memorator de analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... ·...

9
Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie - pentru clasele 9-12 Z/Booklet Bucuregti,2016

Upload: others

Post on 29-Aug-2019

73 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

Luminila Curtui

Memorator de

- Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele 9-12

Z/BookletBucuregti,2016

Page 2: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

108 Memorator de analiza matematica 9i trigonometrie,

10. arctg(-x)=-arctgx, Vxe lR;

1 1. cos(4arccosx)=8xa-8xz+1, vxe [-1, 1];

12. arclgxz +arcto ,rr-

= ll . v xe (--' 0)u(0, -);

13. 2arctgx+arcsin#=,1 , Vx>1.

9.8. Ecuatii trigonometrice

Memorator de analizd matematica si triqonometrie

.........71.3.1. Modalitatile de a defini un $ir.................... ....... ............'..71.3.2. Monotonia girurilor........ ........... . ..............81.3.3. Periodicitate.................. ............................91.3.4. Mirginire...................... ............................9

1.4. Limita unui gir. $iruri converqente........................................"..'...10'1 .4.1. $iruri cu limiti infinit4............." .. . .10

1.4.2. $iruri cu limitd finitd................ ...."-....-....121.4.3. Subsiruri....................... ........................'.131.4 4. $iruri monotone........ ............................13'1 .4.5. Proprietd{i ale girurilor convergente.

Criterii de convergente.... .............--.-......141.5. Operalii cu giruri care au limitd. Cazuri exceptate la limitele

de sirui........... .........'..'................1 51.6. Numdrul e...................... ............'.171.7. gnuri tip. $iruri remarcabile. Aabuhtl fimrtebr in cazuri de

nedeterminare ....................'.'..."..1 I1.7. 1. Limita unui polinom P(n) avAnd gradul k>1 ...................181 .7 .2. Limila unui raport de polinoame.. .......... '1 I1.7.3. Limita unui gir al cdrui termen general con{ine puteri..".191.7.4. Limita unui gir al cdrui termen general con{ine radicali...20

/n - .\1.7.5. $irul cu termenul general xn - nl Va - 1 | a>0. a+1 ...21

\l1.7.6. Alte rezultate remarcabile..... .................221.7.7. Crileriul Cesaro-Stolz $i consecinIe............."..............".22

l.S.Trecerealalimitdininegalitdli..." ................'.......231.9. $iruri recurente......... .....'.............23

'1 .9.1. Relatii de recurenli liniare de ordinul intAi..................'241.9.2. Relatii de recurenti liniard de ordinul doi......................24

2. Limite de functii....... ....."........'.....262.l.Limitauneifuncliiintr-unpunct... ........................26

2.1.1. Limita unei funclii intrun punct..., ..........262. 1.2. Limite latera|e............ .........................27

109

Fie funclia f:E:-+lR, x-+f(x), unde EdR., iar f(x)

numai prin intermediul functiilor sin, cos, tS:.cLS'

forma fix)=o se nume$te ecuatie trigonometrica'Ecualiite trigonometrice fundamentale:

depinde de x

O egalitate de

1. sinx=a- dacd ae 1--, -1)u(1, -)ecualia nu are solutii;

dacd ae t-t, t l, at. xe {arcsina+2kn 1 keZ}w{n-arcsina+2kn I ke

in particular: sinx=1=x€ \|+Zt<n 'keZl:

sinx=-1- rxe {- ! +2kn ke Zl:'2sinx=0+x€ {knl keZ}.

2. cosx=a- dacd ae (--, -1)v(1 , -) ecua{ia nu are solutii;- daca ae[-1, 1], atunci x€{+arccosa+Zknlkez}'in particular: cosx=1 -xe {2llr" I keZ};

cosx=-1+xe {(2k+1)t I keZ};

cosx=O=xe i! +Zkn I keZj.'23. tgx=c+xe{arctgc+kn k€Z}.

