matematica sem 2 id 2012-2013
DESCRIPTION
Pentru facultate FSEGA 2013TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA ” BABES-BOLYAI” CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE SI GESTIUNEAAFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I zi si IDANUL UNIVERSITAR 2012/2013SEMESTRUL II
SUPORT DE CURS
Anul I
Semestrul 2
Intocmit de:Anton S. Muresan
Diana Andrada FilipPaula Curt
Rodica Ioana Lung
Cluj Napoca,2013
Cuprins
1 MODULUL I. ALGEBRA LINIARA 61.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisibile de baza . . . . . . . . . . . . 81.3 UNITATEA 3. Programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 MODULUL II. MATEMATICI FINANCIARE 432.1 UNITATEA 1. Dobanzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Dobanda simpla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.3 Dobanda compusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.4 Echivalenta sistemelor de ımprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.2 Anuitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.3 Amortizarea ımprumuturilor indivizibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 MODULUL III. MATEMATICI ACTUARIALE 763.1 UNITATEA 1. Functii biometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 UNITATEA 2. Plati viagere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 UNITATEA 3. Plati ın caz de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4 UNITATEA 4. Asigurari de persoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Principiul echilibrului financiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.2 Asigurarea de viata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.3 Asigurarea de pensii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.4 Asigurare de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.5 Asigurare mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2
Informatii generale
Date de contact ale titularilor de curs:
1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel0264 418 652/int.5809.
2. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5809.
3. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264418 652/int.5809.
4. Lung Rodica Ioana, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.
5. Radu Voichita, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.
6. Rosca Alin, Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418 652/int.5857.Fax: 0264-412570
Contact tutori:
1. Lung Rodica Ioana, [email protected]
2. Radu Voichita, [email protected]
3. Rosca Alin, [email protected]
4. Filip Darius, [email protected]
5. Coconet Tiberiu, [email protected]
6. Pop Flaviu, [email protected]
Locul de desfasurare a cursului: Cladirea Campus, sali etajul II .Programarea ın orar a activitatilor (la ınvatamantul de zi): Saptamanal 1 ora de curs + 2 ore de
seminar, conform orarului afisat la sediul facultatii; (la ınvatamatul ID): 8 ore activitati tutoriale
Conditionari si cunostinte prerechizite: - Cursul de Matematici aplicate in economie
3
CERINTE PENTRU EXAMEN: Nota la examen se compune din nota obtinuta pentru lucrareascrisa (maxim 7 puncte) la care se adauga maxim 3 puncte pentru activitatea individuala.
Pentru obtinerea celor 3(trei) puncte pentru activitatea individuala la examen se vor prezentaurmatoarele:
1. Un caiet de teme cu toate problemele propuse din acest syllabus;
2. Referatul 1: “Dobanda simpla; Dobanda compusa; Echivalenta sistemelor de ımprumuturi”
3. Referatul 2: “Rezerva matematica”.
Bibliografia pentru referate: Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si prob-leme, Editura Mega 2013;
Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului: Cursul va avea urmatoarele trei parti:1. Algebra liniara2. Matematici financiare3. Matematici actuarialeOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea fireasca si gradul de dificultate sa urmeze o
ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la fiecare tema (parte) se gaseste in lista bibliograficace va fi prezentata ulterior, iar accesul va fi realizat direct.
Formatul si tipul activitatilor implicate de curs: Formatul va fi unul clasic, permitand studentu-lui de a-si gestiona singur, fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activitatileplanificate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor fi abordate in cadrulcursului vor fi atat cele clasice cat si proiecte de grup.
Materiale bibliografice obligatorii: Principalele materiale bibliografice pe care le vom utiliza, sicare se vor gasi la biblioteca facultatii, iar unele vor putea fi accesate prin internet, sunt:
1. Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme, Editura Mega 2013.2. Colectiv, Matematici aplicate ın economie, Ed. Mega 2012.Materiale si instrumente necesare pentru curs :Vom folosi: suport electronic de curs, materiale multiplicate, calculator, videoproiector.Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplinei
Politica de evaluare si notare: Evaluarea si notarea finala se va face prin rezolvarea de probleme,intocmirea unor teme de casa. Toate acestea se vor realiza pe parcursul semestrului. Intrarea in examenulfinal este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta din temele de control de la sfarsitul fiecaruimodul al suportului de curs. Studentii vor primi feed-back la rezultatele realizate in examenul final princomunicare directa cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la un examen de marirea notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii, cu aceleasi cerinte, ca si examenul initial.
Elemente de deontologie academica: Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitateastudentilor facem de la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de frauda sevor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatii si universitatii. Este normal
4
ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte, formulari, etc. luate din alte surse, sa se faca citarea,si astfel sa se asume meritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cere studentului sa aibaun comportament academic fata de profesori si fata de colegi.
Studentii cu dizabilitati: Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si acelorlalte activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor fiind de aceeasi factura ca si pentru studentiifara dizabilitati.
Strategii de studiu recomandate: Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din as-pectele teoretice, asa incat, mai intai, din curs, sa fie studiate modulele cu teoria si exemplele ilustrativeformulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si problemele formulate spre rezolvare.Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timp necesar insusirii complete este de 56 de ore, din care 40pentru suportul de curs, 8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individuale destudiu al bibliografiei si realizarea temelor de control.
II. Suportul de curs propriu-zis Cursul va fi structurat pe module, iar dorinta este de a seobtine o prezentare gradata a notiunilor si rezultatelor.
5
Capitolul 1
MODULUL I. ALGEBRA LINIARA
Obiective
• Familiarizarea cu notiunile de transformari elementare, rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare prinmetoda lui Gauss;
• Definirea solutiei admisibile de baza pentru un sistem de ecuatii liniare;
• Formularea si rezolvarea unei probleme de programare liniara;
• Formularea si rezolvarea unei probleme de transport.
Concepte de baza
• Transformari elementare, solutii pentru sisteme de ecuatii liniare, solutii admisibile de baza;
• Problema de programare liniara, algoritmul simplex;
• Problema de transport, algoritmul distributiv.
Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile
introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: modelul matematic al unei probleme simplede programare liniara, respectiv al unei probleme de transport.
Sinteza
1.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice
Formulam cateva exemple de probleme economice care se modeleaza cu ajutorul unor elemente de algebraliniara, respectiv matematici financiare si actuariale.
Exemplul 1. O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizezem tipuri de resurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioadaprecizata (bi cantitatea din resursa Ri, i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cj
6
pentru valorificarea unei bucati din Pj, j = 1, n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitateadin resursa Ri ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj, i = 1,m, j = 1, n.
Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizate din fiecare produs xj =?, j = 1, n, astfelıncat sa fie consumate toate cantitatile disponibile din resursele existente si sa se obtina beneficiul totalmaxim.
Modelul matematic al acestei probleme este:xj =?, j = 1, n astfel ıncat
a11x1 + ...a1nxn = b1...............................
am1x1 + ...+ amnxn = bm
sistem de restrictii
xj ≥ 0, j = 1, conditii de nenegativitate
solutie admisibila
de baza.
f = c1x1 + ...+ cnxn → maxima (functia scop, de eficienta).
Exemplul 2. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat de catre nbeneficiari (consumatori).
Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi, notam cu
ai, i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj, atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1, n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj.
Se cer: cantitatile (xij) ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar astfelıncat:
-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.
Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor formulateeconomic prin relatii matematice.
In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alte aspecte referitoarela problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.
Cautam necunoscutele: xij =? i = 1,m, j = 1, n astfel ıncatn∑j=1
xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata
m∑i=1
xij = bj j = 1, n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita
xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1, n - conditii de nenegativitate.
f ′ =m∑i=1
n∑j=1
cijxij sa fie minima →min.
Exemplul 3. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 50 000 u.m., pe timp de 6 ani, cuprocentul anual de 9%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sa se ramburseze aceeasi cota din ımprumut, lacare se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare corespunzatoracestui ımprumut.
Exemplul 4. Sa se calculeze valoarea primei lunare pe care trebuie sa o plateasca o persoana ınvarsta de 36 ani, timp de 26 ani, pentru ca dupa aceea sa primeasca o pensie lunara de 250 u.m. Sa segaseasca prima lunara si in cazul cand persoana plateste prime lunare numai timp de un an.
7
Bibliografie1. Muresan A. S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura
Mediamira, Cluj-Napoca, 20052. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,
Cluj-Napoca, 2005
1.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisi-
bile de baza
Sisteme de ecuatii liniareMulte din problemele economice, respectiv din aplicatiile matematicii ın alte domenii se reprezinta
prin intermediul unor sisteme de ecuatii liniare.O ecuatie liniara este aceea care contine una sau mai multe necunoscute, toate fiind la
puterea I.Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare este:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
unde ai j sunt coeficienti reali, aij ∈ R, , i = 1,m, j = 1, n, bi ∈ R, i = 1,m sunt termeni liberi iar xjsunt necunoscutele, j = 1, n.
Problema este de a determina necunoscutele xj astfel ıncat sa fie verificate toate ecuatiile sistemului.
Transformari elementare ın matrici. Daca A este matricea coeficientilor, b coloana termenilorliberi si x coloana necunoscutelor atunci sistemul se poate scrie sub forma unei ecuatii matriceale
A · x = b.
Pentru a introduce transformarea vom considera matricea A reprezentata ıntr-o forma ın care seevidentiaza liniile sale
A =
L1
L2...
Lm
, Li = (ai1, ai2, . . . , ain) .
Principalele doua tipuri de transformari elementare sunt:t1) ınmultirea unei linii cu o constanta λ nenula: λ, Li : λ Li → Li;t2) adunarea la elementele unei linii a elementelor corespunzatoare unei alte linii: Li, Lk :
Li + Lk → Li.
8
Figura 1.1: Regula dreptunghiului
Regula dreptunghiului. Reprezinta un algoritm de reducere a coloanelor unei matrici pentru aobtine o forma simplificata, echivalenta a acesteia. O coloana este redusa daca are toate elementele egalecu 0, mai putin unul egal cu 1. Elementul pe a carui pozitie va ramane valoarea 1 se numeste elementpivot. Regula dreptunghiului implementeaza o succesiune de transformari liniare pe linii.
Regula dreptunghiului se aplica dupa cum urmeaza:
1. Se alege un element pivot diferit de zero. Acesta se marcheaza prin ıncercuire. Fie (i, j) pozitiaacestuia.
2. Elementele de pe coloana pivotului vor deveni 0.
3. Elementele de pe linia pivotului se ımpart la elementul pivot.
4. Restul elementelor matricii se calculeaza dupa regula dreptunghiului, adica:
alk ←aijalk − aljaik
aij
unde alj si aik reprezinta ’colturile’ dreptunghiului format din elementul pivot aij si elementul decalculat alk dupa cum se vede ın figura de mai jos.
Observatie 1 Daca pe linia pivotului avem elemente egale cu 0 atunci coloana respectiva se poate copia;Daca pe coloana pivotului avem elemente de 0 atunci putem copia linia respectiva.
Metoda eliminarii complete pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. Are la bazafaptul ca solutiile unui sistem de ecuatii liniare nu se schimba daca o ecuatie a sistemului este ınlocuitacu ecuatia obtinuta prin ınmultirea acelei ecuatii cu o constanta nenula sau cu ecuatia obtinuta prinadunarea ei membru cu membru la o alta ecuatie a sistemului.
Este evident ca acestor transformari care nu schimba solutiile sistemului le corespund transformarielementare pe linii ın matricea extinsa a sistemului respectiv.
Fie sistemul de ecuatii liniarea11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
9
a carui matrice extinsa este
Ae =
a11 . . . a1n b1a21 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . .
am1 . . . amn bm
Sa presupunem ca numerotarea necunoscutelor si ordinea ın care sunt scrise ecuatiile sunt asa ıncat prinefectuarea unor transformari elementare pe linii ın Ae sa ajungem la matricea
A′e =
1 . . . 0 α1,r+1 . . . α1n β1. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 αr,r+1 . . . αrn βr0 . . . 0 0 . . . 0 βr+1
. . . . . . . . . . .
0 . . . 0 0 . . . 0 βm
care este matricea extinsa a sistemului
(2)
x1 + α1,r+1xr+1+ . . . +α1nxn = β1. . . . . .
xr + αr,r+1xr+1+ . . . +αrnxn = βr. . . . 0 = βr+1
. . . . . .
. . . . 0 = βm
Transformarile elementare pe linii care duc de la matricea Ae la matricea A′e corespund trecerii de lasistemul (1) la sistemul (2) prin transformari ce nu schimba solutiile sistemului. Deci solutiile sistemului(2) sunt solutiile sistemului (1) .
Rezulta astfel ca:
(i) daca cel putin unul dintre numerele βr+1, . . . , βm este diferit de zero atunci sistemul de ecuatii (1)este incompatibil si
(ii) daca βr+1 = . . . = βm = 0 atunci solutia generala a sistemului (1) este:
(3)
x1 = β1 − (α1,r+1xr+1 + . . .+ α1nxn)
. . . . . . . . . . . .
xr = βr − (αr,r+1xr+1 + . . .+ αrnxn)
xr+1 ∈ R. . . . . . . . . . . .
xn ∈ R
Din cele de mai sus rezulta urmatorul procedeu practic de rezolvare a oricarui sistem de ecuatii liniare,procedeu care poarta numele de metoda eliminarii complete:
10
A. Se asociaza sistemului dat un tabel (de fapt matricea extinsa a sistemului) care are pe prima coloanatermenii liberi ai ecuatiilor sistemului si ın continuare coeficientii necunoscutelor x1, . . . , xn dinecuatiile sistemului. (Cum se va vedea, scrierea la ınceput a coloanei termenilor liberi este maiconvenabila pentru utilizarea acestei metode ın algoritmul de rezolvare a problemelor de programareliniara.)
B. In tabelul astfel obtinut se efectueaza, ın pasi succesivi, transformari elementare pe linii (cu reguladreptunghiului) alegand la fiecare pas pivotul dintr-o linie din care n-a fost ales pivot la un pasanterior (ın caz contrar zerourile ,,constituite” la acel pas anterior s-ar ,,distruge” si nu s-ar progresaın rezolvare),
C. Transformarile de la B. continua pana cand nu mai poate fi ales un nou pivot. Atunci cand nu maipoate fi ales un nou pivot este posibil unul si numai unul din urmatoarele cazuri:
(a) au fost alesi pivoti din toate liniile tabelului,
(b) exista linii din care nu s-a putut alege pivot (deci linii care pe coloanele coeficientilor necunos-cutelor contin numai zerouri) si toate aceste linii au pe coloana termenilor liberi zerouri,
(c) exista linii din care nu s-a putut alege pivot si cel putin una are pe coloana termenilor liberi unelement diferit de zero.
Este clar (vezi forma (3) a solutiei generale) ca ecuatiile ce corespund liniilor din care au fost alesi pivotiisunt ecuatiile principale, iar necunoscutele ce corespund coloanelor din care au fost alesi pivotii suntnecunoscutele principale ale rezolvarii respective a sistemului.
In cazul a) sistemul este compatibil, el neavand ecuatii secundare.In cazul b) sistemul este compatibil deoarece toate ecuatiile secundare au forma 0 = 0,In cazul c) sistemul este incompatibil deoarece una din ecuatiile secundare are forma 0 = β, unde
β 6= 0.Un sistem compatibil este compatibil determinat daca nu are necunoscute secundare si este compat-
ibil simplu (dublu, triplu, . . . ) nedeterminat daca are una (doua, trei, . . . ) necunoscute secundare.Pentru a scrie usor solutia generala (ın cazul in care sistemul este compatibil) este convenabil ca
dupa alegerea fiecarui pivot sa fie scrisa ın stanga liniei de unde a fost ales pivotul, necunoscuta dincoloana coeficientilor careia a fost ales acel pivot.
Atunci solutia se poate scrie astfel: fiecare necunoscuta principala (scrisa ın stanga tabelului) esteegala cu elementul din coloana termenilor liberi a liniei acelor necunoscute minus combinatia liniara anecunoscutelor secundare (daca asemenea necunoscute secundare exista, deci daca sistemul contine sinecunoscute care nu ajung sa fie scrise ın stanga tabelului) cu coeficienti egali cu elementele situate ınlinia acelei necunoscute principale pe coloanele respectivelor necunoscute secundare (vezi (3))
Exemplul 1 Sa se rezolve sistemulx1 + 2x2 − x3 + x4 = 2
x1 − x2 + 5x3 − 2x4 = 8
2x1 + x2 + 4x3 − x4 = 10
11
Rezolvare: Rezolvarea acestui sistem cu metoda eliminarii complete este:
b x1 x2 x3 x42 1 2 −1 1
8 1 −1 5 −2
10 2 1 4 −1
→ x1 2 1 2 −1 1
6 0 −3 6 −3
6 0 −3 6 −3
x1 6 1 0 3 −1
→ x2 −2 0 1 −2 1
0 0 0 0 0
Din ultimul tabel obtinut se constata ca din linia din care nu poate fi ales pivot (linia a treia) arepe coloana termenilor liberi zero (ne aflam ın cazul b)) deci sistemul este compatibil. Necunoscuteleprincipale ale rezolvarii date aici sunt x1 si x2 deci necunoscutele x3 si x4 vor fi secundare. Astfelsistemul este compatibil dublu nedeterminat. Solutia generala este:
x1 = 6− 3x3 + x4x2 = −2 + 2x3 − x4x3 ∈ Rx4 ∈ R
Solutii admisibile de baza. Din multimea tuturor solutiilor unui sistem de ecuatii liniare se poateextrage o submultime de solutii care are o calitate speciala, si anume fiecare solutie are necunoscutelesecundare cu valoarea egala cu 0, iar necunoscutele principale cu valorile mai mari sau egale cu 0. Acestesolutii se numesc solutii admisibile de baza.
La o astfel de solutie admisibila de baza se poate ajunge utilizand metoda eliminarii complete lacare alegerea pivotului se face cu respectarea unor conditii.
Sa presupunem ca sistemul considerat are m necunoscute principale, iar restul n − m sunt ne-cunoscutele secundare. Presupunem si ca primele m necunoscute sunt cele principale. Asta revine laa spune ca trebuie asociat sistemului un tabel care, dupa utilizarea transformarilor elementare (reguladreptunghiului), are urmatoarea forma:
b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xn
β1 1 0 . . . 0 α1,m+1 . . . α1,n
β2 0 1 . . . 0 α2,m+1 . . . α2,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
βm 0 0 . . . 1 αm,m+1 . . . αm,n
12
Din tabel se observa ca prima solutie admisibila de baza este:
X1 =
β1β2...
βm0...
0
, βi ≥ 0, i = 1,m
In continuare, cu ajutorul unor transformari elementare convenabile, vrem sa trecem de la aceastasolutie admisibila de baza la o alta solutie admisibila de baza. Consideram ca elementul pivot esteα1,m+1; aplicand regula dreptunghiului obtinem urmatorul tabel:
b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xnβ1
α1,m+1
1α1,m+1
0 . . . 0 1 . . . α1,n
α1,m+1
β′2 −α2,m+1
α1,m+11 . . . 0 0 . . . α′2,n
β′m −αm,m+1
α1,m+10 . . . 1 0 . . . α′m,n
unde
β′2 = β2−β1
α1,m+1
·α2,m+1,
β′m = βm−β1
α1,m+1
·αm,m+1,
α′2,n = α2,n−α1,n
α1,m+1
·α2,m+1,
iarα′m,n = αm,n−
α1,n
α1,m+1
·αm,m+1.
Prima conditie asupra pivotului este:α1,m+1 6= 0 .
Acum necunoscutele principale sunt cele care au coloanele cu 0 si anume x2, x3 . . . , xm+1 , celelalte fiindnecunoscute secundare. Noua solutie admisibila de baza este:
X2 =
0
β2 − β1α1,m+1
α2,m+1
...
βm − β1α1,m+1
· αm,m+1
β1α1,m+1
0...
0
13
Solutia X2 este solutie admisibila de baza daca sunt ındeplinite conditiile:
β1α1,m+1
≥ 0, β2 −β1
α1,m+1
α2,m+1 ≥ 0, . . . , βm −β1
α1,m+1
· αm,m+1 ≥ 0
Din prima inegalitate rezulta ca α1,m+1> 0, deci pivotul trebuie sa fie pozitiv .Daca α2,m+1≤ 0 a doua conditie este automat ındeplinita iar daca
α2,m+1> 0
trebuie caβ2
α2,m+1
≥ β1α1,m+1
.
In mod analog tragem concluzia ca daca αm,m+1> 0 trebuie ca
βmαm,m+1
≥ β1α1,m+1
.
Din inegalitatile de mai sus deducem cea de a doua conditie esentiala pentru pivot: raportul dintretermenul liber β1 si pivotul α1,m+1 este cel mai mic dintre toate rapoartele care se obtinımpartind termenii liberi la elementele pozitive corespunzatoare din coloana pivotului, adicaβ1
α1,m+1este cel mai mic dintre rapoartele βi
αi,m+1, cu
αi,m+1> 0.
Exemplul 2 Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatii liniare:{2x1 + x2 + x3 − x4 = 3
x1 − x2 + x3 + x4 = 4
b x1 x2 x3 x4 Rapoarte
3 2 1 1 −1 3/2←4 1 −1 1 1 4/1
→ x1 3/2 1 1/2 1/2 −1/2 -
5/2 0 −3/2 1/2 3/2 5/2←x1 7/3 1 0 4/3 0
→ x4 5/3 0 −1 1/3 1
In prima etapa s-a dorit alegerea pivotului de pe prima coloana, asa ca s-au construit rapoartele ıntretermenii liberi si elementele acesteia: 3/2 si 4/1, din care se alege cel mai mic, 3/2, si ın consecinta pivotuleste 2. Astfel x1 devine necunoscuta principala. In continuare alegem element pivot de pe coloana lui x4.In final se citeste solutia: x1 = 7/3, x2 = 0, x3 = 0 si x4 = 5/3 tinand cont ca necunoscutele principaleiau valorile corespunzatoare de pe coloana termenilor liberi iar cele secundare au valoarea 0.
14
Observatie 1 Un sistem compatibil nedeterminat poate avea mai multe sotutii admisibile de baza. Pen-tru a determina si altele se poate continua calculul alegand element pivot de pe una din coloanele core-spunza toare necunoscutelor secundare. In exemplul anterior putem continua astfel:
x1 7/3 1 0 4/3 0 7/4←→ x4 5/3 0 −1 1/3 1 5/1
→ x3 7/4 3/4 0 1 0
x4 13/12 −1/4 −1 0 1
Noua solutie admisibila de baza este: x1 = 0 (secundara), x2 = 0 (secundara), x3 = 7/4 si x4 = 13/12fiind necunoscutele principale.
Bibliografie1. Muresan A.S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura Me-
diamira, Cluj-Napoca, 20052. Colectiv, Elemente de algebra liniara si analiza matematica pentru economisti, Editura Todesco,
Cluj-Napoca, 2003
1.3 UNITATEA 3. Programare liniara
Formularea problemei canonice In cadrul domeniului economic sunt adesea ıntalnite problemecare ın formulare matematica sunt niste probleme de programare liniara.
O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizeze m tipuri de resurse.Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioada precizata (bi cantitatea dinresursa Ri, i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cj pentru valorificarea unei bucatidin Pj, j = 1, n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitatea din resursa Ri ce se folosestepentru o unitate din produsul Pj, i = 1,m, j = 1, n.
Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizata din fiecare produs xj =?, j = 1, n, astfelıncat sa se obtina beneficiul total maxim.
Modelul matematic acestei probleme este:xj =?, j = 1, n astfel ıncat
a11x1 + ...a1nxn = b1...............................
am1x1 + ...+ amnxn = bm
sistem de restrictii
xj ≥ 0, j = 1, conditii de nenegativitate
solutie admisibila
de baza.
f = c1x1 + ...+ cnxn → maxima (functia scop, de eficienta).
Problema canonica de programare liniara, ın scriere matriciala se prezinta astfel:Se cauta coloana necunoscutelor X astfel ıncat
AX = b,
X ≥ 0,
f = C X → max
15
Rezolvarea problemei canonice Pentru rezolvarea problemei de programare liniara vom utilitarezultatele obtinute pana acum in legatura cu solutiile admisibile de baza. Cele doua solutii sunt:
X1 =
β1β2..
βm0
..
0
X2 =
0
β2 − β1α1,m+1
α2,m+1
...
βm − β1α1,m+1
· αm,m+1
β1α1,m+1
0...
0
α1,m+1> 0 β1
α1,m+1= min
{βi
αi,m+1
},cu αi,m+1> 0.
Calculam pentru cele 2 solutii X1, X2 valorile functiei si comparam aceste valori. Avem
f (X1) = c1β1 + c2β2 + ...+ cmβm, si
f (X2) = c2
(β2 −
β1α1,m+1
α2,m+1
)+ ...+ cm
(βm −
β1α1,m+1
αm,m+1
)+
+cm+1β1
α1,m+1
,
f (X2) = c2β2 + ...+ cmβm + cm+1β1
α1,m+1
−
− β1α1,m+1
(c2α2,m+1 +...+ cmαm,m+1 ).
f(X2) = f(X1)− c1β1 +β1
α1,m+1
[cm+1 − (c2 α2,m+1 +...+ cm αm,m+1 )]
f (X2) = f (x1) +β1
α1,m+1
cm+1 −
not. fm+1︷ ︸︸ ︷c1α1,m+1 +c2 α2,m+1 +...+ cm αm,m+1
.Notam fm+1 = c1α1,m+1 +c2 α2,m+1 +...+ cm αm,m+1 . Atunci
f (X2) = f (X1) +β1
α1,m+1
(cm+1 − fm+1)
In aceasta relatie cm+1este coeficientul lui xm+1 care este necunoscuta principala din X2. Se vede dinultima relatie ca solutia X2 este mai buna decat X1 daca
β1α1,m+1
(cm+1 − fm+1) > 0
Deoarece β1α1,m+1
≥ 0, pentru ca relatia de mai sus sa aiba loc trebuie ca (cm+1 − fm+1) > 0, adica
cm+1 > fm+1 .In concluzie imbunatatirea este posibila numai atunci cand diferenta (cm+1 − fm+1) > 0.Ca
16
atare conditiile de optimalitate suntcj − fj ≤ 0,∀j = 1, n.
Tinand cont de toate cele spuse mai sus, putem enunta etapele algoritmului simplex:Etapa 1. Se determina o solutie admisibila de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei. (Daca solutia este optima se trece la etapa 5, daca
nu este optima se trece la etapa 3.)Etapa 3. Se imbunatateste solutia (alegand o noua necunoscuta principala, aceea pentru care
nu a fost indeplinita conditia de optimalitate).Etapa 4. Se repeta etapele 2 si 3 (pana cand toate conditiile de optimalitate sunt indeplinite).Etapa 5. Se scrie solutia optima (necunoscutele principale au valorile corespunzatoare din coloana
termenilor liberi, necunoscutele secundare au toate valoarea egala cu zero, iar valoarea optima a functieiscop se extrage din tabel).
Bibliografie1. Muresan A.S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura Me-
diamira, Cluj-Napoca, 20052. Colectiv, Elemente de algebra liniara si analiza matematica pentru economisti, Editura Todesco,
Cluj-Napoca, 2003
1.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport)
Formularea problemei O problema de programare liniara de o structura speciala este problema derepartitie. La o astfel de problema se evidentiaza grupul de restrictii care se ımparte ın doua,conditiile de negativitate si functia scop care de obicei trebuie minimizata.
