductoare, iar prin V am notatvaloarea absoluta a interactiunii atractive electron-electron asociate aparitieistarii supraconductoare. In general, pentru evaluarea coeficientului A, val-oarea interactiei se ınlocuieste din formula temperaturii critice de tranzitie.Obtinem astfel:

A = N(0)T − Tc

Tc, (6.102)

Tc fiind valoarea temperaturii critice de tranzitie, iar N(0) valoarea densitatiide stari energetice la nivelul Fermi pentru gazul electronic liber. Ceilalticoeficienti, B si C, pot fi calculati prin evaluarea expresiilor ce intervin ındefinirea lor diagramatica. Obtinem:

B =7ζ(3)N(0)

8π2T 2c

, (6.103)

si

C =7ζ(3)v2

F N(0)32π2T 2

c

, (6.104)


ζ(z) fiind functia zeta a lui Riemann, iar vF viteza Fermi. Dupa cum neasteptam, conform teoriei tranzitiilor de faza de speta doua, conditia A = 0implica faptul ca sistemul se afla ın punctul critic. Deasemenea, coeficientii B

si C depind ın mod uniform de temperatura acest lucru permitand calculullor ın punctul T = Tc.

Cunoasterea coeficientilor Ginzburg-Landau permite calculul parametrilorcorespunzatori starii supraconductoare. Valoarea lungimii de coerenta, ξ(T ),la o anumita temperatura este data de relatia:

ξ(T ) =

√−C

A= 0, 74

ξ(0)√1− T/Tc

, (6.105)

unde ξ(0) = 0, 18 vF /Tc reprezinta lungimea de coerenta la T = 0 K. Deaseme-nea putem extrage foarte usor valoarea lungimii de penetrare a unui campmagnetic la suprafata materialul supraconductor folosind relatia:

λ(T ) =

√− c2

32πe2

B

AC=

1√2

λ(0)√1− T/Tc

, (6.106)

λ2(0) = mc2/(4πne2) fiind lungimea de penetrare la temperatura T = 0 K(c reprezinta valoarea vitezei luminii ın vid, n este densitatea electronica asistemului, iar e sarcina electrica a electronului).

Cunoasterea coeficientilor Ginzburg–Landau permite deasemenea evalu-area saltului caldurii specifice ın punctul critic si a valorii critice a campuluimagnetic necesara distrugerii starii supraconductoare, Hc. Sa consideram maiıntai saltul caldurii specifice. Functie de coeficientii Ginzburg–Landau acestsalt poate fi exprimat astfel:

∆Cv

Ω=

Tc

B

(A

T − Tc

)2

, (6.107)

Ω fiind volumul sistemului. Folosind aceasta ecuatie, ın punctul critic obtinem:(

∆Cv

Ω

)

Tc

= N(0)8π2Tc

7ζ(3). (6.108)

Acelasi rezultat a fost obtinut si pe baza teoremei Pauli (diferenta, un factork2

B, apare deoarece ın cazul formalismului diagramatic s-a folosit conventia


kB = 1). Valoarea maxima a campului magnetic critic poate fi calculata pebaza relatiei:

Hc = −φ0

2π

A

C= Hc0

(1− T

Tc

), (6.109)

unde Hc0 = 16πφ0T2c /(7ζ(3)v2

F ) si φ0 = πc/e. Aceste rezultate, obtinute dinconsiderente microscopice pe baza unei teorii diagramatice, conduc la aceleasivalori pentru parametrii starii supraconductoare ca si teoria fenomenologicaintrodusa de catre Ginzburg si Landau.

6.5 Instabilitatea Cooper. Criteriul Thouless

Am vazut ca putem caracteriza complet starea supraconductoare pe bazacelor doua functii Green asociate, si anume functia Green normala, respec-tiv functia Green anomala. In sectiunea anterioara, plecand de la un formal-ism standard am reusit sa obtinem un set de ecuatii (ecuatiile Gorkov) a caruirezolvare ne-a condus la obtinerea valorii parametrului de ordine supraconduc-tor ca functie de temperatura si a valorii temperaturii critice corespunzatoaretranzitiei normal–supraconductor. Observam ca aceste calcule au fost facuteın starea supraconductoare, iar evaluarea temperaturii critice de tranzitie s-afacut printr-o trecere din starea supraconductoare spre starea normala. Inaceasta sectiune, vom considera o abordare diferita a calculului temperaturiicritice de tranzitie, prin trecerea din starea normala ınspre starea supracon-ductoare.

Sa consideram cazul unui sistem fermionic aflat la densitati mici ın careinteractiunea dintre electroni se face prin intermediul unui potential de tipatractiv, similar celui ce duce la aparitia starii supraconductoare. In cazulunui sistem electronic cu densitatea redusa, proprietatile fizice ale sistemuluise obtin pe baza diagramelor Feynman ce formeaza aproximatia de matricet (t-matrix approximation). In general, o astfel de aproximatie contine atatcanalul particula–gol cat si canalul particula–particula. Studiul acestor douatipuri de diagrame releva faptul ca ın cazul unei interactiuni repulsive ıntreelectronii constituienti ai sistemului, grupul de diagrame important este celcorespunzator aproximatiei de matrice t pe canalul particula–gol. Diferit, ın

6.5 Instabilitatea Cooper. Criteriul Thouless 195

p,

n,

-p+q, -

n+

m,

q,

mq,

m

a)

b)

Figura 6.1: a) Diagrama corespunzatoare instabilitatii Cooper. b) Aceeasidiagrama dupa sumarea ciocnirilor repetate ale perechii de electroni.

cazul unei interactiuni atractive ıntre electronii sistemului, propritatile fiz-ice sunt descrise de aproximatia de matrice t pe canalul particula–particula.Aceste diagrame le vom considera ın continuare pentru evidentierea criteriuluiThouless.

Pentru evidentierea criteriului Thouless vom considera cazul unei perechide electroni caracterizata de impulsuri opuse si spini diferiti, (~p, ↑) si respec-tiv (−~p, ↓). Vom urmari raspunsul sistemului la un camp extern static, care”aduce” perechea de electroni ın supraconductor. Campul extern (ipotetic)are vectorul de unda ~q. In aceasta situatie diagrama ce va determina instabil-itatea Cooper este cea prezentata ın Figura 6.1a. Liniile ondulate exterioarecorespund campului extern. Liniile continue sınt propagatori tip particula(instabilitatea Cooper apare pe ”canalul particula-particula”), pentru cei doi


= + + +

= +

…

Figura 6.2: Reprezentarea diagramatica a matricii T .

electroni ai perechii. Liniile ondulate interioare corespund potentialului deinteractiune V . Insumand toate ciocnirile repetate ale perechii de electroni,diagrama instabilitatii Cooper poate fi redusa la diagrama prezentata ın Figura6.1b. Analitic, T este data de relatia:

T = V + V G0G0T , (6.110)

sauT =

V

1− V G0G0≡ V

1− V Π. (6.111)

Diagramatic, matricea T este reprezentata ın Figura 6.2. In ecuatia (6.111),Π ≡ Π(~q, ωm) reprezinta bucla de polarizare corespunzatoare canalului par-ticula- particula, a carei expresie analitica este:

Π(~q, ωm) = T∞∑

n=−∞

∫d3p

(2π)3G0(~p, iωn)G0(−~p + ~q,−iω′n) . (6.112)

Diagramatic, bucla de polarizare particula–particula este prezentata ın Figura6.3. Temperatura Tc la care apare instabilitatea Cooper, se determina dinpolul relatiei (6.111), atunci cınd analizam raspunsul sistemului la un cımpomogen (~q → 0) si static (ωm → 0). Concret:

1− V Π(~q = 0, ωm = 0) = 0 , (6.113)

6.5 Instabilitatea Cooper. Criteriul Thouless 197

-p+q, -

n+

m= - n’

p,

n

q,

mq,

m

Figura 6.3: Bucla de polarizare particula–particula.

sau:

1 = V Tc

∞∑

n=−∞

∫d3p

(2π)3G0(~p, iωn)G0(−~p,−iωn) . (6.114)

Inlocuind ın aceasta ecuatie expresiile functiilor Green, obtinem:

1 = V Tc

∞∑

n=−∞

∫d3p

(2π)31

iωn − ε~p

1−iωn − ε~p

, (6.115)

unde ωn = (2n + 1)πTc. Ecuatia (6.115) poate fi rescrisa sub forma:

1 = V Tc

∞∑

n=−∞

∫d3p

(2π)31

(2n + 1)2π2T 2c + ε2~p

. (6.116)

Interactiunea electron–electron, V , duce la formarea perechilor Cooper si poatefi modelata prin relatia:

V → V θ(ωD − |ε~p|

), (6.117)

ceea ce ınseamna ca electronii interactioneaza atractiv doar daca au energiileıntr-un interval [−ωD , ωD], cu mijlocul intervalului centrat pe εF (energiilefiind masurate relativ la aceasta). Cu aceste precizari, ecuatia (6.116) devine:

1 = V TcN(0)∞∑

n=−∞

∫ ωD

−ωD

dε1

(2n + 1)2π2T 2c + ε2

. (6.118)


Integrala dupa variabile energetice se poate rezolva exact, tinand cont si deparitatea integrantului se obtine:

1 =4N(0)V

π

∞∑

n=0

1(2n + 1)

arctan[

ωD

(2n + 1)πTc

]. (6.119)

Functia arctan(x) ia valoarea π/2 cınd argumentul acesteia este mare, si tindela zero cınd argumentul ei este mic. Trecerea ıntre aceste doua domenii areloc pentru x ∼= 1, iar ın cazul din ecuatia (6.119) pentru:

ωD

(2n + 1)πTc= 1 → n =

ωD

2πTc− 1

2≡ nmax . (6.120)

In continuare vom aproxima functia arctangenta prin:

arctan[

ωD

(2n + 1)πTc

]' π

2θ (ωD − (2n + 1)πTc) , (6.121)

si astfel ecuatia (6.119) devine:

1N(0)V

=nmax∑

n=0

1n + 1

2

. (6.122)

Pentru efectuarea sumarii ın ecuatia (6.122) folosim formula:

nmax∑

m=1

1m + z

= ψ(nmax + 1 + z)− ψ(z + 1) , (6.123)

unde ψ(x) reprezinta functia digama, si relatia:

ψ(z + 1) = ψ(z) +1z

. (6.124)

Dupa un calcul simplu, relatia (6.122) devine:

1N(0)V

= ψ

(ωD

2πTc+ 1

)− ψ

(12

). (6.125)

Cunoscand ca ψ(1/2) = ln[exp(−γ)/4], γ fiind constanta lui Euler, ın limitaωD À Tc, ecuatia (6.125) poate fi aproximata prin:

1N(0)V

' ψ

(ωD

2πTc

)− ln

(e−γ

4

). (6.126)

6.6 Limita cuplajului puternic. Ecuatiile Eliashberg 199

Pentru argument mare (z → ∞) folosim dezvoltarea functiei digama ψ(z) ∼=ln z − 1/(2z) si astfel:

1N(0)V

' ln(

ωD

2πTc

)− ln

(e−γ

4

)

' ln(

1, 13ωD

Tc

). (6.127)

Ecuatia (6.127) poate fi inversata pentru a se obtine temperatura critica cecorespunde tranzitiei metal–supraconductor:

Tc ' 1, 13 ωD exp[− 1

λ

], (6.128)

cu λ = N(0)V , constanta de cuplaj. Observam ca temperatura critica obtinutafolosind criteriul Thouless este aceeasi cu cea obtinuta din ecuatiile Gorkov.

6.6 Limita cuplajului puternic. Ecuatiile Eliash-

berg

Descrierea proprietatilor starii supraconductoare folosind teoria BCS a fost unsucces de necontestat al fizicii moderne. Predictiile teoretice ale acestei teoriisunt ın foarte buna concordanta cu rezultatele experimentale obtinute ın cazulsupraconductorilor standard. Cu toate ca succesul teoriei BCS a fost imens,pentru anumite materiale supraconductoare exista diferente importante ıntrepredictiile teoretice si valorile experimentale masurate. De exemplu, ın cazulprobelor de Pb si Hg exista astfel de diferente. Valoarea raportului 2∆(0)/Tc,este de 4,3 ın cazul Pb si de 4,6 ın cazul Hg, diferit de predictia teoriei BCS,3,53. Valoarea saltului caldurii specifice ın punctul critic este mai mare pentruambele materiale decat valoarea 1,43 prezisa de catre teoria BCS. Deasemeneavaloarea coeficientului izotopic α este mai mica pentru ambele materiale decatcea prezisa de teorie, α = 0, 5.

