isj vâlcea olimpiada de matematicĂ etapa · pdf fileisj vâlcea olimpiada de...

ISJ VÂLCEA

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ - 14. 02. 2009 -

CLASA a V-a

1. Determinaţi cifrele a, b, c astfel încât :

2abc + 3 ∙ abc = abc4 +1234

(Valer Pop, Şanţ, Bistriţa- Năsăud, Gazeta Matematică)

2. Fie a =12345678910111213…….2009, numărul obţinut prin alăturarea cifrelor numerelor

1, 2, 3,………,2009.

a) Câte cifre are numărul a ?

b) Aranjăm numerele 1, 2,3,…….,2009 astfel:

1 5;6;7;8;9; 21;22,23;24;25; 37;38;…

2 4 10; 20; 26; 36

3 3 11; 19; 27; 35;

4 2 12; 18; 28, 34;

5 1 13;14;15;16;17 29;30;31;32;33:

Pe care linie se află 2009 ? Justificaţi!

(Ştefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea)

3. Pe un ecran este scris numărul 34. După fiecare minut, în locul numărului iniţial, se scrie un

număr cu 18 mai mare decât produsul cifrelor sale.

a) Ce număr va fi scris, pe ecran, după 2 minute ?

b) Ce număr va fi scris, pe ecran, după 2009 minute ? Justificaţi !

(Cristina Drăgan, Râmnicu Vâlcea)

4. Demonstraţi că pentru orice 37 de numere naturale, nenule putem găsi 7 numere cu suma

divizibilă cu 7.

(Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.

Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 2 ore.

SUCCES !

ISJ VÂLCEA


ETAPA LOCALĂ - 14. 02. 2009 -

CLASA a VI-a

1 Determinaţi mulţimea:

A= abc 13 a – 6 b – 3 c = 0

(Damian Marinescu, Târgovişte, Gazeta Matematică)

2. Determinaţi numerele naturale de patru cifre a căror descompunere în factori primi

este x y ∙ xy ∙ yx .

( Gheorghe Radu, Râmnicu Vâlcea )

3. Se consideră şirul următor de numere naturale: 11, 1

2, 1

3, … , 1

9, 2

1, 2

2, … , 2

9, 3

1, …, 9

9.

a) Să se compare valorile termenilor al 15 – lea, al 30 – lea şi al 65 – lea.

b) Să se determine numărul de valori diferite pe care le pot lua termenii şirului din enunţ.

c) Să se arate că suma valorilor diferite, pe care le iau termenii şirului, nu este pătrat perfect.

( Gabriel Vrînceanu, Bucureşti)

4. Fie AOB şi BOC unghiuri neadiacente suplementare,astfel încât m(AOB) şi m(BOC) sunt direct

proporţionale cu 11 şi respectiv 7. În semiplanul opus cu [AO, B se ia punctul D astfel încât

ODOA. Fie OE OC. Să se afle măsurile unghiurilor DOC şi EOB .




SUCCES !

ISJ VÂLCEA


ETAPA LOCALĂ - 14. 02. 2009 -

CLASA a VII-a

1. Aflaţi numerele întregi x, y, z ştiind că :

x2 –

x + 2y + ( z

2 – 4 )

2 0 .

(Vasile Predan, Curtea de Argeş, Gazeta Matematică )

2. Fie A = 2009

a;

2009

aa;

2009

aaa;

2009

aaaa;……… a e cifră nenulă

Demonstraţi că A şi N nu sunt mulţimi disjuncte.


3. Se dă triunghiul ABC cu măsura unghiului BAC de 120 0

şi AB = 2 ∙ AC = 2 a.

Fie D simetricul punctului A faţă de mediana [CM], unde M [AB].

a) Demonstraţi că patrulaterul ACDM este romb.

b) Calculaţi perimetrul triunghiului DON, unde O este mijlocul segmentului [CM],

iar {N} = BC∩DM.

c) Determinaţi cât la sută reprezintă aria triunghiului BCM din aria patrulaterului ABDC.

( Gheorghe Radu, Râmnicu Vâlcea )

4. Un elev scrie pe tablă numerele 256; 6561; 390625 .

Pasul 1 : Şterge cele trei numere şi în locul fiecăruia scrie media geometrică a celorlalte două numere;

Pasul al 2-lea :Aplică pasul 1 pentru numerele obţinute .

…………………………………………………………………………………………

Pasul al n-lea :Aplică pasul 1 pentru numerele obţinute la pasul anterior .

a) Ce numere a scris elevul pe tablă după primul pas ?

b) Este posibil, ca după un număr finit de paşi, să scrie pe tablă numerele 3000; 2009; 7175 ?

Justificaţi !




ISJ VÂLCEA


ETAPA LOCALĂ - 14. 02. 2009 -

CLASA a VIII-a

1. a) Demonstraţi că ecuaţia ( x +1 )( x + 2) = y ( y +2 ) nu are soluţii în NN.

b) Demonstraţi că ecuaţia ( x +1 )( x + 2) = ( y +2 ) ( y +3 ) are o infinitate de soluţii în NN.

(Damian Marinescu, Târgovişte, Gazeta Matematică)

2. a) Demonstraţi că oricare ar fi x, y, z R, avem :

;

b) Fie trei numere reale, strict pozitive, astfel încât .

Să se demonstreze că : .

( Cezar Lupu, student, Bucureşti )

3. Fie punctul P interior unghiului XOY şi PM OX ; PN OY cu PM = 3 2 cm, PN = 1 cm,

unde M( OX ; N ( OY . Dacă dreapta QP este perpendiculară pe planul (XOY) şi PQ = 5 2 cm,

demonstraţi că : măsura unghiului XOY = 450

măsura unghiului ( OQ, (XOY) )= 450 .


4. Se consideră un cub ABCDA B C D . În fiecare din vârfurile A, B, D şi A se înscrie numărul 1,

iar în ficare din vârfurile C,C , B şi D se înscrie numărul 0. Numim operaţie faptul că mărim sau

micşorăm cu acelaşi număr numerele de pe aceeaşi muchie. Este posibil ca după un număr finit de

operaţii să obţinem în fiecare vârf numărul 2009?

( Marius Perianu, Slatina)



SUCCES !

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ TIMIŞ – 14.02.2009

SUBIECTE - clasa a V-a:

I. a) Numerele naturale m, n, p, x, y, z verifică relaţia

2005m + 2007

n + 2009

p = 2006

x + 2008

y + 2010

z.

Să se calculeze 2009mnpxyz

. Ioan Miclea, TMMATE – nr.6 / 2009

b) Determinaţi cifrele a, b, c, d, e cu proprietatea că

cdeabc

2abc . Andrei Eckstein, TMMATE – nr.6 / 2009

II. a) Aflaţi restul împărţirii numărului B = 320093...21 la 8.

b) Aflaţi restul împărţirii numărului A = 3-20093...21 la 8.

Prelucrare, GM – nr.9 / 2008

III. a) scrieţi numărul 2009 ca un produs în care un factor este pătrat perfect supraunitar.

b) Să se determine numărul natural nenul n, ştiind că n4 – n

3 – n

2 este un număr egal cu suma celor

mai mari resturi posibile la împărţirea cu 2000, cu 10 şi respectiv cu 2.

Petria-Elena Boldea

IV. a) Calculaţi ultima cifră a numărului C = 2n + 4

n + 6

n + 8

n, unde n număr natural nenul oarecare

b) Fie n număr natural nenul oarecare. Cercetaţi dacă numărul D = 2n + 4

n + 6

n + ... + 2008

n este

divizibil cu 10. DR. RMT – nr.4 / 2008

Probleme selectate de inspector şcolar de specialitate, prof. Petria-Elena Boldea

SUBIECTE - clasa a VI-a:

I. Se consideră egalităţile 1b

4b

4

a 2

şi

14

c

8

a , unde a, b, c numere naturale.

a) Arătaţi că 4 divide a.

b) Găsiţi toate tripletele c)b,(a, care verifică simultan relaţiile din enunţ.

Cerasela Bociu

II. Fie numerele naturale nenule a, b astfel încât 223,7 baba , unde ba , este c. m. m.

m. c. al numerelor a şi b.

a) Arătaţi că b = 2a.

b) Determinaţi numerele naturale a, b. Cerasela Bociu

III. Fie (OC şi (OD două semidrepte situate în interiorul unghiului AOB astfel ca (OD

int( AOC). Aflaţi măsurile unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC şi BOD,

ştiind că m(AOD)= O60 şi m(BOC)= O50 .

IV. Triunghiul ABC are AB = AC = 3 cm şi BC = 5 cm. Bisectoarea unghiului ABC

intersectează (AC) în punctul D. Perpendiculara din punctul C pe dreapta BD intersectează

dreapta AB în M.

a) Construiţi triunghiul ABC cu dimensiunile din enunţ.

b) Demonstraţi că triunghiul DMC este isoscel.

c) Calculaţi perimetrul triunghiului ADM.

Probleme selectate de prof. Cerasela Bociu, Colegiul Naţional Bănăţean Timişoara

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ TIMIŞ – 14.02.2009

SUBIECTE - clasa a VII-a:

I. a) Numerele a1, a2, a3, … , a2009 N şi sunt direct proporţionale respectiv cu numerele 1, 2, 3,

…,2009, iar 2

2009531 2010a...aaa . Aflaţi numerele a1, a2, a3, … , a2009.

b) Să se rezolve ecuaţia 101

200

x...21

1...

321

1

21

11

.

II. a) Fie a, b, c, d Q+. Să se arate că dacă

Qbdac , atunci a şi b Q.

b) Demonstraţi inegalitatea 2ba

c

ca

b

cb

a

pentru a, b, c Q+.

III. Fie ABCD un patrulater convex în care bisectoarea [AF a unghiului A, cu CDF , este paralelă

cu BC. Notăm cu E punctul de intersecţie al dreptelor AF şi DB. Demonstraţi că dacă BC2

= CDEF,

atunci are loc relaţia 1AD

AB

BC

CD .

IV. Fie ΔABC cu AB = AC şi D(BC), dacă DE AC, EAC şi EF AB, FAB. Să se arate că:

ABCDEF = BCDEAE.

Probleme selectate de prof.Adriana Roman şi prof. Vasile Roman,

Şcoala cu cls. I-VIII nr. 7 „Sf. Maria” Timişoara

SUBIECTE - clasa a VIII-a:

I. a) Găsiţi Nn astfel încât numărul 761672n să fie natural.

b) Fie x = | k + 72 + 1|, unde k Z. Dacă x (0,1), determinaţi valoarea lui k pentru care x

este minim.

c) Fie a, b, c numere naturale nenule şi distincte două câte două. Arătaţi că

2122c)(1c2b)(1b2a)(1a

Cerasela Bociu

II. Aflaţi numerele a, b N*, a < b, astfel încât a + b + (a, b) + [a, b] = 2009, unde cu (a, b)

notăm cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b, iar cu [a, b] notăm cel mai mic multiplu

comun al numerelor a şi b.

Andrei Eckstein

III. Fie cubul ABCDA'B'C'D', iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [B'C].

a) Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul (DAB').

b) Arătaţi că dreapta MN este perpendiculară pe planul (CB'D').

IV. Se dă paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Dacă OBDAC , OC'P şi

EBC'DP,FDC'BP , atunci arătaţi că dreptele EBFD ',' şi 'CC sunt concurente.

Probleme selectate de prof. Cerasela Bociu, Colegiul Naţional Bănăţean Timişoara

şi prof. Petria-Elena Boldea, inspector şcolar de specialitate I.Ş.J. Timiş INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN SIBIU

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ, 24.01.2009

Clasa a VII-a

1. Se consideră numerele 120

119...

6

5

4

3

2

1x şi .

121

120...

7

6

5

4

3

2y

(3p) a) Calculaţi produsul yx ; (2p) b) Demonstraţi că yx ; (2p) c) Demonstraţi că .11

1x

2. Numerele a, b şi c îndeplinesc condiţiile: 211

c

c

b

b

a

.

(4p) a) Determinaţi numerele naturale nenule a, b şi c, ştiind că b este media aritmetică dintre a şi c.

