lucrare metodico – Ştiin Ţific Ă - ramna.ro · pdf fileuniversitatea de vest din timi...
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
LUCRARE METODICO – ŞTIINŢIFICĂ
PENTRU OBŢINEREA GRADULUI
DIDACTIC I ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT
COORDONATOR ŞTIINŢIFIC PROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU
CANDIDAT PROF. ALMĂJAN CĂTĂLIN
ŞCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA JUDEŢUL CARAŞ SEVERIN
TIMIŞOARA 2009
2
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN INTERPOLARE
COORDONATOR ŞTIINŢIFIC PROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU
CANDIDAT PROF. ALMĂJAN CĂTĂLIN
ŞCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA JUDEŢUL CARAŞ SEVERIN
TIMIŞOARA 2009
3
CUPRINS INTRODUCERE …………………………………………………..……..pag.4
Capitolul I : Interpolare Polinomială ………………………….…..……pag.6
1.1. Noţiuni Introductive………………….….………………… ..…...pag.6
1.2. Polinomul de interpolare Lagrange ………..…………………..…pag.7
1.3. Interpolarea cu ajutorul programelor Maple şi Matlab………..…pag.15
1.4. Interpolarea iterativă. Metoda Aitken……………………………pag.17
1.5. Interpolarea iterativă. Metoda Neville…………………………...pag.19
1.6. Diferenţe Divizate.Polinomul Newton de interpolare……………pag.20
1.7. Diferenţe finite. Polinomul Newton ascendent şi descendent……pag.30
1.8. Polinoame Cebâşev………………………………………………pag.37
Capitolul II : Interpolarea cu ajutorul funcţiilor spline ………....……pag.41
2.1. Funcţii Spline – Introducere …………...………………………...pag.41
2.2. Funcţii Spline de gradul I ………………………………………..pag.42
2.3. Funcţii Spline de gradul II ……………………………………….pag.44
2.4. Funcţii Spline de gradul III ………………………………...……pag.46
2.5. Evaluarea erorii de interpolare prin funcţii spline ….……………pag.51
2.6. Utilizarea Maple şi Matlab pentru interpolare prin funcţii spline..pag.54
Capitolul III : Aplicaţii ale interpolării funcţiilor…………...…....……pag.56
3.1 Utilizarea interpolării la derivarea numerică …………………….pag.56
3.2 Utilizarea interpolării la integrala numerică…………………...…pag.60
Capitolul VI : Aspecte metodice şi metodologice…... ………….....……pag.65
4.1. Aspecte generale…………………………………………………pag.65
4.2. Metode de predare învăţare……………...………………………pag.68
4.3. Metode de rezolvare a problemelor…………………………….. pag.83
4.4. Utilizarea interpolării în rezolvarea unor probleme……………..pag.85
Bibliografie ……………………………………………………………….pag.97
INTRODUCERE
În rezolvarea unor probleme practice (de fizică, economice , sociale)
suntem puşi în situaţia de a modela funcţii necunoscute ca expresie şi definite
doar prin valorile lor în anumite puncte. De aceea este necesară găsirea unei
funcţii de aproximare cu o formă analitică mai simplă . Aproximarea mai
poate fi utilă şi atunci când funcţia este cunoscută dar are o formă
complicată, dificil de manipulat în calcule .
Pentru determinarea unei funcţii de aproximare g(x) pentru o funcţie
f(x) trebuie impus un criteriu de aproximare. De regulă , criteriile de
aproximare se împart în două categorii:
a) Funcţia de aproximare trebuie să treacă prin punctele cunoscute:
g(xi) = f(xi)
b) Funcţia de aproximare nu trebuie să treacă prin punctele cunoscute,
dar să aproximeze cât mai bine valorile cunoscute. (de ex. Metoda
celor mai mici pătrate).
În lucrarea de faţă , ne vom ocupa de primul caz, funcţia g(x) numindu-
se funcţie de interpolare , iar operaţia de determinare a ei se numeşte
interpolare.
Prin interpolare se înţelege o metodă de calcul a unui nou punct între
două puncte cunoscute. Cuvântul interpolare provine de la : ,,inter = între” şi
,,pole = punct sau nod” , deci interpolare înseamnă o metodă de calcul a unui
nou punct între două puncte cunoscute.
Exemple :
- interpolare polinomială : ∑=
≈n
i
ii xaxf
0
)(
- interpolare trigonometrică : ∑=
+≈n
kkk kxbkxaxf
0
sincos)(
(serii Fourier)
5
- interpolare exponenţială : ∑=
≈n
i
xki
ieaxf0
)( .
Dintre posibilităţile prezentate mai sus , cea mai utilizată este cea
polinomială , datorită uşurinţei cu cu care se integrează şi se derivează.
Baza teoretică a aproximării polinomiale o constituie teorema lui
Weierstrass, în care se arată ca orice funcţie continuă f(x) poate fi aproximată
cu o precizie oricât de bună pe un interval dat închis, de un polinom )(xPn .
Teoremă : Fie funcţia f : [a,b] → R , o funcţie continuă. Atunci f(x) poate fi
aproximată uniform de un şir de polinoame {Pk(x)} cu o acurateţe
prestabilită.
Adică pentru o funcţie continuă , există un şir de polinoame {Pk(x)} cu proprietatea că
)()(lim xfxPkk
=∞→
Demonstraţie Se consideră funcţia ajutătoare F : [0, 1] → R ,
F(t) = f ( a + t (b – a )) , t ∈ [0, 1]
Funcţia F îndeplineşte condiţiile din teorema lui Bernstain , care spune că
pentru orice funcţie continuă f : [0, 1] → R şi (Bn)n≥1 un şir de funcţii polinomiale definit astfel :
Bn(x) = ( ) knkkn
n
k
xxCn
kf −
=
−⋅
∑ 1
0, pentru orice x∈[0,1]
Atunci (Bn)n≥1 converge uniform la f.
Deci fie (Bn)n≥1 polinoamele asociate funcţiei F(t) şi
( )
−
−=
ab
axBxP kk , [ ]bax ,∈
Atunci : [ ] [ ]
0)()(sup)()(sup1,0,
→−=−∈∈
xBxfxPxf nx
nbax
NOTĂ : Din păcate , teorema lui Weierstrass nu oferă un criteriu practic de
aflare a polinomului potrivit.
6
Capitolul I INTERPOLAREA POLINOMIALĂ 1.1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE Fie o funcţie f : [a,b] → R , se pune problema aproximării ei printr-un
polinom când se cunosc valorile funcţiei în anumite puncte xi ∈ [a, b] , i= n,0 .
1.1.1. Definiţie Mulţimea de puncte xi ∈ [a, b] , i= n,0 cu proprietatea :
a ≤ x0 < x1 < x2 <............. < xn ≤ b se numeşte diviziune a intervalului [a, b] şi
o vom nota cu d[a, b] .
Se presupune că se cunosc valorile funcţiei f în punctele xi şi anume :
f(xi) = yi , adică :
xi x0 x1 x2 ......................... xn
f(xi) f(x0)= y0 f(x1)= y1 f(x2) =
y2
.......................... f(xn) = yn
Se pune problema determinării unui polinom Pn(x) ∈ R[X] ,
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + .................. anx
n , cu următoarele proprietăţi :
1) grad Pn ≤ n;
2) Pn(xi) = f(xi) = yi , pentru orice 0 ≤ i ≤ n .
Un astfel de polinom poartă denumirea de polinom de interpolare ataşat
funcţiei f(x).
1.1.2. Definiţie Pentru orice alt punct x ≠ xi , diferenţa dintre funcţia f(x) şi
polinomul de interpolare Pn(x) poartă denumirea de rest sau eroare , pe care o
notăm cu rn(x).
Deci f(x) = Pn(x) + rn(x) (1.2)
(1.1)
7
Dacă restul 0)( →xrn , atunci din (1.1) şi (1.2) rezultă un sistem de n+1
ecuaţii liniare:
=⋅++⋅+⋅+
=⋅++⋅+⋅+
=⋅++⋅+⋅+
=⋅++⋅+⋅+
)(...
...............................................................
)(...
)(...
)(...
2210
22222210
11212110
00202010
nnnnnn
nn
nn
nn
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
(1.3)
Soluţia acestui sistem o constituie chiar coeficienţii polinomului de
aproximare căutat. Determinantul acestui sistem:
nnnn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
xxx
D
...1
...............
...1
...1
...1
2
2222
1211
0200
=
este cunoscut ca determinantul lui Vandermonde. Acesta este nenul ( 0≠D )
pentru orice )( jixx ji ≠≠ . Rezultă deci, ca sistemul de ecuaţii dat (1.3)
admite o soluţie unică pentru coeficienţii naaa ,...,, 10 , cu alte cuvinte
polinomul de interpolare este unic.
Pentru un număr mic de noduri sistemul se poate rezolva relativ uşor,
dar pentru un număr mai mare de noduri este necesar utilizarea unui
computer. De-a lungul timpului s-au propus foarte multe variante de generare
a polinomului de interpolare .
1.2 POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE
1.2.2. Teoremă Fie f : [a,b] → R şi x
0, x
1, ..., x
n ; (n+1) noduri din
intervalul [a,b]. Atunci există un polinom unic Pn, de grad cel mult n, care
8
interpolează funcţia f în nodurile xi
, 0 ≤ i ≤ n ( f(xi)=P
n(x
i) , 0 ≤ i ≤ n). Acest
polinom se numeşte polinomul de interpolare al lui Lagrange.
Demonstraţie :
În spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n , vom construi o
bază li ( x) care se anulează în toate punctele cu excepţia lui xi , i= n,0
li ( xj ) = δij =
≠
=
ijdaca
ijdaca
0
1
Deoarece li( x
j ) = 0 pentru i≠j , rezultă că l
i admite rădăcinile x
0, x
1,
..., xi−1
, xi+1
,..., xn.
Deci li ( x) = ai (x – x0)(x – x1). . . . . . . . (x – xi-1)(x – xi+1)
. . . . . . . (x – xn) Deoarece li(xi)=1 , rezultă că
( )( ) ( )( ) ( )niiiiiiii xxxxxxxxxx
a−⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅−−
=+− 1110
1
Atunci li ( x) = ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )niiiiiii
nii
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−−
−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅−−
+−
+−
1110
1110 =
=
( )( )∏
≠= −
−n
ijj ji
j
xx
xx
0
Polinomul de interpolare Lagrange se scrie sub forma :
Pn (x) = l0(x)f(x0) + l1(x)f(x1)+ .......................+ ln(x)f(xn) = l0(x)y0+ l1(x)y1+
........ + ln(x)yn .
Scris sub formă condensată , polinomul de interpolare Lagrange este :
Pn(x) = ∑=
⋅n
iii xlxf
0
)()( (1.4)
Evident polinomul (1.4) îndeplineşte condiţia f(xi)=P
n(x
i) , i= n,0 .
Polinoamlele li ( x), i= n,0 poartă denumirea de polinoame Lagrange
fundamentale.
Pentru a demonstra unicitatea polinomului Pn să presupunem că există
două polinoame distincte Pn , Qn ∈ R[X] de grad cel mult n astfel încât
9
Pn (xi ) = Qn (xi ) = f (xi ) , i= n,0 . Atunci polinomul Tn(x) = Pn (x ) - Qn (x )
este un polinom de grad cel mult n şi Tn(xi) = Pn (xi ) - Qn (xi ) = 0 i= n,0 .
Deci polinomul Tn(x) are n+1 rădăcini . Cum gradul lui Tn(x) este cel mult n ,
atunci polinomul Tn(x) este identic nul ⇒ Tn(x) = Pn (x ) - Qn (x ) = 0
⇒ Pn (x ) = Qn (x ) .
Această metodă este mai utilă de determinare a polinomului de
interpolare decât metoda (1.3) care necesită un volum mare de calcule.
Cazuri particulare
Fie funcţia f : [a,b] → R
1. Dacă n=2,adică diviziunea intervalului conţine doar două noduri, a ≤x0
<x1≤b, atunci polinomul de interpolare Lagrange ataşat funcţiei f şi diviziunii
este:
P(x) = )()( 101
00
10
1 xfxx
xxxf
xx
xx⋅
−
−+⋅
−
−
2. Dacă n = 3 , adică diviziunea conţine 3 noduri : a ≤x0 <x1<x2 ≤ b,
polinomul de interpolare Lagrange este :
P(x) = ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( ))()()( 2
1202
101
2101
200
2010
21 xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxx⋅
−−
−−+⋅
−−
−−+⋅
−−
−−
3. Dacă n = 4 , a ≤x0 <x1<x2 <x3≤ b, polinomul de interpolare Lagrange este :
P(x) = ( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( ))()( 1
312101
3200
302010
321 xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
−−−
−−−+⋅
−−−
−−− +
+ ( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( ))()( 3
231303
2102
321202
310 xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx⋅
−−−
−−−+⋅
−−−
−−−
1.2.2. Observaţie Cu cât creştem numărul de noduri ale diviziunii, cu atât
expresia polinomului de interpolare este mai complicată.
10
1.2.3. Exemplu Determinaţi polinomul de interpolare Lagrange atasat funcţiei
f(x) :
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
Rezolvare : Polinoamele Lagrange fundamentale sunt :
l0(x) = ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )3
31
3010
31
2010
21 −−=
−−
−−=
−−
−− xxxx
xxxx
xxxx
l1(x) = ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )2
3
3101
30
2101
20
−
−=
−−
−−=
−−
−− xxxx
xxxx
xxxx
l2(x) = ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )6
1
1303
10
1202
10 −=
−−
−−=
−−
−− xxxx
xxxx
xxxx
Polinomul de interpolare este : P(x) = f(0) l0(x)+ f(1) l1(x)+ f(2) l2(x) ;
P(x) = ( )( ) ( ) ( )6
6142
6
15
2
33
3
311
2 ++−=
−⋅+
−
−⋅+
−−⋅
xxxxxxxx ;
P(x) = 13
7
3
1 2 ++− xx .
1.2.4. Teoremă Operatorul de interpolare Lagrange Pn definit pe mulţimea
F= { f : [a,b] → R } şi cu valori în mulţimea polinoamelor de grad cel mult n,
care face ca unei funcţii din F să-i corespundă polinomul de interpolare
Lagrange , este un operator liniar.
Demonstraţie :
Fie funcţiile f şi g din F , atunci funcţia af+bg este de asemenea din F, unde
a şi b sunt două numere reale. Fie Pn polinomul de interpolare a funcţiei
af+bg ⇒
Pn(x) = ( )( )∑ ∑∑= ==
+=+n
i
n
iii
n
iiiiii xgxlbxfxlaxbgxafxl
0 00
)()()()()()( = a . Pnf + b . Pn
g
11
Unde Pnf şi Pn
g sunt polinoamele Lagrange ataşate funcţiilor f şi g , deci Pn
este un operator liniar.
1.2.5. Definiţie Diferenţa f(x) – Pn(x) = Rn(x), unde Pn este polinomul de
interpolare Lagrange, se numeşte restul de aproximare a funcţiei f .
Formula f(x) = Pn(x) + Rn(x) se numeşte formula de aproximare a lui
Lagrange.
1.2.6. Teoremă Restul Rn(x) din formula de aproximare Lagrange este un
operator liniar.
Demonstraţie : Fie funcţiile f şi g din F şi Pn polinomul de interpolare a
funcţiei af+bg , unde a şi b sunt două numere reale .
Atunci Rn(x) = [af(x) + bg(x)] - ( )∑=
+n
iiii xbgxafxl
0
)()()( = [af(x) + bg(x)]
– [ ∑ ∑= =
+n
i
n
iiiii xgxlbxfxla
0 0
)()()()( ] =[ af(x) – a Pnf(x) ] + [ b g(x) – b Pn
g(x) ] =
= a Rnf (x) + b Rn
g(x) . Deci operatorul Rn este un operator liniar.
1.2.7. Observaţie Evident Rn(xi) = 0 , i= n,0 .
1.2.7. Teoremă (evaluarea restului de interpolare)
Dacă f ∈ C(n+1) [a,b], atunci pentru orice x ∈ [a,b] , există ξx ∈ (a, b) astfel
încât
Rn(x) = )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
⋅+
ξ , unde Un+1(x) = (x – x0)(x – x1)
. . . . . . (x – xn).
Demonstraţie :
Fie funcţia auxiliară g(t) = )()(
)()()( 1
1
tUxU
xRtPtf n
n
nn +
+
⋅−−
Observăm că funcţia g se anulează în n+2 puncte : x0 , x1, x2 , ........ , xn , x .
Din teorema lui Rolle rezultă că există ξx ∈ (a, b) astfel încât g(n+1)( ξx) = 0.
g(n+1)( t) = )!1()(
)()(
1
)1( +⋅−+
+ nxU
xRtf
n
nn . Deci Rn(x) = )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
⋅+
ξ .
12
1.2.8. Corolar Dacă există M > 0 astfel încât Mxf n ≤+ )()1( pentru orice
x∈[a,b] , atunci : )()!1(
)( 1 xUn
MxR nn +⋅
+≤ , x∈[a,b] .
Demonstraţie |Rn(x)| = | )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
⋅+
ξ| ≤ )(
)!1( 1 xUn
Mn+⋅
+ .
1.2.9. Observaţie : În cazul în care diviziunea este formată din noduri
echidistante, adică xi = x0 + i . h , i= n,0 , unde h se numeşte pasul diviziunii ,
atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzător acestei diviziuni este:
∑=
−
−
−−−⋅
−⋅=⋅+=
n
i
in
in
inn it
ntttt
n
CxfhtaPtp
0
)).......(2)(1(
!
)1()()()(
Demonstraţie : Considerăm schimbarea de variabilă : x = x0 + t . h , h =
n
xxn 0−, atunci expresia polinomului Lagrange este Pn(x) = ∑
=
⋅n
iii xlxf
0
)()( ,
unde li ( x) =
( )( )∏
≠= −
−n
ijj ji
j
xx
xx
0 . Atunci : ∏ ∏
≠ ≠
−=−n
ji
n
ij
nj jthxx )()( şi
( ) ( )∏ ∏ ∏∏≠
−
= +=
−−
≠
−⋅⋅⋅−=−−−=−=−n
ji
i
j
n
ij
ninninn
ij
nji inihijjihjihxx
1
0 1
!!)1()()(1)()(
Rezultă că Li(t)=li(x0 + t . h) = ∏≠= −
−−−⋅
−⋅
−=
−
−n
ijj
n
it
ntttt
iniji
jt
0
)).....(2)(1(
)!(!
)1(
)(
)(
Expresia polinomului Lagrange este :
∑=
−
−
−−−⋅
−⋅=
n
i
in
in
in it
ntttt
n
Cxftp
0
)).......(2)(1(
!
)1()()(
Eroarea devine )()!1(
))......(2)(1()( )1(1
tnn
n fhn
nttttxr ξ++ ⋅⋅
+
−−−=
1.2.10. Exemplu Să se calculeze valoarea aproximativă a lui 15 utilizând un
polinom de interpolare Lagrange pentru funcţia x ( x ≥ 0) şi trei puncte de
interpolare convenabil alese.
Fie funcţia f : [0 ; +∞) , f(x) = x şi nodurile x0 = 9 , x1 = 16 şi x2 =
25. Sub formă de tabel funcţia arată astfel :
13
xi 9 16 25
f(xi) 3 4 5
Polinomul de interpolare Lagrange atasat funcţiei f este :
P(x) = 7
10
504
97
504
2
++− xx .
Atunci 869047619,3)15(15 =≈ P . Să evaluăm acum eroarea în punctul x = 15
U3(15) = (15 – 9 )(15 – 16) (15 – 25 ) = 6 . ( - 1) . ( - 10) = 60
xxxf
2
1
2
1)(' 2
1
==−
; 3
2
3
4
1
4
1)("
xxxf −=−=
−
; 5
2
5)3(
8
3
8
3)(
xxxf ==
−
;
7
2
7)4(
16
15
16
15)(
xxxf
−=−=
−
.