Pentru a ıntelege aceste diferente trebuie sa ıntelegem care sunt ipotezelede lucru la elaborarea teoriei BCS. Conform hamiltonianului folosit ın teo-ria BCS cuasiparticulele corespunzatoare starii supraconductoare prezinta ın


spectrul energetic o banda de energie interzisa ın prezenta unei interactii de tipatractiv ıntre electronii constituienti. Formarea perechilor electronice, prin-cipala ipoteza de lucru ın cadrul teoriei BCS, este restrictionata la electronicu impulsuri egale si antiparalele si spin opus. Prima cauza a discordantelordintre teorie si experiment, ar fi ca ipoteza formarii perechilor electronice estefalsa. Totusi, aceasta cauza este exclusa datorita faptului ca exista o bunaconcordanta ıntre rezultatele experimentale si cele teoretice pentru o gamalarga de compusi. Alte cauze ale diferentelor dintre rezultatele experimentalesi cele teoretice, ın cazul Pb si Hg, pot fi legate de presupunerea ca excitatiile ınstarea supraconductoare au timp de viata foarte lung. Interactiunea atractivaelectron–electron se realizeaza prin intermediul unui fonon virtual a carui en-ergie este de ordinul energiei Debye, hωD. In materialele supraconductoare car-acterizate de o interactiune de schimb puternica, unde ipoteza unei interactiunislabe N(0)V ¿ 1 nu este satisfacuta, timpul de viata al cuasiparticulelor cuenergia hωD este scurt, asa ca descrierea adiabatica a excitatiilor poate figresita. Deasemenea, teoria BCS presupune interactia electron–electron cafiind instantanee, pe cand ın realitate aceasta interactiune este mediata deun fonon virtual, ceea ce face ca ea sa fie o interactiune retardata. In materi-alele caracterizate de o interactiune de schimb puternica dependenta de timp sispatiu a interactiunii efective electron–electron este importanta, ceea ce face caaceasta ipoteza sa fie gresita. Pe de alta parte, o teorie mult mai realista decatteoria BCS ar trebui sa considere faptul ca electronii interactioneaza ıntre eisi prin intermediul unei interactiuni de tip coulombian si, deasemenea, sa con-sidere efectele unei interactiuni electron–fonon puternice. Valabilitatea teorieiBCS este strans legata de teorema Migdal [32], care afirma ca ın metalelestandard self–energia electronica datorata interactiei electron–fonon poate fitratata perturbativ, corectiile de vertex fiind de ordinul

√m/M ∼ 10−2, cu

alte cuvinte aceste corectii pot fi neglijate (m reprezinta masa electronului, iarM masa ionului retelei cristaline).

Introducerea formalismului functiilor Green ın descrierea starii supracon-ductoare este atribuit lui Gorkov [29]. In acelasi timp, Nambu [33] are o ideeasemanatoare pentru descrierea starii supraconductoare cu ajutorul operato-


rilor de camp. Folosind operatori de camp cu doua componente, formalismulNambu permite calculul simultan al contributiilor normale si datorate formariiperechilor electronice la calculul self–energiei electronice. Pe baza acestui for-malism Scalapino [34] au consideratat simultan efectele interactiunii coulombi-ene si interactiunii electron–fonon la calculul self–energiei electronice. Intr-unasemenea calcul, structura self–energiei electronice, Σ(~p, ωn), este importantapentru valori ale impulsului ~p de ordinul impulsului Fermi pF si frecvente Mat-subara ın regiunea |ωn| ¿ εF . In acest regim, interactiunea coulombiana ducela ecranarea interactiunii electron–fonon si la efecte de renormare a spectrelorenergetice corespunzatoare fononilor si electronilor. In plus, o interactiune re-pulsiva de tip coulombian este nefavorabila fenomenului de supraconductibil-itate.

Pentru a prezenta formalismul Nambu vom folosi notatiile: Vc(~p − ~p′)pentru interactiunea Coulomb si gj(~p, ~p′) pentru elementele de matrice core-spunzatoare interactiunii electron–fonon ecranate. Corectiile de vertex vor ficlasificate astfel:

a) Corectii de ordin superior datorate vertexului electron–fonon. Astfel decorectii vor fi neglijate fiind de ordinul

√m/M ∼ 10−2.

b) Corectii la vertexul electron–fonon datorate interactiunii Coulomb. Ingeneral astfel de contributii sunt complicate, efectul lor fiind o reducere put-ernica a constantei de cuplaj electron–fonon. De obicei, aceste corectii pot fiexprimate prin intermediul unor factori constanti care multiplica constanta decuplaj gj si ın principiu ei vor fi absorbiti ın gj . Valoarea constantei de cuplajva fi extrasa din date experimentale.

c) Corectii datorate fononilor la vertexul Coulomb. Aceste corectii suntdeja considerate deoarece ın calculul ce urmeaza vom considera corectiile da-torate interactiunii Coulomb la vertexul electron–fonon, vezi conditia b).

d) Corectii datorate interactiunii Coulomb la vertexul electron–electron.Aceste corectii conduc la o renormare a interactiunii Coulomb si vor fi incluseın Vc. De mentionat ca aceste corectii nu depind de excitatiile de tip fononic.

Valoarea self–energiei electronice poate fi calculata pe baza formalismului


Nambu, prin introducerea urmatorului operator de camp:

ψ~p =

(c~p↑c†−~p↓

)(6.129)

caruia ıi corespunde urmatorul operator adjunct:

ψ†~p =(c†~p↑ c−~p↓

), (6.130)

c†~p↑ fiind operatorul electronic de creare corespunzator unui electron cu impuls~p si spin sus, iar c−~p↓ este operatorul electronic de anihilare corespunzatorunui electron cu impuls −~p si spin jos. Operatorul de camp fononic poate fiscris sub forma:

φ~qλ = b~qλ + b†−~qλ , (6.131)

reprezentand o combinatie liniara ıntre operatorii fononici de anihilare si re-spectiv creare corespunzatori modurilor de vibratie λ cu vectorii de unda ~q si−~q.

Folosind aceste notatii hamiltonianul corespunzator sistemului electron-ionpoate fi scris sub forma:

H =∑

~p

ε~pψ†~pτ3ψ~p +

∑

~qλ

Ω~qλb†~qλb~qλ +∑

~p~p′λ

g~p~p′λφ~qλψ†~p′τ3ψ~p

+12

∑

~p1~p2~p3~p4

〈~p3~p4|Vc|~p1~p2〉(ψ†~p3

τ3ψ~p1

) (ψ†~p4

τ3ψ~p2

), (6.132)

unde ε~p reprezinta energia electronului raportata la valoarea potentialuluichimic, τi (i = 1, 2, 3) reprezinta matricile Pauli, iar Ω~qλ energia fononului.

In cazul formalismului Nambu, cele doua functii Green corepunzatoareelectronilor si respectiv fononilor pot fi definite ca:

g(~p, τ) = −⟨UTτ

(ψ~p(τ)ψ†~p(0)

)⟩(6.133)

siDλ(~p, τ) = −

⟨Tτ

(φ~qλ(τ)φ†~qλ(0)

)⟩, (6.134)

unde

〈A〉 =Tr

e−βHA

Tr e−βH , (6.135)


si

ψ~p(τ) = eHτψ~p(0)e−Hτ

φ~qλ(τ) = eHτφ~qλ(0)e−Hτ . (6.136)

Operatorul U ın ecuatia (6.133) poate fi exprimat ca:

U = 1 + R† + R , (6.137)

unde R† transforma starea cu N particule ıntr-o stare cu N +2 particule, astfelca ın starea fundamentala avem:

R† |0, N〉 = |0, N + 2〉R |0, N〉 = |0, N − 2〉 . (6.138)

Matricea corespunzatoare functiei Green electronice g(~p, τ) este o matricede tipul 2 × 2 a carei elemente diagonale, g11(~p, τ) and g22(~p, τ), reprezintafunctiile Green normale pentru electroni cu spinul sus si respectiv goluri cuspinul jos, iar termenii nediagonali, g12(~p, τ) and g21(~p, τ), reprezinta functiileGreen anomale atribuite perechilor electronice introduse de catre Gorkov. Ast-fel, obtinem:

g(~p, τ) = −

⟨Tτ

(c~p↑(τ)c†~p↑(0)

)⟩ ⟨R†Tτ

(c~p↑(τ)c−~p↓(0)

)⟩⟨RTτ

(c†−~p↓(τ)c†~p↑(0)

)⟩ ⟨Tτ

(c†−~p↓(τ)c−~p↓(0)

)⟩ . (6.139)

In absenta interactiilor, functia Green electronica poate fi scrisa sub forma:

g−10 (~p, ωn) = iωn · 1− ε~pτ3 . (6.140)

In prezenta interactiilor functia Green electronica se modifica, calculul acesteiafiind posibil pe baza ecuatiei Dyson folosind self–energia electronica, Σ(~p, ωn):

g−1(~p, ωn) = g−10 (~p, ωn)− Σ(~p, ωn) . (6.141)

Self–energia electronica se poate exprima ca o combinatie liniara folosind ma-tricea identitate, 1, si matricile Pauli τ1, τ2 and τ3:

Σ(~p, ωn) = [1− Z(~p, ωn)] iωn · 1+ ϕ(~p, ωn)τ1 + ϕ(~p, ωn)τ2 + χ(~p, ωn)τ3 , (6.142)


unde Z, ϕ, ϕ si χ sunt functii necunoscute a caror forma o vom identifica ıncontinuare. Selectarea fazei ne permite sa simplificam relatia anterioara astfelıncat ϕ = 0. Folosind ecuatiile (6.140) si (6.142) putem calcula functia Green:

g(~p, ωn) =Z(~p, ωn)iωn · 1 + ε(~p, ωn)τ3 + ϕ(~p, ωn)τ1

[Z(~p, ωn)iωn]2 − ε2(~p, ωn)− ϕ2(~p, ωn), (6.143)

unde am introdus notatia

ε(~p, ωn) = εp + χ(~p, ωn) .

Folosind procedura standard din analiza sistemelor cu multe particule, iωn →ω + iδ (δ → 0+), putem evalua spectrul excitatiilor elementare:

ω =√

ε21 + ∆2 , (6.144)

unde am introdus notatia ∆ = ϕ/Z, iar ε1 = ε/Z. Observam ca spectrulexcitatiilor elementare prezinta o banda de energie interzisa, ω = ∆ pentruε1 = 0.

Forma celor doua functii, [1 − Z(~p, ωn)] si ϕ(~p, ωn), poate fi obtinuta ex-primand self–energia electronica sub forma a doua contributii, una de tipfononic si cealalta de tip electronic (coulombian):

Σ(~p, ωn) = Σph(~p, ωn) + Σc(~p, ωn) , (6.145)

contributia fononica fiind:

Σph(~p, ωn)

= −T∑

n′

∫d~p′

(2π)3τ3g(~p′, ωn′)τ3

∑

j

|gj(~p, ~p′)|2D0j (~p− ~p′, ωn − ωn′) ,

(6.146)

iar cea electronica:

Σc(~p, ωn) = −T∑

n′

∫d~p′

(2π)3τ3g(~p′, ωn′)τ3Vc(~p− ~p′) . (6.147)


Sumarea dupa frecventele Matsubara poate fi efectuata folosind reprezentareaspectrala a functiei Green electronice si respectiv a functiei Green fononice:

g(~p′, ωn′) = − 1π

∫ ∞

−∞dz′ · Im [g(~p, z′)]

iωn′ − z′, (6.148)

D0j (~p− ~p′, ωn − ωn′) =

12π

∫ ∞

−∞dz · bj(~p− ~p′, z)

i(ωn − ωn′)− z, (6.149)

unde b(~p, z) reprezinta densitatea spectrala fononica. Folosind reprezentareaspectrala, contributia fononica la self–energia electronica poate fi exprimatasub forma:

Σph(~p, ωn)

= −∫

d~p′

(2π)3∑

j

|gj(~p, ~p′)|2∫ ∞

−∞dz

2π

∫ ∞

−∞dz′

2πbj(~p− ~p′, z)

×(−2)τ3Im[g(~p′, z′)

]τ3T

∑

n′

1iωn′ − z′

1i(ωn − ωn′)− z

. (6.150)

Evaluarea sumarii dupa frecventele Matsubara ın relatia anterioara este ex-acta:

T∑

n′

1iωn′ − z′

1i(ωn − ωn′)− z

= −12

tanh (z′/2T ) + coth (z/2T )iωn − z − z′

, (6.151)

astfel ıncat putem rescrie contributia fononica la self–energia electronica subforma:

Σph(~p, ω) = −∫

d~p′

(2π)3∑

j

|gj(~p, ~p′)|2∫ ∞

−∞dz

2π

∫ ∞

−∞dz′

2πbj(~p− ~p′, z)

× τ3Im[g(~p′, z′)

]τ3

tanh (z′/2T ) + coth (z/2T )ω − z − z′ + iδ

. (6.152)

In cazul metalelor standard χ(~p, ω) ' 0, aceasta contributie putand fi ab-sorbita ın potentialul chimic. Astfel putem folosi aproximatia:

ε(~p, ωn) = ε~p + χ(~p, ωn) ' ε~p .


Pentru calculul contributiei fononice la self–energia electronica vom face omediere la suprafata Fermi folosind urmatoarea regula:

Σph(ω) =

∫SF

d2pv~p

Σph(~p, ω)∫SF

d2pv~p

, (6.153)

care ımpreuna cu transformarea

∫d~p′

(2π)3=

∫dε

∫

SF

d2p′

v~p′, (6.154)

conduc la:

Σph(ω) = −∫ ∞

−∞dz′

2π

∫ ∞

−∞dz

2π

∫

SF

d2p

v~p

(∫

SF

d2p

v~p

)−1 ∫

SF

d2p′

v~p′

∑

j

|gj(~p, ~p′|2

×bj(~p− ~p′, z)∫

dετ3Im[g(~p′, z′)

]τ3 · tanh (z′/2T ) + coth (z/2T )

ω − z − z′ + iδ.

(6.155)

Integrala dupa variabilele energetice, ε, poate fi estimata folosind urmatoareaidentitate:

τ3g(~p′, z′)τ3 =Z(~p′, z′)z′ · 1 + ε(~p′, z′)τ3 − ϕ(~p′, z′)τ1[

Z(~p′, z′)z′]2 − ε2(~p′, z′)− ϕ2(~p′, z′)

, (6.156)

unde am folosit proprietatea matricilor Pauli τ3τ1τ3 = −τ1. Stiind ca:∫ ∞

−∞dε

ε2 −A= i

π√A

sign√

A , (6.157)

contributia fononica la self–energia electronica devine:

Σph(ω) =∫ ∞

−∞dz′

∫ ∞

−∞dz

14π

∫

SF

d2p

v~p

∫

SF

d2p′

v~p′

∑

j

|gj(~p, ~p′)|2bj(~p− ~p′, z)

×(∫

SF

d2p

v~p

)−1tanh (z′/2T ) + coth (z/2T )

ω − z − z′ + iδRe

Zz′ · 1− ϕτ1√

Z2z′2 − ϕ2

signz′.

