memorator matematic

66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic 1 CUPRINS ALGEBRÃ ................................................................................................................ 5 I. Elemente de logicã matematicã ........................................................................... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie ................................................................................. 5 I.2. Operatori logici ............................................................................................ 5 I.3. Expresii în calculul propoziţiilor .................................................................. 7 I.4. Noţiunea de predicat .................................................................................... 7 I.5. Cuantificatori ............................................................................................... 7 I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd........................................... 7 I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici ............................................ 8 II. Mulţimi .............................................................................................................. 8 II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: ........................................................................ 8 II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: ....................................................... 8 II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: ...................................................................... 9 II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: ...................................................................... 9 II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: ........................................................................ 9 II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: ...................................................... 9 II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ......................... 10 II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE) ........................................................ 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: .............................................. 10 III. Relaţii binare .................................................................................................. 11 IV. Funcţii ............................................................................................................ 12 IV.1. Noţiunea de funcţie ................................................................................. 12 IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective ...................................................... 12 IV.3. Compunerea funcţiilor ............................................................................. 12 IV.4. Funcţia inversã ........................................................................................ 13 V. Operaţii cu numere reale .................................................................................. 13 V.1. Puteri naturale ale numerelor reale............................................................ 13 V.2. Identitãţi fundamentale ............................................................................. 14 V.3. Radicali. Proprietãţi .................................................................................. 14 VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi................................................................... 15 VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ................................................... 15 VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine................................................... 15 VI.3. Modului unui numãr real ......................................................................... 16 VII. Numere complexe ......................................................................................... 17 VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe .................................................. 17 VII.2. Modulul unui numãr complex ................................................................ 18 VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe ......................................... 18 VII.4. Formula lui Moivre ................................................................................ 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex ..................... 18 VII.6. Ecuaţia binomã ...................................................................................... 19 VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea ........................................................... 19 VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ..................................................................... 19 VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea ............................................. 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali ............................. 22

Upload: csernik-attila

Post on 04-Jul-2015

8.106 views

Category:

Documents


31 download

TRANSCRIPT

Page 1: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

1

CUPRINS ALGEBRÃ ................................................................................................................ 5

I. Elemente de logicã matematicã ........................................................................... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie ................................................................................. 5 I.2. Operatori logici ............................................................................................ 5 I.3. Expresii în calculul propoziţiilor .................................................................. 7 I.4. Noţiunea de predicat .................................................................................... 7 I.5. Cuantificatori ............................................................................................... 7 I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd........................................... 7 I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici............................................ 8

II. Mulţimi.............................................................................................................. 8 II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: ........................................................................ 8 II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: ....................................................... 8 II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:...................................................................... 9 II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: ...................................................................... 9 II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:........................................................................ 9 II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:...................................................... 9 II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ......................... 10

II.8. Formulele lui de Morgan (∀∀∀∀A, B⊂⊂⊂⊂E)........................................................ 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: .............................................. 10

III. Relaţii binare .................................................................................................. 11 IV. Funcţii ............................................................................................................ 12

IV.1. Noţiunea de funcţie ................................................................................. 12 IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective ...................................................... 12 IV.3. Compunerea funcţiilor............................................................................. 12 IV.4. Funcţia inversã ........................................................................................ 13

V. Operaţii cu numere reale.................................................................................. 13 V.1. Puteri naturale ale numerelor reale............................................................ 13 V.2. Identitãţi fundamentale ............................................................................. 14 V.3. Radicali. Proprietãţi .................................................................................. 14

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi................................................................... 15 VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ................................................... 15 VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine................................................... 15 VI.3. Modului unui numãr real ......................................................................... 16

VII. Numere complexe ......................................................................................... 17 VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe.................................................. 17 VII.2. Modulul unui numãr complex ................................................................ 18 VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe ......................................... 18 VII.4. Formula lui Moivre ................................................................................ 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex..................... 18 VII.6. Ecuaţia binomã ...................................................................................... 19

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea........................................................... 19 VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea..................................................................... 19 VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea ............................................. 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali ............................. 22

Page 2: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

2

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V........................................................... 24 X. Logaritmi......................................................................................................... 24

X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale............................................ 25 X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale ......................................... 26

XI. Metoda inducţiei matematice.......................................................................... 26 XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano ............................................................. 26 XI.2. Metoda inducţiei matematice................................................................... 26 XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice ................................................. 26

XII. Analizã combinatorie .................................................................................... 27 XII.1. Permutãri ............................................................................................... 27 XII.2. Aranjamente........................................................................................... 27 XII.3. Combinãri .............................................................................................. 27 XII.4. Binomul lui Newton............................................................................... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale....................... 28

XIII. Progresii ...................................................................................................... 28 XIII.1. Progresii aritmetice ............................................................................... 28 XIII.2. Progresii geometrice ............................................................................. 29

XIV. Polinoame ................................................................................................... 29 XIV.1. Forma algebricã a unui polinom ........................................................... 29 XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor ................................................................. 30 XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor ....................................................................... 30 XIV.4. Ecuaţii algebrice ................................................................................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z .................................................... 31

XV. Permutãri, matrici, determinanţi ................................................................... 31 XV.1. Permutãri ............................................................................................... 31 XV.2. Matrici ................................................................................................... 32 XV.3. Determinanţi .......................................................................................... 33 XV.4. Inversa unei matrici ............................................................................... 34

XVI. Sisteme lineare ............................................................................................ 34 XVI.1. Notaţii: ................................................................................................. 34 XVI.2. Compatibilitatea ................................................................................... 35 XVI.3. Sisteme omogene.................................................................................. 35

XVII. Structuri algebrice ...................................................................................... 35 XVII.1. Monoid................................................................................................ 35 XVII.2. Grup .................................................................................................... 35 XVII.3. Inel...................................................................................................... 36 XVII.4. Corp .................................................................................................... 37

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE ..................................................................... 37 Notaţii: ............................................................................................................. 37

I. Triunghiul ......................................................................................................... 38 II. Poligoane convexe ........................................................................................... 38 III. Relaţii metrice în triunghi............................................................................... 38

III.1. Triunghiul dreptunghic ............................................................................ 38 III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c).......................................................... 39

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥⊥⊥⊥BC) ............................................................... 39

Page 3: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

3

III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice ........................................... 39 IV. Patrulatere ...................................................................................................... 40

IV.1. Paralelogramul ........................................................................................ 40 IV.2. Dreptunghiul D C......................................................................... 40 IV.3. Rombul ........................................................................................................... 40 IV.4. Pãtratul............................................................................................................ 41 IV.5. Trapezul D C.............................................................. 41

V. Poligoane înscrise în cerc ................................................................................ 41 V.1. Patrulaterul înscris în cerc A .................................................... 41

V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R.......................................... 41 VI. Cercul............................................................................................................. 41 VII. Complemente de geometrie planã ................................................................. 42 VIII. Poliedre ....................................................................................................... 43

VIII.1. Prisma................................................................................................... 43 VIII.2. Piramida ............................................................................................... 44 VIII.3. Trunchiul de piramidã........................................................................... 45 VIII.4. Poliedrul regulat ................................................................................... 46

IX. Corpuri rotunde .............................................................................................. 46 IX.2. Conul circular drept......................................................................................... 47 IX.3. Trunchiul de con ............................................................................................. 47 IX.4. Sfera................................................................................................................ 47

X. Funcţii trigonometrice ..................................................................................... 47 X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice............................................................... 48

XI. Formule trigonometrice .................................................................................. 48 XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:.......................... 48 XI.2. Formule de adunare:................................................................................ 49 XI.3. Formule pentru multiplii de argument ..................................................... 49 XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:..................................................... 50 XI.5. Sume, diferenţe şi produse: ..................................................................... 50

XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice .............................................................. 50 XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple .................................................... 51

XIII.1. Ecuaţii fundamentale ............................................................................ 51 XIII.2. Tabele de valori: ................................................................................... 51

XIV. Elemente de geometrie analiticã .................................................................. 52 XIV.1. Segmente .............................................................................................. 52 XIV.2. Ecuaţia dreptei...................................................................................... 52 XIV.3. Cercul................................................................................................... 53 XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie .................................................... 53

ANALIZÃ MATEMATICÃ .................................................................................... 54 I. Şiruri................................................................................................................. 54

I.1. Şiruri şi limite ............................................................................................ 54 I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir........... 55 I.2. Operaţii cu şiruri convergente .................................................................... 55 I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã .................................................................. 55 I.4. Şiruri tip ..................................................................................................... 56

Page 4: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

4

II. Limite de funcţii .............................................................................................. 56 II.1. Definiţii ale limitei.................................................................................... 57 II.2. Operaţii cu limite de funcţii ...................................................................... 57 II.3. Limite tip .................................................................................................. 57 II.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................................. 58

III. Funcţii derivabile............................................................................................ 59 III.1. Definiţia derivatei într-un punct............................................................... 59 III.2. Reguli de derivare.................................................................................... 59 III.3. Derivatele funcţiilor elementare............................................................... 59 III.4. Derivata funcţiilor compuse..................................................................... 60 III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare.......................... 61 III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile .......................................................... 61

IV. Asimptote....................................................................................................... 62 IV.1. Asimptote orizontale ............................................................................... 62 IV.2. Asimptote oblice ..................................................................................... 62 IV.3. Asimptote verticale ................................................................................. 62

V. Primitive.............................................................................................................. 62 Integrarea prin părţi .......................................................................................... 63 V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei.................................................... 63 V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei.................................................. 63 V.3. Tabel de primitive..................................................................................... 63 V.4. Primitivele funcţiilor raţionale .................................................................. 64

VI. Integrale definite ............................................................................................ 64 IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) ........................................... 64

Page 5: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

5

ALGEBRÃ

I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noţiunea de propoziţie Definiţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziţie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii. Dacã o propoziţie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logici Negaţia Definiţia I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p . Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p). p non p 1 0 0 1 Conjuncţia Definiţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p ∧ q

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Page 6: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

6

Disjuncţia Definiţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p ∨ q

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este: p q p ∨ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Implicaţia Definiţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia. Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este: p q non p (non p)∨q

1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Echivalenţa logicã Definiţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic, dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨p; (p→q) şi (q→p); p↔q; se citeşte: “p echivalent cu q” sau “p dacã şi numai dacã q”, “p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”. Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este:

p q non p non q p→q q→p (p→q)∧ (q→p) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Page 7: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

7

I.3. Expresii în calculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…). Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α, obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective. Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… se numeşte tautologie. Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.

