istoria matematicii

Upload: renv50

Post on 10-Mar-2016

37 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

STORIA MATEMATICII

TRANSCRIPT

  • ISTORIA MATEMATICII Domeniul de studiu cunoscut sub numele istoria matematicii reprezint o investigare a originii descoperirilor n matematic i ntr-un sens mai larg, o investigare a metodelor matematice i a notaiilor din trecut. nainte de perioada modern, cnd a avut loc o rspndire a cunotinelor matematice i nunumai n ntreaga lume, dovezi ale descoperirilor matematice au fost gsite doar n ctevalocuri. Cele mai vechi texte matematic sunt Plimpton 332 (text babilonian din 1900 I.C.),Rhind Mathematical Papyrus (text egiptean 2000-1800 I.C.) si Moscow Mathematical Papyrus (text egiptean 1890 I.C.). Aceste texte se refer la teorema lui Pitagora, care pare a fi cea maiveche i mai difuzat descoperire matematic dup aritmetica de baz i geometrie. Contribuia greac n matematic a constat ntr-o rafinare a metodelor (n special prin introducerea de raionamente deductive i de rigoare matematic n demonstraii) i a extins subiectul de studiu al matematicii. Studiul matematicii ca i subiect propriu-zis ncepe cu secolul al 6-lea I.C. cu coala pitagoreic, care a introdus cuvntul matematic de la cuvntul grec (mathema), nsemnnd subiect de instrucie. Matematica chinez a avut contribuii timpurii, incluznd scrierea ntr-un sistem numeric. Sistemul numeric indiano-arabic i regulile de folosire a operaiilor, aa cum le utilizm astzi,au evoluat de-a lungul primului mileniu n India i a fost transmis n vest prin matematicienii islamici. Acetia, la rndul lor, au dezvoltat i extins matematicile cunoscute pn atunci. Multe texte matematice greceti i arabe au fost traduse in latin, care au contribuit la o dezvoltare ulterioar a matematicii n Europa medieval. Din timpuri strvechi pn la Evul Mediu, perioadele de nflorire a creativitii matematice au fost urmate de secole de stagnare. ncepind cu Renaterea italian din sec. al 16-lea, noi dezvoltri matematice, interacionnd cu noi descoperiri tiinifice, au fost realizate ntr-un ritm cresctor, care continu i astzi. 1

  • Cel mai vechi obiect matematic este Osul Lebombo, descoperit in munii Lebombo din Africa de Sud i dateaz din anii 35.000 I.C. El are 29 de incizii realizate intr-un peroneu de babuin. Exist oase sau pietre cu 28-30 de incizii, pe care femeile le foloseau pentru a urmri ciclul menstrual. De asemenea, artefacte preistorice descoperite n Africa i Frana, datnd din perioada 35.000 - 20.000 I.C. sugereaz tentative primitive de msurare a timpului. Osul Ishango, descoperit n apropierea izvoarelor Nilului ( n nord-estul statului Congo) are n jur de 20.000 ani vechime i prezint o serie de incizii pentru numrare dispuse pe trei coloane de-a lungul osului. Interpretri ale acestui os sunt legate de iruri de numere prime sau de calendarul de ase luni. n timpul predinastiilor egiptene din cel de-al 5-lea mileniu I.C. apar unele picturi geometrice. S-a afirmat c monumente importante din Anglia i Scoia, datnd din mileniul al 3-lea I.C., incorporau n construcia lor idei geometrice ca cea de cerc, elips sau de numere pitagoreice. Orientul apropiat antic Mesopotamia Matematica babilonian se refer la matematica locuitorilor Mesopotamiei (Irakul modern) din perioada timpurie sumerian, trecnd prin perioada elenistic, pn aproape de nceputurile cretinismului. Numele de matematic babilonian se datoreaz Babilonului, ca centru de studiu. Mai trziu, sub imperiul arab, Mesopotamia, n special Bagdadul, a devenit, odat n plus, un centru important de studiu pentru matematicienii islamici. 2 Originile matematicii sunt strns legate de conceptele de numr, mrime i form. Studiile moderne asupra animalelor au artat c aceste concepte nu sunt specifice doar speciei umane. Astfel de concepte au facut parte din viaa de zi cu zi a societilor preistorice, care se ocupau cu vnatul i culesul. Conceptul de numr a evoluat n timp, astfel c n limbajele de astzi se face distincie ntre unu i mai muli, dar nu pentru numere mai mari ca doi, conform acordului verbelor.

