Mecanica fluidelor in viata de

zi cu zi

NO Ţ IUNI GENERALE

Mecanica fluidelor este o ramură a mecanicii mediilor continue. Mecanica mediilor contiinue studiază fenomenele din universul fizic asociate corpurilor înzestrate cu structură de mediu continuu. Prin mediu continuu, se înţelege acel corp, care supus unui proces infinit de divizare, conduce la părţi care păstrează întocmai proprietăţile întregului care le-a generat prin diviziune.

Materia, deci şi corpurile fluide, are o structură discontinuă fiind alcătuită din atomi şi molecule. Atunci când procesul de divizare ajunge în intimitatea acestora, părţile rezultate (electroni, protoni, neutroni etc.), având dimensiuni foarte mici (raza nucleului unui atom are ordinul de mărime 10-15

m), au proprietăţi diferite de cele ale corpurilor din care au făcut parte. Datorită faptului că mecanica fluidelor studiază fenomene care se produc la scară macroscopică (adică se referă la porţiuni de fluid cu dimensiuni mult mai mari decât cele ale atomului), se poate admite ipoteza continuităţii conform căreia un fluid are o structură continuă la orice nivel.

Corpurile fluide sunt acele medii, înzestrate cu proprietatea de a se deforma în mod continuu şi nelimitat, sub acţiunea unor forţe (oricât de mici ar fi acestea), distribuite în mod uniform. Această proprietate poartă numele de fluiditate.

În clasa corpurilor fluide se disting două subclase: lichide şi gaze.Lichidele, fără a se opune la orice deformare, conform proprietăţii de

fluiditate, sunt puţin compresibile, adică, pentru a-şi micşora volumul, trebuie supuse la forţe de compresiune mari. Aceasta se datorează eforturilor moleculare dezvoltate, care se opun la apropierea moleculelor.

Lichidele comprimate revin la volumul lor iniţial îndată ce încetează comprimarea, comportându-se din acest punct de vedere, ca nişte corpuri perfect elastice, care au un volum bine determinat şi iau forma vaselor în care sunt introduse.

Gazele sunt puternic compresibile, neavând formă şi volum determinat. Datorită faptului că ele umplu în întregime spaţiul care le stă la dispoziţie, nu pot rămâne în repaus decât în recipiente închise. Spre deosebire de lichide, care la comprimare se comportă perfect elastic, gazele au această proprietate atât la comprimare cât şi la destindere.

Mecanica fluidelor, studiază repausul şi mişcarea corpurilor fluide, precum şi interacţiunea lor mecanică cu corpurile solide cu care vin în contact.

Modelul de fluid

Ca toate fenomenele fizice, miscarea unui fluid, este deosebit de complexă, motiv pentru care, considerarea simultană a tuturor factorilor care o influenţează, ar duce la o formulare matematică deosebit de complexă. De aceea, fenomenele reale sunt aproximate prin eliminarea factorilor mai puţin importanţi şi păstrarea numai a acelora cu rol determinant în desfăşurarea fenomenului. Această simplificare, permite crearea unor sisteme teoretice, numite modele. Complexitatea acestora a evoluat odată cu a suportului matematic ce permite studiul lor. Astfel există modelul de fluid ideal (perfect), de fluid vâscos în mişcare laminară, de fluid vâscos în mişcare turbulentă, de fluid ne-newtonian (reologic), etc.

Toate modelele de fluid create, au la bază, ca aproximare necesară, ipoteza continuităţii mediului fluid. Totuşi, fluidul nu poate fi considerat în orice condiţii un mediu continuu. Criteriul fizic de stabilire a continuitaţii, este numărul lui Kundsen Ku=/L, unde este lungimea liberului parcurs molecular, adică distanţa medie (statistică) parcursă de molecule între două ciocniri consecutive (=10-7m), iar L este o dimensiune a corpului. Cercetările au arătat că pentru u>0,1, fluidul poate fi considerat un mediu continuu. Această ipoteză, este acceptată, deoarece fenomenele studiate în mecanica fluidelor, au un caracter macroscopic. De aceea, se poate admite că un fluid are o structură continuă la orice nivel. În baza acestei ipoteze se presupune că toate mărimile asociate fluidului (densitate, presiune, temperatură, viteză) sunt funcţii continue în tot domeniul ocupat de fluid. Un astfel de corp, care are şi această proprietate, se numeşte mediu continuu deformabil.

Se va numi element de fluid (sau particulă fluidă), cea mai mică porţiune dintr-un domeniu de fluid, care poate fi analizată în condiţiile menţinerii ipotezei continuităţii acesteia. Ea are dimensiuni infinitezimale şi va fi reperată în spaţiu prin poziţia centrului său de masă.

PROPRIET ĂŢ ILE FIZICE ALE FLUIDELOR

Figura 1.3

Presiunea

Dacă fluidul este în repaus, atunci forţa elementară d F⃗ s, este normală la

elementul de suprafaţă S, deoarece în caz contrar ar însemna că Δ F⃗ s are o componentă în planul tangent în R la S (Figura 1.2), ceea ce ar provoca deplasarea particulelor de fluid situate în vecinătatea punctului R, de-a lungul suprafeţei, S. Acest lucru contravine ipotezei repausului fluidului.

Experimentele au arătat că asupra unui corp solid care se află în contact cu un fluid în repaus, se exercită întotdeauna forţe de compresiune. Rezultă deci că, fluidul din exteriorul domeniului D exercită pe elementul de

suprafaţă S, forţa Δ F⃗ s=−n⋅ΔF s, unde n , este versorul normalei exterioare în R, la suprafaţa, S.

Din relaţia (1.3.), rezultă că:

p⃗n=−p⋅n , unde : p= lim

ΔA→0

ΔFs

ΔA=

dF s

dA (1.5)

(p este presiunea statică, şi reprezintă de fapt o măsură a efortului unitar p⃗n , când fluidul se află în stare de repaus).

