lectia 6 transfer de căldură si masa

7/30/2019 Lectia 6 Transfer de cldur si masa

1/22

CAP. 3 CONVECIA TERMIC

3.1. Introducere n convecia termic

3.1.1. Elemente fundamentale i definiii

Convecia termic reprezint transferul de cldur ntre un perete iun fluid n micare. Procesul se realizeaz prin aciunea simultan aconduciei n strat de fluid din imediata apropiere a peretelui i a conveciei

propriu-zise care presupune amestecul particulelor de fluid.Fluxul termic unitar transmis n procesul de convecie va fi [21]:

convcond qqq += [W/m2] , (3.1)unde: Tqcond = este fluxul transmis prin conducie; hwqconv =

fluxul transmis prin convecie; densitatea fluidului; w vitezafluidului; h entalpia fluidului.

Atunci:hwTq += [W/m2] . (3.2)

Utilizarea ecuaiei (3.2) pentru calcule tehnice este extrem dedificil, din aceste motive ecuaia fundamental a conveciei termice(ecuaia lui Newton) este:

( )=S

fpS dSTTq [W/m2] , (3.3)

sau:)

fpS TTSq = [W/m2] , (3.4)unde: Tp, Tf sunt temperaturile peretelui, respectiv a fluidului; , coeficientul local, respectiv mediu de convecie, n W/(m2K); S suprafaade transfer de cldur, n m2.

Procesul de convecie este strns legat de hidrodinamica curgeriifluidului. Exist dou tipuri de baz de curgere a unui fluid: laminar iturbulent.

La curgerea laminar curgerea se desfoar n straturi paralele,fr transfer de particule (de mas) ntre acestea.


2/22

Convecia termic

Curgerea turbulent presupune un amestec continuu a fluidului.Viteza instantanee a acestuia fiind suma unei viteze medii temporale i aunei pulsaii de vitez. Pulsaiile de vitez sunt att transversale ct ilongitudinale. Pulsaiile transversale fac ca particulele de fluid s fiedeplasate perpendicular pe direcia de curgere, mpreun cu pulsaiilelongitudinale formnd vrtejuri de fluid, care duc la o micare continu deamestec.

ntre cele dou tipuri de baz exist o curgere tranzitorie, n care oparticul de fluid are alternativ poriuni de curgere laminar i turbulent.

Regimul curgerii este caracterizat de criteriul Reynolds, carereprezint raportul ntre forele de inerie i cele de viscozitate:

=

=

wlwlRe , (3.5)

unde: ,, sunt densitatea, n kg/m3, viscozitatea dinamic, n Ns/m2,respectiv viscozitatea cinetic, n m2/s; l lungimea caracteristic, n m.

Valorile limit a criteriului Reynolds care definesc regimurile decurgere sunt funcie de geometria curgerii i vor fi prezentate n paragrafeleurmtoare.

Un concept deosebit de util studiului hidrodinamicii i transferuluiconvectiv de cldur este stratul limit.

Stratul limit hidraulic reprezint stratul de fluid din vecintateaperetelui care i pstreaz regimul laminar de curgere, indiferent de regimulde curgere al restului masei de fluid. El se datoreaz forelor de frecare cu

peretele i forelor produse de viscozitatea fluidului.Grosimea stratului limit se definete, n mod convenional, ca

distana de la suprafaa peretelui n care viteza acestuia crete de la valoareazero la perete, la 99% din viteza fluidului neperturbat de perete ( )w (figura 3.1).

Stratul limit hidraulic mparte zona de curgere n dou regiuni: unasubire lng perete, n care gradientul vitezei i forele de frecare cu

peretele sunt mari, i o regiune exterioar stratului limit unde viteza esteconstant, iar efectele viscozitii sunt neglijabile.

n mod analog se definete stratul limit termic, n caretemperatura fluidului variaz de la Tp la 99% din temperatura fluiduluineperturbat de perete T (figura 3.1.b).

92


3/22

Convecia termic

Fig.3.1 Stratul limit la curgerea peste o plac:a) stratul limit hidraulic; b) stratul limit termic

La orice distan x de la nceputul curgerii peste o plac fluxultermic unitar local se poate determina aplicnd legea lui Fourier, pentru y =0:

0=

=

y

S

y

Tq

. (3.6)Coeficientul de convecie va fi:

=

=TT

y

T

p

y 0 . (3.7)

Rezult c gradientul de temperatur n stratul limit termic determinvaloarea coeficientului de convecie.

93

ww

w

y

y

x

x

t

w T

T

Tp

T

(x)

t(x)

0=y

T

0y

T

0=y

w

0y

w

a)

b)


4/22

Convecia termic

O dat cu creterea grosimii stratului limit termic t (creterea luix) gradientul de temperatur scade i n consecin coeficientul de conveciescade i el.

