matematica pentru Începători, vol i

MATEMATICI PENTRUÎNCEP¼ATORI

*

Constantin M. ARCUS

2012

ii

Sotiei mele Liana si p¼arintilor mei Margareta si Marin.

Cuprins

Prefata vii

1 Multimi 11.1 Apartenent¼a si nonapartenent¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Incluziune si nonincluziune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Egalitate si nonegalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Multimea vid¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Imagini de familii de multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Diferenta a dou¼a multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Intersectia a dou¼a multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Reuniunea a dou¼a multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 Frontiera unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.12 Interiorul unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.13 Închiderea unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.14 Exteriorul unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.15 Multimi conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.16 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I Geometrie 41

2 Figuri geometrice 432.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 Drepte paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Drepte concurente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Figuri geometrice convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2 Poligoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Paralelogramul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.4 Trapezul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

iv CUPRINS

2.5 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6 Semiplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7 Semidrepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.1 Unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.8 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.9 Discul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.11 Teza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Transform¼ari geometrice 813.1 Transformarea identitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Simetria central¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.6 Simetria axial¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.8 Drepte perpendiculare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8.1 Unghiul drept. Triunghiul dreptunghic . . . . . . . . . . . 1133.8.2 Dreptunghiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.8.3 Trapezul dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.9 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.10 Rotatia în jurul unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.11 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.12 Figuri geometrice congruente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.12.1 Rombul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.12.2 P¼atratul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Lungimea unui segment închis 1334.1 Adunarea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2 Multiplicarea lungimilor cu numere naturale . . . . . . . . . . . . 1354.3 Compararea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4 Sc¼aderea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.5 Multiplicarea lungimilor cu numere zecimale pozitive . . . . . . . 1414.6 Distanta dintre capetele unui segment închis . . . . . . . . . . . . 143

4.6.1 Arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.7 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.8 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.9 Teza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5 M¼arimea unghiular¼a a unui unghi 1635.1 Adunarea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2 Multiplicarea m¼arimilor unghiulare cu numere naturale . . . . . . 1705.3 Compararea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.4 Sc¼aderea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.5 M¼asura unei m¼arimi unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

CUPRINS v

5.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

II Algebr¼a 181

6 Numere naturale 1836.1 Multimea N a numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.2 Adunarea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.3 Egalit¼ati. Ecuatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.4 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.5 Inegalit¼ati. Inecuatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.7 Înmultirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.8 Egalit¼ati. Ecuatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.9 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.10 Probleme care se rezolv¼a cu ajutorul ecuatiilor . . . . . . . . . . 2226.11 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.12 Inegalit¼ati. Inecuatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.13 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.14 Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.15 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.16 Împ¼artirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.17 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7 Numere zecimale pozitive 2537.1 Adunarea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . 2567.2 Compararea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . 2587.3 Sc¼aderea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.4 Înmultirea cu 10p si împ¼artirea la 10p . . . . . . . . . . . . . . . 2627.5 Produsul numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.6 Procente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.7 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8 Unit¼ati de m¼asur¼a 2738.1 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru mas¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.2 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru capacitate . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2778.4 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru durat¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

A Informatii metodice 281

vi CUPRINS

Prefata

Scoala este confruntat¼a acum cu una dintre problemele principale ale în-v¼at¼amântului: modernizarea continuturilor si a metodelor de predare. Se caut¼amereu solutii de actualizare a �ec¼arei discipline, alc¼atuind în prip¼a programe simanuale noi care, de cele mai multe ori, nu sunt compatibile cu ordinea intern¼aa domeniului �ec¼arei discipline.Mai mult decât celelalte discipline, "matematica este personaj principal" al

acestor fr¼amânt¼ari. Prezentarea integrat¼a a notiunilor de geometrie si de algebr¼aeste principala problem¼a care apare în acest sens.În acest¼a carte notiunile de matematic¼a sunt prezentate axiomatic semifor-

malizat cu respectarea regulilor date de maximele latinesti: Non nova sednove! si Non multa sed multum!Având în vedere evolutia stiintei în general si a matematicii în special, noti-

unile de geometrie sunt introduse bazându-ne pe notiuni elementare de teoriamultimilor si topologie. Claritatea notiunilor introduse si exemplele ilustrativeprezentate dup¼a �ecare de�nitie ajut¼a profesorul pentru a motiva corespunz¼atorelevii.Credem c¼a matematica trebuie si poate � studiat¼a paralel cu o axiomatizare

a sa, deoarece astfel se creeaz¼a o anumit¼a tolerant¼a pentru o alt¼a modalitate deacceptare a adev¼arului. Memorarea axiomelor si a demonstratiilor la orele degeometrie are un rol secundar în acest¼a carte care se doreste un instrument delucru pentru elevii anului întâi din ciclul gimnazial.Pledoaria în favoarea transform¼arilor geometrice este solid¼a, deoarece ideea

de miscare a �gurilor geometrice este de baz¼a în matematica modern¼a. Intro-ducerea transform¼arilor geometrice este în m¼asur¼a s¼a fac¼a pe elev s¼a tr¼aiasc¼amomente stimulatoare si atractive atât în timpul orelor de curs cât si în timpce-si efectueaz¼a tema, deoarece elevul este pus continuu în situatia de a utilizainstrumentele geometrice în realizarea diferitelor constructii. Notiunile geomet-rice: congruent¼a, lungimi, m¼arimi unghiulare, sunt formulate folosind transfor-m¼arile geometrice.Un accent deosebit este pus pe logica intern¼a a domeniului, pe limbajul folosit

precum si pe notatiile explicite pentru a desemna drepte, segmente, semidrepte,semiplane, lungimi, distante, m¼arimi unghiulare si m¼asuri de m¼arimi unghiulare.Consider¼am c¼a toate acestea sunt la fel de bune din punct de vedere pedagogic,dup¼a cum sunt si din punct de vedere logic.

vii

viii Prefata

Exemplele care ilustraz¼a notiunile prezentate în de�nitii, prezentarea peetape a diferitelor constructii precum si prezentarea de probleme rezolvate ajut¼ape elev s¼a dobândeasc¼a un limbaj matematic riguros pe care s¼a-l foloseasc¼a apoiîn aplicatii.La orele de algebr¼a sunt prezentate în ordine natural¼a propriet¼atile adun¼arii

si înmultirii numerelor naturale si zecimale pozitive, propriet¼ati care sunt jus-ti�cate cu demonstratii complete. Toate demonstratiile sunt scrise petit si nusunt obligatorii pentru elevi. Prezentarea acestora este în m¼asur¼a s¼a justi�cefaptul c¼a rezultatele si notiunile prezentate respect¼a ordinea intern¼a a domeniu-lui, iar maunalul nu este doar o însiruire de formule, retete si tautologii aplicateîn scheme rigide.Fiecare lectie de matematic¼a poate �studiat¼a mai întâi de elevi acas¼a pentru

ca la scoal¼a, sub supravegherea profesorului, elevii s¼a dobândeasc¼a corect noti-unile si tehnicile constructiilor diferitelor �guri geometrice sau s¼a-si însuseasc¼acorect diferitele propriet¼ati ale operatiilor cu numere pe care s¼a le aplice însituatii concrete. Astfel, lectia de matematic¼a devine o dezbatere condus¼a deprofesor la care elevii particip¼a activ.Elevii cap¼at¼a încredere în fortele proprii, se angajeaz¼a în discutii, cap¼at¼a

gustul critic si al lucrului bine f¼acut, devenind interesanti si interesati de matem-atic¼a. Abordarea creativ¼a a �ec¼arui profesor în functie de nivelul clasei de eleviconduce la atingerea obiectivele programei scolare concomitent cu stimulareacrescând¼a a capacitat¼atii creatoare a elevilor prin completarea verbelor a ar¼atasi a reproduce cu verbele a explica si a rezolva.

R¼adinesti,Ianuarie, 2012

Autorul

Capitolul 1

Multimi

Spatiul este corpul nostru si tot ceea ce ne înconjoar¼a. Not¼am spatiul culitera grecesac¼a � (sigma). Admitem c¼a spatiul este format din puncte pe carele not¼am cu litere mari din alfabet. Punctul este considerat notiune primar¼a sieste asimilat cu urma l¼asat¼a de vârful unui stilou la sfârsitul unei propozitii.Matematica este disciplina care a ap¼arut ca o consecint¼a a demersurilor

f¼acute de om în scopul cunoasterii spatiului cu ajutorul c¼areia se d¼a semni�catienatural¼a numerelor. Num¼arul natural este considerat tot notiune primar¼a, cucare omul se naste, deoarece este cunoscut c¼a oricât de modest¼a este zestreaintelectual¼a a unui om el stie s¼a numere g¼ainile din ograd¼a sau oile din turm¼a.Matematica se bazeaz¼a pe niste propozitii acceptate intuitiv pe care le nu-

mim axiome. A�rmatiile matematice cu ajutorul c¼arora sunt introduse notiunisi concepte sugerate de realitatea obiectiv¼a sau de axiome se numesc de�nitii.A�rmatiile matematice obtinute prin folosirea axiomelor si de�nitiilor sau aaxiomelor, de�nitiilor si a altor a�rmatii matematice se numesc observatie, re-marc¼a, propozitie, lem¼a sau teorem¼a dup¼a puterea informatiei pe care o contin.Consecintele se mai numesc si corolare.Explorarea spatiului din perspectiv¼a matematic¼a se face prin studiul p¼artilor

acestuia pe care le numim multimi. Multimile se noteaz¼a tot cu litere mari dinalfabet ca si punctele, diferenta dintre o multime si un punct f¼acându-se înfunctie de context.Exemplul 1.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R ca în desenul:

.M

. R

.Q

.. N

P

.M

. R

.Q

.. N

P

1

2 CAPITOLUL 1. MULTIMI

Multimea format¼a din punctele M;N;P;Q si R se noteaz¼a fM;N;P;Q;Rg ;ordinea punctelor ne�ind important¼a: Aceasta poate � notat¼a si cu litere maridin alfabet si putem avea scrierea:

E = fM;N;P;Q;Rg ;

Exemplul 1.2 Punctele curbei din desenul:

EE

formeaz¼a multimea pe care o not¼am E:Exemplul 1.3 Punctele portiunii hasurate din desenul:

FF

formeaz¼a multimea pe care o not¼am F: Conturul trasat cu linie continu¼a sem-ni�c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale multimii F: Hasurile semni�c¼afaptul c¼a multimea F este alc¼atuit¼a din toate punctele portiunii hasurate.Exemplul 1.4 Punctele portiunii hasurate din desenul:

MM

formeaz¼a multimea pe care o not¼am M: Conturul trasat cu linie continu¼a sem-ni�c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale multimii M iar conturul trasat culinie întrerupt¼a semni�c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt puncte ale multimiiM: Hasurile semni�c¼a faptul c¼a multimea M este alc¼atuit¼a din toate puncteleportiunii hasurate.Exemplul 1.5 Punctele portiunii colorate cu albastru din desenul:

NN

1.1. APARTENENT¼A SI NONAPARTENENT¼A 3

formeaz¼a multimea care are o lacun¼a pe care o not¼am N: Conturul trasat culinie continu¼a semni�c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale multimii N iarconturul trasat cu linie întrerupt¼a semni�c¼a faptul c¼a punctele sale nu suntpuncte ale multimii N:Exemplul 1.6 Punctele portiunii hasurate din desenul:

MM

formeaz¼a multimea care are dou¼a lacune pe care o not¼am M: Conturul trasatcu linie continu¼a semni�c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale multimii Miar conturul trasat cu linie întrerupt¼a semni�c¼a faptul c¼a punctele sale nu suntpuncte ale multimii M:Exemplul 1.7 Punctele portiunii colorate cu galben din desenul:

LL

formeaz¼a multimea pe care o not¼am L: Conturul trasat cu linie întrerupt¼a sem-ni�c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt puncte ale multimii L:Tema 1.1 Prezentati cinci exemple de multimi.

1.1 Apartenent¼a si nonapartenent¼a

De�nitia 1.1.1 Dac¼a punctul P se a�¼a printre punctele ce alc¼atuiesc multi-mea E; atunci spunem c¼a punctul P apartine multimii E si scriem P 2 E: Încaz contrar, spunem c¼a punctul P nu apartine multimii E si scriem P =2 E:Problema 1.1.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R:Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: M 2 fR;P;Mg ; P2: N =2

fR;P;Q;Mg ; P3: M 2 fR;P;N;Qg ; P4: Q =2 fM;P;Q;Ng ; P5: N =2 fR;P;Mg ;P6: Q 2 fR;P;Q;M;Ng ; P7: N 2 fP;M;Qg ; P8: P =2 fP;Q;N;Rg :R¼aspuns- Deoarece punctul M se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fR;P;Mg ; rezult¼a c¼a propozitia P1 este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul N nu se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fR;P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozitia P2 este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul M nu se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fR;P;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozitia P3 nu este adev¼arat¼a.


- Deoarece punctul Q se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimeafM;P;Q;Ng ; rezult¼a c¼a propozitia P4 nu este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul N nu se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fR;P;Mg ; rezult¼a c¼a propozitia P5 este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul Q se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fR;P;Q;M;Ng ; rezult¼a c¼a propozitia P6 este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul N nu se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a propozitia P7 nu este adev¼arat¼a.- Deoarece punctul P se a�¼a printre punctele care alc¼atuiesc multimea

fP;Q;N;Rg ; rezult¼a c¼a propozitia P8 nu este adev¼arat¼a. �Tema 1.1.1 Consider¼am multimea E si punctele C;K;P; L; T;R;Q ca în

desenul:

.

E

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

.

EE

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: T 2 E; P2: L =2 fR;P;Q; Tg ;P3: K 2 fC;K;Lg ; P4: Q =2 E; P5: C =2 fR; T;Q;Kg ; P6: Q 2 fR;P;Q; T; Lg ;P7: L =2 E; P8: T 2 fP;Q;C;Rg :Tema 1.1.2 Consider¼am multimea F si punctele T;C; P;A;B;R ca în de-

senul:

F R..T . P

. A

. B

.C

FF R..T . P

. A

. B

.C

Completati cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: T ::::: F ; P2: A::::: fR;P;A; Tg ; P3: P::::: fA;B;Cg ; P4: B:::::F ;P5: C::::: fR; T;A;Bg ; P6: R::::: fR;P;C; T;Ag ; P7: P:::::F ; P8: B::::: fA;C;Rg :Tema 1.1.3 Consider¼am multimea N si punctele S; T;R;L;Q ca în desenul:

NR.

. Q.T. S

. L

NR.

. Q.T. S

. L

1.2. INCLUZIUNE SI NONINCLUZIUNE 5

Completati cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a nu �e adev¼arate urm¼a-toarele propozitii: P1: S ::::: N ; P2: L::::: fR;L;Q; Tg ; P3: S::::: fQ;L; Sg ;P4: R:::::N ; P5: S::::: fR; T; L;Qg ; P6: R::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: L:::::M ; P8:Q::::: fT; S; L;Rg :

1.2 Incluziune si nonincluziune

De�nitia 1.2.1 Fie E si F dou¼a multimi.

Dac¼a oricare ar � P 2 E rezult¼a c¼a P 2 F; atunci scriem E � F si spunemc¼a multimea E este inclus¼a în multimea F sau c¼a multimea E este submultimea multimii F:

Dac¼a exist¼a un punct P 2 E astfel încât P =2 F; atunci scriem E F sispunem c¼a multimea E nu este inclus¼a în multimea F sau multimea E nu estesubmultime a multimii F:

Problema 1.2.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R.

Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fM;Pg � fR;P;Mg ; P2:fN;M;Qg fR;P;Q;Mg ; P3: fM;N;Pg � fR;M;N;Qg ; P4: fQ;Rg fM;P;Q;Ng ; P5: fM;P;Q;Ng ( fR;P;Mg ; P6: fR;M;N;Qg � fR;Q;M;Ng ;P7: fN;M;P;Rg � fP;M;Qg ; P8: fP;Q;Rg fP;Q;N;Rg :R¼aspuns

- Deoarece orice punct al multimii fM;Pg apartine multimii fR;P;Mg ;rezult¼a c¼a propozitia P1 este adev¼arat¼a.

- Deoarece exist¼a N 2 fN;M;Qg astfel încât N =2 fR;P;Q;Mg ; rezult¼a c¼apropozitia P2 este adev¼arat¼a.

- Deoarece exist¼a P 2 fM;N;Pg astfel încât P =2 fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼apropozitia P3 este fals¼a.

- Deoarece exist¼a R 2 fQ;Rg astfel încât R =2 fM;P;Q;Ng ; rezult¼a c¼apropozitia P4 este adev¼arat¼a.

- Deoarece exist¼a Q 2 fM;P;Q;Ng astfel încât Q =2 fR;P;Mg ; rezult¼a c¼apropozitia P5 este adev¼arat¼a.

- Deoarece orice punct al multimii fR;M;N;Qg apartine multimiifR;P;Q;M;Ng ; rezult¼a c¼a propozitia P6 este adev¼arat¼a.- Deoarece exist¼a N 2 fN;M;P;Rg astfel încât N =2 fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a

propozitia P7 este fals¼a.

- Deoarece orice punct al multimii fP;Q;Rg apartine multimii fP;Q;N;Rg ;rezult¼a c¼a propozitia P8 este fals¼a. �Tema 1.2.1 Consider¼am multimea E si punctele C;K;P; L; T;R;Q ca în


desenul:

.

E

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

.

EE

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fT;C; Lg E; P2: fL; Tg �fR;P;Q; Tg ; P3: fK;L;Cg � fC;K;Lg ; P4: fQ;R;Kg E; P5: fC;K;Qg fR; T;Q;Kg ; P6: fQ;L; P;Rg � fR;P;Q; T; Lg ; P7: fL;Kg E; P8: fQ;Cg fP;Q;C;Rg :Tema 1.2.2 Consider¼am multimea M si punctele S; T;R;L; P;A;X ca în

desenul:

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

Completati cu simbolurile � sau astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: fT;R;L;Xg ::::: M ; P2: fA; T;Rg ::::: fR;L;A; Tg ; P3: fX;P;Lg::::: fA;P; Sg ; P4: fR;P; Sg :::::M ; P5: fX;A;Rg ::::: fR; T;A;Xg ; P6: fR;S; Pg::::: fR;P; Tg ; P7: fP; S; T;Ag :::::M ; P8: fL;R;X; Pg ::::: fP; T;A; L;R;Xg :Tema 1.2.3 Consider¼am multimea L si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:

L

.Q

.V.S

. Y. KLL

.Q

.V.S

. Y. K

Completati cu simbolurile � sau astfel încât s¼a nu �e adev¼arate ur-m¼atoarele propozitii: P1: fQ;S;Kg ::::: L; P2: fQ;S; Y g ::::: fV; Y;Q; Sg ; P3:fS;Kg ::::: fQ;K; Sg ; P4: fY; V g :::::L; P5: fS;Q;Kg ::::: fK;V; Y;Qg ; P6: fY;Kg::::: fY; S; V;Qg ; P7: fV; S;Qg :::::L; P8: fK;V;Q; Sg ::::: fK;S;Q; V g :

1.3. EGALITATE SI NONEGALITATE 7

1.3 Egalitate si nonegalitate

De�nitia 1.3.1 Fie E si F dou¼a multimi.Dac¼a E � F si F � E; atunci scriem E = F si spunem c¼a multimile E si F

sunt egale:Dac¼a E F sau F E; atunci scriem E 6= F si spunem c¼a multimile E si

F sunt diferite:Problema 1.3.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R.Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fM;R;Pg = fR;P;Mg ; P2:

fN;M;Qg 6= fR;P;Q;Mg ; P3: fM;N;P;Rg = fR;M;N;Qg ; P4: fQ;R;Ng 6=fR;Q;Ng ; P5: fM;P;Q;Ng = fR;P;Q;Mg ; P6: fR;M;N;Qg 6= fP;Q;M;Ng ;P7: fN;M;P;Rg 6= fP;M;Qg ; P8: fP;Q;Rg 6= fQ;R; Pg :R¼aspuns- Deoarece fM;R;Pg � fR;P;Mg si fR;P;Mg � fM;R;Pg ; rezult¼a c¼a

propozitia P1 este adev¼arat¼a.- Deoarece fN;M;Qg fR;P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozitia P2 este ade-

v¼arat¼a.- Deoarece fM;N;P;Rg fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozitia P3 este fals¼a.- Deoarece fQ;R;Ng � fR;Q;Ng si fR;Q;Ng � fQ;R;Ng ; rezult¼a c¼a

propozitia P4 este fals¼a.- Deoarece fM;P;Q;Ng fR;P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozitia P5 este fals¼a.- Deoarece fP;Q;M;Ng fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozitia P6 este ade-

v¼arat¼a.- Deoarece fN;M;P;Rg fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a propozitia P7 este ade-

v¼arat¼a.- Deoarece fP;Q;Rg � fQ;R; Pg si fQ;R; Pg � fP;Q;Rg ; rezult¼a c¼a

propozitia P8 este fals¼a. �Tema 1.3.1 Consider¼am multimea F si punctele T;C; P;A;B;R ca în de-

senul:

F R..T . P

. A

. B

.C

FF R..T . P

. A

. B

.C

Completati cu simbolurile = sau 6= astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: fT; P;Rg ::::: F ; P2: fA;B;Cg ::::: fR;P;A; Tg ; P3: fC;B;Ag :::::fA;B;Cg ; P4: fB;C;R; Tg :::::F ; P5: fA;B;R; Tg ::::: fR; T;A;Bg ; P6: fR; T;Cg::::: fR;C; T;Ag ; P7: fP; T;Rg :::::F ; P8: fR;C; Pg ::::: fP;C;Rg :


Tema 1.3.2 Consider¼am multimea N si punctele S; T;R;L;Q ca în desenul:

NR.

. Q.T. S

. L

NR.

. Q.T. S

. L

Completati cu simbolurile = sau 6= astfel încât s¼a nu �e adev¼arate ur-m¼atoarele propozitii: P1: fS; T; Lg ::::: N ; P2: fL;R;Qg ::::: fR;L;Q; Tg ; P3:fS; T; L;Q;Rg ::::: fQ;L; Sg ; P4: fR;Q; Tg :::::N ; P5: fS; Tg ::::: fR; T; L;Q; Sg ;P6: fR;Q;Lg ::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: fQ;Rg :::::M ; P8: fQ;L; Tg ::::: fT; S; L;Rg :

1.4 Multimea vid¼a

Exist¼a multimi care nu au elemente, despre care vom spune c¼a au niciunelement.Exemplul 1.4.1 Multimea format¼a din punctele care apartin acoperisului

scolii si temeliei scolii are niciun element.Exemplul 1.4.2 Multimea format¼a din punctele care apartin tablei din sala

de clas¼a si usii clasei are niciun element.

Axioma IOrice multime are ca submultimi toate multimile care au niciun

element.

Propozitia 1.4.1 Exist¼a o singur¼a multime care are niciun element pe careo numim multimea vid¼a si pe care o not¼am cu litera greceasc¼a �.DemonstratieÎntr-adev¼ar, dac¼a �1 si �2 ar � dou¼a multimi care au niciun element, atunci,

folosind axioma precedent¼a, rezult¼a c¼a �1 � �2 si �2 � �1; adic¼a �1 = �2:q.e.d.Exemplul 1.4.3 Multimea format¼a din punctele care apartin acoperisului

scolii si temeliei scolii este egal¼a cu multimea vid¼a.Exemplul 1.4.4 Multimea format¼a din punctele care apartin tablei din sala

de clas¼a si usii clasei este egal¼a cu multimea vid¼a.Exemplul 1.4.5 Consider¼am desenul:

MN

MN

1.5. IMAGINI DE FAMILII DE MULTIMI 9

Multimea format¼a din punctele care apartin atât multimiiM cât si multimiiN este egal¼a cu multimea vid¼aTema 1.4.1 G¼asiti cinci exemple de multimi egale cu multimea vid¼a.

1.5 Imagini de familii de multimi

De�nitia 1.5.1Mai multe multimi formeaz¼a imaginea unei familii de multimi.Spune c¼a multimile ce alc¼atuiesc imaginea unei familii de multimi sunt elementeale acesteia.Exemplul 1.5.1 C¼artile din biblioteca Scolii Generale CORNELIUS RADU

formeaz¼a imaginea familiei c¼artilor din bibliotec¼a.Exemplul 1.5.2 Imaginea familiei elevilor din clasa a V-a care sunt pe

acoperisul scolii este egal¼a cu multimea vid¼a.Exemplul 1.5.5 Imaginea familiei submultimilor unei multimiM se noteaz¼a

P (M) si se numeste multimea p¼artilor multimii M: Evident c¼a � si M suntelemente ale lui P (M) :Exemplul 1.5.6 Dac¼a X = fTg ; atunci

P (X) = f�; fTgg :

Exemplul 1.5.7 Dac¼a M = fA;Bg ; atunci

P (M) = f�; fAg ; fBg ; fA;Bgg :

Exemplul 1.5.8 Dac¼a N = fP;Q;Rg ; atunci

P (N) = f�; fPg ; fQg ; fRg ; fP;Qg ; fQ;Rg ; fR;Pg ; fP;Q;Rgg :

Tema 1.5.1 Prezentati cinci exemple de imagini de familii de multimi.De�nitia 1.5.2 Spunem c¼a num¼arul elementelor multimii vide este zero si

scriemCard (�) = 0:

Spunem c¼a num¼arul elementelor multimii f�g este unu si scriem

Card (f�g) = 1:

Spunem c¼a num¼arul elementelor multimii f�; f�gg este doi si scriem

Card (f�; f�gg) = 2:

Spunem c¼a num¼arul elementelor multimii f�; f�g ; f�; f�ggg este trei siscriem

Card (f�; f�g ; f�; f�ggg) = 3:

:::::


Simbolurile 0; 1; 2; 3; ::: vor � folosite în scopul numerot¼arii paginilor acesteic¼arti, a propozitiilor, a problemelor, a de�nitiilor,... Acelesi notatii vor � folositesi pentru numerele naturale pe care le vom introduce într-o lectie viitoare dealgebr¼a.Tema 1.5.2. Stabiliti câte elemente are imaginea familiei g¼ainilor din

gospod¼arie.Tema 1.5.3. Enumerati elementele imaginii familiei pisicilor din gospod¼arie.Tema 1.5.4 Prezentati imaginea unei familii de multimi care este egal¼a cu

multimea vid¼a.

1.6 Evaluare

Testul 1.6.11. Consider¼am multimea M si punctele S; T;R;L; P;A;X ca în desenul:

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

Completati cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: T ::::: M ; P2: A::::: fR;L;A; Tg ; P3: X::::: fA;P; Sg ; P4: R:::::M ;P5: S::::: fR; T;A;Xg ; P6: R::::: fR;P;X; T;Ag ; P7: P:::::M ; P8: L::::: fP; T;A; Lg :2. Consider¼am multimea F si punctele T;C; P;A;B;R ca în desenul:

F R..T . P

. A

. B

.C

FF R..T . P

. A

. B

.C

Completati cu simbolurile � sau astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: fT; P;Rg ::::: F ; P2: fA;B;Cg ::::: fR;P;A; Tg ; P3: F::::: fA;B;Cg ;P4: fB;C;R; Tg :::::F ; P5: fA;B;Rg ::::: fR; T;A;Bg ; P6: fR;C;Bg ::::: fP; T;Ag ;P7: fP; T;Rg :::::F ; P8: F::::: fP; T;A;C;Rg :

1.6. EVALUARE 11

3. Consider¼am multimea L si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:

L

.Q

.V.S

. Y. KLL

.Q

.V.S

. Y. K

Completati cu simbolurile = sau 6= astfel încât s¼a nu �e adev¼arate urm¼a-toarele propozitii: P1: fQ;S;Kg ::::: L; P2: fQ;S; Y g ::::: fY;Q; Sg ; P3: fS;K;Qg::::: fQ;K; Sg ; P4: fY; V g :::::L; P5: fS;Q;Kg ::::: fK;V; Y;Qg ; P6: fY;K; S;Qg::::: fY; S; V;Qg ; P7: fV; S;Qg :::::L; P8: fK;V;Q; Sg ::::: fK;S;Q; V g :4. Consider¼am multimea E si punctele C;K;P; L; T;R;Q ca în desenul:

.

E

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

.

EE

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fR;C;Lg = E; P2: Q 2fR;P;Q; Tg ; P3: fQ;L;Cg 6= fQ;K;Lg ; P4: fC;L;Kg � E; P5: Q =2 fR;Q;Kg ;P6: fQ;L; P;Qg 6= fR;P;Q;Lg ; P7: fL;K;Cg E; P8: P 2 fP;L;C;Kg :5. Stabiliti câte elemente are imaginea familiei fetelor din clasa a V-a.6. Enumerati elementele familiei caietelor din ghiozdanul vostru.7. Prezentati o multime care nu este egal¼a cu multimea vid¼a.8. Prezentati imaginea unei familii de multimi care este egal¼a cu multimea

vid¼a.9. Dac¼a M;N si P sunt trei puncte diferite, determinati imaginea familiei

p¼artilor multimilor fM;Ng si fM;P;Ng :

Testul 1.6.21. Consider¼am multimea L si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:

L

.Q

.V.S

. Y. KLL

.Q

.V.S

. Y. K

Completati cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a nu �e adev¼arate urm¼a-toarele propozitii: P1: Q ::::: L; P2: Q::::: fV; Y;Q; Sg ; P3: S::::: fQ;K; Sg ; P4:K:::::L; P5: S::::: fK;V; Y;Qg ; P6: Y::::: fY; S; V;Qg ; P7: V:::::M ; P8: K::::: fK;Sg :


2. Consider¼am multimea N si punctele S; T;R;L;Q ca în desenul:

NR.

. Q.T. S

. L

NR.

. Q.T. S

. L

Completati cu simbolurile � sau astfel încât s¼a nu �e adev¼arate ur-m¼atoarele propozitii: P1: fS; T; Lg ::::: N ; P2: fL;R;Qg ::::: fR;L;Q; Tg ; P3:fS; T; L;Q;Rg ::::: fQ;L; Sg ; P4: fR;Q; Tg :::::N ; P5: fS; Tg ::::: fR; T; L;Q; Sg ;P6: fR;Q;Lg ::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: fQ;Rg :::::M ; P8: fQ;L; Tg ::::: fS;L;Rg :3. Consider¼am multimea M si punctele S; T;R;L; P;A;X ca în desenul:

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

M.

X

R.

A.

L.

.P

.T. S

Completati cu simbolurile = sau 6= astfel încât s¼a �e adev¼arate urm¼atoarelepropozitii: P1: fT;R;L;Xg ::::: M ; P2: fA; T;R; Lg ::::: fR;L;A; Tg ; P3: fX;Pg::::: fA;P; S; L;Xg ; P4: fR;P; Sg :::::M ; P5: fX;A;L;Rg ::::: fR; T;A;Xg ; P6:fR;S; Pg ::::: fR;P; Sg ; P7: fP; S; T;Ag :::::M ; P8: fL;R;X; Pg ::::: fP;L;R;Xg :4. Consider¼am multimea E si punctele C;K;P; L; T;R;Q ca în desenul:

.

E

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

.

EE

. ..

.

.C

KL

P

T

Q

R.

Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fT;C; Lg � E; P2: R 2fR;P; Tg ; P3: fK;L;Cg fC;K;Lg ; P4: fQ;R;Kg = E; P5: C =2 fR; T;Qg ;P6: fQ;L; P;Rg 6= fR;P;Q;Lg ; P7: fL;Kg � E; P8: T =2 fP;Q;C;Rg :

1.7. DIFERENTA A DOU¼A MULTIMI 13

5. Stabiliti câte elemente are imaginea familiei b¼aietilor din clasa a V-a.6. Enumerati elementele familiei c¼artilor din ghiozdanul vostru.7. Prezentati o multime care este egal¼a cu multimea vid¼a.8. Prezentati imaginea unei familii de multimi care nu este egal¼a cu multimea

vid¼a.9. Dac¼a A;B si C sunt trei puncte diferite, determinati imaginea familiei

p¼artilor multimilor fA;Bg si fB;C;Ag :

1.7 Diferenta a dou¼a multimi

De�nitia 1.7.1 Dac¼a E si F sunt dou¼a multimi, atunci multimea format¼adin punctele P care apartin multimii E si nu apartin multimii F se numestediferenta multimilor E si F si se noteaz¼a E n F: Vom scrie:

E n F = fP : P 2 E si P =2 Fg :Remarca 1.7.1 Dac¼a E este o multime, atunci E n E = �; E n � = E si

� n E = �:Problema 1.7.1 Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fA;N;M;D;GgnfM;B;D;Gg ; b) fM;B;D;GgnfA;N;M;Gg ;

c) fA;D;Gg n fM;B;Gg ; d) fB;D;Gg n fA;N;Mg ; e) fA;Mg n fM;B;Gg ;f) fM;B;Dg n fA;N;Gg ; g) fA;D;G;B;Ng n fM;B;A;Gg ; h) fB;G;Mg nfA;N;D;M;Gg :R¼aspunsa) fA;N;M;D;Gg n fM;B;D;Gg = fA;Ng ;b) fM;B;D;Gg n fA;N;M;Gg = fB;Dg ;c) fA;D;Gg n fM;B;Gg = fA;Dg ;d) fB;D;Gg n fA;N;Mg = �;e) fA;Mg n fM;B;Gg = fAg ;f) fM;B;Dg n fA;N;Gg = fM;B;Dg ;g) fA;D;G;B;Ng n fM;B;A;Gg = fD;Ng ;h) fB;G;Mg n fA;N;D;M;Gg = fBg : �Tema 1.7.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R.Calculati: a) fP;N;MgnfM;R;Qg ; b) fM;P;Q;RgnfN;M;Pg ; c) fP;Qgn

fM;R;Ng ; d) fM;R;Ng n fP;Qg ; e) fM;Rg n fM;R;Ng ; f) fM;R;Ng nfM;Rg ; g) fM;R;Qg n fP;N;Mg ; h) fQ;N;Rg n fP;N;Q;M;Rg :Problema 1.7.2 Consider¼am desenul:

E

F

E

F


Colorati diferit punctele multimilor EnF si FnE:R¼aspuns

Colorând cu rosu punctele multimii EnF si cu verde punctele multmii FnEobtinem situatia din desenul:

F\E

E\F

E

F

F\E

E\F

E

F

Conturul colorat cu rosu trast întrerupt subliniaz¼a faptul c¼a punctele sale nuapartin multimii EnF iar conturul colorat cu verde trast întrerupt subliniaz¼afaptul c¼a punctele sale nu apartin multimii FnE: �Tema 1.7.2 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F

Colorati diferit punctele multimilor EnF si FnE:Tema 1.7.2´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F

Colorati diferit punctele multimilor EnF si FnE:

1.7. DIFERENTA A DOU¼A MULTIMI 15

Problema 1.7.3 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati diferit punctele multimilor EnF si FnE:R¼aspunsColorând cu albastru punctele multimii EnF si cu rosu punctele multmii

FnE obtinem situatia din desenul:

E F

F\E

F\E

E\F

E\F

E F

F\E

F\E

E\F

E\F

Linia albastr¼a trasat¼a întrerupt semni�c¼a faptul c¼a punctele sale nu apartinmultimii EnF: �Tema 1.7.3 Consider¼am desenul:

E

F

E

F



Tema 1.7.3´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F


1.8 Intersectia a dou¼a multimi

De�nitia 1.8.1 Dac¼a E si F sunt dou¼a multimi, atunci multimea format¼adin punctele P care apartin multimii E si multimii F se numeste intersectiamultimilor E si F si se noteaz¼a E \ F: Vom scrie:

E \ F = fP : P 2 E si P 2 Fg :

Dou¼a multimi care au intersectia multimea vid¼a se numescmultimi disjuncte.Remarca 1.8.1 Dac¼a E este o multime, atunci E \ E = E; E \ � = � si

� \ E = �:Problema 1.8.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R.Calculati: a) fP;N;Mg\fM;R;Qg ; b) fM;P;Q;Rg\fN;M;Pg ; c) fP;Qg\

fM;R;Ng ; d) fM;R;N; Pg \ fP;Qg ; e) fM;Rg \ fM;R;Ng ; f) fM;R;Ng \fP;Q;Rg ; g) fM;R;Qg \ fP;Ng ; h) fQ;N;Rg \ fP;N;Q;M;Rg :R¼aspunsa) fP;N;Mg \ fM;R;Qg = fMg ;b) fM;P;Q;Rg \ fN;M;Pg = fM;Pg ;c) fP;Qg \ fM;R;Ng = �;d) fM;R;N; Pg \ fP;Qg = fPg ;e) fM;Rg \ fM;R;Ng = fM;Rg ;f) fM;R;Ng \ fP;Q;Rg = fRg ;g) fM;R;Qg \ fP;Ng = �;h) fQ;N;Rg \ fP;N;Q;M;Rg = fQ;N;Rg : �Tema 1.8.1 Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fA;N;M;D;Gg\fM;B;D;Gg ; b) fM;B;D;Gg\fA;D;Gg ;

c) fA;D;Gg\fM;B;Gg ; d) fB;D;Gg\fA;N;Mg ; e) fA;M;Dg\fM;B;Gg ;f) fM;B;Dg \ fA;N;Gg ; g) fA;D;G;B;Ng \ fM;B;A;Gg ; h) fB;G;Mg \fA;N;D;M;Gg :

1.8. INTERSECTIA A DOU¼A MULTIMI 17


E

F

E

F

Colorati cu albastru punctele multimii E \ F:R¼aspunsColorând cu albastru punctele multimii E \F obtinem situatia din desenul:

E

F

FE ∩

E

F

FE ∩

Conturul albastru trasat continuu subliniaz¼a faptul c¼a punctele sale apartinmultimii E \ F: �Tema 1.8.2 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F

Colorati cu verde punctele multimii E \ F:Tema 1.8.2´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F

Colorati cu albastru punctele multimii E \ F:



E

F

E

F

Colorati cu rosu punctele multimii E \ F:R¼aspuns

Colorând cu rosu punctele multimii E \ F obtinem situatia din desenul:

E

F

FE ∩

E

F

FE ∩

�Tema 1.8.3 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu verde punctele multimii E \ F:

1.9. REUNIUNEA A DOU¼A MULTIMI 19

Tema 1.8.3´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu maro punctele multimii E \ F:

1.9 Reuniunea a dou¼a multimi

De�nitia 1.9.1 Dac¼a E si F sunt dou¼a multimi, atunci multimea format¼adin punctele P care apartin multimii E n F sau multimii E \ F sau multimiiF nE se numeste reuniunea multimilor E si F si se noteaz¼a E [ F: Vom scrie:

E [ F = fP : P 2 E n F sau P 2 E \ F sau P 2 F n Eg :

Remarca 1.9.1 Dac¼a E este o multime, atunci E [ E = E; E [ � = E si� [ E = E:Problema 1.9.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R.Calculati: a) fP;N;Mg[ fM;R;Q; Pg ; b) fM;P;Q;Rg[ fN;Q;M;Pg ; c)

fP;Q;Ng [ fM;R;Ng ; d) fM;R;Ng [ fP;Ng ;R¼aspunsa) Deoarece

fP;N;Mg n fM;R;Q; Pg = fNg ;fP;N;Mg \ fM;R;Q; Pg = fM;Pg ;fM;R;Q; Pg n fP;N;Mg = fR;Qg ;

rezult¼a c¼a fP;N;Mg [ fM;R;Q; Pg = fN;M;P;R;Qg :b) Deoarece

fM;P;Q;Rg n fN;Q;M;Pg = fRg ;fM;P;Q;Rg \ fN;Q;M;Pg = fM;P;Qg ;fN;Q;M;Pg n fM;P;Q;Rg = fNg ;

rezult¼a c¼a fM;P;Q;Rg [ fN;Q;M;Pg = fR;M;P;Q;Ng :


c) Deoarece

fP;Q;Ng n fM;R;Ng = fP;Qg ;fP;Q;Ng \ fM;R;Ng = fNg ;fM;R;Ng n fP;Q;Ng = fM;Rg ;

rezult¼a c¼a fP;Q;Ng [ fM;R;Ng = fP;Q;N;M;Rg :d) Deoarece

fM;R;Ng n fP;Ng = fM;Rg ;fM;R;Ng \ fP;Ng = fNg ;fP;Ng n fM;R;Ng = fPg ;

rezult¼a c¼a fM;R;Ng [ fP;Ng = fM;R;N; Pg : �Tema 1.9.1 Consider¼am punctele M;N;P;Q si R ca în desenul:

.M

. R

.Q

.. N

P

.M

. R

.Q

.. N

P

Calculati: a) fM;R;Ng[fM;R;Ng ; b) fM;R;Ng[fM;Rg ; c) fM;R;Qg[fP;N;Mg ; d) fQ;N;Rg [ fP;N;Q;M;Rg :Problema 1.9.2 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu negru punctele multimii E [ F:R¼aspuns

Colorând cu rosu punctele multimii EnF; cu negru punctele multimii E \F

1.9. REUNIUNEA A DOU¼A MULTIMI 21

si cu verde punctele multimii FnE obtinem situatia din desenul:

F\E

E\F

E

F

FE ∩

F\E

E\F

E

F

FE ∩

Punând împreun¼a elementele multimilor EnF;E\F si FnE obtinem multimeaE [ F ca în desenul:

FE ∪ FE ∪

�Tema 1.9.2 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F

Colorati cu negru punctele multimii E [ F:Tema 1.9.2´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F

E

F


Colorati cu negru punctele multimii E [ F:Problema 1.9.3 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu negru punctele multimii E [ F:R¼aspunsColorând cu albastru punctele multimii EnF; cu negru punctele multimii

E \ F si cu rosu punctele multimii FnE obtinem situatia din desenul:

E F

F\E

F\E

E\F

E\F

FE ∩

E F

F\E

F\E

E\F

E\F

FE ∩

Punând împreun¼a elementele multimilor EnF;E\F si FnE obtinem multimeaE [ F ca în desenul:

FE ∪ FE ∪

�

1.10. EVALUARE 23

Tema 1.9.3 Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu negru punctele multimii E [ F:Tema 1.9.3´ Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu negru punctele multimii E [ F:

1.10 Evaluare

Testul 1.10.11. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fM;D;GgnfM;Gg ; b) fB;D;GgnfA;N;Mg ; c) fM;D;Gg n

fM;N;Gg ; d) fB;A;D;Gg n fA;D;M;Ng ; e) fN;A;M;Dg n fM;B;G;Ag ; f)fA;B;DgnfA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;NgnfN;B;A;Mg ; h) fB;A;N;G;MgnfA;N;Mg :2. Consider¼am desenul:

E

F

E

F


Hasurile semni�c¼a faptul c¼a multimea E contin toate punctele portiunii hasu-rate. Colorati diferit punctele multimilor EnF si FnE:3 Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati diferit punctele multimilor MnN si NnM:4. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fM;Gg\fM;Bg ; b) fB;M;Gg\fM;D;Gg ; c) fM;N;D;Gg\

fM;N;A;D;Gg ; d) fA;D;Gg\fG;D;M;Ng ; e) fN;A;B;Dg\fM;B;G;Ag ;f) fM;B;G;Ag\fN;A;B;Dg ; g) fM;G;B;Ng\fN;B;A;Mg ; h) fB;A;Ng\fG;B;A;N;Mg :5. Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu portocaliu punctele multimilor E \ F:6 Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati cu albastru punctele multimii M \N:7. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fM;D;Gg[fM;Bg ; b) fB;D;Gg[fA;N;Mg ; c) fM;A;Gg[

fM;N;Gg ; d) fB;A;D;Gg[fA;D;M;Ng ; e) fN;A;M;Dg[fM;B;G;Ag ; f)

1.10. EVALUARE 25

fA;B;Dg[fA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;Ng[fN;B;A;Mg ; h) fB;A;N;G;Mg[fA;N;Mg :8. Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu portocaliu punctele multimilor E [ F:9. Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati cu albastru punctele multimilor M [N:

Testul 1.10.21. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.

Calculati: a) fD;G;Ag n fM;Bg ; b) fB;Gg n fM;D;G;Ag ; c) fM;N;Gg nfM;N;A;D;Gg ; d) fA;D;Gg n fG;D;M;Ng ; e) fN;A;B;Dg n fM;B;G;Ag ;f) fM;B;G;AgnfN;A;B;Dg ; g) fM;G;B;NgnfN;B;A;Mg ; h) fB;A;N;MgnfG;B;A;N;Mg :2. Consider¼am desenul:

E

F

E

F



3 Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati diferit punctele multimilor MnN si NnM:4. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si G.Calculati: a) fM;D;Gg\fB;D;Gg ; b) fB;Gg\fA;N;Mg ; c) fM;D;Gg\

fM;N;Gg ; d) fB;A;D;Gg\fA;D;M;Ng ; e) fN;A;M;Dg\fM;B;G;Ag ; f)fA;B;Dg\fA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;Ng\fN;B;A;Mg ; h) fB;A;N;G;Mg\fA;N;Mg :5. Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu verde punctele multimii E \ F:6 Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati cu rosu punctele multimii M \N:7. Consider¼am punctele M;N;A;B;D si GCalculati: a) fM;D;Gg[fB;Dg ; b) fB;D;Gg[fA;Ng ; c) fM;A;D;Gg[

fM;N;Gg ; d) fB;A;D;Gg[fA;D;M;Ng ; e) fN;A;M;Dg[fM;B;G;Ag ; f)fA;B;Dg[fA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;Ng[fN;B;A;Mg ; h) fB;A;N;G;Mg[fA;N;Mg :

1.11. FRONTIERA UNEI MULTIMI 27

8. Consider¼am desenul:

E

F

E

F

Colorati cu albastru punctele multimilor E [ F:9. Consider¼am desenul:

M

N

M

N

Colorati cu negru punctele multimii M [N:

1.11 Frontiera unei multimi

Introducerea riguroas¼a a notiunii de frontier¼a a unei multimi este di�cil¼a.De aceea o s¼a prezent¼am câteva exemple în care asimil¼am frontiera unei multimicu conturul acelei multimi. Dac¼a E este o multime, atunci not¼am cu Fr (E)frontiera acesteia.

Exemplul 1.11.1 Consider¼am desenul:

( )EFrE ( )EFrE

Conturul trasat cu linie continu¼a care m¼argineste portiunea hasurat¼a estefrontiera multimii E.



( )MFr

M

( )MFr

M

Conturul trasat cu linie continu¼a si întrerupt¼a care m¼argineste portiuneahasurat¼a este frontiera multimii M .Exemplul 1.11.3 Consider¼am desenul:

N ( )NFrN ( )NFr

Conturul trasat cu linie continu¼a si întrerupt¼a care m¼argineste portiuneacolorat¼a albastru este frontiera multimii N .Exemplul 1.11.4 Consider¼am desenul:

L ( )LFrL ( )LFr

Conturul trasat cu linie întrerupt¼a care m¼argineste portiunea colorat¼a galbeneste frontiera multimii L.Tema 1.11.1 Colorati diferit frontiera a cinci multimi diferite.Tema 1.11.2 Construiti dou¼a multimi E si F care au puncte comune. Col-

orati diferit Fr (EnF ), Fr (E \ F ) si Fr (FnE) :Tema 1.11.3 Construiti dou¼a multimi E si F care au puncte comune si

colorati Fr (E [ F ) :

1.12. INTERIORUL UNEI MULTIMI 29

1.12 Interiorul unei multimi

De�nitia 1.12.1 Dac¼a M este o multime, atunci multimea

Int (M) =MnFr (M)

se numeste interiorul multimii M:O multime care coincide cu interiorul s¼au se numeste multime deschis¼a.Remarca 1.12.1 Intieriorul oric¼arei multimi este o multime deschis¼a.

Axioma a II-aMultimea vid¼a si întregul spatiu sunt multimi deschise.

Exemplul 1.12.1 Consider¼am multimea E din desenul:

( )EFrE ( )EFrE

Deoarece Fr (E) este trasat¼a cu linie continu¼a, rezult¼a c¼a punctele saleapartin multimii E: Asadar, Fr (E) � E: Dac¼a d¼am la o parte punctele Fr (E) ;atunci obtinem interiorul multimii E care arat¼a ca în desenul:

( )EInt

( )( )EIntFr

( )EInt

( )( )EIntFr

Fr (Int (E)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nuapartin Int (E) : Desi Fr (Int (E)) si Fr (E) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr (Int (E)) = Fr (E) :


Exemplul 1.12.2 Consider¼am multimea M din desenul:

( )MFr

M

( )MFr

M

Deoarece Fr (M) este trasat¼a cu linie continu¼a si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nutoate punctele sale apartin multimii M: Asadar, Fr (M) M: Dac¼a d¼am la oparte punctele Fr (M) ; atunci obtinem interiorul multimii M care arat¼a ca îndesenul:

( )( )MIntFr

( )MInt

( )( )MIntFr

( )MInt

Fr (Int (M)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nuapartin Int (M) : Desi Fr (Int (M)) si Fr (M) sunt trasate diferit, avem egali-tatea

Fr (Int (M)) = Fr (M) :

Exemplul 1.12.3 Consider¼am multimea N din desenul:

N ( )NFrN ( )NFr

Deoarece Fr (N) este trasat¼a cu linie continu¼a si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nutoate punctele sale apartin multimii N: Asadar, Fr (N) N: Dac¼a d¼am la oparte punctele Fr (N) ; atunci obtinem interiorul multimii N care arat¼a ca în

1.13. ÎNCHIDEREA UNEI MULTIMI 31

desenul:

( )( )NIntFr( )NInt ( )( )NIntFr( )NInt

Fr (Int (N)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nuapartin Int (N) :Desi Fr (Int (N))si Fr (N) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr (Int (N)) = Fr (N) :

Exemplul 1.12.4 Consider¼am multimea L din desenul:

L ( )LFrL ( )LFr

Deoarece Fr (L) este trasat¼a cu linie întrerupt¼a, rezult¼a c¼a toate punctelesale nu apartin multimii L: Asadar, L = Int (L) : Deci, L este o multime de-schis¼a.

De retinut: Frontiera multimilor deschise se traseaz¼a cu linie întrerupt¼a.

Tema 1.12.1 Construiti cinci multimi deschise si colorati-le diferit frontierasi interiorul. Pentru �ecare multime în parte construiti cel putin dou¼a punctecare apartin frontierei si cel putin dou¼a puncte care apartin interiorului.Tema 1.12.2 Construiti dou¼a multimi f¼ar¼a lacune, deschise si diferite M

si N care au puncte comune. Colorati diferit Int (MnN) ; Int (M \N) siInt (NnM) :Tema 1.12.3 Construiti dou¼a multimi cu lacune, deschise si diferite M

si N care au puncte comune. Colorati diferit Int (MnN) ; Int (M \N) siInt (NnM) :

1.13 Închiderea unei multimi


M =M [ Fr (M)

se numeste închiderea multimii M:O multime care coincide cu închiderea sa se numeste multime închis¼a.


Exemplul 1.13.1 Consider¼am multimea E din desenul:

( )EFrE ( )EFrE

Deoarece Fr (E) este trasat¼a cu linie continu¼a, rezult¼a c¼a Fr (E) � E:Asadar, E = E [ Fr (E) : Deci, multimea E este închis¼a.

Exemplul 1.13.2 Consider¼am multimea M din desenul:

( )MFr

M

( )MFr

M

Deoarece Fr (M) este trasat¼a cu linie continu¼a si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nutoate punctele sale apartin multimii M: Asadar, Fr (M) M: Dac¼a "lipim"la multimea M si punctele frontierei multimii M; atunci obtinem închidereamultimii M care arat¼a ca în desenul:

( )MFr

M

( )MFr

M

Fr�M�a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apartin

multimii M: Desi Fr�M�si Fr (M) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr�M�= Fr (M) :

1.13. ÎNCHIDEREA UNEI MULTIMI 33

Exemplul 1.13.3 Consider¼am multimea N din desenul:

N ( )NFrN ( )NFr

Deoarece Fr (N) este trasat¼a cu linie continu¼a si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nutoate punctele sale apartin multimii N: Asadar, Fr (N) N: Dac¼a "lipim"la multimea N si punctele frontierei multimii N; atunci obtinem închidereamultimii N care arat¼a ca în desenul:

( )NFrN ( )NFrN

Fr�N�a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apartin multimii

N: Desi Fr�N�si Fr (N) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr�N�= Fr (N) :

Exemplul 1.13.4 Consider¼am multimea L din desenul:

L ( )LFrL ( )LFr

Deoarece Fr (L) este trasat¼a cu linie întrerupt¼a, rezult¼a c¼a toate punctelesale nu apartin multimii L: Asadar, Fr (L) L: Dac¼a "lipim" la multimea L sipunctele frontierei multimii L; atunci obtinem închiderea multimii L care arat¼aca în desenul:

( )LFrL ( )LFrL

Fr�L�a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apartin multimii

L: Desi Fr�L�si Fr (L) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr�L�= Fr (L) :


De retinut: Frontiera multimilor închise se traseaz¼a cu linie continu¼a.

Tema 1.13.1 Construiti cinci multimi închise si colorati-le diferit frontierasi interiorul. Pentru �ecare multime în parte construiti cel putin dou¼a punctecare apartin frontierei si cel putin dou¼a puncte care apartin interiorului.Tema 1.13.2 Construiti dou¼a multimi cu lacune, inchise si diferite M si N

care au puncte comune. Colorati diferit MnN si NnM:Tema 1.13.3 Construiti dou¼a multimi f¼ar¼a lacune, inchise si diferite M si

N care au puncte comune. Colorati cu verde M \N:Tema 1.13.4 Construiti o multime deschis¼a cu lacune E, si o multime

inchis¼a f¼ar¼a lacune F care au puncte comune. Colorati diferit EnF si FnE:Tema 1.13.5 Construiti o multime deschis¼a f¼ar¼a lacune E, si o multime

inchis¼a cu lacune F care au puncte comune. Colorati cu rosu E \ F:Tema 1.13.6 Construiti o multime deschis¼a E, si o multime inchis¼a F care

au puncte comune. Colorati cu negru închiderea multimii E [ F:

1.14 Exteriorul unei multimi


Ext (M) = �nM

se numeste exteriorul multimii M:Exemplul 1.14.1 Consider¼am multimea închis¼a E ca în desenul:

( )EFrE ( )EFrE

Exteriorul multimii E este o multime deschis¼a si arat¼a ca în desenul:

( )EExt( )EExt

1.14. EXTERIORUL UNEI MULTIMI 35

Desi Fr (E) si Fr (Ext (E)) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr (E) = Fr (Ext (E)) :

Exemplul 1.14.2 Consider¼am multimea nici închis¼a nici deschis¼a M dindesenul:

( )MFr

M

( )MFr

M

Exteriorul multimii M este o multime deschis¼a si arat¼a ca în desenul:

( )MExt( )MExt

Desi Fr (M) si Fr (Ext (M)) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr (M) = Fr (Ext (M)) :

Exemplul 1.14.3 Consider¼am multimea nici închis¼a nici deschis¼a N dindesenul:

N ( )NFrN ( )NFr


Exteriorul multimii N este o multime deschis¼a si arat¼a ca în desenul:

( )NExt( )NExt

Desi Fr (N) si Fr (Ext (N)) sunt trasate diferit, avem egalitatea

Fr (N) = Fr (Ext (N)) :

Exemplul 1.14.4 Consider¼am multimea deschis¼a L din desenul:

L ( )LFrL ( )LFr

Exteriorul multimii L este o multime deschis¼a si arat¼a ca în desenul:

( )LExt( )LExt

Avem egalitatea Fr (L) = Fr (Ext (L)) :Tema 1.14.1 Construiti cinci multimi diferite si colorati-le diferit interiorul,

frontiera si exteriorul. Pentru �ecare multime în parte construiti cel putin dou¼apuncte care apartin interiorului, frontierei si exteriorului.

