matematica m1 pentru examenul de bacalaureat. 72 de teste m1 pentru... · examenul nafional de...
TRANSCRIPT
Marian ANDRONACHE . Dinu $ERBANESCUMarius PERIANU . CdtSlin CIUPALA . Florian DUMITREL
Matematicepentru examenul
de bncalaureat
Filiera teoretic[, profilul real,specializ ar ea matematici-informatici
Filiera vocaliona16, profilul militar,specializ ar ea matematicfl-info rmaticl
CuprinsEXAMENUL NATIONAL DE BACALAUREAT
Subiectedateintreanii2010-2015'...'......'
capitolul 1. ALGEBRAIOEoMETRIE (clasele lx-X)
1.1. Mullimide numere. Mul[imiSielemente de logicl matematici .......... 41 .........- 275
1.2. Funclii definite pe mul[imea numerelor naturale (giruri) ...'....... 44 .......... 276
1.3. Funclii. Proprietiligenerale. Lecturigrafice 48..........279
1.4. Funclia de gradull. Funcfia de gradulalll-lea 53....'..... 280
1.5. Puteri gi radicali. Ecualii irafionale 58 .......... 283
1.6. Funclia exponen[iald gifunclia logaritmici 62 .......... 285
1.7. Numere complexe 66 ......-.-. 287
1.8. Metode de numdrare.
Elemente de combinatoricS. Matematicifinanciare ...'................ 70 ......-..- 288
1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorialS. Geometrie analiticd 74 .....-.... 288
1.10. Trigonometrie. Aplicalii ale trigonometriei ............. ......'.... 80 .....-...- 291
gi ale produsului scalar in geometria plani '......'..... .'.......'.. 80 .......-.. 291
Capitolul 2. ALGEBRA (clasele Xl-Xll)
2.1. Permutdri. Matrice. Determinanli ....................... 89 .......... 294
2.2. Sisteme de ecuafii liniare ........... 98 .......... 297
2.3. Structuri algebrice 108 ...'...... 304
2.4. Polinoame cu coeficienli intr-un corp comutativ ....'...'...'..... 1 19 ..'....... 313
capitolul 3. ANALIZA ruRrrrtaRTlcA (clasele Xl-xll)
3.1. Limite de giruri. Limite de funcfii.
Funclii continue. Fgnclii derivabile ............ 13'l .......... 317
3.2. Primitive ..................... 152..........332
3.3. Functii integrabile 158 ......... 336
Capitolul4. MODELE DE SUBIECTE
Variante de subiecte propuse spre rezolvare
=I
I
=lrr
=I
177 ..........358
Examenul Nafional de Bacalaureat
Subiecte date intre anii 2010-2015
Testul { Examen Bacalaureat 1 iulie 2015, sesiunea I
Testul 2 Examen Bacalaureat 26 mai 20't5, sesiunea specialS
Testul S Examen Bacalaureat 26 august 2015, sesiunea a ll-a
Testul 4 Examen Bacalaureat 26 august 2015, subiect de rezervd
Testul_ S Simularea Examenului de Bacalaureat 2015, Clasa a Xll-a
Testul & Simularea Examenului de Bacalaureat 2015, Clasa a Xl-a
Testul ? Examen Bacalaureat 2015, modelsubiect (www.edu.ro)
Testul- & Examen Bacalaureat 2 iulie 2014, sesiunea I
Testul $ Examen Bacalaureat 2 iulie 2014, subiect de rezervi
Testul {0 Examen Bacalaureat 27 mai 20'14, sesiunea speciald
Testul t& Simularea Examenuluide Bacalaureat,5 martie 2014
Testul {4 Examen Bacalaureat 2014, modelsubiect (www.edu.ro)
Testul { S Examen Bacalaureat 3 iulie 2013, sesiunea I
Testul * & Examen Bacalaureat 3 iulie 2013, subiect de rezervd
Testul X ? Examen Bacalaureat 28 mai 2013, sesiunea specialS
Testul *& Examen Bacalaureat 28 august 2013, sesiunea a ll-a
Testul { I Examen Bacalaureat 28 august 2013, subiect de rezervd
Testuf 2& Examen Bacalaureat 2013, model subiect (www.edu.ro)
Testul *{ Examen Bacalaureat, iulie 2012
Testul 3* Examen Bacalaureat, iulie 2012, subiect de rezervd
Testul *& Examen Bacalaureat, mai 2012, sesiunea special5
Testul 24 Examen Bacalaureat, august 2012
Testul 25 -"Bacalaureat 2012, modelsubiect (www.edu.ro)
Testul 2S Examen Bacalaureat, iunie 2011
Testul 2? Examen Bacalaureat, august 2011
Testul *& Bacalaureat 2011, model subiect (www.edu.ro)
Testul 2S Examen Bacalaureat, iunie 2010
Testul $& Examen Bacalaureat, iunie 2010, subiect de rezervd
Testul 3t Examen Bacalaureat, august 2010
Testul 32 Bacalaureat 2010, modelsubiect (www.edu.ro)
TestuI X Examen Bacalaureat 1 iulie 2ols,sesiunea I
Subiectul!l. tuat4ic[(r6+l)'z +(Ji_t)z =tz.2. Calculaliprodusul f(1)f(2)f(3)f(4),unde /:lR -+IR., .f(x)=x-3 '
3. Rezolvali in mullimea numerelor reale ecualia logr(x2 - 4x + 4) = Q '
4. Determinali cdte numere naturale impare, de hei cifre distincte, se pot forma ct clfrele 2,3
$i 4.
