lectia iioanacon/depozit/curs_ii... · 1) doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca...

44
V V. V .

Upload: others

Post on 11-Feb-2020

21 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Lectia II

Dimensiunea spatiului liniar V. Repere carteziene.

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia II

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Table of Contents

1 Subspatii liniare ale lui V

2 Vectori liniar dependenti si liniar independenti

3 Baze. Dimensiunea lui V.

4 Schimbari de repere

Oana Constantinescu Lectia II

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

De�nitia subspatiului liniar

De�nition

Dat spatiul liniar real (V,+, ·), o submultime S nevida a acestuia se

numeste subspatiu liniar daca restrictiile legilor de compozitie + si

· la S confera multimii S structura de spatiu liniar.

S este subspatiu liniar al lui (V,+, ·) daca si numai daca{∀u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S ,

∀α ∈ R, ∀u ∈ S ⇒ αu ∈ S .

Oana Constantinescu Lectia II

Exemple de subspatii liniare

De�nitions

1) Fie dreapta d . Notam cu−→d multimea tuturor vectorilor liberi ai

caror reprezentanti au aceeasi directie cu d:

−→d = {u ∈ V | ∃A,B ∈ S : u =

−→AB , (AB ‖ d) ∨ (AB = d) }.

Vom numi−→d dreapta vectoriala asociata lui d .

2) Fie planul π. Notam cu −→π multimea vectorilor liberi ai caror

reprezentanti au directia paralela in sens larg cu π :

−→π = {u ∈ V | ∃A,B ∈ S : u =−→AB , (AB ‖ π) ∨ (AB ⊂ π) }.

Numim −→π planul vectorial asociat lui π.

Dreapta si planul vectorial

Observatie: prin conventie 0 ∈−→d si 0 ∈ −→π pentru orice dreapta d ,

respectiv plan π.

Dreapta si planul vectorial

Theorem

Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale

lui V.

De�nitions

1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca

reprezentantii lor au aceeasi directie.

2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca

reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi

plan.

Corollary

1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai

daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.

2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai

daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.

Dreapta si planul vectorial

Theorem

Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale

lui V.

De�nitions

1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca

reprezentantii lor au aceeasi directie.

2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca

reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi

plan.

Corollary

1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai

daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.

2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai

daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.

Dreapta si planul vectorial

Theorem

Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale

lui V.

De�nitions

1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca

reprezentantii lor au aceeasi directie.

2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca

reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi

plan.

Corollary

1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai

daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.

2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai

daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Dependenta si independenta liniara

De�nitions

1) O expresie de tipul

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk , (1)

αi ∈ R, v i ∈ V, i ∈ 1, k , se numeste combinatie liniara de

vectorii v1, · · · , vk .2) In cazul in care combinatia liniara (1) nu poate � 0 decat daca

toti scalarii αi , i ∈ 1, k sunt 0, spunem ca vectorii v1, · · · , vk sunt

liniar independenti.

2) In cazul contrar, (daca exista cel putin un scalar nenul astfel

incat combinatia liniara (1) sa �e nula) vectorii se numesc liniar

dependenti.

Oana Constantinescu Lectia II

Dependenta si independenta liniara

Observatii:

Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul

nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.

Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti

vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.

Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage

un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.

Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este

diferit de vectorul nul.

Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca

unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti

vectori.

Dependenta si independenta liniara

Observatii:

Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul

nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.

Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti

vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.

Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage

un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.

Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este

diferit de vectorul nul.

Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca

unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti

vectori.

Dependenta si independenta liniara

Observatii:

Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul

nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.

Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti

vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.

Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage

un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.

Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este

diferit de vectorul nul.

Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca

unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti

vectori.

Dependenta si independenta liniara

Observatii:

Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul

nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.

Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti

vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.

Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage

un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.

Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este

diferit de vectorul nul.

Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca

unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti

vectori.

