1

Revista Virtuala Info MateTehnic ISSN 2069-7988

ISSN-L 2069-7988

Matematici financiare pe suport EXCEL.

Prof. Dorina Mormocea

Colegiul Naţional de Informatică Piatra Neamţ

Procesorul de calcul tabelar EXCEL, face parte din categoria software de aplicaţii şi

cuprinde o varietate de programe care realizează o gamă diversificată de calcule. Dintre facilităţile

oferite de Microsoft EXCEL se pot specifica:

• lucru cu coloane şi linii întregi;

• realizarea de operaţii matematice;

• generarea, cautarea şi actualizarea datelor dintr-un sistem de gestiune a fisierelor

sau bazelor de date;

• includerea de module grafice integrate

sau independente prin care se pot reprezenta datele

dintr-o matrice sub forma de diagrame dreptunghiulare

sau circulare.

Vom exemplifica câteva modalităţi de utilizare

a foii de calcul EXCEL pentru rezolvarea unor probleme

de matematică la clasele a IX-a şi a X-a, care necesită

de obicei un volum foarte mare de calcule şi din acest

motiv abordarea acestor probleme la clasă este destul de anevoiosă.

1) Progresii aritmetice

Contracte de închiriere. O persoana închiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B: A. Chiria este în prima lună de 240 lei şi creşte în fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei); B. Chiria este în prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună. Care dintre contractele A, B este mai avantajos pentru chiriaş? 2) Progresii geometrice

2.1 Legenda jocului de şah

Se spune că inventatorul jocului de şah i-a cerut regelui ca răsplată să pună pe primul pătrat al tablei de şah 1 bob de grâu, pe al doilea 2 boabe de grâu pe al treilea 4 boabe etc. (prin dublări succesive). Răsplata era cantitatea de grâu de pe ultimul pătrat al tablei de şah. Se spune că regele a fost surprins de modestia cererii. În realitate, nu este aşa... .

2

Soluţie:

Ştiind că un bob de grâu cântăreşte 5 x 10-2g, calculăm masa M a grâului cerut.

Fie un numărul de boabe de grâu din pătratul al n-lea deci u1 = 1, u2 = 2, u3 = 22,

12−

⋅= nn uu , pentru 2≥n , de unde .2 1−

=n

nu Ultimul pătrat are numărul de ordine n=64 şi cantitatea de grâu cerută de inventator a fost M=263 5 10-2g. Productia mondiala de grâu a fost de: - 588 milioane de tone în sezonul 2006/2007 - 630 milioane de tone în sezonul 2007/2008 - urmeaza sa atinga un nivel record de 650 milioane de tone în sezonul 2008/2009, potrivit organizatiei interguvernamentale International Grains Council (IGC), informeaza Mediafax (Gardianul Luni, 9 Martie 2009 Nr. 2052). 2.2. Calculaţi valoarea viitoare a 1.000 de franci elveţieni, cu o dobândă anuală de:

a. 5 ani la 7% b. 5 ani la 10% c. 10 ani la 7%

Soluţie:

FV=PV *(1+r)^t

2.3. Banca ta oferă un cont care îţi va dubla banii în 9 ani. Calculează care este rata dobânzii. Soluţie:

FV=PV *(1+r)^t ⇒ 2PV=PV*(1+r)^9 ⇒ (1+r)^9=2 1+r=2^(1/9) 080059739,0=⇒ r

2.4 Dacă obţii 6% la un depozit bancar, în cât timp contul tău îşi va tripla valoarea? Soluţie:

FV=PV *(1+r)^t ⇒ 3PV=PV*(1+0,06)^n ⇒ (1,06)^n=3⇒ log3

(1,06)^n=1⇒ n=1/log31,06

2.5 Ai prefera sa primeşti 1.000 de lire sterline acum sau 2.000 peste 10 ani, dacă dobânda este de 8%? De ce?

Soluţie:

FV=PV *(1+r)^t 10)^08,01(*1000 +=⇒ FV

3

2.6 Două persoane au economisit bani. Amândoi şi-au păstrat economiile într-un cont cu dobânda

de 6% pe an. Maria a pus 2000 USD pe an vreme de 9 ani, dar, la varsta de 30 ani, a încetat să

mai investească. De la 31 de ani până la 65, George a investit constant 2000 USD pe an. Ce sumă

de bani a avut fiecare la varsta de 65 de ani?