I.4. Noţiunea de predicat Definiţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date. Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

I.5. Cuantificatori Definiţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel puţin) un element x’∈M, astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x),

(∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”. Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x).

Simbolul ∀ se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:

1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y); 2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);

Reguli de negare:

1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x)); 2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x)); 3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y)); 4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.

Page 8: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

8

I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici Oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem: 1. non(non p) ≡ p;

2. (p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjuncţiei); 3. ((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); 4. (p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjuncţiei); 5. ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); 6. ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei); 7. non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan;

non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)

8. (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia

II. Mulţimi

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}).

Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…

Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã a∈A şi se citeşte “a aparţine lui A”.

Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A)

Proprietãţile egalitãţii:

1. ∀ A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria); 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: (A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B) Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B. Proprietãţile incluziunii: 1. ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea); 2. (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria); 3. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea); 4. ∀ A, ∅ ⊂ A

Page 9: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

9

Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B} Proprietãţile reuniunii:

1. ∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea); 2. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea); 3. ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa); 4. ∀ A: A ∪ ∅ = A; 5. ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B} Proprietãţile intersecţiei:

1. ∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea); 2. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea); 3. ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa); 4. ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ 5. ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B 6. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã

de reuniune); 7. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de

intersecţie); 8. ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: A \ B = {xx∈A ∧ x∉B} Proprietãţile diferenţei:

1. ∀ A: A \ A = ∅; 2. ∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C); 3. ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B); 4. ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); 5. ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C; 6. ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); 7. ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); 8. ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) Proprietãţile diferenţei simetrice: 1. ∀ A: A ∆ A = ∅;

Page 10: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

10

2. ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea); 3. ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A; 4. ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea); 5. ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C); 6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: (A fiind o parte a lui E, adicã A⊂E) CEA = {xx∈E ∧ x∉A} Proprietãţi: (∀A, B⊂E) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii); 2. CEA = E \ A; 3. CE∅ = E; 4. CEE = ∅; 5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului); 6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei); 7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA; 8. A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB. II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B} Proprietãţile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem): 1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B; 2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C); 3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C); 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)

Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B.

Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈N, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}.

Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.

Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.

Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.

Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii

Page 11: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

11

{1,2,…,n} cu n∈N, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero).

Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A ∪ B = A + B -A ∩ B Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Relaţii binare

Relaţia binarã pe o mulţime Definiţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o

parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈M este relaţia R cu y∈M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M.

Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime:

1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa. 2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb

implicã bRa. 3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb

implicã bRc implicã aRc. Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y)xRy}. Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã. Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea Ca = {x ∈∈∈∈M xRa}. Douã clase de echivalenţã Ca şi Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte. Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã. Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “<” sau “≤” De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q şi R este o relaţie de ordine.

Page 12: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

12

Definiţia III.7. Fie M o mulţime nevidã şi “≤≤≤≤” o relaţie de ordin pe M. Aceastã relaţie de ordin se numeşte relaţie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈M avem sau a<b sau b<a. Mulţimea înzestratã cu o relaţie de ordine totalã se numeşte mulţime total ordonatã. Definiţia III.8. Fie M o mulţime nevidã. O relaţie de ordine pe M se numeşte relaţie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai mic element. Mulţimea M, cu aceastã relaţie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã. O relaţie de bunã ordonare pe M este o relaţie de ordie totalã pe M.

IV. Funcţii IV.1. Noţiunea de funcţie Definiţia IV.1.1. Fie A şi B douã mulţimi. Prin funcţie definitã pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈A i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Mulţimea A se numeşte domeniu de definiţie, iar mulţimea B se numeşte codomeniu de definiţie sau domeniul valorilor funcţiei. Definiţia IV.1.2. Fie f:A→B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)),

a∈A. deci Gf = {(a, f(a) a∈∈∈∈A} Definiţia IV.1.3. Se numeşte funcţie numericã o funcţie f:A→B, pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimilor numerelor reale (deci A, B⊂R).

IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective Definiţia IV.2.1. Fie f:A→B o funcţie. Spunem cã f este o funcţie injectivã, dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A, x≠y, avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4. Definiţia IV.2.2. O funcţie f:A→B este o funcţie surjectivã, dacã pentru orice b∈B existã cel puţin un element a∈A, astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→B nu este surjectivã dacã ∃ b∈B avem f(a) ≠ b(∀)a∈A.

De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã. Definiţia IV.2.3. O funcţie f:A→B care este simultan injectivã şi surjectivã se numeşte funcţie bijectivã. De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea funcţiilor Definiţia IV.3.1. Fie funcţiile f:A→B şi f:B→C (domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f). Fie a∈A, atunci f(a)∈B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o funcţie h:A→C unde

Page 13: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

13

h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈A. Funcţia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f. Observaţii: 1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea

funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C. 2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcţii, are sens g◦f:A→A şi f◦g:B→B. în

general f◦g ≠ g◦f. Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcţii. Atunci fiecare din

funcţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Funcţia inversã Definiţia IV.4.1. Fie A o mulţime oarecare. Notãm cu 1A:A→→→→A funcţia definitã astfel: 1A(a) = a pentru ∀∀∀∀a∈∈∈∈A. 1A se numeşte funcţia identicã a mulţimii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci: 1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A→B avem f◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C→A avem 1A◦g = g

Definiţia IV.4.2. O funcţie f:A→B se numeşte inversabilã dacã existã o funcţie g:B→A astfel încât g◦f = 1A şi f◦g = 1B.

Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.

V. Operaţii cu numere reale V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 1. (+a)n = +an

2. (-a)2n = +a2n 3. (-a)2n+1 = -a2n+1 4. am⋅an = am+n 5. am:an = am-n, a ≠ 0 6. am⋅bm=(a⋅b)m

7. am:bm = m

b

a , b ≠ 0;

8. m

m

ma

a1

a1 −=

= , a ≠ 0;

9.(am)n = amn = (an)m; 10. a0 = 1, a ≠ 0; 11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale.

Page 14: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

14

V.2. Identitãţi fundamentale Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem: 1. a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2; 2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2; 3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx +

+ dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2; 4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2); 6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz); 7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x); 8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2); 9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10. a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11. a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12. (1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5; 13. a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1); 15. a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 16. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n); 17. (1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprietãţi

1. 0,1

>= aaa mm ;

2. 0,11 1

>==−

aaaa

m

m

m ;

3. ( ) 0, ≥= aaam

m ; 4. 0,, ≥=⋅ baabba mmm ;

5. 0,11

>=

a

aa

m

m ;

6. 0,,,, ≥=⋅⋅ cbaabccba mmmm ;

7. 0,0,: >≥= bab

aba mmm ;

8. 0, ≥=⋅ + + aaaa nm nmnm ;

9. 0,: >= + − aaaa nm nmnm ;

10. n mnmaaa 0, ≥= ;

11. ( ) 0, ≥== aaaa m

nn

mm n ;

12. 0, >= aaa n pmn mp ;

13. 0,, ≥⋅=⋅ bababa mn qmpnn qm p ;

Page 15: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

15

14. 0, ≥== aaaa n mmnm n ;

15. 0,0,:: >≥= bababa mn qmpnn qm p ;

16. ∈= aaa ,2 R;

17. 0,1212

112 ≥−=−=− +++ aaaa nnn ;

18. ( ) 0,1212 ≥−=−

++ aaan

n ;

19. 0,,2 ≥++=+ baabbaba ;

20.22

CACABA

−±

+=± , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui ba ± este ba + iar pentru 33 ba ± este 3 233 2 baba ++

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ax + b = 0, a,b,x∈R Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã

1. a ≠ 0, x = a

b− (soluţie unicã). S = {

a

b− }.

2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R.

Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0 x

-∞ a

b− +∞

f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a

Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y A(0,b)

x

B(a

b− ,0)

VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã:

1. a > 0, S =(a

b− , + ∞);

Page 16: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

16

2. a < 0, S = (-∞,a

b− );

3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = ∅. Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã:

1. a > 0, S = (+∞,a

b− ]

2. a < 0, S = [a

b− ,+∞)

3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = ∅.

Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).

VI.3. Modului unui numãr real

>

=

<−

=

0 xdaca x,

0 xdaca 0,

0 xdaca x,

x

Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem: 1. 0=x ⇔ 0=x ;

2. xx =− ;

3. yx = ⇔ yx = sau yx −= ;

4. ax = ⇔ ∈==− aaxa , R;

5. xxx ≤≤− ;

6. yxyx +≤+ ;

7. yxyx +≤−

8. yxyx −≤− ;

9. yxyxyx +≤+≤− ;

10. yxxy ⋅= ;

11. 0, ≠= yy

x

y

x.

Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul: 1. bax =− , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor)

b S

b < 0 ∅ b = 0 a b >0 {a – b; a + b}

2. bax >−

Page 17: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

17

b S

b < 0 R b = 0 R\{a} b >0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞}

3. bax <−

b S

b < 0 ∅ b = 0 ∅ b >0 {a – b; a + b}

VII. Numere complexe Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b)a,b∈∈∈∈R}, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: ∀z=(a,b),

∀z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: ∀z=(a,b),

∀z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib.

Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex

a + bi nenul admite un invers ( )

+−

+=+ −

iba

b

ba

abia

2222

1 ; este distributivã faţã

de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C. Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = ziba =+ . Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C. 1. z + z = 2a;

2. z - z = 2bi;

3. '' zzzz ±=± ;

4. '' zzzz ⋅= ;

5. ))((' 22 biabiabazz −+=+= ;

Page 18: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

18

6. zz

zz

z

z '

'= ;

7. ( )nn zz = ;

8. z

z

z

z ''=

.