Se poate formula următoarea propoziţie: “In orice fluid aflat în stare de repaus, intensitatea efortului unitar (presiunea statică), nu depinde de direcţie.” Pentru a demonstra această propoziţie se consideră un element de fluid infinitezimal de formă tetraedrică (figura 1.3).

Asupra acestuia, acţionează ca forţe exterioare, forţa masică şi forţele de suprafaţa, associate feţelor tetraedrului.

Starea de repaus a acestuia, este asigurată dacă suma forţelor exterioare care acţionează asupra sa, formează un sistem echivalent cu zero.

Fie px , p y , pz , p , presiunile asociate suprafeţelor: OBC, OAC, OAB şi ABC perpendiculare pe Ox, Oy, Oz şi n .

Relaţia vectorială ce defineşte starea de echilibru, este:

∑ d F⃗ s+d F⃗m=0 , (1.6)unde:

∑ d F⃗s=px dAx i⃗ + py dA y j⃗+ pz dAz k⃗−pdA { n¿ . (1.7)

Figura 1.4

Proiectată pe axele sistemului de coordonate, relaţia (1.6) conduce la sistemul:

{px dA x−pdA (n⋅⃗i )+ ρf x dv=0; ¿ {p y dA y−pdA( n⋅⃗j )+ρf y dv=0 ; ¿ ¿¿¿ (1.8)

unde:

{dAx=dA (n⋅⃗i )=α dA ; ¿ {dA y=dA (n⋅⃗ j )=β dA ; ¿ ¿¿¿ (1.9)

a,b,g, reprezentând cosinuşii directori ai feţelor tetraedrului, de volum:

dV =13

dA⋅h, (1.10)

unde h, este înălţimea tetraedrului, dusă din vârful O.Înlocuind relaţiile (1.9) şi (1.10), în (1.8), şi simplificând, se obţine:

{αpx−αp+ρf xh3=0 ;¿ {βpy−βp+ ρf y

h3=0 ; ¿¿¿¿

(1.11)

Reducând dimensiunile tetraedrului la un punct, adică h0, rezultă:

p=px=py=pz . (1.12)

Deci, în cazul fluidului în repaus, presiunea într-un punct, nu depinde de orientarea elementului de suprafaţă, adică este un scalar.

În fiecare punct al domeniului de fluid, se determină câte o valoare a presiunii. Prin atribuirea unei anumite presiuni fiecărui punct, s-a generat câmpul presiunilor. Funcţia care stabileşte corespondenţa între valoarea presiunii şi punctul considerat, este o funcţie continuă şi derivabilă.

Prin prisma teoriei cinetico-moleculare, presiunea reprezintă rezultatul interacţiunii dintre moleculele de fluid, în spaţiul care le stă la dispoziţie. În cazul în care în acest spaţiu nu exista substanţă (vid), presiunea este , desigur, nulă.

Presiunea, măsurată de la starea de vid, se numeşte presiune absolută.

Deoarece toate instalaţiile sunt dispuse în atmosferă, se obişnuieşte frecvent, ca aceasta să fie raportată la presiunea atmosferică.

Diferenţa dintre presiunea absolută şi presiunea atmosferică se numeşte presiune relativă.

prelativa=pabsoluta−patmosferica (1.13)

În figura 1.4, este reprezentat, schematic, modul de exprimare al presiunii.

În sistemul S.I., unitatea de măsură pentru presiune este Pascalul (simbol Pa)

[ p ]SI=Pa= N

m2 (1.14)

În practică, se utilizează frecvent şi alte unităţi de măsură, care sunt prezentate în tabelul 1.1.

Tabelul 1.1Denumirea Simbol Sistem

ulEchivalent în unităţi

SI( sau alte unităţi)

kilogram forţă pe metru pătrat

kgf/m2 MKfS 9,80665 N/m2

barye barye CGS 0,1 N/m2; (1dyn/cm2)piez pz MTS 103 N/m2; (1sn/m2)*bar bar - 105 N/m2

atmosferă tehnică

at - 9,80665 104 N/m2;(1kgf/cm2)

atmosferă fizică

At sau atm

- 1,01325 105 N/m2

atmosferă absolută

ata sau atü

- n ata=(n+1)at

milimetru coloană de apă

mm H2O - 9,80665 N/m2; (1kgf/m2)

milimetru coloană de mercur sau torr

mm HgsauTorr

- 1,33322 102 N/m2

(1/760 At)

* 1sn (stenă) =103 N

Temperatura

Experienţa arată, că, energia mecanică consumată prin simpla frecare între două corpuri, se regăseşte, In acestea, sub formă de căldură, care, fiind una din formele în care se manifesta energia în natură, se numeşte şi energie calorică. Ea este în interdependenţă cu alte forme de energie: mecanică, chimică, nucleară, etc. Factorul care măsoară intensitatea căldurii, gradul de încălzire sau răcire al unui corp, este temperatura.

Din punct de vedere practic, întotdeauna, căldura se propagă de la corpul cu temperatura mai înaltă, spre corpul cu temperatura mai joasă (independent de cantitatea de căldură pe care o posedă corpurile), până în momentul când cele două corpuri ajung la temperaturi egale.

Căldura se propagă prin conductibilitate (conducţie), când trece de la o particulă la alta cu care este în contact, prin convecţie (sau prin curenţi), când trece de la un punct la altul al spaţiului împreună cu substanţa în mişcare (curent fluid), sau prin radiaţie, când este adusă prin raze emise, direct de la sursa caldă.

Temperatura unui corp, se determină în raport cu o temperatură de referinţă, care s-a ales punctul triplu al apei, adică temperatura la care fazele, solidă, lichidă şi de vapori ale apei pot coexista în stare de echilibru.