(3p) b) Aflaţi numerele raţionale strict pozitive a, b şi c, ştiind că cba 21 . Prof. Doina Negrilă

3. Pe semidreptele perpendiculare (Ox şi (Oy se aleg, în ordinea dată dinspre origine, câte trei puncte A, C, E,

respectiv B, D, F. Se notează cu M, N, P, Q, R, respectiv mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DE],

[EF]. Dacă AC=CE=2a şi BD=DF=2b, ba , atunci:

(2p) a) Calculaţi suma MN+NP+PQ+QR;

(2p) b) Arătaţi că P este mijlocul segmentului [MR];

(3p) c) Demonstraţi relaţia .CDEBCDDEFABC Prof. Teodor Mărcuţ

4. (7p) Se consideră un triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor de 6cm, 8cm şi 10cm. Distanţele unui punct

M, situat în interiorul triunghiului, la laturile acestuia sunt direct proporţionale cu laturile respective. Calculaţi

aceste distanţe. Gazeta Matematică

Clasa a VIII-a

1. Fie a, b, c, ,0 ; arătaţi că: (3p) a) baba

114

;

(4p) b)

2222

1111 222222 cacbba

cabcbabac, ştiind că cba =1.

Prof. Petru Vlad

2. Fie a şi b numere reale distincte;

(3p) a) Arătaţi că:

2

222 bababa

;

(4p) b) Ştiind că baa şi abb sunt numere raţionale, demonstraţi că ba este număr raţional.

Gazeta Matematică

3. Fie triunghiul ABC cu AB=13 cm, BC=14 cm, CA=15 cm. În punctul O, mijlocul medianei (AD), se ridică

perpendiculara MO pe planul triunghiului ABC, MO=5

152cm. Calculaţi:

(4p) a) distanţele de la punctul M la laturile (AC) şi (BC);

(3p) b) distanţa de la punctul O la planul (AMC). Prof. Gheorghe Floarea

4. (7p) VABC este o piramidă triunghiulară în care măsurile unghiurilor diedre formate de planele (VAB),

(VBC), (VAC) cu planul (ABC) sunt egale cu 600, 450, respectiv 300. Ştiind că triunghiul ABC este isoscel, cu

baza BC=12 cm şi aria triunghiului ABC este de 236 cm2, calculaţi distanţa de la V la planul (ABC).

Inspectoratul Şcolar Judeţean

Satu Mare

Olimpiada de matematică – faza locală

24 ianuarie 2009

CLASA a-V-a

Subiectul I

1.(4p) Arătaţi că numărul 22009...200220012000 9210 A este multiplu de 10.

Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare

2.(3p) Arătaţi că numărul 5050101100...3221 B poate fi scris ca suma pătratelor a o sută

de numere naturale.

Propusă de prof. Şteţ Anca Raluca, Şc. Tăşnad

Subiectul II

1.(4p) Suma a trei numere naturale este egală cu 1015. Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr, se obţin

respectiv numerele 15, 132 şi 346. Care sunt cele trei numere?

Şc. Căpleni

2.(3p) Câte zerouri are la sfârşit numărul 60...321 A ? Justificaţi răspunsul.

Propusă de prof. Chiorean Vasile, Şc. “V. Lucaciu” Carei

Subiectul III

(7p) Într-un hotel sunt 20 de camere. Cu ocazia unui simpozion de matematică sosesc un număr de 211

participanţi. Precizaţi dacă este posibil ca aceştia să fie cazaţi în cele 20 de camere, astfel încât să nu existe

două camere cu acelşi număr de persoane. Justificaţi răspunsul.


Subiectul IV

1.(4p) Calculaţi 2m + 4n + 2p, ştiind că m + n = 15 şi n + p = 45.

2.(3p) Fie mulţimea A={1, 2, 3, …,2009}. Justificaţi dacă există o submulţime nevidă B a lui A, astfel încât

produsul elementelor mulţimii B să fie egal cu produsul elementelor mulţimii A-B.

Propusă de prof. Culic Camelia, Şc. “A. Iancu” Satu Mare

Notă: Timp de lucru 3 ore

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect se notează cu 7 puncte


Satu Mare


24 ianuarie 2009

CLASA a-VI-a

Subiectul I

1.(4p) Să se arate că

Nyx,,

3x

2x

3yx

5yx183y

305y

51

34


2.(3p) Determinaţi numerele de forma ab în baza 10, ştiind că fracţia 22 ba

17

este echiunitară.


Subiectul II

1.(4p) Arătaţi că 2

1

200

1

199

1...

102

1

101

1

Şc. Căpleni

2.(3p) Să se determine numărul natural prim p, astfel încât numărul 1p

15n

să fie natural, Nn .


Subiectul III

Se consideră punctele A1, A2,…,An coliniare, în această ordine, astfel încât A1A2 = 1 cm, A2A3 = 2 cm,…,

An-1An = n – 1 cm., n fiind un număr natural, n > 1.

a) (2p) Calculaţi lungimea segmentului [A1A24]

b) (3p) Să se determine numărul natural n astfel încât lungimea segmentului [A7An] să fie de 279 cm.

c) (2p) Determinaţi distanţa dintre mijloacele segmentelor [A1A4] şi [A21A24].

Propusă de prof. Vanţ Anca, Şc. “Gr. Moisil” Satu Mare

Prof. Culic Camelia, Şc.“A. Iancu” Satu Mare

Subiectul IV

În jurul punctului O sunt desenate unghiuri având măsurile în ordinea 16,...,6,4,2,16,...,6,4,2 şi asa mai

departe.

a) (4p) Câte unghiuri sunt desenate în jurul punctului O ?

b) (4p) Notând cu O1, O2, O3, … unghiurile determinate anterior în jurul punctului O, determinaţi măsura unghiului

format de bisectoarele unghiurilor O6 şi O14.






Satu Mare


24 ianuarie 2009

CLASA a-VII-a

Subiectul I (7p)

Determinaţi numerele m,n naturale nenule, astfel încât 243

3211

3

21

m

n

.


Subiectul II

1. (4p) Fie numărul y(x)0,x(y)0,a .determinaţi cifrele x ≠ y pentru care a este număr natural nenul.

Propusă de prof. Nagy Elisabeta, Şc. Hodişu-Hododului

2. (3p) Arătaţi că QR20092008 20082008 .


Subiectul III

În triunghiul ABC, dreptunghic în A, notăm cu G intersecţia înălţimii [AD], BCD , cu bisectoarea (CE,

ABE , iar BCFBC,EF .

a) (1p) Arătaţi că FECAEC

b) (2p) Arătaţi că triunghiul AEG este isoscel

c) (2p) Arătaţi că AGFE este romb

d) (2p) Dacă (EH este bisectoarea unghiului FEB, determinaţi măsura unghiului CEH.


Prof. Boar Mihai, Şc. nr. 3 Negreşti Oaş

Subiectul IV (7p)

Mediatoarele bisectoarelor triunghiului ABC se intersectează în A1, B1 respectiv C1. Demonstraţi că

111 CBΔA~ΔABC dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral.

Propusă de prof. Braica Petru

Prof. Voicu Constantin

Şc. “G. Moisil” Satu Mare





Satu Mare


24 ianuarie 2009

CLASA a-VIII-a

Subiectul I

1. (3p) Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma 4m + 3, oricare ar fi numărul natural m.

2. (2p) Arătaţi că numărul NnQ,R1133235x 2n1nn .

3. (2p) Fie numerele 200921 a,...,a,a astfel încât 02009a...2a1a2

2009

2

2

2

1 .

Calculaţi suma 200921 a...aaS .

Subiect propus de prof. Pop Ionela, Şc. Lipău

Subiectul II

1. (4p) Să se aducă la o formă mai simplă 512512884422 45...45454545 .


2. (3p) Arătaţi că 28210

29...

12

7

6

5

2

3 .


Subiectul III

Fie triunghiul ABC cu ABCAAcm,34AC,30Cm,90Am ' şi triunghiul BCA ' isoscel

cu vârful în B.

a) (3p) Determinaţi lungimea segmentului AA’

b) (2p) Calculaţi distanţa de la punctul A’ la dreapta BC

c) (2p) Determinaţi distanţa de la punctul A la planul (A’BC).

Propusă de prof. Gal Ana, Şc. Apa

Subiectul IV (7p)

Segmentele [AB] şi [CD] sunt situate pe drepte necoplanare, iar [MC]X,[MD]Z,[CD]N,[AB]M ,

[AN]T,[BN]Y , astfel încât 2AM = MB , CN = 3ND , 3ZD = MZ , 3MX = XC , 2YN = BY , 2AT = TN.

Demonstraţi că (YZT)X .

Propusă de prof. Braica Petru, Şc. “Gr. Moisil” Satu Mare





ETAPA LOCALĂ, 24.01.2009

CLASA a-V-a

1) a) Calculaţi: 12 + 12 · [3 · 22 – 12

2 · (2 + 3 · 35

1 – 3 · 5

2 · 73

0 )]

b) Comparaţi: 2715

şi 8111

.

***

2) Arătaţi că 2327

+ 2723

este divizibil cu 10.

prof. Balint Attila Sandor

3) Dacă a, b, c N şi a + c = 252, iar b = 4, aflaţi produsul p = (2009a)

c·2009·(2009

b)

c

prof. Sebestyen Julia

4) Fie şirul de numere an = 2n – n, n N .

a) Precizaţi dacă numerele 1, 2, 5, 12, 27, 58 sunt termeni ai şirului.

b) Calculaţi suma primilor 20 de termeni ai şirului.

GM 2006 E:13160

CLASA a-VI-a

1) a) Determinaţi numerele de forma 4572 ba

b) Arătaţi că numărul x = 1 + 31 + 3

2 + ... + 3

98 este divizibil cu 13.

***

2) Aflaţi numerele naturale în baza 10 cuprinse între numerele 1000 şi 2000 care

împărţite la 217 să dea câtul egal cu restul.

***

3) a) Se dă unghiul AOB cu măsura de 82o 30

’. Construim (OC bisectoarea unghiului

AOB, (OD bisectoarea unghiului AOC şi (OE bisectoarea unghiului DOB. Calculaţi

măsura unghiului COE.

b) Fie A1, A2, ... Ai puncte coliniare.

Ştiind că A1A2 = 1cm, A2A3 = (1 + 2)cm, ..., A9A10 = (1 + 2 + ... + 9)cm, aflaţi lungimea

segmentului A1A10 .

prof. Sebestyen Julia şi prof. Gruiţă Dorel

4) Demonstraţi că numărul A = 22n

· 19n + 24 · 101

m este divizibil cu 25, oricare ar fi m,

n N .

GM 2006 E:13112

CLASA a-VII-a

1) a) Calculaţi: S =9998

9899...

43

34

32

23

.

b) Demonstraţi că QS

198

22 .

prof. Botez Radu

2) Dacă x, y, z Q astfel încât 3

2

y

x şi

53

zy , arătaţi că

5

2

34

34

10

3

zyx

zyx

***

3) a) În triunghiul ABC, [AD bisectoarea unghiului BAC, D(BC). Dacă PABC = 33,

AB=12, AC=10, calculaţi BD şi DC.

b) Dacă E(AB), F(AC) astfel încât AEDF paralelogram, calculaţi PAEDF.

prof. Belean Marin si Botez Radu

4) Precizaţi numărul de soluţii ale ecuaţiei x2 + y

2 + z

2 = 2009, x, y, z Z

prof.Gigel Buth Satu-mare

CLASA a-VIII-a

1) a) Dacă 0 < a < b, arătaţi că bambam ag ,,

b) Demonstraţi că 140

131

15

1

10

1

6

1 .

***

2) Determinaţi laturile a, b, c ale unui triunghi şi unghiurile, ştiind că:

1225628322134 222 ccbbaa

***

3) Fie un segment [AB] şi un plan astfel încât [AB] şi [AB] neparalel cu .

Pr [AB] = [MN].

a) Determinaţi poziţia punctului C , pentru care AC + BC este minimă.

b) Dacă AB = 50 cm, AM = 10 cm, BN = 40 cm, determinaţi d(P,MN) astfel încât P

şi triunghiul ABP echilateral.

prof. Sebestyen Julia

4) a) Fie triunghiul echilateral ABC. Considerăm punctul M interior triunghiului ABC.

Arătaţi că suma distanţelor de la M la laturile triunghiului este constant.

b) Fie ABCD un tetraedru regulat şi O(ABC) oarecare. Ridicăm pe planul (ABC) în

punctul O o perpendiculară d care intersectează feţele laterale în punctele M, N, P.

Arătaţi că MO + NO + PO = conctant.

prof. Florica si Vasile Ginta

Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj Filiala Craiova a SSMR

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- Etapa locală Craiova , 24 ianuarie 2009

Clasa a VII – a

Problema 1. Arătaţi că

2008

2009 2009aa Q , unde a =

210272818

8,16,1...6,04,02,0

.

