Clasificarea grupurilor cu numr mic de elementeNegril BogdanFacultatea de Matematic-InformaticUniversitatea Bucureti20111Cuprins

Prefa .....................................................................................3Capitolul 1. Produse directe......................................................5Capitolul 2. Automorfismele unui grup ciclic.............................16 2.1 Automorfismele lui nZ............................................17 2.2 Automorfismele unui grup de ordin npn care toate elementele au ordinul p....................................22Capitolul 3. Aciuni ale grupurilor pe mulimi...............................24Capitolul 4. Grupuri rezolubile ....................................................31Capitolul 5. pgrupuri i teoremele lui Sylow ..............................33Capitolul 6. Aplicaii.....................................................................37. iScurt introducere n produsele semidirecte............37 6.1 Grupuri cu pi 2p elemente...................................39 6.2 Grupuri cu pqelemente..........................................40 6.3 Grupuri cu 3p elemente...........................................42 6.4 Grupuri cu 2p q elemente.........................................45 6.5 Grupurile cu un numr mic de elemente.................51 Bibliografie..................................................................................582PrefaMatematicienii se strduiesc adesea s realizeze o clasificare complet a unei noiuni matematice. n contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificulti. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin p, numr prim, sunt automat i grupuri ciclice (i abeliene), notatepZ. Se poate arta c i grupurile de ordinul 2psunt abeliene, afirmaie care ns nu se generalizeaz la ordinul 3p , dup cum reiese din contraexemplul grupului nonabelian D4 de ordin 8 = 32. Sistemele CAS pot fi utilizate pentru a genera liste de grupuri mici, dar nu exist clasificri ale tuturor grupurilor finite. Un pas intermediar l reprezint clasificarea grupurilor finite simple. Teorema Jordan-Hlder prezint grupurile simple ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite. Generarea listei tuturor grupurilor finite simple a fost o mare realizare din teoria grupurilor. Laureatul Medaliei Fields din 1998, Richard Borcherds a reuit s demonstreze conjecturile monstrous moonshine, o relaie surprinztoare i profund ntre cel mai mare grup sporadic finit simplugrupul monstrucu anumite funcii modulare, o component a analizei complexe clasice i teoria corzilor, o teorie ce intenioneaz s unifice descrierea multor fenomene fizice.Cte grupuri cu n elemente exist? O mare dificultate n clasificarea grupurilor este numrul exhaustiv de structuri pe care acestea l au de la ordine relativ mici. Dac definim ( ) f n ca fiind numrul de structuri posibile ale grupurilor cu n elemente, avem urmtorul tabel:n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16( ) f n 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14Pentru aceste prime 16 exemple, clasificarea este cunoscut de mai bine de 100 de ani. Dar ce se ntmpl pentru numere mai mari? Pentru cazurile n care n este un numr prim, rspunsul este simplu- o singur structur posibil, conform teoremei lui Lagrange. Cnd incepe ns s creasc, problema clasificrii devine foarte dificil. Grupurile de ordinul 102 au 3fost recent clasificate de ctre Besche, Eick si O Brien. Ei au demonstrat c n acest caz exist nu mai puin de 49 487 365 422 de grupuri.De asemenea, au reuit s numere toate structurile posibile pentru grupuri cu un numr de elemente cuprins ntre 1 si 2000. Cu toate acestea, pentru 112 elemente nu s-a reuit nici o clasificare. Se tie doar c exist mai mult de 244 grupuri. In 1960, Graham Higman a demonstrat c( )mf p3 22( )27m o mp, iar n 1965 Charles Sims a demonstrat c( )mf