II.2.3. Regimuri de curgereCurgerea poate fi caracterizata prin variatia in timp a

parametrilor fluidului si prin intensitatea curgerii. Primul criteriu imparte curgerea in: stationara (permanenta)stationara (permanenta) si nestationaranestationara (nepermanenta).(nepermanenta).

Curgerea stationara se caracterizeaza prin invarianta in timp a marimilor care descriu miscarea fluidului:

Regimul stationarRegimul stationar este caracteristic instalatiilor cu functionare continua.

In curgerea nestationara:

0t

;0tv;0

tP

=∂ρ∂

=∂∂

=∂∂

0t

;0tv;0

tP

≠∂ρ∂

≠∂∂

≠∂∂

(II.56)

(II.57)

2

Din punctul de vedere al intensitatii curgerea poate fi laminaralaminara sau turbulentaturbulenta.

Curgerea este laminara atunci cand straturile de fluid care se deplaseaza cu viteze diferite, raman paralele intre ele,fara a se amesteca la nivel macroscopic. Acest lucru este posibil atunci cand forta exterioara care intretine curgerea este comparabila cu forta de rezistenta pe care o opune fluidul, forta determinata de frecarile dintre straturile fluidului.

Intensitatea acestor frecari este caracterizata prin vascozitatea dinamicavascozitatea dinamica a fluidului.

Daca forta care intretine curgerea depaseste forta derezistenta determinata de frecari, paralelismul straturilor nu se mai pastreaza, apar miscari dezordonate ale straturilor, care se amesteca cu formarea de vartejurivartejuri sau turbioaneturbioane, a caror viteza se modifica continuu atat ca valoare cat ca directie.

3

Acest regim de curgere a fost denumit regim turbulentregim turbulent.

In multe cazuri trecerea de la regimul laminar la cel turbulent nu este neta, ci exista un regim de tranzitie denumit regim intermediarregim intermediar. Regimul intermediar este un regim instabil in care curgerea cu straturi paralele poate trece in curgrere cuturbioane, sau invers, in diferite momente ale curgerii sau in diferite portiuni ale traseului de curgere.

Deoarece caracterul laminarcaracterul laminar sau turbulentturbulent al curgerii depinde de intensitatea frecarilor dintre straturi, aprecierea cantitativa a intensitatii curgerii se face cu ajutorul criteriuluicriteriuluilui Reynoldslui Reynolds, care exprima raportul dintre fortele de inertie si fortele de frecare.

In forma generala expresia criteriului Reynolds este:

ηρ

=vlRe (II.58)

4

ν=

ηρ

=vdvdRe

Marimea geometrica caracteristicaMarimea geometrica caracteristica, l, depinde de geometria curgerii. De exemplu la curgerea printr-o conducta este diametrul interiordiametrul interior, la curgerea in jurul unei sfere este diametrul sfereidiametrul sferei, la curgrerea peste un baraj este inaltimeainaltimeabarajuluibarajului, s.a.m.d.

Deci la curgerea prin conducte cu sectiunea circulara:

ReynoldsReynolds a stabilit ca regimurile hidrodinamice sunt delimitate de urmatoarele valori ale lui Re:

- regim laminarregim laminar, pentru Re

- regim intermediarregim intermediar, pentru 2300<Re<10.000;

- regim turbulentregim turbulent, pentru Re

2300≤

000.10≥

(II.59)

5

PS4r4d hech =⋅=

Cand curgerea are loc prin sectiuni cu geometria diferita de cea circulara – patratepatrate, , dreptunghiularedreptunghiulare, , inelareinelaresau chiar neregulateneregulate – in criteriul Re lungimea geometrica catacteristica se ia diametrul echivalentdiametrul echivalent al sectiunii, care prin definitie este egal cu patru raze hidraulicepatru raze hidraulice. Raza hidraulica este data de raportul dintre suprafata sectiunii de curgere udata de fluid, S, si perimetrul sectiuni de curgere udat de fluid, P.

Este usor de aratat ca in cazul unei sectiuni circulare diametrul echivalentdiametrul echivalent este tocmai diametrul sectiunii:

dd

4d4

d

2

ech =π

π

=

(II.60)

(II.61)

6

( )( ) exi

exi

2ex

2i

ech dDdD

dD4

4d −=

+π

−π

=

Pentru o sectiune inelara formata din doua tevi concentrice:

(II.62)

7

II.2.4. Ecuatii de conservare in curgereaizotetma

Pentru descrierea completa a unui caz particular de curgeretrebuie solutionat un set de 5 ecuatii din care 3 sunt independentedenatura fluidului. Ecuatiile independente de natura fluidului sunt ecuatiile deecuatiile deconservare a maseiconservare a masei, de conservare a impulsuluide conservare a impulsului si de conservare ade conservare aenergieienergiei la care se adauga:

• ecuatia reologica: si

• ecuatia de stare:

ll4l4d2

ech ==

( )γ=τ &f( )T,Pf=ρ

Pentru o sectiune patrata cu latura l

(II.63)

8

II.2.4.1. Ecuatia de continuitateEcuatia de continuitate exprima legii conservarii maseilegii conservarii masei

aplicata unui fluid in curgere. Ea se aplica sub forma unui bilant de materiale asupra unui volum considerat de fluid. Daca volumul de control are dimensiunile infinit mici rezulta ecuatia diferentiala a continuitatiecuatia diferentiala a continuitati. Daca volumul are dimensiunile finite rezulta ecuatia de continuitate pentrucontinuitate pentrusisteme macroscopicesisteme macroscopice.