VII.2. Modulul unui numãr complex ∀ z∈C

zzz = sau 22 baz +=

Avem apoi: 1. zz =

2. '' zzzz +≤+ ;

3. ''' zzzzzz +≤+≤− ;

4. '' zzzz = ;

5. 0,''

≠= zz

z

z

z.

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice rcos u = a şi rsin u = b.

De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci 4

5,2

π== uz şi z = )

4

5sin

4

5(cos2

ππi+ .

VII.4. Formula lui Moivre

∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinţele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2

ncosn-2u sin2

u + C4ncosn-4

u sin4u + …;

sin nu = C1ncosn-1

u sin u + C3ncosn-3

u sin3u + …;

tg nu = ...1

...4422

55321

−+−−+−

utgCutgC

utgCutgCtguC

nn

nnn .

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u)

( )

( )

( ) 1,...,2,1,0,)12(

sin)12(

cos1

1,...,2,1,0,2

sin2

cos1

1,...,2,1,0,2

sin2

cos1

−=+

++

=−

−=+=

−=

++

+=

nkn

ki

n

k

nkn

ki

n

k

nkn

kui

n

kurz

k

n

k

n

n

k

n

ππ

ππ

ππ

Page 19: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

19

Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie:

( )kk

n ε=1 şi ( )kk

n ω=−1

−++

++±=+

22

2222aba

b

bi

abaiba

VII.6. Ecuaţia binomã xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ) xk = A1/nωk, k = 1,0 −n , A∈R, A < 0;

xk = A1/nεk, k = 1,0 −n , A∈R, A > 0;

xk =

++

+n

ki

n

kpn

πϕπϕ 2sin

2cos , k = 1,0 −n , A∈C\R

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0 1. Formule de rezolvare: ∆ > 0

a

bx

21

∆+−= ,

a

bx

22

∆−−= , ∆ = b2 – 4ac; sau

a

bx

''1

∆+−= ,

a

bx

''2

∆−−= , b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac.

2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II-lea: x1

2 + x22 = (x1 + x2)

2 – 2x1x2 = S2 – 2P x1

3 + x23 = (x1 + x2)

3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x1

4 + x24 = (x1 + x2)

4 – 2x12x2

2= S4 – 4S2P + 2P2

3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.

∆ P S Natura şi semnul rãdãcinilor ∆ < 0 - -

Rãdãcini complexe: a

ibx

22,1

∆−±−=

∆ = 0 - - Rãdãcini reale şi egale

a

bxx

221 −==

P > 0 S > 0 Rãdãcini reale pozitive ∆ > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini reale negative

P < 0 S > 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi

P < 0 S < 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã.

Page 20: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

20

4. Semnul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R ∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2.

x -∞ x1 x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

∆ = 0

X -∞ x1 = x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

∆ < 0

X -∞ +∞ f(x) semnul lui a

5. Graficul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã. Aceastã

funcţie se poate scrie şi sub forma aa

bxaxf

42)(

2∆−

+

+= , numitã formã canonicã.

y ∆ > 0 a > 0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)

C V

∆−−

aa

b

4,

2

O A B x D 6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea

1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu a4

∆−, minim ce se

realizeazã pentru x = a

b

2

2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu a4

∆−, maxim ce se

realizeazã pentru x = a

b

2

7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0

Page 21: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

21

1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul

−−∞

a

b

2,( şi strict

crescãtoare pe intervalul

+∞−

),2a

b.

2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul

−−∞

a

b

2,( şi strict

descrescãtoare pe intervalul

+∞−

),2a

b.

Observaţie: Intervalele

−−∞

a

b

2,( şi

+∞−

),2a

b se numesc intervale de

monotonie ale funcţiei f. Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului. 1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)

2; 3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c

Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul

rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2. Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R,

a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã: a b c 0 0 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 a’ b’ c’ 0 0 a’ b’ c’

Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în

anumite relaţii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Relaţii între x1, x2, α şi β Condiţii necesare şi suficiente

1 α < x1 < β < x2 sau x1 < α < x2 <β

1. f(α )f(β) < 0

2

α < x1 ≤ x2 < β

1. ∆ = b2 – 4ac = 0 2. af(α) > 0 3. af(β) > 0

4. α < a

b

2

5. β > a

b

2

3

x1 < α < β < x2

1. af(α) < 0 2. af(β) < 0 ceea ce atrage dupã sine ∆ >0

Page 22: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

22

4 x1 < α < x2 1. af(α) < 0 5

α < x1 ≤ x2

1. ∆ = 0 2. af(α) > 0

3. α < a

b

2

6

x1 ≤ x2 < α

1. ∆ = 0 2. af(α) > 0

3. a

b

2

− < α

7 f(X) = 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0

2. a > 0 8 f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0

2. a < 0

Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, x

n = y2.

VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea 1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:

∆ a S ∆ > 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ < 0 ∆ < 0

a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0

(-∞, x1)∪(x2, +∞) (x1,x2) R\{x1}

∅ R ∅

2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor: ∆ a S

∆ > 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ < 0 ∆ < 0

a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0

(-∞, x1]∪[x2, +∞) [x1,x2]

R {x1}

R ∅

Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali 1. Sisteme formate dintr-o ecuaţie de gradul al doilea şi una de gradul întâi

Aceste sisteme sunt de forma:

Page 23: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

23

=+++++

=++

0

0)(

111

2

11

2

1 fyexdycxybxa

cbyaxS

Se rezolvã prin metoda substituţiei. În prima ecuaţie putem presupune cã sau a≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b≠0,

atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia b

cx

b

a

b

axcy −−=

−−= .

Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:

=+

−−++

−−+

−−+

−−=

0

)'(

111

2

11

2

1 fb

cx

b

aexd

b

cx

b

ac

b

cx

b

axbxa

b

cx

b

ay

S

Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y.

Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluţie realã.

2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluţii reale.

3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale.

2. Sisteme de ecuaţii omogene Un astfel de sistem este de forma:

=++

=++

2

2

22

2

2

12

112

1)(dycxybxa

dycxybxaS

Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y

2 şi a2X

2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea

lor au acelaşi grad. Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu α şi cea de a doua cu β şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:

=+++++

=++

0)()()()'(

2

2121

2

22

12

112

1

yccxybbxaa

dycxybxaS

βαβαβα

Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:

=++

=++

0)'(

2

33

2

3

1

2

11

2

1

ycxybxa

dycxybxaS

Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x≠0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în

Page 24: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

24

x

y: c3

2

x

y+ b3

x

y + a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru

x

y adicã,

x

y= k1 şi

x

y= k2.

Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã sisteme:

=++

=

12

112

1

1

1)(dycxybxa

xkyS şi

=++

=

12

112

1

2

2 )(dycxybxa

xkyS

Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecuaţii simetrice

Definiţia VIII.3.3. O ecuaţie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y şi y cu x, ecuaţia nu se schimbã.

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p.

Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie de gradul al doilea în necunoscutele s şi p.

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin

substituţia y = x + x

1: a(x2 +

2x

1) ± b(x +

x

1) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.

IX.2. Ecuaţia bipãtratã ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0

Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, decia

acbbx

2

42

4,3,2,1

−±−±=

X. Logaritmi Definiţia X.1. Fie a∈∈∈∈R*

+, a ≠≠≠≠ 1 şi b∈∈∈∈R*+ douã numere reale. Se numeşte

logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obţine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab

Page 25: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

25

Evident baablog= . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e

obţinem logaritmi naturali. Proprietãţi: 1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0); 2. logaa = 1; 3. loga1 = 0

4. logaac = c; loga

b

1=- logab; logax

2n = 2n logax , x≠0

5. )2,,0(,log1

log ≥∈>= mNmbbm

ba

m

a;

6. logab logba = 1;

7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: a

bb

c

c

a log

loglog =

8. x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay;

9. x>0 şi y>0 ⇒ logay

x = logax – logay; cologax = - logay

10. a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0; 11. 0<a<1 şi x∈(0,1) ⇒ logax > 0; 0<a<1 şi x>1⇒ logax < 0; 12. a>1 şi 0<x<y ⇒ logax < logay;

13. x>0, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ y

x

y

x

b

b

a

a

log

log

log

log= ;

14. x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn;

15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna. Operaţii cu logaritmi zecimali

1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric. 2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului. 3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele. 4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive. X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale 1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluţia: x = ab. 2. logax > b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:

Page 26: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

26

a S a > 1

0 < a < 1 (ab, +∞) (0, ab)

3. logax < b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a S

a > 1 0 < a < 1

(0, ab) (ab, +∞)

X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale 1. ax = b, a>0, a≠1, b>0. Soluţia x = logab, b∈R 2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluţie realã 3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:

a b S a > 1

0 < a < 1 a > 0 a ≠ 1

b > 0 b > 0 b < 0

(logab, +∞) (-∞, logab)

R

4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S

a > 1 0 < a < 1

a > 0 a ≠ 1

b > 0 b > 0 b < 0

(-∞, logab) (logab, +∞)

XI. Metoda inducţiei matematice XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano Fie A o parte a lui N astfel cã: 1. 0∈A 2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem: 1. P(0) adevãratã; 2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru

orice numãr natural n. În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în

loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat n≠n0.

XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã;

Page 27: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

27

2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n≥n0.

XII. Analizã combinatorie XII.1. Permutãri

Definiţia XII.1.1. O mulţime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonatã şi se notazã (a1,a2,…,an).

Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mulţimi A cu n elemente toate mulţimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈∈∈∈N*, este Pn=1⋅⋅⋅⋅2⋅⋅⋅⋅3⋅⋅⋅⋅…⋅⋅⋅⋅n = n!; 0! = 1 (prin definiţie).

Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! = 1n

1)!(n

++

XII.2. Aranjamente Definiţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤≤≤≤n) ale unei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã Am

n. Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:

Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) =

m)!(n

n!

−, n≥m.

Proprietãţi: Ann = Pn; A

nn =

0!

n! sau An

n= n!; 1; 01 ==−n

n

n

n

nAAA .

XII.3. Combinãri Definiţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤≤≤≤n) ale unei mulţimi A cu n elemente toate submulţimile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã m

nC .