Deoarece f(4) (x) < 0 rezultă că funcţia f(3) este descrescătoare ⇒
001543,038
3
8
3)(
55
)3( =⋅
≤=x
xf
R(15) ≤ 01543,06000012,0!3
1=⋅⋅ .
Pe de altă parte , cu ajutorul calculatorului obţinem 87298334,315 ≈
=− )15(15 P 0,0039 , ceea ce confirmă afirmaţa de mai sus.
1.2.11. Observaţie Dacă f(x) = Q(x) ∈ R[x] un polinom de grad cel mult n ,
atunci Rn(x) = 0 .
Demonstraţie Deoarece f este un polinom de grad cel mult n , atunci
f(n+1)(x) = 0 ⇒ din teorema 1.2.7 că Rn(x) = 0.
1.2.12. Observaţie Fie o funcţie f : [a,b] → R, considerăm şirul de
diviziuni dn a intervalului [a, b] cu proprietatea :
bxxxa nn
nn≤<<<≤
)()(1
)(0 ................. şi 0lim =
∞→n
nd .
Notăm cu Pn polinomul lui Lagrange ce interpolează funcţia f în
nodurile xi(n) i= n,0 . Dacă n este mare , atunci Pn coincide cu f într-un număr
14
mare de puncte , deci ne aşteptăm ca eroarea Rn(x) = f(x) – Pn(x) să fie mică ,
eventual ca 0)(lim =∞→
xRnn
.
În anul 1912, S. N. Bernstein a arătat că pentru funcţia f(x)=|x|,
x∈[−1,1], dacă alegem nodurile echidistante nin
ix n
i ,0,2
1)(=+−= , atunci
)()(lim xfxPnn
≠∞→
dacă x∉{−1,0,1}.
S−ar putea crede că acest lucru se datorează faptului că funcţia modul
nu este derivabilă în origine.
Exemplu dat de C. Runge în 1901 arată că există funcţii indefinit
derivabile pentru care {Pn} nu converge la f .
Fie f(x) = 21
1
x+ , x ∈ [-5 , 5 ] . Evident f ∈ C∞ [-5 ,5 ] , fie nodurile
echidistante in
xi
105 +−= , i= n,0 .
Se poate arăta că )()(lim xfxPnn
=∞→
, dacă | x | ≤ c şi )()(lim xfxPnn
≠∞→
dacă | x | > c , unde c ≈ 3,6334.
În 1914 , S.N. Bernstein a arătat că pentru orice sistem de noduri { })(nix ,
i= n,0 din intervalul [a, b] , dat dinainte, există o funcţie continuă f : [a,b] →
R astfel încât şirul polinoamelor Lagrange {Pn} care interpolează funcţia f
în aceste noduri nu converge uniform la f pe [a,b].
Se pune întrebarea dacă interpolarea cu polinoame Lagrange este utilă
în practică, din moment ce aşa cum am văzut, în general şirul polinoamelor de
interpolare { Pn } nu converge la f.
Răspunsul este că interpolarea Lagrange este utilă. Se constată în
practică faptul că pentru un punct α ∈ [a,b], eroarea | f (α) – Pn(α ) | scade
până la un punct, pe măsură ce n creşte, şi deci, pentru n relativ mic, Pn(α)
aproximează acceptabil valoarea f(α). Pentru valori mari ale lui n, interpolarea
Lagrange nu este recomandată.
15
1.3. INTERPOLAREA CU AJUTORUL LIMBAJELOR DE
PROGRAMARE MAPLE ŞI MATLAB
MAPLE şi Matlab sunt două limbaje de programare deosebit de utile în
domenii diverse, cum ar fi : statistica , matematica, ingineria . Aceste
programe sunt folosite şi în interpolarea polinoamelor.
MAPLE dispune de funcţia predefinită interp care determină polinomul
de interpolare Lagrange corespunzător unei funcţii tabelate.
Sintaxa : interp ( x, y, var)
unde x – listă / vector cu nodurile de interpolare;
y – listă / vector cu valorile funcţiei în nodurile de interpolare;
var – nume variabilă
Exemplu >
Pentru determinarea valorii polinomului de interpolare într-un punct se
procedează astfel :
>
Pentru trasarea graficului funcţiei f şi a polinomului de interpolare
atasat funcţiei procedăm astfel:
- definim funcţia şi determinăm polinomul de interpolare ca mai sus;
- trasăm graficul celor două funcţii utilizând comanda plot
Exemplu >
16
Programul Matlab dispune de mai multe funcţii pentru trasarea
polinomului de interpolare Lagrange astfel :
1) v = INTERP(x,y, u), unde x reprezintă vectorul nodurilor , y reprezintă
vectorul valorilor funcţiei pe noduri, de aceeaşi dimensiune cu x.
2) yi = INTERP1(x, y, xi, METODĂ)
Unde x reprezintă vectorul nodurilor
y reprezintă vectorul valorilor funcţiei pe noduri
metoda – reprezintă metoda de interpolat (nearest , linear, etc)
Exemplu x = 0:10; y = sin(x);
xi = 0:.25:10;
yi = interp1(x,y,xi);
plot(x, y, 'o', xi, yi)
(interpolează funcţia sin în nodurile :
0, 1, 2, 3, .... 10 şi trasează
graficul funcţiei interpolate)
17
Pentru a calcula valoarea polinomului Lagrange într-un punct , trebuie
mai întâi să scriem mai întâi un program Matlab ce calculează polinomul
Lagrange ataşat unei funcţii şi unei diviziuni :
% POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Ln(x), de gradul n = 2
% fie func?ia f(x) = x pe intervalul [9;25] %********************************************************* x = [9. 16. 25.]; y = sqrt(x); n1 = length(x); n = n1-1; xs = 15.; % valoarea x* în care se evalueaz? func?ia cu L2(x) % se calculeaz? valoarea polinomului Lagrange de ordinul n în x*; aici
n=2 => L2(x*): L = 0.; for k = 1:n+1 p = 1; for j=1:n+1 if k ~= j p = p*(xs-x(j))/(x(k)-x(j)); end end L = L + y(k).*p; end % afi?area valorii L2(x*)=L2(5) calculate: L2xs = L % valoarea exact? a func?iei în x*=5 este:
Programul o să ne afişeze L2xs =
3.8690
1.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA AITKEN
Vom nota polinomul lui Lagrange care interpolează funcţia f în nodurile x
i , cu P
n( x ; x
0, x
1, ..., x
n). Evident,
P0(x; x
0) = f(x
0).
1.4.1 Teoremă : Are loc următoarea relaţie de recurenţă :
Pn( x ; x
0, x
1, ..., x
n) =
xxxxxxxP
xxxxxxxP
xx nnnn
nnnn
nn −
−
− −−
−−−−
− ),,........,;(
),,........,;(1
2101
112101
1
.
Demonstraţie
Fie Q(x) = xxxxxxxP
xxxxxxxP
xx nnnn
nnnn
nn −
−
− −−
−−−−
− ),,........,;(
),,........,;(1
2101
112101
1
.
Observăm că pentru orice i= 2,0 −n avem:
18
Q( xi ) = )()(
)(1 1
1i
ini
ini
nn
xfxxxf
xxxf
xx=
−
−
−
−
−
;
Iar
Q(xn-1) = 121011
1
1 ),,........,;(
0)(1
−−−−
−
− −− nnnnnn
n
nn xxxxxxxP
xf
xx = )( 1−nxf
Q(xn) = 0)(
),,........,;(1 112101
1 n
nnnnnn
nn xf
xxxxxxxP
xx
−
−
−−−−
−
= )( nxf
Aşadar, Q este un polinom de gradul n care interpolează funcţia f în
nodurile xi , i= n,0 Din unicitatea polinomului de interpolare al lui
Lagrange, rezultă că Q=Pn
.
Metoda Aitken este bine ilustrată de următorul tabel:
x0 x
0−α f(x
0)
x1 x
1−α f(x
1) P
1(α;x
0,x
1)
x2 x
2−α f(x
2) P
1(α;x
0,x
2) P
2(α;x
0,x
1,x
2)
x3 x
3−α f(x
3) P
1(α;x
0,x
3) P
2(α;x
0,x
1,x
3) P
3(α;x
0,x
1,x
2,x
3)
M M M M M M
xn x
n−α f(x
n) P
1(α;x
0,x
n) P
2(α;x
0,x
1,x
n) P
3(α;x
0,x
1,x
2,x
n) K P
n(α;x
0,x
1,...,x
n)
1.4.2.Exemplu : Determinaţi polinomul de interpolare Lagrange ataşat
funcţiei f(x) :
i 0 1 2
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
utilizând algoritmul lui Aitken.
P1(x;x0) = f(x0) = 1
P1(x;x1) = f(x1) = 3
P1(x;x2) = f(x2) = 5
P2(x;x0,x1) = x
x
xxxxP
xxxxP
xx −
−
−=
−
−
− 13
01
01
1
);(
);(1
111
00
01
= 1+2x
P2(x;x0,x2) = x
x
xxxxP
xxxxP
xx −
−
−=
−
−
− 35
01
03
1
);(
);(1
221
00
02
= 3
34 +x
19
P3(x;x0,x1,x2) = xx
xx
xxxxxP
xxxxxP
xx −+
−+
−=
−
−
− 33
34021
13
1
),;(
),;(1
2202
1102
12
= 13
7
3
1 2 ++− xx
Polinomul de interpolare este : P3(x;x0,x1,x2) = 13
7
3
1 2 ++− xx
1.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA NEVILLE
Algoritmul lui Neville, este foarte asemănător cu algoritmul lui Aitken .
Vom nota polinomul lui Lagrange care interpolează funcţia f în nodurile xi ,
cu Pn( x ; x
0, x
1, ..., x
n).
1.5.1. Teoremă Dacă f este definită în x0, x1, ........., xn , xi ≠ xj, 0 ≤ i, j ≤ k,
atunci:
Pn( x;x
0, x
1, ..., x
n)=
=( ) ( )
( )ji
niiinjjj
xx
xxxxxxPxxxxxxxxPxx
−
−−− +−+− ),...,,......,;(),...,,......,;( 11101110 =
=),...,,......,;(
),...,,......,;(1
1110
1110
njji
niij
jixxxxxxPxx
xxxxxxPxx
xx +−
+−
−
−
−
Demonstraţie: Notăm Q1 = ),...,,......,;( 1110 nii xxxxxxP +− cu
Q2 = ),...,,......,;( 1110 njj xxxxxxP +− şi P(x) = ( ) ( )
ji
ij
xx
xQxxxQxx
−
−−− )()( 12
Se observă că Q1(xk) = Q2(xk) = f(xk) pentru orice k ≠ i şi k ≠ j
P(xk) = ( ) ( ) ( )
)()()()( 12
kji
kji
ji
kikkjkxf
xx
xfxx
xx
xQxxxQxx=
−
−=
−
−−−
P(xi) = ( ) ( ) ( )
)()()()()(
2212
iiji
iji
ji
iiiiji xfxQxx
xQxx
xx
xQxxxQxx==
−
−=
−
−−−
Analog se arată că P(xj) = f(xj), deci din unicitatea polinomului de
interpolare rezultă că P(x) = Pn( x ; x
0, x
1, ..., x
n).
Metoda Neville este bine ilustrată de următorul tabel:
20
x0 f(x
0)
x1 f(x
1) P
1(x;x
0,x
1)
x2 f(x
2) P
1(x;x
1,x
2) P
2(x;x
0,x
1,x
2)
x3 f(x
3) P
1(x;x
2,x
3) P
2(x;x
1,x
2,x
3) P
3(x;x
0,x
1,x
2,x
3)
M M M M M
xn f(x
n) P
1(x;x
n-1,x
n) P
2(x;x
n-2,x
n-1,x
n) P
3(x;x
n-3,x
n-2,x
n-1,x
n) K P
n(α;x
0,x
1,...,x
n)
1.5.2. Exemplu : Determinaţi polinomul de interpolare Lagrange ataşat atasat
funcţiei f(x) :
i 0 1 2
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
utilizând algoritmul lui Neville.
P1(x;x0) = f(x0) = 1 ; P1(x;x1) = f(x1) = 3 ; P1(x;x2) = f(x2) = 5
Atunci P(x ; x0,x1) = ( )
1210
3)0(1)1();()();(
10
1001 +=−
⋅−−⋅−=
−
−−−x
xx
xx
xxPxxxxPxx
P(x ; x1,x2) = ( )
231
5)1(3)3();()();(
21
2112 +=−
⋅−−⋅−=
−
−−−x
xx
xx
xxPxxxxPxx
Polinomul de interpolare Lagrange este :
P(x;x0,x1,x2)
=( )
=−
+⋅−−+⋅−=
−
−−−
30
2()0()12()3(),;()(),;(
20
210102 xxxx
xx
xxxPxxxxxPxx
= 13
7
3
2
++−xx .
1.6 DIFERENŢE DIVIZATE . POLINOMUL NEWTON DE
INTERPOLARE
Dezavantajele interpolării Lagrange apar atunci când dorim să adăugăm
sau să modificăm noduri de interpolare , pentru care trebuiesc refăcute toate
calculele ce privesc polinomul. Astfel este mai greu să controlăm aspectul
unei curbe folosind interpolarea Lagrange, decât dacă am folosi alte metode
de interpolare , cum ar fi Newton.
21
a) DIFERENŢE DIVIZATE
Pentru construirea polinomului Newton de interpolare avem nevoie de
noţiunea de diferenţă divizată .
Fie funcţia f : [a,b] → R şi diviziunea a≤ x0< x
1< ... <xn ≤ b
1.6.1. Definiţie: Diferenţele divizate de ordin p sunt definite recursiv după
cum urmează :
- p = 0 f [x0] = f (x0) ;
- p = 1 f [x0 , x1] = 01
01 )()(
xx
xfxf
−
− ;
f [xi , xi+1] = ii
ii
xx
xfxf
−
−
+
+
1
1 )()( ;
- pentru p ≥ 2 f [x0 , x1 , ....... , xp] = 0
11021 ],....,[],.....,[
xx
xxxfxxxf
p
pp
−
− − ;
- pentru p = n f [x0 , x1 , ....... , xn] = 0
11021 ],....,[],.....,[
xx
xxxfxxxf
n
nn
−
− − ;
(1.5)
1.6.2 Remarcă : Notăm cu Fn mulţimea funcţiilor definite pe intervalul
[a,b], Fn = { f | f : [a,b] → R} . Pentru o funcţie f ∈Fn putem considera
diferenţele divizate :
01
01 )()(
xx
xfxf
−
− ;
12
12 )()(
xx
xfxf
−
− ; ......................... ;
1
1)()(
−
−
−
−
nn
nn
xx
xfxf .
Aceste diferenţe constituie un set de m numere ce pot fi ataşate
punctelor x0< x
1< ... <xn-1 astfel :
x0→ 01
01 )()(
xx
xfxf
−
− = f [x0 , x1] ;
x1 → 12
12 )()(
xx
xfxf
−
−= f [x1 , x2] ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn-1 → 1
1 )()(
−
−
−
−
nn
nn
xx
xfxf= f [xn-1 , xn] ;
22
Funcţia care se obţine în acest fel este definită pe mulţimea { x0; x
1; ...
; xn-1} şi va fi notată cu D1f . Prin urmare funcţia D1f este o funcţie reală
definită pe mulţimea nodurilor { x0< x
1< ... <xn-1 } în felul următor :
D1f (xr) = f [xr , xr+1] pentru r = 0, 1, 2, ........, n – 1 .
Astfel , alături de mulţimile de funcţii Fn şi Fn-1 considerăm operatorul
D1 : Fn → Fn-1 definit prin : f → D1f , cu D1f(xr) = f [xr , xr+1] .
1.6.3. Definiţie : Operatorul D1 : Fn → Fn-1 definit prin D1f(xr) = f [xr , xr+1],
r = 0, 1, 2, ........ n – 1 se numeşte operator de diferenţă divizată de ordinul
întâi .
1.6.4. Propoziţie : Operatorul de diferenţă divizată de ordinul întâi este un
operator liniar.
Demonstraţie : Fie f , g ∈Fn şi a , b ∈ R . Atunci : D1(af+bg)(xr) =
=(af+bg)[xr,xr+1]=
=rr
rrrr
rr
rr
xx
xbgxafxbgxaf
xx
xbgafxbgaf
−
−−+=
−
+−+
+
++
+
+
1
11
1
1 )()()()())(())((=
= rr
rr
rr
rr
xx
xgxgb
xx
xfxfa
−
−+
−
−
+
+
+
+
1
1
1
1 )()()()( = a D1f(xr) + b D1g(xr) .
1.6.5. Definiţie : Diferenţa divizată de ordinul al doilea a funcţiei f relativ la
punctul xr , r ≤ n – 2 este numărul :
D2f(xr) = rr
rrrr
rr
rr
xx
xxfxxf
xx
xfDxfD
−
−=
−
−
+
+++
+
+
2
121
1
11
1 ],[],[)()( (1.6)
Se notează rr
rrrrrrr xx
xxfxxfxxxf
−
−=
+
+++++
2
12121
],[],[],,[
1.6.6. Propoziţie : Are loc următoarea egalitate:
],,[ 21 ++ rrr xxxf =
=( )( ) ( )( ) ( )( )122
2
211
1
21
)()()(
+++
+
+++
+
++ −−+
−−+
−− xrrr
r
rxrr
r
rrrr
r
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xf (1.7)
23
Demonstraţie :
rr
rrrrrrr xx
xxfxxfxxxf
−
−=
+
+++++
2
12121
],[],[],,[
=( )
−
−−
−
−
− +
+
++
++
+ rr
rr
rr
rr
rr xx
xfxf
xx
xfxf
xx 1
1
12
12
2
)()()()(1 =
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
−−
−+
−−
−+−−
−−
−
− +++
++
+++
++++
+++
++
+ rrrr
rrr
rrrr
rrrrr
rrrr
rrr
rr xxxx
xxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxf
xx 112
12
112
1211
112
12
2
)()()(1
= ( )( ) ( )( )rrrr
r
rrrr
r
rrrr
r
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xf
−−+
−−−
−− +++++
+
+++
+
12112
1
122
2 )(
))((
)()( =
=( )( ) ( )( ) ( )( )122
2
211
1
21
)()()(
+++
+
+++
+
++ −−+
−−+
−− xrrr
r
rxrr
r
rrrr
r
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xf
1.6.7. Propoziţie : Pentru orice k ≤ n putem defini diferenţa divizată de
ordinul k a funcţiei f într-un punct xr ( r ≤ n – k ) :
Dk f(xr) = ( ) ( )rkr
krrrkrrr
rkr
rk
rk
xx
xxxfxxxf
xx
xfDxfD
−
−=
−
−
+
−+++++
+
−+
− ],....,,[],.....,,[)()( 11211
11
1.6.8. Observaţie : Se poate arăta că :
Dk f(xr) = ( )( ) ( )( ) ( )∑
= +++++−+++++
+
−−−−−
k
i kriririririrrirrir
ir
xxxxxxxxxx
xf
0 111 ..................
)(
(1.8) 1.6.9. Observaţie : Dacă se consideră familia de funcţii
Fn-k = { f : {x0,x1,....,xn-k} → R } , atunci folosind diferenţa divizată de
ordinul k se poate asocia fiecărei funcţii f ∈Fn o functie din Fn-k astfel :
f → Dk f , unde Dk f(xr) = f [xr,xr+1,......,xr+k] , pentru r ≤ n – k
Corespondenţa f → Dk f se numeste operator de diferenţă divizată de
ordinul k .
1.6.10. Propoziţie: Operatorul de diferenţă divizată de ordinul k, Dk :Fn →
Fn-k este un operator liniar.
1.6.11. Propoziţie: Pentru k = n , operatorul de diferenţă divizată de ordinul n
este definit doar în x0 şi este dată de :
24
Dn f(x0) = ( )( ) ( )( ) ( )∑= +− −−−−−
k
i niiiiiii
i
xxxxxxxxxx
xf
0 1110 ..................
)( (1.9)
1.6.12. Propoziţie: Dn f(x0) = ),.....,(
),.....,)((
10
10
n
n
xxxV
xxxWf (1.10) , unde
),.....,)(( 10 nxxxWf =
)(
...
)(
)(
...
...1
...........
...1
...1
1
0
1
11
10
2
211
200
nn
n
n
n
nnxf
xf
xf
x
x
x
xx
xx
xx
−
−
−
şi ),.....,( 10 nxxxV =
nn
n
n
nn
n
n
nn x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
......
...1
...........
...1
...1
1
0
1
11
10
2
211
200
−
−
−
Demonstraţie : Determinantul ),.....,( 10 nxxxV este un determinant de tipul
Vandermonde, deci :
),.....,( 10 nxxxV =
nn
n
n
nn
n
n
nn x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
......
...1
...........
...1
...1
1
0
1
11
10
2
211
200
−
−
−
= ( )∏>
−ji
ji xx
Pentru calculul determinantului ),.....,)(( 10 nxxxWf ,dezvoltăm după ultima
coloană şi obţinem:
),.....,)(( 10 nxxxWf = ( ) ( ) ),.....,,()(1),.....,,()(1 2013
2102
nm
nm xxxVxfxxxVxf ⋅−+⋅−
+++ .
. . …….+ ( ) ),.....,,()(1 110)1(2
−
+⋅− nn
m xxxVxf .
Atunci ),.....,(
),.....,)((
10
10
n
n
xxxV
xxxWf = ( )
( ) ( )∑ ∏∏ =
≠>
++
>
−−−
n
kkji
jijik
kn
jiji
xxxfxx 0
,
2 )(11
=
= ( )
( )
( )∑∏
∏
=
>
≠>
++
−
−
−n
k
jiji
kjiji
ji
kkn
xx
xx
xf0
,2 )(1 =
= ( )( )( ) ( )( ) ( )∑
= +−
++
−−−−−−
n
k knkkkkkk
kkn
xxxxxxxxxx
xf
0 1110
2
..................
)(1 =
= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )∑
= +
−
−
++
−−−−−−−
n
k nkkkkn
kkkk
kkn
xxxxxxxxxx
xf
0 1110
2
..........1........
)(1 =
25
= ( )( ) ( )( ) ( )∑= +− −−−−−
n
k nkkkkkkk
k
xxxxxxxxxx
xf
0 1110 ..................
)( = Dn f(x0) .
1.6.13. Observaţie: Pentru orice permutare (i0,i1,.....,in) a numerelor (0, 1,
....,n) avem : [ ] [ ]niii xxxfxxxfn
,.....,,,.....,, 1010= .
Cu alte cuvinte diferenţa divizată de ordinul n nu depinde de ordinea
nodurilor.
1.6.14. Observaţie: Dacă notăm Un+1(x) = (x – x0)(x – x1). . . . . . (x – xn) şi
U’n+1(xi) = (xi – x0) (xi – x1). . . . . . (xi – xi-1)(xi – xi+1) .......(xi – xn) , atunci
[ ] ∑= +
=n
k kn
kn xU
xfxxxf
0 110 )('
)(,.....,, (1.11)
1.6.15. Propoziţie: Dacă f este un polinom de grad cel mult n – 1 , atunci
Dn f(x0) = 0 .
Demonstraţie : Dacă f este un polinom de grad cel mult n – 1 , atunci
∑−
=
=1
0
)(n
k
kk xaxf şi ţinând cont de faptul că Dn f este un operator liniar ,
obţinem Dn f(x0) = ( )∑−
=
1
00)(
n
k
knk xxDa .
Din (1.10) avem Dn (xk)(x0) = ),.....,(
),.....,)((
10
10
n
nk
xxxV
xxxxW , cu
kn
k
k
nn
n
n
nn
nk
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxxxW......
...1
...........
...1
...1
),.....,)(( 1
0
1
11
10
2
211
200
10
−
−
−
= = 0 , deci Dn f(x0) = 0 .
1.6.16. Propoziţie: Dacă f şi g sunt două funcţii reale definite pe [a,b] ,
atunci:
[ ] [ ] [ ]nkk
n
kkn xxxgxxxfxxxgf ,....,,...,,.....,, 1
01010 +
=
⋅=⋅ ∑
Demonstraţie : Se aplică metoda inducţiei în raport cu n
26
- pentru n =1 avem :
[ ]01
0011
01
0110
)()()()()()(,
xx
xgxfxgxf
xx
xgfxgfxxgf
−
⋅−⋅=
−
⋅−⋅=⋅ =
= 01
00101011 )()()()()()()()(
xx
xgxfxgxfxgxfxgxf
−
⋅−+−⋅ =
=01
010011 )]()()[()]()()[(
xx
xgxgxfxfxfxg
−
−+−=f(x0) g[x0,x1] + g(x1) f[x0,x1] .
- presupunem adevărată relaţia :
[ ] [ ] [ ]11
1
010110 ,....,,...,,.....,, −+
−
=− ⋅=⋅ ∑ nkk
n
kkn xxxgxxxfxxxgf şi să calculăm :
[ ] ( )],.....,,[],.....,[1
,.....,, 110210
10 −−−
=⋅ nnn
n xxxfgxxxfgxx
xxxgf =
= ∑−
=−−++ ⋅−⋅
−
1
01011121
0
],....[],...,[],....,[],....,,[1 n
knkknkk
n
xxgxxfxxgxxxfxx =
= ∑−
=−−++ ⋅−⋅
−
1
01011121
0
],....[],...,[],....,[],....,,[1 n
knkknkk
n
xxgxxfxxgxxxfxx +
],.....,[],.....,[],.....,[],.....,[ 1010 nkknkk xxgxxfxxgxxf ++ ⋅−⋅+ =
= }],....[],....,[{],....,,[1 1
01110
0∑
−
=−+ −⋅
−
n
knknkk
n
xxgxxgxxxfxx +
+ }],....[],...,[{],....,[1 1
00111
0∑
−
=++ −⋅
−
n
kkknk
n
xxfxxfxxgxx =
= ∑−
=
−⋅−
1
010
0
],....[)(],....,,[1 n
knkkmk
n
xxgxxxxxfxx +
+ }],....[)(],....,[1 1
0001
0∑
−
=+ −⋅
−
n
kkknk
n
xxfxxxxgxx =
( ) ( )∑−
=−⋅⋅−+⋅⋅−
−
1
11001000
0
],...,[],...,[],....,,[][{1 n
knkknnn
n
xxgxxfxxxxxgxfxxxx
+ (xn – x0) . f[x0,x1,....,xn]
. g[xn] = [ ] [ ]nkk
n
kk xxxgxxxf ,....,,..., 1
010 +
=
⋅∑ .
27
b) POLINOMUL LUI NEWTON CU DIFERENŢE DIVIZATE
Fie funcţia f : [a,b] → R şi diviziunea a≤ x0< x
1< ... <xn ≤ b
1.6.17. Definiţie : Se numeşte polinomul lui Newton cu diferenţe divizate
corespunzător funcţiei f în nodurile xi , i= n,0 , polinomul de gradul n :
],...,,.[)(...)()(....
...],,[)()(],[)(][)(
10110
210101000
nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP
⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅−⋅−+⋅−+=
−
(1.12.)
1.6.18. Teoremă : Polinomul lui Newton cu diferenţe divizate corespunzător
funcţiei f în nodurile xi , i= n,0 verifică condiţiile de interpolare , adică
Pn(xi) = f(xi) .
Demonstraţie : Fie Pk polinomul lui Lagrange (1.4) corespunzător nodurilor xi
, i= k,0 . Punem Q0 = f(x0) şi Qk = Pk – Pk-1 .
Este evident că polinomul Qk are gradul cel mult k şi rădăcinile x0, x1, ..., xk-1 .
Deci Qk(x) = ak(x – x0)(x – x1).......(x – xk-1) = ak Uk(x).
Din Qk(xk) = Pk(xk) – Pk-1(xk) = f(xk) – Pk-1(xk) =ak Uk(xk) rezultă că
ak = )(
)()( 1
kk
kkk
xU
xPxf −− =
)(
)(
)(
)( 1
kk
kk
kk
k
xU
xP
xU
xf −− = ).().........)((
)(
110 −−−− kkkk
k
xxxxxx
xf -
- ∑−
=
⋅1
0
)()()(
1 k
ikii
kk
xlxfxU
= ).().........)((
)(
110 −−−− kkkk
k
xxxxxx
xf -
∑−
= −+−
−+−
−−−−
−−−−⋅
1
0 1110
1110
))...()()...((
))...()()...(()(
)(
1 k
i kiiiiii
kkikikki
kk xxxxxxxx
xxxxxxxxxf
xU =
= ∑= +− −−−−
k
i kiiiiii
i
xxxxxxxx
xf
0 110 ))...()()...((
)( = f[x0,x1,....,xk] .
Atunci expresia polinoamelor Qk este dată de relaţia :
Qk(x) = f[x0,x1,....,xk] . (x – x0)(x – x1).......(x – xk-1)
Polinomul de interpolare Pn = Q0 + Q1 + Q2 + ........ + Qn =
],...,,.[)(...)()(....
...],,[)()(],[)()(
10110
210101000
nn xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxf
⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅−⋅−+⋅−+=
−
O proprietate importantă a polinomului de interpolare Newton cu
diferenţe divizate este aceea că nu depinde de ordinea nodurilor .
28
1.6.19. Teoremă (teorema de medie): Fie o funcţie f : [a, b] → R , de n- ori
derivabilă pe intervalul (a , b) şi diviziunea : a≤ x0< x
1< ... <xn ≤ b , atunci
există ξ astfel încât :
f [x0,x1,......,xn ] = !
)()(
n
f n ξ , a < ξ < b
Demonstraţie : Considerăm funcţia ajutătoare φ(x) = ),.....,)(( 10 nxxxWf +
f [x0,x1,......,xn ] . ),.....,( 10 nxxxV . Funcţia φ(x) are proprietatea că φ(xi) = 0
pentru i = 0,1,....,n . Aplicând teorema lui Rolle pe subintervalele determinate
de aceste puncte rezultă că )(nϕ are cel puţin un zero ξ ∈ (a , b).
[ ] ),....,,(],....,,[!)()( 1010)(
nnnn xxxVxxxfnxfx ⋅⋅−=ϕ . Deoarece φn(ξ) = 0 rezultă că
f [x0,x1,......,xn ] = !
)()(
n
f n ξ .
Utilizând formula generală pentru o funcţie de aproximare , putem scrie
că : f(x) = Pn(x) + Rn(x) .
Eroarea sau restul de aproximare se determină după formula :
Rn(x) = (x – x0) . (x – x1) ............ (x – xn)
. f [x0,x1,......,xn ] .
Polinoamele Newton şi Lagrange diferă doar prin formă , restul fiind
acelaşi pentru aceeaşi reţea de noduri . Din punct de vedere practic , este mai
convenabil utilizarea polinomului Newton deoarece acesta necesită un număr
de calcule mai mic decât polinomul Lagrange.
În practică se recomandă determinarea diferenţelor divizate din tabelul
următor:
xi f(xi) f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[x0,x1,x2,...,xn]
x0 f(x0) f[x0,x1] f[x0,x1,x2] .... f[x0,x1,x2,...,xn]
x1 f(x1) f[x1,x2] f[x1,x2,x3] ....
x2 f(x2) f[x2,x3] f[x2,x3,x4] ....
x3 f(x3) f[x3,x4] .... ....
x4 f(x4) .... ....
.... .... ....
xn f(xn)
29
1.6.20. Exemplu : Determinaţi polinomul de interpolare Newton ataşat
funcţiei f(x) :
xi f(xi) f[xi,xi+1] f[x0,x1,x2]
0 1 f[x0,x1]= 2
01
13=
−
− f[x0,x1,x2]=
3
1
03
21 −=
−
−
1 3 f[x1,x2]= 1
13
35=
−
−
3 5
Atunci polinomul de interpolare Newton se scrie sub forma:
P(x)= ],,[)()(],[)()( 210101000 xxxfxxxxxxfxxxf ⋅−⋅−+⋅−+= =
=1 + (x – 0) . 2 + (x – 0)(x – 1) . 3
1− = 1
3
7
3
1 2 ++− xx .
Observăm că polinomul de interpolare se obţine mult mai uşor decât
polinomul Lagrange de la execiţiul 1.2.3 .
C) DIFERENŢE DIVIZATE ŞI POLINOMUL NEWTON ÎN MATLAB
În Matlab putem crea un cod de program pentru calculul diferenţelor
divizate cât şi valoarea polinomului de interpolare într-un punct.
function fp = newton_interpolation(x,y,p) % Script for Newton's Interpolation. % x and y are two Row Matrices and p is point of interpolation x=[0,1,3] y=[1,3,5] p=10 n = length(x); a(1) = y(1); for k = 1 : n - 1 d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k)); end for j = 2 : n - 1 for k = 1 : n - j d(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k)); end end d for j = 2 : n a(j) = d(1, j-1); end Df(1) = 1; c(1) = a(1); for j = 2 : n Df(j)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1); c(j) = a(j) .* Df(j); end fp=sum(c);
30
Programul o să ne afişeze : d = 2.0000 -0.3333
1.0000
ans = -9 .
care reprezintă diferenţele divizate f[0, 1] = 2.0000; f[1, 3] = 1.0000; f[0, 1, 3]
= - 0.3333 şi P(10) = - 9 .
1.7 DIFERENŢE FINITE . POLINOMUL LUI NEWTON
ASCENDENT ŞI DESCENDENT
Fie o funcţie f : [a, b] → R şi o diviziune a intervalului : a≤ x0< x
1<
... <xn ≤ b cu noduri echidistante , adică există o constantă între punctele
diviziunii:
x1 – x0 = x2 – x1= x3 – x2 = .................. = xn – xn-1 = h , sau xi = x0 + i . h ,
i= n,0 , h se numeşte pasul diviziunii .
a) Diferenţe finite progresive
1.7.1. Definiţie : Numim diferenţă finită înainte de ordinul I în x (sau la
dreapta) cantitatea :
∆f(x) = f(x+h) – f(x) , unde h este pasul diviziunii
1.7.2. Propoziţie : ∆f(x) este un operator liniar
Demonstraţie : Fie f şi g două funcţii definite pe [a, b] şi o diviziune de noduri
echidistante : xi = x0 + i . h , i= n,0 , atunci
∆f(x) = f(x+h) – f(x) şi ∆g(x) = g(x+h) – g(x) ⇒ ∆f(x) + ∆g(x) = f(x+h)
+ g(x+h) – [f(x) + g(x)] = ∆[f(x) + g(x)]
a ∆f(x) = a[f(x+h) – f(x) ]= af(x+h) – af(x)= ∆af(x)
1.7.3. Observaţie : Întrucât se presupune cunoscute valorile funcţiei f doar în
nodurile diviziunii , vom calcula diferenţele finite doar în aceste noduri:
∆f(xk) = f(xk+h) – f(xk) = f(xk+1) – f(xk) , pentru k =0, 1, 2, ..., n-1
Pentru simpificarea calculelor , această relaţie o notăm: ∆fk = fk+1 – fk
1.7.4. Definiţie : Numim diferenţă finită progresivă(sau înainte) de
ordinul k în x (sau la dreapta) cantitatea :
31
∆kf(x) =∆( ∆k-1f(x) ) =∆k-1 (∆f(x))
Pentru k = 2 ⇒∆2f(x) =∆ f(x+h) – ∆f(x)
k = 3 ⇒ ∆3f(x) =∆2 f(x+h) – ∆2 f(x) ............................................................................
k = n ⇒ ∆nf(x) =∆n-1 f(x+h) – ∆n-1 f(x) 1.7.5. Propoziţie : Fie o funcţie f : [a, b] → R şi o diviziune de noduri
echidistante xi = x0 + i . h , i= n,0 , atunci are loc egalitatea :
f [x0,x1,......,xn ] = n
n
hn
xf
⋅
∆
!
)( 0 (1.13)
Demonstraţie : Să demonstrăm prin inducţie după n Pentru n = 1 avem :
f [x0,x1] = 1
01
01
0
00
1
01
!1
)()()()()()(
h
xf
h
xf
xhx
xfhxf
xx
xfxf
oo
∆=
∆=
−+
−+=
−
−
Presupunem relaţia adevărată pentru orice număr k şi să arătăm că relaţia este
adevărată şi pentru k+1 . Deci f [x0,x1,......,xk ] = k
k
hk
xf
⋅
∆
!
)( 0 şi să
demonstrăm că f [x0,x1,......,xk+1 ] = 1
01
)!1(
)(+
+
⋅+
∆k
k
hk
xf .
f [x0,x1,......,xk+1 ] =
01
01
01
k101k21 !
)(
!
)(]x,....,x,[x f-]x,....,x,[x f
xxhk
xf
hk
xf
xx k
k
k
k
k
k −⋅
∆−
⋅
∆
=− ++
+ =
= 10
100
01
)!1(
)(
!)1(
)()(
)1(!
)()(
+
+
⋅+
∆=
⋅⋅⋅+
∆−+∆=
⋅+⋅
∆−∆
k
k
k
kkk
kk
hk
xf
hkhk
xfhxf
hkhk
xfxf
, deci relaţia este
adevărată şi pentru k+1 ⇒ relaţia este adevărată pentru orice număr n .
1.7.6. Propoziţie : )()(2)()( 122
kkkk xfxfxfxf +⋅−=∆ ++ Demonstraţie :
)()()()()()()( 11212
kkkkkkk xfxfxfxfxfxfxf +−−=∆−∆=∆ ++++ =
)()(2)( 12 kkk xfxfxf +⋅− ++ = fk+2 – fk+1 + fk . 1.7.7. Propoziţie : Au loc relaţiile:
a) ∆nf(x0) = ∑=
⋅−+−n
k
kn
k hknxfC0
0 ))(()1(
32
b) f(x0+n . h) = ∑=
∆n
k
kkn xfC
00 )(
Demonstraţie : ∆nf(x0) se exprimă ca o combinaţie liniară a valorilor lui f în
noduri x0 , x0+h , ......., x0+n . h adică este de forma:
∆nf(x0) = ∑=
⋅+⋅n
kk hkxfa
00 )( . Pentru determinarea coeficienţilor alegem
funcţia xexf =)( , atunci ( )nhx ee 1− = ∑
=
⋅+⋅n
k
hkxk ea
0
)( 0
Dezvoltăm binomul din membrul stâng şi obţinem :
( )∑=
⋅+−−
n
k
hkxknkn eC
0
)( 01 =∑=
⋅+⋅n
k
hkxk ea
0
)( 0
⇒ ( ) knknk Ca −
−= 1 ⇒∆nf(x0) = ∑=
⋅−+−n
k
kn
k hknxfC0
0 ))(()1(
Analog se demonstrează şi b)
1.7.8. Teoremă : (formula lui Leibniz) Fie două funcţii f,g : [a, b] → R şi o
diviziune de noduri echidistante a acestui interval: xi = x0 + i . h , i= n,0 ,
atunci are loc egalitatea :
∑=
− +∆∆=⋅∆n
k
knkkn
n khxgxfCxgxf0
)()()()(
Demonstraţia teoremei se face prin inducţie matematică după n .
1.7.9. Teoremă: Polinomul Newton cu ajutorul diferenţelor finite înainte se
scrie sub forma :
n
n
n hn
xfxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
⋅
∆⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅
∆⋅−⋅−+
⋅
∆⋅−+=
− !
)()(...)()(....
...!2
)()()(
!1
)()()()(
0110
20
2
100
00
(1.14)
Demonstraţie : Din formula polinomului Newton cu ajutorul diferenţelor
divizate avem că :
33
],...,,.[
)(...)()(.......],,[
)()(],[)()()(
10
110210
101000
n
n
xxxf
xxxxxxxxxf
xxxxxxfxxxfxP
⋅−⋅⋅−⋅−++
⋅−⋅−+⋅−+=
−
Înlocuind diferenţele divizate cu diferenţe finite din formula (1.13) obţinem
relaţia (1.14).