În S.I., unitatea de măsură a temperaturii, este Kelvinul (K); 1K, reprezintă 1/273,16 din temperatura punctului triplu al apei, notat cu

273,16K. Temperatura astfel măsurată se notează cu T [ K ] şi se numeşte temperatură absolută (T=0 este zero absolut).

Pentru măsurarea temperaturii, se utilizează şi alte unităţi de măsură: grade Celsius [°C], Reamuir [°R], sau Fahrenheit [°]. Între acestea se pot scrie relaţiile

1° C=(1+273,15)K=4/3 °R=(32+1 9/5)° F (1.15)

Observatie: Gradul Celsius (°C) reprezintă 1/100 din intervalul determinat de temperatura de topire a gheţii notată cu 0° C şi temperatura de fierbere a apei, ambele la presiunea de o atmosferă fizică (760 mm Hg). Deoarece punctul triplu al apei este situat cu 0,01°C peste punctul de topire al gheţii la presiunea de 1At, relaţia (1.15) este evidentă.

Legea propagării căldurii, de la un perete plan la fluid, sau invers (aducţia), se exprimă prin formula lui Newton

Q=α⋅A⋅t⋅(T 1−T 2) , (1.16)

care dă expresia cantităţii de căldură, Q, ce străbate peretele de arie A, în timpul t , ştiut fiind că, diferenţa de temperatură dintre perete şi fluid, este T1–T2. Factorul de proporţionalitate , se numeşte coeficient de aducţie.

Cantitatea de căldură, Q, care se propagă prin conductibilitate, străbătând peretele plan de arie A şi grosime b, în timpul t, când feţele peretelui sunt încălzite la temperaturile T1 şi T2, este dată de formula lui Fourier:

Q= λ⋅A⋅t⋅T 1−T 2

b, (1.17)

, fiind conductivitatea termică a peretelui. Propagarea căldurii de la un fluid mai cald către unul rece, despărţite printr-un perete, se numeşte, de obicei, transmisie de căldură. Ea este formată din aducţie/conductibilitate(conducţie)/aducţie, fiind generată de relaţiile (1.16) şi (1.17).

Densitate, volum specific, greutate specifică

Fie D, un domeniu de fluid de volum V, masă m şi greutate Δ F⃗ g. Dacă D, tinde să se reducă la punctul RD, densitatea, , volumul specific, v şi greutatea specifică, , a fluidelor se definesc cu relaţiile:

ρ= limΔv→0

ΔmΔV

=dmdV

;

ν=1ρ= lim

Δv→0

ΔVΔm

=dVdm

;

γ= limΔv→0

ΔF g

ΔV=

dFg

dV=ρ⋅g .

(1.18)

În cazul unui fluid omogen, din punct de vedere al distribuţiei maselor, având masa, m şi volumul, V, acesta are densitatea şi greutatea specifică , dată de relaţiile:

ρ=mV [kg

m3 ];γ=

Fg

V=ρ⋅g[Nm3 ]. (1.19)

Pentru câteva dintre fluidele uzuale, valorile lui , sunt date în tabelele 1.2 ş i 1.3

Tabelul 1.2*Proprietatea lichidului

Apă ToluenAlcoolmetili

c

AlcoolEtilic

MercurSimb

olU.M.

Densitate 0

Kg/m3 999,8

890 810 810 13595

kgfs2/m4

101,9

90 82 82 1385,8

Vâscozitate

1040 Ns/m4 17,91

7,70 8,16 17,70 16,98

dinamică

kgfs/m2

1,826

0,785 0,832 1,804 1,731

B K 511,6

641,5 1283 2455 355,2

C K 149,4

-67 0 65 13

Vâscozitate

cinematică

1060 m2/s1,791 0,871 1,01 2,20 0,125

* Indicele 0 arată că valorile respective din tabel corespund temperaturii = 0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at.

Tabelul 1.3*Proprieta

tea gazului Aer

OxigenO2

AzotN2

HidrogenH2

Bioxid de

carbon-CO2

Simbol

U.M.

Densitate 0

kg/m3 1,251 1,383 1,211 0,0871 1,913kg

fs/m40,1278

0,1413

0,1239

0,0087 0,1955

Vâscozitate

dinamică1060

Ns/m217,17 19,28 16,52 8,35 13,70

kgfs/m2 1,750 1,965 1,684 0,851 1,397

S K 123,6 138 103 83 274Vâscozita

te cinemati

că

1050

m2/s

1,373 1,394 1,364 9,587 0,716

Constanta

caracteristică

R

J/kgK 287,04

259,78

296,75

4124 188,88

m2/s2K

287,04

259,78

296,75 4124 188,88

Exponentul

adiabatic

-1,402 1,399 1,400 1,409 1,301

Celeritate c0m/s 332 315 337 1260 259

Indicele 0 arată că valorile respective din tabel corespund temperaturii =0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at.

Compresibilitatea

Experimental s-a constatat ca lichidele supuse comprimarii îşi schimba volumul, ceea ce arata ca ele sunt compresibile.

Se admite ca un lichid de volum, V, este comprimat de o forţt, F, acţiune care are drept rezultat, creerea unei presiuni, p, în masa lichida data (Figura 1.5). Fie

dV, cantitatea cu care se micşoreaza volumul V, corespunzator creşterii cu valoarea dp a presiunii. Dependenţa schimbarii volumului cu presiunea, este data de relaţia:

dVV

=−β dp, (1.20)

unde este coeficientul de compresibilitate volumica izoterma, iar semnul minus din relaţie apare deoarece atunci când presiunea creşte, volumul scade. Celelalte marimi fizice care intervin în relaţie sunt evidenţiate în figura 1.5.

Integrând relaţia (1.20), se obţine:

V=V 0⋅e−β (p−p0)

, (1.21)

relaţie care exprima comprimarea lichidului de la V0 la V, când presiunea creşte de la valoarea p0, la p.

