CUPRINS

ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã ………………………………………………. 3II. Mulţimi ………………………………………………………………………. 6III. Relaţii binare ………………………………………………………………... 9IV. Funcţii ………………………………………………………………………. 11V. Operaţii cu numere reale …………………………………………………….. 12VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi …………………………………………... 14VII. Numere complexe ………………………………………………………….. 16VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea ……………………………………... 18IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V ……………………………………... 24X. Logaritmi …………………………………………………………………….. 24XI. Metoda inducţiei matematice ……………………………………………….. 26XII. Analizã combinatorie ………………………………………………………. 27XIII. Progresii …………………………………………………………………... 29XIV. Polinoame …………………………………………………………………. 30XV. Permutãri, matrici, determinanţi …………………………………………… 32XVI. Sisteme lineare ……………………………………………………………. 35XVII. Structuri algebrice ………………………………………………………... 36

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIEI. Triunghiul …………………………………………………………………….. 39II. Poligoane convexe …………………………………………………………… 40III. Relaţii metrice în triunghi …………………………………………………... 40IV. Patrulatere …………………………………………………………………... 42V. Poligoane înscrise în cerc ……………………………………………………. 43VI. Cercul ……………………………………………………………………….. 43VII. Complemente de geometrie planã …………………………………………. 44VIII. Poliedre ……………………………………………………………………. 45IX. Corpuri rotunde ……………………………………………………………... 49X. Funcţii trigonometrice ……………………………………………………….. 50XI. Formule trigonometrice …………………………………………………….. 51XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice ……………………………………….. 53XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple ………………………………… 54XIV. Elemete de geometrie analiticã …………………………………………… 55

ANLIZÃ MATEMATICÃ I. Siruri ………………………………………………………………………….. 59

1

II. Limite de funcţii ……………………………………………………………... 61III. Funcţii derivabile …………………………………………………………… 64IV. Asimptote …………………………………………………………………… 67V. Primitive ……………………………………………………………………... 68VI. Integrale definite ……………………………………………………………. 70

ALGEBRÃ

2

I. Elemente de logicã matematicã

I.1. Noţiunea de propoziţieDefiniţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã

este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan.Se noteazã cu p,q, P, QEx: 1) Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie

adevãratã.2) x + 5 = 3, xN este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un

numãr natural astfel ca x + 5 = 33) x y, x,yN este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci

nu este o propoziţie.Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii. Dacã o propoziţie p

este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logiciNegaţia

Definiţia I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, .

Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p).

p non p1 00 1

ConjuncţiaDefiniţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este

adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã.Se noteazã: p q

Tabela de adevãr a propoziţiei p q este:

p q p q

3

1 1 11 0 00 1 00 0 0

DisjuncţiaDefiniţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este

adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã.Se noteazã: p qTabela de adevãr a propoziţiei p q este:

p q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0

ImplicaţiaDefiniţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã

dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã.Se noteazã: (non p) sau q, pq şi se citeşte: “p implicã q” sau “dacã p, atunci

q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia.Tabela de adevãr a propoziţiei pq este:

p q non p (non p)q1 1 0 11 0 0 00 1 1 10 0 1 1

Echivalenţa logicãDefiniţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic, dacã şi numai dacã

p, q sunt adevãrate sau false simultan.Se noteazã (non p)q şi (non q)p; (pq) şi (qp); pq; se citeşte: “p

echivalent cu q” sau “p dacã şi numai dacã q”, “p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”.

Tabela de adevãr a propoziţiei compuse pq este:

p q non p non q pq qp (pq) (qp)

4

1 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1

I.3. Expresii în calculul propoziţiilorPropoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , , , ,

putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã sau (p,q,r,…), (p,q,r,…).

Înlocuind în pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei , obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective.

Definiţia I.3.1. O expresie logicã care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… se numeşte tautologie.

Definiţia I.3.2. Douã expresii logice şi se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã .

I.4. Noţiunea de predicatDefiniţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care

depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã.

Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date.

Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…) q(x,y,z,…).

I.5. CuantificatoriDefiniţia I.5.1. Fie p(x), cu xM, un predicat. Dacã existã (cel puţin) un

element x’M, astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem xp(x), (x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolul se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”.

Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu xM, un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice xM, atunci scriem xpx, (x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolul se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”.

Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y);2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y);

Reguli de negare:

5

1. ((x)p(x)) ((x)(p(x));2. ((x)p(x)) ((x)(p(x));3. ((x)(y)p(x,y))((x)(y)p(x,y));4. ((x)( y)p(x,y))(( x)( y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurdAceastã metodã se bazeazã pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne aratã

cã pentru a demonstra cã pq, este totuna cu a demonstra cã non pnon q.

I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logiciOricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem:

1. non(non p) p;2. (pq) (qp) (comutativitatea conjuncţiei);3. ((pq)r) (p(qr)) (asociativitatea conjuncţiei);4. (pq) (qp) (comutativitatea disjuncţiei);5. ((pq) r) (p (qr)) (asociativitatea discjuncţiei);6. ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaţiei);7. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan;

non(pq) (non p)(non q)8. (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi

(p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia

II. Mulţimi

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {xRx2 – 3x + 2 = 0}).

Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…

Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã aA şi se citeşte “a aparţine lui A”.

Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu .

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B:(A = B) (xA xB) şi (yB yA)

Proprietãţile egalitãţii:1. A, A = A (reflexivitatea);2. (A = B) (B = A) (simetria);

6

3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:(A B) (xA x B)

Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B.Proprietãţile incluziunii:

1. A, A A (reflexivitatea);2. (A B) (B A) (A = B) (antisimetria);3. (A B B C) (A C) (tranzitivitatea);4. A, A

Relaţia de neincluziune se noteazã A B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:A B = {xxA xB}

Proprietãţile reuniunii:1. A, B: A B = B A (reflexivitatea);2. A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotenţa);4. A: A = A;5. A, B: A A B, B A B.

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B:A B = {xxA xB}

Proprietãţile intersecţiei:1. A, B: A B = B A (comutativitatea);2. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotenţa);4. A: A = 5. A, B: A B A, A B B6. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea intersecţiei faţã

de reuniune);7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii faţã de

intersecţie);8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A B = .