1.7.10. Definiţie : Polinomul (1.14) poartă denumirea de Polinomul lui
Newton de prima speţă . Este recomandat utilizarea lui când se aproximează
valorile lui f când x este apropiat de x0 .
Pentru transcrierea lui într-o formă mai compactă se introduce
parametrul α , astfel încât x = x0 + h . α , unde 0 ≤ α ≤ n . Atunci :
( ) ( )( )
( )( ) ( ))(
!
1....21.........
...........)(!3
21)(
!2
1)()()()(
0
03
02
000
xfn
n
xfxfxfxfhxPxP
n∆+−−−
+
+∆−−
+∆−
+∆⋅+=⋅+=
αααα
ααααααα
1.7.11. Exemplu : Determinaţi polinomul de interpolare Newton de prima
speţă ataşat funcţiei f(x) :
xi f(xi) ∆f(xi) ∆2 f(xi) ∆3 f(xi)
4 1 ∆f(x0) =f(x1)-f(x0)=
3-1 = 2
∆2 f(x0)= ∆f(x1)-
∆f(x0)=5-2 = 3
∆3 f(x0)= ∆2 f(x1)-∆2f(x0)=
=7-3 = 4
6 3 ∆f(x1)= f(x2)-f(x1)=
8-3 = 5
∆2 f(x1) =∆f(x2)-
∆f(x1)=12-5 = 7
8 8 ∆f(x2) =f(x3)-f(x1)=
20-8 = 12
10 20
Introducem parametrul α : x = x0 + h . α ⇒ 2
40 −=
−=
x
h
xxα
Atunci polinomul de interpolare este : P(x) =
3!2
12
4
2
4
22
4)( 0 ⋅
−
−⋅
−
+⋅−
+
xx
xxf +
+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12
864
8
643)4(14
!3
22
41
2
4
2
4
−⋅−⋅−+
−⋅−⋅+−+=⋅
−
−
−
−⋅
−
xxxxxx
xxx
(1.15)
34
b) Diferenţe finite regresive
1.7.12. Definiţie : Numim diferenţă finită regresivă (sau înapoi) de ordinul
I în x (sau la stânga), operatorul :
)()()( hxfxfxf −−=∇ Dacă x = xk , atunci xk – h = xk-1 şi xk + h = xk+1 1.7.13. Observaţie:
)()()()()( 1−−=−−=∇ kkkkk xfxfhxfxfxf
Dacă notăm : f(xk) = fk , atunci 1−−=∇ kkk fff pentru nk ,1∈
1.7.14. Propoziţie: )(xf∇ este un operator liniar
Demonstraţia este la fel ca la propoziţia 1.7.2
1.7.15. Definiţie : Numim diferenţă finită regresivă(sau înapoi) de
ordinul k în x (sau la dreapta) cantitatea :
)()()( 11k hxfxfxf kk −∇−∇=∇ −−
Pentru k = 2 ⇒ )()()(2 hxfxfxf −∇−∇=∇
k = 3 ⇒ )()()( 223 hxfxfxf −∇−∇=∇
............................................................................
k = n ⇒ )()()( 11n hxfxfxf nn −∇−∇=∇ −−
))(())(()( 11n xfxfxf nn −− ∇∇=∇∇=∇
1.7.16. Propoziţie : )()( kik
ik xfxf +∇=∆
Demonstraţie : se demonstrează prin inducţie dupa k
Pentru k = 1 avem : )()()()( 11 ++ ∇=−=∆ iiii xfxfxfxf .
Presupunem relaţia adevărată pentru orice număr p şi să arătăm că este
edevărată şi pentru p+1 ;
Deci )()( pip
ip xfxf +∇=∆ , să calculăm atunci :
)(
)()()()())(()(
11
111
+++
+++++
∇=
∇−∇=∆−∆=∆∆=∆
pip
pip
pip
ip
ip
ip
ip
xf
xfxfxfxfxfxf
Deci relaţia este adevărată şi pentru p+1 , atunci relaţia este adevărată pentru orice număr k .
35
1.7.17. Propoziţie : )()(2)()( 212
−− +⋅−=∇ kkkk xfxfxfxf
Demonstraţie :
)()()()()()()( 21112
−−−− +−−=∇−∇=∇ kkkkkkk xfxfxfxfxfxfxf =
)()(2)( 21 −− +⋅− kkk xfxfxf = fk – fk-1 + fk-2 .
1.7.18. Propoziţie : ( )∑=
−−=∇k
mmi
km
mi
k xfCxf0
)(1)(
Se demonstrează prin inducţie după k .
1.7.19. Teoremă: Polinomul Newton cu ajutorul diferentelor finite înapoi se scrie sub forma :
nn
n
nn
nnn
nnn
hn
xfxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
⋅
∇⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅
∇⋅−⋅−+
⋅
∇⋅−+=
−
−
!
)()(...)()(....
...!2
)()()(
!1
)()()()(
11
2
2
1
Demonstraţie :
Pentru scrierea polinomului de interpolare cu ajutorul diferentelor finite
înapoi considerăm nodurile diviziunii scrise în ordine inversă : xn , x
n-1 , ... ,
x0. Atunci din scrierea polinomului de interpolare cu ajutorul diferenţelor
divizate , avem :
=⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅−⋅−+⋅−+=
−−
−−−−
],...,,.[)(...)()(....
...],,[)()(],[)()()(
0111
2111
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP
nnnn
nnnnnnnnn
n
n
nn
nnn
nnn
hn
xfxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxf
⋅
∆⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅
∆⋅−⋅−+
⋅
∆⋅−+=
−
−−
−
!
)()(...)()(....
...!2
)()()(
!1
)()()(
011
22
2
11
Din propoziţia 1.7.16 , avem : )()( 11
1nn xfxf ∇=∆ − ; )()( 2
22
nn xfxf ∇=∆ − ;
)()( 33
3nn xfxf ∇=∆ − ; ..........; )()( 0 n
nn xfxf ∇=∆ .
Deci polinomul de interpolare devine :
nn
n
nn
nnn
nnn
hn
xfxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
⋅
∇⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅
∇⋅−⋅−+
⋅
∇⋅−+=
−
−
!
)()(...)()(....
...!2
)()()(
!1
)()()()(
11
2
2
1
(1.16)
36
1.7.20. Definiţie : Polinomul (1.16) poartă denumirea de Polinomul lui
Newton de speţa a doua . Este recomandat utilizarea lui când se aproximează
valorile lui f când x este apropiat de xn .
Pentru transcrierea lui într-o formă mai compactă se introduce
parametrul α , astfel încât x = xn + h . α , unde 0 ≤ α ≤ n . Atunci :
( ) ( )( )
( )( ) ( ))(
!
1....21.................
)(!3
21)(
!2
1)()()()( 32
nn
nnnnn
xfn
n
xfxfxfxfhxPxP
∇−+++
++
∇++
+∇+
+∇⋅+=⋅+=
αααα
ααααααα
1.7.20. Exemplu : Se dă funcţia prin următorul tabel :
xi 0 1 2 3 4
f(xi) -4 1 10 29 64
Să se determine polinomul newton de speţa a II-a ataşat nodurilor xi şi
funcţiei f.
Construim tabelul diferenţelor finite înapoi :
Observăm că pasul h = 1
xi f(xi) )( ixf∇ )(2ixf∇ )(3
ixf∇ )(4ixf∇
0 -4
1 1 )()()( 011 xfxfxf −=∇
=1 –(-4) =5
2 10 )()()( 122 xfxfxf −=∇
=10 – 1 =9
)()()( 1222 xfxfxf ∇−∇=∇
=9 – 5 =4
3 29 )()()( 233 xfxfxf −=∇
=29 – 10=19
)()()( 2332 xfxfxf ∇−∇=∇
=19 – 9=10
)()()( 22
32
33 xfxfxf ∇−∇=∇
=10 – 4=6
4 64 )()()( 344 xfxfxf −=∇
=64-29 = 35
)()()( 3442 xfxfxf ∇−∇=∇
=35-19 = 16
)()()( 32
42
43 xfxfxf ∇−∇=∇
=16-10 = 6 0
)( 44
=
∇ xf
Polinomul Newton de speţa a II-a este :
(1.17)
37
nn
n
nn
nnn
nnn
hn
xfxxxxxx
h
xfxxxx
h
xfxxxfxP
⋅
∇⋅−⋅⋅−⋅−+
+⋅
∇⋅−⋅−+
⋅
∇⋅−+=
−
−
!
)()(...)()(....
...!2
)()()(
!1
)()()()(
11
2
2
1
3
3
2
2
1!3
)4()2()3()4(
1!2
)4()3()4(
1!1
)4()4()4(
⋅
∇⋅−⋅−⋅−+
⋅
∇⋅−⋅−+
⋅
∇⋅−+
fxxx
fxx
fxf
= 6
6)2()3()4(
2
16)3()4(35)4(64 ⋅−⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅−+ xxxxxx =
= x3 – x2 + 5x – 4 . 1.8 POLINOAME CEBÂŞEV
Până acum ne-am pus problema determinării unui polinom care
interpolează o funcţie f în nodurile unei diviziuni a intervalului de definiţie .
Ne punem problema alegerii unei diviziuni a intervalului pentru ca eroarea de
interpolare să fie cât mai mică. Pentru aceasta introducem polinoamele
Cebâşev.
1.8.1. Definiţie : Polinoamele Cebîşev sunt definite pe intervalul [−1,1] prin
relaţia: Tn(x) = cos(n·arccos(x))
1.8.2. Teoremă : Funcţia definită pe intervalul [−1,1] prin relaţia: Tn(x) =
cos(n·arccos(x)) reprezintă un polinom numit polinom Cebâşev de grad n . Demonstraţie :
Pentru x ∈[−1,1] notăm α = arc cos(x) . Cu formula lui Moivre avem :
( )ninin αααα sincossincos +=+ Dezvoltând şi egalând părţile obţinem :
..............sincossincoscoscos 444222−⋅+⋅−= −− αααααα n
nn
nn CCn
Cum cosα = x , iar sinα = 21 x− găsim :
Tn(x) = ...................)1()1( 2244222 xxCxxCx n
nn
nn −+−− −−
Deci Tn(x) este un polinom de grad n , iar coeficientul lui xn este
142 2...........1 −=+++ nnn CC .
38
Ecuaţia Tn(x) =0 scrisă sub forma cos(n·arccos(x)) = 0 duce la
n·arccos(x)= π2
12 +k, deci 1,0,
2
12cos −=
+= nk
n
kx π , având n soluţii
distincte . Ecuaţia are toate rădăcinile reale în intervalul [−1,1] .
Deoarece
Tn+1
(x)+Tn−1
(x)=cos[(n+1)arccosx]+ cos[(n−1)arccosx]=2xcos(n·arccosx),
rezultă următoarea relaţie de recurenţă: Tn+1
(x)=2xTn(x)−T
n−1(x), n ≥1
Cum T0(x)=1 şi T
1(x)=x, rezultă
T2(x)=2x
2−1, T
3(x)=4x
3−3x, T
4(x)=8x
4−8x
2+1, T
5(x)=16x
5−20x
3+5x etc.
1.8.3. Propoziţie : Punctele de extrem local ale polinomului Cebâşev
Tn = cos(n·arccos(x)) sunt yk= 1,1,cos −∈
nk
n
kπ .
Demonstraţie: Derivata polinomului Tn este : 21
))arccos(sin()('
x
xnnxTn
−
⋅⋅=
Dacă Tn’(x) = 0 , atunci n . arccos(x) = k . π , şi deci
1,1,cos −=
= nk
n
kyk
π sunt zerourile derivatei.. Se observă că rădăcinile
derivatei Tn’(x) separă rădăcinile polinomului Tn . Într-adevăr :
( )n
kn
kn
k2
)32()1(2
12πππ
⋅+<⋅+<⋅+ şi deci
( )n
kxn
kyn
kx kkk 2)32cos()1cos(
212cos 11
πππ⋅+=>⋅+=>⋅+= ++ .
De asemenea Tn(yk)=kk
n
kn )1()cos(cosarccoscos −==
⋅ π
π. Cum
]1;1[,1)( −∈≤ xxTn , rezultă că 1,1,cos −=
= nk
n
kyk
π sunt puncte de
extrem local pentru Tn(x). Pe de altă parte avem Tn(-1)=(-1)n şi Tn(1)=1 , deci
39
Tn(x) are n+1 puncte de extrem local şi îşi schimbă semnul de n ori pe
intervalul [-1;1].
1.8.4. Teoremă : Fie πn
kxk 2
12cos
−= , nk ,0= , zerourile polinomului
Cebâşev Tn+1
(x) . Atunci oricare ar fi (n +1) puncte intermediare zi ,
nzi ,0= din intervalul [-1 ; 1] avem :
)).......()((sup))....()((sup 21]1;1[
10]1;1[
nx
nx
zzzzzzxxxxxx −−−≤−−−−∈−∈
Demonstraţie:
Deoarece Tn+1
(x) = ))....()((2 10 nn xxxxxx −−− rezultă că trebuie să
arătăm că )).......()((sup)(2
1sup 2
]1;1[1
]1;1[n
xnn
x
zzzzzzxT −−−≤−∈
+−∈
Presupunem prin absurd că există ]1;1[..;;.........;; 210 −∈nzzzz astfel încât
nnnx
nx
xTzxzxzx2
1)(
2
1sup)).......()((sup 1
]1;1[20
]1;1[=<−−− +
−∈−∈ ( * )
Notăm cu qn+1(x) = )).......()(( 20 nzxzxzx −−− şi
rn(x) = ]1;1[),()(2
111 −∈− ++ xxqxT nnn . Evident rn este un polinom de grad cel
mult n . Observăm că rn are acelaşi semn cu Tn+1 în cele n+2 puncte de extrem
ale polinomului Tn+1 . Într-adevăr fie yk un asemenea punct. Presupunem că
Tn+1(yk)=1. Dacă rn(yk) ≤ 0, atunci qn+1(yk) = nknnyr
2
1)(
2
1≥− (contradicţie cu
*)
Dacă Tn+1(yk)=- 1 şi presupunem Dacă rn(yk) > 0 , atunci - qn+1(yk) =
nknnyr
2
1)(
2
1>+ (contradicţie cu * ). Aşadar rn îşi schimbă semnul de n+2
ori , deci rn are n+1 rădăcini . Acest lucru este posibil doar dacă rn(x) = 0 ,
atunci rezultă că ]1;1[),()(2
111 −∈= ++ xxqxT nnn (contradicţie cu *)
Deci presupunerea făcută este falsă , deci nu există
]1;1[..;;.........;; 210 −∈nzzzz
astfel încât )(2
1sup)).......()((sup 1
]1;1[20
]1;1[xTzxzxzx nn
xn
x+
−∈−∈
<−−−
40
1.8.5. Propoziţie : Fie (n+1) noduri xi în [−1,1] şi f∈C
(n+1)[−1,1]. Dacă P
n este
polinomul lui Lagrange care interpolează funcţia f în nodurile xi, ni ,0= ,
atunci eroarea Rn(x)= f(x) – Pn(x) este minimă dacă nodurile
nin
ixi ,0,
2
12cos =
−= π
Demonstraţie : |Rn(x)| =| f(x) – Pn(x) | = | ( )( ) ( )nx
n
xxxxxxn
f−−−⋅
+
+
......)!1(
)(10
)1( ξ|
, deci ))......()((sup)!1(
)()(sup 10]1;1[
)1(
]1;1[n
x
n
nx
n xxxxxxn
fxPxfPf −−−⋅
+≤−=−
−∈
∞
+
−∈∞
,
aşadar eroarea ∞
− nPf va fi minimă dacă ))......()((sup 10]1;1[
nx
xxxxxx −−−−∈
este minimă . Pe de altă parte din teorema 1.8.4 rezultă că acest lucru se
întâmplă dacă alegem nodurile nin
ixi ,0,
2
12cos =
−= π . (adică xi sunt
zerourile polinomului lui Cebâşev) . 1.8.6. Observaţie : Dacă funcţia nu este definită pe [-1,1] , ci pe
intervalul [a,b] atunci considerăm o transformare liniară şi obţinem nodurile :
41
Capitolul II
INTERPOLAREA CU AJUTORUL FUNCŢIILOR
SPLINE
În observaţia 1.2.11 am arătat că interpolarea polinomială are
dezavantajul că pentru un număr mare de noduri ale diviziunii unui interval ,
eroarea de interpolare este destul de mare, deci interpolarea polinomială
globală pe întreg intervalul de definiţie nu este convenabilă . Pentru
remedierea acestei situaţii vom alege polinoame de interpolare de grad mic pe
subintervalele [x0,x1], [x1,x2],…,[xn-1,xn] determinate de nodurile x0 , x1, ....,
xn ale diviziunii .
2.1. FUNCŢII SPLINE - INTRODUCERE
Fie o funcţie f :[a, b] → R şi ∆ o diviziune a lui [a, b]: a = x1 < x2 < · · ·
< xn-1 < xn = b.
2.1.1 Definiţie : Funcţia s :[a, b] → R se numeşte funcţie spline de ordinul
k dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:
a) expresia funcţiei s(x) pe fiecare subinterval [xi, xi+1] este un polinom de
grad cel mult k ≥ 1;
b) funcţia s(x) este de k-1 ori derivabilă pe [a,b] , deci s(x) ],[)1( baC k −∈
Cuvântul spline provine din limba engleză şi înseamnă un instrument de
trasare a unei curbe netede ce trece prin n puncte Pi , 1≤i≤n dintr-un plan .
Termenul de funcţie spline a fost utilizat pentru prima dată de
matematiceanul român Isaac Jacob Schoenberg (născut la 21 aprilie 1903,
Galaţi—decedat la 21Februarie 1990) pentru a desemna o funcţie formată
din polinoame pe subintervale adiacente şi care se racordau în noduri
împreună cu un anumit număr de derivate ale sale.
42
(mai multe informaţii despre I.J. Schoenberg se găsesc pe internet la
adresa http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Jacob_Schoenberg)
2.2. FUNCŢII SPLINE DE GRADUL I
Fie intervalul [a, b] şi ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1
< xn = b. Fie o funcţie f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în
nodurile xi , f(xi ) = yi .
2.2.1 Definiţie : Funcţia spline de gradul (ordinul) I ataşată funcţiei f şi
diviziunii ∆ este funcţia determinată de n -1 polinoame de gradul I Si(x)
astfel:
S(x) = Si(x) = ai x + bi , pentru x ∈ [xi , xi+1] .
Coeficienţii ai şi bi se determină punând condiţiile:
- funcţia spline să treacă prin fiecare punct xi , adică Si(xi) = ai xi + bi =yi
- funcţia spline este continuă pe [a, b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) .
Impunând aceste condiţii obţinem : ai+1 xi + bi+1 = ai xi + bi = yi
ai+1 xi+1 + bi+1 =yi+1
Scăzând cele 2 expresii obţinem ai+1 = ii
ii
xx
yy
−
−
+
+
1
1 şi bi+1 = yi+1 – ai+1xi+1 , ⇒
bi+1 = yi+1 – xi+1 .
ii
ii
xx
yy
−
−
+
+
1
1 .
Deci expresia funcţiei spline de ordinul I este :
Si(x) = yi + )(1
1i
ii
ii xxxx
yy−
−
−
−
− (1.18)
În aplicaţii , funcţia spline de ordinul I se foloseşte mai puţin deoarece de
obicei nu este derivabilă.