(6.158)


Pe de alta parte:

Σph(ω) = [1− Zph(ω)]ω · 1 + ϕph(ω)τ1 , (6.159)

astfel ıncat pe baza identificarii matricii unitate si respectiv a matricilor Pauli,1 si τ1, obtinem:

[1− Zph(ω)]ω =

= −∫ ∞

−∞dz′

−

∫ ∞

−∞dz

4π

∫

SF

d2p

v~p

∫

SF

d2p′

v~p′

∑

j

|gj(~p, ~p′)|2bj(~p− ~p′, z)

×(∫

SF

d2p

v~p

)−1 tanh(

z′2T

)+ coth

(z

2T

)

ω − z − z′ + iδ

Re

z′√

z′2 −∆2(z′)

signz′ ,

(6.160)

unde ∆(z′) = ϕ(z′)/Z(z′). Termenul din parantezele drepte din ecuatia (6.160)este cunoscut sub denumirea de nucleul fononic al ecuatiei, si ın general senoteaza cu Kph(z′, ω). Pentru a calcula valoarea sa, vom folosi densitateaspectrala a functiei Green fononice:

bj(~p− ~p′, z) ≡ bj(~q, z) = 2π [δ(z − ωj(~q))− δ(z + ωj(~q))] . (6.161)

Procedura standard de calculare a nucleului fononic se bazeaza pe ımpartireaintervalui de integrare dupa variabila z ın doua parti, prima de la −∞ la 0,iar a doua de la 0 la ∞. Dupa o schimbare de variabila ın cazul intervalului(−∞, 0), z → −z, folosind proprietatile functiei delta, obtinem:

Kph(z′, ω) =∫ ∞

0dz · 1

2α2(z)F (z)

×

tanh (z′/2T ) + coth (z/2T )z′ + z − ω − iδ

− tanh (z′/2T )− coth (z/2T )z′ − z − ω − iδ

,

(6.162)

unde functia spectrala α2(z)F (z) este definita prin relatia:

α2(z)F (z) =∫

SF

d2p

v~p

∫

SF

d2p′

v~p′

∑

j

|gj(~p, ~p′)|2δ(z − ωj(~q))

(∫

SF

d2p

v~p

)−1

.

(6.163)


Astfel putem scrie:

[1− Zph(ω)]ω = −∫ ∞

−∞dz′Kph(z′, ω)Re

z′√

z′2 −∆2(z′)

signz′ .

(6.164)In mod similar, prin identificarea coeficientilor matricilor Pauli, τ1, putemobtine forma functiei ϕph(ω):

ϕph(ω) ≡ Zph(ω)∆ph(ω)

=∫ ∞

−∞dz′ ·Kph(z′, ω)Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

signz′ .(6.165)

Contributia electronica la functiile Z si ϕ, poate fi obtinuta plecand de laecuatia (6.147) folosind reprezentarea spectrala a functiei Green electroniceintrodusa ın ecuatia (6.148). Folosind identitatea:

T∑

n′

1iωn′ − z′

= −12

tanh(

z′

2T

),

obtinem:

Σc(~p, ωn) = −∫

d~p′

(2π)3Vc(~p− ~p′)

∫ ∞

−∞dz′

2πτ3Im

[g(~p′, z′)

]τ3 tanh

(z′

2T

).

(6.166)Conform ecuatiilor (6.156), (6.166), ımpreuna cu relatia:

Σc = [1− Zc] ω · 1 + ϕcτ1 , (6.167)

pe baza paritatii functiei integrate dupa variabila z′ obtinem:

Zc = 1 , (6.168)

si

ϕc(~p) =∫ ∞

0

dz′

πtanh

(z′

2T

)

×∫

d~p′

(2π)3Vc(~p− ~p′)Im

ϕ(~p′, z′)

Z2(z′)z′2 − ε2~p′− ϕ2(~p′, z′)

.

(6.169)


Folosim din nou medierea la suprafata Fermi conform relatiei

ϕc(p) =

∫SF

d2pv~p

ϕc(~p)∫SF

d2pv~p

. (6.170)

Din nou transformam integrala dupa variabile de impuls ıntr-o integrala dupavariabile energetice si astfel obtinem:

ϕc(p) =∫ ∞

0

dz′

πtanh

(z′

2T

)

×∫

dεN(0)Vc(p, p′)Im

ϕ(p′, z′)

Z2(z′)z′2 − ε2~p′− ϕ2(p′, z′)

,(6.171)

unde N(0) reprezinta densitatea de stari electronice la nivelul Fermi, si:

N(0)Vc(p, p′) =

∫SF

d2pv~p

∫SF

d2p′v~p′

Vc(~p− ~p′)∫SF

d2pv~p

. (6.172)

Observam ca ın acest caz Vc(p, p′), ϕc(p), si ϕ(p′, z′) sunt functii doar devaloarea impulsului electronic, si nu de directia si sensul acestuia. Scala deenergie pentru interactiunea Coulomb este data de energia Fermi, astfel caputem introduce o taiere ın scala de energii conform relatiei:

ωD ¿ ωc ¿ εF , (6.173)

ωD fiind frecventa Debye. In limita frecventelor mari, z′ > ωc, interactiuneaelectron–fonon poate fi neglijata, deci putem considera:

Z(z′) = 1

si

ϕ(p′, z′) = ϕc(p′) .

Deasemenea ın aceasta limita avem tanh(z′/2T ) ' 1. Domeniul de integraredupa variabila z′ va fi ımpartit ın doua subdomenii, primul corespunzator


intervalului 0 < z′ < ωc, iar cel de-al doilea intervalului ωc < z′ < ∞. Dacaconsideram din nou o integrare dupa variabile de impuls folosind relatia:

N(0)∫

dε =∫

d~p′

(2π)3,

obtinem:

ϕc(p) =∫

d~p′

(2π)3Vc(p, p′)

∫ ∞

ωc

dz′

πIm

ϕc(p′)z′2 − ε2~p′

− ϕ2c(p′)

+∫

d~p′

(2π)3Vc(p, p′)

∫ ωc

0

dz′

πIm

ϕ(p′, z′)Z2(z′)z′2 − ε2~p′

− ϕ2(p′, z′)

tanh

z′

2T.

(6.174)

Primul termen ın partea dreapta a ecuatiei (6.174) poate fi simplificat folosindrelatia: ∫ ∞

ωc

dz′

π· Im

1

z′2 −E2p′ + iδ

= −θ(Ep′ − ωc)

2Ep′, (6.175)

unde θ(x) reprezinta functia treapta, iar E2p′ = ε2~p′

+ ϕ2c(p

′). Astfel, putemscrie:

ϕc(p) +∫

d~p′

(2π)3Vc(p, p′)

θ(Ep′ − ωc)2Ep′

ϕc(p′)

=∫

d~p′

(2π)3Vc(p, p′)

∫ ωc

0

dz′

πIm

ϕ(p′, z′)Z2(z′)z′2 − ε2~p′

− ϕ2(p′, z′)

tanh

z′

2T.

(6.176)

Putem rescrie ecuatia Eq. (6.176) daca consideram o ecuatie matriciala cuindicii matricii p si p′:

(1 + Ωc) ϕc = Vc · F , (6.177)

undeΩpp′ =

θ(Ep′ − ωc)2Ep′

Vc(p, p′) (6.178)

reprezinta elementele matricii Ωc,

Fp′ =∫ ωc

0

dz′

πIm

ϕ(p′, z′)Z2(z′)z′2 − ε2~p′

− ϕ2(p′, z′)

tanh

z′

2T, (6.179)


iar Vc reprezinta interactiunea repulsiva. Operatorul din partea stanga aecuatiei (6.177) este nesingular, ceea ce permite evaluarea solutiei ecuatieimatriciale:

ϕc = (1 + Ωc)−1 Vc · F ≡ Uc · F , (6.180)

unde Uc este definit ca:

Uc = (1 + Ωc)−1 Vc , (6.181)

sau:

Uc = Vc − ΩcUc . (6.182)

Daca dezvoltam aceasta identitate obtinem:

Uc(p, p′) = Vc(p, p′)−∫

d~p′′

(2π)3Vc(p, p′′)

θ(Ep′′ − ωc)2Ep′′

Uc(p′′, p′) . (6.183)

Astfel putem rescrie ecuatia (6.180) sub forma:

ϕc(p) =∫

d~p′

(2π)3Uc(p, p′)Fp′ , (6.184)

sau folosind si rezultatul din ecuatia (6.179):

ϕc(p) =∫

d~p′

(2π)3Uc(p, p′)

∫ ωc

0

dz′

πIm

ϕ(z′)

Z2(z′)z′2 − ε2p′ − ϕ2(z′)

tanh

z′

2T.

(6.185)In ecuatia (6.185) vom aproxima Uc(p, p′) ' Uc(p, pF ), astfel ıncat integraladupa variabilele de impuls poate fi evaluata analitic folosind densitatea destari energetice:

ϕc(p) = −N(0)∫ ωc

0dz′ · Uc(p, pF ) ·Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

tanh

z′

2T. (6.186)

Introducem notatia Uc ≡ Uc(p, pF ), si deci:

ϕc(p) = −UcN(0)∫ ωc

0dz′Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

tanh

z′

2T. (6.187)


Pseudopotentialul de interactiune Uc poate fi evaluat folosind ecuatia (6.183).Aceasta ecuatie poate fi rezolvata daca modelam interactiunea repulsiva astfel:

Vc(p, p′) =

Vc , −εF < ε < εF

0 , ın rest. (6.188)

Folosim definitia Ep′′ =√

ε2 + ϕ2c , ımpreuna cu modelul considerat pentru

interactiunea repulsiva si obtinem:

Uc + N(0)Vc

∫ εF

−εF

dε√ε2 + ϕ2

c

θ

(√ε2 + ϕ2

c − ωc

)Uc = Vc . (6.189)

Integrala ın ecuatia Eq. (6.189) poate fi calculata sub forma ln (εF /ωc), siastfel obtinem pentru pseudopotentialul de interactiune Uc:

Uc =Vc

1 + N(0)Vc ln(εF /ωc). (6.190)

Cele doua ecuatii, (6.187) si (6.190), descriu contributia interactiunii Coulombla self–energia electronica totala.

Cunoscand cele doua contributii la self–energia electronica, Σ = Σph + Σc,aceasta poate fi exprimata ın forma matriciala:

Σ = [1− Zph] ω · 1 + ϕphτ1 + [1− Zc] ω · 1 + ϕcτ1

= [1− Zph] ω · 1 + (ϕph + ϕc) τ1

= [1− Z] ω · 1 + ϕτ1 , (6.191)

unde

[1− Z(ω)]ω = −∫ ∞


z′√

z′2 −∆2(z′)

signz′ (6.192)

si

ϕ(ω) ≡ Z(ω)∆(ω)

=∫ ∞


∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

signz′ −

−UcN(0)∫ ωc

0dz′Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

tanh

z′

2T. (6.193)


Integrala dupa variabila z′ ın ecuatiile (6.192) si (6.193), poate fi restrictionatadoar la partea pozitiva a axei reale, astfel ıncat:

[1− Z(ω)]ω =

=12

∫ ∞

0dz′

∫ ∞

0dzα2(z)F (z)Re

z′√

z′2 −∆2(z′)

×[(

tanhz′

2T+ coth

z

2T

) (1

z′ + z + ω + iδ− 1

z′ + z − ω − iδ

)

−(

tanhz′

2T− coth

z

2T

) (1

z′ − z + ω + iδ− 1

z′ − z − ω − iδ

)]

(6.194)

si

Z(ω)∆(ω) =

=12

∫ ∞

0dz′

∫ ∞

0dzα2(z)F (z)Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

×[(

tanhz′

2T+ coth

z

2T

) (1

z′ + z + ω + iδ+

1z′ + z − ω − iδ

)

−(

tanhz′

2T− coth

z

2T

) (1

z′ − z + ω + iδ+

1z′ − z − ω − iδ

)]

−UcN(0)∫ ωc

0dz′Re

∆(z′)√

z′2 −∆2(z′)

tanh

z′

2T. (6.195)

Cele doua ecuatii (6.194) si (6.195) permit calculul temperaturii critice cecaracterizeaza tranzitia de faza supraconductoare. Pentru a evalua aceastatemperatura, rescriem cele doua ecuatii ın forma liniarizata:

[1− Z(ω)]ω =12

∫ ∞

0dz′

∫ ∞

0dzα2(z)F (z)

×[(

tanhz′

2T+ coth

z

2T

) (1

z′ + z + ω− 1

z′ + z − ω

)

−(

tanhz′

2T− coth

z

2T

) (1

z′ − z + ω− 1

z′ − z − ω

)]

(6.196)

si

Z(ω)∆(ω) =12

∫ ∞

0

dz′

z′Re∆(z′)

∫ ∞

0dz · α2(z)F (z)


×[(

tanhz′

2T+ coth

z

2T

) (1

z′ + z + ω+

1z′ + z − ω

)

−(

tanhz′

2T− coth

z

2T

) (1

z′ − z + ω+

1z′ − z − ω

)]

−UcN(0)∫ ωc

0

dz′

z′Re∆(z′) tanh

z′

2T. (6.197)

O alta simplificare poate fi facuta daca pentru ∆(z′) folosim urmatorul model:

∆(z′) =

∆0 , 0 < z′ < ωD

∆∞ , z′ > ωD

. (6.198)

