matematica de excelenta - clasa 5 - pentru concursuri ... de excelenta - clasa 5.pdf · metoda...

12
Maranda Lin! Dorin Lin! Rozalia Marinescu Dan $tefan Marinescu Mihai Monea Stelufa Monea Marian Stroe lllatematioil ile etrGGlenlil [Gntru G0nGursuri, olimfiaile $i centte ile erGelenla Glasa a U-A Edigia a II-a mate 2000 - crcGlenli

Upload: others

Post on 19-Jan-2020

474 views

Category:

Documents


90 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

Maranda Lin!Dorin Lin!

Rozalia MarinescuDan $tefan Marinescu

Mihai MoneaStelufa Monea

Marian Stroe

Erstrate.roprierate intelectual5.

lllatematioil ileetrGGlenlil[Gntru G0nGursuri,olimfiaile $i centte ileerGelenla

Glasa a U-AEdigia a II-a

mate 2000 - crcGlenli

Page 2: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

- 1.

Cuprins

La inceput de drum... ......... 5

Teste iniliale

CAPITOLUL I. Metode de rezolvare a problemelor de aritmeticiI.1. METODA COMPARATrEI............. ............... 11

r.2. METODAGRAFTCA ................. 15

1.3. METODA FALSEI IPOTEZE..... ....................20I.4. METODA MERSULUI INVERS.... ................24r.5. PROBLEME DE Mr$CARE ......27I.6. PROBLEME DE PERSPICACITATE ...........30I.7. PRINCIPruL LUI DIRICHLET ......................37I.8. METODA REDUCERII LA ABSURD ........... 40

Teste de evaluare .............46

CAPITOLUL II. Numere naturaleII.1. OPERATII CU NUMERE NATURALE; FACTOR COMUN...... ..........49II.2. TEOREMA IMPARTTRTT CU REST........... ....................... 61

II.3. REGULI DE CALCUL CU PUTERI, COMPARAREA PUTERILOR........................ 68

Teste de evaluare .............74II.4. DIVIZIBILITATE iN VrUllnrAEA NUMERELOR NATURALE, PROPRIETATIALE RELATIEI DE DTVIZIBILITATE, CRITERII DE DIVIZIBILITATE.................".....77

Teste de evaluare .............94iI.5. NUMERE PRIME, NUMERE COMPUSE. DESCOMPUNEREA NFACTORI PRIMI A UNUI NUMAR NATURAI., NUMARUL DIVIZORILOR LINUINUMAR NATURAL NENULII.6. ULTIMACIFRAATINUINUMARNATURAL ............ I11rr.7. PATRATE P8RFECTE................ ................ 121

II.8. CUBURI PERFECTE. ....,.,.....,142Teste de evaluare ........... 149

rr.9. srsTEME DE NUMERATIE......... ..............152

CAPITOLUL ilI. MulfimiIII.I. MULTIMI, SUBMULTIMI, CARDINALUL UNEI MULTIMI, OPERATII CUMULTIMIIII.2. PROBLEME DE NUMARARE .................172

Teste de evqluare ........... 183

CAPITOLUL IV. Numere rafionale pozitiveW.1. SCRIEREA NUMERELOR RATIONALE POZITIVE SUB FORMA DE FRACTIIORDINARE $I SUB FORMA DE FRACTII ZECIMALE. OPERATII CU FRACTIIZECIMALE.rv.2. ECUATTT $r TNECUATTT N N $r Q*. MEDrA AruTMETrC4............................... 2l l

Teste de evaluare ...........220

CAPITOLUL V. Elemente de geometrie qi unitifi de misurdTeste de evaluare ...........232

Olimpiada nalionald de matematicd 2007-2013. .....236

ts: 1001(x + /) + 1l0St + z).

l- a - 1) + 110(9 + 9): 1001 '

a-d)+110(9+b-crc-I-

{trmci Bianca se afld Pe Poziqiar hd sunt 2(n - l) elevi, adici in

n+9I

+fut-4:3n+29-3n:33=

97

t63

Page 3: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

Capitolul I

METODE DE REZOLVARE APROB LEMELOR DE ARITMETICA

r.1 . METODA COMPARATTET

A. ErcueNrc oe rcuvtcA unrrunncAProblemele care se rezolvd cu aceastd metodd se caracterizeazdpin faptul cd se

cer doud sau mai multe mdrimi atunci cdnd legdturile/relaliile dintre ele se pot deducedin compararea a doud situalii diferite, adicl atunci cdnd se cunosc cdte doui valoripentru fiecare mdrime. Important este s[ observim cavza care duce la diferentiereacelor doui situalii.