p8332( )27m o mp+. Aceasta este cea mai bun ncadrare care s-a putut obtine pentru numrul de grupuri cu mpelemente, unde p este un numr prim. n 1991, Laszlo Pyber a demonstrat (i a publicat n 1993), pentru orice numr natural n, c( ) f n5232( ) ( ( ) )27n O nn +, unde ( ) n reprezint cea mai mare putere la care un numr prim l divide pe n. Vom vedea n continuare cteva noiuni de baz care stau la clasificarea grupurilor cu n elemente. n primul capitol am prezentat noiunea de produs direct de grupuri, care prin teorema de clasificare a grupurilor abeliene finit generate ne permite s clasificm toate grupurile abeliene finite. n particular, se obine, pentru fiecare numr ntreg pozitiv n, un procedeu prin care se pot descrie toate tipurile de grupuri abeliene de ordin n.Capitolul II prezint automorfismele grupurilor ciclice, fcnd trecerea spre urmtorul capitol, mult mai important, i anume aciuni ale grupurilor pe mulimi.Fr a prezenta vreo legtur cu primele 3 capitole, capitolul IV este o trecere n revist a grupurilor rezolubile i cteva proprieti ale acestora.Penultimul capitol este esenial pentru clasificarea grupurilor neabeliene, permind prin intermediul produsului semidirect inclusiv clasificri mult mai complexe dect cele prezentate n lucrarea de fa.Capitolul VI constituie de fapt subiectul acestei licene i ne ofer clasificrile unor cazuri particulare de structuri de grupuri.4Capitolul IProduse directeConstruim urmtoarea notaie, pentru un grup G oarecare,nN si 1 2, ,...,nHH H subgrupuri ale luiG :{ }1 21... /ni n i iiH x x x x H B.Dac n plus facem presupunerea c orice element din iH comut cu orice element din jH, pentru orice, 1, i j n , cu i j , atunci 1niiHeste un subgrup al luiG . Demonstraia este imediat:i) Considerm 1 2...nx x x x si 1 2...ny y y y , unde, , 1,i i ix y H i n . Atunci, avem produsul 1 2 1 2( ... )( ... )n nxy x x x y y y iar din comutativitatea presupus anterior, putem scrie 1 1 2 2( )( )...( )n nxy x y x y x y , iar cum pentru orice1, i n avem c i i ix y H , rezult c 1niixy H.ii) Ne mai rmne s artm c fiecare element din mulime are si inversul su n aceeasi multime. Considerm 1 2...nx x x x . Avem atunci c 1 1 1 12 1...nx x x x , dar din comutativitatea presupus l putem scrie ca 1 1 11 21...nn iix x x x H , ceea ce ncheie demonstraia.n adugarea celor de mai sus, formulm urmtoarea propoziie:Propoziia 1.1: Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: ( ) i. Elementele lui iH comut cu elementele lui jH,, 1, , , i j n i j iar orice element dinGse scrie n mod unic sub forma 1 2... ,cu, 1,n i ix x x x H i n ( ) ii. { }1 1,,iar1,i n plus1n ni j j ii i i jG H j n H G H H I5Demonstraie:( ) i ( ) ii . Cum 1niiHeste subgrup al luiG , rezult imediat si c 1niiH G. Din ipoteza ( ) i tim c orice element al luiGse scrie n mod unic ca un produs de elemente ale lui ,cu1,iH i n . Atunci, pentru un element oarecarex G , ! i ix H ,1, i n astfel nct 1 21...nn iix x x x H . Cum x a fost ales arbitrat n mulimeaG , avem c 1niiG H. Dubla incluziune demonstrat arat c 1niiG H.S demonstrm acum c forma impus nu permite s avem dect { }11nj iii jH H I. ntr-adevr, dac presupunem c nu este aa, nseamn c exist cel puin un x si cel puin un j pentru care s avem c 1nj iii jx H H I, ceea ce implic ns dou scrieri distincte ale lui x, cci n aceste condiii avem 1 2 1 11 1 1 ... 1 ... 1... 1 ...j j nx xx x x x x x + ' , unde fiecare scriere are cte n termeni, iar prima are x pe poziia j i 1 n rest. Evident cele dou scrieri sunt diferite, ceea ce duce la o contradicie cu presupunerea c scrierile cu elemente din 1niiH sunt unice. Aadar relaia scris iniial este adevarat. Fie acum 1 2 1 2...i y=y ...n nx x x x y y .Cum elementele lui iH comut cu elementele lui, , 1,cu jH i j n i j , iar conform primei pri 1niiH G este subgrup, rezult c 1 1 1 11 1 1 2 2 2( )( )...