MATEMATIC

EVALUAREA NAIONAL BREVIAR TEORETICCUPRINS

Pagina

ARITMETIC I ALGEBR

Mulimi2

Calcul algebric.16

Funcii..14

Ecuaii, inecuaii i sisteme de ecuaii15

GEOMETRIE

Msurare i msuri..24

Figuri i corpuri geometrice.19

Triunghiul.22

Patrulaterul convex..25

Cercul...26

Corpuri geometrice..28

ARITMETIC I ALGEBRMULIMITITLUL CONINUTULUIEXPLICAIIEXEMPLE

1Relaii ntre mulimi Apartenen, (: a(A sau aA Egalitate: Dou mulimi sunt egale dac au aceleai elemente. Incluziune, (: O mulime A este inclus ntr-o mulime B dac i numai dac fiecare element al lui A este element i pentru mulimea B.

Multimea vida fara nici un elementDaca avem:

Apartenen, (: 2(A; Egalitate, = : B = C; Incluziune, (: B(A

2SubmulimeO mulime A este submulime a mulimii B dac toate elementele lui A sunt i n B, sau altfel A este inclus n B.Dac avem:

B submultime a lui A , BA

3Operaii cu mulimi Reuniunea: ;.

Intersecia: ; . Dou mulimi sunt disjuncte dac intersecia lor este mulimea vid.

Diferena: ; .

Produsul cartezian: .Dac avem:

.P,Q disjuncte P {2,8,7}, Q {1,3,5} P Q

.AB ={(1,2);(1,3);(1,5);(2,2) ;(2,3);(2,5);(3,2);

(3,3);(3,5); (4,2);(4,3);(4,5);}

4Mulimi finite i mulimi infinite Mulime finit este mulimea cu un numr finit de elemente. Cardinalul unei multimi este numarul elementelor multimii Card =0 CardAB=card A+card B- card AB Mulime infinit este mulimea cu un numr infinit de elemente.Ex. mulimi finite:

Card A= 4, card B = 3Ex. de mulime infinit:

5Mulimile N, Z, Q, R, R\Q multimea nr. naturale multimea numerelor intregi .multimea nr. rationale este mulimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub form de radicali.

( numere iraionale.

6Relaia N(Z(Q(R

Orice numr natural este numr ntreg;

Orice numr ntreg este i un numr raional;

Orice numr raional este numr real.

Exemplu:

7Scrierea numerelor naturale n baza zeceDe exemplu, un numr natural se scrie n baza zece astfel: Cu doua cifre

cu trei cifre

cu 4 cifre

8Propoziii adevrate i propoziii falseUn element a crei valoare de adevr este bazat pe reguli explicit exprimate se numete propoziie.

O propozitie poate avea doar doua valori de adevar: adevarat sau fals

Prin negarea unei propoziii adevrate se obine o propoziie fals, i invers.Exemple de propoziii:

Propoziie adevrat: ,, Propoziie fals: ,,

9mprirea cu rest a numerelor naturaleTeorema mpririi cu rest:

Dac avem:

10Divizibilitatea n N Un numr natural este divizibil cu un alt numr natural dac restul mpririi dintre cele dou numere este egal cu zero.

m divizibil cu d notam sau d divide m

m este multiplul lui d i d este divizorul lui m.

mulimea divizorilor unui numar n se noteaza - .

mulimea multiplilor unui numar n se noteaza - . Orice numr natural m are divizori improprii 1 i m. Orice alt divizor este numit divizor propriu.306 sau 6/ 30

.Divizorii improprii ai numarului 12 sunt : 1 si 12

Divizorii proprii ai numarului 12 sunt : 2,3,4, 6

11Proprietile divizibilitii (cele mai uzuale) Orice numr natural este divizibil cu 1( 1/ a oricare ar fi a) 0 este divizibil cu orice numr.( a / 0 , oricare ar fi a*) Orice numr natural se divide cu el nsui. (a / a oricare ar fi a) dac a /b i b/c , atunci a/c oricare ar fi a,b, c Dac avem atunci i .

Dac avem i atunci i .

Dac avem i iar , atunci i .2/6 i 6/12, atunci 2/12Daca 12 3; 15 3atunci1215 27 iar 27 se divide cu 3

Daca 6 2atunci 67 42 se divide cu 2

12Criteriile de divizibilitate Un numar e divizibil cu 2 cand ultima sa cifra e para( 0, 2 ,4, 6, 8) Un numar e divizibil cu 5 cand ultima sa cifra 0 sau 5 Un numr natural e divizibil cu 10 cand are ultima cifr egal cu 0 Un numr este divizibil cu 3(respectiv 9) cand suma cifrelor numrului este divizibil cu 3(respectiv 9) Un numar e divizibil cu 4(respectiv25) cand numrul format din ultimele dou cifre ale unui numr natural este divizibil cu 4 (respectiv 25), 220, 222, 224, 226, 228, se divid cu 2, deoarece au fiecare ultima cifr par: 0, 2, 4, 6,8 435 se divide cu 5; 190 se divide cu 5 si cu 10.

47193 este divizibil cu 3, deoarece 4+7+1+9+3=24 i 3/ 24

numrul 47160 este divizibil cu 9 deoarece 4+7+1+9+3=18, care se divide cu 9.

224 se divide cu 4 deoarece 24 se divide cu 4

225 se divide cu 25, deoarece 25 se divide cu 25.

