CUPRINS

UNIVERSITATEA DIN BUCURETI

FACULTATEA DE PSIHOLOGIE I TIINELE EDUCAIEIDEPARTAMENTUL PENTRU FORMAREA PROFESORILORFILIALA FOCANI

LUCRARE METODICO TIINIFIC PENTRU OBINEREA GRADULUI DIDACTIC I

N NVMNTCOORDONATOR TIINIFIC:

Prof. Gr. I Drd. Brdu Apostol

CANDIDAT:

Profesornv. primar: Venin (Vulpe) A. Aurelia

coalacu clasele I IV Galbeni

Tnsoaia, VranceaFOCANI2012

UNIVERSITATEA DIN BUCURETI

FACULTATEA DE PSIHOLOGIE I TIINELE EDUCAIEI

DEPARTAMENTUL PENTRU FORMAREA PROFESORILOR

FILIALA FOCANI

VALENE FORMATIVE ALE ACTIVITII DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR DE MATEMATIC DIN

CICLUL PRIMAR

MOTTO: Matematica, n sensul cel mai larg, este dezvoltarea tuturor tipurilor

de raionament formal, necesar i deductiv.

(Alfred North Whitehead)

CUPRINSIntroducere - Probleme psihopedagogice privind dezvoltarea capacitii intelectualea copilului de varst colar...5Capitolul I. Familiarizarea elevilor cu metode i tehnici de munca intelectual.9Capitolul II. Metodologia rezolvrii problemelor simple i compuse2.1. Noiunea de problem i etapele rezolvrii ei.132.2. Criterii de clasificare a problemelor de aritmetic.232.3. Probleme simple. Probleme compuse........................................................................262.3.1. Rezolvarea problemelor simple..262.3.2. Rezolvarea problemelor compuse...30Capitolul III. Metode de rezolvare a problemelor3.1. Metoda analitic. Metoda sintetic.............................................................................333.2. Descompunerea unei probleme compuse n probleme simple........................................403.3. Probleme care se rezolv prin metoda grafic (figurativ).........................................453.4. Probleme distractive i de perspicacitate.513.5. Formarea la elevi a deprinderii de a formula probleme simple i compuse...53Capitolul IV. Cultivarea creativitii elevilor prin rezolvare i compunerede probleme activiti experimentale.....................................................................56Capitolul V. Metodologia cercetarii5.1. Motivaia alegerii temei....715.2. Obiectivele cercetrii.725.3. Ipoteza cercetrii......725.4. Descrierea cercetrii...735.5. Prezentarea datelor cercetrii. Etapa post-testului. Interpretarea rezultatelor...80Concluzii...83Anex (Culegere de probleme)..........86Bibliografie.89

INTRODUCEREPROBLEME PSIHOPEDAGOGICEPRIVIND DEZVOLTAREA CAPACITII INTELECTUALE A COPILULUI DE VRST COLARUna din funciile educative este aceea de selectare i transmitere a valorilor de la societate la individ. Se realizeaz n acest fel un proces de adaptare care, dup J. Piaget, se caracterizeaz printr-un echilibru ntre asimilare i acomodare, prima viznd relaia individ - mediu, iar cealalt reciproca ei, mediu - individ. Cunoaterea, una din formele superioare ale adaptrii, este un proces activ prin care individul intervine n transformarea realitii potrivit unor cerine i conduite formate anterior (asimilarea), modificandu-i ns aceste conduite i aciuni, elabornd scheme asimilatorii tot mai complexe n conformitate cu noile cerine fa de el (acomodare). Prin aceast funcie educaia orienteaz i conduce procesul adaptrii. Mediul la care se raporteaz este construit din totalitatea valorilor sociale elaborate i incorporate n cultura societii. O parte din sfera valorilor sociale este rezervat valorilor tiinifice i umaniste. Educaia intelectual se refer tocmai la aceste valori.Pe baza celor de mai sus putem considera c educaia intelectual este acea component a aciunii educaionale care, prin intermediul valorilor tiinifice i umaniste pe care le prelucreaz i vehiculeaz, contribuie la formarea i dezvoltarea tuturor capacitilor intelectuale, funciilor cognitive i instrumentale, schemelor asimilatorii, structurilor operatorii, precum i a tuturor mobilurilor care declaneaz, orienteaz i ntreine activitatea obiectului educaional ndreptat n aceast direcie.Analiznd cele afirmate mai sus, putem desprinde dou aspecte fundamentale i complementare ale educaiei intelectuale: unul informativ, care se refer la cantitatea i calitatea informaiei tiinifice i umaniste ce are n vedere efectele asimilrii acestei informaii asupra intelectului uman n dezvoltarea sa. Dup modul n care a fost interpretat relaia dintre cele dou aspecte pe plan istoric s-au conturat dou teorii pedagogice diametral opuse: teoria culturii materiale i teoria culturii formale (culturist i formatist). Potrivit primei teorii, ce se intemeiaz pe tezele psihologiei asociaioniste, important este ca prin educaia intelectual s se acumuleze o cantitate ct mai mare de cunotine care s-i ofere omului posibilitatea de a raspunde solicitarilor externe pe baza unor simple asociaii de idei. Cu ct cineva posed o cantitate mai mare de cunotine, cu att posibilitatea de asociere dintre ele este mai mare, rspunsurile pe care le d fiind mai pronunate i mai sigure. Scopul educaiei intelectuale s-ar reduce la asimilarea unui volum ct mai mare de cunotine i la formarea capacitii de asociere ntre idei.Adepii celeilalte concepii, formatist, consider c preocuparea fundamental a educaiei intelectuale trebuie s fie ndrumarea i stimularea dezvoltarii intelectuale, exersarea acesteia n vederea nzestrrii ei cu capaciti necesare asimilrii ulterioare a cunotinelor necesare omului n activitatea pe care o desfasoar. Important este nu ceea ce ofer informaia pe care o transmite, ci faptul dac prin predare cultivm capacitile intelectuale ale copilului.Dup cum se poate observa, ambele teorii restrng i unilateralizeaz conceptul educaiei intelectuale, interpretnd totodat deformat relaia dintre asimilarea cunotinelor i dezvoltarea intelectual, impunndu-se concepia potrivit creia aceast dezvoltare este rezultanta asimilrii active i creatoare a unor cunotine selecionate n mod adecvat.Din esena educaiei intelectuale desprindem dou sarcini ale acesteia: informarea intelectual i formarea intelectual.Informarea intelectual const n transmiterea i asimilarea valorilor tiinifice i umaniste prelucrate n conformitate cu anumite priceperi i norme didactice sau ordonate anumit cu scopul de a facilita inelegerea i nsuirea lor. Accelerarea ritmului de dezvoltare, specific societii contemporane, se manifest prin aa-zisa explozie informaional, rezultat al creterii exponeniale a cunotinelor umane.Aceasta cretere cantitativ este nsoit de restructurri profunde n interiorul diferitelor tiine, precum i n relaiile dintre ele. Tradiionala deosebire dintre tiinele naturii i cele socio-umane tinde s se atenueze datorit relaiilor interdisciplinare dintre ele.Explozia informaional, cu atributele ei cantitative i calitative, are repercursiuni profunde pe plan pedagogic nu numai prin problemele pe care le ridic, ci mai ales prin soluiile pe care le reclam. Teoriei educaiei intelectuale i revine misiunea de a elucida asemenea fenomene, orientnd aciunea educaional practic.Referitor la informarea intelectual, din punct de vedere pedagogic, se ridic trei ntebari: ct, ce i cum s se transmit. Sunt ntrebri corelative care vizeaz, pe de o parte operaia de selectare a valorilor tiinifice i umaniste din ansamblul celor acumulate la nivel social, iar pe de alt parte, operaia de transmitere care o implic i pe cea de asimilare. Un raspuns universal i general valabil la aceste ntrebari nu este posibil avnd n vedere multitudinea i varietatea parametrilor ce trebuie s-i avem n vedere: sociali, pedagogici i psihologici.Informarea intelectual trebuie s fie n concordan cu cerinele idealului educional, aceasta nseamn c vor fi selcionate i transmise acele cunotine care faciliteaz formarea integral-vocaional i creativ a personaliti prin asigurarea unor proporii adecvate i un echilibru ntre diferite categorii de cunotine: realiste, teoretice, practice, fundamentale, aplicative, de cultur general, de specialitate, opionale, facultative. Evident c aceste proporii se prezint difereniat de la un tip de coal la altul i de la un nivel la altul. Echilibrul ce rezult trebuie s asigure, totodat, anumite relaii ntre aceste cunotine i implicit ntre disciplinele ce care corespund.Stabilirea unor legturi ntre diferite domenii ale cunoaterii nu se reduce la ordonarea lor dup nite criterii logice, important fiind semnificaia pe care o au aceste cunostine pentru nlelegerea realitii. Informarea intelectual trebuie s fie n concordan i s asigure formarea unei viziuni interdisciplinare care s-i ofere omului posibilitatea unei nelegeri mai profunde a realitii. Din punct de vedere psihologic ne intereseaz ce se ntampl cu aceste cunotine n procesul de transmitere i asimilare a lor. Noile cunotine nsuite vor trebui s permit individului posibilitatea asimilrii altora n etapele urmtoare. Avem de-a face, n acest caz, cu ceea ce psihologii numesc transfer. Dup coninutul su se pot distinge dou modaliti de realizare a transferului: transfer specific i transfer nespecific.Transferul specific const n aplicarea celor invate la rezolvarea unor sarcini asemntoare cu cele nvate anterior. Acest transfer nu este altceva dect o extindere a aplicrii deprinderilor i asociaiilor la cazuri noi, relativ identice cu cele iniiale. Folosirea algoritmilor n procesul nvrii este tot o form a transferului specific.Transferul nespecific const n posibiltatea rezolvrii unei sarcini ulterioare cu ajutorul ideilor generale sau a principiilor asimilate anterior. Astfel spus sarcinile ulterioare devin cazuri particulare ale unei idei generale nsuite deja. Transpus n procesul de nvmnt, acesta nseamn c n cadrul fiecrui obiect accentul urmeaz s se pun pe nsuirea i aprofundarea ideilor i conceptelor cele mai generale.,,Cu ct noiunea nsuit este mai important, mai de baz, cu att mai larg - aproape prin definie - va fi aplicabilitatea ei la noile probleme." (J.S.Bruner)Este cunoscut faptul ca fiecare obiect de nvmnt posed o structur proprie, al carei nucleu este construit dintr-un numr diferit de concepte sau idei fundamentale care constituie canavaua pe care se vor grefa toate celelalte cunotine. Am putea denumi acest nucleu de idei matricea conceptual de baza a obiectului respectiv.,,Stpnirea ideilor fundamentale ntr-un domeniu implic nu numai asimilarea principiilor generale, dar i dezvoltarea unei atitudini favorabile fa de nvtur i cercetare, fa de ipoteze i intuiii, fa de posibililatea de a rezolva problemele ce apar n viaa cuiva". (J.S.Bruner)Cunotinele utile nu reprezint altceva dect tocmai structura general a obiectivului respectiv ce se concentreaz tot mai mult n jurul matricei conceptuale de baz. Deci, una din sarcinile pedagogiei contemporane este aceea a integrrii cunotinele noi n ansamblul constituit al cunotinelor deja achiziionate i a simplificrii i sistematizrii concomitente a domeniului cunotinlelor utile. Urmeaz ca informarea intelectual s fie orientat n aceasta direce, ncepnd cu elaborarea documentelor colare, care constituie coninutul aceslei informri i terminnd cu organizarea procesului de nvtmnt unde se realizeaz asimilarea celor selectate. Dac selecia se face n mod cumulativ prin simpla adugare i ncrcare continu a programelor, se ajunge la o dereglare a logicii didactice i implicit la frnarea procesului de asimilare prin apariia unor fenomene negative cum ar fi: suprancarcarea cu efectele ei, oboseal, surmenajul, atenuarea interesului, apariia motivelor negative, superficialitatea. Dac selecia se face n mod integrativ, prin comprimarea i eliminarea unor cunotine n favoarea altora mai generate, ne nscriem pe linia perfecionrii logicii educaiei i a relaiei ei cu logica social.,,Niciun regret nu trebuie s avem pentru mpuinarea numeric a cunotinelor acumulate n creier: nu e semn de srcie. Nici dac sunt mai puine, capacitatea lor general este mult mai mare." (J.S.Bruner)Rezult, deci, c n cadrul informrii intelectuale calitatea trece pe primul plan. Principalii indici ai calitii sunt: puterea explicativ a cunointelor, nivelul lor de generalizare, locul pe care l ocup n ansamblul celorlalte cunotine.Formarea intelectual presupune stabilirea unei interaciuni nformaie subiect n vederea stimulrii transformrilor i restructurrilor psihice, a creterii capacitii de autoorganizare i de aciune a subiectului. Desprindem de aici faptul c informaia constituie un mijloc n vederea dezvoltrii maxime a tuturor proceselor i capacitilor intelectuale. Toate aceste procese i capaciti nu sunt date aprioric, predeterminate sau invariabile, ele sunt rezultatul unui proces evolutiv, rezultat al unei colaborri continue prin care se difereniaz i se nlocuiesc reciproc.Fomarea intelectual vizeaz tocmai echilibrarea intern i restructurarea acestor procese i capaciti ca formare a informaiei asimilate de subiect. Spre deosebire de concepia formativist, n cadrul creia dezvoltarea acestor componente psihice era un rezultat al maturizrii sau al unei exersri pure n afara unui coninul de informaie, concepia stiinific bazat pe descoperirile psihologiei genetice, consider acest proces ca rezultat al interaciunii dintre factorii interni i externi, informaia ce se transmite imprimnd o dinamic proprie constituirii, organizrii i echilibrrii psihice interne.Jonciunea dintre factorii interni i cei externi se realizeaz n activitate i prin activitate. Putem spune c interdependena dintre informarea intelectual i formarea intelectual se realizeaz n procesul nvrii, n care subiectul particip cu ntreaga personalitate.CAPITOLUL IFAMILIARIZAREA ELEVILOR CU METODE 1 TEHNICI DEMUNC INTELECTUALEvoluia societii contemporane impune creterea elementelor intelectuale n toate domeniile activitii profesionale. De aceea, coala se preocup tot mai mult de componenta intelectual a personalitii elevilor structura acesteia include aspecte informativ - formative i aspecte instrumental acionale. Nu ne poate fi indiferent cum asimileaz elevii informaiile i cum le prelucreaz pentru a le integra n sisteme tot mai largi.Munca instrumental presupune anumite tehnici instrumental acionale indispensabile desfaurrii ei cu un randament ridicat. Familiarizarea elevilor cu asemenea tehnici nsemn din punct de vedere pedagogic a-i nva cum s nvee. Tehnica muncii intelectuale reprezint un ansamblu de prescripii privind igiena, organizarea i metodologia muncii intelectuale, eleborat n scopul reducerii efortului i al mririi randamentului acestei munci.Acest obiectiv impune cadrului didactic o nou viziune n abordarea procesului educativ, n care predominanta devine activitatea de ,,eliberare", respectiv de pregatire a condiiilor pentru ca individul s-i elaboreze propriile tehnici de munc intelectual care s-i permit detaarea treptat de indrumare extern i angajarea tot mai intens n procesul autoeducaiei.A-i nva pe elevi cum s nvee nseamn deci, a le forma tehnici de munc intelectual, asociate cu motive intrinseci specifice acestei munci. Stpnirea acestor instrumente reprezint una din condiiile care asigur obinerea unui randament superior n procesul de nvmnt.Problemele pedagogiei care se ridica n legatur cu aceasta sarcin se refer, pe de o parte, la relaia dintre nsuirea cunotinelor i formarea tehnicilor de munc intelectual, iar pe de alt parte, la specificul i particularitile acestor tehnici.Predarea nvarea metodelor i tehnicilor muncii intelectuale nu se poate face independent i paralel de predarea - nvarea cunotinelor. Formarea lor presupune cu necesitate prelucrarea informaiilor de ctre cel care nva, angajarea total a personalitii sale. Instrumentele intelectuale i informaionale formeaz un corp comun, primele constituie latura operaional, iar cele din urm, materialul cu care se opereaz. Orict ne-am strdui s-i nvm pe elevi o tehnic de lucru nu vom reui numai apelnd tehnica respectiv la insuirea unuiconinut informaional. Predarea-nvatarea acestor tehnici nu se poate realiza prin analogie cu memorarea cunotinelor, exersarea este indispensabil. Ori, exersarea presupune, pe lnga cunotine i procedee intelectuale, operarea cu acestea precum i dorina de a face acest lucru.Semnificativ este c n activitatea noastr s facem distincie ntre cele doua laturi, insistnd asupra celei operaionale, far a o privi n sine, desprins de coninutul pe care vrem s-1 transmitem. Oricrui coninut i se asociaz o tehnic de nvtare i oricrei tehnici de nvare i se aplic un coninut.Termenul de metod sau tehnic de munc intelectual trebuie privit n sensul de ,,cale spre ceva", ,,modalitate de a obine ceva", de a ajunge la un rezultat", ,,de a asimila anumite cunotine", ,,de a nelege mai exact i mai profund o problem", ,,de efectuare-executare a unei sarcini", ,,de rezolvare original a unei probleme". Din acestea enumerate rezult ct de extins este aria acestei metode i tehnici.Metodele i tehnicile de munc intelectuale au fost clasificate din mai multe puncte de vedere. Astfel: dup destinaia lor, distingem metode i tehnici de informare, de observare, de cercetarei creaie;

