mecanica+fluidelor+ii

7/24/2019 Mecanica+Fluidelor+II

1/15

3.4. FORE DE PRESIUNE

Fluidele aflate n repaus exercitasupra pereilor solizi cu care se mrginesc, precum iasupra corpurilor solide imersate n ele, fore care se datoreazpresiunii fluidului i se numescfore de presiune hidrostatice.

Analiza completa aciunii presiunii asupra suprafeei S trebuie saibn vedere torsorul

forelor de presiune ( )0p M,F rr

evaluat n raport cu sistemul de referinales.

3.4.1. Fore de presiune hidrostatice pe suprafee plane

Pentru a determina valoarea forei pFr

, se considero poriune de suprafaS, de arie A,

aparinnd unui perete plan al unui recipient, perete nclinat cu unghiul fa de orizontal(Figura 3.20).

Se presupune c la suprafaa liber a lichidului din recipient i pe faa exterioar aacestuia, se exercitpresiunea p0.

x

y

y'y y'

Oh

h

h c

g

C Cyx

CdS (dA)

G

pF

x

Figura 3.20

Fie Oxy sistemul de coordonate ce conine, n planul su, suprafaa S. Acesta, rotit cu90, dimaginea reala suprafeei S.

DacdS, este elementul de suprafa, de arie dA, situat la adncimea h, fade suprafaalibera fluidului din recipient, presiunea care se exercit(pe elementul de suprafa) la aceastadncime, este:

==+= singyghpghpp 00 (3.122)

Dac se noteaz cu hG adncimea lui G fa de suprafaa liber a fluidului, rezult c

intensitatea forei de presiune se poate scrie:pF

r

AghAsingyF GGp == , (3.124)

adic, intensitatea forei de presiune exercitate de un fluid greu aflat n repaus, asupra uneisuprafee plane care l mrginete, este egalcu produsul dintre presiunea existentn centrul degreutate al suprafeei i aria acesteia.

Relaia (3.124), arat c valoarea forei de presiune nu depinde de cantitatea de fluidlimitat de suprafaa S. n mod tradiional, acest rezultat este cunoscut sub numele de paradoxulhidrostatic.

26


2/15

ntr-adevr dacse considermai multe vase diferite ca form (Figura 3.21) dar avndaceeai suprafa inferioar, forele care solicit suprafeele inferioare sunt egale, adicrrr

(aceastexperienpoartnumele de butoiul lui Pascal).321 FFF ==

F

S SF F

S

FS

12

3 4

Figura 3.21

3.4.2. Fore de presiune hidrostatice pe suprafee curbe deschise

Fie S, o suprafaoarecare. Forele de presiune elementare exercitate pe S, formeaz ngeneral un sistem de fore oarecare (Figura 3.22).

( )opp M,FF rrr

dTorsorul forelor de presiune , este echivalent cu trei fore, orientate dupun

sistem de coordonate cartezian ales.

Pentru un element de suprafa dS, fora elementar, pFdr

, care acioneaz asupra lui,descompusdupun sistem cartezian care are versorii k,j,i

rrr

, se poate scrie:

pzpypxp dFkdFjdFiFdrrrr

++= . (3.131)

Deci, forele elementare dFp, se pot grupa n 3 sisteme de fore paralele, fiecare dinacestea, reducndu-se la o rezultantunic:

dS(dA)

y jk i

x

z

jdFidF

kdF

dFp

py

px

pzpdF

S

O

Figura 3.22

.dFkkF

;dFjjF

;dFiiF

S pzpz

S pypy

S pxpx

=

=

=

rr

rr

rr

(3.132)

n general, forele ,F,F,F pzpypxrrr

nu sunt concurente.

Intensitatea forei pxFr

, exercitat de un fluid greu, aflat n repaus, ntr-o direcie

orizontaln cazul acesta Ox), asupra unei suprafee curbe oarecare, este egalcu intensitateaforei care s-ar exercita pe proiecia suprafeei curbe, pe un plan normal la direcia considerat.Suportul forei trece prin centrul de presiune al proieciei suprafeei.

Intensitatea forei Fpy, se definete n mod similar cu a lui Fpx.Intensitatea forei de presiune Fpzvertical), exercitatasupra unei suprafee curbe este

egal cu intensitatea greutii cilindrului vertical de fluid limitat de suprafaa curb, planul

suprafeei libere i verticalele ce ntlnesc conturul suprafeei curbe.

27


3/15

3.4.3. Fore de presiune pe suprafee nchise. Legea lui Arhimede.

Se considerun corp mrginit de suprafaa nchisSi, care se aflimersat ntr-un fluidgreu incompresibil aflat n repaus (Figura 3.24).

DacD, este domeniul ocupat de corp, Si suprafaa care l mrginete i V, volumul

domeniului, i se ine seama c fora de presiune elementar,p

Fdr

, care acioneazasupra unui

element de suprafa, dS, de arie, dA, este

r

x

z

yF

n

F

D C

SG

c

A

i

G

Figura 3.24

dAnpFd p = v

r

, rezult c aciunea lichidului, este

datde suma acestor fore elementare, adic:

=iS

A dAnpF v

r

(3.141)

Dac se ine seama de relaia lui Euler pentru repausul absolut (3.5) i c n cmp

gravitaional gkgfr

r

r

== obinem:

gDDDAFkmgkgdkgdkgdfF

rrrrrrr

====== VVVV (3.143)

unde:- gFr

este fora de greutate al volumului de fluid dezlocuit de corp.