1.15. MULTIMI CONEXE 37

1.15 Multimi conexe

De�nitia 1.15.1 Dac¼a F este o multime pentru care nu exist¼a dou¼a multimideschise, nevide si disjuncte D si � astfel încât

F = (F \D) [ (F \�) ;

atunci spunem c¼a multimea F este conex¼a sau dintr-o bucat¼a. În caz contrar,spunem c¼a multimea F nu este conex¼a sau c¼a este format¼a din mai multe p¼arti.Exemplul 1.15.1 Consider¼am multimea fP;M;Q;R;Ng ca în desenul:

.M

. R

.Q

.. N

P

.M

. R

.Q

.. N

P

Consider¼am multimile deschise, nevide si disjuncte D si � din desenul:

.M

. R

.Q

.. N

P

D

∆

.M

. R

.Q

.. N

P

.M

. R

.Q

.. N

P

D

∆

Deoarece fP;M;Q;R;Ng \D = fM;P;Qg ; fP;M;Q;R;Ng \� = fN;Rgsi

fP;M;Q;R;Ng = fM;P;Qg [ fN;Rg

rezult¼a c¼a multimea fP;M;Q;R;Ng nu este conex¼a.Exemplul 1.15.2 Consider¼am multimea E = E1 [ E2 ca în desenul:

E1E

2EE1E

2E


Consider¼am multimile deschise, nevide si disjuncte D si � din desenul:

ED ∆1E

2EEED ∆1E

2E

Deoarece E = E1 [ E2 = (E \D) [ (E \�) rezult¼a c¼a multimea E nu esteconex¼a.Tema 1.15.1 Construiti dou¼a multimi conexe si dou¼a multimi neconexe.Tema 1.15.2 Construiti o multime conex¼a nici închis¼a nici deschis¼a cu trei

lacune pe care o not¼am cu M .1. Fixati punctele A;B;C;D 2 Int (M) ; P;Q;R 2 Fr (M) si E;F;G;H 2

Ext (M) :2. Calculati fA;H;D;Q;Cg [ fQ;P;E; F;A;Dg :Tema 1.15.3 Construiti o multime neconex¼a închis¼a format¼a din trei p¼arti

diferite E;F;G:1. Fixati punctele A;B 2 Int (E) ; P;Q;R 2 Ext (F )\G si K;H 2 Fr (F ) :2. Calculati fA;K;P;Q;Rg [ fG;B;G;K;Ag :3. Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fA;B; Pg � E; P2:

fP;Rg G; P3: P 2 F ; P4: P =2 G; P5: fA;B;K;Hg � Ext (F ) ; P6: fP;R;Kg =fK;P;Rg ; P7: fG;B;G;K;Ag 6= A;K;P;Q; P8: R =2 F:

1.16 Evaluare

Testul 1.16.11. Construiti o multime deschis¼a, conex¼a care are dou¼a lacune pe care o

not¼am E. Colorati diferit Fr (E) si Int (E) :2. Construiti o multime neconex¼a format¼a dintr-o parte deschis¼a E si o

parte închis¼a F: Fixati punctele M;N 2 Fr (E) si P;Q 2 Int (F ) :3. Construiti o multime închis¼a, neconex¼a format¼a din trei p¼arti E;F si G.

Construiti o multime deschis¼a H care s¼a aib¼a puncte comune cu F si G: Coloratidiferit Int (F \H) si Int (G \H) :4. Construiti o multime conex¼a, cu dou¼a lacune, nici închis¼a nici deschis¼a

pe care o not¼amM: Construiti o multime închis¼a N care s¼a aib¼a puncte comunecu M: Colorati diferit Int (M \N) si Fr (M \N) :5. Construiti o multime conex¼a închis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am cu K.

Fixati punctele P;Q;R; S 2 Int (K) ; A;O;B 2 Fr (K) si E;F;H 2 Ext (K) :Calculati fA;O; P;Q;Hg [ fS;Q;E; F;A;Bg :6. Construiti o multime neconex¼a deschis¼a format¼a din dou¼a p¼arti diferite

M si N:

1.16. EVALUARE 39

a) Fixati punctele A;C;D 2 Int (M) ; P;B;E;R 2 Ext (N) nM si L; S 2Fr (N) : Calculati fA;L; P;E;Rg [ fC;D;B;A; S; Lg :b) Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fA;B; P;Eg � N ; P2:

fP;R;Eg M ; P3: P 2 Ext (M) ; P4: P =2 N ; P5: fA;B;L; Sg � Ext (N) ; P6:fP;R;Dg = fR;P;Dg ; P7: fC;B;L;Ag 6= fA;S; P;Dg ; P8: R =2M:7. Construiti o multime închis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼arti E si G.

Colorati cu galben exteriorul acesteia si cu albastru interiorul acesteia.8. Construiti o multime conex¼a, cu patru lacune, nici închis¼a nici deschis¼a

pe care o not¼am N: Colorati cu albastru exteriorul acesteia si cu rosu interiorulacesteia.9. Construiti o multime conex¼a, închis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am X si o

multime deschis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am Y: Colorati cu negruX [ Y si cu galben Ext (X [ Y ) .

Testul 1.16.21. Construiti o multime deschis¼a, conex¼a care are dou¼a lacune pe care o

not¼am E. Colorati diferit Fr (E) si Int (E) :2. Construiti o multime neconex¼a format¼a dintr-o parte deschis¼a M si o

parte închis¼a N: Fixati punctele E;K 2 Fr (N) si P; S 2 Int (M) :3. Construiti o multime închis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼arti deschise

K si T . Construiti o multime închis¼a L care s¼a aib¼a puncte comune cu K si T:Colorati diferit Int (L \K) si Int (T \ L) :4. Construiti o multime conex¼a, cu dou¼a lacune, nici închis¼a nici deschis¼a

pe care o not¼am X: Construiti o multime închis¼a Y care s¼a aib¼a puncte comunecu X: Colorati diferit Int (X \ Y ) si Fr (X \ Y ) :5. Construiti o multime conex¼a deschis¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am

cu X. Fixati punctele P; T;R; L 2 Int (X) ; A;C;B 2 Fr (X) si E;D;G 2Ext (X) : Calculati fA;C; P; T; Lg [ fC;E;G;A;Bg :6. Construiti o multime neconex¼a închis¼a format¼a din dou¼a p¼arti diferite M

si N:a) Fixati punctele P;Q;R 2 Int (M) ; E; F;K;L 2 Ext (N) nM si T; S 2

Fr (N) : Calculati fA;L; P;Q;Rg [ fT; S;E;K;Lg :b) Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor: P1: fT; Sg � N ; P2: fP;Lg

M ; P3: E 2 Ext (M) ; P4: P =2 N ; P5: fR;P;K;Eg � Ext (M) ; P6: fP;Q; Tg =fT; P;Rg ; P7: fE;K;Pg 6= fF;K;P;Qg ; P8: R =2M:7. Construiti o multime deschis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼arti R si T .

Colorati cu galben exteriorul acesteia si cu albastru interiorul acesteia.8. Construiti o multime conex¼a, cu cinci lacune, nici închis¼a nici deschis¼a

pe care o not¼am X: Colorati cu albastru exteriorul acesteia si cu rosu interiorulacesteia.9. Construiti o multime conex¼a, deschis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am F si o

multime deschis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am G: Colorati cu negruF [G si cu galben Int (F [G) .


Studiul multimilor ca p¼arti ale spatiului � a determinat aparitiaGeometriei si a Algebrei, dou¼a ramuri importante ale Matematicii.În continuare, Partea I a acestui manual este destinat¼a studiului�gurilor geometrice (plane, semispatii, drepte, segmente, poligoane,semidrepte, unghiuri, semiplane,...) si a transform¼arilor geometrice,iar Partea a II-a este destinat¼a studiului multimilor de numere camultimi de puncte ale unei drepte.

Partea I

Geometrie

41

Capitolul 2

Figuri geometrice

Începând cu aceast¼a lectie toate multimile folosite se vor numi �guri geometrice.

2.1 Planul

De�nitia 2.1.1 Orice �gur¼a geometric¼a închis¼a care are interiorul egal cumultimea vid¼a se numeste suprafat¼a.Remarca 2.1.1 O suprafat¼a este o �gur¼a geometric¼a care coincide cu frontiera

sa. Asadar, frontiera oric¼arei �guri geometrice este o suprafat¼a.

Axioma a III-aOricare trei puncte distincte A;B si C determin¼a în mod unic o

suprafat¼a (A;B;C) care le contine astfel încât Ext (A;B;C) s¼a �ereuniunea a dou¼a �guri geometrice nevide, deschise si disjuncte.

De�nitia 2.1.2 Suprafata (A;B;C) dat¼a de axioma precedent¼a se numesteplanul determinat de punctele A;B si C: Cele dou¼a �guri geometrice nevide,deschise si disjuncte a c¼aror reuniune este Ext (A;B;C) se numesc semispatiideschise opuse care au drept frontier¼a planul (A;B;C) si se noteaz¼a �(A;B;C)respectiv ��(A;B;C):

De retinut: Multimile incluse într-un plan se vor numi �guri geometriceplane. Când construim o �gur¼a geometric¼a pe tabla din clas¼a, consider¼am c¼aavem o �gur¼a geometric¼a plan¼a inclus¼a în planul foii de tabl¼a. Când construimo �gur¼a geometric¼a pe foaia caietului, consider¼am c¼a avem o �gur¼a geometric¼aplan¼a inclus¼a în planul foii de caiet. Mai multe �guri geometrice incluse înacelasi plan se numesc �guri geometrice coplanare.Planele se mai noteaz¼a si cu literele grecesti � (alfa), � (beta), (gama) si

�(pi).

43

44 CAPITOLUL 2. FIGURI GEOMETRICE

2.2 Dreapta

De�nitia 2.2.1 Intersectia nevid¼a a dou¼a plane diferite se numeste dreapt¼a.Dreptele se noteaz¼a cu litere mici din alfabet sau cu litera greceasc¼a � (delta).Instrumentele folosite pentru a construi drepte încluse în planul foii de caiet

sau de tabl¼a sunt rigla si echerul.- Cum construim o dreapt¼a inclus¼a în planul foii de caiet?Pasul 1. Fix¼am rigla pe plan ca în desenul:

Pasul 2. Tras¼am o dreapt¼a d în lungul riglei ca în desenul:

dd

Pasul 3. Îndep¼art¼am rigla si obtinem dreapta d din desenul:

dd

Constructia de mai sus ne determin¼a s¼a introducem

Axioma a IV-aOricare dou¼a puncte distincte din spatiu determin¼a în mod unic

o dreapt¼a.

De retinut: Dac¼a A si B sunt dou¼a puncte distincte din spatiu, atuncidreapta determinat¼a de punctele A si B se noteaz¼a AB:- Cum construim dreapta determinat¼a de punctele distincte A si B?

2.2. DREAPTA 45

Pasul 1. Fix¼am în planul foii de caiet punctele A si B ca în desenul:

..

A

B

..

A

B

Pasul 2. Fix¼am rigla lâng¼a punctele A si B ca în desenul:

..

A

B

..

A

B

..

A

B

Pasul 3. Tras¼am o dreapt¼a în lungul riglei care contine punctele A si B caîn desenul:

AB

AB

Pasul 4. Îndep¼art¼am rigla si obtinem dreapta AB din desenul:

AB

AB


MN

P

a

b

d

MN

P

a

b

d

Dreptele a; b;MN;NP;MP si d sunt egale. Vom scrie: a = b = MN =NP =MP = d:


Problema 2.2.1 Construiti o �gur¼a geometric¼a deschis¼a, conex¼a cu dou¼alacune pe care o not¼am cu E:a) Fixati punctele R si S pe frontiera acesteia si construiti dreapta RS:b) Fixati celelalte puncte de intersectie dintre dreapta RS si Fr (E) :c) Identi�cati cinci dreptele egale cu dreapta RS:R¼aspunsa) Folosind datele problemei obtinem situatia din desenul:

E

RA

B C

D

SE

RA

B C

D

S

b) Celelalte puncte de intersectie dintre dreapta RS si Fr (E) sunt puncteleA;B;C si D:c) Cinci drepte egale cu dreapta RS sunt: AR;BC; SD;CS si AC: �Tema 2.2.1 Construiti o �gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune

pe care o not¼am cu F:a) Fixati punctele P si Q pe frontiera acesteia si construiti dreapta PQ:b) Fixati A 2 Int (F ) \ PQ si B 2 Ext (F ) \ PQ:c) Identi�cati toate dreptele egale cu dreapta PQ:Exemplul 2.2.2 Consider¼am desenul:

NP

d

NP

d

Dreptele NP si d sunt diferite. Vom scrie: NP 6= d:Problema 2.2.2 Construiti o �gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a cu o lacun¼a

pe care o not¼am cu M:a) Fixati punctele R;S 2 Int (M) si A;B 2 Ext (M) :b) Construiti toate dreptele diferite determinate de �ecare dou¼a puncte

diferite:c) Identi�cati dou¼a perechi de dreptele egale.R¼aspuns

2.2. DREAPTA 47

a) Folosind datele problemei obtinem situatia din desenul:

SB

R

A

SB

R

A

b) Dreptele diferite determinate de �ecare dou¼a puncte diferite sunt urm¼a-toarele: AB;BS; SR;AR;AS si BR:c) AS = SA si BR = RB: �Tema 2.2.2 Construiti o �gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a, f¼ar¼a lacune pe

care o not¼am cu E:a) Fixati punctele P;Q 2 Fr (E) si C;D;E 2 Ext (E) :b) Construiti toate dreptele diferite care se pot construi cu oricare dou¼a

puncte diferite.c) Identi�cati o dreapt¼a egal¼a cu dreapta PQ si trei drepte diferite de dreapta

DE:

Axioma a V-aDac¼a � este un plan si d este o dreapt¼a astfel încât � \ d = �,

atunci d � �� sau d � ��:

Propozitia 2.2.1 Dac¼a � este un plan, P 2 �� si Q 2 ��; atunci PQ\�este format¼a dintr-un singur punct.

Demonstratie

Folosind Axioma a V-a rezult¼a c¼a PQ\� 6= �: Dac¼a PQ\� ar � format¼adin cel putin dou¼a puncte distincte, atunci ar exista cel putin dou¼a dreptedistincte care s¼a contin¼a punctele distincte P si Q:

Astfel, folosind Axioma a IV-a am ajunge la o contradictie. q.e.d.

Propozitia 2.2.2 Dac¼a � este un plan si A;B 2 � astfel încât A 6= B;atunci AB � �:

Demonstratie

Fie C 2 Ext (�) : Cum (A;B;C) \ � = AB; rezult¼a c¼a AB � �:q.e.d.


2.2.1 Drepte paralele

De�nitia 2.2.1.1 Dreptele a si b sunt paralele dac¼a sunt egale sau diferite,coplanare si au intersectia egal¼a cu multimea vid¼a. Vom scrie: a k b:Exemplul 2.2.1.1 Consider¼am desenul:

MN

P

a

b

d

MN

P

a

b

d

Deoarece a = b = MN = NP = MP = d; rezult¼a c¼a a k b k MN k NP kMP k d:Tema 2.1.2.1 Construiti trei drepte paralele egale notate a; b si c:Exemplul 2.2.1.2 Pentru a construi dou¼a drepte paralele diferite par-

curgem mai multi pasi.Pasul 1. Folosind echerul, construim o dreapt¼a d ca în desenul:

dd

Pasul 2. Construim o dreapt¼a ajut¼atoare ca în desenul:

dd

Pasul 3. Deplas¼am echerul în lungul dreptei ajut¼atoare pân¼a ce obtinem

2.2. DREAPTA 49

situatia din desenul:

dd

Pasul 4. Construim o dreapt¼a � ca în desenul:

d

δ

d

δ

Pasul 5. Îndep¼artând echerul si stergând dreapta ajut¼atoare obtinem:

d

δ

d

δ

d si � sunt dou¼a drepte paralele diferite.Tema 2.1.2.2 Construiti trei drepte paralele diferite notate m;n si p:De�nitia 2.2.1.2Multimea tuturor dreptelor paralele cu o dreapt¼a d formeaz¼a

directia dreptei d:Tema 2.2.1.3 Construiti 3 drepte egale si 7 drepte diferite care apartin

directiei unei drepte d:

De retinut: Oricare dou¼a drepte paralele diferite a si b determin¼a în modunic un plan pe care îl not¼am (a; b) :


Axioma a VI-aOrice punct exterior unei drepte apartine unei singure drepte

paralel¼a cu dreapta dat¼a.

- Cum proced¼am pentru a construi paralela la o dreapt¼a d care continepunctul P?Pasul 1. Fix¼am punctul P si folosind echerul, construim o dreapt¼a d ca în

desenul:

d.P d.P

Pasul 2. Construim o dreapt¼a ajut¼atoare ca în desenul:

d.P d.P

Pasul 3. Deplas¼am echerul în lungul dreptei ajut¼atoare pân¼a ce obtinemsituatia din desenul:

d.P d.P

2.2. DREAPTA 51

Pasul 4. Construim o dreapt¼a � care contine punctul P ca în desenul:

dP

δ

dP

δ

Pasul 5. Îndep¼artând echerul si stergând dreapta ajut¼atoare obtinem:

dP

δ

dP

δ

Dreapta � este unica paralel¼a la dreapta d care contine punctul P:Tema 2.2.1.4 Fixati patru puncte diferite A;B;C si D: Construiti paralele

la dreapta AD care contin punctele B si C:

De retinut: O dreapt¼a d si un punct exterior P determin¼a în mod unic unplan pe care îl not¼am (d; P ) :

2.2.2 Drepte concurente

De�nitia 2.2.2.1 Dou¼a drepte diferite cu intersectia diferit¼a de multimeavid¼a se numesc drepte concurente.Propozitia 2.2.2.1 Dac¼a a si b sunt dou¼a drepte concurente, atunci a \ b

este format¼a dintr-un singur punct.DemonstratieDin ipotez¼a rezult¼a c¼a a 6= b si a \ b 6= �:Presupunem, prin absurd, c¼a exist¼a P;Q 2 a \ b : P 6= Q:Folosind Axioma a IV-a, rezult¼a c¼a a = PQ = b: Contradictie! q.e.d.


De retinut: Dou¼a drepte concurente a si b arat¼a ca în desenul:

a b

P

a b

P

Punctul de intersectie P se numeste punct de concurent¼a al dreptelor a si b:Oricare dou¼a drepte concurente a si b determin¼a în mod unic un plan pe care

îl not¼am (a; b) :

Tema 2.2.2.1 Construiti cinci drepte concurente în acelasi punct pe cares¼a le notati diferit.Propozitia 2.2.2.1 Dac¼a akb si c � (a; b) astfel încât dreptele a si c sunt

concurente, atunci b si c sunt concurente.

Demonstratie

Dac¼a a = b; atunci demonstratia este imediat¼a.

Dac¼a a 6= b; atunci trebuie s¼a avem c 6= b: În caz contrar, ar rezulta c¼acka si am ajunge la o contradictie.

Presupunem, prin absurd, c¼a dreptele b si c nu sunt concurente.

Astfel, punctul de intersectie dintre dreptele a si c apartine la dou¼aparalele diferite la dreapta b:

Folosind Axioma a VI-a, rezult¼a c¼a a = c: Contradictie! q.e.d.

2.3 Evaluare

Testul 2.3.11. Construiti o �gur¼a geometric¼a deschis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼arti

E si F:a) Fixati punctele P 2 Fr (E) si Q 2 Int (F ) astfel încât PQ\ (E [ F ) 6= �:b) Fixati R 2 Fr (E) \ PQ si S; T 2 Fr (F ) \ PQ:c) Identi�cati toate dreptele egale cu dreapta RS:2. Construiti cinci puncte diferite A;B;C;D si E în planul foii de caiet.a) Construiti toate dreptele diferite determinate de �ecare dou¼a puncte dis-

tincte. Cîte drepte apar?

2.3. EVALUARE 53

b) Identi�cati trei perechi de drepte egale.3. Construiti trei drepte paralele egale notate AB; d si EF:4. Construiti patru drepte paralele diferite AC; d; e si KF:5. Consider¼am trei puncte diferite M;N si P: Construiti dou¼a drepte egale

care apartin directiei dreptei MN; trei drepte diferite care apartin directieidreptei NP si trei drepte egale care apartin directiei dreptei MP .6. Consider¼am sase puncte diferite M;N;R; S; T si P: Construiti dreptele

care apartin directiei dreptei MN si care contin punctele R;S; T si P:7. Construiti o �gur¼a geometric¼a neconex¼a format¼a din trei p¼arti E;F si

G:a) Trasati o dreapt¼a d care s¼a intersecteze doar �gura geometric¼a G:b) Fixati punctele P;Q;R 2 Int (F ) si A;B;C 2 Fr (E) :c) Construiti paralelele la dreapta d care contin punctele P;Q;R;A;B si C:8. Consider¼am punctele diferite A;B;C;D;E si F: Construiti dreptele

diferite concurente în punctul A:9. Consider¼am punctele diferite A;B;C si D: Câte perechi de drepte con-

curente se pot construi? Care sunt acestea?

Testul 2.3.21. Construiti o �gur¼a geometric¼a nici închis¼a nici deschis¼a, conex¼a cu trei

lacune pe care o not¼am F:a) Fixati punctele A 2 Ext (F ) si B 2 Int (F ) astfel încât AB \ Fr (F ) s¼a

�e format¼a din cel putin patru puncte:b) Identi�cati toate dreptele egale cu dreapta AB:2. Construiti o dreapt¼a d:a) Fixati R;P;Q 2 d si S; T; L 2 Ext (d) :b) Construiti toate dreptele diferite care se pot construi cu oricare dou¼a

puncte diferite.c) Identi�cati toate dreptele egale cu dreapta RP:3. Construiti trei drepte paralele egale notate AB;BC si AC:4. Construiti trei drepte paralele diferite notate AM;LC si FG:5. Consider¼am dou¼a puncte diferite Q si P: Construiti trei drepte egale

care apartin directiei dreptei QP si patru drepte diferite care apartin directieidreptei QP:6. Consider¼am sase puncte diferite C;D;E; F;G si H: Construiti dreptele

care apartin directiei dreptei CD si care contin punctele E;F;G si H:7. Construiti o �gur¼a geometric¼a neconex¼a format¼a din trei p¼arti A;M si

N:a) Trasati o dreapt¼a d care s¼a intersecteze doar �gura geometric¼a A:b) Fixati punctele X;Z; Y 2 Int (N) si L;B;C 2 Fr (M) :c) Construiti paralelele la dreapta d care contin punctele X;Z; Y; L;B si C:8. Consider¼am punctele diferite M;P;L si R: Câte perechi de drepte con-

curente se pot construi? Care sunt acestea?9. Consider¼am punctele diferite X;F; I;K si Y: Construiti dreptele diferite

concurente în punctul I:


2.4 Segmente

De�nitia 2.3.1 Intersectia nevid¼a si conex¼a dintre o dreapt¼a si o �gur¼ageometric¼a deschis¼a se numeste segment deschis.Exemplul 2.3.1 Consider¼am desenul:

dD

A

B dD

A

B

Figura geometric¼a ]A;B[ = d\D se numeste segment deschis care are dreptfrontier¼a punctele A si B:Dac¼a stergem tot ce este în plus, atunci segmentul deschis ]A;B[ arat¼a ca în

desenul:

A

B

A

B

Exemplul 2.3.2 Figurile geometrice [A;B[ = fAg [ ]A;B[ si ]A;B] =]A;B[ [ fBg se numesc segmente semideschise care au drept frontier¼a puncteleA si B: Segmentul semideschis [A;B[ arat¼a ca în desenul:

A

B

A

B

Îngrosarea punctului A semni�c¼a faptul c¼a acesta apartine segmentului semi-deschis [A;B[ : Segmentul semideschis ]A;B] arat¼a ca în desenul:

A

B

A

B

Îngrosarea punctului B semni�c¼a faptul c¼a acesta apartine segmentului semi-deschis ]A;B] :

2.4. SEGMENTE 55

Exemplul 2.3.3 Figura geometric¼a [A;B] = fAg [ ]A;B[ [ B se numestesegment închis care are drept frontier¼a punctele A si B: Segmentul închis [A;B]arat¼a ca în desenul:

A

B

A

B

Îngrosarea punctelor A si B semni�c¼a faptul c¼a acestea apartin segmentuluiînchis [A;B] :Tema 2.3.1 Folosind notatii diferite, construiti câte cinci segmente din

�ecare tip prezentat mai sus.Tema 2.3.2. Construiti o �gur¼a geometric¼a F deschis¼a, conex¼a cu trei

lacune. Fixati P 2 Int (F ) si Q 2 Ext (F ) si construiti dreapta PQ: Câtesegmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Notati-le diferit.Tema 2.3.3. Construiti o �gur¼a geometric¼a G închis¼a, conex¼a cu dou¼a

lacune. Fixati A 2 Int (G) si B 2 Ext (G) si construiti dreapta AB: Câtesegmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Notati-le diferit.Tema 2.3.4. Construiti o �gur¼a geometric¼a M nici deschis¼a nici închis¼a,

neconex¼a format¼a din trei buc¼ati. Construiti o dreapt¼a d care are puncte comunecu M: Câte segmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Notati-le diferit.

De retinut: Dreapta care include un segment se numeste suportul segmen-tului respectiv.

2.4.1 Figuri geometrice convexe

De�nitia 2.4.1.1 O �gur¼a geometric¼a F este convex¼a dac¼a oricare ar �A;B 2 F; rezult¼a c¼a [A;B] � F: În caz contrar, dac¼a exist¼a A;B 2 F; astfelîncât [A;B] F; atunci spunem c¼a �gura geometric¼a F nu este convex¼a.

Axioma a VII-aSpatiul � este o �gur¼a geometric¼a convex¼a.

De retinut: Folosind axioma precedent¼a, rezult¼a c¼a spatiul este o multimeconex¼a f¼ar¼a g¼auri. Astfel, planul este perceput ca �ind o suprafat¼a far¼a denivel¼ari,f¼ar¼a lacune si nesfârsit¼a iar dreapta este perceput¼a ca �ind o sfoar¼a bine întins¼asi nesfârsit¼a.

Exemplul 2.4.1.1 Planul este o �gur¼a geometric¼a convex¼a.


Exemplul 2.4.1.2 Dreapta este o �gur¼a geometric¼a convex¼a.Exemplul 2.4.1.3 Segmentele sunt �guri geometrice convexe.Exemplul 2.4.1.4 Consider¼am �gura geometric¼a N nici închis¼a nici de-

schis¼a din desenul:

NN

Fix¼am punctele A;B 2 N si construim segmentul închis [A;B] ca în desenul:

NA

B

NNA

B

Deoarece [A;B] N; rezult¼a c¼a �gura geometric¼a N nu este convex¼a.Exemplul 2.4.1.5 Dou¼a drepte concurente nu formeaz¼a o �gur¼a geometric¼a

convex¼a.Exemplul 2.4.1.6 Dou¼a drepte paralele diferite nu formeaz¼a o �gur¼a geo-

metric¼a convex¼a.Tema 2.4.1.1 Construiti dou¼a �guri geometrice convexe si dou¼a �guri geo-

metrice neconvexe.Tema 2.4.1.2 Construiti trei drepte concurente a; b si c într-un punct P:

Figura geometric¼a a [ b [ c este convex¼a? Dar conex¼a?Tema 2.4.1.3 Fixati trei puncte diferite A;B si C: Figura geometric¼a

[A;B] [ [B;C] [ [A;C] este convex¼a? Dar conex¼a?Tema 2.4.1.4 Construiti dou¼a drepte paralele diferite AB si MN: Figura

geometric¼a AB [MN este convex¼a? Dar conex¼a?

2.4.2 Poligoane

De�nitia 2.4.2.1 Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a si convex¼a a c¼arei fron-tier¼a este reuniune �nit¼a de segmente închise se numeste poligon. Segmentelefrontier¼a se numesc laturile poligonului, iar punctele frontier¼a ale laturilor senumesc vârfurile poligonului.Poligoanele care au interiorul egal cu multimea vid¼a se numesc poligoane de-

generate, iar cele care au interiorul diferit de multimea vid¼a se numesc poligoanenedegenerate.

2.4. SEGMENTE 57

Poligonul cu trei (patru, cinci, sase,...) laturi se numeste triunghi (patrulater,pentagon, hexagon,...).

De retinut: Citirea unui poligon se face circular si nu în zig-zag.

Exemplul 2.4.2.1 Consider¼am desenul:

A

B C

( )ABCInt

( )ABCExtA

B C

( )ABCInt

( )ABCExt

Am construit triunghiul nedegenerat ABC:

Fr (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] :

Punctele A;B si C sunt vârfurile triunghiului nedegenerat ABC:Tema 2.4.2.1 De�niti triunghiul. Folosind modelul din exemplul precedent,

construiti patru triunghiuri nedegenerate notate diferit.Exemplul 2.4.2.2 Consider¼am desenul:

AB C

( )ABCExt

AB C

( )ABCExt

Am construit triunghiul degenerat ABC = [B;C] :

F r (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] = [B;C] :

Punctele A;B si C sunt vârfurile triunghiului degenerat ABC:Exemplul 2.4.2.3 Consider¼am desenul:

A

B C

( )ABCExt

.AB C

( )ABCExt

.Am construit triunghiul degenerat ABC = fAg = fBg = fCg :

F r (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] = fAg = fBg = fCg :


Punctele A;B si C sunt vârfurile triunghiului degenerat ABC:Exemplul 2.4.2.4 Consider¼am desenul:

M

Q N

( )MNPQInt

( )MNPQExt

P

M

Q N

( )MNPQInt

( )MNPQExt

P

Am construit patrulaterul nedegenerat MNPQ:

Fr (MNPQ) = [M;N ] [ [N;P ] [ [P;Q] [ [Q;M ] :

Punctele M;N;P si Q sunt vârfurile patrulaterului nedegenerat MNPQ:Tema 2.4.2.2 De�niti patrulaterul. Folosind modelul din exemplul prece-

dent, construiti trei patrulatere nedegenerate notate diferit.Exemplul 2.4.2.5 Consider¼am desenul:

M

R N

( )MNPQRInt

( )MNPQRExt

Q P

M

R N

( )MNPQRInt

( )MNPQRExt

Q P

Am construit pentagonul nedegenerat MNPQR:

Fr (MNPQR) = [M;N ] [ [N;P ] [ [P;Q] [ [Q;R] [ [R;M ] :

PuncteleM;N;P;Q si R sunt vârfurile pentagonului nedegeneratMNPQR:Tema 2.4.2.3 De�niti pentagonul. Folosind modelul din exemplul prece-

dent, construiti dou¼a patrulatere nedegenerate notate diferit.Tema 2.4.2.4 De�niti hexagonul si construiti dou¼a hexagoane nedegenerate

notate diferit.

2.4. SEGMENTE 59

2.4.3 Paralelogramul

De�nitia 2.4.3.1 Patrulaterul nedegenerat pentru care dreptele suport alelaturilor opuse sunt paralele se numeste paralelogram.

- Cum construim un paralelogram?

Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele diferite ca îndesenul:

Pasul 2. Folosind echerul construim alte dou¼a drepte paralele diferite ca îndesenul:

Pasul 3. Îndep¼artând echerul, stergând dreptele ajut¼atoare si liniile ap¼arute


în plus, obtinem paralelogramul PQRS din desenul:

P

Q

R

S

( )PQRSInt

( )PQRSExtP

Q

R

S

P

Q

R

S

( )PQRSInt

( )PQRSExt

Din constructie rezult¼a c¼a PQkRS si PSkQR:Tema 2.4.3.1 Construiti cinci paralelograme în diferite pozitii si colorati

diferit interiorul, frontiera si exteriorul acestora.Tema 2.4.3.2 Consider¼am triunghiul nedegenerat ABC:a) Construiti paralelogramul ABEF astfel încât E;F 2 Ext (ABC) :b) Construiti paralelogramul BCGH astfel încât G;H 2 Ext (ABC) :Tema 2.4.3.3 Consider¼am paralelogramul XYKL:a) Construiti paralelogramul KLEF astfel încât E;F 2 Ext (XYKL) :b) Construiti paralelogramul FEAB astfel încât A;B 2 Ext (KLEF ) :

2.4.4 Trapezul

De�nitia 2.4.4.1 Patrulaterul nedegenerat pentru care doar dreptele suporta dou¼a laturi opuse sunt paralele se numeste trapez.- Cum construim un trapez?Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele diferite ca în

desenul:

2.5. EVALUARE 61

Pasul 2. Folosind echerul construim alte dou¼a drepte neparalele diferite caîn desenul:

Pasul 3. Stergând dreapta ajut¼atoare si liniile ap¼arute în plus, obtinemtrapezul MATE din desenul:

MA

T

E

( )MATEInt

( )MATEExtMA

T

E

( )MATEInt

( )MATEExt

Din constructie rezult¼a c¼a MAkTE si AT ,ME:Tema 2.4.4.1 Construiti cinci trapeze în diferite pozitii si colorati diferit

interiorul, frontiera si exteriorul acestora.Tema 2.4.4.2 Consider¼am triunghiul nedegenerat ABC:a) Construiti trapezul ABEF (AB k EF ) astfel încât E;F 2 Ext (ABC) :b) Construiti trapezul BCGH (BH k GC) astfel încât G;H 2 Ext (ABC) :Tema 2.4.4.3 Consider¼am trapezul ABKL (AB k KL) :a) Construiti trapezul ABEF (AF k ED) astfel încât E;F 2 Ext (ABKL) :b) Construiti paralelogramul BEXY astfel încât X;Y 2 Ext (ABEF ) :

2.5 Evaluare

Testul 2.5.11. Construiti un triunghi nedegenerat ABC si colorati cu galben interiorul

s¼au:a) Fixati M 2 ]A;B[ si N 2 ]B;C[ :b) Construiti segmentele închise [C;M ] si [N;A] :c) Notati cu P punctul de intersectie al dreptelor CM si AN:


d) Notati cu Q punctul de intersectie al dreptelor BP si AC:e) Construiti triunghiul nedegenerat MNQ si colorati cu albastru interiorul

s¼au:2. Construiti patrulaterul nedegenerat PQRS si �xati M 2 Ext (PQRS) :a) Construiti dreptele care contin punctele P;Q;R respectiv S si sunt con-

curente în punctul M:b) Colorati cu rosu punctele intersectiei dintre dreapta MR si patrulaterul

nedegenerat PQRSc) Construiti paralela la dreapta QR care contine punctul S.d) Construiti triunghiul PQR si colorati diferit Int (PQR) si Int (PRS) :3. Construiti paralelogramul ABCD si �xati M 2 Int (ABCD).a) Construiti paralelele la dreptele suport ale laturilor paralelogramului care

contin punctul M:b) Notati cu U; V;X respectiv T punctele de intersectie cu laturile [A;B] ;

[B;C] ; [C;D] respectiv [A;D] :c) Câte paralelograme apar? Enumerati-le.4. Construiti paralelogramul EFGH si �xati A 2 Ext (EFGH) :a) Construiti paralelele la dreptele suport ale laturilor paralelogramului care

contin punctul A:b) Notati cuM;N;P respectiv Q punctele de intersectie cu dreptele EF;FG;

GH respectiv EH:c) Câte paralelograme apar? Enumerati-le.5. Construiti un un triunghi nedegenerat ABC:a) Construiti paralela a la drepata BC care contine punctul A:b) Construiti paralela b la drepata AC care contine punctul B:c) Construiti paralela c la drepata BA care contine punctul C:d) Faceti notatiile: fMg = c \ b; fNg = b \ a si fPg = c \ a:e) Câte triunghiuri apar? Dar paralelograme? Enumerati-le.6. Construiti triunghiul nedegenerat PQS si �xati A 2 Int (PQS) :a) Construiti paralela c la drepata PQ care contine punctul A:b) Construiti paralela d la drepata QS care contine punctul A:c) Faceti notatiile: fMg = PS \ c; fNg = QS \ c; fCg = PS \ d si fBg =

PQ \ d:e) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme? Enumerati-le.7. Construiti triunghiul nedegenerat ABC si �xati M 2 ]B;C[ :a) Construiti paralela c la dreapta AB care contine punctul M:b) Construiti paralela b la dreapta AC care contine punctul M:c) Faceti notatiile: fNg = AC \ c si fPg = AB \ b:e) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme? Enumerati-le.8. Construiti trapezul ABCD (AB k CD) si �xati M;N 2 ]D;C[ astfel

încât M 6= N si N 2 [M;C] :a) Construiti paralela m la dreapta BC care contine punctul M:b) Construiti paralela n la dreapta AD care contine punctul N:c) Faceti notatiile: fPg = m \ n; fEg = m \AD si fFg = BC \ n:e) Câte triunghiuri apar? Dar hexagoane? Enumerati-le.9. Fie trapezul ABCD (AB k CD) :

2.5. EVALUARE 63

a) Construiti paralelogramul ABEF astfel încât E;F 2 Ext (ABCD) :b) Construiti paralelogramul CDGH astfel încât G;H 2 Ext (ABCD) :c) Folosind echerul, veri�cati dac¼a EFGH este trapez.

Testul 2.5.21. Construiti un triunghi nedegenerat DEC si �xati R 2 Int (DEC) :a) Construiti segmentele închise [R;D] ; [R;E] si [R;C] :b) Notati cu P punctul de intersectie al dreptelor RD si EC:c) Notati cu S punctul de intersectie al dreptelor RE si DC:d) Notati cu Q punctul de intersectie al dreptelor RC si DE:e) Construiti triunghiul nedegenerat PSQ si colorati cu galben interiorul

s¼au:2. Construiti patrulaterul nedegenerat ABCD si �xati N 2 Int (ABCD) :a) Construiti dreptele care contin punctele A;B;C respectiv D si sunt con-

curente în punctul N:b) Colorati cu albastru punctele intersectiei dintre dreapta DN si patru-

laterul nedegenerat ABCD:c) Construiti paralela la dreapta BC care contine punctul A.d) Construiti triunghiul BCD si colorati diferit Int (ABD) si Int (BCD) :3. Construiti paralelogramele XY ZT si XY CD.a) Construiti segmentele închise [T;D] si [Z;C] :b) Folosind echerul, veri�cati dac¼a ZTDC este paralelogram.c) Câte paralelograme apar? Enumerati-le.4. Construiti paralelogramul ABCD si �xati M 2 Int (ABCD) :a) Construiti paralelele la dreptele suport ale laturilor paralelogramului care

contin punctul M:b) Notati cu R;S; P respectiv T punctele de intersectie cu laturile [A;B] ;

[B;C] ; [C;D] respectiv [D;A] :c) Câte paralelograme apar? Enumerati-le.5. Construiti un triunghi nedegenerat MNP:a) Construiti paralela m la drepata NP care contine punctul M:b) Construiti paralela n la drepata MP care contine punctul N:c) Construiti paralela p la drepata MN care contine punctul P:d) Faceti notatiile: fAg = p \ n; fBg = p \m si fCg = m \ n:e) Câte triunghiuri apar? Dar paralelograme? Enumerati-le.6. Construiti triunghiul nedegenerat PQS si �xati punctele diferite A;B;C;

D 2 [P; S] :a) Construiti paralelele la drepata SQ care contin punctele A;B;C si D:b) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme?c) Folosind notati adecvate, enumerati-le.7. Construiti triunghiul nedegenerat MAC si �xati P 2 ]A;C[ :a) Construiti paralela x la dreapta AM care contine punctul P:b) Construiti paralela y la dreapta MC care contine punctul P:c) Faceti notatiile: fXg = AM \ y si fY g =MC \ x:e) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme? Enumerati-le.


8. Construiti trapezul MNPQ (PQ kMN) si �xati A;B 2 ]P;Q[ astfelîncât A 6= B si A 2 [P;B] :a) Construiti paralela a la dreapta MQ care contine punctul A:b) Construiti paralela b la dreapta NP care contine punctul B:c) Faceti notatiile: fRg = a \ b; fSg = a \NP si fTg =MQ \ b:e) Câte triunghiuri apar? Dar hexagoane? Enumerati-le.9. Fie paralelogramul ABCD:a) Construiti paralelogramul ABEF astfel încât E;F 2 Ext (ABCD) :b) Construiti paralelogramul DCGH astfel încât G;H 2 Ext (ABCD) :c) Folosind echerul, veri�cati dac¼a EFHG este paralelogram.

2.6 Semiplane

De�nitia 2.6.1 Intersectia nevid¼a dintre un semispatiu deschis si un plan senumeste semiplan deschis. Închiderea unui semiplan deschis se numeste semi-plan închis.Consider¼am desenul:

ddπ

dπ−

ddπ

dπ−

Dac¼a d este o dreapt¼a inclus¼a în planul �; atunci �gurile geometrice deschisesi disjuncte �d si ��d sunt semiplane deschise opuse care au drept frontier¼adreapta d:

Axioma a VIII-aDac¼a d si � sunt dou¼a drepte incluse în planul � astfel încât

d \ � = �; atunci � � �d sau � � ��d:

Propozitia 2.6.1 Dac¼a d este o dreapt¼a inclus¼a în planul � iar P 2 �d siQ 2 ��d; atunci PQ \ d este format¼a dintr-un singur punct.

2.6. SEMIPLANE 65

Demonstratie

Folosind Axioma a VIII-a rezult¼a c¼a PQ \ d 6= �: Dac¼a PQ \ d ar �format¼a din cel putin dou¼a puncte distincte, atunci ar exista cel putindou¼a drepte distincte care s¼a contin¼a punctele distincte P si Q:

Astfel, folosind Axioma a IV-a am ajunge la o contradictie. q.e.d.

De retinut: Un semiplan este bine determinat de dreapta frontier¼a si unpunct arbitrar care nu apartine acesteia.


d

.M

d

.M

Am construit semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta d si carecontine punctul M: Acesta se noteaz¼a ]d;M :


.

A

B

P.

A

B

P

Am construit semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta AB si carecontine punctul P: Acesta se noteaz¼a ]AB;P :


Exemplul 2.6.3 Consider¼am semiplanele deschise egale din desenul:

.

A

B

P

.Q d

δ

.

A

B

P

.Q d

δ

Avem egalit¼atile: ]AB;P = ]d; P = ]AB;Q = ]�;Q :


.

N

δ .

N

δ

Am construit semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta � si carecontine punctul N: Acesta se noteaz¼a [�;N :


. Q

P

A

. Q

P

A

Am construit semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta PQ si carecontine punctul A: Acesta se noteaz¼a [PQ;A :

2.7. SEMIDREPTE 67

Exemplul 2.6.3 Consider¼am semiplanele închise egale din desenul:

. Q

P

A

.S

.

L

a

b

. Q

P

A

.S

.

L

a

b

Avem egalit¼atile: [PQ;A = [a;A = [PQ;L = [b; S = [a; L = [PQ; S =[b; A :

Tema 2.6.1 Construiti trei semiplane deschise si trei semiplane închisefolosind diferite notatii. Colorati diferit dreptele frontier¼a si interioarele aces-tora.Tema 2.6.2 Construiti dou¼a semiplane deschise egale si trei semiplane în-

chise egale folosind diferite notatii.Tema 2.6.3 Fixati în planul foii de caiet punctele diferite A;B;C si D:a) Construiti semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta AB si care

contine punctul C:b) Construiti opusul semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta BC

care contine punctul D:c) Colorati cu albastru intersectia semiplanelor construite la punctele a) si

b).Tema 2.6.4 Construiti în planul foii de caiet triunghiul nedegenerat ABC:a) Fixati punctele distincte E si F care apartin opusului semiplanului deschis

care are drept frontier¼a dreapta BC si care contine punctul A:b) Construiti dreptele EA;EB si EC:c) Construiti paralelele la dreptele suport ale laturilor triunghiului ABC care

contin punctul F:

2.7 Semidrepte

De�nitia 2.7.1 Intersectia nevid¼a dintre un semiplan deschis si o dreapt¼ainclus¼a în planul din care face parte semiplanul se numeste semidreapt¼a de-schis¼a.


Consider¼am desenul:

ddπ

dπ−

P

Pδ

Pδ−

ddπ

dπ−

P

Pδ

Pδ−

Dac¼a � este o dreapt¼a inclus¼a în planul � = ��d [ d [ �d; atunci �gurilegeometrice deschise si disjuncte �P si ��P sunt semidrepte deschise opuse careau drept frontier¼a punctul P:Închiderea unui semidrepte deschise se numeste semidreapt¼a închis¼a.

De retinut: O semidreapt¼a este bine determinat¼a de punctul frontier¼a siun punct arbitrar diferit de acesta.


A

B

A

B

Am construit semidreapta deschis¼a care are drept frontier¼a punctul A si carecontine punctul B: Acesta se noteaz¼a ]A;B :Exemplul 2.7.2 Consider¼am desenul:

A

Ad

B

M

N

A

Ad

B

M

N

2.7. SEMIDREPTE 69

Avem egalit¼atile: ]A;B = ]A;M = ]B;N = dA = ]B;M = ]A;N :


P

Q

P

Q

Am construit semidreapta închis¼a care are drept frontier¼a punctul P si carecontine punctul Q: Aceasta se noteaz¼a [P;Q :Exemplul 2.7.4 Consider¼am desenul:

P

Q

A

B

Aδ

P

Q

A

B

Aδ

Avem egalit¼atile: [P;A = [P;Q = [P;B = �A:

Tema 2.7.1 Construiti trei semidrepte deschise si trei semidrepte închisefolosind diferite notatii.Tema 2.7.2 Construiti dou¼a semidrepte deschise egale si trei semidrepte

închise egale folosind diferite notatii.Tema 2.7.3 Consider¼am punctele distincte A;B; F;G;H si P .a) Construiti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul P si care

contin punctele A;B; F;G si H:b) Construiti opusa semidreptei deschise care are drept frontier¼a punctul A

si care contine punctul F:c) Construiti dou¼a puncte diferite X si Y care apartin semidreptei deschise

care are drept frontier¼a punctul G care contine punctul H:Tema 2.7.4 Construiti în planul foii de caiet triunghiul nedegeneratMNP:a) Fixati punctul E 2 � ]N;P .b) Fixati punctul F 2 � ]P;N .c) Construiti semidreptele [A;E si [A;F :d) Hasurati interiorul semiplanului � ]EF;A :e) Indicati trei semiplane închise egale cu [BC;A :f) Indicati trei semidrepte închise egale cu [E;B :


De retinut: Dreapta care include o semidreapt¼a se numeste suportul semi-dreptei respective.

2.7.1 Unghiuri

De�nitia 2.7.1.1 Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a si convex¼a a c¼arei fron-tier¼a este reuniunea a dou¼a semidrepte închise se numeste unghi. Semidreptelefrontier¼a se numesc laturile unghiului, iar punctul frontier¼a al laturilor se nu-meste vârful unghiului.Unghiurile care au interiorul egal cu multimea vid¼a se numesc unghiuri de-

generate, iar cele care au interiorul diferit de multimea vid¼a se numesc unghiurinedegenerate.Exemplul 2.7.1.1 Consider¼am desenul:

A

O

BA

O

B

Am construit unghiul degenerat \AOB care se numeste unghi nul.Punctul O este vîrful unghiului iar semidreptele închise [O;A si [O;B sunt

laturile unghiului.Exemplul 2.7.1.2 Consider¼am desenul:

A

OB

( )AOBInt ∠

( )AOBExt ∠

A

OB

( )AOBInt ∠

( )AOBExt ∠

Am construit unghiul nedegenerat \AOB.Punctul O este vîrful unghiului iar semidreptele închise [O;A si [O;B sunt


PQ

( )MPQExt ∠

M

( )MPQInt ∠

PQ

( )MPQExt ∠

M

( )MPQInt ∠

2.8. EVALUARE 71

Am construit unghiul nedegenerat \MPQ.Punctul P este vîrful unghiului iar semidreptele închise [P;M si [P;Q sunt


L M N

( )LMNInt ∠

( )LMNExt ∠

L M N

( )LMNInt ∠

( )LMNExt ∠

Am construit unghiul nedegenerat \LMN care se numeste unghi plat sauunghi alungit.PunctulM este vîrful unghiului iar semidreptele închise [M;L si [M;N sunt

laturile unghiului.Tema 2.7.1.1 Construiti dou¼a perechi de unghiuri nedegenerate egale.Tema 2.7.1.2 Fixati cinci puncte diferite C;D;E; F si G .a) Construiti unghiul \DEF:b) Construiti unghiul \GEF:c) Colorati cu rosu \DEF \ \GEF:Tema 2.7.1.2 Construiti unghiul plat \AOB.a) Construiti trapezul PQRS (PQ k RS) care s¼a �e inclus în Int (\AOB) :b) Construiti paralelogramaul MY TE care s¼a �e inclus în Ext (\AOB) :c) Construiti si colorati cu albastru unghiul \TAY:

2.8 Evaluare

Testul 2.8.11. Consider¼am un semiplan deschis care are drept frontier¼a dreapta d si care

contine punctul A:a) Construiti punctele diferite M;N;P;Q 2 � ]d;Ab) Construiti triunghiul nedegenerat PQM:c) Construiti semidreapta închis¼a [N;A :2. Consider¼am paralelogramul ABCD:a) Construiti un trapez PQRS (PQ k RS) inclus în � ]BC;A :b) Construiti un pentagon nedegenerat LMNXZ inclus în � ]AD;B :3. Consider¼am hexagonul nedegenerat ABCDEF:a) Fixati M 2 Ext (ABCDEF ) :


b) Construiti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul M si carecontin vârfurile pentagonului.4. Consider¼am unghiul nedegenerat si neplat \TY F:a) Fixati P;Q;R 2 Int (\TY F ) :b) Construiti unghiul \QRP:c) Colorati cu galben Int (\TY F \ \QRP ) :d) Colorati cu albastru Fr (\TY F \ \QRP ) :5. Consider¼am triunghiul nedegenerat NFS si T 2 ]F; S[ :a) Construiti semidreapta închis¼a [N;T :b) Fixati punctele diferite A;B 2 � ]T;Nc) Construiti semidreptele închise [F;A si [F;B :d) Construiti semidreptele închise [S;A si [S;B :e) Câte triunghiuri apar? Enumerati-le.6. Consider¼am pentagonul ABCDE astfel încât AB k DE:a) Construiti unghiul \BED:b) Construiti unghiul \DAC:c) Construiti semidreptele închise [B;A si � ]C;D :

Testul 2.8.21. Consider¼am un semiplan închis care are drept frontier¼a dreapta XY si

care contine punctul P:a) Construiti punctele diferite M;N;P;Q 2 � ]XY;Pb) Construiti patrulaterul nedegenerat PQMN:c) Construiti semidreapta deschis¼a ]P;X :2. Consider¼am trapezul PQRS (PQ k RS) :a) Construiti un paralelogram ABCD inclus în � ]RS;P :b) Construiti un pentagon nedegenerat LTNMZ inclus în � ]CD;A :3. Consider¼am hexagonul nedegenerat MNPQRS:a) Fixati D 2 Ext (MNPQRS) :b) Construiti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul D si care

contin vârfurile pentagonului.4. Consider¼am unghiul nedegenerat si neplat \BOC:a) Fixati P;Q;R 2 Ext (\BOC) :b) Construiti unghiul \RQP:c) Colorati cu albastru Int (\BOC \ \RQP ) :d) Colorati cu verde Fr (\BOC \ \RQP ) :5. Consider¼am triunghiul nedegenerat ALX si H 2 ]A;X[ :a) Construiti semidreapta închis¼a [L;H :b) Fixati punctele diferite P;Q 2 � ]H;Lc) Construiti semidreptele închise [A;P si [A;Q :d) Construiti semidreptele închise [X;P si [X;Q :e) Câte triunghiuri apar? Enumerati-le.6. Consider¼am pentagonul PABFS astfel încât AB k PS:a) Construiti unghiul \BSA:b) Construiti unghiul \FPB:c) Construiti semidreptele închise [B;P si � ]S; F :

2.9. DISCUL 73

2.9 Discul

Instrumentul folosit în continuare este compasul care arat¼a ca în desenul:

De�nitia 2.9.1 Fie O si M dou¼a puncte în plan. Fix¼am vârful compasu-lui în punctul O si misc¼am bratele compasului în articulatie pân¼a când vârfulcreionului cade peste punctul M ca în desenul:

O MO M

Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a si convex¼a care are drept frontier¼a conturuldescris de vârful creionului prin rotirea compasului în jurul punctului O se nu-meste disc de centru O si raz¼a [O;M ] si se noteaz¼a D (O; [O;M ]). Dac¼a O =M;atunci spunem c¼a discul este degenerat.



OM

[ ]( )( )M,O,ODInt

[ ]( )( )M,O,ODExt[ ]( )( )M,O,ODFr

OM

[ ]( )( )M,O,ODInt

[ ]( )( )M,O,ODExt[ ]( )( )M,O,ODFr

Am construit discul D (O; [O;M ]).Tema 2.9.1 Construiti cinci discuri diferite si colorati diferit interioarele

acestora.De�nitia 2.9.2 Intersectia nevid¼a dintre un disc si o dreapt¼a se numeste

coard¼a a discului. Coarda care contine centrul discului se numeste diametruldiscului.Exemplul 2.9.2 Consider¼am desenul:

O MA

B

d

δP

N

O MA

B

d

δP

N

Segmentul închis [A;B] este coard¼a a discului D (O; [O;M ]) iar segmentulînchis [N;P ] este diametrul discului D (O; [O;M ]) .Tema 2.9.2 Construiti trei corzi si trei diametre în dou¼a discuri diferite.