Page 3: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

1 10 Memorator de andize matematice Qi trigonometrie

2.2. Operatii cu limite de tun4ii............... ...................282.3. Limite de funqii elementare...... ..........................292.4. Limite remarcabile..... ..................A22.5. Metode de eliminare a nedetermindrii. ................33

2.5.1. Limitele functiilor polinomiale...... ...........332.5.2. Limitele funcliilor ralionale.......... ............932.5.3. Limitele functiilor irationale.......... ...........942.5.4. Ulilizarea limitelor remarcabile..... ..........94

2.6. Crfierti de existentd a limitei unei functii. .............9s3. Funclii continue.......rr.......rr.,r!rrrr.i ....................36

3.1. Continuitate punctua4. Continuikte pe un interua1....................963.1.1. Continuitate punctuale.. ..........................363-1.2. Puncte de discontinuitate...............................................373.1.3. Continuitate pe un interva1............ .........373.1.4. Prelungirea prin continuitate...... ............973.1.5. Continuitate 1atera|a.......................................................38

3.2. Operalii cu functii antinue ..........383.3. Propriedli ale functiilor mntinue................ .........99

3.3.2. Proprieteti globale........". ........................393.3.3. Proprietatea lui Darboux ........................40

4. Functii derivabile...... ...................424.1. Definilia derivatei.....,..-. ..............42

4.1 .1 . Derivabilitatea intr-un punct............... ""..........................424.1.2. lnterpretarea geometricd a derivatei unei funclii intr-unpunct............... ................424. 1.3. Derivabilitatea pe o mullime. Funclia derivate...............434.1.4. Derivate laterale. lnterpretare geometricd......................44

4.2. Operalii w tun$ii derivabile. ...............................474.3. Derivatele funcliilor elementare gi a functiilor compuse..............494.4. Derivate de ordin superior........... ........................504.5. Proprtehfi generale ale tuncliilor deiuilile ........51

4.5.1. Punct de extrem........ .............................S14.5.2. Teoremele lui Rolle, Lagrange gi Cauchy........ ..............524.5.3. Teorema lui Darboux...... ...................,....55

4.6. Calulul unor limite de functii cu ajutorul derivate1or..................56

5. Reprezentarea grafica a functiilor..... ...............585.1. Rolul derivatei lntdi ln studiul funqii1or.......................................59

5.1.1. lntervale de monotonie ale unei functii..........................585.1.2. Punctele de extrem ale unei functii................................585.1 .3. lnegalititi demonstrate cu ajutorul derivate|or...............59

Memorator de analizii matematica $i trigonometrie

5.2. Rolul derivatei a doua in studiul functii\or...................................605.2.1 . lntervale de convexitate gi concavitate ale unei

Iunc{ii.............. ................605.2.2. Punctele de inflexiune ale unei func{ii............................62

5.3. Asimptotele unei funclii...... .........695.3.1. Asimptote verticale....... ..........................635.3.2. Asimptote orizontale qi ob1ice........... . ........... ............64

5.4. $irut lui Ro11e........... ,,......,,,,.,66

111

Page 4: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

1 12 Memorator de analiza matematica $i trigonometrie

8. Aplicatiiale integraleidefinite......... .................948.1. Calculul ariilor cuprinse lntre doud curbe,

Page 5: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

Editura Bookletwww.booklet.ro Pentru comenzi:

tel:021 4303095e-mail : [email protected]

Descrierea CIP a Bibliotecii Nalionale a RomdnieicuRTUI, LUMtNtTA

Memorator de analizi matematicd 9i trigonometrie /Luminila Curtui. - Bucuregti : Booklet, 2015

tsBN 978-606-590-300-5

517(075.35)514.116(075.35)

@Editura Booklet 2016

Toate drepturile asupra lucrdrii apa(in editurii

',lemorator de analizd matematicd 9i trigonometrie

1. $tRURt DE NUMERE REALE

1.1. Dreapta reald

E',(-l) o(0) E(1)

intre multimea numerelor reale lR $i axa numerelor se poatestabili o corespondentd biunivocd ast{el:

- numarului 0 ii corespunde punctul O;- numerului pozitiv a ii corespunde punctul de

dreapta OE situat la distan{a a de O;- numarului negativ b ii corespunde punctul de

dreapta OE' situat la distanta -b de O.Punctul P(x) asociat numarului real x se nume$te imaginea

lui x, iar numerul x se numeste abseisa punctului P(x).Obseruatii:'1 . Dintre doud puncte de pe axa numerelor,

abscisa celui din dreapta este mai mare decAt abscisaceluilalt punct.

