FIABILITATEA I MENTENANA PRODUSELOR

CUPRINS

PARTEAII. PROBLEME GENERALE PRIVIND CALITATEA I FIABILITATEA...................... ..31.1 Calitatea produselor ..................................................................................................... ..31.2 Noiunea de fiabilitate .................................................................................................. ..81.3 Clasificarea defeciunilor ............................................................................................. 11II. ELEMENTE DE STATISTIC MATEMATIC UTILIZATE N FIABILITATE ........ 122.1. Elemente i probabiliti .............................................................................................. 122.2. Variabile aleatoare ....................................................................................................... 122.3. Indicatorii statistici ai repartiiilor discrete i continue.............................................. 142.4. Legi de repartiie utilizate n studiul fiabilitii.......................................................... 162.5. Reprezentri grafice tipice a datelor statistice ........................................................... 24III. NCERCAREA FIABILITII ..................................................................................... 27IV. TESTE DE CONCORDAN....................................................................................... 314.1 Testul Kolmogorov-Smirnov ..................................................................................... 314.2 Testul hi-ptrat ........................................................................................................... 324.3 Verificarea caracterului Weibullion ........................................................................... 334.4 Metode grafice pentru validarea modelelor ............................................................... 35V. ESTIMAREA PARAMETRILOR DE FIABILITATE .................................................. 395.1. Consideraii generale.................................................................................................. 395.2. Sistem informaional de date privind comportarea n exploatare a elementelori sistemelor ...................................................................................................................... 395.3. Expresii fundamentale ale fiabilitii ......................................................................... 415.4. Construcia funciilor empirice de fiabilitate ............................................................. 425.5. Estimarea parametrului funciei exponeniale de repartiie ....................................... 445.6. Estimarea parametrilor funciei de repartiie Weibull................................................ 45

PARTEAIII. NOIUNI GENERALE ...................................................................................................... 50II. UZAREA PIESELOR ......................................................................................................... 532.1. Generaliti privind uzarea............................................................................................. 532.2. Uzarea de aderen ........................................................................................................ 542.3. Uzarea de abraziune .................................................................................................... 552.4. Uzarea de oboseal ...................................................................................................... 562.5. Uzarea de impact ......................................................................................................... 582.6. Uzarea de coroziune .................................................................................................... 58III. SISTEME DE NTREINERE I REPARAII ............................................................... 603.1. Generaliti privind activitatea de reparaii .................................................................. 603.2. Sistemul de ntreinere corectiv ................................................................................. 613.3. Sistemul de ntreinere funcional curent .................................................................. 623.4. Sistemul de ntreinere funcional periodic de tip preventiv-planificat .................... 623.5. Sistemul de revizii tehnice i reparaii preventiv-planificate ........................................ 793.6. Sistemul de ntreinere i reparaii de tip paleativ ........................................................ 85IV. NORMATIVE DE REPARAII...................................................................................... 864.1. Determinarea elementelor ciclului de reparaii ............................................................ 864.2. Stabilirea modului de planificare, realizare i urmrire a procesului dementenan a unor utilaje i mijloace de transport .............................................................. 874.3. Asigurarea cerinelor de calitate a construciilor printr-o mentenan eficient amainilor i utilajelor de construcii .................................................................................... 90BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................... 105

10

PARTEA ICAPITOLUL IPROBLEME GENERALE PRIVIND CALITATEA I FIABILITATEA

1.1. Calitatea produselorAvnd n vedere caracterul dinamic al calitii produselor, conceptul de calitate a evoluat n ultimul timp, putnd vorbi astzi de un concept modern, conform cruia: calitatea este rezultatul unui proces amplu i complex care ncepe cu cercetarea tiinific a nevoilor sociale i continu cu asigurarea realizrii parametrilor de calitate i se ncheie cu cercetarea tiinific a comportrii produsului la beneficiar (vezi fig.1.1.).

Fig. 1.1. Spirele calitii

Pentru definirea produselor, este necesar prin urmare, luarea n considerare a unui numr mare i variat de factori i condiii de natur tehnic, economic i social. n literatura de specialitate se cunosc foarte multe definiii ale calitii (peste o sut).Una din definiiile mai complete a calitii a calitii produselor dat n tratatul de economie are urmtorului anun: Calitatea produsului (serviciului) exprim gradul de utilitate social a acestuia, msura n care, prin ansamblul caracteristicilor sale tehnico-funionale, psihosenzoriale i al parametrilor economici, satisface nevoia pentru care a fost creat i corespunde restriciilor impuse de interesele generale ale societii privind eficiena social-economic, conservarea calitii mediului natural i social.Aadar, dup cum rezult de mai sus, calitatea unui produs reprezint o caracteristic a valorii lui de ntrebuinare. ntre cele dou moiuni exist o strns legtur, ambele referindu-se la proprietile produselor, la utilitatea lor. Astfel, n timp ce valoarea de ntrebuinare exprim totalitatea proprietilor unui produs de a satisface anumite necesiti, proprieti recunoscute n mod social, calitatea produselor exprim msura sau gradul n care produsul, mai precis valoarea de ntrebuinare, satisfac trebuina social.n literatura de specialitate i n practic, se folosete i noiunea de calitate a produciei, care are o sfer mai larg, reflectnd nivelul la care se desfoar ansamblul de activiti care condiioneaz desfurarea produciei: proiectarea, organizarea fluxurilor tehnologice la nivelul acestora, structura sortimental a fabricaiei, metodele de organizare a produciei i a muncii, starea ordinii i a disciplinei, care-i pun pecetea asupra desfurrii produciei i a calitii produselor.Aadar putem trage concluzia c calitatea produselor reprezint expresia final a calitii produciei, a ntregului proces de fabricaie, concretiznd nivelul tehnic, performanele constructive i economice, estetice, etc. ale fiecrei produs.Planificarea, asigurarea i mbuntirea calitii sunt strns condiionate de exprimarea sa n termeni cantitativ. Calitatea are ns un coninut complex, al crui suport l reprezint o gam larg de caracteristici ale produselor, diferite att ca natur i importan ct i din punct de vedere al posibilitilor de apreciere cantitativ obiectiv.n raport cu natura i efectul pe care l au n procesul de utilizare,caracteristicile calitative se pot grupa conform criteriilor prezentate n figura 1.2.n viziunea convenional, coordonata unic a calitii o reprezint funcionalitatea, capacitatea unui produs de a ndeplinii funciunea pentru care a fost conceput. n construcia de maini, utilaje i echipamente miniere, aceast funcionalitate exprim, de regul, acele elemente ale calitii care corespund cerinelor standardelor, documentaiei tehnice sau ale altor documente normative (exemplu: putere, vitez, debit, etc.).Acceptarea numai a acestei coordonate este ns astzi insuficient, de aceea, n continuare, vom defini i alte coordonate de msur a calitii.Un prim aspecte care necesit s fie luat n considerare pentru definirea calitii este dimensiunea economic a calitii. Ne referim aici la dou relaii interdependente: funcionalitatea cost i funcionalitate-cheltuieli de exploatare. Prima relaie are n vedere fabricarea produselor cu cheltuieli minime iar cea de-a doua relaie cheltuieli minime de exploatare, ntreinere i reparaii.O problem de importan deosebit n evaluarea calitii este meninerea n timp a acesteia. Un utilaj minier de bun calitate trebuie s fie sigur n funcionare, s- i pstreze n timp performanele iniiale. n acest sens rolul principal revine coordonatei disponibilitate care la rndul ei este legat de fiabilitate i mentenabilitate.n definirea calitii unui produs trebuie s fie luate n considerare, nu nultimul rnd, i problemele psiho-sociale. Ne referim la estetic i ergonomie (n ultimul timp se vorbete despre caracterul prietenos al unui produs), relaia dintre main i mediul natural nconjurtor (gradul de poluare sonic, gaze nocive, vibraii, etc.) precum i asigurarea proteciei muncii.

Fig.1.2 Criterii de apreciere a calitii produselor

Desigur, multiplele coordonate care definesc calitatea unui produs sunt ntr-ocontinu transformare, impuse de mereu alte cerine ale pieii interne i externe.Un factor important n asigurarea calitii l reprezint controlul calitii. De la bun nceput trebuie s specificm c prin control nu se creeaz calitate: chiar nipoteza c se elimin prin verificri succesive toate produsele defecte, aceasta nu ar conduce la crearea unei caliti superioare. Aadar, calitatea nu se poate realiza doar prin control ci numai prin conceperea i proiectarea ei, fabricaie i exploatare. Precizarea funciunilor care revin fiecrei etape n construirea calitii, a relaiilor dintre ele, schimbul de informaii despre calitatea i prelucrarea lor, constituie ceea ce tinde s devin astzi o noiune de baz a conducerii n industrie: sistemul de asigurarea calitii.Sistemul de asigurare a calitii mai multe subsisteme care se mpart n cele trei etape: concepie, execuie i exploatare i au ca obiectiv construirea, atestarea i mbuntirea calitii.Nu trebuie pierdut din vedere c obinerea calitii cost, dar lipsa calitii cost i mai mult. n caz extrem, lipsa calitii poate conduce la imposibilitatea desfacerii produselor.Pentru diferite produse, n figura 1.3 se poate observa care este legtura dintre nivelul calitii i costuri. Se poate constata c produsele convenionale, care prin utilizare nu genereaz dect defeciuni minere sau moderate i pierderi materiale mici, au optimul economic spre o calitate mai redus dect a celor de mare responsabilitate.

Fig. 1.3. Legtura dintre nivelul calitii i costuri1 costul asigurrii calitii; 2 valoarea pierderilor prin rebuturi, remanieri, vnzri sczute etc; 3 costul total al calitii; A zona produselor convenionale de uz curent (optim economic); B zona produselor convenionale de mare responsabilitate (industrie, marin, aviaie); C zona produselor de uz nuclear i (sau) importan strategic de nivel naional 1 sau supranaional.

Similar cu costul total al calitii n fabricaie, n care este interesat productorul, exist un cost total al asigurrii serviciului, n care este interesat beneficiarul. Legtura ntre aceste costuri i calitate este artat n figura 1.4.Se poate constata din figura 1.4, existena unei zone A optim din punct devedre al nivelului de calitate, precum care cheltuielile totale la beneficiar sunt minime.