5. Se |n reperul cartezian xOy se considerd punctele A(1,2) qi B(2,3). Determinali ecuafia
dreptei d care trece prin punctul I qi este perpendicularl pe dreapta AB '
6' Arrtali cd sin(tr - x)+ sin(a + x) = 0 , pentru orice num[r real x'
Subiectulal ll-lea
1. Se considerd matricea u(.) =( to
?(.:, o
a) Ardtali c[ det(B(0)) = 1 .
ill , ,ro" x este numdr real.
t)
b) Ardtalicd B(r) + B (y) = r r(ry), pentru orice numere reale x qi v'
c) Determinali numerele reale x pentru care B(x2 + l)B(x) = B(x2 + x + 1) '
2. Pe mulf;mea numerelor reale se defineqte legea de compozilie asociativS
Iy"y=1G-3)(y-3)+3.
a) /.;;dtali cI (-3).3 = 3 .
6/ Determinali numerele naturale n penlnt cate n " n = ll .
c) Calculali 1o2"3 o ...o2015 .
Subiectula! lll-lea
l. Se considerd funclia / : (1,+m) -+ IR.,/(r) = *
a) Ardtali cd f'(x) = :--.x e (1,+m) .
(x - l)'b) Arlfiali cdfuncliaf este convexl pe intervalul (1,+m) .
c,) Determinali coordonatele punctului situat pe graficul funcliei f, in care tangenta la
graficul funcliei/este pataleld cu dreapta de ecua{ie ! = -3x '
2. Se consider[ func]ia /: IR -+ lR, /(r) =:ss' .
2-,a) Aratali ca )-f {xldx = e(e -l) .
6/ Determinaf primitiva F a funcfiei/pentru care f 0) = 0 '
c) Pentru fiecare numdr natural nenul n se consider[ numdrul t,:jx"f(x)dx. Ardtali
cd I,+(n+1)1,-r= e, pentru orice numdr nafural n, n) 2 '
=I
r(I
=ut
=I
Testur ffi Examen Bacalaureat 26 mai 2o1s,sesiunea specialiSubiectull1. Se consider6 numerele complexe 4 =2*3iqi z, =l_3i . Ardta\i c[ num5rul zt+ z2este
real.2. Calailali(f "CXl), wde f : 1R -+ iR, f(x) =r-l 9i g : JR -+ JR, g(x) = ly.3. Rezolvali in mullimea numerelor reale ecuafia 4, -64 = O .
4. Calculali probabilitatea ca, alegAnd un numdr din mullimea numerelor naturale de dou6cifre, acesta s[ fie divizibil cu 7.
5. in reperul cartezian xOy se considerd dreapta d de ecualie ! = 4x +I qi punctul A(2,0) .
Determinati ecualia paralelei duse prin punctul I la dreapta d.6. Ardta[i ci sin(a-x)sinr-cos(a-r)cosr = 1, pentru orice num6r realx.
Subiectul al ll-lea
1. Se considerd marricete , =(', ? ;l ,,[r o 1)
(o x o\Bfil=l x O, l, undexesrenumdrreal.
[o * o)
t!E,t=loL
GfIr.l
U
fzsG,IIIo.jltt^UTz6EUTrr1"
ciEII
zoOEozj
I
8
a) Ardtalic6, detA=0.b) Ardta[i cd A. B(x) + B(x). A = 3B(x), pentru orice num[r real r.c) Determina[i numerele reale x pentru care B(x). B(x). B(x) = B(xz + x _ 2) .
