Wolf ElenaMD Anul II Numrul i Descoperire, semnificaie, importan Motto: Cel mai fascinant lucru nmatematic este faptul c R iie . Descoperirea numerelor imaginare Cuocaziaprimuluicontactlacoalcucalcululrdciniiptraticesenvacnusepoatecalcula radicalulunuinumrnegativ,deoareceoricenumrreal,indiferentdacestenegativsaupozitiv, ridicatlaptratestentotdeaunapozitiv.nliceuaflmctotuiexistirdciniptraticea numerelor negative, pe care le numim numere imaginare sau numere complexe. Acestea sunt adesea prezentatedreptoconsecinanecesitiigsiriiuneisoluiipentruecuaia

.Defapt istoria matematicii relateaz alte ntmplri. Cum au ajuns aceste numere preocuparea matematicienilor? Astzinumereleimaginaresuntaaderspnditedelaelectroinginerielaaeronauticnctcu greuneimaginmdescoperireaacestoraplinedeaventuri,enigme,aacumesterelatatistoriape parcursula2000deaniaunuiadintrecelemaiiluzoriinumeredinmatematic cunoscutica numrul i. n anul 1878 doi frai Ahmed i Mohammed Abd er- Rassul fur printre altele un papirus matematic dintr-unstrvechimormntegipteandinValeaRegilor.PapirusullvndunuiegiptologrusV.S. Goleniscev m 1893. Care l pred muzeului de arte frumoase din Moscova n 1912, unde a rmas un misterpnladescifrareasan1930astfeldemonstrndgraduldeavansareacunotinelor matematiceaegiptenilorcunotinedesprerdcinaptraticanumerelornegative.Papirusul coninea un exemplu numeric pentru calculul volumului unui trunchi de piramid ptratic.nsecolulImatematicianulHerondinAlexandrianoperasaStereometriaignornumrulintr-un exemplu de calcul a volumului trunchiului de piramid ptratic cu baza mare a=28, baza mic b=4 i lungimea muchiei laterale c=15.

(

)

(

)

()