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:A \ B = {xxA xB}

Proprietãţile diferenţei:1. A: A \ A = ;

7

2. A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C);3. A, B: A \ B = A \ (A B);4. A, B: A = (A B) (A \ B);5. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C;6. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);7. A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);8. A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:A B = (A \ B) (B \ A)

Proprietãţile diferenţei simetrice:1. A: A A = ;2. A, B: A B = B A (comutativitatea);3. A: A = A = A;4. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);5. A, B, C: A (B C) = (A B) (A C);6. A, B: A B = A B \ (A B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E:(A fiind o parte a lui E, adicã AE)

CEA = {xxE xA}Proprietãţi: (A, BE)

1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii);2. CEA = E \ A;3. CE = E;4. CEE = ;5. A CEA = A (principiul exluderii terţiului);6. A CEA = (principiul necontradicţiei);7. A B CEB CEA;8. A \ B = CE(A B).

II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B:

A x B = {(a,b)aA bB}Proprietãţile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):

1. A x B B x A, dacã A B;2. (A x B) (A x C) = A x (B C);3. (A B) x C = (A x C) (B x C);4. (A B) x C = (A x C) (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;

8

6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D)Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie

de la A la B.Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = sau

dacã existã nN, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}.Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã.

Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este

echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã

sau numãrabilã.Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un

simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu nN, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero).

Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A B = A + B -A B Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A B C= A +B +C - A B - A C - B C + A B C

III. Relaţii binare

Relaţia binarã pe o mulţimeDefiniţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o

parte a produsului cartezian MxM. Dacã xM este relaţia R cu yM, atunci scriem xRy sau (x,y)R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M.

Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime:1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã aM avem pe aRa.2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã a,bM avem aRb implicã bRa.3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã a,bM, aRb şi bRa implicã a=b.4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã a,b,c M, aRb implicã bRc implicã aRc.

Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y)xRy}.

Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã.

9

Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a b (mod 3); de pildã 4 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã.

Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea Ca = {x M xRa}. Douã clase de echivalenţã Ca şi Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte.

Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã.

Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã.

Se noteazã: “<” sau “”De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “” pe N, Z, Q şi R este o

relaţie de ordine.Definiţia III.7. Fie M o mulţime nevidã şi “” o relaţie de ordin pe M.

Aceastã relaţie de ordin se numeşte relaţie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã a,bM avem sau a<b sau b<a. Mulţimea înzestratã cu o relaţie de ordine totalã se numeşte mulţime total ordonatã.

Definiţia III.8. Fie M o mulţime nevidã. O relaţie de ordine pe M se numeşte relaţie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai mic element. Mulţimea M, cu aceastã relaţie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã.

O relaţie de bunã ordonare pe M este o relaţie de ordie totalã pe M.

IV. Funcţii

IV.1. Noţiunea de funcţieDefiniţia IV.1.1. Fie A şi B douã mulţimi. Prin funcţie definitã pe mulţimea

A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie) f, în baza cãreia oricãrui element aA i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Mulţimea A se numeşte domeniu de definiţie, iar mulţimea B se numeşte codomeniu de definiţie sau domeniul valorilor funcţiei.

10

Definiţia IV.1.2. Fie f:AB o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), aA. deci Gf = {(a, f(a) aA}

Definiţia IV.1.3. Se numeşte funcţie numericã o funcţie f:AB, pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimilor numerelor reale (deci A, BR).

IV.2. Funcţii injective, surjective, bijectiveDefiniţia IV.2.1. Fie f:AB o funcţie. Spunem cã f este o funcţie injectivã,

dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A, xy, avem f(x) f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: x,yA: f(x) = f(y) x = y

De exemplu: f:NN, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:ZN, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4.

Definiţia IV.2.2. O funcţie f:AB este o funcţie surjectivã, dacã pentru orice bB existã cel puţin un element aA, astfel încât f(a) b. Deci f:AB nu este surjectivã dacã bB avem f(a) b()aA.

De exemplu: f:RR, f(x) = ax, a 0 este surjectivã.Definiţia IV.2.3. O funcţie f:AB care este simultan injectivã şi surjectivã se

numeşte funcţie bijectivã.De exemplu: Fie A = {xRx 0} şi f:RR, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea funcţiilorDefiniţia IV.3.1. Fie funcţiile f:AB şi f:BC (domeniul de definiţie al

funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f). Fie aA, atunci f(a)B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a))C. Astfel putem defini o funcţie h:AC unde h(a) = g(f(a)) pentru aA. Funcţia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f .

Observaţii:1. Dacã f:AB şi g:CD sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea

funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C.2. Dacã f:AB şi g:BA sunt douã funcţii, are sens g◦f:AA şi f◦g:BB. în general

f◦g g◦f.Teoremã. Fie f:AB şi g:BC şi h:CD trei funcţii. Atunci fiecare din

funcţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Funcţia inversãDefiniţia IV.4.1. Fie A o mulţime oarecare. Notãm cu 1A:AA funcţia

definitã astfel: 1A(a) = a pentru aA. 1A se numeşte funcţia identicã a mulţimii A.Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci:

1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:AB avem f◦1A= f2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:CA avem 1A◦g = g

11

Definiţia IV.4.2. O funcţie f:AB se numeşte inversabilã dacã existã o funcţie g:BA astfel încât g◦f = 1A şi f◦g = 1B.

Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.

V. Operaţii cu numere reale

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an

2. (-a)2n = +a2n

3. (-a)2n+1 = -a2n+1

4. aman = am+n

5. am:an = am-n, a 06. ambm=(ab)m

7. am:bm = , b 0;

8. , a 0;

9.(am)n = amn = (an)m;10. a0 = 1, a 0;11. 0n = 0, n 0, nN.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale.

V.2. Identitãţi fundamentaleOricare ar fi x,y,z,t,a,b,cR şi nN, avem:

1. a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2;2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2;3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx + +

dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2;4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz);7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x);8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10.a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4);11.a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4);12.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5;

12

13.a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);14.an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1);15.a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2);16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n);17.(1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprietãţi1. ;

2. ;

3. ;4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;9. ;10. ;11. ;12. ;13. ;

14. ;15. ;16. R;17. ;18. ;19. ;

20. , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui este iar pentru este

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi

VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine

13

ax + b = 0, a,b,xRFie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã

1. a 0, x = (soluţie unicã). S = { }.2. a = 0 şi b 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ;3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R.