2.2.2. Exemplu : Determinaţi funcţia spline de ordinul I ataşată funcţiei
f :[0, 2π] → R , f(x) = cosx , pentru diviziunea ∆ = }2,2
3,,
2,0{ π
ππ
π
Deci f se scrie astfel:
43
xi 0
2
π
π 2
3π π2
f(xi) 1 0 -1 0 1
Deoarece avem 5 noduri rezultă că avem 4 intervale şi 4 polinoame de ordinul I . Din (1.18) , funcţia spline ataşată lui f este :
S1(x) = y1 + 12
)2
(0
2
100)( 1
01
01 +−
=−
−
−+=−
−
−
π
ππ
xxxx
xx
yy pentru x∈[0,
2
π ] ,
S2(x) = y2 + 12
)(
2
011)( 2
12
12 +−
=−
−
−−+−=−
−
−
ππ
ππ
xxxx
xx
yy pentru x∈[
2
π , π ],
S3(x) = y3 + 32
)2
3(
2
3)1(0
0)( 323
23 −=−
−
−−+=−
−
−
π
π
ππ
xxxx
xx
yy pentru x∈[π ,
2
3π ],
S4(x) = y4 + 32
)2(
2
32
011)( 4
34
34 −=−
−
−+=−
−
−
ππ
ππ
xxxx
xx
yy pentru
x∈[2
3π , π2 ]
Funcţia căutată devine :
∈−
∈−
∈+−
∈+−
=
].2,2
3[,3
2
];2
3,[,3
2
];,2
[,12
];2
,0[,12
)(
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
π
xx
xx
xx
xx
xS
În figura următoare este reprezentată funcţia spline împreună cu funcţia
cosinus cu ajutorul programului MAPLE:
>
44
2.3. FUNCŢII SPLINE DE GRADUL II
Fie intervalul [a, b] şi ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1
< xn = b. Fie o funcţie f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în
nodurile xi , f(xi ) = yi .
2.3.1 Definiţie : Funcţia spline de gradul II ataşată funcţiei f şi diviziunii ∆
este funcţia determinată de n -1 polinoame de gradul II Si(x) astfel:
S(x) = Si(x) = ai + bi (x - xi) +ci (x – xi )2 , pentru x ∈ [xi , xi+1] .
Coeficienţii ai , bi şi ci se determină punând condiţiile:
- funcţia spline să treacă prin fiecare punct xi , adică Si(xi) =yi
- funcţia spline este continuă pe [a, b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) .
- funcţia spline este netedă pe [a,b] , adică Si’(xi) =Si’+1 (xi)
Deoarece avem 3n coeficienti şi 3n – 1 condiţii, mai trebuie să introducem o
condiţie suplimentară . De regulă se alege ca unul din capetele funcţiei spline
să fie un punct de extrem local , adică S’0(x0) = 0.
2.3.2. Exemplu : Determinaţi funcţia spline de ordinul II ataşată funcţiei
f :[0, 2π] → R , f(x) = cos(x) , pentru diviziunea ∆ = }2,2
3,,
2,0{ π
ππ
π
Deci f se scrie astfel:
45
xi 0
2
π
π 2
3π π2
f(xi) 1 0 -1 0 1
Funcţia spline de gradul II ataşată funcţiei f este :
S0(x) = a0 + b0 (x – 0) +c0 (x – 0 )2 , pentru x∈[0, 2
π ] ;
S1(x) = a1 + b1 (x – 2
π ) +c1 (x – 2
π )2 , pentru x∈[2
π , π ],
S2(x) = a2 + b2 (x – π ) +c2 (x – π )2 , pentru x∈[π ,2
3π ],
S3(x) = a3 + b3 (x – 2
3π ) +c3 (x – 2
3π )2 , pentru x∈[2
3π , π2 ] .
Pentru determinarea coeficienţilor, punem condiţiile :
1) Si(xi) =yi
S0(0)=1 ⇒ a0 =1 ; S1(2
π )=0 ⇒ a1 =0 ; S2(π )=-1 ⇒ a2 =-1 ; S3(2
3π )=0 ⇒ a3 =0;
S3( π2 )=1 ⇒ b3 .
2
π + c3
. 2
π =1
2) funcţia este continuă :
S0(2
π )= S1(2
π ) ⇒ b0 .
2
π + c0
.
2
2
π =-1;
S1(π )= S2(π ) ⇒ b1 .
2
π + c1
.
2
2
π =-1;
S2(2
3π )= S3(2
3π ) ⇒ b2 .
2
π + c2
.
2
2
π =1 ;
3) derivata este continuă:
S’0(
2
π )= S’1(
2
π ) ⇒ b0 .+2 c0
. 2
π =b1;
S’1(π )= S’
2(π ) ⇒ b1.+2 c1
. 2
π =b2;
S’2(
2
3π )= S’3(
2
3π ) ⇒ b2.+2 c2
. 2
π =b3;
4) Condiţia suplimentară:
S’0(0) = 0 ⇒ b0= 0
Atunci ceilalţi coeficienţi sunt: c0 = 2
4
π
− , b1 = π
4− , c1 = 2
4
π , b2=0, c2= 2
4
π,
b3=π
4 , şi c3 = 2
4
π
− .
46
Atunci funcţia spline de gradul II este :
∈−+−
∈+−
∈+−
∈+−
=
].2,2
3[,15
164
];2
3,[,3
84
];,2
[,384
];2
,0[,14
)(
22
22
22
22
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
π
xxx
xxx
xxx
xx
xS
În figura următoare este reprezentată funcţia spline împreună cu funcţia
cosinus cu ajutorul programului MAPLE:
>
2.4. FUNCŢII SPLINE CUBICE ( DE GRADUL III)
Fie intervalul [a, b] şi ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1
< xn = b. Fie o funcţie f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în
nodurile xi , f(xi ) = yi .
47
2.4.1 Definiţie : Se numeşte funcţie spline cubică (sau de gradul III) ataşată
funcţiei f şi diviziunii ∆ , o funcţie S : [a,b] → R cu următoarele proprietăţi:
- restricţia lui S la fiecare subinterval [xi-1 , xi] este un polinom de grad cel
mult trei;
- funcţia spline trece prin fiecare punct al diviziunii , adică Si(xi) =yi ;
- funcţiile S , S’, S” sunt continue pe [a,b] .
2.4.2. Teoremă : Dacă f : [a, b] → R şi ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2
< · · · < xn-1 < xn = b, atunci există o singură funcţie spline cubică S : [a,b] →
R , care îndeplineşte condiţiile :
a) Si(xi) =yi
b) funcţia spline este continuă pe intervalul [a,b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) ;
c) funcţia spline este netedă pe [a,b] , adică Si’(xi) =Si’+1 (xi) ;
d) a doua derivată a funcţiei spline este continuă , adică Si”(xi) =Si”+1xi)
Deoarece avem n+1 noduri şi deci funcţia spline cubică are n polinoame de
gradul cel mult 3. Atunci avem 4n necunoscute (coeficienţii polinoamelor).
Din condiţiile a)-d) obţinem 4n -2 ecuaţii cu 4n necunoscute, deci ne mai
trebuie 2 condiţii. Acestea pot fi :
e) S”(a) = S”(b) = 0 . (I)
În acest caz se obţine aşa numita funcţie spline cubică naturală .
Înainte de a demonstra acest rezultat, trebuie să demonstrăm următoarea
propoziţie de algebră liniară.
2.4.3. Propozitie : Orice matrice pătratică strict diagonal dominantă este nesingulară.
Demonstraţie. Fie A ∈ Mn(R) cu proprietatea: ∑≠=
>n
ijj
ijij aa1
( * )
Dacă vom arăta că sistemul Ax=0 admite numai soluţia banală, va rezulta că detA ≠ 0. Presupunem prin absurd că există α ≠ 0 astfel încât A α = 0
48
Fie αj = { }nαααα ,.....,,max 21=∞
. Cum α reprezintă soluţie pentru
sistemul Ax=0 rezultă că : aj1 α1+........+ ajj αj+......+ ajn αn=0 sau
∑≠=
=+n
jkk j
kjkjj aa
1
0α
α
Atunci avem : ∑ ∑≠=
≠=
≤≤n
jkk
n
jkk
jk
j
kjkjj aaa
1 1α
α, ceea ce contrazice (*).
Să demonstrăm acum teorema 2.4.2 Fie Mi = S”(xi), i= n,0 . Deoarece restricţia Si(x) a funcţiei spline S(x) la
intervalul [xi-1, xi] reprezintă un polinom de grad cel mult 3 , atunci derivata
sa de ordinul al doilea va fi pe acest interval funcţia liniară :
( ) ( )
i
iiiii h
xxMxxMxS
−+−= −− 11)(" , i= n,1 , unde hi = xi – xi-1 , i= n,1 .
Prin integrare se obţine egalitatea :
( ) ( )ii
i
iiiii DxC
h
xxMxxMxS ++
−+−= −−
6)(
31
31
, pentru x ∈[xi-1, xi], i= n,1 .
Constantele de integrare Ci şi Di se determină din condiţiile de interpolare , adică Si(xi) =yi . Deci :
Si(xi-1) = 1121
6 −−− =++ iiiii
i yDxChM
;
Si(xi) = iiiiii yDxCh
M=++
2
6 , i= n,1 .
Se obtine astfel expresia : ( ) ( )
i
iiiii h
xxMxxMxS
6)(
31
31 −+−
= −− +
+ i
iiii
i
iiii h
xxhMy
h
xxhMy 1
221
1 66−−
−
−
−+−
− , i= n,1 . (1.19)
Funcţia S(x) este o funcţie continuă pe intervalul [a, b], ale cărei valori în
punctele xi coincid cu yi , i= n,1 . Punem conditia ca derivata să fie o funcţie
continuă pe intervalul [a, b] .
( ) ( )i
ii
i
ii
i
iiiii h
MM
h
yy
h
xxMxxMxS
62)(' 11
21
21 −−−− −
−−
+−−−
= , i= n,1 .
49
Pentru ca funcţia S’(x) să fie continuă pe [a, b] trebuie ca restricţiile ei la
intervalele diviziunii să îndeplinească condiţiile : Si’(xi) =Si’+1 (xi) ,
i= n,1 .Atunci
avem :
i
ii
i
iii
ii
iii
i
h
yy
h
yyM
hM
hhM
h 1
1
11
111 636
−
+
++
++−
−−
−=+
++ , i= 1,1 −n .
La cele n – 1 ecuaţii se mai adaugă cele 2 condiţii : S”(x0) = S”(xn) = 0 sau
dacă se cunosc valorile derivatei funcţiei f se pot adăuga condiţiile S’(x0) =
=f’(x0) = y0’ şi S’(xn) = =f’(xn) = yn’ (II)
Se obţine astfel un sistem de n+1 ecuaţii cu n+1 necunoscute (Mi) , sistem
tridiagonal şi strict diagonal dominant. Un asemenea sistem am arătat că are o
soluţie unică. Înlocuind soluţiile sistemului în (1.19) obţinem funcţia spline
căutată.
2.4.4. Exemplu : Determinaţi funcţia spline cubică ataşată funcţiei
f :[0, 2π] → R , f(x) = cos(x) , pentru diviziunea ∆ = }2,2
3,,
2,0{ π
ππ
π
Deci f se scrie astfel:
xi 0
2
π
π 2
3π π2
f(xi) 1 0 -1 0 1
Funcţia spline de gradul II ataşată funcţiei f este :
S0(x) = a0 + b0 (x – 0) +c0 (x – 0 )2 + d0(x – 0)3 , pentru x∈[0, 2
π ] ;
S1(x) = a1 + b1 (x – 2
π ) +c1 (x – 2
π )2 + d1(x – 2
π )3 , pentru x∈[2
π , π ],
S2(x) = a2 + b2 (x – π ) +c2 (x – π )2 + d2(x – π )3 , pentru x∈[π ,2
3π ],
S3(x) = a3 + b3 (x – 2
3π ) +c3 (x – 2
3π )2 + d3(x – 2
3π )3 , pentru x∈[2
3π , π2 ]
Pentru determinarea coeficienţilor, punem condiţiile :
1. funcţia trebuie să treacă prin puncte
50
S0(0)=1 ; S1(2
π )=0 ; S2(π )=-1 ; S3(2
3π )=0 ; S3( π2 )=1;
2. funcţia este continuă
S0(2
π )= S1(2
π ) ; S1(π )= S2(π ) ; S2(2
3π )= S3(2
3π ) ;
3. derivata este continuă
S’0(
2
π )= S’1(
2
π ) ; S’1(π )= S’
2(π ) ; S’2(
2
3π )= S’3(
2
3π ) ;
4. derivata a doua este continuă
S”0(
2
π )= S”1(
2
π ) ; S”1(π )= S”
2(π ) ; S”2(
2
3π )= S”3(
2
3π ) ;
5. condiţia suplimentară S”
0(0)=0 ; S”0( π2 )=0 ;
Derivata funcţiei S(x) este :
S0’(x) = b0 + 2c0 (x – 0 ) + 3d0(x – 0)2 , pentru x∈[0,
2
π ] ;
S1’(x) = b1 + 2c1 (x –
2
π ) + 3d1(x – 2
π )2 , pentru x∈[2
π , π ],
S2’(x) = b2 + 2c2 (x – π ) + 3d2(x – π )2 , pentru x∈[π ,
2
3π ],
S3’(x) = b3 + 2c3 (x –
2
3π ) + 3d3(x – 2
3π )2 , pentru x∈[2
3π , π2 ] .
Derivata a doua a funcţiei S(x) este :
S0”(x) = 2c0 + 6d0(x – 0) , pentru x∈[0,
2
π ] ;
S1”(x) = 2c1
+ 6d1(x – 2
π ) , pentru x∈[2
π , π ],
S2”(x) = 2c2
+ 6d2(x – π ) , pentru x∈[π ,2
3π ],
S3”(x) = 2c3 + 6d3(x –
2
3π ) , pentru x∈[2
3π , π2 ] .
Se obţine funcţia spline cubică naturală :
S(x) =
∈+−+−
∈−+−
∈+−+
∈−−
]2,2
3[,
7
8
7
48
7
108
7
81
];2
3,[,
7
4024
7
216
7
81
];,2
[,7
40
7
72
7
24
7
1
];2
,0[,7
8
7
121
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
ππ
πππ
ππ
πππ
ππ
πππ
π
ππ
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
51
În figura următoare este reprezentată funcţia spline împreună cu funcţia cosinus cu ajutorul programului MAPLE: >
2.5. EVALUAREA ERORII DE INTERPOLARE PRIN
FUNCŢII SPLINE
2.5.1. Propoziţie : Dacă f ],[2 baC∈ şi funcţia spline cubică de interpolare
S(x) pentru funcţia f(x) şi diviziunea ∆ : a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b .
Presupunem că funcţia spline îndeplineşte condiţia S’(x0) = f’(x0) şi S’(xn) =
f’(xn),sau condiţia naturală (S”(a) = S”(b) = 0 ) atunci :
[ ] [ ] [ ]∫ ∫ ∫ −+=b
a
b
a
b
a
dxxSxfdxxSdxxf 222 )(")(")(")("
Demonstraţie :
[ ] [ ] [ ] [ ] ++−=+−=2222 )(")(")(")(")(")(")(" xSxSxfxSxSxfxf
52
[ ] )(")(")("2 xSxSxf ⋅−⋅+ , de unde deducem :
[ ] [ ] [ ]∫ ∫ ∫+−=b
a
b
a
b
a
dxxSdxxSxfdxxf 222 )(")(")(")(" + [ ]∫ −⋅b
a
dxxSxSxf )(")(")("2
Întrucât f ],[2 baC∈ , S ],[2 baC∈ şi S’”(x) este o constantă pe intervalul [xi-1 , xi], i= n,1 . Prin integrare prin părţi , ultimul termen al egalităţii devine:
[ ] [ ] [ ]∫ ∑ ∫ ∑= = −
−
−−=−=−b
a
n
i
x
x
n
i i
ii
ix
xxSxfxSdxxSxfxSdxxSxSxf
1 1 11
)(')(')(")(")(")(")(")(")("
[ ] [ ] [ ]∑ ∫=
−
−−−=−−n
i
x
x
nnn
i
i
xSxfMxSxfMdxxSxfxS1
000
1
)(')(')(')(')(')(')('"
dacă funcţia spline îndeplineşte una din condiţiile (I) sau (II), atunci ultimul
termen este nul , deci propoziţia este demonstrată.
2.5.2. Consecinţă : Dacă funcţia spline cubică S(x) ce interpolează funcţia
f(x) şi satisface una din condiţiile (I) sau (II) , atunci ea este unică.
Demonstraţie : Presupunem că ar exista două funcţii spline cubice S1(x) şi
S2(x) cu aceste proprietăţi.
Atunci : S(x) = S1(x) - S2(x) este o funcţie spline de interpolare fentru funcţia identic nulă. Aplicăm propoziţia anterioară pentru funcţia f ≡ 0 şi funcţia S(x), obţinem:
0= [ ] [ ]∫ ∫=b
a
b
a
dxxSdxxf 22 )("2)(" . Cum S”(x) ),(0 baC∈ rezultă S”(x) =0,
deci S(x) =αx+β. Pe de altă parte funcţia S(x) interpolează funcţia identic nulă
pe intervalul [a,b], deci trebuie ca S(a)=S(b)=0, ceea ce implică S(x) = 0 şi
deci S1(x) = S2(x) pe [a,b] .
2.5.3. Teoremă : Dacă f ),(0 baC∈ şi S(x) este funcţia spline cubică de
interpolare pentru funcţia f(x) şi diviziunea ∆: a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b.
Dacă funcţia spline îndeplineşte una din condiţiile (I) sau (II) , atunci:
a) hfxSxf2
")(')(' ≤− ;
53
b) 3
2")()( hfxSxf ≤− , unde
h = )(max 1,1
−∈
− iini
xx , iar 2⋅ este norma naturală din L(a,b)2 , adică
2/1
2
2)(
= ∫
b
a
dxxgg .
Demonstraţie : f(xi)=S(xi) , deci f(xi) - S(xi) = 0 i= n,0 . Din teorema lui Rolle
rezultă că funcţia f(xi) - S(xi) admite câte o rădăcină ξi pe fiecare din intervale
(xi-1 , xi) , i= n,1 . Fie x ∈ [xi-1 , xi ], dacă x > ξi atunci :
f’(x) – S’(x) = [ ]∫ −x
i
dttStfξ
)(")("
Din inegalitatea lui Schwarz deducem:
[ ] ≤
⋅
−≤− ∫∫
2/1
2
2/1
2 1)(")(")(')('xx
ii
dtdtxSxfxSxfξξ
[ ] hSfxdxxSxf i
b
a2
2/1
2/1
2 "")(")(" −≤−⋅
−≤ ∫ ξ
Din propoziţia anterioară ce poate fi scrisă şi sub forma :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2""""""" fSfSfSf ≤−⇒−+= , deci
hfxSxf ⋅≤−2
")(')(' .
Pentru a demonstra relaţia b) plecăm de la inegalitatea :
f(x) – S(x) = [ ]∫−
−x
xi
dttStf1
)(')(' , deoarece hftStf ⋅≤−2
")(')('
rezultă că 2/3
22"")()(
1
hfdthfxSxfx
xi
⋅≤⋅⋅≤− ∫−
54
2.6. UTILIZAREA PROGRAMELOR MATLAB ŞI MAPLE
PENTRU INTERPOLARE PRIN FUNCŢII SPLINE
2.6.1. Funcţii spline în MAPLE
Pentru determinarea funcţiei spline ataşată unei funcţii programul
MAPLE dispune de o funcţie predefinită spline .
Funcţia determină funcţia spline de gradul unu, doi, trei sau patru.
Sintaxa: spline (x,y,var,d)
Argumente : x – listă/vector cu punctele diviziunii;
y – listă/vector cu valorile funcţiei în punctele diviziunii;
var – numele variabilei din funcţia spline
d – (opţ) număr întreg sau nume predefinit.
În lista/vectorul x elementele sunt distincte, în ordine crescătoare. Argumentul
d specifică gradul polinoamelor ce definesc funcţia spline. El poate fi un
număr întreg pozitiv (valoarea implicită este 3) sau un cuvânt cheie : linear,
quadratic, cubic, quartic.