Metoda constb in a face ca una dintre mlrimi sI fie adus[ la aceeaqi valoare. inacest fel problema devine mai simpl6, intrucdt se elimini una sau mai multe necunos-cute, ?n final rdmAndnd o singurd ,,necunoscut6".

Dispunerea dateior intr-o astfel de problemS se face cu respectarea relafiilor sta-

bilite intre mdrimi, comparalia dintre valorile aceleiagi mdrimi fiind pusi in evidenfdin mod direct prin a$ezarea valorilor aceleiagi mdrimi, unele sub altele.

Rezolvarea problemei se face prin eliminarea succesivi a necunoscutelor pAnd

se ajunge la o relafie cu o singurd necunoscuti.

AeucnlIl:1. Trei caiete gi patru creioane cost[ 10 lei, iar noud caiete qi patru creioane costi22lei. Cdt costi un caiet? Dar un creion?Solulie:3 caiete ..... 4 creioane ....... ...... 10 lei9 caiete ..... 4 creioane ....221eiDiferenfa de bani 22 - I0: lZleiprovine din diferenla numlrului de caiete: 9 -3:6.Deducem cd 6 caiete costl 12 lei, deci un caiet costi 12 :6:2lei.Din enun{, 3 caiete gi 4 creioane costd 10lei, deci 4 creioane cost6 10 -3 '2:4lei $iatunci un creion cost[ I leu.Rdspuns: Un caiet costi 2 lei, un creion costd 1 leu.

2. Andreea a cumpdrat 5 caiete gi 3 creioane cu 1 16 lei. Pentru 4 creioane a pldtit cdtpentru 3 caiete. Care este preful unui caiet? Dar al unui creion?Solalie:5 caiete .... 3 creioane ...... ....... 116 leiLudm cantititi de 4 ori mai mari. Atunci:20 caiete . 12 creioane ....... ......4641eiDeoarece 4 creioane costd cdt 3 caiete, atunci 12 creioane costl cdt 9 caiete.

Obfinem cL 20 caiete gi incd 9 caiete costd 464 lei,

Matematici de excelenli. Ctasa a V-a | 11

Page 4: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

29 caiete costd 464 lei, deci un caiet costi 464 : 29 : 16 lei.3 creioane costd 1 16 - 5 . 16 : 36 lei, deci un creion costd 12 lei.

3. Afla1i trei numere naturale, gtiind cd suma a cdte doud dintre ele este I 12, 164,respectiv 130.

Solulie:Notdm x, y, z celetrei numere.Avem:x+y:112 (l)y + z: 164 (2)z + x: 130 (3)Adundnd membru cu membru cele 3 egalitdfi, oblinem:x * y * y * z I z * x : lI2 + 164+ 1302x+2y+22:406x*!I z:203 (4)Compardm (1) qi (a):xrv:112 I

J\

x+!*z:203J-"Compardm (2) gi (a):lv+z=1641' ^^_ = x:203-164,x:39l*+y*z=203

Comparlm (3) qi (a):* :' : l3o^^^]

= y : zo3 - t3o, y = 73x+!+z:203/Numerele sunt 39,73 gi 91.

4. Aflafi numerele naturale a qi b, gtiind ci a + 6b: 135 gi 2a + 3b:90.Solulie:Din2a + 3b:90 obfinem cd,2.(2a+ 3b):180, adic[ 4a+ 6b: lg0.Avem urm6toarele egalitdli: a + 6b: 135

4a+6b:180.Compardnd egalit61ile, deducem cd4a - a: lg0 - 135, deci3a:45 gi a: 15.Din 15 + 6b: 135 oblinem 6b : tZ} Si b:20.Numerele sunt 15 qi 20.

