1

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOVA

CURRICULUM NAŢIONAL

ARIA CURRICULARĂMATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE

MAТЕМАТИКА

Clasele V-IX

Chişinău, 2019

2

Aprobat:- Consiliul Național pentru Curriculum, proces-verbal nr. 22 din 05.07.2019- Ordinul Ministerului Educației, Culturii și Cercetării nr. 906 din 17.07.2019

COORDONATORI:Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC Valentin CRUDU, dr., șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator al

managementului curricular Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de lucru

EXPERŢI-COORDONATORI:Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator generalAnatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice, expert-

coordonator pe ariile curriculare Matematică şi Știinţe și Tehnologii

GRUPUL DE LUCRU:Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, ChișinăuLudmila BAŞ, grad did. superior, IPLT ,,Constantin Stere”, SorocaAndrei BRAICOV, dr., conf. univ., US TiraspolIulia CABINA, grad did. doi, Gimnaziul ,,Sergiu Rădăuțan”, com. Iezărenii Vechi,

r. Sângerei Roman COPĂCEANU, grad did. superior, IPLT ,,Mihai Eminescu”, HânceștiAliona LAŞCU, grad did. superior, IPLT ,,Mihai Eminescu”, Chișinău

Traducere: Ion ACHIRI, dr., conf. univ., IȘE, Chișinău

3

Введение

Куррикулум для школьной дисциплины Математика, наряду со школьным учебником, методологическим гидом, образовательными софтами и т. д., являет-ся составной частью совокупности продуктов/курикулумных документов и пред-ставляет собой существенную составляющую Национального куррикулума.

Разработанный на основе требований Кодекса об образовании Республи-ки Молдова (2014), Основ Национального Куррикулума (Cadrul de referinţă al Curriculumului Naţional) (2018), Базового куррикулума: система компетенций для общего образования (2018) и в соответствии с Рекомендациями Европейского парламента и Совета Европы относительно ключевых компетенций, которые должны быть сформированы на протяжении всей жизни (Брюссель,2018), Кур-рикулум для школьной дисциплины Математика является регламентирующим документом, включающим концептуальные, телеологические, содержательные и методологические основы, с акцентом на формирование системы компетенций как новой системы отсчёта конечных образовательных результатов.

Школьный куррикулум по математике для V-IX классов является основ-ным дидактическим инструментом и нормативным документом, содержа-щим основные требования к изучению математики и результаты, которые должны быть достигнуты учащимися гимназии, выраженные соответству-ющими компетенциями, единицами компетенций, содержаниями и видами учебной и оценочной деятельности.

Куррикулум для школьной дисциплины Математика обосновывает и направ-ляет деятельность учителя, способствует реализации творческого подхода к долгосрочному и краткосрочному планированию, а также к реализации процес-са преподавания – учения – оценивания.

Школьная дисциплина Математика, представленная данным куррикулумом, играет важную роль в формировании/развитии личности учащихся, в формирова-нии компетенций, необходимых для учения на протяжении всей жизни, а также для интегрирования в общество, основанное на познании.

В процессе разработки Куррикулума для школьной дисциплины Математика были учтены: современные трактовки и тенденции развития куррикулума на националь-

ном и международном уровнях;необходимость адаптации школьного куррикулума к ожиданиям общества,

к потребностям учеников, а также к традициям национальной школы; значимость школьной дисциплины в формировании трансверсальных,

транспредметных и специфических компетенций;

4

необходимость обеспечения преемственности и взаимосвязи между ступе-нями общего образования: дошкольное образование, начальное образова-ние, гимназическое образование и лицейское образование.

Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующую структуру: Введение, Концептуальные основы, Администрирование школьной дисциплины Математика, Специфические компетенции школьной дисциплины Математика, Единицы содержания, Методологические основы преподавания – учения – оценивания, Библиография. (Куррикулум содержит и конечные резуль-таты, которые должны быть получены в конце каждого учебного года, представ-ляющие собой определённый уровень формирования компетенций и имеющие функцию определения целей финального оценивания).

Куррикулум для школьной дисциплины Математика имеет следующие функ-ции:

• концептуализации куррикулумных предпосылок специфических дисципли-не Математика;

• регламентации и обеспечения взаимосвязи данной школьной дисциплины с другими дисциплинами из куррикулумной области, между преподавани-ем – учением – оцениванием, между куррикулумными продуктами, специ-фическими дисциплине Математика, между структурными компонентами школьного куррикулума, между стандартами и конечными результатами, предусмотренными куррикулумом.

• проектирования образовательного процесса (на уровне конкретного класса);• оценки учебных результатов и др. Основной бенефициар этого документа является ученик, имеющий в этом

смысле особый статус.Куррикулум для школьной дисциплины Математика адресован педагогиче-

ским кадрам, авторам учебников, проверяющим, методистам, другим заинтере-сованным лицам.

Одновременно Куррикулум для школьной дисциплины Математика ориен-тирует учителя к организации образовательного процесса на основе единиц об-учения (единицы компетенций — единицы содержания — виды учебной деятель-ности).

5

I. Концептуальные основы

Кодекс об образовании Республики Молдова посредством статьи 11 опреде-ляет: "Главной образовательной целью является формирование гармоничной личности и развитие системы компетенций, включающей знания, навыки и ценностные отношения, обеспечивающие возможность активного участия индивидуума в социальной и экономической жизни". [1]

Основными целями математического образования на уровне обязательно-го образования являются как формирование и развитие логического мышления учащихся, так и формирование, и развитие компетенций, способствующих макси-мальной реализации творческого потенциала выпускника гимназии и необходи-мых для продолжения им учения на следующей ступени образования и/или для оптимальной социальной или профессиональной интеграции.

Школьная компетенция – это целостная система знаний, навыков и цен-ностных отношений, добытых, сформированных у учащихся и развитых в процессе обучения, мобилизация которых позволит идентифицировать и ре-шить различные проблемы, в различных контекстах и ситуациях. [2]

Итоговые приобретения учащихся в контексте формирования компетенций – это не совокупность информации, которую надо запомнить. Для формирования соответствующей компетенции необходимо, чтобы ученик:

- овладел системой фундаментальных знаний в соответствии с проблемой, которую необходимо, в итоге, решить;

- владел навыками для их осознания и способностями использования/при-менения в простых/стандартных условиях, осуществив, тем самым, функци-ональность добытых знаний;

- находил решения различных проблемных ситуаций, осознавая, тем самым, используемые им функциональные знания;

- решал возникающие, в различных контекстах, проблемы окружающей дей-ствительности, используя, в итоге, необходимые знания, способности, на-выки и отношения, т. е. применяя соответствующую компетенцию.

В основу проектирования куррикулума по математике заложены следующие принципы:Принцип преемственности на уровне классов и образовательных cтупеней;Принцип личностно-ориентированного обучения, учитывающего личные

особенности ученика;Принцип ориентирования на развивающее (формирующее) обучение;Принцип реализации межпредметной и внутрипредметной корреляции (оп-

тимальное распределение тем по математике в корреляции с учебными

6

дисциплинами куррикулумной области, обеспечивая, тем самым, взаимос-вязь в образовании по вертикали и по горизонтали);

Принцип систематичности и поэтапного подхода в формировании и разви-тии компетенций;

Принцип создания благоприятных условий для реализации качественного об-разования;

Принцип четкого центрирования всех компонентов куррикулума на конеч-ные результаты – специфические компетенции и единицы компетенций учебной дисциплины Математика.

Такого рода проектирование стратегически ориентирует куррикулум и образо-вательный процесс на конечные результаты - на формирование компетенций у учащихся в результате прохождения определенных учебных ситуаций и приобре-тения соответствующего опыта.

Фундаментальными в построении куррикулума по математике для гимназии и, в целом, образовательного процесса по математике в школе являются следую-щие принципы:

I. Принцип конструктивизма (структурности), предусматривающий система-тическое повторение изученного материала и основных понятий, как значи-мый аспект преподавания – учения. Согласно этому принципу современный образовательный процесс по математике осуществляется концентрически по спирали, основываясь на конкретном математическом понятии и форми-ровании, в итоге, специфических для математики мыслительных структур.

II. Формирующий принцип, предусматривающий непосредственное форми-рование личности учащегося в образовательном процессе по математике.

В контексте формирования и развития межличностной, социальной, нрав-ственной компетенции и компетенции в плане культуры, куррикулум по матема-тике предусматривает формирование у учащихся в образовательном процессе по математике следующие ценностные отношения: формирование привычки открытого, гибкого, творческого мышления, чув-

ства объективности и толерантности;стимулирование любознательности и воображения в выборе стратегий,

проблем, планов действий, при их решении или их выполнении; проявление упорства, настойчивости, уверенности в собственных силах,

способности при необходимости сконцентрироваться, стремлении к реали-зации собственного интеллектуального потенциала, ответственности за собственное формирование;

поощрение инициативы и готовности решать различные задачи;проявление независимости в мышлении и действиях;

7

развитие чувства эстетического и критического подходов; оценивание строгости, порядка и элегантности в построении решения за-

дачи, в применении соответствующего метода, алгоритма или в построе-нии некоторой теории;

формирование потребности в использовании математических понятий и методов при рассмотрении различных ситуаций или при решении повсед-невных проблем или проблем возникших, в реальных и/или смоделированных ситуациях;

формирование и развитие мотивации к изучению математики как значи-мой области для социальной и профессиональной жизни;

стимулирование положительного отношения к науке и познанию в целом; использование научной математической терминологии при общении; проявление настойчивости при поддерживании собственных идей и точек

зрения путём приведения аргументов и/или путем формулирования вопро-сов;

кооперирование в рамках групповой учебной деятельности; включение в критические и конструктивные дискуссии по поводу определен-

ных математических тем;восприятие различных точек зрения и ориентирование на формирование

собственной точки зрения. Единицы компетенций представляют собой приобретения, которые должны

быть добыты учениками в конце изучения главы или в конце учебного года. Они служат и в качестве элементов/шагов в формировании специфических компетен-ций. Единицы компетенций будут оценены посредством формирующего и/или суммативного оценивания в конце главы и/или учебного года.

Тематические содержания, включенные в куррикулум, представляют собой средства для добывания приобретений, предусмотренных запланированными единицами компетенций, для формирования специфических и ключевых/транс-версальных компетенций.

Виды учебной деятельности и её результаты/продукты – это открытый список значимых контекстов, способствующих добыванию приобретений, запла-нированных единицами компетенций. Учитель может выбрать те или иные виды учебной деятельности и рекомендуемые результаты/продукты для применения на уроках, а также может дополнить этот список в зависимости от специфики клас-са и от наличия необходимых средств и т. п.

Центрирование образования на формирование компетенций не исключает значимость понятия образовательная цель. Наоборот, при составлении дидак-тического проекта урока наиболее важным и значимым является система целей урока, кореллированных с единицами компетенций, выбранных для соответству-ющего урока.

8

Куррикулум задуман так, чтобы не ограничивать свободу учителя в организа-ции собственной профессиональной деятельности. Следовательно, при форми-ровании специфических компетенций и для добывания приобретений, предусмо-тренных запланированными единицами компетенций, и при прохождении обяза-тельных тем в рамках одного и того же класса учитель имеет право:

• изменить последовательность прохождения учебного материала, если не нарушается научная и дидактическая логика;

• распределять время для изучения учебного материала в зависимости от математической подготовленности учащихся на соответствую-щем этапе обучения;

• группировать учебный материал различными способами, не нарушая логику развития математических понятий;

• выбрать и организовать виды учебной деятельности, адекватные кон-кретным условиям класса.

Школьные учебники, разработанные на основе данного куррикулума, должны соответствовать общей куррикулумной концепции и удовлетворять следующим требованиям: быть доступными для учащихся, быть функциональными, операци-ональными, а также выполнять не столько информативную, сколько формирую-щую функцию, функцию учения посредством самостоятельного изучения, иссле-дования и выполнения открытий, стимулирования, самообразования, самооцени-вания и, в итоге, формирования компетенций.

9

II. Адмнистрирование школьной дисциплины Mатематика

Статус Куррикулумная область Класс Кол-во часов в неделю

Кол-во часов в учебном году

Обязательная дисциплина

Математика и естествознание

(Математика, Физика, Познание мира, Химия,

Биология, Информатика)

V класс VI класс VII класс VIII класс IX класс

44444

136136136136132

III. Специфические компетенции школьной дисциплины Mатематика

1. Использование действительных чисел для выполнения вычислений в различ-ных контекстах, проявляя интерес к строгости и точности в вычислениях.

2. Изложение на математическом языке высказывания, ситуации, решения, формулируя ясно и кратко высказывание.

3. Применение математических рассуждений для идентифицирования и реше-ния проблем, проявляя ясность, правильность и краткость в рассуждениях.

4. Исследование совокупности данных, используя адекватные инструменты, в том числе цифровые, и математические модели, для изучения/описания от-ношений и процессов, демонстрируя настойчивость и аналитический дух.

5. Применение геометрических понятий, отношений и инструментов для ре-шения проблем, проявляя последовательность и дедуктивный подход.

6. Экстраполирование математических приобретений для выявления и описа-ния процессов, явлений в различных областях, прибегая к математическим понятиям и методам при анализе и решении различных ситуаций.

7. Обоснование математического высказывания или результата, используя аргументы, поддерживая собственные идеи и мнения.

10

IV. Е

дини

цы с

одер

жан

ияV

клас

с

Един

ицы

ком

пете

нций

Ед

иниц

ы с

одер

жан

ия

Реко

мен

дуем

ые

виды

уче

бной

дея

тель

ност

и и

её р

езул

ьтат

ы/

прод

укты

1.1.

Рас

позн

аван

ие и

пр

имен

ение

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях

терм

инол

огии

и

сим

воли

ки,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятия

м

числ

о, м

нож

ест

во,

дели

мос

ть.

1.2.

Рас

позн

аван

ие,

запи

сыва

ние

и чт

ение

на

тура

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

1.3.

Изо

браж

ение

на

тура

льны

х чи

сел

на

оси,

кла

ссиф

ицир

ован

ие,

срав

нени

е,

упор

ядоч

иван

ие и

ок

ругл

ение

нат

урал

ьны

х чи

сел.

1.4.

При

мен

ение

алг

орит

мов

, св

ойст

в де

йств

ий

для

выпо

лнен

ия и

оп

тим

изац

ии в

ычи

слен

ий с

на

тура

льны

ми

числ

ами.

I. На

тура

льны

е чи

сла

• За

пись

и ч

тени

е на

тура

льны

х чи

сел

в де

сяти

чной

сис

тем

е сч

исле

ния

Изо

браж

ение

нат

урал

ьны

х чи

сел

на о

си•

Срав

нени

е и

упор

ядоч

иван

ие

нату

раль

ных

чисе

л. О

круг

лени

е на

тура

льны

х чи

сел

• Сл

ожен

ие н

атур

альн

ых

чисе

л.

Свой

ства

• Вы

чита

ние

нату

раль

ных

чисе

л.•

Умно

жен

ие н

атур

альн

ых

чисе

л.

Общ

ий м

нож

ител

ь•

Дел

ение

нат

урал

ьны

х чи

сел.

• Д

елен

ие с

ост

атко

м•

Поня

тие

степ

ени

нату

раль

ного

чи

сла

с на

тура

льны

м п

оказ

ател

ем.

Квад

рат и

куб

нат

урал

ьног

о чи

сла

• По

рядо

к вы

полн

ения

дей

стви

й и

прим

енен

ие с

кобо

к•

Реш

ение

зад

ач н

а м

нож

еств

е на

тура

льны

х чи

сел:

- м

етод

ом с

веде

ния

к ед

иниц

е;-

мет

одом

обр

атно

го х

ода

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е на

тура

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

- за

пись

и ч

тени

е на

тура

льны

х чи

сел

в де

сяти

чной

сис

тем

е сч

исле

ния;

- уп

оряд

очив

ание

, сра

внен

ие и

изо

браж

ение

нат

урал

ьны

х чи

сел

на о

си;

- ок

ругл

ение

нат

урал

ьны

х чи

сел;

- вы

полн

ение

дей

стви

й с

нату

раль

ным

и чи

слам

и, у

читы

вая

поря

док

дейс

твий

и п

рим

еняя

в в

ычи

слен

иях

скоб

ки;

- пр

имен

ение

изу

ченн

ых

свой

ств

дейс

твий

с н

атур

альн

ым

и чи

слам

и дл

я оп

тим

изац

ии в

ычи

слен

ий в

раз

личн

ых

конт

екст

ах;

- пр

имен

ение

алг

орит

ма

опре

деле

ния

неиз

вест

ного

ко

мпо

нент

а де

йств

ия с

лож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, де

лени

е (н

еизв

естн

ое с

лага

емое

, ум

еньш

аем

ое,

вычи

таем

ое, н

еизв

естн

ый

мно

жит

ель,

дел

имое

, дел

ител

ь);

- ре

шен

ие з

адач

, в то

м ч

исле

пра

ктич

еско

го х

арак

тера

, с

прим

енен

ием

изу

ченн

ых

дейс

твий

с н

атур

альн

ым

и чи

слам

и, в

том

чис

ле з

адач

с э

лем

ента

ми

сбор

а и

обра

ботк

и да

нны

х;-

реш

ение

зад

ач н

а м

нож

еств

е на

тура

льны

х чи

сел,

в то

м

числ

е за

дачи

на

движ

ение

, при

мен

яя и

зуче

нны

е м

етод

ы;

- за

пись

и ч

тени

е м

нож

еств

;-

нахо

жде

ние

кард

инал

а м

нож

еств

а;

11

1.5.

Нах

ожде

ние

неиз

вест

ного

ко

мпо

нент

а де

йств

ий

слож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, дел

ение

на

тура

льны

х чи

сел.

1.6.

Пер

евод

реа

льно

й и/

или

смод

елир

ован

ной

ситу

ации

на

мат

емат

ичес

кий

язы

к,

испо

льзу

я на

тура

льны

е чи

сла,

мно

жес

тва,

де

лим

ость

, реш

ение

по

луче

нной

зад

ачи

и ин

терп

рети

рова

ние

полу

ченн

ого

резу

льта

та.

1.7.

При

мен

ение

при

знак

ов

дели

мос

ти н

а 10

, 5 и

2 п

ри

реш

ении

зад

ач.

1.8.

Обо

снов

ание

и

аргу

мен

тиро

вани

е по

луче

нны

х ре

зуль

тато

в с

нату

раль

ным

и чи

слам

и.

• М

нож

еств

а. С

посо

бы з

адан

ия

мно

жес

тв. О

тнош

ения

пр

инад

леж

ност

и. К

арди

нал

ко

нечн

ого

мно

жес

тва

• Д

елит

ель.

Мно

жес

тво

дели

теле

й на

тура

льно

го ч

исла

• Кр

атно

е. М

нож

еств

о кр

атны

х на

тура

льно

го ч

исла

• Пр

изна

ки д

елим

ости

на

10, н

а 5

и на

2. Ч

ётны

е и

нечё

тны

е чи

сла

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

пере

мес

тит

ельн

ый

зако

н, с

очет

а-т

ельн

ый

зако

н, р

аспр

едел

ител

ьны

й за

кон

умно

жен

ия о

тно

сит

ельн

о сл

ожен

ия (в

ычи

тан

ия),

мно

жес

тво

, эл

емен

т, п

рина

длеж

ит, н

е пр

инад

-ле

жит

, пус

тое

мно

жес

тво

, кар

ди-

нал

мно

жес

тва

, дел

ител

ь, к

рат

ное,

пр

изна

к де

лим

ост

и, ч

ётно

е чи

сло,

не

чёт

ное

числ

о, с

теп

ень,

пок

аза-

тел

ь ст

епен

и, о

снов

ание

ст

епен

и,

мет

од с

веде

ния

к ед

иниц

е, м

етод

об

рат

ного

ход

а.

- ис

поль

зова

ние

терм

инол

огии

и с

имво

лики

со

отве

тств

ующ

их п

онят

иям

чис

ло, м

нож

еств

о, д

елим

ость

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

общ

ении

;-

пере

вод

мно

жес

тв и

з од

ного

спо

соба

зад

ания

на

друг

ой

спос

об;

- на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

мат

емат

ичес

кого

вы

сказ

ыва

ния;

- до

полн

ение

пос

ледо

вате

льно

сти

чисе

л по

зад

анны

м и

/или

вы

явле

нны

м п

рави

лам

; -

выяв

лени

е, к

аком

у чи

слов

ому

мно

жес

тву,

мно

жес

тву

объе

ктов

при

надл

ежит

зад

анно

е чи

сло,

объ

ект;

- на

хож

дени

е де

лите

лей

и кр

атны

х за

данн

ого

нату

раль

ного

чи

сла;

- пр

имен

ение

при

знак

ов д

елим

ости

в р

ешен

ии з

адач

; -

обос

нова

ние

и ар

гум

енти

рова

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

тов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

нат

урал

ьны

м

числ

ам, м

нож

еств

ам и

дел

имос

ти и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

, по

при

мен

ению

нат

урал

ьны

х чи

сел,

мно

жес

тв и

дел

имос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

нат

урал

ьны

х чи

сел,

мно

жес

тв и

дел

имос

ти в

ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

нату

раль

ных

чисе

л, м

нож

еств

и д

елим

ости

в р

еаль

ных

и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

нату

раль

ных

чисе

л, м

нож

еств

и

дели

мос

ти.

12

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай, с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ное

тест

овое

зад

ание

(ите

м);

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ая с

хем

а;

Сост

авле

нны

й пл

ан и

дей;

Пр

оект

"Мно

жес

тво

вокр

уг м

еня"

;

Прое

кт "О

сь с

обы

тий

из м

оей

жиз

ни";

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

2.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

-м

енен

ие те

рмин

олог

ии,

отно

сящ

ейся

к п

онят

иям

об

ыкн

овен

ная

дроб

ь, к

о-не

чное

дес

ятич

ное

числ

о в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.2.

2. Р

аспо

знав

ание

и

пред

став

лени

е об

ыкн

овен

ных

дроб

ей

и ко

нечн

ых

деся

тичн

ых

чисе

л в

разл

ичны

х фо

рмах

.2.

3. И

зобр

ажен

ие н

а чи

слов

ой

оси,

кла

ссиф

ицир

ован

ие,

срав

нени

е и

упор

ядоч

ива-

ние

обы

кнов

енны

х др

обей

и

коне

чны

х де

сяти

чны

х чи

сел.

II. О

быкн

овен

ные

дроб

и.

Дес

ятич

ные

числ

а

• Д

роби

. Пон

ятие

дро

бь.

Прав

ильн

ые

и не

прав

ильн

ые

дроб

и. Р

авны

е др

оби.

И

зобр

ажен

ие д

робе

й с

пом

ощью

ри

сунк

ов•

Выде

лени

е це

лой

част

и из

дро

би.

Пред

став

лени

е см

ешан

ного

чис

ла

в ви

де н

епра

виль

ной

дроб

и•

Равн

осил

ьны

е др

оби.

Осн

овно

е св

ойст

во д

роби

. Сок

ращ

ение

др

обей

• Пр

ивед

ение

дро

бей

к об

щем

у зн

а-м

енат

елю

(оди

н из

зна

мен

ател

ей

явля

ется

кра

тны

м д

руго

го)

• И

зобр

ажен

ие д

робе

й на

чис

лово

й ос

и

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

запи

сь, ч

тени

е и

изоб

раж

ение

обы

кнов

енны

х др

обей

, де

сяти

чны

х чи

сел;

-пр

имен

ение

терм

инол

огии

, отн

осящ

ейся

к п

онят

иям

об

ыкн

овен

ная

дроб

ь, д

есят

ично

е чи

сло

в ра

злич

ных

конт

екст

ах, в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии;

-ра

споз

нава

ние

и кл

асси

фика

цию

чис

ел в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х;-

прим

енен

ие о

снов

ного

сво

йств

а и

сокр

ащен

ия д

робе

й;-

пост

роен

ие п

осле

дова

тель

ност

ей р

авно

силь

ных

дроб

ей

поср

едст

вом

при

мен

ения

осн

овно

го с

войс

тва

дроб

и,

сокр

ащен

ия д

робе

й, в

ыде

лени

я це

лой

част

и из

дро

би,

пред

став

лени

я см

ешан

ного

чис

ла в

вид

е не

прав

ильн

ой

дроб

и;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия в

ыск

азы

вани

я;-

изоб

раж

ение

обы

кнов

енны

х др

обей

и д

есят

ичны

х чи

сел

на

числ

овой

оси

;-

упор

ядоч

иван

ие, с

равн

ение

обы

кнов

енны

х др

обей

и

деся

тичн

ых

чисе

л;

13

2.4.

При

мен

ение

алг

орит

мов

и

свой

ств

для

выпо

лнен

ия

и оп

тим

изац

ии д

ейст

вий

с об

ыкн

овен

ным

и др

обям

и и

коне

чны

ми

деся

тичн

ым

и чи

слам

и, о

круг

лени

я де

сяти

чны

х чи

сел.

2.5.

Нах

ожде

ние

неиз

вест

ного

ко

мпо

нент

а де

йств

ий

слож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, дел

ение

(н

еизв

естн

ое с

лага

емое

, ум

еньш

аем

ое, в

ычи

таем

ое,

неиз

вест

ный

мно

жит

ель,

де

лим

ое, д

елит

ель)

об

ыкн

овен

ных

дроб

ей и

де

сяти

чны

х чи

сел.

2.6.

Пер

евод

реа

льно

й и/

или

смод

елир

ован

ной

ситу

-ац

ии н

а м

атем

атич

ески

й яз

ык,

реш

ение

пол

учен

ной

зада

чи и

инт

ерпр

етир

ова-

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

-то

в, и

спол

ьзуя

нат

урал

ь-ны

е чи

сла,

обы

кнов

енны

е др

оби

и ко

нечн

ые

деся

тич-

ные

числ

а.2.

7. С

оста

влен

ие п

лана

для

ре

шен

ия р

еаль

ной

и/ил

и см

одел

иров

анно

й за

дачи

, ис

поль

зуя

обы

кнов

енны

е др

оби

и/ил

и де

сяти

чны

е чи

сла.

• Ср

авне

ние

дроб

ей с

оди

нако

вым

и зн

амен

ател

ями

или

один

аков

ым

и чи

слит

елям

и•

Cлож

ение

и в

ычи

тани

е др

обей

с

один

аков

ым

и зн

амен

ател

ями,

сл

ожен

ие и

вы

чита

ние

дроб

ей,

наим

еньш

ий о

бщий

зна

мен

ател

ь ко

торы

х м

ожно

опр

едел

ить

явно

ил

и пр

осты

ми

вычи

слен

иям

и,

испо

льзу

я ос

новн

ое с

войс

тво

дроб

и и

сокр

ащен

ие д

робе

й•

Умно

жен

ие д

робе

й•

Обр

атна

я др

обь.

Дел

ение

дро

бей.

• На

хож

дени

е др

оби

от

нату

раль

ного

чис

ла•

Поня

тие

деся

тич

ное

числ

о.

Коне

чны

е де

сяти

чны

е чи

сла:

за

пись

дро

бей

со з

нам

енат

елям

и пр

едст

авля

ющ

ими

собо

й ст

епен

и 10

в в

иде

деся

тичн

ых

чисе

л. З

апис

ь и

чтен

ие д

есят

ичны

х чи

сел

• Ср

авне

ние,

упо

рядо

чива

ние,

из

обра

жен

ие н

а ос

и ко

нечн

ых

деся

тичн

ых

чисе

л. О

круг

лени

я•

Слож

ение

дву

х и

боле

е ко

нечн

ых

деся

тичн

ых

чисе

л. В

ычи

тани

е дв

ух

коне

чны

х де

сяти

чны

х чи

сел

• Ум

нож

ение

кон

ечно

го д

есят

ично

го

числ

а на

10,

100

, 100

0; у

мно

жен

ие

на н

атур

альн

ое ч

исло

; ум

нож

ение

дв

ух к

онеч

ных

деся

тичн

ых

чисе

л•

Дел

ение

кон

ечны

х де

сяти

чны

х чи

сел

на 1

0, 1

00, 1

000

-вк

люче

ние

обы

кнов

енны

х др

обей

и к

онеч

ных

деся

тичн

ых

чисе

л м

ежду

дву

мя

посл

едов

ател

ьны

ми

нату

раль

ным

и чи

слам

и;-

вычи

слен

ия с

исп

ольз

ован

ием

обы

кнов

енны

х др

обей

и

деся

тичн

ых

чисе

л;-

прим

енен

ие а

лгор

итм

ов и

сво

йств

для

вы

полн

ения

де

йств

ий с

обы

кнов

енны

ми

дроб

ями

и ко

нечн

ым

и де

сяти

чны

ми

числ

ами,

учи

тыва

я по

рядо

к де

йств

ий;

-вы

полн

ение

окр

угле

ний

резу

льта

тов

вычи

слен

ий с

ко

нечн

ым

и де

сяти

чны

ми

числ

ами;

-ре

шен

ие з

адач

, в то

м ч

исле

зад

ач с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом,

с пр

имен

ение

м и

зуче

нны

х де

йств

ий с

чис

лам

и (в

том

чис

ле

прим

еняя

эле

мен

ты с

бора

и о

браб

отки

дан

ных)

;-

реш

ение

зад

ач н

а на

хож

дени

е др

оби

от н

атур

альн

ого

числ

а;-

нахо

жде

ние

отно

шен

ий д

вух

сора

змер

ных

вели

чин,

дву

х не

сора

змер

ных

вели

чин

и их

при

мен

ение

при

реш

ении

за

дач;

-ре

шен

ие з

адач

на

движ

ение

; -

реш

ение

зад

ач м

етод

ом с

веде

ния

к ед

иниц

е, м

етод

ом

обра

тног

о хо

да;

-об

осно

вани

е по

луче

нны

х ре

зуль

тато

в, и

спол

ьзуя

ар

гум

енты

, под

держ

ивая

соб

стве

нны

е ид

еи и

мне

ния.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

обы

кнов

енны

м

дроб

ям и

дес

ятич

ным

чис

лам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти,

по п

рим

енен

ию о

быкн

овен

ных

дроб

ей и

дес

ятич

ных

чисе

л в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия о

быкн

овен

ных

дроб

ей и

дес

ятич

ных

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

14

2.8.

Реш

ение

изу

ченн

ых

типо

в за

дач,

исп

ольз

уя

адек

ватн

ые

мет

оды

.2.

9. О

босн

ован

ие п

олуч

енны

х ре

зуль

тато

в в

вычи

слен

иях

с об

ыкн

овен

ным

и др

обям

и и

деся

тичн

ым

и чи

слам

и,

испо

льзу

я ар

гум

енты

, по

ддер

жив

ая с

обст

венн

ые

идеи

и м

нени

я.

• Кв

адра

т и к

уб к

онеч

ного

де

сяти

чног

о чи

сла

• По

рядо

к вы

полн

ения

дей

стви

й•

Реш

ение

зад

ач м

етод

ом с

веде

ния

к ед

иниц

е, м

етод

ом о

брат

ного

хо

да

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

прав

ильн

ые

дроб

и, н

епра

виль

ные

дроб

и, р

авно

силь

ные

дроб

и, о

снов

ное

свой

ство

дро

би, с

окра

щен

ие д

робе

й,

обра

тна

я др

обь,

кон

ечно

е де

сят

ич-

ное

числ

о, о

быкн

овен

ные

дроб

и.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов,

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

, в к

онте

ксте

при

мен

ения

об

ыкн

овен

ных

дроб

ей и

дес

ятич

ных

чисе

л в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я об

ыкн

овен

ных

дроб

ей и

дес

ятич

ных

чисе

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай, с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ное

тест

овое

зад

ание

(ите

м);

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ая с

хем

а;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная;

Со

став

ленн

ый

план

иде

й;

Прое

кт "Д

есят

ичны

е чи

сла

в на

шей

жиз

ни";

Д

идак

тиче

ская

игр

а "Д

омин

о ра

внос

ильн

ых

дроб

ей";

Пр

оект

"Дро

би в

муз

ыке

";

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

3.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

-м

енен

ие те

рмин

олог

ии,

отно

сящ

ейся

к и

зуче

нны

м

геом

етри

ческ

им ф

игур

ам

и ед

иниц

ам и

змер

ения

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

, в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии.

III. Э

лем

енты

геом

етри

и

и ед

иниц

ы и

змер

ения

•Ге

омет

риче

ские

фиг

уры

: точ

ка,

прям

ая, о

трез

ок, п

олуп

рям

ая, у

гол,

тр

еуго

льни

к, ч

еты

реху

голь

ник,

пя-

тиуг

ольн

ик, о

круж

ност

ь (п

редс

тав-

лени

е пу

тем

опи

сани

я и

черт

ежа)

; эл

емен

ты ге

омет

риче

ских

фиг

ур

(сто

роны

, вер

шин

ы, у

глы

, цен

тр,

ради

ус, х

орда

, диа

мет

р), в

нутр

ен-

няя

обла

сть,

вне

шня

я об

ласт

ь.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е, в

ерба

льно

е и

пись

мен

ное

опис

ание

, ис

поль

зуя

соот

ветс

твую

щую

терм

инол

огию

и с

имво

лику

, из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

;-

изоб

раж

ение

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

, исп

ольз

уя

черт

ёжны

е ин

стру

мен

ты, и

нстр

умен

ты И

КТ;

-пр

имен

ение

изо

браж

ений

геом

етри

ческ

их ф

игур

при

ре

шен

ии з

адач

;-

пост

роен

ие п

ерпе

ндик

уляр

ных

и па

ралл

ельн

ых

прям

ых,

ис

поль

зуя

лине

йку

и че

ртеж

ный

треу

голь

ник;

15

3.2.

Рас

позн

аван

ие, о

писа

ние

разл

ичны

х ге

омет

риче

ских

ко

нфиг

урац

ий, ф

игур

, тел

и

их э

лем

енто

в в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.3.

3. П

рим

енен

ие ч

ерте

жны

х ин

стру

мен

тов

для

изм

ере-

ния

или

пост

роен

ия/и

зо-

браж

ения

геом

етри

ческ

ой

конф

игур

ации

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

.3.

4. И

згот

овле

ние

из р

азли

ч-ны

х м

атер

иало

в из

учен

ных

план

имет

риче

ских

фиг

ур

и те

л.3.

5. Н

ахож

дени

е пе

рим

етро

в,

площ

адей

(ква

драт

а,

прям

оуго

льни

ка) и

об

ъём

ов (к

уба,

куб

оида

), вы

полн

яя п

рибл

ижен

ия

и ок

ругл

ения

изм

ерен

ий

объе

ктов

из

окру

жаю

щей

де

йств

ител

ьнос

ти,

прим

еняя

меж

дуна

родн

ую

и/ил

и на

цион

альн

ую

сист

ему

мер

. 3.

6. В

ыпо

лнен

ие, у

каза

нны

х в

соде

ржан

иях,

пре

обра

зо-

вани

й ос

новн

ых

един

иц и

з-м

ерен

ия д

лины

, пло

щад

и,

объе

ма,

мас

сы, в

рем

ени.