lx. x > 02. Distanla dintre P(x) si O este:d(P(x),O)=k!

i ,, ,.03. Distan{a dintre punctele P(x) 9i P(y) este d(P(x), P(y))=x-y]

pe semi-

pe semi-

3. Distan{a dintre punctele

orice x,ye lR:

1. lxl=0<+x=O;2. lxl>0ex+0;3. l-xl=lxl;4. xy1=lxl.lyl;

5 I =]I] v+0:y yt'6. x=y, y>0+xe {,y, yi;

3

Page 6: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

r Pentru Vxe R considerdm:,-6<X<6;;X+@=€+X=->X-€=-@+X=-c,

- x.€[email protected]= [ -'"0-I --' <<t.t

X - X -n,:*;:-;/-€-m=-6'

>rc.@-6'

i-€.€=-€'

; (-*) . (--) = -;

' Nu se definesc Ai nu auSENS:

2@-@'

z-@+@'

' 0 . (t-);> (t-) . 0;

0"'o'

Memorator de analize matematica qi lrigonometrie

lxlsy, p0 <+ -y<x<y't. t^t;!, ,-e

8. - xL<x<lxl;9. lx+yl<lxi+ly;10. lx-yl<lx

Memoralor de analiza matematica 9i trigonometrie 5

2.0<aso=1>1ADDefinitie: FieA+Z,AcR.

Un numdr real m se nume€te minorant pentru A,dacd m este mai mic sau egal decilt orice numdr dinA (m < x, VxeA).lJn numdr real M se nume€te maiorant pentru A,dacd M este mai mare sau egal decAt orice numdrdin A $li > x, VxeA).A se nume1te mdrginitd superior (maiora$l) dacdadmite majorant.A se numegte mdrginitd inferior (minoratd) dacdadmite minorant.A se numegte merginfte dacd este mdrginitd supe-rior gi inferior.O multime nevidd care nu este mdrginifi senumegte nemerginile.

Obseruatie:O multime este nemdrginiti dacd nu estemdrginitd superior sau nu este merginiti inferior.

Exemple:1. A = {1,2,3} este mdrginitd (!1elR. a.i. 1 < x, VxeAgi 33eR. a.i. 3 2 x, VxeA).

2. C-,01 nu esle mdrginitd (30eR a.i. 0 > x, Vxe (--,01,dar VmelR, fx€C-,01 a.i. x < m - mul{imea estemdrginiti superior, dar nu este mdrginitd inferior).

Teoremd: R, A+A.1. Sunt echivalente afirmaliile:

i) muftimea A este marginita;ii) 1a,beR a.i. a < x < b. VxeA:iii)

=Me -*-a.i. x < M, Vxe A.2. Mullimea nevidd A este nemarginita daca Oi

numai dacdVMeR*, Ix17eA cu lxn >M '

Definitie: Fie Ac R., A* Z.NumdrulmelR se numegte minimul mufiimii A 5i senoteazd min A dacd m este minorant A si meA.

1.2 Mdrginire. Marginile unei multimi.

1.2.1 . Ordonarea numerelor reale

Teoremd (Propriedliile relatiei de ordine pe 1R): V a,b,c,deR:1.a<a2. a<b sau b < a (relatia de ordine pe R. este totald)3.a(bSi bS a=+a=b

a<bgi b< c+a<calb=>a+c<b+c3>0Erb>0+a'b>0

7.a>0q. b<0=a.b<0a<08 b<0+a.b>0

9.a<b,r;<d+a+c<b+d10.a<b,c>0=a.c<b'cll.acb"c<0+a.c>b.c

Page 7: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

l\4emorator de analiza matematice $i trigonometrie Memorator de analiza matematica si trigonometrie 7

Numdrul Me lR se nume€te madmul multimii A 6i senoteazd max A dacd M este majorant pentru A gl Me A.

Obserualie: Minimul (maximul), daci existS, este unic

Definilie: AdR, A+O.numeste infimum (margine irrterioard) pentru

A (gi se noteazd inf A) cel mai mare mino-(dacd existd) al multimii A.

numegte supremum (margine superioard) pentruA (notat supA) cel mai mic majorant (dacd

al iA.