Problema 2. a) Pentru a,b N arătaţi că ( a ─ b )2 = a + b ─ 2 ab .

b) Calculaţi 625 şi 347 .

c) Ordonaţi crescător soluţiile reale ale ecuaţiei ││x - 347 │ ─ 625 │ = 2 .

Problema 3. Fie ABCD un trapez isoscel cu bazele AB = 4 cm şi CD =2 cm .

Să se determine lungimile laturilor neparalele ale trapezului ştiind că există un punct

M în trapez cu proprietatea că distanţele de la M la laturile trapezului sunt direct pro-

porţionale , respectiv , cu lungimile laturilor.

Problema 4. Să se determine unghiurile triunghiului ABC în care AC = 2 BC şi m ( C ) = 2 m (

A ).

Clasa a VIII – a

Problema 1. Fie a,b,c R*

+ cu proprietatea abc = 1. Considerăm

E( a,b,c)= 1

1

1

1

1

1

acacbcbab . Arătaţi că E(a,b,c) = 1.

***

Problema 2.a) Fie x,y,t R , cu proprietatea că x 0, y 0, t 0 . Să se compare numerele y

x şi

ty

tx

.

b) Fie numerele reale strict pozitive a1, …, an , b1, …, bn care îndeplinesc condiţiile

bi ai , 1 ≤ i ≤ n ,

ai 2 bi -1 ─ a i-1 , 2 ≤ i ≤ n .

şi P = 1

1

b

a·

2

2

b

a·…·

n

n

b

a.

Să se arate că P nn ab

a

2

1 M. Popescu

Problema 3. Fie un romb ABCD cu proprietatea că m (A ) = 120 0 . Pe planul rombului se duce

perpendiculara AE . Notăm cu P şi Q mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [ AD] . Să se arate

că există un punct egal depărtat de punctele A,E,P,C şi Q.

G.M.B.nr.10 / 2007

Problema 4. În planul se consideră punctele A,B,C şi D, cu ║ AB ║ = ║ CD║= x , ║BC║=

║DA║= y şi m ( DAB) = 45 0 . Fie O [AC] şi P un punct al perpendicularei ridicate din O

pe planul ( ABCD) . Proiecţiile lui P pe laturile AB, BC, CD şi DA se notează cu E,F,G şi H, respectiv.

a) Să se arate că HE ║ GF.

b) Să se calculeze aria patrulaterului EFGH. V. Slesar MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ

400192 CLUJ-NAPOCA Piaţa Ştefan cel Mare nr. 4

Tel. +(40) 64-594672, 593710; Fax. +(40) 64-592832

www.isjcj.ro, [email protected]


ETAPA LOCALĂ

CLASA a V-a

14.02.2009

Subiectul I.(40 puncte )

(20 puncte) 1. Două eleve de clasa a V-a au cumpărat portocale şi kiwi. O elevă, pentru

5 kg de portocale şi 4 kg de kiwi, a plătit 140 lei, iar a doua elevă , pentru 7 kg

de portocale şi 2 kg de kiwi a plătit 106 lei. Cât costă 4 kg de portocale şi 5 kg

de kiwi ?

Prof. Ioan Todea

Lic.T. Gh.Şincai

(20 puncte) 2. Pentru un concurs de matematică au fost propuse 40 de probleme. Pentru o

problemă corect rezolvată se acordă 5 puncte, iar pentru o problemă greşit

rezolvată se scad 3 puncte din total puncte. Ştim că un elev promovează la faza

următoare dacă a rezolvat corect cel puţin 20 de probleme şi a rezolvat greşit

mai puţin de 5 probleme. Verificaţi dacă un elev care a rezolvat 38 de

probleme şi a obţinut 102 puncte a promovat pentru faza următoare.

Subiectul II.(40 puncte)

(20 puncte) 1. Se consideră sumele 201132

1 2...2221 S şi

2009...3212 S . Arătaţi că 21 SS se divide cu 10.

Prof. Ioan Pop

Şc.O.Goga

(20 puncte) 2. Suma cifrelor numărului abc este 25. Calculaţi suma cifrelor numărului

2abc .

Prof. Vasile Şerdean

Şc.nr.1 Gherla

Subiectul III.(10 puncte )

(10 puncte ) Să se arate că suma numerelor naturale care dau câtul 2009 la împărţirea cu

2009 nu este pătrat perfect.

Prof. Iulia Brătfălean-Igna,

Şcoala Internaţională Cluj

-Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.

-Timp efectiv de lucru-2 ore.

http://www.isjcj.ro/

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ


Tel. +(40) 64-594672, 593710; Fax. +(40) 64-592832



ETAPA LOCALĂ

CLASA a VI-a

14.02.2009

Subiectul I.( 45 puncte )

(10 puncte) 1. Să se afle numărul natural a, ştiind că

90)13(3 aa

prof. Feurdean Gherasim

Lic.T.Ana Ipătescu

(20 puncte) 2. Aflaţi numerele naturale abc , astfel încât să fie îndeplinită condiţia:

)3(,3)(,)(,)(, accbba

prof. Pop Ioan

Şc.O.Goga

(15 puncte) 3. Arătaţi că : 4020

2009

2010

1...

6

1

4

1

2

12222

prof. Lucia Iepure

Şc.Ioan Bob

Subiectul II.( 30 puncte)

(15 puncte) 1. Se consideră numărul x=172773777477775…2009. Aflaţi numărul cifrelor

numărului x.

(15 puncte) 2. Fie triunghiul ABC cu AB=8 cm, M este mijlocul lui (BC) şi [BE bisectoarea

unghiului ABC, E(AC) iar BE AM. Să se calculeze lungimea lui (BC).

prof. Vasile Şerdean

Şc.nr. 1 Gherla


(15 puncte ) 1.Determinaţi Nn , astfel încât numerele 1102 n

şi 110 12 n să fie direct

proporţionale cu numerele 101, respectiv 11.

prof. Alb Nicolae

Lic.T.O.Goga Huedin






Tel. +(40) 64-594672, 593710; Fax. +(40) 64-592832



ETAPA LOCALĂ

CLASA a VII-a

14.02.2009

Subiectul I.( 30 puncte )

(20 puncte) 1. Fie numerele: A=2+4+6+…+4016 şi

2009

11....

4

11

3

11

2

11B

Calculaţi: BA 2009

prof. Elena Coţa

Col.Naţ. G.Bariţiu

(10 puncte) 2. Aflaţi toate perechile de numere naturale (x;y) care verifică ecuaţia :

2009)1()( 12 nxyxy , Nn

prof. Ioan Pop

Şc.O.Goga

Subiectul II.( 25 puncte)

Se dau numerele raţionale:

122

3

nn

A , 21 222

7

nnn

B şi

n

nnnn

C2...222

442232

,

Nn .

Să se arate că

(15 puncte) a) BA pentru orice Nn ;

(10 puncte) b) CBA )( nu depinde de n .

prof. Teodor Poenaru

Lic.T. N.Bălcescu


Considerăm trapezul ABCD cu baza mare AD. Bisectoarele exterioare ale unghiurilor A şi B se intersectează în

punctul P, iar bisectoarele exterioare ale unghiurilor C şi D se intersectează în Q. Să se demonstreze că lungimea

segmentului PQ este egală cu semiperimetrul trapezului.

prof. Magdaş Camelia şi prof. Jecan Eugen

Col.Nat. A.Muresanu Dej

Subiectul IV.(20 puncte )

Se consideră paralelogramul ABCD, iar M şi N mijloacele laturilor (AB), respectiv (CD).Dreapta BN

intersectează dreapta AD în punctul E.Să se arate că:

a) (DE) (BC) ;

b) Punctele E,P şi M sunt coliniare, unde {P}=BDAN ;

c) PR CD ,unde {R}=ACBE.

prof. Ioan Groza

Şc.Avram Iancu Turda






Tel. +(40) 64-594672, 593710; Fax. +(40) 64-592832



ETAPA LOCALĂ

CLASA a VIII-a

14.02.2009

Subiectul I.(30 puncte )

(15 puncte) 1. Se consideră numerele reale x şi y astfel încât yx 20 şi

xyxyxyx 4606416 222 , să se calculeze : yx

yx

2

2


Şc.nr. 1 Gherla

(15 puncte) 2. Fie )1()( 2 nnxxxEn , Nn .

(5 puncte) a) Arătaţi că )2010)(1()(2009 xxxE

(10 puncte) b) Rezolvaţi ecuaţia 1 2 2009( ) ( ) ... ( ) 0E x E x E x

prof. Ioan

Pop

Şc.O.Goga

Subiectul II.(30 puncte)

(15 puncte) 1. Determinaţi toate numerele naturale nenule a astfel încât:

41314)92(3)92( 2222 aaaaaa

prof. Lucia Iepure

Şc.Ioan Bob

(15 puncte) 2. Demonstraţi că 20092008 20092008 nu este număr raţional.

Prof.Mihai Mărcuş

Lic.T.N.Bălcescu


Fie triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB=40 cm şi AC=30 cm. În punctul O, piciorul perpendicularei duse din

A pe (BC),se ridică perpendiculara PO=24 cm pe planul (ABC).Calculaţi:

a) distanţa dintre dreptele DE şi AP, unde D şi E sunt mijloacele laturilor (AB), respectiv (AC);

b) tg u, unde u este măsura unghiului dintre planele (PAC) şi (ABC);

c) distanţa de la punctul O la planul (PAC).

prof. Ioan Pop

Şc.O.Goga

Subiectul IV.(10 puncte )

Pe fiecare faţă a cubului ABCDA’B’C’D’ se scrie un număr natural diferit de zero, iar în fiecare vârf se scrie

produsul celor trei numere scrise pe feţele care se întâlnesc în vârful respectiv . Ştiind că suma numerelor din vârfurile

cubului este 663, să se afle suma numerelor de pe feţele cubului.


Şc.nr. 1 Gherla




OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- ETAPA LOCALĂ

14 februarie 2009 BISTRIŢA-NASAUD

Clasa a IV-a

1. Intr-o livadă sunt 220 de pomi.

Ştiind că numărul prunilor reprezintă jumătate din numărul merilor, iar numărul cireşilor un sfert din numărul

prunilor, aflaţi câţi meri, pruni şi cireşi sunt in livadă, dacă numărul nucilor este 25.

2. Un număr împărţit la 9 dă un cât şi restul 3. Împărţind câtul la 8, obţin un alt cât şi rest 7. Din împărţirea

ultimului cât la 5 se obţine rezultatul 359 şi restul 2. Aflaţi numărul iniţial.

3. Dublul unui număr este cu 7 mai mic decât triplul unui alt număr.

Aflaţi numerele ştiind că ele sunt consecutive. Ioan Duicu, Şc. Gen. Nr. 4 Bistriţa

Clasa a V-a

1. Dublul unui număr este egal cu triplul altui număr, iar diferenţa lor este 16.

Aflaţi numerele: Valer Pop G.M. nr. 9/2008

2. Determinaţi mulţimea numerelor naturale de forma abc , scrise în baza zece, unde ab este pătrat perfect, iar

abc 2;

Graţiela –Silvia Candale, CN Andrei Mureşanu Bistriţa

3. Suma a două numere naturale este 128.

Împărţind numărul mai mare la numărul mai mic se obţin următoarele rezultate: câtul şi restul sunt numere

naturale consecutive iar suma dintre cât şi rest este egală cu împărţitorul. Aflaţi cele două numere.

Daniel Stanciu, Şcoala Generală Braniştea

Elisabeta Stanciu, C.N. Petru Rareş Beclean

Clasa a VI-a

1. Se ştie că fracţia 37

23

n

n, cu n număr natural impar, este reductibilă.

Aflaţi ultima cifră a numărului n.

Radu Gologan G.M. Supliment cu exerciţii; Mai – Iunie 2008

2. Fracţiile următoare sunt aşezate asfel :

1

1,

1

2,

2

2,

2

1,

1

3,

2

3,

3

3,

3

2,

3

1,

1

4,

2

4,

3

4,

4

4,

4

3,

4

2,

4

1,

………………………

a).Câte fracţii se află pe linia 2009 ?

b).Arătaţi că, dacă scriem n linii complete, numărul total al fracţiilor scrise pe cele n linii este un pătrat perfect.