Utilizarea funcţiei trebuie precedată de comanda readlib(spline).
Exemple:
>
55
2.6.2. Funcţii spline în MATLAB
Matlab utilizarea funcţiei spline pentru a găsi curba spline asociată
unei funcţii f. De exemplu pentru cazul funcţia f(x) = sin(x)
>> x = 0:10;
y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)
56
Capitolul III
APLICAŢII ALE INTERPOLĂRII FUNCŢIILOR
3.1. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA DERIVAREA
NUMERICĂ
3.1.1. Derivarea numerică cu ajutorul polinoamelor Newton cu diferenţe
finite
În cazuri practice, când se cere determinarea derivatei, iar funcţia este
dată în forma unui tabel, utilizarea metodelor analitice de calculul diferenţial
devine imposibilă şi atunci se face apel la aproximare numerică a derivatei
căutate – derivarea numerică.
Metoda I:
În clasa a XI –a se studiază derivata unei funcţii într-un punct. Una din definiţiile derivatei unei funcţii într-un punct este :
f’(x0) = h
xfhxfh
)()(lim 00
0
−+→
şi astfel obţinem aproximarea
derivatei :
h
xfhxfxf
)()()( 00
0
−+≈ =
h
xf )( 0∆ aproximarea este cu atât mai bună
cu cât h este ales mai mic. Metoda II:
Fie că funcţia f(x) este determinată în intervalul [a, b] şi este
reprezentată tabular prin n+1 puncte. Se cere stabilirea relaţiei analitice pentru
derivata acestei funcţii. Ca funcţia de aproximare se alege un polinom de
interpolare.
Dacă nodurile diviziunii, care descriu numeric funcţia dată f(x), sunt
echidistante, adică xi+1 – xi = h (unde i = 0, 1, 2, ... n), atunci pentru stabilirea
relaţiei analitice pentru derivata acestei funcţii să aproximăm funcţia de
origine f(x) cu polinomul Newton cu diferenţe finite(1.15) .Atunci funcţia
57
( ) ( )( )
( )( ) ( ))(
!
1....21.........
...........)(!3
21)(
!2
1)()()()(
0
03
02
00
xfn
n
xfxfxfxfxPxf
n∆+−−−
+
+∆−−
+∆−
+∆⋅+=≈
αααα
αααααα
unde: h
xx 0−=α ; h= xi+1 - xi
Desfacem parantezele şi obţinem:
..................)(!4
6116
)(!3
23)(
!2)()()(
04
234
03
23
02
2
00
+∆−+−
+
+∆+−
+∆−
+∆⋅+≈
xf
xfxfxfxfxf
αααα
αααααα
Întrucât f(x) ≈ )()( 0 hxPxP ⋅+= α , atunci : αα
α
d
xdP
hd
xdP
dx
d
dx
xdf )(1)()(⋅=⋅≈
Atunci derivând relaţia (1.20) obţinem :
.....])(!4
622184
)(!3
263)(
!2
12)([
1)('
04
23
03
2
02
0
+∆−+−
+
+∆+−
+∆−
+∆≈
xf
xfxfxfh
xf
ααα
ααα
Pentru x = x0 , ce corespunde lui α = 0 se obţine:
Pentru derivata a II-a procedăm astfel: (1.21)
2
2
22
22
2
2 )(1)()(
αα
α
d
xPd
hd
xPd
dx
d
xd
xfd⋅=⋅
≈ ;
Deci f”(x) ( )
+∆
+−+∆−+∆≈ ......)(
12
11186)(1)(
10
42
03
02
2xfxfxf
h
ααα
Pentru x = x0 , ce corespunde lui α = 0 se obţine: . (1.22)
(1.23)
Analog se pot obţine aproximări pentru derivatele de ordin mai mare.
(1.20)
)....](5
1)(
4
1)(
3
1)(
2
1)([
1)(' 0
50
40
30
200 xfxfxfxfxf
hxf ∆+∆−∆+∆−∆≈
∆−∆+∆−∆≈ ..).........(
6
5)(
12
11)()(
1)(" 0
50
40
30
220 xfxfxfxf
hxf
+∆+∆−∆≈ ...........)(
4
7)(
2
3)(
1)( 0
50
40
330
)3( xfxfxfh
xf
58
3.1.2: Exemplu: Folosind formulele de derivare (1.21-1.23) cu diferente
finite, să se determine derivatele de ordinul I , II pentru funcţia
1
1)(
2 +=
xxf şi nodurile x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1
Pentru a putea compara rezultatele, construim două tabele, unul cu derivata şi
derivata a doua a funcţiei f(x) şi cel de-al doilea tabel cu aproximările
derivatei conform formulelor (1.21) - (1.23).
1
1)(
2 +=
xxf ; 22 )1(
2)('
+
−=
x
xxf ; 32
2
)1(
26)("
+
−=
x
xxf ;
42
2)3(
)1(
)1(24)(
+
−−=
x
xxxf
xi f(xi) f’(xi) f”(xi) f(3)(xi)
0 1 0 -2 0
0,2 0.9615384615 -0.369822485 -1.56463359 3.938937712
0,4 0.8620689655 -0.594530320 -0.666283980 4.453675413
0,6 0.7352941176 -0.648788927 0.06360675758 2.693933262
0,8 0.6097560976 -0.5948839976 0.4171442666 0.9554948207
1 0.5000000000 -0.5000000000 0.5000000000 0
xi f(xi) ∆f(xi) ∆2 f(xi) ∆3 f(xi) ∆4 f(xi) ∆5 f(xi)
0 1 -0.0384615385 -0.0610079575 0.0337026056 -0.0051604258 -0.0088366595
0,2 0.9615384615 -0.099469496 -0.0273053519 0.0285421798 -0.0139970853
0,4 0.8620689655 -0.1267748479 0.0012368279 0.0145450945
0,6 0.7352941176 -0.12553802 0.0157819224
0,8 0.6097560976 -0.1097560976
1 0.5000000000
59
Atunci :f’(0)≈
−+−−⋅+−⋅−− )0088.0(
5
1)00516.0(
4
1)0337026,0(
3
1)0610079.0(
2
1)038461.0(
2,0
1
=0.013997
f ”(0)
−⋅−−⋅+−−≈ )0088.0(
6
5)00516.0(
12
11)0337026,0(0610079.0
)2,0(
12
= -2.06541
Derivarea cu ajutorul polinoamelor Lagrange :
Metoda constă în înlocuirea funcţiei cu polinomul Lagrange corespunzător şi
derivarea acestuia.
3.1.3 Exemplu : Folosind polinomul de interpolare Lagrange, să se
determine derivatele de ordinul I , II pentru funcţia 1
1)(
2 +=
xxf şi nodurile
x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1
Polinomul de interpolare Lagrange ataşat funcţiei f este :
P(x)=
Atunci P’(x) = -1.1718x4 + 1.3437x3 + 1.5999x2 – 2.2968 x +0.0135
P’(0) = 0.0135 ; P’(1) = -0.5115, analog pentru celelalte valori.
Pentru derivata a II-a se derivează polinomul P’ . Deci
P”(x) = -4.6872x3 +4.0311x2 +3.1998x – 3.2968 .
P”(0)=-3.2968 ; P”(1) = 2.24.
Observăm că dacă creştem ordinul derivatei , eroarea derivatei
numerice este mare.
Este recomandat evitarea derivării numerice , deoarece chiar dacă
aproximanta este bună, nu rezultă că derivata aproximantei este o derivată
bună.
3.1.4 Exemplu : Fie functia )(sin1
)()( 2 axnn
xgxf −+= , unde g(x)∈C1[a,b]
Se observă d(f ;g) →0 dacă n→∞ , dar d(f’ ;g’)=n .
60
3.2. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA INTEGRAREA
NUMERICĂ
În cazul când integrantul (funcţia de sub semnul integralei) nu este o
simplă funcţie, integrarea prin metode analitice este deseori dificilă sau chiar
imposibilă. Alteori nici nu se cunoaşte expresia analitică a funcţiei, ci numai o
serie de valori ale ei f(xi), pentru o diviziune xi ,unde i=0,2,…,n, a unui
interval [a,b]
În astfel de cazuri se caută o funcţie g(x) care constituie o bună
aproximare pentru f(x) şi care poate fi uşor integrată:
∫ ∫≈b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
Se utilizează în general următorul algoritm în cadrul metodelor numerice de
integrare:
1. Se împarte intervalul [a, b] în n subintervale cu ajutorul celor n+1
puncte ale diviziunii;
2. Se aproximează funcţia f(x) cu un polinom g(x) , unde g(x) =
∑=
n
kkk xga
1
)( , unde gk(x) sunt polinoame;
3. Se integrează funcţia f(x) , obţinându-se:
∫ ∫ ∫+=b
a
b
a
b
a
dxxrdxxgdxxf )()()(
4. Se aproximează integrala ∫b
a
dxxf )( cu ∫b
a
dxxg )( prin minimalizarea
restului r = ∫b
a
dxxr )( .
Formulele de integrare numerică se numesc cuadraturi.
61
3.2.1. Cuadratura Newton - Cotes
Formula de integrare Newton Cotes utilizează pentru aproximarea
funcţiei f(x), polinoamele de interpolare Lagrange. Cele n+1 puncte ale
diviziuni xi sunt echidistante(situate la distanţa h) nihiaxi ,0, =⋅+= ,
n
abh
−= .
Polinomul de interpolare Lagrange corespunzător funcţiei f şi diviziunii
nihiaxi ,0, =⋅+= este : ∑=
⋅=n
iiin xlxfxP
0
)()()( , unde li(x) =
( )( )∏
≠= −
−n
jj ji
j
xx
xx
00
, (polinoamele Lagrange fundamentale).
Prin urmare avem : ∫ ∑=
=b
a
n
iii xfAdxxf
0
)()( (formula Newton Cotes închisă),
unde Ai = ∫b
a
i dxxl )( , i= n,0 .
Cazuri Particulare:
Cazul I Fie funcţia f:[a,b]→R şi diviziunea ∆ ce are doar două puncte
echidistante : x0 şi x1 (x1 = x0+h)
Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funcţiei f şi diviziunii ∆ este:
P2(x) = )()( 101
00
10
1 xfxx
xxxf
xx
xx⋅
−
−+⋅
−
−= )()( 1
00
0 xfh
xxxf
h
hxx⋅
−+⋅
−
−−=
= [ ]
−++− )()()()()( 1
00
0001 xf
h
xxf
h
xxfxfxf
h
x
Din 1.2.7 Eroarea de interpolare este : R2(x) = ))((!2
)(10
)2(
xxxxf x −−⋅
ξ
62
Atunci : ∫ ∫ ∫+=1
0
1
0
1
0
)()()( 22
x
x
x
x
x
x
dxxRdxxPdxxf =
= [ ]∫+
−++−
hx
x
dxxfh
xxf
h
xxfxfxf
h
x0
0
)()()()()( 10
00
001 +
+ ∫+
−−⋅hx
x
x xxxxf0
0
))((!2
)(10
)2( ξ
Atunci
[ ]∫+
−++−
hx
x
dxxfh
xxf
h
xxfxfxf
h
x0
0
)()()()()( 10
00
001 = [ ]0
02
01 2)()(
1
x
hxxxfxf
h
+⋅− +
=0
01
0
0
00
0
0
00 )()()(
x
hxxxf
h
x
x
hxxxf
h
x
x
hxxxf
+⋅⋅−
+⋅⋅+
+⋅ =
= [ ]( ) )()()(2)()(2
110000
2001 xfxxfxxfhhhxxfxf
h⋅−⋅+⋅++− =
= [ ])()(2 01 xfxfh
+
Deoarece putem spune că x0 = a şi x1 =b , atunci : (formula trapezului)
Evaluarea restului formulei trapezului
∫∫ ∫ +−−=−−=−−⋅b
a
xb
a
b
a
xx dxabbxaxxf
bxaxf
bxaxf
)(2
)("))((
2
)("))((
!2
)( 2)2( ξξξ
=
12
)("
12
)()("
6
33
2
)(" 332233 hfabfbaabbaf xxx ⋅−=
−⋅−=
−+−⋅
ξξξ
Dacă notăm cu M2 = sup{f”(x); x∈[a,b]}, atunci putem scrie:
(eroarea pentru formula trapezului)
Cazul II Fie funcţia f:[a,b]→R şi diviziunea ∆ ce are trei puncte
echidistante : x0 , x1 şi x2 (x1 = x0+h, x2 = x0+2h) sau (a , 2
ba + , b)
[ ]∫ +−
≈b
a
afbfab
dxxf )()(2
)(
12
)(
12)(
33
2
abMhMxR
−⋅=
⋅≤
63
Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funcţiei f şi
diviziunii ∆ este:
P3(x) = )())((
))(()(
))((
))(()(
))((
))((2
1202
101
2101
200
2010
21 xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxx⋅
−−
−−+⋅
−−
−−+⋅
−−
−−
= )()(2
)()(
)(
)()(
)2(
)(2
21102
12020
2
02121
2
xfhh
xxxxxxxf
hh
xxxxxxxf
hh
xxxxxx⋅
++−+⋅
−
++−+⋅
++−
Integrând polinomul P3(x) obţinem :
[ ]∫ +⋅+⋅=b
a
xfxfxfh
dxxP )()(4)(3
)( 2103 , deci
(formula lui Simpson)
Evaluarea restului formulei lui Simpson Analog ca la formula trapezului, obţinem
Unde M=sup{f(4)(x), unde x∈[a,b]}
3.2.2. Exerciţiu : Folosind formula trapezului, apoi formula lui Simpson, să
se calculeze valoarea aproximativă a integralei ∫3
1 x
dx , de unde să se deducă
valoarea aproximativă a lui ln3. Rezolvare Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem
3ln1ln3ln1
3ln
3
1
=−==∫ xx
dx
Din formula trapezului deducem că
[ ] 33333,13
4
1
1
3
1)1()3(
2
133
1
≈=
+=+
−≈∫ ff
x
dx
Din formula lui Simpson obţinem :
[ ] 11111,19
10
3
1
2
4
1
1
6
2)3()2(4)1(
3
133
1
≈=
++=++
−≈∫ fff
x
dx
∫
+
+⋅+
−≈
b
a
bfba
fafab
dxxf )(2
4)(6
)(
2880
)(
90)(
55
3
abMhMxR
−⋅=
⋅≤
64
Se ştie că ln3= 1.0986122........ , deci metoda lui Simpson aproximează mai bine rezultatul.
3.2.3. Exerciţiu : Să se calculeze valoarea aproximativă a integralei ∫ +
1
021 x
dx
folosind metoda trapezului, respectiv metoda lui Simpson. Rezolvare: Din formula trapezului deducem că
[ ] 75,04
3
2
1
1
1
2
1)1()0(
2
1
1
1
02
==
+=+≈
+∫ff
x
dx
Din formula lui Simpson deducem că
[ ] 7833333,05.02.31
1
6
1)1()5,0(4)0(
6
1
1
1
02
=
++=++≈
+∫fff
x
dx
Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem 78540,011
1
02
==+∫
arctgx
dx
65
Capitolul IV
CONSIDERAŢII METODICE ŞI METODOLOGICE
4.1. ASPECTE GENERALE
Procesul de învăţământ este principalul subsistem al sistemului de
învăţământ, în cadrul căruia se realizează instruirea şi învăţarea elevilor şi
studenţilor prin intermediul activităţilor proiectate, organizate şi dirijate de
către profesori în conformitate cu anumite norme şi principii didactice, într-un
context metodic adecvat, apelând la resurse materiale şi didactice adecvate, în
vederea atingerii dezideratelor educaţiei.
Schematic relaţia funcţională dintre sistemul de educaţie, sistemul de
învăţământ, procesul de învăţământ se reprezintă astfel:
Sistemul de educaţie cuprinde şi educaţia permanentă, instituţii/organizaţii
economice, politice, culturale; educaţie de tip formal, nonformal, informal;
Sistemul de invăţamânt cuprinde şi instituţii de educaţie nonformală (cluburi,
tabere, centre de pregătire profesională);
Societate
Sistemul de educaţie
Sistemul de învăţământ
Sistemul şcolar
Procesul de învăţământ
66
Sistemul şcolar cuprinde învăţământul primar, secundar, postliceal, superior
şi special; educaţie formală;
Procesul de învăţământ cuprinde activităţile didactice/educative;
Procesul de învăţământ funcţionează ca o unitate, prin îmbinarea
firească şi necesară a trei funcţii şi componente fundamentale: predarea,
învăţarea şi evaluarea.
A preda nu înseamnă ca profesorul să transmită informaţii, iar elevii să
le reproducă. A preda înseamnă a organiza şi dirija experienţele de învăţare
şcolară (Chiş 2001). Mai putem spune că predarea este activitatea
profesorului de organizare şi conducere a ofertelor de învăţare, care au drept
scop facilitarea şi stimularea învăţării eficiente la elevi.
În procesul de predare-învăţare, profesorul combină diferite mijloace de
comunicare (verbale, nonverbale şi paraverbale, grafice, scheme realizate pe
tablă sau slide-uri puse la retroproiector etc).
Doi cercetători americani (A. Mehrabian şi M. Weiner, Decoding of
inconsistent communication) au constatat, pe la mijlocul anilor '70, că,în
comunicarea orală impactul cel mai mare îl deţin nu cuvintele, ci elementele
asociate vizual sau sonor cu anumite mesaje orale. Astfel:
• mijloacele vizuale (cuprind atât elemente nonverbale ale comunicării
– mimică, gesturi, privire, poziţie -, cât şi modalităţile de
reprezentare vizuală a celor prezentate – scheme, grafice, folii, slide-
uri etc.) au un impact de 55% asupra ascultătorilor;
• mijloacele vocale (ritmul vorbirii, volum, intonaţia şi inflexiunile
vocii) au un impact de 38%;
• mijloacele verbale (cuvintele rostite) – au un impact de doar 7%.
Chiar dacă aceste procente reflectă doar o medie a felului în care
oamenii percep mesajele orale, este important pentru un profesor să
folosească mijloace vizuale şi vocale care să susţină şi să întărescă, în folosul
elevilor, cele comunicate.
67
Mijloacele de comunicare vizuală ce stau la îndemâna profesorului sunt:
tabla neagră tradiţională şi, mai modern, cea albă, planşele din hârtie sau
carton, videoproiectorul etc. Avantajele folosirii acestor mijloace este că
permit o mai bună punere în evidenţă a mesajului:
• mesajul este vizualizat mai simplu;
• informaţia este expusă permanent;
• conturează mesajul verbal, acceantuând punctele importante ale
temei discutate.
Subsumate vizualului, mijloacele nonverbale ale comunicării au un
impact deosebit în relaţiile ce se creează între colocutori. Între acestea
contactul vizual cu auditoriul (în cazul unei prelegeri) sau cu partenerul de
comunicare (în cazul dialogului) are un rol deosebit. E important să priveşti
spre cel/cei căruia/cărora te adresezi, nu să eviţi contactul vizual cu aceştia,
plecând ochii în pământ sau ţinându-ţi privirea spre un punct oarecare. De
asemenea, gestica şi mimica trebuie controlate, pentru a nu induce
auditoriului anumite stări emoţionale pe care le încearcă vorbitorul (un
profesor care frământă un creion, o carte toată ora distrage fără să vrea atenţia
elevilor asupra stării sale proprii de iritare, emoţie, nelinişte, nesiguranţă etc;
de asemenea, un profesor care nu-şi poate controla reacţiile mimice faţă de
răspunsurile greşite ale elevilor poate crea inhibiţii; de asemenea, ticurile de
expresie pot genera distragerea atenţiei de la temă şi chiar enervarea şi
amuzamentul elevilor).