13Numere prime i numere compuse Numere prime sunt numere care au doar doi divizori: pe 1 i pe el nsui. 2 e singurul numar prim par

1 nu admite dect un singur divizor, deci el nu este nici prim i nici numr compus. Numere compuse sunt numere care au cel puin trei divizori. 2, 3, 5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29,31, 37,41, 43,47... Nr. compuse: 4, 6, 8,9,10, 12, 15, etc.

14Numere pare i numere impare Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a acestora este .

Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a acestora este .

15Descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere primePrin descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere prime se nelege scrierea acestuia sub form de produs de factori care la rndul lor nu se mai pot descompune.Daca un numar are descompunerea n= ap.bq.cr.ds, atunciNumarul divizorilor numarului n= (p+1) (q+1) (r+1) (s+1)

Numarul divizorilor numarului 48 = (4+1)(1+1)=10

D48= {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}

16C.m.m.d.c. i c.m.m.m.c.Pentru a afla c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. se procedeaz astfel:

Se descompun n produs de puteri de numere prime numerele date; Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singur dat) cu puterea cea mai mic i se nmulesc ntre ei;se noteaza (a,b) Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni i necomuni (o singur dat) cu puterea cea mai mare i se nmulesc ntre ei; se noteaza[a, b] (a, b) [a, b]= a b

17Numere prime ntre ele Numere prime ntre ele sunt numere care au ca divizor comun doar numrul 1. Exemple: 4 i 9; 15 i 19.

18Divizibilitatea n ZDivizibilitatea n Z este aemntoare cu divizibilitatea n N.

19Fracii subunitare, echiunitare, supraunitare O fracie

a numarator, b- numitor Fracii subunitare

Fracii echiunitare

Fracii supraunitare

Fraciile se numesc echivalente dac i numai dac ad bc .Fracii subunitare

echiunitare

supraunitare

pentru c 210 45

20Amplificarea i simplificarea fractiilor Amplificarea

Simplificarea

21Fracii ireductibile Fracie ireductibil este fracia n care numrtorul i numitorul sunt numere prime ntre ele.

22Transformri de fracii Fracii zecimale finite .

Fracii zecimale periodice simple .

Fracii zecimale periodice mixte .

O fracie ordinar se poate transforma ntr-o fracie zecimal prin mprirea numrtorului la numitorul fraciei. Exemplu:

23Compararea, ordonarea i reprezentarea pe ax a numerelor realeCompararea numerelor raionale prin aducerea la acelasi numitor atunci fractia mai mare e cea cu numaratorul mai mare sau

la acelai numrator iar atunci fractia mai mare e cea cu numitorul mai mic.

Compararea numerelor reale Oricum am alege dou numere aib reale, exist cel puin una din relaiile a b sau a b , astfel oricare dou numere reale pot fi comparate.

Proprietile relaiei :

1. Oricare ar fi a , avem a a

2. Oricare ar fi a, b, dac a b i b a , atunci a b

3. Oricare ar fi a, b, c , dac a b i b c , atunci a c

4. Relaia de ordine este compatibil cu adunarea i nmulirea numerelor reale n sensul c:

a) Dac a, b, c i a b , atunci a c b c i reciproc

b) Dac a, b, c i a b , atunci: ac bc dac c 0 i acbc dac c 0 i reciproc

5. Dac a, b, c, d i a b , c d atunci: a c b dDintre numerele i mai mare ete numrul b deoarece aducem numerele date la acelai numitor: i .Dintre numerele i mai mare ete numrul b deoarece introducem factorii sub radical i obinem: i .

24Valoarea absolut a unui numr real Valoarea absolut a unui numr real:

Valoarea absolut a unui numr iraional

Dac avem: , cel puin unul este iraional, , atunci

. Exemplu:

Deoarece 2>3

25Opusul i inversul unui numr real

Opusul unui numr real: opusul lui a este (a.

Inversul unui numr real: inversul lui a este . Opusul lui 5= 5 Opusul lui 7= +7

Inversul lui 5=

Inversul lui 5=

26Partea ntreag i partea fracionar a unui numr realPartea ntreag a unui numr real x , notat xeste cel mai mare numr ntreg mai mic sau egal cu x .Partea fracionar a numarului x se noteaz cu xi calculeaza ca x x(2,6 este ntre (3 i (2.

Partea ntreag [(2,6] = (3.

Partea fracionar {(2,6} = (2,6 ( [(2,6] = (2,6 +3 = 0,4. 4,4 este ntre 4 i 5.

Partea ntreag [4,4] = 4Partea fracionar {4,4} = 4,4 ( [4,4] = 4,4 ( 4 = 0,4.

(2,6 este ntre (3 i (2.

Partea ntreag [(2,6] = (3.

Partea fracionar {(2,6} = (2,6 ( [(2,6] = (2,6 +3 = 0,4.

27Rotunjirea i aproximarea unui numr real Metoda de a aproxima un numr real, mai ales cnd acesta este o fracie zecimal sau un numr iraional este folosit la estimri i exerciii de comparare.

Exemplu:

Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale prin lips atunci :.

Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale cu adaos atunci: .Rotunjirea cu doua zecimale e

28Intervale n R; reprezentarea pe ax Interval mrginit nchis la ambele margini: ={x axb}.

Interval mrginit nchis la una din margini margini:

={x a