Deasemenea vom neglija toate contributiile datorate fononilor termici, ceea cedin punct de vedere al calculului este echivalent cu a considera coth z/2T ' 1.Pentru variabila de integrare fononica, z, vom considera frecventa Debye, ωD,ca limita superioara de integrare. In consecinta, ın limita frecventelor joase,ω → 0, ın apropierea temperaturii critice de tranzitie, T → Tc, obtinem:

Z(0)∆(0) =12

∫ ∞

0

dz′

z′Re∆(z′)

∫ ωD

0dzα2(z)F (z)

×[(

tanhz′

2Tc+ 1

)2

z′ + z+

(tanh

z′

2Tc− 1

)2

−z′ + z

]

−UcN(0)∫ ωc

0

dz′

z′Re∆(z′) tanh

z′

2Tc. (6.199)

Folosind modelul (6.198) pentru ∆(z′) ecuatia anterioara devine:

Z(0)∆(0) = ∆0λ ln(

1, 13 ωD

Tc

)+ ∆∞

∫ ∞

ωD

dz′

z′2

∫ ωD

0

dz

z′ + zα2(z)F (z)

−UcN(0)∆0 ln(

1, 13 ωD

Tc

)− UcN(0)∆∞ ln

(ωc

ωD

), (6.200)

unde constanta de cuplaj, λ, este definita prin relatia:

λ = 2∫ ωD

0

dz

zα2(z)F (z) . (6.201)

Integralele din ecuatia (6.200) pot fi aproximate dupa cum urmeaza:∫ ∞

ωD

dz′

z′2

∫ ωD

0

dz

z′ + zα2(z)F (z)


'∫ ∞

ωD

dz′

z′2

∫ ωD

0

dz

z′α2(z)F (z) '

∫ ∞

ωD

dz′

z′22

∫ ωD

0

dz

zα2(z)F (z) 〈ω〉

=λ 〈ω〉ωD

, (6.202)

unde 〈ω〉 este valoarea medie a frecventelor fononice si este de ordinul 0, 5 ωD.Cum ∆(0) ≡ ∆0, obtinem:

Z(0)∆0 = ∆0λ ln(

1, 13 ωD

Tc

)+ ∆∞

λ 〈ω〉ωD

−UcN(0)∆0 ln(

1, 13 ωD

Tc

)− UcN(0)∆∞ ln

(ωc

ωD

).(6.203)

Temperatura critica de tranzitie, Tc, poate fi obtinuta din ecuatia (6.203) dacacunoastem valorile Z(0) si ∆∞. Sa consideram mai ıntai ecuatia (6.197) ınlimita ω →∞ si ın apropierea temperaturii de tranzitie:

Z(∞)∆∞ = −UcN(0)∆0 ln(

1, 13 ωD

Tc

)− UcN(0)∆∞ ln

(ωc

ωD

). (6.204)

Din ecuatia (6.196) ın limita ω →∞ obtinem:

Z(∞) = 1 , (6.205)

si deci, ∆∞ va avea valoarea:

∆∞ = − N(0)Uc

1 + N(0)Uc ln (ωc/ωD)∆0 ln

(1, 13 ωD

Tc

)

≡ −µ∗∆0 ln(

1, 13 ωD

Tc

), (6.206)

prin µ∗ notand pseudopotentialul de interactiune Coulomb:

µ∗ =N(0)Uc

1 + N(0)Uc ln (ωc/ωD). (6.207)

Folosind ecuatia (6.190) putem rescrie µ∗ sub forma:

µ∗ =N(0)Vc

1 + N(0)Vc ln (εF /ωD). (6.208)

Acesta relatie de definitie a pseudopotentialului Coulomb ne da posibilitateasa discutam natura sa fizica. Interactiunea efectiva de natura repulsiva ıntre


electroni este redusa fata de valoarea initiala a potentialului Coulomb cu unfactor ce se regaseste ın numitorul fractiei din ecuatia (6.208). Din punct devedere fizic, aceasta reducere se datoreaza scalelor de energie diferite ce car-acterizeaza energia repulsiva Coulomb, de ordinul energiei Fermi, si respectiva interactiunii atractive electron–fonon, de ordinul frecventei Debye. Pe dealta parte, interactiunea efectiva repulsiva este legata de distanta caracteris-tica dintre cei doi electroni ce formeaza o pereche Cooper. In general, aceastadistanta este de ordinul ξ ∼ hvF /∆0 ∼ 102− 103 A, o valoare mai mare decatconstanta retelei, a ∼ 100A. Interactiunea Coulomb este de ordinul e2/a.

Pentru a calcula valoarea temperaturii critice, Tc, mai trebuie sa calculamZ(0). In cazul temperaturilor joase, unde putem considera tanh (z′/2T ) ' 1,ecuatia (6.196) devine:

Z(ω)− 1 =∫ ∞

0dz′

∫ ωD

0dz α2(z)F (z)

2(z′ + z)2 − ω2

, (6.209)

iar ın limita ω → 0:Z(0) = 1 + λ . (6.210)

In acest punct putem calcula valoarea temperaturii critice, Tc. Folosindecuatiile (6.203), (6.206) si (6.210) obtinem:

Tc = 1, 13 ωD exp

− 1 + λ

λ− µ∗(1 + λ 〈ω〉ωD

) . (6.211)

Acest rezultat poate fi comparat cu rezultatul clasic obtinut ın teoria BCS,(6.65). Astfel identificam doua corectii. Prima, este atribuita cuplajului puter-nic, prin intermediul functiei de renormare Z(0) = 1+λ, iar cea de-a doua, esteatribuita interactiei repulsive renormate electron–electron, prin intermediulpseudopotentialului Coulomb µ∗.

In general, ecuatiile Eliashberg pot fi rezolvate pentru diferite valori ale cu-plajului electron–fonon. Solutia initiala a fost prezentata de catre Bogoliubovpentru un cuplaj electron–fonon slab. In aceasta limita temperatura criticacorespunzatoare tranzitiei metal–supraconductor are forma:

Tc =2γ

πωD exp

[− 1

λ− µ∗

]. (6.212)

6.7 Supraconductori cu temperatura critica ridicata 217

Acest rezultat este complementar formulei obtinuta ın teoria BCS si continedoar o corectie datorata repulsiei coulombiene. In limita unui cuplaj inter-mediar, valoarea temperaturii critice de tranzitie este data de ecuatia (6.211).Limita unui cuplaj puternic electron–fonon a fost considerata de catre McMil-lan [35], temperatura critica ın aceasta limita fiind data de expresia:

Tc =ωD

1, 45exp

[− 1, 04(1 + λ)

λ− µ∗(1 + 0, 62λ)

]. (6.213)

Aceasta ecuatie este obtinuta pe baza spectrului fononic corespunzator nio-biului, iar domeniul ei de aplicatie este pentru situatia ın care λ ≤ 1, 5.Mentionam deasemenea faptul ca ın cazul unor cuplaje electron–fonon su-perioare, λ ≥ 1, 5, ecuatiile Eliashberg pot fi rezolvate numeric.

Rezultatele obtinute folosind formalismul Eliashberg pot explica diferenteledintre valorile experimentale si predictiile teoriei BCS ın cazul unor materialesupraconductoare ale caror stare normala este de tip metalic. Dupa cum vomvedea ınsa ın sectiunea urmatoare, acest formalism nu se poate aplica ın cazulsupraconductorilor cu temperatura critica ridicata, chiar daca valorile tem-peraturii de tranzitie obtinute ın cazul ecuatiilor Eliashberg sunt mai ridicatedecat cele obtinute ın teoria BCS.

6.7 Supraconductori cu temperatura critica ridicata

Primul material din clasa supraconductorilor cu temperatura critica ridicataa fost descoperit ın 1986 de catre Bednorz si Muller [26]. La1.85Ba0.15CuO4

prezinta o tranzitie la faza supraconductoare la o temperatura de 35 K. Ingeneral materialele din aceasta clasa de supraconductori sunt izolatori, darintroducerea ın structura acestor materiale a atomilor de oxigen schimba rad-ical proprietatile lor fizice. Sa consideram initial proprietatile starii normalecorespunzatoare acestor materiale.

1. Interactiunea dintre particulele constituiente ale sistemului este foarteputernica, ceea ce face ca ipotezele teoriei Landau a lichidului Fermi sanu mai fie valabile;


2. Rezistivitatea electrica ın starea normala depinde liniar de tem-peratura, ρab ∼ T , ın timp ce teoria Landau prezice ρ ∼ T 2 ın cazulmetalelor;

3. Coeficientul Hall, RH , prezinta o dependenta de temperatura de tipCurie–Weiss, ın timp ce teoria Landau prezice independenta acesteimarimi de temperatura;

4. Timpul de relaxare nuclear, T1, este independent de temperatura,ın timp ce ın cazul metalelor legea Korringa prezice 1/T1 ∼ T ;

5. Spectrul energetic al acestor materiale este caracterizat de prezentaunei benzi de energie interzise chiar si ın cazul starii normale, nesupra-conductoare.

Pe de alta parte si proprietatile starii supraconductoare difera fata de pro-prietatile starii supraconductoare corespunzatoare supraconductorilor stan-dard. Astfel

1. Temperatura critica ın cazul acestor compusi este mult mai ridictadecat cea ınregistrata ın cazul supraconductorilor standard;

2. Simetria parametrului supraconductor este de tip d-wave ın con-trast cu o simetrie de tip s-wave ın cazul supraconductorilor standard;

3. Lungimea de coerenta a perechilor Cooper ın cazul supraconducto-rilor cu temperatura critica ridicata este mult mai mica decat ın cazulsupraconductorilor standard, semnaland direct atractia puternica dintreelectronii constituienti ai perechii;

4. Starea supraconductoare este asociata prezentei planelor CuO ınstructura acestor materiale, desi se stie ca ın cazul ın care dimensional-itatea sistemului este redusa (d < 3) orice rupere spontana de simetrieeste imposibila datorita fluctuatiilor puternice;

5. Coeficientul izotopic prezinta valori foarte diferite de 0,5, ceea cesugereaza existenta unor mecanisme aditionale interactiunii electron–fonon pentru realizarea perechilor Cooper.

6.8 Teoria BCS ın cazul simetriei d-wave 219

Lista proprietatilor anomale determinate experimental ın cazul materialelor cutemperatura critica ridicata poate continua, majoritatea proprietatilor aces-tor compusi fiind diferite de cele ale supraconductorilor standard. Cele catevaanomalii enumerate anterior pot fi ınsa baza de identificare a mecanismuluisi modului de realizare a starii supraconductoare ın astfel de compusi. Dinpacate, dupa mai mult de 15 ani de eforturi teoretice, acest subiect este ıncaneelucidat, mecanismul starii supraconductoare ın supraconductorii cu tem-peratura critica ridicata fiind necunoscut.

In continuare vom analiza efectul prezentei benzii de energie interzise(pseudogap) ın spectrul excitatiilor energetice corespunzatoare starii normalea acestor compusi. Ultimele evolutii ale tehnicilor experimentale, dovedesc caaceasta proprietate a compusilor oxidici supraconductori poate fi foarte im-portanta ın elucidarea proprietatilor lor fizice. Experimental, prezenta pseu-dogapului a fost confirmata pentru domeniul dopajului slab din diagrama defaza a acestor materiale. Inca nu este clar daca ın zona dopajului puternicaceasta proprietate este prezenta. Ceea ce este ınsa pe deplin elucidat estefaptul ca simetria pseudogapului este aceeasi cu cea a parametrului de ordinesupraconductor, de tip d-wave. Pe de alta parte, este ınca deschisa ıntrebareadaca originea celor doua benzi de energie interzisa este aceeasi sau nu. Anal-iza pe care o vom prezenta ın continuare presupune mecanisme diferite pentruformarea celor doua benzi de energie interzisa, corespunzatoare starii normalesi respectiv starii supraconductoare. Deasemenea vom considera o extindere ateoriei BCS care sa ia ın calcul si prezenta pseudogapului ın starea normala.

6.8 Teoria BCS ın cazul simetriei d-wave

Teoria BCS poate fi adaptata pentru cazul ın care simetria parametrului deordine supraconductor este de tip d-wave [36]. O astfel de simetrie poate fitranspusa matematic prin introducerea ın problema a unui parametru de or-dine si a unui potential de interactiune atractiv electron–electron care depindde impuls. In cel mai general mod aceasta dependenta poate fi scrisa subforma ∆(~k) = ∆dψ(~k), cu ψ(~k) = (cos kx − cos ky), sau sub o forma simpli-


ficata ∆(~k) = ∆d cos (2θ), unde θ = arctan (kx/ky). In mod similar pentruinteractiunea atractiva electron–electron putem scrie V (~p,~k) = Vdψ(~p)ψ(~k).Folosind aceeasi procedura ca ın cazul simetriei de tip s-wave, putem obtineurmatoarea ecuatie pentru parametrul de ordine supraconductor

∆(~k) =∫

d3~p

(2π)3V (~p,~k)

∆(~p)2√

ξ2(~p) + |∆(~p)|2 tanh√

ξ2(~p) + |∆(~p)|22T

. (6.214)

In limita T = 0 parametrul de ordine supraconductor poate fi obtinut dinecuatia:

1 = gd

∫ W/2

−W/2dξ

∫ 2π

0

dθ

2π

cos2 (2θ)√ξ2 + ∆2

d0 cos2 (2θ), (6.215)

unde gd = N(0)Vd/4 reprezinta constanta de cuplaj pentru cazul unei simetriide tip d-wave, iar W reprezinta o frecventa de taiere. Integrala dupa variabileleunghiulare poate fi calculata exact, obtinandu-se urmatorul rezultat:

f(ξ, ∆d0) =∫ 2π

0

dθ

2π

cos2 (2θ)√ξ2 + ∆2

d0 cos2 (2θ)

=2

π∆2d0

√ξ2 + ∆2

d0 E

(√∆2

d0

ξ2 + ∆2d0

)− ξ2

√ξ2 + ∆2

d0

K

(√∆2

d0

ξ2 + ∆2d0

)

(6.216)

unde E(x) si K(x) reprezinta integralele eliptice complete. Pentru a rezolvasi integrala dupa energii folosim reprezentarea celor doua functii eliptice prinintermediul unor serii complete, si astfel:

f(ξ,∆d0)

=π∆2

d0

4

1√ξ2 + ∆2

d0

+∞∑

j=1

1j + 1

[(2j − 1)!!

