1

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOVA

CURRICULUM NAŢIONAL

MATEMATICĂClasele V-IX

• Curriculum disciplinar • Ghid de implementare

Chişinău, 2020

2

CURRICULUM DISCIPLINAR

Aprobat:- Consiliul Național pentru Curriculum, proces-verbal nr. 22 din 05.07.2019- Ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019

COORDONATORI:Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECCValentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator

al managementului curricularValentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de

lucru

EXPERŢI-COORDONATORI:Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator generalAnatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,

expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și Tehnologii

GRUPUL DE LUCRU:Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, ChișinăuLudmila BAŞ, grad did. superior, IPLT „Constantin Stere”, SorocaAndrei BRAICOV, dr., conf. univ., US TiraspolIulia CABINA, grad did. doi, Gimnaziul „Sergiu Rădăuțan”, com. Iezărenii

Vechi, r. SângereiRoman COPĂCEANU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, HânceștiAliona LAŞCU, grad did. superior, LT „Mihai Eminescu”, Chișinău

Matematică : Curriculum național : Clasele 5-9 : Curriculum disciplinar : Ghid de implementare / Ministerul Educației, Culturii și Cercetării al Republicii Moldova ; coordonatori: Angela Cutasevici, Valentin Crudu, Valentina Ceapa; grupul de lucru: Ion Achiri (coordonator) [et al.]. – Chișinău : Lyceum, 2020 (F.E.-P. "Tipografia Centrală"). – 180 p. : fig., tab.

Referințe bibliogr.: p. 179-180 (62 tit.). – 2500 ex.ISBN 978-9975-3438-7-9.373.5.091:51(073)M 47

3

GHID DE IMPLEMENTARE

Elaborat în conformitate cu prevederile Curriculumului disciplinar, aprobat la ședința Consiliului Național pentru Curriculum, prin ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019

COORDONATORI:Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECCValentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator

al managementului curricularValentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de

lucru

EXPERŢI-COORDONATORI:Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator generalAnatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice,

expert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi ştiinţe și Tehnologii

GRUPUL DE LUCRU:Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, ChișinăuAliona LAŞCU, grad did. superior, LT „Mihai Eminescu”, Chișinău

4

PRELIMINARII

Curriculumul la disciplina Matematică, precum și manualul școlar, ghidul metodolo-gic, softurile educaționale etc. fac parte din ansamblul de produse/documente curricu-lare și reprezintă o componentă esențială a Curriculumului Naţional.

Elaborat în conformitate cu prevederile Codului Educaţiei al Republicii Moldova (2014), ale Cadrului de referinţă al Curriculumului Naţional (2017), ale Curriculumului de bază: sistem de competenţe pentru învăţământul general (2018), dar și cu Recoman-dările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene, privind competenţele-cheie din perspectiva învăţării pe parcursul întregii vieţi (Bruxelles, 2018), Curriculumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care vizează prezentarea in-terconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și metodologice, accen-tul fiind pus pe sistemul de competențe restructurat precum un nou cadru de referință al finalităților educaționale.

Curriculumul şcolar de Matematică pentru clasele V-IX reprezintă instrumentul di-dactic și documentul normativ principal, ce descrie condițiile învățării și performanțele proiectate la matematică în învățământul gimnazial, exprimate în competențe, unități de competență, conținuturi și activități de învățare și evaluare.

Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea cadrului didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.

Disciplina Matematică, prezentată/valorificată în plan pedagogic în curriculumul dat, are un rol important în formarea/dezvoltarea personalității elevilor, în achiziționarea unor competențe necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții, dar și pentru inte-grarea într-o societate bazată pe cunoaștere.

În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică s-a ținut cont de:abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și

pe cel internațional;necesitățile de adaptare a curriculumului disciplinar la așteptările societății, la

nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale;valențele disciplinei în formarea competențelor transversale și a celor specifice;necesitățile asigurării continuității și interconexiunii dintre ciclurile învățămân-

tului general: educaţia timpurie, învăţământul primar, învăţământul gimnazial și învăţământul liceal.

5

Curriculumul la disciplina Matematică cuprinde următoarele componente structura-le: Preliminarii, Repere conceptuale, Administrarea disciplinei, Competențe specifice disciplinei, Unități de învățare (unități de competență, unități de conținut, activități și produse de învățare recomandate), Repere metodologice de predare – învățare – evaluare, Bibliografia (Prezentul curriculum include şi finalităţi relevate explicit pentru fiecare clasă, reprezentând competenţele specifice disciplinei, manifestate gradual la etapa dată de învăţare, urmărind stabilirea obiectivelor de evaluare finală).

Curriculumul la disciplina Matematică are următoarele funcții:• de conceptualizare a demersului curricular specific disciplinei Matematică;• de reglementare și asigurare a coerenței dintre disciplina dată și alte discipline

din aria curriculară, dintre predare – învățare – evaluare, dintre produsele curri-culare specifice disciplinei Matematică, dintre componentele structurale ale cur-riculumului disciplinar, dintre standard și finalitățile curriculare;

• de proiectare a demersului educațional/contextual (la nivel de clasă concretă);• de evaluare a rezultatelor învățării etc. Curriculumul la disciplina Matematică se adresează cadrelor didactice, autorilor de

manuale, evaluatorilor, metodicienilor, altor persoane interesate, însă beneficiarul prin-cipal al acestui document este elevul, având un statut specific în acest sens.

Totodată, Curriculumul la disciplina Matematică orientează cadrul didactic spre organizarea procesului de predare – învățare – evaluare în baza unităților de învățare (unități de competență – unități de conținuturi – activități de învățare).

6

I. REPERE CONCEPTUALE

Codul Educaţiei al Republicii Moldova, prin Art. 11. determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru şi dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoştințe, abilități, atitudini şi valori ce permit participarea activă a individului la viața socială şi economică.” [1].

Scopul major al educației matematice în perioada școlarității obligatorii este atât formarea și dezvoltarea gândirii logice, cât și formarea și dezvoltarea competențelor școlare pentru a realiza dezvoltarea deplină a personalității absolventului gimnaziului și a-i permite accesul la următoarea treaptă a învățământului și/sau integrarea socială a acestuia.

Competenţa şcolară este un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori dobândite, formate și dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identificarea și rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte și situații.[2]

Achizițiile finale, în termeni de competențe, nu sunt niște liste de conținuturi dis-ciplinare care trebuie memorate. Pentru formarea unei competențe este necesar ca elevul:

- să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcție de problema pe care va trebui să o rezolve;

- să posede deprinderi și capacități pe care să le utilizeze/să le aplice conștient și logic în situații simple/standarde, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obținute;

- să rezolve diferite situații-problemă, conștientizând cunoștințele funcționale;- să rezolve probleme, inclusiv din viața cotidiană, manifestând comportamente

conform achizițiilor finale, adică valorificând competenţa formată.Proiectarea Curriculumului la disciplina Matematică a fost ordonată de principiile:• principiul asigurării continuității la nivelul claselor și al ciclurilor;• principiul învățării centrate pe elev în corelație cu mediul său de viață;• principiul centrării pe aspectul formativ; • principiul corelației transdisciplinare – interdisciplinare (eșalonarea optimă a

conținuturilor matematice corelate cu disciplinele ariei curriculare și alte discipli-ne, asigurându-se coerența pe verticală și pe orizontală);

• principiul abordării sistemice și al dezvoltării graduale a competențelor; • principiul creării unui mediu favorabil educației de calitate;• principiul centrării clare a tuturor componentelor curriculare pe rezultatele

finale – competenţe specifice matematicii şi unităţi de competenţă la matema-tică.

7

O astfel de proiectare strategică orientează curriculumul școlar și procesul educațional spre achizițiile finale – competențe pe care elevii ar trebui să le manifeste/demonstreze în urma parcurgerii unor anumite experiențe în formare/învățare.

Curriculumul la disciplina Matematică pentru gimnaziu și, în ansamblu, procesul educațional la matematică în învățământul general este fundamentat pe principiile:

I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare siste-matică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predă-rii – învățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizează concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) matematică și formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice mate-maticii.

II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la matematică.

În aspectul formării și dezvoltării competenței interpersonale, civice, morale și a competenței culturale, Curriculumul şcolar la Matematică vizează formarea la elevi, în procesul educațional la matematică, a următoarelor valori și atitudini:formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în aborda-

rea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme în situaţii reale şi/sau modelate;

manifestarea curiozităţii şi a creativităţii în elaborarea strategiilor, a problemelor, a planurilor de activitate, în rezolvarea şi realizarea acestora;

manifestarea tenacităţii, a perseverenţei, a capacităţii de concentrare, a încre-derii în forţele proprii, a tendinţei spre realizarea potenţialului intelectual, a responsabilităţii pentru propria formare;

încurajarea iniţiativei şi disponibilităţii de a aborda sarcini variate;manifestarea independenţei în gândire şi acţiune;dezvoltarea simţului estetic şi critic;dezvoltarea unei gândiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate, de

imparţialitate şi de toleranţă;aprecierea rigorii, a ordinii şi a eleganţei în arhitectura rezolvării unei probleme,

în aplicarea unei metode, a unui algoritm sau a construirii unei teorii;formarea şi dezvoltarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu re-

levant pentru viaţa socială şi profesională;stimularea unor atitudini favorabile faţă de ştiinţă şi faţă de cunoaştere în general;utilizarea terminologiei aferente matematicii în situaţii de comunicare;susţinerea propriilor idei şi puncte de vedere prin argumentare şi/sau formulări

de întrebări; cooperarea în calitate de membru al unui grup;angajarea în discuţii critice şi constructive asupra unui subiect matematic;

8

adoptarea punctelor de vedere diferite şi orientarea în vederea formării propriei viziuni.

Unitățile de competență sunt achiziții care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca ele-mente/pași în formarea competențelor specifice, care vor fi evaluate formativ și/sau sumativ la finele unității de învățare și/sau la finele anului de studii.

Unitățile de conținut constituie instrumente care contribuie la dobândirea achiziții-lor determinate de unitățile de competență proiectate, la formarea competențelor spe-cifice disciplinei și a celor transversale.

Activitățile și produsele de învățare recomandate prezintă o listă deschisă de con-texte semnificative de manifestare a unităților de competență proiectate pentru forma-re/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat, la nivelul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei con-crete de elevi, de resursele disponibile etc.

Axarea învățământului pe formarea competențelor nu anulează conceptul de obiec-tiv, ci invers, presupune valorificarea acestuia la nivelul proiectării didactice de scurtă durată, corelând acele componente ale unității de învățare, care se vizează prin lecția dată.

Curriculumul este construit astfel încât să nu limiteze libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice. În condițiile formării competenţelor specifice și ale dobândirii de către elevi a achizițiilor determinate de unitățile de competență (sub-competenţe), în condițiile parcurgerii integrale a conținuturilor obligatorii în cadrul aceleiași clase, profesorul are dreptul:

• să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată logica științifică sau didactică;

• să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;

• să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;

• să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.

Manualele de matematică elaborate în baza acestui curriculum urmează să fie in-tegrate în concepția curriculumului și să respecte cerințele specifice: de a fi accesibile elevilor, de a fi funcționale, operaționale și de a îndeplini, prioritar, nu numai funcția informativă, dar și cea formativă, de învățare prin studiere, cercetare și descoperire independentă, de stimulare, de autoinstruire, de autoevaluare și, în final, de formare a competențelor.

9

II. ADMINISTRAREA DISCIPLINEI

Statutul disciplinei Aria curriculară Clasa Nr. de ore pe săptămână Nr. de ore pe an

Obligatorie Matematică şi ştiințe

VVIVIIVIIIIX

44444

136136136136132

III. COMPETENȚE SPECIFICE DISCIPLINEI

1. Operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifestând interes pentru rigoare şi precizie.

2. Exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situaţii, a unei soluţii, formu-lând clar şi concis enunţul.

3. Aplicarea raţionamentului matematic la identificarea şi rezolvarea problemelor, do-vedind claritate, corectitudine şi concizie.

4. Investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, şi modele matematice, pentru a studia/explica relaţii şi procese, manifestând perseverenţă şi spirit analitic.

5. Explorarea noţiunilor, a relaţiilor şi a instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvenţă şi abordare deductivă.

6. Extrapolarea achiziţiilor matematice pentru a identifica şi a explica procese, feno-mene din diverse domenii, utilizând concepte şi metode matematice în abordarea diverselor situaţii.

7. Justificarea unui demers sau a unui rezultat matematic, recurgând la argumentări, susţinând propriile idei şi opinii.

10

IV. U

NIT

ĂȚI

DE

ÎNVĂ

ȚAR

E

Clas

a a

V-a

Uni

tăți

de c

ompe

tenț

ăU

nită

ți de

con

ținut

Activ

ități

şi p

rodu

se d

e în

văța

re re

com

anda

te1.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

în

situa

ții re

ale

și/sa

u m

odel

ate

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

no

țiuni

i de

num

ăr, m

ulțim

e,

divi

zibili

tate

.1.

2. Id

entifi

care

a, sc

riere

a,

citir

ea n

umer

elor

nat

ural

e în

co

ntex

te v

aria

te.

1.3.

Rep

reze

ntar

ea p

e ax

ă,

clas

ifica

rea,

com

para

rea,

or

dona

rea

şi ro

tunj

irea

num

erel

or n

atur

ale.

1.4.

Apl

icar

ea a

lgor

itmilo

r, a

prop

rietă

ților

ope

rații

lor,

pent

ru e

fect

uare

a și

optim

izare

a ca

lcul

elor

cu

num

ere

natu

rale

.1.

5. A

flare

a co

mpo

nent

ei

necu

nosc

ute

în c

adru

l op

eraț

iilor

de

adun

are,

sc

ăder

e, în

mul

țire

și

împă

rțire

cu

num

ere

natu

rale

.

I. M

ulțim

ea n

umer

elor

nat

ural

e •

Scrie

rea

și ci

tirea

num

erel

or n

atur

ale

în si

stem

ul ze

cim

al d

e nu

mer

ație

. Re

prez

enta

rea

num

erel

or n

atur

ale

pe

axă

• Co

mpa

rare

a și

ordo

nare

a nu

mer

elor

na

tura

le. R

otun

jirea

num

erel

or n

atur

ale

• Ad

unar

ea n

umer

elor

nat

ural

e.

Prop

rietă

ți•

Scăd

erea

num

erel

or n

atur

ale

• În

mul

țirea

num

erel

or n

atur

ale.

Pr

oprie

tăți.

Fac

toru

l com

un•

Împă

rțire

a nu

mer

elor

nat

ural

e•

Împă

rțire

a cu

rest

• N

oțiu

nea

de p

uter

e cu

exp

onen

t nat

ural

a

unui

num

ăr n

atur

al. P

ătra

tul ș

i cub

ul

unui

num

ăr n

atur

al•

Ord

inea

efe

ctuă

rii o

pera

țiilo

r și f

olos

irea

para

ntez

elor

• Re

zolv

area

pro

blem

elor

în m

ulțim

ea

num

erel

or n

atur

ale,

util

izând

:-

met

oda

redu

cerii

la

unita

te;

- m

etod

a m

ersu

lui i

nver

s•

Mul

țimi.

Mod

uri d

e de

finire

a m

ulțim

ilor.

Rela

ții d

e ap

arte

nenț

ă. C

ardi

nalu

l m

ulțim

ii fin

ite

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

a n

umer

elor

nat

ural

e în

con

text

e va

riate

;-

scrie

re și

citi

re a

num

erel

or n

atur

ale

în si

stem

ul ze

cim

al

de n

umer

ație

;-

repr

ezen

tare

a n

umer

elor

pe

axă,

ord

onar

e și

com

para

re

a nu

mer

elor

nat

ural

e;-

rotu

njire

a n

umer

elor

nat

ural

e;-

efec

tuar

e a

oper

ațiil

or c

u nu

mer

e na

tura

le, r

espe

ctân

d or

dine

a op

eraț

iilor

și u

tilizâ

nd p

aran

teze

;-

utiliz

are

a pr

oprie

tățil

or o

pera

țiilo

r stu

diat

e cu

num

ere

natu

rale

pen

tru

optim

izare

a ca

lcul

elor

în d

iver

se

cont

exte

;-

aplic

are

a al

gorit

mul

ui d

e afl

are

a co

mpo

nent

ei

necu

nosc

ute

în c

adru

l ope

rații

lor d

e ad

unar

e, sc

ăder

e,

înm

ulțir

e, îm

părț

ire (t

erm

enul

nec

unos

cut,

desc

ăzut

ul,

scăz

ător

ul, f

acto

rul n

ecun

oscu

t, de

împă

rțitu

l, îm

părț

itoru

l);-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

, inc

lusiv

din

via

ța c

otidi

ană,

car

e co

nduc

la u

tiliza

rea

ope

rații

lor m

atem

atice

cu

num

ere

natu

rale

, inc

lusiv

ele

men

te d

e or

gani

zare

a d

atel

or;

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or în

mul

țimea

num

erel

or n

atur

ale,

in

clus

iv a

pro

blem

elor

de

mișc

are,

util

izând

met

odel

e st

udia

te;

- sc

riere

și c

itire

a m

ulțim

ilor;

- de

term

inar

e a

card

inal

ului

une

i mul

țimi;

11

1.6.

Tran

spun

erea

une

i situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e în

lim

baj m

atem

atic,

rezo

lvar

ea

prob

lem

ei o

bțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui,

uti

lizân

d ca

lcul

ul c

u nu

mer

e na

tura

le, m

ulțim

ile și

di

vizib

ilita

tea.

1.7.

Util

izare

a cr

iterii

lor d

e di

vizib

ilita

te c

u 10

, 2 și

5 în

re

zolv

area

pro

blem

elor

.1.

8. Ju

stific

area

și a

rgum

enta

rea

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

cu

num

ere

natu

rale

.

• Di

vizo

r. M

ulțim

ea d

ivizo

rilor

unu

i num

ăr

natu

ral

• M

ultip

lu. M

ulțim

ea m

ultip

lilor

unu

i nu

măr

nat

ural

• Cr

iterii

le d

e di

vizib

ilita

te c

u 10

, 2 și

5.

Num

ere

pare

și n

umer

e im

pare

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pr

oprie

tate

a co

mut

ativă

, pro

prie

tate

a as

ocia

tivă,

pro

prie

tate

a di

strib

utivă

a

înm

ulţir

ii fa

ţă d

e ad

unar

e (s

căde

re),

mul

ţime,

ele

men

t, ap

arţin

e/nu

apa

rţin

e,

mul

ţime

vidă

, car

dina

lul u

nei m

ulţim

i, di

vizo

r, m

ultip

lu, c

riter

iu d

e di

vizib

ilita

te,

num

ăr p

ar/im

par,

pute

re, e

xpon

ent,

bază

, m

etod

a re

duce

rii la

uni

tate

, met

oda

mer

sulu

i inv

ers.

- ap

licar

e a

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or a

fere

nte

noțiu

nii

de n

umăr

, m

ulțim

e, d

ivizi

bilit

ate,

incl

usiv

în

situa

ții d

e co

mun

icar

e;-

tran

scrie

re a

mul

țimilo

r din

tr-u

n m

od d

e de

finire

în a

ltul;

- st

abili

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nui e

nunț

mat

emati

c;-

com

plet

are

a su

cces

iuni

i de

num

ere

asoc

iate

con

form

re

gulil

or id

entifi

cate

prin

obs

erva

re și

/sau

indi

cate

;-

dete

rmin

are

a că

rei m

ulțim

i de

num

ere/

obie

cte

îi ap

arțin

e nu

măr

ul/o

biec

tul d

at;

- id

entifi

care

a d

ivizo

rilor

și a

mul

tiplil

or u

nui n

umăr

na

tura

l dat

;-

aplic

are

și uti

lizar

e a

crite

riilo

r de

divi

zibili

tate

în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or;

- ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute.

• Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la n

umer

e na

tura

le, m

ulţim

i, di

vizib

ilita

te şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a lu

crăr

ilor p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or n

atur

ale,

a m

ulţim

ilor.

• In

vesti

gare

a sit

uaţii

lor r

eale

şi/s

au m

odel

ate

priv

ind

mul

ţimea

num

erel

or n

atur

ale,

mul

ţimile

şi re

laţii

le d

e

divi

zibili

tate

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or n

atur

ale,

a m

ulţim

ilor ş

i a d

ivizi

bilit

ăţii

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

–

eval

uare

a nu

mer

elor

nat

ural

e, a

mul

ţimilo

r şi a

di

vizib

ilită

ţii.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

răs

puns

ul o

ral;

r

ăspu

nsul

scris

;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

12

it

emul

scris

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

s

chem

a el

abor

ată;

p

lanu

l de

idei

ela

bora

t;

pro

iect

ul „

Mul

țimi î

n ju

rul m

eu”;

p

roie

ctul

„Ax

a ev

enim

ente

lor d

in v

iața

mea

”;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

2.1.

Rec

unoa

şter

ea și

apl

icar

ea

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nii d

e fr

acție

or

dina

ră, n

umăr

zeci

mal

fin

it, în

div

erse

con

text

e.2.

2. Id

entifi

care

a și

re

prez

enta

rea

în d

iver

se

form

e a

frac

țiilo

r ord

inar

e și

a nu

mer

elor

zeci

mal

e fin

ite.

2.3.

Rep

reze

ntar

ea p

e ax

ă,

clas

ifica

rea,

com

para

rea,

or

dona

rea

frac

țiilo

r ord

inar

e și

a nu

mer

elor

zeci

mal

e fin

ite.

2.4.

Util

izare

a al

gorit

milo

r și a

pr

oprie

tățil

or o

pera

țiilo

r pe

ntru

efe

ctua

rea

și

optim

izare

a ca

lcul

elor

cu

frac

ții o

rdin

are

și cu

nu

mer

ele

zeci

mal

e fin

ite,

rotu

njire

a nu

mer

elor

ze

cim

ale

finite

.

II. F

racț

ii or

dina

re. N

umer

e ze

cim

ale

• Fr

acții

. Noț

iune

a de

frac

ție. F

racț

ii su

buni

tare

, ech

iuni

tare

, sup

raun

itare

. Re

prez

enta

rea

frac

țiilo

r cu

ajut

orul

uno

r de

sene

• Sc

oate

rea

într

egul

ui d

in fr

acție

. In

trod

ucer

ea în

treg

ului

în fr

acție

• Fr

acții

ech

ival

ente

. Am

plifi

care

a și

simpl

ifica

rea

frac

țiilo

r•

Aduc

erea

frac

țiilo

r la

acel

ași n

umito

r (u

nul d

intr

e nu

mito

ri es

te m

ultip

lul

celu

ilalt

num

itor)

• Re

prez

enta

rea

frac

țiilo

r pe

axa

num

erel

or•

Com

para

rea

frac

țiilo

r cu

acel

ași n

umito

r sa

u cu

ace

lași

num

ărăt

or•

Adun

area

și sc

ăder

ea fr

acții

lor c

u ac

elaș

i nu

mito

r, ad

unar

ea și

scăd

erea

frac

țiilo

r al

căr

or c

el m

ai m

ic n

umito

r com

un se

po

ate

calc

ula

prin

obs

erva

re d

irect

ă sa

u pr

in în

cerc

ări s

impl

e, u

tilizâ

nd

ampl

ifica

rea

și sim

plifi

care

a fr

acții

lor

• În

mul

țirea

frac

țiilo

r•

Inve

rsul

une

i fra

cții.

Împă

rțire

a fr

acții

lor

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- sc

riere

, citi

re și

repr

ezen

tare

a fr

acții

lor o

rdin

are,

a

num

erel

or ze

cim

ale;

- ap

licar

e a

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or a

fere

nte

noțiu

nii

de fr

acție

ord

inar

ă, n

umăr

zeci

mal

, inc

lusiv

în si

tuaț

ii de

co

mun

icar

e;-

iden

tifica

re și

cla

sifica

re a

num

erel

or î

n sit

uații

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

ampl

ifica

re și

sim

plifi

care

a fr

acții

lor;

- co

nstr

uire

a și

ruril

or d

e fr

acții

ech

ival

ente

prin

am

plifi

care

, sim

plifi

care

, sco

ater

ea în

treg

ului

din

frac

ție,

intr

oduc

erea

într

egul

ui d

in fr

acție

; -

stab

ilire

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i pro

poziț

ii;-

repr

ezen

tare

a fr

acții

lor o

rdin

are,

a n

umer

elor

zeci

mal

e fin

ite p

e ax

a nu

mer

elor

;-

ordo

nare

, com

para

re a

frac

țiilo

r, a

num

erel

or ze

cim

ale

finite

;-

înca

drar

e a

frac

țiilo

r, a

num

erel

or ze

cim

ale

finite

într

e do

uă n

umer

e na

tura

le c

onse

cutiv

e;-

calc

ul c

u fr

acții

și n

umer

e ze

cim

ale

finite

;-

aplic

are

în c

alcu

le a

alg

oritm

ilor ș

i a p

ropr

ietă

ților

ad

ecva

te, r

espe

ctân

d or

dine

a ef

ectu

ării

oper

ațiil

or;

- ro

tunj

ire a

rezu

ltate

lor u

nor c

alcu

le c

u nu

mer

e ze

cim

ale

finite

;

13

2.5.

Det

erm

inar

ea c

ompo

nent

ei

necu

nosc

ute

în c

adru

l op

eraț

iilor

de

adun

are,

sc

ăder

e, în

mul

țire,

împă

rțire

(te

rmen

nec

unos

cut,

desc

ăzut

, scă

zăto

r, fa

ctor

ul

necu

nosc

ut, d

eîm

părț

itul,

împă

rțito

rul)

cu fr

acții

or

dina

re și

cu

num

ere

zeci

mal

e.2.

6. Tr

ansp

uner

ea u

nei s

ituaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

în

limba

j mat

emati

c, re

zolv

area

pr

oble

mei

obț

inut

e,

utiliz

ând

num

ere

natu

rale

, fr

acții

ord

inar

e, n

umer

e ze

cim

ale

finite

, rap

ortu

l și

inte

rpre

tare

a re

zulta

telo

r ob

ținut

e.

2.7.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

idei

, priv

ind

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

real

e și/

sau

mod

elat

e, u

tilizâ

nd fr

acții

or

dina

re și

/sau

num

ere

zeci

mal

e.2.

8. R

ezol

vare

a tip

urilo

r de

prob

lem

e st

udia

te, u

tilizâ

nd

met

odel

e ad

ecva

te.

• Afl

area

une

i fra

cții

dint

r-un

num

ăr

natu

ral

• N

oțiu

nea

de n

umăr

zeci

mal

. Num

ere

zeci

mal

e fin

ite: s

crie

rea

frac

țiilo

r cu

num

itori

pute

ri al

e lu

i 10

sub

form

ă de

num

ăr ze

cim

al. S

crie

rea

și ci

tirea

nu

mer

elor

zeci

mal

e fin

ite•

Com

para

rea,

ord

onar

ea, r

epre

zent

area

pe

axă

a n

umer

elor

zeci

mal

e fin

ite.

Rotu

njiri

• Ad

unar

ea a

dou

ă sa

u m

ai m

ulte

num

ere

zeci

mal

e fin

ite. S

căde

rea

a do

uă n

umer

e ze

cim

ale

finite

• În

mul

țirea

unu

i num

ăr ze

cim

al fi

nit c

u 10

, 100

, 100

0; în

mul

țirea

cu

un n

umăr

na

tura

l; în

mul

țirea

a d

ouă

num

ere

zeci

mal

e fin

ite•

Împă

rțire

a nu

mer

elor

zeci

mal

e fin

ite la

10

, 100

, 100

0•

Ridi

care

a un

ui n

umăr

zeci

mal

fini

t la

pătr

at și

la c

ub•

Ord

inea

efe

ctuă

rii o

pera

țiilo

r•

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or, u

tilizâ

nd:

met

oda

redu

cerii

la u

nita

te, m

etod

a

mer

sulu

i inv

ers

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:fr

acţie

subu

nita

ră, f

racţ

ie e

chiu

nita

ră,

frac

ţie su

prau

nita

ră, f

racţ

ii ec

hiva

lent

e,

ampl

ifica

re, s

impl

ifica

re, f

racţ

ie in

vers

ă,

num

ăr ze

cim

al fi

nit,

frac

ţii o

rdin

are

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or, i

nclu

siv a

cel

or d

in v

iața

co

tidia

nă, c

are

cond

uc la

util

izare

a op

eraț

iilor

stud

iate

(in

clus

iv u

tilizâ

nd e

lem

ente

de

orga

niza

re a

dat

elor

);-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

de

aflar

e a

unei

frac

ții d

intr

-un

num

ăr n

atur

al, u

tilizâ

nd u

nită

țile

frac

ționa

re;

- ca

lcul

are

a va

lorii

unu

i rap

ort d

intr

e do

uă m

ărim

i de

acel

ași f

el, d

intr

e do

uă m

ărim

i dife

rite;

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or d

e m

ișcar

e;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

, util

izând

: met

oda

redu

cerii

la

unita

te, m

etod

a m

ersu

lui i

nver

s;-

justi

ficar

e a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, su

sțin

ând

prop

riile

idei

și o

pini

i.•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

frac

ţiile

ord

inar

e, la

num

erel

e ze

cim

ale

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea fr

acţii

lor o

rdin

are

şi a

num

erel

or ze

cim

ale

în

prac

tică.

• In

vesti

gare

a sit

uaţii

lor r

eale

şi/s

au m

odel

ate

priv

ind

aplic

area

frac

ţiilo

r ord

inar

e, a

num

erel

or ze

cim

ale

în d

iver

se

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea f

racţ

iilor

or

dina

re şi

a n

umer

elor

zeci

mal

e în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea fr

acţii

lor o

rdin

are

şi a

num

erel

or ze

cim

ale

în

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

frac

ţiilo

r ord

inar

e şi

a nu

mer

elor

zeci

mal

e.

14

2.9.

Justi

ficar

ea re

zulta

telo

r ob

ținut

e în

cal

cule

cu

frac

ții

ordi

nare

și c

u nu

mer

e ze

cim

ale,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri și

susț

inân

d pr

oprii

le id

ei și

opi

nii.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

r

ăspu

nsul

ora

l;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

it

emul

scris

rezo

lvat

;

răs

puns

ul sc

ris;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

sch

ema

ela

bora

tă;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

pla

nul d

e id

ei;

p

roie

ctul

„N

umer

ele

zeci

mal

e în

via

ța n

oast

ră”;

jo

cul „

Dom

inou

l fra

cțiil

or e

chiv

alen

te”;

p

roie

ctul

„Fr

acții

le în

muz

ică”

;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

3.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea în

di

vers

e co

ntex

te, i

nclu

siv în

co

mun

icar

e, a

ter

min

olog

iei

afer

ente

noț

iuni

lor

geom

etric

e și

unită

ților

de

măs

ură

stud

iate

.3.

2. Id

entifi

care

a, c

arac

teriz

area

pr

in d

escr

iere

a un

or

confi

gura

ții g

eom

etric

e,

a un

or fi

guri,

cor

puri

geom

etric

e și

elem

ente

ale

ac

esto

ra în

situ

ații

real

e

și/sa

u m

odel

ate.

3.3.

Util

izare

a in

stru

men

telo

r ge

omet

rice

pent

ru a

măs

ura

sau

a co

nstr

ui/d

esen

a co

nfigu

rații

geo

met

rice

în

dive

rse

cont

exte

.

III. E

lem

ente

de

geom

etrie

şi

uni

tăți

de m

ăsur

ă•

Figu

ri ge

omet

rice:

pun

ct, d

reap

tă,

segm

ent,

sem

idre

aptă

, ung

hi, t

riung

hi,

patr

ulat

er, p

enta

gon,

cer

c (p

reze

ntar

e pr

in d

escr

iere

și p

rin d

esen

); el

emen

te

ale

figur

ilor g

eom

etric

e (la

turi,

vâr

furi,

un

ghiu

ri, c

entr

u, ra

ză, c

oard

ă, d

iam

etru

), in

terio

r, ex

terio

r. N

otaț

ii•

Inst

rum

ente

geo

met

rice:

rigl

a ne

grad

ată,

rig

la g

rada

tă, c

ompa

s, e

cher

, ban

dă.

Dese

nare

a fig

urilo

r geo

met

rice

și ef

ectu

area

măs

urăr

ilor l

ungi

mii,

util

izând

in

stru

men

te g

eom

etric

e•

Drep

te c

oncu

rent

e. D

rept

e pe

rpen

dicu

lare

. Dre

pte

para

lele

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

, des

crie

re v

erba

lă și

în sc

ris a

noț

iuni

lor

geom

etric

e st

udia

te, u

tilizâ

nd te

rmin

olog

ia și

not

ațiil

e re

spec

tive;

- re

prez

enta

re a

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

, util

izând

in

stru

men

tele

de

dese

n, in

stru

men

te T

IC;

- ap

licar

e a

repr

ezen

tăril

or fi

guril

or g

eom

etric

e st

udia

te în

re

zolv

area

pro

blem

elor

;-

cons

truc

ție a

dre

ptel

or p

erpe

ndic

ular

e și

a ce

lor p

aral

ele

utiliz

ând

rigla

și e

cher

ul;

- co

nfec

ționa

re d

in d

iferit

e m

ater

iale

a fi

guril

or

geom

etric

e st

udia

te și

efe

ctua

re a

măs

urăr

ilor,

utiliz

ând

inst

rum

ente

ade

cvat

e sit

uație

i;-

recu

noaș

tere

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

a el

emen

telo

r une

i figu

ri ge

omet

rice:

latu

ri, v

ârfu

ri,

ungh

iuri,

cen

tru,

rază

, coa

rdă,

dia

met

ru, i

nter

ior,

exte

rior;

15

3.4.

Con

fecț

iona

rea

din

dife

rite

mat

eria

le a

figu

rilor

ge

omet

rice

plan

e și

a co

rpur

ilor

stud

iate

.3.

5. D

eter

min

area

per

imet

relo

r, a

ariil

or (p

ătra

tulu

i, dr

eptu

nghi

ului

) și a

vo

lum

elor

(cub

ului

, cu

boid

ului

), ef

ectu

ând

rotu

njiri

ale

măs

urilo

r un

or o

biec

te d

in v

iața

co

tidia

nă, u

tilizâ

nd si

stem

ul

inte

rnaț

iona

l și/s

au c

el

națio

nal d

e m

ăsur

i.3.

6. Ef

ectu

area

tran

sfor

măr

ilor

mul

tiplil

or și

ale

su

bmul

tiplil

or u

nită

ților

din

sis

tem

ul in

tern

ațio

nal d

e m

ăsur

i pen

tru

lung

ime,

arie

, vo

lum

, mas

ă, ti

mp.

3.7.

Ana

lizar

ea și

inte

rpre

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e pr

in

rezo

lvar

ea u

nor p

robl

eme

prac

tice

cu re

ferir

e la

figu

rile

geom

etric

e și

la c

orpu

rile

stud

iate

.3.

8. U

tiliza

rea

unită

ților

de

măs

ură

stud

iate

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or d

in d

iver

se

dom

enii.

• Co

rpur

i geo

met

rice:

cub

, par

alel

ipip

ed

drep

tung

hic

(cub

oid)

, pira

mid

ă, sf

eră,

ci

lindr

u ci

rcul

ar d

rept

, con

circ

ular

dre

pt

(des

crie

re, e

vide

nție

re a

ele

men

telo

r: vâ

rfur

i, m

uchi

i, ba

ză, c

entr

u, ra

ză,

gene

rato

are)

• U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u lu

ngim

e (k

m, m

, dm

, cm

, mm

); tr

ansf

orm

ări.

Lung

imea

unu

i seg

men

t, a

unei

lini

i fr

ânte

. Per

imet

rul t

riung

hiul

ui și

al

patr

ulat

erul

ui•

Uni

tăți

de m

ăsur

ă uz

uale

pen

tru

supr

afaț

ă (k

m2 , m

2 , dm

2 , cm

2 , ha,

ar)

; tr

ansf

orm

ări.

Aria

păt

ratu

lui ș

i a

drep

tung

hiul

ui (f

ără

dem

onst

rații

)•

Uni

tăți

de m

ăsur

ă uz

uale

pen

tru

volu

m

(m3 , d

m3 , c

m3 );

tran

sfor

măr

i. Vo

lum

ul

cubu

lui ș

i al c

uboi

dulu

i (pa

rale

lipip

edul

ui

drep

tung

hic)

(făr

ă de

mon

stra

ții)

• U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u ca

paci

tate

(l, m

l); tr

ansf

orm

ări

• U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u m

asă

(t

, kg,

g, m

g); t

rans

form

ări

• U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u tim

p (s

, min

, oră

, ziu

ă, să

ptăm

ână,

lună

, an,

de

ceni

u, se

col,

mile

niu)

; tra

nsfo

rmăr

i•

Uni

tăți

mon

etar

e (n

ațio

nale

și

inte

rnaț

iona

le u

zual

e); t

rans

form

ări

- de

term

inar

e a

perim

etre

lor,

a ar

iilor

(păt

ratu

lui,

drep

tung

hiul

ui) ș

i a v

olum

elor

(cub

ului

, cub

oidu

lui)

și ex

prim

are

a ac

esto

ra în

uni

tăți

de m

ăsur

ă ad

ecva

te;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la fi

guril

e ge

omet

rice

stud

iate

și la

uni

tățil

e de

măs

ură

rele

vant

e;-

efec

tuar

e de

tran

sfor

măr

i ale

mul

tiplil

or și

ale

su

bmul

tiplil

or p

rinci

pale

lor u

nită

ți di

n sis

tem

ul

inte

rnaț

iona

l de

măs

uri p

entr

u lu

ngim

e, a

rie, v

olum

, m

asă,

tim

p;-

aplic

are

în d

iver

se c

onte

xte

a un

itățil

or d

e m

ăsur

ă na

ționa

le și

/sau

spec

ifice

regi

unii;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s sau

a u

nui r

ezul

tat m

atem

atic

obțin

ut sa

u in

dica

t cu

figur

i geo

met

rice,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri;

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

une

i pr

opoz

iții c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l con

trae

xem

plel

or.

• Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la fi

guril

e ge

omet

rice

plan

e şi

la

corp

urile

stud

iate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e pl

ane

şi a

corp

urilo

r stu

diat

e

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

util

izare

a fig

urilo

r ge

omet

rice

plan

e şi

a co

rpur

ilor s

tudi

ate

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a pr

oiec

telo

r de

grup

/indi

vidu

ale,

incl

usiv

pro

iect

e ST

EM/S

TEAM

, priv

ind

aplic

area

figu

rilor

geo

met

rice

plan

e şi

a co

rpur

ilor

stud

iate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

figur

ilor g

eom

etric

e pl

ane

şi a

corp

urilo

r stu

diat

e.

16

3.9.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

figu

ri, c

orpu

ri ge

omet

rice

și un

ități

de m

ăsur

ă,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări.

3.10

. Inv

estig

area

val

orii

de

adev

ăr a

une

i afir

maț

ii,

a un

ei p

ropo

ziții

cu

ajut

orul

exe

mpl

elor

, al

cont

raex

empl

elor

.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:se

mid

reap

tă, p

enta

gon,

vâr

f, la

tură

, ce

ntru

, raz

ă, c

oard

ă, d

iam

etru

, int

erio

r, ex

terio

r, dr

epte

per

pend

icul

are,

dre

pte

para

lele

, dre

pte

conc

uren

te, p

aral

elip

iped

dr

eptu

nghi

c, p

iram

idă,

cili

ndru

, sf

eră,

ge

nera

toar

e, b

ază,

muc

hii,

mili

litru

, m

iligr

ame,

kilo

met

ru p

ătra

t, m

etru

păt

rat

(cub

), de

cim

etru

păt

rat (

cub)

, cen

timet

ru

pătr

at (c

ub),

hect

ar, a

r.

Not

ațiil

e pe

ntru

figu

rile

geom

etric

e:

– tr

iung

hi,

< –

ungh

i, ǁ –

par

alel

, ꓕ

– p

erpe

ndic

ular

;A

– a

ria,

V –

vol

um,

C –

cer

c.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

r

ăspu

nsul

ora

l;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

r

ăspu

nsul

scris

;

des

enul

;

lucr

area

pra

ctică

real

izată

pe

tere

n „C

alcu

lare

a lu

ngim

ilor ș

i a

perim

etre

lor”

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

s

chem

a e

labo

rată

;

arg

umen

tare

a or

ală/

în sc

ris;

p

lanu

l de

idei

;

pro

iect

ul „G

eom

etria

în p

rodu

se c

ulin

are”

;

pro

iect

ul „

Elem

ente

de

geom

etrie

în p

oveș

tile

popu

lare

m

oldo

vene

ști”;

p

roie

ctul

STE

M „O

căl

ător

ie im

agin

ară

prin

Mol

dova

”;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

17

LA F

INEL

E CL

ASEI

a V

-a, E

LEVU

L PO

ATE:

•id

entifi

ca, c

iti, s

crie

, rep

reze

nta,

com

para

, ord

ona

și ro

tunj

i num

erel

e na

tura

le, f

racț

iile,

num

erel

e ze

cim

ale

finite

în c

onte

xte

dife

rite;

•id

entifi

ca, c

iti, s

crie

și re

prez

enta

o m

ulțim

e da

tă în

div

erse

mod

uri;

•de

term

ina

căre

i mul

țimi d

e nu

mer

e/ob

iect

e îi

apar

ține

num

ărul

/obi

ectu

l dat

;•

utiliz

a te

rmin

olog

ia a

fere

ntă

noțiu

nii

de n

umăr

nat

ural

, fr

acție

, nu

măr

zec

imal

fini

t, m

ulțim

e, d

ivizo

r, m

ultip

lu,

crite

riu d

e di

vizib

ilita

te, î

n co

ntex

te v

aria

te, i

nclu

siv în

com

unic

are;

•ef

ectu

a op

eraț

ii ar

itmeti

ce c

u nu

mer

e na

tura

le, f

racț

ii or

dina

re, n

umer

e ze

cim

ale

finite

; •

aplic

a pr

oprie

tățil

e op

eraț

iilor

arit

meti

ce p

entr

u a

efici

entiz

a ca

lcul

ele;

•

dete

rmin

a co

mpo

nent

a ne

cuno

scut

ă în

cad

rul o

pera

ției i

ndic

ate;

•re

zolv

a pr

oble

me,

incl

usiv

pro

blem

e de

mișc

are,

util

izând

met

odel

e st

udia

te;

•afl

a o

frac

ție d

intr

-un

num

ăr n

atur

al;

•se

lect

a, o

rgan

iza, i

nter

pret

a an

umite

dat

e di

n di

vers

e sit

uații

, pe

ntru

a r

ezol

va p

robl

eme,

incl

usiv

cel

e id

entifi

cate

din

via

ța

cotid

iană

, în

baza

a d

iver

se su

rse:

text

, tab

el, d

esen

, sch

emă,

dia

gram

ă et

c.;

•re

prez

enta

prin

des

en și

con

fecț

iona

din

dife

rite

mat

eria

le fi

guril

e ge

omet

rice

plan

e st

udia

te;

•ef

ectu

a m

ăsur

ări,

expr

ima,

rotu

nji ș

i com

para

rezu

ltate

le u

nor m

ăsur

ări,

utiliz

ând

unită

țile

de m

ăsur

ă ad

ecva

te p

entr

u lu

ngim

e,

supr

afaț

ă, v

olum

, cap

acita

te, m

asă,

tim

p, u

nită

ți m

onet

are

și tr

ansf

orm

ările

ace

stor

a.•

desc

rie fi

guril

e ge

omet

rice

plan

e, c

orpu

rile

geom

etric

e st

udia

te ș

i rec

unoa

ște

elem

ente

le lo

r (la

tură

, vâr

furi,

ung

hiur

i, ce

ntru

, ra

ză, c

oard

ă, d

iam

etru

, int

erio

r, ex

terio

r);

•de

term

ina

perim

etre

le, a

riile

(păt

ratu

lui,

drep

tung

hiul

ui) ș

i vol

umel

e (c

ubul

ui, p

aral

elip

iped

ului

dre

ptun

ghic

) și e

xprim

a ac

este

a în

uni

tăți

de m

ăsur

ă ac

cept

ate

în S

istem

ul In

tern

ațio

nal,

cât ș

i în

unită

ți na

ționa

le c

ores

punz

ătoa

re d

e m

ăsur

are;

•uti

liza

term

inol

ogia

și n

otaț

iile/

simbo

luril

e af

eren

te e

lem

ente

lor d

e ge

omet

rie st

udia

te în

con

text

e di

vers

e;•

justi

fica

un d

emer

s/re

zulta

t mat

emati

c, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri și

susț

inân

d pr

oprii

le id

ei și

opi

nii.

18

Clas

a a

VI-a

Uni

tăți

de c

ompe

tenț

ăU

nită

ți de

con

ținut

Activ

ități

şi p

rodu

se d

e în

văța

re re

com

anda

te1.

1. Id

entifi

care

a nu

mer

elor

na

tura

le, a

mul

țimii

divi

zoril

or, a

mul

tiplil

or

num

ărul

ui p

rim și

ai

num

ărul

ui c

ompu

s în

dive

rse

cont

exte

.1.

2. Id

entifi

care

a și

folo

sire

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

noțiu

nilo

r de

num

ăr,

mul

țime,

div

izibi

litat

e în

co

ntex

te d

iver

se, i

nclu

siv în

co

mun

icar

e.1.

3. A

plic

area

crit

eriil

or d

e di

vizib

ilita

te c

u 10

, 2, 5

, 3,

9 p

entr

u op

timiza

rea

calc

ulel

or.

1.4.

Util

izare

a de

scom

pune

rii

num

erel

or n

atur

ale

în p

rodu

s de

put

eri d

e nu

mer

e pr

ime,

a

prop

rietă

ților

put

erii

în

cont

exte

var

iate

.1.

5. A

plic

area

alg

oritm

ilor p

entr

u de

term

inar

ea c

.m.m

.d.c

., c.

m.m

.m.c

. a d

ouă

num

ere

natu

rale

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or.

I. N

umer

e na

tura

le

• M

ulțim

ea n

umer

elor

nat

ural

e (N

, N*)

• Di

vizo

r. M

ultip

lu. N

umer

e pr

ime,

num

ere

com

puse

• Cr

iterii

le d

e di

vizib

ilita

te c

u 2,

3, 5

, 9, 1

0.

Num

ere

pare

și n

umer

e im

pare

• De

scom

pune

rea

num

erel

or n

atur

ale

în

prod

us d

e pu

teri

de n

umer

e pr

ime

(pe

exem

ple

conc

rete

)•

Divi

zor c

omun

al d

ouă

num

ere

natu

rale

. C.

m.m

.d.c

. al d

ouă

num

ere

natu

rale

. N

umer

e pr

ime

într

e el

e•

Mul

tipli

com

uni a

i dou

ă nu

mer

e na

tura

le. C

.m.m

.m.c

. al d

ouă

num

ere

natu

rale

• Pu

tere

a cu

exp

onen

t num

ăr n

atur

al.

Prop

rietă

țile

pute

rii cu

exp

onen

t nat

ural

: pr

odus

ul a

dou

ă p

uter

i cu

acee

aşi b

ază,

pu

tere

a pr

odus

ului

, cât

ul a

dou

ă pu

teri

cu

acee

aşi b

ază,

put

erea

une

i put

eri,

a0 , 1n

• N

oțiu

nea

de e

cuaț

ie. M

ulțim

ea so

luții

lor

ecua

ției

• Re

zolv

area

în N

a e

cuaț

iilor

de

tipul

: x

± a

= b;

a ·

x =

b (a

≠ 0

); x

: a =

b (a

≠ 0

); ax

+ b

= c

(a ≠

0,)

unde

a, b

și c

sunt

nu

mer

e na

tura

le, d

eter

min

ând

com

pone

nta

necu

nosc

ută

a op

eraț

iei

prez

ente

în e

cuaț

ie

•Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

-id

entifi

care

și a

plic

are

a te

rmin

olog

iei ș

i a n

otaț

iilor

af

eren

te n

oțiu

nilo

r de

num

ăr, m

ulțim

e, d

ivizi

bilit

ate,

in

clus

iv în

situ

ații

de c

omun

icar

e;-

dete

rmin

are

a că

rei m

ulțim

i de

num

ere

îi ap

arțin

e

num

ărul

dat

;-

iden

tifica

re a

num

erel

or n

atur

ale,

a d

ivizo

rilor

și a

m

ultip

lilor

unu

i num

ăr n

atur

al, a

num

erel

or p

rime/

com

puse

/prim

e în

tre

ele

în d

iver

se si

tuaț

ii;

-de

term

inar

e a

mul

țimii

divi

zoril

or, a

mul

tiplil

or u

nui

num

ăr n

atur

al;

-ap

licar

e a

algo

ritm

ului

de

desc

ompu

nere

a n

umer

elor

na

tura

le în

pro

dus d

e pu

teri

de n

umer

e pr

ime,

a

crite

riilo

r de

divi

zibili

tate

cu

2, 3

, 5, 9

, 10

în d

iver

se

cont

exte

; -

evid

enție

re a

ava

ntaj

elor

apl

icăr

ii cr

iterii

lor d

e di

vizib

ilita

te, a

pro

prie

tățil

or o

pera

țiilo

r cu

num

ere

natu

rale

în e

fect

uare

a ca

lcul

elor

cu

num

ere

natu

rale

;-

dete

rmin

are

a c.

m.m

.d.c

. și a

c.m

.m.m

.c a

dou

ă nu

mer

e na

tura

le.

-re

zolv

area

pro

blem

elor

sim

ple,

util

izând

rela

țiile

de

divi

zibili

tate

;-

efec

tuar

e a

oper

ațiil

or c

u pu

teri

cu e

xpon

ent n

atur

al,

utiliz

ând

prop

rietă

țile

pute

rii c

u ex

pone

nt n

atur

al;

-re

zolv

are

a ec

uații

lor s

impl

e, d

eter

min

ând

com

pone

nta

necu

nosc

ută

a op

eraț

iei p

reze

nte

în e

cuaț

ie;

-re

zolv

are

a pr

oble

mel

or p

rin a

lcăt

uire

a ec

uații

lor,

dete

rmin

ând

com

pone

nta

necu

nosc

ută

a op

eraț

iei

prez

ente

în e

cuaț

ie;

19

1.6.

Mod

elar

ea u

nei s

ituaț

ii sim

ple,

incl

usiv

din

via

ța

cotid

iană

, util

izând

rela

țiile

de

div

izibi

litat

e a

num

erel

or

natu

rale

, rez

olva

rea

prob

lem

ei o

bțin

ute

și

inte

rpre

tare

a re

zulta

telo

r.1.

7. R

ezol

vare

a ec

uații

lor î

n m

ulțim

ea N

, det

erm

inân

d co

mpo

nent

a ne

cuno

scut

ă a

oper

ație

i pre

zent

e în

ecu

ație

.1.

8. E

labo

rare

a pl

anul

ui d

e id

ei,

priv

ind

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

cu

num

ere

natu

rale

și re

zolv

area

pr

oble

mei

în c

onfo

rmita

te c

u pl

anul

ela

bora

t.1.

9. Ju

stific

area

și a

rgum

enta

rea

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

la

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or

și ef

ectu

ări d

e ca

lcul

e cu

nu

mer

e na

tura

le.

• Re

zolv

area

pro

blem

elor

prin

alc

ătui

rea

de e

cuaț

ii de

tipu

ri st

udia

te

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:nu

măr

prim

, num

ăr c

ompu

s, n

umer

e pr

ime

într

e el

e, c

.m.m

.d.c

., c.

m.m

.m.c

., de

scom

pune

rea

în fa

ctor

i prim

i, ec

uaţie

, so

luţie

, pro

dusu

l a d

ouă

put

eri c

u ac

eeaş

i ba

ză, p

uter

ea p

rodu

sulu

i, câ

tul a

dou

ă pu

teri

cu a

ceea

şi ba

ză, p

uter

ea u

nei p

uter

i, ec

uaţie

, sol

uţie

a e

cuaţ

iei,

mul

ţimea

so

luţii

lor u

nei e

cuaţ

ii.

-ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rațio

nam

ente

lor m

atem

atice

și

a re

zulta

telo

r obț

inut

e la

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

•Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la n

umer

e na

tura

le şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a lu

crăr

ilor p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or n

atur

ale

în p

racti

că.

•Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

utiliz

area

num

erel

or

natu

rale

în

dive

rse

dom

enii.

•Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea n

umer

elor

nat

ural

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a nu

mer

elor

nat

ural

e.

Prod

use

reco

man

date

:c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;r

ăspu

nsul

ora

l;e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;r

ăspu

nsul

scris

;p

robl

ema

rezo

lvat

ă;it

emul

scris

rezo

lvat

;s

chem

a e

labo

rată

;a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;p

lanu

l de

idei

;p

roie

ctul

„N

umer

e na

tura

le în

via

ța m

ea”;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

20

2.1.

Iden

tifica

rea,

scrie

rea,

ci

tirea

și a

plic

area

num

erel

or

într

egi î

n di

vers

e co

ntex

te.

2.2.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

noț

iuni

i de

num

ăr

într

eg în

situ

ații

real

e

și/sa

u m

odel

ate,

incl

usiv

în

com

unic

are.

2.3.

Com

para

rea,

ord

onar

ea și

re

prez

enta

rea

num

erel

or

într

egi p

e ax

a nu

mer

elor

.2.

4. A

plic

area

pro

prie

tățil

or

oper

ațiil

or st

udia

te c

u nu

mer

e în

treg

i în

efec

tuar

ea

calc

ulel

or în

situ

ații

real

e

și/sa

u m

odel

ate.

2.5.

Util

izare

a m

odul

ului

în

calc

ule

cu n

umer

e în

treg

i în

dive

rse

cont

exte

.2.

6. R

ezol

vare

a ec

uații

lor n

m

ulțim

ea Z

, util

izând

pr

oprie

tățil

e op

eraț

iilor

ar

itmeti

ce st

udia

te și

al

gorit

mul

de

dete

rmin

are

a co

mpo

nent

ei n

ecun

oscu

te

oper

ație

i ind

icat

e.2.

7. U

tiliza

rea

num

erel

or în

treg

i în

div

erse

dom

enii:

în v

iața

co

tidia

nă, î

n ec

onom

ie, î

n al

te d

iscip

line

școl

are.

II. N

umer

e în

treg

i.

Ope

rații

cu

num

ere

într

egi

• N

umăr

într

eg. M

ulțim

ea n

umer

elor

în

treg

i Z. R

epre

zent

area

pe

axă

a nu

mer

elor

într

egi.

Opu

sul u

nui n

umăr

în

treg

. Mod

ulul

unu

i num

ăr în

treg

(in

trod

us c

u aj

utor

ul d

istan

ței p

e ax

ă)•

Ord

onar

ea și

com

para

rea

num

erel

or

într

egi

• Ad

unar

ea n

umer

elor

într

egi.

Prop

rietă

ți (c

omut

ativi

tate

a, a

soci

ativi

tate

a,

elem

entu

l neu

tru)

• Sc

ăder

ea n

umer

elor

într

egi

• O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor

• În

mul

țirea

num

erel

or în

treg

i. Pr

oprie

tăți

(com

utati

vita

tea,

aso

ciati

vita

tea,

el

emen

tul n

eutr

u, d

istrib

utivi

tate

a fa

ță

de a

duna

re și

scăd

ere)

• Fa

ctor

ul c

omun

• Îm

părț

irea

num

erel

or în

treg

i atu

nci c

ând

deîm

părț

itul e

ste

mul

tiplu

l îm

părț

itoru

lui

• Pu

tere

a un

ui n

umăr

într

eg c

u ex

pone

nt

num

ăr n

atur

al. P

ropr

ietă

țile

pute

rii u

nui

num

ăr în

treg

cu

expo

nent

nat

ural

• O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor ș

i fol

osire

a pa

rant

ezel

or ro

tund

e, p

ătra

te•

Rezo

lvar

ea în

Z a

ecu

ațiil

or d

e tip

ul:

x ±

a =

b; a

x =

b (a

≠ 0

); x

: a =

b (a

≠ 0

);

ax +

b =

c (a

≠ 0

), de

term

inân

d co

mpo

nent

a ne

cuno

scut

ă a

oper

ație

i pr

ezen

te în

ecu

ație

•Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

-sc

riere

, citi

re, i

denti

ficar

e, o

rdon

are,

com

para

re și

re

prez

enta

re a

num

erel

or în

treg

i pe

axa

num

erel

or;

-ap

licar

e a

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or a

fere

nte

noțiu

nii

de n

umăr

într

eg, i

nclu

siv în

situ

ații

de c

omun

icar

e;-

dete

rmin

are

a că

rei m

ulțim

i de

num

ere

îi ap

arțin

e nu

măr

ul d

at;

-ca

lcul

cu

num

ere

într

egi ș

i apl

icar

e în

cal

cule

a

algo

ritm

ilor ș

i a p

ropr

ietă

ților

stud

iate

;-

utiliz

are

a m

odul

ului

num

ărul

ui în

treg

în d

iver

se

cont

exte

;-

aplic

are

a al

gorit

mul

ui d

e de

term

inar

e a

com

pone

ntei

ne

cuno

scut

e în

cad

rul o

pera

țiilo

r de

adun

are,

scăd

ere,

în

mul

țire,

împă

rțire

(ter

men

ul n

ecun

oscu

t, de

scăz

utul

, sc

ăzăt

orul

, fac

toru

l nec

unos

cut,

deîm

părț

itul,

împă

rțito

rul)

a nu

mer

elor

într

egi;

-ef

ectu

are

a op

eraț

iilor

cu

pute

ri cu

exp

onen

t nat

ural

în

mul

țimea

num

erel

or în

treg

i, uti

lizân

d pr

oprie

tățil

e pu

teril

or;

-ef

ectu

are

a ca

lcul

elor

cu

num

ere

într

egi,

iden

tifica

re și

re

spec

tare

a o

rdin

ii ef

ectu

ării

oper

ațiil

or și

util

izare

a

para

ntez

elor

;-

aplic

are

a nu

mer

elor

într

egi î

n di

vers

e do

men

ii, in

clus

iv

în fi

zică,

geo

grafi

e, ști

ințe

, bio

logi

e, e

cono

mie

etc

.;-

rezo

lvar

e în

Z a

ecu

ațiil

or, u

tilizâ

nd p

ropr

ietă

țile

oper

ațiil

or a

ritm

etice

stud

iate

și a

lgor

itmul

de

dete

rmin

are

a co

mpo

nent

ei n

ecun

oscu

te în

cad

rul

oper

ație

i ind

icat

e;

-in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr (

adev

ăr/f

als)

a u

nei

afirm

ații

simpl

e pr

in p

reze

ntar

ea u

nor e

xem

ple,

a u

nor

cont

raex

empl

e;-

justi

ficar

e și

argu

men

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e.

21

2.8.

Justi

ficar

ea și

arg

umen

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e în

ca

lcul

e cu

num

ere

într

egi.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:nu

măr

într

eg, n

umăr

poz

itiv,

num

ăr n

egati

v,

opus

ul, m

odul

ul u

nui n

umăr

într

eg, p

uter

ea

unui

num

ăr în

treg

.

•Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi

/sau

m

odel

ate

refe

ritoa

re la

num

ere

într

egi ş

i sol

uţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

•Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea n

umer

elor

într

egi.

•Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

utiliz

area

num

erel

or în

treg

i în

div

erse

dom

enii.