Radu Burz ,Şc. Gen. “Avram Iancu” Bistriţa

3. În jurul punctului O se formează unghiurile DOACODBOCAOB ,,, . Notăm cu [OX, [OY, [OZ,

[OT bisectoarele unghiurilor (în ordinea data a unghiurilor).Ştiind c )( ZOBm este cu 23 mai mare decât

)( XOCm si )( XOYm este cu 21 mai mică decât )( XOTm , să se afle )( XOZm .

Ştefan Iloaie, Şc. Gen A.P.Alexi Sîngeorz-Băi

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- ETAPA LOCALĂ

14 februarie 2009 BISTRIŢA-NASAUD

Clasa a VII- a

1. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia:

3572 xyxy .

Teodor Szasz, Şc. Gen. Nimigea

2. Fie ABCD un patrulater convex în care triunghiurile ,ABC ACD şi BDC au arii

egale.

a) Să se arate că ABCD este paralelogram.

b) Dacă triunghiurile ABC şi DBC au şi perimetrele egale, atunci ABCD este

dreptunghi.

Lia Săplăcan, C. N. ”P.Rareş” Beclean

3. Demonstrati că:

nnn

n 1...

4

1

3

1

2

1

)1(

2...

43

5

32

4

21

3 < 2,

oricare ar fi n * - {1}.

G.M. nr. 10 / 2008

Clasa a VIII-a

1.a) Fie a,b,c );0( şi a+b+c=16. Arătaţi că:

24 bcacbcabacab

Gheorghe Căzănel, G.M. nr. 10/2008

b) Calculaţi valoarea expresiei: )(aE4

2345678 1

a

aaaaaaaa dacă 3

1

aa .

Vasile Scurtu, G.M. nr. 7-8/2008

2. Considerăm numerele reale a şi b care îndeplinesc condiţia:

a2 + b2 - 26 a - 34 b + 40 10

Determinaţi numărul natural n în funcţie de numărul natural p astfel încât

( ba

ba

)n (

ba

ba

)p = 62049

Horaţiu Morar, Şc. Gen.”Stefan cel Mare” Bistriţa

3. Fie pătratul ABCD şi triunghiul ABF isoscel, situate în plane diferite, cmAB 6 , m(<ABF)=120° , astfel încât

CM ┴(ABF), )(AFM .

a) Aflaţi distanţa de la punctul M la planul )(ABC .

b) Aflaţi măsura unghiului format de dreptele AD şi .BF

Sorin Budişan, Şc. Gen. Uriu

ETAPA LOCALĂ BIHOR

14 februarie 2009

CLASA a V-a

1. La un concurs se dau 30 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru

fiecare răspuns greşit se scad 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obţinut 118 puncte ?

2. Dacǎ a + b = 72 şi b+c = 98, calculaţi 3a + 8b + 5c,

3. a) Scrieţi numărul 102009 în baza 2.

b) Suma de 2009 lei este împărţită în mai multe plicuri. Fiecare plic conţine o sumă de bani care se

exprimă printr-o putere a lui 2. Aflaţi cel mai mic număr de plicuri ce poate fi folosit şi ce sumă de bani

este în fiecare plic. Valer Pop,Şanţ,,Bistriţa-Năsăud(G.M.nr.7-8/2008)e

4. Fie numarele: 1019910298 5522 a 1029810199 5522 b .

a) Comparaţi numerele;

b) Care este suma cifrelor numǎrului a + b ? R.M.T.nr. 2008

CLASA a VI-a

1. Fie mulţimile: .12,34 xNxA ,

Nx

NxB12

12 , 334 xNxC

a) Determinaţi mulţimile A, B, C .

b) Aflaţi B \ (A∩C).

2. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 26cm. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului ştiind că una

dintre laturi este de 8cm.

3. Ştiind cǎ numerele raţionale pozitive nenule a, b, c sunt direct proporţionale cu 3; 5 respectiv 6, sǎ se

arate cǎ: 33

3

22

2

ba

c

ba

c

ba

c

. R.M.T.

4. Se dau unghiurile BOA

şi COB

astfel încât )(3)( COBmBOAm

. Ştiind că bisectoarele lor

formează un unghi cu măsura 40 : a) Calculaţi măsurile unghiurilor COBBOA

, şi COA

.

b) Dacă BO este semidreapta opusă lui OB , calculaţi ).( BOAm

G.M.nr.11/2008)

ETAPA LOCALĂ BIHOR

14 februarie 2009 CLASA a VII-a

1. Să se determine valorile întregi ale lui x pentru care expresia:

7

2465614215331222

xxE este întreagă.

2. Fie [BM] mediană în Δ ABC. Dacă AD este mediatoarea segmentului [BM], D(BM),

PBCAD iar MT AP unde T[BC], să se arate că:

a) Δ BM Teste dreptunghic; b) [MP] ≡ [TC];c) dacă 30

MBCm , să se calculeze

BACm .

3. Demonstraţi inegalitatea 2

5

11

65

9

54

7

43

5

32

3

21

RMT

4. . Se consideră trapezul ABCD , CDAB , CDAB , în care BCAB . Perpendiculara în C pe

AC intersectează dreapta AD în N şi dreapta AB în E .Dacă DCBNM , demonstraţi că M este

mijlocul segmentului DC . E.Blăguţ, Bacău(G.M.nr.9/2008)

CLASA a VIII-a

1. a)Arătaţi că 53312 2222 aaaaaa este cubul unui număr real, oricare ar fi

aR.

b) Fie expresia: E(x)=19

2510:

13

23

19

918

13

234

2

24

3

2

x

xx

x

x

x

xx

x

x

i) Să se determine valorile reale ale lui x pentru care E(x) are sens.

ii) Să se aducă expresia E(x) la forma cea mai simplă.

iii) Pentru ce valori întregi ale lui a, E(a) este număr întreg ?

2. Dimensiunile cba ,, ale unui paralelipiped dreptunghic verifică relaţia cba 1620 şi

sunt proporţionale cu numerele 3, 4 şi 5. Calculaţi:

a) Dimensiunile paralelipipedului

b) Suma ariilor tuturor feţelor paralelipipedului şi lungimea unei diagonale

c) Distanţele de la vârfurile unei baze la o diagonală a paralelipipedului

3. Calculaţi valoarea expresiei:

4

2345678 1

a

aaaaaaaaaE

, dacă .3

1

aa

G.M.nr.7-8/2008

4. Fie M,N mijloacele muchiilor BC, DD’ ale unui cub ABCDA

’B

’C

’D

’ şi notǎm {P} = DMAC,

{Q} = CN DC’. Demonstraţi cǎ PQ // (ABC

’). RMT

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova

Olimpiada de matematică

Etapa locală-24 ianuarie 2009

Clasa a V a

Subiecte

1.Demonstrati ca suma dintre edcbasiabcde are cel putin o cifra para.

Prof .Moldoveanu Calin Dragos , Sinaia 2.Suma a patru numere naturale este 626.Impartindu-le prin acelasi numar natural nenul, se obtin caturile numere naturale consecutive si resturile 1,2,3 respectiv 4.Aflati numerele.Cate solutii are problema? Prof. Maria si Anton Negrila , Ploiesti 3.Aratati ca exista o infinitate de numere naturale pentru care jumatatea si dublul lor sunt numere naturale patrate perfecte, iar sfertul lor este numar natural cub perfect.Care este cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate? Prof. Tomescu Ion, Mizil; Prof Lupea Ion , Ploiesti 4.In scoala noastra jumatate dintre elevi sunt baieti. Jumatate dintre elevi sunt inscrisi la ciclul primar iar restul la ciclul gimnazial. Aratati ca numarul de baieti de la gimnaziu este egal cu numarul de fete din ciclul primar.

Prof.Ioana Craciun si Gheorghe Craciun, Ploiesti

Notă:

Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10




Clasa a VI- a

Subiecte

1.Aflati numerele ztsixy stiind ca 2010)1( ztztxy

Prof. Gh. Achim , Mizil 2.

a) Stabiliti daca numarul 58320102009.....4321 este prim.

b) Aratati ca exista 2009 numere naturale consecutive astfel incat nici unul sa nu fie numar prim ; aflati cel mai mare divizor comun al acestora.

Prof. Dragos Moldoveanu, Sinaia

3.Fie A

2,1

nNnn

a) Calculati : 6

1

3

1

2

1 .

b) Scrieti numarul 1 ca suma a 12 elemente din multimea A. c) Numarul 1 poate fi scris ca suma de elemente din A , avand numitorii numere prime?

Prof. Dragos Moldoveanu, Sinaia

4. Fie m, n N , m < n astfel incat (m,n)=1 si fractia mn

mnF

43

4

este reductibila.

Prin ce numar se simplifica fractia F ? Prof. Petre Nachila si Catalin Nachila

5. Fie M 1 mijlocul segmentului [AB], M 2 mijlocul segmentului [AM 1 ] , M 3 mijlocul

segmentului [AM 2 ], …, M n mijlocul segmentului [AM 1n ] . Daca AM n =1, calculati

S=AM n +AM 1n +….+AM 3 +AM 2 +AM 1 . Aflati n daca S=127.

Prof. Ion Tomescu si Ion Lupea

Notă:





Clasa a VII a

Subiecte

1. a) Verificaţi că 2

1

4

11

3

11

2

11

222

b) Arătaţi că :

kkk 4

11

3

11

2

11 . . . . .

2

1

2009

11

k , pentru orice k 2.

Prof .Samuel Ioniţă , Bărcăneşti

2. Numerele naturale nenule a, b şi numărul real x verifică relaţia babax

a) Arătaţi că 1 ba

b) Demonstraţi că x este număr iraţional.

Prof.Gh.Bumbăcea, Buşteni

3. În triunghiul ABC , , M AB F şi G CM astfel încât 3 , BM AM CF FG GM

iar , AF BC D AG BC E .

a) Demonstraţi că triunghiurile AGF si EGM sunt congruente.

b) Arătaţi că 6 .BE CD

Prof. Silvia şi Ionel Brabeceanu, Plopeni

4. Fie ABCD trapez dreptunghic cu AB CD şi AB CD , AC BD şi m(BDC )= 600 .

a). Demonstraţi că CD = 3AB;

b). Fie O intersecţia diagonalelor trapezului.Dacă P este simetricul lui D faţă de O şi S

este mijlocul segmentului [AC] ,atunci dreapta PS împarte triunghiul BOC în două

suprafeţe de arii egale.

Prof .Elena Tudor , Sinaia

Notă:





Clasa a VIII a

Subiecte

1. Fie expresia E(x) = 23234 xxxx .

a) Arătaţi că E(x) 0 , oricare ar fi x R.

b) Determinaţi a Z astfel încât E(a) să fie pătrat perfect.

***

2. Să se determine x, y, z numere întregi ştiind că

2 2 29 25 225 675x y z şi 3 5 75xy xz yz

Prof. Silvia şi Ionel Brabeceanu, Plopeni

3. Dreptunghiul ABCD şi triunghiul ABE cu AE=13cm, AB=14cm,EB=15cm şi BC =12cm ,sunt

situate în plane diferite .Dacă H este ortocentrul triunghiului ABE si

EH BC ,aflaţi distanţa de la H la (EDC).

Prof. Ion Tomescu , Ion Lupea

4. In cubul ABCDA’B’C’D’ se consideră un punct T un punct pe (AO) unde O este centrul fetei

BCC’B’ . Aflati unghiul dintre dreptele D’B si B’T.

Prof Ioana Craciun si Gheorghe Craciun ,Ploiesti

Notă:


OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BACAU ETAPA LOCALĂ 24 IANUARIE 2009

CLASA A V-A

1. a) AflaŃi numerele de două cifre care împărŃite la 4 dau câtul de o cifră şi restul trei.

b) Fie şirul de numere naturale 3, 7, 11, 15, ... i) VerificaŃi dacă 1231 şi 2009 sunt numere din şir. ii) DeterminaŃi al 100-lea termen al şirului.

2. DiferenŃa a două numere este 3. AflaŃi numerele ştiind că unul dintre ele este cu 11 mai mic

decât triplul celuilalt.

3. Să se determine numerele a, b, c ştiind că 5a + 3b = 57, a·c = 72, iar b·c = 108.

4. DeterminaŃi numerele naturale a, b, c, d, e, f, g nenule, distincte, cele mai mici posibile, din pătratul alăturat, pentru a face un pătrat magic (suma numerelor pe linii, pe coloane şi pe diagonale să fie aceeaşi). Nici un număr nu trebuie să se repete în pătrat. JustificaŃi fiecare alegere.

a 4 3 b 6 11 c 9 d 7 8 e 5 f g 2

CLASA A VI-A

1. Să se determine numerele naturale prime a, b, c cu proprietatea:

20091482287 =++ cba .