2j j!

]2 ∆2jd0(

ξ2 + ∆2d0

)k+1/2

.

(6.217)

Cu aceste considerente, dupa efectuarea integralei pe variabilele energetice,ecuatia generala pentru parametrul supraconductor la T = 0 devine ın limita

6.9 Influenta pseudogapului asupra starii supraconductoare 221

∆d0 ¿ W :

1gd

∼= lnW

∆d0+

∞∑

k=1

k−1∑

j=0

(−1)j

k + 1

[(2k − 1)!!

2kk!

]2 Cjk−1

2j + 1. (6.218)

Dubla sumare ın cel de-al doilea termen din partea dreapta a ecuatiei (6.218)se poate efectua exact obtinandu-se valoarea ln (2/

√e), si deci

∆d(0) =2W√

eexp

[− 1

gd

]. (6.219)

Temperatura critica caracteristica tranzitiei metal–supraconductor se obtineın cazul ın care parametrul de ordine supraconductor se anuleaza, si poate fiobtinuta din ecuatia:

1gd

=∫ W/2

−W/2dξ

1ξ

tanhξ

2Tc

∫ 2π

0

dθ

2πcos2 θ . (6.220)

Aceasta ecuatie poate fi rezolvata relativ simplu, obtinandu-se

Tc =γ

πW exp

[− 1

gd

]. (6.221)

Observam ca valoarea temperaturii critice pentru o simetrie de tip d-wave nudifera foarte mult de cea din cazul unei simetrii de tip s-wave. Ceea ce ınsa estediferit, este valoarea raportului R = 2∆d(0)/Tc, care ın cazul simetriei d-waveeste 4,28, valoare mai mare decat cea obtinuta ın cazul supraconductorilorclasici.

6.9 Influenta pseudogapului asupra starii supracon-

ductoare

Dezvoltarea recenta a tehnicilor experimentale, ın special a spectroscopiei prinfotoemisie, a permis identificarea ın spectrul excitatiilor starii normale a supra-conductorilor cu temperatura ridicata a unei benzi de energie interzise, cunos-cuta ın literatura de specialitate sub numele de pseudogap. Aceasta propri-etate a starii normale este caracterizata de o temperatura T ∗, astfel ıncat


ın domeniul de temperaturi Tc < T < T ∗ proprietatile sistemului sunt di-rect influentate de prezenta pseudogapului. Evident, ın aceasta situatie neasteptam ca si starea supraconductoare a sistemului sa fie caracterizata deproprietati fizice modificate. Din punct de vedere experimental, exista douascenarii diferite pentru descrierea pseudogapului. In primul scenariu, mecanis-mul de aparitie al pseudogapului este acelasi cu cel al starii supraconductoare,adica, perechile Cooper se formeaza la temperatura T ∗, dar condenseaza doarla o temperatura Tc, temperatura la care apare starea supraconductoare ınaceste sisteme. Cel de-al doilea scenariu, presupune ca mecanismul de aparitieal pseudogapului este diferit de cel al starii supraconductoare, astfel ıncatpseudogapul poate fi identificat inclusiv ın starea supraconductoare, undeparametrul de ordine supraconductor coexista cu pseudogapul. Din punctde vedere teoretic aceste doua ipoteze implica abordarea sistemului completdiferit. In continuare vom prezenta o teorie simpla, derivata din teoria BCS,ın care vom analiza influenta pseudogapului asupra proprietatilor starii supra-conductoare [37]. Ipoteza noastra de lucru este ca mecanismul de aparitie alpseudogapului este diferit de mecanismul de aparitie al starii supraconduc-toare.

Pentru a simplifica descrierea pseudogapului ın starea normala vom pre-supune ca prezenta acestuia introduce ın self–energia electronica un termennou, care ın conformitate cu datele experimentale poate fi scris ca

Σ(~k, iωn) = −E2g (~k)G0(−~k,−iωn) , (6.222)

unde G0(~k, iωn) reprezinta functia Green electronica, iar Eg(~k) caracterizeazaexistenta pseudogapului ın starea normala. Pentru a determina functia Greenelectronica ın prezenta pseudogapului folosim ecuatia Dyson, obtinand

G(~k, iωn) =u2

~k

iωn −E~k

+v2~k

iωn + E~k

, (6.223)

cu E2~k

= ξ2~k

+ E2g (~k), u2

~k= 1

2(1 + ξ~k/E~k

) si v2~k

= 12(1 − ξ~k

/E~k). Observam

ca aceasta functie Green este foarte asemanatoare cu functia Green normalacaracteristica starii supraconductoare. Evident ınsa, ea va caracteriza starea


normala a sistemului. Experimental, din punct de vedere al simetriei pseu-dogapului s-a stabilit ca aceasta este aceeasi cu cea a parametrului de ordinesupraconductor. Astfel, putem considera

Eg(~k) = Eg cos 2θ , (6.224)

unde θ = arctan (ky/kx). Cunoasterea simetriei pseudogapului permite evalu-area densitatii de stari energetice (DOS) ın starea normala, pe baza relatiei:

N(ω) = − 1π

∫d~k

(2π)2Im G(~k, ω) . (6.225)

Un calcul relativ simplu conduce la urmatoarea densitate de stari energeticeın prezenta pseudogapului:

N(ξ) =N0

πf

(ξ

Eg

), (6.226)

unde

f

(ξ

Eg

)=

|ξ|Eg

K( |ξ|

Eg

), |ξ| < Eg

K(

Eg

|ξ|)

, |ξ| > Eg

.

In aceasta relatie N0 reprezinta DOS pentru un gaz electronic bidimensional,iar K(x) este integrala eliptica completa de ordinul ıntai. Aceasta densitatede stari energetice este modificata de prezenta defectelor si a impuritatilor ınsistem, astfel ca, pentru a considera si aceste efecte aproximam DOS prin:

N(ξ) =

12N0

|ξ|Eg

, |ξ| < Eg

12N0, |ξ| > Eg

. (6.227)

Dupa cum anticipam, vom considera o aproximatie asemanatoare teorieiBCS pentru caracterizarea starii supraconductoare, cu diferenta ca ın cazulde fata starea normala este caracterizata de prezenta pseudogapului. Astfelvom considera ecuatiile Gorkov, ın care functia Green electronica libera esteınlocuita cu functia Green modificata (6.223):

G−1(~k, iωn)G(~k, iωn) + ∆(~k)F†(~k, iωn) = 1 ,

∆∗(~k)G(~k, iωn)−G−1(−~k,−iωn)F†(~k, iωn) = 0 . (6.228)


G(~k, iωn) si F(~k, iωn) reprezinta functia Green normala si respectiv functiaGreen anomala corespunzatoare starii supraconductoare. Parametrul de or-dine supraconductor va fi definit prin

∆(~k) = −T∑n

∫d~p

(2π)2Veff (~k, ~p)F†(~p, iωn) . (6.229)

Termenul de interactiune Veff (~k, ~p) este atractiv avand o simetrie de tip d-wave, si este responsabil pentru formarea perechilor Cooper ın sistem. Celedoua ecuatii (6.228) pot fi rezolvate relativ simplu, si astfel obtinem ecuatiagenerala pentru parametrul de ordine supraconductor ın prezenta pseudoga-pului:

− 1Vd

=∫

d~p

(2π)2ψ2(~p)

2√

∆4(T ) + 4∆2(T )E2g

× A2(T )√

ξ2~p + A2(T )ψ2(~p)

tanh

√ξ2~p + A2(T )ψ2(~p)

2T

− B2(T )√ξ2~p + B2(T )ψ2(~p)

tanh

√ξ2~p + B2(T )ψ2(~p)

2T

,

(6.230)

unde

A2(T ) = E2g +

12

[∆2(T ) +

√∆4(T ) + 4∆2(T )E2

g

],

B2(T ) = E2g +

12

[∆2(T )−

√∆4(T ) + 4∆2(T )E2

g

]. (6.231)

In ecuatia (6.230) proprietatile de simetrie ale pseudogapului, Eg(~k), celeale parametrului de ordine supraconductor, ∆(~k), si cele ale termenului deinteractiune, Veff (~k, ~p), sunt incluse ın factorul de simetrie ψ(~p) = cos 2θ~p

(θ~p = arctan (py/px)). Cazul teoriei BCS se obtine simplu din aceasta ecuatie,considerand limita Eg → 0, caz ın care A(T ) → ∆(T ) si B(T ) → 0.

Rezolvarea analitica a ecuatiei (6.230) pentru valori finite ale temperaturiieste foarte complicata. Oricum, pentru cazurile T = 0 si T = Tc solutia


ecuatiei poate fi aproximata, pentru a obtine parametrul de ordine supracon-ductor, ∆(0), si respectiv temperatura critica, Tc, corespunzatoare tranzitieisupraconductoare.

6.9.1 Parametrul de ordine supraconductor la T = 0 K si tem-

peratura critica

Sa consideram mai ıntai cazul ın care T = 0 K. In aceasta limita ecuatiapentru parametrul de ordine supraconductor poate fi obtinuta considerandtanh (x/2T ) → 1. O alta aproximatie pentru simplificarea calculelor este

A2(0) ∼= ∆2(0) + 2E2g ,

B2(0) ∼= 0 , (6.232)

o aproximatie ce poate fi justificata pe baza alegerii unei scale de energii ınconformitate cu datele experimentale. Astfel:

1gd

=∫ W/2

−W/2dξf

(ξ

Eg

)

×∫ 2π

0

dθ

2π

cos2 2θ√ξ2 + (∆2(0) + 2E2

g ) cos2 2θ, (6.233)

unde gd = −VdN0/4. Cele doua integrale, dupa variabile unghiulare si dupavariabile de energie pot fi calculate folosind aceeasi procedura ca si ın cazulteoriei BCS pentru o simetrie de tip d-wave, obtinandu-se:

∆(0) = ∆0d(0)

[1− Eg

∆0(0)− 3E2

g

2∆20(0)

], (6.234)

unde ∆0d reprezinta parametrul de ordine supraconductor la T = 0 K ınabsenta pseudogapului. Observam, ın consecinta, o reducere a parametruluide ordine supraconductor ın prezenta pseudogapului.

Temperatura critica corespunzatoare tranzitiei supraconductoare poate ficalculata din ecuatia (6.229) folosind definitia uzuala ∆(Tc) = 0:

1Vd

= Tc

∑n

∫ 2π

0

dθ

2π


×∫

dξN(ξ)cos2 2θ

(iωn)2 − ξ2

1[1− E2

g cos2 2θ

(iωn)2−ξ2

]2 . (6.235)

Pentru a rezolva aceasta ecuatie va fi mult mai simplu sa efectuam sumareadupa frecventele Matsubara dupa integrarea pe variabilele energetice. Astfel:

Tc = Tc0

[1− 1

4Eg

Tc0− 21ζ(3)

16π2

(Eg

Tc0

)2]

, (6.236)

unde Tc0 reprezinta temperatura critica ın absenta pseudogapului, temper-atura critica ce se calculeaza folosind relatia (6.221). Observam ca temper-atura critica corespunzatoare tranzitiei supraconductoare este redusa dras-tic de prezenta pseudogapului. Mai mult, valoarea temperaturii critice estepozitiva doar pentru anumite valori ale pseudogapului, ceea ce din punctde vedere fizic implica existenta unei valori minime a interactiunii atractiveelectron–electron pentru care starea supraconductoare este posibila, 1/Vcr =(m/4π) ln [0, 892 W/(Eg)]. Starea supraconductoare este posibila doar ın cazulV > Vcr.

6.9.2 Coeficientii Ginzburg–Landau ın prezenta pseudogapu-

lui

Diferenta dintre energia libera corespunzatoare starii supraconductoare si re-spectiv a celei normale poate fi calculata folosind ecuatia

FS − FN = A|∆(T )|2 + q2C|∆(T )|2 +B

2|∆(T )|4 , (6.237)

unde indicele S reprezinta starea supraconductoare, N starea normala, iarA, B, C reprezinta coeficientii Ginzburg–Landau. Acesti coeficienti pot ficalculati astfel [38]:

A ≡ 1V− T

∑n

∫d~k

(2π)2ψ2(~k)

[G(~k, iωn)G(−~k,−iωn)

+ F(~k, iωn)F(−~k,−iωn)]

,

(6.238)


B ≡ Tc

∑n

∫d~k

(2π)2ψ2(~k)

[G(~k, iωn)G(−~k,−iωn)

+ F(~k, iωn)F(−~k − iωn)]2

, (6.239)

iar C este coeficientul termenului q2|∆(T )|2 din dezvoltarea ın serie Taylor aurmatoarei expresii:

−Tc

∑n

∫d~k

(2π)2ψ2(~k)

[G(~k +

~q

2, iωn)G(−~k +

~q

2,−iωn)

+ F(~k +~q

2, iωn)F(−~k +

~q

2,−iωn)

].