•Re

aliza

rea

proi

ecte

lor d

e gr

up/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea

num

erel

or în

treg

i în

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

•Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

num

erel

or în

treg

i.

Prod

use

reco

man

date

:c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;r

ăspu

nsul

ora

l;e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;r

ăspu

nsul

scris

;p

robl

ema

rezo

lvat

ă;it

emul

scris

rezo

lvat

;s

chem

a el

abor

ată;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;p

lanu

l de

idei

;p

roie

ctul

„N

umer

e în

treg

i în

viaț

a m

ea”;

p

roie

ctul

„Ax

a ev

enim

ente

lor i

stor

ice

din

epoc

a an

tică”

;h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

22

3.1.

Iden

tifica

rea,

scrie

rea

în

dive

rse

form

e și

citir

ea

num

erel

or ra

ționa

le în

co

ntex

te v

aria

te.

3.2.

Rec

unoa

şter

ea și

apl

icar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

no

țiuni

lor d

e nu

măr

rațio

nal,

mul

țime

în

cont

exte

var

iate

, inc

lusiv

în

com

unic

are.

3.3.

Cla

sific

area

, com

para

rea,

or

dona

rea,

repr

ezen

tare

a pe

ax

ă și

rotu

njire

a nu

mer

elor

ra

ționa

le.

3.4.

Apl

icar

ea p

ropr

ietă

ților

st

udia

te a

le o

pera

țiilo

r cu

num

ere

rațio

nale

în

efec

tuar

ea d

e ca

lcul

e în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.3.

5. U

tiliza

rea

mod

ulul

ui în

ef

ectu

area

cal

cule

lor

cu n

umer

e ra

ționa

le în

re

zolv

area

pro

blem

elor

.3.

6. E

labo

rare

a pl

anul

ui d

e id

ei p

rivin

d re

zolv

area

pr

oble

mel

or î

n m

ulțim

ea

num

erel

or ra

ționa

le și

re

zolv

area

pro

blem

ei în

co

nfor

mita

te c

u pl

anul

el

abor

at.

III. N

umer

e ra

ționa

le.

O

pera

ții c

u nu

mer

e ra

ționa

le

• N

umer

e ra

ționa

le. M

ulțim

ea Q

. Re

prez

enta

rea

pe a

xă a

num

erel

or

rațio

nale

. Opu

sul u

nui n

umăr

rațio

nal.

Inve

rsul

unu

i num

ăr ra

ționa

l nen

ul.

Mod

ulul

unu

i num

ăr ra

ționa

l (in

trod

us

cu a

juto

rul d

istan

ței p

e ax

ă)

• Sc

riere

a nu

mer

elor

rațio

nale

în d

iver

se

form

e. T

rans

form

area

unu

i num

ăr

zeci

mal

fini

t în

frac

ție o

rdin

ară

și in

vers

• Co

mpa

rare

a nu

mer

elor

rațio

nale

. Ro

tunj

irea

num

erel

or ra

ționa

le•

Adun

area

num

erel

or ra

ționa

le.

Prop

rietă

ți (c

omut

ativi

tate

a,

asoc

iativ

itate

a, e

lem

entu

l neu

tru)

• Sc

ăder

ea n

umer

elor

rațio

nale

. Ord

inea

op

eraț

iilor

și u

tiliza

rea

para

ntez

elor

• În

mul

țirea

num

erel

or ra

ționa

le.

Prop

rietă

ți (c

omut

ativi

tate

a,

asoc

iativ

itate

a, e

lem

entu

l neu

tru,

di

strib

utivi

tate

a fa

ță d

e ad

unar

e și

scăd

ere)

. Fac

tor c

omun

• Pu

tere

a un

ui n

umăr

rațio

nal c

u ex

pone

nt

num

ăr n

atur

al•

Împă

rțire

a nu

mer

elor

rațio

nale

• O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor ș

i fol

osire

a pa

rant

ezel

or•

Aflar

ea fr

acție

i din

tr-u

n nu

măr

. Afla

rea

num

ărul

ui fi

ind

dată

frac

ția

•Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

-sc

riere

, citi

re, i

denti

ficar

e a

num

erel

or ra

ționa

le în

di

vers

e sit

uații

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

aplic

are

a te

rmin

olog

iei ș

i a n

otaț

iilor

afe

rent

e no

țiuni

lor

de n

umăr

rațio

nal,

mul

țime,

incl

usiv

în si

tuaț

ii de

co

mun

icar

e;-

tran

sfor

mar

e a

unui

num

ăr ze

cim

al fi

nit

în fr

acție

or

dina

ră și

inve

rs;

-or

dona

re, c

ompa

rare

și re

prez

enta

re p

e ax

ă a

num

erel

or

rațio

nale

;-

rotu

njire

a re

zulta

telo

r uno

r cal

cule

cu

num

ere

rațio

nale

;-

calc

ul c

u nu

mer

e ra

ționa

le u

tilizâ

nd p

ropr

ietă

țile,

or

dine

a op

eraț

iilor

, sem

nific

ația

par

ante

zelo

r, m

odul

ul

num

ărul

ui ra

ționa

l;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

, prin

apl

icar

ea m

etod

ei a

decv

ate

și a

oper

ațiil

or st

udia

te c

u nu

mer

e ra

ționa

le;

-ev

iden

țiere

a a

vant

ajel

or fo

losir

ii pr

oprie

tățil

or

oper

ațiil

or c

u nu

mer

e ra

ționa

le;

-ap

licar

e a

algo

ritm

ului

de

dete

rmin

are

a co

mpo

nent

ei

necu

nosc

ute

în c

adru

l ope

rații

lor d

e ad

unar

e, sc

ăder

e,

înm

ulțir

e, îm

părț

ire (t

erm

en n

ecun

oscu

t, de

scăz

ut,

scăz

ător

, fac

tor n

ecun

oscu

t, de

împă

rțit,

împă

rțito

r) a

le

num

erel

or ra

ționa

le;

-re

zolv

are

a pr

oble

mel

or, a

situ

ațiil

or-p

robl

emă,

util

izând

afl

area

frac

ției d

intr

-un

num

ăr, a

flare

a nu

măr

ului

, fiin

d da

tă fr

acția

;-

scrie

re și

citi

re a

mul

țimilo

r, a

mul

țimilo

r de

num

ere;

-de

term

inar

e a

card

inal

ului

une

i mul

țimi fi

nite

;-

tran

scrie

re a

mul

țimilo

r din

tr-u

n m

od d

e de

finire

în a

ltul;

-de

term

inar

e a

căre

i mul

țimi d

e nu

mer

e/m

ulțim

i de

obie

cte

îi ap

arțin

e nu

măr

ul d

at/o

biec

tul d

at;

23

3.7.

Tran

spun

erea

une

i situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e în

lim

baj m

atem

atic,

rezo

lvar

ea

prob

lem

ei o

bțin

ute,

util

izând

nu

mer

e ra

ționa

le, m

ulțim

i, op

eraț

ii cu

mul

țimi,

și in

terp

reta

rea

rezu

ltate

lor

obțin

ute.

3.

8. R

epre

zent

area

mul

țimilo

r în

dive

rse

mod

uri ș

i efe

ctua

rea

oper

ațiil

or c

u m

ulțim

i în

cont

exte

var

iate

.3.

9. Ju

stific

area

și a

rgum

enta

rea

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

în

calc

ule

cu n

umer

e ra

ționa

le

în d

iver

se c

onte

xte.

3.10

. Inv

estig

area

val

orii

de

adev

ăr (a

devă

r/fa

ls) a

un

ei a

firm

ații

simpl

e pr

in

prez

enta

rea

unor

exe

mpl

e sa

u co

ntra

exem

ple.

• Re

zolv

area

pro

blem

elor

în m

ulțim

ea

num

erel

or ra

ționa

le•

Mul

țimi.

Mod

uri d

e de

finire

a m

ulțim

ilor.

Rela

ția d

e ap

arte

nenț

ă. M

ulțim

i ega

le.

Subm

ulțim

i. Ca

rdin

alul

mul

țimii

finite

• O

pera

ții c

u m

ulțim

i (re

uniu

nea,

inte

r-se

cția

, dife

renț

a)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:nu

măr

raţio

nal p

oziti

v, n

umăr

raţio

nal

nega

tiv, o

pusu

l unu

i num

ăr ra

ţiona

l, in

vers

ul u

nui n

umăr

raţio

nal n

enul

, mul

ţimi

egal

e, su

bmul

ţime,

reun

iune

a m

ulţim

ilor,

inte

rsec

ţia m

ulţim

ilor,

dife

renţ

a m

ulţim

ilor.

-ef

ectu

are

a op

eraț

iilor

cu

mul

țimi (

reun

iune

a, in

ters

ecția

, di

fere

nța)

;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

apl

icân

d m

ulțim

i, op

eraț

ii cu

m

ulțim

i;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r (ad

evăr

/fal

s) a

une

i afi

rmaț

ii sim

ple

prin

pre

zent

area

uno

r exe

mpl

e sa

u co

ntra

exem

ple;

-ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

și a

tehn

olog

iilor

util

izate

.•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

num

ere

raţio

nale

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

•Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea n

umer

elor

raţio

nale

în p

racti

că.

•Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r ref

erito

are

la u

tiliza

rea

num

erel

or

raţio

nale

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a pr

oiec

telo

r de

grup

/indi

vidu

ale

priv

ind

aplic

area

nu

mer

elor

raţio

nale

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

•Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văța

rea

– ev

alua

rea

num

erel

or ra

ţiona

le.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;r

ăspu

nsul

ora

l;e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;r

ăspu

nsul

scris

;p

robl

ema

rezo

lvat

ă;it

emul

scris

rezo

lvat

;s

chem

a el

abor

ată;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;p

lanu

l de

idei

;p

roie

ctul

„Ap

licaț

ii al

e nu

mer

elor

rațio

nale

în p

rofe

siile

pă

rințil

or”;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

24

4.1.

Iden

tifica

rea

rapo

arte

lor,

a pr

opor

țiilo

r și a

m

ărim

ilor d

irect

sau

inve

rs

prop

orțio

nale

în c

onte

xte

dive

rse.

4.2.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i afe

rent

e no

țiuni

lor d

e ra

port

, pr

opor

ție, p

roce

nt,

prop

orțio

nalit

ate

în

cont

exte

var

iate

, inc

lusiv

în

com

unic

are.

4.3.

Cla

sific

area

eve

nim

ente

lor

utiliz

ând

dive

rse

crite

rii.

4.4.

Rep

reze

ntar

ea u

nor d

ate

sub

form

ă de

tabe

le sa

u de

dia

-gr

ame

stati

stice

în v

eder

ea

cole

ctăr

ii, î

nreg

istră

rii, p

relu

-cr

ării

și pr

ezen

tării

ace

stor

a,

utiliz

ând,

incl

usiv,

rapo

arte

, pr

ocen

te.

4.5.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

idei

, priv

ind

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

din

div

erse

do

men

ii în

car

e in

terv

in ra

-po

arte

, pro

porț

ii, p

roce

nte,

m

ărim

i dire

ct sa

u in

vers

pr

opor

ționa

le, m

edia

arit

me-

tică,

regu

la d

e tr

ei si

mpl

ă și

rezo

lvar

ea p

robl

emei

în c

on-

form

itate

cu

plan

ul e

labo

rat.

IV. R

apoa

rte

şi p

ropo

rții

• Ra

poar

te. Ș

iruri

de ra

poar

te e

gale

• Pr

opor

ții. P

ropr

ieta

tea

fund

amen

tală

a

prop

orție

i •

Aflar

ea u

nui t

erm

en n

ecun

oscu

t al

prop

orție

i•

Măr

imi d

irect

pro

porț

iona

le•

Măr

imi i

nver

s pro

porț

iona

le

• Re

gula

de

trei

sim

plă

• Pr

ocen

te. A

flare

a pr

ocen

telo

r din

tr-u

n nu

măr

dat

• Afl

area

unu

i num

ăr c

ând

cuno

aște

m

proc

ente

le d

in e

l•

Aflar

ea ra

port

ului

pro

cent

ual.

Prob

lem

e•

Elem

ente

de

orga

niza

re a

dat

elor

. Re

prez

enta

rea

date

lor p

rin ta

bele

și

grafi

ce. G

rafic

e cu

bar

e, g

rafic

e ci

rcul

are

• M

edia

arit

meti

că•

Elem

ente

de

prob

abili

tăți.

Eve

nim

ente

: sig

ure,

pos

ibile

, im

posib

ile (p

rin e

xem

ple

simpl

e)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ra

port

, rap

oart

e eg

ale,

şir d

e ra

poar

te

egal

e, p

ropo

rţie

, măr

imi d

irect

pr

opor

ţiona

le, m

ărim

i inv

ers p

ropo

rţio

nale

, re

gula

de

trei

sim

plă,

pro

cent

, eve

nim

ent,

even

imen

t sig

ur, e

veni

men

t pos

ibil,

ev

enim

ent i

mpo

sibil,

gra

fic c

u ba

re, g

rafic

ci

rcul

ar, m

edia

arit

meti

că.

•Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- sc

riere

, citi

re, i

denti

ficar

e a

rapo

arte

lor,

a pr

opor

țiilo

r și

a m

ărim

ilor d

irect

sau

inve

rs p

ropo

rțio

nale

în d

iver

se

situa

ții;

- uti

lizar

e a

term

inol

ogie

i afe

rent

e no

țiuni

lor d

e pr

opor

ție, r

apor

t, pr

ocen

t, pr

opor

ționa

litat

e di

rect

ă,

prop

orțio

nalit

ate

inve

rsă

în si

tuaț

ii di

vers

e, in

clus

iv în

ce

le d

e co

mun

icar

e;-

calc

ular

e a

rapo

arte

lor a

dou

ă m

ărim

i de

acel

ași f

el, a

do

uă m

ărim

i di

ferit

e și

utiliz

are

a ac

esto

ra în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

; -

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

, inc

lusiv

din

via

ța c

otidi

ană,

în

care

inte

rvin

rapo

arte

, pro

porț

ii, p

roce

nte,

măr

imi d

irect

sa

u in

vers

pro

porț

iona

le, m

edia

arit

meti

că și

regu

la d

e tr

ei si

mpl

ă;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

de

calc

ular

e a

conc

entr

ație

i so

luție

i;-

repr

ezen

tare

a u

nor d

ate

sub

form

ă de

tabe

le și

/sau

de

diag

ram

e st

atisti

ce în

ved

erea

col

ectă

rii, î

nreg

istră

rii,

prel

ucră

rii și

pre

zent

ării

aces

tora

, util

izând

num

ere

rațio

nale

, inc

lusiv

, rap

oart

e, p

roce

nte;

- cl

asifi

care

a e

veni

men

telo

r util

izând

div

erse

crit

erii;

- ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

și a

tehn

olog

iilor

util

izate

.•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

rapo

arte

şi p

ropo

rţii

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

•Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea ra

poar

telo

r şi a

pro

porţ

iilor

în p

racti

că.

•Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea ra

poar

telo

r şi

a pr

opor

ţiilo

r în

dive

rse

dom

enii.

25

4.6.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t sim

plu,

susț

iner

ea

prop

riilo

r ide

i și v

iziun

i, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri.4.

7. In

vesti

gare

a va

lorii

de

adev

ăr (a

devă

r/fa

ls) a

un

ei a

firm

ații

simpl

e pr

in

prez

enta

rea

unor

exe

mpl

e sa

u co

ntra

exem

ple.

•Re

aliza

rea

proi

ecte

lor d

e gr

up/in

divi

dual

e, in

clus

iv p

roie

cte

STEM

/STE

AM, p

rivin

d ap

licar

ea ra

poar

telo

r şi a

pro

porţ

iilor

în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ra

poar

telo

r şi a

pro

porţ

iilor

. Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;r

ăspu

nsul

ora

l;e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;r

ăspu

nsul

scris

;p

robl

ema

rezo

lvat

ă;it

emul

scris

rezo

lvat

;s

chem

a el

abor

ată;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;p

lanu

l de

idei

;p

roie

ctul

„Ra

poar

te și

pro

porț

ii în

cul

inăr

ii”;

p

roie

ctul

STE

AM „

Rapo

arte

și p

ropo

rții

în p

ictu

ră și

ar

hite

ctur

ă”;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.5.

1.Id

entifi

care

a (s

pațiu

) în

situa

ții re

ale

și/sa

u m

odel

ate

și cl

asifi

care

a în

func

ție d

e di

vers

e cr

iterii

a fi

guril

or

geom

etric

e st

udia

te.

5.2.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i afe

rent

e

noțiu

nilo

r geo

met

rice

stud

iate

în d

iver

se c

onte

xte,

in

clus

iv în

com

unic

are.

5.3.

Car

acte

rizar

ea u

nor

confi

gura

ții g

eom

etric

e,

utiliz

ând

term

inol

ogia

și

nota

țiile

spec

ifice

.

V. F

igur

i şi c

orpu

ri ge

omet

rice

•Fi

guri

geom

etric

e: p

unct

, dre

aptă

, pla

n,

sem

ipla

n, se

gmen

t, se

mi-d

reap

tă, l

inie

fr

ântă

(pre

zent

are

prin

des

crie

re și

de

sen)

•

Lung

imea

segm

entu

lui.

Segm

ente

co

ngru

ente

. Con

stru

cția

unu

i seg

men

t co

ngru

ent c

u ce

l dat

. Mijl

ocul

se

gmen

tulu

i•

Triu

nghi

, pat

rula

ter (

pătr

at, d

rept

ungh

i, pa

rale

logr

am, r

omb,

trap

ez) (

prez

enta

re

prin

des

crie

re și

des

en).

Perim

etru

l tr

iung

hiul

ui, p

erim

etru

l pat

rula

teru

lui

•Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

-id

entifi

care

, des

crie

re v

erba

lă și

în sc

ris, u

tilizâ

nd

term

inol

ogia

și n

otaț

iile

resp

ectiv

e al

e fig

urilo

r și a

le

corp

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

;-

repr

ezen

tare

a fi

guril

or g

eom

etric

e pl

ane

stud

iate

și

a co

nfigu

rații

lor g

eom

etric

e, u

tilizâ

nd in

stru

men

te d

e de

sen,

inst

rum

ente

TIC

și a

plic

area

repr

ezen

tăril

or

resp

ectiv

e în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or;

-de

term

inar

e a

lung

imilo

r de

segm

ente

, a p

erim

etre

lor,

a lu

ngim

ii ce

rcul

ui, a

arii

lor (

pătr

atul

ui, d

rept

ungh

iulu

i, di

scul

ui) ș

i a v

olum

elor

(cub

ului

, par

alel

ipip

edul

ui

drep

tung

hic)

și e

xprim

area

ace

stor

a în

uni

tăți

de m

ăsur

ă ad

ecva

te;

26

5.4.

Util

izare

a in

stru

men

telo

r de

des

en (e

cher

, rap

orto

r, co

mpa

s, ri

glă)

pen

tru

repr

ezen

tare

a în

pla

n a

unor

co

nfigu

rații

geo

met

rice,

a

rela

țiilo

r din

tre

figur

i;5.

5. C

onfe

cțio

nare

a di

n di

ferit

e m

ater

iale

a fi

guril

or p

lane

și

a co

rpur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te.

5.6.

Cal

cula

rea

și es

timar

ea

măs

urilo

r de

ungh

iuri,

a

lung

imilo

r, a

perim

etre

lor,

a ar

iilor

, a v

olum

elor

(pen

tru

figur

ile g

eom

etric

e st

udia

te,

incl

usiv,

a o

biec

telo

r rea

le

din

activ

itate

a co

tidia

nă),

folo

sind

rețe

le d

e pă

trat

e,

form

ulel

e cu

nosc

ute,

in

stru

men

tele

ade

cvat

e,

siste

mul

inte

rnaț

iona

l și/s

au

cel n

ațio

nal d

e m

ăsur

i. 5.

7. E

xtra

pola

rea

achi

zițiil

or

geom

etric

e do

bând

ite,

utiliz

ând

dive

rse

repr

ezen

tări

geom

etric

e, p

entr

u

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or

prac

tice

simpl

e re

ferit

oare

la

per

imet

re, a

rii, v

olum

e și,

dac

ă es

te c

azul

, util

izând

tr

ansf

orm

area

con

vena

bilă

a

unită

ților

de

măs

ură.

•Po

ligon

. Ele

men

te a

le p

olig

onul

ui (l

atur

i, vâ

rfur

i, un

ghiu

ri, d

iago

nale

), in

terio

r, ex

terio

r. Pe

rimet

rul p

olig

onul

ui•

Aria

păt

ratu

lui,

a dr

eptu

nghi

ului

(făr

ă de

mon

stra

ție)

•U

nghi

uri.

Măs

ura

în g

rade

a u

nghi

urilo

r. Ra

port

orul

și a

plic

area

lui l

a ca

lcul

ul

măs

urii

ungh

iulu

i. Co

nstr

uire

a cu

aj

utor

ul ra

port

orul

ui a

unu

i ung

hi a

vând

o

măs

ură

dată

•Ca

lcul

e cu

măs

uri d

e un

ghiu

ri (g

rade

, m

inut

e, se

cund

e)•

Clas

ifica

rea

ungh

iuril

or: u

nghi

uri

ascu

țite,

obt

uze,

dre

pte,

co

mpl

emen

tare

, sup

lem

enta

re, o

puse

la

vârf,

adi

acen

te•

Ung

hiur

i con

grue

nte.

Con

stru

irea

cu

ajut

orul

rigl

ei și

a c

ompa

sulu

i a u

nui

ungh

i con

grue

nt c

u ce

l dat

•Bi

sect

oare

a un

ghiu

lui.

Cons

trui

rea

cu

ajut

orul

rapo

rtor

ului

a b

isect

oare

i unu

i un

ghi

•Dr

epte

con

cure

nte,

dre

pte

para

lele

și

perp

endi

cula

re•

Med

iato

area

unu

i seg

men

t. Co

nstr

uire

a cu

aju

toru

l rig

lei ș

i a e

cher

ului

a

med

iato

arei

segm

entu

lui

•Li

nie

curb

ă. C

erc.

Disc

. Ele

men

te a

le

cerc

ului

(cen

tru,

rază

, dia

met

ru, c

oard

ă),

inte

rior,

exte

rior.

Num

ărul

. L

ungi

mea

ce

rcul

ui. A

ria d

iscul

ui (f

ără

dem

onst

rație

)

-co

nfec

ționa

re d

in d

iferit

e m

ater

iale

a c

orpu

rilor

și

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te;

-uti

lizar

e a

rapo

rtor

ului

la c

onst

ruire

a un

ui u

nghi

avâ

nd o

m

ăsur

ă da

tă, l

a co

nstr

uire

a bi

sect

oare

i unu

i ung

hi ;

-uti

lizar

e a

rigle

i și a

com

pasu

lui l

a co

nstr

uire

a un

ghiu

lui

cong

ruen

t cu

cel d

at;

-uti

lizar

e a

rigle

i și a

ech

erul

ui la

con

stru

irea

drep

telo

r pa

rale

le, a

cel

or p

erpe

ndic

ular

e și

a m

edia

toar

ei u

nui

segm

ent;

-uti

lizar

e a

com

pasu

lui p

entr

u co

nstr

uire

a ce

rcur

ilor î

n di

vers

e co

nfigu

rații

;-

aplic

are

a pr

oprie

tățil

or fi

guril

or și

cor

puril

or g

eom

etric

e st

udia

te în

div

erse

dom

enii;

-an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la fi

guril

e/co

rpur

ile g

eom

etric

e st

udia

te și

la u

nită

țile

de m

ăsur

ă re

leva

nte;

-in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr (

adev

ăr/f

als)

a u

nei

afirm

ații

simpl

e pr

in p

reze

ntar

ea u

nor e

xem

ple,

co

ntra

exem

ple;

-ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t mat

emati

c ob

ținut

sa

u in

dica

t cu

figur

i/cor

puri

geom

etric

e, re

curg

ând

la

argu

men

tări.

•Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la fi

guril

e ge

omet

rice

plan

e şi

la

corp

urile

stud

iate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

•Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e pl

ane

şi a

corp

urilo

r stu

diat

e în

pra

ctică

.•

Real

izare

a in

vesti

gaţii

lor p

rivin

d uti

lizar

ea fi

guril

or

geom

etric

e pl

ane

şi a

corp

urilo

r stu

diat

e în

div

erse

dom

enii.

27

5.8.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t sim

plu,

susț

iner

ea

prop

riilo

r ide

i și v

iziun

i, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri.5.

9. In

vesti

gare

a va

lorii

de

adev

ăr (a

devă

r/fa

ls) a

un

ei a

firm

ații

simpl

e pr

in

prez

enta

rea

unor

exe

mpl

e sa

u co

ntra

exem

ple.

•Cu

b, p

aral

elip

iped

dre

ptun

ghic

(cub

oid)

, pi

ram

idă,

cili

ndru

circ

ular

dre

pt, c

on

circ

ular

dre

pt. D

esfă

șura

ta c

orpu

lui

geom

etric

stud

iat.

Sfer

ă, c

orp

sfer

ic.

Elem

ente

ale

cor

puril

or (f

ețe,

muc

hii,

vârf

uri,

baze

, cen

tru,

rază

, dia

met

ru,

gene

rato

are)

•Vo

lum

ul c

ubul

ui și

al c

uboi

dulu

i (fă

ră

dem

onst

rație

)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pa

rale

logr

am, r

omb,

trap

ez, u

nghi

, ung

hiur

i as

cuţit

e, o

btuz

e, d

rept

e, c

ompl

emen

tare

, su

plem

enta

re, o

puse

la v

ârf,

adia

cent

e,

bise

ctoa

re, m

edia

toar

e, d

iago

nală

, ra

port

or, g

rade

, min

ute,

secu

nde,

inte

rior,

exte

rior,

diam

etru

, coa

rdă,

num

ărul

,

lung

imea

cer

culu

i, ar

ie, p

iram

idă,

cili

ndru

ci

rcul

ar d

rept

, con

circ

ular

dre

pt, s

feră

, cor

p sf

eric

, gen

erat

oare

.N

otaț

iile

pent

ru fi

guril

e ge

omet

rice:

m (<

B) –

măs

ura

ungh

iulu

i B,

o – g

rad,

ʹ –

min

ute,

ʺ–

secu

nde,

Þ –

con

grue

nt.

•Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e pl

ane

şi a

corp

urilo

r stu

diat

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a fig

urilo

r geo

met

rice

plan

e şi

a co

rpur

ilor s

tudi

ate.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;r

ăspu

nsul

ora

l;r

ăspu

nsul

scris

;p

robl

ema

rezo

lvat

ă;it

emul

scris

rezo

lvat

;s

chem

a el

abor

ată;

d

esen

ul re

aliza

t;a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;p

lanu

l de

idei

;p

roie

ctul

„Cor

puri

geom

etric

e în

con

stru

cțiil

e di

n lo

calit

atea

m

ea”;

L

ucra

rea

prac

tică

pe te

ren

„Cal

cula

rea

arie

i ter

enul

ui d

e jo

acă/

tere

nulu

i spo

rtiv”

;L

ucra

rea

de la

bora

tor „

Dete

rmin

area

val

orii

num

ărul

ui

”;H

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

T

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

28

LA F

INEL

E CL

ASEI

A V

I-a, E

LEVU

L PO

ATE:

•

iden

tifica

, citi

, scr

ie, r

epre

zent

a, co

mpa

ra și

ord

ona

num

ere

natu

rale

, num

ere

într

egi, n

umer

e ra

ționa

le în

tr-o

varie

tate

de

cont

exte

, in

clus

iv în

com

unic

are;

•de

term

ina

căre

i mul

țimi d

e nu

mer

e, o

biec

te a

parț

ine

num

ărul

, obi

ectu

l dat

;•

iden

tifica

, citi

, scr

ie și

repr

ezen

ta o

mul

țime

dată

în d

iver

se m

odur

i;•

aplic

a cr

iterii

le d

e di

vizib

ilita

te c

u 2,

3,

5, 9

, 10

, de

scom

pune

rea

în f

acto

ri pr

imi,

num

erel

e pr

ime

și co

mpu

se la

rez

olva

rea

prob

lem

elor

, inc

lusiv

din

via

ța c

otidi

ană;

•uti

liza

term

inol

ogia

și n

otaț

iile

afer

ente

noț

iuni

lor

de n

umăr

nat

ural

, num

ăr în

treg

, num

ăr ra

ționa

l, ra

port

, pro

porț

ie, p

roce

nt,

mul

țime,

div

izor,

mul

tiplu

, crit

eriu

de

divi

zibili

tate

, ele

men

telo

r de

geom

etrie

stud

iate

în c

onte

xte

dive

rse;

•ef

ectu

a op

eraț

iile

de a

duna

re, s

căde

re, î

nmul

țire,

împă

rțire

, rid

icar

e la

put

ere

cu e

xpon

ent n

umăr

nat

ural

cu n

umer

e di

n m

ulțim

ile

de n

umer

e st

udia

te;

•ap

lica

prop

rietă

țile

oper

ațiil

or a

ritm

etice

stud

iate

pen

tru

a efi

cien

tiza

calc

ule

cu d

iver

se n

umer

e;

•re

zolv

a ec

uații

sim

ple,

util

izând

pro

prie

tățil

e op

eraț

iilor

arit

meti

ce s

tudi

ate

și al

gorit

mul

de

dete

rmin

are

a co

mpo

nent

ei

necu

nosc

ute

în c

adru

l ope

rație

i ind

icat

e, în

mul

țimile

de

num

ere

stud

iate

;•

rezo

lva

prob

lem

e uti

lizân

d m

etod

e st

udia

te, p

robl

eme

de a

flare

a fr

acție

i din

tr-u

n nu

măr

, de

aflar

e a

num

ărul

ui fi

ind

dată

frac

ția,

de a

flare

a p

% d

intr

-un

num

ăr, d

e afl

are

a un

ui n

umăr

cân

d cu

noaș

tem

pro

cent

ele

din

el, d

e afl

are

a ra

port

ului

pro

cent

ual;

•in

vesti

ga p

robl

eme,

situ

ații-

prob

lem

ă, în

car

e se

sol

icită

apl

icar

ea o

pera

țiilo

r ar

itmeti

ce,

a m

etod

elor

de

rezo

lvar

e în

văța

te,

orga

niza

rea

date

lor

sub

form

ă de

tab

ele

și/sa

u di

agra

me

stati

stice

în v

eder

ea c

olec

tării

, înr

egist

rării

, pre

lucr

ării

și pr

ezen

tării

ac

esto

ra, u

tilizâ

nd n

umer

e ra

ționa

le, i

nclu

siv, r

apoa

rte,

pro

cent

e;•

repr

ezen

ta p

rin d

esen

și c

onfe

cțio

na d

in d

iferit

e m

ater

iale

figu

rile

geom

etric

e pl

ane

stud

iate

;•

dete

rmin

a pe

rimet

rul p

olig

oane

lor,

lung

imile

cerc

ului

, arii

le (p

ătra

t, dr

eptu

nghi

, disc

) și v

olum

ele

(cub

, par

alel

ipip

ed d

rept

ungh

ic)

utiliz

ând

form

ule

cuno

scut

e, S

istem

ul In

tern

ațio

nal ș

i/sau

cel

naț

iona

l de

măs

uri;

•op

era

cu m

ăsur

i de

ungh

iuri:

gra

de, m

inut

e, se

cund

e;•

utiliz

a in

stru

men

tele

de

dese

n la

cons

trui

rea

drep

telo

r par

alel

e, a

cel

or p

erpe

ndic

ular

e, a

med

iato

arei

unu

i seg

men

t, a

cerc

ului

în

dive

rse

confi

gura

ții;

•uti

liza

rapo

rtor

ul la

măs

urar

ea și

cons

trui

rea

ungh

iuril

or, l

a co

nstr

uire

a bi

sect

oare

i unu

i ung

hi; r

igla

și co

mpa

sul l

a co

nstr

uire

a un

ui

ungh

i con

grue

nt c

u ce

l dat

;•

aplic

a te

rmin

olog

ia și

not

ațiil

e af

eren

te fi

guril

or și

cor

puril

or g

eom

etric

e st

udia

te în

div

erse

con

text

e;

•in

vesti

ga v

aloa

rea

de a

devă

r (ad

evăr

/fal

s) a

une

i afir

maț

ii sim

ple

prin

pre

zent

area

uno

r exe

mpl

e sa

u co

ntra

exem

ple.

•ju

stific

a un

dem

ers/

rezu

ltat m

atem

atic,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

susț

inân

d pr

oprii

le id

ei și

opi

nii.

29

Clas

a a

VII-a

Uni

tăți

de c

ompe

tenț

ăU

nită

ți de

con

ținut

Activ

ități

şi p

rodu

se d

e în

văța

re re

com

anda

te1.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

te

rmin

olog

iei a

fere

nte

noțiu

nii d

e nu

măr

real

în

dive

rse

cont

exte

, inc

lusiv

în

com

unic

are.

1.2.

Iden

tifica

rea

și cl

asifi

care

a în

func

ție d

e di

vers

e cr

iterii

al

e el

emen

telo

r mul

țimilo

r nu

mer

ice

N, Z

, Q, I

, R.

1.3.

Com

para

rea,

ord

onar

ea,

pozi

ționa

rea

pe a

xă,

repr

ezen

tare

a în

div

erse

fo

rme

a nu

mer

elor

real

e.1.

4. C

alcu

lare

a ră

dăci

nii p

ătra

te

din

num

ere

real

e ne

nega

tive,

uti

lizân

d di

vers

e m

etod

e.1.

5. E

xplic

itare

a m

odul

ului

or

icăr

ui n

umăr

real

și

aplic

area

pro

prie

tățil

or

mod

ulul

ui în

div

erse

co

ntex

te.

1.6.

Efe

ctua

rea

oper

ațiil

or

(adu

nare

a, sc

ăder

ea,

înm

ulțir

ea, î

mpă

rțire

a,

ridic

area

la p

uter

e cu

ex

pone

nt n

atur

al, c

alcu

lare

a ră

dăci

nii p

ătra

te),

cu n

umer

e re

ale,

util

izând

pro

prie

tățil

e ac

esto

ra.

I. N

umer

e re

ale

• M

ulțim

ea n

umer

elor

rațio

nale

Q.

Incl

uziu

nileN

ZQ

⊂⊂

• N

umer

e ze

cim

ale.

Num

ere

zeci

mal

e pe

riodi

ce•

Repr

ezen

tare

a nu

mer

elor

rațio

nale

pe

axă

• N

oțiu

nea

de ră

dăci

nă p

ătra

tă d

intr

-un

num

ăr ra

ționa

l nen

egati

v. Ca

lcul

area

ră

dăci

nii p

ătra

te d

in n

umer

e ra

ționa

le

nene

gativ

e, u

tilizâ

nd c

alcu

lato

rul ș

i/sau

es

timar

ea/r

otun

jirea

• N

oțiu

nea

de n

umăr

iraț

iona

l•

Noț

iune

a de

num

ăr re

al•

Mul

țimea

num

erel

or re

ale.

Incl

uziu

nile

N

ZQ

R⊂

⊂⊂

• O

pera

ții c

u m

ulțim

ile N

, Z, Q

, R și

su

bmul

țimile

lor (

reun

iune

a, in

ters

ecția

, di

fere

nța,

pro

dusu

l sca

lar (

cu d

ouă

mul

țimi fi

nite

))•

Mod

ulul

num

ărul

ui re

al.

Prop

rietă

ți:

aa

aa

aa

≥≥

==

02

22

;;

;

ab

ab

a ba b

b=

=≠

;,

.0

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

a n

umer

elor

nat

ural

e, în

treg

i, ra

ționa

le,

irațio

nale

, rea

le în

div

erse

con

text

e;-

ordo

nare

, com

para

re și

repr

ezen

tare

a n

umer

elor

real

e pe

axa

num

erel

or;

- sc

riere

a n

umer

elor

real

e în

div

erse

form

e;-

tran

sfor

mar

e a

num

erel

or ze

cim

ale

perio

dice

în fr

acții

or

dina

re și

inve

rs;

- ex

plic

itare

a e

xpre

siilo

r cu

mod

ul, u

tilizâ

nd d

efini

ția

mod

ulul

ui;

- de

term

inar

e a

căre

i mul

țimi d

e nu

mer

e, o

biec

te îi

ap

arțin

e nu

măr

ul, o

biec

tul d

at;

- ap

licar

e a

term

inol

ogie

i și s

imbo

luril

or a

fere

nte

noțiu

nii

de n

umăr

real

și m

ulțim

e, in

clus

iv în

com

unic

are;

- re

spec

tare

a o

rdin

ii ef

ectu

ării

oper

ațiil

or, a

sem

nific

ație

i pa

rant

ezel

or și

util

izare

a p

ropr

ietă

ților

ope

rații

lor î

n ef

ectu

area

cal

cule

lor î

n m

ulțim

ea R

;-

calc

ul c

u nu

mer

e și

apl

icar

e în

cal

cule

a a

lgor

itmilo

r și a

pr

oprie

tățil

or a

decv

ate;

- tr

ansf

er și

ext

rapo

lare

a so

luții

lor u

nor p

robl

eme

pent

ru

rezo

lvar

ea a

ltora

, util

izând

num

ere

real

e și

mul

țimi;

- co

mpl

etar

e și

com

pune

re a

uno

r suc

cesiu

ni d

e nu

mer

e co

nfor

m re

gulil

or id

entifi

cate

sau

date

;-

argu

men

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

;-

aplic

are

a m

ulțim

ilor n

umer

ice

stud

iate

și a

su

bmul

țimilo

r ace

stor

a în

div

erse

dom

enii;

- in

trod

ucer

e a

fact

orilo

r sub

radi

cal,

scoa

tere

a fa

ctor

ilor

de su

b ra

dica

l;

30

1.7.

Apl

icar

ea n

umer

elor

real

e și

a m

ulțim

ilor n

umer

ice

stud

iate

în d

iver

se si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate.

1.8.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu n

umer

e re

ale,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări

simpl

e.

• Ad

unar

ea, s

căde

rea,

înm

ulțir

ea,

împă

rțire

a, ri

dica

rea

la p

uter

e cu

ex

pone

nt n

atur

al. P

ropr

ietă

ți•

Prop

rietă

țile

radi

calil

or:

ab

aba

b=

≥≥

,,

;0

0ab

aba

b=

≥≥

,,

;0

0.

a ba b

ab

=≥

≥,

,;

00

a

a2=

;

a

aa

()=

≥2

0,

.

• In

trod

ucer

ea fa

ctor

ilor s

ub ra

dica

l, sc

oate

rea

fact

orilo

r de

sub

radi

cal

• Co

mpa

rare

a, o

rdon

area

și re

prez

enta

rea

pe a

xă a

num

erel

or re

ale

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:nu

măr

iraţ

iona

l, nu

măr

real

, num

ăr ze

cim

al

perio

dic,

rădă

cina

păt

rată

a u

nui n

umăr

ne

nega

tiv, r

adic

al, v

aloa

rea

rădă

cini

i pă

trat

e, ra

dica

li (te

rmen

i) as

emen

ea,

intr

oduc

erea

fact

orilo

r sub

radi

cal,

scoa

tere

a fa

ctor

ilor d

e su

b ra

dica

l.

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t mat

emati

c ob

ținut

sau

indi

cat c

u nu

mer

e re

ale,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări.

•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

num

ere

real

e şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a lu

crăr

ilor p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or re

ale

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

utiliz

area

num

erel

or re

ale

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a pr

oiec

telo

r de

grup

/indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

nu

mer

elor

real

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a nu

mer

elor

real

e.Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t cu

aplic

ații

prac

tice;

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

jocu

l did

actic

„Do

min

o”;

s

ofism

e re

zolv

ate

(cu

num

ere)

;

con

trae

xem

plul

pre

zent

at;

p

roie

ctul

: ,,M

etod

e al

tern

ative

de

calc

ular

e a

valo

rii

rădă

cini

i păt

rate

din

tr-u

n nu

măr

real

”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

31

2.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

în d

iver

se c

onte

xte

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

calc

ulul

ui a

lgeb

ric.

2.2.

Efe

ctua

rea

de a

dună

ri,

scăd

eri,

înm

ulțir

i, îm

părț

iri și

rid

icăr

i la

pute

re c

u ex

pone

nt

natu

ral a

le n

umer

elor

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

în

dive

rse

cont

exte

.2.

3. Id

entifi

care

a în

enu

nțur

i di

vers

e a

form

ulel

or

înm

ulțir

ii pr

escu

rtat

e și

utiliz

area

ace

stor

a pe

ntru

op

timiza

rea

calc

ulel

or.

2.4.

Cal

cula

rea

valo

rii n

umer

ice

a ex

pres

iei a

lgeb

rice,

util

izând

ca

lcul

ul a

lgeb

ric.

2.5.

Des

com

pune

rea

unei

ex

pres

ii al

gebr

ice

în p

rodu

s de

fact

ori,

utiliz

ând

form

ulel

e în

mul

țirii

pres

curt

ate

și m

etod

ele

stud

iate

.2.

6. A

naliz

a re

zolv

ării

unei

pr

oble

me,

situ

ații-

prob

lem

ă cu

cal

cul a

lgeb

ric în

con

text

ul

core

ctitu

dini

i rez

ulta

tulu

i/ re

zulta

telo

r.2.

7. Ju

stific

area

rezu

ltate

lor

obțin

ute

cu c

alcu

l alg

ebric

, su

sțin

ând

prop

riile

idei

și

viziu

ni, r

ecur

gând

la

argu

men

tări.

II. C

alcu

l alg

ebric

• N

umer

e re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re.

Expr

esii

alge

bric

e•

Ope

rații

cu

num

ere

real

e re

prez

enta

te

prin

lite

re (a

duna

rea,

scăd

erea

, în

mul

țirea

, îm

părț

irea,

ridi

care

a la

pu

tere

cu

expo

nent

nat

ural

)•

Form

ulel

e în

mul

țirii

pres

curt

ate:

abc

abac

±(

)=+

;

abcd

acad

bcbd

+(

)+

()=

++

+;

ab

aab

b±

()

=±

+2

22

2;

abab

ab

−(

)+

()=

−2

2.

• De

scom

pune

rea

unei

exp

resii

alg

ebric

e în

pro

dus d

e fa

ctor

i: sc

oate

rea

fact

orul

ui

com

un, a

plic

area

form

ulel

or d

e ca

lcul

pr

escu

rtat

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:nu

mer

e re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re,

coefi

cien

tul n

umer

ic, p

arte

a lit

eral

ă,

term

eni a

sem

enea

, exp

resie

alg

ebric

ă,

valo

area

exp

resie

i alg

ebric

e, fo

rmul

ele

înm

ulţir

ii pr

escu

rtat

e, p

ătra

tul s

umei

, pă

trat

ul d

ifere

nţei

, dife

renţ

a pă

trat

elor

, de

scom

pune

rea

în p

rodu

s de

fact

ori,

tran

sfor

măr

i ide

ntice

.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

și u

tiliza

re în

con

text

e di

vers

e a

term

inol

ogie

i af

eren

te n

oțiu

nii d

e nu

măr

real

repr

ezen

tate

prin

lite

re;

- ca

lcul

are

a va

lorii

num

eric

e a

expr

esie

i alg

ebric

e;

- ef

ectu

are

de a

dună

ri, sc

ăder

i, în

mul

țiri,

împă

rțiri

și

ridic

ări l

a pu

tere

cu

expo

nent

nat

ural

ale

num

erel

or re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re în

div

erse

con

text

e;-

iden

tifica

re în

enu

nțur

i div

erse

a fo

rmul

elor

cal

culu

lui

pres

curt

at;

- uti

lizar

e a

form

ulel

or c

alcu

lulu

i înm

ulțir

ii pr

escu

rtat

e pe

ntru

opti

miza

rea

uno

r cal

cule

;-

desc

ompu

nere

a u

nei e

xpre

sii a

lgeb

rice

în p

rodu

s de

fact

ori,

utiliz

ând

scoa

tere

a fa

ctor

ului

com

un, g

rupa

rea

și fo

rmul

ele

calc

ulul

ui p

resc

urta

t;-

sele

ctar

e și

siste

mati

zare

din

mul

țimea

de

info

rmaț

ii cu

lese

sau

indi

cate

a d

atel

or n

eces

are

pent

ru re

zolv

area

pr

oble

mei

de

calc

ul a

lgeb

ric în

div

erse

situ

ații;

- ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute,

ef

ectu

ând

calc

ule

cu n

umer

e re

ale

repr

ezen

tate

prin

lit

ere.

• C

erce

tare

a ca

zuril

or c

oncr

ete

din

dive

rse

dom

enii

refe

ritoa

re la

cal

culu

l alg

ebric

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

id

entifi

cate

.•

Rea

lizar

ea in

vesti

gaţii

lor p

rivin

d uti

lizar

ea ca

lcul

ului

alg

ebric

în

div

erse

dom

enii.

• A

plic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ca

lcul

ului

alg

ebric

.Pr

odus

e re

com

anda

te:

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

jo

cul d

idac

tic „C

ine

recu

noaș

te fo

rmul

a?”;

p

lanu

l de

idei

ela

bora

t;

alg

oritm

ul a

plic

at;

c

ontr

aexe

mpl

ul p

reze

ntat

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

32

3.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

noț

iuni

i de

func

ție

în d

iver

se c

onte

xte.

3.2.

Defi

nire

a un

ei fu

ncții

uti

lizân

d m

odul

sint

etic,

an

aliti

c, g

rafic

. 3.

3. Id

entifi

care

a și

form

ular

ea

exem

plel

or si

mpl

e de

co

resp

onde

nțe

care

sunt

fu

ncții

din

div

erse

dom

enii,

in

clus

iv d

in v

iața

coti

dian

ă.3.

4. R

epre

zent

area

în d

iver

se

mod

uri:

anal

itic,

tabe

lar,

grafi

c, p

rin d

iagr

ame

a un

ei

func

ții și

util

izare

a ac

esto

r re

prez

entă

ri în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

.3.

5. D

educ

erea

pro

prie

tățil

or

func

ției d

e gr

adul

I (z

erou

, se

mn,

mon

oton

ie) p

rin

lect

ura

grafi

că și

/sau

an

aliti

că.

3.6.

Util

izare

a pr

oprie

tățil

or

func

țiilo

r în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pr

oble

mă,

în st

udiu

l și

expl

icar

ea u

nor p

roce

se

fizic

e, c

him

ice,

bio

logi

ce,

soci

ale,

eco

nom

ice,

m

odel

ate

prin

func

ții.

III.

Func

ții•

Sist

emul

car

tezia

n de

coo

rdon

ate

în

plan

. Axe

. Orig

inea

sist

emul

ui, c

adra

ne,

absc

isă, o

rdon

ată

• Co

ordo

nate

le p

unct

ului

. Ide

ntific

area

în

sist

emul

car

tezia

n de

coo

rdon

ate

a pu

nctu

lui,

cuno

scân

d co

ordo

nate

le lu

i. Id

entifi

care

a co

ordo

nate

lor p

unct

ului

da

t în

siste

mul

car

tezia

n de

coo

rdon

ate.

Di

stan

ța d

intr

e do

uă p

unct

e di

n pl

an•

Noț

iune

a de

func

ție. D

omen

iul d

e de

finiți

e, c

odom

eniu

(în

baza

exe

mpl

elor

sim

ple)

. Fun

cții

cu d

omen

iul d

e de

finiți

e fin

it, in

finit

• M

odur

i de

defin

ire a

func

ției

• N

oțiu

nea

grafi

cul f

uncţ

iei

• Fu

ncția

de

grad

ul I.

Fun

cția

con

stan

tă.

Repr

ezen

tare

a gr

afică

. Pro

prie

tăți

(mon

oton

ie, s

emnu

l fun

cție

i, ze

rou,

pa

nta

drep

tei)

• Pr

opor

ționa

litat

e di

rect

ă. R

epre

zent

area

gr

afică

. Pro

prie

tăți

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:sis

tem

ul c

arte

zian

de c

oord

onat

e în

pla

n,

axe

de c

oord

onat

e, a

xa a

bsci

selo

r, ax

a or

dona

telo

r, or

igin

ea si

stem

ului

car

tezia

n de

coo

rdon

ate,

cad

rane

, abs

cisă

, ord

onat

ă,

coor

dona

tele

pun

ctul

ui, d

epen

denţ

e fu

ncţio

nale

, fun

cţie

, mod

sint

etic

de d

efini

re

al fu

ncţie

i, m

od a

naliti

c de

defi

nire

al

func

ţiei,

argu

men

tul f

uncţ

iei,

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- re

prez

enta

re a

pun

ctel

or în

sist

emul

car

tezia

n de

coo

rdon

ate,

fiin

d da

te c

oord

onat

ele

lui,

și de

de

term

inar

e a

coor

dona

telo

r unu

i pun

ct re

prez

enta

t;-

cons

trui

re a

uno

r exe

mpl

e de

cor

espo

nden

țe c

are

sunt

fu

ncții

;-

aplic

are

în c

onte

xte

dive

rse,

incl

usiv

în c

omun

icar

e, a

te

rmin

olog

iei ș

i a n

otaț

iilor

afe

rent

e no

țiuni

i de

func

ție;

- sc

riere

, citi

re, e

xem

plifi

care

a n

oțiu

nilo

r: co

resp

onde

nțe

care

sunt

func

ții, f

uncț

ie, l

ege

de c

ores

pond

ență

, do

men

iu d

e de

finiți

e (fi

nit,

infin

it), c

odom

eniu

, mul

țime

de v

alor

i, ta

bel d

e va

lori,

dia

gram

ă, g

rafic

;-

repr

ezen

tare

în m

odur

ile a

naliti

c, si

nteti

c, g

rafic

a u

nor

core

spon

denț

e și/

sau

func

ții;

- uti

lizar

e a

prop

rietă

ților

func

țiilo

r stu

diat

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pro

blem

ă, în

stud

iere

a un

or

proc

ese

fizic

e, c

him

ice,

bio

logi

ce, e

cono

mic

e, so

cial

e m

odel

ate

prin

func

ții;

- ap

licar

e a

prop

orțio

nalit

ății

dire

cte

în d

iver

se d

omen

ii,

incl

usiv

în v

iața

coti

dian

ă;-

asoc

iere

a u

nei p

robl

eme/

situa

ții-p

robl

emă

cu u

n m

odel

m

atem

atic

de ti

p fu

ncție

;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

func

ții, r

ecur

gând

la a

rgum

entă

ri.•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

func

ţiile

stud

iate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea fu

ncţii

lor s

tudi

ate

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

aplic

area

func

ţiilo

r stu

diat

e în

div

erse

dom

enii.

33

3.7.

Apl

icar

ea p

ropo

rțio

nalit

ății

dire

cte

în d

iver

se d

omen

ii,

incl

usiv

în v

iața

coti

dian

ă.3.

8. Ju

stific

area

unu

i dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

func

ții, r

ecur

gând

la

argu

men

tări.

valo

are

inde

pend

entă

, val

oare

dep

ende

ntă,

do

men

iu d

e de

finiţi

e, ta

bel d

e va

lori,

co

dom

eniu

, leg

ea d

e co

resp

onde

nţă,

m

ulţim

ea d

e va

lori,

repr

ezen

tare

gra

fică,

fu

ncţie

num

eric

ă, fu

ncţie

de

grad

ul I,

fu

ncţie

con

stan

tă, p

ropo

rţio

nalit

ate

dire

ctă,

gr

aficu

l fun

cţie

i, m

onot

onie

, fun

cţie

stric

t cr

escă

toar

e, fu

ncţie

stric

t des

cres

căto

are,

se

mnu

l fun

cţie

i, ze

roul

func

ţiei,

pant

a dr

epte

i.

• Re

aliza

rea

proi

ecte

lor d

e gr

up/in

divi

dual

e, in

clus

iv p

roie

cte

STEM

/STE

AM, p

rivin

d ap

licar

ea fu

ncţii

lor s

tudi

ate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văța

rea

– ev

alua

rea

func

ţiilo

r stu

diat

e.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat c

u ap

licaț

ii pr

actic

e;

inve

stiga

ția „T

impu

l util

izat p

entr

u re

aliza

rea

tem

ei d

e ac

asă

în d

ecur

s de

o să

ptăm

ână”

;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

pro

iect

ul re

aliza

t „Fu

ncții

în fi

zică”

;

pro

iect

ul re

aliza

t „Pr

opor

ționa

litat

ea d

irect

ă în

via

ța

cotid

iană

”

alg

oritm

ul a

plic

at;

m

odel

ul d

e fu

ncție

ela

bora

t;

gra

ficul

tras

at a

l fun

cție

i;

dia

gram

a el

abor

ată;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

p

roie

ctul

STE

M ,,

Varia

ția c

arac

teris

ticilo

r met

eo p

entr

u o

perio

adă

de 3

luni

în lo

calit

atea

de

baști

nă”:

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.4.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

te

rmin

olog

iei a

fere

nte

noțiu

nilo

r de

ecua

ție și

in

ecua

ție în

div

erse

con

text

e.4.

2. U

tiliza

rea

prop

rietă

ților

re

lații

lor d

e eg

alita

te, d

e in

egal

itate

la e

fect

uare

a

tran

sfor

măr

ilor e

chiv

alen

te.

IV. E

cuaț

ii. In

ecua

ții

• N

oțiu

nea

de e

cuaț

ie c

u o

necu

nosc

ută.

So

luția

ecu

ație

i. M

ulțim

ea so

luții

lor

ecua

ției

• Ec

uații

ech

ival

ente

. Tra

nsfo

rmăr

i ec

hiva

lent

e

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- re

zolv

are

a ec

uații

lor ș

i a in

ecua

țiilo

r de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă și

a ce

lor r

educ

tibile

la a

cest

ea;

- ef

ectu

are

a tr

ansf

orm

ărilo

r ech

ival

ente

pen

tru

a ob

ține

ecua

ții, i

necu

ații

echi

vale

nte

cu c

ele

date

;-

tran

spun

ere

a un

ei p

robl

eme,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în

limba

jul e

cuaț

iilor

, al i

necu

ațiil

or, r

ezol

vare

a p

robl

emei

ob

ținut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i;

34

4.3.

Rez

olva

rea

ecua

țiilo

r de

grad

ul I,

a in

ecua

țiilo

r de

gr

adul

I și

a ce

lor r

educ

tibile

la

ace

stea

, util

izând

tran

s-fo

rmăr

ile e

chiv

alen

te.

4.4.

Ana

lizar

ea re

zolv

ării

unei

ec

uații

, a u

nei i

necu

ații

în

cont

extu

l cor

ectit

udin

ii, a

l sim

plită

ții, a

l cla

rităț

ii și

al

sem

nific

ație

i rez

ulta

telo

r.4.

5. E

fect

uare

a de

reun

iuni

și

inte

rsec

ții c

u in

terv

ale

num

eric

e și

repr

ezen

tare

a pe

axa

num

erel

or a

re

zulta

telo

r obț

inut

e.4.

6. T

rans

pune

rea

unei

pr

oble

me,

a u

nei s

ituaț

ii pr

oble

mă

în li

mba

jul

ecua

țiilo

r și/s

au a

l in

ecua

țiilo

r de

grad

ul I

cu

o ne

cuno

scut

ă, re

zolv

area

pr

oble

mei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i.4.

7. C

rear

ea şi

rezo

lvar

ea u

nor

prob

lem

e în

baz

a un

ui m

odel

da

t: ec

uație

, ine

cuaț

ie.

4.8.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

și/s

au

indi

cat c

u in

egal

ități,

ec

uații

, ine

cuaț

ii, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri, e

xem

ple,

co

ntra

exem

ple.

• Ec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

(a

x +

b =

0, a

, b

R, a

≠ 0

) și r

educ

tibile

la

ace

stea

. Mul

țimea

solu

țiilo

r ecu

ație

i de

gra

dul I

, exi

sten

ța, u

nici

tate

a so

luție

i•

Rezo

lvar

ea u

nor p

robl

eme,

incl

usiv

cu

conț

inut

pra

ctic,

cu

ajut

orul

ecu

ațiil

or•

Ineg

alită

ți nu

mer

ice.

Pro

prie

tăți

• In

terv

ale

de n

umer

e re

ale.

Re

prez

enta

rea

lor p

e ax

ă. O

pera

ții c

u in

terv

ale

(reu

niun

ea, i

nter

secț

ia)

• N

oțiu

nea

de in

ecua

ție c

u o

necu

nosc

ută.

In

ecua

ții e

chiv

alen

te•

Inec

uații

de

grad

ul I

de ti

pul:

ax +

b <

0;

ax +

b ≤

0; a

x +

b >

0; a

x +

b ≥

0, a

≠ 0

, a,

b

R și

redu

ctibi

le la

ace

stea

. M

ulțim

ea so

luții

lor i

necu

ație

i de

grad

ul I

și re

prez

enta

rea

ei p

e ax

ă

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ec

uaţie

de

grad

ul I

cu n

ecun

oscu

tă,

mul

ţimea

solu

ţiilo

r ecu

aţie

i, ec

uaţii

ec

hiva

lent

e, tr

ansf

orm

ări e

chiv

alen

te,

inte

rval

de

num

ere

real

e, in

terv

al în

chis,

de

schi

s, in

terv

al se

miîn

chis,

inec

uaţie

cu

o ne

cuno

scut

ă, in

ecua

ţii e

chiv

alen

te, s

oluţ

ie

a in

ecua

ţiei,

mul

ţimea

solu

ţiilo

r ine

cuaţ

iei,

dom

eniu

l val

orilo

r adm

isibi

le (D

VA) a

l ec

uaţie

i.

- ap

licar

e a

prop

rietă

ților

func

țiilo

r în

rezo

lvar

ea u

nor

ecua

ții, i

necu

ații;

- cr

eare

și re

zolv

are

a un

or p

robl

eme

simpl

e în

baz

a un

ui

mod

el d

at: e

cuaț

ie, i

necu

ație

;-

efec

tuar

e de

reun

iuni

și in

ters

ecții

cu

inte

rval

e nu

mer

ice,

fo

losin

d re

prez

entă

rile

pe a

xa n

umer

elor

;-

tran

spun

ere

a pr

oble

mel

or c

u te

xt în

lim

baj m

atem

atic

în

cont

extu

l rez

olvă

rii e

cuaț

iilor

, ine

cuaț

iilor

de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă sa

u re

ducti

bile

la a

cest

ea;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat c

u in

egal

ități,

ecu

ații,

inec

uații

, rec

urgâ

nd la

arg

umen

tări,

ex

empl

e, c

ontr

aexe

mpl

e.•

Cerc

etar

ea c

azur

ilor c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

ecu

aţiil

e, in

ecua

ţiile

stud

iate

şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a in

vesti

gaţii

lor p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

, in

ecua

ţiilo

r stu

diat

e în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

, ine

cuaţ

iilor

stud

iate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

țare

a –

eval

uare

a ec

uaţii

lor,

inec

uaţii

lor s

tudi

ate.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t cu

aplic

ații

prac

tice;

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

pla

nul d

e id

ei e

labo

rat;

p

roie

ctul

real

izat „

Aplic

area

ecu

ațiil

or d

e gr

adul

I cu

o

necu

nosc

ută

în d

iver

se d

omen

ii”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

35

5.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

figu

rilor

geo

-m

etric

e st

udia

te în

div

erse

co

ntex

te.

5.2.