Proprietãţi: 1. 1; 0

0

01 ==== CCCnCn

n

nn;

2. 1

11; −−−

− +== m

n

m

n

m

n

mn

n

n

nCCCCC ;

3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n; 4. 1

1

11

1

1

1

1

1 ... −−

−−+

−−

−− +++++= m

m

m

m

m

m

m

n

m

n

m

nCCCCCC ;

5. )...(

2111

2

1

1 ...!!...!

!−++−−=

mppn

p

pn

p

n

n

CCCppp

n unde p1 + … pm-1 < n

XII.4. Binomul lui Newton (x + a)n = nn

n

kknk

n

n

n

n

naCaxCaxCxC +++++ −− ......110

(x – a)n = nn

n

nkknk

n

kn

n

n

naCaxCaxCxC )1(...)1(...110 −++−++− −− unde n∈N

Proprietãţi: 1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k

nC xn-kak;

Page 28: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

28

2. k

n

k

n

k

n

k

nC

k

knCC

k

knC

1;

111

1

+−

=+−

= ++

+ ;

3. Tk+2 = x

a

k

kn⋅

+−

1 Tk+1 sau Tk+2 =

x

a

k

kn⋅

+−

−1

Tk+1;

4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1; 5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali.

Relaţii importante:

22120

2

15311420

1010

)(...)()(

;2...;2...

;0)1(...;2...

n

nnn

n

n

n

nnn

n

nnn

n

n

n

nn

nn

nnn

CCCC

CCCCCC

CCCCCC

+++=

=+++=+++

=−++−=+++−−

Dezvoltãri particulare uzuale: 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; 2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3; 5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; 6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem:

12

)122()1(;

30

)196)(1(

2

1(;

6

)12)(1(;

2

)1(

222

5

23

4

2

321

−++=

−+++=

+=

++=

+=

nnnnS

nnnnnS

nnS

nnnS

nnS

O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ nSCSCSC

p

ppPpp++++ +−++ 111

2

1

1

1 ...

XIII. Progresii XIII.1. Progresii aritmetice Definiţia XIII.1.1. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raţia progresiei. Se noteazã ÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n≥2 (prin definiţie) an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiţie)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 2

)na(a n1 +

Page 29: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

29

n2

1)r(n2aS 1

n

−+=

Termenii echidistanţi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor

echidistanţi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.

Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometrice Definiţia XIII.2.1. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere a1,a2,a3,…,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q≠≠≠≠0) numit raţie. Se noteazã ÷÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n≥2 (prin definiţie) an = a1q

n-1, n≥2 (an în funcţie de a1, q şi n)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 1q

1qa

n

1 −−

Sn = 1q,q1

qaa n1 ≠−−

Termeni echidistanţi de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi

termeni echidistanţi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1, astfel încât 121

2

1 ++ =mm

aaa . Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã

formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.

XIV. Polinoame XIV.1. Forma algebricã a unui polinom f∈C[x] este f = a0X

n + a1Xn-1 + a2X

n-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber. Funcţia polinomialã asociatã lui f∈C[x] este f

~:C→C f

~(α) = f(α) ∀α∈C;

f(α) fiind valoarea polinomului f în α. Teorema împãrţirii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Împãrţirea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului f∈C[x], f≠0 la X-a este f(a).

Page 30: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

30

Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1X

n-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0X

n + a1Xn-1 + a2X

n-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãrţiri r = f(a);

a0 a1 … an-1 an

a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor Definiţia XIV.2.1. Fie f,g∈∈∈∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm gf dacã ∃∃∃∃q∈∈∈∈C[x] astfel încât f=gq. Proprietãţi: 1. a f, ∀a∈C*, ∀f∈C[x]; 2. g f şi f≠0 ⇔ r = 0; 3. g f şi f≠0 ⇒ grad f ≥ grad g; 4. a∈C* ⇒ af f; 5. f f (refelexivitate); 6. f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate); 7. f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).

Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g.

2) d’ f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele. Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeşte cel mai mic multiplu comun

(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m. 2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’

Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m = d

gf ⋅

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor Definiţia XIV.3.1. Numãrul αααα∈∈∈∈C se numeşte rãdãcinã a polinomului f dacã şi numai dacã f

~(αααα) = 0.

Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f≠0⇔(X-a) f. Definiţia XIV.3.2. Numãrul αααα se numeşte rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f≠0 dacã şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)

p+1 nu-l divide pe f.

Teoremã: Dacã f∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1,x2,x3,…,xn sunt rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,…,mn atunci

nm

n

mm xXxXxXaf )...()()( 21

210 −−−= unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + … + mn = grad f. XIV.4. Ecuaţii algebrice Definiţia XIV.4.1. O ecuaţie de forma f(x) = 0 unde f≠≠≠≠0 este un polinom, se numeşte ecuaţie algebricã. Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali. Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã).

Page 31: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

31

Formulele lui Viete: Dacã numerele x1,x2,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f∈C[x], f = a0X

n + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:

−=

−=+++

−=+++

=+++++

−=+++

+−+−+−

−−

021

021112121

0

312421321

0

2132121

0

121

)1(...

.......................................................

)1(............

......................................................

...

......

...

a

axxx

a

axxxxxxxxxx

a

axxxxxxxxx

a

axxxxxxxx

a

axxx

nn

n

kk

mkmkmkkk

nnn

nnn

n

XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z Teoremã: Dacã f∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.

Teoremã: Dacã un polinom f∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0,

d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi peα = a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.

Teoremã: Dacã un polinom f∈Z[x], grad f≥1, admite o rãdãcinã α = 2

p∈Q,

(p,q) = 1 atunci p an şi q a0. În particular dacã f∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.

XV. Permutãri, matrici, determinanţi

XV.1. Permutãri Definiţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕϕϕϕ se numeşte permutare de gradul n daacã ϕϕϕϕ:A→→→→A şi ϕϕϕϕ bijectivã.

ϕ =

(n) ... (2) (1)

n ... 2 1

σϕϕ

Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!

1A = e, permutarea identicã e =

n ... 2 1

n ... 2 1

Page 32: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

32

Compunerea permutãrilor

Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =

(n))( ... (2))( (1))(

n ... 2 1

τστϕτϕ∈Sn

Transpoziţii Definiţia XV.1.2. Fie i,j∈∈∈∈A, i≠≠≠≠j, ττττij∈∈∈∈Sn, ττττij se numeşte transpoziţie dacã:

=

=

=

ji,k daca k,

jk daca i,

ik daca j,

)(kij

τ

=

n ... i ...k ... j ... 2 1

n ... j ...k ... i ... 2 1)(k

ijτ

Observaţii: 1. (τij)-1 = τij;

2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este 2

nC

Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j)∈∈∈∈AxA, i<j, (i,j) se numeşte inversiune a lui ϕϕϕϕ dacã

ϕϕϕϕ(j)<ϕϕϕϕ(i), m(ϕϕϕϕ) numãrul inversiunilor lui ϕϕϕϕ: 2

)1()(0 2 −

=≤≤nn

Cmn

ϕ ;

ε(ϕ) = (-1)m(ϕ) se numeşte signatura lui ϕ. Observaţii: 1. Permutarea ϕ se numeşte parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacã ε(ϕ) = - 1; 2. Orice transpoziţie este imparã;

3. ∏≤<≤ −

−=

nji ji

ji

1

)()()(

ϕϕϕε ;

4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).

XV.2. Matrici Definiţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN→C A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu

elemente numere complexe. Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeşte pãtraticã de ordinul n, iar mulţimea lor se noteazã Mn(C). Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B∈∈∈∈Mm,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀∀∀∀(i,j)∈∈∈∈MxN. Operaţii cu matrici: 1. Adunarea

Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxN este suma lor.

Proprietãţi ∀A,B,C∈Mm,n(C): 1. A+B = B+A (comutativitate); 2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);

Page 33: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

33

3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0); 4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A).

2. Înmulţirea cu scalari Fie A∈Mm,n(C) şi λ∈C atunci B=λA∈Mm,n(C) unde bij=λij ∀(i,j)∈MxN este

produsul matricei A cu scalarul λ. Proprietãţi ∀A,B∈Mm,n(C) şi λµ∈C.

1. 1⋅A = A; 2. λ⋅A = A⋅λ; 3. λ(A+B) = λA + λB; 4. (λ+µ)A = λA + µA; 5. λ(µA) = (λµ)A = µ (λA).

3. Transpusa unei matrici

Fie A∈Mm,n(C) atunci tA∈Mm,n(C) unde taij = aji, ∀(i,j)∈MxN 4. Înmulţirea matricelor

Fie A∈Mm,n(C) şi B∈Mn,p(C) atunci C=A⋅B∈Mm,p(C) unde ∑=

=n

kkjikij

bac1

,

∀(i,j)∈MxN este produsul lor Proprietãţi:

1. (A⋅B) ⋅C = A⋅(B⋅C) (asociativitate);

2. A⋅In = In⋅A (element neutru-matricea unitate)

=

1...00

............

0...10

0...01

nI

3. (A+B)⋅C = A⋅C + B⋅C; 4. A⋅(B+C) = A⋅B + A⋅C.

XV.3. Determinanţi Fie Mn(C) – mulţimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

, A∈Mn(C)

Definiţia XV.3.1. Se numeşte determinantul matricii A, numãrul det A = ∑

∈ nSnn

aaaσ

σσσσε )()2(2)1(1 ...)(

det A =

nmnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Page 34: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

34

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:

Aij = (-1)i+j

a ... a a ... a a

... ... ... ... ... ... ...

a ... a a ... a a

a ... a a ... a a

... ... ... ... ... .... ...

a ... a a ... a a

a ... a a ... a a

nm1nj1-njn2n1

1ni11ji1-1ji12i11i

1n-i11j-i1-1j-i12-i11i

2n12j1-2j2221

1n11j1-1j 12 11

+

++++++

+−

+

+

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa−=

Determinantul de ordinul 3:

331221233211132231312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

−−−++=

XV.4. Inversa unei matrici Fie A∈Mn(C), dacã det A≠0 existã A-1∈Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In∈Mn(C), In – matricea unitate:

=−

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

............