2. ArătaŃi că rezultatul calculului 210

14,...4,34,24,1 n

n

n−+

++++ este număr

natural, oricare ar fi n∈*

N .

3. Se consideră cele nouă puncte obŃinute prin intersecŃia dreptelor din figura de mai jos. ExplicaŃi cum putem desena, fără a ridica creionul de pe hârtie, o linie frântă formată din patru segmente care să conŃină toate cele nouă puncte (punctele menŃionate nu sunt în mod obligatoriu capete ale segmentelor).

4. a) DesenaŃi ∢AOB cu măsura de 23◦ şi apoi ∢BOC cu măsura de cinci ori mai mare decât măsura ∢AOB. b) Pornind de la figura realizată la punctul a), desenaŃi un unghi cu măsura de 16◦15’, folosind numai rigla negradată şi compasul (precizaŃi fiecare pas făcut în realizarea desenului).

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BACAU ETAPA LOCALĂ 24 IANUARIE 2009

CLASA A VII-A

1. ArătaŃi că numărul A este natural, unde

2009...7531...975315311 +++++++++++++++=A . Precizăm că sub fiecare radical este o sumă cu număr impar de termeni.

2. Să se verifice egalitatea:

401...

221

211

401

391...

41

31

211 +++=−++−+−

3. Triunghiurile ABD, ABC şi ACE nu au puncte interioare comune. Fie M∈ (BA), N∈(CA)

astfel încât MN║BC. ConstruiŃi P∈ (AD), Q∈ (AE) astfel încât AP·NC = PD·AN şi

1=+AB

MB

AE

AQ. StabiliŃi poziŃia dreptelor PQ şi DE.

4. Fie pătratul ABCD. Considerăm punctele M∈(BD), N∈(CD) şi P∈ (AB, astfel încât

(DM)≡(DC), (BM)≡(DN) şi (DB)≡(AP). Dacă MN⋂AB={E}, să se demonstreze că EPCN este paralelogram.

CLASA A VIII-A

1. DeterminaŃi numerele a şi b, distincte, ştiind că [ ] { }baZba ,, =∩ , iar

0761294 22=−+−+ abab .

2. a) Suma numerelor a, b, c *

+∈R este 16. ArătaŃi că:

24≤+++++ acbcbcabacab . b) Suma numerelor întregi a, b şi c este pară. Dacă b2 = (a+2)(c+2), arătaŃi că a, b şi c sunt numere pare.

3. Pe un cerc C(O, 6cm) se consideră punctele A, B, C, D, în această ordine, astfel încât

măsurile arcelor AB, BC, CD şi CDA să fie direct proporŃionale cu numerele 2, 4, 3, 6. În

punctul A se ridică perpendiculara AE pe planul (ABC), AE = 62 cm. Se cere: a) Aria patrulaterului ABCD b) DistanŃa de la punctul A la planul (BCE) c) Măsura unghiului format de planele (ABC) şi (CDE).

4. Fie ABCD un romb cu m(∢ABC)=120o. În punctul P∈(AC) se ridică perpendiculara MP pe planul (ABC). ProiecŃiile punctului M pe laturile (AB), (BC), (CD) şi (DA) sunt punctele E,F,G şi respectiv H.

a) DemonstraŃi că EFGH este trapez isoscel b) Dacă d este dreapta de intersecŃie a planelor (MEH) şi (MFG), arătaŃi că dreptele d şi

AC sunt necoplanare.

INSPECTORATUL �COLAR JUDE�EAN BR�ILA

OLIMPIADA DE MATEMATIC�

ETAPA LOCAL�, 14.02.2009

CLASA A V-A

1. S� se arate c� num�rul natural a = 1+3+5+...+2009 este p�trat perfect. ***

2. S� se compare numerele 2 73 n+ �i 3 112 ,n+ unde n este num�r natural. Gazeta Matematic�

3. Determina�i toate numerele naturale de forma abc care împ�r�ite la bc dau câtul 5 �i restul 5.bc −

prof. Liliana Stoian

4. Câte numere naturale de forma abcd se împart exact la 0 ?a c prof. Narcis Turcu

Not�:

1) Toate subiectele sunt obligatorii. 2) Timpul de lucru este de 3 ore.




CLASA A VI-A

1. Unghiurile AOB �i BOC sunt adiacente. Bisectoarea unghiului AOB formeaz� cu semidreapta [OC un unghi de m�sur� 105 ,� iar unghiul format

de bisectoarele unghiurilor AOB �i BOC are m�sura de 65 .� Determina�i ( ) ( )�i .m AOC m AOB� �

***

2. În exteriorul triunghiului ascu�itunghic MNP se construiesc triunghiurile echilaterale MNQ �i .MPR S� se demonstreze c� .QP NR= ***

3. S� se determine cardinalul mul�imii:

( ){ }3 �i exist� num�r natural prim astfel încât A abc a c p abc cba p= > − � .

prof. Narcis Turcu

4. S� se arate c� pentru *, 4n n∈� � , suma tuturor frac�iilor de forma a

b cu

1 a b n≤ < ≤ este num�r natural. prof. Gerea-Teodorescu Nicolae

Not�:





CLASA A VII-A

1. S� se arate c� .120092008

1...

43

1

32

1

21

1<

⋅++

⋅+

⋅+

⋅ ***

2. Determina�i numerele naturale x �i y care verific� rela�ia: .852 =++ yxxy

prof. Octavia Popa

3. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC

intersecteaz� CD în Q �i AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, T∈(BP). Dac� CT∩AD={M} �i AT∩CD={S}, ar�ta�i c� SQ=DM.

prof. Nicolae St�nic�

4. (enun� modificat) Fie triunghiul isoscel [ ] [ ], ABC AB AC≡ �i punctul P

situat în exteriorul triunghiului, dar în interiorul unghiului .BAC Dac�APB APC≡� � �i unghiurile ,ABP ACP� � sunt obtuze, demonstra�i c�

[ ] [ ].BP CP≡

prof. Marius Damian

Not�:





CLASA A VIII-A

1. Determina�i valorile numerelor reale �i a b care îndeplinesc condi�ia: 2 2 6 4 13 0.a b a b+ − + + =

***

2. Fie numerele naturale nenule , , , , ,a b c d x y astfel încât

�i .a c b d

x yb d a c

= + = + Ar�ta�i c� 4.x y⋅ =

prof. Marius Damian

3. Fie tetraedrul ABCD �i punctele M , N mijloacele segmentelor

[ ]AB , respectiv [ ].CD Demonstra�i c� .2

AD BCMN

+<

***

4. Fie ABCDMNPQ cub �i 1 2, C C cercurile circumscrise p�tratelor ABCD �i .ADQM Fie , R T mijloacele arcelor mici AD din 1C �i respectiv 2.C

Demonstra�i c� ,RT UV� unde { } ( )U RP ADQ= ∩ �i { } ( ).V TP ABC= ∩

prof. Nicolae St�nic�

Not�:


��

��

��

�

�� !�"#$ "%&!��%'�"��()%"(&�*��+�+��,+�-��-�+�-+��-,+�...$ %�(&!� &�($ "��("�("��()�"'�� %'�"�&��/0 �%)��1��)%2�!�%'(� 1"�&�"&(1 ��("�! �)�"'�� 3" '%&% $ "*��,�+�-��-�4�5�-6�7

(8�#��" �%"'#)�" � �� )�"'�� ( 3" '%&% $ "$ %"'#)�" � �� )�"'�� ( ��&% !�9(&!� &�($ "./8�#��!�)�"' ��(&��9&�()�"'��! �3" '%&$ ".�8��'��)"(0 �#�" ��%'#"�()%"(&��)�)�"'��(&��&% !�9(&!� &�($ ".

��&%� %3�(��&)�� 0(

�

�

��(8�(&�%&(0 :�- ⋅ -�;�- ⋅ 6�;�-</8�%��%'#"3%)�'=�'%&0 �%'#"%& 3��)"%(�/0 ��%�3#)"()3�"1��)>�%�) 1 �(0 "#�3%��%&!().

�8��" �0 )�()��%'�"�&��()%"(&�!�1�"'( �� ("��%�)! ? @ / &��%-��%'#"%&��)�3#)"()3�"1��)$ ��

�%A��"�!� %��#&#"($ �

��(-+��3)�'/" ��%��&�?!��&(�((�9(=��3��#�%'�"��! �%�%=�%�%�32�#&(%�' & ("!.�#3"��%3%��'�#=�1 ��("��%�!#�3%��%��%'#".��%$�$)��#)�"' ��!��%'#"()32�#&(�12"$ )%&�&(�� (�9(>�%�) 1 �(0 "#�3%��%&!().

B.�.+95C��4��

�

�

�

��D�)"9%�A"%3(1&#%��%'#" '3("!��3 �("�(%?2"�)(!�--(� �(%!�-�(� .�(�#�%'(?2"�)�&�"��3 &�"! �A"%3��)�!��(� �(1&(0 �20 ��3 (%?2"�)(!�--(� .�%�) 1 �(0 "#�3%��%&!().

��" �E%")%�#��#&#"($ $ �)�& �#�(�#��F "��A �

�

�

�

�

CALARASI

�

��

�

��(8�#��!�)�"' ��%'�"�&��()%"(&�3" '�(�/��$) �!�#(;/��:5$ /;�:,4.�%A�� (�&(!��#&#"($

/8 "#)(0 �#%��%'#"!�$(�� 1"�!�1�"'(�� )�! ? @ / &�%-��-. B.�.�C��4�

�

��.(8�)(/ & 0 �2)��%'�"��()%"(&��%3" ��=�)"�-�� ='3#"0 )�&(�!(%"��)%&4$ ='3#"0 )�&(4!(%"��)%&,.

BF��"AF�E (�%��)�1(��&�("�

/8E ��%'�"�&�G�H�@∈(�)1�&=��2)-,G;-�H:6@. "#)(0 �#�%'#"%&�:IG;H8IH;@8I@;G8��! ? !��%-��.

%' � 0(J%�%"�$)�(�%��#&#"($

��(8�("��)�'#�%"(%�AF %&% 1�"'()!�' �%)("%&$ �"("%&%�% ��(��()%�� 2�!(��)( �! �#�"(�1 G>/8�("��)�'#�%"(%�AF %&% 1�"'()!�' �%)("%&$ �"("%&%�% ��(�()%�� 2�!(��)( �! �#�"(�$ -�' �%)�1 G>

��" �E%")%�#��#&#"($ �

��

�

�

�

��(8B#� 0 ��&'( ' ��%'#"�()%"(&3#)"()3�"1��)! ? @ / &�%��./8��" �0 �%'#"%&��(��%'#!�!�%#3#)"()�3�"1��)�.�8 1&(0 �%'�"�&�3" '�(�/∈ΝK(�)1�&=��2)(�I(��/68:��.

!" (�(�&("%$ �)�1(�E&�" ��("�%��#&#"($

��

�

��!#%�)" %�AF !"�3)%�AF � J��%'I∠ 8:��°$ 'I∠�8:6�°.J ��)�("�(%�AF %&% J �)�"��)�(@#&()%"(L �M=�3%��)%&�.E ��' N&��%&&()%" LJ�M$ �� '�)" �%&3%��)%&% �1(0#!�3%��)%&�. "#)(0 �#* (8J��)�"�'/< /8 �:6 �< �8 �⊥��.�

!" (�(��&("%��#&#"($ ��

��(8��@�&?(0 =��%(0 (� [ ] ��I [ ] "�3"�@ �)#3(")�(=�)"�(A#(�%'#"%&% "�(&8.�

/8�#��!�)�"' ��%'#"%&3" ' �� $) �!�#L �� M:-�$ �#�%'(� 1"�&�"�%'#"%&% �� )�-�.B��"A�)(� �/�()#��#&#"($

��8E � ��%�3()"%&()�"��?�G=��("� J:��J�:��:�� : $ =��("�"�&(0 &�� ≤−+≤−+≤−+≤−+ �� %�)(!�?#"()�� '%&)(�.��)�"' �(0 �()%"(3()"%&()�"%&%

J��.B.�.-�C��4

��(8E ��∈�(�)1�&=��2) ��

�∈

+

+

�

� . "#)(0 �#��)�'�! (A��'�)" �#(�%'�"�&�"�$ �.

