matematica cls 3,4,5 performanta. excelenta cls 3,4...probleme pentru concursurile ecolare qi...

10
G[S'= lillnlVnV dr'matrnF PERFORMAUTA ExcEl.erulA

Upload: others

Post on 17-Feb-2020

188 views

Category:

Documents


30 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

G[S'= lillnlVnV

dr'matrnFPERFORMAUTA

ExcEl.erulA

Page 2: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

ILIE PETRE IAMBOR VICTOR NICOLAE

Carte pentru pdrinli, bunici, copii Si nu numai

MATEMATICACLASELE III, IV, V

Performan{iExcelen{5

Tipuri de probleme. $iruri. Probleme de numdrare. Calcul de sume. Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a

9ErcPress

Page 3: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

pRoBLEME DE NUMAnlnr

in problemele in care se cere determinarea numdrului de erementecare apar(in unei mulrimi date gi indeplinesc anumite .onoiiii JJ pot folosimai multe metode:I ) Gdsirea regulii de numdrare2) Principiul adunarii3) Principiul inmulfirii4) Metoda contorului

Exemple:l. Se dd girul I ,2,3,4, . . .2017a) Cdte numere cu sot se gdsesc in gir?b) C6te numere care se irnpurt

"*u.t lu 3 con{ine girul dat?

c) cdte numere impare se gdsesc printre cere'determina ra punctur b)?Rezolvare. "rrrrs rq vur

a) Numerele cu sof (pare) din gir sunt: Z, 4, 6, . . .,2016. Acestea sepotscrie:2=2xl4:2x26=2x3

zu6:2 x fi02Numerele pare sunt {e forma zk, unde.k (pe care ir vom nurni contor)ia vatori consecutive de ra r ra 100s. o..i ptur"ru;";;;;; ra aflareanumdruluide valori pe care re ia contorur.Incazurnostru ia varorire de raI Ia 1008. Prin urmare sunt l00g numere cu sot.Metoda a II-s: Numerele pare sunt

=i,i-iu*a, de (201 7 _ l) : 2deoqr.elg merg din doi in doi. nezulta: ZOi6 : 2 = l00g

b) Numerele ce se impart exact la 3 sunt: 3, 6, g, 12 . . . . pentrunurfTT folosim nreroda contorului scriind nrnr...i. 1', r:;,. . . astfel:J-JXI6=3x29 = 3 x 3 s"a'rn.d. Deoarece 2ar7 nu se ?mparte exact ra 3 atunci cermai mare numdr din sirur dat care se imparte exact ra 3 este 20r 6 = 3 x 672inseamnd cd sunt el) ae numere ;; ;; ft"p"rt exact la 3.

^ c)Numerelegdsite lab)sunt: 3 x l;3 x2;3 x3; 3 x 4,..., 3 x672.Dintre acestea, rbrd.sof (impare) .uni ..t.'i; ;;;"-;;;orur'ia varoriimpare, adicd:3 x l;3 x 3;3 x 5, ...2 " All.

4

Page 4: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

in total sunt: (671 + 1) : 2 = 336Remarcd: Dacd se cer numerele pare, pentru acestea contorul ia valori

pare, adic6: 3 x2;3 x 4;...3 x 672. Numdrul lor este: 672:2 = 336

numere pare2. intr-o vazi sunt 5 garoafe 9i 7 trandafiri. In c6te

alege o floare?Rezolvqre: Conform principiului (regulei) adundrii,

rnoduri.

Principiul adunirii.Dacd o multime I confine ,.a" obiec(e, iar o mullime B contine

,,b" obiecte, atunci alegerea unui obiect din mullirnea A sau B

poate fi frcutd in ,,a + b" moduri.

3. Pe un raft al bibliotecii sunt 10 cd4i de literaturd diferite qi 5

clicfionare enciclopedice diferite. in c$te moduri putem alege o carte

(inclusiv dicfionar)Rezolvare: Conform principiul adun6rii, l0 + 5 = l5 moduri

Principiul inmul{irii (regula produsului)Daci o mullime I confine ,,4'o obiecte, iar o mullime B conline

,,Do' obiecte, (mullimile A Si B nu au elemente comune)' atunci

alegerea unei perechi de obiecte (m, n) vnde ,,moo este un obiect

din mullimeaA iar ,,n'o tJn obiect din mullimea B, poate fi frcutiin ,,e x b" moduri

4. Pe un raft sunt 3 c6r[i diferite de matematica 9i 4 c6(i diferite de

literatur[. in cdte moduri putem alege doui cdrli (o pereche) in care una sd

lle de maternaticd iar o a doua si fie de literatur[.Rezolvare: Conform regulii produsului, 3 x 4 = l2 moduri'Rezolvarea se poate reprezenta cu ajutorul unei diagrame arbore.