( )n n nyxy y x y y x y y x y .6Fie pentru un1,jx H j n oarecare. Cum scrierea sa este unic si din formele pe care le-am scris anterior, avem evident1 1 ... 1 ... 1 x x 1, 1, ,ix i n i j 1 1j j j j jyxy y x y H H G ( ) ( ) ii i Fie, 1,i iar i ji j n i j x H y H . Cum 1 1 1 ( )i i iH G yxy H yxy H . Analog, din 1 j jH G xyx H . Din aceste dou relaii avem:1 1 1 1 1 11 1 1 1( ) ( )( )ijxyx y x yx y x yxy Hxyx y xyx y H ' i n plus tim c { }11ni j i jjjiH H H H I I , de unde ne rezult c 1 11 comut cu, , 1,cu i jxyx y xy yx H H i j n i j .S demonstrm acum unicitatea descompunerii. Fie, , 1,i i ix y H i n astfel nct s avem egalitatea: 1 1 11 2 1 2 1 1 2 2... ...( )( )...( ) 1n n n nx x x y y y x y x y x y Fie acum j arbitrar,1, j n { }1 1 11 1( ) 1n nj j i i j ii ii j i jx y x y H H I1,j jx y j n , aadar scrierea este unic, ceea ce ncheie si demonstraia propoziiei.Definiia 1.1 FieGun grup si 1 2, ,...,nHH H subgrupuri ale sale care satisfac condiiile echivalente ale propoziiei 1.1. Atunci spunem cGeste produs direct al subgrupurilor 1 2, ,...,nHH H si notm 1niiG Dr H sau 1 2...nG H H H . Invers, plecnd de la grupurile arbitrare 1 2, ,...,nHH H putem construi un grupGcare s fie produsul direct al unor subgrupuri izomorfe cu 1 2, ,...,nHH H astfel:Considerm{ }1 2( , ,..., ), , 1,n i iG x x x x H i n i definim urmtoarea operaiune pe elementele sale: 1 2 1 2 1 1 2 2( , ,..., )( , ,..., ) ( , ,..., )n n n nx x x y y y x y x y x y Pentru ca cele menionate mai sus s aib sens, demonstrm acum cGcu operaia introdus este grup.( ) i. Asociativitatea: fie, , , 1,i i i ix y z H i n . Avem: 7[ ]1 2 1 2 1 2( , ,..., )( , ,..., ) ( , ,... )n n nx x x y y y z z z= 1 1 2 2 1 2( , ,..., )( , ,..., )n n nx y x y x y z z z= 1 1 1 2 2 2( , ,..., )n n nx y z x y z x y z= 1 2 1 1 2 2( , ,..., )( , ,..., )n n nx x x y z y z y z=[ ]1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )( , ,..., )n n nx x x y y y z z z, deci operaia introdus este asociativ.( ) ii. Elementul neutru. Se observ imediat c acesta este (1,1,...,1)( ) iii.Inversul unui element. Fie, 1,i ix H i n . Dac 1 1 1 11 2 1 2( , ,..., )( , ,... )n nx x x x x x x x . Se verific imediat c acest element satisface condiiile pentru invers.Definim acum :i iH G prin ( ) (1,1,..., ,...,1)i i ix x cu ixpe poziiai . Se observ imediat c i este o aplicaie inectiv i c n plus este un morfism, ceea ce implic c { } Im 1,1,..., ,...,1/i i i i iH x x H este un subgrup nG , iar n plus avem relaia i iH H ; . n conformitate cu propoziia 1.1, pentru a arta cGeste produsul direct al grupurilor 1 2, ,...,nHH H este suficient s demonstrm doar una din cele dou condiii echivalente. Pentru simplitate, alegem s demonstrm condiia ( ) i:Fie (1,1,..., ,1,..,1)i (1,1,..., ,...,1) ,cu i i j jx H x H i j . Fr a restrnge generalitatea, facem alegerea ca i j . Deoarece 1 2( , ,..., ) 1nm m m , exist cel puin doi indici 10{ } , 1, 2,..., , i j n i j cu 0 .i jm m Putem presupune c 1 20. m m > Atunci, deoarece 12 1 1 2( ), x x x x{ }1 1 2 3, , ,...,nx x x x x este un sistem de generatori pentruG . n plus, 1 2 2( , ,..., ) 1nm mm m i 1 2 2( ) ... .nm m m m m + + + < Conform ipotezei de inducie, exist un sistem de generatori { }1 2, ,...,ny y yal luiGastfel ca 3 1 2 21 1 1 2 31( ) ...n inm m m m m mn iiy x x x x x x .Revenim la demonstraia teoremei.Dac1 n ,Geste ciclic i afirmaia din enun este evident. Prin urmare putem presupune 1 n > . Notm cuSmulimea elementelor 1 2( , ,..., )nx x x ale luiGastfel nct 1 2, ,...,nx x x G i 1 2( ) ( ) ... ( )no x o x o x . Deoarece orice sistem de generatori { }1 2, ,...,nx x x al luiGpoate fi ordonat (evident, n mai multe moduri) astfel ca el s devin un element al luiS , mulimeaSeste nevid. Fie 1M cel mai mic numr (poate fi i ) pentru care exist un 1 2( , ,..., )nx x x S astfel nct 1 1( ) o x M . Cu 1M astfel definit, fie 2M cel mai mic numr pentru care exist un 1 