Se poate formula urmtoarea afirmaie, cunoscutsub numele de Legea lui Archimede:un fluid greu incompresibil, aflat n repaus exercitasupra unui corp solid imersat n fluid, o

forverticalascendent, AFr

, a crei intensitate este egalcu cea a greutii volumului de fluiddezlocuit de corp.

Aceast forde presiune, datoritaciunii sale particulare, se numete forarhimedicsau portanhidrostatic.

Fora arhimediceste aplicat n centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit decorp, n cmp gravitaional.

3.5. ELEMENTE PRIVIND PLUTIREA CORPURILOR

3.5.1. Stabilitatea echilibrului corpurilor complet imersate n lichide.

Se va analiza stabilitatea echilibrului corpurilor solide complet imersate n fluide grele

incompresibile. Asupra corpului, se exercit ca fore, greutatea sa, gFr

i fora arhimedic AFr

.

Corpul este n repaus n interiorul fluidului, dac forele Ag FsiF rr

au acelai suport i aceeai

intensitate, dar sensuri opuse, iar lichidul este de asemenea n repaus.(Figura 3.25)

Se spune c solidul este n echilibru stabil, dac deplasndu-l (rotindu-l) ntr-o poziieapropiat, acesta revine la poziia (de repaus) iniial, prin micri de oscilaie cu viteze mici.

28


4/15

Dac, prin scoaterea lui din poziia iniial, el se ndeprteazde aceastpoziie, spunemcsolidul se afln echilibru instabil.

n fine, dac rmne n repaus, n orice poziie, se spune c, corpul este n echilibruindiferent.

F

F F

FG

CC

G

A A

gg Figura 3.25

Pentru ca un corp solid, complet imersat ntr-un lichid greu incompresibil, s fie nechilibru stabil n raport cu rotaiile n jurul axelor orizontale, este necesar i suficient ca, centrulde greutate al solidului, s fie situat sub centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit desolid i densitatea medie a corpului sfie egalcu densitatea lichidului.

Se observ, cpentru ca forele gF

r

i AF

r

sse echilibreze, este necesar ca C i G, sfiesituate pe aceeai vertical, iar pentru ca gF

r

i AFr

sformeze un cuplu de stabilitate, trebuie ca G

sfie sub C.n raport cu translaiile i rotaiile n jurul axelor verticale, corpul solid, este n echilibru

indiferent, deoarece, pentru aceste deplasri sistemul de fore care acioneazasupra lui, nu seschimb.

3.5.2. Stabilitatea echilibrului corpurilor plutitoare.

Un corp solid care se gsete n echilibru, fiind numai parial scufundat ntr-un fluid greuincompresibil se numete plutitor.

0C

z

x C0

z

y

y

x0

S

Figura 3.25

Se pot defini urmtoarele noiuni specifice (Figura 3.25)Seciunea plutitorului prin planul suprafeei libere a fluidului se numete plan de plutire

(el coincide cu planul Oxy, a sistemului de coordonate ataat plutitorului). Seciunea ce rezultprin intersecia plutitorului cu planul de plutire, se numete suprafade plutire (s-a notat cu S).Partea plutitorului cufundatn fluid, se numete caren.

Centrul de greutate, O, al suprafeei de plutire, S, se numete centru de plutire. Ox, esteaxa longitudinalde nclinare, Oy este axa transversalde nclinare, iar Oz, este axa de plutire. Oscilaia plutitorului n jurul lui Ox, se numete ruliu, iar n jurul lui Oy, se numetetangaj.

Un plutitor este n echilibru indiferent n raport cu translaiile orizontale i cu rotaiile njurul axelor verticale. De asemenea, el este n echilibru stabil, n raport cu translaiile verticale,cci axestea schimbfora arhimedic, astfel nct, plutitorul este readus n poziia sa iniial.

29


5/15

Rmne deci de studiat, stabilitatea plutitorului n raport cu oscilaiile n jurul axelororizontale, pentru care este satisfcutcondiia ca intensitile forelor de greutate i arhimedics fie egale (Fg = FA), deci pentru care, carenele au volume egale. Se spune, n acest caz, c

plutitorul ocupnumai poziii izocarene .

FA

gF

GC

Fg

GC

FA

Figura 3.27

Dac considerm c centrul de greutate al corpului este plasat sub cel al carenei, la omicare de rotire a corpului, centrul de greutate al carenei trece n C; se observcia natere unmoment de redresare. (Figura 3.27). Echilibrul este, n acest caz, stabil. Aceast situaie deamplasare a lui C i G, se ntlnete n mod obligatoriu la submersibile i aerostate.

Daccentrul de greutate al corpului este deasupra centrului de greutate al carenei, putemavea situaiile din figura 3.28.

n cazul din figura 3.28 b, centrul de greutate al carenei a trecut n C i apare un moment

de rsturnare, deci echilibrul este instabil. n cazul prezentat n figura 3.28 c, noul centru degreutate al carenei fiind C, apare un moment de redresare, deci echilibrul este stabil.