Dependenta si independenta liniara

Observatii:

Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul

nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.

Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti

vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.

Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage

un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.

Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este

diferit de vectorul nul.

Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca

unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti

vectori.

Dependenta si independenta liniara

Theorem

1) Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar

dependenti.

2)Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar

dependenti.

3) Orice patru vectori liberi sunt liniar dependenti.

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Exemplu

Example

Fie a, b, c trei vectori liniar independenti.

i) Ce puteti spune despre dependenta liniara a vectorilor

l = 2b − c − a, m = 2a − b − c, n = 2c − a − b ?

ii) Scrieti vectorul s = a + b + c ca o combinatie liniara de vectorii

l′= a + b − 2c, m′ = a − b, n′ = 2b + 3c ,

daca este posibil.

Oana Constantinescu Lectia II

Indicatii

Indicatii: i) Fie λ, µ, ν ∈ R a.i. λl + µm + νn = 0. Inlocuindexpresiile vectorilor l ,m, n, scriind rezultatul ca o combinatie

liniara de vectorii a, b, c si folosind faptul ca acestia sunt liniar

independenti, se obtine sistemul−λ+ 2µ− ν = 0,

2λ− µ− ν = 0,

−λ− µ+ 2ν = 0.

Sistemul este compatibil nedeterminat: λ = µ = ν. Deoareceacesti scalari pot � si nenuli, rezulta ca vectorii dati sunt liniar

dependenti.

ii) Cautam scalarii reali λ, µ, ν a.i. s = λl′+ µm′ + νn′.

Inlocuind expresiile vectorilor l′,m′, n′ si folosind faptul ca

a, b, c sunt liniar independenti, rezulta ca

λ = 4

5, µ = 1

5, ν = 3

5.

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Baze in V ,−→d , −→π

Theorem

i) Daca e ∈−→d , e 6= 0, atunci orice vector v din

−→d este de forma

v = αe, α ∈ R.ii) Daca e1, e2 sunt doi vectori liniar independenti din −→π , atunciorice vector liber v din

−→π este de forma

v = α1e1 + α2e2, α1, α2 ∈ R.

iii) Daca e1, e2, e3 sunt trei vectori liniar independenti din V,atunci orice vector liber v este de forma

v = α1e1 + α2e2 + α3e3, α1, α2, α3 ∈ R.

In plus, scrierile anterioare sunt unice.

Oana Constantinescu Lectia II

Baze in V ,−→d , −→π

Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar

independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector

este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o

combinatie liniara de vectorii dati.

De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza

toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru

spatiul liniar respectiv.

Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui

−→d ,

o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori

necoplanari.

Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au

acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar

respectiv.

Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional

al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al

lui V, iar dimV = 3.

Baze in V ,−→d , −→π

Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar

independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector

este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o

combinatie liniara de vectorii dati.

De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza

toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru

spatiul liniar respectiv.

Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui

−→d ,

o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori

necoplanari.

Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au

acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar

respectiv.

Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional

al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al

lui V, iar dimV = 3.

Baze in V ,−→d , −→π

Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar

independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector

este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o

combinatie liniara de vectorii dati.

De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza

toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru

spatiul liniar respectiv.

Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui

−→d ,

o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori

necoplanari.

Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au

acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar

respectiv.

Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional

al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al

lui V, iar dimV = 3.

Baze in V ,−→d , −→π

Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar

independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector

este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o

combinatie liniara de vectorii dati.

De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza

toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru

spatiul liniar respectiv.

Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui

−→d ,

o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori

necoplanari.

Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au

acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar

respectiv.

Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional

al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al

lui V, iar dimV = 3.

Coordonate

De�nition

Numerele reale α, respectiv αi din relatiile anterioare, unic

determinate, se numesc coordonatele vectorului v in bazele {e},respectiv {e1, e2}, {e1, e2, e3}.