•Че

ртёж

ные

инст

рум

енты

: лин

ейка

с

деле

ниям

и, л

иней

ка б

ез д

елен

ий,

цирк

уль,

уго

льни

к, п

олос

ка

для

изм

ерен

ия. И

зобр

ажен

ие

геом

етри

ческ

их ф

игур

и и

змер

ение

дл

ин о

трез

ков,

исп

ольз

уя

черт

ежны

е ин

стру

мен

ты•

Пере

сека

ющ

иеся

пря

мы

е.Пе

рпен

дику

лярн

ые

прям

ые.

Па

ралл

ельн

ые

прям

ые

•Ге

омет

риче

ские

тела

: куб

, пря

моу

-го

льны

й па

ралл

елеп

ипед

(куб

оид)

, пи

рам

ида,

сфе

ра, п

рям

ой к

руго

вой

цили

ндр,

пря

мой

кру

гово

й ко

нус

(опи

сани

е, в

ыде

лени

е эл

емен

тов:

ве

ршин

ы, р

ебра

, осн

ован

ие, ц

ентр

, ра

диус

, обр

азую

щая

)•

Осн

овны

е ед

иниц

ы и

змер

ения

дл

ины

(км

, м, д

м, c

м, м

м);

прео

браз

ован

ия э

тих

един

иц.

Дли

на о

трез

ка, д

лина

лом

анно

й.

Пери

мет

р тр

еуго

льни

ка и

че

тыре

хуго

льни

ка•

Осн

овны

е ед

иниц

ы и

змер

ения

пл

ощад

и (к

м2 ,м

2 , cм

2 , га,

сот

ка);

прео

браз

ован

ия э

тих

един

иц.

Площ

адь

квад

рата

и п

рям

оуго

ль-

ника

(без

док

азат

елст

в)•

Осн

овны

е ед

иниц

ы и

змер

ения

об

ъем

а (м

3 , cм

3 , дм

3 ); пр

еобр

а-зо

вани

я эт

их е

дини

ц. О

бъём

куб

а и

прям

оуго

льно

го п

арал

леле

пипе

да

(без

док

азат

ельс

тва)

-из

гото

влен

ие и

з ра

злич

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

вы

полн

ение

изм

ерен

ий, и

спол

ьзуя

ад

еква

тны

е ин

стру

мен

ты;

-ра

споз

нава

ние

элем

енто

в (с

торо

ны, в

ерш

ины

, угл

ы, ц

ентр

, ра

диус

, хор

да, д

иам

етр,

вну

трен

няя

обла

сть,

вне

шня

я об

ласт

ь) ге

омет

риче

ской

фиг

уры

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-вы

числ

ение

пер

имет

ров,

пло

щад

ей (к

вадр

ата,

пр

ямоу

голь

ника

) и о

бъем

ов (к

уба,

пря

моу

голь

ного

па

ралл

елеп

ипед

а), и

спол

ьзуя

аде

кват

ные

един

ицы

из

мер

ения

;-

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ьтат

ов,

полу

ченн

ых

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач

с ис

поль

зова

нием

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и

един

иц и

змер

ения

;-

выпо

лнен

ие, у

каза

нны

х в

соде

ржан

иях,

пре

обра

зова

ний

осно

вны

х ед

иниц

изм

ерен

ия д

лины

, пло

щад

и, о

бъем

а,

мас

сы, в

рем

ени;

-пр

имен

ение

нац

иона

льны

х и/

или

реги

онал

ьны

х ед

иниц

из

мер

ения

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;-

обос

нова

ние

зада

нног

о ил

и по

луче

нног

о м

атем

атич

еско

го

резу

льта

та с

исп

ольз

ован

ием

геом

етри

ческ

их ф

игур

, ис

поль

зуя

аргу

мен

ты;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я с

пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

прим

еров

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к и

зуче

нны

м

геом

етри

ческ

им ф

игур

ам и

тела

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

, по

при

мен

ению

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

16

3.7.

Ана

лизи

рова

ние

и ин

терп

рети

рова

ние

резу

льта

тов,

пол

учен

ных

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач

с ис

поль

зова

нием

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р и

тел.

3.8.

Исп

ольз

ован

ие и

зуче

нны

х ед

иниц

изм

ерен

ия

при

реш

ении

зад

ач и

з ра

злич

ных

обла

стей

.3.

9. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

, вы

вода

, отн

осит

ельн

о из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, те

л и

един

иц

изм

ерен

ия, и

спол

ьзуя

ар

гум

енты

.3.

10. Н

ахож

дени

е ис

тин-

ност

ного

зна

чени

я пр

ед-

лож

ения

, вы

сказ

ыва

ния,

ис

поль

зуя

прим

еры

, кон

тр-

прим

еры

.

•О

снов

ные

един

ицы

изм

ерен

ия

емко

сти

(л, м

л); п

реоб

разо

вани

я эт

их е

дини

ц•

Осн

овны

е ед

иниц

ы и

змер

ения

м

ассы

(т, к

г, г,

мг)

; пре

обра

зова

ния

этих

еди

ниц

•О

снов

ные

един

ицы

изм

ерен

ия

врем

ени

(сек

унда

, мин

ута,

час

, су

тки,

нед

еля,

мес

яц, г

од, с

толе

тие,

ты

сяче

лети

е); п

реоб

разо

вани

я эт

их

един

иц•

Ден

ежны

е ед

иниц

ы (н

ацио

наль

-ны

е и

меж

дуна

родн

ые)

; пре

обра

-зо

вани

я де

неж

ных

един

иц

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

полу

прям

ая, у

гол,

пен

таг

он, в

ерш

и-на

, ст

орон

а, ц

ент

р, р

адиу

с, х

орда

, ди

амет

р, в

нут

ренн

яя о

блас

ть,

вн

ешня

я об

ласт

ь, п

ерес

екаю

щие

ся

прям

ые,

пер

пенд

икул

ярны

е пр

ямы

е,

пара

ллел

ьны

е пр

ямы

е, п

рям

оуго

ль-

ный

пара

ллел

епип

ед, п

ирам

ида,

сф

е-ра

, пря

мой

кру

гово

й ци

линд

р, п

рям

ой

круг

овой

кон

ус, о

браз

ующ

ая, о

снов

а-ни

е, р

ебра

, мил

лили

тр,

мил

лигр

ам-

мы

, ква

драт

ный

кило

мет

р (м

етр,

де

цим

етр,

сан

тим

етр,

мил

лим

етр)

, ку

биче

ский

мет

р (д

ецим

етр,

сан

ти-

мет

р), г

ект

ар, с

отка

.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов,

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

, в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

те

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай, с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ри

суно

к;

Прак

тиче

ская

раб

ота

на м

естн

ости

«И

змер

ение

дли

н и

пери

мет

ров»

;

Реш

ённа

я за

дача

;

Сост

авле

нная

схе

ма;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Сост

авле

нны

й пл

ан и

дей;

Пр

оект

"Гео

мет

рия

в ку

лина

рны

х из

дели

ях";

Пр

оект

"Эле

мен

ты ге

омет

рии

в м

олда

вски

х на

родн

ых

сказ

ках"

;

Прое

кт "В

ирту

альн

ое п

утеш

еств

ие п

о Ре

спуб

лике

М

олдо

ва";

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

17

Обо

знач

ения

для

геом

етри

ческ

их

фиг

ур:

–

треу

голь

ник,

< –

уго

л,

‖ – п

арал

лель

но,

ꓕ –

перп

енди

куля

рно,

А –

пло

щад

ь,

V –

объё

м, C

– о

круж

ност

ь,

L –

длин

а ок

руж

ност

и.

В ко

нце

V кл

асса

УЧЕ

НИК

МО

ЖЕТ

: •

расп

озна

вать

, чит

ать,

пис

ать,

изо

браж

ать

на о

си, с

равн

иват

ь, у

поря

дочи

вать

и о

круг

лять

нат

урал

ьны

е чи

сла,

дро

би, к

о-не

чны

е де

сяти

чны

е чи

сла

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

• ра

споз

нава

ть, ч

итат

ь, п

исат

ь, и

зобр

ажат

ь за

данн

ое р

азли

чны

ми

спос

обам

и м

нож

еств

о;•

опре

дели

ть к

аком

у чи

слов

ому

мно

жес

тву/

мно

жес

тву

объе

ктов

при

надл

ежит

зад

анно

е чи

сло/

объе

кт;

• пр

имен

ять

терм

инол

огию

, отн

осящ

уюся

к п

онят

иям

нат

урал

ьное

чис

ло, д

робь

, кон

ечно

е де

сяти

чное

чис

ло, м

нож

еств

о,

дели

мое

, дел

ител

ь, п

ризн

ак д

елим

ости

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

общ

ении

;•

выпо

лнят

ь ар

ифм

етич

ески

е де

йств

ия с

нат

урал

ьны

ми

числ

ами,

обы

кнов

енны

ми

дроб

ями,

кон

ечны

ми

деся

тичн

ым

и чи

с-ла

ми;

•

прим

енят

ь св

ойст

ва а

рифм

етич

ески

х де

йств

ий д

ля о

птим

изац

ии в

ычи

слен

ий;

• на

ходи

ть н

еизв

естн

ого

ком

поне

нта

указ

анно

го д

ейст

вия;

• ре

шат

ь за

дачи

, в то

м ч

исле

зад

ачи

на д

виж

ение

, изу

ченн

ым

и м

етод

ами;

• н

аход

ить

дроб

ь от

нат

урал

ьног

о чи

сла;

• от

бира

ть, о

рган

изов

ыва

ть, и

нтер

прет

иров

ать

данн

ые

в ра

злич

ных

ситу

ация

х дл

я ре

шен

ия з

адач

, в т

ом ч

исле

зад

ач и

з пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти,

исп

ольз

уя р

азли

чны

е ис

точн

ики:

текс

т, та

блиц

у, р

исун

ок, с

хем

у, д

иагр

амм

у и

т. п.

;•

изоб

раж

ать

на р

исун

ке и

изг

отав

лива

ть и

з ра

злич

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

е пл

аним

етри

ческ

ие ф

игур

ы;

• вы

полн

ять

изм

ерен

ия, в

ыра

жат

ь, о

круг

лять

и ср

авни

вать

рез

ульт

аты

изм

ерен

ий, и

спол

ьзуя

аде

кват

ные

един

ицы

изм

ере-

ния

длин

, пло

щад

ей, о

бъём

ов, ё

мко

стей

, еди

ницы

мас

сы, в

рем

ени,

ден

ежны

е ед

иниц

ы и

их

прео

браз

ован

ия;

• оп

исы

вать

изу

ченн

ые

план

имет

риче

ские

фиг

уры

, гео

мет

риче

ские

тел

а и

расп

озна

вать

их

элем

енты

(сто

роны

, вер

шин

ы,

углы

, цен

тр, р

адиу

с, х

орду

, диа

мет

р, в

нутр

енню

ю ч

асть

, вне

шню

ю ч

асть

);•

нахо

дить

пер

имет

ры, п

лощ

ади

(ква

драт

а, п

рям

оуго

льни

ка) и

объ

ёмы

(куб

а, п

рям

оуго

льно

го п

арал

леле

пипе

да),

испо

ль-

зуя

един

ицы

изм

ерен

ия, п

риня

тые

Меж

дуна

родн

ой с

исте

мой

, а т

акж

е со

отве

тств

ующ

ими

наци

онал

ьны

ми

един

ицам

и из

мер

ения

;•

прим

енят

ь те

рмин

олог

ию и

сим

волы

/обо

знач

ения

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;•

обос

новы

вать

вы

вод

или

мат

емат

ичес

кий

резу

льта

т, ис

поль

зуя

аргу

мен

ты, п

одде

ржив

ая с

обст

венн

ые

идеи

и м

нени

я.

18

VI к

ласс

Един

ицы

ком

пете

нций

Един

ицы

сод

ерж

ания

Ре

ком

енду

емы

е ви

ды у

чебн

ой д

еяте

льно

сти

и её

ре

зуль

таты

/про

дукт

ы1.

1. Р

аспо

знав

ание

на

тура

льны

х чи

сел,

м

нож

еств

а де

лите

лей,

кр

атны

х, п

рост

ого

и со

став

ного

чис

ла в

ра

злич

ных

конт

екст

ах.

1.2.

Рас

позн

аван

ие и

пр

имен

ение

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

терм

инол

огии

и

сим

воли

ки,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятия

м

числ

о, м

нож

ест

во,

дели

мос

ть,

в то

м ч

исле

пр

и об

щен

ии.

1.3.

При

мен

ение

при

знак

ов

дели

мос

ти н

а 10

, 2, 5

, 3,

9 д

ля о

птим

изац

ии

вычи

слен

ий.

1.4.

При

мен

ение

раз

лож

ения

на

тура

льны

х чи

сел

в ви

де

прои

звед

ения

сте

пене

й пр

осты

х м

нож

ител

ей,

свой

ств

степ

еней

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.1.

5. П

рим

енен

ие а

лгор

итм

ов

нахо

жде

ния

НОД

и Н

ОК

двух

нат

урал

ьны

х чи

сел

при

реш

ении

зад

ач.

I. На

тура

льны

е чи

сла

• М

нож

еств

о на

тура

льны

х чи

сел

(N,

N*)

• Д

елит

ель.

Кра

тное

. Про

сты

е и

сост

авны

е чи

сла

• Пр

изна

ки д

елим

ости

на

2, 3

, 5, 9

, 10

. Чёт

ные

и не

чётн

ые

числ

а•

Разл

ожен

ие н

атур

альн

ых

чисе

л в

виде

про

изве

дени

я ст

епен

ей

прос

тых

мно

жит

елей

(на

конк

ретн

ых

прим

ерах

)•

Общ

ий д

елит

ель

двух

нат

урал

ьны

х чи

сел.

НО

Д д

вух

нату

раль

ных

чисе

л. В

заим

опро

сты

е чи

сла

• О

бщие

кра

тны

е дв

ух н

атур

альн

ых

чисе

л. Н

ОК

двух

нат

урал

ьны

х чи

сел

• Ст

епен

ь с

нату

раль

ным

по

каза

теле

м. С

войс

тва

степ

ени

с на

тура

льны

м п

оказ

ател

ем:

прои

звед

ение

дву

х ст

епен

ей

с од

инак

овы

ми

осно

вани

ями,

ст

епен

ь пр

оизв

еден

ия, ч

аст

ное

двух

ст

епен

ей с

оди

нако

вым

и ос

нова

ниям

и, с

теп

ень

степ

ени,

a0 ,

а ≠

0; 1

n

• По

няти

е ур

авне

ние.

Мно

жес

тво

реш

ений

ура

внен

ия

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии и

сим

воли

ки,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятия

м ч

исло

, мно

жес

тво

, дел

имос

ть,

в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии;

-вы

явле

ние,

как

ому

числ

овом

у м

нож

еств

у пр

инад

леж

ит

зада

нное

чис

ло;

-ра

споз

нава

ние

нату

раль

ных

чисе

л, м

нож

еств

а де

лите

лей,

кр

атны

х пр

осто

го и

сос

тавн

ого

числ

а в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

;-

нахо

жде

ние

мно

жес

тва

дели

теле

й и

крат

ных

нату

раль

ного

чи

сла;

-пр

имен

ение

алг

орит

ма

разл

ожен

ия н

атур

альн

ых

чисе

л в

виде

про

изве

дени

я ст

епен

ей п

рост

ых

мно

жит

елей

, пр

изна

ков

дели

мос

ти н

а 10

, 2, 5

, 3, 9

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;-

выяв

лени

е пр

еим

ущес

тв п

рим

енен

ия п

ризн

аков

дел

имос

ти

и св

ойст

в де

йств

ий с

нат

урал

ьны

ми

числ

ами

при

выпо

лнен

ии в

ычи

слен

ий с

нат

урал

ьны

ми

числ

ами;

-на

хож

дени

е НО

Д и

НО

К дв

ух н

атур

альн

ых

чисе

л;

-ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч на

при

мен

ение

отн

ошен

ия

дели

мос

ти;

-вы

полн

ение

дей

стви

й со

сте

пеня

ми

нату

раль

ных

чисе

л,

испо

льзу

я из

учен

ные

свой

ства

сте

пене

й;-

реш

ение

про

сты

х ур

авне

ний,

исп

ольз

уя а

лгор

итм

на

хож

дени

я не

изве

стно

го к

омпо

нент

а де

йств

ия;

-ре

шен

ие з

адач

с п

омощ

ью у

равн

ений

, исп

ольз

уя а

лгор

итм

на

хож

дени

я не

изве

стно

го к

омпо

нент

а де

йств

ия;

19

1.6.

Мод

елир

ован

ие

прос

той

ситу

ации

, в то

м

числ

е из

пов

седн

евно

й ж

изни

, исп

ольз

уя

отно

шен

ия д

елим

ости

на

мно

жес

тве

нату

раль

ных

чисе

л, р

ешен

ие

полу

ченн

ой з

адач

и и

инте

рпре

тиро

вани

е ре

зуль

тато

в.1.

7. Р

ешен

ие у

равн

ений

на

мно

жес

тве

N, о

пред

еляя

не

изве

стны

й ко

мпо

нент

со

отве

тств

ующ

ей

опер

ации

.1.

8. С

оста

влен

ие п

лана

дл

я ре

шен

ия з

адач

и с

на

тура

льны

ми

числ

ами

и ре

шен

ие з

адач

и со

глас

но

сост

авле

нном

у пл

ану.

1.9.

Обо

снов

ание

и

аргу

мен

тиро

вани

е ре

зуль

тато

в, п

олуч

енны

х пр

и ре

шен

ии з

адач

и

при

вычи

слен

иях

с на

тура

льны

ми

числ

ами.

• Ре

шен

ие н

а м

нож

еств

е N

ур

авне

ний

типа

: x ±

a =

b; a

x =

b

(a ≠

0);

x : a

= b

(a ≠

0);

ax +

b =

0

(a ≠

0),

где

a и

b –

нату

раль

ные

числ

а, о

пред

еляя

неи

звес

тны

й ко

мпо

нент

ука

занн

ой о

пера

ции

• Ре

шен

ие з

адач

с п

омощ

ью

изуч

енны

х ти

пов

урав

нени

й

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

прос

тое

чис

ло, с

ост

авно

е чи

сло,

вз

аим

опро

сты

е чи

сла,

НО

Д, Н

ОК,

ра

злож

ение

на

прос

ты

е м

нож

ител

и,

прои

звед

ение

дву

х ст

епен

ей

с од

инак

овы

ми

осно

вани

ями,

ст

епен

ь пр

оизв

еден

ия, ч

аст

ное

двух

ст

епен

ей с

оди

нако

вым

и ос

нова

ниям

и, с

теп

ень

степ

ени,

ур

авне

ние,

реш

ение

ура

внен

ия,

мно

жес

тво

реш

ений

ура

внен

ия.

-об

осно

вани

е и

аргу

мен

тиро

вани

е м

атем

атич

ески

х ра

ссуж

дени

й и

полу

ченн

ых

при

реш

ении

зад

ач

резу

льта

тов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

нат

урал

ьны

м

числ

ам, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

, по

при

мен

ению

нат

урал

ьны

х чи

сел

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия н

атур

альн

ых

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия н

атур

альн

ых

чисе

л в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я на

тура

льны

х чи

сел.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ре

шён

ное

тест

овое

зад

ание

;

Сост

авле

нная

схе

ма;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Сост

авле

нны

й пл

ан р

ешен

ия з

адач

и;

Прое

кт "Н

атур

альн

ые

числ

а в

мое

й ж

изни

";

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

20

2.1.

Рас

позн

аван

ие,

запи

сыва

ние,

чте

ние

и пр

имен

ение

цел

ых

чисе

л в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.2.

2. Р

аспо

знав

ание

и

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии

и об

озна

чени

й, с

оотв

ет-

ству

ющ

их ц

елы

м ч

исла

м

в ра

злич

ных

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х, в

том

чис

ле п

ри

общ

ении

.2.

3. С

равн

ение

, упо

рядо

чива

-ни

е и

изоб

раж

ение

на

оси

целы

х чи

сел.

2.4.

Исп

ольз

ован

ие с

войс

тв

дейс

твий

с ц

елы

ми

числ

ами,

при

вы

полн

ении

вы

числ

ений

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

2.5.

При

мен

ение

мод

уля

при

выпо

лнен

ии в

ычи

слен

ий

с це

лым

и чи

слам

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

. 2.

6. Р

ешен

ие у

равн

ений

на

мно

жес

тве

Z, и

спол

ьзуя

св

ойст

ва и

зуче

нны

х ар

ифм

етич

ески

х оп

ерац

ий,

и ал

гори

тм н

ахож

дени

я не

изве

стно

го к

омпо

нент

а ук

азан

ной

в ур

авне

нии

опер

ации

.

II. Ц

елы

е чи

сла.

Дей

стви

яс

целы

ми

числ

ами

• По

няти

е це

лое

числ

о. М

нож

еств

о це

лых

чисе

л. И

зобр

ажен

ие н

а чи

слов

ой о

си. П

роти

вопо

лож

ное

числ

о це

лом

у чи

слу.

Мод

уль

це

лого

чис

ла (в

веде

нны

й с

пом

ощью

рас

стоя

ния

на ч

исло

вой

прям

ой)

• Уп

оряд

очив

ание

и с

равн

ение

це

лых

чисе

л•

Слож

ение

цел

ых

чисе

л.

Свой

ства

(ком

мут

атив

ност

ь,

ассо

циат

ивно

сть,

ней

трал

ьны

й эл

емен

т)

• Вы

чита

ние

целы

х чи

сел

• По

рядо

к вы

полн

ения

дей

стви

й•

Умно

жен

ие ц

елы

х чи

сел

Свой

ства

(ком

мут

атив

ност

ь,

ассо

циат

ивно

сть,

ней

трал

ьны

й эл

емен

т, ди

стри

бути

внос

ть

умно

жен

ия о

тнос

ител

ьно

слож

ения

и в

ычи

тани

я)

• О

бщий

мно

жит

ель

• Д

елен

ие ц

елы

х чи

сел

в сл

учае

, ко

гда

дели

мое

явл

яетс

я кр

атны

м

дели

теля

•

Степ

ень

цело

го ч

исла

с

нату

раль

ным

пок

азат

елем

. Св

ойст

ва с

тепе

ни ц

елог

о чи

сла

с на

тура

льны

м п

оказ

ател

ем

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

запи

сь, ч

тени

е, р

аспо

знав

ание

, упо

рядо

чива

ние,

сра

внен

ие

и из

обра

жен

ие н

а ос

и це

лых

чисе

л;-

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии и

обо

знач

ений

, со

отве

тств

ующ

их ц

елы

м ч

исла

м, в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии;

-вы

явле

ние,

как

ому

числ

овом

у м

нож

еств

у пр

инад

леж

ит

зада

нное

чис

ло;

-вы

числ

ение

с ц

елы

ми

числ

ами

и пр

имен

ение

в

вычи

слен

иях

изуч

енны

х ал

гори

тмов

и с

войс

тв;

-пр

имен

ение

мод

уля

цело

го ч

исла

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;-

прим

енен

ие а

лгор

итм

а оп

реде

лени

я не

изве

стно

го

ком

поне

нта

дейс

твий

сло

жен

ие, в

ычи

тани

е, у

мно

жен

ие,

деле

ние

(неи

звес

тное

сла

гаем

ое, у

мен

ьшае

мое

, вы

чита

емое

, неи

звес

тны

й м

нож

ител

ь, д

елим

ое, д

елит

ель)

с

целы

ми

числ

ами;

-вы

полн

ение

дей

стви

й со

сте

пеня

ми

с на

тура

льны

м

пока

зате

лем

на

мно

жес

тве

целы

х чи

сел,

при

мен

яя с

войс

тва

степ

ени;

-вы

полн

ение

дей

стви

й с

целы

ми

числ

ами,

рас

позн

аван

ие и

пр

имен

ение

пор

ядка

вы

полн

ения

дей

стви

й, п

рим

енен

ия

скоб

ок;

-пр

имен

ение

цел

ых

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях, в

том

чис

ле

в фи

зике

, гео

граф

ии, п

озна

нии

мир

а, б

иоло

гии,

эко

ном

ике

и т.

п.

-ре

шен

ие н

а м

нож

еств

е Z

урав

нени

й с

прим

енен

ием

св

ойст

в из

учен

ных

ариф

мет

ичес

ких

дейс

твий

и а

лгор

итм

а оп

реде

лени

я не

изве

стно

го к

омпо

нент

а де

йств

ия;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

(ист

инно

/лож

но)

прос

того

утв

ерж

дени

я, и

спол

ьзуя

при

мер

ы, к

онтр

прим

еры

;-

обос

нова

ние

и ар

гум

енти

рова

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

тов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

цел

ым

чис

лам

, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

21

2.7.

При

мен

ение

цел

ых

чисе

л и

изуч

енны

х ти

пов

урав

нени

й в

разл

ичны

х об

ласт

ях: в

пра

ктич

еско

й де

ятел

ьнос

ти, в

эко

ном

ике,

пр

и из

учен

ии д

руги

х ш

коль

ных

дисц

ипли

н.2.

8. О

босн

ован

ие и

ар

гум

енти

рова

ние

резу

льта

тов,

пол

учен

ных

при

вычи

слен

иях

с це

лым

и чи

слам

и.

• По

рядо

к вы

полн

ения

дей

стви

й и

испо

льзо

вани

я кр

углы

х,

квад

ратн

ых

скоб

ок.

• Ре

шен

ие н

а м

нож

еств

е Z

урав

нени

й ти

па: x

± a

= b

; ax

= b

(a ≠

0);

x : a

= b

(a ≠

0);

ax

+ b

= 0

(a ≠

0),

прим

еняя

ал

гори

тм н

ахож

дени

я не

изве

стно

го

ком

поне

нта

указ

анно

й в

урав

нени

и оп

ерац

ии.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

цело

е чи

сло,

пол

ожит

ельн

ое ч

исло

, от

рица

тел

ьное

чис

ло, п

рот

ивоп

о-ло

жно

е чи

сло

цело

му

числ

у, м

одул

ь це

лого

чис

ла, с

теп

ень

цело

го ч

исла

.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти,

по п

рим

енен

ию ц

елы

х чи

сел

в пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

цел

ых

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия ц

елы

х чи

сел

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я це

лых

чисе

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ре

шён

ное

тест

овое

зад

ание

;

Сост

авле

нная

схе

ма;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Сост

авле

нны

й пл

ан р

ешен

ия з

адач

и;

Прое

кт "Ц

елы

е чи

сла

в м

оей

Жиз

ни";

Пр

оект

"Ось

ист

орич

ески

х со

быти

й в

анти

чны

е эп

охи"

;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

22

3.1.

Рас

позн

аван

ие, з

апис

ыва

-ни

е, ч

тени

е ра

цион

альн

ых

чисе

л в

разл

ичны

х ко

нтек

-ст

ах.

3.2.

Рас

позн

аван

ие и

при

мен

е-ни

е те

рмин

олог

ии и

обо

-зн

ачен

ий, с

оотв

етст

вую

щих

по

няти

ям р

ацио

наль

ное

числ

о, м

нож

ест

во, в

раз

-ли

чны

х ко

нтек

стах

, в то

м

числ

е пр

и об

щен

ии.

3.3.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие, с

рав-

нени

е, у

поря

дочи

вани

е,

изоб

раж

ение

на

оси

и ок

ругл

ение

рац

иона

льны

х чи

сел.

3.4.

При

мен

ение

сво

йств

из-

учен

ных

дейс

твий

с р

аци-

онал

ьны

ми

числ

ами

при

выпо

лнен

ии в

ычи

слен

ий в

ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

и-ро

ванн

ых

ситу

ация

х.3.

5. П

рим

енен

ие м

одул

я пр

и вы

полн

ении

вы

числ

ений

с

раци

онал

ьны

ми

числ

ами

при

реш

ении

зад

ач.

3.6.

Сос

тавл

ение

пла

на

для

реш

ения

зад

ачи

на

мно

жес

тве

раци

онал

ьны

х чи

сел

и ре

шен

ие з

адач

и со

глас

но с

оста

влен

ном

у пл

ану.

III. Р

ацио

наль

ные

числ

а.

Дей

стви

я с

раци

онал

ьны

ми

числ

ами

• Ра

цион

альн

ые

числ

а. М

нож

еств

о Q

. Изо

браж

ение

рац

иона

льны

х чи

сел

на о

си. П

роти

вопо

лож

ное

числ

о ра

цион

альн

ому

числ

у.

Обр

атно

е чи

сло

нену

лево

му

раци

онал

ьном

у чи

слу.

Мод

уль

раци

онал

ьног

о чи

сла

(вве

денн

ый

с по

мощ

ью р

асст

ояни

я на

чис

лово

й ос

и)•

Разл

ичны

е фо

рмы

зап

иси

раци

онал

ьног

о чи

сла.

Пр

еобр

азов

ание

дес

ятич

ного

чис

ла

в об

ыкн

овен

ную

дро

бь и

нао

боро

т•

Срав

нени

е ра

цион

альн

ых

чисе

л.

Окр

угле

ние

раци

онал

ьны

х чи

сел

• Сл

ожен

ие р

ацио

наль

ных

чисе

л.

Свой

ства

(ком

мут

атив

ност

ь,

ассо

циат

ивно

сть,

ней

трал

ьны

й эл

емен

т)•

Вычи

тани

е ра

цион

альн

ых

чисе

л.

Поря

док

выпо

лнен

ия д

ейст

вий

и ис

поль

зова

ния

скоб

ок•

Умно

жен

ие р

ацио

наль

ных

чисе

л.

Свой

ства

(ком

мут

атив

ност

ь,

ассо

циат

ивно

сть,

ней

трал

ьны

й эл

емен

т, ди

стри

бути

внос

ть

отно

сите

льно

сло

жен

ия и

вы

чита

ния)

. Общ

ий м

нож

ител

ь

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

запи

сь, ч

тени

е и

расп

озна

вани

е Ра

цион

альн

ых

чисе

л в

разл

ичны

х ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-ис

поль

зова

ние

терм

инол

огии

и с

имво

лики

, со

отве

тств

ующ

их п

онят

ию р

ацио

наль

ное

числ

о,

мно

жес

тво

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

об

щен

ии;

-пр

еобр

азов

ание

дес

ятич

ного

чис

ла в

обы

кнов

енну

ю д

робь

и

наоб

орот

;-

упор

ядоч

иван

ие, с

равн

ение

и и

зобр

ажен

ие н

а ос

и ра

цион

альн

ых

чисе

л;-

окру

глен

ие р

езул

ьтат

ов в

ычи

слен

ий с

рац

иона

льны

ми

числ

ами;

-вы

числ

ение

с р

ацио

наль

ным

и чи

слам

и, и

спол

ьзуя

в

вычи

слен

иях

изуч

енны

е св

ойст

ва д

ейст

вий,

пор

ядок

де

йств

ий, с

кобк

и, м

одул

ь ра

цион

альн

ого

числ

а;

-ре

шен

ие з

адач

, при

мен

яя и

зуче

нны

е ад

еква

тны

е м

етод

ы и

оп

ерац

ии с

рац

иона

льны

ми

числ

ами;

-вы

явле

ние

преи

мущ

еств

при

мен

ения

сво

йств

дей

стви

й с

раци

онал

ьны

ми

числ

ами;

-

прим

енен

ие а

лгор

итм

а оп

реде

лени

я не

изве

стно

го

ком

поне

нта

дейс

твий

сло

жен

ие, в

ычи

тани

е, у

мно

жен

ие,

деле

ние

(неи

звес

тное

сла

гаем

ое, у

мен

ьшае

мое

, вы

чита

емое

, неи

звес

тны

й м

нож

ител

ь, д

елим

ое, д

елит

ель)

с

раци

онал

ьны

ми

числ

ами;

-ре

шен

ие з

адач

, про

блем

ных

ситу

аций

, исп

ольз

уя

нахо

жде

ние

дроб

и от

чис

ла, н

ахож

дени

е чи

сла

по

зада

нной

дро

би;

-за

пись

и ч

тени

е м

нож

еств

, чис

ловы

х м

нож

еств

;-

нахо

жде

ние

кард

инал

а ко

нечн

ого

мно

жес

тва;

-пе

рево

д за

писи

мно

жес

тва

из о

дной

фор

мы

в д

ругу

ю;

-вы

явле

ние,

как

ому

числ

овом

у м

нож

еств

у, м

нож

еств

у об

ъект

ов п

рина

длеж

ит з

адан

ное

числ

о, о

бъек

т;

23

3.7.

Пер

евод

реа

льно

й и/

или

смод

елир

ован

ной

ситу

-ац

ии н

а м

атем

атич

ески

й яз

ык,

реш

ение

пол

учен

ной

зада

чи, и

спол

ьзуя

рац

ио-

наль

ные

числ

а, м

нож

еств

а,

дейс

твия

с м

нож

еств

ами

и ин

терп

рети

рова

ние

полу

-че

нны

х ре

зуль

тато

в.3.

8. П

редс

тавл

ение

мно

жес

тв

разл

ичны

ми

спос

обам

и и

выпо

лнен

ие д

ейст

вий

с м

нож

еств

ами

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

3.9.

Обо

снов

ание

и а

ргум

енти

-ро

вани

е ре

зуль

тато

в, п

олу-

ченн

ых

при

выпо

лнен

ии

вычи

слен

ий с

рац

иона

ль-

ным

и чи

слам

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

. 3.

10. Н

ахож

дени

е ис

тинн

ост-

ного

зна

чени

я (и

стин

но/

лож

но) п

рост

ого

утве

ржде

-ни

я с

пом

ощью

при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов.

• Ст

епен

ь ра

цион

альн

ого

числ

а с

нату

раль

ным

пок

азат

елем

• Д

елен

ие р

ацио

наль

ных

чисе

л •

Поря

док

выпо

лнен

ия д

ейст

вий

и ис

поль

зова

ния

скоб

ок•

Нахо

жде

ние

дроб

и от

чис

ла.

Нахо

жде

ние

числ

а по

зад

анно

й др

оби

• Ре

шен

ие з

адач

на

мно

жес

тве

раци

онал

ьны

х чи

сел

• М

нож

еств

а. С

посо

бы з

адан

ия

мно

жес

тва.

Отн

ошен

ия

прин

адле

жно

сти.

Рав

енст

во

мно

жес

тв. П

одм

нож

еств

а.

Кард

инал

кон

ечно

го м

нож

еств

а•

Дей

стви

я на

д м

нож

еств

ами

(объ

един

ение

, пер

есеч

ение

, ра

знос

ть)

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

поло

жит

ельн

ое р

ацио

наль

ное

чис

-ло

, от

рица

тел

ьное

рац

иона

льно

е чи

сло,

про

тив

опол

ожно

е чи

сло

ра-

цион

альн

ому

числ

у, о

брат

ное

числ

о не

нуле

вом

у ра

цион

альн

ому

числ

у,

равн

ые

мно

жес

тва

, по

дмно

жес

тво

, об

ъеди

нени

е м

нож

ест

в, п

ерес

ечен

ие

мно

жес

тв,

раз

ност

ь м

нож

ест

в.