%"�& (��(0("��$ !" (�(��)(�) ��#&#"($ �

��

/8��@�&?(0 �O×O��%(0 ( -6

+�−=+

� E&�" �($ %� (�� 0#��#&#"($

��E � J��%�3("(&�&�A"('=��("�'#�%"(%�AF %&% ��)�'( ' �#!��°$ / ��)�("�(%�AF %&% �)�"��)�(@#&()%"(I��8=��.

(8� �#��!�)�"' ��"�&(0 (! �)"��: �$ /: J(�)1�&=��#)(" (3()"%&()�"%&% J��#1 �!�)"� �" '( '("�!��2)(" ()" %�AF %&% ��.

/8� ��"3��! �%&("(=� 3� J$ 3�"3��! �%&("(=��3�J�� )�"��)�(@#=��.�#��("()��#��⊥ �.

�8� ��)2�!�%�' N&��%&��A'��)%&% I �8�("#)(0 �#!(�#JE⊥��%E∈��()%�� )" %�AF %& JE��)� ��&.

�

%"�& (��(0("��$ !" (�(��)(�) ��#&#"($ �

��

��(8E ��%'#"%&��,

-...

,+

-

+6

-

6-

-�

+++

++

++

+= .��)�"' �(0 �%'�"�&��()%"(&�

��%) ?�($ /(�)1�&=��2)�∈I(</8.� /8�#��(&�%&�@�3"�!%�%&*-��

-��

-6

-6

-�

-�6

6

6

6

6

6

+

−⋅⋅

+

−⋅

+

−� .

!" (�(��&("%��#&#"($

��

�

��E �3("(&�& 3 3�!%&!"�3)%�AF �L J�� PJP�P�PM� J:(�J�:/� P:�$ ��! �)(�0(!�&(3%��)%& &(3&(�%&IJ� P8.

(8� "#)(0 �#��

��

++

= <

/8� "#)(0 �#!(�#�

�---6��

�

�

��

�

�++=��

�()%�� 3("(&�& 3 3�!%&��)��%/.

BF��"AF�E (�%��)�1(��&�("�

�

� � � � �

��(8�(�# �� ≤∞∈ 8��I� $ [ ]�� ∈ �("#)(0 �#�

�

�

�

�

�

+≤+≤� �.� BF��"AF�E (�%��)�1(��&�("�

/8�(�# J�$ -J-�-�%�))" %�AF %" !"�3)%�AF ��I $ -%�AF %" !"�3)�8�("#)(0 �#

J�⋅J-�-≥ J⋅ -J-; �⋅ -�-. �" �) �(J�"��(��#&#"($

��E �)" %�AF %&��F &()�"(& J�$ �%�3%��)�G)�" �"3&(�%&% I J��(�)1�&=��2)L� M≡L�JM≡L��M.�(�#��)�' N&��%&��A'��)%&% LJ�M$ '#�%"(%�AF %&% 1�"'()!�!"�3)�&� ��$ ��)�!�5�°�!�'��)"(0 �#� ⊥��. B.�.--C��4

�

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAA IIEEII,, CCEERRCCEETT!!RRIIII ""II IINNOOVVAARRIIII

INSPECTORATUL "COLAR AL JUDE ULUI CARA"-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 320112 RE I!A-ROMANIA

Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042

OLIMPIADA DE MATEMATIC

FAZA LOCAL - 14.02.2009

CLASA a V-a

7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor acestora este de 97

de ani. B"iatul s-a n"scut când tat"l avea 23 de ani, iar fata s-a

n"scut când mama avea 22 de ani #i fratele s"u 4 ani.Pute$i g"si

ce vârst" are fiecare acum ?

Prof. Mariana Dr ghici, Re!i"a

7p 2. S" se g"seasc" mul$imile A #i B care au fiecare câte 3 elemente, numere naturale, #tiind c" satisfac urm"toarele propriet"$i : a) 4 ;A B !

b) 2x A x B " ; c) suma elementelor mul$imii B este triplul sumei elementelor mul$imii A. Prof. Marius #andru, Re!i"a

7p 3. Ar"ta$i c" diferen$a dintre jum"tatea lui 574 #i sfertul lui 2816 este

divizibil" cu 14, iar suma dintre treimea lui 459 #i 2927 este

divizibil" cu 10. Prof. Emilia-Dana Schiha, Berzasca

7p 4. Consider"m mul$imea tuturor numerelor naturale care împ"r$ite la

101 dau câtul egal cu restul. Ar"ta$i c" dublul sumei elementelor

acestei mul$imi se poate scrie ca produsul a trei numere naturale

consecutive.

Prof.Vasile Chi!, Re!i"a.

NOT :

# TIMP DE LUCRU 2 ORE. # TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAA IIEEII,, CCEERRCCEETT!!RRIIII ""II TTIINNEERREETTUULLUUII


Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042


FAZA LOCAL" - 14.02.2009 CLASA a VI-a

7p 1. Se consider# numerele 1 1 1 1...

4 5 6 2009A ! ! ! ! $i

3 4 5 2008...

4 5 6 2009B ! ! ! ! .

a) Ar%ta&i c# A B! este num r natural ; b) Demonstra!i c 1003 2006B A ! .

Prof. Delia "i Adrian Dragomir, Caransebe"

7p 2. a) Ar#ta!i c# num#rul " # " #90 93 46 91 92 452 2 4 : 2 2 4n $ % % % % este mai

mic decât 4. b) Stabili!i care dintre numerele 902a $ "i 623b $ este mai mare . Prof.Adriana i Lucian Dragomir, O!elu – Ro u

7p 3. Fie " # 090m AOB & "i "OC o semidreapt situat în interiorul

unghiului AOB, iar " # " # 0180m AOB m AOC% $ .

a) Ar ta!i c bisectoarea "OX a unghiului BOC este perpendicular pe dreapta OA. b) Dac " # " #5m AOB m BOC$ ' , determina!i m surile unghiurilor

AOB, AOC i XOY, unde "OY este bisectoarea unghiului AOC.

Prof. Monica Mo!co, Re i!a. 7p 4. Pe latura [OX a unghiului XOY cu m sura de 60º se consider

punctul P . Dac punctele R "i S sunt pe latura [OY astfel ca

OR=8 cm iar RS = 2 cm, atunci determina!i perimetrul

triunghiului OPS "tiind c el este echilateral. Realiza!i un desen

corespunz tor.

Prof. Irina Avr"mescu, Re i!a

NOT :

( TIMP DE LUCRU 2 ORE. ( TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.



Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042


FAZA LOCAL" - 14.02.2009

CLASA a VII-a

7p 1. a) Ar#ta$i c# nu exist# p#trate perfecte de forma 4 2k , oricare ar fi num#rul natural k.

b)Ar#ta$i c# num#rul 1 28 5 11 5 5 6 \ ,n n nx n ! " " # $ # ! " .

Prof. Irina Avr mescu, Re!i"a

7p 2. Fie 1 1 1 1 12 ...1 4 2 6 3 8 48 98 49 100

y ! ! ! ! !

" " " " "

.

Calcula i valoarea lui y. Prof. Monica Mo"co, Re!i"a.

7p 3. Consider!m triunghiul ABC "i un punct M situat în interiorul triunghiului. Dac! E "i F sunt simetricele punctului M în raport cu mijloacele segmentelor [AB] "i respectiv [AC], ar!ta i c! M se afl! pe în!l imea din A a triunghiului ABC dac! "i numai dac! segmentele [CE] "i [BF] sunt congruente. Prof. Vasile Chi!, Re!i"a 7p 4. Fie ABCD un paralelogram în care AD BD, AD =6cm, M mijlocul lui (CD), N mijlocul lui (AB), AM BD = "i CN BD = . Dac! EF = 6 cm, afla i aria paralelogramului ABCD.

Prof. Mariana Dr ghici, Re!i"a.

NOT :

# TIMP DE LUCRU 3 ORE. # TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

F



Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042


FAZA LOCAL" - 14.02.2009

CLASA a VIII-a

7p 1. S# se determine numerele întregi nenule a $i b pentru care

1 1a b

b a

!" $i 3 4

2a b " .

Prof. Ovidiu B descu, Re!i"a

7p 2. Fie num%rul ( 1)( 2)( 3)( 4) ,a x x x x x" # .

a) Ar%ta&i c% 1a este p%trat perfect; b) Ar%ta&i c%, dac% 5 ,x n n" # , atunci 2009a este un num#r ira&ional.

Prof. Mariana Dr#ghici, Re!i"a

7p 3. Fie cubul cu vârfurile A,L,G,E,B,R,I,C în care suma dintre lungimea unei muchii, a diagonalei unei fe&e $i a diagonalei cubului este1 8 2 15 7 2 10 ! ! . Ar%ta&i c% distan&a de la punctul A la planul BEL este mai mic% decât 0,(6). Prof. Irina Avr#mescu, Re!i"a

7p 4. Triunghiul echilateral ABC $i triunghiul dreptunghic isoscel DBC $ %$ %090m D "! , se afl% în plane diferite, m%sura unghiului

dintre ele fiind de 30o . a) Dac% P este proiec&ia punctului D pe planul (ABC) $i M este mijlocul lui [BC], ar%ta&i c% punctele M, A, P sunt coliniare. b) Stabili&i pozi&ia punctului P în raport cu &ABC. Prof. Vasile Chi!, Re!i"a

NOT :

' TIMP DE LUCRU 3 ORE. ' TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

Olimpiada de Matematic� –faza local�- Gala�i

14 februarie-2009

CLASA a V-a

Problema I

S� se scrie num�rul 62009-3 ca suma de �ase numere naturale consecutive.

Problem� propus� de prof. Maricel Manea

Problema II

S� se afle restul împ�r�irii num�rului 7n5 prin 31, n∈��

Problem� propus� de prof. Cornel Hahui

.

Problema III

Se consider� mul�imea A={1,5,9,...,2009} �i o submul�ime B a lui A, format� din 254 elemente. S�

se arate c� exist� în submul�imea B dou� elemente a c�ror sum� este 2018.

Problem� propus� de prof. Mihai Totolici

Problema IV

Fie num�rul natural x=9 +99+999+...+ 999...99

2009 cifre

a) S� se determine suma cifrelor num�rului x.

b) S� se demonstreze c� num�rul format din ultimele patru cifre ale lui x are forma 7k+1 �i s� se afle k ∈ ��

Problem� propus� de prof. Andrei Nicoar� Dorina

Not�

1. Toate problemele sunt obligatorii 2. Timp efectiv de lucru 3 ore 3. Fiecare problem� se noteaz� cu puncte de la 0 la 7


14 februarie-2009

CLASA a VI-a

Problema I

S� de afle numerele naturale de forma xyz , în baza 10, 0x ≠ , �tiind c� xyz +5=(x-4)2009 + y3 + z2

Problem� propus� de prof. Saulea Tatiana

Problema II

Determina�i num�rul natural n �tiind c� este îndeplinit� condi�ia :

card A=12500, unde A= 1{ | 5 5 }n nx x +< ≤ �

Problem� propus� de prof. Dorina Savin

Problema III

S� se determine num�rul abc , divizibil cu 9, �tiind c�

1 3 4

2 3 5

a b c− − −= = �i 1 9 ; 3 b 9 ; 4 c 9.a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Problem� propus� de prof. Rodica �i Dumitru B�lan

Problema IV

Fie AOB� cu m�asura de 1280 �i [OA1 bisectoarea AOB� , [OA2 bisectoarea 1AOA� , [OA3

bisectoarea 2AOA� ,..., [OA7 bisectoarea 6AOA� .

1) Afla�i m�sura unghiurilor 2 5A OA� �i 7BOA�

2) Afla�i m�sura unghiului dintre bisectoarea unghiului 2 5A OA� �i bisectoarea unghiului 3BOA�

Problem� propus� de prof. Serghie Cristi

Not�



14 februarie-2009

Clasa a VII-a

Problema 1.

Fie 1 2 3 7, , ,...,a a a a , �apte numere naturale p�trate perfecte. S� se arate c� exist� dou� dintre ele a

c�ror diferen�� este multiplu de 20.

Manea Marcel, profesor, Gala�i

Problema 2.

S� se determine toate numerele naturale a de trei cifre cu proprietatea 23 2009a a a+ + + + ∈� .

Dumitru �i Rodica B�lan, profesori, Gala�i

Problema 3.