Cla

sific

area

figu

rilor

ge

omet

rice

stud

iate

în b

aza

a

div

erse

crit

erii.

5.3.

Rep

reze

ntar

ea în

pla

n a

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le

de d

esen

și a

plic

area

re

prez

entă

rilor

resp

ectiv

e în

re

zolv

area

pro

blem

elor

. 5.

4. A

plic

area

pro

prie

tățil

or

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te

în d

iver

se d

omen

ii.5.

5. T

rans

pune

rea

unei

pro

ble-

me,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în li

mba

jul g

eom

etric

, rez

ol-

vare

a pr

oble

mei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i.5.

6. A

lege

rea

repr

ezen

tăril

or

geom

etric

e ad

ecva

te în

ve

dere

a op

timiză

rii ca

lcul

elor

cu

măs

uri d

e un

ghiu

ri.5.

7. S

elec

tare

a și

sist

emati

zare

a di

n m

ulțim

ea d

e in

form

ații

cule

se sa

u in

dica

te a

da

telo

r nec

esar

e pe

ntru

re

zolv

area

pro

blem

ei d

e ge

omet

rie în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e, re

zolv

area

pr

oble

mei

obț

inut

e/da

te.

V. N

oțiu

ni g

eom

etric

e.

Reca

pitu

lare

şi c

ompl

etăr

i

• El

emen

te d

e lo

gică

mat

emati

că.

Noț

iune

a de

pro

poziț

ie. P

ropo

ziții

gene

rale

și p

artic

ular

e (p

e ex

empl

e sim

ple)

. Neg

area

une

i pro

poziț

ii (p

e ex

empl

e sim

ple)

. Val

oare

a de

ade

văr

(ade

văr/

fals)

a u

nei p

ropo

ziții.

Exe

mpl

e sim

ple

de u

tiliza

re a

ope

rato

rilor

logi

ci

„și”,

„sa

u”, „

nu”,

„dac

ă –

atun

ci”,

a te

rmen

ilor „

cel m

ult”

, „ce

l puț

in”,

„uni

i”,

„toț

i”, „

oric

are

ar fi

”, „e

xist

㔕

Noț

iuni

geo

met

rice

fund

amen

tale

(p

unct

, dre

aptă

, pla

n, d

istan

ța d

intr

e do

uă p

unct

e, m

ăsur

a un

ghiu

lui)

• Dr

eapt

ă. P

unct

e co

linia

re. S

emid

reap

tă.

Segm

ent

• U

nghi

. Defi

niție

, not

ații,

ele

men

te.

Clas

ifica

rea

ungh

iuril

or: u

nghi

uri

ascu

țite,

dre

pte,

obt

uze,

ung

hiur

i opu

se

la v

ârf,

ungh

iuri

adia

cent

e, u

nghi

uri

com

plem

enta

re, u

nghi

uri s

uple

men

tare

. M

ăsur

a un

ghiu

lui.

Calc

ule

cu m

ăsur

i de

ungh

iuri

(gra

de, m

inut

e, se

cund

e)

• Pr

opoz

iții m

atem

atice

. Noț

iuni

le d

e de

finiți

e, a

xiom

ă, te

orem

ă, ip

otez

ă,

conc

luzie

, dem

onst

rație

, con

seci

nță

• Te

orem

a re

cipr

ocă.

Exe

mpl

u,

cont

raex

empl

u•

Met

oda

redu

cerii

la a

bsur

d•

Drep

te p

aral

ele.

Crit

erii

de p

aral

elism

• Dr

epte

per

pend

icul

are.

Dist

anța

de

la u

n pu

nct l

a o

drea

ptă

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- ex

ersa

re c

u el

emen

tele

de

logi

că m

atem

atică

stud

iate

;-

iden

tifica

re și

apl

icar

e a

term

inol

ogie

i afe

rent

e el

emen

telo

r de

logi

că m

atem

atică

stud

iate

; -

clas

ifica

re și

com

para

re a

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

;-

repr

ezen

tare

în p

lan

a fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

, uti

lizân

d in

stru

men

tele

de

dese

n, c

alcu

lato

rul ș

i apl

icar

e a

repr

ezen

tăril

or re

spec

tive

în re

zolv

area

pro

blem

elor

;-

aplic

are

a pr

oprie

tățil

or fi

guril

or g

eom

etric

e st

udia

te în

di

vers

e do

men

ii;-

crea

re și

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

în b

aza

unui

m

odel

geo

met

ric in

dica

t;-

anal

iză și

inte

rpre

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e pr

in

rezo

lvar

ea u

nor p

robl

eme

prac

tice

cu re

ferir

e la

figu

rile

geom

etric

e st

udia

te și

la u

nită

țile

de m

ăsur

ă re

leva

nte;

- co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv,

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

de

dem

onst

rație

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or, a

l dem

onst

rații

lor.

• Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la fi

guril

e ge

omet

rice

stud

iate

şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a lu

crăr

ilor p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

inve

stiga

ţiilo

r priv

ind

utiliz

area

figu

rilor

ge

omet

rice

stud

iate

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a pr

oiec

telo

r de

grup

/indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te.

36

5.8.

Apl

icar

ea tr

ansf

orm

ărilo

r ge

omet

rice

stud

iate

(s

imet

ria fa

ță d

e un

pun

ct,

simet

ria fa

ță d

e o

drea

ptă)

pe

ntru

a id

entifi

ca și

a

expl

ica

feno

men

e, p

roce

se.

5.9.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

și/s

au

indi

cat c

u fig

uri g

eom

etric

e,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

ex

empl

e, c

ontr

aexe

mpl

e.

• Si

met

ria fa

ță d

e un

pun

ct, s

imet

ria fa

ță

de o

dre

aptă

. Pro

prie

tăți

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pr

opoz

iţie,

pro

poziţ

ie p

artic

ular

ă, p

ropo

ziţie

ge

nera

lă, n

egar

ea u

nei p

ropo

ziţii,

ope

rato

ri lo

gici

„și

”, „s

au”,

„nu”

, „da

că –

atu

nci”

, te

rmen

ii „o

ricar

e ar

fi”,

„exi

stă”

, de

finiţi

e,

axio

mă,

teor

emă,

crit

eriu

, ipo

teză

, co

nclu

zie, d

emon

stra

ţie, c

onse

cinţ

ă,

teor

ema

reci

proc

ă, u

nghi

uri i

nter

ne a

ltern

e,

ungh

iuri

inte

rne

de a

ceea

şi pa

rte

a se

cant

ei,

ungh

iuri

exte

rne

alte

rne,

ung

hiur

i ext

erne

de

ace

eaşi

part

e a

seca

ntei

, ung

hiur

i co

resp

onde

nte,

axi

oma

lui E

uclid

, sim

etria

fa

ţă d

e un

pun

ct, c

entr

ul d

e sim

etrie

, sim

etria

faţă

de

o dr

eapt

ă, a

xă d

e sim

etrie

.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

emă

rezo

lvat

ă;

pla

nul d

e id

ei;

d

esen

ul;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

lucr

area

pra

ctică

pe

tere

n ,,C

alcu

lare

a m

ăsur

ilor

ungh

iuril

or”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

pro

iect

ul „

Sim

etria

în a

rte”

;

pro

iect

ul „

Sim

etria

în n

atur

ă”;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

6.1.

Rec

unoa

şter

ea tr

iung

hiur

ilor

cong

ruen

te și

a c

azur

ilor d

e co

ngru

ență

a tr

iung

hiur

ilor

în c

onte

xte

dive

rse.

6.2.

Rep

reze

ntar

ea p

rin

dese

n a

figur

ilor s

tudi

ate

și co

nfec

ționa

rea

din

dife

rite

mat

eria

le a

figu

rilor

ge

omet

rice

și a

rela

țiilo

r st

udia

te.

6.3.

Tra

nspu

nere

a în

lim

baj

spec

ific

geom

etrie

i a u

nor

prob

lem

e, a

uno

r situ

ații-

prob

lem

ă și

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

obț

inut

e.

VI. T

riung

hiur

i con

grue

nte

• Tr

iung

hi. D

efini

ție, e

lem

ente

, cla

sifica

rea

triu

nghi

urilo

r•

Rela

ția d

e co

ngru

ență

. Seg

men

te

cong

ruen

te. U

nghi

uri c

ongr

uent

e•

Triu

nghi

uri c

ongr

uent

e. C

azur

ile d

e co

ngru

ență

a tr

iung

hiur

ilor

• Co

nstr

ucția

(util

izând

rigl

a și

com

pasu

l) a

triu

nghi

urilo

r dup

ă ca

zuril

e LU

L, U

LU, L

LL•

Ineg

alită

ți în

triu

nghi

• Cr

iterii

le d

e co

ngru

ență

pen

tru

triu

nghi

urile

dre

ptun

ghic

e (c

u de

mon

stra

ție)

• M

etod

a tr

iung

hiur

ilor c

ongr

uent

e

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

a se

gmen

telo

r, a

ungh

iuril

or, a

triu

nghi

urilo

r co

ngru

ente

în c

onfig

uraț

ii ge

omet

rice

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

stab

ilire

a re

lație

i de

cong

ruen

ță d

intr

e do

uă tr

iung

hiur

i, uti

lizân

d cr

iterii

le d

e co

ngru

ență

;-

aplic

are

a cr

iterii

lor d

e co

ngru

ență

a tr

iung

hiur

ilor,

a m

etod

ei tr

iung

hiur

ilor c

ongr

uent

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

div

erse

;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t în

con

text

ul c

ongr

uenț

ei tr

iung

hiur

ilor,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții, e

xem

ple,

con

trae

xem

ple;

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or si

mpl

e de

dem

onst

rație

, de

cons

trui

re a

uno

r sec

venț

e sim

ple

de ra

ționa

men

t de

ducti

v;

37

6.4.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

rezo

lvar

e a

prob

lem

ei

refe

ritoa

re la

util

izare

a m

etod

ei tr

iung

hiur

ilor

cong

ruen

te, a

pro

prie

tățil

or

triu

nghi

urilo

r în

cont

exte

va

riate

și re

zolv

area

pr

oble

mei

în c

onfo

rmita

te c

u pl

anul

.6.

5. A

plic

area

caz

urilo

r de

cong

ruen

ță a

triu

nghi

urilo

r în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

6.6.

Ana

liza

și in

terp

reta

rea

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la fi

guril

e ge

omet

rice

și la

uni

tățil

e de

m

ăsur

ă st

udia

te.

6.7.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu tr

iung

hiur

i, re

curg

ând

la

argu

men

tări,

dem

onst

rații

. 6.

8. C

onst

ruire

a un

or se

cven

țe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv.

6.9.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

pr

opoz

iții,

incl

usiv

cu

ajut

orul

exe

mpl

elor

, al

cont

raex

empl

elor

.

• Bi

sect

oare

a un

ui u

nghi

. Pro

prie

tate

a bi

sect

oare

i (cu

dem

onst

rație

). Co

nstr

ucția

bise

ctoa

rei u

nui u

nghi

cu

ajut

orul

rigl

ei și

a c

ompa

sulu

i•

Med

iato

area

unu

i seg

men

t. Pr

oprie

tate

a m

edia

toar

ei (c

u de

mon

stra

ție).

Cons

truc

ția m

edia

toar

ei u

nui s

egm

ent c

u aj

utor

ul ri

glei

și a

com

pasu

lui

• Li

nii i

mpo

rtan

te în

triu

nghi

. Med

iana

în

triu

nghi

. Bise

ctoa

rea

triu

nghi

ului

. În

ălțim

ea tr

iung

hiul

ui. M

edia

toar

ea

triu

nghi

ului

. Pro

prie

tăți

• Su

ma

măs

urilo

r ung

hiur

ilor u

nui

triu

nghi

. Teo

rem

a un

ghiu

lui e

xter

ior

(cu

dem

onst

rație

)•

Prop

rietă

țile

triu

nghi

ului

isos

cel

(cu

dem

onst

rație

)•

Prop

rietă

țile

triu

nghi

ului

ech

ilate

ral

(cu

dem

onst

rație

)•

Lini

a m

ijloc

ie în

triu

nghi

. Pro

prie

tăți

(c

u de

mon

stra

ție)

• Tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

. Pro

prie

tățil

e tr

iung

hiul

ui d

rept

ungh

ic: l

ungi

mea

m

edia

nei c

ores

punz

ătoa

re ip

oten

uzei

, pr

oprie

tate

a tr

iung

hiul

ui d

rept

ungh

ic c

u un

ung

hi d

e 30

o (cu

dem

onst

rație

)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:re

laţia

de

cong

ruen

ţă, t

riung

hiur

i con

gru-

ente

, caz

uri d

e co

ngru

enţă

LUL,

ULU

, LLL

a

triu

nghi

urilo

r, tr

iung

hi d

rept

ungh

ic, c

atet

ă,

ipot

enuz

ă, u

nghi

ext

erio

r, lin

ii im

port

ante

în

triu

nghi

, med

iana

triu

nghi

ului

, bise

ctoa

-re

a tr

iung

hiul

ui, m

edia

toar

ea tr

iung

hiul

ui,

înăl

ţimea

triu

nghi

ului

, lin

ia m

ijloc

ie în

tri-

ungh

i.

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

une

i pr

opoz

iții;

- cr

eare

și re

zolv

are

a un

or p

robl

eme

simpl

e, în

baz

a un

ui

mod

el g

eom

etric

indi

cat.

• Ce

rcet

area

caz

urilo

r con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la tr

iung

hiur

i şi c

ongr

uenţ

a ac

esto

ra şi

so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

lucr

ărilo

r pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea tr

iung

hiur

ilor c

ongr

uent

e în

pra

ctică

.•

Real

izare

a in

vesti

gaţii

lor p

rivin

d uti

lizar

ea tr

iung

hiur

ilor ş

i a

triu

nghi

urilo

r con

grue

nte

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

triu

nghi

urilo

r în

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

triu

nghi

urilo

r.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

pla

nul d

e id

ei e

labo

rat;

d

esen

ul;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

dem

onst

rația

;

lucr

area

pra

ctică

pe

tere

n „C

alcu

lare

a di

stan

țelo

r pân

ă la

un

punc

t ina

cces

ibil,

a în

ălțim

ii un

ui o

biec

t”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

38

Anex

ăpr

ivin

d no

tații

le şi

sim

bolu

rile

figur

ilor g

eom

etric

e

Punc

t – A

,B,C

, ...;

Drea

ptă

– a,

b,c,

... sa

u AB

, CD

, ...;

Plan

– �

��

,,

,...

sau

(ABC

), sa

u (A

,a),

sau

(AB,

C);

Se

mip

lan

– [a

,C,

(a,C

;Se

mid

reap

tă –

[AB,

(AB;

Se

gmen

t – [A

B], (

AB),

[AB)

, (AB

];Lu

ngim

ea se

gmen

tulu

i – A

B;

Ung

hi –

< A

BC;

Măs

ura

ungh

iulu

i – m

(< A

BC);

Triu

nghi

–

ABC

;

Ce

rc –

C(O

;r) s

au C

(A;A

B);

Arc

de c

erc

– »

AB sa

u »

ALB;

Lung

imea

arc

ului

de

cerc

– l »

AB;

Măs

ura

arcu

lui d

e ce

rc –

m(»

AB);

Disc

– D

(O; r

);Pe

rimet

ru –

PAB

C; P

ABC

D;

Sem

iper

imet

ru –

p;

Aria

– A

ABC; A

ABC

D; A

l; A b

; At;

Volu

mul

– V

;În

ălțim

ea –

ha , hAB [

]; h

– pe

ntru

figu

ri ge

omet

rice

M

edia

na –

ma s

au m

AB [];

plan

e, H

– p

entr

u co

rpur

i geo

met

rice;

Bise

ctoa

rea

– b a

sau bAB [

];

M

edia

toar

ea –

µa

sau µAB [

].

39

LA F

INEL

E CL

ASEI

A V

II-a,

ELE

VUL

POAT

E:•

iden

tifica

, scr

ie, c

iti,

repr

ezen

ta p

e ax

ă, co

mpa

ra și

ord

ona

num

ere

natu

rale

, înt

regi

, raț

iona

le, i

rațio

nale

, rea

le în

div

erse

situ

ații;

• ef

ectu

a op

eraț

ii cu

num

ere

real

e (a

duna

re, s

căde

re, î

nmul

țire,

împă

rțire

, rid

icar

e la

put

ere

cu e

xpon

ent n

atur

al, e

xtra

ge ră

dăci

na

pătr

ată)

în d

iver

se si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate;

• ap

lica

prop

rietă

țile

stud

iate

ale

mod

ulul

ui u

nui n

umăr

real

în d

iferit

e co

ntex

te p

entr

u a

efec

tua

oper

ațiil

e so

licita

te;

• ap

lica

prop

rietă

țile

stud

iate

ale

rădă

cini

i păt

rate

în d

iferit

e co

ntex

te;

• uti

liza

form

ulel

e de

cal

cul p

resc

urta

t pen

tru

optim

izare

a tr

ansf

orm

ărilo

r alg

ebric

e;•

recu

noaș

te în

div

erse

con

text

e fu

ncția

și e

lem

ente

le e

i;•

repr

ezen

ta g

rafic

, ana

litic

func

ția d

e gr

adul

I;•

form

ula

exem

ple

de fu

ncții

de

grad

ul I

din

dive

rse

dom

enii,

incl

usiv

din

via

ța c

otidi

ană;

• re

zolv

a pr

oble

me

simpl

e di

n vi

ața

cotid

iană

, util

izând

ecu

ații/

inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

;•

iden

tifica

și a

plic

a el

emen

tele

de

logi

că m

atem

atică

stud

iate

în d

iver

se c

onte

xte;

• id

entifi

ca în

div

erse

con

figur

ații

noțiu

nile

geo

met

rice

fund

amen

tale

;•

sele

cta

pere

chile

de

triu

nghi

uri c

ongr

uent

e în

div

erse

situ

ații;

• uti

liza

met

oda

triu

nghi

urilo

r con

grue

nte

în re

zolv

area

pro

blem

elor

;•

utiliz

a pr

oprie

tățil

e st

udia

te a

le tr

iung

hiur

ilor,

incl

usiv

ale

triu

nghi

ului

dre

ptun

ghic

, în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or d

in d

iver

se d

omen

ii;•

repr

ezen

ta p

e de

sen,

util

izând

inst

rum

ente

le d

e de

sen

și in

stru

men

tele

TIC

, figu

rile

geom

etric

e st

udia

te;

• de

term

ina

perim

etru

l triu

nghi

ului

, lun

gim

ea li

niei

mijl

ocii,

util

izând

pro

prie

tățil

e/fo

rmul

ele

învă

țate

;•

utiliz

a in

stru

men

te g

eom

etric

e la

con

stru

irea

drep

telo

r par

alel

e, a

cel

or p

erpe

ndic

ular

e, a

ung

hiur

ilor,

a bi

sect

oare

i unu

i ung

hi,

a m

edia

toar

ei u

nui s

egm

ent;

• re

cuno

aște

în m

ediu

l înc

onju

răto

r figu

ri sim

etric

e fa

ță d

e un

pun

ct, f

ață

de o

dre

aptă

;•

iden

tifica

și a

plic

a în

div

erse

situ

ații

tran

slația

și p

ropr

ietă

țile

aces

teia

;•

iden

tifica

și u

tiliza

term

enii

spec

ifici

și n

otaț

iile

afer

ente

con

cept

elor

de

num

ăr n

atur

al, î

ntre

g, ra

ționa

l, ira

ționa

l, re

al, s

peci

fici

ecua

ției,

inec

uație

i, ca

lcul

ului

alg

ebric

, fu

ncție

i și e

lem

ente

lor

de g

eom

etrie

stu

diat

e și

simbo

luril

or m

atem

atice

afe

rent

e în

co

ntex

te d

iver

se;

• in

vesti

ga v

aloa

rea

de a

devă

r (Ad

evăr

/Fal

s) a

une

i afir

maț

ii, a

une

i pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l con

trae

xem

plel

or;

• ju

stific

a un

rezu

ltat,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

dem

onst

rații

, sus

ținân

d pr

oprii

le o

pini

i și i

dei.

40

Clas

a a

VIII-

a

Uni

tăți

de c

ompe

tenț

ăU

nită

ți de

con

ținut

Ac

tivită

ți şi

pro

duse

de

învă

țare

reco

man

date

1.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i afe

rent

e

num

ărul

ui re

al în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.1.

2. R

ecun

oaşt

erea

în d

iver

se

enun

țuri

și ex

empl

ifica

rea

în

dive

rse

cont

exte

a n

umer

elor

re

ale,

a p

uter

ilor,

a ra

dica

lilor

și

a pr

oprie

tățil

or a

cest

ora.

1.3.

Ord

onar

ea, c

ompa

rare

a și

repr

ezen

tare

a nu

mer

elor

re

ale

pe a

xă.

1.4.

Apl

icar

ea m

odul

ului

nu

măr

ului

real

și a

pr

oprie

tățil

or a

cest

uia

în

dive

rse

situa

ții.

1.5.

Ale

gere

a fo

rmei

de

repr

ezen

tare

a u

nui n

umăr

re

al și

util

izare

a al

gorit

milo

r pe

ntru

opti

miza

rea

calc

ulul

ui

cu n

umer

e re

ale.

1.6.

Ope

rare

a cu

num

ere

real

e pe

ntru

efe

ctua

rea

calc

ulel

or c

u nu

mer

e re

ale

în d

iver

se c

onte

xte,

util

izând

pr

oprie

tățil

e op

eraț

iilor

st

udia

te și

ale

sem

nific

ațiil

or

para

ntez

elor

.

I. N

umer

e re

ale.

Rec

apitu

lare

şi c

ompl

etăr

i

• M

ulțim

ea n

umer

elor

real

e. M

odul

ul

num

ărul

ui re

al. P

ropr

ietă

ți:

a aa

aa

abab

a ba b

b

≥ ≥ = = =≠

0

0

22

; ;

;

;

,.

• O

pera

ții c

u nu

mer

e re

ale

• Pu

teri

cu e

xpon

ent n

atur

al. P

ropr

ietă

ți (c

u de

mon

stra

ție)

• Pu

teri

cu e

xpon

ent î

ntre

g. P

ropr

ietă

ți•

Rădă

cină

păt

rată

. Ext

rage

rea

rădă

cini

i pă

trat

e. E

stim

area

prin

rotu

njire

a

valo

rii ră

dăci

nii p

ătra

te•

Prop

rietă

ți al

e ră

dăci

nii p

ătra

te•

Intr

oduc

erea

fact

orul

ui su

b ra

dica

l. Sc

oate

rea

fact

orilo

r de

sub

radi

cal

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pu

tere

cu

expo

nent

într

eg, r

egul

ile d

e ca

lcul

cu

put

eri c

u ex

pone

nt în

treg

.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

în d

iver

se c

onte

xte

a nu

mer

elor

nat

ural

e,

într

egi,

rațio

nale

, ira

ționa

le, r

eale

, a p

uter

ilor,

a ra

dica

lilor

și a

pro

prie

tățil

or a

cest

ora;

- ap

licar

e a

term

inol

ogie

i afe

rent

e nu

măr

ului

real

în

situa

ții re

ale

și/sa

u m

odel

ate,

incl

usiv

în c

omun

icar

e;-

ordo

nare

, com

para

re și

repr

ezen

tare

a n

umer

elor

real

e pe

axă

;-

scrie

re a

num

erel

or re

ale

în d

iver

se fo

rme;

- de

term

inar

e a

mul

țimii

de n

umer

e, d

e ob

iect

e că

reia

îi

apar

ține

num

ărul

, obi

ectu

l dat

;-

calc

ul c

u nu

mer

e re

ale

și ap

licar

e în

cal

cule

a a

lgor

itmilo

r și

a pr

oprie

tățil

or st

udia

te;

- ef

ectu

are

de ro

tunj

iri și

esti

măr

i în

calc

ule

cu n

umer

e re

ale,

cu

măr

imi;

- ev

iden

țiere

a a

vant

ajel

or fo

losir

ii pr

oprie

tățil

or

oper

ațiil

or c

u nu

mer

e re

ale;

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or și

a si

tuaț

iilor

-pro

blem

ă,

utiliz

ând

num

ere

real

e și

oper

ații

cu n

umer

e re

ale;

- ju

stific

are

și ar

gum

enta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

și a

tehn

olog

iilor

de

calc

ul u

tiliza

te;

- fo

rmar

e a

obișn

uinț

ei d

e a

verifi

ca d

acă

o pr

oble

mă

este

sa

u nu

det

erm

inat

ă, in

vesti

gând

val

oare

a de

ade

văr a

re

zulta

tulu

i obț

inut

;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat m

atem

atic

obțin

ut

sau

indi

cat c

u nu

mer

e re

ale,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

de

mon

stra

ții.

41

1.7.

Cla

sific

area

în fu

ncție

de

div

erse

crit

erii

a el

emen

telo

r mul

țimilo

r nu

mer

ice

N, Z

, Q, R

.1.

8. In

vesti

gare

a va

lorii

de

adev

ăr a

une

i afir

maț

ii,

a un

ei p

ropo

ziții

cu

num

ere

real

e, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or.

1.9.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu n

umer

e re

ale,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

dem

onst

rații

.

• Ce

rcet

area

stud

iilor

de

caz r

efer

itoar

e la

num

ere

real

e şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

priv

ind

aplic

area

num

erel

or

real

e în

pra

ctică

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

utiliz

area

num

erel

or

real

e în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e pr

ivin

d ap

licar

ea n

umer

elor

real

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a nu

mer

elor

real

e.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat c

u ap

licaț

ii pr

actic

e;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

alg

oritm

ul a

plic

at;

c

ontr

aexe

mpl

ul p

reze

ntat

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.2.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

te

rmin

olog

iei a

fere

nte

ca

lcul

ului

alg

ebric

în

cont

exte

div

erse

.2.

2. Ef

ectu

area

de

adun

ări,

scăd

eri,

înm

ulțir

i, îm

părț

iri și

rid

icăr

i la

pute

re c

u ex

pone

nt

natu

ral a

le n

umer

elor

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

.2.

3. Id

entifi

care

a în

enu

nțur

i di

vers

e a

form

ulel

or

calc

ulul

ui p

resc

urta

t și

utiliz

area

ace

stor

a pe

ntru

sim

plifi

care

a un

or c

alcu

le.

II. C

alcu

lul a

lgeb

ric•

Num

ere

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

• O

pera

ții c

u nu

mer

e re

ale

repr

ezen

tate

pr

in li

tere

• Fo

rmul

e de

cal

cul p

resc

urta

t:

ab

aab

b

abab

ab

ab

aab

a bb

a

±(

)=

±+

−(

)+

()=

−

±(

)=

±+

±

22

2

22

33

22

3

2 33

; ;

;

333

22

±=

±(

)+

()

baba

abb

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

și a

plic

are

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

calc

ulul

ui

alge

bric

în c

onte

xte

dive

rse;

- cr

eare

și re

zolv

are

a un

or p

robl

eme

utiliz

ând

liter

e în

lo

cul n

umer

elor

nec

unos

cute

; -

efec

tuar

e de

adu

nări,

scăd

eri,

înm

ulțir

i, îm

părț

iri și

rid

icăr

i la

pute

re c

u ex

pone

nt n

atur

al a

le n

umer

elor

re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re în

div

erse

con

text

e;-

iden

tifica

re în

enu

nțur

i a fo

rmul

elor

cal

culu

lui p

resc

urta

t și

utiliz

are

a ac

esto

ra p

entr

u sim

plifi

care

a un

or c

alcu

le;

- de

scom

pune

re a

une

i exp

resii

alg

ebric

e în

pro

dus d

e fa

ctor

i util

izând

, inc

lusiv

, for

mul

ele

calc

ulul

ui p

resc

urta

t;-

tran

sfor

mar

e a

expr

esiil

or a

lgeb

rice

utiliz

ând

elem

ente

le

de c

alcu

l alg

ebric

stud

iate

;

42

2.4.

Des

com

pune

rea

unei

ex

pres

ii al

gebr

ice

în p

rodu

s de

fact

ori,

utiliz

ând

met

oda

adec

vată

.2.

5. A

naliz

a re

zolv

ării

unei

pr

oble

me,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în c

onte

xtul

co

recti

tudi

nii,

al si

mpl

ității

, al

cla

rităț

ii și

al se

mni

ficaț

iei

rezu

ltate

lor.

2.6.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii pr

ivin

d ca

lcul

ul a

lgeb

ric, i

nclu

siv

cu a

juto

rul e

xem

plel

or,

al c

ontr

aexe

mpl

elor

, al

dem

onst

rații

lor.

• M

etod

e de

des

com

pune

re în

fact

ori:

- de

scom

pune

rea

în fa

ctor

i fol

osin

d fa

ctor

ul c

omun

;-

desc

ompu

nere

a în

fact

ori f

olos

ind

met

oda

grup

ării;

- de

scom

pune

rea

în fa

ctor

i fol

osin

d

form

ulel

e de

cal

cul p

resc

urta

t•

Tran

sfor

măr

i ide

ntice

ale

exp

resii

lor

alge

bric

e

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:cu

bul s

umei

, cub

ul d

ifere

nţei

, sum

a cu

buril

or,

dife

renţ

a cu

buril

or.

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

une

i pr

opoz

iții p

rin d

emon

stra

ții, c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

dive

rse

dom

enii

refe

ritoa

re la

cal

culu

l alg

ebric

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

util

izare

a ca

lcul

ului

al

gebr

ic în

div

erse

dom

enii.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

calc

ulul

ui a

lgeb

ric.

Prod

use

reco

man

date

:

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

alg

oritm

ul a

plic

at;

c

ontr

aexe

mpl

ul p

reze

ntat

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.3.

1. Id

entifi

care

a în

div

erse

en

unțu

ri și

aplic

area

în

con

text

e va

riate

a

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

noț

iuni

i de

șir,

func

ție.

3.2.

Cla

sific

area

șiru

rilor

, a

func

țiilo

r în

func

ție d

e di

vers

e cr

iterii

.3.

3. Id

entifi

care

a și

desc

riere

a un

or și

ruri,

a u

nor

depe

nden

țe fu

ncțio

nale

în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.

III. Ş

iruri.

Fun

cții

• N

oțiu

nea

de și

r num

eric

• M

odur

i de

defin

ire a

unu

i șir

• Cl

asifi

care

a șir

urilo

r (șir

uri fi

nite

, șiru

ri in

finite

, șiru

ri m

onot

one)

• N

oțiu

nea

de fu

ncție

. Dep

ende

nțe

func

ționa

le. M

odur

i de

defin

ire a

func

ției

• Gr

aficu

l fun

cție

i•

Func

ția d

e gr

adul

I. P

ropr

ietă

ți (z

erou

, se

mn,

mon

oton

ie).

Pant

a dr

epte

i•

Func

ția c

onst

antă

• Pr

opor

ționa

litat

ea d

irect

ă

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- uti

lizar

e a

regu

lilor

dat

e pe

ntru

a c

onst

rui ș

iruri;

- co

nstr

uire

a u

nor e

xem

ple

de d

epen

denț

e fu

ncțio

nale

, fu

ncții

;-

iden

tifica

re și

apl

icar

e în

con

text

e di

vers

e, in

clus

iv

în c

omun

icar

e, a

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r afe

rent

e no

țiuni

i de

șir, f

uncț

ie;

- sc

riere

, citi

re, e

xem

plifi

care

a n

oțiu

nilo

r şir,

dep

ende

nţă

func

ţiona

lă, f

uncţ

ie, l

ege

de c

ores

pond

enţă

, dom

eniu

de

defi

niţie

(fini

t, in

finit)

, cod

omen

iu, m

ulţim

e de

val

ori,

tabe

l de

valo

ri, d

iagr

amă,

gra

fic;

- re

prez

enta

re în

div

erse

mod

uri (

anal

itic,

sint

etic,

gra

fic) a

un

or c

ores

pond

ențe

și/s

au fu

ncții

;

43

3.4.

Rep

reze

ntar

ea în

div

erse

m

odur

i (an

aliti

c, si

nteti

c,

grafi

c) a

uno

r cor

espo

nden

țe

și/sa

u fu

ncții

în sc

opul

ca

ract

eriză

rii a

cest

ora.

3.5.

Ext

rapo

lare

a fu

ncții

lor

stud

iate

și a

pro

prie

tățil

or

aces

tora

pen

tru

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pr

oble

mă

din

dive

rse

do

men

ii.3.

6. D

educ

erea

pro

prie

tățil

or

func

ției s

tudi

ate

(zer

ouri,

se

mn,

mon

oton

ie) p

rin

lect

ura

grafi

că și

/sau

an

aliti

că.

3.7.

Util

izare

a fu

ncții

lor ș

i a

șirur

ilor s

tudi

ate

în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or,

a sit

uații

lor-p

robl

emă,

în

stud

iere

a și

expl

icar

ea u

nor

proc

ese

fizic

e, c

him

ice,

bi

olog

ice,

eco

nom

ice,

ist

oric

e, so

cial

e și/

sau

antr

epre

noria

le.

3.8.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii pr

ivin

d șir

urile

nu

mer

ice

și fu

ncții

le, i

nclu

siv

cu a

juto

rul e

xem

plel

or,

al c

ontr

aexe

mpl

elor

, al

dem

onst

rații

lor.

• Fu

ncția

de

form

a:

fR

Rfx

k xkR

:,

,∗

∗∗

→()=

∈

Pr

oprie

tăți

(sem

n, m

onot

onie

)•

Func

ția ra

dica

l: fR

Rfx

x:

,.

++

→()=

Pr

oprie

tăți

(zer

ou, s

emn,

mon

oton

ie)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:şir

num

eric

, şir

num

eric

fini

t, şir

num

eric

in

finit,

form

ula

term

enul

ui d

e ra

ngul

n

al şi

rulu

i, şir

num

eric

stric

t cre

scăt

or,

şir n

umer

ic c

resc

ător

, şir

num

eric

stric

t de

scre

scăt

or, ş

ir nu

mer

ic d

escr

escă

tor,

şir

num

eric

con

stan

t, şir

num

eric

mon

oton

, ec

uaţia

gra

ficul

ui fu

ncţie

i, pr

opor

ţiona

litat

e in

vers

ă, h

iper

bolă

, fun

cţie

radi

cal.

- le

ctur

ă gr

afică

/ana

litică

și d

eter

min

are

a pr

oprie

tățil

or

func

ției;

- ap

licar

e a

prop

rietă

ților

func

țiilo

r în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

;-

utiliz

are

a fu

ncții

lor ș

i a și

ruril

or st

udia

te în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pro

blem

ă di

n di

vers

e do

men

ii,

incl

usiv

pen

tru

stud

iere

a și

exem

plifi

care

a un

or p

roce

se

fizic

e, c

him

ice,

bio

logi

ce, e

cono

mic

e, is

toric

e, so

cial

e;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat m

atem

atic

obțin

ut

sau

indi

cat c

u st

udiu

l șiru

rilor

, al f

uncț

iilor

, rec

urgâ

nd la

ar

gum

entă

ri, la

dem

onst

rații

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a u

nei

prop

oziți

i cu

ajut

orul

dem

onst

rații

lor,

al e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

şiru

rile,

la fu

ncţii

le st

udia

te şi

so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

lucr

ări p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

func

ţiilo

r stu

diat

e în

pra

ctică

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

apl

icar

ea şi

ruril

or, a

fu

ncţii

lor s

tudi

ate

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

incl

usiv

pr

oiec

te S

TEM

/ STE

AM, p

rivin

d ap

licar

ea şi

ruril

or, a

fu

ncţii

lor s

tudi

ate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

şirur

ilor,

a fu

ncţii

lor s

tudi

ate.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

in

vesti

gația

,,Sc

him

bare

a te

mpe

ratu

rii a

erul

ui în

tr-o

să

ptăm

ână”

;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

alg

oritm

ul a

plic

at;

44

g

rafic

ul tr

asat

al f

uncț

iei;

p

roie

ctul

STE

M „

Func

ții în

spor

t”;

p

roie

ctul

„Fu

ncții

în fi

zică”

;

dia

gram

a el

abor

ată;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.4.

1. Id

entifi

care

a în

div

erse

en

unțu

ri și

aplic

area

în

div

erse

con

text

e a

te

rmin

olog

iilor

, a n

otaț

iilor

af

eren

te n

oțiu

nilo

r de

ecua

ție, i

necu

ație

, sist

em.

4.2.

Eva

luar

ea și

ana

lizar

ea

rezo

lvăr

ii un

ei e

cuaț

ii, a

une

i in

ecua

ții, a

unu

i sist

em în

co

ntex

tul c

orec

titud

inii,

al

simpl

ității

, al c

larit

ății

și al

se

mni

ficaț

iei r

ezul

tate

lor.

4.3.

Rez

olva

rea

tipur

ilor s

tudi

ate

de e

cuaț

ii, in

ecua

ții, s

istem

e în

div

erse

con

text

e.4.

4. T

rans

pune

rea

unei

pr

oble

me,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în li

mba

jul

ecua

țiilo

r, al

inec

uații

lor ș

i/sa

u al

sist

emel

or, r

ezol

vare

a pr

oble

mei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i.

III. E

cuaț

ii. In

ecua

ții. S

istem

e

• N

oțiu

nea

de e

cuaț

ie d

e gr

adul

I cu

o

necu

nosc

ută.

Rec

apitu

lare

și c

ompl

etăr

i•

Noț

iune

a de

ecu

ație

de

grad

ul I

cu

două

nec

unos

cute

. Rep

reze

ntar

ea

geom

etric

ă a

ecua

ției d

e gr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e. P

anta

dre

ptei

• N

oțiu

nea

de si

stem

de

două

ecu

ații

de g

radu

l I c

u do

uă n

ecun

oscu

te.

Tran

sfor

măr

i ech

ival

ente

• M

etod

e de

rezo

lvar

e a

siste

mel

or

de d

ouă

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e (m

etod

a re

duce

rii, m

etod

a su

bstit

uție

i, m

etod

a gr

afică

)•

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or c

u te

xt c

u aj

utor

ul e

cuaț

iilor

și/s

au a

l sist

emel

or d

e ec

uații

• In

egal

ități

num

eric

e. P

ropr

ietă

ți.•

Inte

rval

e de

num

ere

real

e.

Ope

rații

cu

inte

rval

e (r

euni

unea

, int

erse

cția

)•

Noț

iune

a de

inec

uație

de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă•

Rezo

lvar

ea in

ecua

țiilo

r de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

în d

iver

se e

nunț

uri ș

i apl

icar

e în

div

erse

co

ntex

te a

term

inol

ogiil

or, a

not

ațiil

or a

fere

nte

noțiu

nilo

r de

ecu

ație

, ine

cuaț

ie, s

istem

;-

aflar

e a

solu

țiilo

r ecu

ațiil

or li

niar

e, a

le in

ecua

țiilo

r cu

o ne

cuno

scut

ă, a

le si

stem

elor

de

ecua

ții și

inec

uații

în

dive

rse

cont

exte

;-

repr

ezen

tare

gra

fică

a so

luții

lor e

cuaț

iilor

de

grad

ul I

cu

una

și cu

dou

ă ne

cuno

scut

e;-

efec

tuar

e a

tran

sfor

măr

ilor e

chiv

alen

te p

entr

u a

obțin

e ec

uații

, ine

cuaț

ii, si

stem

e ec

hiva

lent

e cu

cel

e da

te;

- re

zolv

are

a sis

tem

elor

de

două

ecu

ații

de g

radu

l I

cu d

ouă

necu

nosc

ute

prin

div

erse

met

ode:

met

oda

redu

cerii

, met

oda

subs

tituț

iei,

met

oda

grafi

că;

- tr

ansp

uner

e a

unei

pro

blem

e, a

une

i situ

ații-

prob

lem

ă în

lim

baju

l ecu

ațiil

or, a

l ine

cuaț

iilor

și/s

au a

l sist

emel

or,

rezo

lvar

e a

prob

lem

ei o

bțin

ute

și in

terp

reta

re a

re

zulta

tulu

i;-

crea

re și

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

în b

aza

unui

m

odel

dat

: ecu

ație

, ine

cuaț

ie, s

istem

;-

efec

tuar

e de

reun

iuni

și in

ters

ecții

cu

inte

rval

e nu

mer

ice

și re

prez

enta

re p

e ax

ă a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu in

egal

ități,

ecu

ații,

inec

uații

, sist

eme

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții, e

xem

ple,

con

trae

xem

ple;

45

4.5.

Obț

iner

ea d

e ec

uații

, in

ecua

ții, s

istem

e, u

tilizâ

nd

tran

sfor

măr

ile e

chiv

alen

te,

rezo

lvar

ea e

cuaț

iilor

, a

inec

uații

lor ș

i a si

stem

elor

ob

ținut

e.4.

6. C

rear

ea și

rezo

lvar

ea u

nor

prob

lem

e sim

ple

în b

aza

unui

mod

el d

at: e

cuaț

ie,

inec

uație

, sist

em.

4.7.

Apl

icar

ea p

ropr

ietă

ților

func

țiilo

r în

rezo

lvar

ea u

nor

ecua

ții, a

uno

r ine

cuaț

ii, a

un

or si

stem

e.4.

8. U

tiliza

rea

tipur

ilor s

tudi

ate

de e

cuaț

ii, in

ecua

ții și

sis

tem

e, p

entr

u a

rezo

lva

prob

lem

e di

n di

vers

e do

men

ii: fi

zică,

chi

mie

, ec

onom

ie e

tc.

4.9.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t mat

emati

c ob

ținut

sa

u in

dica

t cu

ineg

alită

ți,

ecua

ții, i

necu

ații,

sist

eme

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

la

dem

onst

rații

, exe

mpl

e,

cont

raex

empl

e.

• N

oțiu

nea

de si

stem

de

inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

• Re

zolv

area

sist

emel

or d

e in

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ec

uaţie

cu

două

nec

unos

cute

, sol

uţie

a

ecua

ţiei c

u do

uă n

ecun

oscu

te, d

omen

iul

valo

rilor

adm

isibi

le a

le u

nei e

cuaţ

ii cu

dou

ă ne

cuno

scut

e, g

rafic

ul e

cuaţ

iei,

drea

pta

solu

ţiilo

r ecu

aţie

i, sis

tem

de

două

ecu

aţii

cu d

ouă

necu

nosc

ute,

solu

ţie a

sist

emul

ui

de d

ouă

ecua

ţii c

u do

uă n

ecun

oscu

te,

mul

ţimea

solu

ţiilo

r sist

emul

ui d

e ec

uaţii

, sis

tem

e ec

hiva

lent

e, m

etod

a su

bstit

uţie

i, m

etod

a re

duce

rii, m

etod

a gr

afică

, sist

em

de in

ecua

ţii d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă,

solu

ţie a

sist

emul

ui d

e in

ecua

ţii d

e gr

adul

I c

u o

necu

nosc

ută,

mul

ţimea

solu

ţiilo

r sis

tem

ului

de

inec

uaţii

de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă.

- uti

lizar

ea ti

puril

or st

udia

te d

e ec

uații

, ine

cuaț

ii și

siste

me,

pen

tru

a re

zolv

a pr

oble

me

din

div

erse

dom

enii;

- ap

licar

e a

prop

rietă

ților

func

țiilo

r în

rezo

lvar

ea u

nor

ecua

ții, i

necu

ații,

sist

eme

în d

iver

se c

onte

xte.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii r

eale

şi/s

au

mod

elat

e re

ferit

oare

la e

cuaţ

iile,

inec

uaţii

le, s

istem

ele

stud

iate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

, a

inec

uaţii

lor,

a sis

tem

elor

stu

diat

e în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

, a in

ecua

ţiilo

r, a

siste

mel

or st

udia

te în

sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ec

uaţii

lor,

inec

uaţii

lor,

siste

mel

or s

tudi

ate.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

gra

fice

tras

ate

pent

ru si

stem

e de

ecu

ații;

p

roie

ctul

„Ap

licaț

ii al

e ec

uații

lor,

ale

inec

uații

lor,

ale

siste

mel

or d

e ec

uații

în d

iver

se d

omen

ii”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

46

5.1.

Iden

tifica

rea

în d

iver

se

enun

țuri

și ap

licar

ea

în d

iver

se c

onte

xte

a te

rmin

olog

iei,

a no

tații

lor

afer

ente

noț

iuni

i de

ecua

ție d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută.

5.2.

Eval

uare

a și

anal

izare

a re

zolv

ării

unei

ecu

ații

de g

radu

l II î

n co

ntex

tul

core

ctitu

dini

i, al

sim

plită

ții,

al c

larit

ății

și al

sem

nific

ație

i re

zulta

telo

r.5.

3. Tr

ansp

uner

ea u

nei

prob

lem

e, a

une

i situ

ații-

prob

lem

ă în

lim

baju

l ec

uații

lor d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută

sau

redu

ctibi

le

la a

cest

ea, r

ezol

vare

a pr

oble

mei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i. 5.

4. C

lasi

ficar

ea e

cuaț

iilor

de

gra

dul I

I în

func

ție d

e

dive

rse

crite

rii.

5.5.

Rez

olva

rea

ecua

țiilo

r de

grad

ul II

în d

iver

se c

onte

xte,

uti

lizân

d m

etod

a ra

ționa

lă.

5.6.

Apl

icar

ea re

lații

lor l

ui V

iete

în

rezo

lvar

ea și

cre

area

ec

uații

lor d

e gr

adul

II.

V. E

cuaț

ii de

gra

dul I

I

• N

oțiu

nea

de

ecua

ţie d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută

• Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e fo

rma

ax

ca

acR

20

0+

=≠

∈,

,,

• Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e fo

rma

ax

bxa

abR

20

0+

=≠

∈,

,,

• Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e fo

rma

axm

xn

aR

+(

)+

()=

∈∗

0,

• Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută,

form

a co

mpl

etă

• Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e gr

adul

II, f

orm

a re

dusă

• Re

lații

le d

intr

e so

luții

și c

oefic

ienț

i: te

orem

a lu

i Vie

te; r

ecip

roca

teor

emei

lui

Viet

e•

Desc

ompu

nere

a în

pro

dus d

e fa

ctor

i ai

expr

esie

i de

form

a ax

bxca

abcR

20

++

≠∈

,,

,,

• Re

zolv

area

pro

blem

elor

prin

apl

icar

ea

ecua

țiilo

r de

grad

ul II

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ec

uaţie

de

grad

ul II

cu o

nec

unos

cută

; co

eficie

nţii

ecua

ţiei d

e gr

adul

II cu

o

necu

nosc

ută;

ecu

aţie

de

grad

ul II

, for

ma

inco

mpl

etă;

ecu

aţie

de

grad

ul II

, for

ma

redu

să; d

iscrim

inan

tul e

cuaţ

iei d

e gr

adul

II cu

o

necu

nosc

ută;

del

ta; f

orm

ula

de re

zolv

are

a ec

uaţie

i de

grad

ul II

; rel

aţiil

e lu

i Vie

te.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

în d

iver

se e

nunț

uri ș

i apl

icar

e în

div

erse

co

ntex

te a

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r afe

rent

e no

țiuni

i de

ecua

ție d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută;

- re

cuno

aște

re în

div

erse

con

text

e a

com

pone

ntel

or e

cuaț

iei

de g

radu

l II;

- cl

asifi

care

a e

cuaț

iilor

de

grad

ul II

în fu

ncție

de

dive

rse

crite

rii;

- id

entifi

care

și re

zolv

are

a di

ferit

or ti

puri

de e

cuaț

ii de

gra

dul

II cu

o n

ecun

oscu

tă și

redu

ctibi

le la

ace

stea

în c

onte

xte

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

desc

ompu

nere

în fa

ctor

i a e

xpre

siei d

e fo

rma

axbx

ca

abcR

20

++

≠∈

,,

,,

și ap

licar

e a

aces

tor ti

puri

de d

esco

mpu

neri

în re

zolv

area

pro

blem

elor

;-

tran

spun

ere

a un

ei p

robl

eme,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în li

mba

jul e

cuaț

iilor

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă sa

u re

ducti

bile

la a

cest

ea, r

ezol

vare

a pr

oble

mei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i;-

aplic

are

a ec

uații

lor d

e gr

adul

II la

stud

iul a

ltor d

iscip

line;

- so

luțio

nare

și c

rear

e d

e ec

uații

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă, u

tilizâ

nd te

orem

a lu

i Vie

te și

/sau

reci

proc

a te

orem

ei lu

i Vie

te;

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr ș

i/sau

justi

ficar

e a

unui

de

mer

s/re

zulta

t mat

emati

c ob

ținut

sau

indi

cat c

u ec

uații

, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții, e

xem

ple,

co

ntra

exem

ple.

•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la e

cuaţ

iile

de g

radu

l II s

tudi

ate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

de

grad

ul II

stud

iate

în d

iver

se d

omen

ii.

47

5.7.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu e

cuaț

ii, re

curg

ând

la

argu

men

tări,

dem

onst

rații

.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, in

clus

iv

proi

ecte

priv

ind

aplic

area

ecu

aţiil

or d

e gr

adul

II st

udia

te în

sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ec

uaţii

lor d

e gr

adul

II st

udia

te.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

alg

oritm

ul a

plic

at;

c

ontr

aexe

mpl

ul p

reze

ntat

;

pro

iect

ul „

Aplic

ații

ale

ecua

ției d

e gr

adul

doi

în d

iver

se

dom

enii”

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.6.

1. R

ecun

oaşt

erea

în d

iver

se

cont

exte

și a

plic

area

în

dive

rse

situa

ții a

ele

men

telo

r de

logi

că m

atem

atică

st

udia

te.

6.2.

Rec

unoa

şter

ea în

div

erse

co

ntex

te și

apl

icar

ea

în d

iver

se si

tuaț

ii a

term

inol

ogiil

or și

a n

otaț

iilor

af

eren

te fi

guril

or g

eom

etric

e st

udia

te.

6.3.

Iden

tifica

rea,

des

crie

rea

verb

ală

și în

scris

, util

izând

te

rmin

olog

ia și

not

ațiil

e re

spec

tive,

a n

oțiu

nilo

r ge

omet

rice

stud

iate

în

dive

rse

cont

exte

.

VI. F

igur

i geo

met

rice

plan

e.Re

capi

tula

re şi

com

plet

ări

• El

emen

te d

e lo

gică

mat

emati

că:

enun

ţ, pr

opoz

iţie

(sim

plă,

com

pusă

), de

finiţi

e, a

xiom

ă, te

orem

ă, co

nsec

inţă

, te

orem

a re

cipr

ocă,

ipot

eză,

con

cluz

ie,

dem

onst

raţie

, val

oare

a de

ade

văr,

cont

raex

empl

u•

Triu

nghi

uri.

Clas

ifica

rea

triu

nghi

urilo

r. Li

niile

impo

rtan

te în

triu

nghi

. Pro

prie

tăți

• Ce

rcul

. Ele

men

tele

c

ercu

lui.

Disc

ul.

Elem

ente

le d

iscul

ui•

Poziț

ia re

lativ

ă a

unei

dre

pte

față

de

un

cerc

/disc

• U

nghi

la c

entr

u. A

rce

de c

erc

• U

nghi

însc

ris în

cer

c

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- re

cuno

aște

re în

div

erse

con

text

e și

aplic

are

în d

iver

se

situa

ții a

ele

men

telo

r de

logi

că m

atem

atică

stud

iate

;-

iden

tifica

re, d

escr

iere

ver

bală

și în

scris

, util

izând

te

rmin

olog

ia și

not

ațiil

e re

spec

tive,

a n

oțiu

nilo

r ge

omet

rice

stud

iate

în d

iver

se c

onte

xte;

- cl

asifi

care

și c

ompa

rare

a fi

guril

or g

eom

etric

e st

udia

te;

- re

prez

enta

re în

pla

n a

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le d

e de

sen,

inst

rum

ente

le T

IC

și ap

licar

e a

repr

ezen

tăril

or re

spec

tive

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la fi

guril

e ge

omet

rice

stud

iate

și la

uni

tățil

e de

măs

ură

rele

vant

e;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

figu

ri g

eom

etric

e, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

;

48

6.4.

Cla

sific

area

și c

ompa

rare

a fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

în

func

ție d

e di

vers

e cr

iterii

.6.

5. R

epre

zent

area

în p

lan

a fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

, uti

lizân

d in

stru

men

tele

de

dese

n, in

stru

men

tele

TIC

și

aplic

area

repr

ezen

tăril

or

resp

ectiv

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

. 6.

6. A

plic

area

figu

rilor

ge

omet

rice

stud

iate

și a

pr

oprie

tățil

or a

cest

ora

în

dive

rse

dom

enii,

în

situa

ții

real

e și/

sau

mod

elat

e.6.

7. Ju

stific

area

unu

i dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

figu

ri ge

omet

rice,

re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

. 6.

8. C

onst

ruire

a un

or se

cven

țe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv.

6.9.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii re

ferit

oare

la

figu

rile

geom

etric

e st

udia

te, i

nclu

siv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:dr

eapt

ă ex

terio

ară

cerc

ului

, dre

aptă

ta

ngen

tă la

cer

c, d

reap

tă se

cant

ă la

ce

rc, u

nghi

la c

entr

u, a

rc m

ic d

e ce

rc,

arc

mar

e de

cer

c, c

apet

ele

arce

lor,

arce

co

mpl

emen

tare

, măs

ura

unui

arc

, ung

hi

însc

ris în

cer

c.

- co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv,

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

de

dem

onst

rație

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or;

- ap

licar

e a

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te și

a p

ropr

ietă

ților

ac

esto

ra în

div

erse

dom

enii,

incl

usiv

în v

iața

coti

dian

ă.•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

rea

le şi

/sau

m

odel

ate

refe

ritoa

re la

figu

rile

geom

etric

e st

udia

te şi

so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

lucr

ări p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea fi

guril

or

geom

etric

e st

udia

te în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, in

clus

iv

proi

ecte

STE

M/ S

TEAM

, priv

ind

aplic

area

figu

rilor

ge

omet

rice

stud

iate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

pla

nul d

e id

ei e

labo

rat;

d

esen

ul;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

dem

onst

rația

;

lucr

area

pra

ctică

pe

tere

n „D

eter

min

area

figu

rilor

ge

omet

rice

în c

urte

a șc

olii”

;

pro

iect

ul S

TEAM

„Ap

licaț

ii al

e fig

urilo

r geo

met

rice

în

desig

n”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

mod

ele

ale

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol/u

nita

te d

e în

văța

re;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

49

7.1.

Iden

tifica

rea

în d

iver

se

situa

ții și

apl

icar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

ase

măn

ării

triu

nghi

urilo

r.7.

2. Id

entifi

care

a tr

iung

hiur

ilor

asem

enea

în c

onfig

uraț

ii ge

omet

rice

real

e și/

sau

mod

elat

e.7.

3. S

tabi

lirea

rela

ției d

e as

emăn

are

dint

re d

ouă

triu

nghi

uri p

rin d

iver

se

met

ode.

7.4.

Apl

icar

ea m

etod

ei

asem

ănăr

ii tr

iung

hiur

ilor l

a re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e și/

sau

din

dive

rse

dom

enii.

7.5.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t în

con

text

ul a

sem

ănăr

ii tr

iung

hiur

ilor,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

7.6.

Con

stru

irea

unor

secv

ențe

sim

ple

de ra

ționa

men

t de

ducti

v.7.

7. E

labo

rare

a pl

anul

ui d

e id

ei

priv

ind

rezo

lvar

ea u

nor

prob

lem

e pr

actic

e, a

plic

ând

met

oda

triu

nghi

urilo

r as

emen

ea și

rezo

lvar

ea

prob

lem

ei în

con

form

itate

cu

plan

ul e

labo

rat.

VII.

Triu

nghi

uri a

sem

enea

• Se

gmen

te p

ropo

rțio

nale

• Te

orem

a lu

i Tha

les

• Tr

iung

hiur

i ase

men

ea•

Teor

ema

fund

amen

tală

a a

sem

ănăr

ii•

Crite

rii d

e as

emăn

are

a tr

iung

hiur

ilor

• Cr

iterii

de

asem

ănar

e a

triu

nghi

urilo

r dr

eptu

nghi

ce•

Aplic

ații

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ra

port

ul a

dou

ă se

gmen

te, s

egm

ente

pr

opor

ţiona

le, t

eore

ma

lui T

hale

s,

triu

nghi

uri a

sem

enea

, coe

ficie

ntul

de

asem

ănar

e, te

orem

a fu

ndam

enta

lă a

as

emăn

ării,

crit

eriil

e de

ase

măn

are

a do

uă

triu

nghi

uri,

crite

riile

de

asem

ănar

e a

două

tr

iung

hiur

i dre

ptun

ghic

e.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

în d

iver

se si

tuaț

ii și

aplic

are

a te

rmin

olog

iei ș

i no

tații

lor a

fere

nte

asem

ănăr

ii tr

iung

hiur

ilor;

- id

entifi

care

a tr

iung

hiur

ilor a

sem

enea

în c

onfig

uraț

ii ge

omet

rice

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

stab

ilire

a re

lație

i de

asem

ănar

e di

ntre

dou

ă tr

iung

hiur

i uti

lizân

d cr

iterii

le d

e as

emăn

are;

- ap

licar

e a

crite

riilo

r de

asem

ănar

e a

triu

nghi

urilo

r în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or d

iver

se, i

nclu

siv d

in v

iața

co

tidia

nă;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

în c

onte

xtul

ase

măn

ării

triu

nghi

urilo

r, re

curg

ând

la

argu

men

tări,

exe

mpl

e, c

ontr

aexe

mpl

e, d

emon

stra

ții;

- re

zolv

are

a pr

oble

mel

or si

mpl

e de

dem

onst

rație

, de

cons

trui

re a

uno

r sec

venț

e sim

ple

de ra

ționa

men

t de

ducti

v;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a u

nei

prop

oziți

i;-

crea

re și

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

în b

aza

unui

m

odel

geo

met

ric in

dica

t;-

elab

orar

e a

unor

pla

nuri

de a

cțiu

ni p

entr

u re

zolv

area

un

or p

robl

eme

din

prac

tică,

util

izând

met

oda

triu

nghi

urilo

r ase

men

ea.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

triu

nghi

uri a

sem

enea

şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

,incl

usiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea tr

iung

hiur

ilor a

sem

enea

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea tr

iung

hiur

ilor

asem

enea

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

triu

nghi

urilo

r ase

men

ea în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.

50

7.8.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

pr

opoz

iții c

u as

emăn

area

tr

iung

hiur

ilor,

incl

usiv

cu

aju

toru

l exe

mpl

elor

, al

con

trae

xem

plel

or, a

l de

mon

stra

ției.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

triu

nghi

urilo

r ase

men

ea.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

pla

nul d

e id

ei;

d

esen

ul;

m

odel

e al

e fig

urilo

r geo

met

rice;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

dem

onst

rația

;

pro

iect

ul „

Aplic

ații

ale

asem

ănăr

ii tr

iung

hiur

ilor î

n co

nstr

ucții

”;

lucr

area

pra

ctică

pe

tere

n „A

plic

ații

ale

asem

ănăr

ii tr

iung

hiur

ilor î

n ac

tivita

tea

prac

tică”

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l su

mati

v re

zolv

at.

8.1.

Rec

unoa

şter

ea și

des

crie

rea

elem

ente

lor u

nui t

riung

hi

drep

tung

hic

în c

onfig

uraț

ii ge

omet

rice

real

e și/

sau

mod

elat

e.8.