...

...

det

1

21

22212

12111

1

XVI. Sisteme lineare

XVI.1. Notaţii: aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;

(S)

=+++

=+++

=+++

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.......................................

...

...

2211

22222121

11212111

, m – ecuaţii, n – necunoscute;

Page 35: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

35

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

,

=

nmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

,

r – rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. Compatibilitatea Sistemul (S) este compatibil determinat dacã:

1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI = ∆

∆i , unde

=∆

nn

n

n

nnn

i

a

a

a

baa

baa

baa

...

...

...

...

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

2. r = n < m şi rang A= r. Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0) 1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n; 2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebrice XVII.1. Monoid Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea); M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor).

XVII.2. Grup Fie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea); G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru); G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;

Page 36: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

36

2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ; 5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈H ⇒ x*y∈H şi ∀ x∈H ⇒ x’∈H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,⊥), (G2,∆): Definiţia XVII.2.2. f:G1→G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.3. f:G1→G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.4. f:G1→G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. Inel Fie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã; Definiţia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,•) este monoid şi D. • este distributivã faţã de +: x•(y+z) = x•y + y•z (y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈A dacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z} 3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o): Definiţia XVII.3.1. f:A→A’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este

bijectivã şi f(x⊥y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A. Definiţia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0

implicã x•y≠0. Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã

divizori ai lui zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅⋅⋅⋅) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅⋅⋅⋅) este inelul

comutativ al polinoamelor cu coeficienţi în A. f∈A[X], f = a0 + a1X + a2X

2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom

de nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant);

Page 37: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

37

- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞. Proprietãţi: 1. grad (f+g) ≤ max{grad f, grad g}; 2. grad f⋅g ≤ grad f + grad g.

Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad f⋅g = grad f + grad g, ∀f,g∈A[X].

XVII.4. Corp Fie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã. Definiţia XVII.4.1. (K,+,••••) este corp dacã (K,+,••••) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0 ⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât x•x-1 = x-1 •x = 1. Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe; 4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p (p∈N*, p >1, p – numãr prim).

Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥⊥⊥⊥,*) şi (K’,∆∆∆∆,o), f:K→→→→K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀∀∀∀x,y∈∈∈∈R.

Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X], g≠0: ∀f∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r, grad r < grad g. GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE

Notaţii: - lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; - lungimile segmentelor importante în triunghi:

� AD = ha (AD⊥BC, ha lugimea înãlţimii din A, D∈BC); � AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC)); � AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC));

- 2

cba ++ = p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);

- AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S; - R – raza cercului circumscris unui poligon; - r – raza cercului înscris într-un poligon; - ln – latura poligonului regulat cu n laturi; - an – apotema poligonului regulat cu n laturi; - P – perimetrul poligonului; - Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã); - Atot – aria totalã, notatã şi A; - V – volumul.

Page 38: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

38

I. Triunghiul Inegalitãţi gemetrice: 1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior; 2. a+b > c, b+c > a, a+c > b 3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A

4. ma < 2

cb +

5. p < ma + mb + mc < P Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC) B C

cb

baDC

cb

caBD

AC

AB

DC

BD

+⋅

=+⋅

== ;;

Observaţii: 1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al

mediatoarelor; 2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor; 3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor. 4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.

II. Poligoane convexe

Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi: Sn = (n – 2)⋅180°

Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.

III. Relaţii metrice în triunghi III.1. Triunghiul dreptunghic ABC (m(∠A) = 90°, AD⊥BC) 1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2; 2. Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD; 3. Teorema înãlţimii: 2

ah =BD⋅DC;

4. chbhcb

hcba

==⋅

= ,,2

;

5. 222222

4

3,

4

3,

2cambam

am cba −=−== ;

6. ca

abb

ca

acb

cb

cbb cba +

⋅=+

⋅=+⋅

=2

;2

;2 ;

7. 2

cbAABC

⋅= ;

Page 39: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

39

8. 2

aR = ;

9. cba

cbr

++⋅

= ;

10. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice: b = a⋅sin B, b = a⋅cos C, b = c⋅tg B, b = c⋅ctg C.

III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c)

1. 2

3abmh aaa ===

2. 4

32a

AABC = ;

3. 3

3aR =

4. 6

3ar =

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC) 1. Teorema lui Pitagora generalizatã:

a) b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90° ; b) b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90° ;

2. Relaţiile lui Steward O∈(BC): b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO;

3. 4

)(2 2222 acb

ma

−+= ;

4. ))()((2

cpbpappa

ha −−−= ;

5. bcappcb

ba )(2

−+

= ;

6. Sha

A aABC =

⋅=

2;

7. ))()(( cpbpappS −−−= ;

8. S

abcR

4= ;

9. p

Sr = .

III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice

1. Teorema sinusurilor: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin=== ;

2. Teorema cosinusului: bc

acbAAbccba

2cos;cos2

222222 −+

=−+= ;

Page 40: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

40

3. Teorema tangentelor: ba

baCtg

BAtg

+−

=−

22;

4. CBARSA

tgappSA

CBaS

CabS sinsinsin2,

2)(,

sin2

sinsin,

2

sin 22

=−=== ;

5. 2

cos2

cos2

cos4CBA

Rp = ;

6. CBRha sinsin2= ;

7. )sinsincos4(sin222 CBAARma += ;

8. 2

cos2 A

cb

bcba +

= ;

9. bc

appA )(

2cos

−= ;

10. bc

cpbpA ))((

2sin

−−= ;

11. )(

))((

2 app

cpbpAtg

−−−

= .

IV. Patrulatere IV.1. Paralelogramul ABCD (AB CD, BC AD, DE⊥AB) D C AC∩BD = {O} OA = OC, OB = OD O AABCD = AB⋅DE AABCD = AB⋅AD⋅sin A. A E B

IV.2. Dreptunghiul D C ABCD (AB CD, BC AD, ∠A = 90°) AC = BD O AABCD = AB⋅AD A B

IV.3. Rombul ABCD (AB CD, BC AD, AB = BC) AC = d1, BD = d2 AB = a A C AC⊥BD

AABCD = 2

dd 21 ⋅

B

Page 41: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

41

IV.4. Pãtratul ABCD (AB CD, BC AD, AB = AC D C ∠A = 90°, AB = a, AC = d) AC = BD AC⊥BD O d = a 2 AABCD = a2. A B

IV.5. Trapezul D C ABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M

MN = 2

bB + M N

A B

AABCD = hhbB

⋅=⋅+

MN2

)(

V. Poligoane înscrise în cerc V.1. Patrulaterul înscris în cerc A ∠BAD + ∠BCD = 180°; D ∠BAC ≡ ∠BDC; M Teorema lui Ptolomeu α AB⋅DC + AD⋅BC = AC⋅BD C AABCD = ½ AC⋅BD⋅sin α B V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R

1. Triunghiul echilateral: 4

33,

2,3

2

33R

SR

aRl === ;

2. Pãtratul: 244 2,

2

2,2 RS

RaRl === ;

3. Hexagonul regulat: 2

33,

2

3,

2

66R

SR

aRl === ;

4. Poligonul regulat cu n laturi: nnn apn

Rn

Sn

Ran

Rl ⋅====πππ 2

sin2

,cos,sin2 2

unde 2

nlnp

⋅= .

VI. Cercul Lungimi şi arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2;

Page 42: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

42

larcAB=180

απR; α - mãsura în grade; A

AsectorAB = 180

2απR α O

µ(∠AOB) = 180

πα ⋅(µ - mãsura în radiani) B

Unghi cu vârful în interiorul cercului: B m(∠AOB) = )Bm(A

� A

m(∠AMB) = 2

)Dm(C)Bm(A��

+ M

D C Unghi cu vârful pe cerc OM⊥MT M

m(∠AMB) = 2

)Bm(A�

T

m(∠AMT) = 2

)Mm(A�

A B

Unghi cu vârful în exteriorul cercului M OT⊥MT C

m(∠AMB) = 2

)Dm(C)Bm(A��

− D T

m(∠AMB) = 2

)Tm(D)Tm(B��

− A

B Puterea unui punct faţã de un cerc B M

OT⊥MT N ρ(M) = MA⋅MB = OM2 – r2 = MT2 T ρ(N) = NA⋅NB = r2 – ON2

A

VII. Complemente de geometrie planã Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãlţimilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru. Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse. Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt

concurente dacã şi numai dacã 1=⋅⋅PB

PA

NA

NC

MC

MB.

Page 43: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

43

Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri

de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã: 1=⋅⋅PB

PA

NA

NC

MC

MB.

Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G (ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare. Dreapta lui Simson: Proiecţiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare. Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersecţia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare. Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãlţimilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt conciclice.