3.1.2. Ecuaiile difereniale ale conveciei

3.1.2.1. Ecuaia conduciei

Pentru un element de volum din stratul limit termic ecuaia

conduciei are forma:Ta

z

T

y

T

x

T

cd

DT

p

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

=

(3.8)

Deoarece elementul de volum se afl n micare derivata total atemperaturii va fi:

+

+

+

=

ddz

z

T

d

dy

y

T

d

dx

x

TT

d

DT.

(3.9)Dar ddzddyddx /,/,/ sunt componentele vitezei dup cele trei direcii:wx, wy, wz. Atunci:

zTwyTwxTwTdDT zyx +++=(3.10)

Treprezint variaia local n timp a temperaturii, iar:

z

Tw

y

Tw

x

Tw zyx

+

+

este componenta convectiv a variaiei

temperaturii.nlocuind (3.10) n (3.8) rezult ecuaia conduciei pentru un element

de volum al stratului limit termic:

TazTw

yTw

xTwT zyx

2=+

+

+

. (3.11)

3.1.2.2. Ecuaia micrii

Pentru determinarea acestei ecuaii pentru elementul de volum dv dinstratul limit hidraulic, vom stabili rezultanta forelor care acioneaz asupraacestui element, care va fi egal cu masa nmulit cu acceleraia

94


5/22

Convecia termic

elementului. Forele care acioneaz asupra elementului dv sunt: greutatea ,forele de presiune i forele de frecare (figura 3.2) [21].

Fig. 3.2 Forele care acioneaz asupra elementului dv nmicare. a) forele de presiune i greutate; b) forele de

frecare

Proiecia acestor trei fore pe axa 0x este: fora de greutate acioneaz n centrul de greutate al

elementului, proiecia ei pe axa 0x este:dvgdf x=1 [N] , (3.12)

fora de presiune care acioneaz pe suprafaa superioar va fi:

pdydz. Presiunea pe suprafaa inferioar va fi dxx

pp

+ , iar

fora corespunztoare: dydzdxx

pp

+ . Rezultanta celor dou

fore va fi:dv

x

pdydzdx

x

pppdydzdf

=

+=2 [N] .

(3.13) fora de frecare care acioneaz pe suprafaa din stnga a

elementului dv va fi sdxdz. Semnul minus este datorat faptuluic viteza fluidului wx n stnga elementului este mai mic dectn element. La suprafaa din dreapta, n exteriorul elementului

95

dz

x

y

z dx

dy

g

x

dxx

pp

+

p0

x

x

dx

y dy y

0

S

SP+

S

wx

a) b)


6/22

Convecia termic

viteza fiind mai mare sensul forei de frecare se inverseaz. Ea va

fi dxdzdydy

dss

+ . Rezultanta celor dou fore este:

dvdy

dssdxdzdxdzdy

dy

dssdf =

+=

3 [N] (3.14)

Conform legii lui Newton fora de frecare unitar de suprafa este:

dy

dws x= [N/m2] , (3.15)

unde este viscozitatea dinamic, n Pa.s. Atunci:

dvdy

wddf x

2

2

3= [N] . (3.16)

Ecuaia (3.16) este valabil numai pentru o micare unidirecional.n cazul general n care wx se modific dup toate cele 3 direcii, proieciaforei de ferecare pe axa 0x se va calcula cu relaia:

dvwdvz

w

y

w

x

wdf x

xxx 2

2

2

2

2

2

2

3=

+

+

= (3.17)

Prin nsumarea celor trei fore se obine:

dvwdx

dpgdf

xx

+=

2

[N] . (3.18)Conform legii a doua a mecanicii aceast for va fi egal cu masa

nmulit cu acceleraia:

dvd

Dwdf x

= [N] (3.19)

Atunci se va scrie dup direcia 0x ecuaia micrii:

xxx w

x

pgdv

d

Dw 2+

=

(3.20)

Dezvoltnd derivata total a vitezei wx:

z

ww

y

ww

x

ww

w

d

Dw xz

x

y

x

x

xx

+

+

+

=

,(3.21)

vom obine forma ecuaiei micrii dup direcia 0x:

xxx

zx

yx

xx w

x

pg

z

ww

y

ww

x

ww

w 2+

=

+

+

+

(3.22)

n mod analog se poate scrie ecuaia dup celelalte dou direcii:

96


7/22

Convecia termic

zzz

zz

yz

xz

yy

y

z

y

y

y

x

y

wz

pg

z

ww

y

ww

x

ww

z

w

wy

pg

z

ww

y

ww

x

ww

w

2

2

+=

+

+

+

+=

+

+

+

(3.23)n form vectorial ecuaia va fi:

wpgd

wd 2+=

(3.24)

3.1.2.3. Ecuaia continuitii

Pentru determinarea ecuaiei continuitii se consider un element devolum de fluid dv din stratul limit hidraulic, pentru care se va calcula un

bilan masic (figura 3.3).