-вы

полн

ение

дей

стви

й на

д м

нож

еств

ами

(объ

един

ение

, пе

ресе

чени

е, р

азно

сть)

;-

реш

ение

зад

ач, и

спол

ьзуя

мно

жес

тва,

дей

стви

я на

д м

нож

еств

ами;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

(ист

инно

/лож

но)

прос

того

утв

ерж

дени

я с

пом

ощью

при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов;

-об

осно

вани

е и

аргу

мен

тиро

вани

е по

луче

нны

х ре

зуль

тато

в и

прим

енен

ных

техн

олог

ий.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

рац

иона

льны

м

числ

ам, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

рац

иона

льны

х чи

сел

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия р

ацио

наль

ных

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия р

ацио

наль

ных

чисе

л в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я ра

цион

альн

ых

чисе

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ре

шён

ное

тест

овое

зад

ание

;

Сост

авле

нная

схе

ма;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Сост

авле

нны

й пл

ан р

ешен

ия з

адач

и;

Прое

кт "П

рим

енен

ие р

ацио

наль

ных

чисе

л в

проф

есси

ях

роди

теле

й";

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

24

4.1.

Рас

позн

аван

ие о

тнош

ений

, пр

опор

ций,

пря

мо

проп

ор-

цион

альн

ых

и об

ратн

о пр

о-по

рцио

наль

ных

вели

чин

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

4.2.

Рас

позн

аван

ие и

при

мен

е-ни

е те

рмин

олог

ии и

обо

-зн

ачен

ий, с

оотв

етст

вую

щих

по

няти

ям о

тно

шен

ие,

проп

орци

я, п

роце

нт, п

ро-

порц

иона

льно

сть,

в р

аз-

личн

ых

конт

екст

ах, в

том

чи

сле

при

общ

ении

.4.

3. К

ласс

ифиц

иров

ание

со

быти

й, и

спол

ьзуя

ра

злич

ные

крит

ерии

.4.

4. И

зобр

ажен

ие д

анны

х в

виде

ста

тист

ичес

ких

табл

иц

и/ил

и ди

агра

мм

в к

онте

к-ст

е их

отб

ора,

рег

истр

ации

, об

рабо

тки

и пр

едст

авле

-ни

я, и

спол

ьзуя

, в то

м ч

исле

от

нош

ения

, про

цент

ы.

4.5.

Сос

тавл

ение

пла

на д

ля

реш

ения

зад

ачи

из р

азли

ч-ны

х об

ласт

ей н

а пр

имен

е-ни

е от

нош

ений

, про

цент

ов,

прям

о пр

опор

цион

альн

ых

вели

чин

или

обра

тно

про-

порц

иона

льны

х ве

личи

н,

сред

него

ари

фмет

ичес

кого

, пр

осто

го п

рави

ла тр

ёх и

ре

шен

ие з

адач

и со

глас

но

разр

абот

анно

му

план

у.

IV. О

тнош

ения

и п

ропо

рции

• О

тнош

ения

. Пос

ледо

вате

льно

сти

равн

ых

отно

шен

ий•

Проп

орци

и. О

снов

ное

свой

ство

пр

опор

ции

• На

хож

дени

е не

изве

стно

го ч

лена

пр

опор

ции

• Пр

ямо

проп

орци

онал

ьны

е ве

личи

ны•

Обр

атно

про

порц

иона

льны

е ве

личи

ны•

Прос

тое

прав

ило

трёх

• Пр

оцен

ты. Н

ахож

дени

е пр

оцен

тов

от ч

исла

•

Нахо

жде

ние

числ

а по

зад

анны

м

проц

ента

м

• На

хож

дени

е пр

оцен

тног

о от

нош

ения

. Зад

ачи

• Эл

емен

ты с

бора

и о

браб

отки

да

нны

х. П

редс

тавл

ение

дан

ных

в ви

де та

блиц

и гр

афик

ов.

Стол

бчат

ые

граф

ики,

кру

говы

е гр

афик

и•

Сред

нее

ариф

мет

ичес

кое

• Эл

емен

ты те

ории

вер

оятн

осте

й.

Собы

тия:

дос

тове

рны

е,

возм

ожны

е, н

евоз

мож

ные

(на

прос

тых

прим

ерах

)

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

запи

сь, ч

тени

е и

расп

озна

вани

е от

нош

ений

, про

порц

ий,

прям

о пр

опор

цион

альн

ых

или

обра

тно

проп

орци

онал

ьны

х ве

личи

н в

разл

ичны

х си

туац

иях;

-пр

имен

ение

терм

инол

огии

и о

бозн

ачен

ий,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятия

м о

тно

шен

ие, п

ропо

рция

, пр

оцен

т, п

ропо

рцио

наль

ност

ь, в

раз

личн

ых

конт

екст

ах, в

то

м ч

исле

при

общ

ении

;-

нахо

жде

ние

отно

шен

ий д

вух

сора

змер

ных

вели

чин,

дву

х не

сора

змер

ных

вели

чин

и их

при

мен

ение

при

реш

ении

за

дач;

-ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч, в

том

чис

ле п

ракт

ичес

кого

ха

ракт

ера

с пр

имен

ение

м о

тнош

ений

, про

порц

ий, п

рям

о пр

опор

цион

альн

ых

и об

ратн

о пр

опор

цион

альн

ых

вели

чин,

ис

поль

зуя,

в то

м ч

исле

про

стое

пра

вило

трёх

;-

реш

ение

зад

ач н

а на

хож

дени

и ко

нцен

трац

ии р

аств

ора;

-из

обра

жен

ие д

анны

х в

виде

ста

тист

ичес

ких

табл

иц

и/ил

и ди

агра

мм

в к

онте

ксте

их

реги

стра

ции,

обр

абот

ки

и пр

едст

авле

ния,

исп

ольз

уя р

ацио

наль

ные

числ

а, в

том

чи

сле

отно

шен

ия, п

роце

нты

;-

клас

сифи

каци

я со

быти

й, и

спол

ьзуя

раз

личн

ые

крит

ерии

;-

обос

нова

ние

и ар

гум

енти

рова

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

тов

и ис

поль

зова

нны

х те

хнол

огий

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к о

тнош

ения

м,

проп

орци

ям, п

роце

нтам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию о

тнош

ений

, про

порц

ий и

про

цент

ов в

пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

отн

ошен

ий, п

ропо

рций

и п

роце

нтов

в

разл

ичны

х об

ласт

ях

25

4.6.

Обо

снов

ание

про

стог

о ре

-зу

льта

та и

ли в

ыво

да, п

од-

держ

иван

ие с

обст

венн

ых

идей

и м

нени

й, и

спол

ьзуя

ар

гум

енты

.4.

7. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

о-го

зна

чени

я (и

стин

но/л

ож-

но) п

рост

ого

утве

ржде

ния

с по

мощ

ью п

рим

еров

или

ко

нтрп

рим

еров

.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

отно

шен

ие, р

авны

е от

нош

ения

, по

след

оват

ельн

ост

ь ра

вны

х от

-но

шен

ий, п

ропо

рция

, пря

мо

проп

ор-

цион

альн

ые

вели

чины

, обр

атно

про

-по

рцио

наль

ные

вели

чины

, про

стое

пр

авил

о т

рёх,

про

цент

ы, с

обы

тие

, до

стов

ерно

е со

быт

ие, в

озм

ожно

е со

быт

ие, н

евоз

мож

ное

собы

тие

, ст

олбч

аты

й гр

афик

, кру

гово

й гр

а-ф

ик, с

редн

ее а

риф

мет

ичес

кое.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

от

нош

ений

, про

порц

ий и

про

цент

ов в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

отно

шен

ий, п

ропо

рций

и п

роце

нтов

. Ре

ком

енду

емы

е ре

зуль

тат

ы/п

роду

кты

:

Исс

леду

емы

й сл

учай

с п

ракт

ичес

ким

укл

оном

;

Устн

ый

отве

т;

Пись

мен

ный

отве

т;

Реш

ённы

й пр

имер

;

Реш

ённа

я за

дача

;

Реш

ённо

е те

стов

ое з

адан

ие;

Со

став

ленн

ая с

хем

а;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная;

Со

став

ленн

ый

план

реш

ения

зад

ачи;

Пр

оект

"Отн

ошен

ия и

про

порц

ии в

кул

инар

ии";

Пр

оект

STE

M "О

тнош

ения

и п

ропо

рции

в а

рхит

екту

ре и

из

обра

зите

льно

м и

скус

стве

";

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.5.

1. Р

аспо

знав

ание

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях

и кл

асси

фиц

и-ро

вани

е из

учен

ных

гео-

мет

риче

ских

фиг

ур и

тел

по

разл

ичны

м к

рите

риям

.5.

2. Р

аспо

знав

ание

и и

спол

ь-зо

вани

е те

рмин

олог

ии и

си

мво

лики

, соо

твет

ству

ю-

щих

изу

ченн

ым

геом

етри

-че

ским

фиг

урам

в р

азли

ч-ны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

пр

и об

щен

ии.

V. Ге

омет

риче

ские

фиг

уры

и те

ла

•Ге

омет

риче

ские

фиг

уры

: точ

ка,

прям

ая, п

лоск

ость

, пол

упло

скос

ть,

отре

зок,

пол

упря

мая

/луч

, ло

ман

ная

(пре

дста

влен

ие п

утём

оп

исан

ия и

чер

теж

а)•

Дли

на о

трез

ка. К

онгр

уэнт

ные

отре

зки.

Пос

трое

ние

отре

зка,

ко

нгру

энтн

ого

данн

ому.

Сер

един

а от

резк

а

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е, в

ерба

льно

е и

пись

мен

ное

опис

ание

, ис

поль

зуя

соот

ветс

твую

щие

терм

инол

огию

и с

имво

лику

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

план

имет

риче

ских

ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

геом

етри

ческ

их к

онфи

гура

ций,

ис

поль

зуя

соот

ветс

твую

щие

чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, ин

стру

мен

ты И

КТ и

при

мен

ение

пол

учен

ных

изоб

раж

ений

пр

и ре

шен

ии з

адач

;-

вычи

слен

ие п

ерим

етро

в, д

лин

окру

жно

стей

, пло

щад

ей

(ква

драт

а, п

рям

оуго

льни

ка, к

руга

) и о

бъём

ов (к

уба,

пр

ямоу

голь

ного

пар

алле

лепи

педа

), ис

поль

зуя

адек

ватн

ые

един

ицы

изм

ерен

ия;

26

5.3.

Опи

сани

е за

данн

ой ге

оме-

трич

еско

й ко

нфиг

урац

ии,

испо

льзу

я со

отве

тств

ую-

щие

обо

знач

ения

и те

рми-

ноло

гию

. 5.

4. П

рим

енен

ие ч

ертё

жны

х ин

стру

мен

тов

(лин

ейка

, ци

ркул

ь, у

голь

ник,

тран

с-по

ртир

) для

изо

браж

ения

на

пло

скос

ти р

азли

чны

х ге

омет

риче

ских

кон

фигу

-ра

ций

и от

нош

ений

меж

ду

фигу

рам

и.

5.5.

Изг

отов

лени

е из

раз

лич-

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

х пл

аним

етри

ческ

их ф

игур

и

геом

етри

ческ

их те

л.5.

6. Н

ахож

дени

е и

приб

лиж

е-ни

е ве

личи

н дл

ин, п

ерим

е-тр

ов, п

лощ

адей

, объ

ёмов

и

вели

чин

угло

в (д

ля и

зуче

н-ны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур,

в то

м ч

исле

для

реа

льны

х пр

едм

етов

), ис

поль

зуя

реш

ётку

ква

драт

ов, и

зуче

н-ны

е фо

рмул

ы, а

декв

атны

е ин

стру

мен

ты, н

ацио

наль

-ну

ю и

/или

меж

дуна

родн

ую

сист

ему

мер

.

•Тр

еуго

льни

к, ч

еты

реху

голь

ник

(ква

-др

ат, п

рям

оуго

льни

к, п

арал

лело

-гр

амм

, ром

б, тр

апец

ия) (

пред

став

-ле

ние

путе

м о

писа

ния

и че

ртеж

а).

Пери

мет

р тр

еуго

льни

ка, ч

еты

реху

-го

льни

ка•

Мно

гоуг

ольн

ик. Э

лем

енты

мно

гоу-

голь

ника

(сто

роны

, вер

шин

ы, у

глы

, ди

агон

али)

, вну

трен

няя

обла

сть,

вн

ешня

я об

ласт

ь. П

ерим

етр

мно

го-

угол

ьник

а•

Площ

адь

квад

рата

, пря

моу

голь

ни-

ка (б

ез д

оказ

ател

ьств

а)•

Углы

. Гра

дусн

ая м

ера

угло

в.

Тран

спор

тир

и ег

о пр

имен

ение

пр

и из

мер

ении

вел

ичин

угл

ов. П

о-ст

роен

ие у

гла,

зад

анно

й ве

личи

ны,

тран

спор

тиро

м

•Д

ейст

вия

с ве

личи

нам

и уг

лов

(гра

дусы

, мин

уты

, сек

унды

)•

Клас

сифи

каци

я уг

лов:

ост

рые

углы

, пря

мы

е уг

лы, т

упы

е уг

лы,

смеж

ные

допо

лнит

ельн

ые

до 9

0o , см

ежны

е до

полн

ител

ьны

е до

180

o , ве

ртик

альн

ые

углы

, см

ежны

е уг

лы•

Конг

руэн

тны

е уг

лы. П

остр

оени

е ци

ркул

ем и

лин

ейко

й уг

ла,

конг

руэн

тног

о да

нном

у•

Бисс

ектр

иса

угла

. Пос

трое

ние

бисс

ектр

исы

угл

а тр

ансп

орти

ром

-из

гото

влен

ие и

з ра

злич

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

тел;

-по

стро

ение

с п

омощ

ью тр

ансп

орти

ра у

гла

зада

нной

ве

личи

ны, б

иссе

ктри

сы у

гла;

-по

стро

ение

с п

омощ

ью л

иней

ки и

цир

куля

бис

сект

рисы

уг

ла, у

гла

конг

руэн

тног

о да

нном

у;-

пост

роен

ие с

пом

ощью

лин

ейки

и ч

ертё

жно

го тр

еуго

льни

ка

пара

ллел

ьны

х, п

ерпе

ндик

уляр

ных

прям

ых

и се

реди

нног

о пе

рпен

дику

ляра

;-

прим

енен

ие ц

ирку

ля д

ля п

остр

оени

я ок

руж

ност

ей в

ра

злич

ных

конф

игур

ация

х;-

прим

енен

ие с

войс

тв и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

тел

в ра

злич

ных

обла

стях

;-

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ьтат

ов,

полу

ченн

ых

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач

с ис

поль

зова

нием

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

, тел

и

един

иц и

змер

ения

;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

с по

мощ

ью п

рим

еров

, кон

трпр

имер

ов;

-об

осно

вани

е и

аргу

мен

тиро

вани

е за

данн

ого

или

полу

ченн

ого

мат

емат

ичес

кого

рез

ульт

ата

с ис

поль

зова

нием

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л, п

утем

при

веде

ния

аргу

мен

тов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ге

омет

риче

ским

фиг

урам

и те

лам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

тел

в пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти.

27

5.7.

При

мен

ение

доб

ыты

х ге

о-м

етри

ческ

их п

риоб

рете

-ни

й, и

спол

ьзуя

раз

личн

ые

геом

етри

ческ

ие п

редс

тав-

лени

я, д

ля р

ешен

ия п

ро-

сты

х пр

акти

ческ

их з

адач

на

вычи

слен

ие п

ерим

етро

в,

площ

адей

и о

бъём

ов с

ад

еква

тны

м п

реоб

разо

ва-

нием

, по

необ

ходи

мос

ти,

един

иц и

змер

ения

.5.

8. О

босн

ован

ие п

рост

ого

резу

льта

та и

ли в

ыво

да,

подд

ерж

ка с

обст

венн

ых

идей

и в

згля

дов

путё

м

прив

еден

ия а

ргум

енто

в.5.

9. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

о-го

зна

чени

я (и

стин

но/л

ож-

но)п

рост

ого

утве

ржде

ния

с по

мощ

ью п

рим

еров

или

ко

нтрп

рим

еров

.

•Пе

ресе

каю

щие

ся п

рям

ые,

пар

ал-

лель

ные

и пе

рпен

дику

лярн

ые

пря-

мы

е•

Сере

динн

ый

перп

енди

куля

р.

Пост

роен

ие с

еред

инно

го

перп

енди

куля

ра тр

ансп

орти

ром

и

черт

ежны

м тр

еуго

льни

ком

•Кр

ивая

лин

ия. О

круж

ност

ь. К

руг.

Элем

енты

окр

ужно

сти

(цен

тр, р

а-ди

ус, д

иам

етр,

хор

да),

внут

ренн

яя

обла

сть,

вне

шня

я об

ласт

ь. Ч

исло

.

Дли

на о

круж

ност

и. П

лощ

адь

круг

а (б

ез д

оказ

ател

ьств

а)•

Куб,

пря

моу

голь

ный

пара

ллел

епи-

пед

(куб

оид)

, пир

амид

а, п

рям

ой

круг

овой

цил

индр

, пря

мой

кру

го-

вой

кону

с. Р

азве

ртка

изу

ченн

ого

геом

етри

ческ

ого

тела

. Сфе

ра, ш

ар.

Элем

енты

(гра

ни, р

ебра

, вер

шин

ы,

осно

вани

я, ц

ентр

, рад

иус,

диа

мет

р,

обра

зую

щая

)•

Объ

ём к

уба

и ку

боид

а (б

ез

дока

зате

льст

в)

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и те

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

тел

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

и

тел.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ре

шён

ный

итем

;

Сост

авле

нная

схе

ма;

Ри

суно

к;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная;

Со

став

ленн

ый

план

;

Прое

кт "Г

еом

етри

ческ

ие те

ла в

арх

итек

туре

сел

а/го

рода

";

Прак

тиче

ская

раб

ота

"Изм

ерен

ие п

лощ

ади

игро

вой/

спор

тивн

ой п

лощ

адки

";

Лабо

рато

рная

раб

ота

"Нах

ожде

ние

вели

чины

чис

ла

";

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

28

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

пара

ллел

огра

мм

, ром

б, т

рапе

ция,

уг

ол, о

стры

е уг

лы, п

рям

ые

углы

, т

упы

е уг

лы, с

меж

ные

углы

, с

меж

ные

допо

лнит

ельн

ые

до 9

0o , см

ежны

е до

полн

ител

ьны

е до

180

o , ве

ртик

альн

ые

углы

, бис

сект

риса

, се

реди

нны

й пе

рпен

дику

ляр,

ди

агон

аль,

тра

нспо

ртир

, гра

дусы

, м

инут

ы, с

екун

ды, в

нут

ренн

яя

обла

сть,

вне

шня

я об

ласт

ь,

диам

етр,

хор

да, ч

исло

, д

лина

ок

руж

ност

и, п

лощ

адь,

пир

амид

а,

прям

ой к

руго

вой

цили

ндр,

пря

мой

кр

угов

ой к

онус

, сф

ера,

шар

, об

разу

ющ

ая.

Обо

знач

ения

для

геом

етри

ческ

их

фигу

р: m

(< В

) – в

елич

ина

угла

В,

o –

град

ус, ’

– м

инут

ы, ”

– с

екун

ды,

Þ –

кон

груэ

нтно

.

29

В ко

нце

VI к

ласс

а УЧ

ЕНИ

К М

ОЖ

ЕТ:

• ра

споз

нава

ть, ч

итат

ь, п

исат

ь, и

зобр

ажат

ь на

оси

, сра

внив

ать

и уп

оряд

очив

ать

нату

раль

ные

числ

а, ц

елы

е чи

сла,

рац

ио-

наль

ные

числ

а в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

общ

ении

; •

опре

дели

ть, к

аком

у чи

слов

ому

мно

жес

тву,

как

ому

мно

жес

тву

объе

ктов

при

надл

ежит

зад

анно

е чи

сло

или

объе

кт;

• ра

споз

нава

ть, ч

итат

ь, п

исат

ь, и

зобр

ажат

ь за

данн

ое р

азли

чны

ми

спос

обам

и м

нож

еств

о;•

прим

енят

ь пр

изна

ки д

елим

ости

на

2, 3

, 5, 9

,10,

раз

лож

ение

на

прос

тые

мно

жит

ели,

про

сты

е и

сост

авны

е чи

сла

при

реш

е-ни

и за

дач,

в то

м ч

исле

зад

ач и

з по

всед

невн

ой ж

изни

;•

прим

енят

ь те

рмин

олог

ию, о

тнос

ящую

ся к

пон

ятия

м: н

атур

альн

ое ч

исло

, цел

ое ч

исло

, рац

иона

льно

е чи

сло,

отн

ошен

ие,

проп

орци

я, п

роце

нты

, мно

жес

тво,

кра

тное

, дел

ител

ь, п

ризн

ак д

елим

ости

, изу

ченн

ым

геом

етри

ческ

им э

лем

ента

м в

раз

-ли

чны

х ко

нтек

стах

;•

выпо

лнят

ь де

йств

ия: с

лож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, дел

ение

, воз

веде

ние

в ст

епен

ь с

нату

раль

ным

пок

азат

елем

на

изуч

енны

х чи

слов

ых

мно

жес

твах

; •

прим

енят

ь св

ойст

ва а

рифм

етич

ески

х де

йств

ий д

ля о

птим

изац

ии в

ычи

слен

ий с

раз

личн

ым

и чи

слам

и;

• ре

шат

ь на

изу

ченн

ых ч

исло

вых м

нож

еств

ах п

рост

ые

урав

нени

я, и

спол

ьзуя

свой

ства

изу

ченн

ых а

рифм

етич

ески

х опе

раци

й и

алго

ритм

нах

ожде

ния

неиз

вест

ного

ком

поне

нта

указ

анно

й оп

ерац

ии;

• ре

шат

ь за

дачи

изу

ченн

ым

и м

етод

ами,

зад

ачи

на н

ахож

дени

е др

оби

от ч

исла

, нах

ожде

ние

числ

а по

зад

анно

й др

оби,

на-

хож

дени

е p%

от ч

исла

, нах

ожде

ние

числ

а по

зад

анны

м п

роце

нтам

, нах

ожде

ние

проц

ентн

ого

отно

шен

ия;

• ис

след

оват

ь за

дачи

, про

блем

ные

ситу

ации

, реш

ения

кот

оры

х тр

ебую

т пр

имен

ения

ари

фмет

ичес

ких

опер

аций

, изу

чен-

ных

мет

одов

, орг

аниз

ации

дан

ных

в ви

де т

абли

ц и/

или

стат

исти

ческ

их д

иагр

амм

в к

онте

ксте

отб

ора,

рег

истр

ации

и о

б-ра

ботк

и да

нны

х, и

спол

ьзуя

рац

иона

льны

е чи

сла,

в то

м ч

исле

отн

ошен

ия, п

роце

нты

; •

изоб

раж

ать

на р

исун

ке и

изг

отав

лива

ть и

з ра

злич

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

е пл

аним

етри

ческ

ие ф

игур

ы;

• на

ходи

ть п

ерим

етры

мно

гоуг

ольн

иков

, дли

н ок

руж

ност

ей, п

лощ

ади

(ква

драт

а, п

рям

оуго

льни

ка, к

руга

) и о

бъём

ы (к

уба,

пр

ямоу

голь

ного

пар

алле

лепи

педа

), ис

поль

зуя

изве

стны

е фо

рмул

ы, е

дини

цы и

змер

ения

, при

няты

е М

ежду

наро

дной

си-

стем

ой и

/или

соо

твет

ству

ющ

ие н

ацио

наль

ным

еди

ница

м и

змер

ения

;•

прим

енят

ь м

еры

угл

ов: г

раду

сы, м

инут

ы, с

екун

ды;

• пр

имен

ить

черт

ёжны

е ин

стру

мен

ты д

ля п

остр

оени

я па

ралл

ельн

ых

и пе

рпен

дику

лярн

ых

прям

ых,

бис

сект

рисы

угл

а, с

ере-

динн

ого

перп

енди

куля

ра, о

круж

ност

и в

разл

ичны

х ко

нфиг

урац

иях;

• пр

имен

ить

тран

спор

тир

при

нахо

жде

нии

вели

чин

и по

стро

ении

угл

ов, п

ри п

остр

оени

и би

ссек

трис

ы у

гла;

лин

ейку

и ц

ир-

куль

при

пос

трое

нии

угла

кон

груэ

нтно

го д

анно

му;

• пр

имен

ять

терм

инол

огию

и с

имво

лы/о

бозн

ачен

ия и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

тел

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

• на

ходи

ть и

стин

ност

ное

знач

ение

(ист

инно

/лож

но) п

рост

ого

утве

ржде

ния

с по

мощ

ью п

рим

еров

или

кон

трпр

имер

ов;

• об

осно

выва

ть в

ыво

д ил

и м

атем

атич

ески

й ре

зуль

тат,

испо

льзу

я ар

гум

енты

, под

держ

ивая

соб

стве

нны

е ид

еи и

мне

ния.

30

VII к

ласс

Един

ицы

ком

пете

нций

Един

ицы

сод

ерж

ания

Реко

мен

дуем

ые

виды

уче

бной

дея

тель

ност

и и

её

резу

льта

ты/п

роду

кты

1.1.

Рас

позн

аван

ие и

исп

оль-

зова

ние

терм

инол

огии

, со

отве

тств

ующ

ей п

онят

ию

дейс

тви

тел

ьное

чис

ло в

ра

злич

ных

конт

екст

ах, в

то

м ч

исле

при

общ

ении

.1.

2. Р

аспо

знав

ание

и

клас

сиф

ицир

ован

ие п

о ра

злич

ным

кри

тери

ям

элем

енто

в чи

слов

ых

мно

жес

тв N

, Z, Q

, I, R

.1.

3. С

равн

ение

, упо

рядо

чива

-ни

е, и

зобр

ажен

ие н

а чи

с-ло

вой

оси,

пре

дста

влен

ие

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л в

разл

ичны

х фо

рмах

.1.

4. И

звле

чени

е кв

адра

тног

о ко

рня

из н

еотр

ицат

ельн

ых

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л,

испо

льзу

я ра

злич

ные

мет

оды

.1.

5. Р

аскр

ыти

е м

одул

я лю

бого

де

йств

ител

ьног

о чи

сла

и пр

имен

ение

сво

йств

м

одул

я в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.

I. Д

ейст

вите

льны

е чи

сла

•М

нож

еств

о ра

цион

альн

ых

чисе

л Q

. О

тнош

ения

вкл

юче

ния N

ZQ

⊂⊂

•Д

есят

ичны

е чи

сла.

Пер

иоди

ческ

ие

деся

тичн

ые

числ

а•

Изо

браж

ение

рац

иона

льны

х чи

сел

на о

си•

Поня

тие

квад

рат

ный

коре

нь и

з не

отри

цат

ельн

ого

раци

онал

ьног

о чи

сла.

Изв

лече

ние

квад

ратн

ого

корн

я из

нео

триц

ател

ьны

х ра

цион

альн

ых

чисе

л, и

спол

ьзуя

ка

льку

лято

р и/

или

приб

лиж

ения

/ок

ругл

ения

•По

няти

е ир

раци

онал

ьное

чис

ло•

Поня

тие

дейс

тви

тел

ьное

чис

ло•

Мно

жес

тво

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л. О

тнош

ения

вкл

юче

ния

NZ

QR

⊂⊂

⊂•

Дей

стви

я на

д м

нож

еств

ами

N, Z

, Q

, R и

над

их

подм

нож

еств

ами

(объ

един

ение

, пер

есеч

ение

, ра

знос

ть, д

екар

тово

про

изве

дени

е (д

вух

коне

чны

х м

нож

еств

))

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е на

тура

льны

х, ц

елы

х, р

ацио

наль

ных,

ир

раци

онал

ьны

х, д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

-ср

авне

ние,

упо

рядо

чива

ние

и из

обра

жен

ие

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л на

оси

;-

запи

сь д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

форм

ах;

-пр

еобр

азов

ание

пер

иоди

ческ

ого

деся

тичн

ого

числ

а в

обы

кнов

енну

ю д

робь

и н

аобо

рот;

-ра

скры

тие

выра

жен

ий с

мод

улем

, исп

ольз

уя о

пред

елен

ие

мод

уля;

-вы

явле

ние,

как

ому

числ

овом

у м

нож

еств

у, м

нож

еств

у об

ъект

ов п

рина

длеж

ит з

адан

ное

числ

о, о

бъек

т;-

испо

льзо

вани

е те

рмин

олог

ии и

сим

воли

ки,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятию

дей

стви

тел

ьное

чис

ло в

ра

злич

ных

конт

екст

ах, в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии;

-пр

имен

ение

пор

ядка

дей

стви

й, с

кобо

к и

свой

ств

опер

аций

пр

и вы

числ

ения

х на

мно

жес

тве

R.-

вычи

слен

ие с

чис

лам

и и

прим

енен

ие в

вы

числ

ения

х ад

еква

тны

х ал

гори

тмов

и с

войс

тв;

-пе

рено

с и

экст

рапо

лиро

вани

е ре

шен

ий н

екот

оры

х за

дач

для

реш

ения

дру

гих

зада

ч, и

спол

ьзуя

дей

стви

тель

ные

числ

а и

мно

жес

тва;

-до

полн

ение

и с

оста

влен

ие п

осле

дова

тель

ност

ей ч

исел

по

иден

тифи

циро

ванн

ым

или

зад

анны

м п

рави

лам

;-

аргу

мен

тиро

вани

е по

луче

нны

х ре

зуль

тато

в пр

и ре

шен

ии

зада

ч;

31

1.6.

Вы

полн

ение

дей

стви

й (с

лож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, дел

ение

, во

звед

ение

в с

тепе

нь с

на

тура

льны

м п

оказ

ател

ем)

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами,

при

мен

яя и

х св

ойст

ва.

1.7.

При

мен

ение

дей

стви

тель

-ны

х чи

сел

и из

учен

ных

числ

овы

х м

нож

еств

в р

аз-

личн

ых

реал

ьны

х и/

или

см

одел

иров

анны

х си

туа-

циях

.1.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го/

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

, свя

занн

ого

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами,

по

сред

ство

м а

ргум

енто

в.

•М

одул

ь де

йств

ител

ьног

о чи

сла.

Св

ойст

ва:

aa

aa

aa

≥≥

==

02

22

;;

;

ab

ab

a ba b

b=

=≠

;,

.0

•Сл

ожен

ие, в

ычи

тани

е, у

мно

жен

ие,

деле

ние,

воз

веде

ние

в ст

епен

ь с

нату

раль

ным

пок

азат

елем

. Св

ойст

ва•

Свой

ства

ква

драт

ного

кор

ня:

ababa

b=

≥≥

,,

;0

0

a b

a ba

b=

≥≥

,,

;0

0

aa

2=

;

aa

a(

)=≥

2

0,

.

•Вн

есен

ие м

нож

ител

я по

д зн

ак

корн

я; в

ыне

сени

е м

нож

ител

я из

-по

д зн

ака

корн

я •

Срав

нени

е, у

поря

дочи

ва-

ние

и из

обра

жен

ие н

а ос

и де

йств

ител

ьны

х чи

сел

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

ирра

цион

альн

ое ч

исло

, дей

стви

-т

ельн

ое ч

исло

, пер

иоди

ческ

ое д

еся-

тич

ное

числ

о, к

вадр

атны

й ко

рень

из

неот

рица

тел

ьног

о чи

сла,

зна

чени

е кв

адра

тно

го к

орня

, под

обны

е ко

рни

(сла

гаем

ые)

, вне

сени

е м

нож

и-т

еля

под

знак

кор

ня, в

ыне

сени

е м

нож

ите-

ля и

з-по

д зн

ака

корн

я.

-пр

имен

ение

изу

ченн

ых

числ

овы

х м

нож

еств

и и

х по

дмно

жес

тв в

раз

личн

ых

обла

стях

;-

внес

ение

мно

жит

еля

под

знак

кор

ня, в

ыне

сени

е м

нож

ител

я из

-под

зна

ка к

орня

;-

обос

нова

ние

неко

торо

го в

ыво

да, р

езул

ьтат

а, п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о, с

вяза

нног

о с

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и,

испо

льзу

я ар

гум

енты

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

де

йств

ител

ьны

м ч

исла

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ре

альн

ых

и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ал

гори

тм;

Д

идак

тиче

ская

игр

а "Д

омин

о";

Ре

шён

ные

софи

змы

(с ч

исла

ми)

;

Прив

едён

ный

конт

рпри

мер

;

Прое

кт "А

льте

рнат

ивны

е м

етод

ы н

ахож

дени

я зн

ачен

ия

квад

ратн

ого

корн

я из

нео

триц

ател

ьног

о де

йств

ител

ьног

о чи

сла"

;

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

32

2.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

мен

е-ни

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

те

рмин

олог

ии, о

тнос

ящей

-ся

к а

лгеб

раич

ески

м п

ре-

обра

зова

ниям

.2.

2. В

ыпо

лнен

ие с

лож

ений

, вы

чита

ний,

ум

нож

ений

, де

лени

й и

возв

еден

ий в

ст

епен

ь с

нату

раль

ным

по

каза

теле

м д

ейст

вите

ль-

ных

чисе

л, п

редс

тавл

енны

х бу

квам

и в

разл

ичны

х ко

н-те

кста

х.2.

3. Р

аспо

знав

ание

в р

азли

ч-ны

х си

туац

иях

форм

ул с

о-кр

ащён

ного

ум

нож

ения

и

прим

енен

ие э

тих

форм

ул

для

опти

миз

ации

вы

чис-

лени

й.2.

4. Н

ахож

дени

е чи

слов

ого

знач

ения

алг

ебра

ичес

кого

вы

раж

ения

, исп

ольз

уя а

л-ге

браи

ческ

ие п

реоб

разо

-ва

ния.

2.5.

Раз

лож

ение

алг

ебра

иче-

ског

о вы

раж

ения

на

мно

-ж

ител

и, и

спол

ьзуя

фор

му-

лы с

окра

щён

ного

ум

нож

е-ни

я и

изуч

енны

е м

етод

ы.

II. А

лгеб

раич

ески

е пр

еобр

азов

ания

• Д

ейст

вите

льны

е чи

сла,

пр

едст

авле

нны

е бу

квам

и•

Дей

стви

я с

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и, п

редс

тавл

енны

ми

букв

ами

(сло

жен

ие, в

ычи

тани

е,

умно

жен

ие, д

елен

ие, в

озве

дени

е в

степ

ень

с на

тура

льны

м

пока

зате

лем

) •

Фор

мул

ы с

окра

щен

ного

ум

нож

ения

: abc

abac

±(

)=+

; a

bcd

acad

bcbd

+(

)+

()=

++

+;

ab

aab

b±

()

=±

+2

22

2;

abab

ab

−(

)+

()=

−2

2.