II.2.4.1.1. Ecuatia diferentiala a continuitatii

Pentru deducerea acestei ecuatii se delimiteaza ipotetic din curentul de fluid un volum de forma paralelipipedica cu dimensiunile laturilor: Acest volum de control este raportat la un sistem de coordonate tridimensional (ortogonal).

zsiy,x ΔΔΔ

9

10

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

fluiddeelementuldiniesitfluidde

masicDebit

fluiddeelementulinratfluidde

masicDebit

volumdeelementulinacumulatfluidde

masicDebitint

Daca se considera ca fluidul curge dupa o directie oarecare, vectorul viteza se descompune in 3 componente:

. Prin urmare si debitul masic de fluid se descompune dupa cele trei directii, asfel incat ecuatia generala de bilant poate fi aplicata separat pentru fiecare directie in parte. Se calculeaza astfel debitul masic acumulat la curgerea dupa fiecare directie.

zyx v,v,v

(II.64)

Ecuatia diferentiala a continuitatii se obtine prin aplicarea legiilegii conservarii maseiconservarii masei sub forma bilantului de materiale care se exprima prin relatia generala:

11

( )

( ) zyv:originedexxtatandislasituata

,opusafatapriniesitmasicdebitulzyv

:originedextatandislasituatafataprinratintmasicdebitul

xxx

xx

Δ⋅Δ⋅ρ

Δ+−

Δ⋅Δ⋅ρ

−

Δ+

(II.65)

(II.66)

Pentru curgerea dupa directia x tinand cont ca debitul masic este dat de produsul dintre densitate, vitezadensitate, viteza si sectiunea de curgeresectiunea de curgere, rezulta ca:

12

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] yxvvM

:zdirectiadupacurgerealaacumulatdebituliar

zxvvM

:fivaydirectiadupacurgerealaacumulatdebitulsimilartrationamenunrintpr

zyvvM

:xdirectiadupacurgerealaacumulatdebitul

zzzzzaz

yyyyyay

xxxxxax

ΔΔρ−ρ=

ΔΔρ−ρ=

−

ΔΔρ−ρ=

−

Δ+

Δ+

Δ+

azayaxa MMMM:fivadirectiitreicelepeoracumularil

sumadedatafluiddetotalaacumulareaDeci

++=

(II.67)

(II.68)

(II.69)

(II.70)

13

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] yxvvzxvv

zyvvzyxt

zyxt

Vt

M

zzzzzyyyyy

xxxxx

a

ΔΔρ−ρ+ΔΔρ−ρ

+ΔΔρ−ρ=ΔΔΔ∂ρ∂

ΔΔΔ∂ρ∂

=Δ∂ρ∂

=

Δ+Δ+

Δ+

Pe de alta parte acumularea de fluid in volumul de control va determina variatia in timp a densitatii fluidului, sideci:

Prin urmare bilantul de materiale pentru intregul element de volum se va exprima prin relatia:

(II.71)

(II.72)

14

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )z

vvlim

yvv

limx

vvlim

t

:rezulta0,Δzsi0Δy0,Δx:facandlimitalatrecandsiΔxΔyΔzΔVlaimpartirePrin

zzzzz

yyyyyxxxxx

Δ

ρ−ρ

+Δ

ρ−ρ+

Δ

ρ−ρ=

∂ρ∂

→→→=

Δ+

Δ+Δ+

0→Δx 0→Δy

0→Δz

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂

−=∂ρ∂

zv

yv

xv

tzyx

Tinand cont de definitia derivatei partiale de ordinul I, ecuatia devine:

(II.73)

(II.74)

15

( )

zv

yv

xv

tdtD

densitatiiatialatansubsmaterialaderivata este sus mai de relatiei a stanga partea din termenilor Suma

zv

yv

xv

zv

yv

xv

t

zyx

zyxzyx

∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ−=∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

Efectuand derivarea produselor din membrul drept si regrupand termenii se obtine:

iar termenii din paranteza membrului drept reprezinta divergenta vectorului viteza:

zv

yv

xvvvdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇=

(II.75)

(II.76)

(II.77)

16

Cu aceste notatii, ecuatia diferentiala a continuitatii se exprima, intr-o forma restransa, prin relatia:

( )vdtD

∇ρ−=ρ

Relatia de mai sus reprezinta forama cea mai generala a ecuatiei diferentiale a continuitatii. Aceasta poate lua formaforme mai simple pentru cazuri particulare ale curgeri, astfel:

0t=

∂ρ∂

- pentru curgerea unui fluid necompresibil (pentru care densitatea nu se modifica nici in timp si nici in spatiu):

;0z

;0y

;0x

;0t

=∂ρ∂

=∂ρ∂

=∂ρ∂

=∂ρ∂

- pentru curgerea stationara: ;

(II.78)

(II.79)

17

constantv0xv

: x)directia exemplu (dedirectiesinguraodupacurgerealabilincompresifluidpentru

xv

xv

t

:devinetiicontinuitaecuatiasi0vsi0v;0v

directiesinguraodupacurgereala

xx

xx

zyx

=⇒=∂∂

−∂∂

ρ−=∂ρ∂

+∂ρ∂

==≠−

si deci: 0v =∇

Adica la curgerea stationara a unui fluid necompresibil viteza unui strat nu se schimba pe directia de curgere.

(II.81)

(II.82)

(II.80)