  • Spre deosebire de dovezile puine ale matematicii egiptene, cunotinele noastre despre matematica babilonian provin din cele aproximativ 400 de tblie din argil, descoperite de arheologi ncepnd cu 1850. Scrise n cuneiforme, tbliele au fost inscripionate n timp ce argila era nc moale i arse apoi n cuptoare sau la soare. Dovezile timpurii ale textelor matematice dateaz din perioada sumerian, n care au aparut primele civilizatii n Mesopotamia. Atunci s-a dezvoltat un sistem complex de metrologie, datnd din anii 3000 I.C. n jur de anii 2500 I.C., sumerienii au scris tabele de multiplicare pe tblie de argil, fceau exerciii geometrice i probleme de divizibilitate. Primele dovezi ale numerelor babiloniene dateaz de asemenea din aceasta perioad. Majoritatea tblielor din argil descoperite dateaz din perioada 1800-1600 I.C. i n ele se trateaz subiecte care includ fracii, ecuaii ptratice i cubice, calculul unor numere remarcabile. De asemenea, tbliele includeau tabele de nmulire i metode de rezolvare a ecuaiilor liniare i ptratice. Tblia babilonian YBC 7289 d o aproximare a lui 2 cu 5 cifre zecimale. Matematicienii babilonieni foloseau sistemul numeric sexazecimal (cu baza 60). De aici provine mprirea n zilele noastre a unui minut n 60 de secunde, a unei ore n 60 de minute i faptul c un cerc are 360 de grade, iar secundele i minutele unui grad indic fraciile acelui grad. Progresele babilonienilor n matematic au fost facilitate de faptul c numrul 60 are muli divizori. n sistemul numeric babilonian, cifrele scrise pe coloana din stnga reprezentau valori mult mai mari dect n sistemul numeric zecimal. Le lipsea ns echivalentul unei zecimi. Matematicienii egipteni scriau pentru nceput textele matematice n egiptean, iar ncepnd cu perioada elenistic, n greac. Studiul matematicii n Egipt a continuat sub Imperiul Arab, ca parte a matematicii islamice, cnd limba utilizat de egipteni n matematic era araba. Unul dintre cele mai importante texte egiptene este Rhind papyrus (numit i Ahmes Papyrus, dup autorul su) i dateaz din anii 1650 I.C. Foarte probabil acesta reprezint o copie a unui document mai vechi din perioada 2000-1800 I.C. El este un manual pentru studeni n aritmetic i geometrie i ofer formule pentru arii i metode pentru nmuliri, mpriri i calcul cu fracii, dar i informaii privind numerele prime i compuse, media aritmetic, geometric i armonic, Ciurul lui Eratostene, teoria numerelor perfecte, n particular a lui 6, serii aritmetice i geometrice. n plus, n acest papirus se arat cum se rezolv ecuaiile de gradul nti. 3

  • Un alt text matematic egiptean important este Moscow papyrus, datnd din 1890 I.C. O problem important din acest papirus o reprezint determinarea volumului unui trunchi de piramid. n final, Berlin papyrus din 1300 I.C. arat c vechii egipteni puteau rezolva o ecuaie algebric de ordinul al doilea. Matematica greac i elenistic ncepnd cu perioada vieii lui Thales din Milet (~600 I.C.) i pn la nchiderea Academiei din Atena n 529 D.C., matematicienii greci scriau n limba greac. Acetia locuiau n orae situate de-a lungul prii estice a Mediteranei, de la Italia, pn la Africa de Nord, unite prin cultur i limbaj. Matematica greac din perioada ce a urmat lui Alexandru cel Mare este uneori numit matematic elenistic. Matematica greac a fost cu mult mai sofisticat dect matematicile provenite de la culturile anterioare. Toate dovezile rmase din perioada premergtoare celei greceti ne arat folosirea unui raionament inductiv, care const n observaii repetate care duc ulterior la stabilirea unor afirmaii. Spre deosebire, matematicienii greci foloseau raionamentul deductiv. Acetia foloseau logica pentru a trage concluzii din definiii i axiome folosind rigoarea matematic n demonstrarea afirmaiilor. Matematica greac este cunoscut n special ncepnd cu Thales din Milet (c. 624-c.546 I.C.) i Pitagora din Samos (c. 582-c. 507 I.C.), care au fost probabil inspirai de matematica egiptean i babilonian. Conform legendei, Pitagora cltorea n Egipt pentru a nva matematicile, geometria i astronomia de la sacerdoii egipteni.

  • Thales folosea geometria pentru a rezolva probleme, cum ar fi calculul nalimii unei piramide sau distana de la o nav pn la mal. El a fost primul care a folosit raionamentul deductiv aplicat n geometrie. De aceea este recunoscut ca primul matematician cu adevrat i primul cruia i se atribuie o descoperire matematic. Pitagora a ntemeiat coala Pitagoreic, a crei doctrin era bazat pe ideea c matematica guverna universul i al crei motto era Totul este numr. coala Pitagoreic a introdus termenul de matematic i a nceput studiul matematicii ca obiect n sine. La aceast coal s-a dat prima demonstraie a Teoremei lui Pitagora, dei teorema fusese cunoscut ca enun cu mult nainte; totodat s-a demostrat existena numerelor iraionale. Eudoxus (408-c.355 I.C.) a dezvoltat metoda exhaustiv, ce constituie un precursor al noiunii de integral. Aristotel (384c.322 I.C.) a fost primul care a scris legile logicii, iar Euclid (c. 300 I.C.) este primul care utilizeaz un format folosit n matematic i astzi, i anume definiie, axiom, teorem i demonstraie. El a studiat de asemenea conicele. Cartea sa, Elemente, era cunoscut pe scar larg n Vest pn la mijlocul secolului al 20-lea. Pe lng teoreme de geometrie, Elementele includ demonstraia faptului c rdcina ptrat a lui 2 este iraional i faptul c exist o infinitate de numere iraionale. Ciurul lui Eratostene (c. 230 I.C.) era folosit pentru a obine numere prime. Arhimede (c.287-212 I.C.) din Siracuza folosea metoda exhaustiv pentru a calcula aria suprafeei situate sub un arc de parabol, prin sumarea unor serii. El a mai studiat i spirala care i poart numele, formule pentru volumul suprafeelor de revoluie, ct i un sistem ingenious de exprimare a numerelor foarte mari. Archimedes (c.287-212 I.C.), considerat cel mai mare matematician din antichitate. 5

