Integrale curbilinii

Drumuri parametizatePentru un interval real J se numeste drum parametrizat pe J cu valori în

Rn orice aplicatie continu¼a : J ! Rn.Dac¼a not¼am (t) = ( 1(t); 2(t); : : : ; n(t)), atunci relatiile

x1 = 1(t); x2 = 2(t); : : : ; xn = n(t)

se numesc ecuatiile parametrice ale drumului :Dac¼a J = [a; b], atunci (a) si (b) se numesc capetele (extremit¼atile) dru-

mului. Drumul se numeste închis dac¼a (a) = (b).Opusul drumului : [a; b]! Rn este, prin de�nitie,

� : [a; b]! Rn; �(t) = (a+ b� t):

Evident, si � au aceeasi imagine.Prin concatenarea a dou¼a drumuri 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [b; c] ! Rn

întelegem drumul 1 [ 2 : [a; c]! Rn de�nit prin

( 1 [ 2)(t) =( 1(t); t 2 [a; b] 2(t); t 2 [b; c]

Imaginea lui 1 [ 2 este reuniunea imaginilor drumurilor 1 si 2.Vom spune c¼a un drum : J ! Rn este neted dac¼a aplicatia este de clas¼a

C1 si 0(t) 6= 0; 8t 2 J:Drumul se va numi neted pe portiuni dac¼a este concatenarea unui num¼ar

�nit de drumuri netede.Dou¼a drumuri 1 : I ! Rn si 2 : J ! Rn se vor numi echivalente cu

aceeasi orientare (notând 1 � 2) dac¼a exist¼a un difeomor�sm strict cresc¼ator� : I ! J astfel încât 1 = 2 � �. Dac¼a difeomor�smul de mai sus este strictdescresc¼ator, atunci cele dou¼a drumuri se vor numi echivalente, cu orient¼ariopuse.În cazurile particulare n = 2 (plan) si n = 3 (spatiu) notatii uzuale sunt

(t) = (x(t); y(t)) si respectiv (t) = (x(t); y(t); z(t)).

1

Integrala curbilinie de prima spet¼aFie : [a; b]! R3 un drum neted si �e f : D ! R o functie continu¼a astfel

încât ([a; b]) � D. Integrala curbilinie de prima spet¼a a functiei f pe drumul este, prin de�nitie:Z

�

f(x; y; z)ds =

Z b

a

f(x(t); y(t); z(t))p(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2dt:

Dac¼a 1 si 2 sunt drumuri parametrizate echivalente (indiferent de orientare),atunci

R 1fds =

R 2fds

Aplicatii:1) Lungimea unui drum este

L( ) =

Z

ds:

Dac¼a drumul neted : [a; b]! R3 este dat de (t) = (x(t); y(t); z(t)) atunci:

L( ) =

Z b

a

p(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2dt:

2) Masa unui �r material de densitate � > 0 este

M =

Z

�ds:

3)Coordonatele centrului de greutate G al unui �r material de densitate� > 0 sunt:

xG =1

M

Z

xfds; yG =1

M

Z

yfds; zG =

Z

zfds:

Integrala curbilinie de speta a douaPentru un deschis D � R3; si P;Q;R : D �! R numim 1-form¼a diferential¼a

expresia � = Pdx+Qdy +Rdz: O 1-form¼a diferential¼a se va numi de clas¼a Ck

dac¼a functiile P; Q; R sunt de clas¼a Ck:Dat un drum parametrizat neted

: [a; b]! R3; (t) = (x(t); y(t); z(t));

cu imaginea inclus¼a în D, integrala curbilinie a formei diferentiale � de-a lunguldrumului este, prin de�nitie:Z

� =

Z b

a

[P (x(t); y(t); z(t)))x0(t) +Q(x(t); y(t); z(t))y0(t) +R(x(t); y(t); z(t))z0(t)] dt:

2

Pentru cazul cu dou¼a variabile:Z

Pdx+Qdy =

Z b

a

[P (x(t); y(t))x0(t) +Q(x(t); y(t))y0(t)] dt:

Observatie:Dac¼a 1 si 2 sunt dou¼a drumuri parametrizate echivalente cu aceeasi ori-

entare, atunci integralele corespunz¼atoare sunt egale.Dac¼a cele dou¼a drumuri parametrizate sunt echivalente dar cu orient¼ari

opuse, atunci integralele corespunz¼atoare difer¼a prin semn.