Pentru comoditate vom scrie necunoscutele cu doi indici ın scopul evidentierii celor doua tipuride parteneri. Ilustram modelul matematic al unei probleme de repartitie sub forma unei probleme detransport.
Formularea economica. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat decatre n beneficiari (consumatori).
Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi, notam cu
ai, i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj, atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1, n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj.
Se cer: cantitatile (xij) ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar astfelıncat:
-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.
Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor formulateeconomic prin relatii matematice. Avem de determinat niste necunoscute care sa satisfaca restrictiile iarfunctia scop sa aiba valoarea minima.
17
Observatie. In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alteaspecte referitoare la problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.
Cautam necunoscutele: xij =?, i = 1,m, j = 1, n astfel ıncatn∑j=1
xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata
m∑i=1
xij = bj j = 1, n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita
xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1, n - conditii de nenegativitate.
f ′ =m∑i=1
n∑j=1
cijxij sa fie minima →min.
Observatie. La modelul formulat se mai alatura de obicei asa zisa conditie de echilibrare:
m∑i=1
ai =n∑j=1
bj
care arata ca totalul cantitatilor disponibile coincide cu totalul cantitatilor necesare solicitate.Daca problema nu este echilibrata atunci ea se poate echilibra prin considerarea unui furnizor fictiv
ın primul caz sau a unui beneficiar fictiv ın al doilea caz astfel ıncat problema sa devina echilibrata.In continuare ne vom ocupa doar de cazul problemei echilibrate.Pentru rezolvarea problemei enuntate se va enunta un algoritm numit algoritmul distributiv,
etapele caruia se parcurg comod prin considerarea unui tabel asociat problemei de transport. In tabelulcu doua intrari se evidentiaza pe linie datele referitoare la furnizori si pe coloane se evidentiaza datelereferitoare la beneficiari.
La intersectia unei linii Fi cu coloana Bj apare ın tabel ceea ce se numeste ,,casuta cu 4 camere” ınfiecare camera urmand a fi ınregistrat un anumit element.
Bj
Ficij ui + vj
± xij
Exemplu. La doi furnizori se afla acelasi tip de produs ın cantitate 80 buc. la primul (F1) si 140buc. la al doilea (F2). Trei beneficiari solicita acest produs ın cantitatile 60, 90, 70 bucati. Problemaeste echilibrata. In plus costurile unitare de transport sunt prezentate mai jos:
C =
(2 3 5
4 1 2
)
Sa se determine cantitatile ce vor fi transportate de la fiecare furnizor la beneficiari astfel ıncat cerintelesa fie ındeplinite.
Modelul matematic:
Exemplul 1 xij =? , i = 1, 2, j = 1, 3 astfel ıncat{x11 + x12 + x13 = 80
x21 + x22 + x23 = 140
18
x11 + x21 = 60
x12 + x22 = 90
x13 + x23 = 70
xij ≥ 0 i = 1, 2, j = 1, 3f = 2x11 + 3x12 + 5x13 + 4x21 + x22 + 2x23 → min
Tabelul asociat acestei probleme:
B�F B1 B2 B3 Cant
Fi2
x11
3
x12
5
x1380
F214
x21
1
x22
2
x23140
Cant 60 90 70 220�220
Rezolvarea problemei de transport Modelul matematic al problemei de transport xij =? , i =1,m, j = 1, n (m - furnizori, n - beneficiari) astfel ıncat:
n∑j=1
xij = ai i = 1,m
m∑i=1
xij = bj j = 1, n
xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1, n
f =m∑i=1
n∑j=1
cijxij →min.
cu conditia de echilibru:
m∑i=1
ai =n∑j=1
bj
Examinand modelul matematic rezulta ca avem mn necunoscute si m+n ecuatii. Vom avea m+n−1ecuatii principale (din cauza conditiilor de echilibru rezulta ca o ecuatie e secundara)
Din cele mn necunoscute numai m + n − 1 vor fi necunoscute principale, toate celelalte fiind ne-cunoscute secundare.
Cum determinam care sunt necunoscutele principale?Utilizam ın continuare o metoda de a gasi necunoscutele principale (m + n − 1 ) prin asocierea
la problema de transport a tabelului cu doua intrari. Pe linii vom preciza toate datele referitoare lafurnizori iar pe coloane vom trece toate elementele ce corespund beneficiarilor. La interecttia liniei deindice i vom trece datele despre Fi (furnizorii Fi ) iar pe coloane cu indice j datele despre beneficiarulBj. La intersectia (i, j) vom avea ın tabel o asa zisa ,,casuta cu 4 camere”
cij ui + vj
± xij
Avem 2 3 = 6 - necunoscute; 2 + 3 = 5 - restrictii; 2 + 3− 1 = 4 - necunoscute principale.
19
Algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemelor de transporteste similar cu algoritmul simplex, etapele fiind ca formulare teoretica identice, diferind doar ın modul
lor concret de parcurgere.Algoritmul distributiv:
Etapa 1. Se determina o solutie initiala de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei.Etapa 3. Se ımbunatateste solutia.Etapa 4. Se repeta etapele 2;3 pana cand toate conditiile de optimalitate vor fi ındeplinite.Etapa 5. Se scrie solutia optima si se calculeaza valoarea minima a lui f.Metoda de determinare a unei solutii initiale de baza(Metoda Nord-Vest) Atribuim valori necunoscutelor problemei ın ordinea N-V din tabelul asociat
problemei de transport sau ın subtabelele ramase. Incepem cu x11 = min {a1, b1} = 60.In acest cazx21trebuie sa ia valoarea 0, devenind necunoscuta secundara. Continuam completarea tabelului cu coltulNV ramas liber, adica x12 = min {a1 − b1, b2} = 20 (scadem din valoarea lui a1 pe x11 -se considera cafurnizorul F1 trimite catre beneficiarul B1 60 de bucati, ramanand ın stoc doar cu 20). Rationamentulcontinua ın acelasi mod.
Ilustram ın tabelul de solutii calculele si rationamentele precizate mai sus.
v1 = 2 v2 = 3 v3 = 4
u1 = 02 2
60
3 3
20
5 4
·80 20 0
u2 = −24 0
·1 1
70
2 2
70140 70 0
60 90 70
0 70 0
0
Convenim ca ın tabelul de solutii necunoscutele secundare sa le ınscriem cu punct (valorile lor suntzero). Casutele ocupate sunt casutele ce corespund necunoscutelor principale (acelea la care am ınscrisvalorile). Celelalte casute (cu ·) care corespund necunoscutelor secundare se numesc casute libere.
Pentru Etapa 2, verificarea optimalitatii se face cu ajutorul unor necunoscute ,,duale”:ui → care corespund furnizorilorvj → care corespund beneficiarilor
Aceste necunoscute sunt solutii ale sistemului de ecuatii
ui + vj = cij, unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor principale (casute ocupate).
Conditia de optimalitate: trebuie sa aiba loc inegalitatile
cij ≥ ui + vj, unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor secundare (casutele libere).
Daca toate conditiile de optimalitate vor fi ındeplinite atunci de la etapa a 2-a a algoritmului dis-tributiv se trece la etapa a 5-a .
Daca ınsa cel putin o conditie de optimalitate nu este ındeplinita atunci se va trece la etapa a 3-a(de ımbunatatire).
20
La exemplul nostru avem urmatorul sistem:u1 + v1 = 2
u1 + v2 = 3
u2 + v2 = 1
u2 + v3 = 2
4 necunoscute principale =⇒ 4 ecuatii; 5 necunoscute
In cazul general sistemul ui + vj = cij, are m + n − 1 ecuatii (cate necunoscute principale avem)cu m + n necunoscute. Avem o necunoscuta duala secundara careia ıi putem da orice valoare. Pentrucomoditate i se da valoarea zero si astfel se va putea rezolva sistemul obtinandu-se o solutie.
In exemplul nostru presupunem u1 = 0 =⇒ v1 = 2, v2 = 3, u2 = −2, v3 = 4.Calculul pentru obtinerea acestor valori ale necunoscutelor duale se poate face pe tabel.Se testeaza optimalitatea solutiei gasite. Pentru aceasta vom calcula sumele ui+vj ın casutele libere.
cij ≥ ui + vj, xij necunoscute secundare
5 ≥ 4
4 ≥ 0
} =⇒ sunt ındeplinite conditiile de optimalitate astfel
ıncat se va trece direct la la etapa a 5-a.Scriem solutia optima:
xopt =
(60 20 0
0 70 70
)
fmin = 120 + 60 + 70 + 140 = 390(costul total minim al transportului).
Etapa 3. Daca cel putin o conditie de optimalitate nu este ındeplinita ci0j0 < ui0 + vj0 ınseamnaca solutia nu este optima si ea trebuie ımbunatatita ın sensul ca necunocuta secundara xi0j0 (care arevaloarea zero), trebuie sa devina necunoscuta principala. Aceasta se realizeaza prin adunarea la zero aunei cantitati α unde α se determina astfel ıncat toate ecuatiile care au necunoscuta xi0j0 sa ramanasatisfacute, xi0j0 = 0 + α.
Deci daca se aduna α ıntr-un loc atunci α trebuie sa se scada din alt loc.Sigur scaderile se vor puteaface doar de la necunoscutele care au valori pozitive (sunt necunoscute principale). De fapt acestoroperatii de adunare / scadere se vor face ıntr-un asa zis ,,ciclu de casute” format dintr-o succesiune decasute, prima de la care se pleaca fiind casuta libera, toate celelalte fiind casute ocupate. In acest modse obtine o noua solutie care este mai buna decat vechea solutie, adica valoarea functiei pentru nouasolutie este mai mica decat valoarea functiei pentru solutia anterioara.
Exemplu. Sa se rezolve problema de transport data prin tabelul:
21
v1 = 1 v2 = 5 v3 = 10
u1 = 34 4
100
2 8
·3 13
·100
u2 = 01 1
50
5 5
− 250
2 10
+ ·300 250
u3 = −33 −2
·2 2
+ 0
7 7
− 200200
150 250 200
50 0
atentie la x′ij = x32 = 0, necunoscuta principala.Trebuie sa fie m + n− 1 - necunoscute principale.Am gasit o solutie initiala. Avem
f1 = 400 + 50 + 1250 + 1400 = 3100
Etapa 2. Verificam optimalitatea (efectuand calculele direct pe tabel). Deoarece 2 ≥ 10 este fals,solutia nu este optima, deci trebuie facuta imbunatatirea (etapa a 3-a), adica acel zero (punctul dincasuta libera) trebuie modificat. Pentru aceasta vom adauga (” + ”). si vom scadea (−) un total de 200care este minimul din casutele notate cu −. (Plec de la casuta libera merg pe linii / coloane tinandseama ca daca adun ceva pe o coloana trebuie sa scad din alta parte).
α =? (dar nu pot scadea mai mult decat 200→ ....se ia minim de la casutele notate cu ”−” pentrua nu face ca unele valori sa devina negative) =⇒ ..sol. =⇒ α = 200 =⇒ verificam optimalitatea
Obtinem o noua solutie. Etapa a 4-a consta in repetarea etapelor 2 si 3. Astfel avem:
v1 = 4 v2 = 8 v3 = 5
u1 = 04 4
− 100
2 8
· 0
3 5
·
u2 = −31 1
+ 50
5 5
- 50
2 2
200
u3 = −63 −2
·2 2
200
7 −1
·Deoarece 2 > 8este fals, solutia imbunatatita nu este optima, iar f2 = 1500. Continuam succesiv(conform cu etapa a 4-a) si obtinem urmatoarele tabele :
α = 50v1 = 4 v2 = 2 v3 = 5
u1 = 04 4
− 50
2 2
50
3 5
+ ·
u2 = −31 1
+ 100
5 −1
·2 2
− 200
u3 = 03 4
·2 2
200
7 5
·
22
α = 50v1 = 0 v2 = 0 v3 = 1
u1 = 24 2
·2 2
50
3 3
50
u2 = 11 1
150
5 1
·2 2
150
u3 = 23 2
·2 2
200
7 3
·Solutia este optima si trecem deci la Etapa 5.
Xopt =
0 50 50
150 0 150
0 200 0
fmin = 100 + 150 + 150 + 300 + 400 = 1100 u.m
Bibliografie1. Muresan A.S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura Me-
diamira, Cluj-Napoca, 2005Probleme rezolvateProblema 1. Folosind metoda eliminarii complete sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:
2x1 +x2 +3x3 = −2
x1 −x2 + x3 = −2
−x1 + x3 = −1
.
Rezolvare. Vom reduce pe rand coloanele matricii asociate sistemului alegand elementele pivotnumere pozitive intotdeauna de pe o linie sau coloane de pe care nu au mai fost alese alte elementepivot. Vom aseza matricea sistemului intr-un tabel in felul urmator:
b x1 x2 x2 Transformarea:
I. −2 2 1 3
−2 1 −1 1 L1 + L2 → L2
−1 −1 0 1
II. −2 2 1 3 (−3)L3 + L1 → L1
−4 3 0 4 (−4)L3 + L2 → L2
−1 −1 0 1
III. 1 5 1 0 17L2 → L2
0 7 0 0 (−5)L2 + L1 → L1
−1 −1 0 1 L2 + L3 → L3
IV. 1 0 1 0
0 1 0 0
−1 0 0 1
..
23
Prin transformarile elementare efectuate am obtinut o matrice echivalenta cu matricea sistemului, deforma:
A ∼ A′ =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
1
0
−1
Din aceasta matrice ne este usor sa citim solutia (unica, sistemul este compatibil determinat):
x1 = 0
x2 = 1
x3 = −1
.
Problema 2. Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:{2x1 + x2 − x3 = 0
x1 − x2 + 4x3 = 3.
Rezolvare. Vom folosi metoda eliminarii complete:
b x1 x2 x3
I. 0 2 1 −1
3 1 −1 4
II. 0 2 1 −1
3 3 0 3
III. −2 0 1 −3
1 1 0 1
..
In tabelul III observam ca nu a mai ramas nici o line de pe care sa alegem element pivot. Sistemul nostrua fost redus la un sistem echivalent de forma:{
x2 − 3x3 = −2
x1 + x3 = 1
Sistemul este compatibil nedeterminat, x3 (a carui coloana nu a fost redusa) este necunoscuta secundaraiar solutia se scrie astfel:
x1 = −α + 1
x2 = 3α− 2
x3 = α ∈ R..
Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare:x1 − x2 + x3 = 6
2x1 + x2 − x3 = 7
x1 + x2 − x3 = 10
..
24
Rezolvare. Folosim metoda eliminarii complete:
b x1 x2 x3
I. 6 1 −1 1
7 2 1 −1
10 1 1 −1
II. 6 1 −1 1
13 3 0 0
16 2 0 0
III. −2 0 −1 1
−11 0 0 0
8 1 0 0
Dupa cum se observa in tabelul III nu mai putem alege pivot si de pe lina a 2-a deoarece toate elementelesale sunt nule. In aceasta situatie verificam coloana termenilor liberi. Daca si acolo avem tot zero, atunciinseamna ca ecuatia corespunzatoare liniei respective este o ecuatie secundara. Daca insa termenul libercorespunzator nu ese nul, ca si in cazul nostru, inseamna ca avem o situatie imposibila, ecuatia respectivafiind de forma:
0 = −11.
Spunem ca sistemul este incompatibil.Problema 4. Sa se rezolve sistemul:
x1 + x2 + x3 = 2a+ 1
x1 − x2 − x3 = 1
2x1 + x2 − 2x3 = 2− 3b
..
a, b numere reale.Rezolvare. Construim tabelul corespunzator sistemului:
b x1 x2 x3
I. 2a+ 1 1 1 1
1 1 −1 −1
2− 3b 2 1 −2
II. 2a+ 1 1 1 1
2a+ 2 2 0 0
1− 2a− 3b 1 0 −3
III. a 0 1 1
a+ 1 1 0 0
−3a− 3b 0 0 −3
IV −b 0 1 0
a+ 1 1 0 0
a+ b 0 0 1
25
Citim solutia din tabelul IV si avem: x1 = a+ 1
x2 = −bx3 = a+ b
..
Problema 5. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatii liniare:{2x1 + 3x2 − x3 = 9
x1 − x2 + x3 = 2..
Rezolvare. Pentru gasirea unei solutii admisibile de baza elementul pivot trebuie ales astfel incatsa respecte cele doua reguli: sa fie strict pozitiv si raportul intre termenul liber si pivot sa fie minimulrapoartelor dintre termenii liberi si celalte elemente pozitive corespunzatoare de pe coloana sa.
b x1 x2 x3 Rapoarte
I. 9 2 3 −1 92
= 4. 5
2 1 −1 1 21
= 2.0
II. 5 0 5 −3 55
= 1
2 1 −1 1 -
III. 1 0 1 −3/5
3 1 0 2/5
In primul tabel (I.), pentru a alege un element pivot din prima coloana, vom construi rapoartele dintretermenii liberi si elementele coloanei: 9
2si 2
1. Il alegem pe cel cu valoarea cea mai mica, adica 2
1, deci
element pivot va fi 1. In tabelul al doilea putem alege element pivot de pe coloana lui x2 sau a lui x3. Incoloana lui x2 avem o singura varianta de algere a pivotului, deoarece avem un singur element pozitivpe coloana. Tabelul III ne furnizeaza o solutie admisibila de baza pe care o citim astfel: necunoscutelesecundare (corespunzatoare coloanelor nereduse) vor lua valoarea 0, iar cele principale (corespunzatoarecoloanelor reduse) se citesc de pe coloana termenilor liberi. Astfel, o solutie de baza a sistemului va fi:
x1 = 3
x2 = 1
x3 = 0 - necunoscuta secundara
..
Problema 6. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara:
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 6
x1 + x2 + 2x4 = 5
2x1 − x2 + x3 + x4 = 8
xj ≥ 0, j = 1, 4
f = 2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 −→ max
Rezolvare. Vom rezolva problema folosind algoritmul simplex. Vom construi un tabel similar cu celpentru rezolvarea sistemelor de ecuatii, doar ca vom mai adauga niste linii si niste coloane:
26
- deasupra coloanelor corespunzatoare necunoscutelor mai adaugam o linie care sa contina valorilecoeficientilor functiei f corespunzatoare fiecarei necunoscute.
- ın stanga tabelului vom mai adauga doua coloane, una ın care vom trece necunoscutele principalegasite iar cealalta ın care vom scrie coeficientii functiei corespunzatori acestor necunoscute principale.
Primul tabel va arata ın felul urmator:
2 1 5 3
CB B b x1 x2 x3 x4− − 6 1 2 2 −1
− − 5 1 1 0 2
− − 8 2 −1 1 1
Pentru ınceput nu vom completa coloana B a necunoscutelor principale deoarece nu avem ın matriceasistemului nici o coloana redusa (nici o necunoscuta nu este inca principala).
Trecem acum la prima etapa a algoritmului simplex, adica determinarea unei solutii admisibile debaza. Pentru aceasta vom avea ın vedere ca elementul pivot sa respecte cele doua reguli: sa fie pozitiviar raportul dintre termenul liber si pivot sa fie minimul rapoartelor similare de pe coloana respectiva:
2 1 5 3
CB B b x1 x2 x3 x4 Rapoarte:
− − 6 1 2 2 −1 62
= 3
I − − 5 1 1 0 2 51
= 5
− − 8 2 −1 1 1 −1 x2 3 1/2 1 1 −1/2 3
12
= 6
II − − 2 1/2 0 −1 5/2 212
= 4
− − 11 5/2 0 2 1/2 1152
= 225
1 x2 1 0 1 2 −3 12
III 2 x1 4 1 0 −2 5 −− − 1 0 0 7 −12 1/7
1 x2 5/7 0 1 0 3/7 53
IV 2 x1 30/7 1 0 0 11/7 3011
5 x3 1/7 0 0 1 −12/7
fj 10 2 1 5 −5
cj − fj − 0 0 0 8
3 x4 5/3 0 7/3 0 1
V 2 x1 5/3 0 7/3 0 1
5 x3 3 0 4 1 0
fi 70/3 2 59/3 5 3
cj − fj 0 −56/3 0 0
In tabelul IV observam ca s-a determinat o prima solutie admisibila de baza. Se trece de aceea laetapa urmatoare a algoritmului, adica la verificarea optimalitatii acestei solutii. Pentru aceasta avem
27
nevoie sa calculam diferentele cj − fj, unde cj- coeficientul lui xj ın f iar fj se calculeaza ca si sumaproduselor elementelor de pe coloana coeficientilor bazei CB si elementele fiecarei coloane j, j = 1, 4.
Se observa ca ın tabel vom trece o linie noua pentru valorile lui fj si ınca una pentru diferentelecj − fj. Pe linia lui fj si coloana termenilor liberi vom obtine valoarea functiei f pentru solutia testata.
Daca solutia ar fi optima atunci toate diferentele cj − fj ar trebui sa fie negative. Se observa ınsa cape coloana lui x4, c4 − f4 = 8 > 0. Trecem la urmatoarea etapa, adica ımbunatatirea solutiei de bazagasite. Acest lucru se realizeaza prin reducerea coloanei pentru care avem diferenta cj − fj pozitiva (ıncazul nostru coloana lui x4), alegand elementul pivot cu respectarea celor doua reguli.
In tabelul V obtinem astfel o noua solutie admisibila de baza. Calculand si pentru aceasta diferentelecj−fj constatam ca sunt toate negative sau zero, de unde deducem ca noua solutie obtinuta este optima.O ,,citim” din tabelul V tinand cont de faptul ca necunoscutele principale vor lua valorile corespunzatoarede pe coloana termenilor liberi, adica x1 = 5
3, x3 = 3 si x4 = 5
3iar cele secundare, ın cazul nostru x2 va
fi zero. Solutia optima se scrie:
X topt =
(5
3, 0, 3,
5
3
)Valoarea optima a functiei apare ın tabelul V pe linia lui fj si coloana termenilor liberi:
f (xopt) = fmax =70
3.
Problema 7. Sa se rezolve problema de programare liniara canonica:
−3x1 + x3 + 6x4 = 11
2x2 − x3 + 4x4 = 8
3x1 − x3 + 4x4 = 8
xj ≥ 0, j = 1, 4
f = 4x1 + 2x2 − x3 + 4x4
Rezolvare. Vom folosi algoritmul simplex:
28
4 2 −1 4
CB B b x1 x2 x3 x4− − 11 −3 0 1 6 −
I − − 8 0 2 −1 4 82
− − 8 3 0 −1 4 −− − 11 −3 0 1 6 −
II 2 x2 4 0 1 −1/2 2 −− − 8 3 0 −1 4 8/3
− − 19 0 0 0 10 19/10 = 1, 9
III 2 x2 4 0 1 −1/2 2 4/2 = 2
4 x1 8/3 1 0 −1/3 4/3 8/4 = 2
4 x4 19/10 0 0 0 1
IV 2 x2 1/5 0 1 −1/2 0
4 x1 2/15 1 0 −1/3 0
fj12815
4 2 −73
4
cj − fj − 0 0 4/3 0
In tabelul IV obtinem o solutie admisibila de baza a carei optimalitate o verificam. Observam ınsaca pe coloana lui x3 diferenta c3−f3 = 4
3> 0 deci solutia nu e optima. Daca ınsa vrem sa o ımbunatatim
observam ınsa ca pe coloana lui x3 nu e nici un element pozitiv care sa poata fi ales pivot. Ne aflamıntr-un caz special ın care functia de optimizat are maxim infinit.
Observatie: Chiar daca mai avem si alte diferente pozitive pentru care coloanele corespunzatoarene pot furniza un element pivot, existenta unei singure coloane pentru care diferenta cj − fj e pozitivaiar elementele coloanei sunt negative implica faptul ca maximul functiei e infinit.
Problema 8. Sa se rezolve problema de programare liniara canonica:
x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7
x1 + x2 + 2x3 + x4 = 7
3x1 + 2x2 + x3 = 8
xj ≥ 0, j = 1, 4
f = 5x1 + x2 + 4x3 + 2x4 −→ max
Rezolvare. Aplicam algoritmul simplex
29
5 1 4 2
CB B b x1 x2 x3 x4− − 7 1 3 1 1 7/1 = 7
I − − 7 1 1 2 1 7/2 = 3, 5
− − 8 3 2 1 0 8/1 = 8
− − 7/2 1/2 5/2 0 1/2 7/5
II 4 x3 7/2 1/2 1/2 1 1/2 7/1
− − 9/2 5/2 3/2 0 −1/2 9/3
1 x2 7/5 1/5 1 0 1/5 7/1
III 4 x3 14/5 2/5 0 1 2/5 14/2 = 7
− − 12/5 11/5 0 0 −4/5 12/11
1 x2 13/11 0 1 0 3/11 13/3
IV 4 x3 26/11 0 0 1 6/11 13/3
5 x1 12/11 1 0 0 −4/11
fj17711
5 1 4 7/11
cj − fj − 0 0 0 15/11
1 x2 0 0 1 −1/2 0
V 2 x4 13/3 0 0 11/6 1
5 x1 8/3 1 0 2/3 0
fi 22 5 1 396
2
cj − fj 0 0 −156
0
In tabelul IV observam ca rapoartele minime necesare pentru alegerea pivotului sunt egale intre ele.In acest caz, pentru a alege pivotul vom folosi ordonarea lexicografica pentru a compara cele doualinii. Pentru aceasta vom scrie cele doua linii, fiecare ımpartita la posibilul pivot corespunzator:
L1 =
(0,
11
3, 0, 1
)si L2 =
(0, 0,
11
6, 1
)In ordonarea lexicografica se compara elementele celor doua linii 2 cate 2. Este declarata mai mica
si aleasa ca si linie pivot linia pentru care apare primul element mai mic decat corespondentul sau depe cealalta linie.
In cazul nostru avem 0 = 0, 113> 0 de unde rezulta ca linia a doua e mai mica ın ordine lexicologica
decat prima si deci alegem pivot pe 611. Solutia gasita ın tabelul V este optima deoarece toate diferentele
cj − fj sunt negative. Citim solutia si avem:
X topt =
(8
3, 0, 0,
13
3
)iar
fmax = 22
30
Observatie: Faptul ca am avut nevoie de ordonarea lexicografica pentru a alege ıntre 2 rapoarteminime egale ne indica faptul ca solutia pe care o vom obtine este degenerata, adica vom avea ne-cunoscute principale cu valoarea zero. Intr-adevar, ın xopt avem x2 = 0 chiar daca x2 este necunoscutaprincipala.