Notdm eu ft:1, nI2, r/13 c[r,file de matematicd 9i cu 11, 12, $, L c64ile de

literatur6.

moduri putem

5+7=12

Page 5: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

l'rima etapdAlegerea cdrfimatematicd

A doua etapdAlegerea cdrfiiliteraturl

A treia etapdRezultatul alegerii

Itlzltll

(mv lr) (mt,lz)(mt,I) (m1,la)

Itl2

It

Qnz.lr)(mz,l.l

(mz,lz)(mz,l.t)

l1

l2

ltlr

(ms,lt) (my lz)(my l) (ms,lr\

Determinarea numdrului de numere naturale n cuprins intredoud numere naturale a Si b date:- de la I la n sunt r? numere naturale- de la 0 la n sunt n * I numere naturale

'-ingeneral, de la alab(incluzdndu_le peagib)sunt b*a+ Inumere naturale.

- intre asib excluzdnd pe a gi pe b sunt b_a_ I numerenaturale.

5. cdte cifre se folosesc pentru a scrie toate numerere naturare de ra rpdnd la 30 inclusiv?Rezolvare: b - a + I = 30_ I + I = 30. Sunt 30 de numere, darcifresunt: de la I la 9, 9 cifre, iar de la l0 la 30 sunt 2l x 2 = 42"ifl;. i; ;"t"]sunt5l decifre.6' Cdte cifre se folosesc, in total pentru a scrie toate numerele naturatede la:a) I la25 inclusiv I qi25b) 0 la 45 exclusiv 0 gi 45.Rezolvare: a) De la I la 9 sunt 9 cifre.De la l0la 25 sunt 25 _ l0 + I = 16 numere cu cdte doud cifre. Deci16 x 2 = 32 cifre. in total sunt 32 + g = il de cifre.

b) Sunt cifrele numerelor de la I la 44 inclusiv:6

Page 6: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

De la I la 9 sunt 9 cifreDe la l0 la 44 sunt 44 - l0 +l = 35 de numere cu doud cifre, deci

x 35: 70 cifre. in total sunt 79 cifre'

Exercilii propuse:1. CAte numere naturale cuprinse intre 30 9i 60 confin:a) cifra 4; b) dou[ cifre identice; c) cifrele I sau 8; d) cifra 5; e) cifrele

I sau 5; f) cifrele 3 qi 4; g) de c6te ori apare cifra 5 in numerele de la 30 la 60?

2.C|tte numere cu so! sunt in qirul 1,2,3,. . . ,2010? Dar ftrd so1?

3. De c6te ori se utilizeaza cifra 5 pentru a scrie toate numerele

rraturale de: a) doud cifre; b) de 3 cifre.4. Ca/re numere naturale, cuprinse intre 400 qi 450 con{in: a) cifra3;

h) doud cifre identice; c) cifrele 0 sau 6? d) 0 qi 6?

5. a) Cdte numere naturale sunt de la 1 la 442

b) Dar de la 0 la 35? c) Dar de la7 la 38?

6. a) Cdte numere naturale sunt de la I la l9?b) Dar de la 1 I la 65? c) Dar de la I I I la 333?

7. C6rte numere pare gi cdte impare sunt de la 127 pitndla 679?

8. Determinali cAte numere pare sunt de la 440 pdnd la 2016.

9. Daci elimindm numerele pare de la 500 la 2017, cate numere

ltlrnAn?10. Aflali cdte numere se gdsesc in fiecare dintre secvenfele:

a\ 1,2,3,...,50; b) 10, 11, 12,. . .,40; c)2,4,6, 8,..., 100

d) 0, l, 2,3, . ..,39;e) 15, 16, 77, . . .,225;f) I l, 13, 15, . . .,233'g)25,30,35,. . . , 175; h) 3,6,9,. . . , 153; i) 0,6, 12,1,8, -. '444Il. a) Scrieli primele 5 numere impare din qirul numerelor naturale.

b) Care este al 35-lea numdr natural din girul numerelor naturale?

c) care este al 55-lea num6r par din girul numerelor naturale nenule?

12. a) care este al 33-lea num6r natural par din qirul numerelorrrrtlrrrale?

b) care este al ll3-lea num6r natural impar din girul numerelorrrrrtrrrale?