VIII. Poliedre VIII.1. Prisma 1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; c Atot = 2(ab + ac + bc); d V = abc b d2 = a2 + b2 + c2 a 2. Cubul (de laturã a = b = c) A = 6a2 c V = a3 d a = a 3 a b 3. Paralelipipedul D’ C’ B’O⊥(ABC) A’ B’ B’O = h V = AABCD⋅h D O C

A B 4. Prisma C’ (dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) A’ B’ V = Abazei⋅h h C

Prisma triunghiularã regulatã A B C’ (AB = a) O’ Alat = 3a⋅h A’ B’

Page 44: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

44

Atot = 3a⋅h + 2

3a 2

V = 4

3a 2

⋅h C O

A B

VIII.2. Piramida 1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, A AO⊥(BCD), AM⊥DC)

;2

3,

3

6 aAM

ah ==

B C 2. Tetraedul dreptunghic (OA⊥OB⊥OC⊥OA, OA = OB = OC = a, CM⊥AB) C

2;2

6,

2

2aAB

aCM

aOM ===

2

32a

AABC =

2

3

2

3 22aa

Atot +=

V = 6

3a

3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM ⊥ BC, VM – apotemã)

34

3

2

3

4

3

2

312

2

2

22

haV

VMaaA

VMaA

ahVM

tot

lat

⋅=

⋅+=

⋅=

+=

12

2;3

3

22ˆsin,3

6ˆsin

32 a

VaA

OMAOBA

==

==

Page 45: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

45

Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥BC)

3

2

24

2

2

22

haV

VMaaA

VMaA

ahVM

tot

lat

⋅=

⋅+=

⋅=

+=

4. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC, VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)

2

3

32

33

34

3

2

2

22

haV

VMaa

A

VMaA

ahVM

tot

lat

=

⋅+=

⋅=

+=

M

A B 5. Piramida regulatã (piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei):

3;

2hA

VAAA

apotemaPA

bazeilatbazeitot

bazeilat

⋅=+=

⋅=

6. Piramida (de înãlţime h):

3;

hAVAAA bazei

latbazeitot

⋅=+=

VIII.3. Trunchiul de piramidã (B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea)

Page 46: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

46

1. Trunchiul de piramidã oarecare:

bBbBh

V ⋅++= (3

2. Trunchiul de piramidã regulat P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici, ap – apotema

)(3

2

)(2

)(

bBbBh

V

apPbBA

apPA

p

tot

p

lat

⋅++=

+++=

+=

VIII.4. Poliedrul regulat Relaţia lui Euler: v-m+f = 2 (v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor) Tipurile de poliedre regulate: - tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;

- cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;

- octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;

- dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;

- icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;

IX. Corpuri rotunde Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţime IX.1. Cilindrul circular drept

hRV

GRRA

RGA

Gh

tot

lat

2

)(2

2

π

π

π

=

+=

=

=

Page 47: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

47

IX.2. Conul circular drept

3

)(2

222

hRV

GRRA

RGA

RhG

tot

lat

π

π

π

=

+=

=

+=

IX.3. Trunchiul de con (r – raza bazei mici)

)(3

)()(

)(

)(

22

22

222

RrrRh

V

rRrRGA

rRGA

rRhG

tot

lat

++=

+++=

+=

−+=

π

ππ

π

IX.4. Sfera

2

1sferice

3

2

2

23

4

4

RhA

RhA

RV

RA

zonei

calotei

π

π

π

π

=

=

=

=

X. Funcţii trigonometrice X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic

a

bB =sin ,

a

cB =cos ,

c

btgB = C

b

cctgB = , CB cossin = , ctgCtgB = b a

A c B

Page 48: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

48

X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice 1. sin:R→[-1,1]

sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z) 2. cos:R→[-1,1

cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z)

3. tg:R\{(2k+1)2

π}→R 4. ctg:R\{kπ}→R

tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg x tg(x+kπ) = tg x, (k∈Z) ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)

XI. Formule trigonometrice XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument: 1. 1cossin 22 =+ αα ;

αααα 22 sin1cos;cos1sin −±=−±=

2. αα

αcos

sin=tg

Page 49: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

49

αα

α

αα

22 1

1cos;

1sin

tgtg

tg

+±=

+±=

3. ααπ

cos2

sin =

− ; ααπ

ctgtg =

−2

4. ααπ sin)sin( =− ααπ cos)cos( −=− ; ααπ tgtg −=− )(

5. ααπ

cos2

sin =

+

ααπ

sin2

cos −=

+ , ααπ

ctgtg −=

+2

6. ααπ sin)sin( −=+ ααπ cos)cos( −=+ ; ααπ tgtg =+ )(

7. ααπ sin)2sin( −=− ααπ cos)2sin( =− ; ααπ tgtg −=− )2(

XI.2. Formule de adunare:

βαβα

βα

βαβαβααββαβα

tgtg

tgtgtg

⋅±

⋅⋅=±

⋅±⋅=±

1)(

sinsincoscos)cos(

cossincossin)sin(

XI.3. Formule pentru multiplii de argument:

...sincossincossincoscos

...sincossincoscossin

1

12cos;

1

22sin

cos3cos43cos

sin4sin33sin

22

12

2

1

22

1cos2sin21sincos2cos

cossin22sin

55533311

444222

2

2

2

3

3

2

2

2222

−⋅+⋅−⋅=

−⋅+⋅−=

+

−=

+=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=−=−=

⋅=

−−−

−−

ααααααα

αααααα

αα

αα

αα

ααα

ααα

ααα

αα

αααα

α

ααααα

ααα

nn

nn

nn

nn

nn

n

CCCn

CCn

tg

tg

tg

tg

tgctg

ctg

ctgctg

tgctgtg

tgtg

Page 50: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

50

XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:

αα

αα

ααα

αααα

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

sin

2

2

cos1

2cos;

2

cos1

2sin

+−

±=−

=+

=

+±=

−±=

tg

XI.5. Sume, diferenţe şi produse:

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

−+=+

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

+−=−

2cos

2cos2coscos

βαβαβα

−+=+

2sin

2sin2coscos

αββαβα

−+=−

βαβα

βαβα

βαβα

coscos

)sin(;

coscos

)sin(

⋅−

=−⋅+

=+ tgtgtgtg

−=

+=+ απ

απ

αα4

cos24

sin2cossin

−−=

+−=− απ

απ

αα4

cos24

sin2cossin

βαβα

βα

βαβαβα

βαβαβα

βαβαβα

ctgctg

tgtgtgtg

++

=⋅

−++=⋅

−++=⋅

+−−=⋅

)]sin()[sin(2

1cossin

)]cos()[cos(2

1coscos

)]cos()[cos(2

1sinsin

XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice

XII.1. arcsin:[-1.1]→[-2

π,

2

π], arcsen y = x sin x = y

arcsin (-x) = - arcsin x XII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π - arcos x

Page 51: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

51

XII.3. arctg:R

−→2

,2

ππ, arctg (-x) = -arctg x

XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π - arctg x

XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple

XIII.1. Ecuaţii fundamentale

}{,.4

{,.3

}2arccos{]1,1[,cos.2

}arcsin)1{(]1,1[,sin.1

ZkkaccctgaxRaactgx

ZkkarctgaxRaatgx

Zkkaxaax

Zkkaxaax k

∈+∈⇒∈=

∈+∈⇒∈=

∈+±∈⇒−∈=

∈+−∈⇒−∈=

π

π

π

π

XIII.2. Tabele de valori: x

funcţia 0

6

π

4

π

3

π

2

π

π

2

sin x 0

2

1

2

2

2

3

1 0 -1 0

cos x 1

2

3

2

2

2

3

0 -1 0 1

tg x 0

3

3

1 3 / 0 / 0

ctg x / 3 1

3

3

0 / 0 /

x funcţia

-1

2

3−

2

2−

2

1−

0

2

1

2

2

2

3

1

arcsin x

2

π−

3

π−

4

π−

6

π−

0

6

π

4

π

3

π

2

π

arcos x π

6

4

3

2

π

3

π

4

π

6

π

0

x functia

3− -1

3

3−

0

3

3

1 3

Page 52: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

52

arctg x

3

π−

4

π−

6

π−

0

6

π

4

π

3

π

arcctg x

6

4

3

2

π

3

π

4

π

6

π

XIV. Elemente de geometrie analiticã XIV.1. Segmente 1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 2

122

12 )()( yyxx −+−

2. Panta dreptei AB: 12

12

xx

yymAB −

−=

3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: 2

,2

2121 yyy

xxx

+=

+=

4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:

2,

12121 kyy

yk

kxxx

+=

++

=

XIV.2. Ecuaţia dreptei 1. Drepte paralele cu axele de coordonate:

(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox) 2. Dreapta determinatã de punctul Mo(xo,yo) şi vectorul nul atrrdvua o +=:)(:),( ,

t∈R, or -vectorul de poziţie a lui Mo; r-vectorul de poziţie a unui punct M al dreptei d.

+=

+=

vtyy

utxxd

o

o:)( , t∈R, ecuaţiile parametrice;

3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine);

4. Ecuaţia prin tãieturi: *);,(,01 Rbab

y

a

x∈=−+

5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul Mo(xo,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0); 6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):

),(,),( 212112

1

12

11

12

121 yyxx

xx

xx

yy

yyxx

xx

yyyy ≠≠

−−

=−−

−−−

=− sau

0

1

1

1

22

11 =

yx

yx

yx

7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0;

8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = ∆2

1, unde

Page 53: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

53

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

=∆ , dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare

9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2): 0:)( 1111 =++ cybxad şi 0:)( 2222 =++ cybxad

d1 = d2, dacã 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a==

d1 d2, dacã 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a≠= ;

d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã 2

1

2

1

b

b

a

a≠

10. Distanţa de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0

22

00),(ba

cbyaxhMd

+

++=

11. Unghiul α determinat de dreptele:

111 :)( nxmyd += şi 222 :)( nxmyd +=

)1(,1 21

21

12 −≠+

−= mm

mm

mmtgα

d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r: 1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;

2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde 2

ma −= , b =

2

n− şi

r2 = 4

1(m2 + n2) – p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E

Ecuaţia elipsei: 2222

2

2

2

,01 acbb

y

a

x=+=−+

B M

A’ F’ F A O

B’

Ecuaţia tangentei în punctul M(xo,yo), M∈∈∈∈E:

0122

=−+b

yy

a

xx oo

Page 54: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

54

2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈H.

Ecuaţiea hiperbolei: 2222

2

2

2

,01 abcb

y

a

x=−=−−

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈∈∈∈H.

0120

20 =−−

b

yy

a

xx

3. Parabola P: F(2

p,0), h:x = -

2

p (h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P.

Ecuaţia parabolei P: y2 = 2px

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈∈∈∈P: yyo = p(x + xo) ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. Şiruri I.1. Şiruri şi limite Definiţia I.1.1. Se numeşte şir de numere reale o funcţie f:N→→→→R, f(n) = an. Definiţia I.1.2. Şirul (an)n≥≥≥≥0 se numeşte crescãtor (respectiv descrescãtor) dacã an ≤≤≤≤ an+1, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N (respectiv an ≥≥≥≥ an+1, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N). Şirurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone. Definiţia I.1.3. Şirul (an)n≥≥≥≥0 este mãrginit dacã şi numai dacã ∃∃∃∃M>0 astfel încât an≤≤≤≤ M, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N. Notaţie: (an)n≥0, an∈R, R =R ∪ {-∞, +∞}. Definiţia I.1.4. Şirul (an)n≥≥≥≥0, an∈∈∈∈R are limita a şi scriem aan

n

=∞→

lim , a∈R

dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã toţi termenii şirului începând de la un anumit rang. Definiţia I.1.5. Şirul este convergent, aan

n

=∞→

lim , a∈R, dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N

astfel încât ∀ n> Nε, an - a<ε. Definiţia I.1.6. aan

n

=∞→

lim dacã ∃ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an > ε, ∀ n > Nε.