De�nition

Spunem ca doi vectori liberi sunt perpendiculari daca directiile lor

sunt perpendiculare. O baza se numeste ortonormata daca

vectorii ei sunt de lungime unu si perpendiculari doi cate doi.

Coordonate

De�nition

Numerele reale α, respectiv αi din relatiile anterioare, unic

determinate, se numesc coordonatele vectorului v in bazele {e},respectiv {e1, e2}, {e1, e2, e3}.

De�nition

Spunem ca doi vectori liberi sunt perpendiculari daca directiile lor

sunt perpendiculare. O baza se numeste ortonormata daca

vectorii ei sunt de lungime unu si perpendiculari doi cate doi.

Repere carteziene

De�nition

Un reper cartezian (sau sistem de coordonate ) pe dreapta d , inplanul π sau in spatiul S este o con�guratie formata dintr-un punct

O (ales drept origine ) si o baza de vectori din−→d , −→π , respectiv V

(Bineinteles, O trebuie sa apartina dreptei, planului sau spatiului).

R = {O; e i}, i ∈ {1, 2, 3}.

Coordonatele carteziene ale unui punct P sunt coordonatele

vectorului de pozitie rP =−→OP in baza {e i}.

Dreptele prin O, cu aceeasi directie cu vectorii bazei reperului, se

numesc axele de coordonate. Planele determinate de cate doua

axe de coordonate se numesc planele de coordonate.

Daca baza reperului este ortonormata, si reperul se numeste tot

ortonormat.

Repere carteziene

rP = αe, rM = α1e1 + α2e2, rR = α1e1 + α2e2 + α3e3.

Repere carteziene

Coordonatele unei sume de vectori sunt egale cu suma

coordonatelor acestor vectori:

v = v1e1 + v2e2 + v3e3,

w = w1e1 + w2e2 + w3e3,

v + w= (v1 + w1)e1+(v2 + w2)e2+(v3 + w3)e3.

Coordonatele lui λv , λ ∈ R, v ∈ V, se obtin inmultind toate

coordonatele lui v cu scalarul real λ :

v = v1e1 + v2e2 + v3e3,

λv= (λv1)e1 + (λv2)e2 + (λv3)e3.

Repere carteziene

Coordonatele unei sume de vectori sunt egale cu suma

coordonatelor acestor vectori:

v = v1e1 + v2e2 + v3e3,

w = w1e1 + w2e2 + w3e3,

v + w= (v1 + w1)e1+(v2 + w2)e2+(v3 + w3)e3.

Coordonatele lui λv , λ ∈ R, v ∈ V, se obtin inmultind toate

coordonatele lui v cu scalarul real λ :

v = v1e1 + v2e2 + v3e3,

λv= (λv1)e1 + (λv2)e2 + (λv3)e3.

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Schimbari de repere

Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de

coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic

punct.

Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu

repere diferite.

Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la

schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este

necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere

(schimbarii de coordonate).

Oana Constantinescu Lectia II

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Schimbari de repere

Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de

coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic

punct.

Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu

repere diferite.

Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la

schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este

necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere

(schimbarii de coordonate).

Oana Constantinescu Lectia II

Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti

Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere

Schimbari de repere

Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de

coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic

punct.

Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu

repere diferite.

Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la

schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este

necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere

(schimbarii de coordonate).

Oana Constantinescu Lectia II

Schimbari de repere

Fie R = {O; e i} si R′ = {O ′; e ′i} doua repere carteziene. Vom

trata unitar cazurile in care reperele sunt pentru o dreapta, un

plan si respectiv tot spatiul. (Indicii vor varia astfel: i = 1,i ∈ {1, 2}, respectiv i ∈ {1, 2, 3}.)

Exprimam coordonatele vectorilor bazei unui reper in raport cu

baza celuilalt reper:

e ′i =∑j

aji e j ,

e i =∑j

bji e′j .