5. 12 cu{ite gi 10 furculife costd 156lei, iar 15 culite gi 25 furculife de acelaqi fel costi270lei. Cdt costi un cufit gi c6t cost6 o furculdd?Solulie:Dacd" 12 cufite gi 10 furculile cost6 156 lei, atunci 6 cutite gi 5 furculife costi116 lei :2:78lei (1).Daci 15 cufite gi 25 frrculile costd2T}lei atunci 3 cufite qi 5 furculile costd270lei: 5: 54 lei (2).

lgpparand (1) 9i (2) deducern cr (6 - 3) cutite costl (78 - 54) lei, adicr 3 cu{ite costd24lei.Oblinem cd un cutit costd24lei : 3 : 8 lei.12 | Matematici de excelenli. Clasa a V-a

Page 5: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

29: 16lei.2lei.

d dinfie ele este ll2, 164,

b + 3b: 9O.

6t: 180.

i3a:45 gia:15.

irculile de acelagi fel costd

5 furculile costd

5 furculile costi

54) lei, adicl3 cutite costi

Apoi 10 firculile costd 156 lei - (12 ' 8) lei sau

10 furculile cost[ 60 lei, de undeo frrculi16 costi 60 lei : 10 : 6 lei.

B. PROBLEME DE CREATIVITATE

f. intr-un bazin apa curge prin doud robinete. Daci se lasi deschis primul robinettimp de 4 ore qi al doilea 6 ore, in bazin se aduni 19440 iitri de apd, iar dac6 se lasldeschis primul robinet 6 ore gi al doilea 4 ore, inbazin se aduni 18360 litri de ap6.

Ceti fiffi de apd curg prin fiecare robinet intr-o o16?

Solulie:Notdm cu a qi b cantitatea de apd ce se adund intr-o o16 de la primul, respectiv de la al

doilea robinet. Atunci:4a .... ..6b .. .....19440 !.

6a .... ..4b .. ..... t8360 !.

Obfinem prin adunare:

l\a ... .... 10b ....... 37800 / 9i apoi

a ....... b ...... 3780 L

4a .... 4b .... ...15120 L

Compar6m cu prima relalie: 4a .... 4b ... . ... 15120 I'

4a..... .. 6b . ....'.19440 IRezultd:2b:4320+b:2160$i apoi 4a + 6 - 216A : 1'9440 = 4a :6480 = a : 1620

intr-o ord prin primul robinet curg 1620 (., iar prin al doilea 2160 l.

2. a) Diferen{a a doud numere naturale este 2013. Dacd se dubleazd unul dintre nu-

mere, atunci diferenla devine 1003. Aflafi numerele.b) Produsul a doub numere naturale este 2013. Dacd se mdreqte unul dintre numere

cu 7, atunci produsul devine 6710. Afla{i numerele.

Solutrie:a) Deoarece diferen{a se mic9oreaz6, se dubleazl sclzdtorul. Acesta este 2013 - 1003 :: 1010. Descizutul este 2013 + 1010 :3023. Numerele sunt 3023 9i 1010.

b) Fie a, b celedoud numere. Atunci a . b :2013 gi a . (b + 7) : 67l0.Din a doua

egalitate se obline a' b + 7' a : 67 10 e 7' a : 67 10 - 2013 e 7' a : 4697 > a : 67 1

qi apoi b:3.

3. Patru mere cdntdresc tot atdt cdt 5 pere, 3 pere cdt 7 piersici, iar 5 piersici cdt 8

nuci. Dacd pe un taler al unei balanle agezlm 3 mere, cdte nuci trebuie sd aqezdm pe

celdlalt taler pentru ca balanfa s[ fie in echilibru?Concurs,,Pitagora", 2002

Solulie:4 mere .. 5 pere +

3 .4 mere ....... 3 ' 5 pere e 12 mere '....'. 15 pere; (1)

3 pere ....7 piersici +Matematici de excelenli. Clasa a v-a | 13

Page 6: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

5 . 3 pere 5 . 7 piersici <> 15 pere .:.............35 piersici (2)Din (l) qi (2) = t5 pere ....... t2mere I '

15 pere ....... 35 piersici l= 12 mere . .. 35 piersici (3)Dar5 piersici............ 8 nuci=> 7.5piersici...... ......7.g nuci =>+ 35 piersici ........... 56 nuci (4)Din (3) gi (a) = 12mere .....56 nuci => 12:4 mere cdnt[resc tot at6t c6t56 : 4 nuci :> Pe un taler se aqazd3 mere, iar pe celilalt r" uq-[ 14 nuci.4. Trei gospodine au cumpirat:Prima: 3 kg de mere, 3 kg pere 9i 5 kg gutui qi a plitit 20lei;A doua: 6 kg mere, 4 kg pere, Z kg gutui gi a phiit 2g lei;A jreia: 6 kg mere, 7 kg pere, Z tg gutui 9i u pUtit 39 lei.Aflati cdt costd un kilogram din fieiare fruct.Solulie:

f{unand cantitifile cumpirate de primele dou[ gospodine obfinem ci:9 kg mere, 7 kg pere, 7 kg gutui costd 20 + 2g : 4glei.compardnd cu ce a clmpjrat a treia gospodini rez.oltd c6 3 kg de mere cost6 (4g _- 39) lei : 9 lei, de unde aflim cd 1 kg de mere cost6 3 lei.Avem o alt[ problem[:3 kg pere, 5 kg gutui costd (20 - 3 . 3) : 1l lei4 kg pere, 2 kg gutui costb (28 - 6 . 3) : l0 lei.Atunci 12 kg pere, 20 kg gutui costd 4 . 1 I lei :44lei.

12 kg pere, 6 kg gutui costd 3 . l0 lei : 30 lei.Rezultd prin compararea relafiilor ci 14 kg gutui costi 44 - 30: 14 lei, deci I kggutui costi I leu gi apoi 3 kg pere costd I t _ S-: 6 lei, deci

1 kg pere costd 6 :3:2lei.Rdspuns:I kg mere costi 3 lei.I kgpere costd2 lei.1 kg gutui costd I leu.

5. Numerele naturale a, b, c verificd egalit6file:a . b :32,2 . b . c : 16 gi 3 . a . c : 4g.Aflali cele trei numere.

Solulie:Egalitalile se mai scriu:a.b:32,b.c:8,a.c:16gi atunci (". b).(b . c).(a. c):32.8. 16

(a.b.c12:+096(a. b . c)2:642

Obtinema.b.c:64Din a. b . c : 64 Si a. b : 32 ) g = 64 : 32, c : 2.Dina.b.c:64qib.c=8D_in a' b . c:64 Si a . c: 16 + b: 64 : 16, b:4.Numerele sunt a :8, b: 4, c :2.

14 | Uatematici de excelenfi. Clasa a V-a

Page 7: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

-..flr,

..35 piersici (2) 1.2. METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3)

A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,AI ' 8 nuci = Metoda constd in reprezentarea prin desen a diferitelor mirimi care apar in pro-

blem[, eviden{ierea rela{iilor dintre ele qi interpretarea desenului ob{inut. Astfel, se poatemere cdntdresc tot atdt cdt forma,,scherna problemei" urmdrind toate condiliile acesteia.agazi 14 nuci. ire reguH, mlrimile se reprezintl prin segmente intre care se g[sesc relafii astfel

incdt toate segmentele si fie reprezentate in funclie de un anumit segment (parte), a:i; cdrui marime o considerlm necunoscutl. Aflarea acesteia conduce upoi tu aflarea'tu-turor necunoscutelor.

obqinem cd:

Aeucnlil:1. Adi, Nick qi Grig rezolvd cele 133 de probleme ale unei reviste de matematicd.

Aflafi cdte probleme rezolvd fiecare dacd Adi rezolvd cu 21 de probleme mai multe

i 3 kg de mere costi (48 - !ffi;r)i"o ei cu 13 mai puline decdt Grig'

)1 Nick--:-'---t Adi--?-L -t-.?]----s Grig

Reprezentim cu un segment (,Bartea") numirul de probleme cel mai mic. Acesta este

-+ - Jo : 14 lei, deci 1 ke al lui Nick'Atunci Adi rezolvd cu 21 de probleme mai mult, iar Grig cu (21 + 13) probleme mai

nnrlt.Numdrul total de probleme este 133 qi se reprezinti astfel:

P 212t23---l-:---l--:- |

Cele trei segmente rcprezintd I33 - (21 + 2l + 13) : 133 - 55 : 78-

Un segment reprezintd 78 :3 :26 (probleme).

Rdspuns: Nick a rezohat26 probleme, Adi a rezolvat4T probleme, iar Grig atezolvat60 probleme.Verificarea confirml cd numerele sunt cele clutate:

26 + 47 + 60: 133

26 + 2l: 4760-t3:47.

2. Adrian a imprumutat-o pe sora sa Andreea, oferindu-i suma de 860 lei in dou[ zile,

a doua zi suma de bani fiind cu 50lei mai mare dec6t dublul sumei oferite in prima zi.

Aflafi sumele de bani primite de Andreea in cele 2 zile.Solalie:Reprezent[m sumele primite de Andreea in fiecare dintre cele doui zile qi in total.

in prima zi r--I------rinadouazi P I P r5olinceledouizile P I P I P r.5ol

Matematici de excelen[i. Clasa a V-a | 15

Page 8: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

celetreipdr\ireprezinf1860-50:gr0lei,iarparteareprezintdgl0:3:270iei.Andreea a primit 2j0\ei in prima zi qi 590 lei a doua zi.

3' Suma a dou6 numere este mai mare dec6t unul dintre ele cu 80. Aflati numerele daclunul dintre numere este cu 60 mai mic dec6t celdlalt.Solutie:

PPrimul numdrAl doilea numdr, P 160 l

Distingem doud situalii:i) Suma este mai mare cu 80 decdt primul numdr. Atunci al doilea este g0 gi num6rulmic este 80 - 60 :20ii) Suma este mai mare cu 80 decdt al doilea numdr. Atunci primul numdr este g0 qi aldoilea numdr este 80 + 60 : 140Numerele cerute sunt 20 gi 80 sau g0 gi 140.

4' intr-o libririe erau l234.creioane gi stilouri. Dupd ce s-au vdndut g7 de creioane qi43 de stilouri, numErul creioanelor titttare reprezinti o feime din numirul stilourilorrdmase. cdte creioane gi c6te stilouri erau la inceput in librlrie?Solalie:Fie P numirul creioanelor rimase dupdvdnzarea a 87 de creioane gi 43 de stilouri.

creioane, P ,---8-?---, I -stilouri l t234

creioanestilouridupd,vdnzare:

Dupi vdnzare avem 1234 - (87 + 43): 1234 - 130: 1104 creioane qi stilouri, adicd1104 : 4:276 creioane gi276.3:828 stilouri.La inceput, erau276 + 87 : 363 creioane qi g2g + 43: g7l stilouri.

5. Media aritmeticd a 4 numere naturale pare consecutive este 2005. Aflati numerele.Solulie:Dacd media aritmeticd a celor 4 nurnere este 2005, atunci suma lor este 2005 . 4 : g020.Fiep num[ru] cel mai mic.Reprezentim numerele gi suma lor:

2.4.6Cele patru segmente reprezintd,8020 - e + 4 + 6) : g00g. Numdrul mic este:2002.Cele patru numere sunt 2002, 2004, 2006, 200g.

16 | Matematici de excelenfi. Clasa a V-a

sumanumerelor8008:4=

Page 9: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

dnte810 :3:270\ei.

cu 80. Afla{i numerele dacd

al doilea este 80 gi numirul

i primul numdr este 80 qi al

ru r-indrt 87 de creioane qiirne din numirul stilourilorrie?

ciene gi 43 de stilouri.

t23+

{ creioane gi stilouri, adicd

stilouri.

ste 2005. Afla{i numerele.

na lor este 2005 . 4:8020.

)aKsuma+numerelorrrmerd mic este 8008 : 4:

B. PROBLEME DE CREATIVITATE

1. Un utilaj se deplaseazd din localitatea A spre localitatea B mergAnd cu aceeaqi vitezd.

Dupd doud ore de mers, nu ajunsese la punctul intermediar C, mai avdnd de parcurs

14 km. Dup[ cinci ore de mers, utilajul a ajuns in localitatea B, dar trecuse de punctul

C cu 25 km. Care este distan{a de la A la C?

Solulie:Notim cup qi reprezentim cu un segment distanJa parcursd de utilaj intr-o o16.

t4 25

Dupd doud ore utilajul ajunge in ,punctul 0' $i, conform enunfului, distan{a OB este

de 14 + 25:39 km gi este parcursd in (5 - 2):3 ore.

Yrtezautilajului este 39 : 3 : 13 km/h, distanJaAO este de 13 ' 2:26 krn, iar distan{a

AC este 26 + 14: 40 (km).

2. Tat6l are cu 5 ani mai pufin decdt mama gi fiul la un loc. Peste 7 ani, fiul va avea a

treia parte din vArsta mamei qi to{i trei vor avea impreund 108 ani. Ce vdrsti are fie-

care acum?

Solulie:Fie/vdrsta fiului gi m vdrsta mamei, acum. Suma vArstelor in prezent este 108 - 3 ' 7 ::87 (ani).

fiulftlI E/ anlmama f I

tata m ;]E )

5

.f + m: (S7 + 5) : 2: 46 (ani). Tatil ate 46 - 5 : 41 (ani).

Peste 7 ani, mama qi fiul vor avea impreunl46 + 14 : 60 ani'

,f+lt fiul lI oo ani

,f+7 tf+j tf+7 | mamaJ

Fiul va avea 60 : 4: 15 (ani), deci acum are 8 ani. Mama are in prezent 46 - 8: 38 ani'

in concluzie ,tatdl,mama gi fiul au respectiv vdrstele: 4l ani,38 ani, 8 ani.

3. Suma a trei numere este 54. Cel mijlociu este jumdtate din suma celorlalte doud.

Cel mic este cu 28 maimic dec0t suma celorlalte doud. Aflafi cele trei numere.

Solulie:Fie a, b, c cele 3 numere in ordine descrescltoare. Dacd numdrul mijlociu este jum[-

tate din suma celorlalte numere, atunci dublul numbrului mijlociu este egal cu suma

celorlalte numere.

Matematici de excelenli. Clasa a V-a | 17

o

LI

Page 10: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

.bb.__----_--_--_

Suma numerelor se reprezintd,?n una din formele:

Numdrul mijlociu este 54 : 3 : 1g.Suma celorlalte numere este 54 _ 1g : 36.Din enunt avem:

,c 28r---T--_-------

al8

-r---------lNumirul mic este cu l0 mai mic dec6t numdrul mare.

c

c+ 10a F----F-__l numErul mare

!-uma lor fiind 36, deducem ci dublul num'rului mic este 36 - r0:26.Numdrul mic este 13, numirur mare 23,iar cele trei numere sunt 23, r g gi 13.

4. Afla{i cinci numere nafurale a, b, c, d qi e, qtiind c6 sunt indeplinite simultan con_di{iile:1) a este de doud ori mai mare decdt b;2) c este cu 40 mai mic decdt dqi cu 2S maimic dec6t b;3) deste de trei ori mai mate decdte;4) suma celor cinci numere este cel mai mare numir nafural format din trei cifredistincte.

Solulie:Sesizdm ci,,legdtura,'intre numere o face e.Reprezentim numbrul e plntr-yn segment qi, in conforrnitate cu enunful, obfinem urmd_toarele reprezentilri ale celor cinci numere:-

+_--r--tr---+-----l---+1qr

t---r----1--.el$

e

d

c

b

Suma numerelor este 987 , reprezentati de r 6 segmente de lungime e, maipufin g5.Atunci: 16 p1*\rreptezrntiggT + g5 : 1072O parte este 1072 : 76: 67.

18 | matematici de excelenli. Clasa a V-a

Page 11: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

t6-lO:26.tffiZi,18 qi 13.

f fuddinite simultan con-

E

rmat fmmat din trei cifre

;ru enrmsrl, ob{inem urmd-

gime e, mai pufin 85.

Matematici de excelenli. Clasa a V-a | 19

,-rfl

a:6 . 67 _30:402 -30:372b: a :2:372 : 2: 186

c:3.67 -40:201 -40:16Id:3.67:201e:6'l -

5. Despre Paul qi Andrei gtim urm[toarele: peste 5 ani vdrsta lui Paul va fi de trei orimai mare decdt diferenla vdrstelor celor doi, iar diferen{a vdrstelor celor doi este egal[cu vdrsta lui Andrei de acum 2 ani. Ce vdrsti are fiecare?

Solulie:Reprezent[m cu un segment AB : p diferenfa v6rstelor qi apoi completim cu datele

problemei.

,q,& n diferen(avdrstelor

gW p vdrsta lui Paul Peste 5 ani

gr-p----+L-r g vdrstaactualdaluiAndreiB

g F--p---+?+-1--t p vdrsta lui Andrei peste 5 aniBE

Diferen{a vdrstelor celor doi copii este constanti (aceeaqi) oricdnd se va calcula. Privind

desenul 2 gi desenul 4, observim cd avem reprezentate vdrstele celor doi copii, iar

diferenJa d.rrrtre CD;i r4F este redati in desenul 1 (o parte).

Atunci (2 + 5) reprezintE 'chiar p, adici diferen{a de vdrsti dintre Paul (mai mare) qi

Andrei (mai mic).Vdrsta actuali a lui Paul este 3' 7 - 5 : 2t - 5 = 16 (ani).

VArsta actualda lui Andrei este 7 * 2:9 (an1).

Page 12: Matematica de excelenta - Clasa 5 - Pentru concursuri ... de excelenta - Clasa 5.pdf · METODA GRAFICA:re " " 35 piersici (3) A. ErcurNrr DE TEHNT,A MATEMATT,A I ' 8 nuci = Metoda

I.3. METODA FALSEI IPOTEZE

A. ErcurNrr or rruvrcA unrcuencAMai multe tipuri de probleme se rezolvd prin metoda falsei ipoteze, metodd de-numitd qi metoda prTYpun:lllor sau a ipotezelor. Metoda

"onrta in a presupune trans-formarea-cerin{ei probreme_i inh-o ipotezenoud. Aceasta, norra ipotezd,este emis[ nuin ideea de a grsi r[spunsul, ci pentru a sesiza nepotrivirea .r,

"o*pr gi ce modificiritrebuie ftcute asupra ei (ipotezei). Metoda se numegle metodafalsei ipotezepenhu ci,de regul6, aceasta t, "ottfttma

aoevaru ipotezei aoawate, aar-ilurauidentificarea unorrelafii prin care se rezolvd problema.

Arucnll:1' Intr-o sald de lecfurd se afli un anumit numdr de b[nci. Dacd in fiecare banc[ sevor a$eza cdte 2 elevi, afunci 7 elevi nu vor avea loc. Dac[ in fiecare banci se voraqeza cdte 3 elevi, atunci 5 bdnci vor r[m6ne neocupate. an4i numarul elevilor qinumirul blncilor.Solulie:Prima ipotezdPresupunem cI sunt 9 binci. Afunci num5rul elevilor va fi:?.? * 7 : 25 etevi (cdte^2 i1 ba1cfl sau (9 - 5)' 3 : 12 elevi (c6te 3 in bancd)Diferen{a este de 25 - 12: 13 elevi.

A doua ipotezdPresupunem c[ sunt 10 bdnci. Numdrul elevilor va fi:l0' 2 + 7 : 27 elevi (c6te 2 ! bancr) sau (r0 - 5) . 3 : 15 elevi (c6te 3 in bancr)Diferenfa este 27 - 15 = 12 elevi.Constatim ci, m[rind numdrul blncilor cu 1, diferen{a intre numirul elevilor se mic-qoreazd cu 1, aceasta trebuind si fie 0. Pentru a obline acelaqi numer de elevi inseamnlc[ la presupunerea inifiali trebuie si mdrim numdrul b[ncilor cu 13.Deci sunt 9 + 13 :22bdnci.Atunci 22' 2 + 7 : 4,4 + 7 : 5I elevi (c6te 2 in banci)(22 - 5) . 3 : 17 . 3 : 5l elevi (cdte 3 in banc6)Rdspuns: Sunt 51 elevi qi 22bdnci.

2' intr-o parcare sunt 7 vehicule, autoturisme gi motociclete, in total avdnd 24 ro[i.CAte motociclete sunt in parcare?Solulie:Daci in parcare toate vehiculele ar fi autoturisme, afunci, in total, ar avea 7 . 4 : 2g(ro{i), ceea ce nu este in concordan{[ cu enunful.Autoturismele avdnd 4 ro[i, iar motocicleteli doar 2 ro[i, reztltdci diferen{a de roti!1o"r1" de la faptul cd in parcare sunt gi motociclete.28 - 24 : 4 -diferen{a totali de ro{i4.-2 .2 - diferenlade roli pentru un singur vehicul.ftunci 4 :2:2 9i obfinem c6 sunt 2 motJciclete gi 7 *2: sautoturisme.Proba: 2+ 5:7;2.2+ 5 .4:24.20 | matematici de excelenli. Clasa a V-a

/