  • Matematica chinez Matematica chinez timpurie difer substanial de cea din alte pri ale lumii i n consecin a cunoscut o dezvoltare independent. Cel mai vechi text matematic chinezesc este the Chou Pei Suan Ching, despre care nu se tie exact de cnd dateaz, undeva ntre 1200 I.C. i 100 I.C. Este de remarcat faptul c matematicienii chinezi foloseau un sistemul numeric zecimal, aa-numitul rod numerals, n care erau folosite simboluri distincte pentru numerele ntre 1 i 10 i alte simboluri pentru puteri ale lui 10. Astfel, numrul 123 poate fi scris folosind simbolul pentru 1, urmat de cel pentru 100, apoi simbolul pentru 2, urmat de cel pentru 10 i apoi simbolul pentru 3. Acesta era cel mai avansat sistem numeric din acea perioad, folosit deja cu cteva secole I.C. i cu mult nainte de dezvoltarea sistemului numeric indian. Acest sistem permitea reprezentarea numerelor foarte mari i calculele puteau fi fcute cu ajutorul unei numrtori chinezeti(abacus), numite suan pan. Nu se cunoate exact data cnd a fost inventat aceast numrtoare, dar a fost menionat n anul 190 D.C. de ctre Xu Yue n cartea sa Supplementary Notes on the Art of Figures. Cea mai veche lucrare de geometrie din China dateaz din anii 330 I.C. i provine din filozofia chinez Mohism, dezvoltat de ctre discipolii lui Mo Tzu, numit i Mozi (470-390 I.C.). Mohism este bine cunoscut pentru conceptul de iubire universal sau de grij imparial. n canonul Mo Jing sunt descrise diverse aspecte ale unor cmpuri asociate fizicii i au fost meionate cteva teoreme geometrice. n anul 212 I.C., mpratul Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) a dat ordin ca toate crile neoficiale din Imperiul Qin sa fie arse. Ordinul su nu a fost ndeplinit cu desavrire, totui datorit acestuia cunoatem astzi puin din matematica chinez dinaintea acestei perioade. n perioada dinastiei Han (202 I.C.-220 D.C.) au aprut lucrri de matematic, ce extindeau probabil studiile din lucrarile arse. Cea mai important lucrare este Cele nou capitole despre Arta Matematic (179 D.C.). 6

  • Cele nou capitole despre Arta Matematic Pri ale sale apruser anterior sub alte titluri. Lucrarea conine246 de probleme inspirate din agricultur, afaceri, folosirea geometriei pentru realizarea arcurilor sau turnurilor pagodelor chinezeti, inginerie, topografie, dar include i material referitor la triunghiurile dreptunghice i aproximri ale lui . De asemenea este folosit principiul lui Cavalieri, relativ la volum, cu mai mult de 1000 de ani nainte de momentul n care Cavalieri l-a enunat. n plus, se d o demonstraie matematic a teoremei lui Pitagora i o formul pentru metoda eliminrii lui Gauss. n secolul al 3-lea D.C., Liu Hui editeaz i public o carte cu soluiile problemelor matematice prezentate n Cele nou capitole despre Arta Matematic i d o aproximare a lui cu 5 zecimale. n secolul al 5-lea D.C. Zu Chongzhi aproximeaz numrul cu 7 zecimale, aproximare care a rmas ca cea mai bun pentru urmtorii 1000 de ani. Cel mai important text al secolului al 13-lea, marcat de dezvoltarea algebrei chinezeti, este Precious Mirror of the Four Elements scris de Chu Shih-chieh (1280-1303), n care se prezint soluii ale unor ecuaii algebrice de ordin superior, folosind o metoda similar metodei lui Horner i este menionat o diagrama a triunghiului lui Pascal, dei ambele metode apruser deja in lucrri nainte de 1100. Chinezii foloseau diagrame combinatoriale complexe precum ptratul magic sau cercurile magice, descrise n trecut i perfecionate apoi de Yang Hui (1238-1298). Chiar dup nflorirea matematicii europene din perioada Renaterii, matematica chinez a avut un drum separat fa de cea european i a cunoscut un declin dup secolul al 13-lea. Misionarii iezuii, precum Matteo Ricci au contribuit la conectarea ideilor matematice ale celor dou culturi, ntre secolele 16 i 18, dei n aceast etap mai multe idei matematice intrau n cultura chinez, dect proveneau din aceasta. 7

