memorator $i inunuman matematica trigonometrie $i …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/memorator...

10
GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER MEMoRAToR $I iNunuman DE MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I GEOMETRIE PENTRU LICEU EDITURA HYPERION

Upload: hoangdan

Post on 12-Aug-2019

292 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

MEMoRAToR $I iNunumanDE MATEMATICA

TRIGONOMETRIE $I GEOMETRIEPENTRU LICEU

EDITURA HYPERION

Page 2: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

CUPRINS

Trigonometriel.l Unitati de masura pentru unghruri gi arce . . . .

I .2 Rezolvarea triunghiului dreptunghic1.2.1 Func{iile trigonometrice ale unui unghi

asculit al unui triunghi IBC dreptunghicin A . . , .

1.2.2 Valorite funcliilor trigonometrice pentru

unghiurile uzuale ale unui triunghi dreptunghic . . .

1.2,3 Cazwi de rezolvare a triunghiului drep-

tunghic1.2.4 Egalitdli tngonometrice intr-un triunghi

dreptunghic1.2.5 Aplicalii

1.3 Cercul trigonometric. Functii trigonometrice,I .3. I Cercul trigonornetric1.3.2 Funclii trigonometrice

1.4 Periodicitatea, paritatea ;i imparitatea funcliilortrigonometrice

I .4,1 Periodicitatea funcliilor trigonometrice .

1.4.2 Paritatea qi imparitatea funcliilor trigono-metrice

5 Reducerea Ia primul cadran .

6 Graficele funcliilor trigonometrice . .

7 Formule de leg[tur5 intre funcliilemetnce1.8 Formule pentru functiile trigonometrice ale

surnei si dilerenlei de unghiuri1.9 Formule pentru funcliile trigonometrice ale

unghiului dublu, ale unghiului triplu gi ale jumAtatii

89

6

6

8

8

9

J

J

4

t212

13

1J

15

18

20

trigono-

Page 3: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

unui unghi 231.10 Transforrnarea sumei sau diferen{ei de func1iitrigonomeftice in produs 25l. I 1 Transformarea produsului de functiitrigonometrice in sumd 26l.l2 ldentiteli trigonometrice 27l.l3 Transformarea unei expresii trigonometriceintr-un produs de alte expresii trigonometrice . . . . 321.14 Expresii care nu depind de parametri 33I . 15 Funclii trigonometrice inverse . 341.16 InegalitSli trigonornetrice . . . .. 361.17 Ecualii trigonometrice 371.18 Aplicaliile trigonometriei in algebri . .. . . . 44

1.18.1 Numere complexe sub form6 trigono-metricd 44

1.18.2 Operafii cu numere complexe sub formitrigonometricd 45

1.18.3 Rddicinile de ordin n ale unui numircomplex 47

1.18.4 Ecualii binomel.l9 Aplicaliile trigonometriei in geometrie . . . .

Geometrie2.1 Paralelism qi calcul vectorial

2. 1.1 Segmente orientate2.1.2 Vectori. Operalii cu vectori2.1.3 Descompunerea unui vector dupe directii

date

2. 1.4 Vectori coliniari2.1.5 Vectorul de pozilie al urui punct . . . . .

2. 1.6 T eorema bisectoarei, vectorul de pozilieal centrului cercului inscris intr-un triunghi. Relatialui Sylvester

2.1.7 Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva_

48496l6t61

64

6970

72

74t6

90

Page 4: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

2.1.8 Produsul scalar a doi vectori

2.2 Elemente de geometrie analiticd2.2,1 Reper cartezian. Coordonate carteziene . .

2.2.2 Coordonatele unui vector. Operalii cu

vectori ln coordonate carteziene2.2,3 Coordonatele puncfului care imparte un

segment intr-un raPort dat ' . .

2,2,4 Ecualii ale drePtei in Plan .

2,2,5 Coliniaritate,concurenta,... .

2.2,6Paralelism,perpendicularitate ...,',..2.2.7 Calcule de distanle qi arii .