CG

F

F

g

A F

C'

A

gF

G

F

C'

A

gF

G

a) b) c) Figura 3.28

Rezultcprin precizarea poziiei relative ntre centrul de greutate al corpului i cel alcarenei, nu caracterizm complet natura echilibrului.

De aceea vom introduce noiunea de metacentru.Fie o poziie izocarende ruliu a plutitorului PQ, cu poziia normalPQ, iar C i C

centrele de carenale poziiilor PQ i PQ (figura 3.29).

Datorit simetriei plutitorului, suportul forei arhimedice, rmne n plan transversal iintersecteazaxa de plutire Oz n m. Cnd plutitorul tinde ctre poziia PQ, m tinde la un punctm, numit metacentru de ruliu. Distana

gF

r

Q'

Q

m'

m0G

CC'

F

P

P'

AFigura 3.29

, se numete razmetacentricde ruliu.mC n mod similar se definete metacentrul de tangaj, i raza metacentricde tangaj.

Prin nlime sau distanmetacentric, vom nelege distana dintre metacentrul de ruliui centrul de greutate al corpului. Ea este pozitiv, dacmetacentrul este deasupra centrului degreutate al corpului.

30


6/15

Se vede c, dacnlimea metacentriceste pozitiv, echilibrul este stabil, iar dacestenegativ, echilibrul este instabil.

Condiia de stabilitate a plutirii este deci. ca nlimea metacentricsfie pozitiv.

0ar = 3.148)

unde: - este nlimea metacentric;

- r raza metacentric;- a distana dintre centrul de greutate al corpului i al carenei.Raza metacentric este egal cu raportul dintre momentul de inerie Ix al suprafeei de

plutire n raport cu axa longitudinalde nclinare i volumul carenei.

V

xIr= 3.149)

Se poate afirma faptul c, stabilitatea unui plutitor, este definitde poziia metacentruluide ruliu fade centrul de greutate, prin expresia:

aI

ar x ==V

3.162)

Pentru ca un plutitor s fie n echilibru stabil, n raport cu poziiile sale izocarene, estenecesar i suficient ca, centrul de greutate sfie situat sub metacentrul de ruliu >0).

Condiia este necesar, deoarece n repaus G i C, trebuie sfie pe aceeai vertical, iar

pentru ca forele ( )AG F,F rr

sformeze un cuplu de stabilitate, trebuie ca G, sfie sub metacentrul

corespunztor poziiei nclinate. Cum metacentrul de ruliu, m, are cotminim, dacG se aflsub m, echilibrul este stabil.

Condiia este suficient, pentru cdaccentrul de greutate G, este plasat sub metacentrul

m, iGFr

AFr

, formeazntotdeauna, un cuplu de stabilitate.

Plutitorul este cu att mai stabil, cu ct distana , este mai mare.

Ca o msur pentru mbuntirea stabilitii corpurilor plutitoare, se coboar poziiacentrului de greutate, G, sau se mrete Ix.

3.6. PRINCIPII I APARATE PENTRU MSURAREA PRESIUNII

Manometrele sunt aparate care servesc la msurarea presiunilor. n tehnic, msurareapresiunilor are o mare importan, att pentru procesul tehnologic ct i pentru respectareanormelor de tehnica securitii muncii. Nerespectarea presiunilor de regim prescrise, poate duce,fie la perturbarea procesului de producie, fie la accidente n munc.

Aparatele pentru msurat presiuni, sunt de mai multe feluri, ele putndu-se clasifica dup

urmtoarele principii:- al presiunii de msurat,- al destinaiei i- al principiului de funcionare.Dupvaloarea presiunii de msurat sunt:- Manometre, care msoarpresiuni mai mari dect cea atmosferic;- Vacuumetre, care msoarpresiuni mai mici dect presiunea atmosferic;- Manovacuumetre, care msoar att presiuni mai mici, ct si mai mari, dect cea

atmosferic.Dupdestinaie sunt:- aparate etalon, care servesc la pstrarea i reproducerea unitilor de presiune, acestea

fiind aparate de mare precizie;- aparate de lucru pentru msurat presiuni, care servesc pentru msurtori curente.Dupprincipiul de funcionare sunt:

31


7/15

- aparate cu lichid, ex. piezometre;- aparate cu element elastic, care se bazeazpe transformarea variaiilor de presiune in

deformaii elastice, care la rndul lor pot fi:- aparate cu membransimpl,- aparate cu membrandubl,- aparate cu burduf,

- aparate cu tub curbat, elicoidal, sau spiral;- aparate cu piston, la care elementul msurtor este un dispozitiv bazat pe echilibrareapresiunii de msurat, prin exercitarea unor fore exterioare asupra unui piston;

- aparate electrice, care se bazeaz pe trannsformarea variaiilor presiunii n variaiielectrice.

4. CINEMATICA FLUIDELOR

4.1. OBIECTUL DE STUDIU

Cinematica studiazmicarea fluidelor, fra lua n considerare forele care o determini aspectele energetice ce o nsoesc.