dup aria de cuprindere, putem delimita metode i tehnici generale, aplicabile indiferentde genul activitii intelectuale desfurate i specifice, adaptate unui domeniu sau unuiobiect de nvtmnt; dup condiiile pedagogice n care se formeaz, vom putea diferenia ntre metode itehnici implicate n activitatea elevilor la lecii i metode i procedee n activitileextradidactice; dup coninutul lor, se pot distinge metode i tehnici privitoare la igiena munciiintelectuale, la organizare i la metodologia desfauarii ei.Reunite ntr-un tot unitar i incluse n structura personalitii elevului, aceste metode i tehnici circumscriu slilul muncii intelecluale a elevului. Aceasta desemneaz ,,modalitatea particular n care sunt utilizate i dezvoltate metodele i tehnicile muncii intelectuale". (Leon Topa)Dificultile ntampinate de foarte muli copii n dobandirea noiunilor matematice, rolul nefast pe care lacunele l au n continuitatea proceselor de nvare i n nsuirea cunotinelor altor discipline evideniaz necesitatea individualizrii nuilematicii n ciclul primar, codiie esenial a succesului colar.Se relev necesitatea evaluarii juste i a diagnosticrii individuale pentru determinarea precis a dificultilor ntampinate de elevi, ca premis a asistenei pedagogice corective pe care trebuie sa o acorde nvtorul. n nvarea matematicii, ca i n nvare n general, se va ajuta fiecare copil s depeasc situaiile de execuie prin ridicarea, n msura n care este posibil, la un nivel superior de utilizare a cunotinelor proprii, astfel nct elevul s tie s fac achiziii, s disting esenialul.Prin problematica divers i complex care-i formeaz obiectul, prin metodologia extrem de bogat pe care o presupune, prin antrenarea i stimularea tuturor forelor intelectuale, psihice i fizice ale elevului, matematic contribuie la dezvoltarea i perfecionarea structurilor cognitive i a metodelor de cunoatere a lumii, precum i la diversificarea cilor de aciune a omului n natur i societate. Este obiectul de nvmnt care acioneaz asupra tuturor trsturilor definitorii ale gndirii moderne, practic global probabilistic, modelatoare, operatoare, pluridisciplinar, prospectiv. De aceea are un rol deosebit n dezvoltarea intelectual a omului.coala are obligatia s fac din studiul matematicii nu un scop n sine, ci un instrument de aciune eficient, constructiv i modelatoare, asupra personalitii elevului. Prin intermediul matematicii, elevul trebuie s ajung la descoperirea existentului, dar s-i formuleze i s-i prefigureze stri eseniale n perspectiva devenirii universale a lumii. Pentru atingerea acestui el este necesar s depim, la toate nivelele, preocuparile excesive, de deprindere a copiilor cu tehnica de calcul, a rezolvrii de probleme, a memorrii logaritmilor i aplicrii lor, la situaii mult mai puin asemntoare, n folosul flexibilitii gndirii, subtilizrii ei, accelerrii procesului de ridicare a gndirii de la concret la abstract, a capacitii ei de surprindere i exprimare a esenelor, de ulilizare a limbajului matematic n ntreg procesul de cunoatere i n activitatea de cunoatere a lumii.coala trebuie s-i nvee pe elevi s rezolve probleme, dar s i descopere probleme, s prevad pe cele care ar putea s apar. De aceea consideram necesar a se pune mai mult accent pe construcia de probleme, pe elaborarea problemelor, pe originalitatea acestora. Trebuie s urmrim i s descoperim i alte ci, alte modaliti de rezolvare a problemelor, s-1 facem pe copil s neleag c la aceleai rezultate se poate ajunge pe mai multe ci. Fiecare problem, n ultim instan, reprezint un punct de plecare pentru numeroase demersuri logice, intelectuale, n afara crora se reactualizeaz cunotinele i sistemul concepional nsuit pn atunci, dar se ulilizeaz numai o parte din acestea.Accesibilitatea cunotinelor matematice ar fi i mai mult prezent n activitatea de predare-nvare, pe toate treptele de nvmnt dac ar fi preocupari mai perseverente pentru prefecionarea bazei didactice necesare colii n vederea progresului elevilor, ct i a cadrelor didactice care o predau.Un principiu pedagogic fundamental, uitat uneori, este acela c nu este cunotina care s nu poat fi nsuit de catre un om normal, atunci cand este predat, explicat. Cauzele insuccesului colar ar trebui cu mai mult curaj cutate, descoperite n sistemul de lucru al nvtorului i nu n afara lui.Prin predarea matematicii, se poate crea n rndul elevilor convingerea c matematica -univers al cunoaterii, disciplin de nvmnt - se poate face neleas ,,inteligent", ,,metodic", facilitnd astfel apropierea progresiv de frumuseea ei prin raionament, prin efort disciplinat, prin jocul satisfaciilor intrinseci, prin logica relaiilor inteligent propuse sau descoperite.CAPITOLUL IIMETODOLOGIA REZOLVRII PROBLEMELOR SIMPLE I COMPUSE2.1. Noiunea de problem i etapele rezolvrii ein cadrul complexului de obiective pe care le implic predarea-nvarea matematicii n ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezint o activitate de profunzime, cu caracter de analiz i sintez superioar. Ea mbin eforturile mintale de ntelegere a celor nvate i aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stpnirii unui repertoriu de cunotine matematice solide (noiuni, definiii, reguli, tehnici de calcul) precum i deprinderi de aplicare a acestora.Valoarea formativ a rezolvrii problemelor sporete pentru c participarea i mobilizarea intelectual a elevilor la o astfel de activitate este superioar altor demersuri matematice, elevii fiind pui n situaia de a descoperi ei nii modalitile de rezolvare i soluia, s formeze ipoteze i apoi sa le verifice.Rezolvarea problemelor pune la ncercare n cel mai nalt grad capacitile intelectuale ale elevilor, le solicit acestora toate disponibilitile psihice, n special inteligena, motiv pentru care n ciclul primar programa de matematic acord problemelor o mare importan i atenie.Aceasta activitate este domeniul matematicii optim pentru dezvoltarea gndirii logice, principalul proces psihic datorit cruia omul poate realiza cunoaterea realitii.Valoarea ei nu const n numrul problemelor rezolvate, ct n efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu i sistematic.Cuvantul i are originea n limba latina i a intrat n vocabularul romnesc prin limba francez.Cuvntul folosit de matematicieni i psihologi ,,pro - ballein" are semnificaia: ,,ceea ce i se arunc n fa ca obstacol" sau provocare.Dup ,,Dicionarul explicativ al limbii romne" cuvntul are urmatoarele definiii: problem - ,,obiect principal al preocuparilor cuiva; tem, materie". problem - sarcin, preocupare major care cere o soluionare major" problema - ,,enun care, coninnd anumite date, ipoteze, necesit o regul, una sau mai multe soluii care se pot obine pe baza unor calcule sau raionamente."O problem de gndire apare atunci cnd n calea omului se ivete un obstacol. Cnd situaia se poate rezolva pe baza experienei de care dispune individul, a deprinderilor anterior formate, atunci gndirea nu mai este confruntat cu o problem.Referindu-ne la matematic, prin problem se nelege o situaie a crei rezolvare se obine prin procese de gndire i calcul.Problema de matematic reprezint transpunerea unei situaii practice sau a unui complex de situaii practice n relaiile cantitative i n care, pe baza valorilor numerice date i aflate ntr-o anumit dependen unele fa de altele i fa de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

