lectii de invatat!

Subiectului 21. matrice si determinanti2. polinoame3. legi de compozitie4. coliniaritate a unor puncte si calcul de arii5. sisteme de ecuatii6. ecuatii algebrice si relatiile lui Viete

Subiectul 31. functii derivabile2. integrale

Subiectul 11. Functia de gradul II2. Elemente de combinatorica3. Functia de gradul I4. progresii aritmetice5. calcule de arii6. calcule cu logaritmi7. coordonatele unui vector8. ecuatii exponentiale9. ecuatii logaritmice10.ecuatii irationale(cu radicali)11.trigonometrie12.probabilitati13.Vectori14.ecuatia dreptei15.teorema lui Pitagora generalizata16.teorema sinusurilor17.calculul unor distante18.conditii de paralelism si perpendicularitate19.calcul financiar20.Progresii geometrice

Expresia din definiia unei funcii ptratice, este un polinom de grad 2 sau funcie polinomial de grad 2,pentru c cel mai mare exponent al variabilei este 2.

Dac se pune condiia ca funcia ptratic s fie egal cu zero, atunci va rezulta o ecuaie ptratic. Soluiile acestei ecuaii suntnumite rdcini ptrate ale ecuaiei, sau puncte de nul ale funcie

Cele dou rdcini ale ecuaiei de gradul al doilea , n care sunt:

Fie Dac , atunci exist dou rdcini distincte pentru c este un numr real pozitiv.

Dac , atunci cele dou rdcini sunt conjugate complexe, pentru c este un numr imaginar.

Graficul

Indiferent de forma n care este exprimat ea, graficul unei funcii de gradul al doilea este o parabol. Dac , parabola are deschiderea n sus. Dac , parabola are deschiderea n jos.

Coeficientul a controleaz viteza de cretere (sau descretere) a funciei de la vrf, un a pozitiv mai mare fcnd ca funcia screasc mai rapid i ca graficul s par mai strns.

Coeficienii b i a mpreun controleaz axa de simetrie a parabolei (precum i abscisa vrfului) care este .Coeficientul b singur este nclinaia parabolei la intersecia cu axa Oy.Coeficientul c controleaz nlimea parabolei, adic locul n care ea intersecteaz axa Oy.

Dac , atunci cele dou rdcini sunt egale, pentru c este zero.

funcie algebric de gradul doi , n matematic, este o funcie polinomial de forma , unde .Graficul unei funcii de gradul doi este o parabol a crei ax de simetrie este paralel cu axa Oy.

Functia de gradul II

BREVIAR TEORETIC Fie A multime si notam numarul de elemente al multimii A (cardinalul lui A) prin |A| si fie |A|=n, nN . Se numeste permutare a multimii A o multime ordonata asociata multimii A. Numarul tuturor permutarilor multimii A se noteaza Pn si este dat de formula Pn = n! Observatii: P0 = 0!= 1; n! coincide cu numarul de functii bijective definite pe multimi de acelasi cardinal n. Se numeste aranjament de n elemente luate cate k elemente, orice submultime

ordonata a multimii A , formata din k elemente, 0 k n . Numarul tuturor aranjamentelor de n luate cate k se noteaza prin si este dat de formula:

kAn

( 1) ... ( 1)( )!

! = += n n n kn knAkn .

Acest numar coincide cu numarul de functii injective definite de la o multime cu k elemente la o multime cu n elemente. Se numeste combinare de n elemente luate cate k elemente, orice submultime a

multimii A, formata din k elemente, fara sa conteze ordinea, 0 k n . Numarul tuturor combinarilor de n luate cate k se noteaza prin k si este dat de formula: Cn

k

kk nn P

Ak n k

nC == !( )!! .

Proprietati: Prin definitie 0!=1, n!= 1 2 3 ... n,n N *; (n+1)!=n!(n+1);

1( 1)!! ++=

nnn ;

( 1)!1

!1

( 1)!! ( 1)! !; += + = + n n n

nn n n n ;

P0 = 0!= 1; p1 = 1!= 1;P2 = 2!= 2;... 1 ... 1, ; 10C0 C C n n N= = = n = C = C = C 0 = .. = Cn0 = 1,n N ; 20100 n k ; ; ; nkCn = C 11= knkkCn nC 11 1= + knknkCn C C n n Cn0 +Cn1 +Cn2 + ...+Cn = 2 O serie de aplicatii al probleme de numarare si obtinerea multor identitati combinatorice pornesc de la Binomul lui Newton:

Fie . Atunci . Membrul drept al egalitatii se

numeste dezvoltarea binomului lui Newton, dezvoltare ce reprezinta o suma de n+1

a,b R,n N =

+ = n

k

k n k kna b

n C a b0

( )

ELEMENTE DE COMBINATORICA

termeni. Specific acestui cadru teoretic este notatia si T C kan kbk k nk = n +1 ,0kCnreprezinta termenul de rang k+1 din dezvoltare; coeficientul se numeste coeficient

binomial.

FUNCIA DE GRADUL I : R R, (x) = ax + b, a, b R

MONOTONIA FUNCIEI DE GRADUL NTI

OBSERVAII. 1. Semnul lui a precizeaz monotonia funciei de gradul nti.2. Ecuaia y = ax + b reprezint o pant a 0 (o dreap oblig neparalel cu axa Ox sau cu axa Oy). a>0 funcia este strict cresctoare; a0 dac a 0

2) strict descresctoare dac a < 0

TEOREM. Funcia de gradul nti : R R, (x) = ax + b, a 0 are zeroul x = -b/a, iar semnul funciei este dat n tabelul de semn

x - -b/a

(x) semn contrar lui a 0 acelai semn cu a

Numrul x = -b/a este rdcina ecuaiei ataate ax + b = 0.Spunem c pn n rdcin, adic pentru x < -b/a, are semn contrar lui a, iar dincolo de rdcin, adic pentru x > -b/a, are semnul lui a.

, )a

ab

)ab0 x ( - , -f ( x ) , >

, )ab0 x ( -f ( x ) ,

>

, )ab0 x ( -

ab0 x -

)ab0 x ( - , -f ( x ) ,

>

dac a>0 ;

, )ab0 x ( -f ( x ) ,

ab0 x -f ( x ) ,

)a

>

<

dac a

b0 x ( - , -f ( x ) ,

f ( x ) ,= =

x 0 1y= 3x 0 3

x 0 1y= 4 3 3

GRAFICUL FUNCIEI DE GRADUL NTIGraficul funciei de gradul nti este o dreapt oblic de ecuaie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare dou puncte care aparin graficului. EXEMPLU:a) f : R R, f(x)= -2x + 1; b) g : R R, g(x)= 3x; c) h : R R, h(x)= 3;

x 0 2 y= -2x + 1 1 -3

Numrul a se numeste panta (coeficientul unghiular) al dreptei graficul functiei de forma : R R, (x) = ax + b, a, b R.BIJECTIVITATEA I INVERSABILITATEA FUNCIEI DE GRADUL NTI. COMPUNEREA FUNCIILOR DE GRADUL NTI.

X

Y

Fig. a

X

Y

Fig. b

X

Y

Fig. c

3) Dac g : R R, g(x) = cx + d, c 0, atunci go :RR, (go)(x) = acx + bc + d.(Compunerea a dou funcii de gradul nti este o funcie de gradul nti).

Graficul functiei : R R, (x) = ax + b, a, b R este o dreapt care nu trece prin origine si nu este paralel cu axa Ox dac, a 0, b 0. care trece prin originea O(0, 0), dac b = 0. paralel cu axa Ox, dac a = 0, b 0 sau axa Ox, dac a = 0, b = 0.

TEOREM. 1) Funcia : R R, (x) = ax + b, a 0 este bijectiv.2) Inversa funciei este funcia -1 : R R, -1(x) = (x-b)/a.

Progresii aritmetice si geometrice

Progresia aritmetica.

Definitia 1. Sirul numeric (an)nN se numeste progresie aritmetica, daca exista un numarreal d, numit ratia progresia, astfel incat

an+1 an = d, (n N) (1)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unulsi acelasi numar (ratia).

Elementul an se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n.

Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o progresie aritmetica

a) an = 2n 1, b) 3, 6, 9, . . . , 3k, . . . c) an = 1n.

Rezolvare. a) Cum diferenta an+1 an reprezinta un numar constant

an+1 an = 2(n+ 1) 1 (2n 1) = 2

pentru orice n N, rezulta ca sirul dat de termenul general an = 2n 1 reprezinta o progresiearitmetica cu ratia 2, si anume

1, 3, 5, . . . , 2n 1, . . .b) Similar exemplului a) se obtine

an+1 an = 3(n+ 1) 3n = 3, (n N)

si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3.c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a1 = 1, a2 = 12 , a3 =

13 si se observa ca a2 a1 =

, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica.

Altfel, se considera diferenta an+1an = 1n+ 1

1n

= 1(n+ 1)n

si se observa ca ea depinde

de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul dat nu este o progresie aritmetica.

Proprietati ale progresiei aritmetice

Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in [1].P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula

an = a1 + (n 1)d, (2)

unde a1 - primul termen al progresiei, d - ratia ei.

Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:

2, 4, 8, . . . , 2n, . . . cu b1 = 2 si q = 2,

3;1; 13

;13, . . . cu b1 = 3 si q = 13 ,

a, a, a, . . . cu b1 = a si q = 1,

a, 0, 0, . . . cu b1 = a si q = 0

Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero,atunci sau b1 = 0 sau q = 0.

Proprietatile progresiei geometrice

P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula

bn = b1 qn1, (n N). (11)

P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rangn este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:

b2n = bnk bn+k, (n 2, k = 1, 2, . . . , n 1) (12)

in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

b2n = bn1 bn+1. (13)

Nota. Formulele (12), (13) se pot scrie si astfel

|bn| =bnk bn+k, (14)

|bn| =bn1 bn+1, (15)

adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. Incazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilorechidistanti de el

bn =bnk bn+k (bi > 0, i = 1, 2, . . .). (16)

P7. Daca k + n = m+ p (k, n,m, p N), atunci

bk bn = bm bp, (17)

unde bk, bn, bm, bp - termeni ai progresiei geometrice b1, b2, . . ..P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor)

daca si numai daca verifica relatia:

(a2 bc)(b2 ac)(c2 ab) = 0, (18)0 Copyright c1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

P2. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul de rang n este mediaaritmetica a termenilor echidistanti de el:

ank + an+k = 2 an, k = 1, n 1 (3)Nota. Din propretatea P2 rezulta ca conditia necesara si suficienta caa) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie aritmetica este

2b = a+ b, (4)

b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o progresie aritmetica este

(2b a c)(2c a b)(2a b c) = 0. (5)P3. Daca a1, a2, . . . , an, . . . este o progresie aritmetica si k + n = m + p (k, n,m, p N),

atunciak + an = am + ap. (6)

P4. Formula sumei Sn primilor n termeni ai progresiei aritmetice:

Sn =a1 + an

2 n, (7)

sau tinand seama de (2)

Sn =2a1 + (n 1)d

2 n. (8)

Definitia 2. Progresia aritmetica este un sir crescator (descrescator), daca si numai dacaratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia progresiei este zero avem un sir constant.