Studiul, urmrete determinarea mrimilor cinematice, caracteristice micrii (viteze,acceleraii etc.), introducerea unor noiuni specifice micrii fluidelor (debit, vrtej, continuitate),

precum i stabilirea ecuaiei de continuitate. Neluarea n considerare dect a aspectelorgeometrice ale micrii, face ca rezultatele acestui studiu sfie valabile pentru orice model defluid.

Studiul cinematic al micrii fluidelor, se bazeazpe ipoteza generala continuitii, aacum a fost ea prezentatn Capitolul I.

Pornind de la definiia micrii, ca schimbare a poziiei relative a unui sistem material n

raport cu un reper de referin, asimilarea fluidelor ca i medii continue, conduce lareprezentarea micrii acestora analog deplasrii n spaiu, a sistemului de particule carealctuiesc fluidul i care umplu complet i compact, ntregul domeniu n care are loc micarea.

Pentru a determina micarea mediului continuu, trebuie cunoscut micarea tuturorparticulelor ce-l compun, raportat la un sistem de referin. n studiul cinematicii mediuluicontinuu, exist doumetode de analiz a micrii: metoda Lagrange ce const n a urmri

particulele fluide individualizate n evoluia lor n timp pe traiectorie i metodaEuler ce constn a observa particulele fluide n momentul n care trec printr-un punct fix din spaiu.

4.2. METODE DE REPREZENTARE A MICRII

4.2.1. Metoda Lagrange

z

O

x

ij

k

y

r0

x0

y0

z0

j

rk

O0

y

y

zz

xi

x

M

M

M0 0

r

t 0 t > t 0

Metoda Lagrange este o adaptare la micarea mediilor continue deformabile, a metodeifolosite n studiul cinematiciisistemelor de puncte materiale.Aceast abordare, este posibil ncondiiile n care particula fluideste privitca un punct material, cucare aceasta coincide.Individualizarea particulei se vaface atunci, prin poziia ei iniial,

precizat prin vectorul de poziie0rv

, al centrului de masa particulei,

la momentul inial t0(Figura 4.1)

32


8/15

Se presupune c la momentul iniial t0, s-a individualizat particula fluid P, printr-unmarcaj, care nu-i altereazproprietile dinamice. Experimental, acest lucru se realizeaz, prinintroducerea n fluid a unei granule colorate, de aceeai densitate cu fluidul. n raport cu unsistem de referinxOyz, poziia particulei va fi dat la momentul t0, de vectorul de poziie al

punctului M0, n care se face marcajul:

kzjyixr0000

vvv

v

++= (4.1)

Urmrirea n timp a micrii particulei, poziia ei la orice moment ulterior t, putnd fiprecizat, prin vectorul de poziie al punctului M, n care se aflmarcajul la acel moment.

kzjyixr vvv

v

++= (4.2)Acest vector este deci, funcie de 0r

v

i t, existnd o coresponden bijectiv ntre

coordonatele particulei la orice moment t i coordonatele granulei colorate la momentul iniial t0,la care se face marcajul, adic:

).,,,z(z

);,,,(

);,,,(

000

000

000

tzyx

tzyxyy

tzyxxx

=

=

=

(4.3)

Se poate scrie:

)t,z,y,x(r)t,r(rr 0000vvvv

== (4.4)

sau, n coordonate carteziene:

( ) ( ) ( )kt,z,y,xzjt,z,y,xyit,z,y,xxkzjyix 000000000vvvvvv

++=++ (4.5)

Relaiile (4.3), reprezint forma parametric a traiectoriei particulei P, iar (4.4), formavectoriala traiectoriei.

Ansamblul de patru variabile independente (x0, y0, z0, t), poart numele de variabile

Lagrange. Cu ajutorul acestor variabile independente, pot fi exprimate orice alte mrimi fizice,care caracterizeazmicarea fluidului. n sistemul Lagrange, aceste mrimi (ce se vor constitui nvariabile dependente), sunt ataate particulei fluide, putnd fi considerate ca i mrimitransportate de ctre aceasta.

Cu toate c permite obinerea multor informaii legate de micarea particulei fluideindividualizate, fiind o metod mai intuitiv, metoda Lagrange nu este sistematic utilizat n

practic pentru a descrie micarea ntregului fluid. Aa cum s-a vzut, aceasta ar impunecunoaterea micrii tuturor particulelor fluide, care compun fluidul, cunoatere care ntmpinurmtoarele dificulti:

a) de ordin matematic fiind necesar scrierea i rezolvarea a cte unui sistem deecuaii pentru fiecare particulfluid; sistemul va cuprinde ecuaii de tipul (4.10), (4.11).

b) de ordin experimental fiind foarte greu de realizat urmrirea fiecrei particule fluidepentru a putea face validarea experimentala rezultatelor teoretice. Urmrirea fiecrei particulefluide este greu de realizat n practic, deoarece, datorit difuziei moleculare, aceasta nu-iconserv timp ndelungat individualitatea. Actualmente, metode experimentale sofisticate(tratamentul imaginii fotografice) fac srenascinteresul pentru acestmetod.

n ciuda acestor dificulti, metoda Lagrange este utilizatpentru definirea unor mrimispecifice micrii turbulente i, n toate cazurile, n care este necesardeterminarea traiectorieiunei particule fluide pornind de la parametrii de identificare.