Obervalii:1. Dacd f inf A gi inf AeA, atunci inf A = minA.2. Dacd I supA 9i supAeA, atunci sup A = maxA.

Definitie: nume$te vecindtate a numdrului real anumere reale V care contine un interual deschis

tn a.(V este vecindtatea luia e Ir > 0 a.i. (a-r,a+r)cV)

Notdm cu V(x) multimea vecindtdtilor numdrului x.Meruatie: lntervalele siometrice (bilele) de centru a gi razd. r,

notate B(a,0=(a+,a+r), sunt vecindtdti ale punctului a.

Consecintd: nu este vecinitate a punctului aVr > 0, B(a, r) e V"

Propozilie: deschise (a, b) sunt vecinatati pentrupunct al lor.

Obserualii:1. Vx,yelR, x+y, 3V*e)(x), Vre).t(y) a.i. V*nV, =u)(doud puncte diferite au doud vecindtd{i disjuncte).

2. aV = {x}. (intersectia tuturor vecindtdlilor unuiVe)(x) punct este chiar Punctul).Obserualie: Se pot defini vecindtdtile lui -@ sau - astfel: se

numeste vecindtate a lui - (respectiv --) oricemullime VcR care conline un interval de forma(b,-l (respectiv de forma t--,b)), unde belR.

Ohservatie:Notdm A multimea punctelor de acumulare ale lui A.

1.3 Noliunea de $ir

1.3.1. Modalitdlile de a defini un gir

lui l, atunci functia u: l-+lR este un gir de numerereale, u(kn)=n6n.

Axioma tui Cantor:lmdrginita superior admite supremum.

I

Teoremd:linferior admite infimum. I

Consecinld: R., A+Z 9i A mdrginitd = I inf A 9i sup A.

Teorema luiArhimede: Va,Ae R, 0>0, lne I\i{- astfel incAt a

Propozitie: tru orice xelR existd un unic numdr intreg pincdt p<x<p+1; p se nume$te partea

a luix gi se noteazd p=1x1.

Teoremd

lastfel incdt a<q< b. I

1.2.2. Vecindtdti

Fie AcR. lJn element xe R se nume€te punct deacumulare pentru mullimea A dacd in oricevecindtate a lui x existd cel pulin un punct dinA-{x}.(xe lR punct de acumulare pentru

VVe ),(x), Vn(A -{x}) + Z.).Un elementxe A care nu este punct de acumulare

A se numeQte punct izolat al lui A.

Observalii:1. lndicele n din un arate pozitia (sau rangul) ter-menului in gir.

2. $irul se noteazd (un)n€N, (un)ry sau (un).

Obserualie: Dacd I c N, I infinitd gi k1<k2<... <kn<... elementele

Page 8: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

Memorator de analize matematice $i trigonometrie Nlemoralor de analiza matematica gi trigonomelrie

$irurile pot fi definite prin:1. Formula termenului general:

Exemplu: (un)nex,un = -+. Putem calcula termenii1+n-

sirului: uo =t,u.,=),u2=f,rr=fr,r.= f,.. e

2. O relatie de recurentd:Exemplu: (un)n€N, us=3, un*1=(-2).un.

Atunci : u 1 =(-2).3, ur=(-2)2.3, u.=(-2)3.3,...3. Cu ajutorul primilor termeni

Exemplu: 2, 3, 5,7, 11, 13 ... este girul numerelor prime.

1.3.2. Monotonia girurilor

b) Dacd un>O, VneN, putem studia raportul adoi termeni consecutivi:

- dacd un>0 gi 9nrr > 1,Vne N, atunci (un)un

este descrescdtor;

- dacd un>0 $i un+t < 1,yp6 N, atunci (un)un

este descrescdtor.3. Existd giruri care nu sunt monotone, de exem-

plu, (un)n.ry cu (un)=(-1)n.Un $ir nu este monoton daci existd \t, nz,fl3eN, h1<rt2<n3, astfel incdt:on1 ( on2 gi anr>an, (sau anr>anr 9i anr<ana)

Definilie:^{

se n u megte @nstdnt dacd un*1=un, Vne N

Obserualie:1. (un)n.N este strict crescltor (respectiv, strictdescrescdtor) <+ un*1>un, Vne N (respectiv,un*1(Un, Vne N).