Problema 9. Sa se rezolve problema de programare liniara canonica:
3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 10
−x2 + x1 + 2x3 − 6x4 + 3x5 = 5
x1 + x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 4
xj ≥ 0, j = 1, 5
f = 5x1 + 4x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5 −→ max
Rezolvare. Folosim algoritmul simplex
5 4 8 2 3
CB B b x1 x2 x3 x4 x5− − 10 3 2 3 1 2 10/2
I − − 5 −1 1 2 −6 3 5/1
− − 4 1 1 1 −2 2 4/1
− 2 1 0 1 5 −2 2/1
II − 1 −2 0 1 −4 1 −4 x2 4 1 1 1 −2 2 4/1
5 x1 2 1 0 1 5 −2 2/1
III − − 5 0 0 3 6 −3 5/3
4 x2 2 0 1 0 −7 4
5 x1 1/3 1 0 0 3 −1 −IV 8 x3 5/3 0 0 1 2 −1 −
4 x2 2 0 1 0 −7 4 2/4
fj 23 5 4 8 3 3
cj − fj − 0 0 0 −1 0
5 x1 5/6 1 1/4 0 5/4 0
V 8 x3 13/6 0 1/4 1 1/4 0
3 x5 1/2 0 1/4 0 −7/4 1
fj 23 5 4 8 3 3
cj − fj 0 0 0 −1 0
Observam ca ın tabelul IV solutia admisibila de baza obtinuta este solutia optima, deoarece toatediferentele cj − fj sunt negative. Putem scrie aceasta solutie
X topt 1 =
(1
3, 2,
5
3, 0, 0
)
31
iarfmax = 23
Studiind linia cj − fj observam ca pe coloana necunoscutei secundare x5 avem c5 − f5 = 0. Acestlucru indica faptul ca problema are mai multe solutii optime pe care le putem gasi reducand coloana luix5.
Observatie: Intodeauna cand numarul zerourilor de pe linia cj − fj, ın cazul unei solutii optime,este mai mare decat numarul necunoscutelor principale ınseamna ca problema poate avea mai multesolutii optime.
Reducand coloana lui x5 obtinem o noua solutie:
X topt 2 =
(5
6, 0,
13
6, 0,
1
2
)pentru care valoarea functiei f este tot 23.Observatie: Solutia generala a problemei de programare liniara se scrie ca si combinatie liniara
convexa a solutiilor optime.In cazul nostru solutia generala se scrie:
X topt = α1X
topt 1 + α2X
topt 2, α1, α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1
adica
X topt =
(α1
3+
5α2
6, 2α1,
5α1
3+
13α2
6, 0,
α2
2
)iar
fmax = 23
Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara generala:
2x1 + x2 + x3 ≤ 50
−x1 + 4x2 + x4 ≤ 60
x1 + x4 = 15
x3 + x4 = 20
xj ≥ 0, j = 1, 4
f = 2x3 − 5x4 → maxima
.
Rezolvare. Observam ca diferenta dintre forma in care este prezentata problema data si formacanonica a problemei de programare liniara consta in acest caz in faptul ca in sistem apar atat ecuatii catsi inecuatii. Deoarece nu putem aplica algoritmul simplex decat pentru problema canonica de programareliniara, va trebui sa transformam problema data intr-una echivalenta, dar scrisa in forma canonica.Pentru aceasta vom transforma inecuatiile in ecuatii introducand niste variabile noi, de compensarein fiecare inecuatie. Variabilele de compensare trebuie sa se supuna conditiilor de nenegativitate, si deaceea, in functie de semnul inecuatiilor, le vom aduna sau le vom scadea la membrul stang al inecuatieipentru a obtine egalitate.
32
Astfel, in prima inecuatie vom adauga variabila de compensare x5 iar in a doua x6. Problema noastrava deveni:
2x1 + x2 + x3 + x5 = 50
−x1 + 4x2 + x4 + x6 = 60
x1 + x4 = 15
x3 + x4 = 20
xj ≥ 0, j = 1, 6
f = 2x3 − 5x4 → maxima
.
Obsevam ca variabilele de compensare nu modifica expresia functiei de optimizat.Avand acum problema scrisa in forma canonica, putem sa aplicam algoritmul simplex:
0 0 2 −5 0 0 Rapoarte
cB B b x1 x2 x3 x4 x5 x6
I 0 x5 50 2 1 1 0 1 0 502
= 25
0 x6 60 −1 4 0 1 0 1 -
− − 15 1 0 0 1 0 0 151
= 15
− − 12 0 0 1 1 0 0 -
II. 0 x5 20 0 1 1 −2 1 0 201
= 20
0 x6 75 0 4 0 2 0 1
0 x1 15 1 0 0 1 0 0
− − 20 0 0 1 1 0 0 201
= 20
III. 0 x5 0 0 1 0 −3 1 0 01
= 0
0 x6 75 0 4 0 2 0 1 754
0 x1 15 1 0 0 1 0 0 -
2 x3 20 0 0 1 1 0 0 -
fj 40 0 0 2 2 0 0
cj − fj 0 0 0 −7 0 0
IV. 0 x2 0 0 1 0 −3 1 0
0 x6 75 0 0 0 14 −4 1
0 x1 15 1 0 0 1 0 0
2 x3 20 0 0 1 1 0 0
fj 40 0 0 2 2 0 0
cj − fj 0 0 0 −7 0 0
In tabelul numarul II observam ca solutia problemei este degenerata, deoarece avem rapoarte minimeegale. Pentru alegerea pivotului am aplicat ordonarea lexicografica. Din tabelul III, datorita faptului caavem mai multe zerouri pe linia diferentelor cj − fj decat numarul de coloane reduse, deducem caproblema s-ar putea sa aiba mai multe solutii. Prin reducerea coloanei respective observam ca solutianu se modifica. Astfel, avem:
X toptim = (15, 0, 20, 0, 0, 75) si fmax = 40.
33
Observatie. Problema generala in care se cere minimul functiei obiectiv se rezolva in acelasi moddoar ca vom schimba conditia de optimalitate, adica o solutie va fi optima daca toate diferentele cj − fjsunt > 0.
Problema 11. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:
4 2 140
2 1 325
10 35 20
Rezolvare. In primul rand, verificam daca problema data este echilibrata. Avem
10 + 35 + 20 = 40 + 25 = 65.
In acest caz putem aplica algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemei de transport. Vom folosimetoda Nord-Vest pentru determinarea unei solutii initiale a problemei:
4
10
2
30
1
·40 30 0
2
·1
5
3
2025 20 0
10 35 20
0 5 0
0
In continuare verificam optimalitatea solutiei rezolvand sistemul de ecuatii de forma
ui + vj = cij,
xij sunt necunoscutele principale. In cazul nostru acest sistem are 2 + 3 − 1 = 4 ecuatii si 2 + 3 = 5necunoscute. Inseamna ca putem alege una din necunoscute ca fiind secundara si sa-i dam o valoareoarecare. Pentru comoditate ii dam valoarea 0 lui u1. Tot pentru comoditate vom rezolva sistemul deecuatii direct pe tabel, scriind pe bordura din stanga a tabelului valorile lui ui iar deasupra tabeluluivalorile pentru vj. Pentru rezolvarea sistemului aflam pe rand fiecare necunoscuta pornind de la cea lacare i-am dat valoare si avand grija ca pentru casutele ocupate sa aiba loc egalitatea ui + vj = cij. Pemasura ce aflam valorile lui ui si vj completam coltul din dreapta sus al fiecarei casute ocupate cu sumalor ui + vj.
34
v1 = 4 v2 = 2 v3 = 4
u1 = 04 4
10
2 2
- 30
1 4
+ ·40 30 0
u2 = −12 3
·1 1
+ 5
3 3
- 2025 20 0
10 35 20
0 5 0
0
Dupa rezolvarea sistemului vom completa si pentru casutele neocupate coltul din dreapta sus cusumele ui + vj. Solutia determinata este optima daca pentru toate casutele neocupate avem inegalitateaui+vj ≤ cij. Verificam asadar casutele neocupate (cu punct) si constatam ca avem u1+v3 = 4 > 1 = c13si u2 + v1 = 3 > 2 = c21. Deducem ca solutia nu este optima, deci trebuie sa o imbunatatim.
Imbunatatirea solutie se face pornind de la casuta libera care nu satisface conditia de optimalitatesi diferenta dintre ui + vj si cij este cea mai mare. In cazul nostru, aceasta este casuta (1, 3). Formamciclul pornind de la aceasta casuta, trecand pe linii sau pe coloane doar prin casute ocupate si marcandalternativ cu + si − casutele prin care trecem. Cautam minimul valorilor din casutele cu semn −, adicamin{30, 20} = 20. Aceasta este valoarea pe care o vom adauga, respectiv scadea din casutele cicluluipentru a obtine o solutie imbunatatita. Intr-una din casutele ciclului va ramane valoarea 0. In loc de0 vom trece ·, necunoscuta respectiva va deveni necunoscuta secundara, iar necunoscuta de la care ampornit ciclul va deveni necunoscuta principala. Urmatorul tabel va arata in forma:
v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1
u1 = 04 4
- 10
2 2
+ 10
1 4
20
u2 = −12 3
+ ·1 1
- 25
3 0
·Verificam optimalitatea noii solutii si constatam ca inca nu am ajuns la final deoarece in casuta
(2, 1) avem u2 + v1 ≤ c21 (2 < 3). Pornim un ciclu de la aceasta casuta si trecem la solutia urmatoareadunand, respectiv scazand valorilor din casutele din ciclu pe α = 10 = min{10, 25}.
v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1
u1 = 04 3
·2 2
20
1 1
20
u2 = −12 2
10
1 1
15
3 0
·Pentru noua solutie se verifica conditiile de optimalitate, asadar putem scrie solutia
Xoptim =
(0 20 20
10 15 0
)
35
pentru care costul total de transport este minim, si anume:
fmin = 2 · 20 + 1 · 20 + 2 · 10 + 1 · 15 = 95.
Problema 12. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:
4 2 5 1110
6 5 4 4170
6 8 1 5140
50 150 70 150
..
Rezolvare. In primul rand verificam daca problema este echilibrata. Avem:
50 + 150 + 70 + 150 = 110 + 170 + 140 = 420.
Putem sa aplicam algoritmul distributiv. La primul pas determinam o solutie a problemei folosindmetoda Nord-Vest.
v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1 v4 = 1
u1 = 04 4
50
2 2
60
5 1
·1 1
·110 60 0
u2 = 36 7
·5 5
90
4 4
- 70
4 4
+ 10170 80 10 0
u3 = 46 8
·8 6
·1 5
+ ·5 5
- 140140 0
50 150 70 150
0 90 0 140
0 0
Constatam ca solutia gasita nu este optima asa ca vom aplica procedeul de imbunatatire. Vom formaun ciclu pornind de la casuta (3,3), trecand doar prin casute ocupate, mergand pe linii si pe coloanesi marcand alternativ fiecare casuta cu +, respectiv −. Alegem minimul valorilor din casutele cu semnnegativ α = 70 si trecem la tabelul urmator adaugand, respectiv scazand α din casutele ciclului infunctie de semnul fiecareia.
v1 = 4 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1
u1 = 04 4
- 50
2 2
+ 60
5 -3
·1 1
·
u2 = 36 7
·5 5
- 90
4 0
·4 4
+ 80
u3 = 46 8
+ ·8 6
·1 1
70
5 5
- 70
36
Nu am gasit inca solutia optima asa ca vom continua procesul de imbunatatire. Formam ciclul pornindde la casuta (3,1) si trecand prin (1,1), (1,2), (2,2),(2,4) si (3,4). Avem α = 50 si putem trece la solutiaurmatoare:
v1 = 2 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1
u1 = 04 2
·2 2
- 110
5 -3
·1 1
+ ·
u2 = 36 5
·5 5
+ 40
4 0
·4 4
- 130
u3 = 46 6
50
8 6
·1 1
70
5 5
20
Solutia gasita este optima:
Xoptim1 =
0 110 0 0
0 40 0 130
50 0 70 20
iar
fmin = 220 + 200 + 520 + 300 + 70 + 100 = 1410.
Faptul ca in casuta (1,4) avem egalitatea u1 + v4 = c14 (1=1) inseamna ca problema poate aveamai multe solutii optime (la fel de bune). Pentru a determina si cealalta solutie vom modifica solutiaobtinuta pornind ciclul de casute de la cea in care are loc egalitatea ( ui + vj = cij ). Obtinem o nouasolutie
v1 = 2 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1
u1 = 04 2
·2 2
·5 -3
·1 1
110
u2 = 36 5
·5 5
150
4 0
·4 4
20
u3 = 46 6
50
8 6
·1 1
70
5 5
20
care este tot optima:
Xoptim2 =
0 0 0 110
0 150 0 20
50 0 70 20
.
Putem verifica acest lucru calculand valoarea lui f pentru Xoptim2 si constatand ca obtinem tot fmin
f = 110 + 750 + 80 + 300 + 70 + 100 = 1410.
Observam ca in casuta (1,2) avem din nou egalitate intre u1 + v2 si c12. Daca insa am trece la o nouasolutie am observa ca de fapt revenim la Xoptim1. Inseamna ca problema nu mai are si alte solutii, deci
37
putem scrie solutia generala ca si combinatie convexa a solutiilor obtinute, adica
Xoptim =
0 110α1 0 110α2
0 40α1 + 150α2 0 130α1 + 20α2
50α1 + 50α2 0 70α1 + 70α2 20α1 + 20α2
iar
fmin = 1410.
Problema 13. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:
4 3 1100
2 4 3200
1 2 6300
500 50 50
..
Rezolvare. Vom aplica algoritmul distributiv. Avem:
v1 = 4 v2 = 5 v3 = 9
u1 = 04 4
- 100
3 5
·1 9
+ ·100 0
u2 = −22 2
200
4 3
·3 7
·200 0
u3 = −31 1
+ 200
2 2
50
6 6
- 50300 100 50 0
500 50 50
400 0 0
200
0
α = 50 si trecem la solutia urmatoare:
v1 = 4 v2 = 5 v3 = 1
u1 = 04 4
- 50
3 5
+ ·1 1
50
u2 = −22 2
200
4 3
·3 -1
·
u3 = −31 1
+ 250
2 2
- 50
6 -2
·avem α = 50 iar tabelul urmator arata astfel:
38
v1 = 3 v2 = 3 v3 = 1
u1 = 04 4
0
3 3
50
1 1
50
u2 = −22 2
200
4 1
·3 -1
·
u3 = −31 1
300
2 0
·6 -2
·Observam ca la construirea noii solutii apare · in doua casute deoarece in casutele cu semn − ale cicluluiaveam doua valori minime egale. Este esential insa sa se pastreze numarul de necunoscute prinicipaleconstant (numarul de casute ocupate) si de aceea, in una din casutele ciclului in care ar trebui sa apara· vom trece valoarea 0 si o vom considera casuta ocupata.
Solutia la care ajungem este o solutie degenerata. In cazul nostru am ajuns la solutia optima:
Xoptim =
0 50 50
200 0 0
300 0 0
iar
fmin = 150 + 50 + 400 + 300 = 900.
Teme de controlProbleme propuseProblema 1. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
−x1 + x3 = 4
x1 + x2 − x3 = −4
10x2 + x3 = 3
..
Raspuns. x1 = −1;x2 = 0;x3 = 3.Problema 2. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
x1 + 2x2 + 3x3 = 2
−x1 − x2 = −3
x1 + x3 = 0
..
Raspuns. x1 = 1;x2 = 2;x3 = −1.Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
x1 + x3 + x4 = 1
−x1 + x2 + x4 = 2
x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = −1
−x1 + 7x2 − x3 = −5
..
Raspuns. x1 = −95;x2 = − 7
10;x3 = 19
10;x4 = 9
10.
39
Problema 4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:−2x1 + x2 − x3 + x4 = 4
x1 + x2 + 2x3 − x4 = 1
3x1 − 2x2 + 5x3 = −5
−x1 − x2 + x3 − x4 = −1
..
Raspuns. x1 = −1;x2 = 116
;x3 = 13;x4 = 1
2.
Problema 5. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:x1 + x2 + x3 = 7
x1 + 2x2 + x3 = 6
−x1 − 10x2 − x3 = 20
..
Rezolvare. Sistemul este incompatibil.Problema 6. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
3x1 + 4x2 − 5x3 + x4 = −16
−7x1 + x2 + 3x3 − x4 = −13
x1 + x3 + x4 = 0
2x1 − x2 + x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 5
..
Raspuns. x1 = 1;x2 = 5;x3 = −3;x4 = 2.Problema 7. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
−x1 − x2 + x3 − x4 = 4
2x1 − 3x3 = −8
..
Raspuns. x1 = −4− 3α− 3β;x2 = α;x3 = −2α− 2β;x4 = β, α, β ∈ R..Problema 8. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:{
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 − x2 − 2x4 = 0..
Raspuns. x1 = α + β;x2 = α− β;x3 = α ∈ R;x4 = β ∈ R..Problema 9. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
x1 + 2x2 − x3 = −2− 3b
−x1 + x2 + x3 = −1
x1 − x2 + x3 = 2a+ 2b+ 1
..
Raspuns. x1 = a;x2 = −1− b;x3 = a+ b.
40
Problema 10. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatiiliniare:
x1 + 3x2 − x3 + x4 = 1
−x1 − x2 + x3 − 5x4 = 2
2x1 + x2 + x3 + 10x4 = 9
..
Raspuns. x = (43, 32, 29
6, 0).
Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:
8 3 5 21000
4 1 6 71500
1 9 4 32500
500 1000 2000 1500
..
Raspuns. fmin = 14000, Xoptim =
0 0 0 1000
0 1000 500 0
500 0 1500 500
.
Problema 12. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:
2 3 1 170
3 2 3 1240
2 1 4 1190
50 100 250 100
..
Raspuns. fmin = 910, Xoptim =
0 0 70 0
0 0 180 60
50 100 0 40
.
Problema 13. Sa se determine solutia generala a urmatoarei probleme de transport:
2 3 2 4700
2 1 3 4100
5 3 2 1200
250 500 150 100
..
41
Rezolvare. fmin = 2200,
Xoptim =
250α1 + 250α2 400α1 + 300α2 50α1 + 150α2 0
0 100α1 + 100α2 0 0
0 100α1 0 100α1 + 100α2
.
Problema 14. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:
8 3 5 216
4 1 6 718
1 9 4 326
5 20 20 15
..
Raspuns. fmin = 140, Xoptim =
0 2 0 14
0 18 0 0
5 0 20 1
.
Problema 15. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:
2 2 1 3250
1 2 3 4150
3 2 3 2100
100 150 50 200
..
Raspuns. fmin = 950, Xoptim =
0 100 50 100
100 50 0 0
0 0 0 100
.
42
Capitolul 2
MODULUL II. MATEMATICIFINANCIARE
Obiective
• Familiarizarea cu tehnicile si metodele utilizate in cadrul matematicilor financiare
• Definirea notiunilor de dobanda, anuitati, credite si imprumuturi
Concepte de baza
• Dobanda simpla, dobanda compusa
• Anuitati
• Imprumuturi-rambursari directe, indirecte
Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile in-
troduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: sisteme de imprumuturi echivalente, rambursaride credite si imprumuturi.
Sinteza
2.1 UNITATEA 1. Dobanzi
2.1.1 Dobanda simpla
Dobanda simpla este una dintre cele mai importante si des folosite operatiuni financiare. In general,dobanda este o suma de bani pe care o plateste o persoana fizica sau juridica (numita DEBITOR) uneialte persoane fizice sau juridice (numita CREDITOR) pentru folosirea unei sume de bani ımprumutatecu un anumit procent, pe o perioada de timp. Altfel spus, dobanda este pretul la care se vinde sau secumpara capitalul ımprumutat pe piata capitalului.
Formula de baza
43
De obicei, operatia de dobanda simpla se foloseste pentru ımprumuturi sau depozite pe termenscurt (mai mici de un an), cand suma initiala s ramane invariabila pe toata durata ımprumutului saudepozitului si, ın final produce o dobanda platita ın totalitate la scadenta. In continuare, vom folosiurmatoarele notatii:
s = suma initiala exprimata ın unitati monetare (u.m.)p = procentul anual (%)t = durata de timp exprimata ın aniz, l etc. = durata de timp exprimata ın zile, luni etc.D = dobandaDefinitie. Dobanda este o functie D : [0,∞) × [0,∞) → [0,∞), (s, t) 7−→ D (s, t), care satisface
cerintele:- este strict crescatoare ın raport cu fiecare dintre argumentele sale,- este continua ın raport cu fiecare dintre argumentele sale. �In definitie sunt precizate conditiile naturale (firesti) din punct de vedere financiar. De asemenea,
daca aceasta functie este si derivabila, atunci vor fi ındeplinite inegalitatile:
∂D
∂s> 0,
∂D
∂t> 0
Pentru a exprima concret dependenta dobanzii ın raport cu cele doua argumente ale sale exista maimulte formule, ınsa cel mai adesea este folosita o relatie foarte simpla, aproape unanim acceptata.
Dupa cum este firesc, dobanda este direct proportionala cu suma initiala s si cu durata de timp t.Daca notam cu i factorul de proportionalitate, obtinem imediat
D(s, t) = D = i · s · t
Cateva variante ale acestei formule pentru diverse unitati de masura ale timpului sunt urmatoarele:
D =i · s · z
360, D =
i · s · l12
care au fost obtinute din formula, avand ın vedere urmatoarele:
1 an · · · 360 zile · · · 12 luni
t ani · · · z zile · · · l luni
Observatia 1. Se constata ca i = D(1, 1), adica este dobanda produsa de o unitate monetara petimp de un an si de aceea se numeste dobanda unitara anuala. �
Observatia 2. In aplicatiile practice ale operatiei de dobanda simpla, cel mai adesea ın locul dobanziiunitare anuale i, se foloseste procentul. Acesta este tot o dobanda pentru 100 u.m. pe timp de 1 an, decip = D(100, 1). Altfel spus, p = 100 · i sau i = p/100. �
Exemplu. O persoana fizica a depus ın contul sau deschis la o banca suma de 3 000 u.m. ın data de19 februarie 2005 si suma de 5 000 u.m. ın data de 10 martie 2005. Care este dobanda pentru sumeledepuse, la data de 25 septembrie 2005, daca procentul anual este 9%.
Rezolvare. Calculam duratele celor doua plasamente (sume initiale):s1 = 3 000 u.m., z1 = 218 ziles2 = 5 000 u.m., z2 = 199 zileDobanda totala este D = D1 +D2, unde
44
D1 =s1 · i · z1
360=
=3 000 · 0, 09 · 218
360= 163, 5 (u.m.)
D2 =s2 · i · z2
360=
=5 000 · 0, 09 · 199
360= 248, 75 (u.m.)
deci obtinem D = 412, 25 u.m. �Dobanzi unitare echivalente ın cazul operatiei de dobanda simplaSa consideram, ın cele ce urmeaza, ca un an se ımparte ın m subperioade, unde m ≥ 2 este un numar
natural. Astfel, pentru m = 2 obtinem ımpartirea anului ın 2 semestre, pentru m = 4 obtinem ımpartireaanului ın 4 trimestre, pentru m = 12 obtinem ımpartirea anului ın 12 luni, iar pentru m = 360 obtinemımpartirea anului ın 360 zile (1an = 360 zile ın domeniul financiar-bancar). Pana acum am notat cut durata ın ani a ımprumutului sau a depunerii. Notam prin tm aceeasi durata de timp, exprimata cuajutorul subperioadelor si avem relatia tm = m · t (daca tinem cont de faptul ca 1 an = m subperioadesi atunci t ani = m · t subperioade). De asemenea, notam cu im dobanda unitara corespunzatoaresubperioadei.
Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala, peacelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (produc aceeasi dobanda) ın regim de dobandasimpla. �
Dobanda pentru suma initiala s depusa pe perioada t se scrie
D = i · s · tsau
D = im · s · tm = im · s ·m · tde unde se obtine relatia de legatura ıntre i si im
im =i
m�
Observatie. Relatia de mai sus arata faptul ca dobanda unitara anuala, i, si dobanda unitaracorespunzatoare subperioadei, im, care sunt echivalente sunt si proportionale. Aceasta se va dovedi a fio situatie specifica doar operatiei de dobanda simpla. �
2.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare
In continuare vom considera ca unitatea de masura a timpului este anul si introducem notatia S pentrusuma finala. Aceasta, din punct de vedere matematic este o functie, S : [0,∞) × [0,∞) → [0,∞),(s, t) 7−→ S (s, t), obtinuta cumuland suma initiala cu dobanda. Avem urmatoarele relatii de calcul:
S = s+D sau S = s · (1 + i · t)
45
Folosind formula de mai sus, cunoscand suma initiala, dobanda unitara anuala si durata de timp putemdetermina suma finala. Invers, cunoscand suma finala, dobanda unitara anuala si durata de timp putemdetermina suma initiala folosind formula:
s =S
1 + i · tSuma initiala, la randul ei, este o functie: s : [0,∞)× [0,∞)→ [0,∞), (S, t) 7−→ s (S, t) .
Cazuri particulare importante1) Daca s = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu u suma finala corespunzatoare, deci u = S(1, 1),
de unde obtinem u = 1 + i, pe care ıl numim factor de fructificare. Avem urmatoarea reprezentareintuitiva:
1 u.m.————————————————–> u u.m.—————+———————————————+———>
0 1 anu este valoarea de peste un an a unei unitati monetare de azi.2) Daca S = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu v suma initiala corespunzatoare, deci v = s(1, 1), de
unde obtinem v = 11+i
= 1u, pe care ıl numim factor de actualizare. Avem urmatoarea reprezentare
intuitiva:v u.m.¡————————————– 1 u.m.
—————+———————————————+———>0 1 an
v reprezinta valoarea de azi a unei unitati monetare de peste un an. �
2.1.3 Dobanda compusa
De obicei, pentru aceasta operatiune se mai foloseste denumirea de dobanda capitalizata sau ”dobandala dobanda”. Dobanda compusa apare atunci cand suma initiala s este depusa pe o perioada de timp maimare decat 1 an. Pentru a atrage depunatorii, bancile acorda acest tip de dobanda si pentru fractiunide timp mai mici decat un an, cum ar fi depozitele pe 1 luna, 3 luni, 6 luni, 9 luni sau alte variante ınfunctie de banca.
Formula de bazaSa consideram ca suma initiala s este depusa pe o perioada de n ani (n ∈ N∗). Notand cu sk suma
de la sfarsitul anului k, k = 1, n, putem scrie urmatoarele relatii de calcul:
s1 = s+ i · s · 1 = s · (1 + i) = s · us2 = s1 + i · s1 · 1 = s1 · (1 + i) = s1 · u = s · u2
...
sn = s · un .
Ultima relatie este usor justificabila prin metoda inductiei matematice. Daca depozitul a fost facut pen ani, atunci suma finala este data de relatia S = sn, deci avem
S = s · un
46
relatie care este numita formula de baza a operatiei de dobanda compusa. Prin aceasta formula esteilustrata fructificarea sumei initiale s.
Din formula de baza obtinem imediat exprimarea sumei initiale
s = S · 1
un= S · vn
relatie care ilustreaza actualizarea sumei finale.Se stie, de asemenea, ca S = s+D, de unde obtinem, pentru dobanda compusa formula de calcul:
D = s · (un − 1)
Observatie. Semnificatia dobanzii unitare anuale i se pastreaza si ın cazul operatiei de dobandacompusa. Intr-adevar, pentru s = 1 u.m., n = 1 an se obtine D = u−1 = i, deci i este dobanda compusaunitara anuala. �
Dobanzi unitare echivalente ın cazul operatiei de dobanda compusaConsideram, ın continuare, ca anul este ımpartit ın m subperioade si notam prin im dobanda unitara
corespunzatoare subperioadei.Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala, pe
acelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (aceeasi dobanda) ın regim de dobanda compusa. �Daca 1 an = m subperioade, rezulta ca n ani = n·m subperioade. Exprimam egalitatea dintre sumele
finale obtinute ın cele doua moduri si avem
s · un·mm = s · un ⇒umm = u⇒im = m
√1 + i− 1
Din relatia obtinuta ıntre im si i se observa imediat ca dobanzile unitare echivalente nu sunt proportionaleın cazul operatiei de dobanda compusa.