n activitatea teoretic i practic omul ntlnete att situaii identice , n a cror rezolvare aplic metode i procedee standardizate de tip algoritmic , dar i situaii noi pentru care nu gsete soluii n experiena dobndit sau ntre mijloacele deja nvate . Cnd situaia poate fi rezolvat pe baza cunostinelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluii existente n experiena ctigat , elevul mai este confruntat cu o problem nou . n cazul situaiilor - problem este nevoie de explorarea situaiei prin aplicarea creatoare a cunostinelor i tehnicilor de care dispune rezolvitorul n momentul respectiv , scopul fiind acela al descoperirii implicaiei ascunse , a necunoscutei, a elaborrii raionale a soluiei .

Rezolvarea problemelor se face fie prin metode euristice , fie prin metode algoritmice . Metodele cu ajutorul crora se descoper noi mijloace de rezolvare , se construiesc planuri i programe nestereotipice , sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice . Activitatea de rezolvare a problemelor de matematic se scrie att n zona unor rezolvri stereotipice (aplicarea aceleiai metode de rezolvare n situaii identice, cum este cazul la problemele tipice ), ct mai ales n aceea a rezolvrii euristice .

Rezolvarea problemelor cu ajutorul algoritmilor uureaz mult munca rezolvitorului, aceasta reducndu-se la recunoaterea tipului de problem i la aplicarea algoritmului corespunztor n felul acesta , gndirea i activitatea rezolvitorului se pot concentra asupra altor aspecte , care solicit creativitatea n mai mare msura . Abordarea algoritmic a problemelor are avantajul c ne permite accesul la calculatorul electronic . Pentru a rezolva o problem cu un sistem de prelucrare automat a datelor trebuie parcurse urmtoarele etape : formularea problemei; precizarea datelor de intrare / ieire ; elaborarea schemei logice; elaborarea programului n conformitate cu schema logic.Odat introduse datele i programul n calculator, acesta va opera asupra informaiilor i va comunica omului rezultatul. Evident c o astfel de cale pentru rezolvarea problemelor este uoar, comod dar ea nu se poate aplica dect unui numr infim de probleme, pentru care se poate elabora un algoritm de rezolvare; dintre acestea, unele probleme tip de aritmetic.

Din cele artate mai sus rezult c majoritatea problemelor trebuie rezolvate pe cale euristic. Rezolvitorul trebuie ca, innd seam de ceea ce cunoate, s afle soluia problemei. Procesul gndirii n activitatea de rezolvare a problemelor este deosebit de complex i cu greu se pot obine date despre desfurarea lui.

1. O prim etap este aceea de clarificare a enunului, o trecere a acestuia prin prisma experienei anterioare a rezolvitorului.

2. Urmeaz o a doua etap, n care rezolvitorul, folosindu-se de experiena anterioar, caut mijloacele de rezolvare a problemei.

3. n starea de tensiune care se creaz, apare ideea nou care conduce la rezolvare.

4. Aceast etap este urmat de o alta i ultima, n care ideea este concretizat, detaliat i verificat.

Viziunea asupra problemei evolueaz n timp. n acest sens, G. Polya reprezint evoluia viziunii asupra problemei: maturizarea subcontient a problemei: din punctul C ncepe activitatea contient de rezolvare a problemei, urmeaz un punct de stagnare momentan, S. Punctul I care este un punct de inflexiune al curbei i n care panta are un maxim, corespunde apariiei ideii decisive, momentul de inspiraie.

n cursul rezolvrii problemei, n funcie de experiena anterioar i de aptitudinile rezolvitorului, acesta poate aprecia stadiul n care se afl rezolvarea, modul n care ea evolueaz. Operaiile implicate n rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya ntr-o schema:

Izolare

recunoatere

regrupare

mobilizare

previziune

organizare

reamintire

suplimentare

combinare

Rezolvarea ncepe cu mobilizarea n vederea gsirii soluiei. Ea este nsoit de recunoaterea unor aspecte cunoscute i de reamintirea unor definiii, teoreme. Are loc izolarea unui detaliu, precum i combinarea detaliilor disparate. Urmeaz regruparea datelor i suplimentarea viziunii asupra problemei . n centrul acestor operaii se afl previziunea , ntruct toate operaiile menionate urmresc s ne conduc spre soluie . n final se realizeaz organizarea , adic corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei .Problem i exerciiu

n general , ntre un exerciu i o problem distincia se face n funcie de prezena sau absena textului prin care se dau date i corelaii ntre ele i se cere , pe baza acestora , gsirea unei necunoscute.

Exerciiul ofer elevului datele (numerele cu care opereaza i semnele operaiilor respective), sarcina lui constnd n efectuarea calculelor dup tehnici i metode cunoscute.

Problema impune n rezolvarea ei o activitate de descoperire . Textul problemei indic datele ,condia problemei (relaiile dintre date i necunoscute) i ntrebarea problemei , care se refer la valoarea necunoscut .Pe baza nelegerii datelor i a condiiei problemei, raportnd datele cunoscute la valoarea necunoscut, elevul trebuie s construiasc irul de judecai care conduce la gsirea soluiei .Deci, matematic vorbind, distincia ntre exerciiu i problem nu trebuie facut dup forma exterioara a acestora , ci dup natura rezolvarii . Clasificarea unor enunuri matematice n exerciii i a altora n probleme nu se poate face , ns , n mod tranant , fr a ine seama i de experiena de care dispune i pe care o poate utiliza cel care rezolv. Un enun poate fi o problem pentru un copil din clasa I , un exerciiu pentru cel din clasa a IVa i doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician .Pe msur ce elevul i nsuete modaliti de rezolvare mai generale i mai unitare, pe masur ce crete experiena lui n rezolvarea problemelor , treptat , enunuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciii .Efortul pe care l face elevul n rezolvarea contient a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor pshice de cunoatere, volitive i, firesc , motivaional - afective.Dintre procesele cognitive cea mai solicitat i antrenat este gndirea, prin operaiile logice de analiz , sintez , comparaie , abstractizare i generalizare . Rezolvnd probleme , formm la elevi priceperi i deprinderi de a analiz situaia dat de problem , de a intui i descoperi calea prin care se obine ceea ce se cere n problem. n acest mod , rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea i dezvoltarea capacitilor creatoare ale gndirii, la sporirea flexibilitii ei, a capacitilor anticipativ - imaginative , la educarea perspicacitii i spiritului de iniiativ , la dezvoltarea ncrederii n forele proprii .Rezolvarea de probleme de matematic contribuie la clarificarea , aprofundarea i fixarea cunotinelor nvaate la acest obiect de studiu . n acelai timp , explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme n cadrul crora se subliniaz o proprietate , o definiie sau o regul ce urmeaz a fi nvate .n cadrul complexului de obiective pe care le implic predarea nvarea matematicii n ciclul primar , rezolvarea problemelor reprezint o activitatea de profunzime , cu caracter de analiz i sintez superioar . Ea mbin eforturile mintale de nelegere a celor nvate i aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative , inventive , totul pe fondul stpnirii unui repertoriu de cunotine matematice solide ( noiuni , definiii , reguli , tehnici de calcul ) , precum i deprinderi de aplicare a acestora .Valoarea formativ a rezolvrilor de probleme sporete pentru ca participarea i mobilizarea intelectual a elevilor la o astfel de activitate este superioar altor demersuri matematice , elevii find pui n situaia de a descoperi ei inii modalitile de rezolvare i soluia , sa formeze ipoteze i apoi s le verifice , s fac asociaii de idei i corelaii inedite .Rezolvarea problemelor pune la ncercare n cel mai nalt grad capacitile intelectuale ale elevilor, le solicit acestora toate disponibilitile psihice , n special inteligena , motive pentru care i n ciclul primar programa de matematic acord problemelor o mare atenie .Prin rezolvarea problemelor de matematic elevii i formeaz deprinderi eficiente de munc intelectual , care se vor reflecta pozitiv i n studiul altor discipline de nvmnt . n acelai timp , activitile matematice de rezolvare i compunere de probleme contribuie la mbogairea orizontului de cultur general al elevului prin utilizarea n coninutul problemelor a unor cunotine pe care nu le studiaza la alte discipline de nvmnt . Este cazul informaiilor legate de distan, vitez, timp, pre de cost, plan de producie, norma de producie, cantitate, dimensiune , greutate , arie , durata unui fenomen etc.Problemele de aritmetic , fiind strns legate prin nsui enunul lor de via , de practic, dar i de rezolvarea lor, genereaz la elevi un sim al realitii de tip matematic , formndu-le deprinderea de a rezolva i alte probleme practice pe care viaa le pune n faa lor . Rezolvarea sistematic a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi , deprinderi i atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva n mod independent probleme, de a compune ei nii probleme .Prin coninutul lor, prin tehnicile de abordare i soluionare utilizate, rezolvarea problemelor de matematic conduce la formarea i educarea unei noi atitudini fa de munc, a spiritului de disciplin constient , dar i a spiritului emulativ , a competiiei cu sine nsui i cualii . Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative, al conduitei rezolutive.A rezolva o problem, vorbind la modul cel mai general, nseamn c din datele cunoscute s deducem valoarea numeric, care se afl n relaii detrimate cu datele cunoscute, dar care relaii nu sunt exprimate n textul problemei i nu trebuie descoperite. Deci, prin etaborarea unui ir de raionamente pe baza datelor cunoscute, elevul poate ajunge s rspund la ntrebrile sau ntrebarea problemei.Problemele de aritmetic constituie rspunsuri la anumite ntrebri referitoare la preocupri i aciuni bazate pe date numerice. Ele au ca note comune: structura lor prin care se stabilesc relaii de dependent ntre anumite valori, cantiti sau mrimi exprimate prin numere; felul de soluionare, modalitatea stabilirii rspunsului, care se obine cu ajutorul unor operaii aritmetice, n care intervin valorile numerice respective.O problem de gndire apare atunci cnd n calea activitii practice sau teoretice apare un obstacol, cand nu putem face fa unei situaii noi prin soluii existente n experiena dobndit prin mijloace nvate. n esena ei, rezolvarea unei probleme este o activitate inventiv, creativ. A rezolva o problem nseamn a gasi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A gasi soluia unei probleme este o permanen specific inteligenei". (George Polya)Rezolvarea de probleme prezint o importan deosebit pentru dezvoltarea flexibilitii spontane i adaptive, a fluenei, a capacitii de redefinire i a creterii interesului pentru problemele reale ale vieii. Matematica a fost i rmne disciplina care prin dezvoltarea gndirii, a raionamentului, a inteligenei, d calea de rezolvare a problemelor puse de viaa n faa fiecrui om.Etapele rezolvrii problemelor

Introducerea elevilor n activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenndu-i n depunerea de eforturi mrite pe masur ce nainteaz n studiu i pe masur ce experiena lor rezolutiv se mbogete. Astfel , odata cu nvarea primelor operaii aritmetice (de adunare i scdere ) se ncepe rezolvarea pe cale oral i pe baz de intuiie , a primelor probleme simple . Treptat, elevii ajung s rezolve aceste probleme i n form scris. Un moment de salt l costituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.Varietatea problemelor pe care le rezolv elevii sporete efortul mintal i eficiena formativ a activiii de rezolvare a problemelor . Trebuie sa delimitm nsa dou situaii n rezolvarea problemelor , situaii care solicit n mod diferit mecanismele inlelectuale ale elevilor :a ) - Cnd elevul are de rezolvat o problem asemntoare cu cele rezolvate anterior sau o problem-tip (care se rezolv prin aceeai metod, comun tuturor problemelor de tipul respectiv ). n acest caz elevul este solicitat s recunoasc tipul de problem cruia i aparine problema dat . Prin rezolvarea unor probleme care se ncadreaz n aceeai categorie , avnd acelai mod de organizare a judecilor , acelai raionament, n mintea elevilor se fixeaz principiul de rezolvare a problemei , schema mintal de rezolvare. n cazul problemelor tipice , aceast schem se fixeaz ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei .b ) - n cazul n care elevul ntalnete probleme noi , necunoscute , unde nu mai poate aplica o schem mintal cunoscut, gandirea sa este solicitat n gsirea caii de rezolvare; experiena i cunotinele de rezolvare, dei prezente, nu mai sunt orientate i mobilizate spre determinarea categoriei de probleme i spre aplicarea algoritmului de rezolvare . Elevul trebuie ca , pe baza datelor i a condiiei problemei , s descopere drumul spre aflarea necunoscutei. n felul acesta realizeaz un act de creaie , care const n restructurarea datelor propriei sale experiene i care este favorizat de nivelul flexibilitii gndirii sale , de capacitatea sa combinatoric i anticipativ. n rezolvarea unei probleme , lucrul cel mai important este construirea raionamentului de rezolvare, adic a acelui ir de judeci orientate ctre descoperirea necunoscutei .Rezolvarea oricrei probleme trece prin mai multe etape. n fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar n combinaii noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducnd ctre soluia problemei. Este vorba de un permanent proces de analiz i sintez (prin care elevul separ i reconstituie, desprinde i construiete raionamentul care conduce la soluia problemei) , de o mbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizat prin aceea ca diferitele elemente luate n consideraie i dezvluie mereu noi aspecte (analiz) n funcie de combinaiile n care sunt plasate (sintez).Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea i formularea unor ipoteze i verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspiraii, ci presupune att un fond de cunotine pe care elevul le aplic n rezolvarea problemelor, ct i o gam variat de deprinderi i abiliti intelectuale necesare n procesul rezolvrii problemelor. Diferitele ipoteze (enunuri ipotetice care ne vin n minte n legatur cu problema pus) nu apar la ntmplare . Ele iau natere pe baza asociaiilor, pe baza cunotinelor asimilate anterior. Cu ct cunotinele sunt mai profunde, cu att ansele ca ipotezele care se nasc n mintea rezolvitorului l conduc mai repede la o soluie , cu ct fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat cu att soluia este mai bun. De aceea , n orice domeniu , capacitatea de a rezolva probleme complexe este conditionat de o solida pregtire de specialitate, dar i de cultur general.n rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de aciune , deprinderi i abiliti de munc intelectual independent. Astfel sunt necesare unele deprinderi i abiliti cu caracter mai general cum sunt: orientarea activitii mintale asupra datelor problemei, punerea n legalur logic a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunotine care ar putea servi la rezolvarea problemei precum i unele deprinderi specifice referitoare la detaliile aciunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).Cu toat varietatea lor, problemele de matematic nu sunt independente, izolate, ci fiecare problem se ncadreaz ntr-o anumit categorie . Prin rezolvarea unor probleme care se ncadreaza n aceeai categorie, avnd acelai mod de organizare a judecailor, deci acelai raionament, n mintea copiilor se contureaz schema de rezolvare, ce se fixeaz ca un algoritm sau un semialgoritm de lucru , care se nva , se transfer i se aplic la fel ca regulile de calcul. Aflarea cii de rezolvare a unei probleme este mult mai uurat n cazul n care elevul poate subsuma problema nou unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Dar aceast subsumare se poate face corect numai dac elevul a neles particularitile tipice ale categoriei respective, raionamentul rezolvrii ei, dac o poate descoperi i recunoate n orice condiii concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se refer, mrimea i natura datelor etc.).De o mare importan n rezolvarea problemelor este nelegerea structurii problemei i a logicii rezolvrii ei .Elevul trebuie s cuprind n sfera gndirii sale ntregul film" al desfurrii raionamentului i s-l rein drept element esenial, pe care apoi s-l generalizeze la ntreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raionamentului comun al unei categorii de probleme , elevii trebuie s aib formate capacitile de a analiza i de a nelege datele problemei, de a sesiza condiia problemei i de a orienta logic irul de judeci catre ntrebarea problemei.Cnd se rezolv o problem compus , aparent elevul rezolv pe rnd mai multe probleme simple. n esen, nu este vorba de probleme simple care se rezolv izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecreia dintre ele fcdu-se n direcia aflrii necunoscutei, fiecare problem simpl rezolvat reprezentnd un pas nainte, o verig pe calea raionamentului problemei compuse , de natur s reduc treptat numrul datelor necunoscute .Activitatea de rezolvare a problemelor presupune parcurgerea mai multor etape, n fiecare etap avnd loc un proces de reorganizare a datelor i de reformulare a problemei pe baza activitii de orientate a rezolvitorului n direcia soluiei problemei.Aceste etape sunt urmatoarele:A.Cunoaterea enunului problemei;B.lnelegerea enunului problemei;C.Analiza problemei i ntocmirea planului logic;D.Alegerea i efectuarea operaiilor corespunztoare succesiunii judecilor din planul logic;E. Activiti suplimentare: verificarea rezultatului; scrierea sub form de exerciiu; gsirea altei ci sau metode de rezolvare; generalizare; compunerea de probleme dup o schem asemntoare.A.Cunoaterea enunului problemei este etapa de nceput n rezolvarea fiecarei probleme.Rezolvatorul trebuie s afle care sunt datele problemei, cum se leaga ntre ele, care estenecunoscuta problemei.Cunoaterea enunului problemei se realizeaz prin citirea de ctre nvtor sau de ctre elevi sau prin enunarea liber a acestuia. Se va repeta problema de mai multe ori, pn la nsuirea ei de ctre toi elevii. Se va avea n vedere citirea i enunarea expresiv a textului, scond n eviden anumite date i legturile dintre ele, precum i ntrebarea problemei. Se scrie pe tabl i pe caietele elevilor datele problemei.B.nelegerea enunului problemei. nvtorul va conduce elevii astfel ncat acetia sdelimiteze datele problemei, relaiile dintre ele i s depisteze ntrebrile problemei. Dac elevulcunoate termenii n care se pune problema, va ti s formuleze ipoteze i s construiascraionamentul rezolvrii problemei. Un minimum necesar de informaii va gsi n enun. Datele icondiia problemei reprezint termenii de orientare a ideilor, a analizei i sintezei, precum i ageneralizrilor ce se fac treptat pe msur ce se nainteaz spre soluie. Acest minim de informaiitrebuie recepionat n mod optimal de ctre elev prin citica textului problemei, prin ilustrarea cuimagini cnd este cazul.C.Analiza problemei i ntocmirea planului logic este etapa n care se produce eliminareaaspectelor ce nu au semnificaie matematic i se elaboreaz reprezentarea matematic a enunului problemei.Aceasta este faza n care ,,se construiete" raionamentul prin care se rezolv problema , adic drumul de legturi ntre dalele problemei i necunoscut. Transpunnd problema ntr-un desen, ntr-o imagine sau ntr-o schem, scriind datele cu relaiile dintre ele ntr-o coloan, evideniem esena matematic a problemei, adic reprezentarea matematic a coninutului ei. n momentul n care elevii au transpus problema n relaii matematice, soluia este ca i descoperit.Indiferent de metoda aleas, analiza problemei se face frontal, printr-un dialog euristic cu ntrega clas de elevi, astfel, la finele acestei etape, fiecere elev s aib n minte o schem logic de rezolvare a problemei.D.Alegerea i efectuarea operaiilor corespunzatoare succesiunii din planul logicAceast etap const n alegerea i efectuarea calculelor din planul de rezolvare, ncontientizarea semnificaiei rezultatelor pariale ce se obin prin calculele respective i, evident, a rezultatului final. Se va acorda atenia cuvenit redactrii planului de rezolvare, numerotrii ,judecilor" consemnate n propoziii enuniative sau interogative, utilizrii corecte a unitilor de msura i finalizrii prin scrierea rezultatului problemei.E.Activiti suplimentareAceast etap este facultativ, se efectueaz sau nu, n funcie de conjunctur. Totui, etapa final din rezolvarea unei probleme poate fi valorificat de nvtor n direcia cultivrii creativitii elevilor, independeei n gndire, a creterii interesului pentru matematic.Etapa de activiti suplimentare const n verificarea soluiei, n gsirea altor metode de rezolvare i de alegere justificat a celor bune. Este etapa prin care se realizeaz autocontrolul asupra felului n care s-a nsuit enunul problemei, asupra raionamentului realizat i a demersului de rezolvare propus.Dup rezolvarea unei probleme, se recomanad scrierea datelor problemei i a relaiilor dintre ele ntr-un exerciiu sau, dup caz, n fragmente de exerciiu. Prin rezolvarea de probleme asemanatoare, prin compunerea de probleme cu acelai coninul, cu aceleai date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dup acelai exerciiu, elevul descoper scheme generale de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerin care nu duce la schematizare, la fixitatea gndirii sau la rigiditatea ei, ci, din contr, la cultivarea i educarea creativitii la antrenarea sistematic a intelectului elevilor. Sarcina principal pe care am urmarit-o atunci cnd pun n faa elevilor o problem, este aceea de a-i conduce la o analiz profund a datelor, analiz care sa le permit o serie de reformri care-i apropie de soluie.Necesitatea anlizei riguroase a datelor este cu att mai mare cu ct tim c n clasele mici elevul ntmpin unele dificultti n aceast direcie, n special datorit lipsei de vederi n ansamblu a problemei i contientizrii ntregului raionament de rezolvare a acesteia.

O alt sarcin a nvtorului ese de a-i ajua pe elevi s cuprind imaginea de ansamblu a problemei. Elevii trebuie sa treac de la fragmente la tot, de la relaii dintre perechi de date la ntregul film al rezolvrii, care este dinamic i se mbin dup o logic riguroas. O problem este cu att mai dificil cu ct ea difer mai mult de problemele rezolvate anterior, deci, cu ct situaia nou cere o restructurare mai profund a experienei anterioare a elevului.Elevului nu trebuie s i se cear direct s rezolve o problema, s dea rezultatul numeric, ceea ce ar subnelege rezolvarea, ci trebuie nvat s neleg sensul problemei, s fie stare s explice legtura dintre date cu propriile lui cuvinte i n ultim instan, rezolvarea. Activitatea de rezolvare de probleme este necesar s se fac pe un teren bine pregtit, pentru c cunoaterea calculului elementar reprezint un obstacol peste care nu se poate trece.2.2. Criterii de clasificare a problemelor de aritmeticAdoptm , dup G. Polya , o prim clasificare a problemelor n probleme ,,de aflat" i probleme ,,de demonstrat". Aceast clasificare este inspirat dintr-o tradiie care dureaz nc de la Euclid , termenul de problem de aflat" corespunznd celui de problem, iar cel de problem ,,de demostrat" corespunznd termenul de teorem.Scopul unei probleme ,,de aflat" este de a gsi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat" este de a arta ca o anumit aseriune este adevarat sau fals. Uneori , cele dou operaii - de aflare i de demonstrare - se pot ntlni n aceeai problem. n matematicile elementare predomin ,,problemele de aflat" .Dup numrul operaiilor necesare aflarii soluiei , problemele de aritmetic se clasific n dou mari grupe : probleme simple i probleme compuse. Se numesc simple problemele n care soluia se obine printr-o singur operaie aritmetic, iar compuse - problemele a caror rezolvare se face cu doua sau mai multe operaii aritmetice .Dup scopul imediat pe care l urmresc (aplicarea unei reguli sau teoreme, dezvoltarea judecii, formarea deprinderilor de calcul) problemele se clasific n:1 . Exerciii;2 . Probleme teoretice ;3 . Probleme practice ;4 . Probleme artificiale ;5 . Probleme recreative .Exerciile sunt probleme uoare , formulate de obicei cu date mici, care servesc pentru aplicarea unei reguli, a unei teoreme demonstrate la ora de curs, sau pentru a pune n eviden unele proprieti ale numerelor i operaiilor. De fapt, dac inem seam c rezolvarea unei probleme implic o dificultate, exerciiile n-ar trebui s fie ncadrate printre probleme.Probleme teoretice . ,,Problemele care sunt mai grele decat exerciiile i care urmresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecat, asimilarea temeinic a cunotinelor teoretice din aritmetic, aflarea diferitelor proprieti ale numerelor i formarea gustului pentru studiul matematicilor, se numesc probleme teoretice" .Probleme practice . ,,Problemele care conin date luate din lumea nconjurtoare legate de procesul de producie , aa cum se desfoar el n realitate n uzine, pe ogoare, n laboratoare, aplicaii tehnice, din calcule financiare, din comer etc., se numesc probleme practice".Probleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor s aplice o metod , s foloseasc anumite reguli sau procedee de calcul. Autorul unei asemenea probleme se strduiete cu datele i problema nsi s fie ct mai aproape de realitate .Citez din lucrarea lui Gh.A.Chiei o problem artificial : ,,O vulpe urmarit de un ogar are un avans de 49 srituri naintea lui. Dup cte srituri ogarul va ajunge vulpea , tiind c el face ase srituri n timp ce vulpea face apte srituri, iar trei srituri ale ogarului fac ct patru ale vulpii ?"De ce este artificial aceasta problem? Pentru c o persoan nu poate numra n acelai timp numrul sriturilor fcute de vulpe i ogar, iar pe de alt parte acestea nu au o mrime constant. Totui, problema este instructiv , prin raionamentul care conduce la rezolvare .Probleme recreative . ,,Problemele care conin chestiuni distractive, cu toate c n rezolvarea lor cer raionamente riguroase din punct de vedere matematic, se numesc probleme recreative".Din unghiul educrii creativitii, W. Reitman clasific problemele n cinci categorii: 1. Reproductive - necreative - probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare i nelegere matematic, care necesit doar o gndire reproductiv, rezolvarea lor implicnd folosirea strategiilor algoritmice.2. Demonstrativ - aplicative - probleme ce includ aflarea a dou numere cnd se cunoate suma i diferena lor, probleme tip n general, probleme de micare, de aliaj. n astfel de probleme rezolvarea final este bine specificat, drumul spre rezovare gsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.3. Euristic - creative - probleme ce presupun speciflcarea noiunii soluiilor i cerielor pe care trebuie s le satisfac.4. Inventiv - creative - sunt problemele n care ipoteza este bine specificat, menionndelementele prin care se presupune atingerea strii finale oferite. Aici se ncadreaz problemele cu variabile, compuse de elevi.5. Probleme de optimizare - sunt probleme rar ntalnite n ciclul primar. Acestea au un grad de dificultate sporit care solicit mai ales procesul de transfer al cunotinelor.

Pe scurt, schema criteriilor de clasificare a problemelor este:a)dup numrul de operaii

simple;

compuse;b)dup gradul de generalitate

generale;

tipice;

recreative;c)dup sfera de aplicabilitate

teoretice; practice;d) dup coninut de micare; amestec i aliaj; geometrie;

algebr;e) dup modul de implicare al creativitii demonstrativ-aplicative; reproductiv creative; euristic creative; de optimizare;f)dup rolul de implicare n procesul didactic

formativ; informativ.2.3. Probleme simple. Probleme compuse2.3.1.Rezolvarea problemelor simplePrimele probleme simple sunt acelea pe care i le pune copilul zilnic n coal, n familie, n timpul jocului i care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face s vad nc din clasa I utilitatea activitii de rezolvare a problemelor este necesar ca micii colari s neleag faptul c n viaa de toate zilele sunt situaii cnd trebuie gsit un rspuns la diferite ntrebri. n aceasta perioad de nceput, activitatea de a rezolva i compune probleme se face numai pe cale intuitiv. De accea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub form de joc i au caracter de probleme-aciune i crora li se asociaz un bogat i variat material didactic intuitiv. Rezolvarea lor se realizeaz la un nivel concret, ca aciuni de via (au mai venit..., s-au spart...., au plecat ...., i-a dat..., au mancat....) . Activitatea de rezolvare se afl aproape de aceea de calcul, dificultatea principal pe care o ntampin elevii const n transpunerea aciunilor concrete n relaii matematice . Acum elevii sunt familiarizai cu termenul de ,,problem", ,,ntrebarea problemei", ,,rezolvarea problemei", ,,rezultatul problemei".Introducerea n rezolvarea problemelor simple se face nc din perioada pregtitoare primelor operaii . nvtorul se folosete de ,,probleme aciune" care dupa ce au fost puse n scena vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Dei rezolvrile de probleme simple par uoare , nvtorul trebuie s aduc n atenia copiilor toate genurile de probleme care se rezolv printr-o operaie aritmetic.

Care sunt, n esen, aceste tipuri? Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

- de aflare a sumei a doi termeni ;

- de aflare a unui numr mai mare cu un numr de uniti dect un numr dat;

- probleme de genul ,,cu att mai mult" . Probleme simple bazate pe scdere pot fi :

- de aflare a diferenei, a restului;

- de aflare a unui numr care sa aib un numr de unii mai puine dect un numr

dat;

- de aflare a unui termen atunci cnd se cunosc suma i un termen al sumei;

- probleme de genul ,,cu att mai puin" ;

- probleme de aflare ,,cu ct este mai mare / mai mic" un numr dect altul . Probleme simple bazate pe nmulire fiind, n general:- de repetare de un numr de ori a unui numr dat; - de aflare a produsului;

- de aflare a unui numr care s fie de un numr de ori mai mare dect un numr

dat. Probleme simple bazate pe mprire pot fi :- de mprire a unui numr dat n pri egale ;- de mprire prin cuprindere a unui numr prin altul ;

- de aflare a unui numr care s fie de un numr de ori mai mic dect un numr dat;- de aflare a unei pri dintr-un ntreg ;- de aflare a raportului a doua numere ;- de cte ori este mai mare / mai mic un numr fa de altul .n general dificultatea frecvent const n confundarea operaiei ce trebuie efectuate. Se recomand abordarea unei mari varieti de enunuri .Prin procedeele folosite se urmarete nu o nvare a problemelor, ci formarea capacitilor de a domina varietatea lor. Prin rezolvare elevii ajung s opereze n mod real cu numere, s fac operaii de compunere i descompunere, s foloseasc strategii i modele mintale anticipative.Am avut n vedere c n activitatea de rezolvare de probleme simple s respecte un principiu fundamental i anume acela ca colarul s rezolve probleme aritmetice legate de lumea lui nconjurtoare n mod practic.Psihologii de seam au demonstrat ca procesele mentale ntr-adevr ncep cu manipularea diferitelor obiecte. La elevi se dezvolt noiuni matematice clare numai atunci cnd au posibilitatea ,,s fac", ,,s probeze" ceva. La asemenea probleme este ,,pe faz" elevul. Numai astfel se promoveaz o legatur strns ntre munc i gndire.De altfel ,,perioada primelor patru clase corespunde unui stadiu caracteristic al dezvoltrii pe care psihologia l numete stadiul operaiilor intelectuale complete. De aici rezult necesitatea ca pe ntreaga perioad a colarizrii primare s nu se prseasc domeniul concretului, al observaiei, al experimentrii i s nu se procedeze dect cu precauie la primele abstracuini".(R. Dottrens)Analiza activ a unui obiect sau a unei probleme ne duce mai repede la un rezultat dact simpl ascultare sau privire, mai cu seam la elevii claselor nti care iau primul contact cu nvarea sistematic. Sunt indicate pentru primul pas al procesului de cunoatere, al intuiiei vii, probleme din mediul nconjurtor al copiilor. Asemenea probleme le-am prezentat copiilor cuscopul de a-i introduce treptat n limbajul matematic. Elevul trebuie s aplice urmtoarele noiuni corect, nca din primele sptmni de coal: numr, numr mai departe, numr cresctor, st naintea, st dup, ntre care, st ntre, compar cu, cu ct este mai mare, cu ct este mai mic, de cte ori este mai mare, de cte ori este mai mic, etc.

n primele sptmni de coal, printre problemele simple rezolvate cu elevii pot exemplifica:lonel a cules 4 mere.

Punei tot attea discuri pe banc!0000

Irina a cules deja 5 mere.