nu .AstfelHeronpierdeocaziasdevinprimulnvatcaresdeduc rdcinaptrataunuinumrnegativnanalizamatematicauneiprobleme.Maitrebuiestreac nc1000deanipnunmatematiciansobserveproblemardciniinptraticeaunuinumr negativ. nevulmediumatematicieniintlnescnoiuneantimpulpreocuprilorcunumerenegative,dar renun la idee, considernd-o un nonsens. Mai trebuie s treac nc 500 de ani pn cnd rdcina ptratic a unui numr negativ s fie luat n serios, dar cu toate acestea s fie n continuare considerat un mister. Introducerea rdcinii ptrate a numerelor negative este legat de gsirea soluiilor ecuaiei de gradul al III-lea i nu de rezolvarea ecuaiilor ptratice. Wolf ElenaMD Anul II n1494LucaPaciolideclarnoperasaSummadeArithmetica,Geometria,Proportioniet Proportionalita n care nsumeaz toate cunotinele din acel timp n domeniul aritmeticii, algebrei i trigonometrieicaflareasoluieiecuaieidegradulaltreileaestelafeldeposibilcaigsirea cvadraturiiunuicerc.Pacioligreete,deoarecenurmtoriizeceanimatematicianulScipionedel Ferro de la Universitatea din Bologna descoper soluiile ecuaiei reduse de gradul al treilea (ecuaia n care lipsete termenul de gradul al doilea). Del Ferro ine descoperirea sasecretiodezvluiediscipoluluisu,pepatuldemoarteAntonio Maria Fior. Acesta l provoac la un duel matematic peNiccolo Fontana numit i Tartaglia, care declarase c tie s gseasc soluiile ecuaiei de gradulaltreileadincarelipseautermeniidegradulnti.Tartaglia reuetesdescoperenaintededuelisoluiaecuaieidincarelipsete termenuldegradulaldoileaictigconcursul.Cardanoaflde cunotineleluiFontanaiinsistpelngacestapnaflsoluiile ecuaiilordelaFontanasubjurmntulclevainesecrete.Cardano rededucegsireasoluiilorecuaiilordegradulaltreileaile generalizeaz pentru orice ecuaie de acest tip n cartea saArs magna n care recunoate meritele predecesorilor si. Soluiile ecuaiilor de gradul al treilea nu sunt ntotdeauna toatereale.Cardanoobservcazurilecurdciniptraticenegativecumarfiproblemampririi numrului 10 n dou pri a cror produs s fie 40. Gerolamo(Geronimo)Cardano(1501-1576)esteconsideratnistoria matematicii drept creatorul numerelor complexe.Dar Bombelli este acela care valinitispiritelelegatedenumereleimaginare,declarndcorectitudinea soluiilorcurdciniptraticedenumerenegativegsitepentruecuaiilede gradul al treilea. Bombelli folosete n cartea sa Algebra termenul supus regulilorobinuitedecalcularitmeticiobinerezultatecorecte,el demonstreazastfelcumseaplicformulaluiCardanontoatecazurile. Bombelliadenumittermenul piudimenoadicplusdin minus i meno di meno adic minus din minus, stabilind reguli de calcul, pe care le/am nota astzi dup cum urmeaz +1 +i = +i -1 +i = -i +1 -i = -i -1 -i = +i +i +i = -1 +i -i = +1 -i +i = +1 -i -i = -1 Unsecolmaitrziu,GottfriedLeibniz(16461716),careastudiatcartealuiBombelliAlgebra, consider c ar mai fi ceva de completat la formula lui Cardano. El este impresionat i studiaz intens cum operaii cu numere complexe pot da rezultate reale, Wolf ElenaMD Anul II fapt relatat n scrisori prietenului su Huygens. FranoisVite(1540-1603)indicurmtoareareguldecalculalsinusuluisaucosinusului multiplului unui unghi: Calculeaz(cos+sin)ndupformulabinomial.Distribuietermeniipedournduriiscrie primul termen pozitiv al doilea negativ amd..n primul rnd rezult cos (n), iar n al doilea sin (n). De exemplu: (cos + sin ) = cos + 3 cos sin + 3 cos sin + sin cos (3) = cos - 3 cos sin sin (3) = 3 cos sin - sin . AbrahamdeMoivre(1667-1754)descopercaceastrelaiepoatefiexprimatmultmaiuor cu ajutorul numerelor imaginare, obinnd relaaia ce i poart numele: cos (n) + i sin (n) = (cos + i sin )n

Denumirea"i"pentruunitateaimaginar(rdcinaptrataluiminusunu)esteintrodusdectre Leonhard Euler (1707 - 1783). El nu o folosete consecvent. Introducerea general a acestei notaii o face Gau. Euler descoper alte relaii importante. Analiznd dezvoltarea n iruri de puteri a diferitelor funcii, folosind limite deja cunoscute a unor iruri infinite precum Euler nlocuiete n dezvoltarea lui expe x cu ix i calculnd termenii folosete (i = -1, i = -i, ...) apoi grupnd termenii reali cu cei imaginari obine relaia ce i poart numele eix = cos x + i sin x Euler renun la rigurozitate matematic (nu demonstreaz c fiecare pas este permis ca de exemplu c nu se modific limita irului dac se schimb ordinea de scriere a termenilor) i se bazeaz ca de obicei pe instinct.Formula aceasta poate fi demonstrat i pornind de la relaia lui de Moivre scris sub forma cos + i sin = (cos /n + i sin /n)n considerndu/lpe cos /n1isin /n

/n.Limitaexpresieiobinute(1+i /n)neste tocmai definiia lui ei . nlocuind n formula lui Euler x = se obineei = -1 sau