  • Matematica indian Cea mai timpurie civilizaie de pe subcontinentul indian este civilizaia de pe valea Indului, care a cunoscut o nflorire ntre anii 2600 i 1900 I.C. Oraele ridicate de aceast civilizaie prezint o anumit regularitate geometric, dar nici un document matematic nu a rmas de la aceast civilizaie. Cele mai vechi dovezi matematice din India sunt Shatapatha Brahmana (secolul al 9-lea I.C., dar estimarea datei variaz). n Sulba Sutras(c.800 I.C.-200 D.C.), pe lng texte religioase, sunt menionate reguli simple pentru construcia altarelor de diverse forme, cum ar fi ptrate, dreptunghiuri, paralelograme i altele. Se prezint metode pentru construirea unui cerc cu aproximativ aceeai arie ca cea a unui ptrat dat, n care apar diverse aproximri ale lui . Mai mult, se calculeaz rdcina ptrat a lui 2 cu cteva zecimale, se dau triplete de numere pitagoreice i un enun al teoremei lui Pitagora. Probabil c la acest nivel a avut loc o influen mesopotamian. Pini (c. secolul al 5-lea I.C.) a formulat reguli pentru gramatica sanscrit. Notaiile sale sunt similare cu notaiile din matematica modern i a folosit metareguli, precum transformrile i recursia. n Surya Siddhanta (c. 400 D.C.) sunt introduse funciile trigonometrice sinus i cosinus i funcia invers sinusului, se prezint reguli legate de micarea stelelor, plecnd de la poziiile iniiale ale acestora pe cer. Aceast lucrare a fost tradus n arab i latin n Evul Mediu. n secolul al 5-lea, Aryabhata a scris Aryabhatiya, un volum subire, scris n versuri, vzut ca supliment al regulilor de calcul folosite n astronomie i n msurrile matematice, dei nu se distinge n acest volum prezena unei logici sau a unei metodologii deductive. Dei conine multe greeli, n Aryabhatiya este menionat pentru prima dat sistemul numeric zecimal. Cteva secole mai trziu, matematicianul musulman Abu Rayhan Biruni a descris Aryabhatiya ca fiind un amestec de pietre comune i cristale preioase. Brahmagupta a fost un matematician i un astronom important al secolului al 7- lea. Principala lucrare a lui Brahmagupta,Brahmasphuta-siddhanta (Deschiderea Universului), scris n anul 628, conine cteva idei remarcabile. 8

  • Discipolii islamici au transmis acest sistem de numere n Europa n secolul al 12-lea i el a nlocuit toate sistemele numerice existente pn atunci n ntreaga lume. n secolul al 10-lea, comentariile lui Halayudha la tratatul lui Pingala conin un studiu al irului lui Fibonacci i al triunghiului lui Pascal. n secolul al 12-lea, Bhskara II, care a trit n sudul Indiei, a studiat toate ramurile matematicii cunoscute la acel timp. n lucrrile sale apar obiecte matematice echivalente sau aproximativ echivalente cu numerele infinitezimale, derivatele, teorema de medie, derivata funciei sinus. n secolul al14-lea, Madhava din Sangamagrama, fondatorul colii de matematic Kerala, a folosit 21 de termeni din seriile Madhava-Leibniz pentru a determina valoarea lui ca fiind 3.14159265359. Totodat, folosind seriile Madhava-Gregory a determinat arctangenta, apoi a folosit seriile de puteri Madhava-Newton pentru determinarea sinusului i cosinusului i aproximarea Taylor pentru funciile sinus i cosinus. n secolul al 16-lea, Jyesthadeva a consolidat multe din rezultatele colii Kerala n Yukti-bhasa. Totui coala Kerala nu a formulat o teorie pentru derivare i integrare. Progresul n matematic i n alte tiine a stagnat n India odat cu instaurarea regimului musulman. Matematica islamic Imperiul Islamic, stabilit de-a lungul Persiei, Orientului Mijlociu, Asiei Centrale, Africii de Nord, Peninsulei Iberice i n unele pri ale Indiei, a avut contribuii semnificative n matematic n secolul al 8-lea. Dei majoritatea textelor islamice matematice erau scrise n arab, autorii lor nu erau arabi, pentru c n acea perioad limba arab era folosit ca limb scris pretutindeni n lumea islamic. Perii au contribuit la dezvoltarea lumii matematice alturi de arabi. 9