Aezai merele Irinei sub merele lui lonel!

lonel0000

Irina00000Aceast prim sarcin de munc cere s se afieze mulimi pe banc i se compar ntre ele. Copilul poate ndeplini accast sarcin numai atunci cnd a neles problema dat i dac i-o nsuete temeinic; i-o poate reprezenta (imaginea).Cu ct reprezentrile a ceea ce trebuie facut sunt mai clare, cu att rezultatele vor fi mai bune. Repetarea de catre copii a problemei spuse constituie n aceast direcie un ajutor eficient. Dac nvtorul folosete acest procedeu nc din primele sptmni de coal, copiii se obinuiesc s descopere mai nti relaiile din problem i apoi s execute operaia corect. Dac elevii au ndeplinit sarcina de munc pe bncile lor, le cer s formuleze verbal ce au fcut, apoi le cer s formuleze rspunsuri.Dac elevii sunt ndrumai cu consecven s raporteze despre ,,paii lor de lucru" i s formuleze raspunsuri, sunt obinuii i s se exprime n propoziii cu sens. Astfel, copiii nva deja din clasa nti s se exprime precis. Putem rezolva n primele sptmni numai astfel de probleme al cror coninut nu depaete vocabularul i puterea de nelegere a colarului mic.Coninutul problemei trebuie sa fie simplu i clar. Totdeauna ne vom convinge dac copilul a nteles problema, cerndu-i s o redea n cuvinte proprii. Dac observm c elcvul ntmpin greuti n nelegerea problemei i a relaiilor matematice din problem, nu este indicat s-i prezentm procedeul de rezolvare de-a gata, pe care el l imit, fr s-l neleag. Dac copiii nu sunt n stare s analizeze textul, nvtorul va da ajutoare, care s nlesneasc gsirea operaiei matematice. De exemplu:Pe mas sunt trei farfurioare. Danu mai pune dou.

Unii copii nu-i pot reprezenta relaiile dintre datele problemei. De aceea, nvtorul recurge la demonstrarea problemei pe tabla magnetic. Aceast tabl va fi masa, iar discurile magnetice reprezint farfuriile. Se procedeaz n felul urmtor:

nvtorul: ,,Cte farfurii sunt pe mas?"

Elevul: Pe mas sunt trei farfurii."Un elev mai adaug dou farfurii pe tabla magnetic, iar ceilali mai aeaz dou discuri pe banc. Acum elevii au neles problema fiindc analiza textului a sprijinit gndirea i toi copiii ,,vd operaia aritmetic" care trebuie facut. Deci, ei pot s formuleze rspunsuri exacte:Elevul : Pe mas sunt cinci farfurii."nvtorul: ,,De ce?''Elevul: ,,Pentru c trei farfurii plus dou farfurii este egal cinci farfurii".3 + 2 = 5 (farfurii)Pentru nlesnirea nelegerii problemei i priceperii ajunge cteodat simpla repetare sau o alt formulare a problemei. Dac elevul este n stare s redea problema n cuvinte proprii, dovedete c a judecat-o n memoria sa, iar gsirea raspunsului nu va constitui o greutate pentru el.Consider c este absolut necesar ca elevii sa fie obinuii nc din primele sptmni de coal cu rezolvarea problemelor. Chiar dac ei nu cunosc nc ntreg alfabetul, ele se pot formula totui pe tabla pe baza literelor nvate i pe baz de imagini sau desene. Textele de pe tabl, desenele se discut cu elevii, apoi se analizeaz problema abia cand copiii sunt obinuii cu asemenea procedee, se recomand i folosirea problemelor din manual, dar i acestea trebuie s fie analizate n comun. De reinut este c, indiferent de natura problemei, trebuie s se in cont de anumii pai care trebuie s fie repetai pentru ca colarii s se obisnuiasc cu tehnica rezolvrii problemelor.Acetia ar fi:1. nelegerea deplin a coninutului problemei;2. recunoaterea clar a relaiilor matematice din problem;3. asezarea problemei;4. formularea raspunsului.Dup ce elevii au rezolvat problema i au formulat rspunsul i ntrebm cum au socotit. Exemplu:Pe un aeroport au fost 17 avioane. 4 avioane au plecat. Cte avioane au rmas?Elevii explic colegilor cum au socotit:,,Eu am numrat patru napoi. ",,Eu am sczut din 7 pe 4 i am adaugat 10 ."

,,Eu am socotit 17 4."Antrennd ntreaga clas la aceast activitate, elevii afl mai multe ci de rezolvare. nvtorul evideniaz, cu ajutorul clasei, calea cea mai favorabil. n general, propuntorul recomand elevilor calea care corespunde capacitilor lor matematice. Este greit s pretindem elevilor o rezolvare uniform - adic pe o singur cale - a problemei de ntreaga clas, dac exist mai multe ci de rezolvare.ntrebarea ,,De ce ai socotit aa?" nu trebuie s lipseasc niciodat. In cazul nostru s-au dat urmtoarele rspunsuri: ,,Pentru ca au plecat cteva avioane, trebuia s fac operaia de scadere"; ,,Daca pleac avioane, rmn mai puine pe aeroport"; ,,Dac pleac 4 avioane, trebuie s socotim 17 - 4".Aici am avut posibilitatea s constat cum au neles diferii elevi coninutul i relaiile matematice ale problemei i am putut urmri paii de gndire a fiecrui elev n parte.n rezolvarea problemelor, elevii trebuie s gseasc diferite modaliti de rezolvare, pentru a le forma spiritul inventiv i creator, capacitatea de a aprecia alternativele, a opta pentru cea mai direct, simpl i economicoas.Condui cu pricepere i druire de ctre nvtor, dupa un timp, elevii nu se mai tem de rezolvarea problemelor, nu se vor mai dovedi abseni i plictisii, ci dimpotriv, vor cpta i vor exprima placerea fa de cerinele acestui domeniu, fa de sarcinile pe care le solicit la maximum efortul lor de munc i creaie. Vor rezolva cu ndrzneal problemele ce le ies n cale, vor compune cu pricepere probleme din cele mai complicate.2.3.2. Rczolvarea problemelor compuseProblemele compuse sunt problemele ale cror rezolvare comport dou sau mai multe operaii aritmetice, indiferent daca ele sunt de acelai fel (numai operaii de adunare sau scdere sau numai operaii de nmulire sau mprire) sau sunt operaii de feluri i ordine diferite.Problemele compuse pot avea un caracter general, rezolvndu-se cu ajutorul unor procedee generale de calcul, dar pot avea structur matematic deosebit, rezolvarea lor fcndu-se prin procedee speciale, specifice fiecrui grup. Problemele din aceasta din urm categorie se numesc probleme tipice.Spre deosebire de rezolvarea problemelor simple, rezolvarea problemelor compuse reprezint un proces psihic complex. Problema compus fiind alctuit din mai multe probleme simple, cuprinde un complex de situaii concrete, de relaii n care se cere s se determine o valoare necunoscut pe baza unor valori numerice date, care se gsesc ntr-o anumit dependen unele fa de altele i toate fa de mrimea cautat.Experiena cptat de elevi n rezolvarea problemelor simple (cunoaterea elementelor i a tehnicilor rezolvrii problemelor simple, dezvoltarea gndirii, ateniei i altele) constituie baza pe care ne putem sprijini cnd se trece la probleme compuse.Rezolvarea problemelor compuse necesit un efort al gndirii mult mai mare dect rezolvarea problemelor simple, de aceea cnd trece la rezolvarea problemelor compuse, elevii ntmpin o serie de dificulti. Rezolvarea problemelor necesit un efort mai mare de gndire dect rezolvarea exerciiilor. Distincia ntre exerciiu i problem nu se face dup forma exterioar a enunului; dac are numai simboluri matematice este exerciiu; daca are numai cuvinte este problem. ntlnim adesea exerciii scrise sub form de enun. Exemplu: Ce numr este mai mare de trei ori dect numrul 9?Termenii unei adunri sunt numerele 124 i 35. Aflai suma!Desczutul este numrul 459, iar scztorul 236. Aflai restul!Dac este de la nceput indicat clar ce anume procedeu trebuie folosit, avem de-a face cu un exerciiu. Dac este vorba de un enun n care ni se arat n mod explicit ce procedeu este potrivit s se aplice, avem de-a face cu o problem.Direcia principal pe care o urmrim este de a face ca anumite enunuri s se transforme din probleme n exerciii si apoi n cunoaterea perfect i sigura a unui procedeu de lucru, aceasta s intre ca instrument n abordarea unor probleme mai complexe. S deschidem mereu perspectiv i drum pentru probleme noi i complexe care abordate dintr-o alt dat ar fi prut grele, dar care o dat cu sporul de cunotine i de experiena devin accesibile i stimuleaz interesul elevilor. Nu numrul problemelor pe care le rezolv elevul este lucrul principal, ci gradul n care el particip printr-un efort personal la activitatea de rezolvare a problemelor, randamentul pe care l d acesta n munc.Pentru a introduce primele probleme compuse, adic pentru a realiza trecerea de la probleme simple la cele compuse, exist dou posibilitati:1. regizarea unor aciuni care s cuprind dou faze distincte: formularea problemei astfel nct s cuprind cele dou faze ale aciunii i apoi rezolvarea acelei probleme;

2. rezolvarea succesiv a dou probleme simple astfel formate nct rezultatul primei probleme s constituie un element al celei de-a doua.

n vederea primei posibiliti, propuntorul trebuie s aib grij s nu aib caracter artificial ci, din contr, s fie veridice, s fac parte integrant din viaa i activitatea zilnic a clasei.

Rezolvarea problemelor compuse, ca i rezolvarea problemelor simple, necesit stabilirea unor relaii adecvate ntre valorile numerice ntrebarea problemei. n rezolvarea problemelor simple, aceasta se realizeaz prin intermediul unor ntrebri prin care se descoper noi valori numerice, ntre care se stabilete o nou relaie pentru a ajunge la rspunsul, la ntrebarea problemei. Nu rezolvarea problemelor la care se reduce problema compus constituie greutatea principal ntr-o problem cu mai multe operaii, ci legtura dintre verigi, constituirea construirea raionamentului.

n cutarea cii de rezolvare a problemei se emit i se verific o serie de ipoteze, pn se ajunge la soluia problemei. Prin combinare selectiv a elementelor cunoscute, pe baza folosirii ntregii experiene anterioare, prin analize i sinteze superioare se elaboreaz, la nivelul celui de-al doilea sistem de semnalizare, soluia problemei. Ea reprezint o sintez superioara, nchiderea circuitului nervos.

Rezolvarea cu succes a problemelor depinde n mare msur de priceperea de a elabora ipoteze ntemeiate pe o ct mai profund analiz a problemei. Elevul trebuie deprins s nu ncerce ipoteze ntmpltoare, ci s emit ipoteze numai pe baza unei temeinice analize a datelor problemei, adic s rezolve problema gndind i nu aplicnd la ntmplare o tehnic nvat. Este bine s se formeze la elevi nu numai deprinderea de a rezolva anumite tipuri sau categorii de probleme ci deprinderea de a rezolva orice fel de probleme. Goana dup rezolvarea unui ct mai mare de probleme, o rezolvare superficial a acestora, nu d elevilor dect o trus de reete de rezolvare, pe care acetia ncearc s le aplice mecanic la diferite probleme concrete. Nu nsuirea tehnicii de rezolvare a problemelor e lucrul cruia trebuie s i se acorde n primul rnd toat atenia. Toat atenia trebuie s i se acorde analizei coninutului i datelor problemei, a relaiilor dintre aceste date, la elaborarea de judeci i raionamente care duc la rezolvarea problemei.