2( , ,..., )nx x x S astfel nct1 1( ) o x M i2 2( ) o x M ;1M i2M fiind astfel definite, continum procedeul pn cnd gsim un ir de numere 1 2, ,...,nMM M avnd urmtoarele proprieti: - exist 1 2( , ,..., )nx x x S astfel ca( ) , 1,i io x M i n - pentru orice 1 2( , ,..., )ny y y S i orice{ } 1, 2,..., j n , dac( ) , 1, 1i io y M i j , atunci { } ( ), , 1,...,i iM o y i j j n +Vom demonstra c pentru un element 1 2( , ,..., )nx x x S astfel ca( ) , 1,i io x M i n , avem c 1niiG Dr x . Deoarece 1 2, ,...,nx x x este un sistem de generatori al luiG , avem 1niiG x . Rmne s demonstrm c orice element y G se scrie n mod unic sub forma 1 2...ny y y y cu, 1,i iy x i n . Presupunem prin absurd c acest lucru nu este adevrat. Atunci, exist numerele ntregi 1 2, ,...,nr r r astfel ca 11inriixi exist un{ } 1, 2,..., i n cu1irix . Putem 11presupune c 1 2, ,...,nr r r sunt numere nenegative. ntr-adevr, dac pentru un{ } 1, 2,..., i n avem 0ir .Considerm acum numerele ntregi 1 2, ,...,ns s s astfel ca pentru orice{ } 1, 2,..., i n s avem 0 ( )i is o x < i i is ri ix x . Putem construi numerele isastfel:- dac ( )io x < , atunci, prin teorema mpririi cu rest, exist numerele ntregi iq i is astfel ca: ( )i i i ir q o x s + i 0 ( )i is o x pentru uni . Fie{ } 1, 2,..., j n cel mai mic numr natural astfel ca 0js >. Atunci, 0is pentru orice{ } 1, 2,..., 1 . i j Fie 1 2( , ,..., )nd s s s i pentru fiecare{ } 1, 2,..., i n notm i im s d . Atunci 1 2, ,...,nm m m sunt numere ntregi nenegative i 1 2( , ,..., ) 1nm m m . Deoarece 0im pentru , i j < avem 1( , ,..., ) 1j j nmm m+. Fie 1, ,...,j j nH x x x G+ . Atunci, conform lemei, exist un sistem de generatori { }1, ,...,j j ny y y+al luiH astfel ca inmj ii jy x . Deci 1i in ns s dj i ii j iy x x , deoarece 0is pentru , i j Atunci nGexist un subgrup de ordin kp .Demonstraie. Demonstrm prin inducie dup n. Dac , n p afirmaia este evident. Presupunem afirmaia teoremei adevrat pentru orice grup al crui ordin este mai mic strict dect n. Dac nGexist un subgrup propriuHal crui ordin se divide cu kp , atunci din ipoteza inductiv rezult cHposed un subgrup de ordin kpi acest subgrup este i un p-subgrup Sylow nG . Dac un astfel de subgrup nu exist nseamn c pentru orice subgrup propriuHdinG , indicele luiHnGse divide cu p. Aplicm acum formula claselor de elemente conjugate nG : ( ) : ( )xG C G G N x +. Atunci se obine c pdivide ordinul centrului ( ) C G al luiG . Cum ns ( ) C G este grup abelian, din lema precedent rezult c ( ) C G conine un subgrup de ordin p, pe care l vom nota cu H . DeoareceHeste subgrup normal nGi grupul factor are ordinul 1',kp n unde' nverific relaia',kn p n din ipoteza inductiv rezult cp exist un subgrup' Kal luiG Hde ordin 1.kp Fie 1( ') K u K , unde: u G G H este surjecia canonic.Keste un p-subgrup Sylow al lui G , deoarece ordinul su este.kpFieGun grup finit al crui ordin se divide cu p, numr prim, iS mulimea p-subgrupurilor Sylow ale lui G(este nevid conform teoremei anterioare). Dac , H S atunci pentru oricex G subgrupul 1xHx este tot un p-subgrup Sylow, deciGacioneaz prin conjugare pe. SSubgrupul 1xHxse numete conjugat al luiH . Prezentm n continuare o serie de proprieti ale p-subgrupurilor Sylow, sub forma urmtoarei teoreme:Teorema 5.2. (Teorema a doua a lui Sylow). FieGun grup finit i p+Z, prim, astfel nct . p n Atunci:( ) i Orice p-subgrup al luiGeste coninut ntr-un p-subgrup Sylow al luiG .35( ) ii Orice dou subgrupuri Sylow ale luiGsunt conjugate (altfel spus, exist o singur orbit a luiSpentru aciunea de conjugare a luiG ).