Fig. 3.3 Fluxurile masice pentru elementulde volum dv.

Masa de fluid care intr n elementul de volum dup direcia 0x este:= dydzdwdM xx [kg] (3.25)

Masa care iese din elementul de volum dup aceeai direcie va fi:( )

dydzddxx

wwdM xxdxx

+=+ [kg] (3.26)

97

z

x

y

dMz+dz

dMx+dx

dMy+dy

dMz

dMx

dMy


8/22

Convecia termic

Masa rmas n element este:( )

=+ dvdx

wdMdM xxdxx

(3.27)n mod analog masa rmas n element dup direciile 0y i 0zva fi:

=+ dvd

y

wdMdM

y

ydyy ,

(3.28)( ) =+ dvdz

wdMdM zzdzz .

(3.29)Suma acestor mase va conduce la modificarea n timp a densitii

fluidului din elementul dv:( ) ( ) ( )

=

+

+

dvddvdz

w

y

w

x

w zyx , (3.30)

sau:

( ) ( ) 0=+++ zw

yw

xw zyx (3.31)

Pentru fluidele incompresibile (= const.) i:( ) ( )

0=

+

+

z

w

y

w

x

w zyx , (3.32)

sau:0=wdiv (2.33)

3.1.2.4. Condiii de determinare univoc

Ecuaiile difereniale care descriu matematic procesul de conveciemonofazic sunt: ecuaia fluxului convectiv (3.2), ecuaia conduciei (3.11),ecuaia micrii (3.24) i ecuaia continuitii (3.31). Pentru a difereniafenomenul studiat de alte fenomene similare, setului de ecuaii diferenialetrebuie s li se ataeze condiii de determinare univoc a procesului.

Analog cu cazul conduciei (vezi 2.1.3) acestea sunt: condiiigeometrice, condiii fizice, condiii iniiale i condiii la limit.

Primele 3 condiii sunt similare cu cazul conduciei. Dintre condiiilela limit n cazul conveciei putem avea: temperatura sau fluxul termicunitar la peretele solid (Tp sau qsp), temperatura i viteza fluidului la

98


9/22

Convecia termic

nceputul procesului de transfer, valoarea vitezei la perete (de obicei wp=0),etc.

Pentru exemplificare, n cazul conveciei forate la curgereastaionar a unui lichid printr-o eav condiiile de determinare univoc a

procesului sunt: condiii geometrice: diametrul di lungimea la evii; condiii fizice: )(),(),(),( TTTcT p ; procesul fiind staionar nu se pun condiii iniiale; condiii la limit: temperatura fluidului la intrare n eav Tfi i la

perete Tp, viteza la intrare w, iar viteza la perete wp = 0.

3.1.3. Factorii care influeneaz transferulde cldur

Transferul de cldur convectiv este determinat n primulrnd de modificarea sau nu a fazei. Din acest punct de vedere convecia semparte n dou mari categorii: convecia monofazic (fr schimbarea striide agregare) i convecia bifazic (fierberea i condensarea).

Transferul de cldur convectiv monofazic este influenat de patru

categorii de factori [39]: natura micrii, regimul de curgere, proprietilefizice ale fluidului i forma i dimensiunile suprafeei de schimb de cldur.

n funcie de cauza care o determinmicarea unui fluid poate filiber (natural) sau forat.Micarea liber este cauzat numai de modificarea densitii

fluidului o dat cu modificarea temperaturii sale: fluidul prin nclzire imicoreaz densitatea i se ridic pe lng suprafaa de nclzire; la rcireasa, densitatea crescnd fluidul coboar. Transferul de cldur ntre un peretei un fluid care are o astfel de micare se numete convecie liber(natural).

Micarea forat este datorat unei fote exterioare produs de opomp, un ventilator, diferena de nivel, vnt etc.

n acest caz transferul de cldur se realizeaz prin convecieforat.

Regimul de curgere a unui fluid poate fi: laminar, turbulent sau detranziie (intermediar). Tipul de regim de curgere este determinatde valoarea criteriului lui Reynolds i de geometria spaiului n careare loc curgerea.

Proprietile fizice ale fluidului influeneaz transferul de cldurconvectiv. Principalele mrimi fizice care influeneaz convecia

99


10/22

Convecia termic

monofazic sunt cele care apar n ecuaiile difereniale aleconveciei: conductivitatea termic , cldura specific cp,viscozitatea dinamic , densitatea . Aceste mrimi suntvariabile cu temperatura fluidului i uneori (pentru gaze) i cu

presiunea. Forma i dimensiunile suprafeei de schimb de cldur: plan,

cilindric, interioar (prin canale), exterioar (peste o plac, peste uncilindru, peste un fascicul de evi) au o influen extrem deimportant asupra hidrodinamicii curgerii i legat de aceasta asupra

transferului de cldur.n funcie de elementele menionate anterior, n tabelul 3.1 esteprezentat o clasificare a proceselor de convecie.