Fig.1.4. Relaia dintre cheltuieli (costuri) i calitate (la beneficiari)

Definiii i noiuni de baz privind calitateaCalitatea concepiei se definete prin materialele prescrise, soluie tehnic, performane ergonomice, design, specificaii tehnice i tolerane care determin caracteristicile prevzute.Calitatea de conforman - reprezint msura n care execuia satisface prevederile documentaiei tehnice fiind determinat de procesul tehnologic, de utilaje i de pregtire tehnic a fabricaiei de activitatea de urmrire reglare i control tehnic de calitate, de manoper, etc.Verificarea calitii reprezint totalitatea aciunilor efectuate n scopul realizrii conformaiei unui produs, serviciu sau proces fa de specificaiile acestuia. Activitile de verificare a calitii au, cu precdere un scop de constatare. Este deosebit de important ca informaiile obinute prin verificarea calitii s fie prelucrate (statistic) i s fie folosite n scopul asigurrii calitii (adic, a prevenirii apariiei neconformanelor).Controlul calitii - este definit de totalitatea aciunilor destinate dobndirii aptitudinii de folosire. Din punct de vedere economic, s-a dovedit c este mai rentabil ca informaiile rezultate din activitatea de control s fie folosite la perfecionarea tehnologiei de fabricaie i nu n amplificarea controlului.Controlul tehnic total al calitii este definit de totalitatea aciunilor destinate dobndirii aptitudinii de folosire. Din punct de vedere economic, s-a dovedit c este mai rentabil ca informaiile rezultate din activitatea de control s fie folosite la perfecionarea tehnologiei de fabricaie i nu n amplificarea controlului.Controlul tehnic total al calitii reprezint integrarea aciunilor de ridicarea a nivelului tehnic i calitativ, de meninere a calitii i de corecie mbuntirea a calitii n diferite compartimente ale unei uniti, astfel nct s permit concepia, producia, desfacerea i service-ul la cel mai economic nivel n vederea obinerii disciplinei satisfaceri a beneficiarului.CTTC = asigurarea calitii + verificarea calitiiCosturile calitii sunt determinate de totalitatea cheltuielilor efectuate n vederea obinerii i / sau meninerii calitii produsului n trei categorii: de prevenire a defectelor, de identificarea defectelor i costul defectelor.Gestiunea costurilor calitii reprezint totalitatea aciunilor de orientare (dirijare) a calitii n toate etapele de realizare a produsului, de la concepie pn la exploatare, prin prisma costurilor calitii.Principiul de baz n gestiunea calitii este: costul aciunilor de mbuntirea s fie inferior costului defectelor nlturate (excepie fac produsele de maximsecuritate). Scderea costurilor calitii constituie o resurs important pentru reducerea cheltuielilor de producie costurile la 1000 lei producie marf.Analiza valorii este o metod de analiz i cretere a eficienei produciei industriale, avnd ca obiective reducerea costului de producie i mbuntirea calitii.Fiabilitatea reprezint probabilitatea ca un produs sau sistem s funcioneze corespunztor o anumit perioad de timp n condiii prestabilite.Mentenabilitatea este probabilitatea ca un produs s poat fi ntreinut i reparat ntr-un timp dat i n condiii dinainte precizate. Mentenabilitatea este determinat de concepia constructiv i de calitate de conforman rezultat din execuie.Eficacitatea controlului calitii reprezint msura n care acesta elimin componentele defectuoase. n cazul controlului 100 % eficacitatea se determin cu relaiaEC % A B 100Aunde A, reprezint procentul de rebut lot necontrolat, iar B este procentul de rebut lotcontrolat.Indicatori sintetici i nivelului tehnic i calitativ reprezint expresia cantitativ a comparaiei mai multor caracteristici de calitate, cumulate, dintre un produs de comparat, i un produs de referin. Sunt numere adimensionale, valoarea lor fiind , sau = cu 1.Control de recepie la intrarea n ntreprindere a materialelor i furniturilor are drept scop luarea deciziei de acceptare sau respingere a introducerii n fluxul de fabricaie a loturilor aprovizionate.Recepia final (ieiri), reprezint operaiile de verificare efectuate asupraproduselor, nainte de livrarea acestora.Autocontrolul, reprezint starea de organizare a lucrului n care o persoan are ntreaga stpnire i rspundere asupra rezultatelor prevzute s le obin, sau altfel spus fiecare persoan este propriul su controlor de calitate.Controlul statistic al calitii reprezint controlul bazat pe principiile i metodele statisticii matematice. Metodele statistice de control sa aplic cu deosebit eficacitate la: controlul de recepie a materiilor primite, materialelor, componentelor sau produselor aprovizionate introduse n procesul de fabricaie: controlul desfurrii procesului de fabricaie, n vederea prevenirii apariiei de rebuturi: controlul produselor finite. Controlul statistic se realizeaz pe baza standardelor n vigoare.Control 100 % - este forma de control care se caracterizeaz prin verificarea integral, bucat cu bucat, a produciei realizate. Se aplic n cazurile: piesa de importan vital i cost foarte ridicat; proces de producie instabil statistic.Tehnologie de control reprezint colecia de metode i mijloace, folositpentru asigurarea calitii unui reper sau produs.Metoda demeritelor este un procedeu de evaluare a calitii innd seamade natura i numrul defectelor gsite.Analiza Pareto este o metod de orientare a investigaiilor prin separareaelementelor cu pondere mare, ntotdeauna puine, de cele cu pondere mic, dar multe.Diagrama Ishikawa (cauz-efect) - este o metod de reprezentare grafic a cauzelor erorilor, pe grupe i subgrupe derivate.Arborele greelilor reprezint un procedeu prin care se desemneaz metoda de analiz a factorilor (materiale, specificaii, tolerane) care asigur nivelul calitativ al funciilor pe care le ndeplinete un produs.

1.2. Noiunea de fiabilitate

Fcnd o analiz retrospectiv a performanelor tehnice ale mainilor, utilajelor instalaiilor care erau n numr i diversitate redus, se poate admite c acestea erau relativ coborte, cu excepia duratelor de serviciu foarte mari: explicaia ar consta n faptul c aprecierile acelor realizri erau formulate n funcie de o via de om (i nici nu erau alte considerente de apreciere).Progresul tehnologic considerabil ncepnd din a doua jumtatea secolului 20 este strns legat de realizarea unor utilaje, maini, instalaii, tot mai complexe, n componena creia intr multe elemente, avnd fiecare o durat de serviciu relativ satisfctoare.Sarcina fundamental i raiunea dea asigura o funcionalitate optim unei maini const n necesitatea i obligaia de a realiza o calitate corespunztoare serviciilor pentru care au fost achiziionate mijloacele de munc respective.Dei s-au realizat mbuntiri considerabile, n sensul sporirii duratei de funcionare a componentelor de baz, acestea nu au determinat, ns o cretere echivalent a duratei de serviciu a sistemelor n care sunt folosite nct s-a ajuns la situaia c sistemele respective au o durat de via mai mic dect a componentelor lor de baz. Aceasta situaie izvort din practica industrial, a impus o analiz n timp a modului de via a sistemelor i prilor componente pentru a asigura un potenial ridicat de funcionalitate n timp, cunoscut sub noiunea de fiabilitate.Noiunea de fiabilitate reprezint un complex de preocupri, activiti, scopurii face parte integral, aa cum s-a artat, din parametri calitativi ai unui produs.Dac prin calitatea produselor nelegem gradul sau nivelul prin care acestea corespund necesitilor de consum, atunci fiabilitatea nseamn pe lng acestea, folosirea produselor la parametri proiectai, exploatarea lor sigur i continu n condiii bine determinate, pe o durat de timp dat.Cele mai uzuale exprimri de definire a noiunii de fiabilitate pot fi considerate urmtoarele:- fiabilitatea exprim gradul, nivelul de ncredere, de siguran n exploatare apieselor i produsului finit complex;-fiabilitatea este proprietatea ca un utilaj, aparat, main sau pies s funcioneze corect ntr-un timp dat, n condiii de utilizare precis, respectiv probabilitatea ca acestea s nu aib defeciuni n perioada aceea de timp;-fiabilitatea reprezint ansamblul calitilor unui sistem tehnic care determin capacitatea acestuia de a fi utilizat un timp ct mai ndelungat, n scopul pentru care a fost construit;- fiabilitatea este o mrime a probabilitii de funcionare a unui sistem tehnic nconformitate cu normele prescrise;-conform recomandrii Comisiei Electrotehnice Internaionale (C.E.I.), fiabilitatea este o caracteristic a unui dispozitiv exprimat prin probabilitatea cu care el ndeplinete o funcie necesar, n condiii date, pe o durat de timp dat.-conform STAS 8174/1-77 fiabilitatea reprezint aptitudinea unui dispozitiv (reper, ansamblu, echipament, subsistem sau sistem) de a-i ndeplini funcia specific, n condiii date i de-a lungul unei durate date.Teoria fiabilitii poate fi considerat astzi, o ramur a tiinei care se ocup cu studiul msurilor generale ce trebuie luate n considerare la proiectarea, ncercarea, fabricarea, recepia i exploatarea sistemelor tehnice, pentru a sigura eficiena maxim a utilizrii lor.Pentru a cunoate probabilitatea pe care o are un utilaj de a funciona fr defeciuni n condiiile de utilizare determinate, n multe cazuri subansamblelor care l alctuiesc. n legtur cu aceasta, analizele efectuate de instalaii specializate cu privire la corelaia dintre precizia, calitatea pieselor i a produsului finit, au condus la concluzia c nu trebuie admise nici un fel de abateri fa de prescripiile tehnice de calitate, ntruct orice abatere privind calitatea pieselor (dimensional sau de material) se amplific substanial la nivelul produsului finit.Concretiznd experienele dobndite n alte ri i la ICTCM Bucureti pe baza analizei statistice matematice, s-a obinut legtura ntre fiabilitatea produs fiabilitate repere componente (pentru 1000 buc. piese importante din punct de vedere funcional), ilustrat n figura 1.5.

Fig. 1.5. Legtura fiabilitate produs-fiabilitate elemente componente

Se observ c la o fiabilitate a elementelor componente de 99,9 %, fiabilitatea produsului este 39,8 %.Avnd n vedere creterea ritmului de dezvoltare a tiinei i tehnicii, a gradului de complexitate a mainilor, utilajelor i instalaiilor miniere, fiabilitatea va avea ca obiective:- studiul defeciunilor (al cauzelor, al proceselor de apariie i de dezvoltare i ametodelor de combatere a lor);- analiza fizic a defeciunilor;-aprecierea cantitativ i calitativ a comportrii n timp a produselor innd seama de influena pe care o exercit asupra acestora factorii interni i externi;-determinarea modelelor matematice i metodelor de calcul i de prognoz a fiabilitii pe baza ncercrilor i urmririi n exploatare a produselor.-stabilirea cilor i metodelor pentru asigurarea, meninerea i creterea fiabilitii n proiectare, fabricarea i exploatarea produselor;-stabilirea metodelor de selectare i prelucrare a datelor privind fiabilitatea produselor.Conceptul de fiabilitate poate fi definit sub dou aspecte: calitativ i cantitativ. Calitativ, fiabilitatea reprezint capacitatea unui sistem de a funciona fr defeciuni, n decursul unui anumit interval de timp, n condiii date. Cei maiimportani indici calitativi sunt:-capacitatea de funcionare, reprezint proprietatea produsului de a corespunde tuturor cerinelor impuse de documentaiile tehnice;-capacitatea de bun funcionare, nseamn c se asigur o funcionare normal i n plus comoditate i estetic;- disponibilitate, reprezint capacitatea unui produs de a fi n stare de funciunela un moment dat;- durata de via, constituie proprietatea produsului de a-i pstra capacitatea defuncionare, cu pauzele necesare pentru activiti de mentenan;-rezervarea (redundana), constituie adugarea de elemente suplimentare fa de cele minim necesare pentru a sigura funcionalitatea normal;-capacitatea de reparare, este proprietatea de a putea depista i nltura defeciunile;-restabilirea, capacitatea de a se reda n ntregime capacitatea de funcionare dup efectuarea reparaiilor;-defectul sau deranjamentul, nseamn evenimentul care genereaz pierderea capacitii de bun stare.Cantitativ fiabilitatea reprezint caracteristica unui produs definit prin posibilitatea ca un produs s-i ndeplineasc funcia specificat, ntr-un interval de timp dat i n condiii date. Prin urmare, pentru exprimarea cantitativ a fiabilitii se folosete elemente de teoria probabilitii i statistic matematic, ntruct mecanismul de defecte nu se supune unor legi determinate. Valoarea numeric a unui parametru de fiabilitate pentru un element, dispozitiv se numete indice de fiabilitate. innd seama de caracteristicile de fiabilitate, parametrii cantitativi pot fi clasificai n mai multe grupe:-parametrii funcionali fr defeciuni care nseamn:probabilitatea funcionrii fr defeciuni, probabilitatea ieirii din funciune, timpul de funcionare fr defeciuni, timpul de funcionare ntre defeciuni, intensitatea (sau rata) defeciunilor;-parametrii restabilirii: probabilitatea restabilirii, timpul de restabilire intensitatea (rata) restabilirii, coeficient de disponibilitate;-parametrii servirii tehnice: probabilitatea servirii tehnice, timpul de servire, coeficientul servirii tehnice;-parametrii de exploatare: durata de serviciu, durata funcionrii, resursa tehnic, coeficieni de utilizare, costul exploatrii etc.Obiectele crora li se urmrete fiabilitatea sunt n general sistemul ielementul.Prin sistem se nelege ansamblul de obiecte care funcioneaz n comun n scopul realizrii n mod independent a unei anumite funciuni practice (exemplu: combina minier, transportor cu raclete sau cu band, ventilator, etc.).Elementul reprezint o anumit parte din sistem, capabil s ndeplineasc o anumit funcie n cadrul sistemului (exemplu: motor cu acionare, reductor, cuite de combin ect.), n principiu, sistemul poate fi mprit n orice numr de elemente necesare pentru analiza fiabilitii. Elementele unui sistem complex pot s se mpart la rndul lor n elemente de al doilea rang, n raport cu care elementele din primul rang sunt sisteme.n cazul n care nu apare necesitatea mpririi n elemente componente, se vor utiliza uneori termenii de produs sau dispozitiv, care pot fi atribuii oricrei construcii finite, destinat pentru rezolvarea unei anumite probleme practice.n general, elementele se pot mprii n dou mari categorii:- elemente electrice (motoare electrice, rezistene, condensatoare,relee, etc);-elemente mecanice, n care se includ de regul i cele hidraulice i pneumatice i care se mpart la rndul lor n dou grupe:- elemente cinematice (roi dinate, lagre, arbori, etc)- elemente de fixare (supori, uruburi, pene, etc.).Sistemele i elementele componente se pot afla ntr-una din cele dou stri: n stare de funcionare sau stare defect (de nefuncionare),

1.3. Clasificarea defeciunilor

Defectarea sau ieirea din funciune reprezint ncetarea aptitudinii unui sistem (element) de a-i ndeplini funcia specificat. Defeciunile elementelor i sistemelor se pot clasifica dup diferite criterii.1. Dup dependena dintre defeciuni se pot deosebi defeciuni primare, adic aprute din orice motiv n afar de aciunea unei alte defeciuni i defeciuni secundare, aprute ca rezultat al unei alte defeciuni.2. Dup uurina de detectare a defeciunilor ele pot fi evidente sauascunse.3. Dup viteza de apariie distingem defeciuni brute, care provoacmodificarea brusc (practic instantanee, a caracteristicilor elementelor) i defeciuni progresive (treptate) care apar ca urmare a deprecierii lente, treptate a strii sistemelor (elementelor) datorit fenomenelor de uzare.4. Dup nivelul de defectare avem: defectare parial, ce rezult din deviaiile uneia sau mai multor caracteristici, dar care nu provoac dispariia total a funciei specificate a elementului, defectare total, cnd avem ncetarea total a funciei specificate a elementului: defectare intermitent, are loc pe o durat limitat dup care elementul i revine fr nici o aciune corectiv asupra lui.5. n raport cu efectele provocate se disting patru clase de defectri: critice n cazul n care poate provoca rnire de persoane sau pierderi de materiale importante; majore care reduc n mod simitor timpul de utilizare a elementului; minore, care nu este susceptibil s reduc aptitudinea unui element mai complex, din care face parte sau este n legtur, de a-i ndeplini funcia specificat.6. Dup perioada de apariie distingem: perioada defectrilor timpurii (precoce) care corespund cu perioada de la nceputul vieii, de-a lungul creia rata de defectare descrete: perioada defectrilor de rat constant (de maturitate), n care rata cderilor este sensibil constant: perioada defectrilor trzii (de btrnee uzur) n care rata cderilor crete rapid i exploatarea n continuare a sistemului, fr nlocuirea elementelor, devine neraional. n figura 1.6 este reprezentat una din caracteristicile tipice. Menionm c nu ntotdeauna caracteristica are aspectul din fig.1.6, ci poate fi diferit, deoarece prile componente au durat de via diferite.

Fig.1.6. Curba tipic a ratei cderilor CAPITOLUL IIELEMENTE DE STATISTIC MATEMATIC UTILIZATE N FIABILITATE

2.1. Elemente i probabiliti

Studiul fiabilitii elementelor i sistemelor este de neconceput fr utilizarea limbajului teoriei probabilitilor, pentru c nsi fiabilitatea este definit ca o probabilitate a funcionrii fr defeciuni pe o perioad de timp dat n condiii impuse, de aceea n cele ce urmeaz se vor expune cteva noiuni din aceast disciplin matematic.Pentru studiul fenomenelor, teoria probabilitii opereaz cu unele noiunispecifice, cum ar fi:1. Eveniment : reprezint producerea sau neproducerea unui fenomen ntr-un experiment oarecare (exemplu: starea de funcionare sau nu, la un moment oarecare, a unui dispozitiv, pies etc, este un eveniment). Evenimentele pot fi:a) eveniment sigur: un eveniment care se produce n mod obligatoriu la efectuarea experimentului;b) eveniment imposibil: un eveniment care nu se produce n mod obligatoriu la efectuarea unui experiment;c) eveniment ntmpltor un eveniment care poate s se produc sau nu la efectuarea unui anumit experiment. Fiecare eveniment ntmpltor este rezultatul aciunii mai multor factori i de aceea nu poate fi anticipat ntr-o singur prob. Dac ns considerm evenimente ntmpltoare care pot fi observate de mai multe ori n condiii de acelai fel, atunci acestea se supun unor reguli precizate de statistica matematic;d) eveniment incompatibil: dou sau mai multe evenimente sunt incompatibile dac producerea uneia dintre ele exclude producerea celorlalte ntr-o aceeai ncercare.2. Probabilitatea unui element P(A) este msura numeric a posibilitii de realizare a evenimentului i se exprim ca fiind raportul dintre numrul n de apariie a evenimentului i numrul total N al ncercrilor (observaiilor efectuate).P(A) = n/N (2.1.)Din aceast definiie rezult c probabilitatea evenimentului sigur este 1 (n=N), probabilitatea evenimentului imposibil este 0 (n=0), iar probabilitatea unui eveniment ntmpltor este cuprins ntre 0 i 1 (0 nN). Rezult c probabilitatea oricrui eveniment A satisface dubla inegalitate:0P(A) 1 (2.2)3. Cmp de evenimente reprezint totalitatea rezultatelor obinute ca urmare a unor experimentri.4. Cmp de probabilitate reprezint probabilitatea fiecrui eveniment inclusntr-un cmp de evenimente.

2.2. Variabile aleatoare

n domeniul produciei materiale majoritatea caracteristicilor de calitate i fiabilitate ale produselor sunt variabile care pot lua diferite valori, ca urmare a mulimilor de factori ntmpltori. Aceste mrimi sunt denumite variabile aleatoare (sau ntmpltoare) i cu ajutorul lor se pot descrie diferite evenimente n cazul studierii unui fenomen. De exemplu, n teoria fiabilitii dintre variabilele aleatoare frecvent ntlnite putem meniona: numrul de defeciuni care apar ntr-o anumitperioad de funcionare; numrul produselor defecte dintr-un lor examinat: timpul de funcionare; numrul produselor defecte dintr-un lot examinat; timpul de funcionare fr defeciuni: timpul de restabilire; timpul de oprire forat; nivelul parametrilor tehnici ai dispozitivelor, etc.Dup mulimile pe care sunt definite, variabile aleatoare poate fi :- discrete adic o variabil care poate avea numai valori izolate (x1, x2, , xn) cu alte cuvinte definit pe o mulime cel mult numerabil (numrul de piese defecte dintr-un lot, turaia obinut la un reductor etc.);- continu variabila aleatoare care umple cu un numr infinit de valori posibile un interval finit sau infinit sau altfel spus, variabila definit pe mulimea continu (durabilitatea unei scule miniere, durabilitatea unei piese recondiionate, tec.).a. Variabila aleatoare discrete. Repartiia unei variabile aleatoare discrete reprezint enumerarea tuturor valorilor posibile i a probabilitii fiecrei valori. Astfel, dac pentru variabila aleatoare x, valorile posibile sunt x1, x2, , xn, iar n urma experimentului probabilitatea apariiei fiecrei valori este p1, p2, pn, repartiia se prezint sub forma: x : x i i 1,2,..., n pi

(2.3.)

este:

Pentru o anumit valoare posibil a lui x, probabilitatea apariiei acestei valoripx x f x p x

(2.4)unde: x reprezint argumentul variabilei aleatoare, iar f(x) este funcia de probabilitate, aceasta din urm ndeplinind condiia:0 f x 1

(2.5)n cazul unui experiment, totalitatea valorilor posibile pe care le poate luavariabila x, formeaz un sistem complet de evenimente incompatibile, prin urmare:n pi 1i 1Pentru determinarea probabilitii evenimentelor

x x, se noteaz:

(2.6.)Fx Px x P x

pi x i x

(2.7.)unde:F(x) reprezint funcia de repartiie a variabilei aleatoare x, avnd semnificaia de probabilitate cumulat.Reprezentarea grafic a funciei de probabilitate i a funciei de repartiie este dat n figura 2.1.

Fig.2.1. Graficul funciei de probabilitate (a) i a funciei de repartiie (b) n cazulvariabilelor aleatoare discreteb. Variabila aleatoare continu. Fie variabila aleatoare continu:

xxx x a, b

(2.8)n care

x este numit densitatea de probabilitate i are reprezentarea grafic dat nfigura 2.2.a.Funcia de repartiie a variabilei aleatoare continue n intervalul a, x este deforma:

aFx Px x x x dx

(2.9.)i este reprezentat n figura 2.2.b.

Fig.2.2. Graficul densitii de probabilitate (a) i a funciei de repartiie (b) n cazulvariabilelor aleatoare continue

Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare, discrete sau continue, poate fi exprimat prin formula unic:xFx dFx n care pentru variabila continu avem:

(2.10)

xdFx x dx

sau

Fx x dx

(2.11)iar pentru variabila discret

x x i x i dFx f x i i 1

sau

Fx

f x i i 1

(2.12.)

2.3. Indicatorii statistici ai repartiiilor discrete i continue

Variabilele aleatoare sunt caracterizate complet prin funciile lor de repartiie. Cunoaterea indicatorilor statistici ai repartiiilor discrete i continue permite studiul repartiiei statistice a variabilei urmrite x, oferind date privind tendina central de grupare, (valoarea medie, mediana, modul) mprtierea sau concentraia (amplitudine, dispersie, abatere standard, etc) i forma graficelor de distribuie (simetrie i asimetrie, boltire). Principalii indicatori statistici sunt:a. Valoarea medie (aparena matematic) simbolizat cu sau M(x) este un indice al centrrii unei repartiii.Pentru o variabil aleatoare x este dat de relaiile:- pentru variabile de tip discret:n Mx

x i pi f 1

(2.13.)- pentru variabile de tip continuu:

a Mx bxx dx

(2.14.)Sau n cazul cnd valorile lui x se consider drept domeniu de variaie toat axa real,valoarea medie devine:

Mx xx dx

(2.14)b. Median (Me) este acea valoare a unei serii statistice, cu termeni n ordine cresctoare i care mparte seria n dou grupe egale ca numr de valori, respectiv n raport cu care variabilele au aceeai probabilitate de a fi inferioar sau superioar:Px M e

Px M e

Fx 12

(2.15.)Pe graficul funciei de repartiie f(x), mediana este egal cu abscisa punctuluicare mparte aria delimitat de curba f(x) i axa absciselor, respectiv n dou priegale (fig.2.3).

Fig.2.3. Reprezentarea medianei (Me) pe graficul funciei de repartiie f(x)

c. Modul (M0) este valoarea cea mai probabil (dominant), respectiv valoarea cu frecvena cea mai mare a unei variabile aleatoare pentru repartiiile unimodale, iar n cazul repartiiilor eterogene seria statistic prezint mai multe module pentru repartiia polimodal (fig.2.4.).

Fig.2.4. Reprezentarea modului pentru repartiia unimodal (a) i polimodal (b)

d. Amplitudine (W), sau extindere, interval de variaie reprezint diferenadintre valoarea cea mai mare (xmax) i cea mai mic (xmin) dintr-o serie statistic:W x max x min

(2.16.)e. Dispersie (D(x), este indicatorul principal al mprtierii i este egal cu media aritmetic a ptratelor abaterilor sale fa de media M(x), avnd ca relaii de calcul:- pentru variabile discrete:

Dx Mx Mx 2

n x i 2 pii 1

(2.17.)- pentru variabile continue:

Dx x 2 f x dx

(2.18.)Acest indicator ne arat, de exemplu gradul precizie:: cu ct dispersia este maimic cu att precizia este mai mare i invers.f. Abatere standard (s; ) reprezint rdcina ptrat din dispersie, adic:s

Dx

(2.19)Iar expresiile pentru variabilele discrete i continue, rezult din nlocuirea lui relaia 2.17, respectiv 2.18.

Dx cug. Momentul de ordinul r, reprezint un indicator statistic care apreciaz forma funciei de repartiie (asimetrie, boltirea). Momentul de ordinul r n raport cu o valoare x0reprezint media aritmeti0c a puterilor r a abaterilor valorilor unei serii staionare x1, x2,xn fa de x0, respectivnM r

x i x 0 r f ii 1

(2.20.)unde:fi, reprezint frecvena relativ (fini/n, n care ni sunt frecvenele absolute ale valorilor xi, iar n numrul total al valorilor), r ordinul momentului; x0 valoarea de referin.Pentru

x 0 x

(media seriei) i r2, momentul central de ordinul 2 este tocmaidispersia (relaia 2.17.), iar pentru x0=0 i r =1, momentul este media aritmetic.h. Coeficientul de asimetrie (A), reprezint un indicator al gradului desimetrie al curbei frecvenelor fa de media aritmetic.A x M 0 / S

(2.21.)Dac

x M 0 atunci

A 0 i asimetria este de stnga (pozitiv): dac

x M 0atunci A 0 asimetria este de dreapta (negativ).i. Coeficientul de boltire (), reprezint un indicator al gradului de nclinare apantei curbei funciei de repartiie unimodal n vecintatea modulului.

2.4. Legi de repartiie utilizate n studiul fiabilitii

n general, o anumit caracteristic cercetat ia valori ntmpltoare cuprinse ntre dou valori limit, fiecare valoare avnd o frecven proprie. Repartizarea acestor valori, respectiv a frecvenelor corespunztoare ntre cele dou valori limit, ntr-un anumit interval, se poate reprezenta printr-o lege de repartiie ce exprim dependena dintre valorile caracteristicii cercetate i probabilitatea aferent.n cazul variabilelor aleatoare discrete, principalele legi de repartiie sunt:binomal (sau Bernoulli), multinomial, hipergeometric i Poison.Repartiiile continue au o deosebit importan, att prin faptul c sunt folosite direct n cercetarea unor caracteristici cu valori continue ale colectivitilor ct i prin aceea c aproximeaz suficient d.p.v. practic multe din repartiiile discrete.Dintre legile de repartiie continue cu aplicabilitatea mai mare n fiabilitatemenionm: exponenial, Weibull, normal, lognormal, Raleygh i Gamma.n continuare se vor prezenta principalele legi de repartiie cu aplicaii n domeniul utilajelor, instalaiilor i echipamentelor miniere.Stabilirea funciei de repartiie reprezint una din problemele importante ale teoriei fiabilitii. n prezent nu toate elementele componente ale mainilor,instalaiilor i echipamentelor au stabilit legea de repartiie teoretic a timpului defuncionare fr defeciuni.

2.4.1. Repartiie binomial

Este utilizat la studiul repartiiei erorilor de msurare, la analiza comportrii aparatelor i dispozitivelor, pentru care experimentele ndeplinesc condiiile:- fiecare ncercare s formeze un sistem complet de evenimente incompatibileA i non A, cu alte cuvinte s existe numai dou rezultate posibile;- probabilitatea de apariie a unui eveniment, la fiecare ncercare s fie constant i egal cu p, caz n care probabilitatea evenimentului contrar (non A) este q= 1-p.Numrul de apariie evenimentului A este o variabil aleatoare di scret, cu valori certe 0, 1, 2, n. Acestor puncte li se atribuie n mod corespunztor posibilitile:

k k n kPn k

P A k

C n p q

unde

Ck n1 n k1n k 1

(2.22.)Se observ c Pn(k) este termenul de ordinul k din dezvoltarea binomial(p+q)n, de unde i denumirea de repartiie binominal.Funcia de repartiie binomial are forma: 0x 1

qk

k n k

q nFx

k 0

c n p

n 1 k 0 1

nqc k p

k n kunde x este partea ntreag a lui x.Principalii indicatori statistici ai variabilei aleatoare sunt: Media M x= np; dispersia D x= npq

2.4.2. Repartiia Poisson

Este o repartiie de tip discret i se mai numete legea evenimentelor rare datorit faptului c:probabilitatea de apariie a evenimentului care se examineaz este mic, ca de exemplu: producerea accidentelor, defeciunilor mainilor i instalaiilor, apariia unor produse necorespunztoare calitativ ntr-un lot de produse de calitate superioar etc.Repartiia Poisson de parametru este determinat de probabilitile:kPk e k1unde k=0, 1, .i 0

este un parametru dat.

(2.24.)Funcia de repartiie a variabilei x care urmeaz o lege Poisson este:x 1

x 1 kFx

k 0

Pk

ek 0 k1

(2.25.)Principalii indicatori statistici ai variabilei aleatoare sunt:Media M x ; dispersia

Dx .2.4.3. Repartiia exponenial

Din punct de vedere istoric, este primul model de repartiie utilizat intensiv n teoria i practica fiabilitii.Densitatea de probabilitate are expresia:

f x 0 e

x

pentru x 0

pentru 0 x

(2.26.)unde: 0Funcia de repartiie (probabilitatea cderii produsului) este:

Fx;

x f x; dx 0

x 0

(2.27.)

0 1 e x

x 0Probabilitatea ca echipamentul s supravieuiasc, adic funcia de fiabilitateR(x: ) este dat de:R x; 1 Fx; ee xntruct,

(2.28.)f x; R x; -constant

rezult,

e x e xReprezentrile grafice ale densitii de probabilitate

f x; , a funciei derepartiie2.5.

Fx; , a fiabilitii R x;

i a ratei cderilor

x

sunt redate n figura

Fig.2.5. Graficul f(x;), F(x;), R(x;) i (x) pentru repartiie exponenial

Principalii indicatori statistici ai variabilei aleatoare sunt:- media MX XFX; DX 10 - dispersia Dx x 2 e x dx 1 0 2OBSERVAII:1. Valabilitatea repartiiei exponeniale ncepe odat cu sfritul perioadei de uzur.2. Rata defectrilor fiind constant, ansele de supravieuire a obiectului consideratsunt aceleai n toate intervalele de timp, egale ntre ele, situate n perioada vieii utile, dac obiectul respectiv a supravieuit pn la nceputul unui astfel de interval.2.4.4. Repartiia Weibull

n multe situaii defeciunile care nu pot caracteriza dup nici o lege de repartiie enumerate ntruct ele reprezint rezultatul unor repartiii de amestec, corespunztoare faptului c unele elemente se pot gsi n uzur iar altele nu i-au nceput nc viaa util.Repartiia Weibull reprezint un domeniu vast de aplicare n teoria fiabilitii ntruct asigur o mai bun concordan cu datele experimentale. Acest domeniu cuprinde procese de mbtrnire, de uzur fizic, de natur aleatoare etc. Alte avantaje ale acestei repartiii pot fi:- reprezint o form analitic relativ simpl;- are un corespondent n fizica desfurrii fenomenelor i proceselor reale;- poate descrie, prin elasticitatea dobndit de experiena a trei parametrii, fenomene i procese de o complexitate ridicat;- permite elaborarea de metode cu grad ridicat de operativitatea, ce lrgeteconsiderabil aria de utilizare.Fa de repartiia exponenial, prezint urmtoarele avantaje:- rata defectrilor nu este necesar s fie constant ei depinznd n timp,fapt ceconcord ntr-o msur mai mare cu desfurarea unei largi categorii de fenomene:- prin cei doi parametrii suplimentari ce-i conine, repartiia Weibull capt un plus de fiabilitate n descrierea unor procese de complexitate ridicat.Comparativ cu repartiia normal (cap.2.2.5.) principalul avantaj const n posibilitatea caracterizrii fenomenelor i proceselor repartizate asimetric, situaii ce reprezint o frecven ridicat n economie i tehnic,.O calitate n plus a repartiiei Weibull se afl n faptul c aceasta nglobeaz repartiiile exponeniale, Rayleigh i normal sub forma unor cazuri particulare.Exist numeroase forme de prezentare a repartiiei Weibull, echivalente n ultima instan. Putem reine trei din cele mai importante variante: biparametric, normat i triparametric.Efectund transformri relativ simple, se poate trece de la o form la alta i utilizate pe cea care rspunde n mai mare msur cerinelor concrete.a. Repartiia Weibull biparametricDensitatea de probabilitate este dat de relaia:f x; , x

1e

x

(2.29.)unde:

x 0, 0, si. 0Reprezentarea grafic a densitii de probabilitate este dat n figura.2.6.