Observatie. Folosind procentele echivalente se poate considera durata depunerii t si cand aceastanu este un numar ıntreg de ani. In consecinta, din punct de vedere matematic, S : [0,+∞)× [0,+∞)→[0,+∞), (s, t) 7−→ S (s, t) , unde S (s, t) = sut. De asemenea s va fi privita ca functia s : [0,+∞) ×[0,+∞)→ [0,+∞), (S, t) 7−→ s (S, t) , data prin s (S, t) = Svt. �
2.1.4 Echivalenta sistemelor de ımprumuturi
Definitie. Se numeste ımprumut un triplet format din:- o suma nominala (initiala s sau finala S),- un procent (p),- o durata (un moment t al nominalizarii sumei). �Astfel, ımprumutul va fi (s, p, t) sau (S, p, t).In orice problema financiara trebuie sa rezulte daca folosirea sumei este anterioara sau posterioara
datei nominalizarii. Mai multe ımprumuturi formeaza un sistem de ımprumuturi. Sunt situatii ın careun sistem de ımprumuturi se schimba cu alt sistem de ımprumuturi. Schimbarea este posibila numaidaca cele doua sisteme sunt echivalente. Aceasta echivalenta se bazeaza pe principiul echilibrului
47
financiar, potrivit caruia doua sisteme de ımprumuturi sunt echivalente daca si numai daca sumavalorilor actuale ale valorilor nominale de la primul sistem este egala cu suma valorilor actuale alevalorilor nominale de la al doilea sistem. Aici, prin valori actuale ıntelegem:
- valorile finale daca au fost nominalizate valorile (sumele) initiale,- valorile initiale daca au fost nominalizate valorile (sumele) finale.Toate consideratiile care urmeaza sunt valabile atat ın cazul operatiei de dobanda simpla, cat si ın
cazul operatiei de dobanda compusa. Ilustram rationamentele ın cazul operatiei de dobanda simpla.Consideram sistemele de ımprumuturi date cu valorile finale ca valori nominale, primul sistem fiind
format din m imprumuturi, iar cel de-al doilea sistem din n imprumuturi, adica:
{(S ′k, p′k, t′k)}k=1,m si {(Sk, pk, tk)}k=1,n
Definitie. Spunem ca cele doua sisteme de ımprumuturi sunt echivalente si scriem{(S′
k, p′k, t′k
)}k=1,m
≈ {(Sk, pk, tk)}k=1,n
daca si numai daca are loc egalitatea:
m∑k=1
s′k =n∑k=1
sk
adica
m∑k=1
S ′k1 + i′k t
′k
=n∑k=1
Sk1 + ik tk
Analog, daca sistemele sunt date cu valorile initiale, ca valori nominale ele vor fi echivalente siscriem
{(s′k, p′k, t′k)}k=i,m ≈ {(sk, pk, tk)}k=i,ndaca si numai daca are loc egalitatea:
m∑k=1
S ′k =n∑k=1
Sk
adica
m∑k=1
s′k · (1 + i′k t′k) =
n∑k=1
sk · (1 + ik tk)
Cazuri particulare:1) m = n = 1 echivalenta a doua ımprumuturi.(S′, p′, t′) ≈ (S, p, t) daca si numai daca s′ = s adica
S ′
1 + i′t′=
S
1 + it
48
respectiv (s′, p′, t′) ≈ (s, p, t) daca si numai daca S′= S adica:
s ′ · (1 + i′ t′) = s · (1 + i t)
2) m = 1 si n - oarecare, echivalenta unui ımprumut cu un sistem de ımprumuturi
(S ′, p′, t′) ≈ {(Sk, pk, tk)}k=1,n
daca si numai daca s′ =n∑k=1
sk adica
S ′
1 + i′t′=
n∑k=1
Sk1 + iktk
respectiv (s′, p′, t′) ≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n daca si numai daca S ′ =n∑k=1
Sk adica:
s′ · (1 + i′t′) =n∑k=1
sk · (1 + iktk)
3) m = n si se fixeaza unul dintre elementele ımprumuturilor. Se obtin valorile medii:- volumul mediu al sumelor;- procentul mediu;- scadenta comuna;- scadenta mijlocie.3.1) Volumul mediu al sumelorConsideram sistemul de ımprumuturi {(sk, pk,tk)}k=1,n fixam s′k = s si luam p′k = pk si t′k = tk, deci
avem echivalenta:
{(s, pk, tk)}k=1,n ≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n
In aceasta echivalenta, s poarta numele de volumul mediu al sumelor sk.Conform principiului de echivalenta avem relatia:
n∑k=1
s · (1 + iktk) =n∑k=1
sk · (1 + iktk)
astfel
s =
n∑k=1
sk · (1 + iktk)
n∑k=1
(1 + iktk)
3.2) Procentul mediuConsideram sistemul de ımprumuturi {(sk, pk,tk)}k=1,n fixam p′k = p si luam s′k = sk si t′k = tk, deci
avem echivalenta
49
{(sk, p, tk)}k=1,n ≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n
In aceasta echivalenta, p poarta numele de procentul mediu al procentelor pk.Principiul de echivalenta ne conduce la egalitatea:
n∑k=1
sk · (1 + itk) =n∑k=1
sk · (1 + iktk)
astfel
i =
n∑k=1
sk · (1 + iktk)−n∑k=1
sk
n∑k=1
sktk
In concluzie,
p = 100
n∑k=1
sk · (1 + iktk)−n∑k=1
sk
n∑k=1
sktk
3.3) Scadenta comunaConsideram sistemul de ımprumuturi {(sk, pk,tk)}k=1,n fixam t′k = t si luam s′k = sk si p′k = pk, deci
avem echivalenta:
{(sk, pk, t)}k=1,n ≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n
In aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta comuna pentru scadentele tk.Conform principiului de echivalenta avem relatia:
n∑k=1
sk · (1 + ikt) =n∑k=1
sk · (1 + iktk)
astfel
t =
n∑k=1
sk · (1 + iktk)−n∑k=1
sk
n∑k=1
skik
3.4) Scadenta mijlocieConsideram sistemul de ımprumuturi {(sk, pk, tk)}k=1,n fixam t′k = t, p′k = p (procentul mediu) si
luam s′k = sk deci avem echivalenta:
{(sk, p,t)}k=1,n ≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n
In aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta mijlocie pentru scadentele tk.Conform principiului de echivalenta avem relatia:
50
n∑k=1
sk · (1 + it) =n∑k=1
sk · (1 + iktk)
astfel
t =
n∑k=1
sk · (1 + iktk)−n∑k=1
sk
n∑k=1
ski
Observatia 1. Pentru a obtine scadenta mijlocie t se poate pleca de la echivalenta:(n∑k=1
sk, p, t
)≈ {(sk, pk, tk)}k=1,n
unde p este procentul mediu. �Observatia 2. Valori medii similare se pot defini si ın cazul cand sistemul de ımprumuturi este dat
prin valorile (nominale) finale, adica {(Sk, pk, tk)} . �Toate consideratiile pot fi reluate ın cazul operatiei de dobanda compusa.Bibliografie1. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,
Cluj-Napoca, 2005
Probleme rezolvate
Problema 1. Sa se calculeze dobanda care s-a obtinut ca urmare a depunerii unei sume initiale de 2 500u.m. cu procentul anual de 11% din data de 10 martie 2005 pana ın data de 25 iulie 2005 ın functie de:
a) numarul de zile;b) numarul de chenzine ıntregi (o chenzina = 15 zile);c) numarul de luni ıntregi.Rezolvare.a) calculam numarul de zile z = 137 zile
Dz =s · i · z
360=
=2500 · 0, 11 · 137
360=
= 104, 65 (u.m.)
b) ıntre 10 martie 2005 si 25 iulie 2005 sunt 9 chenzine ıntregi
Dq =s · i · q
24=
=2500 · 0, 11 · 9
24=
= 103, 125 (u.m.)
51
c) ıntre 10 martie 2005 si 25 iulie 2005 sunt 4 luni ıntregi
Dl =s · i · l
12=
=2500 · 0, 11 · 4
12=
= 91, 67 (u.m.)
Problema 2. O persoana dispune de doua sume de bani s1 si s2 astfel ıncat prima suma este decinci ori mai mare decat a doua. Persoana plaseaza prima suma pe timp de 135 zile cu procentul anualde 10% si a doua suma pe timp de 3 luni cu procentul anual de 9%. Stiind ca dobanda adusa de primasuma este mai mare cu 66 u.m. decat cea produsa de a doua suma, sa se determine valorile celor douasume initiale.
Rezolvare. Notam cu D1 si D2 dobanzile corespunzatoare celor doua sume initiale. Din dateleproblemei putem scrie ca:
s1 = 5 · s2
D1 =s1 · 0, 1 · 135
360
D2 =s2 · 0, 09 · 3
12D1 = D2 + 66
Se observa ca avem, de fapt, de rezolvat urmatorul sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute:{s1 = 5 · s20, 0375 · s1 = 0, 0225 · s2 + 66
Inlocuind s1 = 5 · s2 ın cea de a doua ecuatie, obtinem
(0, 1875− 0, 0225) · s2 = 66
de unde gasim
s2 = 400 u.m.
s1 = 2 000 u.m.
Problema 3. O persoana depune la o banca suma de 300 u.m.. Stiind ca procentul anual este de15% pe an, sa se calculeze ce suma va avea persoana respectiva dupa 4 ani si care este valoarea dobanzii.
Rezolvare. Se cunosc s = 300 u.m., p = 15%, n = 4 ani. Se va folosi operatia de dobanda compusadeoarece n = 4 > 1 an. Pentru suma finala S avem formula S = s · un, iar u = 1 + i. In cazul de fata,dobanda unitara anuala este i = p
100= 0, 15, iar factorul de fructificare este u = 1, 15 si avem
S = 300 · (1, 15)4 = 300 · 1, 749 = 524, 7 (u.m.)
52
D = S − s = 524, 7− 300 = 224, 7 (u.m.)
Problema 4. O persoana primeste mostenire un libret de economii ıntocmit ın urma cu 6 ani.Procentul anual a fost ın primii doi ani 15%, iar ın ultimii patru ani de 12%. Suma finala care se poateridica de pe libretul respectiv este de 2 080, 98 u.m.. Ce suma initiala a fost depusa?
Rezolvare. Se cunosc n = 6 ani, n1 = 2 ani, n2 = 4 ani, p1 = 15%, p2 = 12% si S = 2 080, 98 u.m..Suma initiala s este necunoscuta. Folosind formula dobanzii compuse, putem scrie:
- dupa primii doi ani suma initiala s devine S1 = s · u21 = s · (1 + i1)2; aceasta suma devine suma
initiala pentru urmatoarea perioada;- dupa ultimii patru ani obtinem suma finala S = S1 · u42 = s · u21 · u42 = s · (1 + i1)
2 · (1 + i2)4 . De
aici obtinem imediat ca
s =S
(1 + i1)2 · (1 + i2)
4 =
=2 080, 98
(1, 15)2 · (1, 12)4=
= 1 000 (u.m.)
In concluzie, ın urma cu 6 ani s-a depus suma de 1 000 u.m.Problema 5. Se considera cazul unei banci care ofera o rata anuala a dobanzii de 10% pentru
depozitele pe termen de 1 luna. Sa se calculeze dobanda primita la scadenta de catre o persoana care adepus suma de 10 000 u.m. pe timp de 1 luna. Presupunand ca persoana doreste capitalizarea dobanzii,sa se calculeze ce suma va avea persoana respectiva peste 5 luni si peste 1 an. Sa se calculeze, deasemenea, care este dobanda unitara anuala echivalenta.
Rezolvare. Se cunosc urmatoarele elemente s = 10 000 u.m., p = 10%, i = 0, 1, i12 = i12
= 0, 008(3),t5 = 5 luni, t12 = 12 luni. Notam prin D1 dobanda dupa o luna, S5 suma finala dupa 5 luni, S12 sumafinala dupa 12 luni si prin P1 procentul anual echivalent.
Dobanda pe care o primeste persoana dupa o luna este
D1 = s · i12 · 1 = 83, (3) (u.m.)
Daca dobanda se capitalizeaza, peste 5 luni persoana va putea ridica suma
S5 = s · u512 = s · (1 + i12)5 =
= 10 000 · (1 + 0, 008(3))5 =
= 10 000 · 1, 042196 =
= 10 421, 96 (u.m.)
Deci, dobanda aferenta este de
D5 = 10 421, 96− 10 000 = 421, 96 (u.m.)
53
Daca se capitalizeaza dobanda, peste 12 luni persoana va putea ridica suma
S12 = s · u1212 = s · (1 + i12)12 =
= 10 000 · (1 + 0, 008(3))12 =
= 10 000 · 1, 104274 =
= 11 042, 74 (u.m.)
Pentru a afla procentul anual echivalent, avem
s · u1212 = s · u1
(1 + i12)12 = 1 + I1
unde cu I1 s-a notat P1
100
I1 = (1 + i12)12 − 1 =
= (1 + 0, 008(3))12 − 1 =
= 0, 104274
si deci avem P1 = 10, 42%.
Probleme propuse
Problema 1. Care sunt dobanzile si sumele finale obtinute ın urma depunerii spre fructificare a unuicapital de 1 000 u.m. pe timp de 150 zile, ın regim de dobanda simpla, calculate ın functie de numarulde zile, chenzine si luni, stiind ca rata trimestriala a dobanzii este de 9%.
R: Dz = Dq = Dl = 150 u.m., Sz = Sq = Sl = 1150 u.m. �Problema 2. Se depun spre fructificare urmatoarele sume:s1 = 162 u.m. pe timp de 150 zile cu p = 15% (anual)s2 = 320 u.m. pe timp de 135 zile cu p = 15% (anual)s3 = 400 u.m. pe timp de 120 zile cu p = 15% (anual)s4 = 80 u.m. pe timp de 90 zile cu p = 12% (anual)s5 = 270 u.m. pe timp de 85 zile cu p = 12% (anual)s6 = 125 u.m. pe timp de 50 zile cu p = 12% (anual)s7 = 240 u.m. pe timp de 30 zile cu p = 12% (anual)Sa se afle dobanzile pentru fiecare suma depusa si apoi sa se afle dobanda totala obtinuta.R: D1 = 10, 125 u.m., D2 = 18 u.m., D3 = 20 u.m., D4 = 2, 4 u.m., D5 = 7, 65 u.m., D6 = 2, 0833
u.m., D7 = 2, 4 u.m., D = 62, 66 u.m. �Problema 3. Se considera procentul anual 8%.Se cere: procentul anticipativ conform, respectiv procentul decursiv conform.R: q = 7, 4%, p = 8, 7% �
54
Problema 4. Se depune spre fructificare suma de 105 u.m.. Cat devine aceasta suma peste 6 anidaca ın primii patru ani procentul anual este de 20%, iar ın urmatorii doi ani procentul anual este de15% ?
R: S = 287, 95 u.m. �Problema 5. La sfarsitul lunii aprilie 2004 s-a depus spre fructificare suma de 500 u.m., pe termen
de 1 luna, cu rata anuala a dobanzii de 15%. Cat a devenit aceasta suma la sfarsitul anului 2004 ? Dar lasfarsitul anului 2005 ? Mentionam ca la sfarsitul fiecarei luni dobanda s-a capitalizat. Cat devine sumade 500 u.m. dupa 1 an de la data depunerii ? Care este procentul anual echivalent ?
R: S8 = 552, 24 u.m., S20 = 641, 02 u.m., S12 = 580, 38 u.m., P = 16, 07%. �
2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi
2.2.1 Notiuni introductive
Definitie. Prin ımprumut ıntelegem un triplet de forma (s,p,t), unde s reprezinta suma initiala carese ımprumuta debitorului de catre creditor, cu procentul anual p, pe durata de timp t.�
Intuitiv, avem situatia reprezentata mai jos(s, p, t)
CREDITOR———————>DEBITORDebitorul poate rambursa suma ımprumutata ımpreuna cu dobanda aferenta ın urmatoarele doua
moduri:- o singura data ⇒ plata unica- esalonat, prin plata unor sume de bani la niste momente dinainte precizate.Pentru primul caz situatia este simpla. Se calculeaza dobanda aferenta, se adauga la suma initiala si
se ramburseaza suma finala la momentul ıntelegerii.In al doilea caz avem nevoie de niste calcule intermediare, pentru a putea determina care este dobanda
pentru suma nerambursata la un moment dat si a vedea care sunt sumele care se ramburseaza de fiecaredata, cu alte cuvinte sa calculam ratele. Pentru a usura ıntelegerea modalitatilor de calcul vom introducesi studia notiunea de anuitate.
2.2.2 Anuitati
Definitie si clasificariSa consideram ca se cumpara un bun material, iar plata lui se va face ın rate. Astfel, la diverse
momente de timp dinainte precizate, se vor face anumite plati. Consideram ca se vor plati n rate rk,k = 1, n, la momentele de timp tk, k = 1, n, dupa cum se poate observa mai jos:
r1 r2 ... rn sume de bani——+——+—————–+———>
t1 t2 ... tn timpDefinitie. Se numeste anuitate ansamblul format din rate si momentele de timp la care se platesc
ratele respective.�Anuitatile se mai ıntalnesc si sub denumirile de plati ın rate sau plati esalonate.Deoarece ratele se platesc la diverse momente de timp si, avand ın vedere ca sumele, pe anumite
perioade de timp, produc dobanzi, este dificil sa facem aprecieri sau calcule daca nu ne referim la acelasi
55
moment de timp. Din aceasta cauza, se considera un moment de timp, notat prin t, si toate sumelese vor evalua (actualiza) ın acest moment. Suma tuturor ratelor actualizate la momentul t se va numivaloarea anuitatii la momentul t.
r1 r2 ... rk−1 V(t) rk ... rn sume de bani——+——–+———–+——–+——+———+——————–>
t1 t2 tk−1 t tk tn timpRaportate la momentul de evaluare t, ratele r1, r2, ..., rk−1 sunt sume initiale si astfel, la momentul
t ele vor deveni rj · ut−tj = rj · vtj−t, j = 1, k − 1, ın timp ce ratele rk, rk+1, ..., rn sunt sume finale siele, actualizate la momentul t vor fi rj · vtj−t, j = k, n. Atunci, conform definitiei valorii anuitatii lamomentul t, avem
V (t) =n∑j=1
rj · vtj−t
Anuitatile, fiind formate atat din rate cat si din momentele de plata ale acestor rate, se pot clasificadupa mai multe criterii, cum ar fi:
• dupa rate
– cu rate constante: r1 = r2 = ... = rn
– cu rate oarecare
• dupa momentele de plata
– cu intervale constante: tk − tk−1 = const
∗ anuitate ıntreaga, ın cazul cand const = 1 an
∗ anuitate fractionata, ın cazul cand const = 1m
ani = 1 subperioada (1 an =m subperioade,m ∈ N∗, m ≥ 2)
– cu intervale oarecare
• dupa numarul platilor n
– anuitate temporara, daca n are valoare nu prea mare (finit)
– anuitate perpetua, daca n are valoare foarte mare (teoretic +∞)
• dupa momentul de evaluare t
– anuitate imediata, daca t = t1
– anuitate amanata, daca t < t1
– anuitate avansata, daca t > t1
56
Anuitati constanteDefinitie. Anuitatea se numeste constanta daca atat ratele, cat si intervalele dintre plati sunt
constante, adica avem urmatoarele relatii:
r1 = r2 = ... = rn = r
tk − tk−1 = const �
Anuitati constante ıntregi posticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste ıntreaga si posticipata daca tk − tk−1 = 1 an si
tk = k. �Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1 an, iar ratele se platesc la sfarsitul
fiecarui an.r r ... r r sume de bani
———+——+——+————–+——+—————>0 1 2 n− 1 n timp
In cele ce urmeaza dorim sa determinam valoarea la un moment t a anuitatii constante ıntregiposticipate. In acest scop vom particulariza elementele ce intervin ın relatia referitoare la valoareaanuitatii la momentul t, si anume rk = r, tk = k, k = 1, n. Atunci obtinem
V (t) =n∑k=1
r · vk−t =n∑k=1
r · vk · v−t =
= r · v−tn∑k=1
vk = r · ut(v + v2 + ...+ vn
)=
= r · ut · v − vn · v
1− v= r · ut · v · (1− v
n)
1− v=
= r · ut · 1− vn1v− 1
= r · ut · 1− vn
u− 1=
= r · 1− vn
i· ut
In final putem scrie, pentru valoarea anuitatii constante ıntregi posticipate, la un moment t, urmatoarearelatie de calcul:
V (t) = r · 1− vn
i· ut
Particularizand momentul de evaluare t, obtinem cateva cazuri importante, cum ar fi:
• valoarea initiala a anuitatii constante ıntregi posticipate, daca t = 0 : V (0) = IN = r · 1−vni
• valoarea finala a anuitatii constante ıntregi posticipate, daca t = n : V (n) = FIN = r · 1−vni·un =
r · un−1i
57
Daca n→∞, atunci obtinem valoarea anuitatii constante ıntregi posticipate perpetue, la momentult, adica V∞(t) = r · 1
i· ut
Anuitati constante ıntregi anticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste ıntreaga si anticipata daca tk − tk−1 = 1 an si
tk = k − 1.�Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1 an, iar ratele se platesc la ınceputul
fiecarui an.r r r ... r sume de bani
———+——+——+————–+——+—————>0 1 2 n− 1 n timp
In cele ce urmeaza determinam valoarea la un moment t a anuitatii constante ıntregi anticipate. Dacafiecare rata de cate r u.m. (unitati monetare), care se plateste la ınceputul fiecarui an, se evalueaza lasfarsitul fiecarui an, obtinem n rate de cate ru u.m. care se platesc la sfarsitul fiecarui an, dupa cum sepoate observa ın reprezentarea urmatoare:
ru ru ... ru ru sume de bani———+——+——+————–+——+—————>
0 1 2 n− 1 n timpAplicam acum formula referitoare la valoarea anuitatii constante intregi posticipate la momentul t,
ın care ınlocuim rata r cu ru si obtinem urmatoarea relatie de calcul pentru valoarea anuitatii constanteıntregi anticipate, la un moment t:
V (t) = ru · 1− vn
i· ut
V (t) = r · 1− vn
i· ut+1
Particularizand momentul de evaluare t, obtinem cateva cazuri importante, cum ar fi:
• valoarea initiala a anuitatii constante ıntregi anticipate, daca t = 0 : V (0) = IN = r · 1−vni· u
• valoarea finala a anuitatii constante ıntregi anticipate, daca t = n : V (n) = FIN = ru · 1−vni·un =
ru · un−1i
Daca n→∞, atunci obtinem valoarea anuitatii constante, ıntregi, anticipate perpetue, la momentult, adica V∞(t) = r · 1
i· ut+1
Anuitati constante fractionate posticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste fractionata si posticipata daca tk − tk−1 = 1
mani si
ratele se platesc la sfarsitul fiecarei subperioade.�Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1
mani = 1 subperioada, unde anul a
fost ımpartit ın m subperioade, m ∈ N∗, m ≥ 2. Se noteaza cu rm rata corespunzatoare subperioadei.rm rm ... rm rm sume de bani
—–+——–+——–+—————–+——–+—————>0 1
m2m
... m−1m
1 timpFolosind formula referitoare la valoarea anuitatii constante intregi posticipate la momentul t, obtinem
valoarea anuitatii constante fractionate posticipate, la momentul t ca fiind:
58
Vm(t) = rm ·1− vnmmim
· utmm
unde n reprezinta numarul anilor, nm numarul subperioadelor, im dobanda unitara a subperioadei,um = 1 + im, vm = 1
um.
Anuitati constante fractionate anticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste fractionata si anticipata daca tk − tk−1 = 1
mani si
ratele se platesc la ınceputul fiecarei subperioade.�Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1
mani = 1 subperioada, unde anul a
fost ımpartit ın m subperioade, m ∈ N∗, m ≥ 2. Se noteaza cu rm rata corespunzatoare subperioadei.rm rm rm ... rm sume de bani
—–+——–+——–+—————–+——–+—————>0 1
m2m
... m−1m
1 timpValoarea la momentul t a anuitatii constante fractionate anticipate este
Vm(t) = rm ·1− vnmmim
· utm+1m
daca se tine seama de formulele obtinute mai sus.Observatie. Se poate considera, pentru simplificare, ca rata corespunzatoare unui an este
proportionala cu rata corespunzatoare unei subperioade, astfel ca r = mrm. Se obtine astfel ca dacar = 1 u.m., avem rm = 1
mu.m. De asemenea, pot fi avute ın vedere si alte legaturi ıntre cele doua rate:
anuala si a subperioadei. �
2.2.3 Amortizarea ımprumuturilor indivizibile
Amortizarea ımprumuturilor indivizibile, facandu-se cel mai adesea esalonat, se bazeaza ın principal peanuitati. Pentru a putea pune ın evidenta diferitele modele de amortizare, vom avea nevoie ın cele ceurmeaza de notatii, relatii ıntre elementele care intervin, precum si de tabele de amortizare. Consideramın continuare (fara a restrange generalitatea), ca rambursarea are loc prin intermediul unor anuitatiıntregi posticipate.
Pentru a amortiza un ımprumut (s, p, t), vom avea nevoie sa cunoastem, pentru fiecare an:- suma nerambursata la ınceputul fiecarui an k, notata prin Rk, k = 1, n, unde t = n este durata ın
ani a ımprumutului,- dobanda pentru datoria nerambursata Rk ın anul k, notata prin Dk, k = 1, n,- amortismentul aferent anului k (cota din ımprumut care urmeaza a se rambursa la sfarsitul anului
k), notata prin Qk, k = 1, n,- rata corespunzatoare anului k (suma de bani care se va plati la sfarsitul anului k), notata prin rk,
k = 1, n.Intre elementele precizate mai sus au loc, ın general, cateva relatii, cum ar fi:
R1 = s
ceea ce ne spune ca la ınceput, ın primul an, datoria debitorului fata de creditor este suma ımprumutatainitial s;
59
Rk+1 = Rk −Qk, k = 1, n,
adica, suma nerambursata la ınceputul anului k + 1 se obtine din diferenta dintre suma nerambursatala ınceputul anului k si partea din ımprumut rambursata la sfarsitul anului k;
Dk = i ·Rk, k = 1, n,
ceea ce ınseamna ca dobanda pentru datoria ramasa nerambursata la ınceputul anului k se calculeazadupa formula operatiunii de dobanda simpla D = i ·Rk · 1, deoarece datoria ramane neschimbata timpde un an, iar i reprezinta dobanda unitara anuala. Dupa ce a trecut perioada ımprumutului, datoriadebitorului devine zero, deci
Rn+1 = 0
ceea ce ınseamna ca
Rn = Qn
De asemenea, ın fiecare an, rata se va calcula cu formula
rk = Qk +Dk, k = 1, n
Asa cum am precizat, aceste relatii au loc ın general. In cazurile cand una dintre aceste relatii nu vaavea loc, se va face precizarea respectiva.