• Ра

злож

ение

алг

ебра

ичес

кого

вы

раж

ения

на

мно

жит

ели,

ис

поль

зуя

выне

сени

е об

щег

о м

нож

ител

я, ф

орм

улы

сок

ращ

ён-

ного

ум

нож

ения

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

дейс

тви

тел

ьны

е чи

сла,

пре

дст

ав-

ленн

ые

букв

ами;

чис

лово

й ко

эфф

и-ци

ент

, бук

венн

ая ч

аст

ь, п

одоб

ные

слаг

аем

ые,

алг

ебра

ичес

кое

выра

же-

ние,

зна

чени

е ал

гебр

аиче

ског

о вы

ра-

жен

ия, ф

орм

улы

сок

ращ

ённо

го у

м-

нож

ения

, ква

драт

сум

мы

, ква

драт

ра

знос

ти,

раз

ност

ь кв

адра

тов

, ра

злож

ение

на

мно

жит

ели,

тож

де-

азло

жен

ие н

а м

нож

ител

и, т

ожде

-, т

ожде

-ст

венн

ые

прео

браз

ован

ия.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах

терм

инол

огии

, отн

осящ

ейся

к п

онят

ию д

ейст

вит

ельн

ое

числ

о, п

редс

тав

ленн

ое б

уква

ми;

-

нахо

жде

ние

числ

овог

о зн

ачен

ия а

лгеб

раич

еско

го

выра

жен

ия:

-вы

полн

ение

сло

жен

ий, в

ычи

тани

й, у

мно

жен

ий, д

елен

ий

и во

звед

ений

в с

тепе

нь с

нат

урал

ьны

м п

оказ

ател

ем н

ад

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и, п

редс

тавл

енны

ми

букв

ами

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

-ра

споз

нава

ние

в ра

злич

ных

ситу

ация

х фо

рмул

со

кращ

ённо

го у

мно

жен

ия;

-пр

имен

ение

фор

мул

сок

ращ

ённо

го у

мно

жен

ия д

ля

опти

миз

ации

вы

числ

ений

;-

разл

ожен

ие а

лгеб

раич

еско

го в

ыра

жен

ия н

а м

нож

ител

и,

испо

льзу

я м

етод

вы

несе

ния

общ

его

мно

жит

еля,

мет

од

груп

пиро

вки

и фо

рмул

ы с

окра

щён

ного

ум

нож

ения

:-

отбо

р из

мно

жес

тва

собр

анны

х ил

и за

данн

ых

инфо

рмац

ий

и си

стем

атиз

ация

дан

ных,

нео

бход

имы

х дл

я ре

шен

ия

зада

чи, с

вяза

нной

с а

лгеб

раич

ески

ми

прео

браз

ован

иям

и, в

ра

злич

ных

ситу

ация

х;-

обос

нова

ние

и ар

гум

енти

рова

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

тов

при

выпо

лнен

ии д

ейст

вий

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами,

пр

едст

авле

нны

х бу

квам

и.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

раз

личн

ых

обла

стей

, от

нося

щих

ся к

алг

ебра

ичес

ким

пре

обра

зова

ниям

, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия а

лгеб

раич

ески

х пр

еобр

азов

аний

в р

азли

чны

х об

ласт

ях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я ал

гебр

аиче

ских

пре

обра

зова

ний.

33

2.6.

Ана

лизи

рова

ние

реш

е-ни

я за

дачи

, про

блем

ной

ситу

ации

с п

рим

енен

ием

ал

гебр

аиче

ских

пре

об-

разо

вани

й в

конт

екст

е ко

ррек

тнос

ти р

езул

ьтат

а/ре

зуль

тато

в.2.

7. О

босн

ован

ие п

олуч

енны

х ре

зуль

тато

в пр

и вы

полн

е-ни

и ал

гебр

аиче

ских

пре

об-

разо

вани

й, п

одде

ржив

ая

собс

твен

ные

идеи

и м

не-

ния,

исп

ольз

уя а

ргум

енты

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Д

идак

тиче

ская

игр

а "К

то у

знал

фор

мул

у?";

Со

став

ленн

ый

план

;

Алго

ритм

;

Прив

еден

ный

конт

рпри

мер

;

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

3.1.

Рас

позн

аван

ие и

исп

оль-

зова

ние

терм

инол

огии

и

сим

воли

ки, с

оотв

етст

вую

-щ

их п

онят

ию ф

ункц

ия, в

ра

злич

ных

конт

екст

ах.

3.2.

Опр

едел

ение

фун

кции

при

по

мощ

и си

нтет

ичес

кого

, ан

алит

ичес

кого

, гр

афич

еско

го с

посо

бов.

3.

3. Р

аспо

знав

ание

и п

риве

-де

ние

прос

тых

прим

еров

фу

нкци

онал

ьны

х за

ви-

сим

осте

й из

раз

личн

ых

обла

стей

, в то

м ч

исле

из

окру

жаю

щей

дей

стви

тель

-но

сти.

III.

Фун

кции

• Д

екар

това

сис

тем

а ко

орди

нат н

а пл

оско

сти.

Оси

коо

рдин

ат. Н

ачал

о си

стем

ы к

оорд

инат

, коо

рдин

атны

е че

твер

ти, а

бсци

сса,

орд

инат

а•

Коор

дина

ты то

чки.

Нах

ожде

ние

точк

и в

зада

нной

сис

тем

е ко

орди

-на

т по

её з

адан

ным

коо

рдин

атам

. На

хож

дени

е ко

орди

нат т

очки

, за-

данн

ой в

сис

тем

е ко

орди

нат.

Рас-

стоя

ние

меж

ду д

вум

я то

чкам

и на

пл

оско

сти

• По

няти

е ф

ункц

ия. О

блас

ть о

пред

е-ле

ния,

обл

асть

зна

чени

й фу

нкци

и (н

а пр

осты

х пр

имер

ах).

Фун

кции

с

коне

чны

ми,

бес

коне

чны

ми

обла

-ст

ями

опре

деле

ния

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

изоб

раж

ение

точк

и в

дека

ртов

ой с

исте

ме

коор

дина

т на

пло

скос

ти п

о за

данн

ым

коо

рдин

атам

и н

ахож

дени

е ко

орди

нат з

адан

ной

точк

и;

-пр

ивед

ение

при

мер

ов з

авис

имос

тей,

кот

оры

е яв

ляю

тся

функ

циям

и;-

испо

льзо

вани

е те

рмин

олог

ии и

сим

воли

ки,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятию

фун

кция

, в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

общ

ении

;-

запи

сь, ч

тени

е, п

риве

дени

е пр

имер

ов п

онят

ий ф

ункц

и-он

альн

ая з

авис

имос

ть,

фун

кция

, зак

он з

авис

имос

ти,

об

ласт

ь оп

реде

лени

я (к

онеч

ная,

бес

коне

чная

), об

ласт

ь зн

ачен

ий, м

нож

ест

во з

наче

ний,

таб

лица

зна

чени

й, д

иа-

грам

ма,

гра

фик

;-

зада

ние

функ

цион

альн

ых

зави

сим

осте

й и/

или

функ

ций

разл

ичны

ми

спос

обам

и (а

нали

тиче

ский

, син

тети

ческ

ий,

граф

ичес

кий)

;

34

3.4.

Пре

дста

влен

ие ф

ункц

ии

разл

ичны

ми

спос

обам

и:

анал

итич

ески

м, т

абли

цей,

гр

афик

ом, д

иагр

амм

ой

и ис

поль

зова

ние

этих

пр

едст

авле

ний

при

реш

ении

зад

ач.

3.5.

Вы

веде

ние

свой

ств

функ

-ци

и I с

тепе

ни (м

онот

он-

ност

ь, з

нак

функ

ции,

нул

ь фу

нкци

и) п

осре

дств

ом

чтен

ия гр

афик

ов и

/или

фо

рмул

.3.

6. П

рим

енен

ие и

зуче

нны

х св

ойст

в фу

нкци

й пр

и ре

-ш

ении

зад

ач, п

робл

емны

х си

туац

ий, п

ри и

зуче

нии

разл

ичны

х фи

зиче

ских

, хи-

мич

ески

х, б

иоло

гиче

ских

, со

циал

ьны

х, э

коно

мич

е-ск

их п

роце

ссов

, см

оде-

лиро

ванн

ых

поср

едст

вом

фу

нкци

й.

3.7.

При

мен

ение

пря

мой

пр

опор

цион

альн

ости

в

разл

ичны

х об

ласт

ях, в

то

м ч

исле

в п

ракт

ичес

кой

деят

ельн

ости

.3.

8. О

босн

ован

ие п

рост

ого

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

от

носи

тель

но ф

ункц

ий

поср

едст

вом

арг

умен

тов.

• Сп

особ

ы з

адан

ия ф

ункц

ии•

Поня

тие

граф

ик ф

ункц

ии

• Ф

ункц

ия I

степ

ени.

Пос

тоян

ная

функ

ция.

Граф

ики.

Сво

йств

а (м

оно-

тонн

ость

, зна

к фу

нкци

и, н

уль

функ

-ци

и, у

глов

ой к

оэфф

ицие

нт п

рям

ой)

• Пр

ямая

про

порц

иона

льно

сть.

Гр

афик

. Сво

йств

а

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

Дек

арт

ова

сист

ема

коор

дина

т н

а пл

оско

сти,

ось

орд

инат

, ось

аб-

сцис

с, н

ачал

о си

стем

ы к

оорд

инат

, ко

орди

нат

ные

чет

верт

и, а

бсци

сса,

ор

дина

та,

коо

рдин

аты

точ

ек, ф

унк-

цион

альн

ые

зави

сим

ост

и, ф

ункц

ия,

синт

етич

ески

й сп

особ

зад

ания

фун

к-ци

и, а

нали

тич

ески

й сп

особ

зад

ания

ф

ункц

ии, н

езав

исим

ая п

ерем

енна

я,

обла

сть

опре

деле

ния

фун

кции

, об-

ласт

ь зн

ачен

ий ф

ункц

ии, т

абли

ца

знач

ений

, мно

жес

тво

зна

чени

й ф

ункц

ии, г

раф

ичес

кое

изоб

раж

ение

, за

кон

соот

вет

стви

я, ч

исло

вая

фун

к-ци

я, ф

ункц

ия I

степ

ени,

пос

тоя

нная

ф

ункц

ия, п

рям

ая п

ропо

рцио

наль

-но

сть,

гра

фик

фун

кции

, мон

отон

-но

сть,

ст

рого

воз

раст

ающ

ая ф

унк-

ция,

ст

рого

убы

ваю

щая

фун

кция

, зн

ак ф

ункц

ии, н

уль

фун

кции

, угл

овой

ко

эфф

ицие

нт п

рям

ой.

-пр

имен

ение

сво

йств

изу

ченн

ых

функ

ций

при

реш

ении

за

дач,

про

блем

ных

ситу

аций

, при

изу

чени

и ра

злич

ных

физи

ческ

их, х

имич

ески

х, б

иоло

гиче

ских

, соц

иаль

ных,

эк

оном

ичес

ких

проц

ессо

в, с

мод

елир

ован

ных

поср

едст

вом

фу

нкци

й;

-пр

имен

ение

пря

мой

про

порц

иона

льно

сти

в ра

злич

ных

обла

стях

, в то

м ч

исле

в п

ракт

ичес

кой

деят

ельн

ости

;-

ассо

циир

ован

ие п

робл

емы

/про

блем

ной

ситу

ации

с

мат

емат

ичес

кой

мод

елью

типа

фун

кция

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

отн

осит

ельн

о фу

нкци

и по

сред

ство

м а

ргум

енто

в.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к и

зуче

нны

м

функ

циям

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х фу

нкци

й в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

функ

ций

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

изуч

енны

х фу

нкци

й в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

изуч

енны

х фу

нкци

й.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

И

ссле

дова

ние

"Исп

ольз

уем

ое в

рем

я на

про

тяж

ении

одн

ой

неде

ли д

ля в

ыпо

лнен

ия д

омаш

них

зада

ний"

;

Реш

ённы

й пр

имер

;

Реш

ённа

я за

дача

;

Прое

кт S

TEM

"Фун

кции

в ф

изик

е";

35

Пр

оект

"Пря

мая

про

порц

иона

льно

сть

в ж

изни

";

Алго

ритм

;

Сост

авле

нная

мод

ель

функ

ции;

И

зобр

ажен

ный

граф

ик ф

ункц

ии;

Со

став

ленн

ая д

иагр

амм

а;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная;

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й,

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Пр

оект

STE

M "И

змен

ение

мет

еоха

ракт

ерис

тик

на

прот

яжен

ии тр

ех м

есяц

ев в

род

ном

сел

е/го

роде

";

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.4.

1. Р

аспо

знав

ание

и и

спол

ь-зо

вани

е те

рмин

олог

ии,

соот

ветс

твую

щей

пон

ятия

м

урав

нени

е и

нера

венс

тво

, в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.4.

2. П

рим

енен

ие с

войс

тв

отно

шен

ий р

авен

ства

, не

раве

нств

а пр

и вы

полн

ении

рав

носи

льны

х пр

еобр

азов

аний

.4.

3. Р

ешен

ие у

равн

ений

I ст

епен

и, н

ерав

енст

в I

степ

ени

и пр

ивод

имы

х к

ним

, исп

ольз

уя

равн

осил

ьны

е пр

еобр

азов

ания

. 4.

4. А

нали

зиро

вани

е ре

шен

ия

урав

нени

я, н

ерав

енст

ва в

ко

нтек

сте

корр

ектн

ости

, пр

осто

ты, ч

етко

сти

и зн

ачим

ости

пол

учен

ных

резу

льта

тов.

IV. У

равн

ения

. Нер

авен

ства

• По

няти

е ур

авне

ние

с од

ним

не

изве

стны

м. Р

ешен

ие

урав

нени

я. М

нож

еств

о ре

шен

ий

урав

нени

я•

Равн

осил

ьны

е ур

авне

ния.

Ра

внос

ильн

ые

прео

браз

ован

ия

• Ур

авне

ния

I сте

пени

с о

дним

не

изве

стны

м (a

x +

b =

0,

a,bR

∈, a

≠ 0

) и п

риво

дим

ые

к ни

м. М

нож

еств

о ре

шен

ий

урав

нени

я I с

тепе

ни,

сущ

еств

ован

ие, е

динс

твен

ност

ь ре

шен

ия•

Реш

ение

зад

ач, в

том

чис

ле с

пр

акти

ческ

им у

клон

ом с

пом

ощью

ур

авне

ний

• Чи

слов

ые

нера

венс

тва.

Сво

йств

а•

Поня

тие

числ

овой

про

меж

уток

. И

зобр

ажен

ие ч

исло

вых

пром

ежут

ков

на о

си. О

пера

ции

с чи

слов

ым

и пр

омеж

утка

ми

(объ

един

ение

, пер

есеч

ение

)

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

реш

ение

ура

внен

ий и

нер

авен

ств

I сте

пени

с о

дним

не

изве

стны

м и

при

води

мы

х к

ним

;-

выпо

лнен

ие р

авно

силь

ных

прео

браз

ован

ий д

ля п

олуч

ения

ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

рав

но-с

ильн

ых

данн

ым

;-

пере

вод

зада

чи, п

робл

емно

й си

туац

ии н

а яз

ык

урав

нени

й и/

или

нера

венс

тв, р

ешен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и

инте

рпре

тиро

вани

е ре

зуль

тата

;-

прим

енен

ие с

войс

тв ф

ункц

ий п

ри р

ешен

ии у

равн

ений

, не

раве

нств

;-

сост

авле

ние

и ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч по

зад

анно

й м

одел

и:

урав

нени

е, н

ерав

енст

во;

-на

хож

дени

е об

ъеди

нени

й и

пере

сече

ний

числ

овы

х пр

омеж

утко

в и

изоб

раж

ение

на

числ

овой

оси

пол

учен

ных

резу

льта

тов;

-пе

рево

д те

ксто

вых

зада

ч на

мат

емат

ичес

кий

язы

к в

конт

екст

е ре

шен

ия у

равн

ений

, нер

авен

ств

I сте

пени

с

одни

м н

еизв

естн

ым

или

при

води

мы

х к

ним

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

отн

осит

ельн

о чи

слов

ых

нера

венс

тв, у

равн

ений

, не

раве

нств

пос

редс

твом

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

пр

имер

ов, к

онтр

прим

еров

.

36

4.5.

Нах

ожде

ние

объе

дине

ний

и пе

ресе

чени

й чи

слов

ых

пром

ежут

ков

и из

обра

же-

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

-то

в на

чис

лово

й ос

и.

4.6.

Пер

евод

зад

ачи,

про

блем

-но

й си

туац

ии н

а яз

ык

урав

-не

ний

и/ил

и не

раве

нств

, ре

шен

ие п

олуч

енно

й за

-да

чи и

инт

ерпр

етир

ован

ие

резу

льта

та.

4.7.

Сос

тавл

ение

и р

ешен

ие

прос

тых

зада

ч по

зад

анно

й м

одел

и: у

равн

ение

, не

раве

нств

о.4.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

и/ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да о

тнос

ител

ьно

числ

овы

х не

раве

нств

, ур

авне

ний,

нер

авен

ств

поср

едст

вом

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов.

• По

няти

е не

раве

нст

во с

одн

им

неиз

вест

ным

. Рав

носи

льны

е не

раве

нств

а•

Нера

венс

тва

I сте

пени

типа

: ax

+ b

< 0

; ax

+ b

≤ 0;

ax

+ b

> 0;

ax

+ b

≥ 0

, a ≠

0, a

,bR

∈ и

пр

ивод

имы

е к

ним

. Мно

жес

тво

реш

ений

нер

авен

ства

I ст

епен

и и

его

изоб

раж

ение

на

числ

овой

оси

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

урав

нени

е I с

теп

ени

с од

ним

неи

з-ве

стны

м, м

нож

ест

во р

ешен

ий

урав

нени

я, р

авно

силь

ные

урав

не-

ния,

рав

носи

льны

е пр

еобр

азов

ания

, чи

слов

ой п

ром

ежут

ок, о

блас

ть

допу

стим

ых

знач

ений

(ОД

З)

урав

нени

я.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ур

авне

ниям

и н

ерав

енст

вам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ур

авне

ний

и не

раве

нств

в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия и

зуче

нны

х ур

авне

ний

и не

раве

нств

в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

урав

нени

й и

нера

венс

тв в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

изуч

енны

х ур

авне

ний

и не

раве

нств

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Ра

зраб

отан

ный

план

;

Прое

кт "П

рим

еры

при

мен

ения

ура

внен

ий I

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м в

раз

личн

ых

обла

стях

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций,

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

37

5.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

мен

е-ни

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

те

рмин

олог

ии и

обо

зна-

чени

й, о

тнос

ящих

ся к

из-

учен

ным

геом

етри

ческ

им

поня

тиям

.5.

2. К

ласс

ифиц

иров

ание

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р по

раз

личн

ым

кр

итер

иям

. 5.

3. И

зобр

ажен

ие н

а пл

оско

сти

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фи

гур,

исп

ольз

уя

черт

ёжны

е ин

стру

мен

ты, и

пр

имен

ение

пол

учен

ных

изоб

раж

ений

при

реш

ении

за

дач.

5.

4. П

рим

енен

ие с

войс

тв

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фи

гур

в ра

злич

ных

обла

стях

.5.

5. П

ерев

од п

робл

емы

, про

-бл

емно

й си

туац

ии н

а ге

омет

риче

ский

язы

к,

реш

ение

пол

учен

ной

за-

дачи

и и

нтер

прет

иров

ание

ре

зуль

тата

.5.

6. П

одби

рани

е ге

омет

риче

-ск

их и

зобр

ажен

ий, а

дек-

ватн

ых

для

опти

миз

ации

пр

оцес

са н

ахож

дени

я дл

ин

отре

зков

, вел

ичин

угл

ов.

V. Ге

омет

риче

ские

пон

ятия

. По

втор

ение

и д

опол

нени

я

• Эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й ло

ги-

ки. П

онят

ие в

ыск

азы

вани

е. О

бщие

и

част

ные

выск

азы

вани

я (н

а пр

о-ст

ых

прим

ерах

). О

триц

ание

вы

-ск

азы

вани

я (н

а пр

осты

х пр

имер

ах).

Ист

инно

стно

е зн

ачен

ие (и

стин

но/

лож

но) в

ыск

азы

вани

я. П

рост

ые

прим

еры

на

испо

льзо

вани

е ло

ги-

ческ

их о

пера

торо

в "и

", "и

ли",

"не"

, "е

сли-

то",

терм

инов

"не

мен

ее",

"н

е бо

лее"

, "не

кото

рые"

, "вс

е",

"для

лю

бого

", "с

ущес

твуе

т"•

Осн

овны

е ге

омет

риче

ские

по

няти

я (т

очка

, пря

мая

, пло

скос

ть,

расс

тоян

ие м

ежду

дву

мя

точк

ами,

м

ера

угла

)•

Прям

ая. К

олли

неар

ные

точк

и.

Полу

прям

ая. О

трез

ок•

Углы

. Опр

едел

ение

, обо

знач

ения

, эл

емен

ты. К

ласс

ифик

ация

угл

ов:

остр

ые

углы

, пря

мы

е уг

лы, т

упы

е уг

лы, с

меж

ные

углы

, см

ежны

е до

полн

ител

ьны

е до

90o , с

меж

ные

допо

лнит

ельн

ые

до 1

80o ,

верт

икал

ьны

е уг

лы. В

елич

ина

угла

. Вы

числ

ения

с в

елич

инам

и уг

лов

(гра

дусы

, мин

уты

, сек

унды

)

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

прим

енен

ие и

зуче

нны

х эл

емен

тов

мат

емат

ичес

кой

логи

ки;

-ра

споз

нава

ние

и пр

имен

ение

терм

инол

огии

, отн

осящ

ейся

к

изуч

енны

м э

лем

ента

м м

атем

атич

еско

й ло

гики

;-

клас

сифи

циро

вани

е и

срав

нени

е из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

; -

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, и

спол

ьзуя

чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, ком

пью

тер,

и

прим

енен

ие п

олуч

енны

х из

обра

жен

ий п

ри р

ешен

ии з

адач

;-

прим

енен

ие с

войс

тв и

зуче

нны

х ге

омет

ри-ч

ески

х фи

гур

в ра

злич

ных

обла

стях

;-

сост

авле

ние

и ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч по

зад

анно

й ге

омет

риче

ской

мод

ели;

-ан

ализ

иров

ание

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

атов

, по

луче

нны

х пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

кой

зада

чи, с

пр

имен

ение

м и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

со

отве

тств

ующ

их е

дини

ц из

мер

ения

;-

пост

роен

ие п

рост

ых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й,

реш

ение

про

сты

х за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

т-ве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

в то

м ч

исле

с п

омощ

ью п

рим

еров

, ко

нтрп

рим

еров

, док

азат

ельс

тв.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ге

омет

риче

ским

фиг

урам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур в

пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

азли

чны

х об

ласт

ях.

38

5.7.

Отб

ор и

з м

нож

еств

а со

-бр

анны

х ил

и за

данн

ых

ин-

форм

аций

и с

исте

мат

иза-

ция

данн

ых,

нео

бход

имы

х дл

я ре

шен

ия ге

омет

риче

-ск

ой з

адач

и в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях,

реш

ение

пол

у-че

нной

/зад

анно

й за

дачи

.5.

8. П

рим

енен

ие и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

пре

обра

-зо

вани

й (с

имм

етри

я от

но-

сите

льно

точк

и, с

имм

етри

я от

носи

тель

но п

рям

ой)

для

иден

тифи

циро

вани

я и

опис

ания

про

цесс

ов, ф

ено-

мен

ов.

5.9.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

и/

или

зада

нног

о ре

зуль

-та

та/в

ыво

да о

тнос

ител

ьно

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фи

гур

поср

едст

вом

при

ве-

дени

я ар

гум

енто

в, п

рим

е-ро

в, к

онтр

прим

еров

.

• М

атем

атич

ески

е вы

сказ

ыва

ния.

По

няти

я оп

реде

лени

е, а

ксио

ма,

т

еоре

ма,

усл

овие

, зак

люче

ние,

до-

каза

тел

ьст

во, с

ледс

тви

е •

Теор

ема,

обр

атна

я те

орем

а. П

ри-

мер

, кон

трпр

имер

• М

етод

от п

роти

вног

о •

Пара

ллел

ьны

е пр

ямы

е. П

ризн

ак и

па

ралл

ельн

ости

• Пе

рпен

дику

лярн

ые

прям

ые.

Ра

ссто

яние

от т

очки

до

прям

ой•

Сим

мет

рия

отно

сите

льно

точк

и,

сим

мет

рия

отно

сите

льно

пря

мой

. Св

ойст

ва

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

выск

азы

вани

е, ч

аст

ное

выск

азы

-ва-

ние,

общ

ее в

ыск

азы

вани

е, о

три

ца-

ние

выск

азы

вани

я, л

огич

ес-к

ие о

пе-

рат

оры

"и"

, "ил

и", "

не",

"ес

ли-т

о",

терм

ины

"дл

я лю

бого

", "

сущ

ест

ву-

ет",

опр

еде-

лени

е, а

ксио

ма,

тео

ре-

ма,

кри

тер

ий, у

слов

ие, з

аклю

чени

е,

дока

зат

ельс

тво

, сле

дст

вие,

обр

ат-

ная

тео

рем

а, в

нут

ренн

ие о

днос

то-

ронн

ие у

глы

, вну

тре

нние

нак

рест

ле

жащ

ие у

глы

, вне

шни

е од

ност

о-ро

нние

угл

ы, в

неш

ние

накр

ест

леж

а-щ

ие у

глы

, соо

тве

тст

венн

ые

углы

, ак

сиом

а Ев

клид

а, б

иссе

ктри

са, с

ере-

динн

ый

перп

енди

куля

р, с

имм

етри

я от

носи

тел

ьно

точ

ки, ц

ент

р си

м-

мет

рии,

сим

мет

рия

отно

сит

ельн

о пр

ямой

, ось

сим

мет

рии.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ый

рису

нок;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Прак

тиче

ская

раб

ота

на м

естн

ости

"Изм

ерен

ие д

лин

отре

зков

и в

елич

ин у

глов

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

Пр

оект

STE

АM "С

имм

етри

я в

иску

сств

е";

Пр

оект

STE

M "С

имм

етри

я в

прир

оде"

;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

39

6.1.

Рас

позн

аван

ие к

онгр

у-эн

тны

х тр

еуго

льни

ков

и пр

изна

ков

конг

руэн

тнос

ти

треу

голь

нико

в в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

. 6.

2. И

зобр

ажен

ие н

а ри

сунк

ах

и из

гото

влен

ие и

з ра

злич

ных

мат

ериа

лов

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фи

гур

и от

нош

ений

.6.

3. П

ерев

од з

адач

, про

блем

-ны

х си

туац

ий н

а ге

омет

ри-

ческ

ий я

зык

и ре

шен

ие

полу

ченн

ых

зада

ч.6.

4. С

оста

влен

ие п

лана

для

ре

шен

ия з

адач

и на

при

-м

енен

ие м

етод

а ко

нгру

энт-

ных

треу

голь

нико

в, с

войс

тв

треу

голь

нико

в в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

и р

ешен

ие з

а-да

чи с

огла

сно

разр

абот

ан-

ном

у пл

ану.

6.5.

При

мен

ение

при

знак

ов

конг

руэн

тнос

ти тр

еуго

льни

-ко

в пр

и ре

шен

ии з

адач

. 6.

6. А

нали

зиро

вани

е и

инте

рпре

тиро

вани

е ре

зуль

тато

в, п

олуч

енны

х пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких

зада

ч на

при

мен

ение

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р и

соот

ветс

твую

щих

ед

иниц

изм

ерен

ия.

VI. К

онгр

уэнт

ные

треу

голь

ники

• Тр

еуго

льни

к. О

пред

елен

ие,

элем

енты

, кла

ссиф

икац

ия

треу

голь

нико

в•

Отн

ошен

ие к

онгр

уэнт

ност

и.

Конг

руэн

тны

е от

резк

и.

Конг

руэн

тны

е уг

лы

• Ко

нгру

энтн

ые

треу

голь

ники

. Пр

изна

ки к

онгр

уэнт

ност

и тр

еуго

льни

ков

• По

стро

ение

(цир

куле

м и

лин

ейко

й)

треу

голь

нико

в по

при

знак

ам С

УС,

УСУ,

ССС

•

Нера

венс

тва

в тр

еуго

льни

ке•

Приз

наки

кон

груэ

нтно

сти

для

прям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ков

(с

док

азат

ельс

твом

) •

Мет

од к

онгр

уэнт

ных

треу

голь

-ни

ков

• Би

ссек

трис

а уг

ла. С

войс

тво

бисс

ек-

трис

ы (с

док

азат

ельс

твом

). По

стро

-ен

ие б

иссе

ктри

сы у

гла

цирк

улем

и

лине

йкой

• Се

реди

нны

й пе

рпен

дику

ляр.

Сво

й-ст

во с

еред

инно

го п

ерпе

ндик

уляр

а (с

док

азат

ельс

твом

). По

стро

ение

се

реди

нног

о пе

рпен

дику

ляра

цир

-ку

лем

и л

иней

кой

• За

меч

ател

ьны

е ли

нии

треу

голь

-ни

ка. М

едиа

на тр

еуго

льни

ка.

Бисс

ектр

иса

треу

голь

ника

. Вы

сота

тр

еуго

льни

ка. М

едиа

трис

а тр

еу-

голь

ника

. Сво

йств

а

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е ко

нгру

энтн

ых

отре

зков

, угл

ов,

треу

голь

нико

в в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

геом

етри

ческ

их к

онфи

гура

циях

; -

выяв

лени

е от

нош

ения

кон

груэ

нтно

сти

меж

ду д

вум

я тр

еуго

льни

кам

и, и

спол

ьзуя

при

знак

и ко

нгру

энтн

ости

тр

еуго

льни

ков;

- пр

имен

ение

при

знак

ов к

онгр

уэнт

ност

и тр

еуго

льни

ков,

м

етод

а ко

нгру

энтн

ых

треу

голь

нико

в пр

и ре

шен

ии з

адач

; -

обос

нова

ниеп

олуч

енно

го и

ли з

адан

ного

рез

ульт

ата

или

выво

да в

кон

текс

те к

онгр

уэнт

ност

и тр

еуго

льни

ков

путё

м п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

, при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов;

- ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч на

док

азат

ельс

тво,

на

пост

роен

ие

прос

тых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния;

- со

став

лени

е и

реш

ение

про

сты

х за

дач

по з

адан

ной

геом

етри

ческ

ой м

одел

и.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

треу

голь

ника

м

и ко

нгру

энтн

ости

треу

голь

нико

в, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

прим

енен

ию к

онгр

уэнт

ных

треу

голь

нико

в в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия тр

еуго

льни

ков

и ко

нгру

энтн

ых

треу

голь

нико

в в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

тр

еуго

льни

ков

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

40

6.7.

Обо

снов

ание

пол

учен

но-

го/з

адан

ного

рез

ульт

ата

или

выво

да о

тнос

ител

ьно

тр

еуго

льни

ков

путё

м п

ри-

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

а-за

тель

ств.

6.8.

Пос

трое

ние

прос

тых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й.6.

9. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я, в

том

чис

ле

с по

мощ

ью п

рим

еров

, ко

нтрп

рим

еров

.

• С

умм

а уг

лов

треу

голь

ника

. Тео

рем

а о

внеш

нем

угл

е тр

еуго

льни

ка (с

до-

каза

тель

ство

м)

• Св

ойст

ва р

авно

бедр

енно

го

треу

голь

ника

(с д

оказ

ател

ьств

ом)

• Св

ойст

ва р

авно

стор

онне

го

треу

голь

ника

(с д

оказ

ател

ьств

ом)

• Ср

едня

я ли

ния

треу

голь

ника

. Св

ойст

ва (с

док

азат

ельс

твом

)•

Прям

оуго

льны

й тр

еуго

льни

к.

Свой

ства

пря

моу

голь

ного

треу

-го

льни

ка (д

лина

мед

ианы

, про

ве-

дённ

ой к

гипо

тену

зе; п

рям

оу-

голь

ный

треу

голь

ник

с уг

лом

в 3

0o )(с

док

азат

ельс

твом

)

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

отно

шен

ие к

онгр

уэнт

ност

и,

конг

руэн

тны

е т

реуг

ольн

ики,

пр

изна

ки к

онгр

уэнт

ност

и т

реуг

ольн

иков

СУС

, УСУ

, ССС

, пр

ямоу

голь

ный

тре

угол

ьник

, ка

тет

, гип

отен

уза,

вне

шни

й уг

ол, з

амеч

ател

ьны

е ли

нии

в т

реуг

ольн

ике,

мед

иана

т

реуг

ольн

ика,

бис

сект

риса

тре

-уг

ольн

ика,

вы

сот

а т

реуг

ольн

ика,

м

едиа

три

са т

реуг

ольн

ика,

сре

дняя

ли

ния

тре

угол

ьник

а.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я тр

еуго

льни

ков.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ый

план

;

Рису

нок;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Док

азат

ельс

тва;

Пр

акти

ческ

ая р

абот

а "И

змер

ение

рас

стоя

ний

до

недо

ступ

ных

точе

к, и

змер

ение

вы

соты

объ

екта

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

41

Прил

ожен

ие.

Рек

омен

дова

нны

е об

озна

чени

я и

сим

волы

геом

етри

ческ

их ф

игур

То

чка

– A,

B,C

, ...;

Прям

ая –

a,b

,c,..

. или

AB,

CD

, MN

,...;

Плос

кост

ь – ���

,,

,...

или

(ABC

), ил

и (A

,a),

или

(AB,

C);

Полу

плос

кост

ь –

[a,C

, (a,

C;

Полу

прям

ая –

[AB,

(AB;

Отр

езок

– [A

B], (

AB),

[AB)

, (AB

];Д

лина

отр

езка

– A

B;Уг

ол –

< A

BC;

Вели

чина

угл

а –

m(<

ABC

);Тр

еуго

льни

к –

ABC

;Ду

га о

круж

ност

и –

»AB

или

»AL

B;Д

лина

дуг

и ок

руж

ност

и –

l »AB

;Ве

личи

на д

уги

окру

жно

сти

– m

(»AB

);О

круж

ност

ь –

C(O

;r) и

ли C

(A;A

B);

Круг

– D

(O;r

); Пе

рим

етр

– P A

BC; P

ABC

D;

Полу

пери

мет

р –

p;Пл

ощад

ь –

A ABC

; AAB

CD; A

l; A b

; At;

Объ

ём –

V;

Высо

та –

ha,

hAB [

], h

– дл

я пл

аним

етри

ческ

их ф

игур

, Н –

для

геом

етри

ческ

их те

л;

Mед

иана

– m

a или

mAB [

] ;Би

ссек

трис

а –

b a sa

u bAB [

];М

едиа

трис

а – µ a

или

µAB [

].