Semnul funcţiei afine f:RR, f(x) = ax + b, a 0x - +

f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui aGraficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã.

y

A(0,b)

x

B( ,0)

VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fineCazul 1. ax + b > 0, a,b,xR. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã:1. a > 0, S =( , + );

2. a < 0, S = (-, );3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = .Cazul 2. ax + b = 0, a,b,xR. Dacã:1. a > 0, S = (+, ]

2. a < 0, S = [ ,+)3. a = 0, b = 0, S = R;4. a = 0, b > 0, S = .

Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).

VI.3. Modului unui numãr real

14

Proprietãţi: x,yR, avem:1. ;2. ;3. sau ;4. R;5. ;6. ;7.8. ;9. ;10. ;

11. .

Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul:1. , (a,b,xR, S = mulţimea soluţiilor)

b Sb < 0 b = 0 ab >0 {a – b; a + b}

2.b S

b < 0 Rb = 0 R\{a}b >0 {-,a – b){a + b,}

3.b S

b < 0 b = 0 b >0 {a – b; a + b}

VII. Numere complexe

Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b)a,bR}, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: z=(a,b), z’=(a’,b’)RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: z=(a,b), z’=(a’,b’)RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexez = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1.

15

Egalitatea a douã numere complexe z şi z’:a + ib = a’ + ib’ a = a’ şi b = b’

Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib.

Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile:este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex

a + bi nenul admite un invers ; este distributivã faţã de

adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” z,z’,z”C.

Puterile numãrului i: mN, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul

lui z şi se noteazã a – ib = .Au loc urmãtoarele proprietãţi, z,z’,z”C.

1. z + = 2a;2. z - = 2bi;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;

8. .

VII.2. Modulul unui numãr complex zC

sau Avem apoi:

1.2. ;3. ;4. ;

5. .

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexez = r(cos u + isin u)

unde r = z , iar unghiul u[0,2) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice rcos u = a şi rsin u = b.

16

De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci şi z = .

VII.4. Formula lui MoivreuR şi nN, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)

Consecinţele formulei lui Moivrecos nu = cosn u + C2

ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + …;

sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3

ncosn-3u sin3u + …;

tg nu = .

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complexz = r(cos u + isin u)

Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie: şi

VII.6. Ecuaţia binomãxn – A = 0, AC, A = (cos + isin )xk = A1/nk, k = , AR, A < 0;xk = A1/nk, k = , AR, A > 0;

xk = , k = , AC\R

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea

VIII.1. Ecuaţii de gradul al doileaax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 0

1. Formule de rezolvare: > 0

17

, , = b2 – 4ac; sau

, , b = 2b’, ’ = b’2 – ac.

2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II-lea:x1

2 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P

x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SPx1

4 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x1

2x22= S4 – 4S2P + 2P2

3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.

P S Natura şi semnul rãdãcinilor < 0 - - Rãdãcini complexe:

= 0 - - Rãdãcini reale şi egale

P > 0 S > 0 Rãdãcini reale pozitive > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini reale negative

P < 0 S > 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi

P < 0 S < 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã.

4. Semnul funcţiei f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR > 0: a 0, x1 < x2.

x - x1 x2 +f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

= 0X - x1 = x2 +

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

< 0X - +

f(x) semnul lui a

5. Graficul funcţiei f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR este o parabolã. Aceastã

funcţie se poate scrie şi sub forma , numitã formã canonicã.

y > 0

18

a > 0A(x1,0)B(x2,0)C(0,c)

C V

O A B x D

6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu , minim ce se

realizeazã pentru x =

2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu , maxim ce se

realizeazã pentru x =

7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doileaTeoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a0

1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul şi strict

crescãtoare pe intervalul .

2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul şi strict

descrescãtoare pe intervalul .

Observaţie: Intervalele şi se numesc intervale de monotonie ale funcţiei f.

Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,cR, a0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului.1. > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2);2. = 0, f(x) = a(X – x1)2;3. < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c

Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2.

19

Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, a,b,c,a’,b’,c’R, a,a’0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã:

a b c 00 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0a’ b’ c’ 00 a’ b’ c’

Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date şi sã fie în anumite relaţii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,cR, a0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant x,xR.Nr.crt. Relaţii între x1, x2, şi Condiţii necesare şi suficiente

1 < x1 < < x2 saux1 < < x2 <

1. f( )f() < 0

2 < x1 x2 <

1. = b2 – 4ac = 02. af() > 03. af() > 04. <

5. >

3 x1 < < < x2

1. af() < 02. af() < 0 ceea ce atrage dupã sine >0

4 x1 < < x2 1. af() < 0

5 < x1 x2

1. = 02. af() > 03. <

6 x1 x2 < 1. = 02. af() > 03. <

7 f(X) = 0, x, xR 1. 02. a > 0

8 f(X) 0, x, xR 1. 02. a < 0

Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, nN, n > 2, prin substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, xn = y2.

20

VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea1. ax2 + bx + c > 0, a,b,cR, a0, S = mulţimea soluţiilor:

a S > 0 > 0 = 0 = 0 < 0 < 0

a > 0a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0

(-, x1)(x2, +)(x1,x2)R\{x1}R

2. 2. ax2 + bx + c 0, a,b,cR, a0, S = mulţimea soluţiilor: a S

> 0 > 0 = 0 = 0 < 0 < 0

a > 0a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0

(-, x1][x2, +)[x1,x2]

R{x1}

R

Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali1. Sisteme formate dintr-o ecuaţie de gradul al doilea şi una de gradul întâi

Aceste sisteme sunt de forma:

Se rezolvã prin metoda substituţiei. În prima ecuaţie putem presupune cã sau a0 sau b0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b0, atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia . Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:

Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y.

Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluţie realã.

2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluţii reale.

21

3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale.

2. Sisteme de ecuaţii omogeneUn astfel de sistem este de forma:

Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y2 şi a2X2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea lor au acelaşi grad.

Presupunem mai întâi cã d10 şi d20. Existã în aces caz numerele reale şi diferite de zero astfel încât d1 + d2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu şi cea de a doua cu şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:

Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:

Deoarece d10 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în

: c3 + b3 + a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru

adicã, = k1 şi = k2.Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã

sisteme: şi

Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’).