Dac¼a 1-formei diferentiale � = Pdx+Qdy+Rdz îi asociem (în mod canonic)câmpul de vectori v : D ! R3, v = (P;Q;R), pentru un drum paramerrizatneted (cu imaginea inclus¼a în D), atunci integrala

R � se mai noteaz¼a siR

vdr, numindu-se circulatia câmpului v de-a lungul drumului .

În cazul în care v = F este un câmp de forte, atunci circulatiaR Fdr este

lucrul mecanic efectuat de forta F pe drumul :

Un rol important Îl au formele diferentiale exacte.De�nitie:O 1-form¼a diferential¼a � = Pdx+Qdy+Rdz se numeste exact¼a pe multimea

D dac¼a exist¼a o functie f (numit¼a potential scalar sau primitiv¼a) de clas¼a C1(D)astfel încât df = �, sau echivalent:

@f

@x= P;

@f

@y= Q;

@f

@z= R;

în orice punct din D.Câmpul de vectori v = (P;Q;R) asociat formei diferentiale � se numeste în

acest caz câmp de gradienti.De�nitie:O 1-form¼a diferential¼a � = Pdx+Qdy+Rdz se numeste închis¼a pe D dac¼a

sunt veri�cate (în orice punct din D) egalit¼atile:

@P

@y=@Q

@x;@Q

@z=@R

@y;@R

@x=@P

@z:

Importanta formelor diferentiale exacte este dat¼a de urm¼atorul rezultat:

Teorem¼a (Independenta de drum a integralei curbilinii): Fie � = dfo 1-form¼a diferential¼a exact¼a pe D si �e un drum parametrizat neted cuimaginea inclus¼a în D având extremit¼atile A;B 2 D. atunci:a)R df = f(B)� f(A).

b) dac¼a drumul este închis, atunciR df = 0:

3

Din teorema de simetrie a lui Schwarz rezult¼a c¼a orice form¼a diferential¼a ex-act¼a (cu potentialul scalar de clas¼a C2) este în mod necesar si închis¼a. Reciprocaacestei a�rmatii este, în general, fals¼a.Exemplu:Forma diferential¼a

� =�y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

este închis¼a pe R2nf(0; 0)g dar nu este exact¼a pe aceast¼a multime.

Reciproc, orice 1-form¼a diferential¼a închis¼a este local exact¼a.Teorem¼a (Teorema lui Poincare) Fie � o 1-form¼a diferential¼a de clas¼a

C1 închis¼a pe deschisul D � Rn. Atunci pentru orice x 2 D exist¼a o vecin¼atatedeschis¼a a sa U � D si o functie f 2 C1 astfel încât df = � pe U .

ObservatieExist¼a multimi pe care teorema de mai sus este adev¼arat¼a global. De exem-

plu, dac¼a multimea D este stelat¼a (adic¼a exist¼a un punct x0 2 D cu proprietateac¼a segmentul [x0; x] � D; 8x 2 D) atunci orice 1-form¼a diferential¼a închis¼a peD este exact¼a pe D.

Exercitii si probleme1. Aratati ca urmatoarele curbe sunt recti�cabile si calculati lungimea lor

a. Curba obtinuta prin intersectia sferei x2 + y2 + z2 = 1 cu paraboloidulz = 1

2(x2+y2) .

b. Curba obtinuta prin intersectia sferei (x � 1)2 + y2 + z2 = 1 cu cilindrul(x� 1)2 + y2 = 1

4 ; z 2 [0; 2]:

c.

C :

�x(t) = t5 � 1y(t) = t4

t 2 [0; 1]:

d.