42

В ко

нце

VII к

ласс

а УЧ

ЕНИ

К М

ОЖ

ЕТ:

• ра

споз

нава

ть, ч

итат

ь, п

исат

ь, и

зобр

ажат

ь на

оси

, сра

внив

ать

и уп

оряд

очив

ать

нату

раль

ные

числ

а, ц

елы

е чи

сла,

рац

ио-

наль

ные

числ

а, и

ррац

иона

льны

е, д

ейст

вите

льны

е чи

сла

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

• вы

полн

ять

в ра

злич

ных

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х из

учен

ные

дейс

твия

над

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и (с

лож

ение

, вы

чита

ние,

ум

нож

ение

, дел

ение

, воз

веде

ние

в ст

епен

ь с

нату

раль

ным

пок

азат

елем

, изв

лече

ние

квад

ратн

ого

корн

я);

• пр

имен

ять

изуч

енны

е св

ойст

ва м

одул

я де

йств

ител

ьног

о чи

сла

в ра

злич

ных

конт

екст

ах д

ля в

ыпо

лнен

ия тр

ебуе

мы

х вы

чис-

лени

й;

• ис

поль

зова

ть и

зуче

нны

е св

ойст

ва к

вадр

атно

го к

орня

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;•

прим

енят

ь фо

рмул

ы с

окра

щён

ного

ум

нож

ения

для

опт

имиз

ации

алг

ебра

ичес

ких

прео

браз

ован

ий;

• ра

споз

нава

ть в

раз

личн

ых

конт

екст

ах ф

ункц

ию и

ее

элем

енты

;•

зада

ть гр

афич

ески

, ана

лити

ческ

и фу

нкци

ю I

степ

ени;

• пр

ивод

ить

прим

еры

фун

кций

I ст

епен

и из

раз

личн

ых

обла

стей

, в то

м ч

исле

из

повс

едне

вной

жиз

ни;

• ре

шат

ь пр

осты

е за

дачи

из

повс

едне

вной

жиз

ни, и

спол

ьзуя

ура

внен

ия/н

ерав

енст

ва I

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м;

• ра

споз

нава

ть и

при

мен

ять

изуч

енны

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й ло

гики

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;•

расп

озна

вать

в р

азли

чны

х ко

нфиг

урац

иях

осно

вны

е ге

омет

риче

ские

пон

ятия

;•

выде

лить

пар

ы к

онгр

уэнт

ных

треу

голь

нико

в в

разл

ичны

х си

туац

иях;

• пр

имен

ять

мет

од к

онгр

уэнт

ных

треу

голь

нико

в пр

и ре

шен

ии з

адач

;•

прим

енят

ь из

учен

ные

свой

ства

треу

голь

нико

в, в

том

чис

ле с

войс

тва

прям

оуго

льно

го тр

еуго

льни

ка п

ри р

ешен

ии з

адач

из

разл

ичны

х об

ласт

ей;

• из

обра

жат

ь на

рис

унке

, исп

ольз

уя ч

ертё

жны

е ин

стру

мен

ты и

инс

трум

енты

ИКТ

, и и

згот

авли

вать

из р

азли

чны

х мат

ериа

лов

изуч

енны

е ге

омет

риче

ские

фиг

уры

;•

нахо

дить

пер

имет

р тр

еуго

льни

ка, е

го с

редн

юю

лин

ию, и

спол

ьзуя

изу

ченн

ые

свой

ства

/фор

мул

ы;

• пр

имен

ять

черт

ёжны

е ин

стру

мен

ты д

ля п

остр

оени

я па

ралл

ельн

ых

и пе

рпен

дику

лярн

ых

прям

ых,

угл

ов, б

иссе

ктри

сы у

гла,

се

реди

нног

о пе

рпен

дику

ляра

, мед

ианы

, мед

иатр

исы

треу

голь

ника

;•

расп

озна

вать

в о

круж

ающ

ей д

ейст

вите

льно

сти

фигу

ры, с

имм

етри

чны

е от

носи

тель

но то

чки,

отн

осит

ельн

о пр

ямой

;•

расп

озна

вать

и п

рим

енят

ь те

рмин

олог

ию и

обо

знач

ения

отн

осящ

иеся

к п

онят

иям

: нат

урал

ьное

чис

ло, ц

елое

чис

ло, р

аци-

онал

ьное

чис

ло, и

ррац

иона

льно

е чи

сло,

дей

стви

тель

ное

числ

о, у

равн

ение

, нер

авен

ство

, алг

ебра

ичес

кие

прео

браз

ова-

ния,

фун

кция

и и

зуче

нны

м ге

омет

риче

ским

пон

ятия

м в

раз

личн

ых

конт

екст

ах;

• на

ходи

ть и

стин

ност

ное

знач

ение

(ист

инно

/лож

но) п

рост

ого

утве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

с пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

при-

мер

ов;

• об

осно

выва

ть р

езул

ьтат

, исп

ольз

уя а

ргум

енты

, док

азат

ельс

тва,

под

держ

ивая

соб

стве

нны

е ид

еи и

мне

ния.

43

VIII

клас

с

Един

ицы

ком

пете

нций

Един

ицы

сод

ерж

ания

Реко

мен

дуем

ые

виды

уче

бной

дея

тель

ност

и и

её

резу

льта

ты/п

роду

кты

1.1.

Рас

позн

аван

ие и

ис

поль

зова

ние

терм

инол

о-ги

и, с

оотв

етст

вую

щей

по

няти

ю д

ейст

вит

ельн

ое

числ

о, в

реа

льны

х и/

или

см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

1.2.

Рас

позн

аван

ие в

Раз

лич-

ных

ситу

ация

х и

прив

еде-

ние

прим

еров

при

мен

ения

де

йств

ител

ьны

х чи

сел,

ст

епен

ей, к

вадр

атны

х ко

р-не

й и

их с

войс

тв.

1.3.

Сра

внен

ие, у

поря

дочи

ва-

ние

и из

обра

жен

ие н

а чи

с-ло

вой

оси

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л.1.

4. П

рим

енен

ие м

одул

я де

йств

ител

ьног

о чи

сла

и ег

о св

ойст

ва в

раз

личн

ых

конт

екст

ах.

1.5.

Вы

бира

ние

форм

ы з

апис

и де

йств

ител

ьног

о чи

сла

и пр

имен

ение

алг

орит

мов

дл

я оп

тим

изац

ии в

ычи

с-ле

ний

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами.

I. Д

ейст

вите

льны

е чи

сла.

По

втор

ение

и д

опол

нени

я

• М

нож

еств

о де

йств

ител

ьны

х чи

сел.

М

одул

ь де

йств

ител

ьног

о чи

сла.

Св

ойст

ва:

a aa

aa

abab

a ba b

b

≥ ≥ = = =≠

0

0

22

; ;

;

;

,.

•

Дей

стви

я на

д де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами

• Ст

епен

и с

нату

раль

ным

пок

азат

е-ле

м. С

войс

тва

(с д

оказ

ател

ьств

ом)

• Ст

епен

и с

целы

м п

оказ

ател

ем.

Свой

ства

• Кв

адра

тны

й ко

рень

. Изв

лече

ние

квад

ратн

ого

корн

я. Н

ахож

дени

е пр

ибли

жен

ного

зна

чени

я кв

адра

тног

о ко

рня,

исп

ольз

уя

окру

глен

ия•

Свой

ства

ква

драт

ного

кор

ня

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

нат

урал

ьны

х, ц

елы

х,

раци

онал

ьны

х, и

ррац

иона

льны

х, д

ейст

вите

льны

х чи

сел,

ст

епен

ей, к

орне

й и

их с

войс

тв;

-ис

поль

зова

ние

терм

инол

огии

, соо

твет

ству

ющ

ей

поня

тию

дей

стви

тел

ьное

чис

ло, в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х, в

том

чис

ле п

ри о

бщен

ии;

-уп

оряд

очив

ание

, сра

внен

ие и

изо

браж

ение

на

оси

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л;-

запи

сь д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

форм

ах;

-вы

явле

ние,

как

ому

числ

овом

у м

нож

еств

у, м

нож

еств

у об

ъект

ов п

рина

длеж

ит з

адан

ное

числ

о, о

бъек

т;-

вычи

слен

ие с

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и и

прим

енен

ие в

вы

числ

ения

х из

учен

ных

алго

ритм

ов и

сво

йств

; -

выпо

лнен

ие п

рибл

ижен

ий и

окр

угле

ний

при

вычи

слен

иях

с чи

слам

и, в

елич

инам

и;-

выяв

лени

е пр

еим

ущес

тв п

рим

енен

ия с

войс

тв д

ейст

вий

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами;

-

реш

ение

зад

ач и

про

блем

ных

ситу

аций

, исп

ольз

уя

дейс

твит

ельн

ые

числ

а и

опер

ации

над

ним

и;

-об

осно

вани

е и

аргу

мен

тиро

вани

е по

луче

нны

х ре

зуль

тато

в и

испо

льзо

ванн

ых

вычи

слит

ельн

ых

техн

олог

ий;

-фо

рмир

ован

ие п

ривы

чки

пров

ерят

ь, е

сли

зада

ча

полн

ость

ю р

ешен

а ил

и не

т, ис

след

уя и

стин

ност

ное

знач

ение

пол

учен

ного

рез

ульт

ата;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я о

дейс

твит

ельн

ых

числ

ах, в

том

чис

ле с

по

мощ

ью п

рим

еров

, кон

трпр

имер

ов.

44

1.6.

При

мен

ение

дей

стви

тель

-ны

х чи

сел

для

выпо

лнен

ия

вычи

слен

ий в

раз

личн

ых

конт

екст

ах, п

рим

еняя

сво

й-ст

ва и

зуче

нны

х оп

ерац

ий

и уч

иты

вая

знач

имос

ть

скоб

ок.

1.7.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие п

о ра

злич

ным

кри

тери

ям

элем

енто

в чи

слов

ых

мно

жес

тв N

, Z, Q

, R.

1.8.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тно-

го з

наче

ния

утве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

о де

йств

и-те

льны

х чи

слах

, в то

м ч

ис-

ле с

пом

ощью

при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов.

1.9.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

/за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да, с

вяза

нног

о с

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и,

поср

едст

вом

арг

умен

тов,

до

каза

тель

ств.

• Вн

есен

ие м

нож

ител

я по

д зн

ак

корн

я. В

ыне

сени

е м

нож

ител

я из

-по

д зн

ака

корн

я

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

степ

ень

с це

лым

пок

азат

елем

,пр

авил

а вы

числ

ения

ст

епен

ей с

целы

м п

оказ

ател

ем.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и

смод

елир

ован

ных

сит

уаци

й, о

тнос

ящих

ся к

де

йств

ител

ьны

м ч

исла

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ре

альн

ых

и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

ивед

енны

й ко

нтрп

рим

ер;

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.2.

1. Р

аспо

знав

ание

и п

рим

ене-

ние

в ра

злич

ных

конт

екст

ах

терм

инол

огии

, отн

осящ

ей-

ся к

алг

ебра

ичес

ким

пре

-об

разо

вани

ям.

I. Ал

гебр

аиче

ские

пре

обра

зова

ния

• Д

ейст

вите

льны

е чи

сла,

пр

едст

авле

нны

е бу

квам

и•

Дей

стви

я с

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и, п

редс

тавл

енны

ми

букв

ами

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах

терм

инол

огии

, отн

осящ

ейся

к а

лгеб

раич

ески

м

прео

браз

ован

иям

; -

сост

авле

ние

и ре

шен

ие з

адач

на

прим

енен

ие б

укв

вмес

то

чисе

л;-

выпо

лнен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах с

лож

ений

, вы

чита

ний,

ум

нож

ений

, дел

ений

и в

озве

дени

й в

степ

ень

с на

тура

льны

м п

оказ

ател

ем н

ад д

ейст

вите

льны

ми

числ

ами,

пр

едст

авле

нны

ми

букв

ами;

45

2.2.

Вы

полн

ение

сло

жен

ий,

вычи

тани

й, у

мно

жен

ий,

деле

ний

и во

звед

ений

в

степ

ень

с на

тура

льны

м

пока

зате

лем

дей

стви

тель

-ны

х чи

сел,

пре

дста

влен

ных

букв

ами.

2.3.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

ситу

ация

х фо

рмул

со-

кращ

енно

го у

мно

жен

ия и

пр

имен

ение

эти

х фо

рмул

дл

я оп

тим

изац

ии в

ычи

с-ле

ний.

2.4.

Раз

лож

ение

алг

ебра

иче-

ског

о вы

раж

ения

на

мно

-ж

ител

и, и

спол

ьзуя

аде

кват

-ны

й м

етод

. 2.

5. А

нали

зиро

вани

е ре

ше-

ния

зада

чи, п

робл

емно

й си

туац

ии с

при

мен

ение

м

алге

браи

ческ

их п

реоб

разо

-ва

ний

в ко

нтек

сте

корр

ект-

ност

и, п

рост

оты

, чёт

кост

и и

знач

имос

ти п

олуч

енны

х ре

зуль

тато

в.2.

6. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

о-го

зна

чени

я ут

верж

дени

я,

выск

азы

вани

я об

алг

ебра

-ич

ески

х пр

еобр

азов

ания

х,

в то

м ч

исле

с п

омощ

ью

прим

еров

, кон

трпр

имер

ов,

дока

зате

льст

в.

• Ф

орм

улы

сок

ращ

енно

го

умно

жен

ия:

ab

aab

b

abab

ab

ab

aab

a bb

a

±(

)=

±+

−(

)+

()=

−

±(

)=

±+

±

22

2

22

33

22

3

2 33

; ;

;

333

22

±=

±(

)+

()

baba

abb

• М

етод

ы р

азло

жен

ия

алге

браи

ческ

ого

выра

жен

ия н

а м

нож

ител

и:-

разл

ожен

ие н

а м

нож

ител

и,

испо

льзу

я об

щий

мно

жит

ель;

-ра

злож

ение

на

мно

жит

ели,

ис

поль

зуя

мет

од гр

уппи

ровк

и;-

разл

ожен

ие н

а м

нож

ител

и,

испо

льзу

я фо

рмул

ы

сокр

ащен

ного

ум

нож

ения

• То

жде

стве

нны

е пр

еобр

азов

ания

ал

гебр

аиче

ских

вы

раж

ений

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

куб

сум

мы

, куб

раз

ност

и, с

умм

а ку

бов,

раз

ност

ь ку

бов.

-ра

споз

нава

ние

в ра

злич

ных

ситу

ация

х фо

рмул

со

кращ

енно

го у

мно

жен

ия и

их

прим

енен

ие д

ля

опти

миз

ации

вы

числ

ений

;-

разл

ожен

ие а

лгеб

раич

еско

го в

ыра

жен

ия н

а м

нож

ител

и,

испо

льзу

я, в

том

чис

ле ф

орм

улы

сок

ращ

ённо

го у

мно

жен

ия:

-пр

еобр

азов

ание

алг

ебра

ичес

ких

выра

жен

ий, и

спол

ьзуя

из

учен

ные

элем

енты

алг

ебра

ичес

ких

прео

браз

ован

ий;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я об

алг

ебра

ичес

ких

прео

браз

ован

иях,

в

том

чис

ле с

пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

прим

еров

, до

каза

тель

ств.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

азли

чны

х об

ласт

ей,

отно

сящ

ихся

к а

лгеб

раич

ески

м п

реоб

разо

вани

ям, и

ре

шен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

алг

ебра

ичес

ких

прео

браз

ован

ий в

раз

личн

ых

обла

стях

.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

алге

браи

ческ

их п

реоб

разо

вани

й.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

ивед

ённы

й ко

нтрп

рим

ер;

Со

став

ленн

ая м

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

46

3.1.

Рас

позн

аван

ие в

раз

-ли

чны

х си

туац

иях

и пр

и-м

енен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах те

рмин

олог

ии и

об

озна

чени

й, о

тнос

ящих

ся

к по

няти

ям п

осле

дова

-т

ельн

ост

ь, ф

ункц

ия.

3.2.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие п

о-сл

едов

ател

ьнос

тей,

фун

к-ци

й по

раз

личн

ым

кри

те-

риям

.3.

3. Р

аспо

знав

ание

и о

писа

-ни

е по

след

оват

ельн

осте

й,

функ

цион

альн

ых

зави

сим

о-ст

ей в

реа

льны

х и/

или

смо-

дели

рова

нны

х си

туац

иях.

3.4.

Пре

дста

влен

ие р

азли

ч-ны

ми

спос

обам

и (а

нали

-ти

ческ

им, с

инте

тиче

ским

, гр

афич

ески

м) с

оотв

етст

вий

меж

ду м

нож

еств

ами

и/ил

и фу

нкци

й с

цель

ю и

х оп

и-са

ния.

3.

5. Э

кстр

апол

иров

ание

из-

учен

ных

функ

ций

и их

св

ойст

в дл

я ре

шен

ия з

а-да

ч, п

робл

емны

х си

туац

ий

из р

азли

чны

х об

ласт

ей.

3.6.

Вы

веде

ние

свой

ств

из-

учен

ной

функ

ции

(нул

и,

знак

, мон

отон

ност

ь) п

о-ср

едст

вом

чте

ния

граф

иков

и/

или

форм

ул.

III. П

осле

дова

тель

ност

и. Ф

ункц

ии

• По

няти

е чи

слов

ая

посл

едов

ател

ьнос

ть

• Сп

особ

ы з

адан

ия

посл

едов

ател

ьнос

ти•

Клас

сифи

каци

я по

след

оват

ельн

осте

й (к

онеч

ные,

бе

скон

ечны

е, м

онот

онны

е по

след

оват

ельн

ости

)•

Поня

тие

фун

кция

. Ф

ункц

иона

льны

е за

виси

мос

ти.

Спос

обы

зад

ания

фун

кции

•

Граф

ик ф

ункц

ии•

Фун

кция

I ст

епен

и. С

войс

тва

(нул

ь фу

нкци

и, з

нак,

мон

отон

ност

ь).

Угло

вой

коэф

фици

ент п

рям

ой•

Пост

оянн

ая ф

ункц

ия•

Прям

ая п

ропо

рцио

наль

ност

ь•

Фун

кция

вид

а fR

Rfx

k xkR

:,

,∗

∗∗

→()=

∈

Свой

ства

фун

кции

(зна

к,

мон

отон

ност

ь)•

Фун

кция

. fR

Rfx

x:

,.

++

→()=

Св

ойст

ва ф

ункц

ии (н

уль,

зна

к,

мон

отон

ност

ь)

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

прим

енен

ие з

адан

ных

прав

ил д

ля с

оста

влен

ия

посл

едов

ател

ьнос

тей;

-пр

ивед

ение

при

мер

ов ф

ункц

иона

льны

х за

виси

мос

тей,

фу

нкци

й;-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах, в

то

м ч

исле

при

общ

ении

терм

инол

огии

и о

бозн

ачен

ий,

отно

сящ

ихся

к п

онят

иям

пос

ледо

ват

ельн

ост

ь, ф

ункц

ия;

-за

пись

, чте

ние,

при

веде

ние

прим

еров

пон

ятий

: по

след

оват

ельн

ост

ь, ф

ункц

иона

льна

я за

виси

мос

ть,

ф

ункц

ия, з

акон

зав

исим

ост

и, о

блас

ть

опре

деле

ния

(кон

ечна

я, б

еско

нечн

ая),

обла

сть

знач

ений

, мно

жес

тво

зн

ачен

ий, т

абли

ца з

наче

ний,

диа

грам

ма,

гра

фик

;-

пред

став

лени

е от

нош

ений

меж

ду м

нож

еств

ами

и/

или

функ

ций

разл

ичны

ми

спос

обам

и (а

нали

тиче

ским

, си

нтет

ичес

ким

, гра

фиче

ским

);-

чтен

ие гр

афик

ов/ф

орм

ул и

вы

веде

ние

свой

ств

функ

ции;

-пр

имен

ение

сво

йств

фун

кций

при

реш

ении

зад

ач;

-пр

имен

ение

изу

ченн

ых

посл

едов

ател

ьнос

тей

и фу

нкци

й пр

и ре

шен

ии з

адач

, про

блем

ных

ситу

аций

из

разл

ичны

х об

ласт

ей, в

том

чис

ле п

ри и

зуче

нии

и ра

зъяс

нени

и ра

злич

ных

физи

ческ

их, х

имич

ески

х, б

иоло

гиче

ских

, эк

оном

ичес

ких,

ист

орич

ески

х, с

оциа

льны

х, п

роце

ссов

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о м

атем

атич

еско

го

резу

льта

та и

ли в

ыво

да в

кон

текс

те и

зуче

ния

посл

едов

ател

ьнос

тей,

фун

кций

пут

ём п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

с по

мощ

ью д

оказ

ател

ьств

, при

мер

ов,

конт

рпри

мер

ов.

47

3.7.

При

мен

ение

изу

ченн

ых

функ

ций

и по

след

оват

ель-

ност

ей п

ри р

ешен

ии з

адач

, пр

обле

мны

х си

туац

ий, п

ри

изуч

ении

и о

писа

нии

раз-

личн

ых

физи

ческ

их, х

и-м

ичес

ких,

био

логи

ческ

их,

экон

омич

ески

х, с

оциа

ль-

ных

проц

ессо

в в

обла

сти

пред

прин

имат

ельс

тва.

3.

8. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

о-го

зна

чени

я ут

верж

дени

я,

выск

азы

вани

я в

конт

екст

е из

учен

ия п

осле

дова

тель

но-

стей

, фун

кций

с п

омощ

ью

прим

еров

, кон

трпр

имер

ов,

дока

зате

льст

в.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

числ

овая

пос

ледо

ват

ельн

ост

ь, к

о-не

чная

, бес

коне

чная

, мон

отон

ная

по-

след

оват

ельн

ост

ь, ф

орм

ула

общ

его

член

а по

след

оват

ельн

ост

и, с

тро

го

возр

аст

ающ

ая ч

исло

вая

посл

едов

а-т

ельн

ост

ь, в

озра

стаю

щая

чис

лова

я по

след

оват

ельн

ост

ь, с

тро

го у

бы-

ваю

щая

чис

лова

я по

след

оват

ель-

ност

ь, у

быва

ющ

ая ч

исло

вая

посл

едо-

ват

ельн

ост

ь, п

ост

оянн

ая ч

исло

вая

посл

едов

ател

ьнос

ть,

ура

внен

ие

граф

ика

фун

кции

, обр

атна

я пр

опор

-ци

онал

ьнос

ть,

гип

ербо

ла, ф

ункц

ия

ради

кал

(ква

драт

ный

коре

нь).

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

по

след

оват

ельн

остя

м и

фун

кция

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

изу

ченн

ых

посл

едов

ател

ьнос

тей

и фу

нкци

й в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия и

зуче

нны

х по

след

оват

ельн

осте

й фу

нкци

й в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

посл

едов

ател

ьнос

тей

и фу

нкци

й в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

посл

едов

ател

ьнос

тей

и фу

нкци

й.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дова

ние

"Изм

ерен

ие те

мпе

рату

ры в

озду

ха н

а пр

отяж

ении

одн

ой н

едел

и";

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Гр

афик

фун

кции

;

Прое

кт S

TEM

"Фун

кции

в с

порт

е";

Пр

оект

"Фун

кции

в ф

изик

е";

Со

став

ленн

ая д

иагр

амм

а;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная;

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

48

4.1.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

ситу

ация

х и

прим

ене-

ние

в ра

злич

ных

конт

екст

ах

терм

инол

огии

и о

бозн

а-че

ний,

соо

твет

ству

ющ

их

поня

тиям

ура

внен

ие, н

ера-

венс

тво

, сис

тем

а.4.

2. О

цени

вани

е и

анал

изир

о-ва

ние

реш

ения

ура

внен

ия,

нера

венс

тва,

сис

тем

ы в

ко

нтек

сте

корр

ектн

ости

, пр

осто

ты, ч

ётко

сти

и зн

ачи-

мос

ти п

олуч

енны

х ре

зуль

-та

тов.

4.3.

Реш

ение

изу

ченн

ых

типо

в ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

си

стем

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

.4.

4. П

ерев

од з

адач

и, п

робл

ем-

ной

ситу

ации

на

язы

к ур

ав-

нени

й, н

ерав

енст

в и/

или

си

стем

, реш

ение

пол

учен

-но

й за

дачи

и и

нтер

прет

и-ро

вани

е ре

зуль

тата

.4.

5. П

олуч

ение

ура

внен

ий,

нера

венс

тв, с

исте

м,

прим

еняя

рав

носи

льны

е пр

еобр

азов

ания

, реш

ение

по

луче

нны

х ур

авне

ний,

не

раве

нств

, сис

тем

.

IV. У

равн

ения

. Нер

авен

ства

. Си

стем

ы

• По

няти

е ур

авне

ние

I ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

. Пов

торе

ние

и до

полн

ения

• По

няти

е ур

авне

ние

I ст

епен

и с

двум

я не

изве

стны

ми.

Ге

омет

риче

ское

изо

браж

ение

ур

авне

ния

I сте

пени

с д

вум

я не

изве

стны

ми.

Угл

овой

ко

эффи

циен

т пря

мой

• По

няти

е си

стем

а дв

ух у

равн

ений

I с

теп

ени

с дв

умя

неиз

вест

ным

и.

Равн

осил

ьны

е пр

еобр

азов

ания

• М

етод

ы р

ешен

ия с

исте

м д

вух

урав

нени

й I с

тепе

ни с

дву

мя

неиз

вест

ным

и (м

етод

при

веде

ния,

м

етод

под

стан

овки

, гра

фиче

ский

м

етод

)•

Мет

оды

реш

ения

сис

тем

дву

х ур

авне

ний

I сте

пени

с д

вум

я не

изве

стны

ми

• Чи

слов

ые

нера

венс

тва.

Сво

йств

а•

Числ

овы

е пр

омеж

утки

. Опе

раци

и (о

бъед

инен

ие, п

ерес

ечен

ие)

• По

няти

е не

раве

нст

во I

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м•

Реш

ение

нер

авен

ств

I сте

пени

с

одни

м н

еизв

естн

ым

. •

Поня

тие

сист

ема

нера

венс

тв

I ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х си

туац

иях

и пр

имен

ение

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

терм

инол

огии

и о

бозн

ачен

ий,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятия

м у

равн

ение

, нер

авен

ство

, си

стем

а.-

реш

ение

лин

ейны

х ур

авне

ний

с од

ним

неи

звес

тны

м,

нера

венс

тв с

одн

им н

еизв

естн

ым

, сис

тем

ура

внен

ий и

не

раве

нств

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;-

граф

ичес

кое

изоб

раж

ение

реш

ений

ура

внен

ий I

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м и

с д

вум

я не

изве

стны

ми;

-вы

полн

ение

рав

носи

льны

х пр

еобр

азов

аний

для

пол

учен

ия

урав

нени

й, н

ерав

енст

в, с

исте

м, р

авно

силь

ных

данн

ым

;-

реш

ение

сис

тем

дву

х ур

авне

ний

I сте

пени

с д

вум

я не

изве

стны

ми

разл

ичны

ми

мет

одам

и: м

етод

при

веде

ния,

м

етод

под

стан

овки

, гра

фиче

ский

мет

од;

-пе

рево

д за

дачи

, про

блем

ной

ситу

ации

на

язы

к ур

авне

ний,

не

раве

нств

и/и

ли с

исте

м, р

ешен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и

инте

рпре

тиро

вани

е ре

зуль

тата

;-

сост

авле

ние

и ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч по

зад

анно

й м

одел

и:

урав

нени

е, н

ерав

енст

во, с

исте

ма;

-на

хож

дени

е об

ъеди

нени

й и

пере

сече

ний

числ

овы

х пр

омеж

утко

в и

изоб

раж

ение

пол

учен

ных

резу

льта

тов

на

числ

овой

оси

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

отн

осит

ельн

о ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

сис

тем

пу

тём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв, п

рим

еров

, ко

нтрп

рим

еров

;-

испо

льзо

вани

е из

учен

ных

типо

в ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

си

стем

для

реш

ения

зад

ач и

з ра

злич

ных

обла

стей

;-

прим

енен

ие с

войс

тв и

зуче

нны

х фу

нкци

й пр

и ре

шен

ии

урав

нени

й, н

ерав

енст

в, с

исте

м.

49

4.6.

Сос

тавл

ение

и р

ешен

ие

прос

тых

зада

ч по

зад

анно

й м

одел

и: у

равн

ение

, не

раве

нств

о, с

исте

ма.

4.

7. П

рим

енен

ие с

войс

тв

функ

ций

при

реш

ении

ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

си

стем

.4.

8. И

спол

ьзов

ание

изу

ченн

ых

типо

в ур

авне

ний,

нер

а-ве

нств

, сис

тем

для

реш

е-ни

я за

дач

из р

азли

чны

х об

ласт

ей: ф

изик

а, х

имия

, эк

оном

ика

и др

.4.

9. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

отн

осит

ельн

о ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

си

стем

пут

ём п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

, пр

имер

ов, к

онтр

прим

еров

.

• Ре

шен

ие с

исте

м н

ерав

енст

в I

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

урав

нени

е с

двум

я не

изве

стны

ми,

ре-

шен

ие у

равн

ения

с д

вум

я не

изве

ст-

ным

и, о

блас

ть

допу

стим

ых

знач

е-ни

й ур

авне

ния

с дв

умя

неиз

вест

ны-

ми,

гра

фик

ура

внен

ия, п

рям

ая р

еше-

ний

урав

нени

я, с

ист

ема

двух

ура

вне-

ний

с дв

умя

неиз

вест

ным

и, р

ешен

ие

сист

емы

дву

х ур

авне

ний

с дв

умя

неиз

вест

ным

и, м

нож

ест

во р

ешен

ий

сист

емы

ура

внен

ий, р

авно

силь

ные

сист

емы

, мет

од п

риве

дени

я, м

етод

по

дст

анов

ки, г

раф

ичес

кий

мет

од,

сист

ема

нера

венс

тв

I ст

епен

и с

од-

ним

неи

звес

тны

м, м

нож

ест

во р

еше-

ний

сист

емы

нер

авен

ств

I ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ур

авне

ниям

, нер

авен

ства

м и

сис

тем

ам, и

реш

ение

по

луче

нны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ур

авне

ний,

нер

авен

ств

и си

стем

в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия и

зуче

нны

х ур

авне

ний,

нер

авен

ств

и си

стем

в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

урав

нени

й, н

ерав

енст

в и

сист

ем в

реа

льны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

урав

нени

й, н

ерав

енст

в и

сист

ем.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

И

зобр

ажен

ные

граф

ики

для

сист

ем у

равн

ений

;

Прое

кт "П

рим

еры

при

мен

ения

ура

внен

ий, н

ерав

енст

в,

сист

ем в

раз

личн

ых

обла

стях

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций,

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

50

5.1.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

ситу

ация

х и

прим

ене-

ние

в ра

злич

ных

конт

екст

ах

терм

инол

огии

и о

бозн

аче-

ний,

соо

твет

ству

ющ

их п

о-ня

тию

ура

внен

ие II

ст

епе-

ни с

одн

им н

еизв

ест

ным

.5.

2. О

цени

вани

е и

анал

изи-

рова

ние

реш

ения

ура

вне-

ния

II ст

епен

и в

конт

екст

е ко

ррек

тнос

ти, п

рост

оты

, чё

ткос

ти и

зна

чим

ости

по-

луче

нны

х ре

зуль

тато

в.5.

3. П

ерев

од з

адач

и, п

ро-

блем

ной

ситу

ации

на

язы

к ур

авне

ний

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

естн

ым

или

пр

ивед

енны

м к

ним

, ре-

шен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и

инте

рпре

тиро

вани

е ре

-зу

льта

та.

5.4.

Кла

ссиф

ицир

ован

ие п

о ра

злич

ным

кри

тери

ям

урав

нени

й II

степ

ени.

5.5.

Реш

ение

ура

внен

ий II

ст

епен

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

, при

мен

яя

раци

онал

ьны

й м

етод

. 5.

6. П

рим

енен

ие о

тнош

ений

Ви

ета

для

реш

ения

и

сост

авле

ния

урав

нени

й II

степ

ени.

V. У

равн

ения

II с

тепе

ни

• По

няти

е ур

авне

ние

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

• Ре

шен

ие у

равн

ений

II с

тепе

ни с

од

ним

неи

звес

тны

м:

- Ре

шен

ие у

равн

ений

вид

а ax

ca

acR

20

0+

=≠

∈,

,,

;-

Реш

ение

ура

внен

ий в

ида

ax

bxa

abR

20

0+

=≠

∈,

,,

;•

Реш

ение

ура

внен

ий в

ида

axm

xn

aR

+(

)+

()=

∈∗

0,

• Ф

орм

ула

реш

ения

ура

внен

ий II

ст

епен

и с

одни

м н

еизв

естн

ым

:-

Фор

мул

а ре

шен

ия у

равн

ений

II

степ

ени,

общ

ий с

луча

й;-

Фор

мул

а ре

шен

ия п

риве

дён-

ных

урав

нени

й II

степ

ени

• О

тнош

ения

меж

ду р

ешен

иям

и и

коэф

фици

ента

ми:

теор

ема

Виет

а;

обра

тная

теор

ема

теор

еме

Виет

а•

Разл

ожен

ие в

ыра

жен

ий в

ида

axbx

ca

abcR

20

++

≠∈

,,

,,

на

мно

жит

ели

• Ре

шен

ие з

адач

с п

рим

енен

ием

ур

авне

ний

II ст

епен

и.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х си

туац

иях

и пр

имен

ение

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

терм

инол

огии

и о

бозн

ачен

ий,

соот

ветс

твую

щих

пон

ятию

ура

внен

ие II

ст

епен

и с

одни

м

неиз

вест

ным

;-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

ком

поне

нтов

ур

авне

ний

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

естн

ым

;-

клас

сифи

циро

вани

е ур

авне

ний

II ст

епен

и по

раз

личн

ым

кр

итер

иям

;-

расп

озна

вани

е и

реш

ение

раз

личн

ых

типо

в ур

авне

ний

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

естн

ым

и п

риво

дим

ых

к ни

м в

ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х ко

нтек

стах

;-

разл

ожен

ие в

ыра

жен

ий в

ида ax

bxca

abcR

20

++

≠∈

,,

,,

на м

нож

ител

и и

испо

льзо

вани

е та

ких

разл

ожен

ий п

ри

реш

ении

зад

ач;

-пе

рево

д за

дачи

, про

блем

ной

ситу

ации

на

язы

к ур

авне

ний

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

естн

ым

или

при

веде

нны

м к

ни

м, р

ешен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и и

нтер

прет

иров

ание

ре

зуль

тата

;-

прим

енен

ие у

равн

ений

II с

тепе

ни с

одн

им н

еизв

естн

ым

пр

и из

учен

ии д

руги

х ш

коль

ных

пред

мет

ов;

-ре

шен

ие и

сос

тавл

ение

ура

внен

ий II

сте

пени

с о

дним

не

изве

стны

м, и

спол

ьзуя

теор

ему

Виет

а и/

или

обра

тную

те

орем

у те

рем

е Ви

ета;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

и/и

ли о

босн

ован

ие

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

отн

о-си

тель

но у

равн

ений

пут

ём п

риве

дени

я ар

гум

енто

в,

дока

зате

льст

в, п

рим

еров

, кон

трпр

имер

ов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

ура

внен

иям

II

степ

ени

с од

ним

неи

звес

тны

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

51

5.7.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да о

тнос

ител

ьно

урав

нени

й пу

тём

при

ве-

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

а-те

льст

в.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

урав

нени

е II

степ

ени

с од

ним

не

изве

стны

м, к

оэф

фиц

иент

ы

урав

нени

я, н

епол

ное

урав

нени

е II

степ

ени,

при

ведё

нное

ура

внен

ие II

ст

епен

и, д

искр

имин

ант

ура

внен

ия

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

, де

льт

а, ф

орм

ула

реш

ений

ура

внен

ия

II ст

епен

и с

одни

м н

еизв

ест

ным

, со

отно

шен

ия В

иет

а.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию у

равн

ений

II с

тепе

ни в

пра

ктич

еско

й де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

ура

внен

ий II

сте

пени

в р

азли

чны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов в

ко

нтек

сте

прим

енен

ия у

равн

ений

II с

тепе

ни в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

урав

нени

й II

степ

ени.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

оект

"При

мен

ение

ура

внен

ий II

сте

пени

в р

азли

чны

х об

ласт

ях";

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.6.