Obinemceeacen1933celebrulfizicianamericanRichardFeymannumeteremarcabilaformula sauceamaifrumoasformuldinmatematic,ceconine5dintrenumerelefundamentaledin matematic: e, i, , 1 i 0 nformuleleluiMoivreialeluiEulersedistingedejalegturanumerelorcomplexecu trigonometria. Wolf ElenaMD Anul II Semnificaia geometric a numrului deschis. Matematicienii din secolul XVI XVII erau nc strns legai de tradiia greac a geometriei, i evident aveau o stare de disconfort fa de concepte crora nu le puteau atribui o semnificaie geometric.n timpul lui Descartes (15961650) se cunotea interpretarea geometric a rdcinii ptratice a unui numr. Metodele de construire a rdcinii ptratice a unui numr natural se cunotea deja din secolul IV.e.n..TheodorusdinCyreneiTheaetetussuntamintiidectrePlatoncafiindaceiacareau efectuatconstrtuciilegeometricepentrucalculullui*undenestenumrnatural. Fig.1.Spirala triunghiurilor luiTheodorus. ReneDescartes(1596-1650)amintetenoperasaLaGeometrie(1637) despreconstruireardciniiptraticeaunuinumroarecareartndcumse gsetesegmentuldedreaptdelungimecunoscndlungimea segmentului AB. Fig.2.Construireardcinii ptrateasegmentuluidedreapt(IG= ). naceiailucrareDescartesprezint metodageometricpentrugsirea Wolf ElenaMD Anul II soluiei ecuaiei

cu rdcinile

(

)

Wolf ElenaMD Anul II Fig. 3.Construirea geometric arddcinii pozitive a ecuaiei

cua ib2 pozitive.

(

)

i cea a ecuaiei

cu rdcinile

(

)

. Fig.4.Construireageometricardcinilorecuaiei

,reprezentateprin segmentele MQ i MR Deoarece prima dintre cele dou ecuaii are o rdcin negativ,Descartesoignor,considernd-ofals,pe cndlaadouaecuaieprezintmetodedeconstruire pentruambelerdcini,acesteafiindpozitive. DescartesobservcdaccerculcucentrulnNce trece prin L nu taie sau atinge dreapta MQR ecuaia nu arerdcini(reale)iconstruciaproblemeieste imposibil.AstfelDescartesexcludeiposibilitatea rdciniiduble(atuncicndcerculatingedreapta MQR.nconcluziepentruDescartesparteaimaginar este legat de imposibilitatea reprezentrii geometrice. RenDescartes(1667-1754)presupune,coecuaie areunnumrderdciniegalcugradulecuaiei. Totuisoluiilenusuntntotdeaunarealeciuneori "seulement imaginaires", de aici denumirea de numere imaginare. Teorema fundamental a algebrei a fost demonstrat de ctre GauJohn Wallis este preocupat de semnificaia numerelor complexe n geometrie. nti arat semnificaia geometric a numerelor negative pe axa numerelor reale, aezndu-le la dreapta originii. Interpretarea geometric a mediei geometrice a dou numere este extrapolat i asupra numerelor imaginare: Fig. 5 Construcia lui Wallis pentru

(

)(

) Wolf ElenaMD Anul II FolosindobservaialuiWallis, conformcreiadireciaconteaz avemBC > 0 iAB< 0, aa nctBPesterdcinptrataunui numr negativ. Nu este de mirare c nsecolulXXunautordefinete numrul i ca fiind media geometric dintre +1 i 1.Maideparteabordeazproblema construiriigeometriceaunui triunghicudoulaturicunoscutei aunuiunghi,altuldectceldintre cele dou laturi (ca nfigura de mai josundePAiPBrespectivPBi unghiulPAB=suntdate)-o problem cu mai multe soluii posibile. Esteevidentcnlimeatriunghiului este dat. ()

()

()

()

()

()

()

()

Attatimpctestesatisfcutcondiia

Existdouposibiliticanfigurademai sus.Dac

atuncinu existniciosoluiedacinsistmca punctul B s fie pe latura AD. Wallis nslepermitepunctelorBsfie altuindevadectpelaturaAD.n stngaestereprezentatconstrucia propusdeWallispentrucazul

Elmergemaideparteindicndspre perpendicularitatedarnuajungela interpretareageometricnplana numerelor complexe. Abia100deanimaitrziuproblemaesterezolvatnanul1799decartografulnorvegianCaspar Wessel (1745 1818). Pentru Wessel, ca i pentru noi n zilele noastre reprezentarea numerelorcomplexeestenplancomplexunpuncta+ibscrissubform rectangularsaucartezian.Wesselnoteaz.Wesselaratnmulirea, mprireaiextragerearadicaluluisegmentelordedreaptnplan,demonstrnd inclusivformulaluiEuler.LucrarealuiWesseleueazlacalcululnmulirii segmentelor orientate n spaiu, lucru despre care tim c este imposibil. Axa real Wolf ElenaMD Anul II Dei Gauss are aceleai preocupri deja din 1796 sau Truel un discipol al lui Cauchy, Wessel este cel care public interpretarea geometric a numerelor imaginare naintea lor. nanul1806aparelaParislucrareacutitlul"Essaisurunemaniredereprsenterlesquantits imaginairesdanslesconstructionsgometriques"autorulnueraindicat,ulterior seconstatafiJean-RobertArgand(1768-1822).Elconstatcmrimile negativepotfifolositedoarnanumitesituaiiiconsiderreprezentarea numerelorimaginarentr-unplancuaxeperpendiculare.JaquesLegendrel consider(netiindu-senimicdespreWessel)descoperitorulinterpretrii geometriceanumerelorimaginare.Ambelelucrritrecaproapeneobservatei suntredescoperitelafinelesecolului19.nspaiulanglo-ifranco-fonse folosete termenul diagrame Argand Seconsidercdescoperirea definitivnceeaceprivete interpretatreageometrica numerelor complexe i aparine lui Carl Friedrich Gau (1777 - 1855).nanul1801Gauss demonstreazn "DisquisitionesArithmeticae" posibilitateaconstruiriiunui poligonregulatcu17laturi folosindlinialulicompasul, demonstrndcecuaian numerecomplexe

se poaterezolvacuajutorul ecuaiilor ptratice indicnd legtura numerelor complexe cu geometria. Aceast opinie o susine ns explicitabian1831nlucrareasaTheoriaresiduorumbiquadraticorum,ncareintroducenotaia idenumetenumereleimaginaredeforma canumerecomplexecepotfi reprezentatenplancapunctedecoordonateaib,defineteadunareaiscdereanumerelori norma modulul acestora. El consider n final c dificultile teoriei numerelor complexe provin de ladenumirilenecorespunztoarefolositenlegturcuacestea.Dacs-arfolosinlocde@pozitiv, negativ, imaginar termeni precum nainte, napoi, sus jos, laterala legai de cele dou dimensiuni ale numerelor complexe probabil simplitatea ar fi luat locul nurcturii i claritatea ar fi fost n locul ntunricului. WilliamRowanHamilton(1805-1865),matematicianirlandez,definetenumerelecomplexe,ca perechi de numere, definind regulile de calcul cu acestea (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)Axa real Axa real Axa imaginarAxa imaginar Wolf ElenaMD Anul II Numerele de forma (a, 0) sunt numere reale; (0, 1) se noteaz cu i. i se verific uor c (0, 1)(0, 1) = (-1, 0); ceea ce corespunde luii i = -1.Hamilton ncearc s gseasc regulile pentru tripletele de numere nu reuete- ns are success cu cuaternionii o generalizare a numerelor complexe n 4 dimensiuni. n 1829 William Rowan Hamilton considera ca , asa cum geometria este stiinta spatiului care si-a gasit expresia matematica n Elementele lui Euclid, si algebra trebuie sa fie stiinta a ceva, si inspirat de filosofia lui Kant , el decide ca acel ceva trebuie sa fie timpul. Matematicianul francez Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) are o contributie deosebita n nceputurileteorieifunctiilorcomplexeiGeorgRiemannesteinitiatoruln1851alegaturiidintre functiile multivalente si topologie. Interpretareageometricanumerelorcomplexeesteconsideratunmarepasnaintencunoaterea umanitii i nceputul unor calcule elegante dar pn aici s-au fcut mari i importani pai n cadrul calculului cu numere complexe (imaginare). Numerele complexe au ctigat pn astzi un loc aparte n matematic i fizic. De mult nu mai este inta gsirea numrului corect de rdcini a unei ecuaii. Multe teorii sunt mult simplificate dac sunt abordate cu numere complexe. Wolf ElenaMD Anul II Corpul numerelor complexe Formal, mulimea numerelor complexe reprezint mulimea tuturor perechilor ordonate de numere reale,, nzestrat cu operaiile de adunare i nmulire definite mai jos: , . Prin definiie mulimea numerelor complexe este mulimeaMulimea numerelor complexe formeaz un corp comutativ, corpul numerelor complexe, notat cu sau ( ) (