3.1.4. Metode de determinare acoeficientului de convecie

Pentru determinarea coeficientului de convecie se pot utilizapatru metode principale:

soluii matematice exacte a ecuaiilor stratului limit;

analiza aproximativ a stratului limit prin metoda integrale; analogia dintre transferul de cldur i impuls; experiment i analiza dimensional.Determinarea unor relaii pentru calculul coeficientului de convecie

prin rezolvarea analitic a ecuaiilor stratului limit este extrem de dificil ise poate realiza numai pentru un numr extrem de limitat de tipuri decurgere (de obicei pentru curgerea laminar), prin introducerea unor ipotezesimplificatoare i a unor variaii empirice pentru grosimea stratului limit.Practic nu exist astzi o corelaie de calcul a coeficientului de conveciedeterminat analitic, care s-i fi dovedit utilitatea n calculele tehnice.

Nici analiza aproximativ a stratului limit care folosete ecuaiisimplificate pentru distribuia vitezei i temperaturii n stratul limit, nuofer relaii de calcul utile pentru coeficientul de convecie.

Metoda analogiei ntre transferul de cldur i impuls are meritul dea construi modele simplificate pentru fenomenele de convecie, evideniindmodul n care diferitele mrimi influeneaz coeficientul de convecie.

Singura metod care s-a dovedit util pentru studiul proceselor deconvecie este cea experimental. Ea pornete de la construirea uneiinstalaii experimentale utiliznd elementele teoriei similitudinii, pe care se

100


11/22

Convecia termic

va realiza un program de experimentri utiliznd teoria planificriiexperimentului.

101


12/22

Tabelul 3.1

Clasificarea conveciei termice

Conveciatermic

bifazic

regim turbulent

regim turbulent

convecie liber

convecie forat

n spaii mari

n spaii limitatemonofazic

peste plci

peste cilindri

peste fascicule de evi

prin canale

regim laminar

regim laminar

regim laminarregim turbulent

regim intermediar

regim laminarregim intermediarregim turbulent

fierbere

condensare

n volum mare

cu convecie forat

nucleic

pelicularnucleicpelicular

nucleic

pelicular

pe perei verticalipe cilindri orizontalipeste un fascicul


13/22

Convecia termic 103


14/22

Convecia termic

Forma ecuaiei criteriale care caracterizeaz fenomenul se obine prin analizadimensional, valorile exponenilor i constantelor ecuaiei dimensionale fiinddeterminate prin prelucrarea datelor experimentale.

Din aceste motiv n prezentul capitol vom analiza numai metoda experimental dedeterminare a coeficientului de convecie, la studiul condensrii peliculare prezentnd i

o metod analitic de determinare a coeficientului de convecie

3.1.5. Studiul experimental al proceselorde convecie termic

Din punct de vedre istoric, analiza experimental a proceselor termoenergeticeeste cea mai veche i cea mai bogat n informaii. Ea a aprut odat cu nevoia omului dea cunoate natura i a o controla, iar mai trziu de a o reflecta n universul su tehnologic.

Cercetrile experimentale se pot mpri n dou mari grupe: cercetri directe, lascar natural i cercetri indirecte, pe modele.

Cercetrile la scar natural se realizeaz prin observaii i msurtori direct n

natur, sau pe instalaii tehnologice existente n funciune. Scopul lor este de a obineinformaii ct mai fidele despre procesele analizate, n contextul inter condiionrilor cucelelalte fenomene i procese existente n mediu investigat. Dei prezint avantajulobinerii informaiilor direct de la surs, cercetarea la scar natural implic o serie delimitri i restricii care o fac uneori ineficient.

Cercetare pe modele se realizeaz pe standuri special construite, pe baza teorieisimilitudinii, ntr-un climat funcional perfect controlabil.

n general, n procesul modelrii spunem c exist un sistem S0 ale cruiproprieti urmeaz s fie modelate i pe care l numim obiect modelat, sau original i unalt sistem SM care constituie un model al originalului. Sistemul SM reflect sistemul S0 nesena lui, fapt ce ne permite s nlocuim n anumite privine originalul cu modelul i s

stabilim reguli de trecere de la informaiile obinute pe model, la informaiile obinute peoriginal. n desfurarea procesul modelrii apar trei faze distincte [9,21,33]:

trecerea de la original la model; cercetarea pe model; transferul pe original a rezultatelor obinute pe model.

3.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii

n general, despre un model nu se poate spune c este adevrat, sau fals, pozitivsau negativ, bun sau necorespunztor, etc. Proprietatea fundamental a unui model esteadecvarea lui, respectiv gradul de reflectare al procesului sau sistemului original. Cu ctun model este mai adecvat, cu att corespondena lui cu originalul este mai puternic.

