4

MECANICA FLUIDELOR Starea fluidă După starea lor de agregare, corpurile se împart în trei mari categorii: solide, lichide şi gaze. Lichidele şi gazele poartă denumirea de fluide. Un fluid este, prin definiţie, o substanţă care poate curge şi care ia forma vasului care o conţine. • Lichidele sunt mărginite de suprafeţe proprii care le delimitează

volumul. Suprafaţa de separaţie dintre lichid şi gaz se numeşte suprafaţă liberă.

• Lichidele sunt foarte puţin compresibile, densitatea lor rămânând practic constantă.

• Lichidele prezintă frecări între straturile vecine aflate în mişcare, care se numeşte vâscozitate.

• Gazele nu au suprafeţe de separaţie proprii, ocupând în întregime

volumul pe care îl au la dispoziţie (sunt expansibile). • Gazele se comprimă foarte uşor, densitatea lor modificându-se rapid

sub acţiunea forţelor externe (sunt compresibile). • La viteze de curgere mici, frecarea dintre straturi este mică (nu au

vâscozitate) Pentru a studia comportarea fluidelor, se utilizează un model fizic numit fluid ideal care este incompresibil şi lipsit de vâscozitate. Acest model de fluid ideal constituie o aproximaţie satisfăcătoare pentru un număr mare de lichide şi gaze, atâta timp cât vitezele acestora sunt mai mici decât viteza sunetului. Presiunea p este o mărime fizică scalară egală cu raportul dintre valoarea forţei F care acţionează normal şi uniform distribuită pe o suprafaţă şi aria S a acelei suprafeţe:

SFp =

Unitatea de măsură pentru presiune rezultă din ecuaţia de definiţie:

PamNp 2SI

== (pascal)

5

În practică sunt utilizate şi alte unităţi de măsură pentru presiune: - Torrul este presiunea exercitată de o coloană de mercur cu înălţimea

de 1mm, datorită greutăţii sale: 1torr=133,3N/m2 - Atmosfera tehnică reprezintă presiunea exercitată de greutatea unui

corp cu masa de 1kg pe o suprafaţă cu aria de 1cm2: 1at=9,8.104N/m2 - Atmosfera fizică reprezintă presiunea exercitată de aerul atmosferic

la nivelul mării, în condiţii normale de climă: 1atm=1,013.105N/m2

Presiunea hidrostatică

Presiunea exercitată în interiorul unui lichid aflat în echilibru în câmp gravitaţional se numeşte presiune hidrostatică. Un fluid, aflat în repaus, exercită forţe orientate perpendicular pe orice suprafaţă aflată în contact cu fluidul. Considerăm un vas în care se găseşte un lichid aflat în echilibru. Dacă forţa F

! exercitată

de lichid nu ar fi perpendiculară pe perete, am putea să o descompunem într-o componentă normală nF

! şi o componentă tangenţială tF

!. Sub acţiunea forţei

tangenţiale, lichidul s-ar deplasa în lungul peretelui vasului şi nu ar mai fi în echilibru. Suprafaţa liberă a unui lichid aflat în echilibru se orientează încât ea să fie perpendiculară pe rezultanta tuturor forţelor. Astfel, dacă un vas ce conţine apă este pus într-o mişcare accelerată, suprafaţa apei se înclină până este perpendiculară pe rezultanta dintre greutate şi forţa de inerţie. Pentru a găsi factorii de care depinde presiunea hidrostatică considerăm un vas ce conţine un lichid. La o adâncime h delimităm un element de suprafaţă S. Lichidul situat deasupra acestei suprafeţe va exercita o apăsare datorită greutăţii coloanei de lichid. Presiunea p la adâncimea h în lichid se

calculează astfel: h.g.S

g.h.S.S

g.mSGp ρ=ρ===

Astfel, expresia de calcul a presiunii în interiorul unui lichid este: p=ρ.g.h

FFt

Fn

GF

Rai

Sh

6

Presiunea este independentă de orientarea suprafeţei, depinzând de adâncimea h la care se măsoară aceasta şi de densitatea lichidului. Într-un lichid aflat în repaus, delimităm un volum V cu o formă paralelipipedică cu aria bazei S şi înălţimea h, care are greutatea: G=ρ.g.S.(h2-h1)=ρ.g.S.h Presiunea exercitată de către lichid pe faţa superioară are valoarea: p1=ρ.g.h1 iar pe faţa inferioară presiunea are expresia: p2=ρ.g.h2 Pe feţele laterale presiunile sunt egale şi îşi anulează reciproc efectele, fiind de sens opus. Condiţia de echilibru a lichidului din volumul V este: 0GFF 21 =++

!!!