C :

(x(t) = 3at

1+t2

y(t) = 3at2

1+t2t 2 [�1; 1]:

e. Elicea circulara

C :

8<: x(t) = r cos ty(t) = r sin tz(t) = ht

t 2 [0; 2�]:

f. C este curba a carei imagine este jumatatea din cercul x2 + y2 = 4 cuy � 0. (sfertul din al treilea cadran, sau ultimul cadran).

4

h. C este curba a carei imagine este jumatatea din elipsa x2

a2 +y2

b2 = 9 cuy � 0. (sfertul din al treilea cadran, sau ultimul cadran).

i. C este curba a carei imagine este patratul cu varfurile

A(�1; 0); B(0; 1); C(1; 0); D(0;�1)

2. Gasiti parametrizarea normala pentru cerc si elicea circulara.Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de speta intâi:3.RCxds;C : y = x2; x 2 [0; 2].

Solutie. Folosim formula de calcul a integralei curbilinii de prima spetapentru curbe care nu sunt date parametric C : y = '(x), x 2 [a; b]:Z

C

f(x; y)ds =

Z b

a

f(x; '(x))p1 + ('0(x))2dx:

AvemRCxds =

R 20xp1 + 4x2dx (cu schimbatrea u = 1 + 4x2).

4.RCy5ds; C : x =

y4

4, y 2 [0; 2].

Solutie.RCy5ds =

R 20y5p1 + y6dy =

1

6

R 206y5p1 + y6dy =

1

6

R 260

p1 + tdt =

1

6� (1 + t)

32

32

����260

=1

9(p653 � 1).

5.RCz(x2 + y2)ds; C : x = t cos t, y = t sin t; z = t; t 2 [0; 1].

Solutie.ZC

z(x2+y2)ds =

Z 1

0

t(t2 cos2 t+t2 sin2 t)�p(cos t� t sin t)2 + (sin t+ t cos t)2 + 1dt =

=

Z 1

0

t3p2 + t2dt =

1

2

Z 1

0

up2 + udu =

1

2

Z p3

p2

(p2 � 2) � p � 2pdp =

=

Z p3

p2

p2(p2 � 2)dp = p5

5

����p3

p2

� 2p3

3

����p3

p2

:

6RCx2ds; C : x2 + y2 = 2; x � 0; y � 0:

Solutie: Curba C reprezinta un sfert de cerc. Parametrizarea cercului este

x =p2 cos �, y =

p2 sin �; iar din x � 0, y � 0 ) � 2

h0;�

2

i.RCx2ds =R �

2

02 cos2 �

p2 cos2 � + 2 sin2 �d� = 2

p2R �

2

0

1 + cos 2�

2d� =

p2(�+

1

2sin 2�)

�����20

=

�p2

2.

7.RCx2ds; unde C este arcul de cerc de�nit prin intersectia sferei x2+ y2+

z2 = a2 cu planul y = x, parcurs de la punctul A(0; 0;�a) la punctul B(0; 0; a).

5

Solutie. Folosind coordonatele sferice gasim o reprezentare parametrica aarcului de cerc C.

x =ap2

2sin �; y =

ap2

2sin �; z = a cos �

unde � = a; ' =�

4, � 2 [0; �].R

Cx2ds =

R �0

a2

2sin2 �

r(ap2

2cos �)2 + (

ap2

2cos �)2 + (�a sin �)2d� =

R �0

a3

2�d� =

a3

2

R �0

1� cos 2�2

d� =a3

2

�1

2�

�����0

� sin 2������0

�=a3

2� �2=a3�

4.

8.RCxyds, unde C este curba de intersectie a suprafetelor x2+y2+z2 = a2,

x2 + y2 =a2

4situata in primul octant.

Solutie. Curba este intersectia dintre o sfera si un cilindru. Ca si parame-trizare folosim coordonate cilindrice:

x =a

2cos �; y =

a

2sin �; z =

ap3

2

unde � =a

2, z se obtine facând sistem intre cele doua ecuatii ale suprafetelor si

pastrând doar valoarea pozitiva deoarece curba se a�a in primul octant, adicaz � 0. Mai mult � 2 [0; �

2], deoarece x � 0; y � 0, curba �ind in primul octant.

ZC

xyds =

Z �2

0

a2

4cos � sin �

r��a2sin �

�2+�a2cos �

�2d� =

=a3

8

Z �2

0

sin � cos �d� =a3

16

Z �2

0

sin 2�d� =a3

16

� cos 2�2

�����20

!=a3

16:

9. Sa se calculeze lungimea arcului de curba dat prin y = chx; 0 � x � ln 2:

Solutie. l =RCds =

R ln 20

p1 + sh2xdx =

R ln 20

chx dx = sh x

����ln 20

=3

4.

10. Sa se calculeze centrul de greutate al barei y = achx

a, 0 � x � a:

Solutie. xG =

RCx ds

ds=

R a0xchxadxR a

0chx

adx

=axshxa

��a0� a

R a0shxadx

ashxa��a0

=a2sh1� a2chxa

��a0

ash1=

2a

e+ 1.

yG =

RCydsR

Cds =

aR a0ch2 axdx

ash1

=a2

R a0(ch 2xa + 1)dx

ash1=a(e4 � 1 + 4e2)4e(e2 � 1) .

11. ZC

xydl unde C :�x(t) = t; y(t) = t2 t 2 [�1; 1]:

6

12.ZC

py(y � 2)dl unde C :

�x(t) = t� sin t; y(t) = 1� cos t t 2 [0; �

2]:

13.ZC

x+ y + zdl unde C :�x(t) = a cos t; y(t) = a sin t; z(t) = bt t 2 [0; �

2]:

14.ZC

(x2+y2) ln zdl unde C :�x(t) = et cos t; y(t) = et sin t; z(t) = et t 2 [0; 1]:

Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de speta a doua:

15.RC

dx

2a+ y� dy

a+ x, unde C este curba simpla care are drept imagine

portiunea din cercul x2 + y2 + 2ay = 0 (a > 0), pentru care x + y � 0 siextremitatea initiala in punctul A1(a;�a).Solutie. Cercul are centrul in punctul (0;�a) si raza a. Dreapta x+y = 0 este

a doua bisectoare, iar inegalitatea x + y � 0 reprezinta semiplanul determinatde aceasta dreapta, care contine punctul (1; 1). Bisectoarea a doua taie cercul inpunctele A1(a;�a) si O(0; 0). Atunci, reprezentarea parametrica a curbei estex = a cos t, y = �a+ a sin t, t 2

h0;�

2

i. Integrala devine:

I =

ZC

dx

2a+ y� dy

a+ x=

Z �2

0

�a sin ta++sin t

� a cos t

a+ a cos tdt:

Folosind identitatile: sin t = cos��2� t�= 2 cos2

��

4� t

2

�� 1 si cos t =

2 cos2t

2� 1 obtinem

I = �Z �

2

0

"2 cos2

��4 �

12

�� 1

2 cos2��4 �

t2

� #dt =

= �Z �

2

0

"1� 1

2 cos2��4 �

12

� + 1� 1

2 cos2 t2

#dt =

= �2t�����20

���

4� t

2

� �����20

+t

2

�����20

= �� + 2:

16. ZC

xydx� y2dy; unde C :�x(t) = t2; y(t) = t3; t 2 [0; 1]

:

17. ZC

dx

x3 + y3; unde C :

nx(t) = a cos t; y(t) = a sin t; t 2 [0; �

2]o:

7

18.ZC

pyzdx+

pzxdy+

pxydz; unde C :

�x(t) = t; y(t) = t2; z(t) = t3; t 2 [0; 1]

:

19. ZC

ydx� (x� a)dy; unde C : (x� a)2

a2+y2

b2= 1:

20.ZC

zpa2 � x2dx+xzdy+(x2+y2)dz; unde C : x(t) = a cos t; y(t) = a sin t; z(t) = bt t 2 [0; 1]:

8