Fig.2.6. Graficul densitii de probabilitate pentru diferite valori ale parametrului deform Funcia de repartiie (probabilitatea de cdere) are expresia:

f x; ,

XFx; , dx

0

1 e

x

dac x 0

dac x 0

(2.30.)Probabilitatea funcionrii fr cderi pn la un moment x (funcie de fiabilitatea) va fi :R x; , 1 Fx; , eRata cderilor rezult din:

x

(2.31.)x f x; , x 1R x; ,

(2.32.)Forma curbei ratei cderilor, n funcie de diferite valori ale lui , esteilustrat n figura 2.7. Cnd

1,

rata crete monoton, pentru

1

rezult cazulrepartiiei exponeniale, iar cnd 1 rata scade monoton.

Fig.2.7. Dependena ratei cderilor de parametrul de form

n cazul n care se urmrete fiabilitatea unor elemente care n prima perioad de via prezint defeciuni ascunse, dar apoi un timp relativ mare nu sufer dembtrnire probabilitatea cderii la nceput este foarte ridicat, dup care se stabilizeaz n jurul unui nivel relativ constant, funcia de fiabilitate se aproximeaz bine n acest caz cu modelul Weibull de parametru 1 .n situaia n care elementele urmrite se caracterizeaz prin absena defectelor ascunse, ns se manifest cu pregnan fenomenul de mbtrnire pe msura trecerii timpului, iar crete monoton, funcia de fiabilitate se aproximeaz printr-o repartiie Weibull cu 1.b. Repartiia Weibull forma normatn anumite cazuri practice este avantajoas o alt exprimare a repartiiei Weibull normnd valorile printr-o constant ce reprezint parametrul de scar real. Dac se introduce notaia: 1 ,

de unde 1 (2.33.) Expresia funciei densitate de probabilitate n forma: x x

x 1 f ;

e

(2.34.)

Funcia de repartiie are expresia:

x

x x

x F ;

f ; dx 0

dac

x 0

1e

dac x 0

iar funcia de probabilitate va fi:

x

R x ; 1 F x ; e

(2.35.)

Graficul funciei de probabilitate este dat n figura 2.8.

Fig.2.8. Dependena funciei de fiabilitate de parametrul de form

c.Repartiia Weibull triparametricAcest model de repartiie constituie o variant complet fiind utilizat treiparametrii: parametrul de form , parametrul de scar localizare .Funcia densitii de probabilitate are forma:

i parametrul de x 1

x f x; ,

e

(2.37.)unde:

x ,0 0, , 0Funcia de repartiie a funciei densitii de probabilitate este: x Fx : , 1 e iar funcia de fiabilitate:

(2.38.) x R x : , , e

(2.39.)Pentru

1 i innd seama de relaia 2.33, iar iniializarea se efectueaz lamomentul zero 0, atunci (2.39.) iar forma:R x; e xExpresia modelului exponenial (relaia 2.28.).Principalii indicatori statistici sunt dai n tabelul 2.1.

Tabelul 2.1Modelul WeibullMedia:M[x]Dispersia: D[x]

biparametric1/+1/1/[ (2/+1)- 2(1/+1)]/ 2/

normat (1/+1)2[(2/+1)-2(1/+1)]

triparametric(1/+12[(2/+1)-(1/+1)2]

OBSERVAIE:(x) este integrala Euler de tip gamma care se determin din tabelestatistice.

2.4.5. Repartiia normal

Repartiia normal (Gauss) are o larg aplicabilitate n cercetarea experimental a proceselor influenate de un numr mare de factori ntmpltori. Att teoria ct i practice au stabilit, utilizarea repartiiei normale, pentru perioada final sau de uzur a unor categorii de produse ale construciei de maini.Densitatea de probabilitate are forma:x M 2f x 1 e

2 2

(2.40.) 2unde M este media i - abaterea ( ).Funcia de repartiie, care reprezint probabilitatea cderii produsului pn la momentul x este dat de relaia:x M 2 1 x 2Fx

e 2 dx2

(2.41.)iar funcia de fiabilitate va fi:

Rx

1 e

xM 22 2 dx

(2.42.) 2 xRata cderilor se va calcula cu relaia:x f x R x n figura 2.9. sunt prezentate curbele densitii de probabilitate f(x), a fiabilitii R(x) i a ratei cderilor (x). Se observ c curba densitii de probabilitate are forma de clopot., simetric (teoretic) la axa absciselor n punctele -3 i +3.

Fig.2.9. Densitatea de probabilitate (a), fiabilitatea (b), i rata cderilor (c) pentru repartiia normaln cazul repartiiei normale indicatorii variabilei aleatoare sunt:- mediaMx xf x dx x mf x dx m f x dx 0 m m - dispersiaDx 2

2.4.6. Repartiia lognormal

Repartiia lognormal (legea lui Galton) modeleaz matematic repartiia unor defecte specifice repartiiilor unor utilaje.Densitatea de probabilitate are expresia:ln x a 2f x 1 e

2 2

(2.43.)x 2nunde a ln x i / n1

reprezint media, iar este abaterea standard.Principalii indicatori statistici ai variabilei aleatoare sunt:- media Mx ea 2 / 22a 2 1 e 2 - dispersia Dx e

2.4.7 Repartiia Rayleigh

Este un caz particular al repartiiei Weibull pentru =2 i caracterizeazprocesele de uzare.

2.4.8. Repartiia Gamma

Densitatea de probabilitate are forma: 1 t n 1 xf x; n,

e

(2.44.)

x0, >0

n

unde n, reprezint numrul de cderi.Funcia de repartiie sau probabilitatea cderilor va fi: 1 x

n 1 xFx; n, xn x 0iar fiabilitatea:

e dx 1

n 1 xR x; n, xn xx 0

e dx

(2.45.)Indicatorii statistici ai variabilei sunt:- media

- dispersia

Mx nDx n22.5. Reprezentri grafice tipice a datelor statistice

Datele statistice tabelate pot fi reprezentate grafic utiliznd diferite figuri geometrice.1. Reprezentarea n coordonate roctangulare, este reprezentarea n raport i proporional cu dou axe (ordonat i abscis). Pentru aceste reprezentri, n cele mai multe cazuri se folosesc scrile aritmetice (proporionalitate ntre numerele xi i yi i lungimile absciselor i ordonatelor) i scrile logaritmice (proporionalitate ntre logaritmii numerelor xi i yi2. Reeaua probabilistic, reprezint o hrtie special gradat pe care se reprezint perechile de puncte n vederea estimrii unor parametrii sau pentru validarea unei legi de repartiie.3. Reprezentarea n coordonate polare, este reprezentarea n coordonataraportate la o ax x i un pol 0 situat pe axa x.4. Diagrama n batoane (bare), reprezint aceea diagram n care fiecrei valori a variabilei, nscris n abscis, i se apreciaz o ordonat (baton) de lungime corespunztoare cu frecvena valorii (fig.2.10.)

Fig.2.10. Reprezentarea prin segmente verticale

5. Diagrama cumulativ, este folosit pentru o repartiie discret (fig.2.11).

Fig.2.11. Reprezentarea cumulativ

6. Diagrama prin coloane, este reprezentarea unei serii sau repartiii simple prin dreptunghiuri avnd bazele egale i nlimi proporionale cu frecvenele. Dreptunghiurile succesive pot fi alturate sau separate (printr-un interval constant, fi.2.12.)

Fig.2.12. Reprezentarea prin coloane

7. Diagrama circular (n sectoare), reprezint o diagram n care repartiia se reprezint sub forma unui cerc divizat n sectoare avnd unghiurile la centru proporionale cu frecvenele (fig.2.13.).

Fig.2.13. Reprezentarea circular

8. Diagram prin suprafee, este o reprezentare de obicei, prin ptrate sau cecuri avnd suprafeele proporionale cu valorile reprezentate (fig.2.14.).

Fig.2.14. Reprezentarea prin suprafee

9. Cronodiagrama, este reprezentarea grafic a unei serii cronologice bazat pesistemul coordonatelor rectangulare (fig.2.15.).

Fig. 2.15. Reprezentarea unei serii cronologice10. Histograma, reprezint graficul repartiiei pe clasa de valori format dintr-o succesiune de dreptunghiuri alturate avnd suprafeele proporionale cu frecvenele n clase, denumit i histograma frecvenelor cumulate (fig.2.16.).

Fig. 2.16. Histograma frecvenelor cumulate

11. Diagrama Pareto (fig.2.17.), reprezint ordonarea frecvenelor cderilor (sau a altor indicatori, ca de exemplu frecvenele duratelor de remediere sau frecvenei costurilor de remediere).

Fig.2.17. Diagrama ParetoCAPITOLUL IIINCERCAREA FIABILITII

Studiile de fiabilitate bazate pe informaiile culese din exploatarea real pe lng avantajele de necontestat, care fac de nenlocuit acest procedeu, prezint o serie de dezavantaje legate de neuniformitatea condiiilor de funcionare, contiinciozitate i costul urmriri produselor. De aceea pentru anumite produse va trebui, ca paralel cu urmrirea fiabilitii n exploatare real s se fac i ncercri experimentale n condiii de laborator.ncercrile de laborator pot fi:- determinative n cazul determinrii fiabilitii sau a parametrilor legilor derepartiie;- de control pentru verificarea ncadrrii fiabilitii unui lot experimental nlimitele permise.Pentru estimarea fiabilitii n condiii de laborator se pot folosi urmtoarele patru tipuri de ncercri:- ncercri efectuate pn la epuizarea eantionului;- ncercri efectuate pn la defectarea unui anumit numr de produse dinaintestabilit (r0,05, concordana cu o repartiie exponenial este aproximativ satisfctoare.Tabelul 4.1.Nr.crt.LimiteleintervaluluiXinf-xsupMediaintervalului xiFrecvenaabsolutFrecvenarelativf(xi)ni xiFuncia derepartiieFn(xi) F(xi)

1.0-0,50,25240,30006,000,30000,1609

2.0,5-1,00,75170,212512,750,51250,4092

3.1,0-1,51,2590,112511,250,62500,5840

4.1,5-2,01,7580,100014,000,72500,7071

5.2,0-3,02,5140,175035,000,90000,8269

6.3,0-5,04,060,07524,000,97500,9396

7.5,0-6,05,520,02511,001,00000,9789

n i 80 f x i 1,00 n i x i 114,0

4.2. Testul hi-ptrat

Testul 2 poate fi utilizat pentru a verifica concordana datelor observate cu aproape orice repartiie teoretic, spre deosebire de testul Kolmogorov, poate fi aplicat n practic pentru date grupate.S presupunem c trebuie verificat ipoteza nul potrivit creia rezultatele obinute din observaii formeaz o selecie de n valori posibile ale unei variabile aleatoare x, avnd funcia de repartiie F(x).mprind spaiul valorilor posibile n domenii elementare disjuncte S1,S2,Sk astfel nct probabilitatea cderii rezultatului xi n Si s fie pi vom aveasatisfcut urmtoarea condiie probabilistic:

k2 ni npi

2 1 2

k 3 x2 2

P np

,

k 1 k 1 0 x

e dx 1

(4.2.) i 1 i

2 2 2unde:k reprezint numrul intervalelor de grupare a datelor experimentale n care, probabilitatea din care, probabilitatea este arbitrar mic.Se accepta ipoteza nul dac pentru mrimile n1,n2, nk i pi avem satisfcut inegalitatea respectiv:

k2 n np

22 i i

(4.3.)C

npi i i

,n care ni reprezint frecvena absolut a intervalului i:n- volumul eantionului;pi probabilitatea teoretic a intervalului i;- numrul gradelor de libertate (=k-l-1) unde l este numrul parametrilor estimai.

