inspectoratul Şcolar judeţean timiş pregătirea elevilor capabili
TRANSCRIPT
-
8/14/2019 Inspectoratul colar Judeean Timi Pregtirea Elevilor Capabili
1/4
Inspectoratul colar Judeean TimiPregtirea elevilor capabili de performan
prof. Adriana PopaDisciplina matematic coala cu Clasele I-VIII Nr. 7 Sfnta Maria
Timioara
TEMA 9 - clasa a VII-a algebr - 06.03.2010
Inegaliti ( Chauchy Schwartz Buniakowski)
A. Breviar teoreticUna din primele inegaliti ntlnite n gimnaziu este a2 0Inegaliti care joac un rol important n demonstrarea altor inegaliti:
( a b )2 0
2+a
b
b
a
Inegaliti remarcabile Inegalitatea mediilor
Fie numerele reale pozitivea1, a2, ....an. Se numete media aritmetic a lor, Numrul Ma=
n
aaa n+++ ...21 i media geometric numrul Mg= n naaa ...21
n plus dac numerele sunt strict pozitive, definim media lor armonic Marm=naaa
n
1...
11
21
+++
Putem demonstra ca pentru orice nN i orice a1, a2, ....an ( ),0 au loc inegalitile:
n
aaa n+++ ...21 n naaa ...21 naaa
n1
...11
21
+++
Inegalitatea Chauchy - Buniakowski Schwartz
Dac a1, a2, ....an i b1,b2,...,bn sunt numere reale, atunci:
( )( ) ( )22211
22
2
2
1
22
2
2
1 ......... nnnn babababbbaaa +++++++++ .Demonstraie. Plecm de la identitatea lui Lagrange:
2
1
2
11
2
1
2)( ikk
nki
i
n
k
kk
n
k
k
n
k
k babababa +
=
-
8/14/2019 Inspectoratul colar Judeean Timi Pregtirea Elevilor Capabili
2/4
a2 + b2 + c2 ab + ac + cb.
3. Dac a, b > 0 i a + b = 4 s se arate c: .844
4466
+
++ba
baba
4. Dac a1, a2, b1, b2 sunt numere reale care satisfac condiia a1b1 + a2b2 = 1 atunci:1)()(
2
2
2
1
2
2
2
1 ++ bbaa .
5. Dac a, b, c sunt numere reale strict pozitive atunci ( a + b + c ) ( 9)111
++ cba .6. S se demonstreze c dac a, b, c sunt numere reale strict pozitive atunci:
a2 + b2 + c2 3
)( 2cba ++.
7. Dac a, b, c > 0 i a + b + c = 1 atunci:
3
100111222
++
++
+
cc
bb
aa .
8. Din cele patru afirmaii corespunztoare fiecrei probleme de mai jos, numai una este adevrat.Gsii afirmaia adevrat i justificai-o.8.1. Minimul expresiei E = a2 + 4b2 2a b, cu a i b numere reale este:
a). 0; b). -16
17; c). 1; d).
16
17.
8.2 Dac a + b + 10=+a
b
b
a( a,b R+ ), atunci cea mai mare valoare a produsului ab este:
a). 10; b). 25; c). 0; d). 16.
8.3 Dac 0,1 =+ bab
y
a
x, atunci minimul expresiei x2 + y2 este:
a). a2 + b2; b). 4ab; c). ( a b )2; d).22
22
ba
ba
+.
8.4 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e)a). numai dac a este cel mai mic dintre numerele a, b, c, d, e;
b). numai dac a este cel mai mare dintre numerele a, b, c, d, e;c). oricare ar fi a, b, c, d, e numere reale pozitive;d). oricare ar fi a, b, c, d, e numere reale.
8.5 Expresia E(x) =22
2
aaxx
baxx
++++
admite o valoare maxim numai dac:
a). a2 >b; b). ba2; c). a = 0; d). b = 0.
8.6 Cnd a + b = 1, ab>0, minimul expresiei ( a + :1
)1
2
2 esteb
ba
++
a). 8; b).225 ; c). 6; d). 12
8.7. Dac a + 2b + 3c 14, atunci suma a2 + b2 + c2 este mai mare sau egal cu:a). 1; b). 14; c). 142; d). 143.
8.8. Minimul expresiei54
64
2
2
+
+
xx
xxeste:
a). 3 2 ; b). egal cu valoarea lui x pentru care se obine acest minim
c).5
6; d).