33


9/15

4.2.2. Metoda Euler

n multe cazuri din practic, nu este importantcunoaterea traiectoriei fiecrei particule.Considernd fluidul ca mediu continuu deformabil, interesul major, nu vizeaz evoluia unei

particule fluide distincte, ci mai degrab, determinarea mrimilor caracteristice ale micrii i avariaiei lor n timp, n puncte fixe ale domeniului ocupat de fluidul n micare.

n cazul metodei Euler, atenia se concentreazpe punctele fixe ale domeniului ocupat defluidul n micare, urmrind diferitele particule neindividualizate i mrimile transportate deele, doar n momentul n care trec prin aceste puncte fixe.

Metoda corespunde condiiilor experimentale, n care observatorul i instrumentul demsurse aflntr-un punct fix.

Pentru a uura nelegerea acestei metode, se va considera c punctul M, aparinnddomeniului de curgere i perfect definit de vectorul de poziie ( )z,y,xrr

vv

= , este legat, imaginar,la un ecran., care permite att vizualizarea punctului, ct i a vectorului vitez corespunztor

particulelor ce trec prin M la diferite momente de timp. Vectorul vitezvariaz, n general, ntimp.

Astfel, la momentul t1, n punctul M se aflparticula fluidP1, avnd viteza vv

, iar la un

moment ulterior, t+t`, n acest punct se va afla o altparticulP2, cu o vitezn general diferitde cea avutde particula P1(Figura 4.2).

Dacprin viteza localataatpunctului M se nelege viteza particulei fluide care trece

la momentul t prin punctul M, atunci viteza localn punctul M la momentul t, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( kt,z,y,xvjt,z,y,xvit,z,y,xvt,z,y,xvt,rvv zyxM )vvv

vvvv

++=== (4.12)

unde vx, vy, vz, sunt componentele vitezei particulei P1, pe axele triedrului ortogonal, xOyz.

M

ji

Ork

tz

z

y

y

xx

v(r, t)

P1

z

z

O

xx

i

r

j

k P2

M

t+dt

y y

1Pr + vdt

dr

v(r, t+dt)

Figura 4.2

Considernd apoi ctoate punctele domeniului ocupat de fluidul n micare sunt legateimaginar la ecran, pe acesta s-ar obine repartiia vitezelor i evoluia lor n timp, n toate

punctele domeniului de curgere. Pe ecran, s-ar vizualiza atunci cmpul vitezelor din domeniul decurgere, notat .( )t,rv

vv

Ansamblul celor 4 variabileindependente,

v

, vectorul depoziie, respectiv coordonatelepunctului fix din domeniul ocupat defluidul n micare i timpul t, poartnumele de variabile Euler.

( z,y,xr )

)

Ele servesc la determinareacelorlalte mrimi caracteristice alemicrii, sub form de cmpuri

scalare sau vectoriale, dupnatura mrimii respective.Astfel, pentru fiecare mrime caracteristica micrii se definete o funcie de punct i

timp , care se numete cmpul mrimii considerate (exemple: cmpul

acceleraiilor

( ) ( t,z,y,xt,r == v

)t,r(aa vvv

= , cmpul presiunilor ( )t,rpp vvv

= ).

Prin definiie, ( t,rv

) , reprezint valoarea mrimii caracteristice, corespunztoareparticulei care, la momentul t, trece prin punctul fix al domeniului ocupat de fluidul n micare,punct definit de vectorul de poziie r

v

.n cazul metodei Lagrange, variabilele sunt mrimile caracteristice ale micrii, ataate

particulelor fluide, variabilele independente fiind:- poziia iniial, la momentul t0, a particulei fluide, precizate prin vectorul de poziie 0r

v

,

al punctului n care se face marcajul;- timpul t.

34


10/15

n cazul metodei Euler variabilele sunt mrimile caracteristice ale micrii, ataatepunctelor din domeniul ocupat de fluidul n micare, variabilele independente fiind:

- vectorul de poziie rv

, al punctului fix M, ce aparine domeniului ocupat de fluidul nmicare;

- timpul t.

4.4.2.Noiuni cinematice de baz

Se vor prezenta n continuare, cteva noiuni cinematice, utilizate att n modelareamatematic, ct i n analiza experimentala fenomenului complex, care este micarea fluidelor.