Valorile funciei

2 ,

pot fi extrase din anexa B, n raport cu i .Pentru aplicarea testului trebuie s avem n vedere ca volumul eantionului sfie suficient de mare astfel nct produsul npi s fie mai mare dect 5.

Aplicaie: n cazul unei instalaii miniere, momentele cnd se produc defectri sunt ordonate dup mrime, n ore, astfel:5,8;9,10;12,15;17;20;24;25;29;33;36;37;40;41;43;45;46;49;54;58;62;68,70;73;81;86;91;98;102;108;119;125;130;136;142;148;155;161,173,178,185;193;210,225;139,248;175. S se verifice dac momentele de detectare aparin unei repartiii exponeniale.Funcia de repartiie are expresia:Fx 1 e xn tabelul 4.2. sunt date calculele necesare,avnd n valoare ca n 51 0,01089 t i

4680

Tabelul 4.2.Nr.intervalLimiteleintevaluluiMediaxiFrecvenacderilorF(xi)F(xi-1)PinPi

10-4020150,19600,1960,99

240-8060130,4800,1960,28414,48

380-12010070,6640,4800,1849,38

4120-16014060,7820,6641186,02

5160-280220100,9090,7820,1276,47

n i 51

Statistica

2 este:

Cn np 2

15 9,992

13 14,482

7 9,382

6 6,022

10 6,472k

2 C

i i npi

9,99

14,48

9,38

6,02

6,47i2,512 0,151 0,603 1,926 5,192Deoarece:

2C

0,05;3 5,192 2

7,81Se accept ipoteza c repartiia duratei de via este repartiia exponenial.Valoarea lui

0,05;3 este dat n tabele.n afar de testul Kolmogorov-Smirnov i hi-ptrat, pentru verificarea exponenialtii se mai poate folosi unele teste analitice speciale,ca de exemplu: testul Finkelstein-Schafer, testul Fisher, etc.

4.3. Verificarea caracterului Weibullion

Exist n prezent mai multe criterii analitice de testare a concordanei dintre datele experimentale i repartiia teoretic Weibull. Astfel, se pot aminti: testul Kolmogorov-Smirnov, testul hi-ptrat, ambele cu adaptri specifice, etc.n continuare se va prezenta un test elaborat de Mann, Schafer i Singpurwalls. n cazul testrii repartiiei Weibull biparametrice

Fx; , 1 e

x vom parcurge urmtoarele etape:1. Se consider datele experimentale t1,t2,tn i valorile xi=ln ti,, unde i=1,2,,n2.Se definete statistical x i 1 x i i MZi 1 MZi

(4.4.)

unde

Z x i ,i

ln e ,

1 / 3. Se construiete statistica testuluir 1S

r 1li / li

(4.5.)i r / 2 1

i 1Acceptarea modelului Weibull are loc cu riscul respectiv, dacScalculatStabelat (4.6.)unde valorile critice i celelalte constante sunt date n tabele.

Aplicaie: S-au supus ncercrilor un numr de 12 generatoare pornire pentru motoare Diesel, ncercri oprite dup cderea a r=6 dintre ele. Natura produsului, fizica procesului de defectare, comportarea unor produse miniere conduc la ipoteza unei repartiii Weibull. Duratele pn la cderi au fost: t1=1983; t2=2145; t3=4870; t4=8932; t5=12685; t6=16755.Calculm statistica (4.5.), unde li este stabilit prin (4.4.).5 liS 4 14 15 2,1969 0,4115 li4

11 12 13 14 15

5,3431n tabelul 4.3. sunt date calculele necesare.

Tabelul 4.3.ixi=ln tiXi=1=xiM(Zi+1)-M(Zi)l x i 1 x i i MZi 1 MZi

1.7,592370,078521,0441370,0752

2.7,670890,819960,5477911,4970

3.8,490850,606550,3853381,5740

4.9,097400,350780,3072211,1418

5.9,448180,278270,2637371,0551

59,72645 li 5,34311

S calculat are o valoarea inferioar echivalentului tabelar, indiferent de nivelul de ncredere, deci nu exist temei pentru a respinge ipoteza asupra comportamentului Weibull al duratelor de funcionare.

4.4. Metode grafice pentru validarea modelelor

Metodele grafice au constituit i sunt nc un instrument extrem de util de lucru pentru practicienii din toate domeniile. Avantajele utilizri metodelor grafice constau din:Simplitate, rapiditate, precizie relativ bun, gama diversificat de probleme ce pot fi rezolvate, ofer soluii chiar i n situaia unui volum mic de date (caz frecvent ntlnit n practic).Printre metodele grafice putem evidenia aa numitele reele probabilistice ntruct ele permit ca prin considerarea factorului aleator inerent al datelor experimentale s se poat face rapid i simplu o inferen privind modelul statistic cel mai adecvat i s permit n acelai timp o estimare parametrilor modelului i eliminarea n unele situaii a unor valori care se abat mult fa de restul valorilor din eantion.Sunt elaborate reele probabilistice pentru repartiiile: exponenial, Weibull, normal, lognormal etc.Reeaua probabilistic reprezint de fapt o hrtie gradat n mod special (de obicei simplu sau dublu logaritmic), astfel nct, bazndu-se pe liniarizarea funciei de repartiie a unei anumite legi statistice, s permit prin situarea anumitor cantiti pe graficul respectiv recunoaterea repartiiei n cauz. Dac punctele care apar pe un anume grafic de acest tip se dispun relativ pe o dreapt, atunci se poate trageconcluzia c eantionul respectiv a provenit din populaia considerat ca model ipentru care s-a utilizat reeaua probabilistic adecvat.n continuare, vom prezenta una dintre metodele grafice de validare amodelelor i anume: reeaua Barlow-Campo. Aceast metod permite:- identificarea modelului dintre variantele: exponenial, Weibull, gamalognormal i normal trunchiat:- utilizarea n cazul ncercrilor cenzurate sau trunchiate, precum i n cazul existentei datelor de observaie incomplete.Indicatorul de baz n cadrul metodei Barlow-Campo l reprezint statistica timpului total de testare TTTS (total time on test statistic). Avnd valorile timpilor de funcionare pn la cdere a elementelor unui eantion tn1 tn2 tnr tnn , timpul total pn la cea de-a r-a cdere se scrie sub forma:Tn, r

t n i i 1

n r t n r

(4.7.)Se definete aa numita transformat a timpului total de testare: 11H 1 r / n 1 / nTn, r Fr / n 1 F

u du

(4.8.)n 0n nunde:Fn(u) este funcia de repartiie experimental, iar Fn 1 este inversa ei.O cunoscut proprietate din statistica matematic (tema lui Glivenko) nepermite s scriem:lim 0 n 1r / n 1 Fu du 0

t 1 Fu du

(4.9.)F F1

n r / n 1uniform pe segmentul 0,1, pentru t 0,1Se definete deci:H 1 t F 1t 1 Fu du, t 0,1

(4.10.)F 0care se numete transformata timpului total de testare asociat funciei de repartiie F.Aceast transformat determinat n final funcia de repartiie, iar dac media variabilei x cu funcia de repartiie F este m atunci:

F0H 1 1

F 1 t1 Fu du n

(4.11.)Se introduce acum aa numita transformat normat a timpului total de testare, ianume:H 1 t / H 1 i

(4.12.)F Fcare este de fapt o funcie continu cresctoare pe [0,1] i care ia valoarea 0 pentru t=0i i pentru t=1.Considernd funcia de repartiie exponenial de medie 0, dat de formula: xFx; 1 e

0 , x 0, 0Putem calcula imediat transformata timpului total al acestei funcii de repartiie.x

H 1

t

F 1

t e

dx

1t F dFx;

(4.13.)F 0 0De unde deducem c transformata normat a timpului total al funciei de repartiia exponenial este:H 1t H 1 1 t

(4.14.)F FPentru orice t 0,1. Concluzia este c transformata normat a timpului total aifunciei de repartiie exponenial are ca reprezentare grafic bisectoarea ptratului construit cu segmentul [0,1].O proprietate important a trasnformatei timpului total de testare care nu permite s clasificm funcia de repartiie dup rata defectrilor este aceea c panta la graficul transfomatei n punctul t=F(x) este inversul ratei defectrilor n punctul considerat.

1 t

1 t

1 Fx

1 H F t Fx

t Fx

(4.15.)dt f F1 t

f x xunde f(x) este densitatea de probabilitate a funciei de repartiiePentru alte repartiia dect cea exponenial, poziia curbelor ce descriu valorile parametrilor n tranformata normat a timpului de testare se judec n raport cu prima bisectoare a ptratului. Astfel, se poate arta c:- dac funcia de repartiie F are o rat a cderilor cresctoare, atunci

Ftransformata normat a timpului su totalt 0,1;

H 1 t

este o funcie concav pentru- dac funcia de repartiie F are o rat a cderilor descresctoare, atunci

Ftransformata normat a timpului su total.

H 1 t este funcia convex pentru

t 0,1Pentru repartiia Weibull, scris sub forma:Fx; , 1 e x ,

x , 0dac

1 atunci curbele sunt concave i deasupra bisectoarei, iar dac

1 , atuncicurbele sunt convexe (dedesubtul bisectoarei).

Aplicaia 1: S-au supus ncercrilor de fiabilitate un numr de 40 de piese de natur electric la o durat de 500 ore. Rezultatele ncercrilor, sub forma duratelorpn la cdere sunt 70;90;100;125;134;198;252;340;390;460;470;496, n total r=12 elemente czute. Se cere s se verifice ipoteza cu privire la natura exponenial a procesului cderilor.Se vor parcurge urmtoarele etape, dezvoltarea calculelor fiind dat n tabelul4.4.