Modul de abordare a unui model se numete similitudine i ea poate fi de naturstructural, sau funcional. n primul caz, accentul se pune pe asemnarea geometricdintre model i prototip, urmrindu-se o realizare la scar ct mai exact a modelului, nraport cu originalul. n cel de-al doilea caz, accentul se pune pe realizarea unei

104


15/22

Convecia termic

corespondene ntre ecuaiile care descriu procesul original i cele care descriu procesulaferent modelului.

Cea mai simpl i mai intuitiv form de similitudine este cea geometric. ntremodel i prototip exist o similitudine geometric dac este asigurat proporionalitatealungimilor omoloage i egalitatea unghiurilor. Astfel, unui punct al modelului i

corespunde un singur punct al prototipului i reciproc. Punctele aflate n coresponden senumesc puncte omoloage i ele pot determina, suprafee omoloage i volume omoloage.Noiunea de similitudine poate fi ns extins la orice fenomen fizic. Putem avea o

asemnare ntre curgerea unor fluide: similitudine cinematic, o asemnare a forelorcare apar ntre dou curgeri similare: similitudine dinamic, o asemnare a cmpurilortermice: similitudine termic, etc.

Teoria similitudinii se bazeaz pe o serie de reguli [33]:a) Procesele simile trebuie s aib aceeai natur i ecuaii difereniale care le

caracterizeaz identice ca form i coninut. Dac procesele au ecuaii care lecaracterizeaz identice ca form dar diferite n coninut procesele sunt analoage. (vezianalogia electric a transferului de cldur, analogia ntre transferul de cldur, mas i

impuls, etc.).b) Orice fenomene fizice simile respect similitudinea geometric. Deci studiulexperimental a unui proces fizic nu se poate face dect ntr-un model simil geometric.

c) La analiza fenomenelor simile se pot raporta numai mrimile care au aceeainatur fizic i aceeai ecuaie dimensional, raportarea fcndu-se n coordonate i lamomente de timp omologe. Aceasta nseamn c, n fiecare pereche de puncte omologe,la timpi omologi, fiecare mrime fizic trebuie s determine un raport constant ntrevaloarea ei pe model i valoarea corespunztoare din modelul real. Aceste rapoarteconstante se numesc scrile mrimilor fizice sau rapoarte (constante) de similitudine.

Pentru mrimile fundamentale (lungime, mas, timp, temperatur) aceste rapoartese numesc fundamentale:

'''' ;;;T

Tkk

m

mk

l

lk Tml =

=== , (3.34)

unde: l, m, , Tse refer la model i l, m, , Tse refer la procesul modelat.Scrile celorlalte mrimi derivate se pot stabili apoi n funcie de coeficienii

fundamental.De exemplu pentru for:

2

2

2

2'

''''

'

''

'

'''

=

=

=

=== kkkl

l

m

m

lm

ml

xm

mv

am

ma

F

Fk lmf (3.35)

d) Pentru dou fenomene similare, toate mrimile care le caracterizeaz suntsimilare. Aceasta nseamn c n puncte i la momente omoloage orice mrime de pemodel este proporional cu mrimea ' din fenomenul modelat:

'= k . (3.36)Constantele de similitudine k nu depind nici de coordonate i nici de timp.

Constantele de similitudine pentru diferitele mrimi care caracterizeaz fenomene similenu se iau la ntmplare. ntre ele exist legturi stricte care rezult din analiza modeluluimatematic al procesului. Aceste legturi poart denumirea de criterii de similitudine.Ele sunt complexe adimensionale formate din mrimile care caracterizeaz un fenomen.Pentru orice fenomen fizic, pornind de la descrierea matematic a sa se pot obine criteriide similitudine.

105


16/22

Convecia termic

Modul de determinare a criteriilor care caracterizeaz un fenomen fizic, precum iprincipalele criterii de similitudine vor fi prezentate n paragraful urmtor.

Teoria similitudinii, care st la baza construirii unui model experimental sebazeaz pe trei teoreme:

Prima teorem a similitudinii se formuleaz astfel: procesele simile au

criterii de similitudine identice. A doua teorem a similitudinii arat c pentru orice proces fizic se poate

determina o ecuaie ntre criteriile de similitudine care caracterizeaz

procesul;

( ) 0,...., 21 = nf (3.37)Aceast ecuaie poart denumirea de ecuaie criterial. Deoarece pentru

procesele simile criteriile de similitudine au aceleai valori, rezult c o ecuaie criterialstabilit prin experimentri pe un model este valabil pentru orice alt proces simil.

A treia teorem a similitudinii stabilete care sunt condiiile necesare isuficiente pentru ca dou fenomene s fie simile. Ea se formuleaz astfel:procesele asemenea au condiii de determinare univoc asemenea i criteriile

rezultate din mrimile care intr n condiiile de determinare univoc identiceca valoare numeric. Rezult c ecuaiile criteriale care caracterizeaz unproces conin criterii de similitudine formate numai din mrimile carecaracterizeaz univoc procesul. Aceste criterii se numesc determinante.

n concluzie, teoria similitudinii permite ca pornind de la ecuaiile diferenialecare caracterizeaz un proces, fr a le integra, s se determine pe cale experimental oecuaie criterial, valabil pentru toate procesele similare.