Schimbari de repere

Fie R = {O; e i} si R′ = {O ′; e ′i} doua repere carteziene. Vom

trata unitar cazurile in care reperele sunt pentru o dreapta, un

plan si respectiv tot spatiul. (Indicii vor varia astfel: i = 1,i ∈ {1, 2}, respectiv i ∈ {1, 2, 3}.)

Exprimam coordonatele vectorilor bazei unui reper in raport cu

baza celuilalt reper:

e ′i =∑j

aji e j ,

e i =∑j

bji e′j .

Schimbari de baze

Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma

e ′ = Ae, e = Be ′,

unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente

vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus

aratand coloana iar cel de jos linia.

Se demonstreaza ca

B = A−1.

Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.

Schimbari de baze

Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma

e ′ = Ae, e = Be ′,

unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente

vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus

aratand coloana iar cel de jos linia.

Se demonstreaza ca

B = A−1.

Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.

Schimbari de baze

Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma

e ′ = Ae, e = Be ′,

unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente

vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus

aratand coloana iar cel de jos linia.

Se demonstreaza ca

B = A−1.

Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza

B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.

Schimbari de baze

Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in

raport cu cele doua baze.

Presupunem ca

v =∑i

x ie i =∑j

x ′je ′j .

Se obtin formulele:

x ′j =∑

bji xi , x i =

∑j

aijx′j ,

sau matricial:

X ′ = S−1X , X = SX ′,

unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor

vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.

Schimbari de baze

Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in

raport cu cele doua baze.

Presupunem ca

v =∑i

x ie i =∑j

x ′je ′j .

Se obtin formulele:

x ′j =∑

bji xi , x i =

∑j

aijx′j ,

sau matricial:

X ′ = S−1X , X = SX ′,

unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor

vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.

Schimbari de baze

Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in

raport cu cele doua baze.

Presupunem ca

v =∑i

x ie i =∑j

x ′je ′j .

Se obtin formulele:

x ′j =∑

bji xi , x i =

∑j

aijx′j ,

sau matricial:

X ′ = S−1X , X = SX ′,

unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor

vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.

Schimbari de repere

Fie punctul M arbitrar, r si r ′ vectorii de pozitie ai lui M in

raport cu cele doua repere R,R′ :

r =−−→OM,

r ′ =−−→O ′M,

r =−−→OO ′ + r ′.

Schimbari de repere

Se obtin formulele schimbarii de repere:

x j =∑i

aji x′i + αj , x

′j =∑i

bji xi + βj ,

unde (αi ) sunt coordonatele lui O ′ in raport cu R iar (βi ) suntcoordonatele lui O in raport cu R′.

Matricial:

X = SX ′ + α, X ′ = S−1X + β,

cu α = (αi ), β = (βi ) matrici coloane.

Schimbari de repere

Se obtin formulele schimbarii de repere:

x j =∑i

aji x′i + αj , x

′j =∑i

bji xi + βj ,

unde (αi ) sunt coordonatele lui O ′ in raport cu R iar (βi ) suntcoordonatele lui O in raport cu R′.

Matricial:

X = SX ′ + α, X ′ = S−1X + β,

cu α = (αi ), β = (βi ) matrici coloane.

Exemplu

Example

Fie cubul ABCDEFGH de laturi de lungime unu. Consideram

reperele R = {A; i =−→AB, j =

−→AD, k =

−→AE} si

R′ = {G ; i′=−→GH, j

′=−→GF , k

′=−→GC}. Scrieti ecuatiile schimbarii

de coordonate ale unui punct cand primul reper este inlocuit cu al

doilea.

Exemplu

Indicatii:

i′= −i ,

j′= −j ,

k′= −k ,

deci matricea de trecere de la baza primului reper la baza celui

de-al doilea reper este A = −I3.−−→OO ′ =

−→AG = i + j + k , deci α =

1

1

1

. Inlocuind in formula

anterioara se obtine x = −x ′ + 1,

y = −y ′ + 1,

z = −z ′ + 1.