2. Se considerd polinomul -f = Xt -2X2 +2X + m,unde llz este numar real.a) Ardtaticd f(0)=m.
b) Pentru m=-1, demonstrali cd (xr**r**r7(!*!*ll=4, unde x,,xrsi x,'('' x2 xr)sunt riddcinile polinomului/c) Ardrtali c5 polinomul f nu are toate ridlcinile reale.
Subiectulal !ll-lea
1. Se considerl func1ia / : JR --> R, ,f(x) - xl - x +l .x'+x+l
a) Ardtalicit f'lx)- z('--lXx+]), xeR.(x' + x +l)'
b) Detetminali ecualia tangentei la graficul funcliei/in punctul de abscisdx = 0, situatpe graficul funcliei/.c) catcttali Ig (f trl)' .
2. Se considerl func{ia /: JR -+ lR, ,f(x) = e' -2x .
I
a) Ardtati ce tQ@)+2x)dx = e*t .
b) Determina\fprimitiva F a func[ieifpentru care f(1) = e -3 .
c) Ardta[i cd volumul corpului oblinut prin rotirea in jurul axei Ox a graficului func]iei
g : [0,1] -+ iR, g(r) = .f (x), este egal "" [(Zu,
_tS) .
Te s tu I ffi Examen Bacalaureat 26 august2015, sesiunea a ll-a
Subiectu! I
1 . Determina{i al treilea termen al progresiei aritmetice (a, ),-r , itiind cd a, = 2 Si a, = 5 .
2. Determinali numdrul real a, qtiind cd punctul A(3,5), aparfine graficului funcliei
/:lR -+lR, "f(r) =a-x.3. Rezolvali in mullimea numerelor reale ecualia g4-x - 22x+2 .
4. Calculali probabilitatea ca, alegdnd un numir din mullimea numerelor naturale de doud
cifre, acesta sd aibl produsul cifrelor egal cu 0.
5. in reperul cartezian xOy se considerS punctul M(l,l). Determinali ecua{ia dreptei care
trece prin punctul M Si are panta egald cu2.
6. Se considerd triunghiul ABC cu AB : 5, AC: 12 qi BC -- 13. Ardtafi "a
,m C = * '
Subiectulal ll-lea
1. Se considerd mafficea O,,r, =('i-[-,
0 2x)II 0 l.undexestenumdrreal..
O 1+2x )
a) Ardtali cddet(A(l)) = 2 .
b) ArFfiali cd A(x)A(y) = A(xy + x + y) , pentru orice numere reale x qi y.
c) Determina{i numerele reale x, qtiind cd l(x) A(x)A(x) = A(7) .
2. Se consideri polinomul -f = X3 + 2X2 + X + m ,unden este numdr real'
a) Ardt{;i cd f (0) = m .
b) Pentnt m: l, ardta\i cd ft**)+fi=5xrxrx3, urde x,,x, six, sunt r[ddcinile
polinomuluili,) Oeterminili numarul natural primm, qtiind cI polinomul/are o rdddcin6 intreag[.
Subiectul al lll-lea
1. Se considerd func{ia / : ]R. + iR,,f(x) = * - r[*\l .
a) Ari{a1i cit f'(x)= I -+. x e lR .
Vx'+l6) Determinali ecualia asimptotei orizontale spre +co la graficul func{ieilc) Ardta\i cd derivata funcliei/este descrescdtoare pe iR.
2. Se considerd funclia / : (0, + m) --> R , /(x) = lnx .
n^ )-.
u) /udtali ca Js1= I .
b) Calcula[iafia suprafelei plane delimitate de graficul func[ieif, axa Ox qi dreptele de
ecua{ii x: I qix: e.
c) Determinali num[ru] natural nenuln,qtiind cd i)ttill' d. =;8.
F
EI
r(\J
=u,l
=T
Te stul a& Examen Bacalaureat 26 august2ols,subiect de rezervdSubiectul I1. Calculali rafia progresiei aritmetice (o,)n , , gtiind cd ar = 1 qi az = 2015 .
2. Determinaji valoarea maximi a funcliei f :[1,4]--> lR., /(r) = x + I .
3. Rezolvati in mullimea numerelor reale ecualia logr(x2 - gx) = 1og, 9 .
4. Determinali cdte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementelemullimii A= {1,2,3,4} .
5. in reperul cartezianxoy se considerd punctele A(3,3),8(6,3) gi c-(4,0). Determinalicoordonatele punctului D, qtiind cd, AB CD este paralelogram.
