loc gemetric cu vectiori

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro


Ovidiu AVDANEI,clasa a IXa B Colegiul Naional Emil RacoviIai

1

I. Introducere

Problemele de loc geometric au fost ntotdeauna o adevrat provocare datorit

frumuseii i complexitii lor. ndemnndu-ne s cutm, s intuim, s pim nesiguri, cu un

sentiment de ndoial, ne ofer n schimb satisfacia reuitei, amplificat de drumul oscilant, de

risipa de ncercri i ntrebri.

Teama de anticipare, neputina de a palpa fac de multe ori ca problemele de loc

geometric s par inaccesibile, fiind considerate cele mai grele probleme de geometrie.

Primele referiri asupra noiunii de loc geometric aparin lui Platon (427-347 .Hr.) i

Aristotel (383-322 .Hr.),unii dintre cei mai mari gnditori ai Antichitii.

II. Definiii

Prin loc geometric se nelege figura format din mulimea L a tuturor punctelor din plan sau din

spaiu care au aceeai proprietate .P

O problem de loc geometric se distinge printr-un enun ce prezint proprietatea P i prin

determinarea mulimii tuturor punctelor ce o satisfac.

Rezolvarea unei probleme de loc geometric presupune determinarea mulimii de puncte L care

satisfac proprietatea geometric .P

Dup modul n care este structurat problema, se ntlnesc dou situaii:

1. probleme n care locul geometric este precizat;

2. probleme n care enunul cere i stabilirea locului.

Indiferent de situaie, problema fixeaz o mulime F de elemente fixe (puncte, drepte, cercuri,

segmente, arce, unghiuri, etc.) i o mulime K de constante (direcii, numere reale, etc.) cu ajutorul

crora se formeaz o proprietate referitoare la punctele planului sau ale spaiului.

Rezolvarea unei probleme de loc geometric este compus din dou pri:

n prima parte trebuie s se intuiasc locul geometric, dac nu este precizat;

n partea a doua se arat c mulimea intuit satisface condiiile problemei.

Ca s avem certitudinea c figura propus este locul geometric cutat, este necesar ca ambele

propoziii s fie demonstrate. Dac s-ar demonstra numai prima propoziie se ajunge la concluzia c

toate punctele figurii presupuse fac parte din mulimea punctelor care aparin locului geometric cutat,

dar nu putem s ne dm seama dac nu cumva sunt puncte n afara figurii care s aparin locului. Dac

s-ar demonstra numai a doua propoziie, atunci se ajunge la concluzia c toate punctele locului cutat

aparin figurii, dar nu s-ar ti precis dac pe figura presupus nu se gsesc i puncte care s nu aib

proprietatea enunat.




2

III. Exemple de probleme de loc geometric tratate vectorial

Problema 1.

Enun: n patrulaterul ABCD vrfurile ,A ,B C sunt fixe, iar vrful D descrie o dreapt .d S

se afle locul geometric al mijlocului segmentului ,MN unde

M este mijlocul segmentului ,AB iar N este mijlocul

segmentului .CD Rezolvare:

Notm cu P mijlocul segmentului .MN Din punctul A

ducem perpendiculara pe dreapta d i notm cu Q piciorul

acestei perpendiculare.

Vectorul AD se exprim prin relaia: ,AD AQ u unde u este versorul dreptei ,d iar o

mrime variabil.

n triunghiul ACD segmentul AN este median i prin urmare 1 ,2

AN AD AC sau nc

1 , .2 2

uAN AQ AC

1

Vectorii AM i AB sunt coliniari, prin urmare , .2

ABAM 2

n triunghiul AMN vectorul AP se exprim prin formula: 1 .2

AP AM AN

Substituind valorile vectorilor AM i AN din (1) i (2) n ultima relaie obinem:

, .4 4

AQ AC AB uAP

3

Cum ,A ,B C i dreapta d sunt elemente fixe, rezult c 4

AQ AC ABa

constant.

Relaia (3) devine: ,4

uAP a

deci locul geometric cutat este o dreapt paralel cu dreapta .d

Problema 2

Enun: Fie ,A ,B C trei puncte fixate. S se determine locul geometric al punctelor din plan

pentru care 2 2 2 .MA MB MC k

Rezolvare:

Fie G centrul de greutate al triunghiului .ABC Atunci

2

2

2 2 2 .

MA MA MA MG GA

MG GA MG GA

Analog artm c 2 2 2 2MB MG GB MG GB i 2 2MC MG 2 2 .GC MG GC Atunci relaia din enun

devine:

2 2 2 2 2 2 23

2 .