2.10 Cercul

De�nitia 2.10.1 Frontiera unui disc de centru O si raz¼a [O;M ] se numestecerc de centru O si raz¼a [O;M ] si se noteaz¼a C (O; [O;M ]).Exemplul 2.10.1 Consider¼am desenul:

OM

OM

2.10. CERCUL 75

Am construit cercul C (O; [O;M ]) : S¼a remarc¼am c¼a Int (C (O; [O;M ])) = �:Tema 2.10.1 Construiti cinci cercuri diferite.De�nitia 2.10.2 Dac¼a întersectia dintre un cerc si o dreapt¼a este format¼a

dintr-un singur punct, atunci spunem c¼a dreapta este tangent¼a la cerc.Exemplul 2.10.2 Consider¼am desenul:

OM

T

d

OM

T

d

Dreapta d este tangent¼a la cercul C (O; [O;M ]) în punctul T:Tema 2.10.2 Construiti cinci drepte tangente la cinci cercuri diferite.De�nitia 2.10.3 Dac¼a tangentele în punctele de intersectie a dou¼a cercuri

coincid, atunci spunem c¼a cele dou¼a cercuri sunt tangente.Exemplul 2.10.3 Consider¼am desenul:

O

NQ

MO

NQ

M

Cercurile C (O; [O;M ]) si C (Q; [Q;N ]) sunt tangente în �ecare punct, deoarecesunt egale.Exemplul 2.10.4 Consider¼am desenul:

TQ O

d

TQ O

d

Cercurile C (O; [O; T ]) si C (Q; [Q;T ]) sunt tangente interior în punctul T:Dreapta d este tangenta comun¼a a celor dou¼a cercuri.



TQ O

d

T TQ O

d

T

Cercurile C (O; [O; T ]) si C (Q; [Q;T ]) sunt tangente exterior în punctul T:Dreapta d este tangenta comun¼a a celor dou¼a cercuri.Tema 2.10.3 Construiti cinci perechi de cercuri tangente interior si cinci

perechi de cercuri tangente exterior.De�nitia 2.10.4 Dou¼a cercuri diferite si netangente care au intersectia

nevid¼a se numesc cercuri secante.Exemplul 2.10.6 Consider¼am desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

TQ O

d

M N

TS

A

B

Cercurile C (O; [O;M ]) si C (Q; [Q;N ]) sunt secante în punctele A si B:Dreapta d este tangent¼a la cele dou¼a cercuri în punctele S si T:Tema 2.10.4 Construiti cinci perechi de cercuri secante. Construiti câte o

dreapt¼a tangent¼a la �ecare dou¼a cercuri secante.De�nitia 2.10.5 Dou¼a cercuri care au acelasi centru se numesc cercuri

concentrice.Exemplul 2.10.7 Consider¼am desenul:

NQ

OM N

Q

OM

Cercurile C (O; [O;M ]) si C (Q; [Q;N ]) sunt concentrice

2.10. CERCUL 77

Tema 2.10.5 Construiti cinci perechi de cercuri concentrice.Tema 2.10.6 Consider¼am discul D (O; [O;M ]) :a) Fixati punctele diferite A;B;C 2 C (O; [O;M ]) :b) Construiti triunghiul nedegenerat ABC:c) Câte coarde apar? Care sunt acestea?d) Construiti semidreptele închise [O;A ; [O;B si [O;C :e) Câte raze apar? Care sunt acestea?Tema 2.10.7 Construiti cercul C (Q; [Q;N ]) si trapezulMARY (MA k RY )

astfel încât dreptele MA si RY s¼a �e tangente cercului C (Q; [Q;N ]) :Tema 2.10.8 Consider¼am cercul C (O; [O;M ]) :a) Construiti patrulaterul nedegenerat LTAB astfel încât dreptele suport

ale laturilor s¼a �e tangente la cercul C (O; [O;M ]) :b) Colorati cu albastru Int (LTABnD (O; [O;M ])) :c) Construiti semidreptele închise [O;L ; [O; T ; [O;A si [O;B :d) Câte raze apar? Care sunt acestea?Tema 2.10.9 Construiti dou¼a cercuri tangente exterior C (O; [O;M ]) si

C (Q; [Q;N ]) :a) Notati cu R punctul de tangent¼a.b) Fixati X 2 C (O; [O;M ]) si Y 2 C (Q; [Q;N ]) :c) Construit semidreapta închis¼a [X;M si dreapta YM:d) Notati cu A punctul de intersectie dintre [X;M si C (Q; [Q;N ]) :e) Notati cu B punctul de intersectie dintre YM si C (O; [O;M ]) :Tema 2.10.10 Consider¼am cercul C (O; [O;M ]) :a) Construiti patrulaterul AEFD astfel încât A;E; F;D 2 C (O; [O;M ]) :b) Construiti diagonalele. Câte diagonale apar?c) Construiti tangentele în punctele A;E; F si D la cercul C (O; [O;M ]) :d) Câte coarde apar în discul D (O; [O;M ])? Enumerati-le.Tema 2.10.11 Consider¼am cercul C (Q; [Q;N ]) :a) Construiti pentagonul nedegenerat EDFGH astfel încât dreptele suport

ale laturilor s¼a �e tangente la cercul C (Q; [Q;N ]) :b) Construiti diagonalele. Câte diagonale apar?Tema 2.10.12 Construiti cercul C (O; [O;M ]) si trapezulABCD (AB k CD)

astfel încât A;B;C;D 2 C (O; [O;M ]) :Tema 2.10.13 Construiti cercul C (P; [P; S]) si dreptunghiul PATY astfel

încât dreptele TA si PY s¼a �e tangente cercului C (P; [P; S]) :Tema 2.10.14 Construiti paralelogramul PQRS si cercul C (O; [O;P ]) :a) Construiti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul O si care

contin punctele P;Q;R si S:b) Colorati cu rosu PQRS \ C (O; [O;P ])Tema 2.10.15 Consider¼am dou¼a cercuri C (O; [O;M ]) si C (Q; [Q;N ]) se-

cante în punctele S si T:a) Fixati X 2 C (O; [O;M ]) si A;B 2 C (Q; [Q;N ]) :b) Construiti triunghiul XST:c) Câte coarde apar în discul D (O; [O;M ]) :d) Construiti patrulaterul ABST:c) Câte coarde apar în discul D (Q; [Q;N ]) :


2.11 Teza

Teza 2.11.11. Consider¼am triunghiul PQS inclus în discul D (O; [O;M ]) astfel încât

P;Q; S 2 C (O; [O;M ]) :a) Câte coarde apar? Care sunt acestea?b) Construiti semidreptele închise [M;A ; [M;B ; [M;O si [M;C :c) Câte raze apar? Care sunt acestea?2. Consider¼am cercul C (O; [O;M ]) :a) Construiti patrulaterul nedegenerat MATE astfel încât dreptele suport

ale laturilor s¼a �e tangente la cercul C (Q; [Q;P ]) :b) Colorati cu albastru Int (MATEnD (Q; [Q;P ])) :c) Construiti semidreptele închise [Q;M ; [Q;T ; [Q;A si [Q;B :d) Câte raze apar? Care sunt acestea?3. Construiti dou¼a cercuri tangente exterior C (P; [P;M ]) si C (R; [R;N ]) :a) Notati cu T punctul de tangent¼a.b) Fixati X 2 C (P; [P;M ]) si Y 2 C (R; [R;N ]) :c) Construit semidreapta închis¼a [X;T si dreapta Y T:d) Notati cu A punctul de intersectie dintre [X;T si C (R; [R;N ]) :e) Notati cu B punctul de intersectie dintre Y T si C (P; [P;M ]) :4. Consider¼am cercul C (Q; [Q;N ]) :a) Construiti pentagonul nedegenerat EDFGH astfel încât E;D;F;G;H 2

C (Q; [Q;N ]) :b) Construiti diagonalele. Câte diagonale apar?c) Construiti tangentele în punctele E;D;F;G si H la cercul C (Q; [Q;N ]) :d) Câte coarde apar în discul D (Q; [Q;N ])? Enumerati-le.5. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) x+20+ x+

30 = 52 + x; b) (19 + x)� (15� x) = 30 + x; c) 20� (x� 15) = 22:6. Rezolvati ecuatiile: a) (x+ 23) � (15 + x) = x + 3; x 2 N; b) (7 + x) +

(13� x) � 18 = 2 + x; x 2 N; c) (5 + x) � (x� 2) = 39 � (22� x) ; x 2f1; 0; 5; 3; 7g :7. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile: a) 5+(x+ 7)+

(x� 2) > 30 + x; b) (x+ 13)� (9� x) < 17 + x; c) 53� (x+ 20) � 10:8. Rezolvatie inecuatiile: a) (x+ 7) � (4� x) � x + 12 � 4; x 2 N2; b)

x� 3 + x� 3 � x+ 6; x 2 f3; 17; 29; 4g ; c) x+ 9� (4� x) � 17 + x; x 2 N:9. Folosind multimile

A = fx 2 N : (x+ 2) + (3 + x) � 11 + xg

si

B = fx 2 f5; 3; 4; 2; 1g : (x+ 4)� (3� x) � 3 + xg

calculati: A nB; A \B; B nA si A [B:

2.11. TEZA 79

Teza 2.11.21. Consider¼am cercul C (O; [O;M ]) :a) Construiti patrulaterul nedegenerat ABCD astfel încât dreptele suport

ale laturilor s¼a �e tangente la cercul C (O; [O;M ]) :b) Construiti diagonalele. Câte diagonale apar?2. Consider¼am cercul C (O; [O;M ]) :a) Construiti patrulaterul ABCD astfel încât A;B;C;D 2 C (O; [O;M ]) :b) Construiti diagonalele. Câte diagonale apar?c) Construiti tangentele în punctele A;B;C si D la cercul C (O; [O;M ]) :d) Câte coarde apar în discul D (O; [O;M ])? Enumerati-le.3. Construiti trapezul MNPQ (MN k PQ) si cercul C (X; [X;R]) astfel

încât MNPQ \ D (X; [X;R]) 6= �:a) Construiti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul X si care

contin punctele M;N;P si Q:b) Colorati cu rosu MNPQ \ D (X; [X;R]) :4. Consider¼am dou¼a cercuri C (O; [O;M ]) si C (Q; [Q;N ]) secante în punctele

A si B:a) Fixati S; T 2 C (O; [O;M ]) si X 2 C (Q; [Q;N ]) :b) Construiti patrulaterul STAB:c) Câte coarde apar în discul D (O; [O;M ]) :d) Construiti triunghiul ABX:e) Câte coarde apar în discul D (Q; [Q;N ]) :5. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) 5+(7� x)�

(5� x) = 20�x; b) (x+ 8)�(5 + x)+15 = 16�(5� x) ; c) (11 + x)�(7� x) =(25 + x)� 4:6. Rezolvatie ecuatiile: a) (5 + x)+(3� x) = 16�(10� x) ; x 2 f1; 2; 0; 4g ;

b) (x+ 40)�(x+ 30) = 5+x; x 2 N3; c) (13 + x)�(4� x) = 26�(5� x) ; x 2f0; 5; 1; 2; 7g :7. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile: a) x + 12 �

(x+ 3) > 2+x; b) (4� x)�(x� 24) < 19� x; c) (10 + x)�(7� x) > 21+x�7:8. Rezolvatie inecuatiile: a) x + 2 � x > 9 � (6 + x) ; x 2 f0; 5; 3; 2g ; b)

25�(x� 7) < (x+ 6)�(3 + x) ; x 2 f4; 2; 3; 0g c) 4+x+8 � 16�(4� x) ; x 2N4:9. Folosind multimile

A = fx 2 N : 10 + x� (6 + x) � 2 + xg

siB = fx 2 f0; 2; 1; 7; 8g : x+ 16� (10� x) � 2 + xg


Capitolul 3

Transform¼ari geometrice

Suntem sustin¼atorii utiliz¼arii transform¼arilor înc¼a de la început iar toatenotiunile geometrice: congruent¼a, lungimi, m¼arimi unghiulare, trebuie s¼a �eformulate folosind transform¼arile.Pe lâng¼a recapitularea si aplicarea continu¼a a notiunile înv¼atate si îmbog¼atirea

limbajului matematic, elevii utilizeaz¼a continuu instrumentele geometrice (rigl¼a,echer, raportor, compas)Problemele rezolvate numeroase dau încredere elevului în fortele proprii si

curajul de a rezolva singur diferitele probleme primite ca tem¼a.

3.1 Transformarea identitate

Aceasta se noteaz¼a Id: Cu a jutorul ei, oricare punct al spatiului este l¼asatpe loc.Vom scrie:

Id (P ) = P;8P 2 �

sauP

Id��! P;8P 2 �:

3.2 Simetria central¼a

Dac¼a O 2 �; atunci simetria central¼a de centru O se noteaz¼a sO si estede�nit¼a astfel:- dac¼a P = O; atunci sO (P ) = Id (P ) ;- dac¼a P 6= O; atunci pentru a construi imaginea punctului P prin simetria

central¼a de centru O proced¼am astfel:

81

82 CAPITOLUL 3. TRANSFORM¼ARI GEOMETRICE

Pasul 1. Asez¼am rigla lâng¼a punctele P si O; construim cu line punctat¼asemidreapta închis¼a [P;O si marc¼am pe rigl¼a câte un semn în dreptul punctelorP si O ca în desenul:

P OP O

Pasul 2. Deplas¼am rigla pe directia dreptei PO pân¼a când semnul f¼acut perigl¼a sub punctul P apare sub punctul O ca în desenul:

P OP O

Pasul 3. Construim punctul sO (P ) pe semidreapta [P;O ca în desenul:

P O ( )PsOP O ( )PsO

Pasul 4. Înl¼aturând rigla si stergând o parte a semidreptei [P;O obtinemsituatia din desenul:

P O ( )PsOP O ( )PsO

Punctul sO (P ) se citeste: simetricul punctului P fat¼a de punctul O sauimaginea punctului P prin simetria central¼a de centru O:Problema 3.2.1 Construiti simetricul unui triunghi nedegenerat fat¼a de un

punct.R¼aspunsMai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia triunghiului precum si toate noti-

unile care apar când de�nim triunghiul pentru ca apoi s¼a construim triunghiulnedegenerat ABC si punctul O ca în desenul:

A

B

C

.OA

B

C

.O

3.2. SIMETRIA CENTRAL¼A 83

Pasul 1. Construim simetricul punctului A fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

O ( )AsA O=′A

B

C

O ( )AsA O=′

Pasul 2. Construim si simetricul punctului B fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

Pasul 3. Construim si simetricul punctului C fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

( )CsC O=′

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

( )CsC O=′

Pasul 4. Triunghiul A0B0C 0 este simetricul triunghiului ABC fat¼a de punc-


tul O si arat¼a ca în desenul:

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

( )CsC O=′

A

B

C

O ( )AsA O=′

( )BsB O=′

( )CsC O=′

Vom scrie:sO (ABC) = A

0B0C 0

sauABC

sO��! A0B0C 0:

Spunem c¼a triunghiul A0B0C 0 este imaginea triunghiului ABC prin simetriacentral¼a de centru O: �Problema 3.2.2. Construiti imaginea unui paralelogram printr-o simetrie

central¼a.R¼aspunsMai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia paralelogramului precum si toate

notiunile care apar când de�nim paralelogramul pentru ca apoi s¼a construimparalelogramul MNPQ si punctul O ca în desenul:

Q P

NM .O

Q P

NM .O

Pasul 1. Construim simetricul punctului M fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

Q P

NM O

( )MsM O=′

Q P

NM O

( )MsM O=′


Pasul 2. Construim si simetricul punctului N fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

Q P

NM O

( )MsM O=′( )NsN O=′

Q P

NM O


Pasul 3. Construim si simetricul punctului P fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

Q P

NM O


( ) PPsO ′=

Q P

NM O


( ) PPsO ′=

Pasul 4. Construim si simetricul punctului Q fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

Q P

NM O


( ) PPsO ′= ( )QsQ O=′

Q P

NM O


( ) PPsO ′= ( )QsQ O=′

Pasul 5. Patrulaterul M 0N 0P 0Q0 este simetricul paralelogramului MNPQ


fat¼a de punctul O si arat¼a ca în desenul:

Q P

NM O


( ) PPsO ′= ( )QsQ O=′

Q P

NM O


( ) PPsO ′= ( )QsQ O=′

Pasul 6. Folosind echerul si drepte ajut¼atoare veri�c¼am c¼a patrulaterulnedegenerat M 0N 0P 0Q0 este tot paralelogram.Vom scrie:

sO (MNPQ) =M0N 0P 0Q0

sau

MNPQsO��! M 0N 0P 0Q0:

Spunem c¼a paralelogramul M 0N 0P 0Q0 este imaginea paralelogramului MNPQprin simetria central¼a de centru O: �Problema 3.2.3. Construiti dou¼a cercuri tangente interior si construiti

simetrica �gurii geometrice astfel format¼a fat¼a de un punct.R¼aspunsFolosind compasul construim cercurile C (O; T ) si C (Q;T ) tangente interior

în punctul T ca în desenul:

TQ O

d

TQ O

d

Dreapta d este tangent¼a comun¼a celor dou¼a cercuri. Fix¼am un punct P ca


în desenul:

TQ O

d

. P

TQ O

d

TQ O

d

. P

Pasul 1. Construim simetricele punctelor T;O si Q fat¼a de punctul P caîn desenul:

TQ O

d

T ′

P

O′ Q′

TQ O

d

T ′

P

O′ Q′

Pasul 2. Construim cercurile C (O0; T 0) si C (Q0; T 0) tangente interior înpunctul T 0 si tangenta comun¼a d0 ca în desenul:

TQ O

d

T ′

P

O′ Q′

d ′

TQ O

d

T ′

P

O′ Q′

d ′

Obsev¼am c¼a imaginea punctului de tangent¼a al celor dou¼a cercuri prin sime-tria central¼a de centru P este punctul de tangent¼a al cercurilor imagine. Maimult, imaginea tangentei comune a celor dou¼a cercuri tangente interior prinsimetria central¼a de centru P este tangenta comun¼a a cercurilor imagine. �Problema 3.2.4 Construiti imaginea unui semiplan deschis printr-o simetrie

central¼a.R¼aspuns


Mai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia semiplanului deschis precumsi toate notiunile care apar când de�nim semiplanul deschis pentru ca apoi s¼aconstruim semiplanul deschis ]RS;P si punctul O ca în desenul:

P

.O.

R

SP

.O.

R

S

Pasul 1. Construim simetricul punctului R fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

P

O

.

R

S

( ) RRsO ′=

P

O

.

R

S

( ) RRsO ′=

Pasul 2. Construim si simetricul punctului S fat¼a de punctul O si obtinemsituatia din desenul:

P

O

.

R

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′=

P

O

.

R

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′=

Pasul 3. Construim si simetricul punctului P fat¼a de punctul O si obtinem



P

OR

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′= ( )PsP O=′

P

OR

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′= ( )PsP O=′

Pasul 4. Construim si semiplanul deschis ]R0S0; P 0 ca în desenul:

P

OR

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′= ( )PsP O=′

P

OR

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′= ( )PsP O=′

P

OR

S

( ) RRsO ′=

( ) SSsO ′= ( )PsP O=′

Vom scrie:sO (]RS;P ) = ]R

0S0; P 0

sau]RS;P

sO��! ]R0S0; P 0 :

Spunem c¼a semiplanul deschis ]R0S0; P 0 este imaginea semiplanului deschis]RS;P prin simetria central¼a de centru O. �Tema 3.2.1 Construiti imaginea �gurilor geometrice înv¼atate (unghi nede-

generat, pentagon nedegenerat, trapez, paralelogram, hexagon nedegenerat,semiplan închis, semidreapt¼a deschis¼a, semidreapt¼a închis¼a, dou¼a cercuri tan-gente exterior, dou¼a cercuri tangente interior, dou¼a cercuri secante, segmentdeschis, segment semideschis, triunghi nedegenerat) printr-o simetrie central¼a.


3.3 Evaluare

Testul 3.3.11. Construiti simetricul unui segment deschis fat¼a de un punct.2. Construiti imaginea unei semidrepte închise printr-o simetrie central¼a.3. De�niti paralelogramul si construiti simetricul unui paralelogram fat¼a de

un punct.4. Construiti imaginea unui triunghi nedegenerat printr-o simetrie central¼a.5. Construiti imaginea unui cerc printr-o simetrie central¼a.

Testul 3.3.21. Construiti simetricul unui segment închis fat¼a de un punct.2. Construiti imaginea unei semidrepte deschise printr-o simetrie central¼a.3. De�niti trapezul si construiti simetricul unui trapez fat¼a de un punct.4. Construiti imaginea unui unghi nedegenerat printr-o simetrie central¼a.5. Construiti imaginea unui disc printr-o simetrie central¼a.

3.4 Translatia

Dac¼a A;B 2 � astfel încât A 6= B; atunci translatia pe directia dreptei AB senoteaz¼a tAB : Pentru a construi imaginea punctului P prin translatia pe directiadreptei AB proced¼am astfel:Pasul 1. Construim paralela la dreapta AB care contine punctul P ca în

desenul:

A B

P

A B

P

Pasul 2. Asez¼am rigla în lungul dreptei AB si marc¼am pe rigl¼a câte un

3.4. TRANSLATIA 91

semn în dreptul punctelor A si B ca în desenul:

A B

P

A B

P

Pasul 3. Asez¼am rigla în lungul paralelei la drepta AB care contine punctulP ca în desenul:

A B

P

A B

P

Pasul 4. Pe paralela la dreapta AB care contine punctul P construimpunctul tAB (P ) ca în desenul:

A B

P ( )PtAB

A B

P ( )PtAB

Pasul 4. Înl¼aturând rigla si stergând o parte a dreptei PtAB (P ) obtinemsituatia din desenul:

A B

P ( )PtAB

A B

P ( )PtAB


Punctul tAB (P ) se citeste: translatatul punctului P pe directia dreptei AB:Problema 3.4.1 Construiti imaginea unui unghi nedegenerat printr-o trans-

latie pe directia unei drepte.R¼aspunsMai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia unghiului precum si toate noti-

unile care apar când de�nim unghiul pentru ca apoi s¼a construim unghiul nede-generat \PQR si dreapta AB ca în desenul:

A

B

P

QR

A

B

P

QR

Pasul 1. Construim translatatul punctului P pe directia dreptei AB siobtinem situatia din desenul:

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=A

B

P

QR

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

Pasul 2. Construim si translatatul punctului Q pe directia dreptei AB si

3.4. TRANSLATIA 93

obtinem situatia din desenul:

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

Pasul 3. Construim si translatatul punctului R pe directia dreptei AB siobtinem situatia din desenul:

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

( )RtR AB=′

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

( )RtR AB=′

Pasul 4. Unghiul \P 0Q0R0 este translatatul unghiului \PQR pe directia


dreptei AB si arat¼a ca în desenul:

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

( )RtR AB=′

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

( )RtR AB=′

A

B

P

QR

( ) PPtAB ′=

( ) QQtAB ′=

( )RtR AB=′

Vom scrie:

tAB (\PQR) = \P 0Q0R0

sau

\PQR tAB��! \P 0Q0R0:

Spunem c¼a unghiul \P 0Q0R0 este imaginea unghiului \PQR prin translatiape directia dreptei AB: �Problema 3.4.2 Construiti translatatul unui trapez pe directia unei drepte.R¼aspunsMai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia trapezului precum si toate noti-

unile care apar când de�nim trapezul pentru ca apoi s¼a construim trapezulABCD (ABkCD) si dreapta MN ca în desenul:

A

BC

D

M N

A

BC

D

M N

Pasul 1. Construim translatatul punctului A pe directia dreptei MN si

3.4. TRANSLATIA 95


A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

Pasul 2. Construim si translatatul punctului B pe directia dreptei MN siobtinem situatia din desenul:

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

Pasul 3. Construim si translatatul punctului C pe directia dreptei MN siobtinem situatia din desenul:

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

Pasul 4. Construim si translatatul punctului D pe directia dreptei MN si



A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

( )DtD AB=′

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

( )DtD AB=′

Pasul 5. Patrulaterul nedegenerat A0B0C 0D0 este translatatul trapezuluiABCD (ABkCD) pe directia dreptei MN si arat¼a ca în desenul:

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

( )DtD AB=′

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

( )DtD AB=′

A

BC

D

M N

( ) AAtMN ′=

( ) BBtMN ′=

( )CtC AB=′

( )DtD AB=′

Pasul 6. Folosind echerul si o dreapt¼a ajut¼atoare veri�c¼am c¼a A0B0kC 0D0:Astfel, se arat¼a c¼a patrulaterul nedegenerat A0B0C 0D0 este tot trapez.

Vom scrie:

tMN (ABCD) = A0B0C 0D0

sau

ABCDtMN��! A0B0C 0D0:

Spunem c¼a trapezul A0B0C 0D0 (A0B0kC 0D0) este imaginea trapezului ABCD(ABkCD) prin translatia pe directia dreptei MN: �Problema 3.4.3. Construiti dou¼a cercuri tangente exterior si construiti

translatata pe directia unei drepte a �gurii geometrice astfel format¼a.

R¼aspuns

Folosind compasul construim cercurile C (O; T ) si C (Q;T ) tangente exterior

3.4. TRANSLATIA 97

în punctul T ca în desenul:

TQ O

d

T TQ O

d

T

Dreapta d este tangent¼a comun¼a celor dou¼a cercuri. Fix¼am dreapta MN caîn desenul:

TQ O

d

TM

N

TQ O

d

TM

N

Pasul 1. Construim translatatele punctelor T;O si Q pe directia drepteiMN ca în desenul:

TQ O

d

TM

N Q′ T ′ O′

TQ O

d

TM

N Q′ T ′ O′


Pasul 2. Construim cercurile C (O0; T 0) si C (Q0; T 0) tangente exterior înpunctul T 0 si tangenta comun¼a d0 ca în desenul:

TQ O

d

TM

N Q′ T ′ O′

d ′

TQ O

d

TM

N Q′ T ′ O′

TQ O

d

TM

N Q′ T ′ O′

d ′

Obsev¼am c¼a imaginea punctul de tangent¼a al celor dou¼a cercuri prin translatiape directia dreptei MN este punctul de tangent¼a al cercurilor imagine. Maimult, imaginea tangentei comune a celor dou¼a cercuri tangente exterior printranslatia pe directia dreptei MN este tangenta comun¼a a cercurilor imagine.

�Tema 3.4.1 Construiti imaginea �gurilor geometrice înv¼atate (unghi nede-

generat, pentagon nedegenerat, trapez, paralelogram, hexagon nedegenerat,semiplan închis, semidreapt¼a deschis¼a, semidreapt¼a închis¼a, dou¼a cercuri tan-gente exterior, dou¼a cercuri tangente interior, dou¼a cercuri secante, segmentdeschis, segment semideschis, triunghi nedegenerat) printr-o simetrie central¼a sio translatie pe directia unei drepte.

3.5 Evaluare

Testul 3.5.11. Folosind o simetrie central¼a si o translatie deplasati în plan un segment

închis.2. Construiti imaginea unei semidrepte închise printr-o translatie.3. De�niti paralelogramul si construiti imaginea unui paralelogram printr-o

translatie.4. Folosind o simetrie central¼a si o translatie deplasati în plan un triunghi

nedegenerat.

3.6. SIMETRIA AXIAL¼A 99

Testul 3.5.21. Folosind o simetrie central¼a si o translatie deplasati în plan un segment

semiînchis.2. Construiti imaginea unei semidrepte deschise printr-o translatie.3. De�niti trapezul si construiti imaginea unui trapez printr-o translatie.4. Folosind o simetrie central¼a si o translatie deplasati în plan un unghi

nedegenerat.

3.6 Simetria axial¼a

Dac¼a d � �; atunci simetria axial¼a de ax¼a d se noteaz¼a sd si este de�nit¼aastfel:- dac¼a P 2 d; atunci sd (P ) = Id (P ) ;- dac¼a P =2 d; atunci pentru a construi simetricul punctului P fat¼a de dreapta

d proced¼am astfel:Pasul 1. Consider¼am punctul P care nu apartine dreptei d ca în desenul:

.

d

P.

d

P

Pasul 2. Fix¼am echerul pe planul (d; P ) ca în desenul:

.

d

P.

d

P

Pasul 3. Folosind echerul construim proiectia ortogonal¼a a punctului P pe


dreapta d ca în desenul:

d

P

( )Pprd⊥

d

P

( )Pprd⊥

Pasul 4. Construim simetricul punctului P fat¼a de pr?d (P ) ca în desenul:

d

P

( )Pprd⊥

( )Psd

d

P

( )Pprd⊥

( )Psd

Punctul sd (P ) se citeste: simetricul punctului P fat¼a de dreapta d:

Transformarea geometric¼a sd se numeste simetria axial¼a de ax¼a d sau sime-tria fat¼a de dreapta d:

Problema 3.6.1 Construiti simetricul unui pentagon nedegenerat fat¼a de odreapt¼a.

R¼aspuns

Mai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia pentagonului nedegenerat pre-cum si toate notiunile care apar când de�nim pentagonul nedegenerat pentru ca


apoi s¼a construim pentagonul nedegenerat ABCDE si dreapta d ca în desenul:

A

B

C

D

E

d

A

B

C

D

E

d

Pasul 1. Construim simetricul punctului A fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

Pasul 2. Construim simetricul punctului B fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=


Pasul 3. Construim simetricul punctului C fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

Pasul 4. Construim simetricul punctului D fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

Pasul 5. Construim simetricul punctului E fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

( )EsE d=′

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

( )EsE d=′


Pasul 6. Pentagonul nedegeneratA0B0C 0D0E0 este simetricul fat¼a de dreaptad a pentagonului nedegenerat ABCDE si arat¼a ca în desenul:

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

( )EsE d=′

A

B

C

D

E

d

( )AsA d=′

( ) BBsd ′=

( ) CCsd ′=

( )DsD d=′

( )EsE d=′

Vom scrie:

sd (ABCDE) = A0B0C 0D0E0

sau

ABCDEsd��! A0B0C 0D0E0:

Spunem c¼a pentagonul nedegenerat A0B0C 0D0E0 este imaginea pentagonuluiABCDE prin simetria fat¼a de dreapta d: �Problema 3.6.2. Construiti dou¼a cercuri secante si construiti simetrica

fat¼a de o dreapt¼a a �gurii geometrice astfel format¼a.

R¼aspuns

Folosind compasul construim cercurile C (O; T ) si C (Q;T ) secante în puncteleA si B ca în desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

TQ O

d

M N

TS

A

B


Dreapta d este tangent¼a la cele dou¼a cercuri. Fix¼am o dreapt¼a � ca în desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Pasul 1. Construim simetricele punctelor Q;M;N si O fat¼a de dreapta �ca în desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

Pasul 2. Construim cercurile C (O0; [O0;M 0]) si C (Q0; [Q0; N 0]) care sunt


secante în punctele A0 si B0 ca în desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

Pasul 3. Construim simetricele punctelor T si S fat¼a de dreapta � ca îndesenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

T ′S ′

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

T ′S ′

Obsev¼am c¼a punctul T 2 C (Q; [Q;N ]) este dus cu simetria axial¼a de ax¼a �în punctul T 0 2 C (Q0; [Q0; N 0]) si punctul S 2 C (O; [O;M ]) este dus cu simetriaaxial¼a de ax¼a � în punctul S0 2 C (O0; [O0;M 0]) :


Pasul 4. Simetrica dreptei d = TS fat¼a de dreapta � este dreapta d0 = T 0S0

ca în desenul:

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

T ′S ′

d ′

TQ O

d

M N

TS

A

B

δ

Q′M ′ N ′

O′

A′

B′

T ′S ′

d ′

Asadar, imaginea a dou¼a cercuri secante printr-o simetrie axial¼a este format¼atot din dou¼a cercuri secante. �Problema 3.6.3. Construiti simetricul unui paralelogram fat¼a de o dreapt¼a

care include o latur¼a a sa.R¼aspunsMai întâi este util s¼a ne reamintim de�nitia paralelogramului precum si toate

notiunile care apar când de�nim paralelogramul pentru ca apoi s¼a construimparalelogramul KLMN si dreapta d ca în desenul:

d

K

L

M

N

d

K

L

M

N


Pasul 1. Construim simetricul punctului K fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

K

L

M

d

N

( )KsK d=′

K

L

M

d

N

( )KsK d=′

Pasul 2. Construim simetricul punctului L fat¼a de dreapta d si obtinemsituatia din desenul:

( )KsK d=′

( )LsL d=′

K

L

M

d

N

( )KsK d=′

( )LsL d=′

K

L

M

d

N

Simetricele punctelor M si N fat¼a de dreapta d sunt tot punctele M si N;deoarece acestea apartin dreptei d:

Pasul 3. Patrulaterul nedegerat K 0L0MN 0 este simetricul paralelogramului


KLMN fat¼a de dreapta d si arat¼a ca în desenul:

K

L

M

d

( )LsL d=′

( )KsK d=′

NK

L

M

d

( )LsL d=′

( )KsK d=′

N

Pasul 4. Folosind echerul si drepte ajut¼atoare veri�c¼am c¼a patrulaterulnedegenerat K 0L0MN este tot paralelogram.Vom scrie:

sd (KLMN) = K0L0MN

sauKLMN

sO��! K 0L0MN:

Spunem c¼a paralelogramul K 0L0MN este imaginea paralelogramului KLMNprin simetria axial¼a de ax¼a d: �Tema 3.6.1 Construiti imaginea �gurilor geometrice înv¼atate (unghi nede-

generat, pentagon nedegenerat, trapez, paralelogram, hexagon nedegenerat,semiplan închis, semidreapt¼a deschis¼a, semidreapt¼a închis¼a, dou¼a cercuri tan-gente exterior, dou¼a cercuri tangente interior, dou¼a cercuri secante, segmentdeschis, segment semideschis, triunghi nedegenerat) printr-o simetrie axial¼a.

3.7 Evaluare

Testul 3.7.11. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un segment închis.2. Construiti imaginea unui semiplan închis printr-o simetria axial¼a.3. De�niti paralelogramul si construiti imaginea unui paralelogram printr-o

translatie.4. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un triunghi nedegenerat.

3.8. DREPTE PERPENDICULARE 109

Testul 3.7.2

1. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati înplan un segment semiînchis.

2. Construiti imaginea unei semidrepte închise printr-o translatie.

3. De�niti trapezul si construiti imaginea unui trapez printr-o simetrie axi-al¼a.

4. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati înplan un unghi nedegenerat.

3.8 Drepte perpendiculare

De�nitia 3.8.1 Dreptele concurente d si � sunt perpendiculare dac¼a

sd (�O) = ��O;

unde fOg = d \ �: Vom scrie d ? �:Exemplul 3.8.1 Pentru a construi o dreapt¼a � perpendicular¼a pe o dreapt¼a

d proced¼am astfel:

Pasul 1. Construim o dreapt¼a d în planul foii de caiet si �x¼am la întâmplareecherul lâng¼a dreapta d ca în desenul:

dd


Pasul 2. Tras¼am semidreapta deschis¼a �O ca în desenul:

d

O

Oδ

d

O

Oδ

Pasul 3. Construim simetrica semidreptei �O fat¼a de punctul O ca în de-senul:

d

O

Oδ

Oδ−

d

O

Oδ

Oδ−

Dreapta � astfel obtinut¼a este o perpendicular¼a pe dreapta d: Vom scried ? �:

F¼ar¼a demonstratie admitem

Teorema 3.8.1 Dac¼a d este o dreapt¼a si P este un punct în spatiu, atunciexist¼a o unic¼a perpendicular¼a pe dreapta d care contine punctul P:


Dac¼a P =2 d; atunci avem situatia din desenul:

d

P

( )Pprd⊥

δ

d

P

( )Pprd⊥

δ

Dreapta � este unica perpendicular¼a pe dreapta d care contine punctul P:Punctul pr?d (P ) se numeste proiectia ortogonal¼a a punctului P pe drepata

d:Dac¼a P 2 d; atunci avem situatia din desenul:

d

( )PprP d⊥=

δ

d

( )PprP d⊥=

δ

Dreapta � este unica perpendicular¼a pe dreapta d care contine punctul P:Tema 3.8.1 Construiti trei perpendiculare pe o dreapt¼a care contin un

punct exterior dreptei si trei perpendiculare pe o dreapt¼a care contin un punctce apartine dreptei.De�nitia 3.8.2 Segmentul închis care are drept frontier¼a vârful unui tri-

unghi nedegenerat si proiectia ortogonal¼a a vârfului pe dreapta suport a laturiiopuse se numeste în¼altimea corespunz¼atoare laturii respective.


Exemplul 3.8.1 Consider¼am triunghiul nedegenerat ABC ca în desenul:

A

B C( )AprD BC

⊥=

A

B C( )AprD BC

⊥=

Segmnentul închis [A;D] este în¼altimea corespunz¼atoare laturii [B;C] :Tema 3.8.2 Construiti în¼altimile corespunz¼atoare laturilor a dou¼a triunghi

nedegenerate. Ce observati?Lema 3.8.1 Dac¼a a; b si c sunt trei drepte coplanare astel încât c ? a si

c ? b; atunci a k b:

Demonstratie

F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a a 6= b:Presupunem, prin absurd c¼a dreptele a si b sunt concurente. Dac¼a fPg =a \ b; atunci punctul P ar apartine la dou¼a perpendiculare diferite pedreapta c: Folosind teorema precedent¼a ajungem la o contradictie.

Deci, trebuie s¼a avem a k b: q.e.d.

De retinut: Avem situatia din desenul:

a

b

c

a

b

c

Teorema 3.8.2 Dac¼a a; b si c sunt trei drepte coplanare astel încât c ? asi a k b; atunci c ? b:

Demonstratie

F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a a 6= b:


Fie fPg = c\ b si d perpendiculara pe dreapta c care contine punctul Pca în desenul:

a

b

c

dP

a

b

c

dP

Folosind lema precedent¼a rezult¼a c¼a a k d: Folosind ipoteza si axiomaparalelelor rezult¼a c¼a d = b: q.e.d.

3.8.1 Unghiul drept. Triunghiul dreptunghic

De�nitia 3.8.1.1 Dac¼a dreptele suport ale laturilor unui unghi nedegeneratsunt perpendiculare, atunci spunem c¼a unghiul este drept.- Cum proced¼am pentru a construi un unghi drept?Pasul 1. Construim semidreptele închise [O;A si [O;B astfel încât OA ?

OB ca în desenul:

A

O B

A

O B

Pasul 2. Obtinem unghiul drept \AOB ca în desenul:

A

O B

( )AOBInt ∠

A

O B

( )AOBInt ∠


Semidreptele închise [O;A si [O;B sunt laturile unghiului iar punctul O estevârful unghiului.Tema 3.8.1.1 Construiti cinci unghiuri drepte în diferite pozitii.De�nitia 3.8.1.2 Triunghiul cu un unghi drept se numeste triunghi drep-

tunghic.- Cum proced¼am pentru a construi un triunghi dreptunghic?Pasul 1. Construim segmentele închise [A;B] si [A;C] astfel încât \BAC

este drept ca în desenul:

B

A C

B

A C

Pasul 1. Construim segmentul închis [B;C] si obtinem triunghiul drep-tunghic ABC ca în desenul:

C

B

AC

B

A

B

A

Laturile [A;B] si [A;C] se numesc catetele triunghiului dreptunghic ABC iarlatura [B;C] se numeste ipotenuza triunghiului dreptunghic ABCTema 3.8.1.2 Construiti cinci triunghiuri dreptunghice în diferite pozitii.

Indicati catetele si ipotenuza.Tema 3.8.1.3 Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a

deplasati în plan un unghi drept si un triunghi dreptunghic.

3.8.2 Dreptunghiul

De�nitia 3.8.2.1 Paralelogramul cu un unghi drept se numeste dreptunghi.- Cum proced¼am pentru a construi un dreptunghi?


Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele ca în desenul:

Pasul 2. Folosind echerul construim o latur¼a a dreptunghiului ca în desenul:

Pasul 3. Folosind echerul si o dreapt¼a ajut¼atoare construim ultima latur¼aa dreptunghiului ca în desenul:

Pasul 4. Înl¼aturând echerul si stergând liniile ajut¼atoare si liniile ap¼arute


în plus, obtinem dreptunghiul ABCD ca în desenul:

A B

CD

( )ABCDInt

A B

CD

( )ABCDInt

Teorema 3.8.2.1 Toate unghiurile unui dreptunghi sunt drepte.

Demonstratie

Consider¼am dreptunghiul ABCD ca în desenul:

A B

D C

A B

D C

F¼ar¼a a restrânge generalitate, admitem c¼a \A este drept: (1)

Deoarece AB k DC si AD ? AB; folosind Teorema 3.5.2, rezult¼a c¼aAD ? DC: (2)

Deoarece AD k BC si AB ? AD; folosind Teorema 3.5.2, rezult¼a c¼aAB ? BC: (3)

Deoarece AB k DC si BC ? AB; folosind Teorema 3.5.2, rezult¼a c¼aBC ? DC: (4)

Folosind a�rmatiile (1) ; (2) ; (3) si (4) ; rezult¼a concluzia teoremei. q.e.d.

Tema 3.8.2.1 Construiti cinci dreptunghiuri în diferite pozitii.Tema 3.8.2.2 Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a

deplasati în plan un dreptunghi.

3.8.3 Trapezul dreptunghic

De�nitia 3.8.3.1 Trapezul cu un unghi drept se numeste trapez dreptunghic.- Cum proced¼am pentru a construi un trapez dreptunghic?



Pasul 2. Folosind echerul construim o latur¼a a trapezului dreptunghic caîn desenul:

Pasul 3. Folosind echerul construim o dreapt¼a ca în desenul:


Pasul 4. Înl¼aturând echerul si stergând linia ajut¼atoare si liniile ap¼arute înplus, obtinem trapezul dreptunghic ABCD (AB k CD) ca în desenul:

A B

CD

( )ABCDInt

A B

CD

( )ABCDInt

Teorema 3.8.3.1 Trapezul dreptunghic are dou¼a unghiuri drepte.

Demonstratie

Consider¼am trapezul dreptunghic ABCD (AB k CD) ca în desenul:

A B

D C

A B

D C

F¼ar¼a a restrânge generalitate, admitem c¼a \A este drept.: (1)

Deoarece AB k DC si AD ? AB; folosind Teorema 3.5.2, rezult¼a c¼aAD ? DC: (2)Folosind a�rmatiile (1) si (2) ; rezult¼a concluzia teoremei. q.e.d.

Tema 3.8.3.1 Construiti cinci trapeze dreptunghice în diferite pozitii.Tema 3.8.3.2 Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a

deplasati în plan un trapez dreptunghic.

3.9 Evaluare

Testul 3.9.11. De�niti trapezul dreptunghic si construiti un trapez dreptunghic.2. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un trapez dreptunghic.3. De�niti triunghiul dreptunghic si construiti un triunghi dreptunghic.4. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un unghi drept.

3.10. ROTATIA ÎN JURUL UNUI PUNCT 119

Testul 3.9.21. De�niti dreptunghiul si construiti un dreptunghi.2. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un dreptunghi.3. De�niti unghiul drept si construiti un unghi drept.4. Folosind o simetrie central¼a, o translatie si o simetrie axial¼a deplasati în

plan un triunghi dreptunghic.

3.10 Rotatia în jurul unui punct

Instrumentul pe care-l folosim în mod special este compasul.Dac¼a P este un punct in planul unghiului nedegenerat \AOB ; atunci rotatia

în jurul punctului P de unghi \AOB se noteaz¼a r\AOBP si este de�nit¼a astfel:- dac¼a M = P; atunci r\AOBP (P ) = Id (P ) ;- dac¼a M 6= P; atunci pentru a imaginea punctului M prin rotatia în jurul

punctului P de unghi \AOB proced¼am astfel:Pasul 1. Consider¼am punctele diferite M si P în planul unghiului \AOB

ca în desenul:

B

AO

.

.

P

M

B

AO

.

.

P

M

Pasul 2. Tras¼amm cu linie punctat¼a semidreapta închis¼a [P;M ca în de-senul:

B

AO

P

M

B

AO

P

M


Pasul 3. Cu ajutorul compasului tras¼am un arc de cerc ca în desenul:

B

AO

P

M

B

AO

P

M

Pasul 4. Cu aceeasi deschiz¼atur¼a între bratele compasului, mai tras¼am unarc de cerc ca în desenul:

B

AO

P

M

B

AO

P

M

B

AO

P

M


Pasul 5. Fix¼am compasul ca în desenul:

B

AO

P

M

B

AO

P

M

Pasul 6. Cu acceasi deschiz¼atur¼a a compasului tras¼am un arc de cerc decentru M ca în desenul:

B

AO

P

M

B

AO

P

M

Punctul de intersectie dintre cele dou¼a arce de cerc se noteaz¼a r\AOBP (M)se citeste: imaginea punctului M prin rotatia în jurul punctului P de unghi\AOB: Transformarea geometric¼a r\AOBP se numeste rotatia în jurul punctuluiP de unghi \AOB:

Problema 3.10.1 Rotiti un unghi în jurul vârfului s¼au.

R¼aspuns


Consider¼am unghiurile \EFG si \RPQ ca în desenul:

G

FE

P

RQ

G

FE

G

FE

P

RQ

Pasul 1. Fie S imaginea punctului R prin rotatia în jurul punctului Q deunghi \EFG ca în desenul:

G

FE

P

RQ

S

G

FE

P

RQ

G

FE

P

RQ

G

FE

G

FE

P

RQ

S

Pasul 2. Fie T imaginea punctului P prin rotatia în jurul punctului Q deunghi \EFG ca în desenul:

G

FE

P

RQ

S

T

G

FE

P

RQ

S

G

FE

P

RQ

G

FE

P

RQ

G

FE

G

FE

P

RQ

S

T

Pasul 3. Unghiul \SQT este imaginea unghiului \RQP prin rotatia în


jurul punctului Q de unghi \EFG si arat¼a ca în desenul:

G

FE

P

R

T

Q

S

P

R

T

G

FE

P

R

G

FE

G

FE

P

R

T

Q

S

P

R

TT

Q

S

P

R

T

Vom scrie:

r\EFGQ (\RQP ) = \SQT

sau

\RQPr\EFGQ

��! \SQT:

Spunem c¼a unghiul \SQT este imaginea unghiului \RQP prin rotatia înjurul punctului Q de unghi \EFG: �Problema 3.10.2 Rotiti p¼atratul MNPQ în jurul punctului P de unghi

\NPQ.R¼aspunsConsider¼am desenul:

M N

PQ

Pasul 1. Rotim punctul N în jurul punctului P de unghi \NPQ ca îndesenul:

M N

PQ

M N

PQ

Pasul 2. Rotim punctul Q în jurul punctului P de unghi \NPQ ca în


desenul:M N

PQ

S

M N

PQ

M N

PQ

S

Pasul 3. Rotim punctul M în jurul punctului P de unghi \NPQ ca îndesenul:

M N

PQ

ST

M N

PQ

S

M N

PQ

M N

PQ

ST

Pasul 4. P¼atratul TQPS este imaginea p¼atratului MNPQ prin rotatia înjurul punctului P de unghi \NPQ si arat¼a ca în desenul:

M N

PQ

ST

M N

PQ

M N

PQ

ST

Vom scrie:r\NPQP (MNPQ) = TQPS

sau

MNPQr\NPQP��! TQPS:

Spunem c¼a p¼atratul TQPS este imaginea p¼atratului MNPQ prin rotatia înjurul punctului P de unghi \NPQ: �

3.11. EVALUARE 125

Tema 3.10.1 Construiti imaginea �gurilor geometrice înv¼atate (unghi nede-generat, pentagon nedegenerat, trapez, paralelogram, hexagon nedegenerat,semiplan închis, semidreapt¼a deschis¼a, semidreapt¼a închis¼a, dou¼a cercuri tan-gente exterior, dou¼a cercuri tangente interior, dou¼a cercuri secante, segment de-schis, segment semideschis, triunghi nedegenerat) printr-o rotatie în jurul unuipunct de unghi dat.

3.11 Evaluare

Testul 3.11.1

1. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un segment închis.

2. De�niti dreptunghiul si construiti imaginea unui dreptunghi printr-orotatie.

3. De�niti trapezul si construiti imaginea unui trapez printr-o rotatie.

4. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un triunghi dreptunghic.

Testul 3.11.2

1. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un segment deschis.

2. De�niti paralelogramul si construiti imaginea unui paralelogram printr-orotatie.

3. De�niti trapezul dreptunghic si construiti imaginea unui trapez drep-tunghic printr-o rotatie.

4. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un unghi drept.

3.12 Figuri geometrice congruente

De�nitia 3.12.1 Dac¼a exist¼a un num¼ar �nit de transform¼ari geometricecu ajutorul c¼arora ducem �gura geometric¼a E în �gura geometric¼a F; atuncispunem c¼a �gurile geometrice E si F sunt congruente si scriem E � F:



P

QR

M

N

d

1A

1B

T

O

2A

2B

3A

4A 5A

3B

4B5B

P

QR

M

N

d

1A

1B

T

O

2A

2B

3A

4A 5A

3B

4B5B

Segmentele închise [A1; B1] ; :::; [A6; B6] sunt congruente. Avem diagrama:

[ ]11 B,A [ ]22 B,A→ Os →∠PQR

Tr [ ]33 B,A

MNt

[ ]44 B,A

ds

[ ]55 B,A

OPQR

TMNd srts ooo ∠

[ ]11 B,A [ ]22 B,A→ Os →∠PQR

Tr [ ]33 B,A

MNt

[ ]44 B,A

ds

[ ]55 B,A

OPQR

TMNd srts ooo ∠

3.12. FIGURI GEOMETRICE CONGRUENTE 127

Exemplul 3.12.2 Consider¼am desenul

AB

C

1P

21 QQ =

1R

2P

2R

O

M

N

d

3R

4R

5R

3P

4P

5P

3Q

4Q

5Q

AB

C

1P

21 QQ =

1R

2P

2R

O

M

N

d

3R

4R

5R

3P

4P

5P

3Q

4Q

5Q

Segmentele închise [A1; B1] ; :::; [A6; B6] sunt congruente. Avem diagrama:

111 RQP∠ 222 RQP∠ → Os

MNt

dsABC

QOMNd rsts ∠1

ooo

→∠ABC

Qr 1 333 RQP∠

444 RQP∠

555 RQP∠

111 RQP∠ 222 RQP∠ → Os

MNt

dsABC

QOMNd rsts ∠1

ooo

→∠ABC

Qr 1 333 RQP∠

444 RQP∠

555 RQP∠

Teorema 3.12.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Relatia de congruent¼a între �guri geometrice este re�exiv¼a, adic¼a

E � E;

oricare ar � �gura geometric¼a E:2. Relatia de congruent¼a între �guri geometrice este simetric¼a, adic¼a

E � F ) F � E:

3. Relatia de congruent¼a între �guri geometrice este tranzitiv¼a, adic¼a

E � F si F � G) E � G:


De retinut: Având în vedere teorema precedent¼a, vom spune c¼a relatia decongruent¼a între �guri geometrice este o relatie de echivalent¼a.

Problema 3.12.1 Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente. Înparticular, laturile opuse ale unui dreptunghi sunt congruente.R¼aspunsConsider¼am paralelogramul ABCD ca în desenul:

AB

DC

AB

DC

Deoarece[A;B]

tBC��! [D;C]

si

[A;D]tAB��! [B;C]

rezult¼a c¼a [A;B] � [D;C] si [A;D] � [B;C] : �Tema 3.12.1 Folosind transform¼arile geometrice înv¼atate, deplasati în plan

�ecare dintre �gurile geometrice înv¼atate.

3.12.1 Rombul

De�nitia 3.12.1.1 Paralelogramul cu dou¼a laturi al¼aturate congruente senumeste romb.- Cum proced¼am pentru a construi un romb?Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele ca în desenul:


Pasul 2. Stergem dreapta ajut¼atoare si folosind rigla construim o latur¼a arombului ca în desenul:

Pasul 3. Facem semne pe rigl¼a ca în desenul:

Pasul 4. Asez¼am rigla în lungul unei paralele si �x¼am un punct pe paralel¼aca în desenul:

Pasul 5. Folosind echerul construim paralela la dreapta suport a laturiiconstruit¼a la Pasul 2 care contine punctul construit la pasul anterior ca îndesenul:

Pasul 6. Înl¼aturând echerul si stergând dreapta ajut¼atoare si liniile care


apar în plus, obtinem rombul ABCD ca în desenul:

A B

CD

A B

CD

Problema 3.12.1.1 Toate laturile unui romb sunt congruente.R¼aspunsConstruim rombul ABCD ca în desenul:

A B

CD

A B

CD

Deoarece, în particular, rombul este un paralelogram, rezult¼a c¼a

(1) [A;B] � [D;C] si [A;D] � [B;C] :

F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a

(2) [A;B] � [B;C] :

Folosind (1) ; (2) si tranzitivitatea relatiei de congruent¼a, rezult¼a concluziaproblemei. �Tema 3.12.1.1 Construiti cinci romburi în diferite pozitii.Tema 3.12.1.1 Folosind transform¼arile geometrice înv¼atate, deplasati în

plan un romb.

3.12.2 P¼atratul

De�nitia 3.12.2.1 Dreptunghiul cu dou¼a laturi al¼aturate congruente senumeste p¼atrat.- Cum proced¼am pentru a construi un p¼atrat?



Pasul 2. Stergem dreapta ajut¼atoare si folosind echerul construim o latur¼aa p¼atratului ca în desenul:

Pasul 3. Înl¼atur¼am echerul, asez¼am rigla în lungul drepetei suport a laturiiconstruite la Pasul 2. si facem semne pe rigl¼a ca în desenul:

Pasul 4. Asez¼am rigla în lungul unei paralele si �x¼am un punct pe paralel¼aca în desenul:


Pasul 5. Folosind echerul construim paralela la dreapta suport a laturiiconstruit¼a la Pasul 2 care contine punctul construit la pasul anterior ca îndesenul:

Pasul 6. Înl¼aturând echerul si stergând dreapta ajut¼atoare si liniile careapar în plus, obtinem p¼atratul MNPQ ca în desenul:

M N

PQ

M N

PQ

Problema 3.12.2.1 Toate laturile unui p¼atrat sunt congruente si toateunghiurile sunt drepte.R¼aspunsCum, în particular, un p¼atrat este si romb si dreptunghi, rezult¼a c¼a problema

este rezolvat¼a. �Tema 3.12.2.1 Construiti cinci p¼atrate în diferite pozitii.Tema 3.12.2.2 Folosind transform¼arile geometrice înv¼atate, deplasati în

plan un p¼atrat.