Definiţia I.1.7. −∞=∞→

nn

alim dacã ∀ε>0, ∃Nε∈N astfel încât an < -ε, ∀ n > Nε.

Page 55: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

55

Dacã ±∞=∞→

nn

alim , atunci şirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir 1. dacã 0lim =

∞→n

n

b , bn≥ 0 şi an - a≤ bn atunci aann

=∞→

lim ;

2. dacã ∞=∞→

nn

blim şi an ≥ bn atunci +∞=∞→

nn

alim ;

3. dacã −∞=∞→

nn

blim şi an ≤ bn atunci −∞=∞→

nn

alim ;

4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass); 5. dacã bn ≤ an ≤ cn şi acb n

nn

n

==∞→∞→

limlim atunci aann

=∞→

lim ;

6. criteriul lui Stolz:

- dacã (bn)n≥0 crescãtor: ∞=∞→

nn

blim şi existã nn

nn

n bb

aa

+

+

∞→ 1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a

−=

+

+

∞→∞→ 1

1limlim ;

- dacã (an)n≥0, an > 0 şi existã n

n

n a

a 1lim +

∞→ atunci n

nn

alim∞→

=n

n

n a

a 1lim +

∞→ (Cesaro);

- - dacã (bn)n≥0 crescãtor: 0limlim ==∞→∞→

nn

nn

ba şi existã nn

nn

n bb

aa

+

+

∞→ 1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a

−=

+

+

∞→∞→ 1

1limlim ;

I.2. Operaţii cu şiruri convergente aan

n

=∞→

lim , bbnn

=∞→

lim , a,b∈R

)0 daca(,lim.3

;,lim.2

;)(lim,)(lim.1

≠=

∈=

−=−+=+

∞→

∞→

∞→∞→

bb

a

b

a

Raa

babababa

n

n

n

nn

nnn

nnn

ααα

I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã aan

n

=∞→

lim , bbnn

=∞→

lim , a,b∈ R

1. dacã ∞=∞→

nn

alim şi bbnn

=∞→

lim , b∈R atunci 01

lim,)(lim =+∞=+∞→∞→ nn

nnn a

ba ,

<∞−

>∞+=⋅

∞→ 0 daca ,

0 daca ,lim

b

bba nn

n

2. +∞==∞→∞→

nn

nn

ba limlim atunci +∞=+∞→

)(lim nnn

ba , +∞=⋅∞→

)(lim nnn

ba ;

Page 56: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

56

3. dacã −∞=∞→

nn

alim şi bbnn

=∞→

lim , b∈R, atunci −∞=+∞→

)(lim nnn

ba

<∞+

>∞−=⋅

∞→ 0 daca ,

0 daca ,lim

b

bba nn

n

;

4. −∞==∞→∞→

nn

nn

ba limlim atunci −∞=+∞→

)(lim nnn

ba , +∞=⋅∞→

)(lim nnn

ba ;

5. dacã ∞=∞→

nn

alim şi −∞=∞→

nn

blim atunci −∞=⋅∞→

)(lim nnn

ba ;

6. dacã 0lim =∞→

nn

a atunci ∞=∞→ nn a

1lim dacã an > 0 şi −∞=

∞→ nn a

1lim dacã an < 0.

I.4. Şiruri tip

.!

1...

!2

1

!1

11lim.9

;1

1lim.8

;1,1...21lim.7

;0,1lim.6

;)1

...3

1

2

11(lim.5

;1 daca ,1

1)...1(lim.4

daca ,

0 si daca ,

0 si daca ,

daca ,0

...

...lim.3

0 daca ,

0 daca ,lim)...(lim.2

1 daca exista,nu

1 daca ,

1 daca ,1

11 daca ,0

lim.1

2

0

01

110

11

10

0

001

110

en

en

pn

aa

n

qq

qqq

pkb

a

papk

papk

pk

nnbnbnb

ananana

a

anaananana

q

q

q

q

q

n

n

n

n

n ppp

n

n

n

n

n

n

oo

oo

pppp

kkkk

n

k

nkk

kk

n

n

n

=

++++

=

+

≥∀=+++

>∀=

+∞=++++

<−

=++++

=

<>∞−

>>∞+

<

=++++

++++

<∞−

>∞+==++++

−≤

>∞+

=

<<−

=

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

−−

−−

∞→

∞→−

∞→

∞→

II. Limite de funcţii Notaţii: f:D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D;

Page 57: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

57

II.1. Definiţii ale limitei Definiţia II.1.1. R,)(lim ∈=

→llxf

x α, dacã pentru orice vecinãtate V a lui l

existã o vecinãtate U a lui α astfel încât ∀ x∈D∩U, x≠α, sã rezulte f(x)∈V. Definiţia II.1.2. R,)(lim ∈=

→llxf

x α, dacã pentru orice şir (xn)n≥≥≥≥0, xn∈D\{α},

având α=∞→

nn

xlim rezultã lxfn

=∞→

)(lim (criteriul cu şiruri);

Definiţia II.1.3. R,)(lim ∈=→

llxfx α

, dacã ∀ε>0, ∃δε >0 astfel încât ∀x∈D\{α}

şi x - α< δε rezultã f(x) - l< ε; Definiţia II.1.4. lxf

x

=→

)(limα

, dacã ls = ld = l, unde )(lim xfl

xx

s

αα

<→

= şi

)(lim xfl

xx

d

αα

>→

= .

II.2. Operaţii cu limite de funcţii f:D→R, g:D→R, α - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxf

x

=→α

, 2)(lim lxgx

=→α

, l1,l2∈R;

.)(

)(lim,0 daca.4

;)(lim.3

;)()(lim.2

;))()((lim.1

2

12

1

21

21

l

l

xg

xfl

laxaf

llxgxf

llxgxf

x

x

x

x

=≠

⋅=

⋅=⋅

+=+

α

α

α

α

II.3. Limite tip

nnn

nnn

x

aaaaxaxa +++=+++ −−

→...)...(lim.1 1

101

10 ααα

;lim)...(lim 01

10n

xn

nn

x

xaaxaxa±∞→

±∞→=+++

mmm

nnn

mmm

nnn

x bbb

aaa

bxbxb

axaxa

+++

+++=

+++

+++−

→ ...

...

...

...lim.2

110

110

110

110

αααα

α

;lim...

...lim

0

01

10

110

m

n

xm

mm

nnn

x xb

xa

bxbxb

axaxa

±∞→−

±∞→=

+++

+++

2,,,lim.3 ≥∈∈= +→

nNnRx nn

x

ααα

∞=∞→

n

x

xlim , −∞=+

−∞→

12lim n

x

x ;

4. }1{\,,lim*+

→∈∈= RaRaa x

x

αα

α

∞=∞→

x

x

alim , 0lim =−∞→

x

x

a , dacã a > 1;

Page 58: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

58

0lim =∞→

x

x

a , ∞=−∞→

x

x

alim , dacã 0 < a < 1;

4. }1{\ finita, 0,logloglim*+

→∈>= Rx aa

x

αααα

−∞=

>→

xa

xx

loglim00

şi +∞=∞→

xax

loglim dacã a > 1;

+∞=

>→

xa

xx

loglim00

şi −∞=∞→

xax

loglim dacã 0 < a < 1;

6. αα

sinsinlim =→

xx

, αα

coscoslim =→

xx

Ztgtgxx

ππ

ααα

+∉=→ 2

,lim , Zctgctgxx

πααα

∉=→

,lim

∞=

<

tgx

x

x

lim

2

π, −∞=

>

tgx

x

x

lim

2

π

7. ∞=

>→

ctgx

xxlim

00

, −∞=

<→

ctgx

xxlim

00

]1,1[,arcsinarcsinlim −∈=→

ααα

xx

, ]1,1[,arccosarccoslim −∈=→

ααα

xx

Rarctgarctgxx

∈=→

ααα

,lim , Rarcctgarcctgxx

∈=→

ααα

,lim

2lim

π−=

−∞→arctgx

x

, 2

limπ

=∞→

arctgxx

π=−∞→

arcctgxxlim , 0lim =

∞→arcctgx

x

;

8. 1sin

lim0

=→ x

x

x

, 1lim0

=→ x

tgx

x

, 1arcsin

lim0

=→ x

x

x

, 1lim0

=→ x

arctgx

x

;

9. ;1,,0lim >∈∀=∞→

aZna

xx

n

x

10. ;)1(lim,1

1lim1

0exe

xx

x

x

x

=+=

+→±∞→

11. ;1)1ln(

lim0

=+

→ x

x

x

12. 0,ln1

lim0

>=−

→aa

x

a x

x

,

13. Rrrx

x r

x

∈∀=−+

→,

1)1(lim

0.

II.4. Continuitatea funcţiilor Definiţia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D, f este continuã în xo, dacã )()(lim 0

0

xfxfxx

=→

, xo se numeşte punct de continuitate.

Page 59: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

59

Definiţia II.4.2. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de prima speţã dacã existã şi sunt finite limitele laterale în α, dar funcţia nu este continuã în α.

Definiţia II.4.3. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de speţa a doua dacã nu este de prima speţã. Teoremã. Dacã f:I→R, I – interval şi f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o funcţie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcţii derivabile III.1. Definiţia derivatei într-un punct f:E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:

� f’(x0) = h

xfhxf

xx

xfxf

Ehxhxx

)()(lim

)()(lim 00

00

0

0

0

−+=

∈+→→

� fs’(x0) = 0

0 )()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx −

<→

, fd’(x0) = 0

0 )()(lim

0

0 xx

xfxf

xxxx −

>→

� f’(x0) = fs’(x0) = fd’(x0) Interpretarea geometricã: - dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în

punctul A(x0,f(x0)); - dacã f este continuã în x0, fd’(x0) = +∞, fs’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de

întoarcere al graficului; - dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0, cel puţin una fiind

finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E:

1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);

2. (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; 3. (f⋅g)’(x) = f’(x)⋅g(x) + f(x)⋅g’(x)

4. dacã g(x)≠0, )(

)(')()()(')(

2

'

xg

xgxfxgxfx

g

f −=

;

5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (gof)’(x0) = g’(y0)f’(x0);

6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠0, atunci f-1:J→I este

derivabilã în y0, y0 = f(x0) şi f-1

(y0) = )('

1

0xf.