In continuare sa anlizam cateva exemple.

Exemplul 2. Sa se determine progresia aritmetica, daca a3 = 2 si a5 = 2.Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei aritmetice si se obtine sistemul{

a3 = a1 + 2d,a5 = a1 + 4d,

sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem{a1 + 2d = 2,a1 + 4d = 2,

de unde se obtine primul termen al progresiei a1 = 6 si ratia progresiei d = 2.

Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele a x, x, b (a, b fiind date),luate in aceasta ordine sa formeze o progresie aritmetica.

Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtineecuatia liniara

2x = a x+ b,

cu solutia x =a+ b

3.

Progresia geometrica

Definitia 3. Sirul numeric (bn)nN se numeste progresie geometrica, daca exista asa unnumar q, numit ratia progresiei, astfel incat

bn+1 = bn q, (n N) (10)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenulprecedent si unul si acelasi numar (ratia).

Elementul bn se numeste termen general al progresiei de rang n.

Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:

2, 4, 8, . . . , 2n, . . . cu b1 = 2 si q = 2,

3;1; 13

;13, . . . cu b1 = 3 si q = 13 ,

a, a, a, . . . cu b1 = a si q = 1,

a, 0, 0, . . . cu b1 = a si q = 0

Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero,atunci sau b1 = 0 sau q = 0.

Proprietatile progresiei geometrice

P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula

bn = b1 qn1, (n N). (11)

P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rangn este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:

b2n = bnk bn+k, (n 2, k = 1, 2, . . . , n 1) (12)

in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

b2n = bn1 bn+1. (13)

Nota. Formulele (12), (13) se pot scrie si astfel

|bn| =bnk bn+k, (14)

|bn| =bn1 bn+1, (15)

adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. Incazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilorechidistanti de el

bn =bnk bn+k (bi > 0, i = 1, 2, . . .). (16)

P7. Daca k + n = m+ p (k, n,m, p N), atunci

bk bn = bm bp, (17)

unde bk, bn, bm, bp - termeni ai progresiei geometrice b1, b2, . . ..

(a2 bc)(b2 ac)(c2 ab) = 0, (18)0 Copyright c1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor)daca si numai daca verifica relatia:

(a2 bc)(b2 ac)(c2 ab) = 0, (18)iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca

b2 = ac.

P9. Suma primilor n termeni Sn ai unei progresii geometrice se determina prin formula

Sn =b1 bnq

1 q , (q 6= 1) (19)

unde b1 - primul termen, q - ratia, si bn - termenul general al progresiei geometrice.In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula

Sn = b1 n. (20)

P10. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare (|q| < 1)se determina prin formula

S =b1

1 q . (21)

In continuare sa analizam cateva exemple.

Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu1728, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei.

Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei b1, b2 si b3. Atunci din conditia b1b2b3 = 1728rezulta (a se vedea (12)) b32 = 1728 si b2 = 12. Astfel se obtine sistemul:{

b1b3 = 144,b1 + b3 = 51,

solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate

z2 51z + 144 = 0.

Se rezolva ecuatia si se obtine z1 = 3 si z2 = 48, adica b1 = 3, b3 = 48 sau b1 = 48, b3 = 3.

Cum b1 = 3, b2 = 12 sau b1 = 48 si b2 = 12 se obtine q = 4 sau q =14

. Asadar solutiile

problemei sunt b1 = 3 si q = 4 sau b1 = 48 si q =14

.

ABCD

AD2 =BDDC

TEOREMA CATETEI=BDBC

AC 2 AB2

=DCBC

TEOREMA NLIMII

AD2 =BDDC

A

B C

AB2 AC 2 =BC 2TEOREMA LUI PITAGORA

AB2 AC 2 =BC 2

Funcii trigonometriceFuncii trigonometrice

300 450 600 900

sin x

cos x

tg x

ctg x

1 2321 3

3

2222

1

1

1 2

32

1 3

3

0

sin x=catetaopus xipotenuz

cos x=catetaalturat x

ipotenuz

tg x =catetaopusxcatetaalturatx

ctg x=catetaalturat xcatetaopus x

1

0

m x

bhA=2

.

Aria triunghiului oarecare Aria triunghiului dreptunghic

b=baza triunghiului oarecareh=nlimea triunghiului oarecare A=

c1 c2 2

Aria ptratuluiAria ptratului

A=l 2Aria dreptunghiului

A=LlL=lungimea dreptunghiuluil=limea dreptunghiuluiLungimea cercului

Lcerc=2 r

r=raza cercului

Lcerc Formule de calcul prescurtat

ab =a2 2 abb2

=a2 2 abb2

2

2

abab=a2 b2ab

Rezolvarea ecuaiei de graduldoi

ax2 bxc=0 a0 ;a ,b ,cEtapa I

=b2 4 ac

Etapa II

x1=x2=

a)

b) =0

c) 0

0 ecuaia nuare rdcini reale

b2 a

x1/2=b

2 a

saPencil

saRectangle

saPencil

saRectangle

saRectangle

.Mulimi de numereMulimi de numereMulimea numerelor naturale

Mulimea numerelor ntregi

Mulimea numerelor raionale Mulimea numerelor iraionale

={0,1 ,2,3,4 ,5 , ...}

={... ,5,4,3,2,1,0 ,1,2 ,3,4 ,5 , ...}

a ,bZ , a0 }ba={ I={numere care nu sunt raionale}

Mulimea numerelor reale

= I

Logaritmi

1. Fie A, aR, A > 0, a > 0, a 1. Se numeste logaritm in baza a din numarul real A, numarul

notat log a A cu proprietatea alog Aa =A.

Astfel spus log a A = X aX = A.

Daca a = 10 atunci se utilizeaza notatia lg A (logaritm zecimal) . Daca a = e atunci se utilizeaza notatia ln A (logaritm natural). Proprietati: Fie a > 0, a 1,

d) log a A1 = - log a (A>0)

e) log a (AB) = log a A+ log a B (A>0, B>0);

f) log a BA = log a A- log a B (A>0, B>0);

g) log a (A 1 A 2 A n ) = log a A 1 + log a A 2 ++ log a A n (A 1 >0, A 2 >0,,A n >0); h) log a A

n = n log a A (A > 0);

n1 log a A (A > 0, n 2, nN) i) log a

n A =

sau log a blog b a = 1 unde a, b > 0, a 1, b 1

veche si b este baza noua.

Formula de schimbare a bazei: log a A = log alog A

b

b unde A > 0, a > 0, a 1, b > 0, b 1 iar a este baza

Caz particular: log a b = log a1

b

a) log a 1 = 0; b) log a a = 1; c) log a a

= , ;

01loga 1aloga ylogxlog aaaxy

aln

blnbloga

ylog

xlog

ylog

xlog

b

b

a

a

xlogk

1xlog aak

xlogblogxlog baa xlogxlog a

a

1

x10 xlog

n10log n

alogxlog

1x

a

1blogalog ab alogblog cc ba

alog

xlogxloga

Prof: Ciocotisan radu -Carei

REPER CARTEZIAN N PLANN PLAN

Rene DESCARTESRene DESCARTES (1596-1650) matematician, filozof i fizician francez

A avut contribuii deosebite n crearea geometriei analitice. n cartea sa La geometrie" a prezentat remarcabila metod a coordonatelor, cu ajutorul creia problemele de geometrie sunt reduse la probleme de algebr.

1.1 1.1 REPER CARTEZIAN IN PLAN COORDONATELE UNUI VECTOR

Un reper cartezian Un reper cartezian n plan este definit de o pereche ordonat format din n plan este definit de o pereche ordonat format din dou axe perpendicularedou axe perpendiculare, avnd aceea, avnd aceeai origine. i origine. Punctul OPunctul O se numese numete te originea originea

reperului.reperului. Prima ax Prima ax, n, notat otat OxOx,, se numese numete te axa absciseloraxa absciselor, , iar a doua axiar a doua ax, n, notat Oy, se nume, se numete te axa ordonateloraxa ordonatelor. . NotaNotaia uzual pentru un reper carteziania uzual pentru un reper cartezian

este este xOyxOy sau (O, i, j), unde sau (O, i, j), unde i i i i j j sunt versoriisunt versorii (vectorii unitate) pentru axele(vectorii unitate) pentru axeleOxOx, respectiv , respectiv OyOy (figura 1).(figura 1).

x

y

o

ij

(fig.1)

Pentru fiecare punct M din plan, Pentru fiecare punct M din plan, vectorul vectorul OM se descompuneOM se descompune n mod unic dup direcn mod unic dup direciile axelor de coordonate:iile axelor de coordonate:OM = OMOM = OM11+OM+OM22Vectorii Vectorii OMOM11 i i OMOM22 se numesc se numesc componentelecomponentele vectorului vectorului OMOM

De asemenea vectorul OM seDe asemenea vectorul OM se descompune descompune n mod unic dup vectorii n mod unic dup vectorii necoliniarinecoliniari i i i j (figura 2).i j (figura 2). Rezult c exist numerele reale Rezult c exist numerele reale x, yx, y ee R R, u, unic determinate, cnic determinate, cu proprietatea c u proprietatea c OM = x OM = x ii + y + y jj (1)(1)

M1

M2M

oi

j

Numerele reale Numerele reale x, yx, y care verific egalitatea se numesc care verific egalitatea se numesc coordonatele vectorului OMcoordonatele vectorului OM n n reperul cartezian (O, i, j).reperul cartezian (O, i, j).De asemenea, numerele x De asemenea, numerele x i y reprezint coordonatele punctului M i y reprezint coordonatele punctului M n sistemul de n sistemul de

coordonate coordonate xOyxOy..

Numrul real Numrul real xx se numese numete te abscisaabscisa, , iar numrul iar numrul yy se numese numete te ordonataordonata punctului punctului MM, , i se folosei se folosete scrierea te scrierea M(x, y).M(x, y).Pentru punctele Pentru punctele M de pe axa M de pe axa OxOx se scrie M(x, 0),se scrie M(x, 0), pentru punctele pentru punctele N de pe axa N de pe axa OyOy se scrie N(0, se scrie N(0, yy), iar pentru ), iar pentru origineorigine se scrie se scrie O(0, 0).O(0, 0).

otat Oy

REPER CARTEZIAN REPER CARTEZIAN IN PLAN COORDONATELE UNUI VECTOR


COORDONATELE UNUI VECTOR COORDONATELE UNUI VECTOR NTRNTR--UN REPER CARTEZIANUN REPER CARTEZIANFie v un vector Fie v un vector n planul n planul P P raportat la reperul cartezian ,avnd ca reprezentant segmentul oraportat la reperul cartezian ,avnd ca reprezentant segmentul orientat AB, rientat AB,

unde unde A(xA(x1,1, yy11)) i i B(xB(x22, y, y22).).