În cazul în care variaţia presiunilor este relativ mica, ecuaţia caracteristica (1.21) se poate pune sub o forma mai simpla. Astfel, daca funcţia exponenţiala se dezvolta în serie şi se neglijeaza termenii care conţin pe la puteri mai mari decât unu, se obţine:

V=V 0 [1−β ( p−p0 )] , (1.22)în care:

V0 este volumul iniţial aflat la presiunea p0;V - volumul la presiunea p (p > p0);Coeficientul de compresibilitate, , variaza de la un lichid la altul,

valoarea lui fiind data de relaţia:

β=− 1V⋅dV

dp . (1.23)

Aceasta relaţie exprima şi conţine, totodata, şi principiul pe baza caruia se poate determina experimental valoarea lui . Astfel, instalaţia pentru masuratori trebuie în aşa fel conceputa, încât sa se poata masura variaţiile de volum pentru diferite creşteri ale presiunii.

Coeficientul de compresibilitate, , este o constanta fizica a fiecarui lichid, dimensiunea lui fiind:

[ β ]= 1L3⋅ L3

F⋅L−2= L2

F= L2

LMT−2, (1.24)

putând avea urmatoarele unitaţi de masura:

Figura 1.6. Instalaia experimental

cm2

dyna,m2

N,

m2

kgf,cm2

kgf;

cm2

daN , (1.25)corespunzator diferitelor sisteme de unitati de masura

Daca forţa care a comprimat masa lichida data îşi înceteaza acţiunea, volumul lichidului revine la valoarea iniţiala, ceea ce arata ca lichidele sunt, nu numai compresibile, ci şi elastice. Aceasta proprietate este definita printr-un alt coeficient, numit modul de elasticitate, notat cu şi care este dat de relaţia:

ε=1β=−V

dpdV . (1.26)

Se observa ca , are dimensiunea:[ε ]= F

L2şi se masoara în:

N

m2( dyna

cm2).

Compresibilitatea lichidelor fiind mult mai mica decât a gazelor, aceasta a facut ca lichidele sa fie considerate, uneori, fluide incompresibile. Lichidul incompresibil este un concept matematic, un model, care poate fi folosit numai în studiul fenomenelor în care elasticitatea este neglijabila. În realitate, toate lichidele sunt, mai mult sau mai puţin, compresibile. Incompresibilitatea poate fi admisa, numai daca aceasta ipoteza nu conduce la rezultate şi concluzii eronate. De exemplu, propagarea sunetului printr-un mediu lichid, a undei de şoc, sau transmisia sonica a energiei etc., sunt fenomene care exista tocmai datorita compresibilitaţii lichidelor.

Pentru determinarea experimentala a coeficientului de compresibilitate, , a lichidelor, se foloseşte o pompa hidraulica cu piston, în care lichidul poate fi comprimat pâna la o presiune de 800kg/cm2. Elementele componente ale acestei pompe, sunt redate în figura 1.6.

Pompa se compune dintr-un corp cilindric, l, cu pereţi groşi, în interiorul caruia are loc comprimarea lichidului. Urmeaza apoi, în ordinea importanţei, cilindrul 2, în care se deplaseaza pistonul 3, cu ajutorul caruia se realizeaza a forţa de presiune, care acţioneazaasupra lichidului. Deplasarea pistonului, în sensul înaintarii şi retragerii, se obţine printr-un şurub cu profil patrat, pus în mişcare manual, prin rotirea manivelei, 4. Articulaţia dintre tija şi piston este astfel realizata, încât pistonul sa aiba numai mişcare de translaţie nu şi de rotaţie.

Pentru masurarea presiunii lichidului, se foloseşte manometrul metalic 6, care se afla montat pe cilindrul 1, între acestea aflându-se robinetul 5.

Pe conductele care leaga cei doi cilindri se afla montat rezervorul 7, în care se introduce lichidul supus masuratorilor. Alimentarea cu lichid, a celor doi cilindri de lucru, este asigurata prin intermediul unui ventil cu ac,8.

Vâscozitatea

Notiuni generale

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor aflate în mişcare, de a se opune deformaţiilor acestora, cand nu au loc modificari valorice ale volumului, prin dezvoltarea unor eforturi tangenţiale. Faptul că eforturile tangenţiale apar numai în timpul mişcării, conduce la concluzia, că ele sunt de natură neelastică.

Se va analiza acest fenomen, pe care germanii îl numesc “ innere Reinbung “, adică “frecare internă”, pentru mişcări relativ lente, mişcări caracteristice regimului de mişcare laminar. (vezi paragraful 1.2.7.).

Prin prisma teoriei elasticităţii, se demonstrează că în jurul unui punct al unui mediu continuu, se pot evidenţia două situaţii:

a) daca actiunile componentelor normale ale eforturilor, după trei direcţii diferite (care pot fi axele unui sistem de referinţă tridimensional) sunt egale şi de aceeaşi natură (tracţiuni sau compresiuni), nu există eforturi tangenţiale (această situaţie este specifică stării de repaus a fluidelor, sau a

Figura 1.8

modelului de fluid perfect, pentru care se acceptă inexistenţa eforturilor tangenţiale);

b) dacă există eforturi tangenţiale, eforturile normale după cele trei direcţii, diferă între ele şi nu pot fi toate egale cu zero (situaţia este specifică tuturor fluidelor reale aflate în mişcare, putându-se considera că peste eforturile unitare normale, specifice stării de repaus, se suprapun eforturile tangenţiale datorate proprietăţii de vâscozitate, eforturile rezultate din această suprapunere, având o orientare oarecare faţă de orientarea elementului de suprafaţă pe care se exercită).

Vâscozitatea, ca proprietate, manifestându-se numai în timpul mişcării, este strâns legată de vitezele de deformaţie.