1. Р

аспо

знав

ание

и п

рим

ене-

ние

в ра

злич

ных

ситу

ация

х из

учен

ных

элем

енто

в м

ате-

мат

ичес

кой

логи

ки.

6.2.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

конт

екст

ах и

при

мен

е-ни

е в

разл

ичны

х си

туац

иях

терм

инол

огии

и о

бозн

а-че

ний,

отн

осящ

ихся

к и

з-уч

енны

м ге

омет

риче

ским

по

няти

ям.

VI. Г

еом

етри

ческ

ие ф

игур

ы н

а пл

оско

сти.

Пов

торе

ние

и до

полн

ения

• Эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й ло

гики

: ут

верж

дени

е, в

ыск

азы

вани

е (п

ро-

стое

, сос

тав

ное)

, опр

едел

ение

, ак

сиом

а, т

еоре

ма,

сле

дст

вие,

об

рат

ная

тео

рем

а, у

слов

ие (ч

то

дано

), за

клю

чени

е (ч

то

нуж

но д

о-ка

зат

ь), д

оказ

ател

ьст

во, и

стин

-но

стно

е зн

ачен

ие, к

онт

рпри

мер

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие в

раз

личн

ых

ситу

ация

х из

учен

ных

элем

енто

в м

атем

атич

еско

й ло

гики

; -

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

, вер

баль

ное

и пи

сьм

енно

е оп

исан

ие и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

пон

ятий

, ис

поль

зуя

терм

инол

огию

и с

оотв

етст

вую

щие

обо

знач

ения

;-

клас

сифи

циро

вани

е и

срав

нени

е из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, и

спол

ьзуя

инс

трум

енты

ИКТ

, чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, и п

рим

енен

ие п

олуч

енны

х из

обра

жен

ий п

ри

реш

ении

зад

ач;

52

6.3.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

конт

екст

ах, в

ерба

ль-

ное

и пи

сьм

енно

е оп

иса-

ние

изуч

енны

х ге

омет

ри-

ческ

их п

онят

ий, и

спол

ьзуя

те

рмин

олог

ию и

соо

твет

-ст

вую

щие

обо

знач

ения

.6.

4. К

ласс

ифиц

иров

ание

и

срав

нени

е из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

по

разл

ичны

м к

рите

риям

. 6.

5. И

зобр

ажен

ие н

а пл

оско

сти

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фи

гур,

исп

ольз

уя и

нстр

у-м

енты

ИКТ

, чер

тёж

ные

ин-

стру

мен

ты, и

при

мен

ение

по

луче

нны

х из

обра

жен

ий

при

реш

ении

зад

ач.

6.6.

При

мен

ение

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и

их с

войс

тв в

раз

личн

ых

обла

стях

, в р

еаль

ных

и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.6.

7. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

отн

осит

ельн

о ге

омет

риче

ских

фиг

ур

путё

м п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

.6.

8. П

остр

оени

е пр

осты

х це

поче

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний.

• Т

реуг

ольн

ики.

Эле

мен

ты.

Клас

сифи

каци

я тр

еуго

льни

ков.

За

меч

ател

ьны

е ли

нии

треу

голь

ника

. Сво

йств

а•

Окр

ужно

сть.

Эле

мен

ты

окру

жно

сти.

Кру

г. Эл

емен

ты к

руга

• Вз

аим

ное

расп

олож

ение

пря

мой

и

окру

жно

сти/

круг

а•

Цент

раль

ный

угол

. Дуг

и ок

руж

ност

и•

Впис

анны

й уг

ол в

окр

ужно

сть

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

прям

ая, в

неш

няя

по о

тно

шен

ию к

ок

руж

ност

и, к

асат

ельн

ая к

окр

уж-

ност

и, п

рям

ая с

екущ

ая п

о от

нош

е-ни

ю к

окр

ужно

сти,

цен

тра

льны

й уг

ол, м

еньш

ая д

уга,

бол

ьшая

дуг

а,

конц

ы д

уг, д

опол

нит

ельн

ые

дуги

, гр

адус

ная

мер

а ду

ги, у

гол,

впи

санн

ый

в ок

руж

ност

ь.

-ан

ализ

иров

ание

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

атов

, по

луче

нны

х пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

кой

зада

чи с

ис

поль

зова

нием

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и

соот

ветс

твую

щих

еди

ниц

изм

ерен

ия;

-об

осно

вани

е по

луче

нног

о ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да о

тнос

ител

ьно

геом

етри

ческ

их ф

игур

пут

ём

прив

еден

ия а

ргум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

; -

пост

роен

ие п

рост

ых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й,

реш

ение

про

сты

х за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

отно

сите

льно

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их

фигу

р, в

том

чис

ле с

пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

при-

мер

ов.

-пр

имен

ение

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

и и

х св

ойст

в в

разл

ичны

х об

ласт

ях, в

том

чис

ле в

пра

ктич

еско

й де

ятел

ьнос

ти.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ге

омет

риче

ским

фиг

урам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур в

пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

азли

чны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

53

6.9.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тно-

го з

наче

ния

утве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

отно

сите

ль-

но и

зуче

нны

х ге

омет

риче

-ск

их ф

игур

, в то

м ч

исле

с

пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

-пр

имер

ов.

Со

став

ленн

ый

план

реш

ения

зад

ачи;

Ри

суно

к;

Аргу

мен

таци

я ус

тная

/пис

ьмен

ная.

Д

оказ

ател

ьств

а;

Прак

тиче

ская

раб

ота

на м

естн

ости

"Рас

позн

аван

ие

геом

етри

ческ

их ф

игур

во

двор

е ш

колы

";

Прое

кт S

TEАM

"Исп

ольз

ован

ие ге

омет

риче

ских

фиг

ур в

ди

зайн

е";

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Мод

ели

изуч

енны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

7.1.

Рас

позн

аван

ие в

раз

лич-

ных

конт

екст

ах и

при

мен

е-ни

е в

разл

ичны

х си

туац

иях

терм

инол

огии

и о

бозн

аче-

ний,

отн

осящ

ихся

к п

одо-

бию

треу

голь

нико

в.7.

2. Р

аспо

знав

ание

под

обны

х тр

еуго

льни

ков

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х ге

омет

риче

ских

кон

фигу

-ра

циях

.7.

3. У

стан

овле

ние

отно

шен

ия

подо

бия

меж

ду д

вум

я тр

е-уг

ольн

икам

и ра

злич

ным

и м

етод

ами.

7.4.

При

мен

ение

мет

ода

подо

-би

я тр

еуго

льни

ков

при

ре-

шен

ии п

ракт

ичес

ких

за-д

ач

и/ил

и за

дач

из р

азли

ч-ны

х об

ласт

ей.

VII.

Подо

бны

е тр

еуго

льни

ки

• Пр

опор

цион

альн

ые

отре

зки

• Те

орем

а Ф

алес

а•

Подо

бны

е тр

еуго

льни

ки•

Осн

овна

я те

орем

а по

доби

я•

Приз

наки

под

обия

треу

голь

нико

в •

Приз

наки

под

обия

пря

моу

голь

ных

треу

голь

нико

в•

Прил

ожен

ия

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

отно

шен

ие д

вух

отре

зков

, про

пор-

цион

альн

ые

отре

зки,

тео

рем

а Ф

але-

са, п

одоб

ные

тре

угол

ьник

и, к

оэф

фи-

циен

т п

одоб

ия, о

снов

ная

тео

рем

а по

доби

я, п

ризн

аки

подо

бия

двух

тре

-уг

ольн

иков

, при

знак

и по

доби

я дв

ух

прям

оуго

льны

х т

реуг

ольн

иков

.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

и п

рим

енен

ие

в ра

злич

ных

ситу

ация

х те

рмин

олог

ии и

обо

знач

ений

, от

нося

щих

ся к

под

обию

треу

голь

нико

в;-

расп

озна

вани

е по

добн

ых

треу

голь

нико

в в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

геом

етри

ческ

их к

онфи

гура

циях

;-

уста

новл

ение

отн

ошен

ия п

одоб

ия м

ежду

дву

мя

треу

голь

ника

ми,

исп

ольз

уя п

ризн

аки

подо

бия;

-пр

имен

ение

при

знак

ов п

одоб

ия тр

еуго

ль-н

иков

при

ре

шен

ии р

азли

чны

х за

дач,

в то

м ч

исле

из

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти;

-об

осно

вани

е по

луче

нног

о ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да в

кон

текс

те п

одо-

бия

треу

голь

нико

в пу

тём

пр

ивед

ения

арг

умен

тов,

при

мер

ов, к

онтр

прим

еров

, до

каза

тель

ств;

-ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч на

док

азат

ельс

тво,

на

пост

роен

ие

прос

тых

цепо

чек

деду

ктив

-ны

х су

жде

ний;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я;-

сост

авле

ние

и ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч по

зад

анно

й ге

омет

риче

ской

мод

ели;

54

7.5.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да в

кон

текс

те п

о-до

бия

треу

голь

нико

в пу

тём

пр

ивед

ения

арг

умен

тов,

до

каза

тель

ств.

7.6.

Пос

трое

ние

прос

тых

цепо

-че

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний.

7.7.

Сос

тавл

ение

пла

на д

ей-

стви

й дл

я ре

шен

ия р

азли

ч-ны

х пр

акти

ческ

их з

адач

, ис

поль

зуя

мет

од п

одоб

ия

треу

голь

нико

в, и

реш

ение

за

дачи

сог

ласн

о ра

зраб

о-та

нном

у пл

ану.

7.8.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тно-

го з

наче

ния

утве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

отн

осящ

е-го

ся к

под

обию

треу

голь

-ни

ков,

в то

м ч

исле

с п

омо-

щью

при

мер

ов, к

онтр

при-

мер

ов, д

оказ

ател

ьств

.

-со

став

лени

е пл

анов

дей

стви

й дл

я ре

шен

ия р

азли

чны

х пр

акти

ческ

их з

адач

, исп

ольз

уя м

етод

под

обия

тр

еуго

льни

ков.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

под

обны

м

треу

голь

ника

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

под

обны

х тр

еуго

льни

ков

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия п

одоб

ных

треу

голь

нико

в в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов,

в то

м ч

исле

про

екто

в ST

EM/S

TEAM

в к

онте

ксте

пр

имен

ения

под

обны

х тр

еуго

льни

ков

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я по

добн

ых

треу

голь

нико

в.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ый

план

;

Рису

нок;

М

одел

и ге

омет

риче

ских

фиг

ур;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Док

азат

ельс

тва;

Пр

оект

"При

лож

ения

мет

ода

подо

бия

треу

голь

нико

в в

стро

ител

ьств

е";

Пр

акти

ческ

ая р

абот

а "П

рило

жен

ия м

етод

а по

доби

я тр

еуго

льни

ков

в пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти"

.

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

55

8.1.

Рас

позн

аван

ие и

опи

сани

е эл

емен

тов

прям

оуго

льно

го

треу

голь

ника

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х ге

омет

риче

ских

ко

нфиг

урац

иях.

8.2.

При

мен

ение

м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в

прям

оуго

льно

м

треу

голь

нике

для

на

хож

дени

я не

кото

рых

его

элем

енто

в.8.

3. Р

аспо

знав

ание

и п

ри-

мен

ение

терм

инол

огии

и

обоз

наче

ний,

соо

твет

-ст

вую

щих

пря

моу

голь

ном

у тр

еуго

льни

ку и

изу

ченн

ым

м

етри

ческ

им о

тнош

ения

м,

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

8.4.

Обо

снов

ание

пол

учен

но-

го/з

адан

ного

рез

ульт

ата

или

выво

да в

кон

текс

те

мет

риче

ских

отн

ошен

ий в

пр

ямоу

голь

ном

треу

голь

-ни

ке п

утём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв.

8.5.

Пос

трое

ние

прос

тых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й в

конт

екст

е м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в

прям

оуго

льно

м

треу

голь

нике

.

VIII.

Мет

риче

ские

отн

ошен

ия в

пря

моу

голь

ном

треу

голь

нике

• О

ртог

онал

ьны

е пр

оекц

ии н

а пр

ямой

• Те

орем

а вы

соты

(с

дока

зате

льст

вом

)•

Теор

ема

кате

та (с

док

азат

ельс

твом

) •

Теор

ема

Пифа

гора

(с

дока

зате

льст

вом

). Пр

илож

ения

•

Элем

енты

триг

оном

етри

и в

прям

оуго

льно

м тр

еуго

льни

ке:

сину

с, к

осин

ус, т

анге

нс, к

отан

генс

ос

трог

о уг

ла

• Зн

ачен

ия с

инус

а, к

осин

уса,

та

нген

са, к

отан

генс

а дл

я уг

лов

30o ,

45o , 6

0o

• Ре

шен

ие п

рям

оуго

льно

го

треу

голь

ника

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

орт

огон

альн

ая п

роек

ция

фиг

уры

на

прям

ой, т

еоре

ма

высо

ты

, сре

днее

ге

омет

риче

ское

, тео

рем

а ка

тет

а,

тео

рем

а Пи

фаг

ора,

обр

атна

я т

еоре

ма

тео

рем

е Пи

фаг

ора,

син

ус

ост

рого

угл

а, к

осин

ус о

стро

го у

гла,

т

анге

нс о

стро

го у

гла,

кот

анге

нс

ост

рого

угл

а.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е пр

ямоу

голь

ных

треу

голь

нико

в и

их э

лем

енто

в в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

геом

етри

ческ

их к

онфи

гура

циях

;-

прим

енен

ие м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в п

рям

оуго

льно

м

треу

голь

нике

для

нах

ож-д

ения

нек

отор

ых

его

элем

енто

в;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

в к

онте

ксте

мет

риче

ских

отн

ошен

ий в

пр

ямоу

голь

ном

треу

голь

нике

пут

ём п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

;-

реш

ение

про

сты

х за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о, н

а по

стро

ение

пр

осты

х це

поче

к де

дукт

ив-н

ых

суж

дени

й;-

вычи

слен

ие и

при

мен

ение

зна

чени

й си

нуса

, кос

инус

а, та

н-ге

нса,

кот

анге

нса

для

угло

в 30

o , 45o , 6

0o пр

и ре

шен

ии з

адач

;-

иниц

ииро

вани

е и

осущ

еств

лени

е не

кото

-ры

х ис

след

ован

ий/и

зыск

аний

, исп

ольз

уя м

атем

атич

ески

е зн

ания

о п

рям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ках,

в то

м ч

исле

в

пред

прин

и-м

ател

ьско

й де

ятел

ьнос

ти;

-эк

стра

поли

рова

ние

изуч

енны

х м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в

прям

оуго

льно

м тр

еуго

льни

ке и

эле

мен

тов

триг

оном

етри

и,

для

реш

ения

зад

ач и

з ра

злич

ных

обла

стей

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к м

етри

ческ

им

отно

шен

иям

в п

рям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ках,

и р

ешен

ие

полу

ченн

ых

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

изу

ченн

ых

мет

риче

ских

отн

ошен

ий

в пр

ямоу

голь

ных

треу

голь

ника

х в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

мет

риче

ских

отн

ошен

ий в

пря

моу

голь

ных

треу

голь

ника

х в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

56

8.6.

Вы

числ

ение

и п

рим

енен

ие

в ра

злич

ных

обла

стях

зн

ачен

ий с

инус

а, к

осин

уса,

та

нген

са, к

отан

генс

а дл

я уг

лов

30o , 4

5o , 60o .

8.7.

Экс

трап

олир

ован

ие

изуч

енны

х м

етри

ческ

их

отно

шен

ий и

эле

мен

тов

триг

оном

етри

и дл

я ре

шен

ия з

адач

из

разл

ичны

х об

ласт

ей.

8.8.

Ини

циир

ован

ие и

пр

овед

ение

нек

отор

ых

иссл

едов

аний

/изы

скан

ий,

испо

льзу

я м

атем

атич

ески

е зн

ания

об

прям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ках,

в то

м ч

исле

в

пред

прин

имат

ельс

кой

деят

ельн

ости

.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в п

рям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ках

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я м

етри

ческ

их о

тнош

ений

в

прям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ках.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Со

став

ленн

ый

план

;

Рису

нок;

М

одел

и ге

омет

риче

ских

фиг

ур;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Док

азат

ельс

тва;

Пр

оект

"При

мен

ение

мет

риче

ских

отн

ошен

ий в

ст

роит

ельс

тве"

;

Прак

тиче

ская

раб

ота

"Пос

трое

ние

прям

оуго

льны

х тр

еуго

льни

ков

испо

льзу

я из

учен

ные

мет

риче

ские

от

нош

ения

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

57

9.1.

Рас

позн

аван

ие, К

ласс

ифи-

циро

вани

е по

раз

личн

ым

кр

итер

иям

и и

зобр

ажен

ие

на п

лоск

ости

изу

ченн

ых

четы

рёху

голь

-ник

ов, м

но-

гоуг

ольн

иков

.9.

2. Р

аспо

знав

ание

и п

рим

ене-

ние

терм

инол

огии

и о

бо-

знач

ений

, отн

осящ

ихся

к

изуч

енны

м м

ного

угол

ьни-

кам

и ч

еты

рёху

голь

ника

м,

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

9.3.

При

мен

ение

сво

йств

из

учен

ных

четы

рёху

голь

-ни

ков

при

реш

ении

пр

обле

м, п

робл

емны

х си

туац

ий и

з ра

злич

ных

обла

стей

.9.

4. П

ерев

од з

адач

и, п

ро-

блем

ной

ситу

ации

, отн

ося-

щей

ся к

мно

гоуг

ольн

икам

и

четы

рёху

голь

ника

м, н

а ге

омет

риче

ский

язы

к, р

е-ш

ение

пол

учен

ной

зада

чи

и ин

терп

рети

рова

ние

ре-

зуль

тата

.9.

5. Н

ахож

дени

е ис

тинн

остн

о-го

зна

чени

я ут

верж

дени

я,

выск

азы

вани

я, ге

омет

ри-

ческ

ого

хара

ктер

а, о

тнос

я-щ

ихся

к м

ного

угол

ьник

ам и

че

тырё

хуго

льни

кам

.

IX. М

ного

угол

ьник

и.Че

тыре

хуго

льни

ки

• По

няти

е м

ного

угол

ьник

. Вы

пукл

ые

мно

гоуг

ольн

ики.

Эле

мен

ты•

Поня

тие

чет

ырё

хуго

льни

к.

Элем

енты

. Вы

пукл

ые

четы

рёху

голь

ники

• Па

ралл

елог

рам

м. Э

лем

енты

. Св

ойст

ва, п

ризн

аки

• Ча

стны

е па

ралл

елог

рам

мы

:-

прям

оуго

льни

к, э

лем

енты

, св

ойст

ва, п

ризн

аки;

- ро

мб,

эле

мен

ты, с

войс

тва,

пр

изна

ки;

- кв

адра

т, эл

емен

ты, с

войс

тва,

пр

изна

ки•

Трап

еция

, эле

мен

ты, с

войс

тва,

пр

изна

ки•

Сред

няя

лини

я тр

апец

ии. С

войс

тво

сред

ней

лини

я тр

апец

ии (с

док

аза-

тель

ство

м)

• По

няти

е пр

авил

ьны

й м

ного

угол

ьник

. Эле

мен

ты.

Прав

ильн

ые

мно

гоуг

ольн

ики:

ра

внос

торо

нний

треу

голь

ник,

кв

адра

т, пр

авил

ьны

й ш

ести

угол

ьник

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

клас

сифи

циро

вани

е из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, и

спол

ьзуя

чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, инс

трум

енты

И

КТ, и

при

мен

ение

пол

учен

ных

изоб

раж

ений

при

реш

ении

за

дач;

-

прим

енен

ие ч

еты

рёху

голь

нико

в, м

ного

угол

ьник

ов и

их

свой

ств

в ра

злич

ных

обла

стях

;-

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ьтат

ов,

полу

ченн

ых

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач,

с

испо

льзо

вани

ем и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

со

отве

тств

ующ

их е

дини

ц из

мер

ения

;-

пост

роен

ие п

рост

ых

цепо

чек

деду

ктив

ных

суж

дени

й,

реш

ение

про

сты

х за

дач

на д

оказ

ател

ьств

о;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

в то

м ч

исле

с п

омощ

ью п

рим

еров

, ко

нтрп

рим

еров

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

в к

онте

ксте

чет

ырё

хуго

льни

ков,

мно

гоуг

ольн

иков

пу

тём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв;

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

м

ного

угол

ьник

ам и

чет

ырё

хуго

льни

кам

, и р

ешен

ие

полу

ченн

ых

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

чет

ырё

хуго

льни

ков,

мно

гоуг

ольн

иков

в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия ч

еты

рёху

голь

нико

в, м

ного

угол

ьник

ов в

ра

злич

ных

обла

стях

.

58

9.6.

Пос

трое

ние

прос

тых

цепо

-че

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний

в ко

нтек

сте

изуч

енны

х че

тырё

хуго

льни

ков.

9.

7. С

оста

влен

ие п

лана

для

ре

шен

ия з

адач

и на

при

ме-

нени

е из

учен

ных

четы

рёх-

угол

ьник

ов, м

ного

угол

ьни-

ков

в ра

злич

ных

конт

екст

ах

и ре

шен

ие з

адач

и со

глас

но

разр

абот

анно

му

план

у.9.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

в к

онте

ксте

че

тырё

хуго

льни

ков,

м

ного

угол

ьник

ов п

утём

пр

ивед

ения

арг

умен

тов,

до

каза

тель

ств.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

выпу

клы

й м

ного

угол

ьник

, шес

тиу

-го

льни

к, п

ризн

аки

пара

ллел

огра

м-

ма,

осн

ован

ия т

рапе

ции,

бок

овы

е ст

орон

ы т

рапе

ции,

рав

нобе

дрен

ная

тра

пеци

я, п

рям

оуго

льна

я т

рапе

ция,

ди

агон

аль

тра

пеци

и, с

редн

яя л

иния

т

рапе

ции,

пра

виль

ный

мно

гоуг

оль-

ник,

пра

виль

ный

шес

тиу

голь

ник,

ап

офем

а пр

авил

ьног

о ш

ест

иуго

ль-

ника

.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

че

тырё

хуго

льни

ков,

мно

гоуг

ольн

иков

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я че

тырё

хуго

льни

ков,

мно

гоуг

ольн

иков

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ная

зада

ча;

Д

оказ

ател

ьств

а;

Исс

леду

емы

й сл

учай

с п

ракт

ичес

ким

укл

оном

;

Исс

ледо

вани

е "П

рави

льны

е м

ного

угол

ьник

и в

техн

ике"

;

Разр

абот

анна

я сх

ема;

Пр

имен

енны

й ал

гори

тм;

И

гра

ТАНГ

РАМ

;

Геом

етри

ческ

ие п

азлы

(puz

zle);

Со

став

ленн

ый

план

.

Прое

кт "М

ного

угол

ьник

и и

четы

рёху

голь

ники

в д

изай

не";

Пр

акти

ческ

ая р

абот

а на

мес

тнос

ти "П

рим

енен

ие

четы

рёху

голь

нико

в и

мно

гоуг

ольн

иков

во

двор

е ш

колы

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

10.1

. Рас

позн

аван

ие и

исп

оль-

зова

ние

терм

инол

огии

и

обоз

наче

ний,

соо

твет

ству

-ю

щих

пон

ятия

м в

ект

ор и

па

ралл

ельн

ый

пере

нос,

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.

X. В

екто

ры н

а пл

оско

сти

• Па

ралл

ельн

ый

пере

нос.

Сво

йств

а.

Прил

ожен

ия•

Поня

тие

вект

ор. К

ласс

ифик

ация

ве

ктор

ов. М

одул

ь ве

ктор

а

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии и

об

озна

чени

й, с

оотв

етст

вую

щих

пон

ятию

век

тор

, пон

ятию

па

ралл

ельн

ый

пере

нос,

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

;-

прим

енен

ие п

арал

лель

ного

пер

енос

а в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х;

59

10.2

. Рас

позн

аван

ие и

при

-м

енен

ие п

арал

лель

ного

пе

рено

са в

реа

льны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

10.3

. Рас

позн

аван

ие э

лем

енто

в ве

ктор

ной

геом

етри

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

. 10

.4. П

рим

енен

ие в

екто

ров

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

и-ро

ванн

ых

ситу

ация

х.10

.5. Э

кстр

апол

иров

ание

век

-то

ров

и их

сво

йств

для

ре

шен

ия з

адач

из

раз-

личн

ых

обла

стей

, в то

м

числ

е пр

и ре

шен

ии з

адач

из

физ

ики

и пр

акти

ческ

их

зада

ч.

10.6

. Обо

снов

ание

пол

учен

но-

го и

ли з

адан

ного

рез

уль-

тата

или

вы

вода

отн

оси-

тель

но в

екто

ров

путё

м

прив

еден

ия а

ргум

енто

в,

дока

зате

льст

в.

• Д

ейст

вия

над

вект

орам

и: с

лож

ение

(п

рави

ло тр

еуго

льни

ка, п

рави

ло

пара

ллел

огра

мм

а), р

азно

сть,

ум

но-

жен

ие в

екто

ра н

а чи

сло,

раз

лож

е-ни

е ве

ктор

а по

дву

м н

екол

лине

ар-

ным

век

тора

м•

Прил

ожен

ия (в

геом

етри

и, в

фи

зике

)

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

пара

ллел

ьны

й пе

рено

с, о

риен

тир

о-ва

нны

й от

резо

к, н

улев

ой в

ект

ор,

равн

ые

вект

ора,

дли

на (м

одул

ь)

вект

ора,

кол

лине

арны

е ве

ктор

а,

слож

ение

век

тор

ов, п

рави

ло т

реу-

голь

ника

, пра

вило

пар

алле

логр

амм

а,

разн

ост

ь ве

ктор

ов, у

мно

жен

ие

вект

ора

на д

ейст

вит

ельн

ое ч

исло

, ра

злож

ение

век

тор

а по

дву

м н

екол

-ли

неар

ным

век

тор

ам, е

дини

чны

е ве

ктор

ы.

-ра

споз

нава

ние

элем

енто

в ве

ктор

ной

геом

етри

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

;-

выпо

лнен

ие о

пера

ций

с ве

ктор

ами;

-пр

имен

ение

век

торо

в и

их с

войс

тв в

раз

личн

ых

обла

стях

, в

том

чис

ле п

ри р

ешен

ии п

ракт

ичес

ких

зада

ч.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к в

екто

рам

, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

век

торо

в в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия в

екто

ров

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

вект

оров

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я ве

ктор

ов.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дова

ние

"Век

торы

в м

оей

жиз

ни";

Со

став

ленн

ый

план

;

Рису

нок;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Прое

кт "В

екто

ры в

физ

ике"

;

Прое

кт "П

рило

жен

ия п

арал

лель

ного

пер

енос

а в

диза

йне"

;

Сост

авле

нная

мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

60

В ко

нце

VIII

клас

са У

ЧЕНИ

К М

ОЖ

ЕТ:

• ра

споз

нава

ть, п

исат

ь, и

спол

ьзуя

раз

личн

ые

форм

ы, ч

итат

ь, с

равн

иват

ь и

упор

ядоч

иват

ь де

йств

ител

ьны

е чи

сла

в ра

злич

-ны

х си

туац

иях

и ко

нтек

стах

; •

выпо

лнят

ь в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х из

учен

ные

дейс

твия

над

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и, в

том

чис

-ле

над

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и, з

адан

ным

и бу

квам

и;

• пр

еобр

азов

ать

алге

браи

ческ

ое в

ыра

жен

ие, и

спол

ьзуя

фор

мул

ы с

окра

щен

ного

ум

нож

ения

и и

зуче

нны

е м

етод

ы р

азло

же-

ния

на м

нож

ител

и;•

расп

озна

вать

в р

еаль

ных и

/или

смод

елир

ован

ных с

итуа

циях

чис

ловы

е по

след

оват

ельн

ости

и ф

ункц

иона

льны

е за

виси

мо-

сти;

• кл

асси

фици

рова

ть и

зуче

нны

е по

след

оват

ельн

ости

, фун

кции

, ура

внен

ия, н

ерав

енст

ва, с

исте

мы

, гео

мет

риче

ские

фиг

уры

по

раз

личн

ым

зад

анны

м и

ли и

збра

нны

м к

рите

риям

;•

экст

рапо

лиро

вать

сво

йств

а из

учен

ных

посл

едов

ател

ьнос

тей

и фу

нкци

й дл

я ре

шен

ия з

адач

из

разл

ичны

х об

ласт

ей;

• ра

споз

нава

ть и

при

мен

ять

терм

инол

огии

и о

бозн

ачен

ия, с

оотв

етст

вую

щие

изу

ченн

ым

мат

емат

ичес

ким

пон

ятия

м, в

раз

-ли

чны

х ко

нтек

стах

;•

расп

озна

вать

и р

ешат

ь в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

изу

ченн

ые

типы

ура

внен

ий, н

ерав

енст

в и

сист

ем:

• ра

споз

нава

ть в

раз

личн

ых

конт

екст

ах и

опи

сыва

ть в

ерба

льно

и/и

ли п

исьм

енно

изу

ченн

ые

геом

етри

ческ

ие ф

игур

ы, и

с-по

льзу

я со

отве

тств

ующ

ую те

рмин

олог

ию и

обо

знач

ения

;•

клас

сифи

циро

вать

и с

равн

иват

ь из

учен

ные

геом

етри

ческ

ие ф

игур

ы п

о ра

злич

ным

кри

тери

ям;

• из

обра

жат

ь на

пло

скос

ти и

зуче

нны

е ге

омет

риче

ские

фиг

уры

, исп

ольз

уя и

нстр

умен

ты И

КТ, ч

ертё

жны

е ин

стру

мен

ты, и

пр

имен

ить

полу

ченн

ые

изоб

раж

ения

при

реш

ении

зад

ач;

• вы

числ

ять

вели

чины

угл

ов (п

рим

еняя

тра

нспо

ртир

, эле

мен

ты т

риго

ном

етри

и, и

зуче

нны

е пр

изна

ки п

одоб

ия),

длин

ы о

т-ре

зков

, пер

имет

ры ф

игур

, пло

щад

ей к

вадр

ата

и пр

ямоу

голь

ника

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

• пр

имен

ять

изуч

енны

е пр

изна

ки и

сво

йств

а ге

омет

риче

ских

фиг

ур в

раз

личн

ых

конт

екст

ах;

• ра

споз

нава

ть в

раз

личн

ых к

онте

кста

х и п

рим

енит

ь па

ралл

ельн

ый

пере

нос в

раз

личн

ых о

блас

тях,

в то

м ч

исле

при

реш

ении

пр

акти

ческ

их з

адач

;•

расп

озна

вать

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

и п

рим

енят

ь ве

ктор

ы и

дей

стви

я на

д ве

ктор

ами

в ра

злич

ных

обла

стях

, в то

м ч

исле

пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких

зада

ч;•

нахо

дить

ист

инно

стно

е зн

ачен

ие (и

стин

но/л

ожно

) про

стог

о ут

верж

дени

я, в

ыск

азы

вани

я с п

омощ

ью п

рим

еров

, кон

трпр

и-м

еров

;•

обос

новы

вать

пол

учен

ный/

зада

нны

й вы

вод

или

резу

льта

т, ис

поль

зуя

аргу

мен

ты,д

оказ

ател

ьств

а, п

одде

ржив

ая с

обст

вен-

ные

идеи

и м

нени

я.

61

IX к

ласс

Един

ицы

ком

пете

нций

Един

ицы

сод

ерж

ания

Ре

ком

енду

емы

е ви

ды у

чебн

ой д

еяте

льно

сти

и её

ре

зуль

таты

/ пр

одук

ты1.

1. Р

аспо

знав

ание

, кл

асси

фиц

иров

ание

по

разл

ичны

м к

рите

риям

и

пред

став

лени

е в

разл

ичны

х фо

рмах

эл

емен

тов

числ

овы

х м

нож

еств

N, Z

, Q, R

. 1.

2. Р

аспо

знав

ание

и и

спол

ь-зо

вани

е те

рмин

олог

ии,

соот

ветс

твую

щей

пон

ятию

де

йст

вит

ельн

ое ч

исло

, в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

.1.

3. П

рим

енен

ие д

ейст

вите

ль-

ных

чисе

л дл

я вы

полн

ения

вы

числ

ений

в р

еаль

ных

и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.1.

4. И

спол

ьзов

ание

вы

числ

и-те

льны

х ал

гори

тмов

с д

ей-

стви

тель

ным

и чи

слам

и пр

и ре

шен

ии з

адач

, дей

стви

й на

д де

йств

ител

ьны

ми

чис-

лам

и и

их с

войс

тва

в ра

з-ли

чны

х си

туац

иях.

1.5.

При

мен

ение

мод

уля

дейс

твит

ельн

ого

числ

а и

его

свой

ства

при

реш

ении

за

дач.

I. М

нож

еств

о де

йств

ител

ьны

х чи

сел.

По

втор

ение

и д

опол

нени

я

• По

няти

е де

йст

вит

ельн

ое ч

исло

. И

зобр

ажен

ие д

ейст

вите

льны

х чи

сел

на о

си. О

тнош

ения

вк

люче

ния N

ZQ

R⊂

⊂⊂

• М

одул

ь де

йств

ител

ьног

о чи

сла.