Din egalitatea AB = OB Din egalitatea AB = OB -- OA (figura 3) se obOA (figura 3) se obine cine c: : ABAB = (x= (x22i + yi + y22j)j)--(x(x11i + yi + y11j) = j) = (x(x22--xx11))i i + (y+ (y22--yy11))jj..

Numerele Numerele xx22 xx11 i i yy22 yy11 reprezint reprezint coordonatele vectorului vcoordonatele vectorului v n reperul cartezian (O, i, j ) n reperul cartezian (O, i, j ) i se scrie: i se scrie: v(xv(x22--xx11,y,y22--yy11).).

Dac Dac ee R, atunci : R, atunci : AAB = B = (x(x22--xx11)i + )i + (y(y22--yy11)j (2) ,)j (2) ,

iar iar coordonatelecoordonatele vectorului vectorului ABAB sunt sunt (x(x22--xx11)) i i (y(y22--yy11).).

1.2. 1.2. COORDONATELECOORDONATELE UNEI UNEI SUME VECTORIALESUME VECTORIALE

Fie vFie v11 (a(a1,1, bb11) ) i vi v22 (a(a22, b, b22) d) doi vectori.oi vectori.

Rezult c vRezult c v11= = aa11i +i +bb11j, vj, v22 ==aa22i +i +bb22j j i suma lor este: vi suma lor este: v11 + v+ v22 = (= (aa11+a+a22)i+()i+(bb11+b+b22)j.)j.

AAadar, vecadar, vectorul sum vtorul sum v11 +v+v22 are coordonatele (are coordonatele (aa11 +a+a22 , , bb11 +b+b22).).adic se adun componentele celor adic se adun componentele celor 2 vectori.2 vectori.

Se poate generalizaSe poate generaliza : sumasuma a n vectori = suma componentelor vectorilor.n vectori = suma componentelor vectorilor.

Ecuaii exponeniale

Sunt ecuaii n care necunoscuta apare ca exponent al unei puteri.

Iat cteva exemple luate din variantele propuse de Centrului Naional pentru Curriculum i Evaluare

n nvmntul Preuniversitar pentru bacalaureatul din 2009:

32x1 = 35x

22x2+3x2 = 8

2x + 2x+3 = 36

2x 14 2x = 532x + 2 3x 3 = 0Rezolvarea unei astfel de ecuaii se bazeaz, n primul rnd, pe proprietatea de bijectivitate a funciei

exponeniale.

ax = ay dac i numai dac x = y

Atenie! Proprietatea de mai sus nu se aplic de ecare dat n mod direct. Pn ajungem la acest

pas mai avem de fcut i alte calcule. De aceea este util s cunoatem cteva proprieti ale puterilor.

Dac a > 0 i a 6= 1, iar x i y sunt numere reale atunci:1. ax este totdeauna un numr pozitiv.

ax > 0

2. Exponentul 0

a0 = 1, pentru orice numr a diferit de 0

3. Exponentul negativ "mut" puterea la numitor.

ax =1ax

4. nmulirea puterilor cu aceeai baz.

ax ay = ax+y

5. mprirea puterilor cu aceeai baz.

ax : ay = axy

6. Ridicarea la putere a unei puteri.

(ax)y = axy

7. nmulirea puterilor cu acelai exponent.

ax bx = (a b)x, b > 0, b 6= 1

8. mprirea puterilor cu acelai exponent.

ax : bx = (a : b)x, b > 0, b 6= 1 sau ax

bx=(ab

)xRevenim i rezolvm mpreun cteva exemple.

Ex.1 S se determine soluiile reale ale ecuaiei 32x1 = 35x.Soluie: n acest caz, aplicarea proprietii de bijectivitate este imediat.

Din 32x1 = 35x obinem 2x 1 = 5 x, o ecuaie de gradul nti, care se rezolv fr dicultate.Obinem 3x = 6, de unde x = 2. Aadar, soluia ecuaiei este 2.

Ex.2 S se determine soluiile reale ale ecuaiei 22x2+3x2 = 8.Soluie: i aici soluia este imediat, dac "ne prindem" c 8 = 23.Ecuaia se scrie

22x2+3x2 = 23

de unde

2x2 + 3x 2 = 3sau

2x2 + 3x 5 = 0Soluiile ultimei ecuaii sunt x1 = 1 i x2 = 52 .

Soluiile au fost obinute cu formula x1,2 =b

2a, n care a = 2, b = 3, c = 5 i = b

2 4ac.

Ex.3 S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2x + 2x+3 = 36.Soluie: De aceast dat nu mai putem folosi direct bijectivitatea pentru c nu avem o egalitate

ntre dou exponeniale. Dar, proprietile puterilor scrise mai sus ne permit s obinem n toat ecuaia

aceeai exponenial (acum avem dou exponeniale: 2x i 2x+3).Vom scrie 2x+3 = 2x 23 (vezi proprietatea 4) sau 2x+3 = 8 2xCu cele de mai sus ecuaia se scrie

2x + 8 2x = 36n continuare putem alege dou variante de a continua:

1. Notm 2x = y > 0 (mai mare ca 0 din proprietatea 1) i ecuaia devine y + 8y = 362. Scoatem factor comun pe 2x i ecuaia devine 2x(1 + 8) = 36Alegem varianta 2 i avem

2x 9 = 36de unde

2x = 4

Am obinut o situaie ca cea din Ex2. Vom scrie 4 = 22

De aici

2x = 22

i atunci

x = 2

Soluia ecuaiei este 2.

.Ecuaii logaritmice

Sunt ecuaii n care necunoscuta apare ca argument sau ca baz a unui logaritm.



log3(x2 2x) = log3(2x 3)

log5(2x + 3) = 2

lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(1 2x)nainte de orice s lmurim ce nseamn "logaritm n baza a din N", scris logaN .Deniie Dac a > 0 i a 6= 1, iar N > 0, atunci prin logaN nelegem numrul real x cu proprietatea

a = N

logaN = x dac i numai dac ax = N

Observaie: Dac baza logaritmului este 10, n loc de log10N vom scrie lgN (citim "logaritm zecimal"),iar n loc de logeN vom scrie lnN (citim "logaritm natural")Avnd n vedere deniia logaritmului este evident c pentru cantitatea de sub logaritm (N ) trebuieimpus o condiie de existen (s e mai mare dect 0).

www.didactic.ro

Rezolvarea acestor ecuaii se bazeaz, ca i n cazul ecuaiilor exponeniale, pe bijectivitatea funciei

logaritmice.

loga x = loga y dac i numai dac x = y

Ca i n cazul ecuaiilor exponeniale, nu totdeauna proprietatea de bijectivitate se aplic direct. De

aceea este necesar s cunoatem cteva proprieti ale logaritmilor.

Dac a > 0 i a 6= 1, iar A > 0 i B > 0, atunci:1. Logaritm n orice baz din 1 este 0.

loga 1 = 0

2. Logaritmul bazei este 1.

loga a = 1

3. Orice numr real se poate scrie ca un logaritm.

x = loga ax

4. Suma a doi logaritmi este logaritmul produsului.

logaA + logaB = logaA B

5. Diferena a doi logaritmi este logaritmul ctului.

logaA logaB = logaA

B

6. Logaritmul unei puteri.

logaAn = n logaA

7. Logaritmul unui radical.

loganA =

1n logaA

logaA =logbAlogb a

Revenim i rezolvm mpreun cteva exemple.

Ex.1 S se determine soluiile reale ale ecuaiei log3(x2 2x) = log3(2x 3).Soluie: Deniia logaritmului ne oblig s impunem condiii de existen a logaritmilor.

Avem urmtoarele condiii de existen:

x2 2x > 0 i 2x 3 > 0

Prima inecuaie are soluia x (, 0) (2,), iar cea de a doua x (

32,).

Prima inecuaie s-a rezolvat cu semnul funciei de gradul al doilea.

Tabelul de semn este

x 0 2 x2 2x + + + + + 0 - - - - - 0 + + + +Intersecia celor dou soluii conduce la x (2,).

.Revenim i rezolvm mpreun cteva exemple.

Ex.1 S se determine soluiile reale ale ecuaiei log3(x2 2x) = log3(2x 3).Soluie: Deniia logaritmului ne oblig s impunem condiii de existen a logaritmilor.

Avem urmtoarele condiii de existen:

x2 2x > 0 i 2x 3 > 0

Prima inecuaie are soluia x (, 0) (2,), iar cea de a doua x (

32,).

Prima inecuaie s-a rezolvat cu semnul funciei de gradul al doilea.

Tabelul de semn este

x 0 2 x2 2x + + + + + 0 - - - - - 0 + + + +Intersecia celor dou soluii conduce la x (2,).

Rezolvarea propriu-zis se bazeaz pe bijectivitatea funciei logaritmice.

Din

log3(x2 2x) = log3(2x 3)obinem

x2 2x = 2x 3Trecnd toi termenii n membrul stng i reducnd termenii asemenea se obine ecuaia

x2 4x + 3 = 0

cu soluiile x1 = 1 i x2 = 3.Avnd n vedere condiiile impuse, soluia ecuaiei este 3.

Ex.2 S se determine soluiile reale ale ecuaiei log5(2x + 3) = 2.

Soluie: Avem condiia de existen a logaritmului 2x + 3 > 0 cu soluia x (3

2,).

De aceast dat nu putem aplica direct bijectivitatea. Dar, n baza proprietii 3 putem scrie 2 =log5 52 sau 2 = log5 25.Cu cele de mai sus putem scrie

log5(2x + 3) = log5 25

i atunci

2x + 3 = 25

de unde x = 11 care ndeplinete condiia de existen (11 (3

2,)). Aadara, soluia ecuaiei este 11.

Ex.3 S se determine soluiile reale ale ecuaiei lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(1 2x).Soluie: Condiiile de existen a logaritmilor sunt: x+4 > 0, 2x+3 > 0 i 12x > 0. Soluiile celortrei inecuaii sunt x (4,), x

(3

2,), respectiv x

(, 1

2

). Intersecia celor trei intervale

conduce la x (3

2,12

).

.Pentru a putea aplica bijectivitatea funciei logaritmice este necesar ca n membrul stng s avem

un singur logaritm. Acest lucru se poate realiza folosind proprietatea 4. Avem lg(x + 4) + lg(2x + 3) =lg(x + 4)(2x + 3)Cu cele de mai sus, ecuaia se scrie

lg(x + 4)(2x + 3) = lg(1 2x)

i cu bijectivitatea funciei logaritmice avem

(x + 4)(2x + 3) = 1 2x

De aici obinem

2x2 + 3x + 8x + 12 = 1 2xsau

2x2 + 13x + 11 = 0

cu soluiile x1 = 1 i x2 = 112 .Avnd n vedere condiia impus rezult c soluia ecuaiei este 1.(1

(3

2,12

)i 11

2/(3

2,12

))

Ecuaii iraionale

Sunt ecuaii n care necunoscuta apare sub radical.



x 5 = 2

x + 1 = 5 x

x2 4 +x 2 = 03x3 + x2 x 2 = xn abordarea rezolvrii unei astfel de probleme distingem dou situaii:

1. Indicele sau ordinul radicalului este 2 sau oricare alt numr par

n aceast situaie, rezolvarea ncepe prin impunerea unor condiii.