Pentru o facilă înţelegere a mecanismului pe baza căruia se produc deformaţiile particulelor fluide, independent de timp, se va analiza deformaţia unui cub elementar, care se deformează după planul Ozy, paralel cu două din feţele cubului. (Figura 1.8)

Latura pătrată a cubului OABC (conţinută în planul Ozy), după o deformaţie infinitezimală, va deveni paralelogramul OA’B’C’ (în ipoteza că punctul O nu s-a modificat, sau a revenit prin translaţie în poziţia iniţială).

Este evidentă existenţa unei deformaţii unghiulare, unghiul drept AOC devenind A’OC’.

Valoarea cu care s-a micşorat unghiul drept AOC este:

AOA’ + COC’ =

AA } over { ital OA } } + { { ital CCOC (1.55)*

Unghiul cu care suprafaţa cubului elementar, deformat, ce conţine latura A’B’ s-a deplasat faţă de suprafaţa opusă ( ce conţine latura OC’), este

IOA’ =

IA 'OI = IOA + AOA’ = AOA’ + COC’, (1.56)

adică, este egal cu deformaţia unghiulară dată de relaţia (1.55). Acelaşi unghi de deformaţie, se obţine dacă se etalonează unghiul cu care suprafaţa cubului elementar, deformat, ce conţine latura C’B’, s-a deplasat faţă de suprafaţa opusă ( ce conţine latura OA’ ):

KOC’ =

KC'OK = KOC + COC’ = AOA’ + COC’ (1.57)

În conformitate cu ipoteza lui Newton, efortul de vâscozitate (tangenţial), este proporţional cu deformaţia unghiulară în unitatea de timp, adică:

* Relaţia (1.55) este adevărată pentru variaţii infinitezimale ale unghiului (când tg).

Figura 1.9

τ yz=τ zy=lim η⋅IA ' /OIΔt

=lim η⋅( AA } slash { ital OA } } over {Δt} } + { { { ital CC /OCΔt )

, (1.58)

unde, , este coeficientul de proporţionalitate, caracteristic fluidului, numit coeficient de vâscozitate dinamică.

Considernd dimensiunile elementare ale cubului de fluid, iar deformaţia, infinitezimală, relaţia (1.58) devine:

τ zy=τ yz=η⋅(OV z

Oy+

OV y

Oz ), (1.59)

expresia din paranteză, exprimând gradientul de viteză, cu care se micşorează unghiul diedru yOz, având muchia Ox.

Dacă deformaţia particulei fluide, în loc să fie plană, este oarecare, relaţia (1.59) rămâne valabilă, cu observaţia că, deformaţia trebuie considerată ca rezultând din suprapunerea a trei deformaţii plane, după un triedru de referinţă. Expresiile eforturilor tangenţiale, rezultă prin permutări circulare:

τ xy=τ yx=η⋅(OV x

Oy+

OV y

Ox );τ xz=τ zx=η⋅(OV x

Oz+

OV z

Ox ) . (1.60)

În cazul particular, al unei mişcări plane (deformaţia se produce după o direcţie), produsă de deplasarea uniformă a unei plăci, C2, în planul său, paralel cu o altă placăm C1, fixă, între ele aflându-se un fluid vâscos, care aderă la suprafeţele plăcilor cu care vine în contact (Figura 1.9). Direcţia de deplasare este Ox. Repartiţia vitezei după o direcţie normală la plăci (axa Oy), se poate considera liniară, dacă grosimea stratului de fluid este mică.

Placa C1, este practic

infinită şi se află în repaus (v1=0

), iar placa, C2, are aria, A, în contact cu fluidul, se mişcă

cu viteza constanta v2 ,

sub acţiunea forţei, F⃗ . Conform principiului actiunii si reactiunii, exista o forta egala si de sens contrar celei care produce miscarea placii, C2, care se opune miscarii, numita forta de frecare vascoasa, avand expresia:

F f=−η⋅A⋅Δ v⃗Δy

=−F, (1.61)

al carei modul are valoarea:

F f=η⋅A⋅Δv x

Δy , (1.62)

unde vx=v2 – v1 este viteza relativă a plăcilor.Efortul tangenţial, exercitat de placa, C2, pe suprafaţa superioară a

stratului de fluid aderent la C2, are valoarea:

τ=F f

A=η⋅

Δv x

Δy . (1.63)

Admiţând că această relaţie este valabilă şi între două straturi de fluid, situate la distanţa, dy, între care există o diferenţă de viteză, dvx, rezultă relatia, cunoscuta sub numele de ipoteza lui Newton:

τ=η⋅dv x

dy=η⋅

∂ v x

∂ y . (1.64)

Fluidele care se comportă conform ipotezei lui Newton, se numesc newtoniene. Aerul, apa şi majoritatea fluidelor utilizate în tehnică, sunt newtoniene.

Coeficientul de vâscozitate, , variază puţin cu presiunea, dar mult, cu temperatura. Vâscozitatea lichidelor scade, pe când cea a gazelor creşte, odata cu cresterea temperaturii.

