lecturi grafice

FUNCTII (LECTURI GRAFICE)

FUNCTII (LECTURI GRAFICE)Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de multimi numerice; conditii algebrice pentru puncte aflate in cadrane. Drepte in plan de forma x=m, sau y=m, mR.

Functia: definitie, exemple, exemple de corespondente care nu sunt functii, modalitati de a descrie o functie, lecturi grafice. Egalitatea a doua functii, imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie, graficul unei functii, restrictii ale unei functii.

Compunerea functiilor; exemple pe functii numerice.Definitie:Produsulcartezian dintre 2 multimiAsi Bse noteazaAxBsi esteAxB=semnelecoordonatelorunui punct in fiecare cadran

cadranul

coordonateleIIIIIIIV

x+--+

y++--

dreaptax=m este verticalaiary=mesteorizontala

Moduri de a defini ofunctie:

1) functiidefinitesinteticadicapentruse indica pentru fiecareelementelementulacestlucru se poate face cu ajutorul diagramei cu sageti sau cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou

exemplu-diagramacusagati

Functii numerice (F= ), proprietati ale functiilor numerice introduse prin lecturi grafice: reprezentarea geometrica a graficului, intersectia cu axele de coordonate, rezolvari grafice de ecuatii si inecuatii de forma f(x)=g(x) (, , ) : marginire, paritate, imparitate (simetria graficului fata de axa Oy sau origine),simetria graficului fata de drepte de forma x = m, mIR sau fata de puncte oarecare din plan,periodicitate, monotonie.

aceeasifunctie cutabel de valori

x123

f(x)445

aceeasifunctieprintr-un tablou2)functiidefinite analitic sunt functiile definite printr-una sau mai multeformule

exemplu1)f(x)=2x+3

2)Imaginea sipreimagineauneimultimi printr-o functie:

Def: Fie,se numeste imaginea lui A prin f si senoteazaf(A)multimea valorilor pe care le iaf(x)cand x parcurge Ain cazul in care A=Af(A)se mai noteazaImfsi se citeste imaginea functiei

Def::Fiedaca x este un element din A astfel incaty=f(x)spunem ca x este o preimagine a lui y

Def:Fie.Senumesteimagineareciprocaa unei parti Ba lui B , notatasubmultimea lui Aformata din acele elementeale caror imaginiprin fapartin lui BDef: Fie,se numeste restrictia lui flaAsi se noteazafunctiaprinPROPRIETATILEFUNCTIILORNUMERICE

proprietateinterpretarea geometrica

este marginitadaca existaa si b douanumere reale astfel incatfunctia e marginita daca graficul ei este cuprins intre dreptele orizontale y=asi y=b

Aarepropritatea caatunci si. Spunem ca f e functie paradacaf(-x)=f(x)graficul functiei este simetric fata de Oy

Aarepropritatea caatunci si. Spunem ca f e functie paradacaf(-x)=-f(x)graficul functiei este simetric fata de origine

spunem ca f e periodica de perioada t dacaf(x+t)=f(x)

. ceamai mica perioada se numeste periada principalagraficul unei functii periodice de periada t e sufient sa fie trasat pe un interval de lungime t,dupa care se repeta

spunem ca f e strict crescatoarepe Adacaatuncigraficul functiei privit de la stanga la dreapta e o curba strict crescatoare

spunem ca f e monoton crescatoarepe Adacaatuncigraficul functiei privit de la stanga la dreapta e o curba monoton crescatoare

spunem ca f e strict descrescatoarepe Adacaatuncigraficul functiei privit de la stanga la dreapta e o curba strict descrescatoare

spunem ca f e monotondescrescatoarepe Adacaatuncigraficul functiei privit de la stanga la dreapta e o curba monoton descrescatoare

compunreafunctiilor

douafunctii f si g se pot compune daca avemABCin acest caz are sens gof:AC(gof)(x)=g(f(x))

exemplu: 1) f:RRf(x)=x2-2x+3g:RRg(x)=2x-1(fog)(x)=f(g(x))=g(x)2-2g(x)+3=

(2x-1)2-2(2x-1)+3

2)f:RRg:RRg(x)=2x-4

(fog)(x)=f(g(x))===

=(gof)(x)=g(f(x))=2f(x)-43)f:RRg:RR(fog)(x)=f(g(x))===Proprietatile compunerii:

1)asociativitate(fog)oh=fo(goh)'f,g,h trei functii ce se pot compune

ABCD

2)nue comutativafoggof

3)elementulneutru este functia identica a multimii Anotata 1A:AA1A(x)=x

fo1A=f1Bof=f'f:AB

Functiicompunerea functiilorimaginea multimii A prin functiafIntersectia 636c29g graficului functieifcu axaOx:

Intersectia 636c29g graficului functieifcu axaOy:

functie parafunctie imparaFunctia de gradul I,Graficul este o dreaptaFunctia este crescatoare pentrusi descrescatoare pentruFunctia de gradul II,Graficul este o parabolaDacaparabola are ramurile in sus iar dacaparabola are ramurile in jos.varful paraboleiDacafunctia estedescrescatoare pesicrescatoare peDacafunctia estecrescatoare pesidescrescatoare peExemple:1) Calculatipentru

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/740_poze/image039.gif" \* MERGEFORMATINET



INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/740_poze/image045.gif" \* MERGEFORMATINET 2) Aratati caeste functie para

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/740_poze/image051.gif" \* MERGEFORMATINET 3) Aflati valorilempentru careeste functie crescatoarePunem conditia. Ecuatia atasataare radacinile,. Folosind regula de semn obtinem4) Determinati imaginea functiei,. Deoarece parabola are ramurile in sus5) Pentrucalculati

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/740_poze/image080.gif" \* MERGEFORMATINET 2600Functii - Exercitii1. 727e46h Se considera functiaSa se determine multimea valorilor functieif.2. 727e46h Se considera functiaSa se determine3. 727e46h Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image012.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze4. 727e46h Fie functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image016.gif" \* MERGEFORMATINET undemeste un numar real nenul. Sa se determinemstiind ca valoarea maxima a functieifeste egala cu 5.5. 727e46h Fie functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image018.gif" \* MERGEFORMATINET siSa determine solutia reala a ecuatiei6. 727e46h Fie functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image028.gif" \* MERGEFORMATINET siSa se calculeze coordonatele punctululuide intersectie al graficelor functiilorfsig.7. 727e46h Fie functia. Sa se determine solutiile reale ale inecuatiei8. 727e46h Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image012.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se determine punctul care apartine graficului functiei f si are abscisa egala cu ordonata.9. 727e46h Fie functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image036.gif" \* MERGEFORMATINET undemeste un numar real nenul. Sa se determine numarul real nenulmstiind ca valoarea minima a functiei este egala cu 1.10.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image038.gif" \* MERGEFORMATINET Sa determine solutiile reale ale ecuatiei11.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image042.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se determine numerele reale a si b stiind capentru12.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image048.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze13.Se considera functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image052.gif" \* MERGEFORMATINET siSa determine solutiile reale ale ecuatiei14.Sa se determine, stiind ca reprezentarea grafica a functieieste tangenta axeiOx.15.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image062.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze16.Fie functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image066.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se determine valorile numarului real m stiind ca, pentru17.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image070.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze18.Fie functia. Sa se determine multimea valorilor functieif.19.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image070.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze.20.Sa se determine, stiind ca abscisa punctului de minim al graficului functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image082.gif" \* MERGEFORMATINET este egala cu 2.21.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image084.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se calculeze.22.Sa se calculeze distanta dintre punctele de intersectie ale reprezentarii grafice a functei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image088.gif" \* MERGEFORMATINET cu axaOx.23.Fie functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image090.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze distanta dintre punctele determinate de intersectia graficului functieifcu axaOx.24.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image092.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se determine punctul de intersectie al dreptei de ecuatiecu reprezentarea grafica a functieif.25.Sa se determine valorile reale ale luim, stiind ca valoarea minima a functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image060.gif" \* MERGEFORMATINET este egala cu.26.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image099.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.27.Sa se determine cea mai mica valoare a functiei.28.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image107.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.29.Se considera functia


INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image115.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se arate ca31.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image018.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.32.Sa se determine functia de gradul al doilea

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image124.gif" \* MERGEFORMATINET ,, al carei grafic are abscisa varfului egala cu.33.Se considera functia



INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image136.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.36.Sa se demonstreze ca parabola functieieste situata deasupra axeiOx, oricare ar fi.37.Se considera functia


INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image147.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se determine numerele realempentru care minimul functieifeste egal cu.39.Se considera functia


INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image154.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se verifice daca punctulapartine graficului functieif.41.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image158.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se rezolve inecuatia.42.Se considera functia


INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image166.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.44.Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image170.gif" \* MERGEFORMATINET .45.Se considera functia


INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image176.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze47.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image180.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se determine numerele realempentru care punctulapartine graficului functieif.48.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image184.gif" \* MERGEFORMATINET Sa se determine valorile numarului realmpentru care punctulapartine graficului functieif.49.Se considera functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image188.gif" \* MERGEFORMATINET siSa se determine coordonatele punctului de intersectie al graficelor functiilorfsig.50.Sa se determine functia de gradul al II -lea al carei grafic contine punctelesi51.Sa se determine valoarea maxima a functiei52.Sa se determine punctele de intersectie ale graficelor functiilor

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image202.gif" \* MERGEFORMATINET si53.Sa se determineastfel incat graficul functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image207.gif" \* MERGEFORMATINET sa contina punctul54.Sa se determine functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image211.gif" \* MERGEFORMATINET al carei grafic trece prin punctelesi55.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image172.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se determine valorile luixpentru care56.Sa se determine valorile reale ale numaruluimstiind ca valoarea minima a functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image220.gif" \* MERGEFORMATINET este egala cu 2.57.Sa se determine domeniul maxim de definitieDal functiei58.Sa se determine valorile reale nenule ale luimpentru care graficul functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image226.gif" \* MERGEFORMATINET este tangent la axaOx.59.Sa se determine valorile reale ale numaruluimstiind ca valoarea maxima a functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image228.gif" \* MERGEFORMATINET este egala cu 10.60.Sa se calculeze aria triunghiului determinat de graficul functieisi axele de coordonate.61.Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functieicu axele de coordonate.62.Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functieicu axele de coordonate.63.Sa se determine valorile reale ale luimpentru care graficul functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image236.gif" \* MERGEFORMATINET este tangent la axaOx.64.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image238.gif" \* MERGEFORMATINET unde. Sa se determineaastfel incat minimul functieifsa fie 1.65.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image242.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se arate ca varful parabolei asociate functiei are coordonatele egale.66.Fie functiaSa se calculeze67.Sa se determine valoarea maxima a functiei68.Se considera functiaSa se calculeze69.Sa se arate ca,parabola asociata functieieste situata deasupra axeiOx.70.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image262.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.71.Se considera functiiledefinite prinSa se verifice relatia72.Se considera functia. Sa se arate ca,.73.Fie functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image282.gif" \* MERGEFORMATINET , cu. Sa se arate ca solutiilesiale ecuatieiverifica relatia.74.Sa se demonstreze ca parabola asociata functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image293.gif" \* MERGEFORMATINET este tangenta axeiOx.75.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image295.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.76.Sa se arate ca varful parabolei asociate functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image299.gif" \* MERGEFORMATINET se afla pe dreapta de ecuatie.77.Se considera functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image303.gif" \* MERGEFORMATINET . Sa se calculeze.78.Se considera functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image307.gif" \* MERGEFORMATINET siSa rezolve ecuatia79.Se considera functia. Sa se calculeze produsul80.Se considera functia. Sa se determine numarul realmastfel incat minimul functiei sa fie egal cu - 2.81.Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie cu axele de coordonate ale graficului functiei

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image317.gif" \* MERGEFORMATINET .82.Sa se determine functia

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image211.gif" \* MERGEFORMATINET , cuasibnumere reale pentru caresi.83.Se considera functia. Sa se demonstreze ca.84.Sa se determine punctul de intersectie dintre graficul functieisi axaOy.85.Se considera functiile

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/matematica/686_poze/image211.gif" \* MERGEFORMATINET ,, undeasibsunt numere reale. Sa se arate ca, dacaatuncif=g.86.Se considera functia. Sa se calculeze.87.Se considera functia. Sa se calculeze.88.Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei.

lecturi grafice

Documents