Între elementele vocale/paraverbale, sunt importante ritmul /viteza
vorbirii (un ritm prea rapid poate crea dificultăţi în receptarea mesajului, de
asemenea un ritm prea lent poate fenera plictiseală şi neatenţie; aproximativ
125 de cuvinte pe minut este ritmul eficient); acceantuarea trebuie să vizeze
punctarea cuvintelor importante ale comunicării (accentuarea poate schimba
uneori sensul comunicării); tonalitatea nu trebuie să fie ridicată, ci medie
68
(uneori pentru a înţelege zumzetul clasei, se foloseşte chiar tonalitatea şoptită,
care impune atenţia clasei).
Întrebările – deschiderea dialogului cu elevii
Gânditorul chinez Confucius (551-479 î.C.), preocupat de educaţie,
formula câteva precepte care ar putea constitui o concluzie la cele prezentate
mai sus şi o introducere pentru rolul pe care-l are dialogul în învătare:
• Spune-le şi vor uita!
• Arată-le şi îşi vor aminti!
• Pune-i să facă şi vor înţelege!
,,Pune-i să facă” se referă desigur la implicarea elevilor în propria
învăţare. Pentru a-i determina pe elevi să gândească, să rezolve probleme, să
găsescă soluţii, profesorul trebuie să găsescă strategii de a-i implica pe elevi
în învăţare şi de a gestiona în mod adecvat astfel de situaţii didactice.
4.2. METODE DE PREDARE - ÎNVĂŢARE
Metodele de învăţare sunt scheme de acţiune identificate de teoriile învăţării;
ele sunt aplicate conţinuturilor disciplinei studiate şi reprezintă acţiuni interiorizate
de elev.
Există mai multe modalităţi de clasificare a metodelor, dintre acestea
prezentăm metodele traditionale, clasice şi cele moderne.
La metodele tradiţionale centrul acţiunii este pus pe profesor: centrate pe
activitate(exerciţiul, instruirea programată, algoritmizarea) sau centrate pe
conţinutul învăţării(prelegerea, explicaţia , povestirea).
La metodele moderne, centrul acţiunii este pus pe elev: centrate pe
activitate(lucrări practice, învăţare prin descoperire, învăţare prin experiment,
jocuri didactice, simulare) sau centrate pe conţinutul învăţării(dezbatere,
conversaţie, dialog).
69
Noile programe analitice încurajează utilizarea metodelor moderne, dar nu
trebuie lăsate deoparte nici metodele tradiţionale. Este recomandat îmbinarea
celor două metode.
În cele ce urmează vom detalia câteva metode didactice pe care le
consider de o importanţă deosebită în procesul educaţional, datorită faptului
că elevii le îndrăgesc şi înţeleg mai bine noţiunile predate astfel.
4.2.1. Instruirea asistată de calculator (IAC) reprezinta o metodă
didactică ce foloseşte, ca principal material didactic, calculatorul şi soft-ul
educaţional.
În ultima perioadă toate şcolile au fost dotate cu laboratoare informatice,
dotate cu platforma AeL (Advance eLearning).
AeL este un pachet de programe educaţionale creat de firma SIVECO şi
oferă suport pentru predare şi învăţare, testare şi evaluare, administrarea
conţinutului şi monitorizarea întregului proces educaţional. AeL este o soluţie
modernă de eLearning oferind facilităţi de gestionare şi prezentare de diferite
tipuri de conţinut educaţional precum şi materiale interactive tip multimedia.
Aproape fiecare disciplină are pachete de lecţii în biblioteca virtuală. Periodic
acestea sunt actualizate, îmbunătăţite de către SIVECO, iar în absenţa lor, ele
pot fi create de către profesorii care au un minim de cunoştinţe în domeniul
html sau Office.
,,Vrem să îi oferim profesorului o unealtă în plus pentru a o utiliza
alături de tablă şi o bucata de cretă.’’ - Ştefan Morcov, AeL product Manager.
Lecţiile în AeL se desfăşoară astfel:
- Elevii şi profesorul deschid calculatoarele şi intră în programul AeL cu
user-ul şi parola pe care au primit-o anterior;
- Din meniul: Clasa Virtuală, profesorul alege lecţia creată anterior pe
care doreşte să o predea, după care transmite momentele lecţiei;
- Elevii accesează meniul Clasă Virtuală şi vor primi momentele lecţiei.
70
Momentele lecţiei pot fi materiale interactive, documente word, slide-uri
powerpoint, filmuleţe educative, teste etc.
Avantajul acestei metode, constă în faptul că elevii nu pot trece la un nou
moment până ce nu au rezolvat corect cerinţele momentului respectiv, iar la
rezolvarea unui test primesc rezultatul pe loc.
Dezavantajul constă că elevii nu rămân cu multe notiţe şi de aceea este
recomandat a se utiliza această metodă pentru fixarea cunoştiinţelor .
De asemenea, calculatorul poate fi folosit concomitent cu
videoproiectorul. Astfel se poate crea lecţia în powerpoint şi apoi se prezintă
elevilor. Ei pot primi fişe cu momente din lecţia respectivă, economisindu-se
timp important. Astfel noţiunile şi figurile sunt mult mai clare decât pe tablă
şi elevii sunt mult mai atenţi.
Pentru geometria în spatiu exită un program Cabri 3D, creat de
compania franceză Cabriolog. Cu ajutorul acestui program se pot construi
toate corpurile geometrice, se pot manipula aceste corpuri, se pot secţiona, se
pot duce segmente, drepte, vectori în spaţiu . Se pot explica uşor elevilor de
gimnaziu noţiuni dificile de geometrie, cum ar fi: perpendicularitate în spaţiu,
perpendicularitate pe un plan, unghi diedru. Dezavantajul acestui program
este acela că este destul de scump, dar poate fi încercat 30 de zile.
Despre programele Matlab şi Maple am mai amintit în această lucrare.
Ele sunt folosite mai mult în matematicile superioare, dar mai pot fi utilizate
şi în rezolvarea unor exerciţii şi probleme de liceu. Se pot folosi pentru
trasarea graficelor unor funcţii, pentru calcul matricial, pentru rezolvarea unor
ecuaţii şi sisteme de ecuaţii etc.
Internetul este o sursă foarte importantă de informaţii pentru elevi şi
profesori. Informatizarea şcolilor şi conectarea acestora la internetul de viteză
este un vis realizat într-o procent destul de mare. Chiar şi şcolile din mediul
rural au laboratoare cu calculatoare legate la internet.
71
De pe internet cadrele didactice pot să se informeze şi să se documenteze.
Pot comunica cu colegi din alte şcoli, din alte ţări pe teme de interes comun.
Pot descărca materiale interesante, pe care le pot utiliza ulterior la clasă. Pot
de asemenea să pună la dispoziţia altora diferite materiale proprii. Totuşi
există şi câteva dezavantaje: informaţiile de pe internet sunt neverificate, de
multe ori neprofesioniste, elevii au uneori tendinţa să descarce
materialele(referate) şi să le predea profesorului ca şi cum ar fi creaţia lor
(uneori chiar fără a le fi citit), dar un profesor bun poate rezolva toate aceste
probleme cu destulă uşurinţă.
În concluzie calculatorul este un mijloc foarte util, de noi depinde cât de
eficient îl folosim.
4.2.2.Interdisciplinaritate
În mod tradiţional, conţinutul disciplinelor şcolare a fost conceput cu o
accentuată independenţă a unor discipline faţă de altele, adică fiecare
disciplină de învăţământ să fie de sine stătătoare. Astfel, cunoştinţele pe care
elevii le acumulează, reprezintă cel mai adesea un ansamblu de elemente
izolate, ducând la o cunoaştere statică a lumii. În unele cazuri la unele materii
sunt necesare noţiuni teoretice de la alte materii , iar aceste noţiuni teoretice
sunt predate mai târziu . În alte cazuri aceleaşi noţiuni teoretice sunt predate la
materii diferite, pierzând astfel timp preţios.
Conţinutul unui învăţământ interdisciplinar poate fi promovat la nivelul
planului de învăţământ, la nivelul programelor şcolare (prin urmărirea
legăturilor între obiecte şi prin formularea unor obiective instructiv-educative
comune), la nivelul manualelor şcolare şi prin conţinutul lecţiilor.
Din păcate manualele şcolare nu reflectă caracterul interdisciplinar al
învăţământului. Se impune o corelare mai bună a programelor disciplinelor
tehnice cu programa de matematică.
De cele mai multe ori, matematica devansează teoretic celelalte ştiinţe,
deschizând drumuri, construind modele. Matematica oferă support teoretic
72
pentru multe discipline : fizică, chimie, biologie . O ecuaţie matematica poate
fi o lege in chimie sau fizica. Proporţiile, funcţiile trigonometrice, ca si alte
abstractizări ale matematicii se întâlnesc în fizică şi chimie la orice pas pentru
descifrarea tainelor naturii.
“Interdisciplinaritatea este o forma a cooperarii intre discipline
diferite cu privire la o problematica a carei complexitate nu poate fi
surprinsa decat printr-o convergenta si o combinare prudenta a mai
multor puncte de vedere.”
(C.Cucos,1996)
Pentru a utiliza această metodă , profesorul trebuie să cunoască bine şi
altă disciplină decât cea pe care o predă, să cunoască programele şcolare
corespunzătoare disciplinelor respective şi să găsească aplicaţii interesante ce
utilizează noţiuni de la mai multe materii.
Multe noţiuni matematice pot fi mai bine înţelese dacă sunt integrate în
alte ştinţe. De exemplu matematica şi fizica pot fi predate foarte bine
interdisciplinar. Legătura dintre cele două materii este foarte veche, totuşi
pentru elevi există unele probleme în înţelegerea acestor discipline :
- mulţi elevi, unii destul de buni la matematică, nu le place totuşi
fizica şi, pe care, dacă o învaţă o fac dintr-o obligaţie ;
- alţi elevi nu înţeleg la ce le folosesc multe noţiuni teoretice din
matematică ;
Este foarte important să ştim să punem cunoştinţele de fizică în
strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, să privim evoluţia acestora
prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.
Exemplu de interdisciplinaritate :
Stabilirea modelului matematic (funcţiei empirice) al procesului de
fierberea apei , utilzând aproximarea cu polinoame Lagrange:
Considerăm tabelul următor:
73
Datele se pot obţine cu ajutorul site-ului
http://www.csgnetwork.com/h2odenscalc.html ce calculează densitatea apei
în funcţie de temperatură
Temperatura apei
(0 C)
30 60 90 120
Densitatea apei
(q Kg/m3)
995.678 983.211 965.163 942.514
Determinăm polinomul Lagrange ataşat nodurilor : x0 = 30 ; x1 = 60; x2=90;
x3 =120 şi funcţiei f(x) definită tabelar astfel:
f(x0) = 995,678 ; f(x1) = 983,211; f(x2) = 965,163; f(x3) = 942,514
Cu ajutorul programului Maple aflăm polinomul de interpolare Lagrange P(x)
astfel:
>
P(x) =0.000006049382716 x3– 0,004189444444 x2 – 0,0766277778 x +
+1001.584
Pentru a aprecia valabilitatea modelului matematic se determină valoarea
calculată a densităţii ρ* pentru temperatura T=1000 C şi se compară cu
valoarea originală , astfel :
P(100) = 958,0761, iar eroarea este : 0209,0097,9580761,958* =−=−= ρρε
Modelul matematic al densităţii în funcţie de temperatură va fi : ρ = 0.000006049382716 T3– 0,004189444444 T2 – 0,0766277778 T +
+1001.584
4.2.3.Metode interactive de grup
,,Învăţarea în grup exersează capacitatea de decizie şi de iniţiativă, dă o
notă mai personală muncii, dar şi o complementaritate mai mare aptitudinilor
74
şi talentelor, ceea ce asigură o participare mai vie, mai activă, susţinută de
foarte multe elemente de emulaţie, de stimulare reciprocă, de cooperare
fructuoasă.” (Ioan Cerghit)
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează
interacţiunea dintre minţile participanţilor, dintre personalităţele lor, ducând la
o învăţare mai activă şi cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate
determină ,,identificarea subiectului cu situaţia de învăţare în care aceste este
antrenat”, ceea ce duce la trans-formarea elevului în stăpânul propriei
transformări şi formări.
Interactivitatea presupune atât competiţia – definită drept ,,forma
motivaţională a afirmării de sine, incluzând activitatea de avansare proprie, în
care individul rivalizează cu ceilalţi pentru dobândirea unei situaţii sociale sau
a superiorităţii” - cât şi cooperarea care este o ,,activitate orientată social, în
cadrul căreia individul colaborează cu ceilalţi pentru atingerea unui ţel
comun”(Ausubel, 1981). Ele nu sunt antitetice; ambele implică un anumit
grad de interacţiune, în opoziţie cu comportamentul individual.
Avantajele interactiunii:
- în condiţiile îndeplinirii unor sarcini simple, activitatea de grup este
stimulativă, generând un comportament contagios şi o strădanie
competitivă; în rezolvarea sarcinilor complexe, rezolvarea unei
probleme, obţinerea soluţiei corecte e facilitată de emiterea de
ipoteze multiple şi variate; (D. Ausubel, 1981)
- stimulează efortul şi productivitatea individului;
- este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacităţi şi
limite, pentru autoevaluare;
- există o dinamică intergrupală cu influenţe favorabile în planul
personalităţii;
75
- subiecţii care lucrează în echipă sunt capabili să aplice şi să
sintetizeze cunoştinţele în moduri variate şi complexe, învăţând în
acelaşi timp mai temeinic decât în cazul lucrului individual;
- dezvoltă capacităţile elevilor de a lucra împreună - componentă
importantă pentru viaţă şi pentru activitatea lor profesională
viitoare.(Johnson şi Johnson,1983);
- dezvoltă inteligenţele multiple, capacităţi specifice inteligenţei
lingvistice (ce implică sensibilitatea de a vorbi şi de a scrie; include
abilitatea de a folosi efectiv limba pentru a se exprima retoric,
poetic şi pentru a-şi aminti informaţiile), inteligenţei logice-
matematice (ce constă în capacitatea de a analiza logic problemele,
de a realiza operaţii matematice şi de a investiga ştiinţific sarcinile,
de a face deducţii), inteligenţa spaţială (care se referă la
capacitatea, potenţialul de a recunoaşte şi a folosi patternurile
spaţiului; capacitatea de a crea reprezentări nu doar vizuale),
inteligenţa interpersonală (capacitatea de a înţelege intenţiile,
motivaţiile, dorinţele celorlalţi, creând oportunităţi în munca
colectivă), inteligenţa intrapersonală (capacitatea de autoîn-
ţelegere, autoapreciere corectă a propriilor sentimente, motivaţii,
temeri), inteligenţa naturalistă (care face omul capabil să
recunoască, să clasifice şi să se inspire din mediul înconjurător),
inteligenţa morală (preocupată de reguli,comportament, atitudini) –
Gardner H. – 1993;
- stimulează şi dezvoltă capacităţi cognitive complexe (gândirea
divergentă, gândirea critică, gândirea laterală – capacitatea de a
privi şi a cerceta lucrurile în alt mod, de a relaxa controlul gândirii);
- munca în grup permite împărţirea sarcinilor şi responsabilităţilor în
părţi mult mai uşor de realizat;
76
- timpul de soluţionare a problemelor este de cele mai multe ori mai
scurt în cazul lucrului în grup decât atunci când se încearcă găsirea
rezolvărilor pe cont propriu;
- cu o dirijare adecvată, învăţarea prin cooperare dezvoltă şi
diversifică
priceperile, capacităţile şi deprinderile sociale ale elevilor;
- interrelaţiile dintre membrii grupului, emulaţia, sporeşte interesul
pentru o temă sau o sarcină dată, motivând elevii pentru învăţare;
- lucrul în echipă oferă elevilor posibilitatea de a-şi împărtăşi
părerile, experienţa, ideile, strategiile personale de lucru,
informaţiile;
- se reduce la minim fenomenul blocajului emoţional al creativităţii;
- grupul dă un sentiment de încredere, de siguranţă, antrenare
reciprocă a membrilor ce duce la dispariţia fricii de eşec şi curajul
de a-şi asuma riscul;
- interacţiunea colectivă are ca efect şi “educarea stăpânirii de sine şi
a unui comportament tolerant faţă de opiniile celorlalţi, înfrângerea
subiecti-vismului şi acceptarea gândirii colective” (Crenguţa L.
Oprea, 2000, p. 47)
Clasificarea metodelor şi tehnicilor interactive de grup:
După funcţia didactică principală putem clasifica metodele şi tehnicile
interactive de grup astfel:
1.Metode de predare-învăţare interactivă în grup:
- Metoda predării/învăţării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);
- Metoda Jigsaw (Mozaicul);
- STAD (Student Teams Achievement Division) – Metoda învăţării pe
grupe mici;
- Ştiu / vreau să ştiu / am învăţat;
77
- Metoda schimbării perechii (Share-Pair Circles);
- Metoda piramidei;
- Învăţarea dramatizată;
2.Metode de fixare şi sistematizare a cunoştinţelor şi de verificare
interactivă în grup:
- Harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive map, Conceptual map);
- Matricele;
- Lanţurile cognitive;
- Fishbone maps (scheletul de peşte);
- Diagrama cauzelor şi a efectului;
- Pânza de păianjăn ( Spider map – Webs);
- Tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
- Metoda R.A.I. ;
- Cartonaşele luminoase;
3.Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativităţii:
- Brainstorming;
- Starbursting (Explozia stelară);
- Metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);
- Caruselul;
- Multi-voting;
- Masa rotundă;
- Interviul de grup;
- Studiul de caz;
- Incidentul critic;
4.Metode de cercetare în grup:
- Tema sau proiectul de cercetare în grup;
- Experimentul pe echipe;
- Portofoliul de grup.
78
În cele ce urmează , vom detalia câteva din aceste metode (pe care le
consider mai importante) şi cum le-am aplicat la clasă.
1. Metoda predării/Învăţării reciproce
Prin această metodă, elevii sunt puşi în situaţia de a fi ei profesori, de a
explica colegilor rezolvarea unor probleme.
Am utilizat această metodă astfel: la clasa a VII-a la sfârşitul unităţii de
învăţare: ,,Formule de calcul prescurtat”, elevii au primit un test de evaluare.
În funcţie de rezultatele acestui test, am împărţit clasa în două părţi: elevii
care au obţinut rezultate bune şi cei care nu au obţinut rezultate bune la acest
test. În urma unei trageri la sorţi s-au format grupe de câte doi elevi, câte un
elev din fiecare parte. Elevul-profesor are sarcina de a-l învăţa pe elevul
celălalt toate noţiunile pe care acesta nu le-a stăpânit. După o perioadă s-a
trecut la verificarea elevilor-elevi şi în funcţie de rezultatele acestora, au fost
notaţi.
Am constatat în urma verificărilor că aproape toţi elevii şi-au însuşit
noţiunile respective. Elevii au lucrat împreună şi acasă , ceea ce în mod
obişnuit nu o fac. Chiar şi elevii din prima grupă mi-au marturisit că au înţeles
aceste noţiuni mult mai bine.
Dezavantajul constă în faptul că nu toţi elevii sunt interesaţi de această
metodă , mai ales cei din a doua grupă.
2. Metoda mozaicului (Jigsaw)
Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert.
Profesorul stabileşte o temă ce poate fi împărţină în 4-5 sub-teme. Se
organizează clasa în echipe de câte 4-5 elevi, fiecare dintre aceştia primind
câte o fişă de învăţare numerotată de la 1 la 4. Fişele cuprind părţi ale unui
material, ce urmează a fi înţeles şi discutat de către elevi. Se prezintă succint
subiectul de tratat şi se explică sarcinile de lucru şi modul în care se va
desfăşura activitatea.
79
Fiecare elev studiază sub-tema lui, acest lucru poate fi efectuat în clasă sau
poate constitui o temă de casă. După ce au parcurs faza de lucru indepentent,
experţii cu acelaşi număr se reunesc, constituind grupuri de experţi. Elevii
prezintă un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc
discuţii pe baza datelor şi a materialelor avute la dispoziţie, se adaugă
elemente noi şi se stabileşte modalitatea în care noile cunoştinţe vor fi
transmise şi celorlalţi membrii din echipa iniţială. Experţii transmit
cunostinţele asimilate, reţinând la rândul lor cunoştinţele pe care le transmit
colegii lor, experţi în alte sub-teme.
Grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata
să demonstreze ce au învăţat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un
raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fişă de evaluare.
Metoda mozaicului are avantajul că implică toţi elevii în activitate şi că
fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învăţare, cât şi pentru
învăţarea celorlalţi. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu
rămâneri în urmă: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în ,,profesori” le
conferă un ascendent moral asupra colegilor.
3. Metoda LOTUS-FLOAREA DE NUFAR
Se dă problema sau tema centrală care se va scrie in mijlocul
tablei/plansei. Se cere copiilor sa se gandeasca la ideile sau aplicatiile legate
de tema centrală;
Ideile copiilor se trec în cele 8 “petale”,de la A la H,in sensul acelor de
ceasornic. Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme centrale pentru alte cate
8”petale”;
4. Metoda Brainstorming
Această metodă înseamnă formularea a cât mai multor idei-oricât de
fanteziste ar putea părea acestea – ca răspuns la o situaţie enunţată, după
principul cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a
ajunge la idei viabile şi inedite este necesară o productivitate cât mai mare.
80
La matematică această metodă poate fi aplicată astfel: se alege o sarcină
de lucru (rezolvarea unei probleme) şi se solicită exprimarea tuturor ideilor
legate de rezolvarea problemei. Toţi elevii trebuie să formuleze o idee
referitoare la subiectul propus şi se scriu toate aceste idei pe tablă. Se face o
pauză pentru aşezarea ideilor, după care se reiau ideile emise, pe rând, şi se
grupează pe categorii, simboluri etc. Se selectează ideile originale sau cele
mai apropiate de soluţii şi se pune accent pe acestea.
Avantajul acestei metode constă în faptul că toţi elevii sunt implicaţi în
sarcina de lucru şi se obţin uşor ideile noi şi soluţiile rezolvitoare.
Dezavantajele brainstormigului constau în faptul că oferă doar soluţii
posibile şi nu realizarea efectivă, uneori poate fi prea obositor sau prea
solicitant pentru unii participanţi.
5. Metoda proiectului
Metoda proiectului înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a
colectării şi prelucrării unor date referitoare la o temă anterior fixată.
Proiectul este activitatea cel mai pregnant centrată pe elev, el
încurajează cel mai bine abordarea integrată a învăţării: elevilor li se creează
ocazia de a folosi, în mod unitar, cunoştinţe şi tehnici de lucru dobândite la
mai multe discipline.
Elevilor de clasa a VIII-a, spre exemplu, li se cere realizarea unui
proiect despre un corp geometric studiat anterior. Acesta constă în obţinerea
de informaţii teoretice cu privire la corpul respectiv: definiţii, clasificări,
desen, formule; în aplicarea informaţiilor teoretice în aplicaţii practice,
precum şi realizarea modelului corpului respectiv din diferite materiale (lemn,
carton, fier).
Avantajul constă în faptul că elevii înţeleg mai bine noţiunile despre
corpul respectiv, observă utilitatea noţiunilor predate şi modelele corpurilor
realizate de elevi sunt utilizate mai târziu la alte clase (astfel obţinându-se
material didactic – unele corpuri astfel realizate sunt chiar excepţionale).
81
6. Metoda ştiu/vreau să ştiu/am învăţat
Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă se trece în revistă ceea ce elevii
ştiu deja despre o anumită temă şi apoi se formulează întrebătri le care se
aşteptă găsirea răspunsului în lecţie.
Pentru început li se cere elevilor să facă o listă cu tot ce ştiu despre tema
ce urmează a fi discutată, iar profesorul construieşte pe tablă un tabel cu
uirmătoarele coloane: ştiu/vreau să ştiu/am învăţat, cum este cel de mai jos:
ŞTIU
(Ce credem că ştim)
VREAU SĂ ŞTIU
(Ce vrem să ştim)
AM ÎNVĂŢAT
(Ce am învăţat)
Profesorul cere perechilor să spună ce au scris şi notează în coloana din
stânga informaţiile cu care tot grupul este de acord.
Folosind aceeaşi metodă elevii vor elabora o listă de întrebări.
Profesorul notează în a doua coloană a tabelului întrebările. Aceste
întrebări vor evidenţia nevoile de învăţare ale elevilor în legătură cu tema
abordată.
Elevii citesc textul individual sau cu un coleg sau profesorul îl citeşte
elevilor.
După lectura textului, se revine asupra întrebărilor formulate în a doua
coloană, se constată la care s-au gasit răspunsurile în text şi se trec în coloana
“Am învăţat”.
Elevii vor face comparaţie între ceea ce ei cunoşteau deja despre tema
abordată, tipul şi conţinutul întrebărilor pe care le-au formulat şi ceea ce ei au
învăţat prin lecturarea textelor.
Elevii vor discuta care din întrebările lor au găsit răspuns prin
informaţiile furnizate de text şi care dintre ele încă necesită un răspuns.
Profesorul discută cu elevii unde ar putea căuta respectivele informaţii.
82
7. Prelegerea – din perspectivă modernă
Prelegerea este fără îndoială cea mai frecventă alegere într-o abordare
tradiţională. Această abordare este de obicei puţin eficientă pentru învăţare.
Cu puţină ,sare şi piper” prelegerea poate fi recondiţionată însă, şi introdusă
într-un demers didactic modern, centrat pe achiziţiile elevului. Din această
perspectivă, profesorul trebuie să se ocupe de:
• stimularea interesului elevilor prin :
- intrarea în prelegere prin intermediul unei poante, poveşti, imagini
captivante şi în deplină relaţie cu ceea ce urmează să fie predat prin
intermediul prelegerii;
- prezentarea unei probleme/studiu de caz pe care se focalizează
prezentarea;
- lansarea unei întrebări incitante (astfel încât elevii să fie atenţi la
prelegere pentru a afla răspunsul).
• aprofundarea înţelegerii elevilor prin :
- folosirea de exemple şi analogii pe parcursul prezentării;
- dublarea verbalului cu alte coduri (oferirea de imagini, prezentarea
cu ajutorul videoproiectorului)
• implicarea elevilor pe parcursul prelegerii prin întreruperea
prelegerii
- pentru a incita elevii se vor oferii exemple, analogii, experienţe
personale
- pentru a da răspunsuri la diferite întrebări
• evitarea unui punct final la final !
- încheierea prelegerii prin intermediul unei probleme/aplicaţii care
urmează să fie rezolvate de elevi
- solicitarea elevilor pentru a rezuma cele prezentate sau pentru a
concluziona.
83
4.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
La orele de matematică, una din activităţile principale constă în
rezolvarea de probleme.
,,A avea (sau a-ţi pune) o problemă înseamnă a căuta, în mod conştient,
o acţiune adecvată pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat
accesibil. A rezolva o problemă înseamnă a găsi o astfel de acţiune.”(G.Polya)
O problemă prezintă un anumit grad de dificultate. Dacă ne raportăm
doar la experienţa celui care este pus să rezolve o problemă dată, o aceeaşi
problemă poate fi uşoară sau dificilă.
Activitatea de rezolvare a problemelor trebuie concepută într-un demers
de explorare-investigare; dincolo de obţinerea rezultatului, este mult mai
important procesul, modul în care rezolvitorul ajunge la capăt. Este de
preferat un elev care încearcă, fără succes, să abordeze o problemă,
conştientizând fiecare pas făcut, decât un elev care aplică o schemă sau un
algoritm, pe care nu le poate explica logic în niciun fel.
Conform lui G.Polya, găsirea drumului către rezolvarea unei probleme
evoluează pe patru stadii diferite:
- Primul stadiu este cel al imaginii . La acest stadiu, reprezentarea
grafică a problemei evoluează în mintea rezolvitorului, care se
concentrează asupra diverselor părţi componente sau detalii ale
acesteia. Uneori este recomandat să se realizeze mai multe
reprezentări grafice, din diferite unghiuri.
- Al doilea stadiu este cel al relaţiilor . Prin acest nivel, întrebările
semnificative sunt: ,,Ce putem deduce din ipoteză?, ,,Din ce rezultă
concluzia?
- Al treilea stadiu este cel matematic. Acesta constă în aplicarea unor
rezultate/formule ce leagă între ele datele problemei.
84
- Al patrulea stadiu este cel euristic. Acest stadiu se concretizează
prin întrebările: Ce ni se dă? , Ce ni se cere?, Cum putem obţine
acest ,,lucru “ din datele problemei?, Este rezolvarea completă?
Stadiul euristic poate conduce la scheme de rezolvare a problemelor. De
aceea , este bine ca acest stadiu să fie evidenţiat de fiecare dată, prin
realizarea unui ,,rezumat” a paşilor de rezolvare a problemei.
Deprinderea de a rezolva probleme nu se formează de la sine. Avem în
vedere aici acea deprindere ce determină la elev perseverenţă în rezolvare,
căutarea alternativei, manifestarea unui spirit critic şi autocritic.
În cele ce urmează, prezentăm câteva metode de rezolvare a
problemelor:
1. Recurgerea la situaţii problemă
În afară de factorii externi (examene, note), elevul este motivat de
înţelegerea necesităţii practice a ceea ce învaţă. De aceea, este indicat ca, din
când în când, să propunem spre rezolvare o situaţie problemă. În acst fel
elevii fac legătura cu viaţa cotidiană, realizează un model matematic şi
evaluează soluţia obţinută.
Exemplu: Se propune spre rezolvare o situaţie problemă : Determinarea
costurilor totale pentru construcţia unei case.
Determinarea costurilor totale pentru construcţia clădirii va fi realizată rezolvând
mai multor probleme practice:
- realizarea planului casei (intervin noţiuni de lungimi, perimetru, arie)
- calcularea volumului necesar de beton pentru fundaţie şi costul total (intervin noţiuni de
volum, mărimi direct proporţionale)
- calcularea numărului de cărămizi necesar zidurilor şi preţul lor (intervin noţiuni de
volum)
- determinarea preţului acoperişului (intervin noţiuni de relaţii metrice în triunghiul
dreptunghic şi de arii).
2. Utilizarea schemelor de rezolvare
85
Pentru unele tipuri de probleme, este util să se indice elevilor scheme de
rezolvare. Aceste scheme se pot realiza sub diverse forme: algoritm, scheme
logice etc.
Exemplu: Rezolvarea ecuaţiilor
3. Învăţarea structurată
Această metodă presupune parcurgerea a patru paşi de rezolvare, ce
vizează: familiarizarea cu subiectul propus, construirea rezolvării, aplicarea
unui enunţ asemănător, transferul în alt context al metodelor învăţate.
4. Metoda construcţiilor geometrice
Construcţiile geometrice pot fi utilizate, nu numai pentru problemele de
geometrie, ele pot fi utilizate şi pentru înţelegerea unor situaţii în care nu este
indicat utilizarea unor demonstraţii.
Exemplu: Pentru lecţia ,,cazurile de congruenţă” de la clasa a VI-a este
recomandată folosirea construcţiilor geometrice. Astfel elevii vor desena un
triunghi având diferite dimensiuni, după care vor decupa triunghiul desenat.
Elevii vor compara triunghiurile obţinute şi vor observa că se suprapun.
Este recomandat ca în rezolvarea problemelor să se realizeze un desen
cât mai corect (în care sunt respectate datele problemei), măsurarea (pe desen)
a mărimilor cerute în problemă şi compararea valorilor obţinute prin măsurare
şi prin calcul.
4.4. UTILIZAREA INTERPOLĂRII ÎN REZOLVAREA
UNOR PROBLEME
Interpolarea funcţiilor nu face parte din programa din învăţământul
preuniversitar, dar unele aplicaţii ale interpolării funcţiilor pot fi utilizate la
clasă (mai ales la cercurile pentru elevi sau la pregătirea pentru Olimpiada de
matematică). În programa de olimpiadă de matematică pentru clasa a X – a
sunt trecute la conţinuturi şi polinoame de interpolare. În manualul de
86
matematică de clasa a XII-a sunt folosite noţiunile de interpolare în capitolul:
Calculul aproximativ al integralei definite .
4.4.1. Exerciţiu : Folosind formula de interpolare ascendentă a lui Newton,
să se determine suma puterilor primelor n numere naturale:
a) Sn1 = 1+2+3+4+……………+n
b) Sn2 = 12 + 22 + 32 + ………+ n2
c) Sn3 = 13 + 23 + 33 + ………+ n3
Rezolvare : Notăm S1(n) = 1+2+3+4+……………+n ;
S2(n) = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 ;
S3(n) = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 .
Folosind formula de interpolare ascendentă a lui Newton (1.15)
( ) ( )( )
( )( ) ( )0
03
02
000
!
1....21.......................
..........!3
21
!2
1)()(
Sn
n
SSSxfhxS
n
n
∆+−−−
+
+∆−−
+∆−
+∆⋅+=⋅+
αααα
ααααααα
dacă x0 = 1 , h = 1 , xn = n , 110 −=−=−
= nxh
xxα .
Atunci :
( ) ( )( )
( )( )0
03
02
0
!
1....32)1(.......................
..........!3
32)1(
!2
2)1()1(1
Sn
nnn
Snnn
Snn
SnS
n
n
∆−−−
+
+∆−−−
+∆−−
+∆⋅−+=
a) Pentru suma S1(n) = 1+2+3+4+……………+n avem tabelul următor :
k xk Sk1 ∆Sk
1 ∆2Sk1 ∆3Sk
1
0 1 1 2 1 0
1 2 3 3 1
2 3 6 4
3 4 10
Atunci :
87
( ) ( ) ( )
2
)1(
22
23442
2
2)1(1421
!2
2)1(2)1(1
22
1
+=
+=
+−+−+=
=−−+−+
=⋅−−
+⋅−+=
nnnnnnn
nnnnnnS n
b) Pentru suma S2(n) = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 avem tabelul următor :
k xk Sk2 ∆Sk
2 ∆2Sk2 ∆3Sk
2 ∆4Sk2
0 1 1 4 5 2 0
1 2 5 9 7 2
2 3 14 16 9
3 4 30 25
4 5 55
Atunci :
( )
6
)12)(1(6
32
6
)3)(2)(1(2)2)(1(1524246
26
)3)(2)(1(5
!2
2)1(4)1(1
23
2
++=
=++
=−−−+−−+−+
=
=⋅−−−
+⋅−−
+⋅−+=
nnn
nnnnnnnnn
nnnnnnS n
Deci Sn2 = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 =
6
)12)(1( ++ nnn .
d) Pentru suma S3(n) = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 avem tabelul următor :
k xk Sk3 ∆Sk
3 ∆2Sk3 ∆3Sk
3 ∆4Sk3 ∆5Sk
3
0 1 1 8 19 18 6 0
1 2 9 27 37 24 6
2 3 36 64 61 30
3 4 100 125 91
4 5 225 216
5 6 441
88
Atunci : ( )
4
)1(
4
)12(
4
)6116)(4()6116(12)23(3832324
624
)4)(3)(2)(1(18
6
)3)(2)(1(19
!2
2)1(8)1(1
2222
23232
3
+=
++=
=−+−−+−+−++−+−+
=
−−−−+
−−−+
−−+−+=
nnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnSn
Deci Sn3 = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 =
4
)1( 22 +nn .
4.4.2. Exerciţiu : Fie f : [-5; 5] → R , definită prin : 1
1)(
2 +=
xxf .
Aproximaţi funcţia prin polinoame Lagrange, respectiv funcţii spline
utilizând noduri echidistante, respectiv noduri Cebâşev.
Datorită complexităţii calculelor creăm în Maple o procedură de calcul
a polinomului de interpolare Lagrange :
> (introducem funcţia 1
1)(
2 +=
xxf )
I. În cazul nodurilor echidistante avem :
1) n=3 ;
>
89
>
2) n=6 ;
>
>
3) n=9 ;
>
>
Legendă: Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul polinomului de interpolare corespunzător funcţiei f(x) cu 4 noduri echidistante
Legendă:
Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul polinomului de interpolare
corespunzător funcţiei f(x) cu 7 noduri echidistante
90
4) n=18 ;
>
>
Legendă:
Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul polinomului de interpolare
corespunzător funcţiei f(x)
91
Observaţie : Se constată o aproximare din ce în ce mai bună în centrul
intervalului, o dată cu cresterea numărului de noduri şi apariţia efectului de
bord
II. În cazul nodurilor Cebâşev avem :
1) pentru n=3 >
>
92
2) n = 6 >
>
3) n = 9 >
93
>
4) n= 18 >
>
94
Observaţie: În cazul interpolării cu noduri Cabâşev se constată o aproximare
mai bună , o dată cu creşterea numărului de noduri , precum şi dispariţia
efectului de bord.
III. În cazul interpolării cu funcţii spline cubice naturale avem :
1) n=3;
>
Legendă:
Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul polinomului de interpolare
corespunzător funcţiei f(x) cu 19 noduri Cebasev
95
>
2) n = 9 ;
>
>
3) n=18 ;
>
Legendă:
Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul funcţiei spline cubică cu 4
noduri corespunzătoare funcţiei f(x)
Legendă:
Graficul funcţiei
1
1)(
2 +=
xxf
Graficul funcţiei spline cubică cu 10
noduri corespunzătoare funcţiei f(x)
96
> Funcţia spline afişată de program este prea complicată şi prea lungă pentru a
fi introdusă în lucrare.
Graficul funcţiei f(x) şi a funcţiei spline ataşată funcţiei f(x) este următorul:
Concluzie : Se observă că cea mai bună aproximare se obţine la interpolarea
cu funcţii spline şi cu un număr de noduri cât mai mare.
97
BIBLIOGRAFIE
1. Ghe Babescu, A. Kovacs, I. Stan, Ghe. Tudor, R. Anghelescu, A.
Filipescu – Analiză Numerică , Ed. Politehnică Timişoara - 2000
2. Ş. Balint, L. Brăescu, N. Bonchiş – Metode Numerice – Timişoara
2007
3. C. Berbente, S. Miron, S.Zancu – Metode Numerice – Ed. Tehnică
1998
4. T.A. Beu – Calcul Numeric în C – Ed. Albastră – Cluj Napoca 2000
5. O.A.. Blăjină – MAPLE în matematica asistată de calculator –
Grupul Microinformatica Cluj Napoca 2001
6. N. Boboc, I. Colojoară – Elemente de analiză matematică –manual
pentru clasa a XII-a - Ed. Didactică şi Pedagogică 1990
7. D. Brânzei, R. Brânzei – Metodica predării matematicii – Ed.
Paralela 45 - 2005
8. M. R. Buneci – Metode Numerice – Ed. Academica Brâncuşi –
Târgu Jiu 2003
9. A. Hadăr, C. Marin, C. Petre, A. Voicu – Metode Numerice în
inginerie – Ed. Politehnica Press 2004
10. S. Mariş, L. Brăescu – Metode Numerice – Probleme de seminar şi
lucrări de laborator – Timişoara 2007
11. Ghe. Micula – Funcţii Spline şi aplicaţii – Ed. Tehnică , Bucureşti
1978
12. Module pentru dezvoltarea profesională a personalului didactic –
Ed. Educaţia 2000+ , 2005
13. C.V. Muraru – Matlab – Ghid de studiu – Ed. EduSoft, 2006
14. C.P. Nicolescu – Analiză Matematică – Ed. Albatros, 1987
15. I. Radomir, A. Fulga – Analiză Matematică – Culegere de
probleme, Ed. Albastră, 2005
98
16. Gh. Sireţchi – Calcul diferenţial şi integral – Ed. Ştiinţifică şi
enciclopedică, 1985
17. R.T. Trâmbiţaş – Analiză numerică- o introducere bazată pe
Matlab – Cluj Napoca, 2005
18. R.T. Trânbiţaş – Culegere de probleme de analiză numerică – Cluj
Napoca, 2008
19. http://www.wolfram.com