În exteriorul triunghiului MNP se construie�te dreptunghiul NPQR. Perpendicularele din Q �i R

respectiv pe MN �i MP, se intersecteaz� în punctul T. Perpendicularele din R �i Q respectiv pe MN �i MP,

se intersecteaz� în punctul S.

a). S� se demonstreze c� MT NP.⊥

b). Dac� punctul O este mijlocul segmentului [ ]MS , s� se demonstreze c� punctul O se afl� pe

mediatoarea segmentului [ ]NP .

c). Dac� punctul O este mijlocul segmentului [ ]MS �i centrul dreptunghiului NPQR, s� se

demonstreze c� triunghiul MNP este dreptunghic.

Problema 4.

Fie ABCD un patrulater convex în care { }|| , AB CD AC BD O∩ = .

Prin punctul O ducem paralela la AB care intersecteaz� AD în punctul E, iar pe BC în punctul F. S� se

demonstreze c� EF AB CD≤ ⋅ .În ce caz are loc egalitatea?


Not�



14 februarie-2009

Clasa a VIII-a

Problema 1.

S� se determine cardinalul mul�imii { }2/ 18 , n , n<2009M x x n n= ∈ = − ⋅ ∈� � .

Cîrmaciu Milu, profesor, Gala�i

Problema 2.

(a). S� se determine numerele reale a, b, c astfel încât:

2 2 2

2 3 5 382

a b ca b c

+ +⋅ + ⋅ + ⋅ − = . Câte solu�ii(triplete) verific� rela�ia?

(b). Dac� , a b∗+∈� �i 3 a 5 b 1⋅ + ⋅ = , s� se arate c� 3 1 5 2 2 2a b⋅ + + ⋅ + < ⋅ .


Problema 3.

Fie 1 2 2009, ,...,a a a numere reale strict pozitive astfel încât 1 2 2009... 2009a a a+ + + = .

S� se arate c�: 2 2 2 22 22 3 2009 11 2

1 2 2 3 2009 1

... 2009a a a aa a

a a a a a a

+ +++ + + ≥

+ + +.

Veronica Grigore, profesor, Gala�i

Problema 4.

Se consider� patru puncte diferite, necoplanare, V,A,B,C astfel încât [ ] [ ] [ ]VB AC BC≡ ≡

�i ( )( ) ( )( )( )VA VC m VBA m VBC> >� � . Fie [BM bisectoarea ( )VBA� , ( ) , M VA∈ [BN bisectoarea

( )VBC� , ( )N VC∈ �i [ AF bisectoarea ( )CAB� ,

( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { }; ; ; ;F BC MN ABC P PF AB E VE BM Q∈ = = =� � � ( ) ( ) { } AF CE J=� ,s� se

demonstreze c� ( )||QJ VAC .

Prof. Stiubianu Iulian, CNAIC, Gala�i

Not�


OLIMPIADA DE MATEMATICA FAZA LOCALA: 14.02.2009

Clasa a V a

1. Aratati ca numarul n = 72008 + 82009 + 92010 este divizibil cu 10. Prof. Godeanu – Matei Cristina

Sc. Nr. 1 Pantelimon 2. Impartind numarul natural a la un numar natural b obtinem catul 7 si restul

23. Stiind ca a - b < 173 aflati ultima cifra a numarului a2009+b2009 .

Sc. Nr. 2 Buftea 3. Se consideră numărul: N = aab ⋅+ 20082009 , scris în baza 10, cu 0≠a . a) Calculaţi valoarea minimă şi valoarea maximă a numărului N. b) Calculaţi suma resturilor obţinute prin împărţirea numărului N la a⋅1000 .

Prof. Lupu Tatiana Sc. Nr. 1 Buftea

4. Se consideră şirul: 1,5,9,13,............................ a) aflaţi următorii trei termeni ai şirului; b) aflaţi suma primilor 100 de termeni; c) aflaţi al 2009-lea termen al şirului;

Prof. Dinca Ioana Sc. Nr. 1 Chitila

NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 3 ore

Fiecare subiect este notat cu 7 puncte


Clasa a VI a

1. Să se determine n număr natural ştiind că : 32n+9n+1=30•32009. Prof. Furtuna Gheorghita

Sc. Nr. 1 Chitila

2. Fie nr. natural m=1112131415…49 a) Cate cifre are numarul m ? b) Sa se determine a 30-a cifra; c) Sa se arate ca m este divizibil cu 9.

Prof. Godeanu – Matei Cristina Sc. Nr. 1 Pantelimon

3. a) Calculaţi : S = 1 1 1...1 3 3 5 (2 1) (2 1)n n

+ + +⋅ ⋅ − ⋅ +

, pentru orice n natural şi

n>1.

b) Arătaţi că : .21

2011...

51

31

222 <+++

Prof. Paun Daniel Sc. Nr. 1 Peris

3. Diferenta dintre cubul unui numar natural de 2 cifre si patratul sau este

23548 . Determinati numarul . Prof. Vizitiu Ilie

Sc. Nr. 1 Buftea

NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 3 ore



Clasa a VII a

1. Calculati urmatoarea suma 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 3 4 ... 1 2 3...2009 1 2 3...2010S = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ .

Prof. Vizitiu Ilie Sc. Nr. 1 Buftea

2. Se considera un triunghi ABC in care masura unghiului A este de 60o iar

unghiurile B si C sunt ascutite. Fie M mijlocul laturii BC si BB1 si CC1

inaltimile duse din B respectiv C pe laturile opuse. Sa se arate ca triunghiul

MB1C1 este echilateral.

Sc. Nr. 2 Buftea 3. ABCD este un romb , M fiind mijlocul laturii AD. Notam BM∩CD= .

a) Aratati ca ABDP este paralelogram; b) Demonstrati ca 2·A∆PMD =A∆BMC .

Prof. Godeanu – Matei Cristina Sc. Nr. 1 Pantelimon

4. Sa se afle toate perechile de numere naturale pentru care suma dintre

produsul si diferenta lor este 2009. Sc. Nr. 2 Buftea

NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii Timp de lucru 3 ore Fiecare subiect este notat cu 7 puncte


Clasa a VIII a 1. a) Dacă x∈ [-3;1] şi y∈ [-2,0] atunci ∈++−++ 168962 22 yyxx [-4;6].

b) Demonstrati ca 22

1 31

aa

+ ≥−

pentru orice numar real a < -1.

Prof. Lucia Stefan Sc.“Al. Odobescu”

Chiajna 2. Fie a si b doua numere reale astfel incat a b⋅ > 0 si ( )3 32 2a b ab a b− = − −

a) Demonstrati ca a si b nu pot fi simultan rationale b) Aratati ca exista o infinitate de perechi a si b care verifica atat relatiile

de mai sus cat si relatia a + b ∈ Q. Prof. Dutu-Pîrvu Ilie

Sc. Nr. 1 Chitila 3. Pe planul patratului ABCD de latura a si centrul O se ridica

perpendiculara MA, astfel incat [MO]≡ [AC]. Fie E si F mijloacele segmentelor [MD], respectiv [MB].

a) Aratati ca triunghiul AEF este isoscel . b) Aratati ca triunghiul CEF este triunghi isoscel si calculati lungimile laturilor

acestui triunghi in functie de a . Prof. Ion Andrei

Sc.“Al. Odobescu” Chiajna

4. In exteriorul planului triunghiului echilateral ABC , se considera punctul V astfel incat VA = VB = VC. Fie M si N mijlocele laturilor [AB] si [BC]. Daca

aria triunghiului VMN este 33

, demonstrati ca AB < 4 . Prof. Dutu-Pîrvu Ilie

Sc. Nr. 1 Chitila NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru 3 ore


�� "!��# ��$%��'&(�� )*�+�,�-��.��$��,��+��/��10+�,2/��+��

3 465+7�8:9/;=<=>@?A<=8CB�D8FEG8�H IJ<=KML�8C;ND8@B�O�PQ8�HRO6>@8+H"<=S+D8T HR8+?U8WVRXUB�OYH INO68CLZD8[I\ <Z8]P^XULU<=S_<=?U<�XU;=XU<1`aXUS_X�bcO-I\ H"<

d >@8+b"H"<eO@f�gCgMh

ikjZ3Glm3n3noqp"pr7r3

lmX�sA<=O6S,H"XU;utv( �� 2/��+�� e�w2x��y� �e��2z��x��={J�� }|~��J��@�_!��|��_�*��6��r��R�6��A��)6��2/��_��),��2x��y� �e��2z��-|� ��_�,�'��G��2}�a�� 2/��_��),�u2x�� e��2/��-�W�

lmX�sA<=O6S,H"XU;�f��N�/��*��C�%�� *��(|a��F�� 1� �*�_¡R� ¢Y£¤��u��_�� ¥�¦��§+�� )_��C��*��¨��G��%�r��¥|x�©� ¢+�¦��uª«��¬��_��)*�� +�� m£®�¯°�¦��%��z��(|a� ¢%��J�¯�� $@��(�©� �v��,�_!�z|x¬²±q£}ª³�³�R´��_�r�°ªµ±¶£¶¬Q�³�R·]�_�r|x¬[±��ªQ�³�R¸]�_¢+��"!�� e�'�_!�%¹

�_�ºª.´ �»£}·½¼§M��´Q·¿¾�¾�|x�W¼�R�º��¸¿À |x�W�

lmX�sA<=O6S,H"XU;ZhÁ��G�,��¦�c{��!��r��u��°��)*��y��ÂÃ§C��$_ ��,��z��ÂÃ§C��.),��Ä�)*�Y��,��r��J�r�,�Y��,� # $_),�+��.��)¨��GÂÃ§C��°$_ ��,��/��mÂÃ§C��°),��Ä�)*�_�r�,��¢+��-§C��),�u$_),�+��6�Å�©��G��,��-�

v( �� 2/��+�� e�%��62}�,�62/��Z�Y��2�!��1�+��%�r�,�Æ��Æ��+Âq�,��ÇÈ � � É �� ¢*),��2^�,2Q$_),�+��6§C�� º��*��W��2}�,�-��¢+�R!�a 0��!��r��ÊÇÈ),��2/��u��Y�� ¥��a��),�u§C��©�,��M��'��)_��

lmX�sA<=O6S,H"XU;�5ËA��(�(|x�Q��q��*��¨)_��ËA��°|kÌ¯��2/ ��¨��-|�Çe�� !�k��.�a¢+�°Ì-��2/ ��¯��-�^Çe�� !��.�¤��m� Ì ��2/ �� -��'�QÇe�� !�a��©|}�

�_�ºv(�2/)*�� e�'�_!�z��¦�a��*��'�(�°Ì��Ìm ��.��%§+��¯��*��(|x�a�§M�¶v°�,�*!� �� *�2 �+�� F�k�r|}�r�W¢u��2 �¨),�ÎÍ»��Ï��)*��J��y��RÐ Ñ*��yÍ+�� r�� e��)��

�+�,2/��_��

Ò�ÓeÔ�Õ×ÖYØ.ÙÛÚCÜ Ý Ú�Þ(ßGàcÝrØ

�� m�� =��U�º �� "!��# ��$6��'&(�� e��)*�+�,�'��°��$��,��+��/��m�w0��,2/��+��

3 465+7�8:9/;=<=>@?A<=8CB�D8FEG8�H IJ<=KML�8C;ND8@B�O�PQ8�HRO6>@8+H"<=S+D8T HR8+?U8zVRX�B�OÆH IáO68CLZD8[I\ <Z8@P^XULU<=S_<=?A<=XU;=XU<1`WX�SYX�bcO-I\ H"<

d >@8+b"H"<eOFf%gMgMh

ixj�3âlm3�3noÎpRpRp�7�3

lmX�sA<=O6S,H"XU;utËA��(�(|x�^��Î��*��'��r�� r�,��1ãA��+��,�Æ��(|x�©��_!�k�¯ ��¯��¦��°�� Ì ��m|x| Ì��W�,��C��A�C��W�}�+�¦�,�Y��¢m�,��ÇÈ�� É �� °�� Ì �ä�(|n��1|x| Ì � åæ �(|¶�.v� �� 2/��+�� e�A2�!�,��%�r��*��Y��°�+��,��z��(|x�©�°�� Ì | Ì �©� �

lmX�sA<=O6S,H"XU;�fËA��x)q2x�� =��2/©Í+��R!�q´ çQèé��W��x��U�+�%� �¥��Ã��)*�m!�¶�� 2/��_��,� # �+��2é�_!�¶ÇÈ�� ê�¦�që½��),�� r��aì��+�,�_!�/ëâ¹_´ í ´ ��' 0%��R!�zî/ïâè�ðc¢Cñïâè®��ëA�eò-�1� îYòxó:ñc�

�_�ºô�"!��r�� e�m�*!�W 0%��"!�a��-�+�%� �¥��Î)zÇÈ�� ¥��°� ��),�� r��xìz�§M��ô�"!��r�� È�m�*!�z 0��"!�x��m2x��Ê��)*�m!�WÇÈ�� ê��-��),�� r��aìW��R��v��,�_!�¶´ ��/�,�*�*õ}��2/��_��a��F��2}�Î�@��1�+�,�_!�¶ 0��"!�¶��)*�m!�ÎÇÈ�� ¥��A��Ã��),��

ìW¢M��R!��r�� e�'�_!�/�xïG´ö�

lmX�sA<=O6S,H"XU;Zh# .� )*�� R!�z��r��§+��)*� � É ��ÇÈ),��2�!�x��°��!��r��,��ÇÈ � � É �� u�¨°Í+��.��}��'Í+��°��)*��)_�,�m!�a�R!��$_�2÷Ââ�_!�,��%� �=a��ÂÃø²�*�w��)*2W�+�� ,Ä_!�©��¶�Æ��2z �� É �_�� *�¥�1v( �� 2z��+�� =� � É �}� ��2/)6��%��¯)_��Íµ��)*2z�+�� r��z��§+��)*��+�,�*!�F��)6��Æ��2/ ��),�/��G�¯GÍ+��â��½��)*��)_�,�m!�F ��ù ��,�@ú ù �

lmX�sA<=O6S,H"XU;�5�_��ËA��z´³·�ªû��@��*��,��ÇÈ�� É �� ´³·�ª«üþý*�_¡��/ô�"!��r�� e�1�_!��¦��%�r�Î´³ªû�Y�@�¯)_��WÍ��W2}�,�¯2/��_!�a��%�"!�W�a��*��m´³·�ªz�§M� ��Y��Å��µ�+�¦�,�²��)*�� "!�]��*��r�� r�,��(|x�a�³ã�� ÿ~��Æ� ��C�� +�¦�,�Y��º��(|x�©��x�,��(�,��ÇÈ�� É �� ÿ.�(|÷� � ÿ©|a�þ� � ÿ©�°�k��ô�"!��r�� e�U�_!�}�+�,�_!�qÿ.�ä��(|}¢%�� ,��%��ÿ.�(|a�ä��J��°�� *��¦��

Ò�ÓeÔ�Õ×ÖYØ.ÙÛÚCÜ Ý Ú�Þ(ßGàcÝrØ

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - VASLUI ETAPA LOCALĂ 14.02.2009

CLASA a V-a

1. La un depozit de materiale de construcŃii s-au primit 200 de grinzi, unele de brad, altele de fag şi altele de stejar. O grindă de brad cântăreşte 24 kg, una de fag cântăreşte 26 kg şi una de stejar cântăreşte 30 kg. Se ştie că numărul grinzilor de fag este de două ori mai mare ca al celor de brad. Dacă toate cele 200 de grinzi cântăresc 5132 kg, să se calculeze câte grinzi sunt de fiecare fel.

Prof. Rotaru Marcel, Prof. Captarencu Liviu

2. a) ArătaŃi că rezultatul calculului 11 9 11 21 11 25 11 66⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ este cubul unui număr natural. b) Un număr de trei cifre împărŃit la răsturnatul său dă câtul 3 şi restul 175, iar diferenŃa dintre cifra sutelor şi cea a unităŃilor este 7. Să se afle numărul.

Prof. Teclici Daniela

3. a) ArătaŃi că numărul 12 129 7A = − este divizibil cu 10. ***

b) Să se determine ultimele două cifre ale numărului:

2 2 2 2 210 101 1002 10003 100004a = + + + +

G.M. 9/2008, E:13619

• Toate subiectele sunt obligatorii. • Timp de lucru 3 ore. • Fiecare subiect rezolvat corect se notează cu 7 puncte.

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ - VASLUI

ETAPA LOCALĂ 14.02.2009

CLASA a VI-a 1. a) GăsiŃi toate numerele naturale din 8 cifre care se termină în 2009 şi sunt divizibile cu 2009.

*** b) Suma a 24 de numere naturale consecutive este egală cu 444. Să se găsească cel mai mic şi cel mai mare număr natural prim din cele 24 de numere naturale date.

Prof. Talaşman Adrian

2. a) Fie numărul 2,1(45). AflaŃi care este a 325-a zecimală(justificare).

b) DeterminaŃi numerele de forma abc cu proprietatea că 99

abc a b c∈

− − −ℕ .

G.M. 3/2008, E:13620

3) Se consideră unghiul obtuz AOB . Fie [OX1 , [OX2 , …,[OX n bisectoarele unghiurilor AOB , BOX1 , BOX2 , … , BOX n-1 , n∈N\{0;1}. a) AflaŃi numărul natural n pentru care 0( ) 10nm BOX =∢ . Pentru valoarea lui n găsită

aflaŃi ( )m AOB∢ .

b) Dacă 0( ) 122 02 'm AOB =∢ şi 2n = calculaŃi ( )nm BOX∢ . Prof. Talaşman Adrian




CLASA a VII-a 1) a) Pe un rând sunt scrise zece numere naturale nenule care satisfac proprietatea că, începând cu cel de al treilea număr, fiecare dintre ele este egal cu suma celor două din faŃa lui. Să se afle suma celor zece numere, ştiind că cel de al şaselea este 13.

b) GăsiŃi fracŃia ordinară cu numărătorul şi numitorul pozitivi echivalentă cu 19

39 pentru care

produsul dintre numărătorul şi numitorul acesteia să fie 11856. ***

2) Fie mulŃimea 2009 2010 2011

, , ,..........8 9 10

A =

. DeterminaŃi cardinalul mulŃimii

{ }B x x A= ∈ ∩ℕ .

Prof. Lungu Ioan

3) a) VerificaŃi dacă numerele 32; 8; 2 6; 2 3− − pot fi termenii unei proporŃii; dacă da, scrieŃi proporŃia.

b) DeterminaŃi mulŃimea { 10 }A n n= ∈ − ∈ℕ ℕ .

***

4) Fie triunghiul oarecare ABC, punctul D AB∈ astfel încât [ ] [ ]BD BC≡ şi E AC∈ astfel încât [ ]C AE∈ . Dacă M este punctul de intersecŃie al bisectoarelor unghiurilor ABC şi ACB, iar N este punctul de intersecŃie al diagonalelor patrulaterului BCED, arătaŃi că BMCN este paralelogram dacă şi numai dacă [ ] [ ]BC CE≡ .

G.M. 11/2008, E:13736




CLASA a VIII-a

1) a) CalculaŃi ( 7 9 11 2420, 21 , , , , 5

2 2 2 5 ∩

.

b) Dacă x şi y sunt numere reale care satisfac ecuaŃia 22 1 (5 16) 0x y x y− − + + − = , calculaŃi

diferenŃa dintre x şi dublul lui y. ***

2) În figura dată este desenat un pătrat de latură x în interiorul căruia s-a desenat un pătrat de latură y. Se ştie că x şi y sunt două numere naturale de două cifre care se scriu cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă şi că aria haşurată este pătratul unui număr natural. AflaŃi x şi y.

Prof. Lungu Ioan

3) a) Fie ,x y∈ ∈ℝ ℝ . CalculaŃi xy, ştiind că 2 2 5x y+ = şi 4 4( ) ( ) 40x y x y+ − − = . ***

b) Fie expresia 1 1 1 3

( )( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 1)

E xx x x x x x x x

= + + −− − − − − − − −

unde x<0.

ArătaŃi că ( 1) ( 2) ..... ( 2008) ( 2009) 2009E E E E− + − + + − + − < . Prof. Talaşman Adrian

4) Fie prisma triunghiulară dreaptă ABCA’B’C’ cu bazele triunghiuri echilaterale. Dacă 12AB = cm,

' 6 6AA = cm şi { } ' 'O BC B C= ∩ calculaŃi: a) măsura unghiului dintre AO şi A’B’; b) tangenta unghiului dintre AO şi (BCB’).

G.M. 12/2008, E:13757


x

y

COLEGIUL NAŢIONAL IAŞI

OLIMPIADA DE MATEMATICĂETAPA LOCALĂ - 2009

CLASA a V-a

1. Fie 1 2 3 ... ,A n ! ! ! ! unde , 3.n n" #

a) Pentru 10,n stabiliţi care este cifra miilor numărului A.

b) Determinaţi cel mai mic număr n pentru care A se divide cu 1000.c) Pentru n găsit anterior, demonstraţi că A nu este pătrat perfect.

2. a) Determinaţi numerele 68ab care, la împărţirea prin 33, dau restul 23.

b) Fie 23 1, .n

a n $ " Să se determine valorile lui n pentru care a este pătrat perfect.

3. Se consideră şirul 2, 10, 26, 58, 122, ...a) Scrieţi încă trei termeni ai ş irului.b) Determinaţi al 2009-lea termen al şirului.

Subiect elaborat de Valerica Benţa


OLIMPIADA DE MATEMATICĂETAPA LOCALĂ – 2009

CLASA a VI-a

1. Se consideră unghiurile adiacente şi suplementare AOB! şi .BOC! În semiplanuldelimitat de dreapta AC care conţine punctul B, se consideră punctele M şi N astfel încâtOM OA% şi .ON OB% Dacă & ' & '4 ,m CON m AOB !! ! determinaţi măsurile

unghiurilor AOB! , ,BOC CON! ! şi .MON!

2. a) Aflaţi numerele prime a şi b pentru care & ' 25 105 5 2003.a b a$ $ (

b) Determinaţi valorile naturale ale lui n pentru care 32 2n $ şi 23 1n $ sunt simultandivizibile cu 10.

3. a) Determinaţi numerele naturale n pentru care fracţia3 1

2 3

n

n

$

$ este reductibilă.

b) Demonstraţi că2 2 2 2

1 1 1 1 2009... .

2 4 6 2010 2010$ $ $ $ )

Subiect elaborat de Gabriela Zanoschi



CLASA a VII-a

1. Determinaţi mulţimea A = *abc ,abc c( " a,b,c cifre distincte +.

2. a) Găsiţi tripletele de numere întregi (x, y, z) pentru care

& ' & ' & '2 2 2

1 2 3 1x y z$ $ $ $ $ .

b) Aflaţi câte triplete de numere întregi (x, y, z) verifică relaţia

& ' & ' & '2 2 2

1 2 3 2009x y z$ $ $ $ $ .

3. In triunghiul ABC avem: m( "B )=105o, m( "C )=30o, [AD] mediană, [AE] bisectoare, cuD, E "[BC], iar [BF] este înălţime, cu F"[AC].

a) Arătaţi că triunghiul AFD este isoscel. b) Aflaţi m(#DAE ).

4. Pe laturile (AB), (BC), (CD), (DA) ale pătratului ABCD se consideră respectiv puncteleM, N, P, Q.

a) Dacă dreptele MP şi NQ sunt perpendiculare şi M,, N, sunt proiecţiile punctelor M şiN pe laturile (CD), respectiv (AD), arătaţi că -MPM, şi -NQN, sunt congruente.

b) Dacă AM + CP = BN + DQ, arătaţi că dreptele MP şi NQ sunt perpendiculareSubiect elaborat de Sergiu Prisacariu



CLASA a VIII-a

1. Aflaţi numerele raţionale a şi b, ştiind că 2611223223

$ (

$$

ba.

2. Determinaţi numerele naturale n pentru care 3782 $$ nn " .$

3. Arătaţi că dacă a, b, c, d & '0;" $. sunt astfel încât 10,a b c d! ! atunci are loc

inegalitatea & '& '& '& ' 16005522 #$$$$ dcba .

4. Cubul ABCDA B C D, , , , are muchia de lungime 4cm. Punctele M şi N se află pemuchiile AA, , respectiv ,CC, astfel încât 1A M CN, cm.

a) Calculaţi aria totală a piramidei .ACD B, ,

b) Calculaţi lungimea segmentului MN.c) Demonstraţi că punctele B, N, D, şi M sunt coplanare.

Subiect elaborat de Alice Aniţa

isj vâlcea olimpiada de matematicĂ etapa · pdf fileisj vâlcea olimpiada de...

Documents