2. A

plic

area

rela

țiilo

r met

rice

într

-un

triu

nghi

dre

ptun

ghic

pe

ntru

det

erm

inar

ea u

nor

elem

ente

ale

ace

stui

a.8.

3. Id

entifi

care

a și

aplic

area

în

div

erse

con

text

e a

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

triu

nghi

ului

dr

eptu

nghi

c și

a re

lații

lor

met

rice

stud

iate

.

VIII.

Rel

ații

met

rice

în tr

iung

hiul

dr

eptu

nghi

c

• Pr

oiec

ții o

rtog

onal

e pe

o d

reap

tă•

Teor

ema

înăl

țimii

(cu

dem

onst

rație

)•

Teor

ema

cate

tei (

cu d

emon

stra

ție)

• Te

orem

a lu

i Pita

gora

(cu

dem

onst

rație

). Ap

licaț

ii•

Elem

ente

de

trig

onom

etrie

în tr

iung

hiul

dr

eptu

nghi

c: si

nusu

l, co

sinus

ul, t

ange

nta

și co

tang

enta

unu

i ung

hi a

scuț

it•

Valo

rile

sinus

ului

, ale

cos

inus

ului

, ale

ta

ngen

tei ș

i ale

cot

ange

ntei

pen

tru

ungh

iuril

e de

30o , 4

5o , 60o

• Re

zolv

area

triu

nghi

ului

dre

ptun

ghic

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

a tr

iung

hiur

ilor d

rept

ungh

ice

și a

elem

ente

lor a

cest

uia

în c

onfig

uraț

ii ge

omet

rice

real

e

și/sa

u m

odel

ate;

- ap

licar

e a

rela

țiilo

r met

rice

într

-un

triu

nghi

dre

ptun

ghic

pe

ntru

det

erm

inar

ea u

nor e

lem

ente

ale

ace

stui

a;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

rela

ții m

etric

e în

triu

nghi

ul d

rept

ungh

ic, r

ecur

gând

la

argu

men

tări,

dem

onst

rații

;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

sim

ple

de d

emon

stra

ție, d

e co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv;

- ca

lcul

are

și uti

lizar

e a

valo

rilor

sinu

sulu

i, al

e co

sinus

ului

, al

e ta

ngen

tei ș

i ale

cot

ange

ntei

ung

hiul

ui d

e 30

o , 45o , 6

0o

în re

zolv

area

pro

blem

elor

;

51

8.4.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t ob

ținut

sau

indi

cat c

u re

lații

met

rice

în tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

. 8.

5. C

onst

ruire

a un

or se

cven

țe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv

în c

onte

xtul

re

lații

lor m

etric

e în

triu

nghi

ul

drep

tung

hic.

8.6.

Cal

cula

rea

și uti

lizar

ea în

di

vers

e do

men

ii al

e va

loril

or

sinus

ului

, ale

cos

inus

ului

, ale

ta

ngen

tei ș

i ale

cot

ange

ntei

un

ghiu

lui d

e 30

o , 45o , 6

0o .8.

7. E

xtra

pola

rea

rela

țiilo

r m

etric

e st

udia

te și

a

elem

ente

lor d

e tr

igon

omet

rie p

entr

u re

zolv

area

pro

blem

elor

din

di

vers

e do

men

ii.8.

8. In

ițier

ea și

real

izare

a un

or

inve

stiga

ții/e

xplo

rări

utiliz

ând

achi

zițiil

e m

atem

atice

re

ferit

oare

la tr

iung

hiur

ile

drep

tung

hice

, inc

lusiv

în

dom

eniu

l ant

repr

enor

ial.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pr

oiec

ţia o

rtog

onal

ă a

unei

figu

ri pe

o

drea

ptă,

teor

ema

înăl

ţimii,

med

ia

geom

etric

ă, te

orem

a ca

tete

i, te

orem

a lu

i Pi

tago

ra, r

ecip

roca

teor

emei

lui P

itago

ra,

sinus

ul u

nui u

nghi

asc

uţit,

cos

inus

ul u

nui

ungh

i asc

uţit,

tan

gent

a un

ui u

nghi

asc

uţit,

co

tang

enta

unu

i ung

hi a

scuţ

it.

- in

ițier

e și

real

izare

a u

nor i

nves

tigaț

ii/ex

plor

ări u

tilizâ

nd

achi

zițiil

e m

atem

atice

refe

ritoa

re la

triu

nghi

urile

dr

eptu

nghi

ce în

div

erse

dom

enii.

- ex

trap

olar

e a

rela

țiilo

r met

rice

în tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

st

udia

te și

a e

lem

ente

lor d

e tr

igon

omet

rie p

entr

u re

zolv

area

pro

blem

elor

din

div

erse

dom

enii.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

rela

ţiile

met

rice

în tr

iung

hiur

ile

drep

tung

hice

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

lucr

ări p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

rela

ţiilo

r met

rice

în tr

iung

hiur

ile d

rept

ungh

ice

în

prac

tică.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea re

laţii

lor

met

rice

în tr

iung

hiur

ile d

rept

ungh

ice

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

rela

ţiilo

r met

rice

în tr

iung

hiur

ile d

rept

ungh

ice

în

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

rela

ţiilo

r met

rice

în tr

iung

hiur

ile d

rept

ungh

ice.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

pla

nul d

e id

ei;

d

esen

ul;

m

odel

ele

figur

ilor g

eom

etric

e;

arg

umen

tare

a or

ală/

în sc

ris;

d

emon

stra

ția;

p

roie

ctul

„Ap

licaț

ii al

e re

lații

lor m

etric

e în

con

stru

cții”

;

lucr

area

pra

ctică

pe

tere

n „C

onst

rucț

ia tr

iung

hiur

ilor

drep

tung

hice

util

izând

rela

țiile

met

rice

stud

iate

”;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

52

9.1.

Iden

tifica

rea,

cla

sific

area

în

func

ție d

e di

vers

e cr

iterii

și re

prez

enta

rea

în p

lan

a p

atru

late

relo

r, a

polig

oane

lor.

9.2.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nilo

r de

polig

on p

atru

late

r în

dive

rse

cont

exte

.9.

3. A

plic

area

pro

prie

tățil

or

triu

nghi

urilo

r și a

le

patr

ulat

erel

or în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pr

oble

mă

din

dive

rse

dom

enii.

9.4.

Tra

nspu

nere

a un

ei

prob

lem

e, a

une

i situ

ații-

prob

lem

ă re

ferit

oare

la

patr

ulat

ere

și/sa

u po

ligoa

ne

în li

mba

jul g

eom

etric

, re

zolv

area

pro

blem

ei

obțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui.

9.5.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații/

prop

oziți

i cu

cara

cter

ge

omet

ric re

ferit

oare

la

patr

ulat

ere

și po

ligoa

ne.

9.6.

Con

stru

irea

unor

secv

ențe

sim

ple

de ra

ționa

men

t de

ducti

v în

con

text

ul

patr

ulat

erel

or st

udia

te.

IX. P

atru

late

re. P

olig

oane

• N

oțiu

nea

de p

olig

on. P

olig

oane

con

vexe

. El

emen

te•

Noț

iune

a de

pat

rula

ter.

Elem

ente

. Pa

trul

ater

e co

nvex

e•

Para

lelo

gram

ul. E

lem

ente

, pro

prie

tăți,

cr

iterii

• Pa

rale

logr

ame

parti

cula

re:

- dr

eptu

nghi

ul, e

lem

ente

, pro

prie

tăți,

cr

iterii

;-

rom

bul,

elem

ente

, pro

prie

tăți,

crit

erii;

-

pătr

atul

, ele

men

te, p

ropr

ietă

ți, c

riter

ii•

Trap

ezul

, ele

men

te, c

lasifi

care

, pr

oprie

tăți

• Li

nia

mijl

ocie

a tr

apez

ului

. Pro

prie

tate

a lin

iei m

ijloc

ii (c

u de

mon

stra

ție)

• N

oțiu

nea

de p

olig

on re

gula

t. El

emen

te.

Polig

oane

regu

late

: triu

nghi

ul e

chila

tera

l, pă

trat

ul, h

exag

onul

regu

lat

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:po

ligon

con

vex,

hex

agon

, crit

eriil

e pa

rale

logr

amul

ui, t

rape

z, b

azel

e tr

apez

ului

, la

turi

late

rale

(nep

aral

ele)

ale

trap

ezul

ui,

trap

ez is

osce

l, tr

apez

dre

ptun

ghic

, în

ălţim

ea tr

apez

ului

, dia

gona

la tr

apez

ului

, lin

ia m

ijloc

ie a

trap

ezul

ui, p

olig

on re

gula

t, he

xago

n re

gula

t.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- cl

asifi

care

a fi

guril

or g

eom

etric

e st

udia

te;

- re

prez

enta

re în

pla

n a

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le d

e de

sen,

și/s

au in

stru

men

te

TIC

și ap

licar

ea re

prez

entă

rilor

resp

ectiv

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

;-

aplic

are

a pa

trul

ater

elor

, a p

olig

oane

lor ș

i a p

ropr

ietă

ților

ac

esto

ra în

div

erse

dom

enii;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e di

n pr

actic

ă cu

refe

rire

la

figur

ile g

eom

etric

e st

udia

te și

la u

nită

țile

de m

ăsur

ă re

leva

nte;

- co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv,

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

de

dem

onst

rație

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t mat

emati

c ob

ținut

sau

indi

cat c

u tr

iung

hiur

i, pa

trul

ater

e, p

olig

oane

, rec

urgâ

nd

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

pat

rula

tere

şi p

olig

oane

stud

iate

şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a lu

crăr

ilor p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

pat

rula

tere

lor ş

i a p

olig

oane

lor s

tudi

ate

în

prac

tică.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d ap

licar

ea p

atru

late

relo

r şi

a po

ligoa

nelo

r stu

diat

e în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea p

atru

late

relo

r şi a

pol

igoa

nelo

r stu

diat

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.

53

9.7.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

rezo

lvar

e a

prob

lem

ei

refe

ritoa

re la

pat

rula

tere

le

și po

ligoa

nele

stud

iate

în

cont

exte

var

iate

și re

zolv

area

pr

oble

mei

în c

onfo

rmita

te c

u pl

anul

.9.

8. Ju

stific

area

unu

i dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

pat

rula

tere

, pol

igoa

ne,

susț

inân

d pr

oprii

le id

ei

și vi

ziuni

, rec

urgâ

nd la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

Prod

use

reco

man

date

:

pro

blem

a re

zolv

ată;

d

emon

stra

ția;

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

inve

stiga

ția „

Polig

oane

regu

late

în te

hnic

ă”;

s

chem

a el

abor

ată;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

jocu

l TAN

GRAM

;

puz

zle g

eom

etric

;

pla

nul d

e id

ei;

p

roie

ctul

„Po

ligoa

ne și

pat

rula

tere

în d

esig

n”;

lu

crar

ea p

racti

că p

e te

ren

„Apl

icaț

ii al

e pa

trul

ater

elor

și a

le

polig

oane

lor î

n cu

rtea

școl

ii”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

10.1

. Rec

unoa

şter

ea și

apl

icar

ea

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nilo

r de

vect

or și

tran

slație

în

dive

rse

cont

exte

.10

.2. I

denti

ficar

ea și

apl

icar

ea

tran

slație

i în

situa

ții re

ale

și/sa

u m

odel

ate.

10.3

. Rec

unoa

şter

ea u

nor

elem

ente

de

geom

etrie

ve

ctor

ială

în d

iver

se

cont

exte

.10

.4. O

pera

rea

cu v

ecto

ri în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.

X.

Vec

tori

în p

lan

• Tr

ansla

ția. P

ropr

ietă

ți. A

plic

ații

• N

oțiu

nea

de v

ecto

r. Cl

asifi

care

a ve

ctor

ilor.

Mod

ulul

vec

toru

lui

• O

pera

ții c

u ve

ctor

i: su

ma

(reg

ula

triu

nghi

ului

, reg

ula

para

lelo

gram

ului

), di

fere

nța,

pro

dusu

l vec

toru

lui c

u un

nu

măr

, des

com

pune

rea

vect

orul

ui d

upă

doi v

ecto

ri ne

colin

iari

• Ap

licaț

ii (în

geo

met

rie, î

n fiz

ică,

în v

iață

)

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

și a

plic

are

a te

rmin

olog

iei,

a no

tații

lor

afer

ente

noț

iuni

i de

vect

or, n

oțiu

nii d

e tr

ansla

ție în

di

vers

e co

ntex

te;

- ap

licaț

ii al

e tr

ansla

ției î

n sit

uații

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

iden

tifica

re a

uno

r ele

men

te d

e ge

omet

rie v

ecto

rială

în

dive

rse

cont

exte

;-

efe

ctua

re a

ope

rații

lor c

u ve

ctor

i;-

apl

icar

e a

vect

orilo

r și a

pro

prie

tățil

or lo

r în

dive

rse

dom

enii,

incl

usiv

în re

zolv

area

pro

blem

elor

pra

ctice

.•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la v

ecto

ri şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea v

ecto

rilor

în

dive

rse

dom

enii.

54

10.5

. Ext

rapo

lare

a ve

ctor

ilor ș

i a

prop

rietă

ților

lor p

entr

u re

zolv

area

pro

blem

elor

din

di

vers

e do

men

ii, in

clus

iv

prob

lem

e di

n fiz

ică

și di

n pr

actic

a co

tidia

nă.

10.6

. Jus

tifica

rea

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

vec

tori,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:tr

ansla

ţia, s

egm

ent o

rient

at, v

ecto

r nul

, ve

ctor

i ega

li, m

odul

ul (l

ungi

mea

) vec

toru

lui,

vect

ori c

olin

iari,

adu

nare

a ve

ctor

ilor,

rezu

ltant

a ve

ctor

ilor,

regu

la tr

iung

hiul

ui,

regu

la p

aral

elog

ram

ului

, scă

dere

a ve

ctor

ilor,

înm

ulţir

ea v

ecto

rilor

cu

un n

umăr

re

al, d

esco

mpu

nere

a ve

ctor

ului

dup

ă do

i ve

ctor

i nec

olin

iari,

vec

tori

unita

ri.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea v

ecto

rilor

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

vect

orilo

r.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

inve

stiga

ția „V

ecto

rii în

via

ța m

ea”;

p

lanu

l de

idei

ela

bora

t;

des

enul

;

arg

umen

tare

a or

ală/

în sc

ris;

p

roie

ctul

„Vec

torii

în fi

zică”

.

pro

iect

ul „T

rans

lația

în d

esig

n”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

55

LA F

INEL

E CL

ASEI

A V

III-a

, ELE

VUL

POAT

E:•

iden

tifica

, scr

ie u

tilizâ

nd d

iver

se fo

rme,

citi

, com

para

și o

rdon

a nu

mer

e re

ale

în d

iver

se si

tuaț

ii și

cont

exte

;•

efec

tua

oper

ațiil

e st

udia

te cu

num

ere

real

e, in

clus

iv o

pera

țiile

cu n

umer

e re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re, î

n sit

uații

mod

elat

e și/

sau

real

e;•

tran

sfor

ma

expr

esii

alge

bric

e, u

tilizâ

nd fo

rmul

ele

de c

alcu

l pre

scur

tat ș

i met

odel

e de

des

com

pune

re în

fact

ori s

tudi

ate;

•id

entifi

ca în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e șir

uri n

umer

ice

și de

pend

ențe

func

ționa

le;

•cl

asifi

ca și

ruri,

func

ții, e

cuaț

ii, in

ecua

ții, s

istem

e, fi

guri

geom

etric

e st

udia

te în

func

ție d

e d

iver

se c

riter

ii da

te sa

u se

lect

ate;

•ex

trap

ola

prop

rietă

țile

șirur

ilor ș

i ale

func

țiilo

r stu

diat

e pe

ntru

a re

zolv

a pr

oble

me

din

dive

rse

dom

enii;

•in

vesti

ga v

aloa

rea

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a u

nei p

ropo

ziții,

incl

usiv

cu

ajut

orul

exe

mpl

elor

, al c

ontr

aexe

mpl

elor

;•

justi

fica

un d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

dem

onst

rații

; •

iden

tifica

în e

nunț

uri ș

i apl

ica

în d

iver

se c

onte

xte

term

inol

ogiil

e și

nota

țiile

afe

rent

e no

țiuni

lor m

atem

atice

stud

iate

;•

iden

tifica

și re

zolv

a în

div

erse

con

text

e tip

urile

stud

iate

de

ecua

ții, i

necu

ații

și sis

tem

e;•

iden

tifica

în d

iver

se c

onte

xte

și de

scrie

ver

bal ș

i/sau

în s

cris,

util

izând

term

inol

ogia

și n

otaț

iile

resp

ectiv

e, n

oțiu

nile

geo

met

rice

stud

iate

și p

ropr

ietă

țile

aces

tora

;•

clas

ifica

și c

ompa

ra fi

guril

e ge

omet

rice

stud

iate

în fu

ncție

de

dive

rse

crite

rii;

•re

prez

enta

în p

lan

figur

ile g

eom

etric

e st

udia

te, u

tilizâ

nd in

stru

men

tele

de

dese

n, c

alcu

lato

rul,

inst

rum

ente

le T

IC ș

i apl

ica

repr

e-ze

ntăr

ile re

spec

tive

în re

zolv

area

pro

blem

elor

; •

calc

ula

măs

uri d

e un

ghiu

ri (u

tilizâ

nd ra

port

orul

, ele

men

tele

de

trig

onom

etrie

, crit

eriil

e de

ase

măn

are

stud

iate

), lu

ngim

i de

seg-

men

te, p

erim

etre

ale

figu

rilor

, arii

ale

păt

rate

lor ș

i ale

dre

ptun

ghiu

rilor

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate;

•

aplic

a cr

iterii

le și

pro

prie

tățil

e fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

în d

iver

se c

onte

xte;

•id

entifi

ca în

div

erse

con

text

e și

utiliz

a tr

ansla

ția în

div

erse

dom

enii,

incl

usiv

în re

zolv

area

pro

blem

elor

pra

ctice

;•

iden

tifica

în d

iver

se c

onte

xte

și uti

liza

vect

orii

și op

eraț

iile

cu v

ecto

ri în

div

erse

dom

enii,

incl

usiv

în r

ezol

vare

a pr

oble

mel

or

prac

tice;

•in

vesti

ga v

aloa

rea

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a u

nei p

ropo

ziții

utiliz

ând

exem

ple,

con

trae

xem

ple;

•ju

stific

a un

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții, s

usțin

ând

prop

riile

idei

și o

pini

i.

56

Clas

a a

IX-a

Uni

tăți

de c

ompe

tenț

ăU

nită

ți de

con

ținut

Activ

ități

şi p

rodu

se d

e în

văța

re re

com

anda

te1.

1. Id

entifi

care

a, c

lasi

ficar

ea

în fu

ncție

de

dive

rse

crite

rii

și re

prez

enta

rea

în d

iferit

e fo

rme

a el

emen

telo

r m

ulțim

ilor N

, Z, Q

, R.

1.2.

Iden

tifica

rea

și uti

lizar

ea

term

inol

ogie

i afe

rent

e no

țiuni

i de

num

ăr re

al în

di

vers

e co

ntex

te.

1.3.

Ope

rare

a cu

num

ere

real

e pe

ntru

efe

ctua

rea

calc

ulel

or

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate.

1.4.

Apl

icar

ea a

lgor

itmilo

r de

calc

ul c

u nu

mer

e re

ale

în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or, a

op

eraț

iilor

cu

num

ere

real

e și

a pr

oprie

tățil

or a

cest

ora

în

dife

rite

situa

ții.

1.5.

Apl

icar

ea m

odul

ului

nu

măr

ului

real

și a

pr

oprie

tățil

or a

cest

uia

în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

1.6.

Exp

lora

rea

estim

ărilo

r și a

ro

tunj

irilo

r pen

tru

verifi

care

a co

recti

tudi

nii u

nor c

alcu

le

cu n

umer

e re

ale

în d

iver

se

cont

exte

.

I. M

ulțim

ea n

umer

elor

real

e.

Reca

pitu

lare

şi c

ompl

etăr

i•

Noț

iune

a de

num

ăr re

al. R

epre

zent

area

nu

mer

elor

real

e pe

axă

. Inc

luziu

nile

N

ZQ

R⊂

⊂⊂

• M

odul

ul n

umăr

ului

real

. Pro

prie

tăți:

aa

a

aa

a

abab

a ba b

b

≥≥

==

= =≠

0

0

22

2

;; ;

;

,.

• Co

mpa

rare

a nu

mer

elor

real

e. O

pera

ții

aritm

etice

cu

num

ere

real

e. P

ropr

ietă

ți•

Pute

ri cu

exp

onen

t înt

reg.

Pro

prie

tăți

• Ra

dica

li de

ord

inul

doi

. Pro

prie

tăți.

Ra

ționa

lizar

ea n

umito

rilor

de

form

a

aba

b,

±

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ra

ţiona

lizar

e.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

a n

umer

elor

nat

ural

e, în

treg

i, ra

ționa

le,

irațio

nale

, rea

le, p

uter

i, ra

dica

li și

a pr

oprie

tățil

or

aces

tora

în d

iver

se c

onte

xte;

- sc

riere

a n

umer

elor

real

e în

div

erse

form

e;-

dete

rmin

are

a că

rei m

ulțim

i de

num

ere

îi ap

arțin

e nu

măr

ul d

at;

- ca

lcul

cu

num

ere

real

e și

aplic

are

în c

alcu

le a

mod

ulul

ui,

a al

gorit

milo

r și a

pro

prie

tățil

or st

udia

te;

- or

dona

re, c

ompa

rare

și re

prez

enta

re a

num

erel

or re

ale

pe a

xă;

- ef

ectu

are

de e

stim

ări ș

i rot

unjir

i în

calc

ule

cu n

umer

e, c

u m

ărim

i;-

aplic

are

a nu

mer

elor

real

e în

div

erse

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

rezo

lvar

e a

prob

lem

elor

și a

situ

ațiil

or-p

robl

emă,

uti

lizân

d nu

mer

e re

ale

și op

eraț

ii cu

num

ere

real

e;-

justi

ficar

e și

argu

men

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e și

a te

hnol

ogiil

or d

e ca

lcul

util

izate

;-

form

are

a ob

ișnui

nței

de

a ve

rifica

dac

ă o

prob

lem

ă es

te

sau

nu d

eter

min

ată,

inve

stigâ

nd v

aloa

rea

de a

devă

r a

rezu

ltatu

lui o

bțin

ut;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu

num

ere

real

e, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u

mod

elat

e re

ferit

oare

la n

umer

e re

ale

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

lucr

ări p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or re

ale

în p

racti

că.

57

1.7.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu n

umer

e re

ale,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

dem

onst

rații

.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d uti

lizar

ea n

umer

elor

re

ale

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

num

erel

or re

ale

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

num

erel

or re

ale.

Pr

odus

e re

com

anda

te:

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

sch

ema

ela

bora

tă;

s

ofism

e m

atem

atice

rezo

lvat

e;

alg

oritm

ul a

plic

at;

c

ontr

aexe

mpl

ul p

reze

ntat

;

inve

stiga

ția „

Pute

rile

în d

iver

se d

omen

ii”;

p

roie

ctul

„N

umer

ele

real

e în

via

ța m

ea”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

2.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i și a

not

ațiil

or

afer

ente

noț

iuni

i de

rapo

rt

alge

bric

în d

iver

se c

onte

xte.

2.2.

Det

erm

inar

ea v

alor

ilor

num

eric

e al

e un

or e

xpre

sii

alge

bric

e pe

ntru

dife

rite

valo

ri al

e va

riabi

lelo

r.2.

3. U

tiliza

rea

de a

nalo

gii î

n ef

ectu

area

ope

rații

lor c

u fr

acții

ord

inar

e și

rapo

arte

al

gebr

ice.

II. R

apoa

rte

alge

bric

e

• N

oțiu

nea

de ra

port

alg

ebric

. Dom

eniu

l va

loril

or a

dmisi

bile

(DVA

)•

Ampl

ifica

rea,

sim

plifi

care

a ra

poar

telo

r al

gebr

ice

• O

pera

ții a

ritm

etice

cu

rapo

arte

alg

ebric

e•

Iden

titat

e. E

xpre

sii id

entic

ega

le•

Tran

sfor

măr

i ide

ntice

ale

exp

resii

lor

alge

bric

e•

Dem

onst

rația

uno

r ide

ntită

ți sim

ple

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- d

eter

min

are

a va

loril

or n

umer

ice

ale

unor

exp

resii

al

gebr

ice

pent

ru d

iferit

e va

lori

ale

varia

bile

lor;

- a

plic

are

a al

gorit

milo

r de

calc

ul, u

tilizâ

nd p

ropr

ietă

țile

oper

ațiil

or c

u ra

poar

te a

lgeb

rice;

- e

fect

uare

de

tran

sfor

măr

i ide

ntice

ale

exp

resii

lor

alge

bric

e în

dom

eniu

l val

orilo

r adm

isibi

le a

le a

cest

ora;

- id

entifi

care

și a

plic

are

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

noțiu

nii

de ra

port

alg

ebric

în d

iver

se c

onte

xte;

- d

eter

min

are

a DV

A a

expr

esiil

or a

lgeb

rice

și a

rapo

arte

lor

alge

bric

e;-

apl

icar

e a

rapo

arte

lor a

lgeb

rice

în d

iver

se d

omen

ii.

58

2.4.

Apl

icar

ea a

lgor

itmilo

r de

calc

ul, u

tilizâ

nd p

ropr

ietă

țile

oper

ațiil

or c

u ra

poar

te

alge

bric

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

.2.

5. E

fect

uare

a de

tran

sfor

măr

i id

entic

e al

e ex

pres

iilor

al

gebr

ice

în d

omen

iul

valo

rilor

adm

isibi

le a

cest

ora.

2.6.

Eva

luar

ea şi

ana

liza

unei

pr

oble

me,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

în c

onte

xtul

co

recti

tudi

nii,

al si

mpl

ității

, al

cla

rităț

ii și

al se

mni

ficaț

iei

rezu

ltate

lor.

2.7.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu c

alcu

l alg

ebric

, rec

urgâ

nd

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ra

port

alg

ebric

, num

ărăt

orul

rapo

rtul

ui,

num

itoru

l rap

ortu

lui,

dom

eniu

l val

orilo

r ad

misi

bile

(DVA

), id

entit

ate,

exp

resii

iden

tic

egal

e, tr

ansf

orm

ări i

denti

ce.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

dive

rse

dom

enii

refe

ritoa

re la

cal

culu

l alg

ebric

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

utiliz

area

cal

culu

lui

alge

bric

în d

iver

se d

omen

ii.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ca

lcul

ului

alg

ebric

.

Prod

use

reco

man

date

:

răs

puns

ul o

ral;

r

ăspu

nsul

scris

;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

sch

ema

ela

bora

tă;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

3.1.

Rec

unoa

şter

ea și

apl

icar

ea

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nii d

e fu

ncție

în

div

erse

con

text

e.3.

2. Id

entifi

care

a un

or

depe

nden

țe fu

ncțio

nale

în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e, in

clus

iv d

e tip

ul

func

ției d

e gr

adul

II.

3.3.

Tra

nspu

nere

a în

lim

baju

l fu

ncții

lor a

dife

ritor

situ

ații

din

viaț

a co

tidia

nă și

din

alte

do

men

ii.

III. F

uncț

ii

• N

oțiu

nea

de fu

ncție

. Mod

uri d

e de

finire

a

unei

func

ții•

Grafi

cul f

uncț

iei.

Lect

ură

grafi

că.

Tran

sfor

măr

i ale

gra

ficel

or fu

ncții

lor:

tran

slația

par

alel

ă cu

axe

le d

e co

ordo

nate

•

Prop

rietă

ți al

e fu

ncție

i (ze

rour

i, m

onot

onie

, sem

n, e

xtre

me)

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- co

nstr

uire

a u

nor e

xem

ple

de d

epen

denț

e fu

ncțio

nale

, fu

ncții

;-

apl

icar

e în

con

text

e di

vers

e, in

clus

iv în

com

unic

are,

a

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nii d

e fu

ncție

;-

repr

ezen

tare

în d

iver

se m

odur

i (an

aliti

c, si

nteti

c, g

rafic

) a

unor

cor

espo

nden

țe și

/sau

func

ții;

- d

educ

ere

anal

itică

/prin

lect

ură

grafi

că a

pro

prie

tățil

or

unei

func

ții;

- tr

asar

e a

grafi

celo

r fun

cțiil

or;

- u

tiliza

re a

alg

oritm

ului

de

stud

iu a

l fun

cțiil

or st

udia

te

în re

zolv

area

pro

blem

elor

, a si

tuaț

iilor

-pro

blem

ă,

în st

udie

rea

unor

pro

cese

fizic

e, c

him

ice,

bio

logi

ce,

econ

omic

e, so

cial

e m

odel

ate

prin

func

ții;

59

3.4.

Tra

sare

a gr

aficu

lui u

nei

func

ții, i

nclu

siv a

l une

i fun

cții

de g

radu

l II,

și de

duce

rea

prop

rietă

ților

func

ției

(zer

ouri,

sem

n, m

onot

onie

, ex

trem

e) p

rin le

ctur

a gr

afică

și/

sau

anal

itică

.3.

5. A

plic

area

pro

prie

tățil

or

func

ției d

e gr

adul

II în

re

zolv

area

ecu

ațiil

or, a

in

ecua

țiilo

r, a

prob

lem

elor

, a

situa

țiilo

r-pro

blem

ă,

în st

udiu

l uno

r pro

cese

fiz

ice,

chi

mic

e, b

iolo

gice

, ec

onom

ice,

soci

ale,

m

odel

ate

prin

func

ții.

3.6.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu re

ferir

e la

func

ții,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

de

mon

stra

ții.

• Fu

ncția

de

grad

ul II

. Caz

uri p

artic

ular

e al

e fu

ncție

i de

grad

ul II

. Gra

ficul

func

ției

de g

radu

l II.

Prop

rietă

țile

func

ției d

e gr

adul

II: z

erou

ri, m

onot

onie

, sem

n,

extr

eme

• Fu

ncția

fR

Rfx

x:

,→

()=

3. G

rafic

ul

și pr

oprie

tățil

e e

i (ze

rou,

mon

oton

ie,

sem

n)

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:fu

ncţia

de

grad

ul II

, gra

ficul

func

ţiei d

e gr

adul

II, p

arab

ola,

ram

urile

par

abol

ei,

vârf

ul p

arab

olei

, axa

de

simet

rie a

pa

rabo

lei,

tran

slaţia

par

alel

ă a

grafi

culu

i în

rapo

rt c

u ax

ele

de c

oord

onat

e, p

unct

e de

ex

trem

, ext

rem

ele

func

ţiei.

- tr

ansp

uner

e în

lim

baju

l fun

cțiil

or a

dife

ritor

situ

ații

din

viaț

a co

tidia

nă și

din

alte

dom

enii;

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

un

ei p

ropo

ziții,

incl

usiv

cu

ajut

orul

exe

mpl

elor

, al

cont

raex

empl

elor

.•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

rea

le şi

/sau

m

odel

ate

refe

ritoa

re la

func

ţiile

stu

diat

e şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea fu

ncţii

lor s

tudi

ate

în p

racti

că.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d ap

licar

ea fu

ncţii

lor

stud

iate

în d

iver

se d

omen

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

func

ţiilo

r stu

diat

e în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a fu

ncţii

lor s

tudi

ate.

Prod

use

reco

man

date

:

răs

puns

ul o

ral;

r

ăspu

nsul

scris

;

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

in

vesti

gația

„El

emen

te a

le g

rafic

elor

func

țiilo

r stu

diat

e în

co

nstr

ucții

le d

in lo

calit

ate”

;

gra

ficel

e tr

asat

e;

alg

oritm

ul a

plic

at;

p

roie

ctul

„Fu

ncții

le în

tehn

ică”

;

pro

iect

ul „

Func

țiile

în a

rte”

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

60

4.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

term

inol

ogie

i, a

nota

țiilo

r af

eren

te n

oțiu

nilo

r de

ecua

ție, i

necu

ație

, sist

em d

e ec

uații

, sist

em d

e in

ecua

ții,

în d

iver

se c

onte

xte.

4.2.

Rez

olva

rea

ecua

țiilo

r, a

in

ecua

țiilo

r și/s

au a

sis

tem

elor

de

tipur

ile

stud

iate

4.3.

Tra

nspu

nere

a un

ei

prob

lem

e, a

une

i situ

ații-

prob

lem

ă în

lim

baju

l ec

uații

lor ș

i/sau

al s

istem

elor

de

ecu

ații,

rezo

lvar

ea

prob

lem

ei o

bțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui.

4.4.

Sel

ecta

rea

și ap

licar

ea

met

odei

ade

cvat

e de

re

zolv

are

a ec

uații

lor,

a in

ecua

țiilo

r și a

sist

emel

or d

e ec

uații

/inec

uații

. 4.

5. A

plic

area

ecu

ațiil

or și

a

siste

mel

or d

e ec

uații

la

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

4.6.

Cre

area

şi re

zolv

area

uno

r pr

oble

me

simpl

e în

baz

a un

ui m

odel

dat

: ecu

ație

, in

ecua

ție, s

istem

.4.

7. Ju

stific

area

unu

i dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

refe

rire

la e

cuaț

ii,

inec

uații

, sist

eme,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

dem

onst

rații

.

IV. E

cuaț

ii, in

ecua

ții, s

istem

e

• N

oțiu

nea

de e

cuaț

ie.

Tran

sfor

măr

i ech

ival

ente

• Ec

uații

de

form

a ax

babR

+=

∈0,

,

• Ec

uații

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă.

Rela

ții în

tre

solu

ții și

coe

ficie

nți

• Ec

uații

rațio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă•

Sist

eme

de d

ouă

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

do

uă n

ecun

oscu

te•

Met

ode

de re

zolv

are

a sis

tem

elor

de

dou

ă ec

uații

de

grad

ul I

cu d

ouă

necu

nosc

ute

(met

oda

redu

cerii

, met

oda

subs

tituț

iei,

met

oda

grafi

că)

• Re

zolv

area

pro

blem

elor

cu

text

cu

ajut

orul

ecu

ațiil

or și

/sau

al s

istem

elor

de

ecu

ații

• In

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă•

Inec

uații

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă•

Met

oda

inte

rval

elor

• Si

stem

e de

inec

uații

de

grad

ul I

cu o

ne

cuno

scut

ă•

Inec

uații

rațio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ec

uaţii

raţio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă,

inec

uaţii

raţio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă,

met

oda

inte

rval

elor

.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

și a

plic

are

a te

rmin

olog

iei,

a no

tații

lor

afer

ente

noț

iuni

lor d

e ec

uație

, ine

cuaț

ie, s

istem

de

ecua

ții, s

istem

de

inec

uații

;-

dete

rmin

are

a so

luții

lor e

cuaț

iilor

, ale

inec

uații

lor,

ale

siste

mel

or d

e tip

urile

stud

iate

;-

efec

tuar

e a

tran

sfor

măr

ilor e

chiv

alen

te p

entr

u a

obțin

e ec

uații

, ine

cuaț

ii, si

stem

e ec

hiva

lent

e cu

cel

e da

te;

- de

term

inar

e a

solu

țiilo

r sist

emel

or d

e do

uă e

cuaț

ii de

gr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e pr

in d

iver

se m

etod

e:

met

oda

redu

cerii

, met

oda

subs

tituț

iei,

met

oda

grafi

că;

- tr

ansp

uner

e a

unei

pro

blem

e, a

une

i situ

ații-

prob

lem

ă în

lim

baju

l ecu

ațiil

or, a

l ine

cuaț

iilor

și/s

au a

l sist

emel

or,

rezo

lvar

ea p

robl

emei

obț

inut

e și

inte

rpre

tare

a re

zulta

tulu

i;-

dete

rmin

are

a so

luții

lor e

cuaț

iilor

rațio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă;-

aplic

are

a m

etod

ei in

terv

alel

or la

rezo

lvar

ea in

ecua

țiilo

r ra

ționa

le c

u o

necu

nosc

ută;

- cr

eare

și re

zolv

are

a un

or p

robl

eme

simpl

e în

baz

a un

ui

mod

el d

at: e

cuaț

ie, i

necu

ație

, sist

em.

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat c

u in

egal

ități,

ecu

ații,

inec

uații

, rec

urgâ

nd la

arg

umen

tări,

ex

empl

e, c

ontr

aexe

mpl

e.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

ecu

aţiil

e, in

ecua

ţiile

, sist

emel

e st

udia

te şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

aplic

area

ecu

aţiil

or, a

in

ecua

ţiilo

r, a

siste

mel

or st

udia

te în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea e

cuaţ

iilor

, a in

ecua

ţiilo

r, a

siste

mel

or st

udia

te în

sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Aplic

area

jocu

rilor

did

actic

e în

pre

dare

a –

învă

ţare

a –

eval

uare

a ec

uaţii

lor,

a in

ecua

ţiilo

r, a

siste

mel

or st

udia

te.

61

Prod

use

reco

man

date

:

exe

rciți

ul re

zolv

at;

p

robl

ema

rezo

lvat

ă;

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

s

chem

a e

labo

rată

;

pla

nul d

e id

ei;

s

ofism

e m

atem

atice

rezo

lvat

e;

g

rafic

e tr

asat

e;

alg

oritm

ul a

plic

at;

p

roie

ctul

„Ec

uații

, ine

cuaț

ii, si

stem

e în

fizic

ă, c

him

ie”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

5.1.

Iden

tifica

rea

și ap

licar

ea

în d

iver

se c

onte

xte

a te

rmin

olog

iei ș

i a n

otaț

iilor

af

eren

te n

oțiu

nilo

r stu

diat

e di

n st

atisti

că m

atem

atică

, te

oria

pro

babi

lităț

ilor ș

i ca

lcul

fina

ncia

r.5.

2. S

orta

rea,

cla

sific

area

da

telo

r, a

obie

ctel

or, a

ev

enim

ente

lor p

e ba

za

unor

crit

erii

și id

entifi

care

a cr

iterii

lor î

n fu

ncție

de

care

se a

lege

o m

ulțim

e de

ob

iect

e, d

ate,

feno

men

e,

even

imen

te.

5.3.

Sel

ecta

rea

din

mul

țimea

da

telo

r cul

ese

a in

form

ațiil

or

rele

vant

e pe

ntru

rezo

lvar

ea

prob

lem

ei în

situ

ații

real

e

și/sa

u m

odel

ate.

V. E

lem

ente

de

stati

stică

mat

emati

că şi

de

teor

ia p

roba

bilit

ățilo

r.

Elem

ente

de

calc

ul fi

nanc

iar

• Co

lect

area

, org

aniza

rea

și re

prez

enta

rea

grafi

că a

dat

elor

în ta

bele

de

date

st

atisti

ce, d

iagr

ame,

gra

fice

stati

stice

• In

terp

reta

rea

date

lor

• N

oțiu

nea

de e

veni

men

t•

Clas

ifica

rea

even

imen

telo

r•

Dete

rmin

area

pro

babi

lităț

ii pr

oduc

erii

unui

eve

nim

ent,

folo

sind

rapo

rtul

: nr

. caz

uri f

avor

abile

/nr.

cazu

ri po

sibile

• El

emen

te d

e ca

lcul

fina

ncia

r: pr

ocen

te,

dobâ

nzi,

TVA,

pre

ț, c

redi

t, bu

get,

buge

t fa

mili

al, b

uget

per

sona

l

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- ev

iden

țiere

și c

lasifi

care

a d

iferit

or ti

puri

de e

veni

men

te;

- ap

licar

e în

div

erse

situ

ații,

incl

usiv

în c

omun

icar

e, a

te

rmin

olog

iei ș

i a n

otaț

iilor

afe

rent

e no

țiuni

lor s

tudi

ate;

- so

rtar

e, c

lasifi

care

, rep

reze

ntar

e gr

afică

a d

atel

or, a

ob

iect

elor

, a e

veni

men

telo

r pe

baz

a un

or c

riter

ii;-

sele

ctar

e di

n m

ulțim

ea d

atel

or c

ules

e a

info

rmaț

iilor

re

leva

nte

pent

ru re

zolv

area

pro

blem

ei în

situ

ații

real

e

și/sa

u m

odel

ate;

- de

term

inar

e a

prob

abili

tății

pro

duce

rii u

nui e

veni

men

t, fo

losin

d ra

port

ul: n

r. ca

zuri

favo

rabi

le/n

r. ca

zuri

posib

ile;

- or

gani

zare

și re

prez

enta

re, u

tilizâ

nd, i

nclu

siv,

inst

rum

ente

le T

IC, a

dat

elor

din

div

erse

dom

enii;

- in

terp

reta

re a

dat

elor

în d

iver

se c

onte

xte;

-

aplic

are

a el

emen

telo

r de

calc

ul fi

nanc

iar î

n sit

uații

real

e și/

sau

mod

elat

e;-

expl

orar

e și

cara

cter

izare

a u

nor s

ituaț

ii cu

car

acte

r loc

al

și/sa

u gl

obal

util

izând

ele

men

tele

stati

stici

i mat

emati

ce,

prob

abili

stice

, ele

men

tele

de

calc

ul fi

nanc

iar s

tudi

ate.

62

5.4.

Iden

tifica

rea

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

a ev

enim

ente

lor.

5.5.

Det

erm

inar

ea p

roba

bilit

ății

prod

ucer

ii un

ui e

veni

men

t, fo

losin

d ra

port

ul: n

r. ca

zuri

favo

rabi

le/n

r. ca

zuri

posib

ile.

5.6.

Cla

sific

area

eve

nim

ente

lor î

n fu

ncție

de

șans

a pr

oduc

erii

lor (

even

imen

t sig

ur,

prob

abil,

pos

ibil,

impo

sibil)

și

estim

area

șans

ei p

rodu

cerii

un

ui e

veni

men

t.5.

7. A

plic

area

ele

men

telo

r de

ca

lcul

fina

ncia

r în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.5.

8. O

rgan

izare

a, re

prez

enta

rea

și in

terp

reta

rea

date

lor

din

dive

rse

dom

enii,

uti

lizân

d el

emen

te a

le

stati

stici

i mat

emati

ce și

/sau

pr

obab

ilisti

ce, i

nstr

umen

te

TIC.

5.9.

Exp

lora

rea

și ca

ract

eriza

rea

unor

situ

ații

cu c

arac

ter

loca

l și/s

au g

loba

l util

izând

el

emen

tele

stati

stici

i m

atem

atice

, pro

babi

listic

e,

elem

ente

le d

e ca

lcul

fin

anci

ar st

udia

te.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ta

belu

l de

date

stati

stice

, dia

gram

e pr

in

cerc

uri,

diag

ram

e pr

in p

ătra

te, d

iagr

ame

stru

ctur

ale,

eve

nim

ent a

leat

or, e

veni

men

te

elem

enta

re, e

veni

men

te e

gal p

osib

ile,

defin

iţia

clas

ică

a pr

obab

ilită

ţii,

prob

abili

tate

a ev

enim

entu

lui a

leat

oriu

, el

emen

te d

e ca

lcul

fina

ncia

r, do

bânz

i, TV

A,

preţ

, cre

dit,

buge

t, bu

get f

amili

al, b

uget

pe

rson

al.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

ele

men

tele

stati

stici

i mat

emati

ce,

prob

abili

stice

, ele

men

tele

de

calc

ul fi

nanc

iar s

tudi

ate

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

iden

tifica

te.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d a

plic

area

ele

men

telo

r st

atisti

cii m

atem

atice

, pro

babi

listic

e, e

lem

ente

lor d

e ca

lcul

fin

anci

ar st

udia

te în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea e

lem

ente

lor s

tatis

ticii

mat

emati

ce, p

roba

bilis

tice,

el

emen

telo

r de

calc

ul fi

nanc

iar s

tudi

ate

în si

tuaţ

ii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

• Ap

licar

ea jo

curil

or d

idac

tice

în p

reda

rea

– în

văţa

rea

– ev

alua

rea

elem

ente

lor s

tatis

ticii

mat

emati

ce, p

roba

bilis

tice,

el

emen

telo

r de

calc

ul fi

nanc

iar s

tudi

ate.

Prod

use

reco

man

date

:

caz

ul c

erce

tat,

cu a

plic

ații

prac

tice;

e

xerc

ițiul

rezo

lvat

;

pro

blem

a re

zolv

ată;

a

lgor

itmul

apl

icat

;

inve

stiga

ția „

Even

imen

tele

în v

iața

mea

”;

p

roie

ctul

„Bu

getu

l fam

iliei

și b

uget

ul p

erso

nal”.

p

roie

ctul

„St

atisti

ca în

pro

fesii

le p

ărin

ților

”;

d

iagr

ama

stati

stică

ela

bora

tă;

p

roie

ctul

„St

atisti

ca în

eco

nom

ie”;

p

roie

ctul

„Fi

nanț

ele

în v

iața

mea

”;

gra

fice

stati

stice

ela

bora

te;

s

onda

je st

atisti

ce re

aliza

te;

a

rgum

enta

rea

oral

ă/în

scris

;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

63

5.10

. Jus

tifica

rea

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

ele

men

tele

stati

stici

i m

atem

atice

, pro

babi

listic

e,

elem

ente

le d

e ca

lcul

fin

anci

ar st

udia

te, s

usțin

ând

prop

riile

idei

și v

iziun

i, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

.6.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

te

rmin

olog

iei,

a no

tații

lor

afer

ente

noț

iuni

lor d

e ce

rc și

di

sc în

div

erse

con

text

e.6.

2. R

ecun

oaşt

erea

în

situa

ții

real

e și/

sau

mod

elat

e a

ce

rcur

ilor,

a di

scur

ilor ș

i a

elem

ente

lor l

or.

6.3.

Con

stru

irea

în p

lan,

uti

lizân

d in

stru

men

tele

de

dese

n, in

stru

men

tele

TIC

, a

cerc

urilo

r, a

disc

urilo

r și a

el

emen

telo

r ace

stor

a.6.

4. A

plic

area

cer

culu

i, a

disc

ului

, a p

ropr

ietă

ților

și

a el

emen

telo

r ace

stor

a în

re

zolv

area

pro

blem

elor

din

di

vers

e do

men

ii.6.

5. T

rans

pune

rea

unei

pr

oble

me,

a u

nei s

ituaț

ii-pr

oble

mă

refe

ritoa

re la

cer

c,

disc

în li

mba

jul g

eom

etric

, re

zolv

area

pro

blem

ei

obțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui.

VI. C

ercu

l. Di

scul

. Rec

apitu

lare

şi

com

plet

ări

• Ce

rcul

. Disc

ul. E

lem

ente

• Po

ziția

rela

tivă

a un

ei d

rept

e fa

ță d

e un

ce

rc/d

isc•

Ung

hi la

cen

tru.

Ung

hi în

scris

în c

erc.

Arc

de

cer

c •

Tang

enta

la c

erc.

Pro

prie

tăți

• Pr

oprie

tate

a co

arde

lor e

gal d

epăr

tate

de

cent

rul c

ercu

lui

• Pr

oprie

tate

a ar

celo

r cup

rinse

într

e co

arde

par

alel

e

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ta

ngen

ta la

cer

c.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

, des

crie

re v

erba

lă și

în sc

ris a

figu

rilor

ge

omet

rice

stud

iate

;-

clas

ifica

re și

com

para

re a

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

;-

repr

ezen

tare

în p

lan

a fig

urilo

r geo

met

rice

stud

iate

, uti

lizân

d in

stru

men

tele

de

dese

n și/

sau

inst

rum

ente

TI

C și

aplic

area

repr

ezen

tăril

or re

spec

tive

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or;

- ap

licar

e a

prop

rietă

ților

cer

curil

or și

ale

disc

urilo

r în

dive

rse

dom

enii;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e di

n pr

actic

ă cu

refe

rire

la

cerc

uri ș

i disc

uri;

- co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv,

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

de

dem

onst

rație

;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

cerc

uri ș

i disc

uri r

ecur

gând

la a

rgum

entă

ri, d

emon

stra

ții;

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

une

i pr

opoz

iții c

u aj

utor

ul d

emon

stra

țiilo

r, al

exe

mpl

elor

, al

cont

raex

empl

elor

.•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la c

erc

şi di

sc şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei

iden

tifica

te.

64

6.6.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii cu

car

acte

r ge

omet

ric, r

efer

itoar

e la

ce

rc, d

isc.

6.7.

Con

stru

irea

unor

secv

ențe

sim

ple

de ra

ționa

men

t de

ducti

v, în

con

text

ul

cerc

ului

, al d

iscul

ui.

6.8.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu c

ercu

ri și

disc

uri,

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

de

mon

stra

ții.

• Re

aliza

rea

unor

lucr

ări p

racti

ce, i

nclu

siv p

e te

ren,

priv

ind

aplic

area

cer

curil

or şi

a d

iscur

ilor î

n pr

actic

ă.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

apl

icar

ea c

ercu

rilor

şi

a di

scur

ilor î

n di

vers

e do

men

ii.•

Real

izare

a un

or p

roie

cte

de g

rup/

indi

vidu

ale,

priv

ind

aplic

area

cer

curil

or şi

a d

iscur

ilor î

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.

Prod

use

reco

man

date

:

pro

blem

a re

zolv

ată;

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

inve

stiga

ția „C

ercu

l și d

iscul

în v

iața

mea

”;

sch

ema

ela

bora

tă;

p

lanu

l de

idei

ela

bora

t;

alg

oritm

ul a

plic

at;

p

roie

ctul

„Cer

cul ș

i disc

ul în

arh

itect

ură”

.

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.7.

1. Id

entifi

care

a și

aplic

area

în

div

erse

con

text

e a

term

inol

ogie

i afe

rent

e no

țiuni

i de

arie

și d

e ca

lcul

al

ariil

or fi

guril

or.

7.2.

Rec

unoa

şter

ea în

div

erse

co

ntex

te și

util

izare

a fo

rmul

elor

de

calc

ul a

l ar

iilor

triu

nghi

ului

, ale

pa

trul

ater

elor

, ale

disc

ului

în

rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

VII.

Arii

• N

oțiu

nea

de a

rie

• Ar

ia p

ătra

tulu

i, dr

eptu

nghi

ului

• Ar

ia p

aral

elog

ram

ului

• Ar

ia ro

mbu

lui

• Ar

ia tr

iung

hiul

ui (A

= 0

,5 a

h; fo

rmul

a lu

i He

ron)

• Ar

ia tr

apez

ului

• Ar

ia tr

iung

hiul

ui e

chila

tera

l•

Aria

hex

agon

ului

regu

lat

• Lu

ngim

ea c

ercu

lui.

Aria

disc

ului

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- re

prez

enta

re în

pla

n a

figur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le d

e de

sen

și/s

au in

stru

men

te

TIC

și ap

licar

e a

repr

ezen

tăril

or re

spec

tive

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or d

e ca

lcul

de

arii;

- ca

lcul

are

a ar

iilor

figu

rilor

geo

met

rice

stud

iate

în d

iver

se

cont

exte

;-

anal

iză și

inte

rpre

tare

a re

zulta

telo

r obț

inut

e pr

in

rezo

lvar

ea u

nor p

robl

eme

prac

tice

cu re

ferir

e la

figu

rile

geom

etric

e st

udia

te și

la u

nită

țile

de m

ăsur

ă re

leva

nte

ariil

or;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat c

u ar

ii al

e fi

guril

or g

eom

etric

e re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

;

65

7.3.

Util

izare

a fo

rmul

elor

de

calc

ul a

l arii

lor fi

guril

or

geom

etric

e st

udia

te în

re

zolv

area

pro

blem

elor

, a

situa

țiilo

r-pro

blem

ă di

n di

ferit

e do

men

ii (fi

zică,

te

hnic

ă, c

onst

rucț

ii).

7.4.

Cal

cula

rea

ariil

or în

situ

ații

real

e și/

sau

mod

elat

e.7.

5. E

labo

rare

a pl

anul

ui d

e re

zolv

are

a pr

oble

mei

re

ferit

oare

la c

alcu

lul

ariil

or în

con

text

e va

riate

și

rezo

lvar

ea p

robl

emei

în

conf

orm

itate

cu

plan

ul.

7.6.

Inve

stiga

rea

valo

rii d

e ad

evăr

a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii re

ferit

oare

la

arii.

7.7.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat c

u ar

ii al

e fig

urilo

r ge

omet

rice

stud

iate

, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

.

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ar

ia u

nei fi

guri,

form

ula

lui H

eron

, aria

tr

iung

hiul

ui, a

ria p

aral

elog

ram

ului

, aria

ro

mbu

lui,

aria

trap

ezul

ui, a

ria tr

iung

hiul

ui

regu

lat,

aria

hex

agon

ului

regu

lat.

- co

nstr

uire

a u

nor s

ecve

nțe

simpl

e de

rațio

nam

ent

dedu

ctiv,

rezo

lvar

e a

unor

pro

blem

e sim

ple

de

dem

onst

rație

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii r

eale

şi/s

au

mod

elat

e re

ferit

oare

la a

riile

figu

rilor

stud

iate

şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, p

rivin

d ap

licar

ea a

riilo

r în

prac

tică.

• Re

aliza

rea

unor

inve

stiga

ţii p

rivin

d ap

licar

ea a

riilo

r în

dive

rse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea a

riilo

r în

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate.

Prod

use

reco

man

date

:

pro

blem

a re

zolv

ată;

d

emon

stra

ția;

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

inve

stiga

ția „

Ariil

e în

sala

de

clas

ă”;

s

chem

a el

abor

ată;

p

lanu

l de

idei

;

alg

oritm

ul a

plic

at;

p

roie

ctul

„Ar

iile

în v

iața

mea

”;

pro

iect

ul „

Ariil

e în

art

e”;

lu

crar

ea p

racti

că p

e te

ren

„Cal

cula

rea

ariil

or în

cur

tea

școl

ii”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

66

8.1.

Iden

tifica

rea

în d

iver

se

enun

țuri

și c

lasi

ficar

ea în

fu

ncție

de

dive

rse

crite

rii a

po

liedr

elor

stud

iate

.8.

2. R

ecun

oaşt

erea

și a

plic

area

în

div

erse

con

text

e a

term

inol

ogie

i afe

rent

e po

liedr

elor

stud

iate

.8.

3. C

alcu

lare

a ar

iilor

, a

volu

mel

or p

olie

drel

or,

utiliz

ând

form

ulel

e co

resp

unză

toar

e și/

sau

de

sfăș

urăr

ile a

cest

ora.

8.

4. A

plic

area

pol

iedr

elor

pen

tru

a id

entifi

ca și

a e

xplic

a pr

oces

e, fe

nom

ene

din

dive

rse

dom

enii.

8.5.

Tra

nspu

nere

a un

ei si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

re

ferit

oare

la p

olie

dre

în li

mba

jul g

eom

etric

, re

zolv

area

pro

blem

ei

obțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui.

8.6.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

rezo

lvar

e a

prob

lem

ei

cu p

olie

dre

și re

zolv

area

pr

oble

mei

în c

onfo

rmita

te c

u pl

anul

ela

bora

t.8.

7. In

vesti

gare

a va

lorii

de

adev

ăr a

une

i afir

maț

ii, a

un

ei p

ropo

ziții

refe

ritoa

re la

po

liedr

e.

VIII.

Pol

iedr

e

• Pr

isma

și el

emen

tele

ei (

vârf,

muc

hie,

ba

ză, f

ață

late

rală

, înă

lțim

e, d

iago

nală

). Cl

asifi

care

a pr

ismel

or (p

rism

ă dr

eapt

ă,

prism

ă ob

lică,

pris

mă

regu

lată

, pa

rale

lipip

ed, p

aral

elip

iped

dre

ptun

ghic

, pa

rale

lipip

ed d

rept

, cub

). De

sfăș

urat

a su

praf

eței

une

i pris

mei

dre

pte

• Ar

ia su

praf

ețel

or și

vol

umul

pris

mei

dr

epte

• Pi

ram

ida

și el

emen

tele

ei (

vârf,

muc

hie,

ba

ză, f

ață

late

rală

, înă

lțim

e, a

pote

mă)

. Cl

asifi

care

a pi

ram

idel

or (p

iram

idă

drea

ptă,

pira

mid

ă ob

lică,

pira

mid

ă re

gula

tă, t

etra

edru

, tet

raed

ru re

gula

t).

Desf

ășur

ata

supr

afeț

ei u

nei p

iram

ide

• Ar

ia su

praf

ețel

or și

vol

umul

pira

mid

ei

regu

late

(triu

nghi

ular

e, p

atru

late

re,

hexa

gona

le)

• Tr

unch

iul d

e pi

ram

idă.

Ele

men

te.

Clas

ifica

re

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:pr

ismă,

pris

mă

drea

ptă,

pris

mă

oblic

ă, p

rism

ă re

gula

tă, p

aral

elip

iped

, pa

rale

lipip

ed d

rept

, aria

late

rală

a u

nei

prism

e, a

ria to

tală

a u

nei p

rism

e dr

epte

, vo

lum

ul p

rism

ei d

rept

e, a

pote

mă,

pira

mid

ă dr

eapt

ă, p

iram

idă

oblic

ă, p

iram

idă

regu

lată

, tet

raed

ru, t

etra

edru

regu

lat,

aria

la

tera

lă a

pira

mid

ei re

gula

te, a

ria to

tală

a

pira

mid

ei re

gula

te, v

olum

ul p

iram

idei

re

gula

te, t

runc

hi d

e pi

ram

idă.

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

, des

crie

re v

erba

lă și

în sc

ris, u

tilizâ

nd

nota

țiile

resp

ectiv

e, a

pol

iedr

elor

stud

iate

și/s

au a

el

emen

telo

r ace

stor

a;-

repr

ezen

tare

în p

lan

a co

rpur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le d

e de

sen

și/sa

u in

stru

men

te

TIC

și ap

licar

e a

repr

ezen

tăril

or re

spec

tive

în re

zolv

area

pr

oble

mel

or d

e ca

lcul

de

arii

și/sa

u vo

lum

e;-

calc

ul a

l arii

lor s

upra

fețe

lor ș

i/sau

al v

olum

elor

po

liedr

elor

stud

iate

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

din

dife

rite

dom

enii;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la

polie

drel

e st

udia

te și

la u

nită

țile

de m

ăsur

ă re

leva

nte

ariil

or, v

olum

elor

;-

justi

ficar

e a

unui

dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

figu

ri ge

omet

rice

recu

rgân

d la

arg

umen

tări,

de

mon

stra

ții;

- in

vesti

gare

a v

alor

ii de

ade

văr a

une

i afir

maț

ii, a

un

ei p

ropo

ziții,

incl

usiv

cu

ajut

orul

exe

mpl

elor

, al

cont

raex

empl

elor

, al d

emon

stra

țiilo

r.•

Cerc

etar

ea u

nor c

azur

i con

cret

e di

n sit

uaţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e re

ferit

oare

la p

olie

dre

şi so

luţio

nare

a pr

oble

mei

id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

aplic

area

pol

iedr

elor

în

dive

rse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea p

olie

drel

or în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, şi

de

labo

rato

r priv

ind

calc

ulul

arii

lor ş

i al v

olum

elor

pol

iedr

elor

.

67

8.8.

Justi

ficar

ea u

nui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu p

olie

dre,

recu

rgân

d la

ar

gum

entă

ri, d

emon

stra

ții.