III.3. Derivatele funcţiilor elementare Funcţia (condiţii) Derivata (condiţii) C 0

Page 60: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

60

xn, n∈N* nx

n-1

xr, r∈R, x>0 rx

n-1

0, ≥xx 0,2

1>x

x

logax, a≠1, a>0, x>0

xa

1

ln

1⋅

ln x, x>0

x

1

ax, a≠1, a>0, x>0 a

x ln a

ex

ex

sin x cos x

cos x -sin x

tg x, x Zkk ∈+≠ ,2

)12(π

x2cos

1

ctg x, x Zkk ∈≠ ,π

x2sin

1−

arcsin x, x∈[0,1] )1,0(,

1

12

∈−

xx

arcos x, x∈[0,1] )1,0(,

1

12

∈−

− xx

arctg x 21

1

x+

arcctg x 21

1

x+−

III.4. Derivata funcţiilor compuse Funcţia (condiţii) Derivata (condiţii) u

n, n∈N* nu

n-1⋅u’

ur, r∈R, u>0 ux

n-1⋅u’

0, ≥uu 0,2

'>u

u

u

logau, a≠1, a>0, u>0

u

u

a

'

ln

1⋅

ln u, u>0 '

1u

u⋅

au, a≠1, a>0 a

u ln a⋅u’

eu

eu⋅u’

sin u cos u⋅u’

cos u - sin u⋅u’

Page 61: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

61

tg u, cos u≠ 0 '

cos

12

uu

ctg u, sin u≠ 0 '

sin

12

uu

⋅−

arcsin u, u∈[-1,1] )1,1(,'

1

12

−∈⋅−

uuu

arccos u, u∈[-1,1] )1,1(,'

1

12

−∈⋅−

− uuu

arctg u '

1

12

uu

⋅+

arcctg u '

1

12

uu

⋅+

uv , u>0 u

v⋅v’⋅ ln u + v⋅uv-1⋅u’

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f

(n))

xm, m∈N, m≥n m(m-1)…(m-n+1)x

m-n

Nmxm

∈,1

(-1)nm(m-1)…(m+n-1)

nmx +

1

ex

ex

ax (ln a)n⋅ax

ln x (-1)

n-1(n-1)!

nx

1

Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f(n)

)

sin x

+2

sinπn

x

cos x

+2

cosπn

x

Formula lui Leibniz:

ffgfC

gfCgfCgfCgfCgfgf

n

k

kknkn

nnn

nnn

nn

nn

nn

=∑ ⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅

=

−−−−

)0(

0

)()(

)()1(1)2(2)1(1)()(

,

'...''')(

III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile Teorema lui Fermat: Fie f:I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã. Teorema lui Rolle: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0.

Page 62: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

62

Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b)

astfel încât )(')()(

cfab

afbf=

−−

.

Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei; 2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei. Teorema lui Cauchy: Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b)

atunci ∃c∈(a,b) astfel încât )('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf=

−−

IV. Asimptote IV.1. Asimptote orizontale (f:D→R) Definiţia IV.1.1. Dacã 1)(lim lxf

x

=+∞→

sau 2)(lim lxfx

=−∞→

, l1,l2∈R, dreptele y=l1

şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞∞∞∞, respectiv -∞∞∞∞ IV.2. Asimptote oblice (f:D→R)

Definiţia IV.2.1. Dacã 0)(

lim ≠=∞→

mx

xf

x

şi Rnmnmxxfx

∈=−+∞→

,,])([lim

dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞∞∞∞.

Definiţia IV.2.2. Dacã 0')(

lim ≠=∞→

mx

xf

x

şi Rnmnxmxfx

∈=−+∞→

',',']')([lim

dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞∞∞∞.

IV.3. Asimptote verticale (f:D→R) Definiţia IV.3.1. Dacã ±∞=

<→

)(lim xf

xx

αα

, α - punct de acumulare a lui D,

dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f. Definiţia IV.3.2. Dacã ±∞=

>→

)(lim xf

xx

αα

, α - punct de acumulare a lui D,

dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f. V. Primitive (integrale nedefinite)

Page 63: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

63

Definiţia V.1. Fie funcţia f:J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f, dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀x∈J. Se noteazã: ∫ += cxFdxxf )()( Proprietãţi ale primitivelor:

1. [ ] ∫ ∫+=∫ + dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 ; 2. ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( ;

Integrarea prin părţi ∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( .

V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci

∫ +=⋅ ctFdtttf )()('))(( ϕϕϕ �

V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,

')( ϕϕ ⋅= �fh admite primitive (H) atunci ∫ += − cxHdxxf )()( 1ϕ� . V.3. Tabel de primitive: (I – interval, I⊂R)

1. NnRxcn

xdxx

nn ∈∈+

+=∫

+

,,1

1

;

2. ∫ −∈+∞∈++

=+

}1{\),,0(,1

1

Rxcx

dxx αα

αα ;

3. 1,0,,ln

≠>∈+=∫ aaRxca

adxa

xx ;

4. RIIxcxx

dx⊂∈+∫ = ,,ln ;

5. },{\,,ln2

1122

aaRIIxcax

ax

adx

ax−⊂∈+

+−

=∫−

;

6. 0,,11

22≠∈+=∫

+aRxc

a

xarctg

adx

ax;

7. Rxcxxdx ∈+−=∫ ,cossin ; 8. Rxcxxdx ∈+=∫ ,sincos ;

9.

∈+⊂∈+=∫ ZkkRIIxctgxdx

x 2)12(\,,

cos

12

π;

10. { }ZkkRIIxcctgxdxx

∈⊂∈+−=∫ π\,,sin

12

;

11. ∫

∈+⊂∈+−= ZkkRIIxcxtgxdx

2)12(\,,coslnπ

;

12. { }∫ ∈⊂∈+= ZkkRIIxcxctgxdx π\,,sinln ;

Page 64: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

64

13. ( ) Rxcaxxdxax

∈+++=∫+

,ln1 22

22;

14. 0),,(sau ),(,ln1 22

22>−−∞∈+∞∈+−+=∫

−aaxaxcaxxdx

ax;

15. 0),,(,arcsin1

22>−∈+=∫

−aaaxc

a

xdx

xa

V.4. Primitivele funcţiilor raţionale

1. 0,1,,)()1(

1)( 1 ≠−≠∈++

+=∫ + +

anNncbaxan

dxbaxnn ;

2. ∫ ≠++=+

0,)ln(1

acbaxabax

dx;

3. ∫ ≠≠∈++−

−=+ −

0,1,,)()1(

1

)( 1anNnc

baxanbax

dxnn

;

4. bacax

bx

babxax

dx≠+

++

−=∫

++,ln

1

))((;

5. ∫ ∫ ≠−=∆+∆

+

=++

0,4b unde ,

42

1 22

22

aacc

aa

bx

dx

acbxax

dx.

Substituţiile lui Euler:

1. 0 daca ,2 >±=++ aaxtcbxax ;

2. 0 daca ,2 >±=++ cctxcbxax ;

3. 12

12 si 04 daca ),( xacbxxtcbxax >−−=++ este o rãdãcinã a ecuaţiei

ax2 + bx + c = 0.

VI. Integrale definite IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) Notaţii: f:[a,b]→R, ∆ = (a = x0, x1, x2, …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξi ≤ xi , ξi – puncte

intermediare, σ∆(f, ξ) – suma Riemann: ∑ −==

−∆

n

iiii xxff

11))((),( ξξσ

Definiţia VI.1.1. f se numeşte integrabilã dacã existã numãrul real If cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃ηε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu

εη<∆ şi orice puncte intermediare ξi are loc εξσ <−∆ fIf ),( unde

)(max 11

−≤≤

−=∆ iini

xx

Se noteazã: ∫=b

af dxxfI )(

Page 65: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

65

Proprietãţi ale integralei definite:

1. ∫ ∫ ∫+=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( βαβα ;

2. ∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( ;

3. ∫−=∫a

b

b

a

dxxfdxxf )()( ;

4. 0)( =∫a

a

dxxf .

Formula lui Leibniz-Newton:

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫ (F – primitivã a lui f)

Teorema de medie:

Dacã f continuã pe [a,b], atunci ∃ξ∈[a,b] astfel încât: )()()( ξfabdxxfb

a

−=∫

Formula de integrare prin pãrţi:

∫−=∫b

a

ba

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(

Formula de schimbare de variabilã: Dacã ϕ :[a,b]→J, f:J→R, f continuã pe J, ϕ derivabilã cu derivata continuã pe

[a,b], atunci ∫=∫ ⋅)(

)(

)()('))((b

a

b

a

dxxfdtttfϕ

ϕϕϕ

Proprietãţi de paritate:

Dacã f:[-a,a]→R continuã atunci:

∫=∫

a

a

a fdxxf

f

dxxf

0

para daca ,)(2

impara daca ,0

)(

VI.2. Aplicaţii ale integralei definite 1. Aria subgraficului Γf, f:[a,b]→R+, f continuã:

aria ∫=Γb

af dxxf )(

Aria subgraficului Γf,g, f,g:[a,b]→R şi f(x) ≤ g(x) ∀ x∈[a,b]

aria ∫ −=Γb

agf dxxgxf )]()([,

2. Volumul corpurilor de rotaţie, f:[a,b]→R+, f continuã:

∫=b

af dxxfCvol )()( 2π

Page 66: Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

66

3. Lungimea graficului f:[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã:

∫ +=b

a

dxxffl2))('(1)(

4. Aria suprafeţelor de rotaţie:

∫ +=b

a

f dxxfxfA2))('(1)(2π