( ) iii Numrul pn al p-subgrupurilor Sylow ale luiGeste congruent cu 1 modulo p. n plus, pentru un p-subgrupHal luiG , avem relaiile : ( )p Gn G N H i :pn G H.Demonstraie. FieHun p-subgrup al luiGiKun p-subgrup Sylow al luiG . Fie' Sorbita luiKn mulimeaSa p-subgrupurilor Sylow ale luiGpentru aciunea de conjugare a luiGpeS . Cardinalul lui' Seste prim cu p, cci este egal cu indicele normalizatorului ( ) N K al luiKn Gi ( ) N K K . Considerm acum aciunea de conjugare a luiHpe' S . Cum orice subgrup propriu al luiHare indicele nHdivizibil cu p iar' Sare cardinalul prim cu p, rezult c exist n' Scel puin o orbit trivial la aciunea de conjugare a luiH . Fie' Kelementul unei astfel de orbite. Rezult atunci cHeste coninut n normalizatorul grupului' KnG , deci ' HK G (conform lemei 5.2), iar' Keste subgrup normal n' HKi ' ' ' '. HKK KH K I Deci' HKeste p-subgrup care conine pe' Ki deci ' ', HK K adic ', H K ceea ce demonstreaz subpunctul ( ) i.Pentru a demonstra pe ( ) ii este suficient s luam peHun p-subgrup Sylow al luiG .Atunci din ( ) i va rezulta c exist un conjugat' Kal luiKcu ', H K deci' H K .Dac repetm raionamentul pentru demonstraia lui ( ) i n cazul , H K atunci din ( ) ii rezult c' S S i aciunea luiKpeSare o orbit format din singurul elementK , iar celelalte orbite au cardinalul divizibil cu p. ntr-adevr, dac ' , ' , K SK K atunci orbita lui' Knu se reduce la' K , cci ar rezulta c' KKeste p-subgrup nG , ceea ce duce ns la o contradicie. Deci cardinalul orbitei lui' Keste egal cu indicele unui subgrup propriu al luiKn el nsui. De aici obinem afirmaia ( ) iii a teoremei.Avem n plus relaiile evidente:: ( ) ,p p Gn S G N H deoarece : ( )GGx G Stab x Deoarece : : ( ) ( ) : ( ) :G G p GG H G N H N H H n N H H :pn G H , ceea ce ncheie n totalitate demonstraia teoremei.36Capitolul VIAplicaii( ). i Scurt introducere n produsele semidirecteDatorit necesitii acestora n studiul cazurilor particulare de grupuri alese, introducem mai nti o serie de noiuni referitoare la produsele semidirecte. Informaii complete, inclusiv demonstraiile, se pot gsi n oricare din crile [1], [3] sau [4] din bibliografie.Definiie 6.1.FieGun grup i , H K dou subgrupuri ale luiG . Spunem cGeste produsul semidirect al grupurilorHiKdac sunt ndeplinite simultan condiiile:HiKsunt subgrupuri normale nG ,{ } 1 H K I i. HK G n acest caz, structura grupuluiGeste complet determinat de cea a grupurilorHiK : orice element dinGse scrie n mod unic sub forma , hk cu , h H k K i pentru , ' , , ' h h Hk k K avem ( )( ' ') ( ')( '). hk h k hh kk Unicitatea i existena acestei scrieri se demonstreaz imediat.S considerm acum aciunea prin conjugare a luiKasupra elementelor luiH : , K H H 1( , ) ( ) . h k khk H Aadar, pentru fiecarek K considerm : ,kH H definit prin 1( ) .k h khk Propoziie1. iFuncia : ( ) K Aut H definit prin ( )kk este morfism de grupuri.S prezentm acum construcia produsului semidirect, avnd grupurileHiK . FieHiKgrupuri arbitrare i : ( ) K Aut H un omomorfism de grupuri. Lum{ }( , ) , G h k h Hk K i definim multiplicarea peGprin: 1( , )( ', ') ( , '). h k h k hkhk kkAxiomele grupului sunt imediat verificate, cu elementul unitate (1,1). GrupulGastfel definit se noteaz cu H K i se numete produsul semidirect al grupurilor HiKrelativ la . Dac omomorfismul este trivial, adic ( ) , , h h h H atunci produsul semidirect coincide cu produsul direct. 37Propoziie2. iFie 1 2, : ( ) K Aut H i presupunem c exist ( ), ( ) Aut H Aut H astfel nct 2 1, o o unde reprezint conjugarea lui n ( ). Aut H Atunci:1 2. H K H K Corolar. Fie 1 2, : ( ) K Aut H . DacKeste un grup ciclic i 1 2( ), ( ) K K sunt subgrupuri conjugate n ( ) Aut H, atunci 1 2. H K H K Demonstraie. CumKeste ciclic k K astfel nct . K k Cum 1 2( ), ( ) K K sunt conjugate, conform definiiei exist ( ) Aut H astfel nct 11 2( ) ( ), K K adic 11 2( ) ( ) ,ak k unde 2( )ak este un generator al lui 2( ). K Cum 2( )ak genereaz 2( ) K , avem 2( , ( ) ) 1. a K Fie acum 1a inversul lui (mod ) a K. Atunci 1:i a ik k este un automorfism al luiKi, n plus, 2 1, o o de unde, conform propoziiei anterioare, obinem concluzia dorit.Propoziie3. iOricare dou grupuri de ordin p din 2( )pGL Z sunt conjugate. Demonstraie. Am demonstrat n capitolul 2 c 2 2 22( ) ( 1)( ) ( 1) ( 1),pGL p p p p p p + Z de unde orice p subgrup este p grup Sylow. Conform celei de-a doua teoreme a lui Sylow obinem concluzia. 