(6.240)

Calculul acestor coeficienti se face urmand procedura standard de ınlocuirea integralei dupa variabile de impuls printr-o integrala dupa variabile ener-getice prin intermediul densitatii de stari. Pentru evaluarea coeficientului A,potentialul de interactiune va fi ınlocuit cu valoarea sa functie de temperaturacritica (6.235). Un calcul simplu, dar destul de elaborat, conduce la valoarea

A(T ) =N0

4T − Tc

TcfA(Eg) , (6.241)

unde Tc reprezinta temperatura critica corespunzatoare tranzitiei supracon-ductoare, iar

fA(Eg) = 1− 14

Eg

Tc0− 21ζ(3)

8π2

E2g

T 2c0

. (6.242)

Coeficientii B(Tc) si C(Tc) pot fi calculati ın mod asemanator obtinandu-se

B(Tc) =21ζ(3)N0

128π2T 2c

fB(Eg) (6.243)

si

C(Tc) =7ζ(3)N0v

2F

64π2T 2c

fC(Eg) , (6.244)

unde vF reprezinta viteza Fermi, iar

fB(Eg) = 1 +30ζ(4)7π2ζ(3)

Eg

Tc0− 155ζ(5)

28π2ζ(3)

(Eg

Tc0

)2

, (6.245)


fC(Eg) = 1− 255ζ(4)14πζ(3)

Eg

Tc0+

31ζ(5)7π2ζ(3)

(Eg

Tc0

)2

. (6.246)

Mentionam ca ın limita Eg → 0 reobtinem valorile coeficientilor Ginzburg–Landau corespunzatori teoriei BCS pentru o simetrie de tip d-wave.

6.9.3 Proprietati termodinamice ale starii supraconductoare

ın prezenta pseudogapului

Coeficientii Ginzburg–Landau pot fi folositi pentru obtinerea de informatii de-spre starea supraconductoare, si implicit despre efectul pseudogapului asupraproprietatilor fizice ale acesteia. Vom evalua lungimea de coerenta, ξ(T ),lungimea de penetrare, λ(T ), si saltul caldurii specifice ın punctul de tranzitie,∆γ(T ) [38].

Sa consideram pentru ınceput lungimea de coerenta. Prin definitie, acestparametru al starii supraconductoare poate fi calculat pe baza relatiei

ξ2(T ) = −C

A. (6.247)

Pentru a simplifica interpretarea rezultatelor, exprimam lungimea de coerentaın prezenta pseudogapului ca functie de lungimea de coerenta obtinuta ınteoria BCS pentru o simetrie de tip d-wave, ξ0(T ). Astfel, avem

ξ(T )ξ0(T )

=1

fT (Eg)

√fC(Eg)fA(Eg)

√1− T/Tc0

1− T/[fT (Eg)Tc0], (6.248)

unde fT (Eg) poate fi extrasa rescriind valoarea temperaturii critice ın prezentapseudogapului sub forma Tc = Tc0fT (Eg). Figura 6.4 prezinta efectul pseudo-gapului asupra lungimii de coerenta. Observam ca ın prezenta pseudogapuluilungimea de coerenta se reduce semnificativ, lucru observat experimental ıncazul supraconductorilor cu temperatura critica ridicata, pentru care lungimeade coerenta este mult mai mica decat ın cazul supraconductorilor standard.

Experimental, dependenta de temperatura a lungimii de coerenta si alungimii de penetrare este aceeasi. Acest lucru poate fi ınteles pe baza definitieicelor doi parametrii, lucru evident daca ne reamintim definitia lungimii de


0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T/Tc0=0.9 T/Tc0=0.8

ξξ ξξ(T)

/ ξξ ξξ 0(T

)

Eg / Tc0

Figura 6.4: Valoarea relativa a lungimii de coerenta ın prezenta pseudogapuluipentru diferite valori ale temperaturii ın regiunea critica.

penetrare, λ(T ), functie de coeficientii Ginzburg–Landau:

λ2(T ) = − c2

32π2e2

B

AC, (6.249)

unde c reprezinta viteza luminii ın vid si e sarcina electronului. Observam pebaza definitiilor ca cei doi parametrii, lungimea de coerenta si lungimea depenetrare, depind ın acelasi mod de coeficientul A, singurul coeficient depen-dent de temperatura. Lungimea de penetrare este la randul ei influentata deprezenta pseudogapului

λ(T )λ0(T )

=

√fB(Eg)

fA(Eg)fC(Eg)

√1− T/Tc0

1− T/[fT (Eg)Tc0], (6.250)

λ0(T ) fiind valoarea lungimea de penetrare obtinuta folosind teoria BCS ıncazul unui parametru de simetrie de tip d-wave. Figura 6.5 prezinta val-oarea relativa a lungimii de penetrare ca functie de valoarea pseudogapuluiın regiunea critica din jurul punctului de tranzitie. O crestere semnificativaa lungimii de penetrare este explicata de existenta pseudogapului, un efectobservat deasemenea ın experiment.


0.00 0.05 0.10 0.15 0.200

2

4

6

8

10

12

14

T/Tc0=0.9 T/Tc0=0.8

λλ λλ(T)

/ λλ λλ 0(T

)

Eg / Tc0

Figura 6.5: Valoarea relativa a lungimii de penetrare ın prezenta pseudogapu-lui pentru diferite valori ale temperaturii ın regiunea critica.

Masurarea caldurii specifice ın materiale supraconductoare cu temperaturacritica ridicata reprezinta o noua sursa de rezultate anomale. Daca ın cazulsupraconductorilor standard, dependenta de temperatura a caldurii specificejustifica existenta unui parametru de ordine supraconductor ın starea ordo-nata, pentru spraconductorii cu temperatura critica ridicata acest parametruprezinta anomalii atat ın starea normala cat si ın punctul de tranzitie. In stareanormala pentru cazul unui dopaj slab, coeficientul caldurii specifice este de-pendent de temperatura avand un maxim ın jurul temperaturii T ∗, ın contrastcu cazul teoriei lichidului Fermi care prezice un coeficient al caldurii specificeindependent de temperatura. In acceasi regiune a diagramei de faza core-spunzatoare supraconductorilor cu temperatura critica ridicata saltul calduriispecifice ın punctul de tranzitie prezinta anomalii, acest salt scazand odata cucresterea valorii pseudogapului ın starea normala.

Cunoasterea valorii coeficientilor Ginzburg–Landau permite deasemenea


0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.80

0.84

0.88

0.92

0.96

1.00

∆γ∆γ ∆γ∆γ(T

c) / ∆

γ∆γ ∆γ∆γ0(T

c0)

Eg / Tc0

Figura 6.6: Valoarea relativa a saltului caldurii specifice ın punctul de tranzitieca functie de valoarea pseudogapului.

calculul saltului caldurii specifice ın punctul de tranzitie,

∆γ(Tc) =Cs − Cn

Tc=

1B

(A

T − Tc

)2

. (6.251)

Aceasta relatie permite evaluarea valorii relative a saltului caldurii specificeın prezenta pseudogapului

∆γ(Tc)∆γ(Tc0)

=f2

A(Eg)fB(Eg)

. (6.252)

Figura 6.6 prezinta valoarea relativa a saltului caldurii specifice ın punctulde tranzitie. Observam o descrestere a acestui parametru odata cu cresteravalorii pseudogapului, rezultat ce este ın concordanta cu datele experimentale.Un calcul similar a fost efectuat folosind teorema Pauli, obtinandu-se acelasirezultat [39].

In concluzie, analiza influentei pseudogapului asupra starii supraconduc-toare releva faptul ca existenta unei benzi de energie interzise ın starea nor-mala a acestor compusi este defavorabila fenomenului de supraconductibilitate.


Acest lucru poate fi usor ınteles fiindca prezenta pseudogapului la nivelul Fermireduce numarul de electroni ce pot forma perechi Cooper.

Capitolul 7

Sisteme Bose ın interactiune

Sistemele Bose ın interactie sunt formate din particule care satisfac statisticaBose-Einstein si interactioneaza slab ıntre ele. Exemple tipice sunt atomii de4He, atomii metalelor alcaline la temperaturi joase si cuasiparticulele de tipulfononilor sau a undelor de spin. Fenomenele fizice cele mai interesante suntasociate cu aparitia ın aceste sisteme a unor faze cuantice macroscopice. Celmai cunoscut fenomen este condensarea Bose-Einstein, studiata ınca din 1925,pentru un gas bosonic liber. Un alt efect cuantic macroscopic, ın sistemele debosoni, este fenomenul de suprafluiditate [40, 41], descoperit ın 4He si explicatde Bogoliubov prin condensarea bosonilor ın interactiune. Dificultatea prin-cipala a acestor tipuri de teorii, care aplica metode perturbative ın sistemebosonice ın interactiune, este ca ın 4He interactiunile sunt puternice, ceea ceduce la invalidarea aproximatiilor sau la acceptarea lor sub rezerva unui modelmult simplificat si nerealist. In concluzie, pentru suprafluiditate, fenomenolo-gia Landau-Feynman ofera explicatii partiale, iar teoria microscopica Bogoli-ubov ramane valabila la nivel calitativ [42].

7.1 Condensarea Bose-Einstein ın gazul liber

Consideram un gaz Bose liber, la temperatura finita T . Condensarea are locsub o anumita temperatura T 0

c , numita temperatura critica, determinata de

233

234 SISTEME BOSE ıN INTERACTIUNE

egalitatea dintre lungimea de unda termica λT si distanta medie ıntre particule.Pentru un gaz Bose d-dimensional, cu densitatea n, aceasta lungime este deordinul n−1/d, iar conditia pentru determinarea temperaturii T 0

c este:

2√

π

T 0c

∼ n−1/d (7.1)

din care se obtine:T 0

c ' 4πn2/d (7.2)

Termodinamica sistemului se obtine din functia de partitie Z ın ansamblulmacrocanonic, care are forma:

Z =∫

Dψ+ Dψ exp[−S(ψ+, ψ)] (7.3)

unde marimea S numita actiune are forma:

S(ψ+, ψ) =∫ β

0dτ

∫ddx ψ+(~x, τ) [∂τ −∇2 − µ] ψ(~x, τ) (7.4)

τ fiind timpul imaginar, iar β = 1/T . Operatorii pentru bosoni, ψ(~x, τ), potfi transformati ın ψ(~k, ωn) si functia Green a gazului Bose liber are forma:

D0(~k, ωn) =1

ω2n − (k2 − µ)2

[k2 − µ ωn

−ωn k2 − µ

](7.5)

unde se considera energia cinetica a bosonilor ca fiind ε~k = k2 (aici vom lua2m = 1) si ωn = 2πnT .

Energia libera F (T, µ) se obtine din relatia generala:

F = − 1V

T ln Z = Tr ln[D−10 (~k, ωn)] (7.6)

ın care Tr este echivalenta cu efectuarea sumelor peste frecventele ωn si inte-grarea ın spatiul ~k. Folosind relatiile (7.5) si (7.6) se obtine expresia generalaa energiei libere:

F =∫

ddk

(2π)d

k2 − µ

2+ T ln

[1− exp

(−β

(k2 − µ

))](7.7)

7.1 Condensarea Bose-Einstein ın gazul liber 235

Primul termen este energia de zero si este infinita. Considerand pentru campulbosonic si energia de vid, aceasta are aceeasi valoare, dar cu semn contrar, ast-fel ca F dat de relatia (7.7) ramane finit. Ipoteza fundamentala ın condensareaBose-Einstein este ca, desi nu avem interactie, o fractiune n0 de particule trecın starea fundamentala, considerata o stare cu impuls ~k = 0, iar o fractiunenex raman ın starile excitate. Aici este important sa mentionam doua aspecte:

• Fenomenul de aglomerare ın starea fundamentala, numit condensareBose-Einstein se poate descrie numai ın spatiul ~k, si apare ın lipsa uneiinteractiuni.

• Din acest motiv, trecerea dintr-o stare ın alta, datorita variatiei temper-aturii, nu este o tranzitie de faza ın sensul definitiei termodinamice, desi setrateaza analog.

Densitatea totala n este:

n = n0 + nex (7.8)

unde:

nex =∫

ddk

(2π)dfB(k2 − µ, T ) (7.9)

Aici s-a notat (pentru evitarea confuziilor) fB(α) functia de distributie Bose-Einstein, iar expresia de mai sus are sens daca µ ≤ 0. In cazul µ > k2, pentru ovaloare kc numarul de ocupare cu k < kc este negativ obtinandu-se un rezultatnefizic. Din ec.(7.9) se calculeaza:

nex(T ) =1

(λT )dgd/2(z) (7.10)

unde z = eβµ, iar functia gν(z) este definita prin:

gν(z) =1

Γ(ν)

∫ ∞

0dx

xν−1

z−1ex − 1(7.11)

Γ(ν) este functia gama a lui Euler. Pentru z ¿ 1 functia gν(z) se dezvoltasub forma:

gν(z) =∞∑

l=1

zl

lν(7.12)


In limita z → 1 si ν ≤ 1, g1(z) se aproximeaza prin:

g1(z) = − ln(1− z) (7.13)

deci pentru z → 1, gν(z) este divergenta logaritmic. Prin substitutia z = e−a

obtinem:

g1(e−a) ' ln(1/a) (7.14)

iar pentru a → 0, daca ν < 1 functia gν(e−a) devine:

gν(e−a) =1

a1−νΓ(1− ν) (7.15)

pentru 0 < ν < 1.Temperatura critica T 0

c se calculeaza din conditia z(T 0c ) = 1 si din ec.(7.10)

se obtine:

λdT (T 0

c ) nex = ζ(d/2) (7.16)

Aici s-a folosit gν(1) = ζ(ν), ζ(ν) fiind functia zeta a lui Riemann. In cazuld = 3, T 0

c este data de expresia:

T 0c = 4π

[n

ζ(3/2)

]2/3

(7.17)

si:

n(T ) = n

[1−

(T

T 0c

)3/2]

(7.18)

Aceste rezultate vor fi acum generalizate la o dimensiune arbitrara, pentru astudia dependenta de dimensiunea d a temperaturii critice. Din ec.(7.16) secalculeaza:

T 0c =

12π

[n

ζ(d/2)

]2/d

(7.19)

Din ecuatia generala (7.16) se constata ca pentru d ≤ 2, λT → ∞ si T 0c → 0,

ceea ce arata ca nu exista condensare Bose-Einstein la temperaturi finite, ınsisteme cu dimensionalitatea d care satisface conditia d ≤ 2, ın limita termod-inamica. Acest rezultat este echivalent cu teorema Mermin-Wagner pentrutranzitiile de faza reale, care apar ın prezenta interactiilor.