13. a) Cite numere impare se gdsesc ?n girul: 4, 5, 6,7 , ' . . 25?

l)) Cete numere pare se gdsesc in girul:-2, 4'6^' . . . .90?.14. intr-o clasl iunt l6 fete gi l4 bdiefi. In cdte moduri se poate forma

o lrcrcclte de dans dintr-un bliat 9i o fatd2' 15. in cite moduri se poate alege un pdtrat alb qi un pitrat negru de

pe o tnbl[ de gah?

16. Pentru a ajunge dintr-un oraq A intr-un orag -B sunt 9 drumurirlill.ritc, iar pentrui a;unge de la B la oraqul c, existd 4 drumuri diferite.( 'tllc tlrrrrnuri diferite existd de la A la C,

7

Page 7: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

17, U tilizand eventual re.g^ula produsul ui, determ inaf i :

f,l:||; HT::: * *:l,lt .,i n91ro.rnu, r"n,i"J ".irai cifrere 5 ei 7.

3i5;,f *l;':.:.,*j-"1:lT"::ril.;,,d,ilffi;'i;;[,1:'1.'r]',1;; 1.;,:_l g: : :Tp:: .d:, ryt, .

in- 11 p"t ffi ffi ruiliiili i] i; j ;l'rl

ll.9*":l':::::::*'ir'-d:n"t'."'i"'H;;ffi ;;il;iffi ):i'i!l?I":f ::::1._11?i1r:a1ryt".;iq"r;;;;ffi;;i jrJ#i,"ririt:. celr- numere care impa4ite n i o"r"r"ril;:#ffi:""#i"'r* ,ut77t?

39;?:::1":,1,":1"plq*{cifra I i,n scrierea numeretor narurate maio".uj,l o"l,,Til ii:i d*?, 5 r ? Dai in sc;;;il#ffi"# 'i6,il"fi ,T

ll p.^":i-ryere de tre i.cifre diiil;;;#i."i i i;ll S:j: ::l:: g. p.u,ry q,^f," p,it l,c,r.. .,-. ri:.ii i,' i i i,' i z;1.:t:_: :11 .

g:,:in: i :

j f". p"t n .*ir. ., . i irJl,J i,' i,' i,' d,' gt13-""11"*gltylgl,uriairef f ".ila;tr.rffi ffi illl'iuiu.iro,,any.::. naturale iar perimetrul sd fie egal cu 14 cm?' 23. Cdte numere de doud cite aii8rite

"rlrtaf24. a) Gdsifi numdrul de numere naturale de forma ob "ur"se

potnumai cu cifrele 3, 4.

b) cdsifi numdrur de numere naturale de forma ib" "are

se potnumai cu cifrele 1,2,3,4.

li;' #:f ,,1,S,:*:, :,"::,i :t :."11

e : m ate maric4. I i m ba rom 6n4 et i i n fe e i::::,i,:,:,_1.:1li-:Tt!'l:.pi*f "ii*ffi ;rH?ffi;ilif i3

j:l!t::Jse pune intotdeauna matematica gi limba,ornanaf

. 26. De cdte ori este folositd .in" l, .itu :calendar pentru anul I 999?

(ConcursBulgaria_ Burgas 1999, cl IV_a)27.Cdte numere naturale de forma ibcabc, cLt(r *0,iar a* b *c * aexistd?28. a) De cdte ori s-a forosit cifta 7 pentru a numerota anii din secorur 2 r ?b) Dar din secolul 27? : --'c) Dar din mileniul al treilea?29. CAte numere naturale sunt de forma abc cu a * 0 qi a < b < c?30' cdte numere naturare de 6 cifre distincte se termind cu7g92

il?:ff ii:;:Tpl"::,f 911,"*"..t"1&;:ir4r;i;6;.pagini?pagini are cartea?13: "l:::: ^ I

umerorarea iugin i r", un; ;dil ff ffi"J'iio"l,u#i %u,"

gi cifra 9 la tipdrirea

3s. cete cifre s-au forosit pentru numerotarea uneicd4i cu r024de pagini?34' Pentru numerotarea paginilor un"i.*i.lop"di s-au utilizat33gg cifre.Cdte pagini are enciclope diai "

8

Page 8: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

35. Determinali numerele naturale de fbrma abc , qtiind cd a t c = 336. Cdte numere impare se gdsesc in girul: 1 7, 18, 19, . . . , 173.