Prod

use

reco

man

date

:

pro

blem

a re

zolv

ată;

c

azul

cer

ceta

t cu

aplic

ații

prac

tice;

in

vesti

gația

„Po

liedr

ele

în c

asa

mea

”;

pla

nul d

e id

ei e

labo

rat;

s

chem

a el

abor

ată;

p

roie

ctul

„Po

liedr

ele

în c

onst

rucț

iile

din

loca

litat

e”;

lu

crar

ea d

e la

bora

tor „

Calc

ular

ea v

olum

elor

obi

ecte

lor,

avân

d fo

rma

unui

pol

iedr

u”;

m

atric

ea d

e as

ocie

re c

ompl

etat

ă;

har

ta c

once

ptua

lă e

labo

rată

la c

apito

l;

tes

tul s

umati

v re

zolv

at.

9.1.

Iden

tifica

rea

în d

iver

se

enun

țuri

și cl

asifi

care

a în

baz

a di

vers

elor

crit

erii

a co

rpur

ilor d

e ro

tație

st

udia

te.

9.2.

Rec

unoa

şter

ea și

apl

icar

ea

în d

iver

se c

onte

xte

a te

rmin

olog

iei a

fere

nte

corp

urilo

r de

rota

ție

stud

iate

.9.

3. C

alcu

lare

a ar

iilor

, a

supr

afeț

elor

, a v

olum

elor

co

rpur

ilor d

e ro

tație

, uti

lizân

d fo

rmul

ele

core

spun

zăto

are

și/sa

u

desf

ășur

ările

ace

stor

a.

9.4.

Apl

icar

ea c

orpu

rilor

de

rota

ție p

entr

u a

iden

tifica

și

a ex

plic

a pr

oces

e, fe

nom

ene

din

dive

rse

dom

enii.

IX. C

orpu

ri de

rota

ție

• N

oțiu

ne d

e ci

lindr

u. C

ilind

rul c

ircul

ar

drep

t și e

lem

ente

le lu

i (ra

ză, d

iam

etru

, ba

ză, s

upra

față

late

rală

, ge

nera

toar

e,

înăl

țime,

axă

de

simet

rie, s

ecțiu

ne

axia

lă).

De

sfăș

urat

a su

praf

eței

unu

i cili

ndru

ci

rcul

ar d

rept

• Ar

ia su

praf

ețel

or ș

i vol

umul

cili

ndru

lui

circ

ular

dre

pt•

Noț

iune

a de

con

. Con

ul c

ircul

ar d

rept

și

elem

ente

le lu

i (vâ

rf, b

ază,

supr

afaț

ă la

tera

lă, î

nălți

me,

gen

erat

oare

, axă

de

simet

rie, s

ecțiu

ne a

xial

ă). D

esfă

șura

ta

supr

afeț

ei c

onul

ui c

ircul

ar d

rept

•

Aria

supr

afeț

elor

și v

olum

ul c

onul

ui

circ

ular

dre

pt•

Trun

chiu

l de

con

circ

ular

dre

pt.

Elem

ente

• Re

zolv

area

exe

rciţi

ilor ş

i pro

blem

elor

de:

- id

entifi

care

, des

crie

re v

erba

lă și

în sc

ris, u

tilizâ

nd

nota

țiile

resp

ectiv

e, a

cor

puril

or d

e ro

tație

stud

iate

și/

sau

a el

emen

telo

r ace

stor

a;-

repr

ezen

tare

în p

lan

a co

rpur

ilor g

eom

etric

e st

udia

te,

utiliz

ând

inst

rum

ente

le d

e de

sen

și/sa

u in

stru

men

te

TIC

și ap

licar

ea re

prez

entă

rilor

resp

ectiv

e în

rezo

lvar

ea

prob

lem

elor

de

calc

ul a

l arii

lor ș

i/sau

al v

olum

elor

;-

calc

ul a

l arii

lor s

upra

fețe

lor ș

i/sau

al v

olum

elor

cor

puril

or

de ro

tație

stud

iate

în si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

din

dife

rite

dom

enii;

- an

aliză

și in

terp

reta

re a

rezu

ltate

lor o

bțin

ute

prin

re

zolv

area

uno

r pro

blem

e pr

actic

e cu

refe

rire

la

corp

urile

de

rota

ție s

tudi

ate

și la

uni

tățil

e de

măs

ură

rele

vant

e ar

iilor

, vol

umel

or;

- ju

stific

are

a un

ui d

emer

s/re

zulta

t obț

inut

sau

indi

cat

cu c

orpu

ri de

rota

ție re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

;-

inve

stiga

re a

val

orii

de a

devă

r a u

nei a

firm

ații,

a

unei

pro

poziț

ii, in

clus

iv c

u aj

utor

ul e

xem

plel

or, a

l co

ntra

exem

plel

or, a

l dem

onst

rații

lor.

68

9.5.

Tra

nspu

nere

a un

ei si

tuaț

ii re

ale

și/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

cor

puril

e de

ro

tație

în li

mba

jul g

eom

etric

, re

zolv

area

pro

blem

ei

obțin

ute

și in

terp

reta

rea

rezu

ltatu

lui.

9.6.

Ela

bora

rea

plan

ului

de

rezo

lvar

e a

prob

lem

ei

cu c

orpu

rile

de ro

tație

și

rezo

lvar

ea p

robl

emei

în

conf

orm

itate

cu

plan

ul

elab

orat

.9.

7. In

vesti

gare

a va

lorii

de

adev

ăr a

une

i afir

maț

ii, a

un

ei p

ropo

ziții

refe

ritoa

re la

co

rpur

ile d

e ro

tație

, inc

lusiv

cu

aju

toru

l exe

mpl

elor

, al

con

trae

xem

plel

or, a

l de

mon

stra

țiilo

r.9.

8. Ju

stific

area

unu

i dem

ers/

rezu

ltat o

bțin

ut sa

u in

dica

t cu

cor

puri

de ro

tație

, re

curg

ând

la a

rgum

entă

ri,

dem

onst

rații

.

• Sf

era

și co

rpul

sfer

ic. E

lem

ente

(ce

ntru

, ra

ză, d

iam

etru

). Ar

ia su

praf

eței

sfer

ice.

Vo

lum

ul c

orpu

lui s

feric

Elem

ente

noi

de

limba

j mat

emati

c:ci

lindr

u ci

rcul

ar d

rept

, con

circ

ular

dre

pt,

trun

chiu

l de

con

circ

ular

dre

pt, s

upra

faţă

la

tera

lă, s

upra

faţă

tota

lă, a

xă d

e sim

etrie

, se

cţiu

ne a

xial

ă, c

orp

sfer

ic, d

esfă

şura

ta

cilin

drul

ui c

ircul

ar d

rept

, des

făşu

rata

co

nulu

i circ

ular

dre

pt.

• Ce

rcet

area

uno

r caz

uri c

oncr

ete

din

situa

ţii re

ale

şi/sa

u m

odel

ate

refe

ritoa

re la

cor

puril

e de

rota

ţie şi

solu

ţiona

rea

prob

lem

ei id

entifi

cate

.•

Real

izare

a un

or in

vesti

gaţii

priv

ind

aplic

area

corp

urilo

r de

rota

ţie în

div

erse

dom

enii.

• Re

aliza

rea

unor

pro

iect

e de

gru

p/in

divi

dual

e, p

rivin

d ap

licar

ea c

orpu

rilor

de

rota

ţie în

situ

aţii

real

e şi/

sau

mod

elat

e.•

Real

izare

a un

or lu

crăr

i pra

ctice

, inc

lusiv

pe

tere

n, şi

de

labo

rato

r priv

ind

calc

ulul

arii

lor ş

i al v

olum

elor

cor

puril

or d

e ro

taţie

.

Prod

use

reco

man

date

:

pro

blem

a re

zolv

ată;

c

azul

cer

ceta

t, cu

apl

icaț

ii pr

actic

e;

inve

stiga

ția „C

orpu

rile

de ro

tație

în c

asa

mea

”;

alg

oritm

ul a

plic

at;

s

chem

a el

abor

ată;

p

lanu

l de

idei

;

pro

iect

ul „C

orpu

rile

de ro

tație

în c

onst

rucț

iile

din

loca

litat

e”.

p

roie

ctul

„Cor

puril

e de

rota

ție în

art

e”;

lu

crar

ea d

e la

bora

tor „

Calc

ular

ea v

olum

elor

obi

ecte

lor,

avân

d fo

rma

unui

cor

p ro

tund

”;

mat

ricea

de

asoc

iere

com

plet

ată;

h

arta

con

cept

uală

ela

bora

tă la

cap

itol;

t

estu

l sum

ativ

rezo

lvat

.

69

LA FINELE CLASEI a IX-a, ELEVUL POATE:• identifica, scrie, reprezenta, compara și ordona numere reale în diverse situații și

contexte;• efectua în diverse contexte operațiile cu numere reale: adunarea, scăderea,

înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent întreg;• utiliza terminologia aferentă noțiunii de număr real în diverse contexte, inclusiv în

comunicare;• aplica operațiile cu numere reale și proprietățile acestora în situații reale și/sau mo-

delate;• aplica estimări și rotunjiri pentru verificarea corectitudinii unor calcule cu numere

reale în diverse contexte;• identifica dependențe funcționale, inclusiv de tipul funcției de gradul II, în diverse

domenii;• utiliza terminologia și notațiile aferente noțiunii de funcție în situații reale și/sau

modelate;• trasa graficul unei funcții și interpreta grafice obținute și/sau date;• aplica proprietățile funcțiilor studiate în rezolvarea ecuațiilor, a inecuațiilor în studiul

și explicarea unor procese fizice, chimice, biologice, economice, sociale, modelate prin funcții.

• justifica un demers/rezultat obținut sau indicat recurgând la argumentări, demonstrații;

• rezolva ecuațiile, inecuațiile, sistemele de tipurile studiate;• identifica și aplica terminologia, notațiile aferente noțiunilor de ecuație, inecuație,

sistem de ecuații, sistem de inecuații în diverse contexte;• transpune o situație reală și/sau modelată în limbajul ecuațiilor, al inecuațiilor, al

sistemelor de ecuații, al sistemelor de inecuații; rezolva problema obținută și inter-preta rezultatele;

• identifica tipul ecuației/inecuației și/sau sistemului de ecuații/inecuații, selecta me-toda adecvată de rezolvare și aplicarea ei la rezolvarea acestora;

• sorta și clasifica date, obiecte, evenimente pe baza unor criterii; • determina probabilitatea producerii unui eveniment, folosind raportul: nr. cazuri fa-

vorabile/nr. cazuri posibile;• clasifica evenimente în funcție de șansa producerii lor (eveniment sigur, probabil,

posibil, imposibil) și estima șansa producerii unui eveniment;• organiza și reprezenta date în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice; • aplica elementele de calcul financiar studiate în rezolvarea unor probleme din diver-

se domenii, inclusiv din domeniul antreprenorial;

70

• identifica, clasifica în baza diverselor criterii și reprezenta în plan triunghiuri, patru-latere, cercuri, discuri, poliedre, corpuri rotunde și elemente ale acestora, utilizând instrumentele de desen;

• aplica proprietățile triunghiurilor, ale patrulaterelor, ale cercurilor, ale discurilor, ale poliedrelor și ale corpurilor rotunde în rezolvarea problemelor din diverse domenii;

• transpune o situație reală și/sau modelată referitoare la triunghiuri, patrulatere, cer-curi, discuri, poliedre și la corpuri rotunde în limbajul geometric; rezolva problema obținută, justifica și interpreta rezultatul;

• aplica criteriile de congruență ale triunghiurilor și criteriile de asemănare ale triun-ghiurilor în rezolvarea problemelor în situații reale și/sau modelate;

• recunoaște în diverse enunțuri, utiliza în rezolvarea problemelor din diferite dome-nii (fizică, geografie, biologie, istorie etc.) formulele de calcul al ariilor triunghiului, patrulaterelor, discului, suprafețelor poliedrelor, corpurilor rotunde și al volumelor poliedrelor și corpurilor de rotație;

• reprezenta adecvat în plan figurile geometrice plane și corpurile geometrice studiate în vederea calculării lungimilor de segmente, a măsurilor de unghiuri, a ariilor și a volumelor;

• investiga valoarea de adevăr a unei afirmații, a unei propoziții.

71

VI. REPERE METODOLOGICE DE PREDARE – ÎNVĂȚARE – EVALUARE

Cadrele didactice își pot alege metodele și tehnicile de predare și își pot adapta prac-ticile pedagogice în funcție de ritmul de învățare și de particularitățile elevilor. Profesorii au obligația de a stabili obiective și de a organiza și desfășura activități de învățare care să ofere posibilități de progres şcolar pentru toți elevii, incluzând băieții și fetele, copiii cu dizabilități, cu deficiențe psihomotorii sau cu cerințe medicale speciale, cei prove-nind din diverse medii culturale și sociale, elevii aparținând diferitor etnii etc.

Reconsiderarea finalităților și a conținuturilor învățământului, axarea pe formarea competențelor este însoțită de reevaluarea și înnoirea strategiilor, a tehnologiilor și a metodelor folosite în practica educațională la Matematică. Acestea vizează următoarele aspecte:

• aplicarea strategiilor, a tehnologiilor, a metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive și operatorii ale elevilor, pe exersarea potențialului psihofi-zic și intelectual al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la propria formare;

• folosirea unor metode care să favorizeze relația nemijlocită a elevului cu obiecte-le cunoașterii, prin recurgere la modele concrete;

• accentuarea caracterului formativ al strategiilor, al tehnologiilor, al metodelor utilizate în activitatea de predare – învățare – evaluare, acestea asumându-și o intervenție mai activă și mai eficientă în cultivarea potențialului individual, în dezvoltarea capacităților de a opera cu informațiile asimilate, de a aplica și de a evalua cunoștințele dobândite, de a investiga ipoteze și de a căuta soluții adecva-te de rezolvare a problemelor sau a situațiilor-problemă;

• îmbinarea și alternanța sistematică a activităților bazate pe efortul individual al elevului (documentarea în baza diverselor surse de informație, observația pro-prie, exercițiul personal, instruirea programată, experimentul și lucrul individual, tehnica muncii cu fișe etc.) cu activitățile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuțiilor, asaltului de idei, studiului de caz etc.;

• însușirea unor metode de informare şi de documentare independentă, utilizând tehnologiile informaționale și comunicaționale adecvate (TIC), inclusiv rețeaua Internet, care oferă deschidere spre autoinstruire, spre învățare continuă.

72

Prin realizarea curriculumului se vor crea condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și dezvolta competențele într-un ritm individual, pentru a-și transfera cunoștințele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta.

Profesorul de matematică va desfășura procesul educațional la matematică utilizând clasificarea tipurilor de lecții în funcție de criteriul competenței. [5]

În cadrul predării – învățării matematicii e necesară crearea unor condiții favorabi-le antrenării elevilor pe calea căutărilor, a cercetării, care să favorizeze învățarea prin problematizare și descoperire. De asemenea, este esențială asigurarea unor condiții favorabile privind transferul cunoştințelor matematice dobândite și conștientizate în diverse domenii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curricula-ră. În acest sens, profesorul de matematică va utiliza orice posibilitate de a exemplifica aplicațiile matematicii în fizică, chimie, biologie, informatică, în viața cotidiană și în alte domenii. Astfel, cadrul didactic:

• va ţine cont de posibilităţile oferite de către manualele şcolare la matematică privind realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare (probleme integrative, situaţii-problemă prezente în textul manualului, itemi integrativi, prezenţi în pro-bele de evaluare incluse în manual etc.);

• va selecta din culegerile de probleme şi exerciţii şi va propune elevilor probleme cu conţinut interdisciplinar;

• va selecta din materialele didactice şi metodice probleme integrative şi le va propune elevilor în cadrul diverselor manifestări matematice (ore, activităţi extraşcolare, olimpiade etc.);

• va realiza, de comun acord cu profesorul de fizică/chimie/biologie/informatică/alte discipline, ore integrative;

• va organiza sistematic, în cadrul orelor şi în cadrul altor activităţi educaţionale, situaţii-problemă cu conţinut interdisciplinar şi/sau aplicativ;

• va organiza, în cadrul studierii matematicii, activităţi practice pe teren şi lucrări de laborator, lucrări grafice cu aspect interdisciplinar şi/sau aplicativ.

• va realiza, de comun acord cu profesorii de alte discipline, proiecte de tip STEM şi STEAM.

În măsura posibilităților, orele de matematică vor fi asistate de calculator.Fiecare elev are dreptul la succes şcolar și la atingerea standardelor educaționale.

Profesorii au obligația de a stabili sarcini de învățare adaptate nivelului elevilor, astfel încât fiecare elev să realizeze progrese conform posibilităților sale. În acest context:

• pentru elevii aflați în risc de eșec școlar, profesorii au obligația de a realiza activități de învățare diferențiate, adaptând curriculumul școlar al anului de stu-diu la posibilitățile de învățare ale acestora;

73

• pentru elevii cu CES, profesorii au obligația de a realiza activități de învățare individualizate, în funcție de tipul curriculumului implementat din perspectiva Planului Individual;

• pentru elevii cu aptitudini matematice, profesorii au obligația de a stabili sarcini de învățare de nivel ridicat, care să le asigure progresul.

Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță atât psihopedagogică, pro-fesională, cât și socială. În contextul formării și dezvoltării competențelor, evaluarea educațională se va fundamenta pe următoarele principii, stipulate în Cadrul de referinţă al curriculumului naţional [2]:evaluarea este un proces permanent, dimensiunea esenţială a procesului

educaţional şi о practică efectivă în şcoală;evaluarea stimulează învăţarea, formarea şi dezvoltarea competenţelor;evaluarea se axează pe necesitatea de a compara pregătirea elevilor cu

competenţele specifice, cu unităţile de competenţă (subcompetenţele) ale fiecă-rei discipline de studiu şi cu obiectivele (operaţionale) fiecărei lecţii;

evaluarea se fundamentează pe standarde educaţionale de stat – standarde de competenţă (eficienţă) – orientate spre ceea ce va şti, ce va şti să facă şi cum va fi elevul la finalizarea şcolarizării sale;

evaluarea implică utilizarea unei mari varietăţi de metode (tradiţionale şi moder-ne);

evaluarea este un proces reglator, care determină calitatea activităţilor şcolare;evaluarea trebuie să-i conducă pe elevi spre о autoapreciere corectă şi spre о

îmbunătăţire continuă a performanţelor şcolare.În procesul educațional la matematică profesorul va aplica: a) evaluarea iniţială, re-

alizând funcția prognostică; b) evaluarea curentă, realizând funcția formativă; c) evalu-area finală (sumativă), realizând funcția diagnostică. Evaluările sumative (finale), reali-zate la finele capitolului/unității de învățare/anului de învățământ, vor demonstra dacă sunt dobândite achizițiile determinate de unitățile de competență preconizate pentru compartimentul/clasa respectivă.

Prin examenul de absolvire a gimnaziului la matematică se va evalua dacă au fost formate competențele specifice matematicii, preconizate pentru treapta gimnazială de învățământ, și dacă au fost atinse standardele de eficiență la matematică.

Fixând de fiecare dată obiectivele lecției, profesorul le va corela cu competențele specifice, cu unitățile de competență respective. Probele de evaluare utilizate la

74

clasă vor conține itemi și sarcini prin intermediul cărora se vor evalua, prioritar, nu doar cunoștințe și capacități separate, ci formarea competențelor. Exemple de astfel de itemi și sarcini profesorul le poate selecta din ghidurile metodologice, din culegerile de teste la matematică și din programa la matematică pentru examenul de absolvire a gimna-ziului.

În contextul principiilor evaluării, prioritară și dominantă în procesul lecției/activității educaționale este evaluarea curentă – evaluarea formativă. Succesul lecției rezidă în atingerea obiectivelor preconizate. În acest sens, secvența Evaluare este obli-gatorie pentru fiecare lecție de matematică și în cadrul acesteia se va evalua nivelul de atingere a obiectivelor lecției.

Evaluarea va implica utilizarea, în ansamblu, a diverselor forme, metode și tehnici. În contextul evaluării formării competențelor, prioritare vor deveni metoda proiectelor, investigația, probele practice, lucrările de laborator şi grafice, testarea şi realizarea testelor docimologice integrative. Este binevenită evaluarea asistată de calculator. Evaluările realizate la matematică vor include în mod obligatoriu și itemi rezolvarea că-rora necesită conexiuni interdisciplinare, transdisciplinare. Vor fi propuse spre realizare și proiecte integrative, inclusiv proiecte de tip STEM și STEAM, ca metode de evaluare.

Este important ca fiecare elev, profesor și părinte/tutore să conștientizeze că evalu-area în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.

75

GHID DE IMPLEMENTARE

A CURRICULUMULUI DISCIPLINAR

76

Introducere

Dacă un copil nu poate învăţa în modul în care îi predăm, trebuie să îi predăm în modul în care el poate învăţa…

Ignacio Estrada

Dezvoltarea Curriculumului școlar la Matematică pentru gimnaziu derivă din nece-sitatea:

- racordării curriculumului şcolar la cerinţele Codului Educației al Republicii Mol-dova (2014) şi la Recomandările Parlamentului European și ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe par-cursul întregii vieți (Bruxelles, 2018);

- corelării sistemului de competenţe specifice matematicii cu prevederile deter-minate de definiţia modernizată a competenţei şcolare, formulată în Cadrul de Referință a Curriculumului Național; [1]

- descongestionării informaţionale a conţinuturilor şcolare la matematică;- majorării interesului şi motivaţiei elevilor pentru studiul matematicii. Obiectivul major al educației matematice în gimnaziu rezidă atât în formarea și dez-

voltarea gândirii logice, cât și în formarea și dezvoltarea competențelor școlare pentru a valorifica potențialul intelectual personal maxim și cel creativ al elevului.

În practica educațională din Republica Moldova se implementează a IV-a generație de Curriculum la Matematică. Dezvoltarea/reconceptualizarea curriculară la Matemati-că implică apariția unor întrebări. Prezentul ghid oferă răspunsuri la multe dintre între-bările ce apar la etapa actuală despre procesul educațional la Matematică și implemen-tarea curriculumului dezvoltat în gimnaziu. În lucrare sunt prezentate răspunsuri atât la aspectele inovative, strategice, teoretice, cât și la cele aplicative ale predării – învățării – evaluării matematicii în gimnaziu în contextul implementării Curriculumului elaborat.

Profesorul are dreptul să abordeze creativ cele recomandate prin prezentul Ghid. Desigur, în final, el e cel care-și selectează și determină strategiile și tehnologiile pentru a obține succesul în atingerea obiectivelor preconizate, în realizarea prevederilor deter-minate de unitățile de competență și în formarea competențelor.

Prin realizarea Curriculumului la Matematică pentru gimnaziu trebuie să se creeze condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și a-și dezvolta competențele într-un ritm individual, pentru a transfera cunoștințele matematice dobândite în diverse dome-nii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curriculară.

Responsabilitatea educațională a profesorului de Matematică și ponderea matema-ticii ca disciplină școlară sunt majore. De faptul cum elevii însușesc matematica depind în mare măsură succesele acestora la studiul multora dintre celelalte discipline școlare. Așadar, profesorul de Matematică va ține cont în permanență atât de specificul mate-maticii „ca regină a tuturor științelor”, cât și de faptul că Matematica este disciplina care asigură, totodată, studierea conștientizată a tuturor disciplinelor școlare.

Implementarea prevederilor Curriculumului elaborat va contribui eficient la majora-rea calității învățământului matematic în gimnaziu.

77

1. Care sunt elementele de noutate ale Curriculumului la disciplina Matematică

pentru gimnaziu?

1.1. Conceptul teoretic Elaborat în conformitate cu prevederile Codului Educației al Republicii Moldova

(2014), Cadrului de referință al Curriculumului Național (2017), Curriculumului de bază: sistem de competențe pentru învățământul general (2018), dar și cu Recomandă-rile Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018), Curricu-lumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care are în vedere prezentarea interconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și meto-dologice, accentul fiind pus pe sistemul de competențe ca un nou cadru de referință al finalităților educaționale.

Curriculumul școlar la Matematică are ca obiectiv fundamental implementarea po-liticilor educaționale vizate de Codul Educaţiei al Republicii Moldova (2014), care, prin Articolul 11, determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru și dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoștințe, abilități, atitudini și valori ce permit participarea activă a individului la viața socială și econo-mică.” [2]

În acest context a fost reconceptualizată definiția noțiunii competență școlară: Competența şcolară este un sistem integrat de cunoştințe, abilități, atitudini şi va-

lori dobândite, formate şi dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identi-ficarea şi rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte şi situații. [7]

Este important ca atât profesorii, cât și elevii și părinții să conștientizeze esența noțiunii competență şcolară ca un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, nu ca un ansamblu.

Axarea accentului pe formarea abilităților necesită conștientizarea de către profe-sori, elevi și părinți a conceptului abilitate:

ABILITATE – capacitatea de a face totul cu uşurinţă şi iscusinţă; dibăcie; îndemânare; măiestrie.

CAPACITATE – posibilitatea de a lucra într-un domeniu, de a realiza ceva; posibilita-tea de a realiza ceva într-un domeniu de activitate; proprietate de a pătrunde în esenţa lucrurilor. [54]

În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică, s-a ținut cont de:

78

• abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și pe cel internațional;

• necesitățile de adaptare a Curriculumului disciplinar la așteptările societății, la nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale;

• valențele disciplinei în formarea competențelor transversale, transdisciplinare și a celor specifice;

• necesitățile asigurării continuității și conexiunii dintre ciclurile învățământului general: educaţie timpurie, învăţământ primar, învăţământ gimnazial şi învăţă-mânt liceal.

Curriculumul la Matematică pentru gimnaziu și, în ansamblu, procesul educațional la Matematică în învățământul general rămân fundamentate pe următoarele principii:

I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare siste-matică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predă-rii – învățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizează concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) Matematică și pe formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice ma-tematicii.

II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la Matematică.

Sistemul de valori și atitudini, care se preconizează a fi formate în cadrul procesului educațional la matematică, este prezentat în Curriculum la p. 4. Profesorul de matema-tică este obligat, pentru fiecare lecție, să formuleze, inclusiv în proiectul didactic, pen-tru a fi operaționalizat în cadrul lecției, cel puțin un obiectiv de formare a atitudinilor și valorilor.

Unitățile de competență, fixate în Curriculum, determină achizițiile care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca elemente/pași în formarea competențelor specifice. Achizițiile respective vor fi evaluate formativ și/sau sumativ la finele unității de învățare (a capito-lului, a modulului) și/sau la finele anului de studii.

Unitățile de conținut sunt instrumente care contribuie la dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate de unitățile de competență proiectate și la formarea competențelor specifice disciplinei și a celor transversale/transdisciplinare.

Activitățile de învățare și produsele școlare recomandate prezintă o listă deschisă de contexte semnificative de manifestare a unităților de competență proiectate pentru formare/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat la nive-lul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei concrete de elevi, de resursele disponibile etc. [4]

79

Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea ca-drului didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă durată și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.

1.2. Sistemul de competențe

Profesorul va conștientiza că achizițiile finale în termeni de competențe nu sunt niște liste de conținuturi disciplinare care trebuie memorate. Pentru ca un elev să-și formeze o competență este necesar ca el:

• să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcţie de problema care va trebui rezolvată în final;

• să posede deprinderi şi capacităţi de utilizare/aplicare în situaţii simple/standar-de pentru a le înţelege, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obţinute;

• să rezolve diferite situaţii-problemă, conştientizând astfel cunoştinţele funcţiona-le în viziunea proprie;

• să rezolve situaţii semnificative în diverse contexte care prezintă anumite proble-me din viaţa cotidiană, manifestând comportamente/atitudini conform achiziţii-lor finale, adică să manifeste competenţa.

Curriculumul este fundamentat pe competențele-cheie/transversale, stabilite în Codul Educaţiei pentru sistemul de învățământ din Republica Moldova:

a) competenţe de comunicare în limba română;b) competenţe de comunicare în limba maternă; c) competenţe de comunicare în limbi străine;d) competenţe în matematică, în ştiinţe şi tehnologie;e) competenţe digitale;f) competenţa de a învăţa să înveţi;g) competenţe sociale şi civice;h) competenţe antreprenoriale şi spirit de iniţiativă;i) competenţe de exprimare culturală şi de conştientizare a valorilor culturale. [2]Prioritare pentru învățământul matematic sunt competențele-cheie a), d), e), f) și h).Competențele specifice sunt deduse din competențele-cheie/transversale și repre-

zintă un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu pe întreaga perioadă de școlarita-te de gimnaziu.

La disciplina Matematică pentru gimnaziu sunt preconizate 7 competențe specifice:1. operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifes-

tând interes pentru rigoare şi precizie;

80

2. exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situaţii, a unei soluţii, for-mulând clar şi concis enunţul;

3. aplicarea raţionamentului matematic la identificarea şi rezolvarea problemelor, dovedind claritate, corectitudine şi concizie;

4. investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, şi modele matematice, pentru a studia/explica relaţii şi procese, manifestând perseverenţă şi spirit analitic;

5. explorarea noţiunilor, relaţiilor şi instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvenţă şi abordare deductivă;

6. extrapolarea achiziţiilor matematice pentru a identifica şi a explica procese, fe-nomene din diverse domenii, utilizând concepte şi metode matematice în aborda-rea diverselor situaţii;

7. justificarea unui demers sau rezultat matematic, recurgând la argumentări, susţinând propriile idei şi opinii. [4]

Acestea corelează cu cele 4 competențe specifice matematicii pentru învățământul primar, dezvoltându-le:

1. identificarea şi utilizarea conceptelor matematice şi a limbajului matematic în situaţii de învăţare şi cotidiene, dând dovadă de corectitudine şi coerenţă;

2. aplicarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în contexte variate, manifestând atenţie şi interes pentru calcul corect, raţional, fluent;

3. rezolvarea problemelor pe baza utilizării achiziţiilor matematice, dând dovadă de gândire critică în adoptarea unui plan pertinent de rezolvare;

4. realizarea demersurilor explorativ-investigative pentru soluţionarea/formularea unor situaţii de problemă/probleme, manifestând curiozitate şi creativitate în integrarea achiziţiilor matematice cu cele din alte domenii.

Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018) stabilesc 8 competențe-cheie:

1. competenţe de alfabetizare;2. competenţe lingvistice;3. competenţe în domeniul matematicii, ştiinţei, tehnologiei şi ingineriei;4. competenţe digitale;5. competenţe personale, sociale şi de învăţare;6. competenţe civice;7. competenţe antreprenoriale;8. competenţe de sensibilizare şi expresie culturală.

81

1.3. Sistemul de conținuturi

Referitor la sistemul de conținuturi propuse spre studiere în Curriculumul dezvoltat la Matematică pentru gimnaziu, în comparație cu curriculumul modernizat, s-au efectuat următoarele modificări:

Clasa Conținuturi omise Conținuturi inclusea V-a I. Mulțimea numerelor naturale

• Rezolvarea, în mulțimea numerelor naturale, a ecuațiilor de tipul: x ± a = b; a ± x = b; x × a = b, (a ≠ 0, a – divizor al lui b); x : a = b (a ≠ 0); a : x = b (x ≠ 0, b – divizor al lui a) utili-zând proprietățile operațiilor aritmetice studi-ate și algoritmul de determinare a componen-tei necunoscute în cadrul operației indicate

• Compunerea de ecuații simple și probleme care conduc la utilizarea operațiilor studiate (inclusiv elemente de organizare a datelor)

• Sistemul de numerație zecimal• Propoziții adevărate și false în baza exemplelor

simple• Operații cu mulțimi: intersecție, reuniune• Probleme de aritmetică (metoda figurativă)

I. Mulțimea numerelor naturale• Rotunjirea numerelor naturale• Cardinalul mulțimii finite

II. Fracții ordinare. Numere zecimale• Metoda figurativă• Noțiunea de raport

II. Fracții ordinare. Numere zecimale• Înmulțirea fracțiilor• Inversa unei fracții. Împărțirea

fracțiilor• Rezolvarea problemelor utilizând

metoda reducerii la unitate, meto-da mersului invers

III. Elemente de geometrie şi unități de măsură• Măsurarea și estimarea unor lungimi,

perimetre și arii, folosind diferite etaloane• Unități de măsură uzuale pentru masă

(q – chintal).

III. Elemente de geometrie şi unități de măsură

• Unități de măsură uzuale pentru timp (deceniul, mileniul)

a VI-a I. Numere naturale• Rezolvarea problemelor prin metoda figurati-

vă, metoda falsei ipoteze, metoda reducerii la unitate, metoda mersului invers.

I. Numere naturale• Puterea cu exponent număr na-

tural. Proprietățile puterii cu ex-ponent natural: produsul a două puteri cu aceeași bază, puterea produsului, câtul a două puteri cu aceeași bază, puterea unei puteri, a0, 1n

• Noțiunea de ecuație. Mulțimea soluțiilor ecuației

• Rezolvarea problemelor prin alcă-tuirea de ecuații de tipuri studiate

82

II. Numere întregi. Operații cu numere întregi

• Proprietățile puterii unui număr întreg cu exponent natural

III. Numere raționale. Operații cu numere raționale

• Noțiunea de număr rațional negativ• Mulțimile Q+, Q– • Aproximări• Numere zecimale periodice simple și compuse• Media aritmetică• Rezolvarea în Q a ecuațiilor de tipul: x ± a = b;

ax = b (a ≠ 0); x : a = b (a ≠ 0); ax + b = 0 (a ≠ 0), determinând componenta necunoscu-tă a operației prezente în ecuație

• Propoziții generale și particulare (în baza exemplelor simple din viață). Negarea unei propoziții (în baza exemplelor simple). Valoarea de adevăr (adevăr/fals) a unei propoziții. Exemple simple de utilizare a operatorilor logici „și”, „sau”, „nu”, „dacă – atunci”, a termenilor „cel mult”, „cel puțin”, „unii”, „toți”, „oricare ar fi”, „există”

III. Numere raționale. Operații cu numere raționale

• Rezolvarea problemelor în mulțimea numerelor raționale

IV. Rapoarte şi proporții• Șiruri de rapoarte egale• Alcătuirea unei proporții pe baza celei date (în

baza exemplelor simple)• Rezolvarea în Q a ecuațiilor referitoare

la aflarea termenului necunoscut al unei proporții

IV. Rapoarte şi proporții• Media aritmetică (transfer de la

compartimentul III)

V. Figuri şi corpuri geometrice• Instrumente geometrice (rigla gradată, rigla

negradată, compas, echer, raportor) și utiliza-rea lor pentru a desena diferite configurații

V. Figuri şi corpuri geometrice• Segmente congruente. Construcția

unui segment, congruent cu cel dat. Mijlocul segmentului

• Triunghi, patrulater (pătrat, drept-unghi, paralelogram, romb, trapez) (prezentare prin descriere și desen)

• Calcule cu măsuri de unghiuri (gra-de, minute, secunde).

• Unghiuri complementare, supli-mentare, opuse la vârf, adiacente

• Unghiuri congruente. Construirea, cu ajutorul riglei și al compasului, a unui unghi congruent cu cel dat

• Bisectoarea unghiului. Construirea, cu ajutorul raportorului, a bisectoa-rei unui unghi

• Mediatoarea unui segment. Con-struirea, cu ajutorul riglei și al eche-rului, a mediatoarei segmentului

83

a VII-a I. Numere raționale. Recapitulare şi completări• Noțiune de număr rațional• Modulul numărului rațional și proprietățile lui:

; ; | a |2 = a2 = | a2 |;

;

• Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent natural în Q. Proprietăți

II. Numere reale• Calcularea rădăcinii pătrate din numere

raționale nenegative, utilizând algoritmul• Submulțimi ale mulțimii numerelor reale.

Intervale de numere reale, reprezentarea lor pe axă

I. Numere reale• Numere zecimale periodice• Calcularea rădăcinii pătrate din

numere raționale nenegative, utili-zând estimarea/rotunjirea

II. Calcul algebric• Descompunerea unei expresii al-

gebrice în produs de factori: scoa-terea factorului comun, aplicarea formulelor de calcul prescurtat

IV. Rapoarte algebrice• Noțiunea de raport algebric (fracție algebrică).

Domeniul valorilor admisibile (DVA)• Operații aritmetice cu rapoarte algebrice• Identitate. Expresii identic egale• Transformări identice ale expresiilor algebrice• Demonstrația unor identități simple

V. Funcții• Funcții definite pe R cu valori în R• Corespondențe care sunt funcții (în baza

exemplelor simple din activitatea cotidiană)

III. Funcții• Funcția constantă

VI. Ecuații, inecuații• Soluția ecuației• Transformări echivalente

VII. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări

• Distanța dintre două puncte; lungimea unui segment. Mijlocul unui segment. Construcția unui segment congruent cu cel dat

• Bisectoarea unui unghi. Proprietatea bisectoarei. Construirea bisectoarei cu ajutorul riglei și al compasului

• Triunghiul. Definiție, elemente, clasificarea triunghiurilor

• Relația de perpendicularitate• Cercul. Definiție, elemente

VII. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări

• Elemente de logică matematică. Noțiunea de propoziție. Propoziții generale și particulare (în baza exemplelor simple). Negarea unei propoziții (în baza exemplelor simple). Valoarea de adevăr (adevăr/fals) a unei propoziții. Exemple simple de utilizare a operatorilor logici „și”, „sau”, „nu”, „dacă – atunci”, a termenilor „cel mult”, „cel puțin”, „unii”, „toți”, „oricare ar fi”, „există”

84

VIII. Triunghiuri congruente• Construcția (utilizând rigla și compasul) a

unghiului congruent cu cel dat, a mediatoarei unui segment, a perpendicularei dusă la o dreaptă

• Distanța de la un punct la o dreaptă

VI. Triunghiuri congruente• Triunghiul. Definiție, elemente,

clasificarea triunghiurilor• Triunghiuri congruente• Inegalități în triunghi• Bisectoarea unui unghi. Proprieta-

tea bisectoarei. Construcția bisec-toarei unui unghi cu ajutorul riglei și compasului. (Transfer de la com-partimentul VII din Curriculumul modernizat)

• Mediatoarea unui segment. Pro-prietatea mediatoarei. Construcția mediatoarei unui segment cu aju-torul riglei și compasului

• Linii importante în triunghi. Bisec-toarea triunghiului. Înălțimea triun-ghiului. Mediatoarea triunghiului. Proprietăți

a VIII-a I. Recapitulare şi completări. Puteri şi radicali• Mulțimi de numere• Operații cu mulțimi (reuniunea, intersecția,

diferența, produsul cartezian)• Extragerea rădăcinii pătrate (algoritmul și

calculatorul)• Raționalizarea numitorului unui raport

I. Numere reale. Recapitulare şi completări

• Estimarea prin rotunjire a valorii rădăcinii pătrate

II. Calculul algebric. Transformări ale expresiilor algebrice

• Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

• Rapoarte algebrice• Operații cu rapoarte algebrice

II. Calcul algebric• Numere reale reprezentate prin

litere

III. Şiruri. Funcții III. Şiruri. Funcții• Funcția constantă

V. Ecuații de gradul II• Rezolvarea problemelor prin aplica-

rea ecuațiilor de gradul IIVI. Elemente de teoria probabilităților şi

statistică matematică• Noțiunea de eveniment• Clasificarea evenimentelor• Determinarea probabilității producerii unui

eveniment, folosind raportul: nr. cazuri favorabile/nr. cazuri posibile

• Proprietățile probabilității• Elemente de statistică matematică: populația

statistică, unități statistice, caracteristica statistică

• Organizarea și reprezentarea grafică a datelor în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice

85

VII. Figuri geometrice plane. Recapitulare şi completări

• Metoda reducerii la absurd • Unghiuri. Clasificarea unghiurilor• Triunghiuri. Elemente. Linia mijlocie.

Proprietăți

VI. Figuri geometrice plane.Recapitulare şi completări

• Triunghiuri. Liniile importante în triunghi. Proprietăți

VIII. Relații metrice în triunghiul dreptunghic

• Rezolvarea triunghiului dreptunghicIX. Patrulatere. Poligoane• Noțiunea de poligon regulat. Ele-

mente. Poligoane regulate: triun-ghiul echilateral, pătratul, hexago-nul regulat

X. Vectorii în plan• Coordonatele vectorului• Produsul scalar al vectorilor, fiind date

coordonatele vectorilor. Proprietăția IX-a I. Mulțimea numerelor reale.

Recapitulare şi completări• Submulțimi• Intervale de numere reale

II. Monoame. Polinoame. Fracții algebrice

• Noțiunea de monom cu una sau mai multe nedeterminate. Operații cu monoame

• Noțiunea de polinom de una sau mai multe nedeterminate. Operații cu polinoame (aduna-rea, scăderea, înmulțirea, ridicarea la putere cu exponent natural)

• Forma canonică a unui polinom de o singură nedeterminată. Gradul unui polinom de o sin-gură nedeterminată

• Împărțirea polinoamelor de o singură nede-terminată. Teorema împărțirii cu rest pentru polinoame

• Împărțirea la binomul X – a• Teorema lui Bezout (cu demonstrație)• Descompunerea polinoamelor în factori ire-

ductibili (metoda factorului comun, metoda grupării, aplicarea formulelor de calcul pre-scurtat, descompunerea în factori a trinomului de gradul II, metode combinate)

• Noțiunea de rădăcină a unui polinom de o singură nedeterminată

• Rădăcini multiple• Noțiune de fracție algebrică• Amplificarea și simplificarea fracțiilor• Operații cu fracții algebrice (adunarea, scăde-

rea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere cu exponent întreg)

II. Rapoarte algebrice• Noțiunea de raport algebric. Dome-

niul valorilor admisibile (DVA)• Operații aritmetice cu rapoarte

algebrice• Identitate. Expresii identic egale• Transformări identice ale

expresiilor algebrice• Demonstrația unor identități simple

86

III. Funcții• Aplicații ale funcției de gradul II și ale proprie-

tăților acesteia (inclusiv la rezolvarea inecuații-lor de gradul II)

III. Funcții• Lectura grafică

IV. Ecuații, inecuații, sisteme• Relații între soluții și coeficienți

V. Unghiuri, triunghiuri, patrulatere. Recapitulare şi completări

• Unghiuri. Clasificarea unghiurilor. Proprietăți• Triunghi. Elementele triunghiului. Clasificarea

triunghiurilor• Congruența triunghiurilor• Asemănarea triunghiurilor• Patrulatere • Patrulatere particulare: paralelogramul, drept-

unghiul, rombul, pătratul, trapezul• Proprietăți. Criterii• Poligoane convexe. Elemente. Noțiunea de

poligon regulat. Triunghiul regulat, pătratul, hexagonul regulat

V. Elemente de statistică matematică şi de teoria probabilităților. Elemente de calcul financiar

• Colectarea, organizarea și reprezen-tarea grafică a datelor în tabele de date statistice, diagrame, grafice statistice

• Interpretarea datelor• Noțiunea de eveniment• Clasificarea evenimentelor• Determinarea probabilității produ-

cerii unui eveniment, folosind rapor-tul: nr. cazuri favorabile/nr. cazuri posibile

• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA, preț, credit, buget, buget familial, buget personal

VI. Cercul• Triunghi înscris în cerc• Triunghi circumscris unui cerc• Patrulater înscris în cerc • Patrulater circumscris unui cerc

87

1.4. Sistemul de activități de învățare şi evaluare

Sistemele de activități de învățare fixate în Curriculum sunt recomandabile pentru profesor. Realizarea însă a acestora facilitează dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate prin unitățile de competență, formulate pentru fiecare compartiment conținutal. Profesorul are dreptul să completeze aceste sisteme cu alte tipuri de activități de învățare, în funcție de preferințele personale și pregătirea matematică a elevilor.

Lista produselor preconizate pentru a fi obținute de către elevi, ca rezultat al activităților realizate, de asemenea, este una recomandabilă. Profesorul, utilizând Referenţialul de evaluare [11], poate gestiona și cu alte produse în procesul educațional la matematică. Semnificative pentru formarea competențelor-cheie/transversale și competențelor transdisciplinare și pentru realizarea conexiunilor interdisciplinare/transdisciplinare sunt proiectele STEM și STEAM. Profesorul de matematică, de comun acord cu profesorii de alte discipline, va realiza cu elevii săi astfel de proiecte. Proiecte de acest tip sunt descrise în ultima secvență din prezentul Ghid.

Profesorul de matematică va ține cont de faptul: competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Prin activitățile de învățare și produsele propu-se, Curriculumul ghidează profesorul spre formarea la elevi a competențelor specifice matematicii.

1.5. Alte elemente de noutate

Curriculumul dezvoltat la Matematică conține și alte elemente de noutate:• Pentru fiecare clasă, la fiecare compartiment conținutal, este prezentată lista de ter-

meni matematici noi, care vor fi însușiți de către elevi în cadrul studierii temelor respective. Profesorul va fi atent să nu exagereze cu un număr mare de termeni, preconizați pentru studiere în cadrul lecției. Și în cadrul evaluărilor interne și/sau externe nu se permite utilizarea altor termeni, diferiți de cei indicați în Curriculum și în manualele de matematică.

• Curriculumul include și finalități prezentate după fiecare clasă (La finele clasei, ele-vul poate) și care reprezintă aspecte ale competențelor specifice disciplinei, mani-festate gradual la etapa dată de învățare, care au și funcția de stabilire a obiectivelor de evaluare finale. Aceste finalități trebuie să fie aduse la cunoștința elevilor și a părinților/tutorilor acestora. Profesorul, în procesul de predare, dar mai accentuat, în procesul de evaluare, va ține cont de finalitățile respective, pentru a fi formate și evaluate.

88

• Sunt reiterate drepturile profesorului de matematică. Profesorul are dreptul:- să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată

logica științifică sau didactică;- să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție

de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;- să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu

respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;- să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete

din clasă.

89

2. Care este rolul obiectivelor în formarea competențelor elevilor la Matematică?

2.1. Modalități (algoritmi) de operaționalizare a obiectivelor la Matematică

Pentru proiectarea și desfășurarea unei lecții este important să se formuleze corect obiectivele operaționale ale lecției sau obiectivele lecției. În sprijinul unei formulări corecte a obiectivelor operaționale, prezentăm două tehnici (modele) de operaționali-zare (formulare):modelul pedagogului american R. F. Mager, care stabileşte 3 parametri:

1. descrierea comportamentului final al elevului (verbul);2. determinarea condițiilor în care se va realiza comportamentul (condițiile);3. precizarea criteriului performanței acceptabile (criteriul reușitei).

Exemplu (clasa a VII-a). Elevul va fi capabil să descompună expresii algebrice date în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat studiate.

Deci, cei 3 parametri sunt:1. să descompună – comportamentul elevului;2. în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat studiate – condițiile;3. expresii algebrice date – criteriul reușitei; modelul pedagogului belgian G. De Landsheere, care stabileşte 5 parametri:

1. cine va produce comportamentul dorit (subiectul);2. ce comportament observabil va confirma că obiectivul este atins (verbul);3. care va fi produsul acestui comportament (performanța);4. în ce condiții trebuie să aibă loc comportamentul (condițiile);5. pe temeiul căror criterii ajungem la concluzia că produsul e satisfăcător

(criteriul reușitei).Exemplu (clasa a VII-a). Elevul va fi capabil să descompună în produs de factori, utili-

zând formulele calculului prescurtat, 5 din cele 7 expresii algebrice date, câte o expresie algebrică pentru fiecare dintre cele 5 formule studiate .

Deci, cei 5 parametri sunt: 1. elevul (subiectul);2. să descompună (verbul);3. expresii algebrice date (performanţa);4. în produs de factori, utilizând formulele calculului prescurtat (condițiile);5. 5 din cele 7 expresii algebrice date, câte o expresie algebrică pentru fiecare dintre

cele 5 formule studiate (criteriul reuşitei).Notă. Profesorul are dreptul să utilizeze în practică oricare dintre aceste modele de

formulare a obiectivelor operaționale.

90

2.2. Verbele care nu se utilizează la formularea obiectivelor educaționale

În definirea unui obiectiv, alegerea verbului este foarte importantă.Astfel, în loc să se apeleze la verbe intelectualiste ca cele de tipul „a cunoaşte”, „a

alege”, „a aprecia”, „a se familiariza”, „a sesiza” etc., atât de importante în comunicare, este de preferat să se recurgă la utilizarea unor verbe ce descriu acțiuni prin care elevii vor demonstra capacități. Este vorba de folosirea unor verbe ce desemnează compor-tamente direct observabile, „măsurabile” de tipul: a identifica, a denumi, a formula, a enumera, a clasifica, a rezuma, a descrie, a scrie, a rezolva, a desena, a explica, a selecta, a demonstra, a elabora, a experimenta, a defini, a preciza, a face distincţie, a scrie o formulă, a desena o diagramă, a reprezenta grafic, a formula în scris o judecată, a deduce concluzii asupra observărilor efectuate, a întocmi o listă a cauzelor şi a con-secinţelor, a întocmi un tablou al..., a trasa un grafic etc., inclusiv verbele indicate în taxonomia lui Bloom.

Profesorul va conștientiza că verbele să știe, să învețe, să afle, să cunoască, să poată, să perceapă, să priceapă, să înțeleagă, să posede, să stăpânească, să sesizeze, să însușească nu se vor utiliza la formularea obiectivelor lecției sau a unei activități educaționale.

2.3. Normele ce trebuie respectate la formularea obiectivelor operaționale ale activității didactice (lecției) la (de) Matematică

În acest context, indicăm câteva norme ce trebuie respectate în formularea obiecti-velor operaționale ale activității didactice (lecției):

• un obiectiv operațional trebuie să vizeze o singură operaţie pentru a permite măsurarea și evaluarea gradului său de realizare;

• un obiectiv operațional trebuie să fie exprimat în cuvinte cât mai puţine, pentru a înlesni referirea la conținutul său specific;

• obiectivele operaționale trebuie să fie integrate şi derivabile logic, oferind o ex-presie clară a logicii conținutului informativ și a situațiilor de învățare;

• obiectivele operaționale trebuie să fie clare, explicite şi comprehensibile (înţelese) atât pentru elev, cât și pentru profesor;

• obiectivele operaționale trebuie să fie accesibile majorității elevilor și să poată fi realizate într-un interval concret de timp;

• obiectivele operaționale nu trebuie să fie prea numeroase pentru activitatea di-dactică planificată. Sistemul de obiective proiectate pentru o lecție trebuie să includă:

cel puțin un obiectiv ce vizează dobândirea cunoştințelor (Ce va şti elevul?);

91

cel puțin două obiective ce se referă la aplicarea celor studiate, formarea pri-ceperilor, deprinderilor, abilităților, dezvoltarea capacităților (Ce va şti să facă elevul?) și

cel puțin un obiectiv care vizează atitudinile şi valorile (Cum va şti să fie elevul?).În ansamblu pentru o lecție de 45 de minute, sunt acceptate 4-6 obiective (operațio-

nale), iar unități de competență sunt acceptate 1-5 unități de competență.• Obiectivele operaționale trebuie să corespundă vârstei elevilor, pregătirii şi

achiziţiilor lor anterioare.

2.4. Metodologia convertirii unităților de competență în obiective

Obiectivele (operaționale) ale lecției trebuie să rezulte din unitățile de competență preconizate la compartimentul (capitolul, modulul) respectiv. De fiecare dată, elaborând proiectul didactic al unei lecții, profesorul, în conformitate cu proiectarea de lungă dura-tă, va constata care sunt unitățile de competență prioritare pentru lecția respectivă și le va converti în obiective (operaționale) ale acestei lecții. În continuare prezentăm câteva exemple de convertire a unităților de competență în obiective.

Exemplul 1. Clasa a V-a. Compartimentul II. Fracții ordinare. Numere zecimale.Fie Unitatea de competență 2.2. Identificarea și reprezentarea în diverse forme a

fracţiilor ordinare şi a numerelor zecimale finite.Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-

ționale.La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să identifice, în diferite situații reale și/sau modelate, fracțiile ordinare;O2 – să identifice, în contexte multiple, numerele zecimale finite;O3 – să reprezinte, în formele indicate, fracțiile ordinare date;O4 – să reprezinte, în diverse forme, numerele zecimale finite date.Din perspectiva formării competențelor, profesorul poate formula obiective com-

plexe (care conțin două sau mai multe verbe) pentru lecția respectivă. De exemplu: O5: Elevii vor fi capabili să identifice în situaţii reale şi/sau modelate fracţiile ordinare şi să le reprezinte în formele indicate sau Elevii vor fi capabili să identifice fracţiile ordinare şi numerele zecimale finite în situaţii reale şi/sau modelate şi să le reprezinte în formele indicate.

Exemplul 2. Clasa a VII-a. Compartimentul V. Noțiuni geometrice. Recapitulare şi completări.

Fie Unitatea de competență 5.3. Reprezentarea în plan a figurilor geometrice studiate, utilizând instrumentele de desen şi aplicarea reprezentărilor respective în re-zolvări de probleme.

Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale.

92

La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să reprezinte în plan figurile geometrice (figurile geometrice fundamentale; un-

ghiurile; dreptele; alte figuri geometrice) studiate, utilizând instrumentele adecvate;O2 – să aplice reprezentările figurilor geometrice studiate (figurile geometrice funda-

mentale; unghiurile; dreptele; alte figuri geometrice) în rezolvarea problemelor.Notă. Profesorul va utiliza aceste formulări, de fiecare dată, la formularea obiective-

lor lecţiei în cadrul căreia se vor studia sau se vor aplica figurile geometrice respective studiate treptat.

Curriculumul la Matematică pentru învățământul gimnazial preconizează și unități de competență cu aspect atitudinal, de exemplu, unitățile de competență: 2.9 (clasa a V-a), 4.6, 5.8 (clasa a VI-a), 2.7 (clasa a VII-a), 9.8 (clasa a VIII-a) 5.10 (clasa a IX-a). Valo-rile și atitudinile, care în ansamblu trebuie să fie formate în cadrul studierii matematicii în gimnaziu, sunt fixate în curriculum la p. 6. [4]

Un ajutor esențial la formularea obiectivelor ce derivă din unitățile de competență, la selectarea verbelor adecvate, îi poate acorda profesorului de Matematică taxonomia lui Bloom.

Pedagogia modernă identifică 3 mari domenii de încadrare a obiectivelor:• domeniul cognitiv – asimilarea cunoștințelor, formarea deprinderilor și a capaci-

tăților intelectuale;• domeniul afectiv – formarea convingerilor, sentimentelor, atitudinilor;• domeniul psihomotor – elaborarea conduitelor motrice, a operațiilor manuale

etc. Verbele care indică comportamentele de învățare sunt prezentate mai jos, nivelurile

clasificării corespund taxonomiei lui Bloom:Categorii cognitive:A. Cunoaşterea – a identifica, a distinge, a recunoaște, a dobândi;B. Comprehensiunea (înțelegerea) – a traduce, a transforma, a exprima în cuvinte

proprii, a ilustra, a pregăti, a citi, a reprezenta, a schimba, a scrie din nou, a rede-fini (Transpunerea); a interpreta, a reorganiza, a rearanja, a diferenția, a distinge, a face, a stabili, a demonstra (Interpretarea); a estima, a introduce, a conchide, a prevedea, a diferenția, a determina, a extinde, a interpola, a extrapola, a completa (Extrapolarea);

C. Aplicarea – a aplica, a generaliza, a stabili legături, a alege, a dezvolta, a organiza, a utiliza, a se servi de, a transfera, a restructura, a clasifica;

D. Analiza – a distinge, a detecta, a identifica, a discrimina, a recunoaște, a categori-si, a deduce (Căutarea elementelor); a contrasta, a analiza, a compara, a distinge, a deduce (Căutarea relaţiilor); a analiza, a distinge, a detecta, a deduce (Căutarea principiilor de organizare);

93

E. Sinteza – a scrie, a povesti, a relata, a produce, a construi, a crea, a transmite, a modifica, a se documenta (Crearea unei opere personale); a propune, a planifica, a produce, a proiecta, a modifica, a specifica (Elaborarea unui plan de acţiune); a produce, a deriva, a dezvolta, a combina, a organiza, a sinteza, a clasifica, a deduce, a formula, a modifica (Derivarea unor relaţii abstracte dintr-un ansamblu);

F. Evaluarea – a judeca, a argumenta, a valida, a evalua, a decide, a considera, a compara, a standardiza.

Pentru domeniul afectiv (prezent și în procesul educațional la Matematică), taxono-mia include următoarele categorii și verbele respective:

A. Receptarea – a selecta, a alege, a transfera;B. Reacția – a se conforma, a interpreta, a realiza, a selecta, a reveni, a motiva;C. Valorificarea – a manifesta competenţă, preferinţă, angajare, pricepere, capacitate;D. Organizarea unui sistem de valori – a teoretiza, a defini un sistem de criterii pro-

prii, a se integra într-un univers superior de gândire şi de comportament;E. Interiorizarea valorilor etico-estetice – a se bucura de aprecierea celor din jur,

a evita şi a dezaproba excesele.Notă: Verbele evidențiate mai sus îl vor ajuta pe profesor la convertirea unităților de

competență în obiective.

94

3. Cum se realizează proiectarea de lungă durată la disciplina Matematică

în baza Curriculumului școlar?

3.1. Curriculumul ca sursă de proiectare didactică de lungă durată

La elaborarea proiectului didactic de lungă durată, profesorul utilizează:• Curriculumul la Matematică; • manualul;• ghidul profesorului la manual;• ghidul de implementare a Curriculumului la Matematică în gimnaziu;• reperele metodologice privind organizarea procesului educațional la disciplina

Matematică pentru anul respectiv de studiu.Notă. Profesorul va realiza, de regulă, proiectarea de lungă durată în baza manua-

lului de Matematică, utilizat la clasă. Manualul trebuie să corespundă Curriculumului școlar la disciplina Matematică.

Cerințe față de elaborarea proiectului de lungă durată (indiferent de modalitatea de proiectare) din perspectiva formării competențelor:

1. Pentru fiecare capitol, profesorul determină competențele specifice priorita-re pentru acest capitol și fixează indicatorii, conform Curriculumului, în prima rubrică.

2. Pentru fiecare secvență la conținuturi (capitol, modul), profesorul determină unitățile de competență care vor fi realizate prin conținutul concret și fixează indicatorii respectivi Curriculumului în rubrica a doua.

3. Pentru secvențele de conținuturi recapitulative în plan, se vor prevedea 1-2 ore, iar pentru conținuturi noi – cel puțin 2-3 ore pentru o unitate.

4. Fiecare capitol va conține, în mod obligatoriu, cel puțin o oră de sinteză a mate-riei din capitolul respectiv și o oră de sinteză integrativă a materiei din capitolele anterioare.

5. În proiectul de lungă durată se fixează orele de evaluare inițială și cele de evalua-re sumativă la capitol (modul), an.

6. Numerotarea lecțiilor în proiectarea realizată, indiferent de modul de proiectare, trebuie să fie una consecutivă.

7. Profesorul poate, în funcție de necesitate, să proiecteze și ore pentru analiza evaluărilor realizate.

95

Notă. După ce proiectul de lungă durată este aprobat ca document de lucru, profe-sorul are dreptul să efectueze modificări, fixându-le în rubrica Observații (în funcție de situația concretă creată în clasa de elevi).