7.2 Condensarea Bose-Einstein ın sisteme Bose ın interactiune 237

7.2 Condensarea Bose-Einstein ın sisteme Bose ın

interactiune

Modelul gazului Bose cu interactie slaba de natura repulsiva a fost studiat deBogoliubov, pentru explicarea fenomenului de suprafluiditate. Modelul nu esterealist pentru condensarea ın 4He, dar condensarea Bose-Einstein s-a realizatın sisteme de atomi ai metalelor alcaline, la densitati mici, unde modelul estevalabil.

Actiunea, pentru un sistem Bose ın interactie, are forma:

S =∫ β

0dτ

∫d~x

ψ+(~x, τ)

[∂τ −∇2 − µ

]ψ(~x, τ) +

g

2|ψ+(~x, τ)ψ(~x, τ)|2

(7.20)unde constanta de cuplaj g = 8πa, iar a este lungimea caracteristica ın cazulciocnirilor de tip s.

Temperatura critica ın prezenta interactiilor, Tc, se obtine din conditiaµ(Tc) = 0, unde ψ+(0, 0) si ψ(0, 0) au valori finite, astfel ca operatorii ψ+(~x, τ)si ψ+(~x, τ) au forma:

ψ(~x, τ) = ψ0 + ψ1(~x, τ) (7.21)

ψ+(~x, τ) = ψ+0 + ψ+

1 (~x, τ) (7.22)

unde ψ0 este dat prin ecuatia:

|ψ0|2 +∑

k 6=0

fB(ε~k, µ = 0) = n (7.23)

Folosind ecuatiile (7.21) si (7.22) se obtine, pentru actiunea data de relatia(7.20), forma S = S0 + S1, unde:

S0[ψ0] =∫ β

0dτ

∫d~x

[µψ2

0 −g

2ψ4

0

](7.24)

S1[ψ0, ψ1] =∫ β

0dτ

∫d~x

ψ+

1 ∂τψ1 +g

2ψ2

0(ψ1 + ψ+1 )2

(7.25)

Din actiunea data de relatia (7.24) se calculeaza imediat potentialul termodi-namic:

Ω0(ψ0, µ) = −µψ20 +

g

2ψ4

0 (7.26)


iar din conditia de minim obtinem:

ψ0 =√

µ

g(7.27)

Energia libera are expresia:

F (ψ0) = −µ2

2g(7.28)

Densitatea n, definita prin n = −∂F/∂µ, va da pentru potentialul chimicexpresia urmatoare:

µ = gn (7.29)

care este rezultatul din cadrul aproximatiei Hartree. Energia starii fundamen-tale, E0, este ın acest caz:

E0 = F + µn = 4πan2 (7.30)

Spectrul excitatiilor elementare se determina prin calculul functiei de corelareχ(~k, ω), pentru sistemul care contine si contributia S1, adica a dependenteispatio-temporale ın operatorii ψ1(~x, τ). Pentru simplificarea calculului intro-ducem notatia:

ψ1(~x, τ) =1√2

[X(~x, τ) + iY (~x, τ)] (7.31)

si expresia actiunii devine:

S[ψ0, X, Y ] = S0 +∫ β

0

dτ

2

∫d~x

X

[∇2 + 2gψ2

0

]X + Y

[−∇2

]Y + 2iX∂τY

(7.32)In obtinerea acestei expresii am folosit identitatea:

∫ β

0dτ X∂τX =

12

X2

∣∣∣∣β

0= 0 (7.33)

(aici X(~x, τ) = X(~x, τ + β)) si teorema Gauss:

12

∫d~x (X∇2Y − Y∇2X) =

12

∫d~x (X∇Y − Y∇X) = 0 (7.34)

Transformarea folosita prin introducerea combinatiei data de ecuatia (7.31) de-scrie de fapt fluctuatiile ın amplitudine si faza a campului asociat cu fenomenul

7.2 Condensarea Bose-Einstein ın sisteme Bose ın interactiune 239

de condensare Bose-Einstein. Prin introducerea vectorului Φ(~k, ωn) definitastfel:

Φ(~k, ωn) =1√2

(X(~k, ωn)Y (~k, ωn)

)(7.35)

(aici X(~k, ωn) si Y (~k, ωn) sunt transformatele Fourier a marimilor X(~x, τ) siY (~x, τ)), obtinem actiunea sub forma:

S = S0 +12

∑

~k,ωn

Φ+(~k, ωn) χ−1(~k, ωn) Φ(~k, ωn) (7.36)

unde χ(~k, ωn) este propagatorul excitatiilor bosonice datorita fluctuatiilor am-plitudinii, si are forma:

χ(~k, ωn) = −12

1k2(k2 + 2gψ2

0) + ω2n

[k2 −ωn

ωn k2 + 2gψ20

](7.37)

Polii acestui propagator dau energia excitatiilor, care are forma (iωn = ω):

ω(k) =√

k2(k2 + 2gψ20) = k

√k2 + k2

0 (7.38)

unde k20 = 2gψ2

0. Pentru |~k| ¿ k0, ω(k) devine:

ω(k) ' s|~k| s = ψ0

√2g (7.39)

Pentru k > k0, energia ω(k) este aproximata cu energia particulelor ın lipsainteractiei. In aproximatia cea mai simpla, folosita de Bogoliubov, µ = gψ2

0 sispectrul energetic este de forma:

ω(k) = k√

k2 + 2µ (7.40)

Energia libera se calculeaza cu ajutorul relatiei (7.6):

F (µ, T ) = F0 − µ2

2g+

T

2π2

∫ ∞

0dk k2 ln

[1− e−βω(k)

](7.41)

La temperaturi joase, T ¿ 2µ si folosind expresia de mai sus, obtinem:

F (µ, T ) ' −µ2

2g

[1− 4

√2µg2

15π2

]− π2T 4

90(2µ)3/2(7.42)


Din aceasta expresie se calculeaza densitatea totala n = −∂F/∂µ, ca functiede temperatura:

n(T ) =µ

g

[1−

√2µg2

3π2

]+

π2T 4

30(2µ)5/2(7.43)

iar de aici potentialul chimic se obtine sub forma:

µ(T ) = ng

[1 +

√2ng3

3π2

]+

π2T 4

30(2µ)5/2(7.44)

Densitatea particulelor de pe nivelurile excitate, nex, se defineste prin me-dia nex(k) =

⟨Φ+(~k, ωn)Φ(~k, ωn)

⟩si se calculeaza folosind relatia (7.37), sub

forma:

nex(k) =12

∑ωn

k2 + ω2(k)ω2

n + ω2(k)(7.45)

Densitatea totala de particule se calculeaza, ın limita T ¿ 2ng, ca:

n(T ) = n0 +1

4π2

∫ ∞

0dk

k2[k2 + ω2(k)]ω(k)

fB[ω(k)] (7.46)

si se aproximeaza ın final prin (rezultat obtinut de Lee si Yang):

n(T ) ' n0

1 +

83

√n0a3

π

+

T 2

24√

2gn0(7.47)

Din expresia (7.47) putem calcula parametrul [n(T ) − n0]/n0, care masoaradensitatea relativa de particule care trec din starea condensta ın starea nor-mala, datorita temperaturii. La T = 0 acest numar se datoreste interactieisi este proportional cu

√na3, iar corectia ın temperatura este neglijabila la

temperaturi joase. Estimarile experimentale au aratat ca rezultatele teoreticeobtinute prin acesta metoda (de tip aproximatie de camp mediu) au abaterirelativ mici. O aproximatie mai buna a fost data de Popov, care consideravariatia cu temperatura a numarului de particule din starea condensata sicorecteaza marimile fizice ın limita temperaturilor ınalte. In jurul tempera-turii de condensare, aproximatia nu este valabila, dar ofera o explicatie cal-itativa pentru variatia temperaturii critice cu marimea interactiei, problema

7.3 Suprafluiditatea 241

care ınca nu este rezolvata. In teoriile existente, aceasta variatie are forma:

∆Tc

T 0c

= cn1/3a (7.48)

ın d = 3, dar constanta c nu a fost determinata cu acuratetea necesara, astfelca valoarea ei este diferita ın diferite lucrari, diferentele fiind chiar mari.

7.3 Suprafluiditatea

La presiuni joase 4He devine suprafluid sub o temperatura critica Tλ =2, 17 K, numita si punct critic λ , din cauza formei caldurii specifice CV (T ) ınapropierea acestui punct. Acest fluid este de fapt un fluid cuantic (lungimeade unda de Broglie asociata cu atomii este de ordinul distantei dintre partic-ule), starea suprafluida are vascozitate zero, iar fluidul poate curge prin tuburifara frecare. Faza fluida, la T > Tλ se numeste faza normala, iar trecereaıntre cele doua faze este o tranzitie de faza, asociata cu ruperea spontana desimetrie la simetria globala U(1). Starea condensata, ın limbajul tranzitiilorde faza, este, ın acest caz, starea suprafluida. Metodele teoretice de descrierea fenomenului aproximeaza sistemul de particule cu un sistem de bosoni ıninteractiune slaba. In realitate, acest fluid cuantic este un sistem Bose puter-nic corelat. Cea mai simpla abordare a fost cea datorata lui Bogoliubov, ıncare fenomenul de aparitie a suprafluiditatii este descris ca o condensare Bosea atomilor de 4He ın interactie slaba.

7.3.1 Fenomenologia starii suprafluide

Daca temperatura fluidului 4He ın contact cu vaporii este coborata sub Tλ,sistemul trece ıntr-o faza termodinamica diferita (numita si He II), ın carecaldura specifica prezinta o dependenta de forma C(T ) ∼ ln |T − Tλ| de am-bele parti (T > Tλ si T < Tλ) a temperaturii de tranzitie (critice). Aceastaforma a generat pentru tranzitia normal-suprafluid denumirea de tranzitie λ,dar descrierea teoretica a fenomenului este ınca nerezolvata. Proprietatilehidrodinamice a He II, descoperite de Kapitza, sunt deasemenea remarcabile.


Astfel, He II curge prin canale ınguste fara frecare cu peretii, ceea ce im-plica vascozitate nula. De fapt, acest lichid cuantic poate fi considerat ca unamestec ıntre o fractiune suprafluida, cu densitatea ρs si viteza ~vs si o com-ponenta normala, cu densitatea ρn si viteza ~vn. Componenta suprafluida esteun fluid irotational, ipoteza avansata de Landau, si ın acest caz ~vs satisfacerelatia:

∇× ~vs = 0 (7.49)

Curgerea unui suprafluid devine un fenomen disipativ la o viteza critica vc,care depinde de dimensiunea canalului si este independenta de temperatura.Studiul suprafluidului ın rotatie poate oferi informatii importante asupra aces-tei faze, chiar ın limita clasica. Daca viteza ~vs este mica ın comparatie cu vitezasunetului, se poate considera faza suprafluida ca incompresibila (∇ · ~vs = 0),ceea ce implica obtinerea acestei marimi ca solutie a ecuatiei Laplace, adica:

~vs =1m∇ϕ (7.50)

iar pentru potentialul ϕ:∇2ϕ = 0 (7.51)

Pentru a analiza efectul rotatiei presupunem o suprafata cilindrica, continandun suprafluid. Sistemul se roteste uniform, cu viteza unghiulara ω, si con-sideram drept conditie la frontiera ∂ϕ/∂n = 0. In acest caz obtinem, dinrelatiile (7.50) si (7.51), ϕ = const. si ~vs = 0. Relatia ∇ × ~vs = 0 implicafaptul ca faza suprafluida nu se roteste, iar forma suprafetei lichidului este:

z =ω2r2

2g

ρn

ρ(7.52)

unde r este raza, g este acceleratia gravitationala, iar ρ este densitatea totala.Experienta arata ınsa ca forma suprafetei este:

z =ω2r2

2g(7.53)

identica cu a fluidului clasic. Originea acestei diferente este relevanta, aducandaspecte fizice noi. Pentru simetria cilindrica, relatia ∇× ~vs = 0 are solutia de


forma:

~vs(~r) =C

rθ (7.54)

unde ~r = (r, θ). Daca ∇ × ~vs este satisfacuta pentru orice r, inclusiv r = 0,constanta C = 0, ceea ce nu este ın acord cu experienta. Pentru a rezolvaaceasta dificultate Feynman sugereaza o alta restrictie asupra marimii ~vs(~r),mai slaba (ın sens matematic) decat cea a lui Landau [43]. Ideea lui Feyn-man este ca ~vs(~r) devine singulara ın puncte izolate ale fluidului, iar ”taria”singularitatii este caracterizata prin circulatia C, definita prin:

C =∮

d~l · ~v (7.55)

care corespunde solutiei:

~vs(~r) =C

2πrθ (7.56)

si care de fapt este viteza unui vortex liniar paralel cu axa Oz. Acest rezultata fost generalizat de Feynman, considerand ca He II ın rotatie contine unaranjament uniform al vortexurilor, pe unitatea de suprafata. Din relatia(7.55) se obtine, ın aceasta ipoteza:

mC =∮

d~l ·m~v =∮

d~l · ~p (7.57)

adica o conditie similara cu cea de cuantificare Bohr-Sommerfeld. Energiaunei linii de vortex este:

Ev =∫

d2r12ρsv

2s =

ρ2sC

2

4π

∫ R

ξ

dr

r=

ρ2sC

2

4πln

R

ξ(7.58)

unde R este o distanta finita, pentru a obtine o energie finita, iar ξ este razavortexului. Se observa ca problema este specific bidimensionala si forma datade relatia (7.58) are o importanta deosebita pentru ideea de vortex asociata cuperechile Cooper si cu tranzitia Kosterlitz-Tholess. Exista ınsa alte aspecte,cum ar fi termodinamica starii suprafluide, care nu se explica prin acesteconsiderente mai mult clasice.