Relatiile de mai sus nu sunt ıntotdeauna suficiente pentru a putea determina toate elementele ceintervin ıntr-un plan de amortizare. Ceea ce ne va ajuta ın acele situatii va fi principiul echilibruluifinanciar, care se exprima printr-o egalitate a datoriilor celor doua parti (debitor si creditor) la unacelasi moment de timp t. De exemplu, pentru t = n, acest principiu se scrie ın felul urmator
s un =n∑k=1
rk vk−n
Tinand cont de toate relatiile de mai sus, la fiecare amortizare se va ıntocmi un plan (tabel) de amortizarecare va contine cel putin urmatoarele coloane:
k Rk Dk Qk rk
si care va avea atatea linii cat este numarul de ani ın care se face rambursarea.Ca o particularitate a amortizarii ımprumuturilor indivizibile este faptul ca aceasta poate avea loc
ın mod direct sau indirect si anume:- ın cazul amortizarilor directe, debitorul ramburseaza direct creditorului datoria pe care o are fata
de el;- ın cazul amortizarilor indirecte, debitorul constituie la o terta parte fie toata datoria pe care o are
catre creditor, fie numai o parte din ea, urmand ca la scadenta debitorul sa ridice de la terta parte sumaconstituita pe care o va da creditorului. Cum depunerile de sume la terta parte de catre debitor suntınsotite si de o dobanda, este evident ca prin acest procedeu debitorul poate fi avantajat, ın sensul cape seama tertei parti debitorul ısi micsoreaza datoria fata de creditor.
60
Amortizari directeModelul 1D (modelul de amortizare prin plata unica la scadenta)Acest model este un model degenerat de amortizare, ın care debitorul restituie creditorului o singura
data, la scadenta, ıntreaga sa datorie egala cu S = s un (operatiunea de dobanda compusa). Cu notatiileadoptate, tabelul de amortizare se va completa ın felul urmator:
k Rk Dk Qk rk
1 s s i 0 0
2 s u s u i 0 0
... ... ... ... ...
n-1 s un−2 s un−2 i 0 0
n s un−1 s un−1 i s un−1 s un
Observatie. In acest caz de amortizare, relatia rk = Qk + Dk nu are loc pentru k = 1, n− 1 si areloc numai pentru k = n (ultimul an). De asemenea, Rk+1 = Rk + Dk , k = 1, n− 1, deoarece, dobandaDk desi a fost calculata, nu s-a platit, si deci trebuie cumulata. �
Modelul 2D (modelul de amortizare prin achitarea sumei la scadenta si plata periodicaa dobanzilor)
In acest caz tabelul de amortizare se prezinta ın felul urmator:
k Rk Dk Qk rk
1 s s i 0 s i
2 s s i 0 s i
... ... ... ... ...
n-1 s s i 0 s i
n s s i s s u
Ca o particularitate a acestui model este faptul ca liniile corespunzatoare anilor k = 1, n− 1 sunt identicesi asta indiferent de cati ani intermediari sunt.
Pentru a vedea daca tabloul este bine ıntocmit, se poate scrie principiul echilibrului financiar pen-tru un anumit moment de timp t. De exemplu, sa consideram t = 0, momentul la care creditorul aımprumutat debitorului suma s, si la acest moment de timp actualizam platile facute de debitor catrecreditor si anume rk, k = 1, n. Egaland cele doua valori actuale, obtinem
s =n−1∑k=1
s i vk + s u vn
Efectuand calculele ın membrul drept al relatiei de mai sus obtinem identitatea s = s.Modelul 3D (modelul de amortizare prin cote constante)Caracteristica acestui model de amortizare este faptul ca ın fiecare an se ramburseaza cote egale din
ımprumut, ınsotite bineınteles de dobanzile aferente pentru datoriile nerambursate. Aceasta ınseamnaca sunt adevarate urmatoarele relatii de calcul
61
Q1 = Q2 = ... = Qn
Qk = Q =s
n, k = 1, n
s = nQ
Atunci, tabelul de amortizare se prezinta ın felul urmator:
k Rk Dk Qk rk
1 nQ nQ i Q (n i+ 1)Q
2 (n− 1)Q (n− 1)Q i Q [(n− 1) i+ 1]Q
... ... ... ... ...
k+1 (n− k)Q (n− k)Q i Q [(n− k ) i+ 1]Q
... ... ... ... ...
n Q Qi Q (i+ 1)Q
La acest model se observa ca atat dobanzile Dk, k = 1, n, cat si ratele rk, k = 1, n, sunt termenii uneiprogresii aritmetice cu primul termen D1 = s i = nQ i si respectiv r1 = s i+Q = (n i+1)Q si cu aceeasiratie −Q i. De aceea, putem scrie
Dk+1 = Dk −Q i, k = 1, n
rk+1 = rk −Q i, k = 1, n
Prin urmare, la acest model de amortizare, rata corespunzatoare primului an este cea mai mare, celelaltefiind din ce ın ce mai mici. Acest fapt poate constitui un avantaj, dar ın acelasi timp si un dezavantajın functie de posibilitatile pe care la are debitorul.
Facem precizarea ca acest model mai este cunoscut si sub denumirea de ”model de amortizare prinrate descrescatoare”.
Evaluand la acelasi moment t = 0 datoriile celor doua parti, cu alte cuvinte suma s pe de o parte siratele rk, k = 1, n pe de alta parte, principiul echilibrului financiar se scrie sub forma
s =n∑k=1
{[s− (k − 1)Q] i+Q} vk
Efectuand calculele ın membrul drept se va ajunge la identitatea s = s.Modelul 4D (modelul de amortizare prin rate constante)La acest model, debitorul plateste la sfarsitul fiecarui an o aceeasi rata rk, k = 1, n, prin intermediul
careia acopera atat o parte din ımprumut, cat si dobanda pentru suma nerambursata. Deoarece laınceput suma nerambursata este mai mare, urmand ca ea sa scada pe masura ce se platesc cotele ınfiecare an, acest fapt atrage dupa sine dobanzi diferite, cu valoare mai mare ın primul an si ın descrestereın anii urmatori. Cum suma dintre dobanda si cota formeaza rata, care ın acest caz este constanta, vomavea cote din ce ın ce mai mari pentru fiecare an. Insa datele pe care le avem nu sunt suficiente pentrua putea ıntocmi planul (tabelul) de amortizare si prin urmare vom avea nevoie de o relatie suplimentara
62
care este principiul echilibrului financiar. La momentul t = 0 cele doua datorii sunt suma initiala s sisuma ratelor r actualizate. Ratele r formeaza o anuitate constanta ıntreaga posticipata, pentru carevaloarea initiala este data de relatia V (0) = IN = r · 1−vn
i. Astfel, obtinem urmatoarea relatie pentru
rata constanta necunoscuta
s = r · 1− vn
i
de unde obtinem
r =s i
1− vnCunoscand acum suficiente elemente, putem construi tabloul de amortizare
k Rk Dk Qk rk
1 s = r · 1−vni
s i = r (1− vn) r −D1 = r vn r
2 s− r vn = r · 1−vn−1
ir (1− vn−1) r vn−1 r
... ... ... ... ...
n r · 1−vi
r (1− v) r v r
Se constata ca ın acest caz de amortizare, cotele corespunzatoare fiecarui an sunt termenii unei progresiigeometrice cu primul termen Q1 = r vn si ratia 1
v= u. Cotele corespunzatoare anilor k = 2, n se pot
calcula folosind urmatoarea relatie
Qk = Q1 uk−1, k = 2, n
Se observa din tabelul de amortizare ca
Rn = r · 1− vi
= r ·1− 1
1+i
i
= r ·i
1+i
i= rv
= Qn
Amortizari indirecteLa acest tip de amortizari, dupa cum am mai subliniat, intervine ınca o persoana (asa numita terta
parte) pe langa creditor si debitor. Schematic, problema se prezinta ın felul urmator:(s,p,t) p’
CREDITOR——————>DEBITOR——————>TERTA PARTE<———————————————————————
In timp ce ıntre creditor si debitor se lucreaza cu procentul anual p, ıntre debitor si terta parte sefoloseste, de obicei, un procent p′. Daca p = p′, acest caz ne conduce la asa-numitul sistem francez.Daca ınsa p 6= p′, suntem condusi la sistemul american de amortizare. Se demonstreaza matematicfaptul ca daca p′ > p atunci debitorul iese ın avantaj fata de creditor, pe seama tertei parti. Atat ıntrecreditor si debitor pe de o parte, cat si ıntre debitor si terta parte pe de alta parte, va avea loc cate
63
o amortizare directa efectuata dupa unul dintre modelele de amortizare directa prezentate mai sus. Sepot imagina diverse combinatii. Dintre acestea, prezentam ın cele ce urmeaza cateva.
Modelul 1I (modelul de amortizare prin plata periodica a dobanzilor catre creditor siconstituirea sumei ımprumutate la terta parte prin plati periodice constante)
Acest model de amortizare indirecta este constituit din doua modele de amortizare directa, dupacum urmeaza
CREDITOR
2D↗DEBITOR
4D↘TERTA PARTE
Corespunzator modelului de amortizare directa 2D, debitorul va plati anual creditorului dobanzile (cal-culate cu procentul p), urmand sa restituie suma ımprumutata s la scadenta. In paralel, debitorul vaconstitui aceasta suma s la terta parte (folosind procentul p′) prin plati periodice constante (conformmodelului de amortizare directa 4D). Daca ın final suma s va fi constituita la terta parte atunci, la mo-mentul t = 0, aceasta suma va fi s′ = s v′n (pentru a afla datoria la momentul t = 0 fata de terta parte,se actualizeaza suma s prin intermediul procentului p′). Rata constanta pe care o va plati debitorultertei parti ın fiecare an se va calcula dupa formula
r′ =s′ i′
1− v′nsau
r′ =s v′n i′
1− v′n
Modelul 2I (modelul de amortizare printr-o unica plata catre creditor si constituireaıntregii sume datorate la terta parte prin plati periodice constante)
Aceste model de amortizare indirecta este constituit din doua modele de amortizare directa, dupacum urmeaza
CREDITOR
1D↗DEBITOR
4D↘TERTA PARTE
Corespunzator modelului de amortizare directa 1D, debitorul nu va plati nimic creditorului decat ınultimul an, la scadenta, cand va ınapoia ıntreaga datorie (calculata cu procentul p), si anume sumaS = s un. In paralel, debitorul va constitui aceasta suma S la terta parte (folosind procentul p′) prinplati periodice constante (conform modelului de amortizare directa 4D). Daca ın final suma S va ficonstituita la terta parte, atunci la ınceput (la momentul t = 0) aceasta suma va fi S ′ = S v′n = s un v′n
(pentru a afla datoria la momentul t = 0 fata de terta parte, se actualizeaza suma S prin intermediulprocentului p′). Atunci rata constanta pe care o va plati debitorul tertei parti ın fiecare an se va calculadupa formula
64
r′ =S ′ i′
1− v′nsau
r′ =s un v′n i′
1− v′nBibliografie1. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,
Cluj-Napoca, 2005Probleme rezolvateProblema 1. O persoana achizitioneaza un bun ın valoare de 1 000 u.m., plata acestui bun urmand
a se efectua ın rate egale pe timp de doi ani. Se cunoaste procentul anual p = 10% si se considera cadobanda unitara corespunzatoare unei subperioade nu este proportionala cu dobanda unitara anuala(suntem ın cazul operatiei de dobanda compusa). Sa se calculeze care este valoarea unei rate daca plataare loc:
a) la sfarsitul fiecarui an;b) la ınceputul fiecarui an;c) la sfarsitul fiecarei luni;d) la ınceputul fiecarei luni;e) la sfarsitul fiecarui trimestru;f) la ınceputul fiecarui trimestru;Care este valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor doi ani, ın fiecare caz ın parte?Rezolvare. Fiind vorba despre o plata ın rate, avem, de fapt, pentru fiecare caz ın parte cate o
anuitate, dupa cum urmeaza:a) anuitate constanta ıntreaga posticipata;b) anuitate constanta ıntreaga anticipata;c) si e) anuitate constanta fractionata posticipata;d) si f) anuitate constanta fractionata anticipata.Pentru fiecare caz ın parte, pretul bunului achizitionat (1 000 u.m.) reprezinta valoarea initiala a
anuitatii (V (0) = IN), iar valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor doi ani reprezinta valoareafinala a anuitatii (V (n) = V (2) = FIN). Prin urmare, rata constanta se va gasi, de fiecare data, dinformula valorii initiale a anuitatii respective.
a) In acest caz avem n = 2 si
V (t) = r · 1− vn
i· ut
V (0) = r · 1− vn
i
V (n) = r · un − 1
ip = 10%; i = 0, 1; u = 1, 1; v = 0, (90)
de unde, ınlocuind elementele cunoscute, obtinem
103 = r · 1− (0, (09))2
0, 1
65
care este o ecuatie de gradul ıntai ın necunoscuta r. Solutia acestei ecuatii se exprima astfel
r =0, 1 · 103
1− (0, (90))2
de unde rata constanta ce se va plati la sfarsitul fiecarui an este
r = 576, 19 u.m.
In acest caz, valoarea finala a anuitatii este
V (2) = r · u2 − 1
i
= 576, 19 · (1, 1)2 − 1
0, 1
= 1 210 (u.m.)
b) Daca plata ratelor constante se va face la ınceputul fiecarui an, suntem condusi la urmatoarelevalori ale anuitatii constante ıntregi anticipate
V (t) = r · 1− vn
i· ut+1
V (0) = r · 1− vn
i· u
V (n) = r · un − 1
i· u
p = 10%; i = 0, 1; u = 1, 1; v = 0, (90)
Inlocuind elementele cunoscute ın valoarea initiala a anuitatii, obtinem rata ın acest caz:
103 = r · 1, 1 · 1− (0, (90))2
0, 1
r =0, 1 · 103
1, 1(1− (0, (90))2
)r = 523, 81 u.m.
Valoarea finala a anuitatii este
V (2) = r · u2 − 1
i· u =
= 523, 81 · 1, 1 · (1, 1)2 − 1
0, 1=
= 1 210 u.m.
66
c) In acest caz, persoana va plati lunar, la sfarsitul fiecarei luni, timp de doi ani aceeasi suma de bani(rata). Fiind vorba de luna, m = 12 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul). Suntem ın cazulunei anuitati constante fractionate si posticipate, iar valoarea ei la un anumit moment de timp t este
Vm(t) = rm ·1− vnmmim
· utmm
Vm(0) = rm ·1− vnmmim
Vm(nm) = rm ·unmm − 1
im
nm = 24, i12 = 12√
1 + i− 1 = 0, 0079,
u12 = 1, 0079, v12 = 0, 9920
Inlocuind datele cunoscute, obtinem
103 = r12 ·1− (0, 9920)24
0, 0079
r12 =0, 0079 · 103
1− (0, 9920)24
r12 = 45, 95 u.m.
Valoarea finala este
V12(24) = r12 ·u2412 − 1
i12=
= 45, 95 · (1, 0079)24 − 1
0, 0079=
= 1 210 u.m.
d) In acest caz, persoana va plati lunar, la ınceputul fiecarei luni, timp de doi ani o aceeasi suma debani (rata). Fiind vorba de luna, m = 12 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul). Suntem ıncazul unei anuitati constante, fractionate si anticipate, iar valoarea ei la un anumit moment de timp teste
Vm(t) = rm ·1− vn·mmim
· u(t+1)mm
Vm(0) = rm ·1− vn·mmim
· um
Vm(nm) = rm ·un·mm − 1
im· um
nm = 24, i12 = 12√
1 + i− 1 = 0, 0079,
u12 = 1, 0079, v12 = 0, 9920
67
Inlocuind datele cunoscute, obtinem
103 = r12 · 1, 0079 · 1− (0, 9920)24
0, 0079
r12 =0, 0079 · 103
1, 0079 ·(1− (0, 9920)24
)r12 = 45, 58 u.m.
Valoarea finala este
V12(24) = r12 ·u2412 − 1
i12· u12 =
= 45, 58 · 1, 0079 · (1, 0079)24 − 1
0, 0079=
= 1 210 u.m.
e) In acest caz, persoana va plati trimestrial, la sfarsitul fiecarui trimestru, timp de doi ani o aceeasisuma de bani (rata). Fiind vorba de trimestru, m = 4 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul).Suntem ın cazul unei anuitati constante fractionate si posticipate, iar valoarea ei la un anumit momentde timp t este
Vm(t) = rm ·1− vnmmim
· utmm
Vm(0) = rm ·1− vnmmim
Vm(nm) = rm ·unmm − 1
im
nm = 8, i4 = 4√
1 + i− 1 = 0, 0241,
u4 = 1, 0241, v4 = 0, 9764
Inlocuind datele cunoscute, obtinem
103 = r4 ·1− (0, 9764)8
0, 0241
r4 =0, 0241 · 103
1− (0, 9764)8
r4 = 138, 94 u.m.
Valoarea finala este
68
V4(8) = r4 ·u84 − 1
i4=
= 138, 94 · (1, 0241)8 − 1
0, 0241=
= 1 210 u.m.
f) In acest caz, persoana va plati trimestrial, la ınceputul fiecarui trimestru, timp de doi ani o aceeasisuma de bani (rata). Fiind vorba de trimestru, m = 4 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul).Suntem ın cazul unei anuitati constante fractionate si anticipate, iar valoarea ei la un anumit momentde timp t este
Vm(t) = rm ·1− vn·mmim
· u(t+1)mm
Vm(0) = rm ·1− vn·mmim
· um
Vm(nm) = rm ·un·mm − 1
im· um
nm = 8, i4 = 4√
1 + i− 1 = 0, 0241,
u4 = 1, 0241, v4 = 0, 9764
Inlocuind datele cunoscute, obtinem
103 = r4 · 1, 0241 · 1− (0, 9764)8
0, 0241
r4 =0, 0241 · 103
1, 0241(1− (0, 9764)8
)r4 = 135, 67 u.m.
Valoarea finala este
V4(8) = r4 ·u84 − 1
i4· u4 =
= 135, 67 · 1, 0241 · (1, 00241)8 − 1
0, 0241=
= 1 210 u.m.
Problema 2. O persoana ımprumuta suma de 500 u.m., negociind scadenta ımprumutului la 6 anisi dobanda anuala la valoarea de 25%. De asemenea, la momentul efectuarii ımprumutului se stabilesteca ıntreaga datorie (suma ımprumutata si dobanda aferenta) se va plati la scadenta. Sa se ıntocmeascaplanul de amortizare corespunzator rambursarii acestui ımprumut.
69
Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 1D. Se cunosc urmatoarele date:
s = 500, n = 6, p = 12%
de unde obtinem, pentru factorul de actualizare u valoarea 1, 12. La momentul scadentei (sfarsitul celuide-al patrulea an) se va rambursa suma S = s un = 986, 91 u.m.; la sfarsitul celorlalti ani nu se platestenimic. Tabloul de amortizare se prezinta dupa cum urmeaza
k Rk Dk Qk rk
1 500 60 0 0
2 560 67.2 0 0
3 627.2 75.26 0 0
4 702.46 84.3 0 0
5 786.76 94.41 0 0
6 881.17 105.74 881.17 986.91
�Problema 3. Se considera acelasi ımprumut de 500 u.m. (ca si la Problema 2), rambursabil pe
timp de 6 ani cu dobanda anuala 12%. De aceasta data, la sfarsitul fiecarui an, vor fi platite dobanzileaferente, iar suma ımprumutata se va restitui la scadenta. Sa se prezinte tabloul de amortizare.
Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 2D. Tabloul de amortizare urmatorul:
k Rk Dk Qk rk
1 500 60 0 60
2 500 60 0 60
3 500 60 0 60
4 500 60 0 60
5 500 60 0 60
6 500 60 500 560
�Problema 4. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 500 u.m., pe timp de 6 ani, cu dobanda
anuala 12%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sa se ramburseze aceeasi cota din ımprumut, la care seadauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa se ıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzator acestuiımprumut.
Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 3D pentru care cota corespunzatoare fiecaruian este aceeasi si anume
Qk = Q =s
n, k = 1, n
In acest caz avem:
s = 500, n = 6, p = 12%
si atunci obtinem
70
i = 0, 12, u = 1, 12
Qk = Q = 83, (3), k = 1, 6
Tabloul de amortizare este:
k Rk Dk Qk rk
1 500 60 83.33 143.33
2 416.67 50 83.33 133.33
3 333.33 40 83.33 123.33
4 250 30 83.33 113.33
5 166.67 20 83.33 103.33
6 83.33 10 83.33 93.33
�Problema 5. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut de 500 u.m., pe timp de
6 ani, cu dobanda anuala de 12%, daca rambursarea are loc prin plati periodice constante (la sfarsitulfiecarui an).
Rezolvare. Platile periodice constante care vor avea loc sunt, de fapt, rate constante, deci este vorbade modelul de amortizare directa 4D. Datele problemei sunt:
s = 500, n = 6, p = 12%
Rata constanta se calculeaza considerand ca suma ımprumutata s este valoarea initiala a unei anuitaticonstante, ıntregi, posticipate cu ratele constante r. Atunci are loc urmatoarea relatie:
s = r · 1− vn
i
de unde rezulta formula de calcul pentru rata constanta si anume:
r =s i
1− vnPrin urmare, la sfarsitul fiecarui an se va rambursa rata constanta r cu care se acopera atat o parte dinımprumut, cat si dobanda pentru suma nerambursata corespunzatoare fiecarui an. In acest caz avem:
r =500 · 0, 12
1−(
11,12
)6r = 121, 61 (u.m.)
Tabloul de amortizare este urmatorul:
71
k Rk Dk Qk rk
1 500 60 61.61 121.61
2 438.39 52.61 69.01 121.61
3 369.38 44.33 77.29 121.61
4 292.09 35.05 86.56 121.61
5 205.53 24.66 96.95 121.61
6 108.58 13.03 108.58 121.61
�Problema 6. O persoana (creditorul) ımprumuta de la o banca suma de 2 500 u.m., pe timp de 5
ani, cu dobanda anuala 11%. Persoana ın cauza (debitorul) urmeaza sa restituie creditorului dobanzilela sfarsitul fiecarui an, iar suma necesara restituirii sumei ımprumutate o va constitui la o alta banca(terta parte) prin plati periodice constante pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 12%. Sa se ıntocmeascaplanurile de amortizare pentru rambursarea acestui ımprumut.
Rezolvare. Intre debitor si creditor va avea loc o amortizare directa de tipul 2D, cu procentul p, iarıntre debitor si terta parte, o amortizare directa de tipul 4D, cu procentul p′, ceea ce ınseamna ca estevorba, de fapt de o amortizare indirecta dupa modelul 1I. Se cunosc:
s = 2 500, n = 5, p = 11%, p′ = 12%
La scadenta, debitorul trebuie sa aiba constituita la terta parte suma s care, actualizata la momentulcontractarii ımprumutului, cu procentul corespunzator tertei parti, p′, este
s′ = s v′n
s′ = 1418, 57 (u.m.)
Aceasta suma este valoarea initiala a unei anuitati constante ıntregi posticipate cu rata constanta r′.Deci, putem scrie
s v′n = r′1− v′n
i′
Astfel, rata constanta r′ ce va trebui platita la sfarsitul fiecarui an tertei parti este data de relatia
r′ =s v′n i′
1− v′n
r′ =2 500 ·
(1
1,12
)5· 0, 12
1−(
11,12
)5r′ = 393, 52 (u.m.)
Tabloul de amortizare debitor-creditor (2D) este urmatorul
72
k Rk Dk Qk rk
1 2500 275 0 275
2 2500 275 0 275
3 2500 275 0 275
4 2500 275 0 275
5 2500 275 2500 2775
Tabloul de amortizare debitor-terta parte (4D) este:
k Rk Dk Qk rk
1 1418.57 170.23 223.3 393.52
2 1195.27 143.43 250.09 393.52
3 945.18 113.42 280.1 393.52
4 665.08 79.81 313.72 393.52
5 351.36 42.16 351.36 393.52
Se observa ca sumele depuse la terta parte, vor deveni la scadenta:
r′(u′3 + u′2 + u′ + 1
)= 393, 52 (1, 4049 + 1, 2544 + 1, 12 + 1) =
= 1 880, 75 (u.m.) �
Problema 7. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare a unui ımprumut ın valoare de 2 500 u.m.,rambursabil pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 11%, prin achitarea la scadenta a ıntregii datorii catrecreditor si constituirea sumei datorate la o terta parte cu dobanda anuala 12%, prin plati periodiceconstante.
Rezolvare. Se cunosc
s = 2 500, n = 5, p = 11%, p′ = 12%
Intre debitor si creditor procentul este p, iar modelul de amortizare directa este 1D; ıntre debitor siterta parte procentul este p′, iar modelul de amortizare directa este 4D. In concluzie, este vorba de oamortizare indirecta dupa modelul 2I.
Tabloul de amortizare debitor-creditor (1D) este
k Rk Dk Qk rk
1 2500 275 0 0
2 2775 305.25 0 0
3 3080.25 338.83 0 0
4 3419.08 376.1 0 0
5 3795.18 417.47 3795.18 4212.65
La scadenta, debitorul trebuie sa aiba constituita la terta parte suma s un care este datoria pe care oare fata de creditor si care, actualizata la momentul initial (ın raport cu procentul p′) este s un v′n. Deci,
73
la momentul initial, datoria debitorului fata de terta parte este s un v′n, suma care reprezinta valoareainitiala a unei anuitati constante, ıntregi, posticipate, cu rata constanta r′. Are loc urmatoarea relatie:
s un v′n = r′1− v′n
i′
s un v′n = 2 390, 37 u.m.
de unde obtinem formula de calcul pentru rata r′ si anume
r′ =s un v′n i′
1− v′n
r′ =2 500 · (1, 11)5 ·
(1
1,12
)5· 0, 12
1−(
11,12
)5r′ = 663, 11 (u.m.)
Tabloul de amortizare debitor-terta parte (4D) este
k Rk Dk Qk rk
1 2390.37 286.84 376.27 663.11
2 2014.1 241.69 421.42 663.11
3 1592.68 191.12 471.99 663.11
4 1120.69 134.48 528.63 663.11
5 592.06 71.05 592.06 663.11
�Teme de controlProbleme propuseProblema 1. O persoana doreste sa cumpere un autoturism ın valoare de 5100 u.m., achitand un
avans de 20% din pret si urmand ca restul sumei de bani sa o achite prin plati periodice constante petimp de 5 ani. Se cunoaste procentul anual p = 10% si se considera ca dobanda unitara corespunzatoareunei subperioade nu este proportionala cu dobanda unitara anuala (suntem ın cazul operatiei de dobandacompusa). Sa se calculeze care este valoarea unei rate daca plata are loc:
a) la sfarsitul fiecarui an;b) la ınceputul fiecarui an;c) la sfarsitul fiecarei luni;d) la ınceputul fiecarei luni;e) la sfarsitul fiecarui trimestru;f) la ınceputul fiecarui trimestru;Care este valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor 5 ani, ın fiecare caz ın parte.R: a) r = 1076, 29 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m.b) r = 978, 45 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m.c) r12 = 85, 83 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m.