Se recomandă următoarea repartizare a temelor pe clase și pe unități de timp:

Clasa Temele Nr. de orea V-a I. Mulțimea numerelor naturale

II. Fracții ordinare. Numere zecimaleIII. Elemente de geometrie şi unităţi de măsurăLa decizia profesorului

44463610

Total: 136 de orea VI-a I. Numere naturale

II. Numere întregi. Operații cu numere întregiIII. Numere raționale. Operații cu numere raționaleIV. Rapoarte și proporții V. Figuri și corpuri geometriceLa decizia profesorului

202230223210

Total: 136 de orea VII-a I. Numere reale

II. Calcul algebricIII. FuncțiiIV. Ecuații. InecuațiiV. Noțiuni geometrice. Recapitulare și completări VI. Triunghiuri congruente.La decizia profesorului

20142117223210

Total: 136 orea VIII-a I. Numere reale. Recapitulare şi completări

II. Calcul algebricIII. Şiruri. FuncţiiIV. Ecuații. Inecuații. Sisteme IV. Ecuaţii de gradul IIVI. Figuri geometrice plane. Recapitulare și completăriVII. Triunghiuri asemeneaVIII. Relații metrice în triunghiul dreptunghicIX. Patrulatere. PoligoaneX. Vectori în plan.La decizia profesorului

1310111816101313139

10Total: 136 ore

a IX-a I. Numere reale. Recapitulare și completăriII. Rapoarte algebriceIII. FuncțiiIV. Ecuații. Inecuații. SistemeV. Elemente de statistică Matematică și teoria probabilităților. Elemente de calcul financiarVI. Cercul. Discul. Recapitulare și completăriVII. AriiVIII. PoliedreIX. Corpuri de rotațieX. Recapitulare finală

1011152211

813101220

Total: 132 de ore

96

Notă:1. Repartizarea timpului de predare – învăţare – evaluare se determină pornind de la

4 ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme şi stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiaşi clase, poate fi schimbată, dacă nu este

afectată logica ştiinţifică sau didactică.

97

3.2.

Pro

iect

area

did

actic

ă de

lung

ă du

rată

la M

atem

atică

3.2.

1. P

roie

ctar

ea te

mati

co-c

alen

daris

tică

Clas

a a

V-a

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nță

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i N

r. de

or

eDa

taO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

; Pr

edar

e –

învă

țare

; Ev

alua

re.

Tota

l:

22 105 9 136

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

1.1,

1.2

, 1.3

1.1,

1.2

, 1.3

1.1,

1.2

, 1.4

, 1.5

1.1,

1.2

, 1.4

, 1.5

1.1

– 1.

51.

1 –

1.5

1.1

– 1.

51.

1, 1

.2, 1

.4, 1

.51.

1, 1

.2, 1

.4, 1

.51.

1, 1

.2, 1

.4, 1

.51.

1, 1

.2, 1

.4, 1

.51.

1, 1

.2, 1

.4, 1

.51.

1, 1

.2, 1

.3, 1

.4, 1

.51.

4, 1

.5, 1

.6, 1

.8

I. 1-2

3-5

6-7

8-9

10 11 1213

-14

15-1

617

-18

19-2

021

-22

23-2

425

-29

Mul

țimea

num

erel

or n

atur

ale

Scrie

rea

și ci

tirea

num

erel

or n

atur

ale.

Rep

reze

ntar

ea n

ume-

relo

r nat

ural

e pe

axa

num

eric

ă.Co

mpa

rare

a și

ordo

nare

a nu

mer

elor

nat

ural

e. R

otun

jirea

nu

mer

elor

nat

ural

e.Ad

unar

ea n

umer

elor

nat

ural

e.

Scăd

erea

num

erel

or n

atur

ale.

Oră

de

sinte

ză.

Eval

uare

iniți

ală.

Anal

iza e

valu

ării

iniți

ale.

Înm

ulțir

ea n

umer

elor

nat

ural

e.

Împă

rțire

a nu

mer

elor

nat

ural

e.Îm

părț

irea

cu re

st.

Noț

iune

a de

put

ere.

Pă

trat

ul și

cub

ul u

nui n

umăr

nat

ural

.O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor ș

i fol

osire

a pa

rant

ezel

or.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or în

mul

țimea

num

erel

or n

atur

ale,

uti

lizân

d:- m

etod

a re

duce

rii la

uni

tate

;- m

etod

a m

ersu

lui i

nver

s.

46 2 3 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5

98

1.1

– 1.

6, 1

.81.

1 –

1.6,

1.8

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.7

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

30 31 3

2-34

35-3

637

-38

39-4

2

43 44 45 46

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

Mul

țimi.

Mod

uri d

e de

finire

a m

ulțim

ilor.

Divi

zor.

Mul

țimea

div

izoril

or u

nui n

umăr

nat

ural

.M

ultip

lu. M

ulțim

ea m

ultip

lilor

unu

i num

ăr n

atur

al.

Crite

riile

de

divi

zibili

tate

cu

10, 2

și

5. N

umer

e pa

re și

num

ere

impa

re.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

1 1 3 2 2 4 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

2.1,

2.2

, 2.3

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.1

- 2.5

2.1

– 2.

52.

1 –

2.5

2.2,

2.3

2.2,

2.3

, 2.4

2.1

– 2.

52.

1 –

2.5

2.1

– 2.

6

2.4,

2.5

, 2.6

, 2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

2.1,

2.2

2.1,

2.2

, 2.3

II.47

-48

49-5

051

-52

53-5

455

-56

57 58 5960

-61

62-6

364

-65

66-6

768

-69

70 7172

-73

74-7

5

Frac

ții o

rdin

are.

Num

ere

zeci

mal

eN

oțiu

nea

de fr

acție

. Re

prez

enta

rea

frac

țiilo

r cu

ajut

orul

uno

r des

ene.

Scoa

tere

a în

treg

ului

din

frac

ție. I

ntro

duce

rea

într

egul

ui în

fr

acție

.Fr

acții

ech

ival

ente

. Am

plifi

care

a și

simpl

ifica

rea

frac

țiilo

r.Ad

ucer

ea fr

acții

lor l

a ac

elaș

i num

itor.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

Repr

ezen

tare

a fr

acții

lor p

e ax

a nu

mer

elor

. Co

mpa

rare

a fr

acții

lor.

Adun

area

și sc

ăder

ea fr

acții

lor.

Înm

ulțir

ea fr

acții

lor.

Inve

rsa

unei

frac

ții. Î

mpă

rțire

a fr

acții

lor.

Aflar

ea u

nei f

racț

ii di

ntr-u

n nu

măr

. Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

Noț

iune

a de

num

ăr ze

cim

al.

Com

para

rea,

ord

onar

ea, r

epre

zent

area

pe

axă

a nu

mer

elor

ze

cim

ale

finite

. Rot

unjir

i.

47 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2

99

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.3

2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

, 2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7,

1.3

, 1.4

, 1.6

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

76-7

778

-79

80-8

182

-83

84-8

586

-89

90 91 92 93

Adun

area

și sc

ăder

ea n

umer

elor

zeci

mal

e fin

ite.

Înm

ulțir

ea n

umer

elor

zeci

mal

e fin

ite.

Împă

rțire

a nu

mer

elor

zeci

mal

e fin

ite la

10,

100

, 100

0.Ri

dica

rea

unui

num

ăr ze

cim

al fi

nit l

a pă

trat

și la

cub

.O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or, u

tilizâ

nd:

- met

oda

redu

cerii

la u

nita

te;

- met

oda

mer

sulu

i inv

ers.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

2 2 2 2 2 4 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

3.1,

3.2

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.6

, 3.8

3.5,

3.6

, 3.8

, 3.9

, 3.1

0

3.1,

3.6

, 3.8

, 3.9

, 3.1

03.

5, 3

.6, 3

.7, 3

.8, 3

.93.

1, 3

.6, 3

.8, 3

.9, 3

.10

3.5,

3.6

, 3.7

, 3.8

, 3.9

3.1

– 3.

103.

1 –

3.10

3.1

– 3.

103.

1, 3

.6, 3

.83.

1, 3

.6, 3

.83.

1, 3

.5 –

3.1

0

III.

94-9

697

-99

100-

102

103-

105

106

107

108

109

110-

111

112

113-

114

115

116-

117

118

119

120

121-

122

123-

124

125-

126

Elem

ente

de

geom

etrie

şi u

nită

ți de

măs

ură

Figu

ri ge

omet

rice.

Inst

rum

ente

geo

met

rice

Drep

te c

oncu

rent

e. D

rept

e pe

rpen

dicu

lare

. Dre

pte

para

lele

.Co

rpur

i geo

met

rice.

Oră

de

sinte

ză.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

Uni

tăți

de m

ăsur

ă uz

uale

pen

tru

lung

ime.

Tra

nsfo

rmăr

i.Lu

ngim

ea u

nui s

egm

ent,

a un

ei li

nii f

rânt

e. P

erim

etru

l tr

iung

hiul

ui și

al

patr

ulat

erul

ui.

Uni

tăți

de m

ăsur

ă uz

uale

pen

tru

supr

afaț

ă. T

rans

form

ări.

Aria

păt

ratu

lui ș

i a d

rept

ungh

iulu

i.U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u vo

lum

. Tra

nsfo

rmăr

i.Vo

lum

ul c

ubul

ui și

al c

uboi

dulu

i.O

ră d

e sin

teză

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u ca

paci

tate

. Tra

nsfo

rmăr

i.U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u m

asă.

Tra

nsfo

rmăr

i.U

nită

ți de

măs

ură

uzua

le p

entr

u tim

p. T

rans

form

ări.

39 3 3 3 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

100

3.1,

3.5

– 3

.10

3.1

– 3.

103.

1 –

3.10

, 2.5

, 2.6

3.1

– 3.

103.

1 –

3.10

127-

128

129

130

131

132

Uni

tăți

mon

etar

e. T

rans

form

ări.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

2 1 1 1 11.

1 –

3.10

133-

136

Reca

pitu

lare

.4

Clas

a a

VI-a

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nță

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i N

r. de

or

eDa

taO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

; Pr

edar

e –

învă

țare

;Ev

alua

re.

Tota

l:

17 112 7 136

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

1.1,

1.2

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.1,

1.2

,1.3

1.4

1.2,

1.4

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.1,

1.2

, 1.7

1.7,

1.6

, 1.8

, 1.9

I. 1 2 3-5 6 7-8

9-10

11-1

2

13-1

4

15-1

617

-18

Num

ere

natu

rale

M

ulțim

ea n

umer

elor

nat

ural

e (N

, N*)

.Di

vizo

r. M

ultip

lu. N

umer

e pr

ime,

num

ere

com

puse

.Cr

iterii

le d

e di

vizib

ilita

te c

u 2,

3, 5

, 9, 1

0.N

umer

e pa

re și

num

ere

impa

re.

Desc

ompu

nere

a nu

mer

elor

nat

ural

e în

pro

dus

de p

uter

i de

num

ere

prim

e.

Divi

zoru

l com

un a

dou

ă nu

mer

e na

tura

le. C

.m.m

.d.c

. a d

ouă

num

ere

natu

rale

.M

ultip

lii co

mun

i a d

ouă

num

ere

natu

rale

. C.m

.m.m

.c. a

dou

ă nu

mer

e na

tura

le.

Pute

rea

cu e

xpon

ent

num

ăr n

atur

al. P

ropr

ietă

țile

pute

rii c

u ex

pone

nt n

atur

al.

Noț

iune

a de

ecu

ație

. Rez

olva

rea

în m

ulțim

ea N

a e

cuaț

iilor

.Re

zolv

area

pro

blem

elor

prin

ecu

ații.

22 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2

101

1.1

– 1.

91.

1 –

1.9

1.1

– 1.

91.

1 –

1.9

19 20 21 22

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.1,

2.2,

2.5

,2.7

, 2.8

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

2.2

– 2.

5, 2

.7, 2

.82.

2 –

2.5,

2.7

, 2.8

2.2

– 2.

5, 2

.7, 2

.82.

2 –

2.5,

2.7

, 2.8

2.2

– 2.

5, 2

.7, 2

.8

2.2

– 2.

5, 2

.7, 2

.82.

1, 2

.2, 2

.6, 2

.82.

1 –

2.8

2.1

– 2.

8, 1

.72.

1 –

2.8

2.1

– 2.

8

II.23

-24

25-2

627

-28

29-3

031

-32

33-3

435

36-3

7

38-3

9

4041

-42

43 44 45 46

Num

ere

într

egi.

Ope

rații

cu

num

ere

într

egi

Num

ăr în

treg

. Mul

țimea

num

erel

or în

treg

i Z.

Mod

ulul

unu

i num

ăr în

treg

. O

rdon

area

și c

ompa

rare

a nu

mer

elor

într

egi.

Adun

area

num

erel

or în

treg

i. Pr

oprie

tăți.

Scăd

erea

num

erel

or în

treg

i. O

rdin

ea e

fect

uării

ope

rații

lor.

Înm

ulțir

ea n

umer

elor

într

egi.

Prop

rietă

ți.Fa

ctor

com

un.

Împă

rțire

a nu

mer

elor

într

egi.

Pute

rea

unui

num

ăr în

treg

cu

expo

nent

num

ăr n

atur

al.

Prop

rietă

țile

pute

rii.

Ord

inea

efe

ctuă

rii o

pera

țiilo

r și f

olos

irea

para

ntez

elor

.Re

zolv

area

în Z

a e

cuaț

iilor

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

24 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.5

3.1,

3.2

, 3.5

, 3.9

, 3.1

03.

1, 3

.2, 3

.3, 3

.53.

1, 3

.2, 3

.3, 3

.5

3.2,

3.4

, 3.5

, 3.6

3.2,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.

93.

2, 3

.4, 3

.5, 3

.9, 3

.10

III.

47-4

8

4950

-51

52-5

3

54-5

556

-57

58

Num

ere

rațio

nale

. Ope

rații

cu

num

ere

rațio

nale

Num

ere

rațio

nale

. Rep

reze

ntar

ea p

e ax

ă a

num

erel

or

rațio

nale

.M

odul

ul u

nui n

umăr

rațio

nal.

Scrie

rea

num

erel

or ra

ționa

le în

div

erse

form

e.

Com

para

rea

num

erel

or ra

ționa

le. R

otun

jirea

num

erel

or

rațio

nale

.Ad

unar

ea n

umer

elor

rațio

nale

. Pro

prie

tăți.

Scăd

erea

num

erel

or ra

ționa

le.

Ord

inea

ope

rații

lor ș

i util

izare

a pa

rant

ezel

or.

31 2 1 2 2 2 2 1

102

3.2,

3.4

, 3.5

, 3.6

3.2,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.8

, 3.9

3.2,

3.3

, 3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.8

, 3.9

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.8

, 3.9

3.1

– 3.

6, 3

.8, 3

.93.

1 –

3.6,

3.8

, 3.9

3.6,

3.7

, 3.9

, 3.1

03.

1, 3

.2,

3.7,

3.8

, 3.9

3.1,

3.2

, 3.

7, 3

.8, 3

.93.

1 –

3.10

3.1

– 3.

10, 2

.4, 2

.6, 2

.73.

1 –

3.10

3.1

– 3.

10

59-6

061

62-6

364

-65

6667

-68

6970

-71

72-7

374 75 76 77

Înm

ulțir

ea n

umer

elor

rațio

nale

. Pro

prie

tăți.

Fac

tor c

omun

.Pu

tere

a un

ui n

umăr

rațio

nal c

u ex

pone

nt n

umăr

nat

ural

. Îm

părț

irea

num

erel

or ra

ționa

le.

Ord

inea

efe

ctuă

rii o

pera

țiilo

r și f

olos

irea

para

ntez

elor

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Aflar

ea fr

acție

i din

tr-u

n nu

măr

. Afla

rea

num

ărul

ui fi

ind

dată

fr

acția

.Re

zolv

area

pro

blem

elor

.M

ulțim

i. M

odur

i de

defin

ire a

mul

țimilo

r. O

pera

ții c

u m

ulțim

i.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

4.1,

4.2

4.1,

4.2

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.2,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.2,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.2,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.2,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.5,

4.6

, 4.7

4.2,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1

– 4.

74.

1 –

4.7,

2.5

, 2.6

4.1

– 4.

74.

1 –

4.7

IV.

7879

-80

8182

-83

84-8

586

-87

88-8

990

91-9

293

-94

9596

-97

98 99 100

101

Rapo

arte

şi p

ropo

rții

Rapo

arte

. Șiru

ri de

rapo

arte

ega

le.

Prop

orții

. Pro

prie

tate

a fu

ndam

enta

lă a

pro

porț

iei.

Aflar

ea u

nui t

erm

en n

ecun

oscu

t al p

ropo

rție

i.M

ărim

i dire

ct p

ropo

rțio

nale

.M

ărim

i inv

ers p

ropo

rțio

nale

. Re

gula

de

trei

sim

plă.

Pr

ocen

te. A

flare

a pr

ocen

telo

r din

tr-u

n nu

măr

dat

. Afl

area

unu

i num

ăr c

ând

cuno

aște

m p

roce

ntel

e di

n el

.Afl

area

rapo

rtul

ui p

roce

ntua

l. Pr

oble

me.

Elem

ente

de

orga

niza

re a

dat

elor

. M

edia

arit

meti

că.

Elem

ente

de

prob

abili

tăți.

O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

24 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1

103

I. II. III.

IV. V. VI.

VII.

5.1,

5.2

, 5.3

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

,5.5

5.2,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.

1, 5

.2, 5

.6, 5

.7,5

.85.

6, 5

.75.

6, 5

.7, 5

.8, 5

.95.

1,5.

2, 5

.3, 5

.4, 5

.75.

1,5.

2, 5

.3, 5

.4, 5

.75.

1 –

5.5,

5.7

, 5.8

, 5.9

5.1,

5.6

, 5.7

– 5.

95.

1, 5

.2, 5

.3, 5

.4, 5

.6

5.4,

5.5

,5.8

, 5.9

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.6,

5.7

, 5.8

, 5.9

5.1–

5.3

, 5.5

, 5.7

– 5.

95.

1, 5

.2, 5

.6, 5

.75.

1 –

5.9

5.1

– 5.

9, 4

.4, 4

.55.

1 –

5.9

5.1

– 5.

9

V. 102

103-

104

105-

106

107-

108

109

110-

111

112-

113

114

115-

116

117-

118

119

120-

121

122-

123

124

125-

126

127-

128

129-

130

131

132

133

134

135

Figu

ri şi

cor

puri

geom

etric

eFi

guri

geom

etric

e.

Lung

imea

segm

entu

lui.

Segm

ente

con

grue

nte.

Tr

iung

hi, p

atru

late

r. Pe

rimet

rul t

riung

hiul

ui, p

atru

late

rulu

i.Po

ligon

. Per

imet

rul p

olig

onul

ui.

Aria

păt

ratu

lui,

drep

tung

hiul

ui.

Ung

hiur

i. M

ăsur

a în

gra

de a

ung

hiur

ilor.

Calc

ule

cu m

ăsur

i de

ungh

iuri.

Clas

ifica

rea

ungh

iuril

or.

Ung

hiur

i con

grue

nte.

Bi

sect

oare

a un

ghiu

lui.

Eval

uare

sum

ativă

.Dr

epte

con

cure

nte,

dre

pte

para

lele

și p

erpe

ndic

ular

e.M

edia

toar

ea u

nui s

egm

ent.

Cons

trui

rea

med

iato

arei

se

gmen

tulu

i.Li

nie

curb

ă. C

erc.

Disc

. Ele

men

te.

Num

ărul

. L

ungi

mea

cer

culu

i. Ar

ia d

iscul

ui.

Corp

uri g

eom

etric

e.De

sfăș

urar

ea c

orpu

lui g

eom

etric

stud

iat.

Volu

mul

cub

ului

și a

l cub

oidu

lui.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

34 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 11.

1 –

5.9

136

Reca

pitu

lare

.1

104

Clas

a a

VII-a

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nță

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i N

r. de

or

eDa

taO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

;Pr

edar

e –

învă

țare

;Ev

alua

re.

Tota

l:

25 104 7 136

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

1.1,

1.2

, 1.3

1.1,

1.2

, 1.3

1.3,

1.7

, 1.8

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.4,

1.6

, 1.7

, 1.8

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.5

1.4,

1.6

, 1.7

, 1.8

1.4,

1.6

, 1.7

, 1.8

1.3,

1.4

, 1.5

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

I. 1 2 3 4-5

6-7

8-9

10-1

1

12-1

3

1415

-16

17-1

8

19 20 21 22

Num

ere

real

eM

ulțim

ea n

umer

elor

rațio

nale

Q. I

nclu

ziuni

le N

ZQ

.N

umer

e ze

cim

ale.

Num

ere

zeci

mal

e pe

riodi

ce.

Repr

ezen

tare

a nu

mer

elor

rațio

nale

pe

axă.

Noț

iune

a de

rădă

cină

păt

rată

din

tr-u

n nu

măr

rațio

nal

nene

gativ

. N

oțiu

nea

de n

umăr

iraț

iona

l. N

oțiu

nea

de n

umăr

real

. M

ulțim

ea n

umer

elor

real

e.

Ope

rații

cu

mul

țimile

N, Z

, Q, R

și su

bmul

țimile

lor.

Mod

ulul

num

ărul

ui re

al.

Prop

rietă

ți.O

pera

ții c

u nu

mer

e re

ale:

adu

nare

a, s

căde

rea,

înm

ulțir

ea,

împă

rțire

a, ri

dica

rea

la p

uter

e cu

exp

onen

t nat

ural

. Pr

oprie

tățil

e ra

dica

lilor

.In

trod

ucer

ea f

acto

rilor

sub

rad

ical

, sc

oate

rea

fact

orilo

r de

su

b ra

dica

l. Co

mpa

rare

a, o

rdon

area

și re

prez

enta

rea

pe a

xă a

num

erel

or

real

e.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

22 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1

105

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

2.1,

2.2

, 2.4

2.1,

2.2

, 2.4

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.6

, 2.7

2.2,

2.3

, 2.5

, 2.6

, 2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

II.23

-24

25-2

728

-30

31-3

334 35 36 37

Calc

ul a

lgeb

ricN

umer

e re

ale

repr

ezen

tate

prin

lite

re. E

xpre

sii a

lgeb

rice.

Ope

rații

cu

num

ere

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

.Fo

rmul

ele

înm

ulțir

ii pr

escu

rtat

e.De

scom

pune

rea

unei

exp

resii

alg

ebric

e în

pro

dus d

e fa

ctor

i.O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

15 2 3 3 3 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

3.1,

3.8

3.1,

3.8

3.1,

3.8

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.1

– 3.

83.

1 –

3.8

3.1

– 3.

83.

1 –

3.8

III.

38-4

041

-42

43-4

445

-46

47-4

849

-50

51-5

354

-56

57 58 59 60

Func

țiiSi

stem

ul c

arte

zian

de c

oord

onat

e în

pla

n.Co

ordo

nate

le p

unct

ului

.Di

stan

ța d

intr

e do

uă p

unct

e di

n pl

an.

Noț

iune

a de

func

ție.

Mod

uri d

e de

finire

a fu

ncție

i. N

oțiu

nea

grafi

cul f

uncţ

iei.

Func

ția d

e gr

adul

I. F

uncț

ia c

onst

antă

. Pr

opor

ționa

litat

e di

rect

ă.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

23 3 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1

106

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

4.1,

4.2

4.1,

4.2

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.4,

4.6

, 4.7

, 4.8

4.1,

4.2

, 4.5

4.1,

4.2

, 4,5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8

IV.

61 6263

-65

66-6

768

-69

7071

-72

73-7

475 76 77 78

Ecua

ții. I

necu

ații

Noț

iune

a de

ecu

ație

cu

o ne

cuno

scut

ă. S

oluț

ia e

cuaț

iei.

Ecua

ții e

chiv

alen

te. T

rans

form

ări e

chiv

alen

te.

Ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă și

redu

ctibi

le la

ace

stea

. Re

zolv

area

pro

blem

elor

cu

ajut

orul

ecu

ațiil

or.

Ineg

alită

ți nu

mer

ice.

Pro

prie

tăți.

Inte

rval

e de

num

ere

real

e. O

pera

ții c

u in

terv

ale.

Noț

iune

a de

inec

uație

cu o

nec

unos

cută

. Ine

cuaț

ii ech

ival

ente

.In

ecua

ții d

e gr

adul

I și

redu

ctibi

le la

ace

stea

. O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

18 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.9

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.6

5.1,

5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.9

5.1,

5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.9

5.1,

5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.9

5.1,

5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.9

5.1,

5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.9

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.1

– 5.

95.

1 –

5.9

5.1

– 5.

95.

1 –

5.9

V.79

-80

81-8

283

-84

85-8

6

87-8

8

89-9

091

92-9

394

-95

96-9

7

98 99 100

101

Noț

iuni

geo

met

rice.

Rec

apitu

lare

şi c

ompl

etăr

iEl

emen

te d

e lo

gică

Mat

emati

că. N

oțiu

nea

de p

ropo

ziție

. N

oțiu

ni g

eom

etric

e fu

ndam

enta

le.

Drea

ptă.

Sem

idre

aptă

. Seg

men

t.N

oțiu

nea

de u

nghi

. Cla

sifica

rea

ungh

iuril

or. M

ăsur

a un

ghiu

lui.

Prop

oziți

i mat

emati

ce. N

oțiu

nile

de

defin

iție,

axi

omă,

te

orem

ă, ip

otez

ă, c

oncl

uzie

, dem

onst

rație

, con

seci

nță.

Te

orem

a re

cipr

ocă.

Exe

mpl

u, c

ontr

aexe

mpl

u.M

etod

a re

duce

rii la

abs

urd.

Drep

te p

aral

ele.

Crit

erii

de p

aral

elism

.Dr

epte

per

pend

icul

are.

Dist

anța

de

la u

n pu

nct l

a o

drea

ptă.

Sim

etria

față

de

un p

unct

, cen

trul

de

simet

rie, s

imet

ria fa

ță

de o

dre

aptă

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

23 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1

107

I. II. III.

IV. V. VI.

VII.

6.2,

6.3

6.1,

6.2

, 6.3

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

, 6.5

6.1,

6.3

, 6.5

, 6.7

, 6.8

6.1,

6.3

, 6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.9

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.9

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.9

6.1

– 6.

9

VI.

102

103-

104

105-

106

107-

108

109-

110

111-

112

113-

114

115-

116

117-

118

Triu

nghi

uri c

ongr

uent

eTr

iung

hi. C

lasifi

care

a tr

iung

hiur

ilor.

Rela

ția d

e co

ngru

ență

. Seg

men

te c

ongr

uent

e. U

nghi

uri

cong

ruen

te.

Triu

nghi

uri c

ongr

uent

e. C

azur

ile d

e co

ngru

ență

a

triu

nghi

urilo

r.Co

nstr

ucția

(util

izând

rigl

a și

com

pasu

l) a

triu

nghi

urilo

r dup

ă ca

zuril

e LU

L, U

LU, L

LL.

Ineg

alită

ți în

triu

nghi

.Cr

iterii

le d

e co

ngru

ență

pen

tru

triu

nghi

urile

dre

ptun

ghic

e.M

etod

a tr

iung

hiur

ilor c

ongr

uent

e.Bi

sect

oare

a un

ui u

nghi

. Pro

prie

tate

a bi

sect

oare

i.M

edia

toar

ea u

nui s

egm

ent.

Prop

rieta

tea

med

iato

arei

.

34 1 2 2 2 2 2 2 2 26.

1, 6

.2, 6

.3, 6

.4, 6

.86.

4, 6

.5, 6

.6, 6

.7, 6

.96.

4, 6

.5, 6

.7, 6

.8, 6

.9

6.4,

6.5

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.4,

6.5

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.4,

6.5

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.2,

6.4

, 6.7

, 6.9

6.1

– 6.

9

6.1

– 6.

96.

1 –

6.9

6.1

– 6.

9

119

120-

121

122-

123

124-

125

126-

127

128

129

130-

131

132

133

134

135

Eval

uare

sum

ativă

.Li

nii i

mpo

rtan

te î

n tr

iung

hi. M

edia

na în

triu

nghi

. Bi

sect

oare

a tr

iung

hiul

ui. Î

nălți

mea

triu

nghi

ului

. Med

iato

area

tr

iung

hiul

ui. P

ropr

ietă

ți.Su

ma

măs

urilo

r ung

hiur

ilor u

nui t

riung

hi. T

eore

ma

ungh

iulu

i ex

terio

r. Pr

oprie

tățil

e tr

iung

hiul

ui is

osce

l.Pr

oprie

tățil

e tr

iung

hiul

ui e

chila

tera

l.Li

nia

mijl

ocie

în tr

iung

hi. P

ropr

ietă

ți.Tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

. Pro

prie

tățil

e tr

iung

hiul

ui

drep

tung

hic.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 11.

1 –

6.9

136

Reca

pitu

lare

fina

lă.

1

108

Clas

a VI

II-a

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nță

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eDa

taO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

; Pr

edar

e –

învă

țare

;Ev

alua

re.

Tota

l:

39 87 10 136

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

1.1,

1.3

, 1.4

, 1.7

1.1,

1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

1.2,

1.5

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.2,

1.5

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.2,

1.5

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.2,

1.5

, 1.6

, 1.8

, 1.9

1.3,

1.5

, 1.7

, 1.8

, 1.9

1.1

– 1.

91.

1 –

1.9

1.1

– 1.

91.

1 –

1.9

I. 1 2-3 4 5-6

7-8 9 10 11 12 13 14

Num

ere

real

e. R

ecap

itula

re şi

com

plet

ări

Mul

țimea

num

erel

or re

ale.

Mod

ulul

num

ărul

ui re

al.

Ope

rații

cu

num

ere

real

e.Pu

teri

cu e

xpon

ent n

atur

al. P

ropr

ietă

ți.Pu

teri

cu e

xpon

ent î

ntre

g. P

ropr

ietă

ți.Ră

dăci

nă p

ătra

tă. P

ropr

ietă

ți al

e ră

dăci

nii p

ătra

te.

Intr

oduc

erea

fact

orul

ui su

b ra

dica

l. Sc

oate

rea

fact

orilo

r de

sub

radi

cal.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

14 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

2.1,

2.2

, 2.3

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.5

, 2.6

2.3,

2.4

, 2.5

, 2.6

2.1

– 2.

62.

1 –

2.6

2.1

– 2.

6, 1

.5, 1

.6, 1

.72.

1 –

2.6

2.1

– 2.

6

II. 15

16-1

718

-19

20-2

122 23 24 25

Calc

ulul

alg

ebric

Num

ere

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

. Ope

rații

cu

num

ere

real

e re

prez

enta

te p

rin li

tere

.Fo

rmul

e de

cal

cul p

resc

urta

t.M

etod

e de

des

com

pune

re în

fact

ori.

Tran

sfor

măr

i ide

ntice

ale

exp

resii

lor a

lgeb

rice.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

11 1 2 2 2 1 1 1 1

109

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

, 3.6

3.3,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.3,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.3,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.3,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.1

– 3.

83.

1 –

3.8,

2.3

, 2.5

3.1

– 3.

83.

1 –

3.8

III.

26-2

7

28 29 3031

-32

33 34 35 36 37

Şiru

ri. F

uncț

iiN

oțiu

nea

de și

r num

eric

. Mod

uri d

e de

finire

a u

nui ș

ir.

Clas

ifica

rea.

Noț

iune

a de

func

ție. M

odur

i de

defin

ire a

func

ției.

Func

ția d

e gr

adul

I. P

ropr

ietă

ți.Fu

ncția

con

stan

tă.

Prop

orțio

nalit

atea

dire

ctă.

Prop

orțio

nalit

atea

inve

rsă.

Func

ția ra

dica

l. Pr

oprie

tăți

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

12 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

4.1,

4.2

, 4.3

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.7

4.1,

4.3

, 4.5

, 4.7

4.2,

4.3

, 4.7

4.4,

4.5

, 4.6

, 4.7

, 4.8

, 4.9

4.1,

4.3

, 4.7

, 4.9

4.2,

4.3

, 4.5

, 4.6

, 4.7

, 4.9

4.1,

4.3

, 4.4

, 4.7

, 4.8

, 4.9

4.3,

4.5

, 4.6

, 4.7

, 4.8

, 4.9

4.1,

4.3

, 4.5

, 4.6

, 4.8

, 4.9

4.1

– 4.

94.

1 –

4.9

4.1

– 4.

94.

1 –

4.9

IV.

3839

-40

41

42-4

3

44-4

5

46 47 4849

-50

51-5

2

53 54 55 56

Ecua

ții. I

necu

ații.

Sist

eme

Noț

iune

a de

ecu

ație

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

.N

oțiu

nea

de e

cuaț

ie d

e gr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e.

Noț

iune

a de

sist

em d

e do

uă e

cuaț

ii de

gra

dul I

cu

două

ne

cuno

scut

e.

Met

ode

de re

zolv

are

a sis

tem

elor

de

două

ecu

ații

de g

radu

l I

cu d

ouă

necu

nosc

ute.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or c

u te

xt c

u aj

utor

ul e

cuaț

iilor

și/s

au

siste

mel

or d

e ec

uații

. In

egal

ități

num

eric

e. P

ropr

ietă

ți.

Inte

rval

e de

num

ere

real

e. O

pera

ții c

u in

terv

ale.

Noț

iune

a de

inec

uație

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

.Re

zolv

area

inec

uații

lor d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă.

Noț

iune

a de

sist

em d

e in

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o

necu

nosc

ută.

Rez

olva

rea

siste

mel

or d

e in

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

19 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1

110

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.1,

4.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

4.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

4.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.6

, 5.7

5.2,

5.3

, 5.6

, 5.7

5.2,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.7

5.1

– 5.

75.

1 –

5.7

5.1

– 5.

75.

1 –

5.7

V. 5758

-59

60-6

1 62

-63

64-6

566

-67

68-6

970 71 72 73

Ecua

ții d

e gr

adul

IIN

oțiu

nea

de e

cuaț

ie d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută.

Rezo

lvar

ea e

cuaț

iilor

de

grad

ul II

, for

mel

e in

com

plet

e.Re

zolv

area

ecu

ațiil

or d

e gr

adul

II, f

orm

a co

mpl

etă.

Rezo

lvar

ea e

cuaț

iilor

de

grad

ul II

, for

ma

redu

să.

Rela

țiile

din

tre

solu

ții și

coe

ficie

nți.

Desc

ompu

nere

a în

pr

odus

de

fact

ori a

exp

resie

i de

form

a ax

2 + b

x +

c, a

0

, a,

b,c

R.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or p

rin a

plic

area

ecu

ațiil

or d

e gr

adul

II.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

17 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

6.1,

6.2

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

, 6.5

, 6.6

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

, 6.5

6.3,

6.5

, 6.7

, 6.8

, 6.9

6.2,

6.3

, 6.4

, 6.5

, 6.6

6.2,

6.3

, 6.4

, 6.5

, 6.6

6.1

– 6.

96.

1 –

6.9,

3.5

, 3.7

6.1

– 6.

96.

1 –

6.9

VI.

74 75 76 77 7879

-80

81 82 83 84

Figu

ri ge

omet

rice

plan

e. R

ecap

itula

re şi

com

plet

ări

Elem

ente

de

logi

că M

atem

atică

.Tr

iung

hiur

i. Li

niile

impo

rtan

te în

triu

nghi

. Ce

rcul

. Disc

ul. E

lem

ente

.Po

ziția

rela

tivă

a un

ei d

rept

e fa

ță d

e un

cer

c/di

sc.

Ung

hi la

cen

tru.

Arc

e de

cer

c.U

nghi

însc

ris în

cer

c.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

11 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

7.1,

7.3

, 7.6

7.1,

7.2

, 7.3

, 7.4

, 7.5

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

, 7.8

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

, 7.8

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

, 7.8

7.3

– 7.

8

VII.

85 8687

-88

99-9

192

-93

94

Triu

nghi

uri a

sem

enea

Segm

ente

pro

porț

iona

le.

Teor

ema

lui T

hale

s.Tr

iung

hiur

i ase

men

ea. T

eore

ma

fund

amen

tală

a a

sem

ănăr

ii.Cr

iterii

de

asem

ănar

e a

triu

nghi

urilo

r. Cr

iterii

de

asem

ănar

e a

triu

nghi

urilo

r dre

ptun

ghic

e.Ap

licaț

ii al

e m

etod

ei tr

iung

hiur

ilor a

sem

enea

: luc

rare

pr

actic

ă.

14 1 1 2 3 2 1

111

7.1

– 7.

87.

1 –

7.8,

6.4

, 6.5

, 6.6

7.1

– 7.

87.

1 –

7.8

95 96 97 98

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

8.1,

8.4

, 8.5

8.1,

8.2

, 8.3

, 8.4

, 8.

8.1,

8.2

, 8.3

, 8.4

, 8.5

8.1,

8.2

, 8.6

, 8.7

, 8.8

, 8.

1, 8

.2, 8

.6, 8

.7

1.1

– 8.

88.

1 –

8.8

8.1

– 8.

8, 6

.5, 7

.48.

1 –

8.8

8.1

– 8.

8

VIII. 99

100-

101

102-

103

104-

105

106

107-

108

109

110

111

112

Rela

ții m

etric

e în

triu

nghi

ul d

rept

ungh

icPr

oiec

ții o

rtog

onal

e pe

o d

reap

tă.

Teor

ema

înăl

țimii,

teor

ema

cate

tei.

Teor

ema

lui P

itago

ra.

Elem

ente

de

trig

onom

etrie

în tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

.Va

loril

e sin

usul

ui, c

osin

usul

ui, t

ange

ntei

și c

otan

gent

ei

pent

ru u

nghi

urile

de

30˚,

45˚,

60˚.

Rezo

lvar

ea tr

iung

hiul

ui d

rept

ungh

ic.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

14 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

9.1,

9.2

, 9.3

9.1,

9.2

, 9.3

9.3,

9.4

, 9.5

, 9.6

, 9.7

, 9.8

9.3,

9.4

, 9.5

, 9.6

, 9.7

, 9.8

9.1,

9.2,

9.3,

9.5,

9.6

, 9.7

9.1,

9.2

, 9.4

, 9.6

, 9.8

9.1

– 9.

89.

1 –

9.8,

6.5

, 7.4

, 8.6

9.1

– 9.

89.

1 –

9.8

IX.

113

114

115-

116

117-

118

119-

120

121-

122

123

124

125

126

Patr

ulat

ere.

Pol

igoa

neN

oțiu

nea

de p

olig

on. N

oțiu

nea

de p

atru

late

r. El

emen

te.

Para

lelo

gram

ul. E

lem

ente

, pro

prie

tăți,

crit

erii.

Para

lelo

gram

e pa

rticu

lare

.Tr

apez

ul, e

lem

ente

, pro

prie

tăți,

crit

erii.

Lini

a m

ijloc

ie a

trap

ezul

ui.

Noț

iune

a de

pol

igon

regu

lat.

Elem

ente

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

14 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

10.1

, 10.

210

.1, 1

0.2,

10.

3, 1

0.5

10.1

, 10

.2,

10.3

, 10

.4,

10.5

, 10

.610

.1 –

10.

610

.1 –

10.

610

.1 –

10.

610

.1 –

10.

6

X. 127

128-

129

130-

131

132

133

134

135

136

Vect

ori î

n pl

an

Tran

slația

. Pro

prie

tăți.

Apl

icaț

ii.N

oțiu

nea

de v

ecto

r. M

odul

ul v

ecto

rulu

i.O

pera

ții c

u ve

ctor

i.Ap

licaț

ii a

le v

ecto

rilor

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

10 1 2 2 1 1 1 1 1

112

Clas

a a

IX-a

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nță

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eDa

taO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

; Pr

edar

e –

învă

țare

;Ev

alua

re.

Tota

l:

38 85 9 132

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

1.1,

1.2

, 1.6

, 1.7

1.1,

1.2,

1.4,

1.5,

1.6,

1.7

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.6

, 1.7

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.6

, 1.7

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.6

, 1.7

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.6

, 1.7

1.1

– 1

.71.

1 –

1.7

1.1

– 1.

7

I. 1 2 3 4-5

6-7 8 9 10 11

Mul

țimea

num

erel

or re

ale.

Rec

apitu

lare

şi c

ompl

etăr

iN

oțiu

nea

de n

umăr

real

. Rep

reze

ntar

ea n

umer

elor

real

e pe

ax

ă.

Mod

ulul

num

ărul

ui re

al. P

ropr

ietă

ți.O

pera

ții c

u nu

mer

e re

ale.

Pro

prie

tăți.

Pute

ri cu

exp

onen

t înt

reg.

Pro

prie

tăți.

Radi

cali

de o

rdin

ul d

oi. P

ropr

ietă

ți.

Rațio

naliz

area

num

itoril

or d

e fo

rma

a√b,

aä√b

. O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

11 1 1 1 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

2.1,

2.2

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.4,

2.5

, 2.6

, 2.7

2.4,

2.5

, 2.6

, 2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7,

1.3

, 1.5

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

II. 1213

-14

15-1

617

-18

19 20 21 22 23

Rapo

arte

alg

ebric

eN

oțiu

nea

de ra

port

alg

ebric

. Dom

eniu

l val

orilo

r adm

isibi

le.

Ampl

ifica

rea,

sim

plifi

care

a ra

poar

telo

r alg

ebric

e.O

pera

ții a

ritm

etice

cu

rapo

arte

alg

ebric

e.Id

entit

ate.

Tra

nsfo

rmăr

i ide

ntice

ale

exp

resii

lor a

lgeb

rice.

Dem

onst

rația

uno

r ide

ntită

ți sim

ple.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

12 1 2 2 2 1 1 1 1 1

113

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

3.1,

3.2

, 3.3

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.6

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.2

– 3.

63.

2 –

3.6

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.6

3.1

– 3.

63.

1 –

3.6,

1.4

, 1.5

, 2.5

3.1

– 3.

63.

1 –

3.6

III.

24 2526

-27

28-2

9

30-3

132

-33

34-3

5

36 37 38 39

Func

țiiN

oțiu

nea

de fu

ncție

. Mod

uri d

e de

finire

a u

nei f

uncț

ii.

Grafi

cul f

uncț

iei.

Tran

sfor

măr

i ale

gra

ficel

or.

Prop

rietă

ți ge

nera

le a

le fu

ncții

lor n

umer

ice.

Func

ția d

e gr

adul

II. C

azur

i par

ticul

are

ale

func

ției d

e

grad

ul II

.Gr

aficu

l fun

cție

i de

grad

ul II

. Pr

oprie

tățil

e fu

ncții

lor d

e gr

adul

II.

Sem

nul f

uncț

iei d

e gr

adul

II.

Func

ția f

: R →

R, f

(x) =

x3 . G

rafic

ul și

pro

prie

tățil

e ei

.O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

16 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

.VI

.VI

I.

4.1,

4.2

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.2,

4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.7

4.1

– 4.

74.

1 –

4.7,

3.4

, 3.5

4.1

– 4.

74.

1 –

4.7

IV.

40 4142

-43

44-4

5

46-4

7

48-4

950

-51

52-5

455

-56

57-5

859 60 61 62

Ecua

ții, i

necu

ații,

sist

eme

Noț

iune

a de

ecu

ație

. Tra

nsfo

rmăr

i ech

ival

ente

.Ec

uații

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă.

Ecua

ții ra

ționa

le c

u o

necu

nosc

ută.

Sist

eme

de d

ouă

ecua

ții d

egr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or c

u aj

utor

ul e

cuaț

iilor

și/s

au a

l sis

tem

elor

de

ecua

ții.

Inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

. In

ecua

ții d

e gr

adul

II c

u o

necu

nosc

ută.

M

etod

a in

terv

alel

or.

Sist

eme

de in

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă.

Inec

uații

rațio

nale

cu

o ne

cuno

scut

ă.O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

23 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1

114

I. II. III.

IV.

VI.

VII.

5.1,

5.2

, 5.8

, 5.9

, 5.1

05.

1, 5

.3, 5

.5, 5

.8, 5

.9, 5

.10

5.1,

5.3

, 5.5

, 5.8

, 5.9

, 5.1

05.

1, 5

.7, 5

.8, 5

.9, 5

.10

5.1

– 5.

105.

1 –

5.10

, 3.4

, 3.5

, 4.3

, 4.4

5.1

– 5.

105.

1 –

5.10

V.

63-6

465

-66

67-6

869

-70

71 72 73 74

Elem

ente

de

stati

stică

Mat

emati

că şi

de

teor

ia

prob

abili

tățil

or. E

lem

ente

de

calc

ul fi

nanc

iar

Cole

ctar

ea, o

rgan

izare

a și

repr

ezen

tare

a da

telo

r.N

oțiu

nea

de e

veni

men

t. Cl

asifi

care

a ev

enim

ente

lor.

Dete

rmin

area

pro

babi

lităț

ii pr

oduc

erii

unui

eve

nim

ent.

Elem

ente

de

calc

ul fi

nanc

iar.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

12 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

6.1,

6.2

, 6.3

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

, 6.5

, 6.7

6.2,

6.3

, 6.4

, 6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.2,

6.4

, 7.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.2,

6.4

, 7.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.1

– 6.

86.

1 –

6.8

6.1

– 6.

8

VI.

75 7677

-78

79 80 81 82 83

Cerc

ul. D

iscu

l. Re

capi

tula

re şi

com

plet

ări

Cerc

ul. D

iscul

. Ele

men

te.

Ung

hi la

cen

tru.

Ung

hi în

scris

în c

erc.

Arc

de

cerc

. Po

ziția

rel

ativă

a u

nei d

rept

e fa

ță d

e un

cer

c/di

sc. T

ange

nta

la c

erc.

Prop

rieta

tea

coar

delo

r ega

l dep

ărta

te d

e ce

ntru

l cer

culu

i.Pr

oprie

tate

a ar

celo

r cup

rinse

într

e co

arde

par

alel

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

9 1 1 2 1 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

7.1,

7.2

, 7.3

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 7.7

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

7.1

– 7.

77.

1 –

7.7

7.1

– 7.

7, 5

.2, 5

.3, 6

.47.

1 –

7.7

7.1

– 7.

7

VII.

8485

-86

87-8

990

-91

92 93 94 95 96 97

Arii

Noț

iune

a de

arie

. Aria

păt

ratu

lui,

drep

tung

hiul

ui.

Aria

triu

nghi

ului

. Aria

triu

nghi

ului

ech

ilate

ral. A

ria tr

iung

hiul

ui

drep

tung

hic

Aria

par

alel

ogra

mul

ui. A

ria ro

mbu

lui.

Aria

trap

ezul

ui.

Lung

imea

cer

culu

i. Ar

ia d

iscul

ui.

Aria

hex

agon

ului

regu

lat.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

14 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1

115

I. II. III.

IV. V. VI.

VII.

8.1,

8.2

, 8.4

8.3,

8.5

, 8.6

, 8.7

, 8.8

8.1,

8.2

, 8.4

8.3,

8.5

, 8.6

, 8.7

, 8.8

8.1

– 8.

88.

1 –

8.8

8.1

– 8.

8,5.

2,5.

3,7.

3, 7

.48.

1 –

8.8

VIII.

98-9

9 1

00-1

0110

2-10

310

4-10

510

610

710

810

9

Polie

dre

Prism

ă și

elem

ente

le e

i. Cl

asifi

care

. Ar

ia su

praf

ețel

or și

vol

umul

pris

mei

dre

pte.

Pira

mid

a și

elem

ente

le e

i. Cl

asifi

care

.Ar

ia su

praf

ețel

or și

vol

umul

pira

mid

ei re

gula

te.

Trun

chiu

l de

pira

mid

ă. E

lem

ente

. Cla

sifica

re.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

Eval

uare

sum

ativă

.

12 2 2 2 2 1 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

9.1,

9.2

, 9.3

, 9.4

9.4,

9.5

, 9.6

, 9.7

, 9.8

9.1,

9.2

, 9.3

, 9.4

9.4,

9.5

, 9.6

, 9.7

, 9.8

9.1,

9.2

, 9.3

, 9.4

9.1

– 9.

8

9.1

– 9.

89.

1 –

9.8

9.1

– 9.

8

IX.

110

111-

112

113-

114

115-

116

117

118-

119

120

121

122

Corp

uri d

e ro

tație

Noț

iune

a de

cili

ndru

. Cili

ndru

l circ

ular

dre

pt și

ele

men

tele

lu

i.

Aria

supr

afeț

elor

și v

olum

ul c

ilind

rulu

i circ

ular

dre

pt.

Noț

iune

a de

con

. Con

ul c

ircul

ar d

rept

și e

lem

ente

le lu

i.

Aria

supr

afeț

elor

și v

olum

ul c

onul

ui c

ircul

ar d

rept

.Tr

unch

iul d

e co

n ci

rcul

ar d

rept

. Ele

men

te.

Sfer

a și

corp

ul sf

eric

. Aria

supr

afeț

ei sf

eric

e. V

olum

ul c

orpu

-lu

i sfe

ric.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

13 1 2 2 2 1 2 1 1 1I. II. III

.IV

. V. VI.

VII.

Clas

a a

V-a:

2.1

– 2

.9Cl

asa

a VI

-a: 4

.1 –

4.7

Clas

a a

VII-a

: 1.1

– 1

.8,

2.1

– 2.

7, 3

.1 –

3.8

, 4.

1 –

4.8,

6.1

– 6

.9Cl

asa

a VI

II-a:

2.1

– 2

.6,

3.1

– 3.

8, 4

.1 –

4.9

, 5.

1 –

5.7,

7.1

– 7

.8, 8

.1 –

8.

8, 8

.1 –

9.8

, 10.

1 –

10.6

Clas

a a

IX-a

: 1.1

– 9

.8

123-

132

Reca

pitu

lare

fina

lă.

10

116

3.2.

2. P

roie

ctar

ea p

e un

ități

de în

văța

re

Capi

tolu

l/mod

ulul

pre

zent

at în

man

ual p

oate

fi co

nsid

erat

ca u

nita

te d

e în

văța

re. P

roie

ctar

ea p

e un

itate

de

învă

țare

poa

te fi

real

i-za

tă în

baz

a m

odel

ului

de

mai

jos.

În a

cest

tabe

l se

va p

reze

nta

sepa

rat fi

ecar

e le

cție

din

mod

ulul

/cap

itolu

l res

pecti

v.Cl

asa

a VI

II-a.

Uni

tate

a de

învă

țare

Șiru

ri. F

uncț

ii (1

2 or

e)

Indi

cato

riiN

r. cr

t.Su

biec

tul l

ecţie

iTi

pul

lecţ

iei

Tehn

olog

ii di

dacti

ceAc

tivită

ţi de

în

văţa

re

Recapitulare

Eval

uare

Forme

Metode

Resurse

În clasă

Acasă

Integrative

CSU

C

12 o

reIII

. Șiru

ri. F

uncț

iiI II III IV VI VII

3.1,

3.3

, 3.7

, 3.8

1.N

oțiu

nea

de și

r num

eric

. Mod

uri d

e de

finire

a u

nui ș

irI

3.2,

3.7

, 3.8

2.Cl

asifi

care

a șir

urilo

rII

3.1,

3.3

, 3.4

, 3.8

3.N

oțiu

nea

de fu

ncție

. Mod

uri d

e de

finire

a

func

ției

III

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

4.Fu

ncția

de

grad

ul I.

Pro

prie

tăți.

Func

ția c

onst

antă

III

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

5.Pr

opor

ționa

litat

ea d

irect

ăIII

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

6.Pr

opor

ționa

litat

ea in

vers

ăI

3.4,

3.5

, 3.6

, 3.7

7.Pr

opor

ționa

litat

ea in

vers

ăII

3.1,

3.4

, 3.6

, 3.8

8.Fu

ncția

radi

cal.

Prop

rietă

ți Le

cție

mix

tă

3.1-

3.8

9.O

ră d

e sin

teză

IV

3.1-

3.8

10.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

IV

3.1-

3.8

11.

Eval

uare

sum

ativă

V

3.1-

3.8

12.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

IV

117

Not

e.

1. P

rofe

soru

l est

e în

dre

pt să

ela

bore

ze p

roie

ctar

ea te

mati

co-c

alen

daris

tică

sau

proi

ecta

rea

pe u

nita

te d

e în

văța

re la

disc

iplin

a de

st

udiu

.2.

Pro

iect

area

pe

unita

te d

e în

văța

re se

ela

bore

ază

în c

azul

func

ționă

rii u

nui m

anua

l sta

bil l

a di

scip

lina

resp

ectiv

ă și

poat

e fi

vala

bilă

pe

par

curs

ul în

treg

ii pe

rioad

e de

func

ționa

re a

ace

stui

man

ual.

Proi

ecta

rea

pe u

nita

te d

e în

văța

re, î

n fo

nd, r

epre

zintă

min

ipro

iect

e de

per

spec

tivă

ale

lecț

iilor

.3.

Pro

iect

area

pe

unita

te d

e în

văța

re n

u su

bstit

uie

proi

ectu

l did

actic

al l

ecție

i, de

oare

ce în

ace

astă

pro

iect

are

lipse

sc o

biec

tivel

e pr

econ

izate

pen

tru

a fi

atins

e în

cad

rul l

ecții

lor.

118

4. Care este specificul lecției de Matematică din perspectiva formării competențelor?

4.1. Cerințele față de o lecție de Matematică

Indiferent de tip, lecția de Matematică, pentru a fi o lecție modernă și adecvată învățământului formativ, trebuie să corespundă următoarelor caracteristici:

- să fie axată pe obiective şi, în final, pe formarea competenţelor;- să fie centrată pe elevi: activitatea profesorului în cadrul lecţiei constituie de

regulă 30%, iar activitatea elevilor – 70% din timpul ei;- să reflecte o materie de studiu raţional selectată de către profesor; - să fie axată pe metode optime de predare – învăţare – evaluare, corelate cu

mijloace eficiente de învăţământ;- să fie axată pe parteneriate de tipul profesor – elev, elev – elev; elev – profesor;- să fie fundamentată pe realizarea triadelor:- cunoştinţe – abilităţi – atitudini şi valori;- predare – învăţare – evaluare;- să fie bazată pe diversitatea formelor, metodelor şi tehnicilor de evaluare aplicate

în cadrul lecţiei;- să fie interesantă şi motivantă pentru elevi!

4.2. Clasificări ale tipurilor de lecții de Matematică

Din perspectiva formării competențelor, considerăm acceptabilă clasificarea tipuri-lor de lecții la Matematică conform criteriului competenței, criteriu care solicită anga-jarea unor priorităţi metodologice evidente la nivelul valorilor cognitive dobândite în cadrul lecţiei. [36]

Clasificarea tipurilor de lecții conform criteriului competenței:I. „lecţie de formare a capacităţilor de dobândire a cunoştinţelor” (vizează prioritar

formarea capacităților de dobândire a cunoștințelor);II. „lecţie de formare a capacităţilor de înţelegere a cunoştinţelor” (vizează prioritar

formarea capacităților de înțelegere a cunoștințelor dobândite anterior);III. „lecţie de formare a capacităţilor de aplicare a cunoştinţelor” (vizează prioritar

formarea capacităților de aplicare a cunoștințelor dobândite și înțelese anterior);IV. „lecţie de formare a capacităţilor de analiză-sinteză a cunoştinţelor” (vizează prio-

ritar formarea capacităților de analiză-sinteză a cunoștințelor dobândite, înțelese și aplicate anterior);

V. „lecţie de formare a capacităţilor de evaluare a cunoştinţelor” (vizează prioritar for-marea capacităților de evaluare critică a cunoștințelor dobândite, înțelese, aplicate și interpretate analitico-sintetic anterior).

119

Această clasificare a lecțiilor este valabilă pentru secvențe didactice extinse, de exemplu, în cadrul unei unități de învățare, al unui modul de studiu, al unui capitol.

Practica proiectării și dezvoltării curriculare a activității didactice confirmă impor-tanța lecţiei combinate (mixte), lecție centrată prioritar pe realizarea interdependen-ței obiective – conținuturi – metodologie – evaluare și a corelațiilor pedagogice pro-fesor – elev, elev – elev, elev – profesor. Însă, din perspectiva formării competențelor, lecţia combinată (mixtă) trebuie să dispară din practica educațională.

Fiecare dintre cele 5 tipuri de lecții și lecția combinată (mixtă) cuprind un ansamblu de secvențe – componentele structurale ale lecției. Vom utiliza Modelul secvențial de structurare a lecțiilor de Matematică:

I. Lecția de formare a capacităților de dobândire a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.3. Predarea-învățarea materiei noi.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților (la nivel de reproducere).5. Evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.

II. Lecția de formare a capacităților de înțelegere a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților:

a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv.

5. Evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.

III. Lecția de formare a capacităților de aplicare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.4. consolidarea materiei și formarea capacităților:

120

a) la nivel productiv;b) la nivel de transferuri în alte domenii.

5. Evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.

IV. Lecția de formare a capacităților de analiză-sinteză a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă.3. Analiza-sinteza materiei teoretice studiate (sistematizarea, clasificarea, generali-

zarea).4. Analiza-sinteza metodelor de rezolvare studiate:

a) la nivel productiv, cu transferuri în alte domenii;b) la nivel creativ.

5. Evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note).6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.

V. Lecția de formare a capacităților de evaluare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Instrucțiuni despre realizarea lucrării de evaluare.3. Realizarea lucrării de evaluare (testul, lucrarea practică, lucrarea de laborator,

proiectul, autoevaluarea etc.).4. Bilanțul lecției. Concluzii. 5. Anunțarea temei pentru acasă.

Lecțiile I-a – V-a formează sistemul de lecții clasificat după criteriul competenței. La necesitate, profesorul poate realiza și lecții combinate (mixte).

*. Lecția mixtă se structurează astfelSecvențele lecției:1. Organizarea clasei (moment organizatoric).2. Verificarea temei pentru acasă. Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.3. Predarea – învățarea materiei noi.4. Consolidarea materiei și formarea capacităților:

a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv, cu unele transferuri în alte domenii.

121

5. Evaluarea: a) curentă, fără aprecieri cu note pentru materia nouă;b) sumativă, cu aprecieri cu note pentru materia studiată anterior.

6. Bilanțul lecției. 7. Anunțarea temei pentru acasă.

Observații:1. În structura lecției, secvențele „Bilanțul lecției” și „Anunțarea temei pentru acasă”

pot fi, la dorință, schimbate locurile între ele.2. În funcție de necesitate, verificarea temei pentru acasă poate fi a) cantitativă și

b) calitativă.Sunt aplicabile următoarele procedee de verificare a temei pentru acasă:realizarea unei lucrări de sine stătător, pe 5-7 minute, cu probleme similare cu

cele propuse pentru rezolvare acasă;realizarea unei lucrări de sine stătător, pe 5-7 minute, cu aceleaşi probleme care

au fost propuse pentru rezolvare acasă;discutarea numai a răspunsurilor la problemele rezolvate acasă;discutarea răspunsurilor la întrebarea Aveți întrebări la tema pentru acasă?; analiza colectivă (frontală) a rezolvărilor problemelor semnificative din tema

pentru acasă;schimbul caietelor;analiza metodelor aplicate în cadrul rezolvării exerciţiilor şi problemelor date

pentru acasă;verificarea reciprocă etc.

3. În cadrul secvenței Reactualizarea cunoştinţelor şi a capacităţilor prin intermediul unui sistem de întrebări și răspunsuri, elevii realizează o trecere organică la studie-rea materiei noi sau la consolidarea materiei studiate la lecțiile precedente.