Soluţie:

S-suma de bani de la bancă la un moment dat; D-depozitul făcut la sfârşit de an.

Maria economiseşte bani în două moduri:

- economii cu depozit de 2000 USD anual, timp de 9 ani: formula pentru calculul sumei anuale S= Sanul_prec *(1+r)+D;

- economii fără investiţii timp de 35 de ani: S= Sanul_prec *(1+r).

George a investit constant 2000 USD anual, timp de 35 ani:

- suma economisită în fiecare an este S= Sanul_prec *(1+r)+D; La vârsta de 65 de ani, Maria ajunge sa aiba suma de 187245.29 USD iar George suma de 222869.56 USD. Astfel se observa ca Maria o obtinut din dobanzi o suma 169245.29 USD, iar George a castigat 152869.56 USD.

2.7 Trebuie să alegi între 2 modalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75 USD.

1. Să economiseşti 75 USD, câte 10 USD pe lună, într-un cont la care vei obţine 6% din economiile tale. 2. Să cumperi haina cu cardul de credit şi să plăteşti câte 10 USD pe lună în condiţiile unei Rate Procentuale Anuale (RPA) de 24%. Ce alegi şi de ce?

Soluţie

4

- economii cu depozit de 10 USD lunar

Val. cumulativă lunară = (Val.luna prec.+ depozit)*(1+r/12)

În 8 luni se vor acumula 75 USD pentru care se vor plăti 73,21 USD

- împrumut card plata a 10 USD pe lună :

Bilanţ lunar= bilanţul prec.*(1 + RPA/12)-plata

În 10 luni se vor plăti 82,08 USD. Camera-video

Pentru a plăti o cameră video de 3300 lei un magazin are următorul plan de rate: Se plătesc 300 lei iniţial şi câte 113 lei lunar timp de 3 ani. Care este dobânda percepută pentru creditul acordat.

Soluţie:

Dacă iniţial s-a plătit o sumă de 300 lei suma totală platită în 36 de luni este 4368 lei. 4368 lei -300 lei=4068 lei suma plătită pentru creditul de 3000 lei. r-dobânda percepută de bancă. C-creditul obţinut t -perioada de timp

S=C*(1+r)t

(1+r)t = C

S⇒ 1+r =

t

C

S1

⇒ r =

t

C

S1

-1

S= 4068 C= 3000 t= 3 ani r= 0.1068444

rata= 10.684438 % Amortizarea investiţiilor

Să presupunem costul iniţial al unei investiţii(de exemplu, o instalaţie) egal cu c. După intrarea în funcţiune, acest cost se micşorează treptat, deoarece în calcule economice se face convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei instalaţii. Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c). Presupunem ca există 0<α<1 astfel încât cn+1= cn(1-α) pentru orice ℵ∈n (α este numit coeficient de amortizare al investiţiei). În cazul când c=80.000RON, iar după 4 ani costul a devenit („ s-a amortizat” ) 20.000RON, să se determine α şi să se afle după câţi ani costul coboară sub 8.000RON.

Soluţie:

800000 =C ;

20000=nC ;

n=4

5

⇒−=n

n CC )1(0 α ⇒=− )1()1(0C

Cnnα

nn

C

C1

0

1

=−α

nn

C

C1

0

1

−=⇒α (2)

Folosind formula (2) se calculează 292893,0=α

(1)⇒)1lg(

lg

lg)1lg(0

0 αα

−

=⇒

=−

C

C

nC

Cn

n

n .