80

777979

8l8283

8486

91

Page 5: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

1. Trigonometrie1.1 Unitn{i de misurl pentru unghiuri Ei arce

Definitie. Unghiul reprezinth figura geometricd formatd din

c:u6 semidrepte inchise, care au aceeaqi origine'

Defini(ie, Gradul sexagesimal reprezintd misura unghiului

:-::i cu a 180 a parte dintr-un unghi cu larurile in prelungire Ei

'rrrirrntA unilatea de nlSsurd pcnlru unBhiuri. ^

Valoarea maximd a rnhsurii unui unghi este I'800'

Defini{ie. Fiind dat un cerc de razd r, un arc mic lB de pe

3:3jt cerc are misura de I radian, dacd lungimea arcului lB este

:::.-i cu r,Un cerc are m[sura in radiani egalb cu 2n'

Exemple: ,o' =:, qs' =X,soo =;.,1aoo = n,"'

Fiind dat un cerc Ei un arc al cercului care are misura in grade

r.".i n si misura in radiani egal6 cu a, atunci are loc relalia:

fia) Pentru un arc de 300, mdsura in radiani este:

: ?entru un arc de 900, misura in radiani: a

Exemple

:r'300I B0u

1800 ,a

r'900 fi*

1800 2'

F:ind dat un cerc de razd r, do'Jhpuncte pe cerc A' B qt a

mi:-- in radiani a arcultti AB, atunci are loc fonnula:

l(arcAB) = r'q'f xemplu: a) Fiind dat un cerc de tazd 2 crn Ei douh puncte l'

i :,: cerc astfel inc6t misura in radiani a arcului lB este n' atunci

-,i,.:."u arcului de cerc AB este: I(arc '48) = 2 ' r = Ztr'

: I ungimea unui cerc de razd r esle Zftr'

TT

6'

Page 6: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

1.2 Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Defini{ie. A rezolva un triunghi dreptunghic inscatrrrrd adetermina lungimile tuturor laturilor Ei mdrimile tuturorunghiurilor sale atunci cAnd se cunosc o parte din aceste mirinti.

1.2.1 Func{iile trigonometrice ale unui unghi ascu{it al unuitriunghi ABC drepttnghic in.4

bsinB =-

ac

sinC =-ab

tgB =-,-cc

ccosB=-

bcosC=-

ac

'b" b

bctgB =i, ctgd = -

1.2.2 Valorile func{iilor trigonometrice pentru unghiurileuztlrale ale unui triunghi dreptunghic

TtLnl7o.'t:sin

U = 7,sin; = ,,sin i= T

rl3n.'12n7cos6= 2,cos4= 2,cosl:,

rJilrft,ei= i,rei = r, te5 = V3

tt-fttt/3ctg6 v3,tB7=1,tg,T= 3

Page 7: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

1,2.3 Cazuri de rezolvare a triunghiului dreptunghic

a) Se cunosc catetele D gi c. Se aplicd teorema lui Pitagora qi se

obline: a : "l82 +?i tcl = b-,

de unde rezulrd B. Apoi avem

C=900-8.Exemplu: Se dau b = 5.,6; c = 5' Atunci q -.$TTVT=-

= \ni +2s= VlTo = 10. ts B :b- =f : V= = B = 600'

C=900-B=900-600=300.b) Se cunosc ipotenuza a qi cateta b. Se apticd teorema lui

Pitagora qi se obline c = ",1FZF; sin B = l, d" .,rd" teztltd B,

apoiC=9Oo-8.

Exemplu. Se dau a = 6,b = 3. Atunci c : Gr=12 = 3V5;31

sinB = a= i*B = 300,C = 900 - 300 = 600.

c) Se cunosc ipotenuza a gi un unghi ascu{it, de exemplu B. Atunci

avem: b = a sin B,c = acosB, C = 900 - B.

Exemplu: a = 7O,B = 300, Atunci b = 10 'sin 300 = 5;

-r;c = 10.cos300 = ro ;= s.V5; C = 900 -300 = 600.

d) Se cunosc o cateta qi un unghi ascu{it, de exemplu b, .8. Atunci:h

"= O;;,c = b ctgB ; C =900 - B.

Exemplu: b = 4,8= 450. Atunci, =;;h : +^12;

c = 4' ctg45o = 4; C =900 *450 = 450'

Page 8: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

1.2.4. Egalitirli trigonometrice intr-un triunghidreptunghic

intre laturile qi unghiurile unui triunghi dreptunghic existidiverse egalitd{i, care se demonstreazd in general folosindformulele date de functiile trigonometrice intr-un triunghidreptunghic qi / sau teorema lui Pitagora.