3.1.5.2. Analiza dimensional

Analiza dimensional pornete de la premisa c orice fenomen poate fi descris deo ecuaie dimensional corect i omogen ntre anumite variabile. Ea i propunestabilirea gruprilor adimensionale (numerele criteriale) i forma ecuaiei criteriale carecaracterizeaz fenomenul, oferindu-ne un mod n care trebuie planificat experimentul imodul de prelucrare a rezultatelor experimentale.

Primele rezultate ale folosirii metodei au fost obinute de Galilei, Newton iMariotte. Fourier dezvolt principiul omogenitii dimensionale a relaiilor fizice, iar maitrziu Stokes, Froude, Reynolds, Rayleigh i alii aduc contribuii importante ladezvoltarea i aplicarea analizei dimensionale.

Teorema sau a lui Buckingham constituie o regul de determinare anumrului de criterii de similitudine necesare pentru descrierea unui fenomen. Ea seformuleaz astfel: numrul necesar de numere criteriale independente care pot fi formateprin combinarea mrimilor fizice care descriu univoc fenomenul este egal cu numrul n

al acestor mrimi fizice minus numrul m de uniti de msur primare necesare pentruexprimarea formulelor dimensionale ale celor n mrimi fizice.

Notnd numele criteriale cu , rezult c ecuaia criterial care va descrie unfenomen va fi de forma:

( ) 0,....,, 21 = mnF . (3.38)Analiza dimensional ncepe prin selectarea celor n mrimi care descriu univoc

fenomenul, pornindu-se de la ecuaiile difereniale i condiiile de determinare univoc

106


17/22

Convecia termic

ale fenomenului. Selectarea parametrilor iniiali implic existena unei bune experiene nanaliza dimensional. Dac nu sunt inclui toi parametri atunci rezultatele experimentaleobinute vor fi incomplete sau insuficient de edificatoare. Dac lista parametrilor coninei mrimi nesemnificative, atunci vor aprea din analiza dimensional criteriisuplimentare, pe care experimentul nu le va valida sau le vor dovedi nesemnificative.

Urmeaz stabilirea unui sistem de uniti de msur primare care pot descriedimensional cele n mrimi care descrie fenomenul. Pentru procesele de transfer decldur i mas aceste uniti sunt: masaM, lungimeaL, timpul Ti temperatura .

n tabelul 3.2 sunt prezentate principalele mrimi care pot interveni n proceseletermoenergetice, cu ecuaiile lor dimensionale.

Tabelul 3.2

Simboluri i uniti de msur primare

Mrimea fizicSimbol

Uniti de msurSistemul

SISistemul dimensional

MLT1 2 3 4

Mas m kg MLungime l m LTimp s TTemperatur T C, K For F N ML/T2

Cldur Q J ML2/T2

Vitez w m/s L/TAcceleraie a, g m/s2 L/T2

Lucru mecanic L J ML2/T2

Presiune p N/m2 M/T2L

Densitate kg/m3 M/L3Energie intern specific u J/kg L2/T2

Entalpie specific i J/kg L2/T2

Cldur specific c J/(kgC) L2/T2Entropia specific s J/(kgC) L2/T2

Tabelul 3.2

(continuare)

1 2 3 4Viscozitatea dinamic (Ns)m2 M/LTViscozitatea cinematic v=/ m2/s L2/TConductivitate termic W/(mC) ML/T3Difuzivitate termic a m2/s L2/TRezisten termic R W/C T3/ML2

107


18/22

Convecia termic

Coeficientul de dilatare l/C l/Coeficientul de convecie W/(m2C) M/T3

Pentru ilustrarea n continuare a modului de obinere a formei ecuaiei criterialecare caracterizeaz un fenomen, vom considera un proces de convecie forat

monofazic la curgerea unui fluid cu viteza w printr-o eava cu diametrul d[39].Lista variabilelor care descriu acest proces cuprinde: conductivitatea termic ,viteza fluidului w, diametrul conductei d, viscozitatea fluidului , densitateafluidului , cldura specific a fluidului cp i coeficientul de convecie . Unitilede msur primare se vor exprima n sistemul MLT, conform tabelului de mai sus.