  • Muammad ibn Ms al-wrizm i alturi o pagin din cartea sa The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing n secolul al 9-lea, matematicianul persan Muhammad ibn Musa Khwrizm a scris mai multe cri importante despre cifre indo-arabe i despre metode de rezolvare a ecuaiilor. Cartea sa On the Calculation with Hindu Numerals, scris n jurul anilor 825, mpreun cu lucrarea omului de tiin arab Al-Kindi, au avut un rol n rspndirea matematicii indiene i cifrelor indiene ctre vest. Cuvntul algoritm este derivat din latinizarea numelui su, Algoritmi, i cuvntul algebr provine de la titlul uneia dintre lucrarile sale, The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Khwarizmi este adesea numit "printele algebrei", pentru contribuiile sale fundamentale la noiunea de corp comutativ. El a prezentat n detaliu rezolvarea algebric a ecuaiilor ptratice cu rdcini pozitive i a fost primul care a predat algebra ntr-o form elementar. El a introdus, de asemenea, transferul termenilor dintr-o parte a unei ecuaii n cealalt i reducerea termenilor asemenea. Aceasta este operaia pe care Khwarizmi a descris-o iniial ca fiind Al-jabr. Algebra sa nu se mai referea doar la o serie de probleme care trebuiau rezolvate. Khwarizmi a studiat ecuaiile n sine i ntr-un mod generic, nu doar n msura n care ele apar n rezolvarea unei probleme. Alte progrese n algebr au fost fcute de Al-Karaji n tratatul su al-Fakhri. Prima demonstraie ce folosete principiul induciei matematice a aprut ntr-o carte a lui Al-Karaji, scris n jurul anilor 1000, pentru a demonstra teorema binomial, ct i pentru a construi triunghiul lui Pascal. Istoricul n matematici 10

  • F. Woepcke l-a apreciat pe Al-Karaji ca fiind primul care a introdus teoria calculului algebric. Tot n secolul al 10-lea Abul Wafa a tradus lucrrile lui Diophantus n arab i a studiat funcia tangent. Ibn al-Haytham a avut contribuii n teoria numerelor, studiind numerele perfecte, a dezvoltat geometria analitic i a stabilit conexiuni ntre algebr i geometrie. A avut contribuii importante la principiile opticii. El a efectuat o integrare pentru a determina volumul unui paraboloid i a generalizat rezultatul su calculnd integrale din polinoame pn la gradul al patrulea. Nu a fost preocupat ns de orice polinoame de grad mai mare dect patru. Spre sfritul secolul al11-lea, Omar Khayyam a scris Discussions of the Difficulties in Euclid, o carte despre imperfeciunile din Elementele lui Euclid, n special despre postulatul paralelelor i a pus bazele geometriei analitice i geometriei neeuclidiene. De asemenea, a fost primul care a determinat soluia geometric general a ecuaiilor cubice. n plus, a avut o influen important n reforma calendarului. Spre sfritul secolul al 12-lea, Sharaf al-Dn al-Ts a introdus conceptul de funcie i a descoperit derivata polinoamelor cubice. n tratatul su Treatise on Equations, a dezvoltat concepte legate de calculul difereniar, cum ar fi funcia derivat i minimul i maximul curbelor, cu scopul de a rezolva ecuaii cubice care ar putea sa nu aib soluii pozitive. n secolul al 13-lea, Nasir al-Din Tusi a realizat progrese n geometria sferic. A scris de asemenea o lucrare important despre postulatul paralelelor al lui Euclid. n secolul al 15-lea, Ghiyath al-Kashi a calculat valoarea lui pn la a 16-a zecimal Printre alte realizri ale matematicienilor musulmani n aceast perioad menionm adugarea virgulei zecimale la numerelor arabe, descoperirea tuturor funciilor trigonometrice n afar de sinus, introducerea criptanalizei i analizei frecvenelor de ctre al-Kindi, nceputurile geometriei algebrice de ctre Omar Khayyam, prima tentativ de abordare a geometriei neeuclidiene de ctre Sadr al-Din i dezvoltarea notaiilor algebrice de ctre al-Qalasd. n timpul Imperiului Otoman ncepnd cu secolul al15-lea, dezvoltarea matematicii islamice a nceput s stagneze. 11

  • Matematica Europei medievale Interesul Europei medievale n matematic s-a manifestat prin preocupri destul de diferite de cele ale matematicienilor moderni. Exista convingerea c matematica furnizeaz cheia pentru nelegerea ordinii create de natur. Evul Mediu timpuriu Boethius a inventat termenul quadrivium pentru a descrie studiul aritmeticii, geometriei, astronomiei i muzicii. El a scris De institutione arithmetica, o traducere liber din limba greac a crii lui Nicomachus, Introduction to Arithmetic, De institutione musica, precum i o serie de extrase din Elemente lui Euclid. Lucrrile lui au fost mai degrab teoretice dect practice i au fost baza studiului matematic, pn la recuperarea lucrrilor matematice greceti i arabe. Renaterea n secolul al 12-lea, oamenii de tiin europeni au cltorit n Spania i Sicilia n cutarea de texte tiinifice arabe, inclusiv cartea lui Khwarizmi, The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, tradus n latin de ctre Robert de Chester, ct i textul complet al Elementelor lui Euclid, tradus n diferite versiuni de Adelard din Bath, Herman de Carinthia, i Gerard de Cremona. Aceste noi surse au produs o rennoire a matematicii. Fibonacci a scris Liber Abaci n 1202, actualizat n 1254, prima matematic semnificativ n Europa de la Eratostene, dup mai mult de o mie de ani. Lucrarea a introdus cifrele indo- arabe n Europa i a prezentat multe alte probleme matematice. Secolul 14 a cunoscut dezvoltarea a noi concepte matematice pentru a investiga o gam larg de probleme. O contribuie important a fost dezvoltarea mecanicii. Thomas Bradwardine a studiat variaia vitezei. Fr ajutorul calculului diferenial i a conceptului de limit, Heytesbury i alii au determinat matematic distana parcurs de un organism n micare uniform accelerat (rezolvat astzi prin integrare). Cea mai important lucrare scris de Nicole Oresme de la Universitatea din Paris este Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. Contribuiile sale matematice au dus la dezvoltarea conceptului de reprezentare grafic a funciilor i la investigarea seriilor infinite. Se consider ca prin studiile sale Oresme a anticipat descoperirile lui Galileo. 12