74
d) r12 = 85, 15 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m.e) r4 = 259, 53 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m.f) r4 = 253, 42 u.m., V (5) = 6570, 88 u.m. �Problema 2. O persoana ımprumuta suma de 6 000 u.m., pe timp de 4 ani cu un procent anual
de 9%. La momentul efectuarii ımprumutului se stabileste ca ıntreaga datorie (suma ımprumutata sidobanda aferenta) se va rambursa la scadenta. Sa se ıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzatoracestui ımprumut.
R: Este vorba de modelul de rambursare 1D, rk = 0 pentru k = 1, 3, iar r4 = 8469, 49 u.m. �Problema 3. Se considera un ımprumut de 4 500 u.m., rambursabil pe timp de 5 ani cu un procent
anual de 11%. La sfarsitul fiecarui an, vor fi platite dobanzile aferente, iar suma ımprumutata se varestitui la scadenta. Sa se construiasca tabloul de amortizare.
R: Este vorba de modelul de rambursare 2D, Dk = 495 u.m., unde k = 1, 5. �Problema 4. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 20 000 u.m., ın vederea achizitionarii
unei locuinte, pe timp de 10 ani, cu un procent anual de 10%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sase ramburseze aceeasi cota din ımprumut, la care se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa seıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzator acestui ımprumut.
R: Este vorba de modelul de rambursare 3D, Qk = 2 000 u.m., k = 1, 10. �Problema 5. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut ın valoare de 2 500 u.m.,
pe timp de 6 ani, cu un procent anual de 11%, daca rambursarea are loc prin plati periodice constante(la sfarsitul fiecarui an).
R: Este vorba de modelul de rambursare 4D, rk = 316, 98 u.m., k = 1, 6. �Problema 6. O persoana ımprumuta de la o alta persoana suma de 7 500 u.m., pe timp de 5 ani,
cu un procent anual de 12%. Debitorul urmeaza sa restituie Creditorului dobanzile la sfarsitul fiecaruian, iar suma necesara restituirii sumei ımprumutate o va constitui la o banca (Terta parte) prin platiperiodice constante pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 15%. Sa se ıntocmeasca tablourile de amortizare.
R: Este vorba de modelul de rambursare 1I, Dk = 900 u.m., unde k = 1, 5, iar R′1 = 3 728, 83 u.m.,
rk = 1 112, 37 u.m., k = 1, 5, �Problema 7. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut ın valoare de 12 000 u.m.,
rambursabil pe timp de 10 ani, cu un procent anual de 12%, prin achitarea la scadenta a ıntregii datoriicatre Creditor si constituirea sumei datorate la o Terta parte cu dobanda anuala 9%, prin plati periodiceconstante.
R: Este vorba de modelul de rambursare 2I, r10 = 37 270, 18 u.m., R′1 = 11 004, 53 u.m., rk = 2453, 13
u.m., k = 1, 10. �
75
Capitolul 3
MODULUL III. MATEMATICIACTUARIALE
Obiective
• Familiarizarea cu tehnicile si metodele utilizate in cadrul matematicilor actuariale
• Definirea notiunilor de plata viagera unica, anuitati viagere, plati in caz de deces, asigurari depersoane si bunuri
Concepte de baza
• Functii biometrice (probabilitati de viata si de deces, functia de supravietuire, viata medie, tabelede mortalitate)
• Plati viagere (plata viagera unica, anuitati viagere)
• Plati in caz de deces (plata unica in caz de deces, anuitati de deces)
• Asigurari de persoane. Rezerva matematica.
• Asigurari de bunuri
Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile
introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete.Sinteza
3.1 UNITATEA 1. Functii biometrice
1.1. IntroducereNotiunea de asigurare de persoane vizeaza modurile ın care se poate face o plata, nu ın mod cert
ci numai probabil, daca se realizeaza anumite evenimente ce privesc viata sau decesul unei persoaneasigurate. Studiul acestor fenomene de viata si de deces poate fi realizat datorita unor caracteristici ce
76
li se pot atribui. Cea mai importanta caracteristica este mortalitatea. Intensitatea mortalitatii este datade anumiti coeficienti numerici. Acestia pot lua mai multe valori, variatia fiecaruia prezentand un aspectfunctional ın sensul ca ın general variabila independenta este varsta, iar functia (variabila dependenta)este mortalitatea.
1.2. Probabilitatile de viata si de decesSe considera o colectivitate ın care toti indivizii au aceeasi varsta - x ani. Se poate pune ıntrebare:
care este probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa fie ın viata la varsta de y ani, y ≥ x. Raspunsuleste exprimat prin probabilitatea de viata, notata prin simbolul p (x, y). Probabilitatea evenimentuluicontrar, ca persoana ın varsta de x ani sa nu fie ın viata la y ani, este probabilitatea de deces pe careo vom nota cu simbolul q (x, y). Intre cele doua notatii are loc relatia corespunzatoare probabilitatilorunor evenimente contrare
p (x, y) + q (x, y) = 1
Cazuri particulare:1) Daca y = x + 1 vom scrie p (x, y) = p(x, x + 1) = px care este probabilitatea ca persoana ın
varsta de x ani sa fie ın viata peste 1 an, respectiv q (x, y) = q(x, x + 1) = qx, care este probabilitateaca persoana ın varsta de x ani sa nu mai fie ın viata peste 1 an. Evident, avem: px + qx = 1.
2) Daca y = x + n vom scrie p (x, y) = p(x, x + n) =n px care este probabilitatea ca persoana ınvarsta de x ani sa fie ın viata peste n an, respectiv q (x, y) = q(x, x+ n) =n qx care este probabilitateaca persoana ın varsta de x ani sa nu mai fie ın viata peste n an. Evident, avem: npx +n qx = 1. �
Observatie: Probabilitatile de viata si de deces se determina pe cale experimentala studiind o marecolectivitate de persoane care traiesc ın aceleasi conditii. Cu aceste probabilitati se ıntocmesc tabele.
1.3. Functia de supravietuireUna dintre cela mai importante caracteristici ce se regasesc ın teoria asigurarilor este functia de
supravietuire.Consideram o colectivitate de persoane, toate avand aceeasi varsta de a ani si notam cu la volumul
colectivitatii (numarul de persoane ce formeaza respectiva colectivitate).Definitie. Se numeste functie de supravietuire lx numarul mediu de persoane din cele la care vor fi
ın viata la varsta de x ani (a ≤ x).�Observatie. Functia de supravietuire depinde deci de varsta persoanei asigurate si se defineste ca
valoarea medie a numarului de persoane care ajung la varsta de x ani dintr-un numar de la persoaneın varsta de a ani �
Pentru a exprima valoarea functiei lx vom construi o variabila aleatoare Z pentru care M(Z) = lx.Notam cu z numarul persoanelor ın viata la x ani si cu p (a, x) probabilitatea ca o persoana ın varstade a ani sa fie ın viata la varsta de x ani. Persoanele din colectivitate traiesc ın aceeasi zona, ın aceleasiconditii si astfel putem aprecia ca distributia variabilei aleatoare Z este o distributie binomiala (dacaexperienta se repeta de mai multe ori ın aceleasi conditii, deci daca probabilitatea de a se realiza uneveniment nu se modifica la diverse repetari ale experientei, atunci distributia binomiala este cea caretrebuie realizata, iar pentru variabila aleatoare, Z, p(a, x) are aceeasi valoare pentru orice persoana dincolectivitate).
Facem precizarea ca distributia binomiala, ın general, are forma:
77
X :
[x
Cxnp
xqn−x
]x=0,n
pentru care valoarea medie este: M(X) = np, iar dispersia este D2(X) = npq.In cazul nostru, variabila este notata cu Z, valorile variabilei sunt z, n = la, p = p(a, x), q =
q(a, x).Astfel obtinem
Z :
[z
Czla
(p (a, x))z (q (a, x))la−z
]z=0,la
Conform formulei de mai sus pentru media distributiei binomiale, obtinem
M(Z) = lx = p (a, x) · lade unde rezulta imediat
p (a, x) =lxla�
Consideram ın cele ce urmeaza a ≤ x ≤ y. Extinzand rezultatele, putem spune ca evenimentul ca opersoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la varsta de y ani este dat de intersectia a doua evenimentedependente si anume: primul, ca persoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la x ani si al doilea, capersoana ın varsta de a ani (si care a ajuns la varsta de x ani) sa fie ın viata si la y ani. Respectandformula pentru probabilitatea intersectiei a doua evenimente dependente se poate scrie:
p (a, y) = p (a, x) · p (x, y)
unde p(x, y) este de fapt o probabilitate conditionata. Din aceasta relatie, se obtine
p (x, y) =p (a, y)
p (a, x)
adica obtinem exprimarea probabilitatii de viata cu ajutorul functiei de supravietuire
p (x, y) =lylx
daca s-a facut simplificarea cu la. �1.4. Viata medieA treia functie biometrica importanta este viata medie. Pentru a o defini consideram o persoana
ın varsta de x ani. Trebuie evidentiat ın cele ce urmeaza numarul de ani cati mai are de trait aceastapersoana. Pentru simplificarea calculelor, admitem urmatoarea ipoteza simplificatoare: persoana, oricarear fi ea, decedeaza la jumatatea unui an, deci admitem ca o persoana de o anumita varsta de x ani maiare de trait un numar ıntreg de ani si jumatate.
Notam cu Z variabila aleatoare ce reprezinta numarul de ani si jumatate cati mai are de trait opersoana ın varsta de x ani.
Z :
[n+ 1
2
n/n+1qx
]n=0,1,...
78
unde n/n+1qx este probabilitatea ca persoana sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1 ani (la jumatateaanului), adica
n/n+1qx = p (x, x+ n) · qx+n =lx+nlx·(
1− lx+n+1
lx+n
)=lx+n − lx+n+1
lx
Definitie. Viata medie, notata cu simbolul ex, se defineste ca valoarea medie a numarului de anicati mai are de trait o persoana ın varsta de x ani. �
Prin urmare, ex = M (Z) si are valoarea
ex =∑n≥0
(n+
1
2
)· lx+n − lx+n+1
lx
sau, dezvoltand suma, obtinem expresia
ex =1
2+
1
lx·∑n≥1
lx+n.�
Observatie: Lipsa indicelui superior la semnul sumei semnifica faptul ca ınsumarea este limitatanumai la acei indici ai elementelor constitutive pentru care varsta x + n nu depaseste limita de varsta(practic 100 ani).�
1.5. Tabele de mortalitatePentru a dispune de valorile functiilor utilizate, ın teoria asigurarilor de persoane, se ıntocmesc
tabele de mortalitate fundamentate pe date statistice si pe ajustarea acestor date prin diferite metodede calcul. De regula, tabelele contin urmatoarele valori: x - numarul de ani, lx - functia de supravietuire,dx - numarul persoanelor decedate ıntre varsta de x si x + 1 ani, px - probabilitatea de viata, qx- probabilitatea de deces, ex - viata medie. De asemenea, tabelele contin si o serie de ,,numere decomutatie” la care vom face referire ın cele ce urmeaza.
Toate numerele utilizate ın teoria asigurarilor de persoane se pot deduce prin calcul, pornind, deexemplu, de la numerele lx.
1.6. Arborescenta viagera si de decesPentru ilustrarea momentelor ın care se efectueaza diferite categorii de plati, vom construi o
arborescenta (un graf simplificat) ce evidentiaza fenomenul de viata, respectiv de deces. Varfurilearborescentei simbolizeaza anii, iar arcele arata faptul ca persoana ramane ın viata de la un an laaltul (arcele superioare) sau ca decedeaza ın anul respectiv (acul inferior).
Vom exemplifica arborescenta viagera si de deces pentru urmatoarea situatie: persoana ın varsta dex ani va fi ın viata la varsta de x+n ani si nu va fi ın viata la varsta de x+n+ 1 ani. Astfel vom puteacalcula probabilitatea n/n+1qx, folosita la determinarea vietii medii. Asadar, avem:
px px+n−1|−−−−−−↓|− ... −−−−↓|−−−−−−−−−−↓x x+ 1 ... x+ n− 1 x+ n x+ n+ 1
|−−−−−−−−−−−−↑qx∗n
Pe arcele superioare s-au ınscris probabilitatile px, ..., px+n−1, iar pe arcul inferior probabilitateaqx+n. Deci, evenimentul ca persoana ın varsta de x ani sa fie ın viata la x+ n ani are probabilitatea
79
px · px+1 · ... · px+n−2 · px+n−1 =lx+1
lx· lx+2
lx+1
· ... · lx+n−1lx+n−2
· lx+nlx+n−1
=lx+nlx
= p (x, x+ n) =n px
Atunci, evenimentul ca persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1 ani areprobabilitatea
npx · qx+n =lx+nlx·(
1− lx+n+1
lx+n
)=lx+n − lx+n+1
lx=n/n+1 qx
Observatie. Daca ıntr-o arborescenta viagera si de deces pot exista mai multe arce superioare,fiecare simbolizand ca persoana este ın viata ıntre cei doi ani consecutivi, exista un singur arc inferiorsi anume cel care corespunde anului ın care are loc decesul. �
Exemplu. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 49 si n = 2. Sa se explicesemnificatiile probabilitatilor p49 , p50 , 2p49 si q51.
Rezolvare: Varfurile arborescentei sunt reprezentate de 49, 50, 51 si 52 si cu ajutorul arcelor vomcalcula probabilitatile mentionate. Vom avea urmatoarea arborescenta:
p49 p50|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓
49 50 51 52
|−−−−−−−−−−−−↑q51
Astfel, probabilitatile cerute vor avea urmatoarele semnificatii:
• p49- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste un an, deci la 50 ani;
• p50- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 50 ani sa fie ın viata la 51 ani;
• q51- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 51 ani sa nu fie ın viata peste un an, la 52 ani;
• 2p49 - este probabilitatea ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste doi an, deci la 51 ani.
Vom calcula aceste probabilitati cu ajutorul valorilor functiei de supravietuire luate din tabelele demortalitate, obtinand:
p49 =l50l49
=81077
81603= 0, 9935541,
p50 =l51l50
=80501
81077= 0, 9928956,
q51 = 1− p51 = 1− l52l51
= 1− 79867
80501= 0, 0078757
In cazul probabilitatii evenimentului ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste 2 ani, adicala 51 ani, se poate utiliza relatia
80
2p49 = p49 · p50 = 0, 9935541 · 0, 9928956 = 0, 9864954
sau relatia
2p49 =l51l49
=80501
81603= 0, 9864955 �
3.2 UNITATEA 2. Plati viagere
2.1. GeneralitatiAsa cum am mai precizat, ın cadrul asigurarilor de persoane, platile efectuate de cele doua parti
au un caracter aleator. In ceea ce ıl priveste pe asigurat, plata are loc doar daca este ın viata lamomentul efectuarii platii, iar asiguratorul va efectua operatiunea doar daca se realizeaza evenimentulstabilit prin contractul de asigurare. Plata se considera ca fiind o variabila aleatoare cu distributiestabilita. Pentru ca ıntre obligatiile partilor contractante sa se realizeze principiul echilibrului financiar,se impune egalitatea valorilor medii actuale ale celor doua variabile aleatoare: plata efectuata de catreasigurator si plata efectuata de catre asigurat, ambele actualizate. In practica, valoarea medie actuala aplatii (platilor) efectuate de catre asigurat se numeste prima de asigurare si poate fi unica sau periodica,iar valoarea medie actuala a platii (platilor) efectuate de catre asigurator se numeste suma asiguratasi poate fi, de asemenea, unica sau periodica. Primele, rezultate din compararea obligatiilor celor douaparti ın momentul semnarii contractului de asigurare, se numesc prime matematice (nete), la acesteaputandu-se adauga, ınsa, unele plusuri ca urmare a unor cheltuieli de administrare.
Daca notam cu Z1, Z2, ..., Zn variabilele aleatoare corespunzatoare platilor efectuate ın cazul maimultor asigurari si cu Z variabila suma a acestor variabile, avem egalitatea:
Z = Z1 + Z2 + ...+ Zn
Pentru valorile medii avem relatia
M (Z) = M (Z1) +M (Z2) + ...+M (Zn)
Notand cu P - prima, obtinem urmatoarele relatii
P = M (Z) , P1 = M (Z1) , ..., Pn = M (Zn)
Astfel, putem scrie egalitatea
P = P1 + P2 + ...+ Pn
ce exprima principiul cumularii contractelor.2.2. Tipuri de plati viagereDefinitie. Plata viagera reprezinta acel tip de plata care se efectueaza de (sau catre) o persoana
atat timp cat ea este ın viata la momentul efectuarii platii.Plata viagera unicaVom ilustra aceasta plata prin formularea unei probleme.
81
Consideram o persoana ın varsta de x ani careia urmeaza sa i se plateasca peste n ani o unitatemonetara, daca va fi ın viata atunci. Daca persoana nu va fi ın viata la x+n ani, atunci nu se va efectuanici o plata. Ne propunem sa aflam care este valoarea medie actuala a acestei plati, acum, cand persoanaeste ın varsta de x ani.
Notand cu Z variabila aleatoare care reprezinta plata efectuata, ea va avea urmatoarea distributie
Z :
[vn 0
npx nqx
]n=0,1,...
Valorile variabilei aleatoare Z sunt sumele actualizate ce se vor plati dupa modelul descris mai sus,iar probabilitatile cu care variabila ia aceste valori sunt precizate pe linia a doua. Practic, ın cazulnostru, vn reprezinta valoarea actuala a unitatii monetare (v este factorul de actualizare ın operatia dedobanda compusa) pentru situatia ın care persoana va fi ın viata peste n ani, iar 0 este valoarea actualaa 0 unitati monetare, daca persoana nu este ın viata peste n ani. De asemenea, avem npx - probabilitateaca o persoana de x ani sa fie ın viata peste n ani, iar nqx reprezinta probabilitatea evenimentului contrar.
Definitie. Valoarea medie a variabilei aleatoare Z se numeste factor de actualizare viager si senoteaza cu simbolul nEx. �
Deci,
nEx = M (Z) = vn ·n pxsau, folosind relatia
npx =lx+nlx
factorul de actualizare viager poate fi scris si sub forma
nEx = vn · lx+nlx
=vx+n · lx+nvx · lx
Se introduce urmatoarea notatie:
Dx = vx · lxsi Dx se numeste numar de comutatie. Deci, mai putem scrie factorul de actualizare viager astfel
nEx =Dx+n
Dx
�
Anuitati viagereDaca platile se fac ın mai multe transe, fiecare aferenta unui anumit moment de timp, atunci putem
extinde problema astfel:Care este valoarea medie actuala a platilor viagere (rate) S1, S2, ..., Sk platibile peste n1, n2, ...nk ani,
ın conditiile ın care acestea se efectueaza daca persoana de x ani este ın viata peste n1, n2, ..., nk ani?Aceste plati se fac fie de catre asigurat, fie de catre asigurator si sunt egale cu S1 la ımplinirea varsteide x+ n1 ani,..., Sk la ımplinirea varstei de x+ nk ani.
Definitie: Se numeste anuitate viagera cu ratele S1, S2, ..., Sk ansamblul format din momentele deplata x+ n1, x+ n2, ..., x+ nk si ratele anuitatii. �
82
Daca notam cu Zi variabila ce exprima efectuarea platii viagere corespunzatoare varstei de x+ni anisi cu Z variabila ce exprima suma platilor viagere efectuate, se poate scrie
M (Z) = M (Z1) +M (Z2) + ...+M (Zk)
sau, conform relatiilor de mai sus,
M (Z) = S1 ·n1 Ex + ...+ Sk ·nkEx
unde, M (Z) reprezinta valoarea actuala a anuitatii viagere.Anuitati viagere constante ıntregi
• Anuitati viagere constante ıntregi posticipate
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera este constanta ıntreaga posticipata daca ratele viagere suntconstante, se platesc la intervale de cate un an, la sfarsitul fiecarui an. �
Astfel S1 = S2 = ... = Sk = S = 1 u.m., n2−n1 = n3−n2 = ... = nk−nk−1 = 1 an, nj = j, j = 1, k.
• – Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata nelimitata
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata este imediata si nelimitata,daca ratele viagere se platesc ıncepand cu primul an, nelimitat (practic pana la decesul persoanei). �
Notand cu ax valoarea medie actuala a unei anuitati viagere constante ıntregi posticipate imediatenelimitate, vom obtine
ax =1 Ex +2 Ex + ... =Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ ...
Introducand numarul de comutatieNx = Dx +Dx+1 + ...
anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata nelimitata se mai poate scrie
ax =Nx+1
Dx
• – Anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata amanata cu n ani, nelimitata.
Definitie: Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata spunem ca este amanata cu n ani sinelimitata daca ratele viagere se platesc dupa al n-lea an de la ıncheierea contractului pana la decesulpersoanei. �
Astfel notand cu n/ax valoarea medie actuala a acestei anuitati putem scrie
n/ax =n+1 Ex +n+2 Ex + ...
sau
n/ax =Dx+n+1
Dx
+Dx+n+2
Dx
+ ...
83
deci
n/ax =Nx+n+1
Dx
Exemplu. Vom prezenta solutia pentru exemplul 1.Rezolvare. Din enuntul problemei deducem ca nepotul va primi la sfarsitul fiecarui an suma con-
stanta de 10 000 u.m. ıncepand cu varsta de 25 ani. In conditiile ın care acesta are acum doar 12 ani,vorbim despre o anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata amanata cu 13 ani, nelimitata. Decipentru ca ıncepand cu varsta de 25 ani, nepotul sa primeasca o suma de 10 000 u.m. la sfarsitul fiecaruian, ın prezent bunicul va trebui sa plateasca suma (prima) P care este data de
P = S ·13/ a12 = 10 000 · N12+13+1
D12
Numerele de comutatie necesare se iau din tabelul cu procentul 5%, si avem: D12 = 49 785, 16respectiv N26 = 447 220, 98 Rezulta ca
P = 10 000 · 447 220, 98
49 785, 16= 89 830, 2 u.m. �
• – Anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata imediata, limitata la n ani.
Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata si limitata la n ani daca ratele viagere seplatesc ıncepand cu primul an, timp de n ani. �
Notand cu simbolul /nax valoarea medie actuala a acestei anuitatii avem relatia
/nax =1 Ex +2 Ex + ...+n Ex
De fapt avem
/nax = ax −n/ axadica
/nax =Nx+1 −Nx+n+1
Dx
• Anuitati viagere constante ıntregi anticipate
Deosebirea ıntre anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata si cea posticipata consta ın faptulca la cea anticipata ratele viagere se platesc la ınceputul fiecarui an.
In acest caz vom folosi aceleasi tipuri de anuitati, dar pentru care vom folosi litera ”a”.Astfel avem urmatoarele relatii
ax =Nx
Dx
ın cazul anuitatii viagere constante ıntregi anticipate imediate si nelimitate,
84
n/ax =Nx+n
Dx
pentru anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata amanata cu n ani, nelimitata, respectiv
/nax =Nx −Nx+n
Dx
pentru anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata imediata, limitata la n ani.Anuitati viagere constante fractionateDefinitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta este fractionata daca ratele viagere se platesc
pentru fiecare subperioada ın care se ımparte anul. �La aceste anuitati fractionate se ımparte anul ın m intervale egale, m ∈ N, m ≥ 2. In plus, consideram
ca la sfarsitul fiecarei subperioade astfel obtinute, se platesc cate 1m
u.m..
• Anuitati viagere constante fractionate posticipate
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata este posticipata daca ratele viagerese platesc la sfarsitul fiecarei subperioade. �
Pentru simplificarea calculelor vom presupune ca, ın decursul unui an, factorul de actualizare viagervariaza liniar. Cu alte cuvinte, punctul de coordonate
(x+ n+ j
m,n+j/mEx
)apartine dreptei determinata
de punctele: (n,nEx) si (n+ 1,n+1Ex) ,adica
n+j/mEx −n Exjm
=n+1Ex −n Ex
1
Rezulta ca
n+j/mEx =j
m· (n+1Ex −n Ex) +n Ex, n ≥ 0
• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata imediata nelimitata
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este imediata nelimitatadaca ratele viagere de cate 1
mu.m. se platesc la sfarsitul fiecarei subperioade ıncepand cu primul an
pana la decesul persoanei. �Daca notam valoarea medie actuala a unei anuitati viagere constante fractionate posticipate imediate
nelimitate cu a(m)x , obtinem
a(m)x =
1
m·(1/m Ex +2/m Ex + ...
)=
1
m·∑n≥0
m∑j=1
n+j/mEx =
=m+ 1
2m· Nx+1
Dx
+m− 1
2m· Nx
Dx
=Nx
Dx
− m+ 1
2m
deci
a(m)x = ax −
m+ 1
2m
85
Notand cu:
N (m)x = Nx −
m− 1
2m·Dx
vom obtine:
a(m)x =
N(m)x
Dx
− 1
m
• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata amanata cu n ani
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este amanata cu n anidaca ratele viagere de cate 1
mu.m. se platesc ıncepand cu al n-lea an pana la decesul persoanei. �
Notand cu n/a(m)x valoarea medie actuala a acestei anuitati si tinand cont ca
a(m)x =
m+ 1
2m· Nx+1
Dx
+m− 1
2m· Nx
Dx
vom putea scrie
n/a(m)x =
1
m·(n+1/mEx +n+2/m Ex + ...
)= a
(m)x+n ·n Ex
Sau daca avem ın vedere ca
a(m)x+n = ax+n +
m− 1
2m
rezulta
n/a(m)x = ax+n ·n Ex +
m− 1
2m·n Ex
Stiind ınsa ca
ax+n ·n Ex =n/ ax
expresia finala este
n/a(m)x =n/ ax +
m− 1
2m·n Ex
• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata imediata limitata la n ani
Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este imediata si limitatala n ani daca ratele viagere de cate 1
mu.m. se platesc ıncepand cu primul an, timp de n ani. �
Notam cu /na(m)x valoarea medie actuala a acestei anuitati si ea va fi data de relatia
/na(m)x = a(m)
x −n/ a(m)x
• Anuitati viagere constante fractionate anticipate
86
Deosebirea ıntre anuitatea viagera constanta fractionata anticipata si cea posticipata consta ın faptulca la cea anticipata ratele viagere de cate 1
mu.m. se platesc la ınceputul fiecarei subperioade din fiecare
an.Deoarece plata ratelor se face ınca de la ınceputul primei subperioade, avem
a(m)x =
1
m+ a(m)
x
Folosind relatia de calcul a anuitatii viagere constante fractionate posticipate imediate nelimitatevom putea scrie urmatoarea expresie
a(m)x =
N(m)x
Dx
Analog, pentru anuitatea constanta fractionata anticipata amanata cu n ani nelimitata, putemscrie
n/a(m)x =n/ ax −
m− 1
2m·n Ex
Pentru anuitatea viagera constanta fractionata anticipata imediata limitata la n ani avem
n/a(m)x = a(m)
x −n/ a(m)x
3.3 UNITATEA 3. Plati ın caz de deces
Daca ın cazul platilor viagere evenimentul aleator care conditiona efectuarea acestora a fost ca persoanasa fie ın viata la momentele efectuarii platilor viagere, acum, la platile ın caz de deces evenimentulaleator presupune ca decesul persoanei are loc ıntr-un interval precizat.
3.1. Plata unica ın caz de decesNe fixam din nou atentia asupra unei persoane ın varsta de x ani. Pentru simplificarea calculelor se
face urmatoarea presupunere: persoana, oricare ar fi ea, decedeaza exact la mijlocul unui an. Cu altecuvinte, o persoana mai are de trait n ani si jumatate. Daca persoana ın cauza decedeaza ıntre x+ n six+n+ 1 ani, la jumatatea anului (conform conventiei de mai sus), familia sa (sau persoana indicata deaceasta) va primi 1 u.m. Daca persoana nu decedeaza la momentul indicat, atunci nu se va efectua nicio plata.
Problema care se pune aici consta ın a determina care este valoarea medie actuala a platii uniceın caz de deces descrisa mai sus. In acest sens consideram variabila aleatoare Z care are drept valori,valorile actualizate ale sumelor ce se platesc ın caz de deces. Aceasta variabila aleatoare are urmatoareadistributie
Z :
[0 vn+1/2
1−n/n+1 qx n/n+1qx
]unde vn+1/2 reprezinta valoarea actuala a unei unitati monetare platibile peste n ani si jumatate, iar
n/n+1qx =n px · qx+n
87
reprezinta probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre x+ n si x+ n+ 1 ani, exactla jumatatea anului.
Definitie: Se numeste factor de actualizare ın caz de deces valoarea medie a variabilei aleatoare Zde mai sus. �
Notam cu simbolul nDx acest factor si avem
nDx = M (Z) = vn+1/2 ·n/n+1 qx
= vn+1/2 · lx+n − lx+n+1
lx
=vx+n+1/2 · (lx+n − lx+n+1)
vx · lx
=v1/2 · vx+n · lx+n − u1/2 · vx+n+1 · lx+n+1
vx · lx
=v1/2 ·Dx+n − u1/2 ·Dx+n+1
Dx
=u1/2 · (v ·Dx+n −Dx+n+1)
Dx
Introducem numarul de comutatie
Cx = u1/2 · (v ·Dx −Dx+1) ,
si, astfel, se poate scrie
nDx =Cx+nDx
3.2. Anuitati de decesAnuitatile de deces sunt acelea pentru care plata ın caz de deces se efectueaza oricand are loc decesul
persoanei, ıntre doi ani dinainte precizati. Aici vom ıntalni numai cazul ıntreg, deoarece intervalul dintredoua momente cand ar fi posibila efectuarea platii este de un an si decesul persoanei se considera,conform ipotezei, ca va avea loc peste un numar ıntreg de ani si jumatate.
Prin intermediul acestei notiuni suntem interesati sa vedem care este valoarea medie actuala a maimultor posibilitati de plata ın caz de deces, de cate o unitate monetara si care urmeaza a fi platite osingura data ın cazul ın care persoana decedeaza ın anul respectiv.
• Anuitate de deces imediata si nelimitata
Definitie: Spunem ca anuitatea de deces este imediata si nelimitata daca plata sumei se va faceoricand survine decesul persoanei. �
Variabila aleatoare Z aferenta acestei anuitati se va descompune ın variabile aleatoare, Zk , k ≥ 0,Z =
∑k≥0
Zk, Zk fiind variabile care reprezinta plata unica ce se va efectua pentru doi ani consecutivi, k,
k + 1.Trecand la valorile medii, putem scrie.
88
M (Z) =∑k≥0
M(Zk) =∑k≥0
kDx =∑k≥0
Cx+kDx
Introducem un nou numar de comutatie Mx
Mx =∑k≥0
Cx+k =∑k≥0
u1/2 · (v ·Dx+k −Dx+k+1)
Mx = u1/2 · (v ·Nx −Nx+1)
Astfel, putem scrie
M (Z) =∑k≥0
Cx+kDx
=Mx
Dx
Notand Ax = M (Z), adica valoarea actuala medie a anuitatii de deces imediata nelimitata, avem
Ax =Mx
Dx
• Anuitate de deces dublu limitata inferior la m ani (inclusiv) si superior la n ani(exclusiv)
Definitie: Anuitatea de deces spunem ca este dublu limitata inferior la m ani (inclusiv) si superiorla n ani (exclusiv) daca plata se va efectua oricand are loc decesul ıntre x + m ani (inclusiv) si x + nani (exclusiv). �
Daca notam cu m/nAx valoarea medie actuala a acestei anuitati de deces dublu limitata, vom obtine
m/nAx = M (Z) =n−1∑k=m
kDm =n−1∑k=m
Cx+kDx
=Mx+m −Mx+n
Dx
Astfel avem
m/nAx =Mx+m −Mx+n
Dx
Observatii:Pentru m = 0 se obtine anuitatea de deces imediata limitata la n ani si anume
/nAx =Mx −Mx+n
Dx
Pentru intervalul [n, .) se va obtine anuitatea de deces amanata cu n ani nelimitata (practicpana la limita de varsta)
n/Ax =Mx+n
Dx
In scrierea [n, .), ”.” simbolizeaza limita de varsta.
89
3.4 UNITATEA 4. Asigurari de persoane
3.4.1 Principiul echilibrului financiar
Din cele prezentate pana ın acest punct deducem ca exista o relatie bine determinata ıntre suma asigu-rata, S si prima P , aceasta relatie avand la baza tocmai principiul echilibrului financiar. Legatura dintrecele doua variabile are loc indiferent daca platile efectuate de/catre o persoana se realizeaza ıntr-o sin-gura transa sau esalonat. Pentru cazul concret al asigurarilor de persoane, acest principiu se reflecta ınegalitatea (la un acelasi moment de timp) dintre valorile medii actuale ale platilor aleatoare platibile fieın cazul cand asiguratul este ın viata, fie ca a decedat, conform prevederilor din contractul de asigurare.Acesta contract este un ınscris ce ia nastere ın urma acordului de vointa a celor doua parti contractante(asiguratul si institutia de asigurare) si ın care sunt stipulate o serie de elemente.
3.4.2 Asigurarea de viata
In contractul de asigurare se stabileste, ıntre altele, ca:
Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de
asigurare
Asiguratul, ın varsta de x ani Asiguratorul va plati asi-
plateste periodic, anticipat o guratului o suma, S, cand
prima de asigurare, P , timp acesta ımplineste x+ n ani.
de k ani. Daca la aceasta varsta asi-
guratul nu este ın viata,
institutia de asigurare nu are
nici o obligatiefinanciara.
In vederea aplicarii principiului echilibrului financiar, trebuie sa stabilim mai ıntai valorile mediiactualizate ale obligatiilor celor doua parti. Astfel, avem
Valoarea medie actuala a Valoarea medie actuala
unei unitati monetare ce a unei unitati monetare ce
urmeaza a fi platita antici- se plateste peste n ani
pat, timp de k ani este /kax, este: nEx, ıntrucat avem
ıntrucat avem de-a face cu de-a face cu o plata viagera
o anuitate viagera anticipata unica.
cu rata de 1 u.m. Deoarece se plateste o su-
Deoarece se platesc P u.m. ma, S, vom avea drept
anticipat, vom avea drept valoarea medie actuala,
valoare medie actuala S ·n Ex.P ·/kax.
Conform principiului echilibrului financiar, putem scrie egalitatea
P ·/k ax = S ·n Ex
90
Daca exprimam anuitatea ıntreaga constanta anticipata limitata, /kax, respectiv factorul de actu-alizare viager, nEx, cu ajutorul numerelor de comutatie, obtinem
P · Nx −Nx+k
Dx
= S · Dx+n
Dx
si atunci, expresia primei P va fi
P = S · Dx+n
Nx −Nx+k
Cazuri particulare:
1. Pentru k = 1 prima se plateste o singura data, altfel spus, avem prima unica. In aceste conditiidiferenta Nx −Nx+1 = Dx, deci vom obtine
P = S · Dx+n
Dx
2. Pentru k = n (de obicei k ≤ n) si k > 1, adica atunci cand prima nu este unica, ea se va plati,de obicei, periodic pana cand asiguratul ımplineste cei x+ n ani, deci pe tot timpul asigurarii. Inacest moment el va primi de la asigurator suma S. In aceasta situatie, prima se exprima sub forma
P = S · Dx+n
Nx −Nx+n
3.4.3 Asigurarea de pensii
Contractul de asigurare prevede, printre altele, urmatoarele:
Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de
asigurare
Asiguratul, ın varsta de Asiguratorul va plati
x ani plateste periodic, periodic asiguratului o
anticipat o prima, P , suma (pensie anuala), S,
timp de k ani. din momentul ın care
acesta ımplineste x+ n
ani pana la decesul sau.
Daca asiguratul dece-
deaza ınaintea ımplinirii
varstei stabilite prin
contract, institutia de
asigurare nu are nici o
obligatie financiara.
91
Valoarea medie actuala Valoarea medie actuala
a unei unitati monetare a obligatiilor asiguratorului
ce urmeaza a fi platita esten/axın cazul unei uni-
anticipat, timp de k ani tati monetare, ıntrucat este
este/kax, ıntrucat avem vorba de anuitate viagera
de-a face cu o anuitate amanata cu n ani.
viagera cu rata de 1 u.m. Deoarece se plateste o
Deoarece se platesc P pensie anuala, S, vom
u.m. anticipat vom avea avea drept valoarea medie
drept valoare medie actuala S ·n/ ax.
actuala P ·/k ax.Conform principiul echilibrului financiar putem scrie
P ·/k ax = S ·n/ ax
Procedand analog ca si ın cazul asigurarilor de viata prin folosirea numerelor de comutatie, vomobtine
P · Nx −Nx+k
Dx
= S · Nx+n
Dx
de unde rezulta
P =Nx+n
Nx −Nx+k
Cazuri particulare:
1. Daca prima este unica (k = 1) si cum Nx −Nx+1 = Dx, suntem condusi la urmatoarea formula
P = S · Nx+n
Dx
In situatia speciala ca pensia ıncepe a fi platita de catre asigurator chiar din primul an (n = 0)rezulta
P = S · Nx
Dx
2. Si la asigurarea de pensii putem ıntalni cazul ın care primele se platesc pana ın momentul ın careinstitutia de asigurare va ıncepe sa plateasca pensia anuala. De aceasta data (k = n) avem
P = S · Nx+n
Nx −Nx+n
3. In multe situatii concrete platile se fac fractionat, pe subperioade ale perioadei de baza. De exem-plu, perioada de baza este de 1 an, iar platile se fac lunar. Din acest motiv, vom considera ca avemde-a face cu m subperioade de plata (m = 12 la platile lunare), caz ın care vom utiliza expresia
92
P = S · N(m)x+n
N(m)x −N (m)
x+n
In aceasta relatie, numerele de comutatie se vor calcula cu ajutorul formulei
N (m)x = Nx −
m− 1
2m·Dx
Exemplu. Ca si aplicatie la acest tip de asigurare vom rezolva exemplul al doilea prezentat chiar laınceputul acestui capitol.
Rezolvare. Suntem ın cazul unei asigurari de pensii pentru care cunoastem: m = 12, x = 40,k = n = 30, S = 100 $, p = 5%. Inlocuind aceste date ın formula
P = S · N(m)x+n
N(m)x −N (m)
x+n
vom obtine
P = 100 · N(12)70
N(12)40 −N
(12)70
Din tabelul cu numerele de comutatie, avem: N40 = 193 870, 81, N70 = 13 775, 38, D40 =12 053, 29, D70 = 1 776, 45. Cu ajutorul acestora vom calcula N
(12)70 respectiv N
(12)40 astfel
N(12)70 = N70 −
12− 1
2 · 12·D70 = 13 775, 13− 11
24· 1 776, 45 = 12 961, 17
iar
N(12)40 = N40 −
12− 1
2 · 12·D40 = 193 870, 81− 11
24· 12 053, 29 = 188 346, 38
Revenind ın relatia de calcul pentru determinarea primei, obtinem
P = 100 · 12 961, 17
188 346, 38− 12 961, 17= 7, 39 $
In concluzie, pentru ca pensia lunara sa fie de 100 $, dupa 30 ani de la momentul semnarii con-tractului, asiguratul va trebui sa plateasca, tot lunar, institutiei de asigurare 7, 39 $ timp de 30 ani.�
3.4.4 Asigurare de deces
In contractul de asigurare sunt stipulate, ıntre altele, urmatoarele:
93
Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de
asigurare
Asiguratul, ın varsta de x Daca asiguratul decedeaza
ani plateste anual, antici- ıntre varsta de x+m ani
pat o prima P , timp de (inclusiv) si x+ n ani (ex-
k ani. clusiv), atunci asiguratorul
va plati unei persoane indi-
cate de asigurat suma S.
Valoarea medie actuala a Valoarea medie actuala a
sumelor platite este P ·/k ax. sumei platite de asigurator
este S ·m/n Ax.Conform principiului echilibrului financiar putem scrie
P ·/k ax = S ·m/n AxDin aceasta egalitate, folosind numerele de comutatie pentru cele doua anuitati, obtinem
P = S · Mx+m −Mx+n
Nx −Nx+k
Cazuri particulare:
1. Daca prima este unica, k = 1, atunci Nx −Nx+1 = Dx de unde rezulta
P = S · Mx+m −Mx+n
Dx
2. Daca m = 0 si k = n, ceea ce ınseamna ca prima se plateste pe tot timpul asigurarii, plata sumeiS realizandu-se doar daca decesul survine ın acest interval, atunci:
P = S · Mx −Mx+n
Nx −Nx+n
3. Daca prima platita de asigurat este unica, urmand sa se primeasca suma asigurata, S, oricand aravea loc decesul, de la momentul ıncheierii contractului si pana la limita de varsta, adica: m = 0si n→∞ (teoretic), avem
P = S · Mx
Dx
Exemplu. Vom rezolva exemplul al treilea prezentat la ınceputul capitolului.Rezolvare. Suntem ın situatia unei asigurari de deces pentru care: x = 45, S = 1 000 u.m., n = 35,
m = 0, p = 5%, k = 1 ın primul caz si k = 35 ın al doilea caz.In primul caz, formula de calcul este
94
P = S · Mx −Mx+n
Dx
adica
P = 1 000 · M45 −M80
D45
= 1 000 · 2 699, 55− 399, 23
9 274, 34= 248, 03 u.m.
In al doilea caz, cand prima se plateste anual, folosim relatia
P = S · Mx −Mx+n
Nx −Nx+k
Utilizand datele din ipoteza, obtinem
P = 1 000 · M45 −M80
N45 −N80
= 1 000 · 2 699, 55− 399, 23
139 436, 85− 2 452, 23= 16, 79 u.m.�
3.4.5 Asigurare mixta
Asa cum s-a putut desprinde din prezentarea anterioara a primelor doua tipuri de contracte de asigurare,exista situatii ın care institutia de asigurare este exonerata de la plata sumei asigurate sau a pensieianuale. Pentru a ınlatura acest neajuns, exista posibilitatea ıncheierii unei asigurari mixte ce combinaelementele asigurarilor de viata si de deces.
95
Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de
asigurare
Asiguratul, ın varsta de Asiguratorul va plati
x ani plateste periodic, asiguratului suma S, daca
anticipat o prima, P , timp acesta este ın viata la
de k ani. x+ n ani sau altor per-
soane indicate de asigurat,
daca acesta din urma de-
cedeaza pana la x+ n ani.
Pentru o unitate monetara, Valoarea medie actuala a
valoarea medie actuala unei unitati monetare ce
corespunzatoare este /kax. urmeaza a fi platita peste
Deoarece se platesc P u.m. n ani, daca persoana va fi
anticipat, valoarea medie ın viata atunci, este nEx.
actuala va fi: P ·/kax. Daca are loc decesul, pana
la ımplinirea varstei de x+ n
ani, atunci valoarea medie
actuala este /nAx.Cumu-
land cele doua situatii avem
nEx +/n Ax.Deoarece este
vorba de S u.m., valoarea
medie actuala va fi
S ·(nEx +/n Ax
).
Conform principiului echilibrului financiar, rezulta egalitatea
P ·/k ax = S ·(nEx +/n Ax
)de unde
P = S · nEx +/n Ax
/kax
Exprimand cu numerele de comutatie, dupa simplificari obtinem rezultatul final
P = S · Dx+n +Mx −Mx+n
Nx −Nx+k
Cazuri particulare:
1. Daca prima este unica, deci k = 1, deoarece Nx −Nx+1 = Dx obtinem
P = S · Dx+n +Mx −Mx+n
Dx
96
2. Cand k 6= 1, avem ın cele mai multe cazuri k = n, si astfel
P = S · Dx+n +Mx −Mx+n
Nx −Nx+n
4.6. Rezerva matematicaMetode de calculInstitutia de asigurare constituie un fond banesc, numit rezerva matematica, care va fi utilizat pentru
efectuarea platilor catre persoanele asigurate. Pentru a evalua valoarea acestui fond se fixeaza un momentde evaluare si se stabileste cat reprezinta rezerva aferenta fiecarui asigurat la momentul respectiv. Rezervatotala se obtine prin ınsumarea tuturor acestor rezerve actualizate la momentul de evaluare stabilit. Inprincipal, exista doua metode fundamentale de determinare a rezervei matematice: metoda prospectivasi cea retrospectiva. In vederea prezentarii celor doua metode vom introduce urmatoarele notatii relatii:
t− momentul de evaluare, la care se calculeaza rezerva matematica,D′0− datoria institutiei de asigurare, actualizata la momentul zero,
D′′0− datoria asiguratului, actualizata la momentul zero,
D′t− datoria institutiei de asigurare, actualizata la momentul t,
D′′t− datoria asiguratului, actualizata la momentul t,
Rt− cuantumul rezervei matematice la momentul t,
/tD′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratorului pana la momentul t, evaluata la momentul zero,
/tD′′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratului pana la momentul t, evaluata la momentul zero,
t/D′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratorului ulterioare momentului t, evaluata la momentul
zero,
t/D′′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratului ulterioare momentului t, evaluata la momentul
zero.Rezerva matematica calculata prin metoda prospectiva este data de:
Rt = D′
t −D′′
t ,
iar prin cea retrospectiva:
Rt =/tD
′′0 −/t D
′0
tE0
Indiferent de metoda folosita, rezerva matematica are aceeasi valoare. Pe de o parte, obligatiileanterioare si posterioare datei de evaluare a rezervei actualizate, ın total dau valoarea actuala a ıntregiiobligatii:
/tD′
0 +t/ D′
0 = D′
0,
/tD′′
0 +t/ D′′
0 = D′′
0 ,
iar pe de alta parte, obligatiile actualizate ale celor doua parti sunt egale:
D′
0 = D′′
0
Deoarece
97
t/D′
0 = D′t ·t E0 si t/D′′
0 = D′′
t ·t E0,
rezulta:
Rt =/tD
′′0 −/t D
′0
tE0
=
(D′′0 −t/ D
′′0
)−(D′0 −t/ D
′0
)tE0
=t/D
′0 −t/ D
′′0
tE0
=D′t ·t E0 −D
′′t ·t E0
tE0
= D′
t −D′′
t
Exemplul 1. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de viata ın urmatoareleconditii:
- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, timp de n ani, din momentul ıncheierii contractului de
asigurare,- suma asigurata de S u.m. se va ıncasa peste n ani, de catre asigurat, daca acesta va fi ın viata
atunci.Rezolvare.Fiind vorba de o asigurare de viata ın conditiile din enunt, avem:
P ·/n ax = S ·n Ex
⇒ P = S · Dx+n
Nx −Nx+n
————+————–+——————+————–>0 t n moment de timp (ani)x x+t x+n varsta asiguratului
Consideram ca momentul de evaluare t ∈ [0, n].Folosind metoda prospectiva datoriile celor doua parti evaluate la momentul t sunt:
D′
t = S ·n−t Ex+t, D′′
t = P ·/n−t ax+t
Atunci:
Rt = S ·n−t Ex+t − P ·/n−t ax+t
= S · Dx+n
Dx+t
− S · Dx+n
Nx −Nx+n
· Nx+t −Nx+n
Dx+t
= S · Dx+n
Dx+t
·(
1− Nx+t −Nx+n
Nx −Nx+n
)= S · Dx+n
Dx+t
· Nx −Nx+t
Nx −Nx+n
In cazul metodei retrospective
/tD′′
0 = P ·/t ax, /tD′
0 = 0
98
deci
/tD′′
0 = Rt ·t Ex
Rt =P ·/t ax
tEx= S · Dx+n
Nx −Nx+n
· Nx −Nx+t
Dx
· 1Dx+t
Dx
=
= S · Dx+n
Dx+t
· Nx −Nx+t
Nx −Nx+n
�
Exemplul 2. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de deces ın urmatoareleconditii:
- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, pe tot timpul vietii asiguratului, din momentul ıncheierii
contractului de asigurare,- suma asigurata de S u.m. se va ıncasa de catre o persoana desemnata de catre asigurat, dupa
decesul asiguratului.Rezolvare. In acest caz avem
P · ax = S · AxFolosind numerele de comutatie
P · Nx
Dx
= S · Mx
Dx
deci
P = S · Mx
Nx
Calculand apoi rezerva matematica prin metoda prospectiva vom obtine
Rt = S · Ax+t − P · ax+t = S ·(Mx+t
Dx+t
− Mx
Nx
· Nx+t
Dx+t
)�
Exemplul 3. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de pensii ın urmatoareleconditii:
- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, timp de n ani, din momentul ıncheierii contractului de
asigurare,- pensia anuala de S u.m. se va ıncasa de catre asigurat, peste n ani, pe tot parcursul vietii sale.Rezolvare. Prima neta anuala o vom exprima cu ajutorul relatiei
P ·/n ax = S ·n/ ax
⇒ P = S · Nx+n
Nx −Nx+n
99
Folosind metoda retrospectiva ın calcularea rezervei matematice, vom avea
Rt =P ·/t ax
tEx= S · Nx+n
Nx −Nx+n
· Nx −Nx+t
Dx+t
�
4.7. Alte tipuri de asigurari de persoanePe piata asigurarilor din Romania exista peste 40 de companii care au dreptul de a incheia asigurari,
o parte dintre acestea ıncheie si asigurari de persoane, altele decat cele studiate pana acum. Fiecarecompanie are o oferta proprie de astfel de asigurari. Informatii referitoare la tipurile de asigurari oferitese pot obtine vizitand site-ul www.1asig.ro. De asemenea se face si o diferenta ıntre persoanele fizice sicele juridice ın oferta de asigurari. Astfel avem asigurari pentru
- vanatori si/sau pescari sportivi, persoane fizice care contracteaza credite bancare, asigurare med-icala pentru calatorii ın strainatate, a calatorilor prin societati specializate de transport calatori, aturistilor prin societati specializate de turism sau prin structuri de cazare, a persoanelor din autove-hicule ınchiriate, a componentilor echipelor sportive, a avocatilor, notarilor, medicilor liber-profesionisticu cabinet propriu, a personalului medical, asigurarea individuala de accidente, asigurarea colectiva deaccidente, asigurarea managerului, asigurarea de accidente a persoanelor din autovehicul, asigurarea deaccidente a taximetristilor si a persoanelor transportate de acestia, asigurarea de accidente a pompierilor,asigurarea facultativa a pasagerilor pe timpul transportului cu nave maritime/ape interioare, asigurareasuplimentara pentru spitalizare si interventii chirurgicale ın caz de ımbolnavire si/sau accident.
4.8. Asigurari de bunuriSub acest titlu generic includem urmatoarele tipuri de asigurari:- Asigurari de autovehicule, Asigurari maritime si de transport, Asigurari de aviatie, Asigurari de
bunuri, Asigurari de raspundere civila, Asigurari de credite si garantii, Asigurari de pierderi financiaredin riscuri asigurate Asigurari agricole, Asigurare Auto Obligatorie (RCA), Asigurari complexe
Pentru exemplificare, la asigurarile de bunuri putem ıntalni:- asigurarea locuintei (incendiu, explozie, cutremur, inundatii, vandalism, furt prin efractie si altele)
- suplimentar se pot asigura bunuri casabile, bani si/sau valori; asigurarea complexa a gospodariei- se asigura: bunurile din gospodarie; persoanele pentru riscuri de accidente; raspunderea civila legaladecurgand din prejudicii produse tertilor, pentru riscurile ıntamplate ın gospodaria asigurata; asigurareabunurilor apartinand persoanelor juridice; alte asigurari de bunuri, cum ar fi: de avarii accidentale amasinilor, utilajelor, echipamentelor si instalatiilor; de pierdere de profit din ıntreruperea activitatii; abunurilor casabile; a echipamentelor electronice; a banilor si/sau valorilor; a lucrarilor de constructii-montaj; asigurarea de avarii si furt a autovehicolelor (CASCO); asigurarea de accidente a conducatorilorsi a altor persoane aflate ın autovehicul; asigurarea de raspundere a transportatorului ın calitate decaraus, pentru marfurile transportate (CMR); asigurarea de raspundere a transportatorului ın calitatede caraus, pentru marfurile transportate numai pe teritoriul Romaniei; asigurarea de raspundere civilaobligatorie auto (RCA); asigurarea de raspundere civila excedent peste limitele raspunderii la asigurareobligatorie; asigurarea culturilor pentru riscuri generale - se asigura: culturile de cereale; plantele tehnice;culturile de legume si cartofi; plantele medicinale si aromatice; culturile furajere; rodul viilor, pomilorfructiferi si hameiului;
se mai pot asigura: animalele, culturile pentru riscuri specificate prin clauze speciale, serele si culturiledin sere,
- asigurarea bunurilor pe timpul transportului; asigurarea de raspundere a transportatorului pentrupagube produse calatorilor prin accidente de transport; asigurarea facultativa a navelor; asigurarea
100
facultativa a navelor fluviale, navelor de pescuit si navelor colectoare, precum si a altor ambarcatiuni,instalatii si utilaje plutitoare, asimilate navelor; asigurarea navelor pe timpul constructiei; asigurareafacultativa a unitatilor de foraj marin; asigurarea aeronavelor aviatiei civile; asigurarea riscurilor cedecurg din contractele de leasing ıncheiate de societatea de leasing cu utilizatorii; asigurarea riscurilorce decurg din contractele comerciale (de vanzare-cumparare/ distributie/ consignatie) cu plata la termen,integral, sau ın rate; asigurarea riscurilor ce decurg din contractele de credit bancar si/sau comercial,ce au ca destinatie achizitionarea de catre persoanele fizice a bunurilor casnice, a automobilelor saulocuintelor;
asigurari de garantii: garantii de plata a creditului furnizor, garantii pentru licitatii, garantarea platiiavansurilor.
La aceste tipuri de asigurari, evenimentul aleator care conditioneaza efectuarea platii sumei asigurate,este evenimentul de producere a daunei. Dupa cum foarte usor se poate constata, unele dintre asigurarilementionate mai sus sunt obligatorii pentru categoriile de persoane la care se refera, ın timp ce alte suntfacultative. Astfel, din categoria celor obligatorii mentionam RCA si asigurarile de malpraxis (pentrumedici, asistenti medicali, farmacisti).