3. Sisteme de ecuaţii simetriceDefiniţia VIII.3.3. O ecuaţie în douã necunoscute se zice simetricã dacã

înlocuind x cu y şi y cu x, ecuaţia nu se schimbã.Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introduc

necunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p.Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul

se reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie de gradul al doilea în necunoscutele s şi p.

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V

IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treileaax3 + bx2 bx a = 0, a,bR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

22

IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patruleaax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,cR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin

substituţia y = x + : a(x2 + ) b(x + ) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.

IX.2. Ecuaţia bipãtratãax4 + bx2 + c = 0, a,b,cR, a0

Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, deci

X. Logaritmi

Definiţia X.1. Fie aR*+, a 1 şi bR*

+ douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obţine numãrul b.

Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logabEvident . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e

obţinem logaritmi naturali.Proprietãţi:

1. logab = logac b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;3. loga1 = 04. logaac = c; loga =- logab; logax2n = 2n logax , x0

5. ;6. logab logba = 1;

7. Formula de schimbare a bazei logaritmului:

8. x>0 şi y>0 logaxy = logax + logay;9. x>0 şi y>0 loga = logax – logay; cologax = - logay10.a>1 şi x(0,1) logax < 0; a>1 şi x>1 logax > 0;11.0<a<1 şi x(0,1) logax > 0; 0<a<1 şi x>1 logax < 0;12.a>1 şi 0<x<y logax < logay;

13. x>0, y>0, a>0, b>0, a1, b1 ;

14.x>0, a>0, a1, nN logax = logaxn;

15.xR, a>0, a1 ax = exlna.

23

Operaţii cu logaritmi zecimali1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric.2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului.3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele.4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive.X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale1. logax = b, a>0, a1, bR. Soluţia: x = ab.2. logax > b, bR. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:

a Sa > 1

0 < a < 1(ab, +)(0, ab)

3. logax < b, bR. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a S

a > 10 < a < 1

(0, ab)(ab, +)

X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale1. ax = b, a>0, a1, b>0. Soluţia x = logab, bR2. ax = b, a>0, a1, b0, nu are nici o soluţie realã3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:

a b Sa > 1

0 < a < 1a > 0a 1

b > 0b > 0b < 0

(logab, +)(-, logab)

R

4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a b S

a > 10 < a < 1

a > 0

b > 0b > 0b < 0

(-, logab)(logab, +)

24

a 1

XI. Metoda inducţiei matematice

XI.1. Axioma de recurenţã a lui PeanoFie A o parte a lui N astfel cã:

1. 0A2. (nN), nA n+1A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda inducţiei matematiceFie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem:

1. P(0) adevãratã;2. nN, P(n) adevãratã P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice

numãr natural n.În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în

loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat nn0.

XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematiceFie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural nn0. Dacã avem:

1. P(n0) adevãratã;2. (mN, n0mk) P(m) adevãratã P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã

pentru orice numãr natural nn0.

XII. Analizã combinatorie

XII.1. PermutãriDefiniţia XII.1.1. O mulţime împreunã cu o ordine bine determinatã de

dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonatã şi se notazã (a1,a2,…,an).Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mulţimi A cu n elemente

toate mulţimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, nN*, este Pn=123…n = n!; 0! = 1 (prin definiţie).

Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! =

XII.2. AranjamenteDefiniţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (mn)

ale unei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã Am

n.Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:

25

Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) = , nm.

Proprietãţi: Ann = Pn; An

n = sau Ann= n!; .

XII.3. CombinãriDefiniţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (mn) ale

unei mulţimi A cu n elemente toate submulţimile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã .

Proprietãţi:1. ;2. ;3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n;4. ;

5. unde p1 + … pm-1 < n

XII.4. Binomul lui Newton(x + a)n = (x – a)n = unde nN

Proprietãţi:1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k xn-kak;

2. ;

3. Tk+2 = Tk+1 sau Tk+2 = Tk+1;4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x a)n este n+1;5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali.

Relaţii importante:

Dezvoltãri particulare uzuale:1. (a b)2 = a2 2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

26

Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, pN, atunci avem:

O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+

XIII. Progresii

XIII.1. Progresii aritmeticeDefiniţia XIII.1.1. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1,a2,a3,

…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raţia progresiei. Se noteazã a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = an-1 + r, n2 (prin definiţie)an = a1 + (n – 1)r, n2 (prin definiţie)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =

Termenii echidistanţi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor echidistanţi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.

Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometriceDefiniţia XIII.2.1. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere a1,a2,a3,

…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q0) numit raţie. Se noteazã a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = qan-1, n2 (prin definiţie)an = a1qn-1, n2 (an în funcţie de a1, q şi n)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =

27

Sn =

Termeni echidistanţi de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistanţi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1, astfel încât .

Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.

XIV. Polinoame

XIV.1. Forma algebricã a unui polinomfC[x] este f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber.

Funcţia polinomialã asociatã lui fC[x] este :CC () = f() C; f() fiind valoarea polinomului f în .

Teorema împãrţirii cu rest: f,gC[x], g0 existã polinoamele unice q,rC[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g.

Împãrţirea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului fC[x], f0 la X-a este f(a).

Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãrţiri r = f(a);

a0 a1 … an-1 an

a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelorDefiniţia XIV.2.1. Fie f,gC[x], spunem cã g divide pe f şi notãm gf dacã

qC[x] astfel încât f=gq.Proprietãţi:

1. a f, aC*, fC[x];2. g f şi f0 r = 0;3. g f şi f0 grad f grad g;4. aC* af f;5. f f (refelexivitate);6. f g şi g h f h (tranzitivitate);7. f g şi g f aC* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).

Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g.

28

2) d’ f şi d’ g d’ d şi notãm d=(f,g)Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele.

Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeşte cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m.

2) f m’ şi g m’ m m’Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m =

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelorDefiniţia XIV.3.1. Numãrul C se numeşte rãdãcinã a polinomului f dacã

şi numai dacã () = 0.Teorema lui Bezout: Numãrul C este rãdãcinã a polinomului f0(X-a)

f.Definiţia XIV.3.2. Numãrul se numeşte rãdãcinã multiplã de ordinul p a

polinomului f0 dacã şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)p+1 nu-l divide pe f.Teoremã: Dacã fC[x] este un polinom de gradul n şi x1,x2,x3,…,xn sunt

rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,…,mn atunci unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 +

m2 + … + mn = grad f.XIV.4. Ecuaţii algebrice

Definiţia XIV.4.1. O ecuaţie de forma f(x) = 0 unde f0 este un polinom, se numeşte ecuaţie algebricã.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali.

Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã).

Formulele lui Viete: Dacã numerele x1,x2,…,xn sunt rãdãcinile polinomului fC[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a00 atunci:

XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, ZTeoremã: Dacã fR[x] admite pe = a + ib, b0 ca rãdãcinã atunci el admite

ca rãdãcinã şi pe = a – ib, iar şi au acelaşi ordin, de mutiplicitate.Teoremã: Dacã un polinom fQ[x] admite pe = a + b (a,bQ, b0, dR\

Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi pe = a – b , iar şi au acelaşi ordin, de mutiplicitate.

29

Teoremã: Dacã un polinom fZ[x], grad f1, admite o rãdãcinã = Q, (p,q) = 1 atunci p an şi q a0.

În particular dacã fZ[x] are rãdãcina =pZ atunci p an.

XV. Permutãri, matrici, determinanţi

XV.1. PermutãriDefiniţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, se numeşte permutare de gradul n

daacã :AA şi bijectivã. =

Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!1A = e, permutarea identicã e =

Compunerea permutãrilorFie ,Sn atunci o = Sn

TranspoziţiiDefiniţia XV.1.2. Fie i,jA, ij, ijSn, ij se numeşte transpoziţie dacã:

Observaţii: 1. (ij)-1 = ij;2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este

Signatura (semnul) unei permutãriDefiniţia XV.1.3. Fie (i,j)AxA, i<j, (i,j) se numeşte inversiune a lui dacã

(j)<(i), m() numãrul inversiunilor lui : ;

() = (-1)m() se numeşte signatura lui .Observaţii: 1. Permutarea se numeşte parã dacã () = 1, respectiv imparã dacã () = - 1;

2. Orice transpoziţie este imparã;

3. ;

4. ( o) = ()().

XV.2. MatriciDefiniţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxNC

A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:

30

şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu

elemente numere complexe.Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeşte pãtraticã de ordinul

n, iar mulţimea lor se noteazã Mn(C).Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,BMm,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã

aij = bij (i,j)MxN.Operaţii cu matrici:

1. Adunarea Fie A,BMm,n(C) atunci C = A + BMm,n(C) unde cij=aij + bij (i,j)MxN este

suma lor.Proprietãţi A,B,CMm,n(C):

1. A+B = B+A (comutativitate);2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A).

2. Înmulţirea cu scalari Fie AMm,n(C) şi C atunci B=AMm,n(C) unde bij=ij (i,j)MxN este

produsul matricei A cu scalarul .Proprietãţi A,BMm,n(C) şi C.

1. 1A = A;2. A = A;3. (A+B) = A + B;4. (+)A = A + A;5. (A) = ()A = (A).

3. Transpusa unei matrici Fie AMm,n(C) atunci tAMm,n(C) unde taij = aji, (i,j)MxN

4. Înmulţirea matricelor

Fie AMm,n(C) şi BMn,p(C) atunci C=ABMm,p(C) unde ,

(i,j)MxN este produsul lorProprietãţi:

1. (AB) C = A(BC) (asociativitate);2. AIn = InA (element neutru-matricea unitate)

31

3. (A+B)C = AC + BC;4. A(B+C) = AB + AC.

XV.3. DeterminanţiFie Mn(C) – mulţimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:

, AMn(C)

Definiţia XV.3.1. Se numeşte determinantul matricii A, numãrul det A =

det A =

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:

Aij = (-1)i+j

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,CMn(C))Determinantul de ordinul 2:

Determinantul de ordinul 3:

32

XV.4. Inversa unei matriciFie AMn(C), dacã det A0 existã A-1Mn(C) astfel încât AA-1 = In, InMn(C),

In – matricea unitate:

XVI. Sisteme lineare

XVI.1. Notaţii:aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;

(S)

, m – ecuaţii, n – necunoscute;

, ,

r – rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. CompatibilitateaSistemul (S) este compatibil determinat dacã:

1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = 0, atunci xI = , unde

2. r = n < m şi rang = r.Sistemul (S) este incompatibil dacã r min (m,n) şi rang = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n;2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebrice

XVII.1. MonoidFie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevidã.Axiomele monoidului:

33

M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea);M2. eM astfel încât x*e = e*x = x xM (e element neutru);dacã M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ.Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi;

2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:EE, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor).

XVII.2. GrupFie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevidã.Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG(asociativitatea);G2. eG astfel încât x*e = e*x = x xG (e element neutru);G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x);dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;

2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ;5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este

comutativ;Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH

x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *);Fie grupurile (G1,), (G2,):Definiţia XVII.2.2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã

f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia XVII.2.3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este

bijectivã şi f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia XVII.2.4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al

grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. InelFie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y şi AxAA, (x,y)xy, A nevidã; Definiţia XVII.3.1. (A,+,) este inel dacã:

G. (A,+) este grup abelian;M. (A,) este monoid şiD. este distributivã faţã de +:

x(y+z) = xy + yz(y+z)x = yx + yz, x,y,zA

dacã C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ.Exemple de inele:

34

1. (Z,+,) – inelul numerelor întregi;2. (Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ}3. (Rn,,) – inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A);5. (Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,,*) şi (A’,,o):Definiţia XVII.3.1. f:AA’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este

bijectivã şi f(xy) = f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA.Definiţia XVII.3.2. (A,+,) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x0, y0

implicã xy0.Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã

divizori ai lui zero se numeşte domeniu integritate.Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul

comutativ al polinoamelor cu coeficienţi în A .fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de

nedeterminatã X cu coeficienţi în A:- dacã an0, grad f = n (an – coeficient dominant);- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -.

Proprietãţi: 1. grad (f+g) max{grad f, grad g};2. grad fg grad f + grad g.

Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad fg = grad f + grad g, f,gA[X].

XVII.4. CorpFie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y şi KxKk, (x,y)xy, K – nevidã.Definiţia XVII.4.1. (K,+,) este corp dacã (K,+,) este inel, 01 şi xK,

x0 x-1K, astfel încât xx-1 = x-1 x = 1.Dacã xy = yx x,yK, corpul este comutativ.