Sarcina nvtorului este nu numai de a obinui elevii s rezolve probleme, ci de a-i conduce pe drumul formrii deprinderii de a rezolva corect i rapid orice problem. Rezolvarea unei probleme compuse trebuie s treac prin urmtoarele etape: enunul problemei; nsuirea enunului problemei; examinarea problemei; stabilirea planului de rezolvare a problemei, stabilirea operaiilor, scrierea lor i efectuarea calculelor.n munca de rezolvare a problemelor, nvatorul trebuie s urmreasc folosirea unor procedee prin care s asigure rezolvarea ct mai contient a acestora de catre elevi. Printre acestea se pot mentiona: rezolvarea problemelor prin mai multe procedee, compunerea problemelor, redarea n scris a judecilor lor i altele.CAPITOLUL IIIMETODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR3.1.Metoda analitic. Metoda sinteticMunca cu problemele constituie termenul cel mai favorabil pentru dezvoltarea capacitilor gndirii elevilor, dac ei dispun de o anumit dependen n rezolvri i mai ales dac reuesc s compun probleme dup propria lor mentalitate, dup propria lor experien personal. nvtorul trebuie deci, s creeze situaii care fac s se nasc la copii probleme care pun n joc facultile creatoare ale gndirii copilului, legate de lumea sa afectiv, de sistemul su propriu, de interese i reprezentri.O atenie deosebit trebuie s se acorde informaiilor ntr-o anumit problem, ntr-un limbaj ct mai apropiat de experiena personal a elevului i corect din punct de vedere matematic.Activitatea de rezolvare de probleme este necesar s se faca pe un teren bine pregtit, pentru c necunoaterea calcului elementar reprezint un obstacol peste care nu se poate trece.Aflarea rspunsului unei probleme necesit elaborarea unui ir de raionamente logice pe baza datelor cunoscute. Acest ir de raionamente se constituie ntr-o metod de rezolvare a problemelor.Metodele aritmetice de rezolvare a problemelor se clasific n dou categorii:a) metode fundamentale sau generale;b) metode speciale sau particulare.Metodele generale se aplic ntr-o msur mai mare sau mai mic n rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operaiile de analiz i sintez ale gndirii, motiv pentru care se numesc ,,metoda analitic" i ,,metoda sintetic" .n procesul instructiv - educativ, rezolvarea problemelor de aritmetic are un rol foarte important din punct de vedere formativ. Formeaz la elevi priceperi i deprinderi de munc independent, activeaz procesele gndirii, ca analiza i sinteza, abstractizarea i generalizarea, dezvolt spiritul de observaie, atenia, perspicacitatea, voina i perseverena i alte trsturi de caracter.Varietatea mare a problemelor face imposibil gsirea unei singure ci de rezolvare a unei singure metode.n procesul de cunoatere, analiza i sinteza sunt inseparabile, ele se afl ntr-o strns unitate dialectic. i n procesul de rezolvare a problemelor aceste metode sunt folosite mpreun, dar poate s predomine una sau alta i, n acest caz, metoda care predomin i imprim specificul su asupra cailor care duc la gsirea soluiei problemei.Att metoda sintezei, ct i metoda analizei constau n descompunerea problemei date n probleme mai simple care, rezolvate succesiv, conduc la soluia final. Deosebirea dintre ele const n punctul de plecare al raionamentului.Prin metoda sintezei se pleac de la datele problemei, date cu care se formeaz probleme simple, rezolvnd succesiv aceste probleme se ajunge la rspunsul corect.Prin metoda analizei se pleac de la ntrebarea problemei, deci de la necunoscut, spre datele problemei, spre cunoscut. Se cuta s se afle ce date sunt necesare pentru a raspunde la ntrebarea problemei, se alctuiete o problem simpl, dac aceasta nu are toate datele necesare se formeaza o nou problem simpl, pn se ajunge la datele problemei. De aici, rezolvarea merge pe calea inversa - a sintezei.Analiza este, deci, o etap n rezolvarea problemei, cea mai important i anume, etapa cnd se alctuiete planul de rezolvare a problemei.Metoda sintezei este mai accesibil elevilor mici, dar are inconvenientul c nu solicit din plin gandirea lor, nu-i stimuleaz s se ridice pe treapta superioar a generalizrii. De asemenea, rezolvnd unele probleme pe calea sintezei, unii elevi pot pierde din vedere ntrebarea problemei, fiind tentai s calculeze mrimi care nu sunt necesare gsirii rspunsului corect.Rezolvnd probleme prin metoda analizei, este exclus posibilitatea ca elevii s calculeze i altceva n plus dect ce este necesar i suficient pentru a se ajunge, pe calea cea mai scurt i raional, la soluia problemei.Pentru a ilustra procesele care au loc n examinarea unei probleme prin cele doua metode -analiz i sintez - voi prezenta comparativ, sub form de schem, rezolvarea aceleiai probleme.Exemplu:O carte de poveti are 27 ilustrate, iar o alt carte are de trei ori mai puine dect prima.Cte ilustrate au mpreun cele dou cri?Metoda sintetica:Cunoscnd ilustratele din prima carte i faptul c a doua carte are de trei ori maipuine, ce putem face?Prin ce operaie?Cunoscnd cte ilustrate are prima carte i cte are a doua carte, ce putem face?Prin ce operaie?

Ilustratele primei cri cu poveti

27

De cte ori mai puine are a doua carte

3

Ilustratele primei cri cu poveti

Ilustratele din a doua carte de poveti

Ilustratele din

cele dou cri

Metoda analitic:Pentru aflarea ilustratelor din cele dou cari ce trebuie s cunoatem? Ce operaie folosim?Pentru a afla ilustratele din a doua carte, ce trebuie s facem? - Ce operaie folosim? Ilustratele din

cele dou cri

Ilustratele din a doua carte de poveti

Ilustratele primei cri cu poveti 27

De cte ori mai puine are a doua carte

3

Ilustratele primei cri cu poveti

27

Din cte probleme simple este alctuit problema? Care problem simpl va fi rezolvat mai nti i de ce? (ilustratele din a douacarte, pentru c are toate datele cunoscute) Ce problem simpl urmeaz s rezolvm? (ilustratele din cele dou cari i am rezolvat problema deoarece am rspuns la ntrebarea final)Utilizarea metodei analitice poate ncepe chiar de la clasele ntai sau a doua, cnd se trece la rezolvarea problemelor compuse cu dou operaii. Se pornete de la o problem simpl, care n etapa urmtoare se transform ntr-o problem compus cu dou operaii, apoi dezvoltndu-se ntr-una cu trei operaii, prin pai mruni, urmnd principiul accesibilitii.

Faptul c o problem se scrie sub o form mai dezvoltat i ajut pe micii colari s nu piard din vedere ntrebarea problemei, care rmne aceeai, schimbarea producndu-se numai asupra datelor problemei. Concomitent cu elaborarea planului de rezolvare, se alctuiete i schema, notndu-se n cercuri de o anumit culoare datele problemei, iar n dreptunghi de alt culoare, mrimile ce trebuie aflate.Exemplu: Se deseneaz, mai nti schematic pe tabl, dou rafturi cu cri ale unei biblioteci i le spun elevilor c pe un raft sunt 45 de cri, iar pe al doilea sunt 38 de cri. Pentru a exemplifica cele spuse mai sus, voi dicta urmtoarea problem:Pe un raft al unei biblioteci sunt 45 de cri, iar pe al doilea sunt 38 de cri. Cte cri sunt n total pe ambele rafturi?

Se alctuiete schema i se rezolv problema.Cte cri sunt pe ambele rafturi?

Numrul crilor de pe primul raft: 45

Numrul crilor de pe al doilea raft: 38

Formula matematic: 45 cri + 38 cri = 83 crin etapa urmtoare a leciei, se reia problema precedent i se dezvolt n felul urmtor: Pe un raft al unei biblioteci sunt 45 de cri, iar pe al doilea raft sunt cu 7 cri mai puin. Cte cri sunt pe ambele rafturi?Dup ce se repet problema i se fixeaz n mintea elevilor ce se d i ce se cere, se ntreab: Ce trebuie s tim pentru a afla cte cri sunt pe ambele rafturi? (numrul crilor de pe primul raft i numrul crilor de pe al doilea raft); Cte mrimi sunt cunoscute? (o cunoatem pe prima, iar pe a doua trebuie s-o aflm)Se trece la alctuirea schemei.

Formula matematic: 45 cri 7 cri = 38 cri

45 crti + 38 cri = 83 cri

Elevii sunt ajutai s descopere i s descompun problema n dou probleme simple, pornind de la ntrebarea problemei date:

a) Pe un raft al unei biblioteci sunt 45 de cri, iar pe al doilea raft cu 7 mai puine. Cte cri sunt pe al doilea raft?

b) A doua problem simpl este cea propus iniial.

ntrebrile celor dou probleme simple alctuiesc planul de rezolvare al problemei:

1. Cte cri sunt pe al doilea raft?2. Cte cri sunt, n total, pe ambele rafturi?

Rezolvarea propriu zis a problemei se face pe calea sintezei.

Pentru dezvoltarea capacitii de abstractizare i generalizare, am introdus treptat noiunea de simboluri i am rezolvat problema dat sub form generalizat. De asemenea, am propus elevilor i probleme care se rezolv prin dou ci.Exemplu: La o cofetrie s-au dus a kg de bomboane din care s-au vndut dimineaa b kg, iar dup-amiaz c kg. Cte kilograme de bomboane au rmas?(ab+c)Analiza : Pentru a afla cte kilograme de bomboane au rmas ce ar trebui s facem? Aflm cte kilograme de bomboane s-au vndut n total.

Cum putem afla aceast cantitate? Adunm cantitatea vndut dimineaa cu cea vndut dup mas.Se alctuiete schema, apoi se descompune problema n dou probleme simple.

Cantitatea total de bomboane a

Cantitatea vndut dimineaa b

Cantitatea vndut dup mas c

a.La o cofetrie s-au vndut dimineaa b kg de bomboane, iar dup-amiaza c kg. Cte kilograme s-au vndut n total?b.La o cofetrie s-au vndut dimineaa b kg de bomboane, iar dup-amiaza c kg. Cte kilograme de bomboane au rmas?ntrebrile celor dou probleme simple formeaz planul de rezolvare al problemei date. Rezolvarea ei sub form generalizat conduce la formulaX = a - (b + c)

Se trece apoi la rezolvarea problemei pe a doua cale i anume, prin dou scderi succesive (prin metoda sintezei), ajungnd la cea de a doua form a ecuaiei problemei date care, evident, este echivalent cu prima.

X=a-b-cMetoda sintezei n rezolvarea problemei la clasele primare se finalizeaz prin aplicarea ei i n rezolvarea problemelor cu coninut geometric la clasa a IV-a.La clasa a IV-a, n finalul problemei, elevii pun problema mai nti n formula numeric i dac nivelul clasei permite i n formula literala (ecuaie).n concluzie, metoda analizei este necesara mai de timpuriu, deoarece, dei mai dificil, i oblig s priveasc problema n totalitatea ei, s vad aspectul ei general. Aceast metod devine mai accesibil colarilor din ciclul primar, dac acetia sunt antrenai ca, pornind de la probleme simple, s le dezvolte ei nii, obinnd probleme compuse care, la rndul lor, n procesul analizei, sunt din nou descompuse n probleme simple. n felul acesta, elevii se familiarizeaz cu structura problemelor, li se dezvolt gndirea logic i capacitatea de generalizare.Cele dou metode de analiz a problemelor compuse nu pot fi definite strict, deoarece ele formeaz o unitate n cadrul proceselor de gndire i nu poate fi vorba de utilizarea n exclusivitate a uneia sau a alteia dintre aceste metode. Exist o strns interdependen ntre cele dou procese (analiza i sinteza), ele condiionndu-se reciproc i realizndu-se ntr-o unitate inseparabil.Descompunerea unei probleme compuse n probleme simple este un proces de analiz, iar formularea planului de rezolvare i stabilirea succesiunii problemelor simple este un proces de sinteza.Analiza i sinteza sunt operaii mintale opuse, fr a cror unitate dialectic nu este posibil rezolvarea problemelor. Examinarea problemelor n vederea rezolvrii lor necesit un proces analitico-sintetic.