Traiectoriaeste curba descrisde particula fluidaflatn micare n evoluia sa n timp.Denumirea de traiectorie este un concept lagrange-ian, ce poate fi pus n eviden experimental,

prin marcarea unei particule cu ajutorul unei granule colorate n suspensie (trasor) ifotografierea micrii acesteia folosind o camercu timp de expunere mare.

x

z

y

Pentru a stabili ecuaiile difereniale ale traiectoriei, se va face identificarea particuleifluide, prin poziia ei iniialla momentul t=t0(momentul marcajului), n raport cu un sistem de

referininerial Oxyz. Astfel, pentru particula fluid, care la momentul t=t0se afla n punctul M0(Figura 4.7) avnd vectorul de poziie )z,y,x(rr 00000

vv

= , ecuaia diferenial a traiectoriei

pornind de la definiia cmpului de viteze este:

)t,r(vdt

rd vvv

=

O

Pr

v (r , t )

A

r

t)0 0

0

0

M

v( r,

(4.80)

P

aceeasi particula P

sau n formdezvoltat:

.k)t,z,y,x(vj)t,z,y,x(v

i)t,z,y,x(vkdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

zy

x

vv

vvvv

++

+=++ (4.81)

Atunci ecuaiile difereniale aletraiectoriei, sub formscalarsunt:

Figura 4.7.

dt)t,z,y,x(v

dz

)t,z,y,x(v

dy

)t,z,y,x(v

dx

zyx

=== (4.82)

Linia de curent, este o curb imaginar n fluid, care se bucurde proprietatea c, lamomentul t, vectorul vitez,

v

, este tangent la aceasta, n fiecare punct al ei. Cu alte cuvinte,liniile de curent sunt linii de cmp ale cmpului vitezelor. Pentru vizualizarea lor, se facemarcajul mai multor particule fluide cu granule colorate n suspensie i se fotografiazmicarealor, utiliznd un timp de expunere foarte scurt. Fiecare particulmarcatva lsa, pe imagineainstantanee, o urmcoloratscurt, avnd n fiecare punct direcia vectorului vitez. Dacs-auales pentru marcare un numr mare de particule, reunind urmele lor colorate n succesiunea lor,se obine imaginea liniilor de curent.

v

n comparaie cu traiectoria, aa cum rezulti din figura 4.8 linia de curent este trasat lamomentul t, dar reunete particule diferite, n vremece traiectoria se referla o aceeai particuldar esteo curbpermanentizatn timp.

Ecuaiile difereniale ale liniilor decurent se obin innd cont c direcia elementuluilor vectorial (deplasarea elementar pe linia de

curent) coincide cu direcia vectorului vitez, adic|| . n aceste condiii, ecuaia diferenial aliniilor de curent sub formvectorialeste:

rdv

rdv

vv

yx

z

O

M v( r, t)

P

particule diferite P si P

MP

v( r, t)

1

12

2

1 2

Figura 4.8.

35


11/15

( ) 0rdt,rv = vvv

(4.83)

sau:

( ) ( ) ( ) 0=++= kdxvdyvjdzvdxvidyvdzv

dzdydx

vvv

kji

yxxzzyzyx

vvv

vvv

(4.84)

Ecuaiile difereniale, sub formscalar, ale familiei liniilor de curent, la un moment dat,t, sunt:

)t,z,y,x(v

dz

)t,z,y,x(v

dy

)t,z,y,x(v

dx

zyx

== (4.85)

Deoarece n sistemul de ecuaiidifereniale din relaia (4.85), nu intervinedifereniala dt, ca i n cazul sistemului deecuaii difereniale care descriu traiectoria, laintegrarea acestui sistem de ecuaii, timpul, t,

trebuie considerat ca fiind un parametru .

yx

z

O

Mv(

r,t

1)

r

v( r, t)

linia de curent la mom. t

linia de curent la mom. t > t1

Figura 4.9

n cazul general, liniile de curent imodificforma n timp, deci la un alt momentt1 > t, prin punctul M1fix al spaiului va trece oaltlinie de curent (Figura 4.9).

Liniile de curent au dou proprietiimportante:

- n general, nu se intersecteaz. (dacliniile de curent s-ar intersecta ntr-un punct, ar nsemna cacolo, particula fluidar avea douviteze diferite, lucru care nu este posibil -excepiefac nsaa numitele puncte critice, prin care pot trece dousaumai multe linii de curent; viteza n aceste puncte fiind nulsauinfinit);

- prin orice punct al domeniului D,ocupat de fluidul nmicare, trece o linie de curent (aceast proprietate rezult dinipoteza generala continuitii i a structurii continue a vitezei).

vn

L.C.

M

Figura

4 10

Suprafaa de curent, , este o formatdin nfurtoarea liniilor de curent, ce trec la unmoment dat prin punctele unei curbe deschise C, care nu este linie de curent (Figura 4.10).

Aceasta este, prin urmare, o suprafa a cmpului vitezelor. Pe aceast suprafa, estesatisfcut relaia, 0nv =

vv

, unde nv

este versorul normalei exterioare la suprafaa , dusprinpunctul M. Rezultdeci, csuprafaa de curent, nu este strbtutde fluidul aflat n micare.

Fiind formate din linii de curent, care sunt n cazul general variabile n timp, suprafeelede curent vor fi la rndul lor, variabile n timp.Tubul de curent, este suprafaa de curent formatdin ansamblul liniilor de curent care se

sprijinla momentul t, pe o curbnchisce nu este linie de curent (Figura 4.11).

n cazul general, forma tubului de curent, variaz n

timp. Pentru tubul de curent, se definesc urmtoarele

seciuni:

- seciunea transversal a unui tub de curent esteporiunea S din interiorul tubului de curent rezultat dinintersecia tubului cu o suprafaoarecare,

- seciunea normal(ortogonal) a unui tub de curenteste seciunea transversal S, normal la toate liniile decurent care o intersecteaz (dac n vecintatea acestei

S Figura 4.11

36


12/15

seciuni, liniile de curent sunt drepte paralele ntre ele, suprafaa S, se va numi seciune dreapt).Curentul de fluid este fluidul din interiorul unui tub de curent.