În Microsoft EXCEL se calculează folosind formula de recurenţă costurile investiţiei şi se observă că începând din anul a 7-lea costul investiţiei coboară sub 80000.

Dacă elevii au acces la Internet, vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza. Unul foarte interesant este cel de la www.oanda.com, care are deopotrivă şi un convertor, dar şi un joc referitor la conversie. Elevii se pot juca folosind 100.000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site. Jocul permite participanţilor să convertească monedă în baza unor informaţii parvenite în timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb valutar pe baza lecturii grafice. Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din figura de mai sus,site-ul dă elevilor ocazia de a se distra şi de a învăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi.

VORBEŞTE LIBER

Compania de telefonie Vorbeşte Liber tocmai a proiectat un nou serviciu PBX sau Comutare pe o Linie Privată numit 5093. Serviciul 5093 este un sistem de comutare al vârfului de gamă şi costă $ 28.450. Acest sistem oferă unui telefon normal posibilităţi de comutare precum şi alte servicii în plus. La fel ca în cazul oricărui sistem electronic, există o probabilitate de defecţiune a componentelor şi nevoia unei întreţineri periodice. Majoritatea clienţilor sistemului PBX încheie un contract de reparaţii pentru a acoperi acest cost. Pentru companii, acest lucru este foarte practic. În locul unei facturi neaşteptat de mari pentru reparaţii, compania plăteşte lunar o sumă mică pentru serviciile de reparaţie, indiferent de costul acestuia. Pentru a estima cât să facturaţi unui client pentru prestări de servicii, trebuie să cunoaşteţi calitatea fiecărei componente, durata de viaţă a sistemului PBX şi costul înregistrat pentru plata personalului de reparaţie. Aceste informaţii sunt folosite pentru a estima costul întreţinerii şi cât ar trebui să factureze unui client pentru un contract de reparaţii. Fiecare maşină, fie că este un calculator sau un nou autoturism, are o durată de viaţă. Această durată de viaţă este în funcţie de cât rezistă fiecare dintre componentele maşinii. Unele

6

componente vor rezista mai mult decât durata de viaţă estimată, altele mai puţin. Tabelul de mai jos prezintă toate componentele sistemului PBX 5093 al companiei de telefonie Vorbeşte Liber, durata de viaţă a acestora, costul şi timpul de reparaţie necesar înlocuirii fiecărei componente.

Părţi componente ale sistemului Vorbeşte Liber 5093

Numele componentei Durata de viaţă (ore) Cost de înlocuire USD

Timp de reparaţie (min)

Procesor 100000 3250 27 Unitate Hard Disk 45000 1500 75 Cablu RS232 25000 22 15 Unitate mail voce 50000 6046 180 Ventilatoare 5000 40 45 Placă modem 25000 140 15 Placă de memorie 175000 800 15 Placă de linie 65000 2500 30 Experienţa ne spune că sistemul Vorbeşte Liber 5093 va fi folosit aproximativ 50.000 de ore timp de 10 ani. Compania de telefonie Vorbeşte Liber tocmai a vândut unui client sistemul Vorbeşte Liber. Acesta din urmă doreşte şi achiziţionarea unui contract de reparaţii şi trebuie să-i oferiţi clientului estimarea contractului. Unul din avantajele folosirii foii de calcul EXCEL este acela că datele se prelucrează dinamic, asta înseamnă că dacă schimbăm datele iniţiale se schimbă automat toate datele dependente de ele şi diagramele corespunzătoare. Acest lucru oferă posibilitatea elevilor să compare diferitele situaţii fără a mai reface calculele de rutină într-un timp foarte scurt. Toate aceste argumente ne fac să credem că utilizarea EXCEL-ului şi a INTERNET-ului la ora de matematică vor forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene, pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

Bibliografie 1. Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal;

2. Manualul elevului Banii şi Bugetul personal;

3. Programa Banii şi Bugetul personal.

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J. A. România: