nmmeit-'-^*1ffi'ow+

il,tt2,'tj': )l-!'i\,JJd',?1- )

t'la'si)i\ r'l'' ')"'t' "

)'

) ..().!\;* ,-

a, Ab

IO]S TUDOR

;x{{,*$$'{b.,$.s,itl:

.:llir

rii'))-lJ

I

JJ

ll';),

[=,r-'ilrr I;A 7;\;/]\!EI-A '-',

fl0 de ani

lon TUDOR

algehrflgGOMGtIIG

clasa a Ul-a

lanGa a ll-a

Edilia a V-a,addugiti gi revizuitd

mate 2000 - iniliere

Cuprins

ALGEBRACapitolul IV. RApoARTE gr pRopoRTrr

Lectia 1. Rapoarte .............. 5Lectia2. Proporfii. Proprietatea frrndamentald a proporfiilor ............9Lecjia 3. Aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor{ie................................. l3Lec\ia 4. Proporlii derivate cu aceiagi termeni. Propor{ii derivate

cu alli termeni.................... .......................... 16Lec{ia 5. $ir de rapoarte ega1e......... ...........................19Lec[ia 6. Procente....... ...........................23Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........26Lectia7. Mdrimi direct proporfionale.......... ..............28Leclia 8. Mdrimi invers proporfionale........... ............. 3 ILec\ia9. Regula de trei simpl5 ..............34Lectia 10. Elemente de organizare a datelor ..............37Leclia 11. Probabi1ita1i.................. ........42Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........45Aplicdm ce am invdlal.................... .......47

Capitolul V. NunBRe iNrnBcrLec\ia 12. Mullimea numerelor intregi. Opusul unui numdr intreg....,.................50Lec\ia 13. Reprezentarea numerelor intregi pe axa numerelor............................. 53Lec\ia 14. Compararea gi ordonarea numerelor intregi.

Valoarea absolutd a unui numdr intreg........... ...............55Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare .........59Leclia 15. Adunareanumerelorintregi. Proprietdlile adundrii.............................60Leclia 16. Scdderea numerelor intregi.......... ..............63Lec\ia l7. inmul{irea numerelor intregi. Proprietdlile inmulJirii..........................65Leclia 18. impS4irea numerelor intregi .....................67Leclia 19. Puterea cu exponent natural a unui numbr intreg ................................69Lec\ia2l. Reguli de calcul cu puteri....... ...................72Lec\ia2l. Ordinea efectuSrii opera{iilor qi folosirea

parantezelor cu numere intregi.......... .......74Sd ne verificdm cunoStintele: teste de evaluare .........'77Aplicdm ce am invdtrat.................... .......78

Capitolul VL Ecualrr $I INECUATII tN Z

Lec\ia22. Ecua{ii in2.............. .............80

Lec[ia23.Inecualii in2.............. ..........83

Lectia24. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor sau inecualiilor .........85Sd ne verificdm cunoStintele: teste de evaluare .........88Aplicdm ce am invdqat................... ........89

GEOMDTRIECapitolul IV. PERIENDTcULARTTATE

LecJia 1. Drepte perpendiculare. DistanJa de la un punct la o dreapt[.Oblice ...............91

Leclia2. Congruenta triunghiurilor dreptunghice ......94Lectia 3. Bisectoarea unui unghi. Concurenta bisectoarelor

unghiurilor unui trirnghi........ ....................97Lectia 4. Mediatoarea unui segment. Concurenla mediatoarelor

laturilor unui triunghi ............99Lectia 5. Simetria fap de o dreaptd...... .................... 102Sd ne veificdm cunoStinlele: teste de evaluare ....... 104Aplicdm ce am invd1at................... ...... 106

Capitolul V. PARALELTsM

Lectia 6. Unghiuri formate de doud drepte cu o secantd ...............108LecliaT. Drepte paralele ..................... I l lLec{ia 8. Unghiuri formate de doui drepte paralele cu o secanti....................... 115Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evqluare ....... I 18Aplicdm ce am invd1at ....120

Capitolul VI. PnopnrerAg arn rnruNGHruRrLoRLec\ia 9. Suma m[surilor unghiurilor unui triunghi ................... ........................lZ2Lectia 10. Unghiul exterior al unui triunghi........ .....125Leclia I l. indlJimea in triunghi. Concuren{a indl{imilor unui hiunghi .............. 128Lectia12. Ariatriunghiului................ ......................131Leclia 13. Mediana in hiunghi. Concurenla medianelor unui hiunghi ..............134Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluqre ....... 136Lectia 14. Proprietdtile triunghiului isoscel.......... ......................... 13SLectia 15. Proprietitile triunghiului echilateral.... .........................143Lectia 16. Proprietdlile triunghiului dreptunghic .....147Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare ....... l5lAplicdm ce am tnvdyal.................... ..... 153

MooEte oB IEZE pENTRU sEMESTRUL AL II-LEA........ ....................... I55

Tesrn or EVALUARE FrNALA........ .......... 157

INorcelu $r RASpr.JNSuRr ......................... 161

ALGEBRACapitolul IV

RepoRRTE Sr PRoPoRTrr

E competenle specifice

O ldentificarea rapoartelor, proportiilor gi a mirimilor direct sau invers propo(ionalein enunluridiverseO Reprezentarea unor date sub furmi de tabele sau de diagrame statistice in vedereainregistririi, prelucriri i 9i prezentirii acestorao Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor in care intervin rapoarte,proportii gi mirimi direct sau invers proportionaleO caracterizarea gi descrierea mdrimilor carc apar in rezolvarea unor probleme prinregula de treisimpliO Analizarea unor situatii practice cu ajutorul rapoartelor, procentelor sau proporliilorO Rezolvarea cu ajutorul rapoartelor gi proportiilor a unor situafii.problemi giinterpretarea rezu ltatelor

tr Lecfia 1. Rapoarte

@| Ce febuie sd gtim

Defini{ie: Raportul numerelor rationale pozitive a Si b este cdtul a : b, oI

Hnotat !. Numerele a gi b se numesc termenii raportului. S

b^cl

Exemplu:Raportul numerelor 8 qi 5 este !. i5\)lci

FDefinitie: Valoarea raportului I este cAtul impdrfiii a : b. E

Dq)

Exemplu: Valoarea raportului I "rte

egal6 cu 8 : 5 : 1,6.5

Fo€

Rapoarte utilizate in practiciRaport procentual

Un raport de forma J*, notat p%o, se nume$te raport procentual (polo100'

se citeqte ,ua la sut[").

Exemplu: n%: #.Scara unei hir{iScara unei hdrfi, notatd cu,S, este raportul dintre distanfa dinne doud puncte

de pe hartd gi distanfa dintre cele doui puncte pe teren.Exemplu: Fie I 9i B doud localitdli situate la distanta de 10 km. Dacd pe

harti distan\a AB este de 1 cm, determina{i scara h54ii.

^ lcm 0,01 m Io :

to t- = loooo - =

loooooo'

Concentrafia unei solufiiConcentralia unei solutii, notati cu C, este raportul dintre masa substantei

care se dizolvd, gi masa solu{iei.Exemplu: intr-ur vas se afld o solu{ie de sare in apd. Daci masa solu{iei este

de 300 g, iar cea a sirii este de 60 g, afla{i concentrafia solufiei.

n-6og-2 _ no,-L/U.300 g 100

Titlul unui aliajTitlul unui aliaj, notat cu Z, este raportul dintre masa metalului prefios gi

? masa aliajului.

9 Exernplu: Un aliaj de argint gi aluminiu contine 16 g argint 9i 184 gs aluminiu. Afla1i titlul aliajului.o! T: l6E =16g = 8

-golo.\) 16 9+184 g 200 g 100lci(,

g g gtim sd rdspun dem?

€ Propozilia ,,Cetul neefectuat a doul numere rafionale pozitive se numeqte€ raportul numerelor respective." este ...........

$l 5d rezolv6m ?mpreund

l. Determinafi raportul numerelor:a) 24 si 42;

)a(6 4Solulie: a) + ==i-427

2. Calcula\i valorile urmdtoarelor rapoarte :

t f ' b);

sotutie: d f :6:5:r,2; b);:5:6:0,8(3).

3. Afla{i raportul volumelor a dou[ cuburi cu muchiile de 6 cm, respectiv 9 cm.

sotu{ie: +=i=(;) =(#)'=(f)'=[+)' =(i)' =*

Itr 56 exersdm singuri

1* incercuili litera corespunzltoare singurului rdspuns corect. Raportul

numerelor ralionale pozitive x gi y se scrie:

d,. L;x

2* Determinati raportul urmdtoarelor numere:

b) 2,5 qi l,(6).255

b) 2'5 =4=Z'l,(6) ro )l* 93

/.t=12/ 2

5523

B. x:y; C.y:x; D. r.v

a) 5qi7;d) 8 qi 12;g) 0,75 Si 1,2;

b) 4eie;e) 15 9i 10;

h) 2,4 qi 1,(3);

c) 11 ei 6;f) 35 ei 56;i) 5,8(3) ei 7.

(tI

H

ctovt(t\)xi(JFoEql

o

=

3* Determina{i raportul lungimilor segmentelor VBI qilCDl dacd,:

a) AB:45 cm gi CD:60 cm;b) AB: 48 cm si CD:72 cm;c) AB : 120 m Si CD:210 m;d) AB:140 m $i CD = 180 m.

C Determinafi raportul lungimilor segmentelor lABl Si [CD] qtiind cd:

a) AB:54cm1iCD-3,6dm;b) AB:2,4damqiCD=90m;

c) AB: 1,08 hm 9i CD :7 200 cm;d) AB:0,036lcn qi CD:5 40 dm.

5" Calculali valorile urmdtoarelor rapoarte:94a) -: b) -: c)' 2' 5'

6- AflaJi valorile urmdtoarelor rapoarte:

11

=)

43

T2

d)

d)

7

4'

7

6'34a) u; tl I' c)

7* Vulo*"uraportului I este egal6 cu 0,4. Determinali numbrul ralionalx dacd:v

a) v: lo; b) v:2,5; c) v: 1,2; d) y: 3,(3).

8* Dace 1 : r,(U),determina{i numirul rational pozitiv b in cazwile:b

a) a:0,8; b) a:1,(3); c) a:0,(6); d\ a:3,2.9* Determinali raportul lungimilor laturilor a dou[ triunghiuri echilaterale gtiindcd raporlul perimetrelor lor este egal cu:

36a) :: b) -'2' 7'48

c) -: d) -.'9' 5

10- Un dreptunghi are lungimea de 60 dm qi aria de 27 r#. Afla{i valoarearaportului dintre ldtimea qi lungimea dreptunghiului.

11* Determina{i raportul dintre (x;y) qi lx; yl dacd:a) y:12giy:lB; b)x:20qiy:24; c) y:45giy:60.

12* Raporrul lungimilor laturilor a douh pdtratc estc egal ." I Determinati:I* a) raportul perimetrelor cclor doutl pirtratc;ct b) raportul ariilor celor doui pitratc.o8 tS--Pe o hartd realizatd la scara I : I(X) (X)0, dou[ oraEe sunt reprezentate

9 p.i"punctele E qiF.Dacd,EF: 1,6 dm, alla{i distan}a, inkm, dintre cele)E doud orage.

E tC' intr-un vas se afld o solulie de sarc in api cu concentr a[ia de 5%o. Dacd,

fl masa soluliei este egald cu 250 g, detcrmina{i cantitatea de sare folositS.

€ 15--Un aliaj de aur gi cupru are titlul de 4oh. gtiind cd s-au folosit 8 g deaur, determinati masa cuprului din aliajul respectiv.

@ Putem moi mult!

16***Se consideri numerele a:3n*2 + 3n+2 $i b = 2' + 2'*3, unde n e N.

Dacd, ! : 6,75,determinaJi numdrul natural n.b

17**'Se considerdnumerele a:l +2+3+... +48 gi b = I +2+3 +... + 63.

Determinafi raportul numerelor naturale a gi b.

F Lecpia 2. Proporlii.5 Proprie tateafundamentalh a proporfiilor

E Ce ffebuie sE gtim

Definifie: Egalitatea a doud rapoarte se numegte proporfie.o

= ",, unde b * 0 qi d * 0, esteo proporfie.bd

Fiind dati proporfia + : +, numerele a, b, c 9i d se numesc termenii pro-b d'

porfiei. Termenii a Si d se numesc extremi, iar termenii b gi c se numesc mezi.

Proprietatea fundamentald a proporfiilorTeorema 1: intr-o proporfie, produsul extremilor este egal cu produsul

.- (a c \mezrlor | - =- = a. d =b. c l.

[b d )

Teorema 2: Numerele rafionale pozitive a, b, c Ai d, cu prtlprietatea

enii unei proporfii ( o'u = c' d + ! - u,)-' r I r' l,)

E gtim sd rdspundem?

Propozifia ,,Dacdintr-o proportie extremii sunt cguli, atunci qi mezii sunt

egali." este ............

(tI

l-{

cto(n(tUlci.9+(,Eq){-o€