Pe de o parte sunt condiii de existen a radicalilor de ordin par, pe de alt parte sunt condiiile de

compatibilitate (a avea sau nu soluii) a ecuaiei

Un radical de ordin par exist (are sens, este denit) numai atunci cnd cantitatea aat sub radical

este mai mare sau egal cu 0.

2kf(x) are sens dac f(x) 0.

Valoarea unui radical de ordin par este totdeauna un numr mai mare sau egal cu 0.

Oricare ar numrul a 0, numrul 2ka 0.

nA = A

.2. Indicele sau ordinul radicalului este 3 sau oricare alt numr impar

n aceast situaie lucrurile sunt mult mai simple; nu avem nevoie de nicio condiie.

Dup impunerea condiiilor, aarea soluiilor (rezolvarea ecuaiei) se face, n cele mai multe cazuri,

prin ridicarea ecuaiei, membru cu membru, la o putere care s permit eliminarea radicalului.

Ridicnd un radical la o putere egal cu indicele acestuia, radicalul dispare.(nA)n

= A

S rezolvm mpreun exemplele de mai sus.

Ex.1 S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia

x 5 = 2.Soluie: Ecuaia conine un radical de ordin 2 (ordinul 2 nu se mai scrie), aadar trebuie impus

condiia de existen a radicalului.

Avem condiia de existen

x 5 0care conduce la

x 5sau

x [5,)Nu avem condiii de compatibilitate deoarece radicalul este egal cu 2, care este clar un numr pozitiv

Trecem la rezolvarea propriu-zis.

Ridicm ecuaia la puterea a doua i avem(x 5)2 = 22de unde

x 5 = 4sau

x = 9

Ne asigurm c 9 se a n intervalul [5,).Soluia ecuaiei este 9.

Ex.2 S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia

x + 1 = 5 x.Soluie: Condiia de existen a radicalului este

x + 1 0

care conduce la

x 1sau

x [1,) (1)De aceast dat radicalul este egal cu o expresie (5 x) despre care nu avem certitudinea c estemai mare sau egal cu 0. Din acest motiv trebuie impus condiiia ca aceast expresie s e mai mare sau

egal cu 0. Aceasta este condiiia de compatibilitate (a avea soluie).

5 x 0

de unde

x 5Pentru a elimina semnul din faa lui x ultima inegalitate trebuie nmulit cu 1. n acest fel seschimb sensul inegalitii.

nmulind cu 1 obinemx 5sau

x (, 5] (2)

Avem, aadar, condiia de compatibilitate

5 x 0

de unde

x 5Pentru a elimina semnul din faa lui x ultima inegalitate trebuie nmulit cu 1. n acest fel seschimb sensul inegalitii.

nmulind cu 1 obinemx 5sau

x (, 5] (2)

Condiiile de existen i compatibilitate trebuie vericate simultan, de aceea trebuie intersectate cele

dou intervale. Dac nu le intersectm va trebui, la sfrit, s vedem care dintre soluii veric ambele

condiii.

Din (1) i (2) avem

x [1,) (, 5] = [1, 5]Trecem la rezolvarea propriu-zis.

Ridicm ecuaia la puterea a doua i avem(x + 1

)2= (5 x)2

sau

x + 1 = 25 10x + x2

Ecuaia obinut se aduce la o ecuaie de gradul al doilea prin trecerea termenilor ntr-un singur

membru i efectuarea calculelor

Din ecuaia de mai sus obinem

x2 11x + 24 = 0

cu soluiile x1 = 3 i x2 = 8. (Soluiile au fost obinute cu formula x1,2 =b

2a, n care a = 1, b =

11, c = 24 i = b2 4ac.)Stabilim care dintre cele dou numere, 3 i 8, se a n intervalul [1, 5]Cum numai 3 se a n intervalul [1, 5] numai acesta este soluie a ecuaiei iniiale.

1. PROGRESII ARITMETICE

Definitie. Progresia aritmetica este un sir de numere cu proprietatea ca fiecare termen,

ncepand cu al doilea, se obtine din precedentul termen prin adunarea cu acelasi numar numit

ratia progresiei aritmetice.

Exemplu. Sirul 2, 4, 6, 8, 10, . . . este o progresie aritmetica de ratie r = 2.

(an)n1 este progresie aritmetica de ratie r an = an1 + r, n 2

(an)n1 este progresie aritmetica de ratie r an = a1 + (n 1) r, n 2

Numarul termenilor aflati n progresie aritmetica este n = an a1r

+ 1

x, y, z sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice y = x + z2

Suma primilor n termeni ai unei progresiei aritmetice:

Sn = a1 + a2 + . . . + an =(a1 + an) n

2

2. PROGRESII GEOMETRICE

Definitie. Progresia geometrica este un sir de numere cu proprietatea ca fiecare termen,

ncepand cu al doilea, se obtine din precedentul termen prin nmultirea cu acelasi numar nenul

numit ratia progresiei geometrice.

Exemplu. Sirul 1, 3, 9, 27, 81, . . . este o progresie geometrica de ratie q = 3.

(bn)n1 este progresie geometrica de ratie q bn = bn1 q, n 2

(bn)n1 este progresie geometrica de ratie q bn = b1 qn1, n 2

x, y, z sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice y2 = x z

Suma primilor n termeni ai unei progresiei geometrice:

qn 1Sn = b1 + b2 + . . . + bn = b1

q 1

Formula distanei dintre dou puncte.

Fie punctele A ( x , y ) i B ( x , y ) . Atunci AB = ( x x ) + (y y ) .2 2A A B B B A B A

saText BoxTeoria cosinusirilor

1

GEOMETRIE PLAN TEOREME IMPORTANTE

suma unghiurilor unui triunghi este 180 suma unghiurilor unui patrulater este 360 unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente ntr-un triunghi isoscel liniile importante duse pe baz coincid ntr-un triunghi dreptunghic, mediana din vrful unghiului drept este jumtate din ipotenuz. ntr-un triunghi dreptunghic care are un unghi de 30, cateta opus acestui unghi este jumtate din ipotenuz.

dac ABC dreptunghic teorema nlimii: DCBDAD =

dac ABC dreptunghic formula nlimii: AB ACADBC

dac ABC dreptunghic teorema catetei: BCBDAB = dac ABC dreptunghic teorema lui Pitagora: AB+AC=BC reciproca teoremei lui Pitagora: dac ptratul unei laturi este egal cu suma ptratelor celorlalte dou atunci este dreptunghic numere Pitagorice: numerele naturale care verific teorema lui Pitagora de exemplu tripletul (3,4,5) sau (5,12,13) ,...

teorema lui Thales: dac EFBC AE AF

EB FC

teorema fundamental a asemnrii: dac EFBC, atunci AEF~ABC, adic EF

BC

AE AF

AB AC

raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea este egal cu ptratul raportului de asemnare

teorema bisectoarei n orice , dac AD este bisectoareAB AC

BD DC

teoremei lui Pitagora generalizat: 2 2 2 2 cosa b c ab A A

teorema cosinusului: 2 2 2

cos2

b c aA

ab

teorema sinusurilor: sin sin sin

2a b c

A B CR c am b

teorema medianei: 2 2 2

2

2 4ab c a

m

a

Mediana determin triunghiuri echivalente (de aceeai arie) B M C

ARII TRIUNGHI

22 2

Ahl

b h l hA formula nlimii

sin2

a b uA

( ) ( ) ( ) , 2p p a p b p ca b cA p

4

a b cA

R de unde scoatem formula pentru raza cercului circumscris triunghiului

4abc

RA

A p r de unde scoatem formula pentru raza cercului nscris n triunghi A

rp

triunghiul echilateral 2 34

aA nlimea triunghiului echilateral

32

ah , 3

3a

R , 36

ar

triunghiul dreptunghic 1 2

2c c

A

nlimea triunghiului dreptunghic 1 2c chip

, 2ip

R , 1 22

c c ipr

PATRULATERE

Paralelogram: 1 2, sinA l h A l l u Dreptunghi: A L l

Romb: 1 22, sin

2.sinD dA A l l u l u

Ptrat:2

2 ,2

dA l A diagonala ptratului 2d l

Trapez: ( )

, ,2 2m m

B b h B bA A l h l

Patrulater oarecare: 1 2sin ,

2d d uA u unghiul dintre diagonale

TRIGONOMETRIE

Valorile funciilor trigonometrice n primul cadran :

Pentru unghiurile obtuze aplicm formulele

( )( )

( )( )

sin sin , exemple: sin120 sin 60 , sin135 sin 45

cos cos , exemple: cos135 cos 45 , cos150 cos30

, exemple: 120 60 , 135 45

, exemple: c 1

o o o o

o o o o

o o o o

x x

x x

tgx tg x tg tg tg tg

ctgx ctg x tg

= = =

= = =

= = =

= 20 60 , c 135 45o o o otg tg tg= =

Reinem: un unghi este obtuz dac i numai dac cos 0u

x

0 6

4

3

2

sinx 0

12

22

32

1

cosx 1

32

22

12

0

tgx 0

13

1

3

/

ctgx /

3

1

13

0

MATRICI I DETERMINANI

1. MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pusproblema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma

''' cybxacbyax

.

Acestui sistem i-am asociat un teblou ptratic, care conine coeficieniinecunoscutelor (n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua

linie figureaz coeficienii lui x, y din ecuaia a doua):

'' baba

.

Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele doucoloane ale matricei figureaz coeficienii lui x (pe prima coloan a, 'a ) i respectivcoeficienii lui y (pe a doua coloan b, 'b ).

Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip nm ) un tabloucu m linii i n coloane

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

ale crui elemente ija sunt numere complexe.

Uneori aceast matrice se noteaz i jiaA unde mi ,1 i nj ,1 . Pentruelementul ija , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indicpe ce coloan este situat.

Mulimea matricilor de tip nm cu elemente numere reale se noteaz prin Rnm, . Aceleai semnificaii au i mulimile Znm, , Qnm, , Cnm, .Cazuri particulare

1) O matrice de tipul n1 (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i areforma naaaA ...21 .2) O matrice de tipul 1m (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i areforma

ma

a

a

B...

2

1

.

3) O matrice de tip nm se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Senoteaz cu O

0...00............

0...000...00

O .

4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numeteptratic.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

.

Sistemul de elemente nnaaa ...2211 reprezint diagonala principal amatricii A, iar suma acestor elemente nnaaa ...2211 se numete urma matricii Anotat Tr(A)

n

iiia

1. Sistemul de elemente 1121 ... nnn aaa reprezint diagonala

secundar a matricii A.Mulimea acestor matrici se noteaz Cn . Printre aceste matrici una este foarte

important aceasta fiind

1...00............