Exemplel

1. sinB + cosB = sinC * cosC;bccb

Solu{ie. sinB =;; cosB : - ; sin C :;, cos C = -.

sinB * cosB = sinC * cosC<+ L *l :! *1.aaaa

2. sinzA + sin2B + sin2C = 2'.

Solu(ie. sin2,4 + sin2B + sin2C = 2 <+bz c2

<+ 1 + :;*-; = 2 <> b2 + c2 : a2,adev5rat5.az a'

3. (1 +costs)(l * cosc) -@* b * c)z

.2a2

Solufie. (1 + cosB)(1 *cosC) = 1 *cosB * cosC tc b bc a2+a(b+c)+bc

*cosBcosC=1+-+;+A=--- ,, :

2a2 + za(b + c) + Lbc -az

+ a2 + 2a(b + c) + 2bc _2a2 2aZ

(a+b+c)z= .., = __

zaz_.1.2.5 Aplica{ii

l. SI se rezolve triunghiul dreptunghic lBC, qtiind ca:

b+c=79ib*c=1.

Page 9: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

Solu(ie. Rezolv6nd sistemul format din cele doui relaliioblinem b = 4 $ic = 3. Din teorema lui Pitagora, rezultd a = 5,

43Aooi sinB=-si sinC=-" 5 '' '"'" 5'

2, SI se rezolve triunghiul dreptunghic l-BC, gtiind cd B = 2Cgi cd mediana AM = 1.2.

Solutie, $tim cd BC : 2' AM :2'12 = 24.intre unghiuriavemrelaliile: B : 2C,B * C = 900,deundeB = 600, C = 300.

BC ,11Atunci AB =--: 1,2 si AC = BC sin 600 = 24'f = 12,'h.2Z

3. Si se rezolve triunghiul ABC dreptunghicin A, ptiind cd

indllimea AA' = 5 Ei C : 28.

Solu(ie, Avem cd: B * C = 900 qi C = 28 ,i prin rezolvareasistemului oblinem B = 300 qi C = 600.

Din triunghiul dreptunghrc AA'B avem:

AA, 5AB = 'i"=

= ] = 10, iar din triunghiul dreptunghic AA'C,sin B -l

2AA' 5 10 20

AC -_

- =: =.^: si BC :2AC =:.sinC VS VS' VS.T

4. Sa se arate cd intr-un triunghi dreptunghic ABC este

adeviratd egalitatea:sin2B(tg B + tg C) = tg B,

Solu{ie. sinzB(tg B + tg C) = tg B <+b2 tb c\ b b2lb2 + cz) b()-l-*-l--€)---c)az \c b) c a'bc c

b(bz + c2) b azb b(2---*e-_--j---.

A.C C A"C C

Page 10: MEMoRAToR $I iNunuman MATEMATICA TRIGONOMETRIE $I …cdn4.libris.ro/userdocspdf/838/Memorator trigonometrie si geometrie pentru liceu... · CUPRINS Trigonometrie l.l Unitati de masura

1.3 Cercul trigonomctric. Funcfii trigonometricc1.3.1 Cercul trigonometric

Defini{ie. Se numeEte cerc trigonometric, un cerc de razd 1.

inzestrat cu sens pozitiv sau sens trigonometric ( sens contraracelor de ceasomic ) qi un punct I fixat numit origine.

Fiind dat un cerc trigonometric de centru O Ei origine A, vomalege un reper cartezian, pe care-l vom numi reper cartezianstandard dupd cum trmeazd:

- originea axelor de coordonate va fi punctul O;* axa Ox va fi dreapta O,4, astfel incdt vectorul D7 sd aibd sensutpozitiv;' axa Oy va fi dreapta OB perpendiculardpe OA, cu punctul B pecerc, astfel incAt arcul mic AB sd pAstreze sensul trigonolnetric.

Notdm cu ,4'gi respectiv B' punctele diametral opuse ale lui IEi respectiv B in cercul trigononretric.

Dreptele AA' qi B B' impart cercul trigonometric in pahu pdr{irrunrile cadrane. dupd cum unrreazl:

- cadranul I - oblinut prin parcurgerea in sens trigonometric de

la A la B, cotespunde intervalului (0, |) ;

- cadranul II - oblinut prin parcurgerea in sens trigonometric de

la B l.a A' , corespunde intervalului (1,") t