- ordonarea valorilor timpilor de funcionare pn la cdere (coloana 1);- calcularea rapoartelor i/r (coloana 2);- stabilirea timpului total de funcionare pn la momentul i al elementelorczute, prin cumularea valorilor xni din coloana 2 (rezultatele n coloana 4);- calculul timpului total de testare, scop n care utilizm (4.7.) (rezultate ncoloana 5);- stabilirea rapoartelor T(xnri)/T(xnr) (rezultatele n coloana 6):- reprezentarea pe reeaua Barlow-Campo a perechilor de puncte [i/r,T(xni)/T(xnr)].Tabelul 4.4.iKnii/rn=i x niT(xni)T(xni)/T(xnr)

01]23456

1700,083397025000,164

2900,1663816035800,210

31000,2503726039600,233

41250,3333638548850,287

51340,4163551952090,306

61980,5003471774490,437

725205833396992850,487

83400,66321309121890,716

93900,750311699137890,810

104600,833302159159590,938

114700,916292629162590,955

124961,000283125170131,000

Se poate aprecia pe baza alinierii punctelor de-a lungul bisectoarei reelei cmodelul cderilor este exponenial (fig.4.1.).

Fig.4.1. Reprezentarea pe reeaua Barlow-CampoAplicaia 2: S-au supus ncercrilor de fiabilitate un numr de 216 piese, dup nregistrarea a 10 cderi,k ncercarea s-a oprit. Timpii nregistrai pn la apariia primelor 10 cderi (r=10) sunt: 8;11;13;14;20;22;24;26;28;30. S se verifice ipoteza cu privire la natura Weibullian a procesului cderilor.Calculele necesare sunt sistematizate n tabelul 4.5.Tabelul 4.5.iKnii/rn=i x niT(xni)T(xni)/T(xnr)

0123456

180,1215817280,271

2110,22141923730,372

3130,32133228010,439

4140,42124630140,472

5200,52116642860,672

6220,62108847080,738

7240,720911251280,804

8260,820813855460,867

9280,920716659620,935

10301,020619663761,000

Se poate constata din reprezentarea grafic din figura 4.2 c majoritatea punctelor se aliniaz de valoarea =1,5.

Fig.4.2. Reprezentarea pe reeaua Barlow-CampoCAPITOLUL VESTIMAREA PARAMETRILOR DE FIABILITATE

5.1. Consideraii generale

Estimarea parametrilor de fiabilitate se poate efectua n dou feluri: n condiii de laborator sau prin prelucrarea datelor rezultate din urmrirea comportrii n exploatare.Aplicarea uneia sau a alteia dintre cele dou procedee depinde de o serie de factori, ca de exemplu: caracteristicile tehnico-funcionale ale produsului, cost, durat de testare etc.Pentru o serie de elemente componente ale unor maini, utilaje sau instalaii miniere, ca de exemplu: elemente hidraulice de comand, distribuie i etanare, ntreruptoare, aparatur de comutaie electric etc, se poate aplica cu succes metoda testrii fiabilitii n condiii de laborator.n general, pentru calculul fiabilitii mainilor, utilajelor instalaiilor miniere se va folosi metoda bazat pe prelucrarea datelor culese n urmrirea comportrii acestora. Aceast metod necesit cheltuieli minime, legate numai de culegerea i prelucrarea informaiilor, n schimb necesit o durat mai mare de urmrire n comportare sau s se observe un numr mare de elemente de acelai tip pe o perioad de timp mai scurt. n plus, condiiile de funcionare a utilajelor miniere sunt foarte dificile i difereniate, ceea ce ngreuneaz mult obinerea unor rezultate satisfctoare privind fiabilitatea acestora.Estimarea fiabilitii comportrii parcurgerea, n general, a urmtoarelor etape:1. Stabilirea, pe baza datelor experimentale, a seriilor statistice ale variabilelor aleatoare i construirea histogramelor acestora.2. Se fac ipoteze asupra legitii teoretice ale variabilelor aleatoare (timp de funcionare pn la prima cdere sau ntre dou cderi succesive etc.).3. Se verific ipotezele statistice i se stabilesc legile de repartiie ale variabilelor aleatoare, precum i indicatorii lor statistici.4. Se stabilesc valorile numerice ale indicatorilor de fiabilitate.

5.2. Sistem informaional de date privind comportarea n exploatare a elementelor i sistemelor

Succesul oricrei analize de fiabilitate depinde ntr-o foarte mare msur de corectitudinea informaiilor privind comportarea sistemelor sau a elementelor componente ale acestora. Studiul fiabilitii mainilor, utilajelor i instalaiilor miniere (MUIM) este ngreunat de caracterul limitat i nesistematizat al informaiei statistice referitoare la defectarea lor.n general, sursele de informaii privind fiabilitatea n funcionare a sistemelor tehnice se pot obine pe trei ci:a) - ncercri n condiii de laborator;b) - urmrirea comportrii n exploatare;c) - modelarea procesului de funcionare pe calculatoare.n cele ce urmeaz, vom trata sistemul de date ce se culeg din urmrirea comportrii produselor n exploatare. Cunoaterea modului de comportare n exploatare, a fiabilitii este un obiectiv important al conducerii i organizrii produciei i muncii.nregistrarea datelor referitoare la defeciunile aprute n timpul exploatrii mainilor, utilajelor, utilajelor sau instalaiilor miniere se poate realiza n mai multe moduri. Cea mai recomandat form considerm c este folosirea fielor de eviden a defeciunilor, cunoscute i sub denumirea fi urmrire produs, un model, de astfel de fi, propus pentru MUIM este prezentat n figura 5.1.

Fig.5.1. Fia de urmrire a comportrii n exploatare a produsului

date:

Din punct de vedere al coninutului informaiilor, fia cuprinde dou feluri de

- date generale;- date privind informaiile ce se culeg pe baza urmririi.Datele generale cuprinde;- denumirea ntreprinderii miniere sau a sectorului;- denumirea produsului (sistem, subsistem, elemente componente);- anul de fabricaie a produsului;- locul de utilizare (abataje, galerie, etc.);- simbolul produsului (numr inventar, sau alte simboluri folosite n cadrulunitii);- data punerii n funciune a produsului.Date ce privesc informaiile privind defeciunile cuprind:- data apariiei defeciunii (coloana 1); se va meniona luna, ziua i ora defeciunii;- numr ore de funcionare pn la apariie defeciunii (coloana 2) se nscrie numrul orelor de funcionare sau alt parametru (km, nr. cicluri, etc.)pn la apariia defeciunii;- cauza defectului (coloana 3); se nscrie dac defectul se datoreaz uzurii normale, rupere, gripare etc, aceasta putnd fi constatat imediat dup nregistrarea defeciunii, dac aceasta este vizibil, sau n urma demontrii pariale sau totale a produsului, meninndu-se denumirea elementului (sau a elementelor) defecte;- condiiile n care a aprut defeciunea (coloana 4); se menioneaz factorii care au condus la apariia defeciunii: suprasolicitrii, manevrri greite, lips lubrifiant etc;- mod de remediere a defeciunii (coloana 5(, se nscrie cum s-a remediatdefeciunea (nlocuirea cu piese noi sau recondiionate, operaii de reglare etc);- durata remedierii (coloana 6), se nscrie numrul de minute, ore ct a durat repartiia efectiv;- durata de staionare (coloana 7); se marcheaz numrul de ore, minute ct produsul a staionat, de la apariia defeciunii pn la punerea din nou n funciune;- costul remedierii (coloana 8); se are n vedere costul manoperei i amaterialelor;- observaii (coloana 9) se vor meniona revizia tehnic sau categoria de repartiii (curent, capital) sau recomandri pentru mbuntirea exploatrii n vederea evitrii apariiei unor defeciuni similare;- semntura (coloana 19), conine semntura celui care a completat fia.n ceea ce privete volumul eantionului, cu ct aceasta este mai mare cu att mai mult rezultatele prelucrrii statistice se apropie de realitate. Aceasta este de fapt i motivul pentru care un eantion cu un numr de elemente n10 se consider nesemnificativ pentru analiza fiabilitii produselor complexe. n situaia n care nu exist destul de multe exemplare din utilajul respectiv, se adun date pentru o perioad suficient de lung care s permit generalizri statistice.Se pot ntlni cazuri n care unele elemente ale seleciei sunt ieite cu totul din comun, au o comportare cu totul deosebit, fa de celelalte elemente. n astfel de cazuri se recomand ne luarea n considerare a elementelor respective.

5.3. Expresii fundamentale ale fiabilitii

Considernd c la momentul t=0 exist N0 produse n stare de funcionare, atunci n momentul t, situat n intervalul [t, t +t] exist n stare de funcionare numai N produse. Deci: pe durata t se consider N=N0-N produse defecte.Proporia de produse n stare de funcionare, la momentul t, respectiv fiabilitatea R(t) este dat de raportul;R t N N 0

(5.1.)innd seama de relaia ntre funcia de fiabilitate i funcia defectrilor (de fiabilitate) i anume F(t)=1-R(t) rezult:Ft 1 N N 0 N N 0 N 0Densitatea de probabilitate a defectrilor este dat de expresia:f t dF dR

(5.2.)

(5.3.)dt dtinnd seama de relaia (3.2.) rezult:f t dF N 0 N / N 0 N 0 N N / N 0

N 1

(5.4.)dt t

N 0 tcare exprim densitatea de probabilitate pe anumite intervale utiliznd creterile finite.Rata defectrilor (cderilor) (t), unul din indicatorii cei mai importani ai fiabilitii se determin cu relaia:t f t N 1 N 0

N 1

(5.5.)R t

N 0 t N

N tPentru un interval de timp t foarte mic, rata defectrilor devine: lim 0 t t

Probabilitatea faptului c produsul care a funcionat n

timpul (0,t) se va defecta n intervalul (t,t + t)

tDin relaia (3.3) i (3.5.) rezult:t f t dR t / dt

(5.6.)R t

R t Prin rezolvarea ecuaiei (3.6.), punndu-se condiia R(0)=1, adic ca produsul s fie n bun stare la nceputul perioadei de exploatare examinate, se obine funcia de fiabilitate sub forma:

0R t exp t t dt

(5.7.)Denumit i funcia de supravieuire sau funcia siguranei n funcionare.n aplicaiile practice, adesea este necesar s se cunoasc fiabilitatea nintervalul de timp (t0, t1) n loc de (0, t1). n acest caz, relaia (3.7) se va scrie astfel:

0 t

t

sau

R t1

exp

0 t dt

1 t dt

t0

(5.8.)R t

R t

exp t

1 t dt

(5.9.)

1 0 t 0

n care:

Avnd n vedere regula de nmulire a probabilitilor rezult:R t 0 R t 0 R t1 / t 0

(5.10.)R t / t

exp t

1 t dt

(5.11.)