Aplicnd teorema rezult c se pot determina nm = 74 = 3 grupuriadimensionale, astfel ca

( ) 0,,321=F , sau ( )3211 ,= F

Deoarece nu tim structura acestor grupuri de la nceput, scriem o relaiefuncional general, de forma:

gf

p

edcba

cdw = (3.39)Introducnd unitile de msur fundamentale date n tabelul 3.2 pentru sistemulMLT, rezult:

[ ]gfed

c

ba

T

M

T

L

L

M

TL

ML

T

L

T

ML

=

32

2

33. (3.40)

Pentru ca s rezulte ca o mrime adimensional, trebuie ca suma exponenilorfiecrei dimensiuni primare s fie egal cu zero. Se obine astfel sistemul de ecuaii:

=

==+++

=+++

0:

0323:

023:

0:

gfa

gfdbaT

fedcbaL

gedaM

(3.41)

Se observ c sistemul este nedeterminat, deoarece conine 7 necunoscute inumai 4 ecuaii. Pentru ieirea din acest impas se vor considera trei dintre acetiexponeni, cu valori cunoscute (g= 1, b if) Rezult:

+=

++==+

=++

fa

fbdaTfbedcaL

edaM

1:

233:

23:

1:

(3.42)

Soluia sistemului, n funcie de b, f i g, este: a = 1f, c = b 1, d=fb, e=b.Punnd C/1= , unde Ceste o constant oarecare, se obine:

111/1

= fp

bbfbbf cdwC (3.43)

108


19/22

Convecia termic

Rearanjnd termenii, se poate scrie:f

p

bcwd

Cd

=

(3.44)

sau, n forma grupurilor adimensionale( )

3211,= F (3.45)

Prin identificare direct, se obin cele trei grupuri adimensionale:

=1 Nu

pCwdd ===== Pr;Re;32 (3.46)

Am recunoscut deci criteriileNusselt care caracterizeaz intensitatea procesuluide transfer a cldurii la suprafaa de contact dintre fluid i perete, Reynolds carecaracterizeaz regimul de curgere a fluidului respectiv Prandtl care caracterizeazproprietile fizice ale fluidului.

Folosind analiza dimensional, relaia funcional dintre cei 7 parametri setransform ntr-o relaie mult mai simplu de cercetat experimental, de forma:

Nu = CReb

Prf

(3.47)Dei obinerea grupurilor adimensionale are la baz o serie de procedee

matematice, fiecare dintre ele are o anumit semnificaie fizic. Aceasta rezult princombinarea semnificaiilor fizice ale mrimilor grupate, care descriu procesul analizat.Prezentm, n cele ce urmeaz semnificaia fizic pentru cele mai importante grupuriadimensionale, sau criterii folosite n analiza experimental a proceselor termoenergetice.

Criteriul Reynolds (Re) caracterizeaz regimul de curgere a fluidului i sedefinete ca raportul dintre forele de inerie i forele de viscozitate pentru unitatea devolum de fluid.

Criteriul Prandtl(Pr) caracterizeaz proprietile fizice ale fluidului i reprezint

raportul dintre difuzivitatea molecular a impulsului i difuzivitatea molecular acldurii, respectiv raportul dintre distribuia vitezei i distribuia de temperatur.Criteriul Peclet (Pe) se definete ca raport dintre fluxurile de cldur transmise

prin convecie, respectiv prin conducie, la aceeai diferen de temperatur T.Criteriul Nusselt(Nu) reprezint raportul dintre gradientul temperaturii fluidului

la suprafaa peretelui i un gradient de referin al temperaturii.Criteriul Stanton (St) reprezint raportul dintre fluxul de cldur transmis prin

convecie i fluxul de cldur acumulat de fluid.Criteriul Grashof(Gr) se folosete n deosebi n procesele de convecie liber i

caracterizeaz aciunea reciproc a forelor ascensionale i a forelor de viscozitate afluidului.

Criteriul Biot (Bi) reprezint raportul dintre rezistena termic interioar laconducie i cea exterioar la convecie pentru transferul de cldur ntre un corp solid imediul ambiant.

Criteriul Fourier (Fo) este caracteristic proceselor de transfer de cldurtranzitorii i exprim timpul de propagare a cldurii, n uniti adimensionale.

Expresiile de calcul pentru aceste criterii sunt date n tabelul 3.3.

109


20/22

Convecia termic

Tabelul 3.3

Criterii adimensionale folosite n analiza proceselor termoenergetice

Criteriul Simbol Relaie de calcul1 2 3

Reynolds Re Re = wl/v = wl/Prandtl Pr Pr = cp/ = v/aPclet Pe Pe = Re Pr = Wl/aNusselt Nu Nu = l/Stanton St St = Nu/Re Pr = /cpwColburn j j = St Pr 2/3 = Nu/Re Pr1/3

Grashof Gr Gr = gl3t/v2

Tabelul 3.3

(continuare)

1 2 3Biot Bi Bi = l/Fourier Fo Fo = a/l2

Rayleigh Ra Ra = Gr Pr = gl3t/vaFroude Fr Fr = w3/glGalilei Ga Ga = Re2/Fr =gl3/v2

Arhimede Ar Ar = Ga ( 0)/Kutateladse K K = r/cptNewton Ne Ne = w/lEuler Eu Eu = p/w2