Exemple de corpuri:1. (Q,+,) – corpul numerelor raţionale;2. (R,+, ) – corpul numerelor reale;3. (C,+, ) – corpul numerelor complexe;4. (Q( ),+,) – corpul numerelor pãtratice (dZ, d – liber de pãtrate);5. (Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p – numãr prim).

Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,,*) şi (K’,,o), f:KK’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.

Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi gK[X], g0: fK[X], existã polinoamele q,rK[X], unic determinate astfel încât f = qg+r, grad r < grad g.

35

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE

Notaţii:- lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b;- lungimile segmentelor importante în triunghi:

AD = ha (ADBC, ha lugimea înãlţimii din A, DBC); AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D(BC)); AD = ba (BAD =CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D(BC));

- = p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);- AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S;- R – raza cercului circumscris unui poligon;- r – raza cercului înscris într-un poligon;- ln – latura poligonului regulat cu n laturi;- an – apotema poligonului regulat cu n laturi;- P – perimetrul poligonului;- Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã);- Atot – aria totalã, notatã şi A;- V – volumul.

I. Triunghiul

Inegalitãţi gemetrice:1. m(MBA) > m(A), m(MBA) > m(C), MBA este unghi exterior;2. a+b > c, b+c > a, a+c > b3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A4. ma < 5. p < ma + mb + mc < P

Teorema bisectoarei (BAD DAC) M B C

36

Observaţii:1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al

mediatoarelor;2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor;3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor.4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.

II. Poligoane convexe

Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi: Sn = (n – 2)180

Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.

III. Relaţii metrice în triunghi

III.1. Triunghiul dreptunghicABC (m(A) = 90, ADBC)

1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2;2. Teorema catetei: b2 = aCD, c2 = aBD;3. Teorema înãlţimii: =BDDC;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;10.Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice:

b = asin B, b = acos C, b = ctg B, b = cctg C.III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c)

1.

2. ;

37

3.

4.

III.3. Triunghiul oarecare ABC (ADBC)1. Teorema lui Pitagora generalizatã:

a) b2 = a2 + c2 – 2aBD, dacã m(B)<90 ;b) b2 = a2 + c2 + 2aBD, dacã m(B)>90 ;

2. Relaţiile lui Steward O(BC):b2BO + c2CO – a2AO = aBOCO;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;8. ;

9. .

III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice1. Teorema sinusurilor: ;

2. Teorema cosinusului: ;

3. Teorema tangentelor: ;

4. ;

5. ;6. ;7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

38

11. .

IV. Patrulatere

IV.1. ParalelogramulABCD (AB CD, BC AD, DEAB) D CACBD = {O}OA = OC, OB = OD OAABCD = ABDEAABCD = ABADsin A. A E B

IV.2. Dreptunghiul D CABCD (AB CD, BC AD, A = 90)AC = BD OAABCD = ABAD A B

IV.3. Rombul DABCD (AB CD, BC AD, AB = BC)AC = d1, BD = d2

AB = a A CACBD

AABCD =

IV.4. Pãtratul BABCD (AB CD, BC AD, AB = ACA = 90, AB = a, AC = d) D CAC = BDACBDd = a OAABCD = a2.

A B

IV.5. Trapezul D CABCD (AB CD, AB = B, DC = bMN – linie mijlocie) MMN = M N

39

AABCD = A E B

V. Poligoane înscrise în cerc

V.1. Patrulaterul înscris în cerc ABAD + BCD = 180; DBAC BDC; MTeorema lui Ptolomeu ABDC + ADBC = ACBD CAABCD = ½ ACBDsin B

V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R1. Triunghiul echilateral: ;

2. Pãtratul: ;

3. Hexagonul regulat: ;

4. Poligonul regulat cu n laturi:

unde .

VI. Cercul

Lungimi şi arii: lcerc = 2R, Acerc = R2; larcAB= ; - mãsura în grade; A

AsectorAB = O

(AOB) = ( - mãsura în radiani) BUnghi cu vârful în interiorul cercului: Bm(AOB) = A

m(AMB) = M

D CUnghi cu vârful pe cercOMMT M

m(AMB) = T

40

m(AMT) = A B

Unghi cu vârful în exteriorul cercului MOTMT C

m(AMB) = D T

m(AMB) = A

BPuterea unui punct faţã de un cerc B M

OTMT N(M) = MAMB = OM2 – r2 = MT2 T(N) = NANB = r2 – ON2

A

VII. Complemente de geometrie planã

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãlţimilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru.

Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse.

Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt concurente dacã şi numai dacã .

Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã: .

Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G (ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare.

Dreapta lui Simson: Proiecţiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare.

Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersecţia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare.

Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãlţimilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt conciclice.

41

VIII. Poliedre

VIII.1. Prisma1. Paralelipipedul dreptunghicAlat = 2(a + b)c; c

Atot = 2(ab + ac + bc); d

V = abc b

d2 = a2 + b2 + c2 a

2. Cubul (de laturã a = b = c)A = 6a2 c

V = a3 d

a = a a b

3. Paralelipipedul D’ C’B’O(ABC) A’ B’B’O = hV = AABCDh D O C

A B4. Prisma C’

(dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) A’ B’

V = Abazeih h

C

A B

5. Prisma triunghiularã regulatã C’

(AB = a) O’

Alat = 3ah A’ B’

Atot = 3ah +

V = h C O

A B

VIII.2. Piramida1. Tetraedrul regulat(toate muchiile sunt congruente, AAO(BCD), AMDC)

42

B C2. Tetraedul dreptunghic(OAOBOCOA, OA = OB = OC = a, CMAB) C

V =

3. Piramida triunghiularã regulatã(AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM BC, VM – apotemã)

4. Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VMBC)

43

5. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM BC,VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)

M

A B6. Piramida regulatã(piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei):

7. Piramida (de înãlţime h):

VIII.3. Trunchiul de piramidã(B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea)1. Trunchiul de piramidã oarecare:

2. Trunchiul de piramidã regulatP – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici, ap – apotema

44

VIII.4. Poliedrul regulatRelaţia lui Euler: v-m+f = 2

(v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor)Tipurile de poliedre regulate:

- tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;- cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;- octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;- dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;- icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;

IX. Corpuri rotunde

Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţimeIX.1. Cilindrul circular drept

IX.2. Conul circular drept

IX.3. Trunchiul de con(r – raza bazei mici)

45

IX.4. Sfera

X. Funcţii trigonometrice

X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic, , C

, , b a

A c BX.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice1. sin:R[-1,1]

y

1

0 2 x

-1sin(-x) = -sin x, sin(x + 2k) = sin x, (kZ)2. cos:R[-1,1] y

1

0 2 x

46

-1cos(-x) = cos x, cos (x + 2k) = cos x, (kZ)3. tg:R\{(2k+1) }R y tg(-x) = -tg x

tg(x+k) = tg x, (kZ) - 0 2 x

4. ctg:R\{k}Ry ctg(-x) = -ctg x

ctg(x + k) = ctg x, (kZ)

0 x

XI. Formule trigonometrice

XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:1. ;

2.