6. calculali lungimea laturti BC a triunghiului ABC in care AB =1, B = ! v c = L
Subiectulal ll-lea(t o
1. Se considerd matricelei, =lO I
[ooa este num[r real.
a) Arifia[i cd det(A(l)) =1 .
b) Determina[i numerele reale
A2 1a1 = A(a)A(a) .
a, qtiind cZ. A2 (a) -2A(a) + I, = O, unde
c) Ardiali cd A(2)+ A(4)+ A(6)+...+ l(100) = s0l(51) .
2. Se considerdpolinomul -f = X3 *4X2 +mX +2,undemestentmdrreal.a) Arit{i cd f (0) = 2 .
b) Determinali numdrul real m pentru care xl = x2 + x3, unde x1 , x, Si x, sunt rdddcinilepolinomuluifc) Pentru m:8, ardtali cd polinomul f nu are toate rddlcinile reale.
Subiectulal lll-lea1. Se considerd funclia / : IR -+ IR, ,f(x) = e, (x2 - 6x +9) .
a) Arittalicd, f'(x)= e'(x2 -4x+3), x e lR.b) Determina\i intervalele de monotonie afunclieif.c) Demonstrafi cd e' (x -3)2 < 4e , pentru orice x e (-m, 3] .
2. Pentru fiecare numlr natural nenul n,se considerd numdrul { =i {, - *, ), * .
d Ardtati cir L = 3
t 4-b) Ardtali cd I n*, < 1, , pentru orice numdr natural nenul n.
c) Demonstra! i cd I,*, =*2 ,,, pentru orice numlr natural nenul n.
o) (o o o) (t a a+t\ol.q=lo o ol qi Aal=lo 1 a+21 ,rna.t) [ooo) [oo r)
uJOE
E
=foLL
r<
o.ftJU
lzge,LIo.jfvtIIJz)<6OEuJ1r\.
ciUJT
zooE,oz
=I
10
TeStut ffi Simularea Examenuluide Bacalaureat 2015, Clasa a Xll-a
Subiectul I
1. Calculali partearcalda num[rului complex , =3^*?^i .2-3i'2. Determinali num[ru] real a, qtiind cd func1ia / : IR + IR, ,f(r) = x' + x- a are graficul
tangent axei Ox.
3. Rezolvali in mullimea numerelor reale ecualia 22' +3'4' - 16 = 0 '
4. Calculali probabilitatea ca, aleg6nd una dintre submullimile cu doud elemente ale
mullimii A= {1,2,3,4,5,6,7} , aceasta sd aibd un singur element numdr par'
5. in reperul cartezian xOy se considerd punctele M(2,3) qi I{(4,1). Determinali ecualia
mediatoarei segmentului r14y'.
6. Ardtafi c6 (sinx+sin(o-*))' +(cosx+cos(2n _ x))2 = 4, pentru orice numdr realx.
Subiectulal ll-lea
t. Se considerd matricele ,, = I I ? 3l ,t[o o t)
(o o -1)Atil:l x 0 0 l. unde x este numdr real
[o -r o)
Q Ardrali cd A(t)+ A(-t) =2A1q .
D) Rezolvali in mullimea numerelor reale ecualia det(,4(x) + /r) = 0 '
c) Ardta\i cd det(alr-bA(-l)+cA(-l).,4(-1))> 0, pentru orice numere reale pozitive
a,bSic.2. pe mullimea numerelor intregi se defineqte legea de compozilie asociativ[ qi cu element
neutru x*/ = xy - 5x -5y +30 .
a) Ardfiali cd x * ! = (x - 5)(y - 5) + 5, pentru orice numere intregi x qi y.
b,) Determinali elementele simetrizabile in raport cu legea de compozilie ,, * ".
c) Calcu|a|i d,* d,*...* 4,,lnde d,,d2,... ,d3 sunt divizorii naturali ai lui 2015.
Subiectul al lll-lea1 . Se considerd funclia f : (-1, +m) -+ 1R, /(x) = x - ln(x + 1) .
a) Calcula[i .f'(*), x e (-1,+co).
b) carutra[i l\.- t:D-l'"'
c) Demonshali cd ll(x + 1) < x , pentru orice x e (-1,+oo)
2. Se considera func[ia / : R + R, /(x) =;irl
a/ Calculali ),f UV, .
b) Ardtali ra I fG)+ *' f(rl dx = + --, . "---,. -- to Xo +l g
r'ct Carcurali ,)y*l tuta,
=I
r(
=u,l
=I
11