4. Predarea – învățarea materiei noi se face prin metode optimale pentru clasa respec-tivă și, de regulă, prin crearea situației-problemă, fiind o continuare logică a activită-ților de la secvența precedentă.

5. Consolidarea materiei şi formarea capacităţilor pe parcursul realizării acestui sistem de lecții se efectuează pe următoarele niveluri (vezi structurile tipurilor de lecții de mai sus):a) nivelul reproductiv;b) nivelul productiv;c) transferuri în alte domenii;d) nivelul creativ.

6. Evaluarea cu note a rezultatelor școlare ale elevilor se va efectua, de regulă, în ca-drul lecțiilor de tipurile III-IV-V și la lecția mixtă (vezi structurile acestor tipuri de lecții).

122

7. Bilanţul lecţiei va conține: a) aspectul cantitativ și b) aspectul calitativ. Prin aspectul cantitativ se efectuează o sinteză a materiei studiate în cadrul lecției (de regulă, prin intermediul conversației, care include 3-4 întrebări de sinteză). În cadrul aspectului calitativ se formulează concluziile despre atingerea obiectivelor lecției și se evaluea-ză activitățile, în ansamblu, la care au luat parte elevii la lecție și unii elevi, în parti-cular.

8. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va ține cont de faptul că în agenda elevului sau pe caietul acestuia trebuie să fie prezente răspunsuri concrete la urmă-toarele întrebări:1. Ce trebuie de învăţat?2. Ce trebuie de recapitulat?3. Ce trebuie de rezolvat? Observație. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va oferi și unele explicații

succinte despre rezolvările posibile ale problemelor propuse. Important. Profesorul va respecta cerinţa referitoare la volumul temei pentru acasă

la Matematică: sarcinile date pentru acasă nu trebuie să constituie mai mult de 30% din numărul celor rezolvate în cadrul lecției.

Profesorul de Matematică are dreptul să utilizeze și alte modalități de structurare a lecției. De exemplu, lecția de Matematică poate fi structurată și utilizând:

• Cadrul ERRE, care include secvențele: 1. evocarea;2. realizarea sensului;3. reflecţia;4. extinderea.

Corelarea dintre Modelul secvențial și Modelul Cadrul ERRE se reprezintă astfel:I. Evocare:

- Salutul. Momentul organizatoric. Captarea inițială a atenției elevilor;- Formularea obiectivelor (în corelare cu tipul lecției);- Verificarea temei pentru acasă;- Reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.

II. Realizarea sensului (această secvență este prezentă doar atunci când va fi studiată materia nouă în cadrul lecției):- Predarea – învățarea materiei noi (doar în cazul studierii materiei noi);

III. Reflecție:- Consolidarea materiei și formarea capacităților;- Aplicații;- Evaluarea atingerii obiectivelor preconizate;- Bilanțul lecției. Concluzii;- *Tema pentru acasă (în cazul lipsei secvenței Extinderea).

123

IV. Extindere/extensie:- Aplicații extinse. Conexiuni intra- și interdisciplinare. Realizarea proiectelor,

investigațiilor etc.- Prezentarea temei pentru acasă.

Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Este important să utilizăm corect Cadrul ERRE pentru structurarea lecției. [5]

Un model funcțional și eficient de structurare a lecției poate fi• modelul celor 5E, care include secvențele:

1. Angajarea (Engage);2. Explorarea (Exploration);3. Explicarea (Explain);4. Elaborarea (Elaborate);5. Evaluarea (Evaluate). [5].

Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Detalii despre aplicarea acestor modele şi alte modele posibile de structurare a lecțiilor de Matematică sunt prezentate în [5].

4.3. Metodologia elaborării unui proiect didactic la Matematică

Elaborarea proiectului didactic la Matematică se fundamentează pe următorul algoritm:Profesor ______________________________Disciplina de învățământ ________________Clasa ________________________________Data ________________________________Numărul lecției în sistemul de lecții (conform proiectării de lungă durată) _________ (De exemplu, 8/56, adică este lecția a 8-a din sistemul de lecții la capitolul/modulul/unitatea de învățare și lecția a 56-a din sistemul general de lecții la clasa respectivă) _________________________Numărul lecției conform orarului __________________________________________Durata lecției __________________________________________________________Capitolul/Modulul/Unitatea de învățare ____________________________________Subiectul lecției ________________________________________________________Unitățile de competență _________________________________________________

124

Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 _________________________________________________________________O2 _________________________________________________________________O3 _________________________________________________________________O4 _________________________________________________________________etc.

Tipul lecției ____________________________________________________________Tehnologii didactice:

a) Forme ____________________________________________________________b) Metode __________________________________________________________c) Mijloace de învățământ _____________________________________________

Evaluarea: a) Tipul evaluării _____________________________________________________b) Forme, metode, tehnici de evaluare; produse ___________________________

Scenariul lecției:

Notă. Scenariul lecției poate fi prezentat atât în formă tabelară, cât și în formă textuală.

Tabelul poate fi structurat în diverse moduri. a)

Nr.crt.

Secvențelelecției

Timp Obiectivelelecției

Activitateaprofesorului

Activitateaelevului

Evaluarea(de proces)

1.2.

etc.

b) Nr.crt.

Secvențelelecției Timp Obiectivele

lecțieiStrategiadidactică

Metode, procedee

Evaluarea(de proces)

1. 2.

etc.

Notă. În cazul prezentării textuale, scenariul se prezintă în formă de text, evidențiind secvențele structurale ale lecției și activitățile preconizate în cadrul acestor secvențe. Se va indica asupra cărora dintre obiective se va lucra la secvența respectivă și cât timp se preconizează pentru această secvență.

125

4.4. Exemplu de proiect didactic la Matematică

Profesor: Laşcu AlionaDisciplina de învățământ: MatematicăClasa: a VIII-aData:12.09Numărul lecției în modul (conform proiectării didactice de lungă durată): 6/6Durata lecției: 45 min.Capitolul/Unitatea de învățare: Numere reale. Recapitulare şi completări.Subiectul lecției: Puteri cu exponent întreg.

Unități de competență:1.2. Recunoaşterea, în diverse enunțuri, și exemplificarea, în diverse contexte, a

numerelor reale, a puterilor, a radicalilor și proprietăților acestora;1.5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea algoritmilor

pentru optimizarea calculului cu numere reale;1.6. Operarea cu numere reale pentru efectuarea calculelor cu numere reale în di-

verse contexte, utilizând proprietățile operațiilor studiate și ale semnificațiilor parantezelor.

Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O.1. – să recunoască în diverse contexte puterile cu exponent întreg şi proprietăţile

studiate ale acestora;O.2. – să formuleze oral şi în scris regulile de calcul cu puteri cu exponent întreg şi să

le exemplifice în diverse contexte;O.3. – să reprezinte numerele reale în diverse forme utilizând puterile;O.4. – să opereze cu numere reale la efectuarea calculelor în contexte variate, utili-

zând proprietăţile puterilor;O.5. – să manifeste independenţă în gândire şi acţiune privind aplicarea în rezolvări

de probleme a puterilor cu exponent întreg. Tipul lecției: Lecție de formare a capacităților de aplicare a cunoștințelor.Tehnologii didactice:

1. Forme:- frontală;- în perechi;- individual;

2. Metode: - metoda exercițiului;- metoda lucrului cu manualul;- algoritmizarea;

126

3. Mijloace de învățământ:- I. Achiri, A. Braicov, O. Șpuntenco. Matematică. Manual. Clasa a VIII-a.

Ed. Prut Internațional. Chișinău, 2013;- Prezentarea Power Point (PPT);- Computerul;- Proiectorul sau tabla interactivă;- Fișe cu probleme, fișe cu cuvinte pentru obținerea regulilor de calcul cu

puteri, posterul cu sarcini.Evalurea: formativă, evaluare orală și în scris, evaluare reciprocă; produse: problemă rezolvată, răspuns oral, exercițiu rezolvat, poster; lucrare independentă cu aprecieri cu note.

127

Scen

ariu

l lec

ției

Nr.

crt.

Secv

ențe

lele

cție

iTi

mpu

lO

biec

tivel

eAc

tivita

tea

prof

esor

ului

Activ

itate

a el

evilo

rEv

alua

rea

1.2.

3.4.

5.6.

7.M

omen

t or

gani

zato

ric1

min

.Sa

lutu

l. Ve

rifica

rea

preg

ătirii

ele

vilo

r pe

ntru

lecț

ie.

Salu

tă p

rofe

soru

lVi

zual

Verifi

care

a te

mei

pen

tru

acas

ă

5min

.–

Care

a fo

st te

ma

pent

ru a

casă

?De

învă

țat:

§1,

secv

ența

1.2

, cap

i-to

lul 2

.De

rezo

lvat

: Ex.

11, 1

7, p

ag. 2

5.

La p

anou

l de

anun

țuri,

ele

vul

resp

onsa

bil

afișe

ază

tem

a pe

ntru

aca

să

și el

evii

se

auto

verifi

că.

– Ce

într

ebăr

i sun

t la

tem

a pe

ntru

ac

asă?

Dacă

est

e ca

zul,

elev

ii fo

rmul

ează

în

treb

ări.

Reac

tual

izare

a cu

noști

nțel

or

și ca

paci

tățil

or

9 m

in.

Se a

nunț

ă su

biec

tul ș

i obi

ectiv

ele

lecț

iei

– se

pro

iect

ează

pe

ecra

n pr

ezen

tare

a PP

T (S

lide1

)

Elev

ii de

schi

d ca

iete

le și

not

ează

da

ta, „

Tem

a în

cla

să“

și su

biec

tul

lecț

iei:

Pute

ri cu

exp

onen

t înt

reg.

O

3Ac

tivita

te fr

onta

lăSe

pro

iect

ează

pe

ecra

n sa

rcin

ile (S

lide

2, 3

, 4):

1. S

crie

ți în

form

ă de

put

ere

cu b

aza

10:

1000

00 =

0,

01 =

10

0 =

0,00

0001

=

0,00

01 =

0,

0000

0000

1 =

Elev

ii di

n râ

ndul

I ră

spun

d or

al în

la

nț, u

n el

ev a

jută

la n

otar

ea p

e ta

blă

a ră

spun

suril

or.

Eval

uare

oral

ă

2. S

crie

ți nu

mer

ele

sub

form

ă ze

cim

ală:

32,4

8 · 1

03 =

401

· 10–2

=

0,78

· 10

2 =

94,6

· 10

–4 =

128

O4

3. C

alcu

lați

oral

:10

6 · 1

0–8 =

(10–1

)–3 =

10

–2

102

=

102 · 1

0–3 · 10

=

Elev

ii di

n râ

ndul

al I

I-lea

răsp

und

în

lanț

.Ev

alua

reor

ală

4. C

alcu

lați:

1.

25

(2–3

· 16)

–4

2. 620

· 2–1

2

28 · 3

18

3. 6

· 10

–5 ·

1,2

· 103

Patr

u el

evi d

in râ

ndul

al I

II-le

a, la

ta

blă,

con

com

itent

rezo

lvă

sarc

ina,

ce

ilalți

scriu

în c

aiet

e.

1.

25

(2–3

· 16)

–4 =

29

2. 620

· 2–1

2

28 · 3

18 =

9

3. 6

· 10

–5 ·

1,2

· 103 =

7,2

· 10

–2

Eval

uare

re

cipr

ocă

O2

Activ

itate

în g

rup.

For

mul

ați r

egul

ile d

e ca

lcul

cu

pute

riFi

ecar

e gr

up d

e 4

pers

oane

(s

e gr

upea

ză e

levi

i de

la d

ouă

mes

e ve

cine

) prim

ește

fișe

cu

cuvi

nte,

pe

care

tre

buie

să le

ara

njez

e în

ord

ine

pent

ru a

obț

ine

o re

gulă

de

calc

ul.

Răsp

unsu

ri or

ale

4.Co

nsol

idar

ea

mat

erie

i și

form

area

ca

paci

tățil

or

10 m

inO

1,O

2,O

3,O

4, O

5

O1,

O4,

O5

Activ

itate

fron

tală

Regu

li de

cal

cul c

u pu

teri

întâ

lnim

nu

doar

la M

atem

atică

, dar

și la

alte

disc

i-pl

ine.

La

care

disc

iplin

e? În

cad

rul c

ărei

te

me

ați u

tiliza

t put

erile

?Si

gur,

ca e

xem

plu

ne p

ot se

rvi t

rans

-fo

rmăr

ile în

uni

tățil

e Si

stem

ului

In

tern

ațio

nal.

- Ca

re su

nt u

nită

țile

fund

amen

tale

ale

Si

stem

ului

Inte

rnaț

iona

l?-

Care

sunt

pre

fixel

e pe

ntru

mul

tiplii

un

ei u

nită

ți de

măs

ură

și ce

sem

nific

ă fie

care

?-

Care

sunt

pre

fixel

e pe

ntru

subm

ulti-

plii

unei

uni

tăți

de m

ăsur

ă și

ce se

m-

nific

ă fie

care

?

Elev

ii ră

spun

d la

într

ebăr

i.Ev

alua

re o

rală

129

Prop

une

elev

ilor u

rmăt

oare

le p

robl

eme:

1. D

iam

etru

l une

i glo

bule

roșii

din

sân-

ge e

ste

de 0

,007

mm

. Tra

nsfo

rmaț

i în

m (S

I) di

amet

rul u

nei g

lobu

le ro

șii

și sc

rieți

rezu

ltatu

l în

form

a a

· 10n ,

unde

0 <

a <

1 și

n

Z.

Câte

un

elev

rezo

lvă

la ta

blă,

rest

ul

elev

ilor s

criu

în c

aiet

e.0,

007

mm

=

7 · 1

0–3 m

m7

· 10–3

mm

=

7 · 1

0–3 ·

10–3

m =

0,7

· 10

–5 m

.

Prob

lem

e re

zolv

ate

2. V

olum

ul u

nei p

iese

din

dia

man

te

este

de

0,00

12 m

3 (d

ensit

atea

3,4

5 kg

/dm

3 ). De

term

inaț

i mas

a ac

este

i pi

ese.

Tran

sfor

măr

i:0,

0012

m3 =

12 ·

10–4

m3 =

1210

-4 · 1

03

= 12

· 10

–1 d

m3 .

m =

V ·

= 12

10–1

dm

3 · 3

,45

kg/d

m3

= 4,

14 k

g3.

Pen

tru

încă

lzire

a zil

nică

a u

nei c

a-m

ere

pe ti

mp

de ia

rnă

este

nec

esar

ă ca

ntita

tea

de c

ăldu

ră Q

= 0

,25·

106 kJ

. Câ

ți m

3 de

gaz n

atur

al se

con

sum

ă zil

nic,

dac

ă ra

ndam

entu

l sob

ei e

ste

de 6

0% și

se șt

ie c

ă pu

tere

a ca

loric

ă a

gazu

lui n

atur

al e

ste

de 4

,4 ·

107 J/

kg

(rand

amen

tul s

e ca

lcul

ează

dup

ă

form

ula

η =

Qu

m·

q).

Tran

sfor

măm

:0,

25·1

06 kJ =

0,2

5·10

6 ·103

J =

0,25

·109 J

η =

Qu

m·

q ⇒m

=

Qu

η· q

=0,

25·1

09 J0,

6 · 4

,4 ·

107 J/

kg=

0,09

469·

102 k

g

d 9

,5 k

g.

V =

m =

9,

5 kg

0,7

kg/m

3 d

13,6

m3

de g

az.

Activ

itate

în p

erec

hiPe

ecr

an se

pro

iect

ează

pro

blem

ele

Prob

lem

a 1:

Inim

a om

ului

face

apr

oxim

ativ

5000

de

bătă

i înt

r-o o

ră.

a) C

alcu

lați

num

ărul

de

bătă

i tim

p de

o

zi, ști

ind

că zi

ua d

urea

ză 2

4 de

ore

.b)

Cal

cula

ți nu

măr

ul d

e bă

tăi a

le in

i-m

ii un

ui o

m c

are

a tr

ăit 8

0 d

e an

i (c

onsid

eraț

i anu

l cu

365

de zi

le și

sc

rieți

rezu

ltatu

l în

form

a a

· 10n ,

unde

1 <

a <

10

și nZ

∈).

Disc

ută

în p

erec

hi și

rezo

lvă

prob

le-

mel

e pr

opus

e:5

· 103 · 2

4 =

1,2

· 105

bătă

i pe

zi.1,

2 · 1

05 · 36

5 · 8

0 =

3,50

4 · 1

09 bă

tăi

a in

imii

a un

ui o

m c

are

a tr

ăit 8

0 an

i.

Prob

lem

e re

zolv

ate

130

Prob

lem

a 2:

Ener

gia

cine

tică

a un

ui a

utot

urism

, la

o vi

teză

de

72 k

m/h

est

e eg

ală

cu 3

00 k

J. De

term

inaț

i mas

a în

tone

a v

ehic

ulul

ui

EmV

c�

� ��� ��

2

2.

Tran

sfor

măr

i :30

0 kJ

= 3

· 10

2 · 10

3 J =

3 ·

105 J.

Vkm

hms

ms

��

� ��

72

72

10

36

10

20

3 2/

/.

EmV

mE V

cc

��

��

2

22

2

23

10

210

15

10

5

2

3��

��

��

��

J ms

kg,

15

10

10

15

33

,,

.�

��

�t

t

10 m

in.

Activ

itate

în g

rup

(4 p

erso

ane

în g

rup

– se

gru

peaz

ă el

evii

din

dou

ă bă

nci

veci

ne).

Elev

ii pr

imes

c câ

te u

n po

ster

cu

două

pr

oble

me

prop

use

spre

rezo

lvar

e.Gr

upur

ile: 1

și 6

1.

Cre

ieru

l um

an e

ste

alcă

tuit

din

100

mili

arde

de

neur

oni.

Înce

pând

cu

vârs

ta d

e 30

de

ani,

aces

t num

ăr d

e ne

uron

i sca

de c

u ap

roxi

mati

v 10

0 00

0 pe

zi. C

âți n

euro

ni a

re u

n om

de

40 d

e an

i (se

con

sider

ă an

ul

cu 3

65 d

e zil

e și

rezu

ltatu

l scr

ieți-

l în

form

a ze

cim

ală,

apo

i în

form

a a

× 10

n , und

e 1

< a

< 10

,aQ

∈ șinZ

∈).

Disc

ută

și sc

riu re

zolv

ările

pe

post

ere.

100

mili

arde

= 1

011 ne

uron

i10

5 · 36

5 · 1

0 =

365

· 106

neur

oni

scad

în 1

0 an

i.10

11 –

365

· 106 =

996

35 ·

106 =

9,

9635

· 10

10 ne

uron

i.

Eval

uare

re

cipr

ocă

într

e ec

hipe

(sch

imb

de p

oste

re și

ve

rifica

re)

131

2. P

entr

u în

călzi

rea

unei

cam

ere

într

-o zi

de

iarn

ă es

te n

eces

ară

canti

tate

a de

că

ldur

ă eg

ală

cu 3

00 M

J. De

ce

mas

ă de

lem

ne u

scat

e es

te n

evoi

e pe

ntru

ac

east

a? C

ompa

rați-

o cu

mas

a de

pe-

trol

cu

care

pot

fi în

locu

ite le

mne

le.

(Put

erea

cal

oric

ă a

lem

nelo

r usc

ate

este

de

q

= 1

· 107 J

/kg,

iar a

pet

rolu

lui

q =

4,4

· 107 J

/kg,

iar p

uter

ea c

alor

ică

se c

alcu

leaz

ă du

pă fo

rmul

a q

Q m=

.)

Tran

sfor

măr

i: 30

0 M

J = 3

· 10

8 J

qQ m

mQ q

��

�.

mkg

mkg

lemneuscate

petrol

�� �

�

�� �

�

310

110

30

310

44

10

68

8 7

8

7,

,.

Prob

lem

e re

zolv

ate

Grup

urile

: 2 și

41.

Ara

njaț

i în

ordi

nea

cres

căto

are

a

mas

ei a

tom

ilor u

rmăt

oare

le

elem

ente

chi

mic

e:

• Al

umin

iu (A

l):

44

8 · 1

0–28 k

g•

Heliu

(He)

:

6,64

· 10

–27 k

g •

Fier

:

9,28

· 10

–26 k

g•

Aur (

Au):

3,

27 ·

10–2

5 kg.

He, A

l, Fe

, Au.

1. V

iteza

med

ie a

lum

inii

este

de

30

0 00

0 km

într

-o se

cund

ă. L

umin

a es

te a

lcăt

uită

din

foto

ni și

un

an-

lum

ină

core

spun

de d

istan

ței p

ar-

curs

e de

unu

l din

tre

aceș

ti fo

toni

tim

p de

un

an (3

65 d

e zil

e).

a) C

âți k

m îi

cor

espu

nd u

nui a

n-lu

min

ă?

Scrie

ți re

zulta

tul î

n fo

rma

a ×

10n ,

unde

1 <

a <

10,

aQ

∈ și

nZ

∈.

V =

3 · 1

05 km

/s;

1 an

lum

ină

= 3·

105 k

m/s

· 36

00 s

· 24

ore

· 36

5 zi

le =

946

08 ·

108 k

m/

an =

9,4

608

·1012

km

;

ts v

kmkm

s�

��

��

1496

10

310

498

6

8

5

,

/,

498,

6 se

cund

e 8,

3 m

inut

e.

132

b) D

istan

ța d

e la

cen

trul

Soa

relu

i la

cent

rul P

ămân

tulu

i est

e de

1,

496

·108 k

m. Î

n câ

te m

inut

e o

rază

de

lum

ină

emisă

de

Soar

e aj

unge

la

Păm

ânt?

Gr

upur

ile: 3

și 5

1. 1

m3 d

e ap

ă de

mar

e co

nțin

e

0,00

4 m

g de

aur

. Pe

Păm

ânt,

volu

mul

to

tal a

l ape

lor e

ste

apro

xim

ativ

1,

3 · 1

06 km

3 . Cal

cula

ți câ

te k

g de

aur

co

nțin

ape

le m

ărilo

r și a

le o

cean

elor

de

pe

Păm

ânt.

Tran

sfor

măr

i: 1,

3 · 1

06 km

3 = 1

,3 ·

1015

m3 ;

0,00

4 m

g =

4 · 1

0–3 m

g;1,

3 · 1

015 m

3 · 4

· 10

–3 m

g =

5,

2 · 1

012 m

g =

5,2

·1012

·10–6

mg

= 5,

2 · 1

06 kg.

2. S

avan

ții u

tilize

ază

în c

erce

tăril

e sa

le

unită

ți de

măs

ură

pent

ru c

orpu

ri ex

trem

de

mic

i. De

exe

mpl

u,

1

nano

met

ru (n

m) =

10–9

m,

ia

r 1 m

icro

met

ru (m

) = 1

0–6 m

,

1 pi

com

etru

(pm

) = 1

0–12 m

.Vi

rusu

l SID

A ar

e lu

ngim

ea d

e ap

roxi

mati

v 12

0 nm

, dia

met

rul u

nui

fir d

e pă

r est

e de

apr

oxim

ativ

8 pm

, ia

r în

mic

roel

ectr

onic

ă în

zile

le n

oast

re

cel m

ai m

ic tr

anzis

tor a

re lu

ngim

ea

de 0

,065

m. C

ine

dint

re a

cest

ea a

re

dim

ensiu

nea

cea

mai

mic

ă?

Viru

sul S

IDA:

12

0 nm

= 1

20 ·

10–9

m.

Firu

l de

păr:

8 ·1

07 pm

· 10

–12 m

= 8

·10–5

m.

Tran

zisto

r:0,

065 m

= 0

,065

· 10

–6 m

=

65 ·1

0–3 ·

10–6

= 6

5 · 1

0–9 m

.Tr

anzis

toru

l are

lung

imea

cea

mai

m

ică.

5.Ev

alua

rea

10 m

in.

O1,

O3,

O4,

O5

Lucr

are

inde

pend

entă

1. În

ast

rono

mie

, 1 p

arse

c es

te u

ni-

În a

stro

nom

ie, 1

par

sec

este

uni

-1

pars

ec e

ste

uni-

tate

a de

măs

ură

pen

tru

dist

anțe

fo

arte

mar

i înt

re a

ștri.

1 p

arse

c es

te

apro

xim

ativ

egal

cu

3,08

6 · 1

016 m

. Co

mpl

etaț

i ega

litat

ea:

2

pars

ec =

……

.. km

Elev

ii pr

imes

c fiș

a cu

sarc

inile

pr

opus

e și

tabe

lul d

e ră

spun

suri.

Vo

r rez

olva

inde

pend

ent s

arci

nile

și

vor c

olor

a ca

seta

cor

espu

nzăt

oare

ră

spun

sulu

i cor

ect.

Lucr

are

scris

ă

133

2. M

asa

unui

ato

m d

e Ca

rbon

est

e de

1,

99 ·

10–2

6 kg

. Cal

cula

ți m

asa

în

gram

e a

unei

mos

tre

de a

tom

i de

Carb

on, c

e co

nțin

6,0

22 ·

1020

atom

i. Sc

rieți

rezu

ltatu

l în

form

a a

· 10n ,

unde

1 <

a <

10 și

nZ

∈.

3. M

asa

unui

ato

m d

e cu

pru

este

de

1,05

· 10

–30 k

g. C

âți a

tom

i de

cupr

u su

nt în

147

g d

e cu

pru?

Scr

ieți

rezu

l-ta

tul î

n fo

rma

a · 1

0n , und

e 1

< a

< 10

și nZ

∈.

4. V

iteza

lum

inii

este

de

1,08

·10 9

km

/h.

Tran

sfor

maț

i vite

za în

m/s

(SI)

și sc

rieți

rezu

ltatu

l în

form

a a

· 10n ,

unde

1 <

a <

10

și nZ

∈.

6.Bi

lanț

ul

lecț

iei

3 m

in.

O2

O4

Bila

nţul

can

titati

v:-

Ce a

m re

aliza

t as

tăzi

la le

cție

?El

evii

răsp

und

oral

.

Răsp

unsu

ri or

ale

- Co

mpl

etaț

i fra

zele

:1.

A în

mul

ți cu

10n în

seam

nă a

mut

a vi

rgul

a cu

… p

oziți

i la

…2.

A în

mul

ți cu

10–n

înse

amnă

a m

uta

virg

ula

cu …

poz

iții l

a …

3. D

acă

înm

ulțe

sc u

n nu

măr

cu

103 ,

atun

ci o

bțin

un

rezu

ltat d

e …

ori

mai

…

ca

num

ărul

iniți

al.

4. D

acă

înm

ulțe

sc u

n nu

măr

cu

10–2

, at

unci

obț

in u

n re

zulta

t de

… o

ri m

ai

... c

a nu

măr

ul in

ițial

.Bi

lanţ

ul c

alita

tiv:

- Se

det

erm

ină

care

obi

ectiv

e au

fost

re

aliza

te la

lecț

ie.

- Se

form

ulea

ză c

oncl

uzii

priv

ind

activ

i-ta

tea

clas

ei d

e el

evi î

n an

sam

blu

și a

unor

ele

vi în

par

ticul

ar.

134

7.Te

ma

pent

ru

acas

ă2

min

.1.

De

reca

pitu

lat:

Capi

tolu

l 2, §

1,

secv

ența

1.2

.2.

De

rezo

lvat

: pag

. 24,

ex.

9; p

ag. 2

6,

ex. 2

0.M

ulțu

mes

c pe

ntru

lecț

ie.

La re

vede

re!

Not

ează

în a

gend

e sa

u în

cai

ete.

La re

vede

re!

135

4.5. Metodologia evaluării (autoevaluării) lecției asistate (realizate)

Lecția asistată (realizată) poate fi analizată și evaluată (аutoevaluată) în baza urmă-toarei scheme:

Schema evaluării (autoevaluării) lecției (SEL)I. Determinarea aspectelor fundamentale ale lecției:

1.1. locul lecției asistate (realizate) în sistemul de lecții la tema (modulul, unitatea de învățare, capitolul) respectivă (respectiv);

1.2. obiectivele lecției, corelate cu unitățile de competență selectate;1.3. tipul și structura lecției.

II. Analiza structurală a fiecărei secvențe (etape) a lecției:2.1. determinarea problemei didactice care se rezolvă la etapa respectivă a lecției;2.2. determinarea obiectivelor lecției asupra cărora se lucrează la etapa respectivă;2.3. selectarea materiei de studiu și repartizarea ei pe etape;2.4. evidențierea formelor, metodelor și procedeelor aplicate de către profesor la

fiecare etapă:a) formele de organizare a activităților elevilor (frontal, pe grupuri, individual);b) metodele și procedeele de predare – învățare;c) tipul, formele și metodele de evaluare a rezultatelor școlare ale elevilor;

2.5. realizarea feedbackului (evaluarea de proces) la fiecare secvență a lecției.III. Analiza particularităților didactice şi psihologice ale lecției (evaluarea activității

cadrului didactic):3.1. Sunt oare determinate și formulate corect obiectivele lecției? Sunt oare corect

corelate obiectivele cu unitățile de competență respective?3.2. Corespunde oare tipul lecției obiectivelor preconizate?3.3. Sunt oare corect determinate problemele didactice, care se rezolvă la etapele

respective ale lecției?3.4. Este oare argumentată selectarea materiei de studiu (conținutul științific) pen-

tru această lecție (corespunde oare conținutul lecției obiectivelor ei; este oare suficient volumul materiei de studiu pentru lecție)?

3.5. Sunt oare admise greșeli științifice în procesul lecției?3.6. Corespund oare formele de organizare a activităților elevilor, metodele și pro-

cedeele de predare – învățare – evaluare obiectivelor și conținutului lecției? Originalitatea formelor, metodelor și procedeelor aplicate în cadrul lecției.

3.7. Cum este realizată predarea – învățarea – evaluarea materiei noi (noțiunile, re-gulile, legitățile, formulele noi) (în cazul când aceasta este prezentă în cadrul lecției)?

3.8. Ce particularități specifice ale parteneriatelor profesor – elev, elev – elev, elev – profesor au fost evidențiate în cadrul lecției (adaptarea profesorului la

136

particularitățile de vârstă ale elevilor; abaterile nejustificate de la subiectul lec-ției; emoțiile pozitive și negative ale elevilor; captarea atenției elevilor pe par-cursul lecției; limbajul utilizat de către cadrul didactic; stimularea activităților de învățare a elevilor; folosirea ideilor și propunerilor elevilor ce vizează conți-nutul și desfășurarea lecției; motivația învățării; menținerea interesului elevilor pentru lecție)?

3.9. Mijloacele de învățământ (manualul, materialele și mijloacele didactice) au fost utilizate oportun și în corelare cu obiectivele lecției?

3.10. Care a fost ritmul lecției (sunt oare rețineri nejustificate în timpul lecției)? 3.11. Volumul temei pentru acasă, concretizarea și diferențierea ei. 3.12. În ce mod s-a realizat bilanțul lecției (cantitativ și calitativ)?

IV. Concluzii generale cu referire la lecție:1.1. Concluzii despre organizarea și desfășurarea lecției.1.2. Concluzii despre realizarea obiectivelor lecției.

V. Propuneri ce vizează înlăturarea lacunelor observate şi perfecționarea activității educaționale a cadrului didactic

VI. Aprecierea lecției şi a activității cadrului didacticAprecierea lecției și a activității profesorului se va efectua în funcție de numărul

de puncte acumulate la realizarea secvenței a III-a a acestei scheme. Pentru fiecare dintre pozițiile 3.1-3.12, scorul maxim este 10 puncte, iar cel minim – 1 punct. Sumând punctele acordate, se determină calitatea lecției și se apreciază activitatea profesorului astfel:

120-95 de puncte – lecţie foarte bună – nota 9 sau 10; 94-70 de puncte – lecţie bună – nota 7 sau 8;69-45 de puncte – lecţie satisfăcătoare – nota 5 sau 6;44-1 punct – lecţie nesatisfăcătoare – nota 4.

Important! Pentru о evaluare obiectivă a lecției asistate (inclusiv în procesul ates-tării cadrului didactic) se recomandă ca ea să fie apreciată de cel puțin 3 asistenți-specialiști (cadre didactice, inspectori, metodiști, manageri) în domeniul respectiv. Aprecierea finală se va efectua având la bază suma mediilor aritmetice a puncte-lor acordate de către fiecare asistent pentru fiecare dintre pozițiile 3.1.-3.12. ale prezentei scheme și în conformitate cu grila de evaluare indicată mai sus.

137

5. Ce strategii și tehnologii didactice pot fi aplicate în procesul educațional la Matematică

din perspectiva formării competențelor?

5.1. Strategii şi tehnologii didactice de formare a competențelor

Din perspectiva formării competențelor, activitatea profesională a profesorului de Matematică se va fundamenta pe Crezul instruirii active (Kees Both):

Ce aud – uit!Ce aud şi văd – îmi amintesc puțin!Ce aud, văd şi întreb sau discut cu cineva – încep să înțeleg!Ce aud, văd, discut şi fac – însuşesc şi mă deprind!Ce redau altcuiva – învăț!Ceea ce pun în practică – mă transformă!

Profesorul de Matematică se va ghida dupăALGORITMUL UNEI PREDĂRI AXATE PE MOTIVAŢIE:

Începeţi predarea printr-o situaţie amuzantă, un studiu de caz, o istorioară legată de teoria ce urmează a fi predată sau printr-o problemă de soluţionat;

Chestionaţi elevii asupra cunoştinţelor lor anterioare în legătură cu fenomenul ori teoria ce urmează a fi explicate;

Prezentaţi planul lecţiei sub formă de întrebări (acest mod de a prezenta materia îi obligă pe elevi să-şi focalizeze atenţia asupra aspectelor importante şi să caute să afle răspunsurile la întrebările puse);

Organizaţi cunoştinţele sub formă de scheme, care permit evidenţierea legăturilor dintre concepte;

Daţi exemple care să îi intereseze pe elevi;Utilizaţi analogiile (astfel îi determinăm pe elevi să stabilească legături între un

domeniu pe care îl cunosc şi altul nou).Recomandări ce vizează aplicarea strategiilor și tehnologiile de predare a matemati-

cii în învățământul gimnazial sunt formulate și în curriculum la secvența a IV-a. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare [4]. Profesorul de Matematică este obligat să ține cont de ele în practica educațională.

În lucrarea [40] sunt detaliat exemplificate următoarele metode active de predare-învățare a matematicii:

1. Asaltul de idei (Brainstormingul);2. Jocul didactic „Senecteca” (Brainstormingul pe echipe); 3. Jocul intelectual „Brain ring matematic”. Aceste metode pot fi aplicate cu succes în oricare dintre clasele a V-a-a IX-a.

138

În lucrarea [22] sunt exemplificate tehnicile Teambuilders (constituirea echipei), SINELG, Interviul în trei trepte, RAI, Presupunerea prin termeni, Echipe – Jocuri – Turnire, Mai multe capete la un loc, Rezolvare în lanț și metodele Jocurile didactice DOMINO, PUNCTE DE SPRIJIN, FIGURA-ŢINTĂ, PICTORI-GEOMETRI, GHICI FIGURA GEOMETRICĂ, TURNURI GEOMETRICE.

Aceste tehnici și metode pot fi utilizate la studiul diferitor teme din cursul gimnazial de Matematică, în funcție de conținuturile studiate.

În continuare propunem și alte exemple de utilizare a unor metode active de preda-re – învățare a matematicii în gimnaziu din perspectiva formării competențelor.

1. Crearea condițiilor favorabile antrenării elevilor pe calea căutărilor, cercetării, descoperirii este posibilă prin aplicarea metodei Studiul de caz. Această metodă oferă posibilitate elevilor să-și exprime liber opiniile referitoare la

cazul expus, dar și să aleagă cea mai bună soluție în urma dezbaterilor. Pentru această metodă sunt preconizate următoarele etape:

1. Selectarea cazului concret (inclusiv din activitatea cotidiană).Profesorul propune cazul/problema pentru discuție în funcție de nivelul de dezvol-

tare Matematică a elevilor și specificul vârstei acestora.2. Expunerea cazului de către profesor.Profesorul expune cazul pe înțelesul elevilor.3. Dezbaterea cazului de către elevi.Are loc o discuție între profesor și elevi prin care se realizează o analiză detaliată,

argumentată a cazului pentru descoperirea fenomenelor care au determinat cazul și a factorilor implicați.

4. Stabilirea variantelor de soluţionare.Elevii sunt stimulați de profesor prin întrebări provocatoare, întrebări care direcțio-

nează demersul soluționării cazului.5. Compararea variantelor de soluţionare.În funcție de modalitatea de organizare, se compară variantele de rezolvare.6. Alegerea soluţiei.Se aleg soluțiile cele mai bune/optime.7. Evaluarea.Profesorul face o evaluare a modului de rezolvare a situației respective.

2. Tehnica Matricea de asociereMatricea de asociere reprezintă un tabel cu două intrări, care oferă posibilitate să se

determine diverse asocieri dintre conceptele matematice și proprietățile acestora. Prin intermediul a astfel de matrice se realizează sinteza materiei studiate în cadrul unității de învățare sau de conținut. Completarea matricei poate fi individuală sau prin activități de grup. Se poate propune și ca temă pentru acasă. Tehnica poate fi utilizată la orele de sinteză.

139

De exemplu, la capitolul IX. Patrulatere. Poligoane (clasa a VIII-a) poate fi propusă elevilor spre completare următoarea Matrice de asociere:

Patrulaterul Elementele Proprietățile/Criteriile Reprezentarea în plan

Pătratul

Dreptunghiul

Paralelogramul

Rombul

Trapezul

3. METODA „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Această metodă este cunoscută și sub denumirea de Brainwriting cu mapa de

imagini.Algoritmul utilizării acestei metode este următorul:1. Problema se prezintă frontal în faţa întregii clase. 2. Brainstorming (asaltul de idei) oral cu clasa.3. Clasei i se prezintă consecutiv câte o imagine, în contextul problemei puse în

discuţie.4. Brainstorming (asaltul de idei) individual (în linişte) inspirat de imaginile propuse,

prin care se îmbunătăţesc ideile din brainstormingul oral, ori se propun alte idei. Fiecare elev ia notiţe în caietul său.

5. Câţiva elevi citesc cu voce ideile lor.6. Clasa discută pentru a găsi şi alte variante.Avantaje: este valorificată asociația mintală liberă a fiecărui elev;se studiază ideile celorlalți colegi;se realizează stimularea prin imagini;este evitat blocajul unora, care nu lucrează bine față în față.

Imaginea Ce sugerează imaginea? Ce idei apar?

4. Tehnica Harta noțională/conceptualăÎncepând cu prima oră la capitolul respectiv și pe parcursul studiului acestuia, elevii

completează pe foi separate (A4) un tabel de sinteză axat pe noțiunea Matematică. În acest tabel se fixează toate aspectele matematice ce țin de noțiunea corespunzătoa-re. Exemple de hărți noționale pot fi găsite în manualele de Matematică pentru liceu.

140

Completând aceste hărți pentru fiecare capitol, la finele anului elevii vor obține un Atlas matematic la clasa respectivă. Hărțile noționale/conceptuale vor fi de folos la orele de sinteză, la recapitularea finală, la studiul altor capitole etc.5. Festivalul de teatru la Geometrie

Elevii sunt împărțiți în grupe a câte 5 „actori”. Fiecare grup trage la sorți câte un subiect (o temă). Grupului i se cere să scrie la subiectul (tema) respectiv un scenariu, astfel încât fiecare membru să aibă cel puțin 5-8 replici. Fiecare grup gândește mișcarea scenică, costumele și rechizitele. După prezentarea „spectacolului” de către fiecare grup, colegii pun întrebări, fac aprecieri despre producție, cea mai bună fiind premiată. În lucrarea Optimizarea învăţământului în contextual societăţii bazate pe cunoaştere. Materialele conferinței științifice internaționale 2-3 noiembrie 2012. IȘE, Chișinău, 2012, p.10.6. Jocul de „mimă” la Matematică

Clasa se împarte în două echipe. Pe rând fiecare echipă prezintă prin mimă un concept matematic: figură, grafic, funcție, ecuație etc. Cealaltă echipă va determina ce concept a fost prezentat prin mimă.7. Tehnica 3-2-1

Înainte de terminarea orei, elevilor li se cere să scrie pe foiță 3 termeni (concep-te) din temele învățate, 2 idei despre care ar dori să învețe mai mult în continuare și o capacitate, o pricepere sau o abilitate pe care consideră că au dobândit-o în urma activităților de predare – învățare. Strângând foițele, profesorul obține un feedback imediat în legătură cu eficiența lecției.8. Tehnica Tabelul lui Pitagora

Această tehnică ne oferă posibilitatea de a-l învăța pe elev să însușească conștient tăblița înmulțirii. Asociind liniile cu coloanele din Tabelul lui Pitagora, elevul va obține rapid rezultatul înmulțirii.

141

5.2. Probleme de Matematică şi rolul acestora în formarea competențelor

5.2.1. Problemele de Matematică de tip cascadă și rolul lor din perspectiva formării competențelor

Problemele de Matematică de tip cascadă contribuie eficient la formarea și dez-voltarea competențelor. Și viața de zi cu zi pune în fața noastră diverse probleme, a căror rezolvare necesită trecerea prin mai multe cascade. Din aceste considerente, în procesul educațional la Matematică se recomandă aplicarea și rezolvarea problemelor matematice, și nu numai, de tip cascadă.

Definiție. Problema de Matematică de tip cascadă este problema în care răspunsul la întrebarea (sarcina) următoare este în funcție de rezultatul obținut la pasul prece-dent (cascada precedentă).

De exemplu: Fie ecuația – 3x2 + x +2 = 0.1. Rezolvați în R ecuația.2. Reprezentați grafic funcția f de gradul doi, asociată ecuației date.3. Utilizând graficul de la p. 2, determinați intervalele de monotonie ale funcției f. 4. Scrieți o inecuație de gradul I, mulțimea soluțiilor căreia este intervalul pe care

funcția f este strict descrescătoare.Este un exemplu de problemă de Matematică de tip cascadă, structurată pe patru

cascade, care poate fi propusă în clasa a IX-a. Problemele de Matematică de tip cascadă pot fi structurate în cascadă liniară sau

cascadă ramificată. În exemplul de mai sus, problema propusă posedă o structurare în cascadă liniară.În continuare prezentăm un exemplu de problemă de tip cascadă ramificată:Fie � �� � � �� � � �ABC m A m B AB cm, , ,30 60 12

.1. Aflați lungimile laturilor triunghiului.2. Calculați perimetrul ABC.3. Calculați aria ABC.4. Aflați raza cercului înscris în ABC.5. Calculați lungimea cercului înscris în ABC.6. Determinați raza cercului circumscris ABC.7. Calculați aria discului cu raza obținută în p. 6.8. Aflați distanța dintre centrul cercului înscris în ABC şi centrul cercului circum-

scris acestui triunghi.Observațiе. Ramificarea se referă la cercurile înscris și circumscris ale triunghiului

dat.

142

În aspect didactic, problemele de Matematică de tip cascadă sunt eficiente la:• studierea materiei şi formarea competenţelor preconizate în Curriculumul la Ma-

tematică; • realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare în cadrul studierii Matematicii;• organizarea şi realizarea recapitulării materiei studiate;• formarea şi dezvoltarea gândirii logice;• dezvoltarea interesului pentru Matematică;• dezvoltarea capacităţilor creative ale elevilor;• pregătirea pentru susţinerea examenelor la Matematică;• realizarea unor conexiuni intradisciplinare;• evaluarea rezultatelor şcolare la Matematică (cu o atenţie sporită).Sarcinile incluse în problema de Matematică de tip cascadă pot avea conexiuni cu

diverse teme matematice, ceea ce majorează șansele elevilor de a conștientiza esența materiei matematice studiate. Ele servesc ca surse importante de integrare a cunoștin-țelor și de formare a competențelor.

În cadrul orelor de sinteză sau în calitate de proiect, se va propune elevilor să com-pună probleme de Matematică de tip cascadă pe subiectele studiate.

Profesorul poate selecta probleme de tip cascadă și din Internet [51, 52].

5.2.2. Probleme integrative, care pot fi utilizate în procesul formării competențelor la treapta gimnazială

Realizarea conexiunilor intra- și interdisciplinare în procesul educațional la Mate-matică poate fi efectuată prin rezolvarea unor probleme integrative. Propunem, în con-tinuare, un set de probleme integrative, probleme de tip PISA, pe care profesorul le poate aplica cu succes în cadrul lecției sau propune elevilor pentru rezolvare acasă.

În aspect didactic, este semnificativ ca profesorul să recomande elevilor să compună (în cadrul unui proiect propus la Matematică) astfel de probleme.

Problema 1. Pinguinul

143

Pentru un film, se caută un erou – pinguin care are următoarele caracteristici: • înălțimea – între 0,75 m și 0,85 m;• greutatea – între 4,8 kg și 5,2 kg;• vârsta – mai puțin de zece ani.Găsește pinguinul ales. Argumentează alegerea.

Problema 2. Călătoria la vilăO familie de 4 persoane: mama, tata și 2 copii locuiește în Chișinău, dar au și o vilă

nu departe de oraș. Pentru a ajunge la vilă sunt două posibilități: cu autobuzul de rută, taxa pentru o călătorie fiind 15 lei într-o direcție, sau cu automobilul care consumă 5 l de benzină pentru o călătorie dus-întors și prețul unui litru de benzină este de 19 lei.

• Dacă pleacă doar tata la vilă, care modalitate este mai convenabilă? • Dar dacă pleacă toată familia?• Pentru câte persoane este mai rentabilă călătoria cu autobuzul?• Pentru câte persoane este mai rentabilă călătoria cu automobilul?

Problema 3. Podul

Podul de la Müngsten sau „Podul Împăratului Wilhelm” este cel mai înalt pod de cale ferată din Germania. El este amplasat pe râul Wupper, în apropiere de localitatea Müng-sten. Podul este din construcție metalică, are o greutate de 5000 de tone, o lungime de 465 m și o înălțime de 107 m, distanța dintre pilieri fiind de 170 m.

a) Să se schițeze parabola care modelează forma podului într-un sistem de coordo-nate, în care axa OX – nivelul pământului, iar axa OY – trece prin vârful parabolei.

b) Să se demonstreze că ecuația parabolei este de forma f(x) = ax2 + c, cu a < 0.c) În sistemul de coordonate parabola trece prin punctul de coordonate A (75; 26).

Să se determine valoarea lui a și să se scrie legea de corespondență corespunză-toare.

144

Problema 4. Simbolul Genevei

Simbolul Genevei este „Jetul de apă” – un havuz de 140 m înălțime. Apa este arun-cată în cerul albastru, apoi revine. Modelăm curba formată de jetul de apă cu parabola P, reprezentată în desen.

a) Să se determine la ce înălțime maximă ajunge jetul de apă.b) Să se determine funcția de gradul II, asociată acestei parabole.

Problema 5. Cost mediu minimal Întreprinderea Flora comercializează vase din porțelan. Ea confecționează anual

între 0 și 20 000 de vase. Costul total de producere f, exprimat în sute de euro, este stabilit în funcție de numărul de vase fabricate, în mii. Reprezentarea grafică de mai jos arată această dependență:

a) Care este costul de producere pentru 12000 de vase?b) Care este cantitatea maximală de obiecte care poate fi confecționată pentru ca

prețul de cost de producere să fie mai mic de 10000 de euro?

c) Costul mediu de producere h este indicat prin legea h xf xx

� � � � �.

• Să se calculeze h x� � .• Să se schițeze, în același sistem de axe, graficele funcțiilor care reprezintă cos-

tul de producere și costul mediu.• Să se estimeze numărul de vase care trebuie confecționat pentru a obține

costul mediu minimal.

145

Problema 6. Studierea beneficiului O întreprindere fabrică piese detașabile pentru automobile. Notăm cu x – numărul

de piese fabricate timp de o zi. Costul de producere, în sute de euro, pentru x piese se notează cu C(x) . Mai jos este reprezentat graficul funcției C pe intervalul [40; 80].

Numărul de pieseCu ajutorul graficului, să se răspundă la următoarele întrebări:1. Care este costul de producere a 60 de piese?2. Presupunem că, pe intervalul [40; 80], funcția C este definită de legea

C(x) = x2 – 79x + 1740. Pentru un cost de producere de 1440 euro, câte piese va confecționa întreprinderea?

3. Fiecare piesă este vândută cu 19 euro. Să se determine formula de calcul al venitului V(x) a întreprinderii pentru x piese.

4. Să se reprezinte grafic funcția V și funcția C în același sistem de axe.5. Beneficiul realizat de întreprindere, în funcție de numărul x de piese vândute,

este diferența dintre venitul și costul de producere: B(x) = V(x) – C(x). Care este numărul de piese pe care trebuie să-l producă întreprinderea pentru ca benefi-ciul să fie pozitiv?

6. Câte piese trebuie să confecționeze întreprinderea pentru ca beneficiul să fie maxim?

Problema 7. Prețul de echilibru

Prețul (în euro)

Num

ărul

de

prod

use

146

Un studiu al pieței a cercetat evoluția ofertei și cererii a unui produs în funcție de prețul său unitar, exprimat în euro.

Pentru un preț unitar de x €, conținut între 2 și 30, numărul de produse cerute pe piață este exprimat de legea f(x) = 0,05x2 – 4x + 80,8. Numărul de produse oferite este exprimat de funcția definită de legea g(x) = 2x + 6.

În desenul de mai sus sunt reprezentate graficele funcțiilor f și g.1. Să se identifice curbele corespunzătoare funcțiilor f și g.2. Să se determine numărul de produse oferite și numărul de produse cerute dacă

prețul produsului este de 12 euro.Numim preț de echilibru al produsului prețul pentru care cererea este egală cu oferta.3. Să se determine prețul de echilibru.4. Care este, în acest caz, numărul de produse cerute (și oferite)?

Problema 8. Instalații eoliene

Moara de vânt este o instalație ce permite transformarea energiei eoliene (ener-gia vântului) în energie mecanică de rotație. În acest scop, vântul pune în mișcare eli-cea morii. Astfel, morile de vânt utilizează puterea vântului pentru a produce energie electrică. Măsurările au arătat că pentru una din stațiile eoliene viteza vântului și can-titatea energiei electrice sunt dependente după legitatea f(x) = 0,067x3 (x – viteza vântului în m/s, y – cantitatea energiei electrice in kWh), dacă viteza vântului este între 2 m/s și 10 m/s.

1. Să se calculeze cantitatea energiei electrice ce se produce la viteza vântului de 3 m/s; 5 m/s și 6,5 m/s.

2. Să se reprezinte grafic funcția f.3. Performanța unei alte centrale eoliene este exprimată cu ajutorul formulei

g(x) = 0,12x3. Să se schițeze graficul dependenței g în același sistem de coordona-te cu dependența f pentru prima stație eoliană.

147

Problema 9. Prețul convenabil

Un giuvaier confecționează cercei în forma din desenul alăturat. Grosimea cercelului este de 2 mm. Partea de sus a cerceilor are forma unui triunghi echilateral cu latura l și este din aur, iar partea de jos este din argint.

1. Să se exprime volumul fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel în funcție de l.

2. Să se calculeze masa fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel, în funcție de l.

3. Să se calculeze prețul fiecărui metal necesar la confecționarea unui cercel, în funcție de l.

4. Care trebuie să fie latura triunghiului l pentru ca prețul materiei prime necesare pentru fabricarea unei perechi de cercei să nu depășească 30 euro?

Problema 10. Viteza medie Sergiu locuiește într-un oraș situat la d km distanță față de Bălți. El a decis să facă o

călătorie cu bicicleta spre Bălți, jumătate de traseu parcurgând-o cu viteza de 20 km/h, altă jumătate – cu viteza x km/h.

1. Să se arate că viteza medie V(x) pe întregul traseu este determinată de expresia

V x xx

� � ��40

20.

2. Dacă a doua jumătate a drumului a fost parcursă cu 15 km/h, care va fi viteza medie a biciclistului pe întregul traseu?

3. Să se determine cu ce viteză trebuie să se deplaseze Sergiu pe a doua parte a traseului ca viteza medie să fie 24 km/h?

4. Să se determine cu ce viteză trebuie să se deplaseze Sergiu pe a doua parte a traseului ca viteza medie să fie mai mare sau egală cu 15 km/h?

5. Să se arate că viteza medie nu poate depăși 40 km/h.

148

Problema 11. Tenisul viitorului

Tenismenul Yannick Nada a jucat contra unui perete din cărămidă inteligentă, crea-tă de nanotehnologiile contemporane. Cărămizile se înverzesc dacă viteza mingii este suficientă, adică energia cinetică a mingii, de viteză v este mai mare decât 4,6v + 34,2. În caz contrar, cărămizile devin roșii. Energia cinetică în funcție de viteza v și de masa m este dată de formula Ec = ½ mv2. Masa unei mingi de tenis este de 0,058 kg.

1. Yannick efectuează prima servire cu viteza de 35 m/s. Care este culoarea perete-lui?

2. După o încălzire, el efectuează o altă servire cu 45 m/s. Care este culoarea pere-telui?

3. Ce inecuație trebuie rezolvată pentru a determina viteza pentru care peretele devine verde?

4. Să se rezolve inecuația obținută. Care este viteza minimală? Să se exprime în m/s, apoi în km/h.

Problema 12. Impozit pentru teren

Deținătorii de terenuri cu orice titlu trebuie să achite în termen impozitul funciar și alte plăți pentru folosirea terenurilor. În Republica Moldova, cotele maxime ale im-pozitului funciar pentru o unitate de teren sunt stabilite în funcție de calitate, de des-tinație și de amplasarea lui. Impozitul funciar pentru terenurile utilizate în construcție este de 0,3 lei/m2 anual și de 0,1 lei/m2 anual pentru terenurile folosite în alte sco-puri. (http://lex.justice.md/viewdoc.php?id=310715HYPERLINK „http://lex.justice.md/ viewdoc.php?id=310715&lang=1”&HYPERLINK „http://lex.justice.md/viewdoc.php?id= 310715&lang=1”lang=1)

149

Petru a decis să construiască pe lotul său, care are suprafața totală de 793,5 m2, un depozit. Lungimea depozitului este de 2, 5 ori mai mare ca lățimea.

1. Utilizând schema alăturată, calculați lățimea și lungimea depozitului.2. Calculați aria suprafeței rămase după construcția depozitului.3. Ce taxă va plăti Petru pentru utilizarea pământului?

Problema 13. Campania socială

O clasă de 30 de elevi a hotărât să inițieze o campanie socială de colectare a ajutoa-relor pentru un centru de terapie intensivă din Chișinău. Ana propune să se scrie me-saje e-mail, în care se va anunța despre colectarea ajutorului și rugămintea de a trimite mesajul respectiv la încă două persoane. În prima etapă, elevii expediază mesajul la 60 de persoane.

1. Peste câte etape mesajul va ajunge la 25000 de utilizatori ai Internetului?2. Dacă presupunem că fiecare etapă durează aproximativ 3 ore, cât timp va lua

informarea celor 25000 de cetățeni?3. Unul dintre elevii clasei, întâmplător, trimite un virus împreună cu e-mailul. Câte

persoane teoretic vor suferi din cauza virusului? 4. Cât de repede (în ore) informația va ajunge la cei 25 000 de persoane, dacă

fiecare elev și, respectiv, fiecare recepționar al mesajului vor trimite anunțul la 3 persoane, dar nu la două?

Problema 14. Arborele genealogic

Într-un arbore genealogic, fiecare pereche de părinți are același număr de copii ca și perechea de părinți din prima generație.

150

1. Prima generație are 3 copii. Câți copii vor fi în total în a V-a generație?2. Câți copii vor fi în a III-a generație, dacă în I generație sunt 5 copii?3. Câți copii vor fi în a VI-a generație, dacă în a II-a generație sunt 16 copii?4. Să se alcătuiască arborele genealogic personal și să se determine numărul de

copii din generația din care faceți parte.

5.3. Crearea mediilor educaționale incluzive

În realizarea educației incluzive, profesorul de Matematică se va ghida de concepte-le determinate în Articolul 3. Noţiuni principale din Codul Educaţiei:

- plan educaţional individualizat (PEI) – instrument de organizare și realizare coor-donată a procesului educațional pentru beneficiarii cu cerințe educaționale spe-ciale;

- Curriculum adaptat – Curriculum la o disciplină școlară, în care se realizează co-relarea cu potențialul copilului sau al elevului cu cerințe educaționale speciale, finalitățile educaționale rămânând neschimbate;

- Curriculum modificat – Curriculum la o disciplină școlară, în care se modifică fi-nalitățile educaționale în funcție de potențialul copilului sau al elevului cu cerințe educaționale speciale. [2]

În funcție de tipul de CES, profesorul de Matematică, de comun acord cu Cadrul de sprijin și cu psihologul școlar, va elabora PEI și tipul respectiv de Curriculum. Structura Curriculumului adaptat/modificat va fi similară cu structura Curriculumului disciplinar la Matematică.

Crearea mediului școlar în cadrul lecției de Matematică necesită o atenție deosebită din partea atât a profesorului, cât și a elevilor. Este importantă crearea unor condiții de parteneriate funcționale între elevii cu CES și colegii de clasă.

În funcție de tipul de Curriculum și de finalitățile corespunzătoare tipului de CES, profesorul va elabora instrumentele de evaluare inițială, formativă și sumativă a elevilor respectivi.

Crearea mediului educațional incluziv în cadrul studierii matematicii este la maxi-mum personalizat elevului cu CES. Profesorul de Matematică va ține cont de faptul că fiecare elev cu CES este o personalitate, care necesită o atenție deosebită.

151

6. Cum se evaluează rezultatele școlare la Matematică din perspectiva Curriculumului?

6.1. Evaluarea rezultatelor şcolare din perspectiva formării competențelor

Structura acțiunii de evaluare pedagogică include 3 operații ierarhice funcționale la nivel de sistem și de proces: măsurarea – aprecierea – decizia:

- măsurarea reprezintă operația de evaluare care asigură consemnarea „unor ca-racteristici observabile” exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici etc.) sau/și prin descrieri concentrate asupra unor zone restrânse de manifestare [16];

- aprecierea reprezintă operația de evaluare care implică interpretarea faptelor consemnate în funcție de anumite criterii calitative specific pedagogice, inde-pendente în raport cu instrumentele de măsură folosite în cadrul unei anumite metode sau a unor strategii didactice;

- decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într-o notă școlară, caracterizare, hotărâre, recomandare etc., cu valoare de prognoză pedagogică.

Deci, evaluarea trebuie concepută ca o modalitate de ameliorare a predării și a învă-țării, de eliminare a eșecului și de realizare a unui progres constant în pregătirea fiecărui elev.

Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță supremă, atât psihopedago-gică, profesională, cât și socială. Acest fapt este confirmat și de algoritmul procesului educațional modern:

Instrumente Succes Obiective noi ș.a.m.d.

InsuccesConți-nuturi

Tehno-logii

Obiective →

CompetențeEvaluarea

____________ Cauzele insuccesului

152

Evaluarea indică, de fiecare dată, dacă sunt atinse obiectivele preconizate și ce ob-ținem în rezultatul activității respective: succes sau insucces. În cazul unui insucces, se vor determina cauzele acestuia și activitatea se va relua astfel încât rezultatul final să fie un succes.

Următorul pas constă în formularea de obiective noi și procesul continuă, formând următoarea spirală educațională.