Capitolul 4

Lungimea unui segmentînchis

De�nitia 4.1 Imaginea familiei tuturor segmentelor închise congruente cusegmentul închis [A;B] se numeste lungimea segmentului închis [A;B] si senoteaz¼a jA;Bj :Dac¼a A = B; atunci lungimea segmentului închis [A;B] se numeste lungime

nul¼a si se noteaz¼a 0:

4.1 Adunarea lungimilor

De�nitia 4.1.1 Fie [A;B] si [C;D] dou¼a segmente închise.Dac¼a jA;Bj = 0 si jC;Dj 6= 0 atunci jA;Bj+ jC;Dj = jC;Dj :Dac¼a jA;Bj 6= 0 si jC;Dj = 0; atunci jA;Bj+ jC;Dj = jA;Bj :Dac¼a jA;Bj 6= 0 si jC;Dj 6= 0; f¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a

avem situatia din desenul:

A

B

C D

A

B

C D

Pentru a calcula jA;Bj+ jC;Dj proced¼am astfel:

133

134 CAPITOLUL 4. LUNGIMEA UNUI SEGMENT ÎNCHIS

Pasul 1. Translat¼am segmentul închis [C;D] pe directia dreptei CB siobtinem situatia din desenul:

A

B

C D

E

A

B

C D

E

Pasul 2. Rotim segmentul închis [A;B] în jurul punctului B de unghi\ABE ca în desenul:

A

B

C D

EG

A

B

C D

EG

Pasul 3. Construim [B;F ] ; simetricul segmentului închis [B;G] fat¼a depunctul B de ca în desenul:

F

A

B

C D

EGF

A

B

C D

EG

Pasul 4. Lungimea segmentului închis [E;F ] este jA;Bj+ jC;Dj :Teorema 4.1.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Adunarea lungimilor este asociativ¼a, adic¼a

jA;Bj+ (jC;Dj+ jE;F j) = (jA;Bj+ jC;Dj) + jE;F j ;

4.2. MULTIPLICAREA LUNGIMILOR CU NUMERE NATURALE 135

oricare ar � segmentele închise [A;B] ; [C;D] si [E;F ] :2. Lungimea nul¼a este element neutru, adic¼a

jA;Bj+ 0 = jA;Bj = 0 + jA;Bj ;

oricare ar � segmentul închis [A;B] :3. Adunarea lungimilor este comutativ¼a, adic¼a

jA;Bj+ jC;Dj = jC;Dj+ jA;Bj ;

oricare ar � segmentele închise [A;B] si [C;D] :4. Egalitatea

jA;Bj+ jC;Dj = jA;Bj+ jE;F j

determin¼a egalitateajC;Dj = jE;F j :

De�nitia 4.1.2 Suma lungimilor laturilor unui poligon A1A2:::An se nu-meste perimetrul poligonului A1A2:::An si se noteaz¼a Perim (A1A2:::An).

4.2 Multiplicarea lungimilor cu numere natu-rale

De�nitia 4.2.1 Fie [A;B] un segment închis si n 2 N.Dac¼a n = 0; atunci de�nim lungimea 0 � jA;Bj ca �ind lungimea nul¼a:Dac¼a n 6= 0; atunci de�nim lungimea

n � jA;Bj = (n� 1) � jA;Bj+ jA;Bj :

Propozitia 4.2.1 Oricare ar � n;m 2 N si [A;B] un segment închis esteadev¼arat¼a egalitatea:

(n+m) � jA;Bj = n � jA;Bj+m � jA;Bj :

Demonstratie

Fie n 2 N si [A;B] un segment închis arbitrare.Consider¼am multimea:

M = fm 2 N : (n+m) � jA;Bj = n � jA;Bj+m � jA;Bjg :

Evident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.

Admitem c¼a m� 1 2M:


Deoarece

(n+m) � jA;Bj = [(n+m)� 1] � jA;Bj+ jA;Bj= f[n+ (m� 1)] � jA;Bjg+ jA;Bj= [n � jA;Bj+ (m� 1) � jA;Bj] + jA;Bj= n � jA;Bj+ [(m� 1) � jA;Bj+ jA;Bj]= n � jA;Bj+m � jA;Bj

rezult¼a c¼a m 2M:Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N: q.e.d.

Propozitia 4.2.2 Oricare ar � n 2 N si [A;B] ; [C;D] dou¼a segmenteînchise este adev¼arat¼a egalitatea:

n � (jA;Bj+ jC;Dj) = n � jA;Bj+ n � jC;Dj :

Demonstratie

Fie [A;B] si [C;D] dou¼a segmente închise arbitrare.

Consider¼am multimea:

N = fn 2 N : n � (jA;Bj+ jC;Dj) = n � jA;Bj+ n � jC;Djg :

Evident c¼a 0 2M:Fie n 2 N astfel încât n > 0 arbitrare.Admitem c¼a n� 1 2 N:Deoarece

n � (jA;Bj+ jC;Dj) = (n� 1) � (jA;Bj+ jC;Dj) + (jA;Bj+ jC;Dj)= (n� 1) � jA;Bj+ (n� 1) � jC;Dj+ jA;Bj+ jC;Dj= [(n� 1) � jA;Bj+ jA;Bj] [(n� 1) � jC;Dj+ jC;Dj]= n � jA;Bj+ n � jC;Dj

rezult¼a c¼a n 2 N:Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a N = N: q.e.d.

Propozitia 4.2.3 Oricare ar � n;m 2 N si [A;B] un segment închis esteadev¼arat¼a egalitatea:

n � (m � jA;Bj) = (n �m) � jA;Bj :

Demonstratie

Fie n 2 N si [A;B] un segment închis arbitrare.Consider¼am multimea:

M = fm 2 N : n � (m � jA;Bj) = (n �m) � jA;Bjg :

4.3. COMPARAREA LUNGIMILOR 137

Evident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrare.

Admitem c¼a m� 1 2M:Deoarece

n � (m � jA;Bj) = n � [(m� 1) � jA;Bj+ jA;Bj]= n � [(m� 1) � jA;Bj] + n � jA;Bj= [n � (m� 1)] � jA;Bj+ n � jA;Bj= f[n � (m� 1)] + ng � jA;Bj= (n �m) � jA;Bj

rezult¼a c¼a m 2 M: Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N:q.e.d.

De retinut: Deoarece pe întreaga planet¼a existau mai multe lungimi etalon,în anul 1889 a avut loc o conventie international¼a în care s-a aprobat ca lungimeetalon lungimea unei bare confectionat¼a din platin¼a si iridiu care s-a numitmetrusi care s-a notat m:Tot atunci au fost introduse unit¼atile de lungime:- dam = 10 �m (decametrul),- hm = 100 �m (hectometrul),- km = 1000 �m (kilometrul),care au fost numite multiplii metrului.

4.3 Compararea lungimilor

De�nitia 4.3.1 Fie [A;B] si [C;D] dou¼a segemente închise.Dac¼a exist¼a [E;F ] � [C;D] astfel încât [A;B] � [E;F ] ; atunci spunem c¼a

lungimea segmentului închis [A;B] este mai mic¼a decât lungimea segmentuluiînchis [A;B] si scriem jA;Bj � jC;Dj :Dac¼a jA;Bj � jC;Dj si jA;Bj 6= jC;Dj ; atunci spunem c¼a lungimea segmen-

tului închis [A;B] este mai mic¼a strict decât lungimea segmentului închis [C;D]si scriem jA;Bj < jC;Dj :Exemplul 4.3.1 Consider¼am segmentele închise [A;B] si [C;D] ca în de-

senul:A

B

C D

A

B

C D


Translatând segmentul închis [A;B] pe directia dreptei BC obtinem situatiadin desenul:

A

B

C D

E

A

B

C D

E

Rotind segmentul închis [C;E] în jurul punctului C de unghi \ECD obtinemsituatia din desenul:

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

Deoarece [A;B] � [C;F ] si [C;F ] � [C;D], rezult¼a c¼a jA;Bj � jC;Dj : Înplus, jA;Bj < jC;Dj :Teorema 4.3.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Relatia de ordine între lungimi este re�exiv¼a, adic¼a

jA;Bj � jA;Bj ;

oricare ar � segmentul închis [A;B] :2. Relatia de ordine între lungimi este antisimetric¼a, adic¼a

jA;Bj � jC;Dj ^ jC;Dj � jA;Bj =) jA;Bj = jC;Dj :

3. Relatia de ordine între lungimi este tranzitiv¼a, adic¼a

jA;Bj � jC;Dj ^ jC;Dj � jE;F j =) jA;Bj � jE;F j :

De retinut: În plus, deoarece oricare ar � [A;B] si [C;D] � � rezult¼ac¼a avem jA;Bj < jC;Dj sau jA;Bj = jC;Dj sau jA;Bj > jC;Dj, spunem c¼amultimea lungimilor este total ordonat¼a.

4.4. SC¼ADEREA LUNGIMILOR 139

4.4 Sc¼aderea lungimilor

De�nitia 4.4.1 Fie [A;B] si [C;D] dou¼a segmente închise astfel încât jA;Bj �jC;Dj :F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a avem situatia din desenul:

A

B

C D

A

B

C D

Pentru a a�a jC;Dj � jA;Bj proced¼am astfel:Pasul 1. Translat¼am segmentul închis [A;B] pe directia dreptei BC si


A

B

C D

E

A

B

C D

E

Pasul 2. Rotim segmentul închis [C;E] în jurul punctului C de unghi\ECD si obtinem situatia din desenul:

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

Pasul 3. Lungimea segmentului închis [F;D] este jC;Dj � jA;Bj :Teorema 4.4.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Dac¼a jC;Dj � jA;Bj ; atunci

jC;Dj = jA;Bj+ (jC;Dj � jA;Bj) :


Reciproc, dac¼a jC;Dj = jA;Bj+ jE;F j ; atunci

jE;F j = jC;Dj � jA;Bj :

2. Dac¼a jC;Dj � jA;Bj ; atunci oricare ar � [E;F ] � � avem

jE;F j+ jC;Dj � jA;Bj

si(jE;F j+ jC;Dj)� jA;Bj = jE;F j+ (jC;Dj � jA;Bj) :

3. Dac¼a jC;Dj � jA;Bj si jG;Hj � jE;F j atunci

jC;Dj+ jG;Hj � jA;Bj+ jE;F j

si

(jC;Dj+ jG;Hj)� (jA;Bj+ jE;F j) = (jC;Dj � jA;Bj) + (jG;Hj � jE;F j) :

Propozitia 4.4.1 Dac¼a [A;B] � �; atunci oricare ar � m;n 2 N astfelîncât m � n avem

m � jA;Bj � n � jA;Bjsi

m � jA;Bj � n � jA;Bj = (m� n) � jA;Bj :

Demonstratie

Fie m;n 2 N astfel încât m � n arbitrare.Deoarece

n � jA;Bj+ (m� n) � jA;Bj = [n+ (m� n)] � jA;Bj = m � jA;Bj

rezult¼a concluzia propozitiei. q.e.d.

Propozitia 4.4.2 Dac¼a jC;Dj � jA;Bj ; atunci oricare ar � m 2 N avem

m � jC;Dj � m � jA;Bj

sim � jC;Dj �m � jA;Bj = m � (jC;Dj � jA;Bj) :

Demonstratie

Fie m 2 N arbitrar.Deoarece

jC;Dj = jA;Bj+ (jC;Dj � jA;Bj)rezult¼a c¼a

m � jC;Dj = m � jA;Bj+m � (jC;Dj � jA;Bj)

Deci, concluzia propozitiei este veri�cat¼a. q.e.d.

4.5. MULTIPLICAREA LUNGIMILOR CUNUMERE ZECIMALE POZITIVE141

4.5 Multiplicarea lungimilor cu numere zecimalepozitive

S¼a ne reamintim c¼a numerele zecimale pozitive au fost introduse ca �indcâturi ale împ¼artrii numerelor naturale la puteri ale lui 10:Folosind doar echerul putem ar¼ata cum un segment închis poate � împ¼artit

în oricâte p¼arti congruente dorim.- Cum proced¼am, de exemplu, pentru a împ¼arti un segment închis [A;B] în

3 p¼arti congruente?Pasul 1. Construim o semidreapt¼a închis¼a care are drept frontier¼a punctul

A ca în desenul:

A BA B

Pasul 2. Pe aceast¼a semidreapt¼a construim trei segmente congruente ca îndesenul:

A BA B

Pasul 3. Construim dreapta determinat¼a de ultimul punct de pe semi-dreapt¼a si punctul B ca în desenul:

A BA B


Pasul 4. Construim paralela la dreapta construit¼a la Pasul 3 care contineal doilea punct de pe semidreapt¼a ca în desenul:

A BA B

Pasul 5. Construim paralela la dreapta construit¼a la Pasul 4 care contineal primul punct de pe semidreapt¼a ca în desenul:

A BA B

Pasul 6. Stergând dreptele si constructiile ajut¼atoare obtinem trei segmentecongruente ca în desenul:

A BA B

Folosind tehnica expus¼a mai sus, rezult¼a c¼a oricare ar �p 2 N putem împ¼artiun segment închis [A;B] în 10p p¼arti congruente.De�nitia 4.5.1 Dac¼a m; p 2 N; atunci de�nim produsul dintre num¼arul

zecimal pozitiv m10p si lungimea jA;Bj ca �ind lungimea uneia dintre cele 10

p

p¼arti congruente în care a fost împ¼artit un segment închis de lungime m � jA;Bj :

De retinut: Tot la conventie international¼a din anul 1889 au fost introdusesi unit¼atile de lungime:- dm = 1

10 �m (decimetrul),- cm = 1

100 �m (centimetrul),- mm = 1

1000 �m (milimetrul),care au fost numite submultiplii metrului.

4.6. DISTANTA DINTRE CAPETELE UNUI SEGMENT ÎNCHIS 143

Astfel, avem scara metrului:

km = 1:000 �mhm = 100 �mdam = 10 �mmdm = 1

10 �mcm = 1

100 �mmm = 1

1:000 �m

Când "trecem de la mic la mare" se împarte la o putere a lui 10; iar când"trecem de la mare la mic" se înmulteste cu o putere a lui 10:Spre exemplu,

13 �m = 13100 � hm = 0; 13 � hm = 0; 13 � 1:000 � dm = 130 � dm:

4.6 Distanta dintre capetele unui segment închis

De�nitia 4.6.1 Fie [A;B] � � si a 2 Q(10)+ :Dac¼a jA;Bj = a �mm; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctul

B calculat¼a în raport cu unitatea de lungime mm este a si scriem:

kA;Bkmm = a:

Dac¼a jA;Bj = a � cm; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime cm este a si scriem:

kA;Bkcm = a:

Dac¼a jA;Bj = a � dm; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime dm este a si scriem:

kA;Bkdm = a:

Dac¼a jA;Bj = a �m; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime m este a si scriem:

kA;Bkm = a:

Dac¼a jA;Bj = a �dam; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime dam este a si scriem:

kA;Bkdam = a:

Dac¼a jA;Bj = a � hm; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime hm este a si scriem:

kA;Bkhm = a:


Dac¼a jA;Bj = a � km; atunci spunem c¼a distanta de la punctul A la punctulB calculat¼a în raport cu unitatea de lungime km este a si scriem:

kA;Bkkm = a:

Problema 4.6.1 Dac¼a jA;Bj = 34; 56 �m; atunci calculati: a) kA;Bkkm ; b)kA;Bkdm ; c) kA;Bkdam ; d) kA;Bkmm ; e) kA;Bkhm ; f) kA;Bkcm ; g) kA;Bkm :R¼aspunsDeoarece,

jA;Bj = 34; 56 �m= 34;56

1:000 � km = 0; 03:456 � km= 0; 03456 � 10:000 � dm = 345; 6 � dm= 345;6

100 � dam = 3; 456 � dam= 3; 456 � 10:000 �mm = 34:560 �mm= 34:560

100:000 � hm = 0; 3:456 � hm= 0; 3:456 � 10:000 � cm = 3:456 � cm

rezult¼a c¼a: kA;Bkkm = 0; 03:456; b) kA;Bkdm = 345; 6; c) kA;Bkdam = 3; 456;d) kA;Bkmm = 34:560; e) kA;Bkhm = 0; 3:456; f) kA;Bkcm = 3:456; g)kA;Bkm = 34; 56: �

De retinut: Dac¼a lungimea unui segment închis [A;B] este exprimat¼a înfunctie de dou¼a unit¼ati de lungime diferite, atunci distantele dintre capetelesegmentului închis [A;B] calculate în raport cu acele unit¼ati de lungime suntnumere zecimale pozitive diferite.

Tema 4.6.1 Dac¼a jA;Bj = 234; 26 � dm; atunci calculati: a) kA;Bkkm ; b)kA;Bkdm ; c) kA;Bkdam ; d) kA;Bkmm ; e) kA;Bkhm ; f) kA;Bkcm ; g) kA;Bkm :

4.6.1 Arii

De retinut: Dac¼a AOB este un triunghi dreptunghic astfel încât \AOBeste drept, jO;Aj = 7 � cm si jO;Bj = 12 � cm; atunci scriem

�cm (AOB) =kO;Akcm�kO;Bkcm

2 = 7�122 = 7 � 6 = 42

si citim: aria triunghiului nedegenerat AOB calculat¼a în raport cu unitatea delungime cm este num¼arul 42:Mai folosim scrierea:

� (AOB) = 42 � cm2

si citim: aria triunghiului nedegenerat AOB este 42 centimetri p¼atrati.


Ultima scriere ne este util¼a, deoarece atunci când dorim s¼a obtinem�dm (AOB) ; �mm (AOB) ; ::: f¼ar¼a a mai relua rationamentul de mai sus ci,folosind doar scara metrului p¼atrat:

km2 = 1:000:000 �m2

hm2 = 10:000 �m2

dam2 = 100 �m2

m2

dm2 = 1100 �m

2

cm2 = 110:000 �m

2

mm2 = 11:000:000 �m

2

Când "trecem de la mic la mare" se împarte la o putere a lui 100; iar când"trecem de la mare la mic" se înmulteste cu o putere a lui 100:Cum

jO;Aj = 7 � cm= 7

10 � dm = 0; 7 � dm= 0; 7 � 100 �mm = 70 �mm

sijO;Bj = 12 � cm

= 1210 � dm = 1; 2 � dm

= 1; 2 � 100 �mm = 120 �mm

vom obtine

�dm (AOB) =kO;Akdm�kO;Bkdm

2 = 0;7�1;22 = 0; 7 � 0; 6 = 0; 42

si

�mm (AOB) =kO;Akmm�kO;Bkmm

2 = 70�1202 = 70 � 60 = 4:200

Folosind scara metrului p¼atrat obtinem

� (AOB) = 42 � cm2

= 42100 � dm

2

= 0; 42 � dm2

= 0; 42 � 10:000 �mm2

= 4:200 �mm2

Deci, folosind un rationament mai scurt reg¼asim egalit¼atile:

�dm (AOB) = 0; 42;�mm (AOB) = 4:200:

Desi numerele 42; 0; 42 si 4:200 sunt diferite, ele reprezint¼a aria triunghiuluiAOB calculat¼a în raport cu unit¼atile de lungime cm; dm si mm:Problema 4.6.1.1 Fie ABC un triunghi dreptunghic care are ipotenuza

[B;C] : Determinati elementele necunoscute din tabelul:


jA;Bj jA;Cj � (ABC)a) 3; 12 � cm 4; 43 � cm ?b) ? 6 �m 24 �m2

c) 5 � dm ? 25 � dm2

R¼aspunsa) Deoarece

�cm (ABC) =kA;Bkcm�kA;Ckcm

2

= 3;12�4;432

= 13;82162

= 6; 9108

rezult¼a c¼a � (ABC) = 6; 9108 � cm2:b) Deoarece

kA;Bkm�kA;Ckm2 = �m (ABC)

mkA;Bkm�6

2 = 242 � 2

mkA;Bkm � 6 = 48

6 � 6m

kA;Bkm = 8;rezult¼a c¼a jA;Bj = 8 �m:c) Deoarece

kA;Bkdm�kA;Ckdm2 = �dm (ABC)

m5�kA;Ckdm

2 = 252 � 2

m5 � kA;Ckdm = 50

5 � 5m

kA;Ckdm = 10;rezult¼a c¼a jA;Cj = 10 � dm: �Tema 4.6.1.1 Fie ABC un triunghi dreptunghic care are ipotenuza [B;C] :

Determinati elementele necunoscute din tabelul:

jA;Bj jA;Cj � (ABC)a) 12 � cm 43 � cm ?b) ? 40 �m 120 �m2

c) 50 � dm ? 500 � dm2

d) 0; 2 � hm 3; 2 � hm ?b) ? 10 �mm 12; 4 �mm2

c) 5 � km ? 25 � km2

De retinut: Dac¼a ABCD este un dreptunghi astfel încât jA;Bj = 2; 3 � cmsi jB;Cj = 4; 6 � cm; atunci scriem

�cm (ABCD) = kA;Bkcm � kB;Ckcm = 2; 3 � 4; 6 = 10; 58


si citim: aria dreptunghiului ABCD calculat¼a în raport cu unitatea de lungimecm este num¼arul 10; 58:Mai folosim scrierea:

� (ABCD) = 10; 58 � cm2

si citim: aria dreptunghiului ABCD este 10; 58 centimetri p¼atrati.Problema 4.6.1.2 Fie ABCD un dreptunghi. Determinati elementele ne-

cunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj � (ABCD)a) 10 � dam 43 � dam ?b) ? 6 �m 120 �m2

c) 15 �mm ? 75 �mm2


�dam (ABCD) = kA;Bkdam � kB;Ckdam= 10 � 43= 430

rezult¼a c¼a � (ABCD) = 430 � dam2:b) Deoarece

kA;Bkm � kB;Ckm = �m (ABCD)m

kA;Bkm � 6 = 1206 � 6

mkA;Bkm = 20

rezult¼a c¼a jA;Bj = 20 �m:c) Deoarece

kA;Bkmm � kB;Ckmm = �mm (ABCD)m

15 � kB;Ckmm = 7515 � 15

mkB;Ckmm = 5

rezult¼a c¼a jB;Cj = 5 �mm: �Tema 4.6.1.2 Fie ABCD un dreptunghi. Determinati elementele necunos-

cute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj � (ABCD)a) 1; 03 � dm 4; 3 � dm ?b) ? 3 � km 12 � km2

c) 12 �mm ? 240 �mm2

d) 12; 3 � km 30; 2 � km ?b) ? 20 �m 38 �m2

c) 30 � hm ? 12 � hm2


De retinut: Dac¼a ABCD este un p¼atrat astfel încât jA;Bj = 4; 5 � cm;atunci num¼arul pozitiv

�cm (ABCD) = kA;Bk2cm = 4; 5 � 4; 5 = 20; 25

si citim: aria p¼atratului ABCD calculat¼a în raport cu unitatea de lungime cmeste num¼arul 20; 25:Mai folosim scrierea:

� (ABCD) = 20; 25 � cm2

si citim: aria p¼atratului ABCD este 20; 25 centimetri p¼atrati.Problema 4.6.1.3 Fie ABCD un p¼atrat. Determinati elementele necunos-

cute din tabelul:

jA;Bj � (ABCD)a) 1; 4 � km ?b) ? 64 � hm2


�km (ABCD) = kA;Bk2km= 1; 4 � 1; 4= 1; 96

rezult¼a c¼a � (ABCD) = 1; 96 � km2:b) Deoarece

kA;Bk2hm = �hm (ABCD)m

kA;Bk2hm = 82m

kA;Bkhm = 8

rezult¼a c¼a jA;Bj = 8 � hm: �Tema 4.6.1.3 Fie ABCD un p¼atrat. Determinati elementele necunoscute

din tabelul:

jA;Bj � (ABCD)a) 3; 03 � dm ?b) ? 16 � km2

c) 13; 3 �mm ?d) ? 0; 81 � hm2

c) 21; 53 �m ?d) ? 0; 121 � dm2

Problema 4.6.1.4 Calculati:a) 34; 67 � cm2 = :::dm2; :::m2; :::mm2;b) 4; 17 � hm2 = km2; :::dam2; :::m2:

4.7. APLICATII 149

c) 23; 6 �m2 = :::dm2; :::hm2; :::cm2; :::dam2:R¼aspunsa)

34; 67 � cm2 = 34;67100 � dm

2 = 0; 3467 � dm2

= 0;3467100 �m2 = 0; 003467 �m2

= 0; 003467 � 1:000:000 �m2

= 3467 �mm2:

b)4; 17 � hm2 = 4;17

100 � km2 = 0; 0417 � km2

= 0; 0417 � 10:000 � dam2 = 417 � dam2

= 417 � 100 �m2 = 41:700 �m2:

c)

23; 6 �m2 = 23; 6 � 100 � dm2 = 2360 � dm2

= 23601:000:000 � hm

2 = 0; 00236 � hm2

= 0; 00236 � 100:000:000 � cm2 = 236:000 � cm2

= 236:0001:000:000 � dam

2 = 0; 236 � dam2:

Tema 4.6.1.4 Calculati:a) 3; 354 � cm2 = :::dm2; :::m2; :::mm2;b) 67; 347 � hm2 = km2; :::dam2; :::m2:c) 237; 62 �m2 = :::dm2; :::hm2; :::cm2; :::dam2:d) 0; 04 � dam2 = :::dm2; :::m2; :::mm2;e) 6; 007 �m2 = km2; :::dam2; :::hm2:f) 27; 3:462 � dm2 = :::m2; :::hm2; :::cm2; :::dam2:

4.7 Aplicatii

Problema 4.7.1 Calculati:a) 34; 67 � cm+ 2; 45 �m = :::dm; :::km; :::m; :::hm; :::cm; :::dam; :::mm;b) 4; 7 � hm� 22; 4 �m = :::dm; :::km; :::m; :::hm; :::cm; :::dam; :::mm:c) 12; 7 � (23; 67 �m) = :::dm; :::km; :::hm; :::cm; :::dam; :::mm:R¼aspunsa)

34; 67 � cm+ 2; 45 �m =�34;6710 + 2; 45 � 10

�� dm

= (3; 467 + 24; 5) � dm =�3:4671:000 +

24510

�� dm

=�3:4671:000 +

24:5001:000

�� dm = 27:967

1:000 � dm = 27; 967 � dm= 27;967

10:000 � km = 0; 0027967 � km= 0; 0027967 � 1:000 �m = 2; 7967 �m= 2;7967

100 � hm = 0; 027967 � hm= 0; 02:7967 � 10:000 � cm = 279; 67 � cm= 279;67

1:000 � dam = 0; 27:967 � dam= 0; 27:967 � 10:000 �mm = 27:967 �mm:


b)

4; 7 � hm� 22; 4 �m = (4; 7 � 1:000� 22; 4 � 10) � dm= (4:700� 224) � dm = 4:476 � dm= 4:476

10:000 � km = 0; 4:476 � km= 0; 4:476 � 1:000 �m = 447; 6 �m= 447;6

100 � hm = 4; 476 � hm= 4; 476 � 10:000 � cm = 44:760 � cm= 44:760

1:000 � dam = 44; 76 � dam= 44; 76 � 10:000 �mm = 447:600 �mm:

c)

12; 7 � (23; 67 �m) = (12; 7 � 23; 67) �m =�12710 �

2:367100

��m

= 127�2:36710�100 �m = 300:609 �m

= 300:609 � 10 � dm = 3:006:090 � dm= 3:006:090

10:000 � km = 300; 609 � km= 300; 609 � 10 � hm = 3:006; 09 � hm

= 3:006; 09 � 10:000 � cm = 30:060:900 � cm= 30:060:900

1:000 � dam = 30:060; 9 � dam= 30:060; 9 � 10:000 �mm = 300:609:000 �mm:

�Tema 4.7.1 Calculati:a) 354; 987 �hm+122; 405 �dm = :::dm; :::km; :::m; :::hm; :::cm; :::dam; :::mm;b) 40; 127 � dam� 22; 424 � cm = :::dm; :::km; :::m; :::hm; :::cm; :::dam; :::mm;c) 12; 7 � (2; 23 � dam) = :::dm; :::km; :::hm; :::cm; :::m; :::mm;d) 86; 8 � km+ 431; 25 � hm+ 5:500 �m = :::km; :::dm; :::dam; :::mm; :::hm;e) 22; 65 � dam+ 2; 17 � hm+ 4:975 � cm = :::m; :::km; :::dm; :::hm; :::mm:Problema 4.7.2 Dac¼a MNP este un triunghi nedegenerat astfel încât

jM;N j = 3; 45 � dm; jN;P j = 4; 3 � dm si jM;P j = 4; 651 � dm; atunci deter-minati Perim (MNP ) :R¼aspuns

Perim (MNP ) = jM;N j+ jN;P j+ jM;P j= (3; 45 + 4; 3 + 4; 651) � dm=�345100 +

4310 +

4:6511:000

�� dm

=�3:4501:000 +

4:3001:000 +

4:6511:000

�� dm

= 3:450+4:300+4:6511:000 � dm

= 12:4011:000 � dm

= 12; 401 � dm:

�Tema 4.7.2 Dac¼aMNP este un triunghi nedegenerat astfel încât jM;N j =

13; 5 � km; jN;P j = 10; 31 � km si jM;P j = 16; 121 � km; atunci determinatiPerim (MNP ) :

4.7. APLICATII 151

Tema 4.7.2´ Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat astfel încât jA;Bj =20; 76 � m; jB;Cj = 19; 9 � m si jA;Cj = 26; 3:216 � km; atunci determinatiPerim (ABC) :Tema 4.7.2´´ Dac¼a RST este un triunghi nedegenerat astfel încât jRSj =

3; 75 � cm; jST j = 4; 531 � cm si jRT j = 5; 1; 621 � km; atunci determinatiPerim (RST ) :Problema 4.7.3 Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat, atunci determi-

nati elementele necunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj jA;Cj Perim (ABC)a) 3; 12 � cm 4; 43 � cm 4; 12 � cm ?b) 55; 17 � dm 34; 45 � dm ? 131; 85 � dmc) 23; 24 � hm ? 27; 45 � hm 80; 83 � hmd) ? 12; 161 �m 10; 426 �m 29; 821 �m:

R¼aspunsa)

Perim (ABC) = jA;Bj+ jB;Cj+ jA;Cj= (3; 12 + 4; 43 + 4; 12) � cm= 11; 67 � cm:

b) Deoarece

jA;Bj+ jB;Cj+ jA;Cj = Perim (ABC)m

55; 17 � dm+ 34; 45 � dm+ jA;Cj = 131; 85 � dmm

(55; 17 + 34; 45) � dm+ jA;Cj = 131; 85 � dmm

89; 62 � dm+ jA;Cj = 131; 85 � dm+ 89; 62 � dm� 89; 62 � dmm

jA;Cj = (131; 85� 89; 62) � dm;

rezult¼a c¼a jA;Cj = 42; 23 � dm:c) Deoarece


23; 24 � hm+ jB;Cj+ 27; 45 � hm = 80; 83 � hmm

(23; 24 + 27; 45) � hm+ jB;Cj = 80; 83 � hmm

50; 69 � hm+ jB;Cj = 80; 83 � hm+ 50; 69 � hm� 50; 69 � hmm

jB;Cj = (80; 83� 50; 69) � hm;

rezult¼a c¼a jB;Cj = 30; 14 � hm:


d) Deoarece


jA;Bj+ 12; 161 �m+ 10; 426 �m = 29; 821 �mm

jA;Bj+ (12; 161 + 10; 426) �m = 29; 821 �mm

jA;Bj+ 22; 587 �m = 29; 821 �m+ 22; 587 �m� 22; 587 �mm

jA;Bj = (29; 821� 22; 587) � hm;

rezult¼a c¼a jA;Bj = 7; 234 � hm: �Tema 4.7.3 Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat, atunci determinati

elementele necunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj jA;Cj Perim (ABC)a) 7; 10 � km 8; 413 � km 6; 7 � km ?b) 55; 187 �mm 14; 5 �mm ? 11; 805 �mmc) 123; 4 � dam ? 147; 425 � dam 253; 43 � damd) ? 19; 61 � cm 20; 436 � cm 25; 2 � cm:

Problema 4.7.4 Construiti un paralelogram ABCD pentru care jA;Bj =7; 5 � cm respectiv jB;Cj = 5; 2 � cm: Determinati perimetrul paralelogramului.R¼aspunsEste util s¼a ne reamintim de�nitia paralelogramului. Pentru a construi

paralelogramul pentru care jA;Bj = 7; 5 � cm si jB;Cj = 5; 2 � cm proced¼amastfel:Pasul 1. Construim segmentele închise [A;B] si [B;C] astfel încât jA;Bj =

7; 5 � cm si jB;Cj = 5; 2 � cm si obtinem situatia din desenul:

AB

C

AB

C

Pasul 2. Construim paralela la dreapta BC care contine punctul A ca în

4.7. APLICATII 153

desenul:

AB

C

AB

C

Pasul 3. Construim paralela la dreapta AB care contine punctul C ca îndesenul:

AB

C

D

AB

C

D

Pasul 4. Stergând liniile ap¼arute în plus si hasurând interiorul, obtinemparalelogramul ABCD ca în desenul:

AB

C

D

AB

C

D

Stim c¼a:

(1) Perim (ABCD) = jA;Bj+ jB;Cj+ jC;Dj+ jA;Dj :


Cum laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente, rezult¼a c¼a

(2) jA;Bj = jC;Dj si jB;Cj = jA;Dj :

Folosind a�rmatiile (1) ; (2) si ipoteza rezult¼a c¼a

Perim (ABCD) = 2 � jA;Bj+ 2 � jB;Cj= 2 � 7; 5 � cm+ 2 � 5; 2 � cm=�21 �

7510 +

21 �

5210

�� cm

=�15510 +

10410

�� cm = 155+104

10 � cm= 155+104

10 � cm= 259

10 � cm= 25; 9 � cm:

�Tema 4.7.4 Construiti un paralelogramABCD pentru care jA;Bj = 5; 5�cm

respectiv jB;Cj = 8; 5 � cm: Determinati perimetrul paralelogramului.Tema 4.7.4´ Construiti un dreptunghiMNPQ pentru care jM;N j = 1�dm

respectiv jP;Qj = 6�cm: Determinati perimetrul dreptunghiului exprimat în dm.Tema 4.7.4´´ Construiti un dreptunghi RSTL pentru care jR;Sj = 8 � cm

respectiv jS; T j = 4 � cm: Determinati perimetrul dreptunghiului exprimat înmm.Problema 4.7.5 Dac¼a (ABCD) este un paralelogram, atunci determinati


jA;Bj jB;Cj Perim (ABCD)a) 7; 23 �mm 8; 3 �mm ?b) 5; 12 � dam ? 17; 04 � damc) ? 23; 41 � cm 107; 24 � cm

R¼aspunsConstruim paralelogramul ABCD ca în desenul:

AB

DC

AB

DC

Stim c¼a jA;Bj = jD;Cj si jA;Dj = jB;Cj :a)

Perim (ABCD) = jA;Bj+ jB;Cj+ jC;Dj+ jA;Dj= 2 � jA;Bj+ 2 � jB;Cj= (2 � 7; 23 + 2 � 8; 3) �mm= (14; 46 + 16; 6) �mm= 31; 06 �mm:

4.7. APLICATII 155

b) Deoarece

2 � jA;Bj+ 2 � jB;Cj = Perim (ABCD)m

2 � 5; 12 � dam+ 2 � jB;Cj = 17; 04 � damm

10; 24 � dam+ 2 � jB;Cj = 17; 04 � dam+ 10; 24 � dam� 10; 24 � damm

2 � jB;Cj = (17; 04� 10; 24) � damm

2 � jB;Cj =�6;802 � dam

�� 2;

rezult¼a c¼a jB;Cj = 3; 40 � dam:c) Deoarece

2 � jA;Bj+ 2 � jB;Cj = Perim (ABCD)m

2 � jA;Bj+ 2 � 23; 41 � cm = 107; 24 � cmm

2 � jA;Bj+ 46; 82 � cm = 107; 24 � cm+ 46; 82 � cm� 46; 82 � cmm

2 � jA;Bj = (107; 24� 46; 82) � cmm

2 � jA;Bj =�60;422 � cm

�� 2;

rezult¼a c¼a jA;Bj = 30; 21 � cm: �Tema 4.7.5 Dac¼a ABCD este un paralelogram, atunci determinati ele-

mentele necunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj Perim (ABCD)a) 5; 3 � dm 4; 2 � dm ?b) 50; 2 � hm ? 180; 6 � hmc) ? 3; 41 �m 15; 32 �mm

Tema 4.7.5´ Dac¼a ABCD este un dreptunghi, atunci determinati ele-mentele necunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj Perim (ABCD)a) 5; 33 � km 6; 2 � km ?b) 10; 62 �m ? 36; 04 �mmc) ? 23; 11 � dam 77; 02 � dam

Problema 4.7.6 Construiti un romb ABCD pentru care jA;Bj = 3; 5 � cm:Determinati perimetrul rombului.R¼aspunsEste util s¼a ne reamintim de�nitia rombului. Pentru a construi rombul

pentru care jA;Bj = 3; 5 � cm proced¼am astfel:


Pasul 1. Construim segmentele închise [A;B] si B;C astfel încât jA;Bj =3; 5 � cm = jB;Cj si obtinem situatia din desenul:

A

C

BA

C

B

Pasul 2. Construim paralela la dreapta BC care contine punctul A ca îndesenul:

A

C

BA

C

B

Pasul 3. Construim paralela la dreapta AB care contine punctul C ca îndesenul:

A

C

B

D

A

C

BA

C

B

D

Pasul 4. Stergând liniile ap¼arute în plus si hasurând interiorul, obtinemrombul ABCD ca în desenul:

A

C

B

D

A

C

B

D

A

C

B

D

Stim c¼a:

(1) Perim (ABCD) = jA;Bj+ jB;Cj+ jC;Dj+ jA;Dj

4.7. APLICATII 157

Cum toate laturile unui romb sunt congruente, rezult¼a c¼a

(2) jA;Bj = jC;Dj = jB;Cj = jA;Dj

Folosind a�rmatiile (1) ; (2) si ipoteza rezult¼a c¼a

Perim (ABCD) = 4 � jA;Bj= 4 � (3; 5 � cm)=�41 �

3510

�� cm

= 14010 � cm =

= 14 � cm:

�Tema 4.7.6 Construiti un romb ABCD pentru care jA;Bj = 47; 45 �mm:

Determinati perimetrul rombului.Tema 4.7.6´ Construiti un p¼atrat ABCD pentru care jA;Bj = 1; 2 � dm:

Determinati perimetrul p¼atratului exprimat în dam.Tema 4.7.6´´ Construiti un p¼atrat ABCD pentru care jA;Bj = 5; 25 � cm:

Determinati perimetrul p¼atratului exprimat în mm.Problema 4.7.7 Dac¼a (ABCD) este un romb, atunci determinati ele-

mentele necunoscute din tabelul:

jA;Bj Perim (ABCD)a) 17; 23 �mm ?b) ? 24; 04 � dam

R¼aspunsConstruim rombul ABCD ca în desenul:

A

C

B

D

A

C

B

D

Stim c¼a jA;Bj = jD;Cj = jA;Dj = jB;Cj :a)

Perim (ABCD) = 4 � jA;Bj= 4 � (17; 23 �mm)=�41 �

1723100

��mm

= 6892100 �mm =

= 68; 92 �mm:b) Deoarece

4 � jA;Bj = Perim (ABCD)m

4 � jA;Bj =�24;044 � dam

�� 4;


rezult¼a c¼a jB;Cj = 6; 01 � dam: �Tema 4.7.7 Dac¼a (ABCD) este un romb, atunci determinati elementele

necunoscute din tabelul:

jA;Bj Perim (ABCD)a) 7; 21 � cm ?b) ? 44; 24 � dmc) 45; 1 � hm ?d) ? 48; 4 � km

Tema 4.7.7´ Dac¼a (ABCD) este un p¼atrat, atunci determinati elementelenecunoscute din tabelul:

jA;Bj Perim (ABCD)a) 67; 23 � km ?b) ? 256; 164 � hmc) 705; 123 �m ?d) ? 404; 016 �mm

Tema 4.7.8 Un teren de sport în form¼a de p¼atrat este înconjurat de o pist¼acu perimetrul exterior de 400 �m: Dac¼a l¼atimea pistei este de 3 �m; atunci a�atiperimetrul interior al pistei.Tema 4.7.9 Dreptunghiul ABCD are perimetrul 127 �m; iar jB;Cj este cu

4; 8 �m mai mic¼a decât jA;Bj : Determinati jA;Bj si jB;Cj :Tema 4.7.10 Dreptunghiul ABCD are perimetrul 1; 84 �m; iar jA;Bj este

de trei ori mai mare decât jB;Cj : Determinati jA;Bj si jB;Cj :Tema 4.7.11 Un automobil a parcurs un drum cu lungimea de 1:250 � km

în trei etape. Stiind c¼a în prima etap¼a a parcurs de 7 ori mai mult decât în adoua etap¼a, iar în a treia etap¼a a aprcurs cu 50 � km mai mult decât în primaetap¼a, atunci a�ati câti kilometri a parcurs automobilul în �ecare etap¼a.

4.8 Evaluare

Testul 4.8.11. De�niti rombul si construiti un romb.2. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un p¼atrat.3. Dac¼a jA;Bj = 4; 346 � hm; atunci calculati: a) kA;Bkkm ; b) kA;Bkdm ;

c) kA;Bkdam ; d) kA;Bkmm ; e) kA;Bkhm ; f) kA;Bkcm ; g) kA;Bkm :4. Fie ABC un triunghi dreptunghic care are ipotenuza [B;C] : Determinati



4.8. EVALUARE 159

5. Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat, atunci determinati elementelenecunoscute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj jA;Cj Perim (ABC)a) 3; 2 � cm 5; 3 � cm 4; 31 � cm ?b) 570 � dm 445 � dm ? 1:520 � dm

6. Dac¼a ABCD este un dreptunghi, atunci determinati elementele necunos-cute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj Perim (ABCD) � (ABCD)a) 5; 3 � km 4; 2 � km ? ?b) 10; 2 �m ? 46; 4 �mm ?c) ? 21 � dam ? 672 � dam2

7. Consider¼am p¼atratul ABCD:a) Stiind c¼a aria sa este 81 �m2; determinati perimetrul acestuia.b) Stiind c¼a perimetrul s¼au este 52; 84 � dm; determinati aria sa.c) Construiti imaginea sa printr-o rotatie de centru P si unghi \XY Z:d) Care este perimetrul imaginii? Dar aria imaginii?8. Un teren de sport în form¼a de dreptunghi este înconjurat de un gard

cu trei rânduri de sârm¼a ghimpat¼a. Perimetrul dreptunghiului este 140 �m; iarl¼atimea pistei este cu 10 �m mai mic¼a decât lungimea.a) A�ati câti metri de sârm¼a ghimpat¼a trebuie cump¼arati pentru a împrejmui

terenul.b) Dac¼a un metru de sârm¼a cost¼a 2; 35 lei, atunci a�ati cât va costa sârma

cump¼arat¼a.c) Determinati aria terenului de sport pe care exprimati-o în dam2 si cm2.9. Un rond de �ori este sub forma unui p¼atrat care are perimetrul 24 �m:a) Determinati aria rondului de �ori.b) Cum pentru îngr¼asemintele folosite la �ecare 4 �m2 se cheltuiesc 5; 25 lei,

a�ati suma necesar¼a pentru îngr¼asemintele necesare rondului de �ori.c) Stiind c¼a pentru �ecare 4 �m2 se cheltuiesc 34; 215 lei pentru �ori, a�ati

suma necesar¼a pentru �orile cump¼arate care vor �plantate pe întreaga suprafat¼a.

Testul 4.8.21. De�niti p¼atratul si construiti un p¼atrat.2. Folosind trasform¼arile înv¼atate deplasati în plan un romb.3. Dac¼a jA;Bj = 56; 234 � cm; atunci calculati: a) kA;Bkkm ; b) kA;Bkdm ;

c) kA;Bkdam ; d) kA;Bkmm ; e) kA;Bkhm ; f) kA;Bkcm ; g) kA;Bkm :4. Fie ABC un dreptunghi. Determinati elementele necunoscute din tabelul:


5. Dac¼a MNP este un triunghi nedegenerat, atunci determinati elementelenecunoscute din tabelul:


jM;N j jN;P j jM;P j Perim (MNP )a) 23; 2 � cm 25; 3 � cm 24; 31 � cm ?b) 25; 7 � dm 24; 45 � dm ? 71; 30 � dm

6. Dac¼aMNPQ este un dreptunghi, atunci determinati elementele necunos-cute din tabelul:

jM;N j jP;Qj Perim (MNPQ) � (MNPQ)a) 7; 3 �m 6; 21 �m ? ?b) 1; 2 � km ? 5; 4 � km ?c) ? 56 � dm ? 3:976 � dm2

7. Consider¼am p¼atratul MNPQ:a) Stiind c¼a aria sa este 64 �m2; determinati perimetrul acestuia.b) Stiind c¼a perimetrul s¼au este 124; 84 � dm; determinati aria sa.c) Construiti imaginea sa printr-o rotatie de centru P si unghi \XY Z:d) Care este perimetrul imaginii? Dar aria imaginii?8. Un teren de sport în form¼a de dreptunghi este înconjurat de un gard

cu dou¼a rânduri de sârm¼a ghimpat¼a. Perimetrul dreptunghiului este 90 �m; iarlungimea terenului este cu 5 �m mai mare decât l¼atimeaungimea.a) A�ati câti metri de sârm¼a ghimpat¼a trebuie cump¼arati pentru a împrejmui


cump¼arat¼a.c) Determinati aria terenului de sport pe care exprimati-o în hm2 si dm2.9. Un rond de �ori este sub forma unui p¼atrat care are aria 64 �m2:a) Determinati perimetrul rondului de �ori.b) Cum pentru �ecare 4 �m de gardul viu care împrejmuieste rondul de �ori

se cheltuiesc 54; 75 lei, a�ati suma necesar¼a pentru achizitionarea gardului viucare împrejmuieste rondul de �ori.c) Stiind c¼a pentru �ecare 8 � m2 se cheltuiesc 125; 275 lei pentru �ori,

a�ati suma necesar¼a pentru �orile cump¼arate care vor � plantate pe întreagasuprafat¼a.

4.9 Teza

Teza 4.9.11. Rezolvati inecuatia: 4 � x� 8 � 2 � (x+ 5) ; x 2 N:2. Rezolvati ecuatia: 52 �

�53�x= 512 : 54; x 2 N:

3. Diferenta a dou¼a numere naturale este 59: Împ¼artind num¼arul mai marela cel mic obtinem câtul 4 si restul 14: A�ati numerele.4. Trei piese au împreun¼a masa 1340kg: Prima pies¼a are cu 260kg mai mult

decât a doua, iar a treia are cu 18kg mai mult decât a doua. Ce mas¼a are �ecarepies¼a?

4.9. TEZA 161

5. De�niti paralelogramul. Construiti un paralelogram si deplasati-l cuajutorul unei simetrii centrale.6. De�niti unghiul drept si construiti un triunghi dreptunghic si un trapez

dreptunghic.7. De�niti p¼atratul. Construiti un p¼atrat si deplasati-l cu ajutorul unei

simetrii axiale.8. Dac¼a ABCD este un dreptunghi, atunci determinati elementele necunos-

cute din tabelul:

jA;Bj jB;Cj Perim (ABCD) � (ABCD)10; 2 �m ? 46; 4 �m ?

9. Un teren de sport în form¼a de dreptunghi este înconjurat de un gard cudou¼a rânduri de sârm¼a ghimpat¼a. Perimetrul dreptunghiului este 110 �m; iarlungimea terenului este cu 5 �m mai mare decât l¼atimea.a) A�ati câti metri de sârm¼a ghimpat¼a trebuie cump¼arati pentru a împrejmui


cump¼arat¼a.c) Determinati aria terenului de sport pe care exprimati-o în hm2 si dm2.

Teza 4.9.21. Rezolvati ecuatia: (7x)5 � 74 = 730 : 76; x 2 N:2. Rezolvati inecuatia: 2 � (x+ 3) � 5 � x� 9; x 2 N:3. Suma a dou¼a numere naturale este 89: Împ¼artind num¼arul mai mare la

cel mic obtinem câtul 4 si restul 14: A�ati numerele.4. Pentru a cânt¼ari un pachet de carne, un vânz¼ator pune pe un taler al

balantei carnea si o unitate de mas¼a de 1kg; iar pe cel¼alalt taler o unitate demas¼a de 5kg si înc¼a una de 500g pentru ca balanta s¼a �e în echilibru. Stiind c¼a1kg de carne cost¼a 10:700 lei, cât cost¼a pachetul cu carne?5. De�niti trapezul. Construiti un trapez si deplasati-l cu ajutorul unei

simetrii axiale.6. De�niti unghiul drept si construiti un triunghi dreptunghic si un drep-

tunghi.7. De�niti rombul. Construiti un romb si deplasati-l cu ajutorul unei

simetrii centrale.8. Dac¼aMNPQ este un dreptunghi, atunci determinati elementele necunos-

cute din tabelul:

jM;N j jP;Qj Perim (MNPQ) � (MNPQ)? 56 � dm ? 3:976 � dm2

9. Un rond de �ori este sub forma unui p¼atrat care are aria 64 �m2:a) Determinati perimetrul rondului de �ori.b) Cum pentru �ecare 2 �m de gardul viu care împrejmuieste rondul de �ori

se cheltuiesc 24; 50 lei, a�ati suma necesar¼a pentru achizitionarea gardului viucare împrejmuieste rondul de �ori.


c) Stiind c¼a pentru �ecare 4 �m2 se cheltuiesc 105; 75 lei pentru �ori, a�atisuma necesar¼a pentru �orile cump¼arate care vor �plantate pe întreaga suprafat¼a.

Capitolul 5

M¼arimea unghiular¼a a unuiunghi

De�nitia 5.1 Imaginea familiei tuturor unghiurilor congruente cu unghiul\AOB se numeste m¼arimea unghiular¼a a unghiului \AOB si se noteaz¼a\AOB:Dac¼a \AOB este unghiul nul; atunci spunem c¼a m¼arimea unghiular¼a a

unghiului \AOB este zero grade si scriem\AOB = 0�.Dac¼a \AOB este unghiul drept; atunci spunem c¼a m¼arimea unghiular¼a a

unghiului \AOB este 90 de grade si scriem\AOB = 90�.Dac¼a \AOB este unghiul plat; atunci spunem c¼a m¼arimea unghiular¼a a

unghiului \AOB este 180 de grade si scriem\AOB = 180�.Gradul � se numeste m¼arime unghiular¼a etalon.Minutul (0) si secunda (00) sunt alte m¼arimi unghiulare pe care le vom folosi în

aplicatii. Relatiile între m¼arimile unghiulare invocate mai sus sunt urm¼atoarele:

1� = 600

10 = 6000:

Remarca 5.1 Folosind Teorema 3.5.2.1, rezult¼a c¼a unghiurile unui dreptunghiau m¼arimea unghiular¼a 90�. În particular, unghiurile unui p¼atrat au m¼arimeaunghiular¼a 90�.În plus, folosind Teorema 3.5.3.1, trapezul dreptunghic are dou¼a unghiuri

cu m¼arimea unghiular¼a 90�.

5.1 Adunarea m¼arimilor unghiulare

De�nitia 5.1.1 Consider¼am unghiurile \AOB si \CQD.Dac¼a\AOB = 0� si \CQD 6= 0� atunci\AOB +\CQD =\CQD:Dac¼a\AOB 6= 0� si \CQD = 0�; atunci\AOB +\CQD =\AOB:

163

164 CAPITOLUL 5. M¼ARIMEA UNGHIULAR¼A A UNUI UNGHI

Dac¼a\AOB 6= 0� si \CQD 6= 0�; atunci pentru a calcula\AOB +\CQD pro-ced¼am astfel:- Dac¼a nu exist¼a E 2 \BOsO (A) astfel încât\CQD =\BOE; atunci spunem

c¼a nu are sens s¼a adun¼am m¼arimile unghiulare \AOB si \CQD:- Dac¼a exist¼a E 2 \BOsO (A) astfel încât\CQD =\BOE; atunci spunem c¼a

are sens s¼a adun¼am m¼arimile unghiulare \AOB si \CQD si vom avea

\AOB +\CQD =\AOE:

De retinut: Suma a dou¼a sau mai multe m¼arimi unghiulare nu poate dep¼asi180�: Dac¼a suma a dou¼a sau mai multe m¼arimi unghiulare ar dep¼asi 180�;atunci unghiul a c¼arui m¼arime unghiulare este acea sum¼a ar ar¼ata ca în desenul:

AOB

AOB

O astfel de �gur¼a geometric¼a plan¼a si închis¼a nu este unghi, deoarece nuveri�c¼a conditia de convexitate din de�nitia unghiului.