  • Matematica Europei moderne timpurii Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1446/7, Sansepolcro- 1517) a fost un matematician italian i un clugr franciscan, colaborator cu Leonardo da Vinci i a contribuit esenial la domeniul cunoscut astzi sub numele de contabilitate, el fiind adesea considerat ca "Tatl contabilitii". El a fost numit, de asemenea, Luca di Borgo dup oraul su natal, Borgo Santo Sepolcro, Toscana. n Italia, pe la mijlocul secolului al 16-lea , Scipione del Ferro i Niccol Fontana Tartaglia au descoperit soluiile pentru ecuaiile cubice. Gerolamo Cardano le-a publicat n cartea sa Ars Magna, aprut in 1543, mpreun cu soluiile pentru ecuaiile de gradul al4-lea, descoperite de studentul su Lodovico Ferrari. n 1572 Rafael Bombelli a publicat cartea L'Algebra n care a explicat cum se lucreaz cu cantitile imaginare care apar n formula lui Cardano pentru rezolvarea ecuaiilor cubice. Cartea De Thiende (arta zecimilor), scris de Simon Stevin a fost mai nti publicat n olandez n 1585 i coninea prima prezentare a notaiei zecimale, care a influenat studiul ulterior al sistemului numeric real. Ca urmare a cererilor de navigaie i de nevoia tot mai mare de hri exacte pentru zone extinse, trigonometria devine o ramur important a matematicii. Bartholomaeus Pitiscus a fost primul care a folosit termenul de trigonometrie, n cartea sa Trigonometria publicat n 1595. Tabelul Regiomontanus de sinusuri i cosinusuri a fost publicat n 1533. 13

  • Secolul al 17-lea Secolul al17-lea a adus o explozie fr precedent a ideilor matematice i tiinifice n Europa. Italianul Galileo a observat lunile lui Jupiter n orbita acestei planete, folosind un telescop bazat pe o jucrie importat din Olanda. Danezul Tycho Brahe a adunat o cantitate imens de date matematice, descriind poziiile planetelor pe cer. Studentul su german Johannes Kepler a nceput s investigheze aceste date. Dorind sa l ajute pe Kepler la calculele sale, scoianul John Napier a fost primul care a investigat logaritmii naturali. Kepler a reuit s formuleze legile matematice ale micarii planetelor. Geometria analitic dezvoltat de matematicianul i filosoful francez Ren Descartes (1596-1650) a permis reprezentarea grafic a orbitelor ntr-un sistem de coordonate carteziene. Simon Stevin (1585) a creat bazele pentru notaia zecimal modern, cu ajutorul creia se descriu toate numerele, raionale sau iraionale. Bazndu-se pe lucrrile predecesorilor si, englezul Isaac Newton a descoperit legile fizicii explicnd legile lui Kepler i a unit conceptele pe care astzi le cunoatem astzi sub numele de calcul infinitezimal. Independent, germanul Gottfried Wilhelm Leibniz a descoperit calcul infinitezimal i multe dintre notaiile folosite astzi. tiina i matematica au devenit o provocare pentru cercetare n ntreaga lume. Matematica aplicat a nceput s se extind i n alte domenii, nu doar n astronomie. Pierre de Fermat i Blaise Pascal au pus fundamentele teoriei probabilitilor i au stabilit legile combinatoriale ale teoriei hazardului. Secolul al 18-lea Se poate spune c mai de influent matematician al secolul al 18-lea a fost Leonhard Euler. Contribuiile sale pornesc de la studiul teoriei grafurilor cu problema celor apte poduri din Knigsberg pn la standartizarea mai multor termeni i notaii matematice moderne. El a notat cu simbolul i rdcina ptrat a lui -1 i a popularizat folosirea literei greceti ca fiind raportul dintre circumferina cercului i diametrul su. A adus numeroase contribuii la studiul topologiei, teoriei grafurilor, calculului matematic, n combinatoric i analiz complex, dovedite prin multitudinea teoremelor si notaiilor care poart numele su. 14

  • Ali doi matematicieni de marc a acestui secol sunt Joseph Louis Lagrange, care a avut lucrri de pionierat n teoria numerelor, algebr, calcul difereniar i calculul variaional i Pierre Simon Laplace, care pe vremea lui Napoleon, a avut contribuii remarcabile n mecanica cereasc i n statistic. Secolul al 19-lea Comportamentul dreptelor, cu o perpendicular comun n fiecare din cele trei tipuri de geometrie De-a lungul secolului al 19-lea, matematica a devenit tot mai abstract. Un nume de marc n istoria matematicii l reprezint Carl Friedrich Gauss (1777-1855). A avut contribuii numeroase n tiin, iar n matematica pur a revoluionat studiul funciilor de variabil complex, a avut rezultate remarcabile n geometrie i n convergena seriilor. El a demonstrat teorema fundamental a algebrei. Acest secol a cunoscut dezvoltarea celor dou tipuri de geometrie neeuclidien, pentru care postulatul paralelelor din geometria euclidien nu mai are loc. 15 Secolul al 18-lea Se poate spune c mai de influent matematician al secolul al 18-lea a fost Leonhard Euler. Contribuiile sale pornesc de la studiul teoriei grafurilor cu problema celor apte poduri din Knigsberg pn la standartizarea mai multor termeni i notaii matematice moderne. El a notat cu simbolul i rdcina ptrat a lui -1 i a popularizat folosirea literei greceti ca fiind raportul dintre circumferina cercului i diametrul su. A adus numeroase contribuii la studiul topologiei, teoriei grafurilor, calculului matematic, n combinatoric i analiz complex, dovedite prin multitudinea teoremelor si notaiilor care poart numele su. 14

  • Secolul al 19-lea reprezint un secol important n dezvoltarea algebrei abstracte. n Germania, Hermann Grassmann a dat o prim versiune noiunii de spaiu vectorial, iar n Irlanda William Rowan Hamilton a dezvoltat algebra necomutativ. Matematicianul britanic George Boole a conceput o algebr, care a evoluat curnd n ceea ce acum se numete algebra boolean, n care singurele numere sunt 0 i 1 i n care 1 + 1 = 1. Algebra boolean este punctul de plecare al logicii matematice i are aplicaii importante n informatic. n aceeai perioad, Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann i Karl Weierstrass au reformulat calculul matematic ntr-un mod mai riguros. Norvegianul Niels Henrik Abel a demonstrat c nu exist o metod general algebric pentru rezolvarea ecuaiilor polinomiale de grad mai mare dect patru. Francezul Evariste Galois a determinat condiia necesar i suficient ca o astfel de ecuaie sa poat fi rezolvabil prin radicali. Ali matematicieni ai acestui secol au artat c doar cu rigla i compasul nu se poate realiza trisecia unui unghi arbitrar, nici nu se poate construi latura unui cub cu volumul de dou ori volumul unui cub dat, nici nu se poate construi un ptrat cu aria egal cu cea a unui cerc dat. Menionm c nc din timpul vechilor greci, matematicienii au ncercat n zadar s rezolve toate aceste probleme. Studiile lui Galois au pus bazele pentru dezvoltrile ulterioare ale teoriei grupurilor i domeniilor conexe ale algebrei abstracte. Fizicienii secolului al 20-lea i ali oameni de tiin au vzut n teoria grupurilor modul ideal de a studia simetria. Spre sfritul secolului al19-lea, Georg Cantor a stabilit bazele teoriei muimilor, ceea ce a permis prezentarea riguroas a noiunii de infinit i a devenit limbajul comun al tuturor matematicienilor. Teoria Mulimilor lui Cantor i dezvoltarea logicii matematice de ctre Peano, L.E.J.Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell i A.N.Whitehead a iniiat o lung dezbatere pe tema bazelor matematicii.

  • Circolo Mathematico di Palermo n 1884, Edinburgh Mathematical Society n 1883 i American Mathematical Society n 1888. Prima societate internaional de un inters special a fost Societatea pentru promovarea studiului cuaternionilor, care a luat fiin n 1899. Secolul al 20-lea n secolul al 20-lea matematica a devenit o profesie. n fiecare an, mii de noi doctorate sunt acordate n matematic, iar locurile de munc sunt disponibile att n predare, ct i n industrie. n nici unul dintre secolele anterioare nu au existat att de muli matematicieni prolifici. ntr-un discurs din 1900 la Congresul Internaional al Matematicienilor, David Hilbert a stabilit o list de23 probleme nerezolvate n matematic. Aceste probleme, care acoper multe ramuri ale matematicii, au constituit un interes major pentru o mare parte din matematicienii secolului al 20-lea. Pn astzi, 10 au fost rezolvate, 7 sunt rezolvate parial i 2 sunt nc deschise. Restul de 4 sunt prea vag formulate pentru a fi declarate ca rezolvate sau nerezolvate. Conjecturi istorice notabile n cele din urm au fost dovedite. n 1976, Wolfgang Haken i Kenneth Appel au folosit un computer pentru a demonstra teorema celor patru culori. Andrew Wiles este recunoscut oficial ca fiind cel care a rezolvat ultima teorem a lui Fermat n anul 1995. Paul Cohen i Kurt Gdel au demonstrat c ipoteza continuului este independent de axiomele standard din teoria mulimilor. n 1998, Thomas Callister Hales a demonstrat conjectura lui Kepler. 17

