8/18/2019 Integrale de Suprafata de Speta a II-A

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Integrale de Suprafata de Speta a II-a

January 30, 2016

Calculati fluxul campului vectorial:

a) −→

V    =   x3−→i   + x2y

−→ j   + x2z

−→k   prin suprafata cilindrului   x2 +  y2 =   R2,

0

≤z

 ≤a.

b) −→V    = x3−→i   prin fata exterioara a emisferei superioare a unui elipsoid.Rezolvare:b)In primul rand, inchidem suprafata data cu elipsa din planul  XOY .

Avem:   K  =

(x,y,z) ∈ R3x2a2   +   y2b2   +   z2c2 ≤ 1, z ≥ 0

.

Atunci, conform formulei Gauss-Ostrogradski avem:

ΦFr(K )(V  ) =

 K 

3x2dxdydz

Facem schimbarea de variabile:   x   =   aρ cos ϕ sin θ,   y   =   bρ sin ϕ sin θ,   z   =cρ cos θ, unde   ρ ∈  [0, 1],   ϕ ∈  [0, 2π]  si   θ ∈ 0,  π

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. Mai avem  |J |  =  abcρ2 sin θ.

Atunci:

ΦFr(K )(V  ) = 3a3bc

2π 0

π/2 0

1 0

ρ4 cos2 ϕ sin3 θdρdθdϕ = 2

5πa3bc.

Apoi, ne uitam la ”capacul”(not:   Σ   ) pe care l-am adaugat. Normala la suprafata este  −→n   = (0, 0,−1)  si atunci:

ΦΣ(V  ) =

 Σ

<−→V ,−→n > dσ =

 Σ

0dσ = 0.

De aici deducem ca fluxul cerut este:

Φ(V  ) = ΦFr(K )(V  ) − ΦΣ(V  ) = 25 πa3bc.

a) Avem 3 suprafete: Suprafata laterala, ”Capacul” cilindrului si baza lui.Notam fluxul cerut cu  Φ(V  ), iar cele 3 fluxuri corespunzatoare celor 3 suprafete 

le notam cu  Φ1,  Φ2   respectiv  Φ3. Atunci:

Φ(V  ) = Φ1 + Φ2 + Φ3.

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Pentru  Φ1   (fata laterala) avem: −→n   =

  x√ x2+y2

,   y√ x2+y2

, 0  si atunci:

Φ1 =

 S 

<−→V ,−→n > dσ =

 S 

x4 + x2y2 x2 + y2

dσ,

unde  S  = {(x,y,z) ∈ R3|x2 + y2 = R2, 0 ≤ z ≤ a}.Cum  x2 + y2 = R2, obtinem:

Φ1 =

 S 

x2R2√ R2

dσ =  R

 S 

x2dσ.

Suprafata   S   o parametrizam astfel:   x  =   R cos ϕ,   y   =   R sin ϕ   si   z   =   z   (in  functie de  ϕ  si  z) unde  ϕ ∈ [0, 2π]  si  z ∈ [0, a].

Printr-un calcul usor se obtine: ||

rϕ ×

rz||

= R  si atunci:

Φ1 =  R

 A

R3 cos2 ϕdϕdz,

unde  A = [0, a] × [0, 2π].De aici se obtine imediat ca:

Φ1 =  πaR4.

Pentru  Φ2  avem: −→n   = (0, 0, 1)  si  S  = {(x,y,z) ∈ R3|x2 + y2 = R2, z =  a}.

Apoi:

Φ2 =

 S 

<−→V ,−→n > dσ  =

 S 

x2zdσ  =  a  =

 S 

x2dσ.

Suprafata   S  este data explicit prin   z   =   a  + 0 ·  x  + 0 ·  y   si atunci   dσ   =√ 1 + 0 + 0  dxdy  =  dxdy. Deci:

Φ2 =

 B

x2dxdy,

unde  B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ R2}. Se obtine destul de usor ca:

Φ2 = 1

4aπR4.

In sfarsit, pentru  Φ3  avem: −→n   = (0, 0,−1) si  S  = {(x,y,z) ∈ R3|x2 + y2 =

R2, z  = 0}

.Deci:

Φ3 =

 S 

<−→V ,−→n > dσ  =

 S 

0dσ = 0.

In concluzie,

Φ(V  ) = 5

4πaR4.

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