sau: p1S+ρ.g.S.h=p2S de unde: p2-p1=ρ.g.h unde p2-p1 este diferenţa de presiune între nivelele h2 şi h1. Principiul fundamental al hidrostaticii: diferenţa de presiune dintre două puncte aflate într-un lichid în echilibru în câmp gravitaţional este direct proporţională cu diferenţa de nivel dintre cele două puncte: ∆p=ρ.g.∆h Se constată că presiunea hidrostatică este independentă de forma vasului în care se află lichidul şi că este aceeaşi în toate punctele aflate la aceeaşi adâncime în lichid. Presiunea atmosferică Aerul este cel mai răspândit gaz, el înconjoară toată suprafaţa Pământului într-o pătură foarte groasă numită atmosferă terestră. Aerul este peste tot în jurul nostru, însă noi nu-l vedem, el fiind incolor, fără gust şi fără miros. Atmosfera este alcătuită dintr-un amestec de gaze cu vapori de apă, cristale de gheaţă, praf şi diverse impurităţi. Masa atmosferei este enormă, ea fiind egală cu 6.105tone. Greutatea acestei mase de aer exercită o presiune continuă pe suprafaţa Pământului, numită presiune atmosferică. Datorită greutăţii aerului, straturile inferioare de aer sunt comprimate de

p1

p2

p3

p4

7

către cele superioare încât densitatea atmosferică scade cu altitudinea, aerul la înălţimi mari fiind mai rarefiat. Forţele de presiune mari exercitate asupra corpului uman nu sunt supărătoare deoarece organismul nostru s-a adaptat acestor condiţii de presiune care în condiţii normale este aproximativ 105N/m2. Presiunea atmosferică se poate determina experimental printr-o metodă simplă propusă de către fizicianul italian Torricelli în anul 1643. Se foloseşte un tub de sticlă cu lungimea de aproximativ un metru şi închis la un capăt, numit tub barometric. Se umple tubul cu mercur după care se răstoarnă cu capătul deschis într-o cuvă cu mercur. Se constată că o parte din mercur coboară în cuvă dar în tub rămâne în final, o coloană cu lungimea de aproximativ 76cm. Este lesne de înţeles că la echilibru, presiunea atmosferică este egală cu presiunea dată de coloana de mercur: p=H=ρ.g.h Tipuri de manometre: Torricelli Manometru cu lichid Aneroid Metalic

Legea lui Pascal Conform principiului fundamental al hidrostaticii, diferenţa presiunilor în două puncte date ale unui lichid aflat în echilibru în câmp gravitaţional este: p2-p1=ρ.g.h Dacă termenul ρ.g.h este constant, orice modificare a presiunii într-unul din cele două puncte provoacă o modificare corspunzătoare a presiunii în celălalt punct încât: h.g.pp ,

1,2 ρ=−

Rezultă astfel: 1,12

,2 p-pp-p sau =−=− 12

,1

,2 pppp

de unde ∆p2=∆p1

membrană

vid

8

Legea lui Pascal: Variaţia de presiune produsă într-un punct al unui lichid aflat în echilibru în câmp gravitaţional se transmite integral în toate punctele acelui lichid. Este evident că legea lui Pascal este valabilă numai pentru fluide incompresibile, lichidele având această proprietate, dar la gaze nu mai este valabilă.

Aplicaţii ale legii lui Pascal • Presa hidraulică

• Frâna hidraulică

F2 F1

9

Legea lui Arhimede O consecinţă a legii fundamentale a hidrostaticii este şi legea lui Arhimede. Considerăm un corp cilindric cufundat într-un lichid aflat în repaus. Conform principiului fundamental al hidrostaticii, forţele de apăsare pe suprafaţa laterală a cilindrului îşi fac echilibru. Rezultanta forţelor verticale de presiune, normale pe bazele cilindrului, este: F=F2-F1=(p2-p1).S sau ţinând cont că p=ρ.g.h obţinem: F=ρ.g(h2-h1).S=ρ.g.h.S=G" unde h=h2-h1 este înălţimea cilindrului, ρ este densitatea lichidului, iar G" este greutatea lichidului dezlocuit de corp. Deci, rezultanta forţelor de presiune exercitate asupra corpului cufundat în fluid, numită forţă arhimedică, este egală şi de sens opus cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp. Legea lui Arhimede: un corp cufundat într-un fluid în repaus este împins de jos în sus cu o forţă egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit de acel corp. Punctul în care se aplică forţa arhimedică se numeşte centru de presiune. Un corp introdus într-un lichid este supus acţiunii a două forţe: greutatea sa G aplicată în centru de greutate al corpului şi forţa arhimedică FA aplicată în centrul de presiune. Rezultanta acestor forţe se numeşte greutate aparentă:

ρρ−=ρ−=−=

CAa 1mgVgmgFGG "

"

Aplicaţii ale legii lui Arhimede: • plutirea navelor • submarinul • densimetrul

F2

F1

10

PROBLEME 1) Densitatea apei de mare este 1026kg/m3. Care este presiunea măsurată

la adâncimea de 10m? R: p=H+ρ.g.h=2,0055N/m2 2) Un tub Torricelli de lungime "=1m este umplut complet cu mercur

dacă este înclinat cu unghiul α=49010’ faţă de orizontală. Calculaţi presiunea atmposferică.