3.

,

47

4.;

5.

,

6.;

7.;

XI.2. Formule de adunare:

XI.3. Formule pentru multiplii de argument:

XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:

XI.5. Sume, diferenţe şi produse:

48

XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice

XII.1. arcis:[-1.1][- , ], arcsin (-x) = - arcsin x y

-1 0 1 x

XII.2. arcos:[-1,1][0,], arcos (-x) = - arcos xy

2

-1 0 1 x

XII.3. arctg:R , arctg (-x) = -arctg x2

49

0 x

- 2

XII.4. arctg:R(0,), arctg (-x) = - arctg x y

2

0 x

XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple

XIII.1. Ecuaţii fundamentale

XIII.2. Tabele de valori:x

funcţia0 2

sin x 0 1 0 -1 0

cos x 1 0 -1 0 1

xfuncţia

0 2

tg x 0 1 / 0 / 0

ctg x / 1 0 / 0 /

xfuncţia

-1 0 1

50

arcsin x 0

arcos x 0

xfunctia

-1 0 1

arctg x 0

arcctg x

XIV. Elemente de geometrie analiticã

XIV.1. Segmente1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB =

2. Panta dreptei AB:

3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:

4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:

XIV.2. Ecuaţia dreptei1. Drepte paralele cu axele de coordonate:

(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)2. Dreapta determinatã de punctul Mo(xo,yo) şi vectorul nul , tR,

-vectorul de poziţie a lui Mo; r-vectorul de poziţie a unui punct M al dreptei d., tR, ecuaţiile parametrice;

3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (mR*, nR, m – panta, n – ordonata la origine);4. Ecuaţia prin tãieturi: 5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul Mo(xo,yo): y – yo = m(x – xo), (m0);6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):

sau

51

7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0;8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = , unde

, dacã = 0 atunci A, B, C sunt colineare

9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2): şi

d1 = d2, dacã

d1 d2, dacã ;

d1 d2 şi d1 d2 , dacã

10.Distanţa de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0

11.Unghiul determinat de dreptele: şi

d1 d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. CerculCercul C de centru M(a,b) şi razã r:

1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde , b = şi

r2 = (m2 + n2) – p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, ME

Ecuaţia elipsei:

B M

A’ F’ F A O

52

B’

Ecuaţia tangentei în punctul M(xo,yo), ME:

2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, MH.

Ecuaţiea hiperbolei:

y

M

F’ A’ O A F x

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), MoH.

3. Parabola P: F( ,0), h:x = - (h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, MP.Ecuaţia parabolei P: y2 = 2px

y h M

x O F

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), MoP: yyo = p(x + xo)

53

ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. Şiruri

I.1. Şiruri şi limiteDefiniţia I.1.1. Se numeşte şir de numere reale o funcţie f:NR, f(n) = an.Definiţia I.1.2. Şirul (an)n0 se numeşte crescãtor (respectiv descrescãtor)

dacã an an+1, nN (respectiv an an+1, nN). Şirurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone.

Definiţia I.1.3. Şirul (an)n0 este mãrginit dacã şi numai dacã M>0 astfel încât an M, nN.

Notaţie: (an)n0, anR, R =R {-, +}.

Definiţia I.1.4. Şirul (an)n0, anR are limita a şi scriem , aR

dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã toţi termenii şirului începând de la un anumit rang.

Definiţia I.1.5. Şirul este convergent, , aR, dacã >0, NN

astfel încât n> N, an - a<.

Definiţia I.1.6. dacã >0, NN astfel încât an > , n > N.

Definiţia I.1.7. dacã >0, NN astfel încât an < -, n > N.

54

Dacã , atunci şirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir

1. dacã , bn 0 şi an - a bn atunci ;

2. dacã şi an bn atunci ;

3. dacã şi an bn atunci ;

4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);

5. dacã bn an cn şi atunci ;

6. criteriul lui Stolz:

- dacã (bn)n0 crescãtor: şi existã , atunci

;

- dacã (an)n0, an > 0 şi existã atunci = (Cesaro);

- - dacã (bn)n0 crescãtor: şi existã , atunci

;

I.2. Operaţii cu şiruri convergente, , a,bR

I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã

, , a,b

55

1. dacã şi , bR atunci ,

2. atunci , ;

3. dacã şi , bR, atunci

;

4. atunci , ;

5. dacã şi atunci ;

6. dacã atunci dacã an > 0 şi dacã an < 0.

I.4. Şiruri tip

II. Limite de funcţii

Notaţii: f:DR, DR, - punct de acumulare a lui D;

II.1. Definiţii ale limiteiDefiniţia II.1.1. , dacã pentru orice vecinãtate V a lui l

existã o vecinãtate U a lui astfel încât xDU, x, sã rezulte f(x)V.

Definiţia II.1.2. , dacã pentru orice şir (xn)n0, xnD\{},

având rezultã (criteriul cu şiruri);

56

Definiţia II.1.3. , dacã >0, >0 astfel încât xD\{}

şi x - < rezultã f(x) - l< ;

Definiţia II.1.4. , dacã ls = ld = l, unde şi .

II.2. Operaţii cu limite de funcţii

f:DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, , ,

l1,l2R;

II.3. Limite tip

, ;

4.

, , dacã a > 1;

, , dacã 0 < a < 1;

57

5.

şi dacã a > 1;

şi dacã 0 < a < 1;

6. ,

,

, 7. ,

,

,

,

, ;

8. , , , ;

9.