0...100...01

nI

i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1,iar n rest sunt egale cu 0).

1.2. Operaii cu matrici

1.2.1. Egalitatea a dou matrici

Definiie. Fie jiaA , jibB Cnm, . Spunem c matricile A, B sunt egalei scriem A = B dac jia = jib , mi ,1 , nj ,1 .

Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea dematrici

x

x

yxyxx

29012

201

.

R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:

.29200

121

xyx

xyxx

Rezolvnd acest sistem gsim soluia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor

Definiie. Fie jiaA , jibB , jicC Cnm, . Matricea C se numetesuma matricilor A, B dac: jic = jia + jib , mi ,1 , nj ,1 .

Observaii1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr delinii i acelai numr de coloane, deci A, B Cnm, .2) Explicit adunarea matricilor A, B nseamn:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

+

mnmm

n

n

bbb

bbbbbb

...

............

...

...

21

22221

11211

=

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

babababababa

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

.

Exemplu: S se calculeze A + B pentru:

1.

5110350

,

103211

BA ;

2. .0110

,

1111

BA

R. 1. Avem

6113141

51101033-251-01

5110350

103211

BA

2. Avem

10

2101111101

.

0110

1111

BA .

Proprieti ale adunrii matricilor1A (Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:

CBACBA , A, B, C Cnm, .2A (Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:

ABBA , A, B Cnm, .3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element

neutru, adic nmO , Cnm, astfel nct A + nmO , = A, A Cnm, .4A (Elemente opuse). Orice matrice A Cnm, are un opus, notat A , astfel

nct nmOAA , .1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor

Definiie.Fie C i A = jia Cnm, . Se numete produsul dintre scalarul C i matricea A, matricea notat A Cnm, definit prin A = jia .Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

.

Exemplu Fie

1320

5321

A . Atunci 6A =

64030183

.

Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari1S AA , , C, A Cnm, ;2S BABA , C, A, B Cnm, ;3S AAA , , C, A Cnm, ;4S AA 1 ,1C, A Cnm, ;

1.2.4. nmulirea matricilor

Definiie. Fie A = ika Rnm, , B = jib Rpn, . Produsul dintrematricile A i B (n aceasta ordine), notat AB este matricea C = jkc Rpm, definitprin

n

ijiikjk bac

1, mk ,1 , nj ,1 .

Observaii1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A Rnm, ,B Rpn, , adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale luiB, cnd se obine o matrice C = AB Rpm, .2) Dac matricile sunt ptratice A, B Rn atunci are sens ntotdeauna att AB ct iBA, iar, n general, AB BA adic nmulirea matricilor nu este comutativ.

Proprieti ale nmulirii matricilor1I (Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic

BCACAB , A Cnm, , B Cpn, , C Csp, .2I (Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea matricilor

este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic ,, CBCABACBCACCBA A, B, C matricipentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.

3I Dac nI Cn este matricea unitate, atunci,AAIAI nn A Cn .

Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.

1.2.5. Puterile unei matrici

Definiie. Fie A Cn . Atunci AA 1 , AAA 2 , AAA 23 , ,AAA nn 1 , n *N . (Convenim 20 IA ).

TEOREMA Cayley Hamilton. Orice matrice A Cn i verificpolinomul caracteristic 0det IA .

Pentru n = 2.

dcba

A bcaddcba

A det

dc

badcba

IA1001

.

0000det 2 bcdaadbcda

dcba

IA

02 bcadda polinom caracteristic

Generalizat. 0detTr 1 nnn IAAAA

2. DETERMINANI

2.1. Definiia determinantului de ordin n4Fie A= jia Cn o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr

notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definiie. Dac A= 11a Cn este o matrice ptratic de ordinul nti, atuncidet(A) = 11a .

Definiie. Determinantul matricii

2221

1211

aa

aaA este numrul

21122211det aaaaA 2221

1211

aa

aai se numete determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termeniidezvoltrii determinantului de ordin 2.

Definiie. Determinantul matricii

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A este numrul

322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termeniidezvoltrii determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:

Regula lui SarrusFie determinantul de ordin 3, .

3,1, jijiad Pentru a calcula un astfel dedeterminant se utilizeaz tabelul de mai jos.

(am scris sub determinantprimele dou linii)

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe odiagonal descendent este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse:

312312322113332211 ,, aaaaaaaaa .

Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. Avem treiastfel de produse: 322311332112312213 ,, aaaaaaaaa .

Suma celor ase produse d valoarea determinantului d de ordin 3. Acestprocedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.

Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu

semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal,

iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au olatur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonalasecundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.

Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul

013120103

d

R. Regula lui Sarrus.

9036000000)1(1)3(123)1(03110023 d Regula triunghiului

9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 dRecurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)

Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus,iar ceilali cu semnul minus.

Are loc urmtoarea proprietate:

3231

222113

31

3331

232112

21

3332

232211

11 )1()1()1()det(aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA ,

(1)=

2322

131231

13

3332

131221

12

3332

232211

11 )1()1()1(aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa .

(2)Observaii

1) Egalitatea (1) se mai numete dezvoltarea determinantului dup elementele linieinti, iar egalitatea (2) se numete dezvoltarea determinantului dup elementelecoloanei nti.2) Formulele (1) i (2) sunt relaii de recuren, deoarece determinantul de ordin 3 seexprim cu ajutorul unor deteminani de ordin inferior (2).

2.2. Definiia determinantului de ordin n

Voi defini n continuare determinantul de ordin n prin recuren cu ajutoruldeterminanilor de ordin n 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizri.

Fie A= jia Cn .Definiie1. Se numete minor asociat elementului jia determinantul matricii

ptratice jiA de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloanei j din matricea A. Senoteaz acest minor prin jiAdet sau jiD .

Definiie2. Se numete complement algebric al elementului jia numrul

jiji Adet1 . Exponentul ji al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloanei jpe care se afl jia .

Definiie. Determinantul matricii A= jia de ordin n este suma produselorelementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic

nnn DaDaDaDaA 111131312121111 1...det .Observaii

1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele,liniile i coloanele determinantului

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

)det(

21

22221

11211

.

2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin ndup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jospentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care sfie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Acesteproprieti le prezint n paragraful urmtor.4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie nDDD 11211 ,...,, se obine pentru )det(A o sum de produse de elemente din determinant,fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.5) Determinantul este o funcie CCn :det .

Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:

0011111000212101

d .

R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dupelementele liniei nti. Avem:

011110021

2011110021

1001110001

0001111002

1

d =

= 12100 ,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate ladeterminanii de ordin 3.

2.3. Proprietile determinanilor

.1P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse,adic dac A Cn , atunci AA tdetdet .

Demonstraie. Fie

dcba

A i

dbca

At .

Atunci bcadA det , iar bcadAt det . Prin urmare AA tdetdet ..2P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,

atunci determinantul matricii este nul.

Demonstraie. Avem 00000 cddc

i 00000 bd

db

.

.3P Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinemo matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.

Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea

dcba

badc . Avem evident bcadadbc .

.4P Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul sueste nul.

Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:

0 babababa

.

.5P Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulitecu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cudeterminantul matricii iniiale.

Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.

dcba

bcadcbdadcba

.

.6P Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici suntproporionale, atunci determinantul este nul.

Demonstraie. Verificm pentru linii.

0 ababbaba

baba

.

.7P Dac linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul eieste egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii ca A,cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.

nnn

ini

n

nnn

ini

n

nnn

ininii

n

aa

bb

aa

aa

aa

aa

aa

baba

aa

...

.........

...

.........

...

...

.........

...

.........

...

...

.........

...

.........

...

1

1

111

1

1

111

1

11

111

.

Demonstraie. Am de artat c:

dcba

dcba

dcbbaa '''' .

ntr-adevr membrul stng este egal cu cbbcdaadbbcdaa '''' .Membrul drept este cbdabcad '' i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.

.8P Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar decelelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

.9P Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii(coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca imatricea A.

Demonstraie. Voi aduna la linia nti 1L linia a doua nmulit cu . Vomnota acest fapt prin 21 LL . Avem:

111111

11

1111

11 0baba

baba

baba

baba

babbaa 67 PP .

.10P 1det nI

.11P ,detdet AA n A Cn .

.12P Dac A= jia este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci nnaaaA ...det 2211 . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe

diagonala principal).

.13P Dac A, B Cn , atunci BAAB detdetdet (Determinantulprodusului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).

n particular ,detdet nn AA n *N .Teorem. Determinantul unei matrici A Cn este egal cu suma produselor

dintre elementele unei linii iL ni ,1 i complemenii lor algebrici, adic inniiniiiiiiiii DaDaDaDaA 1...111det 333222111 .

(Formula lui Adet d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricare

linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct maiuor) mai multe zerouri.

Observaie: innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i pentrucoloane sub forma:

njjnnjjjjjjjjjj DaDaDaDaA 1...111det 333222111 .2.4. Calculul inversei unei matrici

Definiie. Fie A Cn . Matricea A se numete inversabil dac existmatricea B Cn cu proprietatea c nIABBA , nI fiind matricea unitate.

Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz 1 AB .Deci

nIAAAA 11 .

Teorem. Matricea A Cn este inversabil dac i numai dac .0det AO astfel de matrice se numete nesingular.

Construcia lui 1A presupune urmtorii pai:

Pasul 1. (Construcia transpusei)

Dac

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

,

atunci construim transpusa lui A

nnnn

n

n

t

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22212

11211

.

Pasul 2. (Construcia adjunctei)

Matricea

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

DDD

DDD

DDD

A

1...11

............

1...11

1...11

22

11

22

2222

2112

11

1221

1111

*

obinut din At , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numeteadjuncta matricii A.

Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:

,

...000...............

0...000...00

**

d

dd

AAAA iar de aici .11 ** nIAdAAA

d

Ultimele egaliti arat c

2.5. Ecuaii matriciale

Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de formaCAX , CXA , CAXB , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de

aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice

inversabile.

Pentru rezolvarea ecuaiei CAX nmulim la stnga egalitatea cu 1A i avem: CAXCAIXCAXAACAAXA 111111 .Deci soluia ecuaiei date este CAX 1 .

*1 det1 A

AA

Pentru determinarea soluiei ecuaiei CXA vom nmuli la dreapta cu 1A ianalog vom gsi 1 CAX , soluia ecuaiei matriciale.

Pentru gsirea soluiei ecuaiei CAXB nmulim egalitatea la stanga cu 1A ila dreapta cu 1B i obinem 11 CBAX .

Polinoame 1

Polinoame

Un polinom de gradul n in nedeterminata X se scrie in forma canonica astfel:

P (X) = a0Xn + a1X

n1 + ...+ an1X + an, unde a0 6= 0. (1)

Numerele a0, a1, ..., an sunt coeficientii polinomului.Daca nu se precizeaza se considera ca coeficientii polinomului sunt numere complexe.Polinoamele P (X) = a0X

n + a1Xn1 + ... + an1X + an, a0 6= 0 si

Q(X) = b0Xn + b1X

n1 + ... + bn1X + bn, b0 6= 0 sunt egale, daca si numai daca ai = bipentru i = 0, n.