R: H=ρ.g.".sinα=1,0083.105N/m2 3) Un tub Torricelli este înclinat cu α=45o. Cu cât se deplasează

mercurul în tub dacă presiunea atmosferică se modifică cu ∆H=6mm coloană de mercur?

R: ∆"=∆H/cosα=8,5mm 4) Un tub deschis la capete, cu aria secţiunii S, se introduce vertical într-

un vas în care se află un lichid cu densitatea ρ. În tub, la acelaşi nivel cu lichidul din vas, se află un piston de masă m care închide etanş tubul. Ce forţă este necesară pentru a ridica pistonul la înălţimea y?

R: F=ρ.S.g.y+mg 5) Pistonul mic al unei prese hidraulice are diametrul d1=1cm şi este

supus unei forţe F1=10N. Cât trebuie să fie diametrul d2 a pistonului mare pentru a suporta o sarcină F2=10000N?

R: d2=31,6cm 6) Un vas cu baza pătrată de latură "=20cm este

prevăzut cu două tuburi verticale de secţiuni S1=2cm2 şi S2=4cm2. Pistoanele au mase neglijabile. Se apasă pistonul 1 pe distanţa y1=20cm. Cunoscând h1=50cm, h2=40cm şi densitatea apei ρ=1000kg/m3 să se determine: a) deplasarea y2 a celui de-al doilea piston b) forţa necesară pentru a menţine sistemul în

echilibru

F

h2

h1

11

c) forţa de apăsare F’ pe fundul vasului R: y2=10cm; F=0,6N; F’=400N

7) Un pahar cilindric conţine apă pe jumătate. Cu cât se înclină suprafaţa apei din pahar dacă acesta este mişcat cu acceleraţia a=5m/s2?

R: tgα=a/g=0,5 8) O scândură de lemn cu densitatea ρ1=800kg/m3 este aşezată pe

suprafaţa apei cu ρ2=1000kg/m3. Ce procent din grosimea scândurii este scufundat în apă?

R: 80% 9) O bucată de gheaţă cu densitatea ρ=700kg/m3 şi masa m=14kg

pluteşte pe suprafaţa apei. Calculaţi volumul porţiunii scufundate. R: V’=0,7V=14.10-3m3 10) Masa unui vapor este m=57800tone. Să se calculeze volumul părţii

scufundate în apă de mare cu ρ1=1028kg/m3 şi apoi în apă dulce cu ρ2=1000kg/m3.

R: V1=56226m3 V2=57800m3 11) O bucată de gheaţă cilindrică cu aria bazei S=100cm2

se află într-un vas cu apă, ieşind deasupra cu h=1cm. Cunoscând densitatea gheţii ρg=900kg/m3 să se determine masa gheţii.

R: m=ρa.ρg.S.h/(ρa-ρg)=0,9kg 12) Un corp introdus într-un lichid cu densitatea ρ1 are greutatea aparentă

G1 iar într-un lichid cu densitatea ρ2 , greutatea aparentă este G2. Să se determine densitatea corpului.

R: ρ=(G2ρ1-G1ρ2)/(G2-G1)

12

DINAMICA FLUIDELOR Dinamica fluidelor studiază mişcarea acestora în raport cu un sistem de referinţă. În general, în timpul mişcării, un fluid nu se deplasează ca un tot unitar, straturile de fluid alunecă unele faţă de altele, adică lichidul curge. Vom studia curgerea unui fluid ideal, adică un fluid incompresibil şi fără vâscozitate. În timpul curgerii straturile de fluid alunecă unele faţă de altele, deci au viteze diferite. De aceea este necesar să se cunoască vectorul viteză în fiecare punct al fluidului. Curgerea staţionară este acea curgere în care vectorul viteză în orice punct al fluidului este constant în timp, depinzând doar de poziţia punctului respectiv. Linia de curent este curba imaginară tangentă în fiecare punct la vectorul viteză al fluidului în acel punct. În curgerea staţionară, două linii de curent nu se intersectează niciodată. Debitul reprezintă cantitatea de substanţă care străbate o secţiune în unitatea de timp. Debitul masic printr-o secţiune a unui tub de curent este definit prin:

tmQm ∆

∆=

unde ∆m este masa de fluid care străbate o anumită arie în timpul ∆t. Debitul volumic este dat de relaţia:

tVQv ∆

∆=

unde ∆V este volumul de fluid care străbate o anumită arie în timpul ∆t. Ecuaţia de continuitate Să considerăm un fluid în curgere staţionară printr-un tub de curent.