Practic, la orice presiune, pentru lichide, se poate folosii formula lui Gutman-Simons:

ηη0

=e( B

C+T− B

T0 ). (1.65)

unde: pentru apă constantele B şi C au valorile B=511,6 K ; C=-149,4 K.Pentru gaze se poate utiliza formula lui Sutherland

ηη0

=( TT0

)3

2⋅S+T 0

S+T (1.66)

unde: pentru aer S=123,6 KÎn S.I., unitatea de măsură pentru coeficientul de vâscozitate dinamică,

este:

[η ]SI=N⋅s

m2=Pa⋅s

(1.67)

Se mai utilizează ca şi unitate de măsură poise-ul. Există relaţiile dimensionale:

1 P=dyna⋅s

cm2=0,1 N⋅s /m2

(1.68)

Raportul între coeficientul de vâscozitate dinamică şi densitatea fluidului, se numeşte coeficient de vâscozitate cinematică

ν=ηρ (1.69)

În sistemul de unităţi S.I., coeficientul de vâscozitate cinematică se exprimă în:

[ν ]SI=m2

s (1.70)

Se mai întrebuinţează frecvent ca unitate de măsură Stokes-ul, cu simbolul St:

1 St=1cm2

s=10−4 m2

s (1.71)

Alături de vâscozitatea dinamică şi cinematică se mai utilizează în practică aşa numita vâscozitate convenţională. Aceasta se măsoară prin timpul de curgere al unei cantităţi de lichid în condiţii bine precizate. Ea se exprimă în grade Engler (ºE).

Pentru conversia vâscozităţii convenţionale, exprimate în grade Engler, în vâscozitate cinematică, se utilizează relaţia:

ν [m2

s ]=(7 , 31∘ E−6 , 31∘ E )⋅10−6

(1.72)

Fluidele, a căror eforturi tangenţiale depind şi de alţi factori decât deformaţia unghiulară, cum ar fi: “isteria” curgerii, viteza de deformaţie, timp, etc., se numesc nenewtoniene.

În figura 1.10, se prezintă comparativ şi calitativ curbele τ=τ(∂ vx

∂ y ),

pentru câteva fluide nenewtoniene.Fluidele la care proprietatea de vâscozitate se manifestă după ce

tensiunea depăşeşte un prag 0 (începe mişcarea), se numesc vâsco-plastice. Aceasta se explică prin existenţa în fluidul în repaus, a unei structuri capabile să reziste oricărei tensiuni 0. Dintre fluidele vâsco-plastice cel mai simplu model este fluidul Bringham, care descrie bine comportarea unor vopsele sau noroaie.

Comportarea fluidelor cu vâscozitate structurală şi pseudo-plastice, este explicată prin orientarea particulelor fluide. Ca exemple de astfel de fluide, se pot aminti: suspensiile cu celuloză, cărbune, etc.

Figura 1.11. Legea lui Stokes

Fluidele dilatante reprezintă o categorie de fluide cu un conţinut mare de fază solidă (de exemplu: mortar).

Reologia, este o ştiinţă care studiază curgerea şi deformarea mediilor continue în timp.

Un fluid a cărui vâscozitate se neglijează (într-o primă aproximaţie), se numeşte fluid ideal.

Metode de determinare a vascozitatii

Determinarea vascozitatii lichidelor se poate face prin mai multe metode. Sunt, astfel, cunoscute metoda corpului cazator, metoda corpului rotitor, metoda corpului vibrant, metoda corpului oscilant, metoda Engler, etc.

O prima metoda de determinare a vâscozitati, are la baza legea lui Stokes, care stabileste rezistenta ce o Intâmpina un corp sferic omogen, de densitate 0, când cade, cu viteza constanta, intr-un fluid de densitate , a carui vâscozitate se doreste a fi determinata (Figura 1.11)

Asupra sferei actioneaza urmatoarele forte:

G⃗ - greutatea sferei;P⃗ - forta arhimedica;F⃗ f - forta de frecare.Echilibrul dinamic al sferei - tinând seama de faptul ca v⃗ = ct (a⃗ = 0)

este dat de relatia vectoriala

F⃗ f +G⃗+ P⃗=0 (1.73)Forta de frecare pentru un corp de forma sferica, cu raza R, a fost

stabilita de Stokes si are valoarea:Ep=6Rv (1.74)

In cazul unei bile, care are greutatea specifica 0 si dislocuieste un volum de lichid de greutate specifica , forta de greutate si arhimedica, se calculeaza cu relatiile:

G=0V = 0gV = g

43 R3; (1.75)

P=V = gV = g

43 R3. (1.76)

Figura 1.12. Aparatul Hoppler

Figura 1.13.

Tinând seama de sensul fiecarei forte (vezi figura 1.11) si proiectand relatia (1.73) dupa o directie verticala, se poate scrie:

6Rv+

43 R3g-

43 R30g = 0 (1.78)

Inregistrând timpul in care bila strabate spatiul dintre doua puncte A si B, viteza uniforma se poate calcula cu relatia:

v= ABt . (1.79)

Inlocuind viteza in expresia (1.78), valoarea coeficientului de vâscozitate este data de expresia:

η=29⋅ g

AB⋅R2 t⋅( ρ0−ρ )

. (1.80)Deoarece raza bilei, distanta AB si acceleratia gravitationala sunt

constante pentru acelasi aparat, expresia (1.80) se mai poate pune sub forma:

=kt(0-) (1.81)unde:

k este o constanta, care are valoarea:

k=29⋅ g

AB⋅R2

; (1.82)t – timpul de cadere al bilei intre cele doua repere A si B;0 - densitatea bilei; - densitatea lichidului.Un exemplu, de aplicare a legii lui Stokes, este aparatul Höppler, care are un

domeniu de masurare destul de larg, putând fi intrebuintat pentru pacuri, uleiuri, gaze sau alte fluide transparente care au vâscozitate intre 10-1 ÷ 105

CP. Figura 1.12, cuprinde un

vâscozimetru Höppler (A), un termostat (B)}si furtune de legatura (C).

O alta metoda de determinare a vascozitatii este acea a corpului rotitor. Acesta poate fi un cilindru, sau un con. Principial, aceasta metoda este prezentata in

Figura 1.14. Corp

rotitor conic

Figura 1.15. Aparatul Rheotest

figura 1.13, pentru cazul in care corpul rotitor este cilindric si in figura 1.14, in cazul in care acesta este conic.

Metoda se bazeaza, in esenta, pe determinarea eforturilor tangentiale pe care trebuie sa le invinga un corp, la rotirea sa printr-un lichid.