Fie polinomul (1) si C. Numarul P () = a0n + a1n1 + ...+ an1 + an se numestevaloare a polinomului P (X) pentru X = .

Teorema lui Bezout. Restul impartirii polinomului P (X) prin binomul X este egalcu P ().

Numarul C se numeste radacina a polinomului P (X), daca P () = 0.Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, numarul C este radacina a polinomului

P (X), daca si numai daca P (X) se devide prin X .Numarul C se numeste radacina de multiplicitate m a polinomului P (X), daca

P (X) se divide prin (X )m si nu se divide prin (X )m+1.Daca C este radacina de multiplicitate m a polinomului P (X), atunci este radacina

si a polinoamelor P (X), P (X), ..., P (m1)(X), si nu mai este radacina a polinomului P (m)(X):

P () = P () = ... = P (m1)() = 0, P (m)() 6= 0.

Probleme rezolvate

1. Sa se calculeze P (c), daca P (X) = X3 9X + 14 si c = 38 +

37 +

3837.

SolutieAplicam formula (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b) si obtinem:

P (c) = 8 +37 + 8 37 + 3 3

(8 +

37)(837) c 9c + 14 = 16 + 3 327c 9c + 14 =

= 16 + 9c 9c+ 14 = 30.Raspuns: P (c) = 30.

2. Sa se determine polinomul de gradul doi P (X), daca P (1) = 4, P (1) = 7, P (3) = 24.

SolutieFie P (X) = aX2 + bX + c. Avem

P (1) = 4 a+ b+ c = 4,

P (1) = 7 a b+ c = 7,P (3) = 24 9a+ 3b+ c = 24.

Rezolvam sistemul

a+ b+ c = 4a b+ c = 79a+ 3b+ c = 24

si obtinem: a =23

8, b = 3

2, c =

21

8.

Polinoame 2

Raspuns: P (X) =23

8X2 3

2X +

21

8.

3. Sa se afle gradul polinomului P (X) C[X] in functie de m, m C, dacaP (X) = (m2 + 2m 3)X4 + (m3 1)X3 + (m2 1)X2 + (2m 3)X + 5 +m.

Solutie

Daca m2+2m3 6= 0, atunci grad P (X) = 4. Dar m2+2m3 = 0[m = 3,m = 1.

Asadar,

daca m C\{3, 1}, atunci grad P (X) = 4. Daca m = 3, atunci m3 1 = (3)3 1 6= 0.Rezulta ca in acest caz grad P (X) = 3.

Daca m = 1, atunci m3 1 = 0, m2 1 = 0, iar 2m 3 6= 0. Deci, in acest cazgrad P (X) = 1.

Raspuns: daca m C\{3, 1} grad P (X) = 4;daca m = 3 grad P (X) = 3;daca m = 1 grad P (X) = 1.

4. Sa se determine pentru ce valori ale parametrilor reali a, b, c, p, q, r sunt egale polinoameleP (X) = 6X5 + 7X4 33X2 29X 42 siQ(X) = 3aX5+(4a+3b)X4+(a4b+3c)X3+(7a+b4c+p)X2+(7b+c+q)X+(7c+r).

SolutieEgalam coeficientii termenilor de acelasi grad si obtinem sistemul:

3a = 64a+ 3b = 7a 4b+ 3c = 07a+ b 4c+ p = 33

7b+ c + q = 297c + r = 42

Rezolvand acest sistem, obtinem: a = 2, b = 5, c = 6, p = 0, q = 0, r = 0.

5. Sa se determine catul si restul impartirii polinomului P (X) la polinomul Q(X), dacaP (X) = 15X5 + 16X4 + 13X3 + 18X2 + 4X + 5, Q(X) = 3X3 + 2X2 + 1.

SolutieEfectuam impartirea15X5 + 16X4 + 13X3 + 18X2 + 4X + 5 | 3X3 + 2X2 + 115X5 + 10X4 + 5X2 | 5X2 + 2X + 3

6X4 + 13X3 + 13X2 + 4X + 56X4 + 4X3 + 2X

9X3 + 13X2 + 2X + 59X3 + 6X2 + 3

7X2 + 2X + 2De aici, catul C(X) = 5X2 + 2X + 3 si restul R(X) = 7X2 + 2X + 2.

Raspuns: C(X) = 5X2 + 2X + 3, restul R(X) = 7X2 + 2X + 2.

Polinoame 3

6. Sa se determine radacinile polinomului P (X) = X3 + 2aX2 5X a 9, a R, dacase stie ca restul impartirii lui P (X) la binomul X 2 este egal cu restul impartirii lui P (X)la binomul X + 1.

SolutieConform teoremei lui Bezout, din conditiile problemei, rezulta ca P (2) = P (1). Prin

urmare, 8 + 8a 10 a 9 = 1 + 2a+ 5 a 9. De aici a = 1.Deci, polinomul P (X) are forma

P (X) = X3 + 2X2 5X 10.Obtinem: P (X) = X2(X + 2) 5(X + 2) = (X + 2)(X2 5).

P (X) = 0 (X + 2)(X 5)(X +

5) = 0

X = 2,X = 5,X = 5.

Raspuns: 2, 5, 5.

7. Pentru ce valori ale parametrilor reali m si n polinomul

P (X) = X4 + (m 3)X3 + (2m+ 3n)X2 nX + 3,impartit la binomul X 1 da rest 5 si impartit la binomul X + 1 da rest 3?

SolutieDeoarece restul impartirii polinomului P (X) la binomul X este egal cu P () (teorema

lui Bezout), pentru aflarea parametrilor m si n rezolvam sistemul de ecuatii:

{P (1) = 5P (1) = 3

{

1 +m 3 + 2m+ 3n n+ 3 = 51m+ 3 + 2m+ 3n+ n+ 3 = 3

{3m+ 2n = 4m+ 4n = 4

m =

12

5= 2, 4

n = 85= 1, 6

Raspuns: m = 2, 4; n = 1, 6.

8. Resturile impartirii polinomului P (X) la binoamele X+2, X+4, X2 sunt respectiv38, 112 si 10. Sa se afle restul impartirii polinomului P (X) la (X2 4)(X + 4).

SolutieAsa cum polinomul (X2 4)(X + 4) = X3 + 4X2 4X 16 are gradul 3, restul im-

partirii polinomului P (X) la acest polinom are gradul cel mult 2, adica el va avea formaR(X) = aX2 + bX + c.

Fie C(X) este catul acestei impartiri. Atunci

P (X) = (X2 4)(X + 4) C(X) + aX2 + bX + c.Avem

P (2) = 0 C(X) + a (2)2 + b (2) + c = 4a 2b+ c.Dar din conditia problemei P (2) = 38. Prin urmare, 4a 2b+ c = 38.

Polinoame 4

In mod analog obtinem inca doua ecuatii: 16a 4b+ c = 112 si 4a+ 2b+ c = 10.Rezolvam sistemul de ecuatii:

4a 2b+ c = 38,16a 4b+ c = 112.4a+ 2b+ c = 10.

Gasim a = 5, b = 7, c = 4. Deci, R(X) = 5X2 7X + 4.Raspuns: R(X) = 5X2 7X + 4.

9. Sa se determine ordinul de multiplicitate a radacinii 1 pentru polinomulP (X) = X5 5X4 + 14X3 22X2 + 17X 5.

SolutieAvem P (1) = 15+1422+175 = 0. Calculam P (X) = 5X420X3+42X244X+17.

De aici,P (1) = 5 20 + 42 44 + 17 = 0.

Calculam P (X) = 20X3 60X2 + 84X 44,

P (1) = 20 60 + 84 44 = 0.

Calculam P (X) = 60X2 120X + 84,

P (1) = 60 120 + 84 = 24 6= 0.

Cum P (1) = P (1) = P (1) = 0, P (1) 6= 0 rezulta ca X = 1 este radacina tripla apolinomului P (X).

Raspuns: 3.

10. Polinomul P (X) = X4 X3 2X2 +mX + n admite radacinile x1 = 1 si x2 = 2. Sase determine celelalte radacini ale polinomului.

Solutie

P (1) = 0 1 1 2 +m+ n = 0,P (2) = 0 16 8 8 + 2m+ n = 0.

Rezolvam sistemul

{m+ n = 2,2m+ n = 0,

{

m = 2,n = 4.

Deci, polinomul P (X) are forma:

P (X) = X4 X3 2X2 2X + 4.

Impartim P (X) la (X 1)(X 2) si obtinem catul C(X) = X2 + 2X + 2. Prin urmare,P (X) = (X 1)(X 2)(X2 + 2X + 2).

Rezolvam ecuatia X2 + 2X + 2 = 0. Obtinem:

{X = 1 i,X = 1 + i.

Raspuns: 1 i.

Polinoame 5

11. Sa se determine radacinile polinomului P (X) = X3 + 5X2 2X 24, daca se stie cax1 + x2 = 7, unde x1 si x2 sunt doua radacini ale polinomului P (X).

SolutieFie a treia radacina a polinomului P (X) este x3. Au loc relatiile lui Viette:

x1 + x2 + x3 = 5,x1x2 + x1x3 + x2x3 = 2,x1x2x3 = 24.

Din prima relatie si conditia x1 + x2 = 7 obtinem:7 + x3 = 5 x3 = 2.

Pentru determinarea radacinilor x1 si x2 avem sistemul

{x1 + x2 = 7,x1x2 = 12.

Obtinem:

{

x1 = 4,x2 = 3,{x1 = 3,x2 = 4.

Raspuns: 4, 3, 2.

12. Sa se determine radacinile polinomului P (X) = X3 15X2 + 74X 120, daca se stieca una din radacini este media aritmetica a celorlalte doua radacini.

Solutie

Fie x1, x2, x3 sunt radacinile polinomului si x3 =x1 + x2

2. Aceasta egalitate si relatiile lui

Viete conduc la sistemul x1 + x2 + x3 = 15,x1x2 + x1x3 + x 2x3 = 74,x1x2x3 = 120,x1 + x2 = 2x3.

Din prima si a treia ecuatie obtinem 3x3 = 15 x3 = 5.Determinam catul impartirii polinomului P (X) la binomul X 5, aplicand schema lui

Horner:

X3 X2 X1 X0

1 15 74 1205 1 10 24 0

Astfel C(X) = X210X+24 si P (X) = (X5)(X210X+24) = (X5)(X6)(X4).Deci, polinomul P (X) are radacinile 4, 6 si 5.Raspuns: 4, 5, 6.

13. Sa se determine polinomul P (X) care satisface relatia

2P (X) = XP (X) 2X3 + 10X2 16X + 8.

Polinoame 6

SolutieScriem relatia data sub forma

(2X)P (X) = 2X3 + 10X2 16X + 8.De aici se observa ca polinomul P (X) este un polinom de gradul 2. Fie P (X) = aX2+ bX + c.

Fie X = 1. Din relatia data obtinem:

(2 1)P (1) = 2 + 10 16X + 8,adica P (1) = 0.