10.

11.

12. ,

13. .

II.4. Continuitatea funcţiilorDefiniţia II.4.1. Fie f:DR, xoD, xo – punct de acumulare a lui D, f este

continuã în xo, dacã , xo se numeşte punct de continuitate.

58

Definiţia II.4.2. Fie D, este punct de discontinuitate de prima speţã dacã existã şi sunt finite limitele laterale în , dar funcţia nu este continuã în .

Definiţia II.4.3. Fie D, este punct de discontinuitate de speţa a doua dacã nu este de prima speţã.

Teoremã. Dacã f:IR, I – interval şi f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o funcţie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcţii derivabile

III.1. Definiţia derivatei într-un punctf:ER, xoE, xo – punct de acumulare a lui E:

f’(x0) =

fs’(x0) = , fd’(x0) =

f’(x0) = fs’(x0) = fd’(x0)Interpretarea geometricã:- dacã f’(x0)R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în

punctul A(x0,f(x0));- dacã f este continuã în x0, fd’(x0) = +, fs’(x0) = -, sau invers, x0 este punct de

întoarcere al graficului;- dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0, cel puţin una fiind

finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivaref,g:ER, f,g derivabile în xE:

1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);2. (cf)’(x) = cf’(x), cR;3. (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

4. dacã g(x)0, ;

5. dacã f:IJ, g:JR, f derivabilã în x0I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (gof)’(x0) = g’(y0)f’(x0);

6. dacã f:IJ continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)0, atunci f-1:JI este

derivabilã în y0, y0 = f(x0) şi f-1(y0) = .

III.3. Derivatele funcţiilor elementareFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)C 0

59

xn, nN* nxn-1

xr, rR, x>0 rxn-1

logax, a1, a>0, x>0

ln x, x>0

ax, a1, a>0, x>0 ax ln aex ex

sin x cos xcos x -sin xtg x, x

ctg x, x

arcsin x, x[0,1]

arcos x, x[0,1]

arctg x

arcctg x

III.4. Derivata funcţiilor compuseFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)un, nN* nun-1u’ur, rR, u>0 uxn-1u’

logau, a1, a>0, u>0

ln u, u>0

au, a1, a>0 au ln au’eu euu’sin u cos uu’cos u - sin uu’

60

tg u, cos u 0

ctg u, sin u 0

arcsin u, u[-1,1]

arccos u, u[-1,1]

arctg u

arcctg u

uv , u>0 uvv’ ln u + vuv-1u’

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementareFuncţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f(n))xm, mN, mn m(m-1)…(m-n+1)xm-n

(-1)nm(m-1)…(m+n-1)

ex ex

ax (ln a)nax

ln x (-1)n-1(n-1)!

Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f(n))sin x

cos x

Formula lui Leibniz:

III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabileTeorema lui Fermat:

Fie f:IR derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã.Teorema lui Rolle:

Dacã funcţia continuã f:[a,b]R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c(a,b) astfel încât f’(c) = 0.Teorema lui Lagrange:

61

Dacã funcţia continuã f:[a,b]R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c(a,b)

astfel încât .

Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei;2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei.Teorema lui Cauchy:

Dacã f,g:[a,b]R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)0, x(a,b)

atunci c(a,b) astfel încât

IV. Asimptote

IV.1. Asimptote orizontale (f:DR)

Definiţia IV.1.1. Dacã sau , l1,l2R, dreptele y=l1

şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +, respectiv -

IV.2. Asimptote oblice (f:DR)

Definiţia IV.2.1. Dacã şi dreapta

y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +.

Definiţia IV.2.2. Dacã şi

dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -.

IV.3. Asimptote verticale (f:DR)Definiţia IV.3.1. Dacã , - punct de acumulare a lui D, dreapta

x= este asimptotã verticalã la stânga a lui f .Definiţia IV.3.2. Dacã , - punct de acumulare a lui D, dreapta

x= este asimptotã verticalã la dreapta a lui f .

V. Primitive(integrale nedefinite)

Definiţia V.1. Fie funcţia f:JR, J – interval, F:JR este primitiva lui f , dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), xJ.

62

Se noteazã: Proprietãţi ale primitivelor:

1. ;2. ;3. .

V.1. Prima metodã de schimbare a variabileiDacã :IJ, f:JR, derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci

V.2. A doua metodã de schimbare a variabileiDacã :IJ, f:JR, bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,

admite primitive (H) atunci .

V.3. Tabel de primitive: (I – interval, IR)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

63

14. ;

15.

V.4. Primitivele funcţiilor raţionale1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Substituţiile lui Euler:1. ;2. ;3. este o rãdãcinã a ecuaţiei

ax2 + bx + c = 0.

VI. Integrale definite

IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann)Notaţii: f:[a,b]R, = (a = x0, x1, x2, …, xn = n) diviziune, xi-1 i xi , i – puncte

intermediare, (f, ) – suma Riemann:

Definiţia VI.1.1. f se numeşte integrabilã dacã existã numãrul real If cu proprietatea: > 0, >0 astfel încâtr pentru orice divizune a lui [a,b] cu

şi orice puncte intermediare i are loc unde

Se noteazã:

Proprietãţi ale integralei definite:

1. ;

64

2. ;

3. ;

4. .

Formula lui Leibniz-Newton:

(F – primitivã a lui f)

Teorema de medie:

Dacã f continuã pe [a,b], atunci [a,b] astfel încât:

Formula de integrare prin pãrţi:

Formula de schimbare de variabilã:Dacã :[a,b]J, f:JR, f continuã pe J, derivabilã cu derivata continuã pe

[a,b], atunci

Proprietãţi de paritate:

Dacã f:[-a,a]R continuã atunci:

VI.2. Aplicaţii ale integralei definite1. Aria subgraficului f, f:[a,b]R+, f continuã:

y

aria f

y

0 a b x

Aria subgraficului f,g, f,g:[a,b]R şi f(x) g(x) x[a,b]

0 a f,g b x

aria

65

2. Volumul corpurilor de rotaţie, f:[a,b]R+, f continuã: y

a b x

z

3. Lungimea graficului f:[a,b]R+, f derivabilã cu derivata continuã:

B A

a b

4. Aria suprafeţelor de rotaţie:

66