Integrarea numerica

Metoda dreptunghiurilor pentru calculul aproximativ al integralei definite

Integrala :

În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.

Integrarea numerică

Integralele întâlnite într-un curs de inițiere în analiza matematică sunt alese intenționat pentru simplitatea lor; cele găsite în aplicațiile reale sunt adesea mult mai complicate. Unele integrale nu pot fi calculate exact, altele necesită funcții speciale care sunt ele însele dificil de calculat, iar altele sunt atât de complicate încât găsirea răspunsului exact durează prea mult. Aceasta a motivat studiul și aplicarea metodelor numerice de aproximare a integralelor, care astăzi folosesc aritmetica în virgulă mobilă de pe calculatoarele electronice numerice. Multe dintre aceste idei au apărut mult mai devreme, pentru calculul de mână; dar viteza calculatoarelor de uz general, cum ar fi ENIAC, a creat nevoia de îmbunătățiri.

Scopurile integrării numerice sunt:

Precizia; Fiabilitatea; Eficiența; Generalitatea;

Formula dreptunghiurilor pentru calculul aproximativ al integralei

Una dintre cele mai des aplicate implementări ale calculului numeric este calcularea integralei definite prin metode aproximative. Metodele directe nu întotdeauna permit calculul analitic al integralei, şi, de multe ori formula care efineşte funcţia ce trebuie integrată nici nu e cunoscută. De obicei sunt date doar o serie de puncte în care este cunoscută valoarea funcţiei. În aceste cazuri integrala poate fi calculată doar prin metode aproximative (în presupunerea că funcţia de sub integrală este continuă pe segmentul pe care se face integrarea).

Din cursul de analiză matematică se ştie, că sensul geometric al integralei definite este aria trapezului curbiliniu, determinat de axa 0X, dreptele y = a şi y = b, şi graficul funcţiei f(x) pe segmentul [a,b]

Sensul geometric al integralei defiinte

Integrala definita cu aria graficului unei functii

Metoda dreptunghiurilor (aparatul matematic)

Fie f o funcţie derivabilă pe [a,b] şi ],[

)('supbaxxfM

Considerăm o diviziune a segmentului [a,b] în forma a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b

Pe fiecare din segmentele [xi, xi+1] vom aproxima suprafaţa trapezului curbiliniu cu aria dreptunghiului cu

baza h = |xi, - xi+1| iar înălţimea egală cu valoarea funcţiei în unul din punctele:

a) x = xi – atunci metoda se numeşte a dreptunghiurilor de stânga

b) x = xi+1 – atunci metoda se numeşte a dreptunghiurilor de dreapta

c) x=(xi,+ xi+1)/2 – atunci metoda se numeşte a dreptunghiurilor medii

Pentru simplitate, vom considera segmentele [xi, xi+1] egale. Atunci lungimea segmentului va fi de

h = |b - a|/n

iar punctele xi vor putea fi determinate de formula xi =a + i * h ;

***

Valoarea integralei definite pe segmentul [a, b] pentru funcţia f se va aproxima conform formulei:

Pentru calculul numeric transformarea integralei într-o expresie aritmetică (sumă) care depinde doar de numărul de diviziuni ale

segmentului (acest număr sau e dat apriori, sau e stabilit în procesul de calcul) şi de valoarea funcţiei în nodurile de interpolare (valoare

care este de asemenea dată sau poate fi calculată) este foarte comodă – procedura de calcul devine elementară.

Algoritmizarea problemei – varianta mediilor

1. Se introduc limitele de integrare a,b.2. Se stabileşte numărul necesar de divizări n3. Se calculează pasul de deplasare h4. Pornind de la a calculăm mijlocurile segmentelor elementare zi şi ariile dreptunghiurilor elementare.5. Sumăm ariile elementare.6. Afişăm rezultatul.

Algoritmizarea problemei – varianta dreptunghiurilor de stânga

1. Se introduc limitele de integrare a,b.2. Se stabileşte numărul necesar de divizări n3. Se calculează pasul de deplasare h4. Pornind de la a calculăm extremităţile stângi ale segmentelor elementare zi şi ariile dreptunghiurilor elementare.5. Sumăm ariile elementare.6. Afişăm rezultatul.

Algoritmizarea problemei – varianta dreptunghiurilor de dreapta

1. Se introduc limitele de integrare a,b.2. Se stabileşte numărul necesar de divizări n3. Se calculează pasul de deplasare h4. Pornind de la a calculăm extremităţile drepte ale segmentelor elementare zi şi ariile dreptunghiurilor elementare.5. Sumăm ariile elementare.6. Afişăm rezultatul.

Alte metode :

Metoda trapezului Metoda lui Romberg Cuadratura gaussiană Pentru integrale de dimensiuni superioare

(duble sau triple), există algoritmi alternativi, cum ar fi integrarea Monte Carlo.

Calculatorul on-line pentru integrale definite:www.solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/definite_integral