Fie X = 0. Din relatia data obtinem:

(2 0)P (0) = 8,adica P (0) = 4.

Fie X = 1. Atunci 3P (1) = 2 + 10 + 16X + 8, adica P (1) = 12.Pentru determinarea coeficientilor a, b, c obtinem sistemul

a+ b+ c = 0,c = 4,

a b+ c = 12.Solutia acestui sistem este a = 2, b = 6, c = 4. Deci, P (X) = 2X2 6X + 4.

Raspuns: P (X) = 2X2 6X + 4.

Nota. Problema poate fi rezolvata si prin metoda coeficientilor nedeterminati:(2X)(aX2 + bX + c) = 2X3 + 10X2 16X + 8

aX3 + (2a b)X2 + (2b c)X + 2c = 2X3 + 10X2 16X + 8

a = 2,2a b = 10,2b c = 16,2c = 8,

a = 2,b = 6,c = 4.

14. Sa se determine pentru ce valori reale ale parametrului a polinomulP (X) = X3 +X2 + aX + 3 admite o radacina dubla.

SolutieFie radacinile x1, x2, x3 ale P (X) verifica relatia x1 = x2 (x1 este radacina dubla). Scriem

relatiile lui Viete pentru polinomul P (X):x1 + x2 + x3 = 1,x1x2 + x1x3 + x2x3 = a,x1x2x3 = 3.

Utilizand conditia problemei avem: 2x1 + x3 = 1,x21 + 2x1x3 = a,x21 x3 = 3.

Polinoame 7

Din I-a relatia obtinem x3 = 1 2x1. Substituim acest x3 in ecuatia a III-a si obtinempentru determinarea radacinii duble x1 ecuatia:

x21(1 2x1) = 3 2x31 + x21 3 = 0.Observam ca o solutie a acestei ecuatii este x1 = 1, iar celelalte doua sunt solutii ale ecuatiei:

2x21 + 3x1 + 3 = 0.

Cum aceasta ecuatie nu admite solutii reale, rezulta ca x1 = 1.Deoarece P (1) = 0 13 + 12 + a 1 + 3 = 0 a = 5.Raspuns: a = 5.

15. Sa se determine pentru care valori ale parametrelor reali m si n polinomulP (X) = X4 7X3 + 15X2 +mX + n admite o radacina x1 = 3 + i

2.

SolutieSe stie ca daca un polinom P (X) cu coeficienti reali admite o radacina complexa x = a+ bi,

atunci si numarul conjugat lui x: x = a+ bi = a bi este radacina a acestui polinom.Prin urmare, in cazul nostru, x2 = 3i

2 este o radacina a polinomului P (X) si polinomul

P (X) se divide prin

(X x1)(X x2) = X2 (x1 + x2)X + x1x2 = X2 6X + 11.Efectuam impartirea lui P (X) la X2 6X + 11X4 7X3 + 15X2 +mX + n | X2 6X + 11X4 6X3 + 11X2 | X2 X 2

X3 + 4X2 +mXX3 + 6X2 11X

2X2 + (m+ 11)X + n2X2 + 12X 22

(m 1)X + n+ 22Cerem ca restul (m 1)X + n + 22 sa fie polinomul nul. Prin urmare, m 1 = 0 si

n+ 22 = 0. De aici, m = 1, n = 22.Raspuns: m = 1, n = 22.

16. Rezolvati in C ecuatia 2x4x339x2+18x+54 = 0, daca se stie ca una din radacinieste x = 3

2.

SolutieSe stie, ca daca polinomul P (X) cu coeficienti rationali are o radacina de forma a + b

c,

unde a, b, c Q, c 0, atunci si numarul a bc este radacina a acestui polinom. In plus,aceste radacini au acelasi ordin de multiplcitate.

In cazul nostru x = 32 este radacina a polinomului P (X) = 2X4X339X2+18X+54,

deoarece P (32) = 0. Prin urmare, si numarul 32 este radacina a lui P (X) si polinomul

P (X) se divide prin (X 32)(X + 32) = X2 18.Efectuand impartirea lui P (X) la X2 18, obtinem:

P (X) = (X2 18)(2X2 X 3) = 2(X2 18)(X + 1)(X 3

2

).

Polinoame 8

Deci 2x4x339x2+18x+54 = 0 2(x32)(x+32)(x+1)(x 3

2

)= 0

x = 32,

x = 1,x =

3

2.

Raspuns: S =

{32; 1; 3

2

}.

17. Sa se determine si sa se rezolve ecuatia x3 3x + = 0, stiind ca radacinile eisatisfac relatia nx1 + (n+ 1)x2 + (n+ 2)x3 = 0.

SolutieScriem aceasta relatie in sistem cu relatiile lui Viete:

nx1 + (n+ 1)x2 + (n+ 2)x3 = 0,x1 + x2 + x3 = 0,x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3,x1x2x3 = .

Din prima si a doua ecuatie gasim:{x1 + x2 + x3 = 0,x2 + 2x3 = 0,

{

x1 = x3,x2 = 2x3.

Substituind aceste relatii in a treia ecuatie gasim: x23 = 1 x3 = 1.Deci, sunt posibile doua cazuri:1) x3 = 1 x1 = 1, x2 = 2, = x1x2x3 = 2;2) x3 = 1 x1 = 1, x2 = 2, = x1x2x3 = 2.Raspuns: daca = 2 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1;

daca = 2 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1.

18. Sa se determine parametrii reali a si b pentru care polinomulP (X) = X4 + 5X3 + 9X2 + aX + b are o radacina de multiplicitatea trei.

SolutieI metoda. Radacina tripla trebuie sa satisfaca relatiile

P (X) = P (X) = P (X) = 0, P (X) 6= 0.Deci, avem sistemul

X4 + 5X3 + 9X2 + aX + b = 0,4X3 + 15X2 + 18X + a = 0,12X2 + 30X + 18 = 0,24X + 30 6= 0.

Solutiile ecuatiei a treia X1 = 1, X2 = 32

verifica inegalitatea 24X + 30 6= 0.Pentru X1 = 1, din prima si a doua ecuatii gasim

a = 7, b = 2.

Analog pentru X2 = 32

obtinem: a =27

4, b =

27

16.

Polinoame 9

Raspuns: 1) a = 7, b = 2 sau 2) a =27

4, b =

27

16.

II metoda. Fie radacina tripla este x1 = x2 = x3 = , x4 = .Scriem primele 2 reatii ale lui Viete:{

3 + = 5,32 + 3 = 9.

Rezolvand acest sistem gasim radacinile polinomului: = 1, = 2 sau = 32, = 1

2.

In primul caz polinomul are forma P (X) = (X + 1)3(X + 2) = X4 + 5X3 + 9X2 + 7X + 2;deci a = 7, b = 2.

In al doilea caz polinomul are forma

P (X) =

(X +

3

2

)3(X +

1

2

)= X4 + 5X3 + 9X2 +

24

7X +

27

16;

deci, a =27

4, b =

27

16.

19. Caturile impartirii polinomului P (X) la binoamele X a si X b sunt respectivX2 3X + 4 si X2 4X + 2. Sa se determine numerele a, b si polinomul P (X), dacatermenul liber al polinomului este 1.

SolutieI metoda. Din datele problemei rezulta ca P (X) poate fi scris in doua moduri:

P (X) = (X a)(X2 3X + 4) +R1 si P (X) = (X b)(X2 4X + 2) +R2.Deoarece termenul liber este egal cu 1 rezulta ca 1 = P (0) = R1 4a = R2 2b

R1 R2 = 4a 2b. ()

Avem P (1) = (1 a) 2 +R1 = (1 b)(1) +R2

R1 R2 = 2a+ b 3. ()

De asemenea P (2) = (2 a) 2 +R1 = (2 b)(2) +R2

R1 R2 = 2a+ 2b 8. ( )

Scazand din (*) pe (**) si din (**) pe (***), obtinem:{2a 3b+ 3 = 0,b+ 5 = 0,

{a = 6,b = 5.

Prin urmare, R1 = 1 + 4a = 25. Polinomul P (X) are forma

P (X) = (X 6)(X2 3X + 4) + 25 = X3 9X2 + 22X + 1.

Raspuns: a = 6, b = 5, P (X) = X3 9X2 + 22X + 1.

Polinoame 10

II metoda. Problema poate fi rezolvata si astfel.Avem

P (X) = (X a)(X2 3X + 4) +R1 = X3 (a+ 3)X2 + (3a+ 4)X +R1 4a

siP (X) = (X b)(X2 4X + 2) +R2 = X3 (b+ 4)X2 + (4b+ 2)X +R2 2b.

Cum doua polinoame sunt identice doar daca sunt egali coeficientii respectivi, obtinemsistemul:

a+ 3 = b+ 4,3a+ 4 = 4b+ 2,R1 4a = R2 2b = 1.

De aici gasim: a = 6, b = 5, R1 = 25. Deci, P (X) = X3 9X2 + 22X + 1.

Doritorii de a se perfectiona in rezolvarea exercitiilor referitoare la polinoame pot gasiexemple rezolvate si exemple propuse spre rezolvare in urmatoarele surse accesibile:

1. I.Achiri, V.Ciobanu, P.Efros s. a. Matematica. Manual pentru clasa a XII-a, PrutInternational, 2005;

2. I.Achiri, V.Ciobanu, P.Efros s. a. Matematica. Culegere de exercitii si probleme pentruclasa a XII-a, Prut International, 2005.

Legi de compoziie Virgil-Mihail Zaharia

1

2012

Structuri algebrice

1. Legi de compoziieDef. Fie M o mulime nevid. O

aplicaie: MxMM, (x,y) (x,y)

se numete lege de compoziie (intern) sauoperaie algebric binar pe pe mulimeaM. Elementul (x,y)M se numetecompusul lui x cu y prin .

Tabla legii de compoziie (tabla luiCayley), cnd numrul elementelormulimii M este suficient de mic.

Parte stabil: Fie M o mulimenevid nzestrat cu o lege de compoziie* i HM, H submulime nevid. H esteparte stabil a lui M n raport cu legea decompoziie *, dac:

x,yH x*yH.Asociativitatea: O lege de

compoziie * se numete asociativ dac:(x*y)*z = x*(y*z), x,y,z M.

Comutativitatea: O lege de compoziie * se numete asociativ dac:x*y = y*x, x,y M.

Element neutru: Un element eM se numete element neutru pentru legea decompoziie *, dac xM avem x*e=e*x=x.

Dac o lege de compoziie admite element neutru, atunci acesta este unic.Element simetric: Fie M o mulime nevid nzestrat cu o lege de compoziie *

asociativ i cu element neutru e. Un element xM este simetrizabil n raport cu legea decompoziie *, dac exist x'M astfel nct x'*x=x*x'=e. Elementul x' se numetesimetricul lui x.

Teorem. Dac x,y M sunt simetrizabile n raport cu o lege decompoziie * (asociativ i cu element neutru), atunci x*y i x' suntsimetrizabile i: (x*y)' = y'*x'; (x')' =x.