Tubul de curent elementar, este tubul de curent a crui seciune normal, are o arieinfinitezimal.

Firul de curent, este fluidul din interiorul tubului de curent elementar.

Debitul de fluid,este cantitatea de fluid care trece printr-o suprafafixS, n unitatea detimp. Funcie de modul n care este precizatcantitatea de fluid, prin volum, massau greutate,debitul poate fi: volumic (Q), masic (Qm), respectiv de greutate (QG). Relaia ntre ele este:

=

= Gm

QQQ (4.88)

Pentru c, n cele mai multe situaii din practic, se lucreaz cu debitul volumic, ncontinuare se va face referinla aceastnoiune.

nv

v

v

n

S

nvn

v

nvn

vl

d =l n dA

l

l n = v dtn

Fi ura 4.14

Pentru a stabili expresia general a debitului volumic, se consider curgerea fluiduluiprintr-o suprafanchisS. Aceastsuprafase descompune n suprafee elementare dS, de ariedA, suprafee suficient de mici, pentru ca vitezele particulelor fluide care le strbat, spoatfi

considerate constante n mrime i direcie. Fie nv

, direcia normalei la elementul de suprafadS(prin convenie consideratcu semnul + atunci cnd e orientatspre exteriorul suprafeei S) i fievv

viteza particulei fluide ce strbate elementul infinitezimal dS (Figura 4.14).Viteza v

v

, poate fi descompusn componenta normal i

componenta tangenialnv

v

tvv

. Este

evident c tvv

, componenta

tangenial, nu contribuie la debitul defluid prin suprafaa S. Rezultatunci,cn intervalul de timp dt, volumul de

fluid ce va traversa suprafaaelementardS va fi:

dAcosldAldV n == (4.89)unde: - lneste nlimea cilindrului elementar de bazdS;

- este unghiul dintre normala elementari vectorul vitezdin centrul elementului dS.Cum l=v/dt, rezultexpresia debiyului:

dAdtcosvdV = (4.90)

Debitul volumic elementar dQ, va fi egal cudt

dV(volumul de fluid raportat la cantitatea

de timp). innd seama de relaia (4.90), rezultc: dAcosvdQ = (4.91)

Dacse are n vedere faptul cv/cos=vni de definiia produsului scalar a doi vectori,rezult:

nvcosv vv

= (4.92)Introducnd relaia (4.92) n (4.91), se poate scrie:

dAnvdQ vv

= (4.93)nsumnd debitele elementare corespunztoare tuturor suprafeelor dS n care este

divizatsuprafaa S, se obine expresia debitului volumic prin suprafaa S:

= S dAnvQ vv

(4.94)

37


13/15

Viteza medie este o mrime fictiv, utilizat n calcul. Valoarea ei este consideratconstantpe o seciune data unui tub de curent, asigurnd trecerea prin seciunea respectivaunui debit egal cu cel real corespunztor unei distribuii oarecare a vitezelor n seciune.

Pentru a oferi o reprezentare mai sugestiv a noiunii de vitezmedie, se consider oporiune a unui tub de curent, delimitat de dou suprafeedrepte S1 i S2 (Figura 4.15) i se figureaz distribuia real a

vitezelor i , precum i vitezele medii, notate cu1vv

2vv

1mvv

i2mv

v

n cazul general, dacS, este seciunea dreaptde arieA, a unui tub de curent,

v

este versorul normalei la suprafaa S,ndreptat n sensul micrii i Q este debitul volumic prin S,atunci viteza medie, , pe seciunea S, este datde relaia:

n

mvv

nvv mmvv

= , (4.95)unde

==S

m dAnv

A

1

A

Qv

vv

. (4.96)

v1

v1

n

v1

1

n2v2

2v

1v

S1

S2

Figura 4.15

4.4.3.Clasificarea micrilor

Aa cum s-a artat la nceputul acestui capitol, micarea fluidelor este un fenomencomplex, care se prezintsub diferite forme. Att studiul teoretic, ct i aplicaiile practice alemicrilor, impun o clasificare a acestora, n funcie de diferite criterii. Datoritvarietii acestorcriterii, clasificrile afluente sunt paralele, n sensul caceeai micare poate face parte din maimulte clase, care nu se exclud ci se completeazreciproc .

Se vor considera, n continuare, doar criteriile care permit o clasificare a mi crilor din

punct de vedere al aspectului cinematic. Astfel, variaia n spaiu i timp a cmpului vitezelor,constituie criterii ce permit clasificri ale micrilor , care se vor analiza n continuare .