Св

ойст

ва:

aa

aa

aa

≥≥

==

02

22

;;

; ab

ab

a ba b

b=

=≠

;,

.0

• Ср

авне

ние

дейс

твит

ельн

ых

чисе

л. А

рифм

етич

ески

е де

йств

ия

над

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и.

Свой

ства

• Ст

епен

ь с

целы

м п

оказ

ател

ем.

Свой

ства

•

Квад

ратн

ый

коре

нь. С

войс

тва.

И

збав

лени

е от

ирр

ацио

наль

ност

и в

знам

енат

елях

вид

а aba

b,

±

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

изба

влен

ие о

т и

ррац

иона

льно

сти.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

нат

урал

ьны

х, ц

елы

х,

раци

онал

ьны

х, и

ррац

иона

льны

х, д

ейст

вите

льны

х чи

сел,

ст

епен

ей, к

орне

й и

их с

войс

тв;

-за

пись

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

разл

ичны

х фо

рмах

;-

выяв

лени

е, к

аком

у чи

слов

ому

мно

жес

тву,

мно

жес

тву

объе

ктов

при

надл

ежит

зад

анно

е чи

сло,

объ

ект;

-вы

числ

ение

с д

ейст

вите

льны

ми

числ

ами

и пр

имен

ение

в

вычи

слен

иях

мод

уля,

изу

ченн

ых

алго

ритм

ов и

сво

йств

; -

упор

ядоч

иван

ие, с

равн

ение

и и

зобр

ажен

ие н

а ос

и де

йств

ител

ьны

х чи

сел;

-вы

полн

ение

при

ближ

ений

и о

круг

лени

й на

д чи

слам

и,

вели

чина

ми;

-пр

имен

ение

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

разл

ичны

х ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-ре

шен

ие з

адач

и п

робл

емны

х си

туац

ий, и

спол

ьзуя

де

йств

ител

ьны

е чи

сла

и де

йств

ия н

ад н

ими;

-

обос

нова

ние

и ар

гум

енти

рова

ние

полу

ченн

ых

резу

льта

тов

и ис

поль

зова

нны

х вы

числ

ител

ьны

х те

хнол

огий

;-

форм

иров

ание

при

вычк

и пр

овер

ять,

есл

и за

дача

по

лнос

тью

реш

ена

или

нет,

иссл

едуя

ист

инно

стно

е зн

ачен

ие п

олуч

енно

го р

езул

ьтат

а;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

, свя

занн

ого

с де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами,

по

сред

ство

м а

ргум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

де

йств

ител

ьны

м ч

исла

м, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

62

1.6.

При

мен

ение

при

ближ

ений

и

окру

глен

ий в

раз

личн

ых

конт

екст

ах д

ля п

рове

рки

исти

ннос

ти р

езул

ьтат

ов

вычи

слен

ий с

дей

стви

тель

-ны

ми

числ

ами.

1.7.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

/за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да, с

вяза

нног

о с

дейс

твит

ельн

ым

и чи

слам

и,

поср

едст

вом

арг

умен

тов,

до

каза

тель

ств.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия д

ейст

вите

льны

х чи

сел

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

в

конт

екст

е пр

имен

ения

дей

стви

тель

ных

чисе

л в

реал

ьны

х

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я де

йств

ител

ьны

х чи

сел.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ра

зраб

отан

ная

схем

а;

Реш

ённы

е м

атем

атич

ески

е со

физм

ы;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

ивед

ённы

й ко

нтрп

рим

ер;

И

ссле

дова

ние

"Сте

пени

в р

азли

чны

х об

ласт

ях";

Пр

оект

"Дей

стви

тель

ные

числ

а в

мое

й ж

изни

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

2.1.

Рас

позн

аван

ие и

исп

оль-

зова

ние

терм

инол

огии

, со

отве

тств

ующ

ей п

онят

ию

алге

браи

ческ

ое о

тно

ше-

ние,

в р

азли

чны

х ко

нтек

-ст

ах.

II. А

лгеб

раич

ески

е от

нош

ения

• По

няти

е ал

гебр

аиче

ское

от

нош

ение

. Обл

асть

доп

усти

мы

х зн

ачен

ий (О

ДЗ)

• О

снов

ное

свой

ство

и с

окра

щен

ие

алге

браи

ческ

их о

тнош

ений

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

нахо

жде

ние

числ

овы

х зн

ачен

ий а

лгеб

раич

ески

х вы

раж

ений

для

раз

личн

ых

знач

ений

пер

емен

ных;

- пр

имен

ение

вы

числ

ител

ьны

х ал

гори

тмов

, исп

ольз

уя

свой

ства

дей

стви

й на

д ал

гебр

аиче

ским

и от

нош

ения

ми;

выпо

лнен

ие то

жде

стве

нны

х пр

еобр

азов

аний

ал

гебр

аиче

ских

вы

раж

ений

на

мно

жес

тве

из д

опус

тим

ых

знач

ений

;

63

2.2.

Нах

ожде

ние

числ

овы

х зн

ачен

ий а

лгеб

раич

ески

х вы

раж

ений

для

раз

личн

ых

знач

ений

пер

емен

ных.

2.3.

При

мен

ение

ана

логи

й пр

и вы

полн

ении

дей

стви

й на

д об

ыкн

овен

ным

и др

обям

и и

алге

браи

ческ

ими

отно

-ш

ения

ми.

2.

4. П

рим

енен

ие в

ычи

слит

ель-

ных

алго

ритм

ов, и

спол

ьзуя

св

ойст

ва д

ейст

вий

над

ал-

гебр

аиче

ским

и от

нош

ения

-м

и, п

ри р

ешен

ии з

адач

.2.

5. В

ыпо

лнен

ие то

жде

стве

н-ны

х пр

еобр

азов

аний

алг

е-бр

аиче

ских

вы

раж

ений

на

мно

жес

тве

из д

опус

тим

ых

знач

ений

. 2.

6. О

цени

вани

е и

анал

изи-

рова

ние

зада

чи, п

робл

ем-

ной

ситу

ации

в к

онте

ксте

ко

ррек

тнос

ти, п

рост

оты

, чё

ткос

ти и

зна

чим

ости

по-

луче

нны

х ре

зуль

тато

в.2.

7. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

, свя

занн

ого

с ал

гебр

аиче

ским

и пр

еоб-

разо

вани

ями,

пос

редс

твом

ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

.

• Ар

ифм

етич

ески

е де

йств

ия н

ад

алге

браи

ческ

ими

отно

шен

иям

и•

Тож

дест

во. Т

ожде

стве

нны

е вы

раж

ения

• То

жде

стве

нны

е пр

еобр

азов

ания

ал

гебр

аиче

ских

вы

раж

ений

•

Док

азат

ельс

тво

неко

торы

х пр

осты

х то

жде

ств

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

алге

браи

ческ

ое о

тно

шен

ие, ч

ис-

лит

ель

отно

шен

ия, з

нам

енат

ель

отно

шен

ия, о

блас

ть

допу

стим

ых

знач

ений

(ОД

З), т

ожде

ство

, тож

де-

ожде

ство

, тож

де-

, тож

де-

ожде

-ст

венн

ые

выра

жен

ия, т

ожде

стве

н-, т

ожде

стве

н-ож

дест

вен-

ные

прео

браз

ован

ия.

-- ра

споз

нава

ние

и ис

поль

зова

ние

терм

инол

огии

, со

отве

тств

ующ

ей п

онят

ию а

лгеб

раич

еско

е от

нош

ение

, в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

;-

нахо

жде

ние

ОД

З ал

гебр

аиче

ских

вы

раж

ений

и

алге

браи

ческ

их о

тнош

ений

; -

прим

енен

ие а

лгеб

раич

ески

х от

нош

ений

в р

азли

чны

х об

ласт

ях.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

азли

чны

х об

ласт

ей,

отно

сящ

ихся

к а

лгеб

раич

ески

м о

тнош

ения

м, и

реш

ение

по

луче

нны

х за

дач.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

алг

ебра

ичес

ких

отно

шен

ий в

раз

личн

ых

обла

стях

.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

алге

браи

ческ

их о

тнош

ений

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Ра

зраб

отан

ная

схем

а;

Прим

енён

ный

алго

ритм

;

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций.

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

64

3.1.

Рас

позн

аван

ие и

пр

имен

ение

терм

инол

огии

и

обоз

наче

ний,

со

отве

тств

ующ

их п

онят

ию

фун

кция

, в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

.3.

2. Р

аспо

знав

ание

фун

кци-

онал

ьны

х за

виси

мос

тей

в ре

альн

ых

и/ил

и см

оде-

лиро

ванн

ых

ситу

ация

х, в

то

м ч

исле

типа

фун

кции

II

степ

ени.

3.3.

Пер

евод

на

язы

к фу

нкци

й ра

злич

ных

ситу

аций

из

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и и

друг

их о

блас

тей.

3.4.

Изо

браж

ение

граф

ика

функ

ции,

в то

м ч

исле

фун

к-ци

и II

степ

ени

и вы

веде

ние

свой

ств

функ

ции

(нул

и,

знак

, мон

отон

ност

ь, э

кстр

е-м

умы

) пос

редс

твом

чте

ния

граф

иков

и/и

ли ф

орм

ул.

3.5.

При

мен

ение

сво

йств

фун

к-ци

и II

степ

ени

при

реш

ении

ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

за-

дач,

про

блем

ных

ситу

аций

пр

и из

учен

ии р

азли

чны

х фи

зиче

ских

, хим

ичес

ких,

би

олог

ичес

ких,

соц

иаль

-ны

х, э

коно

мич

ески

х пр

о-це

ссов

, см

одел

иров

анны

х по

сред

ство

м ф

ункц

ий.

III.

Фун

кции

• По

няти

е ф

ункц

ия. С

посо

бы

зада

ния

функ

ции

• Гр

афик

фун

кции

. Чте

ние

граф

иков

. Пр

еобр

азов

ание

граф

иков

фу

нкци

й: п

арал

лель

ный

пере

нос

отно

сите

льно

осе

й ко

орди

нат

• Св

ойст

ва ф

ункц

ии (н

ули,

м

онот

онно

сть,

зна

к, э

кстр

емум

ы)

• Ф

ункц

ия II

сте

пени

. Час

тны

е сл

учаи

фун

кции

II с

тепе

ни. Г

рафи

к фу

нкци

и II

степ

ени.

Сво

йств

а фу

нкци

и II

степ

ени:

нул

и,

мон

отон

ност

ь, з

нак,

экс

трем

умы

• Ф

ункц

ия f

RR

fx

x:

,→

()=

3.

Граф

ик и

сво

йств

а (н

уль,

м

онот

онно

сть,

зна

к)

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

фун

кция

II с

теп

ени,

гра

фик

фун

кции

II

степ

ени,

пар

абол

а, в

етви

па

рабо

лы, в

ерш

ина

пара

болы

, ось

си

мм

етри

и па

рабо

лы, п

арал

лель

ный

пере

нос

граф

ика

отно

сит

ельн

о ос

ей к

оорд

инат

, точ

ки э

кст

рем

ума,

эк

стре

мум

ы ф

ункц

ии.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

прив

еден

ие п

рим

еров

фун

кцио

наль

ных

зави

сим

осте

й,

функ

ций;

-пр

имен

ение

в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

, в то

м ч

исле

при

об

щен

ии те

рмин

олог

ии и

обо

знач

ений

, отн

осящ

ихся

к

поня

тию

фун

кция

;-

пред

став

лени

е от

нош

ений

меж

ду м

нож

еств

ами

и/ил

и фу

нкци

ями

разл

ичны

ми

спос

обам

и (а

нали

тиче

ским

, си

нтет

ичес

ким

, гра

фиче

ским

);-

чтен

ие гр

афик

ов/ф

орм

ул и

вы

веде

ние

свой

ств

функ

ции;

-из

обра

жен

ие гр

афик

ов ф

ункц

ий;

-пр

имен

ение

алг

орит

ма

иссл

едов

ания

изу

ченн

ых

функ

ций

при

реш

ении

зад

ач, п

робл

емны

х си

туац

ий и

з ра

злич

ных

обла

стей

, в то

м ч

исле

при

изу

чени

и и

разъ

ясне

нии

разл

ичны

х фи

зиче

ских

, хим

ичес

ких,

био

логи

ческ

их,

экон

омич

ески

х, и

стор

ичес

ких,

соц

иаль

ных

проц

ессо

в;-

пере

вод

на я

зык

функ

ций

разл

ичны

х си

туац

ий и

з пр

акти

ческ

ой д

еяте

льно

сти

и др

угих

обл

асте

й;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

с по

мощ

ью п

рим

еров

, кон

трпр

имер

ов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

фу

нкци

ям, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

изу

ченн

ых

функ

ций

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия и

зуче

нны

х фу

нкци

й в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

том

чи

сле

прое

ктов

STE

M/S

TEAM

в к

онте

ксте

при

мен

ения

из

учен

ных

функ

ций

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я из

учен

ных

функ

ций.

65

3.6.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да в

кон

текс

те

функ

ций

путё

м п

риве

дени

я ар

гум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ус

тны

й от

вет;

Пи

сьм

енны

й от

вет;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

И

ссле

дова

ние

"Эле

мен

ты гр

афик

ов и

зуче

нны

х фу

нкци

й в

стро

ения

х ро

дног

о се

ла/г

ород

а";

И

зобр

ажён

ные

граф

ики;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

оект

STE

M "Ф

ункц

ии в

техн

ике"

;

Прое

кт "Ф

ункц

ии в

иск

усст

ве";

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.4.

1. Р

аспо

знав

ание

и п

рим

ене-

ние

терм

инол

огии

и о

бо-

знач

ений

, соо

твет

ству

ющ

их

поня

тиям

ура

внен

ие, н

ера-

венс

тво

, сис

тем

а ур

авне

-ни

й, с

ист

ема

нера

венс

тв

в ра

злич

ных

конт

екст

ах.

4.2.

Реш

ение

ура

внен

ий,

нера

венс

тв и

/или

сис

тем

из

учен

ных

типо

в.4.

3. П

ерев

од п

робл

емы

, про

-бл

емно

й си

туац

ии н

а яз

ык

урав

нени

й, н

ерав

енст

в

и/ил

и си

стем

, реш

ение

по-

луче

нной

зад

ачи

и ин

тер-

прет

иров

ание

рез

ульт

ата.

IV. У

равн

ения

, нер

авен

ства

, сис

тем

ы

• По

няти

е ур

авне

ние.

Рав

носи

льны

е пр

еобр

азов

ания

• Ур

авне

ния

типа

axb

abR

+=

∈0,

,

• Ур

авне

ния

II ст

епен

и с

одни

м

неиз

вест

ным

. Соо

тнош

ения

меж

ду

реш

ения

ми

и ко

эффи

циен

там

и•

Раци

онал

ьны

е ур

авне

ния

с од

ним

не

изве

стны

м•

Сист

емы

дву

х ур

авне

ний

I сте

пени

с

двум

я не

изве

стны

ми

• М

етод

ы р

ешен

ия с

исте

м д

вух

урав

нени

й I с

тепе

ни с

дву

мя

неиз

вест

ным

и (м

етод

при

веде

ния,

м

етод

под

стан

овки

, гра

фиче

ский

м

етод

)

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е и

прим

енен

ие те

рмин

олог

ии и

об

озна

чени

й, с

оотв

етст

вую

щих

пон

ятия

м у

равн

ение

, не

раве

нст

во, с

ист

ема

урав

нени

й, с

ист

ема

нера

венс

тв;

-ре

шен

ие у

равн

ений

, нер

авен

ств,

сис

тем

изу

ченн

ых

типо

в;-

выпо

лнен

ие р

авно

силь

ных

прео

браз

ован

ий с

цел

ью

полу

чени

я ур

авне

ний,

нер

авен

ств,

сис

тем

, рав

носи

льны

х да

нны

м;

-ре

шен

ие с

исте

м д

вух

урав

нени

й I с

тепе

ни с

дву

мя

неиз

вест

ным

и ра

злич

ным

и м

етод

ами:

мет

одом

пр

ивед

ения

, мет

одом

под

стан

овки

, гра

фиче

ским

мет

одом

;-

пере

вод

проб

лем

ы, п

робл

емно

й си

туац

ии н

а яз

ык

урав

нени

й, н

ерав

енст

в и/

или

сист

ем, р

ешен

ие п

олуч

енно

й за

дачи

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

ата;

-ре

шен

ие р

ацио

наль

ных

урав

нени

й с

одни

м н

еизв

естн

ым

;-

прим

енен

ие м

етод

а ин

терв

алов

при

реш

ении

ра

цион

альн

ых

нера

венс

тв;

66

4.4.

Под

бор

и пр

имен

ение

ад

еква

тны

х м

етод

ов р

е-ш

ения

ура

внен

ий, н

ера-

венс

тв, с

исте

м у

равн

ений

/не

раве

нств

. 4.

5. П

рим

енен

ие у

равн

ений

и

сист

ем у

равн

ений

при

ре-

шен

ии з

адач

.4.

6. С

оста

влен

ие и

реш

ение

пр

осты

х за

дач

по з

адан

ной

мод

ели:

ура

внен

ие, н

ера-

венс

тво,

сис

тем

а.

4.7.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

ил

и за

данн

ого

резу

льта

та/

выво

да о

тнос

ител

ьно

урав

-не

ний,

нер

авен

ств,

сис

тем

пу

тём

при

веде

ния

аргу

-м

енто

в, д

оказ

ател

ьств

.

• Ре

шен

ие те

ксто

вых

зада

ч с

пом

ощью

ура

внен

ий и

/или

сис

тем

ур

авне

ний

• Не

раве

нств

а I с

тепе

ни с

одн

им

неиз

вест

ным

•

Нера

венс

тва

II ст

епен

и с

одни

м

неиз

вест

ным

• М

етод

инт

ерва

лов.

• Си

стем

ы н

ерав

енст

в I с

тепе

ни с

од

ним

неи

звес

тны

м

• Ра

цион

альн

ые

нера

венс

тва

с од

ним

неи

звес

тны

м

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

раци

онал

ьное

ура

внен

ие с

одн

им

неиз

вест

ным

, рац

иона

льно

е не

раве

нст

во с

одн

им н

еизв

ест

ным

, м

етод

инт

ерва

лов.

-со

став

лени

е и

реш

ение

про

сты

х за

дач

по з

адан

ной

мод

ели:

ур

авне

ние,

нер

авен

ство

, сис

тем

а;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

/вы

вода

отн

осит

ельн

о чи

слов

ых

нера

венс

тв, у

равн

ений

, не

раве

нств

, сис

тем

пут

ём п

риве

дени

я ар

гум

енто

в,

прим

еров

, кон

трпр

имер

ов.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

ур

авне

ниям

, нер

авен

ства

м и

сис

тем

ам, и

реш

ение

по

луче

нны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х ур

авне

ний,

нер

авен

ств

и си

стем

в

прак

тиче

ской

дея

тель

ност

и.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия и

зуче

нны

х ур

авне

ний,

нер

авен

ств

и си

стем

в

разл

ичны

х об

ласт

ях.

Ре

ализ

ация

инд

ивид

уаль

ных/

груп

повы

х пр

оект

ов, в

то

м ч

исле

про

екто

в в

конт

екст

е пр

имен

ения

изу

ченн

ых

урав

нени

й, н

ерав

енст

в и

сист

ем в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

изуч

енны

х ур

авне

ний,

нер

авен

ств

и си

стем

.

Полу

чени

е ре

ком

енду

емы

х ре

зуль

тато

в/пр

одук

тов.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ра

зраб

отан

ная

схем

а;

Сост

авле

нны

й пл

ан;

Ре

шён

ные

мат

емат

ичес

кие

софи

змы

;

67

И

зобр

ажён

ные

граф

ики;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

оект

"Ура

внен

ия, н

ерав

енст

ва, с

исте

мы

в ф

изик

е, х

имии

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

5.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

мен

е-ни

е в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

те

рмин

олог

ии и

обо

зна-

чени

й, о

тнос

ящих

ся к

из-

учен

ным

пон

ятия

м те

ории

ве

роят

ност

ей, м

атем

атич

е-ск

ой с

тати

стик

и и

фина

нсо-

вых

исчи

слен

ий.

5.2.

Сор

тиро

вани

е, к

ласс

ифи-

циро

вани

е да

нны

х, о

бъек

-то

в, с

обы

тий

по р

азли

чны

м

крит

ерия

м и

рас

позн

ава-

ние

крит

ерие

в, п

о ко

торы

м

отби

рает

ся м

нож

еств

о об

ъект

ов, д

ат, ф

еном

енов

, со

быти

й.

5.3.

Отб

ор и

з м

нож

еств

а со

-бр

анны

х да

нны

х не

обхо

-ди

мой

инф

орм

ации

для

ре

шен

ия п

робл

емы

в р

е-ал

ьны

х и/

или

смод

елир

о-ва

нны

х си

туац

иях.

5.4.

Рас

позн

аван

ие с

обы

тий

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

и-ро

ванн

ых

ситу

ация

х.

V. Э

лем

енты

мат

емат

ичес

кой

стат

исти

ки и

теор

ии в

ероя

тнос

тей.

Эл

емен

ты ф

инан

сово

го и

счис

лени

я

• О

тбор

, обр

абот

ка и

граф

ичес

кое

изоб

раж

ение

дан

ных

поср

едст

вом

ст

атис

тиче

ских

табл

иц, д

иагр

амм

, гр

афик

ов•

Инт

ерпр

етац

ия д

анны

х•

Поня

тие

собы

тие

• Кл

асси

фика

ция

собы

тий

• На

хож

дени

е ве

роят

ност

и со

быти

я,

испо

льзу

я от

нош

ение

: кол

ичес

тво

благ

опри

ятны

х сл

учае

в/ко

личе

ство

вс

ех в

озм

ожны

х сл

учае

в•

Элем

енты

фин

ансо

вого

исч

исле

-ни

я: п

роце

нты

, при

быль

, НД

С,

стои

мос

ть,

кре

дит

ы, б

юдж

ет,

сем

ейны

й бю

джет

, лич

ный

бюд-

жет

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

выяв

лени

е и

клас

сифи

циро

вани

е ра

злич

ных

типо

в со

быти

й;-

прим

енен

ие в

раз

личн

ых

конт

екст

ах те

рмин

олог

ии и

об

озна

чени

й, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

пон

ятия

м;

-со

ртир

ован

ие, к

ласс

ифиц

иров

ание

, гра

фиче

ское

из

обра

жен

ие д

анны

х, о

бъек

тов,

соб

ыти

й по

раз

ным

кр

итер

иям

;-

отбо

р из

мно

жес

тва

собр

анны

х да

нны

х не

обхо

дим

ой

инфо

рмац

ии д

ля р

ешен

ия п

робл

емы

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-на

хож

дени

е ве

роят

ност

и со

быти

я, и

спол

ьзуя

отн

ошен

ие:

коли

чест

во б

лаго

прия

тны

х сл

учае

в/ко

личе

ство

все

х во

змож

ных

случ

аев;

-об

раба

тыва

ние

и из

обра

жен

ие д

анны

х из

раз

личн

ых

обла

стей

, исп

ольз

уя, в

том

чис

ле и

нстр

умен

ты И

КТ;

-ин

терп

рета

цию

дан

ных

в ра

злич

ных

конт

екст

ах;

-пр

имен

ение

эле

мен

тов

фина

нсов

ого

исчи

слен

ия в

ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-ис

след

ован

ие и

опи

сани

е си

туац

ий л

окал

ьног

о и/

или

глоб

альн

ого

хара

ктер

а, и

спол

ьзуя

изу

ченн

ые

элем

енты

ст

атис

тики

, тео

рии

веро

ятно

стей

, эле

мен

ты ф

инан

сово

го

исчи

слен

ия.

68

5.5.

Нах

ожде

ние

веро

ятно

сти

со

быти

я, и

спол

ьзуя

от-

нош

ение

: кол

ичес

тво

благ

опри

ятны

х сл

учае

в/ко

-ли

чест

во в

сех

возм

ожны

х сл

учае

в.5.

6. К

ласс

ифиц

иров

ание

соб

ы-

тий

с то

чки

зрен

ия ш

анса

их

реа

лиза

ции

(дос

тове

р-но

е, в

ероя

тное

, воз

мож

-но

е, н

евоз

мож

ное

собы

-ти

е) и

оце

нива

ние

шан

са

реал

изац

ии с

обы

тия.

5.7.

При

мен

ение

эле

мен

тов

фина

нсов

ого

исчи

слен

ия в

ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

и-ро

ванн

ых

ситу

ация

х.5.

8. О

тбор

, обр

абот

ка и

изо

-бр

ажен

ие д

анны

х из

раз

-ли

чны

х об

ласт

ей, и

спол

ь-зу

я эл

емен

ты с

тати

стик

и

и/ил

и те

ории

вер

оятн

о-ст

ей, и

нстр

умен

ты И

КТ.

5.9.

Исс

ледо

вани

е и

опис

ание

си

туац

ий, л

окал

ьног

о

и/ил

и гл

обал

ьног

о ха

рак-

тера

, исп

ольз

уя и

зуче

нны

е эл

емен

ты с

тати

стик

и, те

о-ри

и ве

роят

ност

ей, ф

инан

-со

вого

исч

исле

ния.

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

таб

лица

ст

атис

тич

ески

х да

нны

х,

круг

овы

е ди

агра

мм

ы, к

вадр

атна

я ди

агра

мм

а, д

иагр

амм

ы с

тру

ктур

но-

го т

ипа,

слу

чайн

ое с

обы

тие

, эле

мен

-т

арно

е со

быт

ие, р

авно

возм

ожны

е со

быт

ия, в

ероя

тно

сть

случ

айно

го

собы

тия

, кла

ссич

еско

е оп

реде

лени

е ве

роят

ност

и, р

авно

веро

ятны

е со

-бы

тия

, эле

мен

ты

фин

ансо

вого

ис-

числ

ения

, про

цент

ы, п

рибы

ль, Н

ДС,

кр

едит

ы, б

юдж

ет, с

емей

ный

бюд-

жет

, лич

ный

бюдж

ет.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

ий, о

тнос

ящих

ся к

изу

ченн

ым

эл

емен

там

ста

тист

ики,

теор

ии в

ероя

тнос

тей,

фин

ансо

вого

ис

числ

ения

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию и

зуче

нны

х эл

емен

тов

стат

исти

ки, т

еори

и ве

роят

ност

ей, ф

инан

сово

го и

счис

лени

я в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

изу

ченн

ых

элем

енто

в ст

атис

тики

, тео

рии

веро

ятно

стей

, фин

ансо

вого

исч

исле

ния

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в

том

чис

ле п

роек

тов

STEM

/STE

AM в

кон

текс

те

прим

енен

ия и

зуче

нны

х эл

емен

тов

стат

исти

ки, т

еори

и ве

роят

ност

ей, ф

инан

сово

го и

счис

лени

я в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

изуч

енны

х эл

емен

тов

стат

исти

ки,

теор

ии в

ероя

тнос

тей,

фин

ансо

вого

исч

исле

ния.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

Ре

шён

ный

прим

ер;

Ре

шён

ная

зада

ча;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

И

ссле

дова

ние

"Соб

ыти

я в

мое

й ж

изни

";

Прое

кт "С

емей

ный

и ли

чны

й бю

джет

ы";

Пр

оект

"Ста

тист

ика

в пр

офес

сиях

род

ител

ей";

Со

став

ленн

ые

стат

исти

ческ

ие гр

афик

и/ди

агра

мм

ы;

69

5.10

. Обо

снов

ание

пол

учен

но-

го/з

адан

ного

рез

ульт

ата

или

выво

да о

тнос

ител

ьно

изуч

енны

х эл

емен

тов

ста-

тист

ики,

теор

ии в

ероя

тно-

стей

, фин

ансо

вого

исч

ис-

лени

я пу

тём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв.

Ре

ализ

ован

ные

стат

исти

ческ

ие о

прос

ы;

Пр

оект

"Ста

тист

ика

в эк

оном

ике"

;

Прое

кт "Ф

инан

сы в

мое

й ж

изни

";

Сост

авле

нны

е ст

атис

тиче

ские

граф

ики;

Ар

гум

ента

ция

устн

ая/п

исьм

енна

я;

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

6.1.

Рас

позн

аван

ие и

при

-м

енен

ие те

рмин

олог

ии и

об

озна

чени

й, о

тнос

ящих

ся

к ок

руж

ност

и и

круг

у, в

раз

-ли

чны

х ко

нтек

стах

. 6.

2. Р

аспо

знав

ание

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях

окру

жно

стей

, кр

угов

и и

х эл

емен

тов.

6.3.

Пос

трое

ние

на п

лоск

ости

ок

руж

ност

ей/к

руго

в и

их э

лем

енто

в, и

спол

ьзуя

че

ртёж

ные

инст

рум

енты

, ин

стру

мен

ты И

КТ.

6.4.

При

мен

ение

окр

ужно

сти,

кр

уга

и их

сво

йств

пр

и ре

шен

ии з

адач

из

разл

ичны

х об

ласт

ей.

6.5.

Пер

евод

про

блем

ы, п

ро-

блем

ной

ситу

ации

, отн

ося-

щих

ся к

окр

ужно

сти,

кру

гу,

на ге

омет

риче

ский

язы

к,

реш

ение

пол

учен

ной

за-

дачи

и и

нтер

прет

иров

ание

ре

зуль

тата

.

VI. О

круж

ност

ь. К

руг.

По

втор

ение

и д

опол

нени

я

• О

круж

ност

ь, к

руг.

Элем

енты

• Вз

аим

ное

расп

олож

ение

пря

мой

и

окру

жно

сти/

круг

а•

Цент

раль

ный

угол

. Уго

л, в

писа

нны

й в

окру

жно

сть.

Дуг

а ок

руж

ност

и•

Каса

тель

ная

к ок

руж

ност

и.

Свой

ства

• Св

ойст

во х

орд,

оди

нако

во

удал

енны

х от

цен

тра

окру

жно

сти

• Св

ойст

во д

уг, р

аспо

лож

енны

х м

ежду

пар

алле

льны

ми

хорд

ами

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

нет

нов

ых

элем

ент

ов.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е, в

ерба

льно

е и

пись

мен

ное

опис

ание

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

;-

клас

сифи

циро

вани

е и

срав

нени

е из

учен

ных

геом

етри

ческ

их ф

игур

;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, и

спол

ьзуя

чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, инс

трум

енты

И

КТ, и

при

мен

ение

пол

учен

ных

изоб

раж

ений

при

реш

ении

за

дач;

-

прим

енен

ие с

войс

тв о

круж

ност

ей и

кру

гов

в ра

злич

ных

обла

стях

;-

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ьтат

ов,

полу

ченн

ых

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач,

с

испо

льзо

вани

ем о

круж

ност

ей и

кру

гов;

-по

стро

ение

про

сты

х це

поче

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний,

ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч на

док

азат

ельс

тво;

-об

осно

вани

е по

луче

нног

о ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да в

кон

текс

те о

круж

ност

ей и

кру

гов

путё

м

прив

еден

ия а

ргум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

;-

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

в то

м ч

исле

с п

омощ

ью д

оказ

ател

ьств

, пр

имер

ов, к

онтр

прим

еров

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к о

круж

ност

ям и

кр

угам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

70

6.6.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тно-

го з

наче

ния

утве

ржде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

геом

етри

-че

ског

о ха

ракт

ера,

отн

о-ся

щих

ся к

окр

ужно

сти

и кр

уга.

6.7.

Пос

трое

ние

прос

тых

цепо

-че

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний

в ко

нтек

сте

окру

жно

сти,

кр

уга.

6.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

в к

онте

ксте

ок

руж

ност

и и

круг

а пу

тем

пр

ивед

ения

арг

умен

тов,

до

каза

тель

ств.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию о

круж

ност

ей и

кру

гов

в пр

акти

ческ

ой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия о

круж

ност

ей и

кру

гов

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

окру

жно

стей

и к

руго

в в

реал

ьны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

окру

жно

стей

и к

руго

в.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

И

ссле

дова

ние

"Окр

ужно

сть

и кр

уг в

мое

й ж

изни

";

Разр

абот

анна

я сх

ема;

Со

став

ленн

ый

план

;

Прим

енен

ный

алго

ритм

;

Прое

кт "О

круж

ност

ь и

круг

в а

рхит

екту

ре";

Со

став

ленн

ая М

атри

ца с

пеци

фика

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

71

7.1.

Рас

позн

аван

ие и

пр

имен

ение

терм

инол

огии

и

обоз

наче

ний,

от

нося

щих

ся к

пон

ятию

пл

ощад

ь и

к вы

числ

ения

м

площ

адей

.7.

2. Р

аспо

знав

ание

в

разл

ичны

х си

туац

иях

и пр

имен

ение

при

реш

ении

за

дач

форм

ул в

ычи

слен

ия

площ

адей

треу

голь

ника

, че

тырё

хуго

льни

ков,

кру

га.

7.3.

Исп

ольз

ован

ие ф

орм

ул

для

вычи

слен

ия п

лощ

адей

из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р пр

и ре

шен

ии з

адач

, пр

обле

мны

х си

туац

ий

из р

азли

чны

х об

ласт

ей

(из

физи

ки, т

ехни

ки,

стро

ител

ьств

а).

7.4.

Вы

числ

ение

пло

щад

ей

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

7.5.

Сос

тавл

ение

пла

на

для

реш

ения

зад

ачи

на

прим

енен

ие п

лощ

адей

в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

и

реш

ение

зад

ачи

согл

асно

ра

зраб

отан

ном

у пл

ану.

VII.

Площ

ади

• По

няти

е пл

ощад

ь•

Площ

адь

квад

рата

, пря

моу

голь

ника

• Пл

ощад

ь па

ралл

елог

рам

ма

• Пл

ощад

ь ро

мба

• Пл

ощад

ь тр

еуго

льни

ка

A

aha

=

1 2

, D

>@<

C;0 �

5@>=

0фо

рмул

а Ге

рона

• Пл

ощад

ь тр

апец

ии•

Площ

адь

равн

осто

ронн

его

треу

голь

ника

• Пл

ощад

ь пр

авил

ьног

о ш

ести

угол

ьник

а•

Дли

на о

круж

ност

и. П

лощ

адь

круг

а

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

площ

адь

фиг

уры

, фор

мул

а Ге

рона

, пл

ощад

ь т

реуг

ольн

ика,

пло

щад

ь па

ралл

елог

рам

ма,

пло

щад

ь ро

мба

, пл

ощад

ь т

рапе

ции,

пло

щад

ь пр

авил

ьног

о т

реуг

ольн

ика,

пло

щад

ь пр

авил

ьног

о ш

ест

иуго

льни

ка.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

: -

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их

фигу

р, и

спол

ьзуя

чер

тёж

ные

инст

рум

енты

, инс

трум

енты

И

КТ, и

при

мен

ение

пол

учен

ных

изоб

раж

ений

при

реш

ении

за

дач

на в

ычи

слен

ие п

лощ

адей

;-

вычи

слен

ие п

лощ

адей

геом

етри

ческ

их ф

игур

в р

азли

чны

х об

ласт

ях;

-ан

ализ

иров

ание

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

атов

, по

луче

нны

х пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких

зада

ч, с

пр

имен

ение

м и

зуче

нны

х ге

омет

риче

ских

фиг

ур и

со

отве

тств

ующ

их е

дини

ц из

мер

ения

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

в к

онте

ксте

пло

щад

ей ге

омет

риче

ских

фиг

ур п

утём

пр

ивед

ения

арг

умен

тов,

док

азат

ельс

тв;

-по

стро

ение

про

сты

х це

поче

к де

дукт

ивны

х су

жде

ний,

ре

шен

ие п

рост

ых

зада

ч на

док

азат

ельс

тво;

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я с

пом

ощью

при

мер

ов, к

онтр

прим

еров

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к в

ычи

слен

ию

площ

адей

изу

ченн

ых

фигу

р, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

вы

числ

ению

пло

щад

ей в

пра

ктич

еско

й де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

пло

щад

ей в

раз

личн

ых

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

площ

адей

в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

– о

цени

вани

я пл

ощад

ей.