Procesul modern de evaluare a performanțelor școlare, axat pe principiile evaluării ([7]), este preconizat:

- să scoată în evidență succesul fiecărui elev, dar nu eșecul acestuia;- să informeze agenții educaționali, indicând ce să se predea și cum să se predea;- să fie multidimensional, concentrându-se atât asupra evoluției sociale și emoțio-

nale, cât și asupra evoluției cognitive; - să includă o relație de cooperare între profesor și elevi, între elevi;- să evidențieze importanța studiului, să promoveze succesul și studiul optim

pentru toți elevii;- să fie înțeles ușor atât de către toți elevii, cât și de către părinți, agenții

educaționali etc.Se evidențiază următoarele tipuri de evaluare, aplicabile în procesul educațional la

Matematică la etapa actuală:a) evaluarea inițială (prognostică);b) evaluarea curentă (formativă);c) evaluarea finală (sumativă).În contextul formării competențelor, prioritară este evaluarea curentă/formativă.În cadrul activităților educaționale, evaluarea este un proces care se realizează con-

tinuu și prin care se determină dacă au fost atinse obiectivele preconizate pentru etapa respectivă sau nu, dacă rezultatul este un succes sau un insucces.

În general, orice activitate evaluativă trebuie să se desfășoare în baza unei hărți teh-nologice bine determinate din start, care ar concretiza:

- contingentul care va fi evaluat;- tipul evaluării [inițială (prognostică), curentă (formativă), finală (sumativă)];- obiectivele evaluării (corelate cu unitățile de competență, competențele specifi-

ce matematicii și competențele-cheie);- tehnologiile de evaluare (forme, metode, tehnici, procedee, mijloace etc.);- timpul rezervat fiecărei activități de evaluare;- spațiul (locul) unde se va realiza evaluarea;- monitorizarea activității evaluative;- baza de date (teste, probe, lucrări practice/de laborator, proiecte etc.);- reflexia (compararea rezultatelor învățării cu obiectivele preconizate);- concluzii (diagnoza și prognoza);- decizii.

153

Este important ca fiecare profesor de matematică să înțeleagă că orice evaluare la matematică, inclusiv cea sumativă la nivel de stat, este axată pe determinarea nivelului de realizare a unităților competențelor și de formare a competențelor preconizate în Curriculumul școlar la Matematică [4].

În activitatea evaluativă, profesorul se va ghida de principiile evaluării rezultate-lor şcolare, de Standardele de eficiență a învățării Matematicii și de cerințele moder-ne referitoare la organizarea și desfășurarea acțiunilor evaluate, inclusiv stipulate în Curriculum la secvența a V-a. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare. Important este ca atât elevul, cât și profesorul să conștientizeze că evaluarea în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.

Accentul se va pune pe evaluarea formativă în cadrul fiecărei lecții. Succesul lecției e în funcție de nivelul de atingere a obiectivelor preconizate.

Profesorul are libertatea să aplice acele forme, tehnici, metode și instrumente de evaluare care le consideră optimale pentru clasa respectivă, la tema respectivă etc. Strategiile de evaluare vor fi corelate cu cele propuse în Curriculumul dezvoltat, la rubri-ca Activități de învățare și produse școlare recomandate, pentru fiecare clasă.

Evaluarea sumativă la unitatea de învățare/capitolul/modulul, trimestrială și anuală, se va axa pe determinarea nivelului de dobândire a achizițiilor determinate de unităţile de competenţă respective, preconizate în Curriculum. În cadrul examenului de absolvire a gimnaziului se va determina care competențe, inclusiv competențele specifice disci-plinei Matematică, sunt formate și la ce nivel.

La realizarea evaluării finale a rezultatelor școlare la Matematică, la finele treptei de școlarizare se va ține cont de Standardele de eficienţă a învăţării Matematicii pentru gimnaziu.

6.2. Tehnologii de evaluare

Metodele de evaluare pot fi clasificate în raport cu diverse criterii. În funcție de cri-teriul istoric, metodele de evaluare se diferențiază în:

A. Metode tradiționale de evaluare: • Probe orale;• Probe scrise;• Probe practice;• Testarea.

B. Metode moderne, alternative şi complementare de evaluare:

• Observarea sistematică a comportamen-tului elevului față de activitatea școlară;

• Portofoliul;• Investigația;• Proiectul;• Autoevaluarea;• Evaluarea reciprocă; • Jocuri didactice evaluative.

154

a) Observarea sistematică a comportamentului elevului față de activitatea școlară este una dintre metodele eficiente de cunoaștere a personalității umane.

b) „Portofoliul” s-a impus din nevoia promovării unei metode de evaluare flexibile, complexe, integratoare, ca alternativă viabilă la modalitățile tradiționale. Semnifi-cația adoptării portofoliului ca metodă alternativă constă în faptul că oferă cadrului didactic și elevului deopotrivă o metodă care să îmbine pe deplin funcțiile formativă și informativă ale evaluării.

Portofoliul este un instrument complex de evaluare a rezultatelor școlare. Practic, portofoliul este o mapă care conține toate rezultatele obținute prin alte metode și tehnici de evaluare: probele scrise și practice, proiectele, autoevaluarea, eseurile, referatele, testele etc. Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, urmărindu-i progresul de la un trimestru la altul, de la un an școlar la altul, de la o treaptă de învățământ la alta. Fiecare elev are acces liber la portofoliul său, completându-l sis-tematic cu diverse rezultate ale evaluării. O dată pe semestru, profesorul realizează o apreciere globală a portofoliului, în conformitate cu criteriile comunicate elevilor din timp. Nota obținută la această apreciere poate deveni nota semestrială (sau anuală).

c) Investigația reprezintă o activitate ce durează nu mai mult de o oră (lecție) și poate fi descrisă precum urmează: elevul primește, prin instrucțiuni precise, o sarcină pe care trebuie să o înțeleagă și apoi să o rezolve demonstrând o gamă largă de cunoș-tințe și capacități. Investigația oferă elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele și de a explora situații noi sau foarte puțin asemănătoare cu experiența sa anterioară.

d) Proiectul contribuie la transferul de cunoștințe în diverse domenii și la integrarea disciplinelor, cel puțin, în aria curriculară. Proiectul poate fi individual, realizat de un singur elev, sau colectiv, realizat de un grup de elevi. Modalitatea, în care ar putea fi realizat un proiect, ar fi următoarea: activitatea începe în clasă prin explicarea și înțelegerea sarcinii, prin încercarea rezolvării acesteia. Apoi activitatea continuă, pe parcursul a câteva zile sau săptămâni, în funcție de sarcină, în acest timp elevul (grupul de elevi) poate primi consultații de la profesor. Activitatea de cercetare se încheie în clasă prin prezentarea rezultatelor obținute în fața colegilor.Etapele realizării unui proiect includ:1. Alegerea temei și formularea problemei.2. Planificarea activității:stabilirea obiectivelor proiectului;formarea grupelor;alegerea subiectului în cadrul temei proiectului de către fiecare elev/grup;distribuirea responsabilităților în cadrul grupului;identificarea surselor de informare (manuale, proiecte mai vagi, cărți de speci-

alitate, reviste de specialitate, persoane sau instituții specializate în domeniu).

155

3. Cercetarea propriu-zisă.4. Elaborarea materialelor.5. Prezentarea rezultatelor cercetării și/sau a materialelor create.6. Evaluarea:

a) cercetării în ansamblu; b) modului de lucru; c) produsului realizat.

Metoda proiectelor reprezintă o metodă eficientă de evaluare a competențelor elevilor.

Exemple de teme de proiecte la Matematică:I. Proiecte teoretice:

1. Compunerea unei poveşti cu generic matematic2. Matematica în muzică3. Matematica în poezie4. Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode5. Compunerea de probleme la un subiect matematic indicat, inclusiv, probleme

integrative, probleme de tip cascadă etc.II. Proiecte aplicative:

1. Utilizarea procentelor în situaţii cotidiene2. Dependenţe funcţionale în activităţi practice3. Aplicaţii ale funcţiilor în tehnică4. Exemple de combinări de corpuri geometrice în construcţiile observabile în

localitatea respectivă5. Aplicaţii ale statisticii matematice în diverse activităţi cotidiene6. Formarea bugetului personal şi a celui familial7. Elemente de geometrie în construcţii8. Matematica în profesiile părinţilor9. Secţiunea de aur şi aplicaţii ale acesteia 10. Simetria în jurul nostru11. Amenajarea teritoriului şcolii, grădiniţei de copii, întreprinderii, satului etc.

III. Proiecte simulative: 1. Judecata figurilor geometrice2. Ședinţa Academiei de Știinţe3. Briefing-ul matematic4. Lecţia în şcoala lui Pitagora etc.

Notă. Proiectele elaborate, individuale sau de grup, vor fi susținute în cadrul unor lecții de evaluare – lecții de susținere a proiectelor. Din perspectiva formării compe-tențelor, metoda proiectelor ar putea deveni una dintre cele mai eficiente metode de evaluare.

156

e) Jocurile didactice evaluative, prin realizarea scenariilor respective, oferă posibili-tatea de a evalua atât activitatea individuală a elevului, cât și a grupului (echipei) de elevi. De exemplu, scenariile jocurilor evaluative la matematică „Next” și „Brain ring” sunt propuse în [22].

f) Autoevaluarea oferă elevilor încredere în sine și îi motivează pentru îmbunătățirea performanțelor școlare. Profesorul va ajuta elevii să-și dezvolte capacitățile autoe-valuative, să-și compare nivelul la care au ajuns cu obiectivele, competențele și stan-dardele educaționale și să-și impună un program propriu de învățare. Este absolut necesar de a-i învăța pe elevi să se autoevalueze adecvat pentru a lua decizii corecte în situațiile respective. Elevul, la etapa supusă autoevaluării, poate completa:

FIȘA DE AUTOEVALUARENr. crt. Rezultate obținute Dovezi asociate Îmi propun să.......

g) Evaluarea reciprocă îi va implica activ în procesul de evaluare a performanțelor șco-lare ale colegilor contribuind, în ansamblu, la formarea competențelor respective.Detalii referitoare la aplicarea acestor metode de evaluare profesorul va găsi în [17].

În continuare, propunem un ansamblu de tehnici şi procedee reflexive de evaluare şi autoevaluare, aplicabile în gimnaziu.Tehnica Gândește, perechi, prezintă. Elevii sunt împărțiți în perechi conform unei

anumite reguli sau în funcție de poziționarea în bănci/mese. Este o tehnică de partici-pare la discuții și de formulare, în pereche, a unei păreri, a unei definiții, de realizare a unei sarcini. Contribuie la organizarea unei reale participări a tuturor elevilor la activitatea preconizată. Timp de 3-5 minute ei meditează individual asupra sarcinii propuse. Fiecare membru al perechii își prezintă produsul său. Formulează o variantă comună, îmbinând ideile sau alegând o variantă mai reușită, cizelând-o. O prezintă în fața colegilor. La final sunt analizate aprecierile valorice despre prezentările făcute.

Grila lui Quintilian. Se formulează de către profesor întrebări în baza textului sau a unui subiect deschis: Formulează în scris răspunsuri! Compară cu răspunsul unui coleg! Discutați diferențele!

Întrebări Răspunsul propriu Răspunsul colegului

157

Tehnica Declar lumii întregi! În fața clasei (pe un scaun, la un microfon improvizat), elevii, pe rând, desprind esențialul din lecția desfășurată. Discursul începe cu enun-țul „Declar lumii întregi!”

Scrisoarea didactică. Dragi părinți/prieteni/colegi, ziua de azi a început ________, întrucât _____________. Am învățat să ____________________. Am să aplic cele studiate______________.

Metoda 3-2-1. Notați 3 idei importante, 2 argumente și o concluzie în baza informa-ției primite sau referitoare la lecția de matematică de astăzi/ieri etc.

Trei idei importante Două argumente O concluzie

Telegrama. Se scriu doar 3 cuvinte despre activitatea la lecție, pe care elevul le crede a fi cele mai importante.

Turul galeriei. Clasa se împarte în grupuri. Elevii discută un subiect și realizează sarci-na propusă pe un poster. Posterele cu produsele realizate se afișează pe pereții spa-țiului la o anumită distanță unul față de altul, pentru a permite circulația ulterioară a grupurilor. La semnalul profesorului, grupurile circulă prin sală, de la un poster la altul, le examinează și notează direct pe ele propunerile lor. După încheierea circula-ției, grupurile își examinează posterele și realizează o prezentare finală a produsului. Profesorul realizează o sinteză a rezultatelor obținute de elevi.

Topul. Alegeți 3 noutăți/concepte învățate azi la lecție. Scrieți aceste noutăți în case-tele de mai jos:

1. ; 2. ; 3. .

Graficul învățării:

Ce ai aflat nou? Expune-ți părerea! Unde vei utiliza aceste cunoştințe?

Jurnalul de gândire

Înainte de lecţie După lecție

Sentimente

Gânduri

Cum m-a schimbat această lecție?

158

Cadranele cu expresii lacunare

Puncte forte Puncte slabeReușit s-a dovedit a fi… Ceea ce impresionează…Am admirat în lucrarea dată… Apreciez… Este demn de admirat…

A fost neclar momentul… Vreau să precizez… Am o neclaritate… Mi s-a părut dificil de înțeles… E mai greu să înțeleg… Am depistat unele greșeli… M-a pus pe gânduri…

Recomandări FelicităriŢi-aş recomanda… Îţi propun să… Ar fi bine dacă… Sunt de părerea că… E bine să acorzi atenție la… Va trebui să ții cont de…

Lucrarea ta merită o apreciere înaltă…Te felicit pentru …Îţi doresc şi alte realizări frumoase… Sincere felicitări… Excelent și felicitări! Mă bucur pentru tine!

Corectarea în pereche. Se face schimb de caiete între elevi. Cel care primește caietul colegului sau al prietenului citește cu atenție creația, având ca suport de evaluare grila de evaluare scrisă pe tablă sau pe fișă.

În final, acesta va consemna pe caietul citit impresii, observații, recomandări, apoi va înapoia caietul discutând, dacă este cazul. La aplicarea acestei tehnici se observă atenția sporită acordată atât de cel care este dator să analizeze, cât și de cel care ia cunoștință de aprecierile primite. Astfel se realizează concomitent evaluarea acțiunii celuilalt și propria sa evaluare.

Corectarea în grup este un exercițiu eficient și atractiv, realizat în scopul formării ca-pacităților de autoevaluare ale elevilor. Grupurile sunt formate de către profesor sau pe linie preferențială. Autoaprecierea este dirijată, controlată, având ca element de referință faptul că o cunoaștere obiectivă a capacităților se poate realiza prin com-pletări reciproce, prin argumente convergente, prin aprecieri și informații antrenate de grup.

Fără mâini ridicate – când se așteaptă răspunsuri la anumite întrebări/solicitări ale cadrului didactic. Se lasă elevilor timp de gândire, apoi aceștia pot discuta în perechi sau în grupuri mici. Se solicită răspunsul de la un anumit elev, oferind însă posibilita-tea să se exprime și celor timizi, tăcuți sau neîncrezători în forțele proprii.

Semaforul – pentru stabilirea modului în care elevii înțeleg un nou concept sau sar-cină de lucru. Se pune la dispoziția lor un set de 3 cartonașe colorate în culorile semaforului, iar, la solicitarea cadrului didactic, ei ridică un cartonaș corespunzător: verde dacă înțeleg, galben dacă nu sunt siguri și roşu dacă nu înțeleg. Se poate relua secvența sau pot fi solicitați cei care au ridicat cartonașul verde să furnizeze explicații

159

colegilor, eventual într-o activitate pe grupuri mici, care să includă în același grup elevi ce au ridicat cele 3 tipuri de cartonașe. Folosind în acest mod învățarea prin cooperare, cadrul didactic oferă posibilitatea elevilor de a se implica activ în procesul de învățare, de a ajunge de sine stătător la soluții, intervenind cu indicații când aces-tea sunt solicitate sau când constată că un anumit grup nu avansează în activitate sau abordarea este greșită. Tehnica este preferențială în clasele a V-a-a VI-a.

Tehnica „Răspunsul la minut” sau a răspunsului scurt, la întrebări precise, clare, ce se adresează fiecărui elev, convenind cu elevii că răspunsurile la aceste întrebări nu se comentează sau corectează, permițând cadrului didactic să sesizeze ce parte din lecție/temă trebuie reluată sau clarificată. [8, 9]

Este importantă conștientizarea de către cadrele didactice și manageriale a corelării Metodă/Tehnică de evaluare – Instrument de evaluare – Produs – Criterii de evalu-are – Descriptori de evaluare – Note/Calificatife în cadrul realizării actului evaluativ.

6.3. TESTAREA – metodă de evaluare în bază de competențe

Testarea rămâne una dintre metodele eficiente de evaluare a nivelului de formare a competenţelor preconizate. Testele propuse vor conține mai puțini itemi axați pe eva-luarea unor cunoștințe sau capacități separate și mai mulți itemi integrativi, destinați evaluării competențelor fixate în Curriculum.

Testul, inclusiv testul docimologic, este un instrument eficient de evaluare la Ma-tematică. Elaborarea testului necesită respectarea unor algoritmi. Fiecare test include itemi/sarcini corelați/corelate cu următoarele domenii cognitive:A. Cunoaștere și înțelegere (recunoaşterea, reprezentarea şi asocierea simbolurilor,

termenilor, noțiunilor din conținut). Pentru a evalua acest domeniu, testele includ următoarele tipuri de itemi:I. Itemi obiectivi:

a) itemi cu alegere multiplă;b) itemi de tip pereche;c) itemi cu alegere duală (adevăr, fals; da, nu);d) itemi cu răspuns scurt (de completare) la nivel de cunoaştere şi înțelegere.

B. Aplicare (utilizarea procedeelor, a metodelor de rezolvare, a algoritmilor, a for-mulelor etc.).

Pentru a evalua acest nivel, testele includ următoarele tipuri de itemi:II. Itemi semiobiectivi:

a) întrebări, exerciții, probleme structurate de tip standard (cu argumentările re-spective);

b) itemi cu răspuns scurt la nivel de aplicare (cu argumentările respective);c) itemi cu alegere duală, cu argumentările respective, la nivel de aplicare; d) eseu structurat.

160

De regulă, aceste tipuri de itemi conțin unele indicații despre rezolvarea lor. Elevul este obligat să țină cont de aceste indicații.C. Integrare (rezolvarea problemelor nonstandard, rezolvarea situațiilor-problemă) Pentru a evalua acest domeniu, testele conțin itemi de tipul:III. Itemi subiectivi (cu răspuns liber):

- întrebări, exerciții, probleme nestructurate, situații de problemă ce verifică nive-lurile cognitive superioare;

- eseu nestructurat.Acești itemi se vor rezolva prin metodele alese de către elevi.

Important! Trebuie respectate următoarele cerințe referitoare la formularea itemului (sarcinii):

a) Formularea itemului este corectă dacă ea răspunde la întrebările: Ce? Cât? Cum? Adică:

- Ce trebuie să facă elevul?- Cât trebuie să facă elevul?- Cum trebuie să facă elevul?

b) Numărul de itemi (sarcini) se determină conform raportului 1:3, adică un elev rezolvă de 3 ori mai lent decât un matur.

Pentru a elabora testul respectiv, profesorul va ține cont de Harta tehnologică: 1. va selecta temele, conținuturile conform planificării tematico-calendaristice și

Curriculumului, care vor fi supuse testării;2. va determina obiectivele de evaluare corespunzătoare unităților de competență/

competențelor supuse evaluării;3. va elabora matricea de specificații a testului;4. va compune itemi de diferite tipuri în corelare cu matricea de specificații și obiec-

tivele de evaluare formulate;5 va rezolva testul elaborat pentru a determina dacă elevii vor putea să-l rezolve

în perioada respectivă de timp; în urma acestei activități, profesorul va corecta testul;

6. va elabora baremul de corectare;7. va elabora baremul de notare;8. va realiza administrarea testului ce include:

a) aprobarea testului și a baremelor respective la ședința catedrei/comisiei me-todice;

b) aprobarea testului și a baremelor respective de către administrația gimnaziu-lui/liceului;

c) editarea testului pentru fiecare elev, care va fi supus testării.

161

Important! Cadrele didactice și manageriale vor conștientiza că, în fond, competențele nu se evaluează. Competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Se evaluează produsul obținut (testul rezolvat, proiectul elaborat, problema rezolvată etc.). Curriculumul dezvoltat recomandă ansambluri de produse pentru fiecare clasă, la fiecare dintre compartimente.

Evaluarea sumativă la disciplina Matematică este semnificativă în 3 contexte:a) la etapa evaluării unităților de competență la finele parcurgerii unității de învățare,

a capitolului, a modulului (clasele a V-a-a IX-a).Testele sumative, aplicate în acest aspect de evaluare sumativă, vor fi elaborate în

baza următorului algoritm:

Matricea de specificaţii

Unitățile de competență (supuse evaluării)

Obiectivele de evaluare (corelate cu unitățile de competență selectate)

Itemii/Sarcinile(corelați/corelate cu obiectivele

de evaluare formulate)

Baremul de corectare

Testul/Proba de evaluare

Baremul de notare/Schema de convertire

Matricea de specificații asigură că testul elaborat va măsura nivelul de atingere a obiectivelor educaționale preconizate și va avea o bună validitate de conținut. Prin Ma-tricea de specificații se realizează corelarea dintre domeniile cognitive (Cunoaşterea şi înțelegerea, Aplicarea, Integrarea), domeniile/conținuturile care se testează și numărul de itemi/sarcini necesari pentru elaborarea acestui test. În baza Matricei de specifica-ții, se elaborează testul respectiv. După elaborarea testului se vor elabora Baremul de corectare și Baremul de notare/Schema de convertire.

162

Se recomandă aplicarea următorului Barem de notare/următoarei Scheme de con-vertire, determinat/ă de Referenţialul de evaluare [11]:

Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Punctaj

în %95-

100%87-94%

76-86%

61-75%

45-60%

31-44%

20-30%

11-19%

5- 10%

0- 4%

În continuare, pentru exemplificare, prezentăm realizarea acestui algoritm la elabo-rarea unui test sumativ pentru clasa a VIII-a, la Capitolul Numere reale. Recapitulare şi completări.

Unitățile de competență supuse evaluării:1.3. Ordonarea, compararea și reprezentarea numerelor reale pe axă.1.4. Aplicarea modulului numărului real și a proprietăților acestuia în diverse situații.1.5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea algoritmilor

pentru optimizarea calculului cu numere reale.1.6. Operarea cu numere reale pentru efectuarea calculelor cu numere reale în diver-

se contexte, utilizând proprietățile operațiilor studiate și cele ale semnificațiilor parantezelor.

1.8. Investigarea valorii de adevăr a unei afirmații, propoziții cu numere reale, inclu-siv cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor.

1.9. Justificarea unui demers sau rezultat obținut sau indicat cu numere reale, re-curgând la argumentări, demonstrații.

Obiectivele de evaluare: Elevii vor demonstra că sunt capabili:OE1 – să investigheze valoarea de adevăr a unei propoziții cu numere reale;OE2 – să compare două numere reale date;OE3 – să ordoneze numere reale;OE4 – să aplice proprietățile modulului numărului real pentru optimizarea calculelor

cu numere reale;OE5 – să utilizeze algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale;OE6 – să aplice proprietățile puterilor cu exponent întreg și ale radicalilor la efectu-

area calculelor cu numere reale;OE7 – să justifice un rezultat matematic obținut, utilizând argumentări.

163

Matricea de specificațiiNr.crt.

Domeniile cognitive

Temele studiate

Cunoaştere şi înțelegere Aplicare Integrare Total

1. Mulțimea numerelor reale. 1 sarcină1a)

1 sarcină1b) - 2 sarcini

18%2. Puteri cu exponent întreg.

Proprietăți. - 1 sarcină1c)

1 sarcină1d)

2 sarcini18%

3. Rădăcina pătrată. Proprietăți ale rădăcinii pătrate. - 3 sarcini

2a), 2b), 3a)4 sarcini

2c), 3b), 3c), 47 sarcini

64%

Total 1 sarcină9 %

5 sarcini46 %

5 sarcini45 %

4 itemi/11 sarcini

100%

Testul sumativTimp efectiv de lucru: 45 min.

Nr. Itemi Punctaj1.

Fie mulțimea A a b c d� � �, , , , unde a b c� � � � � �� �1 25

14

5

76

2, : , și

d � � �8 13.

a) Scrieți în casetă litera A, dacă propoziția este adevărată, sau litera F, dacă propoziția este falsă:„Valoarea numărului b este un număr întreg”

1 p.

b) Comparați valorile lui c și d. 3 p.

c) Calculați valoarea expresiei ba. 3 p.

d)Demonstrați că d

dd

d c

a��� ��

252

.

4 p.

2.Fie expresia E � � � �� � � �� �3 2 3 2 3 12 1 2

2

.

a) Explicitați modulul 3 2 3− .1 p.

b) Aflați valoarea expresiei E. 4 p.

c) Completați casetele cu două numere întregi consecutive astfel încât să obțineți o propoziție adevărată: < E < . Argumentați răspunsul!

5 p.

3. Un teren agricol are forma unui patrulater ABCD, reprezentat în desen.

164

a) Utilizând datele din desen (unitatea de măsură este m), determinați lungimea laturii AB, exprimată printr-un număr real.

4 p.

b) Determinați câți metri de gard este necesar pentru a îngrădi terenul. 2 p.

c) Determinați câte kg de semințe de trifoi sunt necesare pentru a însămânța acest teren, dacă consumul recomandat este de 17 g la m2.

3 p.

4. Impulsul unui corp este o mărime fizică definită ca fiind produsul dintre masă (în kg) și viteză (în m/s).Determinați impulsul unui electron cu masa 9,1 · 10–31 kg și care are viteza de 9 · 10 6 km/h. Scrieți răspunsul sub forma a · 10n, unde 1 < a < 10, iar n Z∈ .

4p.

2p.

Baremul de corectare/Schema de convertire

Item Răspunscorect Etapele rezolvării Punctaj

acordatScor

maxim Observații

1. a) F Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă a casetei.

1 p. 1 p.

b)>

- determinarea lui c;- determinarea lui d;- răspunsul corect.

1 p.1 p.1 p.

3 p.

c)8

- determinarea lui a;- determinarea lui b;- răspunsul corect.

1 p.1 p.1 p.

3 p.

d) - 255 = (52)5 = 510;- (5–2)6 = 5–12;- 510 · 5–12 = 5–2;

- 5

55

2

3

�

� � � d .

1 p.1 p.1 p.

1 p.

4 p.

2. a) 2 3 3− - explicitarea modulului. 1 p. 1 p.

b) 4 3 8−

- aplicarea corectă a formulei pătratului diferenței;

- deschiderea corectă a parantezelor;- scoaterea factorului de sub radical;- răspunsul corect.

1 p.

1 p.1 p.1 p.

4 p.

c) –2 și –1

- determinarea valorii aproximative a expresiei E (câte 1 p. pentru fiecare aproximare);

- completarea corectă a casetelor (câte 1 p. pentru fiecare casetă).

3 p.

2 p.

5 p.

3. a) AB m= 5 3- 2 12 5 2 3 10 3� � � ;

- 75 5 3= ;

- AB m= 5 3 .

2 p.1 p.1 p.

4 p.

20 3m. - P � � �4 5 3 20 3. 2 p. 2 p.

165

b) 1,275 kg

- calcularea ariei suprafeței laterale a terenului: 75 m2;

- determinarea cantității necesare de semințe de trifoi în grame: 1275 g;

- transformarea cantității de semințe de trifoi în kg.

1 p.

1 p.

1 p.

3 p.

4. 2,275·10–24

Transformarea corectă a vitezei în m/s;- calcularea impulsului;- scrierea răspunsului în forma

a · 10n, unde 1 < a < 10, iar n Z∈ .

2 p.2 p.2 p.

6 p.

Total puncte 36 p.

Baremul de notareNota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Punctajulacumulat 36-35 34-32 27-31 22-26 16-21 12-15 8-11 5-7 3-4 1-2

b) la etapa evaluării interne inițiale a nivelului de formare a competențelor specifice la Matematică.Evaluările rezultatelor școlare în bază de competențe la Matematică se realizează

prin evaluările inițiale la etapele de trecere de la o treaptă de învățământ la alta. În acest context importante sunt evaluările inițiale realizate la începutul clasei a V-a (eva-luarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pentru învăţământul primar) și la începutul clasei a X-a (evaluarea nivelului de formare a competenţelor spe-cifice preconizate pentru învăţământul gimnazial).c) la etapa evaluării interne finale a nivelului de formare a competențelor specifice

la Matematică.Acestea sunt evaluările sumative la finele clasei a IX-a și la finele clasei a XII-a.Instrumentul de evaluare/Testul sumativ (docimologic) pentru evaluările b) și c)

trebuie să fie elaborat în baza următorului algoritm:

166

Din perspectiva evaluării în bază de competențe se modernizează Matricea de spe-cificații, axată pe domenii ale disciplinei Matematică, determinate de Standardele de eficienţă a învăţării, nu pe conținuturile parcurse în anul respectiv de învățământ:

Domeniicognitive

Domeniiale disciplinei

Cunoaştere şi înţelegere Aplicare Integrare Total

Domeniul I X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Domeniul II X X X Un item ce conţine 3-6 sarcini

Domeniul III X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Domeniul IV etc. X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Total 30% 40% 30% 100% Patru itemi ce conțin 12-24 de sarcini

Matricea de specificaţii

Standardele de eficiență a învățării Matematicii

Competenţele specifice (competențele-cheie/transversale)

subcompetențele

Indicatorii de competență din standarde/ Obiectivele de evaluare

Indicatorii de performanță

Testul sumativ (docimologic)

Itemii (structurați)

Baremul de corectare

Baremul de notare/Schema de convertire

167

Important! Pentru a realiza o evaluare în bază de competență, fiecare item inclus în testul docimologic trebuie să fie structurat astfel încât să includă, conform definiției competenței școlare, sarcini de cunoștințe, sarcini de abilități și sarcini de atitudini (integrare).

Pentru exemplificare, prezentăm un exemplu de Matrice de specificaţii și un Test docimologic pentru evaluarea finală (examen intern) la clasa a IX-a:

Matricea de specificații

Domenii cognitive

Domenii ale disciplineiMatematică

Cunoaştere şi înțelegere Aplicare Integrare Total

Algebra 5,3 %1 sarcină

(2a)

5,3 %1 sarcină (2b)

5,4%1 sarcină

(2c)

16 %1 item

(3 sarcini)Elemente de analiză Matematică

5,3 %1sarcină

(1a)

5,3 %1sarcină

(1b)

10,4 %2 sarcini(1c, 1d)

21 %1 item

(4 sarcini)Măsurare și măsuri. Elemente de geometrie metrică

5,2 %1 sarcină

(3a )

10,4 %2 sarcini(3b, 3c)

10,4 %2 sarcini(3d, 3e)

26 %2 itemi

(5 sarcini)Geometria în plan și în spațiu

10,6 %2 sarcini (4a, 5a)

10,6 %2 sarcini ( 4b, 5b)

15,8 %3 sarcini

(4c, 5c, 5d)

37 %2 itemi

(7 sarcini)Total 26,4 %

5 sarcini31,6 %

6 sarcini42 %

8 sarcini100 %

5 itemi/19 sarcini

168

Test sumativ (docimologic) (Examen intern)

Timp efectiv: 90 min. 1. Traiectoria de zbor a mingii de fotbal reprezintă o porțiune din graficul funcției

f R R f x x x: , .� � � � � �28 Axa Oy reprezintă distanța în metri, axa Ox – timpul în

secunde.a. Completați spațiul indicat cu unul din termenii „funcţie putere”, „funcţie liniară”,

„funcţie pătratică”, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Funcţia f este o ____________________________”. 1 p. b. Reprezentați grafic funcția f. 6 p. c. Determinați câte secunde s-a aflat în zbor mingea. 2 p. d. Aflați la ce înălțime maximă s-a ridicat mingea. 2 p.

2. Sergiu a achitat pentru un caiet şi 3 pixuri suma de 19 lei, iar Dana a achitat pentru 3 caiete şi 2 pixuri, de acelaşi fel, suma de 22 de lei. a) Scrieți în casetă Da sau NU, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Dana a achitat pentru cumpărătură de două ori mai mulţi bani decât Sergiu”.

2 p.b) Scrieți în casetă sistemul de ecuații, corespunzător datelor problemei

. Argumentați răspunsul! 6 p. c) Aflați prețul unui caiet și prețul unui pix. 5 p.

3. Un dreptunghi este confecționat din carton. Lungimea dreptunghiului este cu 8 cm mai mare decât lățimea, iar aria lui este egală cu 240 cm2.

169

a) Scrieți în casetă litera A, dacă propoziția este adevărată sau litera F, dacă ea este falsă:

„Dreptunghiul este un paralelogram”. 2 p.b) Aflați lungimea dreptunghiului. 6 p. c) Calculați perimetrul dreptunghiului. 3 p. d) Determinați dacă se poate decupa din acest

dreptunghi un pătrat cu latura de 10 cm. Argumentați răspunsul. 2p. e) Dar un pătrat cu aria egală cu 169 cm2? Argumentați răspunsul. 3 p.

4. Un strat de flori are forma unui trapez isoscel cu lungimile bazelor de 8 m, 18 m şi măsura unghiului ascuțit de 30°.

a) Completați astfel, încât propoziția obținută să fie adevărată „Trapezul isoscel este trapezul

_________________.” 2 p.b) Calculați lungimile laturilor necunoscute ale stratului de flori. 8 p. c) Aflați câți metri de gard sunt necesari pentru a îngrădi stratul de flori. 3 p. d) Pentru a semăna semințe de flori pe acest

strat, la 1 m2 sunt necesare 80 g de semințe. Determinați câte grame de semințe de flori

sunt necesare pentru a semăna toată suprafața stratului de flori. 6 p.

5. Un gospodar a adunat fânul într-o grămadă în formă de con circular drept cu raza bazei de 4 m şi generatoarea de lungime egală cu 5 m.

a) Încercuiți litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă:

„Baza conului circular drept este un cerc”. A / F 1 p. b) Calculați cu ce este egală aria suprafeței grămezii de fân. 4 p.c) Pentru a fi hrănit taurul din gospodărie în luna decembrie, gospodarul a luat fân din vârful grămezii. Fânul rămas avea forma unui

trunchi de con circular drept, cu înălțimea egală cu 1,2 m. Calculați volumul fânului folosit în luna decembrie (răspunsul de rotunjit până la zecimi). 5 p.

170

Exemple de teste la matematică, elaborate din perspectivele evaluării în bază de competențe, profesorul de matematică poate găsi în manualele de matematică pentru clasele a V-a, a VI-a și a IX-a. [19, 20, 21].

Pentru comparație, propunem un exemplu de Test docimologic, propus la examenul de absolvire a gimnaziului în anul 2019, în Franța:

Test docimologic (Le diplôme national du brevet)Franța, 2019

Timp efectiv: 120 min.Problema 1 (14 puncte):Nina și Clara au câte un program de calcul. Programul Ninei:Alege un număr.Scade din el 1.Înmulțește rezultatul cu -2.Adună 2.

Programul Clarei:Alege un număr.Înmulțește -l cu -1/2Adună 1 la rezultat.

1. Arătați că, dacă fetele aleg numărul inițial 1, atunci Nina va obține un rezultat mai mare de 4 ori decât rezultatul Clarei.

2. Ce număr trebuie să aleagă Nina pentru a obține rezultatul final 0?3. Nina îi spune Clarei: „Dacă noi vom alege același număr inițial, atunci întotdeauna

rezultatul meu va fi de 4 ori mai mare ca al tău”. Are ea dreptate?

Problema 2 (11 puncte):Tabelul de mai jos reprezintă emisiile de gaz cu efect de seră pentru Franța și Uniu-

nea Europeană, în milioane de tone de CO2 echivalente, între anii 1990 și 2013.

1990 (în mil. tone de CO2 echivalente)

2013 (în mil. tone de CO2 echivalente)

Franța 549,4 490,2Uniunea Europeană 5680,9

Sursa: Agenţia europeană pentru mediul înconjurător, 2015.

1. Între anii 1990 și 2013, emisiile de gaz cu efect de seră în Uniunea Europeană au scăzut cu 21%. Care este cantitatea de gaz cu efect de seră emise în 2013 de Uniunea Europeană? Aproximați răspunsul la zecimi de mil. tone de CO2 echivalente.

2. Franța și-a propus până în 2030 să-și micșoreze emisiile de gaz de 2/5 ori, compa-rativ cu 1990. Demonstrați că aceasta corespunde cu a micșora aproximativ cu 1/3 emisiile sale de gaz cu efect de seră, comparativ cu 2013.

171

Problema 3 (17 puncte):Un program permite unui robot să se deplaseze pe căsuțele unei

rețele. Fiecare căsuță vizitată se colorează în gri. La începutul progra-mului, toate căsuțele sunt albe, robotul se poziționează pe o căsuță de pornire notată cu „d” și ea este colorată în gri. Iată un exemplu de program și rezultatele care se obțin:

1W Robotul deplasează spre vest 1 căsuță d

2E 1W 2N Robotul deplasează 2 căsuțe spre est, apoi 1 căsuță spre vest și 2 căsuțe la nord

d

3 (1S 2E) Robotul repetă de 3 ori mișcarea: 1 căsuță spre sud, apoi 2 căsuțe spre est.

d

1. Iată un program:1W 2N 2E 4S 2W.

Pe rețelele de pătrățele din caietul vostru, realizați desenul care se obține la realiza-rea acestui program. Marcați cu „d” căsuța de pornire.2. Iată 2 programe:

Programul 1: 1S 3(1N 3E 2S)

d

Programul 2: 3(1S 1N 3E 1S) • Care program permite obținerea motivului din desenul alăturat?• Explicați de ce celălalt program nu permite obținerea motivului din desen?

3. Iată alt program:Programul 3: 4(1S 1E 1N)El permite obținerea următorului rezultat:

d

172

Rescrieți programul 3 modificând doar o singură instrucțiune, pentru a obține urmă-toarele:

d

Problema 4 (16 puncte):Pentru a construi un puț în grădina sa, Domnul Martin are

nevoie de 5 cilindri de beton cu următoarele caracteristici: • diametrul interior – 90 cm;• diametrul exterior – 101 cm;• înălțimea – 50 cm;• masa volumică a betonului – 2400 kg/m3.În remorca sa, el are loc pentru a pune 5 cilindri, dar nu poate transporta decât ma-

ximum 500 kg. Determinați numărul minim de călătorii tur-retur pentru a transporta acești 5 cilindri cu remorca sa.

Problema 5 (12 puncte):Figura alăturată este desenată fără riglă, cu mâna liberă și este

reprezentat un patrulater ale cărui diagonale se intersectează în punctul O. Se știe că OA = 3,5 cm și AB = 5 cm.

Ne interesează natura patrulaterului reprezentat în desen.1. Putem afirma că ABCD este un dreptunghi?2. Putem afirma că ABCD este un pătrat?Problema 6 (14 puncte):Tabelul de mai jos (document 1) reprezintă numărul automobilelor „cu motorină sau

benzină” care sunt în circulație în Franța în 2014.Document 1

Numărul de automobile în circulație (în mii)

Distanța medie parcursă al unui automobil (în km )

Motorină 19741 15430

Benzină 11984 8344

Sursa: INSEE

1. Verificați dacă numărul automobilelor „cu motorină sau benzină” puse în circulație în Franța, în 2014, este de 31725000.

2. Care este raportul dintre automobilele cu benzină în raport cu automobilele „cu mo-torină sau benzină” în circulație în Franța? Exprimați raportul în procente. Rotunjiți rezultatul la întregi.

3. La sfârșitul lunii decembrie 2014, în timpul unui joc televizat, a fost selectat alea-tor un automobil dintre cele „cu motorină sau benzină” puse în circulație în Franța. Proprietarului automobilului selectat i s-a propus să schimbe automobilul său pe un vehicul electric nou. Prezentatorul l-a sunat pe Hugo, proprietarul fericit al automo-bilului selectat. Iată extrasul convorbirii telefonice:

173

Document 2:

Prezentatorul: Bună ziua, Hugo! Ce vârstă are automobilul dumneavoastră?Hugo: Are 7 ani.Prezentatorul: Și câți kilometri parcurși?Hugo: Un pic mai mult de 100 000 km. Așteptați puțin, am o factură în garaj cu data de ieri... Așa, deci, am exact 103 824 km.Prezentatorul: Aaaa, deci, cred că aveți un vehicul cu motorină.

Cu ajutorul datelor conținute în documentul 1 și în docu-mentul 2, explicați:

a) de ce prezentatorul a considerat că Hugo are un vehicul cu motorină;

b) dacă este posibil ca automobilul lui Hugo să fie un vehicul cu benzină.

Problema 7 (16 puncte): În desenul alăturat, prin C1 și C2 sunt reprezentate graficele a două funcții. Una din-

tre funcții este funcția definită de f(x) = –2x + 8.1. Care este reprezentarea grafică a acestei funcții?2. Determinați f(3).3. Determinați argumentul pentru care valoarea funcției este 6.4. Foaia de calcul de mai jos permite să calculeze valorile funcției f:

A B C D E F G

1. x –2 –1 0 1 2 3

2. f(x)

Ce formulă poate fi introdusă în celula B2 înainte de a trece la celula G2? [53]

6.4. Proiecte STEM şi STEAM

Știința și tehnologia fac parte din viață noastră, iar a le folosi într-un mod care să aducă valoare e important. În loc de a avea copii care sunt doar consumatori de tehno-logie, am putea avea copii care o înțeleg și o folosesc într-un mod conștient sau chiar o creează. De aceea, astăzi, sistemul educațional din Republica Moldova are nevoie de noi provocări și abordări STEM, care ar putea reînvia interesul pentru studierea dis-ciplinelor precum Știință, Tehnologie, Inginerie și Matematică. Este necesar ca aceste

174

discipline să devină mai provocatoare, să stârnească imaginația și inspirația elevilor de azi, cetățenii lumii de mâine. Astfel, Educația STEM (Ştiințe, Tehnologie, Inginerie, Ma-tematică) devine o prioritate a învățământului internațional și național actual. STEM reprezintă un concept educațional ce se bazează pe ideea de educare a elevilor în 4 domenii: Știinţe, Tehnologii, Inginerie și Matematică. Disciplinele STEM sunt predate integrat, interdisciplinar, bazându-se pe legătura cu realitatea, pe observație directă, pe experiment, pe logică, pe experiența copiilor. De aceea unul din obiectivele priorita-re ale educației STEM este utilizarea cunoașterii disciplinare într-o abordare integrată, prin învățarea bazată pe probleme nonstandard și pe elaborarea de proiecte. Ca re-zultat, elevii sunt implicați în situații de învățare autentice, semnificative, care include proiectarea, realizarea, testarea, reflectarea și documentarea. Astfel:

• se dezvoltă gândirea critică și autocritică a elevului; • se încurajează inovația;• se dezvoltă capacitatea de a colabora și a comunica eficient cu ceilalți atunci când

abordează o problemă și când formulează soluții;• se produce înțelegerea prin experimentare;• sporește la elevi motivația pentru învățare.Scopul educației STEM este înțelegerea conceptelor, noțiunilor, procedurilor și for-

marea de abilități necesare pentru rezolvarea problemelor personale, sociale și globa-le, care implică integrarea științei, tehnologiei, ingineriei și matematicii. Exemple de activități care pot fi realizate în contextul educației STEM:

• aplicații practice;• experimente;• proiecte educaționale interdisciplinare: biologie, chimie, geografie, fizică, mate-

matică, informatică, tehnologie, arhitectură, meteorologie etc.;• activități creative legate de meșteșuguri și arte;• proiecte educaționale de cercetare ale elevilor în domeniile STEM;• vizite ale elevilor în institute, în muzee, în laboratoare de cercetare;• evenimente care promovează educația pentru științe și tehnologie (târguri,

expoziții, tabere, competiții pentru elevi).Proiectele STEM se raportează la standardele curriculare ale fiecărui domeniu co-

nex STEM (standarde naționale), care implică conținuturile corespunzătoare nivelului fiecărei discipline, fără a se izola de o disciplină, și potențând utilitatea integratoare a cunoașterii.

STEAM (Ştiințe, Tehnologia, Inginerie, Arte şi Matematică) este o nouă abordare a conceptului STEM, ce implică folosirea principiilor STEM împreună cu integrarea tuturor disciplinelor umaniste.

Proiectele STEM/STEAM sunt realizate în comun cu profesorii care predau discipline-le implicate în realizarea proiectului respectiv. Fiecare dintre acești profesori va acorda

175

asistența necesară elevilor la disciplina respectivă în procesul realizării proiectului. Tim-pul, rezervat pentru realizarea proiectului, diferă de la proiect la proiect: de la o săptămâ-nă, până la 2-3 luni. Susținerea proiectelor realizate poate fi publică, inclusiv cu participa-rea părinților. Evaluarea proiectului se face în raport cu următoarele criterii:

- validitatea proiectului vizează gradul în care acesta acoperă unitar și coerent, logic și argumentat tema propusă;

- completitudinea proiectului se reflectă în felul în care au fost evidențiate conexiu-nile și perspectivele interdisciplinare ale temei, competențele și abilitățile de ordin teoretic și practic și maniera în care acestea utilizează conținutul științific;

- elaborarea şi structurarea proiectului în ceea ce privește acuratețea, rigoarea și coerența demersului științific, logica și argumentarea ideilor, corectitudinea concluziilor;

- creativitatea vizează gradul de noutate pe care-l aduce proiectul în abordarea temei sau în soluționarea problemei;

- calitatea produsului obţinut şi eficienţa acestuia; - prezentarea şi susţinerea publică a proiectului. Proiectele STEM/STEAM eficient contribuie la realizarea conexiunilor interdiscipinare,

transdisciplinare.În continuare, propunem unele exemple de proiecte STEM/STEAM, pe niveluri de cla-

se, recomandate de Curriculumul la Matematică:

Clasa Semestrul I Semestrul al II-leaa V-a Planificăm o călătorie! (STEM)

Obiective:1. planificarea și reprezentarea traseului. Calcularea

lungimii traseului;2. estimarea cheltuielilor;3. elaborarea listei bagajelor-proviziilor (selectare,

estimare) etc.Domenii: Geografie; Matematică; Științe; Educație fizică.Produse finale:1. Traseul;2. Orar-itinerar;3. Devizul de cheltuieli; 4. Albumul cu imagini etc.

176

a VI-a Rapoarte şi proporții în pictură şi arhitectură (STEAM)Obiective:1. determinarea rolului ra-

poartelor și al proporțiilor în arte;

2. selectarea și clasificarea operelor de pictură și arhi-tectură în funcție de rapoar-tele și proporțiile utilizate;

3. evidențierea aspectelor es-tetice ale operelor de pictu-ră și arhitectură în funcție de aplicarea rapoartelor și proporțiilor.

Domenii: Matematică, Științe, Educație plastică, Educație tehnologică.Produse finale:1. Opere de pictură și arhitec-

tură selectate și clasificate în funcție de rapoartele și proporțiilor utilizate.

2. Prezentare Power Point cu evidențierea aspectelor estetice respective.

Să ne alimentăm sănătos! (STEM)Obiective:1. calcularea numărului de calorii pe care trebuie să

le consume o persoană în fiecare zi în funcție de vârstă, gen și grad de activitate fizică;

2. identificarea surselor sănătoase de proteine, fibre, calciu, vitamine, glucide etc.;

3. repartizarea pe prize alimentare;4. întocmirea unui meniu zilnic sănătos pentru mem-

brii familiei.Domenii: Biologie; Matematică; Științe; Informatică.Produse finale: 1. Tabel cu repartizarea pe mese și zile a meniurilor

(pentru o săptămână); 2. Prezentare Power Point.

a VII-a Apa în viața de zi cu zi (STEM)Obiectiv: examinarea calității apei și a altor probleme legate de apă (în localitatea de baștină). Domenii: Fizică; Geografie; Chimie; Biologie; Matematică; Informatică.Produse finale:1. componența chimică a apei; 2. reprezentări grafice; 3. recomandări pentru ridica-

rea calității apei; 4. modele de filtre pentru apă;

I. Variația caracteristicilor meteo (temperatura, umiditatea, cantitatea de precipitații și presiunea atmosferică) pentru o perioadă de trei luni în localitatea de baştină (STEM)

Obiective: 1. investigarea variației parametrilor meteo;2 vizite la stații meteorologice.Domenii: Geografie; Matematică; Fizică; Informatică.Produse finale:1. Reprezentări grafice;2. Prognoze;3. Tabele;4. Prezentare Power Point.

177

5. propuneri pentru sisteme de canalizare;

6. prezentare Power Point.

II. Geometria şi origami (STEAM)Obiective:1. abordarea matematicii prin intermediul

construcțiilor origami;2. evidențierea simetriei axiale a figurilor geometrice

studiate și a proprietăților figurilor geomеtrice studiate la crearea construcțiilor de origami;

3. utilizarea aplicației GeoGebra pentru modela-rea figurilor geometrice care se formează în construcțiile origami realizate.

Domenii: Matematică; Științe; Artă plastică, Informa-tică.Produse finale:1. Construcții origami;2. Imagini/fotografii/video cu construcțiile origami

create.a VIII-a I. Funcții în sport (STEM)

Obiective: 1. determinarea rolului

funcțiilor/reprezentărilor grafice ale funcțiilor în sport;

2. selectarea unor procese/activități din sport în core-lare cu aplicațiile funcțiilor respective/graficelor.

Domenii: Educație Fizică; Biolo-gie; Matematică; Informatică.Produse finale:1. Reprezentări grafice;2. Tabele;3. Recomandări;4. Prezentare Power Point/

Filme de scurt metraj/Video spoturi.

Aplicații ale figurilor geometrice în design (STEAM)Obiective:1. determinarea rolului figurilor geometrice în design

vestimentar/arhitectural/de landșaft;2. selectarea/clasificarea/crearea produselor de

design în funcție de figurile geometrice utilizate;3. evidențierea aspectelor estetice ale utilizării figuri-

lor geometrice în design.

Domenii: Matematică, Științe, Educație plastică, Educație tehnologică, Arte, Biologie.Produse finale:1. Fotografii/Desene/Imagini/Machete ale produse-

lor de design, clasificate în funcție de tipurile de figuri geometrice utilizate.

2. Prezentare Power Point/Expoziții de produse crea-te cu evidențierea aspectelor estetice respective.

178

a IX-a I. Funcțiile în tehnică (STEM)Obiective:1 determinarea rolului

funcțiilor în tehnică;2. selectarea și clasificarea

proceselor tehnice în core-lare cu aplicațiile funcțiilor respective.

Domenii: Matematică, Fizică, Chimie, Biologie, Informatică.Produse finale:1. Procese tehnice, prezentate

real sau virtual, în corelare cu funcțiile aplicate.

2. Prezentare Power Point.

I. Corpuri geometrice în construcțiile din localitatea mea (STEAM)

Obiective:1. determinarea rolului corpurilor geometrice în ar-

hitectură;2. selectarea și clasificarea construcțiilor (imaginilor)

din localitatea de baștină, în funcție de tipurile de corpuri geometrice utilizate;

3. evidențierea aspectelor estetice ale utilizării corpurilor geometrice în construcțiile edificiilor.

Domenii: Matematică, Biologie, Chimie, Fizică, Infor-matică, Educație plastică, Educație tehnologică, Arte.Produse finale:1. Fotografii/Desene/Imagini ale construcțiilor (ima-

ginilor) din localitatea de baștină, clasificate în funcție de tipurile de corpuri geometrice utilizate.

2. Crearea de machete ale construcțiilor cu aplicarea corpurilor geometrice studiate.

3. Prezentare Power Point cu evidențierea aspecte-lor estetice respective.

Domenii: Matematică, Informatica, Arte. Produse finale:1. Opere de artă (Imagini) selectate și clasificate.2. Prezentare Power Point cu evidențierea aspecte-

lor estetice respective.II. Figuri fractale în artă şi natură (STEAM)Obiective:1. determinarea noțiunii de figură fractală și a carac-

teristicelor sale;2. determinarea figurilor fractale remarcabile (triun-

ghiul lui Sierpinski, Fulgul de zăpadă a lui Koch, Mulțimea etc.) și a fractalilor în natură;

3. crearea propriilor figuri fractale, a propriei muzici fractale etc.;

4. utilizarea aplicației Geogebra (sau a altor aplicații și resurse TIC) la modelarea produselor create în contextul figurilor fractale.

Domenii: Matematică, Arte, Muzică, Biologie, Infor-matică.Produse finale:1. Galeria de imagini/desene/album foto a figurilor

fractale remarcabile și a figurilor fractale în natură.

2. Prezentări Power Point/filme în care sunt prezen-tate construcțiile fractale create.

Important! Proiecte STEM/STEAM. Elevii vor realiza cel mult câte unul pe semestru. Profesorul de matematică, de comun acord cu ceilalți profesori implicați în proces, va se-lecta proiectele respective din lista celor propuse în Curriculum sau va propune proiecte STEM/STEAM de alternativă.

Detalii referitoare la proiectele STEM și STEAM pot fi găsite de către profesor în sursele [46-50].

179

WEB-BIBLIOGRAFIE1. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării

Chișinău, Lyceum, 2017.2. Codul Educaţiei al Republicii Moldova. Chișinău, intrat în vigoare 23.11.2014.3. Cu privire la aprobarea Instrucţiunii privind managementul temelor pentru acasă, în învă-

ţământul primar, gimnazial şi liceal. Ordinul Ministrului Educației, Culturii și Cercetării, nr. 1249 din 22.08.2018.

4. Curriculum naţional. Disciplina Matematică. Clasele a V-a-a IX-a. Ministerul Educației, Cultu-rii și Cercetării al Republicii Moldova. Chișinău: Lyceum, 2019.

5. Educaţia centrată pe cel ce învață. Ghid metodologic. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.

6. Educaţia centrată pe elev. Ghid metodologic. Coordonatori T. Callo, A.Paniș – Chișinău: „Print-Caro” SRL, 2010.

7. Evaluarea criterială prin descriptori în învăţământul primar. Clasa a III-a. Ghid metodologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017, 64 p.

8. Evaluarea în învăţământ: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori: Pâslaru V., Cabac V. Chișinău: I.Ș.E., 2002.

9. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a III-a. Institutul de Științe ale Educației, 2017, 61 p.

10. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.11. Referenţialul de evaluare a competenţelor specifice formate elevilor. Ministerul Educației al

Republicii Moldova, Chișinău, 2014.12. Repere metodologice privind asigurarea continuităţii la nivelul claselor a IV-a şi a V-a din

perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău, 2018.

13. Standarde de eficienţă a învăţării. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău, Lumina, 2012.

14. Standardele de dotare minimă a cabinetelor la disciplinele şcolare în instituţiile de învăţă-mânt secundar general (ordinul MECC nr. 193 din 26 februarie 2019).

15. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial al Republicii Moldova nr. 252-257, art.: 963.

16. Achiri I. Didactica matematicii. Chișinău, Prut, 2013.17. Achiri I. Jocuri didactice la Matematică. Chișinău: Lumina,1990.18. Achiri I. Sofisme matematice. Chișinău: Știința, 1992.19. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ș.a. Metodica predării geometriei în învățământul

preuniversitar. Chișinău: Lumina, 1997.20. Achiri I., Bîrnaz N., Ciuvaga V. ș.a. Evaluarea curriculumului educaţional. Aria curriculară:

Matematică şi ştiinţe. Chișinău, CEP USM , 2018.21. Achiri I., Braicov A., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru

examenul de absolvire a gimnaziului la Matematică. Chișinău: Editura Prut, 2018;22. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O. Matematică. Manual. Clasa a IX-a. Chișinău: Editura Prut

Internațional, 2017.23. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O. Matematică. Manual. Clasa a VI-a. Chișinău: Editura Prut

Internațional, 2016.24. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Ghid pentru profesori. Clasa a V-a.

Chișinău: Editura Prut Internațional, 2010.25. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Manual. Clasa a V-a. Chișinău:

Editura Prut Internațional, 2015.26. Achiri I., Ceapa V., Copăceanu R., Șpuntenco O. Planşe la Matematică pentru gimnaziu.

Chișinău: Cartdidact, 2005.27. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru examenul de

absolvire a gimnaziului la Matematică. Chișinău: Editura Lyceum, 2018.28. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Matematică. Ghid de implementare a curriculumului

modernizat pentru treapta gimnazială de învățământ. Chișinău: Lyceum, 2011.

180

29. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ș.a. Metodica predării matematicii. Vol. I. Chișinău: Lumina, 1992.

30. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ș.a. Metodica predării matematicii în învățământul preuni-versitar, metodica predării algebrei şi elementelor de analiză Matematică. Vol. II. Chișinău: Lumina, 1995.

31. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași, Polirom, 2013.32. Cabac V. Evaluarea prin teste în învățământ. Bălți: Universitatea de Stat „Alecu Russo”, 1999.33. Callo T., Paniș A. (coordonatori) Educaţia centrată pe copil. Ghid metodologic. Chișinău,

„Print-Caro”, 2010.34. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru

formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.35. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraș-Postică V. ș.a. Formare de competenţe prin strategii didac-

tice interactive. Chișinău: C.E. Pro Didactica, 2008.36. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru

formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.37. Cartaleanu T., Lîsenco S., Sclifos L., ș.a. Formarea competenţelor prin strategii didactice

interactive. Chişinău: Centrul Educaţional PRO DIDACTICA, 2008.38. Cerghit I. Metode de învăţământ, ediția a IV-a. Iași, Editura „Polirom”, 2006.39. Ciolan, L. Învățarea integrată. Iași: Polirom, 2008.40. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea

cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.41. Cristea S. Dicţionar de pedagogie. Chișinău, Litera, 2000.42. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chișinău: Editura Uniunii Scriitorilor, 2004.43. Guțu Vl., Pâslaru V. ș.a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Chișinău: Editura Cartier,

1998.44. Minder M. Didactica funcţională. Obiective, strategii, evaluare (traducere). Chișinău, Editura

„Cartier educațional”, 2003.45. Minder M. Didactica funcţională: obiective, strategii, evaluare. Ch.: Cartier, 2003.46. Neagu M., Achiri I.. Evaluarea curriculumului şcolar proiectat. Ghid metodologic. Iași, Editura

PIM, 2008.47. Potolea D., Neacș I., Manolescu M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare ale elevilor.

Ghid metodologic general. București, 2011.48. Radu I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a, București: Editura Didactică și Pedagogi-

că, 2007, 288 p.49. Raileanu A., Achiri I., Prodan N. Matematică. Clasele a V-a - a IX-a. În: Matematică și științe.

Ghiduri metodologice. Chișinău: Grupul editorial Litera, 2000.50. Stoica A., Musteață S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chișinău, 2003.51. Vogler J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iași: Polirom, 2000, 204 p.52. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для

учителя. М. Просвещение, 2005.53. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-sunt-acestea-si-

cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/54. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiune-cu-realita-

tea/55. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-de-lectie-nr-

1-in-pbl/56. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-learning- science-

art.htm57. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatia-stem/ 58. https://www.didactic.ro59. https://www.didactic.ro/materiale didactice/probleme-de-tip-cascada.60. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.61. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige62. www.dexonline.ro