4.4.3.1. Clasificarea micrilor din punct de vedere al variaiei n timp

a cmpului vitezelor

Din punct de vedere al variaiei n timp a cmpului vitezelor, micrile se pot clasifica n:

- micri nepermanente (nestaionare), la care cmpul vitezelor variazn timp, adic:

( )t,rvv vvv

= (4.97)

- micri semipermanente (semistaionare), la care cmpul vitezelorvariazn timp, darfrmodificarea direciei vectorilor vitez. Dac ( )re

vv

este versorul direciei definit pe suportullui v

v

, atunci:

( ) ( ) ( )ret,rvt,rvv vvvvvv

== (4.98)

- micri permanente (sau staionare),la care cmpul vitezelor nu variazn timp, nici cadirecie nici ca mrime, adic:

( )rvv vvv

= (4.99)

38


14/15

Micrile permanente au urmtoarele proprieti:- derivata pariala vitezei locale n raport cu timpul este nuln orice punct, adic:

0t

v=

v

(4.100)

(relaia (4.100), valabil pentru fiecare punct al domeniului ocupat de fluidul n micare,constituie condiia de micare permanent):

- cmpul vitezelor este un cmp vectorial fix (liniile de curent formeaz o familie decurbe fixe n spaiu, iar tuburile de curent sunt de asemenea fixe);

- liniile de curent coincid cu traiectoriile.innd cont de dependena (care va fi prezentatmai trziu) dintre vitezi presiune, se

poate afirma, c la micrile permanente, mrimile hidraulice caracteristice, (vitez, presiune)rmn constante n timp.

4.4.3.2. Clasificarea micrilor din punct de vedere al variaiei n spaiu a cmpului

vitezelor

n conformitate cu acest criteriu, se deosebesc micri tridimensionale, bidimensionale iunidimensionale.

Micrile tridimensionale, se caracterizeaz prin dependena cmpului vitezelor de treicoordonate carteziene (x, y, z):

( ) ( ) ( ) ( kt,z,y,xvjt,z,y,xvit,z,y,xvt,z,y,xvv zyxv

)vv

vv

++== (4.101)

Acest tip de micare reprezentnd cazul cel mai general i mai des ntlnit, este, evident,cel mai greu de studiat. Exist nsnumeroase situaii practice n care este necesarefectuareaunor analize unde trebuie s se in cont de toate cele trei componente ale vectorului vitez,datorit efectelor fizice ale acestora, neglijarea uneia sau a dou componente putnd duce nanumite cazuri la rezultate eronate din punct de vedere al mrimilor care caracterizeazmicarea, i al desfurrii ei. (ex: micarea aerului n jurul aripii de avion).

n cazul micrilor bidimensionale, cmpul vitezelor poate fi exprimat n funcie doar dedoucoordonate carteziene.

)t,y,x(vv vv

= (4.102)Exist dou subclase importante de micri bidimensionale: micri plane sau plan-

paralele i axial-simetrice.n primul caz, caracterul

micrii este acelai n planeperpendiculare pe o anumit ax. n(Figura 4.16.a) s-a ales aceast ax cafiind Oz i urmrind definiia, se poateafirma cn puncte omoloage, situate n

plane paralele, vitezele sunt identice inu depind de cordonata z, adic:

z

x

y

z

x

y

v

v

1

0

O

a b( ) ( )jt,y,xvit,y,xvv yxvv

v

+= . (4.103)Figura 4.16

Prin urmare, n acest caz, studiulmicrii se poate limita doar la analiza acesteia n planul Oxy numit plan director, n toatecelelalte plane paralele cu el, micarea desfurndu-se identic. Trebuie fcutaici observaia c,n realitate, nu exist micri cu caracter pur plan. Cu toate acestea, n numeroase aplicaii

practice, se pot considera regiuni, n care micarea fluidului spoatfi aproximatcu o micare

plan (o component a vitezei poate fi unic ca i valoare, relativ la valoarea celorlalte doucomponente; ex: micarea n jurul unui corp cilindric infinit lung, atacat de fluid perpendicular

pe generatoarele sale). n regiuni corespunztoare mijlocului corpului cilindric, micarea este una

39


15/15

apropiat de una plan, n timp ce n regiunea extremitilor, are caracterul unei micritridimensionale (Figura 4.16.b).

n micrile axial-simetrice, cmpurile vitezelor sunt identice n toate planele ce trecprintr-o axnumitaxa de simetrie a micrii.

n cazul micrilor unidimensionale, cmpul vitezelor depinde de o singur variabil.Astfel la micarea unidimensionalrectilinie, n direcia Ox, vitezele tuturor particulelor situate

n plane perpendiculare pe Ox, sunt paralele n orice moment cu axa Ox, valoarea lor fiind doarfuncie de coordonata x.:i)t,x(v)t,x(vv xv

vv

== (4.105)De altfel, la acest tip de micare toate mrimile caracteristice micrii (vitez, presiune,

densitate) se repartizeazuniform n plane perpendiculare pe Ox, valoarea lor depinznd doar decoordonata x. Micarea fluidului ideal n conducte cu axrectilinie este asimilatacestui tip demicare.

Micrile de translaie, rectilinii i uniforme, se caracterizeaz prin linii de curentrectilinii i paralele de-a lungul croara vitezele sunt constante, adic:

( ) == t,rvv vvv

constant (4.106)

40

mecanica+fluidelor+ii

Documents