). Elementul neutru al operaiei de adunare esteiar numrul z = ( a, b) este elementul invers (opus) in. elementul neutru al operaiei de nmulire este iar elementul invers (reciproc) al lui fa de operaia de nmulire este. Deoarecei , mulimea numerelor reale,, poate fi privit ca submulime a lui, identificnd numrul real cu. Fie A multimea numerelor complexe de forma (x, 0), deci A={( x,0), xeR}. AcC si A este un subcorp al lui C deoarece: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) e A, si (x, 0)(y, 0) = (xy, 0) e A . Sa definim aplicatia f : RA prin f(x) = (x, 0), xeR. Aceasta aplicatie este o bijectie si conserva operatiile de adunare si nmultire : f(x+y) = f(x) + f(y) si f(xy)=f(x)f(y) . Rezulta ca f este un izomorfism de corpuri de la R pe A. Acest lucru permite identificarea multimii A cu R. Astfel vom nota numarul complex (x,0) cu x deci (x, 0) = x. n particular, zeroul (0,0) si unitatea (1,0) din corpul numerelor complexe se identifica cu numarul real 0 si unitatea reala 1.n consecinta putem scrie (0,0) = 0 si (1,0) = 1. Numrul complexare proprietatea, adic identificat cu numrul real. Niciun numr real nu are aceast proprietate; de aceea el a fost denumit "numrul" (i de la imaginar). Numerele complexe de forma se numesc numere imaginare. Fie B ={(0.y), y eR} cC. Observam ca B se poate identifica cu punctele din R2 situate pe axa Oy. Observam ca : (0, y) + (0,y') = (0, y+y') e B si (0,y) (0,y') = (-yy', 0) e B. Aceasta arata ca B nu este un subcorp al corpului numerelor complexe C. n particular, (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1 . Vom nota i = (0,1) si astfel i2 = -1, xi = (0, x), x e R.Numarul complex i se mai numeste si unitate imaginara, iar numerele complexe de forma xi (xeR), numere pur imaginare. Wolf ElenaMD Anul II Daca z = (x,y) este un numar complex oarecare, atunci : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy, care reprezinta expresia algebrica a numerelor complexe. n aceasta scriere, x = Re z si y = Im z reprezinta respectiv partea reala si partea imaginara a numarului complex z. Proprieti: -Corpulal numerelor complexe are ca subcorp pe cel al numerelor reale, pe de alt parte este un spaiu vectorial bidimensional al lui al lui - Izomorfismulse mai numete identitate natural. -extinderea este de grad ;- este izomorf cu inelul factor , undeX2 + 1 este polinomul minimal al luii peste.- -Corpul numerelor complexe C este o extindere a corpului numerelor reale R, iar la rndul su R este o extindere a corpului numerelor raionale Q. De unde rezult c C/Q este de asemenea o extindere de corpuri. Avem [C:R]=2 deoarece {1,i} este o baz, aadar extinderea C/R este finit. Aceasta este o extindere simpl deoarece C=R(i). Pe de alt parte [R:Q] = c (cardinalul continuului), aa nct aceast extindere este infinit.- -corpul numerelor complexe este algebric nchis, corpuleste o nchidere algebric a lui . -Ca spaiu vectorial al lui , are baza {1,i}. pe lng aceastaeste un spaiu vectorial peste sine: spaiul vectorial cu baza {1}. -i i i sunt soluiile ecuaiei ptraticex2 + 1 = 0. n acest sens i i i pot fi considerate radical din 1. -este spre deosebire de un corp neordonat, adic nu exist a relaie liniar de ordine