Posibilitatea pe care o ofera aceasta metoda, de citire a deformatiilor unghiulare, si conduce la un grad de precizie ridicat al masuratorilor, in comparatie cu al celorlalte metode cunoscute. De asemenea, exista posibilitatea masurarii marimilor reologice (tensiuni tangentiale de “rupere”, variatia in timp a vacozitatii, etc.).

Un exemplu de aparat care functioneaza pe acest principiu, este aparatul Rheotest, care este prezentat principial, in figura 1.15. El este compus din doua module distincte. Un prim modul (1), contine capul de antrenare (4), cutia de viteze (9), ansamblul incinta-corp rotitor (5) si este legat de cel de-al doilea modul (2), care contine sursa de alimentare si partea de afisare a rezultatelor.

Avantajele pe care le prezinta acest aparat sunt legate de posibilitatea studierii marimilor reologice, determinarea precisa a vascozitatii lichidelor si a facilitatii de a putea fi cuplat la un afisaj digital, sau un computer.

ELEMENTE PRIVIND PLUTIREA CORPURILOR.

Figura 3.25

Stabilitatea echilibrului corpurilor complet imersate în lichide.

Se va analiza stabilitatea echilibrului corpurilor solide complet imersate în

fluide grele incompresibile. Asupra corpului, se exercită ca forţe, greutatea sa, F⃗g şi

forţa arhimedică F⃗ A . Corpul este în repaus în interiorul fluidului, dacă forţele F⃗g si F⃗ A

au acelaşi suport şi aceeaşi intensitate, dar sensuri opuse, iar lichidul este de asemenea în repaus.(Figura 3.25)

Se spune că solidul este în echilibru stabil, dacă deplasându-l (rotindu-l) într-o poziţie apropiată, acesta revine la poziţia (de repaus) iniţială, prin mişcări de oscilaţie cu viteze mici.

Dacă, prin scoaterea lui din poziţia iniţială, el se îndepărtează de această poziţie, spunem că solidul se află în echilibru instabil.

În fine, dacă rămâne în repaus, în orice poziţie, se spune că, corpul este în echilibru indiferent.

Pentru ca un corp solid, complet imersat într-un lichid greu incompresibil, să fie în echilibru stabil în raport cu rotaţiile în jurul axelor orizontale, este necesar şi suficient ca, centrul de greutate al solidului, să fie situat sub centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit de solid şi densitatea medie a corpului să fie egală cu densitatea lichidului.

Se observă, că pentru ca forteleF⃗g şi F⃗ A să se echilibreze, este necesar ca C şi

G, să fie situate pe aceeaşi verticală, iar pentru ca F⃗g şi F⃗ A să formeze un cuplu de

stabilitate, trebuie ca G să fie sub C.

În raport cu translaţiile şi rotaţiile în jurul axelor verticale, corpul solid, este în echilibru indiferent, deoarece, pentru aceste deplasări sistemul de forţe care acţionează asupra lui, nu se schimbă.

Stabilitatea echilibrului corpurilor plutitoare.

Figura 3.25

Figura 3.27

Figura 3.28

Un corp solid care se găseşte în echilibru, fiind numai parţial scufundat într- un fluid greu incompresibil se numeşte plutitor.

Se pot definii următoarele noţiuni specifice (Figura 3.25)

Secţiunea plutitorului prin planul suprafeţei libere a fluidului se numeşte plan de plutire (el coincide cu planul Oxy, a sistemului de coordonate ataşat plutitorului). Secţiunea ce rezultă prin intersecţia plutitorului cu planul de plutire, se numeşte suprafaţă de plutire.(s-a notat cu S). Partea plutitorului cufundată în fluid, se numeşte carenă.

Centrul de greutate, O, al suprafeţei de plutire, S, se numeşte centru de plutire. Ox, este axa longitudinală de înclinare, Oy este axa transversală de înclinare, iar Oz, este axa de plutire.

Oscilaţia plutitorului în jurul lui Ox, se numeşte ruliu, iar în jurul lui Oy, se numeşte tangaj.

Un plutitor este în echilibru indiferent în raport cu translaţiile orizontale şi cu rotaţiile în jurul axelor verticale. De asemenea, el este în echilibru stabil, în raport cu translaţiile verticale, căci axestea schimbă forţa arhimedică, astfel încât, plutitorul este readus în poziţia sa iniţială.

Rămâne deci de studiat, stabilitatea plutitorului în raport cu oscilaţiile în jurul axelor orizontale, pentru care este satisfăcută condiţia ca intensităţile forţelor de greutate şi arhimedică sa fie egale (Fg = FA), deci pentru care, carenele au volume egale. Se spune, în acest caz, că plutitorul ocupă numai poziţii izocarene .

Dacă considerăm ca centrul de greutate al corpului este plasat sub cel al carenei, la o mişcare de rotire a corpului, centrul de greutate al carenei trece în C’; se observă că ia naştere un moment de redresare. (Figura 3.27). Echilibrul este, in acest caz, stabil. Această situaţie de ampla-sare a lui C şi G, se întâlneşte în mod obligatoriu la submersibile şi aerostate.

Dacă centrul de greutate al corpului este deasupra centrului de greutate al carenei, putem avea situaţiile din figura 3.28.

În cazul din figura 3.28 b, centrul de greutate al carenei a trecut în C’ şi apare un moment de răsturnare, deci echilibrul este instabil. In cazul prezentat in figura

Figura 3.29

Figura 3.30

3.28 c, noul centru de greutate al carenei fiind C”, apare un moment de redresare, deci echilibrul este stabil.

Rezultă că prin precizarea poziţiei relative între centrul de greutate al corpului şi cel al carenei, nu caracterizăm complet natura echilibrului.

De aceea vom introduce noţiunea de metacentru.