386.1 Grupuri cu pi 2pelementePentru un numr prim p oarecare avem c orice grup cu p elemente este ciclic, deci izomorf cu .pZ Conform corolarului de la propoziia 3.5, avem c orice grup cu 2pelemente este abelian, ceea ce, n conformitate cu teorema de structur a grupurilor abeliene finit generate, ne spune c un astfel de grup nu poate fi dect izomorf cu p p Z Z sau cu 2pZ. Partea care ne intereseaz n mod deosebit la aceste grupuri este structura grupului automorfismelor unui grup cu 2pelemente.Avem dou cazuri, date de izomorfismele de mai sus:( ). i Atunci cnd este izomorf cu 2pZ, conform propoziiei 2.3, avem c ( ) Aut G este ciclic i izomorf cu 1.p p Z Z Cum cea mai mare putere a lui p care divide ordinul grupului ( ) Aut G este 1, rezult conform primei teoreme a lui Sylow c exist un p-subgrup de ordin p. ( ). ii Cnd este izomorf cu p p Z Z, rezult c orice element are ordin p deci, conform propoziiei 2.4, avem c ( ) Aut G este izomorf cu grupul liniar 2( ),pGL Z aadar conform propoziiei 2.5, acesta are 2 2 2( )( 1) ( 1) ( 1) p p p p p p +elemente. Cum cea mai mare putere a lui p care divide ordinul grupului ( ) Aut G este 1, rezult conform primei teoreme a lui Sylow c exist un p-subgrup de ordin p. Aadar, n ambele cazuri am obinut c dac un grup are 2pelemente, atunci mulimea automorfismelor sale conine cu siguran un p-subgrup Sylow de ordin p.396.2 Grupuri cu pq elemente.FieGun grup cu pq elemente i . p q DacGeste abelian, atunci conform teoremei de structur, el este izomorf cu .p q Z ZFie acum , p q dou numere prime diferite iGun grup cu . G pq Presupunem c . p q >Notm cu pn numrul p-subgrupurilor Sylow ale luiG , cuHun p-subgrup Sylow al luiGi cuKun q subgrup Sylow al luiG . Conform celei de-a doua teoreme a lui Sylow, avem c pn q i 1 (mod )pn p astfel c, deoarece p q > rezult c 1,pn deci. HG Cum H p i , K q H KI divide att p ct i , q deci{ } 1 1 H K H K I I. De asemenea, , HK H K H K K Iceea ce arat c , HK H K pq G deci. HK G AadarGeste produsul semidirect al subgrupurilor saleHiK .tim acum cHiKsunt grupuri ciclice, deci exist dou elemente, pe care le vom nota cu a ibcare s genereze peH , respectiv peK .Avem H a i , K b ceea ce implic 1 rbab a , pentru un numr , r care n plus verific 0 . r p < Avem , G HK a b iGeste generat de elementele a ibi de relaiile 11, 1, .p q ra b bab a Cu notaiile de mai sus, s considerm acum morfismul : ( ) K Aut H indus de reprezentarea prin permutri asociat aciunii luiKpeHprin conjugare. Atunci . G H K DeoareceKeste un grup de ordin prim, avem ( ) Ker K sau{ } ( ) 1 , Ker ceea ce ne indic fie c este trivial, fie c este injectiv. n cazul n care este trivial, avemG H K (produsul direct), care conform teoriei din capitolul I este ciclic. n cazul n care este injectiv, avemG olomorful luiHrelativ la Im( ). J n plus, pentru o caracterizare mai bun a structurii grupului, folosind faptul cHeste ciclic, obinem c 1,rkhk hunde 1 1, r p < deciGarat astfel:, 1, 1, .p q rG h k h k kh h k Pentru o caracterizare complet a grupurilor cu pqelemente, prezentm i urmtoarea propoziie:40Propoziie 6.1.Fie , p q dou numere prime diferite, . p q > Au loc urmtoarele afirmaii:( ). i Dac 1 (mod ) p q atunci orice grup de ordin pq este ciclic ;( ). ii Dac 1 (mod) p q , atunci exist exact dou tipuri de grupuri de ordin pq: unul este ciclic i cellalt este neabelian.Demonstraie. FieGun grup de ordin pq. Cu aceleai notaii ca mai nainte, avem:( ) Aut H este un grup ciclic de ordin 1. p Dac este injectiv Im( ) ( ) 1, q K Aut H p adic 1 (mod); p q n plus, n acest caz, Im( ) este unicul subgrup al lui ( ) Aut H de ordin . q Prin urmare, dac 1 (mod ) p q , este neaprat omomorfismul trivial iGeste grup ciclic. Presupunem c 1 (mod) p q i fieJunicul subgrup de ordin q al lui ( ) Aut H. Atunci,Geste sau ciclic sau izomorf cu olomorful luiHrelativ laJ (adic cu unicul olomorf relativ de ordin pq al unui grup ciclic de ordin p). 