3.2. Descompunerea unei probleme compuse n probleme simple

n cadrul complexului de obiective pe care le implic predarea - nvarea matematicii n ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezint o activitate de profunzime, cu caracter de analiz i sintez superioar. Ea mbin eforturile mintale de nelegere a celor nvate i aplicarea algoritmilor cu structurile conduitei inventive, totul pe fondul stpnirii de sine a unui volum de cunotine matematice (noiuni, reguli, definiii, tehnici de calcul), precum i deprinderi de aplicare a acestora.

Rezolvarea problemelor de matematic la clasele I-IV reprezint n esen rezolvarea unor situaii problem reale, pe care le putem ntlni n practic, n via. La matematic, elevii percep o problem ca pe o situaie n care trebuie s intervin cu raionamentul matematic. Cu ct problema este mai complex, cu att acest raionament se cere mai dezvoltat i necesit o sever ordonare a seriei de ntrebri i rspunsuri cuprinse n enun, pentru a se ajunge la soluia problemei. Rezolvarea situaiilor-problem presupune exploatarea acestora prin aplicarea cunotinelor i tehnicilor de care dispune rezolvatorul n momentul respectiv, scopul fiind acela de descoperire a implicaiei ascunse, a necunoscutei, a elaborrii raionale a soluiei.Apariia ideii conductoare constituie momentul de ncheiere a fazei de tensiune, a cutrii unui moment de destindere care marcheaz satisfacia descoperirii. De fapt, rezolvarea unei probleme necesit un efort al gndirii, care va fi cu att mai susinut cu ct valoarea necunoscutei se gsete n relaii mai ndeprtate fa de datele cunoscute ale problemei. Cuantumul acestui efort dovedete gradul de participare al lui la rezolvarea problemelor. Elevul trebuie s analizeze complexul de situaii concrete date n problem i s-l transpun n planul relaiilor matematice, prin a cror ordonare logic s ajung la aflarea necunoscutei. Relaiile implicite ale necunoscutei cu datele cunoscute ale problemei nu sunt prezentate n textul problemei, ci trebuie descoperite.Aciunea nfrigurat a cutrii are o eficien formativ mult mai bogat dect dirijarea elevului ctre soluie care-l scutete de efort i de trirea emoiilor cutrii, a bucuriei descoperirii.Cnd tema este nou, nvtoarea rezolv nti model la tabl, problema analizndu-se etap cu etap, apoi elevii studiaz modelele rezolvate n manual pentru a face comparaie cu modelul nvtoarei, apoi trec la rezolvarea pentru nvare i consolidare. nvtoarea intervine, de obicei, pe grupuri de elevi neomogene i-i ajut numai att ct s ias din impas. Pentru a introduce primele probleme compuse, adic pentru a realiza trecerea de la problemele simple la cele compuse, exist dou posibiliti, posibiliti despre care am amintit n unul din capitolele anterioare.Coninutul unei probleme funcioneaz ca un sistem, ceea ce impune pentru realizarea sintezei enunului o bun memorie i o bun imaginaie. A sesiza structura sistemului nsemna a reine, a organiza, a relaiona. Cum aceste condiii psihice se formeaz n timp i se dezvolt diferit la elevi, se impune valorificarea resurselor formative a tuturor modalitilor de rezolvare a problemelor compuse:a) recrend la dimensiuni naturale;b) utiliznd scheme grafice;c) fr material de sprijin.Greutatea principal ntr-o problem cu mai multe operaii nu o constituie rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compus, ci legatura dintre verigi, constituirea raionamentului.Dup rezolvarea separat a celor dou probleme simple i apoi a celei compuse, se scoate n eviden faptul c pentru rezolvarea primelor dou probleme a fost necesar cte o operaie pentru fiecare, iar pentru cea de a doua au fost necesare dou operaii.Etapele prin care trece rezolvarea unei probleme compuse sunt urmtoarele:a.enunul problemei;b.nsuirea enunului problemei;c.examinarea problemei;d.stabilirea planului de rezolvare;e.stabilirea operaiilor, scrierea i efectuarea lor;f.munca suplimentar n legatur cu rezolvarea unei probleme.

Enunul problemeiA spune sau a citi enunul unei probleme pentru prima dat nseamn a enuna o problem. Este bine ca elevii s fie introdui n coninutul problemei nainte de a enuna problema, cu ajutorul ntrebrilor pregtitoare. n acest fel, nvtoarea este sigur de atenia acordat de ctre elev orei i de un grad maxim de concentrare al elevilor asupra problemei ce urmeaz a fi enunat.nsuirea enunului problemeiPentru a se ajunge la o analiza corect a unei probleme, elevii trebuie s neleag, s ptrund i s-i nsueasc coninutul acelei probleme. Aceasta presupune: repetarea enunului de ctre nvtoare, cu scrierea datelor pe tabl i pe caiete; explicarea cuvintelor sau expresiilor nentelese; repetarea enunului de ctre doi - trei elevi; ilustrarea enunului cu ajutorul planelor, schemelor, graficelor sau a semnelor convenionale.Examinarea problemeiExaminarea problemei sau analiza unor probleme este un proces de gndire care are loc n scopul stabilirii problemelor simple care alctuiesc o problem compus i a succesiunii lor, astfel nct ntrebarea ultimei probleme simple din final s coincid cu ntrebarea final a problemei date.Examinarea unei probleme compuse se face, de regul, prin metoda analitic i prin metoda sintetic.Stabilirea planului de rezolvareConcluziile care se desprind din examinarea unei probleme se concretizeaz n planul de rezolvare. Planul de rezolvare a unei probleme poate fi stabilit prin propoziii afirmative i propoziii interogative. Cu ajutorul lor se arat etapele succesive ale procesului de gndire, fiecare punct al planului reprezentnd una din ntrebrile puse la fiecare din problemele simple n care s-a descompus problema compus dat. La clasele I i a II-a, cu precdere, planul de rezolvare va fi alctuit pe baza propoziiilor interogative. Treptat, la clasele a III-a i a IV-a, planul de rezolvare va fi ntocmit pe baza propoziiilor afirmative.La nceput, n clasa I, planul problemei se ntocmete oral (elevii neavnd suficiente cunotine i deprinderi de scriere), manier ce se continu i n clasa a II-a n unele situaii. Se recomand ca n clasa a II-a, planul de rezolvare s se fac oral i n scris, n egal msur. n clasele a III-a i a IV-a, dup ntocmirea planului oral, elevii sunt capabili, datorit deprinderilor de scriere deja formate, s treac la scrierea planului cu uurin, ndat ce problem a fost examinat.Forma n care poate fi scris planul este variat, dar cea mai eficient i cea mai des folosit este scrierea planului sub form de ntrebri.S lum ca exemplu urmtoarea problem:Un colecionar de mrci potale are ntr-un album 387 de mrci potale, n al doilea are de trei ori mai mult dect n primul, iar n al treilea album are cu 169 de mrci potale mai puine dect n primele dou.Cte mrci polale are colecionarul n cele trei albume?

Planul rezolvrii1. Cte mrci potale are n al doilea album?2. Cte mrci potale are n primul i al doilea album?3. Cte mrci potale are n al treilea album?4. Cte mrci potale are n toate albumele?Rezolvare3 x 387 mrci = 1161 mrci

387 mrci +1161 mrci = 1548 mrci 1548 mrci - 169 mrci =1379 mrci 1548 mrci + 1379 mrci = 2927 mrciRezolvarea poate fi scris i prin intercalarea ntrebrilor din plan cu calculul, asigurndu-se o estetic n pagin i o strns legtur ntre ceea ce a gndit elevul i ceea ce se calculeaz. Exemplu:

Plan de rezolvare1.Cte mrci potale are n al doilea album?3 x 387 mrci =1161 mrci2.Cte mrci potale are n primul i al doilea album?387 mrci +1161 mrci = 1548 mrci3.Cte mrci postale are n al treilea album? 1548 mrci - 169 mrci = 1379 mrci4.Cte mrci potale are n toate albumele? 1548 mrci + 1379 mrci = 2927 mrci

sau 387 mrci + 1161 mrci + 1379 mrci = 2927 mrciLa clasa a IV-a, planul de rezolvare poate fi scris i n modul urmtor:1. 3 x 387 mrci = 1161 mrci (al doilea album);2. 387 mrci +1161 mrci = 1548 mrci (primul i al doilea album);3. 1548 mrci - 169 mrci = 1379 mrci (al treilea album);4. 1548 mrci + 1379 mrci = 2927 mrci (cele trei albume).Intercalnd ntrebrile cu calculul, elevii sunt solicitai s rspund imediat, prin efectuarea operaiei fiecrei ntrebri din plan, evitndu-se unele posibile greeli i chiar posibile confuzii de ntrebri i operaii.Treptat, se poate nlocui planul de rezolvare bazat pe propoziii interogative cu cel bazat pe propoziii afirmative.1.Aflm cte mrci potale are n al doilea album.3 x 387 mrci = 1161 mrci2.Aflam cte mrci potale sunt n primele dou albume.387 mrci +1161 mrci = 1548 mrci3.Aflm cte mrci potale sunt n al treilea album.1548 mrci - 169 mrci = 1379 mrci 4. Aflm cte mrci potale are colecionarul n cele trei albume.

1548 mrci + 1379 mrci = 2927 mrci

Rspuns: 2927 mrci potaleStabilirea operatiilor, scrierea lor i efectuarea calculelorConinutul unei probleme compuse se fragmenteaz n probleme simple, n procesul de rezolvare i ei, prin procesul de analiz. Planul de rezolvare nu poate fi complet dac nu se specific operaiile matematice subordonate fiecrei ntrebri, fiecrei probleme simple desprinse din problema compus.Este necesar s se stabileasc operaia corespunztoare, s se scrie aceast operaie i apoi s efectueze calculul mintal sau n scris. Scrierea operaiei trebuie s aib loc dup ce s-a fcut formularea propoziiei interogative sau a propoziiei afirmative din planul de rezolvare. Operaia se va scrie n partea dreapt a tablei sau a caietului, termenii operaiei fiind numere concrete i n ordinea indicat de procesul de gndire. n cazul cnd calculele se fac n scris, acestea sunt scrise n partea dreapt a tablei sau caietului, termenii operaiei fiind numere abstracte, respectnd regulile generale ale operaiilor matematice, proprieti pe care elevii le cunosc la acea dat.Rezolvarea problemelor dup un plan de rezolvare necesit nu o dat i folosirea schemelor, desenelor, graficelor, iar pentru formarea unei gndiri sintetice, formule numerice sau literale.Dac atunci cnd se predau operaiile aritmetice se insist asupra notrii cu litere a termenilor i factorilor, dac operaiile aritmetice sunt scrise la modul general i se cere elevilor s rezolve i s compun probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, a diferenei, a produsului, a ctului, s mreasc i s micoreze o cantitate, cu att mai mult, cu att mai puin sau de attea ori, folosind formule literale, elevii nu vor ntmpina greuti mari n aciunile de schematizare i generalizare a unei probleme compuse prin exerciiul numeric sau formula literal.3.3. Probleme care se rezolv prin metoda grafic (figurativ)Problemele care se rezolv prin metoda figurativ nu pot fi incluse strict n categoria problemelor tipice, deoarece nu putem gsi un algoritm de rezolvare aplicabil tuturor problemelor de acest fel.n ce const, de fapt, aceast metod?De cele mai multe ori, cel ce rezolv probl