72

7.6.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тно-

го з

наче

ния,

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я от

носи

тель

-но

пло

щад

ей.

7.7.

Обо

снов

ание

пол

учен

ного

ил

и за

данн

ого

резу

льта

та

или

выво

да в

кон

текс

те

площ

адей

изу

ченн

ых

геом

етри

ческ

их ф

игур

пу

тём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ная

зада

ча;

Д

оказ

ател

ьств

а;

Исс

леду

емы

й сл

учай

с п

ракт

ичес

ким

укл

оном

;

Исс

ледо

вани

е "П

лощ

ади

в кл

ассн

ой к

омна

те";

Ра

зраб

отан

ная

схем

а;

Сост

авле

нны

й пл

ан;

Пр

имен

ённы

й ал

гори

тм;

Пр

оект

"Пло

щад

и в

мое

й ж

изни

";

Прое

кт "П

лощ

ади

в ис

кусс

тве"

;

Прак

тиче

ская

раб

ота

на м

естн

ости

"Изм

ерен

ие п

лощ

адей

во

дво

ре ш

колы

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

8.1.

Рас

позн

аван

ие в

Раз

лич-

ных

ситу

ация

х и

клас

сиф

и-ци

рова

ние

по р

азли

чны

м

крит

ерия

м и

зуче

нны

х м

ного

гран

нико

в.8.

2. Р

аспо

знав

ание

и и

спол

ь-зо

вани

е те

рмин

олог

ии, с

о-от

ветс

твую

щей

изу

ченн

ым

м

ного

гран

ника

м, в

раз

лич-

ных

конт

екст

ах.

8.3.

Вы

числ

ение

пло

щад

ей

пове

рхно

стей

, объ

ёмов

м

ного

гран

нико

в, и

спол

ьзуя

со

отве

тств

ующ

ие ф

орм

улы

и/

или

их р

азве

ртки

.

VIII.

Мно

гогр

анни

ки

• Пр

изм

а и

её э

лем

енты

(вер

шин

ы,

ребр

а, о

снов

ания

, бок

овая

гран

ь,

высо

та, д

иаго

наль

). Кл

асси

фика

ция

приз

м (п

рям

ая п

ризм

а, н

акло

нная

пр

изм

а, п

рави

льна

я пр

изм

а,

пара

ллел

епип

ед, п

рям

оуго

льны

й па

ралл

елеп

ипед

, пря

мой

па

ралл

елеп

ипед

, куб

). Ра

звёр

тка

прям

ой п

ризм

ы•

Площ

ади

пове

рхно

стей

и о

бъём

пр

ямой

при

змы

• Пи

рам

ида

и её

эле

мен

ты

(вер

шин

ы, р

ебра

, осн

ован

ие,

боко

вая

гран

ь, в

ысо

та, а

пофе

ма)

.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е, в

ерба

льно

е и

пись

мен

ное

опис

ание

из

учен

ных

мно

гогр

анни

ков

и/ил

и их

эле

мен

тов,

исп

ольз

уя

соот

ветс

твую

щие

обо

знач

ения

;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их те

л,

испо

льзу

я че

ртёж

ные

инст

рум

енты

, инс

трум

енты

ИКТ

и

прим

енен

ие п

олуч

енны

х из

обра

жен

ий п

ри р

ешен

ии з

адач

на

вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и/ил

и об

ъём

ов;

-вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и/ил

и об

ъём

ов

мно

гогр

анни

ков

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

-ан

ализ

иров

ание

и и

нтер

прет

иров

ание

рез

ульт

атов

, по

луче

нны

х пр

и ре

шен

ии п

ракт

ичес

ких

зада

ч с

прим

енен

ием

изу

ченн

ых

мно

гогр

анни

ков

и со

отве

тств

ующ

их е

дини

ц из

мер

ения

пло

щад

ей, о

бъём

ов;

-об

осно

вани

е по

луче

нног

о/за

данн

ого

резу

льта

та и

ли

выво

да в

кон

текс

те м

ного

гран

нико

в пу

тём

при

веде

ния

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв;

73

8.4.

При

мен

ение

мно

гогр

ан-

нико

в дл

я ра

споз

нава

ния

и оп

исан

ия ф

еном

енов

, пр

оцес

сов

из р

азли

чны

х об

ласт

ей.

8.5.

Пер

евод

реа

льно

й

и/ил

и см

одел

иров

анно

й си

туац

ии н

а ге

омет

риче

-ск

ий я

зык,

реш

ение

пол

у-че

нной

зад

ачи

и ин

терп

ре-

тиро

вани

е ре

зуль

тата

.8.

6. С

оста

влен

ие п

лана

для

ре

шен

ия з

адач

и на

при

-м

енен

ие м

ного

гран

нико

в в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

и

реш

ение

зад

ачи

согл

асно

ра

зраб

отан

ном

у пл

ану.

8.7.

Нах

ожде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния

о м

ного

гран

ника

х.8.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

-го

/зад

анно

го р

езул

ьтат

а ил

и вы

вода

в к

онте

ксте

м

ного

гран

нико

в по

сред

-ст

вом

арг

умен

тов,

док

аза-

тель

ств.

Клас

сифи

каци

я пи

рам

ид (п

рям

ая

пира

мид

а, н

акло

нная

пир

амид

а,

прав

ильн

ая п

ирам

ида,

тетр

аэдр

, пр

авил

ьны

й те

траэ

др).

Разв

ёртк

а пи

рам

иды

•

Площ

ади

пове

рхно

стей

и

объё

м п

рави

льно

й пи

рам

иды

(т

реуг

ольн

ой, ч

еты

реху

голь

ной,

ш

ести

угол

ьной

)•

Усеч

ённа

я пи

рам

ида.

Эле

мен

ты.

Клас

сифи

каци

я

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

приз

ма,

пря

мая

при

зма,

нак

лонн

ая

приз

ма,

пра

виль

ная

приз

ма,

пар

ал-

леле

пипе

д, п

рям

ой п

арал

леле

пипе

д,

боко

вая

пове

рхно

сть

приз

мы

, пол

ная

пове

рхно

сть

приз

мы

, объ

ём п

ризм

ы,

апоф

ема

пира

мид

ы, п

рям

ая п

ирам

и-да

, нак

лонн

ая п

ирам

ида,

пра

виль

ная

пира

мид

а, т

етра

эдр,

пра

виль

ный

тет

раэд

р, б

оков

ая п

овер

хнос

ть

пира

мид

ы, п

олна

я по

верх

ност

ь пи

-ра

мид

ы, о

бъём

пир

амид

ы, у

сечё

нная

пи

рам

ида.

-на

хож

дени

е ис

тинн

остн

ого

знач

ения

утв

ерж

дени

я,

выск

азы

вани

я, и

спол

ьзуя

при

мер

ы, к

онтр

прим

еры

, до

каза

тель

ства

.

Исс

ледо

вани

е ко

нкре

тны

х сл

учае

в из

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к

мно

гогр

анни

кам

, и р

ешен

ие п

олуч

енны

х за

дач.

Вы

полн

ение

пра

ктич

ески

х ра

бот,

в то

м ч

исле

на

мес

тнос

ти

по п

рим

енен

ию м

ного

гран

нико

в в

прак

тиче

ской

де

ятел

ьнос

ти.

Ре

ализ

ация

исс

ледо

вани

й/из

ыск

аний

отн

осит

ельн

о пр

имен

ения

мно

гогр

анни

ков

в ра

злич

ных

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия

мно

гогр

анни

ков

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях.

Пр

имен

ение

дид

акти

ческ

их и

гр в

про

цесс

е пр

епод

аван

ия –

уч

ения

— о

цени

вани

я м

ного

гран

нико

в.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

И

ссле

дова

ние

"Мно

гогр

анни

ки в

мое

м д

оме"

;

Сост

авле

нны

й пл

ан;

Ра

зраб

отан

ная

схем

а;

Пр

оект

"Мно

гогр

анни

ки в

стр

оени

ях р

одно

го с

ела/

горо

да";

Ла

бора

торн

ая р

абот

а "И

змер

ение

объ

ёмов

тел,

им

еющ

их

форм

у м

ного

гран

ника

";

Сост

авле

нная

Мат

рица

асс

оциа

ций;

По

няти

йная

кар

та, с

оста

влен

ная

к гл

аве;

Ре

шён

ный

сум

мат

ивны

й те

ст.

74

9.1.

Рас

позн

аван

ие в

Ра

злич

ных

ситу

ация

х и

клас

сиф

ицир

ован

ие п

о ра

злич

ным

кри

тери

ям

изуч

енны

х те

л вр

ащен

ия.

9.2.

Рас

позн

аван

ие и

исп

оль-

зова

ние

терм

инол

огии

, со-

отве

тств

ующ

ей и

зуче

нны

м

тела

м в

ращ

ения

, в р

азли

ч-ны

х ко

нтек

стах

. 9.

3. В

ычи

слен

ие п

лощ

адей

по

верх

ност

ей, о

бъём

ов

тел

вращ

ения

, исп

ольз

уя

соот

ветс

твую

щие

фор

мул

ы

и/ил

и их

раз

вёрт

ки.

9.4.

При

мен

ение

изу

ченн

ых

тел

вращ

ения

для

ра

споз

нава

ния

и оп

исан

ия

фено

мен

ов, п

роце

ссов

из

разл

ичны

х об

ласт

ей.

9.5.

Пер

евод

реа

льно

й и/

или

смод

елир

ован

ной

ситу

-ац

ии н

а ге

омет

риче

ский

яз

ык,

реш

ение

пол

учен

ной

зада

чи и

инт

ерпр

етир

ова-

ние

резу

льта

та.

9.6.

Сос

тавл

ение

пла

на

для

реш

ения

зад

ачи

на

прим

енен

ие те

л вр

ащен

ия

в ра

злич

ных

конт

екст

ах и

ре

шен

ие з

адач

и со

глас

но

разр

абот

анно

му

план

у.

IX. Т

ела

вращ

ения

• По

няти

е ци

линд

р. П

рям

ой к

руго

вой

цили

ндр

и ег

о эл

емен

ты (р

адиу

с,

диам

етр,

осн

ован

ия, б

оков

ая п

о-ве

рхно

сть,

обр

азую

щая

, вы

сота

, ос

ь си

мм

етри

и, о

сево

е се

чени

е).

Разв

ёртк

а пр

ямог

о кр

угов

ого

ци-

линд

ра•

Площ

ади

пове

рхно

стей

и о

бъём

пр

ямог

о кр

угов

ого

цили

ндра

•

Поня

тие

кону

с. П

рям

ой к

руго

вой

кону

с и

его

элем

енты

(вер

шин

а,

осно

вани

е, б

оков

ая п

овер

хнос

ть,

высо

та, о

браз

ующ

ая, о

сь с

имм

е-тр

ии, о

сево

е се

чени

е). Р

азве

ртка

пр

ямог

о кр

угов

ого

кону

са•

Площ

ади

пове

рхно

стей

и о

бъём

пр

ямог

о кр

угов

ого

кону

са•

Прям

ой к

руго

вой

усеч

енны

й ко

нус.

Эл

емен

ты

• Сф

ера

и ш

ар. Э

лем

енты

(цен

тр,

ради

ус, д

иам

етр)

. Пло

щад

ь по

верх

ност

и сф

еры

. Объ

ём ш

ара

Новы

е эл

емен

ты м

атем

атич

еско

й те

рмин

олог

ии:

прям

ой к

руго

вой

цили

ндр,

пря

мой

кр

угов

ой к

онус

, пря

мой

кру

гово

й ус

е-чё

нны

й ко

нус,

бок

овая

пов

ерхн

ост

ь,

полн

ая п

овер

хнос

ть,

ось

сим

мет

рии,

ос

евое

сеч

ение

, раз

вёрт

ка п

рям

ого

круг

овог

о ци

линд

ра, р

азвё

ртка

пря

-м

ого

круг

овог

о ко

нуса

.

Ре

шен

ие у

праж

нени

й и

зада

ч на

:-

расп

озна

вани

е, в

ерба

льно

е и

пись

мен

ное

опис

ание

из

учен

ных

тел

вращ

ения

и/и

ли и

х эл

емен

тов,

исп

ольз

уя

соот

ветс

твую

щие

обо

знач

ения

;-

изоб

раж

ение

на

плос

кост

и из

учен

ных

геом

етри

ческ

их те

л,

испо

льзу

я че

ртёж

ные

инст

рум

енты

, инс

трум

енты

ИКТ

, и

прим

енен

ие п

олуч

енны

х из

обра

жен

ий п

ри р

ешен

ии з

адач

на

вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и/ил

и об

ъём

ов;

-вы

числ

ение

пло

щад

ей п

овер

хнос

тей

и/ил

и об

ъём

ов те

л вр

ащен

ия в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х;-

анал

изир

ован

ие и

инт

ерпр

етир

ован

ие р

езул

ьтат

ов,

полу

ченн

ых

при

реш

ении

пра

ктич

ески

х за

дач,

с

прим

енен

ием

изу

ченн

ых

тел

вращ

ения

и с

оотв

етст

вую

щих

ед

иниц

изм

ерен

ия п

лощ

адей

, объ

ёмов

;-

обос

нова

ние

полу

ченн

ого/

зада

нног

о ре

зуль

тата

или

вы

вода

в к

онте

ксте

изу

ченн

ых

тел

вращ

ения

пут

ём

прив

еден

ия а

ргум

енто

в, д

оказ

ател

ьств

; -

нахо

жде

ние

исти

ннос

тног

о зн

ачен

ия у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния,

исп

ольз

уя п

рим

еры

, кон

трпр

имер

ы,

дока

зате

льст

ва.

И

ссле

дова

ние

конк

ретн

ых

случ

аев

из р

еаль

ных

и/ил

и

смод

елир

ован

ных

ситу

аций

, отн

осящ

ихся

к те

лам

вр

ащен

ия, и

реш

ение

пол

учен

ных

зада

ч.

Выпо

лнен

ие п

ракт

ичес

ких

рабо

т, в

том

чис

ле н

а м

естн

ости

по

при

мен

ению

изу

ченн

ых

тел

вращ

ения

в п

ракт

ичес

кой

деят

ельн

ости

.

Реал

изац

ия и

ссле

дова

ний/

изы

скан

ий о

тнос

ител

ьно

прим

енен

ия те

л вр

ащен

ия в

раз

личн

ых

обла

стях

.

Реал

изац

ия и

ндив

идуа

льны

х/гр

уппо

вых

прое

ктов

, в то

м

числ

е пр

оект

ов S

TEM

/STE

AM в

кон

текс

те п

рим

енен

ия те

л вр

ащен

ия в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х.

Прим

енен

ие д

идак

тиче

ских

игр

в п

роце

ссе

преп

одав

ания

–

учен

ия –

оце

нива

ния

тел

вращ

ения

.

75

9.7.

Нах

ожде

ние

ист

инно

стно

-го

зна

чени

я ут

верж

дени

я,

выск

азы

вани

я о

тела

х вр

а-щ

ения

, в то

м ч

исле

с п

омо-

щью

при

мер

ов, к

онтр

при-

мер

ов, д

оказ

ател

ьств

.9.

8. О

босн

ован

ие п

олуч

енно

го

или

зада

нног

о ре

зуль

тата

ил

и вы

вода

в к

онте

ксте

те

л вр

ащен

ия п

осре

дств

ом

аргу

мен

тов,

док

азат

ельс

тв.

Реко

мен

дуем

ые

резу

льт

аты

/про

дукт

ы:

Ре

шён

ная

зада

ча;

И

ссле

дуем

ый

случ

ай с

пра

ктич

ески

м у

клон

ом;

И

ссле

дова

ние

"Тел

а вр

ащен

ия в

моё

м д

оме"

;

Прим

енён

ный

алго

ритм

;

Разр

абот

анна

я сх

ема;

Со

став

ленн

ый

план

;

Прое

кт "Т

ела

вращ

ения

в с

трое

ниях

род

ного

сел

а/го

рода

";

Прое

кт "Т

ела

вращ

ения

в и

скус

стве

";

Лабо

рато

рная

раб

ота

«Изм

ерен

ие о

бъём

ов те

л, и

мею

щих

фо

рму

тела

вра

щен

ия»;

Со

став

ленн

ая М

атри

ца а

ссоц

иаци

й;

Поня

тийн

ая к

арта

, сос

тавл

енна

я к

глав

е;

Реш

ённы

й су

мм

атив

ный

тест

.

76

В ко

нце

IX к

ласс

а УЧ

ЕНИ

К М

ОЖ

ЕТ:

• ра

споз

нава

ть, п

исат

ь, и

зобр

ажат

ь, с

равн

иват

ь и

упор

ядоч

иват

ь де

йств

ител

ьны

е чи

сла

в ра

злич

ных

ситу

ация

х и

конт

ек-

стах

; •

выпо

лнят

ь в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

дей

стви

я на

д де

йств

ител

ьны

ми

числ

ами:

сло

жен

ие, в

ычи

тани

е, у

мно

жен

ие, д

елен

ие,

возв

еден

ие в

сте

пень

с ц

елы

м п

оказ

ател

ем;

• ис

поль

зова

ть т

ерм

инол

огию

, отн

осящ

уюся

к п

онят

ию д

ейст

вит

ельн

ое ч

исло

, в р

азли

чны

х ко

нтек

стах

, в т

ом ч

исле

при

об

щен

ии;

• пр

имен

ять

дейс

твия

над

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и и

их с

войс

тва

в ре

альн

ых

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туац

иях;

• пр

имен

ять

приб

лиж

ения

и о

круг

лени

я дл

я пр

овер

ки п

рави

льно

сти

вычи

слен

ий с

дей

стви

тель

ным

и чи

слам

и в

разл

ичны

х ко

нтек

стах

;•

расп

озна

вать

фун

кцио

наль

ные

зави

сим

ости

, в то

м ч

исле

типа

фун

кции

II с

тепе

ни в

раз

личн

ых

обла

стях

;•

испо

льзо

вать

терм

инол

огию

и о

бозн

ачен

ия, о

тнос

ящие

ся к

пон

ятию

фун

кция

, в р

еаль

ных

и/ил

и см

одел

иров

анны

х си

туа-

циях

;•

пост

роит

ь гр

афик

фун

кции

и о

писа

ть с

войс

тва

функ

ции

по з

адан

ным

и/и

ли п

олуч

енны

м гр

афик

ам;

• пр

имен

ять

свой

ства

изу

ченн

ых

функ

ций

при

реш

ении

ура

внен

ий, н

ерав

енст

в, п

ри и

зуче

нии

и оп

исан

ии ф

изич

ески

х, х

и-м

ичес

ких,

био

логи

ческ

их, э

коно

мич

ески

х, с

оциа

льны

х пр

оцес

сов,

зад

анны

х фу

нкци

ями;

• об

осно

выва

ть п

олуч

енны

й ил

и за

данн

ый

выво

д ил

и ре

зуль

тат,

испо

льзу

я ар

гум

енты

, док

азат

ельс

тва;

• ре

шит

ь из

учен

ные

типы

ура

внен

ий, н

ерав

енст

в и

сист

ем;

• ра

споз

нава

ть и

при

мен

ять

в ра

злич

ных

конт

екст

ах те

рмин

олог

ию и

обо

знач

ения

, отн

осящ

иеся

к п

онят

иям

ура

внен

ие, н

е-ра

венс

тво

, сис

тем

а ур

авне

ний,

сис

тем

а не

раве

нст

в;•

пере

води

ть р

еаль

ную

и/и

ли с

мод

елир

ован

ную

сит

уаци

ю н

а яз

ык

урав

нени

й, н

ерав

енст

в и/

или

сист

ем, р

ешит

ь по

луче

н-ны

е за

дачи

и и

нтер

прет

иров

ать

резу

льта

ты;

• ра

споз

нава

ть ти

п ур

авне

ния/

нера

венс

тва

и/ил

и си

стем

ы у

равн

ений

/нер

авен

ств,

под

обра

ть и

при

мен

ить

адек

ватн

ые

ме-

тоды

их

реш

ения

;•

сорт

иров

ать

и кл

асси

фици

рова

ть д

анны

е, о

бъек

ты, с

обы

тия

по р

азли

чны

м к

рите

риям

;

77

• на

ходи

ть в

ероя

тнос

ть с

обы

тия,

исп

ольз

уя о

тнош

ение

: кол

ичес

тво

благ

опри

ятны

х сл

учае

в/ко

личе

ство

все

х во

змож

ных

случ

аев;

• кл

асси

фици

рова

ть с

обы

тия

с то

чки

зрен

ия ш

анса

их

реал

изац

ии (д

осто

верн

ое, в

ероя

тное

, воз

мож

ное,

нев

озм

ожно

е со

-бы

тие)

и о

цени

вать

шан

с ре

ализ

ации

соб

ыти

я;•

обра

бота

ть и

пре

дста

вить

дан

ные

в ви

де с

тати

стич

ески

х та

блиц

, диа

грам

м, г

рафи

ков;

• пр

имен

ять

изуч

енны

е эл

емен

ты ф

инан

сово

го и

счис

лени

я дл

я ре

шен

ия з

адач

из

разл

ичны

х об

ласт

ей, в

том

чис

ле и

з об

-ла

сти

пред

прин

имат

ельс

тва;

• ра

споз

нава

ть, к

ласс

ифиц

иров

ать

по р

азли

чны

м к

рите

риям

и и

зобр

ажат

ь на

пло

скос

ти, и

спол

ьзуя

чер

тёж

ные

инст

рум

ен-

ты, т

реуг

ольн

ики,

чет

ырё

хуго

льни

ки, о

круж

ност

и, к

руги

, мно

гогр

анни

ки, т

ела

вращ

ения

и и

х эл

емен

ты;

• пр

имен

ить

свой

ства

треу

голь

нико

в, ч

еты

рёху

голь

нико

в, о

круж

ност

ей, к

руго

в, м

ного

гран

нико

в и

тел

вращ

ения

при

реш

е-ни

и за

дач

из р

азли

чны

х об

ласт

ей;

• пе

рево

дить

реа

льну

ю и

/или

см

одел

иров

анну

ю с

итуа

цию

на

язы

к тр

еуго

льни

ков,

чет

ырё

хуго

льни

ков,

окр

ужно

стей

, кру

-го

в, м

ного

гран

нико

в и

тел

вращ

ения

, реш

ить

полу

ченн

ую з

адач

у и

инте

рпре

тиро

вать

рез

ульт

аты

;•

прим

енят

ь пр

изна

ки к

онгр

уэнт

ност

и тр

еуго

льни

ков,

при

знак

и по

доби

я тр

еуго

льни

ков

при

реш

ении

зад

ач в

реа

льны

х и/

или

смод

елир

ован

ных

ситу

ация

х;•

расп

озна

вать

в р

азли

чны

х си

туац

иях

форм

улы

для

вы

числ

ения

пло

щад

ей тр

еуго

льни

ков,

чет

ырё

хуго

льни

ков,

кру

га, п

ло-

щад

ей п

овер

хнос

тей

мно

гогр

анни

ков

и те

л вр

ащен

ия и

при

мен

ять

их п

ри р

ешен

ии за

дач

из р

азли

чны

х об

ласт

ей (ф

изик

и,

геог

рафи

и, б

иоло

гии,

ист

ории

и т.

п.);

•из

обра

жат

ь ад

еква

тно

на п

лоск

ости

изу

ченн

ые

план

имет

риче

ские

фиг

уры

и ге

омет

риче

ские

тела

в к

онте

ксте

изм

ерен

ия

длин

отр

езко

в, в

елич

ин у

глов

, пло

щад

ей и

объ

ёмов

;•

нахо

дить

ист

инно

стно

е зн

ачен

ие у

твер

жде

ния,

вы

сказ

ыва

ния.

78

V. Методологические основы преподавания – учения – оценивания

Педагогические кадры могут выбирать методы и техники преподавания и мо-гут адаптировать соответствующие действия в соответствии с темпом усвоения ма-териала учащимися и их особенностями. Учителя обязаны формулировать цели, организовывать и осуществлять учебную деятельность, предоставляющую равные возможности для школьного прогресса всем учащимся: для юношей и девушек, для детей с ограниченными возможностями, с психо-опорно-двигательными не-достатками или со специальными медицинскими требованиями, учащимся из различных социальных и культурных сред, различных национальностей и т. п.

Переоценка конечных результатов и содержания образования, центрирование на формирование компетенций сопровождается переоценкой и обновлением стратегий, технологий и методов, применяемых в образовательном процессе по математике. Это касается следующих аспектов:

• применение стратегий, технологий, методов в контексте личностно-ориентированного обучения, направленное на активизацию когнитивных и действенных структур учащихся, на реализацию на максимальном уровне психофизического и интеллектуального потенциала каждого из них, на пре-образование ученика в соучастника собственного формирования;

• использование методов, способствующих оптимизации процесса познания, прибегая к конкретным моделям;

• акцентирование формативного характера стратегий, технологий, мето-дов, применяемых в процессе преподавания – учения – оценивания мате-матики, способствующих активному и эффективному формированию инди-видуального потенциала ученика, развитию способностей оперировать с усвоенной информацией, применять и оценивать добытые знания, иссле-довать гипотезы и находить адекватные решения проблем и проблемных ситуаций;

• систематическое комбинирование и чередование видов деятельности, ос-нованных на индивидуальном действии ученика (документирование на ос-нове различных источников информации, собственное наблюдение, личное упражнение, программированное обучение, эксперимент и индивидуаль-ная работа, работа с индивидуальными карточками и т. п.) видами деятель-ности, требующими коллективного участия (в командах, в группах), типа дискуссий, мозгового штурма, исследование конкретного случая и т. п.;

• усвоение методов самостоятельного информирования и документирова-ния, используя информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), в

79

том числе сеть Интернет, способствующих самообразованию, непрерывно-му образованию.

Настоящий куррикулум призван создавать благоприятные условия для каждого ученика в процессе формирования и развития компетенций в собственном, ин-дивидуальном ритме для переноса и применения усвоенных знаний в другие об-ласти.

Учитель математики будет осуществлять образовательный процесс по матема-тике, используя типы уроков, предусмотренные классификацией типов уроков по признаку компетенций. [5]

В процессе преподавания – учения математики необходимо создавать благо-приятные условия для подключения учащихся к процессу поиска, исследования, способствующих процессу учения посредством проблемного обучения и откры-тий. Также необходимо создавать благоприятные условия для переноса добы-тых и осознанных математических знаний в различные области, в том числе в повседневную жизнь и в области, определённые Куррикулумом Математика и естествознание. В этом отношении учитель будет использовать любую возмож-ность для приведения примеров отображения математики в физике, химии, био-логии, информатике, в повседневной жизни и в других куррикулумных областях. Таким образом, учитель:

• будет учитывать возможности, представленные школьными учебника-ми по математике, по реализации межпредметных связей (интегриру-ющие задачи, проблемные ситуации, содержащиеся в текстах учебника; интегрирующие тестовые задания (итемы), содержащиеся в провероч-ных работах учебника и т. п.);

• выберет из сборников упражнений и задач и предложит учащимся задачи с межпредметным содержанием;

• выберет из дидактических и методических материалов интегрирующие задачи и предложит учащимся при проведении различных мероприятий по математике (уроки, внеклассные мероприятия, олимпиады и т. п.);

• проведет совместно с учителями физики, химии, биологии, информатики и других дисциплин интегрирующие уроки;

• будет создавать систематически на уроках или при проведении других образовательных мероприятий проблемные ситуации с межпредмет-ным содержанием и/или прикладным уклоном;

• организует и проведет при обучении математике практические занятия и лабораторные работы с межпредметным и/или прикладным уклоном;

• реализует совместно с учителями других предметов проекты типа STEM/STEAM.

Оценивание, проведённое по математике, в обязательном порядке будет со-держать и итемы, решения которых требует реализации межпредметных связей.

80

Будет предложено учащимся в качестве методов оценки выполнение некоторых интегрирующих проектов.

Каждый ученик имеет право на школьный успех и на достижение образова-тельных стандартов. Учитель обязан предлагать учащимся учебные задания, со-ответствующие их уровню развития, таким образом, чтобы каждый ученик про-грессировал в соответствии со своими возможностями. В этом контексте:

• для учащихся слабо успевающих по математике: учитель обязан диффе-ренцировано подходить к каждому из них, предлагая соответствующие учебные задания, адаптируя школьный куррикулум для данного класса к учебным возможностям этих учащихся;

• для учащихся с инклюзивным обучением: учитель обязан реализовать принцип индивидуализации обучения в зависимости от типа куррикулума согласно составленному для него Индивидуальному плану.

• для учащихся с математическими способностями: учитель обязан предла-гать учебные задания продвинутого уровня, которые будут обеспечивать им прогресс в учёбе.

Самая значимая роль оценивания состоит в предоставлении постоянной и соответствующей обратной связи, необходимой как ученикам и учителям, так и родителям, руководящим органам и широкой общественности. Итак, в интегри-рованном образовательном процессе преподавание – учение – оценивание, со-ставляющая оценивание играет основную роль, имеющую исключительное как психопедагогическое, профессиональное, так и социальное значение. В контексте формирования и развития компетенций педагогическая оценка должна основы-ваться, согласно требованиям, содержащимся в документе Основы Националь-ного куррикулума (Cadrul de referinţă al curriculumului naţional) [2], на следующих фундаментальных принципах:

• оценивание является постоянным процессом и существенной составной частью образовательного процесса;

• оценивание стимулирует учение, формирование и развитие компетенций;• оценивание основывается на необходимости сравнивать подготовку

учащихся со специфическими компетенциями, единицами компетенций и операциональными целями каждого урока;

• оценивание основывается на государственных образовательных стан-дартах, предусматривающих, что будет знать, будет уметь делать и каким будет ученик в конце его школьного обучения;

• оценивание проводится многими и разнообразными методами (тради-цион ными и современными);

• оценивание – регламентирующий процесс, определяющий качество школь ной деятельности учащихся;

81

• оценивание должно способствовать правильной самооценке учащегося и достижению постоянного улучшения его школьных успехов.

В процессе математического образования учитель, как правило, применяет: а) первичное оценивание, реализуя функцию прогноза; б) текущее (формиру-ющее) оценивание, реализуя функцию формирования; в) итоговое (сумматив-ное) оценивание, реализуя функцию суммирования (или диагноза).

Итоговое оценивание в конце учебного года и/или в конце изученного разде-ла покажет, достигнуты ли запланированные результаты единицами компетенций для соответствующего класса. Посредством экзамена по математике для гимна-зического образования будет проверяться, сформированы ли запланированные специфические компетенции по математике для гимназического образования и достигнуты ли соответствующие образовательные стандарты.

Формулируя цели каждого урока, учитель будет коррелировать эти цели со специфическими компетенциями по математике, соответствующими единицами компетенций и стандартами. Проверочные работы, предложенные учащимся в процессе обучения математике, будут включать задания и итемы, посредством которых будут оцениваться приоритетно не отдельные знания и способности, а уровень формирования соответствующих компетенций. Примеры таких заданий и итемов учитель найдет в методологических гидах, в сборниках тестов по матема-тике и в экзаменационной программе по математике для гимназии.

В контексте принципов оценки приоритетным и доминирующим в образова-тельном процессе становится текущее – формирующее оценивание. Успех урока зависит от достижения соответствующих запланированных целей. В этом контек-сте этап урока Проверка и оценивание является обязательным для любого типа урока, и на этом этапе будет оцениваться уровень достижения целей урока.

Проверка и оценивание будут осуществляться, как правило, посредством при-менения различных форм, методов и техник. Приоритетными в контексте оцени-вания формирования компетенций становятся метод проектов, исследование, практические, лабораторные и графические работы, тестирование с исполь-зованием интегрированных проверочных тестов. Проверка и оценивание, по возможности, будут проводиться с использованием инструментов ИКТ. Оценка, проведённая при обучении математике, будет обязательно включать задания, требующие реализации межпредметных, транспредметных связей. В рамках оце-нивания учащимся будут предложены для реализации и интегрирующие проекты, в том числе проекты типа STEM и STEAM.

Важно, чтобы каждый ученик, учитель и родитель/опекун осознал, что оценка при любых условиях должна быть объективной.

82

Библиография

1. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării Chișinău, Lyceum, 2017.

2. Educaţia centrată pe copil. Ghid metodologic. Coordonatori Callo T., Paniș A. Chişinău, “Print-Caro” , 2010.

3. Referenţialul de evaluare a competenţelor specifice formate elevilor. Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova, Chișinău, 2014.

4. Achiri I., Bîrnaz N., Ciuvaga V. ș. a. Evaluarea curriculumului educaţional. Aria curriculară: Matematică şi ştiinţe. Chișinău: CEP USM , 2018.

5. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.

6. Cartaleanu T., Lîsenco S., Sclifos L. ș. a. Formarea competenţelor prin strategii didactice interactive. Chișinău: Centrul Educaţional PRO DIDACTICA, 2008.

7. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învăţămîntul preuniversitar. Chişinău, Ştiinţa, 2007.

8. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Editura Uniunii Scriitorilor, Chişinău, 2004.9. Minder M. Didactica funcţională. Obiective, strategii, evaluare (traducere). Chișinău,

Editura “Cartier educațional”, 2003.10. Кодекс об образовании Республики Молдова. Кишинэу, 2014 г.11. Стандарты эффективности обучения. Mинистерство просвещения Респу-

блики Молдова. Кишинэу, Lyceum, 2012. 12. Акири И. Дидактика математики. Кишинэу: CEP USM, 2012. 13. Стойка А., Мустяцэ С. Проверка школьных результатов. Методологический

гид. Кишинэу, 2003.14. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики:

кн.для учителя.-М.:Просвещение, 2005. 15. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași: Polirom, 2013. 16. Cerghit I. Metode de învăţământ, ediţia a IV-a. Iași, Editura “Polirom”, 2006.17. Neagu M., Achiri I. Evaluarea curriculumului şcolar proiectat. Ghid metodologic.

Iași: Editura PIM, 2008.