MA MB MC MG GA GB GC

MG GA GB CG




3

Pe de alt parte 0GA GB CG i atunci 2 2 2MA MB MC

2 2 2 23 , .MG GA GB GC 1 innd cont de urmtorul rezultat: Dac G este centrul de greutate al triunghiului ,ABC atunci are loc:

2 2 22 2 2 ,

3

AB AC BCGA GB GC

relaia (1) devine 23MG k

2 2 2

3

AB AC BC sau nc

2 2 22

3.

9

k a b cMG

Discuie:

1) Dac 2 2 23 ,k a b c atunci locul geometric este mulimea vid.

2) Dac 2 2 23 ,k a b c atunci locul geometric este format din punctul .G

3) Dac 2 2 23 ,k a b c atunci locul geometric este cercul de centru G i raz

2 2 23.

3

k a b c

Problema 3

Enun :S se gseasc locul geometric al centrelor dreptunghiurilor nscrise ntr-un triunghi ascuitunghic.

Rezolvare:

Cazul I :

,P ,Q BC ,M AB .N AC

Fie ,MN AM

BC AB unde 0,1 .

Dac ,AM

AB atunci 1

MB

AB i 1 .MB AB

Dac ,O MP QN atunci O este mijlocul seg ntului MP i 1 .2

BO BM BP

Dar , .BP BQ QP BQ MN BQ BC 1

Din asemnarea triunghiurilor MQB i ADB avem c 1 ,BQ BM MQ

BD AB AD de unde

1 .BQ BD

nlocuind BQ astfel obinut n (1) avem:

1 .BP BD BC Revenind la expresia lui BO obinem

1 1 1 12 2

BO BM BP BA BD BC

12 2

BC BA BD BR

1 ,BS unde R este mijlocul laturii BC iar S este mijlocul nlimii .AD

Din relaia 1BO BR BS deducem c punctul O descrie segmentul ,RS unde R este mijlocul laturii BC iar S este mijlocul nlimii corespunztoare ei.

Analog tratm i celelalte dou cazuri cnd ,P Q AC sau , .P Q AB




4

n final concluzionm: locul geometric cutat este reuniunea a trei segmente care au un capt n mijlocul unei laturi a triunghiului iar cellalt capt va fi mijlocul nlimii corespunztoare ei.

Problema 4

Enun: Fie triunghiul ABC i ,O RC cercul su circumscris. Fie punctul T n interiorul acestui cerc i fie ,M ,N P punctele de intersecie ale cercului cu semidreptele

,AT BT i respectiv .CT Dac , , 0, s se determine locul geometric al punctelor T

pentru care .TA TB TC

TM TN TP

Rezolvare:

Exist punctul G n planul ABC astfel nct s avem

,DG DA DB DC .D ABC Acest

punct G este baricentrul punctelor , ,A , ,B ,C i este unic.

Folosind puterea punctului T fa de cercul ,O RC avem: 2 2 2 2 ,TA TM TB TN TC TP R OT R d unde .OT d

Relaia din ipotez se mai scrie succesiv sub forma: 2 2 2TA TB TC

TA TM TB TN TC TP

2 2 2 2 2TA TB TC R d

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.TA R d TB R d TC R d

Dar 2 2 2 2 ,TA R d TA TO 2 2 2 2TB R d TB TO i 2 2 2 2 .TC R d TC TO

Atunci rezult c TO TA TB TC 0, ceea ce este echivalent cu 0.TO TG Prin urmare punctul T se afl pe cercul de diametru .OG

Bibliografie

1. Andreescu Titu, Btineu D.M., Chiri Marcel & co, Enunurile i soluiile problemelor date la etapa judeean i etapa pe ar a olimpiadelor de matematic pentru licee din anii 1975 - 1983.

2. Andrici Mirela, Mitrofan Livia, Fascinaia locurilor geometrice, Editura Performantica, Iai, 2005.

3. Brnzei Dan, Ania S., Omofra E., Isvoranu Gh., Bazele raionamentului matematic, Editura academiei Republicii Socialiste Romnia, 1983.

4. Miron Radu, Brnzei Dan, Fundamentele aritmeticii i geometriei, Editura Academiei Republicii Socialiste Romnia, 1983.

5. Morozova E.A., Petrakov I.S., Skvorov V.A., Olimpiade internaionale de matematic, Editura Tehnic, 1978.

6. Scarlet Radu, Iniiere n locuri geometrice plane, Editura Scan, Galai, 1995. 7. Simionescu Gh., Probleme de sintez de geometrie plan i n spaiu, Editura Tehnic,

1978.

8. ieica G., Probleme de geometrie, Editura Tehnic, 1962.

loc gemetric cu vectiori

Documents