Graetz Gz Gz = Gcp/lSchmidt Sc Sc = /D

Mach M M = w/w0

Notaiile folosite n aceste relaii sunt urmtoarele: , 0 densitatea fluidului n dou punctediferite, n kg/m3; viscozitatea dinamic a fluidului, n (Ns)/m2; v viscozitatea cinematic a fluiduluin m2/s; cp cldura specific la presiune constant, n J/(kgC); conductivitatea termic, n W/(mK); a

difuzitatea termic, n m2/s; coeficient de dilatare volumic, n l/K; r cldur latent de vaporizare,n J/kg; T temperatura, n K; w viteza fluidului, n m/s; l lungimea caracteristic a curgerii, n m; coeficientul de convecie, n W/(m2K);g acceleraia gravitaiei, n m/s2; T diferena de temperatur, nC; timpul, n s; p diferena de presiune, n Pa; G debitul de fluid, n kg/s; D coeficientul dedifuzie, n m2/s; w0 viteza sunetului n fluid, n m/s.

3.1.5.3. Planificarea experimentului i

corelarea datelor experimentalePlanificarea experimentului reprezint procedeul de alegere a numrului i

condiiile de desfurare a ncercrilor, necesare i suficiente pentru rezolvarea uneiprobleme propuse cu precizia cerut [9].

Planificarea experimentului asigur cercetarea optim a diverselor procese iinstalaii, n sensul:

110


21/22

Convecia termic

minimizrii numrului de experimentri prin urmare a timpului icheltuielilor;

realizrii unor planuri speciale ale experimentului care s prevad variereasimultan a tuturor variabilelor;

utilizrii aparatului statisticii matematice care s permit formalizarea

aciunilor experimentatorului i luarea de hotrri fundamentate(argumentate), dup fiecare serie de experiene.

Metodele de planificare a experimentului pot fi aplicate att pentru obiecte ct ipentru procese i instalaii termoenergetice de diferite tipuri. Toat multitudinea defactori care determin fenomenul (procesul) studiat poate fi mprit n: (fig. 3.4a).

a) variabile controlabile i reglabilex1,x2, ...,xn, care n procesul de experimentarepot s se schimbe n concordan cu un plan oarecare. Se consider c aceste variabilesunt independente ntre ele i c precizia de determinare a lor este destul de ridicat;

b) variabile nereglabilez1,z2, ...,zm;c) perturbaii necontrolabile k1, k2, ....., kd;d) variabile de ieire ca funcii numericey1,y2, ....,yn.

n figura 3.4b este prezentat schema transformat a obiectului conectat cu osigur funcie obiectiv:yi = i + i unde i este valoarea real de ieire a experimentuluii; i eroare adiional, corespunztoare experimentului i, constituit ca urmare ansumrii aciunilor parametrilor de intrare nereglabili.

Se consider c dependena = (x) este derivabil i se poate dezvolta n serieTaylor.

Fig.3.4 Schema structural a obiectului (fenomenului) cercetat

Planificarea experimentului se utilizeaz pentru rezolvarea urmtoarelor tipuri deprobleme:

determinarea factorilor cei mai importani care influeneaz experimentul; aprecierea cantitativ a influenei diferiilor factori asupra funciei obiectiv; determinarea condiiilor optime; construirea modelului matematic a obiectului studiat; stabilirea coeficienilor, constantelor din modelul teoretic care descrie

fenomenul studiat i alegerea celui mai bun model dintr-o serie analizat.

knk2

OBIECTSTUDIAT

OBIECTSTUDIAT

x1

x2

xn

y1

y2

yn

x1

x2

xn

k1

z1 z2 zn

y

a) b)

111


22/22

Convecia termic

Planificarea experimentului a devenit n ultimii ani o ramur important a fiziciiexperimentale creia i-au fost dedicate numeroase lucrri .

Pentru corelarea datelor experimentale n vederea obinerii unei ecuaiicriteriale, de exemplu ecuaia (3.47) din exemplul anterior, se va realiza o reprezentaregrafic a materialului experimental obinut ntr-o diagram logaritmic pentru a obine

variaii lineare. ntr-adevr, prin logaritmarea ecuaiei (3.47) se obine:log Nu PrlogReloglog fbC ++= , (3.48)care n coordonate logaritmice reprezint o familie de drepte (fig.3.5).

Fig. 3.5 Variaia Nu =f(Re, Pr):a) pentru Pr = ct; b) pentru Re = ct

Cu ct numrul de experimentri este mai mare cu att precizia determinriiexponenilorb ifva fi mai mare. Din figura 3.5 rezult simplu c:

b = tg ; f = tg . (3.49)Avnd valoarea lui Re, Pr, b, f, rezult imediat valoarea constantei C.

Pr2

log Nu log Nu

log Re log Pr

Pr3

Pr1

Re3

Re2

Re1

a) b)

112

lectia 6 transfer de căldură si masa

Documents