S2 S1

13

Debitul de volum prin ariile S1 şi S2 au valorile:

1111

1 v.St

tvSQ =∆

∆=

2222

2 v.St

tvSQ =∆

∆=

Fluidul fiind incompresibil, ariile S1 şi S2 sunt străbătute de aceeaşi cantitate de fluid în unitatea de timp, deci: S1.v1=S2.v2 care reprezintă ecuaţia de continuitate. Legea lui Bernoulli -Lucrul mecanic al forţelor de presiune Considerând că un fluid curge dintr-o zonă în care presiunea este p1 în altă zonă în care presiunea este p2<p1. Un element de suprafaţă S este deplasat pe distanţa x de către rezultanta forţelor (F1-F2) care provin din cele două presiuni. Lucrul mecanic necesar pentru aceasta este L=(F1-F2).x=(p1S-p2S).x=(p1-p2).S.x deci L=(p1-p2).V Pentru deducerea ecuaţiei lui Bernoulli să considerăm că o mică porţiune de fluid, cu densitatea ρ, trece dintr-un loc A în alt loc B fără a-şi modifica volumul. În timpul curgerii, această porţiune de fluid, îşi modifică şi altitudinea, de la h1 la h2<h1. În cursul deplasării porţiunii de fluid forţele de presiune produc lucrul mecanic Lp=(p1-p2).V , iar forţa de greutate un lucru LG=m.g(h1-h2). Conform teoremei de variaţie a energiei cinetice se poate scrie:

V).pp()hh(g.m2v.m

2v.m

2121

21

22 −+−=−

Exprimând masa m=ρ.V şi grupând termenii după indici se obţine:

v1

v2h 1h2

A

B

���������

p2p1

x

14

V.ph.g.V.2

v.V.V.ph.g.V.2

v.V.22

22

11

21 +ρ+ρ=+ρ+ρ

După împărţirea ecuaţiei cu V se obţine:

22

22

11

21 ph.g.

2v.ph.g.

2v. +ρ+ρ=+ρ+ρ

Din această relaţie se vade că fiecare termen are funcţia unei presiuni:

2v. 2ρ presiune dinamică

ρ.g.h presiune de poziţie p presiune statică iar suma acestora se conservă:

.constph.g.2v. 2

=+ρ+ρ

Presiune totală în lungul unei linii de curent într-un fluid incompresibil şi lipsit de vâscozitate, aflat în curgere staţionară, este constantă. În cazul particular când tubul de curent este orizontal se poate scrie:

.constp2v. 2

=+ρ

15

Aplicaţii ale legii lui Bernoulli 1. Pulverizatorul 2. Trompa de apă 3. Sonda de presiune

p=ρ.g.∆h 4. Tubul Venturi

ρ∆= pKQ

5. Tubul Pitot ∆h

v

V2 S1 v1

V2 S1 v1

16

6. Zborul avionului 7. Formula Torricelli

22

21 v.

21v.

21h.g. ρ=ρ+ρ

S1.v1=S2.v2 Dacă S2<<S1 atunci: h.g.2v2 ≈ care se numeşte formula lui Torricelli

Fp

v2

v1 h

17

Vâscozitatea În timpul curgerii unui fluid, între straturile de fluid aflate în mişcare relativă se exercită forţe de frecare internă sau vâscozitate. Datorită acestor forţe, stratul de fluid care are viteza de curgere mai mică va frâna stratul de fluid cu viteza de curgere mai mare, o parte din energia mecanică a particulelor de fluid trecând în energie internă a moleculelor fluidului. Curgerea fluidelor este stânjenită şi de pereţii faţă de care alunecă straturile de fluid, frecările vâscoase determină viteze de curgere mai mici în vecinătatea pereţilor. Forţa de vâscozitate depinde de viteza relativă v dintre straturile vecine, de distanţa dintre ele " , de aria comună S a acestora şi de natura lichidului prin coeficientul de vâscozitate η :

SvF"

η=

(poise) P10m

s.N2SI

==η

Legea lui Stokes: forţa de frecare ce acţionează asupra unui corp în mişcare relativă faţă de un fluid este proporţională cu coeficientul de vâscozitate al fluidului, cu dimensiunea liniară caracteristică a corpului şi cu viteza relativă: F=η.".v Pentru o sferă de rază R forţa lui Stokes are relaţia: F=6.π.η.R.v