7.3.2 Modelul cuasiparticulelor

Cercetarile experimentale au aratat ca la temperaturi foarte joase (T ¿ Tλ),caldura specifica a He II suprafluid depinde de temperatura proportionalcu T 3. Pentru a explica aceasta dependenta, Landau postuleaza aparitiaunor stari excitate [44], care se comporta ca un gaz cu interactii slabe ıntrecomponenti, cu energia:

εk = uk (7.59)

unde u este o viteza de ordinul vitezei sunetului. Acesta energie, similara culegea de dispersie ın cazul cuasiparticulelor, este valabila numai la valori miciale vectorului de unda k. La valori mai mari ale vectorului de unda spectruleste modificat si are forma:

εk = ∆ +(k − k0)2

2mr(7.60)

unde k0 este o valoare caracteristica pentru spectrul noilor excitatii, numiterotoni. Landau a obtinut acest parametru din dependenta de temperatura acaldurii specifice, gasind k0 = 1, 95 A−1, iar din masuratori de ımprastiere deneutroni s-a determinat valoarea k0 = 1, 91 A−1. Marimea ∆ este o valoareconstanta, care a fost determinata din date experimentale ca fiind ∆ = 8, 6−9, 6 K. In modelul propus de Landau energia libera este data de excitatiisimilare cu cuasiparticulele excitate termic, iar numarul de cuasiparticule nueste o marime care se conserva, astfel ıncat trebuie determinat din minimizareaenergiei libere F , prin conditia:

(∂F

∂N

)

T,V= 0 (7.61)

ceea ce arata ca potentialul chimic este zero. In acest caz, energia libera acuasiparticulelor are forma generala:

F (T, V ) = V T

∫d3k

(2π)3ln

[1− e−βεk

](7.62)

iar numarul de cuasiparticule este:

N(T, V ) = V

∫d3k

(2π)31

eβεk − 1(7.63)


Relatiile de mai sus sunt formule generale, valabile ın formularea termodinam-icii sistemelor ın care apar cuasiparticule. Folosind pentru energia εk formadata de relatiile (7.59) si (7.60), avem:

F = Fph + Fr (7.64)

N = Nph + Nr (7.65)

unde prima contributie se datoreste excitatiilor liniare descrise de relatia (7.59)(similara cu cazul fononilor), iar a doua excitatiilor rotonice. Din aceste relatiise calculeaza contributiile separate, fononice:

Nph =ζ(3)V

π2

(T

u

)3

(7.66)

Fph = −π2

90V T

(T

u

)3

(7.67)

si rotonice:

Nr =2V k2

0

(2π)3/2(mrT )1/2 e−∆/T (7.68)

Fr = −TNr (7.69)

Imediat se observa ca, ın limita temperaturilor foarte scazute, caldura specificaare un comportament de tipul T 3.

7.3.3 Suprafluiditatea o tranzitie de faza ?

In general, se ıncearca tratarea fazei suprafluide ca o stare condensata, ın sen-sul tranzitiilor de faza de ordinul doi. Aceasta stare cuantica macroscopicapoate fi descrisa cu ajutorul unor functii similare cu functia de unda dinmecanica cuantica, sau cu operatori de camp bosonici, de forma [45, 46, 47]:

ψ(~x, τ) = [ρ(~x, τ)]1/2 eiθ(~x,τ) (7.70)

Inlocuind aceasta forma ın relatia (7.20), actiunea S devine:

S =∫ β

0dτ

∫d~x

iρ ∂τθ +

[14ρ

(∇ρ)2 + ρ(∇θ)2]− (µ + δµ)ρ +

12gρ2

(7.71)


In aceasta expresie primul termen este neantalnit ın majoritatea problemelordin teoria sistemelor de multe particule si arata ca marimile ρ si θ (numarul departicule si faza) sunt variabile conjugate canonic. Pentru a obtine informatiidespre densitatea ρ, s-a introdus un camp conjugat δµ(~x, τ), aditional poten-tialului chimic. Vom considera cazul cand la temperaturi joase potentialulchimic µ este pozitiv, si cand ρ va fi dat de:

ρ = ψ20 + δµ =

µ

g+ δµ (7.72)

In ipoteza ca fenomenul de suprafluiditate apare la energii joase, vom utilizaın calcule faptul ca ωn si ~k (∂τ , ∇) sunt mici, si neglijand termenii de ordinuldoi (∇δρ)2, actiunea (7.71) devine:

S '∫ β

0dτ

∫d~x

iρ ∂τθ + ψ2

0(∇θ)2 +12g(δρ)2 − δµδρ

(7.73)

unde derivata fazei θ este mica, dar faza poate fi mare. Fizic, ınseamna caaceasta actiune poate descrie situatii ın care fluctuatiile fazei distrug faza con-densata. Aceasta forma a actiunii descrie integral proprietatile suprafluidului,la energii joase. Primul termen este irelevant pentru faza condensata (aparedeasemenea ın magnetism si descrie faza Berry), iar al doilea apare deoareceψ0 6= 0, si reprezinta ”rigiditatea” (stiffnes) fazei θ, similar cu termenii dinelasticitate sau magnetism. Al treilea termen descrie fluctuatiile densitatii,iar ultimul campul de test cuplat cu fluctuatiile densitatii. Curentul ~j(~x, τ)asociat cu functia de unda ψ(~x, τ) se calculeaza cu ajutorul relatiei cunoscute:

~j(~x, τ) =12i

ψ+(~x, τ) ∇ψ(~x, τ)−∇ψ+(~x, τ) ψ(~x, τ)

= 2ρ(~x, τ) ∇θ(~x, τ) ' 2ψ20∇(~x, τ) (7.74)

Actiunea exprimata de relatia (7.73) este similara cu actiunea unui oscilator,iar ecuatiile de miscare Heisenberg le vom obtine din conditia δS = 0:

∂θ(~x, t)∂t

= δµ(~x, t)− g δρ(~x, t) ≡ δµef (~x, t) (7.75)

∂ρ(~x, t)∂t

= −2ψ20 ∇2θ(~x, t) = −∇ ·~j(~x, t) (7.76)


unde am trecut la timpul real, prin τ → −it. Aceste ecuatii se numescecuatiile Josephson pentru suprafluiditate, dupa ecuatiile similare care de-scriu perechile Cooper ın cazul efectului Josephson. Se constata ca ın cazulsimplu a unui potential chimic omogen δµ = 0 si 〈θ(~x, t)〉 = θ(~x), adica fazaeste dependenta numai de coordonata spatiala, iar curentul

⟨~j(~x, t)

⟩= ~j(~x)

exista ın mod similar cu cel generat de tunelarea Josephson ın supraconduc-tori. In cazul δµ = 0 vom trece din nou ın spatiul k = (~k, ωn), si vom introducevectorul:

Φ(k) =

(δρ(k)θ(k)

)(7.77)

astfel ca actiunea exprimata prin relatia (7.73) devine:

S '∑

k

Φ+(k) χ−1(k) Φ(k) (7.78)

unde:

χ(k) =1

ω2n + ω2(k)

[2ψ2

0|~k|2 −ωn

ωn g

](7.79)

din care obtinem:ω(k) =

√2g ψ0|~k| = c|~k| (7.80)

Aceasta energie este egala cu cea din cazul studierii excitatiilor ın gazul Bosecu interactie slaba. Identitatea se datoreste aproximatiilor facute ın descriereafluctuatiilor fazei. Deci, ın cazul g = 0, chiar daca apare condensarea Bose,suprafluiditatea nu exista. Din aceste rezultate se poate calcula corelatiadensitate-densitate S(k), definita prin:

N

VS(k) = 〈δρ(k) δρ(−k)〉 = T

∑ωn

2ψ20 |~k|2

ω2n + ω2(k)

' 2ψ20 |~k|

ω(k)(7.81)

Daca vom aproxima acum N/V = ψ20, vom obtine pentru ω(k) urmatoarea

relatie:

ω(k) =2 |~k|2S(k)

(7.82)

sau, introducand unitatile 1 → 2m :

ω(k) =|~k|2

m S(k)(7.83)


Rezultatele anterioare sugereaza posibilitatea descrierii tranzitiei ın stareasuprafluida folosind teoria Landau, similar cu descrierea din supraconductibil-itate. Formal acest lucru este posibil, dar valabilitatea teoriei fenomenolog-ice este discutabila, din cauza faptului ca ın jurul punctului critic relatia|T − Tλ| ¿ Tλ nu este respectata. Din acest motiv este necesara formula-rea unei teorii care sa tina seama de interactia fluctuatiilor.

Bibliografie

[1] C. Kittel, ”Quantum Theory of Solids”, John Wiley, (1987).

[2] M. Gell-Mann and K.A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957).

[3] D. Pines and P. Nozieres, ”The Theory of Quantum Liquids”, vol. I,Benjamin, New York, (1966).

[4] J. Lindhard, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat.-Fys. Medd. 28, no. 8(1954).

[5] W.A. Harrison, ”Solid State Theory”, Dover, (1979).

[6] J. Friedel, Phil. Mag. 43, 153 (1952).

[7] L.D. Landau, Sov. Phys. JETP 3, 920 1957; 5, 101 (1957).

[8] Al. Anghel, ”Magnetismul metalelor”, Editura Dacia, Cluj-Napoca,(1986).

[9] S. Doniach and E.H. Sondheimer, ”Green’s Functions for Solid StatePhysicists”, World Scientific, (1998).

[10] A.A. Abrikosov, L.P. Gorkov, and I.E. Dzyaloshinski, ”Methods of quan-tum field theory in statistical physics”, Dover, New York (1975).

[11] A.L. Fetter and J.D. Walecka, ”Quantum Theory of Many Particle Sys-tems”, McGraw-Hill, (1971).

249

250 BIBLIOGRAFIE

[12] G. Rickayzen, ”Green’s Functions and Condensed Matter”, AcademicPress, London, (1980).

[13] L. D. Landau and E. M. Lifshits, ”Statistical Physics. Part 2”, Butter-worth – Heinemann, (1980).

[14] P. Fulde and J. Jensen, Phys. Rev. B 27, 4085, (1983).

[15] I. Grosu and M. Crisan, J. Supercond. 16, 981, (2003).

[16] N.E. Mott, Adv. Phys. 16, 49 (1967).

[17] N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, ”Solid State Physics”, Saunders,Philadelphia, (1976).

[18] T. Holstein and H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).

[19] P.W. Anderson, Phys. Rev. 86, 694 (1952).

[20] P.W. Anderson, Phys. Rev. 124, 41 (1961).

[21] M. Crisan, ”Teoria cuantica a magnetismului”, Editura Dacia, Cluj–Napoca, (1977).

[22] J.R. Schrieffer and D.C. Mattis, Phys. Rev. A 140, 1412 (1966).

[23] H.K. Onnes, Commun. Phys. Lab. 12, 120 (1911).

[24] W. Meissner and R. Ochsenfeld, Naturwiss. 21, 787 (1933).

[25] E. Maxwell, Phys. Rev. B 78, 477 (1950).

[26] J.G. Bednorz and K.A. Muller, Z. Phys. 64, 189 (1986).

[27] H. Frohlich, Phys. Rev. B 79, 845 (1950).

[28] J. Bardeen, L.N. Cooper, and J.R. Schrieffer, Phys. Rev. B 108, 1175(1957).

[29] L.P. Gorkov, Sov. Phys. JETP 7, 505 (1958).

BIBLIOGRAFIE 251

[30] V.L. Ginzburg and L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950).

[31] L.P. Gorkov, Sov. Phys. JETP 9, 1364 (1959).

[32] A.B. Migdal, Sov. Phys. JETP 7, 996 (1958).

[33] Y. Nambu, Phys. Rev. 117, 648 (1960).

[34] D. Scalapino, ın ”Superconductivity”, editor R.D. Parks (Dekker, NewYork 1969).

[35] W.L. McMillan, Phys. Rev. 167, 331 (1968).

[36] M. Crisan, I. Tifrea, and I. Grosu, J. Supercond. 13, 89 (2000).

[37] I. Tifrea, I. Grosu, and M. Crisan, Physica C 371, 104 (2002).

[38] I. Tifrea, J. Supercond. 16, 993 (2003).

[39] I. Tifrea and C. P. Moca, Eur. Phys. J. B 35, 33 (2003).

[40] F. London, ”Superfluids”, vol II, Dover, New York (1964).

[41] L. Tisza, Nature 141, 913 (1938).

[42] N.N. Bogoliubov, J. Phys. (URSS) 11, 23 (1947).

[43] R.F. Feynman, Phys. Rev. 91, 1301 (1953); 94, 262 (1954).

[44] L.D. Landau, J. Phys. (USSR) 5, 71 (1941); 11, 91 (1947);

[45] V.N. Popov, ”Functional integrals in quantum field theory and statisticalphysics”, C.D. Reidel, Dordecht (1983).

[46] H. Si and A. Griffin, Phys. Rep. 304, 1 (1998).

[47] M. Bijlsma and H.T.C. Stoof, Phys. Rev. B 54, 5085 (1996).

metode cuantice pentru studiul sistemelor cu multe particule

Documents