Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat

1. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia , pentru orice .a) Să se verifice că pentru orice .b) Să se calculeze c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă, să se calculeze

2. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia pentru pentru orice .a) Să se verifice că pentru orice .b) Să se rezolve, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă, să se calculeze

3. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţiea) Să se verifice căb) Să se demonstreze că , .c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

4. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie a) Să se calculeze b) Să se verifice că pentru orice .c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelor reale, ecuaţia

5. Se consideră mulţimea şi operaţia a) Să se determine astfel încât 2*3=2.b) Pentru k=2, să se rezolve în M ecuaţia x*x=6.c) Să se demonstreze că pentru rezultă că

6. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie şi a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea oricare ar fi numărul întreg x.c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii unde

7. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie a) Să se demonstreze că , .b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ”.c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

8. Se consideră legea de compoziţie pe R definită prin a) Să se arate că legea „ ” este asociativă.b) Să se arate că , dacă atunci .c) Să se determine cu proprietatea , oricare ar fi .

9. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se rezolve ecuaţia b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ” este asociativă.c) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ”.

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

1

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat10. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .

a) Să se arate că , .b) Să se arate că legea de compoziţie „ ” este asociativă.c) Să se rezolve în R ecuaţia

11. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie .a) Să se rezolve în R ecuaţia b) Să se determine astfel încât , .

c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă să se calculeze

12. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie cu şi funcţia definită prin

a) Să se demonstreze că .b) Să se determine pentru care legea de compoziţie „ ” este asociativă.c) Dacă să se arate că funcţia f este morfism între grupurile şi .

13. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie .a) Să se calculeze .b) Să se rezolve în R ecuaţia c) Să se demonstreze că nu există pentru care .

14. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se calculeze b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ” este asociativă.c) Ştiind că şi să se arate că

15. Se consideră mulţimea şi operaţia a) Să se arate că b) Să se demonstreze că pentru c) Să se afle elementele simetrizabile ale mulţimii G în raport cu legea „ ”.

16. Se consideră mulţimea şi operaţia a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei unde e este baza logaritmului natural.b) Să se demonstreze că pentru c) Să se că operaţia „ ” este asociativă pe mulţimea G.

17. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie pentru .a) Să se arate că b) Să se rezolve în R ecuaţia c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „ ”.

18. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie asociativă a) Să se calculeze b) Să se rezolve în R inecuaţia

c) Fie mulţimea

Să se determine numărul elementelor mulţimii A.

19. Se consideră mulţimea şi legea de compoziţie

a) Să se rezolve în G ecuaţia

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

2

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat

b) Să se verifice egalitatea

c) Să se arate că pentru rezultă că .

20. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie .a) Să se arate că , b) Să se determine elementul neutru, ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă şi comutativă.c) Să se determine astfel încât

21. Pe mulţimea numerelor întregi definim legile de compoziţie şi .a) Să se rezolve în Z ecuaţia .b) Să se arate că .c) Să se rezolve în mulţimea ZXZ sistemul .

22. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie a) Să se arate că legea de compoziţie „ ” este asociativă.

b) Să se rezolve ecuaţia

c) Să se demonstreze că este grup comutativ.23. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie

a) Să se verifice că , b) Să se demonstreze că , .c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

24. Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie Fie funcţia ,

a) Să se calculeze

b) Să se verifice că , .c) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ” este asociativă.

25. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie şi

a) Să se verifice că .b) Ştiind că este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „ ” şi este elementul neutru în

raport cu legea de compoziţie „ ” să se calculeze c) Se consideră funcţia , . Să se determine astfel încât ,

.

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

3

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat26. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie , .

a) Să se arate că , .

b) Să se arate că legea „ ” are elementul neutru e=4.c) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii R în raport cu legea „ ”.

27. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se determine astfel încât legea „ ” să fie comutativă.b) Să se arate că pentru a=3 şi b=6 legea „ ” admite element neutru.c) Să se determine a şi b astfel încât pentru .

28. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie .

a) Să se arate că .b) Să se demonstreze că .c) Să se calculeze

29. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se rezolve ecuaţia .b) Să se demonstreze că legea „ ” este asociativă.c) Să se demonstreze că este grup.

30. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se verifice că , b) Să se calculeze c) Să se rezolve ecuaţia unde .

31. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se demonstreze că .b) Să se demonstreze că legea „ ” este asociativă.

c) Să se calculeze

d)32. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie pentru .

a) Să se arate că b) Să se rezolve în R ecuaţia c) Să se calculeze

33. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .

a) Să se arate că .b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ” pe mulţimea R.c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se calculeze

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

4

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat34. Pe Z se defineşte legea de compoziţie asociativă .

a) Să se determine elementul neutru al legii „ ”.

b) Să se rezolve în R inecuaţia

c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „ ”.

35. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se verifice că .b) Să se determine perechile pentru care c) Să se determine două numere astfel încât

36. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie şi respectiv .a) Să se demonstreze că .b) Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două legi de compoziţie.c) Să se rezolve sistemul .

37. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie .a) Să se demonstreze că , .b) Să se rezolve ecuaţia .c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă, să se calculeze

38. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie .a) Să se demonstreze că , .b) Să se determine perechile pentru care c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

39. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legile de compoziţie şi respectiv .

a) Să se verifice că , .b) Să se rezolve în R ecuaţia c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii

40. Se consideră mulţimea unde matricea ,

a) Să verifice că unde .b) Să se determine elementul neutru din grupul .c) Să se demonstreze că funcţia este morfism de grupuri.

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

5

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat

41. Se consideră matricea şi mulţimea şi

a) Să se arate că dacă atunci

b) Să se arate că dacă atunci există astfel încât .

c) Să se arate că G este grup comutativ în raport cu adunarea matricelor.

42. Se consideră matricea , pentru şi mulţimea

a) Să verifice că. unde .

b) Să demonstreze că unde .

c) Să se arate că este grup în raport cu înmulţirea matricelor.

43. Se consideră inelul a) Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulţirea din inelul b) Se consideră S suma soluţiilor ecuaţiei şi P produsul soluţiilor ecuaţiei unde Să

se calculeze S+P.c) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul acesta să fie soluţie a ecuaţiei

44. În mulţimea se consideră submulţimea şi matricele şi

.

a) Să se arate că şi .b) Să se arate că dacă atunci .c) Să se verifice că mulţimea G împreună cu operaţia de adunare a matricelor este grup comutativ.

45. Se consideră inelul claselor de resturi modulo 8.a) Să se calculeze în suma b) Să se calculeze în produsul elementelor inversabile ale inelului.c) Să se rezolve în sistemul .

46. Fie mulţimea a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.b) Să se demonstreze că pentru avem

c) Să se arate că dacă atunci .

47. În mulţimea se consideră , şi unde .

a) Să se calculeze , unde .b) Să se verifice dacă , c) Să se calculeze suma .

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

6

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureat

48. Se consideră mulţimea , unde matricea

a) Să se verifice unde .b) Să se determine elementul neutru din grupul c) Să se arate că funcţia este morfism între grupurile şi

49. Fie mulţimea .

a) Să se verifice dacă

b) Să se arate că este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor pe M.

c) Să se determine simetricul elementului în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M.

50. Se consideră mulţime

a) Să se verifice şi

b) Să se arate că pentru are loc egalitatea c) Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.

51. Se consideră mulţimea Pentru se notează , unde

.a) Să se arate că , .

b) Să se arate că dacă atunci

c) Să se determine astfel încât

52. Se consideră funcţia .

a) Să se calculeze

b) Să se arate că , unde .

c) Să se demonstreze că , .

53. În mulţimea se consideră matricele , şi submulţimea

unde .

a) Să se verifice că .

b) Să se calculeze .c) Să se determine că, dacă atunci .

54. Se consideră mulţimea .a) Să se verifice că .

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

7

Legi de compoziţie. Grupuri. Inele. Programa M2. Exerciţii tipice pentru bacalaureatb) Să se demonstreze că , pentru .c) Să se arate că orice element din mulţimea G are invers în G în raport cu înmulţirea numerelor reale.

BIBLIOGRAFIE

1. Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –, publicate de MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI ŞI SPORTULUI.

BIBLIOGRAFIE Variantele pentru EXAMENUL DE BACALAUREAT –,publicate de Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului şi sportului.

8