  • n acest secol a avut loc un numr fr precedent de colaborari matematice. De exemplu, pentru clasificarea grupurilor finite simple, realizat ntre anii 1955 i 1983 au fost necesare aproximativ 500 de articole matematice ale unui numr de circa100 de autori, pe o lungime de zeci de mii de pagini. Un grup de matematicieni francezi, dintre care fceau parte Jean Dieudonn i Andr Weil au publicat sub pseudonimul "Nicolas Bourbaki"i au ncercat s expun matematica cunoscut pn atunci ca un ntreg coerent i riguros prezentat. Cele cteva zeci de volume realizate de acetia au avut o influen controversat privind educaia matematic. Geometria diferenial a intrat n propriile sale drepturi odata cu folosirea ei de ctre Einstein n teoria relativitii generale. Noi domenii ale matematicii, cum ar fi logica matematic, topologia, teoria jocurilor lui John von Neumann au schimbat tipurile de ntrebri care ar putea gasi rspuns prin metode matematice. Toate tipurile de structuri au fost abstractizate folosind axiome i au primit nume ca spaii metrice, spaii topologice etc. Conceptul de structuri abstracte a fost el nsui abstractizat i a condus la teoria categoriilor. Grothendieck i Serre au reformat geometria algebric, folosind teoria fascicolelor. Mari progrese au fost fcute n studiul calitativ al sistemelor dinamice pe care Poincar l-a iniiat n 1890. Teoria msurii a fost dezvoltat la sfritul secolului al19-lea i la nceputul secolului al20-lea. Aplicaiile teoriei msurii includ integrala Lebesgue, axiomatizarea dat de Kolmogorov teoriei probabilitilor i teoria ergodic. Mecanica cuantic a condus la dezvoltarea analizei funcionale. Apar alte domenii noi precum teoria distribuiei Laurent Schwarz, teoria punctului fix, teoria singularitilor i teoria catastofelor introdus de Ren Thom, teoria modelelor, i fractalii introdui de Mandelbrot. Teoria Lie mpreun cu grupurile Lie i algebrele Lie a devenit unul dintre principalele domenii de studiu. Structurile algebrice, nzestrate cu cel puin o operaie multivaluat au fost introduse de F. Marty n 1934 i se numesc hiperstructuri algebrice. 18 cu creionul i hrtia i au condus la domenii cum ar fi analiza numeric i calculul simbolic. Unele dintre cele mai importante metode i algoritmi descoperii n secolul al 20-lea sunt: algoritmul simplex, transformata Fourier i filtru Kalman.

  • n 1929 i 1930, s-a dovedit c pentru toate afirmaiile formulate n legtur cu numerele naturale mpreun cu adunarea sau cu nmulirea putea fi determinat valoarea de adevr de un anumit algoritm. In 1931, Kurt Gdel a constatat c acest lucru nu mai are loc pentru numerele naturale, mpreun cu adunarea i cu nmulirea, sistem cunoscut sub numele de aritmetic Peano. O consecin a celor dou teoreme de incompletitudine ale lui Gdel este c n orice sistem matematic care include aritmetica Peano(inclusiv toate de analiz i de geometrie) exist declaraii adevrate care nu pot fi dovedite n cadrul sistemului. Prin urmare, matematica nu poate fi redus la logica matematic. Una dintre cele mai interesante figuri ale matematicii secolului al 20-lea a fost Aiyangar Srinivasa Ramanujan(1887-1920), un autodidact indian care a conjecturat sau demonstrat peste 3000 de teoreme, incluznd proprieti ale numere compuse foarte mari, funcia de partiie i asimptotele sale, ct i funciile mock theta. El a fcut, de asemenea, cercetri majore asupra funciilor gamma, formelor modulare, seriilor divergente, seriilor hipergeometrice i n teoria numerelor prime. Ca i n majoritatea domeniilor de studiu, explozia de cunotine tiinifice a condus la specializare. Pn la sfritul secolului existau sute de domenii specializate n matematic i Mathematics Subject Classification cuprindea deja zeci de pagini. Au aprut din ce n ce mai multe jurnale matematice i, pn la sfritul secolului, dezvoltarea world wide web a condus la publicarea online. Secolul al 21-lea n2000, Institutul de Matematic Clay anuna cele apte Probleme ale Mileniului, iar n2003 conjectura lui Poincar a fost rezolvat de Grigori Perelman (care a refuzat s primeasc vreun premiu pentru aceasta). Majoritatea jurnalelor matematice de astzi au versiuni online, dar i versiuni imprimate, iar pe de alt parte, au aprut multe jurnale publicate doar online. 19

  • Exist astzi un impuls din ce n ce mai mare spre accesul online nerestricionat la articole din jurnalele tiinifice. Matematica in viitor S-au remarcat multe trenduri in matematica actual, care a luat o amploare mai mare ca niciodat, computerele sunt din ce in ce mai importante i mai performante, se extind aplicaiile matematicii n bioinformatic, iar numrul lucrrilor tiinifice este intr-o real expansiune. 20

    matematician grec, secolul 3 .Hr., cum e imaginat de ctre Rafael ntr-un detaliu al lucrrii coala atenian