De remarcat faptul ca societatile de asigurare ıncearca sa-si fidelizeze persoanele asigurate oferindpolite complexe de asigurare (combinand diverse tipuri de asigurare), sau extinderea valabilitatii politeiCasco pentru extern daca aceasta este ıncheiata la aceeasi firma de asigurare ca si RCA.
De mentionat este faptul ca din anul 2005 apare o modificare cu privire la asigurarea RCA, aceastadevine o asigurare pe timp nelimitat, cu plata primelor de asigurare semestrial sau anual. De asemeneaa aparut obligativitatea unei ınstiintari scrise din partea asiguratului catre compania de asigurare, dacadoreste sa schimbe compania, precum si o declaratie pe proprie raspundere ca nu a asigurat bunul laınca o companie de asigurari.
In ceea ce priveste cota de prima de asigurare, companiile de asigurare ısi stabilesc cota de primaindividual, luand ın calcul diverse date. Exista ınsa o asigurare de bunuri, si anume RCA, pentrucare prima de asigurare se stabileste la nivel guvernamental si este aceeasi pentru toate companiile deasigurare.
De la un an la altul, ın functie de datoriile pe care companiile de asigurare le au catre firmele deservice unde se repara masinile care au avut dauna, lista cu companiile de asigurare care au dreptul saıncheie RCA se modifica. Este important de mentionat ca o companie de asigurari care ıncheie numaiRCA, este pusa usor ın imposibilitate de plata, deoarece prima de asigurare acopera daune foarte mici.
Din anul 2004 a aparut sistemul BONUS-MALUS atat pentru RCA, cat si pentru Casco. Aceastaınseamna ca daca ıntr-un an asiguratul a avut dauna, ın anul urmator va trebui sa plateasca o primamajorata. In functie de compania de asigurare, sistemul BONUS functioneaza aplicand reduceri la cotade prima pentru reınnoirea contractului de asigurare, daca asiguratul nu a avut dauna ın anul anterior,iar sistemul MALUS functioneaza fie aplicand cate o majorare pentru fiecare dauna, fie aplicand diversecote de majorare ın functie da rata daunei.
Bibliografie1. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,
Cluj-Napoca, 2005Probleme rezolvateProblema 1. Sa se calculeze probabilitatile ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata la 65
ani, respectiv sa nu fie ın viata la aceasta varsta. Care este viata medie?Rezolvare. Probabilitatea ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata la 65 ani este data de
101
p (45, 65) =20 p45
Cealalta probabilitate ceruta se refera la evenimentul contrar si are forma
q (45, 65) =20 q45
Vom exprima probabilitatea ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata peste 20 ani utilizandfunctia de supravietuire, astfel
p (45, 65) =l65l45
=65 068
83 330= 0, 780847233
si
q (45, 65) = 1− p (45, 65) = 0, 219152767
�Problema 2. Care este probabilitatea ca o persoana ın varsta de 24 ani sa decedeze ıntre 65 si 70
ani?Rezolvare. Probabilitatea ceruta ın enuntul problemei (P ) se determina ca probabilitate a doua
evenimente dependente. Primul eveniment consta ın faptul ca persoana trebuie sa fie ın viata la 65 deani, iar cel de-al doilea - ca persoana sa decedeze ıntre 65 si 70 ani. Deci
P = p (24, 65) · q (65, 70)
Dar,
p (24, 65) =l65l24
=65 068
88 010= 0, 739325076
respectiv:
q (65, 70) = 1− p(65, 70) = 1− l70l65
= 1− 54 051
65 068= 0, 169315178
Facand produsul valorilor celor doua probabilitati, obtinem
P = 0, 125178956 ≈ 0, 125
�Problema 3. Sa se calculeze viata medie a unei persoane ın varsta de 90 ani.Rezolvare. Folosind formula pentru viata medie si anume
ex =1
2+
1
lx·∑n≥1
lx+n
precum si valorile functiei de supravietuire obtinem rezultatul
e90 = 0, 5 +1
3 059· (2 168 + 1 487 + 985 + 628 + 384 + 224 + 125+
= +66 + 33 + 15) = 0, 5 + 1, 9990192 = 2, 4990192 ≈ 2, 5
102
�Problema 4. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 70 si n = 3. Sa se
determine probabilitatile p70, p71, p72, si 3/4q70.Rezolvare.Arborescenta viagera si de deces corespunzatoare acestui caz este
p70 p71 p72|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓
70 71 72 73 74
|−−−−−−−−−−−−↑q73
Unde:
p70 =l71l70
=51 363
54 051= 0, 950266919
p71 =l72l71
=48 607
51 363= 0, 946342698
p72 =l73l72
=45 786
48 607= 0, 941963091
q73 = 1− p73 = 1− l74l73
= 1− 42 920
45 786= 0, 062595553
respectiv
3/4q70 =3 p70 · q73 = p70 · p71 · p72 · q73 = 0, 053023995 �
Problema 5. Sa se calculeze factorul de actualizare viager 22E50 cu procentul de actualizare 5%.Rezolvare. Folosind numerele de comutatie, obtinem
22E50 =D70
D50
=1 449
7 070, 22= 0, 204944117
De asemenea, mai putem calcula factorul de actualizare viager pornind de la definitia sa
22E50 = v22 · l72l50
=
(1
1 + 0, 05
)22
· 48 607
81 077= 0, 204944641
Asa cum era de asteptat, cele doua rezultate coincid. �Problema 6. Care este valoarea actuala medie a anuitatii viagere constante ıntregi posticipate
respectiv anticipate ın cazul unei persoane de 43 ani care plateste ratele viagere de 50 u.m. timp de 7ani.
Rezolvare. Presupunem initial ca plata este de o unitate monetara. In aceste conditii anuitateaviagera posticipata limitata la 7 ani este
/7a43 = a43 −7/ a43 =N44
D43
− N51
D43
=149 214, 05− 90 603, 82
10 304, 22=
= 5, 687983176
103
Daca tinem cont de faptul ca ratele viagere sunt formate din 50 u.m., atunci
50 ·/7 a43 = 284, 4 (u.m.)
Anuitatea anticipata limitata la 7 ani este
/7a43 =N43 −N50
D43
=159 518, 28− 97 674, 03
10 304, 22= 6, 001837111
respectiv
50 ·/7 a43 = 300, 09 (u.m.) �
Problema 7. Sa se determine valoarea medie actuala a anuitatii fractionate anticipate imediatenelimitata, a
(12)38 .
Rezolvare. Cunoscand ca
a(12)38 =
N(12)38
D38
unde
N(12)38 = N38 −
11
24·D38
Cautand apoi valorile numerelor de comutatie ın tabele, avem: N38 = 219 942, 02 respectiv D38 =13 373, 94. Rezulta ca N
(12)38 = 213 812, 29, deci
a(12)38 =
213 812, 29
13 373, 94= 15, 98
�Problema 8. Sa se calculeze factorul de actualizare ın caz de deces 18D52, considerand procentul
5%.Rezolvare. Expresia acestui factor de actualizare ın functie de numerele de comutatie este
18D52 =C70
D52
In aceasta relatie
C60 = u1/2 · (v ·D60 −D61)
Cunoscand D70 = 1 776, 45, D71 = 1 607, 72 si D52 = 6 317, 19 putem calcula
C70 = (1, 05)1/2 ·(
1
1, 05· 1 776, 45− 1 607, 72
)= 86, 21491605
Rezulta
18D52 =86, 21491605
6 317, 19= 0, 013647668
104
Aceasta problema se mai poate rezolva si exprimand factorul de actualizare ın caz de deces conformdefinitiei sale, astfel
18D52 = v18+12 ·18/19 q52
unde
v18+12 =
(1
1, 05
)18,5
= 0, 405506636
iar
18/19q52 =l70 − l71l52
=54 051− 51 363
79 867= 0, 033655953
In final, obtinem aproximativ acelasi rezultat ca si ın cazul primei variante, 18D52 = 0, 013647712.�Problema 9. Care este valoarea medie actuala a anuitatii de deces 5/10A65?
Rezolvare. In acest caz este vorba de o anuitate de deces dublu limitata pe care o putem scrie
5/10A65 =M65+5 −M65+10
D65
Cum M70 = 1 148, 15, M75 = 739, 88 si D65 = 2 729, 37 obtinem
5/10A65 =1 148, 15− 739, 88
2 729, 37= 0, 149583969
�Problema 10. O persoana de 32 ani se asigura sa i se plateasca peste 18 ani, daca este ın viata o
suma de 1 500 u.m.a) Care este valoarea primei unice?b) Care este valoarea primei anuale platibile pana la expirarea termenului de asigurare?Rezolvare.
a) Daca prima se plateste o singura data, atunci
P = S · Dx+n
Dx
= 1 500 · D50
D32
= 1 500 · 7 070, 22
18 190, 78= 583, 005 (u.m.)
b) Daca asiguratul prefera sa plateasca anual obligatiile sale catre asigurator, atunci k = 18 si
P = S · Dx+n
Nx −Nx+n
= 1 500 · D50
N32 −N50
= 1 500 · 7 070, 22
316 364, 4− 97 674, 03= 48, 49 (u.m.)
Ca si o concluzie, daca asiguratul plateste o singura data, atunci va trebui sa achite o suma de 583u.m., iar daca plateste esalonat, suma este de 48, 5 u.m. �
105
Problema 11. Sa se calculeze valoarea primei lunare pe care trebuie sa o plateasca o persoana ınvarsta de 36 ani, timp de 26 ani, pentru ca dupa aceea sa primeasca o pensie lunara de 250 u.m. Sa serezolve problema si ın cazul cand persoana plateste rate lunare numai timp de un an.
Rezolvare. In primul caz, cunoastem ca: x = 36, n = k = 26, iar S = 250 u.m. Prima se va calculaastfel
P = S ·N
(12)36+26
N(12)36 −N
(12)36+26
= 250 · N(12)62
N(12)36 −N
(12)62
Dar
N(12)36 = N36 −
11
24·D36 = 248 852, 74− 11
24· 14 827, 30 = 242 056, 8942
respectiv
N(12)62 = N62 −
11
24·D62 = 34 934, 10− 11
24· 3 396, 02 = 33 377, 5908
Valoarea primei este
P = 250 · 33 377, 59
242 056, 89− 33 377, 59= 39, 9867 (u.m.)
Deci, asiguratul va plati lunar, timp de 26 ani suma de 39, 9867 u.m.In cel de-al doilea an cunoastem ca: x = 36, n = 26, k = 1, m = 12 si S = 250 u.m.Formula primei de asigurare ın acest caz va fi
P = S ·N
(12)36+26
N(12)36 −N
(12)36+1
= 250 · N(12)62
N(12)36 −N
(12)37
Deoarece
N(12)37 = N37 −
11
24·D37 = 234 025, 44− 11
24· 14 083, 42 = 227 570, 53
obtinem
P = 250 · 33 377, 59
242 056, 89− 227 570, 53= 576, 01 (u.m.)
Cu alte cuvinte, daca persoana asigurata doreste sa plateasca prima lunar doar pe timp de un an,atunci suma se va ridica la 576, 01 u.m.�Problema 12. O persoana ın varsta de 48 ani ısi asigura familia cu o suma de 2 000 u.m. care
urmeaza sa fie platita de catre institutia de asigurare daca decesul are loc ın decurs de 20 ani.a) Care este valoarea primei unice?b) Care este valoarea primei anuale ce urmeaza a fi platita pe tot timpul asigurarii?Rezolvare.a) In acest caz avem urmatoarele date: x = 48, n = 20, S = 2 000, iar k = 1.Expresia primei este
106
P = S · Mx −Mx+n
Dx
= 2 000 · M48 −M68
D48
Inlocuind numerele de comutatie cu valorile corespunzatoare, obtinem
P = 2 000 · 2 571, 32− 1 313, 22
7 892, 11= 318, 82 (u.m.)
b) Pentru situatia ın care prima este platita anual pe tot timpul asigurarii, adica k = 20, avem
P = S · Mx −Mx+n
Nx −Nx+n
= 100000 · M48 −M68
N48 −N68
= 2 000 · 2 571, 32− 1 313, 22
113 038, 04− 17 857, 36
= 26, 43 (u.m.)
Asa cum era de asteptat, ın cel de-al doilea caz cuantumul primei este mai mic decat ın primul cazcand se plateste o singura data. �
Problema 13. O persoana ın varsta de 52 ani doreste sa primeasca, daca va fi ın viata, la varsta de67 ani suma de 3 200 u.m., iar daca decedeaza ınaintea ımplinirii acestei varste, suma o va primi familiasa.
a) Care este prima unica?b) Care este prima anuala platibila pe tot timpul asigurarii?Rezolvare. Asa cum se poate observa suntem ın cazul unei asigurari mixte.a) Deoarece prima este unica ınseamna ca valoarea lui k este 1. In plus, din datele problemei rezulta
ca: x = 52, n = 15, S = 3 200 u.m. Atunci
P = S · Dx+n +Mx −Mx+n
Dx
= 3 200 · D67 +M52 −M67
D52
Cunoscand ca: D67 = 2 322, 22, 60, D52 = 6 317, 19, M52 = 2 378, 41 si M67 = 1 394, 90 valoareaprimei va fi
P = 3 200 · 2 322, 22 + 2 378, 41− 1 394, 90
6 317, 19= 1 674, 53 (u.m.)
b) In conditiile ın care prima este platita pe tot timpul asigurarii (k = 15), relatia de calcul va fi
P = S · Dx+n +Mx −Mx+n
Nx −Nx+n
= 3 200 · D67 +M52 −M67
N52 −N67
Cum N52 = 83 918, 12 si N67 = 20 179, 58 vom avea
P = 3 200 · 2 322, 22 + 2 378, 41− 1 394, 90
83 918, 12− 20 179, 58= 165, 96 (u.m.)
Deci prima anuala este: P = 165, 96 u.m.�
107
Problema 14. Sa se calculeze folosind metoda prospectiva rezerva matematica ın cazul asigurariide deces daca asiguratul plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.
Rezolvare. Conform metodei prospective, rezerva matematica are urmatoarea expresie
Rt = D′
t −D′′
t
Daca asiguratul ın varsta de x ani plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii ınseamna ca: m = 0,k →∞, iar n→∞ (pana la limita de varsta). In aceste conditii, prima este: P = Mx
Nx. Datoria institutiei
de asigurare actualizata ın momentul t este: D′t = Ax+t deoarece obligatia sa consta ın a plati o unitate
monetara (consideram S = 1 u.m.) oricand are loc decesul persoanei, care ın momentul t este ın varstade x + t ani. Cu alte cuvinte avem de-a face cu o anuitate de deces imediata (din momentul t) sinelimitata. Datoria asiguratului actualizata la momentul t este D
′′t = P ·ax+t, ıntrucat are obligatia de a
plati anticipat prima pana la decesul sau.Folosind numerele de comutatie ın exprimarea anuitatilor de mai sus, obtinem
D′
t =Mx+t
Dx+t
, D′′
t =Mx
Nx
· Nx+t
Dx+t
Rezerva matematica este data, ın consecinta, de relatia
Rt =Mx+t
Dx+t
− Mx
Nx
· Nx+t
Dx+t
�
Problema 15. Sa se calculeze, cu metoda retrospectiva, rezerva matematica ın cazul asigurariide pensii daca asiguratul plateste prima anuala timp de n ani, iar plata pensiei anuale, de o unitatemonetara, se va face dupa aceasta data.
Rezolvare. Formula rezervei matematice prin aceasta a doua metoda de calcul este
Rt =/tD
′′x −/t D
′x
tEx
unde presupunem ca 0 ≤ t ≤ n.Conform enuntului avem: x - varsta persoanei asigurate, S = 1 u.m. si k = n. Stiind ca suntem ın
cazul unei asigurari de pensii, prima va fi
P =Nx+n
Nx −Nx+n
Pentru calcularea rezervei matematice prin metoda retrospectiva, obligatiile celor doua parti vor fiactualizate la momentul zero, acela al ıncheierii contractului de asigurare, deci cand asiguratul are xani. Datoria asiguratului consta ın a plati anticipat prima, P pana ın momentul t, deci: /tD
′′x = P ·/tax.
Institutia de asigurare nu are nici o obligatie pana la momentul t, ıntrucat t ≤ n, deci: /tD′x = 0.
Rezulta
Rt =P ·/t ax
tEx
Daca exprimam anuitatea si factorul de actualizare viager cu ajutorul numerelor de comutatie sifacem simplificarile corespunzatoare, obtinem
108
Rt =Nx+n
Nx −Nx+n
· Nx −Nx+t
Dx+t
�
Problema 16. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul cand doua persoane se asigura ınurmatoarele conditii:
- prima persoana, ın varsta de 30 ani, ıncheie o asigurare de viata de 8 000 u.m. pe timp de 20 anicu plata unor prime anuale platibile pe tot timpul asigurarii;
- a doua persoana, ın varsta de 40 ani, ıncheie o asigurare de deces cu plata anuala a primelor timpde 15 ani, cu conditia ca, daca ea decedeaza ın acest rastimp, familia sa primeasca 10 000 u.m.
Cele doua contracte au fost ıncheiate cu un decalaj de 3 ani, iar momentul ın care se cere rezervaeste de 5 ani dupa ıncheierea primului contract.
Rezolvare. Pentru asigurarea de viata avem: x1 = 30, n1 = 20, S1 = 8 000, t1 = 5.Cu aceste date, rezerva este:
Rt1 = S1 ·D50
D35
· N30 −N35
N30 −N50
= 8 000 · 7 070, 22
15 607, 64· 35 5643− 264 460, 38
35 5643− 97 674, 03
= 1 280, 94
Datele cunoscute ın cazul asigurarii de deces sunt: x2 = 40, n2 = 15, S2 = 10 000, t2 = 2.Atunci:
Rt2 = S2 ·[M42 −M55
D42
− (M40 −M55) · (N42 −N55)
D42 · (N40 −N55)
]=
= 10 000 ·[
2 812, 97− 2 212, 27
10 858, 35−
−(2 891, 02− 2 212, 27) · (170 376, 62− 66 010, 99)
10 858, 35 · (193 870, 81− 66 010, 99)
]=
= 42, 98
Rezerva totala este suma celor doua rezerve, deci
Rt = Rt1 +Rt2 = 1 280, 94 + 42, 98 = 1 323, 924 (u.m.) �
Teme de controlProbleme propusePrecizare: Rezultatele date mai jos au fost obtinute, considerand numerele de comutatie calculate
cu procentul 5%.Problema 1. Se considera o persoana ın varsta de 25 ani. Sa se calculeze: a) probabilitatea ca
persoana sa fie ın viata la 80 ani; b) probabilitatea ca persoana sa nu fie ın viata la varsta de 80 ani.R: a) p(25, 80) = 0, 29 b) q(25, 80) = 0, 71 �
109
Problema 2. Sa se calculeze viata medie a unei persoane de 85 ani.R: e85 = 3, 62 ani �Problema 3. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 43 si n = 4. Sa se
calculeze probabilitatile: p43, p44, p45, p46 respectiv 4/5q43.R: p43 = 0, 9962965, p44 = 0, 9959959, p45 = 0, 9954518, p46 = 0, 994997 respectiv 4/5q43 =
0, 0053348 �Problema 4. Sa se calculeze factorul de actualizare viager 13E26.R: 13E26 = 0, 5148745 �Problema 5. Sa se calculeze factorul de actualizare ın caz de deces 13D26.R: 13D26 = 0, 0016345 �Problema 6. O persoana ın varsta de 22 ani se asigura sa i se plateasca peste 10 ani, daca va fi ın
viata, o suma de 5 000 u.m. Sa se determine: a) Care este valoarea primei unice? b) Care este valoareaprimei anuale platibile pana la expirarea termenului de asigurare?
R: a) P = 3012, 43 u.m. b) P = 374, 22 u.m. �Problema 7. O persoana ın varsta de 34 ani doreste sa primeasca peste 26 ani o pensie lunara de
300 u.m. Care este valoarea primei semestriale daca aceasta va fi platita pe tot timpul asigurarii?R: P = 51, 87 u.m. �Problema 8. O persoana ın varsta de 40 ani ısi asigura familia cu o suma de 5 000 u.m. care
urmeaza sa fie platita de catre institutia de asigurare daca decesul are loc ın urmatorii 30 ani. a) Careeste valoarea primei unice? b) Care este valoarea primei lunare ce urmeaza a fi platita pe tot timpulasigurarii?
R: a) P = 722, 98 u.m. b) P = 49, 68 u.m. �Problema 9. O persoana ın varsta de 25 ani doreste sa primeasca, daca va fi ın viata la varsta de
60 ani, suma de 6 000 u.m., iar daca decedeaza ınaintea ımplinirii acestei varste, familia sa primeascajumatate din aceasta suma. a) Care este valoarea primei unice? b) Care este prima trimestriala platibilape tot timpul asigurarii?
R: a) P = 1081, 85 u.m. b) P = 132, 87 u.m. �Problema 10. Sa se calculeze, folosind metoda retrospectiva, rezerva matematica ın cazul asigurarii
de deces daca asiguratul plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.R: Rt = Mx+t
Dx+t− Mx
Nx· Nx+t
Dx+t�
Problema 11. Sa se calculeze, folosind metoda prospectiva, rezerva matematica ın cazul asigurariide pensii daca asiguratul plateste prime anuale timp de n ani, iar plata pensiei se va face anual, dupaaceasta data.
R: Rt = Nx+t
Dx+t· Nx−Nx+t
Nx−Nx+n�
Problema 12. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de deces daca persoana,care are varsta de 40 ani, se obliga sa plateasca prime anuale timp de 15 ani, iar daca decesul se produceın acest rastimp familia sa primeasca 50 000 u.m. Rezerva se va calcula peste 2 ani.
R: R2 = 214, 9 u.m. �Problema 13. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari mixte daca persoana
plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.R: Rt = Dx+t+Mx+t−Mx+n
Dx+t− Dx+n+Mx−Mx+n
Dx+t· Nx+t−Nx+n
Nx−Nx+n�
Bibliografie modul1. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pentru economisti, Ed. Tode-
sco, Cluj-Napoca, 2004.
110
3. Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB, Cluj-Napoca, 1998.4. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed. Transilvania Press, Cluj-
Napoca, 1996
Bibliografia completa a cursului:
1. Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2003.
2. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pentru economisti, Ed. Tode-sco, Cluj-Napoca, 2004.
3. Mihoc M., Mihoc I., Matematici aplicate in economie. Analiza matematica, Ed. Presa UniversitaraClujeana, Cluj-Napoca, 2000,
4. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed. Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996
5. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara aplicate in economie, Ed.Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.
6. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pentru economisti, Ed. Tode-sco, Cluj-Napoca, 2004.
7. Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB, Cluj-Napoca, 1998.8. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed. Transilvania Press, Cluj-
Napoca, 1996
111
Numere de comutatie cu 10%
x Lx Dx Nx Mx x Lx Dx Nx Mx
0 100000 100000.00 994613.18 10048.24 51 80501 623.41 5729.17 107.58
1 91992 83629.09 894613.18 2412.91 52 79867 562.27 5105.76 102.90
2 91000 75206.61 810984.09 1553.06 53 79172 506.71 4543.49 98.24
3 90545 68027.80 735777.48 1194.53 54 78418 456.26 4036.73 93.64
4 90286 61666.55 667749.68 1008.98 55 77603 410.47 3580.52 89.11
5 90101 55945.63 606083.13 888.52 56 76735 368.98 3170.05 84.74
6 89951 50774.99 550137.49 799.71 57 75810 331.39 2801.07 80.50
7 89837 46100.59 499362.50 738.36 58 74815 297.31 2469.68 76.35
8 89735 41862.04 453261.91 688.45 59 73741 266.40 2172.36 72.28
9 89644 38017.81 411399.87 647.97 60 72581 238.38 1905.96 68.28
10 89562 34530.03 373382.07 614.82 61 71320 212.94 1667.58 64.34
11 89484 31363.60 338852.04 586.14 62 69937 189.83 1454.64 60.40
12 89407 28487.83 307488.44 560.41 63 68438 168.87 1264.82 56.52
13 89330 25875.72 279000.62 537.02 64 66817 148.88 1095.94 52.71
14 89250 23502.31 253124.90 514.92 65 65068 132.69 946.06 48.96
15 89165 21345.39 229622.58 493.58 66 63112 117.00 813.37 45.16
16 89070 19384.23 208277.19 471.90 67 61036 102.87 696.37 41.19
17 88967 17601.65 188892.96 450.53 68 58836 90.14 593.50 37.96
18 88856 15981.53 171291.32 429.59 69 56508 78.71 503.35 34.56
19 88737 14509.21 155309.78 409.18 70 54051 68.44 424.65 31.29
20 88607 13170.87 140800.58 388.91 71 51363 59.12 356.21 28.05
21 88470 11955.00 127629.71 369.50 72 48607 50.87 297.08 25.02
22 88322 10850.00 115674.71 350.43 73 45786 43.56 246.22 22.21
23 88167 9846.33 104824.71 332.27 74 42920 37.12 202.66 19.61
24 88010 8935.27 94978.38 315.55 75 40025 31.47 165.54 17.22
25 87844 8107.65 86043.11 299.49 76 37138 26.54 134.07 15.06
26 87686 7357.33 77935.46 285.58 77 34184 22.21 107.53 13.04
27 87527 6676.36 70578.13 272.86 78 31175 18.42 85.31 11.18
28 87368 6058.39 63901.77 261.30 79 28136 15.11 66.90 9.47
29 87205 5497.35 57843.38 250.52 80 25097 12.25 51.79 7.91
30 87036 4987.91 52346.03 240.36 81 22097 9.81 39.54 6.52
31 86860 4525.29 47358.12 230.75 82 19178 7.74 29.73 5.28
32 86678 4105.28 42832.83 221.71 83 16384 6.01 21.99 4.21
33 86488 3723.89 38727.55 213.13 84 13758 4.59 15.98 3.29
34 86295 3377.80 35003.65 205.20 85 11338 3.44 11.40 2.52
35 86092 3063.51 31625.85 197.63 86 9155 2.52 7.96 1.89
36 85877 2778.05 28562.35 190.33 87 7230 1.81 5.44 1.38
37 85647 2518.74 25784.29 183.24 88 5575 1.27 3.63 0.99
38 85399 2283.13 23265.56 176.28 89 4188 0.87 2.36 0.68
39 85132 2069.08 20982.43 169.48 90 3059 0.58 1.49 0.46
40 84855 1874.87 18913.34 163.06 91 2168 0.37 0.91 0.30
41 84571 1698.72 17038.48 157.08 92 1487 0.22 0.54 0.19
42 84278 1538.94 15339.76 151.46 93 985 0.14 0.31 0.12
43 83976 1394.02 13800.62 146.21 94 628 0.08 0.17 0.07
44 83665 1262.60 12406.80 141.28 95 384 0.04 0.09 0.04
45 83330 1143.22 11144.20 136.46 96 224 0.02 0.05 0.02
46 82951 1034.57 10000.98 131.51 97 125 0.01 0.02 0.01
47 82536 935.81 8966.41 126.57 98 66 0.01 0.01 0.01
48 82088 846.12 8030.60 121.73 99 33 0.00 0.00 0.00
49 81603 764.65 7184.48 116.96 100 15 0.00 0.00 0.00
50 81077 690.66 6419.88 112.26
112