1 0 t 0unde: R(t) este fiabilitatea n intervalul (0,t1); R(t0) fiabilitatea n intervalul (0, t0);

0R(t1/t0) fiabilitatea n intervalul (t0,t1), n ipoteza c n momentul t0 produsula fost n bun stare.Media timpului de bun funcionare (MTBF) se exprim prin relaia:

sau

MTBF Mt tf t dt

Mt t dR dt

(5.12.)0 dtNotnd - dR dt du ; u = -R; v = t; dv=dt i integrnd prin pri,dtrezult: Mt Rt 0Rezult deci:

0

R t dt

0MTBF Mt R t dt

(5.13.)

5.4. Construcia funciilor empirice de fiabilitate

Construirea graficelor funciilor empirice f(t); (t); F(t) i R(t) se face pe baza datelor obinute din ncercrile de laborator sau din urmrirea comportrii elementelor sau sistemelor n exploatare normal.Parametrii de fiabilitate se determin cu relaiile:-densitatea de probabilitate: f t N 1 N 0 t

-rata cderilor: t N 1 N ti t

- funcia de repartiie:

N Ft 0 N ti N 0- fiabilitatea: R t N tiN 0unde: N0 reprezint volumul eantionului: N=Nti-1-Nti Nti numrul de piese n funciune la momentul ti t durata intervalului.

Aplicaie: S se construiasc funciile empirice f(t), (t), F(t) i R(t), cunoscnd timpii de funcionare nentrerupt (n care) a unui lot de 25 manon picon CA-14; 16; 33; 42; 45; 50; 51; 58; 63; 65; 68; 71; 74; 76; 82; 86; 92; 98; 102; 106;108; 112; 118; 128; 136; 158.

Nr.crt.tiNtiNt-1f(t)(t)F(t)R(t)1.0-25124250,00160,001660,040,962.25-50420240,00640,0080,200,803.50-75713200,01120,021530,480,524.75-10058130,0080,0250,680,325.100-1255380,0080,06660,880,126.125-1502130,00320,080,960,047.150-1751010,001610Considernd c fiecare perioad de timp de funcionare nentrerupt este independent, astfel nct comportarea corespunztor celor 25 de perioade este echivalent cu comportarea a 25 de manoane pn la prima cdere. n tabelul 5.1. s- au determinat funciile cutate i elementele necesare calculului acestora. S-a utilizat metode mpririi timpului de observaii n 7 subintervale de amplitudine 25 ore, rezultat din relaia lui Sturges:t t max t min 1 3,322 lg N 0

(5.14.) Tabelul 5.1

Pe baza datelor din tabelul 5.1 se construiesc funciile empirice f(t), (t), F(t)i R(t) (fig.5.2.).

Fig.5.2. Graficele funciilor R(t), F(f), f(t) i (t)

5.5. Estimarea parametrului funciei exponeniale de repartiie

Parametrul repartiiei exponeniale sau , dup cum caracterizeaz o perioad de funcionare sau de reparare nentrerupt se poate estima prin mai multe metode. Astfel, putem exemplifica: metoda liniarizrii, metoda verosimilitii maxime i a intervalelor de ncredere i metoda bazat pe planul de ncercri.

5.5.1. Metoda liniarizrii

Metoda liniarizrii const n transpunerea funciei empirice de repartiie F(t) ntr-un sistem de axe de coordonate n care exponeniala este o dreapt. Prin folosirea metodei grafice sau a metodei celor mai mici ptrate a parametrilor dreptei se stabilete parametrul necunoscut.F t 1 e tn sistemul de coordonatedreapt.

t, Ft , n sistemul

t, ln1 Ft

(5.15)ea reprezint oDac ipoteza exponenialitii este adevrat,k mulimea punctelor ti, F(ti) alsoluiei statistice trebuie4 s aparin unei drepte.Logaritmnd (5.15), rezult:t ln1 F t tIntroducnd simbolizarea: ln1 Ft i notaiile a

(5.16) (5.17)rezult:

at

(5.18)Aplicnd principiul de baz a metodei celor mai mici ptratenS i at i 2 mini 1

(5.19)i calculnd derivata parial, obinem

nS 2 i a i 1

at i

t iEgaliznd cu zero rezult:n i t ia i 1 n

i t 2

(5.20)i 1innd seama de (5.15) i (5.16), obine, expresia parametrului al repartiiei:n ln1 F ti ti

n i 1

2 ti

(5.21)i 1

5.5.2. Metoda bazat pe planul de ncercriEstimarea parametrului al legii exponeniale pe baza planului de ncercri:

Tipul ncercriiTimpul sum TRelaia pentru

[N, F, N] =1 =

[N, F, r] + ( ) =1 1

[N, C, r]Ntr 1

[N, F, T] + ( ) =1

[N, C, T]NT

5.6. Estimarea parametrilor funciei de repartiie Weibull

Estimarea parametrilor n cazul modelului Weibull se poate efectua prin mai multe procedee n funcie de proveniena informaiilor care urmeaz s fie prelucrate i metoda folosit pentru determinarea acestor parametrii. Astfel, n cele ce urmeaz vom prezenta trei metode distincte de estimare a parametrilor repartiiei Weibull i anume:- pe baza planurilor de ncercri;- utiliznd metodele analitice;- metoda grafic folosind reelele probabilistice.

5.6.1.Estimarea parametrilor pe baza planurilor de ncercri

Vom exemplifica pentru modelul Weibull biparametric, la care parametrii suntrata cderilor i coeficientul de forma . Determinarea lui i se facedifereniat dup planul de ncercare folosit cenzurat sau trunchiat cu sau fr nlocuirea elementelor czute.Pentru cele cinci cazuri prezentate n cap. III, relaiile de calcul pentruparametrii i sunt prezentate n tabelul 5.2.Tabelul 5.2.

Tipulplanului de ncercriExpresiile lui i Nr.relaie(N,F,N) N / N t ii 1 N N N N ln ti ti N ti ln ti 0 i 1 i 1 i 15.225.23(N,F,T) / t N ii 1 ln t t N T t ln t N ln i i i 5.245.25(N,C,T) n / N t t i 1 i i 1 i ln t t t t ln t t ln t 0 i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i i 1 i i 5.265.27(N,F,r) r / t N t i i 1 ln t t N t k t ln t 0 i 1 i i i i 1 i 1 5.285.29(N,C,r) / N t ii 1 ln t i t i t i ln t i 0 i 1 i 1 i 15.305.31 i 1

i 1

i 1

5.6.2. Estimarea parametrilor folosind metodele analitice

Pentru determinarea parametrilor modelului Weibull se poate folosi metodeleanalitice n statistica matematic. Printre metodele analitice menionm:1. Metoda de estimare a celor mai mici ptrate2. Metoda de estimare a momentelor, ntlnindu-se variantele:a). estimarea punctual a parametrului cnd sunt cunoscute valorile parametrului i ;b). estimarea punctual a parametrilor i , cnd se cunoate valoarea lui :3. Metoda de estimare a verosimilitii maxime, cu variantele:a). estimarea parametrilor n cazul modelului triparametric;b). estimarea parametrilor n cazul modelului biparametric;c). estimarea parametrilor i prin procedeul interactiv de aproximare a soluiilor;d). estimarea parametrilor pe baza eantioanelor cenzurate;e). estimarea parametrilor i cnd se cunoate valoarea lui :4. Metoda de estimare pe baza statisticilor de ordine.5. Metoda simplificatoare de estimare.6. metoda de estimare utiliznd cenzurarea progresiv.n continuare vom prezenta metodele de estimare folosind metodele celor maimici ptrate, a momentelor i verosimilitii maxime.

5.6.2.1 Metoda celor mai mici ptrate

Admind modelul Weibull biparametric de forma: R x; ; exp x Pentru liniarizare, se va efectua o dubl logaritmare, rezultnd,

(5.32.)ln ln1/ R x; , ln

(5.33.)Notnd: ln

ln1/ R x; , iln a1 i a 2 i a1 a 2 ln x Punnd condiia:n

vom avea:S i a1 a 2 ln x1 2 mini 1

(5.34.)Unde, xi reprezint valorile variabilei obinute din observaii i calculnd derivatele pariale obinem:

a1

n 2 ii 1n

a1

a 2

ln x1

(5.35.) S 2 a 2 i 1 i

a1

a 2

ln x1

ln x iEgaliznd cu zero avem:nna1 a 2 ln x i i 1

n ii 1

(5.35.)n n na1 ln x i a 2 ln x i 2

i ln x i

(5.36.)i 1

i 1

i 1De unde rezult a1 i a2, respectiv: n n

n

n i ln 2 xi ln x i i ln x i i 1 i 1 i 1 i 1 a1

n

(5.37.)n ln 2 x i ln x i 2 i 1

n ln x n

n n i

i i ln x1 a 2 i 1 i 1 i 1 n n n ln 2 xi ln xi i 1

i 1

(5.38.)Cunoscnd valoarea lui a1, rezult 0a 1Se poate calcula i parametrul de scar real din ecuaia

(5.39.) 1 (5.40.) Cunoscnd parametrii , i se poate calcula funcia de fiabilitate, folosinduna din modelele prezentate n cap.2.4.4.

5.6.2.2. Metoda momentelor

Pentru estimarea parametrilor se pornete de la calculul momentului contract de ordinul i al repartiie Weibull.

0mi xf x; , , dx i i / 1Pentru i=1, obinem media repartiiei Weibullm1 Mx 1/ 1Unde k=(1/+1) este dat sub forma tabelar.Pentru i=2, obinem momentul de ordinul doim2 = M x 2 2 2 / 1Dispersia va fi

(5.41.) (5.42.)

(5.43.)

1Dx m 2

m 2 2 2 / 1 2 2 1/ 1

(5.44.)Iar abaterea standard n care:

x

2 / 1 2 1/ 1 C

(5.45.)

C 2 / 1 k 2

(5.46.)

variaia

(valorile lui C sunt date n tabele).Fcnd raportul dintre C i k obinem de fapt indicatorul, coeficient deCVx Ck

x mx

(5.47.)Estimarea parametrilor modelului se poate efectua i pe baza coeficientului se asimetrie parcurgnd urmtoarea succesiune de operaii:a). se calculeaz pe baza datelor de observaie x i x :b). se calculeaz un estimator al coeficientului de asimetrien n

1

n 2n 1x i x 3

i 1x 3

(5.48.)c). din Anexa B.5, coloana 5,prin interpolare, se identific valoarea cea mai apropiat de estimatorul ,k i C.d) estimarea parametrilor i se va efectua utiliznd alte procedee deestimare prezentate.PARTEA II CAPITOLUL I NOIUNI GENERALE

Practica exploatrii sistemelor industriale a condus la acumularea de observaii asupra modului in care este indicat s fie utilizate echipamentele in scopul lungirii duratei de via, a reducerii pierderilor de producie datorate opririlor accidentale, a reducerii costurilor de ntreinere, a creterii siguranei n exploatare; aceste cerine sunt o constant ce nsoete dezvoltarea industrial i exploatarea sistemelor complexe care integreaz n fluxuri de producie funcionarea unui numr impresionant de utilaje i echipamente.Mentenana (ntreinerea): este format din totalitatea aciunilor necesare meninerii sau readucerii unui utilaj sau a unui sistem n condiiile calitative specificate.Mentenana se noteazM t e t

M t i are expresia :

(1.1)unde t