isj vâlcea olimpiada de matematicĂ etapa · pdf fileisj vâlcea olimpiada de...

Click here to load reader

Post on 15-Mar-2018

219 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • ISJ VLCEA

    OLIMPIADA DE MATEMATIC

    ETAPA LOCAL - 14. 02. 2009 -

    CLASA a V-a

    1. Determinai cifrele a, b, c astfel nct :

    2abc + 3 abc = abc4 +1234

    (Valer Pop, an, Bistria- Nsud, Gazeta Matematic)

    2. Fie a =12345678910111213.2009, numrul obinut prin alturarea cifrelor numerelor

    1, 2, 3,,2009.

    a) Cte cifre are numrul a ?

    b) Aranjm numerele 1, 2,3,.,2009 astfel:

    1 5;6;7;8;9; 21;22,23;24;25; 37;38;

    2 4 10; 20; 26; 36

    3 3 11; 19; 27; 35;

    4 2 12; 18; 28, 34;

    5 1 13;14;15;16;17 29;30;31;32;33:

    Pe care linie se afl 2009 ? Justificai!

    (tefan Smrndoiu, Rmnicu Vlcea)

    3. Pe un ecran este scris numrul 34. Dup fiecare minut, n locul numrului iniial, se scrie un

    numr cu 18 mai mare dect produsul cifrelor sale.

    a) Ce numr va fi scris, pe ecran, dup 2 minute ?

    b) Ce numr va fi scris, pe ecran, dup 2009 minute ? Justificai !

    (Cristina Drgan, Rmnicu Vlcea)

    4. Demonstrai c pentru orice 37 de numere naturale, nenule putem gsi 7 numere cu suma

    divizibil cu 7.

    (Constantin Brscu, Rmnicu Vlcea)

    Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte.

    Pe foaia de concurs se trec rezolvrile complete. Timp de lucru: 2 ore.

  • SUCCES !

    ISJ VLCEA

    OLIMPIADA DE MATEMATIC

    ETAPA LOCAL - 14. 02. 2009 -

    CLASA a VI-a

    1 Determinai mulimea:

    A= abc 13 a 6 b 3 c = 0

    (Damian Marinescu, Trgovite, Gazeta Matematic)

    2. Determinai numerele naturale de patru cifre a cror descompunere n factori primi

    este x y xy yx .

    ( Gheorghe Radu, Rmnicu Vlcea )

    3. Se consider irul urmtor de numere naturale: 11, 1

    2, 1

    3, , 1

    9, 2

    1, 2

    2, , 2

    9, 3

    1, , 9

    9.

    a) S se compare valorile termenilor al 15 lea, al 30 lea i al 65 lea.

    b) S se determine numrul de valori diferite pe care le pot lua termenii irului din enun.

    c) S se arate c suma valorilor diferite, pe care le iau termenii irului, nu este ptrat perfect.

    ( Gabriel Vrnceanu, Bucureti)

    4. Fie AOB i BOC unghiuri neadiacente suplementare,astfel nct m(AOB) i m(BOC) sunt direct

    proporionale cu 11 i respectiv 7. n semiplanul opus cu [AO, B se ia punctul D astfel nct

    ODOA. Fie OE OC. S se afle msurile unghiurilor DOC i EOB .

    (tefan Smrndoiu, Rmnicu Vlcea)

    Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte.

    Pe foaia de concurs se trec rezolvrile complete. Timp de lucru: 2 ore.

    SUCCES !

  • ISJ VLCEA

    OLIMPIADA DE MATEMATIC

    ETAPA LOCAL - 14. 02. 2009 -

    CLASA a VII-a

    1. Aflai numerele ntregi x, y, z tiind c :

    x2

    x + 2y + ( z

    2 4 )

    2 0 .

    (Vasile Predan, Curtea de Arge, Gazeta Matematic )

    2. Fie A = 2009

    a;

    2009

    aa;

    2009

    aaa;

    2009

    aaaa; a e cifr nenul

    Demonstrai c A i N nu sunt mulimi disjuncte.

    (Constantin Brscu, Rmnicu Vlcea)

    3. Se d triunghiul ABC cu msura unghiului BAC de 120 0 i AB = 2 AC = 2 a.

    Fie D simetricul punctului A fa de mediana [CM], unde M [AB].

    a) Demonstrai c patrulaterul ACDM este romb.

    b) Calculai perimetrul triunghiului DON, unde O este mijlocul segmentului [CM],

    iar {N} = BCDM.

    c) Determinai ct la sut reprezint aria triunghiului BCM din aria patrulaterului ABDC.