2
2.
TEMA 9 - clasa a VII-a geometrie - 06.03.2010
Trigonometrie, teorema lui Pitagora generalizat, , teorema cosinusului, teorema sinusurilor
-
8/14/2019 Inspectoratul colar Judeean Timi Pregtirea Elevilor Capabili
3/4
A. Breviar teoreticPentru a defini funciile trigometrice ale unui unghi ascuit, l ncadrm ntr-un triunghi dreptunghic i definim:
tgBAC
AB
opusacateta
alaturatacatetactgB
ctgCAB
AC
alaturatacatetat
opusacatetatgB
CBC
AB
ipotenuza
alaturatacateta
B
CBC
AC
ipotenuza
opusacatetaB
===
===
===
===
_
_
_
_
sin
_
cos
cos_
sin
Deoarece unghiurile B i C sunt complementare (suma msurilor lor este de 900), notnd unul dintre unghiuri cu x,cellalt va fi 90-x i vom,aveasin(x)=cos(90-x)cos(x)=sin(90-x)
tg(x)=ctg(90-x)ctg(x)=tg(90-x)tg(x)=sin(x)/cos(x)ctg(x)=cos(x)/sin(x)tg(x)*ctg(x)=1sin2(x)+cos2(x)=1
Pentru unghiuri obtuze definim:sin(x)=sin(180-x)
cos(x)= -cos(180-x)tg(x)= -tg(180-x)ctg(x)= -ctg180-x)
n plus: sin(0)=0, sin(90)=1.
Tabel cu valorile exacte ale funciilor trigonometrice pentru cteva arce
x 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
sin(x) 0 1/2 2 /2 3 /2 1 3 /2 2 /2 1/2 0
cos(x) 1 3 /2 2 /2 1/2 0 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1
tg(x) 0 3 /3 1 3 nedef
- 3 -1 - 3 /3 0
ctg(x) nedef 3 1 3 /3 0 - 3 /3 -1 - 3 nedef
Teoreme remarcabileTeorema lui Pitagora generalizat: n orice triunghi, ptratul unei laturi este egal cu suma ptratelor celorlalte doulaturi minus dublul produsului dintre cele dou laturi i cosinusul unghiului cuprins ntre ele.
BC2=AB2+AC2-2ABACcosA i celelalte.Consecin teorema cosinusului: cosA=( AB2+AC2- BC2)/2ABAC.Teorema sinusurilor: n orice triunghi, raportul dintre o latur i sinusul unghiului opus ei este acelai pentru toatecele trei laturi.
AC/sinB=AB/sinC=BC/sinA=2R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului
B. Probleme propuse :
1. Fie triunghiul cu lungimile a dou laturi a i b i msura unghiului cuprins ntre ele egal cu .S se afle lungimea celei de-a treia laturi.
2. Fie triunghiul ABC cu AB = c, BC = a, AC = b. S se afle sinA, sinB, sinC.Caz particular AB = 7cm, BC = 9cm, AC = 8cm.
3. Fr a utiliza tabele trigonometrice, calculai sin750.
4. In ABC unghiul A are msura x (x 900), iar lungimea laturii BC este a. S se determine razacercului circumscris triunghiului.
-
8/14/2019 Inspectoratul colar Judeean Timi Pregtirea Elevilor Capabili
4/4
5. n interiorul unui unghi de 600 se consider un punct M, ale crui distane la laturile unghiuluisunt respectiv 2 cm i 11 cm. S se afle distana de la punctul M la vrful unghiului.
6. n ABC cu ( ) 060=Am , fie punctul M mijlocul laturii BC si B`, C` picioarele nalimilordin B, respectiv C.
a) S se arate c `CMB este echilateral;b) Dac AC = b, iar B este variabil, s se determine minimul lungimii laturii
`CMB .
7. Fie AB un diametru fix al unui cerc de centru O i raz R, iar M un punct arbitrar pe cerc.Tangenta n M la cerc taie tangentele n A i B , respectiv n P i Q.
a) S se arate c OPQ este dreptunghic n O i .2 BQAPR =b) Dac ( ) 060=BOMm s se determine aria trapezului ABQP n funcie de R.c) Determinai aria trapezului ABQP n cazul general.
8. Fie un triunghi dreptunghic AOC cu m(