Exemplul 5.1.1. Consider¼am unghiurile \AOB si \CQD ca în desenul:

AO

BQ

C

D

AO

BQ

C

D

C

D

Pasul 1. Translat¼am unghiul \CQD pe directia dreptei QO si obtinem

5.1. ADUNAREA M¼ARIMILOR UNGHIULARE 165


A

BQ

C

D

O

C′

D′ A

BQ

C

D

C

D

O

C′

D′

Pasul 2. Rotim unghiul \C 0OD0 în jurul punctului O de unghi \C 0OB siobtinem situatia din desenul:

A

BQ

C

D

O

C′

D′

( )AsO

E

F

A

BQ

C

D

C

D

O

C′

D′

( )AsO

E

F

Pasul 3. M¼arimea unghiular¼a a unghiului \AOE este\AOB +\CQD:Teorema 5.1.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Adunarea m¼arimilor unghiulare este asociativ¼a, adic¼a dac¼a avem unghi-

urile \AOB;\CQD si \EPF astfel încât s¼a aib¼a sens

\AOB +�\CQD +\EPF

�atunci are sens �

\AOB +\CQD�+\EPF

si este adev¼arat¼a egalitatea

\AOB +�\CQD +\EPF

�=�\AOB +\CQD

�+\EPF:


2. M¼arimea unghiular¼a nul¼a este element neutru, adic¼a

\AOB + 0� =\AOB = 0� +\AOB;

oricare ar � unghiul \AOB:3. Adunarea m¼arimilor unghiulare este comutativ¼a, adic¼a dac¼a avem unghi-

urile \AOB si \CQD astfel încât s¼a aib¼a sens

\AOB +\CQD

atunci are sens\CQD +\AOB

si este adev¼arat¼a egalitatea

\AOB +\CQD =\CQD +\AOB:

4. Egalitatea\AOB +\CQD =\AOB +\EPF

determin¼a egalitatea\CQD =\EPF:

Problema 5.1.1 Calculati: a) 17�3404500+43�2402500; b) 47�2405500+37�200200;c) 70�140400 + 49�3405500; d) 40�403500 + 7�2904600:R¼aspunsa)

17�3404500 + 43�2402500 = (17 + 43)�+ (34 + 24)

0+ (45 + 25)

00

= 50�5807000

= 50�5901000:

b)

47�2405500 + 37�200200 = (47 + 37)�+ (24 + 20)

0+ (55 + 2)

00

= 84�4405700:

c)

70�140400 + 49�3405500 = (70 + 49)�+ (14 + 34)

0+ (4 + 55)

00

= 119�4805900

d)

40�403500 + 7�2904600 = (40 + 7)�+ (4 + 29)

0+ (35 + 46)

00

= 47�3308100

= 47�3402100:

�


Tema 5.1.1 Calculati: a) a) 22�3304500+73�2403500; b) 107�404500+47�2905200;c) 77�5405400+49�4405700; d) 43�1405500+67�3903600; e) 122�1302500+33�57405900;f) 117�410500 + 37�4905900; g) 132�4403400 + 4�5405900; h) 143�60500 + 27�5905600:De�nitia 5.1.2 Dac¼a \AOB si \CQD sunt dou¼a unghiuri astfel încât

\AOB +\CQD = 180�;

atunci spunem c¼a cele dou¼a unghiuri sunt suplementare. Oricare dintre unghiurise numeste suplementul celuilalt.Exemplul 5.1.2. Consider¼am desenul:

A

B

C O A

B

C O

Deoarece \AOB +\BOC = [AOC = 180�; rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si\CQD sunt suplementare.

Problema 5.1.2 Se dau urm¼atoarele m¼arimi unghiulare: a)\AOB = 120�3004000

si \CQD = 59�2902000; b)\AOB = 100�2004400 si \CQD = 75�4902000; c)\AOB =

80�5002000 si \CQD = 99�904000; d)\AOB = 155�1002400 si \CQD = 20�4903600:

Veri�cati care dintre unghiurile \AOB si \CQD sunt suplementare.R¼aspunsa) Deoarece

\AOB +\CQD = 120�3004000 + 59�2902000

= (120 + 59)�+ (30 + 29)

0+ (40 + 20)

00

= 179�5906000

= 179�600

= 180�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD sunt suplementare.b) Deoarece

\AOB +\CQD = 100�2004400 + 75�4902000

= (100 + 75)�+ (20 + 49)

0+ (44 + 20)

00

= 175�6906400

= 175�700400

= 176�100400

6= 180�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD nu sunt suplementare.


c) Deoarece

\AOB +\CQD = 80�5002000 + 99�904000

= (80 + 99)�+ (50 + 9)

0+ (20 + 40)

00

= 179�5906000

= 179�600

= 180�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD sunt suplementare.d) Deoarece

\AOB +\CQD = 155�1002400 + 20�4903600

= (155 + 20)�+ (10 + 49)

0+ (24 + 36)

00

= 175�5906000

= 175�600

= 176�

6= 180�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD nu sunt suplementare. �Tema 5.1.2 Se dau urm¼atoarele m¼arimi unghiulare: a)\AOB = 110�2003000

si \CQD = 69�3903000; b)\AOB = 105�1001400 si \CQD = 70�5905600; c)\AOB =

90�2001000 si \CQD = 89�3905000; d)\AOB = 15�1702700 si \CQD = 160�4203300:Veri�cati care dintre unghiurile \AOB si \CQD sunt suplementare.De�nitia 5.1.3 Dac¼a \AOB si \CQD sunt dou¼a unghiuri astfel încât

\AOB +\CQD = 90�;

atunci spunem c¼a cele dou¼a unghiuri sunt complementare. Oricare dintre unghi-uri se numeste complementul celuilalt.Exemplul 5.1.3. Consider¼am desenul:

A

BC

O A

BC

O

Deoarece\AOB+\BOC = [AOC = 90�; rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \BOCsunt complementare.Problema 5.1.3 Se dau urm¼atoarele m¼arimi unghiulare: a)\AOB = 20�3004000

si \CQD = 69�2902000; b) \AOB = 81�2004400 si \CQD = 7�4902700; c) \AOB =

80�1004000 si \CQD = 9�4902000; d)\AOB = 55�130400 si \CQD = 23�4005600:Veri�cati care dintre unghiurile \AOB si \CQD sunt complementare.R¼aspuns


a) Deoarece

\AOB +\CQD = 20�3004000 + 69�2902000

= (20 + 69)�+ (30 + 29)

0+ (40 + 20)

00

= 89�5906000

= 89�600

= 90�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD sunt complementare.b) Deoarece

\AOB +\CQD = 81�2004400 + 7�4902000

= (81 + 7)�+ (20 + 49)

0+ (44 + 20)

00

= 88�6906400

= 88�700400

= 89�100400

6= 90�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD nu sunt complementare.c) Deoarece

\AOB +\CQD = 80�1004000 + 9�4902000

= (80 + 9)�+ (10 + 49)

0+ (40 + 20)

00

= 89�5906000

= 89�600

= 90�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD sunt complementare.d) Deoarece

\AOB +\CQD = 55�130400 + 23�4005600

= (55 + 23)�+ (13 + 40)

0+ (4 + 56)

00

= 78�5306000

= 78�540

6= 90�

rezult¼a c¼a unghiurile \AOB si \CQD nu sunt complementare. �Tema 5.1.3 Se dau urm¼atoarele m¼arimi unghiulare: a)\AOB = 30�2503900

si \CQD = 59�3402100; b) \AOB = 11�2202400 si \CQD = 87�1901700; c) \AOB =

70�1304400 si \CQD = 19�4601600; d)\AOB = 25�5304200 si \CQD = 75�490500:Veri�cati care dintre unghiurile \AOB si \CQD sunt complementare.


5.2 Multiplicarea m¼arimilor unghiulare cu nu-mere naturale

De�nitia 5.2.1 Fie unghiul \AOB si n 2 N.Dac¼a n = 0; atunci de�nim m¼arimea unghiular¼a 0 �\AOB = 0�:Dac¼a n 6= 0; si are sens

(n� 1) �\AOB +\AOB

atunci de�nim m¼arimea unghiular¼a

n �\AOB = (n� 1) �\AOB +\AOB:

Propozitia 5.2.1 Dac¼a n;m 2 N si \AOB este un unghi astfel încât s¼aaib¼a sens

n �\AOB +m �\AOB;

atunci are sens(n+m) �\AOB

si avem egalitatea:

(n+m) �\AOB = n �\AOB +m �\AOB:

Propozitia 5.2.2 Dac¼a n 2 N si \AOB; \CQD sunt dou¼a unghiuri astfelîncât s¼a aib¼a sens

n �\AOB + n �\CQD;

atunci are sensn ��\AOB +\CQD

�si avem egalitatea:

n ��\AOB +\CQD

�= n �\AOB + n �\CQD:

Propozitia 5.2.3 Dac¼a n;m 2 N si \AOB este un unghi astfel încât s¼aaib¼a sens

n ��m �\AOB

�;

atunci are sens(n �m) �\AOB

si avem egalitatea:

(n �m) �\AOB = n ��m �\AOB

�:

Problema 5.2.1 Calculati: a) 2 � 12�240300 + 5 � 4�2003500;b) 3 � 10�402300 +4 � 14�240300; c) 7 � 9�1403700 + 2 � 34�2705500; d) 3 � 6�4103900 + 9 � 5�2405300:R¼aspuns

5.3. COMPARAREA M¼ARIMILOR UNGHIULARE 171

a)

2 � 12�240300 + 5 � 4�2003500 = (2 � 12 + 5 � 4)� + (2 � 24 + 5 � 20)0 + (2 � 3 + 5 � 35)00= (24 + 20)

�+ (48 + 100)

0+ (6 + 175)

00

= 64� + 1480 + 18100

= 64� + 1510 + 100

= 68� + 310 + 100

= 68�310100:

b)

3 � 10�402300 + 4 � 14�240300 = (3 � 10 + 4 � 14)� + (3 � 4 + 4 � 24)0 + (3 � 23 + 4 � 3)00= (30 + 56)

�+ (12 + 96)

0+ (69 + 12)

00

= 86� + 1080 + 8100

= 86� + 1090 + 2100

= 87� + 590 + 2100

= 87�5902100:

c)

7 � 9�1403700 + 2 � 34�2705500 = (7 � 9 + 2 � 34)� + (7 � 14 + 2 � 27)0 + (7 � 37 + 2 � 55)00= (63 + 68)

�+ (98 + 54)

0+ (259 + 110)

00

= 131� + 1520 + 36900

= 131� + 1580 + 900

= 133� + 380 + 900

= 133�380900:

d)

3 � 6�4103900 + 9 � 5�2405300 = (3 � 6 + 9 � 5)� + (3 � 41 + 9 � 24)0 + (3 � 39 + 9 � 53)00= (18 + 45)

�+ (123 + 216)

0+ (117 + 477)

00

= 63� + 3390 + 59400

= 63� + 3480 + 5400

= 68� + 480 + 5400

= 68�4805400:

�Tema 5.2.1 Calculati: a) 2 � 23�140300 + 5 � 14�203000;b) 3 � 12�240200 + 4 �

21�5403200; c) 7 � 3�402700 + 2 � 44�5703500; d) 3 � 16�2102900 + 9 � 7�4402300:

5.3 Compararea m¼arimilor unghiulare

De�nitia 5.3.1 Fie \AOB si \CQD dou¼a unghiuri.Dac¼a exist¼a \PQR � \CQD astfel încât \AOB � \PQR; atunci spunem

c¼a m¼arimea unghiular¼a a unghiului \AOB este mai mic¼a decât m¼arimea unghi-ular¼a a unghiului \CQD si scriem\AOB �\CQD:


Dac¼a\AOB �\CQD si\AOB 6=\CQD; atunci spunem c¼a m¼arimea unghiular¼aa unghiului \AOB este mai mic¼a strict decât m¼arimea unghiular¼a a unghiului\CQD si scriem\AOB <\CQD:Exemplul 5.3.1 Consider¼am unghiurile \AOB si \CQD ca în desenul:

B

AO

C

D

Q

B

AO

B

AO

C

D

Q

Translatând unghiul \AOB pe directia dreptei OQ obtinem situatia dindesenul:

B

AO

C

D

Q P

R

B

AO

C

D

Q P

R

Deoarece \AOB � \PQR si \PQR � \CQD, rezult¼a c¼a \AOB � \CQD:Mai mult, avem: \AOB <\CQD:Teorema 5.3.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Relatia de ordine între lungimi este re�exiv¼a, adic¼a

\AOB �\AOB;

oricare ar � unghiul \AOB:2. Relatia de ordine între lungimi este antisimetric¼a, adic¼a

\AOB �\CQD si \CQD �\AOB =)\AOB =\CQD:

3. Relatia de ordine între lungimi este tranzitiv¼a, adic¼a

\AOB �\CQD si \CQD �\EPF =)\AOB �\EPF:

5.3. COMPARAREA M¼ARIMILOR UNGHIULARE 173

De retinut: În plus, deoarece oricare ar � \AOB si \CQD rezult¼a c¼aavem\AOB <\CQD sau\AOB =\CQD sau\AOB >\CQD, spunem c¼a multimeam¼arimilor unghiulare este total ordonat¼a.

Problema 5.3.1 Comparati m¼arimile unghiulare: a) 13�1204400 si 14�1204400;b) 13�1204400 si 13�1304400; c) 123�520400 si 123�5201400; d) 3�1205400 si 3�304400:R¼aspunsa) Deoarece 13� < 14�; rezult¼a c¼a 13�1204400 < 14�1204400:b) Deoarece cele dou¼a m¼arimi unghiulare au acelasi num¼ar de grade, com-

par¼am numerele minutelor celor dou¼a m¼arimi unghiulare. Cum 120 < 130;rezult¼a c¼a 13�1204400 < 13�1304400:c) Deoarece cele dou¼a m¼arimi unghiulare au acelasi num¼ar de grade si acelasi

num¼ar de minute, compar¼am numerele secundelor celor dou¼a m¼arimi unghiulare.Cum 400 < 1400; rezult¼a c¼a 123�520400 < 123�5201400:d) Deoarece cele dou¼a m¼arimi unghiulare au acelasi num¼ar de grade, com-

par¼am numerele minutelor celor dou¼a m¼arimi unghiulare. Cum 120 > 30; rezult¼ac¼a 3�1205400 > 3�304400: �Tema 5.3.1 Comparati m¼arimile unghiulare: a) 14�204400 si 14�120400; b)

73�1204400 si 11�1304400; c) 123�5201400 si 123�5201000; d) 33�3205400 si 13�3404400;e) 10�2004000 si 114�1204600; f) 173�1204400 si 173�104900; g) 23�5001300 si 23�5004000;h) 39�305400 si 13�403400:De�nitia 5.3.2 Consider¼am unghiul nedegenerat \AOB:Dac¼a \AOB < 90�; atunci spunem c¼a unghiul \AOB este ascutit, iar dac¼a

\AOB > 90�; atunci spunem c¼a unghiul \AOB este obtuz.Problema 5.3.2 Consider¼am unghiul nedegenerat \AOB: Stiind c¼a: a)

\AOB = 13�1204400; b)\AOB = 90�10; c)\AOB = 89�5904400; d)\AOB = 130�10300;atunci precizati în care caz unghiul \AOB este ascutit si în care caz unghiul\AOB este obtuz.R¼aspunsa) Deoarece 13� < 90�; rezult¼a c¼a 13�1204400 < 90�: Deci, \AOB este ascutit.b) Deoarece 10 > 00; rezult¼a c¼a 90�10 > 90�00 = 90�: Deci, \AOB este obtuz.c) Deoarece 89� < 90�; rezult¼a c¼a 89�5904400 < 90�: Deci, \AOB este ascutit.d) Deoarece 130� > 90�; rezult¼a c¼a 130�10300 > 90�: Deci, \AOB este obtuz.

�Tema 5.3.2 Consider¼am unghiul nedegenerat \AOB: Stiind c¼a: a)\AOB =

73�205600; b) \AOB = 90�140300; c) \AOB = 89�3905600; d) \AOB = 110�1303400;

e) \AOB = 78�520400; f) \AOB = 90�5201400; g) \AOB = 3�10500; h) \AOB =143�303500; atunci precizati în care caz \AOB este ascutit si în care caz \AOBeste obtuz.


5.4 Sc¼aderea m¼arimilor unghiulare

De�nitia 5.4.1 Fie \AOB si \CQD dou¼a unghiuri astfel încât \AOB �\CQD:F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a avem situatia din desenul:

B

AO

C

D

Q

B

AO

B

AO

C

D

Q

Pentru a a�a m¼arimea unghiular¼a \CQD �\AOB proced¼am astfel:Pasul 1. Translatând unghiul \AOB pe directia dreptei OQ obtinem situ-

atia din desenul:

B

AO

C

D

Q P

R

B

AO

C

D

Q P

R

Pasul 2. M¼arimea unghiular¼a asociat¼a unghiului \RQD este\CQD�\AOB:Teorema 5.4.1 Sunt adev¼arate urm¼atoarele a�rmatii:1. Dac¼a \CQD �\AOB; atunci

\CQD =\AOB +�\CQD �\AOB

�:

Reciproc, dac¼a \CQD =\AOB +\EPF; atunci

\EPF =\CQD �\AOB:

5.4. SC¼ADEREA M¼ARIMILOR UNGHIULARE 175

2. Dac¼a \CQD �\AOB; si \EPF este un unghi astfel încât s¼a aib¼a sens

\EPF +\CQD;

atunci\EPF +\CQD �\AOB

si �\EPF +\CQD

��\AOB =\EPF +

�\CQD �\AOB

�:

3. Dac¼a \CQD �\AOB si \GRH �\EPF astfel încât s¼a aib¼a sens

\CQD +\GRH;

atunci\CQD +\GRH �\AOB +\EPF

si�\CQD +\GRH

��\AOB +\EPF

�=�\CQD �\AOB

�+�\GRH �\EPF

�:

Problema 5.4.1 Calculati: a) 17�2304500 � 15�5305500; b) 147�4301500 �105�4703500; c) 180� � 15�5305500; d) 90� � 65�4703500:R¼aspunsa)

17�2304500 � 15�5305500 = 17�22010500 � 15�5305500= 16�82010500 � 15�5305500= 1�2905000:

b)147�4301500 � 105�4703500 = 147�4207500 � 105�4703500

= 146�10207500 � 105�4703500= 41�5504000:

c)180� � 15�5305500 = 179�5906000 � 15�5305500

= 164�60500:

d)90� � 65�4703500 = 89�5906000 � 65�4703500

= 24�1202500:

�Tema 5.4.1 Calculati: a) 7�302500 � 5�5305500; b) 47�3402500 � 25�4704500; c)

180��105�430500; d) 90��165�1701500; e) 177�5303300�15�5705800; f) 167�3703500�135�5704500; g) 180� � 168�4702200; h) 90� � 85�1704500:Propozitia 5.4.1 Dac¼a m;n 2 N astfel încât m � n si \AOB este un

unghi astfel încât are sens m �\AOB; atunci avem

m �\AOB � n �\AOB


sim �\AOB � n �\AOB = (m� n) �\AOB:

Propozitia 5.4.2 Dac¼a \CQD � \AOB si m 2 N astfel încât are sensm �\CQD; atunci avem

m �\CQD � m �\AOB

si

m �\CQD �m �\AOB = m ��\CQD �\AOB

�:

Problema 5.4.2 A�ati m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului careare m¼arimea unghiular¼a: a) 167�3703500; b) 135�5704500; c) 177�5303300; d) 15�5705800:R¼aspunsa)

180� � 167�3703500 = 179�5906000 � 167�3703500= 12�2202500

este m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a167�3703500:b)

180� � 135�5704500 = 179�5906000 � 135�5704500= 44�201500

este m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a135�5704500:c)

180� � 177�5303300 = 179�5906000 � 177�5303300= 2�602700

este m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a177�5303300:d)

180� � 15�5705800 = 179�5906000 � 15�5705800= 164�20200

este m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a15�5705800: �Tema 5.4.2 A�ati m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului care are

m¼arimea unghiular¼a: a) 123�3105500; b) 35�2704900; c) 107�301300; d) 145�50500:Problema 5.4.3 A�ati m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului

care are m¼arimea unghiular¼a: a) 17�30500; b) 35�5601500; c) 17�303900; d) 75�2303800:R¼aspunsa)

90� � 17�30500 = 89�5906000 � 17�30500= 72�5605500

este m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a17�30500:

5.5. M¼ASURA UNEI M¼ARIMI UNGHIULARE 177

b)90� � 35�5601500 = 89�5906000 � 35�5601500

= 54�304500


c)90� � 17�303900 = 89�5906000 � 17�303900

= 72�5602100


d)90� � 75�2303800 = 89�5906000 � 75�2303800

= 14�3602200

este m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului cu m¼arimea unghiular¼a75�2303800: �Tema 5.4.3 A�ati m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului care

are m¼arimea unghiular¼a: a) 43�5102500; b) 55�200900; c) 87�350700; d) 85�4502500:

5.5 M¼asura unei m¼arimi unghiulare

De�nitia 5.5.1 Dac¼a\AOB = a�; atunci spunem c¼a m¼asura m¼arimii unghi-ulare a unghiului \AOB calculat¼a în raport cu gradul este num¼arul a. Vomscrie:

m��\AOB

�= a:

Dac¼a\AOB = a0; atunci spunem c¼a m¼asura m¼arimii unghiulare a unghiului\AOB calculat¼a în raport cu minutul este num¼arul a. Vom scrie:

m0�\AOB

�= a:

Dac¼a\AOB = a00; atunci spunem c¼a m¼asura m¼arimii unghiulare a unghiului\AOB calculat¼a în raport cu secunda este num¼arul a. Vom scrie:

m00�\AOB

�= a:

Problema 5.5.1 Calculati: a) m� (134�) ; b) m0 (27�) ; c) m0 (13�340) ; d)m0 (570) ; e) m00 (40�) ; f) m00 (7�150) ; g) m00 (8102400) ; h) m00 (8700) :

R¼aspunsa)

m� (134�) = 134:


b)m0 (27�) = m0 (27 � 600)

= m0 (16200)= 1620:

c)m0 (13�340) = m0 (13 � 600 + 340)

= m0 (7800 + 340)= m0 (8140)= 814:

d)m0 (570) = 57:

e)m00 (40�) = m00 (40 � 600)

= m00 (40 � 60 � 6000)= m00 (144:00000)= 144:000:

f)m00 (7�150) = m00 (7 � 60 � 6000 + 15 � 6000)

= m00 (25:20000 + 90000)= m00 (252:90000)= 252:900:

g)m00 (8102400) = m00 (81 � 6000 + 2400)

= m00 (486000 + 2400)= m00 (488400)= 4884:

h)m00 (8700) = 87:

�Tema 5.5.1 Calculati: a)m� (124�) ; b)m0 (88�) ; c)m0 (130�540) ; d)m0 (250) ;

e) m00 (65�) ; f) m00 (71�180) ; g) m00 (5804400) ; h) m00 (3700) :Tema 5.5.1´ Calculati: a)m� (34�) ; b)m0 (18�) ; c)m0 (20�590) ; d)m0 (460) ;

e) m00 (105�) ; f) m00 (67�460) ; g) m00 (802400) ; h) m00 (5300) :

5.6. EVALUARE 179

5.6 Evaluare

Testul 5.6.11. Calculati: a) 42�304500+33�2901500; b) 97�5302500+7�905000; c) 71�4505400+

41�4903700; d) 85�1005500 + 76�30300:2. Calculati: a) 4 � 23�140300+5 � 4�1203300;b) 4 � 12�4403200+2 � 25�5403900; c)

7 � 3�4002000 + 3 � 14�2702500; d) 3 � 19�2503400 + 8 � 7�2402800:3. Comparati m¼arimile unghiulare: a) 34�2204400 si 34�540400; b) 13�90400 si

11�130400; c) 103�201900 si 103�201700; d) 43�5202400 si 33�5401400:

4. Consider¼am unghiul nedegenerat \AOB: Stiind c¼a: a)\AOB = 46�2001600;b) \AOB = 90�4402300; c) \AOB = 38�90600; d) \AOB = 124�1002400; atunci pre-cizati în care caz \AOB este ascutit si în care caz \AOB este obtuz.5. Calculati: a) 27�302500� 15�4504700; b) 107�1402500� 25�4703700; c) 180��

125�4105200; d) 90� � 55�5702500:6. A�ati m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului care are m¼arimea

unghiular¼a: a) 143�305500; b) 65�70900; c) 137�2305300; d) 85�5102500:7. A�ati m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului care are m¼arimea

unghiular¼a: a) 23�502500; b) 53�5001900; c) 82�501700; d) 25�3505500:8. Calculati: a) m� (14�) ; b) m0 (18�) ; c) m0 (10�40) ; d) m0 (650) :

9. Consider¼am unghiurile \AOB si \PQR astfel încât\AOB = 72�5301400

si\PQR = 64�405600:a) A�ati m¼arimea unghiular¼a suplementului unghiului \AOB:b) A�ati m¼arimea unghiular¼a complementului unghiului \PQR:c) Determinati m¼asura calculat¼a în raport cu secunda a diferentei dintre

m¼arimile unghiulare a�ate la punctele a) si b).

Testul 5.6.21. Calculati: a) 142�130500+3�5505900; b) 121�2105900+17�90900; c) 62�2405400+

14�4803200; d) 151�5605100 + 21�3405600:2. Calculati: a) 2 � 19�5403800+5 � 10�2104000;b) 2 � 42�202900+4 � 15�503400; c)

5 � 3�4104700 + 3 � 41�702500; d) 5 � 11�104900 + 6 � 13�4102700:3. Comparati m¼arimile unghiulare: a) 102�2003000 si 114�905600; b) 144�1204200

si 144�1005900; c) 83�5001300 si 83�5002000; d) 68�3405400 si 13�4701400:

4. Consider¼am unghiul nedegenerat \AOB: Stiind c¼a: a)\AOB = 54�504300;b) \AOB = 90�5903400; c) \AOB = 7�1105100; d) \AOB = 164�3102500; atunciprecizati în care caz \AOB este ascutit si în care caz \AOB este obtuz.5. Calculati: a) 137�5002300 � 115�5705800; b) 177�370500 � 115�5702500; c)

180� � 168�3702200; d) 90� � 55�70400:6. A�ati m¼arimea unghiular¼a a suplementului unghiului care are m¼arimea

unghiular¼a: a) 93�3502500; b) 125�1704900; c) 167�30500; d) 25�5501500:7. A�ati m¼arimea unghiular¼a a complementului unghiului care are m¼arimea

unghiular¼a: a) 42�320500; b) 61�502900; c) 72�530700; d) 75�302700:8. Calculati: a) m� (95�) ; b) m0 (101�180) ; c) m00 (2804400) ; d) m00 (5700) :


9. Consider¼am unghiurile \AOB si \PQR astfel încât\AOB = 12�2303400

si\PQR = 34�2404600:a) A�ati m¼arimea unghiular¼a suplementului unghiului \AOB:b) A�ati m¼arimea unghiular¼a complementului unghiului \PQR:c) Determinati m¼asura calculat¼a în raport cu secunda a diferentei dintre

m¼arimile unghiulare a�ate la punctele a) si b).

Partea II

Algebr¼a

181

Capitolul 6

Numere naturale

Consider¼am dreapta din �gura:

Pentru a �xa o ordine de citire a punctelor dreptei, introducem simbolurile�1 (minus in�nit) si +1 (plus in�nit) ca în �gura:

∞+∞− ∞+∞−

si not¼am dreapta cu ]�1;+1[ : Punctele dreptei se vor numi numere reale sise vor nota cu litere mici din alfabet. Dreapta ]�1;+1[ se va numi dreaptanumerelor reale. Dac¼a citim numerele reale "de la �1 c¼atre +1", atuncispunem c¼a le citim în ordine cresc¼atoare, iar dac¼a citim numerele reale "de la+1 c¼atre �1", atunci spunem c¼a le citim în ordine descresc¼atoare.

De retinut: Dac¼a a 2 ]�1;+1[ ; atunci not¼am cu ]�1; a[ si ]a;+1[semidreptele deschise opuse care au drept frontier¼a num¼arul real a: Not¼am cu]�1; a] si [a;+1[ închiderile semidreptelor deschise ]�1; a[ si ]a;+1[ :

De�nitia 6.1 Dac¼a a si b sunt dou¼a numere reale astfel încât a 2 ]�1; b] ;atunci spunem c¼a num¼arul a este mai mic sau egal decât num¼arul b si scriema � b:Teorema 6.1 Sunt veri�cate urm¼atoarele a�rmatii:1. Relatia de ordine între numere reale este re�exiv¼a, adic¼a

a � a;

oricare ar � a 2 ]�1;+1[ :

183

184 CAPITOLUL 6. NUMERE NATURALE

2. Relatia de ordine între numere reale este antisimetric¼a, adic¼a

a � b si b � a =) a = b:

3. Relatia de ordine între numere reale este tranzitiv¼a, adic¼a

a � b si b � c =) a � c:

De�nitia 6.2 Dac¼a a; b 2 ]�1;+1[ astfel încât a � b si a 6= b; atuncispunem c¼a num¼arul a este mai mic strict decât num¼arul b si scriem a < b:Observ¼am c¼a a < b dac¼a si numai dac¼a a 2 ]�1; b[ :Teorema 6.2 Oricare ar � a; b 2 ]�1;+1[ ; avem a < b sau a = b sau

b < a: Vom spune c¼a dreapta numerelor reale ]�1;+1[ este total ordonat¼a.

6.1 Multimea N a numerelor naturale

Fix¼am la întâmplare numerele reale 0 si 1 ca în �gura:

∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1

Num¼arul 0 se va numi zero, întocmai cum am numit si num¼arul elementelormultimii �, iar num¼arul 1 se va numi unu, întocmai cum am numit si num¼arulelementelor multimii f�g.Consider¼am o rigl¼a pe care facem semne în dreptul numerelor 0 si 1 ca în

desenul:

∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1

Deplas¼am rigla în lungul dreptei ]�1;+1[ ca în desenul:

∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1 ∞+∞− 0 1

Fix¼am num¼arul 2 pe dreapta ]�1;+1[ ca în desenul:

∞+∞− 0 1 2 ∞+∞− 0 1 2

Num¼arul 2 se va numi doi, întocmai cum am numit si num¼arul elementelormultimii f�; f�gg.

6.1. MULTIMEA N A NUMERELOR NATURALE 185

Urmând acest algoritm, construim si numerele 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ::: pecare le numim trei, patru, cinci, sase, sapte, opt, nou¼a, zece,...De�nitia 6.1.1 Multimea N = f0; 1; 2; 3; ::::g se va numi multimea nu-

merelor naturale. Multimea N� = Nn f0g se va numi multimea numerelor natu-rale nenule.Problema 6.1.1 Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor:P1: 3 2 f2; 13; 5; 7; 8g ; P2: 10 =2 f1; 0; 2; 13; 5; 11g ; P3: f3; 0; 10g � f2; 10; 5; 7; 8g ;

P4: f13; 9g � f9; 10; 13; 18g ; P5: f1; 10; 0g f9; 10; 1; 18g ; P6: f1; 5; 9; 11g f9; 10; 11; 1; 18; 5; 53g ; P7: f10; 16; 78; 5g = f9; 10; 13; 78g ; P8: f1; 9; 2g 6= f9; 2; 1gRezolvare- Deoarece num¼arul 3 nu se a�¼a printre elementele multimii

f2; 13; 5; 7; 8g ;

rezult¼a c¼a3 =2 f2; 13; 5; 7; 8g :

Deci, propozitia P1: este fals¼a.- Deoarece num¼arul 10 nu se a�¼a printre elementele multimii

f1; 0; 2; 13; 5; 11g ;

rezult¼a c¼a10 =2 f1; 0; 2; 13; 5; 11g :

Deci, propozitia P2: este adev¼arat¼a.- Deoarece

3 2 f3; 0; 10g si 3 =2 f2; 10; 5; 7; 8g ;

rezult¼a c¼af3; 0; 10g f2; 10; 5; 7; 8g :

Deci, propozitia P3: este fals¼a.- Deoarece

13 2 f9; 10; 13; 18g si 9 2 f9; 10; 13; 18g ;

rezult¼a c¼af13; 9g � f9; 10; 13; 18g :

Deci, propozitia P4: este adev¼arat¼a.- Deoarece

0 2 f1; 10; 0g si 0 =2 f9; 10; 1; 18g ;

rezult¼a c¼af1; 10; 0g f9; 10; 1; 18g :

Deci, propozitia P5: este adev¼arat¼a.- Deoarece toate elementele multimii

f1; 5; 9; 11g


apartin multimiif9; 10; 11; 1; 18; 5; 53g ;

rezult¼a c¼af1; 5; 9; 11g � f9; 10; 11; 1; 18; 5; 53g :

Deci, propozitia P6: este fals¼a.- Deoarece

16 2 f10; 16; 78; 5g si 16 =2 f9; 10; 13; 78g ;rezult¼a c¼a

f10; 16; 78; 5g f9; 10; 13; 78g :Deci, propozitia P7: este fals¼a.- Deoarece

f1; 9; 2g � f9; 2; 1g si f9; 2; 1g � f1; 9; 2g ;

rezult¼a c¼af1; 9; 2g = f9; 2; 1g :

Deci, propozitia P8: este fals¼a. �Tema 6.1.1 Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor:P1: 7 2 f2; 13; 5; 7; 8g ; P2: 5 =2 f1; 0; 2; 13; 5; 11g ; P3: f3; 0; 10g � f3; 0; 10; 8g ;

P4: f13; 9g f9; 10; 13; 18g ; P5: f1; 10; 0g � f9; 10; 1; 18g ; P6: f1; 5; 9; 11g 6=f9; 10; 11; 1; 0g ; P7: f10; 1; 78; 5g = f9; 1; 13; 78g ; P8: f6; 7; 2g = f7; 2; 6g :Problema 6.1.2 Folosind multimile A = f1; 7; 9; 19; 12g si B = f17; 12; 1; 2g

calculati: A nB; A \B; B nA si A [B:RezolvareFolosind formula

A nB = fx : x 2 A si x =2 Bg

obtinemA nB = f7; 9; 19g :

Folosind formula

A \B = fx : x 2 A si x 2 Bg

obtinemA \B = f1; 12g :

Folosind formula

B nA = fx : x 2 B si x =2 Ag

obtinemB nA = f17g :

Folosind formula

A [B = fx : x 2 A nB sau x 2 A \B sau x 2 B nAg

6.2. ADUNAREA NUMERELOR NATURALE 187

obtinemA [B = f7; 9; 19; 1; 12; 17g :

�Tema 6.1.2 Folosind multimile A = f17; 9; 10; 1; 2g si B = f0; 10; 12; 1; 2g


6.2 Adunarea numerelor naturale

Vom spune c¼a:1 este succesorul lui 0 si vom scrie 1 = 0 + 1;2 este succesorul lui 1 si vom scrie 2 = 1 + 1;3 este succesorul lui 2 si vom scrie 3 = 2 + 1;...Vom spune c¼a:0 este predecesorul lui 1 si vom scrie 0 = 1� 1;1 este predecesorul lui 2 si vom scrie 1 = 2� 1;2 este predecesorul lui 3 si vom scrie 2 = 3� 1;...De�nitia 6.2.1 Dac¼a m;n 2 N; atunci num¼arul natural

(2:1) m+ n =

�m; n = 0

[m+ (n� 1)] + 1; n 6= 0

se citeste "m plus n".Dac¼a m;n 2 N astfel încât m � n; atunci num¼arul natural

(2:2) m� n =�

m; n = 0[m� (n� 1)]� 1; n 6= 0

se citeste "m minus n".Remarca 6.2.1 Dac¼a m;n 2 N; atunci pentru a calcula m + n deplas¼am pe

m cu n unit¼ati c¼atre +1.Dac¼a m;n 2 N astfel încât m � n; atunci pentru a calcula m� n deplas¼am

pe m cu n unit¼ati c¼atre �1.Consider¼am desenul:

∞+∞− 0 1 2 3 4 5 ∞+∞− 0 1 2 3 4 5

Pentru a calcula 3 + 2; deplas¼am pe 3 cu 2 unit¼ati c¼atre +1 si obtinemnum¼arul 5:Pentru a calcula 5 � 4; deplas¼am pe 5 cu 4 unit¼ati c¼atre �1 si obtinem

num¼arul 1:Tema 6.2.1 Calculati: a) 3+5; b) 7+4; c) 8�3; d) 6�4; e) 4+9; f) 5+2;

g) 7� 3; h) 7� 8; i) 9+9; j) 5+7; k) 4� 3; l) 7� 6; m) 3+2; n) 9+8; o) 8� 5;p) 6� 3:


Tema 6.2.2 Calculati: a) 200+500; b) 70+40; c) 80�20; d) 6:000�4:000;e) 400+900; f) 50:000+20:000; g) 700�300; h) 70�80; i) 900+900; j) 50+70; k)4:000�3:000; l) 700�600; m) 30+20; n) 90+80; o) 800�500; p) 6:000�3:000:

Axioma a IX-aDac¼a m;n 2 N astfel încât m � n; atunci m � n este unicul

num¼ar natural p care veri�c¼a egalit¼atile

(2:3) n+ p = m = p+ n:

Remarca 6.2.1 Dac¼a m;n 2 N astfel încât m � n; atunci m � m � n sim� (m� n) = n:Pentru �ecare p 2 N consider¼am multimea Np = fp; p+ 1; p+ 2; :::g :Observ¼am c¼a N0 = N si N1 = N�:Teorema 6.2.1 (fundamental¼a)Fie p 2 N. Dac¼a S � Np astfel încât p 2 S si n � 1 2 S ) n 2 S; atunci

S = Np:

Demonstratie

Presupunem, prin absurd, c¼a S 6= Np: Fie n0 2 Np r S:Obtinem c¼a n0 � 1 =2 S deoarece, în caz contrar, ar rezulta c¼a n0 2 S:Din aproape în aproape, obtinem c¼a

n0 � (n0 � p) = p =2 S:

Contradictie! q.e.d.

Propozitia 6.2.1 Adunarea numerelor naturale este asociativ¼a, adic¼a

(2:4) m+ (n+ p) = (m+ n) + p;

oricare ar � m;n si p 2 N:

Demonstratie

Fie m;n 2 N arbitrare si P = fp 2 N : m+ (n+ p) = (m+ n) + pg :Evident c¼a 0 2 P:Fie p 2 N astfel încât p > 0 arbitrar.Admitem c¼a p� 1 2 P:Deoarece

m+ (n+ p) = m+ [(n+ p� 1) + 1]= [m+ (n+ p� 1)] + 1= [(m+ n) + p� 1] + 1= (m+ n) + p

rezult¼a c¼a p 2 P:Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a P = N: q.e.d.


Problema 6.2.1 Calculati: a) 34+59; b) 759+427; c) 857�398; d) 576�343:R¼aspunsa)

34 + 59 = (30 + 50) + (4 + 9)= 80 + 13= 90 + 3= 93:

b)759 + 427 = (700 + 400) + (50 + 20) + (9 + 7)

= 1:100 + 70 + 16= 1:100 + 80 + 6= 1:186:

c)857� 398 = (840� 390) + (17� 8)

= (700� 300) + (140� 90) + (17� 8)= 400 + 50 + 9= 459:

d)576� 343 = (500� 300) + (70� 40) + (6� 3)

= 200 + 30 + 3= 233:

�Tema 6.2.3 Calculati: a) 134+29; b) 59+227; c) 457�354; d) 276�197; e)

94+ 49; f) 5:349+ 5:127; g) 4:570� 3:689; h) 24:676� 11:898; i) 13:564+ 2:459;j) 5:359 + 12:687; k) 43:241� 37:585; l) 2:176� 1897:Problema 6.2.2 Veri�cati asociativitatea adun¼arii folosind numerele: a)

319; 435 si 24; b) 8:576; 9:798 si 12:345; c) 29; 98 si 77:R¼aspunsa) Deoarece

319 + (435 + 24) = 319 + 459 = 778

si(319 + 435) + 24 = 754 + 24 = 778

rezult¼a c¼a319 + (435 + 24) = (319 + 435) + 24:

b) Deoarece

8:576 + (9:798 + 12:345) = 8:576 + 22:143 = 30:719

si(8:576 + 9:798) + 12:345 = 18:374 + 12:345 = 30:719

rezult¼a c¼a

8:576 + (9:798 + 12:345) = (8:576 + 9:798) + 12:345:


c) Deoarece29 + (98 + 77) = 29 + 175 = 204

si(29 + 98) + 77 = 127 + 77 = 204

rezult¼a c¼a29 + (98 + 77) = (29 + 98) + 77:

�Tema 6.2.4 Veri�cati asociativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 49; 35

si 24; b) 8:176; 9:338 si 11:321; c) 49; 56 si 87; d) 459; 315 si 244; e) 876; 938si 121; f) 439; 516 si 897:Propozitia 6.2.2 Num¼arul zero este element neutru la adunare, adic¼a

(2:5) m+ 0 = m = 0 +m;

oricare ar � m 2 N.

Demonstratie

Evident c¼a m+ 0 = m; oricare ar �m 2 N:Fie M = fm 2 N : 0 +m = mg :Evident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.


0 +m = [0 + (m� 1)] + 1= (m� 1) + 1= m


Propozitia 6.2.3 Adunarea numerelor naturale este comutativ¼a, adic¼a

(2:6) m+ n = n+m;

oricare ar � m si n 2 N.

Demonstratie

Fie n 2 N arbitrar si M = fm 2 N : m+ n = n+mg :Evident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.

Admitem c¼a m� 1 2M:


Deoarecem+ n = [(m� 1) + 1] + n

= (m� 1) + (1 + n)= (m� 1) + (n+ 1)= [(m� 1) + n] + 1= [n+ (m� 1)] + 1= n+ [(m� 1) + 1]n+m

rezult¼a c¼a m 2M:

Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N: q.e.d.

Problema 6.2.3 Veri�cati comutativitatea adun¼arii folosind numerele: a)327 si 24; b) 9:676 si 10:329; c) 79 si 97:R¼aspunsa) Deoarece

327 + 24 = 351

si

24 + 327 = 351

rezult¼a c¼a

327 + 24 = 24 + 327:

b) Deoarece

9:676 + 10:329 = 20:005

si

10:329 + 9:676 = 20:005

rezult¼a c¼a

9:676 + 10:329 = 10:329 + 9:676:

d) Deoarece

79 + 97 = 176

si

97 + 79 = 176

rezult¼a c¼a

79 + 97 = 97 + 79:

�Tema 6.2.5 Veri�cati comutativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 27 si

214; b) 9:342 si 4:129; c) 71 si 37; d) 237 si 2:014; e) 942 si 4:349; f) 721 si 347;g) 33 si 256; h) 92:142 si 44:009; i) 761 si 397:


6.3 Egalit¼ati. Ecuatii

Propozitia 6.3.1 Egalitatea m� n = m� p determin¼a egalitatea n = p:

Demonstratie

Deoarece m� (m� n) = n si m� (m� p) = p; rezult¼a c¼a n = p:q.e.d.

Propozitia 6.3.2 Egalitatea m+ n = m+ p determin¼a egalitatea n = p:

Demonstratie

Deoarece (m+ n)�m = n si (m+ p)�m = p; rezult¼a c¼a n = p:q.e.d.

Propozitia 6.3.3 Dac¼a n; p 2 N astfel încât n � p; atunci

(3:1) m� (n� p) = (m� n) + p

oricare ar � m 2 N astfel încât m � n:

Demonstratie

Fie M = fm 2 Nn : m� (n� p) = (m� n) + pg :Evident c¼a n 2M:Fie m 2 N astfel încât m > n arbitrar.


m� (n� p) = [(m� 1) + 1]� (n� p)= [(m� 1)� (n� p)] + 1= f[(m� 1)� n] + pg+ 1= f[(m� 1)� n] + 1g+ p= [(m� 1)� (n� 1)] + p= (m� n) + p

rezult¼a c¼a m 2M: q.e.d.

Folosind propozitia precedent¼a, obtinem regula:

Semnul � în fata parantezei schimb¼a semnele din parantez¼a în sensulc¼a + devine � si � devine +:

Problema 6.3.1 Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile:a) x+37+ x� 20 = 57+ x; b) (5 + x)� (x� 7) = 12+ x; c) 15� (x+ 8) = 2;d) (x+ 3) + (8� x) = 5 + x:R¼aspuns

6.3. EGALIT¼ATI. ECUATII 193

a)x+ 37 + x� 20 = 57 + x

mx+ (37� 20) = 57

mx+ 17 = 57 + 17� 17

mx = 57� 17

mx = 40:

b)(5 + x)� (x� 7) = 12 + x

m5 + (x� x) + 7 = 12 + x

m12 + 0 = 12 + x

mx = 0:

c)15� (x+ 8) = 2

m15� x� 8 = 2 + x� x

m7 = 2 + x

m2 + 5 = 2 + x

mx = 5:

d)(x+ 3) + (8� x) = 5 + x

mx+ (3 + 8)� x = 5 + x

m11� x = 5� x+ x

m5 + 6 = 5 + x

mx = 6:

�Tema 6.3.1 Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a)

x+37+ x+20 = 57+ x; b) (7 + x)� (x� 17) = 15+ x; c) 15� (x� 10) = 22;d) (x+ 9)+(6� x) = 10+ x; e) (17� x)�(5� x) = 43�x; f) (x+ 2)+(x+ 4)�(x� 5) = 65; g) (2 + x)+(9� x) = (3 + x)+4; h) 4+(x+ 7)+(6 + x) = 44+ x:

De retinut: Propozitia:


"x plus 3 este egal cu 7; când x apartine multimii numerelor naturale."

scris¼a simbolicx+ 3 = 7; x 2 N:

se numeste ecuatie cu necunoscuta x.

Pentru a rezolva ecuatia precedent¼a proced¼am astfel:Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : x+ 3 = 7 + 3� 3g= fx 2 N : x = 7� 3g= fx 2 N : x = 4g= f4g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 4:

Problema 6.3.2 Rezolvatie ecuatiile: a) x � 3 = 7; x 2 N3; b) 5 + x =12; x 2 N; c) 15 � x = 2; x 2 f2; 3; 7g ; d) (x+ 3) + 2 = 5; x 2 N; e)17 � x = 3 � x; x 2 f0; 11; 3g ; f) x + 21 = 36 � 20 + x + 5; x 2 N; g)2 + x = (6� 4) + x; x 2 f34; 7; 90; 12; 0g ; h) 4 + x+ 7 = 44� 33; x 2 N:Rezolvarea) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N3 : x� 3 = 7 + 3� 3g= fx 2 N3 : x = 7 + 3g= fx 2 N3 : x = 10g= f10g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 10:b) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : 5 + x = 12 + 5� 5g= fx 2 N : x = 12� 5g= fx 2 N : x = 7g= f7g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 7:c) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 f2; 3; 7g : 15� x = 2g= fx 2 f2; 3; 7g : 15� x = 15� 13g= fx 2 f2; 3; 7g : x = 13g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii:


d) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : (x+ 3) + 2 = 5g= fx 2 N : x+ (3 + 2) = 5g= fx 2 N : x+ 5 = 0 + 5g= fx 2 N : x = 0g= f0g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 0:e) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 f0; 11; 3g : 17� x = 3� xg= fx 2 f0; 11; 3g : 17 = 3g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.f) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : x+ 21 = 36� 20 + x+ 5g= fx 2 N : 21 = 16 + 5g= fx 2 N : 21 = 21g= N:

În concluzie, ecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerelenaturale 0; 1; 2; :::g) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 f34; 7; 90; 12; 0g : 2 + x = (6� 4) + xg= fx 2 f34; 7; 90; 12; 0g : 2 + x = 2 + xg= fx 2 f34; 7; 90; 12; 0g : 2 = 2g= f34; 7; 90; 12; 0g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are cinci solutii si acestea sunt numerele 34; 7; 90; 12si 0:h) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : 4 + x+ 7 = 44� 33g= fx 2 N : (4 + 7) + x = 11g= fx 2 N : 11 + x = 11 + 0g= fx 2 N : x = 0g= f0g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 0: �Tema 6.3.2 Rezolvatie ecuatiile: a) x+3 = 7; x 2 N; b) 5+x = 20; x 2 N;

c) 51 + x = 2; x 2 f2; 0; 6; 3; 7g ; d) (x+ 3) + 12 = 155; x 2 N; e) 15 � x =11 � x; x 2 f10; 5; 11; 3g ; f) x + 20 = 25 � 20 + x + 5; x 2 N; g) 31 + x =36� 5 + x; x 2 f3; 4; 7; 90; 1; 2; 0g ; h) 14 + x+ 16 = 44; x 2 N:


Problema 6.3.3 Folosind multimile

A = fx 2 f3; 9; 71; 23; 45g : x+ 5� 3 = 5gsi

B = fx 2 N : 3 + x+ 5 + x+ 7 = x+ 15 + xgcalculati: A nB; A \B; B nA si A [B:R¼aspunsObserv¼am c¼a

A = fx 2 f3; 9; 71; 23; 45g : x+ 5� 3 = 5g= fx 2 f3; 9; 71; 23; 45g : x+ 2 = 5 + 2� 2g= fx 2 f3; 9; 71; 23; 45g : x = 3g= f3g

siB = fx 2 N : x+ (3 + 5 + 7) = x+ 15g

= fx 2 N : x+ 15 = x+ 15g= N:

Folosind formula


obtinemA nB = �:

Folosind formula


obtinemA \B = f3g :

Folosind formula


obtinemB nA = f0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; :::g :

Folosind formula


obtinemA [B = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; :::g = N:

�Tema 6.3.3 Folosind multimile

A = fx 2 f2; 9; 10; 13; 4; 5g : x+ 15� 3 = (x+ 25)� 13gsi

B = fx 2 f0; 9; 7; 5; 2; 13g : 2 + x+ 5 + x+ 8 = x+ 15 + xgcalculati: A nB; A \B; B nA si A [B:

6.4. EVALUARE 197

6.4 Evaluare

Testul 6.4.11. Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor:P1: 1 2 f2; 3; 1; 7g ; P2: 10 =2 f1; 0; 20; 5; 11g ; P3: f3; 0; 1; 2g � f3; 0; 1; 7; 9g ;

P4: f13; 9g f9; 10; 1; 8g ; P5: f1; 13; 20; 2g � f9; 10; 14; 16g ; P6: f1; 5; 9; 2; 8g 6=f9; 10; 11; 1; 0g ; P7: f10; 5; 7; 23g = f9; 23; 7; 8g ; P8: f3; 1; 2g = f1; 2; 3g :2. Folosind multimile A = f7; 9; 13; 4; 2g si B = f13; 11; 4; 1; 2g calculati:

A nB; A \B; B nA si A [B:3. Calculati: a) 174 + 2:349; b) 5; 649 + 277; c) 8:757� 389; d) 241� 164:4. Veri�cati asociativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 69; 34 si 74; b)

2:126; 3:328 si 5:327; c) 99; 786 si 846:5. Veri�cati comutativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 87 si 44; b)

3:842 si 1:169; c) 78 si 567; d) 287 si 2:864:6. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) x + 3 �

x + 20 = 57 � x; b) (7 + x) � (4� x) = 25 + x; c) 27 � (10� x) = 22; d)(x+ 31) + (2� x) = 15 + x:

7. Rezolvatie ecuatiile: a) (x+ 3) + (5 + x) = 7 + x + 10; x 2 N; b)(5 + x)+(10� x)�8 = 2+x; x 2 N; c) (51 + x)+(x� 6) = (72 + x)�10; x 2f2; 0; 6; 3; 7g ; d) (x+ 3) + (12� x) = 15; x 2 N:

Testul 6.4.21. Stabiliti valoarea de adev¼ar a propozitiilor:P1: 5 2 f2; 5; 7; 8g ; P2: 5 =2 f1; 0; 2; 11g ; P3: f1; 2; 10g � f3; 2; 5; 10; 1g ; P4:

f1; 3; 2g f2; 1; 13; 8g ; P5: f1; 3; 7g � f7; 3; 1; 18g ; P6: f2; 6; 5; 1g 6= f5; 1; 11; 10g ;P7: f10; 1; 7; 8; 5g = f9; 10; 13; 7; 8g ; P8: f0; 9; 2g = f9; 2; 0g :2. Folosind multimile A = f11; 0; 1; 11; 22g si B = f0; 11; 22; 15; 2g calculati:

A nB; A \B; B nA si A [B:3. Calculati: a) 34 + 48; b) 5:359 + 5:127; c) 570� 689; d) 2:176� 1:699:4. Veri�cati asociativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 4:459; 318 si

2:244; b) 856; 378 si 521; c) 4:439; 5:432 si 8:797:5. Veri�cati comutativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 442 si 2:329; b)

891 si 3:886; c) 3:729 si 456; d) 22:142 si 4:319:6. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) (17� x) �

(5 + x) = 13�x; b) (x+ 22)�(x+ 7)+(x� 5) = 36+5; c) (15 + x)�(9� x) =(3 + x) + 4; d) 4 + (x+ 7)� (6 + x) = 2 + x:

7. Rezolvatie ecuatiile: a) (15� x)+(43 + x) = 45�x+36; x 2 f1; 5; 11; 13g ;b) (x+ 20)+(x+ 3) = 25+x+5; x 2 N; c) (31 + x)+(4 + x) = 56�5+x; x 2f3; 9; 1; 2g ; d) (14 + x) + (x+ 5) + 6 = (44 + x)� 5; x 2 N:


6.5 Inegalit¼ati. Inecuatii

Propozitia 6.5.1 Este adev¼arat c¼a m � n dac¼a si numai dac¼a exist¼a r 2 Nastfel încât m = n+ r:Consecinta 6.5.1 Este adev¼arat c¼a m > n dac¼a si numai dac¼a exist¼a r 2 N�

astfel încât m = n+ r:Teorema 6.5.1 Orice submultime nevid¼a a multimii numerelor naturale

are un prim element (cel mai mic element). De aceea spunem c¼a multimeanumerelor naturale este bine ordonart¼a.

Demonstratie

Fie S � N astfel încât S 6= � arbitrar¼a.Fie M = fm 2 N : m � x; 8x 2 Sg :Evident c¼a 0 2M:Dac¼a oricare ar �m 2M rezult¼a c¼a m+1 2M; atunci, folosind teoremafundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N si am ajunge la o contradictie.

Deci, exist¼a un unic m0 2M astfel încât m0 + 1 =2M:Presupunând, prin absurd, c¼a m0 nu este cel mai mic element al multimiiS; rezult¼a c¼a m0 este mai mic strict decât orice element al multimii S:Obtinem c¼a (x�m0)� 1 � 0; oricare ar � x 2 S:Cum pentru orice x 2 S avem

x = m0 + (x�m0)= m0 + [(x�m0)� 1] + 1= (m0 + 1) + [(x�m0)� 1]

rezult¼a c¼a x � m0 + 1; oricare ar � x 2 S: Asadar, m0 + 1 2 M:Contradictie!

Deci, m0 este cel mai mic element al multimii S: q.e.d.

Propozitia 6.5.2 Dac¼a m;n; p 2 N; atunci inegalitatea m+ p � n+ p esteechivalent¼a cu inegalitatea m � n:

Demonstratie

Deoarecem+ p � n+ p

m9r � 0 : n+ p = (m+ p) + r

m9r � 0 : n+ p = (m+ r) + p

m9r � 0 : n = m+ r

mm � n


6.5. INEGALIT¼ATI. INECUATII 199

Propozitia 6.5.3 Dac¼a m;n; p 2 N astfel încât m;n � p; atunci inegalitateam� p � n� p este echivalent¼a cu inegalitatea m � n:

Demonstratie

Deoarece

m� p � n� pm

9r � 0 : n� p = (m� p) + rm

9r � 0 : (n� p) + p = [(m� p) + r] + pm

9r � 0 : (n� p) + p = [(m� p) + p] + rm

9r � 0 : n = m+ rm

m � n


Propozitia 6.5.4 Dac¼a m;n; p 2 N astfel încât m;n � p; atunci inegalitateap�m � p� n este echivalent¼a cu inegalitatea n � m:

Demonstratie

Deoarece

p�m � p� nm

9r � 0 : p� n = (p�m) + rm

9r � 0 : (p� n) + (m+ n) = [(p�m) + r] + (m+ n)m

9r � 0 : [(p� n) + n] +m = f[(p�m) +m] + ng+ rm

9r � 0 : p+m = (p+ n) + rm

p+m � p+ nm

m � n


Propozitia 6.5.5 Dac¼a m;n; p 2 N; atunci inegalitatea m+ p < n+ p esteechivalent¼a cu inegalitatea m < n:

Demonstratie


Deoarece

m+ p < n+ pm

9r > 0 : n+ p = (m+ p) + rm

9r > 0 : n+ p = (m+ r) + pm

9r > 0 : n = m+ rm

m < n


Propozitia 6.5.6 Dac¼a m;n; p 2 N astfel încât m;n � p; atunci inegalitateam� p < n� p este echivalent¼a cu inegalitatea m < n:

Demonstratie

Deoarece

m� p < n� pm

9r > 0 : n� p = (m� p) + rm

9r > 0 : (n� p) + p = [(m� p) + r] + pm

9r > 0 : (n� p) + p = [(m� p) + p] + rm

9r > 0 : n = m+ rm

m < n


Propozitia 6.5.7 Dac¼a m;n; p 2 N astfel încât m;n < p; atunci inegalitateap�m < p� n este echivalent¼a cu inegalitatea n < m:

Demonstratie

Deoarece

p�m < p� nm

9r > 0 : p� n = (p�m) + rm


9r > 0 : (p� n) + (m+ n) = [(p�m) + r] + (m+ n)m

9r > 0 : [(p� n) + n] +m = f[(p�m) +m] + ng+ rm

9r > 0 : p+m = (p+ n) + rm

p+m > p+ nm

m > n


Problema 6.5.1 Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile:a) x+7+ x� 2 > 7+ x; b) (7 + x)� (x� 10) < 15+ x; c) 15� (x� 10) > 10;d) (x+ 9) + (6 + x) � 30 + x:

R¼aspuns

a)

x+ 7 + x� 2 > 7 + xm

x� 2 > 0 + 2� 2m

x > 2m

x 2 f2; 3; 4; :::g :

b)

(7 + x)� (x� 10) < 15 + xm

7 + x� x+ 10 < 15 + xm

17 < 15 + xm

17 + 15� 15 < 15 + xm

2 < xm

x 2 f3; 4; 5; :::g


c)15� (x� 10) > 10

m15� x+ 10 > 10 + x� x

m25 < 10 + x

m25 + 10� 10 < 10 + x

m15 < xm

x 2 f16; 17; 18; :::g

d)(x+ 9) + (6 + x) � 30 + x

mx+ (9 + 6) + x � 30 + x

mx+ 15 � 30

mx+ 15 � 30 + 15� 15

mx � 15m

x 2 f0; 1; 2; :::13; 14; 15g

�Tema 6.5.1 Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile: a)

x+ 7 + x+ 13 > 56 + x; b) (7 + x)� (x� 14) < 9 + x; c) 15� (12� x) > 10;d) (x+ 12) + (10 + x) � 50 + x: e) (10� x) � (9� x) � 34 � x; f) (x+ 12) +(x+ 24)� (x� 15) < 65; g) (12 + x)+(5� x) > (9 + x)+7; h) 40+(x+ 70)+(61 + x) � 244 + x:

De retinut: Propozitia

"x plus 3 este mai mic sau egal decât 7; când x apartine multimii numerelornaturale."

scris¼a sinteticx+ 3 � 7; x 2 N:

se numeste inecuatie cu necunoscuta x.

Pentru a rezolva inecuatia precedent¼a proced¼am astfel:


Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : x+ 3 � 7 + 3� 3g= fx 2 N : x � 7� 3g= fx 2 N : x � 4g= f0; 1; 2; 3; 4g

În concluzie, inecuatia dat¼a are cinci solutii si acestea sunt numerele: 0; 1; 2; 3si 4:

Problema 6.5.1 Rezolvatie inecuatiile: a) x + 4 � 10 � 2; x 2 N; b)x � 1 � 2; x 2 f2; 3; 7; 9; 1g ; c) x + 3 + 2 + x � 17 + x; x 2 N; d) 17 � x <3 � x; x 2 f0; 5; 4; 3; 8g ; e) x + 21 > 5 + 3 + 4 + x; x 2 f0; 7; 9; 1; 2g ; f)20� x < x+ 3+ 9� x; x 2 f4; 0; 9; 3; 8g g) 4 + x+ 7 � 44� 33 + x; x 2 N; h)5 + 7 + x+ 3 + x� 2 � x+ 15; x 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g :R¼aspunsa) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : x+ 4 � 10� 2g= fx 2 N : x+ 4 � 8 + 4� 4g= fx 2 N : x � 8� 4g= fx 2 N : x � 4g= f4; 5; 6; :::g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele4; 5; 6; :::b) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f2; 3; 7; 9; 1g : x� 1 � 2g= fx 2 f2; 3; 7; 9; 1g : x� 1 � 2 + 1� 1g= fx 2 f2; 3; 7; 9; 1g : x � 3g= f2; 3; 1g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are trei solutii si acestea sunt numerele 2; 3 si 1:c) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : x+ 3 + 2 + x � 17 + xg= fx 2 N : x+ 5 � 17 + 5� 5g= fx 2 N : x � 12g= f12; 13; 14; :::g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele12; 13; 14; :::d) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f0; 5; 4; 3; 8g : 17� x < 3� xg= fx 2 f0; 5; 4; 3; 8g : 17 < 3g= �:


În concluzie, inecuatia dat¼a nu are solutii.e) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor ecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f0; 7; 9; 1; 2g : x+ 21 > 5 + 3 + 4 + xg= fx 2 f0; 7; 9; 1; 2g : 21 > 12g= f0; 7; 9; 1; 2g

În concluzie, inecuatia dat¼a are cinci solutii si acestea sunt numerele 0; 7; 9; 1si 2:f) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f4; 0; 9; 3; 8g : 20� x < x+ 3 + 9� xg= fx 2 f4; 0; 9; 3; 8g : 20 < x+ 12g= fx 2 f4; 0; 9; 3; 8g : x+ 12 > 20 + 12� 12g= fx 2 f4; 0; 9; 3; 8g : x > 8g= f9g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 9:g) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : 4 + x+ 7 � 44� 33 + xg= fx 2 N : 11 � 11g= N:

În concluzie, inecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele0; 1; 2; :::h) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g : 5 + 7 + x+ 3 + x� 2 � x+ 15g= fx 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g : 12 + x+ 1 � 15g= fx 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g : 13 + x � 15 + 13� 13g= fx 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g : x � 2gf7; 57; 4; 3g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are o patru solutii si acestea sunt numerele7; 57; 4 si 3: �Tema 6.5.1 Rezolvatie inecuatiile: a) x + 7 � 12 � 2; x 2 N; b) x �

6 � 4; x 2 f12; 13; 7; 9g ; c) x + 3 + 5 + x � 12 + x; x 2 N; d) 30 � x <45 � x; x 2 f10; 25; 4; 13; 8g ; e) x + 11 > 15 � 7 + x; x 2 f0; 7; 9; 1; 2g ; f)20�x < x+3+4�x; x 2 f14; 0; 19; 3; 18g g) 4+x+5+x � 44�30+x; x 2 N;h) 5 + 17 + x+ 3 + x � x+ 35; x 2 f0; 7; 17; 10; 4; 3g :Problema 6.5.2 Folosind multimile

A = fx 2 N : x+ 7 + 3 � 14g

siB = fx 2 f2; 9; 71; 23; 45g : x+ 26� 20 � 20g


calculati: A nB; A \B; B nA si A [B:R¼aspunsObserv¼am c¼a

A = fx 2 N : x+ 7 + 3 � 14g= fx 2 N : x+ 10 � 14 + 10� 10g= fx 2 N : x � 4g= f0; 1; 2; 3; 4g :

siB = fx 2 f2; 9; 71; 23; 45g : x+ 26� 20 � 20g

= fx 2 f2; 9; 71; 23; 45g : x+ 6 � 20 + 6� 6g= fx 2 f2; 9; 71; 23; 45g : x � 14g= f71; 23; 45g :

Folosind formula

A nB = fx : x 2 A si P =2 Bg

obtinemA nB = f0; 1; 2; 3; 4g :

Folosind formula


obtinemA \B = �:

Folosind formula


obtinemB nA = f71; 23; 45g :

Folosind formula


obtinemA [B = f0; 1; 2; 3; 4; 71; 23; 45g :


A = fx 2 N : x+ 13 + x � 14 + xg

siB = fx 2 f0; 2; 9; 1; 3; 5g : x+ 36� 20 � 16g



6.6 Evaluare

Testul 6.6.11. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) x + 30 +

x + 20 = 52 + x; b) (17 + x) � (14� x) = 45 + x; c) 27 � (x� 10) = 22; d)(x+ 31)� (2 + x) = 15 + x:2. Rezolvatie ecuatiile: a) (x+ 3) � (5 + x) = x + 10; x 2 N; b) (5 + x) +

(10� x) + 18 = 25 + x; x 2 N; c) (51 + x) � (x� 6) = 30 � (22� x) ; x 2f2; 0; 6; 3; 7g ; d) (x+ 30)� (12� x) = 2 + x+ 15; x 2 N:3. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile: a) 10 + x +

7+ x� 2 > 30 + x+ 20; b) (x+ 23)� (10� x) < 13 + x; c) 5� (x� 20) � 10;d) (x+ 2) + (3 + x) + 7 > 20 + x:4. Rezolvatie inecuatiile: a) (x+ 4) � (3� x) � x + 10 � 2; x 2 N3; b)

x � 1 + x � 3 � x + 2; x 2 f3; 7; 9g ; c) x + 9 + 4 + x � 20 + x; x 2 N; d)x+ 17� x < 13� x; x 2 f0; 5; 4; 3; 8g :5. Folosind multimile

A = fx 2 N : x+ 7 + 3 + x � 14 + xg

siB = fx 2 f5; 3; 4; 13; 15g : x+ 2 + x � 3 + xg


Testul 6.6.21. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) (7� x) �

(5� x) = 23� x; b) (x+ 8)� (5 + x) + (x+ 5) = 16+ 5; c) (5 + x) + (4� x) =(5 + x)� 4; d) 24� (x+ 8) + (6 + x) = 4 + x:2. Rezolvatie ecuatiile: a) (5 + x)+(3� x) = 10�x+36; x 2 f1; 5; 0; 3; 4g ;

b) (x+ 40)� (x+ 3) = 25+x+5; x 2 N5; c) (31 + x)� (4� x) = 6�5+x; x 2f0; 3; 5; 1; 2g ; d) (4 + x) + (x+ 5) + (6 + x) = (64 + x)� (15� x) ; x 2 N3:3. Determinati numerele naturale x care veri�c¼a inegalit¼atile: a) x+7�x+

3 > 2+x; b) (7� x)� (x� 14) < 9� x; c) (27 + x)� (7� x) > (3 + x)+7; d)4 + (x+ 70) + (6 + x) � 124 + x:4. Rezolvatie inecuatiile: a) x + 11 > 5 + 6 + x; x 2 f0; 5; 12; 1; 2g ; b)

5�(x� 20) < x+3+5�x; x 2 f4; 0; 2; 3; 1g c) 4+x+6 � 14�(4� x) ; x 2 N10;d) 25� (7 + x)� (3 + x)� 2 � 87� (x+ 15) ; x 2 f0; 8; 5; 7; 1; 4; 3g :5. Folosind multimile

A = fx 2 N : x� (3� x) � 2 + xg

siB = fx 2 f0; 2; 4; 1; 3; 5g : x+ 26� 10 � 17g


6.7. ÎNMULTIREA NUMERELOR NATURALE 207

6.7 Înmultirea numerelor naturale

De�nitia 6.7.1 Dac¼a m;n 2 N; atunci num¼arul natural

(6:7:1) m � n =�

0; n = 0m � (n� 1) +m; n 6= 0

se citeste "m înmultit cu n".Remarca 6.7.1 Dac¼a n 2 N�; atunci

(6:7:2)m � n = m+m+ :::+m| {z }

de n ori

;

oricare ar �m 2 N.Problema 6.7.1 Calculati: a) 7 � 5; b) 3 � 4; c) 8 � 6:R¼aspunsa) 7 � 5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 14 + 14 + 7 = 28 + 7 = 35:b) 3 � 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 6 + 6 = 12:c) 8 � 6 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 16 + 16 + 16 = 32 + 16 = 48: �Tema 6.7.1 Calculati: a) 3 � 5; b) 3 � 3; c) 4 � 6; d) 7 � 8; e) 5 � 4; f) 8 � 9; g)

7 � 2; h) 4 � 7; i) 8 � 9; j) 2 � 9; k) 2 � 7; l) 9 � 3; m) 3 � 2; n) 5 � 5; o) 4 � 4; p) 6 � 7:Propozitia 6.7.1 Oricare ar �m 2 N avem

(6:7:3) m � 0 = 0 = 0 �m:

Demonstratie

Fie M = fm 2 N : m � 0 = 0 = 0 �mgEvident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.

Admitem c¼a m� 1 2M:Folosind de�nitia înmultirii numerelor naturale avem m � 0 = 0:Deoarece

0 �m = 0 � (m� 1) + 0= 0 + 0 = 0

rezult¼a c¼a m 2M: Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N:

q.e.d.Propozitia 6.7.2 Înmultirea numerelor naturale este distributiv¼a fat¼a de

adunare, adic¼a

(6:7:4) m � (n+ p) = m � n+m � p:

oricare ar �m;n; p 2 N.


Demonstratie

Fie m;n 2 N arbitrare si P = fp 2 N : m � (n+ p) = m � n+m � pg :Evident c¼a 0 2 P:Fie p 2 N astfel încât p > 0 arbitrar.Admitem c¼a p� 1 2 P:Deoarece

m � (n+ p) = m � [(n+ p)� 1] +m= m � [n+ (p� 1)] +m= m � n+ [m � (p� 1) +m]= m � n+m � p


Propozitia 6.7.3 Num¼arul 1 este element neutru la înmultire, adic¼a

(6:7:5) m � 1 = m = 1 �m:

oricare ar �m 2 N.

Demonstratie

Fie M = fm 2 N : m � 1 = m = 1 �mgEvident c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.

Admitem c¼a m� 1 2M:Folosind de�nitia înmultirii numerelor naturale avem m � 1 = m:Deoarece

1 �m = 1 � [(m� 1) + 1]= 1 � (m� 1) + 1 � 1= (m� 1) + 1= m


Propozitia 6.7.4 Înmultirea numerelor naturale este asociativ¼a, adic¼a

(6:7:6) m � (n � p) = (m � n) � p:

oricare ar �m;n; p 2 N.


Demonstratie

Fie m;n 2 N arbitrare si P = fp 2 N : m � (n � p) = (m � n) � pg :Evident c¼a 0 2 P:Fie p 2 N astfel încât p > 0 arbitrar.Admitem c¼a p� 1 2 P:Deoarece

m � (n � p) = m � [n � (p� 1) + n]= m � [n � (p� 1)] +m � n= (m � n) � (p� 1) +m � n= (m � n) � p


Propozitia 6.7.5 Înmultirea numerelor naturale este comutativ¼a, adic¼a

(6:7:7) m � n = n �m:

oricare ar �m;n 2 N.

Demonstratie

Fie n 2 N arbitrar.Fie M = fm 2 N : m � n = n �mgFolosind propozitia precedent¼a rezult¼a c¼a 0 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 0 arbitrar.


m � n = [(m� 1) + 1] � n= (m� 1) � n+ 1 � n= n � (m� 1) + n � 1= n � [(m� 1) + 1]

= n �mrezult¼a c¼a m 2M:Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N: q.e.d.

Remarca 6.7.1 Oricare ar �m;n; p 2 N; obtinem egalitatea

(6:7:8) (n+ p) �m = n �m+ p �m:

Problema 6.7.2 Calculati: a) 8 � 500; b) 9 � 4:000; c) 3 � 60; d) 300 � 4; e)8:000 � 5; f) 90:000 � 7:R¼aspuns


a)8 � 500 = 8 � (5 � 100)

= (8 � 5) � 100= 40 � 100= 4:000

b)9 � 4:000 = 9 � (4 � 1:000)

= (9 � 4) � 1:000= 36 � 1:000= 36:000:

c)3 � 60 = 3 � (6 � 10)

= (3 � 6) � 10= 18 � 10= 180:

d)300 � 4 = (100 � 3) � 4

= 100 � (3 � 4)= 100 � 12= 1:200:

e)8:000 � 5 = (1:000 � 8) � 5

= 1:000 � (8 � 5)= 1:000 � 40= 40:000:

f)90:000 � 7 = (10:000 � 9) � 7

= 10:000 � (9 � 7)= 10:000 � 63= 630:000:

�Tema 6.7.2 Calculati: a) 7 � 200; b) 6:000 � 8; c) 4 � 80; d) 70:000 � 9; e)

3 �5:000; f) 900 �3; g) 8 �600; h) 700:000 �9; h) 3 �8:000; i) 5:000 �2; j) 9 �9:000; k)50 � 7:Problema 6.7.3 Calculati: a) 7 � 435; b) 3 � 7:344; c) 8 � 68:R¼aspunsa)

7 � 435 = 7 � (400 + 30 + 5)= 7 � 400 + 7 � 30 + 7 � 5= 2:800 + 210 + 35= 2:800 + 240 + 5= 3:000 + 40 + 5= 3:045:


b)3 � 7:344 = 3 � (7:000 + 300 + 40 + 4)

= 3 � 7:000 + 3 � 300 + 3 � 40 + 3 � 4= 21:000 + 900 + 120 + 12= 21:000 + 900 + 130 + 2= 21:000 + 1:000 + 30 + 2= 22:000 + 30 + 2= 22:032:

c)8 � 68 = 8 � (60 + 8)

= 8 � 60 + 8 � 8= 480 + 64= 540 + 4= 544:

�Tema 6.7.3 Calculati: a) 7 � 434; b) 2 � 3:321; c) 8 � 75; d) 3 � 279; e)

6 � 55:764; f) 4 � 678; g) 9 � 68:435; h) 3 � 98; i) 4 � 12:368; j) 2 � 965; k) 5 � 944; c)8 � 768:Problema 6.7.4 Calculati: a) 43 � 20; b) 2:457 � 300; c) 897 � 5:000:R¼aspunsa)

43 � 20 = (43 � 2) � 10 = 860:

b)2:457 � 300 = (2:457 � 3) � 100 = 737:100:

a)897 � 5:000 = (897 � 5) � 1:000 = 4:485:000:

�Tema 6.7.4 Calculati: a) 93 � 200; b) 457 � 60; c) 237 � 5:000; d) 13 � 80; e)

57 � 60:000; f) 24 � 9:000; g) 93:342 � 500; h) 4:757 � 30; i) 8:937 � 300; j) 1:393 �300:000; b) 457 � 60; c) 237 � 4:000:Problema 6.7.5 Calculati: a) 24 � 123; b) 356 � 2:457; c) 6:897 � 54:R¼aspunsa)

24 � 123 = 24 � (100 + 20 + 3)= 24 � 100 + 24 � 20 + 24 � 3= 2:400 + 480 + 72= 2:952:

b)356 � 2:457 = 356 � (2:000 + 400 + 50 + 7)

= 356 � 2:000 + 356 � 400 + 356 � 50 + 356 � 7= 712:000 + 142:400 + 17:800 + 2:492= 874:692:


c)6:897 � 54 = 6:897 � (50 + 4)

= 6:897 � 50 + 6:897 � 4= 344:850 + 27:588= 372:438:

�Tema 6.7.5 Calculati: a) 524�423; b) 326�2:348; c) 6:873�545; d) 54�6:343; e)

35 � 648; f) 2:267 � 75; g) 94 � 498; h) 221 � 78; i) 9:263 � 495; j) 1:573 � 5:829:Problema 6.7.6 Veri�cati distributivitatea înmultirii numerelor fat¼a de

adunare folosind numerele: a) 23; 34 si 67; b) 21; 14 si 15; c) 25; 13 si 35:R¼aspunsa) Deoarece

23 � (34 + 67) = 23 � 101= 23 � 100 + 23 � 1= 2:300 + 23= 2:323

si23 � 34 + 23 � 67 = 23 � 30 + 23 � 4 + 23 � 60 + 23 � 7

= 690 + 92 + 1:380 + 161= 782 + 1:541= 2:323

rezult¼a c¼a23 � (34 + 67) = 23 � 34 + 23 � 67:

b) Deoarece21 � (14 + 15) = 21 � 29

= 21 � 20 + 21 � 9= 420 + 189= 609

si21 � 14 + 21 � 15 = 21 � 10 + 21 � 4 + 21 � 10 + 21 � 5

= 210 + 84 + 210 + 105= 294 + 315= 609

rezult¼a c¼a21 � (14 + 15) = 21 � 14 + 21 � 15:

c) Deoarece25 � (13 + 35) = 25 � 48

= 25 � 40 + 25 � 8= 1:000 + 200= 1:200


si25 � 13 + 25 � 35 = 25 � 10 + 25 � 3 + 25 � 30 + 25 � 5

= 250 + 75 + 750 + 125= 325 + 875= 1:200

rezult¼a c¼a

25 � (13 + 35) = 25 � 13 + 25 � 35:

�Tema 6.7.6 Veri�cati distributivitatea înmultirii numerelor fat¼a de adunare

folosind numerele: a) 21; 14 si 62; b) 21; 24 si 42; c) 123; 14 si 32; d) 4; 434 si17; e) 123; 95 si 234; f) 813; 312 si 532; g) 723; 64 si 37; h) 74; 94 si 44:Problema 6.7.7 Veri�cati asociativitatea înmultirii folosind numerele: a)

13; 32 si 67; b) 21; 53 si 15; c) 45; 24 si 25:R¼aspunsa) Deoarece

13 � (32 � 67) = 13 � (32 � 60 + 32 � 7)= 13 � (1920 + 224)= 13 � 2:144= 13 � 2:000 + 13 � 100 + 13 � 40 + 13 � 4= 26:000 + 1:300 + 520 + 52= 27:300 + 572= 27:872

si(13 � 32) � 67 = (13 � 30 + 13 � 2) � 67

= (390 + 26) � 67= 416 � 67= 416 � 60 + 416 � 7= 24:960 + 2912= 27:872

rezult¼a c¼a

13 � (32 � 67) = (13 � 32) � 67:

b) Deoarece

21 � (53 � 15) = 21 � (53 � 10 + 53 � 5)= 21 � (530 + 265)= 21 � 795= 21 � 700 + 21 � 90 + 21 � 5= 14:700 + 1:890 + 105= 16:590 + 105= 16:695


si(21 � 53) � 15 = (21 � 50 + 21 � 3) � 15

= (1:050 + 63) � 15= 1:113 � 15= 1:113 � 10 + 1:113 � 5= 11:130 + 5:565= 16:695

rezult¼a c¼a21 � (53 � 15) = (21 � 53) � 15:

c) Deoarece45 � (24 � 25) = 45 � (24 � 20 + 24 � 5)

= 45 � (480 + 120)= 45 � 600= 27:000

si(45 � 24) � 25 = (45 � 20 + 45 � 4) � 25

= (900 + 180) � 25= 1:080 � 25= 1:080 � 20 + 1:080 � 5= 21:600 + 5:400= 27:000

rezult¼a c¼a45 � (24 � 25) = (45 � 24) � 25:

�Tema 6.7.7 Veri�cati asociativitatea înmultirii folosind numerele: a) 11; 34

si 62; b) 23; 42 si 25; c) 15; 22 si 35; d) 81; 64 si 72; e) 231; 41 si 36:Problema 6.7.8 Veri�cati comutativitatea înmultirii folosind numerele: a)

13 si 67; b) 21 si 15; c) 325 si 25:R¼aspunsa) Deoarece

13 � 67 = 13 � 60 + 13 � 7= 780 + 91= 871

si67 � 13 = 67 � 10 + 67 � 3

= 670 + 201= 871

rezult¼a c¼a13 � 67 = 67 � 13:

b) Deoarece21 � 15 = 21 � 10 + 21 � 5

= 210 + 105= 315


si15 � 21 = 15 � 20 + 15 � 1

= 300 + 15= 315

rezult¼a c¼a21 � 15 = 15 � 21:

c) Deoarece325 � 25 = 325 � 20 + 325 � 5

= 6:500 + 1:625= 8:125

si25 � 325 = 25 � 300 + 25 � 20 + 25 � 5

= 7:500 + 500 + 125= 8:125

rezult¼a c¼a325 � 25 = 25 � 325:

�Tema 6.7.8 Veri�cati comutativitatea înmultirii folosind numerele: a) 23 si

47; b) 23 si 115; c) 25 si 425; d) 153 si 27; e) 871 si 35; f) 65 si 981; g) 53 si 42;h) 852 si 345; i) 758 si 755:Propozitia 6.7.6 Înmultirea numerelor naturale este distributiv¼a fat¼a de

sc¼adere, adic¼a

(6:7:9) m � (n� p) = m � n�m � p:

oricare ar �m;n; p 2 N astfel încât n � p:

Demonstratie

Fie m;n; p 2 N astfel încât n � p arbitrare.Deoarece n = (n� p) + p rezult¼a c¼a m � n = m � (n� p) +m � p:Deci, m � n � m � p si m � n�m � p = m � (n� p) : q.e.d.

Remarca 6.5.2 Oricare ar �m;n; p 2 N astfel încât n � p rezult¼a c¼a m �n �m � p si obtinem egalitatea

(6:7:10) (n� p) �m = n �m� p �m:

Problema 6.7.9 Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de sc¼adere folosindnumerele: a) 23; 54 si 28; b) 33; 34 si 15; c) 25; 67 si 45:R¼aspunsa) Deoarece

23 � (54� 28) = 23 � 26= 23 � 20 + 23 � 6= 460 + 138= 598


si23 � 54� 23 � 28 = (23 � 50 + 23 � 4)� (23 � 20 + 23 � 8)

= (1:150 + 92)� (460 + 184)= 1:242� 644= 598

rezult¼a c¼a

23 � (54� 28) = 23 � 54� 23 � 28:

b) Deoarece

33 � (34� 15) = 33 � 19= 33 � 10 + 33 � 9= 330 + 297= 627

si33 � 34� 33 � 15 = (33 � 30 + 33 � 4)� (33 � 10 + 33 � 5)

= (990 + 132)� (330 + 165)= 1:122� 495= 627

rezult¼a c¼a

33 � (34� 15) = 33 � 34� 33 � 15:

c) Deoarece

25 � (67� 45) = 25 � 22= 25 � 20 + 25 � 2= 500 + 50= 550

si25 � 67� 25 � 45 = (25 � 60 + 25 � 7)� (25 � 40 + 25 � 5)

= (1:500 + 175)� (1:000 + 125)= 1:675� 1:125= 550

rezult¼a c¼a

25 � (67� 45) = 25 � 67� 25 � 45:

�Tema 6.7.9 Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de sc¼adere folosind

numerele: a) 211; 324 si 172; b) 81; 76 si 32; c) 123; 514 si 62; d) 24; 44 si 27;e) 561; 795 si 534; f) 813; 579 si 527; g) 72; 64 si 27; h) 743; 914 si 444:De�nitia 6.7.2 Multimea f2 �m; m 2 Ng se numeste multimea numerelor

naturale pare, iar multimea f2 �m+ 1; m 2 Ng se numeste multimea numerelornaturale impare.


6.8 Egalit¼ati. Ecuatii

Propozitia 6.8.1 Egalitatea m � n = 0 determin¼a egalitatea m = 0 sauegalitatea n = 0:

Demonstratie

Presupunem, prin absurd, c¼a m 6= 0 si n 6= 0:Deci, avem m� 1 � 0 si n� 1 � 0:Cum

m � n = m � (n� 1) +m= [(m� 1) � (n� 1) + (n� 1)] + [(m� 1) + 1]= [(m� 1) � (n� 1) + (n� 1) + (m� 1)] + 1

rezult¼a c¼a m � n 6= 0: Contradictie! q.e.d.

Propozitia 6.8.2 Oricare ar � m 2 N�; egalitatea m � n = m � p esteechivalent¼a cu egalitatea n = p:

Demonstratie

Fie M = fm 2 N� : m � n = m � pg :Evident c¼a 1 2M:Fie m 2 N astfel încât m > 1:


m � n = m � pm

(m� 1) � n+ n = (m� 1) � p+ pm

n = p

rezult¼a c¼a m 2M:Folosind teorema fundamental¼a, rezult¼a c¼a M = N�: q.e.d.

Problema 6.8.1 Detreminati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile:a) 4 � x+ 3 � x = 21; b) 8 + 7 � x = 2 � x+ 28; c) 3 + 7 � x� 2 � x = 18:Rezolvarea)

4 � x+ 3 � x = 21m

(4 + 3) � x = 21m

7 � x = 7 � 3m

x = 3:


b)8 + 7 � x = 2 � x+ 28

m8 + 2 � x+ 5 � x = 2 � x+ 20 + 8

m5 � x = 5 � 4

mx = 4:

c)3 + 7 � x� 2 � x = 18

m3 + (7� 2) � x = 3 + 15

m5 � x = 5 � 3

mx = 3:

Tema 6.8.1 Detreminati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a)4 � x + 2 � x + 3 � x = 36; b) 2 + 2 � x = x + 8; c) 3 + 17 � x � 8 � x = 23; d)x+3 �x+2 �x+6 = 5 �x+16; e) 12 = 4 �(x+ 1) ; f) 2 �(2 � x+ 5) = 3 �(x+ 2)+7;g) 3 � (x+ 2) = 2 (x+ 4) ; h) 4 � x+ x+ 3 = 18:Problema 6.8.2 Rezolvati ecuatiile: a) 4 �x+8 �x�7 �x+17 = 32; x 2 N�;

b) 8+9+7�x = 2�x+3�x+7�x; x 2 f5; 7; 0; 6g ; c) 8+5�x�2�x = 17; x 2 N5; d)x+3 �x+17 �x+16 = 12 �x+5 �x+20; x 2 N; e) 12 = 4 �(x+ 1)+2 �(x+ 2) ; x 2f11; 9; 34; 6; 4g ; f) 2 � (2 � x� 5) = 3 � (x+ 2) + 7; x 2 N3; g) 3 � (x+ 2) =3 (x+ 4)�6; x 2 f0; 5; 2; 7; 8; 3; 4; 9g ; h) 4�x+x+7 = 3�x+2�x+23�16; x 2 N:Rezolvarea) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N� : 4 � x+ 8 � x� 7 � x+ 17 = 32g= fx 2 N� : (4 + 8� 7)x+ 17 = 32 + 17� 17g= fx 2 N� : (12� 7) � x = 32� 17g= fx 2 N� : 5 � x = 15g= fx 2 N� : 5 � x = 5 � 3g= fx 2 N� : x = 3g= f3g :


S (E) = fx 2 f5; 7; 0; 6g : 8 + 9 + 7 � x = 2 � x+ 3 � x+ 7 � xg= fx 2 f5; 7; 0; 6g : 2 � x+ 3 � x = 8 + 9g= fx 2 f5; 7; 0; 6g : (2 + 3) � x = 17g= fx 2 f5; 7; 0; 6g : 5 � x = 17g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.


c) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N5 : 8 + 5 � x� 2 � x = 17g= fx 2 N5 : 8 + (5� 2) � x = 17 + 8� 8g= fx 2 N5 : 3 � x = 17� 8g= fx 2 N5 : 3 � x = 9g= fx 2 N5 : 3 � x = 3 � 3g= fx 2 N5 : x = 3g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.d) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : x+ 3 � x+ 17 � x+ 16 = 12 � x+ 5 � x+ 20g= fx 2 N : (1 + 3) � x+ 17 � x+ 16 = (12 + 5) � x+ 20g= fx 2 N : 4 � x+ 17 � x+ 16 = 17 � x+ 20g= fx 2 N : 4 � x+ 16 = 20 + 16� 16g= fx 2 N : 4 � x = 20� 16g= fx 2 N : 4 � x = 4 � 1g= fx 2 N : x = 1g= f1g :


S (E) = fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 12 = 4 � (x+ 1) + 2 � (x+ 2)g= fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 12 = 4 � x+ 4 � 1 + 2 � x+ 2 � 2g= fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 12 = (4 + 2) � x+ 8g= fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 6 � x+ 8 = 12 + 8� 8g= fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 6 � x = 12� 8g= fx 2 f11; 9; 34; 6; 4g : 6 � x = 4g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.f) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : 2 � (2 � x� 5) = 3 � (x+ 2) + 7g= fx 2 N : 2 � 2 � x� 2 � 5 = 3 � x+ 3 � 2 + 7g= fx 2 N : 4 � x� 10 = 3 � x+ 6 + 7g= fx 2 N : x+ 3 � x� 10 = 3 � x+ 13g= fx 2 N : x� 10 = 13 + 10� 10g= fx 2 N : x = 13 + 10g= fx 2 N : x = 23g= f23g



g) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 f0; 5; 2; 7; 8; 3; 4; 9g : 3 � (x+ 2) = 3 � (x+ 4)� 6g= fx 2 f0; 5; 2; 7; 8; 3; 4; 9g : 3 � x+ 3 � 2 = 3 � x+ 3 � 4� 6g= fx 2 f0; 5; 2; 7; 8; 3; 4; 9g : 6 = 12� 6g= f0; 5; 2; 7; 8; 3; 4; 9g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are opt solutii si acestea sunt numerele 0; 5; 2; 7; 8; 3;4 si 9:h) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : 4 � x+ x+ 7 = 3 � x+ 2 � x+ 23� 16g= fx 2 N : (4 + 1) � x+ 7 = (3 + 2) � x+ 7g= fx 2 N : 5 � x+ 7 = 5 � x+ 7g= N:

În concluzie, ecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele0; 1; 2; ::: �Tema 6.8.2 Rezolvati ecuatiile: a) 2 �x+4 �x� 3 �x+7 = 3 �x+5+2; x 2

f12; 4; 65; 37; 1g ; b) 43 � x � 37 � x = 6 � x + 4 � x + 20; x 2 f2; 4; 7; 9; 1g ; c)23 � 21 + 5 � x = 4 � x + 6 � x � 13; x 2 N3; d) 1:543 � x + 345 � x � 2:345 � x =1:550�x+336�x�45; x 2 N; e) 3�x+9�x = 4�(2x+ 4)+2; x 2 f0; 17; 9; 14; 26; 4g ;f) 3 � (x� 1) = 2 � (x+ 4) + 7; x 2 N�; g) 5 � (x+ 2) = 7 (x+ 4) � 6; x 2f15; 2; 7; 18; 3; 14; 9g ; h) 4 � x+ 5 � x+ 17 = 3 � x+ 7 � x+ 8; x 2 N10:Problema 6.8.3 Folosind multimile

A = fx 2 f3; 12; 5; 7; 20; 0g : 2 � x+ 5 = x+ x+ 23� 18g

siB = fx 2 f3; 0; 1; 5; 4; 8g : x+ 2 = 5 � (x+ 4)� 4 � x� 18g


A = fx 2 f3; 12; 5; 7; 20; 0g : 2 � x+ 5 = x+ x+ 23� 18g= fx 2 f3; 12; 5; 7; 20; 0g : 2 � x+ 5 = 2 � x+ 5g= f3; 12; 5; 7; 20; 0g

siB = fx 2 f3; 0; 1; 5; 4; 8g : x+ 2 = 5 � (x+ 4)� 4 � x� 18g

= fx 2 f3; 0; 1; 5; 4; 8g : x+ 2 = 5 � x+ 5 � 4� 4 � x� 18g= fx 2 f3; 0; 1; 5; 4; 8g : x+ 2 = (5� 4) � x+ 20� 18g= fx 2 f3; 0; 1; 5; 4; 8g : x+ 2 = x+ 2g= f3; 0; 1; 5; 4; 8g :

Folosind formula


6.9. EVALUARE 221

obtinemA nB = f12; 7; 20g :

Folosind formula


obtinemA \B = f3; 5; 0g :

Folosind formula


obtinemB nA = f1; 4; 8g :

Folosind formula


obtinemA [B = f12; 7; 20; 3; 5; 0; 1; 4; 8g :


A = fx 2 f3; 1; 2; 5; 7; 8; 0g : x+ 5 = 5 � (x+ 4)� 4 � x� 15g

siB = fx 2 f3; 0; 11; 5; 12; 8g : 5 � x+ 7 = 5 � (x+ 4)� 13g


6.9 Evaluare

Testul 6.9.11. Calculati: a) 54 � 423; b) 326 � 2:798; c) 5:803 � 557:2. Veri�cati comutativitatea înmultirii folosind numerele: a) 24 si 41; b) 25

si 135; c) 751 si 42:3. Veri�cati asociativitatea înmultirii folosind numerele: a) 12; 3 si 22; b)

20; 4 si 15:4. Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de adunare folosind numerele:

a) 211; 134 si 612; b) 131; 64 si 412; c) 123; 167 si 32:5. Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de sc¼adere folosind numerele:

a) 21; 324 si 122; b) 8; 96 si 38; c) 124; 614 si 122:


6. Detreminati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) 7 � x +2 � x � 3 � x = 36; b) 2 � (2 + 3 � x) = x + 19; c) 5 + 12 � x � 9 � x = 23; d)x+ 5 � x+ 4 � x+ 6 = 5 � x+ 467. Rezolvati ecuatiile: a) 2 � x + 7 � x � 3 � x + 7 = 2 � (3 � x) + 5 + 2; x 2

f2; 4; 6; 3; 7; 1g ; b) 43 � x� 39 � x+ 44 = 6 � x+ 4 � x+ 20; x 2 f2; 4; 0; 3; 1g ; c)25� 21 + 7 � x = 4 � x+ 6 � x� 11; x 2 N38. Folosind multimile

A = fx 2 f3; 1; 2; 5; 6; 0g : x+ 5 = 3 � (x+ 4)� 2 � x� 7g

siB = fx 2 f3; 0; 1; 5; 9; 8g : 3 � x+ 7 = 3 � (x+ 4)� 5g


Testul 6.9.21. Calculati: a) 4:267 � 75; b) 54 � 448; c) 291 � 38:2. Veri�cati comutativitatea înmultirii folosind numerele: a) 831 si 39; b)

65 si 541; c) 93 si 47:3. Veri�cati asociativitatea înmultirii folosind numerele: a) 15; 2 si 15; b)

31; 24 si 7:4. Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de adunare folosind numerele:

a) 45; 453 si 46; b) 13; 75 si 434; c) 83; 32 si 242:5. Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de sc¼adere folosind numerele:

a) 24; 74 si 27; b) 361; 545 si 514; c) 83; 349 si 327:6. Detreminati numerele naturale x care veri�c¼a egalit¼atile: a) 24 = 4 �

(x+ 2) ; b) 2 � (2 � x) + 5 = 3 � (x+ 2) + 7; c) 4 � (x+ 2) = 2 � (x+ 6) ; d)4 � x+ 3 � x+ 3 = 24:7. Rezolvati ecuatiile: a) 43 �x+37 �x� 30 �x = 50 �x+3 �x� 45; x 2 N; b)

3 �x+5 �x = 4 � (2x+ 4)+2; x 2 f0; 1; 9; 4; 6g ; c) 3 � (x+ 1) = 2 � (x+ 2)+7; x 2N10:8. Folosind multimile

A = fx 2 f3; 4; 2; 5; 0g : 2 � x+ 10 = 6 � (x+ 4)� 4 � x� 2 � 7g

siB = fx 2 f3; 0; 1; 5; 2; 9g : 5 � (x+ 7)� 5 � 6 = 5 � (x+ 4)� 3 � 5g


6.10 Probleme care se rezolv¼a cu ajutorul ecuati-ilor

Problema 6.10.1 Stiind c¼a suma a trei numere naturale consecutive este75; a�ati numerele.

6.10. PROBLEME CARE SE REZOLV¼A CU AJUTORUL ECUATIILOR223

R¼aspunsNot¼am cu x primul num¼ar dintre cele trei numere naturale c¼autate.Stim c¼a: x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 15:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 15; x 2 N:

Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N : x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 15g= fx 2 N : 3 � x+ 3 = 15 + 3� 3g= fx 2 N : 3 � x = 12g= fx 2 N : 3 � x = 3 � 4g= fx 2 N : x = 4g= f4g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 4:Deci, numerele c¼autate sunt 4; 5 si 6: �Problema 6.10.2 Stiind c¼a suma a trei numere naturale consecutive este

23; a�ati numerele.R¼aspunsNot¼am cu x al doilea num¼ar.Stim c¼a: (x� 1) + x+ (x+ 1) = 23:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

(x� 1) + x+ (x+ 1) = 23; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : (x� 1) + x+ (x+ 1) = 23g= fx 2 N : 3 � x = 23g�:

În concluzie, ecuatia dat¼a are solutii. Deci, problema nu poate � rezolvat¼a.�

Tema 6.10.11. Suma a patru numere naturale consecutive este 26: A�ati numerele.2. Suma a cinci numere naturale consecutive este 70: A�ati al patrulea

num¼ar.3. Suma a trei numere naturale consecutive este 153: A�ati al treilea num¼ar.Problema 6.10.3 Stiind c¼a suma a trei numere naturale consecutive este

33; a�ati al doilea num¼ar.R¼aspunsNot¼am cu x al doilea num¼ar.Stim c¼a: (x� 1) + x+ (x+ 1) = 33:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

(x� 1) + x+ (x+ 1) = 33; x 2 N:



S (E) = fx 2 N : (x� 1) + x+ (x+ 1) = 33g= fx 2 N : 3 � x = 33g= fx 2 N : 3 � x = 3 � 11g= fx 2 N : x = 11g= f11g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 11:Deci, num¼arul c¼atat este 11: �Problema 6.10.3 Ionel are de dou¼a ori mai multi lei decât Petrisor. Dac¼a

Ionel ar da lui Petrisor 1:512 lei, atunci cei doi ar avea aceeasi sum¼a. Câti leiare Petrisor si câti lei are Ionel?R¼aspunsNot¼am cu x num¼arul leilor lui Petrisor.Stim c¼a: 2 � x� 1:512 = x+ 1:512:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

2 � x� 1:512 = x+ 1:512; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : 2 � x� 1:512 = x+ 1:512g= fx 2 N : x+ x� 1:512 = x+ 1:512g= fx 2 N : x� 1:512 = 1:512 + 1:512� 1:512g= fx 2 N : x = 1:512 + 1:512g= fx 2 N : x = 3:024g= f3:024g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 3:024:Deci, Petrisor are 3:024 lei. Ionel are 2 � 3:024 = 6:048 lei. �Problema 6.10.4 Vasile are de 4 ori mai multe kilograme de mere decât

Alin. Dac¼a Vasile ar da lui Alin 14 kilograme de mere, atunci cei doi ar aveaaceeasi cantitate de mere. Câte kilograme de mere are Alin si câte kilogramede mere are Vasile?R¼aspunsNot¼am cu x num¼arul kilogramelor de mere ale lui Alin.Stim c¼a: 4 � x� 14 = x+ 14:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

4 � x� 14 = x+ 14; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : 4 � x� 14 = x+ 14g= fx 2 N : 3 � x+ x� 14 = x+ 14g= fx 2 N : 3 � x� 14 = 14 + 14� 14g= fx 2 N : 3 � x = 28g= �

6.10. PROBLEME CARE SE REZOLV¼A CU AJUTORUL ECUATIILOR225

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii: Deci, problema nu poate �rezolvat¼a.�

Tema 6.10.21. Adrian are de 3 ori mai multe caiete decât Mihai. Dac¼a Adrian ar da lui

Mihai 10 de caiete, atunci cei doi ar avea acelasi num¼ar de caiete. Câte caieteare Mihai si câte caiete are Adrian?2. Ileana are de 5 ori mai multe c¼arti cu povesti decât Maria. Dac¼a Ileana

ar da Mariei 13 de c¼arti, atunci cele dou¼a fete ar avea acelasi num¼ar de c¼arti.Câte c¼arti are Maria si câte c¼arti are Ileana?Problema 6.10.5 Dac¼a suma a trei numere impare consecutive este 33;

atunci a�ati numerele.R¼aspunsNot¼am cu x primul num¼ar dintre cele trei numere naturale impare c¼autate.Stim c¼a: x+ (x+ 2) + (x+ 4) = 33:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

x+ (x+ 2) + (x+ 4) = 33; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : x+ (x+ 2) + (x+ 4) = 33g= fx 2 N : 3 � x+ 6 = 33 + 6� 6g= fx 2 N : 3 � x = 27g= fx 2 N : 3 � x = 3 � 9g= fx 2 N : x = 9g= f9g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 9:Deci, numerele c¼autate sunt 9; 11 si 13: �Problema 6.10.6 Suma a patru numere pare consecutive este 26: A�ati

numerele.R¼aspunsNot¼am cu x primul num¼ar dintre cele patru numere naturale pare c¼autate.Stim c¼a: x+ (x+ 2) + (x+ 4) + (x+ 6) = 26:Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

x+ (x+ 2) + (x+ 4) + (x+ 6) = 26; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : x+ (x+ 2) + (x+ 4) + (x+ 6) = 26g= fx 2 N : 4 � x+ 12 = 26 + 12� 12g= fx 2 N : 4 � x = 26� 12g= fx 2 N : 4 � x = 14g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii. Deci, problema nu poate �rezolvat¼a.


�Tema 6.10.31. Suma a patru numere naturale pare consecutive este 88; a�ati numerele.2. Suma a cinci numere naturale pare consecutive este 121; a�ati numerele.Problema 6.10.7 O fetit¼a are 8 ani, iar mama sa are 38 de ani. Peste cati

ani vârsta mamei va � dublul vârstei fetitei?R¼aspunsNot¼am cu x num¼arul anilor peste care vârsta mamei va � dublul vârstei

fetitei.Stim c¼a 38 + x = 2 � (8 + x) :Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

38 + x = 2 � (8 + x) ; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : 38 + x = 2 � (8 + x)g= fx 2 N : 38 + x = 2 � 8 + 2 � xg= fx 2 N : 38 + x = 16 + x+ xg= fx 2 N : x+ 16 = 38 + 16� 16g= fx 2 N : x = 38� 16g= fx 2 N : x = 24g= f24g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 24.Deci, peste 24 de ani vârsta mamei va � dublul vârstei fetitei. �Problema 6.10.8 Alexandru are 4 ani, iar tat¼al s¼au are 41 de ani. Peste

câti ani varsta tat¼alui va � triplul vârstei b¼aiatului?R¼aspunsNot¼am cu x num¼arul anilor peste care vârsta tat¼alui va � triplul vârstei

b¼aiatului.Stim c¼a 41 + x = 3 � (4 + x) :Pentru a a�a pe x rezolv¼am ecuatia:

41 + x = 3 � (4 + x) ; x 2 N:


S (E) = fx 2 N : 41 + x = 3 � (4 + x)g= fx 2 N : 41 + x = 3 � 4 + 3 � xg= fx 2 N : 41 + x = 12 + x+ 2 � xg= fx 2 N : 2 � x+ 12 = 41 + 12� 12g= fx 2 N : 2 � x = 41� 12g= fx 2 N : 2 � x = 29g= �

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii. Deci, problema nu poate �rezolvat¼a.

6.11. EVALUARE 227

�Tema 6.10.41. O fetit¼a are 2 ani, iar mama sa are 20 de ani. Peste cati ani vârsta mamei

va � de patru ori vârsta fetitei?2. Denis are 7 ani, iar tat¼al s¼au are 35 de ani. Peste câti ani varsta tat¼alui

va � triplul vârstei b¼aiatului?Tema 6.10.5 Dou¼a numere naturale au diferenta num¼arul 226; iar cel mic

adunat cu 2 este de 8 ori mai mic decât num¼arul cel mare. A�ati cele dou¼anumere.Tema 6.10.6 Într-o livad¼a sunt 1:560 de meri, peri si pruni. Stiind c¼a

num¼arul merilor este cu 180 mai mare decât cel al perilor, iar num¼arul pruniloreste cu 30 mai mic decât cel al merilor, a�ati câti meri, peri si pruni sunt înlivad¼a.

6.11 Evaluare

Testul 6.11.11. Suma a patru numere naturale consecutive este 126: A�ati al patrulea

num¼ar.2. Ionel are de 4 ori mai multe mere decât Vasile. Dac¼a Ionel ar da lui Vasile

6 de mere, atunci cei doi ar avea acelasi num¼ar de mere. Câte caiete are Ionelsi câte mere are Vasile?3. Suma a patru numere naturale pare consecutive este 24: A�ati ultimul

num¼ar.4. O fetit¼a are 2 ani, iar mama sa are 20 de ani. Peste cati ani vârsta mamei

va � dublul vârstei fetitei?5. Diferenta a dou¼a numere naturale este 200: Num¼arul mai mic adunat cu

5 este de 4 ori mai mic decât num¼arul cel mare. A�ati cele dou¼a numere.

Testul 6.11.21. Suma a cinci numere naturale consecutive este 135: A�ati al treilea

num¼ar.2. Ileana are de 7 ori mai putine c¼arti cu povesti decât Denisa. Dac¼a Denisa

ar da Ilenei 12 de c¼arti, atunci cele dou¼a fete ar avea acelasi num¼ar de c¼arti.Câte c¼arti are Ileana si câte c¼arti are Denisa?3. Suma a patru numere naturale impare consecutive este 24: A�ati al treilea

num¼ar.4. Gheorghe are 4 ani, iar tat¼al s¼au are 40 de ani. Peste câti ani varsta

tat¼alui va � de cinci ori mai mare decât vârsta b¼aiatului?5. Într-o livad¼a sunt 1:500 de meri si pruni. Stiind c¼a num¼arul merilor este

de 4 ori mai mare decât num¼arul perilor adunat cu 50: A�ati câti meri si câtiperi sunt în livad¼a.


6.12 Inegalit¼ati. Inecuatii

Propozitia 6.12.1 Dac¼a m;n 2 N; astfel încât m � n; atunci m � p � n � p;oricare ar � p 2 N:

Demonstratie

Fie r 2 N astfel încât n = m+ r.Fie p 2 N arbitrar.Folosind distributivitatea înmultirii fat¼a de adunare obtinem

n � p = m � p+ r � p:

Cum r � p � 0; rezult¼a c¼a m � p � n � p: q.e.d.

Consecinta 6.12.1 Dac¼a m;n 2 N si p 2 N� astfel încât m � p < n � p;atunci m < n:

Demonstratie

Presupunem, prin absurd, c¼a m � n:Folosind propozitia precedent¼a, rezult¼a c¼a m � p � n � p: Contradictie!

q.e.d.Propozitia 6.12.2 Dac¼a m;n 2 N; astfel încât m < n; atunci m � p < n � p;

oricare ar � p 2 N�:

Demonstratie

Fie r 2 N� astfel încât n = m+ r.Fie p 2 N� arbitrar.Folosind distributivitatea înmultirii fat¼a de adunare obtinem

n � p = m � p+ r � p:

Cum r � p > 0; rezult¼a c¼a m � p � n � p: q.e.d.

Consecinta 6.12.2 Dac¼a m;n 2 N si p 2 N� astfel încât m � p � n � p;atunci m � n:

Demonstratie

Presupunem, prin absurd, c¼a m > n:

Folosind propozitia precedent¼a, rezult c¼a m � p > n � p: Contradictie!


q.e.d.

Problema 6.12.1 Rezolvatie inecuatiile: a) 4 � x � 3 � x + 6; x 2 N; b)5+7+4�x+3 � x+24; x 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g ; c) 2�(2 + x)+5�(x+ 3) < 2�(7 + x)+5; x 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g ; d) 7 � x + 3 � x + 3 > 103; x 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g ; e)3 � (2 � x+ 6) > 7 � x � 3; x 2 f7; 57; 1; 41; 39g ; f) 2 � x + 5 � x + 8 > 22; x 2f1; 4; 20; 9; 23; 81g g) 3 � x+ 11 � x+ 4 � x+ 5 � 4 � x+ 13; x 2 N; h) 5 � x+ 7 +2 � x+ 3 + x� 2 � x+ 15; x 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g :R¼aspunsa) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : 4 � x� 3 � x+ 6g= fx 2 N : 3 � x+ x� 3 � x+ 6g= fx 2 N : 3 � x� 3 � 6 + 3� 3g= fx 2 N : 3 � x � 9g= fx 2 N : 3 � x � 3 � 3g= fx 2 N : x � 3g= f3; 4; 5; :::g

În concluzie, inecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele3; 4; 5; :::

b) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor ecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 5 + 7 + 4 � x+ 3 � x+ 24g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 15 + 3 � x+ x � x+ 24g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 15 + 3 � x � 24 + 15� 15g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 3 � x � 24� 15g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 3 � x � 9g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : 3 � x � 3 � 3g= fx 2 f2; 5; 7; 9; 1; 8g : x � 3g= f5; 7; 9; 8g :

În concluzie, inecuatia dat¼a are patru solutii si acestea sunt numerele 5; 7; 9si 8:c) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g : 2 � (2 + x) + 5 � (x+ 3) < 2 � (7 + x) + 5g= fx 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g : 2 � 2 + 2 � x+ 5 � x+ 5 � 3 < 2 � 7 + 2 � x+ 5g= fx 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g : 4 + 5 � x+ 15 < 14 + 5g= fx 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g : 5 � x+ 19 < 19g= fx 2 f3; 17; 20; 4; 9; 10g : 5 � x < 0g= �:

În concluzie, inecuatia dat¼a nu are solutii.


d) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : 7 � x+ 3 � x+ 3 > 103g= fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : (7 + 3) � x+ 3 > 103 + 3� 3g= fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : 10 � x > 103� 3g= fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : 10 � x > 100g= fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : 10 � x > 10 � 10g= fx 2 f60; 5; 25; 4; 33; 8g : x > 10g= f60; 25; 33g

În concluzie, inecuatia dat¼a are trei solutii si acestea sunt numerele 60; 25 si33.e) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f7; 57; 1; 41; 39g : 3 � (2 � x+ 6) > 7 � x� 3g= fx 2 f7; 57; 1; 41; 39g : 3 � 2 � x+ 3 � 6 > 7 � x� 3g= fx 2 f7; 57; 1; 41; 39g : 6 � x+ 18 > 6 � x+ x� 3g= fx 2 f7; 57; 1; 41; 39g : x� 3 < 18 + 3� 3g= fx 2 f7; 57; 1; 41; 39g : x < 21g= f7; 1g

În concluzie, inecuatia dat¼a are dou¼a solutii si acestea sunt numerele 7 si 1:f) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : 2 � x+ 5 � x+ 8 > 22g= fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : (2 + 5) � x+ 8 > 22 + 8� 8g= fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : 7 � x > 22� 8g= fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : 7 � x > 14g= fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : 7 � x > 7 � 2g= fx 2 f1; 4; 20; 9; 23; 81g : x > 2g= f4; 20; 9; 23; 81g

În concluzie, inecuatia dat¼a are cinci solutii si acestea sunt numerele 4; 20; 9; 23si 81:g) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 N : 3 � x+ 11 � x+ 4 � x+ 5 � 4 � x+ 13g= fx 2 N : (3 + 11) � x+ 5 � 13g= fx 2 N : 14 � x+ 5 � 13 + 5� 5g= fx 2 N : 14 � x � 13� 5g= fx 2 N : 14 � x � 8g= f1; 2; 3; :::g

În concluzie, inecuatia dat¼a are o in�nitate de solutii si acestea sunt numerele1; 2; 3; :::


h) Not¼am cu (I) inecuatia dat¼a si cu S (I) multimea solutiilor inecuatiei (I) :

S (I) = fx 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g : 5 � x+ 7 + 2 � x+ 3 + x� 2 � x+ 15g= fx 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g : (5 + 2) � x+ 8 � 15g= fx 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g : 7 � x+ 8 � 15 + 8� 8g= fx 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g : 7 � x � 7 � 1g= fx 2 f0; 27; 8; 10; 1; 9g : x � 1g= f27; 8; 10; 1; 9g

În concluzie, inecuatia dat¼a are o cinci solutii si acestea sunt numerele27; 8; 10; 1 si 9: �Tema 6.12.1 Rezolvatie inecuatiile: a) 5 � (2 � x� 3) � 5 � x+5; x 2 N2; b)

(2 + 4 � x)�3 � 15�x�6; x 2 N�; c) 4�x+3 > 2�(x+ 1)+9; x 2 f3; 1; 2; 14; 9; 0g ;d) 3 � (x+ 2) + 4 � x > 20; x 2 f0; 5; 65; 34; 13; 8g ; e) 3 � (2 � x+ 1) > 7 � x; x 2f0; 17; 5; 11; 21; 9g ; f) 5�x�2�x+8 > 20; x 2 f1; 4; 2; 9; 3; 8g g) 3�x+5�x+4�x+5 �5�x+12; x 2 N; h) 3�x+9+2�x+4+x�2 � 2�x+3�x+20; x 2 f30; 7; 18; 0; 11; 9g :Problema 6.12.2 Folosind multimile

A = fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : 2 � x� x+ 4 � x+ 5 � 4 � x+ 13g

si

B = fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : 145 � x+ 234 � x� 564 � 2 � (189 � x) + 6g


A = fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : 2 � x� x+ 4 � x+ 5 � 4 � x+ 13g= fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : (2� 1) � x+ 5 � 13g= fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : x+ 5 � 13 + 5� 5g= fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : x � 13� 5g= fx 2 f5; 10; 4; 23; 8g : x � 8g= f5; 4; 8g

si

B = fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : 145 � x+ 234 � x� 564 � 2 � (189 � x) + 6g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : (145 + 234) � x� 564 � 378 � x+ 6g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : 379 � x� 564 � 378 � x+ 6g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : 378 � x+ x� 564 � 378 � x+ 6g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : x� 564 � 6 + 564� 564g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : x � 6 + 564g= fx 2 f2; 9; 10; 23; 5g : x � 570g= f2; 9; 10; 23; 5g

Folosind formula



obtinemA nB = f4; 8g :

Folosind formula


obtinemA \B = f5g :

Folosind formula


obtinemB nA = f2; 9; 10; 23g :

Folosind formula


obtinemA [B = f4; 8; 5; 2; 9; 10; 23g :


A = fx 2 f15; 0; 14; 2; 8; 23g : 2 � (x+ 3) + 7 � 3 � (x+ 2)g

siB = fx 2 f12; 19; 10; 23; 15g : 5 � (x+ 3) + 7 > 5 � (x+ 7)g


6.13 Evaluare

Testul 6.13.11. Rezolvati inecuatiile: a) 5�(3 � x� 2) � 7�x+25; x 2 N2; b) (2 + 3 � x)�4 �

25 � x� 28; x 2 N�; c) 5 � x+ 7 > 2 � (x+ 3) + 10; x 2 f3; 0; 2; 4; 9g :2. Rezolvati ecuatiile: a) 7 �x�3 �x+7 = 3 �x+5+12; x 2 f2; 4; 6; 7; 10g ; b)

41 �x�39 �x = 6 �x+4 �x�40; x 2 f2; 5; 7; 6g ; c) 21+5 �x = 4 �x�33; x 2 N3:3. Folosind multimile

A = fx 2 f5; 0; 1; 2; 8g : 2 � (x+ 2) + 10 � 4 � (x+ 2)g

siB = fx 2 f2; 9; 10; 3; 5g : 5 � (x+ 1) + 7 > 5 � (x+ 2) + 1g


6.14. PUTERI 233

Testul 6.13.21. Rezolvati inecuatiile: a) 5 � (x+ 3) + 4 � x > 33; x 2 f0; 5; 6; 1; 8g ; b)

3�(6 � x� 7) > 10�x+11; x 2 N; c) 8�x�5�x+8 > 2�x+20; x 2 f1; 4; 2; 39; 23; 8g :2. Rezolvati ecuatiile: a) 43 � x + 34 � x � 55 � x = 265 � 45; x 2 N; b)

2 �x+5 �x+24 = 4 � (2x+ 2)+2; x 2 N10; c) 4 � (x� 5) = 3 � (x+ 4)+7; x 2 N�:3. Folosind multimile

A = fx 2 f1; 0; 7; 2; 8; 3g : 4 � (x� 3) � 2 � (x+ 1)g

siB = fx 2 f1; 9; 0; 2; 5g : 3 � (x+ 3) + 2 > 2 � (x+ 7)g


6.14 Puteri

De�nitia 6.14.1 Dac¼a m 2 N; atunci pentru �ecare n 2 N de�nim num¼arulnatural

(6:14:1) mn =

�1; n = 0

mn�1 �m; n 6= 0

pe care îl citim "m la puterea n".Remarca 6.14.1 Dac¼a m 2 N; atunci

m1 = m

si

(6:14:2)mn = m �m � ::: �m| {z }

n ori

oricare ar � n 2 N2:Propozitia 6.14.1 Oricare ar �m 2 N� avem:

(6:14:3) 0m = 0:

Demonstratie

Fie M = fm 2 N� : 0m = 0g :Folosind de�nitia precedent¼a rezult¼a c¼a 1 2M:Fie m 2 N astfel încât m � 2:Admitem c¼a m� 1 2M:Deoarece 0m = 0m�1 � 0 = 0 � 0 = 0 rezult¼a c¼a m 2M:Folosind teorema fundamental¼a rezult¼a M = N�. q.e.d.


Problema 6.14.1 Folosind formula (6:14:1) calculati: a) 23; b) 52; c) 103;d) 84; e) 123:R¼aspunsa) 23 = 2 � 2 � 2 = 4 � 2 = 8:b) 52 = 5 � 5 = 25:c) 103 = 10 � 10 � 10 = 100 � 10 = 1:000:d) 84 = 8 � 8 � 8 � 8 = 64 � 64 = 64 � 60 + 64 � 4 = 3:840 + 256 = 4:096:e) 123 = 12 � 12 � 12 = 144 � 12 = 144 � 10 + 144 � 2 = 1:440 + 288 = 1:728: �Tema 6.14.1 Folosind formula (6:14:1) calculati: a) 43; b) 72; c) 83; d) 64;

e) 143; f) 132; g) 10004; h) 64 i) 252; j) 1002; k) 26:Propozitia 6.14.2 Oricare ar �m 2 N si oricare ar � n; p 2 N avem

(6:14:4) mn �mp = mn+p:

Demonstratie

Fie m 2 N si n 2 N arbitrare.Fie P = fp 2 N : mn �mp = mn+pg :Deoarece

mn �m0 = mn � 1 = mn = mn+0

rezult¼a c¼a 0 2 P:Fie p 2 N astfel încât p 6= 0:Admitem c¼a p� 1 2 P:Deoarece

mn �mp = mn ��mp�1 �m

�=�mn �mp�1� �m

= mn+(p�1) �m= m(n+p)�1 �m= mn+p

rezult¼a c¼a p 2 P:Folosind teorema fundamental¼a rezult¼a P = N. q.e.d.

De retinut: Formula (6; 14:4) se poate extinde si obtinem formula

(6:14:4)0 mn1 �mn2 � ::: �mnk = mn1+n2+:::+nk

oricare ar �m 2 N si oricare ar � n1; n2; :::; nk 2 N.

Propozitia 6.14.3 Dac¼a n; p 2 N astfel încât n < p; atunci mn < mp;oricare ar �m 2 N2:

Demonstratie

Fie m 2 N2 arbitrar.Fie r > 0 astfel încât p = n+ r:

Deoarece mp = mn+r = mn �mr si mr � 2 rezult¼a c¼a mp > mn:q.e.d.

6.14. PUTERI 235

Problema 6.14.2 Comparati numerele: a) 23 si 25; b) 58 si 55; c) 103 si1025:

R¼aspunsa) Deoarece 3 < 5 rezult¼a c¼a 23 < 25:b) Deoarece 8 > 5 rezult¼a c¼a 58 > 55:c) Deoarece 3 < 25 rezult¼a c¼a 103 < 1025: �Tema 6.14.2 Comparati numerele: a) 63 si 65; b) 712 si 79; c) 213 si 2115;

d) 6314 si 635; e) 123 si 125; f) 2510 si 255; g) 1002 si 1005; h) 126 si 1215:Propozitia 6.14.4 Dac¼a m 2 N2 si n; p 2 N astfel încât mn = mp; atunci

n = p:

Demonstratie

Presupunem, prin absurd, c¼a n 6= p:

F¼ar¼a a restrânge generalitatea, admitem c¼a n < p:

Folosind propozitia precedent¼a rezult¼a c¼a mn < mp: Contradictie! q.e.d.

Problema 6.14.3 Rezolvati ecuatiile: a) 23 � 2x = 27; x 2 N; b) 33 � 3x�1 =35; x 2 N2; c) 12x � 12x+3 = 127; x 2 N3; d) 23 � 22�x � 24 = 211; x 2 N; e)2313 � 235�x�13 = 235; x 2 N4; f) 202�x � 202 � 20x � 203 = 207�2; x 2 N5:R¼aspunsa) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 N : 23 � 2x = 27

=�x 2 N : 23+x = 27

= fx 2 N : 3 + x = 7 + 3� 3g= fx 2 N : x = 7� 3g= fx 2 N : x = 4g= f4g


S (E) =�x 2 N2 : 33 � 3x�1 = 35

=�x 2 N2 : 33+x�1 = 35

= fx 2 N2 : 3 + x� 1 = 5g= fx 2 N2 : 2 + x = 5 + 2� 2g= fx 2 N2 : x = 5� 2g= fx 2 N2 : x = 3g= f3g




S (E) =�x 2 N3 : 12x � 12x+3 = 127

=�x 2 N3 : 12x+x+3 = 127

= fx 2 N3 : 2 � x+ 3 = 7 + 3� 3g= fx 2 N3 : 2 � x = 4g= fx 2 N3 : 2 � x = 2 � 2g= fx 2 N3 : x = 2g= �

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii:d) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 N : 23 � 22�x � 24 = 211

=�x 2 N : 23+2�x+4 = 1211

= fx 2 N : 3 + 2 � x+ 4 = 11g= fx 2 N : 2 � x+ 7 = 11 + 7� 7g= fx 2 N : 2 � x = 4g= fx 2 N : x = 2g= f2g :


S (E) =�x 2 N4 : 2313 � 235�x�13 = 235

=�x 2 N4 : 2313+5�x�13 = 235

= fx 2 N4 : 13 + 5 � x� 13 = 5g= fx 2 N4 : 5 � x = 5 � 1g= fx 2 N4 : x = 1g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii:f) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 N5 : 202�x � 202 � 20x � 203 = 207�2

=�x 2 N5 : 202�x+2+x+3 = 2014

= fx 2 N5 : 2 � x+ 2 + x+ 3 = 14g= fx 2 N5 : 3 � x+ 5 = 14 + 5� 5g= fx 2 N5 : 3 � x = 9g= fx 2 N5 : x = 3g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii: �Tema 6.14.3 Rezolvati ecuatiile: a) 54�5x = 57; x 2 f1; 6; 7g ; b) 34�32�x�3 =

37; x 2 N; c) 7x � 7x�3 = 77; x 2 N3; d) 23 � 24�x � 22�x = 214; x 2 N; e)4115 � 415�x�13 = 415; x 2 f7; 2; 9; 1g ; f) 102�x � 10x � 103 = 105�3; x 2 N2:Propozitia 6.14.5 Oricare ar �m 2 N si oricare ar � n; p 2 N avem

(6:14:5) (mn)p= mn�p:

6.14. PUTERI 237

Demonstratie

Fie m 2 N si n 2 N arbitrare.Fie P = fp 2 N : (mn)

p= mn�pg :

Deoarece(mn)

0= 1 = m0 = mn�0


(mn)p= (mn)

p�1 �mn

= mn�(p�1) �mn

= mn�(p�1)+n

= mn�p

rezult¼a c¼a p 2 P: Folosind teorema fundamental¼a rezult¼a P = N. q.e.d.

Problema 6.14.4 Rezolvati ecuatiile: a)�23�x=�22�6; x 2 N; b)

�3x�1

�3=

36; x 2 f1; 4; 0; 2g ; c)�12x+3

�5= 1225; x 2 N3; d)

�23�2�x � �24�3 = 236; x 2

f6; 2; 4; 9; 11g ; e)�75�x�13

�2= 74; x 2 f4; 12; 7; 3g ; f)

�202�x

�5 �203 = 2018; x 2N5:R¼aspunsa) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 N :

�23�x=�22�6o

=�x 2 N : 23�x = 22�6

= fx 2 N : 3 � x = 12g= fx 2 N : 3 � x = 3 � 4g= fx 2 N : x = 4g= f4g


S (E) =nx 2 f1; 4; 0; 2g :

�3x�1

�3= 36

o=�x 2 f1; 4; 0; 2g : 33�(x�1) = 36

= fx 2 f1; 4; 0; 2g : 3 � x� 3 � 1 = 6g= fx 2 f1; 4; 0; 2g : 3 � x� 3 = 6 + 3� 3g= fx 2 f1; 4; 0; 2g : 3 � x = 3 � 3g= fx 2 f1; 4; 0; 2g : x = 3g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii:



S (E) =nx 2 N3 :

�12x+3

�5= 1225

o=�x 2 N3 : 125�(x+3) = 1225

= fx 2 N3 : 5 � x+ 5 � 3 = 25g= fx 2 N3 : 5 � x+ 15 = 25 + 15� 15g= fx 2 N3 : 5 � x = 5 � 2g= fx 2 N3 : x = 2g= �:


S (E) =nx 2 f6; 2; 4; 9; 11g :

�23�2�x � �24�3 = 236o

=�x 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 23�(2�x) � 24�3 = 236

=�x 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 26�x � 212 = 236

=�x 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 26�x+12 = 236

= fx 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 6 � x+ 12 = 36 + 12� 12g= fx 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 6 � x = 24g= fx 2 f6; 2; 4; 9; 11g : 6 � x = 6 � 4g= fx 2 f6; 2; 4; 9; 11g : x = 4g= f4g


S (E) =nx 2 f4; 12; 7; 3g :

�75�x�13

�2= 74

o=�x 2 f4; 12; 7; 3g : 72�(5�x�13) = 74

= fx 2 f4; 12; 7; 3g : 2 � (5 � x� 13) = 4g= fx 2 f4; 12; 7; 3g : 10 � x� 2 � 13 = 4g= fx 2 f4; 12; 7; 3g : 10 � x� 26 = 4 + 26� 26g= fx 2 f4; 12; 7; 3g : 10 � x = 30g= fx 2 f4; 12; 7; 3g : 10 � x = 10 � 3g= fx 2 f4; 12; 7; 3g : x = 3g= f3g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 3:f) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 N5 :

�202�x

�5 � 203 = 2018o=�x 2 N5 : 205�(2�x) � 203 = 2018

=�x 2 N5 : 2010�x+3 = 2018

= fx 2 N5 : 10 � x+ 3 = 18 + 3� 3g= fx 2 N5 : 10 � x = 15g= �:

6.14. PUTERI 239

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii: �Tema 6.14.4 Rezolvati ecuatiile: a)

�53�x=�52�7; x 2 N; b)

�3x+1

�2=�

32�x+1

; x 2 f1; 5; 10; 12; 2g ; c)�22x+2

�6=�224�9; x 2 N; d)

�103�2�x ��

108�3= 1036; x 2 f6; 0; 9; 1g ; e)

�75�x�8

�3= 76; x 2 f4; 12; 7; 2; 3g ; f)�

202�x�4 � 205 = 2037; x 2 N3:

Propozitia 6.14.6 Oricare ar �m;n 2 N si oricare ar � p 2 N avem

(6:14:6) mp � np = (m � n)p :

Demonstratie

Fie m;n 2 N si p 2 N arbitrare.Fie P = fp 2 N : mp � np = (m � n)pg :Deoarece

m0 � n0 = 1 � 1 = 1 = (m � n)0


mp � np =�mp�1 �m

��np�1 � n

�=�mp�1 � np�1

�� (m � n)

= (m � n)p�1 � (m � n)= (m � n)p

rezult¼a c¼a p 2 P: Folosind teorema fundamental¼a rezult¼a P = N. q.e.d.

Problema 6.14.5 Rezolvati ecuatiile: a) 63�(6x)2 = 27�37; x 2 f3; 9; 13; 0; 2g ;b) 103 � 10x�1 = 27 � 57; x 2 N2; c) 12x �

�12x+3

�2= 312 � 412; x 2 f1; 7; 23; 5; 0g ;

d) 153 ��152�x= 511 � 311; x 2 N; e) 4413 � 443�x�13 = 49 � 119; x 2 N3; f)

203�x � 205 = 514 � 414; x 2 f1; 3; 7; 0; 5g :R¼aspunsa) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 f3; 9; 13; 0; 2g : 63 � (6x)2 = 27 � 37

o=nx 2 f3; 9; 13; 0; 2g : 63 � 62�x = (2 � 3)7

o=�x 2 f3; 9; 13; 0; 2g : 63+2�x = 67

= fx 2 N : 3 + 2 � x = 7 + 3� 3g= fx 2 N : 2 � x = 4g= f2g



b) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 N2 : 103 � 10x�1 = 27 � 57

=nx 2 N2 : 103+x�1 = (2 � 5)7

o=�x 2 N2 : 102+x = 107

= fx 2 N2 : 2 + x = 7 + 2� 2g= fx 2 N2 : x = 5g= f5g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 5:c) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 f1; 7; 23; 5; 0g : 12x �

�12x+3

�2= 312 � 412

o=nx 2 f1; 7; 23; 5; 0g : 12x � 122�(x+3) = (3 � 4)12

o=�x 2 f1; 7; 23; 5; 0g : 12x+2�x+2�3 = 1212

= fx 2 f1; 7; 23; 5; 0g : 3 � x+ 6 = 12 + 6� 6g= fx 2 f1; 7; 23; 5; 0g : 3 � x = 6g= fx 2 f1; 7; 23; 5; 0g : x = 2g= �


S (E) =�x 2 N : 153 �

�152�x= 511 � 311

=nx 2 N : 153 � 152�x = (5 � 3)11

o=�x 2 N : 153+2�x = 1511

= fx 2 N : 3 + 2 � x = 11 + 3� 3g= fx 2 N : 2 � x = 8g= fx 2 N : x = 4g= f4g


S (E) =�x 2 N3 : 4413 � 443�x�13 = 49 � 119

=nx 2 N3 : 4413+3�x�13 = (4 � 11)9

o=�x 2 N3 : 443�x = 449

= fx 2 N3 : 3 � x = 9g= fx 2 N3 : x = 3g= f3g


6.15. EVALUARE 241

f) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 f1; 3; 7; 0; 5g : 203�x � 205 = 514 � 414

=nx 2 f1; 3; 7; 0; 5g : 203�x+5 = (5 � 4)14

o=�x 2 f1; 3; 7; 0; 5g : 203�x+5 = 2014

= fx 2 f1; 3; 7; 0; 5g : 3 � x+ 5 = 14 + 5� 5g= fx 2 f1; 3; 7; 0; 5g : 3 � x = 9g= fx 2 f1; 3; 7; 0; 5g : x = 3g= f3g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 3: �Tema 6.14.5 Rezolvati ecuatiile: a) 154�(15x)3 = 519�319; x 2 f13; 5; 11; 10; 2g ;

b) 203 � 20x+5 = 410 � 510; x 2 N2; c) (6x)2 ��62�x+4

�2= 312 � 212; x 2

f10; 7; 2; 51; 10g ; d) 246��245�x= 811�311; x 2 N7; e) 3312�333�x�9 = 39�119; x 2

N3; f) 507�x � 5010 = 514 � 1014; x 2 f11; 33; 17; 10; 15g :

6.15 Evaluare

Testul 6.15.11. Comparati numerele: a) 63 si 25 � 35; b)

�72�6si 79; c) 213 si 715 � 315; d)�

62�7si 65; e) 43 � 33 si 35 � 45:

2. Rezolvati ecuatiile: a) 52 � 5x = 57; x 2 N; b) 35 � 32�x�4 = 37; x 2 N5; c)17x � 17x+3 = 1717; x 2 N10:3. Rezolvati ecuatiile: a)

�63�x=�63�4; x 2 N; b)

�3x�2

�4= 310; x 2

f1; 4; 0; 3; 2g ; c)�112�x+3

�5= 1135; x 2 N3:

4. Rezolvati ecuatiile: a) 154 � (15x)3 = 510 � 310; x 2 f3; 5; 1; 2g ; b) 205 �202�x+5 = 420 � 520; x 2 N3; c) (6x)2 �

�62�x+1

�3= 319 � 219; x 2 f10; 7; 2; 1; 0g :

Testul 6.15.21. Comparati numerele: a) 87 si 25 �45; b) 192 si

�193�3; c)

�244�5si 815 �315;

d) 934 si�95�5; e) 713 � 313 si 35 � 75:

2. Rezolvati ecuatiile: a) 230 � 24�x � 25�x = 2102; x 2 N; b) 415 � 45�x�3 =437; x 2 f0; 2; 4; 1; 5g ; c) 102�x � 103�x � 105 = 1020; x 2 N2:3. Rezolvati ecuatiile: a)

�123�3�x � �123�3 = 1236; x 2 N; e)

�72�x�1

�2=

710; x 2 f4; 2; 0; 3; 1g ; f)�22�x

�5 � 24 = 214; x 2 N5:4. Rezolvati ecuatiile: a) 204 �

�205�x= 519 �419; x 2 N7; b)

�32�6 �33�(x�2) =

39; x 2 N5; c) 107�x � 1020 =�52�17 � 234; x 2 f1; 3; 7; 0; 5g :


6.16 Împ¼artirea numerelor naturale

Teorema 6.16.1 Dac¼a m;n 2 N astfel încât n 6= 0; atunci exist¼a în modunic q; r 2 N astfel încât r < n si m = n � q + r:m se numeste deîmp¼artit, iar n se numeste împ¼artitor.q se numeste câtul, iar r se numeste restul împ¼artirii lui m la n.Dac¼a r = 0; atunci vom spune c¼a împ¼artirea lui m la n s-a f¼acut exact si

vom scrie: m : n = q sau mn = q:

Dac¼a r = 0; atunci vom mai spune c¼a n este divizor al lui m sau c¼a m estemultiplu de n:

Demonstratie

Consider¼am multimea S = fs 2 N : 9q 2 N : m = n � q + rg :Deoarece m = n � 0 + m rezult¼a c¼a S 6= �: Fie r primul element almultimii S:

Dac¼a, prin absurd, am presupune c¼a r � n; atunci

(1) r = n+ (r � n) :

Din (1) si ipotez¼a rezult¼a c¼a

(2) m = n � (q + 1) + (r � n) :

Cum r este primul element al multimii S; folosind (2) ; rezult¼a c¼a r �r � n: Contradictie!1. Deci, am veri�cat existenta numerelor q si r astfel încât r < n sim = n � q + r.Fie q0 si r0 alte numere naturale astfel încât r0 < n si m = n � q0 + r0:Dac¼a q < q0; atunci q0 � q > 0 si

q0 = q + (q0 � q)m

n � q0 = n � q + n � (q0 � q)m

n � q0 + r0 = n � q + [n � (q0 � q) + r0]m

m = n � q + [n � (q0 � q) + r0] :

Deci, n � (q0 � q) + r0 = r:Cum n � (q0 � q) + r0 � n+ r0 � n; rezult¼a c¼a r � n: Contradictie!

6.16. ÎMP¼ARTIREA NUMERELOR NATURALE 243

Dac¼a q0 < q; atunci q � q0 > 0 si

q = q0 + (q � q0)m

n � q = n � q0 + n � (q � q0)m

n � q + r = n � q0 + [n � (q � q0) + r]m

m = n � q0 + [n � (q � q0) + r] :

Deci, n � (q � q0) + r = r0:Cum n � (q � q0) + r � n+ r � n; rezult¼a c¼a r0 � n: Contradictie!Deoarece dreapta ]�1;+1[ este total ordonat¼a rezult¼a c¼a trebuie s¼aavem q = q0:

Deci,n � q + r = m = n � q + r0

mr = r0:

2. Asadar, am veri�cat unicitatea numerelor q si r astfel încât r < n sim = n � q + r. Folosind a�rmatiile 1. si 2. rezult¼a concluzia teoremei.q.e.d.

Problema 6.16.1 Determinati câtul si restul împ¼artirii numerelor: a) 74 si5; b) 124 si 15; c) 643 si 51;R¼aspunsa) Pasul 1. Realiz¼am scrierea:

74 574 5

Pasul 2. C¼aut¼am cel mai mare num¼ar natural care înmultit cu 5 s¼a dea unnum¼ar mai mic sau egal decât 7: Num¼arul c¼autat este 1:

1 � 5 = 5; 7� 5 = 2

si scriem:74 5

152

74 515

2

Pasul 3. Coborâm num¼arul 4 si scriem:

74 515

2 4

74 515

2 4


Pasul 4. C¼aut¼am cel mai mare num¼ar natural care înmultit cu 5 s¼a dea unnum¼ar mai mic sau egal decât 24: Num¼arul c¼autat este 4:

4 � 5 = 20; 24� 20 = 4

si scriem:74 5

152 4

4

204

74 515

2 44

204

Pasul 5. Câtul împ¼artirii este 14; iar restul împ¼artirii este 4: Avem egali-tatea:

74 = 5 � 14 + 4:b) Pasul 1. Realiz¼am scrierea:

124 15124 15

Pasul 2. C¼aut¼am cel mai mare num¼ar natural care înmultit cu 15 s¼a deaun num¼ar mai mic sau egal decât 12: Num¼arul c¼autat este 0:

0 � 15 = 0; 12� 0 = 12

si scriem:124 150

120

124 150

120


124 150

1240

124 150

1240


8 � 15 = 120; 124� 120 = 4

si scriem:124 150

12408

124120

4

124 150

12408

124120

4

Pasul 5. Câtul împ¼artirii este 8; iar restul împ¼artirii este 4: Avem egalitatea:

124 = 15 � 8 + 4:


c) Pasul 1. Realiz¼am scrierea:

643 51643 51

Pasul 2. C¼aut¼am cel mai mare num¼ar natural nenul care înmultit cu 51 s¼adea un num¼ar mai mic sau egal decât 64: Num¼arul c¼autat este 1:

1 � 51 = 51; 64� 51 = 13

si scriem:643 51

15113

643 51151

13


643 51151

133

643 51151

133


1 � 51 = 102; 133� 102 = 31

si scriem:643 51

1251133102

31

643 511251

133102

31

Pasul 5. Câtul împ¼artirii este 12; iar restul împ¼artirii este 31: Avem egali-tatea:

643 = 51 � 12 + 31:

�Tema 6.16.1 Determinati câtul si restul împ¼artirii numerelor: a) 224 si 7;

b) 358 si 11; c) 1:345 si 18; d) 34 si 7; e) 156 si 74; f) 845 si 80:Remarca 6.16.1 Dac¼a m;n; p 2 N astfel restul împ¼artirii lui n la p este

zero, atunci

(6:16:1) m�np = m � np :

Problema 6.16.2 Suma a dou¼a numere naturale este 122: Împ¼artind num¼arulmai mare la cel mic obtinem câtul 4 si restul 7: A�ati numerele.R¼aspunsFie x si y numerele c¼autate astfel încât x � y:


Stim c¼a

(1) x+ y = 122

si

(2) x = 4 � y + 7:

Folosind (1) si (2) obtinem egalitatea: 4 � y + 7 + y = 122:Pentru a a�a pe y rezolv¼am ecuatia: 4 � y + 7 + y = 122; y 2 N:Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fy 2 N : 4 � y + 7 + y = 122g= fy 2 N : (4 + 1) � y + 7 = 122 + 7� 7g= fy 2 N : 5 � y = 115g=�y 2 N : 5 � y = 115

5 � 5

=�y 2 N : y = 115

5

= fy 2 N : y = 23g= f23g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 23:Deci, num¼arul cel mic este 23:Folosind egalitatea (2) obtinem x = 4 � 23 + 7 = 92 + 7 = 99:Deci, num¼arul cel mare este 99: �Problema 6.16.3 Suma a dou¼a numere naturale este 62: Împ¼artind num¼arul

mai mare la cel mic obtinem câtul 7 si restul 4: A�ati numerele.R¼aspunsFie x si y numerele c¼autate astfel încât x � y:Stim c¼a

(1) x+ y = 62

si

(2) x = 7 � y + 4:

Folosind (1) si (2) obtinem egalitatea: 7 � y + 4 + y = 62:Pentru a a�a pe y rezolv¼am ecuatia: 7 � y + 4 + y = 62; y 2 N:Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fy 2 N : 7 � y + 4 + y = 62g= fy 2 N : (7 + 1) � y + 4 = 62 + 4� 4g= fy 2 N : 8 � y = 58g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii. Deci, problema nu are solutii. �Tema 6.16.2


1. Suma a dou¼a numere naturale este 513: Împ¼artind num¼arul mai mare lacel mic obtinem câtul 50 si restul 3: A�ati numerele.2. Suma a dou¼a numere naturale este 70: Împ¼artind num¼arul mai mare la

cel mic obtinem câtul 17 si restul 2: A�ati numerele.3. Determinati numerele naturale pentru care:a) suma este 260; câtul este 5; iar restul este 2;b) suma este 103; câtul este 4; iar restul este 3;c) suma este 238; câtul este 7; iar restul este 6:Problema 6.16.4 Diferenta a dou¼a numere naturale este 207: Împ¼artind

num¼arul mai mare la cel mic obtinem câtul 21 si restul 7: A�ati numerele.R¼aspunsFie x si y numerele c¼autate astfel încât x � y:Stim c¼a

(1) x� y = 207

si

(2) x = 21 � y + 7:

Folosind (1) si (2) obtinem egalitatea: 21 � y + 7� y = 207:Pentru a a�a pe y rezolv¼am ecuatia: 21 � y + 7� y = 207; y 2 N:Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fy 2 N : 21 � y + 7� y = 207g= fy 2 N : (21� 1) � y + 7 = 207 + 7� 7g= fy 2 N : 20 � y = 200g=�y 2 N : 20 � y = 200

20 � 20

= fy 2 N : y = 10g= f10g

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 10:Deci, num¼arul cel mic este 10:Folosind egalitatea (2) obtinem x = 21 � 10 + 7 = 210 + 7 = 217:Deci, num¼arul cel mare este 210: �Problema 6.16.5 Diferenta a dou¼a numere naturale este 12: Dac¼a îm-

p¼artind num¼arul mai mare la cel mic obtinem câtul 13 si restul 5; atunci a�atinumerele.R¼aspunsFie x si y numerele c¼autate astfel încât x � y:Stim c¼a

(1) x� y = 62

si

(2) x = 13 � y + 5:


Folosind (1) si (2) obtinem egalitatea: 13 � y + 5� y = 62:Pentru a a�a pe y rezolv¼am ecuatia: 13 � y + 5� y = 62; y 2 N:Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fy 2 N : 13 � y + 5� y = 62g= fy 2 N : (13� 1) � y + 5 = 62 + 5� 5g= fy 2 N : 12 � y = 57g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii. Deci, problema nu are solutii. �Tema 6.16.31. Diferenta a dou¼a numere naturale este 53: Împ¼artind num¼arul mai mare

la cel mic obtinem câtul 4 si restul 2: A�ati numerele.2. Diferenta a dou¼a numere naturale este 125: Împ¼artind num¼arul mai mare

la cel mic obtinem câtul 12 si restul 5: A�ati numerele.3. Determinati numerele naturale pentru care:a) diferenta este 70; câtul este 5; iar restul este 2;b) diferenta este 129; câtul este 7; iar restul este 3;Propozitia 6.16.1 Oricare ar �m 2 N� si oricare ar � n; p 2 N astfel încât

n � p; obtinem

(6:16:2) mn

mp = mn�p:

Demonstratie

Fie m 2 N� si n; p 2 N astfel încât n � p arbitrare.Deoarece mn = m(n�p)+p = m(n�p) �mp rezult¼a c¼a restul împ¼artirii luimn la mp este zero si m

n

mp = mn�p: q.e.d.

Problema 6.16.6 Calculati: a)�25 � 27

�:�23�3; b)

�35 � 34

�:h35 �

�32�2i

;

c) 87 :�83 � 82

�:

R¼aspunsa) �

25 � 27�:�23�3

= 25+7 : 23�3

= 212 : 29

= 212�9

= 23

= 2 � 2 � 2= 8

b) �32 � 33 � 34

�:h35 �

�32�2i

= 32+3+4 :�35 � 32�2

�= 39 :

�35 � 34

�= 39 : 35+4

= 39 : 39

= 39�9

= 1:


c)

87 :�83 � 82

�= 87 : 83+2

= 87 : 85

= 87�5

= 82

= 8 � 8= 64:

�Tema 6.16.4 Calculati: a)

�28 � 27

�:�27�2; b)

�102 � 1013 � 104

�:�109�2;

c) 2327 :�2313

�2; d)

�53 � 52

�2:�53�2; e)

�1012 � 1014

�:�105�5; f) 387 :�

340 � 330 � 316�; g)

�1110 � 113 � 114

�:�112 � 112

�4; h)

h920 :

�99�2i

: 92:

Problema 6.16.7 Rezolvati ecuatiile: a)�23 � 2x

�2= 217 : 27; x 2 N; b)�

33�x:�32�2= 33 � 32; x 2 f1; 10; 17; 9g ; c) (12x)2 : 123 = 37 � 47; x 2 N3; d)�

23�x � 22�x = 211 : 26; x 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g ; e) 243 � �245�x = 318 � 818; x 2 N4;R¼aspuns

a) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 N :

�23 � 2x

�2= 217 : 27

o=nx 2 N :

�23+x

�2= 217�7

o=�x 2 N : 22�(3+x) = 210

= fx 2 N : 2 � (3 + x) = 10g= fx 2 N : 2 � 3 + 2 � x = 10g= fx 2 N : 6 + 2 � x = 10 + 6� 6g= fx 2 N : 2 � x = 4g= f2g :



S (E) =nx 2 f1; 10; 17; 9g :

�33�x:�32�2= 33 � 32

o=�x 2 f1; 10; 17; 9g : 33�x : 32�2 = 33+2

=�x 2 f1; 10; 17; 9g : 33�x�4 = 35

= fx 2 f1; 10; 17; 9g : 3 � x� 4 = 5 + 4� 4g= fx 2 f1; 10; 17; 9g : 3 � x = 9g= fx 2 f1; 10; 17; 9g : x = 3g= �

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.



S (E) =nx 2 N3 : (12x)2 : 123 = 37 � 47

o=nx 2 N3 : 122�x : 123 = (3 � 4)7

o=�x 2 N3 : 122�x�3 = 127

= fx 2 N3 : 2 � x� 3 = 7 + 3� 3g= fx 2 N3 : 2 � x = 10g= fx 2 N3 : x = 5gf5g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 5:d) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =�x 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g :

�23�x � 22�x = 211 : 26

=�x 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g : 23�x � 22�x = 211�6

=�x 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g : 23�x+2�x = 25

= fx 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g : (3 + 2) � x = 5g= fx 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g : 5 � x = 5g= fx 2 f0; 5; 1; 9; 3; 6g : x = 1g= f1g :


S (E) =�x 2 N4 : 243 �

�245�x=�318 � 818

�: 245

=nx 2 N4 : 243 � 245�x = (3 � 8)18 : 245

o=�x 2 N4 : 243+5�x = 2418 : 245

=�x 2 N4 : 243+5�x = 2418�5

=�x 2 N4 : 243+5�x = 2413

= fx 2 N4 : 3 + 5 � x = 13 + 3� 3g= fx 2 N4 : 5 � x = 10g= fx 2 N4 : x = 2g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii: �Tema 6.16.5 Rezolvati ecuatiile: a)

h�23�x � (5x)3i : 102 = 107; x 2

f1; 0; 6; 7g ; b) 36 ��33�x: 34

�=�32�10; x 2 N; c) 7x �

�74�x : 75

�=�72�10; x 2

f4; 6; 7; 5; 0g ; c)h�45�x � (4x)3i : 42 = �

47�2; x 2 f1; 0; 4; 2g ; d)

�56 �

�53�x�

:

54 =�52�7; x 2 N; e) 113�x �

�114�x : 119

�=�112�6; x 2 f4; 6; 1; 3; 0g :

6.17. EVALUARE 251

6.17 Evaluare

Testul 6.17.11. Determinati câtul si restul împ¼artirii numerelor: a) 234 si 17; b) 364 si

31; c) 5:205 si 15:2. Determinati numerele naturale pentru care suma este 423; câtul este 17;

iar restul este 9:3. Diferenta a dou¼a numere naturale este 43: Împ¼artind num¼arul mai mare

la cel mic obtinem câtul 14 si restul 2: A�ati numerele.4. Calculati: a)

�25 � 24

�:�24�2; b)

�102 � 103 � 1040

�:�109�5; c)

�33�9:�

313�2:

5. Rezolvati ecuatiile: a)�56 � 54�x

�: 53 =

�55�3; x 2 N4; e)

�715 � 315

�:

215�x = 215; x 2 f0; 7; 1; 9g ; f)�52�x � 42�x

�:�205�3= 59 � 49; x 2 f2; 6; 7; 3; 9g :

Testul 6.17.21. Determinati câtul si restul împ¼artirii numerelor: a) 743 si 32; e) 1:456 si

24; f) 545 si 25:2. Determinati numerele naturale pentru care diferenta este 195; câtul este

10; iar restul este 15;3. Suma a dou¼a numere naturale este 325: Împ¼artind num¼arul mai mare la

cel mic obtinem câtul 21 si restul 5: A�ati numerele.4. Calculati: a)

�53 � 54

�3:�54�5; b)

�102 � 104

�:�103�2; c) 480 :

�340 � 330 � 38

�:

5. Rezolvati ecuatiile: a)h�53�x � (4x)3i : 202 = 207; x 2 f1; 5; 6; 7g ; b)

126 ��123�x: 123

�=�129�; x 2 N; c) 74�x �

�72�x : 73

�= 79; x 2 f3; 4; 6; 2; 1g :

Capitolul 7

Numere zecimale pozitive

Stim c¼a oricare ar �n 2 N; avem n = n1 : Cum 1 = 100; apare ideea obtinerii

de noi numere ca �ind câturi ale împ¼artirii numerelor naturale la puteri ale lui10; restul împ¼artirii �ind 0:În continuare prezent¼am un algoritm de împ¼artire a num¼arului 2:434 la

num¼arul 1:000 = 103:Pasul 1. Folosim scrierea:

000,434.2 000.1000,434.2 000.1

Pasul 2. C¼aut¼am cel mai mare num¼ar natural care înmultit cu 1:000 s¼a deaun num¼ar mai mic sau egal decât 2:434: Num¼arul c¼autat este 2:

2 � 1:000 = 2:000; 2:434� 2:000 = 434

si scriem:000,434.2 000.1

2000.2434

000,434.2 000.12000.2

434

Pasul 3. Am ajuns în dreptul virgulei. Punem virgul¼a la cât, coborâmprimul 0 si scriem:

000,434.2 000.1,2000.2

340.4

000,434.2 000.1,2000.2

340.4


4 � 1:000 = 4:000; 4:340� 4:000 = 340

253

254 CAPITOLUL 7. NUMERE ZECIMALE POZITIVE

si scriem:

000,434.2 000.14,2000.2

340.4000.4340

000,434.2 000.14,2000.2

340.4000.4340

Pasul 5. Coborâm al doilea 0 si scriem:

000,434.2 000.14,2000.2

340.4000.4

400.3

000,434.2 000.14,2000.2

340.4000.4

400.3


3 � 1:000 = 3:000; 3:400� 3:000 = 400

si scriem:

000,434.2 000.143,2000.2

340.4000.4

400.3000.3400

000,434.2 000.143,2000.2

340.4000.4

400.3000.3400

Pasul 7. Coborâm al treilea 0 si scriem:

000,434.2 000.143,2000.2

340.4000.4

400.3000.3

000.4

000,434.2 000.143,2000.2

340.4000.4

400.3000.3

000.4


4 � 1:000 = 4:000; 4:000� 4:000 = 0

255

si scriem:000,434.2 000.1

434,2000.2340.4000.4

400.3000.3

000.4000.4

0

000,434.2 000.1434,2000.2

340.4000.4

400.3000.3

000.4000.4

0

Pasul 9. Câtul împ¼artirii este 2; 434; iar restul împ¼artirii este 0: Avemegalitatea:

2:434

1:000= 2; 434:

Altfel, folosind scrierea 2:434 = 2:434; 0 si mutând virgula spre stânga pestetrei cifre obtinem egalitatea:

2:434

1:000= 2; 434:

De�nitia 7.1 Câturile împ¼artirii numerelor naturale la puteri ale lui 10 senumesc numere zecimale pozitive. Not¼am cu Q(10)+ multimea numerelor zecimalepozitive.

De retinut: Orice num¼ar natural n poate � privit ca �ind num¼arul zecimaln; 0: Spre exemplu: 435 = 435; 0: Deci, multimea N a numerelor naturale esteinclus¼a în multimea Q(10)+ a numerelor zecimale pozitive.

Problema 7.1 Folosind multimile

A = f3; 12; 12; 15; 7; 2g

siB = f3; 12; 0; 1; 7; 2; 5; 4g

calculati: A nB; A \B; B nA si A [B:R¼aspunsFolosind formula

A nB = fP : P 2 A ^ P =2 Bg

obtinemA nB = f12; 15g :

Folosind formula

A \B = fP : P 2 A ^ P 2 Bg

obtinemA \B = f3; 12; 7; 2g :


Folosind formula

B nA = fP : P 2 B ^ P =2 Ag

obtinemB nA = f0; 1; 5; 4g :

Folosind formula

A [B = fP : P 2 A nB _ P 2 A \B _ P 2 B nAg

obtinemA [B = f12; 15; 3; 12; 7; 2; 0; 1; 5; 4g :

�Tema 7.1 Folosind multimile

A = f3; 1; 2; 5; 7; 8; 4g

siB = f23; 6; 0; 11; 5; 7; 3; 1g


7.1 Adunarea numerelor zecimale pozitive

De retinut: Pentru a calcula suma a dou¼a numere zecimale pozitive pro-ced¼am astfel:Pasul 1. Scriem numerele zecimale ca �ind câturile împ¼artirii a dou¼a numere

naturale la aceeasi putere a lui 10:Pasul 2. Câtul împ¼artirii sumei celor dou¼a numere deîmp¼artit la acea putere

a lui 10 se numeste suma celor dou¼a numere zecimale pozitive.

Problema 7.1.1 Calculati: a) 43; 5+27; 568; b) 7; 23+5; 86; c) 293; 4+98; 17:R¼aspunsa)

43; 5 + 27; 568 = 43510 +

27:5681:000

= 43:5001:000 +

27:5681:000

= 43:500+27:5681:000

= 71:0681:000

= 71:068:

b)7; 23 + 5; 86 = 723

100 +586100

= 723+586100

= 1:309100

= 13; 09:

7.1. ADUNAREA NUMERELOR ZECIMALE POZITIVE 257

c)293; 4 + 98; 17 = 2:934

10 + 9:817100

= 29:340100 + 9:817

100= 29:340+9:817

100= 39:157

100= 391; 57:

�Tema 7.1.1 Calculati: a) 13; 3+132; 5; b) 17; 241+85; 8; c) 217; 14+67; 417;

d) 73; 1 + 6; 58; e) 10; 2 + 9; 843; f) 251; 1:234 + 187; 4:417; g) 93; 793 + 2; 51; h)98; 241 + 651; 86; i) 1; 314 + 12; 47; j) 20; 4 + 128; 41; k) 7; 931 + 76; 25:Propozitia 7.1.1 Adunarea numerelor zecimale pozitive este asociativ¼a,

adic¼a

(7:1:1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c

oricare ar � numerele zecimale pozitive a; b si c:

Demonstratie

Fie a; b; c 2 Q(10)+ arbitrare.

F¼ar¼a a restrânge generalitatea admitem c¼a a = m10q ; b =

n10q si c =

p10q :

Deoarecem10q +

�n10q +

p10q

�= m

10q +n+p10q

= m+(n+p)10q

= m+n10q + p

10q�m10q +

n10q

�+ p

10q

rezult¼a concluzia propozitiei: q.e.d.

Tema 7.1.2 Veri�cati asociativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 3; 19; 44; 5si 4; 4; b) 4; 576; 93; 92 si 1; 2:315; c) 2; 9; 91; 81 si 7; 237; d) 40; 9; 3; 235 si 2; 34;e) 8; 106; 93; 38 si 1:132; 1; f) 4; 19; 50; 6 si 8; 237; g) 45; 9; 3; 15 si 24; 425; h)87; 6; 9; 38 si 0; 121; i) 4; 39; 5; 7 si 81; 567:Propozitia 7.1.2 Num¼arul zero este element neutru la adunare, adic¼a avem

egalitatea:

(7:1:2) a+ 0 = a = 0 + a:

oricare ar � num¼arul zecimal pozitiv a.

Demonstratie

Fie a = m10q 2 Q

(10)+ arbitrar.

Deoarece0 + m

10q = 010q +

m10q

= 0+m10q

= m+010q

= m10q +

010q

= m10q + 0



Propozitia 7.1.3 Adunarea numerelor zecimale pozitive este comutativ¼a,adic¼a

(2:6) a+ b = b+ a;

oricare ar � numerele zecimale pozitive a si b:

Demonstratie

Fie a; b 2 Q(10)+ arbitrare.

F¼ar¼a a restrânge generalitatea admitem c¼a a = m10q si b =

n10q :

Deoarecem10q +

n10q = m+n

10q

= n+m10q

= n10q +

m10q ;


Tema 7.1.3 Veri�cati comutativitatea adun¼arii folosind numerele: a) 31; 27si 2; 4; b) 9; 876 si 10; 29; c) 79; 8 si 9; 237; d) 0; 027 si 2; 14; e) 9; 342 si 0; 4:129;f) 7; 1 si 0; 037; g) 23; 37 si 2; 014; h) 91; 42 si 4; 349; i) 72; 1 si 0; 0347; j) 3; 93 si2; 356; k) 0; 92:142 si 0; 044:009; l) 7; 61 si 397; 43:Propozitia 7.1.4 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ ; atunci egalitatea

a+ b = a+ c

este echivalent¼a cu egalitateab = c:

Demonstratie


n10q si c =

p10q :

Deoarecem10q +

n10q =

m10q +

p10q

mm+n10q = m+p

10q

mm+ n = m+ p

rezult¼a egalitatea n = p: Deci, este adev¼arat¼a egalitatea: b = c: q.e.d.

7.2 Compararea numerelor zecimale pozitive

Pentru a compara dou¼a numere zecimale pozitive scriem numerele ca �indcâturi de numere naturale la aceeasi putere a lui 10 si compar¼am numereledeîmp¼artit.Problema 7.2.1 Comparati numerele: a) 4; 32 si 4; 345; b) 55; 3 si 23; 12;

c) 143; 53 si 143; 57; d) 4 si 4; 345; e) 55 si 43; 1; f) 143; 003 si 143; 1:

7.2. COMPARAREA NUMERELOR ZECIMALE POZITIVE 259


4; 32 = 432100 =

4:3201:000 ;

4; 345 = 4:3451:000

si4:320 < 4:345

rezult¼a c¼a 4; 32 < 4; 345:b) Deoarece

55; 3 = 55310 =

5:530100 ;

23; 12 = 2:312100

si5:530 > 2:312

rezult¼a c¼a 55; 3 < 23; 12:c) Deoarece

143; 53 = 14:353100 ;

143; 57 = 14:357100

si14:353 < 14:357

rezult¼a c¼a 143; 53 < 143; 57:d) Deoarece

4 = 4; 0 = 40001:000 ;

4; 345 = 4:3451:000

si4:000 < 4:345

rezult¼a c¼a 4 < 4; 345:e) Deoarece

55 = 55; 0 = 55010 ;

43; 1 = 43110

si550 > 431

rezult¼a c¼a 55 > 43; 1:f) Deoarece

143; 003 = 143:0031:000 ;

143; 1 = 1:43110 = 143:100

1:000

si143:003 < 143:100

rezult¼a c¼a 143; 003 < 143; 1: �Tema 7.2.1 Comparati numerele: a)14; 2 si 4; 3; b) 5; 13 si 3; 12; c) 13; 223

si 14; 517; d) 124; 29 si 124; 3; e) 500; 13 si 299; 14; f) 2; 223 si 2; 122; g) 1; 23 si0; 93; h) 0; 143 si 0; 14; i) 293; 3 si 296; 517:


Tema 7.2.2 Determinati multimile

A = fx 2 N : 3; 1 � x < 7; 89g

siB = fx 2 N : 1; 51 < x < 5; 6g :

Calculati: A nB; A \B; B nA si A [B:Propozitia 7.2.2 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ ; atunci inegalitatea

a+ c < b+ c

este echivalent¼a cu inegalitatea

a < b:

Demonstratie


n10q si c =

p10q :

Deoarecem10q +

p10q <

n10q +

p10q

mm+p10q < n+p

10q

mm+ p < n+ p

rezult¼a inegalitatea m < n: Deci, este adev¼arat¼a inegalitatea: a < b:

q.e.d.

Consecinta 7.2.1 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ ; atunci inegalitatea

a+ c � b+ c


a � b:

7.3 Sc¼aderea numerelor zecimale pozitive

De retinut: Pentru a sc¼adea un num¼ar zecimal pozitiv mai mic dintr-unnum¼ar zecimal pozitiv mai mare proced¼am astfel:Pasul 1. Scriem numerele zecimale ca �ind câturile împ¼artirii a dou¼a numere

naturale la aceeasi putere a lui 10:Pasul 2. Câtul împ¼artirii diferentei celor dou¼a numere deîmp¼artit la acea

putere a lui 10 se numeste diferenta celor dou¼a numere zecimale.

7.3. SC¼ADEREA NUMERELOR ZECIMALE POZITIVE 261

Problema 7.3.1 Calculati: a) 43; 35�27; 568; b) 7; 243�5; 896; c) 213; 4�198; 47:R¼aspunsa)

43; 35� 27; 568 = 4:335100 �

27:5681:000

= 43:3501:000 �

27:5681:000

= 43:350�27:5681:000

= 15:7821:000

= 15; 782:

b)7; 243� 5; 896 = 7:243

1:000 �5:8961:000

= 7:243�5:8961:000

= 1:3471:000

= 1; 347:

c)213; 4� 198; 47 = 2:134

10 � 19:847100

= 21:340100 � 19:847

100= 21:340�19:847

100= 1:493

100= 14; 93:

�Tema 7.3.1 Calculati: a) 13; 3 � 2; 5; b) 17; 24 � 5; 8; c) 21; 14 � 18; 417;

d) 73; 31 � 62; 5; e) 10; 2 � 9; 843; f) 251; 1:234 � 187; 4:417; g) 3; 3 � 2; 51; h)98; 24� 51; 8; i) 21; 314� 12; 487; j) 201; 4� 128; 41; k) 7; 31� 6; 25:Propozitia 7.3.1 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ astfel încât a; b � c; atunci egalitatea

a� c = b� c

este echivalent¼a cu egalitateaa = b:

Demonstratie


n10q si c =

p10q :

Deoarecem10q �

n10q =

m10q �

p10q

mm�n10q = m�p

10q

mm� n = m� p

rezult¼a egalitatea n = p: Deci, este adev¼arat¼a egalitatea: a = b: q.e.d.

Tema 7.3.2 Rezolvatie ecuatiile: a) x�1; 3 = 7; 34; x 2 Q(10)+ ; b) 5; 34+x =11; 34; x 2 N ; c) 5; 1 + x + 4; 34 = 20; 3; x 2 f2; 3; 7; 9g ; d) x + 6; 7 + 45; 2 =75; 89; x 2 N ; e) 1; 7 � x = 6; 3 � x + 5; 7; x 2 f4; 2; 0; 11; 3g ; f) x + 2; 1 =


3; 16+5; 6+x+5;x 2 Q(10)+ ; g) 2; 5�x = (6� 3; 5)�x; x 2 f3; 4; 7; 90; 1; 2; 0g ; h)4; 7 + x+ 7; 34 = 44� 3; 23; x 2 N:Propozitia 7.3.2 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ astfel încât a; b � c; atunci inegali-

tateaa� c < b� c


a < b:

Demonstratie


n10q si c =

p10q :

Deoarecem10q �

p10q <

n10q �

p10q

mm�p10q < n�p

10q

mm� p < n� p

rezult¼a inegalitatea m < n: Deci, este adev¼arat¼a inegalitatea: a < b:

q.e.d.

Consecinta 7.3.1 Dac¼a a; b; c 2 Q(10)+ astfel încât a; b � c; atunci inegali-tatea

a� c � b� c


a � b:

Tema 7.3.3 Rezolvatie inecuatiile: a) x + 4; 4 � 10; 45 � 2; 123; x 2 N; b)x � 4; 15 � 3; 2; x 2 f2; 3; 7; 9; 1g ; c) x + 3; 4 + 2; 6 + x � 17; 45 + x; x 2 N;d) 1; 7� x < 3; 67� x; x 2 f0; 5; 25; 4; 3; 8g ; e) x+ 2; 31 > 7; 5 + 3; 34 + 3; 4 +x; x 2 f0; 7; 9; 1; 2g ; f) 20; 56 � x < x + 3; 23 + 9; 49 � x; x 2 f4; 0; 9; 3; 8g g)4; 38 + x + 6; 17 � 44; 223 � 3; 3 + x; x 2 N; h) 5; 98 + 7; 2 + x + x � 1; 762 �x+ 15; 6; x 2 f0; 7; 57; 1; 4; 3g :

7.4 Înmultirea cu 10p si împ¼artirea la 10p

De retinut: Produsul dintre un num¼ar zecimal pozitiv si 10p este num¼arulzecimal pozitiv obtinut prin mutarerea virgulei spre dreapta peste p cifre.

Problema 7.4.1 Calculati: a) 34; 236 � 100; b) 0; 00045 � 10:000; c) 245; 67 :1:000; d) 4;67

100:000 :

7.5. PRODUSUL NUMERELOR ZECIMALE POZITIVE 263

R¼aspunsa)

34; 236 � 100 = 3:423; 6:

b)0; 00045 � 10:000 = 4; 5:

�Tema 7.4.1 Calculati: a) 4; 29:782 � 100; b) 0; 45 � 10:000; c) 29; 82 � 100:000;

d) 0; 0081 � 100; e) 2; 782 � 100:000; f) 451; 764 � 1:000:

De retinut: Câtul dintre un num¼ar zecimal pozitiv si 10p este num¼arulzecimal pozitiv obtinut prin mutarerea virgulei spre stânga peste p cifre.

Problema 7.4.2 Calculati: a) 245; 67 : 1:000; b) 4;67100:000 :

R¼aspunsa)

245; 67 : 1:000 = 0; 24:567:

b)4;67

100:000 = 0; 0000467:

�Tema 7.4.2 Calculati: a) 2; 17 : 1:000; b) 234;6

100:000 ; c) 142; 17 : 1:000:000; d)128:234;6

1:000:000:000 ; e) 197 : 10:000; f)1:265100:000 :

7.5 Produsul numerelor zecimale pozitive

De retinut: Pentru a calcula produsul a dou¼a numere zecimale pozitiveproced¼am astfel:Pasul 1. Scriem numerele zecimale ca �ind câturile împ¼artirii a dou¼a numere

naturale la puteri a lui 10:Pasul 2. Câtul împ¼artirii produsului celor dou¼a numere deîmp¼artit la pro-

dusul celor dou¼a puteri ale lui 10 se numeste produsul celor dou¼a numere zecimalepozitive.

Problema 7.5.1 Calculati: a) 43; 5 � 2; 5; b) 7; 23 � 5; 86; c) 3; 4 � 9; 17; d)13 � 2; 5; e) 7; 23 � 5; f) 41 � 9; 17;R¼aspunsa)

43; 5 � 2; 5 = 43510 �

2510

= 435�2510�10

= 435�20+435�5100

= 8:700+2:175100

= 10:875100

= 108; 75:


b)7; 23 � 5; 86 = 723

100 �586100

= 723�586100�100

= 723�500+723�80+723�610:000

= 361:500+57:840+4:33810:000

= 423:67810:000

= 42; 3:678:

c)3; 4 � 9; 17 = 34

10 �917100

= 34�91710�100

= 34�900+34�10+34�71:000

= 30:600+340+238100

= 31:178100

= 311; 78:

d)13 � 2; 5 = 13

1 �2510

= 13�251�10

= 13�20+13�510

= 260+6510

= 32510

= 32; 5:

e)7; 23 � 5 = 723

100 �51

= 723�5100�1

= 3:615100

= 36; 15:

f)41 � 9; 17 = 41

1 �917100

= 41�9171�100

= 41�900+41�10+41�7100

= 36:900+410+287100

= 37:597100

= 375; 97:

�Tema 7.5.1 Calculati: a) 13; 3 � 132; 5; b) 17; 241 � 85; 8; c) 217; 14 � 67; 417;

d) 73; 1 � 6; 58; e) 10; 2 � 9; 843; f) 251; 14 � 187; 4; g) 93; 79 � 2; 51; h) 98; 21 � 51; 86;i) 1; 314 � 12; 47; j) 20; 4 � 28; 41; k) 7; 91 � 7; 25:Propozitia 7.5.1 Înmultirea numerelor zecimale este asociativ¼a, adic¼a

(7:5:1) a � (b � c) = (a � b) � c:

oricare ar � a; b; c 2 Q(10)+ :


Demonstratie



n10r si c =

p10s :

Deoarecem10q �

�n10r �

p10s

�= m

10q �n�p10r+s

= m�(n�p)10q+(r+s)

= (m�n)�p10(q+r)+s

= m�n10q+r �

p10s

=�m10q �

n10r

�� p10s ;


Tema 7.5.2 Veri�cati asociativitatea înmultirii folosind numerele: a) 0; 3; 3; 12si 6; 7; b) 2; 01; 5; 3 si 1; 35; c) 4; 5; 2; 74 si 0; 25; d) 1; 31; 3; 4 si 6; 12; e) 2; 33; 4; 2si 2; 45; f) 1; 45; 2; 62 si 3; 5; g) 8; 21; 6; 14 si 7; 32; h) 2; 31; 4; 61 si 3; 216:Propozitia 7.5.2 Num¼arul 1 este element neutru la înmultire, adic¼a

(7:5:2) a � 1 = a = 1 � a:

oricare ar � a 2 Q(10)+ :

Demonstratie

Fie a = m10q 2 Q

(10)+ arbitrar.

Deoarece1 � m

10q = 1100 �

m10q

= 1�m100+q

= m10q

= m�110q+0

= m10q �

1100

= m10q � 1


Propozitia 7.5.3 Oricare ar � a 2 Q(10)+ avem

(7:5:3) a � 0 = 0 = 0 � a:

Demonstratie

Fie a = m10q 2 Q

(10)+ arbitrar.

Deoarecem10q � 0 = m

10q �0100

= m�010q+0

= 010q

= 0= 0�m

100+q

= 0100 �

m10q

= 0 � m10q



Propozitia 7.5.4 Înmultirea numerelor naturale este comutativ¼a, adic¼a

(7:5:4) a � b = b � a:

oricare ar � a; b 2 Q(10)+ :

Demonstratie

Fie a; b 2 Q(10)+ arbitrare.

F¼ar¼a a restrânge generalitatea admitem c¼a a = m10q si b =

n10r :

Deoarecem10q �

n10r = m�n

10q+r

= n�m10r+q

= n10r �

m10q


Tema 7.5.3 Veri�cati comutativitatea înmultirii folosind numerele: a) 1; 3si 6; 27; b) 2; 1 si 0; 15; c) 3; 25 si 2; 5:d) 2; 13 si 1; 7; e) 2; 3 si 1; 75; f) 0; 25 si 42; 5; g) 1; 53 si 2; 17; h) 8; 71 si 3; 5;

i) 6; 5 si 9; 281; j) 5; 43 si 4; 12; k) 8; 52 si 34; 5; l) 7; 58 si 0; 755:Propozitia 7.5.5 Înmultirea numerelor zecimale este distributiv¼a fat¼a de

adunare, adic¼a

(7:5:5) a � (b+ c) = a � b+ a � c:


Demonstratie



n10q si c =

p10q :

Deoarece

m10r �

�n10q +

p10q

�= m

10r �n+p10q

= m�(n+p)10r+q

= m�n+m�p10r+q

= m�n10r+q +

m�p10r+q

= m10r �

n10q +

m10r �

p10q ;


Tema 7.5.4 Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de adunare folosindnumerele: a) 2; 3; 3; 14 si 0; 67; b) 2; 21; 1; 4 si 1; 345; c) 0; 25; 1; 83 si 35; 1; d)2; 41; 1; 4 si 6; 122; e) 2; 11; 2; 4 si 0; 042; f) 0; 123; 1; 4 si 31; 12; g) 4; 5; 43; 4si 1; 71; h) 1; 23; 12; 95 si 2; 134; i) 8; 13; 3; 2 si 7; 32; j) 9; 3; 6; 14 si 1; 137; k)7; 4; 9; 34 si 4; 24:


Propozitia 7.5.6 Înmultirea numerelor zecimale este distributiv¼a fat¼a desc¼adere, adic¼a

(7:5:6) a � (b� c) = a � b� a � c:


Demonstratie



n10q si c =

p10q :

Deoarece

m10r �

�n10q �

p10q

�= m

10r �n+p10q

= m�(n�p)10r+q

= m�n�m�p10r+q

= m�n10r+q �

m�p10r+q

= m10r �

n10q �

m10r �

p10q ;


Tema 7.5.5 Veri�cati distributivitatea înmultirii fat¼a de sc¼adere folosindnumerele: a) 2; 3; 5; 24 si 2; 38; b) 3; 13; 33; 4 si 15; 23; c) 2; 5; 4; 67 si 1; 45; d)21; 1; 3; 4 si 1; 72; e) 8; 21; 70; 6 si 37; 12; f) 12; 3; 51; 4 si 6; 42; g) 22; 4; 41; 4si 25; 17; h) 5; 61; 7; 5 si 5; 34; i) 81; 3; 5; 79 si 5; 7; j) 7; 2; 6; 24 si 2; 17; k)7; 3; 91; 4 si 44; 4:Problema 7.5.3 Rezolvati ecuatiile: a) 8 �x�7 �x+17; 23 = 3; 5 �9; 12; x 2

Q(10)+ ; b) 7�x = 6�x+3; 17�1; 43; x 2 f5; 7; 0; 6g ; c) 8; 123+x = 17�1; 22; x 2 N5:Rezolvarea) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) =nx 2 Q(10)+ : 8 � x� 7 � x+ 17; 23 = 3; 5 � 9; 12

o=nx 2 Q(10)+ : (8� 7) � x+ 17; 23 = 3; 5 � 9; 12 + 17; 23� 17; 23

o=nx 2 Q(10)+ : x = 35

10 �912100 +

1:723100

o=nx 2 Q(10)+ : x = 35�912

10�100 +1:723100

o=nx 2 Q(10)+ : x = 31:920

1:000 +17:2301:000

o=nx 2 Q(10)+ : x = 49:150

1:000

o=nx 2 Q(10)+ : x = 49; 150

o= f49; 15g :

În concluzie, ecuatia dat¼a are o singur¼a solutie si aceasta este num¼arul 49; 15:



S (E) = fx 2 f5; 7; 0; 6g : 7 � x = 6 � x+ 3; 17� 1; 43g=�x 2 f5; 7; 0; 6g : 6 � x+ x = 6 � x+ 317

100 �143100

=�x 2 f5; 7; 0; 6g : x = 317�143

100

=�x 2 f5; 7; 0; 6g : x = 173

100

= fx 2 f5; 7; 0; 6g : x = 1; 73g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii.c) Not¼am cu (E) ecuatia dat¼a si cu S (E) multimea solutiilor ecuatiei (E) :

S (E) = fx 2 N5 : 8; 123 + x = 17 � 1; 22g= fx 2 N5 : 8; 123 + x = 17 � 1; 22 + 8; 123� 8; 123g=�x 2 N5 : x = 17

1 �122100 �

8:1231:000

=�x 2 N5 : x = 2:074

100 �8:1231:000

=�x 2 N5 : x = 20:740

1000 �8:1231:000

=�x 2 N5 : x = 20:740�8:123

1000

=�x 2 N5 : x = 12:617

1000

= fx 2 N5 : x = 12; 617g= �:

În concluzie, ecuatia dat¼a nu are solutii: �Tema 7.5.6 Rezolvati ecuatiile: a) x� 3; 4 = 30; 12; x 2 f1; 2; 4; 65; 37; 1g ;

b) 43; 37+5 �x = 4 �x+200; x 2 f2; 4; 7; 9; 1; 0g ; c) 23; 21+x = 4; 6 � 8; 12; x 2Q(10)+ ; d) 1; 543 �1; 2+x = 15; 5+3; 36; x 2 N; e) 3; 8+9 �x = 4 �(2x+ 4; 14) ; x 2f0; 17; 9; 14; 26; 4g ; f) 3�(x� 10; 34) = 2�(x+ 4; 7) ; x 2 Q(10)+ ; g) 5�(x+ 22; 3) =4 (x+ 41; 76) ; x 2 f15; 2; 7; 18; 3; 14; 9g ; h) 5 � (x+ 5) + 17; 67 = 2 � x+ 7 � x+81; 47; x 2 Q(10)+ :

7.6 Procente

De�nitia 7.6.1 Dac¼a p 2 Q(10)+ ; atunci num¼arul zecimal p100 se citeste p la sut¼a

sau p procente si scriem p%:

În plus, dac¼a a 2 Q(10)+ ; atunci num¼arul zecimal p100 � a se citeste p la sut¼a

din a si scriem p% din a:Problema 7.6.1 Calculati: a) 2; 5% din 234; b) 17; 51% din 34; c) 50% din

2; 634:Rezolvarea) 2; 5% din 234 este num¼arul zecimal pozitiv

2;5100 � 234 = 25

1:000 �2341

= 25�2341:000

= 5:8501:000

= 5; 85:

7.6. PROCENTE 269

b) 17; 51% din 34 este num¼arul zecimal pozitiv

17;51100 � 34 = 1:751

10:000 �341

= 1:751�3410:000

= 59:53410:000

= 5; 9:534:

c) 50% din 2; 634 este num¼arul zecimal pozitiv

50100 � 2; 634 = 50

100 �26341:000

= 50�2:634100:000

= 131:700100:000

= 1; 317:

Tema 7.6.1 Calculati: a) 22; 5% din 564; b) 17% din 3; 564; c) 25% din200; 64; d) 29% din 524; e) 529; 5% din 734; f) 11; 76% din 56; 4; g) 75% din2:000; h) 34; 9% din 985:Problema 7.6.1 Un stick cost¼a 34; 6 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 3; 5%;

a�ati care va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.Rezolvare3; 5% din 34; 6 este num¼arul zecimal pozitiv

3;5100 � 34; 6 = 350

1:000 �34610

= 350�34610:000

= 12:11010:000

= 1; 211:

Stickul s-a ieftinit cu 1; 211 lei.

34; 6� 1; 211 = 34610 �

1:2111:000

= 34:6001:000 �

1:2111:000

= 34:600�1:2111:000

= 33:3891:000

= 33; 389:

Dup¼a ieftinire stickul va costa 33; 389 lei. Pretul de vânzare va � 33; 39 lei.�Tema 7.6.21. Un pix cost¼a 5; 36 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 6%; a�ati care va �pretul

de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.2. Un tricou cost¼a 11; 7 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 15%; a�ati care va �

pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.3. O minge cost¼a 21; 35 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 45%; a�ati care va �

pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.Problema 7.6.3 Un stilou cost¼a 124; 25 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 2; 5%;

a�ati care va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.Rezolvare


2; 5% din 124; 25 este num¼arul zecimal pozitiv

2;5100 � 124; 25 = 250

1:000 �12:425100

= 250�12:425100:000

= 310:625100:000

= 3; 10:625:

Stiloul s-a scumpit cu 3; 10:625 lei.

124; 25 + 3; 10:625 = 12:425100 + 310:625

100:000= 12:425:000

100:000 + 310:625100:000

= 12:735:625100:000

= 127; 35:625:

Dup¼a scumpire stiloul va costa 127; 35:625 lei. Pretul de vânzare va �127; 35lei. �Tema 7.6.31. Un monitor cost¼a 543; 75 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 2%; a�ati care va

� pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.2. Un mouse cost¼a 13; 4 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 5; 25%; a�ati care va

� pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.3. O p¼al¼arie cost¼a 51; 85 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 45%; a�ati care va �

pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.Problema 7.6.4 Un tricou cost¼a 12; 5 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 2; 5%

la 1 iunie si se ieftineste cu 7% la 1 octombrie; a�ati pretul �nal al tricoului cuaproximare prin adaos.Rezolvare2; 5% din 12; 5 este num¼arul zecimal pozitiv

2;5100 � 12; 5 = 25

1:000 �12510

= 25�12510:000

= 3:12510:000

= 0; 3:125:

Tricoul s-a scumpit cu 0; 3:125 lei.

12; 5 + 0; 3:125 = 12510 +

3:12510:000

= 125:00010:000 +

3:12510:000

= 128:12510:000

= 12; 8:125:

Dup¼a scumpire tricoul va costa 12; 8:125 lei.7% din 12; 8:125 este num¼arul zecimal pozitiv

7100 � 12; 8:125 = 7

100 �128:12510:000

= 7�128:1251:000:000

= 896:8751:000:000

= 0; 896:875:

7.7. EVALUARE 271

Tricoul s-a ieftinit cu 0; 896:875 lei.

12; 5� 0; 896:875 = 12510 �

896:8751:000:000

= 12:500:0001:000:000 �

896:8751:000:000

= 11:602:1251:000:000

= 11; 602:125:

Dup¼a iftinire tricoul va costa 11; 602:125 lei.Pretul �nal al tricoului va � 11; 61 lei. �Tema 7.6.41. Un hidrofor cost¼a 232; 5 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 25% la 1 iunie si se

ieftineste cu 30% la 1 noiembrie; a�ati pretul �nal al hidroforului cu aproximareprin adaos cu dou¼a zecimale.2. Un motoscuter cost¼a 1:232; 45 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 15% la 1

mai si se ieftineste cu 20% la 1 noiembrie; a�ati pretul �nal al motoscuteruluicu aproximare prin lips¼a cu dou¼a zecimale.3. O pereche de schiuri cost¼a 545; 5 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 25% la 1

aprilie si se scumpeste cu 40% la 1 noiembrie; a�ati pretul �nal al perechii deschiuri cu aproximare prin adaos cu dou¼a zecimale.4. O drujb¼a 568; 75 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 5% la 30 aprilie si se

scumpeste cu 8% la 1 septembrie; a�ati pretul �nal al drujbei cu aproximareprin lips¼a cu dou¼a zecimale.

7.7 Evaluare

Testul 7.7.11. Rezolvatie ecuatiile: a) 4 � x � 4; 3 � 1; 2 � 3 � x = 7; 24; x 2 Q(10)+ ; b)

5; 4 � 4; 1 + 5 � x = 4 � x+ 121; 4; x 2 N; c) 2; 1 � 6; 3 + x+ 4; 34 = 2; 1 � 9; 13; x 2f2; 3; 7; 0; 1g :2. Rezolvatie inecuatiile: a) x + 4; 4 � (12; 5� 4; 13) � 3; 1; x 2 N; b)

7 � x � 1; 15 � 2 � (3 � x) � 3; 312; x 2 f2; 3; 5; 1g ; c) 5 � x + 3; 4 � 2; 61 + 4 � x �10; 145 + 8 � x; x 2 N:3. Calculati: a) 12; 5% din 54; b) 17% din 87; 54; c) 25% din 20; 44. O motocoas¼a cost¼a 508; 75 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 8%; a�ati care

va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.5. Un scaun de birou cost¼a 521; 36 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 26%; a�ati

care va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.

Testul 7.7.21. Rezolvatie ecuatiile: a) 3 � x + 6; 2 � 5; 213 � 2 � x = 45; 89; x 2 N; b)

1; 7 �1; 3+7 �x = 6 �x+3; 2+5; 7; x 2 f4; 2; 0; 1g ; c) x�2; 1 �4; 1 = 3; 1 �5; 2; x 2Q(10)+ :


2. Rezolvatie inecuatiile: a) x�1; 2 �4; 3+x < x+3; 7; x 2 f0; 5; 2; 4; 3g ; b)x+2; 31 �1; 21 > 7; 5+3; 34; x 2 Q(10)+ ; c) 2; 5 �4; 12�x < x+3; 23 �2; 2�x; x 2f2; 0; 1; 3g :3. Calculati: a) 9% din 514; b) 52% din 304; c) 35% din 5:236:4. Un motocultor cost¼a 1:375; 55 lei. Stiind c¼a se scumpeste cu 25%; a�ati

care va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin adaos.5. Un televizor cost¼a 432; 75 lei. Stiind c¼a se ieftineste cu 35%; a�ati care

va � pretul de vânzare cu aproximare de dou¼a zecimale prin lips¼a.

Capitolul 8

Unit¼ati de m¼asur¼a

8.1 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru mas¼a

Unitatea etalon pentru exprimarea masei corpurilor se noteaz¼a g si se nu-meste gram. Multiplii gramului sunt kilogramul (kg) ; hectogramul (hg) si deca-gramul (dag) ; iar submultiplii gramului sunt decigramul (dg) ; centigramul (cg)si miligramul (mg) : În practic¼a se mai folosesc si multiplii kilogramului: qintalul(q) si tona (t) ca în tabelul:

t = 1:000kgq = 100kg

kg = 1:000ghg = 100gdag = 10ggdg = 1

10gcg = 1

100gmg = 1

1:000g

De retinut: Când "trecem de la mic la mare" se împarte la o putere a lui10; iar când "trecem de la mare la mic" se înmulteste cu o putere a lui 10:

Problema 8.1.1 Calculati: a) 2; 345dg = :::hg; :::mg; :::g; :::kg; :::cg; :::dag;b) 512g = :::cg; :::hg; :::mg; :::kg; :::dg; c) 0; 04dag = :::cg; :::g; :::mg; :::hg; :::dg; :::kg:R¼aspuns

273

274 CAPITOLUL 8. UNIT¼ATI DE M¼ASUR¼A

a)12; 45dg = 2;345

1:000hg = 0; 002:345hg= 0; 002:345 � 100:000mg = 234; 5mg= 234;5

1:000g = 0; 2:345g

= 0;2:3451:000 kg = 0; 0002:345kg

= 0; 0002:345 � 100:000cg = 23; 45cg= 23;45

1:000dag = 0; 02:345dag:

b)512g = 512 � 100cg = 51:200cg

= 51:20010:000hg = 5; 12hg

= 5; 12 � 100:000mg = 512:000mg= 512:000

1:000:000kg = 0; 512kg= 0; 512 � 10:000dg = 5:120dg:

c)0; 04dag = 0; 04 � 1:000cg = 40cg

= 40100g = 0; 4g

= 0; 4 � 1:000mg = 400mg= 400

100:000hg = 0; 004hg= 0; 004 � 1:000dg = 4dg= 4

10:000kg = 0; 0004kg:

�Tema 8.1.2 Calculati: a) 17; 5dg = :::hg; :::mg; :::g; :::kg; :::cg; :::dag; b)

35; 82g = :::cg; :::hg; :::mg; :::kg; :::dg; c) 54; 264dag = :::cg; :::g; :::mg; :::hg; :::dg;:::kg; d) 79; 007dg = :::hg; :::mg; :::g; :::kg; :::cg; :::dag; e) 387; 99g = :::cg; :::hg; :::mg; :::kg; :::dg; f) 768; 39dag = :::cg; :::g; :::mg; :::hg; :::dg; :::kg; g) 54; 12dg =:::hg; :::mg; :::g; :::kg; :::cg:Tema 8.1.3 Într-o cutie de medicamente se a�¼a 12 tuburi a câte 20 de

comprimate. Fiecare comprimat are masa 5dg; iar tubul gol are masa 3g: Careeste masa cutiei cu medicamente stiind c¼a goal¼a are 10g:Tema 8.1.4 Un agricultor produce 1:300kg de carto�. P¼astreaz¼a 250kg

pentru consumul familiei, 150kg pentru noua recolt¼a si 400kg pentru hranaanimalelor. Restul carto�lor îi vinde în saci de câte 50kg �ecare. De câti saciare nevoie?Tema 8.1.5 Sase juc¼atori ai unei echipe de baschet intr¼a într-un hotel si

urc¼a cu liftul la camerele unde sunt cazati. Unul dintre ei are masa 100kg; altulare masa 70kg; altul are masa 60kg, iar trei dintre ei au �ecare masa 90kg:Cum liftul nu poate transporta o singur¼a dat¼a mai mult de 250kg; indicati cumtrebuie s¼a procedeze cei sase sportivi pentru a urca în dou¼a curse cu liftul.Tema 8.1.6 Un dictionar are masa egal¼a cu masa a trei c¼arti de acelasi fel,

iar dictionarul si dou¼a c¼arti au masa 3kg si 200g: Care este masa unei c¼arti?Dar a dictionarului?Tema 8.1.7 Pe un taler al unei balante punem un vas gol si o unitate de

mas¼a de 20g; iar pe cel¼alalt taler o unitate de mas¼a de 500g pentru ca balantas¼a �e în echilibru. A doua oar¼a, punem pe un taler vasul plin cu ap¼a si o unitate

8.2. UNIT¼ATI DE M¼ASUR¼A PENTRU CAPACITATE 275

de mas¼a de 10g; iar pe cel¼alalt taler o unitate de mas¼a de 1kg si una de 200gpentru ca balanta s¼a �e în echilibru. Ce mas¼a are apa din vas?Tema 8.1.8 O cutie cu patru bile are masa 800g: Cutia cu dou¼a bile are

masa 500g: Ce mas¼a are cutia goal¼a? Care este masa unei bile?Tema 8.1.9 O camionet¼a goal¼a are masa 1; 5t; iar înc¼arcat¼a cu nou¼a saci

cu grâu de acelasi fel are masa 2184kg: Care este masa unui sac cu grâu?Tema 8.1.10 Trei piese au împreun¼a masa 1340kg: Prima pies¼a are cu 260kg

mai mult decât a doua, iar a treia are cu 18kg mai mult decât a doua. Ce mas¼aare �ecare pies¼a?Tema 8.1.11 Pentru a cânt¼ari un pachet de carne, un vânz¼ator pune pe

un taler al balantei carnea si o unitate de mas¼a de 1kg; iar pe cel¼alalt taler ounitate de mas¼a de 5kg si înc¼a una de 500g pentru ca balanta s¼a �e în echilibru.Stiind c¼a 1kg de carne cost¼a 10:700 lei, cât cost¼a pachetul cu carne?

8.2 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru capacitate

Unitatea etalon pentru exprimarea volumului lichidelor se noteaz¼a l si senumeste litru. Multiplii litrului sunt kilolitrul (kl) ; hectolitrul (hl) si decalitrul(dal) ; iar submultiplii litrului sunt decilitrul (dl) ; centilitrul (cl) si mililitrul(ml) ca în tabelul:

kl = 1:000lhl = 100ldal = 10lldl = 1

10 lcl = 1

100 lml = 1

1:000 l

De retinut: Când "trecem de la mic la mare" se împarte la o putere a lui10; iar când "trecem de la mare la mic" se înmulteste cu o putere a lui 10:

Problema 8.1.1 Calculati: a) 12; 45dl = :::hl; :::ml; :::l; :::kl; :::cl; :::dal; b)3:457l = :::cl; :::hl; :::ml; :::kl; :::dl; c) 0; 0043dal = :::cl; :::l; :::ml; :::hl; :::dl; :::kl:R¼aspunsa)

12; 45dl = 12;451:000hl = 0; 01:245hl

= 0; 01:245 � 100:000ml = 1:245; 0ml= 1:245;0

1:000 l = 1; 245l

= 1;2451:000kl = 0; 001:245kl

= 0; 001:245 � 100:000cl = 124; 5cl= 124;5

1:000dal = 0; 1:245dal:


b)3:457l = 3:457l � 100cl = 345:700cl

= 345:70010:000 hl = 34; 5700hl = 34; 57hl

= 34; 57 � 100:000ml = 3:457:000ml= 3:457:000

1:000:000kl = 3; 457kl= 3; 457 � 10:000dl = 34:570dl:

c)0; 0043dal = 0; 0043 � 1:000cl = 4; 3cl

= 4;3100 l = 0; 043l

= 0; 043 � 1:000ml = 43ml= 43

100:000hl = 0; 00043hl= 0; 00043 � 1:000dl = 0; 43dl= 0;43

10:000kl = 0; 0043kl:

�Tema 8.2.1 Calculati: a) 567; 15dl = :::hl; :::ml; :::l; :::kl; :::cl; :::dal; b)

3; 187l = :::cl; :::hl; :::ml; :::kl; :::dl; c) 34; 004dal = :::cl; :::l; :::ml; :::hl; :::dl; :::kl;d) 607; 0021dl = :::hl; :::ml; :::l; :::kl; :::cl; :::dal; e) 312; 07l = :::cl; :::hl; :::ml; :::kl;:::dl; f) 234; 128dal = :::cl; :::l; :::ml; :::hl; :::dl; :::kl; g) 81; 287dl = :::hl; :::ml; :::l;:::kl; :::cl; :::dal:Tema 8.2.2 Un cet¼atean vinde tuic¼a cu 14; 5 lei/litru si vin cu 70; 45

lei/litru. Vecinul s¼au cump¼ar¼a 3; 5l de tuic¼a si 8; 5l de vin pentru S¼arb¼ato-rile de Iarn¼a. Câti lei a pl¼atit vecinul pentru tuica si vinul cump¼arat? Câti leii-au r¼amas cet¼ateanului dac¼a a pl¼atit colind¼atorii cu 375; 55 lei?Tema 8.2.3 Elevii primesc la scoal¼a în trei zile din cinci câte o pung¼a de

lapte cu capacitatea 235ml: Stiind c¼a în scoal¼a sunt 97 de elevi, a�ati:a) câti decalitri de lapte trebuie adusi într-o lun¼a;b) câti hectolitri de lapte trebuie adusi în jum¼atate de an.Tema 8.2.4 Muncitorii unei fabrici de televizoare primesc zilnic jum¼atate

de litru de lapte la masa de prânz. Stiind c¼a în fabric¼a sunt 125 de muncitori,a�ati câti kilolitri de lapte trebuie adusi la fabric¼a într-o s¼apt¼amân¼a.Tema 8.2.5 Un cet¼atean merge la supermarket pentru a cump¼ara 0; 750ml

de ulei de soia, 3; 5l de ulei de �oarea soarelui si 1; 35dl de ulei de m¼asline.a) Câti decalitri de ulei a cump¼arat cet¼ateanul?b) Stiind c¼a o jum¼atate de litru de ulei de soia cost¼a 7; 25 lei, un litru de ulei

de �oarea soarelui cost¼a 6; 75 lei, iar un centilitru de ulei de m¼asline cost¼a 1; 75lei, a�ati câti lei a costat uleiul.Tema 8.2.6 Profesorul de matematic¼a merge la PECO pentru a cump¼ara

4l de ulei de motor, 1; 5l de antigel si motorin¼a. Stiind c¼a doi litri de ulei demotor cost¼a 70; 45 lei, 0; 5l de antigel cost¼a 33; 25 lei si profesorul are 500 lei,a�ati câti lei îi mai r¼amân.Stiind c¼a un litru de motorin¼a cost¼a 4 lei, atunci a�ati câti litri de motorin¼a

poate cump¼ara de banii care i-au r¼amas.Tema 8.2.7 Elevii clasei a V-a primesc zilnic din partea scolii câte un pahar

cu iaurt cu capacitatea 120; 25ml: Stiind c¼a în clasa a V-a sunt 27 de elevi, a�ati

8.3. EVALUARE 277

câti litri de iaurt trebuie s¼a cumpere conducerea scolii pentru elevii clasei a V-aîntr-o zi. Cum un pahar cu iaurt cost¼a 1; 35 lei, cât va costa iaurtul cump¼aratpentru trei zile? Dar pentru o s¼apt¼amân¼a? Dar pentru o lun¼a?Tema 8.2.8 Dac¼a 50ml de sirop de c¼apsuni cost¼a 3; 12 lei si 100ml sirop de

struguri cost¼a 4; 25 lei, atunci a�ati cât cost¼a o jum¼atate de litru de sirop dec¼apsuni si un litru si jum¼atate de sirop de struguri.Tema 8.2.9 O cistern¼a cu capacitatea 740hl colecteaz¼a lapte de la cinci

puncte de colectare dintr-o localitate. Dac¼a dou¼a dintre punctele de colectareau împreun¼a 543dal; iar la �ecare dintre celelalte trei puncte de colectare s-austrâns 25; 34hl; a�ati ce capacitate a cisternei nu a fost folosit¼a?Dac¼a un decalitru de de lapte cost¼a 1; 35 lei, atunci cât a costat laptele

colectat?Tema 8.2.10 Un gospodar a f¼acut vin pe care l-a pus în cinci damigene cu

capacitatea 50l si într-un butoi cu capacitatea 20dal: Când va trage vinul depe drojdie va pierde 5; 25l la �ecare 50l: Câti decalitri va pierde gospodarul laîntreaga cantitate de vin?Dac¼a un litru de vin cost¼a 6; 25 lei, atunci cât ar câstiga gospodarul care ar

vinde 8; 5dal? Câti hectolitri ar r¼amâne gospodarului?Tema 8.2.11 Un gospodar foloseste o pomp¼a pentru a uda gr¼adina în pe-

rioada secetoas¼a a verii. Dac¼a într-o or¼a consum¼a 56; 45hl de ap¼a iar transportulunui hectolitru de ap¼a cost¼a 22; 13 lei, atunci cât îl va costa pe gospodar pentrua uda gr¼adina?

8.3 Evaluare

Testul 8.3.11. Calculati: a) 127; 14dl = :::hl; :::ml; :::l; :::kl; :::cl; :::dal; b) 32; 27l =

:::cl; :::hl; :::ml; :::kl; :::dl:

2. Un cet¼atean vinde suc de soc cu 11; 5 lei/litru si vin de m¼acese cu 12lei/litru. Vecinul s¼au cump¼ar¼a 5; 5l de suc de soc si 3; 5l de vin pentru Pasti.Câti lei a pl¼atit vecinul pentru sucul de soc si vinul cump¼arat? Câti lei i-aur¼amas cet¼ateanului dac¼a a cump¼arat 3kg de ceaf¼a de porc cu pretul de 12; 5lei/kg?3. Un cet¼atean merge la supermarket pentru a cump¼ara 2; 5l de ulei de soia,

3; 5l de ulei de �oarea soarelui si 1; 5l de ulei de m¼asline.a) Câti decalitri de ulei a cump¼arat cet¼ateanul?b) Stiind c¼a o jum¼atate de litru de ulei de soia cost¼a 2; 25 lei, un litru de ulei

de �oarea soarelui cost¼a 4; 24 lei, iar un centilitru de ulei de m¼asline cost¼a 0; 55lei, a�ati câti lei a costat uleiul.4. Dac¼a 10ml de sirop de c¼apsuni cost¼a 1; 12 lei si 100ml de sirop de struguri

cost¼a 2; 25 lei, atunci a�ati cât cost¼a o jum¼atate de litru de sirop de c¼apsuni siun litru si jum¼atate de sirop de struguri.


5. Un gospodar a f¼acut vin pe care l-a pus în cinci damigene cu capacitatea50l si într-un butoi cu capacitatea 30hl: Când va trage vinul de pe drojdieva pierde 4; 75l la �ecare 50l: Câti hectolitri va pierde gospodarul la întreagacantitate de vin?Dac¼a un litru de vin cost¼a 6; 25 lei, atunci cât ar câstiga gospodarul care ar

vinde 18; 5hl? Câti hectolitri ar r¼amâne gospodarului?

Testul 8.3.21. Calculati: a) 214; 05dal = :::cl; :::l; :::ml; :::hl; :::dl; :::kl; b) 67; 201dl =

:::hl; :::ml; :::l; :::kl; :::cl; :::dal:2. Elevii primesc în �ecare zi de scoal¼a câte o pung¼a de lapte cu capacitatea

135ml: Stiind c¼a în scoal¼a sunt 927 de elevi, a�ati:a) câti decalitri de lapte trebuie adusi dou¼a s¼apt¼amâni;b) câti hectolitri de lapte trebuie adusi în sapte s¼apt¼amâni.3. Tat¼al lui Mihai merge la PECO pentru a cump¼ara 5l de ulei de motor,

6; 5l de antigel si motorin¼a. Stiind c¼a doi litri de ulei de motor cost¼a 13; 45 lei,0; 5l de antigel cost¼a 4; 25 lei si profesorul are 500 lei, a�ati câti lei îi mai r¼amân.Stiind c¼a un litru de motorin¼a cost¼a 4 lei, atunci a�ati câti litri de motorin¼a

poate cump¼ara de banii care i-au r¼amas.4. Dac¼a 100ml de sirop de c¼apsuni cost¼a 2; 52 lei si 10ml de sirop de struguri

cost¼a 0; 25 lei, atunci a�ati cât cost¼a o jum¼atate de litru de sirop de c¼apsuni siun litru de sirop de struguri.5. O cistern¼a cu capacitatea 700hl colecteaz¼a lapte de la cinci puncte de

colectare dintr-o localitate. Dac¼a dou¼a dintre punctele de colectare au împreun¼a403dal; iar la �ecare dintre celelalte trei puncte de colectare s-au strâns 225; 34hl;a�ati ce capacitate a cisternei nu a fost folosit¼a?Dac¼a un decalitru de de lapte cost¼a 2; 75 lei, atunci cât a costat laptele

colectat?

8.4 Unit¼ati de m¼asur¼a pentru durat¼a

Unitatea de baz¼a pentru m¼asurarea duratei este secunda (00) :Alte unit¼ati folosite pentru m¼asurarea duratei sunt urm¼atoarele:- minutul (0) ; 10 = 6000;- ora (h) ; 1h = 600;- ziua are 24 de ore,- s¼apt¼amâna are 7 zile,- luna are între 28 si 31 de zile,- trimestrul are 3 luni,- semestrul are 6 luni,- anul are 12 luni,

- anul are 365 de zile sau 366 de zile,- anul cu 366 de zile se numeste an bisect,

8.4. UNIT¼ATI DE M¼ASUR¼A PENTRU DURAT¼A 279

- anul al c¼arui num¼ar se împarte exact la 4 este an bisect, (ex. 2012)- deceniul are 10 ani,- secolul are 100 de ani,- mileniul are 1:000 de ani.Tema 8.4.1 Calculati: a) 15h350 � 12h480 = :::h:::0; b) 18h500 � 13h90400 =

:::h:::0:::00; c) 1h3201400 + 3504500 + 2h2500 = :::h:::0:::00; d) 12h1402000 � 5h500 =:::h:::0:::00; e) 5h460 +2h440 = :::h:::0; f) 2310 = :::h:::0; g) 5200 = :::h:::0; h)7870 =:::h:::0; i) 31h = :::zile:::h; j) 214h = :::zile:::h:Tema 8.4.2 Silvia ajunge într-o tab¼ar¼a luni, 15 august si pleac¼a spre cas¼a

dup¼a 10 de zile. În ce zi si în ce lun¼a Silvia pleac¼a acas¼a?Tema 8.4.3 La o curs¼a de ciclism competitorii pleac¼a din 4 în 4 minute.

Dac¼a primul ciclist pleac¼a la 9h150; atunci la ce or¼a va pleca al saselea, alunsprezecelea, al cinsprezecelea, si al douzeci si unulea?Tema 8.4.4 Un meci de fotbal începe la 17h200: Se joac¼a dou¼a reprize a

câte 450 cu o pauz¼a de 150:a) Când se termin¼a meciul?b) Ce or¼a indic¼a ceasul stadionului la înscrierea unui gol în minutul 18 al

celei de-a doua reprize?Tema 8.4.5 Un elev se culc¼a la 21h150 si se trezeste la 7h50: Care este durata

somnului elevului?Tema 8.4.6 Un tren ar trebui s¼a ajung¼a în gar¼a la 20h430: Dac¼a se anunt¼a

o întârziere de 400; atunci când ajunge trenul în gar¼a? Dac¼a trenul soseste îngar¼a la 21h200; atunci câte minute a întârziat trenul?Tema 8.4.7 O linie de montaj pentru telefoane celulare produce câte un

aparat la �ecare 9 minute. Câte aparate se vor produce în 7h300?Tema 8.4.8 Un aparat cinematogra�c proiecteaz¼a 24 de imagini pe secund¼a.

Câte imagini are un �lm care dureaz¼a 1h350:Tema 8.4.9 Un ceas o ia înainte cu 3 secunde la �ecare or¼a. Cu cât o ia

înainte ceasul într-o s¼apt¼amân¼a?Tema 8.4.10 Un kilogram de zah¼ar cubic contine 120 de buc¼ati. Într-o

familie de patru persoane, �ecare persoan¼a consum¼a 3 buc¼ati de zah¼ar pe zi.a) Câte kilograme de zah¼ar va consuma familia într-un an?b) Dac¼a 1kg de zah¼ar cost¼a 3:200 lei, atunci cât va costa zah¼arul consumat

într-un an?Tema 8.4.11 Lungimea drumului dintre dou¼a localit¼ati este 400 � km: Din

cele dou¼a localit¼ati pleac¼a simultan dou¼a trenuri unul c¼atre cel¼alalt. Primul areo vitez¼a de 90km=h, iar al doilea are o vitez¼a de 110km=h: Dup¼a cât timp seîntâlnesc cele dou¼a trenuri?

Anexa A

Informatii metodice

Avem în vedere c¼a anul scolar este împ¼artit în dou¼a semestre formate din 14respectiv 20 de s¼apt¼amâni. Lectiile de matematic¼a încep cu studierea capi-tolului introductiv Multimi în care cititorul ia contact cu limbajul speci�cteoriei multimilor si cu notiuni elementare de topologie. La clas¼a sunt predate 4ore/s¼apt¼amân¼a. Succesiunea lectiilor si num¼arul de ore alocate primului capitolsunt prezentate în urm¼atorul tabel:

Probabil c¼a v¼a întrebati:- De ce se vorbeste despre imagini de familii de multimi si nu despre familii

de multimi?

281

282 ANEXA A. INFORMATII METODICE

Având în vedere c¼a o familie de multimi este o aplicatie de�nit¼a pe o multimede indici, este normal s¼a nu discut¼am la acest nivel de predare a matematiciidespre familii de multimi.Credem c¼a prezentarea operatiilor cu multimi de puncte ale foii de caiet

este accesibil¼a elevilor, iar notiunile elementare de topologie (frontier¼a, interior,multimi deschise, închidere, multimi închise, exterior, conexiune) ajut¼a la for-marea unui vocabular modern pe care elevul îl va folosi în continuare la orelede geometrie.Succesul lectiilor de matematic¼a depinde de preg¼atirea temeinic¼a si impli-

carea cadrului didactic în actul educational ca actor principal într-o dezbatereanimat¼a.În continuare, manualul cuprinde dou¼a p¼arti: Geometrie si Algebr¼a. S¼ap-

t¼amâna începe cu geometrie, iar cele dou¼a ore de geometrie alterneaz¼a cu celedou¼a ore de algebr¼a. Succesiunea lectiilor pe capitole si num¼arul de ore alocatecelor dou¼a p¼arti sunt prezentate în continuare.

283

Introducerea �reasc¼a a notiunilor dublat¼a de exemple ilustrative favorizeaz¼aasimilarea usoar¼a a notiunilor de geometrie. La orele de geometrie elevul în-vat¼a s¼a construiasc¼a însusindu-si totodat¼a de�nitii si axiome noi, iar la orelede algebr¼a se sistematizeaz¼a deprinderile de calcule cu numere naturale folosindpropriet¼atile adun¼arii si înmultirii. Utilizarea limbajului teoriei multimilor înrezolvarea ecuatiilor si inecuatiilor îl determin¼a pe elev s¼a devin¼a constient dedemersul logic f¼acut si s¼a explice pas cu pas ceea ce face. Un elev care ex-plic¼a si scrie corect pe tabl¼a rezolvarea unei ecuatii este asemenea unui elev careinterpreteaz¼a corect la un instrument o melodie.În semestrul al II-lea, s¼apt¼amâna începe tot cu geometrie, iar orele de geome-

trie si algebr¼a alterneaz¼a. Succesiunea lectiilor pe capitole si num¼arul de orealocate celor dou¼a p¼arti sunt prezentate în continuare.


Introducerea în "lumea transform¼arilor geometrice" este deosebit de bene�c¼apentru �ecare elev, deoarece, mai mult ca oricând, acesta începe s¼a aplice cunost-intele si execut¼a diverse m¼asur¼atori pentru a deplasa în plan �gurile geometriceînv¼atate. În plus, notiunile noi (drepte perpendiculare, unghi drept, triunghidreptunghic, dreptunghi, trapez dreptunghic, romb, p¼atrat) apar în mod �resc,de�nitia si constructia lor bazându-se pe notiuni deja cunoscute.

Elevii învat¼a s¼a foloseasc¼a instrumentele geometrice (rigl¼a, echer si compas)si s¼a m¼asoare folosind rigla negradat¼a. La acest moment elevii nu stiu ce estelungimea unui segment închis sau m¼arimea unghiular¼a a unui unghi. Cu toateacestea elevii sunt capabili s¼a construiasc¼a simetricul unui triunghi fat¼a de unpunct sau translatatul unui paralelogram pe directia unei drepte sau simetriculunui p¼atrat fat¼a de o dreapt¼a sau imaginea unui hexagon printr-o rotatie în jurulunui punct de unghi dat.

Urm¼arind succesiunea lectiilor si continuturile acestora probabil v-ati pusîntreb¼arile:

- La ce folosesc demonstratiile diferitelor propriet¼ati enutate?

- Elevii sunt pusi s¼a reproduc¼a astfel de demonstratii?

Nu se pune accent pe demonstratiile propozitiilor si teoremelor care apar ci,pe folosirea rezultatelor în rezolvarea diferitelor sarcini de lucru. Cu sigurant¼aacele extinderi nu se adreseaz¼a elevilor obisniti ci, elevilor cu înclinatie pentruabstractizare. Exist¼a si elevi care st¼apânesc operatiile cu numere si care suntdornici de a dobândi instrumente noi de lucru.

Problemele rezolvate contribuie la cresterea încrederii elevilor în fortele pro-prii si la implicarea în rezolvarea diverselor teme propuse. Operatiile cu nu-merele zecimale si propriet¼atile acestora preg¼atesc elevii pentru calculele culungimi, mase si capacit¼ati precum si pentru rezolvarea diverselor problemecu caracter practic.

Lungimea unui segment închis, distanta dintre capetele acestuia, m¼arimeaunghiular¼a a unui unghi si m¼asura unei m¼arimi unghiulare sunt notiuni impor-tante care vor � folosite pe parcursul instruirii elevilor la orele de geometrie. Deaceea introducerea riguroas¼a a acestor notiuni este urm¼arit¼a cu atentie de c¼atreautor.

Urm¼arind continuturile 4.1 - 4.5 si num¼arul de ore alocat acestora în tabelulde mai jos puteti � putin contrariati. Desigur, elevul nu trebuie s¼a asimilezetoate rezultatele prezentate ci, doar s¼a ia contact cu acestea si s¼a a�e principaleleoperatii care se fac cu lungimi de segmente închise.

În continuare prezent¼am succesiunea continuturilor capitolelor 4, 5, 7 si 8

285

precum si num¼arul de ore alocate acestora.

Autorul face o distinctie clar¼a între lungimea unui segment închis si distantadintre capetele acestuia calculat¼a în raport cu o anumit¼a unitate de lungime(cm; hm;m; dm;mm; :::) care este un num¼ar pozitiv. De asemeni, exist¼a difer-ent¼a major¼a între m¼arimea unghiular¼a a unui unghi si m¼asura acesteia calculat¼aîn raport cu o anumit¼a m¼arime unghiular¼a (grad, minut, secund¼a).Din nefericire, aceste notiuni sunt prezentate gresit în mai toate manualele

de matematic¼a elementar¼a.Confuzia între notiunile invocate mai sus este asem¼an¼atoare cu confuzia între

masa unui corp si greutatea acestuia. Nu de putine ori, când ati întrebat unvânz¼ator:- Ce greutate are sacul de f¼ain¼a?R¼aspunsul primit a fost, de exemplu:- 50kg:


Tot asa se vorbeste despre distanta dintre dou¼a orase ca �ind 40km si nudespre lungimea drumului dintre cele dou¼a orase ca �ind 40km:Probabil o s¼a spuneti:- Dac¼a s-a încet¼atenit acest limbaj, atunci asa îl vom folosi si noi.Complet gresit, deoarece dup¼a aceeast¼a logic¼a, ar trebui s¼a admitem c¼a masa

unui corp este greutatea acelui corp care, dup¼a câte stim, este o fort¼a.Credem cu t¼arie c¼a notiunile de matematic¼a trebuie prezentate cu claritate

eliminând orice umbr¼a de confuzie care ar putea s¼a apar¼a pe parcurs, chiar dac¼aacestea sunt prezentate în anul întâi de gimnaziu.Majoritatea manualelor prezint¼a aria unui dreptunghi cu dimensiunile 2 � cm

si 3 � cm ca �ind produsul celor dou¼a dimensiuni, adic¼a 6 � cm2:

De asemeni, volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 4 �m; 2 �m si 5 �m este prezentat ca �ind produsul dimensiunilor, adic¼a 40 �m3:

Astfel este indus¼a ideea complet gresit¼a potrivit c¼areia putem înmulti lungimide segmente închise.Este cunoscut urm¼atorul rezultat:

Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat si A0 = pr?BC (A) ; B0 =

pr?AC (B) ; C0 = pr?AB (C) ; atunci

kB;Ck � kA;A0k = kA;Ck � kB;B0k = kA;Bk � kC;C 0k :

Demonstratia se bazeaz¼a pe asem¼anarea triunghiurilor dreptunghice, notiuneprezentat¼a în volumul al III-lea al acesti c¼arti, destinat elevilor din al treilea ande gimnaziu.În mod �resc urmeaz¼a urm¼atoareaDe�nitie Dac¼a ABC este un triunghi degenerat, atunci spunem c¼a aria sa

este num¼arul 0 si scriem:

� (ABC) = 0:

Dac¼a ABC este un triunghi nedegenerat, atunci spunem c¼a aria sa este

num¼arul pozitivkB;Ck�kA;A0k

2 si scriem:

� (ABC) =kB;Ck�kA;A0k

2 :

În plus, dac¼a jB;Cj = 5 �m si jA;A0j = 8 �m; atunci scriem:

�m (ABC) =kB;Ckm�kA;A0k

m

2 = 5�82 = 20

si citim: aria triunghiului ABC calculat¼a în raport cu unitatea de lungime meste num¼arul pozitiv 20:Folosim si scrierea:

� (ABC) = 20 �m2;

287

deoarece aceasta ne este util¼a atunci când dorim s¼a obtinem �dam (ABC) ; �mm (ABC) ; :::f¼ar¼a a mai relua rationamentul de mai sus ci, folosind doar scara metrului p¼atrat:

km2 = 1:000:000 �m2

hm2 = 10:000 �m2

dam2 = 100 �m2

m2

dm2 = 1100 �m

2

cm2 = 110:000 �m

2

mm2 = 11:000:000 �m

2

Când "trecem de la mic la mare" se împarte la o putere a lui 100; iar când"trecem de la mare la mic" se înmulteste cu o putere a lui 100:Spre exemplu, deoarece

� (ABC) = 20 �m2

= 20100 � dam

2

= 0; 2 � dam2

= 0; 2 � 10:000:000 �mm2

= 2:000:000 �mm2

rezult¼a c¼a�m (ABC) = 20�dam (ABC) = 0; 2�mm (ABC) = 2:000:000:

Desi numerele 20; 0; 2 si 2:000:000 sunt diferite, ele reprezint¼a aria triunghi-ului ABC calculat¼a în raport cu unit¼atile de lungime m; dam si mm:Abordând astfel lucrurile, evit¼am confuzii matematice grave legate de pro-

dusul lungimilor.Nu uitati maxima latineasc¼a: Repetitio mater studiorum est!Dac¼a se întâmpl¼a s¼a rezolvati mai repede sarcinile de lucru prev¼azute la

o anumit¼a lectie, atunci v¼a suger¼am s¼a nu treceti mai departe. Recapitulatiprin exercitii si probleme pentru a sistematiza notiunile în mintea elevilor si adezvolta capacitatea elevilor de a utiliza si aplica notiunile si rezultatele înv¼atateîn situatii noi. Desi, odat¼a cu trecerea timpului, elevul are senzatia c¼a nu maistie ceea ce a înv¼atat, el constat¼a c¼a îsi aduce aminte imediat. Recapitulareaperiodic¼a este deosebit de util¼a, deoarece se îprosp¼ateaz¼a notiunile, iar elevulcap¼at¼a încredere în fortele proprii.Din câte se poate observa, am prev¼azut si exemple de teste de evaluare

si teze. Desigur, profesorul poate interveni si poate propune sarcini noi delucru diferite de cele prezentate în aceast¼a carte în functie de nivelul claseila care pred¼a matematic¼a si de exigentele programei scolare pe care trebuie s-orespecte. El, profesorul de matematic¼a, este cel care trebuie s¼a dea viat¼a lectiilorde matematic¼a în mod creativ.

Bibliogra�e

[1] A. C. Albu, V. Ob¼adeanu, I. P. Popescu, F. Radó, D. Smaranda, Geome-trie pentru perfectionarea profesorilor, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a, Bu-curesti, 1983.

[2] A. E. Beju, I. Beju, Compendiu de Matematic¼a, Vol. I, Editura Stiinti�c¼a siEnciclopedic¼a, Bucuresti, 1983.

[3] Dan Brânzei, Eugen Onofras, Sebastian Anita, Gheorghe Isvoranu, Bazelerationamentului geometric, Editura Academiei Republicii Socialiste Româ-nia, Bucuresti, 1983.

[4] H. Gerber, Mathematics for Elementary school teachers, CBS College Pub-lishing, 1982.

[5] R. Miron, D. Brânzei, Fundamentele aritmeticii si geometriei, Editura Acad-emiei Republicii Socialiste România, Bucuresti, 1983.

[6] E. E. Moise, F. L. Downs jr., Geometrie, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a,Bucuresti, 1983.

[7] D. Smaranda, N, Soare, Transform¼ari geometrice, Editura Academiei Re-publicii Socialiste România, Bucuresti, 1988.

[8] G. Turcitu, N. Ghiciu, C. Basarab, I. Rizea, T. Dragonu, St. Smarandache,Manual pentru clasa a V-a, Editura Radical, Craiova, 2008.

289

matematica pentru Începători, vol i

Documents