    ( Gheorghe Radu, Rmnicu Vlcea )

    4. Un elev scrie pe tabl numerele 256; 6561; 390625 .

    Pasul 1 : terge cele trei numere i n locul fiecruia scrie media geometric a celorlalte dou numere;

    Pasul al 2-lea :Aplic pasul 1 pentru numerele obinute .

    Pasul al n-lea :Aplic pasul 1 pentru numerele obinute la pasul anterior .

    a) Ce numere a scris elevul pe tabl dup primul pas ?

    b) Este posibil, ca dup un numr finit de pai, s scrie pe tabl numerele 3000; 2009; 7175 ?

    Justificai !

    (tefan Smrndoiu, Rmnicu Vlcea)

    Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte.

    Pe foaia de concurs se trec rezolvrile complete. Timp de lucru: 3 ore.

  • ISJ VLCEA

    OLIMPIADA DE MATEMATIC

    ETAPA LOCAL - 14. 02. 2009 -

    CLASA a VIII-a

    1. a) Demonstrai c ecuaia ( x +1 )( x + 2) = y ( y +2 ) nu are soluii n NN.

    b) Demonstrai c ecuaia ( x +1 )( x + 2) = ( y +2 ) ( y +3 ) are o infinitate de soluii n NN.

    (Damian Marinescu, Trgovite, Gazeta Matematic)

    2. a) Demonstrai c oricare ar fi x, y, z R, avem :

    ;

    b) Fie trei numere reale, strict pozitive, astfel nct .

    S se demonstreze c : .

    ( Cezar Lupu, student, Bucureti )

    3. Fie punctul P interior unghiului XOY i PM OX ; PN OY cu PM = 3 2 cm, PN = 1 cm,

    unde M( OX ; N ( OY . Dac dreapta QP este perpendicular pe planul (XOY) i PQ = 5 2 cm,

    demonstrai c : msura unghiului XOY = 450

    msura unghiului ( OQ, (XOY) )= 450 .

    (Constantin Brscu, Rmnicu Vlcea)

    4. Se consider un cub ABCDA B C D . n fiecare din vrfurile A, B, D i A se nscrie numrul 1,

    iar n ficare din vrfurile C,C , B i D se nscrie numrul 0. Numim operaie faptul c mrim sau

    micorm cu acelai numr numerele de pe aceeai muchie. Este posibil ca dup un numr finit de

    operaii s obinem n fiecare vrf numrul 2009?

    ( Marius Perianu, Slatina)

    Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz de la 0 la 7 puncte.

    Pe foaia de concurs se trec rezolvrile complete. Timp de lucru: 3 ore.

    SUCCES !

  • OLIMPIADA NAIONAL DE MATEMATIC

    ETAPA LOCAL TIMI 14.02.2009

    SUBIECTE - clasa a V-a:

    I. a) Numerele naturale m, n, p, x, y, z verific relaia

    2005m + 2007

    n + 2009

    p = 2006

    x + 2008

    y + 2010

    z.

    S se calculeze 2009mnpxyz

    . Ioan Miclea, TMMATE nr.6 / 2009

    b) Determinai cifrele a, b, c, d, e cu proprietatea c

    cdeabc 2abc . Andrei Eckstein, TMMATE nr.6 / 2009

    II. a) Aflai restul mpririi numrului B = 320093...21 la 8.

    b) Aflai restul mpririi numrului A = 3-20093...21 la 8.

    Prelucrare, GM nr.9 / 2008

    III. a) scriei numrul 2009 ca un produs n care un factor este ptrat perfect supraunitar.

    b) S se determine numrul natural nenul n, tiind c n4 n

    3 n

    2 este un numr egal cu suma celor

    mai mari resturi posibile la mprirea cu 2000, cu 10 i respectiv cu 2.

    Petria-Elena Boldea

    IV. a) Calculai ultima cifr a numrului C = 2n + 4

    n + 6

    n + 8

    n, unde n numr natural nenul oarecare

    b) Fie n numr natural nenul oarecare. Cercetai dac numrul D = 2n + 4

    n + 6

    n + ... + 2008

    n este

    divizibil cu 10. DR. RMT nr.4 / 2008

    Probleme selectate de inspector colar de specialitate, prof. Petria-Elena Boldea

    SUBIECTE - clasa a VI-a:

    I. Se consider egalitile 1b

    4b

    4

    a 2

    i

    14

    c

    8

    a , unde a, b, c numere naturale.

    a) Artai c 4 divide a.

    b) Gsii toate tripletele c)b,(a, care verific simultan relaiile din enun.

    Cerasela Bociu

    II. Fie numerele naturale nenule a, b astfel nct 223,7 baba , unde ba , este c. m. m. m. c.

View more