-37. Cdte numere parc se gdsesc in qi1ul3, 6,9,12,15,. . .,300.' ,38. Cete numere naturale de forma aba cu a + 0 Si a + b exis;tlfl

39. Determinafi numerele naturale de forma abc " qtiind cd a + c = 6b, 40*. Se construiegte numdrul 353553555355553... dupd regula: dupd

primul trei un cinci, dupd al doilea trei doi de cinci, dupd al treilea trei se sciiutrei de cinciq.a.m.d.

a) Care este cifra de p pozilia2l?b) A cdta cifri a numdrului va fi a zecea cifr6 de 3?

4l*. a) Determinafi numlrul numerelor de forma ob3 , ", a + b < 6

b) Determinati numdrul numerelor pare de fotma 3ab , cu a * b < 5c) Determinafi numdrul numerelor impare de forma o3b ,

"., a + b < 6

a*. De cdte ori este folositi cifra I, cifra 3, cifra 9, cifra 5 la tipdrirea unuicalendar pentru anul 20 17?

43*. De cate ori este folositd cifra I in numerotarea paginilor unei cd(i ceare lll I pagini?

44*. Se considerd numirulI : 67686970 ...22t222223224.a) C6te cifre are numdrul l.b) Ce cifrd se afl5 pe locul 107?45*. Fienumdrul n:122333 444 4...9999999 99 l0 l0 l0 l0 l0

l0 l0 l0l0l0 I I I I I I n...11...2222...22

---

!--vJde22oril Lle44rtri2

a) Cdte cilie are numdruln?b) Care este a 63-a cifri a numirului n?46*. Fie numirul n= 1223334444 .... 999"...9 .

gYJ

tlc9 ort

a) CAte cifre are numdrul?b) Care este a 30-a ciffi a num[rului n?

47*. Fienumirul n : 1223334444 ..... 77 ....7Ta) Cdte cifre are numdrulr?b) Care este a 25-a cift a numirului n?c) Si se calculeze suma ciftelor numdmlui z.48*. Se dd numirul N=212223 " . . .119nA121.a) CAte cifre are nurndrul.APb) Care este suma cifrelor numdrului lW

Page 9: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

49*. Se dd numdrul a:1223334444 . . . 2020....20 2121....21 ;:

' ^E;-

- *ffi;a) Cdte cille are numirul a.b) Precizafi cifra de pe locul 75.

. 50*. considerafi numdrul N : 12345678910 . . . lgl920 ob{inut prinaldturarea numerelor de la I la 20. $tergefi opt cifre la alegere astfel inc6tnumirul rimas sd fie:

a) cel mai mare posibilb) cel mai riric posibil51*. Se consider{ aboul:

I

234567 8 9 l0ll l2 13 t4 t5

a) Cu ce numir incepe al 57-lea rAnd?b) Care este suma numerelor de pe al 57-tea r€nd?c) In al cdtelea rdnd se afld numirul 75?52*. Un tablou p[tratic (care are acelaSi num6r de linii gi de coloane) are

primele trei linii:1234 l7l8 19 34

35 36 5l ,,'il

AJlali: a)Ci./te numere sunt in tabloub) Care este ultimul numir altabloului (de pe ultima linie, gi

ultima coloani)c) Ce numir se afli in centrul tabloului.d) Care este suma a 17 numere scoase diin tablou care

irndeplinesc condilia ca oricare doud dintre ele sd nu se afle pe aceeaqi linie saupe aceeaqi coloan6.

10

Page 10: Matematica cls 3,4,5 Performanta. Excelenta cls 3,4...Probleme pentru concursurile Ecolare qi olimpiade. Teste pentru admiterea in clasa a V-a 9ErcPress pRoBLEME DE NUMAnlnr in problemele

53*. Scriem numerele naturale nenule in tabelul urmtrtor:

I

23456

78910ll t2 13 14 ls

a) C6te numere sunt pe primele 19 rdndurib) Care este suma numerelor de pe al 20-lea r6nd.c) Pe ce rdnd se afld numdrul 75.54*. Cdsili numirul tuturor numerclor care se scrie cu:a) 2 cifre pare; b) 3 cifre pare

(Concurs Bulgaria, I 992)55*. Se consideri tabloul cu 100 de linii:I

2132r4321

: ::'_ lr00 99 98 321

a) Sd se un" *ru *merelor de pe linia a l0-ab) De cdte oriapare in tablou numdrul l3?c) sd se determine numdrul de aparilii ale cifrei 7 in scrierca tuturur

numerelor din tabloul considerat.56*. Se considerd urmdtorul tabel cu numerele naturale nenule:

I

32456l0 9 8 7

ll t2 13 t4 t5

11