Fie o poziţie izocarenă de ruliu a plutitorului P’Q’, cu poziţia normală PQ, iar C şi C’ centrele de carenă ale poziţiilor PQ şi P’Q’ (figura 3.29).

Datorită simetriei plutitorului, suportul forţei arhimedice, rămâne în plan transversal şi intersectează axa de plutire Oz în m’. Când plutitorul tinde către poziţia PQ, m’ tinde la un punct m, numit

metacentru de ruliu. Distanţa C m̄ , se numeşte rază metacentrică de ruliu.

În mod similar se defineşte metacentrul de tangaj, şi raza metacentrică de tangaj.

Prin înălţime sau distanţă metacentrică, vom înţelege distanţa dintre metacentrul de ruliu şi centrul de greutate al corpului. Ea este pozitivă, dacă metacentrul este deasupra centrului de greutate al corpului.

Se vede că, dacă înălţimea metacentrică este pozitivă, echilibrul este stabil, iar dacă este negativă, echilibrul este instabil.

Condiţia de stabilitate a plutirii este deci. ca înălţimea metacentrică să fie pozitivă.

δ=r−a≥0 (3.148)

unde: - δ este înălţimea metacentrică;

- r – raza metacentrică;

- a – distanţa dintre centrul de greutate al corpului şi al carenei.

Raza metacentrică este egală cu raportul dintre momentul de inerţie Ix al suprafeţei de plutire în raport cu axa longitudinală de înclinare şi volumul carenei.

r=I x

V . (3.149)

Pentru a deduce această relaţie, se consideră poziţia PQ, normală şi P’Q’, o poziţie de ruliu infinit vecină, S şi S’, suprafeţele de plutire corespunzătoare poziţiilor menţionate, C şi C’, centrele de carenă corespunzătoare carenelor PQR şi P’Q’R. (Figura 3.30)

Se fac următoarele notaţii:

Figura 3.31

- V, este valoarea comună a volumului celor două carene;

- C*, este centrul de greutate al volumului POQ’RP care este comun celor două carene;

- V* este volumul comun;

- C1 şi C2, sunt centrele de greutate ale volumelor POP’ şi QOQ’;

- V’, este valoarea comună a volumelor POP’ şi QOQ’.

În cazul carenei P’Q’R, forţa arhimedică

F⃗ A=ρgV k⃗ , al cărei suport trece prin C’, este

echivalentă cu sistemul format de forţa F⃗ A¿=ρgV ¿ k⃗ , al cărei suport trece prin C* şi

din forţa F⃗ A1

=ρgV ¿ k⃗ al cărei suport trece prin C1.

Se observă că V=V ¿+V ' si ca C’, aparţine dreptei C1C*, deci, se poate scrie:

C ' C1

C ' C ¿=F

A¿

F A1

=ρgV ¿

ρgV '=

V ¿

V '. (3.150)

În mod analog, se obţine pentru carena PQR:

CC2

CC ¿=F

A¿

FA 1

=V ¿

V '. (3.151)

Din aceste ecuatii se poate trafe concluzia că C ' C ‖ C1C2.

Se poate scrie, de asemenea:

C ' C1+C ' C ¿

C ' C ¿ =V ¿+V 'V '

= VV '

=C1C ¿

C ' C¿=C1C2

C ' C , (3.152)

C ' C=V 'V⋅C1 C2

, (3.153)

(in Δ mC' C ⇒C ' C=r⋅tgθ≃r⋅θ ), (3.154)

adică: r⋅θ=V '

VC1 C2⇒ r=V '

V⋅

C1 C2

θ .

(3.155)

Se observa faptul ca axa longitudinală de înclinare, Ox, împarte suprafaţa de plutire, S, în suprafeţele SQ şi SP.

Aplicând teorema momentelor statice pentru volumele QOQ’ şi POP’, rezultă:

y 'C2F A 1

=∫SQ

y ' dF A

, (3.156)

y 'C2⋅V '=∫

SQ

y ' dV =∫SQ

y '⋅xdA ' =∫SQ

y '⋅|z '|dA=∫SQ

y ' ( y '⋅tgθ ) dA =θ∫SQ

y ' 2dA, (3.157)

y 'C1⋅V '=θ∫

Sp

y ' 2dA, (3.158)

C1 C2=|y 'C1

|+|y 'C2|

cosθ '¿|y 'C1

|+|y 'C2|= θ

V '∫Sy '2 dA

(3.159)

i

C1C2=θ

V '⋅I x

. (3.160)

De aici, ţinând cont de relatia (3.155), rezultă că:

r=I x

V . (3.161)

Se poate afirma faptul ca, stabilitatea unui plutitor, este definită de poziţia metacentrului de ruliu faţă de centrul de greutate, prin expresia:

δ=r−a=I x

V−a

. (3.162)

Pentru ca un plutitor să fie în echilibru stabil, în raport cu poziţiile sale izocarene, este necesar şi suficient ca, centrul de greutate să fie situat sub metacentrul de ruliu (δ>0).

Condiţia este necesară, deoarece în repaus G şi C, trebuie să fie pe aceeaşi

verticală, iar pentru ca fortele ( F⃗G , F⃗A ) să formeze un cuplu de stabilitate, trebuie ca G, să fie sub metacentrul corespunzător poziţiei înclinate. Cum metacentrul de ruliu, m, are cotă minimă, dacă G se află sub m, echilibrul este stabil.

Condiţia este suficientă, pentru că dacă centrul de greutate G, este plasat sub

metacentrul m, F⃗G şi F⃗ A , formează întotdeauna, un cuplu de stabilitate.

Plutitorul este cu atât mai stabil, cu cât distanta δ, este mai mare.

Ca o masura pentru îmbunătăţirea stabilităţii corpurilor plutitoare, se coboară pozitia centrului de greutate, G, sau se măreşte Ix.