2. Pentru a studia monotonia unui gir putemfolosi urmitoarele metode:a) Studiem semnul diferentei a doi termeni

consecutivi:- dacd un*1 - Un > 0, VneN atunci un este

crescdtor;- dacd unnl - Un < 0, VneN, atunci un este

descrescitor.

1.3.4. Mdrginire

Definilie: glr (un)n.y se nume€te maiorat (dacdAae lR asffel incdt un<a, VneN.

Un gir (un)n.s se numegte minorat (mdrginit inferior)dacdlbe IR asffel inc4tun>b, VneN.IJn gir (un)nex se nume$te mdrginit dacd esteminorat gi majorat.$irurile care nu sunt mdrginite se numesc nemdrginite.

Obseruatii:1. Un sir (un)n.x este mdrginit dacd fMelR., M>0 a.i'lunl< M,VneN.

2. Orice gir crescdtor are ca minorant primul sdutermen.

3. Orice gir descrescdtor are ca majorant primul sdutermen.

17s€ nume$te creffitor dace un*1)un, vne$ i r u I ( u r) r. s s e n u m e Ste descrescdtor d ac d u n* 1<un,VneN.$irul (ur)r.ry se nume€te monoton dacd estecrescdtor sau descrescdtor.Un €ir monoton (crescdtor sau descrescdtor) in careoricare doi termeni consecutivi sunt diferili senume€te strict monoton (respectiv, strict crescdtor,strict descrescdtor).

1.3.3. Periodicitate

Obserualie: Un gir periodic neconstant nu este monoton

Page 9: Memorator de Analizd 9i trigonometrie - cdn4.libris.ro matematica si trigonometrie pentru... · Luminila Curtui Memorator de - Analizd matematicd 9i trigonometrie -pentru clasele

Memorator de analiza matematice qi trigonometrie ',':-o.ator de analiza matematice $i trigonometrie 11

brendu: @ n),e^., "" = rrr-f

, 0 n).= *., b n = ] ; r,<c", vne N,n>1 .

1.4. Limita unui gir. $iruri convergente

1.4.1. $iruri cu limitd irrtinitd

Exemple:1. lim n=*' n--2

2. limn2=-n+-

2

3. lim rl- = -n-- l'l i 1

Exemple:1 . lim (-n) = -* ; 2. lim (-+3 + 2) - -*n)- n)€

Obserualie: $irurile cu limita - sau -€ nu sunt mdrginite supe-rior (respectiv mdrginite inferior).

Sirurile care au limita -, -@ sau care nu au limitA se numescgiruri divergente.

Obserualie: Un gir cu limita -- nu este neapdrat descrescdtor.

Exemple:1. girul (un)n.N, Un=a.n, dlO.- daci a>0, atunci (un) este strict crescdtor 9i

lim un = -;nJ6

- daci a<0, atunci (un) este strict descrescdtor qi

limun=--'nJ6

2. girul (an)n.N, a>1

lim an = +*n+6

3. Eirul (\,6)*u , ke N, k>2

lim VF=*n+-

Fie (an)n.ry un gir. Spunem cd girul (an)n€N tinde la*(are limita *) pentru n-+- gi scriem an-+@, saulim an = * , dacd este adevdratd oricare din

n-+-urmdtoarele propozilii :1. orice vecindtate a lui * contine toli termenii git

cu exceptia (eventual) unui numdr finit dintre ei;2. YY eV(*), lnye N astfel incet Vne N,n>ny=+ane V;3. VMelR, lnyeN astfel incdt VneN,n>ny=an>M.

Obseruflie: Un gir cu limita - nu este neapirat crescdtor. De

exemplu, (an), an=na1-1)n; ao=1 , a1=0, a2=3, as=Z, ...

Fie (an)n.ry un gir. Spunem cd girul (an)n.x f,hde /a --(are limita -*) gi scriem ?nr-, n-+@ sau

nT-'n = -* , dacd este adevdratd oricare din

urmdtoarele propozilii :1. orice vecindtate a lui -* contine toti termenii $iru-

lui exceptdnd eventual unui numdr finit dintre ei;2. VVe )/(--), Inye N astfel incdt Y ne N,n>ny=ane V;3. VMeR, 3nyeN astfel incil VneN,n>ny= an<M.