416.3 Grupuri cu 3pelemente. Fie p un numr prim. Conform celor dou teoreme de structur, numrul tipurilor de grupuri abeliene de ordin 3pcoincide cu numrul partiiilor lui 3. Dar acestea sunt (3), (2,1) i (1,1,1), de unde rezult urmtoarele trei tipuri de grupuri abeliene de ordin 3p :3 2, , .p p p pp p Z Z Z Z Z ZPentru a descrie grupurile neabeliene de ordin 3p , vom trata separat cazurile 2 p i p impar. Considerm mai ntai cazul 2 p i fieGun grup neabelian de ordin 8. Dac toate elementele netriviale dinGau ordinul 2, atunci pentru orice , x y G avem:1 1 1( ) xy xy y x yx Geste abelian. Prin urmare, exist un elementa G cu ( ) 4. o a Fie . H a Deoarece : 8 4 2 G H , avem , G H Hb U undebeste un element dinG Hi . HG AvemHb G H i 2, G H deci{ }2 2 21 ( ) . H Hb Hb b H Dac 2b a sau 2 3b a se constat c ( ) 8, o b ceea ce este o contradicie. Ne rmne aadar c 21 b sau 2 2. b a De asemenea, 1, bab HdeoareceHeste normal. Deoarece 1( ) ( ) 4 o bab o a avem 1bab asau 1 3. bab aDin primul caz, obinemab ba G abelian, deoarece , . G a b Prin urmare 1 3. bab aAvem astfel: , , G a b cu 4 2 1 31, 1, a b bab a sau , , G a b cu 4 2 2 1 31, , a b a bab a .Se observ c primul caz presupune 4G D grupul diedral de grad 4, iar n cel de-al doilea cazGeste izomorf cu grupul cuaternionilor (notat Q). Cum evident 4D i Q nu sunt izomorfe, rezult c exist exact dou tipuri de grupuri neabeliene de ordin 8.Considerm acum cazul pentru p impar i fieGun grup neabelian de ordin 3. pDeoareceGnu este ciclic, el nu poate conine nici un element de ordin 3, pceea ce implic c elementele netriviale dinGau ordinul p sau 2. pPresupunem mai nti c exist un elementa G cu 2( ) . o a p Fie . H a Deoarece : G H p avem. HG Deoarece , G H p G H este ciclic, deci exist un elementb G 42astfel ca. G H Hb n acest caz,( ) .p p pH Hb Hb b H De asemenea, 1, bab HdeoareceHeste normal, deci 1 2, 0, 1.rbab a r p Dar r nu poate fi 0 sau 1, cci asta ar implicaab ba , ceea ce ne-ar duce la concluzia cGeste abelian, evident fals.Prin inducie dupa , j obinem imediat c,jj j rb ab a. j n particular, .pp p rb ab a Pe de alt parte, avem pb H iHeste abelian, deci.p pb ab aRezult,pra a deci 21 (mod ).pr p Conform teoremei lui Fermat, avem (mod )pr r p i rezult 1 (mod ). r p Scriem 1 , . r sp s + Cum 21 , r p < Conform primei teoreme a lui Sylow, existHun p subgrup Sylow al luiGde ordin 2piKun q subgrup Sylow al luiGde ordin . q Cum q este cel mai mic numr prim ce divide ordinul luiGi : , G H q rezult cHeste subgrup normal nG . n plus, cumHiKau ordine prime ntre ele, ordinul unui element comun ar trebui s divid att ordinul luiHct i pe al luiK , deci pe 1,aadar{ } 1 . H K I Uitndu-ne la ordinele luiHiK , rezult c . G HK DeciHiK satisfac condiiile definiiei produsului direct, relativ la un morfism : ( ), K Aut H definit prin ( ) ,kk unde :kH H este definit prin 1( ) .k h khk Avem de analizat dou cazuri: cndHeste ciclic de ordin 2psau cndHeste aciclic.( ). a H ciclic de ordin 2p. Fie H h cu 2( ) . o h p Atunci conform propoziiei 2.3 avem c ( ) Aut H este grup ciclic de ordin ( 1). p p Cum este morfism i K ciclic de ordin q, rezult c ( ) Ker este fie K fie 1. Dac ( ) , Ker K rezult c 1, , khk h h Hk K , i cum , G h k G abelian. Rmne c ( ) 1, Ker deci este injectiv, deci Im( ) . q Cum este morfism, rezult c ( ) .Ho q Acest lucru implic ( 1) q p p , deci ( 1). q p Aceast condiie este necesar pentru existena unui grup neabelian.Cum H este ciclic, rezult c automorfismele sale sunt de forma ra cu ( , ) 1. r p Cum ( 1) q p rezult c exist s Z astfel nct 1 . p qs Aadar, putem considera automorfismul ( ) ,sh a cu ( , ) 1. s p nlocuind s cu orice alt putere prim cu , q va rezulta un grup izomorf 45cu acesta. Structura produsului semidirect depinde doar de alegerea unui subgrup de ordin q din ( ) Aut H, care este unic. Aadar, produsul semidirect este izomorf cu olomorful lui Im( ). ( ). b Fie acumHun grup de ordin 2pce are doar elemente de ordin . p Conform propoziiei 2.3, ( ) Aut H va fi izomorf cu (2, )pGL Z, care are 2( 1) ( 1) p p p +elemente, conform propoziiei 2.4. Deci ca mai devreme, pentru a avea un produs semidirect netrivial trebuie ca q s divid pe 2( 1) ( 1) p p p +, ceea ce implic ( 1)( 1). q p p + Numrul de astfel de produse semidirecte va coincide cu numrul claselor de conjugare ale subgrupurilor ciclice cu q elemente din (2, )pGL Z.n funcie de numrul de rdcini pe care le are n pZ polinomul caracteristic al unei matrice din (2, ) GL p, acestea vor fi conjugate cu unul din urmtoatele tipuri de matrice:10xx _ , dac polinomul caracteristic are dou soluii egale(*)00xy _ , dac polinomul caracteristic are dou rdcini distincte(**)0 1d t _ , dac polinomul caracteristic 2a ta d +nu are soluii.(***)S analizm acum structura claselor de conjugare. Tratm separat cazul pentru 2. q n acest caz trebuie s gsim matricile de ordin 2 din (2, )pGL Z. Acestea satisfac relaia 22, A I cu (2, ). A GL p Determinantul luiA nu poate fi dect 1 sau -1.Cazul (*).Trebuie s gsim x astfel nct 21 1 0.0 0 1xx _ _ , , Fcnd calculele, avem 221 0 20 1 0x xx _ _ , ,, ceea ce implic 212 0xx ', lucru evident imposibil.Aadar acest caz nu are soluii.46Cazul (**). Cutm acum , x y Z astfel nct 20 1 0.0 0 1xy _ _ , ,Obinem c 2 21 x y . Cum n plus determinantul este 1, t avem 1. xy t Aadar 1, 1, x y t t ceea ce ne duce la urmtoatele soluii:1 0,0 1 _ , 1 0,0 1 _ , 1 0,0 1 _ , i 1 0.0 1 _ ,Evident, matricile 2 i 3 sunt conjugate. Cazul (***). Trebuie s gsim t astfel nct 20 1 1 0.1 0 1 t _ _ t , ,Pentru 20 1 1 01 0 1 t _ _ , , nu avem soluie, deoarece fcnd calculele obinem 21 1 01 0 1tt t _ _ , ,, evident imposibil.A doua situie implic 20 1 1 01 0 1 t _ _ , ,, ceea ce ne conduce la sistemul:21 1 01 0 1tt t _ _ + , ,, cu unica soluie0. t Aadar unica soluie este 0 1.1 0 _ ,Considerm acum 2. q > n acest caz determinantul este egal cu 1. n continuare avem nevoie de urmtoarea propoziie:Propoziie 6.2. Fie ,a bMc d _ , atunci pentru orice n+Z avem 11,n n n nn n nau u buMcu du u _ , unde 1 2, 2,n n nu tu u n cu 0 11, 1, u u t a b + urma matricei. MDemonstraia se face inductiv i presupune doar verificarea unor egaliti.Distingem din nou cele trei cazuri:47(*). Trebuie s gsim x astfel nct: 1 1 0.0 0 1qxx _ _ , , Cum determinantul este 1, obinem 2112. x x t t tConform propoziiei 6.2, avem 1 22n n nu u u sau 1 22 ,n n nu u u ceea ce ne duce la irurile ,nu n respectiv 1( 1) .nnu n+Atunci, conform aceleiai propoziii, cazul (*) este echivalent cu rezolvarea ecuaiilor:( 1) 1 00 ( 1) 0 1q q qq q _ _ , ,221 1 1 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)0 1 0 1 0 ( 1) ( 1) ( 1)q q qq qq q q qq q++ + _ _ _ , , ,.Prima ecuaie are soluie doar pentru 0, q dar cum am presupus 2 q > aceast soluie nu convine. A doua ecuaie ne duce la 1=-1, ceea ce este evident fals pentru 2 q >. Deci n acest caz nu avem nici o soluie. (**).Trebuie s gsim ,px y Z astfel nct 0 1 0.0 0 1qxy _ _ , ,Cum determinantul este 1, atunci 11. xy y x Prin urmare, avem de rezolvat ecuaia 1qx n .pZ n plus, conform teoremei lui Fermat, avem 11,pxin pZ deoarece ( , ) 1. x p Deci trebuie s gsim toi divizorii primi ai lui 1 p care satisfac relaia1.qx Acest lucru se poate rezolva doar n cazuri concrete.(***). Trebuie s determinm t care satisface ecuaia 0 1 1 0.1 0 1qt _ _ , ,Conform propoziiei de mai sus avem c :110 1.1qq qq q qu uu tu u t _ _ , ,Deci 11qu i 0,qu care implic 11.qu+ Acest caz este dificil de discutat pe caz general. ( ). ii Cazul . p q