2. MonoidFie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevid.Axiomele monoidului:

M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea);M2. eM astfel nct x*e = e*x = x, xM (e element neutru);dacM3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ.Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi;

2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulimea funciilor f:EE, E nevid, o compunerea funciilor).3. Grup

Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevid.Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG(asociativitatea);


2

2012

G2. eG astfel nct x*e = e*x = x, xG (e element neutru);G3. xG xG astfel nct x*x = x*x = e (x simetricul lui x);dac G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) grupuri comutative;

2. (Rn,) grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) grupul matricilor ptrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) grupul lui Klein (al simetriilor fa de sistemul de coordonate),

comutativ;5. (n, o) grupul simetric de grad n (al permutrilor de n elemente) nu este

comutativ;Definiia 2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dac x,yH x*yH i

xH xH (x este simetricul lui x n raport cu operaia *);Fie grupurile (G1,), (G2,):Definiia 2.2. f:G1G2 se numete morfism de grupuri dac f(xy)=f(x)f(y),

x,yG1.Definiia 2.3. f:G1G2 se numete izomorfism de grupuri dac f este bijectiv i

f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiia 2.4. f:G1G2 se numete automorfism (endomorfism) al grupului G1,dac f este un izomorfism (morfism).

4. InelFie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y i AxAA, (x,y)xy, A nevid;Definiia 3.1. (A,+,) este inel dac:

G. (A,+) este grup abelian;M. (A,) este monoid iD. este distributiv fa de +:

x(y+z) = xy + yz(y+z)x = yx + yz, x,y,zA

dac C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ.Exemple de inele:1. (Z,+,) inelul numerelor ntregi;2. (Z[i],+, ) inelul ntregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ}3. (Rn,,) inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,) inelul matricelor ptratice (cu elemente din inelul A);5. (Zn,+,) inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,,*) i (A,,o):Definiia 3.1. f:AA se numete izomorfism de inele dac f este bijectiv i

f(xy) = f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA.Definiia 3.2. (A,+,) este inel fr divizori ai lui zero dac x0, y0 implic

xy0.Definiia 3.3. Un inel comutativ cu cel puin dou elemente i fr divizori ai lui

zero se numete domeniu integritate.Definiia 3.4. Dac (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul comutativ al

polinoamelor cu coeficieni n A.fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + + anXn este forma algebric a unui polinom de

nedeterminat X cu coeficieni n A:- dac an0, grad f = n (an coeficient dominant);- dac a0 = a1 = = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -.

Proprieti: 1. grad (f+g) max{grad f, grad g};2. grad fg grad f + grad g.

Teorem. Dac A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de


3

2012

integritate i grad fg = grad f + grad g, f,gA[X].5. Corp

Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y i KxKk, (x,y)xy, K nevid.Definiia 4.1. (K,+,) este corp dac (K,+,) este inel, 01 i xK, x0 x-

1K, astfel nct xx-1 = x-1 x = 1.Dac xy = yx, x,yK, corpul este comutativ.

Exemple de corpuri:1. (Q,+,) corpul numerelor raionale;2. (R,+, ) corpul numerelor reale;3. (C,+, ) corpul numerelor complexe;4. (Q( d ),+,) corpul numerelor ptratice (dZ, d liber de ptrate);5. (Zp,+, ) corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p numr prim).

Definiia 4.2. Fie corpurile (K,,*) i (K,,o), f:KK este izomorfism decorpuri dac f este bijectiv, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.

Coliniaritatea reprezint calitatea mai multor puncte de a fi situate pe aceeai dreapt.

Condiia de coliniaritate a trei puncte situate pe laturile aleunui triunghi sau pe prelungirile lor este dat de reciproca teoremei lui Menelaus: dac:

atunci sunt coliniare.

Condiia de coliniaritate cnd se cunosc coordonatele carteziene ale puncteloreste:

iar pentru trei puncte n spaiucondiiile de coliniaritate sunt:

Condiia ca n puncte s fie coliniare este ca rangulmatricii:

s fie egal cu 2.

Dac cele trei puncte sunt redate prin coordonate triliniareatunci condiia de colniaritate a acestora

este:

n cazul coordonatelor polare condiia de coliniaritate sescrie:

Condiiile de coliniaritate ale punctelor date prin coordonate carteziene au fost stabilite deMonge (1809), iar Cayley (1843) le-a redat sub form de determinani.

Cuprins

1. Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare 3

2. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare ..4

2.1. Metoda matriceala 4

2.2. Metoda lui Cramer ...5

2.3. Metoda lui Gauss .6

3. Discutia unui sistem de ecuatii liniare ...7

3.1. Rangul unei matrice .7

3.2. Compatibiliatea unui sistem liniar ...7

4. Aplicatii ale sistemelor liniare in economie ...8

4.1. Economia Generalitati ..8

4.2. Aplicatie ...9

1. Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare Definitie: O ecuatie liniara cu n necunoscute x1,x2,,xn are forma:

a1x1+a2x2++anxn=b , a1,,an, b .

Numerele a1,a2,,an se numesc coeficientii necunoscutelor x1, x2,,xn , iar

b se numeste termenul liber al ecuatiei.

Definitie: Se numeste solutie pentru ecuatia liniara orice n-uplu

(s1,s2,,sn) n, care verifica egalitatea: a1,s1+a2s2++ansn=b.

Definitie: Se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute, un

sistem de forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

....

...............................................

....

....

2211

22222121

11212111

aij , i= , j= , bi .

- x1, x2,,xn, se numesc necunoscutele sistemului.

- aij , i = , j= , se numesc coeficientii necunoscutelor sau

coeficientii sistemului.

- bi , i= , se numesc termenii liberi ai ecuatiilor sau termenii

liberi ai sistemului.

Asadar un sistem de ecuatii liniare este o multime finita de ecuatii liniare.

Numarul aij se afla in ecuatia cu numarul I in fata necunoscutei xj si

reprezinta in aceasta ecuatie coeficientul acestei necunoscute.

Definitie: Sistemul se numeste omogen daca toti termenii liberi bi , i=

sunt egali cu zero.

Definitie: Se numeste solutie a sistemului orice n-uplu (s1,s2,,sn) n care

este o solutie pentru fiecare din ecuatiile sistemului.

Definitie: Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil.

Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o

solutie si nedeterminat cu mai mult de o solutie).

Definitie: Doua sisteme liniare sunt echivalente daca sunt amandoua

incompatibile sa amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

2. Metode de rezolvare a sistemelor liniare

2.1. Metoda matriceala

Fie sistemul liniar format din n ecuatii cu n necunoscute scris sub forma

matriceala: AX=B, cu det (A) (matricea sistemului este nesingulara).

Numarul det (A) il vom numi determinantul sistemului. In acest caz

matricea A este inversabila. Inmultim egalitatea de mai sus, la stanga , cu

A-1

si obtinem X=A-1

B, Solutia sistemului. Spunem ca sistemul este

compatibil determinat. Daca sistemul este liniar omogen, adica B = O, atunci

sietmul admite numai solutia banala, X = O, adica x1 = x2 == xn = 0.

Procedeu practic: 1) Daca sistemul liniar are n ecuatii cu n necunoscut,

atunci se scrie sistemul sub forma AX=B si se calculeaza det(A).

2) Daca det(A) 0, se calculeaza A-1.

3) Solutia sistemului este X = A-1

B .

Aceasta metoda precizeaza in ce conditii sistemul este compatibil

determinat si cum i se determina solutia.

Exemplu:

{

Raspuns: Matricele care definesc sistemul sunt:

A = (

) ( ) (

) si sistemul se scrie matriceal AX =B

Deoarece det (A) = -5 matricea A este inversabila si deci X=A-1B.

Calculand inversa matricei A, gasim A-1

= (

) si deci X=A-1B=(

)

adica x =

, y =

.

2.2. Metoda lui Cramer

Este aplicabila unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute de forma:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

....

...............................................

....

....

2211

22222121

11212111

sau in scriere matriceala AX = B, cand determinantul sistemului este nenul,

adica det (A) .

In aceste conditii sistemul este compatibil determinat (din cerinta det (A)

rezulta A este matrice inversabila si functioneaza metoda precedent de

determinare a solutiei sistemului) si Solutia unica este data de urmatoarea:

Teorema: Orice sistem liniar pentru care determinantul sistemului, det(A)

este nenul, este compatibil determinat cu solutia data de formulele

x1=

, x2=

, , xn=

unde =det(A), se obtine din inlocuind

coloana coeficientilor lui xk prin coloana termenilor liberi, k= .

Formulele de mai sus, care dau solutia sistemului, se numesc formulele lui

Cramer. Un sistem liniar cu det(A) 0 se numeste sistem Cramer.

Procedeu practic: 1) Se calculeaza si se observa ca 0.

2) Se calculeaza determinantii xk , k= , obtinuti din

prin inlocuirea coloanei k prin coloana termenilor liberi.

3) Solutia sistemului este data de formulele lui Cramer:

x1=

, x2=

, , xn=

.

Exemplu:

{

Raspuns : Determinantul sistemului este: |

| = 12 si deci

sistemul este compatibil determinat (sistem Cramer), cu solutia x =

y=

, z=

, unde: |

| = 4, |

| ,

|

| = -12. De aici ne rezulta ca x =

, y =

z = -1.

2.3. Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss sau metoda eliminarii partiale consta in transformarea

echivalenta a sistemului prin transformari elementare, in sisteme in care

necunoscuta x1 apare numai in prima ecuatie, iar in celelalte ecuatii se

elimina. Pentru sistemul astfel format se pastreaza prima ecuatie neschimba-

ta, iar in celelalte m-1 ecuatii se aplica procedeul pentru necunoscuta x2 ,

pastrand-o in a doua ecuatie si eliminand-o din celelalte m-2 ecuatii. Se

repeta procedeul pana cand intr-o ecuatie a sitemului ramane o singura

necunoscuta. Cu valoarea ei se trece in celelalte ecuatii (de jos in sus) si se

Relatiile lui Viete : - reprezinta relatiile intre radacini (gradul maxim al

polinomului indica numarul de radacini sau solutii a polinomului)

Daca avem o ecuatie de gradul II de forma : ax2 +bx+c = 0 , cu solutiile x1,x2

se pot scrie relatiile lui Viete , adica x1+x2 = b/a x1x2 = c/a

Daca avem o ecuatie de gradul III de forma : ax3+bx

2+cx+d = 0 , cu solutiile x1 ,x2 ,x3

se pot scrie relatiile lui Viete , adica x1+x2+x3 = b/a x1x2+x1x3+x2x3 = c/a

x1x2x3 = d/a

Daca avem o ecuatie de gradul IV de forma : ax4+bx

3+cx

2+dx+e =0 ,cu solutiile x1 ,x2 ,x3 ,x4

se pot scrie reletiile lui Viete , adica x1+x2+x3+x4 = b/a x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4 = c/a

x1x2x3+

lectii de invatat!

Documents